УДК 517
ББК 22.16
И 46
Учебник удостоен
государственной премии СССР за 1980 год
ИЛЬИН В. А., ПОЗНЯК Э. Г. Основы математического анализа:
В 2-х ч. Часть I: Учеб.: Для вузов. — 7-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. —
648 с. — (Курс высшей математики и математической физики). — ISBN
5-9221-0536-1.
Один из выпусков «Курса высшей математики и математической физики»
под редакцией А.Н.Тихонова, В.А.Ильина, А.Г.Свешникова. Учебник создан на
базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факульте-
факультете и факультете вычислительной математики и кибернетики Московского госу-
государственного университета. Книга включает теорию вещественных чисел, теорию
пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчис-
исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное
исчисление многих переменных. Воспроизводится с 5-го изд. A998 г.).
Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальности
«Физика» и «Прикладная математика».
Ил. 117.
Учебное издание
ИЛЬИН Владимир Александрович,
ПОЗНЯК Эдуард Генрихович
ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
Часть I
Серия «Курс высшей математики и математической физики»
Редактор Д.А. Миртова
Оригинал-макет: Ст.Ю. Мельников
ЛР №071930 от 06.07.99
Подписано в печать 01.09.04. Формат 60x90/16. Бумага офсетная №1.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 40,5. Уч.-изд. л. 43,4. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная ул., 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов
в ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0536-1
7859221П 0536 1
ISBN 5-9221-0536-1
© ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2005

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к седьмому изданию ..................... 15
Предисловие к пятому изданию ....................... 16
Предисловие к первому изданию ...................... 17
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях
математического анализа ................. 19
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании дви-
движения ................................. 19
§ 2 Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические
понятия ................................ 22
§ 3 Задача о восстановлении закона движения по скорости и свя-
связанная с ней математическая проблематика ........... 29
§ 4 Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении пути 31
§ 5 Заключительные замечания .................... 35
Глава 2. Теорим вещественных чисел ............... 37
§ 1. Вещественные числа ......................... 37
1. Свойства рациональных чисел C7). 2. Об измерении отрезков
числовой оси C9). 3. Вещественные числа и правило их сравне-
сравнения D2). 4. Приближение вещественного числа рациональными
числами D5). 5. Множества вещественных чисел, ограниченные
сверху или снизу D6).
§ 2 Арифметические операции над вещественными числами.
Основные свойства вещественных чисел ............. 50
1. Определение суммы вещественных чисел E0). 2. Определе-
Определение произведения вещественных чисел E3). 3. Свойства веще-
вещественных чисел E3). 4. Некоторые часто употребляемые соот-
соотношения E5).
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел .... 56
Дополнение 1. О переводе чисел из десятичной системы счисления
в двоичную и из двоичной системы в десятичную ........ 57
1. Перевод чисел из десятичной системы счисления в двоич-
двоичную E7). 2. Перевод чисел из двоичной системы счисления в
десятичную E9).
Дополнение 2. Об ошибках в округлении чисел в системах счисления
с четным и нечетным основаниями ................ 59

ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 3. Предел последовательности ............... 61
§ 1. Числовые последовательности ................... 61
1.	Числовые последовательности и операции над ними F1).
2.	Ограниченные и неограниченные последовательности F2).
3.	Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
F3). 4. Основные свойства бесконечно малых последовательно™
стей F5).
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства ... 67
1. Понятие сходящейся последовательности F7). 2. Основные
свойства сходящихся последовательностей F9). 3. Предельный
переход в неравенствах G1).
§ 3. Монотонные последовательности .................. 73
1. Определение монотонных последовательностей G3). 2. При™
знак сходимости монотонной последовательности G3). 3. Неко-
торые примеры сходящихся монотонных последовательностей
G5). 4. Число е G8).
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и чи-
числовых множеств ........................... 79
1.	Подпоследовательности числовых последовательностей G9).
2.	Предельные точки последовательности (81). 3. Существо-
Существование предельной точки у ограниченной последовательности
(82). 4. О выделении сходящейся подпоследовательности (85).
5. Необходимое и достаточное условие сходимости последова-
последовательности (87). 6. Некоторые свойства произвольных числовых
множеств (90).
Дополнение 1. Теорема Штольца .................... 93
Дополнение 2. О скорости сходимости последовательности прибли-
приближающей у/а .............................. 96
Глава 4. Понмтие функции. Предельное значение функции.
Непрерывность ........................ 100
§ 1. Понятие функции .......................... 100
1. Переменная величина и функция A00). 2. О способах задания
функции A02).
§ 2. Понятие предельного значения функции ............. 103
1. Определение предельного значения функции A03). 2. Ариф-
Арифметические операции над функциями, имеющими предельное
значение A06). 3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций A07).
§ 3. Понятие непрерывности функции .................110
1. Определение непрерывности функции A10). 2. Арифметиче-
Арифметические операции над непрерывными функциями A12). 3. Слож-
Сложная функция и ее непрерывность A12).
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций ............113
1. Определение и примеры монотонных функций A13). 2. Поня-
Понятие обратной функции. Монотонные функции, имеющие обрат-
обратную A14).
§ 5. Простейшие элементарные функции ................117
1. Рациональные степени положительных чисел A18). 2. Пока-
Показательная функция A20). 3. Логарифмическая функция A23).

ОГЛАВЛЕНИЕ
4. Гиперболические функции A25). 5. Степенная функция с
любым вещественным показателем а A26). 6. Тригонометриче-
Тригонометрические функции A28). 7. Обратные тригонометрические функции
A32).
§ 6. Предельные значения некоторых функций ............ 133
1. Предварительные замечания A33). 2. Предельное значение
функции (sin ж)/ж в точке ж = 0 (первый замечательный пре-
предел) A24). 3. Предельное значение функции A + 1/ж)ж при ж —»¦
—>- оо (второй замечательный предел) A35).
§ 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных
функций ................................ 138
1. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных
функций A38). 2. Понятие элементарной функции. Класс эле-
элементарных функций A42).
§ 8. Классификация точек разрыва функции ............. 143
1. Точки разрыва функции и их классификация A43). 2. Ку-
Кусочно непрерывные функции A45).
Дополнение. Доказательство утверждения из п. 6 § 5 ........ 146
1. Доказательство единственности A46). 2. Доказательство су-
существования A49).
Глава 5. Основы дифференциального исчисления ...... 156
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 156
1. Приращение аргумента и функции. Разностная форма усло-
условия непрерывности A56). 2. Определение производной A57). 3.
Производная с физической точки зрения A58). 4. Производная
с геометрической точки зрения A59). 5. Правая и левая про-
производные A60). 6. Понятие производной векторной функции
A60).
§ 2. Понятие дифференцируемости функции ............. 162
1. Понятие дифференцируемости функции в данной точке
A62). 2. Связь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности функции A63). 3. Понятие дифференциала
функции A64).
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения
и частного ............................... 166
§ 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометри-
тригонометрических функций и логарифмической функции .......... 168
1. Производная степенной функции с целочисленным показа-
показателем A68). 2. Производная функции у = sin ж A69). 3. Про-
Производная функции у = cos ж A70). 4. Производные функций
у = tgx л у = ctg# A70). 5. Производная функции у = loga ж
@ <аф 1) A71).
§ 5. Теорема о производной обратной функции ............ 171
§ 6. Вычисление производных показательной функции и обратных
тригонометрических функций ................... 173
1. Производная показательной функции у = аж @ < о / 1)
A73). 2. Производные обратных тригонометрических функций
A73).

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции ........ 175
§ 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функ-
функции с любым вещественным показателем. Таблица производ-
производных простейших элементарных функций ............. 177
1. Понятие логарифмической производной функции A77). 2.
Производная степенной функции с любым вещественным по-
показателем A78). 3. Таблица производных простейших элемен-
элементарных функций A78).
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые
применения дифференциала .................... 179
1. Инвариантность формы первого дифференциала A79). 2.
Формулы и правила вычисления дифференциалов A81). 3. Ис-
Использование дифференциала для установления приближенных
формул A82).
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков ....... 183
1. Понятие производной п~го порядка A83). 2. п-е производные
некоторых функций A84). 3. Формула Лейбница для n-й произ-
производной произведения двух функций A85). 4. Дифференциалы
высших порядков A86).
§11. Дифференцирование функции, заданной параметрически . . . 188
Глава 6. Неопределенный интеграл ................ 190
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 190
1. Понятие первообразной функции A90). 2. Неопределенный
интеграл A91). 3. Основные свойства неопределенного инте-
интеграла A92). 4. Таблица основных неопределенных интегралов
A93).
§ 2. Основные методы интегрирования ................. 196
1. Интегрирование заменой переменной (подстановкой) A96). 2.
Интегрирование по частям A99).
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Инте-
Интегрирование в элементарных функцимх ........ 203
§ 1. Краткие сведения о комплексных числах ............. 203
§ 2. Алгебраические многочлены .................... 207
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня . . . . . 210
§ 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида . . . 212
1. Принцип выделения кратных корней B12). 2. Нахождение
наибольшего общего делителя двух многочленов (алгоритм Ев-
Евклида) B13).
§ 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными
коэффициентами на сумму простейших дробей .........215
§ 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными ко™
эффициентами на произведение неприводимых вещественных
множителей ..............................217
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными
коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественны-
вещественными коэффициентами ......................... 220
§ 8. Проблема интегрирования рациональной дроби .........225

ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9. Метод Остроградского ........................ 228
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендент-
трансцендентных выражений ............................ 231
1. Интегрирование некоторых тригонометрических выражений
B31). 2. Интегрирование дробно линейных иррационально™
стей B34). 3. Интегрирование биномиальных дифференциалов
B35). 4. Интегрирование квадратичных иррациональностей по-
посредством подстановок Эйлера B36). 5. Интегрирование ква-
квадратичных иррациональностей другими способами B39).
§ 11. Эллиптические интегралы ..................... 245
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференци-
дифференцируемых функцимх ...................... 247
§ 1. Новое определение предельного значения функции ....... 247
1. Новое определение предельного значения функции. Его экви-
эквивалентность старому определению B47). 2. Необходимое и до-
достаточное условие существования предельного значения функ-
функции (критерий Коши) B50).
§ 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное зна-
значение .................................. 252
§ 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции . .... 254
§ 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточ-
промежуточное значение ............................. 255
1. Прохождение непрерывной функции через нуль при смене
знаков B55). 2. Прохождение непрерывной функции через лю-
любое промежуточное значение B56).
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте ...... 256
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерыв-
непрерывной на сегменте ............................ 257
1. Понятие точной верхней и точной нижней граней функции
на данном множестве B57). 2. Достижение функцией, непре-
непрерывной на сегменте, своих точных граней B58).
§ 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный макси-
максимум (минимум) ............................ 260
1. Возрастание (убывание) функции в точке B60). 2. Локальный
максимум и локальный минимум функции B61).
§ 8. Теорема о нуле производной .................... 262
§ 9. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) ..... 263
§ 10. Некоторые следствия из формулы Лагранжа .......... 264
1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю
производную B64). 2. Условия монотонности функции на ин-
интервале B65). 3. Отсутствие у производной точек разрыва 1-го
рода и устранимого разрыва B67). 4. Вывод некоторых нера-
неравенств B68).
§11. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 269
§ 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) ....... 270
1. Раскрытие неопределенности вида 0/0 B70). 2. Раскрытие
неопределенности вида оо/оо B72). 3. Раскрытие неопределен-
неопределенностей других видов B74).

10	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 13. Формула Тейлора .......................... 275
§ 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена . . 278
1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано B78). 2.
Другая запись формулы Тейлора B80). 3. Формула Маклорена
B81).
§ 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементар-
элементарных функций ............................. 281
1.	Оценка остаточного члена для произвольной функции B81).
2.	Разложение по формуле Маклорена некоторых элементар-
элементарных функций B82).
§ 16. Примеры приложений формулы Маклорена ...........285
1. Алгоритм вычисления числа е B85). 2. Реализация алгорит-
алгоритма вычисления числа е на электронной машине B86). 3. Ис-
Использование формулы Маклорена для асимптотических оценок
элементарных функций и вычисления пределов B87).
Дополнение. Вычисление элементарных функций .......... 290
1. Вычисление логарифмической и обратных тригонометри™
ческих функций B90). 2. Вычисление тригонометрических
функций, показательной функции и гиперболических функций
B93).
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции.
Нахождение максимального и минимального зна-
значений функции ........................ 300
§ 1. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 300
1. Отыскание участков монотонности функции C00). 2. Отыска-
Отыскание точек возможного экстремума C01). 3. Первое достаточное
условие экстремума C01). 4. Второе достаточное условие экс-
экстремума C03). 5. Экстремум функции, недифференцируемой в
данной точке. Общая схема отыскания экстремумов C06).
§ 2. Направление выпуклости графика функции ........... 308
§ 3. Точки перегиба графика функции ................. 310
1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба
C10). 2. Первое достаточное условие перегиба C13). 3. Второе
достаточное условие перегиба C14). 4. Некоторые обобщения
первого достаточного условия перегиба C15).
§ 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба ....... 315
§ 5. Асимптоты графика функции ................... 318
§ 6. Схема исследования графика функции .............. 320
§ 7. Отыскание максимального и минимального значений функции.
Краевой экстремум .......................... 323
1. Отыскание максимального и минимального значений функ-
функции C23). 2. Краевой экстремум C25).
Глава 10. Определенный интеграл ................ 327
§ 1. Интегральные суммы. Интегрируемость ............. 327
§ 2. Верхние и нижние суммы ...................... 330
1. Понятие верхней и нижней сумм C30). 2. Свойства верхних
и нижних сумм C31).

ОГЛАВЛЕНИЕ	11
§ 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ..... 335
§ 4. Некоторые классы интегрируемых функций ........... 337
1. Свойство равномерной непрерывности функции C37). 2.
Лемма Гейне-Бореля. Другое доказательство теоремы о рав-
равномерной непрерывности C40). 3. Интегрируемость непрерыв-
ных функций C41). 4. Интегрируемость некоторых разрывных
функций C42). 5. Интегрируемость монотонных ограниченных
функций C44).
§ 5. Основные свойства определенного интеграла .......... 344
§ 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения ........ 347
1. Оценки интегралов C47). 2. Первая формула среднего значе-
значения C50). 3. Первая формула среднего значения в обобщенной
форме C50). 4. Вторая формула среднего значения C51).
§ 7. Существование первообразной для непрерывной функции.
Основные правила интегрирования ................ 352
1. Существование первообразной для непрерывной функции
C52). 2. Основная формула интегрального исчисления C54). 3.
Замена переменной под знаком определенного интеграла C56).
4. Формула интегрирования по частям C57). 5. Остаточный
член формулы Тейлора в интегральной форме C58).
Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегра-
интегралов ................................... 360
1. Вывод одного предварительного неравенства C60). 2. Нера-
Неравенство Гёльдера для сумм C61). 3. Неравенство Минковского
для сумм C62). 4. Интегрируемость произвольной положитель-
положительной степени модуля интегрируемой функции C62). 5. Неравен-
Неравенство Гёльдера для интегралов C63). 6. Неравенство Минков-
Минковского для интегралов C65).
Дополнение 2. Доказательство утверждения из п. 4 § 6 ....... 368
Г л а в а 11. Геометрические и физические приложения опре-
определенного интеграла ................... 368
§ 1. Длина дуги кривой .......................... 368
1. Понятие плоской кривой C68). 2. Параметрическое задание
кривой C69). 3. Понятие пространственной кривой C72). 4. По-
Понятие длины дуги кривой C72). 5. Достаточные условия спрям-
спрямляемости кривой. Формулы для вычисления длины дуги кри-
кривой C77). 6. Дифференциал дуги C81). 7. Примеры вычисления
длины дуги C82).
§ 2. Площадь плоской фигуры ..................... 383
1. Понятие квадрируемости плоской фигуры. Площадь квадри-
руемой плоской фигуры C83). 2. Площадь криволинейной тра-
трапеции C86). 3. Площадь криволинейного сектора C87). 4. При-
Примеры вычисления площадей C88).
§ 3. Объемы тел и площади поверхностей ............... 390
1. Понятие кубируемости и объема C90). 2. Кубируемость неко-
некоторых классов тел C90). 3. Примеры вычисления объемов
C92). 4. Площадь поверхности вращения C93).
§ 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 395
1. Масса и центр тяжести неоднородного стержня C95). 2. Ра-

12	ОГЛАВЛЕНИЕ
бота переменной силы C97).
Дополнение. Пример неквадрируемой фигуры ............ 397
Г л а в а 12. Приближенные методы вычисления корней ура-
уравнений и определенных интегралов ......... 402
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений ..... 402
1. Метод «вилки» D02). 2. Метод касательных D03). 3. Метод
хорд D04). 4. Метод итераций (последовательных приближе-
приближений) D05). 5. Обоснование метода касательных D08). 6. Обос-
Обоснование метода хорд D12).
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 414
1. Вводные замечания D14). 2. Метод прямоугольников D16).
3. Метод трапеций D20). 4. Метод парабол D22). 5. Заключи™
тельные замечания D25).
Глава 13. Теория числовых рядов ................. 426
§ 1. Понятие числового ряда ....................... 426
1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся
ряды D26). 2. Критерий Копти сходимости ряда D29). 3. Два
свойства, связанные со сходимостью ряда D31).
§ 2. Ряды с положительными членами ................. 432
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с по™
ложительными членами D32). 2. Признаки сравнения D32). 3.
Признаки Даламбера и Коши D36). 4. Интегральный признак
Коши-Маклорена D39). 5. Признак Раабе D42). 6. Отсутствие
универсального ряда сравнения D44).
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды .............. 445
1. Понятия абсолютно и условно сходящегося ряда D45). 2. О
перестановке членов условно сходящегося ряда D47). 3. О пе-
перестановке членов абсолютно сходящегося ряда D50).
§ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами ...... 453
§ 5. Признаки сходимости произвольных рядов ............ 454
1. Признак Лейбница D55). 2. Признак Дирихле™Абеля D57).
§ 6. Бесконечные произведения ..................... 460
1. Основные понятия D60). 2. Связь между сходимостью бес-
бесконечных произведений и рядов D62).
Дополнение 1. Вспомогательная теорема для п. 3 § 2 ........ 466
Дополнение 2. Разложение функции sin ж в бесконечное произве-
произведение .................................. 467
Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся
рядов .................................. 470
1. Метод Чезаро (или метод средних арифметических) D71). 2.
Метод суммирования Пуассона-Абеля D72).
Глава 14. Функции нескольких переменных .......... 475
§ 1. Понятие функции нескольких переменных ............ 475
1. О функциональных зависимостях между несколькими пере-
переменными величинами D75). 2. Понятия евклидовой плоскости и
евклидова пространства D76). 3. Понятие функции двух и трех
переменных D77). 4. Понятия m-мерного координатного про-

ОГЛАВЛЕНИЕ	13
странства и m-мерного евклидова пространства D78). 5. Мно-
Множества точек m-мерного евклидова пространства Ет D80). 6.
Понятие функции т переменных D82).
§ 2. Предельное значение функции нескольких переменных .... 483
1. Сходящиеся последовательности точек в m-мерном евкли-
довом пространстве Ет. Критерий Коши сходимости после-
последовательности D83). 2. Некоторые свойства ограниченных по-
последовательностей точек в m-мерном евклидовом пространстве
D85). 3. Понятие предельного значения функции нескольких
переменных D86). 4. Бесконечно малые функции D88). 5. Необ-
Необходимое и достаточное условие существования предельного зна-
значения функции (критерий Коши) D88). 6. Повторные предель-
предельные значения D89).
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных ......... 490
1. Определение непрерывности функции нескольких пере-
переменных D90). 2. Основные свойства непрерывных функций
нескольких переменных D94).
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких перемен-
переменных ................................... 497
1. Частные производные функции нескольких переменных
D97). 2. Понятие дифференцируемости функции несколь-
нескольких переменных D99). 3. Понятие.дифференциала функции
нескольких переменных E05). 4. Дифференцирование сложной
функции E05). 5. Инвариантность формы первого дифферен-
дифференциала E09). 6. Производная по направлению. Градиент E10).
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . 513
1. Частные производные высших порядков E13). 2. Дифферен-
Дифференциалы высших порядков E18). 3. Формула Тейлора для функ-
функции т переменных с остаточным членом в форме Дагранжа
E24). 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеа-
но. E27)
§ 6. Локальный экстремум функции т переменных .........531
1. Понятие экстремума функции т переменных. Необходимые
условия локального экстремума E31). 2. Достаточные условия
локального экетремума E33). 3. Случай функции двух перемен-
переменных E40). 4. Пример исследования функции на экстремум E42).
§ 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функ-
функции ................................... 543
1. Выпуклые множества и выпуклые функции E44). 2. Суще-
Существование минимума у сильно выпуклой функции и единствен-
единственность минимума у строго выпуклой функции E51). 3. Поиск
минимума сильно выпуклой функции E56).
Дополнение. О выборе оптимального разбиения сегмента для при-
приближенного вычисления интеграла ................ 565
Г л а в а 15. Теорим неявных функций и ее приложения . . . 568
§ 1. Понятие неявной функции ..................... 568
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной
функции и некоторые ее применения ............... 569
1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной

14	ОГЛАВЛЕНИЕ
функции E69). 2. Вычисление частных производных неявно за-
заданной функции E75). 3. Особые точки поверхности и плоской
кривой E78). 4. Условия, обеспечивающие существование для
функции у = /(ж) обратной функции E79).
§ 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных
уравнений ............................... 580
1. Теорема о разрешимости системы функциональных уравне-
уравнений E80). 2. Вычисление частных производных функций, неяв-
но определяемых посредством системы функциональных —
уравнений E86). 3. Взаимно однозначное отображение двух
множеств тв-мерного пространства E86).
§ 4. Зависимость функций ........................ 587
1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие незави-
независимости E87). 2. Функциональные матрицы и их приложения
E90).
§ 5. Условный экстремум ......................... 594
1. Понятие условного экстремума E94). 2. Метод неопреде-
неопределенных множителей Лагранжа E97). 3. Достаточные условия
E98). 4. Пример F00).
Дополнение. Замена переменных .................... 602
Г л а в а 16. Некоторые геометрические приложения диффе-
дифференциального исчисления ................ 606
§ 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического
семейства плоских кривых ..................... 606
1. Предварительные замечания F06). 2. Однопараметрические
семейства плоских кривых. Характеристические точки кривых
семейства F09). 3. Огибающая и дискриминантная кривая од-
однопараметрического семейства плоских кривых F11). 4. Огиба-
Огибающая и дискриминантная поверхность однопараметрического
семейства поверхностей F14).
§ 2. Соприкосновение плоских кривых .................615
1.	Понятие порядка соприкосновения плоских кривых F15).
2.	Порядок соприкосновения кривых, являющихся графиками
функций F17). 3. Достаточные условия соприкосновения по-
порядка п F19). 4. Соприкасающаяся окружность F21).
§ 3. Кривизна плоской кривой ...................... 622
1. Понятие о кривизне плоской кривой F22). 2. Формула для
вычисления кривизны F24).
§ 4. Эволюта и эвольвента ........................ 627
1. Нормаль к плоской кривой F27). 2. Эволюта и эвольвента
плоской кривой F28).
Приложение. Дальнейшее развитие теории веще-
вещественных чисел .......................... 632
1. Полнота множества вещественных чисел F32). 2. Аксиома™
тическое введение множества вещественных чисел F36). 3. За-
Заключительные замечания F41).
Предметный указатель ............................ 642

ПРЕДИСЛОВИЕ К СЕДЬМОМУ ИЗДАНИЮ
Особенностью этого учебника, отличающей его от других
учебников по математическому анализу, является концепция по-
построения теории предельного значения и непрерывности функ-
функции только на основе определения предела функции по Гейне
(через предел последовательности). При этом введение вто™
рого эквивалентного определения предела функции по Коши
(на «eS языке»), часто трудно воспринимаемого студентами
первых курсов, откладывается до главы 8.
После многих лет преподавания математического анализа
возникло намерение изменить указанную концепцию, что в по-
последние годы воплощается при чтении лекционных курсов.
Однако многие математики, использующие этот учебник, в
беседе со мной не советовали мне этого делать, убеждая меня
в том, что тем самым я испорчу хорошо зарекомендовавший себя
учебник.
Учитывая это мнение и тот факт, что эта книга рекомендо™
вана Ученым Советом МГУ к изданию в серии «Классический
университетский учебник», приуроченный к 250™летию МГУ,
я решил сохранить в этом издании указанную концепцию из-
изложения.
Сентябрь 2004 г.	В. А. Ильин

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЯТОМУ ИЗДАНИЮ
Первая часть «Основ математического анализа» в настоя-
настоящем издании повторяет текст четвертого переработанного и до-
дополненного издания, которое содержит целый ряд улучшающих
и углубляющих изложение изменений, возникших в результате
чтения одним из авторов лекций на факультете вычислитель-
вычислительной математики и кибернетики Московского государственного
университета.
Наиболее существенные из этих изменений относятся к изло-
изложению приближенных методов вычисления определенных ин-
интегралов, к выводу формулы Тейлора с остаточным членом в
форме Пеано (как в одномерном, так и в многомерных случа-
случаях) , к теории отыскания локальных экстремумов и точек переги-
перегиба графика функции, к изложению градиентного метода поиска
экстремума сильно выпуклой функции.
Со времени выхода в свет первого издания книга стала основ™
ным учебником во многих вузах и университетах. Несмотря на
то, что общий тираж предыдущих изданий превысил 240 тысяч
экземпляров, книга превратилась в библиографическую ред™
кость. В целях ускорения выпуска книги текст пятого издания
перепечатывается стереотипно с четвертого издания.
Июнь 1998 г.	В. А. Ильин

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
В основу настоящей книги положены лекции, читавшиеся ав-
торами на физическом факультете МГУ в течение ряда лет.
При написании книги авторы стремились к систематичности
изложения и к выделению важнейших понятий и теорем. Теоре-
мы, играющие особо важную роль, в тексте названы основными.
Авторы стремились также не формулировать новых понятий и
теорем задолго до их непосредственного использования.
Порядок расположения материала в книге соответствует
установившемуся на физическом факультете МГУ плану чтения
курса лекций. В частности, изложению систематического курса
в настоящей книге предшествует глава 1 — «Предварительные
сведения об основных понятиях математического анализа». В
этой главе рассматриваются некоторые важные физические за-
задачи и обсуждаются математические средства, необходимые для
их решения. Таким путем выясняется тот круг вопросов и по-
понятий, с которым придется иметь дело в курсе математического
анализа. Опыт чтения лекций показывает, что такое предвари-
предварительное выяснение вопросов, которым посвящен курс анализа,
существенно облегчает студентам усвоение абстрактных мате-
математических понятий.
Возросшая роль вычислительной математики и приближен-
приближенных методов также нашла свое отражение в книге. Именно по-
поэтому авторы стремились там, где это возможно, к алгоритмич-
ности изложения доказательств теорем и проводимых вычисле-
вычислений. В частности, в гл. 12 в первую очередь подчеркнута ал-
алгоритмическая сторона приближенных методов вычислений и
лишь затем дано обоснование этих методов.
Кроме основного материала, авторы сочли возможным вклю-
включить в книгу некоторые дополнительные вопросы, напечатанные
мелким шрифтом.
При написании этой книги авторы использовали некоторые
методические приемы из курса лекций Н. В. Ефимова и из из-
известных книг Э. Гурса, Ш. Ж. Валле-Пуссена и Ф. Франклина.

18	ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Авторы считают своим приятным долгом выразить глубокую
благодарность А. Н. Тихонову за многие ценные идеи и указания
и огромную помощь, оказанную на всех этапах написания этой
книги.
Авторы также глубоко благодарны И. А. Шишмарёву, работа
которого по редактированию этой книги способствовала значи™
тельному ее улучшению.
Авторы искренне благодарят Н. В. Ефимова, Л. Д. Кудряв-
Кудрявцева и особенно А. А. Самарского за большое количество ме-
методических предложений, Б. М. Будака и С. В. Фомина за про-
просмотр отдельных глав и сделанные ими замечания, Б. Химченко,
П. Заикина и А. Золотарева за помощь при подготовке рукописи
к печати.
1965 г.	В. Ильин, Э. Позняк

ГЛАВА 1
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ОБ
ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО
АНАЛИЗА
§ 1. Математические понмтим, возникающие при
описании движения
1.	Математика изучает количественные отношения и про-
пространственные формы окружающего нас мира.
Элементарная математика ограничивается лишь первона™
чальным изучением количественных отношений и простран-
пространственных форм, ибо она имеет дело в основном с постоянны-
постоянными величинами и с простейшими геометрическими фигурами
(треугольниками, окружностями и т. п.). Понятий и методов
элементарной математики оказывается недостаточно для описа-
описания механического движения и других протекающих во време-
времени процессов. Выясним, какие новые математические понятия
необходимы для этого 1).
2.	Со всяким процессом связано представление о переменной
величине , т. е. о такой величине, которая в условиях данно-
данного процесса принимает различные значения. Более того, всякий
процесс характеризуется по меньшей мере двумя переменными
величинами, изменение которых взаимосвязано.
Рассмотрим, например, механическое движение материаль-
материальной точки по прямой линии. Это движение представляет собой
процесс изменения положения точки на прямой линии с тече-
течением времени. С указанным процессом связаны две переменные
величины — время и путь, пройденный точкой от начала от-
отсчета. Для характеристики рассматриваемого движения нужно
) При этом мы не будем стремиться к точным формулировкам, а поста-
постараемся лишь выяснить тот круг вопросов, с которым нам в дальнейшем
придется иметь дело.

20	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
знать, на каком расстоянии от начала отсчета находится точка
в каждый данный момент времени, т. е. нужно знать зависи-
зависимость путщ пройденного точкой, от времени. В механике та-
такую зависимость называют законом движения. Иными слова™
ми, закон движения представляет собой правило, посредством
которого каждому значению времени х ставится в соответствие
определенное значение пути у, пройденного точкой за время х.
Такого рода зависимости между двумя переменными ж и у,
при которых каждому значению переменной х ставится в соот-
соответствие определенное значение переменной у, встречаются не
только при рассмотрении механического движения материалы
ной точки, но и при описании других физических процессов.
Абстрагируясь от конкретного физического содержания пере-
переменных ж и у, мы приходим к одному из важнейших математи-
математических понятий — понятию функции1).
Если известно правило^ посредством которого каждому
значению переменной х ставится в соответствие определен-
определенное значение переменной у, то говорят^ что переменная у яв-
является функцией переменной х.
При этом переменная х называется аргументом рассматри-
рассматриваемой функции, а соответствующее данному х значение пере-
переменной у называется частным значением функции в точке х.
Для обозначения функции используются следующие символы:
у = у(х) или y = f(x).
В последнем обозначении буква /, называемая характери-
характеристикой функции, символизирует указанное выше правило. Ес-
Если рассматриваются разные функции, то для обозначения их
характеристик употребляются разные буквы. Подчеркнем, что
для обозначения аргумента и функции вовсе не обязательно упо-
употреблять буквы х и у. Например, запись S = h(t) означает, что
переменная S является функцией аргумента t, причем характе™
ристика этой функции обозначена буквой h.
Как переменная величина, так и функция обычно характери-
зуются различными численными значениями. Поэтому углубле-
углубление представлений об этих понятиях тесно связано с необходи™
мостью развития теории вещественных чисел2).
) Введение в математику понятия функции связывают с именем велико-
великого английского ученого И. Ньютона A642-1727).
) Следует отметить, что понятие функции и понятие числа относятся
к так называемым начальным понятиям. Каждое из начальных понятий
может быть разъяснено, но всякая попытка дать определение начального
понятия сводится к замене определяемого понятия ему эквивалентным. С
начальными понятиями читатель знаком из элементарного курса. К началь-
начальным понятиям относятся, например, понятия прямой линии и плоскости.

§ 1 ПОНЯТИЯ, ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ ОПИСАНИИ ДВИЖЕНИЯ 21
Рассмотрим несколько примеров функций.
1)	Известно, что путь 5, пройденный первоначально непо™
движной материальной точкой при падении под действием силы
тяжести за время t определяется формулой
S = gt2/2.
Эта формула и представляет собой правило, посредством кото-
которого каждому значению переменной t ставится в соответствие
значение переменной S, т. е. определяет S как функцию аргу-
мента t.
2)	По закону Кулона два разноименных единичных заряда,
находящихся на расстоянии г друг от друга, притягиваются с
силой
F = с/г2,
где с — некоторая константа. Эта формула также представляет
собой правило, посредством которого каждому значению пере™
менной г ставится в соответствие значение переменной F, т. е.
определяет F как функцию аргумента г.
В указанных двух примерах правило сопоставления аргумен™
та и функции задавалось при помощи формулы. Такой способ
задания функции называется анали-
тическим.
Наряду с этим способом существу-
существуют и другие способы задания функ-
функции. Отметим некоторые из них. В
практике физических измерений весь-
весьма употребителен табличный способ
задания функции, при котором вы-
выписываются в виде таблицы значе-
значения аргумента и соответствующие им	рис i i
значения функции. Часто зависимость
между аргументом и функцией задается посредством графика,
который, например, снимается на осциллографе. Такой способ
задания функции называется графическим1).
3. Потребности физики иногда приводят к необходимости
изучения функции y = f(%I аргумент х которой сам предста-
представляет собой некоторую функцию х = ip(t) нового аргумента t.
В таком случае говорят, что у представляет собой сложную
функцию аргумента t, a x называют промежуточным аргумен™
том. Эту сложную функцию можно записать в следующем виде:
ПФ)]
Рассмотрим следующий пример.
Пусть материальная точка М равномерно вращается по
окружности радиуса R с угловой скоростью ш (рис. 1.1). Пай™
Подробнее о способах задания функции см. гл. 4.

22	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
дем закон движения проекции у этой точки на некоторую ось
Of/, лежащую в плоскости окружности и проходящую через ее
центр О. При этом будем считать, что в момент времени t = О
точка М находится на оси Оу. Обозначим через у координату
рассматриваемой проекции на оси Of/, а через ж угол LMOy.
Очевидно, что у = Rcosx. С другой стороны, поскольку точка
движется по окружности с угловой скоростью шив момент вре-
времени t = 0 находится на оси Of/, то х = ujt. Таким образом, у
представляет собой сложную функцию аргумента t: у = i?cosx,
где х = cdi, или у = R cos uot. Заметим, что движение по закону
у = R cos oof в механике называют гармоническим колебанием.
§ 2. Мгновенная скорость и связанные с ней новые
математические понятия
1. Пусть функция у = f(x) представляет собой закон движе-
движения материальной точки по оси Оу. Для характеристики дви-
движения важную роль играет понятие средней скорости. Вычис-
Вычислим среднюю скорость vcp движущейся точки за промежуток
времени от х до х + А ж, где х — фиксированный момент време-
времени, Ах — некоторое приращение времени. Поскольку в момент
времени х движущаяся точка находится на расстоянии f(x) от
начала отсчета, а в момент времени х + Ах — на расстоянии
/ (х + А ж), то путь А у, пройденный точкой за время А ж, равен
А У = f(x + А х) ~ fix)- Поэтому средняя скорость -уср равна
_ Ау _ /(х + Ад)-/(ж)
Так как момент времени х фиксирован, то из последней фор™
мулы видно, что vCp является функцией аргумента Ах. Для
характеристики неравномерного движения, наряду со средней
скоростью, большую роль играет понятие мгновенной скорости
в данный момент времени х.
Мгновенной скоростью (или просто скоростью) в момент
времени х называется число, к которому приближается значение
средней скорости
когда промежуток времени Ах стремится к нулю.
Физическое понятие мгновенной скорости является источ-
источником важного математического понятия производной. Абстра-
Абстрагируясь от конкретного физического смысла функции у =
= /(ж), мы будем называть производной этой функции в фик™
сированной точке ж предел, к которому стремится дробь —^ =
= ^	-^—^^ при Дж, стремящемся к нулю.

§ 2	МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ	23
Операцию нахождения производной принято называть
дифференцированием. Производная функции у = f(x) в данной
фиксированной точке обозначается символом у'{х) или f'{x).
Используя известный символ для обозначения предела, можно
записать
н( ч r Ay r f(x + Ax)-f(x)
fix) = lim -г-^- = lim ^	-г-1—i^^.
Аж-iO А ж Аж^О	А ж
Рассмотрим некоторые примеры.
1) Вычислим мгновенную скорость материальной точки, па™
дающей под действием силы тяжести. Поскольку закон движе-
движения этой точки определяется функцией S = gi2/2, то путь A S,
пройденный точкой за промежуток времени от t до t + A t, равен
Поэтому средняя скорость за тот же промежуток времени равна
Следовательно, мгновенная скорость v в фиксированный мо-
момент времени t равна
v= lim ф? = lim (gt+^-At) =gt.
At^O At At^O V5	2 J a
Фактически мы вычислили производную функции S = gt /2,
так что мы можем записать Sf = gt.
2) Вычислим производную функции у = жп, где п — целое
положительное число. Фиксируя х и беря произвольное А ж, по-
получим, используя бином Ньютона,
Ау = (х + Дж) -хп = пхп^Ах + ^Ихп~2(АхJ + • • • + (Axf.
Поэтому средняя скорость —^™ изменения функции у = /(ж)
на участке от х до х + А ж равна
|1 = пж-1 + w(w-1}^-2(A х) + ¦ ¦ ¦ + (А ж)"-1.
Zk Ж	А
Следовательно, производная в данной фиксированной точке х
равна
у'= lim
L	^
Мы видим, что для вычисления производных фундаменталь-
фундаментальную роль играет понятие предела функции. Уточнение этого по-
понятия в первую очередь связано с необходимостью более деталь-
детального выяснения самого понятия функции, переменной величины
и вещественного числа.

24	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
2. Сейчас мы убедимся, что в процессе вычисления произ™
водных простейших функций возникают новые математические
вопросы.
Займемся вычислением производной функции у = sin ж. Фик™
сируя ж и беря произвольное А ж, получим
А у = sin(# + Аж)- sin ж = 2 cos I x + ^^ 1 sin —.
Отсюда
+ _ j -±-L2.
Таким образом, для вычисления производной функции у = sin ж
в точке х нужно найти следующий предел:
г Ау г \ ( . Ах\ sin(Ax/2)l	(л л,
lim -т-^-= lim cos ж + ™ -7Т--7™ .	A.1)
Аж^оАж ДЖ^О L V	2 / (А ж/2) j	v ;
Естественно ожидать, что при фиксированном х
lim cos(x + —^)=cosx.
Однако не всякая функция у = f(x) обладает свойством
lim cos(x + —^)=cosx.	A.2)
Фактически это свойство означает, что когда аргумент функции
стремится к числу ж, то соответствующее значение этой функ™
ции стремится к числу /(ж). Функции, обладающие таким свой-
свойством, называются непрерывными (в точке ж). Понятие непре-
рывности функции является одним из важнейших математиче-
математических понятий.
Для вычисления предела A.1), кроме предела A.2), нужно
вычислить еще предел
lim ^[Ax/?.	A.3)
д^0 (А ж/2)	v J
Этот предел играет важную роль в математическом анализе.
Его часто называют первым замечательным пределом. Доказы-
Доказывается, что этот предел равен единице, и поэтому предел A.1)
равен cos ж.
Итак,
(sin ж)' = cos ж.
В качестве второго примера вычислим производную функции
у = logaa;. Фиксируя ж > 0 и беря произвольное А ж (такое, что
ж + А ж > 0), получим
Д У = 1оёа(х + Ах) ~ %аЖ = loga (l + ^

§ 2	МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ	25
Отсюда
Ау _ 1 , (л Дж\_ 1\х 1 Л.Дж\1_11 [Л.Дж\^1
Таким образом, для вычисления производной функции у = =
= Ioga ж к в точке ж нужно найти предел
Г	Ж "I
lim —^ = lim -loga 1 +		.	A.4)
Рассмотрим предел при х —>• 0 выражения, стоящего в квадрат-
квадратных скобках. Он сводится к пределу
[(^] (при Л =
Этот предел также играет важную роль в математическом ана-
анализе. Его часто называют вторым замечательным пределом.
Доказывается, что этот предел существует. Следуя Эйлеру1),
число, равное этому пределу, обозначают буквой е 2), т. е.
= e.	A.5)
Вернемся к вычислению предела A.4). Аргументом логарифма
Г	Ж I
в формуле A.4) служит величина f 1+—-1 х , стремящаяся,
[V х J \
согласно A.5), к е при Да; -^ 0. Если логарифмическая функция
\ ( Ах\> Аж
непрерывна, то loga A+—J стремится к loga e при Аж->
—> 0. Таким образом, для нахождения предела A.4) нужно обос™
новать непрерывность логарифмической функции и использо-
использовать предел A.5). Предполагая, что это сделано, мы получим,
что предел A.4) равен - loga е. Итак,
\/ 1
(loga х) = - loga e.
Здесь мы не будем вычислять производных других простейших
элементарных функций: у = cos ж, у = tgx, у = ctgx, у =
= arcsinx, у = агссовж, у = arctgx, у = arcctgx, у = а ж у = ж¦ ,
где а — любое число. При вычислении производных этих функ-
функций не возникает никаких новых трудностей, кроме указанных
1) Леонард Эйлер A707^1783) — великий математик, член Петербургской
Академии наук, большую часть жизни провел в России, по происхождению
швейцарец.
) В § 16 гл. 8 будет указан способ вычисления числа е с любой степенью
точности. Там же приведен результат вычисления числа е на электронно-
вычислительной машине с точностью до 590 знаков после запятой.

26	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
выше. Именно, для вычисления производных всех простейших
элементарнв1х функций потребуется лишь их непрерывность и
два замечательных предела.
Приведем таблицу производных простейших элементарных
функций:
1°. (xa)f = axa^1J a — любое число.
2°. (loga ж)' = - loga е, в частности, если а = е, то (loge ж);=-.
3°. (ax)f = a^loggtt, в частности, если а = е, то (ex)f = ех.
4°. (sin ж)' = cos ж.
5°. (cos ж)' = — sin ж.
6°. (tgx)' = ^-.
2
}. (arcsin#V =
9°. (arccoso;)' = —
10°.
11°.
3. Для вычисления производных широкого класса функций
следует присоединить к указанной выше таблице производных
правило дифференцирования сложной функции^ а также правила
дифференцирования суммы^ разности, произведения и частного
функций. Сформулируем правило дифференцирования сложной
функции у = /(ж), где х = (f(t).
Для нахождения производной y'(t) сложной функции у =
= f[<p(t)] no аргументу t в данной точке t следует: 1) вычис-
вычислить производную (ff(t) функции х = ip(t) в точке t; 2) вы-
вычислить производную ff(x) функции у = f(x) в точке ж, где
х = (f(t); 3) перемножить указанные производные. Таким об-
образом, производная сложной функции у = f[(f(t)] может быть
найдена по формуле yf(t) = ff(x)ipf(t). Следующие рассуждения
разъясняют сформулированное правило. Придадим аргументу
t в точке t произвольное приращение At ф 0. Этому прираще-
приращению соответствует приращение Ах = (p(t + At) — ip(t) функции
х = (f(t). Полученному приращению Ах соответствует прира™
щение Ay = f(x + А ж) — /(ж) функции у = /(ж) в точке ж.
Опуская случай А ж = 0, рассмотрим отношение
А г/ _ А г/ Аж

МГНОВЕННАЯ СКОРОСТЬ	27
Поскольку lira —— = (pr(t), lim —^ = f'(x) и из существования
первого из этих пределов ясно, что при At-~>0 и Аж-fO1), то
lim —^ существует и равен /;(x)c//(t), т. е. f/(t) = ff(x)(pf(t).
Приведем теперь правила дифференцирования суммы, раз-
разности, произведения и частного (в предположении, что и(х)
и v(x) имеют производные):
[и(х) ± v(x)]f = uf(x) ± vf(x),
[u(x)v(x)]f = u(x)vf(x) + u'(x)v(x),
[u(x) 	 uf(x)v(x) — u(x)vf(x)
v(x) \	v2(x)
Покажем, например, как можно вывести вторую из этих фор™
мул. Придадим аргументу х произвольное приращение Аж ^ О,
которому соответствует приращение Ау функции у = u(x)v(x)
Ay = u(x + Ax)v(x + Аж)~ u(x)v(x) =
= и(х + Ax)[v(x + Аж)- v(x)] + v(x)[u(x + Ai)™ u(x)] =
= u{x + Ax)Av + v(x)Au.
Таким образом,
Aw	/ . Л \ Аг; . / \Au
" 	 q I I rp _J_ /\ rp 1 ^^^^ _J_ q ч I rp 1 ^^^^
Аж	Аж	Аж
Так как существуют пределы lim —— = и'{х) и Mm —— =
= г?;(ж) и из существования первого из этих пределов ясно,
что lim и(х + А ж) = к (ж), то lim —^ существует и равен
А^О	А^оАж
1|(ж)'У/(ж) + v(x)v!(x).
Рассмотрим несколько примеров применения указанных
правил.
1)	Вычислим производную функции у = си(хI где с — неко-
некоторая постоянная. Легко проверить, что производная постоян-
постоянной равна нулю. Поэтому по формуле дифференцирования про-
произведения получим [cii(x)]; = си'{х).
2)	Вычислим производную функции у = tgx. Так как tgx =
sin ж	,	I 1
, то по формуле дифференцирования частного получим
,
у 	 (sin ж)' cos ж — smx(cosx); 	 1
X) —	-
COS2 Ж
) Если знаменатель дроби, имеющей предел, стремится к нулю, то и
числитель этой дроби стремится к нулю.

28	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
3)	Вычислим производную функции, описывающей гармони™
ческие колебания, у = Acos{u)t + S), где А, ш и 8 — постоянные.
Будем рассматривать эту функцию как сложную функцию ви-
вида у = A cos ж, где у = u)t + 8. По правилу дифференцирования
сложной функции получим
y'(t) = (A cos x)'(u)t + 8)f = -(Asinx)a;,
где х = u)t + 8. Поэтому
yf(t) = —Аи) sin(o;t + E).
4)	Вычислим производную функции у = aarctgt. Будем рас-
рассматривать эту функцию как сложную функцию вида у = ах,
где х = arctg t. По правилу дифференцирования сложной функ-
функции получим
yf(t) = (ax)/(arctgt)/ = (axlogea)
где ж = arctg t. Поэтому
gty =
1+t2
Сформулированные выше правила дифференцирования и табли-
таблица производных представляют собой основной аппарат той части
математического анализа, которую обычно называют дифферен-
дифференциальным исчислением. Таким образом, одной из важных за-
задач дифференциального исчисления является обоснование всех
формул таблицы производных и правил дифференцирования
суммы, разности, произведения, частного и сложной функции.
4. Выясним геометрический смысл производной. С этой
целью рассмотрим график функции у = f(xI) (рис. 1.2). Пусть
точка М на графике функции соответствует фиксированному
значению аргумента ж, а точка Р — значению х + А ж, где Ах —
некоторое приращение аргумента. Прямую МР будем называть
секущей. Обозначим через ip(Ax) угол, который образует эта
секущая с осью Ох (очевидно, что этот угол зависит от Ах).
Касательной к графику функции у = f(x) в точке М будем
называть предельное положение секущей МР при стремлении
точки Р к точке М по графику {илщ что то эюе самое^ при
Ах —>• 0). Из рис. 1.2 ясно, что
Так как при Дж -> 0 секущая МР переходит в касательную, то
lim tgip(Ax) =ig(fo,
) Графиком функции у = /(ж) называется геометрическое место точек
плоскости, для каждой из которых ордината есть значение у этой функции,
соответствующее абсциссе х.

3
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ ПО СКОРОСТИ
29
где щ — угол, который образует касательная с осью Ох. С дру™
гой стороны,
lim tgcpiAx) = lim
l'ff \
Следовательно, f'{x) = tg</?o- Тангенс угла наклона прямой к
оси О ж называют угловым коэффициентом этой прямой. Таким
образом, производная ff(x) равна узловому коэффициенту каса-
тельной к графику функции у = f(x) в точке М.
Ay=f(x+Ax)-f(x)
N
ф(Аж) х х+Ах х
Рис. 1.2
§ 3. Задача о восстановлении закона движения по
скорости и связанная с ней математическая
проблематика
Рассмотрим следующую физическую задачу. Пусть для
любого момента времени х задана мгновенная скорость f(x)
движущейся по оси Оу материальной точки и известно положе-
положение уо этой точки в начальный момент времени х = xq. Требу-
Требуется найти закон движения этой точки.
Поскольку мгновенная скорость f(x) является производной
функции у = F(x), определяющей закон движения материаль-
материальной точки по оси Оу, то задача сводится к разысканию по данной
функции f(x) такой функции F(x), производная Ff(x) которой
равна f(x).
Отвлекаясь от конкретного физического смысла функций
f(x) и F(x), мы придем к математическим понятиям первообраз-
первообразной и неопределенного интеграла. Первообразной функции }'{х)
называется такая функция F(x), производная Ff(x) которой
равна f(x).
Очевидно, что если функция F(x) является первообразной
функции /(ж), то и функция F(x) + G, где С — любая посто-
постоянная, также является первообразной функции f(x) (ибо про-
производная постоянной С равна нулю).

30	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
Можно доказать, что две любые первообразные одной и той
же функции /(ж) отличаются на постоянную. Таким образом,
если функция F(x) является одной из первообразных функ-
функции /(ж), то любая первообразная функции /(ж) имеет вид
F(x) + С*, где С — постоянная.
Совокупность всех первообразных одной и той же функ-
функции /(ж) называется неопределенным интегралом от функции
/(ж) и обозначается символом J f(x)dx.
Следовательно, если F(x) — одна из первообразных функ-
функции /(ж), то
Вернемся к решению поставленной выше физической зада-
задачи. Интересующий нас закон движения точки, имеющей мгно-
мгновенную скорость /(ж), определяется функцией у = F(x) + С,
где F(x) — некоторая первообразная функции /(ж), а С — неко-
некоторая постоянная. Для определения постоянной С воспользуем-
воспользуемся тем, что у = уо в начальный момент времени ж = жо, т. е.
у о = F(xq) + G, откуда С = у о — F(x®). Таким образом, интере-
интересующий нас закон движения имеет вид
y = F(x)+yo-F(xo).
Рассмотрим некоторые физические и математические приме-
примеры.
1) Пусть мгновенная скорость материальной точки, движу-
движущейся по оси 0у, имеет вид /(ж) = cos ж. Требуется найти закон
движения этой точки, если в начальный момент времени ж = жо
точка занимает положение у = у® на оси Оу. Из таблицы произ-
производных ясно, что одной из первообразных функции /(ж) = cos ж
является функция F(x) = sin ж. Следовательно, искомый закон
движения имеет вид у = sin ж + С.
Из условия у = у® при ж = жо находим С = уо ~~ sin^o, т. е.
окончательно получим закон движения в виде
у = sin ж + у® — i
2) Найти / 2 dx. Из таблицы производных ясно, что од-
1
ной из первообразных функции /(ж) =	 является функция
X —г" X
F(x) = аг^§ж. Следовательно,
/»
/	^ж = arctg ж + С.
J 1 + X2
В предыдущем параграфе мы выписали таблицу производи
пых элементарных функций. Учитывая, что каждая формула

§ 4	ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПУТИ	31
Ff(x) = f(x) этой таблицы приводит к соответствующей фор™
муле J f(x)dx = F(x) + С, мы получим следующую таблицу
неопределенных интегралов:
1°. Jxadx = ^^ + С (аф -1).
С.
ge
4°. J sin ж dx = — cos ж + С.
5°. J cos xdx = sin ж + G.
f
COSZ X
dx
= — ctg x + С.
dx	' i si
^=^ = arcsina: + G.
9°. /rT^? = arctgx + a
J i + ж
Эта таблица вместе с правилами интегрирования (которые
здесь не приводятся) представляет собой важный вычисли-
вычислительный аппарат той части математического анализа, которую
обычно называют интегральным исчислением.
Однако для вычисления многих неопределенных интегралов
этого аппарата оказывается недостаточно. Возникает проблема
о существовании первообразной (и неопределенного интеграла)
у произвольной функции /(ж), непрерывной в каждой точке ж.
В следующем параграфе мы укажем другой подход к задаче
об интегрировании функции, который позволяет решить эту
проблему.
Здесь же мы сразу отметим, что существуют непрерывные
(в каждой точке ж) функции (например, у = cos ж2), первообраз-
первообразные которых существуют, но не могут быть представлены с по-
помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умно-
умножения, деления и образования сложных функций от простейших
элементарных функций, перечисленных нами в п. 2 § 2.
§ 4. Проблемы, возникающие при решении задачи
о вычислении пути
1. Пусть функция f(x) представляет собой скорость движе™
ния материальной точки по оси Оу. Для простоты будем счи™
тать, что все значения функции f(x) неотрицательны. Требуется

32
ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
ГЛ. 1
вычислить путь, пройденный материальной точкой за промежу™
ток времени от х = а до х = Ь.
Для решения задачи 1) разобьем рассматриваемый промежу-
промежуток времени на малые промежутки, ограниченные моментами
а = xq < х\ < Х2 < • • • < хп = Ь. Естественно считать, что на
каждом промежутке от Xk-i до х^ скорость f(x) меняется мало.
Поэтому приближенно эту скорость молено считать на указан-
указанном промежутке постоянной и равной, например, /(ж&). В таком
случае путь, пройденный материальной точкой за время Ах^ =
= Xk — Xk-ii приближенно равен /(ж/е)Аж/е, а путь 5^, пройден™
ный точкой за время от а до Ь, приближенно равен
Sba и /(Ж1)Дsi + f(x2)Ax2 + ¦¦¦ + f(xn)Axn. A.6)
Естественно ожидать, что при уменьшении всех промежут-
промежутков времени А х^ мы будем получать все более и более точное
значение пути S^. Точное значение пути S^ мы получим, перейдя
в сумме A.6) к пределу при стремлении всех Аж^ к нулю (при
этом, конечно, число слагаемых в сумме A.6) будет неограничен-
неограниченно возрастать). Употребляя символ предела, мы можем записать
следующую формулу:
Sba= lim [f(Xl)AXl + f(x2)Ax2 + -- + f(x,,)&xn]. A-7)
При этом вопрос о том, что мы понимаем под пределом написан-
написанной суммы, конечно, требует выяснения. Тем самым мы еще раз
убеждаемся в необходимости углубления и развития понятия
предела. В математике предел
A.7) называется определенным
интегралом от функции f(x) в
пределах от а до b и обознача™
ется символом
ъ
О a—
хп=Ь
i= / Hx)dx.
Рис. 1.3
Сумма A.6) представляет собой
сумму площадей прямоуголь-
прямоугольников, основаниями которых служат отрезки Ах^ а высотами
f(xk). Иными словами, эта сумма равна площади изображенной
на рис. 1.3 ступенчатой фигуры (эта ступенчатая фигура на чер-
чертеже обведена жирной линией). Естественно ожидать, что при
стремлении к нулю длин всех отрезков А х^ площадь указанной
ступенчатой фигуры будет стремиться к площади заштрихован-
) Связь этой задачи с задачей, рассмотренной в предыдущем параграфе,
будет выяснена ниже.

ЗАДАЧА О ВЫЧИСЛЕНИИ ПУТИ
33
ной на чертеже криволинейной фигуры, лежащей под графиком
функции у = f(x) на отрезке от а до Ь. Эту криволинейную фи-
фигуру часто называют криволинейной трапецией. Таким образом,
определенный интеграл равен площади указанной криволиней-
криволинейной трапеции.
Конечно, проведенные нами рассуждения носят предвари-
предварительный характер. В частности, требует выяснения само поня-
понятие площади криволинейной трапеции и вообще площади плос-
плоской фигуры.
2. Мы видим, что с понятием определенного интеграла тесно
связаны две важные задачи: физическая задача о вычислении
пути и геометрическая задача о вычислении площади плоской
фигуры. В связи с этим является важным вопрос о способах
вычисления определенного интеграла.
Обозначим через F(x) опре- yi
деленный интеграл от функции
f(x) в пределах от а до ж, т. е.
положим
F(x) = f f(x)dx.
fix)
х х+Ах Ь х
Рис. 1.4
С геометрической точки зре-
зрения, этот интеграл равен площа-
площади криволинейной трапеции, ле-
лежащей под графиком функции у = f(x) на отрезке от а до х.
На рис. 1.4 эта трапеция обведена жирной чертой. Используя на-
наглядные геометрические соображения, покажем, что введенная
функция F{x) является одной из первообразных функции /(ж),
т. е. убедимся в том, что Ff(x) = f(x). Пусть Ах — некоторое
приращение аргумента х. Очевидно, разность F(x + А х) — F(x)
равна площади заштрихованной на рис. 1.4 «узкой» криволи-
криволинейной трапеции. Площадь этой трапеции при малом Ах мало
отличается от площади f(x)A x прямоугольника с основанием
Ажи высотой f(x). Отсюда ясно, что при малом Ах отношение
F(x + Ax)-F(x)	A8)
Ах	^ ' }
мало отличается от высоты f(x) указанного выше прямоуголь-
прямоугольника. Так как предел при Аж->0 дроби A.8) равен производной
F;(x), то Ff(x) = f(x). Итак, функция F(x) является одной из
первообразных функции f(x). Следовательно, любая первооб-
первообразная Ф(х) функции f(x) имеет вид
х
Ф(х) = F(x) + C= f f(x) dx + С.
A.9)
2 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть I

34	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
Конечно, приведенные рассуждения и вытекающая из них
формула A.9) справедливы, вообще говоря, не для всякой функ™
ции f(x). Нетрудно убедиться в справедливости формулы A.9)
для любой непрерывной (в каждой точке х) функции f(x). Тем
самым установление формулы A.9) решает проблему существо-
существования первообразной (и неопределенного интеграла) у любой
непрерывной в каждой точке х функции f{x).
Установим теперь с помощью той же формулы A.9) связь
ь
между определенным интегралом J f(x)dx и любой первооб™
разной Ф(х) функции f(x). Полагая в формуле A.9) последо™
вательно х = ашх = Ьш учитывая очевидное из наглядных
геометрических соображений равенство
j f(x)dx =
получим
а
Ф(а) = Г f(x) dx + C = С, Ф(Ь) = Г f(x) dx + С.
Поэтому
о
/
A.10)
Формула A.10) является одной из основных формул интеграль™
ного исчисления и называется формулой Ньютона-Лейбница1).
Эта формула сводит вопрос о вычислении определенного ин-
интеграла к вопросу о вычислении первообразной (или неопреде-
неопределенного интеграла). Обоснование формулы Ньютона-Лейбница
является одной из важных задач математического анализа.
Для приближенного вычисления определенных интегралов су-
существует ряд способов, простейший из которых основан на за-
замене этого интеграла суммой A.6). Эти способы и соотношение
A.9) дают возможность приближенно вычислять и неопределен-
неопределенные интегралы, и, в частности, позволяют вычислить первооб-
первообразную любой непрерывной (в каждой точке х) функции f(x).
В качестве примера вычислим площадь Si, заключенную
между графиком функции у = sin ж на отрезке от 0 до тг и
7Г
осью Ох (рис. 1.5) 2). В силу сказанного выше S\ = jslnxdx.
о
1)	Готфрид Вильгельм Лейбниц — немецкий философ и математик A646^
1716).
2)	Вычисление этой площади средствами элементарной математики при™
водит к большим трудностям.

ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
35
Так как одной из первообразных функции f(x) = sin ж является
функция Ф(х) = ^cosx, то по формуле A.10) получим
УГ
Г
S\ = I ^inxdx = (— costt) — (— cosO) = 2.
Вычислим теперь площадь S2 фигуры, отсекаемой от пара™
болы у = х2 прямой, проходящей через две точки Mi (а, а2) и
М2(Ь^Ь2) этой параболв! (рис. 1.6) г). Искомая площадь S2 рав-
равна разности площадей прямолинейной трапеции АМ1М2В и за-
заштрихованной на чертеже криволинейной трапеции, т. е.
ь
{Ь2 + а2){Ь - а) _ Ь3 -а3 _ (Ъ - аK
3
а
о
Ух
6
У^
t/=sm х
ж х
Рис. 1.5
М2[Ь}Ь2)
А(а,0) 01	В(Ь,0) х
Рис. 1.6
§ 5. Заключительные замечания
Дифференциальное и интегральное исчисления составляют
основу математического анализа, создание которого является
одним из величайших достижений человеческого разума. Вве-
Введение в математику понятий переменной величины и функции
позволило перейти от решения отдельных разрозненных физи-
физических и геометрических задач к созданию общих методов реше™
ния этих задач. Развитие дифференциального и интегрального
исчислений оказало огромное влияние на общий прогресс науки
и техники.
Дальнейший прогресс науки и техники тесно связан с мате-
математизацией наших представлений о природе, с развитием но-
) Эта задача средствами элементарной математики была решена вели-
великим древнегреческим ученым Архимедом (III в. до н. э.).

36	ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	ГЛ. 1
вых направлений в математике. Можно с уверенностью ска™
зать, что математизация наших представлений, точная количе-
количественная формулировка закономерностей, широкое использова-
использование вычислительных методов и электронно-вычислительных ма-
машин (ЭВМ) составляют основной стержень современного есте-
естествознания.
Внедрение вычислительных методов и использование ЭВМ,
как правило, снимают вопросы трудоемкости и сложности вы-
вычислений1). При этом возникает целая серия математических
проблем, к числу которых относятся вопросы разработки алго-
алгоритмов2) вычислений, служащих источником составления про-
программ для ЭВМ, разработка проблем теории управления, тео-
теории оптимальных процессов, математической логики и теорети-
теоретической кибернетики.
Наша дальнейшая задача будет заключаться в построении
аппарата математического анализа. Мы рассмотрим также и
некоторые приложения этого аппарата к разработке численных
алгоритмов.
Проведенное выше предварительное рассмотрение ставит пе-
перед нами следующие первоочередные вопросы:
1.	Уточнение понятий вещественного числа, переменной ве-
величины и функции.
2.	Определение и развитие понятия предела функции и свя-
связанного с ним понятия непрерывности функции.
3.	Обоснование формул и правил дифференциального и ин-
интегрального исчислений.
4.	Построение теории определенного интеграла как предела
сумм специального вида и развитие методов вычисления опре-
определенного интеграла.
5.	Выяснение некоторых геометрических понятий (площади
плоской фигуры, длины дуги и т. д.).
г) Современные ЭВМ в несколько минут производят вычисления, для
проведения которых человеку потребовалась бы целая жизнь.
' ) Алгоритм (или алгорифм) — система вычислений, выполняемых по
строго определенным правилам, приводящая после какого-либо числа ша-
шагов к решению поставленной задачи.

ГЛАВА 2
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Из элементарного курса читатель имеет представление о
вещественных числах и о том, что они необходимы, например,
для измерения отрезков и промежутков времени. Для углубле-
углубления наших представлений о важнейших математических поня-
понятиях — понятиях переменной величины, функции и предела —
требуется дальнейшее развитие теории вещественных чисел.
Рассмотрим, например, физическую переменную величину —
время. Для сравнения между особой различных промежутков
времени нам необходимо уметь сравнивать между собой ве-
вещественные числа. Иными словами, мы должны установить
правило, позволяющее выяснить, какое из двух данных веще-
вещественных чисел является большим. Практика последователь-
последовательных измерений времени приводит к необходимости определе-
определения операций сложения и умножения вещественных чисел и
выяснения свойств этих операций. Отметим также, что выясне™
ние основных свойств вещественных чисел необходимо для об-
обоснования применимости к этим числам правил элементарной
алгебры.
§ 1. Вещественные числа
1. Свойства рациональных чисел. Напомним, что раци-
рациональным числом называется число, представимое в виде от-
отношения двух целых чисел г). Из элементарного курса извест™
ны определения операций сложения и умножения рациональных
чисел, правило сравнения этих чисел и их простейшие свойства.
Здесь мы перечислим основные свойства рациональных чисел,
вытекающие из соответствующих свойств целых чисел.
Фундаментальную роль среди свойств играют три правила:
) Одно и то же рациональное число представимо в виде отношения раз-
тт	12 3
личных целых чисел. Например, — = — = — = ...
2 4 6

38	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
правило сравнения и правила образования
суммы и произведения.
I. Любые два рациональных числа а и Ъ связаны между со-
собой одним и только одним из трех знаков >, < или =, причем
если а > Ь, то Ъ < а. Иными словами, существует правило^ по-
позволяющее установить^ каким из указанных трех знаков свя-
связаны два данных рациональных числа. Это правило называется
правилом сравнения1).
П. Существует правило, посредством которого любым двум
рациональным числам а и Ъ ставится в соответствие опреде-
определенное рациональное число с, называемое их суммой и обозна-
обозначаемое символом с = а + Ь2).
Операция нахождения суммы называется сложением.
III. Существует правило, посредством которого любым
двум рациональным числам а и Ъ ставится в соответствие
определенное рациональное число с, называемое их произведе-
нием и обозначаемое символом с = аЬ3).
Операция нахождения произведения называется умно-
умножением.
Перечислим теперь основные свойства, которым подчинены
указанные три правила.
Правило сравнения рациональных чисел обладает следую-
следующим свойством:
1°иза>ЬиЬ>с вытекает^ что а > с (свойство тран-
транзитивности знака >); из а = Ь и Ь = с вытекает^ что а = с
(свойство транзитивности знака =).
Правило сложения рациональных чисел обладает, следующи-
следующими свойствами:
2° а + Ь = Ь + а (переместительное свойство);
3° (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (сочетательное свойство);
4° существует рациональное число 0 такое^ что а + 0 = а
для любого рационального числа а (особая роль нуля);
1) Правило сравнения рациональных чисел формулируется так: два
mi m2
неотрицательных рациональных числа а = 	 и о = 	 связаны тем же
П\	П2
знаком, что и два целых числа т\П2 и гп2П\\ два неположительных рани™
ональных числа а и Ь связаны тем же знаком, что и два неотрицательных
числа | Ь | и | а |; если а — неотрицательное, а Ь — отрицательное рациональ-
рациональное число, то а > Ь.
) Правило образования суммы рациональных чисел а = 	 и о =
П\	П2
,	mi rri2	+
определяется посредством формулы	1	=
П\	П2	П\П2
3) Правило образования произведения рациональных чисел определяется
mi wi2 mim2
посредством формулы	= 	.
711 П'2	П\П2

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	39
5° для каждого рационального числа а существует проти-
воположное ему число а1 такое^ что а + а1 = 0.
Правило умножения рациональных чисел обладает следую™
щими свойствами:
6° ab = Ьа (переместительное свойство);
7° (ab)c = а(Ьс) (сочетательное свойство);
8° существует рациональное число 1 такое^ что а Л = а для
любого рационального числа а (особая роль единицы);
9° для каждого рационального числа а, отличного от нуля^
существует обратное ему число а1 такое^ что аа1 = 1.
Правила сложения и умножения связаны следующим свой-
свойством:
10° {а + Ъ)с = ас + Ъс (распределительное свойство умножения
относительно суммы).
Следующие два свойства связывают знак > со знаком ело™
жения и умножения:
11° из а > b вытекает^ что а + с > b + с;
12° иза>Ъис>0 вытекает^ что ас > 6с.
Особая роль принадлежит последнему свойству:
13° каково бы ни было рациональное число а, можно число 1
повторить слагаемым столько раз, что полученная сумма пре-
превзойдет а1).
Перечисленные 13 свойств обычно называют основны-
основными свойствами рациональных чисел, ибо все дру-
другие алгебраические свойства этих чисел, относящиеся к ариф-
арифметическим действиям и к сочетанию равенств и неравенств,
могут быть извлечены как следствие из указанных основных
свойств.
Так, например, из этих свойств вытекает часто используе™
мое в дальнейшем свойство, позволяющее почленно складывать
неравенства одного знака:
если а > b ш с > d, тоа + с>Ь + й.
В самом деле, из неравенств аУЬшсУёжш свойств 11°
и 2° вытекает, что а + е>Ь + еи6 + с>6 + б?, а из последних
неравенств и из свойства 1° вытекает, что а + с > 6 + d.
2. Об измерении отрезков числовой оси. Из элементар™
ного курса известно, что два отрезка могут быть соизмеримыми
(когда отношение их длин выражается рациональным числом)
и несоизмеримыми (примером несоизмеримых отрезков могут
служить диагональ и сторона квадрата).
Удобно сразу же ввести в рассмотрение числовую ось. Число-
Числовой осью мы будем называть прямую, на которой выбраны опре-
определенная точка О (начало отсчета), масштабный отрезок ОЕ
1) Это свойство часто называют аксиомой Архимеда.

40	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
(длину его мы считаем равной единице) и положительное на™
правление (обычно от О к ?).
Естественно, возникает задача о возможности поставить в
соответствие каждой точке М числовой оси некоторое число,
выражающее длину отрезка ОМ. Это число мы будем считать
положительным, если М и Е лежат по одну сторону от О, и
отрицательным — в противном случае.
Прежде всего заметим, что каждому рациональному числу
соответствует на числовой оси определенная точка. В самом
деле, из элементарного курса известно, как построить отрезок,
длина которого составляет - часть длины масштабного отрез-
отрезка ОЕ (п — любое целое положительное число). Стало быть,
мы можем построить отрезок
Рщ (Р^ГлГУ^	АВ^ Длина которого относит-
\ п)	1\п)	ся к длине масштабного от™
резка САЬ, как —, где т и п —
Рис 2 1	^
любые целые положительные
числа. Считая, что точка Е лежит правее точки О (рис. 2.1) и от-
отложив отрезок АВ вправо (влево) от точки О, мы получим точку
л/г / л /г \	. т ( т
ikf I (ikf2), соответствующую рациональному числу + — ( ^^
Вместе с тем существование несоизмеримых отрезков позво-
позволяет утверждать, что не все точки числовой оси соответству-
соответствуют рациональным числам.
Естественно, возникает потребность расширить область ра™
циональных чисел и ввести в рассмотрение такие числа, которые
соответствовали бы всем точкам числовой оси и позволяли бы
измерить при помощи
do	ci\ масштабного отрезка ОЕ
"q ' ' ' ' ' ' ' ' lg	ж' ' ' ' ' *р1и^ любой отрезок.
Мы опишем специаль-
Рис> 2.2	ный процесс измерения
отрезка ОМ числовой оси
и покажем, что этот процесс позволяет поставить в соответ-
соответствие любой точке М этой оси некоторую вполне определен-
определенную бесконечную десятичную дробь.
Пусть М — любая точка числовой оси. Ради определенности
предположим, что М (как и Е) лежит правее точки О (рис. 2.2).
Будем измерять отрезок ОМ при помощи масштабного от-
отрезка ОЕ. Прежде всего выясним, сколько раз целый отре™
зок ОЕ укладывается в отрезке ОМ. Могут представиться два
случая:
1. Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число а®
раз с некоторым остатком NM^ меньшим ОЕ (см. рис. 2.2). В

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	41
этом случае целое число а® представляет собой приближенный
результат измерения по недостатку с точностью до единицы.
2. Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ целое число
а® + 1 раз без остатка. В этом случае число а® также предста™
вляет собой приближенный результат измерения по недостатку
с точностью до единицы, ибо отрезок ОЕ укладывается в отрез™
ке ОМ а® раз с остатком NM^ равным ОЕ1).
Выясним теперь, сколько раз — часть масштабного отрез-
отрезка ОЕ укладывается в остатке NM. Снова могут представиться
два случая.
1)	— часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое
число а\ раз с некоторым остатком РМ, меньшим — части от-
отрезка ОЕ (см. рис. 2.2). В этом случае рациональное число а®^ а\
представляет собой результат измерения по недостатку с точ-
точностью до —.
2)	— часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке NM целое
число а\ + 1 раз без остатка. В этом случае рациональное число
а®^а\ также представляет собой результат измерения по недо-
недостатку с точностью до —, ибо — часть ОЕ укладывается в
отрезке NM а\ раз с остатком РМ, равным — части ОЕ.
Продолжая неограниченно указанные рассуждения, мы при™
дем к бесконечной совокупности рациональных чисел:
a®; a®, ai;...; a®, a\a2 ... ап;...,	B.1)
каждое из которых представляет собой результат измерения от™
резка ОМ по недостатку с соответствующей степенью точно-
точности. Вместе с тем каждое из чисел B.1) может быть получено
посредством обрывания на соответствующем знаке бесконечной
десятичной дроби
a®, aia2...an...	B.2)
Указанные выше рассуждения применимы и для случая, ко™
гда точка М лежит левее точки О, только в этом случае все
числа B.1) и бесконечная десятичная дробь B.2) будут иметь
отрицательный знак.
х) Конечно, на практике во втором случае процесс измерения считают
законченным и полагают длину отрезка ОМ равной «о + 1- Однако нам
удобнее (в целях единообразия) вести измерения строго по недостатку, что-
чтобы и в этом случае получить остаток NM и иметь возможность продолжать
процесс измерения.

42	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Таким образом, мы установили, что посредством описанного
нами процесса измерения отрезка ОМ любой точке М число-
числовой оси можно поставить в соответствие вполне определен-
определенную бесконечную десятичную дробь.
Итак, мы видим, что описанный выше процесс измерения
произвольного отрезка ОМ числовой оси при помощи масштаб-
масштабного отрезка естественным образом приводит нас к рассмотре-
шло чисел^ представимых в виде бесконечных десятичных дро-
бей. Вместе с тем каждая бесконечная десятичная дробь B.2)
полностью характеризуется бесконечной совокупностью B.1)
рациональных чисел, приближающих эту дробь. Конечно, опи-
описанный выше процесс измерения отрезка ОМ можно видоизме-
видоизменить так, что он будет приводить к рассмотрению бесконечных
двоичных дробей или к рассмотрению бесконечных дробей в лю-
любой другой системе счисления.
Заметим, что для задания чисел в современных электронных
вычислительных машинах наиболее часто используется двоич-
двоичная система счисления, а иногда — троичная система счисления.
Это объясняется тем, что входящие в конструкцию электронных
машин радиолампы и полупроводниковые элементы имеют ча-
чаще всего два, а иногда три устойчивых состояния (например,
лампа закрыта, ток не идет — одно устойчивое состояние; лам-
лампа открыта, ток идет — другое устойчивое состояние; третье
устойчивое состояние возникает, если различать направление, в
котором идет ток).
В связи с отмеченным обстоятельством возникает необходи-
мость в разработке алгоритмов перевода чисел из десятичной
системы счисления в двоичную систему и обратного перевода
чисел из двоичной системы в десятичную. Примеры таких ал™
горитмов читатель найдет в Дополнении 1 к настоящей главе.
3. Вещественные числа и правило их сравнения. Рас-
Рассмотрим множество всевозможных бесконечных десятичных
дробей. Числа^ представимые этими дробями^ будем называть
вещественными г).
Данное вещественное число будем называть положитель-
положительным (отрицательным), если оно представимо в виде положи-
положительной (отрицательной) бесконечной десятичной дроби.
В состав множества вещественных чисел входят, конечно, и
все рациональные числа, ибо все они представимы в виде бес-
бесконечных десятичных дробей. Представление данного рацио-
рационального числа в виде бесконечной десятичной дроби можно
получить, например, из следующих соображений. Любому раци-
) Как уже отмечалось в сноске ) на с. 20, понятие числа относится к
начальным понятиям.

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	43
опальному числу соответствует определенная точка М числовой
оси, а этой точке ставится в соответствие при помощи способа,
указанного в пункте 2, определенная бесконечная десятичная
дробь. Так, рациональному числу - ставится в соответствие бес™
4
конечная десятичная дробь 0,4999... , рациональному числу -
о
бесконечная десятичная дробь 1, 333 ...
Вещественные числа, не являющиеся рациональными, при-
принято называть иррациональными.
Нашей задачей является последовательное перенесение на
случай произвольных вещественных чисел трех правил и всех
основных свойств рациональных чисел, перечисленных в п. 1.
Тем самым для вещественных чисел будут обоснованы все пра-
правила элементарной алгебры, относящиеся к арифметическим
действиям и к сочетанию равенств и неравенств.
В этом пункте мы установим правило сравнения веществен-
вещественных чисел. Прежде чем перейти к формулировке этого правила,
договоримся об определенной форме записи тех рациональных
чисел, которые представимы в виде конечной десятичной дро-
дроби. Заметим, что указанные рациональные числа допускают дво-
двоякую запись в виде бесконечных десятичных дробей. Например,
число - = 0, 5 можно записать: 1) в виде - = 0,4999 ... ; 2) в
виде | = 0, 5000 ...
И вообще рациональное число ао? ttift2 • • • ат гДе ап ^0, мож-
мож)	(	)	)
щ рц	о? i2	т Д п ^,
но записать: 1) в виде ао, a\CL2 ... Q>n-i(an — 1) 999 ...; 2) в виде
ао,а1«2 • • • ап 000 ...
Первая из указанных двух записей может быть получена по
способу, описанному в п. 2, а вторая — формальным превраще-
превращением данной конечной десятичной дроби в бесконечную посред-
посредством дописывания нулей.
Мы договоримся при сравнении вещественных чисел пользо-
пользоваться для указанных рациональных чисел лишь первой из этих
двух форм записи в виде бесконечной десятичной дроби.
Иными словами, при сравнении вещественных чисел мы не
будем употреблять бесконечные десятичные дроби, все десятич-
десятичные знаки которых, начиная с некоторого места, равны нулю (за
исключением, конечно, дроби 0, 000 ...) 1).
Перейдем теперь к формулировке правила сравнения веще™
ственных чисел.
) Принятие такой договоренности вполне соответствует процессу измере-
измерения отрезка, описанному в п. 2, ибо описанный процесс не может привести
к бесконечной десятичной дроби, у которой все десятичные знаки, начиная
с некоторого места, равны нулю.

44	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Рассмотрим два произвольных вещественных числа а и Ь.
Пусть эти числа представимы следующими бесконечными де-
десятичными дробями:
а = ±ttQ? а\п2 ... ап ...,	B-3)
b = ±bo,blb2...bn...	B.4)
(где из двух знаков ± берется какой-то один).
Два вещественных числа B.3) и B.4) называются равными^
если они имеют одинаковые знаки и если справедливы равенства
ао = Ьо, «1 = bi,..., ап = Ьп,...
Пусть даны два неравных вещественных числа а и Ъ. Устано-
Установим правило, при помощи которого можно прийти к заключе-
заключению, каким знаком, > или <, связаны эти два числа.
1.	Пусть сначала а и Ъ оба неотрицательны и имеют следую-
следующие представления: а = ао, а\п2 ... ап • • • 5 Ь = Ьо, ^1^2 • • • &п
Так как числа а и Ъ не равны, то нарушается хотя бы одно
из равенств ао = Ьо, а\ = Ь]_, ..., ап = Ьп,... Обозначим через fc
наименьший из номеров п, для которых нарушается равенство
аи = Ьп 1). Тогда мы будем считать, что а > Ь, если а^ > Ь^,
и а < 6, если а^ < Ъ^.
2.	Если из двух чисел оиЬ о(?но неотрицательно, а другое
отрицательно, то мы, естественно, будем считать, что неотри-
неотрицательное число больше отрицательного.
3.	Остается рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь отри-
цательны. Договоримся называть модулем вещественно-
вещественного числа а неотрицательное вещественное число^ обозначаемое
символом \а\ и равное десятичной дробщ представляющей чис-
число а, взятой со знаком +.
Если а и Ъ оба отрицательны^ то мы будем считать, что а >
> Ь, если Ь\ > \а , и а < Ь, если \а > | Ь | 2).
х) Итак мы считаем, что «о = Ьо, сц = bi, • • •, «fc-i = bfc-i5 но а& / &fc.
) Легко видеть, что сформулированное правило сравнения веществен-
вещественных чисел в применении к двум рациональным числам приводит к тому же
самому результату, что и правило сравнения рациональных чисел, указан-
указанное в сноске 1). на с. 38.
В самом деле, достаточно рассмотреть лишь случай двух неотрицатель-
неотрицательных рациональных чисел а и Ь. Пусть а > Ь согласно правилу сравнения
рациональных чисел, и пусть а = ао, а±а2 ... ап ...; Ь = Ьо, &1&2 • • • Ьп ...
Предположим, что рациональному числу а соответствует на числовой оси
точка Mi, а рациональному числу Ь — точка Мг. Тогда ясно, что точка
Mi лежит правее точки Мг. Вместе с тем из п. 2 вытекает, что целое чис-
чис... ak(bobi ... bk) показывает, сколько раз —¦^ часть масштабного
отрезка ОЕ укладывается в отрезке О Mi (OM2) с выкинутым правым кон™
цом. Поскольку отрезок ОМ\ больше отрезка ОМ2, то найдется такой но-
номер к, что <2o«i • • • dk-i = bob\ ... bk-i, a ao«i ... а& > bobi ... bk, но это и
означает, что а > b согласно правилу сравнения вещественных чисел.

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	45
Убедимся, что правило сравнения вещественных чисел об л а™
дает свойством 1°, сформулированным в п. 1 для рациональнвхх
чисел. Именно, докажем, что если а, Ъ и с — произвольные ве-
вещественные числа и если а > Ь и Ь > с, то а > с (свойство
транзитивности знака >I). Для доказательства этого свойства
рассмотрим три возможных случая.
1.	Пусть сначала с ^ 0. Тогда из правила сравнения ве-
вещественных чисел очевидно, что Ъ > 0 и а > 0. Пусть а =
= ао, а\а2 ... ап ...; Ь = Ьо, &1&2 • • • К ... ; с = со, с\С2 ...
... сп ... Обозначим через к наименьший из номеров п, для ко-
которых нарушается равенство ап = Ьп (т. е. предположим, что
а0 = Ьо, «1 = Ьъ ..., a^-i = bfc_i, а^ > bfc), а через р наимень-
наименьший из номеров в, для которых нарушается равенство Ьп = сп
(т. е. предположим, что Ьо = со, bi = сь ..., bp^i = cp_i, Ьр > ср).
Тогда, если обозначить через т наименьший из двух номеров к
и р, то будут справедливы соотношения а® = со, п\ = ci, ... ,
... ат^\ = cm_i, ато > сто, а это и означает, что а > с.
2.	Пусть с < 0, а ^ 0. Тогда равенство а > с будет справед-
справедливо при любом Ь.
3.	Остается рассмотреть случай, когда все три числа а, бис
отрицательны. Так как а > 6 и 6 > с, то|Ь|>|а|и|е >
> Ь |. Но тогда, в силу уже рассмотренного выше случая трех
положительных чисел, \с\ > |а|, а это и означает, что а > с.
Свойство транзитивности знака > полностью доказано.
4.	Приближение вещественного числа рациональны-
рациональными числами. В этом пункте мы покажем, что всякое веще-
вещественное число молено приблизить с любой степенью точности
рациональными числами. Рассмотрим произвольное веществен-
вещественное число а. Ради определенности будем считать это число
неотрицательным и представим его в виде бесконечной десятич-
десятичной дроби а = ао, а±а2 ... ап
Обрывая указанную дробь на в-м знаке после запятой, полу™
чим рациональное число ао, а\п2 ... ап. Увеличив это число на
1	. 1
о	рое раоаое со а аа	а +
1	. 1
—^-, получим другое рациональное число ао, аха2 ... ап + —^-.
Из правила сравнения вещественных чисел легко установить,
что для любого номера п справедливы неравенства
а0, aia2 ... ап ^ а ^ а0, aia2 ... ап + —.	B.5)
Неравенства B.5) означают, что вещественное число а заклю-
заключено между двумя рациональными числами^ разность между
которыми равна ——. При этом номер п можно взять любой.
) Свойство транзитивности знака =, утверждающее, что из а = Ь и Ь =
= с следует, что а = с, сразу вытекает из правила сравнения вещественных

46	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Покажем, что для любого наперед взятого положительного
рационального числа е, начиная с некоторого номера п, спра-
справедливо неравенство ——¦ < е. В самом деле, каково бы ни было
рациональное число е > О, найдется лишь конечное число нату-
натуральных чисел, не превосходящих числа -. Поэтому лишь для
n
конечного числа номеров п справедливо неравенство Wn ^
или ——¦ ^ е. Для всех же остальных номеров п справедливо
lip	^
обратное неравенство —- < е, что и требовалось доказать.
Таким образом, мы приходим к следующему утверждению:
для любого вещественного числа а и для любого наперед взя-
взятого положительного рационального числа е найдутся два
рациональных числа а\ и «2 такие^ что а\ ^ а ^ «2, причем
«2 — «1 < ?•
Неравенства B.5) позволяют утверждать, что рациональное
число ао, «1«2аз • • • ап приближает вещественное число а с точ-
точностью до —-. На практике всегда имеют дело с приближенным
значением вещественного числа, заменяя его рациональным чис-
числом с требуемой степенью точности.
5. Множества вещественных чисел, ограниченные
сверху или снизу. В этом пункте мы рассмотрим произволь-
произвольное множество вещественных чисел, содержащее хотя бы одно
число1). Это множество мы будем обозначать символом {%}.
Отдельные числа, входящие в состав множества {ж}, будем на-
называть элементами этого множества2).
Определение 1. Множество вещественных чисел {х} на-
называется ограниченным сверху (с н и з у ), если
существует такое вещественное число М (число га), что каж-
каждый элемент х множества {х} удовлетворяет неравенству
х ^ М (х > га).
При этом число М (число га) называется верхней (нижней) гра-
гранью множества {х}.
Конечно, любое ограниченное сверху множество {х} имеет
бесконечно много верхних граней. В самом деле, если веществен-
вещественное число М — верхняя грань множества {ж}, то любое веще-
вещественное число Af*, большее числа М, также является верхней
гранью множества {х}. Аналогичное замечание можно сделать в
отношении нижних граней ограниченного снизу множества {х}.
г) Такое множество обычно называют непустым.
2) Отметим, что понятие множества и его элемента относится к началь-
начальным понятиям (см. сноску 2) на с. 20).

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	47
Так, например, множество всех отрицательных веществен™
ных чисел ограничено сверху. В качестве верхней грани М тако™
го множества можно взять любое неотрицательное вещественное
число. Множество всех целых положительных чисел 1,2,3,...
ограничено снизу. В качестве нижней грани этого множества
можно взять любое вещественное число га, удовлетворяющее
неравенству га ^ 1.
Естественно, возникает вопрос о существовании наименьшей
из верхних граней ограниченного сверху множества и наиболь-
шей из нижних граней ограниченного снизу множества.
Определение 2. Наименьшая из всех верхних граней огра-
ограниченного сверху множества {х} называется точной
верхней гранью этого множества и обозначает-
обозначается символом ж = sup{#} 1).
Наибольшая из всех нижних граней ограниченного снизу
множества {х} называется точной нижней гранью
этого множества и обозначается символом ж = inf{#} 2).
Определение 2 молено сформулировать и по другому, а
именно:
Число х (число ж) называется точной верхней (точной
нижней) гранью ограниченного сверху (снизу) множества {ж},
если выполнены следующие два требования: 1) каждый эле-
элемент х множества {х} удовлетворяет неравенству х ^ ж (х ^
^ ж), 2) каково бы ни было вещественное число ж;, меньшее ж
(большее ж), найдется хотя бы один элемент ж множества
{ж}, удовлетворяющий неравенству ж > х' (ж < х').
В этом определении требование 1) означает, что число ж (чис-
(число ж) является одной из верхних (нижних) граней, а требова™
ние 2) говорит о том, что эта грань является наименьшей (наи-
(наибольшей) и уменьшена (увеличена) быть не может.
Очевидно, что у множества всех отрицательных веще-
вещественных чисел существует точная верхняя грань — число
нуль, причем это число не принадлежит указанному мно-
множеству. Очевидно также, что у множества всех целых по™
ложительных чисел 1, 2, 3, ... существует точная нижняя
грань ж = 1, которая принадлежит указанному множеству
(т. е. является наименьшим элементом этого множества). Та-
Таким образом, точная верхняя (точная нижняя) грань множе-
ства может как принадлежать, так и не принадлежать этому
множеству.
) sup — первые три буквы латинского слова supremum («супремум»),
которое переводится как «наивысшее».
2) inf — первые три буквы латинского слова iiifimum («инфимум»), кото-
которое переводится как «наинизшее».

48	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Существование у любого ограниченного сверху (снизу) мно-
жества точной верхней (точной нижней) грани не является оче-
очевидным и требует доказательства.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема 2.1. Если множество вещественных чисел содер-
содержит хотя бы один элемент и ограничено сверху (снизу), то
существует вещественное число ж (число ж), которое являет-
является точной верхней (точной нижней) гранью этого множества.
Доказательство. Мы остановимся лишь на доказа-
доказательстве существования точной верхней грани у любого ограни-
ограниченного сверху множества, ибо существование точной нижней
грани у любого ограниченного снизу множества доказывается
совершенно аналогично.
Итак, пусть множество {х} ограничено сверху, т. е. существу-
существует такое вещественное число М, что каждый элемент х множе-
ства {х} удовлетворяет неравенству
х ^ М.	B.6)
Могут представиться два случая: 1°. Среди элементов мно-
множества {х} есть хотя бы одно неотрицательное вещественное
число. 2°. Все элементы множества являются отрицательными
вещественными числами. Эти случаи мы рассмотрим отдельно.
1°. Рассмотрим лишь неотрицательные вещественные числа,
входящие в состав множества {х}. Каждое из этих чисел пред-
представим в виде бесконечной десятичной дроби и рассмотрим це-
целые части этих десятичных дробей. В силу B.6) все целые ча-
части не превосходят числа М, а поэтому найдется наибольшая из
целых частей, которую мы обозначим через W®. Сохраним сре-
среди неотрицательных чисел множества {х} те, у которых целая
часть равна жо? и отбросим все остальные числа. У сохранен-
сохраненных чисел рассмотрим первые десятичные знаки после запятой.
Наибольший из этих знаков обозначим через ~х\. Сохраним сре-
среди неотрицательных чисел множества {х} те, у которых целая
часть равна жо, а первый десятичный знак равен Ж]., и отбросим
все остальные числа. У сохраненных чисел рассмотрим вторые
десятичные знаки после запятой. Наибольший из этих знаков
обозначим через Ж2- Продолжая аналогичные рассуждения да-
далее, мы последовательно определим десятичные знаки некото-
некоторого вещественного числа ж:
X = Жо, Х\Х2 ... Хп ...
Докажем, что это вещественное число ж и является точной
верхней гранью множества {х}. Для этого достаточно доказать
два утверждения: 1) что каждый элемент х множества {х} удо-
удовлетворяет неравенству х ^ ж; 2) что, каково бы ни было веще-
вещественное число ж;, меньшее ж, найдется хотя бы один элемент х
множества {ж}, удовлетворяющий неравенству х > х1.

§ 1	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА	49
Сначала докажем утверждение 1). Так как ж неотрицатель™
но, то любое отрицательное число х из множества {х} заведомо
удовлетворяет неравенству х ^ ж. Пусть х = жо, х\ ... хп ... —
любое неотрицательное число, входящее в состав множества {х}.
Предположим, что это число х не удовлетворяет неравенству
х ^ х. Тогда х > х и по правилу сравнения найдется номер к
такой, что х® = жо, ..., %k-i — #fc-i5 x^ > ж&. Но послед™
ние соотношения противоречат тому, что в качестве ж^ берется
наибольший из десятичных знаков х^ тех элементов ж,
у которых целая часть и первые (А; — 1) знаков после запятой
соответственно равны жо,Ж]_, ..., ~Xk-i-
Докажем теперь утверждение 2). Пусть х1 = ж;0, x[xf2 ...
... х'п ... — произвольное вещественное число1), меньшее ж.
Тогда в силу правила сравнения вещественных чисел найдется
номер п такой, что
xf0 = ж0, х[ =хъ ..., ж^ = жп_1, ж^ < жп.	B.7)
С другой стороны, число х мы строили так, что среди элементов
множества {х} найдется число х = жо, х±Х2 ••• хп ..., целая
часть и первые п десятичных знаков у которого те же, что и у
числа ж, т. е.
жо=жо, xi = хъ ...,xn-i = xn-i, хп = хп. B.8)
Сопоставляя B.7) и B.8), в силу правила сравнения веществен-
вещественных чисел получим, что х1 < х. Утверждение 2) доказано. Та-
Таким образом, для случая 1° существование точной верхней грани
доказано.
2°. Аналогично доказывается существование точной верх-
верхней грани и во втором случае, когда все элементы множе-
множества {х} являются отрицательными вещественными числа-
ми. В этом случае все элементы множества {ж} мы представим
в виде отрицательных бесконечных десятичных дробей. Обозна™
чим через х® наименьшую из целых частей этих дробей; че™
рез жх — наименьший из первых десятичных знаков тех из этих
дробей, у которых целая часть равна х®; через Х2 — наимень-
наименьший из вторых десятичных знаков тех из этих дробей, у которых
целая часть равна х®, а первый десятичный знак равен жх; ...
Таким путем мы определим отрицательное вещественное число
х = -жо
В полной аналогии со случаем 1° доказывается, что число ж яв™
ляется точной верхней гранью множества {ж} (т. е. удовлетворяв
) Это число х мы, не ограничивая общности, будем считать неотри-
неотрицательным, ибо если бы оно было отрицательным, то неравенству ж > х
удовлетворял бы неотрицательный элемент х множества {ж}.

50	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
ет двум утверждениям, сформулированным при рассмотрении
случая 1°). Теорема доказана.
Замечание. При доказательстве теоремы 2.1 для слу-
случая 2° у числа х = ^Ж0,Ж1Ж2 ... хп ... все десятичные знаки,
начиная с некоторого места, могут оказаться равными нулю, т. е.
это число может оказаться имеющим вид
х = -жо,Ж1 ... xk^jxk 000 ...,
где хк ф 0.
В этом случае остается в силе приведенное выше доказатель-
доказательство, но согласно договоренности, принятой в п. 3, при сравне-
сравнении с элементами множества число х следует записывать в виде
х = -х0, xi ... xk^i(xk - 1) 999 ...
§ 2. Арифметические операции над вещественными
числами. Основные свойства вещественных чисел
1. Определение суммы вещественных чисел. Одним
из важнейших вопросов теории вещественных чисел является
вопрос об определении операций сложения и умножения этих
чисел и о свойствах этих операций. Остановимся прежде всего
на операции сложения вещественных чисел.
Хорошо известно, как складывают два вещественных чис-
числа на практике. Для того чтобы сложить два вещественных
числа а и 6, их заменяют с требуемой степенью точности ра-
рациональными числами и за приближенное значение суммы двух
данных вещественных чисел берут сумму указанных рациональ-
рациональных чисел. При этом совершенно не заботятся о том, с какой
стороны (по недостатку или по избытку) взятые рациональные
числа приближают данные вещественные числа а и Ь. Факти-
Фактически указанный практический способ сложения вещественных
чисел предполагает, что чем точнее рациональные числа а и /3
приближают (с любой стороны) вещественные числа а и Ь со-
соответственно, тем точнее сумма а + /3 приближает то веще-
вещественное число, которое должно являться суммой вещественных
чисел а и Ъ.
Желание оправдать указанный практический способ сложе-
сложения вещественных чисел, естественно, приводит нас к следую-
следующему определению суммы двух вещественных чисел.
Пусть ol\ и «2 — какие угодно рациональные числа, между
которыми заключено вещественное число а (т. е. а\ ^ а ^ «2),
a /3i и 02 — какие угодно рациональные числа, между которы-
которыми заключено вещественное число Ь (т. е. /3\ ^ Ь ^ fa)- Тогда
суммой вещественных чисел а и Ъ мы назовем такое веществен-

§ 2	АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ	51
ное число ж, которое заключено между всеми рациональными
числами а\+ fix и «2 + /?2 1)-
Иными словами, суммой вещественных чисел а и Ъ мы
назовем такое вещественное число ж, которое для любых рацио-
рациональных чисел «1, «2, /?i и /?25 удовлетворяющих неравенствам
аг^а^а21 /?i ^ Ь ^ /32,	B.9)
удовлетворяет следующим неравенствам:
«1+А ^ж^а2+/?2.	B-Ю)
Существование такого вещественного числа ж, и притом только
одного, не вызывает сомнений. (Соответствующее доказатель-
доказательство приводится ниже.) Нетрудно убедиться в том, что таким
числом х является точная верхняя грань множества {ot\ + j3\}
сумм всех рациональных чисел а\ и /3i, удовлетворяющих ле-
левым неравенствам B.9) 2).
1°. Прежде всего убедимся в том, что указанная верхняя грань суще-
существует. В самом деле, фиксируем произвольные рациональные числа «2
и р2, удовлетворяющие правым неравенствам B.9), и рассмотрим всевоз-
всевозможные рациональные числа а\ и /3i, удовлетворяющие левым неравен-
неравенствам B.9). Из свойства транзитивности знака >, установленного в п. 3 § 1,
приходим к выводу, что ol\ < ct% /3i < /З2, а из этих неравенств следует, что
«1 +/3i ^ «2 +ft (см. конец п. 1 § 1). Таким образом, множество всех раци-
рациональных чисел {а\ +/3i} ограничено сверху и число «2 + /?2 является одной
из верхних граней этого множества. По теореме 2.1 у множества {ai +/3i}
существует точная верхняя грань, которую мы обозначим через х. Остается
убедиться в том, что число х является суммой вещественных чисел а и 6,
т. е. удовлетворяет неравенствам B.10). В самом деле, по определению точ-
точной верхней грани, справедливо левое неравенство B.10), а справедливость
правого неравенства B.10) вытекает из того, что «2 +/?2 — одна из верхних
граней^ а ж — точная верхняя грань множества {а\ + /3\}.
2°. Установим теперь, что существует только одно вещественное чис-
число ж, удовлетворяющее неравенствам B.10). Будем опираться на следую-
следующую лемму (для удобства доказательство этой леммы отнесено в конец
настоящего пункта):
Мем,м,а. Если для двух данных вещественных чисел х\ и Ж2 и для лю-
любого наперед взятого положительного рационального е найдутся два раци-
рациональных числа 7i и 72 таких, что 71 ^ х\ ^ 72? 7i ^ Ж2 ^ 72 и 72 — 7i < E->
то числа х\ и Ж2 равны.
Предположим, что существуют два вещественных числа х\ и Ж2, удов-
удовлетворяющих неравенствам B.10) (при любых рациональных числах ai, 02,
/3i и /З2, удовлетворяющих неравенствам B.9)). Возьмем любое положитель-
положительное рациональное число е. Согласно утверждению, доказанному в п. 4 § 1,
1) Заметим, что в элементарном курсе сумма двух вещественных чисел
определялась аналогичным образом (см. А. П. Киселев. Алгебра П. Учпед™
гиз, 1959, с. 9).
) Аналогично можно было бы убедиться в том, что таким числом явля-
является точная нижняя грань множества {«2 + @ч} сумм всех рациональных
чисел «2 и /?2, удовлетворяющих правым неравенствам B.9).

52	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
для вещественного числа а и для рационального числа е/2 найдутся такие
рациональные числа ai и a2j что а.\ ^ a ^ «2, причем «2 — ai < е/2. Анало-
Аналогично для вещественного числа Ь и для рационального числа е/2 найдутся
такие рациональные числа ft и ft, что ft ^ Ь ^ ft, причем ft — ft < е/2.
Таким образом, оба вещественных числа xi и ж2 будут заключены меж-
между двумя рациональными числами (а\ + ft) и (а2 + ft), разность между
которыми (по модулю) равна
(a2 + ft) - (ai + ft) = (a2 - ai) + (ft - ft) < e.
Так как е — любое наперед взятое положительное рациональное число, то
х\ = ж2 в силу сформулированной выше леммы.
3°. Установим, наконец, что в применении к двум рациональным числам
сформулированное нами определение суммы вещественных чисел и извест-
известное из элементарного курса определение суммы рациональных чисел при-
приводят к одному и тому же результату. В самом деле, если а и Ь — два
рациональных числа, удовлетворяющих неравенствам ol\ ^ а ^ «2, ft ^
^ Ь ^ ft, а (а + Ь) — их сумма, полученная по известному из элементарного
курса определению, то очевидно, что
(ai + ft) ^ a + Ь ^ (a2 + ft),	B.11)
причем, согласно только что доказанному утверждению, рациональное чис-
число (а + 6) является единственным вещественным числом, удовлетворяющим
неравенствам B.11).
4°. Прежде чем доказывать сформулированную выше лемму, установим
следующее вспомогательное утверждение.
Каковы бы ни были два вещественных числа а и Ь такие, что Ь < а,
найдется рациональное число а, заключенное между ними, т. е. такое,
что b < а < а (а следовательно, найдется и бесконечное множество раз-
различных рациональных чисел^ заключенных меэюду а иЬ).
Очевидно, достаточно рассмотреть случай, когда оба числа а и Ь неотри-
неотрицательны, ибо случай, когда а и Ь оба неположительны, сводится к указан-
указанному случаю посредством перехода к модулям, а случай, когда одно число
положительно, а другое отрицательно, тривиален (в качестве а можно
взять нуль).
Итак, пусть b ^ 0; Ь < а; а = ао, а± п2 ... ап ... ; b = bo, bi 62 • • • bn ...
Пусть k — наименьший из номеров п, для которых нарушается равенство
ап = Ьп, т. е. ао = bo, ai = bi ... a^i = bfc-i, «fe > &fc-
В силу договоренности, принятой в п. 3 § 1, можно считать, что все ап
при п > к не могут быть равны нулю. Пусть р — наименьший из номеров
п, превосходящих к, для которых ап > 0, т. е.
а = ao, fli, ••• flfc 00 ... 0 ар ...
Тогда из правила сравнения вещественных чисел непосредственно вытекает,
что рациональное число а = ао, сц • • • а^ 00 ... 0 (ар — 1) 999 ... удовлет-
удовлетворяет неравенствам Ь < а < а. Вспомогательное утверждение доказано.
Обращаясь к доказательству леммы, предположим, что х\ ф Х2- Пусть
ради определенности х\ < Х2- Тогда в силу вспомогательного утверждения
найдутся два рациональных числа а\ и «2 таких, что
xi < а± < а2 < х2.	B.12)
Пусть теперь 71 и 72 — какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам

§ 2	АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ	53
7i ^ xi ^ 72, 7i ^ жз ^ 72-	B.13)
Из сопоставления B.12) и B.13) и из свойства транзитивности знака > по-
получим 7i < «1 < «2 < 72- Но тогда 72 —71 > а2 —оц, что противоречит тому,
что разность 72 — 7i может быть сделана меньше любого наперед взятого
положительного рационального числа е. Лемма доказана.
2. Определение произведения вещественных чисел.
Поскольку вопросы, возникающие в связи с определением произ-
произведения вещественных чисел, в основном совпадают с вопросами,
рассмотренными при определении суммы вещественных чисел,
мы ограничимся лишь краткой формулировкой результатов.
Определим сначала произведение двух положительных
чисел а и Ъ. Обозначим через «i, «25 Pi и /?2 любые положи-
положительные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
аг ^ а ^ а2, pi ^ Ь ^ /32.
Произведением положительных вещественных чисел а ж b
назовем вещественное число ж, удовлетворяющее неравенствам
OLlfil ^ X ^ 0,2^2-
Точно так же, как и для суммы, устанавливается, что такое
вещественное число х существует, и притом только одно. Легко
убедиться в том, что таким числом х является точная верхняя
грань множества {«i/5i} произведений всех рациональных чисел
а\ и /?х, удовлетворяющих неравенствам 0 < а\ ^ а, 0 < /3i ^ Ь.
Произведение вещественных чисел любого знака определяет™
ся по следующему правилу:
1) считают, что а • 0 = 0 • а = 0;
2) считают, что аЪ =
\а\ •
— I a
Ъ |, если а и Ь одного знака,
Ъ |, если а ж Ь разных знаков.
В заключение отметим, что точно так же, как и для суммы,
можно доказать, что в применении к двум рациональным чис-
числам определение произведения вещественных чисел и известное
из элементарного курса определение произведения рациональ-
рациональных чисел приводят к одному и тому же результату.
3. Свойства вещественных чмсел. В этом пункте мы
убедимся в справедливости для произвольных вещественных чи-
чисел всех основных свойству перечисленных в п. 1 § 1 для рацио™
нальных чисел. Справедливость для вещественных чисел свой™
ства 1° уже установлена выше. Таким образом, нужно выяснить
лишь вопрос о справедливости для вещественных чисел свойств
2°^13°.
Легко убедиться в справедливости для вещественных чисел
свойств 2°-5° и 11°, связанных с понятием суммы. Оправед™
ливость свойств 2°ЧЗ° непосредственно вытекает из определе-
определения суммы вещественных чисел и из справедливости указанных
свойств для рациональных чисел.

54	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Остановимся на доказательстве свойства 11°, т. е. докажем, что если а,
Ь и с — любые три вещественных числа и а > 6, то а + с > 6 + с.
Так как а > 5, то в силу вспомогательного утверждения, установленного
при доказательстве леммы (см. конец п. 1 настоящего параграфа), найдутся
рациональные числа а± и fa такие, что а > а\ > fa > Ь. Для вещественного
числа с и для положительного рационального числа е = а\ — fa найдутся
рациональные числа 71 и 72 такие, что 71 ^ с ^ 72? причем 72 — 7i < е =
= «1 — fa (см. утверждение, доказанное в п. 4 § 1).
Пусть далее «2 и /3i — любые рациональные числа, удовлетворяющие
неравенствам «2 "^ a, b ^ fa. Тогда по определению суммы вещественных
чисел
«2 + 72 ^ « + с ^ а\ + 7i, ft + 72 ^ & + с ^ /3i + 71 •
Для доказательства того, что а + с>Ь + с, в силу транзитивности знака >
достаточно доказать, что а г +71 > fa +72? н0 эт0 непосредственно вытекает
из неравенства 72 — ji < oti — fa-
Заметим, что вопрос о вычитании вещественных чисел как
о действии, обратном сложению, полностью исчерпывается на
основании свойств 2°^5°. Назовем разностью веществен-
вещественных чисел а и Ь вещественное число с такое^ что cJrb = a.
Убедимся в том, что такой разностью является число с = а +
+ Ь;, где bf — число, противоположное Ъ.
В самом деле, используя свойства 2°-5°, можем записать
с + Ъ = (а + У) + Ь = а + {У + Ь) = а + 0 = а.
Убедимся в том, что существует только одно вещественное чис-
число, являющееся разностью двух данных вещественных чисел.
Предположим, что кроме указанного выше числа с = а + bf су-
существует еще одно число d такое, что d + Ь = а. Тогда, с одной
стороны, {d+b)+h' = a+b1 = с, с другой стороны, [d+b)+b' = d+
+ {b + У) = d + 0 = d, т. е. с = d.
Из определения разности и из свойства 5° вытекает, что чис-
число а;, противоположное а, равно разности числа 0 и числа а. Это
число обычно записывают в виде —а.
Не вызывает затруднения перенесение на случай веществен-
вещественных чисел свойств 6°, 7°, 8°, 9°, 10° и 12°, связанных с поня-
понятием произведения. Отметим лишь в отношении свойства 9°,
что если а — положительное вещественное число, a «i и «2 —
какие угодно рациональные числа, удовлетворяющие неравен™
ствам 0 < «1 ^ а ^ «2, то число а! 1 обратное числу а, опреде-
определяется как единственное вещественное число, удовлетворяющее
неравенствам — ^ а1 ^ — 1).
«2	«1
Свойства 6°-9° позволяют сделать вывод, что для любых
двух вещественных чисел а и Ь (Ь Ф 0) существует, и притом
1) В качестве числа а может быть взята точная верхняя грань множества
г 1
всех рациональных чисел < —
t C^2

§ 2	АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ЧИСЛАМИ	55
только одно, вещественное число с, удовлетворяющее условию
cb = а. Это число с называется частным чисел а и Ь.
Из определения частного и из свойства 9° вытекает, что чис-
число а;, обратное числу а, равно частному чисел 1 и а, которое мы
обозначим как 1/а.
Заметим, наконец, что на случай вещественных чисел перено™
сится и последнее 13-е свойство рациональных чисел, а именно:
каково бы ни было вещественное число а, можно число 1 повто-
рить слагаемым столько раз, что полученная сумма превзой-
превзойдет а1). Докажем это свойство. В случае а < 0 доказательство
не требуется, ибо 1 > а. Пусть а ^ 0; а = ао, ai • • • ап • • • В
силу того, что определение суммы вещественных чисел в при-
применении к сумме рациональных чисел совпадает с определением
суммы рациональных чисел, повторив число 1 слагаемым п раз,
получим целое число п. Таким образом, достаточно доказать,
что для числа а найдется целое число п такое, что п > а. Но это
очевидно: достаточно взять п = ао + 2.
Таким образом, на случай вещественных чисел переносят-
переносятся все основные свойства, сформулированные для рациональных
чисел в п. 1 настоящего параграфа. Следовательно^ для веще-
ственных чисел сохраняют свою силу все правила алгебры^
относящиеся к арифметическим действиям и к сочетанию
равенств и неравенств.
На этом мы заканчиваем изложение элементов теории ве-
вещественных чисел, необходимых для построения курса матема-
математического анализа. Дальнейшее развитие теории вещественных
чисел читатель может найти в приложении в конце книги.
В заключение заметим, что мы построили теорию веществен-
вещественных чисел, апеллируя к их представлению в виде бесконечных
десятичных дробей.
Совершенно ясно, что мы могли бы апеллировать и к беско-
бесконечным дробям с любым другим (не обязательно десятичным)
основанием. В этом отношении системы счисления с различными
основаниями эквивалентны между собой. Однако в некоторых
вопросах приближенных вычислений и, в частности, при округ-
округлении чисел до заданного количества разрядов системы счисле-
счисления с четными и нечетными основаниями ведут себя существен-
существенно по-разному (см. по этому поводу дополнение 2 к этой главе).
4. Некоторые часто употребляемые соотношения.
Докажем справедливость для любых вещественных чисел а и b
следующих двух соотношений:
\аЬ
а + Ь ^ а I +
B.14)
B.15)
1) Заметим, что это свойство называют аксиомой Архимеда.

56	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Словесная формулировка этих соотношений такова: 1) мо-
модуль произведения двух чисел равен произведению модулей этих
чисел1 2) модуль суммы двух чисел не превосходит суммы мо-
модулей этих чисел.
Соотношение B.14) непосредственно вытекает из определе-
ния произведения двух вещественных чисел. Докажем соот-
соотношение B.15). На основании определения модуля и правила
сравнения для любых вещественных чисел а и Ь справедливв!
неравенства
— | а | ^ а ^ | а |, — | Ь | ^ Ь ^ | Ь |.
В силу основных свойств, можно почленно складывать неравен™
ства одного знака (это доказано в конце п. 1 § 1). Поэтому
-(\а\ + \Ь\) < а + Ь ^ \а\ + \Ь .
Используя в случае а + Ь > 0 правое, а в случае а + Ь ^ 0 левое
из последних неравенств, мы получим неравенство B.15).
Замечание. Отметим еще два часто употребляемых неравенства:
а-Ъ\>\а\-\Ъ\,	B.16)
а-Ъ\>\а\-\Ъ\.	B.17)
Для получения неравенства BЛ6) достаточно учесть, что а = (а — Ь) +6,
и, опираясь на B Л 5), записать неравенство: \а\ ^ | а —6 | + | 6 |. Неравенство
B Л7) является следствием неравенства B Л6) и неравенства | b — а | ^ | Ь —
— а , которое получается из B Л6), если поменять местами числа а и Ь.
§ 3. Некоторые конкретные множества
вещественных чисел
В дальнейшем нам часто придется иметь дело с различны-
различными множествами вещественных чисел. Будем обозначать произ-
произвольное множество вещественных чисел символом {ж}, а числа,
входящие в состав этого множества, будем называть элемента-
элементами или точками этого множества. Мы будем говорить, что точ~
ка х\ множества {х} отлична от точки Х2 этого множества^
если вещественные числа х\ и Х2 не равны друз другу. Если при
этом справедливо неравенство х\ > Х2 [х\ < Ж2), то будем гово-
говорить, что точка х\ лежит правее (левее) точки x<i-
Рассмотрим некоторые наиболее употребительные множе-
множества вещественных чисел.
1°. Множество вещественных чисел ж, удовлетворяющих
неравенствам а ^ х ^ Ь, где а < Ь, будем называть сегмен-
том и обозначать символом [а,Ь]. При этом числа а и Ъ будем
называть граничными точками или концами сегмента [а,Ь], а
любое число ж, удовлетворяющее неравенствам а < х < Ь, будем
называть внутренней точкой сегмента [а,Ь].

ДОПОЛНЕНИЕ 1	57
2°. Множество всех вещественных чисел ж, удовлетворяющих
неравенствам а ^ х < Ь {или а < х ^ Ъ\, будем называть полу-
полусегментом и обозначать символом [а, о) {или (а, Ь]}.
3°. Множество всех вещественных чисел ж, удовлетворяющих
неравенствам а < х < Ь, будем называть интервалом и обозна-
обозначать символом (а, Ъ).
4°. Любой интервал, содержащий точку с, будем называть
окрестностью точки с.
5°. Интервал (с —е, с+б), где 6 > 0, будем называть е-окрест-
е-окрестностью точки с.
6°. Множество всех вещественных чисел будем называть чи-
числовой (бесконечной) прямой и обозначать символом (—оо, +оо).
7°. Множество всех вещественных чисел ж, удовлетворяющих
неравенству х ^ а {или ж ^ Ь}, будем называть полупрямой и
обозначать символом [а, оо) {или (—оо,Ь]}.
8°. Множество всех вещественных чисел ж, удовлетворяющих
неравенству ж > а {или ж < Ь}, будем называть открытой по-
полупрямой и обозначать символом (а, оо) {или (—оо,Ь)}.
Замечание. Отметим, что сегмент иногда называют замкнутым
отрезком или просто отрезком, а интервал — открытым отрезком.
Произвольное множество {ж} будем называть плотным в себе, если в
любой окрестности каждой точки х этого множества содержится хотя бы
одна точка множества, отличная от х. Примером плотного в себе множе-
множества может служить любое из определенных выше множеств 1°-8°. Другим
примером плотного в себе множества может служить множество всех ра™
циональных чисел, входящих в состав любого из множеств 1о—8°.
ДОПОЛНЕНИЕ 1
О ПЕРЕВОДЕ ЧИСЕЛ ИЗ ДЕСЯТИЧНОЙ СИСТЕМЫ
СЧИСЛЕНИЯ В ДВОИЧНУЮ И ИЗ ДВОИЧНОЙ
СИСТЕМЫ В ДЕСЯТИЧНУЮ
В этом дополнении мы остановимся на алгоритмах перевода чисел из де-
десятичной системы счисления в двоичную и обратного перевода из двоичной
системы в десятичную ).
Перевод чисел из десмтичной системы счисления в двоичную.
Для задания десятичного числа хю в разрядной сетке электронной машины
используют так называемую нормализованную форму записи
этого числа
х10 =glo-10Pl°.	B.18)
В этой форме записи величина
q10 = A - 2Sq)(ai - 1СГ1 + а2 • 10~2 + • • • + а9 • 10~9)	B.19)
) Излагаемые ниже алгоритмы реализуются, в частности, на электрон-
электронной машине БЭСМ-4.

58
ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
ГЛ. 2
называется десятичной мантиссой данного числа, причем ol\ 3^1,
Sq берется равным нулю при дю ) Ои равным единице при дю < О х), а
показатель степени
рю = A-25р)(А + 10^2)	B.20)
называется десятичным порядком данного числа, причем Sp берется
равным нулю при рю ^0и равным единице при рю < 0 2).
ж
45
sq
44
V
43
•<—
42
41
Рю
с Pi
40 39 38
—>>
37
<—
36
0
35
-1
34
—>
33
<
32
«2
31 30
—>
29
...
<—
4
«9
3 2
>
1
Рис. 2.3
На рис. 2.3 указано, как десятичное число B.18)—B.20) задается в раз-
разрядной сетке электронной машины. На изображение каждого из десятич-
десятичных чисел fa, ai, аг, • • • , «9 отводится по четыре двоичных разряда, так
что каждое из указанных чисел может принимать любое целочисленное зна-
значение от 0 до 15, а на изображение числа fa отводится всего два разряда,
так что fa может принимать значения 0, 1, 2, 3 3).
Стандартная программа вырабатывает по десятичному числу B.18)—
B.20) соответствующее ему двоичное число Х2- Эта программа реализуется
следующим образом. Сначала вычисляется величина j:
26
7 = A - 2Sq)(ai • 109 + а2 - 108 + • • • + a9)
Затем указанная величина 7 умножается на величину к = 2 -10"" (послед™
няя величина задается в машине также в нормализованной форме, причем
обычно с избытком в две единицы младшего разряда мантиссы).
Произведение kj отвечает, очевидно, десятичной мантиссе B.19).
Дальнейшая процедура заключается в умножении kj на 10 или 1/10 в за-
зависимости от знака рю (т. е. от Sp), производимом столько раз, какова
величина \рю\. В завершение программы в полученном результате обычно
очищают три младших разряда мантиссы.
Указанная программа 1) обеспечивает по крайней мере 30 верных двоич-
двоичных знаков результата, 2) обеспечивает перевод в двоичное число любого це-
целого десятичного числа в диапазоне от 0 до 50 000, 3) обеспечивает перевод
десятично нормализованного числа в двоично нормализованное число ).
1)	Таким образом, множитель A — 2Sq) в равенстве B.19) характеризует
знак мантиссы дю.
2)	Так что множитель A—2SP) в равенстве B.20) характеризует знак
порядка рю.
) На самом деле, в силу конструкции клавишного устройства, на этом
устройстве нельзя пробить каждое из чисел fa, ai, «2, • • • , «9 большим де-
девяти, а число fa нельзя пробить большим единицы. Таким образом, каждое
из чисел/?i,ai,a2,... ,«9 меняется в диапазоне от 0 до 9, а число fa
принимает значения 0 и 1.
) Если исходное десятичное число не являлось нормализованным (т. е. в
B.19) нарушалось условие а± ^ 1), то и результат его перевода в двоичную
систему может оказаться ненормализованным.

ДОПОЛНЕНИЕ 2	59
В заключение заметим, что если при реализации указанной программы
в процессе умножения на 10 двоичный порядок переводимого числа пре-
превышает 59, то дальнейшие умножения на 10 прекращаются, даже если они
требуются в соответствии с величиной \рю .
Перевод чисел из двоичной системы счисления в десмтичную.
Укажем стандартную программу, которая вырабатывает по заданному в
нормализованной форме двоичному числу х = д2 • 2Р2 соответствующее ему
десятичное число хю, записанное в нормализованной форме B.18)—B.20).
В разрядной сетке машины вырабатываемое число располагается так, как
указано на рис. 2.3.
Программа реализуется следующим образом. Сначала исходное чис-
число ж 2 множится на 1/10 для того, чтобы при последующем умножении на 10
не получить машинного переполнения. Затем полученное число множится
на 10 или 1/10 в зависимости от того, больше оно единицы или нет, до
тех пор, пока результат умножений не попадет в интервал от 1/10 до 1.
Количество произведенных умножений, очевидно, определяет \рю\. Что же
касается знака рю, то он положителен, если исходное число превосходит
единицу, и отрицателен в противном случае.
Далее очевидно, что полученное в результате умножений число и будет
десятичной мантиссой дю- Цифры ai, «2, • • • , «9 десятичной мантиссы дю
определяются последовательно путем умножения на 10 и выделения целой
части.
ДОПОЛНЕНИЕ 2
ОБ ОШИБКАХ В ОКРУГЛЕНИИ ЧИСЕЛ В СИСТЕМАХ
СЧИСЛЕНИЯ С ЧЕТНЫМ И НЕЧЕТНЫМ ОСНОВАНИЯМИ
Предположим, что вычислительная машина работает с ^-разрядными
числами в системе счисления с основанием р ^ 2. Тогда, не уменьшая общ-
общности, можно считать, что все числа х^\ хранящиеся в памяти машины,
имеют вид
х^ = aip™1 + п2Р~2 + • • • + atp~b,
где коэффициенты (ц {г = 1, 2,..., t) могут принимать значения 0,1,...
..., (р — 1). Совершенно ясно, что такие операции, как сложение, умно-
умножение или деление, будучи произведены над t-разрядными числами, мо-
могут дать в результате числа, содержащие более чем t разрядов, и поэтому
естественно возникает необходимость в округлении указанных чисел до t
разрядов.
Рассмотрим простейшую операцию — округление чисел, содержащих
t + г (где г > 0) разрядов, до чисел, содержащих t разрядов. Каким бы
способом ни производилось округление содержащего (t + г) разрядов чис-
числа x^t+r\ результатом округления должно быть i-разрядное число. Отсюда
вытекает, что ошибка округления числа х^ ' (обозначим эту ошибку сим™
волом е(аг +т^)) имеет следующий вид:
Здесь г может принимать значения 0, 1, ... , рг - 1 в зависимости от
значения последних г разрядов числа зг ^ а от т{г) — некоторая функция
от г, принимающая целочисленные значения и зависящая от выбранного
способа округления.

60	ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ	ГЛ. 2
Наиболее важной характеристикой ошибки округления является ее
среднее значение А, которое определяется как дробь г)
в числителе которой стоит сумма ошибок, соответствующих всем допу™
стимым значениям чисел x^t+r\ а в знаменателе — количество таких чи-
сел xit+T\
Предположим, что все рассматриваемые числа х^ ' удовлетворяют
неравенствам 0 ^ яг ^ < 1. Тогда, очевидно, количество rv ' всех чисел
х( +г) будет равно р , и мы получим после несложных вычислений, что
Сумма *Y^Tn(i)j стоящая под знаком фигурной скобки, зависит от выбран™
ного нами способа округления, но в любом случае эта сумма будет цело-
целочисленной. Второй член под знаком фигурной скобки ^—^— при любом
четном р не будет целым. Таким образом, при любом четном осно-
основании р средняя ошибка А не равна нулю. Это означает, что при любом
фиксированном способе округления, определяемом лишь отбрасываемыми
разрядами, ошибка от округления до меньшего числа разрядов будет иметь
систематическое смещение при любой системе счисления с четным основа™
нием. С другой стороны, легко проверить, что обычное «школьное» правило
округления в любой системе с нечетным основанием приводит к «несме-
«несмещенным» ошибкам.
1) Символ Y1 есть символ суммирования тех слагаемых, которые записа-
записаны вслед за этим символом. Если указанные слагаемые зависят от номера г,
те
то запись ]Г) обозначает, что нужно произвести суммирование по всем зна-
г=т
чениям г от т до п.

ГЛАВА 3
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Одной из основных операций математического анализа явля-
ется операция предельного перехода. Эта операция встречается
в анализе в различных формах. В настоящей главе рассматри-
рассматривается простейшая форма операции предельного перехода, осно-
ванная на понятии предела так называемой числовой последо-
последовательности. Понятие предела числовой последовательности по-
позволит нам в дальнейшем определить и другие формы операции
предельного перехода.
§ 1. Числовые последовательности
1. Числовые последовательности и операции над ни-
ними. Из элементарного курса читатель имеет представление о
числовых последовательностях. Примерами числовых последо-
последовательностей могут служить: 1) последовательность всех элемен-
элементов арифметической и геометрической прогрессии, 2) последо-
последовательность периметров правильных n-угольников, вписанных
в данную окружность, 3) последовательность х\ = 1, Х2 = 1,4,
жз = 1,41 ... приближенных значений числа л/2. Этот пункт мы
начнем с уточнения понятия числовой последовательности.
Если каждому числу п натурального ряда чисел 1,2,... ... ,
п, ... ставится в соответствие по определенному закону неко-
некоторое вещественное число хП1 то множество занумерованных
вещественных чисел
xi,x2,...,xn,...	C.1)
мы и будем называть числовой последовательностью или про-
просто последовательностью.
Числа хп будем называть элементами или членами последо-
последовательности C.1). Сокращенно последовательность C.1) будем
обозначать символом {жте}. Так, например, символом {1/н} бу-
будем обозначать последовательность 1, 1/2, ... , 1/п, ... , а сим-
символом {1 + (—1)п} — последовательность 0, 2, 0, 2, ...

62	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Введем понятие арифметических операций над числовыми
последовательностями. Пусть даны произвольные последова-
последовательности Х\, Ж2, • • • , ХП1 ... И |/1, |/2, . . . , уП1 . . . CyMMOU ЭТИХ
последовательностей назовем последовательность х\+у\, ж 2 +
+ 1/2, • • • , ^и + Угы • • • (или {жте + Уп})-) разностью — последо-
последовательность XI - yi, Х2 - У2, • • • 5 Хп- уП1 ... (ИЛИ {Ж^ ^ уи}),
произведением — последовательность #i-yi,#2#y2? • • • •> хп'Уги • • •
или |жп-уп}), частным — последовательность —, —? • • • ? —?•••
|/1 |/2	2/тг
или < -^ И .
Замечание. При определении частного I — > нужно тре™
{. Уп )
бовать, чтобы все элементы уп последовательности {уп} были
отличны от нуля. Однако если у последовательности {уп} обра-
обращается в нуль лишь конечное число элементов^ то частное < — >
КУп )
можно определить с того номера, начиная с которого все элемен-
элементы уп отличны от нуля.
2. Ограниченные и неограниченные последователь-
последовательности.
Определение 1. Последовательность {хп} называется
ограниченной сверху (с н и з у), если суще-
существует такое вещественное число М (число га), что каждый
элемент хп последовательности {хп} удовлетворяет неравен-
неравенству хп ^ М (хп ^ гаI).
При этом число М (число га) называется верхней гранью
(нижней гранью) последовательности {жп}, а неравенство
хп ^ М (хп ^ т) называется условием ограниченности по-
последовательности сверху (снизу).
Отметим, что любая ограниченная сверху последователь™
ность {хп} имеет бесчисленное множество верхних граней. В
самом деле, если М — верхняя грань, то любое число Ж*, боль-
большее Ж, также является верхней гранью. Подчеркнем, что в уело™
вии хп ^ М ограниченности последовательности {хп} сверху в
качестве М может рассматриваться любая из верхних граней.
Аналогичные замечания можно сделать в отношении нижних
граней ограниченной снизу последовательности {жте}.
Определение 2. Последовательность {хп} называется
ограниченной с обеих сторон или просто ограниченно й,
если она ограничена и сверху^ и снизу^ т. е. если существуют
числа т и М такие^ что любой элемент хп этой последова-
последовательности удовлетворяет неравенствам: т ^ хп ^ М.
) Это определение полностью аналогично определению ограниченного
сверху (снизу) множества вещественных чисел (см. п. 5 § 1 гл. 2).

§ 1	ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	63
Если последовательность {хп} ограничена и М и т — ее верх™
няя и нижняя грани, то все элементы хп этой последовательно-
последовательности удовлетворяют неравенству
\хп\ ^ А,	C.2)
где А — максимальное из двух чисел \М\ и \т\. Обратно, если
все элементы последовательности {хп} удовлетворяют неравен-
неравенству C.2), то выполняются также неравенства ^А ^ хп ^ А,
и, следовательно, последовательность {хп} ограничена. Таким
образом, неравенство C.2) представляет собой другую форму
условия ограниченности последовательности. Уточним понятие
неограниченной последовательности. Последовательность {хп}
называется неограниченной^ если для любого положительно-
го числа А найдется элемент хп этой последовательности^
удовлетворяющий неравенству \хп\ > А. Рассмотрим несколь-
несколько примеров:
1)	Последовательность —1, —4, —9, ... , ^п2, ... ограничена
сверху и не ограничена снизу. Верхней гранью этой последова™
тельности является любое число, не меньшее — 1.
2)	Последовательность 1, 1/2, 1/3, ... , 1/п, ... ограничена.
Действительно, верхней гранью этой последовательности явля-
является любое число М ^ 1, а нижней гранью — любое число т ^ 0.
3)	Последовательность 1, 2, 1, 3, ... , 1, п, 1, (п + 1), ...
не ограничена. В самом деле, каково бы ни было положительное
число А, среди элементов этой последовательности (с четными
номерами) найдутся элементы, превосходящие А.
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последо-
последовательности.
Определение 1. Последовательность {хп} называется
бесконечно б о л ь ш о й, если для любого положительного
числа А1) можно указать номер N такой2), что при п ^ N все
элементы хп этой последовательности удовлетворяют нера-
неравенству \хп\ > А.
Замечание. Очевидно, что любая бесконечно большая по-
последовательность является неограниченной, поскольку для лю-
любого А > 0 можно указать номер N такой, что при п > N все
элементы хп удовлетворяют неравенству \хп\ > А, а следова-
следовательно, для любого А > 0 найдется по крайней мере один та-
такой элемент хП1 что \хп\ > А. Однако неограниченная последо-
последовательность может и не быть бесконечно большой. Например,
неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, ... , 1, в, ... не
является бесконечно большой, поскольку при А > 1 неравенство
\хп\ > А не имеет места для всех хп с нечетными номерами.
х) Сколь бы большим мы его ни взяли.
2) Так как номер N зависит от числа А, то иногда пишут N = N(A).

64
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГЛ. 3
Определение 2. Последовательность {ап} 1) называется
бесконечно малой, если для любого положительного
числа е 2) можно указать номер N такой^)^ что при п ^ N все
элементы ап этой последовательности удовлетворяют нера-
неравенству \ап\ < е.
Рассмотрим следующие примеры:
1. Докажем, что последовательность g, g2, д3, ... , qn1 ...
при | g | > 1 является бесконечно большой, а при \q\ < 1 —
бесконечно малой.
Сначала рассмотрим случай \q\ > 1. Тогда | q | = 1 + E, где
5 > 0. Используя формулу бинома Ньютона, получим |д|^ =
= A + 5) = 1 + 5N+ положительные члены). Отсюда
\q\N > 5N.	C.3)
Фиксируем произвольное число А > 0 и выберем номер N столь
большим, чтобы имело место неравенство 5N > А4). Из по™
следнего неравенства и неравенства C.3) вытекает неравенство
\N
Q
> 1
Q
N
В СИ™
I g |"ж > А. Так как при п ^ N и при
лу свойств произведения вещественных чисел), то \q\n > А при
п ^ N. Тем самым доказано, что при | q | > 1 рассматриваемая
последовательность является бесконечно большой.
Случай | g | < 1 рассматривается совершенно аналогично. В
этом случае — = 1 + 5, где S > 0 (мы опустили случай g = 0).
Снова используя формулу бинома Ньютона, мы получим вместо
C.3) следующее неравенство:
1
\я\>
> 5N, или
C.3*)
Фиксируем произвольное е > 0 и выберем номер Ж из условия
^7 <
SN
Так как
|g1^ при п
N ж при | g | < 1,
то из полученных неравенств вытекает, что \q\n < е при п ^
^ N. Тем самым доказано, что при | g | < 1 рассматриваемая
последовательность является бесконечно малой.
2. Докажем, что последовательность 1, 1/2, ... , 1/п, ... бес-
бесконечно малая. В самом деле, если п ^ Ж, то 1/п ^ 1/N. По-
Поэтому по данному е достаточно выбрать номер N из условия
1/N < е. Например, можно положить N = [1/е] + 1.
1) Элементы бесконечно малых последовательностей мы, как правило,
будем обозначать греческими буквами.
) Сколь бы малым мы его ни взяли.
) Так как номер N зависит от числа е, то иногда пишут N = N{e).
) Достаточно положить N = [А/$] + 1, где символ [ж] обозначает целую
часть числа ж. Например, [5,138] = 5, [-172, 9] = -173.
5) Достаточно положить N =
+ 1.

§ 1	ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	65
4. Основные свойства бесконечно малых последова-
последовательностей.
Теорема 3.1. Сумма двух бесконечно малых последова-
тельностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть {ап} и {/Зп} — бесконечно
малые последовательности. Докажем, что последовательность
{ofn+/?n}— бесконечно малая. Пусть е — произвольное поло-
положительное число, N\ — номер, начиная с которого \ап\ < б/2,
а N2 — номер, начиная с которого \/Зп\ < е/2. (Такие номера N\
и N2 найдутся по определению бесконечно малой последователь-
последовательности.) Так как модуль суммы двух чисел не превосходит суммы
их модулей, т. е. \ап + /Зп\ ^ \ап\ + \Eп\ (см. п. 4 § 2 гл. 2), то,
обозначив через N наибольший из двух номеров N\ и iV2, мы
получим, что, начиная с номера Ж, выполняется неравенство
\ап + /3<п\ < е- Это означает, что последовательность {ап + /Зте}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Теорема 3.2. Разность двух бесконечно малых последова-
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Эта теорема доказывается аналогично предыдущей, только
вместо неравенства \ап + /Зп\ ^ |ап| + \/Зп\ следует взять нера-
неравенство \ап — рп\ ^ \ап\ + \рп\.
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного чис-
числа бесконечно малых последовательностей — бесконечно малая
последовательность.
Теорема 3.3. Бесконечно малая последовательность огра-
ограничена.
Доказательство. Пусть {ап} — бесконечно малая по-
последовательность ие- некоторое положительное число. Пусть,
далее, N — номер, начиная с которого \ап\ < е. Обозначим че-
через А наибольшее из следующих N чисел: ?, |ai|, |а2|,..., \dN-i •
Это молено записать так: А = тах{б, |«i|, |«2|? • • • 5 |tti?-i|} /•
Очевидно, \ап\ ^ А для любого номера п, что означает огра-
ограниченность последовательности. Теорема доказана.
Теорема 3.4- Произведение ограниченной последовательно-
последовательности на бесконечно малую последовательность представляет
собой бесконечно малую последовательность.
Доказательство. Пусть {хп} — ограниченная , а
{^п} — бесконечно малая последовательности. Так как после™
довательность {хп} ограничена, то существует число А > 0 та-
такое, что любой элемент хп удовлетворяет неравенству \хп\ ^ А.
Возьмем произвольное положительное число е. Поскольку по-
последовательность {ап} бесконечно малая, то для положитель-
х) Здесь и в дальнейшем символ а = max{ai, «2, • • •, (%п} означает, что
число а равно максимальному из чисел ai, «2, • • •, оип.
3 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть I

66	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
ного числа е/А можно указать номер N такой, что при п ^ N
выполняется неравенство \otn\ < е/А. Тогда при п ^ N \ хп-ап\ =
= \хп\ - \ап\ < А— = е. Поэтому последовательность {хп • ап}
бесконечно малая. Теорема доказана.
Следствие. Произведение любого конечного числа бесконеч-
бесконечно малых последовательностей представляет собой бесконечно
малую последовательность.
Замечание. Частное двух бесконечно малых последо-
последовательностей может быть последовательностью любого типа и
даже может не иметь смысла. Если, например, ап = 1/п, /Зп =
= 1/п, то все элементы последовательности < -р > равны еди-
I Pn J	^ ^
нице. Если ап = 1/п, /Зп = 1/гг2, то последовательность I -р >
бесконечно большая, и наоборот, если ап = 1/п2, а /Зп = 1/п,
то последовательность < -^ > бесконечно малая. Если бесконеч-
v Рп J
но много элементов последовательности {f3n} равны нулю, то
частное < -^ > не имеет смысла.
I Рп J
Теорема 5.5. Если все элементы бесконечно малой последо-
вательности {ап} равны одному и тому же числу с, то с = 0.
Доказательство. Допустим, что с ф 0. Положим е =
= | с |/2, б > 0. Начиная с номера Ж, соответствующего этому б,
выполняется неравенство \ап\ < е. Так как ап = с, а е = | е |/2,
то последнее неравенство можно переписать следующим обра-
образом: \с\ < |е|/2, откуда 1 < 1/2. Полученное противоречие
показывает, что предположение с ф 0 не может иметь места.
Итак, с = 0. Теорема доказана.
В заключение отметим предложение, устанавливающее связь
между бесконечно большими и бесконечно малыми последова-
последовательностями.
Теорема 3.6. Если {хп} — бесконечно большая последова-
тельность^ то, начиная с некоторого номера п, определена по-
последовательность {1/жп}, которая является бесконечно ма-
малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности
{ап} не равны нулю^ то последовательность {1/ап} бесконечно
большая.
Доказательство. Отметим, во-первых, что у бесконеч-
бесконечно большой последовательности лишь конечное число элементов
может быть равно нулю. В самом деле, из определения беско-
бесконечно большой последовательности вытекает, что для данного
положительного числа А можно указать такой номер Ж*, начи-
начиная с которого выполняется неравенство \хп\ > А. Это означает,
что при п ^ N* все элементы хп не равны нулю, а поэтому по™

§ 2	СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	67
следовательность {1/хп} имеет смысл, если ее элементы рассма™
тривать начиная с номера N*. Докажем теперв, что {1/хп} —
бесконечно малая последовательность. Пусть е — любое поло-
положительное число. Для числа 1/е можно указать номер N ^ N*
такой, что при п ^ N элементы хп последовательности {хп}
удовлетворяют неравенству \хп\ > 1/е. Поэтому, начиная с ука-
указанного номера Ж, будет выполняться неравенство |1/жп| < е.
Таким образом, доказано, что последовательность {1/хп} беско-
бесконечно малая.
Доказательство второй части теоремы проводится аналогично.
§ 2. Сходящиеся последовательности и их
основные свойства
1. Понмтие сходмщейсм последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется схо-
сходящейся^ если существует такое число а, что последовате-
последовательность {хп—а} является бесконечно малой. При этом число
а называется пределом последовательности
К}1)-
Определение сходящейся последовательности молено, очевид-
очевидно, сформулировать также и следующим образом.
Последовательность {хп} называется сходящейся^ если су-
существует такое число а, что для любого положительного чис-
числа е можно указать номер N такой2), что при п ^ N все
элементы хп этой последовательности удовлетворяют нера-
веНСтву	\хп -а\<е.	C.4)
При этом число а называется пределом последовательно-
последовательности {хп}.
Если последовательность {хп} сходится и имеет своим пре-
пределом число а, то символически это записывают так 3):
lim хп = а, или хп —>• а при п —> оо.
гг>оо
1) В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая после-
последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число нуль.
) Так как N зависит от е, то иногда пишут N = N(e).
3) Отметим, что бесконечно большие последовательности иногда назы™
вают последовательностями, сходящимися к бесконечности. Поэтому если
последовательность {хп} бесконечно большая, то символически это запи™
сывают так:	lim Xn = ^
п—>оо
Если элементы бесконечно большой последовательности, начиная с некото-
некоторого номера, имеют определенный знак, то говорят, что последовательность
{жте} сходится к бесконечности определенного знака. Символически это за-
записывается следующим образом:
lim хп = +оо,	lim хп = —оо.

68	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Замечание 1. Неравенство C.4) эквивалентно неравен™
ствам —е < хп — а < +?, или а — е < хп < а + е. Последние нера-
неравенства означают, что элемент хп находится в е-окрестности
числа а (напомним, что ^окрестностью числа а называется
интервал (a —s, a + s)). Поэтому определение сходящейся по-
последовательности можно сформулировать также и следующим
образом.
Последовательность {хп} называется сходящейся^ если су-
существует число а такое^ что в любой е~окрестности числа а
находятся все элементы последовательности {ж^}, начиная с
некоторого номераг).
Определение сходящейся последовательности утверждает,
что разность хп — а = ап является бесконечно малой после™
довательностью. Следовательно, любой элемент хп сходящейся
последовательности, имеющей пределом число а, можно пред-
представить в виде
хп = а + аП1	C.5)
где ап — элемент бесконечно малой последовательности.
Замечание 2. Из определения предела последователь-
последовательности очевидно, что конечное число элементов не влияет на схо-
сходимость этой последовательности и на величину ее предела.
Рассмотрим примеры сходящихся последовательностей.
1) Последовательность < ^-^ > сходится; предел этой после™
Ы + 1J
довательности равен единице. Б самом деле, так как ^^^ — I =
= —	-, то для доказательства достаточно убедиться, что по-
следовательность I —	> бесконечно малая. Если п ^ Ж, то
^ 	 и поэтому по данному е > 0 достаточно вы-
брать номер N из условия 	 или N > - — 1. Например,
можно положить
2) Дока леем, что последовательность х\ = 0,3; Х2 = 0,33
... ; хп = 0, 33 ... 3; ... сходится и имеет своим пределом число
п раз
1/3. Поскольку число 1/3 представимо бесконечной десятичной
дробью 0, 333... , то из правила сравнения вещественных чисел
г) Зависящего, конечно, от е.

§ 2	СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	69
(см. п. 3 § 1 гл. 2) вытекают неравенства1)
п раз	п раз
< ——. Так как при
Из этих неравенств получим, что
п ^ ^ Тт ^ JW' т0' ВЬ1^Рав п0 любому е > 0 номер JV из уело-
1
10та
вия —^- < 6, получим
_ 1
Хп з
< 6 при n ^ Ж.
Возможность выбора номера JV, удовлетворяющего условию
< е при любом | q | < 1, была установлена в примере 1 п. 3 § 1.
2. Основные свойства сходящихся последовательно-
последовательностей.
Теорема 3.7. Сходящаяся последовательность имеет
только один предел.
Доказательство. Пусть а и Ъ — пределы сходящейся
последовательности {жте}. Тогда, используя специальное пред-
представление C.5) для элементов хп сходящейся последовательно-
последовательности {хп}, получим хп = а + ап, хп = Ь + @п, где ап и рп —
элементы бесконечно малых последовательностей {ап} и {/5^}-
Вычитая написанные соотношения, найдем (%п ^ /Зп = Ь —
—	а. Так как все элементы бесконечно малой последовательности
{ап — /Зп} имеют одно и то же постоянное значение b — а, то по
теореме 3.5 Ъ — а = 0, т. е. Ъ = а. Теорема доказана.
Теорема 3.8. Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {хп} — сходящаяся последо-
последовательность и а — ее предел. Используя формулу C.5), имеем
хп = а ~т otjii
где ап — элемент бесконечно малой последовательности. Так как
бесконечно малая последовательность {ап} ограничена (см. те™
орему 3.3), то найдется такое число А, что для всех номеров п
справедливо неравенство \ап\ ^ А. Поэтому \хп\ ^ \а\ + А для
всех номеров п, что и означает ограниченность последователь-
последовательности {хп}. Теорема доказана.
Замечание 1. Ограниченная последовательность может
и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, — 1, 1,
—	1, ... ограничена, но не является сходящейся. В самом деле,
если бы эта последовательность сходилась к некоторому чис-
числу а, то каждая из последовательностей {хп — а} и {хп+\ — а}
являлась бы бесконечно малой. Но тогда, в силу теоремы 3.2,
последовательность {(хп^а) — (xn^i^a)} = хп — хп+\ была бы
бесконечно малой, что невозможно, так как | хп — хп^\ | = 2 для
любого номера п.
См. также неравенства B.5) из п. 4 § 1 гл. 2.

70	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Докажем следующие основные теоремы.
Теорема 3.9. Сумма сходящихся последовательностей
{хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность^ предел ко-
которой равен сумме пределов последовательностей {хп} и {уп}-
Доказательство. Пусть а ш Ъ — соответственно
пределы последовательностей {хп} и {уп}. Тогда
хп = а + ап Уп = Ь + ^п,
где {ап} и {/Зте} — бесконечно малые последовательности. Сле-
Следовательно, (хп + уп) - (а + Ь) = ап + рп.
Таким образом, последовательность {(хп+уп) — (а+Ь)} беско-
нечно малая, и поэтому последовательность {хп + уп} сходится
и имеет своим пределом число а + Ь.
Теорема ЗЛО. Разность сходящихся последовательностей
{хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность, предел кото-
которой равен разности пределов последовательностей {хп} и {уп}.
Доказательство этой теоремы аналогично доказа-
доказательству теоремы 3.9.
Теорема 3.11. Произведение сходящихся последовательно-
последовательностей {хп} и {уп} есть сходящаяся последовательность^ пре-
предел которой равен произведению пределов последовательностей
{хп} и {уп}.
Доказательство. Если а и Ъ — пределы последователь™
ностей {хп} и {уп} соответственно, то хп = а + ап, уп = b + /Зп
и хп ' Уп = а>' Ъ + а • j3n + Ъ • ап + anj3n. Следовательно,
хп • уп - а • Ъ = а • /Зп + Ъ • ап + ап • f3n.
В силу теоремы 3.4 и следствия из нее, а так лее теоремы 3.1
последовательность {а • /Зп + Ь • ап + ап • /Зи} бесконечно малая,
т. е. и последовательность {хп - уп — а - Ь} бесконечно малая, и
поэтому последовательность {хп • уп} сходится и имеет своим
пределом число а • Ь.
Для доказательства соответствующей теоремы для частного
двух последовательностей нам понадобится следующая лемма.
Лемма 1. Если последовательность {уп} сходится и име-
имеет отличный от нуля предел Ь, то, начиная с некоторого
номера, определена последовательность \ — > , которая явля-
1Уп )
ется ограниченной.
Доказательство. Пусть е = | Ь |/2. Так как Ъ ф
Ф 0, то е > 0. Пусть N — номер, соответствующий этому е,
начиная с которого выполняется неравенство | уп — Ъ\ < е или
I Уп ^ Ь\ < \Ь\/2. Из этого неравенства следует, что при п ^
^ N выполняется неравенство г) \уп\ > \Ь\/2. Поэтому при
г) В самом деле, так как b = (b — уп) + уп и | b — уп\ < \Ь |/2, то \b\
\\ \\ ||/ ||

СХОДЯЩИЕСЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	71
п ^ N имеем
2
< —т. Следовательно, начиная с этого номера
N, мы можем рассматривать последовательность < — >, и эта
I Уп)
последовательность ограничена. Лемма 1 доказана.
Теорема 8.12. Частное двух сходящихся последовательно-
последовательностей {хп} и {уп} пРи условии^ что предел {уп} отличен от
нуля^ есть сходящаяся последовательность^ предел которой ра-
равен частному пределов последовательностей {хп} и {уп}-
Доказательство. Из доказанной леммы 1 следует,
что, начиная с некоторого номера iV, элементы последовательно-
последовательности {уп} отличны от нуля и последовательность \ — \ ограниче-
I Уп J
на. Начиная с этого номера, мы и будем рассматривать последо-
последовательность < — >. Пусть а и Ъ — пределы последовательностей
Г х а 1
{хп} и {уп}- Докажем, что последовательность I — — — > бес™
I Уп	О )
конечно малая. В самом деле, так как хп = а + anj уп = Ъ + CП1
то
Хп СЬ Хп " О Уп ' &	J- /	Q> q
— - Т = 	7	 = — \OLn - - @п
Уп	О	Уп'О	уп \	Ь
гр	/ 1 1
±ак как последовательность < — > ограничена, а последо-
Г	а ]	{Уп}
вательность \о.п — -fin> бесконечно малая, то последователь-
последовательность \ — \OLn — T fin) f = 1 — ^ т\ бесконечно малая. Теорема
1Уп \	О	/ )	1уп	О )
доказана.
3. Предельный переход в неравенствах. Мы только
что выяснили, что арифметические операции над сходящими-
сходящимися последовательностями приводят к таким же арифметиче-
арифметическим операциям над их пределами. В этом пункте мы покажем,
что неравенства, которым удовлетворяют элементы сходящих-
сходящихся последовательностей, в пределе переходят в соответствующие
неравенства для пределов этих последовательностей.
Теорема 3.13. Если элементы сходящейся последователь-
последовательности {хп}^ начиная с некоторого номера^ удовлетворяют
неравенству хп ^ Ъ (хп ^ Ь), то и предел а этой последова-
последовательности удовлетворяет неравенству а ^ Ъ (а ^ Ъ).
Доказательство. Пусть все элементы жп, по крайней
мере начиная с некоторого номера, удовлетворяют неравенству
хп ^ Ь. Требуется доказать неравенство а ^ Ь. Предположим,
что а < Ь. Поскольку а — предел последовательности {xn}j
то для положительного е = Ь — а можно указать номер N та-
такой, что при п ^ N выполняется неравенство \хп — а\ < Ь — а.
Это неравенство эквивалентно следующим двум неравенствам:
— (Ь — а) < хп — а < Ь — а. Используя правое из этих неравенств,

72	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
мы получим хп < Ь, а это противоречит условию теоремы. Олу™
чай хп ^ b рассматривается аналогично. Теорема доказана.
Замечание. Элементы сходящейся последовательности
{хп} могут удовлетворять строгому неравенству хп > Ъ1 однако
при этом предел а может оказаться равным Ь. Например, если
хп = -, то хп > 0, однако lim xn = 0.
п	п—>оо
Следствие 1. Если элементы хп и уп сходящихся последо-
вателъностей {хп} и {уп}^ начиная с некоторого номера^ удо-
удовлетворяют неравенству хп ^ уп, то их пределы удовлетворя-
удовлетворяют такому же неравенству:
lim xn ^ lim yn.
п-—>оо	п-—>оо
В самом деле, элементы последовательности {уп^хп} неотри-
неотрицательны, а поэтому неотрицателен и ее предел lim (уп — хп) =
п^оо
= lim yn — lim xn. Отсюда следует, что
п^оо	п^оо
lim xn ^ lim yn.
гг>оо	гг>оо
Следствие 2. Если все элементы сходящейся последова-
последовательности {хп} находятся на сегменте [а,Ь], то и ее предел с
также находится на этом сегменте.
В самом деле, так как а ^ хп ^ Ь, то а ^ с ^ Ь.
Следующая теорема играет важную роль в различных
приложениях.
Теорема 3,14- Пусть {хп} и {zn} — сходящиеся последо-
вательностщ имеющие общий предел а. Пусть^ кроме того^
начиная с некоторого номера^ элементы последовательности
{уп} удовлетворяют неравенствам хп ^ уп ^ zn. Тогда после-
довательность {уп} сходится и имеет предел а.
Доказательство. Нам достаточно доказать, что после-
последовательность {уп — а} является бесконечно малой. Обозначим
через Ж* номер, начиная с которого выполняются неравенства,
указанные в условии теоремы. Тогда, начиная с этого же номера,
будут выполняться также неравенства хп — а ^ уп — а ^ zn — a.
Отсюда следует, что при п ^ Ж* элементы последовательности
{Уп — «} удовлетворяют неравенству
Уп - а I ^ max{| xn-a
zn-a |
Так как lim хп = а и lim zn = а, то для любого е > 0
молено указать номера N\ и N2 такие, что при п ^ N\ \xn^a\ <
< е, а при п ^ N2 \zn — а\ < е. Пусть N = max{iV*, N1, N2}.
Начиная с этого номера, имеет место неравенство \уп ^ а\ < е.
Итак, последовательность {уп^а\ — бесконечно малая. Теорема
доказана.

§ 3	МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	73
§ 3. Монотонные последовательности
1. Определение монотонных последовательностей.
Определение. Последовательность {хп} называется неу-
неубывающей (невозрастающей)^ если каждый по-
последующий член этой последовательности не меньше (не боль-
больше) предыдущего^ т. е. если для всех номеров п справедливо
неравенство
Неубывающие и невозрастающие последовательности объедини™
ются общим наименованием монотонные последовательности.
Если элементы монотонной последовательности {хп} для всех
номеров п удовлетворяют неравенству хп < хп+\ (хп > xn+i),
то последовательность {хп} называется возрастающей (убыва-
(убывающей). Возрастающие и убывающие последовательности назы-
называются также строго монотонными.
Монотонные последовательности ограничены либо сверху,
либо снизу. Именно: невозрастающие последовательности огра-
ограничены сверху^ а неубывающие последовательности ограниче-
ограничены снизу своими первыми элементами. Поэтому невозрастаю™
щая последовательность будет ограниченной с двух сторон, если
она ограничена снизу, а неубывающая последовательность будет
ограниченной с двух сторон, если она ограничена сверху.
Рассмотрим примеры монотонных последовательностей.
1.	Последовательность 1, 1, 1/2, 1/2, ... , 1/п, 1/п, ... невоз-
растающая. Она ограничена сверху своим первым элементом,
равным единице, а снизу числом нуль.
2.	Последовательность 1,1,2,2,...,п,п,... неубывающая.
Она ограничена снизу своим первым элементом, равным едини™
це, а сверху не ограничена.
3.	Последовательность 1/2, 2/3, 3/4, ... , п/(п + 1), ... возра-
возрастающая. Она ограничена с обеих сторон: снизу своим первым
элементом 1/2, а сверху, например, числом единица.
2. Признак сходимости монотонной последователь-
последовательности. Имеет место следующая основная теорема.
Теорема 3.15. Если неубывающая (невозрастающая) по-
последовательность {хп} ограничена сверху (снизу), то она схо-
сходится.
Согласно предыдущему пункту последовательность {ж^},
удовлетворяющая условию теоремы 3.15, является ограничен-
ограниченной. Поэтому теорему 3.15 можно кратко сформулировать так:
если монотонная последовательность {хп} ограничена с обеих
сторон^ то она сходится.
Доказательство. Так как последовательность {хп}
ограничена, то множество ее элементов имеет точные верхнюю
и нижнюю грани жиж (см. теорему 2.1). Докажем, что если

74	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
{хп} — неубывающая последовательность, то ее пределом будет
указанная точная верхняя грань ж; если же {хп} — невозраста™
ющая последовательность, то ее пределом будет указанная точ-
точная нижняя грань ж. Мы ограничимся случаем неубывающей
последовательности, поскольку для невозрастающей последова-
тельности рассуждения аналогичны.
Поскольку ж — точная верхняя грань множества элементов
последовательности {жте}, то для любого е > 0 молено указать
элемент хм такой, что ждг > ж — е и ждг ^ ж (любой элемент хп не
больше точной верхней грани ж, хп ^ ж). Сопоставляя указан-
указанные неравенства, получим неравенства 0 ^ ж — ждг < е. Так как
{хп} — неубывающая последовательность, то при п ^ N спра-
справедливы неравенства хм ^ хп ^ ж. Отсюда следует, что при
п ^ N выполняются неравенства 0 ^ж^жте ^ж^ х^. Выше
мы отмечали, что ж — ждг < е, поэтому при п ^ N справедливы
неравенства 0 ^ ж — хп < 6, из которых вытекает неравенство
I %п — х | < е. Таким образом, установлено, что ж — предел по-
последовательности {жте}. Теорема доказана.
Замечание 1. Условие ограниченности монотонной
последовательности представляет собой необходимое и доста-
достаточное условие ее сходимости.
В самом деле, если монотонная последовательность ограни-
ограничена, то в силу теоремы 3.15 она сходится; если же монотонная
последовательность сходится, то в силу теоремы 3.8 она ограни-
ограничена.
Замечание 2. Сходящаяся последовательность может и
не быть монотонной. Например, последовательность {ж^}, для
которой хп = (—1)п/п сходится и имеет пределом число нуль.
Так как знаки элементов этой последовательности чередуются,
то она не является монотонной.
Замечание 3. Если последовательность {хп} неубы-
неубывающая и ограниченная и ж — ее предел, то для всех номеров
п справедливо неравенство хп ^ ж. Элементы невозрастающей
ограниченной последовательности {ж^}, сходящейся к ж, удовле™
творяют неравенству ж ^ хп. Справедливость этого утвержде-
утверждения была установлена в процессе доказательства теоремы 3.15.
Следствие из теоремы 3.15. Пусть дана бесконечная си-
система сегментов [ai,bi], [«2^2^ [аз^з]5 •••? [ttn^nL •••? ^Q^>
дый последующий из которых содержится в предыдущем1) и
пусть разность Ъп — ап (будем называть ее длиной сегмента
[ап,Ьп]) стремится к нулю при п —>> оо (систему сегментов^
обладающую этими свойствами^ будем называть стягиваю-
стягивающейся). Тогда существует^ и притом единственная^ точка с,
принадлежащая всем сегментам этой системы.
г) Это означает, что ап-\ ^ о>п ^ bn

§ 3	МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	75
Доказательство. Прежде всего заметим, что точ™
ка с, принадлежащая всем сегментам, может быть только одна.
В самом деле, если бы нашлась еще одна точка d, принадлежа-
принадлежащая всем сегментам, то весь сегмент1) [с, d] принадлежал бы
всем сегментам [ап, Ьп]. Но тогда для любого номера п выполня-
выполнялись бы неравенства Ъп — ап ^ d — с > О, а это невозможно, ибо
Ьп — ^п —> 0 при п —> оо. Докажем теперь, что существует точ-
точка с, принадлежащая всем сегментам [ап^Ьп]. Так как система
сегментов является стягивающейся, то последовательность ле-
левых концов {ап} является неубывающей, а последовательность
правых концов {Ьп} невозрастающей. Поскольку обе эти после-
последовательности ограничены (все элементы последовательностей
{ап} и {Ьп} находятся на сегменте [ai, bi]), то по теореме 3.15 обе
они сходятся. Из того, что разность Ьп — ап является бесконеч-
бесконечно малой, вытекает, что указанные последовательности имеют
общий предел. Обозначим этот предел через с. Из замечания 3
вытекает, что для любого номера п справедливы неравенства
О"п ^ с ^ ЬП1 т. е. точка с принадлежит всем сегментам [an, bn].
3. Некоторые примеры сходящихся монотонных по-
последовательностей. Рассмотрим примеры последовательно-
последовательностей, для нахождения предела которых будет использована тео-
теорема 3.15 о пределе монотонной последовательности. Кроме
того, в этом пункте мы познакомимся с одним общим приемом
нахождения пределов последовательностей, задаваемых рекур-
рекуррентными формулами2).
Пример 1. Рассмотрим последовательность {жте}, элемент
хп которой равен
хп = уа+уа+уа + ... + у/а, а > 0.
Эту же последовательность можно, очевидно, задать следующей
рекуррентной формулой:
х\ = у/а, хп = V'а + хп-\.
Для того чтобы установить существование предела последова-
последовательности {ж^}, докажем, что эта последовательность возраста-
возрастающая и ограниченная. Первое усматривается непосредственно.
Докажем, что последовательность {хп} ограничена сверху чис-
числом А, где А — наибольшее из двух чисел а и 2. Если хп ^ а, то
требуемое доказано. Если же хп > а, то, заменив в правой ча-
) Ради определенности мы считаем, что d > с.
2) Рекуррентная формула (от латинского слова «reeurrens» — возвраща-
возвращающийся) — формула, позволяющая выразить (п + 1)-й элемент последова-
последовательности через значения ее первых п элементов.

76	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
сти неравенства ж2 = а + хп^\ ^ а + хп число а превосходящим
его числом жп, мы получим ж2 < 2жп, откуда хп < 2. Итак, мы
доказали, что последовательность {хп} ограничена сверху. По
теореме 3.15 она имеет предел. Обозначим этот предел через с.
Очевидно, с > 0. Из рекуррентной формулы имеем соотношение
2	,
ж :=:: a i ж 1
которое означает, что последовательности {ж2} и {а + хп-\} то-
тождественны. Поэтому их пределы равны. Так как первая из этих
последовательностей имеет предел с2, а вторая а + с, то с2 = =
. г\	^ а	1 + VI + 4а
= а + с. Отсюда, поскольку с > и, находим, что с =
Пример 2. Рассмотрим теперь последовательность {ж^},
с помощью которой обычно вычисляют квадратный корень из
положительного числа а на современных быстродействующих
электронных машинах. Эта последовательность определяется
следующей рекуррентной формулой:
xn+i = - [хп + — ) , га = 1, 2,... ,
Z \	Хп /
где в качестве х\ может быть взято любое положительное число.
Докажем, что эта последовательность сходится и имеет сво-
своим пределом число у/а. Прежде всего докажем существование
предела последовательности {ж^}. Для этого достаточно уста™
новить, что последовательность {хп} ограничена снизу к, на-
начиная со второго номера^ является не возрастающей. Снача-
Сначала докажем, что последовательность {ж^} ограничена снизу. По
условию х\ > 0. Но тогда из рекуррентной формулы, взятой
при п = 1, вытекает, что Ж2 > 0, а отсюда и из той же форму-
формулы, взятой при п = 2, вытекает, что жз > 0. Продолжая эти
рассуждения, мы докажем, что все хп > 0.
Докажем теперь, что при п ^ 2 все хп удовлетворяют нера-
неравенству хп ^ у/а. Переписав рекуррентную формулу в виде
хп+\ = ¦*— I —= + ^- j, воспользуемся почти очевидным неравен™
2 V у а, хп у
ством t+- ^ 2 1), справедливым для любого t > 0 ( мы берем t =
t	V
= -^L ]. Получим, что ж^+i ^ у/а при любом п ^ 1, т. е. хп ^ л/а,
л/а/
начиная с номера п = 2.
Докажем, наконец, что последовательность {хп} при п ^
^2 не возрастает. Из рекуррентной формулы получим ^^ =
) Для доказательства этого неравенства достаточно заметить, что при
t > 0 оно эквивалентно неравенству t2 — 2t + 1 ^ 0.

§ 3	МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	77
= - ( 1 + — 1, а отсюда, учитывая, что хп ^ у/а, найдем n+1 ^ 1,
или хп ^ хп^\ (при n ^ 2). Так как последовательность {хп} при
n ^ 2 невозрастающая и ограничена снизу числом у/а, то она
имеет предел, не меньший у/а (см. теорему 3.15 и теорему 3.13).
Обозначая этот предел через с и учитывая, что lim xn+\ = с и
п—ь-оо
lim i 77 ( жп + — f = oc+™ получим с = 77 ( с + - 1 М. Сле-
гс-юо L 2 \	Жп/J 2 \ с/	2 \ с/
довательно, с = у/а.
Замечание 1. В рассмотренных примерах использовал-
использовался следующий часто употребляемый прием разыскания предела
последовательностей. Сначала устанавливается существование
предела, а затем находится его числовое значение из уравнения,
которое получается из рекуррентной формулы путем замены
в ней хп и хп+\ искомым значением с предела последователь™
ности {хп}.
Замечание 2. Рекуррентные формулы часто исполь™
зуются в современной вычислительной математике, поскольку
их применение приводит к многократному повторению одно™
типных вычислительных операций, что особенно удобно при
проведении вычислений на быстродействующих электронно-
вычислительных машинах.
Рассмотренная нами рекуррентная формула определяет, как
мы убедились, алгоритм вычисления у/а (мы доказали, что
lim xn = у/а).
п^оо
В дополнении 2 к настоящей главе изучается вопрос о скоро™
сти сходимости последовательности {хп} к у/а. Мы доказываем,
что для любого а > 1 при определенном выборе первого при-
приближения х\ уже четвертое приближение х^ дает нам число у/а
с ошибкой, не превышающей 10^10.
Пример 3. Докажем, что последовательность {сп}, для
хп+1
которой сп =	, имеет при любом фиксированном х предел,
[п + 1).
' X
равный нулю. Так как при достаточно большом п дробь ' <
< 1, то, начиная с некоторого номера Ж, имеем | cn+i < \oi
поскольку | сп+\
П\	71+ 1	71+ 1
Следовательно, начиная с номера Ж, последовательность
{| сп |} будет монотонно убывающей и ограниченной снизу (на-
(например, нулем). По теореме 3.15 последовательность {| сп\} схо-
сходится. Пусть с — предел этой последовательности. Из соотно-
1) Это равенство вытекает из рекуррентной формулы хп+\ = — (хп-\
2 V хп

78	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
шения
X
cn_|_i| = \cn\ • 	— следует, что с = 0, так как предел
последовательности {| cw+i|} равен с, а предел последовательно-
/ \х\ X
сти < —	> равен нулю.
4. Число е. Применим теорему 3.15 о существовании пре-
предела монотонной последовательности для доказательства суще™
ствования предела последовательности {ж^}, элемент хп кото-
которой определяется формулой
хп =
Докажем, что эта последовательность возрастает и ограни-
ограничена сверху. Применив формулу бинома Ньютона, найдем
хп =
2! п2	3!
Представим это выражение в следующей форме:
Х« = г+2\\1-п +Ъ\К1--
)(
Совершенно аналогичным образом запишем элемент хп+\\
. C.6)
+
" (n + l)!
Непосредственным сравнением убеждаемся, что1)
т. е. последовательность {ж^} возрастающая.
Для доказательства ограниченности этой последовательно™
сти сверху заметим, что каждое выражение в круглых скобках
в соотношении C.6) меньше единицы. Учитывая также, что -^ <
< fc_1 при fc ^ 2, получим
1 ^	^	1
Итак, последовательность {ж^} возрастает и ограничена сверху.
По теореме 3.15 последовательность {хп} имеет предел. Этот
г) Ибо A — — ) < A — л ) для любого 0 < к < п и, кроме того, xn+i
V п/ V п + 1/
содержит по сравнению с жп лишний положительный член.

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	79
предел называют числом е. Следовательно, по определению,
е = lim A + -
п
Замечание. В дальнейшем выяснится, что число е играет
валяную роль в математике. В настоящем пункте мы даем только
определение числа е, но не указываем способа вычисления этого
числа с любой степенью точности. Это будет сделано в пп. 1 и 2
§ 16 гл. 8.
Здесь мы лишь отметим, что поскольку хп < 3 и из C.6)
непосредственно очевидно, что 2 < хП1 то число е заключено в
пределах
2 ^ е ^ 3	C.7)
(в силу следствия 2 из теоремы 3.13).
§ 4. Некоторые свойства произвольных
последовательностей и числовых множеств
1. Подпоследовательности числовых последователь-
последовательностей. Пусть х\, Х2, • • • , хп, ... — некоторая числовая после-
последовательность. Рассмотрим произвольную возрастающую после-
последовательность целых положительных чисел к\, ^2 ? • • • > кп, ...
Выберем из последовательности {хп} элементы с номерами
fci, &2, • • • 5 ^ni • • • и расположим их в таком же порядке, как и
числа кп:
Полученную числовую последовательность будем называть под-
подпоследовательностью последовательности {хп}. В частности,
сама последовательность {хп} может рассматриваться как под-
подпоследовательность (в этом случае кп = п). Отметим следу-
следующее свойство подпоследовательностей сходящейся последова™
тельности: если последовательность {хп} сходится и имеет
своим пределом число а1 то и любая подпоследовательность
этой последовательности сходится и имеет своим пределом
число а. В самом деле, так как {хп} — сходящаяся последо-
последовательность и а — ее предел, то для любого е > 0 молено ука-
указать номер N такой, что при п ^ N выполняется неравен-
неравенство \хп — а\ < е. Пусть {х^п} — некоторая подпоследователь-
подпоследовательность последовательности {хп}. Так как км ^ N, то, начи-
начиная с номера к^^ элементы подпоследовательности {х^п} удо-
удовлетворяют неравенству \хп ^ а\ < е. Поэтому подпоследо-
подпоследовательность {xkn} сходится и имеет пределом число а. Спра-
Справедливо и обратное предложение: если все подпоследователь-
подпоследовательности данной последовательности {хп} сходятся^ то преде-
пределы всех этих подпоследовательностей равны одному и тому

80	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
же числу щ в частности^ к этому же числу сходится и по-
последовательность {хп}. Действительно, так как последователь-
последовательность {хп} также является подпоследовательностью, то она схо-
сходится и имеет пределом некоторое число а. Но тогда и любая
другая подпоследовательность также сходится и имеет тот же
предел а.
Подпоследовательности бесконечно больших последователь-
последовательностей обладают аналогичным свойством. Именно, каждая
подпоследовательность бесконечно большой последовательно-
последовательности также будет бесконечно большой. Доказательство это-
этого утверждения аналогично доказательству соответствующего
предложения о подпоследовательностях сходящихся последова-
последовательностей.
Замечание. Из каждой сходящейся последователь™
ности можно выделить монотонную сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность. В самом деле, если {хп} — сходящаяся последова-
последовательность и а — ее предел, то имеет место по крайней мере один
из следующих трех случаев: 1) имеется бесконечно много рав-
равных а элементов последовательности, 2) в любой е-окрестности
точки а имеется бесконечно много элементов, удовлетворяющих
неравенству хп < а, 3) в любой ^-окрестности точки а имеет-
имеется бесконечно много элементов, удовлетворяющих неравенству
хп < а г). В первом случае сходящейся монотонной подпосле-
подпоследовательностью является подпоследовательность равных а эле-
элементов. Второй и третий случаи рассматриваются одинаково,
поэтому ограничимся рассмотрением второго случая, т. е. бу-
будем считать, что в любой 6-окрестности точки а имеется беско-
бесконечно много элементов хП1 удовлетворяющих неравенству хп <
<	а. Иными словами, рассмотрим случай, когда в любом ин-
интервале (а — е, а) содержится бесконечно много элементов по-
последовательности. Пусть Хкг — один из этих элементов, х^г <
<	а. Из бесконечного множества элементов последовательности
{xn}j находящихся на интервале (ж^15а), выберем какой-нибудь
элемент х^2, номер &2 которого больше к\. Затем из бесконечно-
бесконечного множества элементов последовательности {жте}, находящихся
на интервале (х^2, а) выберем элемент ж^3, для которого к% >
> &2- Продолжая этот процесс неограниченно, мы получим мо-
монотонно возрастающую подпоследовательность {х^п} последо-
последовательности {жте}, которая, в силу указанного в этом пункте
свойства подпоследовательностей сходящейся последовательно-
последовательности, сходится к а.
) Если бы ни один из этих случаев не имел места, то в некото-
некоторой e-окрестыости точки а находилось бы лишь конечное число элемен-
элементов последовательности, т. е. точка а не была бы пределом последова-
последовательности.

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	81
Отметим, что из каждой бесконечно большой последователь™
ности можно выделить монотонную бесконечно большую подпо-
следовательность.
2. Предельные точки последовательности.
Определение 1. Точка х бесконечной прямой называется
предельной точкой последовательности {хп}^ если
в любой е-окрестности этой точки имеется бесконечно много
элементов последовательности {хп}.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 2. Если х — предельная точка последовательности
{хп}^ то из этой последовательности можно выделить подпо-
подпоследовательность {xkn}^ сходящуюся к числу х.
Доказательство. Пусть х — предельная точка последо-
вательности {хп}. Рассмотрим систему ^окрестностей точки ж,
для которых е последовательно равно 1, 1/2, 1/3, ... , 1/п, ...
В первой из этих окрестностей выберем элемент х^г последо-
последовательности {хп}, во второй окрестности выберем элемент х^2
такой, что &2 > k\. В третьей окрестности выберем элемент х^3
такой, что к% > &2- Этот процесс можно продол жать неограни-
неограниченно, так как в любой е-окрестности точки х имеется бесконеч-
бесконечно много элементов последовательности {хп}. В результате мы
получим подпоследовательность х^х, х^2, ... , х^п, ... последо-
последовательности {жте}, которая сходится к ж, так как \х^п — х\ < —.
Лемма доказана.
Замечание. Справедливо и обратное утверждение: ес-
если из последовательности {хп} можно выделить подпоследова-
подпоследовательность, сходящуюся к числу ж, то число х является пред ель™
ной точкой последовательности {хп}. В самом деле, в любой
6-окрестности точки х имеется бесконечно много элементов вы-
выделенной подпоследовательности, а стало быть, и самой после-
последовательности {хп}.
Таким образом, можно дать другое определение предельной
точки последовательности, эквивалентное определению 1.
Определение 2. Точка х называется предельной точкой
последовательности {хп}^ если из этой последовательности
можно выделить подпоследовательность^ сходящуюся к х.
Отметим следующее утверждение.
Лемма 8, Каждая сходящаяся последовательность имеет
только одну предельную точку^ совпадающую с пределом этой
последовательности.
Доказательство. Отметим, во-первых, что предел а
сходящейся последовательности {хп} является предельной точ-
точкой этой последовательности, поскольку в любой е-окрестности
точки а содержатся все элементы последовательности, начиная
с некоторого номера. Убедимся, что у сходящейся последова-

82	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
тельности нет других предельных точек. Действительно, пусть
b — предельная точка сходящейся последовательности. В силу
леммы 2 из {хп} можно выделить подпоследовательность {ж^п},
сходящуюся к Ь, но любая подпоследовательность сходящейся
последовательности имеет предел а (см. п. 1 этого параграфа),
и поэтому b = a.
Приведем пример последовательности, имеющей две пре-
предельные точки. Докажем, что последовательность
1 9 I 9 I 9	1 9
имеет только две предельные точки 0 и 2. Очевидно, что эти
точки являются предельными точками рассматриваемой после-
последовательности, поскольку подпоследовательность 1, 1/2, 1/3, ...
... , 1/п, ... этой последовательности имеет предел нуль, а под-
подпоследовательность 2, 2, ... , 2, ... имеет предел 2 1). Других
предельных точек у этой последовательности нет. В самом деле,
пусть х — любая точка числовой оси, отличная от точек 0 и 2.
Рассмотрим неперекрыва-
О	х	2 	 ющиеся б-окрестности то™
ее	ее ее	чек 0, 2 и ж (рис. 3.1).
В е-окрестностях точек О
рис 3 1	и 2 содержатся, начиная
с некоторого номера, все
элементы последовательности, и поэтому в указанной 6-окрест-
ности точки х находится лишь конечное число ее элементов,
т. е. ж не является предельной точкой.
3. Существование предельной точки у ограничен-
ограниченной последовательности. Справедливо следующее замеча-
замечательное утверждение.
Теорема 3.16. У всякой ограниченной последовательности
существует хотя бы одна предельная точка.
Доказательство. Так как последовательность
{хп} ограничена, то существуют вещественные числа т и М
такие, что все элементы хп последовательности {хп} удовлетво™
ряют неравенствам т ^ хп ^ М. Рассмотрим множество {х}
вещественных чисел х таких^ что правее2) каждого из этих
чисел либо вовсе нет элементов последовательности {xn}j ли-
либо таких элементов лишь конечное число. Множество {х} име™
ет хотя бы один элемент (например, число М) и ограничено сни-
снизу (любым числом, меньшим га). В силу теоремы 2.1 у множе™
1) См. определение 2 предельной точки.
) Мы говорим, что число а лежит правее числа 6, если а > b (см. § 3
гл. 2).

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	83
ства {ж} существует точная нижняя грань, которую мы обозна™
чим через х1).
Докажем, что это число ж и является предельной точкой по™
следовательности {хп}. Пусть е — любое положительное число.
Число х — е заведомо
не принадлежит множе™ х—г	х х х+е
ству {ж}, а поэтому пра- \^ g ^/V g ^^	^
вее числа ж — е леэюит
бесконечно много элемен-	Рис 3 2
шов последовательности
{хп}. По определению точной нижней грани найдется число х1
из множества {ж}, удовлетворяющее неравенствам ж ^ х1 ^ ж +
+ 6 (рис. 3.2). По определению множества {ж} правее х1 леэюит
не более чем конечное число элементов последовательности
{хп}. Стало быть, на полусегменте (ж — е,ж;], а тем более и в
е^окрестности точки ж содержится бесконечно много элементов
последовательности, т. е. ж является предельной точкой после-
последовательности {ж^}. Теорема доказана.
Замечание 1. Обратимся еще раз к множеству {ж},
введенному при доказательстве теоремы 3.16. Мы доказали, что
точная нижняя грань ж этого множества представляет собой
предельную точку после-
последовательности {ж^}. До™	хх	х
кажем, что ни одно чис~ 	°	°	'^ „^^ ? ^	>
ло ж, превосходящее ж,
не является предельной	рис 3 3
точкой последовательно-
последовательности {жте}, т. е. ж является наибольшей предельной точкой этой
последовательности. Пусть ж — любое число, превосходящее ж.
Выберем е > 0 столь малым, чтобы число ж — е также пре™
восходило число ж (рис. 3.3). По определению точной нижней
грани найдется число х1 из множества {ж}, лежащее левее ж —
— е. По определению множества {ж}, правее ж;, а стало быть, и в
б™окрестности точки ж лежит не более чем конечное число эле™
ментов последовательности {хп}. Это и доказывает, что число ж
не является предельной точкой.
Определение, Наибольшая предельная точка ж последо-
последовательности {хп} называется верхним пределом
этой последовательности и обозначается символом ж =
= lim xn.
Замечание 1 позволяет утверждать, что у всякой ограничен-
ограниченной последовательности существует верхний предел.
1) Целесообразность обозначения этой нижней грани символом х будет
выяснена ниже.

84	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Совершенно аналогично вводится понятие нижнего преде-
предела ж последовательности {ж^}, который определяется как наи-
наименьшая предельная точка этой последовательности. Для ниж-
нижнего предела используется обозначение ж = lim хп.
п—>оо
Существование нижнего предела у любой ограниченной по-
последовательности {хп} доказывается в полной аналогии с рас-
рассуждениями теоремы 3.16 и замечания 1 к этой теореме. Только
на этот раз следует рассмотреть множество {х} вещественных
чисел х таких, что левее каждого из этих чисел лежит не более
чем конечное число элементов этой последовательности.
Итак, мы приходим к следующему утверждению.
У всякой ограниченной последовательности существуют
верхний и нижний пределы.
Извлечем еще ряд следствий из рассуждений теоремы 3.16 и
замечания 1.
Следствие 1. Если (а, Ъ) — интервал, вне которого лежит
лишь конечное число элементов ограниченной последователь-
последовательности {жте}, а ж их — нижний и верхний пределы этой после-
последовательности, то интервал (ж, ж) содержится в интервале
(а, Ъ) и поэтому х — ж ^ Ъ ~~ а.
Доказательство. Так как правее точки Ъ находится
не более чем конечное число элементов последовательности , то Ь
принадлежит указанному в доказательстве теоремы 3.16 множе-
множеству {х} и поэтому ж ^ Ь. Рассуждая аналогично, убедимся, что
а ^ ж. Это и означает, что интервал (а, Ъ) содержит интер™
вал (ж,ж).
Следствие 2. Для любого положительного числа е интер-
интервал (ж^б,ж + б) содержит все элементы последовательности
{ж^}, начиная с некоторого номера (зависящего^ конечно^ от е).
Доказательство. Так как ж является точной нижней
гранью множества {жп}, указанного при доказательстве теоре-
теоремы 3.16, то для любого е > 0 найдется число ж;, меньшее ж +
+ е и принадлежащее {ж}. Но это означает, что направо от ж;,
а стало быть, и направо от интервала (ж — е,ж + е) может
лежать лишь конечное число элементов последовательнос-
последовательности {хп}. Аналогично доказывается, что и налево от интервала
(ж — ?, ж + е) может лежать лишь конечное число элементов по-
последовательности {ж^}.
Замечание 2. Выясним вопрос о том, сколько пред ель™
ных точек может иметь ограниченная последовательность {хп}.
Обозначим через жиж соответственно нижний и верхний
пределы этой последовательности. Очевидно, что все предель-
предельные точки последовательности {хп} (сколько бы их ни было)
лежат на сегменте [ ж, ж ].

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	85
Если х_ = х 1), то последовательность имеет только од™
ну предельную точку. Если же х_ < ж, то последовательность
имеет по крайней мере две предельные точки жиж. От-
Отметим, что последовательность может иметь любое и даже
бесконечное число предельных точек. Последовательность 1,
2, 1/2, 2, ... , 1/п, 2, ... , рассмотренная в предыдущем пунк-
пункте, имеет только две предельные точки: нижний предел х_ = О
и верхний предел ~х = 2. Приведем пример последовательно™
сти, имеющей бесконечно много предельных точек. Рассмотрим,
например, последовательность, элементы которой без повто-
повторений пробегают все рациональные числа сегмента [О, I]2).
Очевидно, любая точка этого сегмента будет предельной точкой
указанной последовательности.
4. О выделении сходмщейсм подпоследовательности.
Результаты предыдущего пункта приводят к следующей основ-
ной теореме.
Теорема 3.17 (теорема Бояъщано-Вейерштрасса3)).
Из любой ограниченной последовательности можно выделить
сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Так как последовательность огра™
ничена, то она имеет хотя бы одну предельную точку х. В таком
случае из этой последовательности можно выделить подпосле-
подпоследовательность, сходящуюся к точке х (см. определение 2 пре™
дельной точки).
Замечание 1. Из любой ограниченной последовательно-
последовательности можно выделить монотонную подпоследовательность. В
самом деле, в силу теоремы Больцано^Вейерштрасса из любой
ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся
подпоследовательность, а из этой подпоследовательности, в силу
замечания п. 1 этого параграфа, можно выделить монотонную
подпоследовательность.
) Ниже мы докажем, что равенство х_ = х и условие ограниченности
являются необходимыми и достаточными условиями сходимости последо-
последовательности.
2)	Рациональные числа сегмента [0,1] можно расположить в последова™
тельность без повторений, например, так. Рассмотрим группы рациональ-
рациональных чисел этого сегмента, причем в первую группу отнесем числа 0 и 1, во
вторую — число 1/2, в третью — все несократимые числа p/q со знамена-
знаменателем 3 и вообще в n-ю группу — все несократимые рациональные дроби
из сегмента [0,1] со знаменателем п. Очевидно, каждое рациональное число
попадает в одну группу и в каждой группе будет лишь конечное количество
рациональных чисел. Выпишем теперь подряд элементы первой группы, за
ними элементы второй группы, затем третьей и т. д. В результате мы и
получим нужную нам последовательность.
3)	Бернгард Больцано — чешский философ и математик A781-1848),
Карл Вейерштрасс — немецкий математик A815-1897).

86	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Замечание 2. Пусть {хп} — ограниченная последова-
телъностъ^ элементы которой находятся на сегменте [а, Ь].
Тогда предел с любой сходящейся подпоследовательности \х^п }
также находится на сегменте [а, Ь]. Действительно, так как
а ^ Xkn ^ Ь, то в силу следствия 2 из теоремы 3.13 выполняют-
выполняются неравенства а ^ с ^ Ъ. Это и означает, что с находится на
сегменте [а, Ь].
Отметим, что в отдельных случаях и из неограниченной
последовательности также можно выделить сходящуюся под™
последовательность. Например, последовательность 1, 1/2, 2,
1/3, ... , п, 1/(п + 1), ... неограниченная, однако подпосле-
подпоследовательность 1/2,1/3,... , 1/п,... ее элементов с четными но-
номерами сходится. Но не из каждой неограниченной последова-
последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
Например, любая подпоследовательность неограниченной по-
последовательности 1, 2, ... , п, ... расходится. Поэтому теоре-
теорему Больцано^Вейерштрасса, вообще говоря, нельзя распростра-
распространить на неограниченные последовательности.
Аналогом этой теоремы для неограниченных последователь-
последовательностей является следующее предложение.
Летта 4- Из каждой неограниченной последовательности мотсно
выделить бесконечно большую подпоследовательность.
Доказательство. Пусть {жте} — неограниченная последова-
последовательность. Тогда найдется элемент Хкг этой последовательности, удовле-
удовлетворяющий условию \хкг\ > 1, элемент Хк2 этой последовательности, удо-
удовлетворяющий условиям Хк21 > 2, ^2 > k\j ... , элемент Xkn этой после-
последовательности, удовлетворяющий условиям \хкп\ > п, кп > кп~г и т. д.
Очевидно, подпоследовательность Хкг, ж^2, ... , Хкп, ... является бесконеч-
бесконечно большой.
Из леммы 4 и из теоремы Больцано—Вейерштрасса вытекает следующее
утверждение.
Лежта 5. Из совершенно произвольной последовательности мотсно
выделить либо сходящуюся, либо бесконечно большую подпоследователь-
подпоследовательность.
Замечание 3. Результаты настоящего пункта позволяют несколь-
несколько расширить понятие предельной точки и верхнего и нижнего пределов
последовательности.
Будем говорить, что +оо(--оо) является предельной точкой последо-
последовательности {жп}, если из этой последовательности можно выделить бес-
бесконечно большую подпоследовательность, состоящую из положительных
(отрицательных) элементов.
При таком расширении понятия предельной точки у последовательно-
последовательности, кроме конечных предельных точек, могут существовать еще две пре-
предельные точки +оо и — оо. В таком случае лемма 5 позволяет утверждать,
что у совершенно произвольной последовательности существует хотя бы
одна предельная точка1).
1) Либо конечная, либо бесконечная.

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	87
Естественно считая, что + со и -—со связаны с любым конечным веще-
вещественным числом х соотношением — оо < х < +оо, убедимся в том, что
у совершенно произвольной последовательности существуют верхний и
нижний пределы (т. е. существуют наибольшая и наименьшая предельная
точки).
Ради определенности, установим существование верхнего предела.
В силу замечания 1 к теореме 3.16 достаточно рассмотреть только слу-
случай, когда последовательность {жп} не является ограничен-
ограниченной. Если при этом {жп} не является ограниченной сверху, то из нее можно
выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой
положительны, и поэтому +оо является предельной точкой, а, стало быть,
и верхним пределом {жп}.
Рассмотрим случай, когда неограниченная последовательность {хп} яв-
является ограниченной сверху, т. е. когда существует вещественное число М
такое, что все элементы хп удовлетворяют условию хп ^ М. Поскольку
последовательность {хп} не является ограниченной снизу, из нее можно
выделить бесконечно большую последовательность, все элементы которой
отрицательны, а это означает, что — оо является предельной точкой рассма-
рассматриваемой последовательности.
Если при этом последовательность не имеет ни одной конечной предель-
предельной точки, то ^оо является единственной предельной точкой, а поэтому
является и верхним пределом рассматриваемой последовательности. Дока-
Докажем, что если последовательность, кроме — оо, имеет еще хотя бы одну ко™
нечную предельную точку жо, то и в этом случае у нее существует верхний
предел. Так как все элементы хп удовлетворяют условию хп ^ М, то в силу
теоремы 3.13 и жо удовлетворяет условию жо ^ М. Фиксируем произволь-
произвольное е > 0. Так как в е-окрестности жо лежит бесконечно много элементов
последовательности {хп}, то и на сегменте [жо — е, М] лежит бесконечно
много этих элементов.
Выделим из последовательности {жп} подпоследовательность тех ее эле-
элементов, которые лежат на сегменте [жо — ?, М]. Выделенная подпоследо-
подпоследовательность является ограниченной. Поэтому в силу замечания 1 к тео™
реме 3.16 у нее существует верхний предел, т. е. наибольшая предельная
точка ж. Очевидно, что ж ^ жо и является предельной точкой и всей по-
последовательности {хп}- Очевидно также, что последовательность {хп} не
имеет предельных точек, превосходящих ж, ибо если бы некоторое число
ж, превосходящее ж, являлось предельной точкой последовательности {жп},
то поскольку все элементы последовательности {жп}, превосходящие число
ж о — ?, являются элементами и выделенной нами подпоследовательности,
это число ж являлось бы предельной точкой и выделенной нами подпосле-
подпоследовательности, а эта подпоследовательность не имеет предельных точек,
превосходящих ж.
Итак, число ж является наибольшей предельной точкой рассматривае-
рассматриваемой последовательности.
Существование у совершенно произвольной последовательности верхне-
верхнего предела доказано.
Аналогично доказывается существование нижнего предела.
5. Необходимое и достаточное условие сходимости
последовательности. При выяснении вопроса о сходимости
последовательности {хп} при помощи определения сходимости
нам приходится оценивать разность элементов хп этой последо™

88	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
вательности и ее предполагаемого предела а. Иными словами,
приходится предугадывать, чему равен предел а этой последо-
последовательности.
Естественно указать «внутренний» критерий сходимости по-
последовательности, позволяющий выяснить вопрос о ее сходимо-
сходимости лишь по величине ее элементов. Такой внутренний критерий
и будет установлен в настоящем пункте. Для формулировки это-
этого критерия введем понятие фундаментальной последовательно-
последовательности.
Определение. Последовательность {хп} называется ф у н-
даментальной^ если для любого положительного е
найдется номер N такой, что для всех номеров п, удовлетво-
удовлетворяющих условию п ^ N, и для всех натуральных чисел р (р =
= 1,2,...) справедливо неравенство
Основной задачей настоящего пункта является доказатель™
ство следующего критерия сходимости последовательности (так
называемого критерия Коши1)): для того чтобы последова-
последовательность была сходящейся, необходимо и достаточно^ чтобы
она была фундаментальной.
Прежде чем перейти к доказательству критерия Коши, мы
докажем несколько вспомогательных предложений, имеющих и
самостоятельный интерес.
Теорема 3,18. Для того чтобы последовательность {хп}
была сходящейся^ необходимо и достаточно^ чтобы она была
ограниченной и чтобы ее верхний и нижний пределы ж и ж сов-
совпадали.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть
последовательность {хп} сходится. Тогда она ограничена (в
силу теоремы 3.8) и имеет единственную предельную точку (в
силу леммы 3 п. 2). Таким образом, ж = ж.
2) Достаточность. Следствие 2 из теоремы 3.16
утверждает, что для любого е > 0 интервал (ж — е, х + е) со-
содержит все элементы последовательности {хп}^ начиная с неко-
некоторого номера. Так как х_ = ж = ж, то указанный интервал совпа-
совпадает с б™окрестностью точки ж, т. е. число ж является пределом
последовательности {ж^} (см. замечание 1 п. 1 § 2).
Установим теперь важное свойство фундаментальной по-
последовательности, непосредственно вытекающее из ее опреде-
определения.
Для любого положительного числа е можно указать та-
такой элемент ждг фундаментальной последовательности^ в
е-окрестности которого находятся все элементы последова-
г) Огюстеы Луи Коши — французский математик A789-1857).

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	89
тельности^ начиная с номера N. Иными словами^ вне интер-
интервала (хм — ?, %n + s) находится не более чем конечное число
элементов последовательности1).
В самом деле, из определения фундаментальной последо-
последовательности следует: для любого е > 0 можно указать такой
номер JV, что для всех натуральных р (р = 1,2,3,...) выпол-
выполняется неравенство |ждг+р — хм\ < ?, которое и означает, что в
6-окрестности элемента х^ находятся все элементы последова-
последовательности, начиная с номера N.
Отмеченное свойство позволяет установить ограниченность
фундаментальной последовательности. В самом деле, пусть е —
некоторое фиксированное положительное число и х^ — элемент,
в б-окрестности которого находятся все элементы последова™
тельности, начиная с номера N. Тогда вне этой е-окрестности
могут находиться только элементы х\,х<2,-> • • •, #jv-i- Положим
А = тах{| #i|, | #215 • • • ? I ждг-il, | xn ~~ e|, | xn + s\} 2)- Тогда на
сегменте [—А, +А] находятся числа #i, Ж2, • •• , xn-\, xn — в,
^jv + ^5 a следовательно, и все точки е-окрестности элемента ждг.
Отсюда вытекает, что все элементы фундаментальной последо-
последовательности находятся на сегменте [—А,+А], что и означает ее
ограниченность.
Переходим к доказательству основного утверждения этого
пункта.
Теорема 8.19 (критерий Коши сходимости после-
последовательности). Для того чтобы последовательность {хп}
была сходящейся^ необходимо и достаточно^ чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство. 1) Необходимость. Пусть
последовательность {хп} сходится и х — ее предел. Требуется
доказать, что эта последовательность является фундаменталь-
фундаментальной. Возьмем любое положительное число е. Из определения схо™
дящейся последовательности вытекает, что для положительного
числа е/2 найдется номер N такой, что при п ^ N выполняется
неравенство \хп — х\ < е/2.
Если р — любое натуральное число, то при п ^ N выполня-
выполняется также и неравенство \хп^р — х\ < е/2.
Так как модуль суммы двух величин не больше суммы их
модулей, то из последних двух неравенств получим, что при п ^
)Яи для всех натуральных чисел р
= I уХп^р X) + уХ Хп)\ ^ \Хп^р Х\ ~г
Х
Хп Х\ <С Е.
) Отметим, что указанное свойство эквивалентно определению фунда™
ментальной последовательности.
) Геометрически это означает, что А равно максимальному из расстояний
от начала отсчета 0 до точек xi, Ж2, • • •, xn-i, %n ~~ s, xn + s.

90	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Тем самым фундаментальность последовательности {хп} уста™
новлена.
2) Достаточность . Пусть {хп} — фундаментальная
последовательность. Требуется доказать, что эта последователь™
ность сходится. Согласно теореме 3.18 для этого достаточно
доказать ограниченность последовательности {хп} и равенство
ее верхнего и нижнего пределов жиж. Ограниченность фунда™
ментальной последовательности уже установлена нами выше.
Для доказательства равенства верхнего и нижнего пределов
жиж воспользуемся доказанным выше свойством фундамен-
фундаментальной последовательности: для любого положительного чис-
числа е можно указать элемент ждг такой, что вне интервала (ждг —
— ?, хм + ^) находится не более чем конечное число элементов
последовательности. На основании следствия 1 из теоремы 3.16
интервал (xjy — б,ждг + б) содержит интервал (ж,ж), и поэтому
ж — ж ^ 2б, откуда, в силу произвольности s, ж = ж. Тем са-
самым сходимость последовательности установлена. Теорема пол-
полностью доказана.
Пример. Применим критерий Коши для установления
сходимости следующей последовательности {ж^}:
%п = «1 + «2 + • • • + ttfij
где dk (к = 1,2,3,...) — произвольные вещественные числа,
удовлетворяющие условию \а^\ ^ q , ag — некоторое число из
интервала 0 < q < 1.
Пусть п — любой номер, р — любое натуральное число. Тогда,
очевидно,
\хп+р - хп\ =
nn+i . пп+2 , , п+р _ д -д	< д
q ™hg -\- . . . -\- q —	1 — а	 1 — а'
Учитывая, что последовательность {qn} является бесконечно
малой (см. пример 1 из п. 3 § 1), мы можем утверждать, что
для любого е > 0 найдется номер N такой, что
qn+l <e(l-q) (прип^Ж).
Стало быть, при п ^ N и для любого натурального р
п + 1
К+р-ж^! < ^— < 6,
т. е. последовательность {жте} является фундаментальной и схо-
сходится согласно теореме 3.19.
6. Некоторые свойства произвольных числовых множеств. В
этом пункте мы рассмотрим некоторые свойства произвольных числовых
множеств. Часть из этих свойств аналогична свойствам числовых после-
последовательностей.

§ 4	СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ	91
В п. 5 § 1 гл. 2 мы ввели понятие множества, ограниченного свер-
сверху (снизу). Договоримся теперь называть множество {ж} ограниченным с
обеих сторон или просто ограниченным^ если это множество ограничено и
сверху и снизу, т. е. если найдутся такие два вещественных числа т и Ж, что
каждый элемент х множества {х} удовлетворяет неравенствам п ^ х ^ М.
Множество {ж} будем называть конечным или бесконечным в зависимости
от того, является ли число элементов, входящих в состав этого множества,
конечным или бесконечным.
Точку х бесконечной прямой назовем предельной точкой множест-
множества {ж}, если в любой s-окрестности точки х содержится бесконечно много
элементов этого множества.
Точку ж (точку ж) назовем верхней (нижней) предельной точкой мно-
множества {ж}, если эта точка является предельной точкой множества {ж},
но ни одна точка, большая ж (меньшая ж), не является предельной точкой
этого множества.
Дословно повторяя доказательство теоремы 3.16 с заменой термина «по-
«последовательность {жп}>> на «множество {ж}», мы придем к следующему
утверждению: у всякого ограниченного бесконечного множества существу-
существует хотя бы одна предельная точка.
Дословно повторяя рассуждения замечания 1 к теореме 3.16, мы по-
получим, что всякое ограниченное бесконечное множество имеет верхнюю
и нижнюю предельные точки. Следствием указанных утверждений явля-
является следующий факт: из элементов всякого ограниченного бесконечного
множества можно выделить сходящуюся последовательность.
Наряду с понятием множества часто пользуются понятием подмноже-
подмножества. Множество {ж;} называется подмножеством множества {ж}, если
все элементы множества {ж;} входят в состав множества {ж}. Например,
множество всех четных целых чисел является подмножеством множества
всех целых чисел.
Два множества {ж} и {у} называют эквивалентными, если между эле-
элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответ-
соответствие ). Заметим, что два конечных множества эквивалентны тогда и толь-
только тогда, когда число элементов у этих множеств одинаковое. Приведем
пример двух эквивалентных бесконечных множеств. Легко видеть, что мно-
множество {ж}, элементами которого служат четные положительные числа 2,
4, 6, ... , 2тг, ... , эквивалентно множеству {|/}, элементами которого слу™
жат натуральные числа 1, 2, 3, ... , п, ... В самом деле, мы установим
взаимно однозначное соответствие между элементами этих множеств, по-
поставив в соответствие элементу 2п множества {ж} элемент п множества {у}.
Обратим внимание на то, что рассмотренное нами множество {ж} является
подмножеством множества {у}. Таким образом, бесконечное множество {у}
оказывается эквивалентным своему подмножеству {ж} 2).
1) Взаимно однозначным соответствием между элементами двух мно-
множеств называется такое соответствие, при котором каждому элементу пер-
первого множества отвечает только один элемент второго множества так, что
при этом каждый элемент второго множества отвечает только одному эле-
элементу первого множества.
) Легко показать, что любое бесконечное множество эквивалентно неко-
некоторому своему подмножеству, не совпадающему со всем множеством. Этот
факт может быть принят за определение бесконечного множества.

92	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
Из всевозможных множеств выделим следующие два важных типа:
1°. Всякое множество, эквивалентное множеству всех натуральных
чисел 1, 2, 3, ... , п, ... будем называть счетным. Из определения счетного
множества вытекает, что все элементы этого множества можно зануме-
занумеровать.
2°. Всякое множество^ эквивалентное мнотсеству всех вещественных
чисел интервала (О,1), будем называть множеством мощности конти-
континуума.
Приведем примеры счетных множеств и множеств мощности континуу-
континуума. Первым примером счетного множества может служить рассмотренное
выше множество четных положительных чисел 2, 4, 6, . .. , 2тг, .. . Дру-
Другим примером счетного множества может служить множество всех раци-
рациональных чисел сегмента [0,1], ибо, как доказано в сноске 2) на с. 85, это
множество можно расположить в последовательность без повторений, т. е.
занумеровать. Примером множества мощности континуума может служить
множество всех вещественных чисел (бесконечная прямая). В самом де-
деле, функция у = dgirx 1) устанавливает взаимно однозначное соответствие
между точками интервала 0 < х < 1 и точками бесконечной прямой.
В заключение докажем, что множество мощности континуума не
эквивалентно счетному множеству. Для этого достаточно доказать, что
множество всех вещественных чисел интервала @,1) нельзя занумеровать.
Допустим противное, т. е. предположим, что все вещественные числа ин-
интервала @,1) можно занумеровать. Тогда, записывая эти числа в виде бес-
бесконечных десятичных дробей, мы получим последовательность
х\ = 0,
Х2 = О,
хп = 0, ап\
Рассмотрим теперь вещественное число х = 0, fei, 62 ••• Ьп ..., где
Ь\ — любая цифра, отличная от an, 0 и 9, 62 — любая цифра, отличная от
<222, 0 и 9, и вообще Ьп — любая цифра, отличная от апп, 0 и 9.
Так как число ж не содержит после запятой нулей и девяток, то это
число не принадлежит к классу рациональных чисел, представимых двумя
способами в виде бесконечных десятичных дробей ). Но в таком случае
число х заведомо отлично от всех чисел xi, Ж2,..., хп, • • •, ибо совпадение
числа х с каким-либо хп означало бы совпадение Ьп и апп.
Математиков долгое время занимал вопрос о существовании бесконеч-
бесконечного множества {ж}, не эквивалентного ни счетному множеству, ни множе-
множеству мощности континуума, но эквивалентного части множества мощности
континуума. В 1963 г. американский математик П. Коэн доказал, что ги-
гипотеза о существовании такого множества не зависит от остальных аксиом
теории множеств. Это означает, что возможно построить внутренне не про-
) Читатель имеет представление о функции у = ctg тгж из элементарного
курса. Вопрос о строгом построении тригонометрических функций выясня-
выясняется в гл. 4.
2) См. п. 3 § 1 гл. 2.

ДОПОЛНЕНИЕ 1	93
тиворечивую теорию множеств, постулирующую как факт существования
такого множества, так и факт его отсутствия (см. книгу: П. Дж. Коэн. Те™
ория множеств и континуум-гипотеза. — М.: Мир, 1969).
ДОПОЛНЕНИЕ 1
ТЕОРЕМА ШТОЛЬЦА
т^	Г Хп 1
Во многих случаях для исследования сходимости частного < — > после-
довательностей {хп} и {уп} оказывается полезным следующее предложе-
предложение.
Теорета Штольца. Пусть {уп} — возрастающая бесконечно боль-
шая последовательность, и пусть последовательность \ п	> схо-
(xn\Vn ^Уп~1 J
дится и имеет предел а. Тогда последовательность s—— ? сходится и име-
em предел а. Таким образом,
-,. Хп	,. Х	X
hm —— = liiii
ж—->oo
yn	x^oo yn — Уп-1
Доказательство. Поскольку последовательность < —	— \
1Уп -Уп-1 J
сходится и имеет пределом число а, то последовательность {а™}, где ап =
_ _п	п— _ ^ бесконечно малая. Пусть N — любой фиксированный
Уп -Уп^1_
номер и п > N. Используя выражение для ап, рассмотрим серию равенств:
xn-i — xn^2 = a(yn-i — yn-2) + an-i(yn-i ~~ Уте-2),
xn - xn^i = a(yn - yn-i) + ®n(yn - Уп^г)-
Складывая эти равенства, найдем
хп - xw = ауп - ау^ + aF+1 (yF+1 - yw) + aF+2 (yF+2 - yF+1) + . ..
... + an-i(yn-i — Уп-2) + otn(yn — Уп-i)-
Так как {уп} — возрастающая бесконечно большая последовательность, то,
начиная с некоторого номера, ее элементы положительны. Будем считать,
что при п ^ N уп > 0. Тогда из последнего равенства получим
Уп
+	• • • + ап(Уп - Уп-l)
Уп

94
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГЛ. 3
Поскольку последовательность {уп} возрастающая, то разности yk+i ~~~ 2/fe?
к = iV,JV + l,...,n—1, положительны. Поэтому из последнего соотношения
имеем
хп
Уп
Уп
¦ ...+\ап\(уп- Уп-i)
Уп
C.8)
Докажем теперь, что последовательность \ — > сходится и имеет предел а.
I yn J
Для этого достаточно доказать, что для любого положительного е можно
указать номер N такой, что при п ^ N выполняется неравенство — —
Уп
< е. Во-первых, по данному е > 0 выберем номер N так, чтобы при
. -rz	,	S .
п ^ N выполнялось неравенство \ап < — (это возможно, поскольку по-
последовательность {ап} бесконечно малая). Далее, выберем номер N ^ N
так, чтобы при п ^ N выполнялось неравенство
Уп
< -. Такой
выбор номера N возможен, поскольку число х^ — ау^ фиксировано, а по-
последовательность {уп} бесконечно большая, и поэтому последовательность
' X д7 — «2/д7 1
>
Уп
>
J
бесконечно малая. Пусть теперь п ^ N. Из неравенства C.8)
Хп
Уп
Уп
Уп
е е
2^2
уп
Так как при п^ N уп — у^т ^ уп и уп > 0, то	— ^ 1. Поэтому при п^ N
Уп
из последнего неравенства имеем
Хтг_ _
Уп
Теорема доказана.
Замечание. Если {уп} — возрастающая бесконечно большая по-
последовательность, а последовательность \ п	\ тактсе бесконечно
^Уп -Уп-i J
большая и стремится к бесконечности определенного знака, то последо-
последовательность \ — > бесконечно большая.
В самом деле, пусть
Хп Хп—1
Уп - Уп~1
= Ап.

ДОПОЛНЕНИЕ 1
95
Последовательность {Ап} бесконечно большая. Имеем при п ^ N
xn+i xn — Ам
хп - xn~i = Ап(уп ~~ уп-\
Складывая эти равенства, найдем
Отсюда
хп
Уп
¦... + Ап(уп - уп-i)
Уп
Уп
Из этого соотношения имеем
Уп
Уп
C.9)
Будем для определенности считать, что при п ^ N элементы последова-
последовательностей {уп} и {Ап} положительны. Выберем, далее, по заданному по-
положительному А номер N так, чтобы при п ^ N выполнялось неравенство
Ап > 4А, затем такое N ^ iV, что при п ^ N
Уп
<А
Уп
Возмож:ность выбора такого N обеспечивается тем, что последовательности
{Ап} и {уп} бесконечно большие и их члены, начиная с некоторого номера,
положительны. Очевидно, при п ^ N из неравенства C.9) имеем
(l/lv+i - Vn) + • • • + (Уп ^ Уп-i)
Уп
Хп
Уп
Таким образом, последовательность < —— \ бесконечно большая.
I уп J
Рассмотрим несколько примеров.
1°. Докажем, что если последовательность {ап} сходится и имеет пре™
Г п\ + «2 + • • • + «те 1	т
дел а, то последовательность <	—	> средних арифметиче™
I	п	J
ских значений элементов последовательности {ап} сходится к тому же са™
мому пределу а1). В самом деле, если положить а\ + п2 + ... + ап = жте, а
Xfl	%П—1	пп	Т	^П	%П—1	т.
уп = jij то ¦™™™™™™™™™™™™™™™^ = ап. 1ак как lim ™™™™™™™™™™™™™™™™-" = lim an существует,
Уп ^ Уп~1
то по теореме Штольца
lim
п—>оо
«1 + «2 + • • • -
Уп -Уп-1
— = lim an = а.
1) Это предложение было доказано Коши.

96	ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ	ГЛ. 3
2°. Рассмотрим теперь последовательность ап, где
пк+1
ш к — целое положительное число.
к к	к
Обозначим 1к + 2к + ... + пк через хп, а пк+1 через уп. Тогда последо-
последовательность {ап\ приобретает вид < — >. Исследуем сходимость последова-
тельности <	>. Имеем
^Уп -Уп-i J
хп — хп~\	пк	пк
Уп _ Уп_х
Поделив числитель и знаменатель последнего выражения на пк, получим
т,— 1
-L
Уп-Уп-i А: ч-1 Ч- —[.. -]'
п
где в знаменателе в квадратных скобках опущено выражение, предел кото™
Г ( )]
Г (к + 1)к] 1Л	„
рого при п —)> оо равен	 . Из последней формулы находим
Жтг Хп— 1	J-
1II1
n^oo yn -yn-!	k-
Следовательно, по теореме Штольца имеем
lim
те —>oo
1к
3°. Рассмотрим, наконец, последовательность < — >, а > 1. Полагая
ап = хп и тг = |/те и исследуя последовательность < —^	— \, находим
^УП -Уп-1 -1
lim 	 = lim (a — а ) = lim all	= +оо.
те->оо г/те — уп—\	те->оо	п->сю \	а/
Поэтому, в силу замечания к теореме Штольца, имеем
,. ап
lim — = +оо.
п—»оо 11
ДОПОЛНЕНИЕ 2
О СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ,
ПРИБЛИЖАЮЩЕМ у/а
В п. 3 § 3 этой главы мы доказали, что предел последовательности {хп},
определяемой рекуррентной формулой
\ + — \ п = 1,2,...,	C.10)
Хп /

ДОПОЛНЕНИЕ 2	97
где а > 0, а х\ — любое положительное число, равен у/а. В качестве прибли-
приближенного значения у/а мы можем взять любой элемент жп+1 этой последова-
последовательности. При этом, естественно, нужно выяснить вопрос о выборе числа
п итераций ), обеспечивающих приближение у/а с заданной погрешностью.
Обратимся к последовательности {жп}, определяемой реккурентной
формулой C.10). Будем называть элемент хп этой последовательности п-м
приближением числа 7 = у/а. Величину
?п =
()
назовем относительной погрешностью п-го приближения.
Справедливо следующее утверждение об оценке относительной погреш-
погрешности en+i через относительную погрешность е\ первого приближения.
Пусть х\ выбрано так, что \е\\ < 1/2. Тогда при любом п ^ 1 имеют
место неравенства
0^еп+1 ^еГ.	C.12)
Доказательство. Из формулы C.11) имеем
хп =7A + ета).	C.13)
Обращаясь к формулам C.10), C.13) и к равенству — = 7? получим
7
1 /	а \ 1 г /Л ч	а	i
Xn+i = ~{ + ) 1 + 0 +
2
7A +en)-1 L 2A + en)
Так как жте+1 = 7A + en+i), то, очевидно,
а \ 1 г /Л ч	а ] г
— ) = -71 + ^0 + ———d =7i
xn/ 2L	7A +en)-1 L	( n)
C-14)
По условию \ег\ < 1/2. Отсюда следуют неравенства 0 <	< 1. Но
2A + ei)
тогда из C.14) при п = 1 вытекает неравенство 82 ^ 0. Используя далее
соотношение C.14) при п = 2, 3, ... , убедимся в неотрицательности en+i
для любого п^1.	1
Из равенства C.14), из соотношений 0 < —;	г- < 1 и из неотрица™
2A + е\)
тельности еп для любого п > 1 вытекает неравенство en+i ^ ?те Для любого
п ^ 1. Отсюда сразу же получаем правое из неравенств C.12). Утверждение
доказано.
Обращаясь к неравенствам C.12), мы видим, что относительная погреш™
ность еп-\-1 вычисления у/а после п итераций оценивается через относитель-
относительную погрешность е\ первого приближения х\ и число п итераций. Ниже мы
убедимся, что при а > 1 2) первое приближение х\ можно выбрать так, что
?\ по абсолютной величине не будет превышать 0, 05. Очевидно, что при
таком выборе х\ относительная погрешность е\ будет удовлетворять усло-
условиям доказанного нами утверждения. Ясно также, что тем самым будет
1)	Итерация (от латинского слова «iteratio» — повторение) — ре-
результат повторного применения какой-либо математической операции. В
рассматриваемом случае одной итерацией является вычисление жп+1 по хп
с помощью рекуррентной формулы C.10).
2)	Если а < 1, то а = 1/6, где b > 1, и у/а равен 1/у/Ь.
4 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть I

98
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ГЛ. 3
решен вопрос о выборе числа п итераций, обеспечивающих приближение к
у/а с заданной относительной погрешностью е: это число п мотсет быть
найдено из формулы )
(О, 05J" <е.	C.15)
Итак, пусть а > 1. Представим число а в следующей форме:
а = 2
2k+i
м,
C.16)
где к — целое неотрицательное число, число г равно либо нулю, либо еди-
единице, а число М удовлетворяет условиям
1 ^ М < 2.	C.17)
Отметим, что представление числа а в форме C.16) единственно.
Выберем xi следующим образом:
g)	C.18)
Убедимся, что для любого М, удовлетворяющего условиям C.17), пер™
вое приближение xi, вычисляемое по формуле C.18), дает относительную
ошибку 8i при вычислении 7 :=: \/^? превышающую по абсолютной величине
числа 0, 05.
Для доказательства обратимся к точному выражению относительной
ошибки ?\ = 	. Так как, согласно C.16), 7 = 2 у2гМ, то из выражения
7
для ?i и формулы C.18) получим
?1 =
/2iM
C.19)
Поскольку число г равно либо нулю, либо единице, а М ^ 1, то у2гМ ^ 1.
Отсюда и из C.19) вытекает неравенство
17
C.20)
Обозначим y/2iM через X. Поскольку 1 ^ М < 2 и i равно либо нулю,
либо единице, то все допустимые значения X наверняка находятся на сег-
сегменте [1, 2]:
1^Х^2.	C.21)
Используя введенное обозначение X для у2гМ1 перепишем неравен-
неравенство C.20) в следующей форме:
C.22)
В силу C.22) максимальное значение |ei| не превышает максимально-
1 „9 „ 17
го значения
Л
24
для значений X, удовлетворяющих условиям
) Справедливость этой формулы непосредственно вытекает из соотно-
соотношений C.12).

ДОПОЛНЕНИЕ 2
99
C.21). Для выяснения вопроса об этом максималвном значении обратимся
1	17
к графику функции f(X) = —X2 -1Н—-. Из курса элементарной мате-
математики известно, что графиком этой функции является парабола, вершине
о	1
которой отвечает точка X = - (рис. 3.4) г). Так как /A) = /B) = —,
2	24.
а /( тг)= ^ 777? т0 ясно, что для значений
X, удовлетворяющих условиям C.21), зна-
значения f(X) заключены между	 и —.
24 24
Иными словами
1 2	17 1
I/W|- зА	+ 24 ^24'
Из последнего неравенства и неравенства
C.22) вытекает интересующее нас неравен-
неравенство для Ei
111 ^ 24 ^ '	Рис. 3.4
Замечание. Отметим, что если заданная относительная погрешность
е равна 10™10, то для вычисления с такой точностью квадратного корня из
любого числа а > 1 после выбора xi по формуле C.18) потребуется всего
лишь три итерации (п = 3), поскольку @, 05J < 10™10.
1) На рис. 3.4 масштаб по оси О у в 20 раз больше масштаба по оси Ох.

ГЛАВА 4
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. ПРЕДЕЛЬНОЕ ЗНАЧЕНИЕ
ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Эту главу мы начнем с уточнения важнейшего понятия мате™
матического анализа — понятия функции. Опираясь на понятие
предела числовой последовательности, мы введем новую форму
операции предельного перехода, основанную на понятии предель-
предельного значения (или предела) функции. В этой главе вводится
также важное математическое понятие непрерывности функции.
Значительное место в главе отводится выяснению свойства
непрерывности и других свойств простейших элементарных
функций.
Вопрос о приближенном вычислении значений элементарных
функций рассматривается в Дополнении к гл. 8.
§ 1. Понмтме функции
1. Переменная величина и функция. В гл. 1 мы уже
отметили, что со всяким реальным физическим процессом свя-
связаны по меньшей мере две переменные величины, изменение ко™
торых взаимообусловлено.
Рассматривая реальные физические переменные величины,
мы приходим к выводу, что эти величины не всегда могут при-
принимать произвольные значения. Так, температура тела не мо-
может быть меньше ^273° С, скорость материальной точки не мо-
может быть больше 3 • 1010 см/с (т. е. скорости света в пустоте),
смещение у материальной точки, совершающей гармонические
колебания по закону у = Asm(u)t + <5), может изменяться лишь
в пределах сегмента [—А, +А].
В математике отвлекаются от конкретных физических
свойств наблюдаемых в природе переменных величин и рас-
рассматривают абстрактную переменную величину 1), характеризу™
г) Уместно отметить, что понятие величины относится к числу начальных
математических понятий (см. сноску 2) на с. 20).

ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ
101
емую только численными значениями, которые она может при™
нимать.
Множество {ж} всех значений, которые может принимать
данная переменная величина, называется областью изменения
этой переменной величины. Переменная величина считается за-
заданной, если задана область ее изменения. В дальнейшем мы,как
Рис. 4.1
Рис. 4.2
У
4!
правило, будем обозначать переменные величины строчными
латинскими буквами ж, у, и, ... , а области изменения этих пе-
переменных символами {ж}, {у}, {^}, ...
Пусть задана переменная величина ж, имею-
имеющая областью изменения некоторое множество {ж}.
Если каждому значению переменной ж из
множества {ж} ставится в соответствие по
известному закону некоторое число у, то гово-
рят, что на множестве {ж} задана функция у =
= у(х) или у = /(ж).
При этом переменная ж называется аргу-
аргументом, а множество {ж} — областью
задания функции у = /(ж).
Число у, которое соответствует данному зна-
значению аргумента ж, называется частным
значением функции в точке ж. Совокуп-
Совокупность всех частных значений функции образует
вполне определенное множество {у}, называемое
множеством всех значений
функции.
В обозначении у = /(ж) буква / называет-
называется характеристикой функции. Для обозначения
аргумента, функции и ее характеристики могут
употребляться различные буквы.
Приведем примеры функций:
1°. у = ж2. Эта функция задана на бесконечной прямой
^оо < ж < +оо. Множество всех значений этой функции — по™
лупрямая 0 ^ у < +оо (рис. 4.1).
Рис. 4.3

102
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. 4
о
г
2°. у = л/l — х2. Функция задана на сегменте — 1 ^ х ^ +1.
Множество всех значений функции — сегмент 0 ^ у ^ 1 (рис. 4.2).
3°. у = п\. Эта функция задана на множестве натуральных
чисел п = 1,2,... Множество всех значений этой функции —
множество натуральных чисел вида п! (рис. 4.3).
4°. Функция Дирихле1)
{О, если х — иррациональное число,
л
1, если ж — рациональное число.
Эта функция задана на бесконечной прямой ^оо < х < +оо,
а множество всех ее значений состоит из двух точек 0 и 1.
5°
Ут	*	f +1, если ж > О,
I/ = sgnx = < 0, если х = О,
[ —1, если ж < 0.
(Термин sgn происходит от латин-
латинского слова signum — знак.) Эта
функция задана на всей бесконеч-
бесконечной прямой ^оо < х < +оо, а мно-
множество всех ее значений состоит из
трех точек: —1, 0 и +1 (рис. 4.4).
6°. у = [ж], где [ж] обозначает целую часть вещественного
числа ж. Читается: «у равно антье ж» (от французского слова
entier — целый). Эта функция задана для всех вещественных
значений ж, а множество всех ее значений состоит из целых чи-
чисел (рис. 4.5).
2. О способах задания функции. В этом пункте мы оста-
остановимся на некоторых способах задания функции.
Часто закон, устанавли-
устанавливающий связь между аргу-
аргументом и функцией, задает-
задается с помощью формул. Та-
Такой способ задания функ-
функции называется аналитиче-
аналитическим. Следует подчеркнуть,
что функция может опреде-
определяться разными формулами
на разных участках области
своего задания.
Например, функция
Рис. 4.4
^4
1
1
1
1
1
1
1
L
-3 -2
I I
I I
I i
I L
1 |
—С1
У>
4
3
2
1
-1


Рис

-г-[
1 2
-1
-2
-3
-4
;. 4.5
	1—<i
^гк! !
^i: :
III I
1 1 I I
1 6 1 1 >
3x4 5х
sin ж
х
при
при
ж ^ 0,
ж > 0
) Петер Густав Дежен™Дирихле — немецкий математик A805—1859).

§ 2 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 103
задана аналитическим способом на всей бесконечной прямой
(рис. 4.6).
Довольно распространенным способом задания функции яв-
является табличный способ, заключающийся в задании таблицы
отдельных значений аргумента и соответствующих им значений
функции. При этом моле-
молено приближенно вычислить
не содержащиеся в табли-
таблице значения функции, со™	y=sin x
ответствующие промежуточ-
промежуточным значениям аргумента.
Для используется способ ин-
интерполяции, заключающий-
заключающийся в замене функции между
ее табличными значениями	ис*
какой-либо простой функцией (например, линейной или ква-
квадратичной). Примером табличного задания функции может
служить расписание движения поезда. Расписание определяет
местоположение поезда в отдельные моменты времени. Интер-
Интерполяция позволяет приближенно определить местоположение
поезда в любой промежуточный момент времени.
В практике физических измерений используется и еще один
способ задания функции — графический, при котором соответ-
соответствие между аргументом и функцией задается посредством гра-
графика (снимаемого, например, на осциллографе).
§ 2. Понятие предельного значения функции
1. Определение предельного значения функции. Рас-
Рассмотрим функцию у = /(ж), определенную на некотором мно-
множестве {ж}, и точку а, быть может, и не принадлежащую мно-
множеству {ж}, но обладающую тем свойством, что в любой е-
окрестности точки а имеются точки множества {ж}, отличные
от а. Например, точка а может быть граничной точкой интер-
интервала, на котором определена функция.
Определение 1. Число Ъ называется предельным
значением функции у = /(ж) в точке х = а (или
пределом функции при ж —>> а), если для любой сходя-
сходящейся к а последовательности жх, Ж2,... , жп,... значений аргу-
аргумента ж, элементы хп которой отличны от а г) (хп ф а), соот-
соответствующая последовательность /(жх), /(#2), • • • ? f(xn)j • • •
значений функции сходится к Ь.
) Это требование объясняется, в частности, тем, что функция /(ж) может
быть не определена в точке а.

104	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
Для обозначения предельного значения функции использу-
ется следующая символика: lim f(x) = b.
Отметим, что функция у = f(x) моэюет иметь в точке а
только одно предельное значение. Это вытекает из того, что по-
последовательность {f(xn)} может иметь только один предел.
Рассмотрим несколько примеров.
1°. Функция f(x) = с имеет предельное значение в каждой
точке бесконечной прямой. В самом деле, если жх5 #25 • • • ,хП1...
есть любая сходящаяся к а последовательность значений аргу-
мента, то соответствующая последовательность значений функ-
функции имеет вид с^с^... , с,... и поэтому сходится к с. Таким об-
образом, предельное значение этой функции в любой точке х = а
равно с.
2°. Предельное значение функции f(x) = х в любой точке а
бесконечной прямой равно а. Действительно, в этом случае по-
последовательности значений аргумента и функции тождествен-
тождественны, и поэтому, если последовательность {хп} сходится к а, то и
последовательность {f(xn)} также сходится к а.
3°. Функция Дирихле, значения которой в рациональных
точках равны единице, а в иррациональных — нулю, не имеет
предельного значения ни в одной точке а бесконечной прямой.
Действительно, для сходящейся к а последовательности рацио-
рациональных значений аргумента предел соответствующей последо-
последовательности значений функции равен единице, а для сходящей-
сходящейся к а последовательности иррациональных значений аргумента
предел соответствующей последовательности значений функции
равен нулю.
В дальнейшем мы будем использовать понятия односторон-
односторонних предельных значений функции.
Будем считать, что множество {ж}, на котором задана функ-
функция /(ж), для любого е > 0 имеет хотя бы один элемент , лежа-
лежащий на интервале (а, а + е) (соответственно на интервале (а —
-е,а)).
Определение 2. Число Ъ называется правым (левым)
предельным значением функции f(x) в точке х = а,
если для любой сходящейся к а последовательности х\, Х2, ...
... ; xnj ... значений аргумента ж, элементы хп которой боль-
больше (меньше) а, соответствующая последовательность /(жх),
/(#2), • • • 1 f(xn)i • • • значений функции сходится к Ь.
Для правого предельного значения функции используется
обозначение
lim f(x) = b или f(a + 0) = b.
^+0
Для левого предельного значения употребляется обозначение
lim f(x) = b или /(а — 0) = Ь.
^а0

§ 2 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 105
В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = sgnx1).
Эта функция имеет в нуле правое и левое предельные значе™
ния, причем sgn@ + 0) = 1, a sgn@ — 0) = — 1. В самом деле,
если {хп} — любая сходящаяся к нулю последовательность зна-
значений аргумента этой функции, элементы хп которой больше
нуля (хп > 0), то sgnx^ = 1 и поэтому lim sgnx^ = 1. Таким
образом, справедливость равенства sgn@ + 0) = 1 установлена.
Аналогично доказывается, что sgn@ — 0) = — 1.
Замечание. Если в точке а правое и левое предельные
значения функции f(x) равны^ то в точке а существует пре-
предельное значение этой функции^ равное указанным односторон-
односторонним предельным значениям. Этот наглядный факт мы снабдим
доказательством.
Пусть {хп} — любая сходящаяся к а последовательность зна-
значений аргумента функции /(ж), элементы которой не равны а.
Пусть {xkm} — подпоследовательность этой последовательно-
последовательности, состоящая из всех больших а элементов последовательно-
последовательности {xn}j a {xim} — подпоследовательность, состоящая из всех
меньших а элементов последовательности {хп} 2). Так как в си™
лу п. 1 § 4 гл. 3 подпоследовательности {х^т} и {xim} сходятся
к а, то из существования правого и левого предельных значе-
значений функции f(x) в точке а вытекает, что последовательности
{f(xkm)} и {f(xlm)} имеют пределы, которые по условию рав-
равны. Пусть Ъ — предел этих последовательностей. Для любого
е > 0 можно указать номер N такой, что все элементы после™
довательностей {f(xkm)} и {/(ж|т)}, для которых кт ^ N и
1т ^ Ж, удовлетворяют неравенствам \f(xkm) — b\ < е и \f(xim) —
— Ь\ < е. Следовательно, при п ^ N выполняется неравенство
\f(xn) — b\ < е, т. е. последовательность {f(xn)} сходится к Ь.
Тем самым доказано, что предельное значение функции f(x) в
точке а существует и равно Ь.
Сформулируем определения предельного значения функции
при стремлении аргумента х к бесконечности и к бесконечности
определенного знака.
Будем считать, что множество {ж}, на котором задана функ-
функция /(ж), для любого А > 0 имеет хотя бы один элемент, лежа™
щий вне сегмента [—А, +А\.
Определение 5. Число Ь называется предельным
значением функции f(x) при х —> оо (или
1) Определение функции у = щпх дано в п. 1 § 1.
2) Мы
исключаем из рассмотрения случаи, когда у последовательности
{жп} лишь конечное число элементов лежит правее (левее) точки а. В этом
случае сходимость {f(xn)} очевидна.

106	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
пределом функции при х —>• сю), если для любой
бесконечно большой последовательности значений аргумента
соответствующая последовательность значений функции схо-
сходится к Ь.
Для обозначения предельного значения функции при х —> оо
используется следующая символика:
lim fix) = b.
Наконец, будем считать, что множество {ж}, на котором за-
задана функция /(ж), для любого А > 0 имеет хотя бы один эле-
элемент ж, удовлетворяющий условию х > А (х < —А).
Определение 4- Число Ъ называется предельным значением
функции f(x) при стремлении аргумента х к положительной
(отрицательной) бесконечности^ если для любой бесконечно
большой последовательности значений аргумента^ элементы
которой^ начиная с некоторого номера, положительны (отри-
(отрицательны) , соответствующая последовательность значений
функции сходится к Ъ.
Символические обозначения:
lim f(x) = b ( lim f(x) =
В качестве примера рассмотрим функцию f(x) = 1/х. Эта функ-
функция имеет равное нулю предельное значение при х —> оо. Дей-
Действительно, если х\1Х21... ,жП5... — бесконечно большая по-
последовательность значений аргумента, то последовательность
l/#i, l/#2, • • • 1 ^/хпч • • • бесконечно малая и поэтому имеет пре-
предел, равный нулю.
2. Арифметические операции над функциями, имею-
имеющими предельное значение. Убедимся, что арифметические
операции над функциями, имеющими предельное значение в
точке а, приводят к функциям, также имеющим предельное
значение в этой точке. Справедлива следующая основная
теорема.
Теорема ^Л. Пусть заданные на одном и том эюе множе-
множестве функции f(x) и g(x) имеют в точке а предельные значе-
значения Ь и с. Тогда функции f(x) + g(x), f(x) — g{x), f(x) • g(x) и
^у^т имеют в точке а предельные значения (частное при уело-
вии с ф 0), равные соответственно Ь + с, Ь^с, Ь • с и -.
Доказательство. Пусть жх, #2, • • • 5 хт • • • (%п Ф а) ~
произвольная сходящаяся к а последовательность значений ар-
аргумента функций f(x) и g(x). Соответствующие последователь-
последовательности /(жх),/(ж2),... ,/(жп),... и g(xi),g(x2),... ,g(xn),...
значений этих функций имеют пределы бис. Но тогда, в силу
теорем 3.9-3.12, последовательности {f(xn) + g(xn)}1 {f(xn) —

ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ	107
Г fix ) 1
- g(xn)}, {f(xn) • g(xn)} и < ^УЦ \ имеют пределы, соответ™
[ ё\хп) j
ственно равные 6 + с, 6~с, Ь-си -. В силу произвольности по™
с
следовательности {хп\ это означает, что \im\f (х) + g (х)] = 6 + с,
Нт[/(Ж) - g(a:)] = Ь - с, lim[f(x) ¦ g(x)} = b ¦ с, Нт Щ = Ч.
х^а	х^а	х^а g{x)	с
Теорема доказана.
Применим доказанную теорему для отыскания предельных
значений многочленов и несократимых алгебраических дро-
дробей1). Имеет место следующее утверждение.
В каждой точке а бесконечной прямой предельные значения
многочленов и несократимых алгебраических дробей существу-
существуют и равны частным значениям этих функций в указанной
точке (в случае алгебраической дроби а не должно быть кор-
корнем знаменателя).
Действительно, в силу теоремы 4.1
Нт х2 = Нт х • х = Нт х • Нт х = а2.
Аналогично можно убедиться, что
limxn = ап.
п
Следовательно, для многочлена Ь®хп + Ь\хп + ... + Ьп-\х + b
получим (используя теорему 4.1 для произведения и суммы)
\im(boxn + Ь\хп^1 + • • • + Ьп-\х + Ьп) =
= 0012 + Ь\п	-\- * * * + On — i€L H™ Ь^г-
В случае несократимой алгебраической дроби, когда а не явля-
является корнем знаменателя, получим (применяя теорему 4.1 для
частного)
т box71 + Ь\хп~~ + ... + bn—ix + Ьп	Ьоап + bian~~ + ...+ &n-ia + &ri
l+ ... + ст^га + ст
3. Сравнение бесконечно малых и бесконечно боль-
больших функцмй. Функция у = f(x) называется бесконечно ма-
малой в точке х = а (при х —> а), если lim f(x) = 0. Легко убе-
х^а
диться, например, что функция f(x) = (х — a)w, где т — целое
положительное число, является бесконечно малой в точке х =
= а. В самом деле, в предыдущем пункте мы установили, что
) Несократимая алгебраическая дробь — частное двух многочленов, не
имеющих отличных от постоянной общих множителей.

108	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
предельное значение многочлена f(x) = (ж — а)т в любой точ™
ке бесконечной прямой существует и равно частному значению
многочлена в этой точке. Поэтому Mm (ж — а)т = 0.
х^а
Отметим, что если функция у = f(x) имеет равное Ь предель-
нов значение в точке а, то функция а(х) = f(x) — b является
бесконечно малой в точке а. Действительно, предельные значе™
ния каждой из функций f(x) и Ъ в точке а равны Ь, и поэтому в
силу теоремы 4.1
lim а(х) = lim (/(ж) — Ъ) = lim f(x) — Mm 6 = 0.
х?а	ж>а	жа	хьа
Используя полученный результат, мы получаем специальное
представление для функции, имеющей равное Ъ предельное зна-
значение в точке х = а:
f(x) =Ь + а(х), где lim а(х) = 0.	D.1)
х^а
Представление D.1) оказывается весьма удобным при дока-
доказательстве различных предложений и будет неоднократно ис-
использовано нами ниже.
Наряду с понятием бесконечно малой функции часто ис-
используется понятие функции, бесконечно большой в точке а
справа или бесконечно большой в точке а слева. Именно, функ-
функция f(x) называется бесконечно большой в точке а справа (сле-
(слева) , если для любой сходящейся к а последовательности жх,
Ж2, ••• , хп ... значений аргумента ж, элементы хп которой
больше а (меньше а), соответствующая последовательность
/(жх), f(x2)-> • • • , 1(хп)ч • • • значений функции является беско-
бесконечно большой последовательностью определенного знака.
Для бесконечно больших функций используются следующие
обозначения:
lim f(x) = +00 или f(a + 0) = +00,
ж^а+0
lim f(x) = +00 или f(a — 0) = +00,
Mm f(x) = ^00 или f(a + 0) = ^00,
lim f(x) = ^00 или f(a — 0) = ^00.
^а0
Познакомимся с методикой сравнения бесконечно малых
функций и употребляемой терминологией.
Пусть а(х) и j3(x) — две заданные на одном и том же множе™
стве функции, являющиеся бесконечно малыми в точке х = а.
1. Функция а(х) называется бесконечно малой более высокого
порядка^ чем C(х) (имеет более высокий порядок малости), если
предельное значение функции а(х)//3(х) в точке а равно нулю.

§ 2 ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ 109
2.	Функции а(х) и C(х) называются бесконечно малыми одно-
одного порядка (имеют одинаковый порядок малости), если пред ель™
ное значение функции а(х)//3(х) в точке а существует и отлично
от нуля.
3.	Функции а(х) и /3(х) называются эквивалентными беско-
бесконечно малыми, если предельное значение функции а(х)//3(х) в
точке а равно единице.
Часто бесконечно малые функции сравнивают с какими-либо
стандартными бесконечно малыми функциями. Обычно в каче-
стве функции сравнения берут функцию (ж^а)ш, где т — целое
положительное число. В этом случае употребляется следующая
терминология: бесконечно малая в точке а функция а(х) имеет
порядок малости га, если предельное значение функции
(х — а)т
в точке а отлично от нуля.
При сравнении бесконечно малых функций часто употребля-
ют символ о (о малое). Именно, если функция а = а(х) пред-
представляет собой бесконечно малую в точке а функцию более вы™
сокого порядка, чем бесконечно малая в этой же точке функция
/3 = /3(ж), то это условно записывают так:
а = оф)
(читается: а равно о малое от /3). Таким образом, символ оф)
означает любую бесконечно малую функцию, имеющую в точ-
точке а более высокий порядок малости, чем бесконечно малая в
этой точке функция /3 = /3(х).
Отметим следующие очевидные свойства символа о: если j =
= оф), то оф) ± оG) = о(/3), оф) ± оф) = оф).
Заметим также, что если а и /5 — бесконечно малые в точке а
функции, то функция а/3 имеет более высокий порядок малости,
чем каждый из сомножителей, и поэтому
Для бесконечно больших в точке а справа (или слева) функ-
функций используется аналогичная методика сравнения.
Пусть А(х) и В(х) — бесконечно большие в точке а справа
функции, и пусть, например, обе эти бесконечно большие функ-
функции положительного знака, т. е.
lim A(x) = +оо и lim B(x) = +оо.
^а+0	ж^а+0
Мы будем говорить, что функция А(х) имеет в точке а справа
более высокий порядок роста, чем функция В(х), если функция
А(х)
) { является бесконечно большой в точке а справа. Если же
В^	А(х)
правое предельное значение функции	в точке а конечно и

110	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
отлично от нуля, то в этом случае мы будем говорить, что А(х)
и В(х) имеют в точке а справа одинаковый порядок роста.
Рассмотрим несколько примеров.
1°. Функции а(х) = Зж2 + ж3 и /3(ж) = 2ж2 являются беско-
бесконечно малыми функциями одного порядка в точке х = 0. Дей™
/ А а(х)	3 . 1 гр	1-1	а
ствительно, при х Ф и ^; { = - + -х. ±ак как lim -ж = и, то в
Р(х) 2 2	х^о 2
а(х) 3
силу теоремы 4.1 lim —^ = -. А это означает, что а(х) и /3(ж) —
бесконечно малые одного порядка.
2°. Функции а{х) = ж2 — 6ж3 и /3(ж) = ж2 — эквивалентные
бесконечно малые в точке ж = 0. В самом деле, „, ( = 1 — 6ж.
Р(х)
Так как lim 6ж = 0, то в силу теоремы 4.1 lim ^~т = 1- Это и
ж^О	ж^О Р(х)
означает эквивалентность бесконечно малых а(х) и /3(ж).
1 + X	1
3°. Функции А(ж) = 	 и В(х) = — имеют одинаковый
порядок роста в точке ж = 0 справа и слева. Это следует из
А(х)
того, что lim —-Нг — lim(l + ж) = 1.
х^О В(х) х^0Х J
§ 3. Понятие непрерывности функции
1. Определение непрерывности функции. Пусть точ-
точка а принадлежит области задания функции /(ж) и любая
^окрестность точки а содержит отличные от а точки области
задания этой функции.
Определение 1. Функция /(ж) называется непрерыв-
непрерывной в точке а, если предельное значение этой функции в
точке а существует и равно частному значению f(a).
Таким образом, условие непрерывности функции /(ж) в точке
а символически можно выразить следующим образом:
lim f(x) = f (а).
х—^а
Так как а = lim ж, то предыдущему равенству можно при™
дать следующую форму:
lim /(ж) = / ( lim ж
Следовательно, для непрерывной функции символ «lim» пре-
предельного перехода и символ «/» характеристики функции мож-
можно менять местами.
Используя определение 1 предельного значения функции
/(ж) в точке а (см. п. 1 § 2 настоящей главы), мы можем следую-
следующим образом перефразировать определение 1 непрерывности
функции в точке а.

§ 3	ПОНЯТИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ ФУНКЦИИ	111
Определение 1*. Функция f(x) называется н е п р е р ы в~
н о й в точке а, если для любой сходящейся к а последователь-
ности #1, #2, • • • 1 хП1 ... значений аргумента х соответствую-
соответствующая последовательность f(xi),f(x2),... ,/(жп),... значений
этой функции сходится к числу /(а).
Заметим, что, по сравнению с определением 1 из п. 1 § 2
предельного значения f(x) в точке а, мы в определении 1* опу-
стили требование, обязывающее все элементы последовательно-
последовательности Ж]_, #2, • • • ^ жп? • • • быть отличными от а. Это можно сделать
в силу того, что добавление к элементам последовательности
{f(xn)}i сходящейся к /(а), любого числа новых элементов, рав-
равных /(а), не нарушит сходимости получающейся при этом по-
последовательности к f(a).
Предположим, что множество {ж}, на котором задана функ-
ция /(ж), содержит точку а и для любого е > 0 имеется хотя бы
один элемент этого множества, лежащий на интервале (а, а + е)
(на интервале (а — в, а)).
Определение 2. Функция f(x) называется н е п р е р ы в-
н о й справа (слева) в точке а, если правое (левое)
предельное значение этой функции в точке а существует и
равно частному значению /(а).
Символические обозначения непрерывности справа (слева):
lim f(x) = f(a) или f(a + O) = f(a)
( lim f(x) = f(a) или f(a - 0) = f(a)).
Замечание. Если функция f(x) непрерывна в точке а
и слева и справа, то она непрерывна в этой точке. В самом
деле, в силу замечания п. 1 § 2 этой главы в этом случае суще-
существует предельное значение функции в точке а, равное частному
значению этой функции в точке а.
Рассмотрим примеры.
1°. Степенная функция f(x) = xn с целочисленным положи-
положительным показателем п непрерывна в каждой точке бесконечной
прямой. Действительно, в п. 2 § 2 мы доказали, что предельное
значение этой функции в любой точке бесконечной прямой рав-
равно частному значению ап.
2°. Так как многочлены и несократимые алгебраические дро-
дроби имеют в каждой точке области задания предельное значение,
равное частному значению (см. п. 2 § 2), то они являются непре™
рывными функциями.
Точки, в которых функция не обладает свойством непре-
непрерывности, называются точками разрыва функции1). Например,
1) В § 8 мы дадим классификацию точек разрыва.

112	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
функция f(x) = sgnrz; имеет разрыв в точке х = 0 (в п. 1 § 2 мы
доказали, что правое и левое предельные значения этой функ™
ции в точке х = 0 существуют, но не равны друг другу, и поэто-
поэтому не существует предельное значение функции в этой точке).
Функция Дирихле разрывна в каждой точке бесконечной пря-
прямой, поскольку она не имеет предельного значения ни в одной
точке этой прямой (см. п. 1 § 2).
Мы будем говорить, что функция f(x) непрерывна на мно-
множестве {ж}, если она непрерывна в каждой точке этого множе-
множества. Если функция непрерывна в каждой точке интервала, то
говорят, что она непрерывна на интервале. Если функция непре-
непрерывна в каждой внутренней точке сегмента [а,Ь] и, кроме того,
непрерывна справа в точке а и слева в точке Ь, то говорят, что
она непрерывна на сегменте [а, Ь].
2.	Арифметические операции над непрерывными
функциями. Убедимся, что арифметические операции над не-
непрерывными функциями приводят к непрерывным функциям.
Докажем следующую основную теорему.
Теорема J^.2. Пусть заданные на одном и том же множе-
множестве функции f(x) и g(x) непрерывны в точке а. Тогда функции
f{x)+g(x), f(x)—g(x), f(x)-g(x) и ij-~ непрерывны в точке а
(частное при условии g(a) ф 0).
Доказательство. Так как непрерывные в точке а
функции f(x) и g(x) имеют в этой точке предельные значения
/(а) и g(ft), то в силу теоремы 4.1 предельные значения функций
fix)
f(x) +g{x), f(x) -g{x), f(x) • g(x) и ^± существуют и равны
соответственно /(a)+g(a), f(a) — g(a), /(a)-g(a), А^т- Но эти
величины как раз и равны частным значениям перечисленных
функций в точке а. Теорема доказана.
3.	Сложная функцим и ее непрерывность. Функции,
образованные в результате суперпозиции (т.е. последовательно-
последовательного применения) двух или нескольких функций, будем называть
сложными.
Достаточно определить сложную функцию, образованную в
результате суперпозиции двух функций.
Пусть функция х = (p(i) задана на некотором множестве {?},
и пусть {х} — множество значений этой функции.
Предположим далее, что на указанном множестве {х} опре-
определена другая функция у = f(x). Тогда говорят, что на множе™
стве {?} задана сложная функция
у = /(ж), где x =
или
у = f[<p(t)] = F(t).

§ 4	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ	113
Справедлива следующая основная теорема.
Теорема J^.3. Если функция х = (p(t) непрерывна в точке а,
а функция у = f(x) непрерывна в соответствующей точке Ь =
= (р(а), то сложная функция у = f[(f(t)] = F(t) непрерывна в
точке а.
Доказательство. Пусть {in} — произвольная последо-
последовательность значений аргумента сложной функции, сходящаяся
к а. Так как функция х = ip(t) непрерывна в точке а, то (в
силу определения 1* из п. 1) соответствующая последователь-
последовательность значений этой функции хп = (f(tn) сходится к частному
значению этой функции в точке а, т. е. к числу Ъ = ф{о). Далее,
поскольку функция у = f(x) непрерывна в точке Ъ = (р(а) и для
нее указанная последовательность {жте}, сходящаяся к Ъ = (f(a)j
является последовательностью значений аргумента, то (в силу
того же определения 1* из п. 1) соответствующая последова-
последовательность значений функции f(xn) = f[(p{tn)] = F(tn) сходится
к числу /(&) = f[<p(a)] = F(a).
Итак, мы получаем, что для любой последовательности {tn}
значений аргумента сложной функции, сходящейся к а, соответ-
соответствующая последовательность значений самой сложной функ-
функции {f[(p(tn)]} = {F(tn)} сходится к числу f[(p(a)] = F(a),
являющемуся частным значением сложной функции в точ-
точке а. В силу того же определения 1* из п. 1 это означает,
что сложная функция f[<p(t)] = F(t) непрерывна в точке а.
Теорема доказана.
§ 4. Некоторые свойства монотонных функции
1. Определение и примеры монотонных функций.
Определение. Функция у = f(x) называется неубыва-
неубывающей (невозрастающей) на множестве
{ж}, если для любых х\ и х^ из это-
этого множества^ удовлетворяющих усло-
условию х\ < Х2, справедливо неравенство
Неубывающие и невозрастающие
функции объединяются общим наимено™
ванием монотонные функции.	—
Если для любых х\ и Х2 из множества
{ж}, удовлетворяющих условию х\ < Х2,
справедливо неравенство f(x\) < /(#2)
(f(x\) > /(#2)), т0 функция у = f(x) на-
называется возрастающей (убывающей) на
множестве {х}. Возрастающие и убыва-
убывающие функции называются также стро-	р .„
го монотонными.

114	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
Приведем примеры монотонных функций.
1.	Функция f(x) = х + sgnx возрастает на всей числовой
прямой (рис. 4.7).
2.	Функция f(x) = sgna; является неубывающей на всей чи-
числовой прямой (см. рис. 4.4).
2. Понятие обратной функции. Монотонные функ-
функции, имеющие обратную. В этом пункте формулируется по-
понятие обратной функции и устанавливаются условия существо-
существования обратной функции для монотонной функции.
Пусть функция у = f(x) задана на сегменте [а, Ь], и пусть
множеством значений этой функции является сегмент [а,/3].
Пусть^ далее^ каждому у из сегмента [а, /3] соответствует
только одно значение х из сегмента [а, Ь], для которого f(x) =
= у. Тогда на сегменте [а,/?] можно определить функцию х =
= f~1(y)J ставя в соответствие каждому у из [а,/3] шо зна™
чение х из [а, Ь], для которого f(x) = у. Функция х = f^l[y)
называется обратной для функции у = f(x).
В указанном определении вместо сегментов [а,Ь] и [а,/3]
можно было бы рассматривать интервалы (а, Ь) ti (а, /3). Можно
также допускать, что один или оба интервала (а, Ь) и (а, /3) пре-
превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую.
Отметим, что если х = /~г(у) — обратная функция для у =
= /(ж), то, очевидно, функция у = f(x) является обратной для
функции х = /^г(у). Поэтому функции у = f(x) и х = f^l{y)
называют также взаимно обратными.
Взаимно обратные функции обладают следующими очевид-
очевидными свойствами:
Рассмотрим примеры взаимно обратных функций.
1°. Пусть на сегменте [0,1] задана функция f(x) = Зх. Мно-
Множеством значений этой функции будет сегмент [0,3]. Функция
f^1(y) — ^Уч определенная на сегменте [0,3], является обратной
о
для заданной функции f(x) = Зх.
2°. Рассмотрим на сегменте [0,1] функцию, определенную
следующим образом:
_ г/ \ _ jxi	если х — рациональное число,
^ ' [1 — ж, если х — иррациональное число.
Функция х = f^1(yI заданная на сегменте [0,1] и определен™
ная равенствами
_/.-]/ \ _ /у?	если у — рациональное число,
1 1 — у, если у — иррациональное число,

§ 4	НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА МОНОТОННЫХ ФУНКЦИИ	115
будет обратной к данной. В этом нетрудно убедиться непосред™
ственной проверкой.
Замечание 1. Пусть на сегменте [а,Ь] задана строго
монотонная функция у = /(ж), и пусть множеством значений
этой функции является сегмент [а,/3]. Тогда, в силу строгой мо-
монотонности функции у = /(ж), каждому у из [а, /3] соответствует
только одно значение ж из [а, Ь], для которого /(ж) = у, и поэто-
поэтому на сегменте [«,/3] существует функция ж = f^1(y)J обратная
для функции у = /(ж). Более того, если функция у = /(ж) яв-
является возрастающей на сегменте [а, Ь], то функция ж = f^1(y)
также является возрастающей на сегменте [о, /3], если же у =
= /(ж) — функция, убывающая на [а, Ь], то ж = f^1(y) являет-
является убывающей на сегменте [/3, а]. Убедимся, например, что если
у = /(ж) - возрастающая функция, то и ж = /^1(у) — также воз-
возрастающая функция. Действительно, если у\ < |/2? то и жх < Ж2
(#1 — f~1(yi) и Ж2 = f^1(lf2))j ибо из неравенства х\ ^ Ж2 и из
возрастания функции у = /(ж) следовало бы, что у\ ^ ?/2? а эт°
противоречит неравенству у\ < г/2.
Лемма 1. Для того чтобы строго монотонная на сегменте
[а^Ь] функция у = /(ж) являлась непрерывной на этом сегмен-
те, необходимо и достаточно^ чтобы любое число 7, заключен-
заключенное между числами а = f(a) и /3 = /(Ь), было значением этой
функции. Иными словами, для того чтобы строго монотонная
функция у = /(ж) была непрерывна на сегменте [а, Ь], необхо™
димо и достаточно, чтобы множеством значений этой функции
был сегмент [а, /3] (или [/3, а] при /3 < а), где а = /(а) и /3 = /(Ь).
Доказательство. 1) Необходимость.
Ради определенности рассмотрим возрастающую непрерывную
на сегменте [а, 6] функцию у = f(x) (для убывающей функции
доказательство аналогично). Покажем, что если а < 7 < А т0
существует внутренняя точка с сегмента [а, Ь], в которой /(с) =
= 7 (в силу возрастания функции /(ж) на сегменте [а, Ь] такая
точка с будет единственной). Обозначим через {ж} множество
точек сегмента [а, Ь], для которых /(ж) ^ j (этому множеству
принадлежит, например, точка а, ибо f(a) = а < j). Множе-
Множество {ж} ограничено сверху и поэтому имеет точную верхнюю
грань с. Докажем, что /(с) = 7- Отметим, что любое число
из сегмента [а, Ь], меньшее с, принадлежит множеству {ж}1),
а любое число, превосходящее с, не принадлежит этому множе™
ству2). Покажем, что с — внутренняя точка сегмента [а, Ь]. В
) Ибо по определению точной верхней грани для любого ж, меньшего с,
найдется х1 такое, что х < х1 и f(x') ^ j. Но тогда из возрастания /(ж)
следует что и /(ж) ^ 7? т- е- х принадлежит {ж}.
2) В силу определения точной верхней грани.

116	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
самом деле, пусть, например, с = Ь. Рассмотрим сходящуюся
к Ь возрастающую последовательность {хп} значений аргумен-
аргумента функции у = f(x). Так как f(x) непрерывна в точке Ъ слева,
то lim f(xn) = /3. С другой стороны, f(xn) ^ 7 "Л и поэтому
п—>-оо
в силу теоремы 3.13 lim (хп) ^ j. Таким образом, /3^7? чт0
п—>-оо
противоречит условию j < /3. Полученное противоречие дока™
зывает, что с < Ъ. Аналогично молено убедиться, что а < с. Так
как с - внутренняя точка сегмента [а, Ь], то найдутся {xfn} и {ж^}
— сходящиеся к с возрастающая и убывающая последовательно™
сти значений аргумента х. Поскольку f(x) непрерывна в точке
с, то lim (х'п) = lim /«) = /(с). Но /«) < 7, а /«) >
> 72)- Поэтому lim f(xfn) ^ 7? lim (хп) ^ 7? откуда следует,
что /(с) = 7-
2) Достаточность. Проведем доказательство для
возрастающей на сегменте [а, Ь] функции у = f(x) (для убываю-
убывающей функции рассуждения аналогичны). Пусть с — любая точка
сегмента [а, Ь] и j = /(с)
— значение функции у =
= f(x) в этой точке. Убедим™
ся, что число 7 является пра-
правым и левым предельным
значением функции f(x) в
точке с (если с — граничная
точка сегмента [а,Ь], то 7
является соответствующим
односторонним предельным	п\ a d хп с	Ь х
значением в этой граничной
точке). Пусть а < с ^ Ь:	п , о
; J	\ 5	Рис> 4.8
докажем, что 7 является ле-
левым предельным значением функции в точке с. Пусть е — столь
малое положительное число, что а < j — е (рис. 4.8). Посколь-
Поскольку по условию леммы число j — е является значением функции
/(ж), то на сегменте [а,Ь] можно указать точку d такую, что
f(d) = j — e. Так как функция f(x) возрастает, то d < с. Рассмо-
Рассмотрим теперь любую сходящуюся к с последовательность {хп}
значений аргумента ж, элементы которой меньше с. Начиная с
некоторого номера Ж, все элементы хп этой последовательности
удовлетворяют неравенствам d < хп < с (один такой элемент
изображен на рис. 4.8), так что в силу возрастания f(x) при
п ^ N справедливы неравенства f(d) < f(xn) < /(с). Так как
1)	Так как все хп меньше с и, стало быть, принадлежат {ж}.
2)	В силу того, что х'п < с < х'п для любого п.

§ 5	ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	117
f(d) = 7 ~~ е и /(с) = 7? т0 из последних неравенств вытекает,
что при п ^ N	,
0<7-/Ы<е,
т. е. последовательность {f(xn)} сходится к 7? a поскольку
{хп} — произвольная сходящаяся к с слева последовательность
значений аргумента, то тем самым доказано, что левое предель-
предельное значение в точке с существует и равно j = /(с) 1). Если
а ^ с < Ь, то, рассуждая аналогично, молено доказать, что
7 = /(с) является правым предельным значением функции в
точке с. Мы доказали, что правое и левое предельные значения
функции у = f(x) в любой внутренней точке с равны частному
ее значению /(с), а это, в силу замечания в п. 1 § 2, означа-
означает непрерывность f(x) во внутренних точках сегмента. Непре™
рывность этой функции в граничных точках сегмента следует
из того, что соответствующие односторонние предельные значе-
значения f(x) в граничных точках сегмента равны частным значени-
значениям функции. Лемма полностью доказана.
Следствие. Пусть на сегменте [а,Ь] задана строго моно-
монотонная непрерывная функция у = /(ж), и пусть а = /(а), /3 =
= f(b). Тогда эта функция имеет на сегменте [а,/3] (или [/3, а],
если $ < а) строго монотонную и непрерывную обратную функ-
функцию х = /~г(у).
Доказательство. В силу только что доказанной лем-
леммы множеством значений функции у = f(x) является сегмент
[а,/5], а тогда, согласно замечанию 1 этого пункта, на сегмен-
сегменте [а, /3] существует обратная строго монотонная функция х =
= f^l(y)j множеством значений которой является сегмент [а,Ь]
и которая поэтому, в силу той же самой леммы, непрерывна на
сегменте [а, /3].
Замечание 2. Отметим, что монотонные функции
имеют правое и левое предельные значения в каждой внутрен-
внутренней точке области задания. Доказательство этого предложения
предоставляем читателю.
§ 5. Простейшие элементарные функции
Простейшими элементарными функциями обычно называют
следующие функции: у = ж°, у = аж, у = logftx, у = sin-ж, у =
= cos ж, у = tgx, у = ctgx, у = arcsin^, у = arccosx, у = arctgx,
у = arcctgx.
Из элементарного курса читатель имеет представление об
этих функциях и об их графиках. Некоторые из этих функций,
) Мы рассмотрели случай столь малого е > 0, что а < j — e. Если а, ^ j —
— е, то достаточно положить d = а и повторить проведенные рассуждения,
используя очевидное неравенство 7 — ? ^ f(A).

118	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
например у = аж, без труда определяются для рациональных
значений аргумента х. Мы выясним вопрос об определении про-
простейших элементарных функций для всевозможных веществен-
вещественных значений их аргументов. Этот вопрос не является простым:
неясно, например, как возвести произвольное вещественное чис-
число ж в произвольную вещественную степень а.
Мы изучим также вопрос о непрерывности простейших эле-
элементарных функций во всех точках области их задания. Нами
будет обосновано то поведение простейших элементарных функ-
функций, которое наглядно вырисовывается из рассмотрения их
графиков.
В дополнении к гл. 8 приводятся алгоритмы вычисления зна-
значений простейших элементарных функций.
1. Рациональные степени положительных чисел. Воз™
ведение любого вещественного числа х в целую положительную
степень п определяется как п™кратное умножение числа х са-
самого на себя. Следовательно, при целом п мы можем считать
определенной степенную функцию у = хп для всех веществен-
вещественных значений х. Некоторые свойства этой функции будут нами
использованы для определения рациональных степеней положи-
положительных чисел.
Докажем следующую лемму.
Лемма 2. Степенная функция у = хп при х ^ 0 и целом
положительном п возрастает и непрерывна.
Доказательство. Докажем возрастание этой функции.
Пусть 0 ^ xi < Х2- Так как х% — х^ = (х2 — х\)х х(х^г +
Непрерывность этой функции была нами установлена ранее (см.
пример 1 п. 1 § 3).
Следствие. Рассмотрим степенную функцию у = хп на сег-
сегменте [0,7V], где N — любое положительное число. Так как эта
функция непрерывна и возрастает на указанном сегменте, то
она имеет в силу следствия из леммы 1 этой главы на сегмен-
сегменте [0, Nn] возрастающую и непрерывную обратную функцию,
которую мы обозначим через yl'n.
Поскольку N молено выбрать как угодно большим, то и Nn
также будет сколь угодно большим. Следовательно, функция
х = у1'11 определена для всех неотрицательных значений у. Ме-
Меняя для этой функции обозначение аргумента у на ж, а обозначе™
ние функции х на у, мы получим степенную функцию у = xl'n',
определенную для всех неотрицательных значений х.
Определим а1^п как число 6, равное значению функции у =
= xl'n в точке а. Мы можем теперь определить любую рацио-

§ 5	ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	119
нальную степень г положительного числа а. Именно, если г =
= т/п^ где тшп- целые положительные числа, то мы положим
ar = am/n = (al/n)me
Договоримся, кроме того, что
а0 = 1, а~г = A/а)г.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих свойств ра™
циональной степени положительных чисел:
(ar)s = аг'\ аг • br = (а • bf', аг • as = ar+s.	(*)
Докажем сначала справедливость первого свойства (*). Заметим, что
при целом положительном р равенство {ат'п)р = ат'р'п, в котором под т
и п понимаются любые целые положительные числа, заведомо справедливо,
ибо как левая, так и правая части этого равенства равны произведению
числа а1/71 самого на себя т • р раз.
mi т,2	, r,s r.s
Полагая г = 	, s = 	, докажем равенство (а ) = а в ситуации
('mi \ —*-
CL П1 ) П2 j C2 =
= a n\-ni . Если бы с\ было отлично от сг, то из возрастания степенной
функции у = хП2 следовало бы, что и с^2 ф с^2, а последнее соотношение,
в силу уже доказанной справедливости равенства {ат'п)р = ат"р'п при це-
целом р, означало бы, что ^ат1'П1)т'2 ф ami"m2/rii> Полученное соотношение
противоречит уж:е доказанному нами для целых положительных mi, n\ и
Ш2 равенству [amilni)rn'1 = ami'm2/riie Тем самым, с\ = С2 и первое равен-
равенство (*) доказано для любых положительных рациональных г и s.
Распространение этого равенства на неположительные г и s не предста-
представляет труда в силу нашей договоренности о том, что
/1 \ г
а0 = 1, a"r = ( - ) при г > 0.
\°/
Второе равенство (*) также достаточно доказать для положитель-
положительного рационального г. Полагая это г равным m/n, где т ш п — целые по-
положительные числа, заметим, что нам достаточно доказать равенство a1'n •
•	Ьг'п = (а • ЬI , ибо перемножением m таких равенств будет доказано
общее соотношение аг • br = (а • b)r.
Для доказательства равенства а 'п -Ь 'п = (а -Ь) 'п заметим, что в силу
свойств взаимно обратных функций у = х'пшх = уп можно утверждать,
что (Ь1/п)п = Ъ, (а1/п)п = a, ((a • ЬI/п)п = а • Ь. Поэтому, положив а =
= а1/71 • b1/71, C2 = (а • ЬI^п и предполагая, что с\ ф сг, мы получили бы, что
с? / С2 5 чт0 противоречит равенству а • b = ab.
Докажем теперь последнее свойство (*), учитывая, что первые два уже
доказаны. Пусть г = mi/ni, s = П12/П2, тогда г = т\П2/'{П1П2), s = m2 •
•	fii/(ji2 " Tii), и мы приходим к следующему равенству:
= I aniTO2
Последнее равенство справедливо, так как mi • П2 и ni2 • п\ — целые числа.

120	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
Таким образом,
(mi П2+'нг2'П'1)	mi m<2,
аг • а8 = a nin% = а^7 + ^Г = ar+s,
что и требовалось.
Докажем, что при а > 1 и рациональном г > 0 справедлив
во неравенство аг > 1. В самом деле, пусть г = т/п и аг =
= ат/?г ^ 1. Перемножая почленно п указанных неравенств,
получим ат ^ 1. Последнее неравенство противоречит неравен™
ству ат > 1, полученному почленным перемножением т нера-
неравенств вида а > 1. Отметим, наконец, что если рациональная
дробь г = т/п имеет нечетный знаменатель п, то определение
рациональной степени можно распространить и на отрицатель-
отрицательные числа, полагая
(^а)г = аг, если т — четное,
{^а)г = ^аг, если т — нечетное.
2. Показательная функцим. Из рассуждений предыдуще-
предыдущего пункта вытекает, что если а — положительное число, то функ-
функция у = ах определена для всех рациональных х.
Легко убедиться в том, что функция у = аж, а > 1, опреде-
определенная на множестве {ж} всех рациональных чисел, монотонно
возрастает на этом множестве.
В самом деле, пусть х\ и Х2 — любые два рациональных чис-
числа, удовлетворяющие условию Х2 > х\. Тогда
Так как Х2 — х\ > 0 и а > 1, то aX2^Xl > 1, т. е. правая часть
последнего равенства положительна, и поэтому aX2>aXl. Возрас-
Возрастание функции ах на множестве рациональных чисел доказано.
Переходим к определению функции ах на множестве всех
вещественных чисел.
Фиксируем произвольное вещественное число х и рассмо™
трим всевозможные рациональные числа а и /5, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенствам
а < х < J3.	D.2)
Определим ах при а > 1 как вещественное число у, удовле-
удовлетворяющее неравенствам
аа^у^ а^	D.3)
Ниже мы докажем, что такое число у существует, и притом
только одно. Мы докажем также, что определенная нами функ-
функция у = ах обладает следующими важными свойствами: 1) воз-
возрастает на всей бесконечной прямой, 2) непрерывна в любой
точке х этой прямой.

§ 5	ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	121
1°. Прежде всего докажем, что для любого фиксированного х и любых
рациональных чисел а и /3, удовлетворяющих неравенствам D.2), суще-
существует вещественное число у, удовлетворяющее неравенствам D.3).
Фиксируем произвольное рациональное число /3, удовлетворяющее пра-
правому неравенству D.2), и рассмотрим всевозможные рациональные числа а,
удовлетворяющие левому неравенству D.2).
Так как а < /3 и показательная функция, определенная на множестве ра-
циональных чисел, возрастает, то аа < а^3. Таким образом, множество {аа}
ограничено сверху и число а^ является одной из верхних граней этого мно-
множества. Стало быть, это множество имеет точную верхнюю грань, которую
мы обозначим через у. Остается доказать, что у удовлетворяет неравен-
неравенствам D.3). Из определения точной верхней грани вытекает справедливость
левого неравенства D.3), а справедливость правого неравенства D.3) выте-
в
кает из того, что аИ — одна из верхних граней, at/ — точная верхняя грань
множества {аа}.
2°. Установим теперь, что существует только одно вещественное
число у, удовлетворяющее неравенствам D.3).
Достаточно доказать, что для любого е > 0 найдутся такие рациональ-
рациональные числа а и /3, удовлетворяющие неравенствам D.2), для которых от —
— аа < е. В самом деле, тогда любые два числа у\ иг/2, удовлетворяющие
неравенствам D.3), обязаны совпадать, ибо разность между ними по моду-
модулю меньше любого наперед взятого положительного числа е.
Фиксируем произвольное е > 0 и некоторое рациональное /Зо, удовле-
удовлетворяющее правому неравенству D.2). Тогда, так как аа < от0, получим
а^аа = аа(а0-а - 1) < apQ{a^a - 1).
Неравенство а^' —аа < е будет доказано, если мы установим возможность
выбора таких а и /3, что а^"а - 1 < ^^>
Из гл. 2 вытекает, что для любого натурального п можно выбрать
рациональные числа а и /3, удовлетворяющие неравенствам D.2), так что
разность /3 — а будет меньше 1/п. Таким образом, достаточно доказать су-
существование такого натурального п, для которого
Убедимся в возможности выбора такого натурального п. Пусть
а1/п = 1+бп.
Так как а 'п > 1, то 5п положительно. Используя формулу бинома Нью-
A / \п
а 'п ) = A + ёп)п = 1 + пёп-{- (положительные
члены) > 1 + пёп. Отсюда а — 1 > пёп и 0 < ёп < 	. Стало быть,
п
д1/" _ 1 = §п <	. Неравенство D.4) будет справедливо, если мы вы-
п
а-1	е	(а- 1)а/3°
берем п удовлетворяющим требованию ------------ < —т™ или п >	.
п	а?®	е
Доказательство однозначной определенности числа у, удовлетворяющего
неравенствам D.3), завершено.
Заметим, что если х — рациональное число и ах — значение в точке х
показательной функции, первоначально определенной лишь на множестве

122	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
рациональных чисел, то ах и является тем единственным вещественным
числом у, которое удовлетворяет неравенствам D.3).
3°. Докажем теперь, что построенная нами функция ах (при а > 1)
возрастает на всей бесконечной прямой.
Пусть х\ иж2 — любые вещественные числа, удовлетворяющие неравен-
неравенству х\ < Х'2. Очевидно, найдутся рациональные числа а и /3, удовлетворяю-
удовлетворяющие неравенствам х\ < а < C < ж2 (см. утверждение, доказанное в конце
п. 1 § 2 гл. 2). Из определения показательной функции и из возрастания ее
на множестве рациональных чисел вытекают неравенства aXl ^ аа < <т ^
^ аЖ2, т. е. aXl < аХ2. Возрастание функции ах доказано.
4°. Остается доказать непрерывность построенной нами функции ах в
любой точке х бесконечной прямой.
Пусть {жп} — любая сходящаяся к х последовательность вещественных
чисел. Достаточно доказать, что для любого е > 0 найдется номер N такой,
что при п^ N справедливо неравенство \аХп — ах\ < е.
Фиксируем произвольное О 0 и выберем рациональные числа а и /5,
удовлетворяющие неравенствам D.2), так, чтобы было справедливо нера-
неравенство w — аа < е (возможность выбора таких а и /3 доказана в 2°). Так
как последовательность {жп} сходится кжиа<ж</3, то найдется но-
номер N такой, что при п ^ N справедливы неравенства а < хп < /3. Из
неравенств а<х</3ша<хп<Cшшз свойства монотонности показа-
показательной функции вытекает, что аа < аХп < а^3 и аа < ах < аР (при п ^ N).
Так как разность между числами от и аа меньше е и оба числа ах и аХп
заключены между аа и а^, то \аХп — ах\ < е (при п ^ N). Доказательство
непрерывности завершено.
Замечание 1. Если 0 < а < 1, то а = 1/Ь, где Ъ > 1.
Поэтому функцию у = а при 0 < а < 1 можно определить как
функцию у = Ь^ж, Ъ > 1.
Установим некоторые свойства показательной функции у =
= аж, а > 1.
1.	Все значения показательной функции положительны. Дей-
Действительно, пусть х — произвольная точка числовой прямой,
а х1 — рациональная точка, такая, что х1 < х. Так как, по опре-
определению, ах > 0 и ах < аж, то ах > 0.
2.	lira ax = 0, lim ax = +оо.
Х^~ (X)	Ж^ + ОО
В самом деле, так как a > 1, то a = 1 + а, где а > 0 и ап =
= A + а)п > 1 + па. Следовательно, lim an = +оо. В силу
монотонности функции lim ax = +оо. Так как а~п = 1/ап, то
ж—>+оо
lim a~n = 0, и поэтому lim ax = 0.
п—>оо	ж^^оо
3.	Из свойств 1 и 2, а также из монотонности и непрерывности
функции у=ах вытекает, в силу леммы 1, что значения у этой
функции заполняют всю положительную полупрямую у > 0.
4.	Для любых вещественных чисел х\ и Х2 справедливы со-
соотношения
(а*1)*2 = аХ1Х2, aXlbXl = (а ¦ Ь)х\ аХ1ах* = аХ1+х\

простейшие элементарные функции
123
Действительно, мы уже отмечали справедливость этих соотно™
шений для рациональных показателей. Чтобы убедиться в сира™
ведливости этих соотношений для любых показателей, достаточ-
достаточно рассмотреть последовательности {xfn} и {ж^} рациональных
чисел, сходящиеся соответственно к х\ и Х2- Тогда, например,
а «о п = а п^ п. Переходя к пределу при п —> оо и используя
свойство непрерывности показательной функции, мы получим
аж1аж2 _ аж1+ж2> Аналогично можно убедиться в справедливо-
справедливости и других из перечисленных выше соотношений.
0
1
у=ах@<а<1)
X
Рис. 4.9
Рис. 4.10
Замечание 2. Мы установили свойства 1—4 показа-
показательной функции у = аж, а также непрерывность и монотонное
возрастание этой функции на бесконечной прямой для случая
а > 1. Отметим, что при 0 < а < 1 функция у = аж, в силу
замечания 1, непрерывна и монотонно убывает на бесконечной
прямой. Кроме того, для этой функции сохраняются свойства 1,
3 и 4, а свойство 2 модифицируется следующим образом:
lim ax = +оо, lim ax = 0.
ж—>• —оо	ж-->+оо
На рисунках 4.9 и 4.10 изображены графики показательной
функции у = ах для случаев а>1и0<о<1.
Замечание 3. Свойство aXl+X2 = aXlaX2 может быть по-
положено в основу функционального определения показательной
функции у = ах. Можно доказать, что существует, и притом
единственная, функция /(ж), определенная на всей бесконечной
прямой и удовлетворяющая следующим трем требованиям:
1)	для любых вещественных х\ и Х2 соотношению /(Ж1+Ж2) =
= f(x1)f(x2);
2)	соотношениям /@) = 1, /A) = а, где а > 0;
3)	непрерывная при х = 0.
Такой функцией и является построенная выше функция ах.
3. Логарифмическая функцим. Рассмотрим произволь-
произвольный сегмент [с, d] бесконечной прямой. На этом сегменте функ™
ция у = ах строго монотонна и непрерывна. Поэтому, в силу

124
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. 4
следствия из леммы 1, функция у = f(x) = ах имеет на сегмен™
те [а,/3], где а = ас, /3 = ad, обратную функцию х = f^1(y)J
которую мы будем называть логарифмической. Логарифмиче-
Логарифмическая функция обозначается следующим образом:
х = 1оёа У-
Меняя для этой функции обозначение аргумента у на ж, а
обозначение функции х на у, мы получим функцию
У = 1оёа х-
Отметим следующие свойства логарифмической функции,
непосредственно вытекающие из ее определения:
1°. Логарифмическая функция определена для всех поло™
жительных значений х. Это следует из того, что ее аргумент
представляет собой значения показательной функции, которые,
в силу свойств 1 и 3 этой функции (см. предыдущий пункт),
только положительны и заполняют всю положительную полу-
полупрямую х > 0.
2°. Логарифмическая функция непрерывна и возрастает на
всей открытой полупрямой х > 0 при а > 1 (убывает при а < 1),
причем при а > 1
lira 1оел х = ^оо, lim log,, x = +оо.
Справедливость этого свойства вытекает из свойств показатель™
ной функции и из замечания 1 п. 2 § 4.
3°. ДЛЯ ЛЮбыХ ПОЛОЖИТеЛЬНЫХ Х\ И Х2
loga(xi • х2) = loga xi + loga ж2.
Это свойство также вытекает из свойств показательной функции.
Рис. 4.11
Рис. 4.12
Замечание. Следует особо отметить логарифмическую
функцию у = logp ж, где е = lim ( 1 + - 1 . Мы будем для этой
функции использовать обозначение у = In ж. Подчеркнем, что

§ 5	ПРОСТЕЙШИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ	125
логарифмическая функция у = In x играет важную роль в мате™
матике и ее приложениях. Логарифмы по основанию е принято
называть натуральными.
На рисунках 4.11 и 4.12 изображены графики логарифмиче™
ской функции у = loga х для случаев а>1иО<о<1.
4. Гиперболические функции. Гиперболическими функ™
циями называются следующие функции х):
1°. Гиперболический синус
~" *"	су
2°. Гиперболический косинус
2
3°. Гиперболический тангенс
. I	S11X	в	I
thx = -— =
сп ж еж + I
4°. Гиперболический котангенс
sha? еж — е^ж
Из определения гиперболических функций следует, что ги-
гиперболический синус, гиперболический косинус и гиперболиче-
гиперболический тангенс заданы на всей числовой прямой. Гиперболический
котангенс определен всюду на числовой прямой, за исключением
точки х = 0.
Гиперболические функции непрерывны в каждой точке обла-
области задания (это ввстекает из непрерывности показательной
функции и теоремы 4.2).
Гиперболические функции обладают рядом свойств, ана-
аналогичных свойствам тригонометрических функций. Например,
для гиперболических функций имеют место теоремы сложе-
сложения, аналогичные теоремам сложения для тригонометрических
функций. Именно:
sh(x + у) = sh х ch у + ch x sh у,
ch(x + у) = ch x ch у + sh x sh у.
На рисунках 4.13—4.16 изображены графики гиперболических
функций.
1) Наименование «гиперболические функции» объясняется тем, что гео-
геометрически функции y = shxwy = chx могут быть определены из рассмо-
рассмотрения равнобочной гиперболы по тем же правилам, по которым функции
у = sin х и у = cos х могут быть определены из рассмотрения единичной
окружности.

126
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. 4
i/=sh х
y=ch x
Рис. 4.13
Рис. 4.14
+1
0
X
y=th х
У*
+1
0
X
y=cth x
Рис. 4.15
Рис. 4.16
5. Степеннам функцим с любым вещественным пока-
показателем а. Пусть а — произвольное вещественное число. Опре-
Определим общую степенную функцию у = ха1 х > 0, следующим
образом:
у = ха = (al0&°xY = aal0^x (а > 1).
Из определения степенной функции следует, что при а > О
она представляет собой возрастающую, а при а < 0 убывающую
функцию.
Рассмотрим предельное значение степенной функции при
х —> 0 + 0. Докажем, что
lim х =
0 при а > 0,
(^ +оо при а < 0.
Действительно, пусть {жте} — любая сходящаяся к нулю
справа последовательность значений аргумента х. Так как
lim logo хп = ^оо, то из свойств показательной функции вы-

5
простейшие элементарные функции
127
текает, что lim аа gaXn = 0 при а > 0 и lim а(ЛЮ^аХп = +оо
п—)-оо	п—)-оо
при а < 0. Естественно положить теперь 0° = 0 при а > 0 и
считать это выражение неопределенным при а ^ 0.
Докажем непрерывность степенной функции в любой точке х
положительной бесконечной полупрямой (х > 0). Для этого до-
достаточно установить, что эта функция непрерывна в каждой
точке х указанной полупрямой слева и справа (см. замечание
в п. 1 § 3). Докажем, например, непрерывность этой функции в
точке х слева (непрерывность справа доказывается аналогично).
При этом ради определенности будем считать а > 0. Обратимся
к формуле у = ха = аа ^аХ^ а > 1. Пусть {хп} — любая сходя-
сходящаяся слева к х последовательность значений аргумента степен-
степенной функции, так что хп < х. Так как логарифмическая функ-
функция непрерывна, то последовательность {t^}? гДе ип = a^°Eaxni
.=1/
У
Рис. 4.17
у=х , а=
Рис. 4.19
Рис. 4.20

128	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
сходится к и = alogax, причем все элементы ип отличны от и
(в самом деле, поскольку при а > 1 логарифмическая функ™
ция возрастает, то справедливо неравенство ип < и). В силу
непрерывности показательной функции последовательность {а^}
сходится к аи. Иными словами, последовательность |аа1о8аж«|7
представляющая собой последовательность {ж"} значений сте-
степенной функции, соответствующую последовательности {жп}5
сходится к a og«x, т. е. к жа. Непрерывность степенной функции
в точке ж > 0 слева доказана. Аналогично доказывается непре-
непрерывность этой функции в точке х > 0 справа. Но непрерывность
функции в точке х слева и справа означает, что функция непре-
непрерывна в этой точке. Отметим, что если а > 0, то степенная
функция у = ха непрерывна также и в точке х = 0.
Замечание. Отметим, что если показатель а степенной
функции представляет собой рациональное число т/п, где п —
нечетное целое число, то степенную функцию у = ха молено
определить на всей числовой оси, полагая для х < 0
у = |ж|°, если а = т/п и т — четное,
у = ^|ж|а, если а = т/п и т — нечетное.
На рисунках 4.17-4.20 изображены графики степенной функ-
функции у = ха для различных значений а.
6. Тригонометрические функции. В курсе элементарной
математики с помощью наглядных геометрических соображе-
соображений были введены тригонометрические функции у = sin ж и у =
= cos ж х).
Перечислим некоторые важные для дальнейшего свойства
тригонометрических функций:
1°. При любых вещественных ж;, х" и х справедливы следую™
щие соотношения:
sin(V + х") = sin ж'cos ж" + cos ж'sin ж",
cgs^' + х") = собх1 cosx" — sin ж'sin ж",	D.5)
sin2 ж + cos2 ж = 1.
г) Остальные тригонометрические функции у = tgx, у = ctgsc, у = sec ж
и у = cosec х определяются через указанные:
sin ж	cos ж	1	1
ctgx = —	, sec ж = 	, cosec ж =
sin ж	cos ж
, g	,	,
cos ж	sin ж	cos ж	sin ж
Подчеркнем, что определение функций sin ж и cos ж с помощью нагляд-
наглядных геометрических соображений не является логически безупречным, ибо
при этом возможность определить эти функции для всех вещественных
значений аргумента ж сводится к возможности установления взаимно од-
однозначного соответствия между всеми точками единичной окружности и
всеми вещественными числами из сегмента [0, 2тг].

простейшие элементарные функции
129
2°.
sin 0 = 0, cos 0 = 1,
sin- = 1, cos - = и.
Z	Z
3°. Если 0 < ж < |, то
О < sin ж < ж.
D.6)
D.7)
Рис. 4.21
Указанные свойства устанавливаются посредством геомет-
геометрических рассуждений. Мы не будем давать здесь известные
из курса элементарной математики гео-
геометрические выводы свойств 1° и 2°. Оста-	_ i _	в
новимся лишь на геометрическом выводе
неравенств D.7). Кроме неравенства D.7),
мы установим неравенство ж < tg ж (при
Рассмотрим окружность радиуса 1 с
центром в точке О и точку А на этой
окружности (рис. 4.21). От точки А про-
против часовой стрелки будем отсчитывать
дуги окру лености. Пусть М — точка
окружности, находящаяся в первой чет-
четверти, и ж — длина дуги AM, 0 < ж < - (ж — радианная ме-
мера угла АОМ), N — основание перпендикуляра, опущенного из
М на О А, В — точка пересечения перпендикуляра к 0^4, вос-
восстановленного из точки А, с продолжением отрезка ОМ. Тогда
MN = sin ж, ON = cos ж, АВ = igx. Так как треугольник ОМА
содержится в секторе ОМА, который в свою очередь содержит-
содержится в треугольнике ОБА, и площади перечисленных фигур соот-
1 . х 1 ,
ветственно равны - sin ж, - и - tg ж, то имеют место неравенства
sin ж <ж< tg ж, 0 < ж < -. При указанных значениях ж sin ж > 0.
Таким образом, справедливость неравенств 0< &тх<х< tg#
(при 0 < ж < -) установлена.
Свойства 1°, 2°, 3° могут быть положены в основу опреде-
определения функций sin ж и cos ж. Можно доказать, что существу-
существует, и притом единственная, пара функций, определенных для
всех вещественных значений аргумента, первую из которых
мы обозначим через sin ж, а вторую через cos ж, удовлетворяю-
удовлетворяющих требованиям 1°, 2°, 3°.
Доказательство этого утверждения приведено в дополнении
к этой главе.
5 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть I

130	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
Подчеркнем, что из свойств 1°, 2° и 3° функций sin ж и cos ж
можно вывести все известные из элементарного курса свойства
тригонометрических функций1).
Докажем непрерывность тригонометрических функций в
каждой точке области их задания. Установим сначала непре-
непрерывность функции у = sin ж в точке ж = 0. Пусть {хп} — про-
произвольная сходящаяся к точке х = 0 справа последовательность
значений аргумента х. Из неравенств D.7) имеем 0 < тпхп <
< хп. Отсюда, в силу теоремы 3.14, вытекает, что последова-
последовательность {sinrEn} имеет предел, равный нулю. Таким образом,
Una sin ж = sin 0 = 0. Так как при (—тг/2) < ж < 0 справедливы
неравенства ж < sin ж < О2), то рассуждая аналогично, получим
llm sin ж = sinO. Мы установили, что в точке ж = 0 функция
^ОО
у = sin ж непрерывна справа и слева, т. е. является непрерывной
в указанной точке. Для доказательства непрерывности функции
у = sin ж в любой точке ж бесконечной прямой воспользуемся
1	„ • //	/ о	ж" + X . х" - X
формулой sin ж — sin ж = 2 cos ^—^— sin ^—^—, которая может
?	?,
быть получена из формул D.5). Пусть {хп} — произвольная схо-
сходящаяся к ж последовательность значений аргумента. Полагая
в последней формуле х" = хп и х1 = ж, получим
lim (smxn — sin ж) = 2 lim cos	sin	= и.
2	2
Справедливость этого заключения вытекает из того, что после-
Г хп + х 1	q\
довательность < cos	> ограниченная J, а последователь-
последовательность I sin	>, в силу доказанного выше, бесконечно малая.
Непрерывность функции у = cos ж устанавливается с по-
помощью аналогичных рассуждений из формулы
//	/	о . х" + х' . х" — х'
cos ж ^совж =—2 sin—-—sin—-—.
Непрерывность остальных тригонометрических функций (tga;,
ctgrc, sec ж, совесж) в калсдой точке области их задания следует
из теоремы 4.2.
1)	Например, равенства sin(—ж) = ™sinx, cos(^x) = cos ж.
2)	Эти неравенства получаются из неравенств D.7) путем замены жна-ж
и учета формулы sin (—ж) = ™sin;r.
3)	Из третьей формулы D.5) следует, что | cosx| ^ 1 и | sinx| ^ 1. Отсюда
очевидна ограниченность последовательности
Г	Хп+Х}
сти < cos	>.

простейшие элементарные функции
131
y=ctg х
Рис. 4.25

132
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. 4
Область задания каждой тригонометрической функции раз™
деляется на участки монотонности этой функции1). Функция
у = sin ж возрастает на каждом сегменте \2ктт — — ^2ктт + — 2)
L	^	^ J
и убывает на каждом сегменте Bк + 1)тг — —, Bк + 1)тг + — .
Функция у = cos ж возрастает на каждом сегменте [Bfc—1)тг, 2ктг]
и убывает на каждом сегменте [2А:тг, Bк + 1)тг]. Функция у =
= tg ж возрастает на каждом интервале ( кж ~~ —, кж + — J. Функ-
Функция у = ctgx убывает на каждом интервале ((к — 1)тт/ктт). Для
функций у = sec ж и у = msec ж читатель без труда установит
области возрастания и убывания.
На рисунках 4.22^4.27 изображены графики тригонометри-
тригонометрических функций.
7. Обратные тригонометрические функции. Функция
у = arcsin^ определяется следующим образом. Рассмотрим на
сегменте [^тг/2,тг/2] функцию у = sin ж. В предыдущем пункте
мы отметили, что на этом сегменте функция у = sin ж возраста-
возрастает, непрерывна и имеет в качестве множества значений сегмент
[—1,1]. В силу следствия из леммы 1 для функции у = sin ж на
сегменте [—1,1] существует непрерывная возрастающая обрат-
-1
1 X
К

t/=arcsin х
Рис. 4.28
1 х
i/=arccos х
Рис. 4.29
) Монотонность функций sin х и cos х на соответствующих сегментах
легко установить из формул
sin х — sin ж = 2 cos	sin	,
яж ^cosx = —2 sin
sin
2	2
2) Здесь под к мы понимаем любое целое число.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ
133
ная функция. Эту функцию мы будем обозначать х = arcsiny.
Меняя для этой функции обозначение аргумента у на ж и обозна™
чение х для функции на у, мы получим функцию у = arcsinx.
На рис. 4.28 изображен график этой функции.
Совершенно аналогично определяется функция у = arccosx.
Областью ее задания служит сегмент [—1,1], а множеством зна-
значений сегмент [0, тг]. Указанная функция убывает и непрерывна
на сегменте [—1,1]. На рис. 4.29 изображен график функции у =
= arccosx.
Функции у = arctg x и у = arcctg x определяются как обрат-
обратные для тангенса и котангенса. Эти функции определены, моно-
монотонны и непрерывны на бесконечной прямой. На рис. 4.30 и 4.31
изображены графики этих функций.
-± t/=arctg х
y=arctg х
Рис. 4.30
Рис. 4.31
§ 6. Предельные значения некоторых функций
1. Предварительные замечания. В гл. 1 было указано,
что для вычисления производных функций у = sin х и у = loga х
нужно доказать существование предельных значений (или пре™
\ д.	sin(Aa/2)	д	п ,	Л , Ах\х/Ах
делов) функции	' при /лх 4ии функции I I + — 1
при Ах 4 0 и фиксированном х > 0. Этому вопросу и посвя-
посвящен настоящий параграф. Нам понадобится предложение о пре™
дельном значении функции, заключенной между двумя функ-
функциями, имеющими общее предельное значение в данной точке.
Это предложение представляет собой функциональный аналог
теоремы 3.14.
Лемма 5. Пусть в некоторой S-окрестности точки а (за
исключением^ быть может^ самой точки а) заданы функции
/(ж), g(x) и h(x), причем функции f(x) и g(x) имеют в точ-
точке а одинаковое предельное значение, равное Ъ. Если в указанной
окрестности точки а (за исключением^ быть может, самой
точки а) выполняются неравенства f(x) ^ h(x) ^g(x), то пре-
предельное значение функции h(x) в точке а существует и равно Ъ.
Доказательство. Пусть {хп} — произвольная
сходящаяся к а последовательность значений аргумента ж, эле™
менты хп которой лежат в указанной J-окрестности точки а и не

134	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
равны а, и {/(ж^)}, {g(xn)}J {h(xn)} — соответствующие после™
довательности значений функций /(ж), g(x) и h(x). По условию
lim f(xn) = lim g(xn) = b и /(жте) ^ /г(жте) < g(xn).
w>oq	w>oq
Но тогда, в силу теоремы 3.14, lim h(xn) = b. Поскольку
п—>оо
{жтг} — произвольная сходящаяся к а последовательность значе™
ний аргумента, то последнее равенство означает, что lim h(x) =
х—ьа
= Ъ. Лемма доказана.
2. Предельное значение функции ^^ 1) в точке ж = О
X
(первый замечательный предел). Докажем следующую тео-
теорему.
Теорема 4*4- Предельное значение функции 	 в точке
X
х = 0 существует и равно единице:
1 •	S1I1 X	-I	/ л о\
lim	= 1.	D.8)
х^О х	к ;
Доказательство. Мы уже отмечали, что при 0 <
< х < тг/2 справедливы неравенства 0 < sin ж < х < tg ж (см.
п. 6 предыдущего параграфа). Деля почленно эти неравенства
на sin ж, получим
-, . х . 1 . sin ж . -,
1 < -— < 	 или cos ж < 	 < 1.
Последние неравенства справедливы также и для значений ж,
>ы убедиться
sin ж 	 sin(—ж)
удовлетворяющих условиям ^— < ж < 0. Чтобы убедиться в
этом, достаточно заметить, что cos ж = сов^ж) и
х 7 ж	— ж
Так как cos ж — непрерывная функция, то lim cos ж = 1. Таким
Г	JL	»	1	Sin Ж	„ С
ооразом, для функции cos ж, 1 и	в некоторой о™окрестности
точки ж = 0 выполняются все условия леммы 3 (для того чтобы
убедиться в этом, обозначим /(ж) = cos ж, g(x) = 1 и h(x) =
и положим 5 = тг/2). Следовательно, lim	 = lim cos ж = 1.
Теорема доказана.
1) Выше мы говорили о функции j.	, Если обозначить Аж/2 через
sin ж
ж, то мы и получим функцию	. Условие Аж —> 0 при этом обозначении
ж
сводится к условию ж —>¦ 0.

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ	135
3. Предельное значение функции A + - 1 при ж —> оо
X
(второй замечательный пределI). Докажем следующую
теорему.
( 1 \х
Теорема 4-5. Предельное значение функции f(x)=ll + -j
при х —> оо существует и равно е:
lim (l + \Y = е.	D.9)
Доказательство. Нужно доказать, что, какова бы
ни была бесконечно большая последовательность {х^} значений
( 1 \х
аргумента функции f(x)=ll + -j , соответствующая последо™
\	Ж /
вательность {/(ж^)} значений этой функции имеет своим преде™
лом число е. Рассмотрим следующие четыре группы бесконечно
больших последовательностей значений аргумента х:
1°. Бесконечно большие последовательности {п^}, элемента-
элементами которых являются целые положительные числа. К указанной
группе относится, например, последовательность
2, 2,1,1, 3, 3, 2, 2,4,4,... , п + 1, п + 1, п, п,...
2°. Бесконечно большие последовательности, элементы кото™
рых, начиная с некоторого номера, состоят из положительных
вещественных чисел.
3°. Бесконечно большие последовательности, элементы кото™
рых, начиная с некоторого номера, состоят из отрицательных
вещественных чисел.
4°. Бесконечно большие последовательности, содержащие
бесконечно много как положительных, так и отрицательных ве-
вещественных чисел2).
Заметим, что совершенно произвольная бесконечно большая
последовательность значений аргумента относится к одной из
групп 1°, 2°, 3°, 4°. Поэтому теорема будет доказана, если мы
проведем доказательство для каждой группы 1°, 2°, 3° и 4°.
) Упомянутая ранее задача о предельном значении функции
A + Дж/ж) х при Аж, стремящемся к нулю, и фиксированном ж >
> 0 сводится к указанному вопросу. Действительно, если положить
Аж/ж = 1/и, то при Аж -> 0 и ->- оо и A + Аж/ж)ж/Лж = A + 1/и)и,
а эта функция отличается от функции A + 1/ж)ж только обозначением
аргумента.
) Так как функция I Ц— 1 не определена на сегменте [—1,0] (поскольку
для значений ж из этого сегмента выражение A4— 1 либо отрицательно,
V ж/
либо не имеет смысла), то естественно считать, что элементы последова-
последовательностей 2°, 3° и 4° не принадлежат сегменту [—1,0].

136	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
(При этом последовательности группы 1° имеют вспомогатель™
ный характер.) Пусть {п^} — какая-либо последовательность
тт	т Л . 1 \Пк	тт
первой группы. Докажем, что lim I + — = е. Пусть е —
( 1 \те
любое положительное число. Так как lim A + — ) = е (см.
п. 4 § 3 гл. 3), то можно указать такой номер JV*, что при п ^
^ N* выполняется неравенство
1
п
1 + -) -е
П
< 6.
Поскольку последовательность {п^} бесконечно большая и ее
элементы — целые положительные числа, то для положитель-
положительного числа N* можно указать такой номер Ж, что при к ^ N
выполняется условие п^ ^ N*. Но для таких целых п&, как
указывалось, выполняется неравенство
1 +
< е.
Следовательно,
lim A + — ) " = е.
Перейдем теперь к последовательностям второй группы.
Пусть {xfc} - любая последовательность второй группы ж N —
номер, начиная с которого все элементы этой последовательно-
последовательности больше единицы. Считая к ^ N', обозначим через п& целую
часть Xk, n^ = [х^]. Тогда
пк ^хк<пк + 1.	D.10)
Отметим, что последовательности {пк} и {п^ + 1} представляют
собой последовательности первой группы. Из неравенств D.10)
имеем
пк + 1 хк пк
или
1 + i <1 + ^1 +
+ + ^ +
пк + 1	хк	пк
Отсюда, используя еще раз неравенства D.10), получим
пк	+ 1
^) ( ) (
пк + 1 /	V xfe /	V пк
4.11
«I \пкЛ	( (	1 \^fe + li
1+	> и < ( 1+^	>
Пк+1/ )	IV	Пк)	J
равны е. Действительно, первая из этих последовательностей

§ 6	ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ФУНКЦИЙ	137
может быть представлена как произведение последовательно™
1+		> и < 1+	 >, пределы которых рав-
Wfe+l/ J IV nfc+l/ J
ны соответственно 1) е и 1. Вторая последовательность предста™
вляет собой произведение последовательностей < I I + — 1 > и
1 + — 1 >, пределы которых также равны соответственно е
и 1. В силу неравенств D.11) по теореме 3.14 имеем
/	1 \хк
lim A + — ) = е.
%к /
Рассмотрим последовательности третьей группы. Если
} — бесконечно большая последовательность, элементы ко™
торой, начиная с некоторого номера, отрицательны, то после-
последовательность {2^}, где Zk = — 1 — ж&, бесконечно большая и
ее элементы, начиная с некоторого номера, состоят из положи-
положительных вещественных чисел. Поэтому {#&} представляет собой
последовательность второй группы. Так как
lim A + - ) = Mm A + -L ) A + -L ) = e,
/	1 \ xk
lim A + — ) = e.
TO
Для завершения доказательства нам нужно рассмотреть по™
следовательности четвертой группы. Пусть {х^} — такая после-
последовательность. Обозначим через {xfk} подпоследовательность
этой последовательности, состоящую из всех неотрицательных
элементов 2) последовательности {ж^}, а через {ж'Д — подпо™
следовательность, состоящую из всех отрицательных элементов
последовательности {х^} 3). Так как по доказанному
/	1 \Хк	/1 \
Mm A + — ) = е и lim 1 + ^7
) При этом учитывается, что {nk} принадлежит к первой группе.
) Эти элементы, начиная с некоторого номера, строго положительны.
) Здесь мы, в отличие от гл. 3, выбранные подпоследовательности отме-
отмечаем знаками и , сохраняя при этом у элемента подпоследовательности
тот номер, который он имел в последовательности {}

138	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
то для любого е > 0 можно указать номер N такой, что при к^ N
С е и
т. е. при к ^ N
|A + -1 ~е
Следовательно,
lim (\ + — У^ = е.
<е.
Теорема доказана.
Замечание. Из доказанной теоремы следует, что
В самом деле, пусть {хп} — любая сходящаяся к нулю после™
довательность значений аргумента функции A +жI/ж, элемен-
элементы хп которой отличны от нуля. Тогда последовательность {^и},
где zn = t/xni бесконечно большая (см. теорему 3.6). Так как
A + хпI^Хп = A + — ) П и lim A + — ) П = е,
ТО
Jim (I +xn)l/Xn = е,
и поэтому
§ 7. Непрерывность и предельные значения некоторых
сложных функций
1. Непрерывность и предельные значения некото-
некоторых сложных функций. Докажем непрерывность некоторых
сложных функций.
1°. Пусть х = cp(t) и у = f(x) — простейшие элементарные
функции (см. § 5), причем множество значений {х} функции
х = ip(t) является областью задания функции у = f(x). Из ре™
зультатов § 5 следует, что простейшие элементарные функции
непрерывны в каждой точке области задания. Поэтому, в силу
теоремы 4.3, сложная функция у = /[<?>(?)], т. е. суперпозиция
двух элементарных функций, непрерывна. Например, функция
у = sin - непрерывна в любой точке х ф 0. Чтобы убедиться
X
в этом, достаточно рассмотреть функции ж = Г1 и у = sin ж.
Сложная функция у = slnt^1 только обозначением аргумента

§ 7 НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 139
отличается от функции у = sin — и, в силу сказанного выше,
непрерывна в любой точке t Ф 0. Рассуждая аналогично, легко
убедиться, что функция у = In sin ж непрерывна в любой точке
каждого интервала BА:тг, Bк + 1)тг) г).
2°. Степенно-показательные выражения
u(x)<xh
Очевидно, имеет смысл лишь случай, когда и(х) > 0. Легко
убедиться, что если и(х) и v(x) непрерывны в точке а и и(х) > 0
в окрестности точки а, то функция u(x)v(x' также непрерывна
в точке а.
В самом деле, u(x)v^ = ev(x)lnu(x). Поскольку \пи(х) пред™
ставляет собой непрерывную в точке а функцию, то и функ-
функция v(x) lnu(x) также непрерывна в точке а. Но тогда функция
ev(x)\nu(x) непрерывна в точке а. Отметим, что установленное
свойство непрерывности позволяет утверждать, что при сделан™
пых предположениях Mm u(x)v^ = u^
х^а
3°. Предельные значения степенно-показательных
выражений.
Выясним вопрос о предельных значениях степенно-показательных вы-
выражений u(x)v^ при х —>¦ а. При этом мы будем предполагать, что и(х) > 0
в некоторой окрестности точки а.
Из соотношения u{x)v^ = ег)(жIпад(ж) видно, что предельное значение
выражения u(x)v^x^ при х —>• а зависит от предельного значения выражения
v(x) \nu(x).
I. Пусть lim v(x) \nu{x) = Ь.
х—>а
Убедимся, что в этом случае lim u(x)v^ = eb.
х—->а
В самом деле, функция
. . I v(x)lnu(x) при х ф а,
w(x) = <
[	о	при х = а
непрерывна в точке х = а. Поэтому и сложная функция ew^x^ непрерывна
в этой точке. Следовательно, lim ew(-x^ = ew^ = eb. Так как lim ew^ =
x—>a	x—>a
= lim ev(x)lnu(x)j T0 nm u(x)v^ существует и равен eb.
х-Ла	х—>а
Используя полученные в этой главе сведения о предельных значениях
ew при w —> —оо к w —> +оо, легко убедиться в следующем.
П. Если lim v(x)\nu(x) = ^оо, то lim u(x)v^ = 0.
х—>а	х—>а
III. Если lim v(x)lnu(x) = +оо, то lim u(x)v^ = +оо.
х^-а	х^-а
Установленная связь меж:ду предельными значениями выраж:ений
u(x)v^x^ и v{x) lnu(x) позволяет в ряде случаев легко найти предельное зна-
1) Там, где sin ж > 0.

140	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
чение функции u(x)v^x , если известны предельные значения функций и{х)
и v(x). Рассмотрим для примера следующие случаи:
1)	существует lim и(х) > 0 и lim v(x)\
ж—>а	ж—>а
2)	lim и{х) = Ь, Ь > 1, lim i;(sc) = +оо;
3)	lim u(x) = Ь, Ь > 1, Нпи;(ж) = —оо.
Убедимся, что в случае 1) lim u(x)v(-x) = lim ге(ж) Iх^а . Действи-
ж—>а	1_ж—->а	J
тельно, так как lim и(ж) > 0, то, в силу непрерывности логарифмической
функции, lim In и(х) существует и равен In lim u{x) . Поэтому существует
х^?а	1.x ^r a	J
lim v(x) In u(x) = lim v(x) In lim u(x) .
Согласно I отсюда вытекает, что
т	/ \v(x)	lim v(x)lnu(x)	lim v(ж) ln[ lim u(x)]	Г..	, ч"I Ji^a v(ж^
lim гг(ж) = еж^а	= ex^a	x^a = lim u(x)\
x—ta
В случае 2) lim v(x) lnu(x) = +оо, и поэтому, согласно III, lim u(x)v^ =
= +оо.	х^а	х^а
В случае 3) lim v(x) lnu(x) = ^оо, и поэтому, согласно II, lim u(x)v^ =
	 rx	x—>a	ж->а
В заключение укажем три случая, для которых нахождение предельного
значения u(x)v^x^ требует дополнительных исследований.
1.	Неопределенность типа 1°°:
lim и(х) = 1,	lim v(x) = оо.
ж—¦>а	ж—>а
2.	Неопределенность типа 0°:
lim ia(x) = 0,	lim v(x) = 0.
ж—>а	ж—>а
3.	Неопределенность типа оо°:
lim 1а(ж) = +оо,	lim v(x) = 0.
ж—>а	ж—>а
Для первого из этих случаев мы приведем формулу, удобную для прак-
практических приложений.
Преобразуем выражение u(x)v^ следующим образом:
I [ад(ж)™11г;(ж)
Положим, далее,
U(x) = [1 + (и(х) - 1)] «(')-i и V(x) = [и(х) - l]v(x),
так что
u(x)v{x) = U(x)v(x\
Поскольку lim U(x) = е (см. замечание к теореме 4.5) и е > 1, то значе»
ж—>а
ние lim u(x)v^ = lim U(x)v^ зависит от предельного значения функции
х-Ч-а	х-Ч-а
V(x) в точке а, т. е. от lim [и(х) — t]v(x). Именно: если lim [it(ж) — 1]1;(ж) =
ж—>a	ж—>a
= lim V(x) = с, то lim u(x)v{*x) = lim 17(ж)у(ж) = ес (см. случай 1)); ее-
х^-а	х^-а	x^-a
ли lim [u(x) — l]v(x) = +oo, то lim u(x)v^ = +oo (см. случай 2)); если

§ 7	НЕПРЕРЫВНОСТЬ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ	141
lim [и(х) — l]v(x) = ^оо, то lim u(x)v^ = 0 (см. случай 3)). Таким образом,
х^-а	х^-а
мы получаем следующую формулу:
lim и(хУ^ = е^[и(х)-1Мх).
х—>а
Неопределенности типа 2 и 3 приводятся к неопределенности типа 1
следующим образом.
Положим
U(x) = ev(x\ V(x)=\nu(x).
Очевидно, lim U(x) = 1 и lim V(x) = ±oo. Кроме того,
х^-а	х^-а
и(хУ(х) = [ev^]lnUM = eW)v™ = U(x)v(x).
Пример. Найти lim [cos x] sin2 x . Так как lim cos ж = 1, a lim —~— =
х^о1	х^о	^osiirx
= сю, то налицо неопределенность типа 1°°.
т	/ \v(x)	lim[u(x)-l]v(x)
Используем формулу lim u[x) l ; = ех^°	, полученную нами
ж—>-0
выше. Имеем
lim[u(x) — l]v(x) = lim [cos ж — 1]—5— =
х^о	х^о	sin х
1	1
l
v Г о • 2 Ж]	1	1
= lim —2 sin — 	^	^г =	lim	77г =.
Поэтому
lim [cos x] sin2 ж = e 2 = ^^.
4°. Предельные значения некоторых
сложных функций. Докажем справедливость следующих
равенств:
т yi + i-1 1 т 1пA+ж) 1
lim	= —, lim	= 1,
^О	х	п	^О х
v ех-1 л г
lim ^^^ = 1, lim
1, lim o	.
х	х^О х1	2
1) Рассмотрим первый из этих пределов. Имеем
ж
1
)п - 1
х)п

142	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
Так как знаменатель последнего выражения при ж —>• 0 имеет
предел, равный п (функция A + ж) >п непрерывна в точке ж = О
и поэтому lim(l + х)к/п = 1), то lim
жЯГ	J	П х^О
ем
( + )	),
ж-ЯГ	J	П х^О	х	п
2) Перейдем к доказательству второго равенства D.12). Име-
Имеп^ х—\п.A+хI1х. Доопределим функцию f(x) = (l+xI^,
полагая /@) = limf(x) = lim(l + x)l/x = e. В результате мы
х^О	ж^О
получим непрерывную в точке х = 0 функцию f(x). Тогда и
функция lnf(x) также будет непрерывна в нулевой точке, и по-
поэтому НтЬП+жI^ = ln/@) = lne = 1. Итак, lim 1пA + ж) = 1.
3) Докажем справедливость третьего равенства D.12). По-
Положим х = 1пA + и) и заметим, что при х —>- 0 переменная и
стремится к нулю. Имеем 	= -—.	-. Отсюда следует, что
х	1пA +и)
т. еж — 1 т	и	л
lim	 = lim —	т = 1.
х	и^О 1пA + и)
4) Докажем справедливость последнего равенства D.12).
тж	l-cos^ 2 sin2 (ж/2) 1 sin2 (ж/2) rp	r sin2 (ж/2)
Имеем	— = 	^^ = - ; ( ;. Так как lim ;o;9; =
2	2	2 (/2J	о (/2J
^	; ( . Так как lim ;o;9
ж2	ж2	2 (ж/2J	х^о (ж/2J
1/	Z/ioW	т 1"™" COS Ж	1
= 1 (см. D.8)), то Ш—-;- = -.
Используя соотношения D.8), D.12), равенство D.1) и символ
о(х) (см. п. 3 § 2), легко убедиться в справедливости следующих
формул:
sin ж = х ()
D.13)
Докажем, например, справедливость первой формулы. Так
как lim	 = 1, то в силу D.1) 	 = 1 + шж), где а(х) —
х^о х	х
бесконечно малая в точке х = 0 функция. Из последней форму™
лы вытекает, что sin ж = х + ха(х). Поскольку ха(х) = о(ж), то
sin ж = ж + о(х).
2. Понмтме элементарной функции. Класс элементар-
элементарных функций. В приложениях важную роль играет класс
функций, получаемых посредством конечного числа арифмети™
ческих операций над простейшими элементарными функциями,

§ 8	КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ	143
а также получаемых путем суперпозиции этих функций. На™
пример, функции ж3 + 3 cos 2ж, In | sin Зх\ — earctg ^x принадлежат
этому классу. Мы будем называть этот класс функций классом
элементарных функций^ а каждую функцию этого класса — эле-
ментарной.
Отметим следующее свойство элементарных функций — они
непрерывны в каждой точке области задания1).
Это свойство непосредственно вытекает из теорем 4.2 и 4.3
и непрерывности простейших элементарных функций в каждой
точке области задания.
§ 8. Классификация точек разрыва функции
1. Точки разрыва функции и их классификация. В
п. 1 § 3 мы определили точки разрыва функции как точки, в
которых функция не обладает свойством непрерывности. Мы
будем называть также точками разрыва функции точки, в кото™
рых функция не определена, но в любой ^окрестности которых
имеются точки области задания функции.
Рассмотрим возможные типы точек разрыва функции.
1°. Устранимый разрыв. Точка а называется
точкой устранимого разрыва функции у = /(ж), если предель-
предельное значение функции в этой точке существует^ но в точке а
функция f(x) или не определена^ или ее частное значение f(a)
в точке а не равно предельному значению.
Например, функция
{sin ж	/ А
при	ж^О,
х
2 при	х = 0
имеет в нулевой точке устранимый разрыв, поскольку пред ель™
ное значение этой функции в точке х = 0 равно 1, а частное
равно 2. Если функция f(x) имеет в точке а разрыв указанного
типа, то этот разрыв можно устранить^ не изменяя при этом
значений функции в точках, отличных от а. Для этого достаточ-
достаточно определить значение функции в точке а равным ее предель™
ному значению в этой точке. Так, если в рассмотренном примере
положить /@) = 1, то Mm/(ж) = /@) и функция будет непре™
рывнои в точке х = и.
Замечание. На практике точки устранимого разрыва
встречаются при сосредоточенных распределениях физических
величин.
) Если при этом область задания функции окажется состоящей из от™
дельных изолированных точек, то естественно считать, что функция по
определению непрерывна в каждой из этих точек.

144
ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
ГЛ. 4
2°. Разрыв 1-го рода. Точка а называется точ-
точкой разрыва 1-го рода^ если в этой точке функция f(x) имеет
конечные^ но не равные друг другу правое и левое предельные
значения:
lim f(x)
ж-->а+0
lim f(x)
х—ь-а—О
1. Для функции f(x) = sgnrz; точка х = 0 является точкой
разрыва 1-го рода (см. рис. 4.4). Действительно, так как
1 при х > О,
sgnx = ^ 0 при х = О,
— 1 при
то
lim sctix = 1,
00
ж<0,
lim sgnx = —1.
2. Функция /(ж) =	, определенная всюду, кроме точки
х = 0, имеет в точке ж = 0 разрыв 1-го рода (рис. 4.32). В
самом деле, если {хп} — сходящаяся к нулю последовательность,
элементы которой положитель-
положительны, то I — > — бесконечно
1жп J
большая последовательность с
положительными членами, и
поэтому < 1 + 21/Хп > — также
х бесконечно большая последова-
последовательность. Но тогда последова-
последовательность <	г,— > бесконеч-
L 1 + 2l/Xn j
но малая, и поэтому lim f(x)=0. Если же {хп} — сходящаяся
к нулю последовательность, элементы которой отрицательны,
то \ — > — бесконечно большая последовательность с отрица™
I хп )
тельными членами, и поэтому lim 2l'Xn = 0. Следовательно,
п-—>оо
lim J(x) = l.
Рис. 4.32
3°. Разрыв 2-го рода. Точка а называется точкой
разрыва 2-го рода^ если в этой точке функция f(x) не имеет
по крайней мере одного из односторонних предельных значений
или если хотя бы одно из односторонних предельных значений
бесконечно.

КЛАССИФИКАЦИЯ ТОЧЕК РАЗРЫВА ФУНКЦИИ
145
Рассмотрим, например, функцию f(x) = sin™ (рис. 4.33) 1).
Эта функция в точке х = 0 не имеет ни правого, ни левого
предельного значения.
Действительно, рассмот-
рассмотрим следующие сходящие™
ся к нулю справа после-
последовательности значений
аргумента:
тг 5тг Этг	(An — 3)тг
тг 2тг Зтг
П7Т
Рис. 4.33
Соответствующие последовательности значений функции у =
. 1
= sin - имеют следующий вид:
1,
1,
о, о, о, ... , о, ...
Первая из этих последовательностей имеет предел, равный
единице, а вторая имеет предел, равный нулю. Следовательно,
функция f(x) = sin - в точке х = 0 не имеет правого предельно™
го значения. Так как sin — = — sin —, то эта функция не имеет
—х	х
и левого предельного значения в этой точке.
Другим примером функции, имеющей точки разрыва 2-го ро-
рода, может служить функция у = ctgx (см. рис. 4.25). Эта функ™
ция имеет разрыв 2-го рода в каждой из точек тт, п = 0, ±1, ±
±2,...
2. Кусочно непрерывные функции. Функция у = f(x)
называется кусочно непрерывной на сегменте [a, ft], если она
непрерывна во всех внутренних точках [a, ft], за исключением,
быть может, конечного числа точек, в которых имеет разрыв
1-го рода и, кроме того, имеет односторонние предельные значе-
значения в точках а и ft. Функция называется кусочно непрерывной на
интервале или бесконечной прямой, если она кусочно непрерыв-
непрерывна на любом принадлежащем им сегменте. Например, функция
f(x) = [x] 2) кусочно непрерывна как на любом сегменте, так и
на бесконечной прямой.
х) Рисунок 4.33 носит чисто иллюстративный характер.
2) Напомним, что символ [ж] обозначает целую частв числа х.

146	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
ДОПОЛНЕНИЕ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УТВЕРЖДЕНИЯ ИЗ П. 6 § 5
В настоящем дополнении дается доказательство утверждения из п. 6 § 5.
Для удобства сформулируем здесь это утверждение в следующей форме.
Существует, и притом единственная, пара функций S(x) и С(х),
определенных на всей бесконечной прямой и удовлетворяющих следующим
трем требованиям:
1°. Для любых вещественных чисел ж;, х!1 и х выполняются соотно-
соотношения
S{x + х") = S{x)C{xlf) + C(x')S(x"),
C(xf + x!l) = C(xf)C(xff) - S(xf)S(xff),
S2{x) + C2{x) = 1.	D.5;) г)
2°.
S@) = 0, G@) = 1,
*(§)-•¦
3°. При 0 < x < — справедливы неравенства
0 < S{x) < х.	D.7')
Доказательство этого утверждения мы разделим на две части. Именно:
сначала мы докажем единственность, а затем существование функций
S(x) и С(х), удовлетворяющих требованиям 1°, 2° и 3°.
1. Доказательство единственности. Для доказательства единствен™
ности достаточно убедиться в справедливости следующих двух утвержде-
утверждений:
1)	Функции S(x) и С(х), обладающие перечисленными свойствами^
непрерывны на всей числовой прямой.
2)	Значения функций S{x) и С{х) определяются единственным образом
на некотором всюду плотном множестве точек бесконечной прямой2).
Действительно, в силу непрерывности функций S(x) и С{х) их част-
частные значения в каждой точке х бесконечной прямой равны их предельным
значениям в этой точке. Если теперь мы рассмотрим сходящуюся к х после-
последовательность значений аргумента, элементы которой принадлежат указан-
указанному выше всюду плотному множеству точек, то соответствующие после-
последовательности значений функций S(x) и С(ж), в силу сформулированного
выше утверждения 2), определяются единственным образом, а поэтому и
пределы этих последовательностей определяются также единственным об-
образом. Но эти пределы как раз и являются частными значениями функций
S{x) и С (ж) в точке х. Следовательно, функции 5 (ж) и С(х) определяются
единственным образом на всей бесконечной прямой.
г) Формулы D.5;)^D.7;) получены из формул D.5)-D.7) п. 6 § 5 путем
замены обозначений функций sin ж и cos ж на S(x) и С(х) соответственно.
' ) Множество {ж} точек бесконечной прямой называется всюду плотным
на бесконечной прямой, если в любой е-окрестности каждой точки этой
прямой имеется бесконечно много точек множества {ж}.

ДОПОЛНЕНИЕ	147
1) Прежде чем перейти к доказательству непрерывности функций 5 (ж)
и С(ж), установим некоторые формулы.
Полагая в первых двух из соотношений D.5;) х' = ж, х" = -—х и учиты-
учитывая, что 5@) = 0, G@) = 1, получим
0	= S(x) • С(-х) + С(х) - S(-x),
1	= С(х) • С(-ж) - 5(ж) • 5(-ж).	l " j
Умножим соотношения D.14) соответственно на S(x) и С(х) и сложим по-
полученные при этом соотношения. Учитывая, что 52(ж) + О2(ж) = 1, получим
С(-х) = С(х).
Совершенно аналогично, умножая соотношения D.14) соответственно
на С(х) и —S(x) и складывая их, получим S(—x) = —S(x). Таким образом,
С(х) — четная функция, a S(x) — нечетная функция 1).
Но тогда, используя первую из формул D.5;), получим
S(x") = S fx'+x"
и аналогично
Вычитая почленно последние две формулы, получим
S(x") - S(x') = 1С (^-) S (^-Тр-) ¦	D-15)
Докаж:ем теперь непрерывность функций С (ж) и S(x) в любой точке ж
бесконечной прямой. Заметим, что непрерывность функции S(x) в точке
ж = 0 справа непосредственно вытекает из соотношения D.7;) и из равенства
S@) = 0. В самом деле, если {хп} — произвольная последовательность
значений аргумента, сходящаяся к нулю справа, то из соотношения 0 <
< S(xn) < xn следует, что и соответствующая последовательность значений
функции {S(xn)} сходится к нулю, т. е. к частному значению 5@).
Из нечетности функции S(x) вытекает непрерывность этой функции
в точке ж = 0 слева. Таким образом, функция S(x) непрерывна в точке
ж = 0.
Непрерывность S(x) в любой точке ж вытекает из соотношения D.15). В
самом деле, пусть ж — любая точка бесконечной прямой, {хп} — произволь-
произвольная сходящаяся к ж последовательность значений аргумента. Положив в
D.15) х' = ж, х" = жте, будем иметь
(^p)(^^)	D.16)
) Функция /(ж), определенная на бесконечной прямой, называется
нечетной^ если f(—x) = —/(ж), и четной, если f(—x) = /(ж).

148	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
В силу того, что S(x) непрерывна в нуле и S@) = 0, получим, что
lim Ь 	) = 0. Поскольку последовательность < С 	 > ограни-
п-ч-оо V 2 /	IV2/J
ченная ), правая (а стало быть, и левая) часть D.16) имеет своим пределом
нуль. Но это означает, что Km S(xn) = S(x), т. е. функция S(x) непрерыв-
п-->оо
на в точке ж.
Аналогично доказывается непрерывность функции С(х). Для этого вме-
вместо D.15) нужно получить формулу
2 ) \ 2
2) Докажем, что значения функций S(x) в С (ж) определяются един™
ртг
ственным ооразом в точках ——, где р — целое положительное или отри-
Z
цательное число, а п — целое положительное число. Отметим, что такие
точки образуют всюду плотное множество точек числовой прямой. Предва-
Предварительно установим некоторые свойства функций S(x) и С(х). Установим,
во-первых, что эти функции периодические и имеют период 2тг 2). В самом
деле, полагая в D.15) х" = ж + 2тг и х' = ж, получим
S(x + 2тг) - S(x) = 2С(х + тгM(тг).
Так как 5*(тг) = S* f ^ + ^ J = 2S ( — ) С ( — ) =0, то из последнего соотно-
соотношения вытекает, что
т. е. функция S(x) периодическая и имеет период 2тг. Отсюда, в частности,
следует, что SBn) = 0.
Полагая во второй формуле D.5 ) ж =жиж = 2тг и учитывая, что
5Bтг) = 0, найдем
С(ж + 2тг) = С(ж)СBтг).
Так как СBтг) = 1 (в этом легко убедиться, применяя формулы D.5;) сна-
сначала для ж = тг/2 и ж = тг/2, а затем для ж = тг и ж = тг), то
L/ уХ -f~ Z7TJ — L/ \<L J.
Таким образом, периодичность С (ж) также установлена.
Свойство периодичности функций S(x) и С (ж) позволяет в наших рассу-
рассуждениях ограничиться сегментом [0, 2тг]. Мы установим сейчас, какие знаки
имеют значения функций 5*(ж) и С (ж) в различных точках этого сегмента.
Из D.6;), D.7;) и непрерывности S(ж) следует, что на сегменте [0, тг/2] значе-
значения функции 5(ж) неотрицательны, причем на этом сегменте функция 5(ж)
обращается в нуль только в точке ж = 0. Так как ^тг — ж) = 5(тг)G(—ж) —
- G(тгM(жK) и 5(тг) = 0, С(тг) = -1, то 5(тг - ж) = S(x). Поэтому на
сегменте [тг/2,тг] значения функции S(x) неотрицательны, причем на этом
г) Из соотношения 52(ж) + С2{х) = 1 вытекает, что |С(ж)| ^ 1 для всех ж,
Г (X + Хп\ 1
а отсюда вытекает ограниченность последовательности < G I	1 >.
) Функция /(ж) называется периодической с периодом а > 0, если для
любого ж справедливо соотношение /(ж + а) = /(ж).
) Эта формула вытекает из первой формулы D.5;) и нечетности функции
S(x).

ДОПОЛНЕНИЕ	149
сегменте функция S(x) обращается в нуль только в точке ж = тг. Из форму-
формулы БBтг — х) = —S(x), которая может быть получена аналогично формуле
^(тг — ж) = S(x)j вытекает, что на сегменте [тт, 2тт] значения функции S(x)
неположительны, причем функция S(x) обращается в нуль лишь на концах
этого сегмента. Рассуждая совершенно аналогично, можно убедиться, что
функция С(х) неотрицательна на сегментах [0,тг/2] и [Зтг/2, 2тг] и неполо-
жительна на сегменте [тг/2, Зтг/2] и обращается в нуль только в точках тг/2
и Зтг/2.
Для завершения доказательства единственности функций S(x) и С (ж)
нам понадобятся некоторые формулы, к выводу которых мы и переходим.
Во-первых, отметим, что из D.5;) вытекают следующие формулы 1):
Полагая в этих формулах ж = ж + ж и еще раз применяя формулы D.5 ),
мы и получим интересующие нас соотношения
х+х \ _ 1 - С (ж )С(х ) + S(x )S(x
)
2 )	2
2 fx'+x"\ _ l + C(x')C(x")-S(x')S(x")
v 2 ;	2
Эти формулы показывают, что если известны значения функций S(x)
х' + ж/;
и G(ж) в точках х ж х , то значения этих функций в точке ------------- опреде-
ляются единственным образом, поскольку из приведенных выше рассужде-
рассуждений следует, что нам известны знаки функций S(x) и С(х) в каждой точке
сегмента [0, 2тг], а следовательно, в силу их периодичности с периодом 2тг,
и в любой точке х числовой прямой. Исходя из известных и единствен-
единственным образом определенных значений S(x) и С(х) в точках 0, тг/2, тг, 2тг
сегмента [0, 2тг], мы можем, применяя последовательно только что получен-
полученные формулы, вычислить единственным образом значения этих функций
во всех точках вида ртт/2п сегмента [0, 2тг] (р и п — целые неотрицательные
числа, причем р ^ 2n+1). Так как множество точек вида ртг/2п плотно на
сегменте [0, 2тг], то, в силу сказанного в начале доказательства единствен-
единственности, функции S(x) и С(х) единственным образом определены на всей
числовой прямой.
2. Доказательство существованим. Мы докажем более общее утвер-
утверждение.
Существуют функции S(x) и С(х), определенные и непрерывные на
всей числовой прямой, удовлетворяющие требованиям:
1°. Для любых вещественных чисел ж;, х" и х выполняются соотно-
соотношения
S(xf + х") = S{x')C{x") + C{x')S{x"),
С{х + х") = С(х')С(х") - S(x')S(x"),	D.51)
) Достаточно во второй формуле D.5;) взять х = х" = ж/2, а в третьей
формуле D.5;) взять ж/2 вместо ж.

150	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
2°.
S(d) = 1, C(d) = 0,	^4'6 ^
где d — некоторое заданное положительное число.
3°. Существует положительное число L такое, что при 0 < х < d
справедливы неравенства
0<S(x)<Lx,	D.71)
причем, если d = тг/2, то L = 1.
Доказательство. Определим, во-первых, значения функций S(x)
и С(х) на множестве {s} точек сегмента [0, с?], каждая из которых может
быть представлена в виде s = —, где ржп — целые неотрицательные числа,
причем р < 2П. Предварительно мы определим значения этих функций в
точках sn = —¦, п = 0,1,... Так как sn+i = -^, то, используя формулы
D.17), мож:но полож;ить
S{sn+i) = S{ — ) =+\/	,
, „, ,	D.18)
Из соотношения C(d) = С I —^ 1 = C(so) = 0 с помощью рекуррентных
формул D.18) определяются значения S(x) и С(ж) во всех точках sn =
= d/2n. Дополнительно к указанным значениям S(x) и С(х) в точках sn
мы определим значения этих функций в точках 0 и d так, как это указано
в D.61).
Перейдем теперь к определению значений S{x) и С(х) во всех точках
T)d
множества {s}, s = —, р и п — целые неотрицательные числа, р < 2п.
Известно, что любое целое положительное число может быть единственным
образом представлено в виде суммы целых степеней числа 2 ):
где (ц равно либо нулю, либо единице. Поэтому
pa v^ aid ^r^
8= = 2 = 2ai
Таким образом, каждое значение s представимо в виде конечной суммы чи-
чисел Si, для каждого из которых значения S(si) и C(si) определены выше.
Мы можем теперь, используя формулы D.5 ), определить значения S(x)
)В двоичной системе счисления целое число р единственным образом
представляется в виде символа, состоящего из нулей и единиц. Этот сим-
символ и представляет собой краткую запись числа р в виде суммы степеней
числа 2.
2)См. сноску на с. 60.

ДОПОЛНЕНИЕ	151
и С (ж) в точках множества {s}. При этом мы должны убедитвся, что по-
последовательное применение этих формул приводит к одному и тому же
результату независимо от способа объединения слагаемых si в группы в
формуле D.19).	п
Например, мы можем положить s = ж + ж , где х = aisi иж = У^ ajSi,
г = 2
и затем вычислить S(s) по первой формуле D.5 ). Но также можно поло-
п
жить х = a\S\ + «2^2 и х" = J2 aisi- Чтобы убедиться, что последова™
г=3
тельное применение формул D.51) будет давать один и тот же результат
независимо от способа объединения слагаемых si в группы в сумме D.19),
достаточно, чтобы имели место соотношения
S[(x + х ) + х j = 5[ж + (x + ж )\
и
G[(ж +ж ) + ж j = C[x + (ж +ж )J.
Справедливость этих соотношений устанавливается непосредственно
путем двукратного применения формул D.5 ).
Убедимся теперь, что функции S(s) и C(s), определенные нами на мно-
множестве {s}, обладают свойством 1° на этом множестве. Пусть s;, sl! и s'' + sl!
принадлежат указанному множеству. Представим s , s и s + s в виде сумм
D.19). Объединяя входящие в s и s числа sn с одинаковыми п до тех пор,
пока оставшиеся sn не будут иметь различные индексы, мы придем к груп-
группировке слагаемых sn, дающей представление D.19) для числа s' + s". Но
выше мы показали, что результат вычисления S(s) или C(s) для суммы
нескольких аргументов не зависит от способа группировки слагаемых этой
суммы. Следовательно, если s;, sl! и s1 + sl! принадлежат множеству {s}, то
значения S(s) и C(s), вычисленные в этих точках, удовлетворяют первым
двум соотношениям D.5 ). В справедливости третьего соотношения D.5 )
для указанных значений аргумента убедиться нетрудно. В самом деле, из
определения S(x) и С(х) в точках 0 и d следует, что S2@) +С2@) = 1 и
S (d) + С (d) = 1. Из рекуррентных формул D.18) вытекает справедли-
справедливость соотношения S2{sn) + C2(sn) = 1 для всех sn, а из непосредственно
проверяемой формулы
S2{x + х") + С2{х + х") = (S2(x) + C2{x')){S2{x") + С2{х"))
следует справедливость соотношения S (s) + G (s) = l для всех точек мно™
ж:ества {s}.
Покажем теперь, что для всех точек множества {s}, отличных от 0 и d,
справедливы неравенства
О < S{s) < 1, 0 < С(з) < 1 х).	D.20)
Доказательство справедливости неравенств D.20) проведем по индук-
индукции. Для этого каждому п поставим в соответствие группу элементов мно-
множества {s}, относя в эту группу все элементы {s}, которые можно предста-
X)d
вить в виде —¦, где 0<_р<2пир — нечетное число. Элементы этой группы
)Напомним, что в точках 0 и d значения S(s) и C(s) определены форму-
формулами D.61).

152	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ	ГЛ. 4
будут называться элементами порядка п. Каждый элемент порядка п + 1
лежит между двумя последовательными элементами, порядок которых не
больше п и которые отличаются друг от друга на —, т. е. на sn. Первый
элемент порядка п+1 равен sn+i. Все остальные элементы порядка п+1 мо-
могут быть получены прибавлением к sn+i различных s порядка п. Вычислим
значения S(si) и C(si) (si — единственное значение s порядка единицы).
Имеем из D.18) S(s\) = д/1/2 и C{s\) = д/1/2. Таким образом, для эле™
ментов первой группы неравенства D.20) имеют место. Допустим теперь,
что неравенства D.20) имеют место для всех элементов, порядок которых
не выше п.
Тогда, в силу первой формулы D.51), значения S(s) во всех точках по-
порядка п + 1 положительны, а в силу третьей формулы D.5 ) эти значения
не больше единицы. Полагая в первой формуле D.51) х" = d, % = —s и
учитывая четность функции C(s), найдем, что C(s) = S(d — s), и поэтому
для C(s) справедливы неравенства D.20) для значений s порядка п+ 1, так
как, если s имеет порядок п + 1, то и d™ s также имеет порядок п + 1. По
индукции отсюда следует, что для всех точек множества {s}, отличных от 0
и dj справедливы неравенства D.20).
Докажем, что функции S(s) и C(s), определенные нами на множе-
стве {s}, монотонны на этом множестве. Именно, покажем, что S(s) —
возрастающая функция, a C(s) — убывающая функция. Пусть 0 ^ sf <
i . // // /
< s" < d. Тогда —-— и —-— заключены строго между нулем и d. Из
формулы D.15) и из неравенств D.20) следует, что S(sff) > S(sf). Следо-
Следовательно, S(s) — возрастающая функция. Из соотношения C(s) = S(d — s)
следует, что C(s) — убывающая на множестве {s} функция.
Докажем теперь, что функции S(s) и C(s), определенные на всюду
плотном множестве {s} точек сегмента [0,с?], имеют предельное значе-
значение в каждой точке сегмента [0,d].
Рассмотрим, во-первых, последовательность {sn} и покажем, что
Km S(sn) = 0 и Km C(sn) = 1 (существование этих пределов следует
те->оо	те—>оо
из монотонности и ограниченности S(s) и C(s) на множестве {s}). Для до-
(t(sn)}	( . S(sn)
<	>, где t(sn) = —-—-.
I sn J	C(sn)
Из D.18) имеем
казательства рассмотрим последовательность
2S(sn+1)C(sn+1) = л/1-С2{зп) = S(sn)
C(sn) = C2{sn+1) - S2(sn+1) < C2(sn+1).
Поэтому
t(sn) _ S(sn) _ 2S(sn+i)C(sn+i) _ t(sn+1) C2(sn+1) > t(sn
+i)
sn snC(sn)	2sn+iC(sn)	sn+\ C(sn)	sn+\
тж	*(S«) ^ t(sn+i) t(sn) ^ A	,,
Итак, ——- > —	 и ——- > 0 при любом гг, т. е. последовательность
Sn	«Sn + l	^n
\ —— \ убывающая и ограниченная. По теореме 3.15 она имеет предел,
I sn J
который мы обозначим через L:
цт *W = L.	D.21)
n->oo Sn

ДОПОЛНЕНИЕ	153
Так как sn —> 0 при п —> оо, то lira. t(sn) = 0, и поэтому, в силу ограничен-
те—^оо
ности функции C(s) (см. D.20))
lim S(sn) = lim (i(sn)C(sn)) = 0.	D.22)
n—>oo	n—>oo
Поскольку C(s) > 0, из D.22) и соотношения 52(sn) + C2(sn) = 1 вытекает,
что
lim C(sn) = 1.	D.23)
те—>оо
Отметим, что из D.21) и D.23) следует, что
lim v 7 = L.	D.24)
те^оо Sn
_	?(вта)	25(sn+i)C(sn+i)	5(sn+i)
1ак как ^—^— = ^^^^^—^^^^^— <	, то последовательность
( ,	«те	25те+1	Sn+1
i —^г2 I ВОЗрастает> Поэтому из D.21) и D.24) имеем
I sn J
«те	«те
ИЛИ
S(sn) <L-sn <t(sn).	D.25)
Пусть {s* } — любая сходящаяся к нулю последовательность значений s
из множества {s}. Для любого п можно, очевидно, указать такой номер к,
что 0 < sn < Sfc. Отсюда, в силу монотонности S(s) на множестве {«}, имеем
О < S(sn) < S(sk). Поэтому из D.22) следует, что lim 5(s*) = 0.
те—>оо
Докажем теперь, что функция 5(s), определенная на множестве {s} ),
имеет предельное значение в любой точке х сегмента [0,d]. Пусть {s'n} —
монотонно возрастающая, сходящаяся к х последовательность элементов
множества {s}. Так как {S(s;n)} — возрастающая ограниченная после-
последовательность, то существует предел lim S(sn), который мы обозначим
п—>оо
через S(x). Пусть {s^} — любая сходящаяся к х последовательность эле-
ментов множества {s} (s^ ф ж). Тогда последовательность < \—	— > име-
имеет предел нуль. Согласно доказанному lim S[ п п ) = 0. Из D.15) и
те->сю \	2	/
ограниченности функции C(s) имеем
lim \S(s'n) - S(sn)\ = lim С
те—>оо
= 0.
2
Иными словами, lim S(s'n) = S(x). В силу произвольности последова-
п—->схэ
тельности {s'n} это означает существование предельного значения функ-
функции S(s)j определенной на {s}, в каждой точке х сегмента [0,d]:
lim S(s) = S(x).
s—Ух
Из соотношения S (s) + G (s) = 1 и неотрицательности функции C(s)
на множестве {s} следует существование предельного значения функ-
функции C(s) в каж:дой точке сегмента [0, с?]. Мы будем обозначать предельное
значение этой функции в точке х символом С(х).
г) Напомним, что {s} — всюду плотное множество точек сегмента [0,d].

154	ПОНЯТИЕ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ГЛ. 4
Определим теперь значения функций S(x) и С(х) в любой точке х
сегмента [0, с?] как предельные значения в точке х функций S{s) и C(s),
определенных на множестве {s~}. Докажем, что так определенные функции
S(x) и С (ж) обладают свойствами 1° и 2° утверждения, сформулированного
в начале доказательства существования функций S(x) и С(х). Предвари-
Предварительно установим, что определенные указанным выше способом на сегменте
[О, с?] функции S(x) и С(х) монотонны и непрерывны на этом сегменте. Во™
первых, докажем, что если х — любое число из сегмента [0, с/], a s и s —
любые числа из множества {s}, удовлетворяющие неравенству s < х < sff,
то S(sf) < S(x) < S(s"), C(sf) > C(x) > C(sff). Установим, например, что
S(sf) < S(x) (неравенства S(x) < S(sff) и C(sf) > C(x) > C{s") доказыва-
доказываются аналогично). Пусть {sfn} — сходящаяся к ж, возрастающая последо-
последовательность чисел множества {s}, все элементы s'n которой удовлетворяют
неравенствам s < sn < х. Так как на множестве {s} функция S(s) возраста-
возрастает, то последовательность {S(sn) — S(s )} возрастает и имеет положительные
элементы. Поэтому предел S(x) — S(sf) х) этой последовательности положи-
положителен. Таким образом, S(sf) < S(x). Докажем теперь, что функция S(x)
возрастает на сегменте [0,d] (доказательство убывания функции С(х) на
этом сегменте проводится аналогично). Пусть жиж — любые два числа
сегмента [0, d], удовлетворяющие неравенству х1 < х". Если sf — некоторое
число множества {s}, заключенное между х и ж/;, х < s < x\ то по до-
доказанному S(xf) < S(s') и S(sf) < 5(ж"), т. е. S(xf) < S(x/f). Монотонность
функции S(x) на [0, с?] доказана. Претсде чем перейти к доказательству
непрерывности функций S(x) и С(х), установим, что предельные значе-
значения функций S(s) и C(s) в точках множества {s} совпадают со значени-
значениями этих функций в соответствующих точках множества {s}.
Рассмотрим произвольное число s множества {¦§} и две сходящиеся к s
последовательности {sfn} и {s^} элементов множества {s} таких, что sn <
<	s < s'n. В силу монотонности функции S{s) на множестве {s} справедли-
справедливы неравенства S(sfn) < S(s) < S(s'n) 2). Так как lim S(sfn) = lim S(s'n) и
n—>oo	n—>oo
указанные пределы равны предельному значению в точке s функции S(s),
то только что сформулированное утверждение доказано. Убедимся теперь,
что функции S(x) и С(х) непрерывны в каждой точке сегмента [0, d]. Для
этого достаточно установить, что эти функции непрерывны в каждой точ-
точке ж указанного сегмента слева и справа, непрерывны справа в точке 0 и
непрерывны слева в точке d (см. замечание в п. 1 § 3). Докажем ради опре-
определенности непрерывность функции S(x) в точке ж сегмента [0, с?] слева
(непрерывность справа и непрерывность С(х) доказывается аналогично).
Пусть {s^} — некоторая сходящаяся к ж слева последовательность чисел
множества {s}. Так как lim S(sfk) = 5(ж), то для любого е > 0 можно ука™
fc--»OG
зать элемент s'k этой последовательности, для которого 0 < S{x) — S{s'k) <
<	s. Рассмотрим теперь произвольную сходящуюся к ж слева последова-
последовательность {жп}.
Пусть N — номер, начиная с которого выполняются неравенства sk <
<	хп < х. В силу возрастания функции при п ^ N выполняются неравен-
г) Поскольку lim S(sfn) = S(ж), a S(sf) - фиксированное число, то
lim [S(sfn) - S(sf)]*=S(x) - S(sf).
n—>oo
2) Ради определенности мы доказываем это утверждение для функ-
функции S(x).

ДОПОЛНЕНИЕ	155
ства S(s'k) < S(xn) < S(x). Сопоставляя их с неравенствами 0 < S(x) —
~~ S(sfk) < е, получим, что при п ^ N справедливы неравенства 0 < S(x) —
— S{xn) < е. Иными словами, предельное значение функции S(x) в точке х
слева равно частному ее значению в этой точке. Таким образом, непрерыв-
непрерывность S(ж) в точке х слева доказана.
Определим теперь функции S(x) и С(х) на сегменте [с?, 2с?] с помощью
соотношений S(x + с?) = С(х) и С(х + d) = —S(x). Применяя эти формулы
еще раз, распространим эти функции на сегмент [ 2с?, 4с?]. Повторяя эти рас-
рассуждения, мы определим эти функции для всех положительных значений х.
Для отрицательных значений х мы определим эти функции с помощью
соотношений S(x) = —S(—x) и С{х) = С(—х). Легко убедиться, что в ре-
результате мы получим функции, непрерывные на всей бесконечной прямой.
Докажем, что функции S(x) и С(х) удовлетворяют требованиям 1°, 2°
и 3° утверждения, сформулированного в начале доказательства существо-
существования. Заметим, что если s , s , s + s и s принадлежат множеству {s}
сегмента[О,с?], то для этих значений аргумента формулы D.51) имеют ме-
место. Из указанного выше способа продолжения функций S(x) и С(х) следует
справедливость этих формул для значений аргумента с? + s', s", где s' и s"
принадлежат сегменту [0, с?]. Повторяя эти рассуждения, мы докажем, что
соотношения D.51) справедливы для всех значений аргумента бесконечной
прямой вида pd/2n, где ршп — любые целые числа. Так как эти значения ар™
гумента образуют всюду плотное множество точек бесконечной прямой ),
то, в силу непрерывности функций S(x) и С(х), соотношения D.51) будут
справедливы для всех значений х.
Поскольку требование 2° выполнено в результате построения функций
S(x) и С(ж), остается убедиться в справедливости требования 3°. Отметим,
что если s;, s" и s1 + s" — элементы множества {s} сегмента [0, с?] и спра-
справедливы неравенства 0 < S(V) < Ls' и 0 < S{s") < Ls", то, в силу первой
формулы D.5 ) и неравенств D.20), выполняются также неравенства 0 <
<	S(sf + sff) < Ls' + Ls1' = L(s' + s"). Используя это замечание, формулу
D.19) и неравенства D.20) и D.25), легко убедиться, что неравенства 0 <
<	S(s) < Ls справедливы для всех s из множества {s} сегмента [Q,cf]. Так
как это множество всюду плотно на [0, с?], a S(x) — непрерывная функция,
то для всех х из [0,с?] имеют вместо неравенства 0 < S(x) < Lx. Справед-
Справедливость требования 3° установлена.
Заметим теперь, что число L зависит от выбора d. Именно, если вместо d
выбрать число d* = d/k, то тогда s^ = sn/k. По построению S(sn) :=: S(sn),
и поэтому Ит ^^ = lim k^^- = kL (см. D.24)). Выбирая k = 1/L,
п-^оо Sn	n-^oo	Sn
мы определим на сегменте [0, с?*] такие функции S(x) и С(х), что будут
выполняться неравенства 0 < S(x) < х.
Геометрические соображения показывают, что если d = тг/2, то 2S(sn) —
длина стороны правильного 2п-угольника, вписанного в окружность ради-
радиуса 1, 2sn — длина дуги окружности, стягиваемой хордой длины 2S(sn),
и 2t(sn) — длина стороны правильного 2п-угольника, описанного вокруг
этой окружности. Неравенства D.25) в этом случае имеют вид S(sn) <
<	sn < t(sn). Поэтому в указанном случае L = 1. Утверждение полностью
доказано.
1) См. сноску 2) на с. 146.

ГЛАВА 5
ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ
В этой главе вводятся понятия производной и дифференциа-
дифференциала, устанавливаются правила дифференцирования, вычисляют™
ся производные всех простейших элементарных функций, уже
выписанные нами в гл. 1. Далее рассматриваются производные
и дифференциалы высших порядков.
§ 1. Производная. Ее физическам
и геометрическая интерпретация
1. Приращение аргумента и функции. Разностная
форма условия непрерывности. Пусть функция у = /(ж)
определена на некотором интервале1) (а,Ь). Фиксируем любое
значение ж из указанного интервала и зададим аргументу в точ-
точке ж произвольное приращение Ах такое, что значение х + Ах
также принадлежит интервалу (а, Ъ). Приращением функции
у = f(x) в точке ж, соответствующим приращению аргумента
Дж, назовем число
Ay = f(x + Ax)-f(x).	E.1)
Так, для функции у = sin ж приращение в точке ж5 соответ-
соответствующее приращению аргумента Аж, равно
(Д, гр \	Д, гр
х + — 1 sin —.	E.2)
Z у	Z
Имеет место следующее утверждение: для того чтобы
ция у = /(ж) являлась непрерывной в точке ж, необходимо и
достаточно^ чтобы приращение Ау этой функции в точке ж,
) Вместо интервала (а,Ь) можно рассматривать сегмент [а, Ь], полупря-
полупрямую, всю бесконечную прямую и вообще любое плотное в себе множество
{ж}. Определение плотного в себе множества {ж} дано в § 3 гл. 2.

ПРОИЗВОДНАЯ	157
соответствующее приращению аргумента Дж, являлось беско-
бесконечно малым при Ах —>> 0.
В самом деле, по определению, функция у = /(ж) непрерывна
в точке ж, если существует предельное значение
f(x).	E.3)
В силу п. 3 § 2 гл. 4 существование предельного значения E.3)
эквивалентно тому, что функция [f(x+Ax) — f(x)] аргумента Ах
является бесконечно малой при Ах —>> 0.
Доказанное утверждение позволяет выразить условие непре™
рывности функции у = f(x) в точке х в новой форме, а именно:
функция у = }'{х) непрерывна в точке ж, если приращение Ау
этой функции в точке ж, соответствующее приращению аргу-
аргумента Аж, является бесконечно малым при Ах —>• 0, т. е. если
lim Ay = lim [/(ж + Аж) - /(ж)] = 0.	E.4)
Дж^О	Дж^О
Условие E.4) мы и будем называть разностной формой условия
непрерывности функции у = /(ж) в точке ж. Это условие мы
будем неоднократно использовать в дальнейшем.
С помощью условия E.4) еще раз убедимся в том, что функ™
ция у = sin ж непрерывна в любой точке ж бесконечной прямой.
В самом деле, из формулы E.2), из условия
и из равенства lim sin-— = 0 непосредственно вытекает, что
lim Ay = 0.
Ах
cos (ж + —
V	^
2. Определение производной. Сохраним для функции
у = /(ж) предположения и обозначения, сформулированные в
начале предыдущего пункта.
Считая, что Аж ф 0 рассмотрим в данной фиксированной
точке ж отношение приращения Ау функции в этой точке к со™
ответствующему приращению аргумента Аж
Ay _ fjx + Ах) - /Qc)	f, ,,
А^ " 	А^	•	E*5)
Отношение E.5) будем называть разностным отношением (в
данной точке ж). Поскольку значение ж мы считаем фиксиро-
ванным^ разностное отношение E.5) представляет собой функ-
функцию аргумента Аж. Эта функция определена для всех значе™
ний аргумента Аж, принадлежащих некоторой достаточно ма-
малой окрестности точки Аж = 0, за исключением самой точки
Аж = 0. Таким образом, мы имеем право рассматривать вопрос
о существовании предела указанной функции при Аж —>• 0.
Определение. Производной функции у = /(ж) в
данной фиксированной точке ж называется предел при Ах —>> 0

158 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
разностного отношения E.5) (при условии, что этот предел
существует).
Производную функции у = f(x) в точке х будем обозначать
символом у1 (х) или f'(x). Итак, по определению,
?i ( \ т А г/ 1. /(ж + Аж) —/(ж)	(г г\
f (х) = lim -т-^ = lim —	^——^.	E.6)
Отметим, что если функция у = f(x) определена и имеет произ-
производную для всех х из интервала (а, Ь), то эта производная будет
представлять собой некоторую функцию переменной ж, также
определенную на интервале (а, Ь).
3. Производная с физической точки зрения. Понятие
производной мы ввели, исходя из физических соображений, еще
в гл. 1. Здесь мы еще раз остановимся на физических приложе-
приложениях понятия производной.
Прежде всего, предположим, что функция у = f(x) описы-
описывает закон движения материальной точки по прямой линии
(т. е. зависимость пути у, пройденного точкой от начала отсче-
отсчета, от времени х). Тогда, как известно, разностное отношение
E.5) определяет среднюю скорость точки за промежуток вре™
мени от х до х + Ах. В таком случае производная /;(ж), т. е.
предел разностного отношения E.5) при Ах —>• 0, определяет
мгновенную скорость точки в момент времени х. Итак, про-
производная функции, описывающей закон движения, определяет
мгновенную скорость точки.
Чтобы не создалось представление о том, что понятие про-
производной широко используется только в механике, приведем
примеры приложения понятия производной из других разделов
физики.
Пусть функция у = f(x) определяет количество электриче-
электричества у, протекшего через поперечное сечение проводника за вре-
время х. (При этом момент времени х = 0 берется за начало отсче-
отсчета.) В таком случае производная ff(x) будет определять силу
тока^ проходящего через поперечное сечение проводника в мо-
момент времени х.
Рассмотрим, далее, процесс нагревания некоторого тела.
Предположим, что функция у = f(x) определяет количество
тепла1) у, которое нужно сообщить телу для нагревания это™
го тела от 0 до х°. Тогда, как известно из курса элементарной
физики, разностное отношение E.5) определяет среднюю теп-
лоемкость тела при нагревании его от х° до (х + Ах)°. В таком
случае производная /;(ж), т. е. предельное значение разностного
отношения E.5) при Аж —)> 0, определяет теплоемкость тела
Выраженное, например, в калориях.

ПРОИЗВОДНАЯ
159
при данной температуре ж. Подчеркнем, что эта теплоемкость,
вообще говоря, меняется с изменением температуры ж.
Мы рассмотрели примеры приложения понятия производной
в трех разных областях физики. При изучении курса общей фи™
зики читатель встретится с другими многочисленными приме-
примерами приложения понятия производной.
4. Производная с геометрической точки зреним. В § 2
гл. 1 мы рассматривали задачу о нахождении касательной к
кривой, являющейся графиком функции у = f(x) (на некото™
ром интервале (а,Ь)). Там мы дали определение касательной к
указанной кривой в точке M(x,f(x)) этой кривой. (Здесь х —
некоторое значение аргумента из интервала (а, Ь); см. рис. 5.1.)
Если через Ах обозначить произвольное приращение аргумен™
та, а символом Р обозначить точку на кривой с координатами
(х + Дж, f(x + Дж)), то ка™
сательную, проходящую че-
через точку М данной кривой,
мы определяем как предель-
предельное положение секущей МР
при Дж^О. Из рис. 5.1 ясно,
что угловой коэффициент се™
кущей МР (т. е. тангенс угла
наклона этой секущей к оси
Ох) равен разностному отно-
отношению E.5). Из этого факта
У
>f(x+Ax)-f(x)
О а ф(Ах) х x+Axb x
Рис. 5.1
и из того, что в пределе при
Дж^О угол наклона секущей
должен переходить в угол на-
наклона касательной, мы в § 2 гл. 1 сделали основанный на на-
наглядных соображениях вывод о том, что производная /;(ж) рав-
равна угловому коэффициенту касательной в точке М к графику
функции у = /(ж).
В настоящем пункте мы уточним указанные наглядные со-
соображения. Предположив, что функция у = /(ж) имеет произ™
водную в данной точке ж, мы докажем: 1) что график функции
у = f(x) имеет касательную в данной точке Ж(ж,/(ж)), 2) что
угловой коэффициент указанной касательной равен /;(ж).
Будем доказывать утверждения 1) и 2) одновременно. Обо-
Обозначим угол наклона секущей МР к оси Ох символом (р(Ах).
Поскольку угловой коэффициент секущей МР (т. е. tgip(Ax))
равен отношению
Ay
то
<р(Ах) = arctg
E.7)
при любом достаточно малом Дж, отличном от нуля. Из суще™
ствования производной /;(ж), т. е. из существования предель™

160 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
ного значения lim -т-^ = ff(x) и из непрерывности функции
А^О Ах
и= arctg х для всех значений аргумента вытекает существование
предельного значения функции E.7) в точке Ах = 0 и равенство
lim ш(Ах) = lim arctg-^ = arctg/'(ж).	E.8)
Аж^О Аж^О Ах
Равенство E.8) доказывает существование предельного значе-
значения (при Ах —>> 0) угла наклона секущей МР, т. е. доказывает
существование касательной к точке М. Кроме того, из равенства
E.8) вытекает, что если обозначить угол наклона касательной
через ср0, то щ = arctg/'(ж), т. е. tg^0 = f(x).
5. Правам и левая производные. В полной аналогии с по-
понятиями правого и левого предельных значений функции вво-
вводятся понятия правой и левой производных функции у = f(x)
(в данной точке х).
Определение. Правой (левой) произ-
производной функции у = f(x) в данной фиксированной точ~
ке х называется правое (левое) предельное значение разностного
отношения E.5) в точке Ах = 0 (при условии, что это пре-
предельное значение существует).
Правую производную функции у = f(x) в точке х обычно
обозначают символом /;(ж+0), а левую производную в точке х —
символом ff(x — 0).
Если функция у = f(x) имеет в точке х производную , то
она имеет в этой точке и правую^ и левую производные^ совпа-
совпадающие между собой. Если функция у = f(x) имеет в точке х
и правую^ и левую производные и если указанные производные
совпадают между собой^ то функция у = f(x) имеет в точке х
производную1). Вместе с тем существуют функции, имеющие в
данной точке х и правую, и левую производные, но не имеющие
производной в этой точке. Примером такой функции может слу-
служить функция
„, ч	I +ж, если х ^ 0,
f(x) = \x\ = (
I —ж, если х < и.
Эта функция имеет в точке х = 0 правую производную, равную
т Ах 1	,. -Ах 1
lim -— = 1, и левую производную, равную lim —А—= — 1,
Ах	J F	J ' F J Аж^О^О Ах
но не имеет в точке х = 0 производной.
6. Понятие производной векторной функции. В математическом
анализе и его приложениях часто встречаются понятия векторной функции
и ее производной.
) Это утверждение следует из соответствующего утверждения для право-
правого и левого предельных значений функции (см. замечание из п. 1 § 2 гл. 4).

ПРОИЗВОДНАЯ
161
Если каждому значению переменной t из некоторого множества {t}
ставится в соответствие по известному закону определенный вектор а,
то говорят^ что на множестве {t} задана векторная функция а = a(t).
Так как каждый вектор а в заданной декартовой прямоугольной систе-
системе однозначно определяется тремя координатами ж, у и z, то задание век-
векторной функции а = a(t) эквивалентно заданию трех скалярных функций
х = x(t), у = y(t) и z = z(t).
Понятие векторной функции становится особенно наглядным, если
обратиться к так называемому годографу этой функции.
Годографом называется геометрическое место концов всех векторов
a(t), приложенных к началу координат О. Кривая L на рис. 5.2 предста-
представляет собой годограф векторной функции а = a(t).
Понятие годографа векторной функции представляет собой обобщение
понятия графика скалярной функции.
Введем понятие производной вектор™
ной функции a(t) в данной фиксирован-
фиксированной точке t. Для этой цели придадим
аргументу t произвольное приращение
At / 0 и рассмотрим вектор Аа = a(t +
+ At) — a(t) (на рис. 5.2 указанный век-
вектор совпадает с вектором МР). Умножив
указанный вектор на число I/At, мы по-
получим новый вектор
М
E.5*
У
Рис. 5.2
коллинеарный прежнему. Вектор E.5 )
является аналогом разностного отноше-
отношения E.5). Отметим, что вектор E.5 ) представляет собой среднюю скорость
изменения векторной функции на сегменте [t,t + At].
Производной векторной функции а = a(t) в данной фиксированной точ-
точке t называется предел при At —»¦ 0 разностного отношения E.5*).
Производная векторной функции a(t) обозначается символом a;(t)
или da/dt.
Из геометрических соображений очевидно, что производная векторной
функции а = a(t) представляет собой вектор, касательный к годографу
этой функции.
Так как координаты разностного отношения E.5 ) соответственно
равны
x(t + At) - x(t) y(t + At) - y(t) z(t + At) - z(t)
At
At
At
то ясно, что координаты производной a;(t) равны производным функций
х''(?), |/(t), z'(t). Таким образом, вычисление производной векторной функ-
функции сводится к вычислению производных ее координат.
Замечание 1. Так как векторная функция а = a(t) определяет
закон движения материальной точки по кривой L, представляющей собой
годограф этой функции, то производная a;(t) равна скорости движения по
указанной кривой.
Замечание 2. Из курса аналитической геометрии известны раз-
различные типы произведений векторов (скалярное произведение, векторное
6 В.А. Ильин, Э.Г. Позняк, часть I

162	ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	ГЛ. 5
произведение и смешанное произведение). Выражение всех этих произведе-
произведений в координатах дает возможность указать правила, по которым вычис-
вычисляются производные соответствующих произведений векторных функций.
В качестве примера приведем правило вычисления производной скалярного
произведения двух векторных функций a(t) = {ai(t),a2(t),as(t)} и b(t) =
{b()b()&()}
Mt)h(t)}f = a!(t)h(t) + a(*)b'(t) = K(i)b!(t) + af2(t)b2(t) +
+ a'3(t)b3(t)} + {cuity'^t) + a2{t%{t)
Аналогичное правило справедливо и для векторного произведения двух
векторных функций:
[a(t)h(t)]f = [af
§ 2. Понмтме дифференцируемости функции
1. Понмтие дифференцируемости функции в данной
точке. Пусть, как и в пп. 1, 2 предыдущего параграфа, функ-
функция у = f(x) определена на некотором интервале (а, Ь), симво-
символом ж обозначено некоторое фиксированное значение аргумента
из указанного интервала, а символом Ах обозначено любое при-
приращение аргумента, такое, что значение аргумента ж + Ах также
принадлежит (а, Ь).
Определение. Функция у = f(x) называется диффе-
дифференцируемой в данной точке ж, если приращение Ау этой
функции в точке ж, соответствующее приращению аргумента
Дж, моэюет быть представлено в виде
Ау = ААх + оДж,	E.9)
где А — некоторое число^ не зависящее от Аж, а а — функция
аргумента Аж, являющаяся бесконечно малой при Ах —> 0.
Заметим, что функция а(Ах) может принимать в точке Аж =
= 0 какое угодно значение (при этом в этой точке остается спра-
справедливым представление E.9)). Ради определенности молено по-
положить а@) = О1).
Так как произведение двух бесконечно малых аАх является
бесконечно малой более высокого порядка, чем Аж (см. п. 3 § 2
гл. 4), т. е. аАж = о(Аж), то формулу E.9) можно переписать в
виде
Ау = у4Дж + о(Дж).
Теорема 5.1. Для того чтобы функция у = /(ж) являлась
дифференцируемой в данной точке ж, необходимо и достаточно,
чтобы она имела в этой точке конечную производную.
) При этом частное значение функции а(Аж) в точке Аж = 0 будет
совпадать с ее предельным значением в этой точке.

§ 2	ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ	163
Доказательство. 1) Необходимость.
Пусть функция у = f(x) дифференцируема в данной точке ж,
т. е. ее приращение Ау в этой точке представимо в виде E.9).
Предположив, что Ах / 0 и поделив равенство E.9) на Дж,
получим
^| = А + а.	E.10)
Из равенства E.10) вытекает существование производной, т. е.
предельного значения lim -r^- = А.
2) Достаточность. Пусть функция у = f(x) имеет
в данной точке х конечную производную, т. е. существует пре-
предельное значение
lim *У = /'(дЛ	E.11)
В силу определения предельного значения функция а = -г-^ —
^ff(x) аргумента Ах является бесконечно малой при Ах —>• 0,
т. е.
Ay = ff(x)Ax + «Дж,	E.12)
где lim а = 0. Представление E.12) совпадает с представле»
Аж^О
нием E.9), если обозначить через А не зависящее от Ах число
ff(x). Тем самым доказано, что функция у = f(x) дифференци-
дифференцируема в точке х.
Доказанная теорема позволяет нам в дальнейшем отожде-
отождествлять понятие дифференцируемости функции в данной
точке с понятием существования у функции в данной точке
производной.
Операцию нахождения производной в дальнейшем догово™
римся называть дифференцированием.
2. Свмзь между понятиями дифференцируемости и
непрерывности функции. Имеет место следующее элемен™
тарное утверждение.
Теорема 5.2. Если функция у = f(x) дифференцируема в
данной точке ж, то она и непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция у = f(x) диффе™
ренцируема в точке ж, то ее приращение Ау в этой точке может
быть представлено в виде E.9). Но из формулы E.9) вытекает,
что lim Ay = 0, т. е. функция у = fix) непрерывна в точке х
в силу разностной формы условия непрерывности (см. п. 1 § 1).
Теорема доказана.
Естественно, возникает вопрос о том, справедливо ли утвер-
утверждение, обратное теореме 5.2, т. е. вытекает ли из непрерыв™
ности функции в данной точке ее дифференцируемость в этой

164 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
точке. На этот вопрос следует дать отрицательный ответ, ибо
существуют функции непрерывные в некоторой точке, но не яв™
ляющиеся в этой точке дифференцируемыми. Примером такой
функции может служить функция у = |ж|. Очевидно, что эта
функция непрерывна в точке ж = 0, но она (как показано в конце
п. 5 § 1) не является дифференцируемой в этой точке. Отметим,
что существуют непрерывные на некотором сегменте функции,
не имеющие производной ни в одной точке этого сегмента1).
3. Понмтие дифференциала функции. Пусть функция
у = /(ж) дифференцируема в точке ж, т. е. приращение Ау
этой функции в точке ж может быть записано в виде E.9). Ана-
Анализируя формулу E.9), мы приходим к выводу, что прираще-
приращение Ау дифференцируемой функции представляет собой сумму
двух слагаемых: первое из этих слагаемых ААх при А ф 0 пред-
представляет собой функцию приращения аргумента Дж, линейную
и однородную2) относительно Ах; это слагаемое представляет
собой при Ах —> 0 бесконечно малую такого эюе порядка, что
и Ах; второе слагаемое аДж представляет собой при Аж —>> О
бесконечно малую более высокого порядка^ чем Аж, так как от-
отношение —-— = а стремится к нулю при Аж —>> 0. Таким обра™
зом, при А ф 0 первое слагаемое ААх является главной частью
приращения дифференцируемой функции. Эту главную часть
приращения называют дифференциалом функции в точке ж, со-
соответствующим приращению аргумента Аж.
Итак, в случае А ф 0 дифференциалом функции у = /(ж)
в данной точке ж, соответствующим приращению аргумента
Аж, называют главную линейную относительно Ах часть при-
приращения этой функции в точке ж. Принято обозначать диффе-
дифференциал функции у = /(ж) символом dy. Если для приращения
функции Ау справедливо представление E.9), то дифференциал
этой функции, по определению, равен
dy = ААх.	E.13)
В случае А = 0 слагаемое ААх перестает быть главной частью
приращения Ау дифференцируемой функции (ибо это слагае-
слагаемое равно нулю в то время, как слагаемое аДж, вообще говоря,
отлично от нуля). Однако договариваются и в случае А = 0
) Первый опубликованный пример такой функции принадлежит Вейер™
штрассу. Ранее независимо от него аналогичный пример был построен чеш-
чешским математиком Больцано, но этот пример не был опубликован. В До-
Дополнении к гл. 11 будет указан пример такой функции.
' ) Напомним, что линейной функцией аргумента х называется функция
вида у = Ах + В, где А и В — некоторые постоянные. В случае В = 0
линейная функция называется однородной.

ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ
165
У1
0
F
/А
-А
X
Ах
N
х^Ах х
определять дифференциал функции формулой E.13), т. е. счи™
тают, что он равен нулю в этом случае.
Если учесть теорему 5.1, т. е. учесть, что А = /;(ж), то фор™
мулу E.13) можно переписать в виде
dy = f'(x)Ax.	E.14)
Формула E.14) дает выражение дифференциала функции в точ-
ке ж, соответствующего приращению аргумента Ах. Следует
подчеркнуть, что дифференциал функции dy в данной точке ж,
вообще говоря, не равен прираще-
приращению функции Ау в этой точке. Это
особенно легко уяснить из рассмо-
рассмотрения графика функции у = f(x)
(рис. 5.3). Пусть точка М на кри-
кривой у = f(x) соответствует зна™
чению аргумента ж, точка Р на
той же кривой соответствует зна™
чению аргумента х + Дж, MS —
касательная к кривой у = /(ж) в
точке М. Пусть далее MN || Ож,
PJV || Of/, Q — точка пересечения
касательной MS с прямой PN. То-
Тогда приращение функции Ау рав-
равно величине отрезка NP. В то же время из прямоугольного тре-
треугольника MQN и из формулы E.14) ясно, что дифференциал
функции dy равен величине отрезка NQ, ибо величина отрезка
MN равна Аж, а тангенс угла AQMN равен /;(ж). Очевидно,
что величины отрезков NP и NQ, вообще говоря, различны.
В заключение этого пункта мы установим выражение для
дифференциала функции у = /(ж), аргумент ж которой явля-
является независимой переменной1).
Введем понятие дифференциала dx независимой перемен-
переменной х. Под дифференциалом dx независимой переменной ж мож-
можно понимать любое (не зависящее от ж) число. Договоримся в
дальнейшем брать это число равным приращению Аж независи-
независимой переменной2). Эта договоренность позволяет нам перепи-
переписать формулу E.14) в виде
dy = f'(x)dx.	E.15)
Подчеркнем, что формула E.15) пока что установлена нами
лишь для случая, когда аргумент ж является независимой пе-
Рис. 5.3
) Подчеркнем, что аргумент х функции у = /(ж), вообще говоря, сам
может являться функцией некоторой переменной.
) Эта договоренность оправдывается рассмотрением независимой пере-
переменной х как функции вида у = ж, для которой dy = dx = Аж.

166 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
ременной. Однако ниже, в § 9, мы докажем, что формула E.15)
остается справедливой и для случая, когда аргумент х не явля-
является независимой переменной, а сам представляет собой диффе-
дифференцируемую функцию некоторой новой переменной.
Пока что мы можем сделать следующий вывод из формулы
E.15): для случая, когда аргумент х функции у = f(x) является
независимой переменной, производная ff(x) этой функции рав-
равна отношению дифференциала функции dy к дифференциалу
аргумента dx, т. е.
f'(x) = dy/dx.
В § 9 будет доказано, что это соотношение справедливо и в слу-
случае, когда аргумент х сам является дифференцируемой функ-
функцией некоторой новой переменной.
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности,
произведения и частного
Теорема 5.8. Если каждая из функций и(х) и v(x)
ференцируема в данной точке х1 то сумма^ разность, произ-
ведение и частное этих функций (частное при условии^ что
v(x) Ф 0) также дифференцируемы в этой точке^ причем име-
имеют место формулы
[и(х) ± v(x)]' = и{х) ± v'{x),
[u(x)v(x)]f = uf(x)v(x) + u(x)v'(x),	E.16)
[и(х)У 	 и (x)v(x) — u(x)vf(x)
v(x) J	v'2(x)
Доказательство. Рассмотрим отдельно случаи суммы
(разности), произведения и частного.
1°. Пусть у(х) = и(х) ± v(x). Обозначим символами Аи, Av
и Ау приращения функций и (ж), v(x) и у (х) в данной точке ж,
соответствующие приращению аргумента Ах. Тогда, очевидно,
Ау = у(х + Ах) — у(х) =
= [и(х + Ах) ± v(x + Ах)] - [и(х) ± v(x)} =
= [и(х + Ах) — и(х)] =Ь [v(x + Ах) — v(x)] = Аи ± Av.
Таким образом, при Ах ф 0
Ау _ Аи , Av	/r 1?ч
Пусть теперь Ах —>• 0. Тогда в силу существования производных
функций и(х) и v(x) в точке х существует предельное значение
правой части E.17), равное u/(x)±v/(x). Стало быть, существует
предельное значение (при Ах —>> 0) и левой части E.17). По

§ 3	ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ	167
определению производной указанное предельное значение равно
у'(ж), и мы приходим к требуемому равенству
yf(x) = и(х) ± v(x).
2°. Пусть далее у(х) = u(x)v(x). Сохраняя за Дк, Av и Ау
тот же смысл, что и выше, будем иметь
Ау = у(х + Ах) — у{х) = и(х + Ax)v(x + Ах) — u(x)v(x) =
= [и(х + Ax)v(x + Дж) — и(х + Дж)'у(ж)] +
+ [и(х + Дж)-у(ж) — u(x)v(x)]
(мы прибавили и вычли слагаемое и{х + Ax)v(x)). Далее можем
записать:
Ау = и(х + Ax)[v(x + Дж) - г;(ж)] + v(x)[u(x + Дж) - и(х)} =
= к(ж + Аж)А/у + v(x)Au.
Таким образом, при Аж ф О
g	? + v{x)g;.	E.18)
Пусть теперь Аж —>• 0. Тогда в силу дифференцируемости функ-
функций и(х) и г; (ж) в точке ж существуют предельные значения от-
u Аи, Аг;	i / \ § / \ -рг
ношении ~— и ——, соответственно равные и (ж) и г? (ж). Далее
из дифференцируемости и(х) в точке ж, в силу теоремы 5.2, еле™
дует непрерывность и(х) в этой точке. Стало быть, существует
предельное значение lim и(х + Аж), равное и(х). Таким обра-
зом, существует предельное значение правой части E.18) при
Аж —>• 0, равное u(x)vf(x) + v(x)uf(x). Стало быть, существу-
существует предельное значение (при Аж —> 0) и левой части E.18). По
определению производной указанное предельное значение равно
у'{хI и мы приходим к требуемой формуле
yf(x) = u(x)v(x) + u(x)vf (х).
3°. Пусть, наконец, у(х) = -^Ц-. Тогда1)
л	/ , д \	/ \	и
Ау = у(х + Ах) - у{х) =
и(х)
=
	 и(х + Ax)v(x) — v(x + Ах)и(х)
v(x)v(x + Аж)
) Так как в дальнейшем в знаменателе фигурирует значение v(x + Аж),
то следует доказать, что это значение отлично от нуля для всех достаточно
малых Аж. В самом деле, если бы это было не так, то нашлась бы беско-
бесконечно малая последовательность значений Ажте такая, что v(x + Ажте) = 0.
Но поскольку функция v(x) непрерывна для значения аргумента ж, то мы
получили бы из условия v(x + Ажте) = 0, что v(x) = 0, а это противоречит
условию теоремы.

168 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
Добавляя и вычитая в числителе слагаемое u(x)v{x), будем
иметь:
д 	 [и(х + Ax)v(x) — u(x)v(x)} — [v(x + Ах)и(х) — u(x)v(x)]
v(x)v(x + Ax)
	 v(x)[u(x + Ax) — u(x)] — u(x)[v(x + Ax) — v(x)] 	 v(x)Au — u(x)Av
v(x)v(x + Ax)	v(x)v(x + Ax)
Таким образом, при Ax ф О
/ , Аи ( ,Av
^У _	Ах	А^	/5 j_g\
Ах	v(x)v(x + Ах) '	V • /
Пусть теперь Аж —> 0. В силу дифференцируемости (и выте-
вытекающей из нее непрерывности) функций и(х) и v(x) в точке х
существуют предельные значения
т Аи // \ т Av // \ т / . д \ / \
иш -^ = и (ж), Iim -— = v (ж), lim г;(ж + Ах) = г?(ж).
Таким образом, поскольку v(x) Ф 0, существует предельное зна™
чение при Ах —>> 0 правой части E.19), равное
Стало быть, существует предельное значение (при Ах —>- 0) и
левой части E.19). По определению производной указанное пре-
предельное значение равно |/(ж), и мы получим требуемую формулу
#/ ч _ u(x)v(x)-vf(x)u(x)
У {Х) -	vHx)
Теорема 5.3 полностью доказана.
§ 4. Вычисление производных степенной функции,
тригонометрических функций
и логарифмической функции
В этом параграфе мы приступим к вычислению производных
простейших элементарных функций.
1. Производная степенной функции с целочисленным
показателем. Начнем с вычисления производной степенной
функции у = хп1 показатель п которой является целым положи-
положительным числом1). Случай степенной функции, показатель ко-
которой является любым вещественным (не обязательно целым)
числом^ отложим до § 8.
) Эта производная уже рассматривалась в гл. 1 с помощью интуитивного
представления о пределе.

§ 4	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ	169
Используя формулу бинома Ньютона, можем записать:
Ау = (х + Ах)п - хп =
= [жта + пхп~хАх + п{п~1]хп-2{АхJ + ... + (Аж)п] - хп =
= nxn-lAx + ^LzHxn-2(Axf + ... + (Дж)п.
Таким образом, при Ах ф О
Д|	1 !^112	... + (Аж)".	E.20)
Поскольку все слагаемые в правой части E.20), начиная со вто-
рого, содержат в качестве множителя Ах в положительных сте-
степенях, существует предельное значение указанных слагаемых
при Ах —>• 0, равное нулю. Первое слагаемое в правой части
E.20) от Ах не зависит. Стало быть, существует предельное
значение (при Ах —> 0) правой части E.20), равное пхп~1. По
определению производной указанное предельное значение равно
производной функции у = хп ^ т. е.
{хпУ = пхп-\
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки х
бесконечной прямой.
2. Производная функции у = sin ж. Пользуясь формулой
приведения разности синусов к виду, удобному для логарифми-
логарифмирования, можем записать:
Ay = sin (х + Ах) — sin х = 2 cos f x + -^- j sin
Таким образом, при Ах ф 0
Ах
2
Так как функция у cos ж является непрерывной в любой точке х
бесконечной прямой1), то существует предельное значение
lim cos I x + — I = cos x.	E.22)
Далее, в силу основного результата п. 2 § 6 гл. 4, существует
предельное значение
. Ах
sin —
lim ^2 = L	E^23)
) Это доказано в п. 6 § 5 гл. 4. Впрочем, непрерывность функции г/ = cos x
легко доказать, используя разностную форму условия непрерывности.

170 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
Таким образом, существует предельное значение (при Ах —> 0)
правой части E.21), равное произведению предельных значений
E.22) и E.23), т. е. равное cos ж. По определению производной
указанное предельное значение равно производной функции у =
= sin ж, т. е.
(sin ж)' = cos ж.
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки ж бес-
бесконечной прямой.
3. Производная функции у = cos ж. Пользуясь формулой
приведения разности косинусов к виду, удобному для логариф-
логарифмирования, можем записать:
Ay = cos(x + Ах) — cos ж = —2 sin (х + -?- J sin-^.
Таким образом, при Ах ф 0
E-24>
2
Так как функция у = sin ж является непрерывной в любой
точке ж бесконечной прямой, то существует предельное значе™
ние
ж + — = sin ж.	E.25)
	 . _ 2 /
Из существования предельных значений E.23) и E.25) вытека-
вытекает существование предельного значения (при Ах —)> 0) правой
части E.24), равного (—sinж). По определению производной по™
следнее предельное значение равно производной функции у =
= cos ж, т. е.
(cos ж)' = — sin ж.
Проведенные рассуждения справедливы для любой точки ж бес-
бесконечной прямой.
4. Производные функций у = tgx и у = ctgx. Так как
нами уже вычислены производные функций у = sin ж и у = cos ж
и так как
cos ж	°	sin ж
то для вычисления производных функций у = tg ж и у = ctg ж
молено воспользоваться теоремой 5.3 (точнее, формулой, выра-
выражающей производную частного, т. е. третьей из формул E.16)).
Мы получим, что всюду, кроме тех точек, в которых cos ж =
= о,
/, у 	 (виажУ cos ж — (совж)' sin ж 	 1
I Tig Ж J —	 —	—.

§ 5	ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ	171
Итак,
COSZ Ж
(для всех значений ж, кроме ж = — + тгп, где п = 0, ±1,...).
Аналогично всюду, кроме тех точек, в которых sin ж = О,
/ . у 	 (cos ж)' sin ж — (sin ж)' cos ж 		1
sin ж	sin ж
Итак,
(ctgx); = ^^ = -A + ctg2 ж)
(для всех значений ж, кроме ж = тгп, где п = 0, ±1,...).
5. Производная функции у = loga ж @ < а ф 1). Взяв в
качестве ж любую точку полупрямой ж > 0 и считая, что |Аж| <
< ж, можем записать:
ДУ = loga(a; + Аж) - loga ж = loga ^^ = loga (l + ^
Таким образом, при Аж ф О
Ау 1 , Л , Аж\ , Л , Аж\1/Аж
Аж Аж оа V	ж /	оа V	ж /
В силу основного результата п. 3 § 6 гл. 4 выражение в квадрат™
пых скобках имеет при Аж ^ 0 (и при любом фиксированном
значении ж) предельное значение, равное е. Тогда на основании
непрерывности функции у = loga ж в точке ж = е существует
предельное значение (при Аж —>• 0) правой части E.26), рав-
равное — loga e. По определению производной указанное предельное
значение равно производной функции у = loga#, т. е.
Aоёаж); = -logae
(для всех значений ж, принадлежащих полупрямой ж > 0). В
частном случае а = е получим
§ 5. Теорема о производной обратной функции
Теорема 5.4- Пусть функция у = /(ж) в некоторой окрест-
окрестности точки жо возрастает (или убывает) и является непре-
непрерывной. Пусть^ кроме того^ функция у = /(ж) дифференциру-
дифференцируема в точке жо и производная /;(жо) отлична от нуля. Тогда
существует обратная функция ж = /т1(|/), которая определена

172 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
в некоторой окрестности соответствующей точки у® = /(жо),
дифференцируема в этой точке и имеет в этой точке произ-
водную, равную l/ff(x®).
Доказательство. Прежде всего заметим, что
для функции у = f(x) выполнены в окрестности точки х® все
условия следствия из леммы 1 § 4 гл. 4. Согласно этому след™
ствию существует обратная функция х = f^1(y)J определенная
в некоторой окрестности точки у® = f(x®) и непрерывная в этой
окрестности. Придадим аргументу у этой обратной функции в
точке уо произвольное отличное от нуля приращение Ау. Это-
Этому приращению отвечает приращение Ах обратной функции,
причем в силу возрастания (или убывания) функции Ах ф 0.
Таким образом, мы имеем право написать следующее тожде-
тождество:
— = 1	E 27)
Ay Ay/Ax'	l * }
Пусть теперь в тождестве E.27) Ау -Л 0. Тогда, в силу непре™
рывности обратной функции х = f^1(y) в точке уо и согласно
разностной форме условия непрерывности, и Ах —>> 0.
Но при Ах —>- 0 знаменатель дроби, стоящей в правой части
E.27), по определению производной, имеет предельное значение,
равное f'{x) ф 0. Стало быть, правая часть E.27) имеет при
Ау —>> 0 предельное значение, равное	Но тогда и левая
У
часть E.27) имеет при Ау —>> 0 предельное значение. По опре-
определению производной указанное предельное значение равно1)
{/~^(уо)У- Таким образом, мы доказали
дифференцируемость обратной функции в
точке у® и получили для ее производной со-
М /	отношение
"	{Г1ЫУ = ущ°	E-28)
О р/ хо х Теорема 5.4 доказана.
Доказанная теорема имеет простой гео-
геометрический смысл. Рассмотрим в окрест-
окрестности точки х® график функции у =
Рис- 5-4	= f(x) (или обратной функции). Предпо-
Предположим, что точке х® на этом графике соответствует точка М
(рис. 5.4). Тогда, очевидно, производная ff(x®) равна танген-
тангенсу угла наклона а касательной, проходящей через точку М, к
оси Ох. Производная обратной функции {/~1(уо)У равна тан™
) Символом {/ (уо)У мы обозначаем производную обратной функции
в точке 2/о.

§ 6	ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ	173
генсу угла наклона /3 той же касательной к оси Оу. Поскольку
углы а и /3 в сумме составляют тг/2, то формула E.28) выражает
очевидный факт:
§ 6. Вычисление производных показательной функции
и обратных тригонометрических функций
В этом параграфе, опираясь на доказанную выше теоре-
теорему 5.4, мы продолжим вычисление производных простейших
элементарных функций.
1. Производная показательной функции у = ах @ <
< а ф 1). Показательная функция у = аж, будучи определена
на бесконечной прямой, служит обратной для логарифмической
функции х = loga у, определенной на полупрямой у > 0. По-
Поскольку для логарифмической функции в окрестности любой
точки у полупрямой у > 0 выполнены все условия теоремы 5.4,
то, согласно этой теореме, функция у = ах дифференцируема в
любой точке х = loga у и для ее производной справедлива фор™
мула
("*)' = 7Г"Ч = т^— = Г*—
(l0Sal/)	ilog e	l0Sae
У
Из этой формулы, воспользовавшись известным из элементар-
элементарного курса соотношением loga Ь =	 и учитывая, что у = аж,
окончательно получим
(аху = ах In a.
Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной
прямой. В частном случае а = е эта формула принимает вид
2. Производные обратных тригонометрических функ-
функций. Начнем с вычисления производной функции у = arcsinx.
Эта функция, будучи определена на интервале — 1 < х < +1,
служит обратной для функции х = sin у, определенной на ин-
интервале — ^ < у < +^. Поскольку для функции х = sin у в
окрестности любой точки у интервала — - < у < — выполне-
выполнены все условия теоремы 5.4, то, согласно этой теореме, функция
у = arcslnx дифференцируема в любой точке х = sin у и для ее
производной справедлива формула
(arcsmxV = —5— = — = , г	E.29)
v	; (sin у)' cosy	n ^^	v ;

174 ОСНОВЫ ДИФФЕГЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
Мы взяли перед корнем знак +, ибо cosy положителен всюду
на интервале —^ < у < ^. Учитывая, что sin у = ж, из форму™
лы E.29) окончательно получим
(arcslnx)' =
Полученная формула, как уже отмечалось в процессе ее вывода,
справедлива для всех х из интервала — 1 < х < +1. По анало-
аналогичной схеме вычисляется производная функции у = arccosx.
Эта функция, будучи определена на интервале — 1 < х < +1,
служит обратной для функции х = cosy, определенной на ин-
интервале 0 < у < тг. Поскольку для функции х = cos у в окрестно™
сти любой точки у интервала 0 < у < тг выполнены все условия
теоремы 5.4, то, согласно этой теореме, функция у = arccosx
дифференцируема в любой точке х = cosy и для ее производи
ной справедлива формула
(\ /	XX	X	/ с о/~\\
arccosx) = , , = ^^— = — . ^—.	(o.oU)
(cosy)'	sin г/	Гл	*
Мы учли, что sin у = +Y 1 — cos2 у ибо sin у > 0 всюду на ин-
интервале 0 < у < тт. Принимая во внимание, что cosy = ж, из
формулы E.30) окончательно найдем
1
arccos х) = — -
Полученная формула, как уже отмечалось в процессе ее вывода,
справедлива для всех значений х из интервала — 1 < х < 1.
Перейдем к вычислению производной функции у = arctgx.
Эта функция, будучи определена на бесконечной прямой ^оо <
< х < +оо, служит обратной для функции х = tgy, определен™
ной на интервале — — < у < —. Поскольку для функции х = tg у
в окрестности любой точки у интервала —^ < у < ^ выполне™
ны все условия теоремы 5.4, то, согласно этой теореме, функция
у = arctg х дифференцируема в любой точке х = tg у и для ее
производной справедлива формула
(arete; x)f = , =	о .
1 & } (tgy)' 1 + tg2!/
Учитывая, что tgy = ж, окончательно получим
Полученная формула справедлива для всех точек х бесконечной
прямой.

§ 7	ПРАВИЛО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ 175
Остается вычислить производную функции у = arcctga^. Эта
функция, будучи определена на бесконечной прямой ^оо < х <
< +оо, служит обратной для функции х = ctgy, определенной
на интервале 0 < у < тг. Поскольку для функции х = ctgy в
окрестности любой точки у интервала 0 < у < тг выполнены все
условия теоремы 5.4, то, согласно этой теореме, функция у =
= arcctgx дифференцируема в любой точке х = ctgy и для ее
производной справедлива формула
(arcctgxV =
Учитывая, что ctgy = ж, окончательно получим
(arcctgx); = ^YT^°
Эта формула справедлива для всех точек х бесконечной прямой.
Таким образом, мы вычислили производные всех простейших
элементарных функций, за исключением степенной функции с
любым вещественным показателем.
Откладывая вычисление производной этой последней функ™
ции до § 8, займемся обоснованием правила дифференцирования
сложной функции.
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции
Целью настоящего параграфа является установление прави™
ла, позволяющего найти производную сложной функции у =
= f[<p(t)]i если известны производные составляющих ее функций
У = Нх) и х = ?>(*)¦
Теорема 5.4' Пусть функция х = </?(?) дифференцируема в
некоторой точке to, а функция у = f(x) дифференцируема в
соответствующей точке х® = ip(to). Тогда сложная функция
f[(f(t)] дифференцируема в указанной точке to, причем для про-
производной этой функции справедлива следующая формула1):
{/М*о)]}' = f'(xo)v'(to).	E.31)
Доказательство. Придадим аргументу t в точ™
ке to произвольное, отличное от нуля приращение At. Этому
приращению соответствует приращение Ах функции х = <p(t).
Приращению Ах в свою очередь соответствует приращение Ау
функции у = f(x) в точке xq. Поскольку функция у = f(x)
предполагается дифференцируемой в точке жо5 приращение этой
функции в точке xq может быть записано в виде (см. § 2)
'	E.32)
) Символом {f[^p(to)]}f мы обозначаем производную сложной функции
У = fVp{P)] в точке t = to-

176	ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ	ГЛ. 5
где
lim a = 0.
E.33)
Поделив равенство E.32) на At, будем иметь
Ay pi, ч Аж Аж
Пусть теперь в равенстве E.33) At —>> 0. Так как из дифференци-
руемости функций х = (p(t) в точке to вытекает непрерывность
этой функции в точке to, то, в силу разностной формы условия
непрерывности, Аж —>> 0 (при At —> 0). Поэтому можно утвер-
утверждать, что существует предельное значение
lim a = 0.	E.34)
At^O
Кроме того, в силу требования дифференцируемости функции
х = (p(t) в точке to существует предельное значение
Существование предельных значений E.34) и E.35) обеспечи-
обеспечивает существование предельного значения (при At —>- 0) всей
правой части E.33), равного ff(x®)(pf(to). Стало быть, существу-
существует предельное значение (при At —>> 0) и левой части E.33). По
определению производной указанное предельное значение рав-
равно производной сложной функции f[(f(i)] в точке to- Тем самым
нами доказана дифференцируемость сложной функции в точке
to и установлена формула E.31).
Теорема 5.5 доказана.
Замечание. Мы рассматривали сложную функцию
у = /(ж), где х = (p(t), т. е. брали х в качестве промежуточного
аргумента, at в качестве окончательного аргумента. Эти обо-
обозначения, конечно, могут быть изменены. Часто удобнее бывает
рассматривать сложную функцию вида у = f(u), где и = <р(х),
т. е. брать х в качестве окончательного аргумента, а некоторую
переменную и в качестве промежуточного. Для этой функции
формула дифференцирования E.31) принимает вид
У' = {ПФ)]У = f'(u)<p'(x)	E-36)
(мы опустили у соответствующих значений аргументов х и и
нули, имевшие вспомогательный характер).
Приведем примеры использования только что доказанного
правила дифференцирования сложной функции.
1°. Вычислить производную функции у = earctga\ Эту функ-
функцию будем рассматривать как сложную функцию вида у = ем,
где и = arctgx. Используя формулу E.36), получим
1+ж
.2 *

§ 8	ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ПРОИЗВОДНАЯ	177
2
2°. Вычислить производную функции у = 2х . Эту функцию
будем рассматривать как сложную функцию вида у = 2W, где
и = х . Используя формулу E.36), получим
у1 = BиУ(х2у = Bй 1п2Jж = 2ш2+1ж1п2.
3°. При рассмотрении указанных двух примеров мы отдель™
но выписывали функции, составляющие данную сложную функ-
функцию. В этом, конечно, нет никакой необходимости, и на практике
дифференцирование сложной функции производится сразу без
расчленения на отдельные составляющие функции. Например,
у = arcsln75a:, у1 =	= G5жУ =	—
л/1 - G5жJ1 ; у/1 - G5жJ
(здесь |ж| < 1/75).
4°. Теорема 5.5 и содержащееся в ней правило последователь-
последовательно переносятся и на случай сложной функции, являющейся су-
суперпозицией трех и большего числа функций.
Рассмотрим пример такой функции. Пусть требуется вычис-
вычислить производную функции у = 5arcctg^ ). Последовательно
применяя правило дифференцирования сложной функции, по-
получим
§ 8. Логарифмическая производная. Производная
степенной функции с любым вещественным
показателем. Таблица производных простейших
элементарных функций
1. Понмтие логарифмической производной функции.
Пусть функция у = f(x) положительна и дифференцируема в
данной точке х. Тогда в этой точке существует lay = lnf(x).
Рассматривая lnf(x) как сложную функцию аргумента ж, мы
можем вычислить производную этой функции в данной точке ж,
принимая у = f(x) за промежуточный аргумент. Получим
[lnf(x)}' = y'/y.	E.37)
Величина, определяемая формулой E.37), называется логариф-
логарифмической производной функции у = f(x) в данной точке х.
В качестве примера вычислим логарифмическую производную
так называемой степенно-показательной функции у = u(x)v^xK
Мы уже знаем из п. 2 § 7 гл. 4, что эта функция определена
и непрерывна для всех значений ж, для которых и(х) и v(x)
непрерывны и и{х) > 0. Теперь мы дополнительно потребуем,
чтобы и(х) и v(x) были дифференцируемы для рассматриваемых

178 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
значений ж. Тогда, поскольку In у = v(x)lnu(x)J мы получим,
что логарифмическая производная рассматриваемой функции
равна
^ = [v(x) lnu(x)]f = v'{x) Ыи(х) + у(х)^Щ»	E.38)
Из равенства E.38), учитывая, что у = u(x)v^x\ получим сле-
следующую формулу для производной степенно-показательной
функции:
у1 = u{x)v№ \v'{x) lnu(x) + у(х)^
|_	Uyj
2. Производная степенной функции с любым веще-
вещественным показателем. Приступим теперь к вычислению
производной степенной функции у = ха с произвольным ве-
вещественным показателем а. Мы будем вычислять производную
этой функции для тех значений ж, для которых эта функция
определена при любом о, а именно для значений ж, принадле-
принадлежащих полупрямой "*¦) х > 0. Имея в виду, что всюду на полу-
полупрямой х > 0 функция у = ха положительна, вычислим лога™
рифмическую производную этой функции. Так как In у = a In ж,
то логарифмическая производная равна
Отсюда, учитывая, что у = жа, получим формулу для производи
ной степенной функции
Таким образом, нами вычислены производные всех простейших
элементарных функций. Собирая воедино все вычисленные про-
производные, мы получим следующую таблицу, уже выписанную
нами в гл. 1.
3. Таблица производных простейших элементарных
функций.
1°. (хаУ = аха^1. В частности, (-)' = --L (y^Y = f-^=V
\xj	x2 vv	\2л/х/
2°. (loga x);=i loga e (x > 0, 0 < a ф 1). В частности, Aпж); = -.
3°. (ахУ = axlna @<аф1).В частности, (ex)f = еж.
4°. (mnx)f = cos ж.
1) В случае, когда а = 1/га, где т — целое нечетное число, функция
у = ха определена на всей бесконечной прямой. Однако и в этом случае
достаточно вычислить производную указанной функции лишь для значений
х > 0, ибо указанная функция является нечетной и ее производную для
значений х < 0 легко получить из этого соображения.

ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 179
5°. (cosж)' = —sinж.
6°. (tgar)' = ^^ = l + tg2a; (ж/ | + тгп, где п = 0, ±1,...).
7°. (ctga;)'=-—i-=-(l+ctg2?)(?^7rn, гдеп = 0,±1, ...)¦
Sill Ж
(arcsmrr)' =	(—1 < x < 1).
9°. (arccosa;)' = - X (-1 < x < 1).
10°.
11°.
В § 4 гл. 4 мы ввели гиперболические функции у =
у = chx, у = thx ш у = cthx, которые являются простыми
комбинациями показательных функций. Из определения этих
функций элементарно вытекают следующие выражения для их
производных:
12°. (shx); =
13°. (dixy =
15°. (ctha;)^-^- (x ф 0).
Указанная таблица вместе с правилами дифференцирования
суммы, разности, произведения и частного (т. е. формулами
E.16)) и правилом дифференцирования сложной функции со™
ставляет основу дифференциального исчисления.
Установленные правила и формулы дифференцирования по-
позволяют сделать один важный вывод.
В § 7 гл. 4 мы ввели понятие элементарной функции как та-
такой функции, которая выражается через простейшие элементар-
элементарные функции посредством четырех арифметических действий
и суперпозиций, последовательно примененных конечное число
раз. Теперь мы можем утверждать, что производная любой эле-
элементарной функции представляет собой также элементар-
элементарную функцию. Таким образом, операция дифференцирования
не выводит нас из класса элементарных функций.
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала.
Некоторые применения дифференциала
1. Инвариантность формы первого дифференциала.
В конце § 2 мы установили, что для случая, когда аргумент х
является независимой переменной^ дифференциал функции у =

180 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
= f(x) определяется формулой
dy = f{x)dx.	E.39)
В этом пункте мы докажем, что формула E.39) является уни-
версальной и справедлива не только в случае, когда аргумент
х является независимой переменной, но и в случае, когда аргу-
аргумент х сам является дифференцируемой функцией некоторой
новой переменной t. Указанное свойство дифференциала функ-
функции обычно называют инвариантностью его формы.
Итак, пусть дана дифференцируемая в некоторой точке х
функция у = /(ж), аргумент х которой представляет собой диф-
дифференцируемую функцию х = (p(t) аргумента t. В таком случае
мы можем рассматривать у как сложную функцию у = f[<p(t)]
аргумента i, a x как промежуточный аргумент. В силу теоре-
теоремы 5.5 производная у по t определяется формулой
y' = f'(x)<p'(t).	E.40)
Поскольку переменную t мы можем рассматривать как незави-
симую^ производные функций х = (f(t) и у = f[<p(t)] по аргу-
аргументу i, согласно установленному в конце § 2, равны отношению
дифференциалов этих функций к dt1 т. е.
Вставляя эти значения производных в формулу E.40), прида-
придадим этой формуле вид
Умножая обе части равенства E.41) на dt, получим для dy выра-
выражение E.39). Тем самым доказана инвариантность формы пер-
первого дифференциала функции, т. е. доказано, что как в слу~
чае, когда аргумент х является независимой переменной^ так
и в случае^ когда аргумент х сам является дифференцируемой
функцией другой переменной^ дифференциал dy функции у =
= f(x) равен производной этой функции^ умноженной на диф-
дифференциал аргумента dx.
По-другому свойство инвариантности дифференциала мож-
можно сформулировать так: производная функции у = f(x) всегда1)
равна отношению дифференциала этой функции dy к дифферен-
дифференциалу аргумента dx^ т. е.
fix) = %.	E.42)
) То есть как в случае, когда аргумент х является независимой перемен-
переменной, так и в случае, когда ж сам является дифференцируемой функцией
некоторой другой переменной.

§ 9 ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМЫ ПЕРВОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛА 181
Доказанное равенство E.42) позволяет нам в дальнейшем ио
пользовать отношение -^ для обозначения производной функ-
ах
ции у = f(x) по аргументу х.
Заметим в заключение, что после того, как доказано ра-
равенство E.42), правило дифференцирования сложной функции
принимает вид простого тождества:
dy _ dy dx	/г л^ч
Столь же простой вид приобретает правило дифференцирова-
дифференцирования обратной функции:
— = г	E 44)
dx dx/dy
Подчеркнем, однако, что равенства E.43) и E.44) нельзя рассма-
рассматривать как новые методы доказательства теорем 5.5 и 5.4, ибо
формулы E.43) и E.44) существенно используют факт инвари-
инвариантности первого дифференциала, установленный нами именно
при помощи теоремы 5.5.
2. Формулы и правила вычисления дифференциалов.
Мы доказали, что дифференциал dy функции у = f{x) всегда
равен производной этой функции /;(ж), умноженной на диффе-
дифференциал аргумента dx. Таким образом, таблица производных,
выписанная нами в п. 3 § 8, приводит к соответствующей табли-
таблице дифференциалов:
1°. d{xa)=axa~1dx. В частности, d (-) =- %, d(y/x) =
х 7	\х/	х2 Х? 7
) %
х/	х2
2°. d(\ogax) = l^^dx (x > 0, 0 < а ф 1). В частности,
X
т/1	\	(IX
а(тх) = —.
3°. d(ax) = ax\nadx @ < а ф 1). В частности, d{ex) = exdx.
4°. d(sini) = cosxdx.
5°. d(cosx) = ^sinxdx.
6°. d(tgx) = —^— = A + tg2 x)dx {x ф — +7ГП, где n = О, =Ы,
\	COS X	Zi
7°. d(ctgx) = — , 2 = — A + ctg2 x)dx (x ф тгп, где п = 0,
±1,... ).
8°. d(arcslnx) = / dx (-1 < x < 1).
V1 — x2
9°. d(arccosx) = - dx (-1 < x < 1).
11°. d(arcctgx) = — x 2,
2

182 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
Из формул E.16) и из соотношения E.39) непосредственно выте™
кают следующие правила для вычисления дифференциала сум™
мы, разности, произведения и частного:
7/ i \ 7i? 7/ \ i 1 1 (u\ vdu — udv
щи ±v) = аи ± av, a(uv) = vdu + uav, a[-)=	.
3. Использование дифференциала для установления
приближенных формул. Хотя, как мы видели в § 2, диффе-
дифференциал dy функции у = f(x) не равен приращению Ау этой
функции, но с точностью до бесконечно малой более высокого
порядка, чем Дж, справедливо приближенное равенство
Ay » dy.	E.45)
Относительная 1) погрешность этого равенства становится сколь
угодно малой при достаточно малом Ах. Формула E.45) позво-
позволяет приближенно заменить приращение Ау функции у = /(ж)
ее дифференциалом dy. Преимущество такой замены состоит в
том, что дифференциал dy зависит от Ах линейно, в то время
как приращение Ау, вообще говоря, представляет собой более
сложную функцию от Ах.
Имея в виду, что приращение функции Ау определяется фор-
формулой E.1), а дифференциал dy определяется формулой E.14),
мы придадим приближенному равенству E.45) следующий вид:
f(x + Ax)-f(x)*f'{x)Ax
ИЛИ
f{x + Ax)^f(x) + f'(x)Ax.	E.46)
По формуле E.46) функция / для значений аргумента, близких
к х (т. е. для малых Аж), приближенно заменяется линейной
функцией.
В частности, из формулы E.46) может быть получен ряд уже
известных нам из гл. 4 приближенных формул. Так, полагая
f(x) = A + жI//тг, х = 0, получим, что
1 + ^	E.47)
Полагая f(x)= sin ж, х = 0, получим
smAx^Ax.	E.48)
Полагая, /(ж) = еп 1 х = 0, получим
еАх « 1 + Ах.	E.49)
) Относительная погрешность равенства E.45) определяется отношени-
отношением ——	. Отметим, что, по определению дифференциала, Ау — dy =
= о(Ах).

§ 10 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 183
Полагая f(x) = ln(l + ж), х = 0, получим
1пA + Ах) « Ах.	E.50)
Каждое из равенств E.47)—E.50) справедливо с точностью до
бесконечно малой более высокого порядка, чем Ах.
Равенства E.47)—E.50) в форме точных оценок уже были
установлены нами в конце § 7 гл. 4.
§ 10. Производные и дифференциалы
высших порядков
1. Понмтие производной п-го порядка. Как уже отмеча-
отмечалось в п. 2 § 1, производная f'{x) функции у = /(ж), определен-
определенной и дифференцируемой на интервале (a, ft), представляет со-
собой функцию^ также определенную на интервале (a, ft). Может
случиться, что эта функция f'{x) сама является дифференци-
дифференцируемой в некоторой точке х интервала (a, ft), т. е. имеет в этой
точке производную. Тогда указанную производную называют
второй производной (или производной 2-го порядка) функции
у = f(x) в точке х и обозначают символом f^2\x) или у^2\х) 1).
После того как введено понятие второй производной, мож-
можно последовательно ввести понятие третьей производной, затем
четвертой производной и т. д. Если предположить, что нами уже
введено понятие (п — 1)-й производной и что (п — 1)-я произ-
водная дифференцируема в некоторой точке х интервала (а, 6),
т. е. имеет в этой точке производную, то указанную производ-
производную называют п-й производной (или производной п-го порядка)
функции у = f(x) в точке х и обозначают символом f^n\x) или
уМ(х).
Таким образом, мы вводим понятие n-й производной индук-
индуктивно, переходя от первой производной к последующим. Соот-
Соотношение, определяющее n-ю производную, имеет вид
у(п) = [у(п-1I	E.51)
Функцию, имеющую на данном множестве {х} конечную про-
производную порядка п, обычно называют п раз дифференцируемой
на данном множестве. Понятие производных высших порядков
находит многочисленные применения в физике. Здесь мы огра-
ограничимся тем, что укажем механический смысл второй производ-
производной. Если функция у = f(x) описывает закон движения мате-
материальной точки по прямой линии, то, как мы уже знаем, первая
производная f'{x) дает мгновенную скорость движущейся точки
) Вторую производную функции у = /(ж) обозначают также символом
f\x) или у"(ж)-

184 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
в момент времени х. В таком случае вторая производная
равна скорости изменения скорости^ т. е. равна ускорению дви™
жущейся точки в момент времени х.
Заметим, что методика вычисления производных высшего
порядка предполагает умение вычислять только производные
первого порядка. В качестве примеров вычислим производные
в~го порядка некоторых простейших элементарных функций.
2. п-е производные некоторых функций. 1°. Вычислим
в~ю производную степенной функции у = ха (х > 0, а — любое
вещественное число). Последовательно дифференцируя, будем
иметь
yf = аха~\ уB) = а(а - 1)ха~2, у® = а(а - 1)(а ~~ 2)ха~\ ...
Отсюда легко уяснить общий закон
(ха)№ = а(а - 1)(а - 2)... (а - п + 1)ха~п.
Строгое доказательство этого закона легко проводится методом
индукции.
В частном случае а = т, где т — натуральное число, полу™
чим
(хт)^ = т!, (жш)(п) =0прип>т.
Таким образом, п™я производная многочлена тгг-го порядка при
п> т равна нулю 1).
2°. Далее вычислим п~ю производную показательной функ™
ции у = ах @ < а ф 1). Последовательно дифференцируя, будем
иметь
у; = аж In а, у{2) = аж In2 щ у^ = ах In3 а,...
Общая формула, легко устанавливаемая по методу индукции,
имеет вид
(ах)М =ах1ппа.
В частности,
3°. Вычислим n-ю производную функции у = sin ж. Первую
производную этой функции можно записать в виде у1 = cos ж =
= sin (ж + ? ) • Таким образом, дифференцирование функции у =
= sin ж прибавляет к аргументу этой функции величину тг/2.
Отсюда получаем формулу
(smxp71' = si:
х) При этом мы используем еще следующую очевидную формулу [Ач(х)-\-
+ Bv(x)](n) = Аи{п\х) + Bv(n)(x), где А и В — постоянные.

10 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 185
4°. Совершенно аналогично устанавливается формула
(cosхр71' = cos I х + п
5°. В заключение вычислим n-ю производную так называе-
называемой дробно-линейной функции у =	, где а, &, с и rf - неко™
торые постоянные. Последовательно дифференцируя эту функ-
функцию, будем иметь
у, =
уB) = (ad - 6с) (-2) (еж + d)~3c,
у(з) = (ad - 6с)(-2)(-3)(сж + <
Легко усмотреть и общий закон
который может быть обоснован по методу индукции.
3. Формула Лейбница длм п-ш производной произве-
произведения двух функций. В то время как установленное выше
правило вычисления первой производной от суммы или разно™
сти двух функций (u±v)f = u'~kv' легко переносится (например,
по методу индукции) на случай n-й производной (и ± vpn^ =
= и^ =Ь у(п\ возникают большие затруднения при вычислении
n-й производной от произведения двух функций uv.
Соответствующее правило носит название формулы Лейбни-
Лейбница и имеет следующий вид:
+ Clu^-^v^ + С;УП-3М3) + ... + uv^n\ E.52)
Легко подметить закон, по которому построена правая часть
формулы Лейбница E.52): она совпадает с формулой разлоэюе-
ния бинома (и + /у)?г, лишь вместо степеней и и v стоят про-
производные соответствующих порядков. Это сходство становится
еще более полным, если вместо самих функций и и v писать со-
соответственно и^ и v^ (т. е. если рассматривать саму функцию
как производную нулевого порядка).
Докажем формулу Лейбница по методу индукции. При п =
= 1 эта формула принимает вид {uvI = u'v + ш/, что совпада-
совпадает с установленным выше (в § 3) правилом дифференцирования
произведения двух функций. Поэтому достаточно, предположив
справедливость формулы E.52) для некоторого номера п, до™
казать ее справедливость для следующего номера п + 1. Итак,

186 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
пусть для некоторого номера п формула E.52) верна. Продиф™
ференцируем эту формулу и объединим слагаемые, стоящие в
правой части, так, как это указано ниже:
E.53)
(При этом мы воспользовались тем, что 1 = С%). Из элементар-
элементарного курса известно, что для любого номера fc, не превосходя-
превосходящего п, справедлива формула1)
Пользуясь этой формулой, мы можем следующим образом не™
реписать равенство E.53):
Тем самым доказана справедливость формулы E.52) для номера
(п + 1). Вывод формулы Лейбница завершен.
Пример 1. Вычислить n-ю производную функции у =
= ж2 cos ж. Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней
и = cos ж, v = х2. В таком случае для любого номера к и№ =
= cos (х + к-\, v; = 2ж, vW = 2, vC) = v^ = ... = 0. Получим
= ж2 COS f Ж + п| 1 + 2ПЖ COS |ж + (П - 1) |1 +
+ п(п - 1) cos [ж + (п - 2)-1
L	^ J
Пример 2. Вычислить п~ю производную функции у =
= ж3еж. Воспользуемся формулой Лейбница, положив в ней и =
= еж, -у = ж3. Тогда для любого номера к и^ = еж, г?' = Зж2,
^B) = 6ж, ^C) = 6, г/4) = vE) = ... = 0. Получим
уМ = (ж3 + Зпж2 + Зп(п - 1)ж + п(п - 1)(п - 2))еш,
Рассмотренные примеры показывают, что формула Лейбница
особенно эффективна в случае, когда одна из двух перемножа-
перемножаемых функций имеет лишь конечное число отличных от нуля
производных.
4. Дифференциалы высших пормдков. В рассуждени™
ях настоящего пункта мы будем использовать для обозначения
дифференциала наряду с символом d также и символ 5 (т. е. бу-
будем писать там, где это удобно, вместо dx и dy символы 5х и ду).
г) Впрочем, эта формула элементарно проверяется.

§ 10 ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 187
Предположим, что функция у = f(x) дифференцируема в
некоторой окрестности точки х®. Тогда первый дифференци-
дифференциал dy этой функции имеет вид 1) dy = fl{x)dx и является функ-
функцией двух переменных: точки х и величины dx.
Предположим дополнительно, что функция ff(x) также яв-
ляется дифференцируемой в точке х® и что величина dx имеет
одно и то же фиксированное значение для всех точек х рассма-
рассматриваемой окрестности точки х®.
При этих предположениях существует дифференциал функ-
функции dy = f'(x)dx в точке xq, который мы будем обозначать сим-
символом S(dy)j причем этот последний дифференциал определяет-
определяется формулой
S(dy) = 8[f'(x)dx]\x=xo= [f'(x)dx]'\x=xoSx = f"(xo)dx8x. E.54)
Определение. Значение S(dy) дифференциала от первого
дифференциала dy, взятое при ёх = dx, называют вторым
дифференциалом функции у = f(x) (в точке х®) и
обозначают символом d2y.
Из формулы E.54) и из определения второго дифференциала
вытекает, что
d2y = f"(xo)(dxJ.	E.55)
Заметим, что так как мы считаем величину dx фиксирован-
фиксированной, то из определения второго дифференциала сразу же вы-
вытекает, что второй дифференциал независимой переменной d x
равен нулю.
Совершенно аналогично последовательно определяются диф-
дифференциалы более высоких порядков. Предполагая, что произ-
производная порядка (п — 1) функции у = f(x) дифференцируема
в точке х® (т. е. предполагая, что функция у = f(x) имеет в
точке х® производную порядка п), мы определим диффе-
дифференциал n-г о порядка dny функции у = f(x) (в точке
xq) как дифференциал S(dn~1y) от дифференциала (п — 1)-го
порядка dn^ly1 взятый при 8х = dx.
Для дифференциала n-го порядка dny методом индукции эле-
элементарно устанавливается формула
dny = f^(x0)(dx)n.	E.56)
В самом деле, при п = 1 и п = 2 формула E.56) справедли-
справедлива. Предположим, что эта формула справедлива для некоторого
номера (п —1), т. е. предположим, что dn^1y = f^n^1\x)(dx)n^1.
Тогда, согласно определению сРу, получим2)
г) См. п. 1 § 9, формулу E.39).
2) Мы опускаем индекс 0 у точки х.

188 ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ГЛ. 5
dny =
Sx=dx
т. е. справедливость