LV
СПЕЦИАЛЬНОСТЬ
"АРХИТЕКТУРА"
тов, Ю.Н,Орса
СБОРНИК ЗАДАЧ
И* ^ А ГТ Л ИХТуГТ\Т '•'•' ^
aJ/x/Д r\ 11 il И /
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
|ДИД_
.(■'
ЕОМЕТРИИ
<* ','
V
'A
.c
0
! л
.V
3
9
Jt
AS
Москва

ОГЛАВЛЕНИЕ
Раздел I. '
Ортогональные проекции '
Раздел п.
Тени в ортогональных проекциях 67
Раздел III.
Аксонометрия 107
Раздел IV.
Перспектива 120
Раздел V.
Проекции с числовыми отметками
Раздел VI.
Автоматизированное решение задач
начертательной геометрии 165
157
Y. J. Koroev, Y. V. Kotov, Y. N. Orsa
TASKS AND PROBLEMS OF DESCRIBTIVE
GEOMETRY. A MANUAL
CONTENTS
Part I.
Orthogonal projections 7
Part II. - H
Shades ,-thogonal projections 67
Part in'
AxonoJ
107
Part IV. ■
Perspt 120
Part V. ,
Numeri «marked projections 157
A
Part VI.
Automa Wtion of tasks in descciptive geometry 165

«Прежде всего необходимо, чтобы
учащийся овладел графической
техникой своего мастерства, то есть
всеми средствами изображения
и выражения своего замысла на
бумаге».
И. В. Жолтовский. Из книги
«Мастера архитектуры об
архитектуре»
Фч

СПЕЦИАЛЬНОСТЬ
"АРХИТЕКТУРА"
Редакционная коллегия:
B. В. АУРОВ (ОТВЕТСТВЕННЫЙ СЕКРЕТАРЬ)
П. Г. БУТА
C. В. ДЕМИДОВ
Ю. А. ДЫХОВИЧНЫЙ
С. Г. ЗМЕУЛ
В. А. КАСАТКИН
А. П. КУДРЯВЦЕВ (главный редактор)
И. Г. ЛЕЖАВА
Н. И. ОРЕХОВА
Ю. П. ПЛАТОНОВ
И. Е. РОЖИН
А. В. РЯБУШИН
А. В. СТЕПАНОВ (заместитель главного редактора)
Б. А. ЯГУПОВ
3. Н. ЯРГИНА

Ю.И.Короев,
Ю.В. Котов,
Ю.Н.Орса
СБОРНИК ЗАДАЧ
И ЗАДАНИЙ
ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ
ГЕОМЕТРИИ
Под редакцией
проф. КШ.Короева
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебного пособия
для студентов архитектурных
специальностей
высших учебных заведений
Москва Стройиздат 1989

■DDK 22.г5-ЬЗ—
К 68
УДК 514.18:72(076) (07J.8;
Рецензенты: д-р техн. наук, проф. Н. Н. Крылов (МИИТ),
канд. техн. наук Г. И. Константинов (МИИЗ)
Редактор И. В. Лунина
Короев Ю. И. и др.
К 68 Сборник задач и заданий по начертательной
геометрии: Учеб. пособие для вузов: Спец. «Архи-
тектура»/Ю. И. Короев, Ю. В. Котов, Ю. Н. Орса;
Под ред. Ю. И. Короева.— М.: Стройиздат,
1989.— 176 с: ил.
ISBN 5-274-00532-2
Сборник включает задачи и учебные задания по всем
разделам курса. Выделены задачи для самостоятельной работы
студентов. Особое внимание уделено кодированию исходных
геометрических данных для ввода их в ЭВМ и автоматизированному
решению задач на пересечение поверхностей и построению
перспективных изображений.
Для студентов архитектурных вузов и факультетов.
1602050000—466
К 79-89 ББК 22.15J.3
047(01)—89
Учебное издание
Короев Юрий Ильич, Котов Юрий Владимирович, Орса Юлий Николаевич
СБОРНИК ЗАДАЧ И ЗАДАНИЙ ПО НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Редакция литературы по градостроительству и архитектуре
Технический редактор Л. И. Шерстнева
Корректоры Н. А. Маликоеа, Г. Г. Мороэоеская
ИБ № 4236
Сдано в набор 11.10.88. Подписано в печать 11.07.89. Формат 70X100/16. Гарнитура «Тайме». Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 14,19. Усл. кр.-отт. 28,7. Уч.-изд. л. 15,55. Тираж 32000 экз. Изд. № А1 —1771. Заказ № 1641.
Цена 1 р. 20 к.— в пер. № 7, в обложке —85 к.
Стройиздат, 101442, Москва, Каляевская, 23а
Московская типография N» 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли. 129041, Москва, Б. Переяславская ул., 46.
ISBN 5-274-00532-2 © Стройиздат

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий сборник задач и
заданий — необходимое дополнение к
учебнику по курсу начертательной
геометрии1. Сборник имеет пять
разделов, соответствующих пяти разделам
программы курса. Для правильного
применения теоретических основ курса
в начале каждой главы даются краткие
теоретические пояснения и вопросы
для самопроверки, а также примеры
решения типовых задач. Обозначения
геометрических элементов приняты
такими же, как и в учебнике.
Некоторые задачи сопровождаются краткими
комментариями или указаниями.
Помимо этого в условиях ряда задач в
квадратных скобках даются ссылки на
соответствующие параграфы и рисунки
учебника.
Основная часть задач сборника,
имеющих сквозную нумерацию по всем
пяти разделам, служит для
самостоятельной подготовки. Часть из них
может быть решена на практических за-
1 Короев Ю. И- Начертательная
геометрия — М.: Стройиздат, 1987.
нятиях с помощью преподавателя или
использована для домашней работы.
Задачи повышенной трудности
отмечены звездочкой.
В конце каждого раздела и
некоторых глав приведены комплексные
учебные задания для выполнения эпюр —
самостоятельных учебных работ,
включающих различные приемы и способы
решения задач, относящихся к данной
теме курса. Эти задания представлены
в различных вариантах с тем, чтобы
обеспечить возможность выбора и
учесть индивидуальную подготовку
студентов.
При составлении настоящего
сборника были использованы
учебно-методические материалы Московского
архитектурного института, а также
некоторые сборники задач и учебники,
приведенные в списке литературы и,
прежде всего, сборник задач А. Г. Климу-
хина [3].
Разделы I, III и V написаны и
составлены Ю. И. Короевым, разделы
II и IV — Ю. Н. Орса, раздел VI —
Ю. В. Котовым.

ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
Прежде чем приступить к
решению той или иной геометрической
задачи, надо понять ее условие,
вспомнить содержание соответствующей
темы курса по записям лекций и
учебнику (в сборнике даны ссылки на
параграфы и рисунки учебника) и
ответить на вопросы для самопроверки,
затем просмотреть примеры решения
задач этого типа, которые даны в
начале данного раздела.или главы. При
этом следует помнить следующее:
как в центральной проекции
(перспективе), так и в параллельной
проекции (аксонометрии), а также при
ортогональном проецировании не одна, а
обязательно две проекции точки и
любой другой геометрической фигуры
определяют ее положение в
пространстве;
нельзя приступать к решению
задачи на чертеже, не уяснив себе
пространственного расположения и формы
исходных элементов и тех
последовательных пространственных
операций, которые надо при этом
выполнить;
необходимо четко представить себе
план и графическую схему решения.
При решении задач следует делать
буквенные или цифровые обозначения
точек не только заданных
геометрических элементов, но и построенных
точек и вспомогательных элементов
построений. При разборе^условий задачи
и составлении плана решения полезно
использовать моделирование заданных
геометрических форм и их сочетаний.
Большую помощь оказывают зарисовки
геометрических форм от руки в
наглядном изображении (в аксонометрии).
При этом следует сначала изобразить
вторичные проекции точек и фигур,
а затем по этим проекциям
воспроизвести в рисунке
объемно-пространственную форму.
Условия задач, приведенные в
сборнике, следует вычерчивать с
увеличением масштаба, как правило,
в два — три раза, но с точным
сохранением пропорций фигур и
взаиморасположения заданных геометрических
элементов. Переносить графические
условия следует с помощью
измерителя, ориентируя размеры
относительно вертикальных и
горизонтальных линий, проводимых с помощью
линейки и угольников.
На чертеже должны быть
сохранены вспомогательные линии построений
и обозначения опорных точек
геометрических операций. Вспомогательные
построения рекомендуется выполнять
твердым карандашом (Т, 2Т), а
основные линии контура фигур — более
мягким (Т, ТМ). Линии видимого
контура объекта обводятся затем
сплошной линией, примерно в четыре
раза толще линий построения. Линии
невидимого контура (штриховые) в два
раза толще линий построения. Если
на эпюре строятся тени, то они
покрываются слабым раствором туши или
слегка затеняются карандашом (не
штриховкой), при этом падающие тени
должны быть темнее собственных.
Эпюры рекомендуется выполнять на
листах формата A3 (297X420 мм).
На листе следует нанести рамку
тонкими линиями, отстоящими от краев
формата листа на расстоянии 5 мм.
В правом нижнем углу листа
выполняется надпись (курс, группа и
фамилия студента).

Раздел I. {&)Uffl:
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ
Ф
1
//
А*
V.
Ч&'
р h\M 4?л**
/f^a/jv Задачи / первого / раздела курса-) 7. Сформулируйте условия парал-
лежат в осноэе решения большинства лельности и перпендикулярности пря-
задач последующих разделов — па- мой линии и плоскости.
устроения теней ,в ортогональных про- 8. Как на эпюре определить рас-
екциях, решение задач в ак^озометрии J, стояние от точки до плоскости?
и перспективе, а та*
в проекциях
<-.\
с числовыми отметкАШ-Оедбм^врин'^ Построен
мание следуе^^делитьТрешейию^пбзй^!! недостаю!
ционных задач, связанных/^взаимным *jU-W
пересечением геометрт^Ыих
;сечением геометрт№ски
— плостсостейай) многогр
элемен-
и
ие вторых
недостающих проекций
плоской фигуры
иы
,. Построение вторых недостаю-
на-^щих проекций фигуры выполняется с
тов — плоскостей^ многогранны
кривых поверхностей. На оснс^М „„„-^- щ,,л ..^«ч,,,, ,,,„,„,- , ~
^уюгичных nocTpoeiimi выполняется гео- помощью вспомогательных прямых, пе-
ig метрическое конструирование^ различ- ресекающих фигуру, или с использо-
||\ных архитектурных форм.**Я1 7 ^ ванием линий уровня, принадлежащих
плоскости [5, § 6, рис. 20].
/. Точка, прямая %($.
Линия U ПЛОСКОСТЬ -=.,
-ffc
о
Вопросы для самопроверки^
1. Какие прямые называются
прямыми уровнями, проецирующими
прямыми линиями?^
2. Что называют следами прямой
линии и плоскости? #ф
3. Как изображаются^ на эпюре
пересекающиеся)
скрещивающиес
Примеры решения задач
1. Построить фронтальную
проекцию пятиугольника ABCDE (рис. 1).
Решение. Проводим в плоскости
пятиугольника диагональ BE, а затем
строим фронтальную проекцию с' с
помощью диагонали АС и точку
пересечения /. Аналогичным образом
строим фронтальную проекцию точки d'
ijbft параллельные , и. . с помощью диагонали AD и точки
упрямыеПлини лересечения 2.
4. Сформулируйте правило про- 2. Построить горизонтальную
проецирования прямого угла без иска- екцию треугольника ABC, принадлежа-
жения.
5. Укажите последовательность
решения задачи на определение точки
пересечения прямой с плоскостью и
определения видимости ее участков,
разделенных точкой пересечения.
6. Укажите последовательность
геометрических построений для
определения линии пересечения плоскостей.
щего плоскости Р (рис. 2).
Решение. Проводим через вершины
треугольника ABC фронтальные
проекции горизонталей, а затем с помощью
линий связи на горизонтальных
проекциях определяем искомые проекции
вершин горизонтальной проекции
треугольника.

8 Ортогональные проекции
d a
Задачи
3. Построить горизонтальную
проекцию прямой EF, принадлежащей
плоскости ABC.
4. Найти горизонтальные проекции
точек М и N, принадлежащих
плоскости ABC.
5. Построить параллелограмм,
диагональю которого служил бы отрезок
АВ, а вершиной — точка С.
6. Построить равнобедренный
треугольник с основанием на прямой АВ и
вершиной на прямой CD.
7. Построить фронтальную
проекцию плоской фигуры, если точка В
принадлежит плоскости проекций Н.
8. Определить видимость
скрещивающихся прямых — ребер
четырехгранника.
Px/f
^
V
/\.
^\
\\ >^\ьз
\\а/\ \
p\hi 2
9. Построить горизонтальную
проекцию фигуры /—//—///—IV,
принадлежащей плоскости треугольника ABC
10. Построить горизонтальную
проекцию горизонтали ЕН плоскости Р<
заданной следом Р„ и точкой А.

/. Точка, прямая тния и плоскость
о
Взаимное положение двух
плоскостей [5, § 7]
с помощью проведения
вспомогательных плоскостей уровня или
проецирующих плоскостей (см. пример 11).
Линия пересечения двух плоско- Если плоскости заданы следами, то об-
стей определяется построением двух щими точками являются точки пересе-
общих точек для заданных плоскостей чения одноименных следов (пример 13).

10 Ортогональные
проекции
Ъ'
а^_ 4 р.— ^Ч. с.
Ъ
9
<
Рх
а'
>
1
3
10
Примеры решения задач
11. Построить линию
пересечения плоскостей, заданных двумя
параллельными и двумя
пересекающимися прямыми (рис. 11).
Решение. С помощью
вспомогательной горизонтальной плоскости R
найдена точка К как пересечение
горизонталей /—2 и 3—4. Аналогичным
образом с помощью плоскости S
определена вторая точка N линии
пересечения плоскостей.
12. Построить линию пересечения
плоскостей, заданных треугольником и
четырехугольником, определить их
взаимную видимость (рис. 12).
Решение. Линию пересечения
определим по двум точкам К и N,
которые найдем с помощью вспомогатель-

/. Точка, прямая линия и плоскость 1 I
ных горизонтально проецирующих
плоскостей S ш Т, проведенных через
стороны АС и ВС треугольника.
13. Построить линию пересечения
плоскостей Р и Q, заданных следами
(рис. 13).
Решение. Точки пересечения
одноименных следов, общие для двух
плоскостей. Если эти точки находятся за
пределами поля чертежа, построение
линии пересечения выполняют с
помощью вспомогательных плоскостей
уровня (см. пример 11).
Задачи
14. Определить, параллельны ли
данные плоскости ABC и FNH.
15. Задать двумя пересекающимися
прямыми плоскость, проходящую
через точку А и параллельную
плоскости Р.
16. Построить линию пересечения
плоскостей ABC и 1—2—3, определить
их взаимную видимость.
17. 18. Построить линию
пересечения плоскостей Р и Q, заданных
следами.
19, 20. Построить линию
пересечения двух плоских фигур, определить
взаимную видимость.
Взаимное положение прямой
и плоскости [5, § 8]
Возможны три случая
относительного положения прямой и
плоскости: прямая принадлежит плоскости,
параллельна ей или пересекает
плоскость. Задача на пересечение прямой
с плоскостью — одна из основных в

] 2 Ортогональные проекции
о /
1 рн
а
15
■
начертательной геометрии (пример 21).
При этом можно выделить частный
случай, когда прямая перпендикулярна
плоскости (пример 22).
Примеры решения задач
21, 22. Найти точку
пересечения прямой АВ с плоскостью,
заданной треугольником (рис. 21) и
следами (рис. 22).
Решение. Через прямую следует
провести вспомогательную
проецирующую плоскость S и построить
линию ее пересечения с заданной
плоскостью. Точка пересечения прямой АВ с
линией пересечения плоскостей и будет

/. Точка, прямом линия и плоскость
искомой. Видимость прямой .относи- Решение. Проекции прямой, пер-
тельно плоскости треугольника опре- пендикулярной к плоскости, заданной
деляем при помощи конкурирующих треугольником, проводим перпенди-
(совпадающих) проекций точек прямой кулярно соответствующим проекциям
и плоскости [5, § 4, рис. 14]. горизонтали bh и фронтали c'f. Про-
23, 24. Из заданной точки А про- екции перпендикуляра к плоскости,
вести прямую, перпендикулярную пло- заданной следами, проводим перпен-
скости, заданной треугольником (рис. дикулярно одноименным следам плос-
23) и следами (рис. 24). кости.

Ортогональные проекции
а'
/ к;
Sh V
а
f
Sv
S4
/ь
к
н 22
Задачи ^рис' 25^' а в ДРУГ0М — ДВУ1**
параллельными прямыми (рис. 26). В пер-
25, 26. Найти точку пересече- вой задаче следует определить види-
ния прямой АВ с плоскостью, задан- мость прямой относительно плоскости
ной в одном случае треугольником треугольника.

/. Точка, прямая линия и плоскость 15
2'
^
а
i
ъ'
з'
3
25
2*
1'
*^ а*1 "\^ 4'
1
3
1
3
2
b
26
2'
2
a's
с
Ъ
а
' " '—^-i3'
I
i
3
27
а'
\ а
PV
ь'
>
= b
Рн\
28
27. Найти точку пересечения фрон- горизонтально проецирующей прямой
тально проецирующей прямой АВ с АВ с плоскостью Р.
плоскостью, заданной пересекающи- 29, 30. Опустить перпендикуляр из
мися прямыми 1—2 и 2—3. точки А на плоскость BCD и найти
28. Построить точку пересечения его основание.

] 6 Ортогональные проекции
2. Способы
преобразования проекций
Способы преобразования
проекций (замена плоскостей проекций,
вращение и совмещение)
предназначены главным образом для решения
метрических задач, связанных с
определением действительной величины и
формы геометрических фигур. При
этом решение задач сводится к
преобразованию данных геометрических
фигур так, чтобы интересующие нас
параметры фигур проецировались в
истинную величину [5, §9, рис. 34].
Вместе с тем эти способы, включая
вспомогательное проецирование,
применяются для решения позиционных
задач на пересечение геометрических
фигур.
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит принцип
преобразования проекций эпюра способом
замены плоскостей проекций?
2. С помощью какого
геометрического элемента можно преобразовать
плоскость общего положения в
частное?
3. Укажите последовательность
графических построений при определении
истинных размеров и формы плоской
фигуры способом замены
плоскостей проекций.
4. В чем состоит принцип
преобразования проекций эпюра способом
вращения вокруг проецирующих
прямых и прямых уровня?
5. Можно ли считать
плоскопараллельное перемещение вращением
вокруг невыявленных осей?
6. В чем состоит принцип
косоугольного вспомогательного
проецирования?
Примеры решения задач
31. Вращением вокруг осей
перпендикулярных к плоскостям
проекций привести отрезок АВ в частное
положение — сначала преобразовать

2 Способы преобразован ил проекций 1 '

Ортоюнальные проекции
его в прямую уровня, определив
действительную величину отрезка, а
затем — в проецирующую прямую
(рис. 31).
Решение. Следует сначала
повернуть отрезок в положение,
параллельное плоскости проекций, а затем
вращением вокруг другой оси — в
положение, перпендикулярное плоскости
проекций [5, § 11, рис. 39].
32. Способом замены плоскостей
проекций определить действительную
величину треугольника ABC (рис. 32).
Решение. Необходимо выполнить
два последовательных преобразования.
Сначала с помощью горизонтали hb,
-~1{V преобразовать плоскость
треугольника в проецирующую, а затем — в
плоскость уровня, расположив новую
плоскость проекций параллельно
треугольнику [5, § 10, рис. 36]. В новой
системе откладывают координаты
точек, взятые из предыдущей системы
плоскостей проекций.
33. Определить действительную
величину треугольника ABC вращением
вокруг линии уровня (рис. 33).
Решение. Эту задачу можно решить
одним преобразованием. При вращении
плоскости треугольника вокруг
горизонтали в тот момент, когда плоскость
треугольника окажется параллельной
плоскости Я, радиус вращения
вершины В будет проецироваться в истинную
величину, которую определяем
способом прямоугольного треугольника [5,
§ 11, рис. 41]. Остальные построения
понятны из чертежа.
34. Определить с помощью
вспомогательного косоугольного
проецирования точку пересечения прямой 1—2
с плоскостью треугольника ABC
(рис. 34).
Решение. Выбираем направление
вспомогательного проецирования
параллельно стороне ВС треугольника.
На плоскость Я треугольник
проецируется в прямую а, Ъ=е', а отрезок
36

2. Способы преобразования проекций
1—2 в прямую 7—2. Точку пересече- Задачи
ния к этих прямых проецируем в
обратном направлении на исходные 35. Вращением вокруг фронталь-
проекции прямой. Определяем види- но проецирующей оси определить дей-
мость участков прямой [5, § 12, ствительную величину треугольника.
рис. 43]. 36. Повернуть плоскость треуголь-
^
г<
а'
х —
>
1
ч
а ь
с'
^л
\
^<
~
V
с
V
л
1
i-
•
37
ъ'.
/
<f^\
Л'У*
^ \
^
1
Хъ
■-yv
а
2'
^
с'
^2
с
38
'Z/
х '
а
с
>Ъ
d
39
(* с'
V
а
с
>|Ъ'
' d'
2 1
1ъ
1 1
— d
40

20 Ортогональные проекции
ника вокруг фронтали до положения
плоскости уровня.
37. Способом замены плоскости
проекций V определить расстояние
от точки А до плоскости BCD.
38. Способом замены плоскости
проекций V определить взаимное
положение прямой и плоскости,
преобразовав плоскость треугольника в
проецирующую.
39. Способом замены плоскостей
проекций определить расстояние
между параллельными прямыми АВ и CD.
40. Косоугольным проецированием
на плоскость проекций Н построить
точку пересечения прямой 7—2 с
плоскостью, заданной параллельными
прямыми [5, § 12, рис. 43].
3. Многогранники
Вопросы для самопроверки
1. Когда призма называется
прямой? наклонной?
2. Какие многогранники называют
правильными?
3. Назовите правильные
многогранники.
4. Какие правильные выпуклые
многогранники называются взаимно
соответствующими?
5. Как формулируется теорема
Эйлера?
6. Как определить на эпюре
видимость ребер многогранника?
7. Что представляет собой сечение
многогранника плоскостью?
8. Как определить точки
пересечения многогранника плоскостью?
9. Что представляет собой линия
пересечения двух многогранников?
10. Назовите три условия, которые
необходимо выполнить при построении
пересечения скатов кровли на эпюре.
41, 42. Построить линию
пересечения треугольной призмы
плоскостью ABC (рис. 41, 42).
Решение. Рассмотрим два способа
решения задачи.
Так как боковые ребра призмы
горизонтально проецирующие, то
горизонтальные проекции вершин сечения
совпадают с самими проекциями
ребер. Фронтальные проекции вершин
определяются из условия их
принадлежности секущей плоскости (см.
рис. 41).
Фронтальные проекции вершин
сечения могут быть определены также с
помощью фронталей или любых
других прямых, принадлежащих секущей
плоскости, проведенных через
горизонтальные проекции вершин (см.
рис. 42).
43. Найти точки пересечения пря-
иой АВ с поверхностью треугольной
пирамиды (рис. 43).
Решение. Заключаем прямую АВ
в горизонтально проецирующую
плоскость Р, которая пересечет поверхность
пирамиды по четырехугольнику. В
пересечении контура сечения с
фронтальной проекцией а'Ь' прямой
определяем искомые точки /' и 2'.
Горизонтальные проекции точек находим в
проекционной связи.
44. Построить линию пересечения
треугольной пирамиды SABC с
треугольной прямой призмой (рис. 44).
Решение. Боковые грани призмы
горизонтально проецирующие, поэтому
горизонтальные проекции точек /, 2 и
J пересечения ребер пирамиды с
гранями призмы известны. Фронтальные
проекции этих точек определяем в
проекционной связи. Фронтальные
проекции 3' и 4' точек пересечения
вертикального ребра призмы с гранями
пирамиды находим с помощью прямых
SM и SN, принадлежащих граням
пирамиды.
и) Изображение
многогранников
45. Определить видимость ребер
Примеры решения задач Задачи

3 Многогранники ь 1
41
43

Ортогональные проекции
призмы и построить горизонтальную
проекцию точки К.
46. Построить изображение
параллелепипеда, заданного тремя
своими ребрами. Определить видимость
ребер.
47. Способом замены плоскостей
проекций построить новую проекцию
куба по направлению его диагонали.
48. Способом замены плоскости
проекций построить новую проекцию
октаэдра на плоскости, параллельной
одной из граней (ось jct). Определить
видимость ребер. Построить проекцию
октаэдра на плоскости проекций,
перпендикулярной к ранее
построенной (ОСЬ Х2>.
б) Пересечение многогранника
плоскостью и прямой линией
49. Построить пересечение призмы
плоскостью ABC.
50. Построить пересечение прямой
призмы плоскостью Р, заданной
следами.
51. Построить сечение пирамиды
плоскостью ABC.
52*. Способом замены плоскости
проекций построить сечение октаэдра
плоскостью [5, § 16, рис. 54].

.{, Многогранники
23

24 Ортогональные проекции
Б7
/
58

J. Многогранники
2л

26 Ортогональные проекции
53*. Построить сечение призмы
плоскостью, заданной
пересекающимися прямыми.
54. Найти точки пересечения
прямой АВ с поверхностью
четырехгранника, определить видимость участков
прямой.
55. Построить точки пересечения
прямой линии с поверхностью призмы.
в) Взаимное пересечение
многогранников
56. Построить линии пересечения
двух призм.
57. Определить линии пересечения
пятиугольной пирамиды с
параллелепипедом.
58. Построить пересечение скатов
кровли.
59*. Построить линию пересечения
двух призм.
60, 61*. Построить пересечение
скатов кровли на плане, а затем на
фасаде при одинаковом угле наклона
скатов, в одном примере 30°, а во
втором — 45° [5, § 18, рис. 60, 61].
62*. Построить линию пересечения
двух пирамид [5, § 17, рис. 57].
4. Кривые линии
и поверхности
Изображение кривых линий
и поверхностей,
Вопросы для самопроверки.
1. Каковы способы задания
кривой линии?
2. Какие кривые называют
кривыми линиями 2-го порядка?
3. Назовите некоторые
замечательные плоские кривые линии.
4. Что называют сопутствующим
трехгранником пространственной
кривой линии?
5. Какие пространственные кривые
называют гелисами? Назовите
некоторые из них.
6. Укажите основные способы
задания поверхностей.
7. Что такое определитель
поверхности?
8. Как образуются и задаются на
эпюре поверхности вращения,
винтовые, с плоскостью параллелизма?
9. Какие поверхности вращения
называют поверхностями 2-го порядка?
" 10. Перечислите основные свойства

4. Кривые линии и поверхности
27
однополостного гиперболоида
вращения.
11. Перечислите поверхности с
плоскостью параллелизма. Укажите
примеры практического применения
этих поверхностей.
Примеры решения задач
63. Построить наклонный
геликоид, у которого образующая o's'
пересекает ось геликоида под
постоянным углом ф и параллельна
направляющему конусу с вершиной S
(рис. 63).
Решение. Разделим горизонтальную
проекцию m цилиндрической
винтовой линии (направляющей), а также
величину шага р на 12 равных частей
и построим в проекционной связи
фронтальную проекцию
цилиндрической винтовой линии (синусоиду).
Затем построим все 12 положений
образующей /' так, чтобы она была
параллельна соответствующим
образующим направляющего конуса.
Изобразим очерк поверхности наклонного
геликоида между Г и 3', а также 7'
и 9' положениями образующей.
64. Нанести каркас образующих
поверхности гиперболического
параболоида, заданного направляющими
АВ и CD и фронтальной плоскостью
параллелизма. Построить фронтальную
проекцию точки М (рис. 64).
Решение. Разделим проекции
направляющих на 4 (8) равные части и
построим проекции образующих
параллельно фронтальной плоскости
проекций. Проведем горизонтальную
проекцию кривой с—m—е,
принадлежащей поверхности, а затем в
проекционной связи — ее фронтальную
проекцию, на которой найдем искомую
проекцию тп' точки.
Задачи
65. Построить проекции каркаса
поверхности прямого открытого
геликоида, заданного начальным
положением образующей линии — отрезком
АВ, шагом р и направлением
вращения (указано стрелкой). Концы
отрезка — точки А и В, а также ближайшая
к оси точка С описывают три
цилиндрические винтовые линии. Изобразить их
на эпюре, траекторию точки С —
штриховой линией.
66. Построить горизонтальную
проекцию линии АВ, лежащей на
поверхности сферы.
67. Построить проекции
однополостного гиперболоида вращения,
заданного образующей ab, а'Ь' и осью
и'.
68—72. Нанести каркас
образующих и построить проекции
поверхностей, заданных определителями;
построить вторые проекции точек,
принадлежащих этим поверхностям:
68— цилиндрической;
69— конической с вершиной s;
70 — цилиндроида;
71 — коноида;
72 — гиперболического
параболоида.

28 Ортогональные проекции
а.
2'-
1'-
=.' с1_
aTSw I )
1 \ l^4
\Ж
ХЪ
'ъ'
Jf
4
3
6
5
65
а'
г
Г\
1
ъ
с'
1
ъ
\
\ S
68

4. Кривые lunuu и norwpxHOi ти 2*-)
1"
а'с
)
*
1
S'c
s
.
)
(
ba
^уj
7
>
69
1'
К3'
^ччч^
2'
>^2
а1
ъ'
0
'з
^Ss»^4
Ри
У^ *
70
X
2' ^^
v / Y
/ с
1'
1
У^ (
^1
2
1
) /
'з'
\Р*
У^А
1 "71
1'/
I
1\
2'
/
а'
о
I
\
\
\
\
3
\
\ ъ \
2^
4'
4
72

30 Ортогональные проекции
5. Пересечение
кривой поверхности
плоскостью
и прямой линией
Вопросы для самопроверки
1. Какова общая схема
определения точек линии пересечения
поверхности плоскостью?
2. Какие точки линии пересечения
поверхности вращения плоскостью
называют опорными, экстремальными?
3. Как определить наивысшую и
низшую точки сечения?
4. При каких условиях в сечении
поверхности конуса вращения
плоскостью получаются окружность, эллипс,
парабола, гипербола?
5. Какова последовательность
построений при определении точек
пересечения прямой с поверхностью?
6. Как следует выбирать
вспомогательную плоскость для построения
точек пересечения прямой с
поверхностью?
Примеры решения задач
73. Построить линию
пересечения сферы плоскостью (рис. 73).
Решение. Сначала построим
опорные точки /, 2; Г, 2' — точки
видимости с помощью горизонтальной
плоскости Р. Проведем фронтальную
плоскость Q и определим точки
видимости 3' и 4' на плоскости V. Для
определения высшей и низшей точек
проведем через вертикальную ось
сферы горизонтально проецирующую
плоскость SH по линии наибольшего
наклона плоскости. Она пересечет ось
сферы в точке m, т'. Повернем
прямую наибольшего уклона md вокруг
оси / до фронтального положения
m'd\, при этом точка т, т' на оси
будет неподвижной. Прямая d\m' в
пересечении с главным меридианом
определит экстремальные точки в
повернутом положении. После обратного
поворота получим высшую 5, 5' и низшую
б, 6' точки. Построение случайных
точек выполняется при помощи горизон-
тальных вспомогательных плоскостей,
например Ту. Следует также восполь-
зоваться определением симметричных
точек сечения.
74. Построить точки пересечения
прямой АВ с поверхностью вращения
(рис. 74).
Решение. Задача решается
аналогично построению прямой с
плоскостью. Через прямую проведена
горизонтально проецирующая плоскость
SH. Три точки линии сечения
определяются на горизонтальной проекции в
пересечении проекции прямой с
окружностью основания и с проекцией
главного меридиана (точка к). Вторые
проекции этих точек находим в
проекционной связи. Линию пересечения
определяем при помощи параллелей
поверхности. Высшая точка п, п' кривой
сечения определена вращением точки
п вокруг оси поверхности до
фронтального положения (точка п\) и затем
обратным поворотом (п\-+п').
75. Найти точки пересечения
поверхности цилиндра прямой линией
АВ (рис. 75).
Решение. Через прямую проведем
вспомогательную плоскость так, чтобы
она пересекла поверхность цилиндра
по прямым линиям — образующим [5,
§ 31, рис. 129]. Эта плоскость
определяется прямой АВ и пересекающей
ее прямой АМи параллельной
образующим цилиндра. Построим
горизонтальные следы прямой AM и прямой
АВ — т i, т\ и т, т'. Через эти следы
проведем горизонтальный след Sh
плоскости, а затем образующие 1 и 2
цилиндра. В пересечении с прямой
получим горизонтальные проекции с и
d искомых точек, а затем —
фронтальные с', d' проекции.

5. Пересечение кривой поверхности плоскостью
31
Задачи
Пересечение поверхности
плоскостью
76—79. Построить линию
пересечения плоскости с поверхностями:
76 — наклонного цилиндра;
77 — гиперболического
параболоида;
78, 79 — поверхностей вращения.
80. Определить сечение тора
фронтально проецирующей плоскостью,
проходящей через центр тора и
касающейся его в точках /, /' и 2, 2'.
Построить действительный вид сечения
способом замены плоскости проекций
Н (ось jci).
81. Способом замены плоскости
проекций V построить сечение конуса
вращения по параболе плоскостью Р,
заданной ее горизонтальным следом
[5, § 30, рис. 122].

32 Ортогональные проекции
Sh/
f /"
I
\
, \
\ >» _
^ v
i Л
i/ 1
[ytf I
78
Пересечение поверхности
прямой линией
82—87. Построить точки
пересечения прямой линии с поверхностями:
82 — однополостного гиперболоида
вращения;
83— коноида с направляющими
/—2—3 и 4—5 и горизонтальной
плоскостью параллелизма;
84 — наклонного конуса;
85 — гиперболического
параболоида с плоскостью параллелизма Р;
86 — эллиптического цилиндра [5,
§ 31, рис. 129].
87 — открытого тора — вращением
прямой АС.
6. Взаимное пересечение
поверхностей
Вопросил для самопроверки
1. К чему сводится задача на
пересечение кривой поверхности с
многогранником?
2. Что представляет собой линия

6. Взаимное пересечение поверхностей
33
пересечения двух кривых
поверхностей?
3. Назовите основные способы
построения линии пересечения
поверхностей.
4. Чем следует руководствоваться
при выборе вспомогательных
плоскостей для построения линии
пересечения поверхностей?
5. При наличии каких условий
можно применить для построения линии
пересечения кривых поверхностей
сферические посредники?
6. Какие точки линии пересечения
называют главными, опорными?
Примеры решения задач
88. Построить линию
пересечения поверхностей призмы и
конуса (рис. 88).
Решение. В данном примере
горизонтальная проекция линии
пересечения конуса боковыми гранями призмы
известна. Фронтальные проекции точек
/, 2, 3, а также точек видимости — е'
2 з«».
1641

34 Ортогональные проекции

6. Взаимное пересечение поверхностей
35
и к' определяем в проекционной связи.
Наивысшие точки сечений (вершины
гипербол) определяем с помощью
вращения отрезков on и от во
фронтальное положение (п\ и гп\). Верхнее
основание призмы пересекает конус
по окружности.
89. Построить линию пересечения
проецирующего цилиндра с открытым
тором (рис. 89).
Решение. Горизонтальная
проекция линии пересечения совпадает с
боковой проецирующей поверхностью
цилиндра. Фронтальная ее проекция
определяется в проекционной связи
по точкам. Прежде всего с помощью
параллелей тора находим опорные
точки линии пересечения — точки
очерковых образующих поверхностей —/, V
и 2,2' — цилиндра, 3, 3' и 4, 4' — тора,
а также точки 5, 5' и к, к' и
симметричные им точки.
90. Построить линию пересечения
сферы и поверхности вращения, ось
которой находится в одной
фронтальной плоскости с центром сферы
(рис. 90).
Решение. Концентрические сферы
можно описать из любой точки оси
поверхности вращения. Они пересекут
данные поверхности по окружностям.
Так, вспомогательная сфера радиуса
R пересечет поверхность вращения по
окружности /'—2', а сферу по
окружности 3'—4'. Точки N и N\
пересечения этих окружностей и будут
точками линии пересечения.
91. Определить линию пересечения
двух конусов вращения, описанных
около сферы; оси поверхностей
пересекаются в точке О и параллельны
плоскости V (рис. 91).
Решение. Конусы касаются сферы
по окружностям /—2 и 3—4. Найдем
точку Е, принадлежащую линии
пересечения с помощью вспомогательной
сферы большего радиуса. Соединяем
прямыми точки пересечения
очерковых образующих. Линия пересе-
2*

Ортогональные проекции

6. Взаимное пересечение поверхностей

38 Ортогональные проекции
чения двух конусов представляет
собой две плоские кривые — эллипс и
параболу.
Задачи
92. Построить линию
пересечения поверхностей призмы и сферы.
93. Определить линию пересечения
треугольной пирамиды и цилиндра
вращения.
94. Определить линию
пересечения цилиндра и призмы.
95. Построить линию пересечения
призмы и сферы.
Взаимное пересечение
кривых поверхностей
96. Построить линию
пересечения поверхностей цилиндра и сферы.
97. Нанести каркас образующих
гиперболического параболоида с
плоскостями параллелизма 5 и Г и
определить линию пересечения его
поверхности с вертикальным круговым
цилиндром.
98. Построить линию пересечения
поверхности вращения с цилиндром
(сквозное отверстие).
99—101*. Построить пересечение
цилиндра и конуса.

6. Взаимное пересечение поверхностей
39
/
.-— —ч
z_.A-
0 /
• 1
L
L
98
L
\A
\i
/
0
s"
\
\
s \
\
99

40 Ортогональные проекции
102
Частные случаи пересечения
поверхностей
102. Построить пересечение
двух конусов вращения, оси которых
пересекаются и параллельны
фронтальной плоскости проекций [5, § 34,
рис. 140].
103. Построить проекции линии
пересечения конуса вращения и тора,
оси которых пересекаются и
параллельны плоскости V.
7. Развертывание
поверхностей
Вопросы для самопроверки
1. Что называется разверткой
поверхности?
2. Что такое приближенная и
условная развертки?
3. Укажите способы построения
развертки многогранника, цилиндра,
конуса, сферы [5, § 36, рис. 148—151].
Задачи
104. Построить полную развертку
усеченной призмы.
105. Построить развертку боковой
поверхности усеченного прямого
кругового цилиндра.

8. Построение очертаний поверхностей и т. д.
41
106. Построить развертку боковой
поверхности усеченного конуса \5
§ 36, рис. 150].
107*. Построить развертку одной
четверти неполной сферы, нанести на
проекциях радиально-кольцевую сеть
линий [5, § 36, рис. 151].
8. Построение
очертаний
поверхностей
и плоскостей,
касательных
к поверхностям
Вопросы для самопроверки
1. Какую плоскость называют
касательной к поверхности в данной
точке?
2. Что называют нормалью к
поверхности в данной точке?
3. Приведите примеры
поверхностей положительной, отрицательной и
нулевой Гауссовой кривизны.
4. Приведите примеры поверхностей
двоякой кривизны.
5. В чем различие между контуром
и очерком или очертанием кривой
поверхности?
6. Укажите основной способ
построения очертаний поверхностей
вращения.
Задачи
Проведение плоскости,
касательной к поверхности
108*. Провести плоскость,
касательную к цилиндру и параллельную
прямой АВ [5, § 28, рис. 117].
109. Построить касательную плос-

42 Ортогональные проекции
а'
110
111
кость к однополосному гиперболоиду
вращения и проходящую через точку
А на его поверхности.
110. Построить плоскость,
касающуюся сферы в точке А на ее
поверхности, и задать плоскость
горизонталью и фронталью [5, § 28, рис. 114].
111*. Определить плоскость
(плоскости), касательную к сфере и
проходящую через точку А вне сферы [5,
§ 28, рис. 118].
Построение очертаний
поверхностей
112. Построить горизонтальный
очерк тора с круговым основанием
[5, § 35, рис. 146].
113*. Построить горизонтальный
очерк поверхности вращения (тора),
построить фронтальную проекцию
линии контура [5, § 35, рис. 147].
~9. Геометрическое
формообразование
поверхностей
Формуюрразование различных
архитектурных композиций
предъявляет определенные требования к
геометрическому конструированию
поверхностей и применению как простых
поверхностей — цилиндра, конуса,
сферы, тора, так и более сложных —
гиперболического параболоида, одно-
полостного гиперболоида, винтовых
поверхностей и некоторых других. При
этом решаются две геометрические
задачи: выделение отсеков поверхностей
определенной конфигурации из
заданной определителем поверхности;
выполнение геометрически точных
сочетаний (сопряжений) выделенных
отсеков поверхности в более сложную
составную поверхность и простран-

9. Геометрическое формообразование поверхностей
ственную форму. Решение задач этой
главы необходимо для успешного
выполнения заключительного
комплексного учебного задания данного
раздела — задания 4.
Задачи
114. Выделить отсек
поверхности из сферического сегмента
пересечением его тремя вертикальными
цилиндрическими поверхностями.
115. Нанести каркас образующих
и выделить отсек гиперболического
параболоида с плоскостью
параллелизма Р пересечением его
поверхности вертикальным эллиптическим
цилиндром.
116. Построить каркас образующих
однополостного гиперболоида
вращения и пересечение его поверхности
сквозным отверстием
полуцилиндрической формы.
117*. Нанести каркас образующих
и выделить отсек гиперболического
параболоида с плоскостями
параллелизма Р и Q двумя фронтально
проецирующими вертикальными
плоскостями / и // и горизонтальной
плоскостью проекций Н. Указание:
кривую линию контура отсека на плане с
короткой его стороны определить,
построив горизонтальные следы
некоторых образующих (как показано на
рисунке).
118. Нанести каркас образующих
гиперболического параболоида в
проекциях, включая дополнительную, и
выделить отсек, образованный двумя
горизонтально проецирующими
плоскостями Р и Q и двумя фронтально
проецирующими плоскостями S и Г
относительно плоскости V\.

Vs2'
irjgzar
\ \ *—-
1^-»~^_
с \
3'
'3
114
c''
a'/
v \
/ /
/ /
a
\d"
"ъ"
Id \
/ /
S\
\РН
b
\ //
• /S
115

119*. Выделить внутреннюю часть
гиперболического параболоида,
отсекаемую в результате его пересечения
с полусферой. Указание:
необходимо провести фронтальные
вспомогательные плоскости.
10. Задачи для самостоятельной работы
10. Задачи
для самостоятельной
работы
В эту часть задач,
предназначенных для самостоятельной работы
студентов, входят главным образом
позиционные задачи, связанные с
пересечением поверхностей,
представляющие наибольшее прикладное
значение для формообразования
поверхностей и различных пространственных
композиций. В некоторых задачах
построение пересечений сопровождается
преобразованием плоскостей
проекций. Звездочками выделены задачи
повышенной трудности.
Примеры решения задач
120. Способом замены
плоскостей проекций построить пересечение
сферы плоскостью общего положения,
заданной горизонталью и фронталью
(рис. 120).
Решение. Выберем новую
фронтальную плоскость проекций таким
образом, чтобы заданная плоскость
стала проецирующей —
перпендикулярно горизонтали mh, m'h'. Построим
новую фронтальную проекцию сферы и
секущей плоскости и отметим
опорные точки сечения. Горизонтальные
проекции полученных точек построим
в проекционной связи. Для построения
фронтальных проекций точек на
вертикальных линиях связи отложим
координаты (аппликаты) точек, взятые
с построенного сечения [5, § 30,
рис. 122, 123].
121. Построить линию пересечения
наклонного цилиндра с
гиперболическим параболоидом, заданным
направляющими АВ и CD и
горизонтальной плоскостью параллелизма
(рис. 121).
Решение. Проводим несколько
горизонтальных вспомогательных
плоскостей (5, Г...). Они пересекают ци-

46 Ортогональные проекции
линдрическую поверхность по
окружностям с центрами О, 0\, ..., а
поверхность гиперболического
параболоида — по прямым (образующим) —
/—/, 2—2... Горизонтальные
проекции искомых точек (е, /...) лежат на
соответствующих проекциях
окружностей и прямых. Прямая ас также даст
две точки линии сечения в основании
цилиндра.
Задачи
122*. Построить правильную
треугольную пирамиду с основанием на
плоскости 1—2—3—4 и центром
основания в точке А. Угол наклона боковых
ребер к основанию равен 60°.
Указание: необходимо применить вращение
плоскости вокруг горизонтали.
123. Построить фронтальную
проекцию додекаэдра [5, § 15, рис.
48].
124. Определить линию
пересечения конической поверхности, заданной
вершиной S и направляющей АВ, с
плоскостью Н.
125. Найти точки пересечения
прямой АВ с поверхностью октаэдра.
126. Построить точки пересечения
прямой АВ с конической
поверхностью.
127. Построить линию пересечения
цилиндра фронтально проецирующей
плоскостью.
128. Определить сечения
поверхности вращения фронтальными
плоскостями Р, S, Т.
129. Построить линию пересечения
тора плоскостью общего положения
ABC.
130*. Найти линию пересечения
гиперболического параболоида
плоскостью общего положения /—2—3.
Указание: следует применить
вспомогательные плоскости,
параллельные плоскости параллелизма.
131. Способом вспомогательного
проецирования на фронтальную
плоскость построить пересечение конуса

10. Задачи Оля самостоятельной работы 47

48 op
тогональные проекции

10. Задачи для ее цосинпе чънии работы

Ортогональные проекции
плоскостью, заданной фронталъю и
горизонталью.
132. Найти точки пересечения
прямой АВ с поверхностью тора с
использованием способа вращения.
133*. Построить цилиндрическую
винтовую линию и нанести каркас
образующих поверхности
развертываемого геликоида, найти точки
пересечения прямой АВ с поверхностью
[5, § 25, рис. 98].
134. Нанести каркас образующих
поверхности переноса, у которой
направляющей является дуга окружности
ABC, а образующей —
полуокружность /—А—2, и построить проекцию
сечения горизонтальной плоскостью 5.
135. Построить линию пересечения
четырехугольных пирамид.
136. Определить проекции линии
пересечения двух призм.
137. 138. Построить пересечение
призмы со сферой.
139*. Построить линию
пересечения фронтально проецирующего
цилиндра с конусом вращения.
140, 141. Построить линию
пересечения цилиндра со сферой и
фронтально проецирующего цилиндра
с конусом.

10. Задачи для самостоятельной работы 5\

142. Построить линию пересечения
открытого тора с цилиндром.
143*. Построить линию
пересечения двух конусов. Указание:
вспомогательные плоскости следует
провести через вершины конусов,
горизонтальные следы этих плоскостей будут
пересекать основание конуса S, а
фронтальные — основание конуса Т.
144. Построить пересечение
усеченного конуса с полукольцом
(тором).
145. Построить проекцию линии
пересечения (гиперболу) конуса
вращения с параболоидом вращения.
146*, 147*. Через точку К провести
плоскость, касательную к поверхности
вращения (рис. 146) и к открытому
тору (рис. 147). Укажите знак
Гауссовой кривизны в окрестности точки К.
Построить проекции линии сечения
поверхности вращения касательной
плоскостью. Указание: чтобы
определить положение касательной плос-

10. Задачи для самостоятельн
ои работы 53
. 1
L
\^Л'У
Г1/ 1 1
4L г
//
к
\
LsnV I J
Г<Л 146*
0 \
1
45

54 Ортогональные проекции
кости следует через точку К провести
параллель поверхности и касательную
Т. Для определения проекций
касательной KN следует вращением
определить положение касательной прямой
к очерку поверхности и точку N ее
пересечения с осью поверхности.
Касательные Т и KN определяют
искомую плоскость (выполнено на эпюре).
11. Комплексные
учебные задания
Четыре комплексных учебных
задания для выполнения
заключительных работ (эпюров) включают
основные задачи каждой из тем данного
раздела курса. Это задания на точку,
прямую и плоскость (№ 1 и 2), на
пересечение поверхностей и
построение разверток (№3) и на геометри-
Табли ца 1
Вариант
i
2
3
4
5
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
X
140
70
90
130
20
150
80
20
20
150
160
90
30
130
20
160
110
30
150
20
150
180
40
140
30
Координаты
У
50
20
130
20
50
40
120
80
20
80
90
20
130
130
30
60
0
10
ПО
10
130
30
120
130
40
Z
40
ПО
10
0
120
80
120
40
130
60
100
10
100
10
ПО
30
140
90
80
10
60
100
20
120
20
Вариант
6
7
8
9
0
Точки
А
В
с
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
А
В
С
D
Е
X
190
20
130
30
180
150
60
20
120
130
170
120
40
180
10
120
90
10
40
60
170
80
30
150
20
Координаты
У
90
30
150
140
70
60
30
140
120
10
40
0
90
130
30
130
40
20
140
10
. 80
20
120
20
50
Z
120
80
10
150
80
20
130
60
120
20
30
160
70
130
130
40
100
20
120
10
20
20
120
120
60
ческое формообразование поверхно-
стей (№ 4).
Эпюры выполняются на листах
формата A3 (297X420 мм). Размеры
задания № 2 даны в метрах, при этом
указан масштаб 1:100. Размеры в ос-
тальных заданиях даны в
миллиметрах. Формат эпюров может быть вы-
бран другим, например А2 (420X594
мм). В этом случае размеры должны
быть увеличены в полтора раза.
Построения аксонометрии и теней
могут выполняться после изучения
соответствующих 2 и 3 разделов курса.
148. Задание 1— на точку,
- прямую линию и плоскость
Даны плоскость, заданная
треугольником ABC, и прямая DE
(рис. 148, табл. 1).
Требуется: 1. Определить точку
пересечения прямой DE с плоскостью,

//. Комплексные учебные задания 55
заданной треугольником; 2. Определить
расстояние от точки D до плоскости;
3. Через прямую DE провести
плоскость, перпендикулярную
треугольнику ABC, и построить линию
пересечения этих плоскостей, определить
видимость; )*С Построить плоскость,
параллельную плоскости, заданной
.треугольником ABC, и отстоящую от нее
на 45 мм.
Композиция эпюра горизонтальная.
Точку начала координат нужно взять
левее середины листа, задачи 1 и 3
совместить на одном чертеже и
расположить слева, задачи 2 и 4 расположить
справа.
149. Задание 2— на точку,
прямую и плоскость
«
Дана схема здания размером в
плане 20X15 м с четырехскатной
кровлей (рис. 149, табл. 2), угол
наклона которой к горизонтальной
плоскости равен р.
Требуется:
1. Начертить вырез здания в
масштабе 1:100 (10X7,5 м),
расположив его под углом а к
фронтальной плоскости.
2. Взять точку S на расстоянии
5 м от середины плоскости ската
Р (точка А) и, приняв ее за
вершину, построить правильную пирамиду
с основанием в плоскости Н
(квадратное или треугольное) с уклоном ребер
2:1, сторона основания пирамиды
параллельна стороне выреза.
3. Построить пересечение
пирамиды и выреза здания.
4. Построить следы плоскостей
скатов кровли (Р и Q). .
5. Способом замены плоскостей
проекций определить натуральную
величину одного из скатов кровли.
6. Построить тени на плоскостях

<>'»{>' Ш«Ы <</*<■'/(' Проекции
\
|Л
/
20 /
^
/^
/
/
■$V'.f'*'
■:?-Щ^
10
20
И
10
149
Н и V и на плоскостях
скатов кровли.
7. Построить аксонометрию с
тенями.
Таблица 2
Продолжение табл. 2
Вариант
1
2
3
4
5
Вырез
здания
I
II
I
II
I
Основание
пирамиды
Квадрат
»
»
»
»
Угол а0
- 10
15
20
30
40
Угол р°
25
30
35
25
30
Вариант
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Вырез
здания
II
I
II
I
II
I
II
I
II
I
Основание
пирамиды
Квадрат
»
»
Треугольник
»
»
»
»
»
»
Угол а°
10
15
20
30
40
10
15
20
30
40
Угол Р
" 35 '
25
30
35
25
30
35
25
30
35

//. Комп чексные учебные задания 57
064
080
060
1
у©
0180
90
150
./~-.
\
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Таблица 3
Поверхность
вращения
I
II
III
IV
I
II
III
IV
I
II
III
IV
призмы
А
Б
В
в л
А
Б
В
А*.
вЛ
В '
150—151. Задание 3 — на
пересечение поверхностей
h и построение
\ развертки (рис. 150, табл. 3)
,, Требуется: 1. Построить
пересечение поверхности вращения с
вертикальной осью и призмы, ребра которой
> на фронтальной и горизонтальной про-
"* екциях наклонены к оси ОХ под углом
45°. 2. Построить развертку призмы и
части поверхности вращения с
нанесением линии пересечения.
Пример выполнения эпюра
приведен на рис. 151.

58 Ортогональные проекции
152. Задание 4 —
геометрическое формообразование
поверхностей
Десять заданий помещены в
порядке возрастающей сложности
построений. Первое задание содержит
четыре варианта условий, три другие
задания — по три варианта, всего —
19 вариантов исходных условий. Во
всех заданиях требуется выделить с
помощью сечений плоскостями отсек
определенной формы и параметров из
заданных поверхностей. В ряде
заданий необходимо также скомпоновать
из выделенных отсеков составную
поверхность, представляющую собой
поверхность покрытия.
Требуется: построить план и фасад
сформированной составной
поверхности с нанесением каркаса образующих;
аксонометрическое изображение
(прямоугольную диметрию) с вторичной
аксонометрической проекцией.
Пример работы приведен на
рис. 152.
Задачи
153. Построить план и фасад
одного из четырех отсеков
гиперболического параболоида, заданного
неплоским четырехугольником, с
нанесением каркаса образующих, а также
аксонометрию (прямоугольную
диметрию) с вторичной проекцией.

60 Ортоеина 1ьные проекции
154. Нанести каркас образующих
и построить план и фасад отсека од-
нополостного гиперболоида вращения,
а также аксонометрию
(прямоугольную диметрию).
155. Построить план и фасад
составной поверхности из двух
четырехугольных отсеков гиперболического
параболоида и аксонометрию покрытия.
156. Нанести каркас образующих и
построить план, фасад и
аксонометрию пространственной композиции
со световым проемом, состоящей из
сочетаний трех, четырех или пяти
отсеков гиперболического параболоида.
157. Сформировать поверхность
покрытия, состоящую из четырех
отсеков, выделенных тремя секущими
плоскостями из гиперболического
параболоида. Построить план, фасад и
аксонометрию1.
158. Построить план, фасад и
аксонометрию составной поверхности из
восьми отсеков поверхности вращения,
образованных двумя горизонтально
проецирующими плоскостями Р и Q
и фронтально проецирующей
плоскостью Т.
159. Сформировать поверхность
покрытия, состоящую из четырех,
шести или восьми отсеков гиперболи-
1 Задачи 157—162 с небольшими
коррективами взяты из сборника задач А. Г. Климу
хина [4].

//. Комппексные учеЛные тЛания
61
155
ческого параболоида, выделенных
тремя секущими плоскостями Р, Q и Т.
Построить план, фасад и аксонометрию
составной поверхности.
160. Построить план, фасад и
аксонометрию поверхности покрытия из
шести отсеков поверхности переноса с
образующей параболой и
направляющей — эллипсом, образованных тремя
секущими плоскостями Р, Q и Т.
161. Построить план, фасад и
аксонометрию составной поверхности из
пяти отсеков гиперболического
параболоида, заданного неплоским
четырехугольником ABCD и выделенного
тремя секущими плоскостями Р, Q
и Т.
162. Сформировать составную
поверхность из восьми отсеков
эллипсоида (два варианта — трехосные
эллипсоиды и один вариант — эллипсоид
вращения вытянутый). Построить
план, фасад и аксонометрию. Для
определения очерковых линий следует
использовать вспомогательные сечения
профильными плоскостями.

62 Ортогональные проекции
0 28
0160
а
о
о
оению
постр
66
£
sss<C^,<C^><:0><s
о ^<
->.
ZLJb'*
с'
d
Ss^o г-
156

ые забанш
157

159

Эллипс
Парабола
>0
3 Зак. 1641

162

Раздел II.
ТЕНИ В ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ
Построение теней в
ортогональных проекциях — изобразительное
средство, значительно повышающее
наглядность и выразительность
архитектурного чертежа, выполненного в
линейной графике. Этот раздел
начертательной геометрии имеет свою
специфику, особые правила и
закономерности, для успешного освоения которых
необходимы специальные упражнения.
Задачи и учебные задания этого
раздела охватывают основные темы
построения теней и при
последовательной и тщательной их проработке
позволяют приобрести достаточный
практический навык. При перечерчивании
изображений объектов из сборника
следует оставить свободное место на
листе с той стороны, где должны
располагаться построенные тени (как
правило, справа и внизу). В некоторых
случаях придется несколько опустить
план объекта. Точно определить эти
границы можно с помощью эскиза.
Вопросы
для самопроверки
1. Какое направление лучей
света принято в ортогональных
проекциях?
2. Как падает тень от прямой,
параллельной плоскости, и от прямой,
перпендикулярной плоскости
проекции?
3. Нарисуйте от руки схему
построения тени от окружностей,
параллельной и перпендикулярной плоскости
проекций.
4. Изложите последовательность
построения теней способом лучевых
сечений.
5. Вспомните последовательность
построения теней конуса.
6. Постройте от руки
рациональным способом собственные тени
прямого конуса и конуса, обращенного
вершиной вниз, а также цилиндра.
7. Изложите принцип построения
собственных теней способом
касательных конусов и цилиндров.
8. Как строятся тени по выносу?
9. В чем заключается особенность
построения теней способом обратных
лучей?
10. Назовите основные
закономерности образования контуров теней.
11. Как определить величину
выноса от плоскости стены произвольной
точки, взятой на границе собственной
тени поверхности вращения, если
вынос оси известен?
12. В каких случаях для
построения теней применяются способы
горизонтальных и фронтальных
вспомогательных плоскостей — посредников?
13. Нарисуйте от руки падающие
тени от квадратной и круглой плиты
на круглую колонну.
14. Вспомните построение
собственной и падающей тени от валика на
круглую колонну.
15. Как строится тень от кромки
открытой цилиндрической ниши на
ее поверхность?
16. Можно ли построить падающую
тень в конической и сферической
нишах способом фронтальных
вспомогательных плоскостей-посредников?
17. Назовите основные способы
построения падающей тени в
сферической и конической нишах, укажите
схему их построения.
18. Какова последовательность по-
3»

Ой Тени в ортогональных проекциях
строения тени от кромки круглой
плиты на ствол колонны с каннелюрами?
19. Как определить, собственная
или падающая тень образуется на той
части объекта, которая должна
находиться в тени?
20. Изложите общую
последовательность построения теней.
12. Тени
простых
форм
Задачи
163, а, б. Построить падающие
тени от двух квадратов, плоскости
которых перпендикулярны фронтальной
плоскости проекций. Проанализируйте,
как падают тени от сторон и
диагоналей квадрата (выделены штриховыми
линиями). Какая из четырех
закономерностей [5, § 44] отвечает
построению тени каждой из этих прямых?
163, в. Построить тень от прямой
MN на плоскости проекций.
Укажите, какие две закономерности
прослеживаются в характере падающей тени
[5, § 44].
164, а. Постройте тени от прямых
АВ и CD общего положения двумя
приемами: построением тени от точки
С, произвольно взятой на прямой АВ
или CD, и построением мнимой тени
на одну из плоскостей проекций от
одного из концов прямой [5, § 44,
рис. 190,6].
164, б, в. Построить тени от трех
наклонных прямых, имеющих общую
точку (S\ или 52> на плоскость
проекций Н (б) и на дополнительно взятую
горизонтально проецирующую
плоскость Р (в). Проследите, что
изменится в рисунке падающей тени на
плане после введения плоскости Р.
165, а, б, в. Построить тени от
плоских фигур, параллельных одной
из плоскостей проекций [5, § 44,
рис. 195].
165, г. Построить тень от
параллелепипеда на плоскостях проекций Я
и V [5, § 45, рис. 197].
165, д. Построить падающие и
собственные тени усеченной пирамиды.
Указание: при построении тени
усеченных пирамид следует сначала
найти их вершину и построить тень от
вершины на плоскость основания
пирамиды (конуса), а затем определить
границы тени от кромок ее
усеченной части.
166. Построить тени от
окружности и полуокружности, плоскости
которых перпендикулярны фронтальной
плоскости проекций [5, § 44, рис. 196].
Характерные точки окружности и их
нумерация показаны в правом верхнем
углу рисунка. При прорисовке эллипса
надо особое внимание обратить на
плавность касания кривой линии
эллипса к прямым линиям (в точках 7
и 3 — к горизонтали, 4 и 8 — к
вертикали, 1 и 5 — к проекции луча).
Построение теней окружности и
полуокружности следует хорошо усвоить и
выполнять без плана, что в
дальнейшем значительно облегчит построение
теней от поверхностей вращения.
Указание: для проверки точности
построения и симметричности фигуры
рекомендуется снять на кальку
получившийся эллипс и перевернуть
кальку вокруг оси симметрии фигуры, а
затем, если необходимо, исправить
неточности.
167—169, 171. Построить
собственные и падающие тени цилиндров.
Указание: тени в виде эллипсов
от окружностей основания цилиндров
надо построить целиком, а затем
проверить симметричность с помощью
наложения кальки [5, § 45, рис. 197, б].
На рис. 168 показано построение
эллипсов оснований цилиндров, ось
которых повернута к плоскости проекций
под углом 45°.
170. Построить тени на гранной
поверхности с вертикальными ребрами-
пластинами и проследить, как
изменяется направление построенных
теней от кромок пластин на гранях
многогранной поверхности.

12 Tt.nu простых форм

70 Тени в
ортогональных проекциях

12. Тени простых форм 71

Тени л ортогональных проекциях

12. Тени про*
стых форм Li
»
181-182
%
К1
_е
х;
^
^*ч^
183

Тени ш ортогональных проекциях
184
185
186
187

12. Тени простых форм
18В
V.
I
гг
j;
189
+
■+■
+
+
+
Л
+
\
UlLiAL
t
UALUL
+
+
190
191

76 Тени
№У
в ортогональных проекциях
l'1> ( I Ь
^_L
192
I. I I.I . 1
□
Z3X
а
□
С^
194

13. Тени карнизов, кронштейнов, капителей и г. д.
77
172—174. Построить падающие и
собственные тени конусов.
Указание: при перечерчивании условий
задач необходимо сохранить указанные на
чертеже расстояния фигур от
плоскости проекций. В этих задачах
рекомендуется определить границы
собственной тени конуса двумя приемами: как
рекомендовано в учебнике [5, § 45,
рис. 198 и 203] и способом обратных
лучей, после построения падающей
тени от конуса на одну из плоскостей
проекций.
175—178. Построить падающие
тени от пилона на профиль цоколя
[5, § 44, рис. 192] и от профиля цоколя
на стену.
179—183, 186, 187. Построить
собственные и падающие тени лестницы
на фронтальной проекции.
Указание: при перечерчивании заданий
(рис. 182, 186, 187) линии наклонных
кромок парапетов необходимо
проводить параллельно лестничному маршу
[5, § 44, рис. 193, §^52, рис. 219].
184—185. Построить тень от прямой
АВ на поверхность пирамиды, а также
собственную и падающие тени
пирамиды на плоскостях проекций Н и V [5,
§ 48, рис. 207; § 50, рис. 211].
188—195. Построить собственные и
падающие тени на данных объектах.
13. Тени карнизов,
кронштейнов, капителей
и портиков
Задачи
196—200. Построить
собственные и падающие тени карнизов и
кронштейнов [5, § 44, рис. 192; § 49,
рис. 208, 209; § 52, рис. 222, 223]. На
рис. 200 приведены несколько
профилей взаимозаменяемых карнизов и
кронштейнов, которые дают в
различных сочетаниях 32 варианта этой
задачи.
201—206. Построить собственные
и падающие тени капителей и
портиков [5, § 44, рис. 195, 196; § 45, рис.
197—199; § 47, рис. 203, 204; § 48,
рис. 206; § 50, рис. 212; § 53,
рис. 226, 228; § 54, рис. 232, 234].
Примечание: на рис. 205, 206
план и фасад1 портика для экономии
места частично наложены один на
другой. При перечерчивании их надо
отделить друг от друга.
1 В тех случаях, когда это не нарушит
строгости изложения, вместо слов «горизонтальная»
или «фронтальная проекция» будем употреблять
слова «план» и «фасад».

78 Тени
в ортогональных проекциях
7?
7
196
I
>
с
(
I
1
*
1
тт^ ^
1_
198

13. Тени карнизов, кронштейнов, капителей и т. д.
7Q
200

Ш1
Вариант
капители
-??
^
ш^
204

13. Тени карнилов tcpoHUtTt иное, кипит if и и г <У. о!

82
спи (i орт о гона а ных проекциях
14. Тени поверхностей
вращения
Пример выполнения
задания 1
207—217. Построить
собственные и падающие тени балясины
(рис. 207).
Пояснения к выполнению задания.
Для упрощения строим тени только на
видимой половине поверхности
балясины, считая, что ее ось находится
в плоскости стены. Если взять
балясину целиком, а фронтальную
плоскость стены отодвинуть в глубину на
расстояние, равное 1,5—2 величинам
наибольшего диаметра балясины,
построение теней будет сложнее.
При перечерчивании следует
отмечать центры радиусов перекрестием
линий. Это необходимо для большей
точности построений (отыскивания
точек сопряжения и касания проекций
лучей). Верхний и нижний элементы
балясины — плиты квадратной формы.
Последовательность построения
теней на балясине показана на рис. 207, а.
Сначала строят границы собственной,
а затем падающей тени в отдельности
на каждой из форм, составляющих
тело балясины (рис. 207, б, в).
Построенные падающие тени,
пересекаясь между собой и с лежащими
ниже поверхностями, дают
возможность определить две теневые точки,
одну слева, на очерке балясины, и
другую — справа, точку
«исчезновения» падающей тени на границе
собственной тени поверхности, которую
определяют обратным лучом,
проведенным от точки пересечения двух
контуров падающих теней (рис. 208).
Заканчивается построение
определением на различных частях
балясины еще нескольких дополнительных
(обычно двух-трех) точек падающей
тени от одной поверхности на другую.
На рис. 208, 209 показано
построение некоторых характерных точек
тени на отдельных частях балясины.
В тенях венчающей части
балясины (см. рис. 208) падающие тени от
квадратной плиты и от собственной
тени эхина на стену дают в пересечении
точки 3 и 5. Обратные лучи,
проведенные из этих точек, позволяют получить
пару точек 1 а 4 — точки падающей
тени от квадратной плиты на эхин на
границе собственной тени эхина.
Две тени, падающие на стену от
собственной тени эхина и от кромки
круглого пояска прямоугольного
сечения, пересекаясь, дают точку 7. С
помощью обратного луча, проведенного
из этой точки, получим точку 6.
Точка 2 — пересечение двух
контуров падающих теней на пояске от
кромки квадратной плиты и от границы
собственной тени эхина — связана с
точками / и 3 одним противоположным
по направлению лучом. При
построении теней этим трем точкам следует
уделять особое внимание. Крнтуры
собственных теней на средней основной
части некоторых балясин имеют
характерные точки перелома А и В
(рис. 210). Они возникают на границах
сопряжения форм, поверхности
которых имеют различную кривизну. В
каждом из заданий нужно обязательно
находить и показывать построением
эти точки и границы сопряжения
форм [5, § 50, рис. 212; § 54, рис. 231,
235]. В реальных условиях из-за
размытости границы собственной тени
мы не видим точек перелома.
Учебные задания (7 вариантов)
приведены на рис. 211—217.

14. Тени поверхностей вращеним 83

84 Тени я ортогональных проекциях

Ы Тени nwteptiKHTt i itpa< i нпн а5

86 Тени в ортогональных проекциях

14. Тени поверхностей вращения
87
213
214

88 Тени в ортогональных проекциях

14. Тени поверхностей вращения

"" Тени в ортогональных проекциях
15. Тени сложных форм
Пример выполнения задания 2
218—223. Построить
собственные и падающие тени архитектурного
фрагмента — «полуротонда» (рис.
218).
Пояснения к выполнению задания.
При вычерчивании изображения
объекта надо обратить внимание на точное
проекционное соответствие плана и
фасада и строгое соблюдение
симметричности и равенства одинаковых по
размерам форм.
Построение теней ведется в такой
последовательности. Сначала строят
собственные, а затем падающие тени
на каждой из форм в отдельности.
Если построений получается много и
они затрудняют чтение чертежа, можно
сразу слегка затушевать легким тоном
уже построенные участки теней так,
чтобы просвечивали линии
построений. Заканчивают построение,
определяя границы падающих теней от
одной формы на другую. Отдельные
фрагменты построения теней на
данном объекте показаны на рис. 219, а—
р, а общий вид чертежа — на рис. 218.
Собственную тень ниши (рис. 219,
а) строят способом касательных
конусов и цилиндров. В точке В линия
контура собственной тени имеет
перелом.
Падающую тень в сферической
части ниши (рис. 219, б) строят по
точкам, лежащим на одной трети радиуса
сферы и полухорд, лежащих в
плоскостях лучевых сечений [5, § 52,
рис. 221, а]. Для повышения
точности построения линию падающей тени
следует проводить несколько большей
длины.
Участок падающей тени А—С
(рис. 219,в) следует строить
следующим образом [9, с. 166].
Вспомогательная (мнимая) тень от горизонтального
диаметра, разделяющего сферическую
и цилиндрическую части ниши на
внутреннюю поверхность
цилиндрической части ниши, аналогична тени
перекрытой полуцилиндрической ниши и
проецируется полуокружностью [5,
§ 52, рис. 220, б]. Поскольку каждая
точка кромки сферической части ниши
расположена выше горизонтального
диаметра, то для построения
падающей тени от произвольной точки
кромки надо от соответствующей точки тени
горизонтального диаметра отложить
величину, равную превышению
данной точки m или п над горизонтальным
диаметром. Полученные точки
соединяют плавной кривой.
Падающие тени от крайних
(слева и справа) точек полукруглого
отверстия в куполе (рис. 219,г) строят с
помощью двух проекций лучей,
проведенных к контуру падающей тени на
сферической части ниши [5, § 55,
рис. 241]. Тень от средней точки
отверстия, проекция которой совпадает
на фасаде с осью, будет лежать на
одной горизонтали с тенью от крайней
правой точки отверстия. Высшую
точку тени находят, проводя
вспомогательный конус 35°, который касается
отверстия. Полученные точки
соединяют плавной кривой.
Для построения небольшого
участка тени от вертикального ребра
отверстия в куполе (рис. 219,д)
необходимо построить с помощью плана полное
лучевое сечение сферической части
ниши, проходящее через это ребро.
Это построение понятно из чертежа
и не требует пояснений.
Участок падающей тени от
верхней кромки отверстия в куполе на
цилиндрическую поверхность ниши (рис.
219, е) строится как в открытой
полуцилиндрической нише [5, § 52,
рис. 230, а].
Падающую тень от верхней кромки
полукруглого отверстия на
поверхность сферической ниши (рис. 219, ж)
строим не полностью (она показана
штриховой линией и может быть
построена способом лучевых сечений),
исходя из плана. Переносим лучом
только одну точку падающей тени с
нижней кромки отверстия в куполе
на контур ее тени. Полученную точку

о: /
" <• ) -.г»». PMiwv проекция*
219

15. Тени сложных форм 93
Ж
л
м
219

94 Тени в ортогональных ,
1

1") 1 HU СЛ(*ЖПЫ I >р V*)
соединяем плавной линией,
несколько изогнутой вниз, с теневой точкой
°т верхнего конца вертикального ребра
отверстия.
Построение тени от карниза на
внутреннюю поверхность цилиндрической
части ниши приведено на рис. 219, з,
и> к. Участки падающей тени от
коротких горизонтальных прямолинейных
Участков карниза, расположенных
слева и справа (рис. 219, з), являются
частью дуги окружности [5, § 55,
рис. 242].
Тень от средней точки кромки
карниза лежит на одной горизонтали с
тенью от правой угловой его точки.
Тени остальных двух точек (в плане
показаны стрелками) строятся по
плану.
Линия падающей тени от верхней

'" Тени в ортогональных прое.
ортогональных проекциях
222
кромки карниза (рис. 219, к)
построена смещением вверх точек уже
построенной тени на величину, равную
высоте цилиндрической поверхности
карниза.
Падающая тень от кромки
сферической ниши на цилиндрической
поверхности карниза (рис. 219, л)
построена с помощью двух обратных
лучей, проведенных из точек
пересечения контуров падающих теней.
Рассмотрим построение тени от
левой кромки сферической ниши на
венчающую коническую поверхность
полукруглого карниза, которую следует
дополнить до полного конуса (рис.
219, и). Построение понятно из
чертежа. Соединяем их плавной кривой,
I

15. Тени сложных форм
изогнутой вниз. Слева, на конической
поверхности карниза образуется
небольшой участок освещенной части
треугольной формы.
Для построения падающей тени от
антаблемента портика на внутреннюю
поверхность цилиндрической части
ниши надо применить лучевые сечения
(рис. 219, р). Они должны быть
проведены через характерные точки
поверхностей и форм, а также через оси
симметрии (см. рис. 219, к).
Тень от антаблемента, падающую
на вертикальную плоскость стены
(рис. 219, н), строят на основе схемы
падающей тени полуокружности [5,
§ 44, рис. 196,6]. Следует построить
пять кривых отрезков тени как от
наружных, так и от внутренних кромок
антаблемента. Их надо построить
полностью, при этом тени от внутренних
кромок на стену образуют лишь
небольшой, близкий по форме к
треугольнику, освещенный участок (на рис.
219, к он выделен толстой линией).
Тень от карниза на антаблементе
строят на основе схемы построения
тени от круглой плиты на круглую
колонну [5, § 54, рис. 232].
Падающие тени от кромок
антаблемента на колонны (рис. 219, о)
строят лучевыми сечениями,
проведенными через характерные точки
колонны: через оси симметрии, границы
собственной тени (определяемые на
плане), осевую и очерковые образующие
(определяемые по фасаду)—точки
1—5 (рис. 219, н).
При построении теней от
антаблемента на колонны (рис. 219, о) полезно
обозначать некоторые точки как на
плане, так и на фасаде (точки 1—4).
Падающая тень на колонну на
фасаде касается нижней кромки
антаблемента в точке, где по плану
антаблемента касателен к колонне (точка А
выделена двойным кружком).
Учебные задания (4 варианта)
приведены на рис. 220—223. При
построении теней на других вариантах
задания можно пользоваться
указанными выше рекомендациями. В
объектах гранных форм построения
несколько упрощаются и выполняются,
во многом, на основе закономерностей
построения тени от прямых частного
положения. Для пирамидальных форм
желательно при построении теней
использовать тень вершины пирамид.
Задания для самостоятельной
работы
224—248. Построить
собственные и падающие тени архитектурных
деталей и фрагментов.
4 Зак. 1641

98 тени
я ортогональных проекциях
224
225
226
227

15. Тени сложных форм 99

100 Тени и ортогональных проекциях
К&А
000

15. Тени сложных форм

102 Тени
в ортогональных проекциях

15. Тени сложных форм
103

104 Тени
в ортогона чьных проекциях
*»■'■""
У
У
/
/
1
1
-г-г *
\\i
^^^^е—J
"""" -ч
\
\ » \
\ \ \
\ \\
^ г\
1 1
' 1 1
' / /
' / /
' с /
1 ^А \ >У
\3&^г
wirw
Ьг\гт^йа
242
244

15. Тени сложных форм 105
Э5
as
ооо
as
ииш
О"
247

106 Тени
в ортогональных проекциях

Раздел III.
АКСОНОМЕТРИЯ
Основная задача выполнения
аксонометрических изображений —
построение аксонометрии объекта
проектирования по его ортогональным
проекциям. Таким образом,
аксонометрическое изображение служит
главным образом средством наглядного
отображения объекта, поэтому это
важное его прикладное качество
должно быть дополнено построением теней.
Первая группа задач по построению
аксонометрии и теней содержится в
гл. 11 в комплексном учебном задании
2 — на точку, прямую и плоскость
(15 вариантов), а также в задании
4 — на геометрическое формообразо-
. вание поверхностей без построения
теней (19 вариантов).
В данном разделе помимо задач и
вопросов для самопроверки помещены
также восемь комплексных заданий на
построение аксонометрии
схематизированного здания с нахождением
линии пересечения скатов кровли и
построением теней. Число вариантов
заданий может быть увеличено втрое
выполнением каждого из них в
прямоугольной изометрии и диметрии, а
также в косоугольной горизонтальной
изометрии.
16. Построение
аксонометрических
изображений и решение
позиционных задач
в аксонометрии
Вопросы для самопроверки
1. Какие проекции называют
аксонометрическими?
2. По каким признакам
происходит деление аксонометрических
проекций?
3. Что называют показателем
искажения?
4. Какие существуют стандартные
аксонометрические проекции?
5. Как строятся аксонометрические
оси в прямоугольной диметрии и чему
равны показатели искажения по этим
осям?
7. Что такое вторичная
аксонометрическая проекция и на какой
координатной плоскости целесообразно ее
строить?
8. Как строятся аксонометрические
оси в горизонтальной изометрии и чему
равны показатели искажения по этим
осям?
Примеры
решения задач
249. Построить прямоугольную
изометрию усеченного цилиндра по
его ортогональным проекциям
(рис. 249).
Решение. Чтобы упростить
построение аксонометрии, проведем
дополнительные оси X\0\Y\ «внутренней»
системы координат [5, § 61, рис. 64],
совмещая их с осями симметрии
цилиндра. Построим горизонтальную
аксонометрическую проекцию основания
цилиндра — эллипс [5, § 20, рис. 77].
Концы осей эллипса верхнего
основания А, В, С и D строим, перенося с
фронтальной проекции высоты
(аппликаты) точек. Аксонометрию
промежуточных точек, например точки М,
строим, откладывая координаты вдоль
аксонометрических осей. Учитываем
j

1
а! г
1
а
X.—V— '
л1
Е
3)
"пгГ
т
хт
Z /
d
о, ,
с
'Ъ'
Ъ
Wi

16. Аксо<очетрические изображения и позиционные задачи в аксонометрии
двойную симметрию точек
относительно большой и малой осей эллипса.
250. Построить прямоугольную изо-
метрию пятиугольной пирамиды и ее
сечение плоскостью, заданной точками
ABC, лежащими на ребрах пирамиды
(рис. 250).
Решение. Как и в предыдущем
примере, воспользуемся внутренней
системой координат и построим
прямоугольную изометрию пирамиды.
Аксонометрическую проекцию сечения
построим с помощью определения
горизонтального следа секущей плоскости
251
е
\
/
/
J<k\
/
1
1
\
\
^\
Л
J
253
на плоскости основания пирамиды,
построив горизонтальные следы
прямых АВ и ВС [5, § 62, рис. 267].
Аксонометрические проекции вершин Е и
F сечения находим в пересечении
горизонтального следа М\М2 секущей
плоскости со сторонами основания
пирамиды. Для построения
аксонометрических проекций точек А, В и С
переносим только аппликаты этих точек,
так как они лежат на ребрах
построенной пирамиды.
Задачи
251. Построить прямоугольную
изометрию детали, ограниченную
цилиндрическими поверхностями [5, § 61,
рис. 264].
252. Построить прямоугольную ди-
метрию фундаментного блока под
колонну.
253. Построить прямоугольную
изометрию половины тора. Указание:
поверхность тора огибает множество сфер
с'
1 а'
х1
с
asb
г\
°i«a
г——
o,«z,
У,
1
1
252

110 Аксонометрия
»
5>"Л
?>V^
254
. II1 №
д1 -- " '
xi
11' 2*
л
*/*\
*1
9i 256
С

16. Построение аксометрических изображений и т. д.
радиуса R, центры которых лежат на 254. Построить прямоугольную
оси тора. После вычерчивания неко- изометрию поверхности покрытия,
торого числа очерков сфер следует образованной отсечением пяти сфери-
провести огибающие кривые линии, ческих сегментов из полусферы.
а'
С(
d'
Ъ'»с'
^><0><0><0>'°
257
Ъ'
'J^\
/71
/7
а» п
\
\
<
7^
/
/
о"» у;
с'
^
259

114 Аксонометрия
Пример решения задач
266. Построить в косоугольной
диметрии группы тел собственные и
падающие тени призмы и цилиндра
при условии, что точка А0 является
падающей тенью вершины А призмы
(рис. 266).
Решение. Правая грань призмы и
основание цилиндра находятся в
собственной тени. Спроецируем заданную
аксонометрическую проекцию АА0
луча на грань призмы и построим в
координатных плоскостях ZOY и XOY
вторичные проекции луча. С помощью
подобных «лучевых» треугольников
построим падающие тени точек В, С
и D на цилиндрической поверхности.
Падающая тень эллиптической дуги
FENM построена с помощью
вертикальных лучевых треугольников,
например ЕеЕн. Прямолинейный
участок контура падающей тени —
образующей цилиндра, проходит через
точку М, которая определена с
помощью прямой, проведенной
параллельно вторичной проекции луча на
плоскость YOZ.
Задачи
267. Построить собственные и
падающие тени двух призм при уело-
d
<
>
267
вии, что точка А0 является падающей
тенью вершины А призмы.
268. Построить прямоугольную
изометрию схематизированного
здания, а также собственные и падающие
тени при «стандартном» в
ортогональных проекциях направлении луча.
269. Построить горизонтальную
изометрию, а также собственные и
падающие тени поверхности
гиперболоида вращения, заданного гиперболой и
осью вращения. Указание:
аналогично построению теней в
ортогональных проекциях [5, § 54, рис. 229]
для построения падающей тени следует
построить тени параллелей и провести

17. Построение теней в аксонометрии 1 15
269
б
\
\ \ \ А
у
Wb,A0
а0
270

116 Аксонометрия
270
д
; ,— —
. -.щ 1—1-
41°\/J[a ' ■
Хал Т ~^ч1* ■** к
J.'.'/ J
^hilJ1 |Г ( У^ \
^к ^% -Ч _
1V-. Ч
-
- 270
к ним огибающие линии. Собственную
тень строим с помощью обратных
лучей, проведенных из точек касания
огибающих линий.
270. Построить собственные и
падающие тени архитектурных деталей
и фрагментов. Направление лучей света
задано аксонометрической проекцией
луча и вторичной его проекцией:
а) гранного тела;
б) пилона с плитой;
в) лестницы [5, § 63, рис. 269];
г) арки [5, § 63, рис. 272];
д) кронштейна;
е) сдвоенных пилонов с плитой.

18. Комплексное учебное задание — построение и г. д.
18. Комплексное учебное
задание — построение
аксонометрии и теней
Даны план и фасад
схематизированного здания в повернутом
положении относительно фронтальной
плоскости проекций (рис. 271—279).
Требуется: 1. Построить изображение
схематизированного здания в одной из
стандартных аксонометрических
проекций [5, § 59, рис. 256—261].
Аксонометрические оси принять
параллельными основным направлениям
(параметрам) здания. Линии пересечения
плоскостей скатов кровли и стен
построить в аксонометрии независимо от
построений, выполненных в
ортогональных проекциях; 2. Построить
пересечение скатов кровли и тени на
плане и фасаде здания при обычном
направлении луча. Тени на
горизонтальной плоскости проекций построить в
предположении, что фронтальная
плоскость отсутствует (см. рис. 271); 3.
Построить тени в аксонометрии при
стандартном направлении луча
относительно плана и фасада или при
произвольном направлении луча в
аксонометрической проекции, удобном для
построений (30°, 45° и др.).
Пример выполнения эпюра
приведен на рис. 271.

Раздел IV.
ПЕРСПЕКТИВА
В работе архитектора
перспектива — основное средство проверки
авторского замысла. Перспективное
изображение дает возможность получить
наглядное представление о том, как
будет восприниматься проектируемое
сооружение в реальных условиях.
Знание законов перспективы и умение
применять их на практике нужны для
различных видов изобразительной
деятельности.
Выполнение перспективы связано с
большим количеством построений,
поэтому необходимо правильно
ориентироваться в них и научиться выделять
нужную линию или часть изображения
объекта, мысленно отбрасывая все
остальные построения и детали, а также
не выполнять лишних построений или
значительно уменьшить их количество.
Здесь могут помочь только
практические навыки. В данном разделе
сборника представлены задания,
количество которых, при условии правильного
методического подхода, вполне
достаточно для выработки умения строить
перспективу с минимальными
затратами времени и сил. Для этого
необходимо:
сложный по форме объект
вписывать в простой призматический объем
или небольшую группу объемов;
использовать в полной мере
доступные точки схода для построения и
проверки получаемого изображения;
применять опущенный или
поднятый план объекта и вспомогательную
вертикальную плоскость [5, § 69,
рис. 305];
перед началом работы
проанализировать форму объекта, выделив в нем
характерные особенности: оси или
плоскости симметрии, одинаковые и
подобные его части, параллельные
грани и ребра, пирамидальные и
конические формы или их части, оценить
сравнительную величину и места
расположения наибольшего и
наименьшего диаметров (для поверхностей
вращения), а также точки касания
очерковых кривых сложных
поверхностей к горизонтальным и
вертикальным линиям и т. д.;
выполняя перспективу сложного
объекта, вписанного в простой по
форме объем, не следует начинать с
построения мелких деталей. Работу надо
вести методом последовательных
расчленений общей формы объекта.
Сначала в общем объеме надо выделить и
построить крупные элементы, а затем
расчленить их и построить мелкие
детали;
построение в перспективе
основных форм объекта и расчленение их
на детали надо выполнять способами
деления отрезков в перспективе на
пропорциональные части [5, § 66, рис.
288— 290].
Учебные задания в сборнике
расположены по нарастающей трудности.
В каждом упражнении предусмотрено
построение перспективы способом
архитекторов (кроме нескольких
перспектив, выполняемых способом
сетки) с построением теней. Состав
заданий может быть расширен. В каждом
из заданий можно построить в
перспективе отражение объекта в водной
поверхности или в зеркале (для
интерьера) , можно построить также
перспективу объекта на наклонной
картинной плоскости.

Вопросы для самоподготовки
1. Как найти точку схода
прямой линии?
2. В каких точках на картине
сходятся перспективы следующих
прямых: перпендикулярных картине,
параллельных картине, идущих в плане
в точку стояния, горизонтальных пря-
^х и прямых, расположенных под
углом 45° к картине?
3. В чем состоят особенности
построения перспективы способом
архитекторов с одной точкой схода?
4. Какие положения солнца по
отношению к зрителю возможны и где
при этом располагаются точки схода
лучей и их проекций?
5. Назовите правила построения
теней в перспективе от прямых частного
положения.
6. Укажите последовательность
построения теней на поверхностях
вращения в перспективе.
7. Каким способом выполняется
деление на пропорциональные части
горизонтальных отрезков? Изобразите
этот случай.
8. Как на перспективном
изображении разделить на части отрезки,
параллельные картине?
9. Нарисуйте от руки схему
построения перспективы окружностей,
лежащих в горизонтальной и
вертикальной плоскостях.
10. Какие вы знаете способы
построения перспективы соосных
окружностей, лежащих в параллельных
плоскостях?
П. Как разделить окружность на
равные части в перспективе?
12. Изложите последовательность
построения перспективы способом
сетки.
13. Как определить величину угла
зрения по плану и фасаду сооружения?
14. Чему равна величина
оптимального угла зрения при построении
перспективы и почему она
ограничивается?
15. Как построить перспективу
точки?
19. Построение перспективы простых
16. Как построить в перспективе
отражение точки в зеркале?
17. Какие существуют
ограничения величины угла зрения при
построении перспективы интерьера?
18. Нарисуйте схему построения
перспективы карниза.
19. Как строится перспектива
поверхностей вращения?
20. Что такое совмещенная точка
зрения и в каких случаях она
необходима?
19. Построение
перспективы
простых объемов
Задачи
280—282. Построить
перспективу параллелепипеда при различном
положении картины (рис. 280), точки
зрения (рис. 281), линии горизонта
(рис. 282). Проследить, как изменяется
характер изображения в каждом из
этих случаев.
283—285. Построить перспективу
двух пирамид. Направление главного
луча задано стрелкой.
286. Построить перспективу,
определив точки схода наклонных прямых.
Направление главного луча задано
стрелкой.
287. Построить перспективу
прямоугольников, лежащих в наклонной
плоскости, и найти точки схода
диагоналей. Направление главного луча
задано стрелкой.
288. Проследить на данном
примере последовательность построения
перспективы объекта призматической
формы способом архитектора с одной
точкой схода.
289—297. Выбрать положение
точки зрения при заданной высоте линии
горизонта для каждой из задач так,
чтобы величина как
горизонтального, так и вертикального углов зрения
не превышала оптимальной величины.

122 Перспектива
hi I I I I h
1 :
*
%
S*
285

19. Построение перспективы простых объемов 123
h,
Зй?
■
hi F,
Перспектива увеличена в 3 раза
Р
-Ф
. i
^--^ i
^\ i
*--* 4
—-Г 1 1 эо 40
-^——ч~ ■ '—
Вариант построения с прямыми 2-21
/
2, 2Д1 р 30 /40 a t,
/
/
21 2о
h,
Р з0 288
L

г
124 Пер,
■слгктыяа
h, h
h. h
п
289
h,
h,
П
□
□
290
291
h2
h,
Q
h,
zf
П
□ □
292
h,
h,
$
Ф
0
293
294
h,
h,
A
т—• 1—
П П П
ftl
Q
hi
295
□ □ □ 4> □
□ □ D □ □
296
С
Ш
297
t*

19. Построение перспективы простых объемов 1 25
Пример выполнения учебного
задания
298—312. Построить
перспективу и тени группы призматических тел
(рис. 298).
Пояснения к выполнению задания.
Это задание, как и все другие (кроме
построения перспектив способом
сетки), рекомендуется выполнять
способом архитекторов с одной точкой схода
[5, § 69, рис. 303].
При перечерчивании из сборника
плана сооружения его надо
вычерчивать такого размера, чтобы при
увеличении перспективного изображения
вдвое по отношению к построенному
плану все элементы построения
разместились на листе.
Точка зрения выбирается так,
чтобы один из фасадов объекта был
раскрыт к зрителю больше, чем другой,
а доступная точка схода находилась
в пределах чертежа. Необходимо
проверить величину угла зрения [5, § 68],
она должна находиться в
оптимальных пределах. В тех случаях, когда
при построении в перспективе угловых
точек объемов перспективы прямых
пересекаются под острыми углами,
следует уточнить построения при
помощи проведения через эти точки
прямых, перпендикулярных картине (см.
рис. 288 — прямая 2—2\).
В задании линия горизонта h—h
задана, однако ее положение может
быть изменено. Для первых
упражнений в построении перспективы линию
горизонта не рекомендуется брать
слишком низко, так как в этом случае
план сооружения оказывается
«смятым» и в сильном перспективном
сокращении, при этом линии построения
накладываются друг на друга. На
первых порах следует обозначить
цифрами каждый из углов объекта как на
плане, так и на перспективе (рис. 298 —
точки 1—4).
Линии пересечения объемов
следует строить не по исходному плану,
а по плану объекта, построенному в
перспективе, находя сначала линии
пересечения вертикальных плоскостей
объекта, а затем вертикальных и
горизонтальных.
Тени строят, как правило, при пол©;
жении солнца iff зрителем* [5, § 76,
рис. 336, 338]. Точку схода
горизонтальных проекций лучей \s)
рекомендуется брать не ближе 10—15 см от
точки схода Fu а точку схода
перспектив лучей света не ближе 20—25 см

h,
—
P
»
1 1
1 1
1 1
1 1
1
1
hi
h,
/
300
I
301
JZL
h,
302
hi '
I
hi
I
i I
303
h,
h,
I 1
Eh
I
i *
-
304

19. Построение перспективы простых объемов 127
от линии горизонта. При нарушении лучей и их проекций несколько выхо-
этих рекомендаций построения теней дят за пределы чертежа, то можно вос-
усложняются и становятся менее точ- пользоваться небольшим листом бума-
ными. Если точки схода перспектив ги, прикрепленным к листу.
hi hi
П=!—R \
' ■ I
i i
305
10 [ 15 \5\ 15 j 20 \
85
Г"
307

1-
I
4
25
ft 25 П
65
308
h.
!
1 1
J\
^
~
&\
hi
\
V
309

h,
h,
к
<J-
311
) За к. 1641

ПО /7 ерспекти
tl
1
1
1 1
1 1
1 1
h,
\ \
/ V\
312
При построении теней иногда
бывает необходимо продолжить некоторые
плоскости объекта за пределы
ограничивающих его ребер до пересечения
с тенеобразующими прямыми,
кромками или плоскостями (рис. 298 —
тень от одного протяженного
горизонтального объема на другой).
Учебные задания (14 вариантов)
приводятся на рис. 299—312.
20. Перспектива
архитектурных деталей
и фрагментов
Пример выполнения
задания 1
313—315. Построить
перспективу карниза и базы, применяя
деление отрезков на пропорциональные
части. Построить тени (рис. 313).
Пояснения к решению задания
даны в учебнике [5, § 74, рис. 327; § 76,
рис. 341].
Учебные задания (2 варианта)
приведены на рис. 314, 315.
Пример выполнения задания 2
316—321. Построить перспективу
арочного портала, используя
поднятый план; построить тени (рис. 316,
317).
Пояснения к выполнению задания.
Сооружение рекомендуется вписать
в два призматических объема
(горизонтальный и вертикальный),
перспектива которых строится с одной
точкой схода. Точка зрения и
высота горизонта выбираются произвольно.
Не следует, однако, брать линию
горизонта выше объекта или близко к
его основанию. Первый случай ведет
к увеличению площади листа, за-

20. Перспектива архитектурных деталей
131
нимаемой построениями, так как
точку зрения приходится брать
сравнительно далеко от объекта, а второй —
с низким горизонтом, приводит к тому,
что полукруглые в плане ступени
оказываются в перспективе в
сильных перспективных сокращениях.
Построенные объемлющие
призматические объемы расчленяются на
детали при помощи деления отрезков
на пропорциональные части [5, § 66,
рис. 288—290]. Эту часть построений
начинают с деления на части сторон
прямоугольника, в который будет
вписан план.
Положение в перспективе
вертикальных ребер объекта легко
определяется по поднятому плану, а их
высоты определяют делением
вертикальных линий описанного объема.
Поскольку это отрезки прямых,
параллельных картине (сокращающиеся в
перспективе пропорционально), то,
следовательно, равные и
пропорциональные их части не изменяются в
перспективе и могут быть разделены
на части теми же приемами, которые
применяются в ортогональных
проекциях. Продолжая до взаимного
пересечения соответствующие
горизонтальные и вертикальные плоскости
объекта, находим остальные элементы
объекта непосредственно в
перспективе.
Приемы построения
полуокружностей приведены в учебнике [5, § 67,
рис. 292, 294].
Тени строят способом лучевых
сечений при помощи поднятого плана
и в соответствии с рекомендациями,
изложенными в сборнике (см.
рис. 298).
Учебные задания (4 варианта)
приведены на рис. 318—321.
5*

132 Перс пектива
Линия горизонта
т ??
I /
/
I
Y
.S
я
-J
Ъ-
S
?
*i
л
2-
S
314

20. Перспектива архитектурных деталей
315

134
Пример выполнения
задания 3
322—323. Построить
перспективу капители с использованием правил
построения перспективы соосных
окружностей, лежащих в параллельных
плоскостях (рис. 322, 323).
Пояснения к выполнению задания.
Построение следует начинать с
окружности наибольшего диаметра, которую
строим в перспективе по 14 точкам
в нижней плоскости квадратной плиты
абака. Основные восемь точек эллипса
определяем на сторонах и диагоналях
перспективы квадрата [5, § 67, рис.
292, а]. Затем малую ось эллипса
делим пополам (точка А на рис. 292, а
в учебнике) и проводим через эту
точку большую ось эллипса
перпендикулярно малой оси. Учитывая
симметрию эллипса относительно большой
(оси, построим еще шесть точек пер-
^спективы окружности (рис. 322). '
Перспективу остальных
окружностей капители строим, пользуясь
приемами, изложенными в учебнике [5,
§ 67, рис. 295, 296].
Для построения каннелюр на торце
ствола колонны сначала делим
совмещенную полуокружность торца на
равные части по числу и распределению
каннелюр [5, § 67, рис. 293], а затем
строим перспективу внутренней
окружности, касательную к каннелюрам.
Прорисовывая каннелюры, надо
следить, чтобы каждая из них была
симметричной в перспективе,
относительно линий радиусов, проходящих через
точки касания внутренней окружности
к каннелюрам и не пересекала их
(рис. 322). Построение кривых
завершения каннелюр на цилиндрической
поверхности ствола колонны понятно
из чертежа и не требует пояснений.

20. Перспектива архитектурных деталей
7 л S?

Перспектива объектов гранича формы
21. Построение
перспективы объекта
способом сетки
Пример выполнения задания
324—336. Построить
перспективу объекта нерегулярной формы
способом сетки, построить тени (рис. 324).
Высоту горизонта от верхней точки
объекта надо брать не менее
половины общей высоты сооружения.
Задание выполняется в
соответствии с рекомендациями, данными в
учебнике *[5, § 71, рис. 310; § 76,
рис. 336—341].
Учебные задания (12 вариантов)
приведены на рис. 325—336.
/7? -
22. Перспектива
объектов
гранной формы
337—344. Построить
перспективу квадратной в плане башни (8
вариантов) по методике построения пер//
спективы карниза^ [5, § 74, рис. 327|.
Построить тени (рис. 337—344).
Пример выполнения
задания
345—352. Построить
перспективу объекта (церковь) с
использованием поднятого плана и
вспомогательной вертикальной плоскости.
Построить тени (рис. 345).

138 Перспектива
Л
Z
325
гГ
i
i
i
-И
^
( \
326
327
\
328

22. Перспектива объектов гранной формы

140
Перспектива
i
ЧГ
7t
333
334
335
336

22. Перспектива объектов гранной формы 141

142 Перспектива

Перспектива объектов граннои формы
14.?
б0 ъ
345

144 Перспект

22. Перспектива объектов гранной формы 145

146 Перс пектива

22. Перспектива объектов гранной формы 14/
352

148 Перспектива
Пояснения к выполнению задания.
Последовательность и приемы
построения перспективы аналогичны
выполнению задания, приведенного на
рис. 316, 317.
При выполнении перспективы
поднятого плана надо построить основу
гранной формы — перспективу
восьмиугольника, вписанного в квадрат,
разделив его диагонали приемами
пропорционального деления в соотношениях,
принятых в исходном плане. При
построении перспективы шатров
пирамидальной формы, скатных- крыш или их
частей следует находить вершины этих
форм, чтобы уточнить построения при
помощи полученных точек. При этом
необходимо соблюдать равенство и
пропорциональность свесов крыш и
других выступающих форм. На
приведенных в сборнике примерах
выполнения заданий показаны все
необходимые построения. Аналогичные
построения, выполненные в тонких
линиях, должны быть сохранены в
учебных работах.
Учебные задания (7 вариантов)
приведены на рис. 346—352.
Как уже указывалось ранее,
падающие тени могут быть отмыты
разведенной тушью или слегка затушованы
карандашом.
23. Перспектива интерьера
Пример выполнения задания
353—358. Построить
фронтальную или угловую перспективу
интерьера с тенями от точечного источника
света (рис. 353).
Приемы построения перспективы
интерьера и теней даны в учебнике
[5, гл. 18; § 77, рис. 344, 345].
Учебные задания (5 вариантов)
приведены на рис. 354—358.
24,. Построение
перспективы
объекта сложной формы
На рис. 359 приведен пример
выполнения перспективы сложного
объекта.
Задания для самостоятельной
работы
360—373. Построить
перспективу объекта, используя поднятый или
опущенный план и приемы деления
отрезков на пропорциональные части.
Построить тени.
/

24. Построение перспективы объекта и т. д. 149
4*
8&'
8- ^
СчГ
I
\ \—
оо'с оо'е ос
3,00 3,С
3,00 1
л
4
-Ф
■Ф
0. 5,60 |. 2,40
-
t-< ,
r
О
о
•
4,00
6,60
_
354
355

150 Перспектива
|**к,.
п
1-J-
—
Л
Г
г
357

24. Построение переспективы объекта и т. д.
План кафе
L

152 Перспектива

24. Построение перспективы объекта и т. д.
-ч
iff^ffvii 'faGvti
il\ Zii_i
P~-rz.~a — — cxz.'^'u" z.~i
Л
b.^.z-.n^-.z'.n— — л з".
*J
363
3641
'■'{-
L_
[¥
j IL^
mn/'
X. >ч
f^
h
—^
F^
Профиль
лестницы
■г"
N X
l L
1 г
//
•~"—:—i
1 I X I I
IV-J I
k. .11
■+^-f 1
365
3661
L

154 ПерспеЛ
+
ь
Парагг
ет
Профиль
лестницы
367
;-h
i
_: I
368
* Арка
/^
Профиль
леотницы
369
щр^ц^
370

24. Построение перспективы объекта и т. д. 155
/^\
24 части
371

Раздел V.
ПРОЕКЦИИ С ЧИСЛОВЫМИ ОТМЕТКАМИ
Решение задач в проекциях с
числовыми отметками предназначено
для выполнения изображений в
ортогональных проекциях проектируемых
объектов, в которых высота
существенно меньше размеров на плане,
например при вертикальной планировке
территории.
25. Взаимное пересечение
прямой, плоскости
и поверхности
Вопросы для самопроверки
1. Что называют заложением
отрезка прямой?
2. Что такое интервал прямой и
как определить эту величину?
3. Что называют уклоном отрезка
прямой линии?
4. Как выполняют градуирование
прямой?
5. Что называют масштабом уклона
или падения плоскости и как он
изображается на чертеже?
6. Укажите схему решения задачи
на пересечение прямой с плоскостью
или топографической поверхностью.
7. Поясните схему решения задачи
на пересечение двух плоскостей и
плоскости с топографической
поверхностью.
Пример решения задач
374. Построить линию
пересечения плоскостей, одна из которых
задана треугольником А^ВдСз, а
вторая — масштабом уклона (рис. 374).
Решение. Градуируем плоскость
/
треугольника (отмечаем
целочисленные отметки) и проведем ее
горизонтали 4 и 6 до пересечения с
одноименными (имеющими одинаковые
отметки) горизонталями плоскости,
заданной масштабом уклона [5, § 91,
рис. 386]. Точки Е и F пересечения
горизонталей определяют искомую
линию пересечения плоскостей.
Способом конкурирующих точек (например,
4 и 5,2) определяем видимость
плоскости треугольника.
Задачи
375. Определить угол наклона
и действительную величину прямой
АВ [5, § 90, рис. 384].
376. Определить угол наклона и
интервал плоскости, заданной
треугольником ABC.
377. Построить линию пересечения
двух плоскостей Р и Q, заданных
масштабами уклонов.

Проекции с числояычи отметками
378. Определить линию
пересечения плоскости Р, заданной масштабом
уклона, с топографической
поверхностью [5, § 92, рис. 388].
379. Построить точку пересечения
прямой линии АВ с плоскостью Р,
заданной масштабом уклона, и
определить видимость участков прямой.
380. Построить точку пересечения
прямой АВ с топографической
поверхностью и определить видимость
участков прямой.
381. Построить тень, падающую от
вертикальной прямой АВ на
топографическую поверхность. Указание:
следует построить сечение (профиль)
топографической поверхности лучевой
плоскостью, проходящей через прямую
и параллельную заданной проекции
луча и определить точку его
пересечения с профилем.
382. Построить падающую тень от
вертикальной стены ABCD на
топографическую поверхность.
Горизонтальная проекция луча и угол
наклона — заданы. Указание: следует
провести горизонтали наклонной
лучевой плоскости, проходящей через
верхнюю прямую B\bD\7, и найти их
пересечение с горизонталями
топографической поверхности. Для этого через
указанные точки проводим прямые,
параллельные проекции луча, и
градуируем их (интервал задан на схеме),
а затем проводим горизонтали
лучевой плоскости.

26. Примеры инженерных задач и вертикальной планировки
159
379
1 0 1 2 3м
■
380
26. Примеры
инженерных
задач
и вертикальной
планировки
Вопросы для самопроверки
1. Что называют границей
откосов или границей земляных работ?
2. Что такое линия нулевых работ?
Как ее построить?
3. Укажите способ построения
горизонталей откосов прямой дороги с
уклоном.
4. Укажите прием построения
горизонталей поверхности одинакового
ската на скругленных участках дороги
с уклоном.
Пример решения задач
383. Построить пересечение
откосов горизонтальной площадки с
отметкой -\-50 м между собой и с
топографической поверхностью,
заданной горизонталями, и определить
границы откосов. Уклон откосов 1:1
(рис. 383).
Решение. Перпендикулярно к
прямым линиям контура площадки
построим масштабы уклонов плоских
откосов [5, § 92, рис. 389]. Откос насыпи
полукруглой части площадки
представляет собой коническую поверхность.
Проведем через ее вершину (точку S)
образующую и проградуируем ее.
Получим горизонтали всех откосов.
Сначала определим линии пересечения
откосов между собой. Кривые линии

160 Проекции с числовыми огм чи
пересечения с откосом конической
формы являются кусками параболы.
Второй этап решения — построение
границ откосов или линий их
пересечения с топографической (земной)
поверхностью. Они проходят через
точки пересечения горизонталей с
равными отметками. Горизонтали
конической и топографической
поверхностей с отметками 43 м не
пересекаются. Промежуточную точку М
определяем с помощью профиля,
построенного вспомогательным сечением А—А
заданных поверхностей вертикальной
плоскостью. Профиль совмещен с
плоскостью чертежа.
Задачи
384. Построить границы
откосов насыпи, имеющих уклон 1:1 [5,
§ 91, рис. 387].
385. Построить линию
пересечения откосов выемки (уклон 1:1,5) с
топографической поверхностью и
поперечный профиль дороги и откосов
по Е—Е [5, § 92, рис. 389].
386. Горизонтальная площадка
круглого очертания имеет отметку
+ 17 м. Построить линию пересечения
откосов насыпи (конической
поверхности) с топографической
поверхностью (уклон образующей 1:1).
387. Построить линии пересечения
откосов насыпи дороги (уклон 1:1,5)
с топографической поверхностью и
профиль по А—А [5, § 92, рис. 390].
388. Построить линии взаимного
пересечения откосов горизонтальной
строительной площадки и пересечение
откосов с топографической
поверхностью, приняв уклон откосов насыпи
1:1 и уклон откосов выемки 1:1,5.

27. Комплексное учебное задание — построение границ и т. д. 161
27. Комплексное учебное
задание — построение
границ земляных работ
и профиля земляного
сооружения
Даны план земляного участка
в масштабе 1:200, рельеф которого
задан горизонталями, и план
земляного сооружения (рис. 389, табл. 4).
Требуется: 1. Нанести на план
участка в том же масштабе план
земляного сооружения так, чтобы центр
сооружения совпал с центром участка
и ось сооружения была наклонена к
6 Заю 1641

162 Проекции с чье
кции с числовыми отметками
40м
26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16
40 м
+ 22,000
И
Ось
S.
г
+ 22,000 ^
'
~р>\
0
15
' 7
s*\>
—> '
ТГ
w
•
,\
, I
389

27. Комплексное учебное задание — построение границ и т. д. 163
26
25 24 23 22 21 20 19
18 17 16
40 м
Профиль по А-А
М-б уклонов
24
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
Г^П
\
24
&»».
' »,
2
22,000
* -2
3 2
'-V /?}
2 2
°. ".'■'. °*
' AVjty
1
'^^^W.
о • "о
М7,
2
,^Г^1
0
<2
19
390
\

164 Проекции с числовыми от мет гам и
Таблица 4
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Тип
сооружения
А
Б
В
Г
А
Б
В
Г
А
Б
Отклонение
от меридиана
С 0°
СЗ 15°
С 0°
С 0°
СВ 15°
СЗ 30°
ЮЗ 15° ,
СЗ 30°
СЗ 30°
ЮВ 15°
меридиану под заданным углом (форма
сооружения и угол наклона оси
указаны в табл. 4). 2. Построить линии
пересечения откосов выемок и насыпей
земляного сооружения (площадки и
дороги) между собой и с
топографической поверхностью, приняв уклон
откосов выемок 1:1, уклон откосов
насыпей 1:1,5 и уклон дороги 1:6 [5,
§ 90, рис. 385, 387]. 3. Построить
профиль (сечение) земляного сооружения
по А—А.
Пример выполнения эпюра
приведен на рис. 390.

Раздел VI.
АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ
Автоматизированные системы
машинной графики и геометрии на
базе ЭВМ, графопостроителей,
графических дисплеев и других устройств
могут применяться для решения
различных задач начертательной
геометрии [5, § 38], в том числе задач
по определению линии пересечения
поверхностей и построению
разверток.
Для решения задач этого вида
используются заранее подготовленные
программы1, поэтому студентам не
обязательно знать языки
программирования и особенности управления
вычислительной машиной, достаточно
задать в установленной форме
исходные данные для работы программы,
процессе автоматизированного
рвения задач осваиваются принципы
деленного моделирования
геометрических объектов и операций, их
кодирования, особенности использования
координатных систем и др.
Студент, выступающий в роли
пользователя системы, подготавливает
исходные данные и записывает их на
бланках в виде таблицы. Затем эти
данные передаются в вычислительный
центр, где они вводятся в ЭВМ с
включением в работу соответствующей
программы. Результаты в виде машинной
печати и чертежей затем выдаются
студентам. Такой режим работы
называют пакетным. В настоящее время
1 Здесь предусмотрено использование
программ графической системы АЛГРАФ
(разработчик— Ю. В. Котов) для ЭВМ серии ЕС
и различных графических устройств. С
методическими материалами и программами можно
ознакомиться на кафедре начертательной
геометрии и вычислительном центре МАрхИ.
все большее распространение
получают диалоговые режимы, когда
студенты сами «общаются» с ЭВМ через
специальные пульты и дисплеи, вводят
информацию, управляют процессом
решения задачи, просматривают
результаты.
Далее кодирование исходной
информации и автоматическое решение
геометрических задач будут
выполняться в пакетном режиме.
Аналогичным образом решаются задачи и в
диалоговых режимах.
28. Автоматизированное
построение пересечения
поверхностей
Далее будут рассмотрены
операции, необходимые для решения
следующих задач:
1— пересечение прямой с
плоскостью;
2— пересечение двух плоскостей;
3— пересечение конуса (или
цилиндра) прямой линией;
4— пересечение конуса (или
цилиндра) плоскостью;
5— пересечение двух конусов
(цилиндров) ;
6— пересечение отсека
гиперболического параболоида и его
пересечение плоскостями.
Исходные данные, автоматическое
решение задачи в виде машинного
чертежа приведены на рис. 391.
Варианты учебных заданий для
кодирования и ввода в ЭВМ и решения
четвертой, пятой и шестой задач даны
на рис. 392—399.

166 Ля томатизироаанное решение задач
I
Расположение
координатных
осей
Первоначальное расположение
координатных осей трехмерной
системы (перед наблюдателем), принятое
для указанных программ, следующее:
ось X проходит слева направо, ось У —
снизу вверх, ось Z — от наблюдателя
(«левая» система), поэтому на эпюре
оси X и У отображаются на
фронтальной проекции, а оси X и Z — на
горизонтальной проекции. На
координатных осях нанесены масштабные
пометки.
Кодирование геометрических
объектов для ввода
их численных
моделей в ЭВМ
Линейные размеры задаются в
миллиметрах, угловые — в градусах
(без простановки обозначений
градусной меры).
1. Отрезок прямой в пространстве
задается координатами его конечных
точек, записываемыми в следующем
порядке: хи у\, z\, x2, j>2, z2 (рис. 400).
Аналогично, двумя принадлежащими
ей точками, задается прямая.
2. Плоскость задается
координатами трех принадлежащих ей точек:
х\, у\, z\; X2, у 2, z2; x3, у г, z3. На эпюре

6
0
40
у
100
/80
/ 60
' 40
20
20
-
-
-
0
i
20
i
40
\ i
60
1 и
во
80
1
60
/ 1
40
у
100
/во
/ 60
40
1
20
,
0
1
20
i \
40
i
60
i
80
40 J/ 20 /'
/X
z
6С
40
20
0
20 40 \ 60^ 80 Л
1 39

168
Автоматизированное решение задач
40
,
40
у 4
100
80
60
40
20
60
— - 40
Г 20
\5лА
20
, , , ,\l 1
0
1-
1
20
20
i
40
\\\.
40
i
60
60
1
80
80
,
i
100
1
100
/ш
/ п
120
—I—— х
120
399
80
80
60 40
60 Л
чо
мог
/оо
/ 80
/ \ 60
/ \
1 ^40
\
J 20
i i i I
20
40
/*\ 20
20 0
У
0
•2
60
\
\
■
20
20
\
40
V40 \
60
60
и-Х
—х
397

2Я. Л,
400
плоскость отображается в виде
треугольника (рис. 401).
3. Конус круговой, усеченный,
частного положения с осью, параллельной
координатной оси z (рис. 402),
задается тремя координатами центра
одного из оснований, радиусами двух
оснований и высотой; эти параметры
записываются в следующем порядке:
хс, ус, zc R\, R2, H.
Высота конуса может быть задана
отрицательной; в этом случае фигура
от заданного центра первого
основания будет направлена в сторону
отрицательного луча оси Z.
Для задания цилиндра радиусы
оснований равны — R2=Ri, для задания
конуса с вершиной принимают R2=0.
4. Конус общего положения может
оматизированное построение пересечения поверх
403
быть задан в результате двух поворотов
конуса частного положения. Первые
шесть параметров численной модели
те же, что для конуса частного
положения, 7-й и 8-й параметры — углы
двух поворотов: хс, ус, zc, Rit R2, H, а, р\
Первый поворот, считая от частного
положения конуса, осуществляется
вокруг оси, проходящей через заданный
центр его основания параллельно оси
X (рис. 403), второй поворот — вокруг
оси, лежащей в плоскости основания
и перпендикулярной оси первого
вращения параллельной плоскости Х=0
(рис. 404). Если задано а=0, то ось
второго вращения вертикальна, т. е.
параллельна оси У. Для конкретных
заданий обычно или а=0, или 0=0.
Направления положительного от-

Автоматизированное решение задач
счета углов поворотов показаны на
рисунках (от оси У к оси Z и от оси
X к оси Z).
5. Отсек гиперболического
параболоида в виде неплоского
четырехугольника задается координатами четырех
вершин: Х\, у\, z\\ x2, у2, z2; хз, У г, z3;
х4, з>4, z4. Первые две вершины должны
принадлежать одному ребру, третья
располагается «диагонально» ко
второй (см. рис. 405).
Порядок записи информации
на бланках
Запись на бланках
осуществляется по колонкам (позициям).
В одной колонке записывается буква,
цифра или знак (например, точка).
Для всех задач на первой строке, в
первых 16 колонках записывается
фамилия студента (сокращенно), номер
группы и, если требуется, номер
варианта задания. На второй и третьей
строке записываются численные
модели геометрических фигур (в
зависимости от задачи); условные
обозначения переменных не проставляются.
Числа записываются каждое в пяти
последовательных позициях; в
пределах этих позиций запись можно
смещать, но каждое число записывается
с десятичной точкой, отделяющей
дробные разряды или, если число
целое, проставляется после числа. Знак
минус ставится по мере
необходимости.
Формирование и выполнение
заданий
При решении всех
перечисленных задач автоматизированная
система вычерчивает две ортогональные
проекции фигур, некоторые варианты
программ считают фигуры прозрачными
друг для друга, другие контролируют
видимость частей объекта. Некоторые
программы вычерчивают
дополнительно развертку поверхности.
1. Пересечение плоскости и прямой.
На первой строке (см. выше) задаются
данные о студенте, на второй — чис-
Ось второго
вращения
ленная модель плоскости (9
координат) , на третьей — модель отрезка
(6 координат); отрезок должен
пересекать заданную треугольную грань.
2. Пересечение двух плоскостей.
На второй и третьей строках
задаются численные модели
плоскостей-треугольников, которые должны иметь
общую прямую пересечения.
3. Пересечение конуса и прямой.
На второй строке записываются
параметры конуса частного или общего
положения. Это может быть усеченный
конус, конус с вершиной или цилиндр.
На третьей строке записывается
численная модель отрезка (прямой).

29. Автоматизированное построение перспективных изображении
40
30
20
10
'ОС
±
50
40
30
20
zoc
1—
20
40
-1 1-^**
60
^
^"'^ i 1—
80
100 хос
^
10 /20 30 40 50 60 70 80 90 100 Х0
406
4. Пересечение конуса и плоскости
с вычерчиванием развертки боковой
поверхности без отсеченной части и
истинного вида сечения. На второй
строке записываются параметры
конуса частного или общего положения,
на третьей — численная модель
плоскости. Машинный чертеж для одного
из вариантов был показан на рис. 391.
5. Пересечение двух конусов с
вычерчиванием развертки боковой
поверхности первого конуса и
нанесением на нее линии пересечения. На
второй и третьей строках записываются
модели двух конусов частного или
общего положения (усеченных, с
вершинами или двух цилиндров).
6. Формирование отсека
гиперболического параболоида с нанесением
двух семейств прямолинейных
образующих и пересечение его
горизонтальными плоскостями с построением и
вычерчиванием условной развертки
поверхности.
На второй строке записывается
численная модель поверхности, на
третьей — следующие дополнительные
параметры:
TVp — число наносимых
образующих каждого семейства (уменьшенное
на единицу);
]\[р — число задаваемых секущих
горизонтальных плоскостей —£ const);
Yo — координата У, определяющая
положение первой секущей плоскости;
dy — Шаг расположения секущих
плоскостей.
29. Автоматизированное
построение перспективных
изображений
Для выполнения этого
учебного задания необходимо на
специальном языке АЛГРАФ-Р задать
сначала вид проекции и ее параметры, а
затем — типы и численные модели
геометрических фигур [5, § 88, 89].
В зависимости от конкретных
условий задача может решаться, в пакетном
или диалоговом режиме, объекты
могут быть представлены «прозрачными»
или непрозрачными. По кодированию
объектов преподавателем должны быть
даны дополнительные указания. Текст
на языке АЛГРАФ-Р записывается
строками переменной длины (не более
72 символов в строке), числа и слова-
коды (которые будут объяснены ниже)
отделяются друг от друга запятыми.
Точка и знак минус в числах
проставляются по мере необходимости. Слова-
коды, за некоторым исключением,
содержат русские буквы и цифры. В
конце текста ставятся запятая и знак &
(алтер-стенд).
Пример исходных данных и
машинный чертеж приведены на рис. 406
а варианты учебных заданий на
рис. 407—410.

172 Автоматизированное решение задач
>
*у
ОС
50 I
40
30 |
20
10
,г~п.
10 20 30 40 50 60 70 Хос
407
20 40
♦ 20С
10 20 30 40 50 60 70 Хос
409
АУ°с
50
40
30
20
10
г^-л
J I I L
40 \-
20 Ь
zoc
- (i
- \
I
20
f-
ч
1
40 60
1
J
..е
[\
X
*ос
—»-
10 20 30 40 50 60 70 Хос
408
х0с
* z
50
40
30
20
10
ОС
ф
J I I I I L
10 20 30 40 50 60 70 X
ОС
410

29. Автоматизированное построение перспективных изображении
411
Задание вида
и параметров
проекции
Для задания перспективной
проекции служит код ПРБПЕР,
параметры проекции одним из способов
задаются кодом АКС1, за которым
записываются семь численных
параметров. Фрагмент записи с
условными обозначениями параметров
(которые следует заменить числами)
выглядит так: ПРБПЕР, АКС1, Х„ Yр,
Z„- Xs, Уда Z„ М, где: Хр, У'р Zp —
координаты главной точки картины Р
(рис. 411), заданные в
пространственной координатной системе, в
которой будут описаны и геометрические
фигуры; Xs, Ys, Zs — координаты точки
зрения S (центра проецирования);
М — масштабный множитель,
пропорционально изменяющий размеры
всего изображения.
При данном способе задания
проекции линия горизонта располагается
на картине горизонтально,
расстояние между главной точкой картины и
центром проецирования представляет
собой главное расстояние (с учетом
масштабного множителя).
Изменение положения
координатных осей
Поскольку геометрическая
композиция, состоящая из нескольких
геометрических фигур, расположена
относительно осей координат в частном
положении, для задания фигур в
общем положении предусмотрено
использование координатных
преобразований. В данной работе используются
только два частных преобразования,
заключающихся в смене координатных
осей. Подразумевается, что
геометрические фигуры задаются в частных
координатных системах (ЧКС), а
программа сводит описание всех фигур в
основную систему (ОКС) и затем
строит проекцию.
Код XZY «меняет местами» оси У
и Z, после чего ось Z ЧКС будет
направлена вертикально (рис. 412,6).
Код ZYX меняет местами оси X и Z
и ось Z будет направлена слева
направо, если иметь в виду начальное поло-

174 Автоматизированное решение задач
Мое .У
Z5
*0С»Х
,Уос.У
zoc*
А
хпг ,х
в
У ос,У
хос>*
412
жение системы перед наблюдателем
(рис. 412). Код XYZ восстанавливает
первоначальные направления осей
(рис. 412). После задания одного из
этих кодов новые направления осей
сохраняются до тех пор, пока не будет
задан новый код этой группы.
Задание различных
геометрических фигур
1. Задание отрезка прямой. Из
различных возможностей задания в
пространстве прямых, ломаных и
кривых линий, а также других фигур
ограничимся заданием отрезков общего
положения. Код задания отрезка —
ОТРЕЗП, его параметры —
координаты конечных точек: Х\, Y\, Z\;
Х2, Yi, Z2.
2. Задание параллелепипеда
частного положения. Параллелепипед,
ребра которого параллельны осям ЧКС,
задается кодом ПРПП или ПРПН и
шестью параметрами: Х\, Y\, Z\, A,
В, С. Первые три параметра —
координаты какой-либо вершины,
следующие три — длины трех ребер,
сходящихся в заданной вершине и
параллельных осям X, Y, Z
соответственно. Длины ребер могут быть заданы
отрицательными. Как показано на
рис. 413, код ПРПП обеспечивает
вычерчивание всех ребер «прозрачного»
параллелепипеда, код ПРПН —
вычерчивание только ребер граней,
ориентированных наружной стороной к
наблюдателю («полное» устранение
невидимых линий осуществляется
специальными программами при
внесении небольших дополнений в
кодирование объектов).
3. Задание параллелепипеда общего
положения. Без применения
координатных преобразований
параллелепипед может быть задан повернутым
вокруг ребра, параллельного оси Z ЧКС
(его четыре ребра остаются
параллельными оси Z). Код задания
параллелепипеда — ПРПУГП или ПРПУГН,
его параметры следующие: Х\, Y\, Z\,
А, В, С, а. Первые шесть параметров
имеют тот же смысл, что для
параллелепипеда частного положения,
седьмой— угол поворота (рис. 414).
4. Задание призмы. Призмы в ЧКС
располагаются так, чтобы их боковые
ребра были параллельны оси Z, а
основания параллельны плоскости Z=0
(рис. 415). Код задания призмы —
ПРИЗМП (вычерчиваются все ребра)
или ПРИЗМН. После кода
записываются следующие параметры:
Z0 — координата Z для плоскости
первого основания призмы;
Н — высота фигуры (длина
бокового ребра); может быть задана отри-'
цательной;
Х[, Y\; Хч, Уг.»— по две
координаты для каждой последовательно
расположенной вершины одного
основания; при использовании кода

JV. Автоматизированное пост роение перспективных изображений 1 'J
код В или другой код завершает
описание призмы.
. 5. Задание конуса. Конус в ЧКС
занимает частное положение и
задается кодом КОНУС и теми же шестью
параметрами, которые были описаны
выше (см. рис. 402).
Порядок кодирования
геометрической
композиции
При выполнении данного
задания сначала следует расчленить
композицию на отдельные геометрические
фигуры (тела), уточнить их
положение и необходимые направления осей
для каждого тела. В некоторых
случаях геометрические фигуры могут
частично пересекаться друг с другом.
Затем намечают центр проекций
относительно объекта, определяя тем
самым необходимый ракурс, и
положение картинной плоскости, после чего
приступают к кодированию.
В начале текста геометрического
описания задают вид проекции и ее
параметры, затем кодируют
геометрические фигуры. Целесообразно
сначала последовательно кодировать фигуры
одного вида, в этом случае код вида
фигуры повторять не обязательно.
В соответствующих местах текста
проставляют коды смены координатных
осей. Завершить описание следует
кодом СТОП и запятой, а также
знаком^.
На рис. 406 были приведены план
и фасад композиции. Для призмы,
конуса и цилиндра (частный случай
конуса) ось Z ЧКС должна быть
расположена вертикально.
Текст описания может быть
следующий:
ПРБПЕР, АКС1, 40, 5, 30, —70, 70,
.U —100, 1, ПРПН, 15, 0, 25, 15, 20, 25,
75, 0, 15, 15, 40, 30, XY, ПРИЗМН,
0, 10, 0, 35, 15, 35, 15, 50, 30, 50, 30,
ПРИЗМН следует обойти основание 35, 75, 35, 75, 40, 90, 40, 90, 35, 100,
призмы в «положительном» направле- 35, 100, 55, 0, 55, В, КОНУС, 50, 15,'
нии (от направления положительного 0, 15, 15, 12, 50, 15, 12, 15, 10, 3,
луча оси X к направлению луча оси У); СТОП #.
414
I
.
У
1^г
1 . ( 1
r=I
■—-is^
*/
Xi-V"
Плоскость
■^ первого
основания
X
415

спис
Р 'ТЕРАТУРЫ
1. Бубенников * В. Гччертательная
геометрия.— М.: Высшая школа, 1985.
2. Гордон В. О., Иванов Ю. Б.
Солнцева Т. Е. Сборник задач по курсу
начертательной геометрии.— М.: Наука, 1967.
3. Климухин А. Г. Начертательная
геометрия.— М.: Стройиздат, 1978.
4. Климухин А. Г. Сборник задач по
начертательной геометрии.— М.: Стройиздат, 1982.
5. Короев Ю. И. Начертательная геомет-
рня.— М.: Стройиздат, 1987.
6. Котов Ю. В. Геометрическое
конструирование и машинная графика, ч. I.— М.:
МАДИ, 1983.
7. Котов Ю. В., Симонин С. И.
Автоматизация построения наглядных изображений с
применением ЭВМ, ч. II.— М.: МАДИ, 1978.
8. Локтев О. В., Числов П. А. Задачник
по начертательной геометрии.— ,М.: Высшая
школа, 1977.
9. Колотое С. И. и др. Начертательная
геометрия с элементами программирования.—
Киев, Высшая школа, 1975.
10. Начертательная геометрия/Под ред.
Н. Н. Крылова.— М.: Высшая школа, 1984.
11. Тимрот Е. С. Начертательная
геометрия.— М.: Стройиздат, 1962.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . '. 5
Общие методические указания к решению
задач 6
Раздел I. Ортогональные проекции ... 7
1. Точка, прямая линия и
плоскость 7
2. Способы преобразования
проекций 16
3. Многогранники 20
4. Кривые линии и поверхности 26
5. Пересечение кривой
поверхности плоскостью и прямой
линией 30
6. Взаимное пересечение
поверхностей 32
7. Развертывание поверхностей 40
8. Построение очертаний
поверхностей и плоскостей, ка- \
сательных к поверхностям . 41 ■
8. Геометрическое
формообразование поверхностей ... 42
10. Задачи для самостоятельной
работы 45
11. Комплексные учебные задания 54
Раздел II. Тени в ортогональных проекциях 67
12. Тени простых форм . . .68
13. Тени карнизов, кронштейнов,
капителей и портиков . 77
14. Тени поверхностей вращения 82
15. Тени сложных форм ... 90
Раздел III. Аксонометрия 107
16. Построение
аксонометрических изображений и решение
позиционных задач в
аксонометрии 107
17. Построение теней в
аксонометрии 112
18. Комплексное учебное
задание — построение
аксонометрии и теней 119
Раздел IV. Перспектива 120
19. Построение перспективы
простых объемов 121
20. Перспектива архитектурных
деталей и фрагментов . . . 130
21. Построение перспективы
объекта способом сетки .... 137
22. Перспектива объектов гран-
ной формы 137
23. Перспектива интерьера . . . 148
24. Построение перспективы
объекта сложной формы .... 148
Раздел V. Проекции с числовыми
отметками 157
25. Взаимное пересечение
прямой, плоскости и поверхности 157
26. Примеры инженерных задач и
вертикальной планировки . . 159
27. Комплексное учебное
задание — построение границ
земляных работ и профиля
земляного сооружения . . . 161
Раздел VI. Автоматизированное решение
задач начертательной геометрии . . 165
28. Автоматизированное
построение пересечений
поверхностей 165
29. Автоматизированное
построение перспективных
изображений 171
Список литературы 176

КОМПЛЕКСНЫЕ УЧЕБНИКИ И УЧЕБНЫЕ ПОСОБИЯ
ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ «АРХИТЕКТУРА»
I. Архитектурное проектирование общественных зданий
и сооружений
2. Рисунок
3. Скульптура
4. Колористика
5. Живопись
6. История русской архитектуры
7. История советской архитектуры
8. Современная советская архитектура
9. История градостроительного искусства
10. Реставрация памятников архитектуры
II. Основы теории градостроительства
12. Основы архитектурной композиции
13. Градостроительство
14. Объемно-пространственная .композиция -
15. Архитектурное проектирование промышленных предприятий
16. Основы архитектурного проектирования
Д7. Типология зданий
18. Начертательная геометрия
19. Архитектурное материаловедение
20. Архитектурные конструкции
21. Строительная механика
22. Строительная физика
23. Технические средства в архитектурном проектировании
24. Санитарно-техническое оборудование зданий и сооружений
COMPLEX TEXT-BOOK
IN SPECIALITY «ARCHITECTURE»
1. Architectural designing of public buildings and structures
2. Drawing
3. Sculpture
4. Colour matching
5. Painting
6. History architecture
8. History of soviet architecture
8: Modern soviet architecture
9. History of town building art
10. Rectoration of architectural monuments
11. Fundamentals of town building theory
12. Fundamentals of architectural composition
13. Town building
14. Three-dimensional arrangement
15. Architectural designing of industrial enterprises
16. Fundamentals of architectural designing
17. Typology of buildings
18. Descriptive geometry
19. Architectural materials
20. Architectural structures
21. Structural mechanics
22. Structural physics ...
23. Use of technical means in architectural designing
24. Sanitary-engineering equipment of buildings and structures

';jr.
•'
; ~i'-\4*
--■;