Текст
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
Серия «Из истории мировой культуры»
МЕХАНИКА И ФИЗИКА XVIII в.
В
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
Москва 1976
И. В. ПОГРЕБЫССКИЙ
К ИСТОРИИ МЕХАНИКИ XVIII СТОЛЕТИЯ
ЭЙЛЕР КАК МЕХАНИК
В научном творчестве Леонарда Эйлера механика занимает значительное место. Эйлер посвятил ей около ста работ. Это очень много для любого другого ученого, но может показаться, что это не так уж много для Эйлера с его колоссальным списком работ, который насчитывает более 850 названий. Однако удельный вес механики в научном наследии Эйлера заметно больше, чем это вытекает из приведенных цифр. Немало сделано Эйлером по механике и в его астрономических исследованиях, в работах по акустике, в работах по теме и названию математического характера. Например, его знаменитая мош-графия по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимуме., либо минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле» (1744; ссылаемся на русское издание 1934 г.) содержит два приложения, что составляет приблизительно треть всей книги: «Об упругих кривых» и «Об определении движения брошенных тел в несопротивляющейся среде методом максимумов и минимумов». Значительное число чисто математических трудов Эйлера возникло в связи с задачами механики и теоретической астрономии.
Занятия механикой — составная часть всех этапов научной жизни Эйлера, от первого до последнего. Первая печатная работа Эйлера трактует механическую задачу — о таутохроне при движении в среде с сопротивлением; первая монография, которая прославила и выдвинула его на почетное место среди ученых того времени,— «Механика, или наука о движении, изложенная аналитически» *. Штеккель в предисловии к переизданию «Механики» в
1 L. Euler. Meclianica sive Scientia motus analytice exposita. Petropo-li, 1736.— L. Euleri Opera Omnia, ser. II, v. I, II. (В последующих ссылках: Opera Omnia с указанием серии, тома и страницы.)
9
полном собрании трудов Эйлера обращает внимание на то, что из двадцати восьми работ, которые Эйлер доложил в Петербургской академии наук со времени его вступления в академию в 1727 г. до 1734 г., девять работ относятся непосредственно к механике, а из девятнадцати других тесно связаны с механикой одиннадцать. Подобное наблюдаем на протяжение всей жизни Эйлера.
Но тут нужно сделать оговорку; все сказанное выше не направлено на подтверждение неверного тезиса, будто Эйлер был прежде всего механиком. По складу своего ума он был математиком — и каким математиком! Естественно, что центр тяжести его научной деятельности имел всегда тенденцию перемещаться в сторону математики. К тому же Эйлер был энтузиастом и апологетом математического анализа, который при его жизни и главным образом в его руках превратился в могучее средство исследования. Но воспитание, среда, эпоха — все направляло усилия этого гениального человека в сторону естествознания, и прежде всего Эйлер старался служить именно ему. Поэтому по своим научным интересам он физик (в самом широком понимании) не меньше, чем математик. В то же время, по методу исследования, он преимущественно математик (но не столь безоговорочпо, как порой о нем пишут); он не избегал ни эксперимента, ни чисто инженерного расчета, а по складу ума, повторяем, он настоящий математик, что, однако, не означает, что мы не признаем его физической интуиции и технической изобретательности.
В дальнейшем изложении мы надеемся в определенной мере обосновать эту общую характеристику. «В1 определенной мере» — потому что полное ее обоснование требует всестороннего анализа научного творчества. А в этой статье мы не можем ставить перед собой задачу полностью охватить хотя бы работы Эйлера по самой механике, так как для этого понадобилась бы целая монография. Будем рассматривать только работы Эйлера по теоретической механике неизменяемых систем и изменяющихся сред. Даже при таких ограничениях мы сможем рассмотреть только главные направления исследований Эйлера и лишь основные его достижения. И тут мы не претендуем на достаточно полный охват темы, хотя целенаправленность и последовательность, характерные для всей деятельности Эйлера, облегчают задачу.
10
Первые работы Эйлера по механике и «Механика... изложенная аналитически»
Как известно, Эйлер был учеником Иоганна Бернулли. Многие современники ставили учителя Эйлера наравне с Лейбницем и Ньютоном. Теперь мы думаем иначе, \но никто не будет отрицать, что И. Бернулли был одним из самых выдающихся ученых своего времени. Не принадлежа к числу гениев, которые иногда уходят далёко- вперед от своих современников, он был на переднем крае пауки своей эпохи и внес немалый вклад в ее развитие. Из первых рук — от Лейбница — получил он аппарат дифференциального и интегрального исчисления и всю жизнь развивал его и совершенствовал. Итак, И. Бернулли был математиком. Безусловно. Но возьмем четыре тома его избранных трудов, изданных еще при его жизни. Мы увидим, что собственно математическая часть там не преобладает: широко представлены механика точки, баллистика, механика жидкостей и т. д. А вот что делал И. Бернулли в Базельском университете: кроме двухчасовых лекций (не ежедневных) он проводил — и это была основная часть его профессорской нагрузки, направленная на вовлечение студентов в научную работу,— «приватные беседы... по разным разделам математики и философии с основными экспериментами по рациональной физике, которая должна быть обоснована с помощью математических доказательств» 2. Такими учеными были также друзья, товарищи Эйлера — молодые Бернулли (Даниил и Николай).
Не удивительно, что в такой среде, при таких традициях механика занимала значительное место в мыслях и интересах молодого Эйлера.
Сохранилась записная книжка Эйлера его «ученических» лет (1725—1727) базельского периода3. Она начинается с плана работы, посвященной механике точки. Далее различные математические отрывки чередуются с отрывками по механике. Среди последних находим, между прочим, заметку о колебании физического маятни
2 Цит. по кн.: О. Spiesy. Leonhard Euler. Leipzig, 1929, p. 36.
3 См.: Г. К. Михайлов. Записные книжки Леонарда Эйлера в архиве АН СССР.— «Историко-математические исследования», вып, X, М„ 1957, с. 67-94.
ка, начало работы «О движении тела в среде с сопротивлением», семь разделов произведения о движении точки с многочисленными ссылками на параллельные места ньютоновых «Начал», план работы по гидравлике, начало трактата «О движении жидкостей и твердых тел в жидкостях», задачу о гибкой нити под действием сосредоточенных сил и т. д. Вполне справедливо Г. К. Михайлов пишет: «Перечисленные без определенного порядка темы исследований Л. Эйлера, которых он коснулся в первой сроей записной книжке, свидетельствуют о весьма широком круге его интересов, в конечном итоге характеризующемся, однако, одним стремлением: сделать каждую задачу предметом математического анализа. Эти темы характерны как для юноши, только окончившего Базельский университет, так и для маститого старца, признанного главы математиков всего мира» 4. Вместе с тем следует обратить внимание на то, что планы отдельных книг, трактатов посвящены только механике: это соответствует тому месту, которое она занимает в занятиях и планах молодого Эйлера и, у нас это не вызывает сомнения, отражает осознанную потребность систематически изложить механику — новое содержание ее новыми методами.
Мы привыкли говорить о механике Ньютона, о ньютоновых аксиомах движения и переходим от них к дифференциальным уравнениям движения (по крайней мере для материальной точки) в течение двухчасовой лекции, если не короче. Эти уравнения для нас являются точным эквивалентом второго закона Ньютона, а поскольку Ньютон является одним из основателей анализа бесконечно малых, то, естественно, складывается впечатление, что мы получили эти уравнения от него. Поэтому хочется тут же подчеркнуть, что «ньютоновых дифференциальных уравнений движения» у Ньютона нет и вообще Ньютон в явном виде не применял систематически анализа бесконечно малых в механике. Его знаменитые «Начала» действительно «составляют надежную основу общей механики» (А. Зоммерфельд). Но все решения механических задач проведены методами синтетически-гео-
Cm:*£’ гггт>иХайЛов' Э’аг1исиыс книжки Леойарда Эйлера в архи-?? АН СССР,—- «Иеторико-математические исследования», вып, X.
VI.. Г. 7S 7 '
13
метрическими, задачи и исходные зависимости формулируются тоже геометрически. Короче: соединения созданных основ механики и методов математического анализа Ньютон не дал.
Это соединение — историческая заслуга Эйлера, и, нам кажется, есть основания считать, что уже к концу базельского периода Эйлер хорошо понимал необходимость такого объединения и разрабатывал соответствующую программу действий.
Чтобы точнее представить себе механику такой, какой она была в начале научной деятельности Эйлера, напомним, что основные достижения Ньютона в решении отдельных задач относятся к механике точки; что ни в механике точки, ни в механике системы материальных точек не применялись неподвижные системы координат (Ньютон каждый раз с гениальной изобретательностью составлял нужные ему исходные соотношения для тангенциальных и нормальных составляющих); что в механике твердого тела удалось исследовать только вращение тела вокруг неподвижной оси; что в механике изменяющихся сред все попытки составить общие уравнения движения для упругих тел и жидкостей оказались в то время неудачными; что в акустике (тогда равнозначной с динамикой газов) теория дала существенное расхождение с экспериментом при вычислении скорости звука; что даже при упрощенной одномерной постановке динамика изменяющихся сред делала только первые шаги; что не было пи одной книги, ни одного учебника или трактата по аналитической механике. Вместе с тем физика и техника выдвигали как наиболее настоятельные проблемы изучение движения материальной точки в среде с сопротивлением (теория маятника, баллистика), переход в этой задаче от точки к твердому телу (баллистика), расчет движения жидкостей (водяные двигатели, строительство каналов, шлюзов), объяснение расхождения теории с экспериментом в вопросе о скорости звука, создании надежных основ для упругостатических расчетов (строительное дело). В механике планет на повестке дня стояло объяснение всех особенностей движения планет на основе ньютоновского закона всемирного тяготения — вопроса, тогда еще открытого,— и ученых волновал этот закон и принципиально из-за постулированного им <<дец-ртрря да расстоянии»,
Насколько близкими были для Эйлера почти все эти вопросы с первых его шагов в науке, показывают такие факты. В феврале 1727 г. он защищал в Базельском университете «физическую диссертацию о звуке». Как видно из другой его записной книжки, в следующем месяце он делает доклад на тему «О причине тяготения» 5 6 7. В августе того же 1727 г. Даниил Бернулли писал итальянскому ученому Полени, что ему удалось наконец найти «настоящую теорию движения воды, которая является очень общей и может быть применена во всех возможных случаях... Но еще более удивительно, что в это самое время ту же теорию, но другим методом нашел господин Эйлер из Базеля, ученик моего отца, который немало прибавит к его славе» в. А в конце 1727 г., уже в Петербурге, Эйлер предложил такой тематический план
«Леонард Ейлер, профессора высшей математики адъюнкт, или приданный, в приватных собраниях последующих рассуждений несколько уже исследованию профессоров предложил, протчия впредь предложит:
1. Есть физико-математическое о звуке или звоне, в котором новая звону феория предается и поставляется, откуда производится образ считания скорости звона.
2. Рассуждение о движении качательном струн, колоколов, барабанов и других инструментов, которые через ударение звон издают, где от феории каждого инструмента изъявляется образ счисления звука.
3. О произведении звона, или звука, пушечного, громового и протчих таковых.
4. Новая феория о звонах или голосах флейтов, труб и других инструментов, которые через надувание глас издают, экспериментами изрядно согласующимися утвержденная...
7. Новая феория о водах, истекающих из сосудов,
5 Г. К. Михайлов. Записные книжки Эйлера в архиве АН СССР,— «Историко-математические исследования», вып. X, с. 76.
6 Цитируем по вступительнй статье К. Трусделла (Truesdell. Introduction) к двенадцатому тому второй серии полного собрания трудов Эйлера. Трусделл приводит цитату в английском переводе, ссылаясь на имеющуюся у него фотокопию письма, оригинал — в венецианской Biblioteca marciana.
7 Материалы по истории имп. Академии наук, т. I, с. 278—279. Цитируем этот интересный документ «детского» периода русской научной терминологии с незначительными орфографическими изменениями,
14
и оныя употребление к пределению движения вод, истекающих из силиндров единых и из силиндров, к которым пристроен сосуд или труба какия-нибудь фигуры, с экспериментами, для сего уставными, зело согласующая.
8. О истечении вод из сосудов непременно полных, откуда толкуются движение вод в фонтанах и других воды произведениях.
9. Истечение вод из сосудов отчасти в воду погруженных, где колыхания, которые восходя и нисходя делает, определяются.
10. Умствование о колыхании воды в трубах кривых какия-нибудь формы.
11. О движении телес оризонтальном в влажных, где, познав видную тягость, совершенно описается косность движения.
12. Умствование о восхождении и нисхождении в прямой линии тяжелых во всяком влажном, где данной сущей видной тягости тяжелого движения скорость во всяком месте и время, в которое то движение совершается, описуется.
13. Довершение той же материи, где движение мещен-ных влажном определяется и движение от весов в влажных показуется».
(Нами опущены два пункта чисто математического содержания.)
Но то, что Эйлер напечатал с 1727 по 1735 г., относится почти исключительно к динамике точки. Темой его статей по механике в этот период являются различные задачи о движении материальной точки («тельца»). Это — нахождение траекторий, двигаясь по которым под действием силы тяжести, а также при сопротивлении среды, точка проходит свой путь за кратчайшее время (задачи о брахистохроне). Либо ставится вопрос о нахождении траекторий, которые в аналогичных условиях точка проходит за одно и то же время (задачи об изохронах, таутохронах). При этом сила сопротивления среды принимается пропорциональной той или иной степени скорости, сила тяжести трактуется либо как постоянная по величине и направлению, либо как центральная сила, обратно пропорциональная квадрату расстояния от центра. Рассматриваются также некоторые задачи о свободном движении точки в поле центральной силы при разных законах действия этой силы.
15
Во всех этих статьях достаточно четко используется одна и та же методика: силы, ускорения, скорости разлагаются по касательной и по нормали к траектории, составляются соответствующие дифференциальные уравнения движения (на основе второго закона Ньютона), осуществляется их интегрирование. Здесь Эйлер оттачивал аналитический метод в применении к задачам механики. Наряду с этим, глубоко изучив своих предшественников, он, очевидно, обдумывал основные принципы механики и всю ее структуру. Можно сказать, что в эти годы Эйлер закончил в основном выработку своего «кредо» в механике. Все это нужно было ему свести вместе, изложить в виде отдельного труда.
Сначала, возможно, Эйлер намеревался начать свой трактат со статики. Потом он изменил план и его «Статика» осталась незавершенной. Впервые она была опубликована в 1862 г.; в полном собрании сочинений Эйлера она составляет заключительную часть 4-го тома второй серии. В конце концов Эйлер решил начать с динамики точки. Работу над ней он закончил, по-видимому, в 1734 г., но только в 1736 г. ему удалось издать знаменитую «Механику, или науку о движении, изложенную аналитически».
О «Механике» Эйлера совершенно верно пишет Дюга 8, что это «первое сочинение, которое по упорядочению материала и точности доказательств заслуживает названия трактата по рациональной механике». О полном ее содержании те три раздела, которые есть в русском переводе 9, дают далеко не полное представление.
В первом томе изложены основные принципы (I и II разделы), задачи на прямолинейное движение свободной точки в безвоздушном пространстве (III раздел) и в среде с сопротивлением (IV раздел), задачи на криволинейное движение с аналогичным распределением материала (V и VI разделы). Собственные результаты Эйлера занимают в этом томе небольшую часть. Вполне очевидно влияние на подбор задач запросов баллистики. Оригинальность сочинения и его историческое значение заключаются преимущественно в методе изложения и в трактовке принципов механики.
8 R. Dugas. Histoire de la Mecanique. Neuchatel, 1950, p. 232.
8 Л. Эйлер. Основы динамики точки. М.— Л., ОНТИ, 1938.
16
О методе изложения лучше сказать словами самого автора из его вступления. Он пишет о «Форономии» Германа 10 11, которую ставит очень высоко, что Герман изложил все «по обычаю древних при помощи синтетически-геометрических доказательств и не применил анализа, благодаря которому только и можно достигнуть полного понимания этих вещей. Приблизительно таким же образом написана работа Ньютона «Математические начала натуральной философии», благодаря которой наука о движении получила наибольшее развитие.
Однако если анализ где-либо и необходим, так это особенно относится к механике. Хотя читатель и убеждается в истине выставленных предложений, он все же не получает достаточно ясного и точного их понимания, так что если чуть-чуть изменить те же самые вопросы, он едва ли будет в состоянии разрешить их самостоятельно, если не прибегнет сам к анализу и те же предложения не разрешит аналитическим методом. Это как раз случилось со мной, когда я начал знакомиться с «Принципами» Ньютона и «Форономией» Германа; хотя мне казалось, что я достаточно ясно понял решение многих задач, однако задач, чуть отступающих от них, я уже решить не мог». И далее: «Вот тогда-то я попытался, насколько умел, выделить анализ из этого синтетического метода и то же предложения для собственной пользы проработать аналитически; благодаря этому я значительно лучше понял суть вопроса. Затем таким же образом я исследовал и другие работы, относящиеся к этой науке, разбросанные по многих местам, и лично для себя я изложил их планомерным и однообразным методом и привел их в удобный порядок. При этих занятиях я не только встретился с целым рядом вопросов, ранее совершенно незатронутых, которые я удачно разрешил, но я нашел много новых методов, благодаря которым не только механика, но и самый анализ, по-видимому, в значительной степени обогатился. Таким образом и возникло это сочинение о движении» “.
Относительно изложения принципов механики отметим, что основным для Эйлера является понятие о силе
10 «Форономия, или о силах и движении твердых и жидких тел» — самая значительная работа известного механика и математика Я. Германа (1678—1733).
11 Л. Эйлер. Основы динамики точки с. 33—34.
17
и зависимость между силой и изменением скорости (вто рой закон Ньютона). Отдельно дает Эйлер закон инерции. Он не использует понятие количество движения, которое является основным у Ньютона. Он, не углубляясь в анализ этих понятий, принимает так называемое абсолютное пространство и абсолютное время и вводит также, как он выражается, относительное пространство — для определения относительного движения и относительного покоя. Нигде не выделен как особый принцип закон равенства действия и противодействия. Своеобразную окраску придает первым двум разделам «Механики» стремление Эйлера доказать первый и второй закон Ньютона, как истины необходимые (а не «случайные»; терминология Лейбница: необходимые истины неоспоримо познаются разумом, случайные познаются из опыта. Примером первых были для Лейбница математические утверждения, примером вторых — физические законы). Конечно, эти доказательства иллюзорны. Они — дань эпохе. Последнее утверждение не следует воспринимать как риторическое. Несколько позже Даламбер, например, тоже занялся решением «важной метафизической проблемы...— являются ли законы статики и механики («механика» здесь, как и у Эйлера, синоним динамики) необходимой или случайной истиной» 12.
Второй том «Механики» в значительной своей части является 'оригинальным произведением Эйлера не только по методу изложения, по и по содержанию. В первом разделе несвободное движение точки рассматривается в общем. Вводится классификация таких движений: первый вид — движение по прямой, второй вид (species) — движение по поверхности. Эйлер пишет: «Что нужно найти для первого вида — это скорость тела или, лучше, точки в любом указанном месте заданной линии, давление на эту линию и время, в течение которого точка пробегает данный отрезок пути. А для движения второго вида, кроме того, нужно найти и линию, которую описывает тело на заданной поверхности» 13.
Вопреки распространенному взгляду, что Эйлер в «Механике» совершенно оставил в стороне физическую суть дела, укажем еще, что в этом разделе ставится вопрос
12 Ж. Л. Даламбер. Динамика. М.— Л., 1950, с. 29.
13 L. Euler. Mechanica, t. II, § 7, 8.
18
о способах реализации движения точки (тельца) по заданной траектории14. Далее Эйлер устанавливает связь таких механических задач с задачей о геодезических линиях на поверхности, поставленной его учителем Иоганном Бернулли. К тому времени Эйлер уже посвятил этой задаче отдельное исследование 15.
Во втором разделе исследуется движение точки по данной линии в безвоздушном пространстве, в третьем — такое же движение в среде с сопротивлением. Изложение в значительной мере основывается на уже опубликованных тогда собственных исследованиях Эйлера о брахистохронах и таутохронах. Подбираются разные законы сопротивления как функции скорости, для которых интегрирование можно провести до конца. Эти результаты сравниваются с результатами, полученными для движения в вакууме. Рассматривается и колебательное движение, в частности, по циклоиде.
В последнем, четвертом разделе Эйлер изучает движение точки па поверхности. В предисловии ко второму тому он пишет, что «этот предмет наиболее труден для изложения как из-за того, что никто им до сих пор не занимался, так и потому, что природа и свойства твердых тел до сих пор в достаточной степени не исследованы и не проанализированы. Поэтому, прежде чем можно было что-либо установить о движении такого типа, необходимо было изложить метод, с помощью которого можно указать и проанализировать особенности поверхностей и проведенных на них линий» 16. И действительно, Эйлер в этом разделе начинает с геометрического вступления. Здесь он опирается на результаты своей уже цитированной выше работы о геодезических линиях и приводит формулы для определения направления касательной, нормали (главной) кривой, взятой на поверхности, ее радиуса кривизны и направления нормали к поверхности. Далее он рассматривает движение точки на поверхности по инерции, доказывает, что траекторией является геодезическая линия, определяет давление на поверх-
44 Там же, § 48, 49.
15 De linea brevissima in superficie quacunque duo quaelibet puncta jungente.— «Comm. acad. sc. Petrop.», t. 3 (1728), 1732, p. 110.— Opera Omnia, ser. I, v. XXV.
16 Opera Omnia, ser. II, v. II, p. 5.
19
ность. Потом Эйлер выводит уравнение движения точки на поверхности под действием постоянной по величине и направлению силы тяжести. При интегрировании этих уравнений он может продвинуться вперед в следующих частных случаях: 1) цилиндрических поверхностей, 2) конических поверхностей и 3) поверхностей вращения с вертикальной осью. Раздел заканчивается первым обстоятельным исследованием задачи о сферическом маятнике.
Современники встретили «Механику» Эйлера по-разному. В письмах к Эйлеру Иоганн Бернулли критиковал отдельные места, но дал исключительно высокую оценку трактату в целом. Настоящий панегирик — анонимная рецензия — был помещен в лейпцигских «Nova acta eru-ditorum» (1738, p. 113—135; вполне возможно, что автором ее был, как считает Штеккель, тот же И. Бернулли). Рецензии в другом немецком журнале (который издавался на французском языке в Амстердаме 17) и в французских «Memoires de Trevoux» 18 19 написаны в сдержанном тоне. Они достаточно полно характеризуют содержание труда, отмечают, что в нем является повторением, а что — оригинальным, подчеркивают новизну метода и математическую силу, выявленную при его применении, но воздерживаются от общих оценок. Во французской рецензии даже высказано опасение, что геометрия может погубить физику. И совершенно враждебную реакцию вызвала «Механика» среди ньютонианцев в Англии. От их имени выступил против Эйлера Б. Робинс (1707—1751) — выдающийся математик и механик того времени.
В предисловии к двухтомному изданию математических трудов Робинса его биограф Джеймс Вильсон пишет, что Робинс был большим поклонником древнегреческих геометров и, поучая своих студентов, отдавал предпочтение Евклиду и Аполлонию по сравнению с новыми авторами, а из последних высоко оценивал Гюйгенса, Барроу и выше всех — Ньютона ,9. Понятно, что Робинс не отнесся благожелательно к методам Эйлера. Свою брошюру, где рассматривается «Механика» 20, он начинает с жало
17 Bibliotheque germanique. 1737, р. 03 108.
18 Memoires pour 1’histoire des sc. Paris, 1740, p. 816—834, 1407—1422.
19 Mathematical Tracts of the late B. Robins, v. I. London, 1761.
20 B. Robins. Remarks on Mr. Euler’s Treatise of Motion.., London, 1739; Mathematical Tracts, v. II, p. 191—296,
20
бы на ту беду, которая стряслась из-за Декарта и его аналитической геометрии; теперь, дескать, считают, что достаточно позаимствовать некоторые данные у Евклида и о конических сечениях и еще приобрести определенную сноровку в алгебраических вычислениях, чтобы стать почитаемым геометром. «И это вопреки тому, что таким образом мы губим не только вкус и утонченность, но особы, совершенно украшенные этими новейшими достижениями, еще и делают прямые ошибки». Все же, когда Робинс переходит к конкретному рассмотрению «Механики» 21, он показывает себя внимательным и острым критиком. Только часть его замечаний является справедливой, но во всяком случае ни одно слабое место труда Эйлера не остается не отмеченным (речь идет о первом томе «Механики», о втором у Робинса ничего не сказано). Поэтому приведем несколько положений этой критики.
Принципиальное замечание делает Робинс по поводу «предложений» 7, 8, 9, в которых Эйлер формулирует и пытается доказать закон инерции (в основном исходя из принципа «достаточного основания») 22. Он говорит, что эти предложения «должны быть приведены только как факты; выявить их справедливость можно из экспериментов, а не из каких-либо метафизических представлений о телах и движении». Это — та установка, которая лаконично сформулирована Ньютоном: «Гипотез не измышляю». Мы ясно видим теперь как историческую прогрессивность, так и историческую ограниченность, а на определенном этапе — и реакционность этой позиции. В частности, Робинс не пожелал указать на то, что анализ Эйлера не сводится к ссылке па законы логики, а является значительно более глубоким: «Не нужно думать, что единственной причиной пребывания тела в покое в этом бесконечном и пустом пространстве является отсутствие достаточного основания для движения: нет никакого сомнения, что в самой природе тела заложена причина этого явления» 23. Но, настаивая на чисто экспериментальном обосновании принципов механики, Робинс имел для этого основания. Имел основание Робинс и тог
21 Mathematical Tracts of the late В. Robins, v. II, p. 197—231.
22 Л. Эйлер. Основы динамики точки, с. 68—75,
23 Там же, с. 69.
21
да, когда он, человек тесно связанный с практической механикой 24, упрекает Эйлера в том, что последний чрезмерно увлекается вычислениями и недостаточно учитывает физические соотношения. Полемика и тут заводит Робинса слишком далеко, и он позволяет себе писать, будто Эйлер не понимает, что «условия задачи часто накладывают ограничения на алгебраические выражения». Но несколько неудачных мест в «Механике» и нужно объяснить именно этим; в частности, те парадоксы, которые потом дали повод для насмешек Вольтера 25. Существенным представляется нам и замечание, что при рассмотрении движения под действием центральных сил значительное упрощение дало бы систематическое применение закона площадей; обоснованны также некоторые указания на неосторожное использование бесконечно малых и бесконечно больших величин. Но все это — вещи второстепенные по сравнению с силой новой методики, богатством результатов и неисчерпаемой изобретательностью, что характеризует творение Эйлера. Этого Робинс не замечает, ибо не хочет видеть; его цель — показать, что в «Механике» есть масса недостатков и что они «следствие той нечеткости представлений, к какой дифференциальное исчисление склоняет своих сторонников».
Для Эйлера «Механика» была только началом. Заканчивая первый раздел первого тома, он пишет: «Итак, разнообразие тел предопределяет для нас первоначальное деление нашей работы. Сначала мы будем рассматривать тела бесконечно малые, т. е. те, которые могут рассматриваться как точки. Затем мы приступим к телам, имеющим конечную величину,— тем, которые являются твердыми, не позволяя менять своей формы. В-третьих, мы будем говорить и о телах гибких. В-четвертых, о тех, которые допускают растяжение и сжатие. В-пятых, мы подвергнем исследованию движение многих разъединенных тел, из которых одни препятствуют другим выполнять свои движения так, как они стремятся это сделать. В-шестых, будет рассматриваться движение жидких тел». И далее: «Таким образом, ясно, о чем должна идти
24 Робинс немало сделал в экспериментальной баллистике, и на титульной странице его собрания трудов указано не только то, что он был членом Лондонского королевского общества, но и что он был главным инженером «уважаемой Ост-Индской компании».
25 См.: Л. Эйлер. Основы динамики точки, § 335, с. 237—238.
22
речь в механике и как еще там много такого, что и до сих пор совсем не исследовано. Так как, кроме движения точек... там очень мало что исследовано, то почти все в сущности приходится находить и выводить сначала» 26.
Как видно, Эйлер хорошо представлял себе объем работы, необходимой для выполнения столь грандиозной программы исследований. К тому же, как он писал, «в телах, имеющих конечную величину, отдельные части которых имеют иные присущие им движения, всякая их часть, конечно, будет пытаться соблюдать эти законы, что, однако, не всегда будет возможно выполнить вследствие состояния тела. Итак, само тело будет следовать тому движению, которое слагается из стремлений отдельных частей, но это движение пока еще не может быть определено вследствие недостаточности принципов, и вопрос об этом надо отложить на будущее» ”.
Далее мы попытаемся показать, как Эйлер преодолевал эту «недостаточность принципов» и что он сделал в своей грандиозной программе. Но нельзя не указать сразу, что написанное, по-видимому, двадцатисемилетним ученым (в 1734 г.) оставалось основным для него на протяжении следующего полувека его неутомимой научной деятельности.
От «Механики... изложенной аналитически» до «Теории движения твердых тел»
Приблизительно четверть столетия отделяет «Механику... изложенную аналитически» от классического труда Эйлера «Теория движения твердых тел» (1760). Именно на это время приходится усиление его деятельности в области анализа. В частности, он издает в эти годы монографию по вариационному исчислению («Метод нахождения кривых линий...»), два тома «Введения в анализ бесконечных», «Дифференциальное исчисление», почти полностью заканчивает три тома «Интегрального исчисления». Но вся эта колоссальная работа выполнялась в тесной связи с исследованиями, посвященными разным вопросам инженерного дела, акустики и оптики, 28
28 Л. Эйлер. Основы динамики точки, с. 89 91.
27 Там же, с. 89.
23
небесной и земной механики. И Эйлеру постепенно удается преодолеть «недостаточность принципов» во втором и шестом пунктах приведенной выше его программы: в теории твердых (абсолютно твердых) тел и жидких (идеально жидких) тел. Начнем с последней.
Выше были приведены документальные данные о том, что Эйлер занимался теорией жидкостей уже в начале своей научной деятельности. Но эти исследования находились с современной точки зрения еще в пределах гидравлики. Нужно принять во внимание, что в знаменитой «Гидродинамике» Даниила Бернулли, вышедшей из печати в 1738 г. и являющейся итогом гидродинамических и гидравлических исследований ее автора, нет еще понятия внутреннего давления в жидкости, нет никаких общих уравнений движения. Исходным пунктом в исследованиях Д. Бернулди является упрощенная гипотеза параллельных сечений (это сводит рассмотрение задачи к одномерным) вместе с законом живых сил, который Д. Бернулли широко использует. Поэтому его отец, Иоганн Бернулли, имел основание писать, публикуя в 1743 г. свою «Гидравлику» 28, что исследования сына построены на «косвенных основаниях» и именно поэтому он, отец, искал и нашел «прямой метод, который основывается только на таких динамических принципах, которые никто не оспаривает» 28 29. В связи с этим полное название книги И. Бернулли: «Гидравлика, теперь впервые открытая и обоснованная на исключительно механической основе». А Эйлер еще в 1738 г. узнал об исследованиях И. Бернулли и обратился к нему с просьбой познакомить его с этой новой и исправленной теорией жидкостей. Эйлер признавал, что он сам, давно осознав недостатки этой теории, напрасно направлял все свои усилия на то, «чтобы найти естественный метод». И когда И. Бернулли прислал ему первую часть своих гидравлических исследований, Эйлер писал своему старому учителю (письмо от 5 мая 1739 г.), что тот осветил для него этот во
28 Следует помнить, что тогда и почти до конца XVIII столетия термин «гидравлика» имел то же значение, что теперь гидродинамика, в отличие от гидростатики. Слово «гидродинамика» в его современном понимании стали употреблять главным образом благодаря успеху книги Д. Бернулли.
29 Напомним, что тогда «живая сила» как «мера движения» была еще предметом споров между сторонниками Лейбница и Декарта.
24
прос «ярчайшим светом, потому что раньше этот предмет был скрыт от меня в густой мгле и уяснить что-либо можно было только с помощью, косвенного метода».
Что же нового увидел Эйлер в работе И. Бернулли? Этим новым было то, что последний непосредственно рассматривал бесконечно малый элемент жидкости и применял к такому элементу основное соотношение между силой, массой и ускорением. Именно таким образом он сводил задачу к дифференциальному уравнению.
Эта простая идея теперь кажется совершенно очевидной. Но чтобы ее справедливо оценить, нужно вспомнить, как это подчеркивает Трусделл в цитированной работе, что она требовала такого глубокого проникновения в суть вопроса, которого не достигли предшественники И. Бернулли и среди них — Ньютон, Клеро, Д. Бернулли. Последний даже не смог правильно оценить метод своего отца, и только Эйлер сразу увидел, какое значение имеет этот метод.
Но И. Бернулли сделал только первый шаг в верном направлении: он не мог поставить пространственную задачу и ограничился одномерным случаем. Пойти дальше по этому пути и дойти до общих уравнений движения идеальной жидкости стало одним из основных достижений Эйлера. Однако путь этот был долгим и извилистым.
Мы не имеем тут возможности проследить за всеми его этапами, хотя это чрезвычайно поучительный раздел истории математических паук, а исключительная откровенность Эйлера облегчает анализ его сочинений. Не будем также сопоставлять работы Эйлера с исследованиями Клеро и Даламбера, которые немало содействовали развитию гидростатики и гидродинамики. Выделим лишь несколько этапов творчества Эйлера, связанных один с другим долгими и напряженными исканиями.
Итак, мы оставили Эйлера в 1739 г. В 1750 г. он написал работу под названием «Открытие нового принципа механики» 30. Что же это за новый принцип, о котором, к слову сказать, Эйлер говорит, что его можно рассматривать как единственное основание всей механики и
30 L. Enter. Decouverte d’un nouveau principe de mecanique.— «Me-moires Acad. sc. Berlin», v. 6 (1750), 1752, p. 185—217,—Opera Omnia, ser. II, v. V.
25
всех других наук, изучающих движение каких-либо тел? Если мы присмотримся к формулам, в которых воплощен этот принцип, то увидим, что это «ньютоновы» дифференциальные уравнения движения бесконечно малой массы, положение которой определяется в общем случае тремя декартовыми ортогональными координатами. Было ли здесь что-то действительно новое?
Мы уже отмечали, что «ньютоновых уравнений» движения у Ньютона не было. Не было их и в эйлеровой «Механике» 1736 г. Следуя за Лагранжем 31, обычно считают, что первым применил в механике неподвижную пространственную декартову ортогональную систему Макло-рен в изданном в 1742 г. «Трактате о флюксиях». Но Маклоретг был, как и Робинс, большим приверженцем методов греческих геометров. Не удивительно, как пишет Трусделл, что в книге Маклорена дифференциальные уравнения тщательно спрятаны в буквенных обозначениях и рисунках. Клеро и Даламбер также применяли неподвижную пространственную декартову систему координат, но в механике они исходили из иной системы основных принципов, избегая понятия силы. Во всяком случае, Трусделл на основе внимательного ознакомления с литературой эпохи утверждает, что именно в этой работе Эйлера содержится первая общая формулировка «ньютоновых уравнений».- При этом «Эйлер не претендует на то, что уравнения новы, а на то, что он первый установил их общность, в применении к элементу объема, для всех типов тел».
Уже в следующем поколении это казалось настолько само собой разумеющимся, что стало безымянным. Лагранж, указывая на Маклорена, не вспоминает Эйлера, когда пишет: «Этот прием составления уравнений движения тела, находящегося под действием каких-либо сил, путем сведения этого движения к прямолинейным движениям, следует благодаря его простоте предпочесть всем другим приемам; поэтому он должен был бы возникнуть раньше других. В настоящее время он является общепринятым» 32.
Но на пути Эйлера было еще одно препятствие. Переход от механики точки к механике континуума 'его
31 Ж. Л. Лагранж. Аналитическая механика, т. 1. М.—Л., 1950, с. 298.
32 Там же.
26
предшественники и. современники пытались осуществить на основе молекулярных 'представлений. Материальные точки — это корпускулы (тельца) и центры сил. Иначе говоря, имели в виду, собственно, не механику континуума, а механику на уровне молекулярного строения вещества. Для успешного решения такой проблемы в то время не была еще подготовлена почва ни в физике, ни в математике. Огромным достижением Эйлера в математической физике является то, что он смог преодолеть традицию и найти новый плодотворный подход: подход с точки зрения теории поля (по современной терминологии). Такой подход можно заметить и в некоторых работах Эйлера 40-х годов; вполне четко он выступает в классической работе 1753 г. «Общие принципы состояния равновесия жидкостей» 33. В ее первых параграфах (см. особенно § 5, 8) Эйлер окончательно освободился от корпускулярной традиции и настаивает на том, что принципы механики нужно применять непосредственно к реальным телам, исходя из непрерывного 'распределения в них вещества. В этой континуальной модели корпускула становится математической точкой — носителем трех координат, и только.
Благодаря такой точке зрения Эйлер смог преодолеть еще один барьер, который не смогли преодолеть его предшественники: представить внутреннее давление жидкости в общем виде, как величину, определенную в каждой точке объема жидкости, и таким образом прийти к действительной системе гидродинамических переменных. Теперь, наконец, он преодолел «недостаточность принципов»! Его введение к выше цитированной работе отражает чувства человека, который после долгих и утомительных блужданий вышел на широкий путь и обрел уверенность в том, что достигнет своей цели. Он подчеркивает, что установленные им принципы сохраняют силу для жидкостей несжимаемых и сжимаемых, когда на жидкость действуют силы тяжести и когда действуют какие-либо другие внешние силы. И он не боится, что его упрекнут в чрезмерной всеобщности. «Я согласен,— пишет оп,— что часто такая всеобщность скорее затемняет, нежели проясняет, ибо ведет к настолько запутан-
33 L. Euler. Principes generaux de 1’etat d’equilibre des fluides.— «Memoires Acad. sc. Berlin», 1755.— Opera Omnia, ser. II, v. XII.
27
Пым вычислениям, что трудно сделать выводы даже в самых простых случаях». Но «всеобщность, которую я ввожу, не затемняет нам предмет, а открывает действительные законы природы во всем их блеске, и мы находим еще более веские основания для того, чтобы восхищаться их красотой и простотой».
Когда Эйлер писал эти слова, он уже получил и общие гидродинамические уравнения. В рассматриваемой работе он ограничивается тем, что (впервые!) выводит общие уравнения гидростатики. Ход его рассуждений до настоящего времени повторяют в учебниках и на лекциях. Общую задачу гидростатики он ставит так: даны силы, которые действуют на все элементы жидкости, и соотношение, связывающее плотность и упругость жидкости в каждой точке; нужно определить давление в каждой точке жидкости - так, чтобы она находилась в равновесии. С этой целью Эйлер рассматривает элементарный прямоугольный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz, направленными параллельно координатным осям, одна из вершин которого находится в рассматриваемой точке объема жидкости L. Пусть q — плотность в точке L, а Р, Q, R — проекции на координатные оси вектора напряжения поля массовых сил (Эйлер говорит, что рассматривается «ускоряющая сила», приложенная к элементу жидкости). Таким образом, к параллелепипеду приложена «движущая сила», имеющая составляющими: Pqdxdydz, Qqdxdydz, Rqdxdydz.. Пусть р — неизвестное давление в точке L. Это — функция координат х, у, z точки L; таким образом, dp=Ldx + Mdy + Ndz. Рассматривая, как это делают до сих пор, разности суммарных давлений на грани параллелепипеда, Эйлер выводит общие условия равновесия
L = Pq, M = Qq, N = Rq.
Далее он демонстрирует некоторые применения этих уравнений, в частности, останавливается на следствиях того, что L, М, N являются первыми производными одной и той же функции.
Непосредственным продолжением рассматриваемого мему ара был мему ар «Общие принципы движения жидкостей» 34 — работа «настолько совершенная, что в ней не
34 L. Euler. Principes generaux du mouvement des fluides.— «Me-moires Acad. sc. Berlin», 1755.— Opera Omnia, ser. II, v. XII.
28
устарела ни одна строчка» (Дюга). Основное ее содержание вошло в курсы механики полностью, только в некоторых пунктах изменена форма изложения.
В этой работе видим четкое разграничение кинематической части от динамической. Начальное состояние жидкости, которая может быть сжатой и неоднородной, считается заданным, т. е. для определенного момента известны положения и скорости всех частиц жидкости, известны также внешние силы, приложенные к жидкости. Задача ставится следующим образом: в каждой точке жидкости и для каждого момента времени t определить давление, плотность и скорость элемента, который проходит через эту точку. Сначала идет чисто кинематическое исследование (у всех предшественников Эйлера в этой области кинематические и динамические вопросы не выделялись, что усложняло формулировку исходных положений и само исследование). Эйлер вначале получает «очень важное соотношение, которое вытекает из непрерывности жидкости»
да , да , да . да , ди . dv . dw п
тг 11 -т- + v + W~T~ + g^—= 0, dt дх 1 ду dz дх ду dz
где и, v, w и q соответственно компоненты скорости и
плотности элемента жидкости, находящегося в момент времени t в точке Z(x, у, z). Соотношение это можно записать более просто
~Г + (дм) + (др) + (gw) = 0, dt 1 дх ' 1 ду ' dz 4 ' ’
что для случая несжимаемой жидкости сводится к
ди , dv . dw ___ г.
дх ' dy ' dz
Далее идет вычисление ускорения элемента жидкости. . Сравнивая скорость в точке Z, которая определяет положение этого элемента в момент t, со скоростью в точке -.Z', где элемент жидкости находится в момент t + dt, Эйлер сразу получает выражение для компонентов ускорения
du , du . du . du dv . dw
~дг+и-^ + + )»+•••’ 'зг+---
29
Теперь ему остается приравнять эти выражения отличным от нуля в случае движения разностям
р____1 dp />___1 дР
q дх ’ q ду ’ q dz
(Р, Q, R — компоненты «ускоряющей силы» внешнего, — Ylq-dpldx, компоненты «ускоряющей силы» внутреннего давления), и он имеет три гидродинамических уравнения. Эти три уравнения вместе с уравнениями непрерывности (которые здесь появляются впервые в общем виде) и уравнением, которое связывает упругость р, плотность q и еще одну величину £ (Эйлер вводит ее для характеристики теплового состояния жидкости!), «охватывают всю теорию движения жидкостей», как пишет ученый.
В этой замечательной работе Эйлер исправляет допущенную раньше им и Даламбером ошибку: будто бы при движении жидкости обязательно должен существовать потенциал скоростей. У Эйлера этого термина нет, а есть «функция усилий». Он приводит два примера движения жидкости, когда нет потенциала скоростей. Один из этих примеров — простое вихревое движение.
К последней работе Эйлер написал «Продолжение...» 35, напечатанное в том же знаменательном для гидромеханики 1755 г. Здесь он хотел применить свои общие уравнения к практически важным задачам. Хорошо понимая, сколь большие аналитические трудности стоят на пути 36, он обратился к рассмотрению частных случаев. В одномерном случае Эйлер дает теорию движения сжатой жидкости в трубах; из его теории следуют результаты Д. Бернулли для несжимаемой жидкости. При рассмотрении плоского движения ему приходится вводить ограничения — допустить существование потенциала скоростей. Это позволяет ему снова прийти к результатам Клеро и Далам-бера. Он подчеркивает важность для этого вопроса комп
35 L. Euler. Continuation des recherches sur la theorie du mouvement des fluides.— «Memoires Acad. sc. Berlin», 1755,— Opera Omnia, ser. II, v. XII.
36 Еще в предыдущей работе Эйлер писал: «Если нам не дозволено дойти до полного познания движения жидкостей, то причина этого лежит не в механике и не в недостаточности изученных принципов движения, а в том, что сам Анализ покидает здесь нас...»
30
лексных величин, введенных Даламбером. Далее Эйлер делает «героическую попытку» (Трусделл) проинтегрировать свои общие уравнения для несжимаемой жидкости. Только отдельные выводы были результатом этих попыток, но потребовалось еще более ста лет, чтобы снова их открыть, так как эту работу Эйлера основательно забыли; и это не удивительно: математики не могли продвинуться дальше с помощью анализа, а общность трактовки и сложность математических средств были чрезвычайными для инженеров и механиков того времени.
Напомним кратко еще о некоторых гидродинамических результатах Эйлера, полученных в эти годы. В работе 1756 г. «Разъяснение относительно сопротивления жидкостей» рассматривается сложнейшая проблема гидродинамики. Эйлер в физической постановке вопроса далеко опережает свое время; его исследование не оказало влияния и было забыто. А в работе очень четко показана неприемлемость ньютоновой аналогии сопротивления жидкостей с соударением твердых частиц, указано на значение кормовой части твердого тела для величины сопротивления жидкости при движении в ней тела, на влияние стенок канала на величину сопротивления, на явление кавитации. Эйлер указывает также своеобразный «полуоб-ращенный метод» решения гидродинамических задач. Подобные методы начали применяться в гидромеханике только в последние десятилетия. Важное дополнение к изложенным выше результатам сделал Эйлер в 1760 г. в связи с акустическими исследованиями и своими и Лагранжа: он выводит новую систему гидромеханических уравнений — субстанциональную, которую потом без всяких на то оснований начали называть именем Лагранжа.
От рассмотренной выше работы «Открытие нового принципа механики» идет еще одна линия исследований Эйлера, которые относятся к 50-м годам — по динамике твердого тела. Те принципиальные упрощения в трактовке механики континуума, к которым пришел Эйлер в эти годы, были основой его успехов и в этой области. Их итоги находим в знаменитой «Теории движения твердых тел» (1760). Поэтому об этих исследованиях речь пойдет в следующем разделе.
Но и этим не исчерпывается деятельность Эйлера в механике в 1736—1760 гг. За это время он написал не
31
сколько исследований по теории упругости, которые рассмотрим в последнем разделе статьи. В связи с работами Мопертюи Эйлер, впервые дал точную математическую формулировку принципа наименьшего действия в механике точки. Существенное значение имели его работы, идейно связанные с так называемым петербургским принципом и принципом Даламбера37. Два тома его «Морской науки» 38 содержат много нового, для своего времени, материала по механике. Это сочинение Эйлера, по нашему мнению, и до сих пор не получило надлежащей оценки, но, как хорошо известно, ему принадлежит почетное место и в развитии динамики твердого тела и в развитии теории устойчивости 39. В эйлеровом переводе «Баллистики» его критика Робинса, что являлось, собственно, новой книгой благодаря комментариям и дополнениям Эйлера, находим «парадокс Даламбера» до Даламбера и другие важные вклады в механику жидкостей и газов. Из-за недостатка места мы оставляем в стороне все эти важные работы Эйлера.
«Теория движения твердых тел».
Последние гидродинамические работы Эйлера
В «Теории движения твердых тел» Эйлер подвел итог многолетних исследований по другому пункту своей обширной программы, которые он начал еще тогда, когда писал «Механику». В двух томах «Теории движения» имеем в уточненном и систематизированном виде то, что ранее было изложено в отдельных мемуарах и, между прочим, в некоторых разделах предшествующих монографий. В дальнейшем, говоря о содержании «Теории движения», мы укажем на те этапы, которые должен был пройти Эйлер, прежде чем стать автором этого прославленного произведения.
37 См.: Л. С. Фрейман. О петербургском принципе и принципе Даламбера.— «Труды Ин-та истории естествознания и техники», т. 19. 1957, с. 544-563, особ. 558-561.
38 L. Euler. Scientia navalis seu Tractatus de construendis ac diri-gendis navibus, pars prior, p. 1—444, pars posterior, p. 1—534. Pet-ropoli, 1749.
39 H. Д. Моисеев. Очерки развития теории устойчивости. 1949, С. 205-216.
32
Первые шесть разделов «Теории движения» 40 составляют «введение, которое содержит необходимые пояснения и дополнения о движении точек». Это переработка и дополнение вступительных разделов «Механики». В них отражена эволюция некоторых методологических взглядов Эйлера, но на этом мы здесь останавливаться не будем. В соответствии со взглядами, изложенными в упомянутой выше работе «Открытие нового принципа механики», универсальное значение отводится второму закону Ньютона, который дает дифференциальные уравнения движения в проекциях на оси неподвижной декартовой системы координат. Немало внимания уделено подбору системы единиц для измерения основных величин. В этом вопросе, как и во многих других, находим существенные упрощения и дидактические усовершенствования по сравнению с «Механикой».
Дальнейшие разделы содержат то, что мы теперь называем геометрией массы. Вначале даются определения центра масс или центра инерции твердого тела (Эйлер обращает внимание на то, что этим терминам надо отдать предпочтение перед термином «центр тяжести») и способы его определения. Потом излагается теория моментов инерции. Почти все, что тут изложено, является личным достижением Эйлера. Собственно, моменты инерции относительно определенной оси встречаются до Эйлера, например у Гюйгенса при рассмотрении физического маятника и у Даламбера, но соответствующее понятие у предшественников Эйлера не выкристаллизовалось в нечто самостоятельное. С другой стороны, единственное, что было добавлено в этой теории после Эйлера,— это геометрическая интерпретация Пуансо, эллипсоид инерции. Все остальное находим в «Теории движения твердых тел», например теорему, которую почему-то называют теоремой Штейнера — геометра XIX столетия!
После применения общих формул для вычисления моментов инерции в некоторых отдельных случаях (рассматриваются только однородные тела) получаем подробное решение задачи о вращении тела вокруг неподвижной оси по инерции и под действием силы тяжести. В связи с этим доказывается существование свободных осей вращения твердого тела и вводится понятие главных
40 Русский перевод см. в кн. Эйлера «Основы динамики точки».
2 Механика и физика XVIII в. 33
осей инерции. Последнее также является открытием Эйлера. В основном мы находим эти понятия еще в «Морской науке» (1749).
Теперь Эйлер может перейти к рассмотрению движения свободного твердого тела. Он разлагает это движение на движение (поступательное)) с центром инерции и на движение вокруг центра инерции — вращение вокруг точки. Это вращение он представляет как вращение вокруг оси, проходящей через центр инерции, направление которой изменяется со временем. Перед ним встает задача дать кинематическое описание такого движения и составить для него динамические уравнения.
Кинематические формулы Эйлер вывел еще в работе «Открытие нового принципа механики», о которой мы уже неоднократно упоминали. Там есть выражение для компонентов скорости произвольной точки твердого тела, которое вращается вокруг неподвижной точки, , . дх du ' rdz
W XT^u^qz~r-h ХГ==1,=2ГХ~~pz' ~dT=zpy~qx (x, y, z — координаты точки, t — время p, q, r — угловые скорости тела относительно осей координат). Дифференцируя эти выражения по времени, Эйлер находит формулы для компонентов ускорения, а также для моментов ускорения относительно координатных осей. Оси координат Эйлер считает неподвижными. Лишь на последнем этапе исследований он смог увидеть, какие упрощения можно получить при переходе к подвижной системе координат.
В «Теории движения» исходя из соотношений (а) Эйлер ставит вопрос следующим образом: дана угловая скорость (о вращения твердого тела вокруг оси, проходящей через центр инерции тела (7) и образующей углы а, р, 7 с центральными главными осями инерции, которые приняты за оси координат; какими должны быть компоненты X, Y, Z сил, приложенных к элементу тела массы dm, которое занимает положение, определенное точкой (х, у, z), чтобы за время dt ось и угловая скорость вращения получили заданные изменения da, dfi, d~>, d<o? В связи с тем, что в соответствии с основными принципами механики (вторым' законом Ньютона) компоненты искомой силы после умножения на dt и деления на dm пропорциональны (а при соответствующем подборе единиц измерения — равны) приращениям компонентов скоростей
34
\~dm~ ~ du, - • •), остается вычислить последние. Переписав формулы (а) в виде
и = я» (z cos р — у cos у), v = а(х cos у — z cos а), w — со (у cos а — х cos (3)
и приняв во внимание, что
dx = udt = adt(z cos p — у cos у), dy — vdt =
dz = wdt —
находим
du = da (z cos p — у cos y) — co (z sin p d-> — у sin p dy) -ф
- ф co3 dt (y cos d cos P -ф z cos a cos p — x sin3 a);
du --- da (x cos p — z cos a) — co (x sin p dy — z sin a da) -ф
- ф co2 dt (z cos p cos у -ф x cos p cos a — у sin3 P);
dw = da (y cos a — x cos P) — co (y sin dda — x sin p dp) -ф
- ф co3 dt [x cos Y cos a у cos у cos p — z sin3 p).
Далее следует определение моментов dP, dQ, dR, приложенных к элементу dM сил относительно главных центральных осей инерции. В соответствии с приведенными выше формулами имеем
dP = (у dw — zdv) = da [(у2 -ф z3) cos а — ху cos р —
— zx cosр — со [(г/3 -ф z3) sin add — ху sin р dp —
— sinydY] -[-co2di [(у3—x2) cospcosY + xycos y cosa— — yz sin3 y — zx cos a cos p -ф zy sin3 P],
dQ = • • •, dR = ---
Теперь, интегрируя по объему тела, Эйлер находит уравнения
1
Р = — [Ada cosa—соЛ dasina -ф со3(С—В) dt cos 3cosрф
Q = ^-[Bdcocosp —coBdp sin р-ф со3 (А —С) dt cosy cos a],
R — [Cda cos y — aCdy sin y + a2[B — A) dt cos a cos P],
где А, В, C — центральные моменты инерции тела.
35
2*
Последние уравнения позволяют дать ответ на вопрос, обратный приведенному выше: заданы силы, действующие на тело, вращающееся вокруг оси, проведенной через его центр инерции, с угловой скоростью п>; найти, как за время dt изменятся положение оси вращения и угловая скорость тела.
Сначала Эйлер исходит непосредственно из уравнений (Ь). Так, с помощью линейной комбинации этих уравнений он находит
, (С — В) (Л — С) (В — A) „J. Q
«(о = -------TbA—------ со dt cos a cos p cos у +
, j, / P cos a . Q cos 8 , R cos 7 \
+ + + -ZT-)-
Ho дальше он обращает внимание на то, что уравнениям (Ь) можно придать значительно более простой вид, если перейти к величинам
р = cocos a, 7= cocos р, r= cocos у
— составляющим угловой скорости в системе центральных осей инерции. Так впервые появляются эйлеровы уравнения движения твердого тела вокруг точки
Р = A^ + (C-B)qr,
(с) +(4-С)гЛ
R = C^r + (B-A)pq.
Их автор подчеркивает значение своего открытия, указывая, что «итог всей Теории Движения твердых тел содержится в этих трех достаточно простых формулах». Вместе с тем выявляется потребность использовать подвижную систему координат, неподвижно связанную с телом,— систему его главных осей инерции.
Введение подвижного трехгранника было важным этапом как в развитии механики, так и в развитии геометрии. В связи с этим Эйлер ввел различные способы определения положения подвижной координатной системы относительно неподвижной, в частности названные его именем углы. В этих исследованиях Эйлера важное место занимают методы сферической тригонометрии, в которую он внес значительный вклад.
36
Самое важное применение уравнений (с), которое Эйлеру удалось продемонстрировать,— решение с их помощью задачи о вращении твердого тела вокруг точки; по инерции.
Заканчивая на этом краткий, далеко не полный обзор «Теории движения твердых тел», отметим несколько работ Эйлера, которые были основными предшественниками этого классического трактата. Это 1) уже неоднократно упоминавшаяся работа «Открытие нового принципа механики» (1750); 2) «Исследование о механическом познании тел» (1758; напечатано лишь в 1765 г. в XIV томе цитированных выше «Мемуаров» Берлинской академии наук); 3) «О вращательном движении твердых тел вокруг переменной оси» (опубликована в том же году и в том же томе, что и предыдущая работа; содержит полную теорию моментов инерции); 4) «Исследование о вращательном движении небесных тел» (1759; напечатано в тех.же «Мемуарах», т. XV, 1766); 5) «О движении произвольного твердого тела, когда оно вращается вокруг подвижной оси» (1760; напечатано в «Мемуарах», т. XVI, 1767). Все работы тесно связаны с исследованиями Эйлера по небесной механике, в частности с работами «Исследование о прецессии и о нутации земной оси» (1749) и «Замечание о суточном движении планет» (1758). Первая из них напечатана в 1751 г. (V том Берлинских «Мемуаров»), вторая — в 1765 г. (XIV том). В свою очередь, эти исследования, особенно работа о прецессии и о нутации земной оси, имеют связь с известными исследованиями Даламбера на ту же тему (1749) 41.
Подытожить свои гидродинамические исследования в форме трактата Эйлеру не удалось. По крайней мере не удалось издать такой трактат отдельной книгой, но фактически он его писал в форме четырех больших мемуаров, напечатанных в 17,68—1771 гг.42 В них рассмотрены соответственно гидростатика, гидродинамика, гидравлика, акустика. Это систематизированное и дополненное изложение предыдущих исследований Эйлера в соответствующих областях. Здесь более полно разработана ки-
11 Все эти работы Эйлера написаны по-французски.
2 Novi commentarii Acad. sc. Petrop., t. 13 (1768), p. 305—416; t. 14 (1769), p. 270-386; t. 15 (1770), p. 219-360; t. 16 (1771), p. 281— 425; Opera Omnia, ser. II, v. XIII.
37
нематика жидкостей, больше внимания и значения придается субстанциальным уравнениям движения, рассмотрено потенциальное движение сжатой жидкости, точно очерчено соотношение теории и практики в гидромеханике. Немало страниц этого первоклассного сочинения читаются сегодня так, как будто они написаны нашим современником. Именно поэтому современники Эйлера не имели возможности правильно оценить и использовать эту работу. О ней быстро забыли и почти не обращались к ней, хотя в 1806 г. гидравлик Брандес издал ее на немецком языке, тщательно отредактировав, с пояснениями, с новейшими цифровыми данными и т. д.
Исследование по механике системы материальных точек и теории упругости
Хотя Эйлер в большой программе исследований, начертанной в «Механике», недвусмысленно поставил своей целью последовательное изложение механики системы точек (и тел) и отдельно — изложение механики упругих тел, он за осуществление этого замысла даже и не брался. Это не значит, что он не занимался этими областями науки: на протяжении всей научной деятельности Эйлера мы находим у пего работы, связанные с двумя указанными разделами механики. Очевидно, по мысли ученого, здесь было еще слишком мало сделано, чтобы оказалось возможным систематизировать материал в форме трактата. И действительно, в системе механики чувствовалась недостаточная разработанность соответствующего математического аппарата — в основном в теории систем дифференциальных уравнений; в теории упругости ни Эйлеру, ни кому-либо другому из ученых XVIII в. не удалось преодолеть «недостаточность принципов» — вывести общие уравнения статики и динамики упругих сред. Этого пришлось ждать после смерти Эйлера еще почти полстолетия.
Для механики системы наибольшее значение имеют исследования Эйлера, посвященные задаче трех тел. В определенной мере они суммированы в работе 1763 г.43
43 L. Euler. Considerations sur le probleme des trois corps.— «Memoi-res Acad. sc. Berlin», v. 19 (1763), 1770.
38
Здесь дается обзор полученных к тому времени результатов, в частности выводятся все «классические» интегралы задачи. Необычайную аналитическую проницательность Эйлера еще раз подтверждает тот вывод, к которому оп приходит после попытки найти новые интегралы задачи: «Метод, которым я здесь воспользовался, чтобы найти такие комбинации основных уравнений, которые приводят к интегрированию равенств, представляется полностью исчерпанным; следовательно, нужно искать новые пути». Поэтому Эйлер применяет методику, к которой следует, по его мнению, обращаться в таких сложных задачах,— начинает с рассмотрения простейшего случая: прямолинейного движения трех тел, взаимно притягивающихся по закону Ньютона. Исследование прямолинейной задачи трех тел Эйлер продолжил в работе 1765 г., напечатанной в XI томе «Novi Comm. Acad. sc. Petrop.». Как указывает проф. М. Ф. Субботин, Эйлер, а не Якоби вводит в рассмотрение так называемую ограниченную задачу трех тел в работе «О различных родах движения, которые могут иметь место в спутниках планет» 44.
Одним из самых больших достижений Эйлера в механике вообще было решение задачи о движении точки под действием притяжения к двум центрам. Три работы Эйлера, относящиеся к 60-м годам XVIII столетия, трактуют эту задачу, правда, еще не совсем в общей постановке: рассматривается только плоское движение. Это ограничение устранил Лагранж в работе, которая непосредственно примыкает к упоминавшимся работам Эйлера. Ни Эйлер, ни Лагранж не имели в своем распоряжении аппарата эллиптических функций, с помощью которых впоследствии ученые смогли детально исследовать эту задачу.
Первая печатная работа Эйлера, имеющая отношение к теории упругости, появилась в 1740 г. Но ее результаты — только незначительная часть того «Дополнения I. Об упругих кривых» к знаменитому трактату Эйлера о вариационном исчислении, о котором мы уже упоминали. В истории теории упругости это «Дополнение» занимает почетное место.
Исходным в исследованиях, изложенных в «Дополнении», является утверждение Д. Бернулли, что для упру-
44 L. Euler. De variis motuum generibus qui in Satellitibus planetarum locum habere possunt.— «Acta Acad. sc. Petrop.» (pars I, 1780), 1783, p. 255-279.
39
гой кривой45 ^-^7 есть минимальный (этот интеграл определяет по терминологии Д. Бернулли и Эйлера vis ро-tentialis — потенциальную силу; ds — дифференциал дуги, R — радиус кривизны). Отсюда Эйлер с помощью своих методов получает дифференциальное уравнение кривой в декартовых координатах
j __ (а + З37 + Тж'2) dx
У V а4 — (а -|- [За? —}- р:2)2
ИЛИ
, а2 dx
ds =
У а4 — (а + 3® + уж2)2
(а, а, р, у — постоянные). Далее он анализирует, какие кривые отвечают этому дифференциальному уравнению, находит девять типов таких кривых, среди них — те, которые были раньше найдены Я. Бернулли. Отметим, что этот анализ Эйлера содержит для того времени немало нового математического материала.
Особый интерес представляет анализ Эйлером того случая, который отвечает по современной терминологии изгибу тонкого стержня с шарнирно закрепленными концами. Как и в других случаях, Эйлер исходит из нели-неаризованного дифференциального уравнения. Это уравнение является аналогом уравнения для конечных колебаний математического маятника — первый пример аналогии Кирхгофа. С помощью бесконечных рядов Эйлер доводит свои вычисления до конца. Между прочим, он получает такую зависимость между длиной стержня I, величиной приложенных к концам стержня равных между собой сил Р и максимальным прогибом (в середине стержня) f
/ х 7 , 1 1 \2 РР , /1 3\2/f2.P\2, "I
(а) l-я у (__) +...J
(в этой формуле жесткость стержня Е1 записана в современных обозначениях). К этой формуле мы еще вернемся.
45 Упругая кривая (этот термин Эйлер позаимствовал у Я. Бернулли) — ось тонкого упругого стержня в состоянии равновесия, К концам которого приложены изгибающие усилия.
40
Кроме того, Эйлер выводит дифференциальное Уравнение для поперечных колебаний стержня и рассматривает четыре типа колебаний соответственно таким краевым условиям: 1) оба конца свободны; 2) оба конца закреплены; 3) один конец свободен, другой — зажат; 4) оба конца зажаты. Это те четыре случая, которые..раньше проанализировал Д. Бернулли. Последний был очень обрадован тем, что Эйлер другим методом пришел к таким же результатам.
Чуть ли не через тридцать пять лет Эйлер дополнил свой анализ46. Во-первых, он рассмотрел еще два типа колебаний, которые отвечают краевым условиям: 5) один конец свободный, другой закреплен и 6) один конец закреплен, другой — зажат. Во-вторых, он детально разобрал те трансцендентные уравнения, из которых определяются периоды собственных колебаний.
Неоднократно возвращался Эйлер и к задаче о продольном прогибе стержней. В работе «О силе колонн» 47, напечатанной в 1759 г., он ставит задачу определить наименьшую силу, под действием которой изгибается вертикальная колонна, когда эта сила приложена к вершине параллельно оси колонны.
Здесь Эйлер линеаризует дифференциальное уравнение ——Pv = О (Е, I, Р, р имеют тот же смысл, что и выше, v означает прогиб в произвольной точке стержня с координатой х; ось х направлена по вертикали). Положив l/p^d2v/dxz, он приходит к хорошо известному теперь уравнению
ф) El + Pv = О,
которое он интегрирует при краевых условиях: у = 0 при х = 0 и при х = 1. Таким образом он получает' формулу для «эйлеровой критической силы»
П 2
Пцр — л .
46 L. Euler. De motu vibratorio laminarum elasticarum ubi plures novae...— «Novi Comm. Acad. sc. Petrop.», t. XVII (1772), 1773; In-vestigatio motuum quibus laminae...— «Acta Acad. sc. Petrop.», t. 3 (1779), 1782.—Opera Omnia, ser. II, sec. I, v. XI.
47 L. Euler. Sur la force des colonnes.— «Memories Acad. sc. Berlin», 1759, t. XIII.
41
Эйлер отмечает здесь тот парадоксальный вывод из линейной теории, будто бы критическая сила может вызывать прогиб любой величины. В действительности же, чтобы найти зависимость между прогибом и силой, когда Р^Ркр, необходимо обратиться к нелинейной теории, которая дает приведенную выше формулу (а). Если ввести
v Г) g Р
в эту формулу критическую силу Вкр= л ~^г'и ограничиться первыми двумя членами ряда, приходим к такой приближенной формуле:
Если уточнить этот результат с помощью (а), то следующим приближением будет
/ 2У'21/’7 7 G 19 / р Л \1
Формулу (у) независимо от результатов Эйлера получил Р. Мизес, исходя из упрощенного, но нелинейного варианта уравнения (р). Но когда С. П. Тимошенко использовал метод Мизеса, он нашел для следующего приближения
(подробно об этом — в содержательной статье Е. Л. Николаи о работах Эйлера по теории продольного изгиба) 48.
Работа «О силе колонн» заканчивается анализом случая, когда принимается во внимание еще и собственный вес колонны. Эйлер находит дифференциальное уравнение равновесия в виде
дх2 1 J “Е. о
где q — вес единицы длины колонны (стержня). Дифференцированием Эйлер приводит уравнение к виду
Elf-S+(P + qx)^- = 0.
axs 1 * ' dx
48 См.: Е. Л. Николаи. Труды по механике. М., Гостехиздат, 1955.
42
Когда спустя примерно двадцать лет в работе «Определение нагрузок, которые в состоянии выдержать колонны» («Acta Acad. sc. Petrop.» (1778, pars I), 1780) Эйлер применил это уравнение даже в упрощенном виде, полагая Р=0, он натолкнулся на трудности. Ему надо было удовлетворить таким краевым условиям:
ry d2v ry dPa «
v = 0, —- = 0, v = 0, = 0,
СК»2 ’ йж2
х = 0 ж = 0 х = 1 х ~ I,
интегрируя уравнение
X
Elf^AqAd^O. dx2 dE,
о
Он находит интеграл этого уравнения в виде бесконечного ряда, что удовлетворяет краевым условиям при ж = 0
v = А
Lj-xA-i-— ( X.V 4! EI 7! ( EI )
1-4-7
10!
х
Не обращая внимание на условие d^v/dx^ — Q при х=1, он хочет удовлетворить условие 1> = 0 при х = 1\ таким образом, I должна быть корнем уравнения
(8)
1 <7
4! EI
1~4'7 ? д.10 ,
10! Л7 '~
= 0.
х
Но здесь выясняется, что уравнение не имеет действительных корней.
Этот парадоксальный результат Эйлер проверяет в работе «Рассмотрение достопримечательного парадокса в теории колонн», напечатанной вместе с предыдущей. Его графическое исследование неприятного уравнения (s) только подтверждает, что оно не имеет действительных корней; его механические соображения показывают полную неприемлемость такого результата, так как из него вытекало бы, что колонна любой высоты — устойчива. Правильное решение Эйлер находит в третьей работе «О высоте колонн, изгибающихся от собственного веса» 49, которую он опубликовал в том же самом томе «Acta», где помещены две предыдущие. Здесь он указывает, что
49 L. Euler. De altitudine columnarum sub proprio pondere corruen-tium.— «Acta Acad. sc. Petrop.», t. 3 (1779), 1782,
43
«для правильного рассмотрения нашею вопроса начальное положение колонны... нужно принять не таким, как мы это раньше делали.. А именно, кроме влияния веса мы должны допустить существование приложенной к верхнему концу А колонны некоторой горизонтальной силы; она постоянно будет удерживать точку А на той же вертикальной прямой. Легко также понять, что нельзя определить величину этой силы прежде, чем будет доведено до конца все вычисление».
Исходя из такой постановки задачи, Эйлер нашел правильное уравнение
-J О
или
j-,'Tdsi>' dv nr
qx-r- = N, axs dx
где N означает величину наперед неизвестных горизонтальных реакций, которые должны быть приложены к концам колонны (стержня), чтобы эти концы остались на первоначальной вертикали. Эта дополнительная неизвестная N вместе с тремя произвольными постоянными общего интеграла дает возможность удовлетворить всем четырем краевым условиям. Теперь Эйлер блестяще доводит до конца решение задачи. Лишь арифметическая ошибка, которую исправил только в нашем столетии А. Н. Диц-ник, не позволила ему найти точное значение критической высоты.
К упомянутым работам нужно еще добавить исследование Эйлера, которое относится к теоретической акустике,— о колебании струн, мембран, пластин (в последнем случае Эйлеру не удалось получить правильные уравнения). Это отдельная и важная тема. Большое значение имели акустические работы Эйлера и для физики и для теории дифференциальных уравнений с частными производными.
Из нашего изложения, конечно, видно, сколь оно неполно и как трудно охватить все колоссальное наследие Эйлера в области механики. Но некоторые выводы мы имеем право сделать. И первый из них, который мы пытались выше обосновать: заслуги Эйлера в механике не оценены должным образом. Кое-что стало настолько оче
44
видным и общеупотребительным, что автором никто не интересовался. Другое же еще настолько опередило свою эпоху, что о нем успели забыть и потом снова открывали и связывали с новыми именами. Но теперь можно сказать (и это второй и последний вывод), что вклад Эйлера в механику эпохи, охватывающей примерно время от «Начал» Ньютона (1687) до «Аналитической механики» Лагранжа (1788), по меньшей мере равен созданному всеми остальными учеными этой эпохи вместе взятыми, а среди них такие, как Я. Бернулли, И. Бернулли, Клеро, Д. Бернулли, Даламбер!
О МЕХАНИКЕ ЛАГРАНЖА И О ЕГО «АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ»
Оригинальность «Аналитической механики» Жозефа Луи Лагранжа, первое издание которой появилось в 1788 г., в целом, а также значительность приведенных в ней результатов оценивали по-разному: восхвалению этого произведения в работах по истории механики XIX в. можно противопоставить критические отзывы К. Трусделла 50. Критика Трусделла относится не только к «Аналитической механике» Лагранжа, но и ко всей деятельности Лагранжа-механика. Так, в статье Трусделла мы читаем:
«В конце столетия (восемнадцатого.— И. П.) существовала удручающая тенденция обходить фундаментальные проблемы как в механике, так и в чистом анализе. Вопреки великой традиции, установленной Яковом Бернулли и Эйлером, этот формализм быстро развивался во французской школе и нашел свое выражение в «Аналитической механике». Многие неверные суждения историков и физиков о науке восемнадцатого столетия порождены нежеланием разглядеть за «Аналитической механикой» великий труд Эйлера и братьев Бернулли, о которых и не упоминают. Как следует из ее названия, «Аналитическая механика» не трактат по теоретической механике, а скорее монография об одном методе вывода дифференциальных уравнений движения, монография в основ-
50 С. Truesdell. A programm toward rediscovering the rational mechanics of the age of reason.— «Archive for history of exact sciences», 1960, v. 1, p. 3-36,
45