/
Теги: физика
Текст
УДК 530.145.1
В основу книги положен курс лекций по теории ренорма-
лизационной группы и е-разложению, прочитанный К- Вильсо-
Вильсоном в Принстонском университете в 1972 г. В ней изложены
идеи, приводящие к новому перспективному подходу к систе-
системам с большим числом степеней свободы и, в частности, к проб-
проблеме фазовых переходов, скейлинга, аномальных размерностей
и т. д.
Книга рассчитана на физиков-теоретиков и математи-
математиков, ее можно также рекомендовать аспирантам и студентам
старших курсов в качестве дополнительного пособия по курсам
статистической физики и квантовой теории поля.
Редакция литературы по физике
9П4П9 nen ® North-Holland Publishing Company, 1974
041@1)-75 © Перевод на русский язык, «Мир», 1975
К. Вильсон, Дж. Когут
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА И 8-РАЗЛОЖЕНИЕ
Редактор Е. И. Майкова Художественный редактор Е. К. Самойлов
Технический редактор Н. Б. Панфилова
Сдано в набор 4/VII 1975 г. Подписано к печати 31/Х 1975 г. Бумага № 2 60Х84'/и=8 00
14,88 печ. л. Уч.-изд. л. 13,84. Изд. № 2/7907. Цена 1 р. 38 к. Зак. 409.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР> Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени Ленинградская типография № 2 имени Евгении
Соколовой Союзполиграфпрома при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 198052, Ленинград, Л-52,
Измайловский пр.,- 29"
Предисловие редактора перевода
Новый подход к проблеме фазовых переходов, развитый
в работах К. Вильсона A971 —1973), является прекрасной
иллюстрацией роли физической идеи при построении содер-
содержательной теории. Подход Вильсона — по существу реализа-
реализация весьма наглядных рассуждений Л. Каданова A966), в ко-
которых постулируется, что «огрубление» ситуации в областях
размером Л-1, много меньшим корреляционной длины |
(Л-1 <С |, | ~ | Т — Т"с | —v), приводит «лишь» к мультиплика-
мультипликативной перенормировке т = |1—TJT\ u магнитного поля.
Многократное «огрубление» при сохранении роли | может
в итоге доставить информацию о поведении физических ве-
величин, которое определяется взаимодействием длинноволно-
длинноволновых флуктуации, т. е. позволяет изучить поведение термоди-
термодинамических величин и корреляционных функций при фазовых
переходах.
Исходным пунктом анализа Вильсона — мы будем далее
придерживаться простой формулировки Ма [2] — является не-
некий «затравочный» эффективный гамильтониан
т=\
1
ft,..",
>
i' 2m
N 2m
) П ^г (?/)
1И2/> ^/^Л,
A)
определяющий распределение вероятностей
^); B)
здесь fi (k) — фурье-компонента случайной переменной, при-
принимаемой за вектор в «-мерном пространстве: 1 sc; i ^ п,
«2т — эффективные параметры взаимодействия, d — размер-
размерность пространства. Ясно, что Р при фиксированном п вполне
определяется параметрами «2т. полный набор которых обра-
образует параметрическое пространство S:
Ц = (М2.-«4,---)- C)
Все качественные аспекты своего подхода Вильсон в данкой
книге проиллюстрировал, выбрав в качестве «затравочного»
5.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
гамильтониана гамильтониан Гинзбурга — Ландау:
t. k<A
+ "IT" ? Ъ (P+Q Ь (Ч ~ *) */ (Р) */ (?), I* = («. to, «4),
г. /: ft. ч, р /4ч
дающий нетривиальную реализацию ренормализационной
группы лишь для d = 4 — е, е —> 0. Это позволило ему полу-
получить разложение критических индексов в ряд по е. На каж-
каждом этапе преобразования, которое будет пояснено ниже,
можно выделить в Mi член, квадратичный по \фг(к) |2; сред-
среднее с гамильтонианом, пропорциональным \фг(к) |2, от любого
произведения ?,(?) несложно вычислить, что позволяет раз-
развить диаграммную технику, эффективную при е—> 0. Весь
этот круг вопросов детально разработан в гл. 3—8.
Поскольку k в аргументе фг(к) принимает Ld дискретных
значений, то налицо n-Ld значений случайной переменной,
участвующих в определении Ж, см. A). Вильсон предложил
«сократить» число переменных, переходя от переменной Р, за-
задаваемой формулой B), к Р'\
k'
E)
т. е. он предложил произвести интегрирование в Ж по фурье-
компонентам с величинами к', лежащими в интервале (Л/s, Л),
затем преобразовать аргументы &(?) с к < Л/s к прежнему
масштабу в ^-пространстве и далее изменить «масштаб» (см.
гл. 3) fi(sk):
Коэффициенты при произведениях &(?) в Ж образуют новое
пространство ц'. Если интересоваться поведением средних от
различных произведений &(?) при k < Л/s, то использова-
использование Р и Р' эквивалентно. Необходимо лишь провести преоб-
преобразование непроинтегрированных переменных и умножить
среднее на соответствующую степень as. Так, например,
откуда, если учесть, что
= G (k) 6l7 - \ ddx (ft (x) fj @)> е-'»*
6
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
где G(k)—корреляционная функция, находим
Rs\i). (8)
Полученное распределение Р' описывает систему объемом
L'd = s~dLd. Таким образом проведено эффективное сокраще-
сокращение числа значений случайной переменной fi(k) до п X s~dLd.
Далее необходимо преобразовать Ж в формуле E) к виду A)
и, учитывая, что L'd = s~dLd, сравнить коэффициенты при
одинаковых произведениях fi(k) вЖи Ж'. В итоге мы при-
придем к совокупности связей между «2т и «jOT, формально за-
записываемых в виде
(9)
Набор преобразований Rs и определяется как ренормализа-
ционная группа, отвечающая преобразованию, описанному
выше, переводящему Р в Р'. Поскольку RsRS'l>- = Rss'li, то
asaS' = aSs', что позволяет выбрать as в виде as = sy = sl~r]/2.
Такой выбор as наряду с преобразованием <!>i(k)—>ascl>{(sk)
в E), можно интерпретировать как масштабное преобразова-
преобразование 4>i(k)—>sy<f>i(sk), размерность которого г/=1—ti/2 опре-
определяется по отношению к неподвижной точке преобразова-
преобразования Rs:
\f = RsV. (Ю)
Уравнение A0) резонно изучать в пределе s—> оо и интерпре-
интерпретировать как уравнение на «собственное значение» у =
= 1 — т)/2, отвечающее собственному вектору ц*. В общем
случае это нелинейное уравнение, относительно решений ко-
которого пока не существует каких-либо строгих заключений;
проблема изучения поведения решений A0) обсуждается
в гл. 12 и 13 на чисто качественной основе, где преобразова-
преобразования (9) и A0) рассматриваются просто как преобразования
точки ц в параметрическом пространстве в точку \i'.
Очерченную выше формальную схему Вильсон наполняет
физическим содержанием, предполагая, что набор эффектив-
эффективных параметров ц = («2, щ, ...) представляет канонический
ансамбль при температуре Т. При этом, если температура Т
весьма близка к Тс, для больших s параметр ц'(Т') может
оказаться весьма близким к \i*. Естественно, существенным
здесь является выбор параметров взаимодействия в затравоч-
затравочном гамильтониане D) (этот вопрос обсуждается в гл. 1 и 4).
Линеаризуя /?s, т, е. Rs -*¦ R%, можно в непосредственной
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
окрестности Те считать, что ц' = ц* + бмЛ ц = ц* + 6ц, и по-
поставить . задачу на собственные значения вида 6,и' = R^бц.
Полагая, что найдены собственные значения г/г- и собственные
векторы ей имеем
Дальнейший прогресс в данной проблеме связан с конкрет-
конкретным нахождением г/г- и ег-. Достаточно полно исследованные
случаи е-разложений (гл. 12) и сферическая модель с п ^> 1
(Ма, 1973) позволяют заключить, что в окрестности Тс ситуа-
ситуация довольно простая: ух > 0, г/г- < 0, i ^ 2; точки ja на «кри-
«критической поверхности» (t\ = 0) при s —> сх> приближаются
к точке [а*, а точки, выбранные не на критической поверхно-
поверхности, удаляются от точки jx* по направлению в\. Выбирая тем-
температуру Т весьма близкой к То [ц = ц* -f- 6ц (Г)] и считая,
что
имеем
RL6\i(T) = A(T-Tc)s^e1 + O(Sy>), ± = yr A1)
Используя (8) при s->°°, получаем
G (k, ц (Г)) = s2-" [G (sA, ji* + А (Т - Тс) s^e{ + О (**))]; A2)
выбирая s = A/2k (А — фиксировано), при Т = ТС имеем
А
A3)
т. е. получаем уравнение для определения т). При этом точ-
точность приближения A3) оценивается последним отброшен-
отброшенным членом: размер области в ^-пространстве, когда справед-
справедлива степенная асимптотика Фишера — Барфорда, в основном
определяется величиной г/г (У2 < 0). Если считать Т— Тс > 0,
k = 0 и взять s = tr", t\ « A(T — Тс), то формула A2) даст
G@, n(T)) = tTB-
»(Г-Гв)Л y = vB-4). A4)
Уравнение A4), подтверждая одно из соотношений «скей-
линга», позволяет, зная из A3) ц и из A1) v, найти у. Закон-
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
ность аппроксимации A4) определяется величиной отноше-
отношения — ydyi = \У2\/Уи т-е- по-прежнему величиной второго
собственного значения г/г- Поскольку ^ >—^ [ 7" — rc|~v, то A1)
дает
следовательно, мы можем интерпретировать действие Rs как
сокращение корреляционной длины в s раз; при этом A3) —
A5) позволяют сделать заключение, что гипотеза «скейлинга»
справедлива, если для Rs при s —* оо вблизи ц* доминирую-
доминирующим является вклад члена с у\. Естественно, мыслимы мо-
модельные системы с г/, > 0, г/2 > 0; в работе [3] было предло-
предложено использовать это для описания так называемых три-
критических явлений, могущих иметь место в Не3 — Не4. Не
исключено наличие нескольких фиксированных точек; суще-
существенным может оказаться симметрия гамильтониана взаи-
взаимодействия (например, относительно непрерывной группы
вращений или отражений в статистической механике). Каче-
Качественное обсуждение этого содержится в гл. 12.
Метод Вильсона, бесспорно, позволил глубже исследовать
проблематику фазовых переходов; в распоряжении исследо-
исследователей появился общий регулярный и стандартный метод
расчета критических индексов. Статистическая физика обога-
обогатилась весьма нетривиальной методикой исследования макро-
макроскопических систем. Самому Вильсону принадлежат попытки
распространить этот подход и на проблематику квантовой тео-
теории поля. Здесь оказалось возможным, если исходить из ре-
решеточных моделей статистической механики с анизотропным
взаимодействием, позволяющих свести проблему вычисления
статистической суммы к проблеме вычисления матрицы пере-
переноса, переформулировать их на языке некоторой полевой
модели с обрезанием, гамильтониан которой и определяется
через матрицу переноса и которая имеет положительную мет-
метрику. При этом спин-спиновая корреляционная функция в ста-
статистической теории (если говорить для определенности о спи-
спиновых моделях) эквивалентна пропагатору квантовой теории
поля при дискретных значениях чисто мнимых временных пе-
переменных.
Сформулированная в первых главах диаграммная техника
оказывается фейнмановской диаграммной техникой, позво-
позволяющей находить соответствующие полевые «вершины*
9
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
в пространственно-подобной области (нефизическая размер-
размерность задач статистической механики d = 4 — е, е —> 0 соот-
соответствует нефизической размерности пространственных компо-
компонент импульсов полевых операторов d = 3 — е, е—*0). Этим
вопросам посвящены гл. 9 и 10. Особенно удачно, на наш
взгляд, изложен материал гл. 10. Предложенная здесь Виль-
Вильсоном переформулировка сталкивается с рядом трудностей,
обусловленных способом снятия обрезания, и не приводит
пока к таким впечатляющим достижениям, как в проблеме
фазовых переходов; сам он полагает, что поработать в этом
направлении стоит. Несколько особняком стоит гл. 11, в кото-
которой преобразования ренормализационной группы сформули-
сформулированы (опубликовано впервые!) в дифференциальной форме.
Результаты использования этой формы иллюстрируются на
примере простейшего «затравочного» гамильтониана в прило-
приложении.
В разных главах Вильсон упоминает о «стандартной» груп-
группе мультипликативных перенормировок квантовой теории
поля [4, 5]. Зачастую это носит дискуссионный характер. Не
вдаваясь в глубокую и неисследованную проблему соотноше'
ния между подходом Вильсона и более старым, но бесспорно
оправдавшим себя и остающимся до сих пор весьма перспек-
перспективным строгим подходом [4, 5], отметим, что Гелл-Манн и
Лоу использовали уравнения ренормализационной группы
для получения конкретных сведений об ультрафиолетовой
асимптотике функции Грина в квантовой электродинамике
[4]. Весьма успешным оказалось использование соответствую-
соответствующих групповых уравнений Ли, сформулированных Н. Н. Бо-
Боголюбовым и Д. В. Ширковым [5], в проблемах мезон-нуклон-
ного взаимодействия, для анализа ультрафиолетовой и ин-
инфракрасной асимптотик в спинорной электродинамике и
других полевых теориях (обзор и ссылки см. в книге [5]). На
основании уравнений Ли для ренормализационной группы
было показано, что степенные асимптотики и выражения мас-
масштабно-инвариантного типа могут отвечать как конечным, так
и некоторому классу бесконечных перенормировок [6], кроме
того, были исследованы логарифмически перенормируемые
модели квантовой теории поля и проведена четкая классифи-
классификация модели в зависимости от значения инвариантных заря-
зарядов (см. в особенности работу [7], где даны необходимые
ссылки).
1Q
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Данное издание представляет собой первое полное изло-
изложение нового подхода К. Вильсона и должно заинтересовать,
по нашему мнению, как специалистов в области статистиче-
статистической физики, так и физиков, занимающихся теорией поля. Из-
Изложение в ряде глав B,3) ведется на элементарном уровне,
но основной материал требует весьма тщательной проработки.
Подстрочные примечания и небольшие исправления, внесен-
внесенные переводчиком и редактором, ни в коей мере не избавляют
от необходимости внимательного и критического изучения ма-
материала книги. Лучше всего все выкладки проделать заново —
результат стоит потраченного труда. Прекрасным дополне-
дополнением к этому изданию является обзор Ма [2]. Мы бы посове-
посоветовали начать изучение подхода Вильсона именно.с прора-
проработки этого обзора. Новый подход Вильсона перспективен,
идеи и методы его, безусловно, будут развиваться, изучение
его необходимо и можно быть уверенным, что издание этих
лекций в СССР будет способствовать дальнейшему прогрессу
в области теоретической физики.
В. К. Федянин
ЛИТЕРАТУРА
1. Kadanoff L P., Physics, 2, 263 A966).
2. Ma S. К., Rev. Mod. Phys., 45, № 4, A973).
3. Wegner F. J., Riedel E., Phys. Rev., 157, 248 A973).
4 Gell-Mann M., Low F., Phys. Rev., 95, 1300 A954).
5. Боголюбов ft. H., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных по-
полей, изд-во «Наука», 1973.
6. Ширков Д. В., Nucl. Phys., B62, 194 A973).
7. Ширков Д. В., Лекции в школе по физике элементарных частиц, Тби-
Тбилиси, 1973.
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
Целью настоящей книги является обсуждение недавних
работ, в которых рассматривался метод ренормализащюннои
группы (РГ) и его приложения к критическим явлениям и
теории поля. Возникшие здесь представления проиллюстриро-
проиллюстрированы с помощью другой предложенной в последнее время
идеи об определении критических явлений и теории поля
в пространстве размерности 4 — е [в теории поля D — е) —
размерность пространства-времени] и последующем разложе-
разложении по степеням е. Особенности метода РГ и е-разложения
демонстрируются в первую очередь на примере критических
явлений, причем основное внимание уделяется изложению
основных идей, а не частным результатам. Настоящая книга
не является исчерпывающей, т. е. она не может заменить всей
литературы по этому вопросу. Данная глава является до-
довольно общей и в какой-то степени абстрактной. Большинство
следующих глав более конкретны, поскольку касаются вполне
определенных проблем и вычислений.
В конце книги приводится общий список литературы и
список последних работ по РГ и е-разложению, содержание
части из них непосредственно примыкает к проблемам, рас-
рассматриваемым в настоящей главе ').
§ 1. РЕНОРМАЛИЗАЦИОННАЯ ГРУППА
И ПРОБЛЕМЫ КОГЕРЕНТНОСТИ В ФИЗИКЕ
В настоящей главе будет дан в некотором смысле общий
анализ метода ренормализационной группы. (Это введение
следует еще раз прочесть после изучения остальных глав.)
') Мы сочли целесообразным добавить к общему списку литературы
работы [131—147] в надежде, что они заинтересуют читателей, — Прим.
пс ре в.
13
ГЛАВА 1
В конце главы мы приступим к обзору критических
явлений.
Метод РГ позволяет исследовать ряд наиболее трудных
проблем физики. Эти проблемы включают в себя отдельные
вопросы релятивистской квантовой теории поля, теорию кри-
критических явлений, эффект Кондо (см., например, [1—7]) и дру-
другие задачи. Все они характеризуются тем, что здесь суще-
существенным образом проявляет себя большое число степеней
свободы.
Многие проблемы, с которыми приходится сталкиваться
в физике, связаны с учетом очень большого числа степеней
свободы. Например, кристалл, жидкость или газ в макроско-
макроскопических количествах содержат более 1023 электронов, а каж-
каждая координата любого из электронов является степенью сво-
свободы.
Большинство же теоретических методов «работает» лишь
тогда, когда мы имеем дело только с одной независимой пе-
переменной, т. е. в случае одной степени свободы. Рассмотрим,
например, уравнение Шредингера для волновой функции
ty(x, у, z) одного электрона. Если удается разделить перемен-
переменные в уравнении Шредингера [например, \|э = iMr)iM8)iM0)
в сферических координатах], то задача нахождения \|э неизме-
неизмеримо упрощается '). Очевидно, что найти волновую функцию
1023 электронов без каких-либо существенных упрощений, оп-
оправданных тем или иным образом, просто безнадежно.
При обычных обстоятельствах число степеней свободы по-
порядка 1023 может быть значительно сокращено. Интенсивный
или экстенсивный характер наблюдаемых (энергия, напри-
например, экстенсивная величина, а плотность — интенсивная вели-
величина) позволяет воссоздать свойства макроскопической си-
системы, если только они заданы для микроскопического об-
образца. Так, жидкость, содержащая, скажем, только 1000 ато-
атомов, вероятно, имеет приблизительно такую же энергию на
единицу объема и плотность, как та же жидкость (при той
же температуре и давлении), но содержащая 1023 атомов.
Как долго можно уменьшать объем и количество, напри-
например, газа без качественного изменения его свойств? Мини-
Минимальный размер области, в которой свойства вещества в до-
достаточной степени передают свойства макроскопического об^
') Действительно, в этом случае мы приходим к достаточно полно
разработанной проблеме отыскания решения системы обыкновенных диф-
дифференциальных уравнений. — Прим. ред.
14
ВВЕДЕНИЕ
разца, называется корреляционной длиной. Размер этой об-
области ? определяется состоянием системы. Для газа корре-
корреляционная длина | зависит от давления и температуры. При
обычных обстоятельствах она имеет порядок всего лишь 1 —
2 средних межатомных расстояний. Когда корреляционная
длина ? так мала, существует ряд методов определения
свойств системы: вириальные разложения, теория возмуще-
возмущений, метод Хартри — Фока и т. д. Эти методы включают в себя
различные приближения, однако все они имеют одну общую
особенность: в них предполагается, что во всем объеме свой-
свойства материи определяются малыми группами атомов (кла-
(кластерами). Кроме того, эти методы включают еще некоторые
дополнительные предположения, так как даже группа только
из трех атомов содержит слишком много степеней свободы,
чтобы проблему можно было решить без значительных упро-
упрощений.
В особых случаях корреляционная длина гораздо больше
межатомного расстояния. Первым примером такого рода яв-
является фазовый переход с некоторой выделенной критической
точкой. Переходы жидкость — газ, ферромагнитные переходы,
переходы порядок — беспорядок в сплавах и т. д. — все они
имеют критические точки при определенных значениях термо-
термодинамических переменных. (Критическая точка перехода
жидкость — газ определяется критическими величинами тем-
температуры Те и давления Ре.) Если говорить точно, то в крити-
критической точке корреляционная длина | бесконечна, а в окрест-
окрестности критической точки велика.
Существует, таким образом, некоторый класс проблем,
включающий критические явления и характеризующийся тем,
что в области с размерами порядка корреляционной длины
имеется очень большое число степеней свободы. «Очень боль-
большое» означает не просто 3 или 4, а тысячи или миллионы,
если небесконечное число. Кроме критических явлений, дру-
другими проблемами такого же рода являются проблема Кондо
(магнитные примеси в металле), образование связей в боль-
больших молекулах и, наконец, все задачи релятивистской кван-
квантовой теории поля. В случае, скажем, скалярного поля ф(х)
само поле ф(х) в каждой точке х можно рассматривать как
отдельную степень свободы; следовательно, любая область
конечных размеров будет содержать бесконечное число степе-
степеней свободы. Обычно корреляционной длиной для квантового
поля является комптоновская длина волны, соответствующая
15
ГЛАВА 1
частице с наименьшей массой. В случае квантовой электроди-
электродинамики на практике в качестве корреляционной длины высту-
выступает комптоновская длина волны электрона A0~и см), а не
фотона. Это позволяет экстраполировать основные закономер-
закономерности квантовой электродинамики, установленные для «ящи-
«ящика» размерами ;>, 10~п см, на все пространство. Если же
брать «ящики» размером <С 10~п см, то это приведет к гру-
грубым искажениям взаимодействия электронов и фотонов.
Все проблемы, перечисленные выше, характеризуются
своей неподатливостью. Едва ли лучше, чем это было в 1932 г.,
понята сейчас проблема образования связей в молекулах1).
Очень неравномерно в последние 70 лет развивалась теория
критических явлений. Хотя успехи в вычислительных аспек-
аспектах квантовой электродинамики и весьма впечатляющи, мы
очень мало продвинулись здесь в ее понимании, а в теории
сильных взаимодействий нет успеха ни в том, ни в другом,
и лишь проблема - Кондо, изучение которой началось в по-
последнее время, возможно, наиболее близка к разрешению
[2, 3, 7].
Изучение перенормировок как в квантовой теории поля,
так и в теории критических явлений, рассматриваемых в рам-
рамках статистической механики, наводит на мысль, что поведе-
поведение систем с большим числом степеней свободы в области,
размеры которой порядка корреляционной длины, качественно
отличается от поведения систем только с несколькими степе-
степенями свободы в этой области. Системы, которые мы рассма-
рассматриваем, обычно определяются с помощью гамильтониана, и,
казалось бы, следовало ожидать, что поведение системы ха-
характеризуется главным образом видом взаимодействий, при-
присутствующих в гамильтониане, и величинами соответствую-
соответствующих постоянных связи. Это действительно так при малых |.
Оказывается, однако, что в задачах, обсуждаемых в настоя-
настоящих главах, когда степени свободы ведут себя взаимосвязано,
поведение системы определяется в первую очередь именно
фактом кооперативного поведения и природой самих степеней
свободы. Гамильтониан взаимодействия играет при этом лишь
второстепенную роль. Таким образом, в теории критических
явлений возникло понятие универсальности, т. е. предположе-
') Проблема образования связей в молекулах требует учета корреля-
корреляционных эффектов, а для этого должны быть развиты более тонкие ме-
методы расчета, нежели полуэмпирические методы квантовой химии. — Прим.
ред.
16
ВВЕДЕНИЕ
ние, что все гамильтонианы взаимодействия приводят к оди-
одинаковому критическому поведению. Идея универсальности
возникла впервые в связи с «законом соответственных состоя-
состояний», который сводится к гипотезе о том, что все жидкости
и газы с точностью до перенормировки шкал длины и энергии
имеют одинаковые уравнения состояния. В качестве одной из
относительно «недавних» работ по этому вопросу см. статью
Гугенгейма [8]. В более общем виде идея универсальности
была сформулирована несколько лет назад по отношению
к критическому поведению различных систем с произволь-
произвольными взаимодействиями. См., например, работу Л. П. Када-
нова [9]. Гипотеза универсальности будет рассмотрена в даль-
дальнейшем и в частности в гл. 12.
Подход, основанный на ренормализационной группе, ста-
ставит перед собой две цели. Первая из них — практическое уп-
упрощение работы по нахождению решения для систем с боль-
большим числом степеней свободы в области размерами порядка
корреляционной длины. Основная идея здесь такая же, как
в гидродинамике. В гидродинамике вводят новые переменные
[например, плотность р(х)], которые представляют собой сред-
средние по исходным микроскопическим степеням свободы. В гид-
гидродинамических уравнениях все микроскопические флуктуа-
флуктуации исключены, т. е. предполагается, что в-функции р{х) про-
проявляются только макроскопические флуктуации. В действи-
действительности это означает, что гидродинамическими степенями
свободы являются величины р(х) в макроскопически отдален-
отдаленных друг от друга точках. Таким образом, гидродинамических
степеней свободы в единице объема гораздо меньше, чем пер-
первоначальных микроскопических.
Метод ренормализационной группы сходен с гидродинами-
гидродинамическим подходом в том, что здесь исходные микроскопические
степени свободы заменяются на меньший набор эффективных
степеней свободы. Делается это последовательно, причем на
каждом этапе линейная плотность степеней свободы умень-
уменьшается в 2 раза.
Уменьшение «плотности степеней свободы» можно осуще-
осуществить несколькими способами. Предположим, что исходная
система состоит из спинов, сосредоточенных в узлах решетки,
расстояние между которыми Lq. Новыми эффективными сте-
степенями свободы могли бы быть спиновые блоки, расстояние
между центрами которых 2L0. С другой стороны, новые сте-
степени свобрды могли бы быть определены с помощью- плот*
17
ГЛАВА 1
ности намагниченности М(х), зависящей от непрерывной ко-
координаты х [точно так же, как в гидродинамике дискретные
атомы заменяются плотностью р(*)]. Тогда для уменьшения
числа степеней свободы налагают следующее ограничение:
величина М(х) содержит только такие флуктуации, длина
волны которых больше 2L0. Эти идеи будут сформулированы
более точно в последующих главах. (Отметим, что множи-
множитель 2 выбран достаточно случайно. В частности, часто бы-
бывает полезно изменить плотность числа степеней свободы
только на бесконечно малую величину, а не в 2 раза. См. сле-
следующие главы.)
Такое сокращение числа степеней свободы проводится за-
затем повторно. Начав со степеней свободы, разделенных про-
промежутками Lo, после первого шага получаем степени свободы
с промежутками 2L0, после второго — с 4L0 и т. д. Переход
к следующим шагам осуществляется до тех пор, пока про-
пространственное разделение эффективных степеней свободы не
станет порядка корреляционной длины ?. При этом на каж-
каждом этапе необходимо строить эффективное взаимодействие
для эффективных степеней свободы, точно так же как в гид-
гидродинамике для р(х) необходимо строить гидродинамические
уравнения. Простота метода ренормализационной группы свя-
связана с надеждой, что все эти эффективные взаимодействия
Ж\, Жч и т. д. локальны, т. е. они имеют место только между
ближайшими степенями свободы. Конечно, при этом предпо-
предполагается, что исходное взаимодействие было локальным,
а для задач, которыми мы будем интересоваться здесь, это
действительно так. Таким образом, мы предполагаем, что ра-
радиус взаимодействия для исходного гамильтониана имеет по-
порядок Lo, даже если | ^> Lo. Надежда на определенный про-
прогресс в рамках сформулированной здесь идеи связана с тем,
что радиус взаимодействия для гамильтониана Эв\ имеет по-
порядок 2L0, для Жч — порядок 4L0 и т. д. Если же радиус взаи-
взаимодействия равен \ уже для Ж\, то применять метод ренор-
ренормализационной группы нельзя. В примерах, которые были
рассмотрены до сих пор, эту трудность удается обойти, од-
однако в других случаях дело может быть далеко не таким про-
простым.
Если же радиус взаимодействия для Ж\ действительно
имеет порядок только 2L0, то можно предположить (опять-
таки по аналогии с гидродинамикой), что постоянную связи,
входящую в Ж\, можно определить с помощью изучения по-
18
ВВЕДЕНИЕ
ведения системы, ограниченной областью размерами порядка
2L0) т. е. для этого нет необходимости рассматривать области
размерами порядка ?'). Следовательно, у нас нет больше
того громадного числа степеней свободы, о котором необхо-
необходимо было беспокоиться. Для определения постоянной связи,
входящей в Жг, необходима большая область, размером 4Lo.
Однако здесь представляется естественным попытаться опре-
определить взаимодействие 5^2 из Ж\, степени свободы которого
разделены расстоянием 2L0, а не из исходного гамильтониана
взаимодействия Ж§ с пространственным разделением степе-
степеней свободы Lo. Таким образом, мы должны рассматривать
все же более ограниченное число степеней свободы. Анало-
Аналогичным путем конструируется Ж% из <2&2. 3&и из Жг и т. д. до
тех пор, пока не получится Эвп, для которого 2nL0 ~ |. На
этом этапе на величину корреляционной длины будет прихо-
приходиться только несколько степеней свободы, а эту проблему
можно, вероятно, решить уже другими методами. В общем
случае при расчете с помощью Ж\ необходимо рассматривать
область размерами 2lL0, однако мы отталкиваемся при этом
от гамильтониана Ж\-\, степеням свободы которого соответ-
соответствует пространственное разбиение с размерами 2ML0. Сле-
Следовательно, для любого / можно рассмотреть область, содер-
содержащую только несколько эффективных степеней свободы.
К. сожалению, общий метод ренормализационнои группы
не сводит проблему большого числа степеней свободы сразу
к одной степени свободы. Нетрудно представить себе случай,
когда при определении Ж\ из Mi-\ необходимо рассматри-
рассматривать, например, 60 или более эффективных степеней свободы.
Предположим, что эффективными степенями свободы в 36\-\
являются отдельные спины и что обсуждаются состояния
в трехмерном кубе с длиной стороны в 4 спина: этот куб бу-
будет содержать, следовательно, 64 спина. Такая ситуация не
очень приемлема с практической стороны. Необходимо далее
упростить вычисление настолько, чтобы Mi можно было вы-
вычислять из 2f6i-\ с использованием только одной степени сво-
свободы. Практические приложения метода ренормализационнои
группы, представленные в последующих главах, включают
в себя с этой целью либо специальные условия (случай d =
') Имеется в виду, что постоянная связи (постоянная взаимодей-
взаимодействия), входящая в Ж\, определяется с помощью «затравочной» постоян-
постоянной связи, входящей в Жа. — Прим. перев.
19
ГЛАВА 1
= 4 — е с малым е), либо довольно грубые приближения
(«приближенная рекуррентная формула»), проводимые та-
таким образом, чтобы для вычисления Эв\ использовалась
только одна степень свободы. (См. список дополнительной ли-
литературы.)
Вторая цель подхода, основанного на методе ренормализа-
ционной группы, состоит в том, чтобы объяснить, как возни-
возникают качественные особенности кооперативного поведения.
В рамках метода ренормализационной группы эти качествен-
качественные особенности являются результатом ее итерационного ха-
характера. А именно, существует ^преобразование т, которое
превращает Жо в Жх, Жх в Ж2 и т. д. Преобразование это
одно и то же, как при построении Жх из Жо, так и Жч из Ж\\
причем в каждом случае происходит уменьшение числа степе-
степеней свободы в 2 раза. Единственное различие, которое, од-
однако, легко устранимо, заключается в шкале длины BL0 вме-
вместо Lo). Следовательно, у нас имеется преобразование т, ко-
которое можно применить повторно:
т (Жо) = ЖХ,
%(ЖХ) = ЖЪ A.1)
Т (Ж2) = Ж3,
Это преобразование должно быть проитерировано п раз, где
величина 2nL0 порядка |. Когда величина -| велика, велико
также и число итераций п.
Если у нас имеется преобразование т, которое многократно
повторяется, то простейший результат, получаемый в этом
случае, заключается в том, что последовательность Ж\ схо-
сходится к неподвижной точке преобразования т, а именно,
к взаимодействию Ж*, удовлетворяющему уравнению:
Ж. A.2)
Именно это и будет происходить в примерах, рассматривае-
рассматриваемых в последующих главах.
Наличие неподвижной точки является свойством только
самого преобразования т, т. е. чтобы найти возможные непо-
неподвижные точки (гамильтонианы Ж*), необходимо решить
уравнение для неподвижной точки .A.2). Это уравнение не
имеет никакого отношения к выбору исходного гамильто-
гамильтониана Жо-
20
ВВЕДЕНИЕ
Возможные типы кооперативного поведения системы при
описании их методом ренормализационнои группы опреде-
определяются возможными неподвижными точками Ж* преобразо-
преобразования т. Предположим, например, что имеются три неподвиж-
неподвижные точки: Ж*А, Ж*в и Же- Тогда у нас могли бы быть три
возможных типа кооперативного поведения. Если некоторая
конкретная система имеет начальное взаимодействие Ж§, то
необходимо построить последовательность Ж\, Жъ и т. д.,
чтобы найти, которая из точек, ЖА, Ж*в или Жс, — предел
этой последовательности. Если этим пределом будет ЖА, то
кооперативное поведение системы, причиной которого яв-
является взаимодействие Жо, будет определяться Ж\. В этом
примере множество всех возможных начальных взаимодей-
взаимодействий Жо можно было бы разбить на три подмножества (на-
(называемые «областями»), по одному для каждой неподвижной
точки. Универсальность имеет место теперь отдельно для
каждой области. Дальнейшее обсуждение этого вопроса со-
содержится в гл. 12.
Описанные рассуждения поясняют, каким образом в рам-
рамках метода ренормализационнои группы выводится некоторая
форма универсальности. Она, однако, не так отчетлива, как
предыдущие формулировки [9]. Опыт исследования точно ре-
решаемых примеров преобразования ренормализационнои груп-
группы для случая критических явлений показывает, что обычно
это преобразование имеет несколько неподвижных точек, по-
поэтому на множестве исходных гамильтонианов нужно опреде-
определить области, связанные с каждой неподвижной точкой, и
только внутри данной области критическое поведение дей-
действительно не будет зависеть от начального взаимодействия.
Мы не можем требовать a priori, чтобы последователь-
последовательность Ж\ сходилась к неподвижной точке при / —* оо. В прин-
принципе эта последовательность при больших / могла бы образо-
образовать предельный цикл, проявить эргодическое или турбулент-
турбулентное поведение; в таких случаях было бы трудно выполнить
большую часть необходимых вычислений. Для знакомства
с эргодическим и турбулентным поведением см. работу [10].
Однако даже если последовательность Жх сходится к непо-
неподвижной точке, маловероятно, что Жп при больших п яв-
является гладкой функцией параметров, входящих в Жо. Труд-
Трудность здесь заключается в том, что малые изменения пара-
параметров, входящих в Жо, увеличиваются или уменьшаются под
21
ГЛАВА I
действием преобразования т, а когда т применяется много-
многократно, это усиление или ослабление становится очень боль-
большим (на основании аргументов теории случайных блужданий
полагают обычно, что оно порядка Vn)- Таким образом, если
«о — постоянная взаимодействия, входящая в Жо, то можно,
по-видимому, ожидать, что существуют большие области из-
изменения «о, эффект от которых при преобразовании умень-
уменьшается (Жп очень слабо зависит от и0); эти большие области
разделены малыми областями изменения мо> эффект от кото-
которых при преобразовании увеличивается (Жп очень быстро
изменяется, если «о варьировать внутри выделенной обла-
областиI). В случае когда все последовательности сходятся к не-
неподвижным точкам, области изменения «о, для которых на-
налицо эффект усиления, включают такие значения и0, для ко-
которых Жо находится вблизи границы между двумя областями
устойчивости, в то время как эффект ослабления возможен
лишь тогда, когда Жо находится достаточно далеко внутри
какой-нибудь определенной области устойчивости.
Перечислим кратко основные идеи метода ренормализа-
ционной группы.
Во-первых, построение последовательности эффективных
локальных взаимодействий Жг. Это означает, что если пара-
параметр пространственного разбиения степеней свободы в Ж\ ра-
равен щ, то взаимодействия должны были бы иметь радиус щ,
а не 1; выбирая затем ai+i = 2аг, можно было бы из Ж\ по-
построить afei+u рассматривая области размером порядка аг+ь
а не |.
Во-вторых, существование преобразования т, которое мно-
многократно повторяется для построения Ж\ из Же, эквивалентно
предположению, что свойства Ж\ при больших / будут либо
полностью, либо в большой степени определяться самим
преобразованием т, а не Жъ; тем самым мы приходим к
универсальности, по крайней мере в ее ограниченной
форме.
Чтобы закончить это введение, кратко обрисуем историю
метода ренормализационной группы. Этот обзор не является
полным и, вероятно, не совсем точен. В конце 30-х годов Лан-
Ландау [11] предложил гидродинамический подход к описанию
') Следовательно, Жп устойчиво относительно изменения начального
значения постоянной связи «0 в первом случае и неустойчиво во втором.—
Прим. перев.
22
ВВЕДЕНИЕ
критических явлений. Его теория давала те же результаты,
что и старая теория среднего поля, которая экспериментально
не подтверждается. Подход, связанный с ренормализацион-
ной группой, является, однако, как это прекрасно видно, лишь
более изобретательной реализацией идей Ландау1).
Основные идеи метода ренормализационной группы появи-
появились в двух работах в начале 50-х годов' в связи с пробле-
проблемами квантовой теории поля. Формулировку связанного с ре-
ренормализационной группой преобразования т дали Штюкель-
берг и Петерман [12]. Гелл-Манн и Лоу [13] в своей замеча-
замечательной работе ввели представление о неподвижной точке
этого преобразования и рассмотрели некоторые его приложе-
приложения: они показали, что в квантовой электродинамике един-
единственная величина затравочного заряда е0 будет соответство-
соответствовать всем (достаточно малым) величинам перенормирован-
перенормированного заряда е. Это и есть эффект усиления, который обсуж-
обсуждался выше. В пределе бесконечного обрезания (т. е. в пре-
пределе бесконечно малого пространственного разделения исход-
исходных степеней свободы) преобразование т итерируется беско-
бесконечное число раз. Таким образом можно получить эффект
бесконечного усиления, например непрерывную область зна-
значений е, соответствующую единственной величине е0. Рецепты
расчетов с помощью метода ренормализационной группы при-
приведены в книге Боголюбова и Ширкова [14].
Вышеупомянутая работа Гелл-Манна и Лоу имела два
недостатка. Во-первых, она не содержала ни одного экспери-
экспериментально проверяемого следствия. Во-вторых, интуитивные
идеи этой работы были упакованы в толстую скорлупу форма-
') В широко известной серии работ Л. Д. Ландау [11] сформулировал
полуинтуитивный подход к теории фазовых переходов второго рода, ка-
качественно обсудил возможность специфического упорядочения в одно- и
двумерных системах, предложил объяснение промежуточного состояния
Пайерлса в сверхпроводниках, базирующееся на представлении о его слои-
слоистой структуре при Я^О. Эксперименты на магнетиках, жидкостях и сме-
смесях убедительно продемонстрировали к настоящему времени количествен-
количественную несостоятельность теории фазовых переходов Ландау; многие каче-
качественные утверждения его работ удалось впоследствии развять и количе-
количественно. Однако сама идея самосогласованного поля, могущего быть весь-
весьма затейливой функцией температуры и других термодинамических пара-
параметров, идея, которую количественно реализовывали Ван-дер-Ваальс, Кю-
Кюри — Вейсс — Ланжевен, Дебай — Хюккель, Хартрн — Фок и многие дру-
другие, представляется и до настоящего времени весьма привлекательной. —
Прим. ред.
ГЛАВА 1
лизма, и потребовалось много лет, чтобы эту оболочку
снять.
В выдающейся работе Каданова [15] по критическим яв-
явлениям, появившейся в 60-х годах, содержалось в интуитив-
интуитивной форме обсуждение идеи об уменьшении числа степеней
свободы системы. Каданов предположил, что спиновые блоки
в ферромагнетике можно рассматривать так, как если бы они
были отдельными эффективными спинами с очень простыми
взаимодействиями между собой. Каданов показал, что это
предположение приводит к законам подобия, связывающим
критические показатели. Эти законы ранее постулировали
Вайдом и др. (см. списки литературы в работах [16, 17]).
У Каданова для его предположения не было почти никаких
оправдывающих обстоятельств; важность его работы состояла
в том, что в ней была предложена простая, хотя и идеализи-
идеализированная картина того, какими могли бы быть эффективные
степени свободы и как они будут взаимодействовать. Есте-
Естественно, на практике эта картина не реализуется. То, что
обычно делают, сводится к попытке приблизиться к этой кар-
картине настолько, насколько это возможно. Пытаются опреде-
определить эффективные степени свободы, которые можно описать
грубо как спиновые блоки, и вычислить взаимодействия ме-
между ними, которые по крайней мере в первом приближении,
имеют некоторую простую форму (не обязательно изингов-
скую). В заключение отметим, что Каданов поставил для
дальнейших исследований гораздо более полезную цель, чем
те, которые вытекают из сложных формализмов предыдущих
работ.
Дифференциальные уравнения ренормализационной груп-
группы вновь всплыли при решении проблемы Кондо в работе Ан-
Андерсона и др. [2—4] и в работах [5—7]. Андерсон [4] был пер-
первым, кто получил эти уравнения, явно используя идею о со-
сокращении числа степеней свободы. Предыдущие работы по
теории поля имели гораздо менее очевидную основу.
До последнего времени все формулировки ренормализа-
ренормализационной группы включали в себя преобразование т, действую-
действующее на очень ограниченном пространстве взаимодействий.
Гелл-Манн и Лоу рассматривали электродинамику с обычным
взаимодействием и зарядом е0 в качестве единственного сво-
свободного параметра. Каданов учитывал только взаимодействия
изинговского типа между ближайшими соседями. За это огра-
ограничение приходится тяжело расплачиваться: преобразование %
34
ВВЕДЕНИЕ
можно определить только тогда, когда решение задачи из-
известно. Например, Гелл-Манн и Лоу определяют т с помощью
точного электронного пропагатора, который неизвестен до тех
пор, пока не решены уравнения квантовой электродинамики.
Таким образом, имеется ограниченная возможность использо-
использования ренормализационной группы как инструмента для ре-
решения задач и построения теории. Исследование модели ну-
нуклона (модель фиксированного источника), в упрощенной
форме, показало, что эта проблема снимается, если допустить,
что Mi содержит все возможные взаимодействия, а не только
одно или два [18]'). В таком случае довольно легко построить
примеры преобразования т, не решая всей задачи целиком
(см. последующие главы). Теперь, однако, приходится распла-
расплачиваться другой ценой: мы не можем учесть влияние одно-
одновременно всех возможных взаимодействий, так как их слиш-
слишком много. Поэтому, если подход, основанный на ренормали-
ренормализационной группе, используется в плане практических приме-
применений, приходится учитывать только несколько доминирую-
доминирующих взаимодействий. Кроме них могут быть многочисленные
взаимодействия с малыми постоянными связи, вклад от кото-
которых можно учесть методами теории возмущений. Это в точ-
точности соответствует ситуации в модели фиксированного источ-
источника. Хотя все это верно также и для примеров, обсуждаемых
в последующих главах, однако в общем случае может ока-
оказаться не обязательно справедливым.
Наиболее известные работы по ренормализационной груп-
группе мы упоминаем в § 2 данной главы.
Существуют, кроме того, и другие подходы к таким про-
проблемам, как критические явления. Мы специально упомянем
бутстрапный подход Мигдала — Полякова к критическим яв-
явлениям и теории поля [19—29] и формулировку электродина-
электродинамики, данную Джонсоном — Бейкером — Виллеем [30—32],
поскольку эти подходы иногда путают с методом, основанным
на ренормализационной группе. Ни в теории Мигдала — По-
Полякова, ни в формулировке Джонсона — Бейкера — Виллея
нет преобразования, сходного с т; эти авторы не делают по-
') На примере модели с фиксированным источником это означает (см.
[18]), что гамильтониан Ж\ содержит, кроме членов, квадратичных по опе-
операторам рождения и уничтожения мезонов, члены с произвольно боль-
большим числом операторов рождения и уничтожения мезонов. Эти дополни-
дополнительные члены взаимодействия аналогичны бесконечному ряду контрчленов
в обычной теории перенормировок (см. следующие главы). — Прим. перев.
25
ГЛАВА 1
пытки уменьшить число степеней свободы. Следовательно, их
идеи не могут рассматриваться как метод ренормализацион-
ной группы. Эти авторы вместо сознательного сокращения
числа степеней свободы надеются на то, что бесконечную
сумму диаграмм можно заменить некоторой суммируемой
подпоследовательностью. Дальнейшее разъяснение по этому
поводу см. ниже.
Другим недавним достижением являются уравнения Кел-
лена — Симанзика [33, 34]. Оказалось, что эти уравнения
тесно связаны с исходной формулировкой ренормализацион-
ной группы, данной Гелл-Манном и Лоу, и являются ценным
средством анализа поведения фейнмановских диаграмм на
малых расстояниях (см., например, работу [35]). В настоящее
время уравнения Келлена — Симанзика представляются слиш«
ком формальными, чтобы их можно было использовать прак-
практически вне теории возмущений. Они будут оставаться
таковыми до тех пор, пока не будут введены некоторые ин-
интуитивные соображения, как это было сделано Кддановым,
дополнившим ренормализационную группу весьма наглядной
схемой ').
§ 2. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ
Проведем теперь кратко классификацию литературы по
ренормализационной группе. См. также дополнительный спи-
список литературы, который дан в конце этой книги. Первыми
перечислим работы по критическим явлениям. Приближен-
Приближенная рекуррентная формула для ренормализационной группы
получена в работе [36], там же содержатся численные реше-
решения рекуррентной формулы для случая модели Изинга. В слу-
случае модели Гейзенберга численное решение нашли Гровер,
Каданов и Вегнер [37]. В работе [38] Гровер численно решил
X — У-модель. Бейкер [39] и Дайсон [40] описали класс
«иерархических» моделей, для которых рекуррентная фор-
формула является точной. В работе [41] Голнер предложил для
рекуррентной формулы такой вид, который дает для крити-
критического показателя г\ ненулевое значение (г\ определяется
в гл. 2). Кроме того, в работе [42] он для некоторого примера
с тройной симметрией нашел решение рекуррентной фор-
') См., однако, работы [134, 136, 139] и особенно [60, 69].—Прим. пе-
рев.
26
ВВЕДЕНИЕ
мулы. Метод е-разложения в окрестности размерности d = 4
развили Фишер и Вильсон [43]. Полное обсуждение свойств
подобия (скейлинга) с помощью всего ряда теории возмуще-
возмущений в окрестности критической точки в рамках е-разложения
дал Вегнер [44]; Пфети и Фишер [45] исследовали этим мето-
методом слабо анизотропную модель Гейзенберга. Ридель и .Вег-
.Вегнер [46] использовали рекуррентную формулу для исследова-
исследования тройных точек (таких веществ, как смесь Не3 — Не4).
Лангер и Бар-он [47] использовали методы работы [36] для
изучения проблемы разделения фаз.
Метод диаграмм Фейнмана для расчета критических пока-
показателей с помощью разложения по степеням е (см. гл. 8) был
развит в работе [48]. Де Жен [49] применил его при решении
проблемы «исключенного объема». В работе [50] Никл вычис-
вычислил показатель у с точностью до е3. Брезин, Валлес и Виль-
Вильсон [51, 52] получили е-разложение для уравнения состояния
в окрестности критической точки. Заряженный и нейтральный
бозе-газ рассматривался Ма [53]. Величина показателей в при-
присутствии дальнодействующих сил вычислена Сузуки [54, 55]
и Фишером, Ма, Никлом [56].
Формулировка Гелл-Манна и Лоу для ренормализацион-
ной группы была использована Ларкиным и Хмельницким [57]
при обсуждении критических явлений в четырехмерном про-
пространстве (е = 0) и в трехмерной модели анизотропного сег-
нетоэлектрика. Де Паскуале, Ди Кастро и Иона-Лазинио [58—
60] и Мигдал [61] рассмотрели качественные следствия исполь-
использования формулировки Гелл-Манна и Лоу для объяснения
критических явлений. В работе [62] Ди Кастро использовал
теорию Гелл-Манна — Лоу для подтверждения некоторых ре-
результатов работы [48]. Применяя усовершенствованную фор-
формулировку (см. также гл. 12), Вегнер [63] провел широкое
исследование всех возможных типов возмущений в окрестно-
окрестности критической точки, обращая особое внимание на поправки
к законам подобия. Несколько вопросов в этом направлении
рассмотрел Хаббард [64, 70]; связь с проблемой жидкостей
обсуждали Хаббард и Шофилд в работе [65]. Гауссову модель,
с силами большого радиуса рассмотрели Ниемейер и Ван Ле-
вен [66].
Статьи Дайсона [40], Ларкина и Хмельницкого [57] и Ди
Кастро и Иона-Лазинио [58—60] предшествовали работе, из-
изложенной в настоящей книге. В качестве хорошего обзора по
проблемам критических явлений, обсуждаемых на базе аппа-
27
ГЛАВА 1
рата, созданного до развития методов, которым посвящена
эта книга, рекомендуем целиком сборник [59]. Краткий обзор
новых работ содержится в [67].
Множество работ, перечисленных выше, посвящено неко-
некоторым частным приложениям метода ренормализационной
группы, которые в настоящей книге мы затрагивать не будем.
Существует еще одна (более ранняя, но неполная) работа
по ренормализационной группе [68] (записи лекций). В ней
рассматривались идеи, связанные с современным ренормали-
зационно-групповым подходом, однако в ней содержится
меньше информации о вычислительной стороне вопроса, чем
в настоящей книге.
Тесную математическую аналогию между критическими
явлениями и квантовой теорией поля отметили Грибов, Миг-
дал [61, 69] и Поляков [71—73], которые пользовались мето-
методом фейнмановских диаграмм; Мур в своей работе [74] про-
провел сравнение вычисления статистической суммы и фейнма-
новского интеграла по путям; в свою очередь Сури [75] ис-
использовал для установления этой аналогии формализм мат-
матрицы перехода, развитый в статистической механике (см.
гл. 10).
Для ознакомления с работами по ренормализационной
группе в квантовой теории поля, в которых используется фор-
формулировка Гелл-Манна и Лоу, рекомендуем обратиться
к статье [76], а для знакомства с теоретико-полевой формули-
формулировкой приближенной рекуррентной формулы — к работе [77].
Кроме того, см. также работу Голнера [78].
Идея использования нецелых размерностей d и разложе-
разложения в окрестности d = 4 является удобным теоретическим
приемом, не имеющим особого физического смысла: физиче-
физический смысл имеют только целые d. Нецелые размерности бу-
будут введены с помощью аналитического продолжения в урав-
уравнениях ренормализационной группы (гл. 4) или в фейнманов-
ских диаграммах (гл. 8). Идея использования в статистиче-
статистической механике нецелых размерностей не является новой: см.,
например, работу [79]. Совсем недавно Вайдом в работе [80]
рассматривал случай размерностей 1 + е. Не так давно в ра-
работах по теории поля [81—83] нецелая размерность d была ис-
использована для регуляризации выражений, соответствующих
фейнмановским диаграммам; полное обсуждение этих вопро-
вопросов содержится в работе т'Хуфта и Вельтмана [81]. Кванто-
Квантовая теория поля для нецелых размерностей d рассматривается
28
ВВЕДЕНИЕ
в работе [84], где для вычисления аномальных размерностей
(см. также гл. 9) использовано е-разложение.
Другая техника разложения, применяемая и в теории кри-
критических явлений и в теории поля, — разложение по 1/N, где
.N — либо число внутренних компонент спина (критические
явления), либо число внутренних компонент квантового поля.
Стенли [85] установил, что предел N —*¦ оо для спиновой си-
системы приводит к известной точно решаемой модели Берлина
и Каца [86]. Этот факт обсуждался в дальнейшем в работе
Каца и Томсона [87]. Методы разложения показателей по сте-
степеням 1/N предложили Абе [88, 114] и Вильсон [84]. Эти ме-
методы были использованы затем в работах Абе, Хиками [89,
90], Сузуки [54, 55], Ма [53, 91], Фишера и др. [56] и Феррела,
Скалайпйно [92]. Брезин и Валлас [93] и Сузуки [55], исполь-
используя разложение по степеням 1/N, вычислили уравнение состоя-
состояния. Разложение по 1/N, вероятно, не приносит особой пользы
для случаев, представляющих наибольший физический инте-
интерес, т. е. для случаев N = 1, 2, 3. Причиной, по-видимому, яв-
является то, что знаменатели в е-разложении (справедливом
для любых N) имеют вид N + 8 (см. гл. 8), а это наводит на
мысль, что разложение по 1/N справедливо только для iv > 8.
Однако исследование моделей с большими N поучительно
само по себе. Приложение разложения по 1/N к полевым тео-
теориям с размерностью пространства-времени, меньшей четы-
четырех, обсуждается в работе [84].
Имеется особая ситуация, когда проблема большого числа
степеней свободы внутри области, размеры которой порядка
корреляционной длины, тривиальна, а именно, теория свобод-
свободного поля (в квантовой теории поля) или гауссова модель
(в статистической механике) (см. гл. 3). Эти теории три-
тривиальны, так как взаимодействие может быть диагонализо-
вано в импульсном пространстве. Существует множество диа-
диаграммных методов для исследования малых возмущений, рас-
рассматриваемых в этих тривиальных теориях. В случае крити-
критических явлений разложение по е делает возможным проведе-
проведение успешных вычислений методами теории возмущений.
В настоящее время имеется приводящее в замешательство
множество методов для построения е-разложения. Кроме ме-
методов, обсуждаемых в этой книге, Ди Кастро [62] использовал
старые методы Гелл-Манна и Доу, а Мак [29] — подход Миг-
дала — Полякова. В настоящей книге особое внимание обра-
обращено на новый метод ренормализационной группы из-за его
29
ГЛАВА 1
возможностей при рассмотрении проблем, которые нельзя ие-
следовать методами теории возмущений (см. [36, 63] и гл. 12
и 13). В частности, отметим, что в задачах, которые нельзя
свести к нескольким диаграммам, безнадежно что-либо вы-
вычислить, используя теорию Гелл-Манна и Лоу. Даже для ре-
решения принципиальных вопросов теория Гелл-Манна и Лоу не
является удовлетворительной, так как она включает в себя
предположения, которые мотивированы техническими, а не
физическими потребностями [76]. Трудно поверить, что эти
предположения всегда справедливы, хотя оказывается, что
они верны в каждом порядке диаграммного разложения (см.,
например, [76]). Бутстрап Мигдала — Полякова (с предполо-
предположением конформной инвариантности) более интересен, хотя
не очень полезен в том случае, когда важно учесть вклад мно-
многих диаграмм. Для теоретиков, изучающих поле, интерес-
интересной и необычной особенностью бутстрапа Мигдала — Поля-
Полякова является «унитарность по струям», предложенная Поля-
Поляковым [73].
Следующие семь глав касаются в первую очередь критиче-
критических явлений. Отчасти это обусловлено тем, что критические
явления — пример наиболее успешного приложения метода
ренормализационной группы. В то же время критические яв-.
ления представляют простейший и наиболее ясный пример
проблемы большого числа степеней свободы в области по-
порядка корреляционной длины. Эксперименты в этой области
являются достаточно точными и однозначными, что позволяет
проверит*^ фундаментальные аспекты теории. Например, про-
простейшая модель, такая, как модель Изинга, кроме основной
проблемы у^ета бесконечного радиуса корреляции, не содер-
содержит никаких других осложняющих исследование обстоя-
обстоятельств. Изучение критических явлений дает нам общее пред-
представление о проблеме большого числа степеней свободы в кор-
корреляционной области, которое невозможно получить каким-
либо другим путем и которое весьма существенно для пони-
понимания теоретико-полевых приложений ренормализационной
группы, обсуждаемых в гл. 9—13.
Существуют прекрасные обзоры экспериментов и всей
предшествующей теории критических явлений (см. гл. 2); на-
настоящая же книга будет посвящена в основном объяснению
метода ренормализационной группы. Эту книгу можно читать
без предварительной подготовки в области критических явле-
явлений, так как вполне достаточные для этого сведения будут
30
ВВЕДЕНИЕ
изложены по мере надобности, однако здесь не будет обсуж*
даться детально отношение метода ренормализационной груп-
группы к эксперименту и предшествующей теории.
Главы 11 —13 также важны для проблем статистической
механики, однако главное внимание, начиная с гл. 9, уделяет-
уделяется квантовой теории поля. Эти главы в значительной степени
основаны на результатах предыдущих глав. Они являются
частью из серии работ [76, 94], рассматривающих метод ре-
ренормализационной группы как альтернативу канонической
формулировки теории поля. Конечной целью является разра-
разработка полевой теории сильных взаимодействий. Для достиже-
достижения этой цели все еще требуется значительная перестройка
как основ теории, так и техники вычислений. При изучении
метода ренормализационной группы возникли в качестве по-
побочного продукта некоторые полезные идеи, которые позво-
позволили найти более феноменологические подходы к теории силь-
сильных взаимодействий [94, 95]. Специалисты в области элемен-
элементарных частиц, ознакомившиеся с основными идеями этой
книги, обнаружат, что за последнее время предприняты значив
тельные усилия, чтобы понять физику сильных взаимодей*
ствий; в их распоряжении окажется эвристическая точка зре-
зрения на проблемы квантовой теории поля, хотя перспектива
этих идей в настоящее время неопределена (см. гл. 14).
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СВЕДЕНИЯ О МОДЕЛИ ИЗИНГА
Начнем с обсуждения некоторых элементарных свойств
модели Изинга (об истории модели Изинга см. работу [96]).
Эта модель использовалась в прошлом для описания ферро-
ферромагнетизма '), кpo^4e того, она, вероятно, также представляет
собой некоторую модель релятивистской теории поля. Допу-
Допустим, что мы имеем простую кубическую решетку из точек л,
скажем, в трехмерном пространстве п = (пи п2, щ); поместим
в каждую точку решетки спиновую переменную sn. Будем
предполагать, что sn принимает только дискретные значе-
значения ±1, т. е. sn не рассматривается как полная трехмерная
квантовомеханическая спиновая переменная. Если решетка
') Модель Изинга (спин 7г) можно довольно успешно использовать в
том круге проблем, где существенна статистическая механика систем с
двумя состояниями: порядок — беспорядок в сплавах, теория бинарных
смесей, решеточный газ, адсорбция и абсорбция. — Прим. ред.
31
ГЛАВА I
содержит N узлов, то ясно, что система имеет 2N возможных
состояний. Каждая из этих спиновых конфигураций будет
иметь некоторую определенную энергию. Если взаимодей-
взаимодействуют только ближайшие соседи, то гамильтониан системы
имеет вид
ZY A.3)
где {г} — набор единичных векторов, направленных вдоль
каждой из осей решетки (фиг. 1.1). Далее если решетка поме-
Фиг. 1.1. Двухмерная решетка.
Указаны единичные векторы на каждой
_ 9 ф в в из осей.
щена во внешнее магнитное поле В, то в гамильтониан необ-
необходимо включить дополнительный, член
где ц — некоторое определенное гиромагнитное отношение.
Термодинамика системы получается из статистической суммы:
A.5)
здесь суммирование проводится по всем возможным конфигу-
конфигурациям спинов в решетке, Т — температура, a k — постоянная
Больцмана. Кроме этого, удобно ввести свободную энергию F:
F = -kT\nZ. A.6)
Рассмотрим теперь намагниченность на один узел решетки:
N L, <exp(— H/kT))
л
32
6ВЕДЕНИЁ
где (...) означает, что суммирование проводится по всем кон-
конфигурациям спинов. Намагниченность М можно записать
в виде
Используя модель Изинга размерности 2 или более, можно
обнаружить спонтанную намагниченность. Пусть решетка на-
находится во внешнем магнитном поле В. Если намагничен-
намагниченность М остается отличной от нуля, когда внешнее поле вы-
выключается, то налицо спонтанная намагниченность1). Такая
ситуация имеет место, например, если при нулевой темпера-
температуре состоянию системы с наименьшей энергией соответствует
конфигурация, когда все спины направлены в одну сторону.
Мы можем ожидать, что при нулевой температуре М = 1,
а при бесконечно большой температуре, когда тепловая энер-
энергия подавляет спин-спиновое взаимодействие, М = 0. Только
для температур Т ниже некоторой критической величины Та
спонтанная намагниченность действительно имеет место. Спон-
Спонтанная намагниченность тесно связана также с поведением
парной корреляционной функции спинов, определяемой выра-
выражением
Г .(Уое*р(-Я7*Г))
1я~ (exp(-HfkT)) ¦ Kl'v)
При нулевой температуре, когда все спины упорядочены,
функция Гя не зависит от л и равна единице. Однако, когда
Т—у оо, тепловые флуктуации размывают спин-спиновые кор-
корреляции, так что функция Гя отлична от нуля только в начале
координат при п = 0. В действительности мы увидим в даль-
дальнейшем, что характер стремления Гя к нулю с ростом п будет
зависеть от того, являются ли Т < Тс, Т = Тс или Т > Тс.
Таким образом, модель Изинга содержит два параметра
длины: постоянную решетки и расстояние между спинами, на
котором еще необходимо учитывать спин-спиновую корреля-
корреляцию.
') То есть среднее в A.7) надо понимать как квазисреднее по Бого»
любову. — Прим. ред.
2 зак. 409
Глава 2
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ
КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
В гл. 1 мы обсуждали модель Изинга и феноменологию
критической точки. В качестве примера последней была взята
критическая температура, т. е. температура, ниже которой
впервые появляется спонтанная намагниченность. Мы будем
изучать проблему критического поведения еще в семи главах,
обращая особое внимание на явления выше критической тем-
температуры, где, хотя и нет спонтанной намагниченности, си-
система чувствует близость критической точки. В этой главе
мы рассмотрим на «физическом» уровне различные теории
поведения систем в критической точке, а именно: теорию
среднего поля в том виде, который ей придал Ландау, и тео-
теорию Каданова эффективных взаимодействий между спино-
спиновыми блоками. Вторая теория подготовит почву для перехода
к изучению ренормализационной группы. (Рекомендуемый
список работ [97—102] является некоторым стандартным спи-
списком литературы по критическим явлениям.)
§ 1. ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СИСТЕМ
В ОКРЕСТНОСТИ ИХ КРИТИЧЕСКОЙ ТЕМПЕРАТУРЫ
Если мы начертим зависимость от температуры спонтан-
спонтанной намагниченности ферромагнетика, намагниченности од-
одной из подрешеток антиферромагнетика или намагниченности
в модели изинга, то получится кривая, сходная с той, кото-
которая изображена на фиг. 2.1. Ниже критической темпера-
температуры Тс начинает возникать спонтанная намагниченность,
а при нулевой температуре она достигает некоторой конечной
величины. В малой области температур ниже критической
температуры намагниченность хорошо аппроксимируется сте-
степенным законом:
M~{TC-Tf, B.1)
34
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
где р — частный пример критического показателя. Теории
критического поведения посвящены главным образом пред-
предсказанию величин таких критических показателей или, по
крайней мере, установлению соотношений между ними ').
Характерный для критического поведения параметр —кор-
—корреляционная длина, которую мы ввели ранее. Рассмотрим два
М \
1
Фиг. 2.1. Кривая зависимости намаг-
намагниченности ферромагнетика от темпера-
температуры.
Г.—критическая температура.
спина (один в узле я, а другой в начале координат) и опреде-
определим корреляционную функцию
(Voexp(-W))
1я~ <ехр(-Я/*Г)> ' lZ-Z;
где (...) означает суммирование по всем конфигурациям спи-
спинов. Корреляционная функция Гя обладает тем свойством, что
при Т > Тс быстро уменьшается с ростом |я| (см. кривую /
Фиг. 2.2. Зависимость спин-
спиновой корреляционной функ-
функции от расстояния между
узлами.
Кривая /—случай Т > Тс; кривая 2-
случай Т < Тс.
II I I I I I I I
на фиг. 2.2). Полагают, что асимптотическое поведение при
больших |я| описывается формулой
ЦТ))'
B.3)
') Весьма подробно и всесторонне критические показатели обсуждены
в работах [16, 99, 102]. — Прим. ред.
2* 35
ГЛАВА 2
где |(Г) — корреляционная длина. [Существуют различные
способы определения корреляционной длины, причем неоче-
неочевидно, что качественное определение, данное в гл. 1 (см.,
в частности, обсуждение на стр. 15), согласуется с точным
определением B.3). В действительности они не всегда будут
согласовываться, однако для модели Изинга при температу-
температурах выше Тс они, насколько известно, фактически согла-
согласуются.] К сожалению, справедливость формулы B.3) из-за
сложности системы не доказана. Ожидается, что при Т < Тс
корреляционная функция с ростом \п\ стремится к квадрату
спонтанной намагниченности (кривая 2 на фиг. 2.2). Другими
Г„
Фиг. 2.3. Зависимость кор-
корреляционной функции при
критической температуре
Г=ТС от расстояния ме-
между узлами.
словами, при больших |я| корреляция в действительности
исчезает, а то, что остается, есть просто произведение сред-
средних значений отдельных спинов. При критической темпера-
температуре корреляционная функция для больших |я| спадает до
нуля, поскольку спонтанная намагниченность отсутствует. Од-
Однако она спадает очень медленно (фиг. 2.3), так как мы нахо-
находимся в точке фазового перехода. Полагают, что при Тс кор-
корреляционная функция спадает как степень \п\, и обычно
представляют ее в виде
L B.4)
где d — размерность системы. Известно, что для размерно-
размерности 2 выражение B.4) будет правильной формулой для кор-
корреляционной функции [97]. Однако в трехмерном случае это
утверждение является только догадкой. Величина х\ — второй
критический показатель.
Можно также рассмотреть корреляционную длину ?(Г).
Величина ?(Г) определяет масштаб изменения корреляцион-
корреляционной функции, когда Т выше Тс. Как показано на фиг. 2.4, кор-
36
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
реляционная длина ?(Г) стремится к бесконечности, когда
Т —¦ Гс сверху:
t(T)~(T-Tcyv. B.5)
Подобная кривая имеется также для магнитной восприимчи-
восприимчивости:
последняя вблизи критической температуры ведет себя как
х~(Т-ТеГ\ B.7)
Аналогично удельная теплоемкость (при постоянном объеме)
Cv определяется вблизи критической температуры критиче-
критическим показателем а:
CV~(T-TCY
B.8)
В табл. 2.1 мы включили как экспериментальные, так и
теоретические значения различных критических показате-
Фиг. 2.4. Зависимость корре-
корреляционной длины от темпера-
температуры.
лей '). Теоретические предсказания основаны на теории сред-
среднего поля (Ландау), которая будет изложена ниже, двухмер-
двухмерной модели Изинга, точно разрешенной Онсагером, и трех-
трехмерной модели Изинга. В трехмерном случае критические по-
показатели вычислены приближенно с использованием высоко-
высокотемпературного разложения в модели Изинга, выполненного
до очень высокого порядка, причем для получения величины
критических показателей была использована техника аппро-
ксимант Падё. Для соответствующих термодинамических ве-
') См. также [16, 99, 102]. — Прим. ред.
37
ГЛАВА 2
личин это предполагает степенное поведение вблизи критиче-
критической точки. Данные взяты из экспериментов с ферромагнети-
ферромагнетиками, антиферромагнетиками, из исследования переходов
жидкость—газ, бинарных сплавов и сверхтекучего гелия.
В каждой системе обычно можно измерить один или два кри-
критических показателя '). Таблица критических показателей
приведена для того, чтобы проиллюстрировать идею (которая
будет разъяснена в следующих главах) о том, что теория
среднего поля объясняет поведение систем с размерностями
больше 4 и что при d < 4 показатели непрерывно зависят от
Г
f,75
1,50
J.Z5
1
¦а
Фиг. 2.5. Зависимость критического
показателя \ от размерности физи-
4 $ g ческой системы.
параметра размерности. Для этого можно отложить на гра-
графике величины критических показателей в зависимости от
размерности системы и построить гладкую интерполирующую
кривую между различными значениями размерности. На
фиг. 2.5 представлена такая зависимость для показателя у.
Полученная кривая имеет разрыв производной для размер-
размерности 4 и является гладкой во всех остальных точках.
') Недавно в лаборатории И. Р. Кричевского (ГИАП) Л. А. Макаревич
и Д. Ю. Иванов провели прецизионные (Я, У, Г)-измерения перехода жид-
жидкость — пар для SFe, что позволило определить критические показатели:
б, у. Р [16, 99, 102]. При этом удалось добиться рекордной точности по
всем параметрам (р — Рс, р — Рс, Т'—Тс), так, например, промерить обла-
области т= |1 — Тс/Т | ^ 10"в. Интересной особенностью результатов этих
измерений является стремление критических показателей б, |3, \ к значе-
значениям, предсказываемым теорией среднего поля при Т-*-Те, р-^-рс соот*
ветственно. (В области изменения параметров, промеренных в ранних экс-
экспериментах, результаты которых приведены в табл. 2.1, упомянутые ре-
результаты Л. А. Макаревича и Д. Ю. Иванова хорошо согласуются с ними).
Такое «сглаживание» поведения термодинамических величин в критиче-
критической области можно попытаться объяснить в первую очередь эффектом
гравитации [140]. — Прим. ред.
38
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
Мы сосредоточим свое внимание в первую очередь на по-
показателях т), v и у. которые описывают поведение системы
при критической температуре или чуть выше нее, когда внеш-
внешнее поле отсутствует. Мы не будем работать в двухфазной об-
области, хотя, возможно, это более интересно; все основные
проблемы хорошо видны в области температур выше Тс.
§ 2. ИССЛЕДОВАНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ
Различные теории критических явлений характеризуются
так называемым «поиском аналитической структуры»1). На-
Написанные нами формулы, подобные формуле B.1) для спон-
спонтанной намагниченности, являются неаналитическими при
критической температуре. В действительности в этом нет ни-
ничего необычного, однако довольно трудно увидеть, как возни-
возникает такое неаналитическое поведение, если исходить, напри-
например, из первоначальной формулировки модели Изинга. На-
Напомним, что термодинамические функции вычисляются из ста-
статистической суммы:
р к—if. B.9)
is] L 1 J
До тех пор пока число спинов N конечно, Z является анали-
аналитической функцией К. Ясно, что такая система не может об-
обнаруживать критического поведения. Однако стоит нам
только рассмотреть термодинамический предел спиновой си-
системы, заполняющей все пространство, как аналитичность бо-
более не гарантируется. Поскольку объем системы V стремится
к бесконечности, становятся также неограниченными различ-
различные суммы. Однако неаналитическое поведение, которое мы
хотим здесь обнаружить, обычно маскируется этими эффек-
эффектами большого объема. Таким образом, в то время как неана-
неаналитичность в принципе возможна, из таких выражений, как
B.9), очень трудно практически получить правильное неана-
неаналитическое поведение. Описать критическое поведение пы-
пытаются тогда через аналитические функции в надежде, что
аналитические функции с помощью доступных методов можно
') Как станет ясно из дальнейшего, авторы под этим понимают необхо-
необходимость сформулировать аналитический аппарат, позволяющий описать не-
неаналитическое поведение термодинамических величин в критической точ-
точке. — Прим. ред.
39
ГЛАВА 2
получить более легко. Различные теории, следовательно, мож-
можно характеризовать соответствующим выбором аналитических
функций, с помощью которых они описывают критические яв-
явления. Это и есть «поиск аналитической структуры». Мы об-
обсудим эту проблему на двух уровнях: во-первых, на примере
теории среднего поля, которая оперирует с очень простой ана-
аналитической структурой, и, во-вторых, на примере собственно
ренормализационной группы.
/. Теория среднего поля
Одним из результатов теории среднего поля является су-
существование термодинамической функции, которая анали-
тична по своим аргументам в критической точке Тс. А именно,
магнитное поле В есть аналитическая функция удельной на-
намагниченности М и температуры. Это предполагает справед-
справедливость гипотезы Ландау [111] о том, что термодинамические
свойства системы должны выводиться из свободной энергии G,
которая является аналитической функцией М и Т. Тогда
поле В определяется выражением
^T). B.10)
Какие следствия получаются из этого подхода? Вблизи Тс,
где намагниченность М мала, мы можем для энергии G вос-
воспользоваться разложением Тейлора по степеням М:
G(M, Т) = Ос(Т) + г(Т)М2 + и(Т)М*+ ... . B.11)
Здесь М — удельная намагниченность (намагниченность на
один спин). В разложении появляются только четные сте-
степени М, поскольку модель Изинга обладает симметрией от-
относительно отражений. Магнитное поле B.10) в этом случае
определяется выражением
3+ .... B.12)
Если мы ограничимся рассмотрением членов, пропорциональ-
пропорциональных М и М3, и предположим, что и > 0 (так что магнитное*
поле растет при увеличении М), то столкнемся с двумя воз-
возможными случаями. Если г > 0, то свободная энергия G как
функция М будет иметь один минимум (фиг. 2.6, а). Если
т <С 0, то свободная энергия G может иметь два различных
минимума, соответствующих отличным от нуля намагничен-
40
! ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
ностям (фиг. 2.6,6), и, следовательно, три локальных экстре-
экстремума, отвечающих 6 = 0. Однако система выбирает состоя-
состояние с минимальной энергией, которое соответствует, согласно
фиг. 2.6, б, состоянию с ненулевой намагниченностью. Мы ви-
видим, что случаю г > 0 отвечает Т > Тс, когда спонтанная на-
на0
а
¦м
Фиг. 2.6. Зависимость свободной энер-
энергии от намагниченности для некоторых
возможных значений параметра г.
а) г > 0; б) г < 0.
О
6
магниченность отсутствует, в то время как случай г <С 0 озна-
означает, что Т <С Тс.
Продолжая далее работать с этими допущениями об ана-
аналитической структуре, мы можем получить некоторые из кри-
критических показателей. Очевидно, что г(Тс)=0, в то время
как и(Тс) достигает некоторой определенной величины. Сле-
Следующий этап состоит в предположении, что для Т в окрест-
окрестности Тс
г(Т)~{Т-Тс). B.13)
Тогда при В = 0 из B.12) следует
М =
4J
ГЛАВА 2
откуда мы устанавливаем величину первого критического по-
показателя:
1
Если Т > Тс, тогда для намагниченности, близкой к нулю,
в
B.15)
М~ 2г(Т) '
Из этого соотношения мы находим восприимчивость:
1
(Т-Те)
-1
А~" 2г(Т)
далее мы определяем другой критический показатель
Y=l.
B.16)
B.17)
B.18)
Распространяя эти идеи на случай полей, зависящих от
координат, можно найти величины показателей v и г\ '). По-
Получаем v = 7з и ц = 0.
К сожалению, теория среднего поля, как это видно из
табл. 2.1, недостаточно хорошо предсказывает величины кри-
критических показателей. Например, надежные эксперименты
с жидкостями в такой малой области (Т — Тс)/Тс, как 10~5,
дают для р величину р «* 0,35 ± 0,01 [98], а согласно пред-
предсказанию теории среднего поля, имеем (J = 0,5.
Таблица 2.1
Критические
показатели
Р
Л
V
V
а
0,3—0,38
0-0,1
0,6-0,7
1,2-1,4
0-0,1
Теория
среднего поля
Vl
0
V.
1
0
Трехмерная
модель Изинга
0,31
0,056
0,64
1,25
0,12
Двухмерная
модель Изинга
0,125
0,25
1,0
1,75
0
Теория среднего поля, однако, дает очень простую и ясную
картину критического поведения. И, хотя ее предсказания не
являются очень точными, они в то же время не являются и
') Весьма просто корреляционные эффекты в рамках теории среднего
поля обсуждены в работе. [16], см. также работы В. Л. Гинзбурга и
А; П. Леванюка [14L—143].—Прим. перев.
4?
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
очень плохими. В нашем последующем описании критических
показателей результаты теории среднего поля будут высту-
выступать как приближения нулевого порядка. Систематическое
разложение по размерности системы позволит нам_§атем по-
получить более точные результаты.
2. Теория Каданова
Теперь обратимся к обсуждению второго примера и рас-
рассмотрим картину Каданова в окрестности критической точки
[15]. Основным результатом построения Каданова является
установление связей между критическими показателями, ко-
которые ранее были угаданы с помощью почти эвристических
аргументов (см. [97—102]). Здесь мы не будем обсуждать эти
соотношения. В первую очередь рассмотрим вопрос о том, ка-
каким образом выбираются аналитические структуры и как,
начав с аналитических функций, мы получаем критические
сингулярности.
При изложении построения Каданова мы допускаем зна-
значительное своеволие. В последующих абзацах излагается
сущность его идей, однако детали его работы будут в значи-
значительной степени искажены.
Каданов подробно занимался проблемой дальних корреля-
корреляций в окрестности Тс. Прямой расчет критического поведения
требует рассмотрения (как минимума) всех спинов в объеме
размерами порядка корреляционной длины — это безнадеж-
безнадежная задача. В противоположность этому вдали от Тс, где кор-
корреляционная длина мала, необходимо рассматривать одновре-
одновременно только несколько спинов. Для решения таких проблем
пригодна стандартная техника, например метод диаграмм
Фейнмана и теория возмущений.
Каданов высказал блестящую идею, позволяющую безна-
безнадежную проблему учета дальних корреляций заменить зада-
задачей, в которой учитываются только близкие корреляции. Для
простоты разъясним эту идею на примере плоской решетки.
Рассмотрим малую область, содержащую, скажем, 4 спина.
Поскольку корреляционная длина (радиус корреляции) в ок-
окрестности критической температуры очень велика, все едины
в таком маленьком блоке должны будут сильно коррелиро-
коррелировать. Каданов предположил, что 4 спина так сильно скорре-
лированы, что в одном блоке имеется только два возможных
состояния: либо все спины направлены вверх, либо все спины
43
• •
• •
• • • •
• • • •
• • • •
• • • •
a
X
X
X
X
X
X X
X
X
Фиг. 2.7. Наглядное представление кадановского построения спиновых
блоков.
Исходная решетка (о) со спинами в каждом узле делится на блоки по четыре спина
в каждом блоке (б) н Заменяется новой решеткой (в) с «эффективными» спинами.
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
направлены вниз. Это означает, что блок из 4 спинов ведет
себя, как один эффективный спин. Предположим теперь, что |
равно 1000 в единицах постоянной решетки (фиг. 2.7, а).
Сгруппируем спины в блоки так, чтобы в каждом было по
4 спина (фиг. 2.7,6). Предполагают, что каждый блок обла-
обладает только двумя спиновыми степенями свободы, следова-
следовательно, для каждого блока имеется единственная спиновая
переменная. Таким образом, исходную решетку можно заме-
заменить на эффективную, у которой теперь | = 500 в единицах
эффективной постоянной решетки (фиг. 2.7, в). Таким путем
задача с | = 1000 сводится к задаче с | = 500. Повторение
этого построения позволяет проводить дальнейшее уменьше-
уменьшение | до 250, 125 и т. д. до тех пор, пока в конце концов мы
не получим эффективную задачу с | ~ 1. Ниже мы обсудим
это дополнительно. Если исходные спины взаимодействуют
только с ближайшими соседями, тогда очевидно, что и эффек-
эффективные спиновые блоки также взаимодействуют только с бли-
ближайшими соседями. Удобно определить перенормированные
спиновые блоки так, чтобы их значения равнялись ±1, а не
± 4. Тогда энергия спиновых блоков, деленная на kT, равна
Я, I
где К\—постоянная, s(j> — спиновая переменная блока, ал —
номер узла эффективной решетки (X на фиг. 2.7, в). Един-
Единственное практическое различие между эффективным взаимо-
взаимодействием Каданова B.19) и исходным взаимодействием
л, i
состоит в изменении постоянной К на К\. Причем постоянную
взаимодействия Ki нетрудно определить. Действительно,
имеется только два типа спин-спиновых взаимодействий, по-
получаемых из затравочного взаимодействия, которые связы-
связывают спиновый блок s^ с одним из его ближайших соседей
s(n''-7. Если эффективные спины обоих этих блоков парал-
параллельны, энергия связи равна 2К, если они антипараллельны,
энергия связи равна —2/С. Следовательно,
Ki=2K. B.20)
Предположим теперь, что мы решили первоначальную за-
задачу с постоянной взаимодействия К и получили величину
45
ГЛАВА 2
корреляционной длины ЦК) как функцию К в единицах по-
постоянной исходной решетки. Тогда корреляционный радиус
для решетки, состоящей из спиновых блоков в единицах по-
постоянной блочной решетки, будет равен l(Ki), поскольку
взаимодействие в системе спиновых блоков имеет изингов-
скую форму. Но теперь корреляционная длина, выраженная
в единицах постоянной блочной решетки, должна быть равна
половине корреляционной длины первоначальной задачи, т. е.
^ B.2D
Если задано, что l(Ki) = ЧгЦК), как только К\ = 2К, то за-
зависимость ?,(К) от К становится несколько более определен-
определенной. Предположим, что температура системы равна критиче-
критической. Для К соответствующая величина равна Кс = J/kTe.
При К = Кс величина | бесконечна. Но теперь и корреляцион-
корреляционный радиус в системе, состоящей из спиновых блоков, должен
быть так же бесконечным, последнее же означает, что
g(/(i)=oo, а это возможно только тогда, когда К\ также
равно Кс- Следовательно,
КС = К1=2КС, B.22)
что дает Кс = 0, либо Кс = °°, но не Кс = JlkTc.
Это бессмысленный результат: в действительности Кс —
конечное число, не равное 0 или оо. Неприятность возникает
в связи с предположением о полной упорядоченности спинов
внутри блока. В действительности Каданов не предполагал
этого. Он лишь предложил считать, что блок будет вести себя
так, как если бы он имел только 2 возможных состояния и,
следовательно, мог бы быть заменен эффективным спиновым
блоком. Оба эти состояния, однако, не будут соответствовать
случаям, когда все спины внутри блока направлены либо
вверх, либо вниз. Каданов предполагал, что между спино-
спиновыми блоками будет существовать эффективное изинговское
взаимодействие с постоянной К\, которая является некоторой
функцией f(K), но функцией более сложной, чем величина 2К,
которая получена выше. Каданов, однако, не дал никакого
рецепта для определения /(/(). Единственное, что он действи-
действительно предположил, это по-прежнему аналитичность функ-
функции f (К) по К, даже при К = Кс- Основной причиной этого
являлась надежда, что на вычисление К\ — даже если это вы-
вычисление провести невозможно — влияют только спины, на-
находящиеся в непосредственном соседстве с блоком п. Неана-
45
ПОВЕДЕНИЕ СИСТЕМ В ОКРЕСТНОСТИ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ
литичность в точке Кс может возникнуть только для тех ве-
величин, для которых существенно влияние всей решетки.
Предположение Каданова сводится, таким образом, к ут-
утверждению существования аналитической функции /(/(), та-
такой, что
tU(K)] = j№y. B.23)
К каким следствиям это приведет для величин, определяющих
критическое поведение? Во-первых, должно выполняться со-
соотношение
Ke = f(Kc), B.24)
так что величина ?,[f(Kc)] бесконечна. Во-вторых, предполо-
предположим, что К находится в малой окрестности Ко тогда прибли-
приближенно можно написать
Kc), B-25)
где X = dfldK в точке К = КС- Это означает, что
c). B.26)
Предположим теперь, что величина ЦК) для К, близких
к Кс, ведет себя, как (К — Kc)~v, тогда должно быть
llf(K)] _f f(K)-Kc
_f f(K)-
~\ K-Kc
С учетом B.23) и B.26) отсюда получаем
B.28)
т.е. если бы можно было определить f'(Kc), то из уравнения
B.28) можно было бы вычислить v:
Например, если f(K) имеет явный вид: f(K)=2K, который
был получен ранее, тогда X будет равно 2, a v равно 1.
Из уравнения B.26) не следует однозначно, что 1(К) при
К —* Кс изменяется по степенному закону; наиболее общий
вид ЦК), согласующийся с B.23) и B.26), есть
I (К) = (К -KcyvF [In (К -КЛ B.30)
где F(x)—периодическая функция х с периодом In Л. Оправ-
Оправданием этой периодичности служит тот факт, что, если нам
47
ГЛАВА 2
известна ЦК), тогда известна также и ?,(Ki), где Ki — Кс =
= Х(К— Кс); а умножение К— Кс на X эквивалентно транс-
трансляции 1п(К— Кс) на величину In X. Поскольку F — функция
периодическая, поведение ЦК) не отличается качественно от
закона ЦК) ~ (К— Kc)~v.
Для более точного определения ?(К) можно представить
себе следующую процедуру. Предположим, что ЦК) известно
для К > 2КС ')¦ Для К > 2Кс корреляционная длина | должна
быть не очень велика и ее можно относительно легко вычис-
вычислить. Предположим теперь, что К лежит в области Кс < К <
'< 2Кс- Построим последовательность эффективных постоян-
постоянных связи Ки Къ и т. д., удовлетворяющих соотношению
Kn+l = f(Kn), B.31)
где К\ = f(K). Формула Каданова приводит тогда к вели-
величине
1{К) = 2пикп). B.32)
Это, в частности, означает, что для любой фиксированной
величины К (> Кс) можно выбрать такое большое п, что
длина ?,(Кп) будет достаточно мала, так как Кп > 2КС- Тогда
длина 1(Кп) известна, а ЦК) определяется с помощью B.32).
Конечно, это вычисление можно провести, если только из-
известна функция f(K).
Важным моментом в анализе Каданова является идея
о том, что можно, исходя из аналитической функции f(K),
прийти в итоге к неаналитическому поведению 1(К) в точке Кс,
в которой f(Kc)=Kc- Более того, для величины v не полу-
получается определенного, не зависящего от f(K), значения; для
вычисления v необходимо знать функцию f(K). Следова-
Следовательно, v не обязано иметь величину '/г. соответствующую
приближению среднего поля. В действительности величина v,
вопреки представлениям некоторых физиков, занимающихся
статистической механикой, может быть числом иррациональ-
иррациональным.
В следующих главах идея Каданова о существовании эф-
эффективных взаимодействий спиновых блоков с постоянными
связи, аналитическими по Т, будет реализована в разных фор-
формах, причем все функции будут заданы явно. Явно будут вы-
вычислены также такие критические показатели, как v и др.
') То есть в «ферромагнитной» области, которая соответствует темпе-
температуре Т <.Те — Прим. ред.
Глава 3
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ.
ГАУССОВА МОДЕЛЬ
В этой главе, исходя из интуитивных идей Каданова, мы
начнем получать количественные результаты. Найдем выра-
выражение, связывающее исходное взаимодействие и взаимодей-
взаимодействие спиновых блоков, а для иллюстрации используемых
идей вычислим для некоторой тривиальной модели (гауссовой
модели) [86] критический показатель v. В этом случае пока-
показатель v = 7г. т. е. имеет такую же величину, как в теории
среднего поля.
Гауссову модель можно получить, модифицируя модель
Изинга. Вначале запишем статистическую сумму Изинга
в интегральном виде, а именно:
оо
z=П 52б(*- -!)ехр(к Е ?*-».+/)dsm• C-D
Это простая запись исходной статистической суммы. Пред-
Представим теперь, что происходит расплывание б-функции
(фиг. 3.1, а) около sm=±l, так что получается сначала
плавное распределение (фиг. 3.1,6), а затем функция распре-
распределения Гаусса C.1, в). Конечно, распределение на фиг. 3.1, в
имеет лишь отдаленное сходство с распределением, соответ-
соответствующим исходной модели Изинга. Если мы тем не менее
в статистической сумме C.1) заменим б-функцию на
ехр (—т" bsm) • то ПОЛУЧИМ
+
Z = П 5 6ХР (" Т **-) 6ХР (К ? Е S»S-H ) dSm> C-2)
49
ГЛАВА 3
где Ь -*- произвольная постоянная. Формула C.2) отвечает
гауссовой модели [86]. Позже мы рассмотрим обобщение:
ехр (- 1 bsl) - ехр (- \ bs\ - us\), C.3)
где и — положительное число. Если и порядка единицы (« не
мало), то исследование можно провести, используя рекуррент-
рекуррентную формулу, которая будет получена ниже. В этом случае
JLJL
-I +1
а
"от
8
Фиг. 3.1. Переход от модели Изиига к гауссовой модели.
У модели Изинга спины в каждом узле решетки направлены либо вверх, либо вниз (а).
У модели, соответствующей фиг. 3.1,0, спиновые переменные имеют максимальные
значения в окрестности изинговских значений спииа sm=±l. У гауссовой модели
спиновые переменные в каждом узле имеют гладкге гауссово распределение в окрест-
окрестности нуля (в).
модель с распределением C.3) начинает приближаться к ре-
реальной модели Изинга. Наконец, если и-* оо, a b -* — оо при
b e= —4«, мы снова получаем модель Изинга [для этого не-
необходимо учесть еще, что на каждый спин приходится мно-
множитель (u/я) v»exp (—«)].
Напомним некоторые особенности гауссовых интегралов.
Для этого удобно ввести матричные определения:
sAs
ps-
/г» /л
C.4)
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР. РЕНОРЛГО1ИЗАЦИ0НН0Й ГРУППЫ
причем матрица А симметрична, т. е. матричные элементы не
изменяются при /г«->-т. Тогда, используя формализм, который
будет кратко изложен, можно оценить следующий интеграл:
-f-OC
П5
4-рЛ~'рУ C.5)
где нормирующий множитель С является функцией А. Напри-
Например,
C = (de\A)~<l'Bn)m,
где N — число узлов решетки. Чтобы привести показатель
в подынтегральном выражении к полному квадрату, в выра-
выражении C.5) производят сдвиг переменных интегрирования sn-
[Ниже, см. C.21), приведен пример такого преобразования.]
Из представления C.5) можно получить все интегралы вида
Д
l, ..., mk). C.6)
Эти интегралы понадобятся нам в гл. 4. Процедура сводится
к дифференцированию C.5) по переменным pmi ... pmfe, В ре-
результате получаем
DO
Д ^ (sm[ ... smk) exp (— -j sAs + ps) dsn =
- A-\
Второй шаг состоит в том, что переменные рт для всех т по-
полагаются равными нулю. Если k — нечетное число, то инте-
интеграл обращается в нуль; если же k — четное число, то необхо-
необходимо рассмотреть только такой член разложения экспоненты,
который имеет порядок рй; это дает
C.7)
Теперь у нас имеется k производных, действующих на k/2
множителей ('/гР-Др)- Для иллюстрации вычисления произ-
51
ГЛАВА 3
водных рассмотрим случай k = 4. Здесь необходимо вычис-
вычислить
д д д д
до~. дот дот
В результате дифференцирования получаем некоторое число
членов вида (A~1)nmi(A~i)mamj8. Полное число таких чле-
членов равно 24, т. е. полному числу всевозможных способов дей-
действия каждой из производных на р или р. Однако многие из
этих членов совпадают между собой. Например из-за сим-
симметрии матрицы А~\ член {A~l)mim{A~i)mtmj8 совпадает
с членом иОт^Д^^/вдв,'^ Очевидно также, он совпадает
и с членом (.A~i)mimt{A~1)mimil^- Собирая все совпадающие
члены, получаем
/(т,, ..., т4) = |
C.8)
Общее правило для любого k формулируется аналогично. Ре-
i i
зультат выглядит следующим образом: пусть smismt означает
матричный элемент (-Д)^^; назовем s^sm, «спариванием»,
тогда I (т1 тА) равно сумме всех возможных спариваний
произведения smism2 . .. smfe, причем каждое smi входит в не-
некоторое спаривание. Например:
1{ть Ш2, Щ, Щ) = С
I
~т~ smismismtsm^), C.9)
что совпадает с результатом C.8). Величина /(mi, ..., m6)
состоит из smiSm,Sm,SmtSm,smt и 14 других членов. Заметим, что
нет необходимости считать все т* различными. Предположим,
например, что мы имеем дело с тривиальными матрицами
1 X 1. так что все тг с необходимостью равны 1. Тогда инте-
интеграл C.6) от s\ равен ЗСМП2, интеграл от s\ равен 15СДП3
и т. д. в соответствии со стандартными формулами. Отметим,
что правило для вычисления /(mi, ..., mft) аналогично тео-
теореме Вика из квантовой теории поля [103].
52
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В интересующих нас случаях матрица Апт зависит только
от разности п — т и обратную матрицу (Аг1)пт можно вы-
вычислить с помощью преобразования Фурье:
Ап-т = \ exp [iq ¦ (п - т)] A (q), C.10)
ч
где
Так как матрица А в ^-представлении диагональна, обратная
матрица получается в результате фурье-преобразования про-
просто обратной величины A (q):
(А~\-т = \ ехР Ни • (» - "»)] A-1 (q). C.11)
ч
Вернемся теперь к гауссовой модели. Мы можем перепи-
переписать интересующие нас выражения [см. C.2)] в виде
«• C-12)
где мы для удобства предположили, что сумма по i пробегает
только положительные значения; d — размерность решетки.
Если выразить C.12) через
ст, = 2 ехр (— iq ¦ п) sn,
то получим
- Т
я
где
r = b-2dK, C.14)
a <7i—i-я компонента q.
Отметим теперь три дополнительных изменения, которые
будут сделаны в модели. Первое — замена |exp(t<7i)—1|2 его
разложением при малых q, а именно, замена на q\. Второе —
изменение области интегрирования по q, т. е. теперь вместо
—я<<7<<я имеем О<|0|<1. Третье — перенормировка
53
5 Г* ЕI
я L 1
ГЛАВА 3
спиновых переменных так, чтобы К = 1. Итак, окончательно
взаимодействие принимает вид
)oqa_q, C.15)
ч
где
Г ._ _^Г л . . . г
для 0 < | 44 < 1 И Г = -jt .
Второе изменение обусловливает некоторые идейные за-
затруднения. При 0<|^|< 1 невозможно выразить исходные
переменные sn через функциональную переменную а , поэтому
мы вынуждены определить статистическую сумму как функ-
функциональный интеграл по aq вместо старого определения с по-
помощью обычных интегралов по sn1). Однако для настоящих
целей это не является препятствием. Дело в том, что метод
преобразования переменных интегрирования (сдвиг) для
функциональных интегралов так же обоснован, как и для
обычных интегралов, и его можно так же легко использовать.
Основанием для проведения замены переменных в функцио-
функциональном интеграле является то, что функциональный интеграл
всегда определяется как предел обычных интегралов, каждый
из которых допускает сдвиг переменных интегрирования. На-
Например, функциональный интеграл по aq можно представить
как предел обычных интегралов по переменным ая , если
в этом пределе расстояния между точками qm стремятся
к нулю (см., например, [104]).
Замена \exp(iqt) — I Р на q\ не приводит к существенным
изменениям в модели, поскольку в конечном счете мы будем
интересоваться только поведением модели в длинноволновом
пределе, которое определяется вкладом |exp(t<7i)—1|2 при
малых q. По тем же причинам несущественно и изменение
области определения \q\.
Теперь можно вычислить корреляционную функцию в рам-
рамках описанной выше модели. Для этого удобно ввести спино-
спиновое поле s (х):
s(x)=\exp(iq-x)a4, 0 < | q |< 1; C.16)
г) Это приводит к некоторому несущественному в критической обла-
области (см. ниже) изменению исходной модели C.2).—Прим. перев..
54
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
оно заменяет sn. Тогда корреляционная функция имеет вид
±, C.17)
где \ означает функциональный интеграл по aq, a Z — функ-
о
циональный интеграл только от экспоненциального выраже-
выражения. В результате для Г (ж) получим
Г (х) = J exp (iq - х) -~; = \ exp (iq ¦ х) Г,. C.18)
ч ч
Сейчас это выражение будет выведено. Имеем
Г (х) = ^ exp (iq ¦ х) J aqoqi exp / - \ \ (q2 + r) aqa_q \ ±-.
ЧЧ\ О К q )
C.19)
Функциональный интеграл вычисляется с помощью произво-
производящей функции:
z W = Т \ ехР ( - Т \ № + г) ача-я + \ >-л|• C-2°)
Преобразование сдвига для переменных в этом случае озна-
означает замену
".—Ат-К- C-21)
На языке a'q получаем
C.22)
Функциональный интеграл пропорционален Z и мы имеем
^^JJ. C.23)
55
ГЛАВА 3
Разлагая выражения C.20) и C.23) по / до второго порядка,
видим, что
К )
J-f-pir- C-24)
Это соотношение для функций / должно выполняться тожде-
тождественно, отсюда
aqaqi ехр / - -j J (Ч2 + г) oqa-a | x =
C.25)
aqi ехр / - -j J
^4 + q)
где б (q + Я\)—сокращенная запись выражения Bn)d6d(g qi)
Подставляя эту формулу в C.19), получаем для Г (ж) выра-
выражение C.18).
Корреляционная длина | определяется обычно из выра-
выражения, описывающего поведение Г(дс) при \х\—¦ оо. Если бы
область изменения q была бесконечной, поведение Г (ж) для
больших |лег| определялось бы сингулярностью (q2-{-г)-1 при
<7=±rVr> T-e- (без учета предэкспоненциальных степе-
степеней |*|)
Г(*)~ехр(-Уг"|х|). C.26)
Из выражения C.26) находим |= l/-y/r. К сожалению, из-за
наличия у области изменения q вполне определенных границ
]q\= 1 в асимптотическом выражении для Г (ж) при боль-
больших х появляется еще один член, который ведет себя как
cos (|*!)')• Этот член обусловлен искусственным характером
модели; его можно устранить с помощью усреднения по боль-
большой, но конечной области в «-пространстве. Когда корреля-
корреляционная длина | велика (мало г), усреднение не влияет на
член ехр(—Vr l*l)- Однако процедурой, более удобной для
наших целей, является введение другого определения корре-
корреляционной длины. Как было отмечено первоначально, вели-
величина корреляционной длины устанавливается по ведущей син-
г) В этом можно легко убедиться непосредственно, вычисляя инте-
интеграл C.18) по области \q\ < l. — Прим. перев.
56
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
гулярности IV если ведущая сингулярность Г, имеет место
при q = ±iqs, то ? = 1/<7S. Положение этой сингулярности
можно грубо определить, сравнивая производную dfqldq2 и
Tq, когда q = О, т. е. мы имеем
dfjdq*
C.27)
Аналогично
Определенную таким образом величину | называют «эффек-
«эффективным радиусом корреляции» [97]. Для Т9 = 1/(q2 + г) фор-
формула C.27) дает
?2~-р C.28)
и, следовательно, как и раньше, |~ 1 / -\]г .
В гауссовой модели г изменяется линейно с температу-
температурой Т. Точнее, с учетом того, что К = J/kT [из B.9)] для г по-
получаем
r== C29)
[см. также C.14), C.15)].
Критическая точка соответствует г = 0 и | = оо, следова-
следовательно, для Т > Тс
Таким образом, гауссова модель приводит к такому же зна-
значению критического показателя v, как и теория среднего поля:
v = '/2- Далее, формула C.29) для критической температуры
дает kTc = 2dJ/b. Критическая величина К равна Кс = b/2d.
Точную формулировку метода ренормализационной группы
можно дать для гауссовой модели; она позволяет понять те
идеи, которые будут применяться позже к нетривиальным мо-
моделям.
В качестве первого шага при построении преобразования,
отвечающего идее ренормализационной группы, проинтегри-
проинтегрируем спиновые компоненты aq с '/2 < |^| < 1 и оставим ком-
компоненты oq с 0 < |^| < '/г непроинтегрированными. Другими
57
ГЛАВА 3
Словами, проведем интегрирование быстро флуктуирующих
компонент спинового поля s(x), а медленно флуктуирующие
компоненты оставим непроинтегрированными. Это есть неко-
некоторый способ реализации в духе Каданова идеи о возникно-
возникновении эффективного взаимодействия, включающего только пе-
переменные, спиновых блоков; именно мы интегрируем те пере-
переменные, которые ортогональны переменным спиновых блоков.
В нашем случае в качестве аналога переменных, описываю-
описывающих спиновые блоки Каданова, подразумеваются длинновол-
длинноволновые спиновые компоненты aq с \q\ < '/2-
Интегрирование по а с lk <\я\< 1 будет проведено
в функциональном интеграле, соответствующем статистиче-
статистической сумме, а не в функциональном интеграле, соответствую-
соответствующем корреляционной функции. Однако тот же самый метод
вычисления применяется и в последнем случае, если только
функциональный интеграл, соответствующий Tqi, рассматри-
рассматривать при \q\\< lk-
б (<7, + Я2) ТЯ1 = \ oqioq, ехр (- \\{q2 + r) oqa_\ ±. C.30)
а \ q J
Действительно, если и | qr, |, и | q21 меньше 1/2, то соответ-
соответствующие компоненты aqi и aqt не включаются при вычисле-
вычислении интеграла по aq с '/2 < I Я I < 1- ¦
Вычисление, соответствующее первому шагу, определен-
определенному выше, тривиально. Дело в том, что между компонен-
компонентами aqc \q\ > '/2 и компонентами aq с \q\ ^ '/г нет никакой
связи. Следовательно, единственным результатом взятия
функционального интеграла по aq с |^|> 7г будет появление
постоянной '), которая умножается на
Где \ означает интеграл только по области 0 ¦< \q\ ¦< v/2. Так
я
как эта мультипликативная постоянная в отношении двух
функциональных интегралов, определяющих f q, сокращается,
') Необходимо отметить, что «постоянная» в действительности яв-
является функцией температуры Т, см. C.20). Однако это замечание не
влияет иа дальнейший ход рассуждений. —Прим. перев.
58
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
то ее появление можно игнорировать. Таким образом, эффек-
эффективное взаимодействие, возникающее благодаря исключению
спиновых компонент с большим импульсом q, определяется
просто выражением
Второй шаг при построении преобразования, отвечающего
идее ренормализационной группы, сводится к некоторым из-
изменениям масштаба, причем делается это для того, чтобы эф-
эффективное взаимодействие настолько, насколько это воз-
возможно, походило на исходное взаимодействие. Будет введено
два изменения масштаба. Во-первых, масштабное преобразо-
преобразование импульса:
оно производится так, чтобы новый импульс q' имел такую
же область изменения 0 < \ц'\ < 1, как и импульс q в исход-
исходном взаимодействии. Во-вторых, масштабное преобразование
собственно спиновых переменных:
а, = ?о?-= ?<*,. C.31)
Масштабный множитель ? будет определен ниже. Используя
новые спиновые переменные cfq', запишем эффективный га-
гамильтониан в виде
\ (^1 + г)схХ-,'. C.32)
Выберем теперь Z, так, чтобы член qn в C.32) имел такой же
коэффициент, как и член q2 в исходном взаимодействии; это
означает, что
? = 2'+^2 C.33)
и;
Ж = - ~ J (/2 + rf) o'q,o'_4,, C.34)
ч'
где
г'«=4г. C.35)
59
ГЛАВА 3
Преобразование, которое переводит
{q2 + r)oqo_q C.36)
ч
в Ж', является примером преобразования ренормализацион-
ной группы.
Два масштабных преобразования, введенные выше, анало-
аналогичны масштабным преобразованиям, которые встречаются
в построении Каданова. Действительно, когда обсуждается
проблема взаимодействия спиновых блоков, в качестве мас-
масштаба вместо постоянной исходной решетки используется раз-
размер блоков. Это аналогично введенному здесь масштабному
преобразованию импульса. Во-вторых, величина спинов у бло-
блоков путем изменения масштаба была переопределена Када-
новым таким образом, чтобы она равнялась ± 1, как и вели-
величина исходных спинов; это аналогично изменению масштаба
спиновых переменных ай, хотя теперь задача состоит в том,
чтобы привести некоторый вполне определенный член во взаи-
взаимодействии Ж' к такому же виду, какой он имел в исходном
взаимодействии.
Для каких же целей полезен гамильтонианЖ'? Его можнр
использовать, например, для вычисления корреляционной
функции Г, при условии \q\ <; '/2- Корреляционная функция,
естественным образом определенная из Ж', есть корреляцион-
корреляционная функция, в которой вместо а фигурируют переменные а',
а именно:
^ \ ^г. C.37)'
а'
' 2
Масштабные соотношения между ии(/ приводят к следую-
следующей связи между корреляционными функциями Г9, и Г2?1:
б (<7, + <72) f q, = ЕТг* б B</, + 2q2), C.38)
а так как
то
fq = F2-dY'2q = mq. C.39)
Таким образом, если вычислить Г^, зная Ж', то из соотноше-
соотношения ПОДОбиЯ C.39) МОЖНО ПОЛУЧИТЬ Tq/2.
Обратимся теперь к более подробному рассмотрению кор-
корреляционной длины. Используя модифицированное определе-
60
ТРИВИАЛЬНЫЙ ПРИМЕР РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ние Г^и |, корреляционную длину, вычисленную из Ж, можно
записать в виде
^ C-40)
Из-за изменения масштаба шкалы импульса при определе-
определении Ж величина |' будет отличаться от \. Так как импульсы
при преобразовании от Ж к Ж удваиваются, длины будут
уменьшаться в 2 раза, т. е. корреляционная длина |' должна
равняться |/2. Это действительно так, поскольку
Здесь мы имеем явный пример связи между величиной ?',
вычисленной из эффективного взаимодействия Ж, и величи-
величиной |, вычисленной из исходного взаимодействия. Имеется
три связанных между собой соотношения.
Первое соотношение между ?' и |:
Это соотношение является следствием явного изменения
масштаба в импульсном пространстве, которое вводится в пре-
преобразование ренормализационной группы. Оно будет справед-
справедливо для всех моделей до тех пор, пока мы придерживаемся
программы интегрирования по компонентам aq в области
\я\ > V2, а затем изменяем масштаб оставшихся импульсов.
Второе соотношение между г и г':
Это — связь между постоянными, появляющимися в выраже-
выражениях для Ж и Ж. Оно характерно только для гауссовой мо-
модели. Заметим тем не менее, что г' является аналитической
функцией г даже в критической точке. Такое свойство анали-
аналитичности будет иметь место во всех последующих примерах.
Третье соотношение установлено между g и г.
Поскольку Ж' имеет тот же вид, что и Ж, новая корреляцион-
корреляционная длина |' имеет ту же зависимость от г', что и | от г:
¦у/г'
61
ГЛАВА 3
Эти соотношения также характерны только для гауссовой мо-
модели. В других случаях всегда будет справедливо следующее:
если | = Х(г), то |' = Х(г'), причем функция X одна и та же.
Критические особенности g можно найти методом, изло-
изложенным в гл. 2. Подставим г вместо переменной К, исполь-
используемой в гл. 2. Функция f (К) (см. гл. 2) теперь известна явно:
г' = f (г)= 4г. Критической величиной г является гс = 0; она
удовлетворяет уравнению f{rc)=rc. Параметр К, определен-
определенный в гл. 2, равен df/dr = 4. Таким образом, из уравне-
уравнения B.29) получаем
В этом случае величина g(r) должна вести себя, как
I (г)-(г -ге)-Ч">
дополнительной периодической функции F[In(г — гс)] (см.
гл. 2) здесь не возникло. Дело в том, что период F определен
так, что при переходе от г к г' величина | изменяется в 2 раза
[?(/•') = Ч?(г)]- Можно было бы, однако, постулировать изме-<
нение | в произвольное число раз s, интегрируя для этого
по oq с импульсами S <с|^|^ 1 вместо '/2 <|^|^ 1. Ре-
Результат для v по-прежнему был бы равен V2. но дополнитель-
дополнительная функция вместо In 2 имела бы уже период In $. Если F не
постоянная, это приводит к противоречию.
Таким образом, если известна функция f(r), можно опре-
определить как критическую точку гс = 0 (Кс = b/2d), так и кри-
критическую особенность |.
Мы начали с аналитической формулы для г
и получили неаналитическое выражение для |. Почему? При-
Причина в том, что г' приближается к г при г —> 0, а |' не может
приближаться к величине |, так как корреляционная длина \'
должна быть равна 7г1- Именно это несоответствие и приво-
приводит к тому, что величина g имеет сингулярность в точке г' ==,
1
') Действительно,
г' — г = Зг -> 0,
В то время как
— Прим. перев.
Глава 4
МОДЕЛЬ
В этой главе мы несколько обобщим обсуждение гауссовой
модели. В частности, мы добавим к взаимодействию малый
член четвертой степени по aq. Проблема ренормируемости
становится теперь совершенно нетривиальной, однако гораздо
более поучительной. Ниже будет дано определение ренорма-
лизационной группы с помощью теории возмущений, а для со-
соответствующих уравнений будет найдено нетривиальное реше-
решение типа неподвижной точки. Эта глава познакомит также
с методикой использования нецелых непрерывных простран-
пространственных размерностей.
Новая модель определяется статистической суммой [36, 57,
105, 106]:
I}, D.1)
a
где
=-4 \ &+'> v-. -« И \
Ч 4i Чг Чг
Первый член гамильтониана (мы будем обозначать его ЖР)
хорошо известен из предыдущего. Предполагается, что пара-
параметр и мал по сравнению с 1. Это позволит нам использовать
теорию возмущений для описания вкладов от нового члена
гамильтониана. Отметим также, что в конфигурационном про-
пространстве новый член есть просто
Следуя идеям предыдущей главы, мы попытаемся опреде-
определить новую физическую систему, в которой высокочастотные
моды настоящей системы проинтегрированы. Эффективный
гамильтониан, определяющий поведение новой физической си-
63
ГЛАВА 4
стемы, будет представлен в таком виде, который максимально
сходен с D.2). Это повлечет за собой некоторое значительное
упрощение, обоснование которого будет дано в следующей
главе. Вместо параметров г и и в эффективном гамильтониане
появятся новые параметры г' и «', причем они будут выра-
выражаться через параметры г и и с помощью простых формул.
Это сходно с рассмотрением проблемы Кондо, проведенным
Андерсоном [4].
Построение эффективного гамильтониана происходит сле-
следующим образом. Пусть в исходной системе интегрирование
по импульсам выполняется в области 0 <|^|< 1. Новая си-
система, как и в гл. 3, получается интегрированием высокоча-
высокочастотных мод с ]/2 < |^| < 1. Запишем функцию aq в виде
ai = ao.i + <>i.r D-3)
где
<х, q=aq> если у < I Я 1^1. и <Xj q=0 в противном случае,
, ' D-4)
<х0 q=oq> если 0^ \q |^ у, и <х0 q=0 в противном случае ').
Тогда функциональный интеграл Z можно представить сле-
следующим образом:
Z = J ехр {Ж [а]} = J П ехр {5» [<х„ + <*]} ) • D.5)
Проинтегрируем высокочастотные моды alt Тогда остается
Z'~ J ехр {Ж [а']}, Dб)
а'
Новый гамильтониан Ж выражается в виде
ехр {Ж' [а']} = \ ехр {Ж [а0 + а,]}, D.7)
где
') Величины (?о, 9> используемые здесь, в работе [36] обозначены через
j[ „, н наоборот.
64
МОДЕЛЬ S<
Здесь, как и в гауссовой модели, определено перенормиро-
перенормированное поле a'(f, зависящее от импульсов с измененным мас-
масштабом.
С новым гамильтонианом Ж связана корреляционная
функция Y4', причем новая корреляционная длина равна
D.8)
Г' v '
Как и в предыдущей главе, для Г, и Гг, мы будем иметь соот-
соотношение
Л- Ч =жв Ъ * L2q>
а для | и |' — соотношение
Точную связь между Ж и Ж, если « мало, можно найти,
используя теорию возмущений. Наиболее общий вид для Ж
можно записать следующим образом:
Ж = — \ ^ «2 {Я) OqO'-q — \\\ui (йи Й2, ИЗ, — Я\ ~Цч, —Цъ) X
Ч Ч\ Чг Чг
X Otfi0?»0*^-?!-?!-?» ~Ь Члены более высокого порядка по о7. D.9)
Функции «2, и т. д. будут определены из D.7). Упроще-
Упрощения, необходимые для того, чтобы привести D.9) к виду D.2),
будут введены ниже. Запишем D.7) следующим образом:
ехр {Ж [а']} = \ ехр {ЖР [а] + 5»7 [а]},
ехр {Ж [а']} = ехр {ХР [а0]} \ ехр {ЖР [а,] + 5»7 [а0 + а{]). D.10)
Член ехр \ЖР [а^]} можно довольно просто выразить через </:
(92+r)affa_,; D.11)
J (92 + 4r)a;a'_(r. D.12)
<|91<1
3 Зак, 409 65
ГЛАВА 4
Нетривиальные физические следствия вытекают из рассмотре-
рассмотрения членов, зависящих от и. Чтобы получить эти члены, возь-
возьмем D.10) и разложим exp {3ei[o]} по степеням и. Это разло-
разложение удобно представить графически. Сопоставим величине
(—<5#i) вершину с четырьмя внешними линиями (фиг. 4.1, а).
Четыре линии, выходящие из точки пересечения, символизи-
символизируют четыре величины а, которые содержатся в SUSi.
Диаграммное представление разложения
l+^/ + j^/ + i^/3+ ... D.13)
дано на фиг. 4.1, б. Рассмотрим теперь функциональный инте-
интеграл в формуле D.10). Чтобы использовать разложение
XI Фиг. 4.1. а — диаграммное пред-
/-х+-(хх) ставление величины—Жр б—диа-
б—диаграммы, соответствующие разложе-
а $ нию ехр {ЖД.
D.13), мы должны уметь вычислять гауссовы интегралы сле-
следующего вида:
К М- <4Л4>
Эти интегралы можно записать с помощью функционального
интеграла
ZF = J ехр {Яр [<х,]} D.15)
и спаривания olqaiqi, которое при 1/2 < | q | < 1 имеет вид
а при |<7| < 1/2 обращается в нуль. Интеграл I(q\ qk),
как это установлено в гл. 3, равен функции ZF, умноженной
на сумму всех возможных спариваний из произведения ')
(Этот вывод был получен в гл. 3 при интегрировании в
чае дискретного множества спинов; он справедлив также и
') Имеется в виду сумма всех возможных полных спариваний (см,
гл. 3). —Прим. переи.
66
МОДЕЛЬ S<
для функциональных интегралов ) Множитель ZF дает в Ж
вклад, равный постоянной, т. е. не зависящий от а'', и поэтому
его можно опустить (мы должны рассматривать в Ж только
члены, зависящие от а').
В диаграммном разложении, представленном на фиг. 4.1,6,
каждая внешняя линия, выходящая из вершины, отвечает пе-
переменной aq. Записывая а в виде
мы должны рассмотреть для каждой внешней линии два воз-
возможных случая. Если она представляет переменную а, . то
такую внешнюю линию необходимо спарить с другой внешней
линией, которая так же представляет ai>(/. Для этого проведем,
Фиг. 4.2. Диаграммы первого порядка после х X 9
проведения функционального интегрирования
по ffj. а б в
как это показано на фиг. 4.2, б, линию, соединяющую две
внешние линии. Такая линия называется пропагатором. Если
же внешняя линия соответствует переменной а0 q, она остается
без изменений. Диаграммное представление для функциональ-
функционального интеграла D.10) получается, если рассмотреть все воз-
возможные способы спаривания некоторых внешних концов ли-
линий, причем другие концы остаются неспаренными. При вы-
выполнении этой процедуры различие между топологически
эквивалентными диаграммами не делается, т. е. все они пред-
представляются одной диаграммой. Например функциональный
интеграл, содержащий само взаимодействие Зви включает
в себя три топологически неэквивалентные диаграммы, изобра-
изображенные на фиг. 4.2. Когда мы из одной вершины образуем
все возможные спаривания, диаграмма без спариваний
(фиг. 4.2, а) будет встречаться один раз, диаграмма с одним
спариванием (фиг. 4.2,6) — 6 раз, в то время как диаграмма
с двумя спариваниями (фиг. 4.2, в)—3 раза. Диаграммы, ко-
которые возникают во втором порядке разложения, показаны
(с числовыми множителями, определяющими, сколько раз
встречается каждая диаграмма после проведения спарива-
спариваний) на фиг. 4.3 [в каждый числовой множитель здесь входит
так же множитель V2. на который в D.13) умножается вели-
величина
3* 67
ГЛАВА 4
Диаграммы, приведенные выше, вычисляются следующим
образом. Рассмотрим, например, первую диаграмму, изобра-
изображенную на фиг. 4.3, в. Вначале мы имеем две вершины; до
интегрирования по <xi это соответствует
л -+- п \ О О О О уч
t ~ 2 ¦ о/ 0 0\ О* Чз
9 Чг
X J ... J Bn)V(q4 + 45 + <l6 + q7)oqaqpqaq. D.17)
4t 97
Для каждой внешней линии переменная а заменяется на а0»
в то же время для каждой внутренней линии соответствую-
а
48-О- +72H0 + 72-04-
6 г
Фиг. 4,3. Диаграммы второго порядка после проведения иитегрирова'
НИЯ ПО ffj.
щие переменные а заменяются пропагатором. Для этого при-
примера результат имеет вид
47
X Bя)<У (q2 + qs) Bnfbd (q3 + q7) [ql + г]"' Ы
причем величины |^г|, |flfi|, |^4| и |^5| ограничены сверху
величиной [/2, в то время как величины | д21> I Яз 1> I ^61 и I ^71
должны лежать между '/2 й 1- Исключая из D.18) все б-
функции и умножая интеграл на 36, получаем
36
\I\°^а°-^•-•-*j 4 + r(q + qilq2y + r> DЛ9)
\
здесь область изменения q2 такова, что величины | q2
l^' + fl'i + ^l лежат между [/2 и 1.
68
МОДЕЛЬ S<
Выражение D.19) соответствует вкладу одной диаграммы
в интеграл
Из выражения D.10) вклады других диаграмм вычисляются
аналогичным образом. Заметим, однако, что целью наших вы-
вычислений является величина Ж [(/]. Для этого требуется, во-
первых, взять логарифм от интеграла, а во-вторых, заме-
заменить do на а'. Это можно проделать в рамках диаграммной
техники. Взятие логарифма от интеграла эквивалентно исклю-
исключению из рассмотрения всех несвязных диаграмм. Во вто-
втором порядке по и несвязные диаграммы изображены на
фиг. 4.3, а. Таким образом, с точностью до второго порядка
по и логарифм от интеграла включает в себя диаграммы, изо-
изображенные на фиг. 4.1, плюс те диаграммы, которые изобра-
изображены на фиг. 4.2, а — в. Этот факт легко проверить точно.
Аналогично, путем прямой, но утомительной проверки, можно
убедиться, что если Ж1 — сумма всех связных диаграмм во
всех порядках по и, то ехр {Ж]} — сумма всех связных и не-
несвязных диаграмм во всех порядках по и.
Поскольку в Ж [а'] мы будем рассматривать только члены,
зависящие от а', диаграммы без внешних линий (см. фиг. 4.2, в
и 4.3, г) также следует опустить (нам необходимо было бы
учесть эти диаграммы, если бы мы вычисляли свободную
энергию, если же мы рассматриваем только спин-спиновую
корреляционную функцию, они не существенны). Наконец, за-
замена (То величиной а' означает просто подстановку вместо ве-
величины а0 , соответствующей внешней линии, величины L,o'2q.
Затем, чтобы привести Ж к виду D.9), мы должны провести
замену переменных q на 2q.
Итак, совокупность правил для вычисления произвольной
диаграммы можно представить в следующем виде:
1. Линиям каждой вершины сопоставляются импульсы,
причем предполагается, что они все «входящие».
2. Импульсы, соответствующие внутренним линиям, изме-
изменяются от У2 до 1, а импульсы, соответствующие внешним
линиям, от 0 до У2.
3. Каждой внутренней линии сопоставляется пропагатор
d&
здесь q\, q% — два импульса, приписываемые этой линии.
ГЛАВА 4
4. Каждой вершине сопоставляется множитель
5. Каждой внешней линии сопоставляется спиновая пере-
переменная
6. Интеграл \ берется по всем внутренним и внешним
ч
импульсам согласно правилу 2.
Выписывая в явном виде вклады только от некоторых диа-
диаграмм, изображенных на фиг. 4.2 и 4.3, для функций и'2, и\
и т. д., которые входят в новое взаимодействие Ж' [см. D.9)],
получаем следующие выражения:
Р Pi
+ ..Л. D.20)
« — I2«2 J -^rqrrX
I p
X (V2?. + V2«J2-pJ + r ~ 2 перестановки . . . } , D.21)
+ 9 перестановок . . . |. D.22)
Импульсы | p | и | p, | изменяются в области от '/г Д° Ь Ана-
Аналогично для импульсов q, q[t q2 и q3 имеем
Tq-p -p
1
1 ,1 ,1
< 1 и т. д.
D.23)
До сих пор обсуждение было общим. Сейчас мы введем
некоторые приближения, чтобы упростить эффективный га-
гамильтониан и привести его к виду D.2). Такие приближения
годятся для размерности d«4, однако это станет очевидным
70
МОДЕЛЬ S<
немного позже. Вначале вычислим и.% (д) только с точностью
до и. Тогда можно записать
uHq) = q2+rf D.24)
при условии, что, как и в предыдущей главе,
l = 2[+d/\ D.25)
Далее мы упростим выражения D.20), D.21) с помощью сле-
следующих приближений:
1 JГ . J 1!
* ) l
_J
) р2+г~* l+r
4,<\p\<i
где
с=4^1, причем 1<|р|<1
J
р
1
Если теперь мы обозначим «Jfai, .... ^4) сокращенно через
«', то D.21) принимает вид
г' = 41Г + Зс -г~т— + Члены более высокого порядка по и,
' 4 аГ «* 1 <4-26>
U = 2 IU — 9с ,. . ,2 + Члены более высокого порядка по и.
Наконец, ыв и члены более высокого порядка в этой главе
приниматься во внимание не будут. Обсуждению справедли-
справедливости этих приближений посвящена следующая глава. Урав-
Уравнения D.26) будут теперь рассматриваться как пример, ил-
иллюстрирующий работу ренормализационной группы. (Эти
уравнения изучались в работе [43].)
§ 1. УПРОЩЕННОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ,
СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ
ГРУППЕ
Первое, что следует уяснить, это то, что уравнения D.26)
можно использовать для многократных итераций. Иначе го-
говоря, если параметры исходного взаимодействия равны и = иа
71
ГЛАВА 4
и г = г0, то из уравнений D.26) можно определить последо-
последовательность параметров взаимодействия щ и rt, соответствую-
соответствующих последовательности эффективных взаимодействий Эёь
Эффективное взаимодействие Mi является результатом ин-
интегрирования по спиновым компонентам aq с 2~г<|^|< 1 в
исходном взаимодействии. Таким образом, эффективное вза*
имодействие Жь описывает поведение спиновых компонент ач
с q в области 0<|^|<2~г. Уравнения D.26), если прене-
пренебречь высшими порядками по щ, гласят:
D.27)
§ 2. 8-РАЗЛОЖЕНИЕ И НЕТРИВИАЛЬНАЯ
НЕПОДВИЖНАЯ ТОЧКА
Рассмотрим теперь неподвижные точки соотношений D.26)
или D.27). Для неподвижной точки (г = г*, и = и*) имеем
г = г' и и = и'; это означает, что g = |'. Однако выше мы по-
показали, что |' = '/г!, следовательно, в неподвижной точке
корреляционная длина должна быть бесконечна, т. е. мы
должны находиться в критической точке теории. (Другое ре-
решение — это |' = ? = 0, однако такую возможность можно
исключить с помощью иных соображений.) Из D.26) и D.27)
ясно, что, как и в гауссовой модели, здесь имеется тривиаль-
тривиальная неподвижная точка г* = и* = 0. Ниже мы увидим, од-
однако, что в модели, которая рассматривается теперь, взаимо-
взаимодействие <5#j может породить более интересные возможности.
Представим себе вначале, что размерность системы d
больше 4. Тогда при проведении многократных итераций D.27)
величина щ стремится к нулю, и если итерационный процесс
сходится к неподвижной точке, то это будет тривиальная
точка г* = и* = 0. Поэтому, чтобы получить более интерес-
интересные результаты, предположим, что d <. 4, а параметр «0 вы-
выбран достаточно малым. При проведении итераций щ возрас-
возрастает с номером I до тех пор, пока в соотношении D.27) для
второй член не станет сравним с величиной первого
72
МОДЕЛЬ S<
члена '). В этом случае возникает новая, нетривиальная не-
неподвижная точка. Параметры этой неподвижной точки («*, г*)
равны
D.28J)
Г* да — 4си* (предполагается, что Г* <С 1).
Если d да 4, обе величины «* и г* малы, и наши приближения
являются разумными (см. следующую главу). Обозначим от-
отклонение от размерности d = 4 через в:
8 = 4—rf. D.29)
Тогда положение неподвижной точки для малых s опреде-
определяется формулами:
«*да-^-е1п2, г*да--^е1п2. D.30)
Предположим, что итерационный процесс D.27) начи-
начинается с «о > «*- Тогда величины последующих щ будут при
стремлении к и* уменьшаться (фиг. 4.4, а). Если же «о < «*.
то величины щ при стремлении к и* увеличиваются
(фиг. 4.4,6). Следовательно, величина «, которая возникает
в эффективном гамильтониане после большого числа итера-
итерационных шагов, близка к «*, причем неважно, каким было
выбрано «о- Это означает, что неподвижная точка и* опреде-
определяет интенсивность взаимодействия между длинноволновыми
флуктуациями в системе независимо от величины затравочной
постоянной «о-
') Подробное вычисление проведено в гл. 8 (см. также работы [36,
43]). — Прим. перев.
2) В действительности
' = — — + Л — —
2 V 4
4c«*, а и* =
9c
-
Таким образом, для того чтобы формулы D.28) были справедливы, необ-
необходимо ие только предположить, что г* <ic 1; ио и что |4 — d\ «С 1,—
Прим. nepes,
73
К «0
Фиг. 4.4. Итерационная формула для ип.
Если а. > в*, итерационная процедура приводит к тому, что r.j сходится к в* сверху (а).
Если а. < в*, то в^ сходится к в* саизу (б).
МОДЕЛЬ S»
§ 3. ЛИНЕАРИЗОВАННЫЕ УРАВНЕНИЯ
И ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ v
Теперь, используя уравнения D.27), обсудим вычисление
критического показателя v. По сравнению с предыдущими
примерами это вычисление до некоторой степени более слож-
сложное, и поэтому будет проделано детально (см. также [36]).
Прежде всего, полезно сравнить решения рекуррентной фор-
формулы D.27) с решениями соответствующей рекуррентной фор-
формулы в случае гауссовой модели: гг+1 = 4гг. В последнем слу-
случае имеется два типа решений-. Если Го = 0, то гг = 0 для
всех I, т. е. это решение есть неподвижная точка, и соответ-
соответствует оно случаю Т = Тс. Если г0 ф 0, то п = А1г0 и гг -> оо
при I—*¦ оо. Это соответствует случаю Т ф Тс. Для Т, близких
к Тс, величина г0 линейна по Т — Тс.
Одно из осложнений негауссового случая состоит в том,
что можно достигнуть критической температуры Т = Тс, даже
если г0 и «о не совпадают с параметрами неподвижной точки.
Дело в том, что для этого необходимо фиксировать всего один
параметр Т, в то время, как для того, чтобы попасть в непо-
неподвижную точку, мы должны фиксировать оба параметра
Го = г*, «о = и*. Поэтому можно предположить, что для лю-
любой величины «о найдется некоторое критическое значение гОе
параметра г0 (гОс будет зависеть от «0), которое соответствует
Т = Тс. Смысл неподвижной точки при Т = Тс сводится, та-
таким образом, к существованию пределов ri-* г* и щ —> и* при
/ —> оо. (Если Т Ф Тс, гг и щ будут иметь другое поведение
в пределе больших I.)
Предположим, что рассматривается некоторое начальное
(затравочное) взаимодействие, единственным параметром ко-
которого является Т. Тогда г0 = го(Т) и «о = ио(Т) будут неко-
некоторыми определенными аналитическими функциями Т [см., на-
например, C.29)]. Запишем
Чтобы вычислить показатель v, мы хотим теперь исследовать
модель для температур Т, близких к Тс. Первый шаг состоит
в исследовании последовательности {гг(Г), щ{Т)}, которая на-
начинается с го(Т), ио(Т) и которую порождает итерирование
D.27). Примеры этих последовательностей приведены на
фиг. 4.5. Мы ожидаем, что гг(Гс)—>/¦*, щ{Тс)—* и* при I—> оо
(кривая А на фиг. 4.5). Поскольку рекуррентные соотноше-
75
ГЛАВА 4
ния D.27) являются функциями аналитическими, мы также
ожидаем, что для каждого фиксированного / и достаточно
г
D
у к
i
*.
4
и
Фиг. 4.5. Последовательности точек для итерационной процедуры при
трех различных выборах начальных параметров.
Последовательность А(Т=ТС) сходится к неподвижной точке (и*. Г"). Последователь-
Последовательности В и С начинаются с такого выбора параметров и к г, которые немного смещены
от их критического значения. Эти последовательности, в конце концов, значительно
отклоняются от неподвижной точки, однако стремятся к некоторой одной и той же
кривой D.
малых Г—Tc величину гг(Г) [и аналогично щ(Т)] можно
представить в виде
Если / достаточно велико, гг(Гс) « г*, так что rt(T) тоже
близко кг*.
Это наводит на мысль попытаться исследовать рекуррент-
рекуррентные формулы D.27) для гг« г*, щ « и*. В таком случае фор*
мулы D.27) можно линеаризовать. Результат линеаризации
76
МОДЕЛЕ S4
в матричной форме имеет вид
где
м =
4 —
12см*
2818-
си*
12c
2e[l-
D.32)
В дальнейшем будет полезно знать результат многократ-
многократного итерирования линеаризованного рекуррентного соотно-
соотношения. Формально результат выглядит следующим образом:
и1+п
-и*) \щ -и*)
D.33)
Преимущество изучения Мп с большими п вместо М заклю-
заключается в том, что Мп почти полностью определяется наиболь-
наибольшим собственным значением М, а собственные значения ма-
матрицы М легко вычислить. В пределе и* —> 0 собственные
числа М равны 4 и 1; следовательно, собственные значе-
значения Мп есть 4П и 1; ясно, что 4П доминирует.
Чтобы пренебречь собственным значением 1, нам необхо-
необходимо знать явный вид Мп. Его легко получить, если только
матрица М приведена к диагональному виду. Диагонализа-
ция осложняется, так как М несимметричная матрица; резуль-
результат можно записать следующим образом:
i2v2t,
D.34)
где Wn и Vij — собственные векторы (с собственными значе-
значениями %i) матриц М и Мт соответственно. Более точно
= lkwik, ? vkiMit = Xkvkl,
а условие ортонормированности записывается в виде
D.35)
D.36)
Заметим, что не каждая асимметричная матрица имеет пол-
полный набор таких собственых векторов, однако для матрицы М
77
ГЛАВА 4
Таблица 4.1
Собственные значения и собственные векторы матрицы М
(с точностью до е)
Я, = 4 - 4 е In 2 А8 = 1 - е In 2
О
00 1
"О "¦-DеA+§.е|„2))
их можно построить явно (см. табл. 4.1). С помощью w, v и Я
матрицу Мп можно представить в виде
(М% = Е ikWikVkj. D.37)
Если Я,1 — собственное значение, близкое к 4 (для малых «*)',
в то время как А,2 — собственное значение, близкое к 1, то для
больших п получаем
П+п- г*~А>п[°п(Л - г) + ои («,-«*)].
«/+, - «*« Я>21 [о„ (rz - г*) + о12 («z - и)].
В чем смысл и значение этого результата? Пусть значение /
велико, но фиксированно, а Т достаточно близко к Тс на-
настолько, что разности гг — г* и щ — и* малы и использование
линеаризованного рекуррентного уравнения вполне обосно-
обосновано. Вначале пусть Т = Гс. Тогда, как было отмечено выше,
при / *-+ оо
rt~*-r* и «z->«*.
Это согласуется с уравнениями D.38), если только
vп [г, (Г,) - г*] + о12 [и, (Гв) - «Ч - 0. D.39)
Более того, величина Яг должна быть меньше единицы, так
как в противном случае член Я," в Мп также возрастал бы
с ростом п. Из табл. 4.1 видно, что Л2 (для в > 0) действи-
действительно меньше единицы.
Рассмотрим теперь случай Т « Тс. При фиксированном I
обе величины гг(Г)—гг(Гс) и щ(Т)—щ{Тс) будут пропор-
78
МОДЕЛЬ S»
циональны Т—Тс, так что
v п [ri (Т) - г*) + va [Щ(Т)- и] = ct(T- Tc), D.40)
где ct — постоянная. Отсюда с помощью D.38) находим
rl+n-rt = lnlwucl(T-Tc),
D 41)
Эти уравнения справедливы при условии, что разности
гг+п — г* и «г+„ — и* малы; в противном случае мы не смогли
бы использовать для вычисления гг+П) «;+„ линеаризованную
рекуррентную формулу.
Смысл соотношений D.41) проиллюстрирован графически
на фиг. 4.5. Кривые В и С на фиг. 4.5 изображают две воз-
возможные траектории (гг, щ). Для больших I они асимптоти-
асимптотически приближаются к некоторой кривой D, причем уравне-
уравнения D.41) соответствуют результату замены асимптотических
частей В и С на D. Единственное различие, оставшееся ме-
между В и С, заключается в расположении данной точки (гг, щ)
на кривой D1); это определяется множителем ci(T — Тс).
Теперь можно вычислить критический показатель v [36].
Делается это следующим образом. Корреляционная длина |
определена для любых значений параметров взаимодействия г
и и; запишем
1=Х(г,и). D.42)
В частности, она определена для г = Го(Т) и и = «о(^), и со-
соответствует, скажем, функции
? = 6>(Г). D.43)
Теперь, если гг+п и щ+п являются решениями рекуррентной
формулы, правило подобия (скейлинг) для эффективных
взаимодействий приводит к соотношению:
X (г1+п, щ+п) = 2~1-пХ (г0, «о)- D.44)
Однако из уравнения D.41) нетрудно заметить следующее:
ri+n+\ (Т) — г* для Т — 7c=t/A,i имеет такую же величину,
что и rl+n(T) —г* для Т—Тс = %. То же самое справедливо
и для «/+n+i (T). Таким образом,
X (ri+n+l, U-l+n+l) 1г=Гс+т/Х, = -^ (Г*+Я! «Z+n) 1г=Гс+т> D-45)
•) Подробный анализ дай ниже в гл. 8, 12, 13. —Прим. перев.
79
ГЛАВА 4
это означает
2-(г+п)-%(тс + -^) = 2~A+п%-(Тс + т). D.46)
Теперь если предположить, что
+ т)~т-*, D.47)
тогда для произвольного малого т имеем
Это уравнение непротиворечиво только в том случае, если
Л7 = 2, D.49)
т. е.
In 2 ,. ~ п\
V = lnX-- D-50)
С точностью до 8 это дает для v:
V=2ln2-V3eln2=0'5+-nrg+°(e2>-
Следует сделать несколько замечаний по поводу этого ре-
результата. В выражении для критического показателя v не по-
появляются детали (а именно, множители In 2), связанные
с искусственными особенностями построения итерационной
схемы. Это очень существенно, так как величина v должна
определяться свойствами физической системы, а не методом
вычисления! Кроме того, для ненулевых г показатель v отли-
отличается от соответствующей величины в гауссовой модели
(среднее поле). Следовательно, модель, рассмотренная в этой
главе, является примером, в котором при определении крити-
критического поведения физической системы некоторую определен-
определенную роль играет взаимодействие. Заметим также, что вели-
величина v, определяемая D.50), выражается через наибольшее
собственное значение %\ матрицы М. Это очень похоже на
результаты гл. 2. В гл. 2 матрица М с размерами 2X2 была
заменена матрицей с размерами 1 X 1 с единственным соб-
собственным значением X [см. B.26)]. Аналогично уравнение
B.29) для v в гл. 2 получается из D.50) подстановкой X вме-
вместо %i. Заметим, наконец, что v не зависит от начальной (за-
(затравочной) постоянной «о. Это — пример реализации гипотезы
универсальности, которая обсуждалась в гл. I,
Глава 5
МОДЕЛЬ s4 (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Как было показано в гл. 4, для того чтобы быстро полу-
получить результаты, уравнения ренормализационной группы
пришлось в какой-то степени «испортить». В настоящей главе
уравнения ренормализационной группы будут рассмотрены
более аккуратно. На основании полученных результатов мы
сможем сделать вывод, что простые уравнения, выведенные
в гл. 4, верны с точностью до г = D — d). Обсуждение, будет,
состоять из двух частей. Сначала мы рассмотрим всевозмож-
всевозможные мыслимые обобщения полученных выше простых уравне-
уравнений и выясним, какие из этих обобщений могли бы вызвать
затруднения. Затем исследуем полные уравнения ренормали-
ренормализационной группы.
§ 1. НЕСУЩЕСТВЕННЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ
И 8-РАЗЛОЖЕНИЕ
В гл. 4 были получены рекуррентные формулы:
где 8 = 4 — d, ad — размерность системы. Эти уравнения об-
обладают неподвижной точкой:
«* = -g-8ln2, Г* = Q-sln2 (с точностью до е). E.2)
Предположим теперь, что точные уравнения содержат еще
и некоторую другую постоянную взаимодействия w. Тогда бу-
будет иметь место еще одно уравнение для w'. Положим, что это
уравнение [по крайней мере вблизи неподвижной точки] имеет
вид
w' = aw, E.3)
§1
ГЛАВА 5
где а < 1. Тогда, итерируя E.3), находим, что w' -* 0 и па-
параметр w, таким образом, исчезает из рассмотрения. Следо-
Следовательно, о параметре w можно говорить как о несуществен-
несущественной переменной по отношению к такой неподвижной точке,
для которой справедливо E.3). Термин «несущественная пе-
переменная», или «несущественный параметр», не следует по-
понимать буквально; смысл слова «несущественный» в теории
критических явлений достаточно запутан, однако в этой и по-
последующих главах в его понимание будет внесена некоторая
О
a d
Фиг. 5.1. Диаграммы а к б, вклад которых лииееи по и.
ясность. Обсуждение несущественных переменных и непо-
неподвижных точек содержится также в работе [36]. Термин «несу-
«несущественная переменная» введен Кадановым в работе [100]').
Поставим вопрос: в каком случае присутствие несущест-
несущественных параметров может изменить неподвижную точку
E.2)? Предположим, что уравнение для w' имеет вид
и/ =-т-И> + Члены второго порядка, такие, как и2, uw, w2 и т. д. E.4)
Мы предполагаем, что в E.4) отсутствуют члены, линейные
по и. (Переменная w по-прежнему рассматривается как несу-
несущественная, причем члены второго порядка при определении
того, является ли параметр w существенным или несуществен-
несущественным, следует игнорировать. Член, пропорциональный и, мо-
может появиться только в формулах для г' и «'; единственные
диаграммы, вклад которых линеен по и, представлены на
фиг. 5.1, а и б.)
') Термин «irrelevant variable» в работе Кадаиова означает перемен-
переменную, маркирующую систему (например, ферромагнетик Гейзеиберга или
Изиига), но несущественную, если интересоваться основными чертами кри-
критических явлений. В данном контексте подобные переменные принимают
участие в промежуточных выкладках и исчезают в первом приближении
из окончательных результатов. Поэтому здесь термин «irrelevant variable»
переводится иногда как «промежуточная переменная». — Прим. ред.
82
МОДЕЛЬ S< (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Рассмотрим неподвижную точку, к которой приводит урав-
уравнение E.4). Очевидно,
ш*=О(е2), E.5)
если предположить, что E.2) не нарушается, т.е. и* = О (г).
Мы должны теперь задать еще вопрос: могла ли бы фор-
формула E.5) привести к нарушению E.2) для и* и г*, если бы
члены с w появились в E.1)? В уравнении для г* суще-
существенны только члены порядка в, так что вкладом от w*
можно пренебречь. Однако уравнение для и' существенным
образом включает в себя члены порядка в2. Поэтому выраже-
выражение E.2) значительно изменилось бы, если бы в уравнении
для «' появился член, линейный по w.
Рассмотрим теперь случай, когда уравнение для w' имеет
вид
w' == -т W -\- Члены порядка и3, u?w и т. д. E-6)
На этот раз
ш'~О(в3),
и поэтому, даже если бы в уравнении E.1) для и' появился
член, линейный по w, это уравнение при малых г осталось бы
справедливым.
Резюмируя высказанные соображения, приходим к выводу,
что простое уравнение для и' может стать неверным, если
имеется несущественная переменная w, причем такая, что, во-
первых, w* ~ О (вJ и, во-вторых, она входит в уравнение для
«' линейно. Сейчас мы объясним, почему эта возможность не
реализуется для точных уравнений, определенных в предыду-
предыдущей главе. В точных уравнениях взаимодействие (после не-
нескольких итераций) имеет вид')
Чг
— (Члены 6-го порядка) — (Члены 8-го порядка) — .... E.7)
') Взаимодействие E.7) получается из исходного взаимодействия
D.2) в результате некоторого конечного числа преобразований D.7), кото-
которые рассматривались в предыдущей главе. Теперь это взаимодействие, со-
содержащее все возможные степени спниовой компоненты сг^, можно принять
за исходное (см. гл. 1) и приступить к выводу уравнений ренормализа-
циоииой группы. — Прим. перев.
83
ГЛАВА 5
Как уже обсуждалось на протяжении нескольких предыдущих
глав, мы в этой системе интегрируем высокочастотные моды.
После соответствующего изменения масштабов импульсов и
полей возникает новая система, которая описывается гамиль-
гамильтонианом, совпадающим по форме с E.7), однако выражен-
выраженным в новых (штрихованных) переменных:
'_q- \ \ \
Я Я\ Яг Яз Я*
X «К?!. 4V <7з> <K,<<VC, "(Член 6-го порядка)' - .... E.8)
Соотношения между и\ и «^ можно найти с помощью тех-
техники, изложенной в гл. 4 (предполагая при этом, что и2(р)
зависит только от \р\ = р; такая зависимость обусловлена ин-
инвариантностью уравнений относительно вращений). В резуль-
результате получим
Член 2-го порядка -Ь • • • [ .
„ ( 4i Ч2 „ 4i Яг А ( Яз q* „ Чз <74 , Л
+ Перестановки + 15 \
1l Jb. 3±
i 9 > -S-> 9 .
+...}. E.9)
/ У1 Уг Уз _ JTi^ ?1 ?L
2' 2' Г 2 2 2
v и ( 1* Л±. Че 4t Яъ Яь \
Х"Ч2' 2' 21 2~Т"~2У
84
МОДЕЛЬ S* (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Заметим, что аргумент функции щ, как только она появляется
в знаменателе, должен иметь значение между '/г и 1, напри-
например: 1/2 < Р < 1 и т. д. Ясно, что полная система уравнений
E.9) является непреодолимо трудной для анализа. В част-
частности, уравнение для и'А является нелинейным интегральным
уравнением. Поэтому предположение, что E.9) можно заме-
заменить алгебраическими уравнениями E.1) (в низших поряд-
порядках по е), является чрезвычайно важным. Доказательство
того, что алгебраические уравнения достаточны для определе-
определения неподвижной точки г*, «*, опирается в основном на опре-
определенную характерную особенность несущественной перемен-
переменной «6.
Точное выражение для неподвижной точки, к которой при-
приводит система E.9), определяется совокупностью фиксиро-
фиксированных функций U2(q), u*A(q{, ..., ?„), U6(ql q6) и т. д.
Чтобы проверить, является ли система простых уравнений
обоснованным приближением, допустим, что с точностью до s
эти фиксированные функции сводятся к двум определенным
постоянным г* и «*, а именно:
«К?,, ••-. Ч<) = ит + О(г% E.Ю)
u\(qv .... <76) = О(е2) и т. д.
Согласованность этого предположения будет проверена ниже.
Рассмотрим вначале уравнение для «2- Запишем
«;(<7) = <72 + г* + о2*(<7), E.11)
где v\ {q) — остаток. Параметр масштабного преобразования ?
будем подбирать так, чтобы в результате коэффициент пе-
перед <72 получился равным единице. Пусть E.10) представляет
разложение в окрестности q2 = 0, так что
). E.12)
Подставив E.11) в уравнение E.9) для «г(<7), получим
f + / + v\ (q) = {^
( Я Я
( Я Я \
12\—^ J- '-+... }. E.13)
u2
85
ГЛАВА 5
Теперь с точностью до е членами + ... можно пренебречь и
последний член в E.13) привести к виду
^ЬГ + О(е2)- EЛ4)
Для определения параметра ? (как и в предыдущих главах)
необходимо потребовать, чтобы члены, пропорциональные q2,
в левой и правой части E.13) были равны. Это даст
?22~* = 4 + О(У). E.15)
(Дальнейшее обсуждение свойств параметра Z, содержится
в конце этой главы.) Теперь для г* получаем уравнение
E.16)
а для остатка v\ {q) — уравнение
+ s2F'2(q). E.17)
В уравнении E.17) e2F*2 соответствует просто поправкам,
возникающим из E.13) от членов более высоких порядков
(после того, как постоянная и вклады, пропорциональные q2,
вычтены). Допустим, что функция F2 известна; тогда реше-
решение для v*2{q) можно записать в виде ряда
v2(q) = s2Y, 22nFlB-"q). E.18)
Это выражение является решением только в том случае, если
ряд E.18) сходится. Известно, что функция F*2{q)^*qi tCM-
E.12)]. Следовательно, и-й член в E.18) имеет величину по-
порядка
е222"-^-=2-2"еУ E.19)
и разложение сходится. Поэтому, как и предполагалось,
о*~О(е2).
Какая связь между этим рассуждением и представлением
о несущественных параметрах? Чтобы усмотреть ее, разло-
разложим «2 по степеням q2:
«2 (</) = г + q2 + wrf + w2q6 + .... E.20)
86
МОДЕЛЬ S' (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Тогда E.17) (в низших порядках по q) дает
и, таким образом, все переменные w\, w2, ... являются несу-
несущественными переменными [см. E.3)].
Теперь должно быть ясно, что член о* не может нарушить
простых уравнений для г* и «*, поскольку о* появляется
в E.9) только в членах с пропагаторами. Эти члены уже
имеют порядок О(е2), следовательно, присутствие v*2 ведет
к поправкам ~О(е4), которыми можно пренебречь.
Исследование «4 аналогично исследованию и2. Мы начнем
с того, что запишем «* в виде
где о*—остаток, определенный таким образом, что
о;@, 0, ..., 0) = 0.
Тогда, подставляя E.22) в E.9) и используя E.15), можно
получить уравнения для и* и o*(^t, ..., q^y.
* о8 f *
и =2 j «-
-гт?
р
E.23)
Все члены + ... в уравнении для «* имеют порядок е3 или
выше, и ими можно пренебречь. Из соотношения E.24) можно
заключить, что о*~О(е2), если воспользоваться теми же рас-
рассуждениями, которые позволили из E.17) получить о* ~ О (е2).
Так как член v\ не входит в уравнение для и* линейно,
то он не нарушает этих простых уравнений.
Обсудим теперь величину вклада от члена и6. Поскольку
член «6 входит в уравнение для и* линейно [см. E.23)], воз-
возможно, что он является в этом смысле потенциально опас-
опасным. Рассмотрим уравнение E.9) для и'6 и, в частности, член,
соответствующий диаграмме на фиг. 5.2. Этот член возникает
87
ГЛАВА 5
только тогда, когда внутренняя линия «несет» импульс, боль-
больший 7г, т. е.
41 | 42 | Чз
2 "г 2 "Г 2
E.25)
Однако в уравнение E.23) для и* входит только функция
«е @, ..., 0, р, —р). На фиг. 5.2 это соответствует q{ = q2 = О,
qz = p. Для того чтобы удовлетворить требованию E.25), мо«
дуль \р\
Фиг. 5.2. Диаграмма,
дающая вклад в
)
должен быть в точности равен 1 (фиг. 5.3). Это лишь одна
точка в интеграле E.23) по \р\ и, следовательно, она не вно-
вносит вклада в и*. Существуют другие диаграммы, которые вно-
вносят вклад в «6@, ..., О,р, — р) при |р|< 1, но величина этих
вкладов порядка е3; таким образом, «6 не приводит к появле-
г
Фиг 5.3. Единственная
диаграмма, дающая вклад
в и6, который входит
в уравнение для и* ли-
нейно.
нию членов порядка е2 в уравнении для и*1). Следовательно,
уравнение E.23) для и* является верным!
Наконец, мы должны преобразовать уравнение для и*
к виду, который мы получили в гл. 4. В частности, так как
г*~О(г) и «*~0(е),
') Уравнение для «6 содержит член, линейный по «в; таким образом,
если бы величина и8 имела порядок в2, то величина ц6 также была бы по-
порядка е2. Однако прямое исследование уравнения для Щ показывает, что
«в имеет порядок е3.
МОДЕЛЬ S» (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
мы можем провести в E.23) следующее преобразование:
^ + О(83)( E.26)
р р
и если мы переопределим постоянную с из гл. 4 как
С = 4
Р
то обнаружим, что E.23) примет вид
и = 2е {и — 9си2}, E.28)
который совпадает по форме с E.1), если мы пренебрежем
г в знаменателе второго члена E.1). Вернемся теперь к урав-
уравнению для г*. В частности, чтобы вычислить показатель v,
необходимо записать уравнение E.16) для малых отклонений
от критической точки. Получаем
r'-r* = 4Jr-r*- 12«* $ '*'+% + '••)• E-29)
I р )
Мы можем приближенно записать
W0(e) =4 + О(е) E.30)
и, таким образом, представить E.29) в виде
г'-г* = 4[1 - 3«*с] (г - г*). E.31)
Поскольку в E.28) и в E.31) содержится одна и та же по-
постоянная с, она, как и в гл. 4, при вычислении критического
показателя v сократится. Следовательно, мы показали, что
рекуррентные формулы E.1) вполне достаточны для опреде-
определения критического показателя в низшем порядке по е.
§ 2. ПОЛНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ, СООТВЕТСТВУЮЩЕЕ
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЕ
Из проведенного выше обсуждения видно, что точные
уравнения ренормализационной группы не являются безна-
безнадежно трудными для анализа. С точностью до е они сводятся
к простым алгебраическим уравнениям для двух параметров
89
ГЛАВА S
г* и и*. Основное свойство, которое сделало это упрощение
возможным, заключалось в «итерируемое™» уравнений ре-
нормализационной группы по оставшимся функциональным
переменным v*2(q), v*4(q, q{, q2, ^3) и т. д. Иначе говоря, если
поправочные члены F*2{q) в уравнении для v^iq) известны и
имеют порядок е2, то о* (q) можно явно вычислить с помощью
E.18), причем эта функция так же имеет порядок е2. В этом
смысле поведение поправочных членов отличается от того,
к которому мы приходим, решая уравнение для «*: второй
член в нем порядка е2, однако решение уравнения для и*
имеет порядок е.
Итерируемость уравнений по. переменным о* (q) и т. д.
обеспечивает возможность последовательного вычисления по-
положения неподвижной точки a2{q), u\(q, ..., q^) и т. д.
с точностью до более высоких порядков по е. В этом случае
функциями v^iq) и т. д. пренебрегать нельзя, однако при вы-
вычислении их не возникает никаких новых проблем (за исклю-
исключением, возможно, некоторых трудностей, связанных с инте-
интегрированием при нецелой размерности d). Дело в том, что
вычисление можно построить таким образом, чтобы до опре-
определения собственно v*2(q), »4(V, ..., ^3) и т- д- с Л1°бой задан-
заданной точностью е" были известны диаграммы, дающие вклад
в о* (q) [т. е. функция F*2 («7)] и т. д. во всех порядках вплоть
до еп. Возможность итераций в таком случае обеспечивает
существование о* (q) с точностью до е".
Итерируемость уравнений для v\ {q) и т. д. является след-
следствием того факта, что эти функции можно полностью выра-
выразить через несущественные переменные. Например, мы пока-
показали, что если член v\{q) записан как w\q^ + w\(f + ...,
то для w\ и т. д. имеют место выражения
w\ = a{w\ + Член 2-го порядка,
хю\ = а2п>1 + Член 2-го порядка, E.32)
где п\ < 1, 02 < 1 и т. д. Тот факт, что сг- < 1, делает возмож-
возможным решение этих уравнений для w\ и хю\, если члены вто-
второго порядка известны.
90
МОДЕЛЬ S» (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Итерируемость возможна даже для обычных переменных.
В частности, уравнение для г* также можно итерировать, если
записать его в виде
Г* = 4г* + Другие члены. E.33)
Тогда его также можно разрешить относительно г*. Только
уравнения, подобные уравнению для и*, т. е.
U* = а3и* + Другие члены, E.34)
где а3 = 1 + е, неитерируемы, так как коэффициент а3 слиш-
слишком близок к единице,
Фиг. 5.4. Диаграмма низшего по-
порядка, влияющая на величину ?.
Рассмотрим, наконец, постоянную взаимодействия ?. До
сих пор во всех вычислениях постоянная ?2 оказывалась рав-
равной 2d+2 независимо от е. Однако при вычислении в более вы-
высоких порядках величина ? изменяется. Уравнение, которое
определяет ?, имеет вид
всем
q = 2 ?~ j " <7 "t" Члены порядка q2, соответствующие
' диаграммам, дающим вклады в и2 > . E.35)
Диаграмма низшего порядка, вклад которой пропорциона-
пропорционален q2, изображена на фиг. 5.4. Эта диаграмма имеет поря-
порядок е2, поэтому постоянная ? должна содержать компенси-
компенсирующий член порядка е2. В гл. 7 будет показано, что вели-
вели*
?*
чина ?*, равная значению ? в неподвижной точке, определяет
критический показатель т). Соответствующая формула имеет
вид
^f E.36)
Глава 6
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
Настоящая глава посвящается приближенной рекуррент-
рекуррентной формуле [36]. Эта приближенная рекуррентная формула
представляет собой некую аппроксимацию преобразования
ренормализационной группы, которое обсуждалось в гл. 4
и 5. Она позволяет получить приближенное описание ренор-
ренормализационной группы для размерностей 2 < d <: 4, а также
проливает некоторый свет на справедливость (т. е. область
применимости) е-разложения.
Дополнительные степени свободы, возникающие в точных
уравнениях ренормализационной группы, если их сопоставить
с простыми уравнениями для г и и, будут в основном двух
типов. Во-первых, вместо упомянутых параметров г и и мы
имеем зависящие от импульсов функции, такие, как «г(<7) и
Ui(q, ..., ^з). Во-вторых, в общем случае имеются не только
функции «2 и «4. а бесконечное множество функций и2, щ, «6,
«8 и т. д., соответствующих всем степеням спиновой перемен-
переменной. В приближенной рекуррентной формуле принимаются во
внимание все степени спинов, однако импульсная зависимость
учитывается только в и% В этой книге наиболее важным мо-
моментом является то, что приближенной рекуррентной фор-
формуле соответствуют диаграммы Фейнмана, сколь угодно боль-
больших порядков и в достаточном числе, так что расходящийся
характер ряда, отвечающего разложению по диаграммам
Фейнмана, в рекуррентной формуле сохраняется. Это озна-
означает, что рекуррентную формулу можно использовать в каче-
качестве модели для иллюстрации того, как плохо вклады от диа-
диаграмм высших порядков влияют на е-разложение, когда вы-
вычисления проводятся, скажем, для размерности d = 3.
Приближенная рекуррентная формула была впервые по-
получена с помощью метода функционального интегрирования
[36]. Здесь будет дан более ясный и простой диаграммный
вывод этой формулы, принадлежащий Полякову1).
') А. М. Поляков, чаотное сообщение.
92
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
§ 1. ВЫВОД, ПРЕДЛОЖЕННЫЙ ПОЛЯКОВЫМ
Рассмотрим гамильтониан вида
Ж = - у \ {Vs (*)}» -c,\q [c2s (*)], F.1)
X X
где s(x) —обычное спиновое поле, а функцию Q можно пред-
представить в виде разложения
... F.2)
В гамильтониан Ж введены две постоянные с\ и с2; они выби-
выбираются таким образом, чтобы в рекуррентную формулу не
входили некоторые фазовые интегралы по пространству. От-
Отметим, что в гамильтониане Ж зависимость от импульса по-
появляется только в первом члене, т. е. в выражении F.2) не
появляются градиенты. Как обычно, мы намерены использо-
использовать уравнения ренормализационной группы для того, чтобы
построить эффективный гамильтониан Ж', который будет
иметь тот же вид, что и Ж. Иначе говоря, мы попытаемся
с помощью некоторых аппроксимаций привести эффективный
гамильтониан Ж' к виду
ж = ~ Т \{Vs'(*»2 ~ Ct \Q'[C2S' WL F< 1 а)
X X
где s'(x) — эффективное спиновое поле, полученное фурье-пре-
образованием поля a'q,
в предыдущих главах:
образованием поля а',; последнее является таким же, как и
<V = ? ст</'/2'>
Ж' определяется интегрированием по компонентам aq
с '/г < \й\ < 1"> постоянные С\ и с2 — те же, что и в гамиль-
гамильтониане Ж. Единственная разница между приближенной ре-
рекуррентной формулой, которая будет выведена здесь, и ана-
аналогичной формулой, полученной в гл. 4 и 6, заключается в
использовании при выводе других приближений.
Чтобы проиллюстрировать те приближения, которые бу-
будут сделаны, рассмотрим диаграмму на фиг. 6.1, дающую
вклад в и'. Все импульсы внешних линий мы без особых осно-
оснований будем полагать равными нулю, тем самым пренебре-
пренебрежем зависимостью от импульса. Такая идея не является со-
93
ГЛАВА 6
вершенно абсурдной, так как величина импульсов, соответ-
соответствующих внешним линиям |^|< 7г, меньше величины им-
импульсов, соответствующих внутренним линиям (|^|>72)'
Следовательно, сделанное приближение во всяком случае
грубо соответствует реальному соотношению между внеш-
Фиг. 6.1. Диаграмма, дающая вклад в ы',
~р \^ который входит в приближенную рекур-
рекуррентную формулу.
ними и внутренними импульсами. Диаграмма на фиг. 6.1, та-
таким образом, дает следующий вклад в «':
36 \ u2(clC24J , . ' Ч2 • 2*~d • —l—r. F.3)
[J (p +2rC[C2) J -C[c24
Множители схс\ появляются в выражении F.3) потому, что
они входят в гамильтониан F.1): в четвертом порядке по s{x)
гамильтониан 36 имеет вид
96 = - у \ tVs (*)]2 - rcA \ s2 (*) - «cic2 J s4 (*)+..•• F.4)
X XX
Множитель 2i~d = ?*2~и обязан своим появлением в F.3)
определению а' (см. гл. 4) и значению ? [см. D.25)]; наконец,
последний множитель (— С1сг)~ появляется в F.3) потому,
что постоянная взаимодействия при члене s4(x) в гамильто-
гамильтониане Ж равна —¦ и'схс\ и, следовательно, чтобы получить и',
необходимо разделить на — схс\. При выводе приближенной
рекуррентной формулы можно упростить далее вычисление
интегралов типа F.3), если воспользоваться двумя следую-
следующими правилами:
1. Заменить р2 в подынтегральном выражении его сред-
средним значением р2.
2. Заменить интеграл \ ('/2 < I Р I < 1) постоянной Р. Ясно,
р
что такие упрощения не являются необходимыми при обсуж-
обсуждении относительно простых диаграмм, таких, как на фиг. 6.1.
94
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
Однако пренебрежение точной зависимостью от импульсов во
внутренних линиях позволит вычислять вклады от диаграмм
сколь угодно большого порядка.
При вычислениях мы будем пользоваться еще одним пра-
правилом.
Фиг. 6.2. Диаграмма, вклад которой
не появляется в приближенной рекур- .
рентной формуле. _
Она опускается в соответствии с правилом 3. а У г
Внешняя
Фиг. 6.3. Диаграмма, исключаемая из
рассмотрения правилом 3.
Фиг. 6.4. Диаграмма, запрещаемая
правилом 3, однако учет ее желателен.
Фиг. 6.5. Диаграмма, вклад которой
не учитывается в приближенной рекур-
рекуррентной формуле.
Область изменения импульса во внутренних ли-
линиях обозначена '/»—!•
Фиг. 6.6. Диаграмма, вклад которой
учитывается в приближенной рекуррент-
рекуррентной формуле.
l/2-t
1/4 -1/Z
3. В каждую вершину должно входить только четное число
внутренних линий. Главная цель этого правила — исключить из
рассмотрения диаграммы, которые имеют вид, показанный на
-фиг. 6.2. Такие диаграммы не должны появляться в физиче-
физической теории, так как закон сохранения импульса для них не
выполняется. Однако правила 1 и 2 будут приводить к их по-
появлению (см. ниже). Правило 3 исключает из рассмотрения
также и такие диаграммы, как диаграмма, изображенная на
фиг. 6.3. В пределе нулевых внешних импульсов появление
95
ГЛАВА В
этих диаграмм запрещено законом сохранения импульса, что,
следовательно, согласуется с правилом 3. К сожалению, это
правило запрещает также появление таких диаграмм, как та,
что изображена на фиг. 6.4, хотя в реальной теории они
должны присутствовать. В частности, в этом подходе очень
ограничен класс диаграмм, которые могли бы давать вклад
в г'. Однако нельзя считать, что все эффекты от диаграмм
типа той, что изображена на фиг. 6.4, потеряны. Например,
после первой итерации вклад в и' вносит диаграмма на
фиг. 6.1. При следующей итерации две внешние линии могли
бы спариваться и тогда образовалась бы диаграмма, топо-
топологически эквивалентная той, что изображена на фиг. 6.4.
Другими словами, в рамках этих правил диаграмма, пред-
представленная на фиг. 6.5, должна быть опущена, в то время как
диаграмма на фиг. 6.6 учтена.
Сейчас мы просто напишем приближенную рекуррентную
формулу и покажем с помощью разложения ее по теории воз-
возмущений, что она согласуется с правилами 1—3, приведен-
приведенными выше. Приближенная рекуррентная формула имеет вид
-. F.5)
Чтобы согласовать эту формулу с правилами, используе-
используемыми при вычислении упрощенных диаграмм, необходимо
представить ее в виде диаграммного разложения. Это озна-
означает, во-первых, что экспоненту в числителе F.5) следует пе-
переписать в виде
= ехр{-A +r)y2- 22~drx2 - ш/4 - 6 • 22~ V*2 -
-24-м«а:4- ...}, F.6)
а затем разложить по степеням одночленов четвертой степени
и выше (пропорциональных и). Разложение можно выполнить
96
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
с помощью диаграмм, точно так же, как это было сделано
для точного функционального интеграла '). Члены «г/4,
6uy2x222~d и ихА2А~ы, например, определяют вершины с че-
четырьмя концами, причем член ш/4 соответствует случаю, когда
все линии внутренние, а член Quy2x222~d — случаю, когда 2 ли-
линии внутренние, а 2 внешние и т. д. Пропагатором для вну-
внутренних линий является величина, обратная коэффициенту
при члене У2г/2 в F.6), а именно B + 2г)~1. Легко видеть, что
отсутствие в F.6) членов, нечетных по у, согласуется с пра-
правилом 3, которое устраняет из рассмотрения вершины с нечет-
нечетным числом внутренних линий. Без правила 3 в выражении
F.5) мы вместо экспоненциального показателя с двумя чле-
членами, содержащими функцию Q, должны были бы иметь
ехр[—у2— Q{y-\- 2l~d/2x)]. Тогда член ту2 в Q{y) превра-
превращается в выражение r(y + 2l~dl2xJ, содержащее перекрест-
перекрестный член гху. Это именно тот член, который соответствует
диаграмме, изображенной на фиг. 6.2; он исключается в по-
показателе экспоненты, входящей в выражение F.6), и не при-
присутствует в полной теории. Переменные х и у аналогичны пе-
переменным а0 q и О[ q, введенным в гл.. 4, причем в этой главе
так же нет перекрестного члена, имеющего вид а0 • а1 .
Знаменатель в выражении F.5) позволяет исключить все
диаграммы, не содержащие ни одной внешней линии (со-
(согласно терминологии теории поля это есть диаграммы, соот-
соответствующие переходам «вакуум — вакуум»). После логариф-
логарифмирования правой части F.5) устраняются все несвязанные
диаграммы. Итак, выражение —Q'(x)/2d является суммой
всех связанных диаграмм, содержащих по крайней мере одну
внешнюю линию. Заметим, что член х2 в F.6) выносится из-
под интеграла F.5) и дает в г' вклад, равный 4г. Мы узнаем
в нем обычный член, соответствующий модели без взаимо-
взаимодействия 2).
Наиболее важным свойством формулы F.5) является то,
что эта формула (кроме ограничения, связанного с прави-
правилом 3) приводит к тому же самому множеству диаграмм 3),
которое порождается при разложении точного функциональ-
функционального интеграла. Это обусловливается тем обстоятельством,
') См., например, в гл. 4 выражения D.20)—D.22) или в гл. 5 выра-
выражение E.9).—Прим. перев.
2) См. гл. 3 и 4. — Прим. перев.
3) См. гл. 5. — Прим. перев.
4 Зак. 409 97
ГЛАВА 6
что сами по себе диаграммы не зависят от того, является ли
переменная интегрирования единственной вещественной пе-
переменной у, или представляет собой множество переменных,
или является функциональной переменной а . Различие воз-
возникает только при формулировке соответствующих правил
для построения диаграмм; например, в случае точного функ-
функционального интегрирования вершине с четырьмя концами со-
сопоставляется Ui(q, ..., q3), в то время как в приближенной
рекуррентной формуле этой же вершине отвечает и. Более
того, топологический множитель, связанный с диаграммой
(например, множитель 36 для диаграммы на фиг. 6.1), в обоих
случаях также одинаков; он равен числу топологически экви-
эквивалентных способов объединения заданного множества вер-
вершин и пропагаторов, а это есть проблема подсчета числа не-
некоторых определенных комбинаций; она включает в себя рас-
рассмотрение диаграмм только самих по себе, безотносительно
к тому, что они представляют конкретно.
§ 2. НЕКОТОРЫЕ ЧИСЛОВЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Проверка справедливости первых двух правил является
теперь делом некоторой «бухгалтерии». В первую очередь не-
необходимо показать, что множители Р и р%, которые возни-
возникают в соответствии с правилами 1 и 2, для каждой диа-
диаграммы в теории можно включить в коэффициенты с{ и с2 ')•
Рассмотрим диаграмму общего вида с / внутренними линиями,
2т внешними линиями и п вершинами. В точной теории эта
диаграмма содержит (п—1) б-функций, связывающих им-
импульсы внутренних линий, а следовательно, только / — (п — 1)
интегралов по импульсам. Всего в вершинах будет сходиться
2т + 21 линий. Теперь для этой диаграммы можно выписать
все соответствующие факторы (за исключением топологиче-
ского множителя):
1. (—с\)п — по одному множителю —с{ для каждой вер-
вершины,
2. с|т+2/ — по одному множителю Ci для каждой линии,
входящей в каждую вершину,
3. Р1~п+1 — по одному множителю Р для каждого инте-
интеграла,
') Это означает, что взаимодействие Ж приводится к виду Ж —
Прим. перев.
98
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
4. (р2 + 2с1с|г)~ — по одному пропагатору для каждой
внутренней линии.
Мы хотим оценить вклад диаграммы в соответствующий ко-
коэффициент в разложении F.2). Этот вклад мы должны раз-
разделить на общий множитель —С\ и множитель с^ (по одному
множителю Ci для каждой внешней линии). Наконец, имеется
множитель, получающийся в результате масштабного преобра-
преобразования и равный
-Bin-l) d п1т-(т-1) d
Множитель X2 равен 22+d, так как (согласно правилу 3) диа-
диаграммы не могут давать вклады в «2(<7) в виде членов, про-
пропорциональных q2. Учет всех множителей, соответствующих
заданной диаграмме, дает
\я-1 л 2m+2lDl-n+l 1 1 O2m-(m-l)d
Чтобы зависимость от Р и р\ исчезла, выберем
^ F-8)
Теперь выражение F.7) принимает вид
Рассмотрим теперь ту же самую диаграмму в разложении
приближенной рекуррентной формулы. Каждой внешней ли-
линии здесь сопоставляется множитель 2[~dl2, а каждому пропа-
пропагатору— множитель B + 2г)~х. Учет всех множителей для слу-
случая диаграммы с 2т внешними линиями и / внутренними дает
t. F.96)
Кроме этих множителей, каждой вершине с четырьмя внеш-
внешними линиями сопоставляется множитель — «, вершине с ше-
шестью линиями — множитель — w и т. д.; эти множители за
исключением знаков «—» появляются так же и при первона-
первоначальной интерпретации диаграмм. В разложении F.6)
имеются комбинаторные множители, возникающие при под-
подсчете числа способов сопоставления данной вершине внутрен-
внутренних линий [например, множитель 6 в члене 6ux2y222~d в F.6)
4* *
ГЛАВА 6
является комбинаторным множителем], или числа способов
спаривания различных вершин, образующих заданную диа-
диаграмму. Комбинаторные множители одинаковы как для слу-
случая разложения функционального интеграла, так и для раз-
разложения рекуррентной формулы. Кроме этого, имеется неко-
некоторый общий множитель для всех диаграмм, а именно диа-
диаграммы для интегралов в правой части F.5) дают вместо
Q' (х) выражение — Q'(x)/2d. Следовательно, чтобы получить
Q'{x), их умножают на множитель — 2d, что изменяет мно-
множитель F.96) и приводит его к виду
который совпадает с F.9а).
Это выражение завершает вывод приближенной рекуррент-
рекуррентной формулы, предложенный Поляковым. Заметим, что для
приближенной рекуррентной формулы т] =0; последнее сле-
следует из формулы E.36), поскольку ? = 2<d+2)/2. Причиной этого
служит тот факт, что вся зависимость от импульсов в диаграм-
диаграммах не была принята нами во внимание.
Приближенная рекуррентная формула в количественном
отношении не является приближением к точным уравнениям
ренормализационной группы. Насколько известно, она не яв-
является ни первым членом какого-нибудь точного разложения
точных уравнений ренормализационной группы, ни первым
членом ряда последовательных приближений, сходящегося
к точным уравнениям. Мы можем судить о ее справедливости,
только сравнивая решения приближенной рекуррентной фор-
формулы с другими расчетами, такими, как высокотемпературные
разложения (см. гл. 7 и 8). В этом смысле она действительно
является неплохим приближением.
Бейкер [39] и Дайсон [40] построили модели, для которых
эта рекуррентная формула является точной. Эти модели, од-
однако, содержат дальнодействующие взаимодействия необыч-
необычного характера. В работе [41] Голнер дал вывод некоторой
модифицированной формы рекуррентной формулы, в кото-
которой т] не обращается в нуль автоматически.
Первоначальный вывод рекуррентной формулы [36], ис-
использующий «анализ разбиений фазового пространства на
ячейки», является более убедительным, чем вывод Полякова,
который предложен здесь. Анализ разбиений фазового про-
пространства на ячейки не обсуждается в этой книге, поскольку
он уже несколько раз излагался: достаточно полно в работе
100
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
[36] и кратко — в работе [77]. После изучения данной главы
и гл. 7 упомянутые работы должны стать гораздо менее
трудными для чтения. Анализ разбиений фазового простран-
пространства на ячейки первоначально был развит в связи с исследо-
исследованием неподвижного источника в качестве модели нуклона
[107]. Реальное значение этого анализа состоит в том, что он
является методом, который можно использовать для исследо-
исследования проблем, где вся обычная традиционная техника не
применима. Именно такой, в действительности, и была ситуа-
ситуация в теории критических явлений в то время, когда была на-
написана работа [36]. Другой пример использования анализа
Фиг. 6.7. Идеальный
график приближе-
приближения Qi к неподвиж-
I I
ной точке. I Z 3 4 5 6 7 8
разбиений фазового пространства на ячейки дан в работе
Лангера и Бар-она [47].
Сейчас мы обсудим, как рекуррентная формула исполь-
используется для исследования критического поведения без проведе-
проведения разложения по степеням и, w и т. д. Поскольку F.5) —
нелинейное интегральное уравнение, единственным адекват-
адекватным средством анализа является компьютер. К счастью, одно-
одномерные интегралы с большой точностью и легкостью можно
оценить численно. Анализ уравнения F.5) начинается с по-
поиска его неподвижных точек [36]. Рассмотрим начальное взаи-
взаимодействие с Q0(y)= гог/2 + 0,5г/4. Коэффициент г0 — пара-
параметр, который варьируется для того, чтобы определить крити-
критическую температуру. Чтобы сделать это, с помощью компью<
тера для заданной величины г0 строят последовательность
Qo (У) - Qi (у) ->...-> Qt (у) ->. F.10)
Последовательность исследуется для фиксированного значе-
значения у, скажем у = 1,5. Обычно в этом случае хотят получить,,
как изображено на фиг. 6.7, последовательность,, сходящуюся
101
ГЛАВА 8
к пределу при / —* оо. На практике это никогда не происходит.
Если г0 выбрано слишком большим, последовательность Qi
расходится и стремится к бесконечности, так как мы нахо-
находимся выше критической точки и гауссовый член rty2 при
больших I доминирует, а в таком случае гг+1 = 4гг. Чтобы
компенсировать этот рост, величину начального г0 уменьшают,
а затем строят новую последовательность Qi. Если параметр г0
выбран слишком малым, последовательность для больших /
будет иметь тенденцию к сильным осцилляциям. На практике
'Г
1,5 2
-0,7-
Фиг. 6.8. Функция Q* (у), соответствующая неподвижной точке для раз-
размерности 3 и определенная численным методом из приближенной рекур-
рекуррентной формулы.
обычно идут на компромисс между этими двумя предельными
случг[ями и выбирают г0 вначале таким, чтобы последователь-
последовательность Qi попадала внутрь некоторой заданной области после
заданного числа итераций /'. Эту процедуру ') затем повто-
повторяют для больших значений числа /'. Считается, что мы имеем
хорошее приближение к функции Q*, соответствующей непо-
неподвижной точке, как только удается получить последователь-
последовательность Qi(y), поведение которой стабилизировалось после до-
достаточно большого числа итераций /' (на практике /' ^ 12).
В случае трех измерений результирующая функция изо-
изображена на фиг. 6.8. Дальнейшие свойства рекуррентной фор-
формулы и функции Q*, соответствующей неподвижной точке,
будут рассмотрены в следующей главе.
') С соответствующим изменением величины параметра го, — Прим.
пврев.
Глава 7
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА
(ПРОДОЛЖЕНИЕ)
§ 1. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ,
ВЫТЕКАЮЩИЕ ИЗ ПРИБЛИЖЕННОЙ
РЕКУРРЕНТНОЙ ФОРМУЛЫ
Эта глава делится на две части. В первой части заканчи-
заканчивается обсуждение результатов, полученных на основе при-
приближенной рекуррентной формулы. Во второй части выво-
выводится формула, выражающая законы подобия (скейлинг) для
га-спиновых корреляционных функций. Последняя формула
позволит нам с помощью техники фейнмановских диаграмм
вычислить е-разложения для критических показателей.
Напомним, что вывод приближенной рекуррентной фор-
формулы, приведенный в последней главе, связан в первую оче-
очередь с гамильтонианом:
^о - - \ \ [Vs (*)]2 - с, \ Qo [c2s (*)]; G.1)
X X
допустимые значения импульса в этой физической системе
лежат в интервале: 0<|^|< 1. Рекуррентная формула по-
порождает новый гамильтониан, описывающий то же самое фи-
физическое явление для системы, у которой импульс обрезания
в 2 раза меньше. В частности, гамильтониан
Жх - ~ | \ Fs (х)? - с, J Q, [с2ц (*)] G.2)
X X
при условии, что
1 \ @) J, G.3)
где
+ 00
y, G.4)
приводит к тому же физическому явлению, что и G.1), но уже
для системы с импульсом обрезания |<jr|<2~'. Эти формулы
103
ГЛАВА ?
были исследованы численно для некоторых частных случаев
выбора Qo и размерности физической системы d1). Рассмо-
Рассмотрим, например,
Qo==ro^ + «o«/4 G.5)
и размерность d в интервале от 2 до 4. Как указывалось
в конце гл. 6, если задано некоторое значение параметра «о,
то г0 подбирается так, чтобы определить критическую вели-
величину, т. е. такое rQc, для которого имеет место сходимость
Qi(y)-^Q*(y) при /->оо. G.6)
Для d = 3 и Ыо = О,5 функция Q*(y), соответствующая не-
неподвижной точке, показана на фиг. 7.1. Для размерностей,
CL =3,9
Фиг. 7.1. Функции, со-
соответствующие непо-
неподвижным точкам для раз-
размерностей 3 и 3,9.
близких к d — 4, скажем, 3,9 или 3,8 (и меньших значе-
значений «о), кривая Q*(y), как показано на той же фигуре, яв-
является более плоской. Напомним (это следует из наших пре-
предыдущих рассуждений), что для модели с размерностью 4
функция Q*, соответствующая неподвижной точке, тривиальна
(т. е. Q* = 0), поэтому поведение кривых на фиг. 7.1, когда d
стремится к 4, не является неожиданностью2). Когда d в точ*
ности равно 4 и «о < 0,35, находим, что щ ~ 1/1 для боль-
больших Л Следовательно, поведение типа свободного поля, как
') См., например, [36, 48]. — Поим. ред.
2) В действительности случай d = 4 обладает рядом особенностей, от-
отличающих его от случая просто свободного поля ц0 = 0. Например, итера-
итерационная процедура для d = 4 в отличие от d > 4 является неустойчи-
неустойчивой [36, 48]. Это в свою очередь возможно соответствует тому, что при
d = 4 асимптотики корреляционных функций содержат логарифмические
поправки к выражениям для свободного поля, хотя критические индексы
имеют классическую величину (см. [57, 136, 144, 145]). — Прим. перев.
104
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
это ожидалось и из других формулировок ренормализацион-
ной группы [57] (см. гл. 13), при проведении итераций G.6)
достигается очень медленно. На практике это означает, что
когда d близко к 4, необходимо провести довольно много ите-
итераций соотношений G.3) и G.4), чтобы надежно определить
вид функции, соответствующей неподвижной точке.
Когда размерность d изменяется от 3 к 2, поведение функ-
функции Q* становится гораздо более сложным. Для d = 2 функ-
функция Q* ведет себя приблизительно так, как показано на
Фиг. 72. Функция, соответ-
соответствующая неподвижной точке
для размерности 2.
Кривая получена с помощью числен-
численного анализа несколько модифициро-
модифицированной формы рекуррентной фор-
формулы.
фиг. 7.2. [Этот график получен из несколько модифицирован-
модифицированного рекуррентного соотношения G.3): множитель 2l~dl2 был
заменен на 21~d/2~1/s.] Легко видеть, что случай двух измерений
является весьма специфическим: предположим, что вычис-
вычисляется Qi+i (у) для больших у, тогда, если d = 2, функция
Qi+i (у) определяется функцией •/;( у), т.е. аргументы обеих
функций возрастают. Поведение h\y) при больших у в свою
очередь определяется функцией Qi, когда ее аргумент велик
и сравним по величине с у. Следовательно, асимптотическое
поведение начальной функции Qo благодаря итерационной
формуле G.3) будет распространяться на многие другие ите-
итерации Qi. Это асимптотическое поведение противоречит суще-
существованию неподвижной точки, не зависящей от Qo, т. е. ста-
ставит возможность реализации неподвижной точки под вопрос.
В противоположность этому для d > 2 множитель 2l~dl2
означает, что Q;+i(z/) определяется функцией Qi(y') при
105
ГЛАВА 7
у' r~> 21-d/2y, что гораздо меньше у, когда у велико. В этом
случае трудностей не возникает.
Раз найдена критическая функция Q*(y), дальнейший чис-
численный анализ рекуррентной формулы дает нам величину
критического показателя v. Для этой цели итерационный про-
процесс начинают со значения г0 « гОс, т.е. не1 совпадающего
v
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
Фиг. 7.3. Зависимость критического показателя v от размерности физи-
физической системы.
Кружочки соответствуют результатам, полученным нз численного анализа рекуррент-
рекуррентной формулы. Крестик при d=2 отвечает величине v, полученной нз точного решения
Онслера, а крестик при d=3 — наилучшему значению V, которое дают имеющиеся в на-
настоящее время высокотемпературные разложения.
точно с Гор. Затем наблюдают, как Qi(y) отклоняется от Q*.
Ожидают, что для достаточно больших / функция Qt имеет
вид [по аналогии с уравнением D.41) из гл. 4]:
Qt-*<r + (ro-roe)№(y), G.7)
где R*(y)—функция, не зависящая от / и г0. Для справедли-
справедливости G.7) I должно быть достаточно велико, настолько,
чтобы начальные переходные стадии итерационного процесса
уже закончились; тогда разность г0 — /"ос в свою очередь
должна быть достаточно мала, настолько, чтобы была мала
величина (г0 — /"ос)^'- Как и в гл. 4, Я — наибольшее собствен-
собственное значение линеаризованных уравнений ренормализацион-
ной группы, а показатель v определяется по формуле
'-ЕГ- С7Л»
Собственное значение Я можно найти с помощью подгонки
G.7) под результаты численного анализа итераций.
На фиг. 7.3 дана зависимость критического показателя v,
вычисленного из приближенной рекуррентной формулы G.3),
106
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
от размерности модели d, а также указаны результат высоко-
высокотемпературного разложения для d = 3 и точное решение Он-
сагера для d == 2. Полученная кривая хорошо аппроксими-
аппроксимируется квадратичной функцией по е = 4 — d.
Другая область применения рекуррентной формулы G.3)—
исследование е-разложения. Мы можем вычислить е-разложе-
ние для v, вытекающее из рекуррентной формулы, с помощью
численного анализа. Для 2v рекуррентная формула приводит
к следующему разложению по е:
2v = 1 + 0,167е + 0,04е2 - 0,01 бе3 + 0,077е4 -
-0,2е5 + 0,67е6-2,5е7 + 10,Зе8+ ...; G.9)
Разложение G.9) является, в действительности, асимптотиче-
асимптотическим рядом. Если оборвать это разложение на члене второго
порядка по е, то для d = 3 получим v = 0,603. Этот резуль-
результат следует сравнить с лучшим числовым результатом, полу-
полученным из рекуррентной формулы, а именно v = 0,609. Со-
Сохранение в G.9) только линейного члена дает v = 0,583. Эти
результаты наводят на мысль, что в разложении G.9) ра-
разумно ограничиться членом порядка е2. Анализ G.9) с по-
помощью аппроксимантов Падё так же показывает, что замет-
заметного улучшения полученного результата по сравнению
с е2-приближением не наступает вплоть до восьмого порядка
по е, когда разложение Падё дает немного лучшее значение
величины v. Это указывает на то, что разложение для v
важно вычислить с точностью до е2 и что в вычислении чле-
членов порядка е3 и выше особого смысла нет. Наиболее важным
результатом, полученным из рекуррентной формулы G.3),
является указание на то, что ряд G.9) с точностью до члена
порядка е2 должен давать при е = 1 хорошее значение вели-
величины показателя v. Трудно ожидать, что в других отношениях
этот ряд представляет собой что-либо хорошее для такой
большой величины е.
Следующий вопрос, который мы здесь обсудим, — метод
вычисления е-разложения с точностью до произвольного по-
порядка при помощи техники фейнмановских диаграмм. Вна-
Вначале, однако, необходимо доказать некоторую теорему, касаю-
касающуюся корреляционных функций. Так как эта теорема будет
лежать в основе большей части последующих рассуждений,
то оставшуюся часть главы мы потратим на ее доказатель-
доказательство. Рассмотрим корреляционную функцию, зависящую от
107
ГЛАВА 7
температуры Т и определенную для исходного гамильто-
гамильтониана Жъ,
Z~l(o ... ет ехр(^0)\
Г(*„ ..., qn, Т)= Д/' '" V • G.Ю)
Полевой аналог определения G.10)—вакуумные средние от
произведений п полей в импульсном пространстве (см. гл. 10).
Мы покажем, что если все qt очень малы (<С 1) и Т « Тс, то
Г(?„ ..., ?„, r) = |d"-d-n4^(l4'1, .... 1йп), G.11)
где | — корреляционная длина, а
4 G.12)
здесь tj — критический показатель. В теории поля ds высту-
выступает как аномальная размерность спинового поля (в единицах
массы) [95, 114]. Ее мы вычислим в следующей главе, исполь-
используя диаграммы Фейнмана. Корреляционная длина | зависит
от Г— Тс, и только через этот множитель и нормирующую по-
постоянную ?а в G.11) входит зависимость от гамильто-
гамильтониана 5^0.
Формула G.11) справедлива независимо от величины па-
параметров |<7,- (длина | велика для Т »Тс, т. е. параметры
|<7i можно сделать большими или малыми, не нарушая тре-
требований <7* <С 1, Т fa Tc).
Формула G.11) является одним из примеров «законов по-
подобия», предложенных несколько лет назад для критических
явлений (см. обзор в работе [101]); эта частная формула была
предложена Паташинским [108]. Ни один из законов подобия
не был доказан из первых принципов для размерности 3, и ни
один из них в этой главе доказан не будет. Здесь предпола-
предполагается, что существует преобразование, которое соответствует
ренормализационной группе и имеет неподвижную точку,
а вблизи нее, как это продемонстрировано на примере при-
приближенных уравнений из гл. 4 и 6, обладает довольно про-
простым видом. Доказательство, проведенное из первых принци-
принципов, должно было бы подтвердить справедливость этого пред-
предположения.
Для получения результата G.11) требуется применять точ-
точное уравнение для ренормализационной группы, причем для
настоящих целей удобно использовать дифференциальную
108
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
форму преобразования ренормализационной группы. В пре-
предыдущих главах это преобразование было дискретным и соот-
соответствовало уменьшению параметра обрезания от Л до Л/2.
Дифференциальное преобразование является результатом
бесконечно малого изменения параметра обрезания от Л до
Л — 6Л. Точное дифференциальное преобразование будет по-
построено в гл. 11; для настоящего же изложения достаточно
знать, что это преобразование существует. В предыдущих
главах взаимодействие с параметром обрезания Л = 2~1 было
обозначено Же, здесь удобно записать параметр обрезания
в виде Л = е~{, а эффективное взаимодействие с параметром
обрезания Л обозначить 3$t- Далее, в предыдущих главах
взаимодействие 26i+\ с помощью рекуррентной формулы было
выражено через Mi. Дифференциальный аналог рекуррентной
формулы можно записать следующим образом:
4" ** = #[**]• G-13)
Явный вид инфинитезимального преобразования U дан
в гл. 11. В свою очередь взаимодействие 361 является функ-
функционалом от переменной o'q, где
T)afg,, Я' = е*я, 0<|'?'|<1, G.14)
a t,(t, T) — ренормализационный параметр; все это является
прямым обобщением схемы, соответствующей дискретной ре-
рекуррентной формуле.
Главной особенностью уравнения G.13) является то, что
функция U [3@t] явно от t не зависит, т. е. она не равна
U \2f6u t]. Это есть обобщение того факта, что рекуррентная
формула для 3ei+\ не зависит от I1).
Как и в гл. 3, можно, используя вместо Жо гамильто-
гамильтониан Жи для достаточно малых q( вычислить величину
f(<7i> ..., дп, Т). Результат выглядит следующим образом:
+ '+.> G15)
в предположении, что для всех i
, 0<|еУ*1<1, G.16)
J) См. гл, 4, уравнение D.27). — Прим. ред.
109
ГЛАВА 7
а ^ — статистическая сумма, равная (ехр(Ж*)). [Следует
предупредить читателя, что когда Звг определяется с помощью
точной формулы из гл. 11, соотношение G.15) по техническим
причинам заменяется некоторой более сложной формулой.
В то же время формула G.11) не изменяется, и аргументы,
приведенные здесь, в общем случае, по-прежнему остаются
справедливыми.]
Чтобы продолжить исследование формулы G.11), необхо-
необходимо знать, как t,(t, T) изменяется с обрезанием. Напомним,
что функция t,{t, T) будет определена, если потребовать,
чтобы член в гамильтониане Жи пропорциональный q2 и со-
содержащийся в u2(q, t), имел коэффициент, равный единице.
В той итерационной форме ренормализационной группы, ко-
которая рассматривается сейчас, одна итерация определяет от-
отношение ?m-i/&> где & — ренормализационный множитель, свя-
свяй \
m& & рр
зывающий переменную а и переменную а\ , возникающую
после / итераций. В дифференциальной форме вместо
отношения Хл+ilti находят отношение ?(/ +d/)/?(/), т.е.
A + ?-l(t)[d?Jdf\dt). Последнее определяется исключительно
гамильтонианом 2f6t- если в Uz(q, t) член, пропорциональ-
пропорциональный q2, имеет коэффициент 1, то величина ?~ldydt должна
быть выбрана так, чтобы соответствующий член в u2(q, t + dt)
тоже имел коэффициент 1. Поэтому функция ?,-ld?,/dt будет
удовлетворять некоторому уравнению:
Ш^ = У[ЖА, G.17)
где V — неопределенный пока функционал гамильтониана Mt-
Мы хотим рассмотреть физическую систему только вблизи
критической точки. Из опыта обращения с рекуррентной фор-
формулой в предыдущих главах следует уже довольно ясное
представление о поведении, к которому будет приводить урав-
уравнение G.13). В частности, предположим, что можно было бы
построить зависимость 36t от t (в действительности зависи-
зависимость некоторого члена из Жи например ut); пример такой
зависимости изображен на фиг. 7.4. Для малых t (т. е. отно-
относительно больших параметров обрезания) 2f6t проходит через
некоторую переходную область до тех пор, пока не достигает
своего критического значения1). Допустим, что система не
находится в критической точке; следовательно, в конечном
') Подробнее см. гл. 12 и 13. —Прим. перев.
НО
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
счете 2f6t отклонится от своей критической величины. В этом
случае 36t может либо стремиться к нулю, либо расходиться,
как это показано на фиг. 7.4. Начало этой области значений t
определяется, скажем, t = t0. Множество t справа от tQ мы
называем «областью корреляционной длины». Представим
теперь, что параметры в Жо изменились так, что начальное
условие для дифференциального уравнения G.13) сделалось
щ
Переходная V ¦ корреляционной,
область I l длины
I I ¦ ,
Фиг. 7.4. Зависимость 5^^ от t.
Параметр t связан с параметром обрезания Л^ в гамильтониане tfgt соотношением
более близким к критическому. Тогда неустойчивость в G.13)
не возникает вплоть до значений t, больших t0. Тем не менее
после переходной области память о начальном гамильто-
гамильтониане Жо теряется, поэтому правый конец новой кривой будет
совпадать по форме со старой, однако будет сдвинут вправо.
Чтобы увидеть это формально из дифференциального уравне-
уравнения, предположим, что имеется решение ЖЦ, T), зависящее
от температуры Т. Рассмотрим область t чуть меньше ?<>, где
Ж{г, Т) отклоняется от неподвижной точки Ж*, но пока не
очень сильно. Ожидают, что ЖЦ, Т) в этой области значений
параметра t имеет вид
Ж{и Т) = Ж* + (Т-Тс)еа*Жа, G.18)
где а — наибольшее собственное значение, соответствующее
линеаризованным уравнениям ренормализационной группы,
а Жа — некоторое фиксированное взаимодействие. Собствен-
Собственное значение Я в дискретном случае [см., например, уравне-
уравнение G.7)] равно 2а. Важной особенностью уравнения G.18)
является то, что обе переменные t и Т, определяющие зависи-
зависимость Ж(г,Т), содержатся в этом уравнении в виде единого
параметра (Т—Tc)eat. В результате изменение Т на кривой
3fe(t, T) эквивалентно, как и утверждалось выше, некоторому
Ш
ГЛАВА 7
сдвигу по t, по крайней мере до тех пор, пока справедливо
G.18). Как и в предыдущих главах, ожидается, что когда е{
(величина, обратная параметру обрезания) порядка |, тогда
Ж{1, T) будет существенно отличаться от Ж*, т.е. когда
е{ ~ |, величина (Т — Tc)eat~ 1. Последнее означает, что па-
параметр а = 1/v. Это говорит также о том, что для е1 > % ли-
линейное приближение G.18) несправедливо и, следовательно,
M[t, T) не является более функцией, близкой к Ж*. Дальней-
Дальнейший анализ позволит нам исследовать и этот случай. Опреде-
Определим новый параметр to(T):
{^} G.19)
Тогда в области, где справедливо линейное приближение,
SHS(t, Т) = Ж* + ехр{ '~^о(Г) }жа. G.20)
Таким образом, выражение G.20) выглядит так, как будто
бы ЖЦ, Т) можно записать в виде
ЖЦ, T) = %t(t — t0(T)), G.21)
где 2@s(t)—некоторое решение уравнений ренормализацион-
ной группы. Оно не зависит от Г и определено для
— оо < t < + оо. Так как G.13) не зависит от Т, функция
Ж$У — ^о) является решением уравнения G.13), если Жв{г)
является таковым. Это гарантирует, что Ж5{г — to(T)) про-
продолжает определять ЖЦ, Т), даже если t слишком велико
для того, чтобы выполнялось линеаризованное уравнение
G.18). Следовательно, как и утверждалось выше, «траекто-
«траектории» Жг [а\ Г] имеют одинаковую форму для разных значе-
значений Т. Только для малых t, для которых имеет место на-
начальная переходная область, ЖЦ, Т) не равно Ж$У— to(T)).
Несколько слов о начальной переходной области (ма-
(малые t). Кроме выбора различных температур Т, существует
много способов изменить затравочное взаимодействие Жо.
В Жо имеется множество различных параметров; в общем
случае это даже целые функции u2(q), u4(q, ..., q$) и т. д.
Обычно только один из этих параметров, символически обо-
обозначаемый г0 = и2@), необходимо варьировать, чтобы опре-
определить критическую точку. Для малых t гамильтониан Жи
очевидно, будет зависеть от всех параметров в Жо- Однако
если параметр г0 = гОс, т. е. равен своему критическому зна-
112
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
чению, то Звг^-Ж* при /-> оо, и 96* не зависит от начальных
значений параметров в Жо1). Все это потому, что Ж* явля-
является решением уравнений ренормализационнои группы, и по
крайней мере в примерах, рассмотренных в гл. 4 и 6, Ж* пол-
полностью определяется этими уравнениями: в Ж* нет свободных
параметров, поэтому Ж* не может зависеть от каких-либо
параметров гамильтониана Жо.
Более того, в примере, рассмотренном в гл. 4, имеется
только одно (с точностью до мультипликативной постоянной)
возрастающее решение линеаризованного уравнения ренор-
ренормализационнои группы. Однако мультипликативную постоян-
постоянную можно включить в сдвиг по t, поэтому все неограни-
неограниченно растущие решения можно получить из единственного
решения Ж5(?). Гамильтониан ЖаЦ) определен так, что
Жа{— оо) = Ж*, т. е. Жа{г) при t = — оо начинается в непо-
неподвижной точке. Для больших отрицательных t гамильто-
гамильтониан Ж5 имеет следующий линеаризованный вид2).
Ж5 (t) = Ж* + е^Жа\ G.22)
для t>0 гамильтониан Ж3{1) может заметно отличаться
от Ж*, однако, по-прежнему, определяется однозначно.
Независимость Ж* и !№s{t) от каких-либо параметров Жа
является основой универсальности. Этот факт будет обсуж-
обсуждаться далее в гл. 12. Решение Ж5{г) называется «ренормиро-
ванной траекторией» (см. гл. 12).
§ 2. СООТНОШЕНИЯ ПОДОБИЯ ДЛЯ п-СПИНОВЫХ
КОРРЕЛЯЦИОННЫХ ФУНКЦИЙ
Вернемся теперь к анализу «-спиновой корреляционной
функции G.15).
Для больших t гамильтониан 9/et W, Т\ можно заменить
на 3@sW, t — to(T)\. Определим следующую функцию:
-..,4fn, t-to(T)) =
/о'. ...</,
') В этом н состоит смысл определения «переходная область». При
выходе из нее (t—>-oo) число начальных параметров, содержащихся в Жо
и определяющих величину Жг, сокращается и, наконец, сводится к един-
единственному «о- — Прим, перев.
2) Сравни с формулой G.20), — Прим. перед.
из
ГЛАВА 7
Тогда
' T)f(etgl,...,etqn,t-to(T)NW(etql+ ... + е*дп) „ „ ,,
*»(¦.+ ... +fa) ' * '
здесь мы явно выделили б-функцию, которая содержалась
в знаменателе G.15). Дельта-функции в числителе и знаме-
знаменателе G.24) после выделения в числителе общего множи-
множителя e~dt сокращаются:
Г (?„...,?„, Г) = R (/, T)f e~dtf (е<?„ ..., e<qn,t -10 (T)). G.25)
Соотношение G.25) выполняется лишь тогда, когда
1) t находится вне переходной области, т.е. / велико;
2) eiqi < 1 для всех i ^ п.
Это означает, что необходимо рассматривать только очень ма-
малые величины qt.
Удобно ввести новую переменную х = t— tQ(T) и удержи-
удерживать ее фиксированной независимо от величины Т. Перепи-
Перепишем G.20) в виде
Г (Яи ...,Яп, Л = К(т + /о(Л, Г)Гехр[-й(/„+"т)]Х
X f [exp (to + T)qb ..., exp (/0 + т) qn, x]. G.26)
Эта формула предпочтительнее в следующем отношении. Пер-
Первоначально зависимость от Т определялась зависимостью по-
последнего аргумента функции f от Т [как, например, в фор-
формуле G.24)], и ее трудно было контролировать. Теперь эта
зависимость выделена явно в виде экспоненциальных множи-
множителей exp {to(T)}, анализ которых более доступен. Множители
exp {to(T)} можно выразить через корреляционную длину |.
Рассмотрим, например, определение |, принятое в гл. 3:
62 d In Г (д)
5 л„г
dq2
Тогда, используя соотношение G.26), получаем
dq"
q'=0
G.27)
G.28)
Одним из следствий этой формулы является то, что exp {to(T)}
можно представить следующим образом:
!^ G.29)
U4
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
где|(т)'—некоторая функция т, не зависящая от Т. Именно
из этой формулы следует, что | (т) не зависит также и
от т.
Наконец, необходимо найти зависимость функции t,(t, T)
от t и Т. Эта зависимость определяется непосредственно диф-
дифференциальным уравнением G.17). Для большей части зна-
значений t гамильтониан Жг близок к Ж*, поэтому рассмотрим
сначала более простое уравнение
Удобно ввести параметр ds, определяемый как
d-ds = V{M*\ G.30)
(ds — постоянная, не зависящая от Т и t).
Решение этого простого уравнения имеет вид
t{t, T) = exp{(d-ds)t}. G.31)
Существуют две области значений t, для которых упрощенное
уравнение несправедливо; чтобы учесть это обстоятельство,
формула G.31) будет модифицирована. Прежде всего, га-
гамильтониан 2f6\ не является близким к 2f6* для t ^, t0; но Звг
в этой области значений t можно заменить на Жа[в', t — to(T)].
Это означает, что V[Mt\ является функцией только t — tQ(T),
скажем, функцией v(t — to(T)). При t < to(T) функция
v(t — to(T)) сводится к d — ds. Принимая во внимание функ-
функцию у, уравнение для ? можно записать следующим образом:
•|- In С = d - ds + [v (t -10 (T)) -(d- ds)]. G.32)
Это уравнение следует интегрировать с учетом граничного ус-
условия ? = 1 при t = 0. В интересующей нас области темпера-
температур Г, близких к Тс, величина to(T) велика, так что для
t << to(T) членом в квадратных скобках можно пренебречь.
Таким образом, при решении уравнения G.32) член в скоб-
скобках можно интегрировать от t = — оо до t вместо того, чтобы
интегрировать от 0 до /. В этом случае получаем
In С (/, T)=(d-ds)t + ln?B(t-t0(T)), G.33)
где
X
1пСв(т)= $ Ит,)-(</-<дЫт,. G.34)
— оо
115
ГЛАВА 7
Теперь для функции ?(/, Т) имеем
? (/, Т) = tB{t- to(T)) exp {(d - ds) t). G.35)
(Заметим, что при / -С to(T) величина 1,в близка к 1.)
Наконец, к формуле G,35) имеется поправка при малых t,
возникающая из-за наличия переходной области. До тех пор
пока Т » Тс,. поведение Жг при малых / не зависит ни от Т,
ни от того, каково значение 3@t при больших, но конечных t
[см. G.18)]. В результате находим, что правильная формула
для In ? имеет вид
In t, (t, T) = (d- ds) t + In lB [t - t0 (T)] + In tA, G.36)
где функция t,A не зависит ни от t, ни от Т (в том случае,
если t велико и Г« Тс). Постоянная t,A в действительности
зависит от параметров (кроме Т), которые входят в Жо, та-
таких, например, как и0, см. гл. 4. Используя уравнения G.26)
и G.36), находим
f (?i, . •., Яп, Т) = [Ub (t) exp {(d - ds) x}]n e-« X
) G.37)
Чтобы получить формулу G.11), введем функцию
F(q\, ...,q'n, т) = [1В(т)ехр(-dsxfds]nX
[dx п^—1
dx п^—1 / -г / -г / \
Тогда
. G.39)
Однако поскольку ни Г, ни | не зависят от т, функция F
должна также быть независимой от т; таким образом выво-
выводится формула G.11).
Некоторый более сильный результат можно получить для
импульсов,-которые велики по сравнению с 1/|, но малы по
сравнению с 1. Вернемся к уравнению G.15) и рассмотрим
случай, когда параметр t лежит в области t ^> I, to(T)— t ^k> 1,
так что 26t « Ж*. Введем функцию /*:
(ZV'/a'- ••• V ехр{Ж[о']}\
116
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
Для значений t из этой области ?в=1; следовательно,
Г(*„ .... Чп, T) = ^A^{n{d-ds)t}e-dtr{etqv ..., е'дп).
G.41)
Уравнение G.41) приводит к двум следствиям.
Первое следствие — правая часть G.41) не зависит от Т,
это означает, что Т можно заменить на Тс:
T(qu...,qn, Т) = Т(дь ..., qn, Тс). G.42)
Единственным явным ограничением, налагаемым на уравне-
уравнение G.41), является условие G.16); поскольку Гдолжно быть
велико, это ограничение означает, что Ifl'tl^ 1. При замене
3@t на Ж*, однако, мы пренебрегли в уравнении G.18) членом
36& а это разумно только в том случае, если для всех \ц\\
имеем |~'<С \Ц\\ (см. ниже).
Второе следствие — закон подобия (скейлинг), который
можно сформулировать для Т = Тс:
Г (?„ ., ., qn, Tc) = s{n-lu-nd°t(squ ..., sqn, Tc), G.43)
где s — произвольный множитель масштабного преобразова-
преобразования, причем Ifl'il^ 1 и s|^j|<C 1. [Для доказательства соотно*
шения G.43) вычислите функцию f (squ ..., sqn, Tc), исполь-
используя G.41), где q{ заменены на squ a t на V = t — Ins.] Закон
подобия G.43) является (с точки зрения физиков, занимаю-
занимающихся теорией поля) следствием масштабной инвариантности
для вакуумных средних поля с аномальной размерностью da.
Чтобы увидеть это более отчетливо, допустим теперь, что
Г(*ь ..., хп, Тс) — корреляционные функции многих спинов в
координатном пространстве:
Г (*!, ..., хп, Тс) = ^ ... ^ exp {iqi • х{ + ... + iqn ¦ хп} X
Xа""(?, + ... + qa)T toi, • •., Чп, те). G.44)
Закон подобия в координатном пространстве, аналогичный
G.43), имеет вид
Г(sxu ..., sxn, Tc) = s-nd*T(«!,..., хп, Те); G.45)
он справедлив для |*<|.^> 1. В теории поля, обладающей точ-
точной масштабной инвариантностью, такого ограничения не
117
ГЛАВА 7
было бы; действительно, в G.45) ограничение возникает по-
потому, что в статистической механике имеется обрезание в им-
импульсном пространстве (Ifl'il^ 1) и, следовательно, длина об-
обрезания имеет порядок ~ 1; таким образом, масштабная ин-
инвариантность имеет место только для расстояний, которые
велики по сравнению с длиной обрезания. Соотношение ме-
между da и критическим показателем х\ [см. выражение G.12)]
можно получить, сравнив G.45) при п = 2 с формулой B.4)
из гл. 2.
Объясним теперь смысл ограничения I <С |^< |, которое
необходимо для выполнения уравнения G.42). Чтобы пре-
пренебречь гамильтонианом Ж<х в уравнении G.18), величина
члена (Г — Тс)еа1Ж,1 должна быть мала. Параметры t и
Т — Тс можно выбрать так, чтобы была мала величина
(Т — Tc)eat; проблема, однако, заключается в том, чему
же равна «величина» Жа- Как и всякое взаимодействие,
гамильтониан Жа должен быть интегралом от плотности
энергии:
\*Ax), G-46)
и «величина» Ж& зависит от величины объема, существенного
для вычисления интеграла. Приближенная рекуррентная фор-
формула дает пример конкретного вида выражения G.46): в рам-
рамках этого приближения для 36 & имеем
\ G.47)
[ср. G.2) и G.7)]. Рассмотрим зависимость от координат пар-
парной корреляционной функции спинов для гамильтониана Ж
Г (*,) = (s (*,) s @) ехр(ад. G.48)
Эта функция для очень больших Х\ ведет себя, как
ехр(—|*i|/!i), где gi — корреляционная длина, соответствую-
соответствующая Жгх. Ясно, что параметр gi можно игнорировать только
тогда, когда |*ij<C gi, а параметр gi становится бесконечным,
если гамильтониан 2f6tx заменяется гамильтонианом Ж*. Из
грубых соображений, базирующихся на локальности, ожи-
ожидают, что область х, для которой при вычислении Т(х\) су-
118
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ществен гамильтониан 3ed(x), является областью, окружаю-
окружающей точки Х\ и 0 и имеющей размер в несколько |*i|. Если
|*i|-С gi, тогда вклад gi в F(*i) незначителен; это указывает
на то, что соответствующая область х достаточно мала, и, та-
таким образом, член 36d в G.18) является лишь малым возму-
возмущением. Для |*i |^ gi эта область х достаточно велика, по-
поэтому 36 л более не является возмущением.
Таким образом, для координатного пространства можно
сформулировать общее правило: член 36& можно не прини-
принимать в расчет только для корреляционных функций, соответ-
соответствующих расстояниям, малым по сравнению с корреляцион-
корреляционной длиной. Это условие, переформулированное для импульс-
импульсного пространства/означает, что все \цг\ должны быть го-
гораздо больше g-1. Изложенное здесь рассуждение довольно
поверхностное; более аккуратный, однако нестрогий анализ
приводит к тому же результату.
Если предположить, что функция f(^i, ..., qn, T) имеет
хорошо определенный предел при Т-+Тс, т.е. становится не-
независящей от |(Г) при Т->ТС, то вопрос, когда можно пре-
пренебречь гамильтонианом 36'<*> уже можно не обсуждать. Тогда
закон подобия G.43) вытекает непосредственно из G.11). Мы
рассматриваем величину взаимодействия 36& в качестве при-
примера, связанного с очень общей проблемой в теории ренорма-
лизационной группы. Это общая проблема состоит в следую-
следующем: пусть нам дано некоторое взаимодействие 36А-\-Ъ36в,
где 6 — малый параметр, а 36а и 36в— два произвольных
гамильтониана; возникает вопрос, при каких условиях можно
пренебречь взаимодействием Q36B? Например, для больших t
гамильтониан Q36B мог бы отвечать некоторому члену (с ма-
малым коэффициентом), который соответствует переходным про-
процессам; тогда вполне уместно пренебречь таким членом. Со*
гласно обсуждению, которое было проведено выше, пренебре-
пренебрежение членом ЪЗбв должно быть вполне законным, если мы
проводим вычисление спин-спиновых корреляционных функций
для \xi\ ~ 1. Однако, в случае, когда рассматриваются корре-
корреляционные функции для больших х, мы должны учесть воз-
возможность того, что вклад от члена Q36B из-за эффектов, свя-
связанных с большим объемом, увеличивается и он не является
более малым возмущением.
Здесь уместно сделать некоторое предостережение. Пред-
Предположим, что мы рассматриваем корреляционную функцию,
119
ГЛАВА 7
соответствующую некоторому малому расстоянию, и диффе-
дифференцируем ее по параметру, входящему во взаимодействие,
например по температуре. Для иллюстрации, пусть этим па-
параметром будет 0. Выражение, которое получается в резуль-
результате, может быть очень чувствительно к члену ВЖВ, даже
если 0 мал. Причина этого заключается в том, что после
дифференцирования у нас получается некоторая новая корре-
корреляционная функция, которая содержит выражение
= \ 2f6B (х),
проинтегрированное по всему пространству, т. е. новая
корреляционная функция не является более корреля-
корреляционной функцией, соответствующей только малым рас*
стояниям.
§ 3. МЕДЛЕННЫЕ ПЕРЕХОДНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
И УСТРАНЕНИЕ ИХ ДЛЯ МАЛЫХ е
Теперь необходимо обсудить еще одну проблему, кото-
которая связана с методом вычислений, основанным на е-раз^
ложении.
Проблема, возникающая, когда размерность простран-
пространства d близка к 4, состоит в медленной сходимости эффектив-
эффективного взаимодействия 3et (или Жь в дискретном случае) к Ж*,
если мы находимся в критической точке. Медленную сходи-
сходимость можно проиллюстрировать, используя упрощенную ре-
рекуррентную формулу из гл. 4. Исследование этой проблемы
является важным для вычислений, которые проводятся в сле-
следующей главе.
Упрощенные рекуррентные формулы D.27) имеют непо-
неподвижную точку (г*, и*), положение которой определяется
D.30). Предположим, что начальная величина и0 близка к и*,
но не совпадает с ней, и что rQ = rQc(u0). Тогда решение ре-
рекуррентной формулы (/";, щ) при 1-+оо стремится к (г*, и*).
Скорость, с которой /•; и щ приближаются к г*, и*, можно оп-
определить с помощью решения линеаризованных уравнений
для п— г* и щ — и*. Это было сделано в гл. 4. Результат со-
состоит в том, что /"; — г* и щ — и* при больших / ведут себя,
как 2~ы, где 2~8 — наименьшее собственное значение, опреде-
120
ПРИБЛИЖЕННАЯ РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА (ПРОДОЛЖЕНИЕ)
ляемое матрицей линеаризованных уравнений. Когда е мало,
разность щ — и* сходится к 0 очень медленно; чтобы щ — и*
было мало, el должно быть очень велико. Иначе говоря,
должна быть велика величина е1пЛг, выраженная через па-
параметр эффективного обрезания Л; = 2~1.
Эта медленная сходимость нежелательна для тех целей,
которые преследуются в гл. 8. К счастью, вопрос о сходи-
сходимости можно избежать. Если выбрать параметр ы0 в точ-
точности равным и*, тогда щ = и* для всех /, и проблема,
связанная с медленной сходимостью, вообще не возни-
возникает.
Однако это еще не конец. Полная рекуррентная формула,
соответствующая ренормализационной группе, кроме тх и щ
включает в себя много других переменных. Чтобы упростить
обсуждение, рассмотрим единственную промежуточную пере-
переменную Wi. Нецелесообразно полагать ш<> = w*, потому что на
практике имеется слишком много промежуточных перемен-
переменных 1). К счастью, нет необходимости полагать wQ = w*. Рас-
Рассмотрим начальные условия (г0, и0, w0) вблизи неподвижной
точки (г*, и*, w*). Тогда решение (гг, щ, Wi) можно получить,
если составить и решить линеаризованные уравнения для
ri — г*, Ui — и* и Wi — w*. В этом случае линеаризованные
уравнения будут иметь три линейно независимых решения,
отвечающие трем различным собственным значениям. В пре-
пределе е-+0 эти собственные значения равны 4, 1 и '/4 ('А» —
наибольшее собственное значение для любой промежуточной
переменной в пределе е—>()). Для малых е третье собственное
значение по-прежнему близко к V4.
Растущее решение (собственное значение близко к 4)
исключается путем выбора значения г0, равного критическому
значению rOc(uo, w0). Аналогично решение, соответствующее
собственному значению, близкому к 1, можно исключить, пра-
правильно выбрав «о, например, выбрав и0 = Uqc(Wo), в резуль-
результате уравнения для (rt — г*, щ — и*, Wi — w*) будут иметь
только третье решение с собственным значением, близким
к '/¦»• Когда переменной w пренебрегают совсем, «критическое
значение» «ос есть просто и*. Если переменная ш принята во
внимание, значение uOc(Wo) равно и* только в том случае,
') Действительно, в этом случае возникла бы трудная задача вычис-
вычислить величины параметров, определяющих неподвижную точку, по осталь-
остальным промежуточным переменным. — Прим. перев,
121
ГЛАВА 1
когда Wo == to*. Однако для других значений величины Wo все
еще можно выбрать и0 так, чтобы коэффициент при медленно
убывающем решении стал пренебрежимо малым. Фактически
значение Ыос(а>о) оказывается равным и* с точностью до е;
только во втором порядке по е величина Мос(^о) отличается
от и*. Этого можно было бы ожидать, так как присутствие w
изменяет и* только во втором порядке по е').
В заключение отметим, что начальные значения всех про-
промежуточных переменных можно выбрать произвольно (обычно
все они полагаются равными нулю). Тогда существуют кри-
критические значения гОе и иОс, такие,- что Звх-ъ-Ж* как 4~', а не
как 2~г1. Полагая г0 = /"ос и и0 = иОс, получаем, что Жг при-
приблизительно равно Ж* после нескольких итераций независимо
от того, насколько малым является е (roe и «ос. как и г*, и*
зависят от е).
') См. гл. 4. —Прим. ред.
Глава 8
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
С ПОМОЩЬЮ ФЕЙНМАНОВСКИХ ДИАГРАММ
(8-РАЗЛОЖЕНИЕ)
В настоящей главе мы обсудим метод вычисления крити-
критических показателей, исходя из разложений по степеням е и ис«
пользуя технику фейнмановских диаграмм [109]. Этот подход
будет иллюстрироваться в рамках статистической механики
и служить некоторым введением к главам по теории поля и
аномальным размерностям. В частности, мы хотим найти по-
поведение спин-спиновой корреляционной функции в окрестно-
окрестности критической температуры. Из результатов, полученных
в последней главе [см. уравнение G.45)], следует, что корре-
корреляционная функция Т(х), обозначенная в гл. 7 через Г(дс, 0),
при 1<С|ж|<С|иГ«Ге имеет вид
П*) 5Г- (8-1)
х s
В настоящей главе мы найдем числовое значение аномальной
размерности спинового поля ds, когда размерность d физиче-
физической системы близка к 4. Мы получим также числовые значе-
значения различных других критических показателей. См. работы
[109, ПО] и табл. 8.1.
Эта глава слишком короткая, однако в настоящее время
по е-разложению имеется много других работ (см. список до-
дополнительной литературы в конце данной книги).
Основная идея вычисления, основанного на фейнмановских
диаграммах, следующая. Для физических систем с размерно-
размерностями d, близкими к 4, и со скалярным взаимодействием sA(x)
величина постоянной взаимодействия и в неподвижной точке
имеет порядок е = 4 — d. Следовательно, вычисления в рам-
рамках теории возмущений вполне разумно проводить по пара-
параметру и. Если бы d = 4, мы имели бы дело с обычными диа-
диаграммами Фейнмана для скалярной теории поля ф*. Тогда
123
ГЛАВА 8
фурье-образ Г (ж) становится в теории поля пропагатором и
при Т = Тс имеет вид
T{q)~±{l+aluolnq* + aiu*ln*q*+ ...}. (8.2)
Здесь «о — затравочная постоянная взаимодействия s\ а а{ —
некоторые вполне определенные постоянные. Теория поля за-
Таблица 8.1
Формулы, полученные в настоящее время
для критических показателей
с помощью вычислений фейнмановских диаграмм
Определения критических показателей содержатся в гл. 2 (М=Я'^ при
Т—Тс). Число л равно числу компонент спина s; в этих главах л = 1. Постоянная Г
приближенно равна 0,60103; см. работу [110). Формулы для показателей т) и у полу-
получены в работе [ПО]. Остальные показатели найдены из законов подобия; последние
были получены для в-разложения в работе [113].
+ 920л* + 3472п + 4800 — 192 Eя + 22) (я + 8) Т] е3,
+ 488я +848 — 48 Eл + 22) (я + 8)Т} е3,
+ 44л3 + 664я2 + 2496л + 3104 — 96 Eл + 22) (я + 8) Т] е3,
+ 276я2 + 1376л + 3168} е3 + ^Д^ {2я° +
+ 93я5 + 1778я« + 12760л3 + 50 280я2 + 147 136я + 263 040 +
+ 768 (я + 2) (я + 8) Eл + 22) Т) в«,
82 +
(~ n2 + 56n + 272) е3
+ 46 144 — 768 Eл + 22) (я + 8) Т) е4,
+ 89я3 + 1412л2 + 5904л + 8640 — 192 Eл + 22) (л + 8) Т) е3.
124
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
висит от величины параметра обрезания; в данном случае па-
параметр обрезания, как и в предыдущих главах, положен рав-
равным 1. Для е Ф О появляется больше логарифмических членов
порядка е, е2 и т. д. (см. ниже). Чтобы получить из первых
нескольких членов (8.2) полезную информацию, необходимо
ограничить наше рассмотрение такими величинами и0 и q2,
для которых выполняется неравенство
|«о1п<72|<1. (8.3)
В принципе можно было бы смягчить требование (8.3) и про-
просуммировать логарифмические члены в (8.2) во всех поряд-
порядках с помощью некоторой другой техники. Однако используя
то, что мы уже знаем о ренормализационной группе и крити-
критическом поведении, достаточно рассмотреть в разложении
только несколько первых членов.
Для фурье-образа (8.1) при критической температуре
имеем
Г («7)--^, (8.4)
здесь ti = 2 (ds + 1) — d. Когда t) — малая величина, выраже-
выражение (8.4) можно разложить
4 ) (8'5)
Если бы обычная процедура сравнения коэффициентов перед
логарифмами годилась для (8.2) и (8.5), мы непосредственно
вычислили бы т). В общем случае соответствующие степенные
ряды (8.5) и (8.2) смысла не имеют. Дело в том, что для
большинства значений и0 степенной закон (8.4) является пра-
правильным только тогда, когда q2 настолько мало, что и0 In q2
велико, а в этом случае разложение (8.2) несправедливо. Это
жесткое ограничение на q2 возникает из-за медленной сходи-
сходимости Mi к Ж*, которая обсуждалась в предыдущей главе.
К счастью, параметры исходного гамильтониана можно
выбрать так, чтобы выражение (8.4) было справедливо для
большей области значений q2. На основании обсуждения в по-
последней главе для этого необходимо выбрать и0 = «oc(e), и
тогда 36i совпадет со своей критической формой Ж* после не-
нескольких итерационных шагов. Это означает, что выражения
(8.4) и (8.5) справедливы для всех q, удовлетворяющих усло-
125
ГЛАВА 8
вию q <C 1, независимо от е. Тогда для малых е, т. е. малых щ,
оба разложения (8.2) и (8.5) справедливы для q в области
- -^-J < q < 1
и между ними можно установить соответствие в каждом по-
порядке по In q2.
Вернемся теперь к вычислению постоянной взаимодействия
«ос(е) [обозначаемой в дальнейшем ио{е)] и показателя ц.
Чтобы сделать это, рассмотрим следующие две величины: че-
четырехточечную вершинную функцию uR, внешним линиям ко-
которой при Т ФТС сопоставляются нулевые импульсы, и про-
пагатор Г, внешним линиям которого при Т = Тс соответ-
соответствуют импульсы q. Тогда, если мы определим, что пропагатор
при Т ф Тс и q = 0 (т. е. восприимчивость) равен г~х, из за-
законов подобия для n-точечных функций, рассматриваемых
в последнее время •), следует
Другое выражение для uR вытекает из диаграммного раз-
разложения wr по степеням и0. Сопоставление диаграммного раз-
разложения с (8.6) позволяет определить ыо(е). Тогда, если срав-
сравнить разложения (8.5) и (8.2), показатель у\ можно выразить
окончательно через е.
Нашей первой задачей является доказательство соотноше-
соотношения (8.6) на основе теоремы, изложенной в последней главе.
Исходный гамильтониан системы будет иметь вид
ж°=~ т S ^2 (l + ?2J +Го]
~U°\ \ ) ая^ч>ач^-Чх-д,-чп (8-7)
41 Чг
где q изменяется в пределах от 0 до 1. Часть Жо, соответ-
соответствующая кинетической энергии, имеет дополнительную зави-
зависимость от q2, которая заменяет собой обрезание, т. е. ограни-
ограничение на q сверху. (Внимательные читатели обнаружат, что
было бы достаточно и одной степени 1 + q2.) Эта форма об-
обрезания является более удобной для вычисления фейнманов-
') См. гл. 7. — Прим. ред.
126
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
ских диаграмм. Удобно также в (8.7) провести «перенорми-
«перенормировку массы». Запишем
^о = - у \ W A + q2J + Л aqa.q -
я
— ~2 ) (/"о — г) oqo-q — (ио член). (8.8)
ч
Новый член в (8.8), соответствующий перенормировке массы,
так же, как и член, пропорциональный и0, рассматривается
как возмущение. Поскольку член, отражающий зависимость
от г, в (8.8) добавлен и вычтен, зависимость от г можно вы-
выбрать произвольно. Мы выберем ее таким образом, чтобы про-
пагатор Г@) (д = 0) в точности равнялся г~1, т.е. потре-
потребуем, чтобы пропагатор Г@) имел такой вид, как если бы
в (8.8) присутствовал только первый член; все поправки
к Г@) должны быть тождественно равны нулю.
Определим обычным образом n-спиновую корреляционную
функцию:
здесь мы отметили явно, что Г зависит от г. Точное опре-
определение uR тогда будет иметь вид
Г@, 0, 0,0,
R
Г«@,г) V '
где индекс «связанные» означает, что в (8.10) ие должно по-
появиться ни одной диаграммы, содержащей произведение двух-
двухточечных функций. Знаменатель Г4@, г) эквивалентен устра-
устранению собственно-энергетических вставок во внешние линии
всех диаграмм. Чтобы определить, как uR зависит от г, мы
обратимся к законам подобия, полученным в последней главе.
В частности, из соотношения G.11) имеем
Г (<7ь ... ,Яп.г)~ЦгУя-1)а-яа'F(qih...,qnl), (8.11)
следовательно,
Г (п нулей, г) ~| (О01"'*""*'- (8-12)
127
ГЛАВА 8
Пропагатор тогда обладает следующим свойством:
Г@,г)~^-2^ = |2-Л (8.13)
Однако по определению Г@, г) = г~'; следовательно, между
г и | имеется простое соотношение
Г1~?-\ (8.14)
Из (8.12) вытекает, что корреляционная функция для 4 спи-
спинов удовлетворяет соотношению
Г @, 0, 0, 0, r)~td-ids = ld+i-2ri. (8.15)
Следовательно, комбинируя (8.13) и (8.15), получаем
td+4-2T)
^ (816)
Это соотношение, выраженное через г, как и утверждалось,
имеет вид
Ыд_г(е-2т,)/<2-т,)_ (8Л7)
Наша следующая задача — получить степенные разложе-
разложения uR и f (q, r) по параметру и0. Она представляет собой не-
некоторое упражнение в вычислении фейнмановских диаграмм
для размерности 3,99 [81, 109]. Диаграммы, дающие в uR
вклад порядка и^, изображены на фиг. 8.1, а диаграммы,
вклад которых в T(q, r) имеет порядок и\, приведены на
фиг. 8.2. Прежде чем иллюстрировать вычисление диаграммы,
дающей вклад в uR, рассмотрим диаграммы на фиг. 8.2. По-
Поскольку в гамильтониан (8.8) член, соответствующий пере-
перенормировке массы, введен для того, чтобы пропагатор Г(<7, г)
при q = 0 в точности совпадал со свободным пропагатором,
и поскольку интеграл, соответствующий петле (вторая диа-
диаграмма на фиг. 8.2), не приводит к появлению зависимости
от q, вклад от этой второй диаграммы в точности сокращается
с вкладом от члена в (8.8), соответствующего перенормировке
массы. Полная диаграмма для f(q, г) зависит от q, т.е. по-
поправка, отвечающая перенормировке массы, полностью сокра-
сокращается с вкладом от этой диаграммы только при q = 0.
128
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
В качестве иллюстрации вычисления величины фейнманов-
ской диаграммы для размерности 3,99 рассмотрим вклад в uR,
пропорциональный и*. Это дает
и2 С d.% (8Л8)
° J k2(i+?2J + rp '
Интегрирование по углам не вызывает затруднений и приво-
приводит к появлению несущественной постоянной. Теперь (8.18)
ХЗХЗХ и
Ф н г. 8.1. Диаграммы, дающие вклад в и„.
о
и*. +
Фиг. 8.2. Диаграммы, дающие вклад в Г(q, r).
Крестнк соответствует члену нз выражения (8.8), пропорциональному (Го—Г).
принимает вид
const
u{\[q
о
[q2/;;;+r]2.
о
Зависимость от е в (8.19) возникает из разложения
4-eVln2<7- .... (8.20)
S Зак. 409 129
ГЛАВА 8
Рассмотрим вначале член q3, дающий вклад в (8.19). Мы ин-
интересуемся очень малыми значениями г, поэтому интегриро-
интегрирование по области г с q2 <С 1 приведет к появлению единствен-
единственного логарифмического члена In r:
Аналогично член eq3 In q из (8.20) приведет к появлению
в (8.19) вклада, равного gin2 г. Таким образом, мы можем
ожидать, что разложение (8.19) по параметру е будет иметь
вид
+ e2[ln3r+ ...]+ ...}; (8.22)
здесь содержится некоторое множество числовых постоянных,
явный вид которых не выписан. Интеграл в этом примере был
исключительно простым. В общем случае мы встречаемся
с нетривиальным интегрированием по углам, таким, напри-
например, как
$ sin*-2 (9) ... dqdQ, (8.23)
или, возможно, даже с двумя интегрированиями по углам. Эти
интегралы, однако, по-прежнему хорошо определены для не-
нецелых размерностей d [81, 109].
Используя рассмотренную выше технику и более аккурат-
аккуратно обращаясь с множителями 2 и л, получаем следующие
разложения:
для малых г и
?(q,Q) = ±{l+^-\nq + ...} (8.25)
для малых q. Заметим, во-первых, что (8.25) не содержит
члена, пропорционального и0, так как ни одна из диаграмм не
входит в расчеты в первом порядке. Поскольку Г(<7, 0) ~
~ q-2+n для малых q, показатель г\ должен иметь порядок ы2.
Обратимся теперь к uR. С точностью до логарифмического
члена In r для uR имеем выражение
} (8.26)
130
ВЫЧИСЛЕНИЕ КРИТИЧЕСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
оно должно быть пропорционально1) /¦(•-2ч)Л2-ч)# Множи-
Множитель и0 можно опустить (это постоянная пропорционально-
пропорциональности) ; следовательно,
(8.27)
и мы находим выражение для щ:
2 я2
Щ = —g- e -f- Члены более высоких порядков. (8.28)
Сравнивая (8.25) и (8.5), получаем
(8-29)
Интересно отметить, что 54 не является малым числом, по-
поэтому даже выбор е = 1 приводит в результате к числу
т) « 0,02, которое мало по сравнению с 1. Показатель % вы-
вычисленный с точностью до е3, при е = 1 приблизительно ра-
равен 0,04. В наилучших- приближенных расчетах ц из высоко-
высокотемпературных разложений получаются значения 0,041—0,056
[111, 112]2), поэтому наше грубое вычисление оказывается
вполне заслуживающим доверия. Аномальная размерность
спинового поля, найденная из результатов высокотемператур-
высокотемпературных разложений, для е = 1 становится равной
ds = ±(d-2 +т)) = 0,5 +0,025.
Именно ds имеет особый смысл аномальной размерности
в приложениях к теории поля. Интересно также отметить, что
поправка к величине ds, соответствующей среднему полю,
мала по сравнению с 1.
Табл. 8.1 содержит современные результаты вычислений
критических показателей с помощью фейнмановских диа-
диаграмм. В табл. 8.2 приведены результаты, найденные при
е = 1 методом фейнмановских диаграмм, а также результаты,
полученные из высокотемпературных разложений для трех
') При малых г. — Прим. перев.
2) Для размерности d = 3. — Прим.. перев.
131
ГЛАВА S
Таблица 8.2
Результаты е-разложеиия до порядка е2
(для показателя т) — до порядка е3) при е = 1 и п=1,
результаты, полученные нз высокотемпературных разложений
для трехмерной модели Изнига [112],
а также результаты теории Ландау
Показатели
V
Т1
Y
а
Р
б
8-разложенне
0,626
0,037
1,244
0,077
0,340
4,46
Высокотемпературные разложення
для модели Изинга
0,642+0,003
0,055±0,010
1,250 ±0,003
0,125±0,015
0,312±0,003
5,150+0,02
Теория
Ландау
0,5
0
1,0
0
0,5
3
мерной модели Изинга (как это подытожено в работе [112]).
Разница слишком мала, чтобы ее принимать всерьез1).
') В этой связи необходимо заметить, что, во-первых, модель, рассма-
рассматриваемая здесь, не является моделью Изинга (см. гл. 3 и работы [64, 70]),
а, во-вторых, разложение, используемое здесь для определения критиче-
критических показателей, является, по-видимому, лишь асимптотическим [ПО] (см.
примечание в гл. 7, стр. 104). В работе [ПО] показано также, что разложе-
разложение до е4 ухудшает это соответствие. — Прим. перев.
Глава 9
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ С РАЗМЕРНОСТЬЮ 4-8
В этой главе будет обсуждаться квантовая теория поля
в пространстве-времени с размерностью d, равной 3,99.
В частности, используя е-разложение, мы вычислим размерно-
размерности тензорных операторов, связанных с глубоко неупругим
рассеянием. (В качестве обзора теорий глубоко неупругого
электронного рассеяния и применимости тензорных операто-
операторов см. работу [95].) Теория, которая обсуждается здесь, при
d —*¦ 4 переходит в теорию свободного поля, поэтому она не
имеет прямого отношения к физике1). Важность этого кон-
конкретного исследования состоит в том, что оно дает пример
аномальных размерностей в теории, которая оказывается мас-
масштабно-инвариантной на малых расстояниях. Единственным
известным до сих пор примером была более тривиальная мо-
модель Тирринга. (Обзор литературы по модели Тирринга см.
в работах [115, 116].)
Детали связи между критическими явлениями и теорией
поля будут рассмотрены в следующей главе. Здесь мы будем
полагаться на очевидную связь между диаграммами Фейн-
мана, которые рассматривались в предыдущих главах, и сход-
сходными с ними (неперенормированными) диаграммами Фейн-
мана для теории поля ф4. Настоящие вычисления будут про-
проведены в рамках статистической механики; однако очевидная
аналогия между корреляционными функциями спинов и ва-
вакуумными средними произведения полей позволит нам выра-
выразить результаты этих расчетов через аномальные размерности.
Для начала напомним правила фейнмановского диаграмм-
диаграммного подхода к е-разложению. Пропагатор имел вид, соответ-
соответствующий обрезанию, т.е. [д2{1 + <72J+ rY~l> a вершине со-
сопоставлялась величина —«о. Перенормировка массы была
проведена так, что полный пропагатор с импульсом, равным
•) См. примечание в гл. 7, стр. 104. — Прим. перев.
133
ГЛАВА 9
нулю, был равен свободному пропагатору с импульсом, рав-
равным нулю, а именно г~1. Рассмотрим теперь теорию поля ф4.
Пропагатор в этом случае равен [k2 — т2 -\- ie]~l, а вершине
сопоставляется величина iKo. Между теоретико-полевыми ве-
величинами от2, k2, Ко и статистическими параметрами г, q2 и и0
можно установить соответствие. Сравнивая пропагаторы с им-
импульсами, равными нулю, приходим к очевидной идентифика-
идентификации г и от2:
(9.1)
Рассматривая только область малых q2 (<72<Cl), получаем
связь между q2 и k2
k2. (9.2)
Следовательно, положительная величина q2 соответствует про-
пространственно-подобному k. Поэтому вычисления, проводимые
в рамках статистической механики, касаются только вакуум-
вакуумных средних произведений полей в пространственно-подобной
области. Хорошо известно, что внутренние импульсы в диа-
диаграммах, имеющих пространственно-подобные импульсы во
внешних линиях, можно сделать пространственно-подобными
с помощью поворота контура 1). Следовательно, правила тео-
теории возмущений, упомянутые в предыдущих главах, являются
правилами Феинмана для пространственно-подобных импуль-
импульсов. Затравочная постоянная взаимодействия после поворота
внутренних импульсов становится равной — Ко; ее следует
идентифицировать с — «о- Величина от2, возникающая при
применении этих правил, не вполне совпадает с настоящей
перенормированной массой, поскольку перенормировка была
проведена не на массовой оболочке, а при нулевом импульсе.
Так как параметр обрезания фиксирован и равен 1, вели-
величина от должна быть мала (т. е. мало г), для того чтобы фи-
физическая масса была гораздо меньше параметра обрезания.
Наконец, перенормировка ни волновой функции, ни постоян-
постоянной взаимодействия не проведена.
Интегралы в случае статистической механики имели вид
S ddq, где d—размерность пространства. В случае теории
поля d — размерность пространства-времени. Таким образом,
d = 4 — е в случае теории поля означает пространственную
размерность, равную лишь 3 — е, в то время как в случае
') См., например, книгу [146]. — Прим. перев.
134
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
статистической механики d = 4 — е соответствует простран-
пространственной размерности 4 — е.
В рамках изложенных выше правил мы намерены вычис-
вычислить в этой главе размерности некоторых составных операто-
операторов. Определим вершину в конфигурационном пространстве
соотношением
U4 (<7, - д) Г2 (?) = J exp {iq ¦ х) ехр {- iq ¦ у) (s (x) s (у) Гар @)>,
(9.3)
где
ra3@)Ss@)VaVps@), (9.4)
a T(q)—полный пропагатор; в (9.3) он входит в квадрате,
что и позволяет исключить собственно-энергетические вклады
во внешние линии вершины. Оператор Гар будет обозначаться
Фиг. 9.1. Диаграммное представление составного
оператора Та^.
графически так, как это изображено на фиг. 9.1. Мы особенно
заинтересованы чисто тензорной частью оператора Гар (в про-
противоположность его скалярной части ^Таа). Выбрав а ф Р,
a
мы тем самым выделим именно эту часть оператора Гар.
На языке теории поля Та$ является линейной комбинацией
тензора энергии-импульса и полной производной VaVps2@).
Матричный элемент f/ap искусственно выбран так, чтобы пол-
полная производная не давала вклада в f/ap. Дело в том, что
внешний импульс, соответствующий Гар, равен нулю. Из об-
общих соображений можно утверждать, что в масштабно-инва-
масштабно-инвариантной теории размерность тензора энергии-импульса рав-
равна d, т. е. размерности системы. Мы увидим ниже, что это
справедливо по крайней мере с точностью до е2. Реально су-
существуют еще и другие операторы, которым сопоставляются
внутренние квантовые числа, такие, как изоспин, и которые
не должны иметь размерность d. Чтобы проиллюстрировать
135
ГЛАВА 9
это, введем внутренние квантовые числа, приписывая s вну-
внутренний индекс. Обозначим новые поля через s,. Теория будет
построена таким образом, чтобы быть инвариантной по отно-
отношению к вращениям в пространстве, соответствующем этим
полям. Член взаимодействия в новом гамильтониане будет
иметь вид X wus?sj. В этом случае имеется два возможных
тензора:
Z (9.5а)
*/). (9.56)
Тензор Tafiij(O) является тензором не только по отношению
к пространственным вращениям, но и по отношению к вра-
вращениям в пространстве внутренней симметрии. Соответствую-
Соответствующие вершины Uap(q, — q), Ua^n(q, — q) определяются с по-
помощью подстановки (si(x)s,(y)Tafi@)) или (si(x)si(y)Tafili@))
в формулу (9.3).
Анализ этих тензоров будет проведен для малых г и ма-
малых внешних импульсов q. Чтобы рассмотреть случай q —*¦ О,
из f/ap необходимо явно выделить кинематический множи-
множитель qaq$. Мы должны вычислить соответствующие скаляр-
скалярные функции, которые умножаются на qaq$. Прежде всего
напомним некоторые результаты последней главы. Согласно
аргументам, приводимым при рассмотрении скейлинга, пол-
полный пропагатор при нулевом импульсе изменяется в скейлин-
говой области как ld~2ds, т. е. как корреляционная длина
в степени d — 2ds. Аналогично четырехточечная функция, если
все ее внешние импульсы положить равными нулю, изме-
изменяется как ¦^id-idsl^d~bdst Эти результаты нетрудно понять.
В случае пропагатора рассматривается величина
\ddx(s(x)s@)).
Основной вклад в интеграл вносят те х, которые меньше или
примерно равны |, т. е. х ^ |. Поэтому rf-мерный интеграл
дает вклад |d, а каждое из спиновых полей вносит дополни-
дополнительно множитель l) %~ds. Такие же аргументы можно исполь-
использовать для исследования величин C/ap (q, — q) и Ua&lj (q, — q),
1) См. гл. 7. ^ Прим. перев.
136
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
когда ц очень мало. Если йт — аномальная размерность опе-
оператора ГаВ, то
2d-2ds-dT
С/«э (Я, ~Я)~ § 2d_id F4 №• 0.6)
I s
Как утверждалось выше, функция Ua^(q, —q) пропорцио-
пропорциональна qaq^. Следовательно, для малых q величина Fafi про-
пропорциональна qalq$b Тогда (9.6) можно записать в виде
(гё<0. (9.7)
Соотношение (9.7) можно выразить через г и ц, используя
определения:
Тогда (9.7) примет вид
U4(Я, - Я)~+йт-й-*I{2-*д^ (ql « 1). (9.8)
Вфитический показатель tj с помощью процедуры сравне-
сравнения, описанной в гл. 8, можно представить в виде ряда по е.
Единственным дополнительным обстоятельством является на-
наличие внутренней симметрии, приводящей к увеличению числа
диаграмм, учет которых необходим. Соответствующее обоб-
обобщение (8.24) и (8.25) имеет вид
(9.9)
где п — число возможных степеней свободы, соответствующих
внутренней симметрии и обозначаемых /'). И наконец, и0
и л можно выразить через е:
Положив п = 1, мы воспроизведем результаты гл. 8.
Анализ такого же типа будет использован сейчас для оп-
определения размерностей тензорных операторов. Рассмотрим
') См. гл. 8. — Прим. ред.
137
ГЛАВА 9
диаграммы, дающие вклад в вершинные функции ?/ар(<7, —Я)
и Ua$ij(q, —q). В нулевом порядке по «о это те диаграммы,
afi
Фиг. 9.2. а — диаграммы нулевого порядка, дающие вклад в
б — диаграмма нулевого порядка, дающая вклад в
которые изображены на фиг. 9.2. Возможные диаграммы по-
порядка «о и «о изображены на фиг. 9.3 и фиг. 9.4. Однако
вклады этих диаграмм (фиг. 9.3 и фиг. 9.4, а) обращаются
Фиг. 9.3. Возможный вклад
в ?/ар порядка и0.
Эта диаграмма пропадает.
в нуль. Причина этого заключается в том, что q не появляется
при интегрировании по петле, в которой присутствуют ин-
индексы аир. Таким образом, при вычислении этих вкладов
множитель <7а<7р возникнуть не может. Следовательно, вклады
138
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
должны быть тождественно равны нулю. Вычисление вклада
диаграммы, показанной на фиг. 9,4, б, состоит из двух частей.
Первая часть — вычисление интегралов, а вторая — подсчет
числа способов, которыми эту диаграмму можно построить.
Один из путей вычисления вклада диаграммы, изображенной
а
Фиг. 9.4. Две диаграммы
порядка Uq, дающие вклад
Вклад диаграммы а тождественно
равен нулю, однако вклад диа-
диаграммы б не равен нулю.
~4.fi
на фиг. 9.4, б, состоит в проведении вначале внутреннего инте-
интегрирования по р:
d Р-
[р2О+Р2J+г] \(Р
Тогда интегрирование по k имеет вид
"о \ k*h [fe
+r\
ddk. (9.12)
Так как нашей целью является вычисление f/ap и С/арг;- с точ-
точностью до О(«о)> интегралы с размерностью d — 4 — е можно
ГЛАВА 9
заменить на обычные четырехмерные интегралы. Это спра-
справедливо потому, что (9.12) имеет порядок О (Ыд) и зависи-
зависимость интегралов от е приведет лишь к поправкам более вы-
высокого порядка. Интеграл (9.12) нетрудно оценить. Вклад
в выражение для ?/ар в пределе q—>0 равен
Чтобы проделать это вычисление до конца, необходимо
найти число различных способов, которыми можно расставить
Фиг. 9.5. Диаграммы а и б
изображают два различных
способа подстановки индек-
~1 сов в диаграмму, которая
, дает вклад в Uaa.
О р
на диаграмме индексы i и /. На фиг. 9.5, а я б показаны две
возможности для ?/ар, а на фиг. 9.6, а и б— две возможности
для Uafnj. Комбинаторный множитель, сопоставляемый диа-
диаграмме на фиг. 9.5,а, равен 4-4-2п. Множитель п возникает
от прямого суммирования по индексам внутренней петли.
В действительности любая диаграмма с индексами во вну-
внутренней петле дает член, пропорциональный п. Кроме того,
существуют 4 возможных способа, которыми можно построить
верхнюю четырехточечную вершину. Такой же множитель воз-
возникает при построении нижней вершины. Наконец, имеется
множитель 2, равный числу способов образования петли
после того, как определены обе вершины. Аналогичным об-
140
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
разом находим комбинаторный множитель, соответствующий
фиг. 9.5, б; он равен 64 п. Величина полного множителя для
этих двух фигур равна 96 п. Существуют также диаграммы
без петель (типа той, которая изображена на фиг. 9,6, б), даю-
дающие вклад в ?/ар. Если принять это во внимание, суммарный
числовой множитель будет равен 96 (п-\-2). Комбинаторная
задача для ?/арг\/ включает в себя подсчет других комбинаций.
Диаграмма на фиг. 9.6, а дает вклад, пропорциональный 32 п
(вычисления идентичны расчетам комбинаторного множителя,
соответствующего фиг. 9.5, а). Однако это единственная диа-
а
Фиг. 9.6. Диаграммы а и б
изображают два различных
способа подстановки индек-
индексов в диаграммы, дающие
вклад в и
грамма, которая дает петлевой вклад в иа^у, на фиг. 9.6, б
показана одна из непетлевых диаграмм, дающих вклад
в L'aPij- Учет всех возможностей приводит для ?/ap,j к комби-
комбинаторному множителю, равному 32 (п -\- 6).
Совместный учет величины интегралов и комбинаторных
множителей дает
ь-
96 (n + 2) «о
6 A6я2J
In г
]¦
(9.14)
Дополнительный множитель 2 в члене порядка О (ы^) со-
отнетствует тому факту, что индексы аир могли бы по-
141
ГЛАВА 9
явиться либо в верхней, либо в нижней линиях на фиг. 9,5, а
и б и т. д. Аналогично
["V] <9Л5>
Соотношение (9.14) следует сравнить с результатом, полу-
полученным на основании скейлинга1):
Так как показатель ц имеет порядок О (Wg), в знаменателе
экспоненты (9.16) им можно пренебречь. Тогда, сравнивая
(9.16) и (9.14), находим
(9.17)
Используя для ц предыдущий результат (9.10), нетрудно по-
показать, что второй и третий члены в (9.17) сокращаются,
оставляя для dT, как и утверждалось выше, выражение
dT = d. (9.18)
Чтобы определить аномальную размерность d(T{j) для T^pij.
сравним (9.15) с (9.16). Это даст
'" -. (9.19)
Если использовать (9.10), соотношение (9.19) примет вид
8)гв2. (9.20)
Выбирая п = 3 (таким образом, величины s,- образуют изо-
спиновый триплет), получаем
> = <* + W. (9-21)
Так как е по порядку величины не превышает единицы, от-
отклонение d(Tn) от d весьма мало. Конечно, поправки к d(Tij)
более высоких порядков изменят конкретное выражение для
d(Tij)—d, однако ожидается, что полуколичественный ре-
результат, который утверждает, что разность d(Ttj) — d мала,
по-прежнему будет иметь место. Причина малой аномально-
') См. соотношение G.39).—Прим. перев.
142
РАЗМЕРНОСТЬ ТЕНЗОРНЫХ ОПЕРАТОРОВ
сти кроется в том, что вклад от диаграммы порядка ий
(фиг. 9.3) тождественно равен нулю.
То, насколько этот расчет относится к делу, является, ко-
конечно, вопросом дискуссионным. Однако он представляет со-
собой реальный пример масштабно-инвариантной теории, с по-
помощью которой можно реально вычислить аномальные раз-
размерности. Возможно, что аномальные размерности, опреде-
определяющие на самом деле поведение глубоко неупругого рассея-
рассеяния [95, 117], также очень близки к каноническим. (Для озна-
ознакомления с недавними исследованиями глубоко неупругого
рассеяния электронов, использующими теорию возмущений,
см. работы [118, 119].)
Так как «о имеет порядок е, ясно, что при е—»-0 ио-*О,
это означает отсутствие взаимодействия, когда d—*4l). Сле-
Следовательно, изложенное выше вычисление непосредственно не
применимо к реальной физике элементарных частиц. Мы на-
надеемся, однако, что все обнаруженное здесь для размерности
d < 4 (скажем, d = 3) позволит нам понять, к чему приведет
некоторая более реалистическая теория при d = 4.
Аномальные размерности вычислены также для тензорных
операторов Т m-го ранга:
Га, ... ат @) = ? S, @) V«, . . . VamS/ @), (9.22)
Та, ... amil @) = St @) Ve, . . . VamS, @) (9.23)
для четных m. Они будут обозначаться соответственно Г(т) и
Т(т) у. Результаты, с точностью до е2, имеют вид
<924)
' (а25>
') См. примечание в гл. 7, стр. 104, — Прим. ред.
Глава 10
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ
И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
В гл. 9 было приведено краткое доказательство того, что
фейнмановские диаграммы, представляющие взаимодействие
ф* (преобразованные к мнимому времени, т. е. в евклидовой
метрике), совпадают с диаграммами, соответствующими ста-
статистической сумме и рассмотренными в предыдущих главах.
Более точно, вакуумное среднее произведения п полей ф про-
пропорционально п-спиновой корреляционной функции. В этой
главе те же самые соотношения будут установлены на более
фундаментальном уровне и с большей аккуратностью. Боль-
Большая аккуратность означает, например, введение специальной
(и нековариантной) процедуры обрезания в теорию взаи-
взаимодействия ф*, а также отказ от использования разложения
по фейнмановским диаграммам.
Связь между критическими явлениями и теорией поля об-
обнаружили и использовали в диаграммной форме Грибов и
Мигдал [61, 69], а также Поляков [71—73]; детальное сравне-
сравнение фейнмановского интеграла по путям со статистической
суммой провел Мур [74]. Эта связь обсуждается также в дис-
диссертации Сури [75]. В настоящей главе (как и в работе [75])
основное внимание уделяется матрице переноса.
Главным моментом обсуждения будет квантовая теория
поля на решетке. В этой теории вместо обычных полевых опе-
операторов ф(х) мы имеем «дискретные» операторы фп1). Про-
Простые гамильтонианы, используемые в теории поля на решетке,
имеют вид, соответствующий связанным гармоническим или
ангармоническим осцилляторам (см. ниже). На взаимодей-
взаимодействие будет налагаться также условие локальности: гамильто-
гамильтониан Я должен иметь вид суммы
#=?#„,, (юл)
') То есть операторы, заданные на дискретном множестве, которое об-
образует в координатном пространстве х некоторую решетку, — Прим. ие-
иерее.
144
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
где Нт зависит только от операторов ф„ для узлов я, близ-
близких к узлу т. Квантовая теория поля на континууме сводится
к теории поля на решетке с помощью подходящего метода об-
обрезания; в свою очередь теории поля на решетке с помощью
формализма «матрицы переноса» (см., например, [120]) будут
расматриваться в рамках статистической механики.
Различные процедуры обрезания должны, вероятно, иска-
искажать исходную теорию взаимодействия <j>4, даже если эта тео-
теория имеет смысл. В рамках теории возмущений от эффектов
большого, но конечного обрезания можно избавиться с по-
помощью стандартной ренормализационной техники. Теория пе-
перенормировок, не использующая теорию возмущений, будет
изложена в гл. 12. В конце настоящей главы будут сделаны
некоторые предварительные замечания, устанавливающие эк-
эквивалентность бесконечного обрезания в теории поля и беско-
бесконечной корреляционной длины в статистической механике.
Теории поля на решетке не являются инвариантными от-
относительно преобразований Лоренца (или инвариантными от-
относительно евклидовых преобразований для мнимых времен).
Лоренц-инвариантность должна восстанавливаться в конти-
континуальном пределе. Основные свойства этого предела опреде-
определяются способом перенормировки. В рамках теории возмуще-
возмущений лоренц-инвариантность действительно восстанавливается.
(Например, все диаграммы в гл. 13 и 9 евклидово-инва-
риантны.) Условия, необходимые для получения инвариант-
инвариантности относительно евклидовых преобразований в общем
случае, рассматриваются в гл. 12.
Между гамильтонианом, с которым имеют дело в статисти-
статистической механике, и гамильтонианом, используемым в теории
поля (определенном в этой главе), не существует тривиальной
связи. Если гамильтониан в статистической механике опреде-
определен в пространстве размерностью d, то отвечающий ему га-
гамильтониан в теории поля действует в пространстве размер-
размерностью d—1. Гамильтонианы взаимодействия в статистиче-
статистической механике обозначаются далее через Ж, а гамильтонианы
в теории поля — через Н. Гамильтониан взаимодействия
в статистической механике Ж более тесно связан с лагран-
лагранжианом в теории поля (см. ниже и [74]).
Формализм матрицы переноса рассмотрен во многих ра-
работах, например в работе [120], однако здесь мы кратко изло-
изложим идеи этого метода. (В работе [120] он был использован
в качестве базиса для подробного вывода решения Онсагера
145
ГЛАВА 10
для двухмерной модели Изинга.) Рассмотрим для случая
дискретной решетки модель, соответствующую статистической
механике. По определению статистическая сумма для этой
модели имеет вид
A0.2)
где все обозначения заимствованы из гл. 3 и 4; сумма по t
представляет собой сумму по d осям; I — единичный вектор
вдоль оси i. Статистическая сумма A0.2) включает в себя ин-
интегрирования по спинам в каждом узле решетки. В показате-
показателях экспонент имеются члены, связанные с каждым индиви-
индивидуальным узлом решетки, а также члены, отвечающие взаи-
взаимодействию с ближайшими соседними узлами. С помощью
некоторого построения мы сейчас покажем, что Z можно за-
записать в виде
Z = $>VVN, A0.3)
где N — число узлов в решетке (в настоящем изложении
предполагается, что оно конечно), а V—матрица переноса,
которая будет определена ниже. Для начала необходимо опи-
описать порядок интегрирований в A0.2). На плоской решетке
спиновые переменные интегрируются по рядам (фиг. 10.1).
(Для решетки размерностью d в качестве ряда выступает
подрешетка размерностью d—1.) Схематически Z записы-
записывается следующим образом:
J $ 5 .... A0.4)
ряд 1 ряд 0 ряд -1
где ряды занумерованы в соответствии с фиг. 10.1. Так как
взаимодействие в A0.2) включает в себя только взаимодей-
взаимодействие с ближайшими соседями, статистическую сумму можно
более точно записать в виде
= ... ^ ехр{3»[рад 2, ряд 1]}Х
ряд 1
ехр {Ж [ряд 1, ряд 01} \ ... . A0.5)
ряд 0
146
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
В величине гамильтониана взаимодействия Ж в выражении
A0.5) имеется некоторая степень неопределенности, по-
поскольку члены из A0.2), включающие в себя, скажем, только
ряд 1, могли бы появляться либо в Ж [ряд 2, ряд 1], либо
в Ж [ряд 1, ряд 0]. По условию такие члены будут равнорас-
пределены между Ж [ряд 2, ряд 1] и Ж[рял 1, ряд 0]. Ясно,
sm 8т+Т
Ряд+1 • • © •
Ряд 0 • • « •
8тп 3т+1
РяО-1 • • • •
Фиг. 10.1. Двухмерная решетка спинов.
Спииы внутри каждого ряда нумеруются с помощью дополнительного индекса.
что все гамильтонианы взаимодействия Ж в A0.5) имеют оди-
одинаковый вид и отличаются только трансляцией на один ряд.
Удобно обозначить узлы решетки внутри ряда (подрешетки)
с помощью d—1-мерного вектора т. (Для двухмерной ре-
решетки т является скаляром.) Из A0.2) следует, что если
sm(s'm)~~ спины> принадлежащие ряду 0 (ряду 1) (см.
фиг. 10.1), то
+ —
m, i m
где третий член включает взаимодействия между узлами ре-
решетки, принадлежащими рядам 0 и 1. Четвертый же член
147
ГЛАВА 10
в выражении A0.6) определяет взаимодействие между рядом
0 и рядом 1.
Пусть s обозначает множество спинов {sm}, принадлежа-
принадлежащих некоторому определенному ряду. Тогда Ж является функ-
функцией s и s''. Запишем V(s\ s) в виде
V(s', s) = exp{3S(s', s)}. A0.7)
Функция V(s', s) определяет элементы некоторой матрицы;
произведение таких матриц включает в себя интегрирование
по всем спиновым переменным sm из s. Теперь можно присту-
приступить к развитию формализма операторных волновых функций.
Волновыми функциями будут служить функции i])(s); опера-
оператор V, действуя на ф, дает волновую функцию ^'(s'):
i|/ (s') =\v (s', s) 1|з (s), A0.8)
s
где \ означает
тт с
dSm.
т -
На решетку конечных размеров удобно наложить периоди-
периодические граничные условия, которые означают, что в дополне-
дополнение к взаимодействию между рядами п и п~\- 1 (п изменяется,
скажем, в пределах 1 ^ п ^ N— 1) включается взаимодей-
взаимодействие между рядом N и рядом 1. В этом случае, как и было
обещано, статистическая сумма-имеет вид Sp(Fiv).
Пространство функций ij)(s) определяет некоторое гильбер-
гильбертово пространство (в том случае, если каждый ряд имеет ко-
конечную длину; в противном случае мы имеем дело с несепа-
рабельным гильбертовым пространством, появление которого
вызывает некоторое неудовольствие со стороны тех, кто рас-
расположен рассуждать строгоI). Оператор V является эрмито-
эрмитовым, поскольку гамильтониан взаимодействия 3@(s', s) дей-
действителен и симметричен. Таким образом, V можно выбрать
в качестве гамильтониана некоторой квантовомеханической
системы. Однако приемлемый для этой цели гамильтониан
должен удовлетворять определенному дополнительному тре-
требованию локальности. Оператор V является экспонентой от
') См., например, статью Ф. А. Березина [147]. — Прим. перев,
148
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
сумм по узлам решетки. Чтобы получить величину, которая
является аддитивной по достаточно отдаленным узлам ре-
решетки, гамильтониан теории поля будет выбран равным
# = --LlnF, A0.9)
где т — произвольная постоянная нормировки. Когда вели-
величина К в A0.6) равна нулю, нетрудно показать, что 1п V дей-
действительно является суммой по узлам решетки (в этом слу-
случае V равно прямому 'произведению независимых операторов:
по одному для каждого узла). Сделанное выше утверждение
можно также проверить с помощью теории возмущений по К
(см. [75]). Доказательство локальности 1п V каким-либо дру-
другим способом является нетривиальной задачей, которая
в дальнейшем обсуждаться не будет.
Чтобы разъяснить перспективность определения A0.9) для
Я, будет сделано длинное отступление по поводу определения
гамильтониана и природы оператора ехр(—Нх) в квантовой
механике и квантовой теории поля.
В обычной формулировке квантовой механики имеются два
типа ограничений, налагаемых на гамильтониан. Во-первых,
это общие ограничения на гамильтониан Я: он должен быть
эрмитовым, в особых случаях он должен удовлетворять спе-
специфическим свойствам симметрии и т. д. В теории поля га-
гамильтониан Я должен быть также по крайней мере макро-
макроскопически локальным. Ограничение второго типа сводится
обычно к некоторому требованию простоты. Например, куло-
новский гамильтониан можно записать в явном виде с по-
помощью только двух параметров: заряда электрона и массы.
В противоположность этому множество собственных значений,
например атома гелия, который является чрезвычайно слож-
сложным объектом, не позволяет представить гамильтониан
в замкнутом" виде. Гамильтониан был бы гораздо менее полез-
полезным понятием, если бы не существовало простого способа оп-
определения его ').
Даже в случае таких систем, как ядра, где точный гамиль-
гамильтониан неизвестен, имеется тенденция к введению простых мо->
дельных гамильтонианов (например, для моделей с потенциа-
') Формально записать гамильтониан через его собственные функции
и собственные значения нетрудно, однако это абсолютно бесполезно, так
как ни первые, ни последние не известны в явном виде. Их определение и
составляет суть проблемы. — Прим.. перев,
149
ГЛАВА 10
лами типа прямоугольной ямы или типа гармонического ос-
осциллятора), которые воспроизводили бы качественные осо-
особенности физических явлений.
В настоящем случае мы игнорируем требование простоты.
Оператор V определен достаточно просто, а 1п V является бо-
более сложным оператором. Например, матричные элементы
(s'|ln V|s> нельзя записать в замкнутом виде. В теориях
поля, которые обычно рассматриваются (например, в кванто-
квантовой электродинамике или в теории скалярного поля со взаи-
взаимодействием </>4), вводятся простые гамильтонианы. По край-
крайней мере это так, если можно верить канонической теории
поля. Существуют три аргумента в пользу того, чтобы заинте-
заинтересоваться теориями с менее простыми гамильтонианами, та-
такими, например, как тот, который определен здесь выше.
Во-первых, определенный интерес представляет изучение
гамильтонианов любого вида, которые удовлетворяли бы об-
общим принципам, например локальности. Тогда, рассматривая
1п V в качестве гамильтониана, мы получаем преимущество —
вся техника статистической механики оказывается пригодной
для решения этой задачи. Из результатов гл. 14 станет оче-
очевидно, что методы статистической механики для случая (ска-
(скалярных) теорий с сильным взаимодействием являются более
мощными, чем любые методы теории поля.
Во-вторых, следует иметь в виду принцип универсальности,
который будет обсуждаться в гл. 12. То, что мы выясним
в гл. 12, сводится к следующему: ожидается, что большие
классы взаимодействий приводят к одной и той же перенор-
перенормированной теории поля, следовательно, точный вид исход-
исходного взаимодействия (простого или сложного) не очень су-
существен.
В-третьих, существуют способы обрезания, которые в ре-
результате определяют вид формулы A0.9) для Я; эти способы
обрезания будут изложены ниже в настоящей главе.
Рассмотрим теперь обычную квантовую механику и в ее
рамках оператор ехр(—Нх). Если определить вектор состоя-
состояния i|)(t) соотношением
Ц>(т)> = ехр(-Ят)Ц>>, A0.10)
где ф от т не зависит, то -ф (т) будет удовлетворять следую-
следующему дифференциальному уравнению:
150
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Это как раз и есть уравнение Шредингера для мнимого вре-
времени. Предположим, что состояние |t|)(t)) имеет волновую
функцию ty(x, т). Тогда решение уравнения A0.11) можно за-
записать в следующей форме:
4>(ж, т)= J G(x, г, *', 0Ж*', 0)dx', A0.12)
где G — функция Грина; в общем виде имеем
G(x, т; х', 0) = <*|ехр(—
Функция Грина, как установили Дирак и Фейнман (см. [121]
или [104]), имеет простой вид для малых т. Формально можно
записать
, т; *', 0) = ехр| $1[ж, x]dx>,
G(x, т; *', 0) = ехр| $1[ж, x]dx>, A0.14)
где L — лагранжиан нерелятивистской системы, в которой
время t заменено на —/т. Для простого, не зависящего от вре-
времени потенциала V лагранжиан в случае мнимого времени
имеет вид
Z=-~\mx2-V{x), A0.15)
где х есть dx/dx. Величину х для малых т приближенно можно
представить следующим образом:
*=*(TO*@). A0.16)
Тогда функция A0.14) для малых т превращается в функцию
. A0.17)
Это соотношение позволяет практически применять определе-
определение A0.14). Доказательство того, что A0.17) определяет
функцию Грина для малых т, дано во многих работах, и
в частности в работах [104, 121].
151
ГЛАВА 10
Соотношение A0.17) показывает, что ехр(—Нх) для ма-
малых времен т является довольно простым оператором. Если т
не мало, тогда ехр(—Нх) можно записать в виде
ехр(- ^f), A0.18)
<-1 раз->
где / настолько велико, что величина т/1 мала. Операторы
ехр(—Нх/1) являются простыми, а оператор ехр(—Нх) полу-
получается из них итерациями. Если вычислять многократное про-
произведение с помощью перемножения матриц, то можно найти
(*|ехр(-Ят)|*'>=$ ..-. $<*|ехр(—^)|*,>Х
xi xi
X<«ilexp(—-^L)|*2> ...X
A0.19)
Этот многократный интеграл можно записать более явно, ис-
используя соотношение A0.17). В пределе /—> <х> он переходит
в фейнмановский интеграл по траекториям [104, 121].
В квантовой теории поля также имеется формализм ин-
интегрирования по траекториям, причем, для того чтобы сделать
этот формализм хорошо определенным, необходимо ввести
некоторое обрезание. Это обрезание можно ввести таким об-
образом, чтобы у гамильтониана сохранился простой вид, точно
так же как и у оператора ехр(—Нх) для бесконечно малых т.
Обрезание можно ввести и так, чтобы только оператор
ехр(—Нх) для заданной конечной величины т имел про-
простую форму. К объяснению этого мы вернемся ниже. Ни тот,
ни другой из методов обрезания не является лоренц-инва-
риантным; конечно, существуют также и лоренц-инвариантные
методы обрезания. (Евклидово-инвариантное обрезание было
использовано в гл. 8 и 9.)
Рассмотрим лагранжиан скалярной теории поля A — раз-
размерность времени в пространстве размерностью d— 1):
L = \ d*~*x { \ (-g-J - \ (W2 ~ у № - V
где Ф(х) — скалярное поле. Проведем обрезание первым ме-
методом; для этого заменим непрерывное пространство решет-
152
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
кой с малой, но ненулевой постоянной а. Для градиента вос-
воспользуемся приближением конечной разности, а интеграл за-
заменим суммой. Пусть фт— величина ф(х) в узле решетки
с координатами т (т. е. х = та). Тогда
Выражение A0.21) является лагранжианом для множества
связанных ангармонических осцилляторов, причем каждое фт
соответствует смещению осциллятора. Параметр массы каж-
каждого осциллятора равен ad~x. Если Рт— оператор импульса
для осциллятора т, тогда гамильтониан системы имеет вид
(Ю.22)
Оператор ехр(—Нх) для достаточно малых т [по аналогии
с нерелятивистской формулой A0.17)] можно записать сле-
следующим образом:
<f |ехр(- Нх)\ *>«ехр ? { -±а*-1 (ф'т -fmf -
+ Ф2) - т ^-Ч («. + «0} • (Ю-23)
-1 т^-1
Насколько мало должно быть т, чтобы эта формула была
справедлива? Для получения грубой оценки, рассмотрим га-
гамильтониан A0.22), но пренебрежем ф4т и членами фтфт+?,
которые отвечают взаимодействию различных узлов решетки.
Тогда гамильтониан станет равным
]} (Ю.24)
153
ГЛАВА 10
т. е. будет представлять сумму независимых гармонических
осцилляторов, энергетические уровни которых разделены про-
промежутками величиной
© = ,0ig + 2(d —1)д-2. A0.25)
Так как со — единственный энергетический параметр в га-
гамильтониане Н, ожидают, что A0.23) будет хорошим прибли-
приближением, когда сот <С 1, т. е. для достаточно малой постоянной
решетки а в точности будем иметь т <?. а.
Выражение A0.23) гораздо проще формул A0.6) и A0.7)
для (s'| V\s). Чтобы провести подробное сравнение, допустим,
что smc точностью до скалярного множителя совпадает с фт;
«.-».- (Ю-26)
Тогда соотношение A0.23) принимает вид
где
? У
a1 ( 2 2(d—l)x ЦцТ 1
' =~W I to""' a5 *~ a J '
n,d-3,
i ' (Ю.28)
Требование, чтобы т было гораздо меньше а, означает, что
/ti<tf2. A0.29)
Тем не менее оператор ехр(—Нх)= V можно по-прежнему
рассматривать как матрицу переноса некоторой статистиче-
статистической системы, причем соответствующее взаимодействие будет
пространственно-анизотропным: вдоль одной оси постоянная
взаимодействия равна ^2, вдоль всех остальных Ki.
154
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Таким образом, если мы готовы допустить в статистиче-
статистической механике анизотропные взаимодействия, то в результате
можно получить и простой полевой гамильтониан с обреза-
обрезанием, и соотношение
xH = -\nV,
связывающее Я с матрицей переноса.
На практике в статистической механике проще иметь дело
с изотропными взаимодействиями, которые получаются, если
положить т = а, так что К\ = Кг- Теперь выражения A0.22)
и A0.23) несовместимы1). Если же мы готовы отказаться от
простого явного вида A0.22) для Я, то для определения Я
можно использовать выражение A0.23); это означает, что, как
и предполагалось выше,
причем К = Ki = К.2-
Итак, можно взять формальное выражение, используемое
в теории поля [аналогичное A0.14)]:
<f |ехр(- [(
о
и провести в нем обрезание, вводя пространственную решетку
с постоянной а. Тогда мы имеем параметр пространственного
обрезания, равный а, и временное обрезание т. Если т = а,
получается изотропная матрица переноса и непростой вид опе-
оператора Я. Если т <С а, матрица переноса анизотропна, а опе-
оператор Я имеет простой вид. Уравнения A0.28) дают связь
между полевыми параметрами ц0, Яо, обрезанием а, ренорма-
лизационным параметром ? и параметрами в статистической
механике Ь, щ, К\ и Кг- Мы будем рассматривать только слу-
случай т = a (Ki = K2 = K).
Следующая проблема — установление связи между спин-
спиновыми корреляционными функциями и величинами ваку-
вакуумных средних в квантовой теории поля с обрезанием. Под-
Подробно будет рассмотрен только пропагатор, однако получен-
') Формула A0.23) Еолучена в предположении, что т <S а.—Прим.
перев.
155
ГЛАВА Ю
ные результаты будут справедливы для любых вакуумных
средних произведения п полей. Будет предполагаться, что со-
соотношения
H=-x-l\uV и &m = sm
имеют место. Стандартное определение пропагатора в. коор-
координатном пространстве имеет вид
D (х, t) = (Q\ Тф (х, t) ф @, 0) | Q>, A0.31)
где |Q)—вектор основного состояния (состояния вакуума),
а Т — оператор хронологического упорядочения. Оператор
Ф(х, t) является полевым оператором в гейзенберговском
представлении
ф (х, t) = exp (iHt) ф (х) ехр (- iHt). A0.32)
Заменим теперь непрерывную переменную х решеточной пе-
переменной т. В результате получим решеточный пропагатор
Dm(t), определяемый выражением
DmW = <Q|r^,W^e@)|Q>. A0.33)
Используя решеточный аналог формулы A0.32) для t > 0,
находим
Dm (t) = (Q\fm exp(- iHt) фо\ Q)ex?(iEQt), A0.34)
где Ео — энергия основного состояния оператора Я.
Нам нужна формула для спин-спиновой корреляционной
функции, которая выражала бы ее через матрицу переноса V
(см., например, [120]). В статистической механике точка на ре-
решетке выделяется с помощью индекса ряда п и решеточной
переменной т внутри ряда. Произвольный спин на решетке
обозначается sn,m. Спин-спиновую корреляционную функцию
можно тогда записать следующим образом:
J J | A0.35)
ряд п ряд 0 )
(Эта формула для п > 0; для п < 0 интегрирования по ря-
рядам п и 0 будут проводиться в обратном порядке.) Предполо-
Предположим, что имеется всего 2N + 1 рядов, занумерованных от —N
до N, с периодическими граничными условиями (и N^n).
156
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Тогда нетрудно увидеть, что для п ^ О
здесь один из множителей V связывает ряд N с рядом —N,
a sm— теперь шредингеровский оператор, действующий в гиль-
гильбертовом пространстве функций ip(s), определенных ранее.
Шпур в A0.36) можно переписать в следующем виде:
Sp(F2JV+1) "
Предположим, что эрмитов оператор V имеет единственное
наибольшее собственное значение. (В рамках статистической
механики, как показывают факты, это справедливо для
Т > Тс, т. е. для К< Кс, и несправедливо для К > Ке; см.,
например, работу [120].) Наибольшее собственное значение V
равно ехр(—Ейх), где Ей — наименьшее собственное значение
энергии оператора Я = — In У/т. Соответствующий собствен-
собственный вектор оператора V является основным состоянием |й>
для Я. Для больших N оператор VN можно представить
в виде
A0.38)
причем ошибка экспоненциально по N стремится к нулю при
N —*¦ оо. Используя этот результат, получаем (для «бесконечно
большого» N)
Г„, m = <Q I sm exp (— пНх) s01 Q> exp (nEox). A0.39)
Теперь можно связать Dm{t) и Yn,m- Результат (для п ^ 0)
выглядит следующим образом:
Tn,m = ?Dm{-inx). A0.40)
Функцию Dm(t), определенную на полуоси t > 0, можно
аналитически продолжить на нижнюю половину плоскости t.
Это возможно по той причине, что Я — Ео является положи-
положительным оператором (по определению Ео), и, следовательно,
величина ехр {—/(Я—E0)t} будет ограничена для Im t < 0.
Такое аналитическое продолжение определяет Dm(—И). Если
же известна функция Dm(—it), то аналитическое продолжение
определяет Dm (t).
157
ГЛАВА 10
Итак, спин-спиновая корреляционная функция, используе-
используемая в статистической механике, эквивалентна пропагатору
квантовой теории поля на решетке при дискретных значе-
значениях пх (мнимой) временной переменной.
Заметим, что в то время как исходная система в статисти-
статистической механике определена на решетке для мнимой времен-
временной переменной, система в квантовой теории, полученной из
статистической механики, определена для непрерывной дей-
действительной временной переменной. Однако оценить Dm(t)
для любых действительных или мнимых величин t между точ-
точками решетки, т. е. в интервале т, довольно трудно. На прак-
практике, чтобы найти значения t между точками решетки, не-
необходимо диагонализовать оператор V и использовать соот-
соотношения, подобные A0.44). В настоящее время не существует
реальных методов диагонализации оператора V вблизи кри-
критической точки (за исключением точно решаемой двухмерной
модели Изинга [120]). В работе [75] проведено исследование
некоторых собственных состояний и собственных значений
оператора V, представленного в виде разложения по К.
Замена пространственной решетки, узлы которой характе-
характеризуются вектором т, непрерывным континуумом является
более трудной задачей. При выводе квантовой механики на
основе теории поля на решетке была введена постоянная ре-
решетки а, поэтому можно было ожидать, что теория поля в не-
непрерывном пространстве восстанавливается, если положить
а~+0. Рассмотрим, однако, физическую (ренормированную)
массу hhi фигурирующую в теории поля. Если не проводить
перенормировку массы (т.е. если цо считать фиксированной
величиной при а—>-0), то масса |лд будет пропорциональна
обрезающему импульсу аг1, а не постоянной. Этот вывод сле-
следует из теории перенормировок, основанной на теории возму-
возмущений, для размерности d = 4 (для 3 < d < 4 величина цй
при а -> 0 расходится, однако не так быстро). Точно такой же
вывод получается из рассмотрения статистической механики
в пределе малых а независимо от теории возмущений. Как бу-
будет показано ниже, физическая масса равна (|а)~', где
% — корреляционная длина соответствующей статистической
системы, выраженная в единицах постоянной решетки. Для
размерности d = 4 корреляционная длина | при а —> 0, ве-
вероятно, остается конечной (см. ниже) и, следовательно,, вели-
величина цд ведет себя как сг1.
158
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
Для доказательства того, что
»*«=-р-. (Ю-41)
сравним поведение спин-спиновой корреляционной функции
на больших расстояниях и поведение пропагатора. Рассмо-
Рассмотрим спин-спиновую корреляционную функцию Тп,т в пределе
больших п и т = О, тогда для п >> \ без учета предэкспонен-
циальных степеней п получим
Г„,о~ехр(-|). A0.42)
Рассмотрим теперь пропагатор Dm{— inx) для больших п
и т = 0; он равен
Do(— inx) = (п\фйexp (— Hnx) фй| Q)exp(Equx). A0.43)
Представляя это выражение в виде суммы по всем собствен-
собственным состояниям |v) оператора Я, получаем
?>0 (- inx) = Z exp {- (?v - Ео) пх} \{Q \<f>0\v) |2. A0.44)
При больших п доминировать будут члены, соответствующие
наименьшей энергии. Из-за инвариантности относительно за-
замены ф—* — ф состояние с наименьшей энергией, которое дает
главный вклад в A0.44), не является основным, а соответ-
соответствует первому возбужденному состоянию. Согласно общепри-
общепринятому мнению, первое возбужденное состояние совпадает
с одночастичным состоянием, когда частица покоится. (Это
утверждение можно продемонстрировать с помощью теории
возмущений по К [75], однако оно не доказано в общем виде.)
Разность энергий Ev — Ео для этого состояния равна массе
частицы (Хд. Следовательно, для п -> оо
?H(— inx) ~ exp(— \iRnx). A0.45)
(Сумма по v превращается в интеграл по импульсу одноча-
стичного состояния и определяет степень п в предэкспонен-
циальном множителе; см. [122].) Сравнивая соотношения
A0.40), A0.42) и A0.45), находим
1
Поскольку мы выбрали т = а, то получили уравнение A0.41).
Чтобы увидеть, что корреляционная длина | при а—*0, по
всей видимости, конечна, рассмотрим в пределе а = тг->0
159
ГЛАВА 10
в рамках статистической механики модель с параметрами, оп-
определяемыми соотношениями A0.28). Если масштабный мно-
множитель ? фиксирован, тогда все параметры Ь, и0 и /C=/(i = /iB
при а —> 0 стремятся к нулю, что не очень желательно. Для ко-
конечных а величину ? можно выбрать по своему усмотрению,
не изменяя | (см. ниже); при специальном выборе
? = a(d-2)/2 A0.46)
параметры Ъ и К при а->0 имеют ненулевые пределы:
b->2d,
/С->1. A0-47)
Для любых а получаем
Ыа = А0а4-<*, A0.48)
следовательно, uQ = Ко при d = 4 (ио-+О при d < 4, если
а —> 0). Причины независимости корреляционной длины % от
параметра ? связаны с тем, что переход от фт к sm представ-
представляет собой просто замену переменных; если производится за-
замена ? на ?', это совсем не изменяет средних по вакууму от
фт, а спин-спиновая корреляционная функция Гп, т изменяется
только на масштабный множитель (?/?J. Это не меняет ве-
величину %.
Для d = 4 и а—>0 параметры в статистической модели
суть: 6 = 8, К = 1, «о = ^о. Чтобы корреляционная длина |
была бесконечна, параметр К должен равняться своей крити-
критической величине. Если Хо=О, критическая величина К равна 1
(см. гл. 3) и корреляционная длина | бесконечна. Для Хо Ф 0
величина Кс в общем случае не равна 1 и корреляционная
длина | конечна. Например, для больших Хо случай К = 1
можно легко рассмотреть с помощью разложения по К и, как
оказывается, мы тогда нигде не приблизимся к критической
точке (это аналогично разложению, предложенному Шиффом
[123]).
Для d < 4 и а = 0 параметр ы0 равен нулю, следова-
следовательно, К = 1, т.е. своей критической величине для любого
значения Ко. Однако аккуратное исследование того, как ведет
себя корреляционная длина | при а —> 0, показывает, что,
когда d изменяется в области 3 ^ d < 4, величина (?а)~'
при а -> 0 по-прежнему расходится.
На этом отступление заканчивается.
Основная цель этой главы состоит в построении некоторой
теории поля на основе статистической механики. В этом слу*
160
СВЯЗЬ МЕЖДУ СТАТИСТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКОЙ И ТЕОРИЕЙ ПОЛЯ
чае у нас нет априорных правил, которые бы указывали, как
параметры Ь, ы0 и К должны зависеть от постоянной ре-
решетки а. В статистической механике не возникает таких по-
постоянных, потому что все длины естественным образом выра-
выражаются в единицах постоянной решетки. В теорию поля по-
постоянную решетки а приходится вводить как некоторый
нетривиальный параметр, потому что для физика-теоретика,
занимающегося полем, естественной единицей длины является
величина, обратная массе цд. Даже если не полагать \x,R = 1,
необходимо, чтобы величина \iR при а—>• 0 имела конечный
предел.
Так как мы хотим построить теорию поля, то логично рас-
рассмотреть статистическую механику в таких единицах, при ко-
которых цд = 1. Эти единицы можно использовать для любого
выбора статистических параметров Ь, щ и К вне критической
точки. Постоянную решетки в этих единицах запишем в виде
a =
1(Ь,и0, К) '
Имеется некоторая характерная система единиц, связанная
с параметрами Ь, и0 и К, при работе, в которой величина \iR
остается фиксированной независимо от того, как изменяются
эти параметры. В частности, удерживая величину \iR фикси-
фиксированной, можно получить предел а —> 0, если положить
К-+Кс(Ь, щ), где КС(Ь, «о) —критическая величина К.
Таким образом, определить конечную массу |лй в пределе
а —> 0 довольно просто. Менее тривиально получить при а —* О
определенные пределы для полевых вакуумных средних. Труд-
Трудность состоит в том, что необходимо знать, как ведут себя
при К-+Кс многоспиновые корреляционные функции. В част-
частности, мы интересуемся вакуумными средними для расстоя-
расстояний, которые фиксированы в единицах |х~'. Фиксированное
в этих единицах расстояние является расстоянием, которое
в единицах постоянной решетки пропорционально |. Таким
образом, если поведение корреляционных функций, медленно
спадающих на бесконечности, при К-+ Кс очень усложняется,
вакуумные средние при К-* Кс не будут иметь определенного
предела. В гл. 12 будет показано, что непрерывный предел
для всех вакуумных средних действительно существует, если
критическое поведение определяется неподвижной точкой ре-
нормализациониой группы.
6 Зак. 409 161
ГЛАВА 10
Мы закончим эту главу двумя краткими замечаниями.
а. Для d < 4 определенная обычным образом теория взаи-
взаимодействия Хоф4 является легко перенормируемой в рамках
теории возмущений, причем для этого требуется только не-
небольшая перенормировка массы. Это связано с тем фактом,
что, как указывалось выше, и0 —>О, если а—>(). Однако оттал-
отталкиваясь от статистической механики и удерживая фиксиро-
фиксированным при а-*0 параметр и0 (вместо к0), можно построить
для d < 4 более общую теорию поля. Существование предела
в этом случае установлено (в предположении, что существует
неподвижная точка) в гл. 12. Именно эта теория содержит
тензорные операторы с аномальными размерностями, которые
были вычислены в гл. 9.
б. Обычно считается само собой разумеющимся, что в кван-
квантовой теории гильбертово пространство имеет положитель^
ную метрику (хотя со стороны Геизенберга и других имел ме-
место некоторый флирт с квантовыми теориями поля с индефи-
индефинитной метрикой). Использование формализма матрицы пе-
переноса приводит к тому, что статистическая механика опре-
определяет квантовую теорию поля с положительной метрикой на
решетке. Это нетривиальный результат, так как в статисти-
статистической механике можно построить такие модели, для которых
нельзя найти эквивалентные квантовые теории поля с по-
положительной метрикой. Простым примером является гауссова
модель со взаимодействием
Я?о =$[/•„ +«fl2 а,оч,. A0.49)
я
Пропагатор в этой теории равен
1
(го + я2J
и имеет двойной полюс в точке q2 = —г0. Двойной полюс не
может иметь место для квантовой теории с положительной
метрикой. Следовательно, эту теорию нельзя представить как
теорию поля на решетке, имеющую матрицу переноса. Основ-
Основное ограничение подхода, основанного на матрице переноса,
заключается в том, что взаимодействия между рядами рас-
рассматриваются только для ближайших соседей, так что вы-
выполняется соотношение A0.7). Следовательно, решеточные
приближения длл A0.49) с необходимостью включают в себя
взаимодействия соседей, по крайней мере следующих за бли-
ближайшими,
Глава 11
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Цель этой главы — дать точную формулировку ренорма-
лизационной группы в дифференциальной форме. Полученные
уравнения оказываются очень сложными, поэтому мы не бу-
будем рассматривать их слишком подробно. Внимание будет
уделено идеям, лежащим в основе этого подхода. (Выведен-
(Выведенные здесь уравнения содержались в неофициальном сообще-
сообщении К. Вильсона на конференции в Ирвине A970); ранее они
не были опубликованы.)
Формальное обсуждение следствий, к которым приводит
ренормализационная группа, лучше всего проводить, если
представить ее в дифференциальной форме. Дифференциаль-
Дифференциальная форма полезна также и при исследовании свойств е-раз-
ложения во всех порядках (в частности, для решения вопроса
типа «существует ли оно»; на этот вопрос до сих пор еще нет
ответа). Большие возможности, связанные с этой формой, воз-
возникают и потому, что мы теперь можем получить приближен-
приближенные формы преобразования, позволяющие провести численное
интегрирование, а это в свою очередь приводит к решению
проблем, которые нельзя решить каким-либо другим спосо-
способом.
В предыдущих главах для получения дискретного преоб-
преобразования, соответствующего ренормализационной группе,
было проведено интегрирование спиновых компонент ач
с \я\> 7г- Затем был изменен масштаб оставшихся компо-
компонент ач (|q| < V2) в результате замены их на ХРгч, где ? —
постоянная масштабного преобразования.
Очевидный путь построения инфинитезимального преобра-
преобразования— проведение интегрирования только по тем ач, для
которых импульсы q изменяются в области
6* 163
ГЛАВА 11
где Ы мало. Это, однако, вызывает затруднения. Дело в том,
что величина порядка 6^ обычно возникает тогда, когда фейн-
мановская диаграмма из этой области имеет не более одного
внутреннего импульса; однако при определенном (частном)
выборе внешнего импульса (например, при р = О, см.
фиг. 11.1) два внутренних импульса будут равны соответ-
соответственно q и —q, в таком случае они оба могут одновременно
попасть в область 1 —bt <.\q\<. 1. Этот факт и порождает
проблему. Дальнейшее обсуждение этой проблемы см. в ра-
работе [5] из списка дополнительной литературы.
P'Pf P~q
Фиг. 11.1. Диаграмма Фейнмана, которая приводит к трудностям при
инфинитезимальной формулировке дискретного преобразования, соответ-
соответствующего ренормализационной группе.
Иначе говоря, желательно избежать возникновения в им-
импульсном пространстве резких границ между проинтегриро-
проинтегрированными и непроинтегрированными спиновыми компонен-
компонентами оч. Опасность связана с тем, что резкие границы в им-
импульсном пространстве приводят к нелокальным взаимодей-
взаимодействиям в координатном пространстве, а они крайне нежела-
нежелательны (см. гл. 1).
Чтобы избежать резких границ, используем некоторый спе-
специальный прием. Между проинтегрированными и непроинте-
непроинтегрированными переменными введем некоторую гладкую ин-
интерполирующую процедуру и назовем ее «неполное интегри-
интегрирование». Это позволит заменить резкую границу в ^-про-
^-пространстве на конечный интервал по q, на котором компоненты
о9 являются «не полностью» интегрируемыми (фиг. 11.2). Су-
Существует много способов реализации идеи неполного интегри-
интегрирования. Конкретная реализация, представленная ниже, как
оказалось, имеет много полезных особенностей, однако навер-
наверняка не является уникальной. Мы объясним идею реализации
процедуры неполного интегрирования на примере обычного,
а не функционального интеграла.
164
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Напомним некоторые факты относительно дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Рассмотрим, в частности, дифференциальное
Ншнтегрируемые
Интегрируемые
а
Фиг. 11.2. а —резкая
граница между импуль-
импульсами, соответствующими
интегрируемым и неинте-
грируемым спиновым
компонентам; б — пере-
переходная область между
импульсами, соответ-
соответствующими почти пол-
полиостью интегрируемым
и незначительно интегри-
интегрируемым спиновым ком-
компонентам.
Незначительно
интегрируемые
Почти полностью
интегрируемые
уравнение вида
dt
дх\дх
A1.1)
Решение уравнения A1.1) можно записать с помощью функ-
функции Грина, т. е.
, *;*, О)Фо(*)
165
1.2)
ГЛАВА И
Поскольку уравнение A1.1) квадратично по х и д/дх,
функция Грина известна точно; она имеет вид
G (*', t; х, 0) = . * ехр Г - (*' ~ хв~? 1. A1.3)
•д/2яA-ехр(-2/)) V L 2A- e~2t) J
Выражение A1.2) обеспечивает чрезвычайно простую реали-
реализацию понятия неполного интегрирования. Когда t-*0, функ-
функция Грина переходит в дельта-функцию 6(х — х'), а функция
ty(#', t) переходит в первоначальную произвольную функцию
')
)- (И.4)
Когда t становится очень большим, функция ty(x', t) перехо-
переходит в известную функцию Гаусса ехр(—'/г*'2) с коэффициен-
коэффициентом пропорциональности, равным интегралу
т. е. имеем
+ ОО
фо (*)<**• A1.5)
Таким образом, функция ty(x\ t), рассматриваемая как функ-
функция t, является интерполяционной функцией между полностью
непроинтегрированной функцией tyo(x') и ее полностью про-
проинтегрированной формой. Следовательно, параметр t опреде-
определяет степень проинтегрированности по переменной х.
Рассмотрим теперь функциональный интеграл. Так как
в этом случае каждая компонента поля ач, связанная с им-
импульсом, должна быть проинтегрирована, для измерения сте-
степени ее проинтегрированности необходимо ввести функцию
а, (/). Ниже будет приведен частный случай выбора aq(t).
В общем случае мы хотим, чтобы функция aq(t) имела вид,
показанный ца фиг. 11.3. Пусть aj означает спиновую пере-
переменную в гамильтониане Mt до изменения масштаба им-
импульса. Спиновая переменная после изменения масштаба бу-
166
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
дет обозначаться через a'q. Функциональные аналоги уравне-
уравнения A1.1) и выражения A1.2) имеют вид
а^ ехр {Xt [а"]}, A1.6)
-А- еХр {Mt [а"]} = -±г
(И.7)
Постоянная с не играет существенной роли, так как вычис-
вычисляются только отношения средних, включающих в себя
*f(*)
t=3-
_ t=2
t=J
Фиг. 11.3. Некоторый случай выбора функции aq(t), которая (как функ-
функция t) является мерой того, насколько полно проинтегрирована каждая из
компонент ffq.
Функции <s"_q и а появляются в правой части
A1.7) потому, что гамильтониан Mt[a\ сохраняет импульс.
Непосредственно из A1.6) следует функционально-дифферен-
функционально-дифференциальное уравнение для Mt[o"\.
+ а"—77 + const i, A1.8)
q ч ч i-q ™q™-q eb*q J
где const — член, не зависящий от aq\ его можно не прини-
принимать во внимание.
Теперь необходимо выбрать пригодную для наших целей
функцию aq{t). Эта функция должна обладать некоторым
определенным свойством: она должна отделять малые q от
167
ГЛАВА 11
больших q. Хорошим выбором, как оказывается, будет выбор
функции в виде
а,(/) = *7?(в2'-1) + р«), р@) = 0. A1.9)
Цель введения функции p(t)—наложить условия норми-
нормировки на кинетический член в гамильтониане Ж и например
$
q'
(мы выражаем этот член через функции а',, которые будут
определены ниже). Ясно, что функция p(t) служит той же.
цели, как и постоянная ? при дискретном изменении мас-
масштаба, о котором шла речь в предыдущих главах [см., напри-
например, C.33)]. Если критическое поведение должно описываться
неподвижной точкой, то такое условие нормировки суще-
существенно. Налагая эго условие нормировки на гамильтониан
3&t для всех t, получаем в результате уравнение для р(/).
Последний шаг в построении преобразования, соответ-
соответствующего ренормализационнои группе, заключается в изме-
изменении масштаба импульсов, т. е. гамильтониан 2/6t следует
выразить через переменную q', которая эффективно изме-
изменяется в области 0<|^'|< 1. Из выражений A1.7) и A1.9)
ясно, что эффективное обрезание по q равно е~{, поэтому
после изменения масштаба импульс q' должен быть равен
q' = qel. Необходимо также ввести спиновую переменную а',
с измененным масштабом. Она будет выражаться форму-
формулой ')
(?);. A1.11)
Масштабный множитель определяется требованием: диффе-
дифференциальное преобразование, соответствующее ренормализа-
ренормализационнои группе, которое мы должны вывести, не должно за-
зависеть от t. [Из A1.8) легко видно, что сделать произвольное
изменение нормировки а" нельзя, ибо мы испортим это урав-
уравнение.]
Функционально-дифференциальное уравнение A1.8) те-
теперь следует переписать с помощью переменных а',,заменяю-
J) В формуле A1.11) d — размерность пространства.—Прим. перев.
168
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОИ ГРУППЫ
щих aq. Производная по времени dZetldt в уравнении A1.8)
берется при фиксированной функции а^. Ее необходимо заме-
заменить на производную при фиксированной функции оу. Связь
между этими двумя производными по времени имеет вид
dt
а"
dt
а'
A1.12)
Величину производной daq,jdt\ можно определить из A1.11);
dt
a"
A1.13)
следовательно, A1.8) примет вид
dt
a'
A1.14)
Однако из выражения A1.9) следует
dt
dt'
A1.15)
Наконец, формула A1.11) и свойства функциональных произ-
производных приводят к соотношению
A1.16)
Подставив выражения A1.15) и A1.16) в A1.14), получим
искомое дифференциальное уравнение ренормализационной
группы
'-<?'
¦ + :
' t '
q, 6o_q
Щ-\ A1.17)
Выражение A1.17) является функционально-дифферен-
функционально-дифференциальным уравнением. Его можно свести к обычным уравне-
уравнениям в частных производных, если разложить гамильтониан
169
ГЛАВА II
36t по степеням а; запишем гамильтониан, опуская штрихи
при а и q:
t [а] = — у Л а2 fa-,
Я Я\ Я'.
где q3= ~~ Я — Я\ — Яг в соответствии с законом сохранения
импульса. Постоянная, не зависящая от а, в A1.18) опущена.
Соответствующие уравнения для щ, «4 и «6 имеют вид
б(^. ?i> ^. ^з. ^4. -V4. 0: <11Л9)
дщ{q, .„, Jt) B { , grf _ ^ . Vy + (g. + 2^) [i -2в> (у, 0] -
- ••• -*Л + $/+2tf)[1 -2«2(^ 0]} «.(^-.м ^ 0-
- 2[^ + 2 far + flr, + q2f] д, (flr, flr,, q2, q3 + qi + q5, t) X
X «4 (^3. ^4. ^5- Я +Я1+ Я2> 0 — (9 перестановок) +
+ \ (^ + 2?0 "а (9. • • •. Яь, Я6, ~ <76, О"»
Яг
«9 перестановок» в уравнении для «6 означает 9 неэквива-
неэквивалентных перестановок импульсов (^i ^5) в члене, содер-
содержащем произведение «4(...) и4 (...)•
Для члена dp/dt не написано пока никакого уравнения.
Условие нормировки A1.10) означает, что если функция u2(q, t)
разложена по степеням q2:
«а (Я, t) = «2Л @ + «2в (t) Я2 + • • •, A1.20)
то «2B@ не зависит от t и равно 1.
170
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Это в свою очередь означает, что
Ж и>
т. е. приводит к уравнению для dp/dt. Запишем ы4 в виде
разложения по степеням q:
щ (q, —q,qi, — qu t) = UiA (?,, t) + q ¦ q{uiB (qu t) +
Яд2 ЩО («/„ t)+ ... A1.21)
(это разложение подразумевает наличие симметрии относи-
относительно вращений). Тогда уравнение, определяющее dp/dt,
будет иметь вид
- 2«2В + 4а2Л[1 -u2A(t)] +
?.> t) + d-lq\uw{qv tj\. A1.22)
Яг
Однако следует предупредить читателя, что простое условие
нормировки: «2в@= 1 Для всех ^ — не всегда можно реализо-
реализовать; необходимо быть готовым к тому, что ti2B(t) может рав-
равняться другой постоянной или, возможно, даже зависеть от t.
Пример решения уравнений, соответствующих ренормализа-
ционной группе, и определения dp/dt содержатся в приложе-
приложении.
Мы знаем теперь, как получить спин-спиновые корреля-
корреляционные функции для гамильтониана Ж<ь, однако желательно
гакже уметь находить их, когда задан гамильтониан 2/6t.
Чтобы добиться этого, рассмотрим сначала производящий
функционал, заданный первоначально для <Э#0. а затем вы-
выразим его через Жь Начнем с того, что набросаем решение
аналогичной задачи для случая одной переменной х. Функ-
Функция tyo(x) в выражении A1.2) имеет сходство с ехр(«Э^о[о]);
следовательно, построим производящий функционал в виде
+ ОО
Z(j)= \ ^0(xr)exp(jxf)dxr. A1.23)
171
ГЛАВА 11
Непосредственное вычисление показывает, что выражение
A1.23) для произвольных t эквивалентно выражению
Z (/) =5 \ ехр { jxfe* - <2{е*-1)} G (xf, t; x,0)^0 (х) dxf dx.
—оо —оо
A1.24)
(Для доказательства этого необходимо провести интегрирова-
интегрирование по х', используя явный вид A1.3) для функции Грина.)
Изменение порядка интегрирования дает
+ ОО
Z (j) = \ * (xf, t) ехр {/*У - /2(е2з~° } dxf. A1.25)
— оо
Рассмотрим теперь производящий функционал, представляющий
реальный интерес:
Z(/)= 5exp|$/(flr)a-, + 3e0 j. (П.26)
Выражая производящий функционал через 96t и о" по ана-
аналогии с A1.25), имеем
Z У) = \ ехр ( \ ) (q) o"_q ехр {aq (Щ -
- Y \ 1(ч) Н-ч) [ехр(Ч W) -1] + ^Л; (п.27)
переход к о' дает
Z (у) = J ехр [ J e-^e^j (q'e^) aq, ехр [(^'J - (q'Je~2t] -
~j\i We'*) I (- q'e-*) е~* [ехр Bq'2 - 2q'2e~2t + 2p (t)) - 1 ] +
(П.28)
Это чрезвычайно сложная формула. Согласно общим
принципам подхода, связанного с ренормализационной груп-
группой, единственное изменение в вычислении корреляционных
функций при переходе от гамильтониана 3@t к <^0 должно за-
заключаться в изменении масштаба, а именно величина компо-
172
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
нент a _q должна быть заменена на величину t,ta'_ , cq' = qe*.
Другими словами, необходимо записать
\ j (q) o-q = e-*% \ j (flr'e-0 o'_q, = \ j (q\ t) a'_q,, A1.29)
Я <t q'
где
-i). A1.30)
Предположим, что параметр ?,t определен следующим об-
образом:
A1.31)
Тогда выражение A1.28) (опуская штрихи) превращается
в следующее:
Z (/) = \ ехр [ \ j (q, t) o-q exp [q2 - q2e~2t] -
a Kq
Я> *) [exp Bq2 - 2q2e~2t) - e~2» «>] + ^, [a] |.
J
A1.32)
Выражение A1.32) для вычисления Z(j) более сложное, чем
ожидалось из общих принципов. Однако это не влияет на об-
общий анализ свойств ренормализационной группы: для боль-
больших t и q порядка 1 членами e~2t и g-W) можно пренебречь
(отбрасывание члена е~2№> означает, что [(/)->оо, если
t —* оо, а это действительно справедливо для всех примеров,
которые рассмотрены до настоящего времени). Тогда Z(j) за-
зависит от t только через функцию j(q, t) и гамильтониан 2/61-
Это решающий факт, необходимый для общего рассмотрения
следствий из ренормализационной группы.
Замечательным является то, что для dMtldt [см. уравне-
уравнение A1.17)] можно написать точное и совершенно явное урав-
уравнение. Ранее все формулировки ренормализационной группы
существенным образом включали в себя теорию возмущений
(например, формулировка Гелл-Манна и Лоу я диаграммная
формулировка, которая дана в гл. 4 и 5). или же включали
невычисляемые функции (подход Каданова). Работать с урав-
уравнением A1.17) неприятно, однако нам представляется, что
именно это или похожие уравнения явятся, вероятно, основой
для большинства работ по ренормализационной группе.
173
ГЛАВА 11
Для использования в дальнейшем запишем выражение для
производящего функционала Z(j) при больших t в виде
- у J / (9. О / (- ?• О ехр B?2) + 3St [а] \. A1.33)
я )
Именно формула A1.33) применяется для исследования га-
гамильтониана 2/6t[a] вблизи неподвижной точки 2/6* или для ис-
исследования ренормированной траектории, выходящей из
точки 2/6*.
Заметим, что корреляционные функции, с которыми прихо-
приходится работать, всегда включают в себя знаменатель Z~l,
следовательно, производящий функционал, представляющий
практический интерес, имеет вид Z(/)/Z@). Это очень удачно,
потому что при выводе дифференциального уравнения A1.17)
в гамильтониане 2/6t был отброшен член, равный постоянной.
Для производящего функционала Z(j) [а более точно для
Z(/)/Z(O)j существует другая полезная формула. Выглядит
она следующим образом. Определим некоторую специальную
функцию a't (q):
or; (q) = j foe-') exp { p, (t) - Ц- } , A1.34)
где
(J, (t) = q2 A - e~2t) + p(t) = aqexp(-t) (t). A1.35)
Тогда
Z (/) = lim exp/^[аД + -g- \ o't{q)a't(-q)\\ + exp{-20 (*)}]).
'^°° ( я )
A1.36)
Справедливость этой формулы доказывается следующим об-
образом. Запишем вначале выражение A1.7) через o'(q), затем
перейдем к пределу t—* оо, а для того чтобы получить про-
производящий функционал Z(у), используем определение A1.26).
Для начала свяжем переменную о", которая не подвергалась
масштабному преобразованию, с переменной а[, масштаб ко-
которой изменен,
а;' (д) = ехр (^) а[ (qe{) = j (q) exp (^ (*)}. A1.37)
174
ТОЧНЫЕ УРАВНЕНИЯ РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Подстановка о" (q) вместо &? в выражение A1.7) дает
ехр {*,[«,]} = с ехр |-T
»)/(—») «р {2°? @)
1 Г<уг-,«р{-2о?@}
/("r)g-'? 1 Г<уг-,«р{-2о?@} ч
1-ехр{-2о,(/)} ~ 2" i 1 - ехр {- 2а, (/)} + Ж° |(Т] ['
q )
A1.38)
В пределе t->oo выражение A1.38) можно переписать сле-
следующим образом:
\\т ехр | Mt К] + }\< (Я) °'t (- Я) [1 + ехр {- 2р? (/)}] | ==
Jn | A1.39)
Тогда, используя определение A1.26), в выражении A1.39)
можно без труда узнать производящий функционал Z(j). Пре-
Преимущество определения A1.36) состоит в том, что оно позво-
позволяет избежать явного вычисления функциональных интегра-
интегралов; необходимо только решить функционально-дифференци-
функционально-дифференциальное уравнение для 36t.
Глава 12
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
§ 1. ТОПОЛОГИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
(НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ, ТРАЕКТОРИИ
И ПОДПРОСТРАНСТВА)
В основе детальных вычислений и анализа, использующего
метод ренормализационной группы, изложенный в предыду-
предыдущих главах, лежат некоторые простые топологические идеи.
Как уже отмечалось, таковыми являются, например, идеи
о неподвижных точках. В настоящей главе эти топологические
идеи будут обсуждаться подробно. Их мы рассмотрим в про-
простой, но достаточно абстрактной форме, не обращаясь к кон-
конкретному виду преобразований, соответствующих ренормали-
ренормализационной группе. По отношению к эффективным взаимодей-
взаимодействиям, связанным с ренормализационной группой, будет сде-
сделано несколько общих предположений. Эти предположения
справедливы для всех тех решений (точных или приближен-
приближенных), которые получены до настоящего времени, однако их
справедливость не доказана в общем виде. Для иллюстрации
будут рассмотрены простые топологические понятия. Тополо-
Топология в реальных примерах более сложна (например, может
иметь место случай большого числа различных неподвижных
точек), однако эти сложности можно преодолеть, если понять
основные идеи, изложенные в этой главе.
Неподвижные точки впервые были рассмотрены в ориги-
оригинальной работе Гелл-Манна и Лоу [13] (см. также работу [76]).
Необходимость в полном топологическом исследовании воз-
возникла только тогда, когда преобразование, соответствующее
ренормализационной группе, было использовано для случая
не одной постоянной связи, а большого их числа. Полный то-
топологический анализ был впервые проделан для упрощенной
модели с фиксированным источником [18]; многие вдохновляю-
вдохновляющие соображения, положенные в основу этой главы, были по-
почерпнуты именно в работе [18]. В работе Вегнера [63] дано
пространное обсуждение решений уравнения ренормализа-
ренормализационной группы вблизи критической точки, это обсуждение
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
перекрывает и значительно расширяет последнюю часть на-
настоящей главы.
/. Пространства и подпространства
Преобразование, соответствующее ренормализационной
группе, — это преобразование U на пространстве 5 взаимо-
взаимодействий с обрезанием. В предыдущей главе был дан пример
инфинитезимального преобразования U. Уравнение ренорма-
ренормализационной группы имеет вид
A2.1)
dt %
Взаимодействия Ж% берутся из пространства 5.
Взаимодействия из пространства 5 даны в безразмерной
форме с импульсами, выраженными в единицах параметра
обрезания. Мы всегда можем выбрать любое взаимодействие
Ж ^ S и изменить параметр обрезания путем изменения еди-
единиц измерения. Параметр обрезания может представлять со-
собой верхнюю границу для всех импульсов q, определяемую
либо непосредственно, либо с помощью введения решетки (см.
гл. 3 и 10). Обрезание необходимо потому, что по определе-
определению преобразование U, соответствующее ренормализацион-
ренормализационной группе, заключается в интегрировании по импульсам, ко-
которые должны быть чуть меньше параметра обрезания; сле-
следовательно, преобразование U будет бессмысленной опера-
операцией, если параметр обрезания бесконечен. В случае точных
уравнений ренормализационной группы, которые приведены
в гл. 11, определенная верхняя граница для q не является не-
необходимой, однако, если негауссовы члены в гамильтониане
Жо не имеют обрезания для импульсов q'y^l, проинтегриро-
проинтегрировать эти уравнения трудно. В методе ренормализационной
группы теория поля без обрезания должна получаться как
предел теорий с обрезанием. (Это не зависит от того, прово-
проводятся ли вычисления в рамках теории возмущений или нет.)
Координатами в пространстве 5 являются свободные па-
параметры произвольного взаимодействия Ж ^ S. В случае про-
простых примеров, рассмотренных в предыдущих главах, коор-
координатами в пространстве 5 были параметры г и и. При об-
обсуждении точных уравнений ренормализационной группы про-
произвольное взаимодействие Ж определяется с помощью неко-
некоторого бесконечного множества произвольных функций «2(^I
177
ГЛАВА 12
(q, qx, q2, q$) и т. д. Это означает, что в последнем случае
пространство S является бесконечномерным.
Решение Жь дифференциальных уравнений ренормализа-
ционной группы как функция t определяет множество взаимо-
взаимодействий, причем все они описывают одну и ту же физическую
систему. Однако при установлении связи между решением <Э#(
и реальными физическими свойствами необходимо сделать за-
зависящее от t изменение масштаба. Можно с самого начала
при исследовании физических свойств взаимодействия Жо из-
изменить масштаб, так что физическая система будет иметь
в импульсном пространстве параметр обрезания Ло Ф 1. Это
изменение масштаба не приведет к каким-либо ограничениям:
Ло можно выбрать как угодно. Для заданного Ло изменение
масштаба, необходимое для установления связи между реше-
решением Жг и реальными физическими свойствами, фиксирован-
фиксированно, а именно импульс обрезания в Жи выраженный в физи-
физических единицах, должен быть равен е~{А0 (см., например,
гл. 7).
Пусть физическая система имеет корреляционную длину
|р, выраженную в физических единицах (скажем, в см или
МэВ~'). Это не должно зависеть от того, какое взаимодей-
взаимодействие <3#f (т. е. при каком значении величины t) используется
для описания физических свойств. Пусть %t — корреляционная
длина, соответствующая взаимодействию Жи в безразмерных
единицах. Тогда масштабные преобразования, определенные
выше, дают
lt = e-%A0. A2.2)
Это, в частности, означает, что для решения 3@t уравнения
A2.1) корреляционная длина |f удовлетворяет соотношению
h = e-'h. A2.3)
После изменения масштаба, в результате которого проис-
происходит переход к физическим единицам, взаимодействие 36%
имеет параметр обрезания е~'Ло, т. е. необычайно малый по
сравнению с настоящим параметром обрезания Ло, соответ-
соответствующим физической системе. Это свойство определяется по-
построением: большие импульсы во взаимодействии 36q устра-
устраняются с помощью интегрирования. Необычайно малое зна-
значение параметра обрезания означает, что взаимодействия
в гамильтониане Жг имеют необыкновенно большой радиус
взаимодействия. Взаимодействия в гамильтониане 361 с из-
179
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
мененным масштабом будут иметь радиус по крайней мере
порядка ?'/Ло. В исходный же гамильтониан Жо с изменен-
измененным масштабом, если к нему умышленно не добавлены взаи-
взаимодействия с большим радиусом, входят взаимодействия
только с радиусом 1/Л0.
Отвечающий короткодействию член в гамильтониане Жо
до изменения масштаба практически имеет вид
\\exp{-(x-yJ}s(x)s(y),
х у
в то время как примеры членов, характеризующих дально-
дальнодействие (т.е. взаимодействия с большим, но конечным ра-
радиусом действия), имели бы вид
ехр {- 0,0001 (х - у)*} s (x) s (у),
х у
или
х у
(если радиус взаимодействия бесконечен).
В пространстве 5 мы будем рассматривать только те взаи-
взаимодействия, у которых в безразмерных единицах короткий ра-
радиус действия. Для этого имеется несколько причин. Одна из
них практического характера: в приближенных схемах, при-
приведенных в предыдущих главах, предполагается, что гамиль-
гамильтониан ^.содержит простые взаимодействия с коротким ра-
радиусом. Более фундаментальной причиной является то, что
качественные утверждения относительно критического пове-
поведения (например, универсальность) станут, как известно, не-
неверными, если включить в рассмотрение взаимодействия
с большим радиусом (см., например, [56, 97]). Для теории ре-
нормализационной группы, излагаемой ниже, тот факт, что
пространство 5 содержит только взаимодействия с коротким
радиусом, будет также решающим.
Пространство S должно быть достаточно велико для того,
чтобы все эффективные взаимодействия Жг, которые порож-
порождаются из некоторого произвольного Ж§ е S, лежали в про-
пространстве 5. Поэтому необходимо удостовериться, например,
в том, что взаимодействия Жг имеют короткий радиус (до из-
изменения масштаба). К сожалению, в общем случае в этом нет
179
ГЛАВА 12
никакой уверенности. Это справедливо для примеров, которые
решены до сих пор. (Заметим, однако, что неправильный вьь
бор функции p(t) в уравнении, которое рассматривалось
в гл. 11, может привести к взаимодействиям с большим ра-
радиусом; см. приложение.) В приближенных формулировках
ренормализационной группы (например, приближенная ре-
рекуррентная формула, рассмотренная в гл. 6) мы можем за-
заменить пространство 5 на его подпространство, однако при
этом мы должны удостовериться, что приближенное преобра-
преобразование переводит подпространство в себя.
\
и
Ф н г. 12.1. Лнннн, характеризующиеся фиксированной величиной корре-
корреляционной длины ?.
Линия, соответствующая |=°о, отвечает «критической поверхности» Sc-
Имеются четыре типа подпространств, или «поверхностей»
в пространстве 5, которые следовало бы определить.
Во-первых, элементы пространства 5 можно разделить
в соответствии с корреляционной длиной, которая им припи-
приписывается. Таким образом определяются поверхности, содер-
содержащие все те взаимодействия Ж е 5, которые имеют задан-
заданную величину безразмерной корреляционной длины |. Спе-
Специальный интерес будет вызывать «критическая поверхность»,
обозначаемая 50, для которой | = оо. На фиг. 12.1 показано
возможное множество поверхностей, соответствующих фикси-
фиксированным |, в пространстве, которое характеризуется только
двумя параметрами г и и.
Во-вторых, имеется поверхность, отвечающая простым
взаимодействиям, которая будет называться «канонической
поверхностью». Эта поверхность содержит множество началь-
начальных взаимодействий Жо для заданной системы или модели.
180
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Например, каноническая поверхность могла бы содержать
взаимодействия D.2) с г и и в качестве единственных свобод-
свободных параметров.
В-третьих, имеются поверхности, соответствующие опреде-
определенной симметрии. Например, чтобы учесть взаимодействия
на решетке, пространство 5 должно включать в себя такие
Граница. S
Граница Sf/J
¦Граница S(Z)
Фнг. 12.2. Вложенные друг в друга подпространства S(t).
В этом примере подпространство S (°°) одномерно.
взаимодействия, которые не являются инвариантными относи-
относительно вращений. (Взаимодействия на трехмерной кубической
решетке имеют кубическую симметрию, но не обладают сим-
симметрией относительно произвольных поворотов.) В таком слу-
случае в пространстве 5 будет существовать подпространство SR
таких взаимодействий, которые инвариантны относительно
вращений.
Наконец, существуют подпространства S(t), порождаемые
действием преобразования U на само пространство 5. Это
означает следующее. Допустим, у нас имеется пространство 5,
как это изображено на фиг. 12.2, и на пространстве 5 опре-
определено инфинитезимальное преобразование 0. Пространство
181
ГЛАВА 12
S(bt), соответствующее бесконечно малому сдвигу б/, опре-
определяется как множество точек Ж, таких, что
ЯГ = Ж+«-[/[«], A2.4)
где Ж—некоторая точка в пространстве 5. Пространство
5B6/) получается тогда с помощью действия преобразова-
преобразования О на пространство 5F/): пространство 5B6/) содержит
все взаимодействия Ж вида A2.4), где Ж некоторая точка
в пространстве 5F/). По индукции можно определить про-
пространство 5(/) для любого значения величины /. Другими
словами, если мы решаем уравнения ренормализационной
группы и хотим получить Mt из Ж, тогда пространство
5(/)— это пространство, включающее все взаимодействия Жи
которые порождаются всеми возможными начальными взаи-
взаимодействиями Жо, содержащимися в пространстве 5.
По предположению эффективное взаимодействие Ж* при-
принадлежит пространству 5, следовательно, 5(/) является под-
подпространством пространства 5.
Подпространства 5 (/) вкладываются друг в друга, т. е.
5(/+/')с: 5(/) для любых положительных значений / и /'.
Основания для этого простые: подпространство 5 (/ + /') по-
получается в результате интегрирования преобразования U по
промежутку времени / + /', начиная от точек, принадлежащих
пространству 5. Это эквивалентно интегрированию преобра-
преобразования U по промежутку времени /, начиная от точек, при-
принадлежащих подпространству 5(/'). Поскольку 5(/') содер-
содержится в пространстве 5, то мы получим большее простран-
пространство, если начнем от точек, принадлежащих 5, а не S(f); сле-
следовательно, 5 (/ + /') с: 5 (/).
Пространства 5(/), соответствующие конечным значениям
времени /, имеют ту же размерность, что и само простран-
пространство 5. Однако пространство 5(оо) (которое получается как
предел 5(/) при t-+ oo) может быть пространством с меньшей
размерностью. Основная идея метода ренормализационной
группы состоит в предположении, что пространству 5(оо) со-
соответствует поверхность, размерность которой много меньше
размерности пространства 5. Поверхность 5(оо) на фиг. 12.2
изображена просто в виде кривой С. Причина, по которой
ожидается, что пространство 5(оо) будет характеризоваться
размерностью гораздо меньшей, чем пространство 5, заклю-
заключается в следующем: взаимодействие 36% (для больших зна-
182
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОй ГРУППЫ
чений величины t) описывает физическую систему, у которой
радиус действия сил гораздо меньше (как показано выше),
чем радиус действия сил в исходном взаимодействии Жо. Ма-
Маловероятно, чтобы произвольное взаимодействие Ж в про-
пространстве 5 обладало этим свойством; следовательно, S(t)
для больших t должно являться лишь малым подмножеством
в пространстве 5.
Такое дифференциальное уравнение, как A2.1), интегри-
интегрируется как для положительных, так и для отрицательных зна-
значений t. Предположим, что взаимодействие Ж принадлежит
пространству 5 и не принадлежит S(t). Тогда взаимодействие
Ж~и которое появляется при интегрировании в направлении,
обратном по отношению к положительным значениям t, не
может лежать в пространстве 5. Если взаимодействие Ж-t
не принадлежит пространству 5, тогда есть соображения, что
2/6-х, вероятно, является взаимодействием, имеющим в без-
безразмерной шкале большой радиус. Действительно, при инте-
интегрировании вдоль произвольной траектории в обратном на-
направлении разумно было бы ожидать, что все взаимодей-
взаимодействия Ж-t имеют одинаковые радиусы, если их выразить
в физических единицах. Если это так, то радиус взаимодей-
взаимодействия, выраженный в безразмерных единицах, должен воз-
возрастать для взаимодействий Ж-t как е1. Следовательно, для
больших значений t взаимодействие Ж-t будет лежать,
вообще говоря, вне пространства S.
2. Траектории и неподвижные точки
Уравнение ренормализационной группы A2.1) определяет
в пространстве 5 траектории. На траектории выполняется со-
соотношение
Следовательно, если исходному взаимодействию Жо соответ-
соответствует конечная величина корреляционной длины |0, то траек-
траектория проходит через все поверхности, соответствующие
фиксированным значениям %', если \r < %q. Этот факт иллю-
иллюстрируется кривой А на фиг. 12.3, а. Если исходному взаимо-
взаимодействию Жъ соответствует бесконечная величина корреля-
корреляционной длины |о, то траектория целиком лежит на критиче-
критической поверхности Sc (кривая В на фиг. 12.3, а\,
183
ГЛАВА 12
Поскольку преобразование, соответствующее ренормализа-
ционной группе, не зависит от переменной /, то траектории
а
Фиг. 12.3. а — две траектории А и В, соответствующие ренормализа-
ционной группе.
Кривая А начинается на линии |=2 и пересекает линии с меньшими значениями |.
Кривая В начинается на критической поверхности (?=оо) и остается на ней.
б — траектория А, сдвинутая так, что %0 — I.
(как уже было видно в гл. 7) можно сдвигать по перемен-
переменной /. Единственный эффект от сдвига
Ж—Ж=5^-<0 A2.5)
заключается в том, что сдвинутая траектория начинается
g точке /о, а не в точке t = 0. Свободу в выборе величины
184
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОНМОЙ ГРУППЫ
сдвига по переменной / можно использовать для того, чтобы
конкретизировать условие нормировки на величину |0,'напри-
|0,'например |о = 1. Тогда It = е~г- При таком условии нормировки
поверхности, соответствующие фиксированным величинам |,
превращаются в поверхности, соответствующие фиксирован-
фиксированным величинам / для сдвинутых траекторий (фиг. 12.3,6).
Неподвижная точка отвечает взаимодействию Ж, кото-
которое удовлетворяет условию ?/[<5#*] = 0. Неподвижная точка
является тривиальным случаем траектории: решение уравне-
уравнения A2.1) для всех / удовлетворяет соотношению efet — Ж.
Корреляционная длина, соответствующая неподвижной точке,
должна иметь величину |* = 0, либо |*=оо, поскольку если
2(в^=Ж, тогда |< = |*,. однако, так как 26t является реше-
решением уравнения A2.1), для функции |( должны выполняться
соотношения: |< = е~% — е~%*.
Чтобы продемонстрировать топологические идеи, касаю-
касающиеся метода ренормализационной группы, мы намерены рас-
рассмотреть сейчас простейшую топологическую структуру, ко-
которая может быть в этом случае. Имеется много способов
усложнить топологию, описанную ниже, однако все эти ус-
усложнения нетрудно учесть, если усвоить простейшую картину.
Предположим, что имеются только две неподвижные точки:
одна соответствует |* = 0, вторая |* = оо. На фиг. 12.4 эти
неподвижные точки обозначены соответственно Л) и Р». Бу-
Будем предполагать, что неподвижная точка Л» обладает теми
же свойствами, что и неподвижная точка (г*, и*), упомянутая
в гл. 4.
Простейшее поведение, которое можно получить для траек-
траектории в пределе / —> оо — стремление к неподвижной точке.
В принципе это не единственный способ поведения траекто-
траектории, однако как это было видно из предыдущих глав, это
единственный предельный способ поведения; будет предпола-
предполагаться, что он имеет место и здесь. Другие возможности рас-
рассматриваются в работах [10, 76]. Если все траектории стре-
стремятся к неподвижным точкам, тогда те из них, которые отве-
отвечают конечным значениям корреляционной длины |, при
/-> оо стремятся к точке Ро (например, кривая А на фиг. 12.4),
а те траектории, которые находятся на критической поверхно-
поверхности, стремятся к точке Р» (кривая В на фиг. 12.4).
Всему этому имеется простая аналогия из классической
физики, которая служит примером рассматриваемой здесь
топологии [36]. Представим себе шар, катящийся по склону
185
ГЛАВА 12
холма в соответствии с уравнением движения
A2.6)
где х = (х, у)— горизонтальные координаты шара, а функция
V(x)—высота холма в точке х. (Это уравнение является не-
некоторым упрощением второго закона Ньютона: в последнем
член, содержащий произведение массы на ускорение, заменен
скоростью dx/dt.) Пример карты рельефа для функции V по-
показан на фиг. 12.5. Предполагается, что функция V(x) ана^
литична по х. Уравнение движения является примером урав-
уравнения типа A2Л); при этом неподвижным точкам соответ-
Фиг. 12.4. Случай простой топологии.
Пространство S обладает двумя неподвижными точками Ро и Рт. Точка Рот лежит на
критической поверхности, ей соответствует |=оо. Точке Ро соответствует 5=0, Кри-
Кривая В направлена в точку Роо, а кривая А в точку PQ.
ствуют стационарные точки функции V(x). На фиг. 12.5 пока-
показаны две неподвижные точки: точка Ро соответствует абсо-
абсолютному минимуму V(x), а Р<х, является седловой точкой.
Если шар помещен в некоторой точке к западу от гребня
функции V(x), обозначенного линией R (см. фиг. 12.5), тогда
он скатывается к точке склона Ро, соответствующей мини-
минимуму V(x), и останавливается в ней (кривая Л на фиг. 12.5 —
пример траектории движения шара). Если шар помещен в
точности на гребне R, он катится вниз к седловой точке Р<» и
останавливается (см. кривую Е на фиг. 12.5). Линия греб'
186
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ня R в этом случае аналогична критической поверхности, со*
ответствующей уравнению ренормализационной группы A2.1).
Интересно исследовать траекторию шара, когда он поме-
помещается бесконечно близко к линии гребня R. В этом случае
он скатывается вниз почти до седловой точки, находясь вблизи
линии гребня. Это иллюстрируется кривой D на фиг. 12.5.
Вблизи седловой точки шар меняет направление движения,
D
Ю
В
Фиг. 12.5. Карта рельефа для случая топологии, соответствующей
фиг. 12.4.
Р^ — седловая точка на хребте (гребне) R. точка Р„—дно лощииы О. Путь D отвечает
движению шара, который первоначально находился вблизи линии гребня; он проводит
большую часть времени в окрестности седлоаой точки Р , по в конце концов скаты-
скатывается в лощииу О и останавливается на дне в точке Рл.
отходит от линии гребня и скатывается в лощину G. Вблизи
седловой точки шар катится очень медленно, так как склон
в этой области становится почти плоским.
Пусть теперь начальное положение шара берется ближе
к гребню R. В этом пределе кривая D стремится к предельной
кривой Е. Кривая Е состоит из двух частей: одна часть—это
отрезок линий гребня R, а вторая — это линия G, определяю-
187
ГЛАВА 12
щая дно лощины. Линия G является так же траекторией
шара, если он начинает двигаться из точки, бесконечно близ-
близкой к точке Р.».
Перейдем опять к рассмотрению простого примера ренор-
мализационной группы с двумя неподвижными точками
(фиг. 12.4). Рассмотрим траекторию, которая начинается
в точке, расположенной бесконечно близко к критической по-
поверхности (кривая D на фиг. 12.6). Предположим, что ана-
аналогия с классическим уравнением движения является спра-
справедливой, тогда кривая D состоит из двух частей: одна
Ро
:О0
Фиг. 12.6. Траектории, соответствующие ренормализационной группе
в окрестности двух неподвижных точек.
Кривая D начинается вблизи критической поверхности. По мере того как начало кри-
кривой D приближается к критической поверхности, траектория D приближается к траек-
траекториям Е и Q. В этом примере О является подпространством S(°o).
часть — это по-существу траектория Е, идущая в неподвиж-
неподвижную точку Рас, а вторая — это траектория G, соединяющая
две неподвижные точки. [Приближение, соответствующее за-
замене кривой D на траекторию G, эквивалентно аппроксимации
D.41), сделанной в гл. 4. Изменение переменной / в настоя-
настоящей главе эквивалентно изменению п в D.41). Линейное при-
приближение в гл. 4 справедливо только вблизи точки Рх,, где
траектория G есть просто прямая линия: изменение п либо
Т— Тс приводит только к изменению положения на траекто-
траектории G. Аналог кривой D в гл. 4 можно получить, если удер-
удержать в уравнении D.41) члены, пропорциональные Я" (вели-
(величина Яг определена в гл. 4). Тогда аналог кривой Е в гл. 4
получается, если в уравнении D.41) положить Т = Тс; это со-
соответствует учету только членов, пропорциональных Af.]
188
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОИ ГРУППЫ
Обратимся теперь к пространству 5(оо), определенному
выше..При некоторых предположениях S(oo) совпадает с кри-
кривой G, которая включает в себя две конечные точки Л» и Ро-
Любое взаимодействие Зв на кривой G мы можем экстраполи-
экстраполировать назад вдоль траектории для произвольной величины
времени /, не рискуя выйти за пределы пространства S. При-
Причина этого состоит в том, что при приближении к точке Рот
величина |—> оо на кривой G; однако, для того чтобы попасть
в точку Роо с g = оо из любой другой точки с конечной вели-
величиной |, требуется бесконечный промежуток времени (так как
Это означает, что любая точка на кривой G принадлежит
пространству 5(оо). Экстраполируя назад по / любое другое
взаимодействие из пространства 5, не принадлежащее кри-
кривой G, мы можем выйти за пределы пространства 5. Напри-
Например, экстраполяция в обратном направлении траектории D
(фиг. 12.6) привела бы к тому, что траектория D вышла бы
за пределы фигуры. Если так, то пространство S(oo) совпа-
совпадает только с кривой G.
Это замечание завершает формулировку простейшей топо-
топологии, соответствующей ренормализационной группе. Теперь
следует сделать несколько общих замечаний. Прежде всего
заметим, что главная роль неподвижных точек заключается
в том, что они выступают в качестве «временных стоков».
Шары, движущиеся по траекториям, которые направлены
в неподвижную точку, проводят вблизи нее бесконечный про-
промежуток времени (точно так же, как шар, скатывающийся
к седловой точке, затрачивает бесконечный промежуток вре-
времени, чтобы ее достичь). Это происходит потому, что скорость
dS^tfdt при приближении 2f6t к неподвижной точке стремится
к нулю. По той же причине шары, движущиеся по таким
траекториям, как траектория D на фиг. 12.6, которая прохо-
проходит вблизи неподвижной точки, проводят вблизи нее большой
промежуток времени. Существование таких временных сто-
стоков позволяет траекториям находиться в компактной области
пространства 5 бесконечное время; в противном случае суще-
существовала бы опасность, что траектории выходили бы за про-
пространство S, особенно когда мы пытаемся двигаться вдоль
траектории в обратном направлении по времени.
Второе замечание состоит в том, что в рассматриваемом
здесь примере только одна траектория выходит за пределы
критической поверхности: это траектория G. Причина того,
189
ГЛАВА 12
что траектории не выходят за критическую поверхность где-то
в другом месте, кроме точки Я», состоит в том, что вне крити-
критической точки скорость dfflt/dt отлична от нуля, а во всех точ-
точках критической поверхности, где скорость отлична от нуля,
она должна быть направлена вдоль критической поверхности.
До тех пор пока скорость непрерывна в пространстве S, на-
направление ее должно быть параллельно критической поверх-
поверхности для точек, бесконечно близких к этой поверхности. По-
Поэтому такие траектории, как D, остаются вблизи критической
поверхности до тех пор, пока они не достигнут окрестности
точки Роо. В точке Рм для скорости нет хорошо определенного
направления; следовательно, в точках, бесконечно близких
к Рос, скорость может быть перпендикулярна критической по-
поверхности.
§ 2. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ, ПОДПРОСТРАНСТВА
И ПЕРЕНОРМИРОВКА
/. Приложение к теории поля
Теперь будет рассмотрена проблема перенормировки
в квантовой теории поля. Для иллюстрации общих идей пере-
перенормировки будет использована простая топологическая кар-
картина, описанная выше. Из оригинальной работы Гелл-Манна
и Лоу [13] с очевидностью следует, что проблема перенорми-
перенормировки включает в себя ренорма-лизационную группу и ее не-
неподвижные точки. Обзор метода Гелл-Манна и Лоу содер-
содержится в работе [76]. Мы увидим здесь, что и простая, и общая
формулировки перенормированной теории поля могут быть
даны в терминах определенного выше пространства S(oo).
В действительности проблема перенормировки состоит из
двух частей. В первой части в пределе бесконечного обреза-
обрезания стремятся получить конечные теории (т. е. теории без рас-
ходимостей). Эту часть проблемы очень легко рассмотреть
в терминах пространства S(oo). Во второй части хотят полу-
получить теории со взаимодействием. Эта часть проблемы будет
рассмотрена позже в терминах гауссовых и негауссовых не-
неподвижных точек. Как будет видно из гл. 13, в четырехмер-
четырехмерном пространстве-времени трудности возникают именно во
второй части проблемы. См., однако, список дополнительной
литературы, приведенный в конце книги.
Мы рассмотрим проблему перенормировки, используя тра-
традиционный подход.
190
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
Предположим, что нас интересует решение для модели
с взаимодействием ф4. Чтобы сделать эту теорию конечной,
т.е. избавиться от расходимостей, вводится (как в гл. 10) не-
некоторое обрезание Ло. Проблема теперь состоит в том, чтобы
в пределе Ло —*¦ оо получить конечную теорию, свободную от
ультрафиолетовых расходимостей.
Фиг. 12.7. Ренормированные траектории, выходящие из канонической
поверхности С (рассматривается теория взаимодействия Ф* с обрезанием).
Каноническая поверхность пересекает критическую поверхность в точке, соответ-
соответствующей Ло=°°. Траектория Q определяет реформированную теорию. Такие траек-
траектории, как О, называются «ренормированные траектории:».
Взаимодействие с обрезанием Ло можно превратить, изме-
изменяя масштаб в пространстве импульсов, во взаимодействие
с параметром обрезания, равным единице, так что оно станет
взаимодействием, принадлежащим пространству 5. Во взаи-
взаимодействии имеется два свободных параметра (голая масса и
затравочная постоянная связи), следовательно, каноническая
поверхность является двухмерной. На фиг. 12.7 каноническая
поверхность иллюстрируется кривой С.
По определению «канонической кривой» 5Й'1)(Ло)—это
множество безразмерных взаимодействий <5#D из простран-
пространства 5 по одному для каждого значения параметра обреза-
обрезания Ло. Если никакой перенормировки еще не проведено и
191
ГЛАВА 12
параметр обрезания определяется просто наибольшим импуль-
импульсом (а не обрезанием, которое задается решеткой, как
в гл. 10), тогда безразмерные параметры в гамильтониане
2@d(Ao) будут иметь вид
2
Го (Ао) = -~ и щ (Ло) = ЯЛ ~\
л
л
где Цо и Яо — голая масса и голый заряд (величины г0 и щ
определены в гл. 4). Найдем для взаимодействия 2ёо(А0)
безразмерную корреляционную длину 1о(Л0). В гл. 10 было
установлено, что величина ?D(oo) должна быть равна оо для
того, чтобы конечной была величина \xR, и что это утвержде-
утверждение неправдоподобно, если не проведено никакой перенорми-
перенормировки.
Проведение перенормировки обычно означает такой выбор
зависимости голой массы ц0 и затравочной постоянной взаи-
взаимодействия Ао от параметра обрезания Ло, что перенормиро-
перенормированная масса ця и перенормированная постоянная взаимодей*
ствия Яя становятся не зависящими от параметра обрезания.
В рамках рассматриваемой здесь простой топологии оказы-
оказывается, что достаточно будет удерживать не зависящей от об-*
резания только перенормированную массу \iR (см. ниже).
Процедура для выполнения этой программы уже обсуждалась
в гл. 10. Если нам даны безразмерные параметры г0 и щ, то
безразмерная корреляционная длина | определяется незави-
независимо от параметра Ло, т. е. | = |(г0, «о)- Выберем далее бо-
более конкретно величину \iR. А именно, выберем теперь пара-
параметр Ло так, что
[Это аналогично тому, как в гл. 10 постоянная решетки была
выбрана равной 1/цк Ъ,(Ь, щ, К).\ Чтобы получить кривую Жо(Ло),
предположим, что величина параметра м0 задана. Тогда урав-
уравнение Ло = цл| (г0, «о) можно решить относительно г0 и мы
получим величину г0 как функцию параметра обрезания Ло.
Зная функцию го(Ло), можно определить величины
\4 ~ го (Ло) Лц и Хо = моЛо~Л
Предел Ло —> оо соответствует теперь пределу го —*¦ Гос(щ), где
величина гОс(«о) — значение параметра г0 на критической по-
поверхности. Перенормированная масса (в физических едини-
192
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОй ГРУППЫ
цах) равняется A0/|(r0, щ) (см. гл. 10) и, следовательно, не
зависит or параметра г0 по построению.
Кривая <5#d(Ao) изображена на фиг. 12.7. Здесь канони-
каноническая поверхность заменена кривой (в противном случае для
иллюстрации нам потребовался бы чертеж размерностью
больше двух, а это неудобно). Кривая Жо(А0) на фиг. 12.7
является частью кривой С. Мы покажем теперь, что эта ка-
каноническая кривая определяет перенормированную теорию,
которая не зависит от параметра м0.
Предположим, что мы решили уравнение ренормализа-
ционной группы A2.1) с <5#D(Ao) в качестве начального взаи-
взаимодействия. В пространстве 5 это дает множество кривых
3@t(A0). Например, кривая А на фиг. 12.7 соответствует
<5#(D), а кривая D — 3^t(l0). Так как для изменения мас-
масштаба взаимодействия <5^D(Ao) масштабный множитель уже
выбран, а именно Ло, то мы знаем масштабный множитель
для изменения масштаба <5#*(Ло): он равен е~*А0.
Рассмотрим теперь следующее. Для каждого значения па-
параметра Ло существует такая величина /, при которой траек-
траектория, соответствующая ^(Ло), пересекает поверхность взаи-
взаимодействий с | = 1. Множество таких пересечений определяет
кривую /, показанную на фиг. 12.7. Например, траектория
5^(D) (кривая А на фиг. 12.7) пересекает кривую / в точке
Q4. Взаимодействие, отвечающее точке Qi, определяет ту же
самую физическую картину, что и взаимодействие <5#DD).
Аналогично взаимодействие, отвечающее точке Qio, опреде-
определяет ту же физическую картину, что и взаимодействие <5ЙЪA0).
Единственное изменение состоит в масштабном преобразова-
преобразовании. Легко видеть, что изменение масштаба одинаково как
для взаимодействия, отвечающего точке Q4, так и для взаи-
взаимодействия, отвечающего точке Qio. Взаимодействие !№d(Aq)
было определено так, что соответствующая ему корреляцион-
корреляционная длина оказывалась постоянной и, будучи выражена в фи-
физических единицах (а именно М^1), не зависела от параметра
обрезания Ао; а так как взаимодействия Q4 и Qi0 опреде-
определяют одну и ту же физику, что и взаимодействия <5#DD) и
<5^Ъ(Ю), то они определяют также одинаковую физическую
корреляционную длину. Поскольку точкам Q4 и <2ю отвечает
одна и та же безразмерная корреляционная длина, равная 1,
множитель масштабного преобразования будет одинаков для .
обоих взаимодействий, соответствующих точкам Q4 и Q
(а именно импульсы умножаются на /|
7 Зак." 409 193
ГЛАВА 12
Пусть теперь параметр обрезания Ло —> оо. В этом пределе
точки Q4 и Qio заменяются точкой Q» — точкой пересечения
кривой / с траекторией G. Точка Q,» соответствует хорошо оп-
определенному взаимодействию с обрезанием, следовательно,
она описывает все физические свойства модели, включая пол-
полный набор вакуумных средних. Итак, предел Ло -» оо суще-
существует: это значит, что в пределе Ло —¦ оо существует конеч-
конечная (перенормированная) теория, т. е. теория без расходи-
мостей.
В такой формулировке мы имеем дело с перенормировкой
массы (поскольку голая масса цо зависит от параметра обре-
обрезания Ло). При этом для постоянной взаимодействия имеется
лишь тривиальная перенормировка (вместо параметра Ло
фиксированным удерживается параметр щ), и, таким обра-
образом, перенормированная теория не зависит от и0. Следова-
Следовательно, в перенормированной теории нет свободной постоян-
постоянной взаимодействия; единственным свободным параметром
в этой теории является перенормированная масса цл. При-
Причина кроется в простой топологии, которая здесь предпола-
предполагается; в следующей главе будут рассмотрены примеры пе-
перенормированных теорий с большим числом свободных пара-
параметров. Перенормированная теория, в особенности связанная
с нетривиальными неподвижными точками г*, и*, рассмотрен-
рассмотренными в гл. 4, является примером, в котором перенормирован-
перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована [74]. Это со всей
очевидностью следует из гл. 7 и 8; выражения для корреля-
корреляционных функций с бесконечным радиусом корреляции зави-
зависят соответственно только либо от корреляционной длины |,
либо от параметра г. Как уже было показано в работе [76],
могут существовать неподвижные точки, в которых перенор-
перенормированная постоянная взаимодействия фиксирована, а непе-
ренормированная постоянная взаимодействия произвольна
(в работе [76] это свойство было названо «инфракрасной ста-
стабильностью») .
В рассматриваемой теории имеется также перенормировка
волновой функции. Происходит она потому, что перенормиро-
перенормированное поле Фя(х) может отличаться от фурье-образа спино-
спиновой переменной o'q в точке Q» по крайней мере на конечный
масштабный множитель. В свою очередь эта спиновая пере-
переменная будет отличаться от исходной спиновой перемен-
переменной oq, входящей во взаимодействие <5#D(oo), на бесконечный
масштабный множитель, потому что траектория, направлен-
194
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОй ГРУППЫ
ная из точки, соответствующей 3@D(°°), в точку Q^, проводит
бесконечно много времени в неподвижной точке Р». (Исход-
(Исходная спиновая переменная оч отличается, по-видимому, на бес-
бесконечный масштабный множитель от неперенормированного
поля: соотношение A0.46) с а = 0, например, соответствует
Л0 = оо; маловероятно, чтобы два бесконечных масштабных
множителя скомбинировались так, чтобы образовался конеч-
конечный множитель.)
То, что перенормированная теория не зависит от пара-
параметра и0, является примером универсальности в теории поля.
Мы обладаем даже большей свободой: мы можем выбрать ка-
каноническую кривую <5ЙЪ(Л0) так, чтобы она совпадала с самой
траекторией G, и по-прежнему получим ту же самую пере-
перенормированную теорию. (Это означает, что мы готовы рас-
рассматривать кривые <5ЙЪ(Ло) не только на исходной канониче-
канонической поверхности.)
Обобщение этого результата состоит в следующем. Любая
траектория, соответствующая уравнению ренормализационной
группы A2.1), которую (как G), не покидая пространство S,
можно экстраполировать в обратном направлении к критиче-
критической поверхности (/ = — оо), определяет некоторую перенор-
перенормированную теорию. Причина этого проста: затравочное взаи-
взаимодействие <5ЙЪ(Ло) можно выбрать так, чтобы оно отвечало
точке на траектории, которой соответствует корреляционная
длина g = Л0/р,я- Поскольку траектория экстраполируется об-
обратно к критической поверхности, на ней будут точки, соот-
соответствующие сколь угодно большой величине |, следова-
следовательно, мы можем без труда перейти к пределу Ло -* °о. Лю-
Любая такая траектория будет называться «ренормированная
траектория». Пример некоторой ренормированной траекто-
траектории, аналогичной кривой G, рассматривался в гл. 7 и ча-
частично (как было разъяснено выше) в гл. 4. Наоборот, любая
траектория, которая при экстраполяции в обратном направле-
направлении покидает пространство 5 прежде, чем достигает критиче-
критической поверхности, определяет некоторую нелокальную теорию,
не представляющую для нас интерес. Заметим, что нет ника-
никаких гарантий, что заданная ренормированная траектория мо-
может быть достигнута, если начать двигаться с данной канони-
канонической поверхности. В рассматриваемом примере траектории,
выходящие из канонической поверхности (траектории А и D
на фиг. 12.7), приближаются к кривой G, так как в этом при-
примере имеется единственная ренормированная траектория.
7* 196
ГЛАВА 12
Отметим, наконец, что подпространство 5(оо) —это одно
то же, что и множество всех ренормированных траекторий.
Таким образом, множество S(oo) есть просто множество всех
возможных ренормированных траекторий в том смысле, что
мы можем рассматривать взаимодействие, соответствующее
точке Qoo, как перенормированное взаимодействие.
§ 3. СЛУЧАЙ БОЛЬШОГО ЧИСЛА НЕПОДВИЖНЫХ
ТОЧЕК, ОБЛАСТИ И УНИВЕРСАЛЬНОСТЬ
/. Случай нескольких неподвижных точек. Области
В практических случаях у ренормализационной группы
имеется обычно более двух неподвижных точек. Рассмотрим
некоторые усложнения, которые возникают при наличии не-
нескольких неподвижных точек. Чтобы проиллюстрировать эту
проблему, представим, что на критической поверхности
(фиг. 12.8) в дополнение к точке Ро имеются еще три непо-
неподвижные точки: РАоа, РВоа и РСоо- По-прежнему будем пред-
предполагать, что при t —¦ оо все траектории стремятся к непо-
неподвижным точкам.
Неподвижные точки можно классифицировать в соответ-
соответствии с их устойчивостью или неустойчивостью. Неподвижная
точка является устойчивой, если все траектории, находящиеся
в ее окрестности, стремятся в эту точку. В рассматриваемом
примере только Ро является устойчивой неподвижной точкой.
Другие неподвижные точки являются неустойчивыми, причем
с разной степенью неустойчивости. В настоящем примере
предполагается, что траектории, близкие к точке РАоо на кри-
критической поверхности (например, траектория В на фиг. 12.8),
стремятся к Раоо, в то время как траектории вне критической
поверхности отклоняются от точки Ра°о. Точка РАоо назы-
называется однократно нестабильной. В соответствии с этим опре-
определением неподвижная точка Рс°о, согласно фиг. 12.8, яв-
является однократно нестабильной. В то же время неподвиж-
неподвижная точка Рвоо является двукратно нестабильной: траектории,
находящиеся на или вне критической поверхности, откло-
отклоняются от точки РВоо. Происходит это потому (в предполо-
предположении, что других неподвижных точек нет), что скорость
tldt на критической поверхности между точками РАоо и
Рв ж должна быть всегда направлена в сторону точки РА°<>,
а между точками Рв ж и Рс ж — в сторону Рс°о', причем ско-
198
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕЫОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
рость эта не может изменить направление на критической по-
поверхности, не проходя через нуль.
При рассуждениях, приведенных выше, явно использова-
использовалась фиг. 12.8, на которой пространство 5 двумерно, а крити-
критическая поверхность одномерна. Общее определение я-кратно
нестабильных неподвижных точек для произвольного числа п
в бесконечномерном пространстве 5 будет дано ниже.
В настоящем случае имеются две особые ренормирован-
ные траектории GA и Gc, выходящие из неподвижных точек
Фиг. 12.8. Топология ренормализационной группы в области, которая
на критической поверхности имеет три неподвижные точки: РДоо, РВоо
РСоо.
Точки
и Pq „о являются однократно нестабильными; точка Pg oo является дву-
двукратно нестабильной.
Ра оо и Рс оо> которые аналогичны особой траектории G на
фиг. 12.6 или, согласно классической аналогии, дну лощины G.
В дополнение к этому имеется бесконечное множество ренор-
мированных траекторий, выходящих из точки Рв°о. Точка РВк,
соответствует по классической аналогии вершине холма, в то
время как РА ж и Рс«, соответствуют седловым точкам. Со-
Соответствующая карта изображена на фиг. 12.9. Кривые GB
и G'b и на фиг. 12.8, и на фиг. 12.9 являются примерами траек-
траекторий, ВЫХОДЯЩИХ ИЗ ТОЧКИ Pjjoo.
Когда имеет место несколько неподвижных точек, возни-
возникает дополнительная проблема. Допустим, у нас есть канони-
каноническая поверхность (кривая С на фиг. 12.8). Возникает во-
вопрос: какая неподвижная точка с помощью ренормализацион-
197
ГЛАВА 12
ной группы связана с канонической поверхностью? На
фиг. 12.8 траектории, соответствующие ренормализационной
группе и выходящие из канонической поверхности, приходят
либо в точку Ро, либо в точку Раоо. Последнее имеет место
в том случае, когда точка, отвечающая взаимодействию, на-
находится на критической поверхности. Итак, критическое пове-
поведение определяется не точкой РВоо или Рсоо, а точкой Ра°о\
Фиг. 12.9. Карта рельефа для случая топологии, соответствующей
фиг. 12.8.
следовательно, перенормировка, начинающаяся на канониче-
канонической поверхности, определяется единственной ренормирован-
ной траекторией GA.
С каждой неподвижной точкой Ж* в пространстве S ассо-
ассоциируется некоторая область взаимодействий DCe*) в этом
пространстве. Область п(Ж*) определяется как множество
всех таких начальных взаимодействий Жо ^ 5, для которых
траектория 2f6u выходящая из точки Жо, при t —> оо стремится
в точку Ж*. На фиг. 12.8 область, соответствующая точке Ро,
включает все точки, находящиеся выше критической поверх-
поверхности; область, соответствующая точке Ра°о, содержит все
точки критической поверхности, расположенные слева от Рв<х>;
область, соответствующая точке Рв°о, состоит из одной
точки РВоо и т. д. Если заданная каноническая поверхность С
198
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
пересекает область D(9/S*), тогда неподвижная точка Эё* свя-
связана с этой поверхностью.
Размерность области й(Ж*) зависит от степени нестабиль-
нестабильности точки Ж*: если Ж* является n-кратно нестабильной не-
неподвижной точкой, тогда размерность области й(Ж*) на п
меньше размерности пространства 5. Это легко видно на при-
примере фиг. 12.8. Как только будет дано определение неста-
нестабильности, обнаружить этот факт в общем случае будет почти
тривиально.
Правило размерности для областей приводит к тому, что
неподвижные точки с высокой степенью нестабильности
трудно обнаружить. Предположим, что каноническая поверх-
поверхность— это кривая (единственным свободным параметром ее
является температура или голая масса). Тогда маловероятно,
что каноническая поверхность пересечет какую-нибудь об-
область, соответствующую двукратно нестабильной неподвиж-
неподвижной точке, такой, например, как Рв<х>. Это с очевидностью сле-
следует из фиг. 12.8. Данное правило выполняется при условии,
что такие топологические структуры, как неподвижные точки,
критическая поверхность и т. д., случайным образом распо-
расположены в пространстве 5 по отношению к любой a priori за-
заданной канонической поверхности. Исключением из этого
правила является случай, когда имеется симметрия (см.
ниже).
В теории критических явлений критические точки опреде-
определяются числом термодинамических параметров, которые
в этой точке фиксированы. В случае обычной критической
точки, соответствующей ферромагнетику, требуется, чтобы
фиксированными были температура Т и магнитное поле; сле-
следовательно, соответствующая неподвижная точка является
двукратно нестабильной. Если, как в этих главах, мы опре-
определяем само пространство 5 так, что исключаем магнитные
поля, тогда единственным фиксированным параметром будет
температура Т и неподвижная точка окажется однократно не-
нестабильной. Таким образом, каждая из точек РАоо и Рс от
в примере на фиг. 12.8 могла бы описывать критическое по-
поведение, соответствующее обычной критической точке. Суще-
Существование двух неподвижных точек означало бы существова-
существование двух различных наборов критических показателей; раз-
различные физические системы (соответствующие различным ка-
каноническим поверхностям) были бы разделены на два класса,
199
ГЛАВА 12
причем каждый класс в отдельности демонстрировал бы об-
общее критическое поведение. Это по-прежнему не что иное,
как гипотеза универсальности, однако в более ограниченной
форме, чем предыдущие формулировки (см., например, ра-
работу [9]).
Существуют критические точки, в которых вместо двух
термодинамических параметров фиксированы три. Это так
называемые три-критические точки (см., например, работу
[125]). Исключив опять магнитное поле, получим всего два
фиксированных параметра. Дополнительным термодинамиче-
термодинамическим параметром является также, например, концентрация.
Наиболее популярная три-критическая точка имеет место
в растворах Не3 — Не4: двумя термодинамическими параме-
параметрами являются концентрация Не3 и температура. Три.-крити-
ческая точка соответствует двукратно неустойчивой неподвиж-
неподвижной точке, такой, например, как РВоо (исключаем внешние
поля: в системе Не3—Не4 нет практического способа имити-
имитировать внешнее поле, как у магнитных систем). Для размер-
размерностей, близких к 4, гауссова неподвижная точка, рассмо*
тренная в гл. 3, является двукратно нестабильной; Ридель и
Вегнер [46] предположили, что эта неподвижная точка опи-
описывает три-критическую точку в системе Не3 — Не4.
В теории поля степень нестабильности неподвижной точки
определяется числом свободных параметров в перенормиро-
перенормированной теории, соответствующей этой неподвижной точке.
В примере, обсуждавшемся выше (см. фиг. 12.7), имеется од-
однократно нестабильная точка и соответственно только один
свободный параметр, а именно перенормированная масса \ir.
[Эффективное взаимодействие, отвечающее обрезанию \iRef,
однозначно определено как точка на траектории G (фиг. 12.7)
с корреляционной длиной | = е~*. Следовательно, других сво-
свободных параметров нет.] Для двукратно нестабильной непо-
неподвижной точки имеется однопараметрическое семейство ре-
нормированных траекторий; в этом случае параметр, опреде-
определяющий эти траектории, является в дополнение к \iR вторым
параметром перенормированной теории.
Таким образом, перенормированная теория поля, связан-
связанная с нетривиальной неподвижной точкой для d < 4 (см.
гл. 4), не имеет свободных постоянных взаимодействия.
В противоположность этому неподвижная точка, рассматри-
рассматриваемая Гелл-Манном и Лоу в работах [13, 76], должна соот-
соответствовать двукратно нестабильной неподвижной точке, по-
200
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
тому что в перенормированной теории остаются два свобод-
свободных параметра (масса и заряд). [Однократно нестабильные
неподвижные точки, рассматриваемые здесь, соответствуют
«инфракрасно-стабильным» неподвижным точкам из работы
[76], в то время как двукратно нестабильные соответствуют
«ультрафиолетовостабильным» неподвижным точкам из ра-
работы [76].] Когда мы строим перенормированную теорию
с двумя свободными параметрами, такую, например, какой
является обычная перенормированная теория взаимодей-
взаимодействия ф4, каноническая поверхность также должна быть по
крайней мере двухмерной, а каноническая кривая Жо(А0)
включать два параметра, зависящих от обрезания Ло [напри-
[например, (Ао(Ло) и Ао(Ло)]. Этот факт не будет обсуждаться де^
тально (см., однако, гл. 13). Наконец, чтобы в перенормиро-
перенормированной теории получить произвольную перенормированную
постоянную взаимодействия, нам необходима и перенорми-
перенормировка постоянной взаимодействия'(параметр Ао, зависящий от
параметра обрезания Ло) и двукратно нестабильная непо-
неподвижная точка.
Существуют аргументы (см. работу [76], мы их не рассма-
рассматриваем здесь из-за недостатка места), согласно которым
только неподвижные точки ограниченной нестабильности бу-
будут связаны с реальными элементарными частицами. Эта ги-
гипотеза, сформулированная более точно, звучит следующим
образом: только стабильные неподвижные точки имеют отно-
отношение к реальной физике при условии, что пространство 5
включает только взаимодействия, сохраняющие соответствую-
соответствующую внутреннюю симметрию. Могут существовать нестабиль-
нестабильности, которые ведут к нарушению симметрии (эти неста-
нестабильности соответствуют «обобщенным массовым членам»
в работе [76]), однако мы надеемся^ что их не так много. Эта
гипотеза является основой для получения взаимодействий, ко-
которые имеют только несколько свободных параметров; она
заменяет собой канонический подход к рассмотрению простых
полиномиальных взаимодействий.
2. Симметрии
Следующей задачей является рассмотрение влияния на то-
топологический анализ пространственно-временных или внутрен-
внутренних симметрии. Мы сделаем здесь только несколько замеча-
201
ГЛАВА 12
ний, поскольку это такая проблема, которую можно услож-
усложнять до бесконечности; см. также работы [43—45].
В общем случае при преобразовании U, соответствующем
ренормализационной группе (определенном таким же обра-
образом, как в гл. 11), будет сохраняться любая симметрия, ко-
которую можно включить во взаимодействие Ж. При преобра-
преобразовании U сохраняется симметрия относительно вращений
(в случае теории поля евклидова симметрия). В отсутствие
магнитного поля сохраняется симметрия относительно преоб-
преобразования вд-> — од. Если переменная aq имеет внутренние
компоненты [как, например, в случае ферромагнетика Гейзен-
берга или теории поля с изоспином (см. гл. 9)], то при преоб-
преобразовании U сохраняется внутренняя симметрия относительно
вращений. Если имеет место симметрия, то в пространстве 5
будут подпространства, включающие взаимодействия, имею-
имеющие эту симметрию. Существуют также взаимодействия, на-
нарушающие симметрию: решеточные модели вместо полной
симметрии относительно вращений обладают кубической сим-
симметрией, а взаимодействия, включающие внешние магнитные
поля, нарушают симметрию относительно отражений ад —>
-*¦— ач.
Подпространства пространства 5, включающие взаимодей-
взаимодействия, сохраняющие некоторую симметрию, инвариантны от-
относительно преобразования U. Если мы не интересуемся взаи-
взаимодействиями, нарушающими симметрию, мы можем переоп-
переопределить пространство 5 так, чтобы оно являлось подпро-
подпространством взаимодействий, которые сохраняют симметрию,
и провести топологический анализ настоящей главы в этом
подпространстве. Действительно, пространство 5 в этой главе
рассматривалось как пространство, в котором взаимодей-
взаимодействия, включающие внешнее поле, были опущены.
Необходимо отметить некоторое следствие из этого факта.
Предположим, что мы интересуемся критической точкой фер-
ферромагнетика, считая внешнее магнитное поле равным нулю.
Как было отмечено выше, эта критическая точка соответ-
соответствует в пространстве 5 однократно нестабильной неподвиж-
неподвижной точке, которая соответствует взаимодействию, сохраняю-
сохраняющему симметрию: ад ->— ач. В большем пространстве 5',
включающем все взаимодействия, та же самая неподвижная
точка могла бы быть в сильной степени нестабильной; нет га-
гарантии, что она будет только двукратно нестабильна, как
утверждалось выше. Дополнительные нестабильности должны
302
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
были бы означать существование, кроме внешнего поля, до-
дополнительных термодинамических параметров, которые в кри-
критической точке фиксированы. Равенство внешнего поля нулю
означает, однако, что нет никаких взаимодействий, которые
нарушали бы симметрию спинов относительно отражения:
в действительности, полагая внешнее поле равным нулю, мы
полагаем также равными нулю дополнительные термодина-
термодинамические параметры.
Может случиться так, что все неподвижные точки в про-
пространстве 5 сохраняют симметрию, скажем симметрию отно-
относительно вращений. Тогда, даже если начальное взаимодей-
взаимодействие нарушает симметрию, перенормированная теория, ассо-
ассоциирующаяся с неподвижными точками, сохраняет эту сим-
симметрию.
Например, кривая С на фиг. 12.7 могла бы представлять
множество взаимодействий на решетке между ближайшими
соседями, причем эти взаимодействия обладают только куби*
ческой или гиперкубической симметрией. Решетка исполь-
используется также для того, чтобы обеспечить некоторую положи-
положительную метрику (см. гл. 10I). Если кривая G лежит в под-
подпространстве, соответствующем полной евклидовой симмет-
симметрии, тогда перенормированная теория будет евклидово-инва-
риантной. Чтобы кривая G лежала в евклидово-инвариант*
ном подпространстве SR, необходимо, чтобы неподвижные
точки Роо и Ро, а также траектория G при замене про-,
странства 5 на SR по-прежнему существовали. Конечно, ре-
решающим является то, что преобразование U само по себе со-
сохраняет евклидову инвариантность: в противном случае мало-
маловероятно, чтобы такая траектория, как G, оставалась в про-
пространстве 5Д.
Мы не можем гарантировать a priori, что все неподвиж-
неподвижные точки принадлежат пространству SR или что все траек-
траектории, такие, как траектория G, выходящая из неподвижной
точки, остаются в пространстве SR. Если говорить более обще,
то, для того чтобы одновременно достичь и евклидовой ин-
инвариантности, и положительности2), необходимо иметь траек-
траектории, порождаемые взаимодействием с ближайшими сосе-
') Имеется в виду положительная метрика в гильбертовом простран-
пространстве состояний (см. конец гл. 10). — Прим. перев.
г) То есть положительной метрики в пространстве состояний (см,
гл. 10), — Прим, перев,
203
ГЛАВА 12
дями и оканчивающиеся в пространстве SR. Так ли это на
самом деле, необходимо проверять в каждом отдельном рас-
рассматриваемом случае.
Кажется вероятным, что данному условию можно удовле-
удовлетворить в рамках теории возмущений (малые и), однако это
не было проверено с должной аккуратностью.
Могут существовать также неподвижные точки, которые
нарушают возможные в системе симметрии. Специальный
пример некоторых неподвижных точек, нарушающих внутрен-
внутреннюю вращательную симметрию, и других точек, сохраняющих
ее, был рассмотрен в работе [43]. Имеется также малое коли-
количество нестабильных неподвижных точек, которые могут со-
сохранять или нарушать симметрию; только конкретное вычис-
вычисление может определить, какая из точек сохраняет, а какая
нарушает симметрию. Если неподвижная точка нарушает не-
некоторую непрерывную симметрию, то мы можем использовать
преобразования, соответствующие этой симметрии, для по-
построения из этой неподвижной точки некоторой неподвижной
поверхности.
Вернемся опять к проблеме перенормировки. Как установ-
установлено в гл. 3, существует гауссова неподвижная точка, а также
некоторая кривая, такая, например, как G на фиг. 12.6, кото-
которая содержит только гауссовы взаимодействия. Для размер-
размерностей меньше 4 (размерность пространства-времени) имеется
также негауссова неподвижная точка, однако для размерно-
размерности, равной 4, гауссова неподвижная точка является един-
единственной до сих пор известной (см. гл. 13). Это означает, что,
если даже каноническая поверхность содержит негауссовы
взаимодействия, перенормированная теория будет чисто гаус-
гауссовой, определяемой кривой G, т. е. теорией свободного поля.
Способность теорий со взаимодействием приводить после пе-
перенормировки к теориям свободного поля тесно связана с пе-
перенормировкой постоянной взаимодействия в рамках теории
возмущений. См., например, часть 3G работы [76].
Таким образом, серьезной проблемой теории перенормиро-
перенормировок при d = 4 является нахождение перенормированной тео-
теории со взаимодействием. Простейший способ установить су-
существование таких теорий заключался бы в обнаружении не-
негауссовой неподвижной точки или по крайней мере конечной
границы для области, соответствующей гауссовой неподвиж-
неподвижной точке (см. гл. 13).
204
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОИ ГРУППЫ
§ 4. НЕПОДВИЖНЫЕ ТОЧКИ
И АНОМАЛЬНЫЕ РАЗМЕРНОСТИ
1. Линеаризованные уравнения ренормализационной группы
Следующей нашей задачей является обсуждение преобра-
преобразования ренормализационной группы вблизи некоторой непо-
неподвижной точки. Вблизи нее будут определены линеаризован-
линеаризованные уравнения. Собственные функции этих линеаризованных
уравнений дают некоторое полное базисное множество ло-
локальных операторов (в статистической механике это—ло-
это—локальные операторы Каданова, введенные им в работах [9,
126]). Собственные значения являются аномальными размер-
размерностями (масштабные индексы у Каданова) этих локальных
операторов. Операторы с аномальными размерностями, мень-
меньшими d, называются «существенными». Число таких операто-
операторов совпадает, со степенью нестабильности неподвижной
точки. Операторы с размерностью, большей d, называются
«несущественными». Операторы с размерностью, равной d, до-
доставляют некоторые неприятности (они могут давать либо не
давать вклад в степень нестабильности; они вызывают появ-
появление долго живущих переходов (см. гл. 7) и другие услож-
усложнения [63]).
В работе [63] Вегнер обсуждает поведение вблизи непо-
неподвижной точки, причем идет дальше простого линейного при-
приближения. Этот анализ будет продолжен в абстрактной форме
с весьма общими предположениями, которые подкрепляются
лишь некоторыми примерами.
Рассмотрим траекторию Жи удовлетворяющую уравне-
уравнению A2.1), и предположим, что 361 ~ <%>*> где Ж* — непо-
неподвижная точка. Тогда можно записать
Жг = Ж + ЬЖи A2.7)
где добавка hMt мала. Возмущение bo/ef удовлетворяет урав-
уравнению
-^W8t = LW6t + O{]b3tit\t A2.8)
где О [65^1] — члены второго порядка по постоянной взаимо-
взаимодействия. Оператор L является линейным оператором; он свя-
связан с преобразованием в гл. 11 и подробно рассмотрен в при-
приложении. Оператор L зависит от неподвижной точки Ж*.
205
ГЛАВА 12
Матрица М размерами 2X2 [ем. в гл. 4 выражение D.32)]
также служит примером оператора L.
Начальное взаимодействие 6<3#О определяется обычно инте-
интегралом по всему пространству от плотности энергии. Однако
его будет удобно рассмотреть как локализованное возмуще-
возмущение Ь2@о- Запишем в общем виде
o], A2.9)
где g (х) — некоторая произвольная малая функция, а О[х, а] —
произвольная плотность взаимодействия.
Удобно рассматривать трансляционно-инвариантные плот-
плотности С [х, а]. Примерами трансляционно-инвариантных плот-
плотностей О[х, а] являются:
s (x), J ехр {- {х — уJ} s {у),
У
ехр {— {х — уJ} ехр {— {х — гJ} s {у) s(г) и т. д.,
где s {х) — фурье-образ величины aq. (Формальное определение
см. в приложении.) В линейном приближении возмущение bc/et
линейно по g(x). Выражение A2.9) можно переписать в виде
-г, a, t], A2.10)
X
где в аргументе функции С по причинам, которые мы объясним
ниже, вместо переменной х стоит переменная хе~*.
Вполне естественно рассмотреть экспоненциальные реше-
решения уравнения A2.8), а именно решения вида
bZet = exp(-dmtHm[o]. A2.11)
Функционалы От должны удовлетворять уравнению на соб-
собственные значения:
-dm0m[o] = L.0m[o]. A2.12)
Явные примеры решений, выраженных через локализованные
функционалы От[а], приведены в приложении. Оператор L не
является эрмитовым; это означает, что, кроме A2.11), могли
бы существовать также решения, которые ведут себя, как
fft ехр (-^dm?), однако на практике они не учитываются, и мы
206
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
их будем игнорировать. Мы будем предполагать, что множе-
множество решений От[а\ является полным, т. е. любой локальный
функционал можно выразить в виде линейной комбинации
функционалов От[а] (для большей точности см. ниже теорему
о разложении).
Функционалы ??тМ локализованы вокруг начала коорди-
координат. С помощью трансляции мы можем определить функцио-
функционалы От [х, с], локализованные в окрестности любой точки х.
Правило связи между этими функционалами следующее (см.
приложение):
От[х, о)=От)о'Ъ A2.13)
где a'q = exp (iq • х) oq. Эти преобразованные плотности также
определяют решения линеаризованных уравнений в виде
6^ = exp(-rfm0<?m[*e-<, a]. A2.14)
Соотношение A2.14) доказано в приложении. Причина, по
которой аргумент х заменяется на хе~{, заключается в том,
что физически локализация взаимодействия не должна зави-
зависеть от величины параметра t. Множитель ег* компенсирует
изменение шкалы безразмерной длины.
Предположим теперь, что у нас имеется некоторое произ-
произвольное начальное взаимодействие, имеющее вид A2.9), где
О [х, а] — взаимодействие, сдвинутое на произвольную вели-
величину. Оператор О [О, а] (по предположению) можно предста-
представить в виде линейной комбинации операторов От[а\.
O[0,o] = ZcmOm[<y]. A2.15)
т
Это немедленно означает, что
О[х,с\ = ^стОт[х, с]. A2.16)
т
Таким образом, решение 62et, соответствующее начальному
условию A2.9), имеет вид
= \g (х) ? ст exp (- dmt) Om \хе~\ с]. A2.17)
х т
Предостережение. На практике разложение A2.17) не
всегда сходится. Единственное действительно верное утверж-
утверждение— это то, что разложение A2.17) справедливо асимпто-
асимптотически для больших значений t. Некоторый абстрактный
§07
ГЛАВА 12
пример, который иллюстрирует это утверждение, заключается
в следующем. Пусть f(q)—функция, похожая на функцию
A + q2)~\ для которой ряд Тейлора по степеням q2 сходится
только для q2 < 1. Рассмотрим функцию fiqe*1) для задан-
заданного q, причем q2 > 1. При t = О ряд-Тейлора по q2 для этой
функции расходится. Однако для достаточно больших t раз-
разложение справедливо.
Локальные возмущения, рассматриваемые в статистиче-
статистической механике, возникают из-за локальных флуктуации тем-
температуры, химического потенциала и т. д.; каждый тип таких
флуктуации соответствует некоторому определенному функ-
функционалу О [х, с]. В теории поля эти функционалы после пе-
перенормировки соответствуют составным локальным операто-
операторам '). (С первого взгляда кажется, что типичные локальные
операторы, такие, как
х у
совсем не похожи на локальные произведения в теории поля,
например Ф?(х). Однако если безразмерное расстояние
|дс — у\ ~ 1 в гамильтониане ЬЖо выразить в физических еди-i
ницах, то оно станет пропорциональным Ло, а, когда Ло—> оо,
физическое расстояние между переменными х и у будет стре-
стремиться к 0.) Особые функционалы 0т[х, с] соответствуют
локальным операторам Каданова [9, 126], которые имеют мас-
масштабные индексы dm. В теории поля они определяют базис из
локальных масштабно-инвариантных операторов (Ут(х) [94];
величина dm является аномальной размерностью оператора От.
(Дальнейшее обсуждение этого вопроса см. ниже.)
До сих пор в нашем анализе предполагалось, что Шй та Ж,
так что возмущение 6Ж) мало. Для большей общности рас-
рассмотрения предположим, что Ж) является критическим взаи-
взаимодействием некоторой системы и определяется на критиче-
критической поверхности в области, соответствующей неподвижной
точке Ж*, однако не в непосредственной близости от этой
точки. Тогда существует критическая траектория Ж°, которая
при t —у оо стремится к точке Ж*. Рассмотрим малые откло-
отклонения от критической траектории:
A2.18)
') См. гл. 9. — Прим. перев.
208
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В этом параграфе под малостью возмущения bc/6t понимается
следующее (на языке гл. 7): параметр t соответствует либо
начальной переходной области, где взаимодействие Ж] суще-
существенно отличается от Ж*, либо промежуточной области, в ко-
которой Жг «» Я*, а возмущение ЬЖг тем не менее мало. «Об-
«Область корреляционной длины», которая соответствует боль-
большим значениям t и в которой величина ЬЖг велика, здесь
рассматриваться не будет. В переходной области возмуще-
возмущение ЪЖг удовлетворяет некоторому линеаризованному урав-
уравнению, но с оператором L\^e°t\, зависящим от времени t.
Для больших значений t, когда Ж\ «* Ж, оператор L [Ж(]
сводится к оператору L, который определен выше. Для боль-
больших значений t имеет место некоторая теорема разложения;
возмущение bMt для больших t удовлетворяет уравнению
A2.8) и, следовательно, ему соответствует разложение вида
A2.17) с коэффициентами ст, не зависящими от времени t.
Чтобы показать, что величина dm— аномальная размер-
размерность, полезно рассмотреть корреляционные функции, вклю-
включающие в себя локальное возмущение О [х, а]. Мы можем вы-
вычислить такие корреляционные функций, как
Z~'(s(*i) ¦•• s(xm)O[x, а]ехр(Ж^))
с помощью производящего функционала
СТ V X » )
A2.19)
включающего в себя член, содержащий функцию g(x) и рас-
рассматриваемый далее в первом порядке по g(x). Начальное
взаимодействие Жо выберем теперь в виде
Жо+\ё{хH[х, а].
X
Так как вклад g(x) может рассматриваться в первом порядке,
взаимодействие 36t имеет вид, сходный с выражением A2.7):
Я% = Ж + \g (х) ? ст ехр (- dmt) Om [xe-t, a]. A2.20)
ГЛАВА 12
[Если мы будем использовать уравнение ренормализационной
группы из гл. 11, производящий функционал A2.19) полу-
получится путем подстановки взаимодействия 26t в соотношение
A1.32).]
Таким образом мы пришли к рассмотрению корреляцион-
корреляционных функций, включающих в себя локальные операторы
(Ут [х, с] и вычисляемых с помощью взаимодействия Ж*, на-
например
/«(*. *1 *„) =
= (Zr'(s(*i) ...s{xn)Om[x, а] ехр {Ж* [а]}), A2.21)
где Z* — статистическая сумма, соответствующая взаимодей-
взаимодействию Ж*. Можно показать, что эта корреляционная функция
удовлетворяет закону подобия, аналогичному соотношению
G.45):
/«(*'*! О =
= exp(-n^)exp(-dm*)f;(*e-', *,«"' *„*-'): A2-22)
соотношение A2.22) означает, что dm—аномальная размер-
размерность оператора От точно так же, как ds — аномальная раз-
размерность, соответствующая спину s(x). Мы здесь дадим толь-
только набросок доказательства соотношения A2.22). Функцию
fm{x, *! жп) можно вычислить с помощью производящего
функционала
( [(х)От[х, а]\\, A2.23)
]\\
в котором член, содержащий функцию g(x), рассматривается
только в первом порядке. Уравнения ренормализационной
группы с начальным взаимодействием
можно проинтегрировать. В результате рассмотренный выше
производящий функционал можно записать в виде
lexp(-ndst)(s(ж,е-0 ...s{хпе^) X
X ехр |> [а] + J g (х) ехр (- dmt) От \хе~\ а]\ \; A2.24)
210
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
отсюда сразу следует искомый результат. [Если мы работаем
с точными уравнениями ренормализационной группы (см.
гл. 11), тогда выражение
<*(*,) ...5(*„)ехр(ад A2.25)
необходимо понимать как сокращение для функциональной
производной
где функционал Z [/, ЖД определяется выражением, A1.32)
а функция j(x, t) имеет вид
i(q, t). A2.27)
Более того, чтобы выражение A2.25) можно было использо-
использовать во всей области t, необходимо провести интегрирование,
скажем, от f до f + t вместо интегрирования от 0 до t, при-
причем для большого значения ?. Предполагается также, что
функция р(^) (см. приложение) имеет вид bt, где Ь — неко-
некоторая постоянная; величина ds равна тогда rf/2 — b. Функция
p(t) строится таким образом, что она не изменяется при по-
появлении возмущения
\g(x)O[x,a]
Это возможно потому, что функция р(^) нам необходима
только для того, чтобы установить существование неподвиж-
неподвижной точки Ж*, т. е. нет необходимости изменять функцию
р(^), когда рассматриваются возмущения в окрестности точ-
точки Ж* (за исключением некоторого особого случая, которого
можно ожидать при наличии близких неподвижных точек).]
В качестве следствия из закона подобия для корреляцион-
корреляционных функций включающих в себя оператор От [х, а], полу-
получаем, что операторам, обладающим наименьшими значе-
значениями dm, соответствуют наиболее медленно спадающие кор-
корреляционные функции (дальние корреляции). «Дальние кор-
корреляции» означают, что корреляционная функция отлична от
нуля для расстояний |лс* — *j|vE!l> выраженных в безразмер-
безразмерных единицах начального взаимодействия, т. е. в статистиче-
статистической механике «дальние» по сравнению с постоянной решетки,
211
ГЛАВА 12
а в теории поля «дальние» по сравнению с расстоянием
(Ло)~', соответствующим обрезанию. Таким образом, если для
оператора (У[х, с] можно записать разложение A2.20), тогда
в любой медленно спадающей корреляционной функции его
можно заменить ведущим оператором 0Л.х, о] (т. е. операто-
оператором с наименьшей величиной dm, для которого коэффициент
ст отличен от нуля). В простой модели, рассмотренной в гл. 4,
это означало, что почти все операторы 0[х, с], нечетные по с,
ведут себя как s(x), а почти все операторы, четные по а, ве-
ведут себя как плотность энергии (порождаемая флуктуациями
температуры Г). Все это является частью общей теории опе-
операторов, предложенной Кадановым в работах [9, 126].
В рамках идей, которые здесь рассмотрены, можно полу-
получить редукционную операторную формулу Каданова [126]
(в теории поля этому соответствует формула для разложения
произведения операторов [94, 124, 127]). Мы не будем здесь
вдаваться в детали. Идея состоит в следующем: если мы инте-
интересуемся произведением операторов 0тх \х\, аHт2{х2, о) для
больших расстояний |jcj —х2\ в рамках корреляционной функ-
функции, содержащей удаленные от хи х2 сщшы s(x3), s(jc4)
ит.д.1) (| х3 — Xi |> | х2 — хх |и т. д.), тогда это произведение
можно включить во взаимодействие Жо, определив его сле-
следующим образом:
Жо = Ж*+\ \g{xu х2Hт,(хи о)ОтЛх2, а). A2.28)
X, X,
Если теперь это взаимодействие рассматривается с точностью
до первого порядка по g, то для больших t мы получаем вы-
выражение
9$t = Ж + J J g (ж,, х2) Y, ст(*1 - х2) ехр (- dj) Om{х,е~К а),
х, Xi in
A2.29)
которое устанавливает соответствие между произведением
операторов и суммой по операторному базису.
Следующая задача состоит в исследовании трансляцион-
но-инвариантных возмущений [63]. Это означает, что возмуще-
') То есть оператор Отх (*,, o)Omi(xv а) вместе с другими операто-
операторами содержится в произведении, определяющем некоторую корреляцион-
корреляционную функцию, свойства которой и исследуются в дальнейшем. — Прим.
перев.
212
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
ние ЬЖо имеет вид A2.9) с функцией g(x), не зависящей от*,-
т. е. g(x) = g. В этом случае замена переменных х —> хе* в вы-
выражении A2.17) приводит к выражению
= g ? cm exp {(d - dm) t) \ Om [x, a]. A2.30)
m x
В этом выражении члены, для которых dm <[ d, растут с t,
в то время как члены, для которых dm > d, убывают. Следо-
Следовательно, число существенных операторов От (dm <. d) опре-
определяется степенью нестабильности неподвижной точки Ж*.
Таким образом, мы можем определить /г-кратно нестабильную
неподвижную точку Ж* как неподвижную точку, которой со-
соответствует п существенных операторов. [Если имеется неко-
некоторое число «неприятных» операторов, соответствующих
dm = d, то для определения того, дают ли эти операторы
вклад в нестабильность или нет, необходимо провести вычис-
вычисление во втором порядке по функции g(x) (см. работу [63]
игл. 13).]
В заключение отметим, что часть области, соответствую-
соответствующей точке Ж*, в окрестности самой Ж*, легко определить: она
состоит из всех возмущений, не содержащих ни одного су-
существенного оператора. Это означает, что размерность обла^
сти Ж* на п меньше размерности пространства S.
Глава 13
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ —
ТЕОРИЯ ПОЛЯ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ #_4
В гл. 12 мы показали, что для любой фиксированной
точки Ж* существует область взаимодействий D, критическое
поведение которых описывается гамильтонианом Ж*. И для
статистической механики, и для теории поля чрезвычайно
важно сформулировать способ определения границ подобных
областей.
Мы опишем здесь некоторую приближенную технику оп-
определения границы области, опирающуюся на высокотемпе-
высокотемпературные разложения. Эта техника будет развита для весьма
специфичного примера, а именно применительно к задаче оп-
определения границы области гауссовой неподвижной точки для
модели в пространстве четырех измерений. (Подобную область
мы будем называть областью взаимодействий, соответствую-
соответствующих «свободному полю», или свободной областью.) Развитый
метод после дальнейшего усовершенствования можно исполь-
использовать и в других задачах, касающихся границ областей, от-
отвечающих неподвижным точкам.
Особый интерес для специалистов по квантовой теории
поля представляет природа и особенности поведения свобод-
свободной области в четырехмерном пространстве. Рассмотрим слу-
случай перенормированной теории поля со взаимодействием ф*.
До тех пор пока взаимодействие ф* (при подходящем выборе
параметра обрезания) лежит в свободной области, перенорми-
перенормированная теория поля, определенная так, как это пояснено
в гл. 12, является теорией без взаимодействия. Свободная об-
область с определенностью имеется для случая малой затравоч-
затравочной постоянной взаимодействия (см. ниже); следует выяснить
вопрос, не оказывается ли взаимодействие при больших зна-
значениях постоянной взаимодействия вне свободной области и,
тем самым, возможно, в области, для которой существует не-
нетривиальная неподвижная точка.
214
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Вполне возможно, что вся критическая поверхность (см
гл. 12) может оказаться внутри свободной области. В таком
случае невозможно было бы получить перенормированную
теорию ф* с отличным от нуля взаимодействием. Это не про-
противоречит существованию перенормированной теории возму-
возмущений для взаимодействия ф4. Общеизвестным примером мо-
может служить модельная теория (модель Ли [128]), которой
соответствует перенормированная теория возмущений, но для
которой, однако, единственной точно определенной перенор-
перенормированной теорией будет теория свободного поля.
[Для модели Ли можно найти некоторую теорию со взаи-
взаимодействием как предел взаимодействий с неэрмитовым обре-
обрезанием. Теория, получаемая при таком предельном переходе,
представляет собой перенормированную теорию возмущений.
В ней, однако, возникают нежелательные «призрачные» со-
состояния. В теориях, обсуждаемых здесь, все гамильтонианы
при обрезании являются эрмитовыми (см. гл. 10).]
Сама .идея наличия неподвижных точек и областей, состоя-
состоящих из неподвижных точек, возникла в старой теории ренор-
мализационной группы Гелл-Манна и Лоу (см. [76]). Старый
подход имел недостаток: невозможно было определить распо-
расположение неподвижных точек или границ области, и, как след-
следствие этого, подобная теория была в высшей степени некон-
неконкретна. Расчеты, описанные в нашей книге (и в особенности
предлагаемые обобщения их), полностью основываются на
современном подходе к этим вопросам.
Так, в частности, обрезание в теорию взаимодействия ф4
будет введено при помощи задания некоторой решетки так,
как это обсуждалось в гл. 10. Решеточные модели из гл. 10
будут изучены для всех значений постоянной взаимодействия
при ф*, т. е. для всех значений коэффициента и0 при s4, по-
аналогии со статистической механикой. Найдено, что вся об-
область 0 sg; «о ^ °° лежит в свободной области '). Используе-
Используемые здесь высокотемпературные разложения позволяют рас-
рассматривать на равных основаниях и большие, и малые значе-
значения «о- Проводимые расчеты грубы, но, по всей вероятности,
надежны. Частично они были подтверждены расчетами с ис-
использованием приближенной рекуррентной формулы из гл. 6
(см. конец этой главы). В дальнейших исследованиях в мо-
') Для d ^ 4. См. примечания в гл. 7 и 8 относительно случая d = 4
(стр, 104), — Прим. перев.
ГЛАВА 13
дель будут включаться дополнительные члены s6, ss и т. п.,
что позволяет надеяться на определение границы области.
Яснов и Уортис [129] пытались показать существование
резкой границы области (в несколько иной проблеме), исходя
из того факта, что при переходе через границу области кри-
критические показатели испытывают скачок. Однако в рамках
используемой ими техники высокотемпературных разложений
практически возможно появление лишь непрерывно изменяю-
изменяющихся показателей; существование разрыва должно подразу-
подразумеваться. В данной главе метод ренормализационной группы
Фиг. 13.1. Топология на критической поверхности (рассматривается
теория поля со взаимодействием Ф*).
По оси и откладывается величина постоянной затравочного взаимодействия и^Ф4, по
оси w — промежуточная переменная. Pq— гауссова неподвижная точка. Траектории В
и С—две типичные траектории, обсуждаемые в тексте.
будет использован для определения функции -ф(ы0), исчезаю-
исчезающей на границе (если такая граница существует). Следова-
Следовательно, в нашем случае нет необходимости искать разрывы.
Обратимся вначале к результатам анализа, проведенного
с помощью метода ренормализационной группы. Чтобы разо-
разобраться в них, необходимо понять, каким образом траектории
в свободной области приближаются к гауссовой неподвижной
точке. На фиг. 13.1 изображено некоторое сечение критической
поверхности. Координатами являются постоянная взаимодей-
взаимодействия и, стоящая при s*(^4), и промежуточная переменная w.
Точка Pq является гауссовой неподвижной точкой. Начальные
взаимодействия не имеют членов с w и характеризуются раз-
различным выбором значений величины м0; при этом траектории
для разных значений и0 выглядят подобно траекториям В и С
на фиг. 13.1. Найдено, что вблизи PG они располагаются
216
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
весьма близко к единственной траектории А. Это будет пояс-
пояснено ниже.
Если свободная область имеет границу, то простейшая то-
топологическая конфигурация подобна той, что представлена на
фиг. 13.2: имеется двукратно нестабильная неподвижная
Область, соответствующая
свободному полю
У
Граница
Фиг. 13.2. Простейшая топология при наличии второй неподвижной
точки Рв.
Вертикальная линия W соответствует воротам, которые обсуждаются в тексте.
иос—наименьшая величина параметра и, начиная с которой траектория уже не закан-
заканчивается в точке Pq.
точка Рв, а граница свободной области сама является об-
областью для Рв- Траекторию А в этом случае можно опреде-
определить как траекторию, связывающую Рв и PG. Если граница
пересекает каноническую поверхность (в данном случае ось и),
тогда траектории, выходящие из канонической поверхности,
при приближении к границе выглядят подобно D на фиг. 13.2.
Определяющей особенностью траекторий, подобных D, яв-
является то, что они долгое время остаются вблизи неподвиж-
неподвижной точки Рв и, следовательно, в течение большого проме-
промежутка времени t не проходят через « ворота» W (см. фиг. 13.2).
Для любого начального значения и0 из области изменения
постоянной взаимодействия и определим время tw(uu) как
время, через которое траектория, начинающаяся в точке и0,
пройдет через ворота W. Для удобства ворота будут распола-
217
ГЛАВА 13
гать&я в н&ноерадственной близости ет гауееоввй неподвиж-
неподвижной точки.
Из чисто топололических соображений нетрудно усмотреть,
что время tw(u0)—»¦ оо, если точка и0 приближается к границе
свободной области. Обусловливается это следующей причи-
причиной. Пусть величина и0 возрастает. Когда ы0 достигает гра-
границы, траектория, выходящая из точки и0, должна вести себя
разрывно: вместо того чтобы приближаться к PG, она либо
остается на границе, либо покидает пределы области. И если
дифференциальное уравнение, из которого находятся, траек-
траектории, не является патологическим, то лишь в предельном
случае t-+co траектория может вести себя разрывно. Следо-
Следовательно, время прохождения ворот W стремится к оо по мере
того, как и0 приближается к границе. Это обстоятельство бу»
дет использовано для выяснения факта существования гра^
ницы.
Определим теперь функцию
- .D
Чтобы время tw(u0) становилось бесконечным при и0 == ыОс,
оставаясь конечным для меньших значений ы0, производная
dtw{uo)lduo должна быть бесконечной при и0 = иОс; это озна-
означает, что функция г|5(м0) в точке «о = "ос должна обращаться
в нуль. (Функция г|5(ы0) является, таким образом, аналогом
функции ф, введенной первоначально Гелл-Манном и Лоу,
в том смысле, что существование нуля у г|5(м0) при некотором
ненулевом значении параметра «о делает возможным суще-
существование нетривиальной перенормированной теории; см. ра*
боту [76].) Обсуждение в общих чертах случая, когда точка
и0 = оо, стоит провести особо. Однако в этом случае, как
станет ясно, точка и0 = оо располагается внутри свободной
области.
Как будет видно ниже, функция г|?(ы0) нигде не обращается
в нуль, а при «о = °° функция г|э отрицательна. Следова-
Следовательно, время tw{u0) конечно для конечных и0, а с ростом «о
уменьшается. Таким образом, вся ось и0 содержится внутри
свободной области.
Покажем, что в модели fi, во-первых, существует един-
единственная траектория А, к которой при больших t стремятся
траектории, выходящие из точек, близких к PG. «Близость
к точке Pq» означает, что параметры и и w малы и, следова-
218
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
тельно, применим подход, использующий ту форму уравне-
уравнений ренормализащгонной группы, которая основана на теории
возмущений. Согласно гл. 4, в случае d = 4 итерационное
уравнение для щ [уравнение D.27), в котором мы пренебре-
пренебрегаем rj имеет вид
A3.2)
Переписанное в виде дифференциального «уравнения, оно вы-
выглядит следующим образом:
^ A3.3)
Решение уравнения A3.3) записывается в виде
где ^о— постоянная. Таким образом, ut—*-0 при t—*¦ оо как l/t.
В противоположность этому типичное уравнение для проме-
промежуточной переменной в низшем неисчезающем приближении
можно записать так:
-^- = -2ш,+ "?. A3.5)
Поскольку ut уже известно, нетрудно найти решение этого
уравнения:
t
wt = w0 exp (— 2t) + J exp {— 2 if — П)} «?, dt\. A3.6)
о
Единственным параметром, который оказывает влияние на
местонахождение траектории, является ш0; изменяя ?0, мы из-
изменяем лишь начало отсчета переменной t вдоль траектории.
Для больших t членом w0 по сравнению со вторым членом
в A3.6) можно полностью пренебречь; следовательно, с точ-
точностью до членов порядка ехр(—2t) все траектории вблизи
точки PG (на критической поверхности) совпадают.
В качестве следующего шага необходимо обсудить пове-
поведение траекторий, которые начинаются весьма близко к кри-
критической поверхности, но не на ней. На основе этого анализа
для функции г|)(ио) будет получена формула, которую можно
использовать для расчетов, основанных на высокотемператур-
высокотемпературном разложении.
219
ГЛАВА 13
Если вначале некая траектория чрезвычайно близка к кри-
критической поверхности, то лишь для очень больших t она за-
заметно отойдет от нее. Следовательно, такая траектория будет
вначале проходить очень близко к траектории А и очень
близко к точке PG, однако прежде чем достигнуть PG, она по-
покинет критическую поверхность. Существенные переменные
вблизи точки PG — это г и и; возможные траектории, поки-
покидающие критическую поверхность, показаны на фиг. 13.3
(В и С). (Параметр г был введен в гл. 13. Его начальные
- U
Фиг. 13.3. Поведение траекторий (В и С) ренормализационной группы
вблизи точки PQ в случае, когда они немного сдвинуты с критической по-
поверхности.
значения г0 связаны с выраженной в единицах параметра об-
обрезания затравочной массой р,0 из теории взаимодействия $4;
см. гл. 3 и 10.)
Пусть go — корреляционная длина, соответствующая на-
начальному взаимодействию. Ее можно изменять независимо от
и0; величина go варьируется при варьировании разности
Го — ^(Мо), где rOc(«o)—значение параметра г0 на критиче-
критической поверхности.
Вместо функции tw(uo) можно взять более общую функ-
функцию tw{Uo, go), продолжая ворота W за критическую поверх-
поверхность так, как это показано на фиг. 13.3.
Определим теперь г|5(ы0. go) как функцию, переходящую
в г|5(«о) при go—>оо. Если корреляционная длина g0 очень ве-
велика, разность tw(uo + б«о)— ^w("o) слабо зависит от g0, что
позволяет заменить эту разность следующей разностью:
tw ("о + б«0. So + Sg0) - tw («о. io).
220
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
а вариацию 6|о можно выбрать таким образом, чтобы вычис-
вычисления стали проще. Рассмотрим траектории, отвечающие
(ы0, 1о) и (ы0 + 6М(ь io + 6|o); они отмечены на фиг. 13.3 со-
соответственно буквами В и С.
Как это показано на фиг. 13.3, траектории В и С значи-
значительно отличаются в области за воротами W. Удобно сделать
их совпадающими. Этого можно добиться, подбирая б|0 та-
таким образом, чтобы В и С, пересекая линию 1=1, прошли
через одну точку. В таком случае эти траектории совпадут во
всей области после ворот W. Обусловлено это тем, что зада-
задание гамильтониана 36t в одной точке определяет траекто-
траекторию Жг целиком. На самом деле невозможно сделать так,
чтобы траектории на поверхности \ = 1 совпали в точности,
поскольку значения промежуточных переменных, подобных w,
будут слегка отличаться для двух таких траекторий. В обла-
области перед воротами W, где величина параметра и не мала,
эти промежуточные переменные важны и траектории В и С
существенно различаются. Это было уже показано на
фиг. 13 1.
Разность времен
*w («о + б«о. ёо + б*о) — tw («о, go)
не меняется при перемещении вдоль общей траектории от во-
ворот W до линии 1=1. Таким образом, эту разность времен
можно записать также в виде
*,(ио + аио, &o + aio)-fi(ao, So),
где ti(iio, go) означает время, соответствующее той траекто-
траектории, которая пересекает поверхность с 1 = 1. В таком случае
время ti(uo, lo) можно выразить через 10, поскольку соотно-
соотношение gf = е~'1о = 1 будет иметь место, если
*,(«„, So) = In So- A3.7)
Таким образом, разность времен дается выражением
tw (щ + би0) - tw (н0) = In (g0 + 6?o) - In lo. A3.8)
Пусть значение параметра и, при котором t = ti(u0, l0),
будет равно Mi(«o, io)- Две траектории В и С совпадают на
поверхности 1=1, если величины Mi одинаковы для обеих
траекторий. Следовательно, вариацию б!о необходимо вы-
221
ГЛАВА 13
брать так, чтобы величина Ы] оставалась постоянной. По этой
причине функцию г|5(Ио, ?о) определяют как производную:
A3.9)
где корреляционная длина |0 изменяется с и0 так, что вели'
чина щ («о, |о) остается фиксированной. При |0->оо получаем
( 1)()
Тот факт, что параметр ы0 должен меняться, когда с целью
зафиксировать величину и\ изменяется |о> является примером
перенормировки постоянной взаимодействия. В этом примере
имеется однопараметриче-ское семейство траекторий, проходя-
проходящее через поверхность | = 1 и параметризуемое постоян-
постоянной щ; постоянная щ тесно связана с перенормированной по-
постоянной взаимодействия (см. ниже). В том случае, когда
меняют начальную корреляционную длину |0, соответствую-
соответствующую некоторой траектории (что аналогично варьированию
параметра обрезания Ло в гл. 12), то, для того чтобы вели-
величина «1 оставалась фиксированной, необходимо изменить так-
также величину параметра и0 (см. гл. 12).
Следующим шагом является получение высокотемператур-
высокотемпературного разложения для функции -ф(ы0, 1о). Высокотемператур-
Высокотемпературные разложения определены для решеточных моделей стати-
статистической механики. В гл. 10 было разъяснено, что эти реше-
решеточные модели определяют некоторые квантовые теории поля.
Здесь будет использован язык статистической механики. Ис-
Исходное взаимодействие на решетке берется в том же виде,
что и в гл. 10:
где К, Ъ и «о— свободные параметры. Функция ф(ы0) |о) будет
получена из спин-спиновой корреляционной функции во внеш-
внешнем поле h:
/sns0 exp (- Щ exp (h ? «Л
Г„(А, К, ио)=Х v " У/ , A3.12)
/ехр (- Жй) ехр Пг ^ 8ЯЛ\
222
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН ТОЧКИ
где
Высокотемпературное разложение является разложением
функции Гп (h, К, «о) по степеням параметра К. Подобное
разложение весьма широко обсуждалось (см., например, в ра-
работе [97]), и мы не станем излагать его здесь еще раз. Чтобы
получить разложение функции Tn(h, К, «о) до девятого по-
порядка по К, был использован метод Яснова и Уортиса [129].
Расчеты были проведены Вильсоном с помощью компьютера.
В настоящее время существуют программы [113, 130], позво-
позволяющие провести вычисления до 12-го порядка по К- При раз-
разложении по параметру К для каждого члена разложения по-
получаем интегралы вида
ЕЕ ЕЛ A3.13)
где Р [sm] означает произведение спинов. Этот интеграл распа*
дается на произведение отдельных интегралов: по одному для
каждого узла решетки. Для какого-либо узла интеграл в свою
очередь имеет вид
{ J A3.14)
Подобные интегралы были рассчитаны численно с высокой
точностью с помощью компьютера.
Ничто не запрещает нам произвести в этих интегралах
масштабное преобразование sn -> ?sn; единственным след-
следствием его является масштабное преобразование функции Гп:
что не оказывает влияния на вычисление функции ф(мо, %о),
которое излагается ниже. Вследствие этого произвола нет не-
необходимости проводить вычисления для всех значений пара-
параметров К, Ь и «о- При численных расчетах было использовано
условие нормировки
|+ио=1. A3.15)
223
Глава
Спин-спиновая корреляционная функция была вычислена для
значений параметра «о, приведенных в табл. 13.1. Она была
получена в виде разложения по К и ft.
Таблица 13.1
"о
0
0,25
0,5
1
2
3
5
7,5
10
20
40
оо
0,25
0,329
0,3637
0,4004
0,4276
0,4322
0,4218
0,4000
0,3794
0,3362
0,3152
0,3000
Теперь необходимо выразить функцию tfs(ы0,1о) через спин-
спиновую корреляционную функцию. Во-первых, перейдем а г
переменных |0 к К. Корреляционная длина g0 является функ-
функцией переменной К (для фиксированного значения параметра
ы0) и стремится к оо, когда К-+Кс(ио), где К"с(«о)—критиче*
ское значение переменной К- Таким образом, -ф будет рассма-
рассматриваться как функция параметров и0 и КЬЗр(иц, К)], а исход*
ная функция t|j(«o) имеет вид
•ф ("о) = ^ ("о. Ке ("о))-
A3.16)
В качестве определения |0, используемого здесь, служит «эф-
«эффективный радиус корреляции», введенный в гл. 3 [соотноше-
[соотношение C.30)]:
d In f, @, К, «о)
So —
dq*
A3.17)
где
, К, «о) =
г<? • я)Г«(А, К, и0). A3.18)
224
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Чтобы с помощью выражения A3.10) определить функцию г|>,
необходимо знать, каким образом можно зафиксировать
"i("o, io). Для этого нам нужно найти величину, которую
можно рассчитать и выразить через функциюТд (/г, К, «о), но
которая зависит лишь от щ.
Рассмотрим эффективное взаимодействие 36to соответ-
соответствующее моменту времени, когда траектория ренормализа-
цио'нной группы пересекает поверхность 1=1. Это эффектив-
эффективное взаимодействие фиксировано, если определено значение
величины «i(u0, lo). Таким образом, любая величина, завися-
зависящая только от взаимодействия 5^,, будет зависеть факти-
фактически только от U\. Формулу для функции fq при А = 0 с по-
помощью взаимодействия Mtv можно представить следующим
образом:
Г„@, К, ио) = ехр(-<ВД2(«о, К, fiJ/^faexpft), и,), A3.19)
где
r-1
Z\ — статистическая сумма для гамильтониана Mto а вели-
величина ?(«о. К, А) ~ множитель, соответствующий перенорми-
перенормировке спинов. [См. уравнения G.15) и G.25).] Поскольку
экспонента ехр(^) равна корреляционной длине 10, имеем
(в этой главе d = 4):
fq(O,K,uo)=loiC(uo,K,t1)F2(loq,u1). A3.21)
Производная d2Tq(h, К, uo)[dh21„_0 (если отбросить несвязан-
несвязанные диаграммы Фейнмана) является четырехспиновой корре-
корреляционной функцией. Как легко видеть, она имеет следующее
представление:
o, К, tJFAZtf, «,)• A3-22)
[Выражения A3.21) и A3.22) справедливы ллшь для боль-
больших значений корреляционной длины 1о'- если параметр «о
порядка 1, а корреляционная длина 1-0 невелика, тогда вели-
величина «1 также порядка 1. В таком случае гамильтониан 36t
наряду с «1 зависит от промежуточных переменных; следова-
следовательно, функции F2 и /ч зависят, помимо 1о<7 и щ, и от других
переменных. Здесь все это несущественно, поскольку мы нуж-
8 Зак. 409 225
ГЛАВА 13
даемся в соотношениях, которые используются лишь для боль-
больших go-]
Из выражений A3.21) и A3.22) следует, что величина
i,4fM..«..,)/^)
Я [Го @, К,ио)Г2 V ;
зависит только от параметра ии а именно
и*-шьш: A
(Введенная здесь величина uR не совпадает с uR из гл. 9, од-
однако они играют сходную роль — обе выступают как постоян-
постоянные перенормированного взаимодействия.) Легко проверить,
что для малых значений величины и\ функция /^(О, и\) ли-
линейна по «ь в то время как функция /^@, и\) является неко-
некоторой постоянной. Следовательно, в первом приближении ве-
величина uR линейна по ti\. Таким образом, фиксируя вели-
величину ын, мы фиксируем и величину и\.
Формула для функции ф(ыо, К) выглядит теперь так:
Г. A3.25)
Поскольку высокотемпературное разложение дает значение
величин uR(K, Uo) и h(K, «о), то в этой формуле необходимо
перейти от переменной К к переменной uR. Производную
A3.25) можно выразить с помощью производных по пара-
параметрам uo и К, рассматриваемых как независимые перемен-
переменные, в итоге это дает
Выражение A3.26) было использовано для получения разло-
разложения функции t|3(«o, К) по параметру К- Эти степенные ряды
были записаны для каждого значения параметра и0, приве-
приведенного в табл. 13.1. (Для расчета как производной
dTn/duo(h, К, Uo), так и функции Tn(h, К, «о) были использо-
использованы вычисления, полученные с помощью компьютера.)
Чтобы определить функцию ty(uo, Kc), необходимо знать
критическое значение параметра К, т. е. A"c(«o). Для этого ис-
используем стандартную процедуру [97] определения Кс- Рас-
Рассмотрим функцию Tq@, К, «о) при q = 0. Эта величина равна
226
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
восприимчивости %. Для заданного значения параметра и0 по-
положим
A3.27)
В критической точке восприимчивость стремится к бесконеч-
бесконечности (отражая факт появления спонтанной намагниченно-
намагниченности). Таким образом величина Кс является радиусом сходи-
сходимости разложения A3.27) по К, если только, конечно, не су-
существует комплексных сингулярностеи, расположенных ближе
к началу координат (\К\ = 0). Однако для I ^ 9 все извест-
известные коэффициенты щ положительны — это наводит на мысль,
что ведущая сингулярность находится на положительной по-
полуоси К. В таком случае величина Кс определяется из соот-
соотношения
Кс = lim
A3.28)
Значения отношений а^щ приведены в табл. 13.2 для ыо=2О.
Чтобы получить точное значение величины /Се(ы0), была ис-
использована процедура экстраполяции, описанная в работе [97];
это позволило определить величину Кс(«о) с ошибкой, мень-
меньшей 1%. Результаты приведены в табл. 13.1.
Таблица 13.2
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
al-\lal
0,283
0,321
0,323
0,328
0,328
0,331
0,331
0,332
0,332
h
931,88
4 743,8
— 18 402
70 212
—24 969
860 892
-2 857 774
Поскольку степенные ряды, отвечающие функции t|}(u0, K)>
при К = Кс("о) сходятся медленно, то, следуя установив-
8* 227
ГЛАВА 13
шейся в статистической механике практике [97], эти ряды
суммируются с помощью метода аппроксимантов Падё. Так
как разложение функции \|з(«о, К) начинается с члена К2, то
метод Падё применяется к функции [гр(ыо, К)/К2]. Процедура
заключается в расчете «таблицы Падё» при К = Кс- Числа,
стоящие на пересечении М-я строки и iV-ro столбца, т. е.
[М, Щ, вычислялись следующим образом. Допустим, что для
данного значения параметра ы0 разложение функции t|3(«o, Ю
имеет вид
сю
К~Ч(и0, K)=Y,blKl. A3.29)
(В табл. 13.2 приведены постоянные Ьх для ио = 20; оказы-
оказывается, что мы можем, задав разложение для функции fq до
членов порядка К9 включительно, рассчитать Ь\ только для
/ <; 6.) В разложении A3.29) берут члены до порядка
(М + N) и для малых значений К аппроксимируют ряд от-
отношением полиномов соответственно порядка М и N по К
с точностью до членов порядка KN+M+l:
M+N Г V С]
? bK1 = у^y + О (KM+N+i). A3.30)
у^ y
L/=o J
Если заданы постоянные bi, то с точностью до общего мас-
масштабного множителя эта формула позволяет получить М + 1
постоянных ci и N -{- I постоянных d\. В итоге «матрица» ')
[М, N] из табл. 13.3 определяется выражением
Г М 1
A3.31)
Таким образом были рассчитаны все «матричные элементы»
для параметра и0 = 20 с (М + iV)*^ 6 и результаты сведены
') Результаты расчета аппроксиманта [М, N] данного выражения, вы-
выполненные по правилам, сформулированным ниже, мы называем «матри-
«матрицей», чтобы избегать более длинного выражения «таблица Падё» вели-
величин... — Прим. ред.
228
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Таблица 13.3
м = о
1
2
3
4
5
6
ЛГ = О
-1,073
1,546
—0,719
0,836
-0,536
0,607
-0,448
1
-2,891
-4,119
-3,983
-4,854
—4,356
-5,093
2
-3,624
—3,994
-4,097
—4,518
-4,632
3
—3,870
—2,949
-4,792
—4,806
4
—4,205
—4,438
—4,806
5
—4,342
—3,321
Примечание. По ошибке эти числа вычислены для Кс = 0,3328, а не для 0,3362.
в таблицу Падё (табл. 13.3). Указанные в ней числа соот-
соответствуют аппроксим антам Падё для функции 1000/Cc/i|3 (ы0. Кс)
при Uq = 20. Стандартные сведения относительно таблиц
Падё [97] сводятся по существу к следующему: 1) аппрокси-
мантам [М, 0] и [0, N] доверять нельзя, 2) «матричные эле-
элементы» вблизи середины строки ближе к искомой величине,
чем те, что находятся по ее краям, и, наконец, 3) вообще го-
говоря, среди матричных элементов может быть несколько «не-
«непутевых», т. е. таких чисел, которые не имеют смысла по
сравнению с соседними «матричными элементами». Есте-
Естественно, что те «матричные элементы», которые находятся
в нижней части таблицы Падё (М-{-N большие), лучше пере-
передают искомую величину, чем те, что находятся в верхнем
углу. Применяя эти правила к результатам расчета, приве-
приведенным в. табл. 13.3, можно заключить, что
¦ B0.
; — 5
A3.32)
со сравнительно большой ошибкой, скажем 20%. По-види-
По-видимому, весьма маловероятно, чтобы функция tp B0, Кс) оказа-
оказалась равной 0.
Поведение функции ty(uo), полученной с помощью описан-
описанной выше процедуры, представлено на фиг. 13.4 [по оси х от-
отложена величина х = ио/A + ы0)]. Эта функция стремится
229.
ГЛАВА 13 -«
к бесконечности при и0 = 5, а для остальных значений пара-
параметра щ она отрицательна и конечна. Из уравнения
du0
1-1
A3.33)
можно усмотреть, что сначала время tw(uo) при увеличении
параметра ы0 возрастает и достигает максимума при и0 = 5,
х=
Щ
Фиг. 13.4. Функция ф, вычисление которой обсуждается в тексте.
а затем для ы0 ~> 5 уменьшается. Расчеты должны были бы
содержать очень большую ошибку, если предположить, что
время tw(uo) обращается в оо для конечных или бесконеч-
бесконечных «о- Конечно, это утверждение не означает, что бесконеч-
бесконечные значения tw(uo) полностью исключены; приближение
Падё представляется слишком ненадежным, даже если в раз-
разложении по К известно 7 членов.
Из вычислений, проведенных выше, можно сделать вывод,
что ось «о на критической поверхности в пространстве началь-
230
Предварительное исследование нетривиальной неподвижн. точки
ных взаимодействий лежит внутри свободной области. Остает-
Остается рассмотреть, может ли добавление к исходному взаимодей-
взаимодействию членов ф6, фа и т. п. вывести нас за пределы свободной
области. Подобные добавки могли быть изучены с помощью
той же самой техники, что и выше. Хотелось бы также иссле-
исследовать влияние более сложных членов градиентного типа
ф2уф2 и т. д., однако эти члены в рамках решеточных моделей
связывают различные узлы решетки и оценить их вклады го-
гораздо труднее.
•ч*.
0,4
Фиг. 13.5. Зависимость Ию от параметра и0, полученная с помощью при-
приближенной рекуррентной формулы.
Теория ф* в четырехмерном пространстве была рассмо-
рассмотрена также с использованием приближенной рекуррентной
формулы из гл. 6. Было установлено следующее: для значе-
значений параметра «о, меньших примерно 0,4, эффективное взаи-
взаимодействие Qi(y) для больших I вело себя как rxy2 -f- щу*, где
щ мало (порядка 1//). Для больших, но фиксированных зна-
значений / поведение величины щ как функции параметра ыо
в грубых чертах передается фиг. 13.5: величина щ возрастает
до некоторого максимального значения, а затем уменьшается,
становясь отрицательной примерно при и0 «* 0,4.
Отрицательное значение величины щ означает, что
ехр {—Qi(y)} стремится к оо для у —* оо, если только вклад от
члена у6 или членов более высокой степени не стабилизирует
Qi; это означает в свою очередь, что необходимо исследовать
поведение функции Qi(y) для больших у — задача, которая
нами пока не исследована.
231
ГЛАВА 13
Ожидаемое значение величины щ для больших, но фикси-
фиксированных / связано со временем прохождения через ворота
tw(uo). Время tw(u0) — время, для которого величина щ при-
принимает заранее определенное значение. Поскольку величина ut
уменьшается с увеличением t, то, если время tw(u0) увеличи-
увеличивается с ростом параметра цо> из этого следует, что вели-
величина щ для фиксированного I также должна увеличиваться
с ы0; если же время tw(u0) уменьшается, когда параметр и0
увеличивается, то величина щ также должна уменьшаться.
Следовательно, возрастание и убывание величины щ на
фиг. 13.5 согласуется с результатами высокотемпературного
разложения для времени tw(uo), из которых следует, что ве-
величина tw(u0) первоначально растет, а затем убывает. По-
Поскольку в приближенную рекуррентную формулу входит боль-
большое число аппроксимаций, не стоит предавать особого значе-
значения тому факту, что максимум tw(uo) имеет место при «о ~ 5,
в то время как для щ максимум имеет место при Ыо < 0,4.
Вывод, полученный из рекуррентной формулы о том, что
величина щ для и0 > 0,4 становится отрицательной, не под-
подтверждается результатами, полученными с помощью высоко-
высокотемпературных разложений. Ниже будет показано, что если
эффективная постоянная взаимодействия ut становится отри-
отрицательной для конечных t и для величины и0, большей, чем
некоторое «критическое» значение Ыо<> тогда функция ч|з(«ое)
равна нулю и функция t|j(«o) равна нулю, а для значений па-
параметра «о, несколько меньших иои функция t|}(«c)< 0- В тер-
терминах величины tw(uo) это означает, что tw(u0)—* — оо при
"о—* "(и- Результаты для функции tjj, полученные методом вы-
высокотемпературного разложения (фиг. 13.4), не позволяют
сделать вывода о наличии подобного нуля.
Чтобы показать, что величина *|з(ыог) действительно равна
нулю, рассмотрим вначале случай ы0 < "ог. В этом случае ве-
величина ut асимптотически для больших t ведет себя, как
(t — to)~l [см. уравнение A3.4)], где U зависит от пара-
параметра «о- Легко видеть, что величина ?о("о) лишь на постоян-
постоянную отличается от tw{uQ). Причиной этого является то, что
для t = tw(uo) величина щ равна значению и в области во-
ворот W, которое не зависит от параметра и0. Следовательно,
разность tw(uo)—to(uo) не зависит от параметра и0. Таким
образом,
dto(uB) __^ |_
du0
232
ПРЕДВАРИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕТРИВИАЛЬНОЙ НЕПОДВИЖН. ТОЧКИ
Теперь, для того чтобы величина щ уменьшалась с увеличе-
увеличением параметра «0 при фиксированном t, значение t0 должно
уменьшаться; чтобы величина ut обращалась в нуль при
"о = "о(, значение to(uot) должно обращаться в — оо, а, сле-
следовательно, функция ty(uot) должна обращаться в нуль.
Метод высокотемпературного разложения, по всей вероят-
вероятности, более точен, чем рекуррентная формула. Следователь-
Следовательно, представляется весьма вероятным, что функция ty(u0) ни-
никогда не обращается в нуль и вся положительная полуось и0
лежит в свободной области.
Глава 14
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В статистической механике идеи ренормализационной
группы и е-разложения дают основу для более аккуратного
рассмотрения критических явлений, нежели теория Ландау
(или же теория среднего поля). Теория Ландау представляет
собой первый шаг в описании явлений в критической точке:
ренормализационная группа и е-разложение являются сле-
следующим шагом. В настоящее время неясно, понадобятся ли
дальнейшие шаги или нет.
В этой книге основной упор был сделан на идейную сто-
сторону нового подхода, а не на его частные приложения. Мно-
Многие вопросы, не упомянутые здесь, обсуждаются в периоди-
периодических журналах. Некоторые ссылки были даны в гл. 1.
Не вполне ясно, насколько существенным является исполь-
использование нашего подхода в разобранном здесь примере из
теории поля. Наш подход предназначен для использования
в теории сильных взаимодействий, где стандартные методы
перенормированной теории возмущений отказывают. Точная
формулировка ренормализационной группы (см. гл. 11) пре-
предоставляет основу для нелагранжевой формулировки наруше-
нарушения масштабной инвариантности и алгебры токов [94] (хотя
до сих пор еще не все общие утверждения работы [94] выве-
выведены из точных уравнений).
Проблемы, детально рассмотренные в этой главе, пока
довольно далеки от насущных задач физики сильных взаимо-
взаимодействий. Частично это обусловливается тем обстоятельством,
что мы обсуждали в статистической механике лишь высоко-
высокотемпературную фазу. Можно ожидать, что, использовав новые
методы, удастся в ближайшем будущем детально исследовать
сверхтекучий Не4 и ферромагнетик Гейзенберга ниже Тс. Су-
Существование этих обеих низкотемпературных фаз обусловлено
нарушением симметрии относительно непрерывной группы
преобразований. Теория этих фаз должна, вероятно, иметь
234
ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
некоторое таинственное сходство с теорией нарушения
SUC)X 5?/C)-симметрии.
Возможно, наиболее фундаментальной проблемой сильных
взаимодействий является построение составных моделей адро-
нов. Хотелось бы знать, например, можно'ли получить наблю-
наблюдаемый спектр масс элементарных частиц как связанных со-
состояний взаимодействующих кварков или каких-либо других
составляющих. Применима ли к такой проблеме ренормали-
зационная группа?
В настоящее время нег даже четкого понимания, каким
образом следует изучать модели составных частиц. В методе
диаграмм Фейнмана предполагается, что все частицы элемен-
элементарны; другие подходы слишком феноменологичны, чтобы
класть их в основу изучения этих моделей.
Используя фазовые переходы как аналогию, заметим, что,
отыскивая подходы к некоторым явлениям, вполне уместно
размышлять в терминах фаз. В ферромагнитных моделях, ко-
которые обсуждались в данной книге, имелось три фазы: одна
высокотемпературная фаза и две низкотемпературные фазы.
Для каждой фазы имелась «фазовая область» в пространстве
взаимодействий S; взаимодействия в заданной фазовой обла-
области принадлежат к одной и той же фазе, хотя их детальные
свойства заметно меняются. Так, например, внутри каждой
фазовой области корреляционная длина | меняется от 0 до оо.
При распространении аналогии на теорию поля предпола-
предполагается, что пространство взаимодействий в теории поля также
разбивается на фазовые области; лишь некоторые из подоб-
подобных областей можно легко исследовать при помощи фейнма-
новских диаграмм.
Таким образом, задача заключается в том, чтобы исследо-
исследовать возможные фазы взаимодействующих составных частей
адрона с целью выяснить, напоминают ли свойства любой
фазы качественные черты сильных взаимодействий. Для вы-
выявления тех или иных свойств фазы, к счастью, нет никакой
необходимости изучать ее вблизи критической точки, в кото-
которой велика корреляционная длина. Зачастую бывает доста-
достаточно исследовать эти свойства в высокотемпературном или
низкотемпературном пределах. На языке теории поля это
означает, что можно исследовать теории с сильным обреза-
обрезанием. Более того, можно использовать нековариантные обре-
обрезания, в частности решеточное обрезание. В гл. 12 было по-
показано, каким образом теорию можно сделать ковариантной
235
ГЛАВА 14
вблизи критической точки. (Этот аргумент может и не срабо-
сработать, но рискнуть стоит.) С таким упрощением, как сильно
нековариантное обрезание, возможно, удастся развить надеж-
надежные методы для решения составных моделей, представляю-
представляющих адрон в виде сильно взаимодействующих составных ча-
частей, и выяснить, какие фазы оказываются возможными.
Здесь уже не годится метод ренормализационной группы, по-
поскольку нам нет необходимости исследовать теории с боль-
большими |.
Имеется много вопросов, которые в данной работе не об-
обсуждались. Совсем не обсуждались фермионные поля. Лишь
упомянуто было о связи предложенного метода ренормализа-
ренормализационной группы с перенормировками, обсуждаемыми в рам-
рамках теории возмущений. Мы не пытались установить связь
(если это в какой-то степени вообще возможно) с проблемой
связанных состояний, а также использовать метод группы пе-
перенормировок для нахождения амплитуд рассеяния. Не полу-
получила адекватного обсуждения идея теории поля с аномаль-
аномальными размерностями в пространстве с d < 4. Будем надеять-
надеяться, что эти вопросы будут исследованы в ближайшем буду-
будущем.
Благодарности
Авторы весьма признательны доктору Д. Фаррару за большую по-
помощь при проверке рукописи. Мы благодарны также докторам Д. Соперу
и А. Зи за прочтение некоторых частей рукописи.
Один из авторов (К. Вильсон) весьма много почерпнул из многочис-
многочисленных обсуждений с профессором М. Фишером, сотрудничавшим с ним
в важной части этого труда (е-разложение). Он благодарен также профес-
профессору Б. Вайдому и П. Каррузерсу за обсуждение и поддержку. Автор по-
получил большое удовольствие от бесед с А. М. Поляковым, А. А. Мигдалом
и В. Н. Грибовым; он особенно признателен Полякову за его вывод рекур-
рекуррентной формулы (гл. 6). Профессор Яснов дал много полезных
советов по программированию высокотемпературного разложения. В осу-
осуществлении этих программ большую помощь оказали студенты-дипломники
А. Сури и Д. Гоэлнер.
Наконец, К Вильсон благодарит профессора К. Каузена и членов Ин-
Института высших исследований Принстонского университета за гостеприим-
гостеприимство во время чтения лекций, которые легли в основу этой книги.
Приложение
ПРОСТЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
РЕНОРМАЛИЗАЦИОННОЙ ГРУППЫ
В данном приложении для точных уравнений ренормали-
зационной группы, полученных в гл. 11, будут вычислены не-
неподвижная точка, соответствующая свободному полю (гаус-
(гауссова неподвижная точка), и некоторые из локальных «опера-
«операторов» 0т [х, s], связанные с этой фиксированной точкой.
В общем виде будет выведено линеаризованное преобразова-
преобразование, определяющее операторы (Ут[х, s] и аномальные размер-
размерности dm.
Предположим, что начальное взаимодействие Зёо является
чисто гауссовым
В таком случае эффективное взаимодействие 3^t является
также чисто гауссовым. Дифференциальное уравнение для
функции и2(Я, t) [уравнение A1.19)] можно записать в виде
= 2 ИГ + 2^2']«*<*«'. 0[1 — «2(qe*. t)]. (П.2)
Начальное условие выглядит следующим образом:
u2(?,O) = a>(<7). (П.З)
Дифференциальное уравнение (П.2) допускает разделение
переменных и легко решается; получаем
Это дает, если предположить, что р@) = 0:
"^f'f,, = y^-t ехр {2р ф + 2q4e» - 1)}. (П.5)
1 - щ (qe\ t) 1-й) {q)
237
ПРИЛОЖЕНИЕ
Отсюда для функции и2 окончательно находим
+ [1 - ш {qe-')] exp {- 2p (*) - 2?2 + 2д2е~2г} '
(П.6)
Чтобы получить неподвижную точку, желательно находиться
в критической точке. Поскольку корреляционная функция
T(q) для взаимодействия 5^о имеет вид Г/<о(<7)г то критиче-
критическая точка существует, если со@) = 0. Итак, пусть для ма-
малых q
(П.7)
Тогда в первом приближении при больших t и фиксирован-
фиксированном q из (П.6) получаем
«2 (<7, t) = -5—5J Ч о? • (П.8)
2W. ff2e-2'+exp[2p(*Jff2]
Чтобы это выражение при /-*сю стремилось к некоторой
фиксированной функции ul{q), мы хотим выбрать функцию
р (t) для больших t в виде
p(t) = t + c, (П.9)
где с — постоянная. В таком случае
" (пло)
Другие возможные выборы функции p(t) приводят к зависи-
зависимости от t или же к нелокальному поведению функции
u2(q, t) при больших t. Нелокальность в координатном про-
пространстве связана с сингулярностью функции u2(q, t) no q
или же с резким ее изменением как функции q. Если, напри-
например, p(t)^k> t для больших t, то функция u2(q, t) ж 1 всюду,
исключая очень малые q, для которых и2@, t)= 0. Таким об-
образом, при очень малых q имеется резкое изменение функции
u2(q,t), которое и нарушает локальность. Если же p(t)<g.t
для больших t, то
u2(q, t)^q2expBq2)exp{2p(t)-2t) (П. 11)
для больших t и фиксированного q, т. е. неподвижная точка
отсутствует. Таким образом, единственно приемлемым выбо-
выбором асимптотики для функции p(t) является (П.9). Различ-
238
ПРИЛОЖЕНИЕ
ные выборы постоянной с приводят к различным значениям
для члена порядка q2 в разложении функции u2{q, t). Чтобы
удовлетворить условию нормировки
uUq) = q2 + O(q*), (П. 12)
необходимо выбрать с = 0.
Неподвижная точка не зависит от вкладов <74, q6 и т. д.
членов разложения функции a>(q); это означает, что коэффи-
коэффициенты при qi, q5 и т. д. в разложении a>(q) являются проме-
промежуточными (т. е. несущественными) переменными.
Из уравнения A1.31) получаем величину параметра пере-
перенормировки
Сравнивая (П.13) с соотношением G.35), находим
<*, = -^П", (ПЛ4)
это определяет каноническую размерность для скалярного
поля. Выражение (П.13) для параметра ?(/) согласуется
с параметром перенормировки ?, полученным в гл. 3. Там
было найдено, что t, = 2'+d/2 при изменении параметра обреза-
обрезания в 2 раза. Обрезание е~1 изменяется в 2 раза, если прове-
провести замену t -> t -f- In 2, что в свою очередь приводит к увели-
увеличению функции ?(/) в 21+d/ раз.
Интересно непосредственно рассмотреть уравнение для
функции ul{q), соответствующей неподвижной точке. Если
И2 (Ч> 0 = (й) не зависит от t, то производная dp/dt также
должна быть некоторой постоянной, скажем, dp/dt=b. Из
уравнения A1.19) для функции ul{q) получаем
0 = - q • Vu5 (?) + 2 (b + 2q2) u\ A - aj). (П. 15)
Предположим, что ul (q) зависит только от | q \. В таком случае
? «2A - «2). (П.16)
Таким образом, мы приходим к обычному дифференциальному
уравнению, которое допускает разделение переменных и об-
общее решение которого определяется из алгебраического урав-
уравнения
i-«;(<7) r ч
239
ПРИЛОЖЕНИЕ
где р — произвольная постоянная. Окончательно имеем для
(ПЛ8)
Полученное выражение для функции ы* (q) сводится к пре-
предыдущему результату, если выбрать b = 1, a f$ = ехр(—2с).
Однако теперь оказывается, что функция, соответствующая
неподвижной точке, существует для любого значения пара-
параметра Ь. Почему мы должны выбирать b = 1? Если число "Ь
нецелое, то функция и\ {q) неаналитична по компонентам век-
вектора q в точке q = 0. Вследствие этого, как пояснялось выше,
взаимодействие в координатном пространстве становится не-
нелокальным. Следовательно, решения, которые неаналитичны
при q = 0, можно отбросить. Решения с целым b соответ-
соответствуют истинным неподвижным точкам, однако теперь они
образуют некоторое дискретное множество. "Исследование по-
показывает, что эти неподвижные точки отвечают начальному
взаимодействию со(<у), которое при малых q ведет себя как q2b.
(Для b = 0 неподвижной точке соответствует | = 0; для
b > 0 имеем | = сю.) Таким образом, случаи, когда опреде-
определяющая начальное взаимодействие аналитическая в точке
q = 0 функция (o(q) приводила бы к неаналитической по </
функции, соответствующей неподвижной точке, не реали-
реализуется. Следовательно, представляется оправданным исклю-
исключение из пространства S всех неаналитических функций u2(q),
что эквивалентно исключению тех случаев, когда число b не-
нецелое.
Далее, выведем точные уравнения на собственные значе-
значения в случае аномальных размерностей для произвольной не-
неподвижной точки Яв*. Мы рассмотрим вначале траектории
вида
2Kt = W + Ст [а] ехр (- dj), (П. 19)
где (Ут[а] является неким локализованным функционалом а,
рассматриваемым в первом порядке. Термин «локализован-
«локализованный», вообще говоря, означает, что От[а] зависит от фурье-
образа s(x) функции aq, отличного от нуля лишь на конечных
областях х. На практике это означает, что если функционал
(Ут[о] разложен по степеням ач, то
От [о] = J о, (?,) oqi + \ \\ Ьг {qv q2) аявь + ..., (П.20)
24Q
ПРИЛОЖЕНИЕ
где функции a, (<7i)> v2(quq2) и т. д. аналитичны по qx и q2
для действительных значений компонент qx и q2 (и, в част-
частности, не содержат б-функций, отвечающих закону сохранения
импульса).
Если задан любой локализованный оператор От[а\, то для
него можно определить следующим образом сдвинутый опе-
оператор От [х, а]:
<Уп[х,а]=От[а'}, (П.21)
где
o'q = exp(iq-x)oq (П.22)
(доказательство см. ниже); далее будет показано, что
Mt = m* + От [хе-\ а] ехр (— dmt) (П.23)
также является траекторией для любого х.
Подставляя выражение (П. 19) в дифференциальное урав-
уравнение для 3ei и удерживая лишь члены первого порядка по От,
получаем уравнение для неподвижной точки Ж и уравнения
на собственные значения для dm:
S
ч
где величина b = dpjdt должна быть постоянной;
(n>24)
- \ D
(П.25,
здесь мы сохранили для dp/dt значение Ь, соответствующее
неподвижной точке (см. гл. 12). Разлагая оператор Ст по сте-
степеням <sq [см. (П.20)], приходим к следующим уравнениям:
\ (Ь + 2qf) v3 (qv q2, - q2), (П.26)
= Л, • v,
здесь Ax является оператором:
a=- -?. • Ў„ - 4
§41
ПРИЛОЖЕНИЕ
(в дальнейшем будут использоваться также операторы Ап;
они получаются подстановкой в оператор А\ переменной qn
вместо qx)
— dmv2 (qt, q2) = (Л, + А2) • а2 (<7i > q2) +
1. Й2, Яз) = (^1 + A2 + A3)-v3(qu q,
+2{b+2(ql+q2-\-q3J]v{ (qi+q2+q3)ul(quq2,q3, —qx—q2—q3) +
+ \{b + 2q\) vb (qit q2, q3, q4, - q4) (П.28)
и т. д. .
Предположим, что мы получили решения уравнений (П.24)
и (П.25), т. е. Ж и <Ут[а]. Теперь будут определены и сдви-
сдвинутые операторы От[х,а\. Определение преобразованного
таким образом оператора следующее:
ат[х,а] = От[0, а'], (П.29)
если
s (х + у) = s' (у), (П.30)
где
s (у) = ^ exp (iq • у) aq, s' (у) = ^ exp (iq • у) а'„. (П.31)
ч ч
В соотношении (П.31) предполагается, что
вд = exp (iq ¦ х) aq.
В заключение определим От[0, а] как От [а].
Оператор бт[х, а\ удовлетворяет уравнению
Vx0m [x, a] = \ iqeg ~*- [х, а]. (П.32)
ч ч
Проверяется (П.32) непосредственно подстановкой. Из опре-
определения (П.29) имеем
ЧхОт [х, а] = \ iqaq Wm [0/ &] , (П.ЗЗа)
•J ОСТ
¦ = exp(iq ¦ х) т,' а ' , (П.336)
х)
6aq 6aq
\ iqaq М^Л = Г /да9 6^ [о, о>] {ПЗЗв)
242
ПРИЛОЖЕНИЕ
Сравнивая (П.33а) с (П.ЗЗв), приходим к (П.32). Другим по-
полезным результатом является соотношение
Ж\а\ = Ж\о% (П.34)
которое следует из закона сохранения импульса, Из этого
уравнения вытекает
х) \ . (П.35)
6a
xp(iq х)
baq 6aq
С помощью этих результатов мы покажем теперь, что выра-
выражение (П.23) определяет решение уравнения ренормализа-
ционной группы с точностью до первого порядка по От. Если
это так, то мы должны получить
— dm0m [же-', а] — же"' • Vy0m [у, а) \у_хехр(_<( =
Уравнение (П.36) можно обосновать, используя (П.25), (П.32)
и (П.35). Продемонстрируем в явном виде только сокращение
члена ЧуОт[у, о]; имеем
- хе-<\у0т [у, о] Uexp(_, = - J lq • xe-% *^?l.
q 4
(П.37)
Имеем также (если учесть у = дсе~')> что
^\^^. (П.38)
Таким образом, член Vy0m сокращается со вторым членом
В качестве примера решений уравнения на собственные
значения для dm рассмотрим гауссову неподвижную точку
243
Приложение
[ul{q), определяется выражением (П.18) с с = 0; «4 = ^8 =
= ... =0 и b = 1]. Удобно определить вспомогательную
функцию a|)(<7), удовлетворяющую уравнению
?-?Ф(<7) = {-1 + A+2<72)[1-2нИ<7)]Ж<7)- (П.39)
Некоторое частное решение данного уравнения имеет вид
Рассмотрим теперь уравнения для v\, v2 и т. д. Легко видеть,.
что эти уравнения имеют решения только для V\ или v2 не
равных нулю; однако если v3 или v4 не равны нулю, то v\
или v2 также не равны нулю. Простейший случай реализуется,
если лишь функция V\(q) не равна нулю. Уравнение для V\(q)
в этом случае можно записать в виде
Уравнение (П.41) имеет общее решение
^Т = \Я\Ч(Я), (П.42)
где величина р есть
p = dm-^, (П.43)
a f (q) является произвольной функцией единичного вектора q
iq = ql\q\).
Потребуем теперь, чтобы функция t>i (q) была аналитична
в точке 7 = 0, Это условие означает, что р должно быть по-
положительным целым числом или нулем (если р нечетно, то
функция f(q) должна быть нечетной функцией q), например,
f(q) = qit где qi—произвольная компонента q).B таком слу-
случае возможные собственные значения будут
dm = ^- + p (p>0), (П.44)
а несколько первых собственных функций выглядят так:
dm = —^— : vlm (q) = ф (q),
dm = ^-^- + 1: vlm(q) = qtf(q) (любые/) (П.45)
dm = —=— + 2: vim {q) = qflii^q) (любые i или /)
244
ПРИЛОЖЕНИЕ
Построение решений с v2, v3 или v4, не равными нулю, те-
теперь очевидно [чтобы упростить уравнения, можно продол-
продолжать использовать функцию г|э (<?)]. Найдено, что полный на-
набор собственных значений dm, когда функции vi, иг_2 и т. д.
не равны нулю, дается формулой
где р — целое число (положительное или 0). Это согласуется
с известными каноническими размерностями для скалярной
теории поля в пространстве размерности d.
Предостережение. Некоторые из локальных операторов
От. [х, а] эквивалентны нулевому в следующем смысле, Все
n-спиновые корреляционные функции
(six,) ...8(ха)От[х,о]ехр(Ж))
обращаются в нуль, если только х не равен одному из ж*. При-
Примером является оператор \ q2ty (q) aq, который на языке тео-
ч
рии поля, как оказывается, является оператором V2^,
a V2^ = 0 (поскольку теория, отвечающая гауссовой непо-
неподвижной точке, является теорией свободного поля с нулевой
массой).
Литература')
1. Kondo J., Progr, Theor. Phys, (Kyoto), 32, 37 A964).
2. Anderson P. W., Yuval G., Phys. Rev., Bl, 1522 A970).
3. Anderson P, W., Yuval G., Hamann D., Phys. Rev., Bl, 4464 A970);
Solid State Commun., 8, 1033 A970),
4. Anderson P. W,, Journ. Phys., C3, 2436 A970).
5. Абрикосов А. А., Мигдал A, A., Journ. Low Temp, Phys,, 3, 519
A970),
6. Fowler M., Zawadowski A., Solid State Commun., 9, 471 A971).
7. Fowler M., Phys. Rev., B6, 3422 A972).
8. Guggenheim E. A., Journ. Chem. Phys., 13, 253 A945).
9. Kadanoff L. P., Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Corso
51, ed. M. Green, Acad. Press, New York, 1971. (Имеется перевод в сбор-
сборнике: «Квантовая теория поля и физика переходов», нзд-во «Мир»,
1975.)
10. Lorenz Е. ЛЛ, Tellus, 16, 1 A964).
11. Ландау Л. Д., Sow. Phys., 11, 26, 545 A937).
12. Stueckelberg E. С. G., Petermann A., Helv. Phys, Acta, 26, 199 A953).
13. Gell-Mann M., Low F. E., Phys. Rev., 95, 1300 A954).
14. Боголюбов Н. #,, Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных
полей, изд-вр «Наука», 1975.
15. Kadanoff L. P., Physics, 2, 263 A966).
16. Kadanoff L. P. et at.. Rev. Mod. Phys., 39, 395 A967),
17. Griffiths R. В., Phys. Rev., 158, 176 A967).
18. Wilson K., Phys. Rev., D2, 1438 A970).
19. Поташинский A. 3., Покровский В. Л., ЖЭТФ, 46, 994 A964).
20. Поляков А. М., Письма ЖЭТФ, 12, 381 A970).
21. Мигдал A. A., Phys. Lett., 37B, 386 A971).
22. Parisi G., Peliti L, Lett. Nuovo Cim., 2, 627 A971),
23. d'Eramo M., Peliti L, Parisi G., Lett. Nuovo Cim., 2, 878 A971),
24. Parisi G., Peliti L, Phys. Lett., 41A, 331 A972).
25. Mack G., Todorov I. T., Phys. Rev., D8, 1764 A973).
26. Symanzik K-, Lett. Nuovo Cim., 3, 734 A972).
27. Schroer В., Berlin, preprint (lecture notes), 1972.
28. Mack G., Symanzik K., Commun. Math. Phys., 27, 247 A972).
29. Mack G., в сборнике «Strong Interaction Physics», eds. W. Rflhl and
A. Vancira, Springer Verlag, Berlin, 1973, p. 300.
30. Johnson K., Willey R., Baker M., Phys. Rev., 163, 1699 A967).
¦) Литература, отмеченная звездочкой, добавлена редактором и пере-
переводчиком. — Прим, ред.
246
ЛИТЕРАТУРА
31. Baker М., Johnson К., Phys, Rev., 183, 1292 A969); D3, 2516, 2541
A971),
32. Adler S., Phys. Rev., D5, 3021 A972).
33. Callan С G., Phys. Rev., D2, 1541 A970).
34. Symanzik K-, Commun. Math. Phys., 18, 227 A970); Springer Tracts in
Modern Physics, 57, 222 A971).
35. Christ N., Hasslacher В., Mueller A., Phys. Rev., D6, 3543 A972).
36. Wilson K. G., Phys. Rev., B4, 3174, 3184 A971).
37. Grover M. K., Kadanoff L. P., Wegner F. J., Phys. Rev B6, 311
A972),
38. Grover M. K., Phys. Rev., B6, 3546 A972).
39. Baker G. A., Jr., Phys. Rev., B5, 2622 A972).
40. Dyson F. J., Commun. Math. Phys., 12, 91 A969).
41. Gotner G., Phys. Rev., B8, 339 A973).
42. Golner G., Phys. Rev., B8, 3419 A973).
43. Wilson K-, Fisher M. E., Phys. Rev. Lett., 28, 240 A972).
44. Wegner F. J., Phys. Rev., B6, 1891 A972).
45. Pfeuty P., Fisher M. E., Phys. Rev., B6, 1889 A972).
46. Riedel E. K., Wegner F. /., Phys. Rev. Lett., 29, 349 A972); Phys. Rev.,
B7, 248 A973).
47. Longer J. S., Bar-on M., Ann. Phys., 78, 421 A973),
48. Wilson K., Phys. Rev. Lett., 28, 548 A972).
49. Be Gennes P. G., Phys. Lett., 38A, 339 A972).
50. Nickel В., Cornell (Clark Halli preprint; Oxford preprint.
51. Brezin E., Wallace D., Wilson K., Phys. Rev. Lett., 29, 591 A972).
52. Brezin ?., Wallace D., Wilson K., Phys. Rev., B7, 232 A973).
53 Ma S., Phys. Rev. Lett., 29, 1311 A972).
54. Suzuki M., Phys. Rev. Lett., 42A, 5 A972).
55. Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 424, 1106 1440 A973).
56. Fisher M. ?., Ma S., Nickel B. G., Phys. Rev. Lett., 29, 917 A972).
57. Ларкин А. И., Хмельницкий Д. Е., ЖЭТФ, 56, 2087 A969).
58. Di Castro C, Jona-Lasinio G., Phys. Lett., 29A, 322 A969).
59. De Pasquale F., Di Castro C, Jona-Lasinio G., Proc. Intern. School
of Physics «Enrico Fermi», Course 51, ed. M. Green, Acad. Press, New
York, 1971.
60. Di Castro C, Riv. d. Nuovo Cim., 1, 199 A971).
61. Мигдал А. А., ЖЭТФ, 59, 1015 A970).
62. Di Castro C, Lett. Nuovo Cim., 5, 69 A972).
63. Wegner F. J., Phys. Rev., B5, 4529 A972).
64. Hubbard J., Phys. Lett., 39A, 365 A972).
65. Hubbard J., Schofield P., Phys. Lett., 40A, 245 A972).
66. Niemeijer Th., Van Leeuwen J. M. J., Phys. Lett., 41 A, 211 A972).
67. Physics Today «Search and Discovery», March, 1972.
68. Serene J., Wilson K-, Cornell (Newman Lab.) preprints.
69. Грибов В. H., Мигдал А. А., ЖЭТФ, 55, 1498 A968).
70. Hubbard J., Phys. Lett., 40A, 111 A972).
71 Поляков А. М., ЖЭТФ, 55, 1026 A968).
72 Поляков А. М., ЖЭТФ, 57, 271 A969).
73 Поляков А. М., ЖЭТФ, 59, 542 A970).
74. Moore M. A., Lett. Nuovo Cim., 3, 275 A972).
75. Suri A., Thesis, Cornell University, 1969 (не опубликовано).
76. Wilson К., Phys. Rev., D3, 1818 A971).
77. Wilson K., Phys, Rev., D6, 419 A972).
247
ЛИТЕРАТУРА
78. Gainer G., Phys. Rev., D8, 3393 A973).
79. Fisher M. E., Gaunt D. S., Phys. Rev., 133, A224 A964).
80. Widom В., Mol. Phys., 25, 657 A973).
81. 't Hoft G., Veltman M., Nucl. Phys., B44, 189 A972).
82. Bollini С G., Giambiagi J. J., Phys. Lett., 40B, 566 A972).
83. Ashmore J. F., Lett. Nuovo Cim., 4, 289 A972).
84. Wilson K. G., Phys. Rev., D7, 2911 A973).
85. Stanley H. E., Phys. Rev., 176, 718 A968).
86. Berlin T. H., Kac M., Phys. Rev., 86, 821 A952).
87. Kac M., Thompson С J., Phys. Norvegica, 5, 163 A971).
88. Abe R., Theor. Phys. (Kyoto), 48, 1414 A972).
89. Abe R., Hikami S., Phys. Lett., 45A, 11 A973).
90. Hikami S., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1096 A973).
91. Ma S., Phys. Rev., A7, 2172 A973).
92. Ferrell R. A., Scalapino D. J., Phys. Rev. Lett., 29, 413 A972); Phys.
Lett., 41 A, 371 A972).
93. Brezin E., Wallace D., Phys. Rev., B7, 1967 A973).
94. Wilson K., Phys. Rev,. 179, 1499 A969).
95. Wilson K., Proc. of the 1971 Intern. Symposium on Electron and Pho-
Photon Interactions at High Energies, ed. N. Mistry, Laboratory of Nuc-
Nuclear Studies, Cornell University, Ithaca, New York, 1972, p. 115,
96. Brush S., Rev. Mod. Phys., 39, 883 A967).
97. Fisher M. E., Rep. Prog. Phys., 30, 615 A967).
98. Heller P., Rep. Prog. Phys., 30, 731 A967).
99. Fisher M. E., в сборнике «Lectures in Theoretical Physics», Vol. VIIC,
University of Colorado Press, Boulder, 1965.
100. Покровский В. Л., УФН, 94, 127 A968).
101. Proc. Intern. School of Physics «Enrico Fermi», Course 51, ed. by
M. Green, Acad. Press, New York, 1971.
102. Stanley H. E., Introduction to Phase Transitions and Critical Pheno-
Phenomena, Oxford University Press, New York, 1971. (Имеется перевод:
Г. Стенли, Фазовые переходы и критические явления, изд-во «Мир»,
1973.)
103. Bjorken J. D., Drell S. D., Relativistic Quantum Fields, McGraw Hill,
New York, 1965, p. 181.
104. Feynman R. P., Hibbs A. R., Quantum Mechanics and Path Integrals,
McGraw Hill Inc., New York, 1965. (Имеется перевод: Р. Фейнман,
А. Хибс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, изд-во
«Мир», 1968.)
105. Langer J. S., Ann. Phys., 41, 108 A967).
106. Вакс В. Г., Ларкин А. Я., ЖЭТФ, 49, 975 A965).
107. Wilson К., Phys. Rev., 140, В445 A965).
108. Паташинский А. 3., ЖЭТФ, 53, 1S87 A967).
109. Wilson К., Phys. Rev. Lett., 28, 548 A972).
ПО. Brezin E., Le Guillou J. С, Zinn-Juslin J., Nickel B. G., Phys. Lett.,
44A, 227 A973).
111. Moore M. A., Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev. Lett., 22, 940 A969).
112. Jasnow D., Fisher M., не опубликовано.
ЦЗ. Brezin E., Le Guillou J. C. Zinn-Justin J., Phys. Rev., D8, 2418 A973).
114. Abe R., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 113 A973).
115. Mueller A. H., Trueman T. L, Phys. Rev., D4, 1635 A971).
116. Mueller A. H., Trueman T. L, Wilson K. G., Phys. Rev., D5, 102Q
A972).
24§
ЛИТЕРАТУРА
117. Поляков А. М., препринт, Черноголовка.
118. Fishbane P. M., Sullivan J. D., Phys. Rev., D4. 2516 A971)
119. Грибов В. Я., Липатов Л. Н., Phys. Lett., 37B, 78 A971); препринт,
Ленинград.
120. Schulz Т. D., Mattis D. С, Lieb E. H., Rev. Mod. Phys., 36, 856 A964)
121. Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 A948).
122. Fisher M. E., Burford R. J., Phys. Rev., 156, 583 A967).
123. Schiff L. /., Phys. Rev., 92, 766 A953).
124. Zimmermann W., Ann. Phys., 77, 536, 570 A973).
125. Griffiths R. В., Phys. Rev. Lett., 24, 715 A970).
126. Kadanoff L, Phys. Rev. Lett., 23, 1430 A969).
127. Zimmermann W., в сборнике «Lectures on Elementary Particles and
Quantum Field Theory», eds. S. Deser, M. Grisaru, H. Pendleton, M. I. T.
Press, Cambridge, 1970.
128. Lee T. D., Phys. Rev., 95, 1329 A954).
129. Jasnow D., Wortis M., Phys. Rev., 176, 739 A968).
130. Wortis M., Jasnow D., Moore M. A., Phys. Rev., 185, 805 A969).
131*. Brezin E., Le Guillou J. C, Zinn-Justin J., preprint DPh-T/73-24, Soc-
lay, !973.
132*. Ширков Д. В., Ренормализационная группа и ультрафиолетовые
асимптотики квантово-полевых моделей, лекция в школе по физике
элементарных частиц, Тбилиси, 1973.
133*. Ширков Д. В., Препринт ОИЯИ, Р2-6938, Дубна, 1973.
134*. Ширков Д В., Nucl. Phys., B62, 194 A973).
135*. Di Castro С, Jona-Lasinio G., Peliti L., Preprint Inst. di Fisica,
№ 483, 1973.
136*. Jegenlechner, Schroer В., Acta Phys. Austrica, Suppl. XI, 389 A973),
137*. Авдеева Г. М., ЖЭТФ, 64, 741 A973).
138*. Гинзбург С. Л., ЖЭТФ, 66, 647 A974).
139*.Вгои* R., Phys. Rept., 10, № 1 A974).
140*. Barmatz M., Hohenberg P., Phys. Rev., 6A, 289 A972).
141*. Гинзбург В. Л., УФН, 38, 490 A949).
142*. Гинзбург В. Л., Леванюк А. Я., Journ. Phys. Chem., 6, 51 A958).
143*. Леванюк А. П., ФТТ, 5, 1776 A963).
144*. Волович И. В., Дынин Е. А., Загребное В. А., Фролов В. П., ТМФ,
15,417 A973).
145*. Загребное В. A., Acta Phys. Polonica, 45A, 613 A974).
146*. Ахиезер Н. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, изд-во
«Наука», 1969.
147*. Березин Ф. А., УМН, 24, № 4 A969),
Дополнение
О НЕКОТОРЫХ ПОСЛЕДНИХ РАБОТАХ
Здесь мы перечисляем и кратко комментируем работы по
ренормализационной группе '), большая часть которых появи-
появилась после того, как был составлен список основной литера-
литературы. Все такие работы помещены в список дополнительной
литературы, приводимой ниже. Этот список, наверняка яв-
является неполным, и мы просим авторов, чьи работы не вошли
в него, нас извинить.
Лекция, прочитанная Вильсоном на конференции по маг-
магнетизму и магнитным материалам [1], — элементарное введе-
введение в тот круг идей, с которыми связана ренормализационная
группа. Ма в работе [2] дал обзор по ренормализационной
группе для больших п (п — число компонент переменной s).
В обзоре Егерлехнера и Шроера [3] изложены идеи кванто-
квантовой теории поля, которые нашли свое применение в теории
критического поведения. Сузуки [4] обсуждал технику разло-
разложения.
В работах [5—7, 82] даны различные формулировки точной
ренормализационной группы.
Немейер и Вян Леувен [8] сформулировали и приближенно
определили, не прибегая к теории возмущений, преобразова-
преобразование ренормализационной группы для двухмерной модели
Изинга. Они получили результаты с точностью до 1%.
В работах [9—13] рассматривается е-разложение, которое
строится с помощью методов теории поля, таких, например,
как уравнения Каллена — Симанзика2). Паризи [14] исполь-
использовал уравнения Каллена — Симанзика непосредственно для
') См. также работы в списке основной литературы, добавленные ре-
редактором и переводчиком. — Прим. перев.
2) Правильнее их было бы назвать уравнениями Овсянникова — Кал-
Каллена— Симанзика (см. [133, 134] из списка основной литературы),—
Прим. перев.
250
ДОПОЛНЕНИЕ
размерности 3. Фишер и Ахарони [15], используя е-разложе-
ние, вычисляли спин-спиновую корреляционную функцию.
(Лейбович и Пенроуз [16] доказали наличие экспоненциаль-
экспоненциального затухания корреляций вне точки Тс.) Методами скелет-
скелетных диаграмм е-разложение было получено в работах [17,
18]1). Уравнение состояния было найдено в работах [19, 20]
(независимо от [48, 49]). Метод е-разложения рассматривается
также в работах [21—24]. В статье [25] изложен некоторый
расчет приближенной рекуррентной формулы.
В работах [26—29] рассматривается предел п-* оо и раз-
разложение по 1/п. Дониах [26] исследовал особенно интересный
случай, когда d « 2. Динамика в окрестности критической
точки изучалась в [30—33]. В работах [34—37] проведено ши-
широкое исследование дипольных взаимодействий. Анизотроп-
Анизотропные взаимодействия (члены кристаллического поля, или на-
направленные анизотропии) рассмотрены в [38—45]. В работе
[46] обсуждается некоторый структурный переход. Дальнодей*
ствующие взаимодействия рассмотрены в [47—49].
Лубенский и Рубин [50] в рамках е-разложения исследо-
исследовали поверхностные эффекты. Ахарони [51] рассмотрел неко-
некоторую сжимаемую решетку. Трикритические явления изуча-
изучались в работах [44] и [52—54]. О свойствах систем с п = — 2
сообщается в [55—56.] Связь случая п = 0 с задачей о блуж-
блуждании без самопересечений обсуждается в работах [57, 58].
В статье [59] рассматривается гауссова модель на решетке.
Конформная инвариантность в критической точке (см. вна-
вначале [19]) обсуждается в работах [60, 61].
Странное поведение модели Потса в критической точке
рассматривалось в работах [39] и [62—64].
Проблема Кондо (в ее простейшей форме) была решена
недавно с помощью современной техники ренормализационной
группы (см. [65]).
В работе [66] рассматривается ренормировка волновой
функции. Паризи [67] получил некоторую связь между ано-
аномальными размерностями тензорных операторов (см. гл. 9)
и аномальной размерностью поля ф. В работах [68—71]
обсуждается применение метода е-разложения в теории
поля. Разложение по 1/п прилагается к теории поля в ра-
работе [71].
') См, также работу [138] из списка основной литературы, — Прим. пе-
перед.
261
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
Идея асимптотической свободы в квантовой теории поля
обсуждалась в работах [72—74] (понятие асимптотической
свободы относится к теориям, у которых поле ведет себя, как
свободное, на коротких расстояниях, а на больших расстоя-
расстояниях описывает нетривиальное взаимодействие). Двухмерная
электродинамика рассматривалась в [75].
В работе [76] ренормализационная группа сформулирована
«на языке партонов», а кроме этого, интуитивно объяснены
следствия аномальных размерностей для тензорных опера-
операторов.
Чтобы вычислить на малых расстояниях конечные массо-
массовые поправки, в работах [77, 78] обсуждается возможность
расширения области применимости подходов Каллена — Си-
манзика и Гелл-Манна — Лоу.
В работах [79, 80] е-разложение применяется к расчетам
по полюсам Редже, которые проделал Грибов. Статистическая
модель в пространстве размерностью 2 -j- e обсуждается в ра-
работе [81].
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Wilson К- G., AIP Conf. Proc, No. 10: Magnetism and Magnetic Mate-
Materials—1972, eds. С D. Graham, Jr., and. J. J. Rhyne, American Insti-
Institute of Physics, New York, 1973, p. 843.
2. Ma S., Rev. Mod. Phys., 45, 589 A973).
3. Jegerlehner F., Schroer В., Acta Phys. Austr. Suppl., будет опублико-
опубликовано.
4. Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 393 A973),
5. Wegner F., Houghton A., Phys. Rev., A8, 401 A973).
6. Green M., Phys. Rev., A8, 1998 A973).
7. Hubbard J., Journ. Phys., C6, 2765 A973).
8. Niemeyer Th., Van Leeuwen J. M. J., Phys. Rev. Lett., 31, 1411 A973);
Physica, 71, 17 A974).
9. Brezin ?., Le Guillou J. C, Zinn-Justin J., Phys. Rev., D8, 434, 2418
A973).
10. Brezin ?., Le Guillou J. C, Zinn-Justin J., Phys. Rev., B8, 5330 A973).
11. Brezin ?., Le Guillou J. C, Zinn-Justin J., Nickel B. G., Phys. Lett.,
44A, 227 A973).
12. Yamazaki Y., Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 1097 A973),
13. Shroer В., Phys. Rev., B8, 4200 A973).
14. Parasi G., Rome preprint (INFN No. 46).
15. Fisher M. E., Aharony A., Phys. Rev. Lett., 31, 1238, 1537 (E) A973).
16. Lebowitz J. L., Penrose O., Phys. Rev. Lett., 31, 749 A973).
17. Tsuneto Т., Abrahams ?., Phys. Rev. Lett., 30, 217 A973).
18. Stephen M. J., Abrahams ?., Phys. Lett., 44A, 85 A973).
19. Авдеева Г. М., Мигдал А. А., Письма в ЖЭТФ, 16, 253 A972).
252
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
20. Авдеева Г. М., ЖЭТФ, 64, 741 A973)
21. Amit D. /., Phys. Lett., 42A, 299 A972).
22. Amit D. J., Bergman D. /., Imry Y., Journ. Phys. C6 2685
23. Hubbard J., Phys. Lett., 45A, 349 A973).
24. Loodts J., Colon J. L., Brout R., Phys. Lett., 44A, 453 A973).
25. Choquard Ph., Sari R. R., Calinan R., Сотр. Phys. Comm 7 69 С19741
26. Doniach S, Phys. Rev. Lett, 31, 1450 A973). " ' v ''
27. Abe R., Hikami S, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 442, 1851 A973)
28. Abe R., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1074, 1877 A973).
29. Ma S, Phys. Lett., 43A, 475 A973).
30. Halperin B. /, Hohenberg P. C, Ma S, Phys. Rev. Lett., 29, 1548
A972).
31. Suzuki M., Igarishi G, Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1070 A973).
32. Suzuki M., Phys. Lett, 43A, 245 A973).
33. Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 50, 1767 A973).
34. Fisher M. E., Aharony A., Phys. Rev. Lett, 30, 559 A973).
35. Aharony A., Fisher M. ?., Phys. Rev, BS, 3323 A973).
36. Aharony A., Phys. Rev, B8, 3342, 3349, 3358, 3363 A973).
37. Aharony A., Phys. Lett., 44A, 313 A973).
38. Wallace D. J., Journ. Phys, C6, 1390 A973).
39. Ketley 1. J., Wallace D. J., Journ. Phys., A6, 1667 A973).
40. Aharony A., Phys. Rev. Lett., 31, 1494 A973).
41. Suzuki M., Progr. Theor. Phys. (Kyoto), 49, 1451 A973).
42. Liu I, Phys. Rev. Lett, 31, 459 A973).
43. Grover M. K., Phys. Lett., 44A, 253 A973).
44. Chang T. S., Stanley H. ?., Phys. Rev., B8, 4435 A973).
45. Aharony A., Phys. Rev, B8, 4270 A973).
46. Cowley R. A., Bruce A. D, Journ. Phys., C6, LI91 A973).
47. Baker G. A., Jr., Golner G. R., Phys. Rev. Lett., 31, 22 A973).
48. Suzuki M., Yamazaki Y, Igarishi G., Phys. Lett., 42A, 313 A972).
49. Sak J., Phys. Rev., B8, 281 A973).
50. Lubensky Т., Rubin M. H., Phys. Rev. Lett., 31, 1469 A973).
51. Aharony A., Phys. Rev., B8, 4314 A973).
52. Stephen M. J., McCauley J. L., Jr., Phys. Lett., 44A, 89 A973).
53. Riedel E. K-, Wegner F. J., Phys. Rev., B9, 294 A974).
54. Amit D. J., DeDominicis С. Г., Phys. Lett., 45A, 193 A973).
55. Balian R., Toulouse G, Phys. Rev. Lett., 30, 544 A973).
56. Fisher M. E., Phys. Rev. Lett., 30, 679 A973).
57. Domb C, Barrett A. J., Lax M, Journ. Phys, A6, L82 A973).
58. Bowers R. G., McKerrell A., Journ. Phys, C6, 2721 A973).
59. Weyland A., Phys. Lett, 44A, 141 A973).
60. Wolsky A. M., Green M. S., Gunton J. D., Phys. Rev. Lett, 31, 1193
A973).
61. Wolsky A. M., Green M. S., Phys. Rev., A9, 957 A974).
62. Baxter R. J., Journ. Phys., C6, L445 A973).
63. Baxter R. J., Wu F. Y., Phys. Rev. Lett., 31, 1294 A973).
64. Griffiths H. P., Wood D. W., Journ. Phys, C6, 2533 A973).
65. Wilson K-, Nobel Symposia-Medicine and Natural Sciences, Vol. 24,
Academic Press, New York, 1974.
66. Jouvet В., Nuovo Cirri., 18A, 459 A973).
67. Parisi G, Nuck. Phys. B59, 641 A973).
68. Mitter P. K-, Phys. Rev, D7, 2927 A973).
69. Гинзбург С. Л., Письма в ЖЭТФ, 17, 448 A973).
253
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА
70. SheiS. S., Yan T. M, Phys. Rev., D8, 2457 A973).
71. Wilson К., Phys. Rev., D7, 2911 A973).
72. Politzer H., Phys. Rev. Lett, 30, i346 A973).
73. Gross G. J., Wilczek F., Phys. Rev. Lett., 30, 1343 A973); Phys. Rev,,
D8, 3633 A973).
74. Zee A.. Phys. Rev., D7, 3630 A973).
75. Crewther R. /., Shei S. S., Yan Т. М., Phys. Rev., D8, 1730 (Г973).
76. Kogut I., Susskind L., Phys. Rev.,-будет опубликовано.
77. Weittberg S., Phys. Rev., D8, 3497 A973).
78. Symanzik K-, Commun. Math. Phys, 23, 49 A971).
79. Мигдал А. А., Поляков А. М., Тер-Мартиросян К. A., Phys. Lett 48B,
239 A974). .
80. Abarbanel H. D. I., Bronzan J. В., Phys. Lett, 48B, 345 A974).
81 Белавин А. А., Юришчев М. А., ЖЭТФ, 64, 407 A973).
82. Bissett M. J., Journ, Phys., C6, 3061 A973).
Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Литература 11
Глава 1. Введение 13
§ 1. Ренормализационная группа и проблемы когерентности в
физике 13
§ 2. Обзор литературы 26
§ 3. Элементарные сведения о модели Изиига 31
Глава 2. Поведение систем в окрестности критической точки .... 34
§ 1. Простейшие свойства систем в окрестности их критической
температуры . 34
§ 2. Исследование аналитических свойств 39
1. Теория среднего поля D0). 2. Теория Кадаиова D3),
Глава 3. Тривиальный пример реиормализационной группы. Гауссова
модель . . . : 49
Глава 4. Модель s4 " 63
§ 1. Упрощенное преобразование, соответствующее реиормализа-
циониой группе 71
§ 2. е-разложеиие и нетривиальная неподвижная точка .... 72
§ 3. Линеаризованные уравнения и вычисление критического по-
показателя v 75
Глава 5. Модель s* (продолжение) 81
§ 1. Несущественные переменные и е-разложеиие 81
§ 2. Полное преобразование, соответствующее реиормализациои-
иой группе 89
Глава 6. Приближенная рекуррентная формула 92
§ 1. Вывод, предложенный Поляковым 93
§ 2. Некоторые числовые результаты 98
255
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 7. Приближенная рекуррентная формула (продолжение) ... 103
§ 1. Дополнительные результаты, вытекающие из приближенной
рекуррентной формулы 103
§ 2. Соотношения подобия для я-спииовых корреляционных
функций 113
§ 3. Медленные переходные явления и устранение их для ма-
малых 8 120
Г лапа 8. Вычисление критических показателей с помощью фейнманов-
ских диаграмм (е-разложение) 123
Глава 9. Размерность тензорных операторов в пространстве-времени
с размерностью 4 — в . '. 133
Глава 10. Связь между статистической механикой и теорией поля . .144
Глава 11. Точные уравнения ренормализациоиной группы в дифферен-
дифференциальной форме 163
Глава 12. Топологические свойства ренормализационной группы . . . 176
§ 1. Топология преобразований реиормаллзациоииой группы (не-
(неподвижные точки, траектории и подпространства) .... 176
1. Пространства и подпространства A77). 2. Траектории и
неподвижные точки A83).
§ 2. Неподвижные точки, подпространства н перенормировка . . 190
1. Приложение к теории поля A90).
§ 3. Случай большого числа неподвижных точек, области и уни-
универсальность 196
1. Случай нескольких неподвижных точек. Области A96).
2. Симметрии B01).
§ 4. Неподвижные точки и аномальные размерности 205
1. Линеаризованные уравнения реиормализационной группы
B05),
Глава 13. Предварительное исследование нетривиальной неподвижной
точки — теория поля со взаимодействием 0^=4 214
Глава 14. Заключительные замечания 234
Приложение. Простые решения уравнений ренормализационной группы 237
Литература 246
Дополнение. О некоторых последних работах 250
Дополнительная литература 252