X
Ч
X
§..■*.•
• :
НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ
УИТТЕКЕРА-КОТЕЛЬНИКОВА-
ШЕННОНА
РАДИОТЕХНИКА ^V

СЕРИЯ
НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОБЗОРЫ
ЦИФРОВАЯ
ОБРАБОТКА
СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ
УИТТЕКЕРА-КОТЕЛЬНИКОВА-
ШЕННОНА
Издательство "Радиотехника"
Москва 2004

УДК 517.95:621.391.24
Б27
ББК 32.811
Серия
Научно-аналитические обзоры
Редактор серии докт. физ.-мат. наук, проф.
В. Ф. Кравченко
Рецензент:
Чл.-корр. РАН, докт. физ.-мат. наук, проф. В. И. Пустовойт
Басараб М.А., Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П.
Б27 Цифровая обработка сигналов на основе теоремы Уиттеке-
ра-Котельникова-Шеннона. — М.: Радиотехника, 2004. - 72 с:
ил. (Серия "Научно-аналитические обзоры", редактор серии
В. Ф. Кравченко).
ISBN 5-93108-064-3
Рассмотрены и обоснованы новые методы аппроксимации сигналов с
помощью финитных функций, включая новый класс атомарных функций, на
основе теоремы Уиттекера-Котельникова-Шеннона.
New methods of signal approximation with the help of compactly supported
functions, including atomic ones, on the base of the Whittaker-Kotelnikov-
Shannon theorem are considered and justified.
УДК 517.95:621.391.24
ББК 32.811
ISBN 5-93108-064-3
© Издательство "Радиотехника", 2004

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 4
Теорема У иттекера-Котельникова-Шеннона 7
Синтез функций с финитным спектром 12
Продолжение функций с финитным спектром 16
Теорема о полиномиальном сканировании 18
Обобщенные ряды Котельникова на основе
атомарных функций 20
Теория Стренга-Фикса и обобщенная теорема
отсчетов 23
Полиномы Левитана на основе атомарных
функций 25
Я-функции и соотношение неопределенности
для пространственных сигналов, локализованных
в области сложной геометрии 27
Системы функций с двойной ортогональностью
и обобщенное соотношение неопределенности 35
Учет ограничений на искомый сигнал с помощью
Я-функций 46
Функции с минимальной энергией вредного спектра 51
Заключение 66
Литература 67
3

Научно-аналитические обзоры
Выдающемуся Ученому современности
академику В. А. Котельникову
посвящаем
Введение
Информационный этап технической революции берет начало от двух
великих изобретений - телефона и радио. Эти средства связи обеспечивают
непосредственный обмен информацией в диалоговом режиме. Радио снимает
ограничения на местоположение абонентов, в результате обмен
информацией возможен в любой момент времени. Развитие техники постепенно
обеспечивало новыми услугами расширяющуюся общность потребителей.
В связи с этим возник вопрос о принципиальной возможности
воспроизведения техническими средствами реальных сигналов,
переносящих информацию, в первую очередь, речевых. Отображение с
приемлемыми искажениями реальных сигналов путем использования
формальных, искусственных математических процедур широко обсуждалось в
связи с аппроксимацией функций рядами Фурье. Специалисты пришли к
выводу о полной адекватности математического описания и реальных
изображений; наглядным и убедительным примером явилось отображение
рядами Фурье женских профилей. К сожалению, представление рядами
Фурье не соответствовало имеющимся к тому времени техническим
возможностям средств связи: необходимы были иные методы аппроксимации.
Решение было получено В.А. Котельниковым в 1933 г. [1]. Он
предложил разлагать в ряд Фурье не сигнал ДО» подлежащий передаче, а
его спектр S(cd) - преобразование Фурье f(t). Самой важной в этом
подходе была гипотеза о том, что реальные сигналы имеют спектр S{m\
сосредоточенный на конечном интервале, в идеале - финитный спектр,
ТОО «^
равный нулю вне полосы [ -а,+а]. Таким образом, S(o)= ^Г Dke
ink о
где
-iffkco
Dk=— fe a S(Q))dco
2а J
-а
Поскольку ДО и S(co) составляют пару преобразований Фурье,
+а
/С)=^ \s{0)eMdo>, (1)
-а
2а
4

Научно-аналитические обзоры
Подставляя D^ в соотношение для спектра и переходя от S{co) к
ДО» получим ряд Котельникова для f(j)\
' { -—1
Таким образом, сигнал с финитным спектром оказывается пред-
ставленным без искажения своими значениями / — в дискретные
моменты времени - отсчетами. Отсчетное представление отвечает
положительно на вопрос о возможности передачи реальных сигналов
перспективными техническими средствами.
Следующий этап развития техники связи характеризовался
исследованиями потенциальных возможностей средств связи с точки зрения
максимизации скорости передачи сообщений по каналам связи с учетом
помех. Соответствующий математический аппарат был создан на основе
статистических методов Н. Винером, К. Шенноном, В. А. Котельнико-
вым и А. Н. Колмогоровым [1-4]. Выборочное представление лежит в
основе этих исследований. В частности, К. Шеннон в своей работе по
теории информации использовал ряд (2) для представления участков
спектральной плотности стационарного случайного процесса.
Естественно, обсуждение и использование полученных результатов привлекло
пристальное внимание к модели функции с финитным спектром.
Оказалось, что такая модель удобна для разнообразных систем в
физике и технике. Действительно, большинство используемых устройств
представляет собой линейные системы, в которых выход Ffy) связан с вхо-
дом/jc) преобразованием типа свертки:
Пу) = \f{x)h{y-x)dx,
-СО
где h(x) - характеристика линейной системы - отклик на дельта-
воздействие.
При исследовании физических свойств линейных систем часто
приходят к выводу о том, что преобразование Фурье Н(со) отклика h(x)
сосредоточено в конечной области. В антенной технике эта область
отождествляется с раскрьгеом, в оптике - с ограничивающей диафрагмой. С другой
стороны, входное воздействие длится конечное время или наблюдается в
ограниченной области. Таким образом, в теории линейных систем можно
двояко использовать модель финитной функции, считая Н(со) nfix)
функциями, равными нулю вне ограниченных областей.
5

Научно-аналитические обзоры
Предварительное исследование финитных функций и их спектров
показало их парадоксальные свойства. В [5] Д. В. Агеев доказал, что
функция с финитным спектром на интервале [-£,+£] может с любой
точностью аппроксимировать на заданном отрезке [-Т9+Т\ непрерывную
функцию, например, сигнал, спектр которого сосредоточен на
интервале [- Q,+Q], где Q»e. Таким образом, в принципе возможно передавать
широкополосный сигнал с помощью сигнала узкополосного.
Столь же парадоксальный результат был получен Д. Слепяном [6].
Рассматривалась задача об обнаружении сигнала с финитным спектром,
заданного на интервале [-Т,+Т\ в смеси с аддитивным шумом. Задачу удалось
свести к обнаружению того же сигнала на фоне шума при Г-> оо, в
результате вероятность обнаружения оказалась сколь угодно близкой к единице.
Свойства функций с финитным спектром удалось подробно
исследовать с привлечением хорошо разработанной в математике теории
целых функций. Нетрудно показать, что функция (1) после замены
вещественной переменной t на комплексную переменную z оказывается
аналитической в любой ограниченной области комплексной плоскости:
1 +ог
—а
Более того, она возрастает при Ы -> оо не быстрее еа|г|, т.е. является
целой функцией экспоненциального роста. Важно, что справедливо и
обратное утверждение, доказанное Пэли и Винером [7]: всякая целая функция
экспоненциального роста имеет финитный спектр. Таким образом, класс
функций с финитным спектром совпадает с классом функций
экспоненциального роста. В теории целых функций успешно решается задача
интерполяции - восстановления заданной функции по бесконечной
последовательности ее элементов, например, производных в заданной точке. В [7] И.
Т. Уиттекер использовал в качестве элементов значения функции в
равноотстоящих точках. Оказалось, что если расстояния между ними не больше
п/а, то решение задачи однозначно и задается рядом (2), в котором
вещественная переменная / заменяется комплексной переменной z.
Методы теории целых функций использовались при исследовании
свойств функций с финитным спектром в трех прикладных направлениях:
1) обобщение и исследование выборочного преобразования;
2) задача синтеза, т.е. расчет характеристики линейной системы
h(x) с финитным спектром с заданными свойствами;
3) задача восстановления входного воздействия Дх) по отклику
линейной системы F(y).
Остановимся на некоторых типичных примерах,
иллюстрирующих специфику полученных результатов.
6

Научно-аналитические обзоры
Теорема
Уиттекера-Котельникова-Шеннона
Общий метод получения интерполяционных рядов основан на принципе
наложения спектров. Рассмотрим последовательность дельта-функций
—00
где pic- линейные функционалы функцииДх) с финитным спектром S(a>)\
а
Рк= |е_,ш5(П)Я(П)<Ю,
-а
где И(со) - заданная "фильтрующая" функция.
Запишем преобразование Фурье S&[a)) функции f£x), используя
представление pit:
а +00
5д(в>)= |5'(П)Я(П)(^е/*Л(й,""))^П.
Сумма в правой части есть ряд Фурье периодической дельта-функции:
— 2*&J Ink
-00 ^
^ А ^ ^ А
-ОО -00 ч
После интегрирования получим представление
Сумма представляет собой суперпозицию, т.е. наложение подобных
слагаемых. Если выбрать а = я/А , то отдельные слагаемые не перекрываются и, в
частности, при | т \<> а
А
т.е.5(«)-АМ*).
2я Н(о)
Таким образом, для получения S(o)) необходимо отсечь все слагаемые в
(3), кроме одного, и умножить результат на функцию . Этого можно до-
биться, используя полосовой фильтр с частотной характеристикой
А l i иг
Н(а>) =
2я Н(а))
0,\о)\>а.

Научно-аналитические обзоры
В результате получается исходная функция в виде интерполяционного ряда:
/(*) = £АФ(х-*Д), (4)
—00
где 0(z) = — Г h(co)Q,eozdco .
Проиллюстрируем метод наложения на примере восстановления
плотности вероятности р(х) случайной величины с финитной характеристической
функцией S(ct)) по вероятностям квантованных значений
*Д+0,5Д
Рк = { Р(х№ •
£Д-0,5Д
Выборочное представление имеет вид (4), где
Ф(х) = ( -^—ед с/Я.
Д/г J sin Я
-0.5л-
Рассмотрим случай, когда в точках отсчета задается набор параметров
функции, т.е. можно составить несколько дельта-последовательностей.
Проиллюстрируем имеющиеся возможности на примере двух наборов:
00
Ps(x) = ^PkS(x-kA)9
-00
00
—00
а а
где рк= \e-"c"nS(Q)H(LQ)dCi; p'k= \e~*AaS(0)H*(a)dn.
-а -а
Поскольку число параметров увеличилось, целесообразно рассмотреть
пропорциональное увеличение расстояния А между отсчетами. Переходя к
преобразованиям Фурье, получим две суммы, в которых слагаемые при
увеличенном расстоянии перекрываются:
с f ч 2;rVcf lnk\ui 1пк\
с.м 2**W 2nk\J 2nk\
Попытаемся восстановить исходный спектр S(d) на интервале [-or,or] из этих
последовательностей. Для этого умножим их на спектры Ф(со\ Ф (d)
восстанавливающих фильтров-интерполяторов, и сложим:
8

Научно-аналитические обзоры
фи|>(*-^*)я
( 2лк\
со +
I A J
(5)
Д
Если интервал А больше п/а, то в некоторых точках отрезка [-or,а] могут
присутствовать несколько слагаемых каждой суммы. Если этих слагаемых не
больше двух, то можно попытаться из линейной комбинации (5) путем выбора Ф и Ф
вьщелить S(co). Максимальное значение расстояния между отсчетами, при котором
это возможно, соответствует А = 2/г I a ; при этом в каждой точке со будет два
слагаемых. Так, при со > О, полагая Ф(со) = Ф*(со) = 0 для со > О, получим
Ф(со)[Б(со)Н(со) + S(co -2п/А)Н(со -2п/А)] +
+0\cd)[S(co)H\co) + S(co -2/г/ А)Н\со -2тгI А)].
Приравнивая эту сумму к S(co), составим систему линейных уравнений для
Ф,Ф*:
Ф(со)Н(со) + ф\со)Н\со) = 1,
Ф(б))Н(со -2тг/А) + Ф\со)Н\со -2тгIА) = Ъ.
Из этой системы можно найти характеристики восстанавливающих
фильтров Ф,Ф*. Таким образом, необходимым условием восстановления
является требование не более чем двукратного перекрытия области спектра.
Проиллюстрируем общий результат хорошо известным примером [9]. Пусть
У7|дч * df(kA) n
р*=д/сА), рк = . В этом случае
dx
а
-lk6nS(p.)dn, tf(fi) = l,
а
р*к=- \e"'*An/QS(Q)^Q, H*(Q) = -/Q .
-а
Система уравнений имеет вид
Ф(й))-1СОф\й)) = 1,
Ф(о) - (со-2тг/А)ф\о)) = О,
откуда при со £ О
,*, ч . А ., ч Л icoA
Ф(со) = 1—-, Ф(<у) = 1+—.
2/г 2/г
Обобщение метода трансляции на многомерный случай получено в [10].
Функция/х) N переменных (х\^с2>--Jh) = х имеет финитный спектр S(£), равный ну-

Научно-аналитические обзоры
лю вне области D М-мерного пространства (£ь£2 &)= £. Перед выборочным
преобразованием сигнал X*) проходит через L фильтров, имеющих спектральные
характеристики Ф(£). На выходах формируются отсчеты
4(xt)=Js($)e"««-"4.
D
Точки х* образуют решетку
где а/.а^,..., алг- образующие векторы. ПредставлениеДх) ищется в виде ряда
L
k|.k2 k„ /-1
Для анализа возможности такого представления перейдем к спектрам и
используем разложение периодической дельта-функции:
к к
Точки р* - к\Ъ\+ к2Ъ2 +...+ М>лг образуют решетку, обратную решетке с
направляющими векторами аь ..., ь^:
Г2тг,/ = У,
(a'bJ) = 1n ^ •
[О,/ *у,
а Г- объем параллелепипеда, построенного на векторах by.
Требуя совпадения преобразования Фурье с искомым спектром 5(5),
получим систему уравнений для функций <р/(£) - преобразований Фурье Ф^г):
/ v
где Skn, - символ Кронекера.
Для возможности решения необходимо, чтобы в одной точке £
пересекалось не более L функций Я/ (f - fy). Это условие можно сформулировать
следующим образом. Если в(£) - опорная функция области D, равная единице на D
и нулю вне D, то для существования отсчетного представления необходимо,
чтобы в каждой точке D при трансляции по узлам /^ складывалось не более L
опорных функций:
£*<5-ft)£i,£cD. (6)
к
Минимальное число "степеней свободы", необходимое для
восстановления сигнала, или максимальный объем пространства, приходящийся на один
отсчет, достигается, если в (6) будет равенство. Для некоторых областей в этом
случае осуществляется L-кратное заполнение всего пространства, и объем,
приходящийся на один отсчет, достигает максимально возможного значения. Хо-
10

Научно-аналитические обзоры
рошо известны относящиеся к этому случаю области в виде прямоугольника
или правильного шестиугольника. Кроме того, существуют и многосвязные
области, обеспечивающие полное перекрытие; в одномерном случае получаются
представления для функций, спектр которых сосредоточен на
неперекрывающихся отрезках.
Речевые сигналы или сигналы изображения иногда моделируются
случайными процессами. Рассмотрим примеры выборочного представления в этих
случаях.
При достаточно малых расстояниях между отсчетами возможна
аппроксимация реальных сигналов с любой степенью точности. При достаточно малом шаге
квантования аналоговые отсчеты с высокой точностью заменяются квантованными
значениями. В результате сочетания дискретизации и квантования по уровню
получается цифровой сигнал, который можно передавать по цифровым каналам связи.
На приемном конце в результате цифро-аналогового преобразования и
использования фильтра-интерполятора восстанавливается исходное сообщение. Но увеличение
числа отсчетов и числа уровней квантования приводит к росту скорости создания
сообщений, что вызывает увеличение необходимой пропускной способности канала
связи. Поэтому актуальна задача выбора частоты и шага квантования,
обеспечивающих минимум скорости при заданной погрешности восстановления.
«0
г*
-/-
«*п
—►
у
АЦП
*К(*Щ
►
ыГ\л
ЦАП
+{J*
4(0 »
►
Ф Г
Г*
Рис.1.
Рассмотрим результат решения этой задачи для системы связи,
изображенной на рис. 1 [11]. Стационарный случайный процесс £(f) с заданной
корреляционной функцией подвергается дискретизации с интервалом между
отсчетами Т и квантованию по уровню с шагом h в конечном диапазоне [-Nh, Nh]. На
приемном конце используется ступенчатый цифроаналоговый преобразователь
и идеальный фильтр-интерполятор с частотой отсечки А = /г/Г , после которого
следует фильтр с постоянной частотной характеристикой в полосе [-Q, Q] и
равной нулю вне полосы. При заданной среднеквадратичной погрешности
аппроксимации входного сигнала сигналом на выходе ищутся значения
параметров Т, h, N и Q, обеспечивающие минимум произведения числа отсчетов в
единицу времени на логарифм числа уровней M=2N+l. Результаты расчетов для
2
процесса с гауссовской корреляционной функцией е и единичной
дисперсией показаны на рис. 2. На кривой отмечены участки, соответствующие
значениям А/= 2,3,..., 10.
11

Научно-аналитические обзоры
Рис. 2 Рис. 3
Перспективны в технике связи адаптивные системы, которые меняют свои
характеристики в зависимости от текущих значений параметров сигнала.
Важнейшим параметром является эффективная полоса частот, определяющая
расстояние между отсчетами. Целесообразное расстояние можно определять с
прогнозом на основании анализа предыдущих отсчетов. Простейший алгоритм
основан на сопоставлении знаков двух предыдущих отсчетов: если знаки
одинаковы, то расстояние можно увеличить, если разные - уменьшить. Заметим, что нет
необходимости передавать по каналу связи сведения о текущем расстоянии,
поскольку оно определяется по уже принятым отсчетам.
Эффективность ряда алгоритмов адаптивной дискретизации исследована в
[12] для гауссовского сигнала с экспоненциальной корреляционной функцией
е~г'7 . Расстояния между отсчетами образуют арифметическую прогрессию:
7}=/Т0, / =12,...,т. Если при расстоянии Т, отсчеты имеют одинаковые знаки, то
следующий отсчет берется через интервал 7}м, если разные, то он равняется Тц.2.
На рис. 3 показана зависимость вероятностей Р; реализации /-го диапазона от
—Т IT
р = е ()/ для m = 6, иллюстрирующая возможность адаптации.
Синтез функций с финитным спектром
Рассмотрим особенности подбора функции с заданными свойствами на
примере синтеза направленной характеристики адаптивной антенны с
обработкой сигнала [13]. Такие антенны считаются перспективными в
радиолокации и в технике связи, поскольку направленная
характеристика изменяется автоматически в соответствии с текущей ситуацией в
контролируемом секторе.
12

Научно-аналитические обзоры
В качестве иллюстрации используем антенную систему,
формирующую веер направленных характеристик или парциальных диаграмм
направленности. Будем считать, что парциальная диаграмма <рп(х)
соответствует постоянному амплитудному распределению тока в раскрыве,
а ее максимальное значение определяется угловой координатой х = п\
<Р,М) =— г1-
7Г(Х - П)
Отклики парциальных диаграмм на распределение целей Ду) в
секторе ответственности
sin,7( у-/)
«,- = \Р(У)—; —dy-
TF(y-i)
Направление на цель с координатой у = у0, для которой /Ху) = S(y -
- уо), определяется с точностью до ширины парциальной диаграммы по
номеру луча, для которого отклик максимален. Не нарушая общности,
будем считать, что в секторе имеется цель с координатой, соответствующая
/=0. Попытаемся улучшить разрешение по углу, используя обработку
соседних с максимальным откликов, составляя линейную комбинацию
n
в которой Yj можно оперативно изменять в соответствии с обстановкой в
зоне обзора. Подставляя соотношения для о,, получим
где
*W = 2>y
я(у-Л
S\r\7r(y-j)
Подбор yj сводится к синтезу функции с финитным спектром, т.е. к
подбору коэффициентов ряда УКШ, обеспечивающих функцию цАу) с
заданными свойствами. По предположению, в результате
предварительного анализа обстановки в секторе -\< у <1 зафиксирована цель. Для
уточнения ее угловой координаты нужно получить функцию ф(у) с
более узким лучем в этом секторе. Используя соотношение sin л1 (у -j)=
= (-iysin;ry и приводя дроби к общему знаменателю, получим
представление ф(у) в виде взвешенного полинома P2dy) степени 2N:
ф{у)= w^2 ,
7ГУ(\-у2)...(\-^)
Ыг'
13

Научно-аналитические обзоры
Весовая функция
, ч sin^v
v(>0 = —
ку{\ -/)...(! --^-)
при достаточно большом N в интервале [-1,1] мало отличается от
единицы, поэтому ф(у) на этом интервале практически совпадает с
многочленом степени 2N. Многочлен, обеспечивающий оптимальное сужение
луча, имеет вид
P1N(y) = cos 2N arccos
b2-y2
]-b2
где b - параметр, определяющий ширину луча.
Уровень боковых лепестков на интервале [-1,1]
*7="
1
ch2ATarch
Ь2-\
Рис.4
На рис. 4 показан
график модифицированной
диаграммы направленности при
значении Ъ = 0,5,
обеспечивающей двукратное сужение
луча. Характерной
особенностью является резкий рост
ф(у) вне сектора
ответственности [-1,1]. Нетрудно
заметить, что "нетипичное" поведение диаграммы направленности на
интервале аппроксимации реализуется за счет "хвостов" исходных
парциальных функций, имеющих максимум вдали от интервала [-1,1]. Подобная
ситуация усложняет реализацию линейной обработки, поскольку
необходимый результат получается путем суперпозиции хвостов функций,
имеющих значительные амплитудные множители разного знака. В
результате ужесточаются требования на реализацию соответствующих
значений Yj.
Рассмотренный пример иллюстрирует недостатки метода передачи
широкополосного сигнала с помощью сигнала узкополосного.
Оказывается, что энергия, необходимая для передачи, намного больше энергии
полезного сигнала. Жесткие допуски на задание отсчетов вне интервала
существования широкополосного сигнала указывают на усиление
влияния шумов.
14

Научно-аналитические обзоры
Чтобы заведомо обеспечить практический результат, необходимо
ввести требование "технической реализуемости", гарантирующее
ограничение роста синтезируемой функции с финитным спектром вне
интервала аппроксимации. Известны два подхода к формулировке такого
требования. Один из них предполагает ограничение числа 2N+1
используемых базисных функций. Другой предполагает ограничение
параметра регуляризации, например, в виде отношения энергии искомой
функции на интервале аппроксимации к полной энергии в полосе частот.
При энергетических ограничениях полезен переход к новой системе
базисных функций, имеющих максимальную концентрацию энергии на
заданном интервале [-Т9 7]. Такие функции являются собственными
функциями интегрального уравнения
,, ч „ csmc(x-у) ., ч , ,_ч
_J 7Г(х-у)
где с = 712, Q - ширина спектра [14].
Они обладают уникальным свойством двойной ортогональности: во-
первых, на конечном интервале [-1,1], на котором осуществляется
аппроксимация, во вторых, на всей оси, на которой сосредоточена полная энергия.
Таким образом, упрощается задача синтеза с ограничением параметра
регуляризации.
Решения интегрального уравнения (7) преобразуются линейной
системой, характеристика которой имеет постоянное преобразование Фурье в
области финитности. Аналогичное свойство характерно и для двумерных
сигналов, используемых в оптических линиях связи. ВходДхь х2) связан с
выходом F(yhy2) соотношением двумерной свертки
Р(У\>Уг) = \\/(х\>ХгЖУ\ -хх,у2 -x2)dxxdx2.
ФункцииД*1, х2\ F(yu y2) заданы в области R, а спектр h(zu z2)
постоянен в области финитности D, определяемой ограничивающей
диафрагмой.
Если при прохождении через систему форма сигнала не меняется,
то в области R выполняется соотношение [15]
/(У\>Уг) = ^ JJ Д*1,*2МУ\ ~Х\,У2-х2)<k\dx2 •
R
Коэффициент Я < I определяет отношение энергии в области R к
полной энергии в области финитности спектра D. Собственные функции
fiiyu Уг) интегрального уравнения образуют полную систему,
обладающую свойством двойной ортогональности в области R и на всей плоскости
(Уи Уг)- Максимальное значение Л=Ло получается, если используется
нулевая собственная функция. Величина Ло зависит от форм областей D и R.
15

Научно-аналитические обзоры
В [16] разработан метод получения формы области D,
обеспечивающий максимум Л0 для заданной формы области R. Максимизация
Ло(К) путем изменения формы R при фиксации ее площади показала, что
оптимальными являются области Я и D в форме круга.
Продолжение функций с финитным спектром
Известно, что аналитическая функция однозначно определяется своими
значениями в ограниченной области, например, на конечном интервале, т.е. может
быть продолжена на всю область аналитичности. Функция с финитным
спектром аналитична в любой ограниченной области комплексной плоскости,
поэтому в принципе может быть продолжена на всю вещественную ось, если
задать ее значения на конечном интервале. Особенности реализации такого
продолжения рассмотрим на примере восстановления финитного входа J{x) по
отклику F(y) линейной системы.
Для этого необходимо решить интегральное уравнение типа свертки
F(y)=jf(x)Ky-x)dx,
где h{z) - характеристика линейной системы.
После преобразования Фурье получим соотношение
F(flO = £(flO/(fi>).
Если преобразование Фурье h(co) известно и не обращается в ноль на
некотором конечном интервале [- П, Q], то по спектру F(p)) выхода на этом интервале
можно найти спектр входа:
h(G))
В некоторых приложениях, например, в астрономии, можно считать, что
функция Дх) сосредоточена на конечном интервале и положитьХ*)=0 при \х\>Т.
Тогда спектр f(ct)) (преобразование Фурье финитной функции) есть целая
аналитическая функция, и по ее значениям на конечном интервале, скажем, в
полосе фильтра Н<П, можно путем аналитического продолжения восстановить
значения f(co) при \со\ >П, а затем определить после преобразования по Фурье
входах). Алгоритм восстановления был впервые предложен в 1958 г. Л. Б. Тар-
таковским [17], а позже А. Папулисом.
Однако задача аналитического продолжения некорректна: при наличии
сколь угодно малой погрешности при задании f(co) внутри интервала ошибка
восстановления за интервал сколь угодно велика. Именно это положение не
позволяет провести аналитическое продолжение функции с финитным спектром за
конечный интервал, возможность которого предполагается в [6].
Чтобы получить корректное решение, приходится ограничивать класс
возможных входов. Одно из таких ограничений сводится к требованию конеч-
16

Научно-аналитические обзоры
ности числа базисных функций, аппроксимирующих входДх). Удобно в
качестве базисных выбрать /V первых функций с максимальной концентрацией в
области определения входа [-Т, 7]. Более нагляден выбор в качестве базисных
тригонометрических функций. В этих случаях получена явная связь ошибки
измерения спектра на конечном интервале с ошибкой восстановления; как и
следовало ожидать, продолжение мало эффективно, если параметр Релея c=QT мал [7].
Аналогичный вывод получен при анализе "сверхразрешения", когда/*)
представляется суперпозицией двух дельта-функций, имитирующих точечные цели.
Предположение о конечности числа "степеней свободы", или допустимого
числа базисных функций вызывает серьезные методологические возражения,
поскольку его невозможно проверить по результатам обработки доступных
данных на выходе прибора, а вход по предположению недоступен. Впрочем, такая
ситуация вообще характерна для теории измерений: их интерпретация основана
на конкретных априорных предположениях, которые невозможно подтвердить
или опровергнуть по полученным данным [18].
Можно попытаться обойти эту трудность, оценивая не весь вход, а его
параметр-длительность 2Т [20]. Будем считать, что на интервале частот [Q, Q] известна
функция f{co) + п(р)), где п(со) - гауссовский процесс с корреляционной функцией
Хд\со-со). Функция^*) представляется конечной суммой
/(x) = ]Ta>„(A',c),
где с = ОТ - измеряемый параметр; а„ - вещественные величины с нулевым
средним и одинаковой дисперсией, независимые между собой и от п(со).
В качестве базисных функций выбирались либо собственные функции с
максимальной концентрацией, либо тригонометрические функции. В последнем
случае
N smT \co
-N со
т
Для дисперсии оценки параметра с при с-> 0 и малом отношении помеха-
сигнал /? получено соотношение
с\А2+ — Р)
2Л 1
где А = —т- > —г\в- отношение интенсивности аддитивной помехи к интенсив-
ности сигнала на интервале [-Г, 7].
Характер зависимости а от 0 существенно зависит от числа слагаемых ряда
УКШ: если сигнал предполагается постоянным (А= 0), то дисперсия
пропорциональна отношению шум/сигнал /?; при А * 0 дисперсия пропорциональна /З2, т.е. намного
меньше.
17

Научно-аналитические обзоры
Заметим, что зависимость А от числа слагаемых N менее существенна: при
изменении N от единицы до двух величина А меняется на 25%. Таким образом,
переход к модифицированному алгоритму оценивания, учитывающему возможное
непостоянство сигнала, может существенно увеличить достоверность измерения.
Теорема о полиномиальном сканировании
В отличие от теоремы отсчетов, которая оперирует частотными
характеристиками функции Дг), теорема о полиномиальном сканировании
[21 ] использует временные характеристики этой функции, поэтому эти
две теоремы оказываются дополняющими друг друга.
Предпочтительность и возможность применения одной или другой из этих теорем
зависит от характера конкретных функций, подлежащих сканированию.
Пусть J[t) - бесконечно дифференцируемая на всей числовой оси
функция и существует такое Л = Г0 / 2 > 0, что
lim4-^sup|/(")(d = 0, (8)
/?_>0° л/Р
где -/Ц, <t<pAq.
Тогда при любом 0 < Т < Т0 для любого фиксированного значения
t справедливо
где
("•'•?)=
(к-п)\(к + п)\Г\ * + 1+--л )г[ * + 1-- + л
л*?)-п
JT
(9а)
(96)
Г(х) - гамма-функция от аргумента х, для которой, как известно, Г(1) = 1
и справедлива формула приведения (см., например, [22]):
Г(д:) = (х - \)(х - 2)...(х - d) Т(х - d)(d < х). (9в)
Как сама формулировка этой теоремы, так и ее доказательство
базируются на интерполяционной формуле Лагранжа, которая позволяет
построить многочлен степени т, интерполирующий заданную
функцию ДО в m +1 узлах интерполяции / = *,-(/ = 0,1,..., т)
18

Научно-аналитические обзоры
т т
(t-t
1=0
1*п
yjn-t,
f +*m('), 00)
где функция ошибки #ш(0 равна нулю при всех / = /,(/= 0,1,...,/и).
Выбрав в качестве узлов интерполяции 2& + 1 точки
/ = 0,±Г,±27\..., где Г>0 некоторая конечная величина, формулу (10)
после несложных преобразований (с использованием формулы (9в))
можно представить так:
ло= X ef^^^l^fii^^Wn+^w. (и)
Здесь интерполирующий многочлен Лагранжа специально выражен
через функции Q(ntk,t/T) и S(n,k,t/T)9 чтобы подчеркнуть то
обстоятельство, что при конечных значениях п и tIT имеют место
limg /».*,— =!, (12)
£->00 ^ Т)
sin л"! п
lim S'f л,*,-| = ,^Г ч
. ... . . . <13)
к -юо
(см., например, [23]), т.е. для любого фиксированного значения t при
к -> оо, когда формула (11) принимает вид
до=пт£е(>аЛ (lla)
слагаемые в сумме, соответствующие конечным значениям л,
оказываются равными
sin л* п\
У Jf(»T) ■ (14)
я —п
{Т
Заметим, что в ряде случаев вместо формулы (9) можно
пользоваться эквивалентной стандартной формулой
1 V1 /Y ТчГтГ'-./Т>
/W = j!2L^rZ/^n
В [21] в качестве примера рассмотрена функция
(15)
19

Научно-аналитические обзоры
f(t) = Atze<Tts\n(cot + /3), (16)
которую при а Ф 0 и/или z Ф 0 нельзя представить с помощью теоремы
отсчетов. Подставляя в формулу (8) выражение для p-ft производной этой
функции и переходя к пределу р -> <х>, можно найти уравнение для
наибольших допустимых значений шага сканирования TQ = 2Aq при заданных
значениях а и со, независимо от значения z = 0,1,...
^0/?exp(/l07?|cos^|) = l, (17)
П. 2 О)
где К = уст +о) ; #? = arctg—.
ст
На рис. 5 приведена симметричная
относительно мнимой и вещественной
осей координат комплексной плоскости
замкнутая кривая (лист)
0,5/?exp(0,5/?|cos#?|) = l. (18)
Из сопоставления (17) с (18) легко
обнаружить весьма простой способ
определения при заданных an со наибольшего допустимого значения шага
сканирования 7,0=2Я0, а именно, построить точку s = а + jco, провести
луч, проходящий через начало координат и точку s, определить точку L
пересечения этого луча с листом. Значение Т0 при этом определяется
как отношение длин двух отрезков:
TQ=0L/QS. (19)
Следует отметить, что в общем случае, когда а Ф 0 или z ф 0,
применительно к функции (16) теорема отсчетов «не работает». В том
единственном случае, когда а = z = 0, т.е. когда речь идет о функции
/(/) = A s\r\(cot + Р) с ограниченным спектром частот, применение
теоремы отсчетов становится возможным, так как теорема УКШ
устанавливает лимит сверху на шаг сканирования, равный к/со, в то время как
значение лимита при полиномиальном сканировании оказывается
равным 2/со, т.е. в я/2 раза меньше.
Обобщенные ряды Котельникова
на основе атомарных функций
Для интерполяции сигналов с финитным спектром можно также
использовать преобразования Фурье атомарных функций (АФ) [24]. Это связано
с тем, что нули этих преобразований расположены регулярным образом.
Кроме того, спектры АФ стремятся к нулю на бесконечности значительно
20

Научно-аналитические обзоры
быстрее функции sinc(x), что позволяет ограничиться сравнительно
небольшим числом членов интерполяционного ряда. Пусть
00 00
/(£) = J Л*)е^хЛ , /(*) = i- | ?(£)е**d# (20)
—со -со
определяют пару преобразований Фурье для функции /и ее
изображения / • Согласно теореме, УКШ, функция / с финитным спектром
(/(£) = 0 при |£|>Q) однозначно восстанавливается по множеству своих
отсчетов
/(*)=£ Д*Д) sine
-(х-*Д)
А
где 0<A<;r/Q; sinc(jc)=sin(x)/A:.
Кроме того,
/(й = л£/(ЛД)е-и
г£Д£
(21)
(22)
*=-«>
Если условие А < я/Q выполняется строго (A</t/Q), to выборка
функции / называется избыточной. Тогда возможно построение ряда,
аналогичного (21), но обладающего более высокой скоростью
сходимости. Рассмотрим подход, основанный на аппроксимационных свойствах
АФ[24-2б].
Теорема 1. Пусть функция flx) имеет финитный спектр
(supp7(£) = [-n,Q]). Тогда при любом выборе А<л/£1 и функции у е
C°°(R) такой, что:
i)y(0) = i;
2) supp/ = [-l,l],
будет справедливо разложение
/(*)=£ Л*Д)г
П\(х-Щ
sine
п
(х-/с А)
(23)
Доказательство. Выберем функцию y/eC°°(R), равную
единице на [- Q,Q] и нулю вне [ - а,а]9 где а = 2я/ А - Q > /г IA . Тогда
вместо (22) можно записать
*Д£
где
/(£) = д£/(*ДМ£)е-й
*№ = е~хХАЦ1*)> е = а-л/А
(24)
(25)
21

Научно-аналитические обзоры
Здесь Хе является я-усреднением по Соболеву характеристической
функции интервала
|о,|£|>1,
т.е. хе(^)= Г У(€~10х(€-0Ж • Выполнив обратное преобразование
Фурье (24), получим (23).
Вследствие бесконечной дифференцируемости у, ее Фурье-образ
у убывает на бесконечности быстрее любой степени \х\, и усеченный
ряд (23) при одном и том же конечном числе слагаемых дает меньшую
погрешность аппроксимации функции/в L2, чем (21). В качестве ядра у,
в частности, может быть выбрана любая АФ (табл. 1), нормированная
соответствующим образом. Отметим, что в общем случае у может не
быть бесконечно дифференцируемой, а обладать конечной, достаточно
высокой степенью гладкости.
Таблица 1. Финитные функции и их преобразования Фурье
Функция Х£)
1
2
3
4
5
вд, 1
(и-0,1,.«)
s„(fl
(«=1,2,-)
up„(£)
("=1,2,...)
0.(3
(«=o,i,...) |
Носитель
Г 1 1 ":
L а-\'а-\_
Г я+2 л + 2
L 2 ' 2 .
[-U]
Н,1]
Г п + \ п + \
L 2 ' 2
Преобразование Фурье у(х)
М?)
sine" — ГТ sine —г
fjsinc"
f X 1 1
l2(/. + l);J
y^sinc2(rtx(2n)"')
У sinc(x(2n)-y)
smc (-J
Одним из основных свойств АФ ha(£) является то, что /Ц£)=а/2 при
|£|< , я>2. Таким образом, в (24) можно положить
а(а-\)
а \ а(а - 1)Q J
22

Научно-аналитические обзоры
Согласно теореме 1, при /(jc) = l~Tsinc
справедливо следующее разложение [26]:
00 СО
а-\
, а>2, А<
аП ( ,А\
—-(х-к А)
AaJ
п а-2
(26)
fc=_O0 J = \
Выражение (26) можно интерпретировать как разложение функции
/по неортонормированному базису сдвигов-сжатий Фурье-образов АФ
/*<,(£). При практических вычислениях необходимо ограничиться
конечным числом членов произведения в правой части (26). В этом случае
также будет иметь место точное разложение
м
д*)=Хд*д)П8|пс
А:=-оо
,-Му
Да' '
при а(1+а"м)>2, А =
7=1
п а(\ + а'м)-2
(27)
Минимально возможные значе-
Q а-\
ния а могут быть найдены из решения трансцендентного уравнения
а(\ + а~м) = 2. При М=\ из (27) как частный случай получается ряд Ко-
тельникова (21), а в пределе при М->оэ- ряд (26).
Теория Стренга—Фикса и обобщенная теорема отсчетов
Рассмотрим другой возможный подход к построению функции у/ъ (24),
отличной от (25). Пусть Wf(R) (р>0, peZ) - пространство, являющееся
пополнением множества бесконечно дифференцируемых на всей
числовой оси функций по норме
При р = О W% = L2. Тогда, согласно теореме Стренга-Фикса [27],
если функция yeWf и финитна, то следующие условия эквивалентны:
1) f(0) * 0, но y{a)(2nj) = 0, если0*yeZ, |aj<p;
2) если |а|<р, то /Jay(x-j) есть полином от л: с главным членом
сха, с*0.
В частном случае, при а = О, у(0) = 1, сдвиги функции у дают
разбиение единицы
23

Научно-аналитические обзоры
Выбрав подходящий шаг И > О, можно добиться того, что конечная
сумма сдвигов-сжатий функции у
Х/^-Л (M,NeZ,M<N)
будет равна единице на любом интервале конечной длины, спадая до нуля
за его пределами. Таким образом, при согласованном выборе параметров
Л/, N, h, последняя сумма будет удовлетворять требованиям, налагаемым на
функцию у/в (24). Считая Фурье-образ у известным, можно построить
выражения, аналогичные (23), позволяющие однозначно восстановить / по
равноотстоящим отсчетам [25].
Теорема 2. Пусть функция fix) имеет финитный спектр
(supp /(£) = [-Q, Q]). Тогда при любом выборе А < я IQ и функции ут е L2
(m=l,2,...), такой, что:
1) £н(0) = 1. по rm&FJ) = Q npuO*jeZ;
2)supprm=[-(w + 1)/2,(m + l)/2],
будет справедливо разложение
I (п
ж>=
яч-Afl
2/г
1 2 /(*А)-
sine
/?n A
-Q Ux-kA)
2wU Г
^sinc
±(f + n|(*-*A>
(28)
Пусть ^,„(x) = sinc(jt/2)£m(x), причем £ш(0) = 1 . Выражение (28) в
этом случае примет вид
sine
1Г|+Щ(дс-*Д)
(29)
Аналогично (23), при A = /r/Q формулы (28), (29) переходят в
обычный ряд Котельникова (21). В качестве функции ут могут быть
выбраны АФ fup„(£) (т = п - 1), Зя| -£ (т = и) и up„(£ (w = 1), а
также Я-сплайны #„(£) (/72 = п) (см. табл. 1). Все они образуются путем
свертки базисной характеристической функции интервала [-1/2,1/2], обеспе-
24

Научно-аналитические обзоры
чивающей удовлетворение условиям теоремы Стренга-Фикса, с
характеристическими функциями других интервалов меньшей или равной
длины. В связи с этим следует отметить, что на практике при
построении разбиения единицы можно ограничиться любым конечным числом
членов произведений фурье-образов АФ, так как при этом условия
теоремы Стренга-Фикса по-прежнему будут выполняться.
Полиномы Левитана на основе атомарных функций
Обозначим через Wo.(<r>0) совокупность всех целых функций f(z)
(zеС) экспоненциального типа <<т , для которых f(x)/\x-i\eL2(R), a
через В^сг^О) - пространство целых функций f(z)
экспоненциального типа <<т, ограниченных на вещественной оси [28]. При этом
Вд. z> W^.. Разложение в ряд Котельникова не является единственно
возможной формой представления функций такого рода. Б.М. Левитаном
доказана теорема о том, что для любой функции^) класса В^. можно
построить бесконечную последовательность периодических
тригонометрических сумм Sn(f\z) (л = 1,2,...), ограниченных на вещественной оси той
же константой, что и f(z), и сходящихся к f(z) равномерно в каждой
конечной части комплексной плоскости [29]. Положим h = cr/n,
л = 1,2,... и
_1_
2/г
Тогда
1
Eh(x) = — [еЧхиsine2(Aw/2)f(u)du9 xeR. (30)
Sn(f;z) = h^Eh(kh)c'kh!. (31)
k=-n
Существует также другое эквивалентное представление полиномов
Левитана, внешний вид которого напоминает разложение в ряд
Котельникова:
W;z)=£/(z + *A)sinc2
JN-оэ
-(z + ifcA)
А
(32)
где А = 2я/И = 2яп/<т.
В последнем выражении в качестве базисных функций фигурируют
сдвиги-сжатия ядер Фейера. Обобщенные многочлены Левитана [29] для
функций Дг)еУ^г) (<т>0,г=0,1,2,...) таких, что /(лг)/|дг-/|2г+,еЬ2(К),
строятся на основе ядер типа Фейера (Джексона) и имеют вид
25

Научно-аналитические обзоры
S(„r\f;z)=^f(z + kA)sinc
2r+2
А
(33)
Для полиномов Левитана справедлива следующая важная теорема
об аппроксимации.
Теорема 3. Если f{z)e W^ (<т>0) и \ f(x)\< A (хeR),mo
\f(x)-Sn(Ax)\<2A(\-s\nc2(7rx/A))<2A(7rx/A)2. (34)
Можно видеть, что в отличие от ряда Котельникова точность
аппроксимации рядами (31), (32) растет при А—► оо. Для многочленов вида
(33) существуют более строгие оценки погрешности аппроксимации.
Продемонстрируем возможности АФ для синтеза обобщенных
полиномов Левитана. Оставим в силе введенные выше обозначения и
предположения об аппроксимируемой функции. Вместо (30) положим
, - ( « У
Uh(x) = — J e'™m sinc(A«/2'+I)
.>=■
f(u)du, xeR .
(35)
Выражение в скобках есть преобразование Фурье АФ up(2x/h), a
его квадрат - спектр свертки этой функции с собой, обозначаемой также
cup(2jc//7) = up(2jc//?)*up(2;c//7). Очевидно, что интеграл в (35) равен
нулю при | х |> а + h. Обобщенный полином Левитана имеет вид
Яя(/;2) = /7^^(^)е/Ж'. (36)
к=-п
Так как Uh(kh) = 0 при | к \> п , можно записать Pn(f\z) =
00 СО
= А^С/л(АА)е,АЛг. Рассмотрим функцию fh(z) = f(z)Y[s\nc2(hz/2j+l).
С помощью теоремы Винера-Пэли [29] можно показать, что она, а также ее
производная f(z) непрерывны и принадлежат пространству L(R) на
прямых, параллельных вещественной оси. Применив к функции^ +//Ъ)
формулу суммирования Пуассона, в итоге получим
CD СО
^(/^)=Е^г+^)П81пс2
У=1
2 V
(37)
Из этого представления следуют очевидные свойства обобщенных
полиномов Левитана:
1) если /(jc)(jc€R) вещественна, то Pn(f;x)(xeR) тоже
вещественны;
2) если f{x) > 0 (jc € R), то Pn(f;x) > О (х е R).
26

Научно-аналитические обзоры
Теорема 4. Если f(z) e W^ (бг > 0) и\ f(x) \<A (х e R), то
>i
\f(x)-Pn(f;x)\<2A
l-f^sinc2[^x/(2;A)]
(38)
1-
Оказывается, что пофешность, возникающая при аппроксимации
функции полиномом Левитана на основе АФ (37) ниже, чем для
обычной аппроксимации (32) [30]. В обоих случаях погрешность минимальна
при х = 0. Кроме того, с ростом п ( Л -> 0, А -> оо) интервал, на котором
достигается хорошее качество аппроксимации, также увеличивается.
Аналогично (33) могут быть определены обобщенные полиномы Левитана
более высокого порядка:
/>ir)(/;^)=£/(^ + ^A)flsinc
2r+2
— (z + *A)
2J A
, r = 0,l,2,... . (39)
/{-функции и соотношение неопределенности
для пространственных сигналов, локализованных
в области сложной геометрии
В квантовой механике хорошо известен принцип (соотношение)
неопределенности Гейзенберга, согласно которому нельзя одновременно
задать точно координату и импульс частицы. Существует также более
общее соотношение неопределенности, справедливое для любых двух
величин, связанных между собой преобразованием Фурье [31].
Последнее, в частности, имеет место в теории синтеза антенн, при радиоинтер-
ферометрических измерениях и т.п. Существуют различные
формулировки принципа неопределенности. Рассмотрим его трактовку для
многомерных сигналов, имеющую аналогию с отношением Рэлея для
оператора Лапласа и сводящуюся к решению краевой задачи на
собственные значения с краевыми условиями Дирихле [32]. Для решения
последней используется аппарат теории /^-функций [33, 34].
Пусть функция (сигнал) /(0eZ,2(-oo,oo). Тогда существует ее
преобразование Фурье /С^)6^"00»00) и выполняется равенство
Парсеваля
00 СО
Jl/(')|2<*= \\f{o>)\2do> = E, (40)
—со —со
где Е - энергия сигнала.
Аналогично определяется многомерное преобразование Фурье для
функций f(x)eL2(Rn):
27

Научно-аналитические обзоры
7(w)= ' f/(x)ew''rfx, (41)
/(X) = (i P(w)e~W,W ' (42)
где w = (u>i,u>2,...,<y„)e/r; х = (х1,х2,...,л,|)е/гл .
Без ограничения общности, многомерный случай будет
рассматриваться на примере пространства R2.
Вместо /(/) рассмотрим масштабированную функцию с той же
энергией
/ДО^Я/'О. (43)
Согласно свойству преобразования Фурье, ей будет соответствовать
?№) = фГх?№хт). (44)
Таким образом, преобразование Фурье /\t(c°) ПРИ изменении //
ведет себя противоположным образом по сравнению с /(/), так что при
сжатии функции происходит растяжение ее фурье-образа и наоборот.
Рассмотрим случай, когда /(/) = /(-/). При этом спектр f(co)
будет также вещественной, четной функцией. В качестве удобной меры
ширины функции можно принять величину среднеквадратичного
уклонения квадрата модуля функции
00
<г*,«-т^- jt2\f(t)\2ax. (45)
rlf"7%
-СО
Соответственно,
<TJm^Lja2\f((0)\2d(0. (46)
—СО
Принцип неопределенности имеет вид [18, 31]
<ггсТ].>Е/2, (47)
причем равенство в (47) достигается для гауссовой функции вида
f(t) = Aexp(-at2). Известно, что собственными функциями
преобразования Фурье являются функции Эрмита [35]
р0(0 = ехрН2/2), рл(0 = 1'--bw-,(>), л = 1,2,..., (48)
а собственные значения Як (к=0,1,2,3) принадлежат множеству {!,-/',-1,/}.
Каждому собственному значению соответствует инвариантное подпро-
28

Научно-аналитические обзоры
странство бесконечной размерности с ортогональным базисом,
состоящим из функций
Р*+4„(0, « = 0,1,2,...
Функции Эрмита связаны с полиномами Эрмита Нп(х) соотношением
р„(0 = //„(0ехРН2/2),
где
tf0 = l, tf,,=f2f--^V ,, „ = 1,2,....
Функция <p0(t), соответствующая собственному значению 1 и
имеющая максимальную энергию, обращает соотношение (47) в равенство.
Обобщение (47) на двумерный случай записывается следующим
образом [18]:
Jх2 | /12 dxdy jV | / |2 dudu > тг2Е2 , (49)
к2 к2
J/ | /|2 dxdy jV | /|2 dudv>n2E2, (50)
R2 R2
\(x2 +y2)\f\2 dxdy j(u2 +u2)\f\2 dudu>47r2E2, (51)
R2 R2
где f = f(x,y); f = f(u,u).
Равенства в выражениях (49) - (51) достигаются только в тех
случаях, когда соответственно
f(xyy) = A(y)exp(-ax2),
f(x,y) = B(x)exp(-by2),
f(x,y) = Cexp(-ax2-by2).
Приведенные выше формулировки принципа неопределенности не
являются исчерпывающими. Во-первых, вместо (45), (46) можно ввести
иные меры сосредоточенности сигнала и спектра. Во-вторых, на сигнал
и спектр могут быть наложены априорные ограничения, которые
приводят к увеличению постоянной в правой части (47). Это относится, в
частности, к сигналам, заведомо имеющим конечную длительность.
Обозначим через Wa [29] подпространство пространства L2(-oo,oo),
состоящее из спектральных функций f(co) таких, что сигнал f{t)
интегрируем в квадрате и локализован на интервале [-Т,Т]. Последнее условие
можно записать как f(T) = 0 при \t\>T .В этом случае [18]
29

Научно-аналитические обзоры
(2Г)2£>2>/г2, (52)
где
Е
1 /
Dl = - \<о21 /(») |2 <fo = J| ЛО I2 dt / J| /(012 dt.
-T I -T
,2
Из последнего соотношения видно, что функция, на которой D;
принимает минимальное значение, должна быть непрерывно
дифференцируемой внутри интервала [-Т9Т] и обращаться в ноль на его концах,
так как в противном случае Dr2 будет обращаться в бесконечность.
Равенство в (52) достигается в случае сигнала
f(t) = Acos—. (53)
2Т
В двумерном случае, когда f(x,y) тождественно обращается в
ноль за пределами ограниченной области в R2, т.е. при (x9y)eR2\Q,
Qc/?2, аналогичная задача заключается в минимизации функционала
Al,= J(»4^|/|2^i;/£=J|V/|2^^/J|/|2^^. (54)
к2 I п /о
Нетрудно видеть, что эта задача эквивалентна нахождению
наименьшего собственного числа и соответствующей собственной функции
в области Q для оператора Лапласа с краевыми условиями Дирихле на
границе сЮ.:
Аи = Ли в Q, (55)
"L=°- (56)
Здесь A=D2(,.
В простейшем случае, когда носитель есть прямоугольная область
Q = [-а,а][-/3,Р\, а /(*,у) е Wa p , оптимальная функция имеет вид
г/ ч _ пх пу
f(x> У)-С cos—cos —^,
У) 2а 2Р
и выполняется следующее соотношение
S2D2„=;r2[(2a)2+(2/?)2],
где S = 4а/3 - площадь области Q.
Таким образом, для любого сигнала, локализованного в
прямоугольной области, имеет место соотношение неопределенности вида
52D2,>^2[(2a)2+(2/?)2]. (57)
30

Научно-аналитические обзоры
Если носитель/есть круг радиуса R, то
S2D> >*2*Voi>
(58)
где S = ttR2\ //01 a 2,405 - наименьший нуль функции Бесселя первого
рода нулевого порядка JQ(x).
Правая часть (58) минимальна при
Axty) = CJQ\&*-y[:
хг+уг
Аналогично можно получить соотношения неопределенности для
случая других канонических областей, границы которых образованы
координатными линиями одной из ортогональных систем, т.е. когда
возможно использование метода разделения переменных
применительно к задаче Дирихле для уравнения Лапласа. Для ограниченной области
Q произвольной геометрии возможно лишь численное решение
поставленной задачи.
Пусть конечная область ClczR2 имеет кусочно-гладкую границу dQ.
Численное решение основано на методе Ритца минимизации функционала
(54). Неизвестное решение f(x,y) должно принадлежать пространству
о
FF2l(Q), состоящему из функций пространства W^iCl) и равных нулю на
дО.. Согласно методу Ритца, решение ищется в виде ряда с
неопределенными коэффициентами [36 - 38]
/(х,у) = ^ск<рк(х,у),
(59)
к=0
где {(рк}^=х - базисные (координатные) функции.
Подставив (59) в (54), после дифференцирования по с{ и
приравнивания производных к нулю, получим следующую систему линейных
алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов
разложения:
АС = ЛВС,
(60)
где
А =
(У<РмУ<Ро) (УРнУп) ••. (У<РмУ<Рм))
31

Научно-аналитические обзоры
В =
С =
\cnJ
Здесь (v) = (v)a2(q)-
В случае ортонормированного базиса матрица В будет единичной.
Для решения обобщенной алгебраической проблемы собственных
значений (60) разработаны многочисленные эффективные алгоритмы [39-41].
В силу своей самосопряженности и положительной
определенности, оператор Лапласа имеет дискретный набор положительных
собственных чисел:
0< Ло <Л, <...< Л^ <... (61)
Приближенные собственные значения оператора Лапласа
удовлетворяют цепочке неравенств
4N)<MN)<...<X^ (62)
и являются приближениями к точным значениям сверху, т.е.
Л^>Лк, limAW=V (63)
ЛГ->оо
Чем больше номер к, тем хуже приближение. Соответствующие
линейно независимые собственные функции имеют вид
и^'^Л. P = W. (64)
£=0
Базисные функции должны удовлетворять следующим
требованиям [36-38]:
о
1) линейная независимость и полнота в пространстве W^(Q) при
2) обязательное удовлетворение главным краевым условиям
Дирихле;
3) минимизация ошибки аппроксимации при заданном ТУ;
4) устойчивость решения алгебраической системы Ритца (60).
В зависимости от вида носителя, можно выделить два основных
класса координатных последовательностей:
1) функции с бесконечным носителем (глобальные):
алгебраические и тригонометрические полиномы, специальные функции и др.;
2) функции с финитным носителем (локальные): В-сплайны, АФ,
вейвлеты и др.
В случае области произвольной формы сложно подобрать
базисные функции, удовлетворяющие условию Дирихле на границе. Ситуа-
32

Научно-аналитические обзоры
ция упрощается, если использовать локальные функции (конечные
элементы) и соответствующим образом аппроксимировать границу
ломаными. Это требует, однако, привлечения достаточно большого числа
базисных функций в отличие от случая функций с бесконечным
носителем. Имеет место следующая теорема.
Теорема 5 (Л.В. Канторович [42]). Пусть система функций
{^*}ь=о полна в WjiCl), а функция со(х,у) бесконечно
дифференцируемое Q и удовлетворяет следующим условиям:
о
\)a{x,y)eWl(Cl);
2) а>(х,у)>0,(х,у)еП;
3) а(х,у) = 0,(х,у)едП\
4)\Уо(х,у)\*0,(х,у)едП.
Тогда система функций
ц/к=ю<рк, к = 0,1,... (65)
О
будет полной в W\ (Q).
Полнота и линейная независимость системы (65) влечет за собой
сходимость метода Ритца. Пусть сложная область Q образована из более
простых областей QIv..,Qw с помощью теоретико-множествен-ных
операций пересечения «п», объединения «и» и дополнения «-.», т.е.
Q=F({Qu...,Qm}, {n,u,-,}). (66)
Полагаем известными уравнения границ а)^х,у) = 0 (/= 1,...,/я).
Тогда с помощью метода /^-функций [33, 34] можно получить уравнение
границы дС1. Для этого следует формально заменить в предикатном
уравнении (66) символы Q на со(х,у), Q, на со^х.у) (/ = 1,...,/и),
логических операций {п, и, -.} на символы алгебраических /^-операций {л,
v, -i} соответственно. В результате получим аналитическое выражение
для границы области Q:
а>(х,у) = 0. (67)
При этом о)(х,у)>0 во внутренних точках Q и со(х,у)<0 за
пределами Q. Одной из наиболее распространенных систем двухместных /?-
операций является система Ъ\а :
/i а„ /2 н (1+а)-« (/, +/2 - 7У12+/22-2а/,/2),
A va /г - О + а)'1 (/,+/,+ 4fy + fi ~ 2a/i/2). (68)
33

Научно-аналитические обзоры
Здесь а=а(х,у) - произвольная функция, удовлетворяющая условию
-)<а(х,у)<].
Выбирая функции системы (65) в качестве базисных в
представлении (59), приходим к алгебраической задаче на собственные значения
(60). Решив последнюю, получаем приближение к искомому
наименьшему собственному числу А^ и соответствующей собственной функции
м0, доставляющей минимум функционалу (54).
Рассмотрим следующий пример. Уравнение границы
крестообразной области Q, образованной наложением прямоугольника с длинами
сторон 2а, 2Ъ на свой образ, полученный поворотом на 90° относительно
начала координат, имеет вид
со(х,у) = [(а2 -х2)ла (b2 -y2)]va [(b2 -х2)ла (а2-у2)]. (69)
На рис. 6 приведены линии уровня функции со (при ог = 0) (а) и
собственной функции (б), соответствующей наименьшему
собственному числу для значений а = 1, b = 0,5 . Вычисление компонент матриц
системы Ритца (60) осуществлялось численно с помощью двумерной
квадратурной формулы трапеций на равномерной сетке 100x100;
вычисление дифференциальных операторов проводилось с помощью
конечно-разностных аппроксимаций второго порядка точности с шагами
Аде = 0,0001, Ау = 0,0001 . Использовались многочлены Лежандра четной
степени L2k(2x)L2n(2y), (0<k + n<M), ортонормированные в
прямоугольнике \x\<b,\y\<b. Общее количество базисных функций
7/ = 1 + (Л/2+ЗЛ/)/2.
34
Рис.6

Научно-аналитические обзоры
Системы функций с двойной ортогональностью
и обобщенное соотношение неопределенности
Одна из трактовок соотношения неопределенности основывается на
использовании собственных функций усеченного преобразования Фурье,
являющихся функциями с двойной ортогональностью [43-48]. В
одномерном случае это так называемые вытянутые волновые сфероидальные
функции, которые достаточно хорошо изучены и табулированы [49,50].
Многомерные функции с двойной ортогональностью
(гиперсфероидальные функции [49,51]) исследованы хуже, поэтому основное
внимание уделим новым численным методам их расчета с использованием
/^-функций и АФ.
В качестве меры сосредоточенности частотной характеристики
сигнала можно взять функционал /3(f), который для каждого
фиксированного частотного интервала [-w,w] определяется следующим образом [18]:
W /со
АЛ = Jl /(«) Р do I \\ f(o) |2 da> . (70)
-w I -oo
В силу равенства Парсеваля, для сигналов ограниченной
длительности (70) примет вид
w I Т
/?(/)= \\?(fi>)\2da> \\f(t)\zdt. (71)
-w I -T
Очевидно, /3(f) < 1, так как функция, ограниченная по длительности
не может иметь финитный спектр. Обобщенное соотношение
неопределенности формулируется следующим образом: при фиксированных w и Г
требуется найти непрерывный сигнал f0(t), оптимальный в том смысле, что
/Г = max А/) = А/о). (72)
/бС.
Несложно показать [13,18,49], что оптимальная функция равна
собственной функции SQ(x) интегрального уравнения Фредгольма второго рода:
)SiT)™^dT = W). (73)
соответствующей наибольшему собственному значению Л = А$ . При
этом 0* = Aq. Путем простого изменения масштаба можно показать, что
решение S0 уравнения (73) зависит только от величины произведения
wT. Сигналы S0(t) = SQ(t,wT) известны в литературе как вытянутые
волновые сфероидальные функции (ВВСФ).
35

Научно-аналитические обзоры
Введем новую переменную z = t/T . Уравнение (73) принимает вид
1
J^)sincL(z-£)^ = Ay/(z), (74)
-1
где y/(z) = S(Tz); L = wT ; sine* = sinx/x .
Собственные функции y/n(z) уравнения (74) совпадают с
собственными функциями усеченного преобразования Фурье
1
//J^)e"-^ = ^(z), (75)
4.=:г-7—5" <76>
а также удовлетворяют дифференциальному уравнению
dz\_ dz J
где b - постоянная разделения волнового уравнения в вытянутых
сфероидальных координатах.
Собственные и характеристические числа при этом связаны
соотношением
L_
2*\fi„\2
Ядра интегральных уравнений (75), (76) симметричные и
невырожденные. Они также положительно определенны [13], так как
независимо от вида функции g(z) квадратичная форма
1 1 /1
/= \\K(zx,z2)g(zx)g{z2)dzxdz2 j\g(z)\2dz>0, (77)
-l-i / -i
где K(zlyz2) = e'fZlZ2 или ^'(z1,z2) = sincL(z,-z2).
Значительно более сложным является вопрос максимизации
функционала вида (71) для многомерных, в частности, двумерных областей:
^(/)=Jl/(w)|2cAv/J|/(x)|2^. (78)
а. /а
Отметим два частных случая.
1. Пусть области А и Q представляют собой прямоугольники с
центром в начале координат и сторонами 2Г,,2Г2 и 2wu2w2
соответственно. В этом случае соответствующее (78) интегральное уравнение
примет вид
J )f(i.^iX^^\4)d{dn-mx.y). (79)
36

Научно-аналитические обзоры
Собственная функция уравнения (79), соответствующая
максимальному собственному значению ^, имеет вид [18]
где f{(x) и f2(y) суть решения уравнений
J n(y-4i)
-'2
а л = А,хА.у.
2. Среди многомерных раскрьгеов исключительное место занимает
раскрыв круглой формы, так как он единственный, форма которого
совпадает с формой области видимости. С помощью преобразования Ганкеля
можно показать, что система функций с двойной ортогональностью в этом
случае определяется из решения интегрального уравнения [13]:
Я
тч)Ш^рЕ^1^ = ЛПх.у). (80)
где Jx(x) - функция Бесселя первого рода.
Соответствующая математическая теория для случая
произвольного раскрыва разработана слабо [13].
Основной теоретический результат, относящийся к свойствам
собственных функций уравнения (74), формулируется следующим образом
[48]. При любом L>0 можно построить бесконечную
последовательность вещественных собственных функций {^,}J10 » Для которых:
1) собственные числа положительны и образуют убывающую
последовательность
А0>А1>А2>...')
2) функции y/t(z) имеют финитный в интервале [-1,1] спектр, ор-
тонормированы на вещественной оси и образуют полную систему в Wx:
00
J^.(z)^(z)dfe = ^, (81)
-оо
где Sy - символ Кронекера;
37

Научно-аналитические обзоры
3) функции y/j(z) ортогональны на интервале [-1,1] и образуют на
этом интервале полную систему в пространстве Z^-1,1] •
1
J^(z)^.(z)^ = ^.; (82)
-1
4) для любых комплексных z
1
JV, 07) sine L(z - t])dr] = Я,^, (z). (83)
Как было отмечено выше, свойства 2 и 3 совместно носят
название свойства двойной ортогональности.
Существует общий метод для построения систем функций с
двойной ортогональностью, опирающийся на теорию непрерывных
самосопряженных (симметричных) операторов в гильбертовом пространстве
[45, 46]. Пусть Lj - произвольное гильбертово пространство, W -
подпространство 1*2, Р - оператор проектирования на W, D - некоторый
линейный самосопряженный оператор, отображающий 1^ в L2. Задача
заключается в построении системы векторов {/.} в W, обладающей
следующими свойствами:
1) система {/J полна в W\
2) система {/} ортонормальна в 1^ ;
3) (%/,) = () при/*у.
Теорема 6 [48]. Пусть сужение оператора PD на подпространство W
осуществляет взаимно однозначное и вполне непрерывное
отображение W в W. Тогда полная ортонормальная система собственных
векторов оператора PD {т.е. PDft =^ft) является единственной системой,
обладающей свойствами 1, 2, 3.
В пространстве целых функций конечной степени данный
результат имеет следующую трактовку. Пусть Q - ограниченная область в
R", 0q - подпространство целых функций конечной степени, предста-
вимых в виде
/W = —^j/(w)e^cAv. (84)
По теореме Планшереля [29] Wn изометрично в 1^ . Пусть D -
оператор умножения элемента /(х) на неотрицательную измеримую
функцию р(х), строго положительную на некотором множестве положитель-
38

Научно-аналитические обзоры
ной меры, причем р(х) е L2(R"); D - вполне непрерывный оператор в W^ .
Оператор PD, где Р - оператор проектирования в fVn, осуществляет
взаимно однозначное отображение пространства Wn в L2(R") и имеет вид
PDf(x) = J Kn(x - y)p(y)f(y)dy , (85)
я"
где ядро Кп представляет собой преобразование Фурье
характеристической функции области Q, т.е.
M*)=^pT{ew'<*v. (86)
В случае, когда р(\) - характеристическая функция измеримого
множества А, выражение (85) имеет вид
РО/(х)=|/Гп(х-у)/(у)Лу. (87)
А
Так как все условия теоремы выполнены, существует система
функций {//}, обладающая свойствами:
1) система {/} полна в Wn\
2) система {ft} ортонормальна в L2(Rn)\
3) J/;(x)/y(x)</x = 0 при i*J.
А
Эта система является системой собственных функций оператора
PDy которая ортогональна как во всем пространстве R", так и на А.
Других систем с теми же свойствами не существует.
Разработана достаточно подробная классификация ВВСФ и
родственных им функций [48], а также выявлена тесная связь ВВСФ с
функциями Матье [13]. Кроме того, в настоящее время одномерные ВВСФ
хорошо протабулированьт [50].
В заключении к работе [48] среди прочих проблем отмечается
необходимость изучения систем функций с двойной ортогональностью ?.
следующих двух направлениях:
« а) более глубокое и подробное изучение этих систем но прямой, в
том числе рассмотрение асимптотического поведения, влияния веса,
простых аппроксимаций, численных методов расчета, составление
таблиц и графиков;
б) изучение дважды ортогональных систем функций от
нескольких переменных, зависимость функций и собственных чисел от формы
области финитности, гладкости ее границы, связности, а также
другие вопросы, перечисленные в предыдущем пункте,»
39

Научно-аналитические обзоры
К перечисленным вопросам можно добавить проблему построения
функций ДО» максимизирующих отношение (71) и имеющих априорные
ограничения, в частности, заданные граничные условия на концах
интервала финитности [-Г, 7].
Практическое использование функций с двойной ортогональностью в
многомерном случае по-прежнему затруднено сложностью их вычисления.
Поэтому разработка быстродействующих алгоритмов максимизации
функционала (78) является особенно актуальной. Среди различных методов
нахождения собственных значений и собственных функций интегрального
уравнения вида (74) следует отметить следующие:
1) приближенные решения для малых L [18];
2) асимптотические решения с использованием разложений по
многочленам Лежандра (при L->0) и функциям Бесселя (при L-юо)
[7,8,13], использование аппарата цепных дробей [49];
3) специальные методы отыскания характеристических чисел
интегральных уравнений [52] (метод Ритца, метод следов, метод Келлога);
4) численные методы решения интегральных уравнений [52]
(методы квадратур, наименьших квадратов, моментов, коллокации,
аппроксимации ядра вырожденным).
Первая группа методов приводит к слишком грубым результатам,
в то время как получение асимптотических решений затруднено
сложностью их численной реализации, а также медленной сходимостью при
значениях L = wT > 5. Методы следов, Келлога и наименьших квадратов
также достаточно громоздки. Метод квадратур дает хорошую точность
и приемлемое время счета для L<8 [53]. Поэтому в данной работе
основное внимание будет уделено методам Ритца (метод моментов
является одной из реализаций метода Ритца), коллокации и замены ядра
вырожденным.
Метод Ритца относится к наиболее распространенным методам
решения задач на собственные значения. Применительно к задаче
решения интегрального уравнения (73)
т
Ку/= \y/(T)K(t,r)dT = Ay/(t), (88)
-г
где K(t, г) = sin w(t - г) l[n{t - г)], он формулируется следующим образом.
Приближенные собственные функции y/N будем искать в виде ряда
по системе координатных функций <pk с неопределенными
коэффициентами с*:
N
М') = 5>*%(0. (89)
40

Научно-аналитические обзоры
Система линейно независимых функций <рк должна быть полна в
^(-7,7). Подчиним коэффициенты сп условию ||^||Ма Ь) = 1, что дает
N
к,т=0
Найдем при этом условии стационарные значения квадратичной формы
(77)
N
{Ky/N,y/N)= Л скст{К(рк,(рт).
к,т=0
По методу Лагранжа это приводит к системе линейных уравнений
относительно неизвестных коэффициентов ск (Я - множитель Лагранжа)
АС = ЛВС , (90)
где A = {akm}Nkm=o\ B = {bkJNkm=0', C = {cjf=0.
Элементы симметричных матриц А и В вычисляются следующим
образом:
Т Т
т
bk,m= \<Pic(t)(pm{t)dt. (92)
-т
Если в качестве функций срп выбрать полную ортонормированную
в ^(-ТуТ) систему, то элементы матрицы В примут особенно простой
вид:
где S - символ Кронекера.
Решив алгебраическую проблему (90) [39-41], получим собственные
значения и собственные функции ядра K(t,r). При этом приближенные
собственные значения получаются с недостатком. Из (91) видно, что даже в
одномерном случае приходится многократно производить двойное
интегрирование. При переходе к многомерным задачам возникает
необходимость вычисления интегралов более высокой кратности и, кроме того, в
общем случае ядро определяется выражением (86), что еще более
усложняет численную реализацию. В этой связи рассмотрим другой вариант метода
Ритца. Будем непосредственно максимизировать функционал (71)
/?(/)= Jl/(*)I2W JlAOl2*-
-Г
41

Научно-аналитические обзоры
Подставим (89) в последнее отношение и приравняем производные
/?по всем ск к нулю. После несложных выкладок получим систему вида
(90). Элементы матрицы В по-прежнему вычисляются по формулам
(92), а
ак,т =~ j[^(^Vm(^) + ^(^Ki(^)J^ > (93)
-И'
где ф - преобразование Фурье базисных функций <р.
При численной реализации для вычисления ф в узлах
равномерной сетки интегрирования, целесообразно воспользоваться процедурами
дискретного преобразования Фурье (ДПФ) или быстрого
преобразования Фурье (БПФ). Нетрудно убедиться, что выражения (91) и (93)
тождественны, однако в последнем случае кратность интеграла
уменьшилась на единицу. Ценность данного замечания особенно проявляется в
многомерном случае при максимизации функционала (78)
A/)=J|/(w)|2</vv/j|/(x)|2dx.
П /А
Здесь разложение (89) имеет вид
N
^W = S^ft(i), (94)
к=0
причем Ц>к(х) = (рк1\х])(р12\х2)...<рк:1\хп), а элементы матриц
алгебраической системы (89) находят следующим образом:
°к,т =~ J[^(W)^m(W) + ^(W)^,(W)J^r =
Д . . (95>
= J \9* II<РтIcos(argq>k -arg<pjdw,
n
Km = JftW^W* • (96)
A
Выполнить приближенные оценки собственного числа Я0 можно с
помощью метода следов [37]. Величина Aq = yJA2m I A2w+2 дает
приближение к Л0 с недостатком, а к^ = ^А^ - с избытком. Здесь /w-й след
СТ
ядра K(t,T) Am = I Km(s,s)ds , где £„,(/, г) - /и-е итерированное ядро,
определяемое как
42

Научно-аналитические обзоры
т
ЗДг) = \K(t,s)Km_x{s,T)ds% m = 2,3,... .
-т
Так как ядро симметрично, следы четного порядка можно
вычислять по формуле
г т г i
Лгт = J Jl Km«, r) I2 dtdr = 2 J J| Km(t, t) |2 drdt,
-T -T -T -T
требующей вдвое меньшего числа итераций.
Обсудим количество арифметических операций, необходимых для
численной реализации обычной и модифицированной схемы Ритца. Для
этого достаточно сравнить между собой вычислительные затраты на
нахождение компонент ak m . Пусть интегрирование осуществляется
численно, количество узлов сетки равно Л/. Тогда для нахождения всех элементов
матрицы Л по формуле (91) потребуется Q = 0(N2M2) операций, по
формуле (93) с использованием процедуры ДПФ Q - 0(NM2 + M2N), а с
использованием алгоритма БПФ (при Л/= 2') Q = 0(NM\og2M + N2M).
Если же известны аналитические выражения преобразование Фурье ф , то
количество действий оказывается порядка 0(N2M).
Метод коллокации заключается в подстановке (89) в (88) и
требовании обращения невязки
т
-г
в нуль в заданной системе точек t- (j = 0,1,...,N). В результате
получается система (90) с компонентами матриц
т
Основной недостаток метода заключается в трудности выбора точек
tj, обеспечивающего близкую к нулю невязку не только в точках
коллокации, но и на всем интервале [-1,1]. Кроме того, очевидно, что для
достижения хорошей степени аппроксимации необходимо использовать
большое число базисных функций N. Это может ухудшить обусловленность
матриц системы линейных алгебраических уравнений и, следовательно,
устойчивость метода. Удовлетворительное решение данной проблемы
43

Научно-аналитические обзоры
достигается при выборе функций с компактным носителем (сплайны
[27,54], АФ [24]) в качестве базисных. Количество арифметических
операций метода коллокации Q = 0(N2M).
Метод аппроксимации ядра вырожденным заключается в
приближенном разложении ядра уравнения (88) по системе функций
^(^0 = <)(0<2)(г):
^,г) = ^с^)(0<2)(г). (99)
*=о
Собственные числа ядра K(t3r) совпадают собственными числами
матрицы А с компонентами
т
ak,m= \<Pk^)(pm{t)dt.
-т
По количеству действий ( Q = 0(N2M)) данный метод сопоставим с
методом коллокации и рассмотренным выше модифицированным методом
Ритца. В [52] приведены некоторые способы аппроксимации ядра
вырожденным при решении интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма
второго рода (одномерные и двумерные разложения в ряды Тейлора,
Фурье, представление интерполяционными многочленами Лагранжа, метод
Бэтмена, комбинированные методы). Отмечается сравнительно небольшое
число известных в литературе способов такой аппроксимации и, как
следствие, недостаточная приспособленность метода приближенных
вырожденных ядер в численной реализации. Основным препятствием является
сложность представления двумерной функции (ядра) с приемлемой
точностью с помощью небольшого количества базисных.
В [53] рассмотрен метод, основанный на аппроксимации ВВСФ
отрезком ряда Котельникова. Данный подход эквивалентен
следующему разложению ядра
sin w(t - г) _ ^ sin w(t - АА) s\n[7rA~\r - АА)] nnm
w(t-r) ~ £?N w(t-kA) яЬГх(т-Щ '
которое при N -> оо является точным.
В [55] предложены эффективные алгоритмы решения интегральных
уравнений Фредгольма второго рода (в том числе однородных) на основе
разложения неизвестного решения или ядра по базису АФ. При этом
вместо атомарных можно использовать любые другие финитные функции с
хорошими аппроксимационными свойствами, в частности, Я-сплайны
Шенберга [27,54]. Согласно методу коллокации неизвестное решение (88)
ищем в виде
44

Научно-аналитические обзоры
N+M
*ы,ЛГ,0= £ ck<prk(t), (101)
(t + T \
где при четном г Л/= /72, (prk(t) = fwpr\ k\9 h = 2T/Nt
а
неизвестные компоненты разложения находим из системы
N+M
£ (^ - Аау)С; = 0, / = -М, tf + А/, (102)
г
где ^ = рг§у(г,); ^ = JK(f„T)q>rJ(T)dT\ tt = -Г + /Л; (/ = -M,N + M).
-т
Для решения (88) методом вырожденных ядер определим
приближенное ядро в виде K(x9s) = <t>N r(K;x,s), где Ф^ДК";*^) -двумерный
атомарный Интерполянт, определяемый следующим образом.
Рассмотрим интерполяцию f(xx,x2) е С(г+1)(П), имеющей непрерывные частные
производные порядка не выше Н-1 по каждой из переменных. Пусть
область П - прямоугольник [a^b^fa;^], а функция/может быть
продолжена за ее пределы на всю числовую плоскость. На П введем сетку
hi=(bi-ai)/Nhi = \,2,
Л/ = [(г + 1)/2].
При четном г двумерный атомарный интерполянт будет иметь вид
N
ф^Д/^1^2) = £^^(^)(^)^)(^Х (ЮЗ)
Аг=0
где
^J(x,).fcprl^-*l / = 1,2;
<*Ч гСЛ*1т>*2л) = /(*1и.>*2Я)>
45

Научно-аналитические обзоры
№ =
N2+2M + \
-М:
v(k) = k - (N2 + 2M + l)(p(k) + M) - M;
k = OJf, N = (Nt+2M + l)(N2+2M + \)-\.
В силу того, что ядро (88) определено на квадрате [-Т,Т][-Т,Т], в
(103)
Г,(.о+г
-*.
s = l,2,tW=t,tw=r.
Приближенное решение (88) методом аппроксимации ядра
вырожденным имеет вид
МО = Л£(^(*))^(*)(') >
(104)
*=0
где моменты dk = Г y/(t)<prk(t)dt и собственные числа находятся из
решения однородной алгебраической системы
Ы+2М
Здесь gpq = £р,1Л(0^(/)Л.
Учет ограничений на искомый сигнал
с помощью 1?-функций
Пусть желательно получить оптимальный сигнал ц/у
удовлетворяющий определенным граничным условиям (например, Неймана,
Дирихле, третьего рода) на концах интервала [-7\Г] или на границе
многомерной области А. В этом случае, воспользовавшись структурным
методом /^-функций, можно реализовать метод Ритца с базисными
функциями в (94), точно удовлетворяющими краевым условиям на
границе. В табл. 2 приведены основные структуры решения многомерных
задач, из которых как частный случай можно получить структуры для
решения одномерных задач.
46

Научно-аналитические обзоры
Таблица 2. Краевые условия и структуры решения
Краевые условия
Первого
рода
(Дирихле)
Второго
рода
(Неймана)
Третьего
рода
И«=/
3v/4n = /
{dy/ldv + hu)\m=f
Структуры решения
N
*=0
N
V'n =У£иСк(Vk -аЯаЯщ)-(of
*=0
N
VN = Y,CkW +<oh)<Pk -G>V0)V<pk]-(0f
k=Q
Примечание: в структурах для условий второго и третьего рода уравнение
границы со нормализованное: дсо 1 д v\ = -1.
Рассмотрим диаграмму направленности (ДН) линейного
излучателя длины 2а, симметрично расположенного относительно начала
координат. Она пропорциональна
Пи)= J/(*)etaA,
где i/ = sin#; k-2nlX - волновое число; в - угол между радиусом-
вектором точки наблюдения и нормалью к антенне в плоскости излучения.
Из свойств преобразования Фурье следует, что ДН F(u)
принадлежит классу Wa. После замены переменных с = ка, со = и4с , t = Wc /а, с
точностью до числового множителя
Так как области видимости соответствует со е [->/с,\[с], то величина
J|F(£»)|2rf©
пропорциональна излучаемой энергии. С другой стороны, в сияу
равенства Парсеваля величина
00 у[с
\\F{co)\2da>= \\f{t)\2dt
-со
-Непропорциональна полной энергии тока, подводимого к антенне.
Функция F(u) вне области видимости характеризует реактивную
составляющую тока в антенне. Коэффициент сверхнаправленности имеет вид
47

Научно-аналитические обзоры
<л I Тс
&с)= \\F(m)\2 da> jlFWtdo
-00 / -yfc
и определяет, насколько данная
антенна является технически
реализуемой и экономически
выгодной. Величина Q(c)
ограничена снизу постоянной QQ(с),
причем Q0(c) -> 1 и Q0(c) -► оо. За-
с-*оо с-»0
дача заключается в определении
формы flj\ при которой
Q(c) = Qo(c) или ||е-а||<^, где
е - малое число.
Расчет проведем методом
Ритца совместно с процедурой
БПФ. Использовались следующие
системы координатных функций:
1) степенные полиномы
четной степени ?п (п = О, N);
2) структуры Дирихле
co(t)t2n (/i=QW), где со(0 = c-t2;
3) структуры Неймана i^Q+lnoWlJc) (и=0>ЛО,где a(t)=(c-^)/(2S)\
Рис.7
4) линейные £-сплайны — Я,
А х
* + <<
V^ ^ г-гг
-л (и = 0,ЛО, A = 2jc~/N;
5)ир-базис —up
(t+Гс }, ^
6) кубические 5-сгагайны -^
« (я = 0,ЛГ), A = 2-Jc/N;
(n = -\,N + l),A = 2^/N;
п
7) ftip2-базис Ifop |£±2Li_J (и = -1,ЛГ + 1), A = 2>/c~/N.
А I л ;
Численное интегрирование осуществлялось методом
прямоугольников на равномерной сетке (А/=128). В табл. 3,4 приведены
приближенные собственные числа Л^ для различных значений параметра с. На
рис. 7 показаны собственные функции, соответствующие А^.
48

Научно-аналитические обзоры
Таблица 3. Приближенные собственные числа, найденные с помощью
степенных полиномов, структур Дирихле и структур Неймана
N
0
1
2
3
4 I
с = 2 (Л0 = 0,8805)
Полиномы
Дирихле
Неймана
0,8561
0,8288
0,8561
0,8805
0,8574
0,8798
—
0,8679
0,8805
—
0,8725
-
—
0,8748
—
с = 4 (Л0 = 0,9959)
Полиномы
Дирихле
Неймана
0,9110
0,9915
0,9110
0,9916
0,9937
0,9953
0,9958
0,9949
0,9957
0,9959
0,9952
0,9958
—
0,9954
0,9959
с= 8 (Л0 = 1,0000)
Полиномы
Дирихле
Неймана
0,9605
0,9983
0,9605
0,9983
0,9998
0,9999
0,9999
1,0000
0,9999
1,0000
—
1,0000
-
—
-
Таблица 4. Приближенные собственные числа, найденные с помощью В\-
и В3-сплайнов, up- и Иф2-функций
N I I
2
4
8
16 |
с = 2 (А0 = 0,8805)
В,
up
£з
ftip2
0,8561
0,8561
0,8805
0,8805
0,8794
0,8786
—
—
0,8804
0,8795
—
-
0,8805
0,8778
—
—
-
0,8804
— 1
—
с = 4 (Л0 = 0,9959)
Bi
up
1 Вз
ftiP2
0,9110
0,9110
0,9916
0,9916
0,9931
0,9911
0,9959
0,9959
0,9949
0,9878
-
-
0,9958
0,9940
-
-
0,9959
0,9954
-
-
с= 8 (Л0= 1,0000)
в.
up
£з
1 ^Р?
0,9605
0,9605
0,9983
0,9983
0,9974
0,9977
0,9999
0,9999
0,9987
0,9967
1,0000
1,0000
0,9998
0,9973
-
-
1,0000
0,9992
-
-
Пусть А - вписанный в прямоугольник со сторонами 2а и 2Ь
двумерный плоский раскрыв с линейной поляризацией поля вдоль оси z.
Диаграмма направленности по полю имеет вид
49

Научно-аналитические обзоры
F(u,u)= \f(xyyyk(m^dxdy,
А
где w = sin#cos0?; v = s\x\6sm<p.
Обозначим cx-ka9 c2=kb, cox=Uyfc~x , co2=Uy[c2i tx=Xyjcx/a9
t2 = yyjc^/b . Выражение для ДН примет вид
F(coX9co2) = jf^t^^^dt^ .
А
Область видимости Q при этом представляет собой эллипс
2 2
0)7 (ОХ
-±-+-^- < 1, следовательно излучаемая энергия пропорциональна
j\F(coXio)2)\2 dcoxda)29
n
в то время как полная энергия
]\F(cox,u)2)\2d(Dxdu)2 =
R2
= \\f(tx,t2)\2dtxdt2.
A
Задача: найти распределение
f(tl9t2)9 доставляющее минимум
отношению
|| F(u)l9o)2)\2 do)xdco2
2(Q) = ^
]\F(o){,a)2)\ dcoxdco2
n
и обращающееся в ноль на границе
области А.
На рис. 8 представлены
требуемые распределения f(tX9t2) для квадратной, круглой и крестообразной
областей при с, = с2 = с = 4 . Использовались структуры Дирихле с
полиномами Лежандра четной степени в качестве координатных функций.
Максимальная степень полиномов по каждой переменной Р = 4 (количество
координатных функций N = 6). Интегрирование осуществлялось методом
прямоугольников на равномерной сетке 64 х 64. Приближенные
собственные числа: Я 0=0,9808 для квадратной области, Я 0= 0,9698 для круглой
области, Я 0= 0,9432 для крестообразной области.
50

Научно-аналитические обзоры
Функции с минимальной энергией вредного спектра
Рассмотренные выше ВВСФ могут играть большое значение в
определении оптимального сигнала. Однако понятие оптимального сигнала
может быть введено различным образом. Рассмотрим постановки задач и
новые методы их решения для сигналов, имеющих минимальную
энергию составляющих спектра вне заданной полосы частот (минимальной
энергией вредного спектра), а также импульсов с наименьшей энергией в
спектре за пределами заданной полосы [56, 57].
Сигналы с минимальной энергией вредного спектра. Сигнал может
начаться лишь после момента времени а, когда было принято решение о
его посылке. Поэтому функция времени / = f{t), выражающая сигнал,
должна удовлетворять условию
/ = 0 при t<a. (105)
Такая функция, как известно, всегда имеет спектр,
простирающийся до бесконечности. Интересно выяснить, какова должна быть/
удовлетворяющая условию (105), чтобы энергия составляющих ее спектра за
пределами некоторой полосы частот была минимальной, и каков этот
минимум. Эта энергия может создавать помехи для сигналов в соседних
областях спектра. Ее будем называть вредной и обозначать Wb.
Рассмотрим случай, когда вредной энергией считается энергия
спектра за пределами полосы -Q,Q. Ряд других случаев может быть
сведен к нему, если использовать свойства модулированных колебаний.
Угловую частоту Q будем называть граничной частотой.
При приеме сигнала не всегда можно использовать всю его
энергию, так как не всегда можно ждать, пока сигнал полностью затухнет.
Поэтому введем понятие энергия полезного участка сигнала'.
ь
Wn=\fdt,
а
где Ъ - момент времени, когда кончается регистрация сигнала для
принятия решения о нем.
Введем также понятие энергия «хвоста» сигнала.
оо
Wx=\fdt.
b
Будем искать /, удовлетворяющую условию (105), для которой
при заданном
HX=WJW„ (106)
величина
51

Научно-аналитические обзоры
Hb=WjWn (107)
минимальна. Такую функцию назовем оптимальным сигналом. Для
решения этой задачи введем вспомогательную величину
HR = HU+RHX, (108)
где R - некоторая постоянная, и будем искать такую функцию /, которая
обеспечит минимальное возможное значение HR. Эту функцию обозначим
/, соответствующие ей величины HR, Нв, Нх - через HR, Нн, Нх.
Очевидно, справедливо неравенство
Hb+RHx>Hb+RHx, (109)
поскольку HR - минимально возможное значение HR.
Если брать не любые функции/ а лишь те, для которых Нх = Нх,
то для них на основании (109) Яв > Яв. Таким образом, Яв будет
минимально возможным значением Яв при условии, что / таково, что
НХ = НХ. Отсюда следует, что / обеспечивающее минимально
возможное значение HR, будет оптимальным сигналом при условии, что
НХ = НХ. Задаваясь различными значениями R, получим серию функций
/ , HR, Нх, Яв и зависимости между ними.
Введем понятие низкочастотная часть функции/и обозначим ее,
добавив индекс "н". Будем считать
/н=-0- \(jWda>, (ПО)
27Г-Ъ
где G(a))= \fer,eotdt - спектр функции/
Отметим, что/, как функция с ограниченным спектром всегда
простирается от -оо до оо и если не равна нулю при всех t, то может
равняться нулю только в отдельных точках.
Очевидно,
GO 00
Wt=jf2dt-jf„2dt. (Ill)
а -со
В соответствии с этим и выражениями (106)—(108) будем иметь
HR =
оо оо оо \ I п
\fdt - \ fldt + R jfdt j \fdt. (112)
52

Научно-аналитические обзоры
Возьмем / = / + ркр, где /л - некоторая постоянная; q> -
произвольная функция времени, удовлетворяющая условию (105). Получим
100 00 00 \ 1(Ъ \
\Cf+w?dt- \Cf»+w?dt+R\Cf+w)2dt\\ J(/+//p)2<ft I (пз)
а -оэ Ь )1 \а )
Раскрывая это выражение и пренебрегая членами, содержащими
/л во второй и более высоких степенях, получим
R в
Л I A
Здесь Л и 5 — значения числителя и знаменателя выражения (113) при
// = 0 . Преобразуем второй интеграл. В соответствии с теоремой Парсе-
валя, по которой для действительных функций ftj) и g{t) справедлиьо
выражение
1
где
J/(0?(0A = — \Gf(a>)G;(a>)da>9
-00 —00
00 00
G/(«) = J ДО е-"1" Л , G» = | p(f) е"* Л ,
-00 -00
и принимая во внимание, что /н имеет спектр в пределах [ -П, Q ] и что
при t < а ср = 0 , получим
00 GO СО
}Л^= jf»<Pdt=\f»9dt.
—оо —оо о
Разбивая интервал интегрирования на участки, компонуя их и
учитывая, что A/B = HRi получим
tfp = //Jl+^
0 00
j(f-L-HRf)<pdt+j(f-f„ + Rf)<pdt
(114)
Если скобки под интегралами не равны нулю на участках
интегрирования, то всегда можно выбрать <р так, что будет Нк < Ик , а это
противоречит условию, что HR - минимально возможное значение Н[{.
Таким образом, должно быть:
1) / = 0 на участке (-оо, а ] по условию (105);
53

Научно-аналитические обзоры
2) f = —z-fH на участке [а, Ь]\ (115)
3) / = -—-/и на участке [ 6, оо).
1 + А
Величину HR можно найти, если воспользоваться уравнением
(112), выразив в нем / через /, с помощью уравнений (115). Получим
а оо
\%Л+7Т*№Л / I R (I I)
v=-rLk-=— s = 4^ (n6>
\~fldt
!""« f«. h-h
где
HR=——, (117)
" 1 + K v '
P
Ip= jftdt, p = a,6,oo. (118)
Функция /н имеет спектр в пределах [-Q,Q], поэтому, как можно
показать, может быть представлена рядом Котельникова
s\n(Clt-n0)
где в < п .
Обычно принимают в = п, но в данном случае оказалось, что ряд
лучше сходится при в = 2/3 п . Это значение в и было принято.
Чтобы / соответствовало оптимальному сигналу, выполнение
условий, выраженных формулами (115) и (116) необходимо, но
недостаточно. Эти условия будут выполняться также для /, соответствующих
максимуму и другим экстремумам Hr. Для получения оптимального
сигнала надо выбрать /н таким, чтобы величина HR, выражаемая
формулами (116) и (117), была минимальной, а затем определить / с помощью
уравнений (115). При этом должно быть выполнено условие, при котором
/н являемся низкочастотной частью/ Но, как можно показать, это
условие всегда будет выполняться, если /н представлено рядом (119) и /
определено с помощью уравнений (115) и (116).
54

Научно-аналитические обзоры
Таким образом, оптимальный сигнал / должен выражаться
уравнениями (115), где /н определяется уравнением (119), в котором хп
соответствует минимуму величины Гили, как следует из (117), минимуму HR .
Перейдем к отысканию **, обеспечивающих минимум V, для чего
подставим в (118) выражение (119). Получим
Р- °°-Г °° sin(Qr-£0)n2
Л
-on —ooL^=—°°
Qt-кв
dt=H *Z Cp(l,m)x,xm. (120)
Здесь Cp(l,m)= J
sin(fif-/0)sin(Qf-/w6>)
dt.
nt-10 Clt-тв
—oo
Проведя интегрирование, получим
СД/,/я)=1™5,(/~^
I 2 2(1 — nvp
+—S'n^ ~т^\щ2Вр-т)+$л(20р-2гг6)+п] при/^/w ,
Q 2(/ — ni)0
Ср(т,т)=±
cos(2Q/? - 2/w<9) -1 _.,__ _ _ч я"
-—£ ^— + Si(2Qp - 2тв) + —
2Q.p-2m$ 2
C„(/,m)=--—^ ^ при /^m
Q (/ - m)u
n
и Сда(/я,/я)= —
Использованы общепринятые обозначения
[1 - cos(>>) ^ c,v~\ _ f smM
у
о о ^
Подставляя значение / из (120) в (116), получим
_ , ч rl-cos(y) . „., . rsin(v) .
dn(z)= —4v, Si(z)= —^ф.
X Z AU>m)XlXm
ЧГ = /=-00 IW=-00
00 00 '
J] ^ fi(/,m)*,*„,
/=-oo /H=-oo
><(/,«) = Ce(/,«)+-5-[Ce(/,«)-C6(/,«)],
J +A
*(/,«) = C4(/,«)-Ce(/,m).
55

Научно-аналитические обзоры
Величина ЙИ находится из выражения (117); Нх можно отыскать,
подставляя в уравнение (106) значение / из (115). Учитывая (118),
получим
1 ггС-/*)
1
Й =Л+*Г
1
(i-",/(Wa)
Далее, на основании (107), (111), (115) и (118)
1 ,т г, 1
Я.
0-"д)
(WJ +
(1 + й)
-(/.-/*)-/.
I
-(/»-'«)
0-я«)2
Величины Яя, Яг и Яв будут зависеть от R, Q.a и fib . Но так как
очевидно, что выбор начала отсчета времени не должен влиять на них, они
будут зависеть только от R и flb-fla = —(b -а) = 2ла , где ТТ —
период граничной частоты, а =
Ъ-а
Прямых формул, выражающих зависимости HR, Нх и Нв от R и
а с помощью известных функций, получить не удалось, поэтому были
проведены конкретные расчеты для # = <х>;5;2;1;0,5;0,2;0,1;0,05 и
а = 0,125;0,25;0,5;1;1,5;2;2,5.
При этом были получены
следующие результаты.
1. При R = оо в соответствии с (115)
/= 0 при t<a и t<bf т.е. весь
оптимальный сигнал сосредоточен на участке
а, Ь. В этом случае Нх = 0,
Hb = HR = HQ и / оказывается
симметричной.
Зависимость Я0 от а для этого
случая приведена на рис. 9. При а —► О
Я0 —>1. Это следует и из общих
соображений. При а = 0,25 примерно 50%
энергии сигнала уходит за пределы
граничной частоты, при а = 0,5 — около
20%, при а =1 - около 2%, при 1,5 —
56
Рис.9

Научно-аналитические обзоры
около 0,1%, при 2 — около 1/200%. Дальше Я0 уменьшается быстрее чем в
400 раз при увеличении а на единицу. При неоптимальном сигнале за
граничную частоту будет уходить больше энергии. Случай с Нх = 0 был
рассмотрен с помощью вытянутых волновых функций [44] и согласуется с рис.
9. Приближенно / для этого случая может быть представлена с помощью
окна Кайзера [58].
2. При R конечном сигнал не
кончается в момент b , Нх*0 и величина Яв
уменьшается с увеличением Нх.
Результаты расчета приведены на рис. 10. В
этом случае оказалось удобным по оси
абсцисс откладывать величину Нх/Н0 ,
а по оси ординат Йъ/н0. На рисунке
приведены кривые для значений
а = 0,25; 0,5; 1. Для значений а = 1,5 и
2, чтобы не усложнять рисунок,
приводятся отдельные точки. Как видно,
наличие даже небольшого «хвоста» может
существенно уменьшить Яв. Так, при
а = \ и Нх =0,04, а также при а = 2 и Йх = \0~4 величина Яв
составляет примерно 1/8 от Я0.
Может показаться, что пропуская оптимальный сигнал через
фильтр, обладающий затуханием на частотах, больших чем Q, мы
уменьшим Яв и получим сигнал лучше, чем оптимальный. Это не так.
При таком фильтре должно возрасти Нх, и Яв не будет меньше, чем у
оптимального сигнала при этом новом Нх.
При расчетах в ряде (119) бралось до 9 членов - большее количество
брать было нецелесообразно, так как это приводило лишь к
незначительному уменьшению Яв, меньшему, чем точность расчета. Чтобы получить
сигнал, у которого Яв всего на несколько процентов больше, чем у
оптимального, оказалось достаточно при а<\ трех членов ряда (119), для
а = 1,5 — пяти и для а = 2 — семи членов. Эта зависимость станет
понятной, если учесть, что при выбранном 0 = (2/3)яг члены ряда (119)
сдвинуты друг относительно друга на Гг/3 .
В табл. 5-9 приведены параметры сигналов, близких к
оптимальному. Как можно показать, полученные при этом значения Яв НеСКОЛЬ-
ZVWo
l.oi
.--«.-
е- -
о
4
• О-0.25
- а*1
а =1.5
а«2
"£Г
о.з i.o :.5 2.о :.з з.о
hjh0
57

X X X X X X X x PS P
0,1
0,05
to u>
4- U)
SO -4
X X
о о
tO N-
— 4-
ON ON
U> 00
X X
it so
»- О
X X
о о
0,0728
0,0638
0,6436
0,6274
p p i_-
To 1л ^
4* ON -4
Ul ^ 00
U) *— 4-
XXX
SO 4- ~-
u> ro so
SO ^ СЛ
XXX
ГО 4- 1Л
ON tO 00
U) >4 00
XXX
о о о
о о о
о о "—
00 SO О
U) 00 -4
SO 00 On
О О О
On ON ON
1Л ON n!
4- -4 SO
О (Л 0\
— <л 8
Hi
Л х х
Я о о
<^ <^ Ач
^4 —
ел -4
Д i О
О О
«к Ач
-4 so ^
ел to рг
ел 00 g
Х Х X
5Л5.
р р р
— N- К)
U) 00 —
^4 tO SO
о р р
ON "-4 "-О
SO О —
- N) W
e*> 1Л *—
0,9342
0,9800
0,1824
0,2163
р р р
Ъо Ъо "-4
^J О ON
^4 ел ON
-4 SO ON
Р Р Р
ON 4- U)
— 4* ел
ы о u>
p p p
"-4 "-4 V|
4- ГО —
to ел u>
О OJ *-
p p p
to to to
so ел —
00 Ul VO
*>\
£
H
"H
H
M
o*
•Ьч
H
•8
о
Ш
я
-о
я
II
I
о
0,1
0,05
о о
о о
о о
4- ел
4- SO
L° °
Го о
и> ю
U) СП
SO 4-
L° °
Го о
о о
to u>
^4 U>
о о
V 4*
ON ел
00 SO
ON -4
0,2
о
О
О
-4
SO
О
О
ON
u>
о
о
о
4-
ON
О
4-
ел
4-
ел
р --
"ел ^
о о
о о
— и>
-- ел
о о
о о
о о
-4 U)
to u>
о о
о о
о —
^4 О
ел u>
о о
4- 4-
ел -4
so —
о и>
tO ел
О О
о о
ел -4
ON U>
о о
о о
о о
— о
U> U>
о о
о о
)-м 1-м
и> ел
О so
о о
4- СЛ
00 О
о —
О 4-
8
о
о
so
о
о
о
о
so
о
о
ел
-4
о
L- о
Го "so
ON 4*
to -4
U) ел
О
00
•—*
сю
to
оР
о^ "on
н °
UJ ^
ел о
р р
"ел "ел
On U»
— ел
SO U>
0,5
1-м
^4
о
ч
н
н
■н
^
""
о*
н
н
S*
S
80
о
Я
*1
Я
S
о
ш
я
тз
Я
II
I
Р
II
р
1л
К PPP-kJUl ft
[р <э <э <э <э <э <э <э
Го "о "•—"—"—"*-"го "го
ел -4O4-0N00O —
ON -J U> О 4- 4- — ON
U) чЛ ON О *0 00 nJ -sj
lo pppppp
Гел u)"— "o "o "o "o _
k- 4- SO -4 U) —» О О
4- -4 00 ^4 tO tO tO
00 -4 On О 00 — ON
lo p 00 0 0 00
Го "о "о "*- "►—"— "^- "to
U) 4-ONOOJONOO —
О ЫЫ- tO О 00 ON
on -4юелыо\ел-4
lo <D <D <D <D <D <D <D
Г-- 4- о "о "о "о"— "--
00 U) 00 ON -4 SO — U)
ON — so sO ^J tO — —
SJ N> ON so -- 4- О О
U- ~ <Э <Э <Э <Э <Э <Э
Г4- "О "On "u> "to "— "— "—
so OnU>ON->44-ON —
U- so ->4 ел -- to — о
4
?
K^
?5
h!
o^
щ
H
S9
s
S9
ON
Я
о
od
Я
я
II
I
о
"to
ел
4^
s>
II
О
"to
ел
II
p
1л
P о о о .. , ^
p p p p p p о
"to "to u> "4- "4- "4- "ел
— -4 U) О 4- 00 О
00 -- — 4- SO U> SO
to 00 to ел On 0 00
U- p p p p о о
u> "00 "4- "— 0 "0 "0
00 eo ro 4- ел — 0
— ^j -4 ел On so 4-
00 ел -- ro so -4 *—
10 р О О p p p
Г— "— "ro "eo lo "4- "4-
4b. 00 4- U) SO 4- 00
so 00 ел -- ro eo so
U— О 00 SO ^4 4- 4-
10 О OpooP
k- 0 0 "0 0 0 0
— U) — ^ Й — О
°^ °^ 22 ^° w 4- ^?
4- ON 00 Qo q^ qo SO
8
0,5322
0
0,5322
0,0322
U- ^- 0 p p p p
Ъо "ГО ^4 "u> "— "— "O
ON ГО ГО U» 00 О ON
ro ел so ^4 -4 so to
ГО —» U) О — 4- O0
0,0322
4
55
^
=4
H
0^
^

Научно-аналитические обзоры
Таблица 9. Параметры сигналов при а = -Гг, Ь = Гг, а = 2
ПГ"
00
5
1
1
0,5
0,2
0,1
0,05
HR
57x10"*
52ХКГ6
47x10"*
41x10-*
ЗЗхЮ^6
24x10"*
17x10-*
13x10"*
Их
0
1x10^
4x10"*
ЮхЮ"6
22x10"*
48x10"*
74x10"6
114x10"*
Иш
57x10"*
48x10^
39x10"*
31x10"*
23x10"*
14x10"*
10x10"*
7x10"*
Х-ъ
0,0141
0,0139
0,0132
0,0125
0,0120
0,0115
0,0111
0,0099
Х-г
0,2550
0,2501
0,2429
0,2344
0,2228
0,2024
0,1890
0,1749
я:,
0,7242
0,7195
0,7110
0,7017
0,6908
0,6720
0,6562
0,6302
Хо
1
1
1
1
1
1
1
1
Хх
0,7242
0,7330
0,7445
0,7597
0,7826
0,8251
0,8536
0,8798
Хг
0,2550
0,2596
0,2668
0,2758
0,2889
0,3157
0,3400
0,3760
Хг
0,0141
0,0151
0,0164
0,0181
0,0207
0,0254
0,0280
0,0293
На рис. 11 приведен пример оптимального сигнала для параметров
а = 0,5, R = оо. Для него #х=0, Нь =0,2167. На рис. 12 дан пример
оптимального сигнала для а = 0,5, R = 0,5. Для него Нх = 0,0770,
Яв =0,1015.
1.6
1.4
1.2
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
| а- 0.5, Я, * //0* 0.2167, Я, -0
2
/ '^\ \
'
"
/
_ i
i
i
i
i
1 \
i
/-2
\
\
\
\
\
i
\
\
1 » ^
Z2 I
*" **ч
х >' 1
4 - '
1 i i i i 1
-0.5 0 0.5 1.0
tlTr
1.5 1
2.01
1.8
1.6
1.4
1.21
1.0
0.3
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
| а- 0.5, Нш -0.1015,#„ -0.0770 |
2
/\
11\
<
Г 1
1
»
i
i
/-2
>
i
\i
\ жА^-ii» i
1 1 1 1 1
-0.5 0 0J 1.0 l.>
| «Тг
Рис. 11 Рис.12
Полученные результаты можно использовать для выяснения,
насколько сигналы в конкретных системах близки к оптимальным и
насколько в них теоретически можно уменьшить энергию вредного
спектра.
59

Научно-аналитические обзоры
Импульсы с минимальной
энергией вредного спектра.
Рассмотрим импульсы, имеющие вид,
представленный на рис. 13 и
состоящие из полезной части на участке а,
Ь, используемой для анализа сигнала
при приеме, и "хвостов" а', а и Ь,
У . Если эти хвосты малы, то на них
могут быть наложены другие
импульсы без сильного искажения.
Таким образом, они не будут отнимать на
себя время, но могут иногда, как будет показано ниже, существенно
улучшить спектр.
Рис. 13
Энергию полезного участка импульса обозначим через
Wm
rn=\f2dt,
(121)
а энергию хвостов импульса -
а Ь'
wx=\f4t+\fZdt.
через
(122)
Здесь / - функция времени t, изображающая импульс.
В рассматриваемом случае
/ = 0 при t<a' и t>b'. (123)
Как 1;?яестно, такой импульс имеет спектр, простирающийся до
бесконечности, если значения а' и У конечны.
Энергия спектра импульса Wb за пределами заданной полосы [-Q,Q]
является вредной, поскольку она может вызывать помехи (Q = 2я IT -
угловая граничная частота, Т- период граничной частоты).
Рассмотрим метод отыскания импульса, у которого при заданной
частоте Q, продолжительности хвостов и полезного участка, а также
отношении
hx=WxIWn (124)
величина
hb=WJWn (125)
будет наименьшей. Такой импульс будем называть оптимальным для
данного hx. В дальнейшем будем считать, что величины а9Ь, У иП
заданы. Обозначим
hR=^Rhxi (126)
60

Научно-аналитические обзоры
где R > О - некоторый параметр. Легко показать, что всегда hR > О ,
поэтому параметр hR должен иметь наименьшее значение. Пусть это
значение при заданном R появляется при f = F и равно HR. Значения
1\,ИХ при этом обозначим через ЯВ,ЯХ . Поскольку по условию
/zB + Rhx = hR > HR = Яв + RHX
очевидно, что при/ для которых hx = Нх, всегда 1\ > Яв, причем
равенство справедливо при f = F. Таким образом, Яв является наименьшей
величиной hB при hx = Нх. Это доказывает следующую лемму.
Лемма. Функция/' = F, отвечающая наименьшему значению hR при
заданном R, соответствует оптимальному импульсу для Нх.
Аналогично можно доказать, что при оптимальном импульсе и
выборе такого значения/ при котором Иь = Яв, наименьшее значение Их = Их.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 7. Импульс на рис. 13 будет оптимальным, если
соответствующая ему функция f = F удовлетворяет следующим условиям:
1) на участках (-<», а'], [&',<») F = 0 по условию (123);
2) на участках [a\a],[b,b'] F= FH ; (127)
1 + А
3)научастке[а,Ь] F = (\ + V)FH; (128)
4) FH - функция, спектр которой лежит в пределах [-Q,Q],
обеспечивающая при заданном R наименьшее значение выражения
а' (а Ъ' Л оо
\ F& + j^l \F& + J/frft + JFH2<#
; - *—£ . (129)
1 + /?
Введем понятие низкочастотной части функции/„:
/н=— Гс?(£»)ехр(/^0Л»
27Г-Ъ
00
где G(#) = Г/ехр(-/<2>0<# - спектр функции /.
-00
Таким образом, /н получаем из / путем отбрасывания
составляющих с частотами по модулю, большими, чем П. Функция FH всегда
непрерывна и простирается от -со до -н».
61

Научно-аналитические обзоры
Очевидно, что
Wt=\fdt-\fdt.
(130)
При доказательстве теоремы 7 принималось, что FH является
низкочастотной частью F Это действительно так, если F - FH не содержит
составляющих в полосе [-П, П]. Поэтому в соответствии с теоремой
Парсеваля
Г/„ ,, 4sin(n/-A0) _, л
К^-^н)— Ldt = 0
(131)
при любых постоянных к и 0, поскольку — имеет составляю-
У J Qt-кв
щие только в этой полосе. Покажем справедливость равенства (131) при
соблюдении условий (127) - (129). Функция FH как имеющая спектр в
пределах [-П, П] всегда может быть представлена рядом
sin(ft-A0)
Qt-кв '
fh=X^:
(132)
где к - целое число; в <, п - постоянная величина.
Поэтому
dFH _sin(Q/-fcfl)
cbc* " Clt-кв
и, следовательно, равенство (131) можно переписать так:
]<'-*>£*-••
—00
Выражая при этом F через FH с помощью (127) и (128) и принимая
во внимание
[(/г.Гн)^н=1АЬ,
Jv H'a*t 2cbft J H
а также учитывая, что величина V соответствует экстремуму и поэтому
может быть принята как постоянная, получим
]('-4-)^-U(-'f'«*-ifs()*»+H-)*»+,'J**
-оо * * L -°° \в' Ь ) Ь' а
(133)
Сравнивая (133) и (129), видим, что сумма первых трех слагаемых
в квадратных скобках равна -V Г F^dt. Отсюда следует, что правая
62

Научно-аналитические обзоры
часть (133) равна нулю. Это доказывает справедливость равенства (131)
и то, что любая функция FH, выражаемая рядом (132), при соблюдении
условий (127)—(129) будет низкочастотной частью F.
Перейдем к отысканию значения FH, при котором будет
обеспечено наименьшее значение выражения (130) для V. Раскроем интегралы,
входящие в это выражение. Возьмем интеграл
)ti* = \t**^~^]dt=t ZKW-£u(")]%, (134)
и и \к=-<х> ) /=-оо /и=-да
_ \ sin(Qf - Ю) sin(Q> - тв)
где Е1т(и)= — — -dt.
—ОО
Проведя интефирование, при 1Фт получим
£/,„(«) = cos^ w)6>][cin(2QH - 2/(9) - Ст(2Пи - 2тв)] +
2Q(/ — т)д
S'"K/"w)6>][Si(2nH - 2/0) + Si(2QM - 2тв) + к]
2Q(/ — rri)0
(135)
£m,m(w)=~
cos(2Qw - 2ю#) -1 _.,„ ^ Лч л
—- -— + Si(2Qw - 2m6) + —
2С1и-2тв 2
Переходя к пределу, для и = оо при / * т получим
„ , ч пsin[(/ - т)в] , ч ,_
^/»,(00) = - — и £mm(oo) = ;r/Q.
Q(/ - AW)0
Подставляя значения интегралов в выражение (129) для V и
учитывая (134), получим
1/ = /=-00 W=-QO
00 00
Xf 2-1 ВЫХ1Хт
/=-оо m=-oo
(136)
где
(137)
^=£^(«0+—[£/)m(«)-£,,m(«')+£/.m(*')-£;,,m(*)]+^H-^,(*')=
=т^[£;,тИ-£,,т(У)]+^[£/,м(а)-£,_т(6)]+£,1И(со)>
5,.ffl = £,.„(*)-£,,и,(а). (138)
Задаваясь П,а\а,ЬуЬ' и различными Я, с помощью (136) можно
отыскать значения хк , дающие наименьшее V. По этим хк с помощью
63

Научно-аналитические обзоры
(124) и (125) можно получить значения Нх, Нь и определить
зависимость между ними.
Как видно из (135) и (136), хк и, следовательно, /, V, Ят, Нв
будут зависеть от R, а также от Qa\ Qa, Q.b, Q.b'. С учетом того, что они
не должны зависеть от выбора начала отсчета времени, указанные
величины будут определяться разностями Qa - Оа = — (а - а) = 2яРа,
ПЬ-Па =—(Ь-а) = 2ш,ПЬ'-ПЬ = —(Ь'-Ь) = 2х/Зь.Зяесъ Д,=-^-;
Ь-а 0 b'-b
а = ; Рь = •
Т ь Т
Результаты численных расчетов приведены на рис. 14,а,б
соответственно для рь = -оо и рь= Ра. На рисунках по осям отложены десятичные
логарифмы Нх и Ив. Таким образом, одно деление соответствует 10 дБ.
-2 -1 lg(H%)
Рис. 14
Кривые зависимостей для различных а представлены в виде
отдельных пучков. Чем больше значение а, тем ниже
проходит пучок. Каждый пучок состоит из
кривых для различных Ра . При более длинном
переднем хвосте и большем Ра кривые проходят
ниже.
Когда Нх -> 0, кривые асимптотически
приближаются к значению #в = #0, которое
соответствует Нх = 0 при данном а, т.е. к
случаю, когда нет хвостов. Зависимость lg#0
от а приведена на рис. 15. Этот случай, как
видно из (127), соответствует R = оо.
Ig
0'
-2
-4
-6
(
«0
) 1
2 а
Рис. 15
64

Научно-аналитические обзоры
При уменьшении R и сохранении других параметров постоянными
величина Яв уменьшается, а Нх увеличивается. Расчет был проведен для
значений Я = оо; 10; 5; 2; 1; 0.5; 0.2; ... и до тех пор, пока результаты не
выходили за пределы рисунка или до R = 0 . Последние случаи
отмечены знаком х. Значения R < 0 не имеют смысла, при них Яв
увеличивается с ростом Нх.
На рис. 14 приведены также кривые для /За= /Зь= оо . Такой случай
практически не осуществим, так как импульс при этом надо начинать в
-оо. Однако его можно рассматривать как предельный: он дает
наименьшее значение Яв при заданных а и Их. Зависимость Яв от Нх
для этого случая может быть выражена формулой
^в=[7^->/(1-Яо)^]2, (139)
где Я0 - значение Яв при заданном а и /За = J3h = оо .
Как видно из формулы
(139), при
значение Яв становится равным
нулю. В этом случае R = V = 0 и
F в соответствии с (127) и (128)
становится равным FB на всем
участке / от -оо до оо.
Расчеты показали, что при
параметрах рис. 14 в полосе час- Рис. 16
тот [Q,2Q], т.е. в соседнем
канале, лежит примерно 3/4 энергии всего вредного спектра. При малых Яв
эта доля еще больше увеличивается.
На рис. 13 приведен пример оптимального импульса при
а = Ра = рь = 1, а на рис. 16 - его спектр.
Расчеты проводили при числе членов в (132), равном 9.
Увеличение числа членов при а й 2 на результате практически не
сказывалось. За нулевой отсчет времени выбрана середина полезного
участка. Для улучшения сходимости принимали в = 2л*/3.
Ранее были рассмотрены отдельные частные случаи импульсов.
Случаи Д, = рь = 0 и pa=Q9ph=cc описаны выше, а случаи Ра = рь = О
и А = Д=со -в [44].
65

Научно-аналитические обзоры
Заключение
Рассмотренные в обзоре результаты не охватывают всего круга проблем,
относящихся к теореме УКШ и ее применениям в современных методах
цифровой обработки сигналов различной физической природы. Многие из этих
вопросов достаточно подробно изложены, например, в [48, 59]. В частности, это
относится к решению таких задач, как синтез линейных приборов и систем с
финитным спектром, восстановление входного воздействия по отклику прибора,
финитное управление линейными системами и др.
Следует отметить, что круг задач, решаемых с применением теоремы
отсчетов, постоянно расширяется, что достигается за счет развития и обобщения
конструктивных средств теории приближения целых функций. Несмотря на то,
что теорема УКШ допускает непосредственное обобщение на многомерный
случай, существует широкий класс двумерных и пространственных проблем,
решение которых в аналитическом виде получить невозможно, а численная
реализация наталкивается на серьезные трудности даже при современном уровне
развития вычислительной техники. Именно поэтому в данном обзоре основное
внимание было уделено использованию новых методов аппроксимации,
основанных на активно развивающихся в последние годы теориях атомарных
функций и R-функций [24, 33, 34]. Эти конструктивные средства использовались
ранее в основном при решении классических задач численного анализа: сплайн-
интерполяции и аппроксимации, краевых задач для дифференциальных
уравнений математической физики, интегральных уравнений.
В обзоре резюмированы некоторые оригинальные результаты,
относящиеся к использованию АФ и R-функций в теории аппроксимации целых функций
[24, 26, 30]. На основе спектров АФ возможно построение новых классов
базисов, используемых в обобщенных формах ряда Котельникова. Метод R-функций
в комбинации с известными численными процедурами позволяет по-новому
подойти к вопросу решения задачи синтеза функций с двойной ортогональностью,
доставляющих экстремум обобщенному соотношению неопределенности.
Среди перспективных направлений исследований в этой области отметим также
применение теорий АФ и R-функций к построению одномерных и многомерных
вейвлет-систем [24, 60]. В основе синтеза последних также лежит обобщенное
соотношение неопределенности, заключающееся в наложении одновременных
ограничений на частотную и временную полосы (двойная локализация).
Во многих связных, радиолокационных, измерительных и других
системах важной является проблема извлечения полезных сигналов на фоне шумов и
помех. Здесь возникают принципиальные физические ограничения в вопросах
выделения сигналов и определения их параметров. На ряд таких вопросов
ответы даны в выдающейся и широко известной работе В.А. Котельникова [61].
В последней части настоящего обзора приведены новые оригинальные
результаты, касающиеся задач синтеза сигналов с минимальной энергией вредного
спектра вне заданной полосы частот, а также импульсов с наименьшей энергией
в спектре за пределами данной полосы.
66

Научно-аналитические обзоры
Литература
1. Котельников В. А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в
электросвязи. - Всесоюзный энергетический комитет. Материалы к
Всесоюзному съезду по вопросам реконструкции связи и развития слаботочной
промышленности, 1933.
2. Wiener, N., Extrapolation, Interpolation and Smoothing of Stationary Time
Series, New York: John Wiley, 1949.
3. Шеннон К Статистическая теория передачи электрических сигналов при
наличии помех. - М.: ИЛ, 1953.
4. Колмогоров А. И. Теория передачи информации. - АН СССР, 1956.
5. Агеев Д.В. Доклад на сессии НТОРЭС им. А.С. Попова. - Аннотации
докладов, 1957.
6. Slepian, D., IEEE Transactions Inform. Theory, IT-4, no.2, 1958, pp. 65 - 68.
7. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике,
теории связи и оптике. - М.: Физматгиз, 1962.
8. Хургин ЯК, Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. -
М.: Наука, 1971.
9. Цыбаков Б.С., Яковлев В.П. Структура функций с ограниченным спектром и
связанные с этим вопросы теории связи. - Труды МФТИ, вып. 2, с. 13. —
М.: Оборонгиз, 1959.
10. Ефимов СП., Яковлев В.П. Методы представления полей с финитным
спектром. - VIII Всесоюзный симпозиум "Методы представления и
аппаратурный анализ случайных процессов и полей". Секция III. - Тезисы докладов,
Ленинград, 1975, с. 105 - 110.
11. Яковлев В.П. Фильтация сигнала на выходе аналого-цифрового
преобразования. - Проблемы передачи информации, 1988, т. 24, № 2, с. 51 - 58.
12. Пилипчук К И., Яковлев В.П. Адаптивная импульсно-кодовая модуляция. -
М.: Радио и связь, 1986.
13. Минкович Б.М., Яковлев В.П. Теория синтеза антенн. - М.: Сов. радио, 1969.
14. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике / Под
ред. М.К. Размахнина, В.П. Яковлева. -М.: Сов. радио, 1971.
15. Цыбаков Б.С., Яковлев В.П. О подобии объекта и его оптического
изображения. - Труды МФТИ, вып. 4. - М.: Оборонгиз, с. 25 - 27, 1959.
16. Ефимов СП. Согласование апертур оптического фильтра. - Труды
Радиотехнического института АН СССР, вып. 13, 1973, с. 92 - 96.
17. Тартаковский Л. Б. Синтез линейного излучателя и его аналогии в задаче
широкополосного согласования. - Радиотехника и электроника, 1958, т. 3,
№ 12, с. 1464.
18. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. - М.: Мир, 1971.
19. Яковлев В.П. Некоторые особенности функций с финитным спектром. -
Электромагнитные волны и электронные системы, 1998, №3, с.46-56.
20. Яковлев В.П. Оценка протяженности финитного входа. - Известия вузов,
Радиофизика, т. 21, № 4, 1978, с.523-532.
21. Аветисян Д.О. О представлении непрерывных функций одного класса
дискретным множеством их значений. - Проблемы передачи информации,
т. 20, вып. 3, 1984.
22. Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные
функции. Преобразование Лапласа. -М.: Физматгиз, 1959.
67

Научно-аналитические обзоры
23. Анго Андре. Математика для электро- и радиоинженеров. - М.: Наука. 1967.
24. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их
приложениям. - М: Радиотехника, 2003.
25. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Применение атомарных функций для
восстановления сигналов с финитным спектром. - Доклады РАН, 2002, т.
385,№ 1,с.36-40.
26. Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Интерполяция сигналов с
финитным спектром с помощью преобразований Фурье атомарных функций и
ее применение в задачах синтеза антенн. - Радиотехника и электроника,
2002, т. 47, №4, с. 461-468.
27. Варга Р. Функциональный анализ и теория аппроксимации в численном
анализе. - М.: Мир, 1974.
28. Зелкин Е.Г. Построение излучающей системы по заданной диаграмме
направленности. -М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963.
29. Ахиезер НИ. Лекции по теории аппроксимации. - М.: Наука, 1965.
30. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. Конструктивные методы аппроксимации целых
функций экспоненциального типа с использованием атомарных функций. -
Электромагнитные волны и электронные системы, 2002, т. 7, № 8, с. 4 - 13.
31. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике,
теории связи и оптике. -М.: Физматгиз, 1962.
32. Басараб М.А., Кравченко В.Ф. /^-функции и соотношение неопределенности
для пространственных сигналов с финитным носителем. -
Электромагнитные волны и электронные системы, 2003, т. 8, № 1, с. 16 - 25.
33. Рвачев ИЛ. Теория /^-функций и некоторые ее приложения. - Киев: Науко-
вадумкг. 1982.
34. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в
краевых задачах электродинамики. - М.: Физматлит, 2004.
35. Винер Н, Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной плоскости.-
М.: Наука, 1964.
36. Михлин С.Г. Численная реализация вариационных методов.- М.: Наука,
1966.
37. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука,
1970.
38. Марчук Г.И, Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы.-
М: Наука, 1981.
39. Фаддеев Д.К, Фаддева В.Н Вычислительные методы линейной алгебры.-
М.: Физматгиз, 1963.
40. Шрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений.- М.: Наука, 1984.
41. Голуб Дж., ВанЛоун Ч. Матричные вычисления.-М.: Мир, 1999.
42. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.-
М.-Л.: Физматгиз, 1962.
43. Slepian, D. and Pollak НО., Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier
Analysis and Uncertainty, I, Bell Syst. Tech. J., 1961, vol. 40, no. 1, pp. 43 - 64.
44. Landau, H.J. and Pollak, HO., Prolate Spheroidal Wave Functions, Fourier
Analysis and Uncertainty, II, Bell Syst. Tech. J., 1961, vol. 40, no. 1, pp. 65 - 84.
45. Красичков И.Ф. Системы функций со свойством двойной ортогональности.
-Мат. заметки, 1968, вып. 4, 5.
46. Крейн М.Г., Нудельман П.Я. О некоторых новых задачах для функций
класса Харди и континуальных семействах функций с двойной
ортогональностью. - ДАН СССР, т. 209, № 3, 1973, с. 537 - 540.
68

Научно-аналитические обзоры
47. Функции с двойной ортогональностью в радиоэлектронике и оптике. США,
1961-1968 гг., Пер. с англ. под ред. М.К. Разманихина и В.П. Яковлева. -М:
Сов. радио, 1971.
48. Хургин Я.К, Яковлев В.П. Прогресс в Советском Союзе в области теории
финитных функций и ее применений в физике и технике. - ТИИЭР, 1977,
т. 65, №7, с. 16-45.
49. Комаров И.В., Пономарев Л.И., Славянов СЮ. Сфероидальные и кулонов-
ские сфероидальные функции. -М.: Наука, 1976.
50. Фламмер К. Таблицы волновых сфероидальных функций. - М.: ВЦ АН
СССР, 1962.
51. Slepian, D., Prolate Spheroidal Wave Functions. Fourier Analysis and Uncertainty
IV. Extension to Many Dimensions, Bell Syst. Tech. J., 1964, vol. 43, no. 6,
pp. 3009-3057.
52. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Методы решения интегральных уравнений с
программами для ЭВМ. - Киев: Наукова думка, 1978.
53. Виленчик Л.С, Кату лее А.П., Малевинский М.Ф. Метод вычисления
выткнутых волновых сфероидальных функций на основе ряда Котельникова -
Электромагнитные волны и электронные системы, 1997, т. 2, № 4, с. 5 - 9.
54. Стечкин СБ., Субботин Ю.Н. Сплайны в вычислительной математике. -
М.: 1976.
55. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Приближение атомарными функциями и
численные методы решения интегральных уравнений Фредголг ма второго
рода. -Дифференциальные уравнения, 2001, т. 37, № 10, с. 1405- 1414.
56. Котельников В.А. Сигналы с минимальной энергией вредного спектра. -
Радиотехника и электроника, 1996, т. 41, № 7, с. 773 - 780.
57. Котельников В.А. Импульсы с наименьшей энергией в спектре за пределами
заданной полосы. - Радиотехника и электроника, 1997, т. 42, № 4, с. 436 - 441.
58. Голд В., Райзер Я. Цифровая обработка сигналов. - М: Сов. радио, 1973.
59. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и
приложения. Обзор. - ТИИЭР, т. 65, №11, 1977, с. 53 - 89.
60. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и
хаотическая динамика», 2001.
61. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. - М.:
Энергия, 1956.
Approximation by Compactly Supported Functions
and the Whittaker-Kotelnikov-Shannon Theorem
in Digital Signal Processing .
MA. Basarab, Ye. G. Zelkin, V.F. Kravchenko, and V.P. Yakovlev
New methods of signal approximation with the help of compactly supported
functions, including atomic ones, on the base of the Whittaker-Kotelnikov-
Shannon theorem are considered and justified.
*
Опубликован в журнале «Успехи современной радиоэлектроники», № 9,2003 г.
69

Серия
НАУЧНО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ ОБЗОРЫ
Редактор серии докт. физ.-мат. наук, проф.
Виктор Филиппович Кравченко
ЦИФРОВАЯ ОБРАБОТКА СИГНАЛОВ
НА ОСНОВЕ ТЕОРЕМЫ
УИТТЕКЕРА-КОТЕЛЪНИКОВА-ШЕННОНА
Авторы:
Михаил Алексеевич Басараб
Ефим Григорьевич Зелкин
Виктор Филиппович Кравченко
Виталий Павлович Яковлев
Изд. № 4. Сдано в набор 05.04.2004.
Подписано в печать 29.04.2004. Формат 60x90 1/16.
Бумага газетная. Гарнитура Тайме.
Печать офсетная
Печ. л. 4,5. Тираж 1000 экз. Зак. №
ЛР№ 065229 от 20.06.97.
Издательство «Радиотехника».
107031, Москва, К-31, Кузнецкий мост, д. 20/6.
Тел./факс: 921-48-37; 925- 78-72, 925-92-41.
E-mail: iprzhr@online.ru
www, webcenter.ru /-iprzhr /
Отпечатано в ООО «Типография «САРМА»
Москва, ул. Большая Новодмитровская, д.23

В Издательстве «Радиотехника»
Вы можете заказать следующие книги
Миллиметровые волны и фотосинтезирующие организмы. Монография/ Под ред.
Ю. В. Гуляева и А.Х. Тамбиева
Актуальные вопросы проектирования антенно-фидерных устройств средств
радиосвязи и радиовещания. Кн. 1 / Под ред. Г. И. Трошина
Актуальные вопросы исследований распространения радиоволн,
электромагнитной совместимости, антенно-фидерных устройств средств радиосвязи и
радиовещания. Кн. 2 / Под ред. Г. И. Трошина
Шелухин О. И. Фрактальные процессы в коммуникациях.
Лось В. Ф. Микрополосковые и диэлектрические резонаторные антенны (САПР-
модели).
Зелкин Е. Г., Кравченко В. Ф. Задачи синтеза антенн и новые методы их решения. Кн. 1.
Зелкин Е .Г., Кравченко В.Ф. Синтез антенн на основе атомарных функций. Кн. 2.
Кравченко В. Ф., Масюк В. М. Новый класс фрактальных функций в задачах
анализа и синтеза антенн. Кн. 3.
Перунов Ю. М. Радиоэлектронное подавление информационных каналов систем
управления оружием
Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям.
Низкоинтенсивные СВЧ-технологии (проблемы и реализация) / Под ред. Г. А.
Морозова и Ю. Е. Седельникова
Шарапов ЮМ, Крылов Г. М. Преобразование сигнала без комбинационных частот.
Козленко Я И. Помехоустойчивость дискретной передачи непрерывных сообщений.
Марковская теория оценивания в радиотехнике /Под ред. М. С. Ярлыкова
Владимиров В. К, Лихачев В. П., Шляхин В. М. Антагонистический конфликт
радиоэлектронных систем. Методы и математические модели/ Под ред. В.М. Шляхина.
Радзиевский А. Г., Сирота А. А. Основы теории радиоэлектронной борьбы.
Издание 2-е, перераб., исправл., дополн. (Первое издание выходило под названием
«Информационное обеспечение радиоэлектронных систем»)
Мельников Ю. П. Воздушная радиотехническая разведка. Методы оценки
эффективности.
Серия «Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам»
Воскресенский Д. К Антенны с обработкой сигнала.
Максимов В. М. Линии передач СВЧ-диапазона.
Максимов В. М. Устройства СВЧ: основы теории и элементы тракта.
Бакалов В. П. Цифровое моделирование случайных процессов.
Заковряшин А. И. Алгоритмизация и программирование вычислительных иадач.
Филиппов В. С Введение в классическую электродинамику.
Наумов К П., Ушаков В. Н. Акустооптические сигнальные процессы.
Заикин В. В. Самонаведение.
Белов Л. А. Цифровые синтезаторы частот и сигналов.
Яковлев А. И. Основы вейвлет-преобразования сигналов.
Плекин В. Я. Цифровые устройства селекции движущихся целей.

Протопопов А. С. Усилительные устройства.
Протопопов А. С. Усилители с обратной связью, дифференциальные и
операционные усилители и их применение.
Гринёв А. Ю. Основы радиооптики.
Шишкин Г. Г. Приборы квантовой электроники.
Смирнов Н. И., Федосов В. П., Цветков Ф. А. Измерение характеристик случайных
процессов / Под ред. В. И Федосова.
«Учебники и учебные пособия»
Вендик О. Г., Парнес М. Д. Антенны с электрическим сканированием (Введение в
теорию) / Под ред. чл.-корр. РАН JI. Д. Бахраха.
Бакулев П. А. Радиолокационные системы.
Коновалов Г. Ф. Радиоавтоматика.
Перов A.M. Статистическая теория радиотехнических систем.
Устройства СВЧ и антенны. Проектирование фазированных антенных решёток /
Под. ред. Д. И. Воскресенского.
ВНИМАНИЕ ! Книги серий «Конспекты лекций по радиотехническим дисциплинам» и
«Учебники и учебные пособия» имеют гриф УМО или «Министерства Высшего
образования»
Серия «Авиационные системы радиоуправления»
Канащенков А.И., Меркулов В.И., Самарин О.Ф. Облик перспективных бортовых
радиолокационных систем. Возможности и ограничения.
Защита радиолокационных систем от помех. Состояние и тенденции развития /
Под ред. A.M. Канащенкова и В.И. Меркулова.
Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 1. Принципы построения
систем радиоуправления. Основы синтеза и анализа. Изд. 2-е, перераб. и доп. /
Под ред. А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова.
Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 2. Радиоэлектронные
системы самонаведения. Изд. 2-е, перераб. и доп. / Под ред. А. И. Канащенкова и
В. И. Меркулова.
Авиационные системы радиоуправления. В 3-х томах. Т. 3. Системы командного
радиоуправления. Автономные и комбинированные системы наведения. / Под ред.
А. И. Канащенкова и В. И. Меркулова
Серия «Защита информации»
Общесистемные вопросы защиты информации. Коллективная монография / Под
ред. Е. М. Сухарева. Кн. 1.
Обеспечение информационной безопасности в экономической и
телекоммуникационной сферах / Под ред. Е. М. Сухарева. Кн. 2.
Модели развития технических разведок и угроз безопасности информации / Под
ред. Е. М. Сухарева. Кн. 3.
Наш адрес:
107031, Москва, Кузнецкий мост, д. 20/6
тел./факс: (095) 925-78-72, 921-48-37
http://www.webcenter.ru/~iprzhr/
E-mail: iprzhr@online.ru

ISBN 5-93108-064-3
\*v
У*
^7 8593 1 "0 8 0642"