/
Текст
М.А.Лаврентьев, Б.В.Шабат
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Книга рассчитана на специалистов по прикладной математике, механике,
физике, радио-, электро-, теплотехнике и других. Ее можно использовать также
как учебное пособие при изучении анализа в университетах и высших
технических учебных заведениях.
Наряду с кратким изложением теории, ориентированным на практические
применения, она содержит большое число примеров и задач из разных областей
математики и ее приложений.
В четвертом издании исправлены неточности и опечатки, а также по-новому
изложены некоторые разделы.
Содержание
Из предисловия к первому изданию 6
Из предисловия ко второму изданию 7
Предисловие к четвертому изданию 8
Глава I. Основные понятия 9
§ 1. Комплексные числа 10
1. Комплексные числа (10). 2. Геометрическая иллюстрация (12).
§ 2. Функции комплексного переменного 16
3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного
переменного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19).
§ 3. Элементарные функции 24
6. Функции w = zn и w = z^n (24). 7. Функция Жуковского w =
(z+l/z)/2 (29). 8. Показательная функция и логарифм (32). 9.
Тригонометрические и гиперболические функции (36). 10. Общая
степенная функция w = zP- (42).
§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного 43
11. Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Теорема
Коши (45). 13. Распространение на многосвязные области (51). 14.
Формула Коши и теорема о среднем (54). 15. Принцип максимума и
лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходимость (58). 17. Высшие
производные (63).
§ 5. Представление аналитических функций рядами 65
18. Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема
единственности (72). 21. Ряды Лорана (74). 22. Особые точки (78). 23.
Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно
удаленная точка (90). 25. Аналитическое продолжение. Обобщение
понятия аналитической функции (93). 26. Римановы поверхности (99).
Литература к главе I 104
Глава П. Конформные отображения 105
§ 1. Общие положения. Примеры 105
27. Понятие конформного отображения (106). 28. Основная задача
(112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (122).
§ 2. Простейшие конформные отображения 128
31. Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135).
33. Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148).
§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников 158
35. Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение
многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176). 39.
Примеры (183). 40. Скругление углов (192).
Литература к главе II 197
Глава III. Краевые задачи теории функций и их приложения 198
§ 1. Гармонические функции 199
41. Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства
гармонических функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле
(215). 44. Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).
§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач 235
46. Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические
представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры.
Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272). 51.
Краевые задачи теории упругости (279).
§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи 286
52. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая
задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша —
Седова (304). 55. Другие краевые задачи (310).
§ 4. Приложения 315
56. Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи
гидродинамики и газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного
заряда (339). 59. Задачи теории упругости (349).
Литература к главе III 357
Глава IV. Вариационные принципы конформных отображений 358
§ 1. Основные вариационные принципы 358
60. Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение
принципа (365). 62. Граничные производные (370).
§ 2. Отображения близких областей 375
63. Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к данной
(382). 65. Распространение результатов (385).
§ 3. Приложения 393
66. Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидкости
(398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение грунтовых
вод (406).
Литература к главе IV 414
Глава V. Приложения теории функций к анализу 415
§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения 415
70. Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных
функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целых функций
в бесконечные произведения (431).
§ 2. Приложения теории вычетов 438
73. Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов
(продолжение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости
(454).
§ 3. Методы асимптотических оценок 470
76. Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477). 78.
Метод производящих функций (486).
Литература к главе V 491
Глава VI. Операционный метод и его приложения 492
§ 1. Основные понятия и методы 494
79. Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования
Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы
разложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520).
§ 2. Приложения 541
84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541). 85.
Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с частными
производными (557). 87. Расчет длинных линий (568). 88. Другие
интегральные преобразования (574).
Литература к главе VI 587
Глава VH. Специальные функции 588
§ 1. Гамма-функция Эйлера 588
89. Определение и основные свойства (588). 90. Примеры.
Дополнения (598).
§ 2. Ортогональные многочлены 604
91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные
многочлены* (610). 93. Выражение через вес. Производящие функции
(616). 94. Примеры. Приложения (624).
§ 3. Цилиндрические функции 637
95. Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие
цилиндрические функции (648). 97. Асимптотические выражения для
цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических
функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложения
(670).
§ 4. Эллиптические функции 682
100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства
эллиптических функций (688). 102. Эллиптические интегралы и
функции Якоби (694). 103. Функции Вейерпгграсса. Тэта-функции
(703). 104. Примеры. Приложения (715).
Литература к главе VII 727
Предметный указатель 728
Предметный указатель
Абель Н. 70 Абеля теоремы 70, 684
Автоморфизмы верхней
полуплоскости 140
— единичного круга 139
Лдиабатности условие 334
Амплитуда эллиптического
интеграла 695
Аналитическая дуга 162
— функция 38, 97
-----полная 97
Аналитическое продолжение 93, 95,
163
-----гармонической функции 214
-----непосредственное 53, 94
Аналитичность в inf 92
Аргумент комплексного числа 13
— производной 111
Аргумента принцип 88
Арккосинус 41
Арккотангенс 42
Арксинус 42
Арктангенс 42
Асимптотическое выражение второй
ханкелевой функции 659
-----гамма-функции 452, 598
-----многочленов Лежандра 488,
627
-----первой ханкелевой функции
659
-----функций Бесселя 486
-------Вебера 660
— разложение 471
-----обобщенное 475
а-точка 90
Ахиезера — Голузина формула 723
Безциркулярное обтекание 256
Берпулли Д. 676
— задача 676
-----интеграл 334
— теорема 399
Берпулли — Эйлера формула 247
Бесконечно удаленная точка 90
Бесконечное произведение 432 и ел.
Бесеелевы функции 548, 637—674
Бесселя интеграл 419
Бета-функция Эйлера 586, 598
-----, аналитическое продолжение
599
Бигармоническая функция 276
-----, комплексное представление
277
Биномиальный ряд 487
Буняковского неравенство 605
Бурмана — Лагранжа ряд 422
Вариационный принцип 359
Вариация граничной производной
385
— отображения 384
— подъемной силы 393—397
Вебера функции 652
Вейерппрасс К. 10
Вейерпгграсса теоремы 68,69,436,
437
— функции 703,709
Вектор потока тепла 249
Векторное поле 235
-----безвихревое 238
-----потенциальное 238
Векторное поле соленоидалыюе 237
-----стационарное,
плоскопараллельное 235
Ветвь 27, 31, 35
Вихревая точка 238
Вихреисточник 242
Вихрь поля 238, 241
Волна длинная 401
— малой амплитуды 401
— уединенная 403
Волновое уравнение 634
Волны период 401
Вторая краевая задача 229
Вычет функции 84
-----в полюсе 84
-------inf 92
-----логарифмический 86
Вышнеградского — Найквиста метод
464
Гамма-функция 453, 591
-----, аналитическое представление
453
-----, асимптотическая формула 452,
598
-----, интегральные представления
453, 454, 595, 598
-----, свойства 591—598
-----, формулы Эйлера 595, 604
-----, функциональное уравнение
592
-----,----второе 593
-----,----третье 603
Гармоническая функция 199
-----.аналитическое продолжение214
-----многозначная 202
-----, сопряженная 200
Гаусс К. Ф. 105
Гахова теоремы 300, 303
Гёльдера условие 117, 288
Гильберт Д. 296
Гильберта — Привалова краевая
задача 296
Гиперболические функции 41
Гипергеометрический ряд 634
Гипергеометрическое уравнение 634
Главное значение интеграла 289
Годограф частотный 461
Годографа плоскость 337
— уравнение 338
Голоморфная функция 23
Граница области 16
Граничная задача 255
— теорема единственности 212
— точка 16, 57
— функция 115
Граничное значение 211
Грин Дж. 221
Грина формула 221
— функция 221
Грунтовые воды 406
Гука закон 274
Гурвиц А. 457
Гурвица критерий 457
Даламбер Ж. 9
Даламбера — Эйлера условия 16
Дарбу метод 486
Дарси закон 407
Движение грунтовых вод 406
— жидкости под действием силы
тяжести 576
Двойной слой 243
Деление степенных рядов 420
Деформация 273
— контура 359
Дзета-функция Вейерпгграсса 709
Дивергенция 236
Диполь 242
— точечный 242
Дирихле Л. 215
— задача 215
-----для круга 219
-------полуплоскости 224
-----обобщенная 215
-----.формула для решения 221
Дифференциальные уравнения
смешанного типа 326
Дифференцирование изображения
505
— оригинала 504
Длинная волна 401
Дополнительный модуль 697
Дробно-линейные отображения 128
Дроссельный фильтр 555
Дуга аналитическая 162
— Ляпунова 116
Дюамеля интеграл 510
5-функция 529
Единичная функция 495
Естественная граница функции 97
Жордаиа лемма 439
Жуковский Н.Е. 24
Жуковского профили 150, 264
— теорема 261
— формула 261
— функция 24, 29, 30
Задача Дирихле 215
----обобщенная 215
----, теорема единственности 216
----, формула для решения 221
— наклонной производной 311,312
— Неймана 229
— Трикоми 326
— о штампе 355
— Эйлера 678
Закон Гука 274
— Дарси 407
Извлечение корня из комплексных
чисел 12
Изображение дробных степеней 522
— интегралов Френеля 524т
— функции (по Лапласу) 495, 536
Изолированная особая точка 78, 98
Изотермическая линия 249
Изотропное тело 274
Иээнтропичн ости условие 334
Импеданц 548
Импульсные функции 529, 531, 532
Инверсия 15, 131
Интеграл Бернулли 334
— Бесселя 419
— вероятности ошибок 473
—, главное значение 289
— Дюамеля 510
— Лапласа 441, 496
— Лежандра 445
— Липшица 671
— несобственный 61
— особый 289
— от функции комплексного
переменного 43
— псевдоэллиптический 694
----, модулярный угол 695
----полный 695\
— Пуассона 219, 224, 416, 444
— Раабе 602
Сонина 639, 640, 673, 674
— Сонина — Шлеффли 640
—, сходящийся равномерно 62
— типа Коши 287
— Френеля 447
— Шварца 223
-----для полосы 227
-------полуплоскости 224
— Шварца — Кристоффеля 175, 226
— Шлеффли 641
— Эйлера 417, 442, 443, 446
— эллиптический 184, 600, 694
-----, амплитуда 695
-----, модуль 695
-----полный 600
Интегральная показательная функция
473
Интегральное преобразование 489
Интегральный косинус 417
— синус 417
Интегрирование изображения 506
— оригинала 506
Интенсивность вихря 241
— источника 240
Источник поля 237
Кабель 569
Карлеман Т. 316
Карлемана система 316
Квадруполь 246
Квазиконформное отображение 321
Келдыша — Седова теорема 304
-----формула 306, 309
Келлога теорема 117
Колосов Г. В. 198
Колосова формула 278
Комплексная плоскость открытая 91
-----полная 91
Комплексное представление
напряжения 278
-----смещения 278
Комплексные числа 10
-----в показательной форме 33
-----, геометрическое изображение
13
Комплексный потенциал 239, 249,
252,253
Компоненты смещения 274
Конденсатор Роговского 267
Контур звездный 49
— кусочно-гладкий 17
Конформное отображение 109
----верхней полуплоскости на себя
140
------------единичный круг 137
------------прямоугольник 183
---------с исключенными
отрезками на верхнюю
полуплоскость 166
----внешности дуги на внешность
круга 148
-------круга с исключенными
отрезками па внешность круга
165
-------креста на внешность круга
164
----второго рода 109
----единичного круга на внешность
«звезды» 123, 124
---------на себя 139
----круга на внешность
пятиугольной звезды 191
---------плоскость с
исключенными лучами 123
-------с выброшенной луночкой на
круг 152
-------с выброшенным отрезком
радиуса на круг 143
----.круговое свойство 109
----многоугольников 170, 724
----областей, ограниченных
кривыми второго порядка 168
----.основная задача 112
----плоскости с выброшенными
лучами па полосу 144
-------с исключенными отрезками
на плоскость с исключенными
отрезками 168
----полосы на единичный круг 140
-------с выброшенной луночкой на
полосу 153
-------с вырезом на полосу 145
-------с горизонтальным вырезом
185
-----полуплоскости с выброшенным
отрезком на полуплоскость 142
Конформное отображение
полуплоскости с выброшенным
сегментом на полуплоскость
150
-----, принцип соответствия границ
117
-----, свойство сохранения углов 109
-----, теорема единственности 160
-----эксцентричного кругового
кольца на концентрическое 147
Конформность в inf 118
Косинус амплитуды 699
— интегральный 417
Коши О. 10
Коши — Адамара формула 71
— неравенство 64, 77
Коши — Римана условия 16, 21
-------в полярных координатах 24
-------обобщенные 23
— теорема 45, 49, 426
-----для многосвязных областей 54
-----о вычетах 85
-----обобщенная 49
— формула 54, 294
Коэффициент распространения
волны 568
—, усиления 462
— фильтрации 407
Краевая задача 255
-----Гильберта — Привалова 296
-----Римана — Г ильберта 310
-----смешанная 260
-----теории упругости 279
Краевые задачи на обтекание 255—
265
— условия 215
Кратность точки 17
Кривая кусочно-гладкая 17
— простая 52
Кристоффель Э. 175
Критерий (метод) Вышнеградского
— Найквиста 464
— Гурвица 457
— Найквиста — Михайлова 463
— устойчивости 461
Критические точки потока 247
Кумулятивный эффект 339 и ел.
Лагранжа формула 401
Лаплас П. 494
Лапласа интеграл 441, 496
— метод 477
— преобразование 494
-----двустороннее 578
-----,свойства 504—512
— уравнение 199
— формулы обращения 499
Лежандра интеграл 445
— многочлены 418, 613
— формула 602
Лемма Жордана 439
— Шварца 57
Линделёфа принцип 359
Линейные эллиптические системы
319
— эллиптические системы 319
Линия изотермическая 249
— наибольшего ската 484
— тока 237
— уровня 205, 359
Липшица интеграл 671
Лиувилль Ж. 64
Лиувилля теорема 64, 92
Логарифм комплексного числа 35
Логарифмическая производная 87
— функция 34
Логарифмический вычет 86
Локальная вариация 384
Лоран П. 77
Лорана ряд 74
— теорема 77
Магнитное поле в зазоре
электрической машины 267
-----тока 253
Маклорен К. 67
Массовые силы 273
Меллина преобразование 489, 578
— формула обращения 578
Мероморфные функции 83, 425
Метод аналогий 234
— Вышнеградского — Найквиста
464
— Дарбу 486
— интегральных преобразований 489
— итераций 233
— Лапласа 477
— операционный 492 и ел.
— перевала 477 и ел.
— последовательного отображения
412
— производящих функций 486
— сеток 232
— фрагментов 409
— Чаплыгина 337
— Янсена — Рэлея 335
Миттаг-Леффлер М. 429
Миттаг-Леффлера теорема 429
-------обратная 429
Мнимая единица 10
Многочлены Лежандра 418, 613
-----, асимптотические формулы 627
-----, интегральные представления
626
-----, рекуррентные формулы 625
— ортогональные 610—636
Многочлены Чебышева 418, 613
-----, экстремальное свойство 633
— Чебышева — Лагерра 614
— Чебышева — Эрмита 614
— Якоби 614
Модуль дополнительный 697
— комплексного числа 13
— производной 111
— эллиптического интеграла 695
Модулярный угол 695
Момент диполя 242
— квадруполя 246
Монтеля принцип 363
Морера Г. 65
Мореры теорема 65
Мультиполь 247
Напряжение 273
— касательное 273
— , комплексное представление 278
— нормальное 273
— операторное 548
Нейман К. 229
Неймана задача 229
Неопределенный интеграл 48
Непрерывность функции 20
-----равномерная 20
Неравенство Буняковского 605
— Коши 64, 77
Несобственный интеграл 61
Норма 604
Нормированная система функций 605
Носитель обобщенной функции 533
Нуль, порядок 73
— функции 73
Область 16
— замкнутая 16
— звездная 359
— многосвязная 17
— ограниченная 17
— односвязная 17
— существования аналитической
функции 97
— сходимости ряда 71, 77
Обобщенная задача Дирихле 213
— теорема Коши 49
— функция класса Л* 532
-----класса В* 536
Обобщенный оригинал 536
— принцип экстремума 211
— ряд степенной 99
-----Фурье 604
Обращение контурного интеграла
583
— степенных рядов 424
Обтекание кругового цилиндра 261
— отрезка 269
— произвольного профиля 263
— профилей Жуковского 264
— со срывом струй 260
— тел газовыми потоками 333
Общая показательная функция 43
— степенная функция 42
Окрестность 16
— бесконечно удаленной точки 91
Операторная система уравнений 545
Операторное «напряжение» 548
— решение 541
— «сопротивление» 548
— уравнение 541
Операторный «закон
Ома» 548
— метод расчета электрических
контуров 548
-----решения дифференциальных
уравнений 557
— «ток» 548
Операционный метод 492 и сл.
-----, предельные соотношения 521
-----, свойства 504—512
-----.теоремы разложения 515
Оригинал-функция 494
-----особый 523
Ортогональное преобразование 109
Ортогональности условия 109
Ортогональные многочлены 610
— системы функций 605
-------, единственность 609
-------, нормировка 605
-------с весом 609
Основная теорема алгебры 455
Основной вариационный принцип
359
Основные функции 532
-----, сходимость 532
Особая точка 98
-----ветвления, алгебраическая 98
-------конечного порядка 98
-------трансцендентная 99
-----гармонической функции 205,
210
-----изолированная 78, 98
-------в бесконечности 91
-----многозначного характера 98
-----однозначного характера 98
-----существенно особая 78, 210
-----устранимая 78, 210
Остроградский М. В. 280
Ось действительная 12
— мнимая 12
Отображение 18,
— дробно-линейное 129
— квазиконформное 321
Отображение конформное 109
— однолистное (взаимно
однозначное) 18
— суперпозиция 18
Отображения, главная линейная
часть 105
Палатини формула 227
Параллелограмм периодов 688
Первообразная 48
Перевала метод 477
Период волны 401
— интеграла 53, 201
— функции 683
-----основной 685
Периодические функции 682
-----, полосы периодов 686
Плоскость годографа 537
Поверхность модуля 38
Подъемная сила крыла самолета 248,
393
Показатель роста 494
Показательная форма комплексного
числа 33
— функция 32
Поле векторное 235
-----безвихревое 238
-----, вихрь или ротор 238
-----, дивергенция или расхождение
236
-----соленоидальное 237
— магнитное 253
— скоростей 245
-----стационарное
плоскопараллельное 235
-----течения жидкости 245
— тепловое 248
— электростатическое 251, 265
Полная аналитическая функция 97
Полный эллиптический интеграл 600
Положительное направление обхода
17
Полосной фильтр 556
Полюс 78, 210
Порядок нуля 73
— полюса 80
— а-точки 90
— связности 17
— целой функции 437
Постоянная Эйлера 592
Потенциал 200
— двойного поля 244
— поля 239, 251
-----комплексный 239
-----плоского диска 584
— простого слоя 243
Потенциальная функция поля 239
Поток адиабатный 334
— векторного поля 236
Правило дробных показателей 526
Правильная система контуров 426
Предельные соотношения
преобразований Лапласа 521
Преобразование Лапласа 489, 499
-----двустороннее 578
— Меллина 489, 578
— Фурье 574, 575
— Ханкеля 581
Привалов И. И. 296
Принцип аналитического
продолжения 163
-------для гармонической функции
214
— аргумента 88
— Линделёфа 359
— локализации 388
— максимума модуля 56
— Монтеля 363
— непрерывного продолжения 93
— отвердевания 251
— симметрии 158, 213
— соответствия границ 117
— экстремума 204
-----обобщенный 211
Проблема Рауса — Гурвица 456
Произведение комплексных чисел 11
Производная обобщенной функции
534
— функции 21
-----, геометрическая интерпретация
111
-----обратной 23
Производные высших порядков 63
Производящие функции 486, 614
Профили Жуковского 150
-----, обтекание 264
Пуассон С. 219
Пуассона интеграл 219, 224, 416, 444
Раабе интеграл 602
Равномерная непрерывность
функции 20
— сходимость 58
-----интеграла 62
-----последовательности функций
58
-----ряда 60
Радиус сходимости степенного ряда
71
Распределение температур в канале
369
Рауса — Гурвица проблема 456
Регулярная функция 23
Риман Б. 10
Римана — Гильберта краевая задача
310
— теорема 113
Риманова поверхность 100
-----арксинуса 102
-----корня 101
-----логарифма 102
-----функции, обратной к функции
Жуковского 102
Ротор поля 238
Руше теорема 454
Ряд биномиальный 487
— Бурмана — Лагранжа 422
— Лорана 74, 415
— степенной 70
— Тейлора 67, 415
— тригонометрический 422
— функциональный 58
-----равномерно сходящийся 60
— Фурье 420
— Фурье — Бесселя 648
Свертка 510
Свертывание оригиналов 510
Седловая точка 483
Сигма-функция Вейерштрасса 710
Силовая функция 252
Силы массовые 273
— поверхностные 273
Симметрия относительно
окружности 15, 131
Синус 36
— амплитуды 699
— интегральный 417, 442
— эллиптический 184, 694, 696
Система Карлемана 316
— с простой обратной связью 462
Скругление углов 192
Смешанные задачи для
гармонических функций 313
Сонина интеграл 639, 673
— формула 673
Сонина — Шлеффли интеграл 640
Сопряженные гармонические
функции 200
— комплексные числа 10
Сохоцкий Ю. В. 81
Сохоцкого теорема 81, 291
— формула 291
Спектральная функция 576
Степенная функция общая 42
Степенной ряд 70
-----обобщенный 99
-----, обращение 424
-----, радиус сходимости 71
Степенной ряд, теорема
единственности 72
Степень комплексного числа 12
Стереографическая проекция 90
Стерлинга формула 482, 598
Стодолы условие 461
Сток 237
Суперпозиция отображений 18
Существенно особая точка 78, 210
Сферические функции 631
Таблица оригиналов и их
изображений 538—540
Тейлора ряд 67, 415
-----, коэффициенты 415
-----.равномерная сходимость 67
— формула 67
Тейлоровские разложения
элементарных функций 68
Теорема Абеля 70, 684
— Бернулли 399
— Вейерпгграсса 68, 69, 436, 437
— Гахова 300, 303
— Гурвица 457
— единственности 73, 211
-----граничная 212
-----разложений в ряд 72, 78
— Жуковского 261
— запаздывания 507
— Каратеодори 116
— Келдыша — Седова 304
— Келлога 117
— Коши 45, 49, 420
-----для многосвязных областей 54
-----обобщенная 49, 323
— Коши — Лиувилля 64, 92
-------обобщенная 115
— Лорана 77
— Миттаг-Леффлера 429
-------обратная 429
— Мореры 65
— о вычетах 85, 92
-----соответствии границ 115
-----среднем 56, 204
-------обратная 206
— об ортогонализации 607
— подобия 504
— разложения 515, 517
— Римана 113
— Римана—Шварца 158
— Руше 319, 454
— сложения для бесселевых функций
670
-------показательной функции 32
— смещения 502
— Сохоцкого 81, 291
Теорема умножения 509
-----двойственная 511
-----обобщенная 512
— Шварца 537
— Шварца— Кристоффеля 175
— Эфроса 512
Тейлор Б. 67
Тейлора ряд 67
— формула 67
Теория пробивания 347
Тепловое поле 248
Тока линия 237
— трубка 237
— функция 237, 332
Тонкое сопло 330
Точка бесконечно удаленная 90
— ветвления 98
-----алгебраическая 98
-----конечного порядка 98
-----логарифмическая 99
-----трансцендентная 99
— граничная 16
— исключительная 468
— кратная 17, 206
— критическая 247
— наибольшей деформации 359, 368
— особая изолированная 78, 98
-----устранимая 78, 210
— перевала 483
— простая 17, 206
— разветвления потока 263
— седловая 483
— схода потока 263
Точки, симметричные относительно
окружности 130
Тригонометрические функции 36, 39
-----обратные 41
Трикоми Ф. 326
— задача 326
Трубка тока 237
Тэта-функция Якоби 712
Угол в бесконечно удаленной точке
133
— модулярный 695
Удар пластинки о воду 270
Ударные задачи 259
Уединенная волна 403
Упругость, основные уравнения
273—279
Уравнение Лапласа 199
— неразрывности 333
— цилиндрических функций 547
Уравнения газовой динамики 334
— годографа 338
Уравнения движения 334
— равновесия 273
— с частными производными 315
Условия Гёльдера 117, 288
— Даламбера — Эйлера 21
— изэнтропичности 334
— Коши — Римана 16, 21
— ортогональности 109
— Сто долы 461
— Чаплыгина 263
— эллиптичности 320
Установившийся режим 520
Устойчивости критерий 461
Устранимая особая точка 78, 210
Фильтр 554
— дроссельный 555
— полосной 556
Флютбет 407
Формула Бернулли — Эйлера 247
— Ахиезера — Г олузина 723
— Грина 221
— Дюамелп 511
— Жуковского 261
— Колосова 278
— Келдыша — Седова 306, 309
— Коши 54
----для неограниченных областей
294
-------производных 63
----, обобщение 325
— Коши — Адамара 70
— обращения Лапласа 499
----Меллина 578
Фурье 575
----Ханкеля 582
— Остроградского 280
— Палатини 227
— представления 317
— Римана — Грина 238
— Сонина 673
— Сохоцкого 291
— Стирлинга 282, 598
— Тейлора 67
— Чаплыгина 248
— Чизотти 228
— Фока 663
— Фурье — Бесселя 582
-------обобщенная 607
— Шварца — Кристоффеля 175, 178,
179
— Эйлера 33, 595
Функции гиперболические 41
-----обратные 41
— тригонометрические 36, 39
-----обратные 41
Функции ортогональные 605
-----с весом 609
Функция аналитическая 23, 97
-----полная 97
— Бесселя 419, 637
— бета Эйлера 586, 598
— бигармоническая 276
— Вебера 652
— Вейерштрасса 703, 709
— вероятности ошибок 416, 473
— гамма Эйлера 453, 591
— гармоническая 199—215
— голоморфная 23, 83
— граничная 115
— Грина 221
— двоякопериодическая 685
— дифференцируемая 21
— дробная 83, 425
— единичная 495
— Жуковского 24, 29
-----,обратная 30
— изображение (по Лапласу) 495,536
— импульсная 529
-----нулевого порядка 529
-----первого порядка 531
— конечного порядка 437
— Лежандра 629
-----второго рода 631
-----первого рода 630
— присоединенная 633
— линейная 18
— логарифмическая 34
— мероморфная 83, 425
— напряжения 275
— Неймана 652
— непрерывная 20
-----равномерно 20
— обратная 18
— общая степенная 42
— ограниченная 20
— периодическая 682
— показательная 32, 43
— потенциальная 239
— производящая 486
— просто периодическая 682
— регулярная 23
— силовая 252
— сложная 18
— спектральная 576
— сферическая 631
— тока 237
Функция тока тепла 249
— тригонометрическая 36, 39
— целая 83
— цилиндрическая 419, 485, 637
— Чебышева — Эрмита 634
-----Ханкеля 650
Функция эллиптическая 184, 688
-----, свойства 688—692
— Якоби 184,712
Фурье преобразование 574
— формула обращения 575
Ханкеля преобразование 581
— формула обращения 582
— функция 650
Характеристическое сопротивление
линии 569
Хевисайда метод 492, 495
Циклическая постоянная 53, 201
Цилиндрические функции 485, 637
-----, асимптотические формулы
486, 660
-----, интегральное представление
639
-----, разложение в ряд 641
-----, рекуррентные соотношения
643
Циркуляция поля 238
Чаплыгин С. А. 198
Чаплыгина метод 337
— условие 263
Чаплыгина формула 248
Чебышев П. Л. 418
Чебышева многочлены 418, 613
Чебышева — Эрмита функция 634
Чизотти формула 228
Шварц Г. 57
Шварца задача 223
— интеграл 223
— Кристоффеля интеграл 175, 179
— лемма 57
Шварц Л. 537
Шварца теорема 537
Эйлер Л.9
Эйлера задача 678
— постоянная 592
— формулы 33, 595
Экстремум, обобщенный принцип
211
Электростатическое поле 251
-----у краев плоского конденсатора
265
Эллиптические функции 688
-----Вейерпгграсса 703, 709, 710
-----Якоби 184, 696, 699
Эллиптический интеграл 184, 694
-----полный 600
— синус 184, 694, 696
Оглавление
Из предисловия к первому изданию................................. 6
Из предисловия ко второму изданию................................ 7
Предисловие к четвертому изданию ................................ 8
Глава I. Основные понятия........................................ 9
§ 1. Комплексные числа........................................ 10
1. Комплексные числа (10). 2. Геометрическая иллюстрация (12).
§ 2. Функции комплексного переменного........................... 16
3. Геометрические понятия (16). 4. Функции комплексного пере-
менного (17). 5. Дифференцируемость и аналитичность (19).
§ 3. Элементарные функции....................................... 24
п
6. Функции w = гп и w =Уа (24). 7. Функция Жуковского w =
= (2 "?) Показательная функция и логарифм (32).
9. Тригонометрические и гиперболические функции (36). 10. Об-
щая степенная функция w = za (42).
§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного............ 43
11. Интеграл от функции комплексного переменного (43). 12. Тео-
рема Коши (45). 13. Распространение на многосвязные обла-
сти (51). 14. Формула Коши и теорема о среднем (54). 15. Прин-
цип максимума и лемма Шварца (56). 16. Равномерная сходи-
мость (58). 17. Высшие производные (63).
§ 5. Представление аналитических функций рядами................. 65
18. Ряды Тейлора (66). 19. Степенные ряды (68). 20. Теорема един-
ственности (72). 21. Ряды Лорана (74). 22. Особые точки (78).
23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента (84). 24. Бесконечно
удаленная точка (90). 25. Аналитическое продолжение. Обоб-
щение понятия аналитической функции (93). 26. Римановы
поверхности (99).
Литература к главе I........................................104
Глава II. Конформные отображения............................ . 105
§ 1. Общие положения. Примеры...................................105
27. Понятие конформного отображения (106). 28. Основная за-
дача (112). 29. Соответствие границ (115). 30. Примеры (125).
§ 2. Простейшие конформные отображения......................... 128
31. Дробно-линейные отображения (128). 32. Частные случаи (135).
33. Примеры (140). 34. Отображения круговых луночек (148).
§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников............158
35. Принцип симметрии (158). 36. Примеры (164). 37. Отображение
многоугольников (170). 38. Дополнительные замечания (176).
39. Примеры (183). 40. Скругление углов (192).
Литература к главе II.......................................197
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 111. Краевые задачи теории функций и их приложения .... 198
§ 1. Гармонические функции......................................199
41. Свойства гармонических функций (200). 42. Свойства гармони-
ческих функций (продолжение) (209). 43. Задача Дирихле (215).
44. Примеры. Дополнения (223). 45. Метод сеток (232).
§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач.........235
46. Плоское поле и комплексный потенциал (235). 47. Физические
представления (245). 48. Краевые задачи (254). 49. Примеры.
Приложения (261). 50. Плоская задача теории упругости (272).
51. Краевые задачи теории упругости (279).
§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи........................286
52. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого (286). 53. Краевая
задача Гильберта — Привалова (296). 54. Формула Келдыша —
Седова (304). 55. Другие краевые задачи (310).
§ 4. Приложения.................................................315
56. Уравнения с частными производными (315). 57. Задачи гидро-
динамики н газовой динамики (330). 58. Теория кумулятивного
заряда (339). 59. Задачи теории упругости (349).
Литература к главе III......................................357
Глава IV. Вариационные принципы конформных отображений .... 358
§ 1. Основные вариационные принципы.............................358
' 60. Основной вариационный принцип (358). 61. Распространение
принципа (365). 62. Граничные производные (370).
§ 2. Отображения близких областей...............................375
63. Области, близкие к кругу (375). 64. Области, близкие к дан-
ной (382). 65. Распространение результатов (385).
§ 3. Приложения.................................................393
66. Пересчет подъемной силы (393). 67. Волны в тяжелой жидко-
сти (398). 68. Обтекание со срывом струй (404). 69. Движение
грунтовых вод (406).
Литература к главе IV.......................................414
Глава V. Приложения теории функций к анализу....................415
§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения...............415
70. Ряды Тейлора и Лорана (415). 71. Разложение мероморфных
функций на простейшие дроби (425). 72. Разложение целых
функций в бесконечные произведения (431).
§ 2. Приложения теории вычетов..................................438
73. Вычисление интегралов (438). 74. Вычисление интегралов (про-
должение) (447). 75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчи-
вости (454).
§ 3. Методы асимптотических оценок..............................470
76. Асимптотические разложения (470). 77. Метод перевала (477).
78. Метод производящих функций (486).
Литература к главе V.......................................491
Глава VI. Операционный метод и его приложения...................492
§ 1. Основные понятия и методы..................................494
79. Преобразование Лапласа (494). 80. Свойство преобразования
Лапласа (504). 81. Теоремы умножения (509). 82. Теоремы раз-
ложения (515). 83. Примеры. Дополнения (520).
§ 2. Приложения.................................................541
84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы (541).
85. Расчет электрических контуров (548). 86. Уравнения с ча-
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
стными производными (557). 87. Расчет длинных линий (568).
88. Другие интегральные преобразования (574).
Литература к главе VI........................................587
Глава VII. Специальные функции...................................588
§ 1. Гамма-функция Эйлера........................................588
89. Определение и основные свойства (588). 90. Примеры. Допол-
нения (598).
§ 2. Ортогональные многочлены....................................604
91. Ортогональные системы функций (604). 92. Ортогональные мно-
гочлены'(610). 93. Выражение через вес. Производящие функ-
ции (616). 94. Примеры. Приложения (624).
§ 3. Цилиндрические функции......................................637
95. Цилиндрические функции первого рода (638). 96. Другие ци-
линдрические функции (648). 97. Асимптотические выражения
для цилиндрических функций (657). 98. Графики цилиндрических
функций. Распределение нулей (664). 99. Примеры. Приложе-
ния (670).
§ 4. Эллиптические функции.......................................682
100. Периодические функции (682). 101. Общие свойства эллипти-
ческих функций (688). 102. Эллиптические интегралы и функ-
ции Якоби (694). 103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функ-
ции (703). 104. Примеры. Приложения (715).
Литература к главе VII.......................................727
Предметный указатель.............................................728
Из предисловия к первому изданию
Имеющиеся в нашей литературе полные курсы теории функ-
ций комплексного переменного рассчитаны на читателей, из-
бравших математику своей специальностью, другие же курсы
обычно излагают лишь элементы теории. Между тем за послед-
нее время в физике и технике получают все более широкое рас-
пространение методы, требующие обстоятельного применения
теории функций. Почерпнуть необходимые для этого сведения
из математических курсов нематематику трудно, а сведения из-
лагаемые в элементарных курсах, недостаточны.
Восполнение указанного пробела и является целью настоя-
щей книги. Мы поставили своей задачей изложить в ней основ-
ные методы теории функций'комплексного переменного для лиц,
интересующихся этой теорией ради ее приложений к физиче-
ским и техническим задачам. Книга может быть использована
в качестве учебного пособия студентами механических отделе-
ний, физических и физико-технических факультетов университе-
тов и аспирантами технических вузов с достаточной математи-
ческой подготовкой. Предполагается, что читатель знаком
с основным курсом математического анализа в объеме двух
первых томов книги В. И. Смирнова «Курс высшей математики»
(Гостехиздат, 1949). Некоторые ссылки сделаны также на книгу
Г. М. Фихтенгольца «Курс дифференциального и интегрального
исчисления» (т. I—III, Гостехиздат, 1947—1949).
В первой главе излагаются все основные понятия теории
функций, так что книгу можно читать независимо от других
курсов по этой дисциплине. Однако по характеру изложения
первая глава несколько отличается от остальных — она написана
более конспективно и сжато. При этом мы имели в виду, что
по материалу первой главы имеется большое количество до-
ступной литературы.
Остальные главы посвящены отдельным методам теории
функций комплексного переменного, имеющим наибольшее зна-
чение для приложений. Изложение сопровождается большим
числом примеров. Если читатель овладел тем или иным мето-
дом, разобрав несколько примеров, то дальнейшие примеры
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
7
на этот метод можно не читать — лучше вернуться к ним по
мере ссылок.
В книгу включено также большое число примеров приложе-
ния теории функций к различным физическим задачам. Не сле-
дует думать, что, скажем, электротехнические примеры инте-
ресны лишь электрикам, а гидромеханические — лишь механи-
кам. На самом деле методы, иллюстрируемые на одной задаче,
часто с успехом могут быть применены и к решению аналогич-
ной задачи с другим физическим содержанием. Знакомство
с основами приложения теории функций к различным областям
физики поможет читателям в дальнейшей работе использовать
для своей области методы, излагаемые в литературе по другим
областям.
Мы всюду стремились избежать усложняющих доказатель-
ства деталей, иногда умышленно допуская нестрогости в угоду
наглядности изложения. Для простоты некоторые предложения
доказаны в более жестких условиях, чем это необходимо, а не-
которые предложения приведены без доказательства.
Москва, 1951 г. М. А. Лаврентьев
Б. В. Шабат
Из предисловия ко второму изданию
В предлагаемом издании книги мы сохранили ее общее со-
держание, распределение материала и характер изложения
с упором на геометрическую наглядность и связи с проблемами
теории уравнений математической физики и с приложениями.
В это издание мы внесли ряд изменений и дополнений; от-
метим наиболее существенные из них. В третьей главе добав-
лены новые технические и теоретические применения, особенно
развившиеся за последние годы: теория кумулятивных зарядов,
некоторые задачи газовой динамики, изучение решений урав-
нений с частными производными методами теории функций.
В четвертой главе по-новому изложены выводы основных фор-
мул вариационного метода теории конформных отображений,
к которому в последнее время усилился интерес как за рубе-
жом, так и у нас в связи с новыми приложениямй этого метода
в задачах механики. В пятой главе упрощено и дополнено из-
ложение применений теории функций к проблеме устойчивости
и по-новому изложены методы асимптотических оценок. В главе
шестой добавлен пункт об интегральных преобразованиях, от-
личных от преобразования Лапласа.
Москва, май 1957 г. Авторы
8 ПРЕДИСЛОВИЕ к ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ
Предисловие к четвертому изданию
В четвертом издании исправлены замеченные опечатки и не-
точности. В этой работе большую помощь нам оказали кол-
леги из Германской Демократической Республики У. Пир л,.
Р. Кюнау и Л. фон Вольферсдорф, которые очень тща-
тельно подготовили немецкое издание нашей книги, В. А. Зо-
рич, просмотревший текст для ее французского издания, а так-
же многочисленные читатели, сообщившие нам свои замечания.
Всем им мы выражаем свою глубокую благодарность.
Кроме того, в ряде мест внесены некоторые изменения и до-
полнения. Наиболее существенным из них является дополнение
в главе шестой, посвященное преобразованию Лапласа обоб-
щенных функций.
Новосибирск— Авторы.
Москва, июль 1972 г.
Глава [
Основные понятия
В этой главе вводятся все основные понятия теории функ-
ций комплексного переменного: понятие функции, ее производ-
ной, интеграла и др. Читатель увидит, что обычные, известные
из анализа функций действительного переменного определения
этих понятий остаются почти без изменений, но их содержание
меняется весьма существенным образом. Так, отпадает обычная
геометрическая иллюстрация функции с помощью кривой на
плоскости и на ее место становится понятие о функции как об
отображении плоских множеств (п. 4). Условие дифференци-
руемости функции комплексного переменного оказывается зна-
чительно более жестким, чем условие дифференцируемости
функции действительного переменного (п. 5). Например, из
условия дифференцируемости в комплексной области автомати-
чески вытекает существование производных всех порядков
(п. 17) и целый ряд свойств функций, совершенно необычных
для действительного анализа (пп. 14, 15 и др-).
Комплексными числами и функциями комплексного перемен-
ного математики пользовались в своих исследованиях уже
в XVIII в. Особенно велики заслуги крупнейшего математика
XVIII в. Леонарда Эйлера (1707—1783), который по праву
считается одним из творцов теории функций комплексного пере-
менного. В замечательных работах Эйлера детально изучены
элементарные функции комплексного переменного, включая
логарифм, показательную, тригонометрические и обратные
тригонометрические функции (1740—1749), даны условия
дифференцируемости*) (1755) и начала интегрального исчис-
ления функций комплексного переменного (1777). Леонард
Эйлер привел также многочисленные приложения функций ком-
плексного переменного к различным математическим задачам
*) К этим условиям пришел в 1752 г. также Жан Даламбер
(1717—1783), который исходил из гидродинамических соображений. Однако
именно в работах Эйлера впервые выясняется общий характер условий
дифференцируемости.
10
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[Г
и положил начало применению их в гидродинамике (1755—
1757) и картографии (1777).
После Эйлера открытые им результаты и методы развива-
лись, совершенствовались и систематизировались, и в первой
половине XIX в. теория функций комплексного переменного
оформилась как важнейшая отрасль математического анализа.
Основные заслуги здесь принадлежат Огюстену Коши (1789—
1857) и Карлу Вейерштрассу (1815—1897), развившим ин-
тегральное исчисление и теорию представления функций
рядами, а также Бернхарду Риману (1826—1866), обосновав-
шему геометрические вопросы теории функций и их прило-
жения.
§ 1. Комплексные числа
Для удобства читателя мы изложим здесь основные опре-
деления и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел,
действиям с ними и их геометрической иллюстрации*).
1. Комплексные числа. Комплексным числом называется вы-
ражение вида x + iy, где х и у — действительные числа, a i —
символ, который называется мнимой единицей. Числа х и у
называются, соответственно, действительной и мнимой частями
комплексного числа х -|- iy и обозначаются символами
-х = Re (х + iy), у = Im (х + й/) • (1)
Если, в частности, у — 0, то х + i0 считается совпадающим
с действительным числом х; если х = 0, то 0 + iy обозначается
просто iy и называется чисто мнимым.
Определим на множестве комплексных чисел понятие ра-
венства и простейшие операции. Будем говорить, что комплекс-
ные числа X! + tz/i и х2 + iy2 равны,
Xi + iyt = х2 + iy2, (2)
тогда и только тогда, когда Xi = х2, у\ = у2.
Отметим еще, что если х2 — X], а у2 = —у\, то комплекс-
ное число х2 + iy2 называется сопряженным с X] + iy{ и
*) Первое упоминание о «мнимых» числах как о корнях квадратных и»
отрицательных чисел относится еще к XVI в. (Дж. Кардано, 1545). До се-
редины XVIII в. комплексные числа появляются лишь эпизодически в трудах
отдельных математиков (И. Ньютон, Н. Бернулли, А. Клер о). Первое
изложение теории комплексных чисел иа русском языке принадлежит
Л. Эйлеру («Алгебра», Петербург, 1763, позднее книга была переведена на
иностранные языки и многократно переиздавалась): символ «I» также введен
Л. Эйлером. Геометрическая интерпретация комплексных чисел относится
к концу XVIII в. (датчанин Каспар Бессель, 1799 г.).
tj
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
11
обозначается символом Xi + iyi. Таким образом,
х + 1у = х — 1у. (3)
Перейдем к определению операций над комплексными числами.
1) Сложение. Суммой Z\ -|- z2 комплексных чисел Z\ =
— Xi + iyi и z2 = х2 + 1у2 называется комплексное число
z = z, +г2 = (Х1 +%2) + ИУ1 + у2)- (4)
Из данного определения непосредственно вытекают следующие
законы сложения:
а) переместительный: Zi + z2 — z2 + Zi,
б) сочетательный: Z\ + (z2 + z3) — (Z] + z2) +'z3.
Если Zi и z2 действительные числа (т. e. y\ — y2 = 0), то
определение (4) совпадает с определением сложения для дей-
ствительных чисел.
Сложение допускает обратную операцию: для любых двух
комплексных чисел Z\ — x'\-\-iy\ и z2 — x2-{-iy2 можно найти
такое число г, что z2 -j- z = zb Это число называется разностью
чисел Zi и z2 и обозначается символом z\ — z2. Очевидно,
г = Z] — z2 = (%! — х2) + i (у{ — у2). (5)
2) Умножение. Произведением Z\Z2 комплексных чисел
Zi = xi + iyi и г2 = х2 + iy2 называется комплексное число
z = z1z2 = (x1x2 — y\y2) + i(xly2 + у^). (6)
Из определения вытекают следующие законы умножения:
а) переместительный: ZiZ2 = z2zp,
б) сочетательный: zx (z2z3) = (ziz2)z3;
в) распределительный (относительно сложения):
(zj + г2) z3 = ZjZ3 + z2z3.
Если Zi и z2— действительные числа, то определение (6)
совпадает с обычным. При Zi = z2 — i из определения произ-
ведения следует:
г-г = —Г. (7)
Легко заметить, что формула (6) получается при перемноже-
нии Xi -f- iyi и х2 + iy2 по обычным правилам алгебры и замене
произведения i-i через —1. Отметим еще, что произведение
комплексного числа z = x-\-iy на сопряженное с ним всегда
неотрицательно. В самом деле, из равенства (6) имеем:
zz = X2 + у2 > 0. (8)
Умножение также допускает обратную операцию, если
только данный множитель не равен нулю. Пусть z2 #= 0, тогда
12
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[2'
можно найти такое число z, что z2z = £i; для этого, соглас-
но (6), надо решить систему уравнений
х2х — у2у = хх, |
у2х + х2у = ух, J '
которая при г2 =/= 0 всегда однозначно разрешима, так как ее-
определитель х\ 4- у2 > 0- Это число z называется частным двух
чисел а, и z2 и обозначается символом zjzz. Решая систему (9)^
получим:
_ __ Z1 ___ *1х2 + У1У2
* 2 I 2
z2 х2 + у2
t/lX2 — XXIJ2
Х2 + У2
(Ю)
Легко заметить, что (10) может быть получено умножением
числителя и знаменателя дроби Z1/Z2 на z2.
3) Возведение в целую степень. Произведение п
равных чисел г называется n-й степенью числа z и обозначается
символом zn:
zn = z ... Z. (11}
п раз
Обратная операция — извлечение корня — определяется следую-
щим образом: число w называется корнем п-й степени из чис-
п_______________________________________________
ла z, если wn = г (обозначается символом Уг, причем для
п — 2 пишут просто У?). Ниже мы увидим, что для всякого
п _______________
z=^Q корень ]/z имеет п различных значении.
Равенство (7) мы можем теперь записать в виде i2 = —1,
и для мнимой единицы i имеем:
i = (12)
(здесь У — 1 означает одно из двух его возможных значений).
2. Геометрическая иллюстрация. Рассмотрим плоскость де-
картовых координат хОу и условимся изображать комплексное
число z == х 4т iy точкой с координатами (х, у). При этом дей-
ствительные числа будут изображаться точками оси х (которую
в дальнейшем мы будем называть действительной осью), чисто
мнимые — точками оси у (называемой мнимой осью). В част-
ности, изображением числа i будет служить точка (0, 1) мни-
мой оси.
Легко видеть, что и обратно, каждой точке плоскости хОу
с координатами (х, у) будет таким способом .поставлено в со-
ответствие вполне определенное комплексное число z = х 4- iy,
так что это соответствие между множеством всех комплексных
чисел и всех точек плоскости взаимно однозначно. Поэтому
2]
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
13
в дальнейшем мы не будем различать понятия комплексного
числа и точки плоскости и будем говорить, например, «точка
1 + i», «треугольник с вершинами zh z2, z3» и т. п.
Далее, каждой точке (х, у) соответствует вполне определен-
ный вектор — радиус-вектор этой точки, а каждому радиусу-
вектору, лежащему в плоскости, —
его конец (рис. 1). Поэтому мы
будем в дальнейшем представ-
лять комплексные числа также
в виде радиусов векторов на пло-
скости.
Из рис. 1 ясен геометрический
смысл операций сложения и вы-
читания комплексных чисел: сум-
ма и разность комплексных чи-
сел Zi и z2 изображаются соот-
ветственно векторами, равными
направленным диагоналям па-
раллелограмма, построенного на
векторах Z\ и z2.
В дальнейшем, наряду с пред-
ставлением комплексных чисел
вполне определенная точка —
в декартовых координатах, по-
лезно иметь их представление в полярных координатах. Для
этого, как обычно, совмещаем полярную ось с положительной
полуосью х, а полюс — с началом координат; тогда если обо-
значить через г полярный радиус и через ф полярный угол
точки z (рис. 1), то будем иметь:
z = х + iy = r (cos ср + i sin ф).
(1)
Полярный радиус г называется модулем комплексного чис-
ла г и обозначается символом |г|, угол ф — его аргументом и
обозначается символом Arg г. В то время как модуль комп-
лексного числа определяется однозначно:
| Z I = Ух2 + у2
>0,
(2)
аргумент определен лишь с точностью до любого слагаемого,
кратного 2л:
Ф — Arg z =
arctg + 2ka
arctgy+ (2& + 1)л
(I и IV квадранты),
(II и III » );
(3)
здесь arctg означает главное значение Arctg, т. е. значение,
большее —л/2 и не превосходящее л/2, k — произвольное целое
число. В дальнейшем наряду с символом Arg, обозначающим
14
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
Р
всю совокупность значений аргумента, мы будем употреблять
символ arg, обозначая им одно какое-либо из значений Arg,
в случае надобности специально оговаривая, какое именно зна-
чение берется (ср. п. 6).
Очевидны следующие неравенства (см. рис. 1):
I zx +г21<| г, | + | г2I; I zx — z21>| | zx | — | г211. (4)
Знаки равенства в (4) имеют место тогда и только тогда, когда
Arg zx = Arg z2 или одно из чисел — нуль.
Из определения (6) предыдущего пункта следует, что при
умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а
аргументы складываются. В самом деле, имеем:
ZjZ2 = r/2 {(cos ф] cos ф2 — sin ф] sin ф2) + i (sin ф[ cos ф2 +
+ sin ф2 cos фО} = г/2 {cos (ф, + ф2) + i sin (ф1 + ф2)}. (5)
Отсюда следует, что при умножении комплексного числа zx
на г2 вектор zx растягивается в |z2| раз*) и, кроме того, пово-
рачивается (против часовой стрелки) на угол argz2. В част-
ности, умножение комплексного числа z на i сводится к пово-
роту (без растяжения) вектора z на прямой угол против ча-
совой стрелки.
На рис. 2 изображено построение произведения z = ziz2:
чтобы получить z, достаточно на отрезке Ozx как на основании
построить треугольник Ozxz, подобный треугольнику О1гг.
Далее, деление комплексного числа zx на z2 сводится к умно-
жению zx на 1/г2, поэтому можно ограничиться выяснением
геометрического смысла операции w — l/z. Пусть сначала
|г|< 1 (рис. 3).
*) Если |г2[ < 1, то zx фактически сжимается в 1/|г2| раз.
2]
§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
15
Восставим из то>!ки z перпендикуляр к лучу Oz и через точку £
пересечения перпендикуляра с окружностью |г|=1 проведем
касательную к этой окружности. Для точки со пересечения по-
строенной касательной с лучом Oz имеем, очевидно,
Arg со — Arg г,
а из подобия прямоугольных треугольников Ozt
I СО I Ш
Kl откуда
I I 1
и Ogco имеем
ибо |£|=1. Таким образом, число со является сопряженным
с 1/2, со = l/z, и для получения точки w — \/z остается по-
строить точку, симметричную с со относительно действительной
оси.
Переход от точки г к точке
со = 1/2
называется инверсией, или симметрией относительно единичной
окружности | z| = 1. Таким образом, операция w — \/z геомет-
рически сводится к выполне-
нию двух последовательных
симметрий — инверсии и сим-
метрии относительно действи-
тельной оси.
Если | г | > 1, то описанные
построения следует вести в
обратном порядке; если |г| =
— 1, то точка со = 1/2 совпа-
дает с 2 и построение w = \/z
сводится к симметрии относи-
тельно действительной оси.
Геометрический смысл воз-
ведения в -степень ясен из пре-
дыдущего. Для построения
корней n-й степени из z заметим, что из определения корня
п _________________________
и формулы (5) для w = Yz имеем |ш|п = |2|, nargw =
— arg г, и поэтому
| да | = ]/| 2 |, arg да = -ar^-~ •
(6)
Первое из соотношений (6) показывает, что модули всех кор-
ней одинаковы, второе, — что их аргументы отличаются на крат-
ное 2л/п, ибо к значению arg г можно добавлять кратное 2л. От-
сюда следует, что корень n-й степени из любого комплексного
16
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
13
числа z #= 0 имеет п различных значений и что эти значения
располагаются в вершинах правильного /г-угольника, вписан-
п ___________________________
ного в окружность |да| = У|г| (см. рис. 4, где п = 6).
§ 2. Функции комплексного переменного
В этом параграфе мы введем наиболее фундаментальные
понятия теории функций комплексного переменного: понятие
функции комплексного переменного, ее предела, производной
и, наконец, понятие аналитической функции. Центральное ме-
сто занимает здесь теорема п. 5, устанавливающая условия
дифференцируемости функции комплексного переменного. Эти
условия обычно называются условиями Коши—Римана, однако
задолго до Коши и Римана они весьма существенно использо-
вались в работах Даламбера и Эйлера (см. введение к этой
главе).
3. Геометрические понятия. Областью на комплексной .пло-
скости называют множество D точек, обладающее следующими
свойствами: 1) вместе с каждой точкой из D этому множеству
принадлежит и достаточно малый круг с центром в этой точке
(свойство открытости), 2) любые две
точки D можно соединить ломаной,
состоящей из точек D (свойство связ-
ности) .
Простыми примерами областей мо-
гут служить окрестности точек на ком-
плексной плоскости. Под г-окрестно-
стью точки а понимают открытый круг
радиуса е с центром в этой точке, т. е.
совокупность точек Z, удовлетворяю-
щих неравенству
| z — а | < е.
Рис. 5. Граничной точкой области D назы-
вают такую точку, которая сама не
принадлежит D, но в любой окрестности которой лежат точки
этой области. Совокупность граничных точек области D назы-
вают границей этой области. Область D с присоединенной к ней
границей обозначают символом Д и называют замкнутой об-
ластью.
Мы будем предполагать, что граница области состоит из
конечного числа замкнутых линий, разрезов и точек (мы не
даем определения этих понятий; см. рис. 5, где граница об-
ласти состоит из трех замкнутых линий Го, Г1, Г'г, двух разре-
зов у1, у2 и одной точки а). Линии и разрезы, входящие'в со-
4)
§ 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
17
став границы, мы всегда будем предполагать кусочно-гладкими,
т. е. состоящими из конечного числа гладких дуг (дуг с не-
прерывно изменяющейся касательной). В случае ограниченной
области D число связных частей, на которые разбивается ее
граница, называется порядком связности* *) этой области (на
рис. 5 изображена пятисвязная область; Го и yi образуют одну
связную часть границы). В частности, если граница области D
связна (состоит из одной связной час-
ти), то D называется односвязной об-
ластыо.
Пусть D — односвязная область и \/
Г — ее граница. Выберем на Г какую- у/ v
либо точку и будем, отправляясь из А рф ’А
этой точки, обходить Г в положитель- /У SA'
пом направлении. Положительным на- 'л[ Л/
правлением обхода границы области Д.
считается такое, при котором область
остается все время слева. При этом
некоторые точки Г будут проходить- Рис. 6.
ся лишь один раз (например, А на
рис. 6), другие — несколько раз (например, В — два раза, С —
три раза). Точки первого типа мы назовем простыми, а второго
типа — кратными точками контура Г, причем число раз, кото-
рое проходится точка, назовем ее кратностью (В —двойная
точка, С — тройная). Понятие кратности граничной точки рас-
пространяется и на многосвязные области.
4. Функции комплексного переменного. Говорят, что на мно-
жестве М точек плоскости z задана функция
w = f(z), (1)
если указан закон, по которому каждой точке z из М ставится
в соответствие определенная точка или совокупность точек ш.
В первом случае функция f(z) называется однозначной, во вто-
ром — многозначной. Множество М называется множеством
определения функции f(z), а совокупность N всех значений w,
которые f(z) принимает на М, — множеством ее изменения.
В дальнейшем наиболее важную роль будет играть тот слу-
чай, когда множества М и N являются областями (см. теорему
на стр. 21).
Если положить z — х + iy и w = и + iv, то задание функ-
ции комплексного переменного w — f(z) будет равносильным
заданию двух функций двух действительных переменных:
и = и (х, у), v = v (х, у). (2)
*) Распространение определения порядка связности на неограниченные
области см. в п. 24. (Область D называется ограниченной, если она принад-
лежит некоторому кругу |z] < Р.)
18
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[«
Условимся откладывать значения z на одной комплексной
плоскости, а значения w — на другой. Тогда функцию ком-
плексного переменного можно геометрически представлять как
некоторое отображение множества М плоскости z на множе-
ство N плоскости w. Если функция w = f(z) однозначна на
множестве М и при этом двум различным точкам М всегда со-
ответствуют различные точки У, то
такое отображение называется
взаимно однозначным или одноли-
стным в М.
Пусть дана функция w = f(z),
осуществляющая отображение мно-
жества М на множество N. Функ-
ция г = ф(ш), ставящая в соответ-
ствие каждой точке w из N совокуп-
ность всех тех точек г, которые функ-
цией w = f(z) отображаются в точ-
ку w, называется обратной к функ-
ции w — f(z) (рис. 7). Ясно, что
отображение w = f(z) будет взаимно однозначным тогда и
только тогда, когда обе функции f и <р однозначны.
Пусть функция w = f(z) отображает множество М на N,
a <£ — g(w) — множество N на Р. Функция
и = h (z) = g [f (z)],
(3)
отображающая M на P, называется сложной функцией, состав
ленной из f и g, а соответствую-
щее отображение h — суперпо-
зицией отображений f и g
(рис. 7). Если, в частности,
отображение w = f(z) взаим-
но однозначно и функция z =
==<р(о>)—обратная к (, то
Ф [f (г)] = z. (4)
Пример. Линейная функция
определяется во всей плоскости г
соотношением
w — аг + Ь, (5)
а 0 и b — произвольные комплекс-
ные постоянные. Положим k = | а|,
а — Arg а, т. е. а — k (cos а + i sin а),
ную функцию, составленную из функций
Рис. 8.
представим функцию (5) как слож-
а) г] = (cos а + i sin а) z;
б) z2 = kz-,
в) w — z2 + b.
§ 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
19
Вспоминая геометрический смысл умножения (п. 2), мы видим, что ото-
бражения а) и б) сводятся соответственно к повороту плоскости z на угол а
и подобному преобразованию плоскости с коэффициентом подобия k.
Отображенйе в) геометрически означает сдвиг всей плоскости г2 на посто-
янный вектор Ь.
Линейное отображение (5) представляет собой суперпозицию описанных
отображений (рис, 8). Отсюда следует, что отображение (5) взаимно одно-
значно во всей плоскости и что оно преобразует прямые в прямые (причем
углы между двумя прямыми сохраняются) и окружности — в окружности.
5. Дифференцируемость и аналитичность. Пусть функция f(z)
определена и однозначна в некоторой окрестности точки z0 =
= х0 + iyo, кроме, быть может, самой точки Zq.
Мы будем говорить, что существует предел функции f(z)
при z—*z0 (обозначение: lim f(z)): если существуют пределы
lim и(х, у) — и0 и lim v(x, z/) = t>0; при этом мы будем полагать
У~*Уъ
Нт f (z) — и0-f-iv0—w0. (1)
z~>z0
Так как наше определение сводится к обычному определению
предела действительных функций, то основные свойства пре-
дельного перехода сохраняются для функций комплексного пе-
ременного. В частности, имеем:
lim (f ± g) = lim f ± g,
lirn-^
lim f
lim g
lim (fg) = lim f • lim g,
(lim g #= 0).
(2)
Определение предела можно сформулировать также с помощью
понятия окрестности: limf(z) = w0 тогда и только тогда, если
Z -> 20
для любого е > 0 найдется б > 0 такое, что для всех точек
из б-окрестности Zo (кроме, быть может, самой z0) соответствую-
щие точки w лежат в е-окрестности w, иными словами, если
из неравенств
0 < | z — z01 < б (3)
вытекает
I f (z) — w0|<e. (4)
Подчеркнем, что согласно нашему определению функция
f(z) стремится к своему пределу независимо от способа при-
ближения точки z к z0. Иными словами, если предел суще-
ствует, то при z, стремящемся к z0 по любому закону (напри-
мер, по любой линии или любой последовательности), f(z) бу-
дет приближаться к этому пределу.
20
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[5
Функция f(z) называется непрерывной в точке Zq, если она
определена в некоторой окрестности z0 (включая саму точ-
ку Z0) И
lim f (z) = f (z0). (5)
2->z0
Очевидно, что для непрерывности f(z) в точке z0 необходимо
и достаточно, чтобы функции и(х, у) и v(x, у) были непрерыв-
ными в точке (х0, у0). Функция f(z) называется непрерывной
в области D, если она непрерывна в каждой точке этой области.
Полезно также понятие непрерывности функции на произ-
вольном множестве. Пусть функция f(z) определена на множе-
стве А и z0 является 'предельной точкой этого множества. Пре-
дел f(z) при z —> z0 по множеству А определяется, как и выше,
только в (3) надо добавить условие, что z принадлежит А
(ге,4). Функция f(z) называется непрерывной на множе-
стве А, если в каждой предельной точке zoe.4 предел по мно-
жеству
lim f(z) = /(z0). (6)
г->г0
г е= Л
Отметим без доказательства, что для функций, непрерывных
на замкнутых ограниченных множествах (в замкнутых огра-
ниченных областях, на замкнутых линиях или на отрезках линий,
содержащих свои концы), остаются справедливыми обычные
свойства функций, непрерывных на замкнутых интервалах.
Именно, каждая функция f(z), непрерывная на замкнутом огра-
ниченном множестве А:
1) ограничена на нем, т. е. существует такая постоянная М,
что для всех z из А
1ЖКМ;
2) достигает своего наибольшего и своего наименьшего по
модулю значений, т. е. в А существуют такие точки z' и z", что
для всех z из А
lf(z')l>lf(z)l. I f(z") KI f(z) I;
3) равномерно непрерывна, т. е. для произвольного е > 0
найдется число 6 > 0, зависящее лишь от е, такое, что для
любой пары точек Z\ и Z2 из А, удовлетворяющих неравенству
121 —- ^21 < б, справедливо неравенство
I f (2i) — f (г2) I < е.
Отметим еще также без доказательства *) одно предложение,
которым будем неоднократно пользоваться в дальнейшем.
*) Доказательство этого предложения проводится топологическими
методами.
Б] § 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО 2Г
4) Теорема. Если функция w — f(z) непрерывна в обла-
сти D и реализует взаимно однозначное отображение этой об-
ласти на некоторое множество Д в плоскости w, то Д также
является областью и обратная функция z = cp(w) непрерывна
в Д.
Пусть функция f(z) определена в некоторой окрестности
точки z. Будем говорить, что f(z) дифференцируема в точке z,
если существует предел
1ЙП =f,(zy (7)
л-»о "
Этот предел будем называть производной функции f(z) в точке г.
Условия дифференцируемости функции /(г) в терминах дей-
ствительных функций и(х, у) и и(х, у) выражает
Теорема. Пусть функция f(z)= и(х, у)-(-iv(x, у) опреде-
лена в некоторой окрестности точки z, причем в этой точке
функции и(х,у) и v(x,y) дифференцируемы. Тогда для диффе-
ренцируемости функции комплексного переменного f(z) в точ-
ке z необходимо и достаточно, чтобы в этой точке имели место
соотношения-.
ди __ до
ду дх
(условия Коши — Римана)*).
а) Н е.о б х о д и м о с т ь. Пусть существует
л->о я
Воспользуемся замечанием о независимости предела от спо-
соба приближения к точке г. Предположим сначала, что точка
z -ф h приближается к z по прямой, параллельной действитель-
ной оси, т. е. что h = $-* 0, оставаясь действительным. Тогда,
получим:
/' (2) = Пт » (* + s. у) - » (х, у) _|_ . |-т и (х + s, у) — и (х, у) __
s-»0 s s-»0 s
ди до
+ (9)
Найдем теперь тот же предел в предположении, что точка г-ф/г
приближается к z по прямой, параллельной мнимой оси, т. е.
*) Уравнения (8) получены в связи с гидродинамическими задачами Да-
ламбером (1752) и Эйлером (1755); в 1777 г. Эйлер вновь получает эти урав-
нения в связи с рассмотрением интегралов от функции комплексного пере-
менного. Однако их принято называть условиями Коши — Римана.
22 гл. I. ОСНОВНЫЕ понятая [5
что h — it и i->0, оставаясь действительным. Получим:
f' (г) = Hm J(x,y + /)-«(x, у) ., у(х,У+0-р(х, у) =
' f->0 lt i->o
. ди . dv ,1n.
— —1 -----rns—• (IO)
dy dy ' ’
Сравнивая выражения (9) и (10) для-/'(г), будем иметь:
ди .. dv dv .ди
дх ' 1 дх ду 1 ду ’
откуда и вытекают соотношения (8) (см. определение равенства
комплексных чисел, п. 1).
б) Достаточность. По определению дифференциала
функций двух действительных переменных имеют место равен-
ства:
и{х + s, у + t) — u(x, y)^=^-s + ^-t + a.\h\,
У (11)
»(Ж. y + t) — v(x, y) = -^-s + -^-t + $\h\,
С/Л с/и
где аир стремятся к нулю вместе с h — s -ф it. Тогда прира-
щение функции /(z) принимает вид:
где т] = а + ip. Используя равенства (8), это приращение
можно переписать в виде
f (z + h) - f (Z) = [^- + i ^-)(s + it) + nl h | = Ah + nl h I, (12)
, du , . dv
где A = ~g^ + i — вполне определенное число, не зависящее
от й, а ч стремится к 0 вместе с h. Поделив соотношение (12)
, . /(г + й) — f (г) Л «
на h, мы видим, что lim ——1—L-L- существует и равен А.
л->о п
Теорема доказана.
С учетом условий Коши — Римана производную функции f (z)
можно представить в следующих равносильных формах:
г,, . ди , . dv dv .ди ди .ди dv , . dv
7 '(z) = —--k z —— — —---i—— =—-------t——=~--L(-— . (13)
' ' ' dx dx dy dy dx dy dy 1 dx ' '
Так как обычные свойства алгебраических действий и пре-
дельного перехода сохраняются при переходе к функциям ком-
плексного переменного, то сохраняются и обычные правила
5]
§ 2. ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
23
дифференцирования, вывод которых основан лишь на упомя-
нутых свойств'ах:
(f + gY = f' + g'> (fgY = f'g + g'f, (-И = f-8 . |
! | (14)
V [g (?)]}'=Г [g(z)]g'(z), I
(в последней формуле f и ср обозначают взаимно обратные
функции, причем предполагается, что они осуществляют одно-
листные отображения соответственно окрестностей точек гида).
Функция f(z), дифференцируемая в каждой точке некоторой
области D, называется аналитической (иначе, регулярной или
голоморфной) в этой области. Подчеркнем, что наше определе-
ние аналитической функции предполагает ее однозначность
в области D, ибо понятие предела и производной определены
выше лишь для однозначных функций.
В п. 25 мы обобщим понятие аналитичности, распространив
его и на многозначные функции, но до этого под аналитической
мы всегда будем понимать однозначную функцию.
В заключение отметим одно обобщение условий Коши —
Римана. Пусть дана дифференцируемая в точке z функция f(z);
зададимся произвольными направлениями, характеризуемыми
единичными векторами s° и п° (т. е. комплексными числами
с модулем 1) и такими, что поворот от s° к п° совершается на
прямой угол против часовой стрелки (т. е. n° = is°). Пользуясь
тем, что вычисление производной не зависит от направления,
получим, беря производные один раз в направлении s°, а дру-
гой— в направлении п°:
,, , . ' 1 / ди , . dv \ \ ( ди , . dv \ г,
f (*0 — —I “л---F “Д— I — —6" (-И * — (15)
' ' ' s° \ ds os ) nQ\dn дп ) '
. .., —производные от функций двух действительных
переменных по соответствующим направлениям); вывод ра-
венства (15) аналогичен выводу формул (9) и (10). Подстав-
ляя п° = is0 и сравнивая в соотношении (15) действительные
и мнимые части, получим:
du do ди _ dv '/ic\
ds дп ’ дп ds ' ?
Эти уравнения и есть обобщенные условия Коши — Римана,
которые мы хотели отметить. Полагая в них, в частности, s°= 1,
n° = i, получим условия (8).
Укажем еще условия Коши — Римана в полярных коорди-
натах (г, <р). Пусть s°— единичный вектор касательной к окруж-
ности | z | = г, направленный против часовой стрелки, и п° —
24
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
18
вектор внутренней нормали к окружности; тогда
д д
=-----дг~ и Условия (1о) принимают вид:
ди ди _ ди ди
<?<р Г дг ’ Г дг д<р '
д _ д
ds г д<$ ’
(17)
§ 3. Элементарные функции
Этот параграф посвящается элементарным функциям ком-
плексного переменного и их геометрическим иллюстрациям —
отображениям, ими осуществляемым. Эти функции являются
естественным распространением в комплексную область обыч-
ных для анализа элементарных функций. Однако при таком
распространении функции приобретают иногда новые свойства,
например показательная функция комплексного переменного ег
оказывается периодической, функции sin z и cos г перестают
быть ограниченными, приобретает смысл логарифм отрицатель-
ных чисел (и вообще любых комплексных чисел, отличных от
нуля) и т. п.
Особый интерес представляет изучение в комплексной об-
ласти многозначных функций, ибо только такое изучение по-
зволяет выяснить природу их многозначности. Здесь мы огра-
ничиваемся рассмотрением отдельных примеров многозначных
функций и на этих примерах показываем возможность выделе-
ния однозначных ветвей, которые оказываются голоморфными
функциями. Лишь в п. 25 мы введем общее понятие многознач-
ной аналитической функции и тогда сможем рассматривать не
только ветви, но и сами эти функции как аналитические.
Теория элементарных функций комплексного переменного
была в основном создана Леонардом Эйлером в его работах
сороковых годов XVIII в. Следует отметить, что эти работы
Эйлера намного опережали эпоху; например, его теория лога-
рифма была признана лишь с большим трудом и далеко не
сразу.
В п. 7 мы особо выделяем простую дробно-рациональную
функцию w = у I z + — ввиду ее важной роли в практических
задачах (см. следующие две главы). Весьма успешное примене-
ние этой функции связано с работами Николая Егоровича Жу-
ковского (1847—1921), поэтому мы будем называть ее функ-
цией Жуковского.
п
6. Функции w = zn и w — yfz, где п— любое целое поло-
жительное число, уже определены в п. 1 для всех комплекс-
ных z. Первая из этих функций
w~zn (I)
6]
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
25
однозначна. Если в плоскостях z и w ввести полярные коорди-
наты, положив г = r(cos <р + i sin <₽)> w = p(cos 0-)-i sin 0), to
соотношение (1) можно переписать в виде двух равенств:
р — гп, 0 = пф, (2)
связывающих действительные величины.
Из (2) видно, что отображение, осуществляемое функцией
w = zn, сводится к повороту каждого вектора 2 =/= 0 на угол
(п—1) arg г и растяжению его в | z | п~1 раз. Далее очевидно,
что точки 21 и 2г с равными модулями и аргументами, отли-
чающимися на целое кратное 2л/п, и только такие точки, пере-
ходят при отображении (1) в одну точку. Следовательно, для
однолистности отображения w = zn в некоторой области D не-
обходимо и достаточно, чтобы D не содержала никаких двух
точек 2] и 2г, связанных соотношениями
9£»тг
l^| = |22|; arg 2, = arg 22 +(k. ф 0 — целое). (3)
Этому условию удовлетворяют, например, секторы
^<<р<(£+1)_^. (6 = 0, 1, 2, ...), (4)
каждый из которых при отображении w = zn преобразуется
в плоскость w с исключенной положительной полуосью. При
а)
3]
Рис. 9.
этом все лучи с вершиной в точке 2 = 0 переходят в лучи
с вершиной w — 0 (лишь повернутые на некоторый угол), а все
дуги окружностей с центром 2 = 0 — в дуги окружностей
с центром w = 0 (только, вообще говоря, другого радиуса). На
рис. 9, а изображен прообраз в одном таком секторе плоскости г
сетки полярных координат плоскости w.
26
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[6
Из формулы
w — и + iv — rn (cos шр + i sin Пф), (5)
равносильной (1), следует, что прямым и — ио и v — v0 в пло-
скости z соответствуют кривые с полярными уравнениями
Ро
sin п<р
Они изображены на рис. 9,6 (первые — пунктиром, вторые —
сплошными линиями); при п = 2 это — обычные гиперболы.
Наконец, отметим, что функция w = zn аналитична во всей
плоскости, ибо для любого z существует
.. (г + h)n — zn .. nzn~lh + /г2 (...) „ ,
11 m 1—'т------= 11 m-------т—5—- — nzn~l. (6)
h-*0 n л-»о
Функция
w — У z, (7)
обратная к функции z = wn, n-значна при г#=0. Как вытекает
п —
из п. 2, значение корня Уг определяется значением аргу-
мента, выбранным для точки z. Обозначим через arg го одно
из значений аргумента в точке г0 #= О и предположим, что
точка г описывает, начиная с го, некоторую непрерывную ли-
нию С, не проходящую через начало координат. Через arg г
мы будем обозначать такое значение аргумента, которое изме-
няется при этом непрерывно, начиная со значения argz0*).
п _
В силу непрерывности arg г и |г| значение ® = '|/г, которое
вполне определяется сделанным выбором аргумента, также бу-
дет изменяться непрерывно.
Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри
себя точку г — 0. Тогда при полном обходе С точкой г точка
п _ п _
w = Yz, где Уг — выбранное нами значение корня, описы-
вает некоторую замкнутую кривую Г, возвращаясь к своему
первоначальному положению, ибо при этом arg г возвращается
к начальному значению argz0. Значения корня, определяемые
другим выбором начального значения argz0 (отличающимся от
прежнего на целое кратное 2л) при полном обходе С, очевидно,
также описывают замкнутые кривые Гл, отличающиеся от кри-
*) Очевидно, это значение при фиксированных г0, С и arg г0 определяется
однозначно.
6) § 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 27
вой Г лишь поворотом на угол 2knln, k == 1, 2, п—1
(рис. 10, сплошные линии).
Пусть теперь С — замкнутая кривая без точек самопересе-
чения, содержащая точку г = 0 внутри себя, и z0— некоторая
точка кривой С. Тогда при полном обходе С, начиная ot^z0
в положительном направлении, соответствующая точка ю—
Рис. 10.
(значение корня определяется так же, как и выше) не воз-
вращается в свое первоначальное положение, а занимает но-
вое положение где wj,0 = (cos + i ш0— значение
п
Уг0, отличное от Wo- Это объясняется тем, что argz при
обходе кривой С получает приращение 2л. К своему начальному
п ______________________
положению точка w — ^z возвращается лишь при п-кратном
обходе кривой С (см. рис. 10, пунктирная линия; здесь п =-- 3).
Отсюда следует, что в любой области D, которая не содер-
жит ни одной замкнутой кривой, обходящей точку z = 0, можно
выделить п непрерывных и однозначных функций, принимаю-
п —
Щих каждая одно из значений }fz. Эти п функций называются
ветвями многозначной функции w = }fz\ их значения в каж-
дой фиксированной точке отличаются друг от друга множи-
телем cos —+ i sin-^-. Каждая такая ветвь будет, очевидно,
осуществлять однолистное отображение области D, поэтому
в каждой точке этой области применима теорема о производной
обратной функции (п. 5), согласно которой существует вполне
28
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
|в
определенное значение производной
п _
или, если условиться писать У z = z^n,
(zT) (8)
Таким образом, любая из построенных ветвей является в об-
ласти D аналитической функцией.
В области D рассматриваемого типа и бесконечнозначная
функция Argz распадается на бесчисленное множество непре-
рывных и однозначных ветвей. Каждую такую ветвь мы будем
обозначать символом argz и всякий раз указывать, как эта
ветвь выделяется.
Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую кри-
вую, обходящую точку z — 0, то в такой области ветви функ-
п ______
ции Уг нельзя отделить друг от друга. Именно, если в окре-
стности некоторой точки z =# 0 из D мы и выделим какую-либо
ветвь (для достаточно малой окрестности точки z =И= О это воз-
можно), то, двигаясь по кривой, обходящей z = 0, мы придем
к другой ветви. Следовательно, в такой области D мы не мо-
жем подобно предыдущему случаю рассматривать функцию
п __
Уг как совокупность отдельных (однозначных) аналитических
функций. Точка z = 0, в любой окрестности которой нельзя от-
п / п __
делить п отдельных ветвей функции Уг (ветви У г как бы
соединяются в этой точке), называется точкой ветвления этой
функции.
В качестве примера области D первого типа можно рассмат-
ривать плоскость z с вырезанной линией L, идущей от точки
z — 0 в бесконечность. Если L совпадает с положительной по-
, п _
луосью, то ветви функции w — Уг отображают область D на
секторы
k — < arg w < (k + 1) —.
Эти отображения обратны к рассмотренному выше отобра-
жению с помощью функции w — zn.
Область D заведомо является областью второго типа, если
она содержит точку z = 0 внутри себя.
п __
*) Для функции и производной берется одинаковая ветвь Vz,
71
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
29
7. Функция Жуковского w = у (z 4- ~ ) определена и од-
нозначна для всех z #= 0; она, очевидно, аналитична для тех
же z. Найдем область однолистности отображения
W =
(1)
Для этого предположим, что Zi и z2 переходят в одну точку w\
тогда имеем Zi + —- = z2 + . откуда — z2) (1 — —М — 0
и, следовательно,
z, = z2 или Z|Z2 = 1. (2)
Таким образом, для однолистности отображения (1) в ка-
кой-либо области D необходимо и достаточно, чтобы D не со-
держала никаких двух точек Zi и z2, связанных соотношением
= 1-
Этому условию удовлетворяет, например, внутренность еди-
ничного круга |z| < 1 или его внешность |z|> 1. Для того
чтобы изучить картину отображения (1), положим z =
= г (cos ср i sin ср), w = и 4- iv и отделим действительные и
мнимые части. Тогда отображение (1) перепишется в виде
1 / . 1 \
и — у 1г 4- —] cosep,
1
sin ср,
(3)
и мы видим, что каждая окружность |z| = го < 1 преобразуется
с его помощью в кривую
« = 4 (го 4- cos ф. v = —r0)sintp, (4)
1 / , 1 \ , 1/1 \
т. е. в эллипс с полуосями а = г04----, Ь= — \------гп ,
» z \ Го/ ' го /
проходимый в отрицательном направлении*). При г0~*1 этот
эллипс сжимается в отрезок [-1, 1] ОСИ и, при Го->О уходит в
бесконечность. Следовательно, функция (1) отображает внут-
ренность круга |z| < 1 на внешность отрезка [—1,4-1] (рис. 11).
Все внутренние точки этого отрезка — двойные (п. 3), и его
можно считать как бы состоящим из двух берегов: функция (1)
преобразует верхнюю полуокружность |z|= 1 в нижний берег,
а нижнюю — в верхний.
) На это указывает знак «—» во втором из уравнений (4).
30
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
Отметим еще, что радиусы argz = (p0, 0<r < 1 переходят
при отображении (1) в ветви гипербол
и2____________у2 _____।
cos2 q>o sin2 q>o
(рис. 11). Фокусы этих гипербол, так же
расположены в концах отрезка [—1, 4-1].
(5>
как и эллипсов (4),
Рис. 11.
Из соотношений (3) вытекает также, что окружности [z| =
= г о > 1 преобразуются в эллипсы с полуосями а = г0Н---->
—— j. Эти эллипсы совпадают с теми, в которые
преобразуются окружности |z| = ro< 1, только обходятся они
в положительном направлении. Следовательно, функция (1)
отображает и внешность круга |z|> 1 также на внешность от-
резка [—1, +1] оси и, причем верхняя полуокружность пере-
ходит в верхний берег отрезка, а нижняя — в нижний.
Обратная к (1) функция
z
(6)
двузначна — каждой точке w она относит две точки Z| и z2,
связанные условием Zi?2 = 1 (см. формулу (2)). Эта двузнач-
ность обусловлена наличием в формуле (6) квадратного корня.
Если положить Z\ = w + Yw2 — 1, то другим значением г, со-
ответствующим w, будет г2 — w — ]/ да2 — 1 и непосредственно
видно, что z1z2 = 1.
71
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
31
Обозначим через 01 и, соответственно, р2, 02 модули и
аргументы комплексных чисел w—1 и w + 1 (рис. 12). Тогда
модуль и аргумент корня в формуле (6) будут соответственно
равны /р|ргИ (91 + 02)/2 (см. правило извлечения корня, п. 2).
Отсюда следует, что при обходе точкой w замкнутой линии
типа / или II (рис. 12), охватывающей лишь одну из точек +1
и —1, значение корня меняется на противоположное по знаку.
В самом деле, при таком обходе 0[ (или 02) меняется на 2л,
а 02 (или 01) не изменяется; следовательно, аргумент корня
меняется на л, модуль же корня при обходе любого замкнутого
контура возвращается к начальному значению.
Если теперь точка w обходит замкнутую линию типа III
(рис. 12), охватывающую обе точки ±1, то значение корня не
изменяется, ибо при этом и 01
и 02 изменяются на 2л и,
следовательно, аргумент кор-
ня (01 + 02)/2 также изменя-
ется на 2л. Значение корня не
изменяется и в том случае,
когда w обходит замкнутую
линию типа IV (рис. 12), не
содержащую внутри себя ни
одной из точек ±1, ибо при
этом ни 0], ни 02 не изме-
няются.
Таким образом, в любой области А, в которой нельзя про-
вести замкнутую линию, обходящую лишь одну из точек +1
или —1, функция (6) допускает выделение двух однозначных
ветвей. Эти ветви в каждой фиксированной точке w отличаются
знаком корня в формуле (6) и приводят к двум значениям z,
связанным условием Z]Z2=1. Каждая из этих ветвей осуще-
ствляет однолистное отображение и по теореме о производной
обратной функции аналитична.
Если же в области А можно обойти точку -ф1 (не обходя
при этом —1) или —1 (не обходя +1), например, если А со-
держит внутри хотя бы одну из этих точек, то в такой области
ветви функции (6) нельзя отделить друг от друга. Точки w—
= ±1, в которых обе ветви функции (6) как бы соеди-
няются между собой, называются точками ветвления этой
функции. -
В качестве примера области А первого- типа можно рас-
сматривать плоскость w с вырезанной линией А, соединяющей
точки —1 и +1- Если А есть отрезок [—1, 1] действительной
оси, то две ветви функции (6) отображают А, соответственно,
на внутренность и внешность единичного круга. Эти отобра-
жения обратны к рассмотренным выше (рис. 11).
32
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[8
8. Показательная функция и логарифм. Показательную
функцию ег мы определим *) для любого комплексного г —
= х -\-1у соотношением
W = ег — ex+iy — ех (cos у -ф i sin Z/). ' (1)
Покажем, что: 1) для действительных z = x наше определение
совпадает с обычным; 2) определенная нами функция всюду
аналитична; 3) сохраняется обычная формула дифференциро-
вания
(егГ = ег; (2)
4) сохраняется основное свойство показательной функции (тео-
рема сложения):
= е21+г’. (3)
Первое свойство следует непосредственно из формулы (1), если
положить в ней у — 0, второе — из теоремы п. 5, ибо в любой
точке плоскости справедливы условия Коши — Римана
д , х \ д , х . ,
-т- (е cos у) — (е sin у);
-j- (ех cos у) = — (ех sin у).
*) Читателю, которому наше определение показательной функции кажется
слишком формальным, мы рекомендуем определить ее по аналогии с такой же
функцией действительного переменного соотношением
/ 2 \Л
ег= lim I 1 4--1 .
\ Я /
(*)
При этом необходимо доказать существование предела последовательности
(z \п
1 + —) при любом г и вычислить этот предел.
Это проще всего сделать так: по правилам возведения в степень имеем:
1^1 = | !+^+ ‘
£Г={(1 +-Y+-4 г/2
п I (\ п } П2 J
1 у!п
и argz„~narctgTT^-
отбрасывая в первом выражении малую высшего
порядка (х2 у2)/п2 в
у!п
тангенсом —г~» мы
1 + х п
основании степени и заменяя во втором малый угол его
/ 2х\га/2'
видим, что существуют lim | zn | — lim (* 1+~) ~ех
Я->оо «->00 \ п 1
п —
п
и lim argzrt= lim т—г-—т- = У- Но из существования этих пределов еле-
Л->оо Л->оо* + Х)П ‘
дует существование предела (*), причем мы получаем, что | ez I — ех и
аг§ег = г/; это совпадает с формулой (1).
<5>] § 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 33
Для доказательства свойства 3), используя независимость про-
изводной от направления, вычислим е* 2 по направлению оси х.
Имеем:
(ez)z = ех (cos у + i sin у) = ех (cos у + i sin у) = ег,
что и дает формулу (2).
Наконец, для доказательства свойства 4) положим z\ =
= Xi + iy\, г2 = х2 + iy2\ тогда
ег.ег: — ех, (cos у{ i sjn ех2 (cos у2 _|_ i sjn у2} =
= {cos (ух + Уч) + i Sin (z/, -ф у2)} = ez‘+zs
что и требуется (мы использовали, кроме определения (1), пра-
вило перемножения комплексных чисел и известные формулы
тригонометрии).
Отметим, что показательная функция ни для какого комплекс-
ного z = x-\-iy не обращается в нуль. В самом деле, | ег | =
= ех > 0.
Полагая, в частности, в соотношении (1) х = 0, у = ф, по-
лучим классическую формулу Эйлера *)
е'Т = cos ф -ф i sin ф. (4)
С помощью формулы Эйлера любое комплексное число z с мо«
дулем г и аргументом ф можно записать в следующей показа-
тельной форме-.
z = г (cos ф -ф i sin ф) = rei(f. (5)
Наряду со свойствами 1)—4), которые справедливы и в дей-
ствительной и в комплексной областях, показательная функция
комплексного переменного обладает и специфическим свой-
ством: она оказывается периодической с чисто мнимым основ-
ным периодом 2ш'. В самом деле, для любого целого числа k
имеем:
-t/л — eze2nki __ е~ (6)
ибо по формуле Эйлера е2яМ = 1.
С другой стороны, если ег' — ег\ и Z\ = Xi -ф iy\, z2 = x2 -ф
-ф iy2, то из определения (1) мы имеем ех' = ех\ cosyi — cos y2,
sin z/i — sin y2, откуда следует, что x2 — хь y2 = у- -ф 2йл, или
z2 — Z\ — 2kni, (7)
где k — целое число.
*) Л. Эйлер привел ее в своем «Введении в анализ бесконечно малых»
(1748); формулы, равносильные (4), появляются в его работах, начиная
с 1740 г.
2 М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
34
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[8
Ввиду свойства периодичности изучение функции е2 на всей
плоскости сводится к изучению ее в полосе 0 у < 2л. Из
только что проведенного анализа видно, что отображение (1)
однолистно в этой полосе: из равенства eZi = ez следует соот-
ношение (7), а полоса не содержит ни одной пары точек, свя-
занных этим соотношением.
Введем в плоскости w полярные координаты, положив w =
= ре’9; тогда (1) запишется в виде двух равенств
р = ех, 0 = у. (8)
Следовательно, отображение (1) преобразует прямые у—уо
в лучи 9 = 1/о, а отрезки х — хй, 0 < 2л— в окружности
р=е*°. Полоса 0 < у < 2л преобразуется при этом в плос-
кость w с разрезом вдоль положительной полуоси, половина
этой полосы 0 < у <. л — в верхнюю полуплоскость. Вообще
полосы 0<Imz<;/i показательная функция преобразует в
углы 0 < arg w < h (рис. 13).
Логарифмическая функция определяется как функция,
обратная показательной: число w называется логарифмом
числа г„. если ew = z\ обозначение:
w = In z.
(9)
Из определения вытекает основное свойство логарифмов:
если cC'i = InZj и W2 — In z2, то lnzi + lnz2 является логариф-
мом числа z — ZiZ2:
Ins, + \nz2 = \n(ziz2). (10)
В самом деле, имеем zt = ew>, z2 — eWi; следовательно,
zyz2 =
8] § 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ ' 35
В частности, полагая в (10) х1=|г|, z2 — elarez, получим:
In z — ln| z | i arg z. (11)
В формуле (11) символ argz может обозначать любое значе-
ние аргумента г; поэтому каждое комплексное число, z =/= 0
имеет бесчисленное множество логарифмов. Иными словами,
логарифм есть бесконечнозначная функция: ее действительная
часть определяется однозначно, а мнимая — с точностью до сла-
гаемого, кратного 2л*). Для четкости мы будем обозначать эту
многозначную функцию специальным символом Ln г, так что
Ln z — In | z | + i Arg z = In r 4- i (ср + 2йл). (12)
Символом In г мы будем обозначать одно из значений Ln г,
в случае надобности специально оговаривая, какое именно зна-
чение выбирается, так что во всех предыдущих формулах, со-
держащих символ In, не требуется изменения обозначения.
Рассмотрим подробнее вопрос о выборе значений Ln г. Как
и для рассмотренных выше многозначных функций, значение
Ln г определяется значением аргумента, которое приписано
точке z. Предположим, что точка z, начиная от положения
20 #= 0, описывает некоторую кривую С, не проходящую через
начало координат. Как и выше, через arg г мы обозначим од-
нозначную и непрерывную вдоль С ветвь функции Arg г, опре-
деляемую каким-либо фиксированным начальным значением
argzo- Через In z будем обозначать значение Lnz, определяе-
мое равенством (11) при выбранном значении arg z; очевидно,
функция lnz будет однозначной и непрерывной вдоль С.
Предположим, что кривая С замкнута и не содержит внутри
себя точку z = 0. Когда z описывает С, точка © = lnz пробе-
гает некоторую замкнутую кривую Г; другие значения лога-
рифма, определяемые другим начальным значением argz0, опи-
шут кривые П, отличающиеся от Г лишь сдвигом на вектор
2kni, & = ±1, ±2, ..., (рис. 14, сплошные линии). Если теперь
С — замкнутая кривая без точек самопересечения, содержащая
г = 0 внутри себя, то при полном обходе ее точкой z в поло-
жительном направлении точка w = In z не вернется к своему
первоначальному положению, а займет новое положение
= w0 4-2ni (рис. 14, пунктирные линии).
Отсюда следует, что в любой области D, которая не содер-
жит замкнутых кривых, обходящих точку z = 0, можно выде-
лить бесчисленное множество непрерывных и однозначных вет-
вей многозначной функции w = Ln z, значения которых в
*) К такому пониманию логарифма впервые пришел Л. Эйлер; свои идеи
он изложил в работе 1749 г. «О споре между Бернулли и Лейбницем о лога-
рифмах отрицательных и мнимых чисел».
2 е
36
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[9
каждой фиксированной точке отличаются друг от друга слагае-
мыми 2йш". Каждая такая ветвь In г будет осуществлять взаим-
но однозначное отображение области D и, следовательно, по
теореме о производной обратной функции будет обладать про-
изводной
(1пг)'==-^_=-^ = 1. (13)
(Заметим, что производная
Таким образом, все такие
функциями.
одна и та же для всех ветвей.)
ветви Ln z будут аналитическими
Если же область D содержит хотя бы одну замкнутую
кривую, охватывающую точку z = 0 (например, если она со-
держит эту точку внутри себя), то в такой области ветви функ-
ции Ln г нельзя отделить друг от друга. Точка г = 0, в которой
как бы соединяются все ветви Ln z, называется точкой ветвле-
ния этой функции.
9. Тригонометрические и гиперболические функции в ком-
плексной области просто выражаются через показательную
функцию. Для действительного переменного х формула Эйлера
(4) п. 8 дает:
eix = cos х -J- i sin x, e~ix = cosx — i sin x,
откуда
eix-e-ix eix + e'ix
sin x =---; cos x —---------5---.
Учитывая это, примем по определению и для любого ком-
плексного Z
9]
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
37
Так определенные функции: 1) для действительных z = х со-
впадают соответственно с обычными синусом и косинусом;
2) всюду аналитичны; 3) подчиняются обычным формулам диф-
ференцирования:
(sin z)' — cos z, (cos z)'= — sin z;
4) периодичны с действительным периодом 2л; 5) sin г— не-
четная функция, cos г — четная; 6) подчиняются обычным три-
гонометрическим соотношениям:
sin2 z + cos2 z = 1, sin 2г = 2 sin z cos z и т. п.
Все эти утверждения вытекают из определения (1); чита-
тель может убедиться в этом, проведя соответствующие вычис-
ления.
Изучим отображение, осуществляемое первой из этих функ-
ций. Полагая
qIZ
iz = z{, eZi = z2, г3 = — iz2 = —, (2)
получим:
a’ = y(z3 + — ) = sinz. (3)
Мы видим, что наше отображение можно рассматривать как
суперпозицию уже изученных отображений. Найдем прежде
всего условия его однолистности. Пусть область D при отобра-
жениях (2) переходит последовательно в Dit D2 и D3. Первое
и третье из отображений (2) однолистны всюду; для однолист-
ности второго необходимо и достаточно, чтобы не содер-
жала ни одной пары точек г( и г", для которых
z\ — z" = 2kni,
где k Ф 0 — целое число (см. условие (7) предыдущего пунк-
та). Для однолистности отображения (3) необходимо и доста-
точно, чтобы О3 не содержала ни одной пары точек г' и г", для
которых
г'г" = 1
(см. условие (2) п. 7). Переходя с помощью формул (2) к плос-
кости г, получим, что для однолистности отображения w =
= sinz в области D необходимо и достаточно, чтобы D не со-
держала ни одной пары точек г', г", для которых, с одной сто
роны,
г' — z" = 2kn (k =/= 0 — целое), (4)
II, С другой, ег(г' + г") — — или
zr + г" = (2k + 1) л (k — целое). (5)
38
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[9
Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса —л <
< х < л, у > 0. Последовательные этапы ее отображения изо-
бражены на рис. 15. Семейства лучей х = х0 и отрезков
у = у0 переходят соответственно в семейства софокусных ги-
пербол и эллипсов; вдвое более узкая полоса —у<х<у,
у > 0 преобразуется в верхнюю полуплоскость.
v
Рис. 15.
Мы видим, что sin z в комплексной области неограничен-,
например, на лучах x=±-j, t/> 0 он принимает действи-
тельные значения, по модулю большие единицы и, вообще,
сколь угодно большие.
Отметим еще, что в (замкнутой) полуполосе —л х л,
у 0 функция sin г принимает значение 0 лишь в точках z—0
и z — ±л; учитывая нечетность и периодичность этой функции,
отсюда можно заключить, что она обращается в 0 лишь на
действительной оси в точках
z = kx (7г = 0, ±1, ±2, .. .).
Для полноты мы приводим на рис. 16 поверхность модуля,
или «рельеф» функции sin г, т. е. поверхность в пространстве
(х,у, и) с уравнением и = |sinz|; это — поверхность периодиче-
ская с действительным периодом л. На ней нанесены две си-
стемы линий — это линии уровня |sin z\ и argsinz. Сечение по-
верхности вертикальной плоскостью, проходящей через ось х,
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
дает график |sinx[*). По мере удаления от этой оси поверх-
ность сглаживается, а апликаты ее точек быстро возрастают—•
по форме поверхность приближается к цилиндру и = -^ el & 1.
Отображение, реализуемое функцией cos г, в силу соотно-
шения
• ( 1
cos г = sin I z + у I
отличается от только что рассмотренного лишь сдвигом.
Рис. 16.
, sin z
tgz =----------
cos z
Функции tg2 и ctgz определяются формулами
• е1г — e~iz . _ cos z _ . elz + e~iz
eize~iz ’ C sin z elz — e~lz
(6)
обра-
Функция tg z аналитична всюду, кроме точек, где cos г
Щается в 0, т. е., как видно из предыдущего исследования,
*) Сечение поверхности плоскостями x — kn и х=(24+1)у (4 = 0,
± 1, ± 2, ...) дают соответственно графики гиперболических функций | sh у |
и |ch//|, с которыми мы скоро ознакомимся. На рис. 16 показаны части таких
сечений х = 0 и х = Зл/2; впрочем, можно считать, что на этом рисунке
имеются два начала координат — к началу О относятся графики sin, и sh,
а к О[ — графики cos и ch.
40
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
15
всюду, кроме точек zk — ^-\-kn (k — 0, ±1, ±2, ...); при при-
ближении к этим точкам tgz неограниченно возрастает. То же
можно сказать о функции ctgz и точках z^ = kn (k = 0, ± 1,
±2,..
Из формул (6) следует, что эти функции периодические с пе-
риодом л. В самом деле, например,
i (г+л) _ -> (г+л) — р{г щ
tg(z + л) = — = - »'~ е7г_е-Ъ =tg z.
С | v С С
Отображение, осуществляемое функцией w = tgz, мы рас-
смотрим ниже, в п. 33. Здесь мы приведем лишь рельеф тан-
генса, т. е. поверхность и = |tgz| (рис. 17); это — поверхность
Рис. 17.
периодическая с действительным периодом л/2. Она имеет
ярко выраженные пики над точками z=-^--\-kn (k = 0, ±1,
±2, ...); ее сечение вертикальной плоскостью, проходящей
через ось х, дает график |tgx|*). По мере удаления от этой
оси поверхность становится все более плоской и приближается
*) Сечения поверхности плоскостями х = ka и х — (2k + 1) -5- (k = 0,
±1, ±2, ...) дают соответственно графики гиперболических функций 1th у|
и Jcth г/| (см. ниже).
3J
§ 3. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
41
к плоскости и = 1. На поверхности нанесены линии уровня
Itgz| и argtgz.
Гиперболические функции в комплексной области опреде-
ляются равенствами
Они весьма
функции
просто выражаются через тригонометрические
sh z — — i sin iz, ch г = cos iz,
th z = — i tg iz, cth z — i ctg iz
(9)
и поэтому несущественно от них отличаются. На рис. 16 и 17
указаны сечения поверхностей модуля для sin г и tgz, дающие
графики гиперболических функций.
Тригонометрические и гиперболические функции выражают-
ся, как мы видели, через показательную функцию, поэтому об-
ратные тригонометрические и обратные гиперболические функ-
ции можно выразить через логарифмы. Получим такое выра-
жение, например, для ш = arccos z. По определению имеем:
4® j_ е-г®
z = cos w =----4г----,
откуда e'2iw — 2zeiw 4-1=0, решая квадратное (относительно
<?г") уравнение, находим ег® = г-Т У z2— 1 и
w = arccos z = — i In (г 4- У z2 — 1)
(знаки ± в формуле решения квадратного уравнения можно
опустить, если понимать корень как двузначную функцию).
В силу соотношения (z + V^z2—l)(z—У z2— 1) = 1 измене-
ние знака перед корнем сводится к изменению знака перед ло-
гарифмом, поэтому знак «—» в последней формуле можно не
писать:
w = arccos z — i In (z 4- У z1 — О (10)
(по нашему условию корень все равно имеет два знака).
42
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[10
Аналогичные формулы можно дать и для других функций:
arcsin z = у — arccos z = у — i In (г -ф У z2 — 1),
arctg z = — arcctg г = -^- In ? 4
arsh г = In (г + У z2 -ф 1), arch г = In (г -ф У z2 — 1),
arth г — In , г , arcth г ==4-In—•
2 1 — z 2 г — 1
(11)
Все эти функции многозначны, ибо In в правой части формул
(10) и (11) может обозначать любое значение логарифма. Спо-
собы выделения их однозначных ветвей аналогичны рассмот-
ренным выше; все такие ветви будут аналитическими функ-
циями.
10. Общая степенная функция w = za, где а = а + ф—
произвольное комплексное число, определяется соотноше-
нием
2a = eaLnz. (1)
Полагая здесь z = гег":, получим Ln z = In г -ф i(cp -ф 26л) и,
следовательно,
2а — ga In г—₽ (tp+2fen)gi [а (ф+2£л) +[3 In r[, (2)
где k — произвольное целое число. Отсюда видно, что при £=#0
функция za всегда имеет бесконечно много значений, лежащих
(при фиксированных г и а) на окружностях | w | = ph с радиу-
сами
рА — еа1пг-₽Ч>е-2йлр (6=0, ±1, ±2, ...), (3)
образующими геометрическую бесконечную в обе стороны про-
грессию со знаменателем е~2яР. Аргументы этих значений
0fe = a<p -ф р In г -ф 26ла (4)
образуют также бесконечную в обе стороны арифметическую
прогрессию с разностью 2ла.
При р = 0, т. е. при действительных а, значения za распола-
гаются на окружности | w | = еа ln г — га, а их аргументы суть
0fe = a<p -ф 26ла. (5)
Если a = p!q — рациональное число (мы считаем дробь pjq не-
сократимой), то все значения Ой будут отличаться от q из этих
значений (например, 0О, 01, ..., 0®—i) на целое кратное 2л. Сле-
Ill
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
43
довательно, в этом случае функция w = za конечнозначна и со-
ч______________________
впадает с функцией ]/zp:
ч__
ZPl4=yzP, (6)
Если же а — иррациональное действительное число, то среди
значений 0h в формуле (5) нет отличающихся на целое кратное
2л и, следовательно, функция га = еаЪа1 бесконечнозначна.
Многозначность общей степенной функции, как и тех элемен-
тарных функций, которые мы рассматривали выше, обусловлена
многозначностью аргумента. Способы выделения ее однозначных
ветвей прежние; точкой ветвления служит z = 0.
Наряду с общей степенной функцией (1) можно рассматри-
вать общую показательную функцию
qZ —- gz Ln а — g? In I a I , gzi Arg a. (7)
В отличие от функции (1) функция (7) представляет собой
совокупность отдельных, не связанных между собой однознач-
ных функций, отличающихся множителями e2hItiz, где k — це-
лое число.
§ 4. Интегрирование функций комплексного переменного
Здесь мы рассмотрим понятие интеграла от функций ком-
плексного переменного и важнейшие свойства аналитических
функций, связанные с понятием интеграла или опирающиеся на
него. В частности, будет, например, установлена равносильность
понятий об аналитической функции, как о функции, дифферен-
цируемой в каждой точке области определения, и как о функ-
ции, интеграл от которой не зависит от пути (см. теорему 1
п. 12 и теорему 3 п. 17). Это дает новую концепцию в построе-
нии теории аналитических функций. Приложения понятия инте-
грала и теорем, на нем основанных, мы рассмотрим в следующих
главах.
11. Интеграл от функции комплексного переменного. Пусть
задана некоторая ориентированная кривая С и на ней —функ-
ция комплексного переменного f(z). По определению ин-
тегралом от / (г) вдоль С называют
lim V / (gj (zA+1
'f-*°°A=o
zk) = / f(z) dz,
c
(!)
где z0 = a, Z\, ..., zn+i = b — последовательные точки, разби-
вающие С на п участков, через а и b обозначены концы С, —
произвольная точка, лежащая на участке [z^, г^+1] кривой С, и
предел берется в предположении, что max|zft+i — г&|—>0.
44
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[И
Если С — кусочно-гладкая кривая, a f(z)—кусочно-непре-
рывная и ограниченная функция, то интеграл (1) всегда суще-
ствует. Доказательство сводится к известной из анализа тео-
реме существования криволинейного интеграла от функций дей-
ствительного переменного*). В самом деле, положив
f (г) = и (х, у) + iv (х, у),
%k xk Н- 1Ук, хк + 1 xk ^хк> У k + \ Ук == ^Ук<
Ik = Ik + «Ь «(U nJ = «а, v (S,k, цД = vA,
(2)
получим:
п— 1
X f (Sfc) (^/г + 1 — ?k) =
п— 1
= 2 {Uk &xk — vk by,
k—0
Суммы в правой части формулы
суммами для соответствующих
В наших условиях эти интегралы
существует
п— 1
:) + I 2 [Uk ^Ук + Vk ^Xk}- (3)
k=0
(3) являются интегральными
криволинейных интегралов.,
существуют и, следовательно,
J f (г) dz = J udx — v dy + i J и dy + v dx.
c c c
(4)
С помощью формулы (4) вычисление интеграла от функции
комплексного переменного сводится к вычислению действитель-
ных интегралов.
Применяя введенные определения, легко видеть, что произ-
водная и интеграл от комплексной функции действитель-
ного переменного w (/) = ср(^) + йр(/) представляются следую-
щими линейными комбинациями:
w' (0 = ф' (/) + М|/ (/), (5)
₽ ₽ ₽
j w (/) dt = j ф (/) dt ф- i j ф (t) dt. (6)
a a a
Пусть z = z(t) = x(t) + iy(t) дает параметрическое представ-
ление кривой С, причем z(a) — a, z($)=b; тогда, пользуясь
формулой (4), мы сведем вычисление интеграла от /(г) вдоль
С к вычислению интеграла от комплексной функции действи-
тельного переменного:
₽
$f(z)dz = $ f[z(t)]z'(t)dt. (7)
С a
*) См. Фихтенгольц, т. III, стр. 27 или Смирнов, т. II, стр. 206
и сл. Здесь и в дальнейшем мы ссылаемся на курсы, указанные в предисловии..
12]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
45
Из формулы (4) вытекает также, что на интегралы от функции
комплексного переменного распространяются обычные свойства
криволинейных интегралов;
J {af (г) + bg (г)} dz = a j f (г) dz Д- b j g (z) dz, (8)
c c c
j f (z) dz = j f (г) dz + | f(z) dz,
щ+с, с, c2
J f(z) dz = — J f (?) dz
C c-
(9)
(10)
(а и b — комплексные постоянные, через Су ф- С2 обозначена
кривая, состоящая из Ci и С2; через С~— кривая, совпадающая
с С, но проходимая в противоположном направлении).
Докажем еще одно свойство интеграла:
Пусть Al = max|f(z)| на кривой С и I — длина С, тогда
/ f (г) dz
С
< J’ If(z) II dz к Ml.
С
(11)
Доказательство вытекает непосредственно из определения инте-
грала. В самом деле, имеем:
2 Ж)
k—Q
п— 1
С 2 ШШ Аг*1<м£ | \zk\,
п— 1
где 2 I AZfe I — длина ломаной zQZy ... zn, вписанной в кри-
А=0
вую С, и в пределе при max|Azfe|->0 получаем (11).
12. Теорема Коши. В общем случае j f (z) dz зависит как
с
от подынтегральной функции /(г), так и от кривой С. Однако,
если функция f(z) аналитична в некоторой односвязной обла-
сти, содержащей кривую С, то интеграл полностью определяется
положением концов С и не зависит от вида этой линии. Иными
словами, имеет место
Теорема 1 (О. Коши, 1825 г.). Если функция f(z) ана-
литична в односвязной области D, то для всех кривых С, лежа-
щих в этой области и имеющих общие концы, интеграл J f (г) dz
с
имеет одно и то же значение.
46
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[12
Мы докажем эту теорему в дополнительном предло-
жении*) непрерывности производной Г(г) (в определении
аналитичности п. 5 требуется лишь существование этой
производной).
Пусть, как всегда, f (z) = и(х, у) + iv(x, у); в силу соотно-
шения
[ f (г) dz = j и dx — v dy + i J и dy + v dx (1)
c c c
(см. формулу (4) предыдущего пункта) вопрос о независимо-
сти интеграла Jf (г) dz от пути сводится к вопросу о независи-
с
мости от пути криволинейных интегралов
J udx — v dy, j и dy + v dx. (2)
с с
Но, как известно из анализа**), в односвязной области для
независимости от пути криволинейного интеграла J Р dx Q dy,
с
где Р и Q — функции, обладающие непрерывными частными
производными, необходимо и достаточно, чтобы выражение,
стоящее под знаком этого интеграла было полным дифферен-
циалом, т. е. чтобы в каждой точке области D имело место со-
дР dQ
отношение -ч—= -т*-.
оу дх
Для интегралов (2) эти соотношения имеют вид
ди 5а dv ди
ду дх ’ ду дх ' ' '
непрерывность же частных производных вытекает из предполо-
жения о непрерывности Уравнения (3) совпадают с усло-
виями Коши — Римана и удовлетворяются, так как f(z) анали-
тическая функция. Теорема доказана.
В силу этой теоремы для функций, аналитических в одно-
Z
связных областях, вместо J f (z) dz мы можем писать J f (g) d£,
С Zo
где через z0 и z обозначены концы кривой С.
Основываясь на теореме 1, можно доказать ряд предложе-
ний, аналогичных обычным предложениям интегрального исчис-
ления. Прежде всего имеет место
*) Полное доказательство см. Маркушевич, [3], стр. 137—143,
154—162, или Шабат [12], стр. 73—85.
**) См. Фихтенгольц, т. Ill, стр. 68 или Смирнов, т. II, стр. 216.
121
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
47
Теорема 2. Если функция f(z) аналитична в односвязной
области D, то интеграл
J f(g)d? = F(z),
Zq
(4)
рассматриваемый в зависимости от своего верхнего предела,
также является аналитической в D функцией, причем
Z
= = (5)
Z0
В самом деле, по определению производной и свойствам ин-
теграла (9) и (10) из предыдущего пункта имеем:
,z+h z .
,,,, , .. F(z + /i)-F(z)
/•'(z) = lim —1------------—
Zq
Zq
z + /l
= lim
z
В силу непрерывности*) f(z) в точке z можно написать:
f (?)=f (г) + Ш
где т](С)~*О ПРИ ?~>г; подставляя это в (6), получим:
z+h z+h
F' (г) = lim ~ f f (г) dt, + lim ~ n (z) d£.
h->0 n J h->0 n J
z z
(6)
(7)
Так
?, то
как f(z)—постоянная величина при интегрировании
по
ибо из
Далее,
z+h. z+h.
J f(z)d? = f(z)J d£=f(z)-h,
z z
z+fl
определения непосредственно следует, что J с
z
из неравенства (11) предыдущего пункта имеем:
z+h
max| п (?) I • I h |
Z
) Непрерывность f(z) является следствием ее аналитичности.
48
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[12
(путь интегрирования от точки z до z 4- h по теореме 1 можно
считать прямолинейным, поэтому его длина равна Таким
образом, в (7) первый предел равен f(z), а второй — нулю, т. е.
F'(z)=f(z), что и требовалось доказать.
Функция, производная которой равна заданной функции
/(г), называется первообразной этой функции. Доказанная тео-
рема- утверждает, что интеграл от f (г), рассматриваемый как
функция своего верхнего предела, является одной из первооб-
разных функции f(z).
Теорема 3. Любые две первообразные одной и той же
функции отличаются друг от друга не более чем на постоянное
слагаемое.
Пусть Fi(z) и F2(z)— эти первообразные и
Ф (z) = Fi (г) — F2 (z) = и (х, у) + iv (х, у).
Для доказательства теоремы достаточно показать, что функ-
ция Ф(г) постоянна.
По формуле для производной (см. (13) п. 5) имеем:
, ди , . dv до .ди „
Ф (z) == -г- + I -г- = -I —— == О,
' ’ дх 1 дх ду ду
ибо по нашему условию Ф' (г) = F\ (z) — F2 (z) = f (z) — f (z) = 0.
„ du dv dv du n
Отсюда следует, что =^~~— ^0, -r- = —== 0, следовательно,
J дх ду dxdy
u(x, у) и v (x, у) постоянны. Теорема доказана.
Следующая теорема позволяет вычислять интегралы с по-
мощью первообразных.
Те о р ем а 4. Если F(z) — произвольная первообразная ана-
литической функции f (z), то
_f f(№ = F(z)-F(z0). (8)
z
В самом деле, по теореме 2 функция F,(z)= | f (?) dt, является
Zo
одной из первообразных для f(z), функция F(z) по условию
также первообразная, следовательно, по теореме 3
Z
d£ = F(z)+C,
где С — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве z=z0,
найдем: F(z0) + С = 0, откуда С — — F(z0), что и дает иско-
мую формулу (8).
12)
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
49
Отметим еще, что теореме Коши, доказанной в начале этого
пункта, можно придать следующую форму:
Теорема. Если функция f(z) аналитична в односвязной
области D, то ее интеграл вдоль любого замкнутого контура С,
лежащего в D, равен нулю;
\f(z)dz = O. (9)
Доказательство основывается на том, что замкнутый контур
С можно разложить на два контура, С] и С2, с общими началом
и концом (рис. 18). По свойствам интегралов
J f (z) dz == | f (z) dz + J f (z) dz= | f (z) dz — J f (z) dz;
C Cl C2 C1 C2
следовательно, равенство нулю интеграла вдоль С равносильно
равенству между собой интегралов вдоль С\ и С2.
В заключение докажем одно полезное для дальнейшего
обобщение теоремы Коши. Именно, в теореме Коши (в послед-
ней формулировке) речь идет об интеграле
по контуру, целиком лежащему внутри обла- /^\
сти аналитичности функции, между тем как /
иногда приходится рассматривать интегралы у Д Xе*
вдоль кривых, на которых функция, оставаясь ( и )
непрерывной, перестает быть аналитической. V J
Оказывается, теорема Коши остается в силе
и для этого случая: а
Теорема 5. Если функция f(z) анали- Рис. 18.
тична. в односвязной области D и непрерывна
в замкнутой области D, то интеграл от f(z), взятый вдоль гра-
ницы С этой области, равен нулю;
J f (z) dz — 0.
с
(9)
Мы предположим сначала, что С есть «звездный» контур, т. е. существует
точка г0 такая, что любой луч с вершиной в этой точке пересекает С в одной
и только одной точке. Без ограничения общности можно предполагать, что
г0 = 0 (это достигается сдвигом плоскости г), тогда кривую С можно задать
уравнением г = г(<p')et<p, где г(<р) —однозначная функция. Через С\ мы обо-
значим контур, определяемый уравнением £ = Хг = (ср)е1<р, 0 < X < 1
(рис. 19). Так как С\ лежит внутри D, то по теореме Коши
J И?) d? = 0.
СК
(Ю)
50
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
|12
Но когда точка £ описывает С%, точка z = -i- g описывает С, поэтому равен-
Л
ство (10) можно переписать в виде
J I (Zz) d (Zz) — Л J f (Zz) dz — 0
с с
и, следовательно,
j f (z) dz = j {f (z) — f (Zz)} dz. (11)
c C
Так как функция f(z) равномерно непрерывна в D (см. п. 5), то для лю-
бого е > 0 можно найти б > 0 так, что для любой пары точек z, £, удовле-
творяющих неравенству \z — <6, будет справедливо неравенство
I f (г) - f (О | < 6.
Пусть I — длина контура С и R = max г (ср); возьмем
(12)
тогда
для любой пары точек z и g = Zz будем иметь |z —- £ | = (1 — Z) | z |
1 z ! 6, следовательно, будет выполняться (12) и из (11) получим:
J f (z) dz I < /е.
C I
Так как здесь в сколь угодно мало и интеграл не зависит от е, то этот
интеграл равен 0. Для звездных контуров теорема доказана.
Пусть теперь С — произвольная кусочно-гладкая кривая. Если С имеет
точки возврата, то мы выбросим из области D круги малого радиуса е с цен-
трами в этих точках, так, чтобы граница полученной области Ds уже не имела
таких точек (рис. 20). Проводя внутри £>е конечное число линий у>. (k =
= 1, 2, ..., m), эту область можно, очевидно, разбить на части Dii, ограни-
ченные звездными линиями С\ (k = 1, 2, ..., п) *). По доказанному выше,
*) Легко видеть, что отрезок кусочно-гладкой кривой в достаточно малой
окрестности ее точки, не являющейся точкой возврата, представляет собой
звездную кривую. В окрестности же точки возврата кривая может и не быть
звездной (например, кривая, составленная из ветвей парабол у = х2 и у = 2№,
для которых х 0, в окрестности точки г — 0).
13| § 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 51
интеграл вдоль любой линии Си равен нулю:
p(z)dz = 0 (fe = 0, I....и). (13)
ck
Предположим, что линии Си проходятся в одном, например положитель-
ном, направлении, и сложим все уравнения (13). Так как у нас каждая ли-
ния у» проходится дважды и притом в противоположных направлениях, то все
интегралы вдоль уи взаимно сокращаются (см. (9) и (10) из п. 11). Остальные
части границ Си составляют границу СЕ области Ое и, следовательно, интеграл
вдоль этой границы равен нулю: J f (z) dz = 0.
Се
Остается показать, что равен нулю интеграл вдоль границы С области О;
по это следует немедленно из того, что С и СЕ отличаются лишь на конечное
число малых дуг и так как функция [(г) ограничена, то ее интеграл вдоль
этих дуг также мал. Таким образом, интеграл вдоль С сколь угодно мало от-
личается от интеграла вдоль СЁ, который равен 0, и, следовательно, сам равен
пулю. Теорема доказана полностью.
13. Распространение на многосвязные области. Для много-
связных областей теорема Коши, вообще говоря, не верна. В са-
мом деле, функция f(z)=l/z аналитична всюду в кольце
у < | z | < 2, однако интегралы от —1 до 1 вдоль верхней и
нижней половин окружности |z| = 1 отличаются друг от друга.
Действительно, вдоль верхней полуокружности Сь где z — е^,
0 < ср < л, имеем:
о
Г dz Г /е,ф dtp
J V = J^r- = -^
С, л
а вдоль нижней полуокружности С2, где z = е’т, —л < < 0:
Г dz __ Г ieltf d<f
J z J
С2 —л
Для-обозначения интеграла от а до b вдоль пути С в много-
связной области мы будем поэтому иногда употреблять символ
ь
J f(z)dz. (1)
Однако если и в многосвязной области кривые ф и С2 с об-
щими концами расположены так, что они ограничивают одну
односвязную область, принадлежащую D, то интегралы вдоль
таких кривых, очевидно, равны. Отсюда следует, что значение
интеграла от аналитической функции в многосвязной области
D не изменяется, если контур интегрирования непрерывно
52
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[13
деформируется так, что его концы остаются неподвижными и
он все время остается внутри D.
Пусть в многосвязной области D даны точки а и b и про-
стая *) кривая Со, их соединяющая. Пусть С — любая другая
кривая, соединяющая эти точки (рис. 21, а). Согласно только
что сделанному замечанию можно, не изменяя величины инте-
грала, деформировать кривую С в другую, лежащую в области
D кривую С, состоящую из: 1) кривой Со, которая вместе с Со
Рис. 21.
ограничивает односвязную область, принадлежащую D; 2) со-
вокупности простых замкнутых кривых уд (6=1, 2, ..., m),
каждая из которых содержит внутри себя одну связную часть
границы D (рис. 21,6). При этом кривые уд могут проходиться
несколько раз и в различных направлениях (на рис. 21,6 кри-
вая у1 проходится трижды по часовой стрелке, а уд—-один раз
против часовой стрелки). Для удобства мы условимся обозна-
чать через у/; (k = 1, 2, ..., m) кривые, проходимые против ча-
совой стрелки; кроме того, мы введем еще кривые уд (k =
= m-f- 1, ..., п), окружающие связные части границы области
D и не входящие в состав С (как уд на рис. 21,6).
Введем обозначения
rfe=Jf(z)dz (6 = 1,2........и); (2)
Vfe
при непрерывной деформации уд, при которой эти кривые ос-
таются внутри D, интегралы (2) не изменяются, следовательно,
величины Гй определяются лишь функцией f(z) и областью D.
Пусть Nk— целые числа, указывающие, сколько раз и в каком
направлении проходится уд в составе кривой С; эти числа могут
быть положительными, отрицательными или равными нулю
*) То есть без точек самопересечения.
13]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
53
(например, на рис. 21 JV] = —3, N2— 1, Л13 = 0). По предыду-
щему и свойствам интегралов (9) и (10) п. 11 имеем:
j f(z) dz = j f (z) dz = J f (z)dz+Nlrl +ВД+... +ЛÄÄ. (3)
uc aC ac<>
Величины Tfe называются периодами интеграла от функции f(z)
в многосвязной области D или циклическими постоянными.
Пример. Пусть f (г) = 1/г и D —- «кольцо» 0 < |г | < R, где R — сколь
угодно большое число. Любой путь С, соединяющий точки 1 и г, можно,
как выше, деформировать в путь С, состоящий из несколько раз проходимой
единичной окружности |z| — 1 и простой
линии Со, соединяющей точки 1 и г
(рис. 22). Интеграл вдоль окружности, про-
ходимой против часовой стрелки, когда
г = е,<р и растет от 0 до 2л, равен
2л
dz Г е14’/ dtp „ .
— = ---:—J— = 2ш.
z
г =
(4)
eiv
о
По формуле (3)
(5)
|С
jCo
где k — целое число, показывающее, сколько раз и в каком направлении про-
ходится окружность |z| = 1 в составе С (на рис. 22 k = — 2). По тео-
реме 4 предыдущего пункта
Z
/ V = |п 2 |^=1 = 1п 2’ (6)
где 1п означает то значение логарифма, которое равно 0 в точке z = 1 и
непрерывно изменяется вдоль Со.
Считая, что С — произвольный путь, и обозначая значение интеграла
от 1 /г вдоль него через Ln z, мы получим из (5):
z
Г dz
Ln z = ---= In z -|- 2kni. (7)
1C
Таким образом, мы вновь пришли к многозначной функции Ln г и выяснили
ее многозначность с новой точки зрения.
Заметим в заключение, что теореме Коши предыдущего пунк-
та можно придать несколько иной смысл так, чтобы она оста-
валась справедливой и для многосвязных областей. Пусть
54
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[И
Рис. 23.
функция f(z) аналитична в многосвязной области D, ограничен-
ной кривыми Со, Ci, Сп (рис. 23), и непрерывна в D. Проведем
разрезы уи •••, Yn> обращающие D в односвязную область £>*,
и обозначим через С* границу этой области — кривую, состоя-
щую из участков кривых Сй и кривых ук, причем последние про-
ходятся дважды в противоположных на-
правлениях (отмечены стрелками на
рис. 23).
Функция f(z) аналитична в односвяз-
ной области D* и непрерывна в D*; сле-
довательно, по теореме 5 предыдущего
пункта и свойствам интегралов (9) и
(10) п. 11.
п
J f(z)dz = j f(z) dz + ^j ^f(z)dz = Q
c c0 fc=l ck
(8)
(интегралы вдоль yft взаимно сокращаются, а остальная часть
п
С* совпадает с S Ck). При этом мы должны считать, что кри-
fe=0
вые Со и С], С2, ..., Сп проходятся так, чтобы область D оста-
валась все время с одной стороны (например, на рис. 23 — сле-
ва). Таким образом, для областей любой связности теорема
Коши справедлива в следующей форме:
Теорема. Если функция f(z) аналитична в области D и
непрерывна в D, то ее интеграл вдоль границы этой области,
проходимой так, что область D все время остается с одной сто-
роны, равен нулю.
14. Формула Коши и теорема о среднем. Пусть функция
f(z) аналитична в «-связной области D и непрерывна в D. По-
кажем, что для любой внутренней точки z этой области имеет
место так называемая формула Коши (1831 г.):
с
(1)
где С — граница области D, проходимая так, что область D
остается все время слева.
Отметим, что в правую часть формулы Коши входят лишь
значения f(z) на границе С области D. Таким образом, в при-
нятых условиях значения функции внутри области вполне опре-
деляются ее значениями на границе: формула Коши позволяет
вычислить значение функции в любой точке области, коль скоро
известны граничные значения этой функции.
14]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
55
Для вывода формулы Коши мы выбросим из области D кру-
жок радиуса г с центром в точке z и заметим, что в полученной
(лг-f-l)-связной области D* числитель и знаменатель подынте-
гральной функции аналитичны относительно переменной £, при-
чем знаменатель не обращается в нуль. Следовательно, подын-
тегральная функция аналитична относительно £ в D*; так как
она непрерывна в D*, то по теореме Коши предыдущего пункта
(формула (8)):
J Ь «/ Ь *
с <-
где окружность у~ проходится по часовой стрелке. Отсюда сле-
дует, что
Г f К) dt, _ f f (£) dg
J £ — z J £ — z ’
с yr
(2)
где yr проходится против часовой стрелки. На окружности уг
имеем £— z = rei4>, поэтому, вынося за знак интеграла постоян-
ный относительно £ множитель f (z), найдем:
2л
1 Г f (z) dg _ f (z) Г rie1'9 dtp __
2л/ J g — z 2ш J ге!'Т
yr о
(3)
На основании формул (2) и (3) имеем:
> (4)
2лг J £ — z ' 2ш J t — z '
с
оценим эту разность. Согласно неравенству (11) п. 11
J <^тах|Ш-Иг)1^==
Vr Vr
= max| f (0 — f (z)
откуда видно, что наша разность при уменьшении г может быть
сделана сколь угодно малой. С другой стороны, как видно из
левой части (4), эта разность не зависит от г. Следовательно,
рассматриваемая разность равна нулю и формула Коши дока-
зана.
56
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
45
Если, в частности, кривая С представляет собой окружность
|£ — z\ = R, то, полагая g — z = Reil₽ м.ы получим из формулы
Коши
2л
= f(z + Re'^dq). (5)
о
Последняя формула выражает так называемую теорему о сред-
нем для аналитических функций:
Теорема. Если функция f(z) непрерывна в замкнутом
круге и аналитична внутри этого круга, то ее значение в
центре круга равно среднему арифметическому значений на
окружности.
15. Принцип максимума и лемма Шварца. Сначала докажем
одну простую лемму.
Лемма. Если в некоторой области D: 1) постоянна дей-
ствительная часть аналитической функции f(z) или 2) постоя-
нен ее модуль, то и сама эта функция постоянна.
При условии 1) утверждение вытекает непосредственно из
.. тг тл ди ди
уравнении Коши — Римана: у нас = 0, следователь-
но, в силу этих уравнений и s 0. Отсюда заключаем,
что v, а значит и функция f(г), постоянна
в области D.
/ТслдПерейдем к доказательству леммы при
.7/ р условии 2). Пусть |f(z)|^M, где М— по-
// 1Сг^\ стоянная; Для М = 0 утверждение леммы
' J очевидно. Если же М 7= 0, то мы рассмот-
Д иг, с7;у // рим функцию In f(z) — 1п|/(г) | i argf (z),
// которая в этом случае аналитична. Ее дей-
ствительная часть постоянна (==1пЛ4);
следовательно, по уже доказанному, по-
стоянна сама функция Inf (г), а значит, и
Рис. 24. f(z). Лемма доказана.
Докажем теперь принцип максимума
модуля для аналитических функций.
Теорема. Если функция f(z), не равная тождественно по-
стоянной, аналитична в области D и непрерывна в D, то ее мо-
дуль не может достигать наибольшего значения во внутренней
точке области D.
В силу свойств непрерывных функций (см. п. 5) |f(z) | до-
стигает своего максимума М внутри или на границе D (рис. 24).
Предположим от противного, что |f(z) | достигает значения М
внутри D, и обозначим через <S множество всех точек D, для
которых )f (г) | —М. Если & = D, то всюду в D имеем: |f (г) | =
15J
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
57
= М, т. е. |f(z)| постоянен. Отсюда по лемме следует, что и
f(z) постоянна в D, а это противоречит условиям теоремы.
Если <S не совпадает с D, то существует граничная* *) точка
20 этого множества, которая является внутренней точкой D.
В силу непрерывности f(z) имеем |f(z0) | = М, ибо в любой
окрестности z0 есть точки <о. Построим окружность С: \z—z0| =
= г, принадлежащую области D, так чтобы на ней имелась хотя
бы одна точка zb не принадлежащая множеству & (это всегда
можно сделать, ибо z0— граничная точка с?). Тогда |f(2i) |<
< М, и для любого достаточно малого е > 0, в силу непрерыв-
ности f(z), всегда можно указать такую содержащую точку zr
часть Cj окружности С, на которой
| f (z) | < Л4 — е. (1)
Обозначим через С2 оставшуюся часть окружности; на ней,
очевидно,
|f(z)KM. (2)
По теореме о среднем имеем:
2л
f(z0) = f f(z) dtp = 2^- ( f f (z) ds + I f(z)ds\, (3)
XlJ V -/ It/ t) I
0 c, c, >
где ds = r dtp—-элемент длины окружности С.
Переходя в соотношении (3) к абсолютным величинам и учи-
тывая неравенства (1) и (2), получим:
М = | f(z0 К^-{(М - 8) l1 + Ml2} = M~^,
где соответственно 1\ и 12— длины Ci и С2 (А -ф- 12 = 2лг). Но
последнее неравенство невозможно, чем и доказывается наш
принцип.
Замечание. Если функция f(z) не постоянна, аналитична
в D и непрерывна в D и, кроме того, не обращается в 0, то и ми-
нимум |f(2)| не может достигаться внутри D. Для доказатель-
ства этого достаточно применить принцип максимума к функ-
ции g(2)= l/f(z).
Из принципа максимума модуля вытекает полезная для
дальнейших приложений
Лемма (Г. Шварц**)). Если функция f(z) аналитична
в круге |z|<; 1 и непрерывна в замкнутом круге, причем f(0) —
~ 0, и если всюду в круге |f (z) | 1, то в том же круге
|f(z)|^|z|. (4)
*) Граничные и внутренние точки для множества определяются так же,
как для области (см. п. 3).
**) Герман Амандус Шварц (1843—1921)—немецкий математик.
58
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
(1В
При этом если хотя бы в одной внутренней точке круга
|f(z) | = |z|, то последнее равенство имеет место во всем круге и
f (2) = eiaz, (5)
где а — действительная постоянная.
Для доказательства рассмотрим функцию
[ при z ф О,
Ф (2) = 2
I /'(О) при 2 = 0.
Из условий леммы следует, что <р(г) аналитична в кольце
0< |z| < 1 и непрерывна в замкнутом круге |z| С 1 (непре-
рывность в точке z — 0 следует из того, что
lim cp(z) = lim ^^Zn(0) = Г (°))-
z-»0 г->0 £ и
В п. 22 будет доказано, что отсюда вытекает аналитичность
ф(г) в точке 2 = 0; таким образом, к cp(z) применим принцип
максимума модуля. Так как на окружности |z[= I имеем
| ф (г) | = | | 1, то по этому принципу и всюду в круге
|ф(г) | С 1, т. е. |/(г) | |г|. Первая часть леммы доказана.
Если теперь в какой-либо внутренней точке |/(20) | — |г0|, то
по принципу максимума
| ф (г) | = 1 во всех точ-
ках круга и по лемме из
начала пункта ф(г) по-
стоянна. Так как |ф(г) | =
= 1, то эту постоянную
можно представить в ви-
де е’“, где а — действи-
тельное число, следова-
тельно, f(2)=e’“2. Лем-
ма Шварца доказана.
Геометрически лемма
Шварца означает, что при
любом отображении единичного круга на область А, лежащую
внутри единичного круга, с помощью аналитической функции
aj = f(z), f (0) = 0, образ произвольной точки z лежит ближе
к началу координат, чем сама точка z (рис. 25); если же образ
хотя бы одной точки 2 лежит на том же расстоянии, что и сама
точка, то А совпадает с единичным кругом и отображение сво-
дится к повороту.
16. Равномерная сходимость. Этот пункт имеет вспомога-
тельный характер. Мы рассмотрим в нем важные для дальней-
161
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ
59
шего вопросы, связанные с равномерной сходимостью последо-
вательностей и рядов аналитических функций.
Последовательность функций fi(z), f2(z), ... называется рав-
номерно сходящейся к функции f(z) в области D (или на кри-
вой С), если для любого е>0 найдется число п0, зависящее
лишь от е, такое, что при п0 для всех z из D (или на С)
имеет место неравенство
\fn(z) — f(z)\<e. (I)
Докажем две теоремы, аналогичные соответствующим теоре-
мам анализа.
Теорема 1. Предел f(z) последовательности непрерывных
функций fi(z), /2(г), .... fn(z), ..., равномерно сходящейся в
некоторой области D (или на кривой С), также является не-
прерывной функцией.
Зададимся числом е>0 и обозначим через z0 произвольную
точку области D (или С). В силу равномерной сходимости най-
дется номер п такой, что для всех z из D (на С)
\f(z) — fn(z)\<^. (2)
В силу непрерывности fn(z) в точке z0 найдется такое число
6 > 0, что для всех z из D (на С), удовлетворяющих неравен-
ству |z — z0| < б,
lfn(z)-f„(Z0)|<|. (3)
Для таких z и выбранного выше п из неравенств (2) и (3)
имеем:
И (Z) - f (го) I < I f (г) - fn (г) | +1 (г) - fn (г0) I +
+1 fn(го) — f (го) + + =
а это и означает непрерывность f(z).
Теорема 2. Если последовательность непрерывных функ-
ций ft(z), fi(z), ..., fn(z), ... на кривой С равномерно сходится
к f(z), то справедливо предельное соотношение
lim [ fn(z)dz= [ lim fn(z)dz. (4)
П->оо^ £ n~>oo
C L
Зададимся числом 8 > 0. В силу равномерной сходимости
найдется такое ««, что для всех « «о и для всех z на С
\fn H-f (г)|<р
60
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
ns
где I — длина С. Для таких п
J f (z) dz — J
с с
fn (z) dz
J (z) — fn (z)} dz
c
e t
T 1=
а это и означает справедливость соотношения (4).
Доказанная теорема дает возможность переходить к пределу
под знаком интеграла в случае равномерной сходимости после-
довательности функций.
С понятием равномерно сходящейся последовательности те-
сно связано понятие равномерно сходящегося ряда. Функцио-
оо
нальный ряд У fn(z) называется равномерно сходящимся в
гс=0
области D (или на кривой С), если последовательность его час-
тичных сумм so(z) = fo(z), Si(z) = fo(z) + fl(z), sn(z) =
= fo(z)4-А(2)4~ •••+fn(z), ... сходится в этой области (на
этой кривой) равномерно.
Так же, как в анализе, доказывается удобный для примене-
ния достаточный признак равномерной сходимости функцио-
нальных рядов,
оо
Теорема 3. Если функциональный ряд У fn (z) в области
п=0
оо
D мажорируется некоторым сходящимся числовым рядом У ап,
n=Q
т. е. если для любой точки z из D
\Ш\<ап (п = 0, 1, 2, ...), (5)
то данный функциональный ряд сходится в D равномерно.
В самом деле, по известной теореме сравнения данный ряд
сходится в любой точке z из D. Обозначим его сумму через s(z).
Для любого п остаток rn(z) = s(z) — sn(z) этого ряда в силу
соотношения (5) удовлетворяет неравенству
I rn (z) I I fn + \ (z) | + I fn+2 (z) I + • • • ctn + l 4- an+2 4- ... (6)
Справа здесь стоит остаток гп сходящегося числового ряда,
стремящийся к нулю при п—»оо. Следовательно, для любого
е > 0 можно найти номер п0, зависящий лишь от е, начиная с
которого будет гп < е, и тогда в силу (6) для любого z из D и
п п0 имеет место неравенство
I S (z) — sn (z) I < 8.
Это и означает равномерную сходимости данного ряда.
Из теорем 1 и 2 следует, что сумма равномерно сходящегося
ряда, составленного из непрерывных функций, непрерывна, и
16]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
61
что такой ряд можно почленно интегрировать, т. е. что справед-
ливо предельное соотношение
ОО ОО
У J fn(.z)dz = J У fn(z)dz.
п—0 С С п=0
(7)
Вопрос о возможности почленного дифференцирования функ-
циональных рядов будет рассмотрен в п. 19 (теорема Вейер-
штрасса).
Рассмотрим теперь семейство функций f(z,a), зависящих от
(действительного или комплексного) параметра а. Говорят, что
/(г, а) стремится при а->а0 к функции f(z) равномерно отно-
сительно z в области D (или на кривой С), если для любого
г > 0 найдется 6 = 6(e) такое, что при | а — ссо| < 6 для всех z
из D (или на С) имеет место неравенство
If (г, a) — f(z) |<е. (8)
Точно так же как для последовательностей, можно показать,
что предел равномерно сходящегося семейства непрерывных
функций является функцией непрерывной и что для такого се-
мейства справедливо предельное соотношение
lim f (z, a)dz = lim f(z, a)dz.
a-»a0^ " n-Mi,
(9)
В дальнейшем нам придется иметь дело с интегралами вдоль
неограниченных кривых — несобственными интегралами. При
этом мы всегда будем рассматривать лишь такие кривые С, от-
резки которых, принадлежащие произвольному кругу, являются
кусочно-гладкими. Функции /(г), заданные на С, будем считать
кусочно-непрерывными и ограниченными.
Определим теперь интеграл от функции f(z) вдоль неограни-
ченной кривой С. Пусть сначала С не ограничена лишь в одну
сторону на — ее конец. Тогда мы обозначим через С( часть С с
концом а и длиной I и положим по определению
f(z)dz— lim \f(z)dz,
1->х J
(Ю)
причем, если этот предел существует, мы будем говорить, что
(несобственный) интеграл (10) сходится. Если С не ограничена
в обе стороны, то мы определим интеграл как сумму интегралов
вдоль двух частей, на которые С делится произвольной точкой а.
62
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[16-
Пусть функция f(z, £) определена для всех z из области D и
для всех £ на линии С. Будем говорить, что интеграл
F(z) = J f(z, Qd£
с
сходится равномерно в области О, если для любого е > 0 най-
дется число /о такое, что для всех z из D при любом I > /о
f f(z, QdZ- f Иг, М
с Cl
(11).
< е
(мы предполагаем, что С не ограничена в одну сторону; рас-
пространение на общий случай делается, как и выше).
Теорема 4. Если функция f(?,£,) аналитична по z и ку-
сочно-непрерывна по £ для всех z из односвязной области D и
для всех £ на линии С и интеграл
F(z)= f f(z,^)d^ (12)
С
сходится равномерно в области D, то он является аналитиче-
ской в этой области функцией *).
Для доказательства мы воспользуемся теоремой, обратной
к теореме Коши, согласно которой функция F(z) аналитична
в односвязной области D, если она непрерывна в этой области
и ее интеграл вдоль любой замкнутой кривой, принадлежащей
области, равен нулю (доказательство этой теоремы см. в сле-
дующем пункте).
В условиях доказываемой теоремы непрерывность функции
F(г) устанавливается обычным образом (как теорема 2 или со-
отношение (9)). Остается показать, что равен нулю интеграл от
F(г) вдоль произвольного замкнутого контура Г, принадлежа-
щего области D. Имеем:
$F(z)dz = Щ((г, СМрг. (13)
г г I с I
В силу равномерной сходимости интеграла (12) по извест-
ной из анализа теореме**) справа можно изменить порядок
интегрирования, и мы получим:
p(2)d2=JHf(z, ®dz\d£ = 0,
г с I г J
*) Ср. теорему 1 из п. 19.
**рСм. Фихтенгольц, т. II, стр. 733; сказанное там относится к дей--
ствительным определенным интегралам, но после введения параметра и отде-
ления действительных и мнимых частей интегралы (13) сводятся к таким.;
интегралам. 1
17]
§ 4. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
63
так как внутренний интеграл равен нулю по теореме Коши. Тео-
рема 4 доказана.
Заметим, что в случае ограниченной кривой С для аналитич-
ности функции F(z) не требуется никаких дополнительных пред-
положений о сходимости интеграла (12), — это вытекает из воз-
можности перемены порядка интегрирования в соотношении
(13) без дополнительных предположений.
17. Высшие производные. По определению, аналитическая
функция — это функция комплексного переменного, обладаю-
щая производной в каждой точке некоторой области D (см.
п. 5). Покажем, что из аналитичности функции автоматически
вытекает существование и аналитичность всех ее последователь-
ных производных.
Теорема 1 (О. Коши, 1842 г.). Если функция f(z) ана-
литична в области D и непрерывна в D, то она обладает в каж-
дой точке D производными всех порядков, причем п-я производ-
ная представляется формулой
где С — граница области D.
Пусть z—произвольная внутренняя точка области D. По
определению производной и формуле Коши из п. 14, которую мы
применяем для точек z и z Д- h, имеем:
Г (г) = lim Нг-Ц).-Нг) =
л->о п
= —Ц11ш 4- f НО f т—’—1------—
h_>0 Л J ' I £ — г — /г £ — z J
= _1_Нт [________________
2ni V™ J К - г - /г) К - г) •
Но, очевидно, при /г—>-0 функция _ 1 _ равномерно для всех
на С стремится к у-у— и, следовательно, по теореме 2 пре-
дыдущего пункта (для случая семейства функций, зависящих от
параметра h) предел существует, причем
(2)
с
Для п — 1 теорема доказана. Предполагая ее верной для
какого-либо п— 1, точно так же можно доказать ее справедли-
вость для п и тем самым полностью доказать теорему.
64
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[17
Замечание 1. Как видно из доказательства, теорему мо-
жно еще формулировать следующим образом: если функция
<р(£) непрерывна на границе С области D, то функция
' ' 7 2ш J z
с
(3)
представленная формулой Коши, аналитична в этой области.
Замечание 2. Формулы (1) для производных получаются
формальным дифференцированием формулы Коши по г; дока-
занная теорема утверждает законность этого дифференцирова-
ния.
Из формулы (1) вытекают важные неравенства Коши. Обо-
значим через М максимум модуля функции f(z) в области D,
через R— расстояние точки z до границы D и через I — длину
этой границы. Имеем из (1):
п\ Ml
2nRn+i '
(4)
Если, в частности, /(г) аналитична в круге \z — z0\<R, то,
принимая в качестве D этот круг, получим:
« = 0,1,2,... (5)
Это и есть неравенства Коши, которые мы хотели доказать.
Мы воспользуемся полученными результатами для доказа-
тельства двух важных теорем, теории аналитических функций.
Теорема 2 (Ж. Л и у в ил ль)*). Если функция f(z) ана-
литична во всей плоскости и ограничена, то она постоянна.
Пусть всюду |f(z) Л4. Для произвольной точки z плоско-
сти и для любого R неравенство (5) при п = 1 дает:
1Иг)|<4.
Так как здесь левая часть не зависит от R, а правая при увели-
чении R может быть сделана сколь угодно малой, то |/'(г) | =0.
Таким образом, во всей плоскости Отсюда, по теореме
4 п. 12, заключаем, что
f (z) — f (г0) = J f' (z) dz s 0,
г0
т. e. что функция f(z) постоянна. Теорема доказана.
*) Теорема впервые доказана Коши (1844 г.), но существенно исполь-
зовалась в работах французского математика Жозефа ЛиувиллЯ
(1809—! 882). 1
17] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 65
Замечание. Теорема 2 допускает следующее обобщение.
Если функция f(z) аналитична во всей плоскости и ее модуль возрастает
не быстрее чем Л1|г|п, где п— целое число, а М — постоянная, то эта функ-
ция является многочленом степени пе выше п*).
Доказательство аналогично предыдущему: пусть г0 — произвольная точка
плоскости; из неравенства (5) имеем:
1^+1)(го)1<-^^(«+1)!
и, замечая, что у нас |z| |z0| +/?, после перехода к пределу при /?—>-оо
получаем, что f<’»+i)(20) =0. Так как г0 — произвольная точка плоскости, то
pn+i)(z) = 0, а отсюда тем же методом, что и выше, нетрудно прийти
к нужному результату.
Следующая теорема обратна основной теореме Коши п. 12.
Теорема 3 (Г. Морера**), 1886 г.). Если функция f(z)
непрерывна в односвязной области D и интеграл J f (z) dz по
с
любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен 0, то f(z)
аналитична в этой области.
Из условий теоремы следует, что в области D интеграл
Z
J f(z)dz не зависит от пути интегрирования, т. е. при фикси-
Zo
рованном zq определяет некоторую функцию z\
Z
p(.z)= J f (z) dz.
Повторяя дословно доказательство теоремы 2 п. 12, мы уви-
дим, что эта функция имеет производную F'(z) = f(z), т. е.
аналитична (в цитированной теореме мы пользовались лишь
непрерывностью f(z) и независимостью интеграла от пути). Но
тогда по теореме 1 настоящего пункта f(z) как производная
аналитической функции в свою очередь является функцией ана-
литической. Теорема Мореры доказана.
§ 5. Представление аналитических функций рядами
В настоящем параграфе мы рассмотрим вопрос о представ-
лении аналитических функций с помощью степенных рядов и
их обобщения — рядов по положительным и отрицательным сте-
пеням z — а. Разложение функций в ряды представляет не
только теоретический, но и практический интерес. Укажем,
*) При п — 0 мы получаем, в частности, теорему 2.
**) Гиацинто Морера — итальянский математик (1856—1909),
3 М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
66
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[18
например, что с помощью рядов можно вычислять приближенно
значения функций, во многих задачах прикладного характера
(решение дифференциальных уравнений и др.) решение сразу
получается в виде ряда и т. д.
Здесь мы ограничимся основными теоретическими положе-
ниями, связанными с разложениями функций в ряды; большин-
ство из них будет играть весьма важную роль в дальнейшем
изложении теории функций комплексного переменного и ее при-
ложений (см. особенно гл. V и след.). В частности, будет уста-
новлена равносильность понятий об аналитической функции (в
смысле § 2) как о функции, дифференцируемой в каждой точке
области определения и как о функции, представимой в окрест-
ности каждой такой точки в виде суммы степенного ряда (см.
теорему Тейлора п. 18 и теорему 3 п. 19); это даст еще одну
концепцию в построении теории аналитических функций.
В пункте 25 мы обобщим понятие аналитичности, распростра-
нив его на многозначные функции.
18. Ряды Тейлора. Мы начнем с обобщения на функции
комплексного переменного известной из анализа формулы Тей-
лора и на его основе докажем, что всякая аналитическая в
точке функция представляется в окрестности этой точки в виде
суммы степенного ряда.
Воспользуемся формулой для суммы членов геометрической
1 — an+l
прогрессии j _— = 1+? + ?2 + ... +qn, переписав ее в
виде
-г4?=1 + (? + (72+ ... +qn+-^Z-q (1)
(формула справедлива и для комплексных q). Зафиксируем
некоторую точку а из области D аналитичности функции f(z)
и, воспользовавшись формулой (1), напишем;
Умножим теперь обе части этого равенства на и про-
интегрируем его по £ вдоль некоторого замкнутого контура С,
лежащего в D и содержащего точки z и а. Пользуясь форму-
лой Коши п. 14 и формулами для высших производных п. 17,
181
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РЯДАМИ
67
получим классическую формулу Тейлора *)
Н2)=На) + 1тг-(2-а)+ ••• + (2)
где остаточный член имеет вид:
D _ (г - a)n+1 f f (£) dt
n 2ni J (S_2)(?_a)«+1 •
(3)
Возникает вопрос о том, при каких условиях 7?п—»0 при /г—>оо
или, что то же самое, при каких условиях функция /(г) пред-
ставима своим рядом Тейлора с центром в точке а, т. е.
= (4)
п=0
Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема (О. Коши, 1831 г.). Функция f(z) представима
своим рядом Тейлора (4) в любом открытом круге с центром
в точке а, в котором она аналитична. Во всякой замкнутой об-
ласти, принадлежащей этому кругу, ряд Тейлора сходится рав-
номерно.
Обозначим через R радиус круга аналитичности функции
f(z) (с центром в точке а) и рассмотрим произвольное число
R', 0<R'<R и круг |z — af^kR', где k< 1—произвольное
положительное число. Пусть z— любая точка последнего круга
и С — окружность |£ — а\ —R'. Имеем \z — a\^.kR', |£ — а| =
= R'. Следовательно,
\^-z\^\^-a\-\z-a\^R'-kR' = (\-k)R'
и формула (3) дает:
(z-g)n+1 f f (£) dt
2л1 J (S - z) (? - a)n+1
kn+i^,n+l
2л
Af • 2л/?' _ Affen+I
(1 - k) /?'n+2 — 1 - k ’
где M — максимум модуля f(z) в круге [г — а| R' (функция
/(г) аналитична в этом круге, следовательно, ограничена). Так
как k < 1, то отсюда видно, что при п—>оо, причем
оценка Rn не зависит от z; таким образом, в любом круге
*) Разложение такого вида (для действительных z) впервые встречается
в работе 1715 г. Брука Тейлора (1685—1731), но систематическое при-
менение оно нашло лишь в 1742 г. в работе Колина Маклорена
(1698—1746).
68
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[19
|z — a\<ZkR', где 0 < k <Z 1, ряд Тейлора сходится равно-
мерно.
Произвольную замкнутую область, лежащую в круге анали-
тичности функции f (z), можно погрузить в некоторый круг
\z— a\<ZkR', где 0<^&<1, 0 < R' < R, следовательно, и в
такой области ряд сходится равномерно. Теорема доказана.
Таким образом, всякая аналитическая в круге функция
представляется в нем степенным рядом. Возникает вопрос
о том, будет ли, обратно, аналитической функцией сумма про-
извольного сходящегося степенного ряда? Чтобы ответить на
него, следует рассмотреть некоторые свойства степенных рядов.
Это мы сделаем в следующе.м пункте, а сейчас приведем тей-
лоровские разложения некоторых элементарных функций:
^2 ^3
ег=1+^ + > + ^+ •••;
г3 . г5 .г2 . г1
smz = z —-gj-Ч--др — ..cosz= 1 — +
Shz=z+-g-+4 + •••« chz=i+4+4+ •••
(сходятся для любого г),
1п(1+г) = г-4 + 4+ •••:
(.1 + z)a=l+az + а Z2+ а (а- 1) (а - 2) гз + <6)
2. о!
(сходятся для |z|< 1; написаны для тех однозначных ветвей,
которые равны соответственно 0 и 1 при z = 0). Способы полу-
чения этих разложений такие же, как в обычном анализе, и мы
на них не останавливаемся.
19. Степенные ряды. Начнем с двух общих теорем относи-
тельно равномерно сходящихся рядов, составленных из анали-
тических функций; эти теоремы были впервые доказаны
К. Вейерштрассом в 1859 г. Первая из них показывает,
что равномерный переход к пределу сохраняет свойство анали-
тичности:
Теорема 1. Если ряд
ОО
2 и?),
п=0
(1)
составленный из функций, аналитических в односвязной обла-
сти D, равномерно сходится в этой области, то его сумма так-
же является функцией, аналитической в D.
*) В этой формуле а — произвольное комплексное число; в частном слу-
чае натурального а = п ряд обрывается на n-м члене и, следовательно, схо-
дится во всей плоскости.
19]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
69
В самом деле, согласно п. 16 сумма s(z) ряда (1) непре-
рывна в D. Пусть С будет произвольный замкнутый контур, ле-
жащий в О; в силу равномерной сходимости ряда (1) его
можно почленно проинтегрировать вдоль С и мы получим, что
J s (z) dz = J} р„ (z) dz = О,
С п—О С
ибо по теореме Коши п. 12 интеграл от аналитических функций
(г) по замкнутому контуру в односвязной области равен
нулю. Теперь по теореме Мореры п. 17 мы можем утверждать,
что функция 8(г) аналитична в области D, и теорема доказана.
Вторая теорема показывает, что для аналитических функ-
ций вопрос о возможности почленного дифференцирования ря-
дов решается проще, чем в обычном анализе:
Теорема 2. Произвольный ряд (1), составленный из
функций, аналитических в области D и непрерывных в D, рав-
номерно сходящийся в D, можно почленно дифференцировать
в D любое число раз.
Пусть £ будет произвольная точка границы С области D,
a г — произвольная внутренняя точка этой области. Так как
разность Z —2 ПРИ фиксированном z ограничена снизу по мо-
k —
произвольное натуральное число, сходится равномерно относи-
тельно £ на С. Следовательно, его можно почленно интегриро-
вать вдоль С, и значит, сходится ряд
дулю положительным числом, то ряд —',п , где
оо п
V k' I
2а 2ni J
п=о с
fn (?) dt,
(?-z)fe+1
ОО
п=0
(2)
(для каждого члена ряда мы воспользовались формулой Коши
для производных из п. 17). Остается доказать, что сумма ряда
(2) является &-й производной суммы s(z) ряда (1). Но в силу
равномерной сходимости левую часть формулы (2) можно за-
писать в виде
ОО
_ 2 fn (?) „
I ——fe+г d^ = I --------S (г feTF = s(k} (2)
2«t J (S_2)fc+1 2m J (S_2)fc+‘
(мы снова воспользовались той же формулой Коши), что и
требуется.
Замечание 1. Для того чтобы утверждать равномерную
сходимость ряда из аналитических функций в замкнутой области
70
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[19
D, достаточно потребовать его равномерной сходимости на .
границе этой области. Это непосредственно вытекает из прин-
ципа максимума п. 15, согласно которому
max|fn+1(z) + f„+2(z)+ ... | = max|f„+1(O + fn+2(O-h ... |.
(D) (С>
Замечание 2. Простой пример показывает, что в теореме 2 можно
утверждать сходимость ряда из производных лишь в области D, а не в б.
ОО
_ v zn
В самом деле, ряд V —очевидно, равномерно сходится в замкнутом
П=1
оо
круге | z | 1, ибо он мажорируется там сходящимся числовым рядом
П=1
оо
vt zn~'
Однако производный ряд У. ---- (сходящийся по теореме 2 при |г| < 1)
П=1
расходится в точке z = 1 границы круга.
В дальнейшем основную роль будут играть степенные ряды.
Характер их сходимости выясняет следующая
Теорема 3 (Н. Абель*), 1826 г.). Если степенной ряд
ОО
У сп (г — а)" сходится в точке го, то он сходится и в любой
п=0
точке z, расположенной ближе к центру а, чем z0, причем в лю-
бом круге |z — a|^fe|zo— а|, где 0 < k < 1, сходимость ряда
равномерна.
Предположим, что z— произвольная точка последнего кру-
га, и представим n-й член ряда в виде
(г - а)" = cn (z0 - а)п ( *1* )" •
В силу сходимости ряда в точке z0 его общий член стре-
мится к нулю и, следовательно, ограничен в этой точке, т. е.
|c„(z0 — а)п | С М для всех п. Кроме того, у нйс по условию
I г — а I___, :
z ' _ а С- «1 следовательно, для всех п
| cn(z - а)п К Mkn, 0< fed. (3)
Отсюда вытекает равномерная сходимость ряда в круге
\z — a|C^fe|zo — а|. Так как число fe может быть взято сколько
угодно близким к 1, то тем самым доказана сходимость ряда
в любой точке круга |'z—а | < | z0 — а| и доказательство тео-
ремы Абеля закончено.
) Нильс Абель (1802—1829) —норвежский математик.
19]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ. ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
71
Из теоремы Абеля вытекает, что областью сходимости сте-
оо
пенного ряда У cn(z — а)п является открытый круг с цент-
п=0
ром в точке а (который может также вырождаться в точку или
заполнять всю плоскость) и еще, быть может, некоторые точки
на границе круга. Радиус этого круга называется радиусом
сходимости степенного ряда.
Укажем формулу для определения радиуса сходимости R:
-1=1^ К| с„ | , (4)
A rt->tX5
где lim означает верхний предел*). Эта формула была получена О. Коши
в 1821 г. и существенно использовалась Ж- А д а м а р ом (уже в нашем веке).
Она называется формулой Коши — Адамара.
Для вывода ее нужно показать, что при любом г, для которого
|г— а| kR, 0 < k < 1, степенной ряд сходится, а при любом г, для кото-
рого |г — а| > R, этот ряд расходится. По определению верхнего предела
для любого е > 0 найдется такое па, начиная с которого
Г|г„| <-^- + е.
Выберем в так, чтобы было
^ + ’<ЙТГ'
тогда при п п0 и |г — а|
I Сп (z — а)п | <--
Rn
kR будем иметь:
knRn
п
2fe
Так как < 1, то по известной теореме сравнения ряд, составленный из
членов левой части, сходится.
Далее, из определения верхнего предела имеем, что для любого е > О
nk __________________________________________________________________
найдется бесконечная последовательность п = пк, для которых )/Г|Спй1'>
R Т‘ е’
п,
Z
Но при |г — а| > R всегда можно подобрать в так, чтобы было
— ej | г — а | > 1, тогда для нашей последовательности п = п», соответ-
п,
ствующий этому е член сПк (г — а) в будет неограниченно возрастать и,
следовательно, степенной ряд будет расходиться (его общий член не стремится
к нулю).
) См. Фихтенгольц, т. I, стр. 107.
72
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
[20-
Теоремы Вейерштрасса и Абеля дают утвердительный ответ
на вопрос, поставленный в предыдущем пункте:
Теорема 4. Сумма любого степенного ряда в круге его
сходимости является аналитической функцией.
Действительно, пусть |г — а|</? будет круг сходимости,
нашего степенного ряда. В любом круге |г — а | АТ?, где 0 <
<А<1, по теореме Абеля сходимость равномерна, а так как
члены ряда cn(z— а)п — аналитические функции, то по тео-
реме Вейерштрасса его сумма аналитична в этом круге. Но так
как любая внутренняя точка z круга сходимости может быть
погружена в некоторый круг \z— a\<ZkR, где 0<А-<1, то
тем самым доказана аналитичность суммы ряда во всем круге
его сходимости.
Докажем, наконец, что справедлива
Теорема 5. Любой степенной ряд является рядом Тей-
лора своей суммы.
В самом деле, пусть в некотором круге
ОО
f {z)= и Cn(z~ а)п. (5>
п=0
Полагая здесь z — а, получим f(a) = c0. Дифференцируя
ряд (5) почленно и затем полагая z — а, найдем f'(o) = Ci.
Последовательно дифференцируя ряд (5) и полагая затем
г = а, найдем:
f" (о) = 2с2, f"' (а) = 3! с3, ..., /(«> (а) = п! сп.
Таким образом,
и ряд (5) действительно является рядом Тейлора функции f(z).
Теорему 5 называют теоремой единственности разложения
в ряд Тейлора, ибо из нее следует, что найденное любым спо-
собом разложение аналитической функции f(z) в степенной
ряд является тейлоровским разложением этой функции.
Кроме того, из этой теоремы и из теоремы п. 18 можно за-
ключить, что радиус сходимости степенного ряда (5) совпадает
с расстоянием от центра а до ближайшей точки, в которой на-
рушается аналитичность суммы f(z) этого ряда. Например, ра-
диус сходимости рядов (6) п. 18 равен 1, ибо при z =—1 их
суммы теряют аналитичность (второй ряд мы, конечно, рассмат-
риваем для а ненатурального).
20. Теорема единственности. В п. 14 мы видели, что анали-
тическая функция полностью определяется своими значениями
на границе области аналитичности. Здесь, в дополнение к это-
20]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ' ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
73
му, мы покажем, что аналитическая функция полностью опре-
деляется своими значениями на произвольной последовательно-
сти точек, сходящейся к некоторой внутренней точке области
аналитичности.
Начнем с одной теоремы относительно нулей аналитической
функции. Нулем функции f(z) называют любую точку z — а,
в которой f(z) принимает значение 0: f(a) = O. Если аналити-
ческая функция не равна тождественно 0 в окрестности своего
нуля а, то в ее тейлоровском ряде с центром в а все коэффи-
циенты не могут равняться нулю (иначе сумма ряда была бы
тождественно равна нулю). Номер младшего отличного от нуля
коэффициента этого разложения называется порядком нуля а.
Таким образом, в окрестности нуля порядка п тейлоровское
разложение функции имеет вид:
f(z) = cn(z — a)n + cn+l(z — a)n+1 + (1)
где сп #= 0 и п 1.
Очевидно, порядок нуля а можно определить также как по-
рядок младшей отличной от нуля производной f^(a).
Очевидно также, что в окрестности нуля порядка и анали-
тическая функция f(z) допускает представление вида
f (z) = (z - а)п <р (z), (2)
где функция
ф(2) = ^ + ^+|(2 — а)+ <р(а)=с„=^о (3)
также аналитична в окрестности точки а (ибо она представ-
ляется сходящимся степенным рядом).
В силу непрерывности ф(г) эта функция отлична от нуля
и всюду в некоторой окрестности точки а. Отсюда следует
Теорема 1. Пусть функция f(z) аналитична в окрестно-
сти своего нуля а и не равна тождественно 0 ни в какой его
окрестности. Тогда существует окрестность точки а, в которой
f (z) не имеет других нулей, кроме а.
Из доказанной теоремы и вытекает теорема единственности
теории аналитических функций, о которой мы говорили в на-
чале пункта.
Теорема 2. Если функции fi(z) и fz(z) аналитичны в об-
ласти D и их значения совпадают на некоторой последователь-
ности точек йп, сходящейся к внутренней точке а области D, то
всюду в D
fi (?) =н f2 (z).
Для доказательства мы рассмотрим функцию
f(z) = fi (z)-f2(z).
74 гл. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ (2Г J
Она аналитична в D и имеет своими нулями точки ап, а в силу1
непрерывности и точку а, ибо f (а) = lim f (ап) = 0. Отсюда -1
К->00
следует, что f(z) тождественно равна 0 в некоторой окрестности ;
а, ибо в противном случае нарушалась бы только что доказан- i
ная теорема 1. Таким образом, множество всех нулей функции
f(z) имеет хотя бы одну внутреннюю точку. .
Обозначим через & совокупность всех внутренних точек
множества нулей функции f(z). Если совпадает с D, то наша ;
теорема доказана. Если же % составляет лишь часть области
D, то найдется граничная точка b множества <$, являющаяся
внутренней точкой D. Существует последовательность точек Ьп
множества сходящаяся к Ь\ точка b в силу непрерывности
f(z) является нулем f(z). С другой стороны, f(z) не равна тож-
дественно нулю ни в какой окрестности точки Ь, ибо точка b
была бы внутренней, а не граничной точкой множества <S. По
теореме 1 отсюда вытекает, что в некоторой окрестности точки
Ь нет ни одного нуля f(z), но это противоречит тому, что b яв-
ляется граничной точкой S. Полученное противоречие и дока-
зывает теорему единственности.
Из теоремы единственности вытекает, что аналитическая в
некоторой области и не равная тождественно нулю функция
f(z) не может обращаться в нуль ни в какой подобласти из D,
ни на какой дуге, лежащей в D, ни даже на последовательно-
сти точек D, сходящейся к ее внутренней точке.
Легко, однако, привести пример, когда бесконечная после-
довательность нулей функции сходится к граничной точке ее
области аналитичности: функция f (z) = sin -j- обращается в
нуль на последовательности точек z„=-^-(n=±l, ±2, ...),
сходящейся к точке г = 0.
21. Ряды Лорана. Ряды Тейлора — аппарат, удобный для
представления функций, аналитических в круговых областях.
Весьма важно, однако, иметь аппарат для представления функ-
ций в областях иного вида. Например, при изучении функций,
аналитических в некоторой окрестности точки а всюду, кроме
самой точки а, приходится рассматривать кольцевые области
вида 0 < 12 — a\<R. Оказывается, что для функций, аналити-
ческих в кольцевых областях г < ]z — а| < R, где г 0, R '
оо, можно построить разложения по положительным и от- ,
рицательным степеням (z — а) вида
f(z)= 2j cn(z — а)п, (1)
n=—00
являющиеся обобщением тейлоровских разложений. Такие раз- <
ложения мы и рассмотрим в этом пункте.
21] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ РЯДАМИ 75
Итак, пусть функция f(z) аналитична в некотором кольце Д:
г < |г — а| < R, где г О, Д оо. Выберем произвольно чис-
ла г' и R’ так, что г < г' < R' < R, а также число k, 0 <
<Zk<z\, и рассмотрим кольцо — <\z — a \< kR'. В произ-
вольной внутренней точке z этого кольца мы можем предста-
вить f(z) по формуле Коши (п. 14), которая для нашего случая
принимает вид:
= J- Г ИМ__________________!_ Г f (?)
2л z J t, — z 2nz J £ — z
С c
(2)
где обе окружности С: |?— й| = /?' и с: |?— a\ = r' прохо-
дятся против часовой стрелки.
_ I z — a I . kR' , _ ,
Для первого интеграла имеем | [ < -^z- = /г < 1, следо-
вательно, дробь, в него входящую, можно разложить в сходя-
щуюся на С равномерно относительно £ геометрическую про-
грессию:
1 __ 1______I
£ — z ~~ £ — a , z — a ~
t-a
__ 1 i z — a . , (z — a)n .
i-a (S-a)* 2 + ••• (S— a)n+l "•
Умножая это разложение на f (?) и интегрируя его почлен-
но по ? (что возможно в силу равномерной сходимости), мы
получим разложение первого члена формулы (2) в степенной
ряд:
<з>
С п=0
где
Заметим, что выражение (4) нельзя представить, как в п. 18,
f(rt)
в виде , так как f(z), вообще говоря, не’ аналитична
в точке а.
Для второго интеграла имеем:
£ — a I kr' ______
f ~~
z — a
1,
76
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[21’
следовательно, равномерно на с сходится прогрессия
1 _ 1_______________1 _
g — z z — а ' _ g — а
=______1 _ g-a _ (g - а)2 _ _ _
z — а (г — а)2 (г — а)3 ' ' ' (г — а)п
Как и выше, получим разложение второго члена формулы
(2) в ряд, но теперь по отрицательным степеням (z— а)-.
п 00
МД = - = S с-«(г - (5>
С П=1
где
(п=1, 2, 3, ...). (6)
С
Заменим в формулах (5) и (6) индекс — п, пробегающий значе-
ния 1, 2,, индексом п, пробегающим значения —1, —2,
тогда, объединяя оба разложения (3) и (5) в одно, получим:
ОО
М) = МД + ЫД = 2 cn(z-a)n. (7)
п==— ОО
Далее, согласно п. 13, в формулах (4) и (6) окружности С и с
можно заменить любой окружностью у: \z— а| = р, где г' <
< р < R'. Поэтому обе эти формулы можно объединить в
одну;
_ 1 f f (g) dg
2nz J (g__a)«+i
(n = 0, ± 1, ±2, ...).
(8)
Полученное здесь разложение (7) функции f(z) по положи-
тельным и отрицательным степеням (z— а) с коэффициентами,,
определяемыми по формулам (8), называется лорановским раз-
ложением функции f(z) с центром в точке а; ряд (3) называется
правильной, ряд (5) — главной частью этого разложения.
Так как г' и R' в нашем рассуждении могут быть взяты сколь
угодно близкими к г и R, a k может сколь угодно мало отли-
чаться от 1, то разложение (7) можно считать установленным
для всех точек z кольца аналитичности функции f(z).
Правильная часть ряда Лорана по теореме Абеля сходится
всюду в круге |z — а| < /?, причем в любом круге |z —а|<
< kR (0<й<1) его сходимость равномерна. Главная часть
представляет степенной ряд относительно переменной Z =
— l/(z —а), следовательно, по той же теореме он сходится при
2|<1/г, т. е. всюду вне круга |z — а|>г, причем при
z— а|>г/&, 0<&< 1, его сходимость также равномерна.
21J
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
77
Таким образом, доказана
Теорема 1 (П. Лоран*), 1843 г.). В любом кольце К:
г < |г — a\<z R, в котором аналитична функция f (z), эта функ-
ция может быть представлена своим рядом Лорана (7), равно-
мерно сходящимся в любой замкнутой области, принадлежа-
щей кольцу К-
Из формул (8) для коэффициентов ряда Лорана точно так
же, как в п. 17, получаем следующие неравенства Коши: если
йункция f(z) ограничена на окружности \z— а | = р, пусть
|f(z) |^Л4, то '
К1<-^(« = 0, ± 1, ±2, ...). (9)
Заметим, наконец, что областью сходимости произвольного
ряда вида
оо
2 cn(z — а)п
П=—оо
всегда служит некоторое круговое кольцо**) r<\z — a)<R,
где 0 sc" г оо, 0 оо.
В этом очень легко убедиться с помощью теоремы Абеля,
разбивая ряд на правильную и главную части. Для случая r<zR
справедлива
Теорема 2. Если ряд
оо
5 cn(z — a)n (10)
я=—СО
сходится в кольце r<Z\z — a\<zR, то его сумма f(z) анали-
тична в этом кольце и разложение (10) является рядом Лорана
для функции f(z).
В самом деле, аналитичность f(z) доказывается на основа-
нии теорем Абеля и Вейерштрасса так же, как в теореме 4 пре-
дыдущего пункта. Далее, на любой окружности у: \z —-a| = p,
где г < р < R, ряд (10) сходится равномерно и остается таким
после умножения на (z — a)~n+l (n = 0, ±1, ±2, ...). Если
проинтегрировать разложение
оо
k=—oo
*) Пьер Лоран (1813—1854)—французский математик. Теорема была
получена также в 1841 г. К. Вейерштрассом, однако он опубликовал
свой результат лишь в 1894 г. Ряды вида (7) встречались еще в работе
Л. Эйлера (1748 г.).
**) Это кольцо может оказаться пустым, если г R, а в случае г = R
множеством сходимости может служить любое множество на окружности
|г — а| = г.
78
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[22
по окружности у и воспользоваться легко доказываемыми для
любого целого п соотношениями:
г 10, п =# — 1,
J (г - «)“ Л = 2я. n = _, (И)
V
(ср. вывод формулы (4) из п. 13), то мы получим выражения
коэффициентов ряда (10):
____ 1 Г f (г) dz
Сп ~ ~2пЛ J (2_а)«+1 ’
совпадающие с выражениями (8). Следовательно, ряд (10) яв-
ляется рядом Лорана функции f(z), и теорема 2 доказана.
Теорема 2 является теоремой единственности разложения
в ряд Лорана, ибо из нее следует, что найденное любым спосо-
бом разложение аналитической функции в ряд по положитель-
ным и отрицательным степеням (z — a) является лорановским
разложением этой функции.
22. Особые точки. Развитый в предыдущем пункте аппарат
разложений Лорана позволит нам полностью изучить поведе-
ние аналитических функций в окрестности простейшего типа то-
чек, в которых нарушается аналитичность этих функций — так
называемых изолированных особых точек. Точка а называется
изолированной особой точкой функции f(z), если существует
окрестность 0 < |z — а|</? этой точки (с исключенной точкой
а), в которой f(z) аналитична. Подчеркнем, что здесь речь идет
о точках, в окрестности которых функция однозначна (усло-
вие однозначности включается в условие аналитичности функ-
ции, см. п. 5). Об особых точках многозначного характера мы
будем говорить в п. 25.
Различают три типа изолированных особых точек в зависи-
мости от поведения функции f(z) в их окрестности:
1) Точка а называется устранимой особой точкой, если су-
ществует конечный lim f (z),
z->a
2) точка а называется полюсом, если f(z) является беско-
нечно большой при приближении к а, т. е. если существует
lim/(z) = oo (это означает, что |f(z)|—* оо при z—>а) и, на-
z-»a
конец,
3) точка а называется существенно особой точкой, если
lim f (z) не существует.
z->a
Изложим основные свойства функций, относящиеся к их
особым точкам. Если а является изолированной особой точкой
функции f(z), то по теореме 1 предыдущего пункта эту функ-
22] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 79
цию можно разложить в ряд Лорана в кольце ее аналитичности
О < \z — а \ < R:
f(z)= ... +-^~а)п+ ••• + + ...
... 4-crt(z —а)п+ ... (1)
Это разложение имеет различный вид в зависимости от харак-
тера особой точки. Приведем три относящиеся сюда теоремы.
Теорема 1. Для того чтобы а была устранимой особой точ-
кой функции f(z) необходимо и достаточно, чтобы лорановское
разложение f(z) в окрестности точки а не содержало главной
части.
Ясно, что если лорановское разложение f(z) не содержит
главной части, т. е. f(z) представляется степенным рядом
f (z) = с0 + И (г — а) + ... + с„ (г — а)п + ..., (2)
то существует конечный limf(z) = c0*) и а является устрани-
z->a
мой особой точкой.
Пусть, обратно, а является устранимой особой точкой функ-
ции f(z). Тогда в силу того, что lim f (z) существует и конечен,
функция f(z) ограничена в окрестности а; пусть | f (z) | М.
Воспользуемся неравенствами Коши из п. 21
| с„ К Л/р-";
так как в них число р можно выбирать сколь угодно малым, то
ясно, что все коэффициенты сп с отрицательными индексами
равны нулю и лорановское разложение f(z) не содержит глав-
ной части. Теорема доказана.
Замечание. По существу мы доказали более сильное ут-
верждение: если функция f(z) ограничена в окрестности изоли-
рованной особой точки а, то а является устранимой особой точ-
кой этой функции.
Название «устранимая особая точка», как теперь стало оче-
видно, оправдывается тем, что такую особую точку можно
«устранить», полагая f (а) — lim f (z) = с0; после этого функция
z->a
f(z) будет аналитической и в точке а, ибо во всем круге
|z — a\<zR она будет представляться сходящимся степенным
рядом (2) (см. теорему 4 п. 19).
Перейдем к случаю полюса. Из определения полюса а сле-
дует, что f(z) отлична от нуля в некоторой окрестности этого
*) По теореме 4 п. 19 правая часть (2) аналитична в точке г = а, следо-
вательно, она непрерывна и ее предел при г-+а равен сумме ряда в точке а,
т. е. с0.
80
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
(22
полюса: 0 < |z— a\<zR', где R' R. В такой окрестности
аналитична функция g(z) = l/f(z), для которой, очевидно,
lim g (г) = 0. Следовательно, по предыдущей теореме, а является
z->a
устранимой особой точкой g(z) и, положив g(a)—0, мы полу-
чим, что а является нулем функции g(z). Обратно, если g(z)
имеет в точке а нуль (и не равна тождественно нулю), то функ-
ция f(z)= l/g(z) по теореме 1 п. 20 аналитична в некоторой
окрестности 0 < |z — a\<ZR точки о; очевидно, f(z) имеет в
точке а полюс.
Таким образом, нули и полюсы аналитических функций
весьма просто связаны друг с другом. Условимся еще называть
порядком полюса а функции f(z) порядок нуля а функции
g(z) = l/f(z).
Теорема 2. Для того чтобы точка а была полюсом функ-
ции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лора-
новского разложения f(z) в окрестности а содержала лишь ко-
нечное число членов:
оо
(3)
k=0
При этом номер старшего отрицательного члена разложения
совпадает с порядком полюса.
Пусть а является полюсом порядка п функции f(z). Тогда
функция g(z) = l/f(z), g(a)=0, имеет в точке а нуль порядка
п и согласно п. 20 в окрестности точки а представляется в виде
g (г) = (z — а)п qp (z),
где ф(г) аналитична и<р(а)^0. В этой окрестности
g (z) (z — а)п ' <p (г) ' (4)
Но функция 1/ф(г) аналитична в некоторой окрестности
|z — a\<zR точки а, следовательно, она разлагается там в ряд
Тейлора
-^y=C-„ + c_n+1(z- ц)+ ... +c0(z-a)rt+
где с_п = =/= 0. Подставляя это разложение в формулу
(4), получим искомое разложение (3), справедливое в окре-
стности 0 < | z — а | < R.
Пусть теперь, обратно, в некоторой окрестности 0< \ z—а| <
< R точки а имеет место разложение (3), причем с_п =/= 0.
22] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 81
Тогда функция <p(z) = (z — a)nf(z), <p(a)=c_n, в круге
\z — a\<ZR представляется рядом Тейлора
<p(z) = c_„4-c_rt+1(z —а)+ .... (5)
т. е. аналитична. Так как lim<p(z) — c_n #= 0, то
z->a
lim f (z) = lim ф ^z\n = оо
и точка а является полюсом функции f(z). Функция g(z) —
1 (z — а)п
— —— имеет, очевидно, в точке а нуль порядка п,
следовательно, порядок полюса а равен п. Теорема доказана.
Из доказанных теорем непосредственно вытекает
Теорема 3. Точка а тогда и только тогда является суще-
ственно особой для функции f(z), когда главная часть лоранов-
ского разложения последней в окрестности точки а содержит
бесконечно много членов.
Поведение функции в окрестности существенно особой точки
выясняет следующая
Теорема 4 (Ю. В. Сохоцкий*), 1868 г.). Если а — су-
щественно особая точка функции f(z), то для любого комплекс-
ного числа А существует последовательность точек Zk~*a такая,
что limf(z*) = i4.
fe->oo
Прежде всего, существует последовательность zk-+a, для
которой lim f (zj = оо, ибо в противном случае f(z) была бы
k-> ОО
ограниченной в окрестности а и точка а была бы устранимой
особой точкой (см. замечание к теореме 1). Пусть теперь задано
произвольное комплексное число А. Имеет место один из двух
случаев: 1) в любой окрестности точки а найдется точка г, в ко-
торой f(z) = A, тогда теорема Сохоцкого доказана, ибо из таких
точек z можно построить последовательность Z/,—*а, так что
f(zft) = A, а значит, и limf(zft) = A и 2) в некоторой окрест-
k-> ОО
пости точки а функция f(z) не принимает значения А.
Во втором случае в упомянутой окрестности аналитична
функция —г- Точка а не может быть для нее ни
4 J ° х ' I (z) — А
полюсом, ни устранимой особой точкой, ибо в этих случаях су-
ществовал бы конечный или бесконечный предел lim f (z) =
z-»a
*) Эта теорема обычно приписывается Вейерштрассу, однако она была
доказана в диссертации русского математика Юлиана Васильевича Сохоц-
кого (1842—1929) и опубликована за 8 лет до появления работы Вейер-
штрасса. Одновременно с Сохоцким теорему получил итальянский математйк
Ф. Казорати.
82
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[22
= lim (Д-|---гт) • Следовательно, а является существенно осо-
бой точкой функции g(z) и по доказанному существует после-
довательность zk-+a, для которой.................. ~
lim g (zk) = оо. Для этой
последовательности, очевидно,
lim f (zk) = lim
Й->оо &->oo
Ц-)=А,
и теорема Сохоцкого доказана.
Теорема Сохоцкого и предыдущие теоремы этого пункта
позволяют утверждать, что в окрестности изолированной особой
дочки аналитическая функция либо стремится к определенному
(конечному или бесконечному) пределу, либо вполне неопреде-
ленна, т. е. стремится (по различным последовательностям) к
любому наперед заданному пределу. Никаких промежуточных
случаев быть не может.
Приведем ряд примеров элементарных функций с особыми
точками различных типов:
1) Функции
sin z 1 — ez 1 — cos z
z ’ z ’ z2
имеют в начале координат устранимую особую точку. В этом проще всего
убедиться, используя известные тейлоровские разложения (5) из п. 18 и
теорему 1 этого пункта. Например, имеем при любом z =/= О
2) Функция
sin z z2 z4
— — 1 —~зГ +-5f
/(г)
1
ez2 + 1
имеет бесчисленное множество полюсов в точках z=± 1^л(2&-|- 1)1, k = О,
+ 1, ±2, .... в которых знаменатель обращается в нуль (эти точки располо-
жены на двух биссектрисах координатных углов). Все полюсы — первого
порядка, так как функция — ег2 + 1 имеет в них нули первого порядка
(ее производная 2zez’ отлична от нуля в этих точках).
3) Функции
1/г • 1 1
е‘ , sin—, cos —
z z
имеют в начале координат существенно особую точку. В этом проще всего
убедиться, подставляя 1/z вместо z в тейлоровские разложения (5) из п. 18
и пользуясь теоремой 3 этого пункта (например, прн любом z ¥= 0 имеем
= 1 -4- — 4- ——!—I-
т г + 21 г2 + "'Г
Проверим для примера справедливость теоремы Сохоцкого для первой
из этих функций. Для Д = оо последовательностью zft этой теоремы может
22| § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 83
служить z. = l/k, k = l, 2, 3, ибо, очевидно, lim f(z.\ = lim ек = оо;
fe->oo ' А->оо
для А — 0 можно принять z.=— \/k, k = 1, 2, 3.ибо тогда lim f (г.) —
= lim e~k =0; наконец, для конечного А =/= 0 берем z.—-r,—. / —-
£->оо ' (In А + 2fenr) ’
6 = 0, 1, 2..тогда lim f(z.)— lim elnл+2*л‘ = A (In означает какое-
fe->oo ' я/ fe->oo
нибудь значение логарифма).
4) Функция
Ш = еч* + 1
имеет в начале координат неизолированную особую точку, ибо ее полюсы
? = + ...- накапливаются к началу координат (ср. пример 2).
й V п (2k + I) i
По характеру особых точек выделяют следующие два про-
стейших класса однозначных аналитических функций:
1) Целые функции. Функция f(z) называется целой
(или голоморфной), если она вовсе не имеет особых*) точек.
По теореме п. 18 можно утверждать, что всякая целая функция
ОО
представляется степенным рядом 2 cnzn, сходящимся во
всей плоскости (и, обратно, всякая функция, представимая
всюду сходящимся степенным рядом, является целой функцией).
Примерами целых функций являются все многочлены, показа-
' тельная функция, sinz, cos z и др. Очевидно, сумма, разность и
произведение целых функций суть снова целые функции.
2) Дробные функции. Функция f(z) называется дроб-
ной (или мероморфной), если она не имеет других особенно-
стей, кроме полюсов. Из этого определения вытекает, что в лю-
бой ограниченной области мероморфная функция может иметь
лишь конечное число полюсов. В самом деле, если бы в такой
области было бесконечно много полюсов, то существовала бы
их последовательность, сходящаяся к некоторой точке а, кото-
рая была бы неизолированной особой точкой, а не полюсом.
Во всей плоскости полюсов может быть и бесконечно много.
Примерами мероморфных функций являются все целые функ-
ции, дробно-рациональные функции, тригонометрические функ-
ции и др. Очевидно, сумма, разность, произведение и частное
Двух мероморфных функций и вообще любая дробно-рациональ-
иая функция Д(?ь fs, • fn) от мероморфных функций снова
является функцией мероморфной.
Подробнее о целых и мероморфных функциях см. гл. V.
*) Здесь и в следующем определении речь идет о конечных точках
Плоскости; мы не подчеркиваем это в основном тексте, ибо понятие беско-
нечно удаленной точки мы вводим позже, в п. 24.
84
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[23
23. Теорема о вычетах. Принцип аргумента. Здесь мы вве-
дем весьма важное для дальнейших приложений понятие вы-ж
чета *) функции и докажем некоторые связанные с ним тео-
ремы общего характера; примеры вычисления вычетов и раз-
личные приложения мы рассмотрим ниже (главным образом в
гл. V и VI).
Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке а (обо-
значение res f (а)) называется число
(О
у
где у — достаточно малая окружность \z — а| = р, проходимая
в положительном направлении. Согласно п. 13 величина вычета -
не зависит от величины р для достаточно малых р.
Из формул (8) п. 21 для коэффициентов ряда Лорана при
п — — 1 непосредственно вытекает, что
res f = Jf(z)dz = c_1, (2)
у
т. е. что вычет функции f(z) в особой точке а равен коэффи-
циенту при минус первой степени в лорановском разложении
f(z) в окрестности а.
Отсюда следует, что в устранимой особой точке вычет функ-
ции всегда равен нулю. Нахождение вычета в полюсе порядка
п облегчает следующая формула:
1 rf"-1
res f (а) = —I— lim {(z - а)п f (z)}. (3)
(n — 1)! z->a dz
Для ее вывода достаточно умножить лорановское разложение
••• + ^=т + со + •••
на (z — а)п, продифференцировать полученное равенство п—1
раз и затем перейти к пределу при z-*a (непосредственная под-
становка z = а в выражение производной невозможна, ибо а —
особая точка f(z)).
Для полюсов первого порядка формула (3) принимает осо-
бенно простои вид:
res f (а) = lim {(z — a)f (z)}. (4)
z->a
*) Понятие вычета было введено О. К о ш и в «Мемуаре об определенных
интегралах» (1814); в своих «Упражнениях по математике» (1826—1829) он
дал также многочисленные приложения этого понятия к анализу. В своих
работах Коши указывает, что ои пришел к понятию вычета, развивая идеи .
Эйлера.
23]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
85
Если при этом в окрестности точки а функция. f(z) определена
как частное двух аналитических в этой точке функций:
ф U)
Ф (г) ’
Ж
причем ф(а)У=0, а ф>(г) имеет в а нуль первого порядка (т. е,
ф(а) — 0, а ф'(а)#=0), то формулу (4) можно заменить сле-
дующей:
res f (а) = lim (z — а) = lim
2->Л W z->a
ф (г)
Ф (г) — Ф (а)
z — а
Ф (а)
Ф' (а) ’
(5)
Пример. Мероморфная функция ctgz2 имеет полюсы первого порядка
в точках z = ± К± kn (k = 1, 2, 3, ...), и полюс второго порядка в точке
z = 0 (в этом проще всего убедиться, рассматривая нули функции tgz2).
Вычет в точке г = 0 по формуле (3) равен
lim (г2 ctg г2) =
г-»о dz
lim
г-»0
z sin 2г2 — 2z3
sin2 z2
= lim
г->0
3
z4
0 *)
(это видно также из того, что лорановское разложение ctg г2 с центром
в точке г = 0 может содержать лишь четные степени г). Вычет в точке
Z — ± У ± /гл по формуле (5), где принято <(, — cos г2, ф = sin г2, равен
cos z2 ___ 1______1
2z cos г2 2z 2 У" ± kn
Применение теории вычетов основывается главным образом
на следующей важной теореме о вычетах:
Теорема 1 (О. Коши, 1825 г.). Пусть функция f(z) не-
прерывна на границе**) С области D и аналитична внутри этой
области всюду, кроме конечного числа особых точек аь а2, • • •
..., ап. Тогда, если С обходится в положительном направлении,
то
п
I f (z) dz = 2ni res f (ak). (6)
c k=l
*) Мы заменили числитель и знаменатель первыми членами их тейлоров-
ских разложений в окрестности точки z = 0.
**) Здесь и далее непрерывность /(г) на границе области понимается
в смысле непрерывности по области, т. е. в том смысле, что в любой
точке г0 границы существует lim f (z) = f (z0), причем z->z0 по точкам
Z->Z0
области D. Если С имеет кратные точки, например содержит двубережный
разрез, то условие можно ослабить, потребовав существования предельных
значений 'f(z) лишь при z->z0 с каждой из сторон разреза (при этом пределы
с одной и с другой стороны не обязаны совпадать).
86
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
(23
Доказательство вытекает из теоремы Коши для многосвяз-
ных областей (п. 13). Заключим каждую точку ак в кружок
yh: \z — = столь малый, что все такие кружки лежат в
области D и не пересекаются друг с другом (рис. 26). Так как
/(г) аналитична в области D*, ограниченной кривой С и сово-
купностью окружностей yft, и непрерывна в D*, то по цитиро-
ванной теореме
п
J f (г) dz + J f (г) dz == О,
где все у~ проходятся по часовой стрелке. Меняя направление
обхода окружностей и пользуясь определением вычета (1),
согласно которому
| / (г) dz = 2лг res f (ак),
мы получаем нужный результат (6).
Принципиальная важность теоремы о вычетах заключается
в том, что она позволяет свести вычисление величины «в це-
Рис. 26.
лом», какой является интеграл по замк-
нутому контуру конечной величины, к
вычислению величин «в малом», диффе-
ренциальных величин, какими являются
вычеты. Действительно, вычеты вычис-
ляются с помощью интегралов по бес-
конечно малым контурам или даже с по-
мощью простого предельного перехода
(формулы (3), (4) и (5)). Метод све-
дения вычисления величин «в целом» к
вычислению дифференциальных величин
является обычным в математическом
анализе (сравни вычисление интегралов с помощью первооб-
разных, которые определяются на основании известных произ-
водных). Применение теории вычетов посвящена специальная
глава V.
Остановимся еще на понятии логарифмического вычета. Под
логарифмическим вычетом аналитической функции f(z) в точке
а понимают вычет ее логарифмической производной
Ясно, что имеет смысл говорить о логарифмических выче-
тах не только в особых точках, но и в нулях f(z). Если точка а
23] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 87"
является нулем f(z) порядка п, то в окрестности этой точки
f{z} — cn{z — a)" + cn+i(z— a)rt+1+ с„ #= О,
следовательно,
f' (z) = псп (z — а)"-1 +(«+!) сп+1 (г — а)п + ...
и логарифмическая производная
f' ,(z) 1 . псп + (п + 1) сп+1 (г — а) + ...
f (2) z — a' сп + Сп+1 (г — а) + ...
Здесь второй множитель является функцией, аналитической
в точке а, ибо сп =/= 0, следовательно, он разлагается в ряд Тей-
лора с центром а (свободный член этого ряда равен /г) и
+ a) + d,(z — а)2 4- ...} =
= 7^ + d0 + d1(z-a)+ ... (7)
Мы получили лорановское разложение логарифмической
производной {lnf(z)}' в окрестности точки z = а, из которого
видно, что точка а является ее полюсом первого порядка с вы-
четом, равным п.
Пусть теперь а является полюсом f(z) порядка п. Так как
функция g(z) — \lf(z) имеет в точке а нуль порядка п и так
как {lnf(z)}' = —{lngf(s)}z, то по только что доказанному, для
логарифмической производной {lnf(z)}' точка а является полю-
сом первого порядка с вычетом, равным —п. Таким образом,
доказана
Теорема 2. В нулях и полюсах функции f(z) ее логариф-
мическая производная f'(z)/f(z) имеет полюсы первого поряд-
ка, причем в нуле функции логарифмический вычет равен
порядку нуля, а в полосе — порядку полюса со знаком минус.
Теорема 2 и теорема о вычетах дают возможность приме-
нить логарифмические вычеты для подсчета числа нулей и по-
люсов аналитических функций в заданных областях.
Пусть функция f(z) аналитична внутри ограниченной обла-
сти D всюду, кроме конечного числа полюсов bit b2, ..., bm
кратностей, соответственно рь р2, ..., рт, непрерывна на гра-
нице С этой области и не обращается на С в 0; пусть еще f'(г)
непрерывна на С. Тогда функция f(z) имеет в D лишь конечное
число нулей, ибо в противном случае существовала бы беско-
нечная последовательность нулей, сходящаяся к внутренней или
граничной точке области D, но эта последовательность не мо-
жет сходиться ни к внутренней точке (по теореме единствен-
ности п. 20), ни к граничной точке (потому что f(z)=£O и не-
прерывна на С). Нули /(г) в области D мы обозначим через
88
ГЛ; I. ОСНОВНЫЕ понятия
(23
с с
где In и arg обозначают какие-ни'
01, а2, а их кратности — соответственно через щ, п%, ...
..., tii. Применяя к логарифмической производной /(г) теорему
о вычетах и теорему 2, мы получим:
2яг J f (г)
С
= («1 + «2 + ••• + nl) — (Pl + р2 + ••• ~¥pm) — N —Р, (8)
где N и Р обозначают соответственно полное число нулей и
полюсов этой функции, причем каждый нуль и полюс считается
столько раз, каков его порядок.
Выясним геометрический смысл левой части последнего ра-
венства. Имеем:
J d In f (z) = J- J dln (f(z) | + -±- J d arg f (z), (9)
c
удь ветви этих функций, не-
прерывные вдоль С. . Так
как при обходе замкнутого
контура С функция In|f (z) |
возвращается к своему пер-
воначальному значению, то
первый интеграл в правой
части (9) равен нулю. С
другой стороны, если точка
w — 0 лежит внутри конту-
ра, описываемого точкой
rw = f(z), когда z обходит
С, то конечное значение
argf(z) может отличаться от начального (рис. 27) и тогда вто-
рое слагаемое будет отличным от нуля. Величина
~f dargf(z) = ^Acargf(z)
с
— полное изменение аргумента функции f(z) при обходе С, де-
ленное на 2л, — геометрически представляет собой число обо-
ротов вокруг начала w — 0 вектора f(z) при полном обходе С,
или, что то же самое, вектора w при обходе кривой Г, соответ-
ствующей С при отображении w = f(z) (на рис. 27 это число
равно 1). Соотношения (8) и (9) выражают так называемый
принцип аргумента'.
Теорема 3. Пусть функция f(z) аналитична внутри об-
ласти D всюду, кроме конечного числа полюсов, непрерывна на
границе С этой области и не обращается на С в нуль; пусть
•еще f'(z) непрерывна на С. Тогда разность между полным чис-
23) § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 89
лом нулей и полюсов этой функции внутри D равна числу .обо-
ротов вектора w при обходе кривой Г, соответствующей С при
отображении w — f(z), или, что то же самое, сумме логариф-
мических вычетов f(z) в области D:
N - р==i J w dz- (10)
с
Дальнейшие результаты, относящиеся к подсчету числа ну-
лей и полюсов функций, и их важные применения мы изложим
в п. 75. Здесь мы приведем лишь одно видоизменение формулы
(8), учитывающее не только число нулей и полюсов, но и их
положение.
Рассмотрим наряду с функцией f(z), удовлетворяющей ус-
ловиям принципа аргумента, еще функцию ф(г), аналитиче-
скую в D и непрерывную в D. Особыми точками функции
g (z) = ф (z) могут, очевидно, служить лишь нули и по-
люсы f(z), причем в окрестности каждой такой точки с она
допускает разложение вида
<д(г) = {ф(с)+ ...}{±747+ ...} = ±^- + ...
(см. теорему 2), где знак относится к случаю, когда точка
с является нулем f(z), а знак «—» к случаю полюса. Отсюда
видно, что вычет g(z) в точке с равен ±ф(с)п и, заменяя в со-
отношении (8) функцию f'(z)/f(z) функцией g(z), получим:
|ф(г)-^-йг = /г1ф(а1)+ ... + п^ (at) —
с
— Р1Ф(&1)— ... — pm(f(bm). (11)
Полагая, в частности, ф(г) =г, будем иметь
I m
lit? J2 =S ~
с ft=l fc=l
Правая часть здесь представляет разность между суммой всех
нулей и суммой всех полюсов функции f(z) в области D, при-
чем каждый нуль или полюс входит в сумму столько раз, ка-
кой его порядок.
Рассмотрим теперь вместо функции f(z) функцию g(z) =
= f(z) — а, где а — фиксированное комплексное число; полюсы
g(z) совпадают с полюсами f(z), а нули являются а-точками
функции f(z), т. е. точками, в которых f(z) принимает значение
а. Если f(z) аналитична в области D всюду, кроме конечного
числа полюсов, а на границе С этой области непрерывна и не
90
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[24
принимает значения а, причем f'(z) непрерывна на С, то
к функции g(z) = f(z)— а применимы формулы (10) и (12).
Мы получаем тогда
1т
2^7 J (13)
С fe=l fe=l
. f , 1 m
J z Tfi-a dz==2i Пкйк ~ S P^’ <14>
C *=1 fe=l
где fli, «2, , at — a-точки функции f(z) в области D поряд-
ков*) соответственно n{, n2, щ, a blt b2, .... bm~-ее полю-
сы порядков соответственно р\, р2, .рт.
Мы воспользуемся этими формулами в гл. VII.
24. Бесконечно удаленная точка. До сих пор мы рассматри-
вали лишь конечные точки плоскости комплексного перемен-
ного, однако для изучения некоторых вопросов полезно ввести
и бесконечно удаленную точку. Это нагляднее всего сделать
с помощью так называемой
стереографической проекции
плоскости z на сферу, ка-
сающуюся плоскости своим
южным полюсом. Такая
проекция ставит в соответ-
ствие каждой точке z ком-
плексной плоскости точку Z
сферы, которая получается
при пересечении сферы лу-
чом, соединяющим z с се-
верным полюсом сферы
(рис. 28). Стереографиче-
2 ' оо
Рис. 28.
ская проекция устанавливает взаимно-однозначное соответствие
между комплексной плоскостью и сферой с выколотым север-
ным полюсом. Точки Z считают сферическими изображениями
комплексных чисел z и саму сферу называют числовой.
Чтобы распространить соответствие на всю сферу, на плос-
кости вводят условную бесконечно удаленную точку (комплекс-
ное число z = оо) и считают ее соответствующей северному
полюсу сферы. Число z — оо не участвует в арифметических
операциях, как обычные комплексные числа. Однако говорят,
например, что последовательность (zn} сходится к бесконечно
удаленной точке, lim zn = °o, если для любого М > 0 най-
П->оо
*) Порядком a-точки f(z) называется порядок соответствующего нуля
функции f (z) — а.
24] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 9Г
дется номер п0, начиная с которого | zn | > М (выше мы так и
делали в подобных случаях). Эта терминология оправдывается
тем, что стереографические проекции Zn точек zn нашей после-
довательности в самом деле образуют последовательность, схо-
дящуюся к северному полюсу сферы.
Плоскость комплексного переменного с присоединенной к ней
бесконечно удаленной точкой называют полной комплексной
плоскостью (плоскость без такой точки называют тогда откры-
той). Как мы видели, полная комплексная плоскость эквива-
лентна сфере, и для геометрических представлений понятий,
связанных с бесконечно удаленной точкой, очень удобно прибе-
гать к сферическому изображению комплексных чисел.
Под окрестностью бесконечно удаленной точки понимают
круг на сфере с центром в ее северном полюсе, или, другими
словами, совокупность точек г, удовлетворяющих неравенству
|z|> R (с присоединением бесконечно удаленной точки). Пос-
ле введения этого понятия мы можем рассматривать области,
содержащие бесконечно удаленную точку внутри или на гра-
нице, т. е. неограниченные области. Определение порядка связ-
ности, данное в п. 3 для ограниченных областей, без всяких
изменений переносится на неограниченные области (например,’
окрестность точки 2 = оо с включением последней оказывается
односвязной областью, а та же окрестность с исключением'
г = оо — двусвязной).
Также без всяких изменений распространяется на бесконеч-
ные 20 и Wo определение п. 5 предела функции с помощью окре-
стностей. При этом функция, стремящаяся к пределу w0 = оо,
называется бесконечно большой (см. п. 22, определение по-
люса).
Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности-
бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо; по-
нятие аналитичности в этой точке пока еще не определено). На
такую функцию без всяких изменений распространяется опре-
деление особых точек из п. 22: говорят, что z = оо является
устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой
точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконе-
чен, или вовсе не существует lim f (z).
z->oo
Однако критерии типа особой точки, связанные с разложе-
нием Лорана (теоремы 1—3 п. 22), изменятся, что видно из сле-
дующего рассуждения. Положим z = 1/£ и
f(z) = f (у)= ф(0»
тогда «р(£) будет аналитической в некоторой окрестности точки
£ == 0. Последняя будет для <р(£) особой точкой того же типа,
92
ГЛ. 5. ОСНОВНЫЕ понятия
124
что и z = оо для f(z), ибо lim f (z) = lim ф(£). Лорановское
г->оо
разложение f(z) в окрестности z = оо можно, очевидно, поду-
чить простой заменой £ = 1/z в лорановском разложении ф(£)
в окрестности £ = 0. Но при такой замене правильная часть
заменяется главной, и обратно.
Таким образом, справедлива
Теорема 1. В случае устранимой особенности в бесконеч-
но удаленной точке лорановское разложение функции f(z) в
окрестности этой точки вовсе не содержит положительных сте-
пеней г, в случае полюса содержит конечное их число, а в слу-
чае существенной особенности — бесконечное.
Если f(z) имеет в точке z = оо устранимую особенность, то
обычно говорят, что она аналитична в бесконечности, и прини-
мают f(oo)= lim f(z). В этом случае функция, очевидно, огра-
ничена в некоторой окрестности точки z = оо.
Пусть функция f(z) аналитична в полной плоскости. Из ана-
литичности функции в бесконечности следует ее ограниченность
в окрестности этой точки; пусть |f(z)|-<.Mi при |z|>/?.
С другой стороны, из аналитичности (а следовательно, непре-
рывности) f(z) в замкнутом круге | z | R следует ее ограни-
ченность в этом круге; пусть в нем |/(2) I Мг. Но тогда функ-
ция f(z) ограничена во всей плоскости: для всех г имеем
| f(z) | < М = max(Alt, Л12).
Таким образом, теореме Лиувилля (п. 17) можно придать
следующую форму.
Теорема 2. Если функция f(z) аналитична в полной пло-
скости z, то она постоянна.
В заключение остановимся на понятии вычета в бесконечно
удаленной точке. Пусть функция f(z) аналитична в некоторой
окрестности точки z — оо (кроме, быть может, самой этой точ-
ки) ; под вычетом функции в бесконечности понимают:
resf(oo)= gb-j* f(z)dz,
v”
где у~ — достаточно большая окружность |z| = р, проходимая
по часовой стрелке (так что окрестность точки z — оо остается
слева так же, как и в случае конечной точки). Из этого опре-
деления непосредственно следует, что вычет функции в беско-
нечности равен коэффициенту при z-1 в лорановском ее разло-
жении в окрестности точки а = оо, взятому с обратным знаком.
Наконец, легко получается
Теорема 3. Если функция f(z) имеет в полной плоскости
конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, вклю-
чая и вычет в бесконечности, равна нулю.
25]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
93
В самом деле, пусть оц, ..., ап будут конечные особые точки
функции f(z) и у — окружность | г | — р, содержащая их все
внутри. По свойству интегралов, теореме о вычетах и опреде-
лению вычета в бесконечности имеем:
0==iJ + J f(z)dz =
Y Y-
= resf(ai)+ ... + res/(««) +res f(oo),
что и требовалось доказать.
25. Аналитическое продолжение. Обобщение понятия анали-
тической функции. Здесь мы рассмотрим вопрос об . аналитиче-
ском продолжении функций и введем понятие многозначной
аналитической функции, обобщаю-
щее понятие аналитичности п. 5.
Пусть две области Do и без
общих точек имеют общий участок
границы у (рис. 29) и в этих обла-
стях заданы (однозначные) анали-
тические функции fo(z) и fi(z) со-
ответственно. Будем говорить, что
функция fi (z) является непосред-
ственным аналитическим продолже-
нием функции f$(z) в область D{, Рис. 29.
если существует аналитическая в
в области Do + Y +-Di функция f(z), равная f0(z) во всех точ-
ках Do и равная fa (z) во всех точках Dp
f0(z) в Do,
fi(z) в DP
(1)
По теореме единственности (п. 20) при заданных областях Do
и D, и участке границы у аналитическое продолжение данной
функции f0(z) (если оно возможно) определяется однозначно.
Приведем одно простое достаточное условие для аналитиче-
ского продолжения, так называемый принцип непрерывного
продолжения-.
Теорема 1. Пусть даны две односвязные области Da и Di
без общих точек, такие, что их границы имеют один общий
кусок у, и в этих областях соответственно заданы аналитиче-
ские функции fo(z) и fa(z). Если, кроме того, эти функции не-
прерывны eDo-j-ynDj-J-yM совпадают во всех точках кривой
у, то функция fa(z) является непосредственным аналитическим
продолжением функции f0(z) в область Dt.
94
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
125
Доказательство основано на теоремах Мореры (п. 17) и
Коши (п. 12). Действительно, в силу наших условий функция
fo(z) в До,
f(z) = fa(z) = fx(z) на у,
(2>
Л (z) в Di
непрерывна в области D = До + у + Дь покажем, что ее инте-
грал по любому замкнутому контуру С, лежащему в D, равен
нулю. Если С полностью принадлежит одной из областей Да
или Д], это является непосредственным следствием теоремы
Коши. Если же С принадлежит До и Дь то, обозначив через Со
и Ci части контура С, лежашие соответственно в До и Дь через
с — часть кривой у, лежащую внутри С (рис. 29), по теореме
Коши (в обобщенной форме, см. теорему 5 п. 12) будем иметь:
J f(z)dz = 0, j f(z)dz = 0.
Се+с С,+с—
Складывая эти равенства, мы получим:
jf(z)dz+ J f(z) dz= J f (z)dz = 0. i
C»+c C|+c- C
Отсюда по теореме Мореры заключаем, что функция f(z) ана-
литична в области Д, а это и означает, что ft(z) является ана-
литическим продолжением fo(z). Теорема доказана.
Коротко говоря, доказанная теорема означает, что если ана-
литическая функция является непрерывным продолжением
аналитической же функции fo(z) через дугу у, то она является,
и аналитическим продолжением этой функции*). '
, Основываясь на теореме 1, мы несколько обобщим введен-
ное выше понятие непосредственного аналитического продолже-j
ния. Именно, допустим, что области До и D\ имеют наряду с об-т
щим участком границы у еще общие внутренние точки (рис. 30);
и что в этих областях по-прежнему заданы аналитические функ^
ции f0(z) и Мы будем тогда говорить, что fi(z) являетсй;
непосредственным аналитическим продолжением fo(z) через
дугу у, если fo(z) и fi(z) непрерывны в До + у и Д1+у и их:
значения на у совпадают. .
Если До и Д] не имеют общих внутренних точек, то это onpe-j
деление совпадает со старым. Если же До и Д[ имеют общие
*) Аналогичная теорема в действительной области неверна: если две
функции fB(x) и дифференцируемые в смежных интервалах (а, 6) и (6, с)|
непрерывны и совпадают в общей точке b этих интервалов, то функция
получаемая их объединением, может и не быть дифференцируемой на интерн
вале (а, с) — ее график может иметь в b угловую точку. J
251
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
95
точки (например, общую часть д' на рис. 30), то функция f(z),
определяемая по формуле (2), может быть двузначной в точ-
ках 6', ибо ниоткуда не следует, что в точке z из б' значения
fo(z) и f{(z) должны совпадать. Таким образом, второе опре-
деление продолжения более общее, чем первое.
Еще несколько обобщим наше определение. Пусть дана це-
почка односвязных областей Da, Dlt ..., Dn, таких, что каждая
пара соседних областей Dh и Dh+i имеет общий участок границы
Yfe,fc+i (рис. 31), и пусть в каждой области Dk задана однознач-
ная аналитическая функция fft(z). Будем говорить, что fn(z)
является аналитическим продолжением*) функции fo(z) в об-
ласть Dn через данную цепочку областей, если для любого
k = 0, 1, ..., п— 1 функции fk{z) и fk+i(z) соответственно не-
прерывны в £>а + ул, ft+I и Dh+l 4- yft> ft+i и их значения на
совпадают. При п = 1 мы получаем предыдущее определение.
Заметим, что и здесь при фиксированных Do, Dlt ..., Dn и
Yoi, Yi2. Yn-i,n аналитическое продолжение функции fo(z)
в область Dn (если оно возможно) определяется однозначно.
При изменении же промежуточных звеньев цепочки Dh, или
даже при замене какой-либо дуги Другой общей дугой
ft+1 границ областей Dh и Dk+i, значение аналитического про-
должения может измениться.
Поясним сказанное простым примером. Пусть Do и £>i представляют
собой верхнюю и нижнюю половины кольца 1 < |г|_< 2, для которых соот-
ветственно 1тг>0 и 1т г < 0, и fo(z)—ветвь Vг, характеризуемая усло-
вием 0 < arg z < л. Если принять в качестве у01 отрезок (—2,—1), то
аналитическое продолжение f0(z) в Di вполне определится как ветвь V"z,
для которой л < arg г < 2п (на Yoi значение аргумента должно меняться не-
прерывно). Если теперь, оставив без изменений f0(z) и области £>0 и Dlt
) Уже без слова «непосредственное».
96
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
125
заменить отрезок у01 отрезком уоь (1, 2), то аналитическое продолжение fr>(z)
в Di определится как ветвь Vг, для которой —л < argz< л (теперь зиа--
чения аргумента должны меняться непрерывно на отрезке Yoi)- Эти продол-
женйя /1(г) nfi(z) различны, например,
/Зл . Злг ' Г___л . л£
е 2 = е 4 , f 1 (— г) = г е 2 —е 4
(они отличаются лишь знаком). Таким образом, значение аналитического
продолжения действительно может измениться даже лишь при изменении
связывающих цепочку дуг.
Пусть теперь f0(z), Do, Dt и yOi имеют прежний смысл; возьмем еще
одно звено цепочки D2 = Do, связанное с D\ отрезком yi2: (1,2); тогда ана-
литическое продолжение /2(z) определится как ветвь Vz, для которой
2n<argz<3n, и в любой точке z верхнего полукольца значения f0(z) и
f2(z) будут различными (отличаться знаком). Мы видим, что когда области
Do и £>* налегают друг на друга, то в их общих точках значения функции
и ее аналитического продолжения могут быть различными.
Введенное понятие аналитического продолжения позволяет
ввести понятие полной аналитической функции (вообще говоря,
многозначной). Пусть в некоторой области Do задана однознач-
ная аналитическая функция fo(z). Может случиться, что f0(z)
непродолжаема ни через одну дугу границы С области Do.
Например, пусть Do — круг |z| < 1 и
(3)
s=i
Функция f0(z) имеет особенность в точке z = l, ибо для дей-
ствительных z = x, как легко видеть, lim f0(x) = оо. В самом
х-> 1
п
деле, lim У x2k = n, следовательно, для любого п найдется д>0
x-»l fe=l
п
такое, что при х > 1 — 6 имеем У. х2к > п — 1, а значит, и пс-
А=1
ОО
давно, /о(х) = У, х2* > п — 1. Далее имеем;
k=\
00
f0(z) = z2+2(z2)2A = z2+^(z2),
*=1
откуда видно, что и в точках z—]/^! (т. е. z = ±l) имеются
особенности. Аналогично, для любого натурального п
fo(z) = z2 + z4+ ... + Z + fo(^),
2«_
следовательно, и в точках г = ]/1, которые лежат в вершинах
правильного 2п-угольника, вписанного в окружность |z| = 1,
25) § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ 97
функция f0(z) имеет особенности. Таким образом, множество
особых точек функции f0(z) всюду плотно на окружности
|z| — 1 и fo(z) действительно непродолжаема ни через какую
дугу этой окружности.
В таких случаях мы будем говорить, что контур С является
естественной границей функции fo(z), Do будем называть обла-
стью существования этой функции, а саму функцию — полной
аналитической функцией.
Пусть теперь f0(z) продолжаема за пределы Do. Рассмотрим
всевозможные ее аналитические продолжения по всевозможным
цепочкам областей. Будем смотреть на значения всех таких
продолжений как на значения одной функции f(z). Такую
функцию мы будем называть полной аналитической функцией,
а однозначные аналитические функции, из которых она состав-
лена (продолжения функции f0(z))— ее ветвями. Область D,
получаемую объединением всех областей, составляющих це-
почки, по которым совершаются аналитические продолжения,
и дуг, вдоль которых смыкаются эти области, мы будем назы-
вать областью существования f(z).
Функцию f(z) можно рассматривать и не во всей области
существования, а лишь в ее части; тогда мы будем называть
f(z) просто аналитической функцией. Такое определение анали-
тической функции является обобщением определения п. 5, ибо
оно допускает, очевидно, и многозначные функции. В дальней-
шем, говоря об аналитической функции, мы будем понимать
аналитичность в этом более общем смысле. Если же нужно
будет подчеркнуть, что речь идет об аналитичности в смысле
п. 5, мы будем говорить об однозначной аналитической
функции.
Мы закончим изложение общего понятия аналитической
функции описанием точек, в которых нарушается ее аналитич-
ность— особых точек функции. Не нужно думать, что такие
точки представляют собой нечто исключительное, патологиче-
ское, и потому мало интересное для приложений. Напротив,
особые точки представляют наибольший интерес при изучении
аналитической функции, ибо в них, говоря описательно, зало-
жена вся основная информация о функции. Читатель лучше
оценит справедливость этого утверждения, когда он ознако-
мится, например, с главой V и увидит особые точки, так ска-
зать, «в работе». Пока же мы советуем вспомнить, что по тео-
реме Лиувилля (в формулировке п. 24) все аналитические
функции, за исключением постоянных, имеют особые точки,
а. также вспомнить те уже довольно многочисленные места дан-
ной книги, где на основе изучения особых точек делались важ-
ные заключения о свойствах функции (теоремы п. 23, замечание
в конце п. 19 и т. п.). Перейдем к точным определениям.
4 М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
98
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
Г25
Точку а, принадлежащую области существования аналитиче-
ской функции или ее границе, мы будем называть особой точ-
кой функции f(z), если в ней нарушается аналитичность хотя
бы одной ветви функции f(z).*).
Как и в п. 22, мы ограничимся рассмотрением особых точек
простейшего вида — так называемых изолированных. Точка а
называется изолированной особой точкой функции f(z), если
существует такая окрестность 0<|z — а | < R, что f(z) про-
должаема. вдоль любой цепочки областей, принадлежащих
этой окрестности.
Рассмотрим цепочку, составленную из областей
(k = 0, ±1, ±2, ...), представляющих собой кольца 0<
<C|z — a\<Z R, разрезанные вдоль некоторого радиуса, напри-
мер arg(z — а) = 0. Пусть fo(z)—ветвь f(z), однозначная и
аналитическая в каком-либо кольце Do с разрезом у0. Если зна-
чения f0(z) на обоих берегах разреза уо совпадают, то мы бу-
дем говорить, что а —особая точка однозначного характера
для данной ветви (в этом случае по теореме единственности
п. 20 аналитические продолжения ветви fo(z) в другие кольца
Dh совпадают с fo(z)). Такие особые точки мы рассмотрели
в п. 22.
Если же значения fo(z) на берегах разреза не совпадают,
то а называется особой точкой многозначного характера или
точкой ветвления. Здесь возможны два случая:
1. Существует цепочка Do, D\, Z)n~i колец, соединенных
последовательно, например против часовой стрелки (т. е. ниж-
ний берег разреза на £)0 соединяется с верхним берегом раз-
реза на £>ь нижний на D\— с верхним на D2 и т. д.), такая,
что на оставшихся свободными берегах разрезов Do и
(верхний берег на Do и нижний на значения f0(z) и
fn-i(z) совпадают. Тогда по теореме единственности п. 20
fn(z)^fo(z), fn+i(z) = ft(z)..^2n-i(z) = fn-i(z), и вообще
значения fh(z) при k, изменяющемся от —оо до оо, периоди-
чески повторяют значения fo(z), f\(z), fn-i(z). В этом слу-
чае мы будем говорить, что а — точка ветвления конечного по-
рядка п.
Если в рассматриваемом случае все ветви fk(z) при z—*a
стремятся к одному конечному или бесконечному пределу, то
говорят, что а является алгебраической точкой ветвления. Та-
*) Особая точка а может принадлежать области существования лишь
в том случае, когда наряду с ветвью функции, имеющей в этой точке осо-
бенность, существует ветвь, правильная в точке а. Такова, например, точка
z = 1 для функции w = 1/(У г + 1) — она является особой для той ветви
функции, для которой УТ = —1 и правильной для другой ее ветви (для ко-
торой УТ = 1).
26]
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
99
п
ковы, например, точки z = 0 и z — оо для функции —
п
или f (z) = l/Уz. Если же предел fh(z) при г —>а не суще-
ствует, то а называют трансцендентной точкой ветвления. Та-
п
кова, например, точка z = 0 для функции f(z) = e'Wz
(z=oo является для нее алгебраической точкой ветвления).
2. Во всех кольцах Dh цепочки значения функций различны.
В этом случае а называют логарифмической точкой ветвления.
Таковы, например, точки z = 0 и z = оо для многозначной
функции w = Lnz. Логарифмические точки ветвления относят
к числу трансцендентных.
В окрестности точки ветвления а конечного порядка п функ-
ция /(z) допускает разложение в обобщенный степенной ряд:
оо
f(z)= s Ck(z — a)kln. (4)
k=— 00
В самом деле, положим z — a — Z,n\ тогда цепочке областей Dv
(v = О, 1, ..., п—1) в плоскости £ будет соответствовать це-
п
почка смежных секторов Av кольца 0 < 1t, | < р = УR с цент-
ральными углами 2л/п. Рассмотрим сложную функцию ф(£) =
= f(a-(-£n), причем в каждом секторе Av мы выбираем соот-
ветствующую ветвь fv функции f. Функция очевидно, не-
прерывно продолжается из До в Дь Д2, ..., Дп-i, и значения
ее на свободных берегах разрезов До и Д„_1 совпадают. По-
этому точка Z — 0 является для этой функции изолированной
особой точкой однозначного характера и, следовательно, <р(£)
представляется в окрестности £ = 0 рядом Лорана
оо
«р(0= 2 ску.
/?=—00
Подставляя сюда £ = (z — a)i,n, получим искомое разложе-
ние (4).
В случае алгебраической точки а разложение (4) содержит
конечное число членов с отрицательными k (быть может, эти
члены и вовсе отсутствуют), а в случае трансцендентной точ-
ки — бесконечное.
26. Римановы поверхности. В заключение этой главы оста-
новимся. на понятии поверхностей Римана для многозначных
функций. Эти поверхности делают геометрически наглядным
описанный выше процесс аналитического продолжения и само
понятие многозначной аналитической функции. Пусть дана
(многозначная) аналитическая функция /(z), определенная
100
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[26
в области D плоскости комплексного переменного z. Условимся
рассматривать области Dh, из которых в процессе аналитиче-
ского продолжения строится область D, как отдельные листы,
изготовленные в таком количестве экземпляров, сколько значе-
ний имеет функция в данной области D.
Рассмотрим в плоскости z некоторую цепочку областей
Do, Di, ..., Dn с общими участками границ уоь Y12, •••, Yn-i, п-
Пусть области Do и Dt имеют общие части, причем в одних из
этих частей значения fo(z) и fi(z) совпадают, а других — раз-
личны. Мы возьмем листы, соответствующие Do и Di, и склеим
их по
дет лежать по два
к точке
к такой
линии, соответствующей уоь Расположим эти листы над
Do -ф Yoi -ф Di так, чтобы каждый лист
лежал над соответствующей областью, и
склеим их части, расположенные над
теми общими частями Do и Di, в кото-
рых fo(z) и fi (г) совпадают; склеенные
части будем рассматривать как один
слой. Над теми же общими частями об-
ластей Dq и Di, в которых значения fo(z)
и fi(z) различаются, мы расположим со-
ответствующие части листов друг над
другом, так что над такими частями бу-
слоя. Мы условимся относить значение fo(z)
первого листа, расположенной
же точке второго листа; тогда
над z, а значение fi(z)—
функция
f(z) =
f0(z) в Do,
fo {z) = f j (z)
fi(z) в
на Vol,
будет однозначной на совокупности склеенных нами
листов.
Точно такие же операции проделаем над листом, соответ-
ствующим области и т. д. При этом может случиться
так, что надлежащая склейка листов невозможна без их пере-
сечения; мы условимся такие пересечения не принимать во вни-
мание (см. рис. 32, где изображена окрестность точки ветвления
третьего порядка, склеенная из трех колец 0<|z — a\<ZR
с разрезами; мы не принимаем во внимание пересечения, воз-
никающие при склейке колец Do и D2). В результате мы полу-
чим кусок, вообще говоря, многолистпой поверхности, распо-
ложенный над областью Do -ф yoi + Di -ф ... -ф уп-1, п -ф Dn. Если
*) При этом могут появиться точки г, над которыми расположено три
слоя листов, — это будет в том случае, если О2 налегает на ту общую часть
Do и £>|, в которой значения f0(z) и /i(z) различны, и если там значения
ф(г) отличны и от /о(г) и от fi(z).
261
§ 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ
101
мы проделаем описанные операции для всевозможных цепочек
областей, определяющих аналитическую функцию f(z), то по-
лучим, вообще говоря, многолистную поверхность R, располо-
женную над областью D. Эту поверхность мы и будем называть
римановой поверхностью функции f(z).
Существенно отметить, что любую аналитическую функцию
можно рассматривать как однозначную на ее римановой по-
верхности. Для этого достаточно относить различные значения,
принимаемые функцией в какой-либо точке z, к различным ли-
стам римановой поверхности, расположенным над этой точкой.
3 _____
Например, три значения корня Уz —z0 в точке z=f=z$ из окре-
стности Zo мы условимся относить к трем точкам поверхности
на рис. 32, лежащим над точкой z.
Если функция w — f(z) обратна к однозначной функции
г = ф(ау) (как во всех примерах, которые мы рассматривали
в § 3), то она, очевидно, реализует взаимно однозначное ото-
бражение своей римановой поверхности на полную плоскость w
или некоторую ее часть. В общем же случае w = f(z) отобра-
жает одну риманову поверхность на другую.
Рис. 33.
Приведем несколько примеров простейших римановых поверхностей*):
п
1) Риманова поверхность корня w = Vz. В качестве областей D,, возь-
мем плоскости с вырезанной положительной полуосью: D(, характеризуется
неравенствами 2kn < arg г < 2(k + 1) л (k =
= 0, ±1, ±2, ...). В начальной области Do
возьмем ветвь /о(г), определяемую условием
О < arg г < 2л, и будем продолжать ее в об-
ласти Di, D2, ..., Dn-i. В соответствии с
этим заготовим п экземпляров листов, имею-
щих тот же вид, что и Dk, и будем склеивать
нижний берег разреза области Do с верхним
берегом разреза области Db нижний берег
разреза области Dt с верхним берегом разреза
области Dz и т. д. Значения fo(z) и fn(z)
на положительной полуоси (и во всей обла-
сти Dn = Do) совпадают. Следовательно, мы
должны склеить между собой (не учитывая
пересечений, которые при этом возникают)
оставшиеся свободными верхний берег разреза
п__
на листе Do с нижним берегом разреза на Dn-t. Значения Уг в осталь-
ных областях Dh лишь повторяют выделенные значения /о, ft, .... fn-i,
следовательно, построенная нами п-листпая поверхность и является рима-
п
новой поверхностью функции ш = )Лг. Над точками г = 0 и г = оо она
имеет алгебраические точки ветвления порядка п (см. рис. 33, где п = 4).
*) Мы рекомендуем склеить модели рассмотренных здесь римановых
поверхностей из бумаги и на этих моделях проследить проводимые рассу-
ждения.
102
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
[26
2) Риманова поверхность логарифма w = Ln z. Области Dft те же, что
и в предыдущем примере. В Do выбирается ветвь w — In |z| + i arg z, где
0 < arg < 2л, и эта ветвь неограниченно продолжается в области для
k = ±1, ±2, ... Это соответствует тому, что бесчисленное множество экзем-
пляров листов, имеющих тот же вид, что и Dk, соединяются между собой
по следующему закону: нижний берег разреза каждого листа. D* склеивается
с верхним берегом разреза листа DA+1. Полученная риманова поверхность
логарифма имеет вид, изображенный на рис. 34. Над г = 0 и г = оо она
имеет точки ветвления логарифмического типа. __________
3) Риманова поверхность функции w = г + V г2— 1, обратной к функ-
ции Жуковского. В качестве Dk возьмем плоскости с выброшенным отрезком
[—1, 1], обозначим через f0(z) и Л (г) те ветви функции, которые отобра-
жают Do и D, соответственно на внутренность и на внешность единичного
Рис. 35.
круга (см. п. 7). Так как fn(z) отображает на верхнюю полуокружность ниж-
ний берег отреза [—1,1], a fi(z)—верхний, то мы должны склеить между
собой нижний берег разреза на листе Do и верхний берег разреза на листе D,.
То же самое нужно сделать с верхним берегом разреза на Do и нижним на
Di, которые отображаются на нижнюю полуокружность. Полученная двулист-
ная поверхность и есть риманова поверхность нашей функции; она имеет
точки ветвления второго порядка над точками z = ±1 (рис. 35) *). По-
верхность отличается от поверхности Vг лишь дополнительными дробно-
линейными отображениями; действительно, преобразования г = * и <о =
= * переводят функцию w — z + ^z2 — 1 в функцию ш =
(см. п. 31).
4) Риманова поверхность арксинуса w — Arcsin z. В п. 9 мы видели,
что функция z = sin w отображает полуполосу Im w > 0, — -2- < Re w <
на верхнюю полуплоскость**), причем лучи (/) и (4) на нижнем рис. 36 пере-
ходят в лучи х < —1 и х > 1; из нечетности sin ш следует, что полуполоса
л
1тда<0, —“ < Re w < переходит при этом в нижнюю полуплоскость,
причем лучам (2) и (3) соответствуют те же лучи х < —1 и х > 1 (рис. 36).
Таким образом, одна из ветвей функции w = Arcsin z (мы обозначим ее
*) Над г = оо поверхность имеет два неразветвленных листа.
**) Мы переменили роли z и w.
26] § 5. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ РЯДАМИ ЮЗ
через fo(z)) отображает плоскость г с разрезами вдоль отрезков (—оо—1)
и (1,о°) (мы обозначим ее Do) на полосу До: —< Re w < ~ с соответ-
ствием границ, указанным на рис. 36. Так
л л п Зл
полоса Af -g- < Re w <
переходит при отображении
г = sin tn в ту же область
плоскости
мы обозначим Dt и через
/i (г) обозначим функцию,
реализующую обратное ото-
бражение. Соответствие гра-
ниц А| и Dt указано на
рис. 36.
Очевидно, ветвь ft (г)
является аналитическим про-
должением fo(z) в £>1Ипри
таком продолжении функция
z = sin w остается непре-
рывной на прямой Re w =
== л/2. В соответствии с
z; эту область
как sin(a> + n) =—sin w, то
этим мы должны склеить крест-накрест берега разрезов листов Do и Dt:
(4) с (А) и (3) с (2(). Получается двулистная поверхность с точкой ветвле-
ния второго порядка над г — 1 и с разрезом над лучом (—оо, —1), над ко-
торым расположено четыре берега разрезов:
(/), (2), (3t) и (41). В силу периодичности
функции z — sin w совокупность полос Аг и Аз
отображается на такую же двулистную по-
верхность, состоящую из листов Da и Оз и
. имеющую четыре свободных берега разрезов:
(/г), (2а), (Зз) и (43). Две построенные по-
верхности мы должны соединить, склеивая
крест-накрест свободные берега разрезов на
у листах Di и D2: (4t) с (/а) и (3t) с (22) —
это соответствует непрерывному продолжению
функции г = sin w через прямую Re w =
= Зл/2 (рис. 36). При этом над точкой z =
=—1 появится точка ветвления, соединяющая
листы Dt и D2. Продолжая такое построение
неограниченно вправо и влево от основной по-
лосы До, мы получим бесконечнолистную ри-
манову поверхность арксинуса. Она имеет бес-
численное множество точек ветвления второго
Рис. 37. порядка над г = ±1 и логарифмическую точ-
ку ветвления*) над z = оо (рис. 37).
Как показывает наше построение, функция z = sin w осуществляет вза-
имнооднозначное и непрерывное отображение всей конечной плоскости w на
нашу риманову поверхность. Обратная функция w — Arcsin z однозначна на
этой поверхности.
*) Чтобы в этом убедиться, достаточно рассмотреть движение точки по
поверхности над окружностью |z| =2. Пусть мы отправляемся из точки
листа Do, лежащей над z = 2, и двигаемся против часовой стрелки. Как по-
казывает рис. 36, мы сразу попадаем на лист Di; далее, проходя над z — —2,
попадаем на лист D2, затем проходя над z = 2 попадаем на лист D3 и т. д.
Отсюда и ясен логарифмический характер особенности над z = оо.
104
ГЛ. I. ОСНОВНЫЕ понятия
Литература к главе I
[1] И. И. Привалов, Введение в теорию функций комплексного неремен-
ного, Физматгиз, 1960.
[2] А. И. Маркушевич, Теория аналитических функций, т.т. 1,2, «Наука»,.
1968.
[3] А. И. М а р к у ш е в и ч, Краткий курс теории аналитических функций,
Физматгиз, 1961.
(4] Б. В. Ш а б ат, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.
[5] С. С т о и л о в, Теория функций комплексного переменного, т. 1, 2, пер.,
с румынского, ИЛ, 1962.
[6] А. Г у р в и ц, Р. К у р а н т, Теория функций, «Наука», 1968.
[7] А. В. Б и ц а д з е, Основы теории аналитических функций комплексного-
переменного, «Наука», 1972.
[8] М. А. Е в г р а ф о в, Аналитические функции, «Наука», 1968.
[9] А. Г. Свешников, А. Н. Тихонов, Теория функций комплексной!
переменной, «Наука», 1970.
[10] В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. III, ч. 2, Гостехиздат,
1957.
[11] Б. А. Фукс и Б. В. Шабат, Функции комплексного переменного
некоторые их приложения, «Наука», 1964.
[12] Дж. Спрингер, Введение в теорию римановых поверхностей, пер.
с англ., ИЛ, 1960.
[13] А. И. Маркушевич, Очерки по истории теории аналитических функ-
ций, Гостехиздат, 1951.
Глава II
Конформные отображения
Эта глава посвящена отображениям, осуществляемым ана-
литическими функциями, так называемым конформным отобра-
жениям.
Понятие конформного отображения относится к числу важ-
нейших понятий математики. Возникшее из физических пред-
ставлений, оно находит многочисленные и существенные при-
ложения к различным областям физики — метод конформных
отображений с успехом решает практические задачи гидро- и
аэродинамики, теории упругости, теории электростатического,
магнитного и теплового полей и др.
Отдельные задачи, связанные с конформными отображе-
ниями, решались Д а л а м б е р ом, Эйлером и Гауссом*).
Опираясь на их работы, Бернхард Риман в своей диссерта-
ции «Основы общей теории функций комплексного перемен-
ного» (1851 г.) положил начало геометрической теории функций
и, в частности, доказал (хотя и неправильно) основную
теорему о возможности конформного отображения произволь-
ных односвязных областей друг на друга. В своих исследова-
ниях Риман, следуя Эйлеру, пользовался физическими предста-
влениями, связанными с конформными отображениями.
Начиная с середины 19 века, конформные отображения ши-
роко применяются в качестве математического аппарата при
изучении механики сплошной среды. Среди инициаторов такого
применения видное место принадлежит Н. Е. Жуковскому
и С. А. Чаплыгину (гидро- и аэродинамика), Г.. В. Коло-
сову и Н. И. Мусхелишвили (теория упругости).
§ 1. Общие положения. Примеры
В этом параграфе излагается понятие конформного отобра-
жения и общие принципы теории конформных отображений. Не
имея возможности доказать многие из них (доказательство
*) Карл Фридрих Гаусс (1777—1855)—немецкий математик.
106
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(27
требует привлечения материала, выходящего за рамки книги),
мы ограничиваемся тем, что разъясняем существо этих принци-
пов и иллюстрируем их на ряде примеров.
27. Понятие конформного отображения. Предположим, что
задано непрерывное и взаимно-однозначное отображение обла-
сти D на некоторую область D*:
w = f(z) = u(x, y) + iv(x, у). (1)
Предположим еще, что функции ы(х, у) и v(x, у) дифферен-
цируемы в этой области. Фиксируем произвольную точку г0
из D и в окрестности этой точки заменим приращения функций
и п v дифференциалами. По определению дифференциала при-
ращения можно представить в виде
» — «о = -57 (^ — ^о) + (У — Уо) + П1 До
о ~ v° = 5Н* ~ х°> + ^у ~ у^ +112 Дг’
(2)
где частные производные берутся в точке г0, Дг =
= ]/\х — х0)2(у — Уо)2, а т]ь т]2 стремятся к нулю при Дг—>0.
Замена приращений дифференциалами сводится к отбрасыва-
нию в соотношениях (2) членов тцДг и т^Дг, которые являются
малыми более высокого порядка, чем остальные члены этих
, . ( ди \2 . / ди \2 ( dv \2 . ( dv \2
формул (мы предполагаем, что и +
отличны от нуля).
Геометрически эта замена равносильна замене отображения
w = f(z) отображением
“о = ^(* —+ I
°-°о = £(х-х0) + -^-(у-у0), |
которое называется главной линейной частью отображения (1).
Отображение (3) можно переписать в виде
и — ах + by + /,
v = ex dy + m,
(4)
где
ди
ди
ду ’
dv ,_________ dv
~дх' й —"ду
/=«о
ди „ ди
дх Х°~~~ду У*'
dv dv
m = Vn---х— х0 —-j— у0
и дх u ду аи
(5)
дх ’
ь
С
27]
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
107
не зависят от х и у. Оно представляет собой так называемое
линейное преобразование плоскости (х, у).
Отметим основные свойства линейных преобразований.
Каждое линейное преобразование (4) однозначно определено
во всей плоскости z\ предположим, что определитель
А = ad — be
отличен от нуля*); тогда обратное к (4) преобразование
х = -у (du — bv — dl + bm),
у = -у (— си аи + 1с — ат)
(6)
также однозначно определено во всей плоскости w. Таким об-
разом, при А #= 0 не только каждому z соответствует одно зна-
чение w, но и каждому w — одно значение z, т. е. преобразо-
вание (4) осуществляет взаимно-однозначное отображение всей
плоскости z на всю плоскость w.
Рассмотрим пучок параллельных прямых с угловым коэф-
фициентом # = tg<jp, т. е. прямых у — kx 4~ С. Заменяя здесь х
и у по формулам (6), мы видим, что этому пучку соответствует
пучок также параллельных прямых —си 4- av -)- lc — am =
= k(du— bv — dl 4-bm)-\- C\ с угловым коэффициентом
Отсюда следует, что отображение (4) преобразует квадраты
на плоскости z в параллелограммы на плоскости w.
Пусть za = х0 4- iyo и wo = и0 4- ivo — пара точек, соответ-
ствующих друг другу при отображении (4). Тогда это отобра-
жение можно представить в виде
и — и0 = а (х — х0) 4- b (у — у0), 1
> (7)
v — и0 = с (х — х0) 4- d (у — Уо), J
а обратное отображение в виде
x-xo = 4(u-“o)"T(b-vi>)' 1
У-Уо = -^(и — и0) + ~(о — о0) |
(для вывода формул (7) и (8) достаточно подставить в соот-
ношения (4) и (6) х — х0, v = Vo и вычесть из (4) и (6)
*) В случае Д — 0 говорят, что отображение (4) вырождается.
108
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[27
полученные уравнения). Учитывая формулы (8), мы можем
утверждать, что окружности с центром в точке zq:
(х —х0)2 +(у — у0)2 = г2,
при отображении (4) переходят в эллипсы с центром в точ-
ке w0:
(d? + с2) (и — и0)2 — 2 (bd 4- ас) (и — и0) (v — v0) 4-
+ (b2 + a2)(v-v0)2 = b2r2. (9)
Поставим вопрос: каким условиям должны удовлетворять коэф-
фициенты преобразования (4) для того, чтобы оно переводило
окружности снова в окружности? Из (9) следует, что для этого
необходимо и достаточно выполнение соотношений:
bd -ф ас = 0, а2 4- Ь2 = с2 4- d2. (10)
Первое из них дает -^- = — у —А, откуда а = Ad, Ь =
= —Ас. Подставляя это во второе уравнение (10), получим
А2 = 1, или А = ±1.
Случай А = 1 приводит к соотношениям
а — d, Ь = —с. (11)
В этом случае Д = ad — be = а2 4- b2 > 0. Положим
а = d = У Д cos а, с = — b = У Д' sin а,
это можно сделать, ибо у нас =—-—— 1. Тогда:
преобразование (4) перепишется в виде:
и = /Д (cosа • х — sina«y)4- Л » = УД (sina*x 4~cosa-r/) 4- m.
Эти соотношения можно записать в комплексной форме так:.
и 4- iv = ]/Д (cos а 4- i sin a) (х 4- iy) 4-/4" im,
и они приводятся к линейной функции комплексного перемен-
ного:
w — Аг-)-В, (12)>
где
Л=/Дег“, B — l-\-iin. (13)
Отсюда видно, что при условиях (11) линейное преобразо-
вание (4) сводится к сдвигу плоскости z на вектор В = 14- im,
повороту на угол a = ArgA и подобному растяжению с коэф-
фициентом )/Д = | А | (см. п. 4).
В случае А = —1 мы имеем:
а = — d, b = c (14>
27] § I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ Ю9
и Д = —а2— Ь2 < 0. Повторяя только что проведенные вы-
кладки, увидим, что преобразование (4) можно записать так:
w = У — Kela'zВ. (15)
Следовательно, при условиях (14) к перечисленным выше пре-
образованиям добавляется еще переход от г к г, т. е. симмет-
рия относительно действительной оси (см. п. 1).
Из геометрического смысла преобразований (12) и (15)
ясно, что они сохраняют подобие фигур, в частности, сохраняют
углы между двумя прямыми, преобразуют квадраты на пло-
скости z в квадраты на плоскости w и т. и. Линейные преобра-
зования, обладающие этим свойством, называются ортогональ-
ными. Таким образом, условия (10) есть условия ортогональ-
ности*) преобразования (4). Далее ясно, что преобразование
(12) сохраняет направление обхода замкнутых контуров (ко-
роче, сохраняет ориентацию), а (15) — меняет их на противо-
положные (меняет ориентацию). Таким образом, условия (11)
выделяют ортогональные преобразования, сохраняющие ориен-
тацию, а условия (14) — ортогональные преобразования, меняю-
щие ее.
Вернемся к произвольным отображениям. Взаимно-одно-
значное отображение
w = f(z) = u(x, y)-)-iv(x, у) (1)
области D на область D* называется конформным, если в окре-
стности любой точки D главная линейная часть этого отобра-
жения есть ортогональное преобразование, сохраняющее ориен-
тацию**). Из этого определения вытекают два основных свой-
ства конформных отображений:
1) Конформное отображение преобразует бесконечно малые
окружности в окружности с точностью до малых высших по-
рядков (круговое свойство).
2) Конформное отображение сохраняет углы между кри-
выми в точках их пересечения (свойство сохранения
углов).
Первое свойство означает, что при малых г окружность
С: \г — z0\ — r переходит в кривую С* такую, что расстояние
любой ее точки от окружности — ку0| = р, проведенной через
любую точку кривой С* — образа С при рассматриваемом ото-
бражении, является малой высшего порядка относительно г.
*) Заметим, что к тем же самым условиям ортогональности мы придем,
если потребуем, чтобы угол поворота 0 — <р любого луча arg г = <р не зави-
сел от угла <р.
**) Отображение w — f(z) называют конформным отображением вто-
рого рода, если его главная линейная часть является ортогональным преобра-
зованием, меняющим ориентацию.
но
ГЛ. It. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Второе свойство означает, что угол в точке го между любыми
кривыми Г1 и Гг равен углу в точке между образами Г1
и Г? этих кривых*) (рис. 38).
Учитывая формулы (5) и (11), мы можем записать условия
конформности отображения (1) в виде
ди ди ди dv
дх ду ’ ду дх ’ '
причем должно быть
\ С/Л ] \ С/Л /
(17)
ибо при А = О главная линейная часть отображения w = f(z)
вырождается, что противоречит условию конформности. Таким
образом, условия конформности совпадают с условиями Коши —
Римана (п. 5) дифференцируемости (аналитичности) функции
f(z) в области D, причем неравенство (17) показывает, что про-
изводная f'(z) должна быть всюду отличной от нуля.
Далее, имеем
ди dv ,/-г dv ди .гг .
-г-=-г-= У A cos а, -х-==--д-= V Asin а,
дхду дх ду ’
откуда легко получить геометрическую интерпретацию произ-
водной от функции комплексного переменного. Мы имеем:
I /' (z) 1= /А; argf'(z) = a,
(18)
*) Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что под
углом между кривыми понимается угол между их касательными и что главная
линейная часть дифференцируемого отображения переводит касательную
к кривой Га в касательную к Г&.
27]
§ I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
111
т. е. модуль и аргумент производной f'(z) означают соответ-
ственно коэффициент растяжения и угол поворота главной ли-
нейной части отображения w — f (z) в точке z или, иначе го-
воря, коэффициент растяжения и угол поворота самого отобра-
жения w = f (z) в точке z.
Рассуждения, которые мы провели в этом пункте, приводят
к следующему заключению:
Для того чтобы функция w = f(z) реализовала конформное
отображение области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой
области она была 1) однолистной, 2) аналитической и 3) чтобы
всюду в D производная f'(z) была отличной от нуля.
Заметим, что если f'(zg) = 0, то в окрестности точки го тей-
лоровское разложение разности f(z)— да0 имеет вид
f (z) — w0 = сп (z — z0)" + cn+I (z — z0)'!+I + ..., (19)
где n^2 и cn Ф 0 (cm. n. 20). Отсюда следует, что при малых
|z— Zo| = г отображение, осуществляемое функцией f(z), от-
личается на малые высшего порядка от отображения
W — Wq = сп (z — z0)ra. (20)
Но отображение, обратное к (20), имеет в w0 точку ветвле-
ния n-го порядка, т. е. отображение (20) неоднолистно в окре-
стности точки za. Следовательно, и отображение да —/(z) не-
однолистно в окрестности г0. Таким образом, условие 3)
в только что приведенной формулировке можно
отбросить, ибо оно следует из условия 1) (однолистности
отображения).
Отметим также, что, обратно, условие f/(zo)=/=O обеспечи-
вает однолистность отображения в достаточно малой окрест-
ности точки zo — это доказывается так же, как предыдущее
утверждение. Однако если условие f'(z)#=O выполняется в каж-
дой точке области D, то отсюда еще не следует однолистности
отображения во всей этой области даже при условии ее одно-
связности. Например, в полукольце 1 <|z|<2, 0<argz<n
отображение да = z4, очевидно, неоднолистно, но в любой точке
полукольца = 4zd #= 0.
В заключение скажем несколько слов об отображениях, осу-
ществляемых функциями однозначными, но неоднолистными
в области D. В п. 26 мы видели, что каждая такая функция.
w = f(z) реализует взаимно-однозначное отображение обла-
сти D на риманову поверхность R обратной функции г = <р(да).
Пусть точка Р поверхности R, лежащая над точкой дао, отлична
от точки ветвления, и пусть точке Р соответствует некоторая
точка Zo области D. Это означает, что существует ветвь <po(z)
многозначной функции <p(z) такая, что ф(дао)=£1о. В точке z0
112
ГЛ. II КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[28
производная f'(z0) О, ибо в противном случае, как видно из
разложения (19), Р была бы точкой ветвления поверхности Р.
Таким образом, функция f(z) реализует взаимно-однозначное
отображение достаточно малой окрестности точки z0 на окрест-
ность точки Wo- Это отображение будет, очевидно, конформным.
Итак функция w — f(z), однозначная, но не однолистная
в области D, реализует отображение, конформное в достаточно
малой окрестности каждой точки Zo, для которой f'(zo)^=O.
Точки, где f'(z) — O, а также их образы на римановых поверх-
ностях мы будем называть точками ветвления (например, функ-
ция Жуковского w = у (г + -7) имеет точки ветвления в г = ± 1,
w = sinz — в точках z = (2k + 1)у, k — 0, ± 1,... j.
28. Основная задача. Имея произвольную аналитическую
функцию, мы можем рассматривать различные конформные
отображения, ею осуществляемые. Любая область D, в которой
эта функция однолистна, с помощью этой функции конформно
отображается на некоторую область D*. Таким образом, мы
можем получать различные примеры конформных отображений,
геометрически иллюстрирующих данную функцию. Этой зада-
чей мы, собственно говоря, уже занимались в § 3 предыдущей
главы, где все рассмотренные отображения были однолистными
в соответствующих областях и осуществлялись аналитическими
функциями, и были, следовательно, конформными.
Однако для практических целей больший интерес представ-
ляет значительно более трудная обратная задача, так назы-
ваемая
Основная задача теории конформных ото-
бражений. Заданы области D и D*; требуется построить
функцию, осуществляющую конформное отображение одной из
этих областей на другую.
Так как для решения этой задачи не существует достаточно
простого алгоритма, то развитие теории конформных отображе-
ний идет в следующих направлениях:
1) выясняются общие условия существования конформного
отображения и его единственности;
2) определяются различные частные классы областей, ото-
бражения которых можно осуществить при помощи комбинации
элементарных функций;
3) с помощью общих свойств аналитических функций изу-
чаются различные свойства конформных отображений в зави-
симости от вида отображаемых областей;
4) разрабатываются приближенные методы конформных
отображений.
28] Я. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ . ЦЗ
Остановимся на первой из перечисленных проблем. Прежде
всего ясно, что в том общем виде, в каком сформулирована
выше основная задача конформного отображения, эта задача
неразрешима. Так, многосвязную область нельзя взаимно-од-
нозначно и непрерывно отобразить на односвязную. Не оста-
навливаясь на полном доказательстве, мы укажем на причины
невозможности такого отображения. Предположим, что такое
отображение многосвязной области D на односвязную область
D* существует. Возьмем в D замкнутую кривую С, содержа-
щую внутри внешние или граничные точки D (такая кривая
всегда существует). Рассматриваемое отображение переведет С
в замкнутую кривую С*, лежащую в D*. Если внутри области
D* непрерывным образом стягивать кривую С* в какую-либо
точку w0 из £)*, что в силу непрерывности отображения кривая С
должна, оставаясь внутри области D, стягиваться непрерывным
образом в некоторую точку D, что, очевидно, невозможно, так
как внутри контура С лежат точки, не принадлежащие к D.
Далее, нельзя, например, конформно отобразить полную или
открытую плоскость z на ограниченную область D* плоско-
сти w. В самом деле, если бы существовало такое отображение,
то функция w — f(z), его реализующая, была бы аналитиче-
ской во всей открытой плоскости и в то же время ограниченной,
ибо все значения этой функции лежали бы в области £)*, но
тогда по теореме Лиувилля (п. 17) f(z) должна быть постоян-
ной, что невозможно.
Тем не менее, две произвольные односвязные области, гра-
ницы которых состоят более чем из одной точки, оказывается
возможным конформно отобразить друг на друга и притом
бесчисленным множеством способов, а именно, можно добиться
соответствия любых двух фиксированных точек и любых двух
направлений в этих точках. Иными словами, имеет место сле-
дующая, так называемая основная теорема теории
конформных отображений:
Теорема (Б. Риман, 1851 г.). Каковы бы ни были одно-
связные области D и D* (с границами, состоящими более чем
из одной точки) и как бы ни были заданы точки г0 из D и wa
из D* и действительное число а0, существует одно и только
одно конформное отображение
w=f(z) (1)
области D на область D* такое, что
f (z0) = wn, arg f' (z0) = a0. (2)
Доказательство существования конформных отображе-
ний требует привлечения специального аппарата, выходящего за
рамки этой книги, и мы его опускаем (см., например, Шабат
114 ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ |2Т
[3], стр. 199—206). Опираясь лишь на существование, докажем
единственность конформного отображения при заданных усло-
виях нормировки (2).
Рассмотрим сначала частный случай, когда области D и
D*— единичные круги |z| < 1, a Zo = w0 = а0 — 0.
В этом случае мы должны показать, что если w = f(z) осуще-
ствляет конформное отображение круга | z | < 1 на круг | w | < 1,
причем f(0) = 0 и f'(0) > 0, то
f(z) = z.
Доказательство основано на лемме Шварца (п. 15). Так как
при |z| < 1 имеем |^(z)|< 1, ибо w = f(z) отображает круг
|z| < 1 на круг |w|< 1, то по этой лемме
\f(z)\^\z\.
Применяя то же рассуждение к функции, обратной к f(z),
получим:
I Z KI f (z) j.
Следовательно, |f(z) | == |z|, и по той же лемме
f (z) = eiaz.
Так как по условию /у(0)>0, то а = 0 и f(2') = z.
Перейдем к общему случаю. Допустим, что существуют два
конформных отображения D на D*:
w = fi (z), w = f2 (г),
удовлетворяющих условиям
fl (zo) = 4 (О = wv arg f'l (zo) = afg fl (zo) = «о-
Отобразим конформно круг 1 на область D с помощью
функции
z = ф (□; ф (0) = z0, ф' (0) > 0,
а область D* на круг |<в|< 1 с помощью функции
<в==Ф(йу); ф(шо) = О, arg ф'(w0) = — а0.
Очевидно, функции
« = F! (0 = ф-tf, (ф (£ )], ® (□ = Ф [f2 (ф ©)]
осуществляют конформные отображения круга |£|<1 на круг
j to | < 1 с нормировкой
Л(0)==^(0) = 0, argFi(0) = argFH0) = 0.
По доказанному выше, Fi(^)=F2(?)> но тогда и ft(z) f2(z)>
и единственность отображения доказана.
29] § I. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ |15
В заключение отметим обобщение теоремы Лиувилля (и. 17),
которое является непосредственным следствием теоремы Ри-
мана.
Если функция w — f(z) аналитична в открытой плоскости
и не принимает значений, лежащих на некоторой дуге у, то она
постоянна.
В самом деле, пусть <в — <p(w) будет функция, реализую-
щая конформное отображение внешности кривой у на внутрен-
ность единичного круга (она существует по теореме Римана и,
конечно, не постоянна). Рассмотрим сложную функцию
ю = <p[f(z)] = g(z); она аналитична в открытой плоскости и
все ее значения лежат внутри единичного круга, следовательно,
по теореме Лиувилля (п. 17) эта функция постоянна. Но если
g(z) постоянна, то постоянна и функция f(z), что и требуется.
В частности, например, f(z) постоянна, если она аналитична
в открытой плоскости и все ее значения лежат в некоторой
полуплоскости (тогда она не принимает значений, лежащих на
любой дуге в дополнительной полуплоскости).
29. Соответствие границ. Рассмотрим основные факты, от-
носящиеся к соответствию границ, которое устанавливается
при конформном отображении областей. Для удобства введем
на границе С области D действительный параметр $ — длину
дуги, отсчитываемую от некоторой фиксированной точки кри-
вой С, так что на С будем иметь £ = £;($). Если какая-либо
функция f(z) непрерывна в замкнутой области D, то мы поло-
жим на границе С этой области
h:)=h?(s)}=<p(s)
и будем называть cp(s) граничной функцией для функции f(z).
Приведем без доказательства теорему о соответствии
границ (см. Г о л у з и н (6]).
Теорема 1. Пусть функция w — f(z) осуществляет кон-
формное отображение областей D и D*. Тогда
1) если граница D* не имеет бесконечных ветвей, то f(z)
непрерывна на границе области D и граничная функция w =
— f(£) = <p(s) осуществляет непрерывное и взаимно однознач-
ное соответствие границ областей D и D*;
2) если границы D и D* не содержат бесконечных ветвей и
обладают в каждой точке непрерывной (следовательно, и огра-
ниченной) кривизной, то граничная функция <p(s) непрерывно
дифференцируема.
При этом всюду предполагается, что кратные точки границы
считаются столько раз, какова их кратность; так, на рис. 39
точки двух берегов разреза cd и de считаются различными (и
этим берегам соответствуют различные отрезки c*d* и d*e*),
точки Ь* и f*— также (им тоже соответствуют различные точки
116
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(29
ствуют бесконечно удаленной точке
Ь и f). Если отбросить в первой части теоремы условие об от-
сутствии бесконечных ветвей границы £)*, то функция <p(s)
останется непрерывной во всех точках границы D, которые со-
ответствуют конечным точкам. В точках же, которые соответ-
границы D* (их может
быть несколько, если эта
точка кратная), непре-
рывна функция 1/ф(э).
Приведем еще, также
без доказательства, не-
сколько более точных ре-
зультатов, относящихся к
существованию производ-
ной конформного отобра-
жения на границе обла-
сти. Первый из них был
получен К- К а р а т е о-
дори в 1929 г.:
- О реализует конформное
отображение верхней полуплоскости на область D, граница ко-
торой С в окрестности точки w — 0 представляет собой непре-
рывную кривую, причем существуют окружности, проходящие
через w — 0, одна из которых лежит целиком в D, а другая —
целиком вне D, то при z—>0 по точкам верхней полуплоскости
существует
Иш-Ц^-= limf'(z) = у, 0<| у|< °о.
Рис. 39.
1) Если функция w = f(z), НО)
Этот результат в 1931 г. был усилен М. А. Лаврентьевым
и П. А. Бессоновым:
2) Если в окрестности точки w = 0 граница С спрямляема *),
лежит между кривыми v = ± | и | ,0<а<1 и lim —- = 1,
s-»0 $
где u(s) — абсцисса точки кривой С, расстояние которой вдоль
С до точки w = 0 равно s, то существует
1 • f (г) А
lim -l-l-l = y> 0 < y < °°-
z-»0 z
Im z^O
Для практических целей достаточен результат О. Кел ло-
га. Чтобы его сформулировать, условимся называть некоторую
дугу дугой Ляпунова, если она спрямляема, имеет в каждой
точке касательную и угол й наклона этой касательной с осью к
) То есть каждый ее отрезок имеет определенную длину.
29) § 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ Ц7
как функция длины дуги s удовлетворяет условию Гёльдера:
I Ш)-«(si) I < К\s2-si |a,
где К— некоторая постоянная и 0 < a 1. Имеет место
Теорема. Если функция w = f(z) реализует конформное
отображение области D, граница которой содержит дугу Ля-
пунова с, на область D*, причем с преобразуется также в дугу
Ляпунова с*, то на с производная f'(z) существует, не обра-
щается в 0 и удовлетворяет условию Гёльдера.
Доказательство теоремы Келлога читатель может найти
в книге Г. М. Голузина [6], стр. 468.
Заметим еще, что условия нормировки (2) в основной тео-
реме предыдущего пункта, содержащие три действительных па-
раметра х0, уо(хо + iyQ — z0) и ссо, можно заменить условием
соответствия трех пар граничных точек областей D и D*:
f(zk) = wk (6=1, 2,3), (1)
взятых произвольно, но с соблюдением порядка следования при
обходе границ*). Это утверждение мы докажем в п. 35.
Для практики важен следующий в известном смысле обрат-
ный теореме 1 принцип соответствия границ:
Теорема 2. Пусть даны две односвязные области D и D*
с границами С и С*, причем область D* ограничена. Если функ-
ция w — f(z)
1) аналитична в D, непрерывна в D и
2) осуществляет взаимно-однозначное отображение С на С*
с сохранением направления обхода,
то она осуществляет и (однолистное) конформное отображе-
ние области D на D*.
Для доказательства воспользуемся принципом аргумента из
п. 23. Для любого комплексного значения wq, которое f(z) не
принимает на границе С области D, число ш0-точек функции
f(z) внутри D равно
N = 17Г Лс агё V <г) ~ “’о).
где Acarg{f(z)~дао} есть полное изменение arg{f(z) — w0},
когда z обходит контур С (см. формулу (13) п. 23; число по-
люсов f(z) в области D равно 0, ибо f(z) непрерывна).
В силу взаимной однозначности и непрерывности соответ-
ствия между точками контуров С и С* имеем:
Ac arg {f (z) — оуо} = Ас» arg (w — w0).
*) Условия (1) так же, как и условия (2) предыдущего пункта, содержат
три действительных параметра, ибо положение точки на границе области
определяется одним параметром.
{18 гл. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (29
Но, очевидно, Дс* arg (w — w0) равно 2л для всех точек w0, ле-
жащих внутри С*, и равно 0 для всех точек, лежащих вне С*.
Следовательно, для всех точек wp, которые лежат внутри С*.
N(wo) = 1, а для всех точек, лежащих вне С*, АД Wo) = 0. Та-
ким образом, функция w = f(z) принимает в D один и только
один раз любое значение из D* и не принимает никаких других
значений, т. е. осуществляет однолистное отображение D на D*.
Теорема доказана.
В доказательстве нигде не используется ограниченность об-
ласти D. Однако если область D* не ограничена, т. е. содержит
внутри себя*) или на границе бесконечно удаленную точку,
то принцип нуждается в уточнении. Прежде всего, при его фор-
мулировке мы должны отказаться от требования непрерывно-
сти /(г) в D, ибо /(г) перестает быть непрерывной в той точке,
которая соответствует w = оо. Но тогда без дополнительных
ограничений этот принцип перестает быть справедливым. На-
пример, функция w = г3 осуществляет непрерывное (кроме
точки г = оо) и взаимно-однозначное соответствие точек оси х
и оси и с сохранением направления обхода и, однако, не
является однолистной в верхней полуплоскости. Действительно,
при этом отображении верхняя полуплоскость, т. е. угол рас-
твора л, переходит в угол раствора Зп, который дважды пере-
крывает верхнюю полуплоскость (и еще один раз — нижнюю).
Случай, когда область D* неограниченная, важен для
практики; мы сейчас подробно его рассмотрим. Имеют место
две теоремы (мы сохраняем принятые выше обозначения и
условие 2), наложенное на функцию Дг)).
Теорема 3. Пусть область D* содержит бесконечно уда-
ленную точку внутри, тогда принцип соответствия границ со-
храняет силу, если заменить условие 1) условием
Г) Дг) непрерывна в D и аналитична в D всюду, кроме не-
которой внутренней точки z0, в которой она имеет полюс первого
порядка.
Для доказательства мы снова воспользуемся принципом ар-
гумента. Согласно этому принципу для всякой точки Wo, не ле-
жащей на С*, число Wo-точек функции f(z) удовлетворяет соот-
ношению
АГ (w0) - 1 = ^- Дс arg (z) - w0} =~ ДС’ arg (w - w0)
(внутри контура С* имеется в точности один полюс первого
порядка).
*) Если область D содержит внутри точку г = оо, то следует определить
понятие конформности в этой точке. Такое определение можно получить, пе-
реходя с помощью стереографической проекции на сферу комплексных чисел.
См. также п. 31, где этот вопрос подробно разбирается.
29]
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ
119
Так как область D* содержит бесконечно удаленную точку,
то С* обходится по часовой стрелке, т. е. Дс» arg (w — w0) равно
—2л, если w0 лежит внутри С*, и 0, если w0 лежит вне С*. Та-
ким образом, А/(шо)= 1 для всех внутренних точек области D*
и /V(®o)=O для всех внешних точек, что и требовалось до-
казать.
Следующая теорема относится к случаю областей, содер-
жащих бесконечно удаленную точку на границе. Как показы-
вает приведенный выше пример функции w = г3, для сохране-
ния принципа соответствия границ в этом случае требуются
дополнительные ограничения.
Предположим сначала, что область D* имеет лишь одну та-
кую точку, т. е. что w = со является простой точкой границы
С*; предположим еще,
что ветви С*, идущие в
бесконечность, обладают
асимптотами*). Через 0л
(О < 0 < 2) обозначим
угол между этими асим-
птотами, измеряемый, как
показано на рис. 40 (на
этом рисунке отдельно
изображены случаи 0=0
и 0 = 2; заштриховано,
как всегда, дополнение к
области). Пусть точке
w=<x> соответствует точ-
ка контура С; мы обоз
жду касательными к контуру С в этой точке. Предположим, да-
лее, что в окрестности £0 функция f(z) является бесконечно
большой порядка ц, т. е. существует постоянная Л#=0, =/=оо
такая, что при г, стремящемся к точке £о, по точкам области D
существует предел
Ит {/= (г) (г0 — £о)и) = (ц > 0). (2)
В рассматриваемом случае принцип соответствия границ не-
посредственно непрйложим, ибо /(г) обращается в бесконеч-
ность на контуре С. Оказывается, что для сохранения принципа
нужно ввести ограничение на порядок ц роста отображающей
функции. Именно, в принятых выше условиях и обозначениях
имеет место
Теорема 4. Принцип соответствия границ сохраняет силу,
если заменить условие 1) условием
*) Это условие является для бесконечно удаленной точки аналогом усло-
вия кусочной гладкости.
120
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(29
1") Функция f(z) аналитична в D и непрерывна в В всюду,
кроме точки £о. а в принадлежащей D части окрестности этой
точки является бесконечно большой порядка ц, причем
Для доказательства вырежем из области D круг |г — £0| < г малого
радиуса с центром в точке go; Дугу окружности этого круга, принадлежа-
щую D, мы обозначим через уг, а часть контура С, оставшуюся после удале-
ния круга — через Сг; через С обозначим контур Сг + уг. К области D, ограни-
ченной кривой С, принцип соответствия границ уже применим.
Пусть и>о — произвольная точка области £>*. Так как конечно,
a f(z) -> оо при г-*£о, то радиус круга г можно выбрать столь малым, чтобы
в выброшенной части области D не было ни одной Ио-точки функции /(г).
Тогда N(wo)—число и>0-точек функции f(z) в области D — будет равно
числу таких точек в области D и по принципу аргумента получаем:
^Ю = ^-\~агВ{Нг)-Ио} = ^_АСг + ХДуг. (4)
.Для подсчета первого слагаемого заметим, что когда точка г пробегает Сг,
соответствующая точка w пробегает в положительном направлении всю кри-
вую С*, за исключением некоторой ее дуги, лежащей в малой окрестности
точки w = оо. Поэтому
АС/. = дс* arg — шо) == (2 — 0) л + О (г)> (5)
где С, — образ дуги Сг, а О (г) обозначает величину, стремящуюся к нулю
вместе с г (в дальнейшем, когда потребуется, будем употреблять этот символ,
причем он может обозначать как действительные, так и комплексные вели-
чины) .
Для подсчета второго слагаемого воспользуемся условием (2), представив
f(z) в окрестности точки g0 в виде
Тогда можно утверждать, что
Атг = \ arS А + ° 2 .=Луг arg ^А + °(r>i ~ аг« (г~?о)>
ибо величину и0(г — £0)ц, бесконечно малую при г~*0, можно включить
в символ О (г). Так как А =/= 0 и постоянно, то здесь первое слагаемое стре-
мится к 0 при г->0; далее, из рис. 40 ясно, что Лу arg (z— So) == — ап+
+ О (г), следовательно,
Ау^ = ацл + О (г). (6)
Подставив выражения (5) и (6) в формулу (4), найдем N (ау0) = 1 -|-
4- -^2—- + О (г), откуда при г-»-0 следует:
W(t4)o)==l Д|_^_=1Р. (7)
29]
9 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
12Г
Согласно принятому ограничению (3) на рост f(z) имеем ар — Д<2 и из
формулы (7) получаем N(wQ) < 2; с другой стороны, N (we) = у (2 — (J +
-}- ар) > 0, так как у нас ар > 0 и Р 2. Но в открытом интервале (0, 2)
лежит единственное целое число 1, следовательно, JV(Wo) = ].
Мы доказали, что любое значение из области D* функция f(z) прини-
мает в D один и только одни раз. Если точка Wo лежит вне области D*, то
наши рассуждения полностью сохраняются, если в формулу (5) вместо-
(2 — Р)л подставить — рл, и тогда вместо формулы (7) мы получим:
= (8)
Поэтому в этом случае —1 <АЦи>о)< 1 и, следовательно, JV(ipo)=O, т. е.
функция f(z) в области D не принимает ни одного значения, не принадлежа-
щего D*. Таким образом, функция w ~ f(z) реализует однолистное отобра-
жение D на D*, и теорема доказана.
Заметим, что при условиях доказанной теоремы имеем ц =
= а/р (это видно из формулы (7) или (8)), т. е. в окрестности
точки £о
Z(2)=774j»,1 + ow1' (9)
Пусть, в частности, а — 0 = 1, т. е. £0 и w = оо не являются
угловыми точками. Тогда неравенство (3) примет вид у < 3.
Таким образом, функция f(z) должна быть в окрестности точки
£о бесконечно большой порядка ниже третьего. Пример с функ-
цией w — г3, который мы приводили выше, показывает, что в
рассматриваемом случае теорема точна, т. е. бесконечность по-
рядка 3 уже не обеспечивает однолистности отображения.
Отметим, наконец, такой факт.
Если w =.оо является кратной точкой контура С*, то для
сохранения справедливости принципа соответствия границ до-
статочно потребовать, чтобы условие (3) выполнялось хотя бы
для одной *) точки £0 контура С, соответствующей точке w = eo.
Действительно, исключим окрестности всех точек £А, соот-
ветствующих точке w — оо, кружками |г — gA|<rA [k ~ 0,
1, ..., п—1, где п — кратность точки w = ca), а оставшуюся
область обозначим через D. Для любого значения w0, не ле-
жащего на С* (и, следовательно, конечного), выбираем rk столь
малыми, что число о»о-точек функции f(z) в областях D и D
одинаково. Устремим теперь г0 к нулю, оставляя г, г2>
фиксированными. Здесь полностью применимо доказательство
предыдущей теоремы, следовательно, N(wo) — 1 для всех точек
из D* и У(шо) = О Для w0, не принадлежащих к D*, а это и
требуется доказать.
*) Таких точек столько, какова кратность граничной точки w = оо для
области D*.
122
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ГЗО
В следующем пункте мы приведем ряд примеров примене-
ния принципа соответствия границ.
30. Примеры. I) Функция
4et<f I
«а границе единичного круга принимает значения w ==---------йпйГ =--------•
(14-е ) cos2 ±
Следовательно, она устанавливает взаимно однозначное соответствие между
единичной окружностью и точками луча и > 1, v — 0. Это соответствие не-
прерывно всюду, кроме точки £о = —1, в окрестности которой
—4
W~ (1 4-z)2 •
Здесь применима теорема 4 предыдущего пункта, ибо а = 1, (3 = 2 и
условие (3) выполнено. Следовательно, функция (1) реализует однолистное
Рис. 41.
конформное отображение круга |z| < 1 на область, полученную из плоско-
сти w удалением луча и > 1, v = 0. На рис. 41 изображены сетки кривых,
соответствующие друг другу при рассматриваемом отображении; сетка кривых
в плоскости w ортогональна, ибо она является конформным образом ортого-
нальной сетки плоскости г (образованной окружностями | г| = const и их
радиусами).
2) Рассмотрим более общий случай — функция
л
w = 1/ 4 -------
(гп+ 1) /rt
(2)
при п = 1 совпадает с функцией предыдущего примера. На единичной
п е<ф 1
окружности она принимает значения w = V4—---------
+О2'"
Отметим на единичной окружности вершины правильного «-угольника:
30]
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
123-
Hfe-n— i(2k-V> —
Ak—e "и середины образованных ими дуг: Bk = е п (fe=l,.
2, и) (рис. 42). Величина а — cos-^— убывает от 1 до 0 на дуге HjB,
(условимся считать на этой дуге arg<o = O); на дуге В]Л2 она изменяется-
от 0 до —1 (на этой дуге условимся считать arg о = — л); на дуге А2В2
от —1 до 0 (по-прежнему считаем arg<o = — л); на дуге В2А3 от 0 до 1
(считаем argw =—2л) и т. д. (рис. 42,6). В соответствии с этим на
а) 6)
Рис. 42.
участке АВ] модуль соответствующей точки w растет от 1 до оо, а аргу-
мент равен нулю; на участке Bjyl2 модуль w убывает от оо до 1, а аргумент
ранен 2л/п; на участке А2В2 модуль w растет от 1 до оо (по-прежнему
2л
arg «о = 2л/и); на В2А3 модуль w убывает от оо до I, argn> = 2--^-,
и г. д. Таким образом, точка w пробегает последовательно п лучей:
9тт
arg <£> = (&— 1)—| w | > 1 (k = 1, 2, ..., n), (3}
каждый луч два раза в противоположных направлениях (рис.
окружности |г| = 1 при нашем отображении имеет w = оо
42, в),
своей
.....»).
причем
Образ
п-кратной точкой, которой соответствуют точки окружности В а (А = I, 2,..., п).
Так как каждая точка Вй является простым нулем для zn + 1, то в ее окрест-
ности w где Ck — некоторая постоянная. По принципу со-
(z — Bk) 1 ’
ответствия границ (теорема 4, в которой сейчас ос* = 1, Р* = 2/п) функ-
ция (2) реализует однолистное конформное отображение круга |z| < 1 на
плоскость wen исключенными лучами (3).
3) Совершая дополнительное преобразование w = l/wj плоскости w, по-
лучим отображение
1 (z"+l)2M
W в------L----'--
“ 2
/4
(4)
124
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[30
единичного круга на внешность «звезды», состоящей из п лучей
| w | < 1, arg ® = (k — 1)- (k =1, 2, ..«) (5)
(рис. 43, вместо wt мы снова пишем г»). При п = 2 получаем w = -% + —
т. е. отображение Жуковского (см. п. 7).
Рис. 43. Рис. 44.
4) Рассмотрим теперь единичный круг |z| < 1 с выброшенными отрез-
ками длины а:
2лт
1-а<|г|<1, arg г = (£ — 1)(k=l, 2..........п) (6)
(рис. 44, а). Тем же методом, что й выше, легко проверить, что функция
... 1 (гп + 1)2^”
(г) = ----------------
К4
предыдущего примера отображает эту область на внешность «звезды» с лу-
чами длины
Г<
которая подобна звезде (5) (рис. 44,6). Преобразованием подобия г2 = jS-L'a
мы сделаем лучи звезды равными единице, и тогда функция
= g (г2) = [г2/2 + V z% — 1 ]2/", (8)
обратная к функции (4), преобразует внешность этой звезды на внутренность
единичного круга. Таким образом, функция
w = (г)) f9)
осуществляет конформное отображение единичного круга с выброшенными
п отрезками (6) па внутренность единичного круга.
30]
§ t. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ПРИМЕРЫ
125
Формула (9) в развернутом виде довольно громоздка, поэтому предста-
вляет интерес получение приближенной формулы, удобной для расчетов.
Будем считать величину а малой; тогда из (7), пренебрегая малыми порядка
выше а2, находим по формуле Тейлора
1 Г„ . п (п — 1) ... . , па2
--- 2 — па-\---1—----’-а2 (1 + а + а2) — 1 « .
п,_L £ J 3
JZ4
Аналогично находим, пренебрегая малыми порядка выше а,
1
1 + а
(1 — а)
Zn + 1 \2/«
2z^2 /
и по формуле (8)
2/п ,
~ z 11 + а
/. иа\ zn+ 1
\ 2 I 2гп'2
1 +гв\
1 -znl
Подставляя найденное выше значение
а, получаем окончательно:
па2
1 +гп \
1 -zn)'
(Ю)
Эта формула пригодна для точек, не слишком близких к точкам
Ak — в . При а = 0 имеем w ss z, что и должно быть.
5) Рассмотрим функцию
ш = г + ег. (11)
Полагая z = х + iy; w = и -ф iv, имеем:
и = х -ф ех cos у,
v = у + ех sin у,
откуда следует, что на прямых у — ±л, ограничивающих полосу —л<р<п,
имеют место соотношения и — х — е\ v = ±л, т. е. что эти прямые преоб-
разуются в дважды проходимые лучи —оо < и < —1, v = ±л (функция
и = х — ех достигает максимума и = —1 при х = 0). Принцип соответствия
границ неприменим, но непосредственный анализ функции показывает, что она
осуществляет конформное отображение полосы —я < у < л на область, пег-
лучаемую из плоскости w исключением двух лучей —оо < и < —1, v — ±п.
На рис. 45 изображено соответствие линий при этом отображении (приве-
дены верхние половины областей, отображение нижних половин симметрично).
6) Показательная функция
w — ег (12)
отображает параллельные наклонные прямые у = k(x— Я]), у = k(x— а2)
(k #= 0, #=оо) в кривые w — ел • е (v=l, 2). Вводя в плоскости w
полярные координаты, w = ре<9, получим р = е*, 0 = k(x — av), или
P = Pve0/\ (13)
где pv = e v (v=l. 2). Это — две подобные логарифмические спирали. Если
k(a2— щ) < 2л, то длина вертикального отрезка между прямыми в плоско-
сти z меньше 2я и отображение однолистно в полосе между ними (см. п. 8).
Меняя а от at до а2, убедимся в том, что показательная функция осуществляет
126
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
130
отображение этой полосы на полосу, заключенную между логарифмическими
спиралями (рис. 46). Если fe(a2 — ai) = 2л, то обе спирали совпадают и мы
получаем отображение на плоскость с выброшенной спиралью.
| В(л1)
При — С|') > 2л отображение неоднолистно.
7) Функция
ш = 1пт^-у (14)
ша границе единичного круга принимает значения
W = In
1
1-е(ф
In
1
2 sin-^-
-I- » 2 >
30]
§ 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. ПРИМЕРЫ
127
положив ш = и + if и исключив параметр ср, получим
ничной окружности:
уравнение образа еди-
и = 1п .
2 cos v
Это — цепная линия равного сопротивления (рис. 47).
(15)
По принципу соответ-
Рис. 46.
Рис. 47.
Рис. 48.
ствия границ получим, что функция (14) осуществляет конформное отобра-
жение единичного круга на внутренность этой кривой.
8) Функция
W — Z2, (16)
или в полярных координатах р = г2, 6 = 2ф, переводит окружность г = cos <р
в кардиоиду
p = cos2y = y (1 ч-созв) (17)
(рис. 48). По принципу соответствия границ функция (16) осуществляет
конформное отображение внутренности этой окружности на внутренность
кардиоиды.
9) Функция
w = Кг,
(18)
128
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[31
Г- „ <р ЯЛ
г, 0 = —, где <p = argz меняется от----2* до ~2"’ пеРев°Дит
ту же окружность в ветвь лемнискаты р = 1^005 26 (рис. 49). По принципу
Рис. 49.
соответствия границ функция (18) осуществляет отображение внутренности
этой окружности на внутренность правой ветви лемнискаты.
§ 2. Простейшие конформные отображения
Этот параграф посвящен простейшим методам решения
основной задачи теории конформных отображений — задачи
отыскания функции, осуществляющей конформное отображение
одной заданной области на другую.-Здесь будет приведено до-
статочное число примеров, на которых читатель ознакомится
с тем, как можно решать эту задачу, подбирая надлежащие
комбинации элементарных функций (если это удается сделать).
Такой подбор предполагает свободное владение геометрией эле-
ментарных функций, поэтому перед чтением пп. 33 и 34 мы ре-
комендуем еще раз просмотреть § 3 гл. I, где приводятся ото-
бражения, которые могут осуществлять эти функции. В нашем
изложении большое место уделяется также методам получения
приближенных формул конформных отображений, особенно
важным для практики.
При работе с простейшими конформными отображениями
весьма часто приходится пользоваться дробно-линейными функ-
циями,— к изучению их геометрических свойств мы сейчас и
приступаем. Отметим, что отображения, .осуществляемые дроб-
но-линейными функциями, весьма тесно связаны с геометрией
Н. И. Лобачевского; однако на выяснении этой связи мы
не можем здесь останавливаться *).
31. Дробно-линейные отображения. Так мы будем называть
отображения, осуществляемые дробно-линейными функциями
az+b ,.,
W —----г—г , (1)
cz d ' '
*) См. Маркушевич [2], т. 1, стр. 145—155.
31] S 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 129
где а, Ь, с и d — комплексные постоянные, причем ad — bc'=£
7^0*). Функция (1) определена на полной плоскости z (ее
значение в точке z — —d/c считается равным оо, а в точке
z = oo — равным lim w — а/с).
Z-»00
Так как производная
dw ad — be
dz (cz + d)2 ' '
существует всюду при z^=—d/c, то функция (1) аналитична
всюду на полной плоскости г, кроме точки z = —d/c, в которой
она имеет полюс первого порядка. Уравнение (1) однозначно
разрешимо относительно г:
причем функция (3) также определена на полной плоскости w
(ее значение в точке w = а/с считается равным оо, а в точке
w — оо —равным —d/c). Поэтому дробно-линейная функция
осуществляет однолистное отображение полной плоскости z на
полную плоскость w.
Легко видеть, что дробно-линейная функция — единственная
функция, обладающая таким свойством. Именно, справедлива
Теорема 1. Если функция f(z) всюду однолистна и ана-
литична всюду в полной плоскости г, кроме точки С, то она
дробно-линейна.
В самом деле, С не может быть существенно особой точкой
функции f(z), ибо тогда по теореме Сохоцкого (п. 22) /(z)
была бы заведомо неоднолистной. По теореме Лиувилля
(в форме п. 24) С не может быть устранимой особой точкой.
Следовательно, точка С есть полюс, причем первого порядка,
ибо в окрестности полюса высшего порядка функция опять-таки
неоднолистна. Если С 7^ оо, то главная часть функции f(z) в
„ В
окрестности точки С имеет вид г __ с вычитая эту часть из
f (z), мы получим функцию <р (z) = f (z) — г ~ с » не име1°ЩУю
особенностей в полной плоскости (единственной особой точкой
для <p(z) могла бы служить точка С, но она является устрани-
мой особой точкой, ибо мы вычли из <p(z) главную часть). Сле-
довательно, (f)z) = 4 — постоянна, и функция
/(2)=^ + ^
-*) При ad — bc — O имеем , и функция (1) сводится к по-
стоянной.
5 М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
130 ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (31
дробно-линейна. Если С = оо, то главная часть функции f(z)
имеет вид Az, и точно таким же образом доказывается, что
f(z) = AzA-B, т. е. является целой линейной функцией. Тео-
рема доказана.
Формула (3) показывает, что функция, обратная к дробно-
линейной, снова дробно-линейна. Легко показать, что сложная
функция, составленная из дробно-линейных функций, также яв-
ляется дробно-линейной.
Выясним геометрические свойства дробно-линейной функции.
Если с — 0, то функция (1) приводится к целой линейной
функции, геометрические свойства которой уже рассмотрены в
п. 4. Для изучения геометрических свойств функции (1) при
с Ф 0 мы представим ее в виде
® = + —С'. (4)
где А, В и С — некоторые постояпнные *), и будем рассматри-
вать это отображение как сложное, составленное из отображе-
ний:
(a)zj=z —С; (б) г2 = ^~; (в) w = А + Bz2. (5)
Отображение (а) сводится к сдвигу, (в) — к сдвигу и повороту
с растяжением. Остается изучить отображение (б), которое, из-
менив обозначения, мы запишем в виде
® = 7 • (6)
В полярных координатах z = re'^, w = peie отображение (6)
перепишется в виде
р = ~7, 0 = — ф. (7)
Удобно рассматривать отображение (7) как составленное из
двух геометрически более наглядных отображений:
(a) Pi=y, 91 = ф; (₽) P = Pi, 0 = — 91.
Отображение (Р) есть преобразование симметрии относитель-
но действительной оси. Отображение (а) — инверсия, преобразо-
вание симметрии относительно единичной окружности (см. п. 2).
Будем вообще называть точки z и z* симметричными отно-
сительно окружности Со: | z — z01 = Ro, если
1) они лежат на одном луче, проходящем через Zq;
2) | z — zo | • | z — z01 = Ro.
*) Чтобы представить функцию (1) в виде (4), достаточно поделить в вы-
ражении (1) числитель на знаменатель по правилам деления многочленов.
31] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ конформные ОТОБРАЖЕНИЯ 131
(Способ построения симметричных точек, изложенный в п. 2,
остается справедливым и в общем случае.)
Преобразование, переводящее каждую точку г плоскости в
точку г*, симметричную относительно окружности Со, называет-
ся симметрией относительно этой
окружности или инверсией. ____ \
Докажем основное свойство I
симметричных точек: точки z и / / ХД /
z* тогда и только тогда являют- I /
ся симметричными относительно
окружности Со, когда они явля- 1 \ \
ются вершинами пучка окружно- / \
стей, ортогональных к окружно- I J I
ст и Со. \ 7«/ ух/ /
В самом деле, пусть точки z \ с \7~ /
и z* симметричны относительно ------
Со и Г — производная окруж- '
ность, проходящая через z и z* Рис. 50.
(рис. 50). Проведем через точку
z0 касательную к окружности Г. По известной теореме квадрат
длины этой касательной \z' — z0\2 равен произведению секущей
|z*— z0| на ее внешнюю часть |z— г0|, т. е.
| Z' — z0 р = 1 z — z01 • I z* — z01-
Так как z и z* симметричны относительно Co, то это произ-
ведение равно Ro и, следовательно, \z'— zo| = /?o Таким об-
разом, касательная к Г является радиусом окружности Со, т. е.
Г ортогональна к Со.
Обратно, если z и z* являются вершинами пучка окружно-
стей {Г}, ортогональных к окружности Со, то они лежат на од-
ном луче, проходящем через Zo, ибо этот луч принадлежит пуч-
ку*). Далее, касательная zoz' к любой окружности Г является
радиусом окружности Со и по той же теореме | z — z01 • | г* —
— го|==7?о, т. е. z и z симметричны относительно Со. Свойство
доказано полностью.
Из этого свойства, между прочим, вытекает, что в случае,
когда окружность Со вырождается в прямую линию, симметрия
относительно окружности превращается в обычную симметрию.
Инверсия относительно произвольной окружности Со яв-
ляется конформным отображением второго рода (меняющим
ориентацию). В самом деле, пусть z0 и Ro— центр и радиус
*) В полной плоскости мы рассматриваем прямые как частный случай
окружностей — это окружности, проходящие через бесконечно удаленную
точку.
132
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[31
окружности Со, тогда точку z*, симметричную с точкой z отно-
сительно Со, можно записать формулой
*
z =ZO
*0
Z — Zo
(8)
ибо отсюда следует, что | z* — z011 z — z01 = Ro и arg (г* — z0) =
= arg (г — z0). Следовательно, инверсия отличается от кон-
формного отображения
лишь дополнительной симметрией относительно действительной
оси плоскости w, т. е. является конформным отображением вто-
рого рода.
Покажем, далее, что инверсия преобразует любую окруж-
ность С полной плоскости снова в окружность (круговое свой-
ство) .
В самом деле, пусть сначала окружность С проходит через
центр Zo окружности Со, относительно которой производится ин-
Рис. 51.
версия (рис. 51). Построим прямую С*,
перпендикулярную к линии центров ок-
р2
ружностеи Со и С, на расстоянии от
Zo (Ro и R — радиусы Со и С). Из подобия
треугольников z0^*z* и zQzt, (рис. 51) име-
I « — г0 I |£~ Z0| । ,
еМ' |£‘-го| ~ |г*-го| ’ или12 Zol
»2
• I z* — z01 = | £ — z01| £* — z01 = 2/? •
= Ro- Следовательно, точки z и z* сим-
метричны относительно Со. Мы дока-
зали, что точка, симметричная к произвольной точке z окруж-
ности С, лежит на прямой С*, т. е. что С* является инверсией
окружности С. Если, в частности, С есть прямая, проходящая
через го, то инверсия этой прямой, очевидно, совпадает с ней
самой.
Пусть теперь окружность (или прямая) С не проходит через
Zo- Построим точку Zi, симметричную с z0 относительно С, и
рассмотрим пучок окружностей {Г} с вершинами в z0 и Z\. Так
как все окружности Г проходят через z0, то по доказанному
выше при инверсии относительно Со пучок {Г} перейдет в пу-
чок прямых {Г*}. Вершина этого пучка будет, очевидно, лежать
в точке z(, симметричной точке Zj относительно Со. По свой-
ству симметричных точек все окружности {Г} ортогональны к С,
31]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
133
и так как инверсия сохраняет углы (мы доказали выше, что
она является конформным отображением второго рода), то об-
раз С* окружности С будет ортогонален пучку прямых {Г*}. От-
сюда следует, что С* является окружностью. Свойство дока-
зано.
Точно так же доказывается еще одно важное свойство ин-
версии: инверсия преобразует любую пару точек, z{ и х2, сим-
метричных относительно произвольной окружности С, в пару
точек z* и z*2, симметричных относительно окружности С* —
образа окружности С (свойство сохранения симметричных
точек).
В самом деле, построим пучок окружностей {Г} с вершинами
в Zi и х2. При инверсии он перейдет в пучок окружностей {Г*}
с вершинами в х* и х2. Так как окружности Г ортогональны к
С, то и окружности Г* ортогональны к С*. Отсюда следует, что
х* и х2 симметричны относительно С*. Свойство доказано.
Так как отображение w — \/z составляется из двух симмет-
рий (симметрии (а) относительно единичной окружности и сим-
метрии (Р) относительно прямой), то оно обладает и круговым
свойством и свойством сохранения симметричных точек. Так
как остальные преобра-
зования, составляющие
произвольное дробно-ли-
нейное отображение (пре-
образования (а) и (в) из
формулы (5), т. е. сдвиг
и поворот с растяжени-
ем), очевидно, также
обладают этими свой-
ствами, то эти свойства
остаются справедливыми
и для произвольного
дробно-линейного ото-
бражения.
Докажем, что произвольное дробно-линейное отображение
(1) сохраняет углы в полной плоскости х.
Это очевидно для всех точек х, кроме z — —d/c и z = оо,
ибо для таких точек существует dw)dz^=Q (см. (2)). Чтобы го-
ворить о сохранении углов в точках z — —die и z — оо, нужно
ввести понятие угла в бесконечно удаленной точке, причем
можно, очевидно, ограничиться определением угла между двумя
прямыми. Под углом в бесконечно удаленной точке между
двумя прямыми понимают взятый с противоположным знаком
угол во второй (конечной) точке пересечения этих прямых (на
рис. 52, а угол в бесконечности между прямыми I и II отрица-
телен). Ясно, что отображения (а) и (в) сохраняют углы всюду.
134
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(3!
Остается показать, что отображение (б) или, что тоже са-
мое, отображение w = \/z сохраняет углы в точках z ~ 0, г —
== оо. Но это непосредственно видно из рис. 52 и принятого
нами определения (при отображении w = 1/г прямая argz = <р
переходит в прямую arg® = —ф).
Основные свойства дробно-линейного отображения, доказан-
ные в этом пункте, мы формулируем в виде следующей тео-
ремы:
Теорема 2. Произвольная дробно-линейная функция
осуществляет однолистное конформное отображение полной z-
плоскости на полную w-плоскость. Это отображение
1) преобразует любую окружность полной z-плоскости в
окружность полной w-плоскости (круговое свойство);
2) любую пару точек, симметричных относительно окружно-
сти С, преобразует в пару точек, симметричных относительно
образа окружности С (свойство сохранения симметричных то-
чек).
В заключение приведем без вывода формулы, по которым
можно вычислять образы прямых и окружностей при произ-
вольном дробно-линейном отображении (1):
а) Прямым Re(Xz) = а, не проходящим через точку z = —d/c
[а =#= — Re (х yj), соответствуют окружности | w — w01 = р, где
2аас + adX + be}.. I a (ad — be) Л
----------!---!—=^-, p = Wn = ----—• . (9)
0 2a | c )2 + 2 Re (cdX) I c-2a 1 c |2 + 2 Re (cdX)
б) Прямым Re (Xz) — — Re ^X , проходящим через точку
z — — d/c, — прямые
(Ю)
в) Окружностям z — z01 = г, не проходящим через точку
z =
-1 r =£ z0 + — I, — окружности I w — wn1 = p, где
(az0 + b) (cz0 + d) — acr2 r \ad — be |
~ |czo+d|2_|c|2r2 - P— ||CZo+d|2_|c|2r2| •
г) Окружностям I z — z01 = | z0 + 4 I — прямые
n I ad — be | ad — be |2 + 2 Re (c (az0 + b) (ad — be)}
Re\c(cz0 + d) 2 I c (cza + d) I2 •
Эти формулы можно получить непосредственным подсчетом.
32] § 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 135
Z “I- I
Пример. Найдем образ прямой у = х + 2 при отображении w = —------j-;
так как прямая не проходит через точку z = 1. то она преобразуется в окруж-
ность, центр и радиус которой находятся по формулам (9):
(у нас а = b = с — d = —1 и так как уравнение прямой записывается
в виде Re{(—i— 1) (x-f- iy]\ = 2, то Z = —i— 1 и a — 2).
32. Частные случаи. Выясним сначала вопрос об условиях,
определяющих дробно-линейное отображение. Как показывает
определение (1) п. 31, такие отображения задаются четырьмя
коэффициентами а, Ь, с и d. Так как хотя бы один из этих ко-
эффициентов отличен от нуля и его можно считать равным 1,
деля на этот коэффициент числитель и знаменатель дроби, то
дробно-линейное преобразование фактически зависит от трех
комплексных или шести действительных параметров.
Отсюда ясно, что дробно-линейное отображение определяет-
ся условиями, приводящими к шести независимым соотноше-
ниям между действительными и мнимыми частями коэффициен-
тов. Простейший вид таких условий сводится к заданию в пло-
скостях z и w произвольных троек точек zb г2, z3 и Wi, w2, ®з,
соответствующих друг другу при рассматриваемом отобра-
жении.
Для построения отображения, удовлетворяющего этому ус-
ловию, рассмотрим вспомогательную плоскость £ и построим
дробно-линейные отображения плоскости z и w на эту пло-
скость, переводящие заданные тройки точек в 0, 1 и оо. Такие
отображения легко указать:
Г — Z ~ Z1 . Z2 — Z3 о _ W — Wj . W2 — W3 ,. .
= Z — Z3 Z2 — Z] ’ ’ W — W3 W2 — Wi ' '
Исключая £ из этой системы, мы получим дробно-линейное
отображение плоскости z на плоскость w, переводящее точки
.?(, Z2 и 23 в точки Wi, w2 и w3 соответственно; это отображение
запишется так:
W — Wj W2 — W3 __ Z — Zi . z2 — z3
W — W3 W2 — Wi Z — Z3 Z2 — Zl ' '
Докажем, что отображение, определяемое формулой (2),
есть единственное дробно-линейное отображение, удовлетворяю-
щее поставленному условию. В самом деле, если существуют
два различных таких отображения w = li(z) и w = l2(z),. то,
применяя еще второе из отображений (1), которое мы обозна-
чим £ = /(w), получим два различных дробно-линейных отобра-
жения
£' = I [Z, (s)] = L, (г), £" = I \l2 (z)] = L2 (z),
136
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[32
переводящих точки zh в 0, 1 и оо. Рассмотрим теперь отобра-
жение
f=L2 [№(?')],
где — отображение, обратное к L\. Оно дробно-линейно,
следовательно, его можно представить в виде
(3)
cl, 4- a v 7
Отображение (3), очевидно, оставляет на месте точки 0, 1
и оо. Из соответствия бесконечно удаленных точек мы получим,
а с. г а с. z < Ъ
что с — 0 и, следовательно, £ — .
Соответствие двух других точек дает условия b/d — О,
а/d— 1. Таким образом, = L2[i’~1(O]“C/, т. е. L~l об-
ратно к L2 и Li = L2. Но тогда и 1\ = 12, а это и доказывает
наше утверждение о единственности отображения (2).
Нетрудно убедиться в том, что формула (2) сохраняет
смысл и в том случае, когда одна* из точек zh или wh есть бес-
конечно удаленная, если только в этой формуле заменить еди-
ницей числитель и знаменатель отношения, в котором участвует
эта точка (в формуле (2) каждая точка участвует один раз в
числителе и один раз в знаменателе). В самом деле, пусть, на-
пример, = оо, z2 = оо, тогда формула (2) принимает вид
W — Д’!) 1 __ Z — Z1 1
1 BU2 — Wi г — z3 1 ’
или w — twj + (®2 — wi) ~ и непосредственно видно, что
полученное отображение решает задачу. Таким образом, до-
казана
Теорема 1. Существует одно и только одно дробно-ли-
нейное отображение полной плоскости z на полную плоскость
w, переводящее три произвольные различные точки Zk в три про-
извольные различные точки Wh-
Из этой теоремы вытекает
Теорема 2. Любой круг полной плоскости z с помощью
дробно-линейной функции можно преобразовать в любой круг
полной плоскости w.
В самом деле, возьмем на границе С круга в плоскости z
три точки Zh, занумерованные в порядке положительного обхода
этого круга. Если на границе С* круга в плоскости w взять три
произвольные точки и по формуле (2) построить дробно-ли-
нейное отображение, то это отображение, согласно круговому
свойству, будет переводить окружность С в С*. Тогда по прин-
ципу соответствия границ она переводит круг /<, ограниченный
32)
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ конформные отображения
137
окружностью С, в один из двух кругов, ограниченных окруж-
ностью с*.
Действительно, пусть К и К* будут заданные круги соответ-
ственно в плоскостях z и w, а С и С* — их границы. Выберем на
С три точки Zk, занумерованные в порядке положительного об-
хода К., и такие же три точки на С*. Если теперь по фор-
муле (2) построить дробно-линейное отображение, то это ото-
бражение согласно круговому свойству будет переводить окруж-
ность С в С* и согласно принципу соответствия границ круг
К — в один из двух кругов, ограниченных С*. Но так как кон-
формные отображения сохраняют ориентацию (см. п. 27) и
точки Wk расположены относительно К* так же, как точки Zk
относительно К, то К преобразуется именно в К*. Теорема до-
казана.
Рис. 53.
Отметим один предельный случай формулы (2). Поставим
своей задачей построение дробно-линейного отображения по
двум парам соответствующих точек Zj, z2 и ®i, w2 и по задан-
„ «Г dw "1. гу >
нои производной а= 1-^-1 в точке z2. Для решения этой за-
дачи заменим последнее условие условием соответствия точек
z3 = z2 + h и w3 = w2 + ah; тогда отображение найдется по
формуле (2)
w — wi —ah ________ z — Zi — h
w — w2 — ah ’ w2 — Wi z — z2 — h z2 — zt
Сокращая обе части на —h и переходя к пределу при Д —> О,
получим искомое отображение
а w — wt _ w2 — wi . г — zi
W — W2 Z2 — Zl z — Z2 ' '
Рассмотрим теперь несколько важных примеров дробно-ли-
нейных отображений.
1) Отображение верхней полуплоскости на
единичный круг. Зададимся точкой а верхней полупло-
скости, переходящей в центр круга w = 0 (рис. 53). По свойству
138
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[32
сохранения сопряженных точек точка а, симметричная точке а
относительно действительной оси, должна перейти в точку
W = оо, симметричную точке w = 0 относительно единичной
окружности. Поэтому искомое отображение должно иметь вид
, z — а /г..
W — k ---г , (о»
z — a v ’
где k — постоянный множитель. При любом k эта функция ото-
бражает верхнюю полуплоскость на некоторый круг с центром
в w — 0, ибо точка w = оо должна быть симметричной точке
w = 0 относительно окружности этого круга. Подберем k так,
чтобы круг был единичным. Для этого достаточно потребовать,
чтобы точка z = 0 перешла в точку единичной окружности:
|/г у | = l k 1= 1- Таким образом, можно положить k = eia и
нашу задач}' решает функция
(6)
z — а ’ v '
где а — любое действительное число (изменение а означает по-
ворот круга относительно центра w = 0).
По свойствам дробно-линейных отображений пучку радиу-
сов круга |w|<! (т. е. дуг окружностей, проходящих через
точки w = 0 и w = оо) соответствуют (принадлежащие верх-
ней полуплоскости) дуги окружностей, проходящих через точки
а и а. Семейству окружностей с центром в точке w = 0 соответ-
ствуют окружности, имеющие а и а своими симметричными точ-
ками (см. рис. 53).
Отметим еще обратное к (6) отображение единичного круга
на верхнюю полуплоскость. Полагая для упрощения а = ih
чисто мнимым, получим из формулы (6)
•/ “f- W z«\
z th [а • (7)
е — w
Полагая здесь w = eie и умножая числитель и знаменатель
- i а+е
на е 2 ’ находим соответствие между точками единичной
окружности и оси х, которое устанавливает отображение (7):
x = Actg-~^-. (8)
Граничная производная
Г dz "I ____ dx _______h_____________h_______
~~ Дё~ ~ „ „.п, a — fl ~~ 1 - cos (fl - a) (9)
непрерывна всюду на окружности, кроме точки w = eia, кото-
рая соответствует точке 2 = оо (ср. теорему 1 п. 29),
32]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
139
2) Отображение единичного круга на еди-
ничный круг. Зададимся точкой круга |z|< 1, переходя-
щей в центр круга |w|< 1. Точка = симметричная с а
относительно единичной окружности, должна переходить в точку
w = оо; следовательно, искомое отображение должно иметь вид
. z — а ,
W = k----------г = k,
z — a 1
z — a
1 — az '
где k и ki — некоторые постоянные. Подберем k\ так, чтобы круг
в плоскости w был единичным. Для этого достаточно потребо-
вать, чтобы точка z = 1 перешла в точку единичной окружно-
сти: 1^4—=1^1 1=1-
| 1 1 — а I 1 11
Следовательно, можно
принять ki — eia, и нашу
задачу решает функция
w = eifl z~a-. (10)
1 — az ' '
где a — любое действи-
тельное число. Так как
и | а | < 1, то
жения (10) в
а геометрически -означает угол поворота отобра-
точке а:
(И)
Заметим, что растяжение отображения (10) в точке а
ГI I ]
L[ dz I J z—a
1
1 -lai2
(12)
стремится к бесконечности, если точка а приближается к гра-
нице единичного круга.
На рис. 54 указаны линии, соответствующие друг другу при
этом отображении. Сетка в плоскости z является частью сетки
на рис. 53.
Отметим еще соотношение, связывающее аргументы соот-
ветствующих точек единичных окружностей z == е';<₽ и w = eie
(мы считаем для упрощения, что a = 0 и полагаем a = rei<f"-):
cos (9 - Фо) = (+;2)cos (<P-(pt))-^-_ (
\ ти/ 1 — 2г cos (ф — фо) + г2 7
*) Для получения соотношения (13) достаточно подставить в форму-
лу (10) выражения для z, w и а, помножить обе части на и отделить
действительные части.
140
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
133
Переходя к более общему случаю, заметим, что если радиус
круга в плоскости z равен R, то функция w = f(z), отображаю-
щая этот круг на круг | w | < 1 при условиях f(a) —0,
argf'(a) — а, имеет вид
Эта формула получается из формулы (10) заменой z на г//? и
соответственно а на а//?.
3) Отображение верхней полуплоскости на
верхнюю полуплоскость. Найдем общий вид таких
отображений. Всякую дробно-линейную функцию w = /(г), осу-
ществляющую отображение верхней полуплоскости z на верх-
нюю полуплоскость w, можно получить из формулы (2), зада-
вая две тройки соответствующих точек zh — хк, = ик дей-
ствительных осей х и и. Так как числа и действительны,
то после преобразования формула (2) примет вид
w
____ az + Ь
сг -f- d ’
(15)
где а, Ь, с, d — действительные числа. Наоборот, любая функция
(15) с действительными коэффициентами преобразует ось х в
ось и и, следовательно, верхнюю полуплоскость z в одну из по-
луплоскостей w, верхнюю или нижнюю. Мы получим верхнюю
полуплоскость, если потребуем, чтобы производная на дей-
ствительной оси была положительной:
[dw ] _ ad — be „
dz ]г=х (ex + d)2 ’
откуда ad — bcZ>G. Таким образом, формула (15) при
действительных коэффициентах, удовлетворяющих условию
ad — bc~> 0, дает общий вид линейных отображений верхней
полуплоскости на верхнюю полуплоскость.
33. Примеры. Рассмотрим примеры конформных отображений, которые
осуществляются комбинациями элементарных функций.
1) Отображение полосы на единичный к р у г. Пусть в пло-
скости г задана полоса D:—— < Re г< —, которую'требуется конформно
отобразить на круг |w| < 1 с соответствием трех граничных точек: f —
= ± 1, f (1°о) — i (ioo обозначает верхнюю бесконечно удаленную точку по-
лосы). Прежде всего мы повернем на прямой угол и расширим вдвое нашу
полосу:
z1 = ‘2iz, (1)
затем воспользуемся тем, что показательная функция
z2 =
(2)
33]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
141
преобразует полосу----на которую функция (1) отображает D,
в правую полуплоскость Re z2 > 0 (действительно, г2 = ех' • е1у', следова-
тельно, \г2\ — ех‘ меняется от нуля до оо, a arg z3 — yt от —л/2 до л/2).
Остается отобразить эту полуплоскость на единичный круг так, чтобы точки
z2 = I, —I, 0, соответствующие точкам z = л/4, —л/4, loo, перешли в точки
w = 1, —1,1. Такая задача решается с помощью формулы (2) предыдущего
пункта (мы меняем принятые там обозначения):
или
Подставляя
дачи
(3)
выражения (2) и (1) в (3), получим окончательное решение за-
1 e2iz — 1
1 е2‘2 + 1
tgz
н>
(см. и. 9). Выясним еще соответствие линий при этом отображении. Семейство
вертикальных прямых Re z — const при отображении (1) переходит в семей-
ство горизонтальных прямых, которое отображение (2) преобразует в се-
мейство лучей arg z2 = const, т. е. в семейство «окружностей», проходящих
Рис. 55.
через точки г2 = 0 и г2 = оо. Дробно-линейное отображение (3) преобразует
эти точки в точки w = 1 и w = —1, следовательно, рассматриваемые нами
лучи оно переводит в семейство окружностей, проходящих через точки
w = ±1. Ортогональное семейство отрезков Im z = const переходит в се-
мейство окружностей, имеющих w = ±1 своими симметричными точками
(рис. 55).
Обратная функция
1 1 + iz
w = arctg z = -тп- In --—
ь 2i 1 — iz
142
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
|33
реализует обратное отображение круга на полосу. Заменяя здесь lz на z1
Л
и iw на -^77 получим отображение круга [z|< 1 на полосу ширины Н‘.
Н Н ~
---— <1шв<—-. Оно имеет вид
1 + z 2/7
—!— =------arth z
1 — z л
Н ,
W — — In
(5)
мы опускаем индексы у z и щ).
в точки а = ± оо и точку z = I
Отображение (5) переводит точки z = ± I
. Н _
в точку w = z-^-, Его производная
dw 2Н 1
dz л 1 — z2
обращается в бесконечность в точках z — ± 1.
2) Отображение полуплоскости с выброшенным от-
резком на полуплоскость. Пусть из полуплоскости Im z > 0 исклю-
чен отрезок (а, а 4-/71). Для получения искомого отображения мы восполь-
зуемся тем, что отображение w = г2 удваивает углы в начале координат и,
следовательно, может «расправить» угол между исключенным отрезком и
осью х.
В соответствии с этим мы сдвигаем полуплоскость г на отрезок а влево:
2i = z — а и, применяя отображение z2 = Zp получаем плоскость с выбро-
шенным лучом — А2 < Re z2 < оо, Imz2 = 0. Затем мы снова сдвигаем пло-
скость г2 на величину h2 вправо: z3 = г2 4- № Применяя, наконец, отображе-
ние z4 —Key , получаем верхнюю полуплоскость. Таким образом, искомое
отображение имеет вид
z4 = К(г - а)2 4- h2. (6)
Сдвигая еще плоскость z4 на отрезок а вправо, чтобы точка 2 = 04-1/1
перешла в точку а, получим окончательно
w = V(г — а)2 4- № 4- а. (7)
Производная отображения (7)
dz У(г — а)2 4- h2
обращается в нуль в точках В и D (где z = а) и в бесконечность в точке С
(где z = a-|-i/i). Прямым v = о0 = const соответствуют линии четвертого
порядка ________________
У = 1 /1 + --------72Д-2 ’ W
у (х — а) 4- »о
симметричные относительно прямой х — о, на которой их ординаты до-
стигают своего максимума. При больших кривые (9) мало отличаются
от прямых (рис. 56).
При /г = 0 отображение (7) обращается в тождественное преобразование
w = z. Найдем главную часть отображения (7) при малых h. Для этого мы
преобразуем формулу (7), пренебрегая степенями h выше второй. Применяя
известную приближенную формулу для корня, получим:
1? Иг
33]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
143
Приближенная формула (10) перестает быть справедливой для точек г близ-
ких к точке а, ибо для них величина -%-— перестает быть малой.
Рис. 56.
3) Отображение круга с выброшенным отрезком pa-
fl и у с а на единичный круг (рис. 57). Пусть из круга | z | < 1 исклю-
чен прямолинейный отрезок [(1 — h)ea,eia], Отображение полученной об-
ласти на единичный круг с помощью дополнительных дробно-линейных ото-
бражений можно свести к предыдущему отображению (7). Однако проще
воспользоваться свойствами функции Жуковского (п. 7). Повернув область в
Рис. 57.
1 / z е,а \
плоскости z на угол —а и применив функцию Жуковского Z, = — I —т— -|----1,
2 \ е1^ z J
мы преобразуем эту область во внешность отрезка [—1, 1 + 2fti], где
h2 1 ( w eia \
hi =~TTf----ГГ *)• Аналогичное преобразование со= — I—— -(--------переве-
>1 / I । , И I / 1 _ I U J
w во внешность отрезка [—1, 1]. Легко видеть, что
ю = ------. преобразует друг в друга
, 1 ( w ,
4(1— /;) '• Аналогичное преобразование (0='2Д~7^‘ 4
дет круг в плоскости
линейное отображение
*) В самом деле, образом точки z = (1 — h)eia при
отображении является точка to 0 ~ h + j = 1 4
рассматриваемом
А2
2 (1 - й) •
144
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[53
полученные области в плоскостях £ и <о; подставляя вместо <> и £ их выраже-
ния, мы получаем искомое отображение:
I w \ ( z \
О+М^г + — =Нг + — -2/г‘- <11>
\е w / \е г )
При h = 0 имеем ht = 0 и w ss г. Найдем главную часть отображения
(11) для малых h. Для этого подставим в (И) w = z 4- со и отбросим малые
второго порядка относительно /гь замечая при этом, что <о и —одного
порядка (так что величинами порядка <о2 можно пренебречь). Мы получим:
или
откуда
Таким образом, для малых hi и точек г, не слишком близких к точке eia,
наше конформное отображение можно представить следующей приближенной
формулой:
/“4-z
а- ~ z + hiz . (12)
е,а — z
Дифференцируя соотношение (12), получим главную часть производной
dw , ela + z
77’, + ‘'7^
2htzeia
~ z)2 ’
(13)
Отметим еще связь между аргументами точек z — ei<f> и w = е<0 окружно-
стей, соответствующих друг другу при отображении (11). Отделяя в (12)
после подстановки z = e!<f и w = действительные части и полагая
О = ф + Дф, cos 0 « cos ф — Дф-sin ф, получим *):
, П Г «Ф е'а + е<4> 1 I, • t Ф— а
— sin ф • Дф « Л] • Re I е v j = — hi sin ф ctg —
откуда
а , Л , , . Ф — а
о = ф 4- Дф « ф + hi ctg
(14)
4) Отображение плоскости с выброшенными лучами
на полосу 0<v<H (рис. 58). Для определенности потребуем, чтобы
левый луч переходил в нижний берег полосы, а правый — в верхний**).
z 4- а
Дробно-линейным преобразованием zt = -- переводим наши лучи в один
*) Мы берем первые два члена формулы Тейлора для cos 0 в точке 0 = ф.
**) Эти условия определяют лишь два действительных параметра ото-
бражения (они сводятся к заданию соответствия двух пар граничных точек),
третий остается произвольным (ср. формулу (15)).
33]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
145
луч (0, оо), а затем в действительную ось, используя отображение
z2 =KzI
Рассматриваемая область переходит при этом в верхнюю полуплоскость. Для
получения нужного соответствия точек подвергнем эту полуплоскость дробно-
линейному преобразованию на себя, так чтобы образы бесконечно удаленных
Рис. 58.
точек А и С первоначальной области на плоскости z (т. е. точки z2 — -+-1)
попали в 0 и оо:
z3=k
t — Z2 а
(k— произвольная положительная постоянная). Остается применить лога-
рифмическую функцию, w = — In z3, чтобы получить отображение на полосу
с,нужным соответствием границ:
w — — In (z + V z2 — а2) + Hi + с — arch — + — In а + Hl с, (15)
л лап
Н k
здесь с = —1п ——произвольная действительная постоянная. Двум семей-
ствам прямых и = const и v = const при отображении (15) в плоскости г
соответствуют семейства эллипсов и гипербол с фокусами ±а.
У
с
тггшшгП/а+Щ.) в
Д о
Рис. 59.
5) Отображение полосы 0<</<2Д с вырезом — оо^л^а,
у = Н на полосу 0 < v <2Н (рис. 59). Функция
zl=e"^
146
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
|33
отображает полосу с вырезом ча верхнюю полуплоскость с выброшенным
отрезком (О, Ы) мнимой оси, где а = еап/2Н. Функция (7) примера 2):
z? = = Уе^н + епа/н
(в формуле (7) надо положить а = 0, h = 6) отображает эту последнюю
область на полуплоскость. Применив логарифм, получим искомое отобра-
жение
w = In z2 = — In (еп^н + ena/w). (16)
n n
6) Отображение полосы 0 < у < 1 с вырезом О у й,
х = а на полосу 0 < о < 1 (рис. 60). Функция г, — еп^г-а^отображает
Д---------------£
-----в-с-р----
Рис. 60.
с вырезом на верхнюю полуплоскость с вырезанной дугой единичной
полосу
окружности. Отображение
, _ Zi — 1 л (z — а)
Zz-7T+T = th---2--
переводит эту дугу в отрезок мнимой оси (0, Ы), где th —=tg —.
Используя опять функцию (7) примера 2), мы получим отображение за-
данной области на верхнюю полуплоскость:
z3 = /z^ + fe2=-|/ +
Точки Л и Е при этом отображении перейдут в точки
= +-----; дробно-линейным отображением
COS
, , лй
1 + z3 cos —
Zi , лй
1 — z3 cos —
1+tg*^ =
мы переведем их в 0 и оо и затем применим логарифм
1 ,
z5 = — In Z..
л
В итоге мы получим отображение на нужную полосу. Однако точке С соот-
ьетствует, очевидно, точка z5 = 0; чтобы перевести ее в точку а действитель-
331
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
147
ной оси, нужно еще сдвинуть эту полосу на а. Таким образом, искомое ото-
бражение имеет вид:
w — — In
л
, . nh
^гзсоэ-з- nh
----------:—|- а = — ar th cos • z3 + а,
, ЛП Л \ 2 /
1 — z3 cos —
или окончательно
л2/г^ ,, , л (z —
—cfh 2
Fi 1 n h № я(2~а) A;
8 yciu 2 llj.
2 ,.( л/г , , л (г — а) . , , л/г 1
а'=— arth (cos—1/ th2—------------f- tg2 -5- f + а. (17)
Л V г Z £ )
Для малых h выражение, стоящее под знаком arth, которое мы обозна-
чим через %, преобразуется следующим образом:
л (г — а)
2
~ th п(г~а)
2
(мы заменяем cos, tg и их приближенными выражениями и пренебрегаем
при умножении малыми порядка выше /г2). Используя элементарные формулы
для гиперболических функций, получаем:
„ ,, л (г — а) , л2Л2 1
S~th----------+
Получим теперь приближенную формулу для конформного отображения
(17). Для этого в правой части формулы (17) заменим arth £ первыми двумя
„ ,,! л (г — а)
членами его тейлоровского разложения с центром в точке q0 = th-2-1
arth $ ~ arth So + —Ц2 (S - So).
1 ~ ьо
Подставляя в правую часть значения £ и &>, мы найдем окончательно
~ 2 ________1_______. л2/г2 ___ л/г2 л (г—а)
w~z я л (г ~ а) 4 sh л (z — а) г ' 4 с 2 ' (18)
7) Отображение эксцентрического кругового кольца
на концентрическое. Рассмотрим сначала случай, когда каждая
окружность кольца лежит во внешности другой (рис. 61). Построим на об-
щей касательной к этим окружностям, как на диаметре, полуокружность Г;
она пересечет линию центров окружностей кольца в двух точках а и Ь, кото-
рые симметричны одновременно относительно обеих окружностей Ct и С2, ибо
через а и b проходят линия центров и линия Г, ортогональные к обеим
окружностям. По свойствам дробно-линейных отображений функция
z — a
z — b
w
(19)
переводит окружности С1 и C2 в две окружности и С2, относительно ко-
торых точки w — 0 и аг = оо, соответствующие точкам г = а й z = b,
являются симметричными. Следовательно, точка w = 0 есть общий центр
148
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[34
С] и С*2. Эксцентрическое кольцо между Ci и С2 при этом переходит в кон-
центрическое круговое кольцо между Cj и С2- На рис. 61 указано также
соответствие линий при этом отображении; сетка в плоскости z является
частью сетки рис. 53.
Дополнительное отображение
W] = In w = In р + 10, (20)
где 0 меняется от —оо до +°°, переводит полученное кольцо на полосу.
Этот факт не противоречит сказанному в п. 28 относительно невозможности
Рис. 61.
отображения двусвязных областей на односвязные, ибо отображающая
функция (20) многозначна. Более того, функция (20) осуществляет однолист-
ное отображение на полосу области на своей римановой поверхности, лежа-
щей над кольцом, а эта область, очевидно, односвязна.
Случай, когда одна окружность кольца лежит внутри другой, приводится
к рассмотренному с помощью дополнительного линейного преобразования
Zj =—--где с — произвольная точка, лежащая между окружностями.
34. Отображения круговых луночек. Круговой луночкой мы
будем называть область, ограниченную двумя дугами окружно-
стей полной плоскости (т. е., в частности, и отрезками прямых).
Примеры, которые мы здесь рассмотрим, играют важную роль
как в приложениях, так и в дальнейшем развитии теории.
1) Отображение внешности дуги на внеш-
ность круга. (Это — вырожденный случай, когда две дуги,
ограничивающие луночку, совпадают.) Предположим, что концы
дуги АВ на плоскости z лежат в точках ±а и что круг в пло-
скости w проходит через те же точки. Кроме того, предположим,
что середина дуги лежит в точке z = hi, а центр круга — в точ-
ке w = hi, так что касательная к дуге в точке z = а составляет
с отрицательной осью х угол a = 2arctg —, а касательная к
„ла
окружности в точке w = a — угол р = "2 —У с положительнои
34)
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
149
осью и (рис. 62). С помощью дробно-линейной функции
мы отображаем внешность дуги АВ на внешность некоторого
[dz 1
> 0, то угол наклона этого луча к отри-
цательной оси также равен а. Далее будем искать отображение
на внешность полученного луча внешности заданного круга в
плоскости w. Для этого снова воспользуемся дробно-линейной
функцией
которая переводит круг в полуплоскость, а его окружность в не-
гр Г dwl 1 „
которую прямую. 1ак как _ > 0, то угол наклона этой
прямой к положительной оси равен р. Отображение
(2)
переводит, следовательно, наш круг во внешность луча, обра-
зующего с положительной осью угол 2р = л— а. Таким обра-
зом, этот луч совпадает с полученным при отображении (1);
исключая 2\ из соотношений (1) и (2), мы получаем искомое
отображение
/ w — а \2__ z — а
\ w -j- а ) z + а
Из последнего уравнения находим:
z— 4-fw-ф— V w — zVz2 ~ а?.
2 \ 1 w ) ' '
(3)
150
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
134
При рассматриваемом отображении любая окружность С',
касающаяся окружности С в точке w — а, переходит в замкну-
тую кривую, охватывающую дугу АВ и имеющую в точке
B(z = a) точку возврата; эта кривая напоминает профиль
крыла самолета (рис. 63).
Рис. 63.
Функция (3) осуществляет конформное отображение внеш-
ности этой кривой на внешность круга, ограниченного окруж-
ностью С'.
На этом замечании основывается предложенный Н. Е. Жу-
ковским метод получения классов профилей крыльев самолета,
особенно простых для расчетов (угро-
зу фили Жуковского).
Форма профилей Жуковского за-
. висит от трех параметров: а, характе-
х ризующего ширину крыла, h, характе-
’ * ризующего его искривление, и d —
расстояния между центрами окружно-
Рис. 64. стей С и С', характеризующего тол-
щину крыла (рис. 63).
2) Отображение полуплоскости с выброшен-
ным сегментом на п.олуплоскость. Функция z^-^-
отображает заданную область (рис. 64) на сектор a<argz!<
< л. Следовательно, функция
22 = (e-/«21f/("-“> =
л/(л—а)
отображает эту область на верхнюю полуплоскость. Зададимся
еще нормировкой: w(oo)=oo, w'(oo) = 1; так как при преды-
дущем отображении точка z — оо переходит в точку z% ——1,
34]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
151
то придется совершить дополнительное линейное преобразова-
ние
fez2 _ k
W 1 + z2 / а \л/(л—а) ’
1 - 1 - —
\ z)
где постоянная k находится из второго условия нормировки.
Действительно,
dw = kn [ . __а\я/(л-а) Г2/, _а_\а/(л-а) а
dz я--а ] \ z) j \ г / г2 ’
откуда, разложив степень внутри фигурной скобки по формуле
бинома, для больших | z | найдем:
,dw fen / я а\~2/1 _________а
<!г ~ л - а л - а г / \ г/ z2 '
Следовательно,
Окончательно имеем:
где С — произвольная действительная постоянная. Для полу-
чения главной части отображения (4) при малых а и а вос-
пользуемся первыми членами тейлоровских разложений. Имеем:
/.___а\л^л-а)_______а/. . и аа , а2 а2а___аа2 . а3 . \
\ г/ л \ л 2лг"'' л2 блг2 л2г ‘ л3"’" ' ' ' / ’
откуда
Г . (. а\л/(л-а) "I1__ 2 / а . аа . а2а .
I ' z) J а\ л ' Зла ' блг2
и, умножая это на
ал
л — а
получаем:
тД-4- +
блг2 1 / 1
/. . аа ,
W =Z 1 4- -z---1
\ 1 2лг 1
а2а
2^4
ф 4-^-+c°nst. (5)
1 блг ' ' ’
Подсчитаем площадь а выброшенного сегмента. Имеем: а = аг2 —
—г cos а, где г — ц------радиус круга. Пренебрегая малыми
') Здесь и далее многоточие означает члены 4-го порядка малости.
152
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
|34
высшего порядка, получим: а
а2 / а
4 I sin2 а
ctgaj Таким
образом, формулу (5) окончательно можно записать в виде
ш « z + + const. (6)
Прибегая к параллельному сдвигу, получим несколько более
общий результат: функция
ш г _L_ c°nst (w (оо) = оо, w' (оо) = 1) (7)
осуществляет конформное отображение на полуплоскость и > О
полуплоскости у > 0 с выброшенной площадкой а, ограничен-
ной отрезком (b,b-)-a) и дугой круга
малой кривизны.
3) Отображение круга с вы-
брошенной луночкой на круг.
Пусть угловые точки луночки близки к
eia и площадь выброшенной луночки a
мала (рис. 65). Совершим дополнитель-
ные дробно-линейные отображения
_ . I ~ze~la . 1 - we~ia
Рис- 65- S Zl+ze-^’ l + we-la
единичных кругов плоскостей z и w на верхние полуплоскости
С и ю.
п - • I dZ I2 a
Луночка а перейдет в луночку а — Hr- ПРИ'
I “z lz=eia 4
мыкающую к точке £ = 0. По формуле (6) предыдущего при-
мера получим тогда:
» О .5-1 О
или, возвращаясь к переменным z и w,
w = eta ъ е‘а (I + ze'ia)3
1 + ® , г . о 8л 1 - ze~la k
+ S + 4л£
(мы всюду пренебрегаем малыми порядка выше а). При этом
ае‘“
отображении точка г = 0 переходит в точку w0 = -g^-; совер-
шая дополнительное дробно-линейное преобразование wt =
34]
5 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
155
= круга на себя, так чтобы перешла в 0, получаем:
ое1а
а»---------------------—
w, —-------л;— ~ ® (w2e~ia — eia).
oe~ia «л '
x--^rw
После подстановки вместо w его приближенного значения
(8) и простых преобразований (в которых мы опять пренебре-
гаем малыми порядка выше о) получаем окончательно:
ш=/(2)~Л1 +-£--1+^-1, /(0) = 0 (9)
(вместо Wi мы снова пишем w). Отображение (9) устанавли-
вает следующее соответствие точек
окружностей z = е‘ч> и w — eie: “У
ei (6-ф) « ! ДС ctg 1
или (если взять мнимые части и прене-
бречь малыми высшего порядка)
«~-|+Д|й-Д~- (10/
Рис. 66.
имеем:
(Н>
(12)
Для модуля производной отображения на границе
|/'(еге) | = |f-l ~ 1 -------!,
' х ’ аф 4л . о Ф — а
* v sin2-^—-—
и для производной в начале координат:
/'(0)~1+т£.
4) Отображение полосы с выброшенн
ночкой на полосу. Пусть из полосы 0 < у <Z 1 выброшен
сегмент а, ограниченный отрезком (0, а) действительной оси и
дугой круга малой кривизны (рис. 66). Совершая дополнитель-
ные отображения £ = еЯг, и со = еяа полос на верхние полупло-
скости и применяя формулу (7):
где сг* = | 1 _о • о — л2о — площадь образа сегмента *), полу*
чаем искомое отображение
1 , , о
оу = — In <в ~ z + ——-
Л е — 1
♦) В формуле (7) мы считаем b = I и const — о*/л.
154
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(34
(мы всюду пренебрегаем малыми порядка выше о). Сдвигая
еще плоскость w на отрезок а/2, будем иметь окончательно:
w~z + ±^- = z+±Cth^-. (13)
Дополнительным сдвигом плоскости z получим более общий ре-
зультат: функция
ш г 4- у cth и b- + const (14)
осуществляет конформное отображение полосы 0 < у < 1 с вы-
брошенным круговым сегментом а, опирающимся на отрезок
(b, b + а), на полосу 0 < v < 1. Она устанавливает следующее
соответствие точек прямых у — 0, у = 1 и прямых v = 0, о = 1:
и = х + у cth гс + const,
и = х + у th гс -|- const.
5) Формула для растяжения при отображении
круговой луночки на полосу. Пусть луночка D огра-
ничена дугами Ci и С2 окружностей, пересекающихся в точках
+а, и пусть —ihi и — ih2— точки пересечения этих дуг с мни-
мой осью (рис. 67). Используя
функцию (5) из примера 1)
предыдущего пункта, легко по-
строить конформное отобра-
жение луночки D на полосу
О < v < h.-.
(15)
w = f (z) =
где Z,ft = 2arctg-y-, k — 1, 2 *). Дифференцируя выражение (16),
получаем:
_______________(17)
*) Для получения формулы (16) достаточно заметить, что функция (5)
п. 33, в которой г заменено на z/a, осуществляет отображение заданной лу-
ночки на горизонтальную полосу, граница которой проходит через точки
“г? 1П= — 2Z "n" arctg Т-= “ Z V (Ср‘ Ф°РМУЛЫ (П) п-9)- Ши-
рина этой полосы h — (Zi — Лз); отсюда находится Н. Остается сдвинуть
полосу так, чтобы ее нижний берег совпал с действительной осью, и мы при-
дем к формуле (16).
34]
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
155
Из формулы (17) можно получить одну приближенную фор-
мулу, важную для приложений. Пусть z0— точка С2, п — отре-
зок нормали к окружности С2 в этой точке, заключенный в лу-
ночке D, —угол между касательными к Ci и С2 в концах
отрезка п и k\, k2— кривизны Ci и С2 (рис. 67). Предположим,
что h и вместе с ним k\ — k2 и п — бесконечно малые первого
порядка, а кривизны k\ и k2 ограничены. Тогда можно утверж- -
дать, что
, h ( k,n k9n kin2 О2) /1ov
1/'(г.)1>=711+4г + -|- + т5- + тг1 + ’Ь (18>
где ц можно представить в виде однородного многочлена
третьей степени относительно п, 0, — k2 с ограниченными ко-
эффициентами.
Для вывода формулы (18) из фор-
мулы (17) в последней надо выра-
зить параметры а, %2, z0 через п, О,
kt, k2 и затем разложить |Г(2о)| по
степеням и, 0, — k2 до членов вто-
рого порядка включительно. Однако
фактическая реализация этого пути
приводит к чрезвычайно громоздким
выкладкам. Поэтому мы получим фор-
мулу (18), отправляясь от частного
случая, когда окружность С2 совпа-
дает с осью Ох, т. е. когда k2 — О
(рис. 68)-. В этом случае формула
(17) дает:
Aj U — Л
Рис. 68.
где Z, = 2arctg-^—половина центрального угла дуги (рис. 68).
С другой стороны, имеем Л] = arcsin akx — akx +-^- a?k\ +... „
sin COS O’ COS Z1
x = ——, n = —г------—L, следовательно,
«1 «i «1
If' Wl=
2ah
ak. + — a3fe?
1 6 * 1
1
о sin2 0
a----------7—
h________1______ 2 (cos О — cos Xi) 1
n" , , 1 3,3 , sin2 0 *
aki + -6aA>
156
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[34
Далее, имеем с точностью до малых четвертого порядка:
2nk{ = 2 (cos ft — cos Xj) rs — ft2 —jy (^i — ft4)
~ + + (19)
И
sin2 ft
aki
rs a2k] - ft2 + 4 ft4 + 4 a'kt ~ T a2ki®2-
Деля первое из этих разложений на второе, получаем с точ-
ностью до малых второго порядка включительно:
h f /а4й) ft4 A?ft2\ 1 )
If W I ~ — (1 + ^-[2 4- H 6 ) • 2 2 _ fl.2 J ‘
• и к । и
Используя справедливое стой же степенью точности соотношение
2нй1=2 (cos ft — cos Zj »s a2fe2 — ft2, получаем окончательно:
h ( In2k] 2nk,&2 \ 1 ) h ( nk\ ft2) /on,
11’« I ~ It 11 + (T + -H issd = Д1 +т+т1 • (20>
что совпадает с формулой (8) при k2 — 0.
Для перехода к общему случаю, когда k2 =£ 0, мы возьмем
вспомогательную плоскость ? и
с.
в ней луночку D*, ограниченную
7
D
as
z,
Рис. 69.
окружности Ct кри-
действительной оси С2 и дугой
через п* обозначим отрезок мнимой оси, заключенный
а через ft— угол, образованный дугой Ci с пер-
отрезком
визны ki',
в луночке D*,
пендикуляром к мнимой оси в точке их пересечения (рис. 69).
Отобразим конформно нижнюю полуплоскость g на внешность
окружности С2 кривизны k2:
dz 2i 1
dT ~ IT (»' + S)2 ’
(21)
§ 2. ПРОСТЕЙШИЕ КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
157
При этом луночка D' переходит в луночку D, ограниченную
дугой С2 и дугой окружности С, некоторой кривизны k{, мнимая
ось переходит в действительную, а отрезок п* — в отрезок п
действительной оси, причем
1 1 + n* 1 __ 2n* * k2n _ k2n 1
17 1-n* 17—Ml-"’)’ П ~ 2 +k2n~ 2 k2n ’ (22)
1 a
и окружность Cj образует с перпендикуляром к действительной
оси в точке z1 их пересечения угол й (рис. 69).
Найдем теперь связь между k{ и другими параметрами. Для
этого обозначим через ds элемент длины дуги Сь через a(s) —
угол касательной к С, с осью х отсчитывается от точки гь
так что а(0) = Ф + ту) и через ds* — элемент дуги С*, соответ-
ствующий ds. Имеем Но бесконечно малое прираще-
ние угла а можно представить в виде
Н 7
da — k*i ds* -J- d arg ,
где второе слагаемое d arg-^|- = Imdln-^|- означает прираще-
dz
ние arg-^- на дуге dt,— el^ds* окружности С*, примыкающей
к точке ti = — tii. Согласно формуле (21) это приращение равно
ds* 2 cos И
— 2 Im у.---— = ------j- ds и для кривизны имеем:
(1 — п ) I 1 — п
, da 2 cos '0' \ ds* ( ,» . 2 cos И \ (1 — n*)2 ,
ибо по той же формуле (21) = i Г~~ ~v~(l — и*)2- Отсюда
С11 о I 1
и из второй формулы (21), по которой ! 2 = 1 + , находим:
kt 2 2cos0-
17 (1 - п’У 1 -п‘ —
2-М1+-^У—2СО8'б(1+-пЙ- (23)
/?2 \ " / \ £ /
Пусть функция w — реализует конформное отображение
луночки, ограниченной дугами С] и С2, на полосу ширины h.
Согласно формуле (21) в точке z0=l/fe2, соответствующей
точке £ = 0, имеем:
If// \< I dw I I dt, I _|^_| kz_
11 W 1 I d$ Is=o ’ I dz Uz, — | |c=o • 2 •
158
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[35
_ I dw I
Величину
можно вычислить по формуле (20), заменяя
в ней п и k\ на п и fej. Используя найденные значения (22) и
(23) для п* и fei, получаем с точностью до малых второго по-
рядка включительно:
Так как по условию разность kt — k2 является малой величиной,
то с той же степенью точности kxk2n2 = kfyi2, и мы получаем
искомую формулу:
h I k,n k9n k9n2 Ф2\
1Г(го)1~4Н^Г + Нг + -Т‘Г + 1г)-
§ 3. Принцип симметрии и отображение многоугольников
Здесь мы рассмотрим методы, играющие важную роль при
фактическом построении конформных отображений. Первый из
этих методов опирается на так называемый принцип симметрии,
который был сформулирован Б. Риманом и обоснован
Г. Шварцем. Этот метод, как мы увидим в п. 36, позволяет в
некоторых случаях довольно существенно упростить решение
задачи отыскания конформных отображений.
Второй метод особенно важен для приложений, так как он
дает возможность выписать (правда, вообще говоря, лишь в
виде интеграла) функцию, реализующую отображение верхней
полуплоскости на произвольную область, органиченную много-
угольником.
35. Принцип симметрии дает в одном частном случае про-
стое достаточное условие существования аналитического про-
должения функции, реализующей конформное отображение.
Теорема 1 (Б. Риман, Г. Шварц). Пусть граница об-
ласти D\ содержит дугу окружности С и пусть функция w —
= h (z) реализует конформное отображение этой области на
область D* такое, что дуга С переходит в участок С* границы
D*, также являющийся дугой окружности. В этих условиях
функция fi(z) допускает аналитическое продолжение f2(z) через
дугу С в область D2, симметричную с относительно С, при-
чем функция w = f2(z) реализует конформное отображение об-
S5J
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
159
ласти D2 на область D2, симметричную с D\ относительно С*, а
функция
fi (z) в Dlt
w — f(z) =
f\(z) = f2(z) на С,
fz(z) в D2
реализует конформное отображение*) области Dx 4- С 4-£>2 на
область D\ 4- С* 4- D2.
Для доказательства мы совершим дробно-линейные отобра-
жения
g = ^±± = /(z),
ъ cz + а v '
(1)
преобразующие С и С* в отрезки Г и Г* действительных осей
плоскостей ? и со; области Di и DT пусть переходят при этом
Рис. 70.
в области Д1 и At, а функция w = fi(z)—в функцию со =
= (?) = <р(£), осуществляющую конформное отображение
А1 и At (рис. 70)**). Обозначим через А2 область, симметрич-
ную с Ai относительно Г. Построим в А2 функцию
® = <р2 (?) = Ф1 (?)
и покажем, что она является аналитическим продолжением
функции ф1(?). Прежде всего функция ф2(?) аналитична в об-
ласти Д2. В самом деле, для любых точек ? и ? 4“ А? из Д2 имеем:
А?
фг (? + А?) — <р2 (?) _ Ф1 (? 4~ А?) — дч (?) __ / дч (? 4~ А?) — дч (?)
А? Л? “ \ Л?
*) Для однолистности этого отображения надо потребовать, чтобы
области Di и £>2, а также Dl и D2 tie пересекались.
**) Для этого случая принцип симметрии сформулировал еще Эйлер
в 1777 г.
160
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[35
где ? и ?-|-Д?— точки из Дь В силу аналитичности ф](?) в Д[
правая часть имеет предел при Д? —>0, следовательно, суще-
ствует и производная ____
ф2 (С) = ф) (?)
(2)
в любой точке Z области Д2, т. е. ф2(?) аналитична в Д2. По по-
строению функции ф2(?) ее граничные значения на отрезке Г
существуют:
ф2 (х) = lim <р2 (?) = lim ф, (?), (3)
ибо по теореме о соответствии границ при конформном отобра-
жении (п. 29) существует lim Ф1 (?) = ф] (х). Соотношение (3)
____
принимает вид ф2(х)=ф1(х), но так как значения ф1(х) дей-
ствительны (Г*, по условию, — отрезок действительной оси), то
на отрезке Г
Ф2 (х) = ф, (х). (4)
По принципу непрерывного продолжения (п. 25) можно, следо-
вательно, утверждать, что ф2(?) является аналитическим про-
должением ф] (?) через Г.
Из построения функции ф2(?) следует также, что она реали-
зует конформное отображение области Д2 на область Д2, сим-
метричную с Д] отнрсительно Г*. Функция же ф(?), составлен-
ная из ф](?) и ее аналитического продолжения ф2(?):
ф(?) =
Ф1 (?) в Д1>
Ф1(?) = ф2(?) на Г,
ф2(?) в Д2.
реализует конформное отображение Д1'+Г + Д2 наД1 + Г‘ +Д2.
Возвратимся теперь к старым переменным z и w с помощью
подстановок, обратных (1). В силу свойств дробно-линейных
отображений мы получим в области D2, симметричной с Di от-
носительно дуги С, функцию f2(z), аналитически продолжаю-
щую fi(z) через дугу С и реализующую конформное отображе-
ние области D2 на область D2, симметричную с Dt относи-
тельно дуги С*. Теорема доказана.
В качестве примера применения принципа симметрии дока-
жем теорему единственности конформного отображения при за-
данном соответствии трех граничных точек, о которой мы гово-
рили в п. 29.
Теорема 2. Существует одно и только одно конформное
отображение w = f(z) области D на область D*, переводящее
три граничные точки zh области D в три граничные точки Wh
35]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
161
области D*. Точки zh и задаются произвольно, но с соблюде-
нием порядка следования при обходе границ областей.
Рассмотрим сначала случай, когда D и D* представляют со-
бой единичные круги. По формуле (2) п. 32 можно построить
дробно-линейное отображение круга |z| <; 1 на круг
с заданной нормировкой f(zk) = Докажем единственность
этого отображения. Пусть w = g(z), g(zh)=Wk будет другое
отображение круга |z|<; 1 на круг jo>|< 1. Функция g(z) удо-
влетворяет условиям принципа симметрии и, следовательно,
аналитически продолжается в область, симметричную с кругом
|z| < 1 относительно окружности |z|=l, т. е. во внешность
круга |z|> 1. Вместе со своим продолжением w = g(z} реали-
зует однолистное отображение полной плоскости z и по теореме
1 п. 31 является дробно-линейной функцией. Но тогда можно
утверждать, что g'(z)=f(z), ибо по доказанному в п. 32 дроб-
но-линейное отображение вполне определяется заданием соот-
ветствия трех точек.
Общий случай просто сводится к рассмотренному. В самом
деле, пусть g== ф(г), = и ® = ф(да), ®Л = ф(ауь) бу-
дут какие-либо конформные отображения областей D и D* на
единичные круги |^|<1 и |®|<1 и ® = F(^), —
отображение круга |£|< 1 на круг |®|< 1 (его существование
и единственность гарантированы). Отображением области D на
область D* с заданной нормировкой будет, очевидно, служить
w = ф"1 (z) — f(z),
где ф-1— отображение, обратное ф. Существование второго ото-
бражения w — g(z) области D на D* с той же нормировкой
привело бы к существованию второго отображения
« = Фет~1(О = б(О
круга |£|<1 на круг | w| < 1 с нормировкой G(£ft)=wfi, что
противоречит установленному выше. Теорема доказана пол-
ностью.
Рассмотрим еще применение принципа к вопросу о суще-
ствовании конформных отображений многосвязных обла-
стей. По основной теореме п. 28 любые две односвязные области
можно однолистно и конформно отобразить друг на друга.
С другой стороны, мы видели, что нельзя так же отобразить од-
носвязную область на многосвязную, Возникает вопрос о воз-
можности отображения друг на друга областей одного порядка
связности. Оказывается, и этот вопрос, вообще говоря, решается
отрицательно. В самом деле, даже в простейшем случае концен-
трических колец имеет место
Теорема 3. Для того чтобы существовало конформное ото-
бражение w = f(z) кольца |z| <г2 на кольцо pj < | w | < р2,
162
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[35
необходимо и достаточно подобие этих колец:
. (5)
Pi г, v '
Для доказательства необходимости условия (5) заметим, что
функция f(z) удовлетворяет условиям принципа симметрии и
на основании этого принципа аналитически продолжается
г2 г2
в области — < | z | < г, и г-> < | z| < —, симметричные с кольцом
Г2 Г1
fi < | z | < г2 соответственно относительно окружностей | z | —
г2 г~
и \z\==r2- Расширенное кольцо — <|z|<— функция f (z)
Г2
9 2
(вместе с ее продолжением) отображает на кольцо — <| w |<— .
Рз Р1
Поэтому к функции f (z) снова применим принцип симметрии
и ее можно продолжить в кольцо rx | z | < • Про-
изводя такое продолжение неограниченно, мы получим, что f(z)
реализует однолистное отображение области 0 < | z | < оо на
область 0 < | w | < оо, причем либо limf(z) = 0, limf(z) = oo,
2->0 £-»оо
либо limf(z) = oo, lim/:(z) = 0, в зависимости оттого, соот-
z->0 z->oo
ветствует окружности | z | — г, окружность | w | = р! или | w | = р2.
Отсюда заключаем, что f (z) является дробно-линейной функ-
цией одного из двух видов:
f(z) = az, = (6)
где а — комплексная постоянная. В обоих случаях равенство
(5), очевидно, выполняется. Достаточность условия (5) следует
из того, что при его выполнении кольца подобны и их можно
отобразить друг на друга простым растяжением.
В дополнение к доказанной теореме укажем, что любая дву-
связная область все же может быть отображена на некоторое
кольцо pi < | w | < р2, причем при заданом радиусе pj радиус р2
определяется для данной области однозначно. Точно так же
произвольную n-связную область можно отобразить на некото-
рую область, получаемую выбрасыванием из плоскости п кру-
гов. Доказательства этих предложений читатель может найти в
статье М. В. Келдыша [7] или книге Р. Куранта [5].
В заключение приведем обобщение принципа симметрии на
случай, когда границы отображаемых областей содержат ана-
литические дуги. Дуга С называется аналитической, если она
может быть задана параметрическими уравнениями
х = x(t), y = y(t),
35] § 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 163
в которых х(0 и */(/) являются аналитическими функциями
действительного переменного t на интервале (сс, 0), т. е. функ-
циями, разлагающимися в окрестности каждой точки to этого
интервала в степенные ряды по степеням t—10. При этом пред-
полагается, что ни в одной точке интервала производные x'(t)
и y'(t) не обращаются в нуль одновременно (т. е. на С нет осо-
бых точек). Кривая С может быть и замкнутой, если х(а) =
= х(р), у(а) = 1/(0).
Имеет место так называемый принцип аналитиче-
ского продолжения:
Теорема 4 (Г. Шварц). Пусть функция w = f(z) реали-
зует конформное отображение области D, граница которой со-
держит аналитическую дугу С, на некоторую область D*, при-
чем дуге С соответствует аналитическая дуга С* границы обла-
сти D*. В этих условиях функцию w = f (z) можно аналитиче-
ски продолжить через дугу С.
В самом деле, пусть г0 — произвольная точка дуги С,
г = z(t) — x(t) + iy(t)— уравнение этой кривой и z0 = z(tQ). Так
как С по условию — аналитическая дуга, то в некоторой окре-
стности \t — t01 < 6 функцию z = z(t) можно разложить в ряд
по степеням t — t0; по теореме Абеля последний будет сходиться
и для комплексных значений t, которые мы обозначим через £,
в круге |£—^о|<6. Следовательно, в этом круге определена
аналитическая функция z = z(£). Так как z'(/o)¥=O, то, умень-
шая в случае надобности 6, можно считать отображение г =
= z(£) конформным. По построению z~ z(£) отображает диа-
метр круга |£—Zo| < б на некоторый отрезок кривой С, содер-
жащий точку z0; мы будем предполагать, что верхний полукруг
при этом преобразуется внутрь области D, а нижний — в ее
внешность.
Точно таким же образом, если w~w(x) есть уравнение
кривой С*, мы можем построить конформное отображение w —
= w((d) некоторого круга, |со — то| <С 6j с центром на действи-
тельной оси на окрестность точки w0 = да(то) = f(zo), преобра-
зующее диаметр этого круга в отрезок кривой С*. Мы предпо-
ложим также, что верхний полукруг при этом преобразуется
внутрь области D*, а нижний — в ее внешность.
Функция w = f(z) порождает конформное отображение
® = со {Иг (?)]} = <₽ (О
(со = со (да)—функция, обратная да = да (со)) верхнего полукруга
|£ — /о | < б на некоторую часть верхнего полукруга |со —то|'<
< di, причем диаметр первого полукруга переходит в часть
диаметра второго. По доказанному принципу симметрии (тео-
рема 1) функция <р(£) допускает аналитическое продолжение в
нижний полукруг и (вместе со своим продолжением) реализует
164
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(3S
конформное отображение всего круга |£ — to| < 6 на некото-
рую часть круга | со — то| < бь содержащую отрезок диаметра.
Построенное продолжение <о — <р(£) порождает аналитиче-
ское продолжение функции f(z) через огрезок кривой С. В са-
мом деле, в части внешности области D, соответствующей
нижнему полукругу |£—(0| < б, определена аналитическая
функция w = ®{<p[?J(z)]} (g(z)— функция, обратная г (£)), гранич-
ные значения которой на отрезке дуги С совпадают с гранич-
ными значениями f(z). По принципу непрерывного продолжения
эта функция является аналитическим продолжением функции
f(z). Так как za — произвольная точка кривой С, то можно
утверждать, что /(г) аналитически продолжаема через всю дугу
С. Теорема доказана.
В частности, если полные границы С и С* данных обла-
стей— аналитические кривые, то f(z) будет аналитически про-
должимой через всю границу области D (и, следовательно, ана-
литической в замкнутой области D).
В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения
принципа симметрии в практике конформных отображений.
36. Примеры. 1) Отображение внешности креста на внеш-
ность единичного круга (рис. 71). Проведем вспомогательный
(пунктирный) разрез FAB по мнимой оси и в правой половине фигуры рас-
смотрим отображение Zi = г2; оно преобра-
Рис. 71.
Д
I
с
п
£
©
ум;
।
।
зует эту половину на плоскость z1 с выброшен-
ным лучом от .-4 (—оо) до D(a2) по действи-
тельной оси. Далее мы применяем отображение
г, = /г1 - а2 = /г2 - а2, (1)
преобразующее полученную область на правую
полуплоскость. Вспомогательный разрез при
этом переходит в содержащий оо отрезок
мнимой оси от точки F(—fi), где f — Vа2 + с2,
до точки где g = V а2 + Ь2
(рис. 71). _______
Функция г2 = V z2 — а2 удовлетворяет
условиям принципа симметрии, следовательно,
допускает аналитическое продолжение через
FAB в левую полуплоскость и вместе со своим
аналитическим продолжением, которое мы
обозначаем снова через г2 = V z2 — а2 осуществляет отображение внешности
заданного креста на внешность отрезка BF мнимой оси плоскости z2.
Остается отобразить последнюю область на внешность единичного круга.
Для этого применяем линейное отображение z3 = ут—z2—, пре-
образующее внешность отрезка BF во внешность единичного отрезка, и за-
тем — обратное отображение Жуковского (см. п. 7):
ш = - i (г3 + Vzl - 1) =
= р' z1 — а2 + |/г2 — а2 + fg + (/ — g) i V z2 — a2 + 2 g i (2)
•36]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
165
В частности, при Ь = с — а получаем w = —(Ух2 — + Уз2 + а2) >
а к 2
откуда
а Уш1 + 1
У2 w
(3)
(ср. п. 30, пример 3).
2) Отображение внешности единичного круга с и с-
ключенными отрезками 1 | z | 1 + a, argz = 2kx/ti (k = 0, 1, ...
.... п—1) на внешность единичного круга (рис. 72). Прове-
дем вспомогательные разрезы от точки Bj и В2 до бесконечности по продол-
жениям радиусов круга и построим конформное отображение полученного сек-
тора на такой же сектор, но так, чтобы точки В] и В2 попали на место 41 и Д2
Это мвжно осуществить следующим приемом: с помощью преобразования
Zt = zni2 отображаем сектор на верхнюю полуплоскость с выброшенным
полукругом и затем с помощью функции Жуковского z2 = Zj Ч--------------) —
на верхнюю полуплоскость. Точки и В2 при этом переходят в точки
±(1+п!) = ± j{(l + a)'I/3 + (l+a)"'I/2}. . (4)
Далее мы сжимаем полуплоскость: з3 =
отображение Жуковского: z4 — z3 + У z| — 1
z2
1 + Я]
и применяем обратное
В итоге получаем снова верх-
нюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом, но точки В, и В2
переходят теперь в точки ±1. Остается применить отображение w = z2/zl
чтобы получить нужное отображение сектора на сектор:
W = A±£1L 11 [г"/2 + + У _ z-4/2)2 _ 8Ц1 _ 4a2j2'^
14
166
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
|35
Функция (5) удовлетворяет условиям принципа симметрии; применяя этот
принцип, получим, что эта функция продолжима через луч В2С и вместе
со своим продолжением осуществляет отображение совокупности 1-го и 2-го
секторов плоскости г на совокупность 1-го и 2-го секторов плоскости w
(рис. 72). Полученное продолжение снова продолжается через луч В3С, и но-
вое продолжение отображает 3-й сектор плоскости z на 3-й сектор плоскости w
(так, что точка В3 попадает на окружность). Повторяя это рассуждение, мы
находим, что функция (5) вместе со своими аналитическими продолжениями
реализует искомое отображение.
На рис. 72 показаны части прообразов окружностей |w| =р при рас-
сматриваемом отображении для п — 8 и а = 0,25; видно, что при р = 1,8 и
больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — прак-
тически эти прообразы не отличаются от окружностей.
Для а = 0 имеем и а> = 0, следовательно, формула (5) переходит в фор-
мулу w = г. Найдем главную часть отображения (5) для малых а. Из соот-
ношения (4) находим: «1 « /г2а2/8. Пренебрегая малыми порядка выше а2,
из формулы (5) получаем приближенную формулу для нашего конформного
отображения:
2
или окончательно:
W « 2 1
па2 zn + 1 )
F zn — 1 )
(ср. формулу (10) из примера 4 п. 30). Формула (6) пригодна для точек,
не слишком близких к корням п-й степени из 1.
3) Отображение верхней полуплоскости с исключен-
ными отрезками 0 у h, х — ka (k = 0, ±1, ±2, ...) на верх-
нюю полуплоскость. Проведем дополнительные разрезы А-гС и А0С
от концов отрезков в бесконечность (штрих-пунктир на рис. 73) и отобразим
полученную полуполосу СВ-В.^С на такую же полуполосу, но так, чтобы
точки А-i и До перешли в вершины этой полуполосы. Для этого отобразим
сначала нашу полуполосу на полуплоскость: 2i=cos-^- (см. п. 9), сожмем
последнюю: z2=---(так’ что точки ^-i и перейдутв точки z2 = ±1)
ch---
а
и воспользуемся отображением, обратным к первому: w == — arccos z2. Таким
образом, мы получаем искомое отображение полуполосы на полуполосу:
а /1 пг \
w = — arccos I --г- cos — 1.
л , лп а (7)
I ch--- /
\ а )
Применяя к полученной функции неограниченное число раз принцип симмет-
рии, найдем, что она осуществляет искомое отображение «решетки» рис. 73
на полуплоскость.
На рис. 73 показаны прообразы линий и — const и v = const при рас-
сматриваемом отображении для Л = 0,5 и а = 2; видно, что при v = 2 и
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
167
Рис. 73.
168
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[36.
больше влияние исключенных отрезков практически не сказывается — рас-
сматриваемые прообразы практически не отличаются от прямых.
4) Отображение плоскости с исключенными отрез-
ками— а^х^а, у = kH (k = 0, ±1, ±2, ...) на плоскость с ис-
ключенными отрезками действительной оси (рис. 74; обе
области бесконечносвязны).
Проведем дополнительный (пунктирный) разрез по мнимой оси и одну
из двух образовавшихся областей, например правую, отобразим на верхнюю
Л/ Во Cojo B-, С, CL, ц
-Уо"л
полуплоскость. Для этого мы по-
вернем плоскость z на 90° и вос-
пользуемся результатом предыду-
щей задачи: функция
w = arccos
1 ,лг 1
------ch
, ла Hi
(8)
Рис. 74.
осуществляет конформное отобра-
жение правой половины области
на верхнюю полуплоскость. При
этом точка Л о (г = а) переходит
в точку w — arccos 1 = 0, точка
(г — 0) — в точку w —
— arccos—-----— b, точка С~,
. ла
chT
(г = — iH) — в точку w=
- 1
— arccos------= л — о, Л-i пере-
ходит в —л, В-2 — в л + 6 и вообще точки Да переходят в точки w —
——/гл, а отрезки ВкСь — в отрезки [—(&4-1)л + 6, —кл—b] (k = 0, ±1,
±2, ...). Согласно принципу симметрии мы можем продолжить функцию (8)
через совокупность отрезков В^Ск и получим тогда, что эта функция вместе
с ее продолжением осуществляет конформное отображение заданной области
на плоскость w с выброшенными отрезками (кл — Ь, кл + b) (k = 0, ±1,.
±2, ...). Задача решена.
5) Отображение областей, ограниченных кривыми
второго порядка.
а) Парабола. Пусть начало координат помещено в фокусе параболы
у2 = 2р(х + ^ (рис. 75).
(1) С помощью функции w = Vz внешность этой параболы отображается
на полуплоскость Im > И"р/2 . Действительно, полагая z = х + iy, w =
= u + iv, найдем:
х — и2 — о2, у — 2uv, (9).
откуда видно, что прямые о = с переходят в параболы у2 = 4с2 (х + с2); при
с = угр/2 получаем заданную параболу. Таким образом, функция
w = V~z — i Vр/2 (10)
реализует конформное отображение внешности параболы на верхнюю полу-
плоскость. Внутри параболы функция (10) имеет точку ветвления.
(2) Чтобы получить отображение внутренности параболы, мы проведем
разрез по лучу BFG (рис. 75) и заметим, что верхняя половина параболы
35]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
169
отображается с помощью функции Zi = Vz на_полуполосу 0<У1<Ур/2,
0<Х]<оо. С помощью функции z2 = cos n‘zi | эта полуполоса ото-
бражается на верхнюю полуплоскость, причем разрезу BFG соответствует
луч— I < х < оо. Применяя принцип симметрии, а затем еще преобразование
w — i У1 + z2, получим искомое отображение внутренности параболы на
верхнюю полуплоскость: __
w = I У2 cos = iVi ch it т/"77-.
/2р Т 2Р
(11)
б) Гипербола. (1) Чтобы найти конформное отображение на верхнюю
полуплоскость области, заключенной между ветвями гиперболы
х2 у2 _ .
а2 Ь2
(рис. 76), мы проведем разрез BD по действительной оси и заметим,
функция zi = — (г + У z2 — с2), где с = У а2 + Ь2 отображает верхнюю
ловину заданной области на сектор 6,<argzI<it— Ф, |z,| > 1,
что
по-
где
0' = arccos— (см. п. 7). По принципу симметрии эта же функция осуще-
ствляет конформное отображение всей заданной области на весь сектор
h < arg Zi < л — 6. Таким образом, функция
/ \л/(л-20) /z + У г2 — с2
а>=(е i0z,) =----------73Т---- (12)
\ се /
осуществляет отображение области, заключенной между ветвями гиперболы,
на верхнюю полуплоскость.
(2) Чтобы получить отображение внутренности правой ветви гиперболы
проведем разрез по лучу DFG и заметим, что функция = — (z + У z2 — с2) =
arch —
= е с осуществляет конформное отображение верхней половины об-
ласти на сектор 0< arg zx < ф, >> I. Функция г2 — ==
, / л « z \
= chl-^arcn—j отображает этот сектор на верхнюю полуплоскость, причем
170
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[37
лучу DFG соответствует луч (—1, оо) действительной оси. Применяя пршшип
симметрии и затем дополнительное отображение w = I V1 + z2, получим
искомое отображение внутренности правой ветви гиперболы на верхнюю
полуплоскость:
W = I ]/" 1 + ch arch у ) = i /Т ch| arch -у |. (13)
в) Эллипс. (1) Конформное отображение внешности эллипса
у 2 «.2
— 4- —= 1
а2 Ь2
на внешность единичного круга осуществляет функция
W
__ г + Кг2 — сг
а + b
(14)
где с~\а2 — Ь2 (см. п. 7). Внутри эллипса эта функция имеет точки
ветвления (рис. 77).
(2) Чтобы получить отображение внутренности эллипса, мы сделаем раз-
рез вдоль большой оси и воспользуемся функцией z, = — (г + фТ2--с2).
Тогда получим отображение верхней поло-
вины эллипса на верхнюю половину кольца
, , । \ а b т л
1 < | Zi | <—-—, !rnZ)>0, причем разрез
переходит в отрезки AFI: F2C действитель-
ной оси и единичную полуокружность.
Функция z2 = In Zi отображает это полу-
кольцо на прямоугольник 0 < Re z. < d,
0 -< Imz2 < я, где d = In й \ Принцип
симметрии еще неприменим, ибо образом
нашего разреза является трехзвенная ло-
маная АР\Р2В\ требуется предварительно
отобразить прямоугольник па верхнюю по-
луплоскость, чтобы эта ломаная перешла в один отрезок. Отображение пря-
моугольника на плоскость нельзя получить с помощью комбинации элемен-
тарных функций — его осуществляет так называемая эллиптическая функция
(см. п. 39, пример 1), — поэтому и отображение внутренности эллипса па
полуплоскость не записывается через элементарные функции.
37. Отображение многоугольников. Прежде чем приступить
к выводу формулы для отображения полуплоскости на много-
угольники*)- выясним вопрос о поведении конформного отоб-
ражения в угловых точках областей. Предположим для прос-
тоты, что границы области А в окрестности угловой точки дд
состоит из прямолинейных отрезков; угол между этими отрез-
ками мы обозначим через ал, считая 0 < а 2 (рис. 78). Пусть
функция w = f(z) реализует конформное отображение верхней
полуплоскости на область А, причем угловой точке а>о соответ-
ствует точка г0 действительной оси.
*) Другой, более конструктивный вывод этой формулы см. ниже в п. 44.
37]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
171
Для выяснения характера функции f(z) в окрестности точки
z0 введем вспомогательное переменное со = (да— ^о)1/а. Слож-
ная функция
® = tf (г) — ®о}1/0' = ® (г) (1)
реализует конформное отображение части окрестности точки г0,
принадлежащей верхней полуплоскости г, на часть окрестности
точки со — 0, принадлежащую одной из полуплоскостей, причем
отрезку действительной оси плоскости z соответствует отрезок
прямой (рис. 78). По принципу симметрии функция со (г) до-
пускает аналитическое продолжение в полную окрестность точ-
ки г0 и представима, следовательно, рядом Тейлора
со (г) = c[(z — г0) + с'(г — г0)2 + ...
В этом ряду отсутствует свободный член, ибо со (го) = О, однако
с'= со'(г0) =£ 0, так как функция осуществляет конформное ото-
бражение. Возвращаясь с помощью соотношения (1) к функции
/(г), находим, что в окрестности точки г0 функция /(г) пред-
ставима в виде
f (г) = ы0 + (г - г0)а {< + е'(г - г0) + ..
Так как выражение в фигурной скобке отлично от нуля при
z = z0, то в некоторой окрестности точки z0 можно выделить од-
нозначную аналитическую ветвь функции + с'(г — г0) + . .} •
Разлагая эту ветвь в ряд Тейлора, мы получаем окончательное
представление функции /(г) в окрестности точки г0:
f(z) = w0 + (z — г0)° {с0 + Cj (г — г0) + ...}. (2)
Отсюда видно, что при а > 1 производная f'(zo) — 0, при а < 1
имеем /'(г0)=°о. Для обратного отображения г = ср(ш), на-
оборот, ср'(шо) = 0 при а < 1 и ф'(шо) — оо при а > 1.
Из того же соотношения (2) видно, что го при а ¥= 1, У=2
является точкой ветвления функции f(z).
Заметим, что в более общем случае, когда граница обла-
сти А в окрестности точки состоит из гладких или даже
172
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[37
аналитических дуг, пересекающихся в ю0 под углом ал, сделан-
ный вывод, вообще говоря, неверен*). В этом случае отобра-
жающая функция не обязана иметь вид (2): в главном члене ее-
разложения могут появиться множители, стремящиеся к нулю
и бесконечности медленнее, чем любая степень z — г0.
Рассмотрим, например, в верхнем полукруге |z|<r, у О,.
функцию
w = z In ~, w (0) = 0, (3)
где ветвь логарифма характеризуется условием 0 argz л.
Легко видеть, что при достаточно малом г она преобразует от-
резок (0, г) оси х в отрезок ^0, rlnyj оси и, отрезок (—г, 0) —
в дугу у: и = , v — — а полуокружность |z| = rt.
0 ip sg л — в дугу, близкую к полуокружности (рис. 79). По-
~_________________________ принципу соответствия гра-
[ х. ЦрУ ниц ФУнкйия (3) при малых
( I f . J £. г однолистно и конформно-
-/ О '• rin~ отображает полукруг на об-
Рис. 79. ласть D, изображенную па.
рис. 79.
Дуга у гладко примыкает к отрезку (о, г In в точке
w = 0, так что угол а — 1; тем не менее главный член разло-
жения (г) «испорчен» множителем In — . Аналогичный эффект
наблюдается для функции
w — —, w (0) = 0. (4)
In —
z
Перейдем к отображению многоугольников. Пусть в плоско-
сти w задан замкнутый многоугольник А1А2 А„ без точек са-
мопересечения, не содержащий бесконечно удаленной точки (от
этого ограничения мы освободимся в следующем пункте).
Согласно основной теореме Римана (п. 28) существует функ-
ция w = f(z), реализующая конформное отображение верхней
полуплоскости г на внутренность А этого многоугольника. Для
определенности мы зададимся соответствием трех точек дей-
ствительной оси (например, а1г а2 и аз) и трех точек границы А.
(например, вершин Аь А2 и Аз); тогда по теореме 2 п. 35 функ-
ция f(z) определится однозначно. Мы предположим сначала,
*) В предыдущем издании в этом месте имелась неточность, на которую^,
наше внимание любезно обратили М. М. Лаврентьев и А. Б. Шабат.
371
§ 3, ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
173
что эта функция нам известна, в частности известны конечные
точки а4, .... ап оси х, переходящие в вершины Д4, ..., Ап мно-
гоугольника, и поставим своей задачей отыскание ее аналити-
ческого выражения.
Так как на любом участке (ah, ah+i) действительной оси
функция w = f(z) принимает значения, лежащие на прямоли-
нейном отрезке А/1А/1+1, то, по принципу симметрии, она анали-
тически продолжаема через этот отрезок в нижнюю полуплос-
кость. Аналитическое продолжение этой функции реализует кон-
формное отображение нижней полуплоскости на многоугольник
Д', симметричный с много-
угольником А относительно от- ©
резка АИл+ь Это апалитиче-
ское продолжение можно сно-
ва продолжить через любой
отрезок (яй'Яй'+i) в верхнюю
полуплоскость z, причем но-
вое аналитическое продолже-
ние будет реализовать кон-
формное отображение верхней
полуплоскости z на много-
угольник А", симметричный с
многоугольником Д' относи-
тельно отрезка АМ*'+1-
Предположим, что мы вы-
полнили всевозможные анали-
Рис. 80.
тические продолжения описанного вида. В результате получится,
вообще говоря, бесконечнозначная аналитическая функция w =
— F(z), для которой исходная функция f(z) является в верх-
ней полуплоскости одной из однозначных ветвей.
Пусть w — f*(z) и w = будут две произвольные ветви
функции F(z) в верхней полуплоскости. Согласно нашему по-
строению эти ветви осуществляют конформное отображение
верхней полуплоскости на два многоугольника А* и А**, отли-
чающиеся друг от друга четным числом симметрий относитель-
но сторон. Но так как всякая пара симметрий относительно
двух произвольных прямых сводится к некоторому сдвигу и по-
вороту, то всюду в верхней полуплоскости f**(z) = eiaf*(z) 4- а,
где а и а постоянные. То же самое справедливо и для любых
ветвей функции F(z) в нижней полуплоскости.
Далее, функция
, , f" (г) d , ,
g (z) = ' ; In f' (z)
s ' ’ f' (z) dz i \ /
аналитична в верхней полуплоскости, ибо как производ-
ная функции, осуществляющей конформное отображение, нигде
174
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[37
не обращается в нуль. Эта функция g(z) остается однозначной
при всевозможных аналитических продолжениях /(г) в силу
сделанного выше замечания о ветвях функции F(z) (имеем:
f" (z\ f" <г)\
f' (г) = eiaf' (г), f" (г) = eiaf" (z), следовательно, -— -7- .
** * ** ** f (г) f (г) /
Таким образом, можно утверждать, что g(z)— однозначная
функция, аналитическая всюду в полной плоскости z, кроме то-
чек z — ah, соответствующих вершинам многоугольника. Анали-
тичность g(z) в бесконечности следует из того, что z — со пере-
ходит в некоторую точку на стороне многоугольника, а не в его
вершину.
Для выяснения характера функции g(z) в точке z = а>, возь-
мем какую-либо ветвь f(z) и воспользуемся формулой (2). Бу-
дем иметь:
f (z) = Ak + (z~ ak)ak {c0 + cj {z — ak) + ...};
отсюда легко получить лорановское разложение g(z) в окрест-
ности точки z — ah:
„п- f" (г) — + ••• _
S f' (z) \ak~l
Z ( ’ akco (z~ak) + • •
= -Г“ + < + <(2-Дг)+ ...
Из этого разложения видно, что точка z — ak является для g(z)
полюсом первого порядка с вычетом — 1.
Таким образом, функция g(z) в полной плоскости имеет
лишь п особых точек. Вычитая из g(z~) сумму главных частей
ее разложения в этих точках, получим функцию
G (z) = g (z) —
— 0,2 ~ 1
z — a2
a« — 1
z — an ’
регулярную во всей полной плоскости и, следовательно, по-
стоянную (см. теорему Лиувилля в формулировке п. 24). Так
как в точке z = 00 функция f(z) правильна, то в окрестности
этой точки
fW-da + ~- + ^ + ...
и
g(z) =
d—p
р(р+1)^+ ...
pd-p
2Р+1 + •••
Р + 1 . d'_2
z + z1 ~Г
37J
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
175
Следовательно, g(<x>), а значит и G(oo), равно 0. Поэтому
§(2) = -^-1пГ(2) = ^^- + -5^-+ ... + ^-=^-. (5)
ь 4 dz ' z — at z — а2 z — ап v '
Интегрируя выражение (5) вдоль любого пути, лежащего в
верхней полуплоскости, и затем потенцируя, находим:
Г (г) = С (г - (г - а^ . . . (z - а^1. (6)
Интегрируя еще раз, получаем искомое выражение для f(z).
Тем самым доказана
Теорема 1 (Г. Шварц, Э. Кристоффель*), 1867—
1869 гг.). Если функция w — f(z) реализует конформное ото-
брожение верхней полуплоскости Imz>0 на внутренность огра-
ниченного многоугольника А с углами (0 < 2, k ~ 1,
2,..., п) при вершинах, причем известны точки ah действитель-
ной оси (—оо < а] < а2 <;...< ап < оо), соответствующие
вершинам этого многоугольника, то f(z) представляется инте-
гралом
f(z)=C J (г - а/"-1 (г - а^~1 ... (z - а^'dz + С„ (7)
где Zo, С и С\ — некоторые постоянные.
Интеграл Шварца — Кристоффеля получен в предположении,
что точки ah, соответствующие вершинам многоугольника, из-
вестны. Однако в задачах на конформные отображения задают-
ся лишь вершины А/, многоугольника, а точки а* остаются не-
известными. Согласно сказанному в п. 29 три из них (например,
at, а2 и аз) можно задавать произвольно, а остальные точки и
также постоянные С и С, должны определяться из условия за-
дачи**). Это обстоятельство представляет главную трудность
при практическом использовании интеграла Шварца — Крис-
тоффеля.
Способы определения постоянных ah, С и Ct будут указаны
ниже на конкретных примерах. Принципиальная возможность
их остыскания по существу вытекает из приведенного доказатель-
ства теоремы 1. В самом деле, пусть многоугольник А задан. По
основной теореме мы можем утверждать, что существует един-
ственное конформное отображение w — f(z) полуплоскости
Imz>0 на многоугольник А, переводящее три заданные точки
аь «2 и а3 действительной оси в три вершины А, например в
Д1, А2 и А3. Для этой функции по доказанному выше будет
*) Эльвин Кристоффель (1829—1900)—немецкий математик.
**) Постоянную Zo можно раз навсегда фиксировать, например положить
га — 0. Поэтому в дальнейшем мы не будем считать ее неизвестным пара-
метром формулы (7).
176
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(38
иметь место формула (7) при надлежащем подборе постоянных
а4, ..., ап, С и С]. Таким образом, при заданных трех ак осталь-
ные постоянные определяются и притом единственным образом.
Заметим еще, что согласно формуле (6) на действительной оси
плоскости z при z = х > ап имеем arg (х — ak)ak~l — 0 для
всех k и, следовательно, argf'(x) = arg С, а так как (содержа-
щий z = оо) отрезок (а„, aj при отображении w — f(z) перехо-
дит в отрезок AnAi, то arg С равен углу 0, который этот отре-
зок составляет с осью и (на рис. 80 а — 0— л). Постоянная Ci
определяется заданием положения одной из вершин. Для опре-
деления постоянных ah и С можно воспользоваться известными
длинами сторон многоугольника
ak+i
AkAk+l = f \f'(x)\dx (k = l, 2.......n—1), (8)
ak
хотя практически этот метод применим далеко не всегда. На
практике часто приходится пользоваться приближенными мето-
дами определения постоянных ah и С; с ними читатель может
ознакомиться по книге П. Ф. Фильчакова [10], работе
Г. Н. Положего [12] или статье Н. П. Стенина в сбор-
нике [8].
38. Дополнительные замечания. Рассмотрим ряд случаев, не
разобранных в предыдущем пункте.
1. Одна из вершин многоугольника — образ бес-
конечно удаленной точки. Пусть, например, ап ~ оо.
Чтобы привести этот случай к рассмотренному, совершим ли-
нейное преобразование £ = — + а'п полуплоскости Im z > 0
на полуплоскость 1т£>0, переводящее точки аь а2, •••, ап =
= оо в конечные*) точки а[, а'2, ..., а'п. Применяя формулу
(7) предыдущего пункта, получаем:
t
w = С' j (? - О”'"1 (? - ...(£- а'ар~х + =
to
Приведем выражение в каждой скобке к общему знаменателю и
вынесем из каждой скобки множитель а'п— a'k (k = 1, ..., п—1);
*) Если одна из точек а* = 0, то придется взять £ = - + ап, где а
отлично от всех ад.
38]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
177
будем иметь:
Z
w = С J (z - atp~' (z - и2)^-1 ... (z — ап_х)а*-'~' X
Zb
\z_________Ё2_______ । с
О^Т-О^Ч-...+<хп-/г+2 “Г’-Ц’
1
где ak — —-----;----некоторые действительные постоянные, а
an~ak
С — комплексная постоянная (в ее выражение включены все
вынесенные множители). Используя элементарное геометриче-
ское предложение о сумме углов n-угольника, согласно которому
а1 + «2 + • • • + = п — 2, (1)
получим окончательно
w = С J (z - ai)ai 1 (г - а2)а* 1 ... (г - dz + С>. (2)
г»
Таким образом, если одной из вершин
ветствует бесконечно удаленная точ-
ка, то относящийся к этой вершине
множитель в формуле Шварца — Кри-
стоффеля выпадает.
Это обстоятельство используется
на практике для упрощения интегра-
ла Шварца — Кристоффеля (см. п. 39
и след.).
2) Одна или несколько вер-
шин многоугольника лежат
в бесконечно удаленной точ-
ке. Пусть вершина Ak многоугольни-
ка А лежит в бесконечно удаленной
точке. Возьмем на лучах Ah-iAh и
’AhAh+i произвольно по точке A'k и А%,
многоугольника А соот-
соединим их отрезком прямой и рас- рпс §1.
смотрим полученный (п + 1) -угольник
А' (рис. 81). Функция, отображающая полуплоскость на много-
угольник А', по предыдущему выражается формулой
w = С | (г - и,)”1 1 ... (z - а'^ 1 (г - а"^ 1 ...
... (г - аф)а^ dz + Сь (3)
где a'k и a'k' — измеренные в долях л углы при вершинах A'k и Ак,
а а'к и а" — точки оси х, соответствующие этим вершинам.
178
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[38
Пусть отрезок A'kA'k удаляется в бесконечность, оставаясь
параллельным самому себе; при этом точки а' и сливаются
в одну точку ak, соответствующую вершине Ак, и в пределе
множители формулы (3), содержащие a'k и а", переходят
, \ab + <Ife/-“2 z-ч -
в (г — ak) * R . Ооозначим через айл взятый со знаком
минус угол пересечения лучей Ak^tAk и Ak+1Ak в конечной
точке Д’. Тогда из треугольника Д'Д''Д’ имеем а£ + <х''—ak — 1,
т. е. + а£—2 = — 1, и формула (3) принимает обычный вид:
г
w = с j (2 — а/1-1 ... (г — а&)“*-1 ... (г — а„)а«-1 dz -ф С{. (4)
Это же рассуждение можно привести и в случае, когда в бес-
конечности лежат несколько вершин многоугольника.
Таким образом, формула Шварца — Кристоффеля остается
в силе и для многоугольников, у которых одна или несколько
вершин лежат в бесконечно удаленной точке, если при этом угол
между двумя прямыми с вершиной в бесконечности опреде-
ляется как угол в конечной точке их пересечения, взятый со
знаком минус (ср. п. 31).
При нашем определении угла в бесконечности остается в
силе соотношение (1) для суммы углов многоугольника. Дей-
ствительно, для (га + 1) -угольника Д', с конечными углами, на
основании формулы (1) имеем: 2 A-a.'k + а''— п — 1, где
означает сумму всех углов Д', кроме угла при вершине Ак — оо
(мы придерживаемся принятых выше обозначений). Заменяя
а' + ct^==a^. + l> получим соотношение (1) и для многоуголь-
ника Д.
3) Отображение внешности многоугольника.
Этот случай отличается от разобранного в п. 37 тем, что в не-
которой конечной *) точке а верхней полуплоскости, соответ-
ствующей бесконечно удаленной точке многоугольника, функ-
ция f(z) имеет полюс первого порядка (наличие полюса выс-
шего порядка противоречило бы однолистности). Так же, как
и в п. 37, доказывается, что в этой точке g(z) будет иметь по-
люс первого порядка с вычетом, равным — 2. То же самое бу-
дет иметь место и для точки а нижней полуплоскости, ибо <5
служит полюсом первого порядка для аналитического продол-
жения функции /(г). Таким образом, для функции g(z) будем
*) Если бесконечно удаленной точке многоугольника соответствует беско-
нечно удаленная точка плоскости г, то эта точка является граничной для мно-
гоугольника, и мы имеем случай, уже разобранный в разделе 2).
381
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
179
иметь разложение
+ Д2-~1 + I а»~‘____________________1_
s ’ z — ax z — az.............z — an z — a z — a’
Отсюда получим следующую формулу для функции, реализую-
щей конформное отображение верхней полуплоскости на внеш-
ность многоугольника
Z
W ~ С J (2 ~ °1) 1 •••(2~ ап)” (2 _ а)2 (г _ а)2 + С1- (5)
z0
Здесь ад— измеренные в долях л внешние углы многоуголь-
ника, а^ — точки действительной оси, соответствующие его вер-
шинам, а — точка верхней полуплоскости, соответствующая бес-
конечно удаленной точке многоугольника, г0, С и Cj — некото-
рые постоянные.
4) О т о б р а ж е н и е в н у т р е н н о с т и (внешности) еди-
ничного круга на внутренность (внешность) мно-
гоугольника осуществляется функцией
w = С J (г — fli)”'-1 (г — а2)а2-1 ... (г — an)an~l dz + (6)
г»
Здесь ад — измеренные в долях л внутренние (внешние) углы
многоугольника, aft, 1—точки единичной окружности,
соответствующие его вершинам, С и — некоторые постоян-
ные. При отображении внешности круга на внешность много-
угольника, кроме того, предполагается, что бесконечно удален-
ные точки плоскостей z и W соответствуют друг другу.
Для отображения внутренности единичного круга
на внешность многоугольника имеет место формула
Z
w = C^(z — а^-1 (z - а,)^-1 ...(?- ап)а^ + Сь (7)
где смысл обозначений тот же, что и в формуле (6), и пред-
полагается, что бесконечно удаленной точке многоугольника со-
ответствует центр круга.
Формулы (6) и (7) сводятся к предыдущим с помощью до-
полнительного дробно-линейного преобразования плоскости z
так, как это делалось в начале этого пункта при выводе форму-
лы (2).
5) Обратная задача. Пусть теперь заданы произволь-
ные совокупности действительных чисел ад и ад, удовлетворяю-
щие условиям — оо < ау < а2 < ... < ап < оо, —2 ак 2,
180
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(33
п
^jctA = rt— 2, и произвольные комплексные числа С и С;. По-
fe=i
строим с их помощью интеграл Шварца — Кристоффеля
Z
w — С J (г — сГ1)а‘—1 (г — «г)”2-1 • • • (z — а„)ап-1 dz -ф С]. (8)
г»
Оказывается, что в этих условиях интеграл Шварца — Кристоф-
феля определяет функцию, реализующую конформное отобра-
жение верхней полуплоскости на некоторый многоугольник с уг-
лами аил при вершинах.
В самом деле, аргумент производной функции (8)
п
= + 1)агё(2-а^ (9)
6=1
сохраняет постоянное значение на любом отрезке (оц, щ+1), k= 1,
2, .... п— 1 действительной оси*), а сама производная
внутри такого отрезка не обращается в 0. Следовательно, функ-
ция (8) взаимно-однозначно отображает отрезок (щ, af,+i) на
некоторый прямолинейный отрезок То же самое отно-
сится и к содержащему z = оо отрезку (ап,а;) действительной
оси. В самом деле, во-первых, в силу условия 2 «6 = ^— 2 от-
резки (ап, оо) и (—оо.а]) поворачиваются при нашем отобра-
жении на одинаковый угол, а во-вторых, интеграл (8) сходится
в точке г = оо**); следовательно, при г—>±оо функция w
стремится к одному и тому же пределу.
Таким образом, функция (8) осуществляет соответствие дей-
ствительной оси и некоторой ломаной А;Аг ... Ап. В общем
случае эта ломаная может иметь точки самопересечения и не
ограничивать никакой плоской области (она будет тогда огра-
ничивать неоднолистную область на римановой поверхности).
Исключая такие случаи, будем считать, что Д]Д2...^п являет-
ся границей некоторого (однолистного) многоугольника.
Заметим, что некоторые из вершин этого многоугольника
могут лежать в бесконечности — это будут те вершины Ah, для
*) Мы считаем arg (х — аф равным 0 или л в зависимости от того, бу-
дет ли х > aft или х < сй, следовательно, на каждом отрезке (а*, сгА+1) по-
стоянны все слагаемые суммы (9).
dw
**) Первое утверждение следует из того, что arg на отрезке (ап, °°)
равен arg С, а на отрезке (—oo,at) равен argC+(Saft — п)л — arg С — 2л;
второе утверждение из того, что главный член подынтегральной функции в
Ха»,—п _о
окрестности точки z — оо имеет вид z к = z .
38]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
181
которых «ь 0 (в самом деле, при приближении к соответ-
ствующим точкам щ функция w—*оо, ибо интеграл (8) расхо-
дится, так как порядок бесконечности подынтегральной функ-
ции ^1). Но и в этом случае применим принцип соответствия
границ и можно утверждать, что функция (8) реализует кон-
формное отображение верхней полуплоскости z на внутрен-
ность многоугольника А}А2 ... Ап. Угол при вершине Ak этого
многоугольника равен ибо, как видно из (9), при переходе
через каждую точку ah в направлении слева направо arg-^-
изменяется на —п(схй—1)=л — «йЛ, следовательно, соответ-
ствующий отрезок Лй-Лй поворачивается на угол л — сц.л про-
тив часовой стрелки. Наше предложение полностью доказано.
Предложение остается в силе и в том случае, когда уело-
п
вие 2 «й = л — 2 не выполняется. В этом случае лишь появит-
Й=1
ся дополнительная («4-1)-я вершина многоугольника, соответ-
ствующая точке z = сю. Читатель проверит, что эта вершина
п
будет конечной, если 2 «й < п — 2, и бесконечно удаленной,
А=1
п
если 2 ak > л — 2.
Й=1
отображения внешности
Отображающая функция
6) Отображение внешности «звезды». В заключение, следуя
Л. К. Лахтину, мы найдем общую формулу для
круга |z| > 1 на внешность «звезды», образо-
ванной п прямолинейными отрезками Ls, вы-
ходящими из начала координат (рис. 82).
Угол между Щ и L^+i мы обозначим через
точки окружности, соответствующие вер-
шине этого угла и концу Lk — через а* и Ьь
соответственно (fe = 1, 2, ..., п; Ln+i =
= £>).
Рассмотрим сначала отображение верхней
полуплоскости t, на заданную область. Пусть
а' и b'k будут точки действительной оси пло-
скости £, соответствующие вершинам углов
£й £й+ и концам отрезков £*, и ай — точка
верхней полуплоскости, соответствующая w = оо.
w = / (£), очевидно, в окрестности точек t, — ak должна иметь вид
а в окрестности t, = Ь&.
/(O = cft + (C-fc')24fc(C). ck^o, Фй(*й)*°-
где <рл (£) и ф* (£) — правильные в упомянутых окрестностях функции. Нако-
нец, в точках а и а она должна иметь полюсы первого порядка и должна
182
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[38
быть правильной в остальных точках плоскости Отсюда, как и выше, заклю-
чаем, что логарифмическая производная отображающей функции должна
иметь полюсы первого порядка с вычетами а* * в точках £ = ак, полюсы пер-
вого порядка с вычетами —1 в точках £ — а и t,= а и быть правильной
в точках — Ь,л ив остальных точках плоскости £. Таким образом,
Г (Б) у 1 1
HO l-a 1-а
и, следовательно, после интегрирования и потенцирования получаем:
где С — некоторая постоянная.
„ е. К, — а „
Совершая дополнительное отображение z =-g-—^- верхней полуплоскости
на внешность единичного круга |z[ > 1, получим искомое отображение в виде
п
w = ClJJ(^-aj4 (10)
fe=i
где С и а* (]ай | = 1) —некоторые постоянные*).
Наряду с формулой Лахтина (10) удобно использовать обычную формулу
для отображения внешности круга на внешность многоугольника, которая для
нашего случая имеет вид
Г "
(и)
Й=1
Совместное рассмотрение формул (10) и (11) позволяет избежать утомитель-
ного интегрирования. ч
В качестве примера рассмотрим частный случай п = 2, когда многоуголь-
ник представляет собой внешность двух отрезков, пересекающихся в начале
координат под углом ai = а. Имеем a2 = 2 — а и формулы (10) и (11) при-
нимают соответственно вид:
w = ^-(z — at)a(z — a2)2~“ (12)
И
Г / ~~ \ a—1
w = V—(г - 6,) (z - &2)-r. (13)
J \ < — «2 / <
— a f f/ <с — a- f ff ' \
*) Имеем g = , t, — ak — ak _ (ak — постоянные), £ — a =
n
a — а (а — а) г yr
= , g — a = —z _ i— и> кроме того, у afe — 2.
39]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
183
Приравнивая производные, после простых преобразовании будем иметь:
Q
(z — 6j) (z — 62) = z2 — (а — 1) (а2 — а,) г — ata2,
откуда для определения постоянных Ь\ и 62 получаем уравнение
z2 — (а — 1) (а2 — а,) z — а4а2 — 0.
Можно принять, например, — 1; тогда (а—1)(а2— «О = 1—Oifl2 и
b2 = —ata2. Формула (12) содержит четыре действительных параметра
(C = C]4-ZC2> al=e‘lf>', а2 = е,(Р:); подбирая их, можно добиться соответ-
ствия точек bi, b2 и концов отрезков и L2.
В следующем пункте мы приведем ряд примеров применения
формулы Шварца — Кристоффеля к отображениям многоуголь-
ников.
39. Примеры. 1) Отображение верхней полуплоскости
Imz>0 на прямоугольник AiA2A3A4 (рис. 83). Рассмотрим сначала
отображение первого квадранта плоскости г на правую половину OAtA2B
данного прямоугольника с соответствием точек Л,> 1, В оо
Прообраз точки А2 обозначим 1//г, где 0 < k < 1. Искомое отображение
можно рассматривать как продолжение этого отображения по принципу сим-
метрии через положительную полуось у, сле-
довательно, можно считать, что Л3-<—>1//г.
Таким образом, искомое отображение за-
пишется в виде
а3 ац д, аг
"и к
Рис. 83.
(постоянная G = 0 в силу соответствия точек О > 0). Для определения по-
стоянных С и k воспользуемся соответствием точек At > 1:
а также точек А2 > \/k:
1 1/4 1/4
/< + //<'= с I + С =/с + iC dt
J J J V(t2-1) (1 -k2t2)
(мы разбили интеграл от 0 до \/k па два — от 0 до 1 и от 1 до 1/k и вос-
пользовались равенством (1)). Отсюда
1/4
К.' = С \ -т=^===. (2)
J V(t2 - 1) (1 - k2t2)
184
ГЛ. И. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(39
Мы будем считать постоянную k (0 < k < 1) заданной, а размеры прямо-
угольника К и К' выбранными так, что постоянная С в формулах (!)• и (2)
равна 1:
1 1/fe
= Г —-===£L===r; K’= f r ** zz.-. (3)
J /(1 - t2) (1 - k2t2) J K(/2- 1) (1 - k2t2)
Тогда отображение полуплоскости на наш прямоугольник будет осуществлять-
ся функцией
г
dz
/(1 -z2) (1 -k2z2) ‘
(4)
Интеграл (4) не выражается в элементарных функциях, он принадлежит к
числу так называемых эллиптических интегралов, а функция, обращающая
его (т. е. реализующая отображение прямоугольника на полуплоскость), — к
числу эллиптических функций Якоби. Она имеет специальное обозначение
z = sn w = sn (да; k) (5)
(читается «эс эн да» или «эс эн да, k») и название эллиптический синус.
Подробнее мы ознакомимся с ней в последней главе (см. п 102); там же мы
рассмотрим решение задачи об отображении на полуплоскость произвольного
прямоугольника (а не с фиксирован-
ными размерами, как здесь).
Здесь мы лишь отметим интерес-
ное свойство функции sn г *): она
оказывается мероморфной функцией,
обладающей двумя периодами, отно-
шение которых чисто мнимое.
Для доказательства этого утвер-
ждения мы обозначим наш прямо-
угольник цифрой (/), а его сторо-
ны— цифрами /, II, III, IV, как ука-
зано на рис. 84. Функцию да = sn г,
первоначально определенную в пря-
р ад моугольнике (/), по принципу сим-
Нс' ' метрии мы продолжаем, например,
через сторону I в прямоугольник (2).
Это продолжение реализует отображение (2) на нижнюю полуплоскость.
Продолжая далее это отображение через сторону II' прямоугольника (2),
получим, что да = sn г реализует отображение прямоугольника (3) снова на
верхнюю полуплоскость и т. д. (прямоугольники, заштрихованные на рис. 84, ото-
бражаются на верхнюю полуплоскость, а незаштрихованные — на нижнюю).
Таким образом, мы продолжим функцию да — sn z на всю плоскость г.
При этом функция окажется однозначной, ибо если при обходе какого-либо
замкнутого контура мы вновь попадем, например, в прямоугольник (/), то
новые значения sn г будут совпадать со старыми (они отображают (/) на по-
луплоскость с той же нормировкой, что и раньше). Далее, эта функция пра-
вильна внутри прямоугольников и на их границах всюду, кроме точки 1К' и
всех точек, соответствующих ей при продолжениях (они отмечены на рис. 83
крестиком), где она имеет полюсы, ибо эти точки при конформном отображе-
нии переходят в да = оо. Итак, sn z является мероморфной функцией.
*) Мы изменяем обозначения переменных.
39}
5 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
185
Далее, на рис. 84 черным кружком отмечена произвольная точка z пря-
моугольника (/) и все точки, которые получаются из нее четным числом про-
должений*). Во всех этих точках, имеющих вид z + 4пК + 2n'K'i, где п,
п' — 0, ±1, ±2, ..., функция sn принимает одинаковые значения:
sn (z + 4n/( + 2n'K'i) = sn z. (6)
Это свойство и означает, что sn z имеет два периода т = 4К и т' = 2К'1.
Из рассмотрения продолжений sn z следует также, что эта функция
является нечетной
sn (— z) = — sn г. (7)
2) Полоса с горизонтальным вырезом (рис. 85) представляет
собой четырехугольник, три вершины At, А2 и А3 которого находятся в беско-
нечности и углы сп = а2 = «з = 0. Будем считать а4 = 0, й] = 1 и а2 — оо,
а также примем z0 = 0 (тогда из соответ-
ствия точек а4 и Л4 сразу находим Ci = 0).
Точке А3, следовательно, соответствует не-
которая точка а3 = —а отрицательной по-
луоси. Интеграл Шварца — Кристоффеля
принимает вид:
„ Г z
W = С -----тт-.--:----г
J (z— 1) (г + а)
I / Z \ I
= С' < In (1 - г) + a In И + ~\ 1 (8)
(множитель, соответствующий ’ точке А2, Рис. 85.
исчезает; см. 1) предыдущего пункта).
Для определения постоянных С' и а мы воспользуемся следующим сообра-
жением: когда точка z обходит точку Oj = 1 по полуокружности ст достаточно
малого радиуса г (т. е. когда вектор 1 — z — relV поворачивается, изменяя
свой аргумент от 0 до —л), то соответствующая точка w должна перейти
с луча А4А} на А4А2 и приращение w должно мало отличаться от —11ц:
Aw = — ihi + О (г),
где О(г)—бесконечно малая при г-»-0. Это соображение оправдывается
тем, что образ полуокружности сг при малых г мало отличается от отрезка
прямой, соединяющего лучи А4А4 и Л]Л2 и перпендикулярного к ним.
С другой стороны, при таком малом приращении Az приращение второго
слагаемого из фигурной скобки формулы (8) также будет малым, ибо это
слагаемое непрерывно в точке z = 1. Приращение же первого слагаемого
In (1 —z) = In г + i<p равно —in, следовательно,
Aw = — C'in + О (г).
Приравнивая выражения, полученные для Дш, и переходя к пределу при
г -> 0, находим:
С = Л1/Л.
Аналогично, когда точка z обходит точку а3 — —а по окружности z + а = ге1^’
(ср меняется от л до 0), приращение Aw = — C'ain + О (г) должно мало
отличаться от —ih2; отсюда
__________________ а = h2lh4.
*) Белыми кружками отмечены точки, в которых наша функция при-
нимает значения sn z.
186
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[39
Окончательно, функция, реализующая конформное отображение полуплоскости
1т г > 0 на полосу с вырезом (рис. 85), имеет вид
ш = А1п ([ _г) +Aln[i + А.Д, (9)
л л \ /г2 !
Совершая дополнительное отображение нашей полосы с вырезом па верхнюю
полуплоскость Im to > 0 с выброшенным наклонным отрезком длины 1
(рис. 86):
—f (w + h,i)
(а = е
где Н = hi + h2l и используя формулу (9), мы находим отображение полу-
плоскости Im г > 0 на эту область:
^7 . г . .. . Л» , (< , hi \
— In w — hit = —- In (1 — г) -J-------In 1 + —у-- г
2T 2T Л \ /Z2 /
(мы обозначим « снова через а1). После простых преобразований получим:
w = (z — 1)/!1/я [ 1 + .
h
Выброшенный отрезок составляет с положительной осью угол л-^-, который
мы обозначим через ал (рис. 86); вводя параметр а, получим окончательно
'////////////..
Рис. 87.
4
4
отображение верхней полуплоскости Imz>0 на верхнюю полуплоскость
Im w > 0 с выброшенным отрезком (0, е‘ал):
_ / а \1—а
w = (z- 1)а(1 +—71-2) . (10)
На рис. 86 указаны линии, соответствующие при этом отображении прямым
Im z = const.
При а = 1/2 получаем старый результат (см. п. 33, пример 2).
3) Многоугольник на рис. 87 представляет собой четы-
рехугольник с двумя вершинами в бесконечности. Имея
в виду применение принципа симметрии, мы ограничимся рассмотрением верх-
ней его половины — треугольника AtA2A3 с углами ai = 0, а2 = —а,
«з = 1 + а (2as=l). Назначим точки оси х, соответствующие вершинам,
так: = 0, а2 = оо, а3 = —1; учитывая соответствие точек а3 и А3, имеем:
Z
w = C f dz + th.
J z
-1
39]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
187
Для определения постоянной С мы воспользуемся тем, что при обходе
точкой г полуокружности ст- г = rei<f (<р меняется от л до 0) функция,
определяемая последним интегралом, получает приращение
Г dz
kw = C — + О (г) = — Сл1 + О (г)
Сг
(функция (г+1) “на окружности сг мало отличается от 1: (z-j-l)a= 1+О(г)).
С другой стороны, при этом обходе соответствующая точка w переходит с
луча <4Из на луч Лр42, следовательно, Дц1 мало отличается от —hi. Таким
образом, С = h/л, и функция, осуществляющая конформное отображение
верхней полуплоскости на верхнюю половину многоугольника рис. 87, имеет
вид
Z
h Г <г+ ’)“ . , ..
w = — --------аг + th. (11)
-1
Заменяя здесь г на е1, получим отображение полосы 0 <7 у < л на верхнюю
половину многоугольника;
w = А I Г (ег + 1)“ dz + in .
' 1я
(12)
Так как согласно нашему выбору соответствующих точек нижнему краю
полосы соответствует средняя линия многоугольника, то по принципу сим-
метрии та же функция (12) реализует конформное отображение полосы
—л < у < л на весь многоугольник.
При рациональных а интеграл (12) выражается в элементарных функциях
(он сводится к интегралу от биномиального дифференциала). При а = 1 полу-
чаем уже известное отображение (см. пример 5 п. 30):
w=-^-{e* + z+1). (13)
При а — '/г имеем:
w= —|Кег+1 + 1п (У ez + 1 — 1)—1. (14)
Л ( 2 J
4) Найдем конформное отображение полосы —л < 1шг<л на пло-
скость с двумя выброшенными лучами (рис. 88, 0 < a < 1),
Опять применим принцип симметрии — верхняя половина области в плоско-
сти w представляет собой треугольник с двумя вершинами в бесконечности и
углами ai = a—1, a2 =—a, a3 = 2. Чтобы воспользоваться формулой
Шварца — Кристоффеля, отобразим полосу 0 < у < л па полуплоскость:
t, — ег. Учитывая соответствие точек, указанное на рис. 88, мы принимаем
а1 = 0, «г = —°°, тогда точка аз попадает на отрицательную полуось и мы по-
лагаем а3 — —а, где а — пока неопределенное положительное число. Формула
Шварца — Кристоффеля принимает тогда вид:
w = C J g“-2(S + fl)dS+C1 = c(-^ + -^^-T С,; (15)
здесь С — положительная постоянная, ибо луч не поворачивается при
отображении и, следовательно, arg С = 0 (см. замечание в конце п. 37),
188
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[39
Cj — действительно, ибо подстановка в (15) положительных значений £ должна
привести к действительным w (см. рис. 88). Чтобы формула (15) приняла
, 1 а 1 — “
наиболее простои вид, положим — =—а __ у т. е. а = —-—; будем
иметь:
+ (16)
Соответствие точек £ = — а и w = !е,ап дает:
(eianaa + eianaa~l) +Ct = lelan,
откуда, учитывая, что постоянные С и Ct — действительные, получаем значения
Ci=0 и С — —-—--------------=/а1+“(1 — а)1-а. Подставляя в (16) £ = ег,
а (а + 1)
находим искомое отображение:
w = laa (1 - а)1-а (е“2 - 2).
(17)
На рис. 88 показано также соответствие линий при этом отображении.
17/
O^a-C-g-J представляет собой четы-
5) Многоугольник на рис. 89
рехугольнпк с двумя вершинами в оо и углами cti = а — 2, а2 = 2, а3 = — а,
а4 = 2, Положим а]=0, а2— 1, а3 = тогда а4 попадает на отрицатель-
ную ось и мы считаем а4 = — Ь. Интеграл Шварца — Кристоффеля имеет
вид
Z
w = С
1
г — 1) (с + b) dz =
b
a — 2
= С
----г 2
a — 1
a—2 I a (1 + 6) — 2
-r a (a - 1) (a - 2)
39]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
189
(а =+О, а¥= 1). Для определения постоянных С и b воспользуемся: 1) тем,
что луч Л2Л3 переходит в положительную полуось, следовательно, arg С = О,
т. е. С — положительная постоянная; 2) соответствием точек г = —b и w = at.
Отделяя в (18) после подстановки г = bein, w — ai действительные и мни-
мые части, получим два уравнения:
^-‘созжх- 2~д(1 + &) С = аЬ'~а- а(а~ (а~2) (19)
2b — а (I + b) sin ла 2b — a (1+6)
которые и позволяют (хотя бы приближенно) найти неизвестные постоянные.
—а
Рис. 89. Рис. 90.
1 3 Гз-
В частности, при а = — получаем 6 = 3, С =——а, и отображающая
2 <32
функция принимает вид
вм = -^-Кз7(1 --V. (20)
16 \ Z /
При а == 1 вместо выражения (18) получаем:
w = cf z + — + (b- 1) In г— 1 — (Л; (21)
( z J
для определения постоянных имеем уравнения
6) Мн»гоугольник на рис. 90 представляет собой пяти-
угольник. Рассмотрим его правую половину — четырехугольник с углами
Gj = '/?> «2 = «4 = 0, а3 = 3/2 (2 nk = 2)- Конформное отображение верхней
.полуплоскости t, на этот четырехугольник, если принять а, = 0, а2 = 1, а, = а2,
д4=оо, осуществляет функция
5 _______
о
Для подсчета постоянных а и С рассматриваем приращения w при об-
ходе z по полуокружностям Сл и с, с центром £ = 1 и, соответственно,
бесконечно бальшого и бесконечно малого радиусов. Первому обходу соот-
ветствует переход с луча AtA4 на луч Л3Л4, следовательно, Дш = Н + 0(1//?);
с другой стороны, при больших |£| корень под интегралом близок к 1 и,
5
Г d?
) s-l
следовательно, Дш
о
+ о(4-)=-г'яС + о<1/я);
\ А /
сравнивая
190
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[39
эти выражения, находим С = Hi/п. Второму обходу соответствует пере-
ход с луча АгА2 па A3A2t следовательно, Аги — in 4- О (г), а интеграл
Шварца — Кристоффеля дает Аа> = С К1 — а2 (— in) + О (г); сравнение
этих двух выражений приводит к равенству а2 = (Н2 4- h.2)/H2.
гт £ — а‘
Подстановка —-—
приводит наш интеграл к виду
со
„„ Г f а2 - 1 , 1 1 .
co = 2С -{ , , . .-----п—=- + -------Г > dco,
J I 1 4- (а2 — 1) со2 1 — со2 J
о
после чего интеграл легко вычисляется. Подставляя найденные значения
а и С и интегрируя, получаем:
д4у+««чь/
Вспомогательному разрезу по мнимой оси в плоскости w соответствует разрез
по отрицательной полуоси в плоскости £, поэтому, по принципу симметрии,
полученная функция реализует
отображение плоскости t, с вырезанной поло-
жительной полуосью на весь заданный пя-
тиугольник.
Полагая £ = г2, получим окончатель-
ное отображение верхней полуплоскости г
на весь пятиугольник:
2z / hz
w = — h arctg-----7^==
л k HVz2 — а
+ Н ar th —2 -.....V (23}
Vz2 -а2 /
7) Углы многоугольника на
рис. 91 суть а: = а3 = а5 = 0, а2 =
— а.) = 3/2. Пусть точки, соответствующие
вершинам, будут в| = —а, а2 = —1, а3 —
= —Ь, сц = 0, = оо, тогда функция, ото-
бражающая верхнюю полуплоскость на этот многоугольник, имеет вид:
/z(z+ 1)
(z + a) (z + b)
dz.
(24)
1
Интегрируя по бесконечно большой полуокружности с центром в начале
координат, найдем С(—in) =—ih3, откуда С = h3/n. Интегрируя по беско-
нечно малым полуокружностям с центрами в точках z = —а и z = —b, по-
лучим *)
„ Va (a — I) t х „ i К& (1 — Ь) , . ч
~С -a + b и С-------------(-/л)=Л2,
Ка(а—1) hi Vb (1 — b) h2
откуда -------;--— 1—;-----= ——, Последние два уравнения
а — b h3 a — b h3
позволяют найти а и Ь\ интеграл (24) выражается в элементарных функциях.
*) Нетрудно проследить, что здесь следует брать отрицательное значе-
ние корня.
391
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
191
8) В заключение приведем пример отображения круга |г|< 1 на
внутренность многоугольника — пятиконечной звезды, изображенной
на рис. 92. Эта область представляет собой десятиугольник, пять углов кото-
рого равны а — 5/7 и пять [3 = 1/5. Мы воспользуемся формулой (6) п. 38;
чтобы найти точки окружности, соответствующие вершинам звезды, рассмо-
трим десятую ее часть — треугольник AtBiO (рис. 92). Этот треугольник
можно отобразить на сектор 0<argz<rt/5, |г| < 1 так, чтобы точка Л]
. я
перешла в 1, а В1— в е 5 По принципу симметрии наше отображение про-
i (k - 1)
переходят в а. =е °
должается на всю звезду, причем точки
(корни пятой степени из 1), a В,.— в Ьк =
= е ' (корни пятой степени из —1);
k = 1, 2, ..., 5. В силу единственности ото-
бражения его можно найти по формуле (6)
п. 38, которая, следовательно, принимает вид
dz —
/п LL \ К/
w = С ---------------—
J П (г ~Ьк)-
С (1 -
=С ,. . (25)
«%
Рис. 92.
о
(мы воспользовались очевидными тожде-
ствами П(г — ак) = г5 — 1, П (z — bk) =
= г54-1; П — знак произведения).
Постоянную С мы примем действительной, она определяется размером
ОВк — R звезды:
а г = 0 — в центр,
так. как точка г = —1 переходит в вершину звезды,
то
О
-1
(1 - х5)2^
--------цч- dx;
после подстановки t — этот интеграл переходит в интеграл, выра-
жающийся через гамма-функцию Эйлера:
—^т- f /_9/10(1 — /)-’^ dt ~ ——
5-27, J U ’ а 5.22/s
о
(см. п. 90). Таким образом,
с ~ /1х I 1 \ R-
(26)
Г
192
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[40
40. Скругление углов. Во многих практических вопросах при-
ходится учитывать, что фактически углы рассматриваемых мно-
гоугольников всегда скруглены. Мы дадим здесь приближенные
методы учета влияния таких закруглений.
1) Скругление угла, меньшего л. Найдем сначала
функцию, реализующую отображение верхней полуплоскости г
на верхнюю полуплоскость из которой выброшена малая пло-
щадка, ограниченная отрезком (—1,1) и
дугой кривой, опирающейся на этот отре-
зок и касающейся действительной оси в его
концах*) (рис. 93). Для этого мы рассмот-
рим отображение + — 1 верхней
полуплоскости £ на верхнюю полуплос-
кость Zi с выброшенным единичным полу-
кругом и в качестве нашей кривой возь-
мем прообраз половины эллипса с полу-
осями 1 и 1 + Л, близкого к полуокруж-
ности (рис. 93). Теперь остается найти
отображение верхней полуплоскости Z\ с выброшенной поло-
виной эллипса на верхнюю полуплоскость г. Последняя задача
решается элементарно. Преобразованием подобия z2 = гу/с,
где с = ]/(1 Ц- А)2 — 1 = У h (2 -ф h), мы переводим фокусы
эллипса в точки ±1, затем применяем отображение z2 =
1 / 1 \
= V 2з--------- получая в плоскости г3 вместо эллипса круг
‘У z3 / ______
1 + /1 + с2
радиуса г =-----------
наконец, преобразова-
нием 2 + "f-) получаем верхнюю полуплоскость. Имеем:
г3 = г (z + /г2 — 1), zx = [(г — у) Z + (г + у) /z2 — 1 , или,
учитывая выражения для г и с, zx = z + (1 + ft) Уг2 — 1 .
Наконец, пренебрегая малыми порядка выше Л, получаем
окончательно:
С помощью дополнительных линейных преобразований £==
== at, ф- b, z — az + b мы получим более общий результат:
функция **)
£ ~ Z — 4г {V(z — bi)3 (z — b2)3 -(z-bi)(z—b2) (z—b)} = gb (z), (2)
*) Функция из примера 2) п. 34 не годится, ибо там дуга не касается оси.
**) Вместо г и g мы снова пишем г и g.
10]
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
193
Рис. 94.
где bi — b — а, b2 — b-}-a, реализует отображение верхней по-
луплоскости Im г > 0 на верхнюю полуплоскость Im£ > 0 с вы-
брошенной малой площадкой, ограниченной отрезком (Ь — а,
b Ц- а) и дугой, опирающейся на этот отрезок и касающейся его
в концах; величина h, пропорциональная максимальной орди-
нате кривой, предполагается малой высшего порядка относи-
тельно а (рис. 94).
Пусть теперь функция w = / (£) реализует конформное ото-
бражение верхней полуплоскости 1ш^>0 на некоторый много-
угольник Д, причем точка b соответ-
ствует вершине В угла многоуголь-
ника, меньшего л. Совершая допол-
нительное отображение £ = gb(z) с
помощью функции (2), мы найдем
конформное отображение
w = HSTb(^)] (3)
верхней полуплоскости z на область
А, которая получается из Д скруг-
лением угла В в достаточно малой окрестности вершины этого
угла (рис. 94). Повторным применением этого приема можно
скруглить все углы Д, меньшие л.
2) Скругление угла, большего л. Без ограничения
общности можно считать, что вершина многоугольника Д,
угол при которой мы скругляем, лежит в точке w = 0, сторона
Д]Л2 идет по положительной полуоси и «1 — 0, а прообразы
—а,2, —аз, ..., — ап остальных вершин Д отрицательны (этого
всегда можно достичь дополнительными дробно-линейными пре-
образованиями плоскостей). В этих предположениях функцию,
реализующую конформное отображение верхней полуплоскости
z на многоугольник Д, можно записать с помощью интеграла
Шварца — Кристоффеля в виде
Z
w = C | (г) dz, (4)
о
где <р (z) = (z + аг)”2-' • • • (z + Яд)0"-1 и С — положительная
постоянная (argC = 0 в силу нашего выбора отрезка Л1Л2).
Для того чтобы скруглить угол в вершине А\, мы вместо
(4) рассматриваем функцию
w — f(z)==C | {za‘-1 + Y (г -ф- Р)“‘-'} <р (г) dz, (5)
о
194
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(40
где р и у — постоянные, подлежащие определению; мы будем
считать р малым положительным числом (во всяком случае,
Р < ап). Согласно разделу 5) п. 38 функция
Z
w = f2 (z) — Су J (г + Р)а‘~! ф (г) dz
о
реализует отображение полуплоскости Im z > 0 на многоуголь-
ник со сторонами, параллельными сторонам А, причем точка
z = —р соответствует вершине В", лежащей на отрицательной
полуоси и (угол при ней равен а\п), а остальным вершинам
А2, ..., Лп соответствуют точки —а2, ..., —ап (этот много-
угольник обозначен пунктиром на рис. 95).
Рассмотрим еще функцию
w — fi(z) — C J г“1-1ф (z) dz,
о
которая реализует отображение полуплоскости Imz>0 на
многоугольник с вершинами Ль А2, ..., А'п (он обозначен на
рис. 95 тонкими сплошными линиями). Для каждого фик-
сированного z вектор w,
определяемый формулой
(5), получается сложе-
нием векторов fi(z) и
f2(z). Выполняя это сло-
жение, мы убедимся в
том, что когда z описы-
вает действительную ось,
точка w будет описывать
замкнутый путь Л}Л2 ...
...AnBAs, который весь,
кроме участка BAlt со-
стоит из отрезков, парал-
лельных соответствую-
щим сторонам заданного
многоугольника (жирные
линии на рис. 95).
Для того чтобы получить параметрические уравнения уча-
стка BAi, мы введем положительный параметр t — —z (0 <
< t < Р). Формула (5) даст тогда
dw du , . dv l 1 .. /о a“i—H i i\
Z -Y(₽-0‘ )<P(-O.
§ 3. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
195
откуда для тангенса угла наклона касательной к BAt с осью и
будем иметь:
dv
. q _ dt _________sin _________________sinain_____
cosa1n./a--1-Y(P-/)a‘-1“cosai3t_v(£_1jai-1 '
Из этого выражения видно, что в случае угла, большего л
(т. е. при 1 <ai <2), tg 0 будет равным 0 в точке t = 0, со-
ответствующей 4], и равным tgcxiJT в точке t = р, соответствую-
щей В. Таким образом, в случае угла,
большего л, дуга BAi действительно
скругляет угол при вершине Ai *).
Согласно принципу соответствия
границ функция (5) реализует кон-
формное отображение полуплоскости
Imz>0 на область Д, ограниченную
контуром Д1Л2 ... AnBAt. Варьируя
постоянные С, р и у, мы можем дос-
тичь того, что область Д будет сколь
угодно мало отличаться от заданной
многоугольной области Д.
Покажем, как это делается, на од- Рис- 96-
ном простом примере. Рассмотрим
многоугольник, изображенный на рис. 96, — это частный слу-
чай треугольника из примера 3) предыдущего пункта. Будем
считать, что точкам Alt А2 и А3 соответствуют точки 0, 1 и сю
действительной оси; тогда интеграл Шварца — Кристоффеля за-
пишется в виде
w = С
КТ dz
1 — г ’
(6)
где С — положительная постоянная (на участке (0,’l) w дол-
жно принимать положительные значения). В соответствии с
do _ , „
=0 и дуга А{В не скру-
““ Й=в
*) При ctj < 1 имеем —г—
= tg ЩЛ.
f=0
гляет угол. Скругления в этом случае можно достичь, если вместо (5) взять
функцию
Z
w = С j {za‘-1 + у (z — Р)“1-1} <р (z) dz,
о
где р > 0, однако такой способ менее удобен, чем описанный в начале пункта.
гг*
196
ГЛ. II. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[40
изложенным выше мы полагаем вместо этого
z — ____
w = C Уг-+^ + Р-^. (7)
J 1 —• z ' '
о
Эта функция переводит отрезок (0, 1) в положительную полу-
ось, и мы потребуем, чтобы при переходе через точку z = 1 она
получила приращение i/i; отсюда, как и в п. 39, получаем:
Сл(1 + у /Т+Т) = h. (8)
Далее мы потребуем, чтобы точке г — —Р соответствовала точ-
ка В = —р — ip так, чтобы при малых р дуга ДА] была близка
к дуге окружности радиуса р. После замены z = — t это при-
ведет к уравнению
3 _ ___
Р + Ф = С J ----------dt.
о
Разделяя в ней действительные и мнимые части и интегрируя,
придем к следующим двум соотношениям:
р = 2С{/р -arctg/р},
Р = 2Су{ /ПТarth ]/-JH-Vp). (9)
Полученные три соотношения (8) и (9) позволяют найти р, С
и у, как функции параметра р. При малых р имеем:
С-ТйД-М V«l+f- (Ю)
Отображающая функция примет тогда вид (с точностью до ма-
лых высшего порядка относительно р)
w = -^-|arth Vz — У/z Ц- — 1) /г (11)
* *
*
В этой главе мы ознакомились с некоторыми задачами тео-
рии конформных отображений, относящимися к кругу проблем,
сформулированных в начале п. 28. В следующих двух главах
читатель найдет дальнейшие примеры таких задач. В гл. III
конформные отображения будут встречаться в связи с реше-
ниями различных краевых задач теории плоских векторных по-
лей, тесно связанных с приложениями. Гл. IV посвящена вариа-
ционным принципам в теории конформных отображений; мы
рассмотрим там поведение конформных отображений при изме-
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ II
197
нении границы отображаемых областей (проблема 3 из п. 28), а
также некоторые приближенные формулы.
Мы не будем касаться методов приближенных расчетов кон-
формных отображений (за исключением метода сеток в п. 45,
который может быть использован для этой цели). С аналити-
ческими методами таких расчетов читатель может ознакомиться
по гл. V книги Л. В. Канторовича и В. М. Крылова [9].
Для многих практических целей предпочтительнее методы рас-
четов, использующие физические аналогии — методика таких
расчетов с применением несложных специализированных прибо-
ров и электропроводной бумаги описана в книге П. Ф. Филь-
чакова и В. И. Панчишнна [11].
С некоторыми практическими методами читатель может
ознакомиться по книге Коппенфельса и Штальмана [13].
Литература к главе II
[1] А. И. Мар куш ев и ч, Теория аналитических функций, тт. 1, 2, «Наука»,
1968.
[2] М. А. Лаврентьев, Конформные отображения с приложениями к не-
которым вопросам механики, Гостехиздат, 1947.
[3] Б. В. Ш а б а т, Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.
[4] К. К а р а т е о д о р и, Конформное отображение, перев. с англ., ОНТИ,
1934.
[5] Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минималь-
ные поверхности, перев. с англ., ИЛ, 1953.
[6] Г. М. Го л узин, Геометрическая теория функций комплексного пере-
менного, Гостехиздат, 1952.
[7] М. В. Келдыш, Конформные отображения многосвязных областей
на канонические области, Успехи матем. наук. вып. VI, 1939, стр. 90—119.
[8] Г. М. Г о л у з и н, Л. В. Канторович и др., Конформное отображе-
ние односвязных и многосвязных областей, ОНТИ, 1937.
[9] Л. В. Канторович и В. И. Крылов, Приближенные методы выс-
шего анализа, Физматгиз, 1962.
[10] П. Ф. Фильчаков, Приближенные методы конформных отображений.
Справочное руководство, Киев, 1964.
[11] П. Ф. Фильчаков и В. И. Панчишин, Интеграторы. Моделиро-
вание потенциальных полей на электропроводной бумаге, Изд-во АН
УССР, Киев, 1961.
[12] Г. Н. Положий, Эффективное решение задачи о приближенном кон-
формном отображении односвязных и двухсвязных областей и опреде-
ление постоянных Кристоффеля — Шварца при помощи электрогидродина-
мических аналогий, Укр. матем. журн. 7, № 4 (1956), 423—432.
[13] В. Коппенфельс и Ц. Штальман, Практика конформных ото-
бражений, перев. с нем., ИЛ, 1963.
Глава III
Краевые задачи теории функций и их приложения
Мы уже говорили, что теория функций комплексного пере-
менного и в особенности ее геометрическая часть — теория кон-
формных отображений — возникла и развилась на основании
физических представлений. Леонард Эйлер и Жан Далам-
бер пришли к условиям аналитичности функций комплексного
переменного из гидродинамических соображений, Бернхард
Риман в своих исследованиях постоянно пользовался интер-
претациями аналитических функций, связанными с плоскими
течениями жидкости и тепловыми потоками.
С другой стороны, обратно, развитие теории функций ком-
плексного переменного позволило создать новые методы реше-
ния важнейших практических задач из различных разделов ма-
тематического естествознания (гидро- и аэродинамика, теория
упругости, электростатические, магнитные и тепловые поля
и т. д.). Следует отметить, что большие заслуги в приложениях
теории функций комплексного переменного принадлежат уче-
ным нашей страны.
Николай Егорович Жуковский и Сергей Алексеевич
Чаплыгин (1869—1942) в начале XX в. пришли ко многим
принципиальным результатам в применении теории функций
к гидро- и аэродинамике. Методы теории функций комплекс-
ного переменного играют весьма существенную роль в их заме-
чательных статьях, а также в книге Н. Е. Жуковского «Теорети-
ческие основы воздухоплавания» (1911 г.). И в наши дни важ-
ные и глубокие применения теории функций к гидро- и аэро-
динамике получены советскими учеными (М. В. Келдышем,
С. А. Христиановичем, В. В. Голубевым, Л. И. Седо-
вым и другими).
Г. В. Колосов*) в 1909 г. положил начало серьезному
применению теории функций комплексного переменного к пло-
ской задаче теории упругости. Блестящее решение этой задачи
*) Гурий Васильевич Колосов (1867—1936)—русский ученый, спе-
циалист по теории упругости.
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
199
методами, опирающимися на теорию функций, получил в два-
дцатых годах Н. И. Мусхелишвили. Эти методы изложены
в его книге [10], первое издание которой вышло в 1933 г. Методы
теории функций комплексного переменного занимают видное
место и в исследованиях по различным отраслям физики
(В. А. Фок, Н. Н. Боголюбов, В. С. Владимиров и др.).
В этой главе мы рассмотрим основные физические представ-
ления, связанные с теорией функций комплексного переменного,
и простейшие приложения этой теории. Изложение мы начнем
с теории гармонических функций двух переменных, тесно свя-
занных с потенциалами плоских векторных полей, основных
краевых задач теории гармонических и аналитических функций
и затем на основе развитой теории изложим основные вопросы
приложений.
§ 1. Гармонические функции
Гармонической в области D функцией называется
тельная функция и(х,у) двух действительных переменных, об-
ладающая в этой области непрерывными вторыми частными
производными и удовлетворяющая дифференциальному урав-
нению *)
действи-
. д2и , д2и „
Ли + “ТТ = 9
ах2 1 ду2
(д2 д2
А = — символ дифференциального- оператора). Это
уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Ла-
плас рассмотрел его в 1782 г., а задолго до него это уравнение
использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и
другим разделам математической физики. Заметим сразу, что
в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комби-
нация
п
2 akuk (х, у)
k=i
гармонических функций uh(x, у) с действительными постоян-
ными коэффициентами ад снова является гармонической
функцией.
Как мы увидим в последующих параграфах этой главы, по-
тенциалы важнейших векторных полей, рассматривающихся
*) Здесь всюду будет идти речь о гармонических функциях двух пере-
менных, ибо именно они тесно связаны с аналитическими функциями. Для
практики не менее важны гармонические функции трех переменных и(х, у, г),
. д2и , д2и , д2и п
удовлетворяющие уравнению Ди = ~ котоРые, однако,
мы не будем рассматривать.
200
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[41
в физике, являются гармоническими функциями, и любую гар-
моническую функцию можно представлять физически как по-
тенциал некоторого поля. Поэтому и в общем случае гармони-
ческие функции часто называют потенциалами, а теорию гармо-
нических функций — теорией потенциала.
41. Свойства гармонических функций. Выясним прежде всего
связь между понятиями аналитических и гармонических функ-
ций. Эта связь выражается в следующих двух простых тео-
ремах:
Теорема 1. Действительная и мнимая части произволь-
ной функции f(z) = u(x,y)-\-iv(x,y), однозначной и аналити-
ческой в области D, являются в этой области гармоническими
функциями.
Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши-
Римана
ди dv ди dv
дх ду ’ ду дх ’ ' '
В самом деле, так как аналитические функции обладают произ-
водными всех порядков, то уравнения (1) можно дифференци-
ровать по х и у. Дифференцируя первое из них по х, а второе
по у и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производ-
ных, находим:
д2и _ d2v ___ д2и
дх2 дх ду ду2 ’
откуда
. д2и . д2и „
Ди =' д 9~ -4—== О,
дх2 1 ду2
Для функции v(x, у) доказательство аналогично.
Две гармонические в области D функции и(х, у) и v(x,y),
связанные условиями Коши — Римана, называются сопряжен-
ными.
Теорема 2. Для всякой функции и(х,у), гармонической
в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней
гармоническую функцию v(x,y).
В самом деле, рассмотрим интеграл
Z
Va(x, у) = J — -^-dx + ^dy,
Zt
где zo — х0 + iy0 — фиксированная, a z = x'-\-iy — переменная
точка области/). В силу уравнения Лапласа
этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является
функцией только точки г; мы и обозначаем эту функцию
41) § I. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 201
о0(х, у). Имеем, пользуясь свойствами криволинейных инте-
гралов,
= Нт у) = Нт > Г -.du_dx^_du
дх h+o h h-+o h j дУ дУ
z
(мы можем брать интеграл от z до z h по горизонтальному
отрезку, на котором dz/ = O); аналогично, Следова-
тельно, v0(x, у) и является искомой функцией, • сопряженной
с функцией w(x,у). Так как функция определяется своими част-
ными производными с точностью до постоянного слагаемого,
то совокупность всех гармонических функций, сопряженных
с и(х,у), дает формула
Z
V(x, у)= J-^-dx + ^dy + C, (2)
г»
где С — произвольная (действительная) постоянная.
Заметим, что в многосвязной области D интеграл (2)
Z
V(x, y) = ^-^Ldx + ^dy + C
2,
определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он
может принимать различные значения вдоль двух путей L и L,
соединяющих точки z0 и г, если эти пути нельзя деформировать
друг в друга, оставаясь в области D (т. е. если внутри области,
ограниченной L и L, имеются точки, не принадлежащие к D).
Очевидно, на наш случай полностью переносится соответствую-
щее рассуждение п. 13 и можно утверждать, что в многосвяз-
ной области общая формула для значений функции и(х, у),
определяемой интегралом (2), имеет вид:
Z
V (X, у) = £ - -g- dx + -~dy+^Vl+M2r2 + ... + ЛГПГ„+С, (3)
2» °
где Л\ — произвольные целые числа и Г* — интегралы вдоль
замкнутых контуров каждый из которых содержит внутри
себя одну связную часть границы D:
<4>
(ср. формулы (2) и (3) из п. 13). Постоянные Г\ называются
периодами интеграла (2), или циклическими постоянными.
202
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[41
Если в некоторой области D', лежащей в D, можно выде-
лить однозначную и непрерывную ветвь функции v(x, у), опре-
деляемой формулой (3), то эта ветвь, очевидно, является гар-
монической функцией, сопряженной с и(х,у). Поэтому функ-
цию v (х, у) считают многозначной гармонической функцией.
Заметим, что частные производные этой функции однозначны:
dv ди dv du ,
•з— — —т—,-т— =-з—; это вытекает из формулы (3).
дх ду ду дх ’ -г г j \ /
Теорему 2-можно, очевидно, сформулировать так:
Теорема 2'. Любую гармоническую в области D функцию
можно рассматривать как действительную или мнимую часть
некоторой аналитической функции f(z); эта последняя опреде-
ляется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно
мнимого или действительного.
Мы не исключаем случая многосвязных областей, поэтому
аналитическая функция f(z) может оказаться многозначной.
Пример. Подсчет частных производных показывает, что функция
и = In (х2 + у2) — 2 1п | z |
является гармонической в кольце 0 < |z| < оо. Интеграл (2) имеет вид:
Z
J/) = 2 I , ~ + с = 2 Arg г + С
J L л ~Г У
го
и представляет в кольце 0 < |z| < оо бесконечнозпачную функцию. Соответ-
ствующая аналитическая функция
f (г) = и + iv — 2 In | z | + 2i Arg z + iC = 2 Ln z + iC
также бесконечнозначна.
Теорема 3. Любая гармоническая функция и(х,у) яв-
ляется аналитической функцией своих аргументов х и у, т. е.
в окрестности каждой точки z0 = х0 Ц- 1у0 области D она пред-
ставляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда
оо
И (х, у) = 2 стп (х — х0)т (у — у0)п. (5)
т, п=0
В самом деле, и(х,у) по теореме 2' можно рассматривать как
действительную часть функции f(z), однозначной и аналитиче-
ской в некоторой окрестности \z-—точки го. Пусть
в этой окрестности
оо
f (z) = 2 сп — г0)л, (6)
41] § 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 203
где сп — ап + фп. Действительная часть общего члена ряда (6)
ап | (х Л'о)"---~ (х — хо) (У — Уо)2 + • • • | +
+ ₽»{-'>(•«- ««)"“' (</ — </») +
+ (X - to - »)’ + ...}. (7)
по абсолютной величине не превосходит
|ся|{|х- х01 + 1г/ —
а так как по теореме Абеля п. 19 ряд (6) абсолютно сходится
оо
в любом круге |z —z0|<r</?, т. е, ряд 2 I сп \гп сходится
д=0
при г < R, то и ряд с общим членом (7) будет абсолютно схо-
диться при |х— Хо| + |г/ — г/о|< Этот ряд и представляет
собой ряд для и(х,у). После перегруппировки его членов (что
законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы полу-
чаем требуемый ряд (5). Теорема доказана.
Из доказанной теоремы, в частности, вытекает, что гармо-
нические функции обладают частными производными всех по-
рядков. Нетрудно показать, что последние также являются гар-
моническими функциями (см. теорему 1 п. 17).
Основываясь на теореме 3, можно получить практически
удобный способ восстановления аналитической функции f(z)
по известной действительной части и(х,у). Элементарно пре-
образуя выражение (7) общего члена ряда для и(х,у), мы по-,
лучаем представление этой функции в окрестности точки z0:
ОО
и (х, (/) = а0 + 1 v {fn [(х - х0) + Цу- у^]п +
п=1
+ [(х — х0) — i(y — 1/о)]”}.
Этот ряд, по теореме Абеля, сходится и для комплексных зна-
чений х и у, достаточно близких к х0 и г/0, поэтому в нем можно
положить х — х0 = ~ г° , у — у0 = £ ' где £— тбчка, до-
статочно близкая к Zo, и мы получим:
ОО
и (хо + -Цр1 . Уо + -Цг1) = ao + j 2о)л =
П=1
— “о + у [f (?) — со!-
204
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
I4t
Заменяя здесь £ через z, после простых преобразований полу-
чаем окончательную формулу
-f (z) = 2и (ЦА, ZZLfo.) _ (8)
Формула (8) получена для точек г, близких к го, но, по теореме
единственности, очевидно, сохраняет силу во всей области опре-
деления f(z), ибо в этой области обе части (8) являются анали-
тическими функциями z.
В частности, если f(z) аналитична в начале координат, то
можно положить Zo — 0, и формула (8) принимает особенно
простой вид:
= , ~)~с0. (9)
Приведем несколько примеров применения формул (8) и (9):
1) и = х г/, f (z) — г 4—4- С = (1 — i) z Ц- С
(формула (9));
2) и — In (№ 4- у2), f (г) = 2 In { (г * 1)2~ — (г у1)2- }+C = 21nz4-C
(формула (8), zQ = 1);
sin 2х
ch 2у — cos 2х ’
2 sin z 4-4
f W =-------77г-------------Ч--------+ С = ctg г 4- С
ch z — zj — cos ^z 4- -)
(формула (8), z0 = n/2).
Во всех трех формулах С — чисто мнимая постоянная.
Перейдем к рассмотрению свойств гармонических функций.
На основании теорем 1 и 2 эти свойства легко получаются из
соответствующих свойств аналитических функций. Для удоб-
ства мы будем иногда писать u(z) вместо и(х,у), как пишут
и(Р) вместо и(хь х2, ..., хп) для функций нескольких пере-
менных, понимая под Р точку с координатами (xj, Хг, хп).
Теорема 4 (о среднем). Если функция u(z) непрерывна
в замкнутом круге радиуса г с центром в точке z и гармонична
внутри этого круга, то
2Л
u (z) = -^ / u (2 + reiv) dff. (10)
о
Доказательство вытекает непосредственно из формулы (5) п. 14
отделением действительных частей.
Теорема 5. Отличная от постоянной гармоническая функ-
ция не может достигать экстремума во внутренней точке обла-
сти определения.
41]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
205
Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо
точка минимума гармонической функции u(z) является точкой
максимума функции — u(z), также гармонической. Предполагая
противное, предположим, что гармоническая функция u(z) до-
стигает максимума во внутренней точке го области.
В окрестности точки z0 построим однозначную аналитиче-
скую функцию f(z) такую, что u = ~Ref(z). Функция ана-
литична и не постоянна, а ее модуль еи&>, по нашему предпо-
ложению, достигает максимума во внутренней точке области z0.
Это противоречит принципу максимума из п. 15, и теорема
доказана.
Можно было бы доказать теорему 5 непосредственно на
основании теоремы о среднем в точности так, как доказывается
принцип максимума в п. 15.
Теорема 6. Если гармоническая во всей открытой пло-
скости функция u(z) ограничена хотя бы сверху или снизу, то
она постоянна.
В самом деле, пусть u(z) ограничена сверху: w(z)<M. По-
строим аналитическую во всей открытой плоскости функцию
f(z) такую, что u(z) = Ref(z). По условию теоремы все зна-
чения функции w = f(z) лежат в полуплоскости и < М, сле-
довательно, по замечанию в конце п. 28, функция f(z) постоян-
на, а значит, постоянна и u(z).
Следующие две теоремы устанавливают характер линий
уровня гармонических функций, т. е. совокупностей точек, для
которых w(z)= const.
Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая
функция u(z) имеет замкнутую линию уровня u(z)=uo, то
внутри линии находится хотя бы одна особая точка*) этой
функции.
В самом деле, в противном случае функция u(z), непре-
рывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, дол-
жна достигать своего наибольшего значения u{z}) и наимень-
шего значения u(z2). По теореме 5 точки z} и z2 должны ле-
жать на границе области, т. е. на линии уровня; следовательно,
u(zi) = w(z2), и функция ц(г) постоянна.
Теорема 8. Любая достаточно малая окрестность точки
?о линии уровня u(z)—u0 разбивается этой линией на четное
число 2п(п^> 1) секторов, в которых u(z) попеременно прини-
мает значения, большие и меньшие и0.
Функция u(z)—Uq равна нулю в точке zo', подобрав к ней
сопряженную функцию v(z) так, чтобы v(zo) = 0, получим ана-
литическую функцию f(z)=u(z)—«oH-iy(z), также равную
*) Так называют точку, в которой нарушается условие гармоничности
функции.
206
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[41
нулю в точке z0. Обозначим через п порядок этого нуля, тогда
в окрестности точки z0 имеем f(z) — cn(z— z0)n-K
4-cn+i(z — z0)n+1 + ..., cn =/= 0 и, следовательно,
и (z) = и0 Re f (z) = «о + Ar" sin (nq> -j- B) + 0 (r")> (11)
где положено z — zo = re^, A 0 и В — некоторые постоянные
и o(rn) означает малую порядка выше гп при z—>0. Отсюда
видно, что для достаточно малых г при изменении ф от 0 до 2л
разность и — и0 обращается в нуль 2п раз, меняя при этом знак.
Теорема доказана.
Точно так же доказывается, что линия уровня сопряженной
с u(z) гармонической функции u(z), проходящая через точку г0,
в окрестности этой точки распадается на п ветвей, касающихся
в z0 биссектрис секторов, о которых идет речь в теореме 8.
Из теоремы 8 вытекает, что линия уровня гармонической
функции может иметь лишь простые точки (/г = 1) или кратные
точки*) с различными касательными (п > 1) — случаи изолиро-
ванных точек, концевых точек или точек возврата исключаются.
Для дальнейшего полезно отметить следующее предложение,
обратное теореме о среднем.
Теорема 9. Если функция u(z) непрерывна в области D
и в любой точке z для достаточно малых г
2л
U = J U + re‘^ d(f>
о
то функция u(z) гармонична в D.
Наше доказательство основано на теореме существования
гармонической функции, принимающей на границе односвязной
области заданные значения; эта теорема будет доказана в п. 43.
Пусть Zo — произвольная точка D и Do — замкнутая односвязная
область, принадлежащая D и содержащая точку г0 внутри. По
цитированной теореме построим гармоническую функцию ua(z),
принимающую на границе Со области Do те же значения, что
и функция u(z), и обозначим U(z) = u0(z)—u(z).
По построению и условиям доказываемой теоремы функция
U(z) непрерывна в Do и равна нулю на границе этой области.
Кроме того, значение U(z) в центре любого круга, принадлежа-
щего Do, равно среднему арифметическому ее значений на окру-
жности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции
u(z) и uq(z): первая по условию, а вторая по теореме о среднем.
*) В любой замкнутой области гармоничности функции u(z) может нахо-
диться конечное число кратных точек линии уровня (в каждой такой точке
f'(z) =0); в противном случае по теореме единственности (п. 20) должно
быть f'(2) s 0-
41] § 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 207
Отсюда вытекает, что функция U(z) не может достигать экс-
тремума во внутренних точках £)0; доказательство этого пред-
ложения опирается лишь на непрерывность функции и теорему
о среднем (см. замечание после теоремы 5). Но так как не-
прерывная в замкнутой области функция U(z) должна дости-
гать своих экстремальных значений, то она достигает их на
границе Do- А так как на границе всюду U(z) = 0, то и макси-
мальное и минимальное значения U(z) равны нулю, а следова-
тельно, С'(г) = 0 всюду в Do- Это означает, что всюду в Do
функция и (г) совпадает с гармонической функцией ua(z) и,
в частности, гармонична в точке г0. Так как г0 — произвольная
точка D, то теорема доказана.
Приведем теперь теорему, аналогичную теореме Вейер-
штрасса п. 19.
Теорема 10. Пусть задана последовательность функций
u0(z), ui(z), .... un(z), ..., гармонических в области D и не-
ОО
прерывных в D. Если ряд 2 uk (z) равномерно сходится на гра-
k=0
нице D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его
сумма является гармонической в D функцией.
Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость
ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку сходи-
ОО
мости Коши*) из равномерной сходимости ряда 2q«a(z) на
границе области D следует, что для любого е > 0 найдется
целое число N такое, что для любого п > N и любого целого
положительного р и всех точек £ границы
I «п + 1 (?) + «п+2 (?) + • • • + «п + р (?) I < е-
Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по
принципу экстремума и для всех точек области
I «п + 1 (Z) + «п+2 (^) + ... + «п + р (z) I < е.
Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная
оо
сходимость ряда 2 «& (z). Остается показать, что сумма этого
fc=0
ряда u(z) — гармоническая функция. Для этого воспользуемся
теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого г имеем:
2Л 2Л оо ОО 2Л
| и (z rei<f) dtp = j uk (z -|- rei<f) dtp — J uk (z + reiv) dtp
0 >, 0 fe=0 a=o 0
*) См. Фихтенгольц, т. II, стр. 309.
208 ГЛ. Ill, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ 141
(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномер-
ной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны
2л«й(г), следовательно,
2Л оо
J и (z + ге<ч>) d(p = 2л uk (z) = 2лы (z)
0 4=0
и по теореме 9 функция н(г) гармонична в точке г. Теорема
доказана, так как z — произвольная точка области D.
В заключение отметим еще две полезные для дальнейшего
теоремы. Первая из них выражает, что свойство функции быть
гармонической не нарушается при аналитическом преобразова-
нии независимого переменного.
Теорема 11. Если функция u(z) гармонична в области D
и z = g(t) — аналитическая в некоторой области А функция,
значения которой лежат в D, то сложная функция ufg’(S)] —
= гармонична в А.
В самом деле, построим (быть может, многозначную) ана-
литическую функцию f(z), для которой u = Ref(z). Функция
f[g(?)] — F(£), очевидно, аналитическая в области А и, следо-
вательно, t/(£) = Ref[g(£)] = ReF(£) гармонична в этой об-
ласти.
Вторая теорема выражает свойство интеграла от нормаль-
ной производной гармонической функции:
Теорема 12. Если функция u(z) гармонична в односвязной
области D и непрерывна вместе со своими частными производ-
ными в D, то
/>^ = 0. (12)
С
где С — граница области D и обозначает производную
в направлении нормали к С, a ds — дифференциал дуги.
Построим в D сопряженную к и гармоническую функцию V;
она однозначна в силу односвязности D. По замечанию в кон-
це п. 5, условия Коши — Римана можно записать в виде
д а
где обозначает производную в направлении касательной
к некоторой кривой, а — производную в направлении нор-
мали к ней (так, что вращение от вектора п° к s° происходит
против часовой стрелки). В силу непрерывности частных про-
42] § 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 209
„ди ди
изводных, а следовательно, и их комбинации -ч— и -т—, равен-
дп os г
ство (13) имеет место и на границе С области D. Поэтому
вдоль замкнутого контура С
f ds — [ 4^- ds = f dv = 0
J dn J as J
c c c
в силу однозначности функции v(г).
42. Свойства гармонических функций (продолжение). Здесь
мы рассмотрим вопросы об особых точках, теоремах единствен-
ности и аналитическом продолжении гармонических функций.
Начнем с изучения поведения однозначной гармонической функ-
ции и (г) в окрестности ее изолированной особой точки. Пусть
функция и(г) однозначна и гармонична в окрестности
0 <|г— а|</? точки а. Обозначим через Г циклическую по-
стоянную гармонической функции v(z), сопряженной с и (г)
в этой окрестности. Так как приращение любой ветви функции
iv(z) при обходе в положительном направлении замкнутого кон-
тура, окружающего точку а, равно iT, а приращение при том
же обходе любой ветви Ln (г — а) равно 2га, то функция
f(z) = u (г) + iv (z) — Ln (z — а)
будет в нашей окрестности распадаться на совокупность одно-
значных аналитических функций, значения которых в любой
фиксированной точке отличаются друг от друга на целое крат-
ное tT. Поэтому функция
является однозначной аналитической, и мы получаем представ-
ление однозначной гармонической функции и в окрестности изо-
лированной особой точки а:
ы(г) = -^-1п| g(z) |. (1)
Представление того же типа справедливо и в случае Г = 0, ибо
в этом случае однозначна функция f(z) — u-\-iv и, положив
е'й = g(z), мы найдем:
и (z) = In | g (z) |. (2)
На формулах (1) и (2) основывается классификация изоли-
рованных особых точек однозначных гармонических функций.
Возможные случаи поведения таких функций в окрестности осо-
бых точек исчерпывают следующие три теоремы:
210
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[42
Теорема 1. Если u(z) ограничена в окрестности точки а,
то существует lim и (z) = b; положив и(а) = Ь, мы получаем
г->а
функцию, гармоническую и в точке а (устранимая особая
точка).
В самом деле, в этом случае функция g(z) в выражении (1)
или (2) имеет в точке а устранимую особенность, т. е. суще-
ствует limg(z); этот предел, очевидно, отличен от нуля —от-
сюда и следует утверждение.
Теорема 2. Если u(z) стремится к бесконечности при
z-+a, то в окрестности точки а она допускает представление
вида
и (г) = k In | z — a | + V (z), (3)
где k =?^= 0 — некоторая постоянная, a U(z)— гармоническая
в точке а функция (полюс).
Действительно, в этом случае функция g(z) может иметь
в точке а лишь полюс или нуль (если и—►—оо), следовательно,
ее можно представить в виде
g (г) = (г — а)п <р (г),
где п — положительное или отрицательное число и <р(г)—ана-
литическая в точке а функция, причем <р(а)=И=0. Подставляя
это в выражение (1) или (2), получаем искомое представле-
ние (3).
Наконец, справедлива
Теорема 3. Если u(z) не стремится при z—*a ни к ка-
кому пределу, то она имеет в точке а полную неопределенность-,
для любого действительного b можно найти последовательность
точек zn-+a, для которой Umu(zn) = b (существенно
п->оо
особая точка).
В самом деле, в этом случае g(z) может иметь в а лишь
существенно особую точку, и утверждение является непосред-
ственным следствием теоремы Ю. В. Сохоцкого (п. 22).
Пример: g (z) = е1/г, и = , * 2.
л [ у
Все сказанное относится и к бесконечно удаленной точке,
только окрестность 0<|z — a\<ZR надо заменить окрестно-
стью /?<|г|<;оо и представление (3) представлением
и (z) — k In | z J + U (z).
Гармоничность функции в бесконечности означает, что z = оо
является устранимой особой точкой этой функции.
42] § 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 211
Мы не рассматриваем особые точки многозначного харак-
тера (примером такой точки является точка z = 0 для функ-
ции и — Arctg , а также неизолированные особые точки.
Перейдем к вопросу о теоремах единственности для гармо-
нических функций. Внутренняя теорема единственности теории
аналитических функций (п. 20) не переносится полностью на
гармонические функции, ибо гармонические функции, совпадаю-
щие на линиях, вовсе не обязаны совпадать в области. Дей-
ствительно, гармонические функции принимают каждое свое
значение на некоторых линиях (линиях уровня) и, следователь-
но, совпадают с постоянными на линиях, не будучи постоянными
в области. Справедлива, однако, такая
Теорема 4. Если две функции, гармонические в области D,
совпадают в какой-либо области Do, лежащей в D, то они сов-
падают и во всей области D.
Действительно, разность ы(г) таких функций гармонична и
тождественно равна нулю в области Do. Построим в области D
(быть может, многозначную) аналитическую функцию f(z) та-
кую, что u = Ref(z). В области Do сопряженная с и гармони-
ческая функция v(z) должна быть постоянной, ибо в силу усло-
вий Коши — Римана в этой области -|^- =—=
= -^=0. Следовательно, f(z) постоянна в Do, а значит, и во
всей области D. Но тогда ы(г) постоянна в D и равна там, сле-
довательно, нулю (ибо она равна нулю в Do). Теорема доказана.
Граничная теорема единственности теории аналитических
функций, выражающая, что функция, аналитическая в области,
определяется своими значениями на границе (см. п. 14), пере-
носится на гармонические функции. Для гармонических функ-
ций эта теорема является непосредственным следствием прин-
ципа экстремума (теорема 5 предыдущего пункта). Чтобы
получить ее в достаточно общих для практики предложениях,
мы предварительно докажем обобщенный принцип экстре-
мума-.
Теорема 5. Если гармоническая и ограниченная в обла-
сти D функция u(z) принимает*) на границе С этой области
значения «(£), кусочно-непрерывные с конечным числом точек
разрыва первого рода, то значения u(z) внутри D заключены
между максимальным и минимальным ее граничными значе-
ниями (значения и(%) в точках разрыва не учитываются).
*) Говорят, что функция и (г), определенная в области D, принимает
значение u(g) в граничной точке $ этой области, если при z->£ по точкам
области существует lim и (г) = и ($).
г->;
212
гл. ш. краевые задачи и их приложения
|42
Пусть М = sup и (£) на С, а £2, • • , — точки разрыва и('С)
и 6 — диаметр области D, т. е. максимум расстояния между
двумя точками из D. Зафиксируем произвольное положительное
число 8 и рассмотрим функцию
п
U (z) = М + 8^ In (4}
fe=i
Функция U(z), очевидно,_ гармонична в области D, везде
больше М и непрерывна в D всюду, кроме точек при при-
ближении к которым она стремится к -(-оо. Из каждой точки
как из центра, опишем круг достаточно малого радиуса г и
обозначим через Dr область, получаемую из области D удале-
нием всех таких кругов.
Функция U(z) — u(z) неотрицательна на общей части- гра-
ниц D и Dr, а при достаточно малых г и на окружностях
\z — £s| = г, ибо функция zz(z) по условию ограничена, а при
г—>0 значения U(z) на окружностях'неограниченно возрастают.
Отсюда на основании обычного принципа экстремума (теоре-
ма 5 предыдущего пункта) заключаем, что в любой точке
из Dr, а следовательно, и в любой точке из £>*), функция
U(г) — и (г) не отрицательна. Но так как при фиксированном г
и е—>0 функция U(z) —*М, то отсюда вытекает, что в любой
точке D имеем | и (г) | М. Но по теореме 5 предыдущего
пункта функция и (г) не может принимать внутри D значения,
равного ее максимальному значению М, следовательно, всюду
в D имеет место строгое неравенство Аналогично
доказывается, что всюду в D справедливо неравенство ц(г)>
> т, где т = inf u(V) на С.
Замечание. Для неограниченных функций «(z) теорема
не имеет места. Например, функция
u(z) = ^^^==Re(l~4) (5)
гармонична в круге х2 + у2 < 2х, равна нулю всюду на окруж-
ности этого круга, кроме точки z = 0, и тем не менее внутри
круга отлична от нуля.
Теперь легко доказывается граничная теорема единственно-
сти, о которой мы говорили выше:
Теорема 6. Пусть на границе С области D задана функ-
ция ц(£), кусочно-непрерывная с конечным числом точек раз-
рыва первого рода g2, Существует не более одной
функции и (г), гармонической и ограниченной в области D, ко-
*) Действительно, любая точка г области D принадлежит некоторой
области DT при достаточно малом г.
42]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
213
торая в точках t,=f=K,h границы принимает заданные значения
ц(0-
В самом деле, пусть существуют две функции Ui(z) и «2(2),
удовлетворяющие условиям теоремы. Их разность
- и (z) = ы, (г) — и2 (г)
гармонична в области D, ограничена и принимает значения,
равные нулю во всех граничных точках £ =/= По теореме 5
все значения u(z) внутри D заключены между максимальным
и минимальным ее значением в точках £ #= gft, т. е. равны нулю.
Теорема доказана.
Заметим, что в теореме 6 область D может содержать бес-
конечно удаленную точку внутри или на границе. Для неогра-
ниченных функций теорема, конечно, неверна. Например, в
случае круга х2 +у2 < 2х и нулевых (всюду, кроме z — 0)
граничных значений существуют две гармонические функции,
принимающие заданные значения — функция (5) и и ss 0.
В заключение выясним вопрос об аналитическом продолже-
нии гармонических функций. Принцип непрерывного продолже-
ния (п. 25) не переносится на гармонические функции. Напри-
мер, пусть «1 (г) = у в верхнем единичном полукруге, u2(z)~Q
в нижнем; тогда ut = и2 на отрезке (—1, 1), однако функция
u(z), равная «1 в верхнем полукруге и и2 в нижнем, не является
гармонической, ибо в точках диаметра у — 0 она не имеет про-
изводной. Однако принципы симметрии и аналитического про-
должения (п. 35) остаются в силе:
Теорема 7. (Принцип симметрии.) Пусть функция
гармонична в области D\, граница которой содержит от-
резок (а, р) действительной оси, и равна нулю на этом отрезке.
Тогда функция
(г) === — «! (г) (6)
гармонична в области D2, симметричной с относительно дей-
ствительной оси, и дает аналитическое продолжение функции
ut(z) в D2.
Действительно, гармоничность и2(г) в области D2 очевидна.
Она следует из условия (6), записанного в виде н2(х, у) =
= —Ui(x,—у), ибо отсюда
д2и2 (х, у) __ d2ui (х, — у) . д2и2 (х, у) _ _ <Уи, (х, — у)
дх2 дх2 ’ ду2 ду2
Остается показать, что функция
и (z) —
щ (г) в Dj,
0 на (а, Р),
и2 (z) в £>2
214 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ II ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [42
гармонична в области D = Di -f- (а, р) -f- D2. Функция u(z) не-
прерывна в D и ее значение в любой точке z равно среднему
арифметическому значений на окружности достаточно малого
радиуса с центром в z. Для точек областей D} и D2 это следует
из гармоничности «Дг) и и2(г), а для точек отрезка (а, р), где
и(г) = 0,— из соображений симметрии. Но тогда по теореме 9
предыдущего пункта функция u(z) гармонична в D.
Теорема 8. (Принцип аналитического про-
должения.) Если функция u(z) гармонична в области D,
граница которой содержит аналитическую дугу у и значения
u(z) на этой дуге образуют действительную аналитическую
функцию параметра, то u(z) можно аналитически продолжить
через дугу у.
Пусть сначала у представляет собой отрезок действительной
оси х. Так как действительная функция и(х) по условию ана-
литична на у, то она может быть аналитически продолжена
в комплексную область (см. доказательство принципа анали-
тического продолжения в п. 35). Обозначим это продолжение
через fi(z) — это (комплексная) аналитическая функция в окрест-
ности Д отрезка (а, р) и ее действительная часть щ(г)— гар-
моническая в Д функция, равная и(х) на отрезке у. По тео-
реме 7 разность и (г) — Ui(z) можно аналитически продолжить
за отрезок, именно в область, симметричную с пересечением
областей D и Д относительно отрезка у. Так как «Дг) уже
определена в этой области, то такое продолжение даст и анали-
тическое продолжение функции ы(г) в ту же область. Для на-
шего частного случая теорема доказана.
Переходя к общему случаю, предположим, что дуга у за-
дана параметрическим уравнением z = z(t), где z(t)—анали-
тическая на отрезке (а, р) действительной оси функция и
г'(^) =/=(). По условию функция u(z(t))~U(t) также анали-
тична на этом отрезке. Продолжим функцию z = z(t) в ком-
плексную область значений t, содержащую отрезок (а, р); ком-
плексные значения t мы обозначим через £, а полученное про-
должение через z = z(t,). Функция и {z(£)} = (/(£) гармонична
с одной стороны отрезка (а, р) (см. теорему 11 предыдущего
пункта) и на самом отрезке, где £ = /, принимает аналитиче-
ские значения U(t). Следовательно, по доказанному частному
случаю, t/(£) продолжается через отрезок (а, р) и, возвра-
щаясь к переменной *) г, мы получжм аналитическое продолже-
ние функции u(z) через кривую у. Теорема доказана.
*) Для того чтобы перейти к переменной г, надо в U(£) подставить
g = g(z), где £(z)—функция, обратная к г(£). Функция £(г) однозначна и
аналитична в некоторой окрестности у, ибо на (а, 3), по условию,
z'(/) ф 0.
43]
5 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
215
В заключение отметим, что при заданных областях Dt и D2
и заданном общем участке у их границы аналитическое про-
должение гармонической*) функции щ(г) через у в Z)2 опре-
деляется единственным образом. Это следует из теоремы 4,
примененной к областям Do — D\ и D — Ь\ + у + D2.
43. Задача Дирихле. Совокупность гармонических функций —
это совокупность всех решений уравнения Лапласа
-Й + -Й--0, (1)
дх2 ду2 ' '
которое является одним из простейших дифференциальных урав-
нений с частными производными второго порядка. Подобно
тому как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений
для выделения одного определенного решения задают дополни-
тельные условия, так и для полного определения решения урав-
нения Лапласа требуются дополнительные условия. Для урав-
нения Лапласа они формулируются в виде так называемых
краевых условий, т. е. заданных соотношений, которым должно
удовлетворять искомое решение на границе области.
Простейшее из таких условий сводится к заданию значений
искомой гармонической функции в каждой точке границы об-
ласти. Таким образом, мы приходим к первой краевой задаче,
или задаче Дирихле**):
Найти гармоническую в области D и непрерывную в D
функцию u(z), которая на границе D принимает заданные не-
прерывные значения u(t,).
К задаче Дирихле приводится, например, отыскание темпе-
ратуры теплового поля или потенциала электростатического
поля в некоторой области при заданной температуре или по-
тенциале на границе области. К ней, как мы увидим ниже, сво-
дятся и краевые задачи других типов.
В приложениях условие непрерывности граничных значений
п(£) является слишком стеснительным и приходится рассмат-
ривать о б о б щ е н н у ю задачу Дирихле:
На границе С области D задана функция u(t,), непрерыв-
ная всюду, кроме конечного числа точек t,2, ..., t,n, где она
имеет точки разрыва первого рода. Найти гармоническую и
ограниченную в области D функцию u(z), принимающую зна-
чения и&) во всех точках непрерывности этой функции***).
*) Для аналитического продолжения гармонической функции сохра-
няется определение п. 25 с заменой слова «аналитическая» на «гармоническая».
**) Лежен Дирихле (1805—1859)—немецкий математик.
***) Если заданная функция и(£) непрерывна, то обобщенная задача
Дирихле совпадает с обычной, ибо условие ограниченности функции и (г)
следует автоматически из условия ее непрерывности в D
216
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[43
Теорему 6 предыдущего пункта можно теперь формулиро-
вать как теорему единственности решения обобщенной задачи
Дирихле.
Теорема 1. В данной области при заданной граничной
функции и&) существует не более одного решения обобщенной
задачи Дирихле.
Решение обобщенной задачи Дирихле с помощью одного
приема можно свести к решению обычной задачи; для простоты
мы ограничимся случаем односвязных областей. Обозначим че-
рез u~(^k\ и u+(£fc) предельные значения
граничной функции «(£) при О стремя-
щейся к точке О вдоль С соответственно
в положительном и отрицательном на-
правлениях, через hh~u+(t,k)—
мы обозначим скачок «(£) в точке О-
Для общности предположим, что яв-
ляется угловой точкой контура С и че-
рез и дД обозначим углы между
осью х и касательными к С в точке О
(рис. 97); пусть еще afe = ф+— (если не является угловой
точкой, то со, = —л). Возьмем функцию uk(z) = — arg (г — О),
ak
где arg обозначает надлежащим образом выбранную ветвь ар-
гумента. Эта_функция, очевидно, гармонична в области D и не-
прерывна в D всюду, кроме точки £ = Если по пути,
касательная к которому в точке составляет с осью х угол 0
(значение 0 заключено между ф~ и ф+), то эта функция стре-
мится к пределу — 0. При переходе по кривой С в положи-
ak
тельном направлении через точку функция «ДО
следовательно, скачок
Пусть теперь u(z) будет решение обобщенной
рихле при заданных граничных значениях «(£)
функцию
Рис. 97.
испытывает,
hk . hk _ ,
ak ak <(>к ~~ hk'
задачи Ди-
Рассмотрим
п
и (z) = u (z) — У arg (г — ^);
S fc
(2)
она гармонична в области D и непрерывна в D. В самом деле,
u(z) и все функции uk(z) = — arg (г — Zk) гармоничны в D.
ak
Далее, предельные значения U(z) при равны
U(Z) = u(Z)- 2 «ДО. (3)
fe=i
43]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
217
и функция U(t,) остается непрерывной при переходе через каж-
дую точку 'Qk, ибо при построении U(t.) мы вычитаем из функ-
ции «(£), имеющей скачок hk в точке функцию ик(£), имею-
щую тот же скачок, а остальные члены суммы (3) непрерывны
в этой точке.
Таким образом, действительно, решение обобщенной задачи
Дирихле u(z) можно представить как сумму функции U(z),
решающей задачу Дирихле с непрерывными граничными зна-
п п
чениями U (0 = и (?) — 2 Uk (£), и функции S uk (z):
fc=i k=i
п
u{z) = U (z) + У arg (z - ^). (4)
k
По теореме 1 найденное решение единственно.
Из формулы (4) вытекает следующая теорема, выясняющая
поведение обобщенного решения в окрестности точек
Теорема 2. При приближении z к точке разрыва t,k гра-
ничной функции п(£) вдоль различных путей решение u(z) об-
общенной задачи Дирихле может стремиться к любому пределу,
заключенному между ы_(^) и u+(t,k).
Действительно, пусть z—вдоль пути, касательная к ко-
торому в точке tk составляет с осью х угол 0. Из формулы (4)
следует, что u(z) при этом стремится к пределу
«е(^) = й(^) + ^0, (5)
ak
где w(£ft)—предельное значение суммы U (z) и всех функций
uv(z), кроме uk(z), не зависящее от способа приближения z
к точке th- В частности, приближаясь к точке вдоль кривой С
в отрицательном направлении, получим и+ = й ф
так что формулу (5) можно переписать в виде
“.(?.) = “+(М + -;7(е-ч>П-
«
Отсюда и следует утверждение теоремы 2 (см. рис. 97).
Перейдем к решению задачи Дирихле для произвольной од-
иосвязной области D, причем сначала рассмотрим случай,
когда D представляет собой единичный круг | z | < 1. Для этого
случая решение основывается на следующей лемме:
Лемма. Пусть действительная функция U(z,£), где
z = rei4>, Z — elt, 0^r< 1, О^ф, t < 2л,
1) непрерывна и неотрицательна,
218
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ II ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(43
.2) для любого z
2л
и (z, $dt = l, (6)
О
3) при z-+^0 = е1'* (go — любая точка окружности) u£=/=t,a
функция U (г, g) стремится к нулю, причем равномерно отно-
сительно g*).
Тогда для любой действительной функции w(g), кусочно-не-
прерывной с точками разрыва первого рода, в любой точке ее
непрерывности g0 существует предел
2л
lim ~ f ы (g) С/(г, g) (ft = w (go). (7)
г->Е» 211 0J
Для доказательства мы прежде всего воспользуемся усло-
вием 2) и представим разность между интегралом в левой части
(7) и его предполагаемым пределом в виде
2л
{«©-«уадл.
/ 0
7Зададимся числом е > 0 и, пользуясь непре-
I'bzS’- рывностыо «(g) в точке go, выберем 6>0так,
чтобы при \t — to |< 26 было |u(g)—u(go)|<
< е (рис. 98). Имеем:
Рис. 98. Л = ’2л" J +"2?Г J ’
11-м <26 (f-M>26
где интегралы берутся по тем дугам единичной окружности, для
аргументов точек которых выполнены соответствующие нера-
венства. Применяя к первому из них известную из анализа тео-
рему о среднем **) и снова пользуясь условиями 1) и 2), мы
получим:
*) Точный смысл условия 3) следующий: для любого е > О найдутся
числа р < 1 и б > 0 такие, что при г > 1 —р и j ср—t01 < б для всех I,
удовлетворяющих неравенству |t—toI >26, справедливо неравенство 0<
< U(z, £) < е.
**) См. Фихтенгольц, т. II, стр. 133; теорема применима, ибо у нас
<7(г,£) >0.
43]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
219
Теперь предположим, что | ср— to | < 6, тогда для всех зна-
чений t из интервала |/— to| > 26 будем иметь |<р — /|>6 и
в силу условия 3) найдется такое число р< 1, что для этих t
и г>1—р выполняется неравенство V (г, £) < е (см. сноску
на стр. 218). Таким образом, для всех z из области, заштрихо-
ванной на рис. 98 (для которых |<р—t01 < 6, г > 1 — р), будем
иметь:
J {u®-u&o)}V(z,$dt
]/-М>2б
<^--2Л1(2д
2d) < 2еЛ1, (9)
где М— максимум |«(£) | на окружности. Объединяя получен-
ные неравенства (8) и (9), найдем, что для всех z из заштрихо-
ванной области | Д| (1 +2Л1)е, и наша лемма доказана.
Перейдем к решению задачи Дирихле для круга. Для этого
заметим, что функцию U(z, £) леммы можно получить геомет-
рически, как действительную часть конформного отображения
круга |z|< 1 на правую полуплоскость Rew > 0:
U (2 Г) = R е = 1 ~ 1г I2 ==-----1—Л2------ (1 о)
це;-г |?-z|2 1-2rcosR-<p) + r2 •
В самом деле, справедливость свойств 1) и 3) для нее очевидна,
а 2) получается отделением действительных частей равенства
2л
1 Г
2л J £ — г
о
dt
которое просто доказывается
ция при z 0 имеет
1 Г l + z dj
2л( J g — z £
It 1=1
по теореме о вычетах п. 23 (функ-
в единичном круге два полюса:
£ = 0 с вычетом —1 и £ = z с вычетом 2; при г = 0 равенство
тривиально).
Теперь уже нетрудно доказать, что решение обобщенной за-
дачи Дирихле для единичного круга дает интеграл (С. П у а с-
с о н *), 1823 г.)
2л
Ы (Z) = ~ f U (elt) т-----------л--------------гт—j- dt
' ' 2л J 4 ’ 1 — 2r cos (/ — <р) + г2
о
(Z==re/<P)
В самом деле, функция u(z), определяемая интегралом (11),
является действительной частью функции
2л
= J u№^dt + iC (t = e“), (12)
О
*) Симеон Пуассон (1781—1840)—французский физик и математик.
"220 ГЛ. HI. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [43
которая аналитична в единичном круге по теореме 4 п. 16; сле-
довательно, м(г) гармонична в единичном круге. Она ограни-
чена, ибо из (11) следует
2я
Af Г | — г2
[ и (г) | -q— п—о 77 гл—2 dt — М,
। \ / । 2л J 1 — 2r cos (t — ф) + г2 ’
о
где М — максимум |«(£) | на окружности (мы воспользовались
свойством 2) функции (10)). Наконец, по предыдущей лемме,
при z, стремящемся к любой точке С непрерывности «(£), функ-
ция и(г) стремится к «(£), что и требуется.
Теперь нетрудно доказать разрешимость обобщенной задачи
Дирихле и для произвольной односвязной области.
Теорема 3. Для любой односвязной области D и любой
кусочно-непрерывной с точками разрыва первого рода гранич-
ной функции utff) решение обобщенной задачи Дирихле суще-
ствует.
В самом деле, по основной теореме п. 28 существует кон-
формное отображение w — w(z) области D на единичный круг
|да|<1. Заданные на границе D кусочно-непрерывные значе-
ния и(£) переходят в кусочно-непрерывные на единичной окруж-
ности значения u[z(w)] = f7(w), где z — z(w)— функция, об-
ратная к w = w(z). По этим граничным значениям с помощью
интеграла Пуассона (II) можно построить гармоническую
в круге |щ|<1 функцию U(w). Тогда, по теореме 11 п. 41,
функция
u(z) = U[w(z)] (13)
будет гармонической в области D. Она ограничена вместе
с U(w), и при г, стремящемся к точке £ непрерывности задан-
ной функции u(t)> стремится к значению «(£) = Д[ау(^)], ибо
при этом точка w = w(z) стремится к точке <в = ш(£) непре- ,
рывности функции Д(<в). Таким образом, функция (13) дает
решение обобщенной задачи Дирихле для области D, и тео-
рема (3) доказана.
Если граница С области D не имеет бесконечных ветвей и
обладает непрерывной кривизной, то решение обобщенной за-
дачи Дирихле можно выразить замкнутой формулой. Для по- i
лучения этой формулы фиксируем произвольную точку г0 об- ,
ласти D и обозначим через
w = f(z, z0); f(zo,zo) = O (14)
функцию, реализующую отображение £> на единичный круг
| w | < 1. Переходя, как при доказательстве теоремы 3, к пло-
скости w, мы можем представить решение задачи Дирихле
с помощью интеграла Пуассона. В частности, пользуясь обо-
43|
§ f. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
22:
значениями, введенными в этом доказательстве, в центре круга
да = 0 мы получим:
2л
= и(°>)ат = ^Г J U(®)do, (15)
О |а|=1
где и = eix и do = dr — элемент длины окружности |®|=1.
В наших условиях, по теореме 1 п. 29, функция (14) обла-
дает непрерывной производной на границе и, следовательно,
da = \ z0) |ds,
где ds — элемент длины С, соответствующий da. Обозначим че-
рез dn элемент внутренней нормали к С и через — dp соот-
ветствующий ему элемент радиуса окружности |со]= 1; тогда
будем иметь |f(C,Zo)\dn = —dp. Так как р = |f(£,г0) | — 1
на С, то можно написать dp = — = d In р и | f' (С; z0) | = —=
d In р <3.1 д
=-------dn~~dn^n "р"’ Где ~дп 03начает производную в направле-
нии внутренней нормали к С. Подставляя это в найденное выше
выражение для da, находим:
da = In -тт7г—гг ds. (16)
дп | f (£; г0) | ' ’
Теперь остается в формуле (15) возвратиться к перемен-
ной г. Учитывая нормировку (14), по которой точке да = 0 со-
ответствует z0, и соотношение (16), мы получаем:
“ ~2л J U ® ~дп 'П | f (£; z0) I ^S'
C
Функция
g(z; z0) = ln |Нг*го)|- (18)
называется функцией Грина для области D, она, очевидно, гар-
монична всюду в D, кроме точки г0, где имеет полюс. Вводя
в (17) эту функцию и заменяя z0 на z, мы получаем искомую
формулу для решения обобщенной задачи Дирихле: (Дж.
Грин*), 1828 г.):
д
дп
с
производная в направлении внутренней нормалиj.
*) Джордж Грин (1793—1841) — английский математик.
222 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [43
Формула Грина выражает решение задачи Дирихле для не-
которой области D через логарифм конформного отображе-
ния D на единичный круг, т. е. сводит решение задачи Дирихле
к задаче конформного отображения. Оказывается и обратно,
если для некоторой области D известно решение задачи Ди-
рихле, то можно построить конформное отображение этой об-
ласти на единичный круг.
В самом деле, по основной теореме такое отображение w —
= f(z;z0), f(zo,zo) — O существует. Предположим сначала, что
мы знаем это отображение, и рассмотрим функцию
F W > F <го) = Um = /' (z0, z0).
Она, очевидно, аналитична и отлична от нуля всюду в обла-
сти D (функция f(z, Zo) равна 0 лишь при z = z0, a f'(z, z0) =И= 0
в силу конформности отображения). Поэтому функция U(z) =
= 1п|Г(г)| гармонична в области D. Ее значения на гра-
нице С этой области
U (£) = In I ’ Д1 г^-1 = In —г
| £-г0 I |£-z0|
не зависят от вида функции f(z, z0), ибо |f(£, z0)| = 1 на С.
Предположим теперь, что функция f(z,zo) неизвестна. По
заданным граничным значениям гармонической функции U(t,)
мы можем однозначным образом восстановить значения U(z)
внутри D (задача Дирихле). Затем с помощью интегрирования
восстанавливаем сопряженную гармоническую функцию V(z);
она находится с точностью до постоянного слагаемого а. Таким
образом, мы находим функцию In G (z) = С/(z)iV(z)-|-ia,
а затем и искомое конформное отображение
f (z, г0) = (z — z0) eG = eia (z —- z0) eu ^)+iV <«>. (20)
Оно определяется с точностью до поворота, что соответ-
ствует принятым условиям нормировки.
Итак, задача конформного отображения области на единич-
ный круг и задача Дирихле для той же области эквивалентны-,
они сводятся друг к другу с помощью простых операций диф-
ференцирования и интегрирования.
Задача отображения области D на полосу 0 <Z v < 1:
w = f(z); f(2l) = —оо; f(z2) = 0, f(z3)==oo,
еще более просто сводится к обобщенной задаче Дирихле. Мы
находим гармоническую функцию v(z) по условиям: гД£)=О
на дуге z(z2z3 границы С и у(£) = 1 на остальной части С, затем
находим сопряженную к ней функцию u(z), удовлетворяющую
условию w(z2)=0. Функция f(z) = u(z) + iv(z) и есть искомая.
44]
§ I. гармонические функции
223
44. Примеры. Дополнения. 1) Интеграл Шварца. Ин-
теграл (12) предыдущего пункта
2rt
= + (£ = е"), (1)
о
где С — действительная постоянная, решает следующую задачу:
найти аналитическую в круге |z|<; 1 функцию, действительная
часть которой на окружности принимает заданные значения u(Q
в каждой точке непрерывности функции u(t,) (Г. Шварц,
1869 г.).
Действительно, по теореме единственности решения задачи
Дирихле действительная часть и (г) функции f(z) вполне опре-
деляется своими граничными значениями, а из уравнений Ко-
ши— Римана следует, что тогда мнимая часть v(z) этой функ-
ции определена с точностью до постоянного слагаемого. Таким
образом, формула (1) при различных С содержит все решения
поставленной задачи.
Полагая в этой формуле г = 0 и пользуясь теоремой о сред-
нем, получим, что член с интегралом равен н(0); мы можем,
следовательно, утверждать, что постоянная С = у(0).
Отделяя в интеграле Шварца мнимые части, мы получим
выражение гармонической функции v(z) через граничные зна-
чения сопряженной к ней функции:
2л
v(z) = _L [ Ы(е“)-—sin (ор ~ t}~~ dt + С. (2)
' ' 2л J 1 — 2r cos (<р — t) + г1 1 ' '
о
Если мы воспользуемся методом п. 41 для восстановления
аналитической функции по ее действительной части (формула
(9) п. 41), то получим интеграл, решающий ту же задачу, что
и интеграл Шварца, но несколько отличающийся от него. В со-
ответствии со сказанным в п. 41 положим z — 0; тогда будем
иметь:
,2 „г
Г2=х2+У2 = ^--^-==0,
„ t jx rel<s> । relt г , г2? z ,, . dt,
2rcos(<})-Z)-7r + -7¥-=- + -L—Л =
(как и выше, мы считаем z — re'-'*1, £ = е’*). Подставляя это
в интеграл Пуассона
2л
I р . I _ г2
и (х, у) = —- и (е ) 1—2---5---7----7Г dtf
' ’ V' 2л J 4 7 1 + г2 — 2г cos (ср — t) 1
о
224
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[44
по формуле (9) п. 41 получим:
KI-, Ц1-т)
или окончательно
= i J -уг^-Йо). (3)
it i=i
2) Задача Дирихле для полуплоскости. Пусть
на действительной оси задана функция u(t), ограниченная и
с конечным числом точек разрыва; пусть еще пределы u(t) при
t -> ± оо существуют и конечны. Для того чтобы найти значение
в точке z гармонической в верхней полуплоскости функции u(z),
принимающей заданные значения на оси, мы совершим кон-
формное отображение
полуплоскости Im£>0 на круг |w|< 1. Так как точка z пе-
реходит при этом в и = 0, то по теореме о среднем
2Я
(4)
О
где «K(to)] = Щсо), а т— аргумент точки на окружности:
ei-t
t — Z
i-z '
• 2w
Дифференцируя последнее равенство, находим e^dx = dt,
л 2У dt 2ydt „ „
откуда dx = (/ z - у2- ; перейдя в (4) к старым
переменным z и t, найдем окончательно интеграл Пуассона
для верхней полуплоскости:
СО
и (г) = — Г и (/) -7-.—. (5)
v * 7 nJ (t — х)2 + у2 V 7
— оо
Так как, очевидно,
_____У_____— рг *
(t - X)2 + у2 i (t-z)'
то можно написать и интеграл Шварца для полуплоскости:
00
Нг>=4 J +
— 00
(6)
44)
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
225
где С — действительная постоянная. Следует, однако, иметь
в виду, что в то время как интеграл (5) сходится для ограни-
ченных функций ы(0, для сходимости интеграла (6) недоста-
точно ограниченности u(t)*). Для сходимости этого интеграла
достаточно, например, чтобы функция u(t) при |/|-*оо стре-
милась к нулю не медленнее, чем 1/|/|“, где а > 0 —произ-
вольная постоянная.
Приведем несколько примеров. Непосредственно по форму-
ле (5) получаем гармоническую в верхней полуплоскости функ-
цию, равную 1 на отрезке (а, 0) действительной оси и 0 на
остальной части этой оси:
Р
и = IT J (/ -7R-V = Т(arctg ^7^ “ arct£ •
a
Если ввести углы <pa и фр, образованные векторами z — а и
z— р с действительной осью х, то можно написать:
(7)
к 7 Л Л ' '
(из рис. 99 видно, что фр = фа + со). Таким образом, функция
u(z) равна деленному на л углу со,
виден из точки г. Формула Шварца
здесь также применима и она
дает
3
f(z) = _L f ^_=_Lin PtlE. (8)
' ' ’ nt J t — z nt a — z '
a
Пусть теперь заданы точки
czi, а2, ..., ап (—оо < а\ < а2 < ...
... < ап < оо) действительной оси
и требуется найти гармоническую в
под которым отрезок сс0
верхней полуплоскости функцию н(г), принимающую на отрез-
ках (—оо,01), («1, оД. •••, («п, °о) постоянные значения ц0,
zci, ..., ип соответственно. Задача решается применением
формулы (7) :
и (z) — ~ (фг ~ Ф1) + • • • + (л — фп)>
Vv JL
или, после перегруппировки членов,
w(z) = '~^(uo ui) + "^’(ui иг) + ••• +~(ия-1 — “п) + ип. (9)
i v V v 4 Ь
*) Это объясняется тем, что интеграл от мнимой части подынтегральной
функции в (6) сходится хуже интеграла (5),
226
ГЛ. III. краевые задачи и их приложения
[44
3) Вывод интеграла Шварца — Кристоффеля.
В качестве примера применения полученных формул приведем
вывод интеграла Шварца — Кристоффеля, значительно более
простой, чем в п. 37; мы сохраняем принятые там обозначения.
Рассмотрим гармоническую в верхней полуплоскости функцию
и (z) = arg f' (z) = Im In f' (z).
Из геометрического смысла производной конформного отобра-
жения мы заключаем, что на отрезках (—oo,ai), (а^а2), ...
..., (ап, оо) эта функция принимает постоянные значения и0,
«1, ..., ип, ибо эти отрезки переходят в прямолинейные отрез-
ки— стороны многоугольника. На отрезках (—00,0,) и (ап, оо)
значение и0 = ип — а — л = 0, где а — угол отрезка AjAn
с осью и. При переходе через точку функция u(t) увеличи-
вается на (1—ал) л, ибо отрезок А^А^ получается из отрезка
Afi-iA/i поворотом на этот угол против часовой стрелки (см.
рис. 80), следовательно, uh-i — «а = (a/. — 1) л. По формуле (9)
находим тогда:
« (z) = (ai — 1) Ф1 + (a2 — I) <р2 + ... + (а„ — 1) ф„ + 0 =
= 0 4-2 (dfe — 1) arg (z — ak).
По известной мнимой части легко восстанавливается и анали-
тическая функция
In f' (z) = In Со + t'O +2 (ай — 1) In (z — ak),
ft=l
откуда потенцированием и интегрированием находится искомое
конформное отображение
Z
f (z) = Сое'е J (z — (z - а2)а'~\... (г - an)an~l dz + С. (10)
z0
(Со — положительная, Ci — комплексная постоянная).
4) Интеграл Шварца для полосы — /г < Im z </г.
Интеграл Шварца для круга | w | <; 1 имеет вид:
Л
+ (Ц)
— Л
где и = eix (см. формулу (1)). Рассмотрим конформное ото-
бражение w = w (z) — th круга на полосу —h <Z
441
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
227
<1шг<й, переводящее нижнюю и верхнюю полуокружности
соответственно в нижний и верхний берега полосы (см. форму-
лу (5) п. 33) и обозначим F[w (z)] = f (z), (z)] = и (z). Ha
нижнем берегу полосы при = t — hi имеем:
, nt
sh^~<
, nt
ch177
и == eix — th (t — hi)
4h v ’
0),
, nt
1 , Sh ~2/Г — 1
откуда x = — In-----—t— и
ch^A
dr =
0T<
нем берегу w = eix = th (t + hi)
n dt .
-------. Аналогично на верх-
sh +z
=-------— (0 < т < л), откуда
, n dt г-,
dx —-------г- . 1 юдставляя это
2*<
Ch 2h
в формулу (11),’ будем иметь:
f(z) =
dt
ct
Si-t-t?- C;
‘,c. dt
\ + iC.
где u±(t) обозначают значения u(Q в точках £ — t ± th, st и
ct — гиперболические синус и косинус tz — th , После
простых преобразований получаем окончательно *):
2Л
dt + iC. (12)
, nt , л (t — z) ' v 7
ch2/Tch—Ж-
.*) Эту формулу обычно называют формулой П а л а т и н и. Однако по-
следний опубликовал ее в 1915 г., а между тем она в несколько видоизме-
ненном виде содержится в работе Д. А. Граве «Об основных задачах
математической теории построения географических карт» (Петербург, 1896).
228
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ задачи и их приложения
[44
Для полосы 0 < у < 1 эту формулу можно переписать также
в виде
оо
H*) = ~4 J «о (О Cth +
— оо
оо
+ 4 J «1(0th я(-~г) dt + iCi. (13)
—оо
5) Формула Чизотти (1921 г.) дает выражение для
конформного отображения w — f(z) круга |z| <; 1 на произ-
вольную односвязную область D, ограниченную контуром С,
если в каждой точке z = окружности известен угол наклона
ее действительная часть
'& = &(/) касательной к С в точке
w, соответствующей z. Пусть dz —
= iei{ dt и dw = | dw | — элемен-
ты окружности и кривой С, соответ-
ствующие друг другу при нашем
конформном отображении, тогда на
. dw , ,л I dw I
окружности г-г-= ег (w-f).!—_L.
Cid. Cl I
Так как f(z) реализует конформное
, dw , г. ,
отображение, то #=0 и функ-
., Г. dw I
ция —11° г правильна в круге
| z | < 1, причем по предыдущему
на окружности |z| = 1 равна О— t.
С другой стороны, из элементарных геометрических соображе-
ний ясно, что на окружности
Re {— i In [— (1 — z)2]} = л 2 arg (1 — z) — t
(см. рис. 100, где обозначено arg(l — z)= <p). Поэтому действи-
тельная часть правильной в круге |z|<; 1 функции
g-(z)=_fln [—i(l -z)2^]
(14)
на окружности |z|= 1 совпадает с О. Если функция •&(() из-
вестна, то функция g(z) восстанавливается с помощью инте-
грала Шварца
2л
g(z) = -±- f ®(t)^+^dt + iA, (15)
2jx J e — z
о
44] § I. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 229
где А—действительная постоянная. Зная g(z), мы из (14) на-
ходим и искомое конформное отображение
Z
w = f(z) = i J -(i _ d)2- + wa. (16)
zj
Вообще говоря, функция &(/) неизвестна, и формула Чи-
зотти (16) не дает эффективного решения задачи конформного
отображения. Однако эта формула оказывается полезной вся-
кий раз, когда &(/) можно найти из каких-либо соображений.
Например, в задаче отображения круга на многоугольник 0(0
равна известной постоянной на каждой дуге окружности, соот-
ветствующей стороне многоугольника, поэтому формула Швар-
ца — Кристоффеля легко получается из формулы Чизотти.
6) Задача Неймана. Наряду с задачей Дирихле для
некоторых приложений важно рассмотреть так называемую
вторую краевую задачу, или задачу Неймана*):
Найти гармоническую в области D функцию u(z), зная зна-
чения ее нормальной производной на границе С:
ди ди , ди . . -1
-з— =-д- cos а + -з— sin а = g(c) (17)
дп дх ду ь v '
и значение u(z0) в какой-либо точке z0 области D.
Для определенности мы будем предполагать, что в (17) рас-
сматривается внешняя нормаль, а означает угол, образован-
ный этой нормалью с осью х. Функция g(X) может иметь на С
конечное число точек разрыва первого рода, функция и и ее ча-
стные производные первого порядка предполагаются ограни-
ченными.
Из теоремы 12 п. 41 следует, что для разрешимости задачи
Неймана необходимо выполнение соотношения
Jg(C)dS = O. (18)
с
Докажем единственность решения задачи Неймана. Заметим
прежде всего, что с помощью вспомогательного конформного
отображения z = f(zi) верхней полуплоскости Imzi>0 на об-
ласть D задача Неймана для D сводится к такой же задаче для
верхней полуплоскости. В самом деле, пусть п(г) — решение за-
дачи Неймана для области D с заданной граничной функцией
§(;). Функция
«l(Zl) = «[f(Zl)]
) Карл Н е й м а и (1832—1925) — немецкий математик.
230
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[44
гармонична в верхней полуплоскости. Так как при конформном
отображении направление внутренней нормали к С переходит
в направление положительной оси yi — Imzi (всюду, кроме уг-
ловых точек контура С, которых по нашему обычному предпо-
ложению конечное число) и так как отношение элемента длины
нормали dn к соответствующему элементу dy\ равно растяже-
нию отображения, т. е. равно |//(xi)|, то на оси Xi = Re
имеем:
4?- = [>] • । f' \=s[f (*>)] I f' (*i) I=
Функция gi(xi) непрерывна на оси X\ всюду, кроме конечного
числа точек, соответствующих угловым точкам кривой С, и ко-
нечного числа точек разрыва функции g[f(xi)]; она вполне опре-
деляется конформным отображением и заданной граничной
функцией. Если теперь, не зная ц(г), решить задачу Нейрна
для верхней полуплоскости Imzi>0 и граничной функции
gi (Xi), то очевидно ui[<p(z)], где zi = <p(z) — отображение, об-
ратное к z = f(zj), будет являться решением задачи Неймана
для области D.
Приведенное рассуждение показывает, что при доказатель-
стве единственности решения задачи Неймана можно ограни-
читься случаем, когда область D представляет собой полуплос-
кость. Предположим, что имеются два решения задачи Неймана
ц4(.г) и u2(z); тогда их разность u(z) = иДг) —u2(z) будет гар-
монической в верхней полуплоскости функцией, причем на оси
ди ~
х ее нормальная производная -^-= О и в некоторой точке z0
будет u(zo) = O. Функция гармонична и ограничена в верх-
ней полуплоскости и равна нулю на оси
верхней полуплоскости и нулевых граничных значений задачу
Дирихле. Так как эту же задачу решает функция тождественно
равная нулю, то -^-==0. Но тогда u(z) должна быть постоян-
ной и равной нулю в силу условия м(го) = О. Единственность
х, т. е. решает для
решения задачи Неймана доказана.
В ' дополнительном предположении непрерывности частных
производных в D решение задачи Неймана сводится к решению
задачи Дирихле для сопряженной гармонической функции.
Действительно, пусть о (г) — гармоническая функция, сопря-
женная с м(г). В силу условий Коши — Римана, записанных в
точках кривой С для направлений sun (см. конец п. 5), имеем:
dv ди
ds дп
= g(:).
44]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
231
Зная вдоль С, мы непосредственным интегрированием опре-
деляем
С С
v (?) = / ds = J g (?) ds.
Zo to
Теперь разыскание v(z) в области D сводится к" задаче Ди-
рихле; зная v(z), мы простым интегрированием найдем и иско-
мую функцию u(z).
Для случая, когда D представляет собой единичный круг,
легко получить формулы, дающие решение задачи Неймана.
В самом деле, пусть f(z)=u-\-iv будет решение этой задачи.
Полагая z = геи, имеем, очевидно, f' (z) — -Д-1— + i —) или
elt \dr dr /
Z \ ди , . dv
(z) = — + z—
г dr dr
Отсюда видно, что значения действительной части аналити-
ческой функции zf' (z) на единичной окружности совпадают
с заданной функцией -Д-— g (?). Поэтому zf'(z) можно запи-
сать
с помощью интеграла Шварца (3):
2?'<2>=лг ) тг
It 1=1
(мы учитываем, что значение рассматриваемой функции в на-
чале координат равно нулю). Интегрированием получаем:
f(z) =
1 Г dz
ni J z
g (?) d?
*
(19)
It 1=1
Меняя порядок интегрирования и вычисляя элементарный ин-
теграл
f —цД—г — —г- In (? — z) + Д In z const,
J z (? - z) ? ’ ?
находим: .
/(г) = -^- f f -^U? + const,
JU *) Jit J
111=1 It 1=1
2л
или, учитывая, что согласно (18) —-у { g(elt) gt
111=1 О
получаем выражение для функции f(z):
2л
f(z) =-----i-J g (elt) In (elt —- z) dt + const. (20)
о
232
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(45.
Отделение действительных частей дает искомую формулу
2л
u(z) — —~ J g (е‘‘) In | е'1 — z | dt + const
о
(21>
(Дини).
45. Метод сеток. Мы приведем здесь наиболее употребительный прибли-
женный метод решения задачи Дирихле, так называемый метод сеток. Об-
основание метода сеток было дано в 1924 г. Л. А. Л ю с т е р н и к о м. Этот
метод применим также для решения многих задач математической физики. Мы
поясним идею метода, отсылая за подробностями к.
Рис. 101.
специальной литературе.
Метод основан на замене производных, входя-
щих в уравнение Лапласа, соответствующими отно-
шениями конечных разностей. Для достаточно малых,
значений h частные производные функции и(х, у)
можно приближенно заменить отношениями разностей-
и (х + h, у) — и {х, у)
Ux-------------------_ .
и (х, у + К) — и (х, у)
Uy--------------------- .
(1>
Такие же приближенные выражения можно написать и для производных вто-
рого порядка, например:
1 [ и (х + 2h. у) — и (х + h, у) и (х + h, у) — и (х, у) |
Ujcx~~h\ h h J~
= (« (x + 2Л> — 2« (х + h, у) + и (х, у)}..
Заменяя для большей симметрии х + h через х, получим:
«хх « -р- {« (х + й, у) — 2и (х, у) + и (х — й, у)} (2>
и аналогично
иУУ {и У + h) — 2и (х, у) + и (х, у — h)}. (3).
Таким образом, уравнение Лапласа
д2и д2и
дх2 ' ду2
0 приближенно заме-
няется следующим разностным уравнением:
и (х + й, у) + и (х — й, у) + и (х, у + й) + и (х, у — й) — 4и (х, у) = 0. (4).
Уравнение (4) связывает между собой значения искомой функции в пяти точ-
ках, которые расположены, как белые кружки на рис. 101.
Для того чтобы решить задачу Дирихле методом сеток, надо покрыть,
заданную область D квадратной сеткой с шагом й, как указано на рис. 101.
Границу сеточной области следует выбирать так, чтобы она лучше всего
приближала границу области D, при этом граничные точки сеточной области
могут лежать как вне, так и внутри D. Заданные на кривой С значения
функции и переносятся в граничные точки сеточной области с помощью.
’45]
§ 1. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
233
интерполирования и, следовательно, значения и в таких точках можно считать
известными.
Неизвестными считаются значения и во внутренних узлах сетки, для опре-
деления которых имеется система линейных уравнений (4). Решив эту систему,
мы найдем приближенное решение задачи Дирихле, ибо, как доказал Л. А. Лю-
стерник, при й-*0 решение разностного уравнения (4) стремится к гармони-
ческой функции и(х,у). Доказательство этого предложения читатель может
найти в книге И. Г. Петровского [1].
Так как число уравнений системы (4) весьма велико, и эта система сим-
метрична, то ее решение удобнее всего находить с помощью метода итера-
ций. Для этого прежде всего перепишем уравнения (4) в обозначениях, смысл
которых ясен из рис. 101,
«I + и2 + и3 +
“о =---------4--------. (5)
значение функции и(х,у) в каждом узле сетки равно среднему арифметиче-
скому ее значений в четырех соседних узлах. После этого зададимся произ-
вольно начальной системой значений и во внутренних узлах сетки (0-система)
и найдем средние арифметические значений этой системы, причем для некото-
рых узлов придется использовать и известные значения и в граничных узлах.
Построенные средние арифметические будут давать первое приближение
(/-система). Затем находим средние арифметические значений первой системы,
•опять используя для некоторых узлов известные граничные значения и, полу-
чим второе приближение (2-система) и т. д. Процесс продолжается до тех пор,
пока переход от (п — 1)-й системы к n-й не дает изменения в пределах нуж-
ной точности.
Практическое осуществление вычислений по методу итераций зависит от
имеющихся в распоряжении вычислительных средств. Наиболее совершенным
средством являются быстродействующие вычислительные машины, которые
в очень короткий срок дают решение задачи с весьма большой точностью.
Для проведения вычислений вручную или при помощи малых машин (типа
арифмометра) удобно заготовить достаточное число шаблонов. Нулевой шаб-
лон состоит из сетки, подобной заданной, но такой, что ее линии проходят
посредине между линиями заданной сетки, а узлы лежат в центре квадратов.
Квадраты шаблона, содержащие граничные точки сетки, обводятся жирными
линиями, и в них вписываются заданные граничные значения. Остальные
шаблоны отличаются от нулевого лишь тем, что в них срезаны квадраты, со-
держащие граничные данные. Эти шаблоны лучше изготовлять из кальки.
Вычисления ведутся следующим образом.
I) Внутренние клетки нулевого шаблона заполняются значениями 0-си-
стемы. Заметим, что чем ближе эти значения к истинным, тем быстрее схо-
дится итерационный процесс, поэтому правильный выбор 0-системы имеет
большое значение.
2) Первый шаблон накладывается на нулевой так, чтобы соответствующие
клетки находились друг над другом, а клетки этого шаблона заполняются
средними арифметическими значениями 0-системы (с учетом граничных значе-
ний, которые остаются непокрытыми первым шаблоном). Для ускорения про-
цесса при подсчете средних арифметических можно использовать найденные
значения /-системы — шаблон из кальки хорошо приспособлен для этого, ибо
после того как написано значения /-системы, находящееся под ним значение
на 0-шаблоне почти не видно.
3) Второй шаблон накладывается на нулевой и первый, и клетки второго
шаблона заполняются средними арифметическими значений /-системы (с уче-
том граничных значений и уже найденных значений 2-системы). То же де-
лается и с третьим, четвертым и т. д. шаблонами до тех пор, пока следую-
щий шаблон не совпадет в пределах заданной точности с предыдущим. Полу-
ченная система значений и есть искомая.
234
ГЛ. III. краевые задачи и их приложения
[45
Мы уже говорили, что хотя с принципиальной точки зрения итерационный
процесс сходится при любой начальной системе значений*), все же скорость
его сходимости существенно зависит от того, насколько начальная система
близка к истинной. Если результат не требует большой точности (3 знака),
то для определения начальной системы можно использовать графический ме-
тод. Он состоит в том, что заданные на кривой С значения изображают с по-
мощью аксонометрической проекции в виде линии Г в пространстве (х, у, г);,
через эту линию проводят на глаз поверхность (лучше всего представить ее
как мыльную пленку, натянутую из Г) и снимают с чертежа ординаты этой
поверхности над узлами сетки.
Значительно эффективнее выбирать в качестве начальной системы для
метода итераций решение той же задачи, полученное каким-либо более про-
стым приближенным методом.
Среди таких методов особое место занимает так называемый метод ана-
логий, основанный на использовании моделирующих устройств, физические
процессы в которых описываются уравнением Лапласа. Одна из наиболее
употребительных аналогий — электрическая — основана на том, что этому
уравнению удовлетворяет потенциал электрического поля в тонком плоском
слое проводящего вещества.
Для практического осуществления этого метода обычно изготовляют из
какого-либо изолирующего материала границу области, для которой надо
решить задачу Дирихле, и укрепляют эту границу в ванне так, чтобы внутрен-
ность области можно было залить слоем электролита. Можно, например,
укрепить пластилином по контуру границы области стенки из гибких изоли-
рующих полосок высотой в 1—2 см и залить образовавшуюся область слоем
слабо подсоленной воды. Теперь остается сообщить точкам границы потен-
граничными условиями — это делают с по-
мощью зажимов из проволок или тон-
ких металлических пластинок, закрепляе-
мых на стенке, к которым подводится
напряжение. Распределение потенциала
внутри области исследуется при помощи
игольчатого зонда. При хорошем выпол-
нении модели и при соблюдении особых
мер для уменьшения погрешностей этим
методом можно получить точность до
1-2%.
Вместо электрической ванны можно
использовать проводящую бумагу (на-
пример, бумагу, покрытую тонким слоем
графита), которая вырезается по форме
заданной области и к границе которой'
подводятся потенциалы в соответствии
с заданными значениями. Этот способ
проще, чем способ электролитической ванны, но менее точен — он дает точ-
ность около 5%. Более подробное описание метода аналогий читатель может
найти в книге П. Ф. Фильчакова и В. И. Панч и ши па [5].
Если требуется большая точность (4—5 знаков) и сетка содержит большое
число узлов, а вычисления ведутся вручную, то лучше сначала провести ите-
рационный процесс с более грубой сеткой, составленной из квадратов основной
сетки, взятых в шахматном порядке (заштрихованы на рис. 102). На этом
этапе можно проводить итерации до совпадения 2—3 знаков. Когда это до-
стигнуто, нужно вернуться к основной сетке и вычислить значения в пустых
клетках, отмеченных на рис. 102 косым крестом, как средние арифметические
*) Доказательство см. в дополнении Д. Ю. Панова в книге Скар-
боро, Численные методы математического анализа, ОНТИ, 1934.
461
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
235
четырех соседних по диагоналям значений, а затем в оставшихся пустых клет-
ках как обычные средние арифметические. Полученную таким образом систему
значений принимают за начальную и далее ведут процесс итераций для основ-
ной сетки с полным числом знаков.
Для ускорения процесса итераций разработано большое количество разно-
образных приемов, выбор которых определяется особенностью задачи, а также
применяемыми вычислительными средствами. При вычислениях на малых ма-
шинах наиболее эффективны так называемые релаксационные приемы или
методы применения поправок по различным формулам. С этими приемами и
методами читатель может ознакомиться, например, по книгам В. Э. М и л-
и а «Численное решение дифференциальных уравнений», ИЛ, 1955 или
Л. Коллатца «Численные методы решения дифференциальных уравнений»,
ИЛ, 1953.
§ 2. Физические представления. Постановка краевых задач
В этом параграфе мы рассмотрим основные физические пред-
ставления, связанные с теорией функции комплексного перемен-
ного. Они относятся к плоским векторным полям различной фи-
зической природы (пп. 46 и 47), а также к плоскому напряжен-
ному состоянию тела, которое имеет характер более сложный,
чем векторный (п. 50).
Эти физические представления, естественно, приводят к при-
ложениям теории функций к различным областям физики. Основ-
ное внимание в этом параграфе мы уделяем постановке со-
ответствующих задач (пп. 48 и 50) с тем, чтобы в дальнейшем
изложении дать и конкретные примеры таких приложений.
Лишь в п. 49 мы приводим ряд конкретных задач, которые ре-
шаются методом конформных отображений.
46. Плоское поле и комплексный потенциал. Мы будем рас-
сматривать здесь стационарные плоско-параллельные вектор-
ные поля. Это означает, во-первых, что векторы поля не зависят
от времени, и, во-вторых, что векторы поля параллельны неко-
торой плоскости So, причем во всех точках любой прямой, пер-
пендикулярной к So, векторы поля равны (по величине и на-
правлению). Очевидно, во всех плоскостях, параллельных So,
картина поля одинакова и, следовательно, поле полностью
описывается плоским полем векторов, лежащих в плоскости So.
При этом, говоря о точке плоского поля, мы будем иметь в
виду бесконечную прямую плоскопараллельного поля, перпен-
дикулярную So и проходящую через эту точку, кривая будет
означать цилиндрическую поверхность, а область — цилиндри-
ческое тело.
Введем в плоскости So систему декартовых координат (%,«/);
тогда каждый вектор поля А с компонентами {Лж,Ау} будет ха-
рактеризоваться комплексным числом
А — Ах-\-1Ау, (1)
236
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[4ft
причем компоненты являются известными функциями х и у.
= Ах (х, у), Ау = Ау (х, у), (2>
или, что то же самое, комплексного переменного z = х + iy.
Таким образом, плоские стационарные векторные поля опи-
сываются с помощью комплексных чисел и функций комплекс-
ного переменного. Более того, в условиях, которые выполняются
для наиболее важных практически полей, оказывается возмож-
ным построить описывающую поле аналитическую функ-
цию, так называемый комплексный потенциал поля. Благодаря
применению хорошо разработанной теории аналитических функ-
ций задачи, связанные с такими полями, поддаются наиболее
глубокому анализу и удобному для расчетов решению.
Остановимся подробнее на построении комплексного потен-
циала. Для этого напомним основные понятия векторного ана-
лиза плоских полей*). Мы будем, как принято, пользоваться
гидродинамической терминологией, хотя все, что мы будем го-
ворить, относится к полям самой различной физической при-
роды.
Потоком векторного поля А через кривую С называется ин-
теграл
N = f (Д, п°) ds, (3>
с
где (Д, п°) означает (как и дальше) скалярное произведение-
вектора поля Д и единичного вектора нормали п° к кривой С.
Если обозначить через dx и dy дифференциалы вдоль С, т. е.
положить s° ds — dx -ф- i dy, то будем иметь n° ds = —is0 ds =
= dy — idx, (A,nQ)ds = Axdy — Aydx, и формула (3) прини-
мает вид
TV == j Ax dy — Ay dx. (4>
c
Поверхностная плотность потока, т. е. предел отношения потока
через замкнутую кривую С к площади S, ограниченной этой,
кривой, взятый в предположении, что область S стягивается
к точке z, называется дивергенцией, или расхождением поля в
точке г\
div A — lim -4 [ (Д, n°)ds-, (5)<
c->z 15 J
как известно,
*) Основные понятия векторного анализа мы считаем известными; см.,,
например, Фихтенгольц, т. III, стр. 445 и след.
46]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
237
Точка поля, в которой divA^O, называется источником
(иногда говорят об источниках лишь в случае, когда divA>0;
точку, в которой divA<0, тогда называют стоком). Если в
каждой точке некоторой области D
дАх дАи
divA = -r^ + -HL = 0,
дх 1 ду ’
(7)
то говорят, что поле соленоидально в этой области.
В таком поле поток через любую замкнутую линию с, внут-
ренность которой d принадлежит полю, равен нулю — это сле-
дует из известной теоремы Остроградского:
J (А, п°) ds = | J div A dS. (8)
с d
Рис. 103.
По той же теореме поток через любое сечение трубки тока (так
называют область, ограниченную двумя линиями тока, т. е. кри-
выми, в каждой своей точке
касающимися соответствующе-
го вектора поля) одинаков
(рис. ЮЗ).
Условие соленоидальности
(7) показывает, что выраже-
ние —Aydx + Axdy является
дифференциалом некоторой
функции v(x, у), которая назы-
вается функцией тока. Это на-
звание объясняется тем, что
линии уровня функции v(х, у)
являются линиями тока. Действительно, вдоль такой линии уров-
ня имеем dv =—Aydx + Axdy = 0, следовательно, —
т. е. направление касательной к этой линии совпадает с направ-
лением вектора А.
Из выражения дифференциала функции v вытекает, что ее
частные производные равны, соответственно,
dv
дх
-^=ах.
ду х
(9)
—
Функция v(x, у) восстанавливается (с точностью до постоян-
ного слагаемого) по своему полному дифференциалу dv с по-
мощью интеграла
2
v(x,y) = I — Aydx + Axdy + const. (10)
* L
Zq
238
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(43
В силу условия (7) этот интеграл в односвязной области D
не зависит от пути и, следовательно, определяет однозначную
функцию, а в многосвязной области обладает циклическими по-
стоянными и определяет многозначную функцию* *).
В соленоидальном поле поток через линию С согласно фор-
мулам (4) и (10) равен приращению функции тока в концах С:
z2 z2
N= j — Aydx + Axdy= j cdv = v(z2) — a(zj), (11)
Z, Zl
при этом, если область D многосвязна, следует брать ветвь
v (г), непрерывную на линии С.
Далее, циркуляцией поля вдоль замкнутого контура С на-
зывается интеграл вида
Г = J (A, s°) ds = j Ах dx + Ay dy. (12)
c c
Поверхностная плотность циркуляции, т. е. предел отноше-
ния циркуляции вдоль кривой С к площади S, ограниченной
этой кривой, взятый в предположении, что S стягивается к точ-
ке г, называется ротором или вихрем поля **) в точке z
rotA=lim-^- f(A,s°)ds; (13)
C-»z d J
как известно, *
дАи дАх
rotA = —;-------- . (14)
дх ду
Точка поля, в которой rot А =4=0, называется вихревой точкой,
или, короче, вихрем поля. Если в каждой точке некоторой об-
ласти D
дАи дАх
rotA = -^--^=0, (15)
дх ду ’ ' '
то говорят, что поле является в этой области безвихревым, или
потенциальным.
В таком поле циркуляция вдоль любой замкнутой линии с,
внутренность d которой принадлежит полю, равна нулю — это
следует из известной формулы Римана — Грина
J (A, s°) ds — 11 rot A dS. (16)
с d
*) К интегралу (10) при условии (7) полностью применяются рассужде-
ния относительно интеграла (2) п. 41.
**) Для пространственных полей плотность циркуляции дает лишь проек-
цию вихря на направление нормали к площадке S; сам же вихрь является
вектором. Можно считать, что и в плоском поле вихрь является вектором,
направленным перпендикулярно к плоскости поля. Тогда абсолютная вели-
чина ДЗ) будет давать модуль этого вектора, а знак указывать ориентацию.
46]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
239
Условие потенциальности (15) показывает, что выражение
Axdx + Aydy является дифференциалом некоторой функции
и\х,у), которая называется потенциальной функцией или по-
тенциалом поля. Это название объясняется тем, что из соотно-
шения Axdx + Aydy = du вытекает
= Ау=~, (17)
х дх 'У ду ' ’
или, что то же самое,
А = grad и
(скаляр и по отношению к своему градиенту А и называется
потенциалом). Потенциальная функция восстанавливается по
своему дифференциалу с помощью интеграла
Z
и(х,у)= Axdx + Aydy + const. (18)
v L
z0
В силу условия (15) этот интеграл в односвязной области D
не зависит от пути, а в многосвязной области обладает цикли-
ческими постоянными.
Если в области D поле одновременно является и соленои-
дальным и безвихревым, т. е. в ней выполнены условия (7) и
(15), то из сравнения формул (9) и (17) мы получаем:
ди dv ди dv ,.Q,
дх ду ’ ду дх ’ '
а. это — уравнения Коши — Римана. Таким образом, доказана
Теорема 1. В плоском поле без источников и вихрей
функция тока и потенциал являются сопряженными гармониче-
скими функциями.
Отсюда вытекает, в частности, что в таком поле линии тока
и линии равного потенциала образуют ортогональные семей-
ства; совокупность этих семейств иногда называют сеткой поля.
Функция комплексного переменного
f(z) = u (х, у) + iv (х, у) (20)
называется комплексным потенциалом поля — это и есть опи-
сывающая поле аналитическая функция, которую мы хотели по-
строить. Из предыдущего вытекает, что если поле занимает
многосвязную область (например, имеет источники, или вихри,
которые приходится исключать из области для возможности на-
шего построения), то комплексный потенциал может оказаться
и многозначной функцией.
С помощью комплексного потенциала выражаются все основ-
ные величины, характеризующие поле. Например, по формулам
240
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ задачи и их приложения
[46
(17), (19) и формуле для производной аналитической функции
из п. 5 находим вектор поля
Л ди . . ди ди . dv ; /О1Ч
= -5----------------—I и). (21)
дх ' ду дх дх 1 ' ' ' ’
Отсюда вытекает, между прочим, что производная комплекс-
ного потенциала всегда однозначна.
Далее, f'(z)dz = (Дх — iAy) (dx + i dy), следовательно, фор-
мулы (4) и (12) можно переписать в виде
tf=Itn \f'(z)dz, Г = Re [f'(z)dz. (22)
с с
Объединяя обе формулы, получаем:
r + zW= jf'(z)dz. (23)
с
Приведем несколько примеров простейших плоских полей.
1) Источник. Пусть в поле имеется единственный точеч-
ный источник, расположенный в начале координат; вихри от-
сутствуют*). Из соображений симметрии ясно, что вектор поля
имеет вид
А = <р (г) г0, (24)
где г = | z | — расстояние точки от начала координат и г0 =
= z/|z|—единичный вектор, направленный из начала к точке
z. Поток вектора через любую окружность |z| — г с центром в
начале равен
W | (Д, r°) ds = <р (г) • 2лг.
I Z |=г
Этот поток не должен зависеть от радиуса, ибо по формуле
Остроградского (8), примененной к кольцу Г1<|г|<Г2, мы
получаем:
| (Д, г°)ds — | (Д, г0)ds = JI div ДdS = 0,
I z |=r2 I z l=r1 r, < I z | < r2
так как в этом кольце отсутствуют источники и, следовательно,
div А = 0. Отсюда следует, что величина N постоянна и, значит,
v
(25)
*) Такое поле следует представлять как пространственное поле, возни-
кающее от действия источников, равномерно распределенных иа прямой,
перпендикулярной плоскости г в начале координат. Аналогично и в приме-
рах 2—4.
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
241
Число Л7 называют интенсивностью источника. Подставляя это
значение в формулу (24), получаем вектор поля в виде
N 0_ У г _ Лг 1
2яг Г 2л | z |2 2л г
(26)
По формуле (21) находим производную комплексного потен-
циала
и, следовательно, сам комплексный потенциал имеет вид
/(г)= —Lnz + c.
(27)
Отделяя действительные и мнимые части, получаем потенци-
альную функцию и функцию тока:
« = -^1п| z Ин, с = —Arg z + с2.
(28)
На рис. 104 (и следующих) сплошными линиями указаны ли-
нии тока и пунктиром — линии равного потенциала.
Рис. 105.
Рис. 104.
2) Вихрь. Совершенно такими же соображениями полу-
чим, что вектор поля точечного вихря, расположенного в начале
координат, равен
где постоянная Г — интенсивность вихря, т. е. циркуляция век-
тора А по любому замкнутому контуру, окружающему вихрь
(рис. 105). Комплексный потенциал отличается от предыдущего
242
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(46
множителем i, потенциальная функция и функция тока меняют-
ся местами:
Г Г г
^^ = 2^Lnz + c; и=:’2^Аге2: + с1’v ==>_ъг1п|21 + С2' (30>
3) Вихреисточник. Предположим, что в начале коорди-
нат сосредоточены источник интенсивности N и вихрь интенсив-
ности Г. Вектор „поля
и
комплексный потенциал получаются
сложением выражений (26)
и (29) и, соответственно
(27) и (30):
А
Рис.
106.
f.(z)
2л г ’
У-гТт . (31)
-2^LnZ + CJ
Линии тока и линии равно-
го потенциала в полярных
координатах z = rei(f пред-
ставляются соответственно
уравнениями
Г In г — Afro = с,, )
N In г + Г<р = с2. } (32)
Это — ортогональные семей-
ства логарифмических спи-
ралей (рис. 106).
Рассмотрим систему источника и стока интен-
расположенных соответственно в точках Zi =
4) Диполь,
сивностей ±N,
— —h, Z2 = 0 (рис. 107). Комплексный потенциал этой систе-
мы найдется сложением потенциалов источника и стока
/л = ЪГЬп (г + /г) - Ln г
(33)
(мы воспользовались формулой (27) и ее очевидным обобще-
иием на случай, когда источник расположен не в начале коор-
динат; постоянное слагаемое мы не учитываем).
Рассмотрим теперь предельное образование, которое полу-
чается из нашей системы, когда h—*0 и одновременно N—> оо
так, что Nh—> р, — оно называется точечным диполем с момен-
том р (рис. 108). Комплексный потенциал поля точечного ди-
поля находится предельным переходом в формуле (33) при
Л —» 0:
/(г)==Нт Ln(2 + A)-Lnz=^ }
' h->o 2л h 2л dz 2лг v '
46]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
243
На рис. 108 изображены линии тока и линии равного потенциа-
ла— это прообразы линий Imw = c1 и Re w ~ с2 при отобра-
р
жении W — т- е- окружности, касающиеся координатных
осей.
5) Простой слой. Предположим, что источники располо-
жены на некоторой линии С с линейной плотностью р(£)*). Обо-
значая г = |£—-z|, по формуле (28) получим потенциал от эле-
ментарного источника p(£)ds, расположенного в точке £, в виде
~ 2л^~ 'n r ds' Интегрируя, получим потенциал простого слоя
u(z)=^ Jp® lnr ds- (35)
с
6) Двойной слой. Предположим, что наряду с линией С,
несущей источники с плотностью р(£), имеется линия С', кото-
рая получается из С, если на всех норма-
лях к ней в определенную сторону отло-
жить малые отрезки постоянной длины h.
Пусть плотность распределения источников
на С' такова, что на ее элементе длины ds'
расположен источник величины p'ds' —
— —pds (правая и левая части берутся в
соответствующих точках £ и см. рис.
109). Предельное образование, которое
получается из нашей системы при й->0 и
/гр(£)~> р(и), называется двойным слоем с
р(£)->оо так, что
плотностью момен-
тов ц.
*) Этому полю в пространстве соответствует поле цилиндра с напра-
вляющей С и образующими, перпендикулярными плоскости г. Цилиндр несет
Источники, поверхностная плотность которых постоянна на каждой образую-
щей. Аналогично и в примере 6).
244
ГЛ. III. краевые задачи и их приложения
[46
Найдем потенциал двойного слоя. При фиксированном Л#=0
по формуле (35) находим:
“л (2) = J Рln r ds + ЪГ / Р'ln r' ds'>
с с
где г'= |z — £'|. Для малых h, пренебрегая малыми высшего,
чем h, порядка, имеем:
г t, dl-
l’ —г — h -Д—,
дп
где —производная в направлении нормали к С в сторону,
противоположную С'. Отсюда
In г' = In г + In (1 —=1п г — h~ In г.
' \ г дп / дп
Учитывая еще, что р'ds' = —pds, получаем:
с
Переходя здесь к пределу при h—»0, получаем потенциал двой-
ного слоя:
/р'^)-^г1пгй?5’ (36)
с
где нормаль берется в сторону кривой, несущей источники
с плотностью +р (рис. 109).
В заключение докажем, что любую гармоническую функцию
можно трактовать как потенциал некоторого плоского поля.
Для простоты ограничимся случаем односвязной области, огра-
ниченной замкнутой кривой С, хотя утверждение верно и в об-
щем случае. Пусть дана функция u(z), гармоническая в такой
области D; построим сопряженную с ней функцию v(z) и
к функции f(г) = и(г) + iv(z) применим интегральную формулу
Коши *) п. 14:
с
Положим £ — z — ге’Ч’, тогда дифференцируя по £ при постоян-
ном г, находим:
= d In (Z — г) = d In г + i Лр.
*) В случае надобности мы несколько отойдем от границы области D,
чтобы формула Коши была применима.
47]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
245
Подставляя это выражение в формулу Коши и отделяя дей-
ствительные части, получаем:
н (г) =-^- J п (?) rfcp +J п (?) с? In г. (37)
с с
На линии С имеем dq> = -^ds; в силу условий Коши — Ри-
мана для аналитической на С функции ln(? — z) можно напи-
сать соотношение , где —— дифференцирование
по внутренней нормали к С. Поэтому первый интеграл в фор-
муле (37):
= J «(g)-^lnrrfs,
с
представляет собой потенциал двойного слоя с плотностью мо-
ментов —«(?).
Пусть у(?) имеет непрерывную производную; интегрируя по
частям второе слагаемое формулы (37), находим:
«2(2) =--~ [ —\nrds
2' ' 2л J ds
с
(внеинтегральный член исчезает в силу замкнутости контура);
таким образом, это слагаемое представляет собой потенциал
простого слоя с плотностью — Доказана
Теорема 2. Всякая функция u(z), гармоническая в одно-
связной области D, может быть представлена в виде суммы по-
тенциалов простого и двойного слоя, распределенных по гра-
нице D.
Если область D многосвязна, то к этим слагаемым могут до-
бавиться еще потенциалы точечных источников, расположен-
ных в концах граничных дуг (сравни вывод выражения для
«2(2)) или в изолированных трчках границы.
47. Физические представления. Здесь мы рассмотрим различ-
ные физические интерпретации плоских векторных полей.
1) п оле скоростей течения жидкости. Пусть век-
торы поля V представляют собой скорости частиц в установив-
шемся плоском течении идеальной несжимаемой жидкости. По-
ток вектора скорости
N = ^(V,n°)ds (1)>
с
'246
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(47
означает, очевидно, количество жидкости, протекающее за еди-
ницу времени через кривую С, циркуляция
Г = J (V, s°) ds = J Vsds (2)
с • с
-— интеграл от касательных составляющих Vs вектора скоро-
сти вдоль замкнутой кривой С. Источники и вихревые точки ин-
терпретируются соответственно как точки, в окрестности кото-
рых отличны от нуля поток и циркуляция вдоль замкнутой кри-
вой, окружающей точку (точнее, точки, в которых отличны от
нуля плотности потока и циркуляции, т. е. div и rot). Если в
некоторой области D вихри и источники отсутствуют, то в этой
области можно построить аналитическую функцию f(z) =
= m(z) + iv(z)—комплексный потенциал поля —такую, что
(з)
Обратно, любую аналитическую в области D функцию можно
интерпретировать как комплексный потенциал некоторого плос-
кого безвихревого и без источников течения идеальной несжи-
маемой жидкости.
Рассмотрим гидродинамическую интерпретацию простейших
особых точек аналитической функции f(z). Из примера 3) пре-
дыдущего пункта видно, что логарифмическую точку ветвле-
ния а, в окрестности которой /(г) имеет вид
f(z) = cLn(z — a) + g(z),
где g(z) — правильная функция, можно интерпретировать как
вихреисточник интенсивности N — iT = 2пс. Несколько обобщая
пример 4), мы видим, что полюс а первого порядка с вычетом
с_|, в окрестности которого
интерпретируется как диполь, полученный от слияния двух вих-
реисточников интенсивности ± (W— iT), расположенных в точ-
ках Zi = а — h, z2 = а; при этом c_t = -=!— lim (N — /Г) h.
л->о
Точно таким же образом можно интерпретировать полюсы
высших порядков. Рассмотрим два диполя с моментами
+ 2лрасположенных в точках zt = а — h, z2 — а. Предель-
ное образование, получаемое из этой системы при й->0, назы-
вается квадруполем с моментом 2лс_2. Комплексный потенциал
поля квадруполя равен
С-2 1 ) d 1 С-2
ИГЛ----7— s ---:—7--------г — — С—2 “5------== ~i---Гэ •
h I z ~ а h z — a J az z — a (z — ay
47) § 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 247
Таким образом, полюс второго порядка, в окрестности которого
f (?) = ~/~ау + /£'- + g О) интерпретируется как совокуп-
ность диполя и квадруполя с моментами, зависящими от коэф-
фициентов С-1 И С-2-
Вообще полюс п-го порядка функции /(z) можно интерпре-
тировать как совокупность мультиполей порядков 2, 4, ..., 2п
с моментами, зависящими от коэффициентов главной части раз-
ложения f(z) в окрестности этого полюса. При этом под муль-
типолем порядка 2k понимается предельное образование, полу-
чаемое, при Л —* 0 из системы мультиполей порядка 2k— 2 с мо-
Pik—2 ,
ментами ± ——, расположенными в точках Z\ — а — h, z2 = а
(мультиполь порядка 2 — диполь).
Кратные точки комплексного потенциала, в которых его про-
изводная обращается в нуль, служат точками разветвления ли-
ний тока и линий равного потенциала (см. теорему 8 п. 41, в
которой в этом случае n> 1). Такие точки называются крити-
ческими' точками потока; в этих точках скорость потока равна
нулю.
В заключение приведем вывод известной формулы С. А. Чап-
лыгина для подсчета вектора подъем-ной силы, действующей на
цилиндрическое тело в плоско-параллель-
ном потоке.
Рассмотрим движение крыла самолета ~
с постоянной скоростью —Voo. При скоро-
стях, не приближающихся к скорости зву- J
ка, воздух можно считать идеальной несжи-
маемой жидкостью и пренебречь вихреоб- ——
разованием вокруг крыла. Кроме того, мы
представим крыло в виде бесконечно длин- Рис. но.
ного цилиндра с образующими, перпенди-
кулярными вектору скорости. Тогда поле скоростей частиц воз-
духа будет плоско-параллельным и можно ограничиться изуче-
нием плоского поля в любом сечении, перпендикулярном
образующим цилиндра. Наконец, для удобства мы представим,
что крыло покоится, а на него набегает воздух с постоянной
скоростью в бесконечности (рис. НО). Величина давления в
установившемся безвихревом потоке определяется известной
формулой Бернулли — Эйлера *):
Р = (4)
где А — некоторая постоянная, р— плотность и V = |V|—вели-
чина скорости потока (действием сил тяжести мы пренебрегаем).
) См. Н. Е. К о ч и н и И. А. К и б е л ь [6], т. I, стр. 15.
•248 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ И?
Пользуясь этой формулой, мы и вычислим полную силу, дей-
ствующую на контур С сечения крыла (подъемную силу). Так
как давление на С направлено внутрь по нормали, то сила,
действующая на элемент dt, контура С, равна (векторно):
pid^ = Aidl-^V4dt,
а полная сила, действующая на С, равна векторной сумме pi dt,,
т. е.
p = X + tT= = J (5)
с с
(интеграл по замкнутому контуру от постоянной Al исчезает).
Так как поток обтекает контур С, то в точках С скорость по-
тока направлена по касательной:
где cp = argc?C- Отсюда величина скорости V = 1'(г)е~^ и фор-
мула (5) принимает вид
р = - 4 J dt = - 4 J О)}2
с с
где e-2i^dt, — e-i<f\dt,\~d^. Переходя к сопряженным величи-
нам, получим вектор, комплексно сопряженный вектору подъем-
ной силы:
P = J-tT = 4 J{f'(£)}2^. (6)
с
Это и есть классическая формула С. А. Чаплыгина (1910 г.).
2) Тепловое поле. Как известно, температура в плоском
тепловом поле*) без источников тепла удовлетворяет диффе-
ренциальному уравнению
Р)
*
где t — время, а а2 — некоторый постоянный коэффициент. Огра-
ничиваясь рассмотрением установившихся режимов, для кото-
рых температура не зависит от времени, мы придем к уравне-
нию Лапласа:
*) В пространстве ему соответствует плоско-параллельное поле, в кото-
ром в каждой плоскости, параллельной плоскости ху, распределение темпе-
ратур совершенно одинаково.
47]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
249'
т. е. температура оказывается гармонической функцией. Сопря-
женную к ней гармоническую функцию v(x,y) назовем функ-
цией тока тепла, а аналитическую функцию f (z) = и(х, у) -ф-
•ф- iv (х, у) — комплексным потенциалом. Выясним физический
смысл функции v(x, у).
В теории теплопроводности принимается, что количество
тепла, протекающее за единицу времени через элемент длины
ds, пропорционально ds и нормальной производной температуры
ди
, т. е. равно
— k ds = (— k grad и, п°) ds = (Q, n°) ds. (9)
Здесь k — коэффициент внутренней теплопроводности, знак
минус берется с учетом того, что тепло течет от высоких темпе- •
ратур к низким; вектор
Q- — kgrad и (10)
называется вектором потока тепла. Из (9) видно, что поток
вектора Q через линию С означает количество тепла, протекаю-
щее через С за единицу времени.
По свойству градиента в каждой точке поля вектор потока
тепла Q направлен по нормали к линии и(х, у) = const (изотер-
мической линии), проходящей через эту точку. Но это направ-
ление, очевидно, является касательным к линии уровня функ-
ции v(x, у), следовательно, линии v (х, у) = const служат век-
торными линиями Q (т. е. линиями, по которым «течет тепло»).
Далее, из формулы (10) и уравнений Коши — Римана имеем:
„ , I ди . . ди\ , ди ... dv
Q= — k\-^- + i -г- = — k -%- + kt~-.
\ дх ду ) ду дх
Следовательно, поток тепла через произвольную линию с левой
ее стороны на правую (по движению вдоль этой линии), так
что п° ds — —idt, = dy — i dx, равен
J (Q, n°)ds = — k J — dy+-j^dx =
c c
— — k J dv = k{v (Zj) — V (z2)} (11)
c
(мы считаем k постоянным; Zj и z2— концы линии С).
Отметим еще выражение вектора Q через комплексный по-
тенциал f (z) = и (х, у) -ф- iv (х, у):
(12>
250 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[47
Таким образом, между полем скоростей течения жидкости и
тепловым полем имеется полная аналогия. Разница состоит
лишь в том, что в первом случае могут быть многозначными
обе компоненты комплексного потенциала, а во втором дей-
ствительная часть — температура — всегда однозначна (мы не
принимаем во внимание несущественного различия в формулах).
В качестве примера рассмотрим систему источника и сто-
ка тепла интенсивности ±q, расположенных в точках ±а
(рис. 111). Комплексный потенциал поля этой системы равен
f^=^Ln<z-a)-^Ln(z + a)=^LnST- <13)
Изотермические линии | | — const — окружности, имеющие
ч-а своими симметричными точками (прообразы окружностей
z — а \
W —----:- ,
z + а)
тока тепла
jw| = const при дробно-линейном отображении
изображены на рис. 111 пунктиром. Линии
arg * ~ ° — const —окружности проходящие через точки ±а (про-
образы лучей argw = const при том же отображении), изобра-
жены сплошными линиями. Поток тепла через любую замкну-
тую кривую, окружающую лишь одну точку а, равен -ф^, через
кривую, окружающую только точку —а, равен — q, через кри-
вую, окружающую обе точки, равен 0. В этом проще всего убе-
диться с помощью формулы (11), следя за изменением какой-
либо ветви функции v (z) = Arg (z — a) —Arg (z + a).
To же самое поле возникает в эксцентрическом кольце ме-
жду окружностями, нагретыми до постоянных температур и =
471
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
251
= Ui и и — и2, служащими линиями уровня нашего поля (выде-
лены на рис. 111 жирными линиями). В пространстве ему соот-
ветствует тепловое поле в трубе из двух цилиндров с парал-
лельными осями. Возможность замены линии уровня и (или, что
то же самое, линии тока в поле скоростей жидкости) твердыми
стенками — так называемый принцип отвердения — следует из
единственности решения соответствующих краевых задач (п.48).
3) Электростатическое поле. Под электростатиче-
ским полем понимают область, с каждой точкой которой связан
вектор напряженности Е = Ех-\- 1ЕУ, т. е. сила, действующая
па единичный заряд, помещенный в этой точке. Мы будем рас-
сматривать плоские электростатические поля, соответствующие
плоско-параллельным пространственным полям. Как известно из
электростатики, поток вектора напряженности через произволь-
ную замкнутую кривую С равен
N = J (Е, и0) ds = 4ле, (14)
с
где е — суммарный заряд, расположенный внутри контура С, и
л° — внешняя нормаль. Следовательно, в любой точке г
дЕх дЕу , N
где р — поверхностная плотность заряда в этой точке, а 5 — пло-
щадь, ограниченная кривой С. Интеграл
А= J (Е, s°)ds = J Esds (16)
с с
означает, очевидно, работу сил поля вдоль пути С. Циркуляция
вектора Е вдоль любого замкнутого контура равна 0, ибо для
поддержания электростатического поля не требуется затраты
энергии. В самом деле, если бы вдоль некоторого замкнутого
пути С циркуляция была отлична от нуля, то, обходя этот кон-
тур в,определенном направлении неограниченное число раз, мы
получили бы неограниченный источник энергии (вечный двига-
тель). Отсюда следует, что в любой точке поля
дЕу дЕх
rot Е = = 0. (17)
дх ду ' ’
Таким образом, электростатическое поле всегда потенциаль-
но, т. е. существует однозначная функция п(х, у) — потенциал
поля — такая, что
Е = ——i-^- = — grad и. (18)
. дх ду ь '
‘252 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [47
Если в области D нет зарядов, то в D всюду divE = 0; отсюда
следует, что существует силовая функция
Z
м (х, у) = I — Еу dx + Exdy -f- const (19)
L
(которая в односвязной области всегда однозначна, а в много-
связной может быть и многозначной). Так же, как и выше, легко
убедиться в том, что любая линия уровня функции и(х, у) в
каждой точке касается соответствующего вектора поля, т. е. яв-
ляется векторной или, иначе, силовой линией поля.
Сравнивая формулы (18) и (19), видим, что функции и(х, у)
и и(х, у) удовлетворяют условиям Коши — Римана, т. е. яв-
ляются сопряженными гармоническими функциями, а функция
f(z) = «(x, y) + iv(x, у)
— аналитической функцией. Она называется комплексным по-
тенциалом поля*). Через комплексный потенциал выражается
вектор напряженности
E = -~- — i = (20)
дх дх ' v v '
а следовательно, и все величины, характеризующие поле. В ча-
стности, суммарный заряд, расположенный внутри замкнутого
контура С, равен
е = 17? .[ Пг)^- (21)
с
Мы видим, таким образом, что и электростатическое поле
вполне аналогично полю скоростей течения жидкости — разница
между этими полями (не считая несущественного различия в
формулах) состоит лишь в том, что в первом случае обе компо-
ненты комплексного потенциала могут быть многозначными,
а во втором действительная часть всегда однозначна.
Приведем простой пример. Рассмотрим плоское поле точеч-
ного заряда величины е, расположенного в начале координат
z = 0. В пространстве ему соответствует поле бесконечной пря-
мой L, перпендикулярной плоскости z в точке 2 = 0 и несущей
заряд постоянной линейной плотности е (рис. 112). Подсчитаем
напряженность поля Е = Ех + iEy в точке г = х-j- iy, т. е. силу,
действующую на единичный заряд, помещенный в этой точке.
Для этого введем на L координату h — длину, отсчитываемую
*) Мы вводим комплексный потенциал так, как это принято в элек-
тротехнической литературе. Он, очевидно, отличается множителем i от при-
нятого в гидродинамике.
47] § 2, ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 253
от точки z = О, и заметим, что элементарная напряженность,
создаваемая зарядом е dh, расположенным на высоте h, равна
по величине
где г = | z |= Ух2 + г/2. Так как вектор Е лежит в плоскости z,
то его величина равна сумме проекций на эту плоскость всех
элементарных напряженностей dE, т. е.
оо Л/2
। г* । I 1 г j у* I I COS t < f I COS t л. 2e
\ E = cosf dE = e , . dh = e -----------------dt = —,
J J гг + /г J r r
— co —Л/2
где t — угол между dE и плоскостью z, h = rtgt, dh=-^^ =
r2 I /j2
=—-—dt (рис. 112). Таким образом, в плоском поле точеч-
ного заряда величина напряженности обратно пропорциональна
расстоянию между точками,
а не квадрату расстояния,
как в пространственном
поле.
Учитывая направление
вектора Е, получим:
Отсюда видно, что наше по- Рис )12
ле полностью совпадает с
плоским полем точечного источника интенсивности N — 4ле (ср.
пример 1 предыдущего пункта; заметим, что формулу (22) мож-
но было бы вывести точно так же, как в этом примере). Комп-
лексный потенциал поля находим по формуле (20):
Z
f (z) = — i J E dz c = 2ei Lnj + c. (23)
Zo
4) Магнитное поле токов. Мы ограничимся случаем
поля системы линейных токов /*. По известному закону элек-
тротехники вектор Н напряженности прямолинейного тока / на
расстоянии г от него по величине равен 21/г, лежит в плоскости,
перпендикулярной току, и направлен по нормали к кратчай-
шему отрезку, соединяющему точку поля с линией тока, в сто-
рону, определяемую правилом буравчика. Следовательно, в со-
ответствующем плоском поле этот вектор равен
Н = -^. (24)
254
ГЛ. III. краевые задачи и их приложения
[48-
Под комплексным потенциалом такого поля понимается функ-
ция
F (г) = и + iv = 2I\nz + c, (25)
где U — силовая функция поля, V — потенциал и с — произволь-
ная постоянная.
Для системы токов Д (k = 1,2,..., п), пересекающих плос-
кость z в точках zk, вектор напряженности и комплексный по-
тенциал получаются сложением выражений (24) и (25) и соот-
ветственно равны
Л 21. i
Я = У
d г~г*
21 k In (2 - zk) + c. (26)
fe=i
Из сравнения формул (23) и (25) можно заключить, что
сетка из силовых линий и линий равного потенциала электри-
ческого поля линейных зарядов, пересекающих плоскость z в
точках zh, полностью совпадает с такой же сеткой магнитного
поля линейных токов, пересекающих плоскость в тех же точках.
Рис. 113.
При этом лишь меняются ро-
лям* силовые линии и линии
равного потенциала.
В качестве примера приве-
дем магнитное поле системы
двух одинаково направленных
и равных по величине липей-
_ ных токов, пересекающих плос-
с кость z в точках ± а. Комп-
лексный потенциал поля ра-
вен
F (г) = I In (z2 - а2), (27)
силовые линии определяются
уравнением
| z — а || z + а | = const, (28)
т. е. представляют собой так называемые лемнискаты (лемнис-
катой называется геометрическое место точек, произведение
расстояний которых до двух точек, фокусов, постоянно, рис. 113).
48. Краевые задачи. В предыдущих пунктах мы видели, что
для изучения плоского поля достаточно знать его комплексный
потенциал. Прикладные задачи обычно сводятся к определению
комплексного потенциала по заданным условиям на границах
поля (они диктуются самими физическими условиями данной
48]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
255
задачи) или, как говорят, к решению заданной краевой, или
граничной задачи. При этом, если задача физически правильно
поставлена, то заданные условия должны полностью определять
поле, т. е. комплексный потенциал поля должен определяться
с точностью до постоянного слагаемого. Мы приведем здесь
простейшие постановки краевых задач теории плоского поля,
причем для определенности будем пользоваться гидродинамиче-
ской терминологией. В примерах решения этих задач мы будем
рассматривать и другие интерпретации. Начнем с трех задач на
обтекание.
1) Поток во внешности замкнутой кривой. Мы
предполагаем, что область поля D содержит внутри бесконечно
удаленную точку и ограничена одним контуром С — границей
тела, погруженного в жидкость (D — внешность контура С).
Пусть тело поступательно движется с постоянной скоро-
стью — Vco, или, что то же самое, тело покоится и на него на-
бегает поток со скоростью Уоо. Тогда производная комплексного
потенциала — функция, комплексно сопряженная скорости по-
тока (см. формулу (3) предыдущего пункта), — должна быть
правильной в бесконечности, однозначной в области D аналити-
ческой функцией. Ее лорановское разложение в окрестности
бесконечно удаленной точки имеет, следовательно, вид
^ = /'(2) = ^ + ^- + ^+... (1)
Из формулы (23) п. 46 следует тогда, что c_i • 2т = Г IN, где
Г и N — циркуляция и поток вдоль любого замкнутого контура,
охватывающего С. Но так как поток обтекает Сив области D
нет источников, то N = 0 и, интегрируя (1), мы получаем сле-
дующее разложение комплексного потенциала в окрестности
бесконечно удаленной точки;
® = f (z) = VooZ + c + ^-lnz — £=r~ ••• . (2)
где с — произвольная постоянная. Величина циркуляции Г дол-
жна быть задана—в этом состоит первое граничное условие
задачи полного обтекания. Физический смысл этого условия
мы выясним ниже (см. п. 49, примеры 2) и 3)). Второе гранич-
ное условие относится к контуру С; в силу условия обтекания
в любой точке контура С скорость потока должна быть на-
правлена по касательной к С. Иными словами, контур С должен
быть одной из линий тока, т. е. на контуре С должно выпол-
няться условие
ц (х, у) — const. (3)
Докажем единственность решения задачи при заданной ско-
рости в бесконечности и заданной циркуляции Г. Пусть
256
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(48
ft(z) и ^2(2)—комплексные потенциалы, соответствующие двум
решениям задачи, и f(z) = fi(z)— /2(2). Функция f(z), очевидно,
однозначна и аналитична всюду в D, включая бесконечно уда-
ленную точку. Ее мнимая часть v(z) постоянна на С и гармо-
нична всюду в D (включая бесконечно удаленную точку). По
теореме единственности решения задачи Дирихле должно быть
o(z)=const и, следовательно, f(z) — const. Таким образом,
наши комплексные потенциалы отличаются лишь постоянным
слагаемым, что не влияет на распределение скоростей.
Отметим, что в случае бесциркуляционного обтекания, когда
Г — 0, комплексный потенциал w — f(z) реализует взаимно-одно-
значное отображение области D на внешность некоторого отрез-
ка, параллельного оси и. В самом деле, из разложения f(z) в
окрестности бесконечности
+ ...
видно, что главный член разложения имеет вид VKz, следова-
тельно, функция w = f(z) реализует взаимно-однозначное ото-
бражение окрестностей бесконечно удаленных точек плоскостей
z и w (это следует также из того, что существует f'(oo) —
= Voo¥=0). Так как f(z) имеет в области D один полюс пер-
вого порядка (в бесконечности), то по принципу аргумента
(п. 23) для достаточно больших а имеем:
1 — п(а)
1 Г f' (?) dz ______
2ni J f (z) — a
c
где n(a) — число а-точек f(z) в области D и кривая С прохо-
дится против часовой стрелки. Но п(а) — целочисленная и не-
прерывная функция точки а, следовательно, она постоянна и
1 — п(а) = 0 для всех значений а, которые не принимаются
функцией f(z) на контуре С. Таким образом, f(z) в области D
принимает и притом только один раз любое значение, которое
она не принимает на контуре С, а этот контур, как видно из
граничного условия (3), она переводит в отрезок, параллель-
ный оси и. Утверждение доказано.
Задача распространяется на случай обтекания системы кон-
туров (полипланы). В этом случае, кроме скорости в беско-
нечности, следует задать значения циркуляций при обходе каж-
дого контура.
2) Поток в криволинейной полосе. Пусть даны
две линии Со и Ci, имеющие общими лишь свои концы, распо-
ложенные в точке z = оо, и пусть D — область, заключенная
между этими кривыми. В области D требуется построить без-
вихревой поток, обтекающий Со и Ci и имеющий заданный рас-
48]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
257
ход N, т. е. поток скорости V через произвольную кривую у,
соединяющую линии Со и Ср
Пусть w = f(z)— комплексный потенциал искомого поля.
Условие обтекания Со и Ci сводится к тому, что на этих кри-
вых функция v = Imf(z) должна принимать некоторые по-
стоянные значения, например:
По формуле (11) п. 46 расход
N = J (V, n°) ds = v- - v0, (5)
v
следовательно, разность vt—v0 известна. Так как f(z) опреде-
ляется лишь с точностью до постоянного слагаемого, то всегда
можно принять Vo = 0, Vi = IV.
Без дополнительных ограничений на поведение f(z) в бес-
конечности задача неопределенна. Действительно, рассмотрим,
например, полосу 0 < у < N, где N — заданный расход; тогда
всем поставленным условиям удовлетворяет функция
Lx(^) = z + ZeM,
ибо при любом целом п и действительном X ее мнимая часть
у -|- sin ~~ принимает на границах полосы постоянные
значения у0 = 0, V\ = N. Поэтому мы предположим дополни-
тельно, что: 1) кривые Со и С} обладают гладкой кривизной,
2) при z —> оо остается ограниченной ширина полосы D, а также
кривизны кривых Со и С! и производные этих кривизн, 3) рас-
сматриваются лишь течения с ограниченной в бесконечности
скоростью.
Докажем, что в этих предположениях при заданном рас-
ходе N существует единственный безвихревой поток в обла-
сти D, обтекающий Со и Ci. В самом деле, пусть f(z) — ком-
плексный потенциал любого потока, удовлетворяющего условиям
задачи, и z = q(w) — функция, реализующая конформное ото-
бражение полосы 0 < Im w <Z N на область D, причем
<р(±оо)= ±оо*). Очевидно, функция
F (w) = f [ф (w)] = U -ф IV (6}
*) Точка z = оо является двойной точкой границы области D; одну из
этих точек мы обозначаем —оо, а другую -}-оо. При этом мы заботимся
лишь о том, чтобы по отношению к обходу границы области D эти точки
были расположены так же, как и на горизонтальной прямоугольной полосе.
258 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [48
будет служить комплексным потенциалом потока в полосе
О < v < N, обтекающего прямые v — 0, v — N с заданным
расходом N. В силу условия ограниченности скорости данного
потока в бесконечности и теоремы 1 п. 29 о соответствии границ
при конформных отображениях производная F'(w) =f'(z)<p'(w)
также остается ограниченной в бесконечности. Рассмотрим гар-
моническую в полосе 0 < v <Z N функцию = Im F' (щ). Она,
очевидно, равна 0 на границах полосы и ограничена в замкну-
той полосе 0 v N. По обобщенному принципу экстремума
(теорема 5 п. 42) можно заключить, что всюду в полосе -^-^=0,
а значит, F'(w)=a-—действительная постоянная. Отсюда
F(w) = aw (мы отбрасываем несущественную постоянную), и
так как функция V(w)=av должна быть равна 0 на прямой
v = 0 и N на прямой v = N, то а = 1; окончательно F(w) = w.
Из формулы (6) получаем тогда: f[<p(ay)] = w, т. е. f(z) дол-
жна быть функцией, обратной к <p(zjy). Единственность решения
задачи доказана.
Вместе с тем доказано, что искомый комплексный потенциал
w = f(z) реализует взаимно-однозначное конформное отобра-
жение области D на полосу 0 < о <z N с соответствием беско-
нечно удаленных точек: f( + oo) = ±оо.
3) Поток в криволинейной полуплоскости.
Пусть дана линия С без точек самопересечения, содержащая
бесконечно удаленную точку, и замкнутая на сфере комплекс-
ного переменного; D пусть обозначает одну из двух областей,
ограниченных линией С. В области D требуется построить по-
ток, обтекающий кривую С и обладающий заданной по вели-
чине скоростью в бесконечности |Voo|.
Если дополнительно предположить, что С во всех точках
обладает непрерывно дифференцируемой кривизной, включая и
бесконечно удаленную точку, и рассматривать лишь потоки
с ограниченными скоростями, то единственность решения дока-
зывается точно так же, как в предыдущей задаче (только по-
лосу надо заменить полуплоскостью).
Искомый комплексный потенциал w — f(z) реализует кон-
формное отображение области D на верхнюю полуплоскость
при условиях f (оо) = оо, (оо) 1 = ^1.
В качестве примера укажем видоизменения, которые надле-
жит сделать в задачах 1)—3) при рассмотрении электростати-
ческих полей. Всюду термин «обтекаемый контур» заменяется
термином «проводник» (точнее, след проводящего цилиндра,
перпендикулярного плоскости z), «скорость» заменяется «на-
пряженностью поля», «функция тока» — «потенциалом», «потен-
циальная функция» — «силовой функцией», «расход» — «разно-
48]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
259
стью потенциалов» и т. д. В задаче 1) задание циркуляции
заменяется заданием суммарного заряда е — J f' (z) dz —
с
— (см. формулу (21) п. 47), следовательно, в формуле (1)
С-i = —2ei и член с логарифмом в формуле (2) имеет вид
2c>/Ln-^ (ср. (23) п. 47).
В заключение приведем два примера несколько более слож-
ных краевых задач.
4) Ударные задачи. Значительная часть таких задач
охватывается следующей схемой. В сосуде А находится покоя-
щаяся или движущаяся жидкость, в которой плавают твердые
тела Bk (£—1, 2, ..., п) (рис. 114*)). В момент времени
t = 0 на тела подействовали импуль-
сивные силы так, что тело Bh получи-
ло мгновенно приращение скорости
(удар). Требуется найти поле им-
пульсивных скоростей и распреде-
ление импульсивных давлений Р^ в
жидкости в момент, непосредственно
следующий за ударом.
Перейдем к математической поста-
новке задачи, причем для простоты
ограничимся случаем, когда до удара жидкость покоится. Как
известно, при отсутствии массовых импульсивных сил движение
после удара потенциально, причем потенциал скоростей и(х,у)
в момент, непосредственно следующий за ударом, удовлетворяет
условию
pu = Pw,
(7)
где р — плотность жидкости и РЮ — импульсивное давление
в ней. Обозначим через D область, занятую жидкостью, через
С — ее границу. С состоит из дуги Со — стенки сосуда, дуг Q —
поверхностей тел В/{ и из дуг С* — участков свободной поверх-
ности жидкости между двумя последовательными дугами С\,
С\+1 (рис. 114). Для потенциала скоростей и{х, у) имеем сле-
дующие граничные условия:
а) Вдоль стенки сосуда Со
4^-=0, (8)
дп 4 ’
*) Сосуд и тела предполагаются, конечно, цилиндрическими, движение
жидкости плоско-параллельно; на рис. 114 изображено сечение, перпендику-
лярное образующим цилиндров.
260
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(43
ибо из условия обтекания получаем v (х, у) — const, и тогда из
условий Коши — Римана, записанных для направлений s° и п°,
л ди dv п
будем иметь: -5— =------— = 0.
J . дп os
б) Вдоль дуг Ch соприкосновения жидкости с телом
-^Г = (Г(г), п°), (9)
где п° — единичный вектор внутренней нормали к Сй. При этом
мы считаем, что не происходит отставания жидкости от стенок
(кавитации); (9) следует из известной связи между grad и —
= VW и производной по направлению. Импульсивные скорости
тел Bh считаются известными, так что в правой части формулы
(9) имеем известную функцию.
в) Вдоль дуг C'k (т. е. вдоль свободной поверхности)
и (*> у) = 0, (10)
ибо давление на свободной поверхности конечно; следовательно
Р(О = 0 и тогда (10) следует из (7).
Найдем и(х, у) в области D, мы получим распределение ско-
ростей V = grad и, а давления определим по формуле (7).
Эта краевая задача является частным случаем смешанной
краевой задачи теории гармонических функций, исследование
и решение которой мы приведем в п. 55 (см. также пример 9)
п. 49).
5) Обтекание со срывом струй. Так называют об-
текание, при котором одна из линий тока идет из бесконечности
к некоторой точке В об-
_____________________________________________________текаемого тела, где она
. y'flT'cMh,________________разделяется на две ветви,
/ш каждая из которых идет
и'' Г вдоль стенок тела до не-
.о//// у которых точек Ct и С2 и
s' xUpiLr..--------------------------------- s затем отрывается от сте-
’ нок, снова уходя в беско-
а / I вечность (рис. 115). При
/ ' этом предполагается, что
, Рис. 115. свободные струи CiAt и
С2А2 отделяют зону дви-
жения / от зоны покоя // так, что вдоль этих струй происходит
разрыв скоростей*). В зоне / движение считается потенциаль-
ным; в зоне покоя II скорость везде равна нулю, следовательно,
*) Такая схема в известной мере отражает фактически наблюдаемый раз-
рыв скоростей за движущимися в реальных жидкостях телами; однако в ре-
альных жидкостях зона II является не зоной покоя, а зоной вихревого дви-
жения и не простирается в бесконечность.
41] § 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 261
давление постоянно (см. формулу Бернулли — Эйлера (4) п. 47)
и струи С]А{ и С2А2 можно рассматривать как свободные
границы жидкости. Мы приходим к следующей краевой задаче:
а) на участке CiBC2 тела (длина которого не известна)
имеется обтекание, т. е.
v (х, у) = const; (11)
б) на свободных струях CiAi и С2А2 (форма которых не из-
вестна) величина скорости постоянна:
|V| = IKJ, (12)
это следует на основании формулы Бернулли — Эйлера из по-
стоянства давления в зоне покоя.
Методы решения этой краевой задачи будут приведены
в п. 65.
В последующем изложении мы еще не раз будем встречаться
с краевыми задачами различных типов.
49. Примеры. Приложения. 1) Формула Жуковского.
В п. 47 мы получили формулу С. А. Чаплыгина для подъ-
емной силы обтекаемого профиля:
P = X-iY = -%\[f'(z)]2dz. (1)
с
Учитывая разложение в бесконечности для производной ком-
плексного потенциала в задаче обтекания замкнутой кривой,
полученное в предыдущем пункте:
+ ....
и применяя к интегралу (1) теорему о вычетах, находим:
Р = ±£.2ш.^=/рГУ00.
Перейдя к комплексно сопряженным величинам, получим знаме-
нитую теорему Н. Е. Жуковского (1904 г.):
Р = -фГ^, (2)
т. е. подъемная сила, действующая на обтекаемый контур, по
величине равна произведению из циркуляции, плотности и вели-
чины скорости в бесконечности и направление ее повернуто от-
носительно Уоо на прямой угол навстречу циркуляции (при
Г > 0 — по часовой стрелке, при Г < 0 — против).
2) Обтекание кругового цилиндра. Найдем сна-
чала бесциркуляционный поток, обтекающий окружность | z | =
== 7? с заданной скоростью на бесконечности Vx = ахе^. По
262
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[49-
доказанному в предыдущем пункте комплексный потенциал
этого потока реализует конформное отображение внешности
круга на внешность отрезка действительной оси. Такое отобра-
жение реализует функция Жуковского
ш = Чт + т)’
где k — действительная постоянная. Однако для этой функции
w'(oo) = k/R вместо V^ — v^e-19. Поэтому, чтобы получить
комплексный потенциал потока с заданной скоростью на беско-
нечности, мы заменяем в последней формуле z на ге-’13 и по-
лагаем k = Rvx-, мы получаем:
(3)
Накладывая на полученный бесциркуляционный поток чисто
р
циркуляционный поток -^-Lnz, который также обтекает
окружность |г| = R, найдем окончательное решение задачи
® = f(Z) = Vooz+^+^-Lnz. (4>
Критические точки потока, т. е. точки, в которых скорость по-
тока равна 0 (см. п. 47), определяются из уравнения
z2 Н----L-z — e2i9R2 = Q.
2niV
откуда
=—L- (ri ± V 16л- Г2).
Отсюда видно, что при| Г |^4лиоо7? имеем | zKp |~4jw * 16л2и^/?2,
ц обе критические точки лежат на окружности | z | = R, при
| Г | > 4лиоо7? имеем | гкр 1 = -^— | Г ± Vr2 —- 16л2о^7?2)#=7? и так
как произведение модулей корней квадратного уравнения равно
R2, то одна из точек лежит в круге | z | < R, а другая — вне его.
Рассмотрим подробнее первый случай. Полагая на окруж-
ности z — Rei9, имеем:
I f' (z) I = | Уоо (e~i9~ ei{9~2'9'1)— 2^-e~Z4>| = 12u0osin(<p—ft)— |,
(5)
откуда, принимая пока для простоты & = 0, получаем следую-
щие соотношения для критических точек:
<Pi = arcsin ~4jt J0oo-. фг = л —фц (6)
49]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
263
В точке Reitf^ линия тока потока, проходящая к ней, разветв-
ляется на две: одна обходит верхнюю, а другая нижнюю дугу
окружности. В точке обе линии снова соединяются
(рис. 116, а). Первая из этих точек называется точкой раз-
ветвления, а вторая — точкой схода
потока. .
Для бесциркуляционного потока
критические точки совпадают с '± R.
Циркуляция стремится сблизить эти
точки — при возрастании Г обе точки
поднимаются и при Г = 4лУоо/? слива-
ются в одну точку (рис. 116,6). Даль-
нейшее увеличение Г приводит к об-
разованию замкнутых линий тока
(рис. 116, в)—мы имеем уже второй
случай.
Если скорость в бесконечности
имеет аргумент О', то вся картина по-
тока лишь повернется. В частности,
формула для точки схода (6) примет
вид:
Г = 4л/?иоо sin (ф, — й). (7)
Заметим, что в нашей задаче вме-
сто циркуляции Г можно задаваться
точкой схода потока 7?е‘ф>, ибо они
Рис. 116.
связаны между собой простой форму-
лой (7). Через точку схода выражается величина подъемной
силы в теореме Жуковского:
| Р |=4np7?w^o|sin(<p1 — fl)| (8)
и скорость потока (ср. формулу (5)):
I V | = 2vx | sin (q) — О’) — sin (ф{ — "0) |. (9)
3) Обтекание произвольного профиля. Усло-
вие Чаплыгина. Пусть дан произвольный профиль, огра-
ниченный замкнутой кривой С, и функция-
? = я(оо) = о°, g'/(<x>) = l - (10)
реализует конформное отображение внешности С на внешность
круга Тогда комплексным потенциалом’потока, обте-
кающего профиль с заданной точкой схода Zi и заданной ско-
ростью в бесконечности, будет, очевидно, служить функция
»=v.sw+ со
264
ГЛ, III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
49'
где R вполне определено условиями нормировки (10), а Г нахо-
дится по формуле (7) через образ C1 = eiq)- точки схода потока.
Пусть обтекаемый цилиндр обладает острой кромкой, так
что его профиль С имеет острие в некоторой точке z0 с углом
между касательными ал (0^а<1). Тогда, как явствует из
поведения конформного отображения в угловых точках (см.
п. 37), в окрестности этой точки
c = g(z)~ A(z-zo)1/(2-a)-Ko (12>
и, следовательно, производная
В (z — z0)(a-1)/(2-a) (13)
обращается в точке z0 в бесконечность*) (Л и В — некоторые
отличные от нуля постоянные, Со = g(zo))-
С. А. Чаплыгин предложил считать, что при обтекании про-
филя с острой точкой z0 в эту точку под влиянием вязкости и
вихреобразования смещается точка схода потока (условие
Чаплыгина). Тогда, согласно предыдущему примеру, в точке
Zo = g(zo) производная отображения (4) (мы заменили z
на 'С) имеет нуль первого порядка, т. е. в окрестности точки z0
имеем: .
~ С (Z - Со) = D (z - z0)I/(2-a) (14)
(мы воспользовались выражением (12); С и D — постоянные).
Объединяя формулы (13) и (14), мы получаем, что в окрест-
ности z0
= ~ СГ- ~ BD(z-z0)^2~a\
dz dt, dz \ и/ >
т. e. что из условия Чаплыгина вытекает ограниченность ско-
рости у острой кромки профиля.
Для контуров с одной острой кромкой условие Чаплыгина
однозначно определяет значение циркуляции (ср. формулу (7)).
4) Обтекание профилей Жуковского. В п. 34
(пример 1) было доказано, что функция
<о = z -ф У z2 — а2 (15}
отображает внешность профиля Жуковского с параметрами h.
и d на внешность круга С' с центром в точке <оо — ih — de 2 ,
где y^arctgy, и радиуса 7?0 — У а2 -ф h2 -ф d (рис. 117 и 63).
*) Строго говоря, в, формулах (12) и (13) могут быть еще логарифми-
ческие множители, которые не меняют сделанного вывода (см. замечание
на стр. 172).
49]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
265
Производная функции (15) в бесконечности равна 2, следова-
тельно, функция ^ = g(z) для профиля Жуковского имеет вид:
£ = — <оо) = y(z — “о+ /г2 — а2),
а радиус окружности, на которую отображается профиль, ра-
вен
R = -^-=^V^+^ + d).
Подставляя это в (11), полу-
чим комплексный потенциал по-
тока, обтекающего профиль Жу-
ковского.
Из рис. 62 видно, что аргу- Рис. 117.
мент образа острой точки про-
филя в плоскости £ равен — у(^ = Re~ia!2), так что по усло-
вию Чаплыгина и формуле (7) циркуляция
Г = — 2nvoo(/a24-/i2+ d)sin^ + у). (16)
и тогда по теореме Жуковского величина подъемной силы
равна
|P| = 2npu2oo(/^+A? + d)|sin(f> + -j)|. (17)
5) Электростатическое поле у краев плоского
конденсатора. Если при изучении поля внутри плоского
конденсатора это поле практически можно считать равномер-
ным, то вблизи краев равномерность поля существенно нару-
шается и необходим специальный расчет. Рассматривая поле
вблизи одного края конденсатора, мы для простоты пренебре-
жем влиянием второго края и будем представлять конденса-
тор в виде двух полуплоскостей, расположенных друг над дру-
гом. Расстояние между пластинами обозначим 2/г, их потен-
циалы ±У.
Задача сводится к расчету плоского поля внешности двух
параллельных полупрямых (следов пластин конденсатора в пло-
скости, перпендикулярной краям пластин), т. е. к краевой за-
даче 2) п. 48. Комплексный потенциал w = f(z) реализует ото-
бражение области поля на полосу—K<Imu<17 с соответ-
ствием точек f(A) = —оо, f(C) = оо. Обратное отображение мы
получили в примере 3 п. 39:
, / я
Л f -гг да
z = —1еу
л \
I л
(18)
266
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[49
(см. там формулу (13), мы лишь переменили роли z и w, со-
вершили подобное преобразование полосы и отбросили несуще-
ственное постоянное слагаемое).
На рис. 118 представлены линии равного потенциала и си-
ловые линии поля; их параметрические уравнения получаются
соответственно при v — const или и — const, из соотношений,
которые дает разделение действительных и мнимых частей
мулы (18):
, / Л \ , I л , >
й | Л . Л 1 h \ -гг » . П , я |
x==nV cos -у v + -у u), y = — \ev sm-^ц + -у vj
(мы полагаем z = х + iy, w = u-\-iv). Напряженность
по формуле (20) п. 47 равна
р__ . / dw \_ I ______ . V____1
~~ 1 \ dz ) ~~ / dz \ — 1 h Л - ’
\dw / 1 + вV
Внутри конденсатора, т. е. при z, близких к точке Д, w близко
к —оо, следовательно, напряженность поля Е —i-^- близка
фор-
(19)
поля
(20)
к напряженности равномер-
ного поля. При приближе-
нии к краям конденсатора
w->±Vi, следовательно,
напряженность поля неогра-
ниченно возрастает.
Проследим изменение ве-
личины напряженности по-
11-1 I dw I
ля |£|= вдоль линии
равного потенциала. Так
как величина производной
аналитической функции не
зависит от направления, по
которому эта производная
р[1С jig. вычисляется, то мы можем
вычислять ее в направлении
силовой линии u = const. Тогда |dw | = |dv |, \dz\ = ds, где ds —
дифференциал дуги силовой линии — находится из формулы (19)
при u = const:
____________ / 2Я Я
ds — У (dx)2 + (dy)2 — дг1/ е v U 2ev u cos -у v + 1 dv
и, следовательно,
= ---г 1 - . . (21)
' ‘ds h / 2л я ' '
I/ ~ U I nVU П 11
/ e + 2e cos y- a + 1 .
49]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
267
Для нахождения максимума |Е| вдоль линии равного по-
тенциала достаточно найти минимум подкоренного выражения
по и при фиксированном у. Необходимое условие экстремума
Л Ц
ev -|-cos-p-v—0 (которое получается приравниванием нулю
производной по и) заведомо не выполняется, когда косинус
положителен, т. е. при у-| v | < у , или | v | < -у . Вдоль таких
линий напряженность поля |Е| меняется монотонно, не имея
ни максимума, ни минимума. Для v = ± -у максимум
|Е| = у— 1
h Г 2п
и
достигается при н = —оо, т. е. на левом крае конденсатора.
Если построить конденсатор, пластины которого имеют форму
линий равного потенциала v = ± -% *) (жирные линии на
рис. 118), то для такого конденсатора напряженность поля убы-
вает при подходе к краям, а не возра-
стает неограниченно, как для плоского
конденсатора. Этот конденсатор назы-
вается конденсатором Роговского.
6) Магнитное поле в зазоре
электрической машины. Рассмот-
рим магнитное поле в зазоре между ро-
тором и статором машины вблизи паза
ротора. Радиусы и ширину статора и ро-
тора мы будем считать столь большими,
что это поле мало отличается от плоско-
параллельного (на рис. 119, а изображе-
но сечение машины плоскостью, перпен-
дикулярной к оси вращения). Через 2Н
мы обозначим ширину паза ротора; так
Рис. 119.
как практически лишь весьма небольшая часть силовых ли-
ний, проникших в паз, достигает его основания, то глубину
этого паза можно считать бесконечно большой. Через h -мы
обозначим величину межжелезного пространства, т. е. расстоя-
ние между статором и ротором; пренебрегая влиянием других
*) Из формул (19)
для этих линий имеем:
h
х=уи, у =
(л \
о V “ . Л ]
е + ту > откуда
X f
4+|«”'
2 Л ,
268
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[49>
пазов, мы будем предполагать, что это пространство представ-
ляет собой бесконечную в обе стороны полосу. После сделанных
упрощений область интересующего нас поля принимает вид пя-
тиугольника, изображенного на рис. 119,6. Мы предполагаем,
что след границы ротора ДИвДэЛИз несет потенциал V, а след
границы статора — потенциал 0. (Предполагается, что
магнитная проницаемость железа бесконечно велика.)
Задача принадлежит к типу краевой задачи 2) п,- 48 и сво-
дится к конформному отображению w = f(z) области поля на
полосу 0 < Im w < V, f(Ai) =—00, )(Дз)=оо. В п. 39 мы
получили отображение верхней полуплоскости на область поля:
z = z (со) — — (h arctg — ----/7 arth у- ю -к (22)
V S //Кео2-а2 /со2 -а2) ' '
2 H2 + h2 , , ,,
где сг =—д.2 , причем отрезок (—1, 1) действительной оси
плоскости со переходит в прямую Л1Л2Л3, а остальная часть
оси — в Л3Л4Л5Л6/11 (см. п. 39, формула (23); мы изменили
лишь обозначения переменных). Применив дополнительное ото-
бражение полуплоскости со на полосу 0 < Im w < V с нужным
соответствием границ:
____ V , 1 -р со 2 И ,,----------------/оо\
w = —In-:--------------------------------=-arth со, (23)
л 1 — со л ’ ' '
и исключив со из уравнений (22) и (23), получим функцию, об-
ратную искомому комплексному потенциалу.
Найдем, величину вектора магнитной индукции В, который
в нашем случае совпадает с Н
2V 1 1
л | 1 — со21 2Н I Кео2 — а2
л | со2 — 1
= Т7П7=тТ <24)
Н | г со2 — а2 |
(при вычислении производных мы воспользовались выраже-
ниями (23) и (22)).
Для характеристики машины важно знать степень пульса-
ции магнитного потока, т. е. отношение минимальной индукции
на статоре к максимальной. Из физических соображений ясно,
что минимальная индукция достигается против паза ро-
тора, т. е. в точке Аг, а максимальная индукция Втах— против
середины выступа, т. е. в точке Ai. Так как точка Аг соответ-
49]
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
269
ствует со = 0, а точке А]—точка со =—1, то искомое отноше-
ние равно*) _____
Smin __ Рс/2 — 1 _ h
Smax “ a — Vh2 + h2 ’
(25)
7) Обтекание наклонного прямолинейного от-
резка (0, heian) бесконечно глубоким плоским потоком с за-
данной величиной скорости в бесконечности (рис. 120). За-
дача принадлежит к типу краевой за-
дачи 3) п. 48 и сводится к конформно-
му отображению области потока на
верхнюю полуплоскость. Обратное
отображение было получено в п. 39
Рис. 120.
z — г (да) = h (да — 1)“(рда + I)1 (26)
где P = (см. формулу (10) п. 39; мы переменили роли z
и да и растянули плоскость z, чтобы получить отрезок длины h).
Очевидно, z(oo)= оо, но производная в бесконечности равна
dz I . Г/ рш + 1 \I-a , / w — 1 \а1
dw £=0о-
Р Р Y
Заменив в формуле (26) да на уда/поо, получим функцию, обрат-
ную комплексному потенциалу, ибо ее производная в беско-
нечности будет равна 1/Uoo, как и требуется. На рис. 120 изо-
бражены линии тока. Отметим, что, как видно из выражения
для производной скорость потока | V | = | 1 обра-
щается в бесконечность в точке /4з, которой соответствует
w — 0**), и в нуль в точках Л2 и Л4, которым соответствуют
да — — 1/0 и да = 1.
8) Распределение температур в канале, дно
которого поддерживается при температуре 1°, а стенки — при
*) Этот результат можно получить и из математических соображений.
Границе статора АА2А3 соответствует отрезок (—1, 1) действительной оси
V V 1
плоскости со, и тогда из (24) видно, что Bmin = -> ^max =-у—
На Н V а2 — 1
**) При этом следует заметить одно обстоятельство; если считать, что
„ . 6&У “pl 1 in ес '— 1 —ЕЛ
при w -> 0 дробь ~—>—1=е , то вторая дробь е > п0"
этому егя^“а) + е-гяа = 0 при w -> 0.
270
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(49
температуре 0°; между стенками и дном имеется теплоизоля-
ция. Сечение канала плоскостью, перпендикулярной к дну, изо-
бражено на рис. 121. Задача сводится к обобщенной задаче
Дирихле для полуполосы. Отобразим сначала эту полуполосу
на верхнюю полуплоскость с помощью функции g = sin-^;
дно ВС переходит при этом в отрезок (—1, 1), а стенки — в
лучи (—оо, —1), (1, оо). Остается воспользоваться формулой (9)
п. 44:
и (Q = —— t — t — — (q>2 — Ф1) = — arg | , *
Л 1 Л Л 442 Л 6 £ + 1 "
(у нас п — 2, и0 = и2 — 0, ux=t, фь2 = а^(£± 1)) и заменить
. .ла . пх , пи , . пх , пи ,.
£ = sin — = sin— ch——-|-zcos— sh—Мы получим:
a a a a a J
, ._ t (sin - ch — 1) + Z cos-sh_ t , 2 cos • sh
U {Z л (sin • ch + 1) + i cos- sh л sin2 • ch2 — 1 + cos2 • sh2
(мы освободились от мнимостей в знаменателе; аргументы кру-
говых и гиперболических функций для простоты письма опу-
скаем). После замены в знаменателе ch2 — 1 + sh2 мы приведем
его к виду sh2 — cos2;
. 2 cos sh
arctg ----------5- = a,
sh2 — cos2
sh2 — cos2
- , „ ,--г = cos a, следовательно,
sh2 + cos2
, a
если обозначить
то будем иметь
__ cos
1 + cos a sh ’
и формула для температуры принимает
окончательный вид
nx
„, n, COS-
, 2/ a 2/ , a
VT = Varct^—(27)
a
Пользуясь интегралом Шварца для полуплоскости, можно было
бы найти и комплексный потенциал теплового потока.
9) Удар пластинки о воду. В заключение приведем
простейший пример задачи об ударе. Пусть жидкость запол-
няет нижнее полупространство, а твердое тело представляет со-
бой плоскую пластинку в форме полосы шириной 2а, которая
в момент удара t — 0 касается свободной поверхности и мгно-
венно приобретает скорость Vo, направленную вертикально вниз
(рис. 122). Пусть (—а, а) будет след пластинки в плоскости,
перпендикулярной ее ребрам, и f(z) = u(z) + iv(z)— комплекс-
ный потенциал плоского поля, описывающего скорости жидко-
сти после удара.
49]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
271
Краевые условия задачи формулируются следующим обра-
зом: на отрезке (—а, а) имеем:
< = (28)
а на оставшейся части оси х, соответствующей свободной по-
верхности,
и = 0. (29)
а
-а
на верх-
получаем
Задача
к задаче
- j
- '4,
Рис. 122.
По принципу симметрии мы продолжаем гармоническую функ-
цию и в верхнюю полуплоскость
(а, оо) (Это возможно на основании
условия (29), см. п. 42);
нем берегу вместо (28)
ди ,,
тогда условие = Ио.
свелась, таким образом,
Неймана п. 44: найти гармоничес-
кую во внешности отрезка (—а, а)
функцию u(z) по граничному усло-
ди [ д
вию — — Ио I -------производная по
в н у т рь области).
Для решения этой задачи воспользуемся конформным ото-
бражением внешности отрезка (—а, а) на внешность единич-
ного круга плоскости £ = S, + irj:
через лучи (—оо, —а) и
нормали, направленной
z =
(30)
Граничное условие при этом преобразуется следующим образом:
ди____ du I rfz I — а । , ____ 2i<p ]_
др ~~ дп | dt, I И° 2 1 1 6 1
= У(1 _ cos 2ф)2 + sin2 2q> = — Иоп sin ф,
где р = |£| и ф — argg (знак минус объясняется тем, что у нас
на нижней полуокружности, где л < ф < 2ц, должно быть
На основании условий Коши — Римана в пелярных
координатах (см. п. 5) на окружности р = 1 получаем
dv ____
дер
= -^- = — Voasin ф, следовательно, v = Voa cos ф = I/Oo Re
Таким образом, мы находим комплексный потенциал в плоско-
сти w = iVoa^. Подставляя выражение £ через z из (30),
находим искомый комплексный потенциал в плоскости г:
f (z) = iV0 (z — ]/z2 — a2}.
(31)
272
гл. III. краевые задачи и их приложения
[50
По формуле (7) п. 48 находим импульсивное давление в про-
извольной точке х отрезка (—а, а)
рю = р Re f (2) = р у0 У а2- х2;
(32)
в момент после удара скорости частиц на свободной поверхно-
сти (|х| > а) нормальны к этой поверхности и равны по величине
v = |~| = у0| 1 - - у.-.
du V х2 — а-
(33)
Формула (32) позволяет решить следующую задачу: тело
массы т при свободном падении ударяется о воду вдоль пло-
ской полосы ширины 2ц; найти скорость Vs тела после удара,
^сли скорость до удара равна Уь По формуле (32) на тело
в момент удара действует импульсивная сила
а
P = pV2 f у а2 - х2 dx = у лрУ2й2. (34)
—а
С другой стороны, по теореме о количестве движения Р —
= m(V\ — У2) и сравнивая это выражение с предыдущим, на-
ходим:
У2 есть также скорость, которую приобретает тело при не-
упругом ударе о тело массы пра2/2. В соответствии с этим
лра2/2 называется присоединенной массой пластинки, ударяю-
щейся о жидкость.
Дальнейшие примеры решения прикладных задач мы при-
ведем в § 4 этой главы.
50. Плоская задача теории упругости. Несколько особняком
стоят приложения теории функций комплексного переменного
к плоской задаче теории упругости. Наметим вкратце основа-
ния, на которых строятся эти приложения — подробности чита-
тель найдет в прекрасной книге Н. И. Мусхелишвили [10].
Плоская задача теории упругости применяется в следующих
двух случаях: а) длинный цилиндр подвергается напряжениям,
приложенным к его боковой поверхности, причем эти напряже-
ния лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующим ци-
линдра, и одинаковы во всех таких плоскостях (рис. 123, о);
б) тонкая пластинка подвергается напряжениям, приложенным
к ее периметру и лежащим в плоскости пластинки (рис. 123,6).
В обоих случаях задача описывается плоским напряженным со-
стоянием. Остановимся на этом подробнее.
50]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
273
В общей задаче теории упругости рассматривают силы двоя-
кого рода — массовые силы, действующие на элементы объема
или массы тела (такова, например, сила тяжести), и поверх-
ностные силы, действующие по поверхности элементов, мыс-
ленно выделяемых в теле (таково, например, давление). В пло-
ской задаче этим случаям соответствуют массовые силы, дей-
ствующие на элементарные
площадки, и линейные силы,
действующие на границы эле-
ментов.
Мы предположим, что мас-
совые силы отсутствуют. Ли-
нейную силу, действующую на
элемент ds, мы обозначим Fds,
где F — силу, отнесенную к
единице длины, — будем назы-
вать напряжением. Напряже-
ние F в данной точке зависит
Рис. 123.
от направления элемента (оно имеет тензорный характер). В ча-
стности, напряжения, отнесенные к элементам, перпендикуляр-
ным осям х и у, мы соответственно обозначим Fx и Fv. Величи-
ны Fx и Fy — векторные; для их компонент примем обозначения
Хх, Yx и Ху, Yy, так что
Fx — Xx-}-iYx, 1
Fy^Xy + iYy, j
(О
причем Хх и Yy будем называть нормальными, a Yx и Ху — ка-
сательными напряжениями. В плоской задаче компоненты на-
пряжения являются функциями двух действительных переменных
х и у. Можно показать, что напряжение Fn = Хп'+ iYn, отне-
сенное к элементу, нормаль которого п образует с осью х
угол а, выражается через напряжение (1) формулой
Fn — Fx cos а + Fy sin a (2)
(ср. [10], стр. 31).
В теории упругости выводятся следующие уравнения равно-
весия, связывающие компоненты напряжения:
дХх дХу _ dYx dYy
дх ' ду ' дх ду
(3)
доказывается также, что
Xy — Yx (4)
(см. [10], стр. 20).
Под действием упругих сил тело подвергается деформации,
т. е. изменяются расстояния между точками тела. Мы
274
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
150-
обозначим
х’ = А (*>«/), г/* = А(т, у)
новые (после деформации) координаты -точки {х, у) тела и
разности
и — х* — х, .V —у* — у (5)
назовем компонентами смещения. Компоненты смещения в пло-
ской задаче являются функциями двух действительных перемен-
ных х, у. В дальнейшем компоненты смещения, а также их про-
изводные по х и у предполагаются столь малыми, что их про-
изведениями и квадратами можно пренебречь {малые дефор-
мации) .
Далее, величины
___ ди ______ dv __ 1 ( dv . ди \
ехх~~~д7’ еУУ~~~ду' в ХУ ~ ~2\дх ' ) '°'
называются компонентами деформации-, величина
а । ди . dv
6 — ехх + вуУ — дх + ду (7)
представляет собой поверхностное расширение при деформации
(см. [10], стр. 47). По основному закону теории упругости {за-
кон Гука) компоненты напряжения являются линейными одно-
родными функциями компонент деформации.
Для изотропного тела*) (мы ограничиваемся лишь такими
телами) эта зависимость имеет вид
Хх = Х0 + 2цехх, Ку = Х0 + 2цеуг/, |
Xy = Yx = 2lieXy, J (8)
где X и ц — некоторые постоянные неотрицательные коэффи-
циенты (см. [10], стр. 64). Формулы (3) и (8) представляют
собой основные уравнения плоской задачи теории упругости.
Это — система пяти уравнений с частными производными пер-
вого порядка относительно пяти неизвестных функций Хх, Yu,
Ху, и и v двух независимых переменных х и у**).
Из этой системы легко получить уравнения, содержащие
одни лишь компоненты смещения. Для этого достаточно под-
одинаковы по всем напра-
тела действует еще компо-
*) То есть тела, упругие свойства которого
влениям.
**) В случае длинного цилиндра на частицы
нента напряжения Z2, так же как и другие компоненты, зависящая лишь от
х и у. Мы не включаем содержащее ее уравнение в основную систему, ибо
она равна Z2 = /.0 и может быть найдена после решения этой системы
(см. [10], стр. 90). В случае плоской пластинки постоянную К надо заменить
91 ц,
постоянной V = . , д (см. [10], стр. 95). Такая замена не меняет харак-
Л -г
тера уравнений (8), поэтому мы и не отмечаем это в основном тексте.
SCI § 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 275
ставить выражения (8) для Хх, Yy и Ху в уравнения (3); тогда
с учетом (6) и (7) получим систему двух уравнений второго
порядка относительно двух неизвестных и и v:
(Х + И)~ + и Ап = 0, (X + p)^- + hAv = 0, (9)
где А — оператор Лапласа. После решения системы (9) напря-
жения можно найти простым дифференцированием по форму-
лам (8).
Легко получить и уравнения, содержащие одни лишь ком-
поненты напряжений. Для этого продифференцируем первое
уравнение (9) по х, второе — по у и сложим полученные урав-
нения. Учитывая еще выражение (7), будем иметь (Х + ц)Д0 +
+ ц А0 = 0, откуда
А0 = О.
Заметим, что из первых двух уравнений! (8) и формулы (7)
вытекает соотношение
+ (‘°)
подставив это в предыдущее уравнение, найдем:
А(УХ + ГД = О. (11)
Уравнение (11) вместе с уравнениями (3) и дает искомую си-
стему уравнений, содержащих лишь компоненты напряжений
(три уравнения с тремя неизвестными функциями).
Введем так называемую функцию напряжений, особенно
удобную для описания решения плоской задачи. На основании
формул (3) выражения
— Ху dx + Хх dy = dB, Yydx — Yxdy — dA (12)
являются дифференциалами некоторых функций. Равенство ка-
„ v ,, дВ дА
сательных напряжении Ху и Yx приводит к равенству
из которого следует, что выражение
A dx + В dy = dll (13)
является полным дифференциалом некоторой функции U(x, у),
которая и называется функцией напряжений. Эта функция
была введена в 1862 г. английским астрономом Эри. Из (12)
и (13) получаем следующие выражения компонент напряжений
через функцию U (х, у):
y у y —Y . дЮ пл\
х ду ду2 ' у дх дх2 ’ У х ‘ дх ду ' '
276
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[50
Через функцию U (х, у) можно выразить и компоненты смеще-
ний. Подставив в формулы (8) выражения (14) для Хх, Yy и Ху,
выражения (6) для ехх, еуу и еху, а также выражение 0 =
I А Т,
7,-. , XU,
2 (Л + ц)
которое получается подстановкой значений (14)
в (10), будем иметь:
„ ди d2U
2ц. -д— =-5-т
г дх ду!
2 (Л + ц) At7, 2и ду дх2 2(Л + ц)А[7’1
I dv . ди \_ d2U । ' '
\ дх ' ду ) дх ду J
Из соотношений (14) следует, что Хж+Уу = Д17, где А —
оператор Лапласа; из уравнения (11) видно теперь, что функ-
ция напряжений U удовлетворяет уравнению
A XU
— д*и 4- 9 d4J _L di(J -
~~ дх4 дх2 ду2 "+ ду4
(16)
т. е., как говорят, является бигармонической функцией.
Мы докажем сейчас, что любую бигармбническую функцию
можно представить с помощью аналитических функций ком-
плексного переменного. Так как, с другой стороны, через би-
гармоническую функцию выражаются компоненты напряжения
и смещения, то мы приходим, таким образом, к комплексному
представлению решений плоской задачи теории упругости. На
этом представлении и основываются развитые Г. В. Колосо-
вым и Н. И. Мусхелишвили методы приложения функ-
ций комплексного переменного к теории упругости.
Пусть U будет произвольная бигармоническая функция.
Функция XU тогда, очевидно, гармоническая. Мы обозначшм
XU через Р, через Q обозначим сопряженную к XU функцию
и положим /(£) = Р-HQ- Удобнее, однако, рассматривать
функцию
так что
4E = -4L==_1q. (18) дх ду 4 ду дх 4 -
Простой подсчет показывает, что функция
Pi = U — рх — qy
является гармонической*).
*) Действительно, используя соотношения (18) и условия Коши—Ри-
мана для функции )(z), находим: Д (рх) = A (qy) = — Р, следовательно,
Др, = AU — Р = 0.
50]
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
277
Обозначим через %(z) аналитическую функцию, имеющую pt
своей действительной частью, тогда будем, очевидно, иметь:
U = рх + qy + pi = Re {z<p (z) + х (z)}.
Переписав эту формулу в несколько ином виде, мы получим
искомое комплексное представление бигармонической функции-.
U = у (zip + z<p + х + х)
(19)
(Э. Гу р с а, 1898 г.).
Для дальнейшего полезно найти также представления част-
ных производных функций U. Дифференцируя (19) по х и у
(z и z мы считаем при этом промежуточными переменными и
д _ д д - д
пользуемся тем, что ср = ср = ф и — ф = — ф = — »pj,
получаем:
^7 = у(ф + гф' + <р + гф/ + х' + х')> |
} (2°)
ф+^Ф +<р —2<р + X — х)> J
откуда
77 + г'77 ф to) + z<p'(z) + ф (z), (21)
где положено ф(г) = х/(2)- Дифференцируя (20), находим:
Л7=77- + = 2 to' + = 4 Re to' to)] *)• (22)
Перейдем к комплексному представлению компонентов сме-
щений и напряжений. Заменим в первых двух формулах (15)
л г; n &2U n d2U d2U n d2U _ Мо,
Д[/ = Р, ---> -гт—Р--------ттг- Так как из (18)
ду2 дх2 ’ дх2 ду2 '
имеем: Р = 4-^-= 4-^-, то
дх ду
п ди _ d2U । др d dv дгИ , dq
дх ~ дх2 + п 77 ’ 77 ~ ду2 + й ду ’
Л 4“ 2ц
X + ц
где k = 2
Интегрируя полученные соотношения, имеем:
2уи = -^ + кр + ^(у), 2yv = -^ + kq + f2 (х). (23)
*) Между прочим, из выражения (22) вытекает, что для любой функ-
ции U, представимой по формуле (19), Д7/ является гармонической функцией,,
следовательно, такая функция U бигармонична.
278 гл. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [50
Для определения функций Д {у) и f2 (х) воспользуемся третьей
формулой (15). Из формул (23) находим:
/ ди . dv \ d2U , 1 rtz/ \ । ;r,
** \ ду дх ) “ дх ду + 2 1^1 + ^2 (х)]1
сравнив это с выражением (15), получим f't (у) + f' (х) = 0, или
f[(y) — — f'2(x)- Так как здесь слева стоит функция только
от у, а справа — функция только от х, то обе части равны
одной и той же постоянной. Обозначив эту постоянную через а,
-будем иметь:
fi (у) = ау + 0, f2 (х) = — ах + у.
Нетрудно видеть, что смещение тела, обусловленное этими чле-
нами формул (23), является «жестким смещением», т. е. сме-
щением тела как целого. (Действительно, вектор такого смеще-
ния fi + if2 — —aiz + 0 + iy.) Отбрасывая в формулах (23)
эти члены как несущественные, ибо они не влияют на напря-
женное состояние тела, получим:
. . 1 (dU . . dU\ . k . ,
и -|- IV — —-— I —-1- I —— I -|—~— (р (z),
1 2ц \ дх 1 ду ) ‘ 2ц v ' 7
или, используя соотношение (21), найдем в окончательном виде
комплексное представление смещений:
u + iv = -^P <x(₽ (z) — z<p' (z) — ф (г)}; (24)
здесь n = k—1 = \ . Это представление было получено
А “г Ц
Г. В. Колосовым в 1909 г.
Перейдем к представлению напряжений. По формулам (14)
находим:
Fх = Xх + iYx = ^ — i + i ^-\,
x xix dy2 dx dy dy \ dx 1 dy J
„ _ у _i_ -v — d2U . . d2U _ . d (dU . dU\ 1
-V Ay + lYy dx dy dx2 1 dx \dx 1 dy )
и, используя (21), получаем:
Fx = %.t + ^x = <₽'(z) + <p/(z) —zcp"(z) —фДг),
— iFy = Yy — iXy = <p' (z) + <p' (z) + zip" (z) + ф' (z).
Складывая уравнения (26), а также вычитая из второго первое,
получим формулы, также принадлежащие Г. В. Колосову
и дающие комплексное представление напряжений:
Хх + Yy = 2 {<р' (z) + <р' (г)} = 4 Re ф' (г),
Yy-Xx + 2iXy = 2 {z(p" (z) + ф' (z)}
(27)
51) § 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 279'
(во второй формуле мы перешли к комплексно сопряженным
величинам).
Мы видим, таким образом, что напряжения и смещения
в плоской задаче теории упругости выражаются через две ана-
литические функции комплексного переменного <p(z) и ф(г).
В заключение выясним, насколько определяются эти функ-
ции заданием напряженного состояния и смещений. При задан-
ном напряженном состоянии функция y'(z) определяется из
первой формулы (27) с точностью до чисто мнимой постоян-
ной, ибо действительная часть этой функции задана. Отсюда
следует, что все функции, которые могут играть роль функ-
ции ф, выражаются через одну из них формулой
Ф (z) + aiz + b, (28)
где ai —чисто мнимая и b = р -ф iy — комплексная постоянная.
Вторая из формул (27) определяет тогда ty'(z), следовательно,
совокупность функций ф описывается формулой
ф (?) + />„ (29)
где bi = pi + iyi — комплексная постоянная.
Очевидно, и обратно, напряженное состояние не изменится,
если,заменить ф и ф соответственно через ф-фаи-ф£> и ф-фб].
Пусть теперь заданы компоненты смещения. Из формул
(6) — (8) видно, что тогда определяются и компоненты напря-
жения. Поэтому допустимо заменять функции ф и ф только
с помощью формул (28) и (29). Но, как показывает формула
(24), при такой замене и -фiv изменяется на величину
би -ф i bv = aiz -ф , (30)
2ц 2ц ' '
следовательно, мы имеем дело лишь с жестким смещением
всего тела, которое условились не учитывать.
Формула (30) показывает, что не изменяют смещений
лишь такие замены функций ф и ф вида (28) и (29), для ко-
торых
а = 0, мЬ — b[=Q. (31)
Таким образом, при заданных смещениях постоян-
ная а определена вполне, а из двух постоянных b и можно
задавать произвольно лишь одну.
51. Краевые задачи теории упругости. Формулы Колосова
(24) и (27) предыдущего пункта представляют общее ре-
шение основных уравнений (3) и (8) плоской задачи теории
-280
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[5!
упругости*). Однако именно в силу своей общности эти фор-
мулы не дают непосредственного решения практически важных
задач, которые всегда приводят к некоторым условиям, нала-
гаемым на значения рассматриваемых величин на границе об-
ласти, т. е. к краевым задачам.
Основные краевые задачи плоской теории упругости форму-
лируются следующим образом:
Первая краевая задача (I). Найти упругое равно-
весие области D при заданных внешних напряжениях Хп, Yn,
приложенных к границе С этой области.
Вторая краевая задача (II). Найти упругое равно-
весие области D при заданных смещениях и и v точек границы С
этой области.
Рассматривают также смешанную краевую задачу, в кото-
рой на одних частях границы области задаются напряжения,
а на других — смещения.
Докажем единственность решения задач I и II, рассматри-
вая для простоты случай, когда область D односвязна и огра-
ничена. Рассмотрим интеграл
/ = j (Хпи + У„и) ds, (1)
с
распространенный по границе С области D (он означает физи-
чески работу упругих сил, действующих на контур С). Заменяя
Хп и Yn по формуле (2) предыдущего пункта, мы запишем
этот интеграл в виде
I = j {(Ххи + Ухи) cos а + (Хуи + Yyv) sin а} ds.
с
Но по двумерной формуле Остроградского**) наш интеграл
преобразуется в двойной, распространенный по области D;
/= j / Yxv) + -^-(Хуи + Yyv)]dxdy =
. v du . v { dv i du \ . ,, dv 1 , , ,n.
-p Xx ——p Xу I -5——4— I -p Yy—^— (dx dy. (2)
1 x dx v \ dx dy / v dy \ ’
*) Можно было бы показать, что при любых аналитических функциях
<р(г) и ф(г) функции Хх, У„, Хи и и, v, определяемые из (27) и (24), удо-
влетворяют основным уравнениям (3) и (8).
**) Двумерная формула Остроградского имеет вид
(Р cos а -р Q sin а) ds =
С D
где а — угол, образованный нормалью к С с осью х.
511 § 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 281
В силу формулы (3) п. 50 первые два члена подынтегральной
функции в интеграле (2) равны 0; заменяя еще Хх, Ху, Yv по
1 /о\ ди dv dv . ди ,
формулам (8), а-^-, -^7+-^--по формулам (6)
п. 50 и используя обозначение (7) того же пункта, получаем:
D
Пусть теперь в области D можно построить два решения
Хх, и' и X", v" одной краевой задачи I. Так как
основные уравнения (3) и (8) п. 50 линейны, то разности
Хх = Х'х~ X", ..., v = v'— v" также будут давать решение
плоской задачи теории упругости, причем, в силу краевых усло-
вий, на линии С будет Хп = Yn = 0. Поэтому интеграл (I),
а следовательно, и (3), равен 0. Но под знаком интеграла (3)
стоит неотрицательная функция, следовательно, этот интеграл
может равняться 0 лишь в том случае, когда в области D
тождественно 0 = ехх = еху = еуу — 0. Тогда из формул (8)
п. 50 мы заключаем, что в области D тождественно Хх = Yy =
= Ху = 0, т. е. что напряженные состояния Хх, Y', Х'у и
X", Y", X" совпадают*). Единственность решения краевой
задачи I доказана.
Доказательство единственности решения краевой задачи II
проводится совершенно аналогично**), с той лишь разницей,
что обращение в нуль интеграла (I) мотивируется обращением
в нуль смещений и и v на линии С.
Покажем теперь, как решение задач I и II сводится к ре-
шению краевых задач теории аналитических функций. Так как,
по доказанному в предыдущем пункте, напряженное состояние
полностью определяется через две аналитические функции ф(г)
и ф(г), то и решение наших задач должно выражаться через
эти функции. Пусть по-прежнему область D односвязна и ее
граница обозначается через С.
В задаче II граничное условие записывается непосредствен-
но с помощью формулы (24) п. 50
х<р (0 — gq/ (?) ~ Ф (?) = 2Н£ (?). (4)
где х и ц— постоянные коэффициенты, a g(t,) = u^-iv — задан-
ное на контуре С смещение.
*) Напомним, что при одинаковых напряженных состояниях смещения
и, v могут отличаться лишь «жестким смещением», которое мы условились
считать несущественным (см. предыдущий пункт).
**) Если на границе смещения заданы, то «жесткое смещение», о кото-
ром говорилось в предыдущей сноске, исчезает и и, v определяются вполне.
'282
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(51
Таким образом, решение задачи II плоской теории упругости
для области D сводится к отысканию в этой области двух ана-
литических функций ф(г) и ф(г), связанных на ее границе С
краевым условием (4).
Для задачи I заметим прежде всего, что из формул (2) и
(25) предыдущего пункта вытекает формула для вектора на-
пряжений, отнесенного к элементу, нормаль которого образует
угол а с действительной осью:
„ .( д . д \( dU . . dU\
= — « cos а ----sin а -3— -3---Ь t —
п \ ду дх )\дх ' ду /
. д ( dU .. dU \
----д I F £ “5— I > (5)
ds \ дх ' ду ) v '
д ( , л\ д , . ( . п\ д
где = cos + уj— +sin (^а + yj— символ производ-
ной в направлении элемента.
Из этой формулы вытекает, что на контуре С
17 + ;4т = г/г'»‘,5 + Л’ (6>
где s —длина дуги С, отсчитываемая в положительном направ-
лении от некоторой фиксированной точки, и А—произвольная
постоянная. В задаче I значения Fn на контуре С заданы, по-
этому известна функция
S
i/F„ds=f® = MO + M)- (7)
о
Подставляя это в соотношение (6) и пользуясь формулой (21)
предыдущего пункта, найдем краевое условие задачи I в виде
4п + / 17 = ф(0 + ?ф7© +Ш = /(;) + А (8)
где /(£) — известная функция и А — произвольная постоянная.
Таким образом, решение задачи I плоской теории упругости
сводится к отысканию в области D двух аналитических функ-
ций <р(г) и ф(х), связанных на ее границе С краевым усло-
вием (8).
Выясним вопрос о числе параметров, остающихся свободными в рассма-
триваемых краевых задачах. KgK мы видели в конце предыдущего пункта,
при задании напряжений (задача I) <р определяется с точностью до слагаемого
вида aiz 4- b, а г|:— с точностью до постоянного слагаемого &i (а действи-
тельно, b и bi комплексны), а при задании смещений (задача П) <р и 1|> опре-
деляются с точностью до постоянных слагаемых Ь и связанных соотно-
шением х& = 51. •
51]
S 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
283;
Отсюда следует, что в задаче II эти функции вполне определяются зада-
нием одной из них в какой-либо точке области, например условием
<Р (0) = 0
(9)
(мы предполагаем, что точка z = 0 лежит внутри D). В задаче I при допу-
, , dU . .dU
стимых изменениях <р и ф функция + t, как видно из (8), меняется
на b + 5|, так что задание постоянной А накладывает одну связь на b и bi.
Поэтому в задаче ! при заданной величине А остаются свободными один
комплексный и один действительный параметры и можно, например, задать
условия
ф (0) = Im <р' (0) = 0.
(10>
В заключение опишем изменения, которые вносятся в постановку краевых
задач в случае неограниченных или многосвязных областей. Пусть сначала
область D ограничена и ее граница состоит из замкнутого контура Со, содер-
жащего внутри контуры С[, С2, ..., Сп. Из физических соображений ясно,
что напряжения и смещения остаются в этом случае однозначными, однако
функции ср и ф могут оказаться многозначными. Выясним характер их много-
значности.
Из формулы Колосова Хх + Yy = 4Re <p'(z) следует, что Recp'(z) одно-
значна, но Imcp'(z') при обходе каждой из внутренних кривых Ck против
часовой стрелки может получать приращение, которое мы обозначим 2ла(1
(см. п. 41). Отсюда следует, что функция q/(z) будет при этом получать
приращение 2niak и, значит, функция
п
<р' (г) — У, ak Ln (z — zft) = ф (z), (11)
Л=1
где гк — точка, лежащая внутри СА, будет однозначной в D. Интеграл
Z
J ф (z) dz в области D также может оказаться многозначной функцией,.
причем эта многозначность будет вызвана членами вида bk Ln (z — zA). Таким
образом, интегрируя соотношение (11), мы получим, что
п п
Ф = 2 akz Ln (2 ~ zk) + 5 bk Ln (z — zk) + *₽* (z)- (,2>
k=l k=l
где Ф*(г)—функция, однозначная в D, — действительные и Ьк—ком-
плексные постоянные.
Как видно из (11) или (12), функция ф"(г) однозначна в D. Из второй-
формулы Колосова (27) п. 50 мы заключаем тогда, что ф'(г)—однозначная
функция, и следовательно,
п
Ф (z}= У ck Ln (z — zk) + ф’ (z),
k=i
(13>
где ф*(г) однозначна в D и ск — комплексные постоянные.
До сих пор мы пользовались только однозначностью напряжений. Из
полученных формул (12) и (13) и из формулы (24) п. 50 видно, что при
обходе Ck функция 2ji(h-|-w) получает приращение, равное приращению
функции xaszLn(z — Zk) + хйл Ln(z — zA) — га„ Ln (z — zft) — Ck Ln (z — Zk),
284
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[15
т. е. равное 2'ni [(х + l)akz + кЬь + сл], где г — точка D, в которой начи-
нается и кончается обход. Условие однозначности смещений приводит, сле-
довательно, к условиям
ak = °’ ck = ~Kik (14)
и функции (риф принимают вид
п
<р (z) = 2 bkLn (г - zk) + <₽* (z)’
fe=l
n
ф (z) = — X 2 h Ln (Z ~ Zk) + (2)-
k=\
где ср* и ф* — однозначные функции, a bk — комплексные постоянные.
Коэффициенты bk имеют простой механический смысл:
2л (I 4-х)’
(15)
(16)
где FW— главный вектор внешних условий, приложенных к Ck. В самом
деле, по формуле (6) этот вектор равен
Fw=- Г р ds = i\CJ“+ i (17)
J n ck\dx dy /
ck
где \г —приращение при обходе Ck (знак — перед интегралом объясняется
тем, что мы рассматриваем вектор внешних усилий). По формуле (21)
п. 50 мы получаем отсюда
= i\c^ {<р (2) + ztf' (г) + ф (г)} = — 2л (1 + х) bk.
В задаче I коэффициенты bk заданы, а в задаче II они остаются неизвестными.
Граничное условие (4), к которому приводится решение задачи II, для
многосвязных областей не изменяется, в то время как условие (8), к кото-
рому приводится задача I, нуждается в некотором уточнении. В самом деле,
значения постоянной А на различных граничных контурах могут оказаться
различными, так что это условие следует теперь записывать в виде: на Ck
<p(t) + tW) + ^(i)=ftt) + Afe. (83
где А к — постоянные (k — 0, 1, ..., я). Более подробный анализ показал бы,
что одну из этих постоянных можно задавать произвольно, а остальные опре-
деляются условием однозначности смещений.
Отметим еще, что как явствует из физических соображений, решение
задачи I может существовать лишь в том случае, когда главный вектор
и главный момент всех внешних усилий, заданных на полной границе
С = С0 + С1~ 4- ... + С~ области, равны нулю. Условие равенства нулю
главного вектора по формуле (7) равносильно равенству нулю полного прй-
ращения заданной на границе функции f = 4- if2:
\Fnds = ;AC {f, (?) 4- if2 (?)} = 0 (18)
c
51J
§ 2. ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
285
(в случае односвязной области оно выполняется автоматически, если задан-
ная функция непрерывна). Условие равенства нулю главного момента
J (xYn~ уХп) ds —О
С
легко преобразовать, если заметить, что по формуле (7) Xnds = df2, Ynds =
= —dfi и, следовательно, после интегрирования по частям это условие при-
нимает вид:
j (xYn - уХп) ds^-\c (Xft (О + (g)J + j tldx + f2dy = 0.
c c
С учетом условия (18) это условие можно переписать в виде
J fi dx + f2 dy — 0. (19)
с
Если область неограниченная и содержит точку г — оо внутри, то все
наши рассуждения останутся в силе, если к рассматриваемым суммам доба-
вить еще член вида b Ln z, соответствующий обходу бесконечно удаленной
точки. Коэффициент b выражается через главный вектор F внешних усилий,
приложенных к границе области:
— в отличие от случая ограниченной области ои не обязан равняться нулю.
Этот вектор считается известным: в задаче II он должен быть задан, а в за-
даче I определяется по заданным внешним напряжениям.
Если предположить, что напряжения остаются ограниченными в беско-
нечности, то из формул Колосова (26) п. 50 видно, что главные части лора-
новских разложений ф*(г) и ф*(г) в бесконечности могут содержать лишь
первые степени г. Таким образом, в рассматриваемом случае выражения для
функций <р и ф принимают вид
п
<р (г) = bk Ln (г — zfe) + fe Ln z + Гг + <p0 (z),
ф (z) = — % 2 bk Ln (2 ~ zk) — Ln z + T'z + ф0 (z),
k=l
где bk и b определяются по формулам (16) и (16х), a <p0 и фо — функции,
однозначные в D и правильные в бесконечности. Постоянные Г .-и Г', как
видно из формул Колосова (27) п. 50, выражаются через напряжения в бес-
конечности:
X™ + Г” = 4 Re Г, - X™ + 21Х~ =2Г'. (21)
л у у * У
В случае задачи- II они считаются заданными; в случае задачи I задаются
Re Г и Г' (можно доказать, что Im Г на распределение напряжений не влияет).
Случай, когда область D содержит бесконечно удаленную точку на гра-
нице, в общем виде мы рассматривать не будем, а ограничимся случаем,
когда D представляет собой нижнюю полуплоскость. Мы принимаем здесь
так же, как и в предыдущем случае, что в окрестности точки z = оо:
<р (z) = b Ln г + <р* (z), ф (z) — с Ln z + ф* (z),
286 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [52' ?
где ф и ф*— однозначные функции, а & и с — комплексные постоянные. '
Отсюда, используя формулу (17), находим вектор внешних усилий, приложен-
ных к большому отрезку Сл: —Ri <x<R2, оси х
_____ ______ / D Г> \ •
FD — il\r (ф (z) + 2ф' (z) + ф (z)} == i & In + bni + c In ---cni I + e,
K ^R \ Ki - Ki /
где 8 -> 0 при /?i,/?2-> «>. Потребуем, чтобы это выражение оставалось
ограниченным, когда R\, R2-+oo независимо друг от друга. Тогда
b + с = О
и предыдущая формула даст в пределе вектор внешних усилий, приложенных
ко всей оси х:
F — л (с — Ь).
Таким образом,
предполагая еще, что напряжение и вращение в бесконечности равны О
(т. е. что Г = Г' = 0), вместо формул (15) имеем:
ф (z) = — F Ln z + фо (z), ]
} (22)
Ф (2) = F Ln z + фо (z), J
где фо(г) и ф0(г) —функции, однозначные в D и правильные в бесконечности.
§ 3. Интеграл типа Коши и краевые задачи
В этом параграфе излагаются основные свойства интеграла
типа Коши и основанные на них эффективные методы решения
различных краевых задач теории функций комплексного пере-
менного. В конце параграфа приводятся приложения этих ме-
тодов к некоторым задачам гидродинамики и теории упругости.
В основе этих методов лежат формулы для граничных зна-
чений интеграла типа Коши, которые получены в 1873 г. Юлиа-
ном Васильевичем Сохоцким*), но затем были незаслуженно
забыты и получены вновь Пл ем ел ем в 1908 г. и в более об-
щих предположениях И. И. Приваловым в 1918 г. В на-
стоящее время методы решения краевых задач математической
физики, основанные на интегралах типа Коши, наиболее успеш-
но развиваются в работах Н. И. Му с х ел и ш в и л и, И. Н. В е-
к у а, А. В. Б и ц а д з е и др.
52. Интеграл типа Коши. Формулы Сохоцкого. Интеграл
Коши
(1>
С
*) Ю. С о х о ц к и й, Об определенных интегралах и функциях, употреб-
ляемых при разложениях в ряды, СПБ., 1.873.
52]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
287
представляет функцию, аналитическую внутри замкнутого кон-
тура С, через ее значения на границе (см. п. 14). Предположим
теперь, что С — произвольная кривая без точек заострения (это
существенно для дальнейшего), не обязательно замкнутая, и
на ней задана произвольная функция f(£), непрерывная всюду,
кроме, быть может, конечного числа точек, где она имеет инте-
грируемый разрыв.
Интеграл
f(z)
_ 1 [ f (g) dj
2ni J 5 — z ’
c
(2)
построенный так же, как и интеграл (1), называется интегра-
лом типа Коши.
Повторяя в точности рассуждение п. 17, мы убедимся в том,
что интегр'ал типа Коши представляет собой функцию, анали-
тическую в любой точке z, не лежащей на кривой С. При этом
если С разбивает плоскость на несколько областей, то в этих
областях интеграл типа Коши определяет, вообще говоря, раз-
личные аналитические функции. Например,
1 f
2л1 J 5 — 2
It 1=1
равен 1 всюду в круге |z| < 1 и 0 — вне круга.
Легко понять, что даже в случае замкнутого контура С ин-
теграл типа Коши в общем случае не является интегралом
Коши, т. е. значения функции ((g) не будут предельными для
значений F(z) при г-*£. В самом деле, как мы видели в п. 43,
задание на границе области одной лишь действительной части
аналитической функции определяет действительную часть вну-
три. Тогда из уравнений Коши —Римана внутри области с точ-
ностью до постоянного слагаемого определяется мнимая часть
функции, а следовательно, и ее предельные значения при г,
стремящемся к границе области. Поэтому, когда на границе
задаются две ничем не связанные между собой функции —дей-
ствительная и мнимая части функции f(£),—то в общем слу-
чае нельзя и ожидать, что F(г) при z—*t, стремится к задан-
ным значениям.
Чтобы изучить вопрос о граничных значениях интеграла
типа Коши, мы прежде всего выясним смысл, который можно
придать этому интегралу, когда точка z лежит на линии инте-
грирования С. Если точка z лежит на С, то интеграл (2),
вообще говоря, расходится, ибо его подынтегральная функция
обращается в бесконечность при Однако в некоторых
дополнительных предположениях, наложенных на этому
288
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[62
интегралу можно придать вполне определенный смысл. Пред-
положим, что в некоторой точке ь = to контура С функция
f(£) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем ц<.1:
(Я) Существует постоянная М, такая, что для всех точек £
на линии С, достаточно близких к £0, имеет место неравенство
о
'v Условие Гёльдера, очевидно, выражает тот
/Ч факт, что приращение функции является
а \ малой порядка не ниже ц относительно
KZ приращения аргумента.
€// Покажем, что в принятом условии ин-
X теграл типа Коши существует и при г = £о>
Рис. 124. если его понимать в некотором особом
смысле, и найдем его выражение через
обычный интеграл. Предположим сначала, что с0 не является
угловой точкой линии С, и обозначим через и точки пере-
сечения С с окружностью |z —£0| = г, через с — отрезок кри-
вой С между t,' и £", через а и Ь — концы С (рис. 124). Имеем:
С—с
где под In на дугах at,' и t,"b понимаются две какие-либо
ветви логарифма, непрерывно изменяющиеся на этих дугах,
причем для определенности принято, что значение In (Я7— £0)
получается непрерывным изменением из 1п(£'—£о), когда точ-
ка £ описывает дугу окружности \z— £о| = г слева от ли-
нии С. В сйлу последнего условия и того, что |£' — £о| =
= |£" —Со|, имеем:
lim In -|т—= — i’K- (5)
Г->0 =
С другой Гёльдера, стороны, при достаточно малых г, в силу условия 1 f (?) - f (?о) I м имеем —-— j—-; следовательно, су- 1 ? — ?о 1 1 ? — ?о 1
ществует lim [• (6) Г->0 Ь feO J Ъ ЬО G—£ G
52] § 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 289
причем последний интеграл можно понимать в обычном смысле.
Таким образом, формула (4) принимает вид:
Г f (?) d? _ Г f (?) - f (?0) лг । нм in j. j. ли
J g _1 g~ = J —— «fe +l (Zo) In a _ + inf (£0) + О (r), (7)
C-c C
где O(r)-*0 при r-*0.
Из формулы (7) видно, что существует предел
lim f / dZ f f (» dZ .
'" o J S-So ~ J g-go ’
C-c C
этот предел называют главным значением интеграла, а сам
интеграл, определяемый формулой (7) при таком предельном пе-
реходе,— особым интегралом (в смысле Коши). В нашем опре-
делении особого интеграла существенно, что дуга с, выбрасы-
ваемая из С, стягивается в точку по вполне определен-
ному закону (так, что ее концы при любом г лежат на
окружности \z — £о| —г); если с стягивается в точку по дру-
гому закону, то предел (7) может и не существовать. Напом-
ним, что в обычном определении несобственного интеграла тре-
буется, чтобы предел (7) существовал при с—по любому
закону. Отсюда ясно, что если интеграл существует в обыч-
ном смысле, то он существует и как особый, и его главное
значение совпадает со значением обычного интеграла*). Обрат-
ное, очевидно, не верно.
Поясним определение простьпм примером. Интеграл
1
f dx
J х ’
-i
взятый по отрезку (—1, 1) действительной оси, как известно,
не существует. Однако он существует как особый интеграл в
смысле Коши, ибо предел
—Г 1 \
lim [ — + | ~ ( = lim {In г + In — | — О
r-»0 J, х J х ] г->0( Г J
существует (мы выбрасываем из отрезка (—1, 1) отрезок
(—г, г) в соответствии с определением особого интеграла).
Переходя в формуле (7) к пределу при г—*0, получаем
следующую теорему:
Теорема 1. Если в точке £0, которая является правильной
точкой контура С и отлична от его концов, функция /((;) удов-
летворяет условию Гёльдера с показателем ц^1, то интеграл
*) Поэтому мы и сохраняем для особого интеграла символ обычного
интеграла.
Ю М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат
290
ГЛ. III. краевые задачи и их приложения
(52
типа Коши существует в этой точке как особый, и его главное
значение выражается через обычный интеграл по формуле
+ (8)
С
Если, в частности, кривая С замкнута, то можно принять а=Ь,
тогда член с логарифмом исчезнет и формула (8) примет более
простой вид
F =ik- J -gZe-0— +4 f (&>)• (9)
С С
Пусть теперь £о — угловая точка кривой С; обозначим через а
угол между касательными к С в этой точке, измеряемый слева
от линии С (рис. 124). Вместо формулы (5), учитывая наше
условие о связи ветвей логарифма, будем иметь:
lim In = — ia.
r->o — go
Тогда вместо (8) получим формулу
F ~ L(£o) d^+^f • <1о>
С
Перейдем к изучению предельных значений интеграла типа
Коши при z, стремящемся к линии интегрирования С. Докажем
предварительно следующую лемму:
Лемма. Пусть функция f(g) удовлетворяет в точке £0 усло-
вию Гёльдера с показателем ц 1 и точка z стремится к £о
так, что отношение h = \z — £о| к d — кратчайшему расстоя-
нию z от точек С— остается ограниченным. Тогда
lim у .;.к>-ны. dt _ | цаЕл&» dl. „о
2->Sj с с
Для доказательства оценим разность Д между интегралами
в левой и правой части (11):
д —. f (z__г \ f (Р ~ f нг
д ( ?о) (£ - z) (g - go)
c
Разобьем интеграл Д на два, из которых первый распространен
на дугу с кривой С, для точек которой — £о|=^б, где б —
некоторое число, подбор которого мы уточним далее, а второй—
на оставшуюся часть С' — С — с.
52]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
291
Для первого интеграла, пользуясь условием Гёльдера
считаем, что 6 достаточно мало) и тем, что |£ — z\~^ d.
(мы
по-
лучим:
|Д,
к [а м|-£-^
__ hM Г |dg|
d J IC-Col,-u '
Обозначим через t— |£ — £0| длину хорды, стягивающей дугу
кривой С. Так как С не имеет точек заострения, то отно-
шение длины дуги к длине стягивающей ее хорды ограничено.
Пусть это отношение не превосходит А, тогда |d£| = ds A dt,
и последняя оценка принимает вид
а
| А] | = 2 Д МА [ = const •
d J t1'11
о
Отсюда видно, что б можно выбрать столь малым, чтобы вели-
чина |Ai| не превосходила любого заданного числа е/2.
Так как, далее, кривая С не содержит точку Со, то при фик-
сированном б интеграл
J S -Z 5
С'
как функция z непрерывен в точке £0, следовательно, для до-
статочно малых h = \z— £о| величина |Аг] будет также не
превосходить е/2. Для таких h имеем | Д|^| А] | + | Аг| < е, что
и доказывает лемму.
С помощью этой леммы легко получить и формулы для пре-
дельных значений интеграла типа Коши.
Теорема 2 (Ю. В. С ох о ц кий). Пусть точка £0 является
правильной точкой контура С и отлична от его концов, функ-
ция /(£) удовлетворяет в этой точке условно Гёльдера с пока-
зателем ц 1 и z —* Со так, что отношение hid остается ограни-
ченным. Тогда интеграл типа Коши обладает предельными зна-
чениями F+(Co) и А-(Со), к которым он стремится при z —>Со
слева и соответственно справа от С, и
F+ (:o) = F(So) + 4HW>
F- (Co)==f(Co)-4f(go)>
(12)
где F(Co) — особый интеграл (9)*).
*) Формулы (12) впервые доказаны Ю. В. Сохоцким (1873 г.), затем
И. Пл ем ел ем (1908 г.) и, наконец, в более общих предположениях
И. И. Приваловым (1918 г.).
292 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ II ПХ ПРИЛОЖЕНИЯ [52
Пусть сначала С —замкнутая кривая, проходимая в поло-
жительном направлении. Имеем:
F Н) - 1 Г f (?) - I f f (£) - f (So) д. f Co) f /И
2ni J g-z 2ni J g-z 2ni J S-z’
c c c
причем по доказанной лемме первый интеграл в правой части
при z —* Со стремится к пределу
f f (?) - f (So)
J
а второй интеграл равен 2ni, или 0, смотря по том}', лежит ли
точка z слева или справа от контура С (т. е. внутри или
вне С). Учитывая это, мы перейдем к формуле (13) к пределу
при 2—> Со (слева или справа от С):
F+ (&>) = 2^Г f dl + f (Co);
c
F-(Co)=^-
2ni J ? — ?o b
c
Подставляя сюда значение интеграла из формулы (9), получим
искомые формулы Сохоцкого (12).
Если теперь С — незамкнутая кривая, то мы дополним ее
произвольной линией С' до замкнутой кривой Со — С -|- С' и
положим f(C) = 0 на линии С'. Тогда, очевидно,
F(z)= J-г [
' 7 2ai J g — z
с,
и если Со не совпадает с концом кривой С, то по только что
доказанному будут справедливы формулы Сохоцкого (12), в ко-
торых интеграл Е(Со) берется вдоль Со. Но так как /(C) —О
на кривой С', то последний интеграл можно заменить интегра-
лом вдоль С. Теорема доказана*).
Если Со является угловой точкой С с углом между касатель-
ными, равным а, то, используя вместо (9) формулу (10) (в ней
надо положить а — Ь), получим формулу Сохоцкого в несколько
*) Если f(z) во всех точках С удовлетворяет условию Гёльдера с одним
и тем же показателем ц > О, то интеграл типа Коши стремится к Г+(?) или
F~(£) при любом стремлении z к £0 (соответственно справа или слева), а
не только, когда h/d ограничено (см. [14]).
52]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ П КРАЕВЫЕ? ЗАДАЧИ
293
более общем виде:
(U)
Из формул Сохоцкого (12), а для случая угловой точки —
(14) заключаем, что при переходе через линию интегрирования
С в точке £0 интеграл типа Коши испытывает скачок:
F+&,)~F~ &) = ?&>), (15)
Формула (15) содержит решение проблемы, поставленной
в начале пункта, о нахождении условий, при которых интеграл
типа Коши является интегралом Коши. Мы видим, что если
кривая С замкнута и в каждой ее точке F~(£) = 0, то предель-
ное значение F(z) изнутри С, т. е. Е+(£), равно /(£), а это и
означает, что F(z) является интегралом Коши. С другой сто-
роны, если F(z) является интегралом Коши, то f+((;) = f (£) и,
следовательно, /•’“((;) =0. Таким образом, условие
F~C) = 0, (16)
выполняемое в каждой точке С, является необходимым и до-
статочным для того, чтобы интеграл (2) был интегралом. Коши.
Это условие, очевидно, одновременно является и условием того,
что заданные на С значения /(£) являются граничными значе-
ниями функции, аналитической внутри С. Его можно высказать
в более удобной форме.
Теорема 3. Если функция f(£) в каждой точке замкну-
того контура С удовлетворяет условию Гёльдера с показателем
pt 1, то для того, чтобы ее значения являлись граничными
значениями функции, аналитической внутри С, необходимо и
достаточно выполнение следующих равенств:
Jm)^ = 0 (n = 0, 1, 2, ...). (17)
с
В самом деле, так как для больших |г|
1 _ 1 / у
£ — z z г/ Zj г'!+1 ’
то для интеграла типа Коши в окрестности бесконечно удален-
ной точки имеем разложение
оо
F <2>J1 ® Д=- s £"f к> <18)
С n=0 С
294
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Г52*
Отсюда следует, что если выполнены все условия (17), то в
окрестности бесконечно удаленной точки 7(г)=0. Но так как
интеграл типа Коши F(z) аналитичен всюду вне контура С, то
по теореме единственности п. 20 отсюда вытекает, что F(z) = 0
всюду вне С. Таким образом, внешние предельные значения
т. е. F+(£) = и значения явдяются гранич-
ными значениями аналитической внутри С функции.
Обратно, если значения /(£) являются граничными значе-
ниями функции, аналитической внутри С, то для любой точки z,
f (?)
лежащей вне С, дробь _г как функция точки £ будет ана-
литической внутри контура С и непрерывной на нем. Тогда по
теореме Коши для всех таких z
f (Q dj Q
с
И, следовательно, в разложении (18) все коэффициенты равны 0.
г)то и есть условия (17); теорема доказана.
Очевидна также следующая
Теорема 4. В условиях предыдущей теоремы необходи-
мым и достаточным условием того, чтобы значения /(£) были
граничными значениями функции, аналитической внутри С, яв-
ляется равенство
_L f HEME __Q
2ni J £ — z
c
(19>
для всех точек z, лежащих вне С.
Рассмотрим теперь условия того, что заданные на С значе-
ния являются граничными значениями функции, аналитической
вне С. Прежде всего заметим, что если функция f(z) анали-
тична вне С, включая бесконечно удаленную точку, и непре-
рывна на самом контуре, то имеет место следующая формула
Коши для неограниченных областей-.
1
2л t
z)+t(oo) для z вне С,
f(oo) для z внутри С
с
(контур С обходится против часовой стрелки).
В самом деле, если точка z лежит вне С, то мы окружаем С
замкнутым контуром С', содержащим внутри эту точку, и к дву-
связной области, ограниченной С и С', применяем интеграль-
ную формулу Коши п. 14:
= f f (С) 1 f f (С) dt,
' ' ' 2л z J £ — z 2л| J £ — z
С' С
52]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
295
(оба контура проходятся против часовой стрелки). Так как в
окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разло-
жение
f(g) = c0 + -j-+ ••• +^-+ ....
где c0 = f(oo), то вычет функции в бесконечно удален-
ной точке равен —с0 = —f(oo) и, следовательно (см. п. 24),
1 f f(t,)d£ л
J ' g'-z I <°°)’ что и требуется.
С'
Если же z лежит внутри С, то функция аналитична
между С и С', следовательно, то теореме Коши
Г f (g) dg _ Г f (g) dt, =
J C-z J E-z
c c
и учитывая предыдущий результат, мы получаем вторую фор-
мулу (20).
На основании полученной формулы легко доказывается
Теорема 5. В условиях теоремы 3 необходимым и доста-
точным условием того, чтобы значения /(£) были граничными
значениями функции f(z), аналитической вне С, является ра-
венство
J = а=const (21)
с
для всех точек г, лежащих внутри С, причем постоянная в пра-
вой части равна f(°o).
Необходимость условия содержится в формуле (20). Чтобы
доказать его достаточность, заметим, что функция
E(z) =
____Г НЕ) d£
2л i J g — z
С
аналитична вне С, причем из условия (21) следует, что ее пре-
дельные значения изнутри F+(£)s0, а значит по формуле Со-
хоцкого /?“(g) = f (с). Теорема доказана.
В заключение приведем несколько иную формулировку тео-
рем 4 и 5, относящуюся к случаю, когда кривая С представляет
собой единичную окружность.
Теорема 6. Для того чтобы значения функции f(t,), удо-
влетворяющей в каждой точке единичной окружности С усло-
вию Гёльдера с показателем ц^1, были граничными значе-
ниями функции, аналитической соответственно а) внутри круга
296
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[53
| z | < 1 или б) вне его, необходимо и достаточно выполнение
условий:
а) для всех z внутри С
1 Г =й== const, (22)
2я« J g — z у ’
с
где а равна значению упомянутой функции при z — 0, или
б) для всех z вне С
Для того чтобы свести эту теорему к предыдущим, доста-
точно заметить, что функция
аналитична вне круга |z| < 1, если F(z) аналитична внутри
этого_круга, и следовательно, на окружности |z|=l, где £ =
= 1/£, предельные значения функции Fi(z) извне комплексно
сопряжены предельным значениям функции F(z) изнутри (и
обратно).
53. Краевая задача Гильберта—Привалова. И. И. Прива-
лов*) в 1934 г. поставил и решил следующую краевую задачу:
На замкнутой кривой С заданы две комплексные функции
а(£)#=0 и b(Z), удовлетворяющие условию Гёльдера с показа-
телем ц 1. Требуется найти две функции, из которых одна,
f~(z), аналитична вне С, включая точку z~<x>, а другая, f+(z),
аналитична внутри С; граничные значения и f+(t) этих
функций на С должны существовать и удовлетворять соотно-
шению
Г (g) = а (С) Г (?) + &©• (1)
Частный случай этой задачи, когда 6(t) = 0, т. е. когда гра-
ничное соотношение имеет вид:
Г(С) = а©/+(0, (2)
решил Д. Гильберт**) в 1905 г. Краевая задача Гильбер-
та— Привалова находит важные приложения в различных во-
просах математической физики (см. п. 55). Следует отметить,
что решения Гильберта и Привалова были неполными. Полное
*) Иван Иванович Привалов (1891—1941)—советский математик,
специалист по теории функций комплексного переменного.
**) Давид Г ильберт (1862—1943) — немецкий математик.
53]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ II КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
297
и весьма простое решение дал в 1938 г. Ф. Д. Г ахов [13]. Это
решение мы и приводим здесь.
Начнем с решения задачи Гильберта (2). Назовем индек-
сом функции а (?) целое число, равное деленному на 2л пол-
ному изменению ее аргумента при обходе С:
plnn(?). (3)
с
Предположим сначала, что индекс равен 0, т. е. что функция
1па(?) однозначна на контуре С. В этом случае решение легко
найти. Построим интеграл типа Коши
(4)
с
и обозначим F~(z) и F+(z) функции, которые этот интеграл
определяет, соответственно, вне и внутри С, тогда решением
будет
Г (z) = Ае~р~(г), f+(z) = Ae~'+M, (5j
где А—произвольная постоянная (из формулы (18) предыду-
щего пункта следует, что F~(oo)—0, следовательно, А =
Действительно, функции F~(z) и F+(z) аналитичны соответ-
ственно вне и внутри С и обладают предельными значениями*),
связанными формулами Сохоцкого
F~ (?) = F (?) - 4 In а (?), Г+ (?) = F (?) + 1 In а (?),
где Г(?) — главное значение интеграла (4). Потенцируя послед-
ние формулы и используя (5), найдем:
Г(?) = л/^(?)'е-рю> Г(?) = у4==-е-гЧ
Докажем единственность построенного решения с точностью
до постоянного множителя А. Если существует второе решение
f±(z), то в силу того, что функции (5) не обращаются в 0, бу-
дут аналитическими (в соответствующих областях) функции
*) Так как а 0 на С, то In а(?) удовлетворяет условию Гёльдера вместе
с а(?).
298
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[53
—-—В силу граничного условия (2) на контуре С
Г (г)
Г(Е) /Г(« f+(£) 1
g+ (?) ft (£) Г (О «(S)
следовательно, по принципу непрерывного продолжения g~(z)
и g+(z) образуют одну аналитическую в полной плоскости z
функцию g(z). По теореме Лиувилля g(z)ss const, что и дока-
зывает утверждение.
Пусть теперь lna(g) неоднозначная функция и ее индекс
—п отрицателен; для простоты письма предположим еще, что
С содержит начало координат внутри себя. Тогда индекс функ-
ции
(О = Га(У
будет равен нулю, ибо
Дс arg at (g) = Дс arg g" + Дс arg а (g) = 2т — 2т = О,
и краевое условие (2) запишется в виде
Г(с)=-^Я/+ю. (6)
Будем искать решение задачи в виде произведения двух функ-
ций
Г (2) =^(2)^ (г). (7)
Пользуясь произволом в выборе одной пары, подберем функции
(z) так, чтобы выполнялось соотношение
f7(g) = «1(g)/1+(g). (8)
Так как индекс функции ajg) равен нулю, то можно восполь-
зоваться уже полученным результатом, т. е. положить
^(г) = е-^(г), )1+(г) = е"^(г), (9)
где Fi(z) — интеграл типа Коши, построенный по граничным
значениям In «1(g) (см. формулы (4) и (5); мы приняли А = 1).
Остается выбрать функции f* (z) так, чтобы на кривой С
было
(10)
тогда произведения (7) будут удовлетворять условию (6) (чтобы
в этом убедиться, достаточно перемножить (8) и (10)). Пусть
такие функции f*(z) подобраны, тогда в силу (10) функции
-53]
§ 3 ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
299
(z) и znf2 (г) совпадают на С и, следовательно, образуют одну
аналитическую во всей конечной плоскости функцию. Эта функ-
ция имеет в бесконечности полюс не выше н-ro порядка, так как
f ~ (z) правильна в бесконечности и, значит, является многочле-
ном. Таким образом,
/2 (г) = ао + + • • • + ’рг >
f* (г) = aozn + а1гп-1 + ... + ап;
вспоминая формулы (7) и (9), мы можем написать окончатель
ное решение задачи для рассматриваемого случая в виде
Г(2) = (а0 + -^-+ ... +»е’Л‘ (г),
f+ (г) = («0гП + alz" '+ ••• 4~ал)е f| <г\
где
In [t,na (С)]
(Н)
(12)
с
Постоянные ао, Яь ..., ап в формуле (11) произвольны, причем
одна из них, а0, определяется заданием значения f~(oo).
Итак, если индекс функции а (%) равен — п, то задача Гиль-
берта имеет п 4- 1 линейно независимых решений. Вводя обозна-
чение
G±(z)==e"Fit(z),
эти решения можно записать в виде
G-(z), ±G-(z), ..., A-G-(z); (1з)
G+(z), zG+(z), ..., znG+(z).
Рассмотрим, наконец, случай, когда индекс п функции а(£)
положителен. Оказывается, в этом случае задача не имеет реше-
ний, аналитических в соответствующих областях. Действительно,
мы вводим имеющую нулевой индекс функцию
(?)=-^а(С).
Как и в предыдущем случае, ищем решение в виде произве-
дений /*(г) =/* (z)f2 (z). Первую пару функций подчиняем ус-
ловию
«) = «!©№
300
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[53
f* (г) находятся с точностью до постоянного множителя, ибо
индекс функции ai(£) равен нулю. Для второй пары функций
получаем краевое условие в виде
/-(с)=г/2+(с).
Из него видно, что f2(z) и znft С2) образуют одну аналитиче-
скую функцию, правильную во всей полной плоскости и, следо-
вательно, постоянную. Так как в начале координат она равна
нулю (ибо внутри С эта функция совпадает с znft (гУ), то она
тождественно равна 0, что невозможно*).
Резюмируем полученные результаты.
Теорема 1 (Ф. Д. Гахов). Задача Гильберта
Г (£) = а(С)Г(£)
имеет /г1 линейно независимых решений вида (13), если ин-
декс —п граничной функции а(£) неположителен. Если же ин-
декс п положителен, то задача не имеет решений, аналитических
в соответствующих областях.
Перейдем к решению задачи Привалова:
г©=«а)Г(0 + &(0- (о
Пусть сначала индекс функции а(£) равен нулю, т. е. соот-
ветствующая задача Гильберта, которая получается, если в усло-
вии (1) положить &(£)== 0, имеет единственное решение:
^(2) = ^-^^, (14)
где F(z) определяется интегралом (4). Решение задачи Прива-
лова снова ищем в виде произведения f± (z) = f* (z)f^ (г), где
функции(z) определяются формулой (14). На контуре С долж-
но выполняться соотношение
(мы заменили aft по условию (2) на ft}. После подстановки
сюда fj”(C) из (14) мы получаем краевое условие для f2(z)t
ft UW2" (Z) = ~ b(Z)eF~li\ (15)
*) Если допустить, что искомая функция может иметь полюс в некоторой
точке, например точке г — оо, то задача будет разрешимой. Если индекс а(£)
равен п, то существует единственное решение, имеющее в бесконечности
полюс порядка п, см. Га хо в [13].
53]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
301
Это краевое условие сводится к заданию скачка функции /г(г)
на контуре С. Вспоминая формулу Сохоцкого (15) из предыду-
щего пункта, мы можем утверждать, что функция f2(z) лишь по-
стоянным слагаемым отличается от интеграла типа Коши
1 Г h ЦО р~F
= -ik t-z (I6>
«У <C
c
t. e.
/2±(г) = Л + К2±(г), (17)
где A — произвольная постоянная.
Таким образом, если индекс функции а(£) равен 0, то реше-
ние задачи Привалова представимо в виде
(±(г) = е^±<г>{Л + ^±(г)}, (18)
где F(z) и F2(z) определяются формулами (4) и (16) и Л —
произвольная постоянная.
Докажем единственность полученного решения. Очевидно,
разность двух решений задачи (1) удовлетворяет условию (2).
Отсюда вытекает, что два решения задачи Привалова могут от-
личаться лишь на решение задачи Гильберта. Учитывая дока-
занную выше единственность решения задачи Гильберта, мы
видим, что любое решение задачи Привалова получается из
(18) изменением постоянной Л.
Если индекс функции а(£) равен —-п, мы вводим функцию
ai(^)= ^а(^) с нулевым индексом и ищем (г) в виде про-
изведения (z)/* (г), где — e <г) и Fj(z) определяется
интегралом (12), a f2(z) удовлетворяет краевому условию
О)=^г/2Ч) + ^)-А(£).
Последнему условию, очевидно, удовлетворяют функции
Аг (г) = ао + Н~ • • • + + ^2 (г),
/+(2) = ^ + ^^"’+ ... +a„ + zV2+(z),
где а0, й], ..., ап — произвольные постоянные, a F2(z) опреде-
ляется по формуле (16), в которой вместо F~(Q подставлена
FF (Q. Окончательно решение задачи Привалова в случае от-
рицательного индекса —п представляется в виде
Г(г)={а0 + ^+ ... +> + ^(2)}^ <г),
f + (z) = 1 + + ап + znF2 (z)} е <г)
(19)
302
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[53
Как и выше, легко показать, что формула (19) содержит все
решения задачи.
Если, наконец, индекс п функции а(£) положителен, то тот
же самый метод приводит для fi(z) к условию
а для f2(z)— к условию
f;©=n2+(c) + 6(C)A(t>,
где Fi (?) означает интеграл типа Коши, построенный по гра-
1 а (О „
ничным значениям Последнему условию удовлетво-
ряют функции
Д р+
Г2- (г) = А + К2- (г), П (г) =
где F2(z) определяется формулой (16), в которой вместо F~(t,)
подставлена FF (£). Как легко показать, нашему условию удов-
летворяют только эти функции. Функция (z) будет правиль-
ной в точке z = 0, если эта точка является для Д+^М^) ну-
лем порядка не ниже п.
Последнее условие можно несколько преобразовать, если
разложить F2 (г) в ряд Тейлора по степеням z. Для этого под-
ставляем
> __ 1. । _ 1 I * I I гк I
S — г ? ’ t _ Д ' Г " ‘ + ^+1
в формулу (16) (в которой вместо F стоит Ft), получаем:
Ft (г) - - i ( -Т г'7” « —ST J дЯ « “ • • •
2 л i J
с
2л/ j ?tt+1 s ’•
Отсюда видно, что наше условие разрешимости имеет вид
|-Ш-Л‘сЧ==0 (А = 1, 2, .... п) (20)
с *
(постоянная А должна быть взята равной свободному члену
разложения). Таким образом, в случае положительного индекса
п задача Привалова имеет правильное решение лишь при соб-
людении условий (20).
53] § 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 303
Резюмируем полученные результаты.
Теорема 2 (Ф. Д. Г ахов). Задача Привалова
имеет семейство решений (19), зависящее от п -ф 1 произволь-
ных постоянных, если индекс —п граничной функции а(£) не
положителен. Если же индекс п функции а(£) положителен, то
эта задача разрешима лишь в том случае, когда функция Ь(^)
удовлетворяет дополнительным условиям (20).
В заключение укажем, что изложенные здесь методы реше-
ния задачи Гильберта — Привалова распространяются на слу-
чай незамкнутых контуров С. Чтобы получить такое распрост-
ранение, достаточно дополнить кривую С до замкнутого кон-
тура Со с помощью кривой С', соединяющей концы С(С0~
= С -ф С'), и положить на С'
а(«^1, 6g)s0.
Рассмотрим для простоты случай, когда &(£)== 0 и индекс функ-
ции а(£), который определяется как изменение arg«(£) при
полном обходе точкой £ обоих берегов разреза С в противопо-
ложных направлениях, равен нулю. Тогда решение ^(z), по-
строенное по формулам (4) и (5) для контура Со, причем в пер-
вой из этих формул интеграл берется лишь вдоль С (ибо на С'
по нашему определению 1па(£)==0), будет однозначным и ана-
литическим всюду во внешности кривой С (на С' краевое усло-
вие дает /+(£) =/'(g)), а на двух берегах С принимать значе-
ния /+(£) и связанные условием (2). Отличие от случая
замкнутого контура состоит лишь в том, что это решение будет,
вообще говоря, неограниченным в концах линии С. Можно, од-
нако, показать, что если а(£) удовлетворяет условию Гёльдера,
то это решение при приближении к концам С будет обращаться
в бесконечность порядка, меньшего 1.
Если умножить решение f±(z) на произвольную функцию
g(z), аналитическую в точках контура С, то произведение
f±(z)g'(z) будет, очевидно, решать ту же однородную краевую
задачу, что и ^(z). Пользуясь тем, что в случае незамкнутого
контура С допускаются решения, обращающиеся в концах С в
бесконечность порядка, меньшего 1, иногда можно умножать
решения ^(z) на функцию, правильную всюду, кроме какого-
либо конца С. Этим замечанием мы воспользуемся в приложе-
ниях (см. п. 55).
Полное изложение вопросов, связанных с задачей Гильбер-
та— Привалова для незамкнутых контуров, читатель найдет в
гл. 4 монографии Н. И. Мусхелишвили [14]. В той же мо-
нографии приводится обобщение метода Ф. Д. Гахова на мно-
госвязные области, данное в 1941 г. Б. В. Хведелидзе.
304
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[54
54. Формула Келдыша — Седова. Большой интерес для при-
ложений представляет следующая смешанная краевая задача*)-.
На границе С односвязной области D заданы точки ait b\, а2,
Ь2, .... ап, Ьп, расположенные в том порядке, в котором они
выписаны. Требуется найти функцию f(z), аналитическую в D,
действительная часть которой принимает заданные значения на
дугах аъЬк, а мнимая часть — заданные значения на дугах
bkah+i (k = 1,2,..., п; an+i = ax).
М. В. Келдыш и Л. И. Седов в 1937 г. дали полное ис-
следование этой задачи и доказали, что, вообще говоря, она не
имеет решений, ограниченных вблизи всех концов дуг а^ и bh.
Если же отказаться от условия ограниченности f(z) и потребо-
вать лишь ограниченности интеграла от f(z), то задача будет
решаться с точностью до (п+1)-го произвольного постоян-
ного. Наконец, они доказали, что задача будет иметь единствен-
ное решение, если, кроме того, потребовать, чтобы f(z) была
ограниченной вблизи каких-либо п из концов и задать ее зна-
чение в некоторой точке границы.
Мы рассмотрим подробно последний случай. Предположим
еще, что область D представляет собой верхнюю полуплос-
кость,— к этому с помощью конформного отображения сводит-
ся, очевидно, случай произвольной односвязной области.
Итак, пусть на оси х заданы точки —оо < а\ < Ь\ < а2 <
< b2 < . • • < ап < bn < оо и две действительные функции
и(х), v(x), имеющие конечное число точек разрыва первого
рода, причем и(х) определена на всех отрезках (ak, bh), a v(x)—
на всех отрезках (bk,ak+i) = 1, 2, ..., п; ап+\ = aj. Пред-
полагается еще, что на отрезках (—оо, и (Ьп, оо) функция
v(x) удовлетворяет условию вида |«(х) |<1 const/1хр для неко-
торого ц > 0. Требуется найти аналитическую в верхней полу-
плоскости функцию f(z) такую, что на отрезках (ah,bh)
Ref(z) = и (х),
а па отрезках (bk, «л-н)
Imf (г) = v (z).
Как мы говорили выше, имеет место
Теорема (М. В. Келдыш — Л. И. Седов). Смешанная
задача для верхней полуплоскости имеет единственное решение
f(z), удовлетворяющее следующим условиям:
1) f(z) ограничена вблизи всех точек ak;
Z
2) вблизи всех точек bk ограничен интеграл J f (г) dz;
*) Задача представляет частный случай так называемой задачи Гильберта
(см. п. 55).
54] § 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 305
3) f(z) имеет конечный предел f(oo) при z-*oo, который для
простоты полагается действительным.
Для доказательства обозначим
ft=l к
где рассматривается та ветвь корня, которая положительна на
отрезке (bn, оо), —знак произведения. Пусть z— произ-
вольная точка верхней полуплоскости; окружим ее замкнутым
контуром С, состоящим из верхней полуокружности CR: |£| =
= R, Im £ > 0, и отрезка (—R, R) действительной оси. Предпо-
ложим, что функция f(z) найдена, тогда по формуле Коши бу-
дем иметь:
(2)
С
Но так как, очевидно, lim g(£) = l, то существует и
£-»оо
Пт
С->оо
Следовательно, функция имеет в окрестности точки
£ = оо разложение вида
f (g) g (g) . t (°°) + <P (g)
g-z ~ g
где <p(£)—*0 при »oo. Интегрируя (3) по полуокружности Cn
достаточно большого радиуса, получим:
CR CR
Так как <p(£)~>0 при £ —*oo, то интеграл в правой части стре-
мится к нулю при R -> оо и, следовательно, соотношение (2) в
пределе дает:
оо
[ -Ц^-^+^Ноо), (4)
£, i LI щ} I <,
— ОО
где интеграл берется вдоль действительной оси. Заменив здесь
z на z, аналогично получим:
оо
“=i f +
^allt J t -С Л/
— OO
306
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
Г5«
Перейдем в последней формуле к комплексно сопряженным ве-
личинам и сложим ее с предыдущей:
со
№|ей=4 I »ог»)-По7йд + Ноо).
Х31» J 1а
>-00
Заметим теперь, что на отрезках (а^,bk) произведение
п
nl-ZLlh. отрицательно, а на (bk, йм-i) оно положительно, еле-
* flfr
довательно, функция g(t) принимает на (а&, bk) чисто мнимые,
а на отрезках (bk, a^+i) — действительные значения. Учитывая
это, мы переписываем последнюю формулу в виде
f(z)g(z) =
1
2ni
п bk __ п йА + 1 ___
s J +
ak k=l Ьк
+ H°o). (5>
Правая часть здесь известна, ибо на отрезках (а.ъ, bk) известна
Ref(0=u(/), а на (&fc,aft+1) известна Imf(0=o(i). Таким
образом, мы пришли к искомой формуле Келдыша—Седова-.
п Ьф п °^+1
k^l
(6)
(входящий во вторую сумму несобственный интеграл по отрезку
(bn,an+i) сходится в силу наложенного на v(x) дополнительного
условия).
Остается показать, что функция, определяемая по этой фор-
муле, действительно решает смешанную задачу. Для этого рас-
смотрим одно из слагаемых суммы (6)
fk(z)= . . f dt. (7)
' nig (г) J t — z v ’
ak
Произведение fk(z)g(z) представляет собой интеграл типа Коши,
построенный по функции q>(t) = 2u(t)g(i). Предельное его зна-
чение ft^o)S^o) ПРИ z' стремящемся сверху к точке tQ от-
резка (ak, bk), определяется по формуле Сохоцкого (12) п. 52:
it (М ё (Q=ф (Zo) + и (*о) g ('о). (8)
54J
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
307
где согласно формуле (8) того же пункта
ф i f dt + u (Zo) g (( ) +
Jib tJ b — *0
ak
I и Ro) g Ro) — ^0
nz ak - t0 ‘
(9)
Учитывая, что при a,t < to <Z bk предельное значение логарифма
при подходе к отрезку (ал, 6л) сверху равно
1П-^А = |П^А__
ak *о *о ak
in
(рассматривается ветвь логарифма, которая действительна на
оси t справа от этого отрезка), мы можем переписать формулу
(8) после подстановки в нее Ф(^о) из (9) и сокращения на
g(t0) в виде
------S-rhp----Л + м(/о) + ^1п|^. (Ю)
ak
Так как при t и to, лежащих на отрезке (afe,bk), функция
n _______
г(')“П/-££
V=1
принимает чисто мнимые значения, то интеграл в последней
формуле действителен, действителен также и член
ro ak
Следовательно, Re (t^ — и (Q. Если теперь z стремится сверху
к точке /ь лежащей на каком-либо отрезке (afti, bk ), k{ =/= k, то
предельное значение (Q находится непосредственной под-
становкой t = tt в интеграл (7):
ьь
г+ /j ч__ 1 Г и (0 g (0
— nig(ti) J t-h
ak
dt.
Здесь значение g(ti) — чисто мнимое, так же как и g(t). Сле-
довательно, значение —чисто мнимое и Ref^'(ZI) = O.
Если, наконец, z стремится сверху к точке /2, лежащей на
308
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[54
каком-либо отрезке (6V, av+i), v=l, 2, ..., п, то предельное
значение равно
f+ 1 [«(<)? (0
'*V2)-«(-g(/£) J t-t2
ak
Здесь g(t2)— действительно, g(t)— чисто мнимо, следовательно,
значение (Z2) — действительно и Im (t>) = О-
Из наших рассуждений следует, что действительная часть
функции
n
f /2) =___L_V f “«1?<£).. dt
I • nig (z) Li J t - z
fc=l ak
на каждом отрезке (aft, bft) принимает заданные значения u(f)r
а ее мнимая часть на каждом отрезке (Ьк, а^+1) равна 0.
Совершенно аналогично мы докажем, что мнимая часть
функции
и аА + 1
f (?) =___!—V | -- ^~8 Q dt
1 **1' ng (z) Li J t - z а
*=> bk
на каждом отрезке (Ьк, ак+\) принимает заданные значения
v(t), а ее действительная часть на каждом отрезке (ак,Ьк)
равна 0.
Отсюда следует, что функция (6)
(Х) + Ыг) + -т^-
в самом деле решает смешанную краевую задачу (наличие по-
следнего члена ничего не меняет, ибо /(оо) — действительное
число, a g(z) на отрезках (ак, Ьк) принимает мнимые значения,
а на отрезках (Ьк, ак+\) — действительные). Из построения функ-
ций f*(z) и f**(z) следует, что при £-*оо они стремятся к нулю;
функция g(z) при этом стремится к 1, следовательно, условие
на бесконечности также выполняется. Из вывода формулы (6)
следует также, что она дает единственное решение смешанной
задачи, удовлетворяющее условиям 1)—3). Теорема доказана.
Покажем теперь, что если отказаться от условия ограничен-
ности /(г) в точках ак и требовать в них лишь ограниченности
Z
интеграла j f (z) dz (как и в точках Ьк), то при заданном зна-
чении /(оо) решение задачи будет содержать п произвольных
54]
§ 3, ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
309
постоянных. В самом деле, при любых действительных постоян-
ных уо, yi, ..., Yn-i действительная часть функции
Л (г)
Yo + Yj2 + ••• ‘
ak) (г ~ bk)
(И)
равна нулю на всех отрезках (а^,Ьк), а ее мнимая часть равна
нулю на всех отрезках (Ьк, ak+i). При z—>оо эта функция, оче-
видно, стремится к нулю. Таким образом, мы можем добавить
эту функцию к функции /(г), определяемой формулой (6), и
полученная сумма будет давать аналитическую в верхней полу-
плоскости функцию с ограниченным интегралом в окрестности
точек ак и Ьк, принимающую в бесконечности заданное дей-
ствительное значение /(оо) и решающую смешанную краевую
задачу.
Вводя обозначение
( и (/) на отрезках (ak, bk),
<₽(/) = { . ,,, ,, х (12)
( iv (t) на отрезках (bk, ak+})
{k—\,2,...,n), мы можем записать формулу Келдыша —
Седова в виде
со
/(Z) = _*^ f -g dt + h (z) + , (13)
' v ' nig (z) J t — Z 1 v g (z) '
— oo
где g(z) и /i(z) определяются формулами (1) и (11). Можно
доказать, что формула (13) содержит все решения задачи, удов-
летворяющие поставленным условиям (см. Мусхелишвили
[14]).
В следующем параграфе мы будем применять формулу Келдыша — Се-
дова, преобразованную к случаю, когда вместо верхней полуплоскости рас-
I 1 1 . 1 п ,
сматривается круг Iz—jT P'Y’ ^ЛЯ выполнения такого преобразования
мы воспользуемся дробно-линейным отображением
(14)-
1 Z1
круга | Z; —| < у на верхнюю полуплоскость z. Подставляя (14) в фор-
мулу (13), где для простоты положено h(z) = /(оо) = 0, и заменяя Z] снова
через z, а б через ?, получаем:
/(2) =
1 Г
aig (z) J
С
g (?) Ф (?) 1 - Z
l-Z 1 - ?
(15).
310
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(55
где С — окружность £ —1 = -^-, Ч> (С) — заданная на окружности функция,
равная и(£) на (а*, &л) и й»(£) на (&л, an+i), a g(z) определяется по формуле
(1) (точки ан и Ьн лежат на С).
Совершенно аналогично формула (13) преобразуется и к случаю единич-
ного круга |г| < 1. В этом случае она имеет вид
К 1=1
+ П + + • • + <16’
где сн — комплексные постоянные, удовлетворяющие условию сп-н = с*.
Вывод формулы (16) читатель может найти в книге Н. И. Мусхели-
ш в и л и [14].
55. Другие краевые задачи. Здесь мы рассмотрим еще не-
сколько краевых задач теории аналитических и гармонических
функций.
1) Краевая задача Римана — Гильберта форму-
лируется следующим образом.
Найти аналитическую в области D и непрерывную в D функ-
цию f(z) = H(z)-H‘y(z), удовлетворяющую на границе С обла-
сти условию
a(c)«c)-d(c)u(:)=cC), (1)
где а, Ь, с — заданные на С действительные функции.
Мы приведем решение задачи Римана — Гильберта, данное
Н. И. Мусхелишвили. Если D — односвязная область, то
с помощью конформного отображения задача сводится к слу-
чаю, когда D есть единичный круг |z|< 1. Этот случай мы и
рассмотрим, предполагая, кроме того, что функции а, Ь, с удов-
летворяют условию Гёльдера, и что а2 + Ь2 =й 0 всюду на С.
Краевое условие (1) мы перепишем в виде
2 Re (а + ib) f (£) = (а + ib) f (?) + (а - ib) f (£) = 2c. (2)
Положим во внешности единичного круга
(3)
и обозначим через F(z) — функцию, равную f(z) в круге | z | <
< 1 и f*(z) вне его. Предельное значение F(z) на С слева
F+(£) = /(£), а предельное значение справа F~(£) — f(£) (по-
следнее вытекает из определения (3) и того, что 1/£ = £ на С).
55] § 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 311
Поэтому условие (2) можно переписать в виде
(а + ib) F+ (0 + (а - ib) F~ (?) = 2с, (4)
или
F-(t) = A(Z)F+(Z) + B(Q, (5)
где
= В(£) =-----(6)
'ь/ а — ib 'b' а — ib ' ’
Таким образом, решение задачи Римана — Гильберта сводится
к решению задачи Гильберта — Привалова п. 53.
Однако не любое решение F(z) задачи (5) будет давать ре-
шение задачи (2), ибо условие (3), связывающее значения F(z)
в симметричных относительно окружности точках, вообще го-
воря, не выполняется. Тем не менее, имея произвольное реше-
ние F(z), легко построить решение, удовлетворяющее этому
условию. Для этого наряду с F(z) рассмотрим функцию
F.(z) = F^]
и заметим, что на С она также удовлетворяет условию (4)*),
а следовательно, и (5). Но тогда тому же условию будет удов-
летворять и функция
у<Лг) + F. (г)},
которая, очевидно, удовлетворяет и условию (3). Внутри еди-
ничного круга эта функция будет, следовательно, решать гра-
ничную задачу Римана — Гильберта.
2) Задача наклонной производной формулируется
следующим образом.
Найти гармоническую в области D и непрерывную вместе
со своими частными производными первого порядка в D функ-
цию u(z), удовлетворяющую на границе С этой области усло-
вию
(ч
где а, Ь, с — заданные на С действительные функции.
Название задачи объясняется тем, что условие (7) можно
переписать в виде
ди __ с (£)
dl Ка' + Ь2 ’ 1 7
*) В самом деле, на С имеем и при приближении г к С
слева 1/5 приближается к ней справа. Следовательно, переходя в соотноше-
нии (4) к комплексно сопряженным величинам, мы получим такое же условие
для
312
ГЛ, III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(55
где обозначает производную в направлении вектора I —
— а + ib, наклоненного по отношению к С под некоторым
углом.
В предположениях, которые были введены в предыдущей
задаче, задача наклонной производной сводится к ней. В са-
мом деле, обозначим через /(s) = w-f-zy функцию, имеющую и
„ „ г,, \ ди . ди
своей действительной частью, и положим I --1~ду =
= ui + ivi. Условие (7) переписывается теперь в виде
a^ui^-b^vl^) = c(Q
и совпадает с условием (1). Таким образом, f'(z) можно найти
методом, описанным в 1), a f(z) найдется простым интегриро-
ванием.
3) В некоторых вопросах, например при изучении диффе-
ренциальных уравнений с частными производными смешанного
типа (об этих уравнениях мы будем говорить в следующем па-
раграфе), встречается следующий вариант задачи наклонной
производной *):
Пусть область D ограничена отрезком (а, Ь) действительной
оси и некоторой линией у с концами в точках а и Ь, и пусть на
(а,Ь) и у заданы действительные непрерывные функции <р(х)
и ф(£). Требуется построить гармоническую в области D функ-
цию u(z) такую, что
ди ди , . , ,,
лГ-ДГна {а, Ь),
u = ty(Q на у.
(8)
1 / д д \ д , ,
Очевидно, -7=-----------=— означает дифференцирова-
V 2 \ дх ду / д1
ние в направлении I, составляющем угол — л/4 с осью х. Для
решения этой задачи воспользуемся конформным отображением
z = /(z1) области D на сектор 0 < arg 24 < , переводящим
дугу у в луч у*: argzI=0, отрезок (а, Ь) — в луч argzj =-5-
и точки a w. b — в оо и 0. При нашем отображении направле-
ние, в котором задается производная на у, переходит в напра-
вление отрицательной оси х (рис. 125). Поэтому для гармони-
ческой функции
U[f («1)] = «1 (^1),
*) См. М. А. Лаврентьев и А. В. Бицадзе, К проблеме уравне-
ний смешанного типа, ДАН СССР, 1950, т. XX, № 3.
55]
§ 3. ИНТЕГРАЛ ТИПА КОШИ И КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
313
в которую преобразуется искомая
ловий (8) перепишется в виде
функция и(г), первое из ус-
dui ди
dxi д1
1-^ =--\f' &) I.
I V 2
(9)
Второе условие перейдет в соотношение «i(xj)= ф[/(Х])], кото-
рое после дифференцирования по х\ принимает вид
где -fa—ty' означает производную вдоль контура у. Так как
правые части условий (9)
задача сводится к отыс-
канию гармонической
, dut
функции по ее значе-
ниям на границе сектора
О < arg Zi < y , т. е. к за-
даче Дирихле.
и (10) — известные функции, то наша
Аналогичным методом мож- р .„с
но решить и более общую за-
дачу. Пусть на части Ci гра-
ницы С односвязной области D заданы действительные непрерывные функ-
ции <р(£), а(£) и &(£), причем а2 + Ь2 0, а на остальной части Сг этой
границы *— такая же функция ф(£). Требуется построить гармоническую
в области D функцию u(z), удовлетворяющую на границе условию
+6^)-|^-=фЮ на С„ « = ф(О на С2.
Первое из краевых условий можно интерпретировать как задание произ-
водной по направлению, составляющему известный угол с дугой Сь Поль-
зуясь формулой Чизотти из п. 44, можно построить конформное отображение
= /(г) области D на область £>i так, чтобы дуга С2 перешла в верти-
кальную прямую, и направления, в которых известна производная — также
в вертикальные направления; форма образа кривой Ci при этом определится.
При этом на заданные функции следует наложить такие условия, чтобы
образы дуг Ci и Сг ограничивали односвязную область £>i.
Как и в разобранном выше случае, задача сводится после этого к задаче
Дирихле для частной производной
ди
ду ’
4) Смешанная задача для гармонических функ-
ций формулируется следующим образом.
На границе С односвязной области D заданы точки ait blt
«2, t>2, ..., ап, bn, расположенные в том порядке, в котором они
выписаны, и на дугах (ah,bk), (Ь^а^) (k = 1,2,... ,n\an+i —
= fli) заданы соответственно действительные функции <р(£) и
ф(£). Требуется найти гармоническую и ограниченную в области
314 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (55
D функцию u(z), удовлетворяющую граничным условиям-.
м = ф(С) на (ak, bk), —=$(£) на (bk, ак+{), (11)
где обозначает производную в направлении внутренней
нормали к С.
Докажем разрешимость и единственность решения смешан-
ной задачи. Очевидно, с помощью дополнительного конформного
отображения задача сводится к частному случаю, когда область
D представляет собой верхнюю полуплоскость и граничные ус-
ловия (11) имеют вид
м = Ф(х) на (ак, Ьк), -^- = Ф(х) на (Ьк, ак+1) (12)
(способ сведения такой же, как обычно, см., например, 6) п. 44).
Для этого же частного случая решение смешанной задачи
дается с помощью формулы Келдыша — Седова.
В самом деле, пусть f(z)=u-\-iv будет аналитическая в
верхней полуплоскости функция, имеющая и своей действитель-
ной частью, и
А (2) = V (z) = Щ (х, у) + iVi (х, у).
г. ди dv ди
Имеем: «( = »!== — =—следовательно, граничные
условия (12) для функции fi (г) принимают вид
Ц1=ф'(х) на (ак, Ьк), р, = —ф(х) на (Ьк, ак+1). (13)
Решение A (z) задачи (13) дается формулой Келдыша — Се-
дова (13) предыдущего пункта, причем принятое там условие
Z
об ограниченности интеграла J А(2) dz вблизи точек ак и Ьк
обеспечивает ограниченность решения «(г) задачи (12), кото-
рое определяется через fi (z) по формуле
и (г) = Re j fi (z) dz. (14)
i
При сведении задачи (12) к задаче (13) мы дифференцируем
функцию ф(х), заданную на совокупности п отрезков (ак,Ьк),
а затем, применяя формулу (14), интегрируем построенную
функцию fi(z). Поэтому наш метод приводит к функции и (г),
совпадающей на отрезках (ак,Ьк) с заданной функцией ф(х),
лишь с точностью до постоянных слагаемых (различных для
разных отрезков). Однако наличие в формуле Келдыша—Се-
дова п произвольных постоянных позволяет выбрать эти ела-
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
315
re?
гаемые так, чтобы значения и на (ah, bh) в точности совпадали
с <р(х). Таким образом, разрешимость смешанной задачи для
гармонических функций доказана.
Докажем теперь единственность решения этой задачи в
классе ограниченных гармонических функций. Пусть будут
»1(г) и и2(г)— две гармонические в верхней полуплоскости
ограниченные функции, удовлетворяющие условию (12). Раз-
ность u(z) = u\(z) — u2(z) также ограничена и гармонична в
верхней полуплоскости, причем
« = 0 на (ак, bk), -~ = 0 на (Ьк, ak+i).
По принципу симметрии п. 42 гармоническая функция до-
пускает аналитическое продолжение через совокупность отрез-
ков (bk, Яй+i), следовательно, такое продолжение допускает и
функция и. Продолженная функция и оказывается ограничен-
ной и гармонической вне совокупности отрезков (ак,Ьк), а на
этих отрезках она принимает значения, равные нулю. Таким
образом, функция и решает задачу Дирихле для плоскости
с выброшенными отрезками (а&, Ьк) при нулевых граничных
значениях. По теореме единственности решения задачи Дирихле
и == 0, что и требовалось доказать.
§ 4. Приложения
В этом параграфе мы рассмотрим приложения методов тео-
рии функций комплексного переменного к некоторым вопросам
теории уравнений с частными производными, а также к задачам
механики сплошной среды и другим задачам из числа постав-
ленных выше. Изложение будем вести на конкретных примерах,
иллюстрируя ими частью уже изложенные, а частью новые
приемы.
56. Уравнения с частными производными. Выше мы под-
робно выяснили связь теории функций комплексного перемен-
ного с уравнением Лапласа. Это — классическое направление
в теории функций, восходящее к работам Эйлера и особенно
Римана. Однако в последнее время усиливается внимание к свя-
зям теории функций с другими уравнениями с частными произ-
водными. Простейшие из таких связей мы и разберем в этом
пункте.
1) Система Карле мана. В теории уравнений с част-
ными производными за последние годы успешно используются
методы, основанные на представлении решений в комплексной
форме. Эти методы развиты главным образом в работах
И. Н. В е к у а, Л. Б е р с а, С. Бергмана и др. В качестве при-
мера мы приведем, следуя И. Н. Векуа, такое представление
316 гл. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (56
для системы уравнений с частными производными первого по-
рядка:
ди dv , , , ди dv , , , , /1Ч
-з~ = -5—\-au + bv, -5— —-----5—Ь си + dv, (1)
дх ду 1 ' ду дх 1 ' ' '
где а, Ь, с и d — непрерывные функции переменных х и у в не-
которой области D.
Система (1) представляет собой обобщение условий Коши —
Римана (при a=b=c=d=0 мы получаем эти условия);
к ней приводятся некоторые задачи теории упругих оболочек,
газовой динамики и других разделов механики сплошных сред.
Эта система была впервые рассмотрена Т. Карлеманом*),
который доказал для ее решений теорему единственности, ана-
логичную теореме 1 п. 20. Подробное исследование системы (1)
и ее приложений провел И. Н. Веку а [15]. Всюду в дальней-
шем мы будем для простоты считать, что функции и и V обла-
дают в области D непрерывными частными производными.
При выводе формул представления удобно пользоваться сим-
волами комплексного дифференцирования
dz 2 \дх ду) dz 2 \ дх ду) ' '
Например, первый из них в применении к комплексной функ-
ции w = и + iv дает:
dw __ 1 /<Э (и + iv) , . д (и + (о)\_ 1 /ди _ dv \ , 1 / dv dv \ .
dz 2 \ дх ' 1 ду ) 2 дх ду ) 2 \ дх ду ) 1'
В частности, условия аналитичности Коши —Римана записы-
<Эю г,
ваются с помощью этого символа в виде-^- = 0.
Приведем сначала формулу представления произвольной
функции w(z) = u + iv, обладающей в некоторой области D не-
прерывными частными производными. Для этого воспользуемся
формулой Римана — Грина, которая с помощью символа (2)
записывается в виде
= (3)
где Z = £ + й) и С —граница D. Для аналитических функций
-^- = 0 и формула (3) выражает, очевидно, теорему Коши.
dt,
Поступая далее в точности так же, как и при выводе из тео-
ремы Коши интегральной формулы Коши (и. 14), исключим из
области D окрестность d фиксированной точки z, ограниченную
) Торстен Карлеман (1892— 1949) — шведский математик.
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
317
окружностью с малого радиуса, и применим к области D - d
и к функции формулу (3); мы получим:
1 f (?) _________1_ f w fit = f f d^ dl}
2ic ^~z 4 ^~z Li ^~z'
Устремляя радиус окрестности к нулю, увидим как и в п. 14,
что предел интеграла dt, равен 2niw(z) и, следователь-
с
но, получим искомую формулу представления:
__ 1 f w (g) dt,
2ni J t, — z
1 Г j dw dt,di\
П 5g g — z
(4)
Для аналитических функций двойной интеграл исчезает, и мы
приходим к интегральной формуле Коши.
Применим эту формулу к решениям системы Карлемана
(1). С помощью символа дифференцирования (2) эта система
записывается в виде одного комплексного уравнения
^=Aw + Bw, (5)
где w = и + iv, А = (а + d ф- ic — ib) и В = у (а— d ф- ic + ib).
Поэтому формула (4) дает следующее комплексное представ-
ление решений системы (1):
j- [ - я Р(:) w <б>
^ГСI J L Z ГС е/ J Q 2
С D
Приведем еще одну, более удобную формулу комплексного
представления решений системы Карлемана (5). Пусть w =
= w(z) будет произвольное решение этой системы и У —сово-
купность точек D, в которых w = 0; через М мы обозначим
множество D — N. Положим
X(z)=| а &+в ’если z пРинадлежит м'
| 0, если z принадлежит АГ;
функция x(z) непрерывна на М и на N в отдельности и, оче-
видно, ограничена, ибо для любой точки z из D мы имеем
|x(z) | < |Л(г) | + |B(z) |. Поэтому функция x(z) интегрируема
по области D, т. е. имеет смысл интеграл
‘7>
D
318 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [56 j
Легко проверить (ср. п. 16), что функция со (г) аналитична 1
вне замкнутой области D и что w(oo)= 0. Докажем, что в лю-
бой точке z непрерывности функции х(2) существует комплекс-
ная производная
5- = ~Х(г). (8)
В самом деле, выделим окрестность d точки г, ограниченную
контуром с, и представим со (г) в виде суммы двух непрерыв-
ных во всей плоскости функций oii(z) и co2(z):
d D-d
Функция (Oi (г) аналитична вне d, а (о2(г) — в d, поэтому
4- /°>(~) dz =4'1 dz + J dz~~^i J О| ^dz'
с с с L
где L — окружность достаточно большого радиуса, содержащая
D (мы воспользовались теоремой Коши, по которой первый ин-
теграл в средней части равенства можно заменить интегралом
вдоль L, а второй равен нулю). Заменяя wi(z) ее выражением
и меняя порядок интегрирования, получаем:
4- /ю(г)^ = -i= -J/x(0^7].
с d L d
Если разделить обе части этого равенства на площадь s об-
ласти d и воспользоваться предельным соотношением
= lim -тД- [ и (z) dz,
('z d-*z 2ls J V
c
которое вытекает из формулы (3) на основании теоремы о сред-
нем, то в пределе при d—*z мы получим искомую формулу (8).
Рассмотрим теперь функцию
<р (г) = w (z) е“(г), (9)
которая, очевидно, непрерывна в D. Если z принадлежит мно-
жеству М, то, применяя правила комплексного дифференциро-
вания произведения и показательной функции (которые легко
проверяются), мы получаем:
_ е<л (z) w — е<л (г) === 0;
dz \ dz ' dz j v 1 л/ ,
таким образом, функция q>(z) аналитична на множестве М.
Легко видеть, что она аналитична' также и на множестве N.
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
319
Действительно, функция w(z) аналитична в каждой точке, где
она равна нулю, ибо в таких точках согласно уравнению (5)
— 0; поэтому для любой точки zq из N отношение
Ф (z) — Ф (z0) _ ф (г) w (г) £<л (г)
Z — z0 z — za z — z0
имеет предел при z-*zo, равный w' (z0) е,л(го), т. е. <p(z) диффе-
ренцируема в точке г0.
Таким образом, функция <р(г) аналитична всюду в области
D. Заметим, наконец, что согласно формуле (9) нули w(z) со-
впадают с нулями <р(г), и по теореме единственности п. 20 мно-
жество N этих нулей не может иметь предельных точек внутри
D. Это множество, следовательно, не влияет на величину инте-
грала в формуле (7), и эту формулу можно переписать в виде
D
Формула (9) дает теперь искомое комплексное представление
решений системы Карлемана через аналитические функции <р(г):
»(г) (г) ехр( -1 *,).)_ (10)
I D J
Эта формула была получена И. Н. Веку а и независимо от
него (в более ограниченных предположениях) Л. Берсом. Из
нее вытекает, что в отношении нулей и полюсов решения си-
стемы Карлемана ведут себя так же, как аналитические функ-
ции: на эти решения распространяется теорема п. 20 о нулях
(что мы уже отмечали выше), принцип аргумента и теорема
Руше п. 23 и другие теоремы. Заметим, однако, что геометриче-
ские свойства системы Карлемана существенно отличаются от
свойств аналитических функций**).
2) Линейные эллиптические системы. Рассмот-
рим так называемое плоско-меридианное электростатическое
поле, т. е. пространственное поле, векторы которого располо-
жены в плоскостях, проходящих через некоторую ось (мы при-
мем ее за ось г), и зависят лишь от расстояния г до этой оси
и от координаты г вдоль нее. Это поле, очевидно, полностью
описывается плоским полем, расположенным в плоскости декар-
товых координат (г, г), но его уравнения отличаются от уравне-
ний п. 47. В самом деле, пользуясь известными выражениями
*) Символом ехр а обычно обозначается еа.
•*) См. Б. В. Шабат, Об отображениях, осуществляемых решениями
системы Карлемана, Успехи матем. наук, т. XI, вып. 3 (69), 1956, 203—206.
320
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
(56
для дивергенции и ротора в цилиндрических координатах и
обозначая через Ег и Ez соответствующие компоненты век-
тора напряженности Е, мы запишем условия отсутствия заря-
дов и потенциальности поля в виде:
д (rEz) । d(rEr) _п дЕг __ dEz ....
dr dr и’ dz dr '
Из этих условий, так же как в пп. 46 или 47, мы заключаем,
что существуют две функции u(r,z) и v(r,z), для которых
,р rp — . р _ р — ди
dr ’ rn'~ dr' С'~ dr ’ Cr~ dz
и которые связаны, следовательно, соотношениями
du dv du dv
г-ч—= -3—, —г-з- = -з~. (12)
dr dz dz dr v '
Эти функции полностью описывают плоско-меридианное поле.
Уравнения (12) представляют собой частный случай систе-
мы линейных уравнений с частными производными первого по-
рядка эллиптического типа
= аих + buu, 1
л Т (13)
— vx = dux + сии, J
где a, b, c, d — известные функции переменных x и у, для кото-
рых всюду в рассматриваемой области D выполняется условие
эллиптичности'.
А = ас > 0 (14)
I - du \
(для простоты письма через их, ... мы обозначим . .1.
К таким системам приводят также некоторые задачи газовой ди-
намики, теории пластичности, теории изгибания поверхностей и
другие. Они рассмотрены в работах И. Н. Веку а, Л. Берса,
Г. Н. Поло ж его, Б. Боярского и других авторов, которые
установили ряд фактов, роднящих решения этих систем с ана-
литическими функциями. Теория решений линейных систем вхо-
дит как простейшая составная часть в общую теорию квазикон-
формных отображений*). В работах перечисленных авторов
доказано, что для систем (13) справедлива теорема существо-
вания отображений, обобщающая теорему Римана п. 28, и что
решения этих систем обладают целым рядом геометрических
*) См. работы М. А. Лаврентьева «Общая задача теории квази-
конформных отображений плоских областей», Матем. сб. 21:2 (1947),
286—320, и «Основная задача теории квазиконформных отображений плоских
областей», Изв. АН СССР, сер. матем., 12 (1948), 513—554, а также его
книгу [10].
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
321
свойств, вполне аналогичных свойствам конформных отображе-
ний. Не имея возможности останавливаться в рамках настоя-
щей книги на этих результатах*), мы приведем лишь несколько
простейших фактов.
Можно доказать**), что система (13) геометрически выра-
жает условие преобразования бесконечно малых эллипсов плос-
кости z = х + iy из семейства
у (X - х)2 - 20 (X - х) (У - у) + a (Y - у)2 = ph2 (15)
с точностью до малых высших порядков в эллипсы плоскости
w = и 4- iv:
Y1 (t/ - и)2 - 20, (U - «) (iz - и) + a, (IZ - V)2 = рф2 (15')
(рис. 126), причем коэффициенты уравнений эллипсов опреде-
ляются через коэффициенты системы (13) по формулам:
(у нас р, pi^l—отношения полуосей, h, h\ — малые полуоси
эллипсов, ау — Р2 = 1, cciyi — Р; = 1, В = ас — bd А > 0) и,
Рис. 126.
следовательно, являются известными функциями точки г. Из
решения и(х, у) и v(x, у) системы (13) мы составим функцию
комплексного переменного f (г) = u + iv и отображение, ею осу-
ществляемое, будем называть квазиконформным отображением,
связанным с этой системой. В частности, когда эллипсы (15) и
*) Изложение ряда результатов линейной теории квазиконформных ото-
бражений читатель может найти в книге Л. И. Волков некого [17].
**) См. Б. В. Шабат, Об обобщенных решениях одной системы урав-
нений в частных производных, Матем. сб., 17 (59) (1949), 193—210 пли
Л. И. В о л к о в ы с к и й [17].
322 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ |5&
(15х) представляют собой окружности, т. е. а = у = 1, 0 = 0
и он = yj = 1, 01 = 0, то, как легко видеть, система (13) пере-
ходит (при дополнительном условии сохранения ориентации, ср.
п. 27) в систему Коши — Римана, т. е. квазиконформные отобра-
жения переходят в конформные*).
Для решений системы (13) можно найти формулы, обобщаю-
щие теорему Коши п. 12 и интегральную формулу Коши
п. 14**). Для доказательства перепишем систему (13) в виде
L [и, w] = аих + buy — Vy = 0, 1
А4 [ц, v] = dux + сиу + vx = 0 j ' '
и воспользуемся известной из анализа формулой Грина, кото-
рая для рассматриваемой системы запишется в виде:
J {ц*у — (bu* + cv*) и) dx + {(а и' + dv*) и + v‘u) dy =
с
— J У {u*L [и, о] + v*M [и, w] + uL [н‘, о*] + vM [м‘, о*]} dxdy, (17)
D
где С обозначает границу области D и
L [и, и].= (аи + dv)x + (bu -f- cv)y, M [и, о] = vx — vv
(эта формула имеет место для любой четверки функций и, v,
и*, v*, обладающих непрерывными частными производными и
выводится интегрированием по частям так же, как обычная
формула Римана — Грина).
В предположении о непрерывности вторых частных произ-
водных из системы (13) можно исключить функцию v так, что
она сведется к одному уравнению второго порядка
А [«] = (аих + buy)x + (dux + cuy)y = 0 (18)
(мы воспользовались условием равенства смешанных производ-
ных vxy и vyx). Рассмотрим также сопряженное к (18) урав-
нение
A* [X] = (аХх + dXy)x 4- (ЬХх + сХу)у = 0. (19)
Для каждого его решения Х(х, у) существует, очевидно, функ-
ция Y (х,у), связанная с X уравнениями
L‘[X, У] = аХх -\-dXy — Yy = Q,\
М* [X, Г] = ЬХх + сХу + Yx = 0. J 1 }
♦) Ср. круговое свойство конформных отображений п. 27.
**) См. Б. В. Шабат, Теорема и формула Коши для квазиконформных
отображений линейных классов, ДАН СССР, 49:3 (1949), 305—308. Для част-
ного случая эти результаты были ранее получены Г. Н. Положим.
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
323
Так как эта система отличается от (13) лишь перестановкой b
и d, то эллипсы, связанные с ней, в плоскости z совпадают
с эллипсами, связанными с системой (13), а в плоскости w по-
лучаются из них отражением относительно оси и (перемена
знака Pi); при b = d эти эллипсы совпадают.
Воспользуемся теперь формулой Грина (17), приняв в ней
в качестве и и v решение системы (13) и положив и* = Хх,
v* = Ху, где X и У — решение системы (20); мы получим:
J v dX + и dY = 0. (21)
с
Далее мы решаем систему (13) относительно му и их‘
Г] [и, о] = — — d{vy — Uy — Q,
Afj [«> f] = — Ь^х — ctvy + ux = 0
(здесь = .... Для этой системы имеет место
формула (17), в которой всюду и заменено на v, v на и и коэф-
фициенты а, .d на —а\, ..., —-Ь\. Для каждого решения
уравнения
Л? 1Х1] = - (а,Х’ + Ь1Х'у}х - (dxXxx + аХ'у)у = 0 (19J
существует функция У1, связанная с ним уравнениями
ГПХ1, y4 = aiXi-4-— У; = 0, 1
лда, у1]=^4 + ^’ +у.,=о. J (201)
Эллипсы, связанные с этой системой, в плоскости z совпадают
с эллипсами, связанными с системой (13), а в плоскости w по-
лучаются из них отражением относительно биссектрисы первого
координатного угла; при В = 1 эти эллипсы совпадают. Вместо
формулы (20) мы будем иметь:
J udX1 -vdY' =0. (21J
с
Введем, наконец, комплексные переменные Z — X + /У1,
Z* = Xl-]-iY; тогда формулы (21) и (2Г) можно объединить
в одной формуле
$ udZ*+ ivdZ =0, (22)
с
которая и выражает обобщение теоремы Коши.
Если, в частности, эллипсы в плоскости w являются окруж-
ностями (b = d, В — ас — b2 = 1), то системы (20) и (201)
324
ГЛ. Ill, КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[56
совпадают. Следовательно, в этом случае можно принять Z*=Z
и формула (22) упростится:
j f(z)dZ=O.
с
Если, кроме того, и эллипсы в плоскости z являются окружно-
стями (система Коши — Римана), то можно принять Z = z, и
мы возвращаемся к классической теореме Коши.
Чтобы получить обобщение формулы Коши, введем связан-
ное с системой (13) «расстояние»
р (z, z0) = Vс0 (х — х0)2 — (b0 + d0) (х — х0) (у — у0) + а0 (у — у0)2,
где а0, ..., do — значения коэффициентов в точке z0, и будем
рассматривать вместо X решение уравнения (19), имеющее в
фиксированной точке z0 области D особенность типа lnp(z, z0):
Г (z, z0) = y'(z, z0)lnp(z, z0) + y"(z, z0)
(у' и у"— непрерывные функции), а также «сопряженную»
с ним функцию
Z
Н (z, z0) = J - (6ГХ + сГ,) dx + (аГл + dr,) dy.
В силу (19) этот интеграл не изменяется при непрерывной де-
формации пути интегрирования, если при этом не задевать
точки z0. При обходе же точки z0 (один раз против часовой
стрелки) Н получает приращение*)
lim f — (6ГХ + сГ,) dx + (аГх + dr,) dy =
ft->0 р (г, z0)=ft
2я
А (2о) Y (20> 2о) J ao sjn2 [ _ Sin f COS t + Co cos21
0 ______
= 2ny' (z0, z0) VA (z0), (23)
*) Чтобы получить (23) достаточно заметить, что при вычислении пре-
дела интеграла в последнем можно заменить а...........d, у' и у" значениями
а0, d0, у'(го, го) и у"(го> z0); тогда мы вводим параметр t по формулам
h cos t
х — xQ — r :— ' ..... . — -..... —.... г-;
У Co cos2 t — (b0 + d0) sin t cos t + a0 sin21
h sin t
У — Уо — ” г-----' н-- . ................. —.......
V co cos21 — (b0 + dQ) sin t cos t + ao sin21
Полученный интеграл вычисляется элементарно.
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
325
Так как lim |
Л->0
которое будет равным 2л, если принять y'(z0, z0) = 1/УЛ (z0).
Таким образом, многозначная функция Я (z, z0) имеет в точке z0
особенность того же типа, что и Arctgy—
Применяя формулу (17), в которой положено и — Гл, о* = Ге,
а и и v — решение (13), к области D с выброшенным эллипсом
p(z, z0)^h, получаем:
[vdV + udH — J vdV-\-udH. (24)
C p(z, га)=Л
о</Г = 0 и в силу (23) lim | udH=2nu(z^, то
й->0 .
P=/l
из (24) в пределе при /г->0 получим:
и i J v & d*T & Zo) + u & d*H (z' Zq)- <25)
c
Переходя к системе (20i), аналогично построим решение
уравнения (19,) с особенностью типа логарифма:
Г1 (г, z0) = y;(z, z0)lnp(z, г0) + ¥1"(г, z0)
и многозначную функцию
Z
H'(z, z0) = j -(d^ + c^dx + ^ + b^dy,
приращение которой при обходе z0 будет равным 2л, если при-
нять y( (z0, z0) = В (z^VA (z0).
Тогда вместо (25) будем иметь:
v = i J v & dzH[ & 2о) — и (z) 4Г1 (z, za). (25j)
c
Вводя комплексные функции
l (г, z0) = Г (z, z0) + Ш1 (z0, z0), /’ (z, z0) = Г1 (z, z0) + iH (z, z0),
мы объединим 25 и (25i) в одной формуле
f d^ ('z’ z^ + iv dzl z°)’ (26>
c
которая и обобщает формулу К.оши.
326
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[5S
Если эллипсы в плоскости w являются окружностями, то
можно принять I* — I, и формула (26) упростится:
Ж) = -2^ р(2) dzl(z, z0).
с
Наконец, для системы Коши — Римана можно положить 1 =
— In (г — z0), и мы получим классическую формулу Коши.
В заключение отметим еще один элементарный факт, свя-
занный с системой (13). Если ввести соответствующие системе
«приращения» __
Az = Ус Ьх — by + i тЛ— Ay,
2 F с ~ с
&.w = yВ &.u —ЬУг—- Av + i Av,
то легко показать, что эта система будет выражать необходи-
мые и достаточные условия существования «производной»
J'(z) — lim 4Д- = -7=r( У Вих—b vx + i l/~ — рД , (27)
Дг-»0 Аг Vе l 1Ув ХГ V В Х} ^ ’
где предел не зависит от способа приближения Az к 0. Этот
факт обобщает теорему п. 5, по которой система Коши — Рима-
на выражает необходимые и достаточные условия существова-
ния обычной производной —в частном случае, когда а —с — 1,
b — d — 0 «производная» (27) совпадает с обычной произ-
водной.
3) Задача Трикоми. Дифференциальными уравнениями
смешанного типа называют уравнения с частными производ-
ными второго порядка, которые в одной части области своего
определения имейт эллиптический тип, а в другой — гипербо-
лический. Изучение таких уравнений представляет весьма боль-
шой интерес для аэродинамики больших скоростей, ибо пере-
мене типа уравнения физически соответствует переход скорости
движения через скорость звука. Простейшим уравнением сме-
шанного типа является уравнение
<92и । п / ч д2и п
-^r + 0(y)-5p- = O,
(28)
где 0 (у) = 1 при у > 0 и 0 (у) = — 1 при у < 0 (таким образом,
уравнение (28) имеет эллиптический тип в верхней полуплос-
кости и гиперболический тип в нижней). Задача Трикоми*)
*) Франческо Трикоми — современный итальянский математик, кото-
рый впервые поставил и решил такую задачу для уравнения
д2и
У дх2
д2и
ду2
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
327
для такого уравнения в области D, ограниченной кривой С, ле-
жащей в верхней полуплоскости и опирающейся на отрезок
(О, 1), и отрезками L и Li характеристик уравнения, которые
параллельны биссектрисам координатных углов (рис. 127), ста-
вится следующим образом.
Найти функцию и(х,у), удовлетворяющую уравнению (28)
при у ¥= О непрерывную в замкнутой области D, имеющую ча-
стные производные, непрерывные в D
всюду, кроме точек z = 0, z = 1, в ко-
торых они могут обращаться в беско-
нечность порядка, меньшего 1, и при-
нимающую на кривых С и L задан-
ные значения:
"-'Г« на L (ф(0) = 4>(0)). (29)
Мы приведем простое и изящное
решение задачи, данное А. В. Бицад-
з е в 1950 г. С помощью конформного
отображения эллиптической части Dr
дится к частному случаю, когда эта часть представляет собой
верхний полукруг |z — у|<у,у>0. Кроме того, можно пред-
полагать, что ф(0) = ф(0) = 0.
В гиперболической части D2 области D, где уравнение (28)
имеет вид
д2и _ дги _
дх2 ду2 ’
решение и(х,у), как известно, можно подставить в виде
и = ф (х 4- у) + 47 (х — у),
Б
€
L
Рис.
127.
области D задача сво-
где Ф и Т — произвольные функции (см. И. Г. Петровский,
[1]). На L мы имеем х + у = 0, поэтому подставив это выраже-
ние для и во второе из условий (29), найдем:
Ф (0) + Т (2х) = ф (х)
и, следовательно, наше выражение примет вид
и (х, у) = Ф (х + у) — Ф (0) + ф
(30)
Из условия непрерывности функции и(х,у) получаем, что на
оси х
«(х, 0) = Ф(х)-Ф(0) + ф(у).
328
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ II ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[56
В эллиптической части Di функция и(х,у) гармоническая; пусть-
v(x,y) — гармоническая в функция, сопряженная с и(х, у) и
равная нулю в точке (0,0). Как следует из выражения (30), в-
D2 имеем:=ф'(х + у) — У ), откуда, пользуясь не-
ди
прерывностью на оси х, находим:
4=->=-ф'»+т*'Ю-
Интегрируя, находим, что на оси х
v(x, 0) = -Ф(х) + Ф(0) + ф(|),
и, складывая это с выражением для и(х, 0), получаем:
и (х, 0) + v (х, 0) = 2ф (|). (31>
Положим теперь
и = щ (х, у) + ц2 (х, у),
где функции «1 и и2 решают соответственно краевые задачи
( <р(£) на С, ( 0 на С,
U1 — 1 л г U2 — 1 . I X г (32)
[ 0 на L; [ ф(х) на L.
Для первой из этих функций, в силу соотношения (31) на от-
резке (0,1) получаем:
щ (х, 0) + V] (х, 0) = 0,
но это означает, что аналитическая функция
fi (z) = «i (х, у) + ivt (х, у)
преобразует отрезок (0, 1) в отрезок прямой ui + vt = 0 и, сле-
довательно, по принципу симметрии продолжается через отре-
зок (0, 1). При этом в точках нижнего полукруга будем иметь:
fi (z) = — fi (х, — у) — iui (х, — у), (33)
ибо симметрия относительно второй биссектрисы сводится к за-
мене «1 на fi, U] на «1 и перемене знаков обеих координат. Та-
ким образом, функция fi(z) (вместе со своим продолжением)
аналитична в круге — у <у> причем в силу условий (32)
на верхней полуокружности С известна ее действительная часть
Re fi(?) = <р(£), а на нижней полуокружности С, в силу соотно-
шения (33) известна ее мнимая часть Imfi(£)= —<р(£). По-
этому функция f](z) восстанавливается по формуле Келдыша —
56]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
329
Седова (15), п. 54, которая для рассматриваемого случая при-
нимает вид*)
f _ 1 f f-] / Z (1 — Z) g> (g) rfg . f-. /~z(l -z) <p(£)dg )
M Ш j J V U1 -£) t-z J у E(I-S) £-z •
Заменим во втором интеграле переменную £ = й, получим:
f __; f 1 /~ z ([ ~ 2) Ф (<>) d<£>
J i V a(i-й) й-z •
с* с
Обозначим argw = /; так как на С имеем ш — e’f-cos/, то й =
= e~2it(d. На e2if = 2cos2/—1 + 2i sin / cos / = 2w—1, следова-
тельно, й = o)/(2o) — 1). Подставляя это в предыдущий инте-
грал, находим:
• f — f i/"ZlLzil Ф d<a
J Jr w (1 — m) m — z (2m — 1)
c* c
Обозначая переменную интегрирования снова через С и объеди-
няя полученный интеграл с первым интегралом (34), находим
окончательно:
f. (г) = ± fl/-Й/Чг I -/------Гх-^-1Ф (?) (35)
’ т J г SO— £)(.£ — z Иг-2?:г
С
Рассмотрим теперь аналитическую функцию
/2(г)==ц2и> i/) + ^2^, У\
По принципу симметрии она продолжается через полуокруж-
ность С на всю верхнюю полуплоскость, ибо в силу условия
(32) w2 = 0 на С. Согласно этому принципу в точках х и
х)(2х—1) действительной оси, симметричных относительно С,
функция f2 принимает значения, симметричные относительно
и2 = 0, т. е. отличающиеся знаком «г’-
Теперь учтем, что в точках отрезка (0, 1) известна
Re (1 — i) f2 (х) = и2 (-С 0) + v2 (х, 0) = 2ф ,
а в точках лучей (—°°,0) и (1,оо) известна
Im 0 - <) I, W = V, . 0) + ,„ . 0) = 24, (^).
♦) Мы принимаем а, = 0, &i = 1; тогда g (z) =)^(z — l)/z.
330
ГЛ. HI. краевые задачи и их приложения
[57
Поэтому функция (1 — i)f2(z) восстанавливается по формуле
Келдыша — Седова для полуплоскости (см. (6) п. 54). После
простых преобразований найдем:
1 ___________________
о
Искомая функция в эллиптической части Dlt очевидно, равна
u(z) = Re{W + f2(2)}, (37)
где 0(z) и f2(z) определяются формулами (35) и (36). В ги-
перболической части О2, как видно из (30), она равна
и(х, у) = и(х + у, 0) — + ф (38>
Можно доказать, что найденное решение единственно.
Более подробно об этой и других задачах для уравнения
смешанного типа (28) см. работу А. В. Бицадзе [19].
57. Задачи гидродинамики и газовой динамики. 1) Тонкое
крыло. В п. 49 мы убедились в том, что задача обтекания про-
извольного профиля сводится к задаче конформного отображе-
ния внешности этого профиля на
внешность круга. Однако факти-
ческое построение такого кон-
формного отображения часто бы-
вает затруднительным и поэтому
Рис- 128- приходится довольствоваться
приближенными решениями за-
дачи. В качестве примера такого решения рассмотрим решение
Л. И. Седова*) задачи обтекания тонкого крыла.
Предположим, что контур крыла С определяется уравнениями
у = F±(x), —а ^х а, и близок к отрезку (—а, а) (рис. 128).
Пусть крыло обтекается поступательным потоком, имеющим на
бесконечности скорость vx и наклоненным к оси х под малым
углом атаки а. Комплексный потенциал потока будем в соответ-
ствии с этим искать в виде
<о = vxe~lttz ф- W,
(1)
где W — U + iV— неизвестная функция. Мы имеем:
Im ® (у cos а — х sin а) ф- V (х, у),
*) Л. И. Седо в, Теория плоских движений идеальной жидкости, М.,
Оборонгиз, 1939; см. также его монографию [8].
57]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
331
и так как С совпадает с линией тока, то на нем Im со должна
принимать постоянные значения, пусть равные нулю. Поэтому
на С
и» (F± (х) cos а — х sin а} + V [х, F± (х)] == 0.
Пользуясь сделанными предположениями о близости С к от-
резку (—а, а) и малости угла а, мы заменяем в этом условии
cos а на 1, sin а на а и сносим условие на отрезок, заменяя, в
частности, V[x, F±(x)] на V(х, 0); мы получаем условия на двух
берегах отрезка:
V (х, 0) = Поо {ха — F±. (х)}. (2)
Так как комплексный потенциал поля может оказаться много-
значной функцией, удобнее рассматривать его производную
dW dU , . dV , .
+ I = и + tv, которая заведомо однозначна.
Задача, таким образом, свелась к следующей: найти анали-
тическую вне отрезка (—а, а) и равную нулю на бесконечности
функцию, мнимая часть которой v(x, у) на верхнем и нижнем
берегах этого отрезка принимает заданные значения:
_ dV__ ( о» [а — F'+ (х)] = (х),
v— дх ~\Voo[a- FL (х)] = v- (х).
Эта задача решается методом, аналогичным тому, которым
выводится формула Келдыша — Седова п. 54. Положим
где fi(z) и ^(г) —аналитические во внешности отрезка (—а, а)
и равные нулю на бесконечности функции, мнимые части кото-
рых удовлетворяют соответственно краевым условиям
v+ — V~ . t» + + v~
= =, v+ = v~ =--------------. (4)
Рассмотрим далее ветвь функции g(z)—y , которая на
оси х, при z — х > а принимает положительные значения (эта
ветвь, очевидно, однозначна во внешности рассматриваемого от-
резка). На берегах разреза эта функция принимает чисто мни-
мые значения, отличающиеся знаком:
g+(x) = _g-(x) = Zj/’ ±-JL. (5)
Построим окружность L с центром в начале координат доста-
точно большого радиуса R, и к двусвязной области, ограничен-
332
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[57-
НОЙ этой окружностью и кривой /, охватывающей отрезок, при-
меним интегральную формулу Коши:
A(2)g(2)=2^- f d£. (6>
1+L
Так как при z-> оо функция fi(z) ->0, a g(z) -> 1, то интеграл
вдоль L стремится к нулю при R —► оо. На противоположных бе-
регах разреза произведение vg(z) в силу условий (4) и (5) при-
нимает одинаковые значения, следовательно, интегралы от него
вдоль этих берегов сокращаются. Поэтому формула (6) в преде-
ле, когда R —► оо и I стягивается в отрезок, дает:
—a S
Из этой формулы видно, что на действительной оси при |z| >.а
функция принимает действительные значения. По принци-
пу симметрии отсюда следует, что имеют место следующие ус-
ловия симметрии:
Щ (.х, — у) = «1 (х, у), vt(x,—y) = — vl(x, у). (8)
Применим теперь формулу Коши к тому же контуру L 4- I и
к функции fi(z):
' 1 v ' 2ш J J — z
L+l
на основании условий (8) и (4) в пределе, когда R -> оо и I стя-
гивается в отрезок (—а, а), мы получим отсюда:
<9>
— а
Совершенно аналогично, применяя формулу Коши к функции
^2(2), мы найдем, что на действительной оси при |г| > а эта
функция принимает чисто мнимые значения и, следовательно,
для нее имеют место условия симметрии
«2U- — У) = — Щ(х, у), v2(x, — y) = v2(x, у). (10)
Исходя из формулы
L + l
57]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
333
мы, как и выше, получим на основании условий (10):
__________________________ а
/2 (z) — —"2^-У г_а J g_2 У а + g d^' t11)
—а
Складывая (9) и (11), найдем решение задачи в виде
а ____ а _____
dW 1_ Г р+ — V- 1 ,/ z + а Г v+ + V- -.f a — j
dz 2л J g — z ® 2лг У z — a J g — z У а + g
—а —а
Эта формула дает приближенное распределение скоростей в по-
токе, обтекающем тонкое крыло. Из нее видно, в частности, что
в окрестности бесконечно удаленной точки имеет место разло-
жение
dW _V + iN 1 .
dz 2я1 z ' ' ’
где
а _____ а
г== J(o+ 4- N = — J(n+-o-)dS
— a —a
соответственно физически означают циркуляцию и поток, вы-
численные для любого контура, окружающего крыло (см. п. 46).
Заметим, что, как видно из формул (3), здесь N = 0.
Метод обобщается на случай, когда граничные значения
~dz~ заданы на берегах системы отрезков (а^, Ьь), k —
— 1, 2, ..., п, действительной оси.
2) Обтекание тел газовыми потоками. При боль-
ших скоростях движения самолетов, сравнимых со скоростью
распространения звука, существенное влияние начинает оказы-
вать сжимаемость воздуха. Поэтому методы классической гид-
родинамики, в которой среду считают несжимаемой, становятся
неприменимыми и мы вступаем в область газовой динамики.
Основные уравнения гидродинамики для этого случая суще-
ственно осложняются. Уравнение неразрывности div pV = 0
(р — плотность среды), которое в случае несжимаемой среды
сводилось к условию div V — 0 (см. п. 46), теперь записывает-
ся в полном виде
v д (pVx) d(pV«)
div р V = —-5-----------— 0 (13)
г дх ' ду ' ’
(мы ограничиваемся плоско-параллельными установившими-
ся течениями). Из (13) следует существование функции тока
334 гл. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ (57
с = v(x,y) такой, что
pVx=p0^, 9Vy = -p0^-, (14)
где ро — некоторая постоянная.
Условие отсутствия вихрей rot V = 0, которое мы дополни-
тельно налагаем, запишется так же, как в п. 46 и приведет к су-
ществованию потенциальной функции и — и{х, у) такой, что
у/ _ ди ,, ди /1
Vx = -—, V„ —-3—. (15)
х дх у ду ' ’
Сравнивая (14) и (15), мы придем к системе уравнений газовой
динамики:
dv __ р dv dv р ди
ду Ро дх ’ дх ро ду ’ ' ’
которая в случае несжимаемой среды р = р0 переходит в си-
стему Коши — Римана.
Система (16) неполна, ибо неизвестно, как меняется величи-
на р. К этой системе следует добавить уравнения движения, ко-
торые в дополнительных предположениях о том, что плотность
р зависит лишь от давления р {условие изэнтропичности) и что
внешние силы отсутствуют, имеют вид
grad у V2 = — -^-grad р, (17)
где а ~ д/~ — скорость распространения звука в среде*).
Уравнение (17) допускает интеграл (так называемый интеграл
Бернулли)
4- V2 4- [ — const.
Предположим наконец, что поток адиабатный, т. е. что
р = 6ри, (18)
где k и х = cPlcv (отношение теплоемкостей) — постоянные, ха-
рактеризующие газ. В этом предположении [ —= Ри~1===
— fl2’ причем постоянную в правой части интеграла Бер-
нуллп можно записать в виде уКщах, где Vmax — максимально
*) Относительно вывода уравнений (17) и других соотношений см., напри-
мер, Н. Е. Ко чин и И. А. Кибель [6], т. II, гл. 1.
57)
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
335
возможная скорость, соответствующая значению а ~ 0. Инте-
грал Бернулли принимает, следовательно, вид
1 т»2 1 2 _ 1 ,>2
~2V
Подставляя а2 — fexpK-1, находим из (19) ри-1= const! 1
(19)
V2 X
у2 /
г гл ах/
или
А V2
Р Ро I 1 „2 ) ’
\ v max /
где постоянная ро — значение плотности при V = 0,
-г е. 17 i( ди \2 .{ ди \2
Таким образом, р зависит от (57) ’
система (16) нелинейна, этим и объясняется сложность
газовой динамики.
Систему (16) можно свести к одному уравнению второго по-
рядка для функции и. Чтобы сделать это, перепишем уравнение
неразрывности в виде
div (pV) — р div V + (V, grad р) = 0.
(20)
т. е.
задач
(13)
Заменим теперь V = gradu и подставим grad р из уравнения
(17); получим:
A«- 2^(V, grad V2) = 0,
где А = div grad — оператор Лапласа. Подставляя V2 = +
+ и раскрывая скалярное произведение, мы и получим
искомое уравнение
( ti2\ 2иги„ / и2\
yl ^zJUxx ^2 иХу Ч- у! ^2~1иуу — 0 (21)
(для простоты письма индексами внизу мы обозначаем частные
производные). Это уравнение — квазилинейное уравнение с ча-
стными производными второго порядка. Если считать, что ско-
рость звука а = оо, оно переходит в уравнение Лапласа; при
дозвуковых скоростях (V < а) оно эллиптического типа, при
сверхзвуковых скоростях (V > а)—гиперболического типа.
Мы приведем два приближенных метода решения задачи об-
текания профилей газовыми потоками.
3) Метод Янсена — Рэлея, первый из этих методов,
был создан в годы первой мировой войны и относится к случаю,
когда скорость течения невелика по сравнению со скоростью
звука. Перепишем уравнение (21) в виде
Uxx + “уи = i (U««X + 2“ху“х“у + (22>
336 гл. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [57
и примем скорость потока, набегающего на профиль, = 1.
Тогда интеграл Бернулли (19) даст один раз у- ’(Илах ~
— 1), а другой:
_________Ml_________=
-2 1_2£Г11Л12о(и2+и2_1)
= Al2oo4-^-Mt(4 + ^-1)+ ....
гдеЛ100 = у-. Если подставить это разложение в уравнение
(22), то последнее будет содержать AliL в качестве параметра.
Имея это в виду, будем искать решение уравнения (22) в виде
ряда
и = и AfooU 4- Л/ooU -j- • • • >
где uh = uh(x, у) — неизвестные функции.
Подставим это в (22) и приравняем коэффициенты при оди-
наковых степенях получим систему уравнений:
“1, + Ч,=<4 «)!+2-4,«и + «)’. <23>
Первое из них является уравнением Лапласа, а остальные
уравнениями Пуассона \uh — fk.(x,y), правые части которых оп-
ределяются при решении предыдущих уравнений (их сложность
возрастает с увеличением номера). Краевое условие имеет вид
дп
ди1
дп
.. = 0 на профиле
и выражает условие обтекания профиля.
Функция и°(х,у) представляет собой потенциал скоростей
при обтекании профиля потоком несжимаемой жидкости. Мы
будем считать ее известной и ограничимся тем, что укажем, как
найти первый поправочный член н’(х, у).
Для этого представим гармоническую функцию как дей-
ствительную часть аналитической функции f (г): u's — у (f + f),
откуда находим -= у (Д-{-f'), = у (Г — F'), • • • Функцию ц1
мы представим в виде ul—F(z, z) и, пользуясь символами
57J
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
337
комплексного дифференцирования и (см. п. 56), найдем
, dF , dF , . I dF dF \
Ux~ dz "I” dz ’ UU~\dz dz ) ' • ’ ’
Подставляя эти выражения во второе уравнение (23), мы пред-
ставим это уравнение в комплексной форме:
8iS-==^’,2+^'2- (24)
Общее решение уравнения (24) легко написать на том осно-
вании, что для аналитической функции f имеем ~^Д = 0 (см.
п. 56), а для сопряженной к аналитической -^-f=0; поэтому
при интегрировании по z можно считать постоянной f, а при ин-
тегрировании по z — функцию f. На этом основании мы интегри-
руем (24) сначала по z, а затем по z, и находим:
(25)
где g = J f'2 dz, g — J f'2 dz — известные функции, a h. и h —
произвольные аналитические функции соответственно аргумен-
тов z и z, причем h(z) = h(z).
Таким образом, функция 1г -ф h — гармоническая; ее отыска-
ние сводится к решению задачи Неймана (см. п. 44), ибо гра-
ничные значения ее нормальной производной определяются из
<Эн‘ „
краевого условия -^-=0.
/Метод Янсена — Рэлея в 40-х годах применялся и усовершен-
ствовался многими авторами, которые, широко используя мето-
ды теории функций комплексного переменного, решили до кон-
ца задачу об обтекании газовыми потоками ряда важных про-
филей.
4) МетодС. А. Чаплыгина — второй приближенный ме-
тод решения задачи обтекания профилей дозвуковыми газовыми
потоками, которой мы хотим описать — основан на идее, сфор-
мулированной в классической работе С. А. Чаплыгина «О га-
зовых струях» (1904 г.), и состоит в замене адиабаты р =
Р — Н—
р
— kny-(-/. > 1) гиперболой
причем постоянные а и
b подбираются так, чтобы гипербола касалась адиабаты в ка-
кой-либо точке. Этот прием соответствует замене истинного га-
за фиктивным, для которого х = —1, что позволяет значительно
упростить математический аппарат.
Для вывода нужных уравнений введем так называемую
плоскость годографа (Vx, Vy), а в ней — полярные координаты
338
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[57
V, 0 (модуль скорости и угол ее наклона к оси Ух). Тогда будем
иметь Уж=1/соз0, VB=Vsin0 и на основании системы (16)
получим
du + i-^-dv = (VX dx + Vydy) -j- i (— Vy dx -f- V x dy) — Ve~iQ dz,
где, как всегда dz = dx -f- i dy. Заменяя = -|--|g-d9 и
аналогично dv, найдем отсюда:
dz е‘в /ди । . ро dv \ dz е19 /ди . . р0 dv \
dv ~~ v \dv +1 р dvг dQ~ v \ае +1 р <?е/•
Приравняем теперь смешанные производные и
после сокращений получим:
. / ди , . ро dv \ 1 / ди . ро dv \ . . d / Ро\ dv
\dV'1 р dV ) ~ V \ <30 + р <30 ) "Г dV (, р J дв *
Отделение действительных и мнимых частей приводит к так
называемым уравнениям годографа
ди tz / Ро \ dv du poV dv
~dV ~ V dV (pVj’dO ’ 00 — p dV ’
(26)
которые линейны относительно Vi и 0 (полярных координат
вектора скорости). Уравнения (26) были получены С. А. Ч а п-
л ы г и н ы м, который, пользуясь их линейностью, решил ряд
важных задач теории газовых струй *).
При х = —1 интеграл Бернулли (20) принимает вид р =
1
V2
2
max
найдем:
и, подставляя это в уравнения годографа (26),.
Введем функцию от модуля скорости
1 V — Vv2 — V2
1 । r max “ у max г .
2 у2 J. \[ у2 — у2 ’
r max г r max у
(27)
•) К сожалению, переход к плоскости годографа, дающий выигрыш в ли-
нейности уравнений, дает проигрыш в краевых условиях — эти условия
в плоскости годографа имеют, вообще говоря, сложный вид. Поэтому метод
годографа не является универсальным.
58]
§ 4 ПРИЛОЖЕНИЯ
339
dv dv 1 dv Г. V2
dW dv w' dV У V2max
то последние уравнения принимают вид
du dv dv du
d0 ~ ~dW ’ 19“ ~ ’
t. e. совпадают с уравнениями Коши — Римана.
Таким образом, и + iv в сделанных предположениях являет-
ся аналитической функцией от W — IQ, и любая такая функция
определяет некоторый газовый поток.
Это обстоятельство дает возможность эффективно строить
весьма широкие классы газовых потоков и, в частности, газовые
потоки, обтекающие некоторые профили.
Однако задача определения газового потока, обтекающего
заданный профиль, в терминах переменных годографа W и 9
представляет собой очень трудную нелинейную краевую задачу
(см. предыдущую сноску). Поэтому для практических расчетов
в сороковых годах были созданы (С. А. X р и ст и а но в и че м,
Т. Карманом и Цянь Сюэ-сэнем) приближенные мето-
ды. В их основе лежит следующая идея — строится поток, обте-
заданному, и
к
кающий профиль, «близкий»
пересчета потока, обтекаю-
щего некоторый профиль,
па поток, обтекающий близ-
кий профиль*).
58. Теория кумулятивно-
го заряда. За последние го-
ды методы теории функций
комплексного переменного
нашли новое и неожидан-
ное применение в теории
весьма интересного явле-
ния— так называемой ку-
муляции.
Проделаем следующий
опыт. Поместим над сталь-
даются правила
ной плитой толщиной в 20 см цилиндрические заряды одинако-
вой высоты (15 см) и диаметра (4 см). Заряды а) и б) — сплош-
ные, остальные имеют коническую выемку со стороны, обращен-
ной к плите, причем в зарядах д) и е) в выемку вставлены сталь-
ные конусы с толщиной стали в 1,5мм. Заряды а), в) и (?) стоят
на плите, а остальные приподняты на высоту Р/г диаметра заря-
да; инициирование зарядов производится в месте А (рис. 129).
*) См. С. А. X р и ст и а н о в и ч, Обтекание тел газами при больших
дозвуковых скоростях, Труды ЦАГИ, вып. 481, 1940, а также [6], ч. II,
стр. 122—139.
340 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [58
На рис. 129 изображено действие этих зарядов. Обращает на
себя внимание парадоксальное увеличение пробивного действия
в случае е), когда коническая выемка покрыта стальной оболоч-
кой и заряд удален от пробиваемого тела.
Эффект увеличения бронебойного действия при наличии
выемки (случай в)) был открыт еще во второй половине прош-
лого века и получил название кумулятивного эффекта. Однако
его использование ограничивалось некоторыми техническими за-
дачами в горном деле. Значительное повышение бронебойного
действия при наличии металлической облицовки было обнару-
жено позже, а к 1914 г. относится первый патент применения
этого эффекта в бронебойном снаряде. Широкое применение
кумулятивный эффект нашел только в войне 1941—1945 гг.
К этому же времени относится и создание теории явления ку-
муляции, которая за последнее десятилетие получила большое
развитие во многих странах.
1) Физические пр едпосылки теории. Прежде чем
сформулировать основные предпосылки теории, отметим не-
сколько простых экспериментальных фактов, относящихся к
взрыву и его метательной способности.
В описанных выше опытах имеются в виду заряды из так на-
зываемых бризантных (дробящих) взрывчатых веществ (тротил,
гексоген, тэн и т. д.), которые характеризуются следующими
свойствами. Если в малой зоне вещества создается достаточно
высокое давление (инициирование), то от этой зоны начинает
распространяться волна взрывчатого превращения этого веще-
ства — детонационная волна. Перед фронтом такой волны
имеется покой, а за фронтом — продукты разложения с давле-
нием порядка 100 000—200 000 ат; скорость распространения
волны имеет порядок 5—10 км/сек. В теоретических исследова-
ниях толщиной фронта детонационной волны обычно пренебре-
гают — опыты показывают, что на практике толщина этого
фронта действительно мала по сравнению с другими характер-
ными размерами. Отметим, что полная теория детонации созда-
на также сравнительно недавно и в настоящее время она входит
в раздел газовой динамики, посвященный движениям с разры-
вами (см. [6], ч. II, стр. 258—266).
Приведем теперь краткое изложение основ теории первого
приближения кумулятивного заряда типа е) с металлической
оболочкой. В качестве предпосылок этой теории принимаем сле-
дующие гипотезы:
1°. Детонация происходит мгновенно, а действие взрывчато-
го вещества на оболочку сводится к импульсу, направленному
перпендикулярно к поверхности конуса.
2°. Материя оболочки, а также пробиваемая сталь, считается
идеальной жидкостью.
58)
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
341
Обе эти гипотезы легко обосновать, хотя на первый взгляд
представление броневой стали в виде идеальной жидкости и ка-
жется совершенно неправомерным. Дело однако в том, что воз-
никающие при кумулятивном взрыве давления имеют порядок
100 000 ат, а при таких давлениях прочностные и пластические
силы составляют сотые доли от сил инерционных.
В принятых предпосылках качественную картину явления
можно представить следующим образом. В начальный момент
все элементы жидкой конической оболочки при-
обретают скорость (порядка 2 км/сек) в направ- А
лении оси конуса, происходит обжатие конуса к 1
с утолщением его стенок. При подходе элемента £ а
к оси конуса часть этого элемента выжимается и £ 1
выплескивается вперед подобно тому, как выплес- К' <
кивается морская волна при затекании в клинооб- £> 1
разную бухту. В результате этого из конуса вы-
жимается струя — «проволока» (рис. 130). Расчет А' 'а
показывает, что скорость такой проволоки тем
больше, чем острее конус. Обычно наблюдаемые
скорости имеют порядок от 2 до 10 км/сек-, в от-
дельных экспериментах достигнута скорость до
90 км/сек.
Проволока при встрече с броней производит на
нее давление порядка 1 000 000 ат, что и объясняет
применимость схемы идеальной жидкости для по-
строения теории пробивания. Качественная кар- Рис. 130.
типа пробивания отличается от картины формиро-
вания струи лишь направлением изменения времени (заменой t
на —t). Характерным в этом процессе является то, что по мере
его развития длина струи уменьшается, на каждый пробитый
участок расходуется часть струи.
2) Гидродинамическая схема. Рассмотрим задачу
о соударении двух идущих навстречу друг другу струй с общей
осью симметрии, причем то, что мы будем говорить сначала, от-
носится как к плоскому случаю, так и к случаю с осевой симмет-
рией. Эта задача сводится к построению установившегося течения
идеальной жидкости в среде с постоянным давлением, удовлет-
воряющего следующим условием. Вдоль оси симметрии, кото-
рую мы принимаем за ось х, слева направо течет такой поток
жидкости плотностью pi, что при х->—оо диаметр потока при-
ближается к 2гь а скорость — к Vr, справа налево вдоль той же
оси течет поток жидкости плотностью рг, диаметр которого стре-
мится к 2г2 при х —♦-j-oo. Течение имеет свободные поверхности
Li и L2 и поверхность у раздела двух жидкостей; эта по-
верхность симметрична относительно оси х, причем в точке ее
342 ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [5#
Я
пересечения с осью, которую мы принимаем за точку х = 0|
скорости обоих потоков равны нулю (рис. 131). ч
Так как течение установившееся, то для давления р по фор^
муле Бернулли — Эйлера (1) п. 47 имеем соотношение (
Р = (lj
где А — постоянная, равная давлению, соответствующему
V — 0, т. е. в точке х = 0. Из условия постоянства давления во-
Рис. 131.
внешней среде на основании
этого соотношения получаем,
что вдоль свободной поверх-
ности Z-i
V = const = V\.
Вдоль поверхности разде-
ла у скорости У+ и V- потоков
жидкостей с плотностями соот-
ветственно Р1 И р2 ДОЛЖНЫ
быть связаны соотношением
рЛ = р272_. (2)
Удаляясь вдоль у в -f-оо мы видим, что У+-> на основании
(2) мы получаем, что У _-—У] при х—>-|-оо вдоль у. От-
сюда аналогично предыдущему заключаем, что вдоль свободной
поверхности
У = const =1//Л—Ун
Г Р2
Этим самым определяется предел при х -> 4-оо скорости по-
тока, идущего вдоль оси х справа налево:
(3)
Плоский случай. Остановимся подробнее на случае плоско-
параллельного течения и обозначим соответственно через
u> = fi (z)==«! + ivlt w = f2 (z) = u2 + (4)
комплексные потенциалы встречных потоков. Пользуясь сим-
метрией этих потоков относительно оси х, рассмотрим верхнюю
их часть, где у > 0; тогда функции (4) будут реализовать кон-
формные отображения областей, занятых потоками, на полосы
шириной Z/1 и 9г, где 91 = У1Г1 и 92 = У2г2— расходы в каждом
из потоков. Отображения (4) определяются с точностью до по-
стоянных слагаемых и эти постоянные, очевидно, можно выбрать
так, чтобы полосами в плоскости w служили полосы
0 <v < 9( и — 92 < f < 0
58]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
34а
и чтобы точка разветвления потоков z = 0 при обоих отображе-
ниях переходила в точку w = 0.
Для решения задачи требуется найти линии Lb L2 и у и
соответствующие отображения (4) так, чтобы вдоль линий Z-i и
Л __в
с _ у 3^
@
Ж *
V/ В С Л А д
Вы У////Л7^Г'//^0. ‘'////МЛл
8,
шшшшш @
Рис. 132.
Z-2, переходящих в прямые у = qi и v = —q2, было соответст-
венно __
|?;<г)| = и, и |];(г)|=1л!=/К1/„ (5)
а вдоль линии у, переходящей в положительную полуось и,
IWI = /£|WI (в)
(рис. 132). Заметим еще, что при рассматриваемых отображе-
ниях отрицательная и положительная полуоси х переходят соот-
ветственно в верхний и нижний берега отрицательной полуоси,
так что
argf'(z) — O при х < 0,
argf^z) = —л ПРИ *>0.
(7)
344 гл. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ II ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [58 i
Для упрощения постановки задачи рассмотрим функции
£ = lnf'(z) = lnf'[zJ®)] = Fft(®) (k=l, 2), (8).
где z = Zk(w) —функции, обратные (4), в зависимости от пе- :
ременной w. Эти функции должны удовлетворять следующим
граничным условиям: соответственно вдоль прямых v — qi и
v = —q2
ReF1 (да) = In V[ и ReF2 (да) = In + 4-In —, (S')
2 p2
вдоль положительной полуоси и
ReF2(®2) = Re/?1(®i) + 4‘ln'7L’ Im F2 (да2) = Im F, (o\), (6')
z H2
где (Dk = fk(z), а на верхнем и нижнем берегу отрицательной
полуоси и
1 m F, (да) = О и 1 m F2 (да) — — л. (7')
Из (6) следует, что да2 = 1/ — да1( и тогда из (6') можно
заключить, что функция F^-^-да^—является анали-
тическим продолжением Fi(w) через положительную полуось и.
Таким образом, задача свелась к отысканию функции F(co) =
= F1(co), аналитической в полосе —q2 < v < qt с разре-
зом вдоль отрицательной полуоси и, которая на границах поло-
сы удовлетворяет условию
ReF = lnV1,
а на верхнем и нижнем берегах разреза соответственно — усло-
виям
lmF(co) = O, lmF(4>) = — л.
Далее, без ограничения общности можно принять Vt = 1,
тогда будем иметь и, в силу (5), <?2 =г2. Так как,
кроме того, согласно механическому смыслу задачи величина
ReF(co) ограничена сверху, то функция £ = F(co) должна реа-
лизовать конформное отображение полосы — г2 <; v < rt с раз-
резом вдоль отрицательной полуоси и на полуполосу с соответ-
ствием граничных точек, указанным на рис. 132. Эта функция
находится элементарным образом. В самом деел, отображение по-
луплоскости 1тш>0 на полосу с разрезом с соответствием то-
чек, указанным на рис. 132, мы находим по формуле Шварца —
58]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
345
Кристоффеля в точнрсти так же, как и в примере 2 п. 39*):
да = In (<о — 1) 4- In (® + 1) — In (ш — а),
где а — • Полуполоса отображается на эту полуплоскость
с нужным соответствием точек по формуле <о = sin (у — Zgj —
= ch£, следовательно, функция, обратная функции £ — F (да),
имеет вид
w=^ln(ch£-l) + ^ln(ch£+l)-^ln(chC-^). (9)
Зная функцию F (да), по формуле (8) находим f' (z) = = eF (-w\
откуда
Z = J e-F(u>) dw (10)
0
(мы опускаем индекс 1 в обозначениях функций /nF).
Пользуясь этой формулой, можно определить форму струй,
а также распределение скоростей в потоке.
Случай осевой симметрии. В этом случае решение задачи
о соударении струй в столь законченной форме, как в плоском
случае получить не удается. Если рассматривать рис. 131 как
осевое сечение потока и через х обозначить координату вдоль
оси, а через у — расстояние до оси, то вместо системы Коши —
Римана мы получим систему
dv ди dv ди
-г- = — у~ч~, т- = у-т~
дх оу ду и дх
(Н)
(ср. уравнения (12) п. 56). Изучение свойств решений этой сис-
темы относится к общей теории квазиконформных отображений
(см. п. 56), развитой еще недостаточно. Поэтому приходится
ограничиваться общими качественными соображениями этой тео-
рии и на их основе получать факты, на которых можно построить
теорию первого приближения.
Приведем несколько таких соображений и фактов.
1°. При у—>4-оо линии Li и L2 имеют кривизну разных зна-
ков и асимптотически приближаются к некоторой прямой у —
= х tg а 4- Ь. Таким образом, существует асимптотический ко-
нус, к которому приближаются свободные поверхности струйных
потоков, ограничивающие так называемую «пелену» (рис. 133).
*) В примере п. 39 соответствие точек иное, чем здесь.
346
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
2°. Ширина б полосы, заключенной между линиями Lt и L2,i
стремится к 0 при у -> 4~°°> причем .j
2л//6 = nrf + + t], (12);
запишется в виде лг? ~ 2лн/6., где
где ц — малая высшего порядка относительно б. Чтобы выяс-^
нить физический смысл этого соотношения заметим, что его ле-;
вая часть выражает площадь сечения пелены, а лг\ и лг%— пло-
щади сечения струй при:
х « 4=оо (см. рис. 133).
Вдали от места встречи
струй, т. е. при больших |х|
скорости во всех точках се-
чений каждой из струн при-
мерно одинаковы (равны V\
для первой струи и У2
для второй). Поэтому усло-
вие несжимаемости жидко-
сти, которое выражается
условием постоянства рас-
хода, для каждой из струй
б/.— ширина полосы, заклю-
ченной между L/t и у (k = 1, 2; di + б2 — б), складывая эти два
соотношения, мы и придем к (12).
3°. Из теоремы о постоянстве количества движения можно
получить важную для дальнейшего связь между радиусами
струйных потоков, их плотностями и углом а. Рассмотрим два
элемента струй вблизи оси х при х « ±оо, представляющие
собою цилиндры высотой 1; их суммарное количество движения
будет направлено по оси х и равно
После соударения и по прошествии достаточно большего вре-
мени эти элементы будут находиться вблизи асимптотического
конуса и проекция их суммарного количества движения на ось х
будет равна
I2 = + np2^/2) cos а.
По теореме о постоянстве количества движения имеем It = Z2,
откуда, полагая
<13>
и используя соотношение (3), найдем;
1 — Afe2 ,9 1 1—cos а ,, и
COS а = , , . ., , . (14)
I 4- W A, I 4- cos а ' '
58)
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
347
Приведенных фактов достаточно для построения расчетных фор-
мул приближенной теории кумуляции.
3) Теория пробивания. Рассмотрим уже разобранную
схему соударения двух жидких струй в системе координат, отно-
сительно которой левая (толстая) струя неподвижна. В этой
системе координат скорость правой, подвижной, струи будет
равна
w = V1+V2 = (l +А) V2.
Скорость места соударения струй Vt, которая в теории кумуля-
ции будет являться скоростью проникания (мы обозначим ее че-
рез «о), равна, следовательно,
0 = ^=^®. (15)
Таким образом, скорость проникания кумулятивной струи всегда
меньше скорости самой струи. В частности, если струя и броня
имеют одинаковую плотность (А = 1), то скорость проникания
вдвое меньше скорости струи.
Из формулы (15) вытекает также следующий важный факт:
если некоторое фиксированное сечение струи передвинется на
расстояние Н, то точка проникания струи передвинется на рас-
стояние
w 1 + Л
а струя при этом укоротится на величину
H-h = H(i
\ w) 1 + Л
Таким образом, отношение длины израсходованной части струи
h2 = Н — h к длине пробитого участка h равно
h2__Н — h _ 1
~~Т’
откуда __
Л = и2-]/ ^h2. (16)
В частности, если плотность струи и брони одинакова, то
h = h2, т. е. глубина пробития равна длине, израсходованной
на это пробитие струи.
Формула (16) хорошо увязывается с предположением о том,
что кумулятивная струя имеет конечную длину. Пусть цилиндри-
ческий жидкий стержень, диаметр которого мал в сравнении с
его длиной, ударяется соосно в другой цилиндрический жидкий
стержень. В период, близкий к моменту начала соударения, мы
имеем резко выраженный неустановившийся процесс. Однако,
348
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[5»
опираясь на общие принципы, о которых говорилось выше, мож-
но показать, что явления, происходящие в голове струи, заметно
влияют лишь на расстоянии 2—3 диаметров струи. Когда реаль-
ный процесс приближается к рассмотренному выше установив-1
шемуся, на эти явления израсходуется лишь небольшая часть
струи (в несколько диаметров), которой можно пренебречь.
Поэтому длину части струи й2, израсходованной на пробитие,
можно считать просто равной длине струи, и мы получим сле-
дующую приближенную формулу для глубины проникания ку-
мулятивной струи-.
= (17)
где а — длина струи, р2 — ее плотность и pi — плотность брони.
4) Теория формирования кум ул я т ив но й стр у и.
Рассмотренная выше схема соударения двух струй при pi = р2
может быть также положена в основу расчета параметров куму-
лятивной струи. Для этой цели введем новую, подвижную систе-
му координат, которая движется вдоль оси х справа налево со
скоростью V/cos а. В этой системе коническая пелена движется
по нормали к своей поверхности со скоростью W = V tg а, ско-
рость кумулятивной струи оказывается равной w = V со^а •
Подставляя V ~ Wctga, мы получаем выражение, формулу для
скорости кумулятивной струи в зависимости от угла а и «ско-
рости обжатия» конуса W:
да=:=г(1+ ^k-)ctg“- ' (18)
Легко получить также выражение для радиуса струи в за-
висимости от угла а и толщины оболочки в одном из ее сече-
ний*). Примем толщину оболочки, например, при у — 1 равной
б. Тогда согласно (12) будем иметь приближенно:
2б = г2 + г22,
а согласно (14)
гг 1 1 — cos а
И V 1 + cos а ’
откуда для радиуса кумулятивной струи получим выражение
г2 = )^б(1 — cos а) = )^2б sin. (19)
*) Зная толщину одного сечения оболочки, можно определить всю обо-
лочку, ибо геометрия оболочки определяется формой пелены, создаваемой
двумя струями.
59]
$ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
349
Как и в теории пробивания от рассмотрения идеальной схемы
перейдем к расчету (в первом приближении) реального кумуля-
тивного заряда. Рассмотрим случай, когда оболочка заряда
представляет собой конус переменной толщины, определяемой
по формуле (12), и когда заряд таков, что все элементы оболоч-
ки мгновенно получают скорость 1F, постоянную по величине и
направленную нормально к асимптотическому конусу.
Если толщина конуса мала в сравнении с его высотой, то
начальной неустановившейся фазой процесса можно пренебречь
и, следовательно, считать, что формирование струи происходит
по схеме, изображенной на рис. 130: обжимающийся конус вы-
давливает из себя проволоку, радиус которой определяется по
формуле (19) и которая движется со скоростью, определяемой
по формуле (18).
Согласно сказанному выше в рассматриваемом случае длина
струи и глубина пробития равны длине образующей конуса.
В заключение отметим, что все приведенные факты и выводы
теории первого приближения полностью подтвердились на опыте
в достаточно широких пределах диаметров зарядов, форм и тол-
щин оболочек, для материалов различных плотностей и прочно-
стных свойств. Однако накопилось и достаточное количество
фактов, не укладывающихся в изложенную теорию и требую-
щих для своего даже косвенного объяснения существенных до-
полнений к этой теории. Некоторые такие факты и связанные с
ними постановки задач читатель может найти в статье
М. А. Лаврентьева [20]; см. также книгу М. А. Лаврен-
тьева и Б. В. Шабата [21].
59. Задачи теории упругости. Мы приведем здесь несколько примеров
решения задач, поставленных в п. 51.
1) Решение основных задач для круга. Пусть область D
представляет собой единичный круг, и требуется найти упругое равновесие
при заданных на единичной окружности С внешних напряжениях F„ = Xn-i[-iYn
(задача I) или смещениях g = и + iv (задача II).
Согласно результатам п. 51 решение этих задач сводится к отысканию
двух аналитических в круге |г| < 1 функций <р(г) и ф(г), связанных на
окружности для случая задачи I условием
<р (?) + ?фП?) + w = и?), (1)
с
где f (?) = i J Fn ds — заданная на С функция (см. формулу (8) п. 51; в соот-
ветствии со сказанным там в этой формуле можно положить 4=0), а для
случая задачи II условием
к<Р (?) — ?<₽' (?) — Ф (?) = 2pg- (?), (2)
где х и р — постоянные (см. формулу (4) п. 51).
Рассмотрим подробно решение задачи I. Для полной определенности
задачи примем условия
ф (0) = Im qp' (0) = 0 (3)
350
ГЛ. Ш. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[59
(ср. формулу (10) п. 51). Воспользуемся теперь тем, что значения ф(£)
являются предельными значениями функции ф(г), аналитической в круге
|z| < 1. По формуле (22) п. 52 с учетом условий (1) и (3) мы получаем
тогда для всех z, |z| < 1, соотношение
j_ Гф(£М£__ I Г f (£) dt 1 f ф (£) dt i f £Ф' (£)
2лг J £ — z 2.4! J £ — z 2л; J £ — z 2лт J £ — z
c c c c
Так как функция <p(z) аналитична в круге |z| < 1, то, пользуясь формулой
Коши, это соотношение можно переписать в виде
4,(2) + iJ
с
-M-d£ =
1 Г f (£) dt.
2л; J '£ — z
с
(4)
Мы получили уравнение
подставим тейлоровское
части (4):
для определения функции ср (г). Чтобы решить его,-
ОО
разложение Ф (г) = 2 в интеграл в левой
л=о
1 f
2л; J £ — z
с
с, f tdt
2ni J £ — z
c
°°
2ST J S fcc^k ' d*' (5>
C *=2
Выделенный член по интегральной формуле Коши равен Ciz; чтобы пре-
образовать второй член, заметим, что на окружности £ — 1/£, и следовательно,
подынтегральную функцию можно переписать в виде *)
1
£*’2
причем этот ряд сходится при |£| 1. Интегрируя почленно, найдем, что
второй член в правой части (5) равен 2с2.
Таким образом, из формулы (4) мы находим следующее выражение для
искомой функции cp(z):
4,(z)==i (6>
с
Остается определить постоянные С1=ф'(0) и , для чего доста-
точно продифференцировать (6) один и два раза по г п затем подставить
z = 0; мы получим:
О +
f (О r_________!_ Г HP
c
(7)
*) Мы разложили l/(£ —z) в ряд по степеням z/£ и перемножили паши
разложения.
WI
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
351
Второе уравнение вполне определяет с2, относительно первого заметим прежде
всего, что оно разрешило лишь при условии
с с
(мы воспользовались тем, что £ — 1/g на С), которое после подстановки
/ = f2 + и dt, = dx — idy переписываются в виде
J fi dx + f2 dy = О
с
(8)
и физически выражает условие равенства нулю главного момента внешних
напряжений (ср. формулу (9) п. 51). При этом условии первая формула (7)
определяет действительную часть ct, а ее мнимую часть мы полагаем равной
нулю в соответствии с принятым условием (3).
Итак, функция <р(г) определяется формулой (6), в которой постоянные ci
к с2 находятся из формул (7). Зная эту функцию, мы находим из условий (1)
граничные значения аналитической функции ф(г) и по этим значениям при
помощи формулы Коши восстанавливаем значения ф(г) внутри круга:
Ф (г) =
1 f f (g) dt,
2ni J t, — z
c
1 f Ф (g) dt,________1_ f gy'(g) dr
2tti J t,— z 2ni J t, — z
c c
(9)
Второй интеграл справа по формуле
грал легко вычисляется по теореме Коши
(22) п. 52 равен <р(0); третий инте-
о вычетах:
1 Г Ёф' (g)
2ni J g — z
C
_ 1 f ф' (g) t/g = _ ф'(0) ф' (z)
2ф J g (g — z) z z
c
(мы воспользовались тем, что g — 1/g на С, а также тем, что подынтеграль-
ная функция внутри С имеет два полюса первого порядка: g = 0 и g = z;
вычеты в этих полюсах вычисляются по формуле (5) п. 23). Таким образом,
формулу (9) можно переписать в виде
Ф (г) = -Д- f
с
f (g) rfg
g-Z
(Ю)
Согласно сказанному в п. 51 постоянные слагаемые в формулах (6) и (10)
можно отбросить как несущественные, и с учетом формул (7) мы получим
решение задачи I в окончательном виде
<₽(г)=2^
f (g) dg
g-z
dl,
4 л i J
C
Ф (z)
___ 1 f f (g) rfg
2ni J t, — z
c
g2 Z
(11)
352 ГЛ. 111. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [59
Задача II для единичного круга решается вполне аналогично, и вместо
(11) мы приходим к формулам -
ф(г)==_^ Г + I
КЛ1 J £ — г х
С , ____ ! (12)
и, (г) = _ JL f g _ <PZ^) . _£1_
т ’ ni J g — z z z ' I
C J
где
<i3>-
1 c c ’
2) Случай плоскости с круговым отверстием. Для этого
случая основные задачи теории упругости решаются аналогично. Предполо-
жим сначала, что главный вектор внешних напряжений, приложенных к кон-
туру, а также напряжения на бесконечности, обращаются в нуль, т. е. что
-¥ = К = 0 и Г = Г = 0. (14)
Как мы видели в п. 51, из этого предположения следует, что функции <p(z)
и ф(г) правильны в бесконечно удаленной точке; мы предположим еще, что
<р(оо) = 0.
Так как значения ф(г) на окружности С, которую мы по-прежнему
будем считать единичной, являются предельными значениями функции, анали-
тической вне круга |г| > 1, то по формуле (23) п. 52 с учетом краевого
условия (1) мы получаем для всех г, |г| > 1, соотношение
1 f f (g) dj _ 1 Г <р (g) dj _ 1 f gq/ (g)
2л/ J t — z 2л i J — z 2л/ J t. — z
c c c
или на основании формулы (20) п. 52 п условия ср(оо) = 0,
g<Pz (g)
1
2 л i
f (g) dj
с
Пользуясь лорановским разложением
|z( > 1, мы в точности так же, как в
в левой части последней формулы равен
сходящимся при
случае круга, получим, что интеграл
нулю и таким образом
<Р (z)
f (g) dj
g-z •
(15)
1
2 л i J
С
Теперь можно определить граничные значения <р(£), найти по формуле (1)
граничные значения ф(£) и по формуле (20) п. 52 построить с их помощью
значения ip(z) при jz| > 1:
1 f Ф (g) dj ,
2ш J g — z _
ф (оо).
691
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
353
Подставляя сюда значения ф(£) из (1) и пользуясь легко доказываемыми
соотношениями
I f <Р (£) <*£ = 0 1 f <р' (g) dg = _ <р' (г)
2ш J Z — 2 2ni J g (g — z) Z ’
с с
получаем окончательно:
Ф (г)
____!_ f
2 л z J £ — z
С
ф' (г)
z
(16)
(мы отбросили несущественное постоянное слагаемое).
Перейдем к общему случаю, когда условия (14) не выполняются. По фор-
мулам (20) п. 51 мы имеем тогда:
ч’(г) = Гг~ аГ(гЙоЕпг + фо(г)’ 1
Х-iY | (17)
ф (г) = Гг + х ^-(1 Ln г + ф0 (г), j
где Фо(г) и ф0(г) —однозначные аналитические при ]z| 1 функции, причем
можно положить фо(°о) = 0 и считать, что вращение па бесконечности отсут-
ствует, т. е. что Г — действительная постоянная. Подставляя эти выражения
в краевое условие (1), получим, что граничные значения функции ф0(г) и
фо(г) связаны условием точно такого же вида, в котором лишь в правой
части вместо функции f(V) стоит
TV V I :у V __ -у
/0(?) = Ма-2Ц-т + -^Епг + ^тг2Гг^ (18)
(мы воспользовались тем, что £ = 1/£ на С и что Г — действительная по-
стоянная). Заметим еще, что функция /о(У однозначна на С, ибо прираще-
ние f(£) при обходе С, равное X + iY, компенсируется приращением логариф-
мического члена.
Таким образом, отыскание функций фо(г) и Фо(г) свелось к уже решенной
задаче и, следовательно, эти функции найдутся по формулам (15) и (16),
в которых функция /(£) заменена функцией /о(5) из (18). Теперь остается
найти по формулам (17) функции ф(а) и ф(а), т. е. задача будет решена п
в общем случае.
Вторая основная задача решается вполне аналогично.
3) Случай полуплоскости. Пусть область D представляет собой
нижнюю полуплоскость. В этом случае для решения основных задач мы про-
должим функции ф(г) и ф(г), определенные в О, в верхнюю полуплоскость.
Именно, для z в верхней полуплоскости мы положим по определению
ф (z) = —- zqp' (z) — ф (z) + const; (19)
тогда ____ ________ ______
<p' (z) = — <p' (z) - z<p" (z) — ф' (z). (20)
Обозначив через ф_ (x) и ф+(x) предельные значения ф' (z) при z-> х
соответственно справа и слева от оси х (т. е. из нижней и из верхней полу-
плоскости), мы будем иметь:
Ф+(х) = — фС (х) — хф" (х) — ф! (х). (21)
354 ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ [59
С другой стороны, из формул (26) п. 50 получаем в нижней полуплоскости
Yv — iXy = ф' (z) + <р' (z) + zq>" (z) + ф' (z). (22)
Мы видим, что на ненагруженных участках оси х, где Yg — iX~ =
== фС. (х) + ф1 (х) + хф" (х) + ф_ (х) = 0, соотношение (21) принимает вид
<₽+ (х) = ф! (х).
Таким образом, продолжение (20) функции <p'(z) в верхнюю полуплоскость
оказывается аналитическим продолжением этой функции через незагружен-
ные участки оси х.
Через функцию ф'(г), распространенную в верхнюю полуплоскость, выра-
жается и функция ф'(г). Чтобы получить это выражение, заменим в фор-
муле (20) г на г (так что z будет лежать в нижней полуплоскости) и
перейдем к комплексно сопряженным величинам; тогда найдем:
ф' (г) = — ф' (г) — <р' (г) — гф" (г)
(z лежит в верхней полуплоскости). Подставляя это выражение в (22), будем
иметь выражение напряжений через функцию ф(г):
Yy - iXy = ф' (г) - ф' (г) + (z - г) (23)
Аналогично, из формулы (24) п. 50 получим выражение смещений через
ту же функцию:
2р (« + iv) — хф (г) + ф (z) — (z — z) ф' (z) + const. (24)
Перейдем к решению краевых задач. В первой краевой задаче на дей-
ствительной оси задаются внешние напряжения: давление Р (t) = — Y~ и
касательное напряжение T(t) = X~; мы предположим, что они удовлетво-
ряют условию Гёльдера и равны нулю на бесконечности. Из формулы (23),
в которой надо перейти к пределу при г -> t, получаем краевое условие для
функции ф'(г):
<Р+(0-ф'-(0 = Р(0 + «Т(0. (25)
Решение краевой задачи (25) на основании формулы Сохоцкого (15) п. 52
дается непосредственно в виде интеграла типа Коши
Ы - 1 Г Р + iT мл
*₽ (г) J ---------Г=Гг----dt- (26)
—оо
При некоторых дополнительных условиях, наложенных на P(t) и T(f), функ-
ция ф'(г), определяемая формулой (26), будет удовлетворять нужным усло-
виям на бесконечности, которые (как вытекает из формулы (22) п. 51) имеют
вид
Ф.И = _Д+Щ4 + О(Д),
где ~ малая высшего порядка по сравнению с —. При этих условиях,
подставив найденное выражение ф'(г) в формулу (23), мы найдем напряже-
ния, а из формулы (24) найдем смещения (с точностью до жесткого Сме-
щения).
59]
§ 4. ПРИЛОЖЕНИЯ
355
Во второй краевой задаче на действительной оси задаются значения ком-
понентов смещения: и- = gi(t), v- = мы предположим, что производ-
ные g'{ (0 и g2(f) удовлетворяют условию Гёльдера и равны нулю на бес-
конечности.
Дифференцируя равенство (24) по х, переходя к пределу при z -> t из
нижней полуплоскости и используя заданные смещения, найдем краевое
условие задачи:
2g (0 + ig'2 (0] = «ф! (0 + Ф+ (0. (28)
Обозначим через % (г) функцию, равную ф'(г) в верхней полуплоскости и
—иср'(г’) в нижней. Тогда условие (28) перепишется в виде
Х+ (0 — Х_ (0 = 2g (/) + ig2 (/)],
и функция х(0 найдется в виде интеграла типа Коши
____1^ f g'x^ + ig'i(О
~ ш’ J t —
(29)
Зная х, найдем и искомую функцию ф' (г)
Ф' (г) =
X (г)
~ V “z
Л
при
при
Im г > О,
Im z < 0.
(30)
4) Задача о штампе. Пусть над участком (—/, Z) действительной
оси, которая представляет собой границу упругого тела, расположен жесткий
штамп с прямолинейным горизонтальным осно-
ванием (рис. 134). Мы предполагаем, что точ-
ки участка (—I, I) соприкасаются и неизменно
сцеплены со штампом и что штамп может
перемещаться лишь вертикально. Задача пред-
ставляет собой смешанную краевую задачу
теории упругости: на отрезке (—/, 1} заданы
смещения
и- + iv- =gt (0 + ig2 (0 = const, (31)
а на остальной части границы, т. е. лучах
(—со,—/) и (/, оо) — напряжения
Xy=Yy=°- (32)
Подставляя условие (32) в формулу (25),
мы видим, что в точках лучей (—оо, —/) и
(/, оо) выполняется соотношение <р+ (/) = <р_ (t),
аналитически продолжается через эти лучи,
в формулу (28), мы получаем связь граничных
разреза (— I, /): xq>_ (Z) + <р+ (<) = 0, или
Рис. 134.
т. е. что функция ф'(г)
Подставляя условие (31)
значений <р'(г) на берегах
Ф+ (0 = — *ф1 (t).
(33)
Таким образом, для определения функции <p'(z) мы приходим к краевой за-
даче Гильберта — Привалова в случае 6=0, а =------— и незамкнутого кон-
тура С (см. конец п. 53). Индекс функции а равен нулю, поэтому задача
356
ГЛ. III. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
[59
решается с помощью формул Гахова (4) и (5) п. 53, которые для нашего
случая принимают вид
' In (--Ц
F~(г) = i J i(,n * +in) ,n
<₽'_ (z) = Ae~F~ <г> = A 2
\ z + I )
где fl — . Однако найденная функция q>'_ (z) не удовлетворяет условиям
на бесконечности — она принимает там конечное значение А, а искомая функ-
ция согласно условию (27) должна иметь там нуль первого порядка. Поэтому,
используя замечание в конце п. 53, и умножив найденную функцию на
I
-у—у, получим *):
, . . A iz — l \4~z(i .! z + l\l& 1
Ф_ (z) =------ ------ = Al----------!— '
z-l \z + l \z-l Kz2-/2
Вычет нашей функции в точке г — оо равен А (при соответствующем выборе
ветвей многозначных функций, входящих в полученное выше выражение),
X + /К
поэтому, учитывая формулу (27), находим: А —----——, т. е. постоянная Л
равна равнодействующей сил, приложенных к штампу. В наших условиях
л = О, Y = —Ро, и мы получаем окончательное выражение функции <рС (г):
<₽L(z)
. iP0 / z + l\®
2л \ z — I /
1
Kz2-Z2 ’
(34)
Вычислим давление P(t) и касательное напряжение T(t), действующее
на тело под штампом. По формулам (25) и (33) имеем:
р (Z) + iT (/) = <р'+ (/) - ф'_ (Z) = - (1 + х) ф'_ (О.
Подставив сюда выражение (34), найдем:
P(t)+iT(t)
== Ра 1 +х / Z + / УЗ 1
2л \l-tl КР^Т2’
где в правой части следует брать предельное значение функции при z->-f
по точкам верхней полуплоскости**). После элементарных преобразований
*) Множитель у _у выбран так, чтобы полученная функция имела осо-
бенности лишь в концах отрезка (—Z, I). _
**) При этом в знаменателе появится множитель еп^ = Кх (см. выше
определение постоянной |3).
Литература к главе ш
357
получим:
Р (t)
Рр 1 + X
2л V72 — Z2 Vх
/ + п
I -1/’
pin
____Ро_____1 4~ х
2л К/2 — t2 Кх
/ + М
I — t)
(35)
Эти формулы получены В. А. Абрамовым (см. Н. И. Мусхели-
швили [10]).
Литература к главе III
[1] И. Г. Петровский, Лекции об уравнениях с частными производными,
Физматгиз, 1961.
[2] Э. Гур с а, Курс математического анализа, т. III, ч. 1, ГТТИ, 1933.
[3] Л. Н. Сретенский, Теория ньютоновского потенциала, Гостехиздат,
1946.
[4] Д. Ю. Панов, Справочник по численному решению дифференциальных
уравнений в частных производных, Гостехиздат, 1949.
[5] П. Ф. Фильчаков и В. И. Панчишин, Интеграторы ЭГДА.
Моделирование потенциальных полей на электропроводной бумаге. Изд-во-
АН УССР, Киев, 1961.
[6] Н. Е. К о ч и н и И. А. К и б е л ь, Теоретическая гидромеханика, ч. I,
ч. II, Гостехиздат, 1948.
[7] В. В. Г о л у б е в, Лекция по теории крыла, Гостехиздат, 1950.
[8] Л. И. Седов, Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики, Гостех-
издат, 1950.
[9] И. М. Аснин. Расчеты электромагнитных полей, издание ВЭТА, Л., 1939.
[10] Н. И. М у с х е л и ш в и л и, Некоторые основные задачи математической
теории упругости, Изд-во АН СССР, изд. 4-е, 1954.
[11] Г. В. Колосов, Применение комплексной переменной к теории упру-
гости, ОНТИ, 1935.
[12] X. С. Карел оу, Теория теплопроводности, Гостехиздат, 1947.
[13] Ф. Д. Г а х о в, Краевые задачи, Физматгиз, 1963.
[14] Н. И. М у с х е л и ш в и л и, Сингулярные интегральные уравнения, Физ-
матгиз, 1963.
[15] И. Н. Веку а, Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, 1959.
[16] М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для
систем уравнений эллиптического типа, Изд-во АН СССР, 1962.
[17] Л. И. В о л к о в ы с к и й, Квазиконформные отображения, Изд-во Львов-
ского ун-та, 1954.
[18] Ф. Трикоми, О линейных уравнениях смешанного типа, Гостехиздат,
1947.
[19] А. В. Бицадзе, К проблеме уравнений смешанного типа, Труды ин-та
имени В. А. Стеклова, вып. XLI, Изд-во АН СССР, 1953.
[20] М. А. Лаврентьев, Кумулятивный заряд и принципы его работы,
Успехи матем. наук, т. XII, вып. 4 (1957), 41—56.
[21] М. А. Лаврентьев и Б. В. Шабат, Проблемы гидродинамики и их
математические модели, «Наука», 1973.
Г лав а IV
Вариационные принципы конформных отображений
Эта глава посвящена «динамике» конформных отображений.
В ней излагаются качественные и количественные предложения,
позволяющие судить о том, как изменяются отображения при
изменении границ отображаемых областей. Такого рода предло-
жения представляют собой интерес для практики, ибо они дают
простые методы пересчета при переходе от данной конструкции
к конструкции близкой. Предположим, что при расчете запро-
ектированной конструкции оказалось, что некоторые величины
превышают допустимые размеры. Тогда, естественно, возникает
вопрос о том, где и насколько надо изменить конструкцию.
В некоторых случаях ответ на этот вопрос можно получить на
основании излагаемых здесь вариационных принципов.
В конце главы даются примеры применения вариационных
принципов к конкретным прикладным задачам.
§ 1. Основные вариационные принципы
Пусть в плоскости z заданы две односвязные области D
и D, ограниченные кривыми С и С, и пусть w — f(z) и w —
= ](z)— функции, реализующие конформные отображения D
и D на одну из канонических областей (круг, полуплоскость,
полосу) и одинаково нормированные. Задача, о которой мы
только что говорили, ставится следующим образом: Считая
отображение w = f(z) известным, а контур С близким к С,
найти главную часть 6f приращения
f(z)-f(z)=6f + r(f, f)
при переходе от области D к D.
Мы имеем два типа результатов, относящихся к решению
этой задачи, — качественные теоремы и методы приближенных
подсчетов с оценками для остаточного члена r(f, /). Начнем
с качественных принципов.
60. Основной вариационный принцип. Условимся о некото-
рых обозначениях. Область, ограниченную кривой С, мы будем
6Э1 § 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ ' 359
обозначать D(C). Функцию, реализующую конформное отобра-
жение D(С) на единичный круг, при котором фиксированная
внутренняя точка z0 области переходит в начало координат, мы
обозначим:
w = f(z,C)-, f(zo,C) = O. (1)
Функций, удовлетворяющих указанным условиям, бесконечно
много, но все они отличаются друг от друга множителем вида
еД где О— действительное число. Мы будем понимать под
f(z, С) любую из них, но в тех вопросах, где величина О суще-
ственна, будем определять ее дополнительным условием. Замк-
нутую линию, переходящую при отображении (1) в окружность
|оу| = р< 1, будем обозначать через Ср и называть линией
уровня.
Деформацией контура С мы будем называть замену его
контуром С. Предположим, что области D(C) и D (С) звездны
относительно точки z0, т. е. что их границы С и С в системе
полярных координат с полюсом в г0 можно представить урав-
нениями г = г (<р) и г — г (<р) с помощью однозначных функ-
ций гиг. Точку z2 = z0 + r2ei<fi контура С, где достигает экст-
ремума отношение г(ф)/г(ф), и соответствующую точку z2 =
— z0 + r2ei4>2 контура С мы будем называть точками наибольшей
деформации, а число Л = г2/г2 — наибольшей деформацией кон-
тура.
Основной качественный вариационный принцип, так назы-
ваемый принцип Линделёфа, утверждает, что если ограни-
читься отображениями на единичный круг областей, содержащих
фиксированную точку z0 (прообраз точки w = 0 при каж-
дом таком отображении), то при вдавливании внутрь гра-
ницы области: 1) все линии уровня сжимаются; 2) растяжение
в точке zQ увеличивается; 3) растяжение в точках границы,
оставшихся неподвижными (и, в частности, длина образа не-
деформированной части границы), уменьшается; 4) в точках
наибольшей деформации растяжение увеличивается более чем
в 1/Л. раз.
Иными словами, имеет место
Теорема 1. Если область D (С) содержится в D(C), то:
1) при любом р (0 < р < 1) область D (Ср) содержится в D (Ср),
причем соприкосновение Ср и Ср возможно лишь при совпа-
дении С и С;
2) в точке z0
\f'(z0,C)\>\f'(za,C)\, (2)
причем знак равенства возможен лишь при совпадении С и С;
360 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [60
3) если контуры С и С имеют общую точку zb то в этой
точке
im> С)К|(№> QI. (3)
причем знак равенства возможен лишь при совпадении С и С;
4) если области звездны относительно z0, то в точках наи-
большей деформации
im. c)i>|im. Qi, (4)
где < 1 — наибольшая деформация контура.
Мы приведем прямое геометрическое доказательство прин-
ципа, которое ясно показывает его существо и позволяет полу-
чить количественные оценки. Для этого заметим, что теорему
достаточно доказать для случая, когда контур С отличается
от С только на малом участке (а, Ь), где он представляет со-
бой дугу кривизны, близкой к кривизне С на (а, Ь), так что
D(C) получается удалением из D(C) малой площадки ст
(рис. 135). В самом деле, любую вариацию С можно получить
последовательным применением этой простейшей вариации, и
если теорема будет доказана для нее, то она будет доказана
и в общем случае.
Введем теперь вспомогательную плоскость £ и отобразим
конформно область D(C) на единичный круг |£|< 1:
$ = f(z, С), f(z0, С) = 0.
Пусть при этом С переходит в кривую С' и площадь, за-
ключенная между С и окружностью |С| = 1, равна ст' (рис. 135).
Отобразим конформно область D(C') на единичный круг пло-
скости W.
w = g(Q, g(0) = 0.
С точностью до малых высших порядков площадку ст' можно
считать круговой луночкой*), следовательно, в качестве g
можно взять отображение (9) п. 34
w = g (£) = £ 11 4
ст' 1 +
2л
(5)
*) Это утверждение может быть обосновано в случае, когда кривизна /г
контура С как функция длины дуги s этого контура удовлетворяет условию
Гёльдера
р (s + Л) - k (s) | < A I h Г, 0 < a < 1.
Для обоснования приходится пользоваться еще рядом граничных свойств
отображений w = f(z). Ниже мы приведем доказательство принципа, не
использующее граничных свойств f(z).
60]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
361
где а — аргумент какой-либо точки площадки о'. Найдем ото-
бражение, обратное g. Для этой цели перепишем формулу (5)
в виде
£ ~ w 1
а' 1 + ge~ia ]
2л 1 - ge_,<x J
(мы воспользовались тем,
малых высшего порядка у
что при малых г] с точностью до
1— те 1 — ц). Так как w отличается
от £ на величину порядка о', то в членах, содержащих множи-
тель о', не меняя порядка точности, можно заменить £ через w,
так что
а' I + we ia ")
2л 1 — we~ia J’
(6)
Обозначим через С'р кривую плоскости £, соответствующую
окружности |а?| = р при отображении w — g(^). Чтобы полу-
чить параметрические уравнения Ср, мы положим $==rei<p,
362 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ВД|
ш — ре‘е, прологарифмируем выражение (6): .|
1 £ 1 г . . , m а' 1 + ре1 (0-а)
In — =ln- + f(q>-6)«- — ---------н--(е_а) ,
w р 2л 1 — ре ' ’
и разделим затем действительные и мнимые части:
~ /.______</______1 — р2______\ )
Г ~ \ 2л 1 — 2р cos (6 — а) + р2 ) ’ I
д__ <т'___2р sin (6 — а)_ |
~ 2л 1 — 2р cos (0 — а) + р2 ‘ J
Из этих уравнений можно получить все утверждения доказы-
ваемой теоремы. Очевидно, имеем:
w = f(z, C) = g[f(z, С)]; (8)
следовательно, при отображении £ = /(z, С) область D(CP) пе-
реходит в О (Ср). Так как Д(СР) переходит при этом в круг
[£|<p, то для доказательства первой части теоремы доста-
точно показать, что D (Ср) содержится в круге |£|<р. Но так
как 1—2pcos(0 — а) + р2 (1 + р)2, то по формуле (7) для
всех точек контура С'р имеем:
= (9)
Таким образом, первое утверждение теоремы полностью до-
казано.
Деля неравенство (9) на р и устремляя р к нулю, получим
в пределе
I <*£ I <- .___</ < 1
I dw 1^ 2л
Но тогда |g'(0) |> I, и согласно формуле (8)
1Г(г0, С) | = | g' (0) | | f' (z0> С) | > | f'(z0, C) |.
что и доказывает второе утверждение.
Пусть теперь точка £=приближается к точке ег<₽ окруж-
ности |£|= 1 по радиусу этой окружности, причем е’ф распо-
ложена вне о'. Тогда в силу конформности отображения соот-
ветствующая точка w = peie приближается к точке eie по
также касательному к радиусу окружности
мы имеем: |Д£| = |Е; — с’Т | = 1—г, |Диу] =
1 — р. Но из неравенства (9) следует:
направлению,
(ну
== 1, и
w — е,е |
1 - р <•-__________1 — р 1 _ д' р
1 - г , а'р i-р ~ 2л 1 + р ’
Р + 2л 1 -г Р
60] § 1- ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 363
и, переходя здесь к пределу при г—» 1, получаем:
Отсюда вытекает утверждение 3) теоремы.
Для доказательства последнего утверждения обозначим че-
рез С* контур, который получается из С преобразованием по-
добия £ = Zo + M2 — zo) (рис. 135). Очевидно, функция
w = f(Z, С’)=/(г0 + -Ц^, с) (10)
реализует конформное отображение области D(C“) на единич-
ный круг. Но D (С*) содержится в D (С) и точка z2 принадлежит
как С, так и С*. Поэтому согласно утверждению 3) теоремы
im c*)\<\f'(z2, о i.
Но так как из (10) имеем f' (z2, С*) = 4-f' (z2, С), то
1№. С) |>1| f'(z2, С)|,
и теорема доказана полностью.
Простым следствием доказанной теоремы является так на-
зываемый принцип Монтеля:
Теорема 2. Пусть области D(C) и D (С) содержат точку z0
и С = Ci-|-C2, С = С14-С2, причем С\ лежит в D (С), С2 — вне
D (С), С[ — вне D (С) и С2 — в D (С)
(рис. 136). Пусть, кроме того, при
отображениях
w — f(z, С), w—f(z, С)
дуги Ci и Q переходят соответст-
венно в дуги 0’1 и &], тогда длины
этих дуг связаны соотношением *)
(11) Рис. 136.
причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С-
Для доказательства введем вспомогательную область D(C'),
ограниченную кривой С' = С1 Д- С2, и обозначим через &' образ Сг
при отображении w — f(z, С'). Так как D(C') принадлежит D(C)
и дуга Сх принадлежит и С' и С, то по третьему утверждению
j Длины дуг мы обозначаем теми же буквами, что и сами дуги.
364 гл, IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [60 ]
принципа Линделёфа в каждой точке С;
If'(z, C)\>\f'(z, С')\.
Следовательно, учитывая геометрический смысл модуля про-
изводной, будем иметь:
(12)
С другой стороны, D(C') лежит внутри области D(C) и
дуга С2 принадлежит кривым С' и С, поэтому на основании тех
же соображений
(1з>
Объединяя неравенства (12) и (13), получим искомое нера-
венство (11).
В заключение заметим, что доказанные вариационные прин-
ципы Монтеля и Линделёфа можно получить также на основа-
нии леммы Шварца (и. 15). В самом деле, эти принципы выте-
кают из утверждения, что область D(C'P), в которую преобра-
зует круг | w | < р функция — обратная к функции
w — принадлежит кругу |£|<р (мы придерживаемся
обозначений, введенных при доказательстве теоремы 1). Но так
как функция £ = /i(w), /i(0) = 0, отображает круг | w | < 1 на
область D(C'), принадлежащую кругу £|< 1, то по лемме
Шварца для любого w, |иу|< 1, имеем 1г (ю) | < | w |. Отсюда
и вытекает утверждение о том, что при любом р область
£>(Ср) принадлежит кругу |£|<р.
Эти принципы можно получить также непосредственно из
принципа максимума для гармонических функций (п. 42). Та-
кой метод имеет особое значение при распространении вариа-
ционных принципов на отображения более общие, чем конформ-
ные и, в частности, на квазиконформные отображения (п. 56),
для которых принцип максимума остается справедливым.
Сущность метода заключается в следующем. Пусть w =
= f(z), f(zo) = O и w — f(z), f(zo) — O, соответственно реали-
зуют конформные отображения областей D(C) и D(C) на еди-
ничный круг. Функция
Р (х, у) = In I f (z) I
гармонична в области D(C) всюду, кроме точки z = Zo, причем
P(x,y)—ln\z — Zo | правильна в этой области. Так как
|f(z)|=l на С, то Р(х,у) обращается на С в нуль. Вдоль
линии Ср имеем:
Р (х, у) = In р, (14)
так что (14) можно рассматривать как уравнение Ср.
611
§ 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
365
Нам нужно доказать, что при деформации контура С внутрь
области D(C) для любого р, 0< р < 1, область D(Cp) содер-
жится внутри D(CP). Но всюду внутри D(C) по принципу мак-
симума мы имеем Р(х, у) < О, а так как на части С, не совпа-
дающей с С, Р(х, у) = in (г) | — 0, в то время как на общей
части С и С обе эти функции равны нулю, то всюду внутри
D (С)
Р(х, у) < Р(х, у).
На основании уравнения (14) и аналогичного уравнения для
линии Ср можно утверждать, что D(CP) содержится в D(Cp)
при любом р, 0 < р < 1.
61. Распространение принципа. Основной вариационный
принцип, доказанный в предыдущем пункте, распространяется
и на функции, реализующие конформные отображения на кано-
нические области других типов.
1) Внешность круга. Обозначим через А (С) область,
внешнюю к замкнутому контуру С; пусть функция
w = F(z, С), F(oo, С) — оо
(1)
реализует конформное отображение области А (С) на внеш-
ность единичного круга |щ|> 1. Сохраняя обозначения, приня-
тые в предыдущем пункте, мы можем формулировать следую-
щую теорему:
Теорема 1. Если область А (С) содержится в то
1) при любом р > 1 область А(СР) содержится в области
А(СР); соприкосновение контуров Ср и Ср для какого-нибудь
р возможно лишь при совпадении С и С;
2) в бесконечно удаленной точке
|F'(°o, С)|<| £'(«>, С) |; (2)
3) в точке Zi, общей контурам С и С,
\F'{zx,C)\^\F'[zx, С) |; (3)
4) если контуры звездны относительно точки z = 0, то в точ-
ках наибольшей деформации z2 и z2
\F'(z2,C)\^-\F'(z2,C)\. (4)
Л
Знаки равенства достигаются лишь при совпадении С и С.
Доказательство может быть проведено так же, как в пре-
дыдущем пункте, если вместо (5) использовать отображение
внешности единичного круга с выкинутой из нее луночкой на
366 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [61
внешность круга. Проще всего получить эту теорему, сводя ее
к доказанной при помощи замены переменных
1 1
z-z0 = T, w = — .
2) Случай полуплоскости. Пусть линия С проходит
через бесконечно удаленную точку и обладает в бесконечности
касательной и конечной кривизной*); тогда окружность |z|—
при достаточно большом R будет пересекать С в двух точках
с аргументами, разность которых будет сколь угодно близка к л.
Предположим еще, что положительная мнимая полуось
в своей достаточно удаленной части не пересекается с С, и
обозначим через £)(С) область с границей С, содержащую эту
часть. Через
W—f(z, С), f(<X>,C) = OO,
И'(оо, С)|=1 (5)
условимся обозначать функцию, реализующую конформное ото-
бражение области D(C) на верхнюю полуплоскость v > 0. Со-
гласно теореме существова-
ния в условиях, наложен-
ных на кривую С, функция
f существует и определяет-
ся с точностью до действи-
тельного постоянного сла-
гаемого. Так как в дальней-
шем это слагаемое не игра-
ет роли, то под f мы будем
понимать любую из таких
функций. Пусть, наконец,
Ci и Св — соответственно линии, переходящие при отображе-
ниях w — f(z, С), w = f(z,C) в прямую v — const (рис. 137).
При этих обозначениях имеет место следующая
Теорема 2. Пусть линия С проходит через точку оо и
имеет там общую касательную с С. Если, кроме того, область
D(C) содержится в области D(C), то:
1) при любом о > 0 область D(Cr) содержится в области
D(Cc), причем соприкосновение Cv и Cv возможно лишь при
совпадении С и С;
2) если С и С имеют общую правильную точку zh то в этой
точке
\f'(zlt С) I,
(6)
причем знак равенства достигается лишь при совпадении С и С;
*) Это означает, что линия С*, получаемая из С преобразованием £ = 1/г,
обладает в точке £ = 0 касательной и конечной кривизной.
61]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
367
3) если кривые С и С задаются однозначными функциями
у = у(х), у = у(х), a z2 и z2 соответственно — точки этих кри-
вых, в которых у(х) — у(х) достигает максимума, то
\f'(z2,C)\^\f'(z2,C)\, (7)
причем знак равенства достигается лишь в том случае, когда С
получается из С сдвигом, параллельным оси у.
В силу соображений, приведенных в предыдущем пункте,
достаточно рассмотреть случай, когда С совпадает с осью х,
а б отличается от С на бесконечно малом участке (а — е, д-(-е),
на котором б есть дуга окружности малой кривизны. Но в этом
случае f(z, C) = z, и согласно формуле (7) п. 34
f(z,C)~z + ±.^ (8)
с точностью до малых высшего порядка. Обратная функция
находится так же, как в предыдущем пункте, и имеет вид
1
w — а
а
Z ~ W------
л
Полагая здесь w — и -]- iv и отделяя действительную и мнимую
части, при фиксированном v получим параметрические уравне-
ния линии 6V:
а и — а
х и л (и — а)2 + а2 ’
У ~ V + — , 2-.
v ' л (и — а)2 + v2
(9)
Из второго уравнения (9) видно, что б„ лежит в области
у > V, т. е. в области D(CV), — этим доказано первое утвержде-
ние теоремы.
Для доказательства утверждения 2) возьмем любую точку
оси х, далекую от а сравнительно с о, и найдем в этой точке
производную функции (8); имеем:
f'(x, С) ~ 1 - - , * 2 < 1,
1 ' ’ л (х — а)2
что и требуется.
Для доказательства утверждения 3) обозначим через б*
кривую, которая получается из С параллельным сдвигом на
вектор z2— z2 (вверх). Имеем, очевидно, f(z, б*) — f(z — z2 ф-
+.Z2, С), откуда
V^2, C’)=f'(z2,C).
368 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [61
С другой стороны, О (С*) принадлежит области D(C) и z2 —
общая точка С и С*; следовательно, по уже доказанному утвер-
ждению 2)
1№> С*)К1Г(г2, С) |.
Сравнивая два последних соотношения, получим искомое не-
равенство (7). Теорема доказана.
Доказанная теорема допускает простую гидродинамическую
интерпретацию. Пусть профиль дна весьма глубокого канала
с плоскими вертикальными стенками, по которому движется
идеальная несжимаемая жидкость, имеет форму кривой С.
Тогда,
если в каком-либо месте канала приподнять дно, то все
линии тока поднимутся и скорости в точках дна, оставшихся
недеформированными, уменьшатся, а в точках наибольшей де-
формации возрастут (см. рис. 137).
3) Случай полос. Пусть Со и С — две дуги, не имеющие
общих точек, кроме своих концов а\, «2. При этом мы не исклю-
чаем случай, когда одна из точек а или обе точки совпадают
с точкой z — оо. Обозначим через О (Со, С) область, ограничен-
ную линиями Со и С, а через
w = f(z, Со, С); J(a|; Со, С) = —оо, f (а2, Со, С) = оо (10)
— функцию, реализующую конформное отображение области
О(С0, С) па полосу 0<и<1. Функция f(z, Со, С) определена
с точностью до действительного слагаемого, которое пока нас
интересовать не будет. Через Сг мы будем обозначать линию,
переходящую при отображении (10) в прямую v = const
(0 < v < I).
Предположим еще, что линии Со и С задаются с помощью
однозначных функций у = Уо(х) и у = у(х) таких, что
t | у' (х) | не превосходят положительной постоянной пг. Рас-
смотрим пучок параллельных прямых у = kx + b, где | k | < ~,
каждая из которых пересекает Со и С не более чем в одной
точке. Точку г2 контура Со, в которой отрезок прямой пучка
заключенный между Со и Со, достигает наибольшего значения
и соответствующую точку г2, контура Са мы будем называть
точками наибольшей деформации (в направлении k).
Имеет место
Теорема 3. Если область D(C0,C) содержится в области
D(C0, С), то:
1) при любом v (0<и<1) область D(CV,C) содержится
в области D(CV,C), причем соприкосновение линий Cv и Cv
возможно лишь при совпадении Со и Со;
и § t. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ 369
2) если линии Со и Со имеют общую точку zlt то в этой
точке
lf'(Z|, Со, OKlHz., Со, С)|; (11)
3) в любой точке z линии С
1Г(г,С0, C)|>|f'(z, Со, С) (12)
4) в точках наибольшей деформации
im, Со, С)|>|Г(г2, Со, С)|. (13)
Знаки равенства в (11) — (13) достигаются лишь при совпаде-
нии линий Со и С.
Как и в ранее разобран-
пых случаях доказательство qv
можно провести в предпо- z
ложении, что О (Со, С) яв- ---------
ляется единичной полосой
О < у < 1 (Со — осью х, С — ц
прямой у=1), а Со совпа- /, />',
дает с Со всюду, кроме ма- а
лого участка (а — е, а + е),
где она является дугой Рис. 138.
окружности малой кривиз-
ны. В этом предположении функция f(z, Со, С) на основании
формулы (13) п. 34 имеет вид:
® = f(z,Co,C)«2 + |cth^=^-, (14)
где о — площадь выброшенной луночки. Утверждение 1) тео-
ремы проверяется так же, как и раньше, и на его проверке
мы останавливаться не будем. Для доказательства утвержде-
ний 2) ”
имеем:
и 3) рассмотрим производную функции (14). На оси х
f'(x, Со, С) ~ 1 - -------- < 1,
' v и> ' 4 «, л (х — а)
Sh ------2-----
откуда следует неравенство (11). На прямой у = 1
f'(х + z, Cq, С) ~
л<г_________1______
4 ,, л (х — а)
ch------------
> 1,
откуда следует (12) (мы воспользовались тем, что sh^-^- + zj —
•-= i ch z).
Для доказательства утверждения 4) обозначим через Со и С*
линии, которые получаются из Со и С поступательным сдвигом
370 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ 16»;
на вектор z2 — z2. Очевидно, функция
w=/(z, Со, C*)==f(z + z2 —г2, Со, С) (15)
реализует отображение О (Со, С*) на полосу 0< о < 1. Так как
D (Со, С) содержит область D (Со, С) и Со имеет общую точку
Z2 С Со, то по (11)
|№, Со, С)К1Г(г2, Со, С)|. (16)
С другой стороны, так как D (Со, С) содержится в D (Со, С*),
то по (12) в любой точке недеформированной границы Со и,
в частности, в точке z2
If'(г2, С5, С’) io f'(z2, с;, С)|. (17)
Объединяя неравенства (16) и (17), получаем:
im, Q, c’)Kif'(z2; с0, С) I,
но из (15) имеем f'(z2, CJ,- — (z2, Со, С), и неравенство (13)
доказано, а вместе с ним и теорема 3.
Теорема 3 также допускает гидродинамическую интерпрета-
цию. Пусть стенки канала с горизонтальным дном имеют фор-
му цилиндрических поверхностей с вертикальными образую-
щими, и в канале движется идеальная несжимаемая жидкость
с фиксированным расходом. Тогда (см. рис. 138):
при вдавливании одной стенки все линии тока приближаются
к противоположной стенке, скорости в недеформированных
частях первой стенки уменьшаются, а скорости в точках наиболь-
шей деформации и во всех точках второй стенки возрастают.
62. Граничные производные. Установленные выше вариаци-
онные принципы допускают различные количественные уточне-
ния. Прежде чем переходить к таким уточнениям, отметим одно
простое приложение принципов к оценкам граничной производ-
ной. Вернемся к случаю отображений односвязных областей
D(C) на единичный круг | w | < 1 при услдвищ что некоторая
фиксированная их точка zo переходит в центр круга w = 0.
Пусть z\ — произвольная правильная точка С; проведем че-
рез точку Zi два замкнутых контура Ci и С2, касающихся С
в точке Z} и таких, что область D(Ci) содержит точку zo и со-
держится в области D(C), а область £)(С2) содержит область
D(C). В силу теоремы 1 п. 60 будем иметь:
If'(г,, С1)|<|/'(21, С) | < | г (Zi, С2)|. (1)
Если за D(Ci) и £)(С2) принять области, отображаемые на
единичный круг с помощью известных функций, то полученные
621
§ t, ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
371
неравенства дадут конкретные числовые оценки сверху и снизу
ДЛЯ I f (z, С) |.
Применим это общее соображение к оценке \f'(z, С) | для
случая, когда кривая С близка к единичной окружности.
Теорема 1. Пусть линия С удовлетворяет следующим
условиям:
1) С принадлежит кольцу 1 — е < | z | < 1 + е;
2) углы между касательной к С и касательной к окружно-
сти |г|= 1 в точках с одинаковым аргументом не больше р;
3) кривизна k линии С отличается от единицы не больше
чем на ц.
При этих условиях для граничной производной функции
w = f(z,C), f(O,C) = O, реализующей отображение D(C) на
единичный круг, имеем оценки:
g Ц2 | z>\ | 1 4~ 8 4~ 2&1 Ц2
1 4~е - е, - ее, 1' 1 1 - е 4-е, 4-ее, ’ ( ’
или, более грубые,
1 — 2е — е, — т) < I Г (z, С) | < 1 + 2е + е, + гр (3)
в которых т| — малая выше первого порядка по отношению к
У*2 + е2 + р2.
Для получения искомых оценок достаточно воспользоваться
описанным выше общим приемом.
Пусть г, = ге1ф — произвольная точка С; проведем через г,
окружность С, радиуса Г1=-т-г—> касающуюся линии С, и
будем считать для простоты, что точке г, при рассматриваемом
отображении соответствует точка w — 1. Рассмотрим еще функ-
цию z — g(w) (g(0) = 0, g(l) = z,), реализующую конформ-
ное отображение круга |w|< 1 на круг С,. В силу основного
вариационного принципа (см. п. 60)
If'fe.c)^^. (4)
Подсчет §'(!) упрощает следующее замечание. Рассмотрим
семейство всех отображений круга |wj< 1 на круг С,, преобра-
зующих W\ в фиксированную точку z, окружности С, и имеющих
в этой точке фиксированное растяжение. Это семейство, оче-
видно, зависит от одного действительного параметра. Покажем,
что образ любой точки круга |w|< 1 при всех отображениях
этого семейства описывает некоторую окружность Со, касаю-
щуюся С, в точке Zi. Для доказательства отобразим кон-
формно круги |u>|< 1 и С, на верхние полуплоскости 1m© > 0
и 1m £ >• 0 так, чтобы точки Wi и z, переходили в бесконечно
удаленные точки. Рассматриваемое семейство перейдет при
372 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [62
Рис. 139.
осуществляет отображение
этом в семейство отображений верхней полуплоскости на себя,
оставляющих неподвижной точку оо и имеющих в ней фикси-
рованное растяжение, т. е. отображений вида Е, = а0со + [3, где
<хо — фиксированный и р — переменный действительные пара-
метры. При различных отображениях семейства образ фикси-
рованной точки о» описывает, очевидно, прямую, параллельную
оси 1т£ = 0, и, возвращаясь к
старым переменным w и г, мы
получим то, что хотели.
Учитывая это замечание, мы
проведем окружность Со, касаю-
щуюся С в точке Zi и проходя-
г щую через начало координат, и
заменим условие g(0) = 0 усло-
вием g(0) — z0, где z0 означает
точку Со, диаметрально противо-
положную Z\. Обозначим через
центр окружности Сц й=|г0—а} |
и ос] = arg(zi — Ci). Имеем
(рис. 139): z0 = Qi — heia', z\ =
— П] + rxeia-', и функция
z = r1e/a'g + ах
круга |£| <1 на круг Ci так, что
точки t, = 0, 1 и —й/fi переходят соответственно в точки z — ах,
Zj и zo. С другой стороны, функция
h
w-----
отображает круг |w|< 1 на круг |£|< 1 так, что точки г<у = О, 1
переходят в точки £ — —/г/гц 1.
Отсюда для искомой функции z = g(w) (g(0) = z0, g(l) —
= zj получаем выражение
, , r. w — h .
z = g (w) = —!—г— rie‘a' + ax
° ' ’ rt — hw 1 1
И
r? — Л2 r, + h
= (5)
Обозначим через a угол между векторами z, и zx— z0; из
прямоугольного треугольника z0Ozx получим: г = (п + Л) cos a,
откуда — = —----------1, и по (5)
•' ri rt cos a '
lg'(l)l = ^—1—г •
— cos a----
r rt
62]
§ I. ОСНОВНЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ
373
Вспоминая (4), получим:
I f' (Z1> С) | > -^ cos а —
Г Г]
(6)
Согласно условиям теоремы имеем 1—е<г<1-|-е, |а|<ц,
следовательно, — cosa^-j—,— 1 — , а так как —< 1—е.,
Г 1 “j* 6 \ 2 / 1
то с точностью до малых порядка выше второго получаем:
I г/ р\ I (2— Ц2) (1 — 61) — (1 + 8) _ 1 — е — 2е, — ц2
1' ' (14-е)(1— e.i) ~ 1+6 — 61—86]
= 1 — 2в — 6] — 1],
где г] — малая порядка выше первого.
Заменяя круг С] кругом С2 радиуса г2
аналогичную оценку сверху
1
у_ " , получим
|/'(гь С)|< -|cosa — ~
6 г2
1 + 8 + 2б] — р.2
1 — 8 + 8] — 86]
— 1 + 2е + 6] + т],
и теорема 1 доказана.
Из оценок для модуля граничной производной при дополни*
тельном предположении /'(О, С) > 0 можно получить оценку на
границе и для |argf(z, С)—argz|. Докажем предварительно
следующую лемму:
Лемма. Для любого отображения w = f (z, С), f (О, С) = О,
f'(0, С) > 0, на кривой С найдется точка zo — roei4>° с неподвиж-
ным аргументом, т. е. такая, что .
f (гое,ф°> С) — е/ф°.
Для доказательства обозначим через g(w) функцию, обрат-
ную f, и рассмотрим в единичном круге | w | < 1 функцию
е (ш) „
. Она аналитична в этом круге и всюду отлична от нуля,
ибо lim - = g' (0) > 0, поэтому там гармонична функция-
w->0 w
h (w) = arg8= Imln g-^w—. Имеем h (0) = Im In g' (0) =0,
а на окружности h (w) = <p — 0, где <p = arg g (pe'e). По теореме
о среднем для гармонических функций
2л
0 = А(0) = -^- J (<p-0)rf0;
о
следовательно, существует хотя бы одна точка, в которой)
Ф — 0 = 0. Лемма доказана.
374 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [62
Докажем теперь теорему:
Теорема 2. В условиях предыдущей теоремы и при до-
полнительном условии 0 в любой точке z — re^ гра-
ницы С имеем-.
| argf (z, С) — argz| < л (Зе+ в!+п). (7)
где т]—малая второго порядка по отношению к Уе2 + е^ + р,2.
Пусть q>o — неподвижный аргумент, 0 = argf (ге,ф, С) и ds—
элемент дуги С в точке ге^; имеем:
ч>
е - <₽о = /1 f' (^'ф, o\ds.
Фе
В наших условиях jq. 6 dtp < ds < е~dtp; следовательно, учи-
тывая левую часть неравенства (3), получим:
ф
6 — Фо > J ~ == (ф — Фо) — (Зе + б! + п) (ф — Фо),
ф»
или
9 — ф > — (Зе 4-е, +i])(q> — <р0). (8)
Аналогично, используя правую часть (3), будем иметь:
О — ф < (Зе + е( +п)(ф — Фо)- (9)
Объединяя полученные неравенства и замечая, что можно рас-
сматривать лишь те ф, для которых |ф — Фо|< л, получим иско-
мую оценку (7).
Оценки для |0 — ф| можно получать и без использования
неравенств (3) и притом в менее ограничительных предположе-
_________ ниях, например без гипотезы малости еь
О Укажем вкратце путь получения таких
оценок.
Как и выше, достаточно оценить длину
дуги •9 окружности |ш|= 1, соответствую-
щей дуге zqZ кривой С с концом в точке z0
с неподвижным аргументом. Для этого со-
—- единим точки zQ и z дугой окружности С\,
Рис. 140. лежащей в D(C) и касающейся zoz, и ду-
гой окружности С2, лежащей вне О (С)
и касающейся С в точке, вне zoz (рис. 140). По принципу Мон-
теля (п. 60) при отображении w = f (z, Ci + Сг), которое реа-
лизуется элементарными функциями (см. п. 34), дуга Ci перей-
дет в дугу окружности | на | = 1 длины, большей О; отсюда мы
получим оценку для О сверху. Меняя ролями Ci и С2, получим
C3J 5 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ 375
оценку снизу. При е<ц<0,1 такой путь приводит к нера-
венству
|arg/(г, С)-—argz|< 1,6ц. (10)
Доказанные две теоремы дают оценки для вариации модуля
производной и аргумента отображающей функции в зависимо-
сти от вариации границы области. Эти теоремы доказаны для
граничных точек, но в силу принципа максимума они остаются
справедливыми и внутри области.
§ 2. Отображения близких областей
В этом параграфе даются приближенные формулы для кон-
формных отображений областей, мало отличающихся от обла-
стей, отображения которых на канонические области известны.
Полученные в предыдущем пункте результаты позволят нам
оценить точность таких приближенных формул. Мы начинаем
с областей, мало отличающихся от единичного круга.
63. Области, близкие к кругу. Будем по-прежнему считать
замкнутую линию С близкой к единичной окружности |z| = 1
по положению и кривизне, т. е. в ее полярном уравнении
г = г(ф)= 1 — б(<р) (0<ф<2л) (1)
будем считать
|б(Ф)|<е, (б/(ф)|<е, |д"(ЧР)1<8. (2)
Главную часть [(z, С) мы получим, отправляясь от формулы (9)
п. 34 для отображения круга с выброшенной луночкой пло-
щади О/, угловые точки которой близки к ei(,
( 1 + ze~lt 1 а,
+ —-------ттг =^ + —пДг) (3)
1 2л 1 — ze ) 2л
(w (0) = 0, w' (0) > 0).
Предположим, что из круга |z| < 1 выброшены две луночки,
а/, и а/,, угловые точки которых близки соответственно ке“' и elt\
По формуле (3) находим отображение круга |z|< 1 с выбро-
шенной луночкой <Г/, на круг | со ( < 1:
сп
+ (4)
С принятой степенью точности можно считать, что луночка о/,,
переходит в луночку той же площади и с угловыми точками,
близкими к ы —е171. Теперь снова воспользуемся формулой (3),
согласно которой функция
+ (5)'
376 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (63
реализует отображение круга |w|<c 1 с выброшенной луноч-
кой at. на круг | w | < 1. Подставляя в (5) выражение <о из (4)
и замечая, что благодаря наличию множителя щ под знаком
функции тр, (<о) с принятой степенью точности можно заменить
на z, получим отображение круга |z|< 1 с выброшенными
двумя луночками на единичный круг
0L СГ/
® 2 + 1^Пгг(2) + -2^Пг(2). (6)
•Формула (6) остается в силе, если выбрасываемые участки
круга по форме отличны от луночек.
Перейдем к общему случаю области D, ограниченной кри-
вой (1). Заменим эту кривую ломаной, состоящей из дуг окруж-
ностей и отрезков радиусов (рис. 141).
Площадь выброшенного сектора щ =
— (1 — r(/ft))A/ft = б(4)Д61, где \th~
— tk+l — tk, поэтому, применяя обобщен-
ную на случай п выброшенных секторов
формулу (6), получим:
п
f (г, С) ~ z + -±_ 6 (fk) T\tk(z) \tk.
k—i
Заменяя сумму интегралом и подстав-
ляя вместо Ц((г) ее выражение из (3),
найдем окончательную приближенную
-формулу для конформного отображения на круг области, близ-
кой к кругу.
2.п
f(z,C)^2 1 4
1 I
2л
о
eu + z
e{t — z
(7)
I
(f (o,c)=o, m o>o).
Изложенный вывод формулы (7) геометрически нагляден,
однако он не является достаточно строгим и не дает оценки по-
грешности, допускаемой этой формулой. Поэтому мы приведем
еще, следуя Г. В. Сирыку*), аналитический вывод этой фор-
мулы, основанный на интеграле Шварца (4) п. 44.
Обозначим через z = g(w) функцию, обратную функции
w = f(z, С). Тогда g(w)/w будет правильной аналитической
в круге | w | <; 1 функцией, отличной от нуля, и поэтому 1п —
*) Г. В. Сир ы к, О конформном отображении близких областей, Успехи
матем. наук, т. XI, вып. 5 (71), 1956, 57—60.
63)
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ
377
можно представить интегралом Шварца. Если считать извест-
ным соответствие ф = ф(0) аргументов точек w — eie единич-
ной окружности и точек z = ге^ кривой С и учесть, что на
окружности Re In — In г [ф (0)], где г = г (ф) — полярное
уравнение С, то этот интеграл запишется в виде
2л
InXW =J_ f inrk(e)]4±^d0
w 2л J e — w
о
(8)
(в формуле (4) n. 44 мы полагаем С = 0, ибо в силу приня-
того условия нормировки у нас g'(0) >0 и, следовательно, ле-
вая часть (8) действительна при w = 0).
Для оценки интеграла (8) воспользуемся следующей леммой.
Лем м а. Если непрерывно дифференцируемая действитель-
ная функция u(t) на отрезке [0,2л] удовлетворяет условиям
и(0) = и (2л),
I и (/) | < е, |«'(/)|<е, (9)
то интеграл Шварца
F(z)
2л
0
(Ю)
для всех z, |z|< 1, удовлетворяет неравенству
I F (г) | < Ale,
(11)
где М — некоторая постоянная.
Для доказательства заметим прежде всего, что как следует
из свойств интеграла Шварца для всех z, |z|< 1,
2л
dt= 1,
поэтому
2Л
1 Г elt 4- ге1^
F (ге1Ч)) - и (ф) = J [и (/) - и (ф)] dt.
о
Но по условиям леммы и по теореме о среднем |н(/) — и(ф) | <
< е|t—ф|, следовательно, по теореме об оценке интеграла
| F (ге!<₽) — и (ф)
2л
elt + ге^
е“-ге1*
dt.
378 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (63
Очевидно, что интеграл в правой части ограничен для всех г,
О-^г-^1, и для всех <р, 0 41 ср 412л, а так как у нас по уело- .
вию | н(ф) | <С е, то
| F (ге1^) К | F (reiI₽) — и (ср) | +1 и (ср) | < Me,
где М — некоторая постоянная. Лемма доказана.
Вернемся к выводу формулы (7). В силу условия |6(<р)|<е
мы имеем:
In г [ф (0)] = In {1 - 6 [ф (0)]} = - б [ф (0)] + О (е2),
кроме того, как видно из доказательства теоремы 2 предыду-
щего пункта, в условиях (2) ф'(0) = 1 + 0(e), поэтому
{б[Ф(0)]}' = б'[Ф (0)] Ф'(0) = 0(e)
и
{In г [ф (0)]}' = - = - {6 [ф (9)]}' + О (е2).
Таким образом, по доказанной лемме замена в интеграле (8)
1пг[ф(0)] на —б[ф(0)] приведет к погрешности порядка 0(е2).
Далее по теореме 2 предыдущего пункта 0 — ф = О(е), по-
этому в наших условиях
б (ф) = б (0) + б' (ф*) (0 - ф) = б (0) + О (е2)
{б [ф (0)]}' - 6' (0) = б' (ф) [ I + О (е)] - б' (0) =
== б' (ф) - 6' (0) + О (е2) = б" (ф“) (ф - 0) + О (е2) = О (е2)
(ф*, ф** — точки, заключенные между 0 и ф). Таким образом,
по лемме в рассматриваемом интеграле с принятой степенью
точности можно заменить еще б[ф(0)] на 6(0), и мы получим:
2л
‘ [ б(0)
w 2л J ' ’
о
е‘9 + w
6/0 + О (е2).
(12)
Так как по той же лемме в наших условиях In g = 0(e),
g(a>) w — 1 _|_ In S w Q и BMeCT0 (12) можно
w ‘ w '
написать
2л
0
z = g (ay) = w j 1
e'8+ w
e1^ — w
6/0) + О (e2).
(13)
63]
§ 2. отображения близких областей
379
Из этой формулы легко получить и формулу для обратного
отображения w=f(z, С) —для этого достаточно переписать (13)
в виде
W
------------2Н---------:-----------+ о (е2) =
О
• 2л
о
и на основании соотношений 6(0) = 0(e), w — z=O(e) заме-
тить, что с принятой степенью точности под знаком интеграла
можно заменить w на z. Таким образом доказана
Теорема. Если кривая С с полярным уравнением
г = Г (ф) = 1 — 6 (ф)
удовлетворяет условиям
I 6 (<p) I < е, | 6' (ф) | < е, | 6" (ф) | < е,
то функцию w — f(z,C), f (О, С) = 0, f'(0, С)>0, реализующую
конформное отображение области D(C) на единичный круг,
можно представить в виде
| 2Л
1 О
dt +0(е2). (14)
Для практических целей полезно отметить еще соотношения
между полярными координатами точек z = re'® и w — peie, со-
ответствующих друг другу при рассматриваемом отображении:
I 2я )
г ==» р{ 1 — ~ [ 6 (/) —г—1 ~ Р . 2 dt),
j 2л J 1 — 2р cos (0 — t) + р2 I
I о f
2л
О
(15)
Эти соотношения получаются отделением действительных и мни-
мых частей в формуле (13) (ср. п. 44) и справедливы с точ-
ностью до малых порядка е2. При р — const они дают пара-
метрические уравнения прообразов окружностей | w ] = р.
380 ГЛ IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (63
Вторая из формул (15) справедлива и при р=1
2л 2л
n 1 Г 6 (0 sin (0 — 0 ,, „ 1 f . /л 1 0 — t ,,
8--srj = arj MOcIg — dt.
о о
откуда
2л
д0теф_0^| 6(/)ctg±=±rft (16)
о
Интеграл в формуле (16) следует понимать как особый, ибо
в точке t = 0 подынтегральная функция обращается в беско-
нечность первого порядка. Замечая, что по свойству интеграла
от периодической функции пределы интегрирования в (16) мож-
но взять от 0 — л до 0 +л, и пользуясь нечетностью котангенса,
получим, что главное значение интеграла равно
2л Л
J С1е-Ц^-Л= JctgyC?T = lim
0 -л а"*°
Поэтому формулу (16) можно переписать в виде
2л
А0=1~.[ (0-6(0)} ctg(17)
о
где интеграл понимается уже в обычном смысле (ср. п. 52;
функция 6(0 удовлетворяет условию Гёльдера, ибо она дважды
дифференцируема).
Наиболее важной для практических применений является
формула (16). По этой формуле можно вычислять не только
значения <р по 0, но при условиях (2) также и значения гранич-
ной производной. В самом деле, представляя разность Д9 =
— ф — 0 по формуле (17) и дифференцируя по параметру 0, на-
ходим:
2л
_____1 ! 1 Г
М ~ 1 “Г 2л J
о
2 sin2 ——g-—-
dt =
= 1
2л
1 Г
« ,!„.±=в
ибо, как мы отмечали выше, интеграл ctg * 2 — от 0 до 2л
равен нулю.
63]
5 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ
381
Но с точностью до малых второго порядка относительно е
величина |g'(e’9) I равна отношению длин дуг, соответствующих
друг другу при отображении (13), т. е.
I g'(e;0) | ~ {1 — д(ф)}-^-. (18)
Отсюда, окончательно,
2Л
I g' (е«) I ~ 1 - J (ф) + A- j dt. (19)
о s,n ~г~
или, переходя к обратной функции,
2 л
| г (г, С) | « 1 + 6 (0) - f —dt. (20)
0 sin2
Применяя рассуждения, аналогичные предыдущим, можно
оценить погрешность в формуле (19) и, в частности, показать,
что эта погрешность есть малая высшего порядка сравни-
тельно с е.
При практических вычислениях функции f(z, С) по вариа-
ции 6(ф) проще всего задавать 6 с помощью тригонометриче-
ской суммы:
б(ф) = е (а0 + at cos <p + sinqp + a2 cos 2ф + &2sin2<p +...). (21)
Подставляя это разложение в формулу (14), мы придем
к вычислению интегралов вида
2л 2Л
г 1 Г t ei< +2 л 1 1 Г • 1 elt + z ,,
/1 =-д— cos nt — dt, I2 = — sm nt—. dt.
2л J eit _ z 2л J ea _ z
Чтобы вычислить их, заметим, что на единичной окружности,
где g = eil, имеем cos и/= Re и sinrtf = Re(—tXn). Поэтому,
пользуясь интегралом Шварца и. 44, можно утверждать, что
для |г|< 1 эти интегралы соответственно равны Ц — zn и
12 = —izn.
Учитывая эти результаты, мы найдем из (14) приближенное
выражение функции, реализующей отображение области £)(С)
на единичный круг:
f (г, С) = z + ег [а0 + (щ — ibi) z + (а2 — ib2) z2 + .,. Ц-0 (е2). (22)
Приближенное выражение обратной функции находится
обычным образом и имеет вид
g (w) — w — ew [a0 + («! — 1Ь[) w 4- (a2 — ^2)w' + * • • ] + О (e2),
382 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
откуда легко находится |
g' (w) — 1 — е [а0 + 2 (ai — ibj w + 3 (а2 — ib2) w2 + ... ] + О (в2) |
и, в частности, растяжение на границе |
= eReIns'^‘e^ = 1 — в [а0 + 2 (Я] cos0 + bt sin 0) + |
+ 3 (а2 cos 20 4- b2 sin 20) + ...) + O(e2), (23)|
1
а также соответствие аргументов граничных точек |
(p = 0 + Imln-^-^-=0 — e(a1sin0 — &1cos0 +
+ а2 sin 20 — b2 cos 29 -ф . ..) + О(е2). (24);
В случае задания 6(ф) в виде тригонометрического много-
члена формулы (22) — (24) весьма удобны для расчетов.
Пример. Рассмотрим отображение на единичный круг эллипса с полу-
осями а = 1 + е и b = 1. Так как уравнением эллипса служит х — (1 + е) cos <р,
у = sin <р, то р = К(1 + е)2 cos2 <р + sin2 <р = 1 + е cos2 <р + О (е2), следова-
тельно, 6 (<р) = — е cos2 <р = —(1 + cos 2<р) и по формуле (22)
f(z, С) = z —z (1 + z!) + О (е2). (25)
В заключение отметим, что все формулы этого пункта
остаются в силе и для конформных отображений
w — F(z,C), F(oo, С) —оо
внешности близких к кругу областей на внешность еди-
ничного круга. При этом 6 (ф) следует определять не из урав-
нения (1), а из полярного уравнения кривой С в виде
г = г(ф) = 1+6(ф). (26)
Это замечание следует из того, что формула (3), на которой
основаны все дальнейшие формулы пункта, справедлива также
и для отображения внешности единичного круга плоскости z
с выброшенной луночкой на внешность единичного круга пло-
скости w. В последнем проще всего убедиться, совершая до-
полнительные преобразования z = w = — плоскостей г
И W.
64. Области, близкие к данной. В этом пункте дается при-
ближенное решение следующей важной для приложений за-
дачи.
64J
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ
383
Пусть задана односвязная область D(C) с границей С,
удовлетворяющей условию Ляпунова (см. п. 29), и пусть из-
вестна функция
<A = f(z,C), f(zo,C) = O, f'(zo,C)>O, (1)
реализующая отображение D(C) на единичный круг (z0<=D —
фиксированная точка). Требуется найти конформное отображе-
ние на тот же круг
^ = f(z,C), f(zo,C) = O, f'(z0,C)>O (2)
области D(C), близкой к D(C).
Простое решение этой задачи можно дать, пользуясь полу-
ченными в предыдущем пункте формулами. Пусть Zi— точка С,
переходящая при отображении (1) в точку w= 1. Через s мы
обозначим длину дуги С между Zj и произвольной точкой г
этого контура; при движении z по С от точки Z\ в положи-
тельном направлении число s меняется от 0 до /, где / — длина
контура С.
Так как С удовлетворяет условию Ляпунова, то отображе-
ние (1) конформно на границе (см.
значить через 0 аргумент точки
(0 = Дг, С) на окружности |ю| =
1 d0
= 1, то мы будем иметь —
\f'(z,C)\ds. (3)
о
Допустим теперь, что контур С
близок к С в следующем смысле.
Обозначим через 6(s) длину отрез-
ка нормали к С в точке z, заклю-
ченного между С и С, взятую со зн
зок принадлежит О (С) и со знаком «—» в противоположном
случае (рис. 142); мы предполагаем, что
|6(s)|<e, |d'(s)|<e, | б" (s) | < е, (4)
где е — фиксированное малое число.
В плоскости и = ре1'9 построим кривую С*, близкую к еди-
ничной окружности, которая определяется полярным уравне-
нием
р=1—|f'(z, С) |d(s) = 1 - 6‘(s),
где $ есть функция 0, определяемая формулами (3). Пусть
w = f(<b, СУ, f^,C) = Q, f'(f),C')>Q, (5)
= |f(z, С)| и
«+», если этот отре-
384 ГЛ- IV- ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
будет функция, определенная по формуле (7) предыдущего
пункта, в которой вместо 6(/) подставлена 6*(/); тогда искомое
отображение области D(C) на единичный круг может быть, оче-
видно, построено по следующей формуле *):
w=f(z, C)~f[f(z, С),С‘]~
12л ]
1 J у j- <6>
Используя формулы (16) и (19) предыдущего пункта, можно
найти также вариацию соответствия границ и вариацию произ-
водной при переходе от данного отображения к близкому ото-
бражению.
Остановимся еще на одном важном частном случае только
что разобранной задачи, когда контур С отличается от С толь-
ко на малой дуге с центром в точке а контура (так называемый
случай локальной вариации).
Обозначим через о площадь, заключенную между С и С; о
мы будем брать со знаком «+», если С расположена внутри
D(C), и со знаком «—» в противном случае. Для локальной ва-
риации формула (6) принимает вид:
ftecw(;.c){i+^-im (7)
где 0о — аргумент точки окружности |<о|— 1, соответствующей
центру вариации а при отображении со — f(z, С). Действитель-
но, в этом случае вместо формулы (7) предыдущего пункта
можно воспользоваться формулой (3) того же пункта, причем
вместо о в нем надо взять о* = | f'(а, С) |2о. Из формулы (7) не-
посредственно следует, что вариация отображения f пропорцио-
нальна площади о и вблизи места вариации контура обратно
пропорциональна расстоянию до этого места.
В случае локальной вариации, когда функция 6(<р) отлична
от нуля лишь на участке длины ц вблизи точки щ0» окружности
|«о | = 1, формула (19) п. 63 для растяжения на границе прини-
мает вид:
I d(0 I ~ j _l 6* <ео) 'П ~ 1 । 1
I I ~ + 4Л е-еа ~ 4л е - е0 W
*) Для возможности применения формулы (6) мы должны предположить
малыми не только д, 6', д", но также о*, -6*', б*", что всегда имеет место,
если исходный контур достаточно гладок, например обладает дважды диф-
ференцируемой кривизной.
65J
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ
385
(мы считаем, что ® = eie лежит на недеформированной части
границы, т. е. 6(0) = О). Далее, по формуле производной слож-
ной функции
। г/ (% ।_I j • I !______ I f (z> C))
' ' ’ ' ' I d<o I I dz I I d<o I ’
| dw |
подставляя сюда (8), найдем окончательно граничную произ-
водную
C)\~\f'(z, С) |
1 -7-1 f' (а, С) I2-К-
4л ' 1 ' 9 ! 1 . 9 6 — 0О
sin 2
(9)
где 0о и 0 — аргументы точек окружности | о> | = 1, соответствую-
щих при отображении & — С) точкам а и z контура С.
Из формулы (9) видно, что вариация граничной производ-
ной функции f пропорциональна площади о и вблизи места ва-
риации обратно пропорциональна квадрату расстояния до это-
го места..
65. Распространение результатов. Все изложенные выше
предложения и формулы могут быть перенесены на случай кон-
формного отображения на другие канонические области. Этот
перенос можно осуществить или при помощи вспомогательного
конформного отображения круга на такую область, или непо-
средственно с помощью вариационных принципов п. 60.
Приведем наиболее интересные из относящихся сюда формул.
1) Случай полуплоскости. Сохраним обозначения,
принятые в п. 60, и допустим, что линия С определяется урав-
нением у — у(х), причем
I У I< е, \у'\<ъ, | у" |< е, lim ху(х) = 0. (1)
Х-»±оо
При этих условиях функция
w = f(z, С), f/(oo,C) = l,
реализующая отображение области D(C) на верхнюю полуплос-
кость, может быть представлена следующей приближенной фор-
мулой:
оо
w = f(z, C)~z + ± J (2)
(ср. формулу (7) п. 34). Для функции g(w), обратной к f(z, С),
получаем отсюда:
оо
<3>
386 ГЛ, IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ (6^
£
Последняя формула справедлива для всех значений w, Im w
0; в частности, полагая w = и, мы получим соответствие
между точками линии С и оси и,
а также приближенную формулу для производной
со
I- 1+7 J dt (5)*
— ОО
(ср. вывод формулы (19) в предыдущем пункте).
Все приведенные формулы справедливы с точностью до ма-
лых высшего порядка сравнительно се*).
2) Случай полосы. Вполне аналогично, опираясь на ва-
риационные принципы п. 58 и формулу (13) п. 34, легко полу-
чить приближенные формулы для конформного отображения об-
ластей, близких к полосе 0 < у < 1, на полосу 0 < v < 1. До-
пустим, что нам даны две линии, Со и С: у — уо(х) и у = у(х),
где Уо(х) и у(х) —однозначные функции, причем
! + |<е’ К1<е’ К1<е- ) 6)
I У — 1 I < е, | у' | < е, | у" | < е. /
При этих условиях функция
w = f (г, Со, С); f (± оо, Со, С) = ± оо
с точностью до малых второго порядка относительно е может
быть определена следующей формулой:
f(z, Со, С)~
СО 00
-г+ 4 J г/о(/)cth я(22-/)Д/+1 |{1-г/(/)}1Ь+^+=^Л, (7)
— 00 — оо
а функция z = g(w), обратная к f, —формулой
со
z = g (w) W — 4 J Уо (0 Cth " (dt!~ dt —
— 00
00
-у J {1 ~ 1/ (0)th^-~ t}dt. (8)
. *) Интегралы (4) и (5), а также (2) и (3) при действительных г и w
надо понимать как особые.
§ 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ
387
Последняя формула справедлива в замкнутой полосе 0 v sC
sg: 1. В частности, полагая w = и, мы получим соответствие то-
чек оси и и линии Со:
оо . оо
-V - и - 1 J уй (0 cth dt J {1 - у (/)} th dt.
— ОО —оо
О)
Для того чтобы продифференцировать особый интеграл (9),
поступим следующим образом. Замечая, что главное значение
интеграла
[ zih^L^Ldt =
— оо
2 [ Г. I , n(u-i) 11“-а . Г, I <, я (и -i) 11м ]
=-----lim { in sh—i-s—- 4- In sh —~—
n I * ' 2 ' J—Af L I l-l«+a I
a-»0
, я (и — M)
2 Sh----2---
=------lim In -----, ... = 2//,
Я M->00 . я(и + М)
sn -
мы переписываем формулу (9) в виде
оо
х~и — ±- J {у0 (/) — у0 (и)} cth n^~t} dt —
— 00
оо
-j [ {\-у (t)} th ^—^-dt-y. (и) и.
— оо
Теперь, дифференцируя по и, найдем:
оо оо
|£'(“)1~ 1-9»(“)+т f dl~x f dl
—<x> sn - —oo ch2-2---
(10)
(член — y'Q (и) и сокращается с тем, который получается при
дифференцировании первого интеграла) *).
Отметим еще две формулы для случая, когда вариация но-
сит локальный характер. Пусть, у(х) = 1, а уо(х) — 0 во всех
точках оси х, кроме малого интервала с центром в точке а, и
*) В первом издании этой книги формула (10) была приведена с ошиб-
кой. которую нам любезно указал Г. Ю. Степанов.
388 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [65
пусть о — площадь, заключенная между осью х и кривой у ==
= уо(х) с соответствующим знаком (интеграл от уо{х) по оси х).
При этих условиях вне окрестности точки а будем иметь:
| /' (х, С) |« 1 ------2----г, |
'1 ' ’ 7 4 ,, л (х — а)
sh ---2---
л а (Н>
| f7 (х + i, С) | ~ 1 + ---2----г.
1' 4 1 ’ 71 1 4 ,, л (х — а)
ch ---2~~
Из формул (11) мы видим, что в случае полосы влияние ло-
кальной вариации затухает, как е~1, где I — расстояние до
места вариации.
Производя описанную локальную вариацию достаточное чис-
ло раз, можно доказать, что имеет место более общий
Принцип локализации. Пусть d(z) обозначает диа-
метр наибольшего круга, который касается в точке z линии Со
и целиком содержится в полосе D(C0, С), и пусть для всех точек
z этой линии
d = 0dcp, 9t<0<92, (12)
где dcp, 0i > 0 и 02 < оо — некоторые постоянные. Тогда для
любой вариации полосы D(Co,C) вне круга |z— Zo | I вариа-
ция растяжения в точке г0 конформного отображения полосы
D(Cq, С) на полосу 0 -< п -< /г удовлетворяет неравенству
i
6|/7(г0, Со, С)|<Л1е m ^сР, (13)
где Mum. — постоянные.
Можно подсчитать, что если место вариации расположено
от точки z0 на расстоянии, большем, чем четырехкратная шири-
на полосы, то вариация ln|f7(z0, Со, С) | составляет менее 1%'.
Из формулы (13) следует также возможность применения
формулы (10) при условиях более широких, чем те, при которых
она была выведена. Так, если
тах{|у0|, |у--1], |^|, \у'\, |у"|, | у" |] < е{| х - х0^ + 1], (14)
где ц — произвольное положительное число, то в точке г» =
= Хо + iy0 (х0)
|/7(z0, Со, С)| =
оо ОО
= 1 - £ f ~dt ф- 4 f 1 ~у , dt + R, (15)
4 oh2 ~ Л'о> 4 J ch2 л ~~ Л'о)
65] § 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ 389
причем остаточный член R оценивается формулой
|/?}<£е2, (16)
где k — постоянная, зависящая только от ц и от max | у (г) —
— 1/о(х)|.
3) Узкие полосы. Значение производной конформного
отображения данной полосы на прямолинейную полосу в какой-
нибудь граничной точке зависит от положения этой точки и от
всей границы полосы. В случае узких полос или полос с медлен-
но меняющейся кривизной для граничных значений | f'(z, Со, С) |
можно дать приближенную формулу, в которой участвуют лишь
ширина полосы, угол между Со и С и кривизны этих линий, при-
чем все эти величины берутся в данной граничной точке z од-
ной линии и в некоторой точке (определяемой точкой z) другой
граничной линии. Мы остановимся на случае узких полос.
Пусть дана полоса D(C0, С) и пусть z0— произвольная точка
линии С. По аналогии с луночками (см. п. 34) обозначим через
п = n(z0) отрезок z0Zg нормали к С в точке zo; 6 — fl'(zo) —
угол между нормалями к Со и С в точках z0 и z'Q, &(z0) и k0(z'n)~
кривизны С и Со в этих точках.
Пусть еще функция
w = f (z, Со, С, h)’, f (± оо, Co, C, ti) = ± oo
осуществляет отображение D(CQ, С) на узкую полосу 0 < v < h.
В этих обозначениях имеет место
Теорема. Если h—малое положительное число, а линии
и С удовлетворяют условиям
аф < п < а,/г, \®\<a3h, || k~hk° | I k |, |fe0||<n4, (17)
I dfe0 I) fl d2fe I I d2k<> 11 у
(I ds г' I ds IJ a^’ (I ds2 I’ I ds2 I J < G6’
где av — постоянные, не зависящие от h, то
\г(г-, с0, с, ж=4{1 + (18)
причем остаточный член R оценивается формулой
\R\<A№, (19)
где А — постоянная, зависящая только от постоянных av.
Проведем через точки z0 и z'o окружности С и Со, сопри-
касающиеся соответственно с линиями С и Со; через О (Со, С)
обозначим луночку, ограниченную этими окружностями
390 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ (65
(рис. 143). Так как по формуле (18) и. 34 растяжение в точке
z0 при отображении D(Ct,, С) на полосу шириной h
ir(zo,Co,C;/i)| = 4{l +^k0 + lk +2|jj2 + |^}+O(A3), (20)
то для доказательства достаточно показать, что (/'(Zo, Со, С; /г) ]
отличается от \f'(z0,C0,C;li)\ на малые порядка не ниже /г3.
В условиях доказываемой теоремы кривизны линий Со и С
конечны, а их разность — малая порядка 1г. Отсюда на основа-
нии элементарных вычислений можно заключить, что угловые
точки луночки О (Со, С) находятся на конечном расстоянии от
точки zo*). Согласно принципу локализации из раздела 2) этого
пункта любая деформация области вне круга |z — z0|^ I дает
изменение растяжения |f'(z0, Со, С) | на малые порядка не ниже
/г3, если е h «С А4/г3, т. е. I ~ ^3 In -у — In Л4) **), Поэтому в
наших оценках мы можем считать, что вне #руга ] z — z0 |^Z0=
3h 1 ~
область D(Ca, С) совпадает с луночкой D(Co, C).
Предположим сначала, что в круге |z — z0|^ /о линия Со совпа-
дает с Со. Совершим конформное отображение луночки Z)(Cq,C)
на полосу 0 < ц < К плоскости С = | + гщ переводящее Со в
нижний берег полосы Го, С — в верхний берег Г и точку Zo — в
точку = ih. Линия С переходит при этом в некоторую кри-
*) Подсчет показывает, что квадрат половины основания луночки
а Л kh \ , ,, [ , koka \
h
где а — -т---т----ограниченная величина.
**) В наших условиях принцип, очевидно, применим, причем можно
принять rfcp = h.
65] § 2. ОТОБРАЖЕНИЯ БЛИЗКИХ ОБЛАСТЕЙ 39)
вую Г, соприкасающуюся с прямой Г в точке go = ih. Согласно
(20) растяжение при нашем отображении будет ограничено
сверху и снизу, поэтому достаточно показать, что при | g | -< /0
растяжение в точке отображения полосы £)(Го, Г) на полосу
0 < v < h отличается от 1 (растяжения при отображении по-
лосы £>(Го, Г) на себя) на малые порядка не ниже й3.
В окрестности точки g = 0 мы представляем уравнение Г по
формуле Тейлора
7] = h + а|3 + К4 + о (£4)
(коэффициенты при § и g3 исчезают, так как Г соприкасается с
прямой Г). Для Щ< /о остаточный член формулы представляет
собой малую высшего порядка относительно й41п4-^, т. е. с
принятой степенью точности им можно пренебречь.
Попытаемся подобрать постоянные а и b так, чтобы функция
£ = w 4- aw2 4- bw4 (21)
реализовала отображение полосы 0 < v < h на полосу плос-
кости £, ограниченную осью g и (по крайней мере для |£|< /о)
кривой ц = h 4- ag3. Если а и b — действительны, то при дейст-
вительных w = и значения £ также будут действительными, т. е.
нижние берега полос соответствуют друг другу. При w = и 4-.
4- ih имеем:
ц = h 4- Qahu 4- 4bhu (и2 — й2),
£ = и 4- а (и2 —- й2) 4- b (и4 — 6й2и2 4~ й4);
следовательно, положив а — 2йй2, 4йй = а, получим:
т| = й 4~ а«3> £ = и 4- (и4 — 4й2и2 — й4).
Из второго уравнения видно, что u = g 4- О ^й31п3-^; следова-
тельно, с принятой степенью точности в первом уравнении мож-
но принять и = g, и мы получим ц = й 4- ^-s3> что и требуется.
Подставляя в (21) найденные значения а и й, получим искомое
отображение
С = w 4- W2 4- w4. (22)
Из формулы (22) видно, что соответствующая ц0 = ih точка
=/й 4-о (й31п3-^; следовательно, растяжение отображения
(22) в этой точке
[ I 11 = П 1 + ийа1 4~ "г П = 1 4“ о (й4 In3 -Ц,
LI dw I Jw0 L| й I J®0 1 \ h)
что и требуется.
392 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ ,65
Аналогично можно подобрать постоянные end так, чтобы
функция
g = w + cw5 + dw5
реализовала отображение полосы 0 < v < h на полосу, ограни-
ченную осью g и кривой т] = h ф- pg4. При w — и ф- ih имеем:
т] = h + ch (3u2 — h2) 4- dh (5м4 - 10Л2и2 + А4)>
g = и 4- си (и2 — 3hu\-\~ du (и* — 10h2u2 4* 5/i4);
следовательно, положив Зс — 10 dh2, 5dh = р, получим:
T1 = /l4-pM4__L^4, g = u4- o(/i4ln44).
откуда с принятой степенью точности т] = h + pg4.
Таким образом, искомое отображение имеет вид:
4-Aw5 (23)
О 0/4
и его растяжение в точке w0 = ih ф- о (й4In4 —) равно
[ | L = [ 11 + +1 I ].. =1 + 0 И-
Ясно, что отображение
g = w 4- A w2 + “ да4 + АрйаД 4- A w5
& *til <-> <Jil
с нужной степенью точности совпадает с отображением полосы
О < v < h на полосу О (Го, Г) и его растяжение в точке w0, со-
ответствующей go = ih, равно 1 4- 0(й3). Для случая, когда ли-
ния Со в круге \z— z0| < /0 совпадает с Со, теорема доказана.
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда
совпадают линии С и С, а общий случай сводится к двум рас-
смотренным, ибо сначала можно перейти от области ЩСй, Со)
к Д(Со, С), а затем от О (Со, С) к £>(С0, С). Теорема доказана
полностью.
В заключение приведем результат, который получается из
формулы (18) элементарными оценками.
Пусть линия Со совпадает с осью к, а линия С: у = у(х),
удовлетворяет следующим условиям:
a{h <у(х)< a2h, | у' | < а3й‘/2, | у" | < а4й, | у'" | < а^г. (24)
При этих условиях в любой точке линии С имеем:
]f'(z,C0,C, h)\ = -^{l+±yy''}+R, lR\<Ah\ (25)
где А зависит только от постоянных а„.
5 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
393
66]
Для доказательства достаточно заметить, что в принятых
условиях и с принятой степенью точности в формуле (18) мож-
но заменить
O = arctg/~/, п = ^~у, k = (i ~ у",
а также пренебречь членами, содержащими n2fe2 и О2.
§ 3. Приложения
Здесь будут даны приложения вариационных принципов к
некоторым задачам механики сплошных сред.
66. Пересчет подъемной силы. Модель идеальной жидкости
является лишь первым приближением при описании движения
реальной жидкости или газа. Поэтому, например формулы для
величины подъемной силы, полученные в п. 49, оказываются
неточными: при учете вязкости, сжимаемости и т. п. наряду с
подъемной силой появляются вредные сопротивления, неравно-
мерности потока и другие факторы, причем эти факторы в зна-
чительной степени зависят от характера распределения скорости
потока вдоль крыла. В соответствии с этим при решении пробле-
мы об улучшении качества крыла большое значение приобре-
тают простые способы пересчета распределения скоростей при
переходе от данного профиля С к близкому профилю С.
Мы приходим, таким образом, к следующей задаче:
определить вариацию скорости и подъемной силы профиля С
в зависимости от вариации формы этого профиля.
Можно дать простое решение этой задачи, основанное на
приближенных формулах конформных отображений близких об-
ластей. Пусть дан контур С с
одной угловой точкой а и . - nfs/
близкий к нему по положению
и кривизне контур С. Мы бу-
дем предполагать, кроме того, V
что а принадлежит С и что обе К_______
касательные к С в точке а яв-
ляются также касательными и С
к С (рис. 144).
т-i Рис 144
Допустим далее, что изве-
стен поток, обтекающий С;
тогда мы можем считать известной и скорость потока V, как
функцию длины дуги s контура С. За начало отсчета s примем
точку а, возрастание х пусть соответствует положительному об-
ходу С (O^s^/). Кроме того, мы считаем известным кон-
формное отображение
^ = F(z,C); F(oo,C) — oo (1)
394 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [66
внешности контура С на внешность единичного круга |g|> 1, в
частности, соответствие точек С и точек окружности £ = eiQ:
0 = 0(s); s=S(0). (2)
Обозначим через n(s) длину отрезка нормали к С, заключен-
ного между С и С, взятую со знаком «—» или «+», смотря по
тому, расположена эта нормаль внутри или вне С. При отобра-
жении (1) кривая С перейдет в кривую б*, полярное уравнение
которой с точностью до малых высшего порядка относительно
max|n(s) | будет иметь вид:
Р = 1+гф(е)]^- = 1+д(е) (3)
(мы полагаем £=рег'0). Отображение внешности С на внешность
единичного круга |а»|> 1 можно, очевидно, представить в виде
w = F(г, C) — F[F(z, С), С‘], F [со, С] = оо, (4)
где w = F (£, С*), F (оо, С) = оо — отображение внешности С‘ на
|ш|> 1. Отсюда по формуле дифференцирования сложных
функций
\F'(z, С)| = |2=-'а. С*)|-|Г(г, С) |, (5)
причем в правой части функция |E'(z, С) | известна, a (Е'(£, С*) |
определяется приближенным выражением (20) п. 63
2л
| F' (£, С) | ~ 1 + 6 (8) - f 6-(0 (6)
О Sin2-^-
(см. замечание в конце п. 63). Если заметить, что отображение
(4) сводит задачу обтекания С к задаче обтекания круглого ци-
линдра, то величину скорости в точке z контура С можно опре-
делить по формуле (9) п. 49:
• О rt — ~ ~ '
I v I - , °° ~I Sin 8 - sin 801 • I Г (z, С) I,
где Ooo — скорость потока в бесконечности*), а 8= 8 + ДО и
6о = 8о + Д0о — аргументы образов точек z и а при отображе-
нии (4). Сравним эту формулу с такой же формулой для ско-
рости в точках С
|V|= |sin8-sine0HF(z, С) I,
*) _Мы считаем, что скорость в бесконечности направлена вдоль действи-
тельной оси, т. е. в обозначениях п. 49 д = 0.
66)
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
395
а также воспользуемся формулами (5) и (6); получим:
I V I ~ I । I sin 0 — sin Оо I 1 । д /а\ 1 f (0 — ® (®) fit
1 у 1 ~ 11 Tin 0 - sin 901 1 +5 w - 4л J ";;7 - о ~dt
(7)
Но дифференцируя формулу (7) п. 63 по г и переходя затем к
пределу при z-*oo, получим:
|F'(oo,C’)|« 1-^ J 6(t)dt. (8)
о
С другой стороны,
sin 0 — sin 0О _ sin 0 + cos 0 ДО — sin 0О — cos 0О ДОо_j .cos 0 Д0—cos 0О Д0о
sin 0 — sin 0o ~ sin 0 — sin 0O ‘ sin 0 — sin 0O ’
причем Д0 и ДОо определяются по формулам (16) п. 63
2л 2л
A0==i f SWctg-^dZ, Д0о = _Ь f dWctg-Ц^Л (9)
Mb J Z ZJb tf Z
о 0
(мы меняем в этих формулах знак, ибо нас интересуют величи-
ны в обозначениях п. 63, имеющие вид 0 — <р и 0о — <р). Подстав-
ляя найденные значения в формулу (7) и пренебрегая малыми
высших порядков, получим окончательно
|V| = [V|{14-6(0) +
cos 0 Д0 — cos 0о Д0о
sin 0 — sin 0O
2«
о
2л
sin2±Z±
(10)
Формула (10) связывает скорости точек контуров С и С, находя-
щихся на одной нормали к С.
Заметим, что в соответствии со сказанным в п. 63 практиче-
ские вычисления по формуле (10) целесообразнее всего вести,
аппроксимируя 6(/) тригонометрическим многочленом
б (0 = е (а0 4- at cos/6, sin t a2 cos2/ 62sin 2t + ...). (11)
В этом случае вместо формулы (6) удобнее воспользоваться
формулой (23) п. 63 (имея в виду, что F' (2, , и
396 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ (66
мы получим вместо (10):
IV1 = IV |{ 1 + C0-s-sin9e-csine°0 — + et2a° + 2<а‘cos9 + b> sin9)+
+ 3 (а2 cos 20 + b2 sin 20) + •••]}. (12)
где
Д0 — e (щ sin 0 — b[ cosO + a2 sin 20 — b2 cos 20 -j- ...),
A0O = e (tZi sin 0O — bi cos0o -J- a2 sin20o — b2 cos20o + ...)
(ср. формулы (23) и (24) п. 63).
Формулами (12) и (13) можно пользоваться также и для ре-
шения обратной задачи:
по заданной вариации скорости на крыле найти соответст-
вующую вариацию профиля крыла.
Рассмотрим частный случай вариации контура С, когда С от-
личается от С лишь на малой дуге с центром в точке Si (локаль-
ная вариация). В этом случае мы положим:
2л
0! = 0 (sj, j б (I) dt — а,
о
и вне места вариации с точностью до малых высшего порядка
относительно а будем иметь вместо формул (9) и (10)
АА ° ,0 — 0] А А 0,00 — 61
А0= Д0о =
[ cos 0 ctg 9 91 — cos 0О ctg — —
| 1 _l_ _2_ -----1-------------2----1
I ' 2л L sin 0 — sin 0O '
(14)
1
O • 2 0-01
2 sin2 —g—L
Перейдем к вычислению вариации подъемной силы. Для это-
го проще всего использовать формулу Жуковского (8) п. 49, по
которой величина подъемной силы, действующей на контур С,
равна
о2
Р = 4лр |Г(~, С)| Sin 9°- (15)
Применяя эту формулу к контурам С и С, найдем:
Р = Р
sin 0Q
sin 0О
Д' (°о, С) _ р sin Оо
F' (оо, С) sin 0О
1
I F' (оо, С*) |
(16)
66]
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
397
или, пользуясь формулой (8) и заменяя sin 0о = sin 0о -f:
-j- cos 0оД0О>
Р = Р
2л
l + ctg0oA0o +J 6(t)dt
О
Для случая локальной вариации формула (17)
вид
'5“ Д 1 +^[=tg0«ctg + 1 ]}.
(17)
принимает
(18)
Из формулы (18) получается следующий качественный результат.
Пусть а0 и Ц] будут точки схода и разветвления потока, об-
текающего профиль С с положительной подъемной силой Р. При
замене С профилем С подъемная сила: 1) увеличивается, если
С совпадает с С на нижней дуге а^Ьа^ и лежит над верхней ду-
гой аоЬ'а^, 2) уменьшается, если С совпадает с С на верхней
дуге и лежит под нижней дугой (рис. 145).
Для доказательства будем рассматривать вариацию контура
С как последовательность локальных вариаций. Так как в на-
ших условиях Р>0ио>0*),то согласно (18) знак вариации
6Р = Р — Р подъемной силы совпадает со знаком выражения
Д = 1 + ctg 0О ctg
(19)
причем 0о лежит в IV четверти (для определенности будем счи-
тать — ^-<0О <0^1 следовательно, ctg 0О < 0.
Рассмотрим сначала случай 1). При отображении (4) центру
локальной вариации в этом случае соответствует точка 0j
окружности, лежащая на верхней дуге 0о0о, где 0^ — точка
окружности, соответствующая точке разветвления потока alt
т. е. 0 < 0] — 0О < л + 2|0О| (ср. пример 2) п. 49). Для 0 < 0j—0о^л
*) Положительность а следует из того, что контур С лежит во внеш-
ности С (см. принятое выше условие).
398 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ [6?
g __ g
имеем ctg - 0 2 ' <0 и, следовательно, А 1. Для п < — 90 <
< л + 2|90| положим 61 ~ — у + а, Где 0 < а < | 901; тогда
ctg 9° 2 61’ = tg а, модуль второго слагаемого формулы (19),
равный 1 |flT> не превосходит 1 и, следовательно, Д > 0.
*g I ^0 I
Таким образом, в случае 1) вариация подъемной силы 6Р > 0.
Аналогично, в случае 2) будем иметь 0 < 90 — 9[ < л — | 901;
положим ------------л=а, тогда | 901 < а < . Модуль второго
& £ i,
слагаемого в формуле (19), равный
, больше 1, а знак
tg I Но I
этого слагаемого, очевидно, отрицателен. Следовательно, в слу-
чае 2) вариация подъемной силы 6Р < 0. Сформулированное
предложение доказано полностью.
67. Волны в тяжелой жидкости. Рассмотрим открытый канал
бесконечной длины с прямоугольным сечением и горизонтальным
дном. Пусть канал заполнен тяжелой жидкостью, движения ко-
торой подчинены следующим условиям: 1) движение плоско-
параллельное— поле скоростей параллельно вертикальным
стенкам и одинаково во всех течениях, параллельных этим
стенкам; 2) пусть прямоугольная система координат (%, у) (ось к
принадлежит дну и параллельна стенкам; ось у направлена вер-
тикально вверх) перемещается с постоянной скоростью v0 в на-
правлении оси х; мы будем предполагать, что в системе коор-
динат (х, у) свободная поверхность и поле скоростей жидкости
не зависят от времени t*
Движения жидкости, подчиненные указанным условиям, мы
будем называть установившимися волновыми движениями жид-
кости в канале; число ve будем называть скоростью распростра-
нения волнового движения. Согласно нашему определению, с
точки зрения наблюдателя, связанного с системой (х, у), это
поле дает установившееся движение жидкости в обычном
смысле.
Общая задача теории установившихся волн в канале ставит-
ся следующим образом: предполагая жидкость идеальной, опре-
делить все возможные ее установившиеся волновые движения.
Поставленная задача сводится к некоторой задаче теории
конформных отображений. С этой целью введем несколько до-
полнительных параметров. Пусть С: у = г/(х), есть сечение сво-
бодной поверхности плоскостью (х, у); назовем средней глуби-
ной канала число
1
И = lim Г у (х) dx. (1)
;->оо J
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
399
67)
Пусть далее g — ускорение силы тяжести, р — плотность
жидкости,
h — и0Н.
Приняв это, перейдем к математической постановке задачи.
В силу п. 48 из условий, что жидкость идеальна и движение в
плоскости (х, у) установившееся, следует, что комплексный по-
тенциал
£ = f(z, С, h), f(±oo,C,/i)=± оо (2)
есть функция, реализующая конформное отображение области
D(C): О <Z У <Z у(х), на прямолинейную полосу; ширина полосы
должна равняться h, ибо расход потока по условию равен v0H —
= h. На свободной (волновой) поверхности давление должно
оставаться постоянным, равным атмосферному; следовательно,
по известной из гидродинамики теореме Бернулли в каждой
точке линии С должно иметь место соотношение
р = А~ у р|/' (z, С, h)? — gpy = const, (3)
где р — давление и Л — некоторая постоянная.
Таким образом, наша задача свелась к следующей:
построить все кривые С: у = у(х), такие, что конформные ото-
бражения f(z, С, h) области D(C): 0<Zy<Zy(x), на полосу
О < у < h заданной ширины h в каждой точке С удовлетво-
ряют соотношению (3).
Вследствие нелинейности условия (3) решение этой задачи
во всей полноте вызывает большие трудности и не получено до
настоящего времени. Мы изложим ниже приближенное ее ре-
шение, основанное на приближенных формулах теории конформ-
ных отображений. В наших частных задачах мы будем искать
периодические четные кривые у = у(х'), мало отклоняющиеся от
прямой у = Н.
Для удобства дальнейших вычислений совершим подобные
преобразования плоскостей потока и- комплексного потенциала,
положив z = Hzi и i; = ht,i. Соотношение (3) перейдет при этом
в соотношение
|-ЗгГ + 2^1 = с’ (4)
где с — некоторая постоянная и
— безразмерный параметр.
Мы будем рассматривать случай, когда а = v — I — малое
положительное число. Введем переменные г2 = azi, = a£i и
400 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ [67
предположим, что в плоскости г2 образ кривой С удовлетворяет
условиям
«(а < у2< а2а, | у21 < а3а’\ | у" | < а(а, | у"' | < а5а'\ (6)
где ан — некоторые постоянные. По формуле (25) п. 65 мы по-
лучаем тогда приближенное выражение
I >1=К1+1»?)+°
или после перехода к переменным zt и
|>|=тг(1+т«;')+о
Подставляя это выражение в формулу (4), мы получим с
учетом условий (6) приближенное уравнение, справедливое с
точностью до малых порядка О(а5/2) вдоль кривой, соответст-
вующей С в плоскости Zt.
4(1+'4 ^ + 2^ = С. (7)
Примем еще за новую действительную ось плоскости z пря-
мую у == Н, т. е. положим у — /7(1 + р), или, что то же самое,
z/t = 1+р; тогда уравнение (7) перейдет в уравнение
|^ + 2v(l+71)2 + -I-L_-C(l+n) = 0.
Если выбрать постоянную с так, чтобы р = 0 было решением по-
следнего уравнения (с = 2v Ц- 1) и воспользоваться тождеством
1 1 I 2 Я3
-J—: =1 — Т1 + В ГТ ,
1 + Т| I I I 1 + р ’
то это уравнение можно будет переписать в виде
p" + 3(v-l)n + 4(2v+ =о. (8)
Так как мы ищем решения, мало отклоняющиеся от прямой
у == Н, то р можно считать малой величиной. Мы предположим,
что тах|р| имеет порядок а, тогда с принятой степенью точ-
ности в левой части (8) последний член можно отбросить.
Вводя вместо v величину а = v — 1 и пренебрегая членом ар2,
мы получим окончательно*):
р" 4- Зар + ~ р2 = 0. (9)
*) При выводе уравнения (9) в первом издании книги был допущен ряд
погрешностей, на которые нам любезно указал Н. Н. Моисеев.
«7|
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
401
Дальнейшее изложение мы будем вести в двух различных
предположениях. ’
1°. Линейная теория. Предположим сначала, что число
шах|г|| мало в сравнении с а (волны малой амплитуды). Тогда
уравнение (9) можно линеаризировать, отбросив в нем нели-
нейный член
rf' + 3aii = 0. (10)
Так как по принятому ранее условию а > 0, то в качестве ре-
шений этого уравнения мы получаем линейные волны:
T] = -^-cos ]/3a
где а — произвольная постоянная. В переменных х и у уравне-
ние этих волн имеет вид
у = Н + a cos х. (11)
Период волн после подстановки значения v = a 1 из фор-
мулы (5) записывается в виде
откуда
2лН
/За
I
2л Н
(12)
Таким образом, при данной скорости распространения vQ и
данном периоде Т существует бесчисленное множество решений
задачи, зависящих от одного параметра — амплитуды волны.
При этом средняя глубина канала Н определяется соотноше-
нием (12). Из этого соотношения следует также, что скорость
распространения линейных волн возрастает вместе с их длиной,
но никогда не превышает VgH. Пренебрегая в (12) членом
, мы получим формулу Лагранжа в0—У§Н.
2°. Длинные волны. Займемся теперь случаем, когда
тах|т] | имеет тот же порядок, что и а. В этом случае приходит-
ся рассматривать уравнение (9) в полном виде, и задача ста-
новится нелинейной.
Уравнение (9) допускает, очевидно, первый интеграл
(д^-)2 = А - 3ali2 ~ Зт13’ U3)
402 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [67
где .4 — произвольная постоянная. Приняв, что в вершине вол-
ны, г. е. при Xi = 0, имеем ц = т]о > 0, получим для А значе-
ние
А = 3^(0 + ^).
Для существования периодических решений уравнения (9) не-
обходимо, чтобы нашлось еще значение п = Hi < По (впадина
волны), для которого — 0. В силу (13) это значение долж-
но быть корнем уравнения
И3 + сщ2 — г]2 (« + По) = 0.
Это уравнение имеет корень г] = Цо; деля обе части на ц — ц0,
найдем:
Ц2 + (а + По) П + По (« + По) == О,
откуда
П1.2 = — "у*10- ± у/(а + По)2 — 4По (а + щ). (14)
Таким образом, для существования периодических решений
необходимо, чтобы было (а -j- цо)2 — 4ц0(а + По) О, т- е-
— Так как у нас принято, что ц0 > 0, то это усло-
вие имеет вид
По<|- (15)
При этом условии из соотношения (13), которое можно пере-
писать в виде
ТДГ = /Л-За^-Зп3,
находим полупериод рассматриваемых волн
По
Т = ».Г <16’
П1
При т]о < а/3 подкоренное выражение имеет в концах цо и Hi
отрезка интегрирования простые корни, следовательно, вели-
чина Т конечна. Легко написать и уравнение половины волны
1на участке
х — Н
л.
f _______
' VА — Зап2 — Зц3 '
(17)
G7|
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
403
Непосредственно видно, что условие т]0 < а/3 является до-
статочным для существования решений уравнения (9), имею-
щих волновой характер. В отличие от линейного случая ампли-
туда волн не может считаться произвольной, а при фиксирован-
ной скорости ио она зависит от периода Т.
Отметим еще несколько качественных свойств полученных
решений; эти свойства вытекают из приведенных выше формул.
а) Период Т волны возрастает при увеличении ординаты т|0,
а также при увеличении амплитуды по — щ = .2а. Минималь-
2лН
ное значение Т--------
/За
соответствует линейному
случаю, когда г]о беско-
нечно мало. Когда д0
приближается к значе-
а -Г
нию -х-, величина 1 не-
О
ограниченно растет и при
периодическое ре-
шение вырождается в
линию с единственным
максимумом при х = 0 и
2
с асимптотой т|= — у а
(рис. 146).
В последнем случае решение легко выписать в явном виде,
а 2
если заметить, что при n0 = v из (14) мы получаем тц,2 = — т “
О о
и, следовательно, уравнение (13) принимает вид
-^- = /3(т]9 —п) (тц — п)-
UX (
Это дифференциальное уравнение с разделяющимися перемен-
ными интегрируется в элементарных функциях и его решение,
которое при ла = 0 принимает значение n—ilo==:y- имеет вид
/ 1 ,, 2 К За
П = а (-jj- — th2 —xi
или, в переменных х и у
y = // + a//(l-th2-^-х).
(18)
Построенное апериодическое решение носит название уединен
ной волны.
404 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [68
б) Кривизна волны в вершине всегда больше, чем кривизна
волны во впадине.
в) Скорость распространения волны убывает при возрас-
тании а.
Посмотрим в заключение, в какой мере построенное реше-
ние удовлетворяет условиям, при которых принятое приближен-
ное выражение для |f'| мало отклоняется от истинного (см.
п. 65). Для этой цели мы должны оценить функцию т] и ее пер-
вые три производные. Имеем:
— а < П< у» •
Но тогда в силу (М) и (9)
I П' I < к{а*‘13, | т\" | < k2a2, | | < /г3а’5/з,
где k}, k2, k3—числовые постоянные. Таким образом, при за-
мене |Г| ег0 приближенным выражением мы допускаем ошибку
порядка а*\
Используя построенное приближенное решение и общие ва-
риационные теоремы, можно строго доказать существование
всей описанной системы волн и показать, что наши приближен-
ные решения отклоняются от точного на малые высших по-
рядков.
68. Обтекание со срывом струй. Задача обтекания со срывом струй была
поставлена в п. 48. Здесь мы приведем приближенное ее решение и резуль-
таты качественного исследования, основанного на развитых выше вариацион-
ных принципах (см. М. А. Лаврентьев [1]). Для простоты мы ограничимся
случаем потоков с осью симметрии, обтекающих тела, симметричные относи-
тельно этой оси. Сначала остановимся на задаче обтекания симметричных
дужек. Согласно п. 48 эта задача приводится к следующей задаче теории
конформных отображений:
Пусть в верхней полуплоскости г задана дуга уь соединяющая точку
X] 0 оси х с точкой ib оси у. Требуется соединить точку ib с г = оо кри-
вой у2, лежащей в верхней полуплоскости и такой, чтобы функция
w = f(z,y); f(oo,y) = oo, f (оо, у) = 1, (1)
реализующая конформное отображение области D(y), лежащей выше кривой
у = (—оо, х,) +у1 + у2, на верхнюю полуплоскость *), на дуге у2 удовлетво-
ряла условию
I f (z, у) I = с — const (2)
(рис. 147).
Наметим приближенный метод решения задачи. Обозначим через z=g(w)
функцию, обратную к искомой функции (1); так как (1) реализует конформное
*) Как видно из (1), мы ограничиваемся рассмотрением потоков со ско-
ростью в бесконечности, равной единице и направленной вдоль оси х. Общий
случай легко приводится к этому.
68J
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
405
отображение на верхнюю полуплоскость, то g'(w) аналитична и не равна
нулю в этой полуплоскости и, следовательно, там аналитична функция
In g' (w) = In jg' (w) | + i argg'(w). (3)
Очевидно, на луче (—оо, А) оси и, соответствующем лучу (—оо, Xj)
имеем argg'(u') =0, а на луче' (В, оо), соответствующем у2,
оси X,
имеем
ln|g'(«)| = ct, где ct—некоторая постоянная (см. рис. 147). На отрезке
(А, В), соответствующем уь argg'(u) неизвестен, ибо неизвестно соответ-
ствие точек (А, В) и уь Однако мы сами задаемся каким-либо соответствием
£ = £(«) точек (А, В) и Yi и тог-
да находим:
arg S' (и) = arg (и) == <р (и). (4)
Теперь отыскание функции
Ing'(w) сводится к смешанной
краевой задаче для верхней полу-
плоскости, ибо на луче (—оо, А)
известна Imlng'(w), а на луче
(А, оо) — Relng'(w). Решая эту
задачу, например, с помощью
формулы Келдыша — Седова п. 54,
находим функцию
z = g (а>),
Рис. 147.
(5)
реализующую конформное отображение верхней полуплоскости на область
Z7(у), где у= (—oo.xi) + Yi + Ya (см. рис. 147).
По построению обратная к (5) функция w = f(z,\) решает задачу об-
текания со срывом струй дужки Yi- Если последняя сильно отличается от у>
мы должны изменить задание функции <р(п) из (4). Чтобы целесообразнее
проводить это изменение, мы должны иметь качественные сведения о том,
как меняется функция (1) при деформировании дуги уь Приведем без до-
казательства основные из относящихся сюда результатов.
1) Если Yi состоит из конечного числа дуг с ограниченной кривиз-
ной и каждая прямая х = х0(х1 < х0 0) пересекает у, либо в точке,,
либо по отрезку, то решение задачи о струях существует и единственно.
При этом допускается, что кривая у2, начиная с некоторой точки
х = £ > 0, совпадает с осью х; уравнение такой кривой мы обозначим:
У — У (х; I). (6)
В этом случае условие постоянства скорости (2) на луче (|, оо) заменяется
условием совпадения скоростей при подходе к лучу сверху и снизу, т. е.
условием однозначности комплексного потенциала (1) потока, обтекающего
со срывом струй дугу Г1, состоящую из Yi, и дуги, симметричной с Yi отно-
сительно оси х. Иными словами, допускается смыкание струй за обтекаемой
дугой.
2) Если при некотором значении х = х2 ордината точки у2 обращается
в нуль, то при х> х2 дуга у2 совпадает с осью х (иными словами, х2 = Ю-
3) На участке (0, £) дуга у2 аналитична.
4) На Ys угловой коэффициент касательной не может достигать
экстремума.
5) При g < оо кривая уз не может иметь точек с ординатами большими,
чем максимальная ордината’ точек кривой уь
6) Если максимальная ордината точке кривой yi соответствует х = 0,
то | — оо, т. е. ys обладает бесконечной ветвью.
406 гл. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ (69
7) Пусть при одинаковых абсциссах ординаты точек кривой Yi больше
ординат или равны ординатам точек yi “ эти кривые имеют общие концы.
Тогда g§ и
У (х, g)< у (х, g), (7)
причем при 0 < х < g знак равенства может достигаться лишь в случае
совпадения yi и Yi (рис. 148).
Все эти результаты получаются методами теории функций комплексного
переменного и, в частности, с помощью вариационных принципов п. 61. Их
доказательство читатель найдет в статье
М. А. Лаврентьева [5].
Из 7) вытекает, что у {к, g) все-
гда меньше уь (х) — ординаты струи,
Рис. 148.
обтекающей вертикальный отрезок (0,16)—случаи, рассматриваемый Кирх-
гофом. Из того же предложения 7) следует, что в его условиях равнодей-
ствующая сил давления на дугу!^ = Yi + где Yi — зеркальное отображе-
ние Yi относительно оси х, Р Р (rj, где Г[ = Yi + yt.
В заключение приведем, также без доказательства, некоторые результаты,
относящиеся к симметричному обтеканию выпуклых контуров. Пусть дан
замкнутый, выпуклый и симметричный относительно оси х контур С, пере-
секающий ось х в точках х{ < 0 и х = 0. Пусть у<—часть контура С, рас-
положенная над отрезком (хь t) оси x(xi<Z<0). Очевидно, решение
У = Vt (х, g) (8)
разобранной выше задачи для дуги у« дает свободную струю потока, обте-
кающего со срывом струй замкнутый контур С, если кривая (8) лежит це-
.ликом вне С.
Имеют место следующие предложения:
1) Множество точек контура С, в которых при симметричном обтекании
возможен отрыв струй, есть дуга Са с центром в точке х, и концами, рас-
положенными левее точек контура С с экстремальными ординатами (рис. 149).
2) Свободные струи, соответствующие двум различным обтеканиям С,
не имеют общих точек.
3) При двух различных обтеканиях С со срывом струй давление жид-
кости на С будет большим для того течения, которое соответствует более ран-
нему отрыву струй.
Доказательства этих предложений имеются в цитированной работе
М. А. Лаврентьева [5].
69. Движение грунтовых вод. Как показывает опыт, движе-
ние грунтовых вод в однородном грунте достаточно точно сле-
дует законам движения идеальной жидкости. Ограничиваясь,
69J
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
407
как раньше, плоским случаем, допустим, что через область D,
заполненную грунтом, просачивается жидкость, и предположим,
что движение установившееся. Обозначим через p(z) давление
в произвольной точке z области D. Имеет место следующий
опытный закон (Дарси): скорость частиц жидкости в точке г
пропорциональна градиенту давления и направлена в сторону,
противоположную градиенту р:
V — — % grad р. (1)
Рис. 150.
Коэффициент пропорциональности х зависит только от харак-
тера грунта и называется коэффициентом фильтрации. Добав-
ляя к закону Дарси условие
несжимаемости жидкости
div V = 0, (2)
мы получим, что поле ско-
ростей движения просачи-
вающейся через область D
жидкости обладает потен-
циалом и:
u(z) = — v.p (z), (3)
который является гармони-
ческой функцией, правиль-
ной в области D.
При проектировании плотин одним из существенных элемен-
тов их расчета является решение следующей задачи.
Дана область D, граница С которой состоит из следующих
прямолинейных участков:
1) прямая у ——h0 (основание),
2) луч (—оо,0) оси х,
3) отрезок (0,1) (флютбет),
4) луч (/, оо) оси х,
5) вертикальные отрезки (шпунты) су выходящие из точек
%1 = О, Х2, ..., хп флютбета и имеющие длины /Д/ = 1, ..., п).
Область D заполнена водопроницаемым грунтом с коэффи-
циентом фильтрации х. Над флютбетом (0,1) расположено со-
оружение А; слева от А над осью х расположен слой свободной
жидкости толщины /7г, а справа от А — слой свободной жидко-
сти толщины Hi (Н[ < Н2). Стенки сооружения А, флютбет,
шпунты и основание считаются водонепроницаемыми (рис. 150).
При перечисленных условиях требуется определить устано-
вившееся движение жидкости в области D, причем проекти-
ровщиков интересуют в основном следующие три величины:
1) расход жидкости, 2) максимальное и общее давление на
флютбет, 3) максимальная «выходная» скорость на луче (/, оо).
408 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ J69
Найдем граничные условия, которым должен удовлетворять
потенциал скоростей и. В силу водонепроницаемости основания
у = —h0, флютбета и шпунтов на всех участках С, соответ-
ствующих этим элементам, должно иметь место обтекание, т. е.
должно выполняться соотношение
Кроме того, на участках (—оо,0) и (/, оо) давление р должно
быть постоянным: на левом участке р = р//2 + Ро, на правом
участке р = pHi + Ро, где р — плотность жидкости, ро— давле-
ние атмосферы. Следовательно, вдоль (—оо,0)
и = —х(рЯ2 + Ро) = «2, (5)
а вдоль (/, оо)
и = — х (р/Л + Ро) = «р (6)
Таким образом, задача движения грунтовых вод под соору-
.жением привелась к частному случаю смешанной краевой за-
дачи для гармонических функций п. 55.
Отметим два приема решения этой задачи, учитывающих
специфику граничных условий (4), (5) и (6).
а) обозначим через v функцию тока течения; в силу усло-
вия (4) и сохраняет постоянное значение ио вдоль у = —ho и
постоянное значение v — щ вдоль флютбета и шпунтов. Ком-
плексный потенциал u-^-iv реализует конформное отображение
области D на прямоугольник, ограниченный прямыми и = и2,
и — и\, и — v0, и = Up причем точки —оо, 0, I, оо переходят в
вершины прямоугольника. Имея в виду, что прямоугольник
отображается на верхнюю полуплоскость с помощью эллипти-
ческого синуса (см. п. 39, пример 1), можно ограничиться ото-
бражением
£ = f(z) (7)
области D на верхнюю полуплоскость Im £ > 0. Пусть при этом
отображении точки 0, —оо, оо, I переходят в точки а\, а2, а3, а4;
применяя дополнительное линейное преобразование, мы можем
перевести эти точки в точки —l/k, —1, 1, \/k. Иными словами,
можно заранее считать, что
f(±oo)=±l, f(0) = -l, f(/) = |.
Тогда искомый потенциал примет вид
k) + ^±^i (в)
где sn-1 — функция, обратная к эллиптическому синусу (см. п. 39).
69]
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
409
Стороны прямоугольника равны щ — и2 и щ — vQ— (щ — м2),
где
1 i/fe
2^ = 2 f ... К' = [ —. dt .............
J V (1 - t2) (1 - F/2) J V(t2- 1)(1 ~k2t2)
его высота 1>! — v0=-^-xp (Я2 ~ #i) дает расход жидкости под
сооружением.
б) При отображении (7) функции u(г) и v(z) перейдут в
функции
u\g^\=U(Z), v\g(Q\ = V®, (9)
где z = g(£) — функция, обратная (7), причем U правильна
всюду вне отрезков (—\/k,—1) и (1,1/6) и принимает на этих
отрезках, соответственно, значения и2 и а V правильна вне
отрезков (—оо,—1/6), (—1,1) и (1,оо) и принимает на этих
отрезках значения Vi, vq, Vj. Поэтому выражение для (7(£)-|-
+ Л/(£) можно получить по формуле Келдыша—Седова п. 54.
Применяя к разбираемой задаче вариационные принципы,
легко можно получить ряд заключений относительно характера
изменений расхода, выходной скорости и давления при измене-
ниях в размерах элементов сооружения.
1) Если увеличить длину одного или нескольких шпунтов,
то все линии тока снизятся, расход уменьшится, выходная ско-
рость уменьшится. Если стремиться уменьшить выходную ско-
рость, то наиболее эффективным является удлинение крайнего
правого шпунта.
2) Если увеличить длину одного шпунта, то давление на
флютбет слева от этого шпунта увеличится, а справа — умень-
шится; в частности, увеличение длины крайнего правого шпунта
увеличит давление на флютбет всюду.
Те же теоремы и соответствующие формулы дают также воз-
можность обосновать и уточнить различные приближенные
приемы для численного решения задачи.
Одним из наиболее распространенных приемов для прибли-
женного определения потенциала и является так называемый
метод фрагментов, предложенный академиком Н. Н. Павлов-
ским в 1922 г. (см. [8]). Мы изложим сущность этого метода.
Проведем через концы шпунтов линии yj равного по-
тенциала и — Uj, соединяющие эти концы с основанием так,
что Cj вместе с у3- образуют гладкую линию, ортогональную
основанию. Линии yj разрезают область D на п +1 частей —
«фрагментов» £>0, ЕЕ, ..., Dn (рис. 150). Во фрагменте Do
f Uo на (— со, 0),
потенциал и удовлетворяет условиям и — {
( U\ нн Yi,
-410 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИИ (6Э
на остальных участках границы = 0; во фрагменте Dn
( Un на (Z, оо),
I ип на уп,
на остальных участках границы -^-= 0. Для фрагмента Dj (j = 1,
2, .... п— 1) граничные условия имеют вид
( Uj на yj,
U~\ul+i на у/+1,
ди Л
на остальных участках границы — = 0.
Заметим теперь, что если расстояния между соседними
шпунтами значительны по сравнению с их длиной, то линии у;
мало отклоняются от прямолинейных отрезков yj перпендику-
лярных к основанию. Обозначим через Dj прямоугольник, по-
лучаемый из Dj заменой у, и у;+1 отрезками у,- и у^+1; области
Dq и Dn будут при этом полуполосами (рис. 150).
Перейдем к конструкции приближенного выражения для по-
тенциала и. Прежде всего строим в каждом прямоугольнике Dj
гармоническую функцию йДг) по следующим граничным дан-
ным:
( 0 на у/ для / = 1........п и на (— оо, 0) для / = 0,
( 1 на у/+1 для j = 0......п — 1 и на (/, оо) для j — п,
(Ю)
дй:
— 0 на остальных участках границы Dj для / = 0, .... п.
Построение й;-, очевидно, сводится к отображению прямоуголь-
ника на полуплоскость и применению формулы Келдыша — Се-
дова, причем последняя имеет весьма простой вид в силу про-
стоты граничных данных.
За искомое приближенное значение для и в области Dj при-
нимается:
й « (и1+1 — и/)й/(г) + «, (/ = 0, 1, .... n; u0=U0, un+l = U„).
(Н)
Эта функция, очевидно, удовлетворяет граничным условиям
в прямоугольнике Dj и тем меньше отличается от своего точ-
ного значения, чем меньше у/ и y,+i отличаются от у, и у^+1.
Формулы (11) содержат п неизвестных параметров щ, и2,...
..., Un, которые можно определить из условия совпадения
расходов жидкости в соседних сегментах. Пусть б, (г) будет
69]
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
4П
функция, сопряженная с iij(z), и
~Ч ~Ч+1
f дй,- f дй,
т> = J ~dTdy’ mi= J <12>
—ho —/г0
— ее приращения на отрезках yt и у;+ь Тогда функция v(z),
сопряженная с u(z), в области Dj будет приближенно равна
(щ+1 — Uj)vj(z) и, следовательно, условие равенства расходов
в сегментах Dj^ и Dj запишется в виде *)
т,-! (uj — Uj-i) = mj (ul+i — Uj) (/=1,2,..., n). (13)
Система (13) есть система n линейных уравнений с п неизвест-
ными и}. Определяя из нее Uj и подставляя их значения в (11),
мы получим искомое приближенное выражение для u(z) во
всех фрагментах.
Как уже отмечалось выше, точность метода фрагментов за-
висит от величины отклонений линий у3 от отрезков у-- Укажем
путь для числовой оценки погрешности. Возьмем j-й шпунт;
пусть D' есть часть D, расположенная слева от этого шпунта с1г
a D"— часть D, расположенная справа от него. Заменим часть
D" областью D", симметричной с D' относительно с,. Для об-
ласти Di = D' ф- D’{ линия уд очевидно, будет совпадать с от-
резком у/. Используя вариационные теоремы, мы можем оце-
нить вариацию функции f(z), реализующей конформное ото-
бражение области D\ на полуплоскость при переходе от Д к О
и получить тем самым оценку отклонения у, от уд Наша задача
свелась к оценке разности и и й в зависимости от отклонения у,-
от yj или области Dj от прямоугольника Dj, но эту оценку
можно получить, используя формулы п. 64 для конформных
отображений близких областей.
Опираясь на формулы для конформных отображений близ-
ких областей, можно также дать существенное уточнение ме-
тода фрагментов. Примем за у/ полуволну синусоиды с ампли-
тудой bj, соединяющую конец q с прямой у — —h0. Считая об-
ласти Dj близкими к прямоугольнику, мы сможем эффективно
построить отображение области Dj на полуплоскость и тем са-
мым построить функцию Uj, равную единице на уз+1, нулю на yz
и обладающую нулевой нормальной производной на остальных
участках границы. Функция Uj линейно зависит от параметров
синусоид bj, bj+\. По функции Hj(z), мы, как раньше, строим
искомый потенциал
и ~ (u1+i — ul)uj + u1.
*) Положим еще «о = 0, un+i = 2//п.
412 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ [69
В построенном выражении для и имеется 2п числовых пара-
метров и} и bj. Система (13) дает п уравнений; еще п уравне-
ний мы получим, если потребуем, чтобы расход жидкости, вы-
текающий из Dj-i через верхнюю половину yj, равнялся расходу
жидкости, втекающей в D, через ту же часть yj.
Применяя формулы п. 65 для отображений близких обла-
стей на полуплоскость, можно
лУ
а)
дать методы пересчета значений
и при переходе от данной
конструкции к конструкции
близкой.
В заключение укажем еще
метод последовательного ото-
бражения шпунтов, наиболее
полно проведенной в ра-
боте П. Ф. Фильчакова
[Ю].
Для простоты рассмотрим
случай флютбета длины I с
двумя шпунтами, хотя метод
аналогично, а в смысле точно-
сти даже лучше проводится в
случае большого числа шпун-
будет I, а длины шпунтов: Ц = 1
^2
I'
S)
S)
Рис. 151.
U
71 (~1Лг)
£
тов. Пусть длина флютбета
и /2 (рис. 151).
Совершим конформное отображение
,2
(14)
нижней полуплоскости z с выброшенным шпунтом 1\ на нижнюю
полуплоскость Zi. Шпунт /2 перейдет при этом в криволинейный
шпунт Г2, выходящий из точки I' = ф41 +/2 действительной
оси хи уравнение /2 будет:
(15)
, 1/ /2 + г/‘
Х1~1У ~]2^Г
Так как отсюда I xt УI + Р, то при больших I кривая /2
будет мало отличаться от прямолинейного отрезка. Обозначим
через (Z, /2) координаты конца криволинейного шпунта
(рис. 151). Применяя формулу Тейлора, можно получить при-
ближенное уравнение для абсцисс точек Г2:
х{-1~ Ц' - /){ 1 - (-J)2 }(1 - уЧд, (16)
где z/(0 > у >>—/2)— параметр — ордината точки шпунта 1г, и
& 12(з12 + и')-Ц
/3
t Q
,2
651
§ 3. ПРИЛОЖЕНИЯ
413
— постоянная, малая при больших I, ибо k{ (см. [10]).
Формула (16) точна на обоих концах шпунта, т. е. при у = 0
и у = 12-
Заменим теперь криволинейный шпунт Г2 прямолинейным Z2,
проходящим через точку (1,12) *), и отобразим конформно ниж-
нюю полуплоскость z с выброшенным отрезком 12 на нижнюю
полуплоскость t,-. ____________
г=/1 + (тг)!- (17)
Полуплоскость с выброшенным криволинейным шпунтом Г2 пере-
ходит при этом в область рис. 151, в, мало отличающуюся от
полуплоскости: ее граница отличается от оси £ лишь на от-
резке (—£о, £о)**). где уравнение границы приближенно пред-
ставляется в виде
П=± НГ~г)<г (18)
(знак «+» относится к отрицательным § и знак «—»— к по-
ложительным). Замечая, что максимум ординаты (18) дости-
гается при g = lolV^ и равен
_ / (/' - О / 62
Лтах 21
мы можем представить (18) в виде
± (19)
ьо
Пользуясь формулой для отображения областей, близких
к полуплоскости (см. (2) п. 65), П. Ф. Фильчаков показал, что
погрешность метода последовательного отображения (при ко-
тором криволинейный шпунт 12 заменяют прямолинейным 12)
пропорциональна кубу длины шпунта 12, обратно пропорцио-
нальна кубу расстояния I между шпунтами и абсциссе g.
Именно, разность точного значения абсциссы § и ее прибли-
женного значения, найденного по формулам (14) и (17), не
превосходит
Л- (20)
0 2л/(/2+1)£ 1
(СМ. [10]).
*) Обозначен пунктиром на рис. 151, б.
**) ±&j — образы точки zi = /2 при отображении (17).
414 ГЛ. IV. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ (69
Литература к главе IV
[1] М. А. Лаврентьев, К теории конформных отображений, Труды фи-
зико-математического института им. В. А. Стеклова, 1934.
[2] М. А. Лаврентьев и Л. А. Лю стерни к, Основы вариационного
исчисления, т. I, ч. 2, ОНТИ, 1935 (см. Дополнение II «О некоторых
экстремальных задачах в теории конформных отображений»),
[3] Г. М. Г о л у з и н, Геометрическая теория функций комплексного пере-
менного, Гостехиздат, 1952.
[4] Р. Кура н т, Принцип Дирихле, конформные отображения и минималь-
ные поверхности (см. Приложение: М. Шиффер, Некоторые новые ре-
зультаты в теории конформных отображений), ИЛ, 1953.
[5] М. А. Лаврентьев, О некоторых свойствах однолистных функций
с приложениями к теории струй, Матем. сб., т. 4 (46), вып. 3, 1938,
стр. 391—458.
[6] М. А. Лаврентьев, Конформные отображения, Гостехиздат, 1946.
[7] М. А. Лаврентьев, Вариационный метод в краевых задачах для
систем уравнений эллиптического типа. Изд-во АН СССР, 1962.
[8] Л. И. Седов, Приложение теории функций комплексного переменного
к некоторым задачам плоской гидродинамики, Успехи матем. наук,
вып. VI, 1939.
[9] Н. Н. Павловский, Теория движения грунтовых вод при гидротех-
нических сооружениях и ее основные приложения, Издание Научно-ме-
лиорационного ин-та, Петроград, 1922.
110] П. Ф. Фильчаков, Теория фильтрации под гидродинамическими соо-
ружениями, тт. I, II, Изд-во АН УССР, Киев, 1959, 1960.
[11] П. Ф. Фильчаков, Приближенные методы конформных отображений,
«Наукова думка», 1964.
Глава V
Приложения теории функций к анализу
В этой главе рассматриваются некоторые из приложений
теории функций к анализу, имеющие наибольший интерес для
физиков.
Первый параграф посвящен представлению функций беско-
нечными рядами и произведениями, которые постоянно исполь-
зуются в самых различных вопросах. Во втором параграфе
даны методы вычисления интегралов от функций действитель-
ного и комплексного переменного, а также важные для теории
колебаний методы подсчета числа нулей аналитических функ-
ций в заданных областях. Наконец, в третьем параграфе указы-
ваются методы получения приближенных выражений функций
для больших значений аргументов, так называемых асимптоти-
ческих формул, весьма полезных для приложений.
§ 1. Разложение в ряды и бесконечные произведения
Начнем с того, что напомним читателю основные положения
относительно разложения функций в ряды Тейлора и Лорана
и на ряде примеров проиллюстрируем методы фактического
отыскания таких разложений.
70. Ряды Тейлора и Лорана. В первой главе было доказано,
что всякая функция, аналитическая в круге \г — пред-
ставляется в этом круге своим рядом Тейлора
f (z) = 2 сп (г — а)п.
п=0
Коэффициенты его определяются по формулам
_ fw(a)
п п\
f f (О dt
J (S-af+1
(n = 0, 1, 2, ...),
(1)
1
2 л I
где C—любой простой замкнутый контур, охватывающий точку
а и принадлежащий кругу (см. п. 18).
416
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ
170
Ряды Лорана являются обобщением рядов Тейлора. С их
помощью можно представлять функции, аналитические в коль-
цах г < | z — а | < Л (г > 0, оо):
оо
f(z) = 2 Cn(z — а)п.
П=—<х>
Коэффициенты ряда Лорана определяются по формулам
1 f f (£) rfg
2ш J (g _ a)n+l
(n==0, ±1, ±2, ...), (2)
где C — простой замкнутый контур, лежащий в кольце и охва-
тывающий его внутреннюю окружность (п. 21).
Формулы (1) и (2) редко используются для получения кон-
кретных разложений. Обычно тейлоровские и лорановские раз-
ложения функций находят косвенным путем с помощью опера-
ций над степенными рядами. При этом иногда сравнение коэф-
фициентов, найденных косвенным путем и непосредственным
применением формул, приводит к интересным соотношениям.
Приведем несколько примеров разложений функций в ряды Тейлора и
Лорана.
1) Весьма просто получаются разложения в ряд Тейлора некоторых не-
элементарных функций, выражаемых посредством интегралов.
Функция вероятности ошибок определяется интегралом
z
е dt,,
(3)
который не выражается через элементарные функции. Чтобы получить раз-
ложение erf г в ряд Тейлора с центром в точке а = 0, достаточно подставить
2 I
—вместо Q в разложение е и последнее проинтегрировать почленно:
V п
(-1? z2*+’
k! 2k + 1 ’
(4)
Полученное разложение сходится для всех конечных z. При х-+оопо поло-
жительной полуоси функция стремится к пределу*)
erf оо =
е х2 dx = 1,
причем весьма быстро: erf 2 отличается от erf оо на 0,5%.
*) Этот интеграл, так называемый интеграл Пуассона, вычисляется в кур-
сах анализа. См., например, Фихтенгольц, т. III, стр. 279.
70]
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 417
Однако при произвольном стремлении z к оо предел erf z не существует,
ибо, как видно из полученного разложения, z = оо является существенно
особой точкой erf z. График функции erf х для действительных значений
аргумента изображен на рис. 152; пунктиром показан график ее производной.
Наряду с функцией erf часто рассматривается ее дополнение до 1;
ОО
Erf z = 1 — erf z = —I dg. (5)
V л J
z
Аналогично получается разложение интегрального синуса
% 00
г== f sing .. = у (-1)* z2*+1
J g 2 2Й+ 1 (2Л+ 1)! ’ <6)
о *=о
сходящиеся также для всех конечных z. График six для действительных
значений аргумента изображен на рис. 153; пунктиром показан график произ-
водной. При х —> оо по положительной полуоси six стремится к пределу*)
ОО
I' sin х , л
S1OO==J “Г dx^^’ (7)
° \
но lim si z не существует, ибо z = оо является существенно особой точкой
z-> оо
si 2. Наряду с функцией si рассматривается функция
z
f sing . л
S1Z = J - -dg = siz------2~,
oo
а также интегральный косинус
z
f cos g
с,г- J—“t-
*) Интеграл (7), так называемый интеграл Эйлера, вычисляется в курсах
анализа, см. также пример 2 п. 73.
418 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ [70
2) Многочлен Лежандра Pn(z) определяется как коэффициент при wn
в тейлоровском разложении
~~г 1 =..... : = 1 + P\W + P2W2 + . . . + PnWn + ... (8)
V 1 — 2zw + ay2
Для определения этих коэффициентов дифференцируем (8) по w:
—7=====^ = Py+2P2w+ ... + nPnwn~l + ....
/(1 -2zw + w2)3
и сравниваем полученное разложение с (8):
(1 — 2zw + w2) (₽! + 2P2w + ... + nPnwn~l + ...)==
= (z — w) (1 + Ptw + P2w2 + ... + Pnwn + ...).
Теперь приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш; найдем:
4,2 __ 1
Pi = г, 2Рг — 2zPt = — 1 + zP} или Р2 —---------,
и, далее,
(« + 1) Pn+i — 2nzPn + (п — 1) Pn-i = гРп — Pn-i,
или
(« + 1) Рп+1 - (2п + 1) zPn + п.Рп-1 = 0. (9)
С помощью этой рекуррентной формулы по известным двум первым много-
членам Р\ и Р2 можно найти остальные.
3) Многочлен Чебышева Tn(z) определяется как коэффициент при wn
в разложении
— = 1 + V Тп (z) wn. (10)
4 — 4zw + w2 ' ' '
n=l
Покажем, что для любого натурального п
Tn (z) = —Ц- cos (n arccos z). ' (11)
2«—i
Для доказательства положим г = cos 2; разлагая левую часть в (10) на про-
стейшие дроби, имеем:
______4--g>.2. _____1 +______!____+_________!__
4 —4o>cosg+tt>2 , w _ir , w ir’
1 ~~2'e 1 ~~2~e
Обе дроби при любом фиксированном £ и достаточно малом по модулю w
можно разложить в геометрическую прогрессию по степеням w; будем тогда
иметь:
______4~™2.__________ 1 + У -С03Д1 wn
4 — 4w cos g + w2 2re-1
Сравнивая это разложение с выражением (10), получим
что и требуется.
Tn (cos 5) = cos nt,,
70] § I. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 419
4) Цилиндрическая функция первого рода /п(г) целого порядка п опре-
деляется как :--',эффициент при wn в разложении Лорана
е2\ w)= 2 Jn(z)wn. (12)
гг=—.оо
Функцию 1п (г) можно представить в виде степенного ряда. Для этого
г z 1
-- ——
2 2 w
достаточно перемножить ряды для е не ; имеем:
2 / 1 \ ОО ОО
Zi nl \2 J W Zi n! \2/ wn‘
n==0 n^O
Отсюда коэффициент при wn (n = 0, 1,2, ...) равен
(—l)ft f z\n+2k
ln = (n + fe)l fel (*2) ’
&=o
а коэффициент при —? (n=l, 2, ...) равен
(z) = (-1)» In (z).
Найдем теперь выражение для Jn (z) непосредственно с помощью формулы (2)
для коэффициентов ряда Лорана:
fn(z)=~
2л i
J-fr-j) dv
<0"+' ’
(14)
Преобразуем это выражение; для этого выберем в качестве С окружность
| и | = 1 и положим и = elt, получим:
2л
о
2л 2л
— 2^ / C0S ~ z S'n ----------2л J s*n ~ 2 s'n
о о
Но второй интеграл равен нулю, ибо по свойству интеграла от периодических
функций промежуток интегрирования (0,2л) можно заменить промежутком
(— л, л), а подынтегральная функция нечетна. Таким образом,
2л
Jn (z) = J cos (nt — z sin /) dt. (15)
о
Полученное соотношение, так называемый интеграл Бесселя, дает предста-
вление цилиндрической функции в виде интеграла и оказывается полезным
в некоторых задачах математической физики (см. также гл. VII).
420
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ
|70
5) Деление степенных рядов. Пусть даны два степенных ряда
00 оо
Л (г) =2^, f2(z)=% bnzn, (16)
п=0 п=0
причем = Ьо =,£= Q (для простоты письма мы считаем, что
центры рядов (16) совпадают с началом координат). В круге
|z|< R, где R — наименьший из модулей особых точек fifz),
li(z) и нулей f2(z), частное этих рядов, очевидно, снова пред-
ставляется в виде степенного ряда
00
Hz) = 7nJ=S v". <17>
п=0
Для фактического определения сп лучше всего пользоваться
соотношением
00 00 00
2 bnzn 2 cnzn = 2 anzn,
n=0 n=0 n=0
из которого, сравнивая коэффициенты, найдем:
boco=aQ, b0Ci+biC0^alt |
ЬоСп + btcn_ 1 -ф ... -\-bnCQ=an, ... J
Система (18) последовательно разрешается относительно
Со, Су, ..., с„, . •., ибо в каждом новом уравнении новый коэф-
фициент сп входит с множителем Ьо =/= 0.
_ . , . . sin г п
Для f(z)=tgz —----------, например, имеем a2fe = 0, azk+i
(—I)6
&2fe=;~(2fe)! ’ 62ft+1=0 и из (181 найДем:
1 2 17
U,=tgZ = z + -Z3+— г5 + — г?+ ...
(~ Dfe
(2k + 1)! ’
(19)
(общий закон построения коэффициентов довольно сложен).
Отметим, что ряды Лорана связаны с известными из ана-
лиза рядами Фурье. Пусть функция f(z) аналитична в кольце
1 — е < |z| <Z 1 + е; тогда в этом кольце она может быть пред-
ставлена своим рядом Лорана
оо
= 2 Cnzn,
п= —00
где
I Г f (Б) di
2я
О
(20)
70J § I. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 421
В частности, для точек z = elt единичной окружности мы
получим:
<p(f)=f(e“) = 5 спеш. (21)
П=— 00
Ряд (21) представляет собой ряд Фурье функции <р(/), запи-
санный в комплексной форме. В самом деле, мы имеем:
<р (t) = с0 + (спем + с_пе~м) =
1
оо
= -у- + (art cos nt + bn sin nt), (22)
n=l
где положено с0 — ай12, an — cn-\- c_n, bn = i(cn — c_n), и, сле-
довательно, на основании (20)
2л 2Я
aQ = — f <р (9) dQ, ап = ~~ Г <р (9) cos n9 </9,
Л» J ГС J
bn = J <р (9) sin п9 dQ.
о
Таким образом, на единичной окружности ряд Лорана для? (z)
является рядом Фурье для функции tp(t) —f (elt).
Пример. Найдем разложение в ряд Фурье функции
{____ о sin t . . . ।»
ф (0 = “i—и-------г-?—2 ( я < 0;
1 — 2а cos t + а2
для этого положим
функции
Корни знаменателя
дроби, получим:
ег/ = z и найдем разложение в ряд Лорана полученной
1-z2
f(z) = —
21
f г2 — (a + —z + 1 }
I \ a) )
равны zt — а, гг — —; разлагая f (z) на простейшие
I
422
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
{70
Представляя '~"аг 15
прогрессий, сходящихся
------—-----------г- в виде суммы геометрических
1_±
а а \ z /
при | г [ = 1 в силу условия | а|< 1, будем иметь:
ОО
п=1
Подставляя z = еа, получим искомое разложение Фурье
ОО
a sin t ,
---------——- = > a" sin nt (24)
1 — 2а cos t 4- а2 '
п=1
Вообще любой тригонометрический ряд
оо
-у- + J} (ап cos nz + bn cos nz) (25)
1
с комплексными коэффициентами и комплексным переменным z
после подстановки eiz~t переходит в ряд Лорана
2 с£п, (26)
П=— оо
где с0 = -^-, сп = °ге~ г&п , С-„ = ifc-(n= 1, 2, ...). Так как
по доказанному в п. 21 ряд Лорана сходится в некотором
кольце г <|^| < 7?, то тригонометрический ряд (25) сходится
в полосе 1п г < — у <z In R, параллельной действительной оси
(мы полагаем z — x-j- iy, тогда |£| = е~&). В этой полосе сумма
ряда (25) является аналитической функцией.
Наиболее важным для практики является случай, когда г —
= R = 1, т. е. когда полоса вырождается в прямую — действи-
тельную ось. В этом случае, как известно из анализа, ряд (25),
если он сходится, может представлять не только неаналитиче-
скую, но даже и разрывную функцию.
В заключение укажем полезное для приложений обобщение
рядов Тейлора, так называемые ряды Бурмана — Лагранжа.
Эти ряды получаются при разложении аналитической функции
по степеням другой аналитической функции w(z):
f(z)==d0 + dxw(z)+ ••• +rfX(z)+ ... (27)
Получим формулы для коэффициентов ряда Бурмана — Ла-
гранжа, обобщающие формулы для коэффициентов ряда Тей-
лора. Пусть f(z) и w(z) правильны в некоторой точке а, при-
чем w(z) имеет в этой точке нуль первого порядка. Выберем
замкнутый контур С, ограничивающий область D, так, чтобы D
70]
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
423
содержала точку а, обе функции были правильными в D и чтобы
w(z) в D принимала свои значения лишь один раз. Фиксируем
внутри D произвольную точку z и рассмотрим интеграл
f... НЕ) ..<(£)_
1 К ’ 2ш J w (?) - w (z) ’=•
С
По нашим предположениям подынтегральная функция, рассмат-
риваемая в зависимости от £, имеет в D одну особую точку
р f (z) w' (г) р , ,
£ — z — полюс первого порядка с вычетом —~'(z'
(см. п. 23). По теореме о вычетах рассматриваемый интеграл
равен, следовательно, f(z) и мы получаем формулу
_L f f (£) w' (?)
1 v > 2ni J и, (?) - да (z)
c
обобщающую интегральную формулу Коши.
Предположим еще, что точка z выбрана столь близкой к а,
что | q < 1 для всех точек $ на С (этого всегда можно
достигнуть нй основании сделанных выше предположений).
Тогда подынтегральную функцию в (28) можно разложить в
равномерно сходящийся ряд
f (?) w' (?)
W (?)
(28)
1
1 w W —
W (?)
_ f (?) w' (?)
w (?)
w (z)
wn (z)
Wn (?)
интегрируя который почленно, мы получаем ряд Бурмана —
Лагранжа (27) и видим, что его коэффициенты
= (п = 0, 1, 2, ...). (29)
2ш J wn+l (?)
Эти формулы обобщают формулы Коши для коэффициентов
ряда Тейлора.
Их легко преобразовать, заметив, что подынтегральная функ-
ция, по нашим предположениям, имеет внутри С единственную
особую точку £ = а — полюс порядка п-j-l. Вычисляя вычет
по формуле п. 23, находим выражения для коэффициентов ряда
Бурмана — Лагранжа
lim Ш w' ~ а)П+‘ } (п = 0, 1,2, ...), (30)
ш dz V w (г) )
обобщающие известные формулы Тейлора.
424
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ
[70
При п 1 формулы (29) можно преобразовать интегриро-
ванием по частям:
—
___1_ Г г (г) — ( —?— I rfr — !— I (Р_.
2nnZ J ' d£ I wn(t,) J S 2nni J wn(t) w(=
c c
и тогда вместо (30) аналогичным образом получим:
. 1 .. dn~' ( (г - а)п }
dn = ~— lim —j f' (z) —п—
п! z-ta dz Г w (z)
В качестве примера рассмотрим разложение f(z) = еЬг по степеням
w — ze~z; примем а = 0, получим: d0 — f(0) = 1 и по формуле (31):
. 1 dn~l ( . bz I z \п\ b{b + n)n~x
dn=— lim , 1 be°z ——] 1 =--------------.
nt z-»o dz 1 I \ ze 2 / > nt
(n=l,2, ...). (31)
Таким образом, искомое разложение имеет вид
В качестве следующего примера рассмотрим применение ряда Бурмана —
Лагранжа к задаче обращения степенных рядов. Пусть задан ряд
w — С]г + с2гг + ... +cnzn-)- ...,с1У=0, (32)
сходящийся в некоторой окрестности точки z — 0, и требуется разложить
функцию z(w), определяемую из этого ряда, по степеням w:
, z = djW + d2w2 + ... + dnwn + ... (33)
Это частный случай задачи, которую решает ряд Бурмана — Лагранжа.
По формуле (31) получаем коэффициенты ряда (33)
dn = — Hm-—— М- (« = 1,2,...), (34)
n! z->0 dz ' \ w ]
ибо в пашем случае f (г) в г и f'(z) = 1. Формулы (34) и решают постав-
ленную задачу.
Пример. Требуется найти разложение в ряд решения z(w) трансцен-
дентного уравнения
w = ze az
(~a}n
n!
Z«+1
По формулам (34) находим:
dn = — lim
dn~’
dz'1'1
eanz
(an)n-1
nl
n=o
и искомое разложение имеет вид
z
п-1
wn.
71) § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 425
71. Разложение мероморфных функций на простейшие дроби.
В п. 22 мы назвали мероморфной функцию f(z), все конечные
особые точки которой являются полюсами. Так как в любой
ограниченной области такая функция может иметь лишь конеч-
ное число полюсов (см. п. 22), то все ее полюсы можно пе-
ренумеровать, например, в порядке неубывания модулей:
«1, а2, •.., ап,
I а} |<1 «2 К • • <1 ап К • •
Будем обозначать через gn(z) главную часть f(z) в точке а„:
и через
т
g (г) = 2 ckzk (2)
к=1
ее главную часть в бесконечно удаленной точке (если послед-
няя также является полюсом). Функции gn(z) называются в
анализе простейшими дробями, a g(z)— целой частью f(z).
В анализе доказывается, что любую дробно-рациональную функ-
цию можно разложить на целую часть и простейшие дроби.
Приведем несколько более сильную теорему:
Теорема 1. Если мероморфная функция f(z) имеет лишь
конечное число полюсов aiy а^, ..., а, и, кроме того, a;+i — оо
является либо правильной ее точкой, либо полюсом, то эта
функция представляется в виде суммы своих главных частей*)
f (z) = Со + g (z) + 2 gn {z) (3)
n=l
и, следовательно, дробно-рациональна.
Для доказательства рассмотрим разность
ф (г) = f (z) — g (z) — 2 gn(z)-
n=l
Функция <p(z) правильна в любой точке ап, ибо из разложения
Лорана f(z) в окрестности ап главная часть устранена вычита-
нием gn(z), а остальные члены <p(z) аналитичны в этой точке. То
же рассуждение относится к точке z = оо, а в точках z ап,
У=оо все члены <p(z) аналитичны. Итак, функция <p(z) анали-
тична в замкнутой плоскости z и по теореме Лиувилля п. 24
*) Функция g(z) входит в разложение (3) лишь в том случае, если
z = оо является полюсом.
426
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
|7t
является постоянной. Формула (3) доказана, а из нее вытекает
после приведения всех дробей к общему знаменателю, что f(z)
является отношением двух многочленов, т. е. дробно-рациональ-
ной функцией.
Такого рода разложение можно построить и для произволь-
ной мероморфной функции. Однако в общем случае имеется
бесконечное множество главных частей, а конечная сумма (3)
заменяется рядом и возникает вопрос о сходимости этого ряда.
Вообще говоря, ряд (3) оказывается расходящимся, и для обес-
печения сходимости к главным частям приходится добавлять
некоторые выражения*).
Мы ограничимся доказательством этого утверждения для
случая, который имеет наибольшее практическое значение. Для
удобства формулировки условимся понимать под правильной
системой контуров {Сп} совокупность замкнутых кривых, удов-
летворяющих следующим условиям: 1) С\ содержит внутри
себя точку z = 0, каждый контур Сп находится внутри области,
ограниченной контуром Сп+Г, 2) кратчайшее расстояние dn от
точек Сп до начала координат неограниченно возрастает с рос-
том п; 3) отношение длины 1п кривой Сп к dn остается ограни-
ченным:
(4)
Имеет место
Теорема 2 (О. Коши). Пусть мероморфная функция
f(z) на некоторой правильной системе контуров {Сп} растет не
быстрее, чем степень z?, т. е. на всех Сп
| f (z) К Af| z |р, (5)
где М — постоянная и р^О— целое число-, пусть еще 2 = 0
не является полюсом f(z). В этих условиях f(z) можно пред-
ставить в виде
оо
f(z) = h (z) + 2 {gn (z) — hn (z)}, (6)
/г=1
где gn(z) — главные части f(z) и ее полюсах ап и
(7>
fe=0 fe=0
— многочлены степени не выше р**). Ряд (6) сходится при над-
лежащем порядке суммирования в любой правильной точке
*) В формуле (6) такими выражениями служат многочлены hn(z).
**) Многочлены й(х) и hn(z) представляют собой отрезки длины р тейло-
ровских разложений f(z) и gn(z) с Центром в точке г = 0 (см. замечание
в конце этого пункта). Если г = 0 является полюсом /(г) с главной
частью go (г), то разложение (6) справедливо для функции )(г) —go(г).
711
§ I. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
427
f (z), причем сходимость его равномерна в любой ограниченной
области, если отбросить в нем конечное число членов, имеющих
полюсы в этой области.
Для доказательства рассмотрим интеграл
1 Г f (g) Д
2ni J g — z ’
CN
где z— любая точка, лежащая внутри контура CN и отличная
от полюса f(z), и обозначим через cp(z) сумму главных частей
gn(z) по всем полюсам, лежащим внутри CN,
ф (z) = 2 gn (z)-
(СД
f (£)
Подынтегральная функция ' —— , рассматриваемая в зави-
симости от £, имеет своими особенностями точки ап и еще
точку £ = z— полюс первого порядка с вычетом f (z). Вычеты
f (С)
- в точках, лежащих внутри CN, равны, очевидно, вычетам
Ср (£) _
в тех же точках функции ; подсчитаем их сумму s. Функ-
Э 2
ф (?) <
ция ?_ - дробно-рациональна, и так как кроме точек ап она
имеет лишь одну особую точку ? = гс вычетом <p (z), то по теореме
о полной сумме вычетов s + <р(г) ф- с_] = 0, где с_, — вычет
в бесконечности (см. п. 24). Но так как степень числителя <р (£)
ниже степени знаменателя, то в окрестности g = оо
+ дг’ + • • •; следовательно, = 0 и
имеем
s = — ф (z) = - 2 ёп (?)
(СД
Таким образом, по теореме о вычетах наш интеграл
i J = (8)
(c.v) (c<v)
Если бы интеграл (8) стремился к нулю при Af-*oo, то функ-
ция f(z) представлялась бы сходящимся рядом простейших
дробей 2gn(z). Однако, так как в силу наших условий f(z)
на системе контуров Сп может возрастать как |zp, то инте-
грал (8), вообще говоря, не стремится к нулю. Излагаемый
ниже остроумный прием получения из (8) стремящегося к нулю
интеграла принадлежит Коши. Так как по условию точка z — О
428
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
является правильной точкой f(z) и лежит внутри CN, то в ра-
венстве (8) и его последовательных производных по z можно
положить z — 0, и мы получим систему уравнений
1 f Hl) К f™(0) v л , л
-----<‘ = 0’1' p} (9)
CW (Cjv)
(см. формулу для высших производных в п. 17). Умножая ра-
венства (9) на zh и вычитая их сумму из (8), получаем:
1
р k 1
k=0 J
= f (г) - й (z) - 2 {gn (z) - hn (г)}.
(CN)
Просуммировав геометрическую прогрессию, стоящую под зна-
ком интеграла в последней формуле, мы представим этот инте-
грал в виде
р _ gP+' Г t (а di
2ni J £(£-*)’
c.v
Оценим величину RN. Принимая во внимание, что | £| dN,
|£ ——|г|, будем иметь в силу условий, наложенных
на систему {С-<} и на f(z),
I z |p+1
lN МА
|z|p+1
2л
. (10)
Отсюда видно, что Як-»0 при 2V—>оо; следовательно, формула
(6) действительно имеет место при надлежащем порядке*) сле-
дования членов ряда, в нее входящего.
Остается показать, что ряд сходится равномерно в любой
ограниченной области D, если отбросить в нем члены, соответ-
ствующие полюсам, лежащим в D. Пусть для всех точек D бу-
дет |z[ < R. Тогда согласно (10) имеем:
|/?лг (2) К
AL4flp+1
(dN~R) 2lt
*) Именно, ряд (6) нужно суммировать, объединяя в один член сла-
гаемые, относящиеся к полюсам, лежащим между контурами Сп и Cn+i, и
располагая полученные члены в порядке возрастания п. Это следует из при-
веденного доказательства теоремы. В случае абсолютной сходимости ряда (6)
порядок следования членов не существен.
71]
§ I. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
429
откуда видно, что для любого е > 0 найдется число No, не за-
висящее от е, начиная с которого для всех N будет |/?N(z) | <
< е, а это и означает равномерную сходимость ряда (6). Тео-
рема доказана.
Замечание. Доказанная теорема обобщается на случай
произвольной мероморфной функции f(z) в следующем виде:
Теорема (Митт а г — Леффлер*)). Пусть
"п
hn (z) = У
/г=0
^fe)(0) k
k\
(11)
есть отрезок тейлоровского разложения главной части gn (z)
произвольной мероморфной функции f(z), правильной в точке
z = 0. Тогда существует такая последовательность целых чисел
р\, р2, .... рп, ••• и такая целая функция h(z), для которых
остается справедливым разложение (6).
Справедлива и следующая, обратная
Теорема (Миттаг-Леффлер). Для любой последова-
тельности комплексных чисел ап-* оо и для любой последова-
тельности главных частей gn (z) существует последовательность
целых чисел рп такая, что ряд
f(z)=2 {gn (z) — hn (г)},
n=l
где hn(z) определяется no формулам (11), равномерно сходится
в любой ограниченной области, если отбросить в нем члены,
относящиеся к полюсам, принадлежащим этой области. Функ-
ция f(z) мероморфна, имеет своими полюсами точки ап и только
эти точки, причем ее главная часть в полюсе ап равна grt(z).
Приведем несколько примеров разложения мероморфных функций в ряд
главных частей.
Мероморфная функция
t . е‘г + е~‘г
Ctg Z = l —:-----r*-
e,z _ e-<z
имеет полюсы первого порядка в точках z = 0, ±ш, ±2л/, ... Покажем,
что на системе окружностей Сп : | z | = (re + л, эта функция ограничена.
В силу периодичности функции достаточно доказать ее ограниченность в по-
лосе 0<Rez<n с исключенными полукругами |г — л| <r, |z| < г. Имеем:
*) Магнус Миттаг-Леффлер (1846—1927)—шведский математик.
Доказательство сформулированных теорем можно найти, например, в книге
Б. В. Шабата [10].
433
ГЛ, V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К А!..'ЛИЗУ
следовательно,
при
z/>l
I ctg z I
I Ctg z К
l+e2y
1 — e2y
t +e~2
1 — e~2
1 + <
1 - e~*>
1 +e~2
1-e-2 ’
при y< — 1
В той же части области, где —
|ctgz| ограничен в силу свойств непрерывных функций. Наше утверждение
доказано и, следовательно, в теореме Коши можно принять р = 0.
В точке д = 0 главная часть ctg г равна —, причем функция
a
f (г) <= ctg г — у
при г->0 стремится к пределу 0 (это следует из нечетности f (г) и ее не-
прерывности в точке г = 0). Вычет f (z) в полюсе гп = яя (п— ±1, ±2,
равен I, следовательно, стп(г) =-------, Формула (6), которая для нашего
г — мл
случая имеет р — 0 имеет вид:
дает
ОО
f(z) = /(O)+ 2' fen(2)-ffn(0)} *),
n=s—ОО
(12)
Ряд (12) оказывается абсолютно и равномерно сходящимся в любой ограни-
ченной части плоскости |г| < R после удаления из него членов, которые
имеют полюсы в этой части. В самом деле, для общего члена ряда справед-
лива оценка
I г | = 1 И < R . _L
(г — пл) пл п2 I z I "" ( R \ п2 ’
л л-----л I л--------
I п I \ « /
СО
, , 1 Я V' 1
где коэффициент пристремится к конечному пределу а ряд 7j
сходится. Отсюда, в частности, следует, что в ряде (12) можно произвольно
менять порядок членов. Объединяя члены с индексом п и — и, получим:
ОО 00
+ + = 7 + (13)
и=1 п—\
Отметим еще формулы, которые получаются из (12) и (13) заменой z на nz:
оо оо
. 1 , V1' /1 , 1 \ 1 , V 2г
nctgnz =---Р у (---------— --------F у —5-----(14)
z hi \г-п п/ г —J г2- tr
n=—tx> п=1
*) Штрих над знаком суммы показывает, что при суммировании исклю-
чается индекс п = 0.
72]
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
431
Заменяя в (13) z через
1
iz и сокращая все на —, получим:
ОО
cth z = — + V 2 •
z г2 + п2л2
П=ав1
(15)
Отсюда следует:
1
ег — 1
ОО
1 , 1 х, z 1 , 1 , V 2г
2 + 2 Cth 2 2 + z + z2 + 4п2л2 ‘
п=1
(16)
Из формулы tg Z = — ctg
tgz = - 5}
П=1
и из (13) получаем также:
2п—1
2---2~я
1 ( , z . , z\
у Ictgy + tgyl выводим:
(17)
Аналогично из формулы —:—
r sin z
ОО оо
—=—+У (-1)п(—-— + —^=-+У (-о" -г2z— (is)
n z z \ г—пл г-^-пл) z J-l z2 — п2л2
п—1 П=1
Дифференцируя ряд (12),— это возможно по
будем иметь *):
теореме Вейерштрасса (п. 19), —
___1
sin2 z
ОО
J-+ у'_________!___
Z2 Jaj (г — пл)2
п== —оо
1
(z — пл)2 ‘
(19)
1
72. Разложение целых функций в бесконечные произведе-
ния. По теореме Лиувилля (п. 17), всякая ограниченная це-
лая функция является постоянной. Если целая функция f(z)
имеет в бесконечности полюс n-го порядка, то она является
многочленом степени п. В самом деле, если g(z) — c[z-!r
+ c2z2+ ... + cnzn — главная часть разложения f(z) в беско-
нечности, то в силу той же теоремы f(z) — g(z) — с0 является
постоянной.
Как известно из алгебры, любой многочлен п-й степени имеет
п нулей и представляется в виде произведения линейных мно-
жителей, соответствующих этим нулям:
п
f (г) = A' (z — fl-j) (z — a2) ... (z — an) = A TT (1 — , (1)
fe=l
*) Разложения (13) — (19) были получены еще Л. Эйлером; он указал
их в 1742 г. в письме к И. Бернулли.
432
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[72
где ак — нули многочлену f(z), А и А' — некоторые постоян-
ные*). Целая функция может вовсе не иметь нулей (например.
ez), может иметь и бесчисленное их множество (например,
sins). Целую функцию f(z), не имеющую нулей, можно пред-
ставить в виде
f(2) = e«W (2)
где g(z)— целая функция. В самом деле, если целая функция
Г (г}
f(z) не имеет нулей, то = {Inf (z)}' также является це-
лой, а тогда, интегрируя эту целую функцию, получим целую
функцию Inf(z) = g(z).
Если целая функция f(z) имеет лишь конечное число нулей
й1, аг, .... ап (каждый выписывается столько раз, какова его
кратность), то частное от деления f(z) на (z — aj ... (г — ап)
будет целой функцией, не имеющей нулей. Следовательно, его
можно будет представить в виде (2), и мы получим:
п
f(z) = e«u)(z-ai)...(z-a„) = Ae«wQ(l(3)
fe=iх к/
Для целых функций, имеющих бесконечное число нулей, можно
построить аналогичные формулы, в которых, однако, вместо
конечных будут участвовать бесконечные произведения и воз-
никает вопрос об их сходимости.
Приведем сначала основные определения и факты, относя-
щиеся к числовым бесконечным произведениям. Пусть дана по-
следовательность комплексных чисел {1 сД, ни один член ко-
торой не равен нулю. Если произведение
п
и„ = П(1 + сй)
при н —* оо стремится к пределу, отличному от нуля, то говорят,
что сходится бесконечное произведение
оо П
П = П(1+^)= lim II(H-cfe), (4)
fe=l П->ОО k=i
а предел П называют величиной произведения.
Очевидно, условие lim сп = 0 есть необходимое условие схо-
П->оо
димости, ибо
1+^ = 1^- и lim Пп = Ит Пп-1 =/= 0.
—1 П->ОО П->ОО
*) При переходе ко второй форме записи мы считаем, что точка z = 0
не является нулем /(г).
721 § 1, РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 433
Далее, при подходящем выборе ветвей логарифма имеем:
5„ = 1пП„= 2 In (1 +
fe=i
Если при каком-нибудь выборе значений ln(l + cfe) ряд
ОО
21п(1 + са) сходится, т. е. существует limSa==S, то тогда
fe=l п->оо
и П„ = eSn стремится к пределу П = es, т. е. сходится и бес-
конечное произведение (4). Заметим, что из сходимости ряда
логарифмов вытекает, что 1п(1при k—>оо, а отсюда
следует, что, начиная с некоторого k, значения Im In (1 -|- ск)
заключены между —л и л, т. е. 1п(1 — главные значения
логарифмов.
Наоборот, если бесконечное произведение сходится, т. е.
П,,—»-П#=0, то, выбирая значения 1п(1-|-сй) так, чтобы при
п
любом п сумма 21n(l+cJ давала главное значение 1пП„,
<t=i
мы получим, что существует lim Sn = lim In П„ = In II, т. e.
oo n-> oo
сходится ряд из логарифмов*). Таким образом, доказана
Теорема 1. Для сходимости бесконечного произведения
п = Пп+^)
k=i
необходима и достаточна сходимость ряда
оо
S=2ln(l + c*)
А=1
при надлежащем выборе значений логарифмов. При этом
П == es.
Бесконечное произведение, содержащее равные нулю мно-
жители, называется сходящимся к нулю, если после удаления
всех таких множителей оно остается сходящимся в старом
смысле. Равенство (4) тогда сохраняется, если считать П — 0.
При таком определении остается в силе свойство конечных про-
изведений обращаться в нуль лишь в том случае, когда равен
нулю хотя бы один из множителей.
Если ряд из логарифмов множителей бесконечного произве-
дения оказывается абсолютно сходящимся, то это произведение
*) Чтобы удовлетворить нашему условию выбора ветвей логарифмов,
достаточно всякий раз надлежащим образом выбирать значение последнего
слагаемого суммы ln(l ~t~ сп). Из сходимости ряда логарифмов на основании
проведенного выше рассуждения следует, что, начиная с некоторого k, все
выбранные значения логарифмов будут главными.
434 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
|72
также называется абсолютно сходящимся. На основании тео-
ремы 1 заключаем, что справедлива
Теорема 2. В абсолютно сходящемся произведении можно
произвольным образом изменять порядок множителей, не ме-
няя величины произведения.
Далее, справедлива
, Теорема 3. Для абсолютной сходимости бесконечного
оо
произведения Ц(1+^) необходима и достаточна абсолют*
со
ная сходимость ряда У ck.
fe=i
В самом деле, так как у нас Игл сА==0 (и в случае сходи-
А->оо
мости ряда и в случае сходимости произведения), то, начиная
с некоторого k, | ck |< -у. Тогда
1П О + М
ck
2
ck . ck
2 “Г 3
и, следовательно,
1 1п0+О з
2 ck 2
По известной теореме сравнения рядов отсюда вытекает, что
ОО 00
ряды 2 I In (1 + с/D I и 2|cft| сходятся или расходятся одно-
fe=l Й=1
временно. А по определению сходимость первого из этих рядов
эквивалентна абсолютной сходимости произведения.
Понятие о сходимости бесконечных произведений естествен-
ным образом распространяется и на бесконечные произведения,
составленные из функций. Произведение
П{1
t=i
называется сходящимся в некоторой области D, если в каждой
точке Zo этой области числовое бесконечное произведение
со
П {1 +/fe(2o)} сходится или сходится к нулю в смысле приня-
А=1
того выше определения.
После этих кратких сведений мы можем возвратиться к воп-
росу о разложении целых функций в бесконечные произведения,
множители которых соответствуют нулям этих функций (обоб-
щение разложения (3)). Заметим, что если целая функция /(г)
72] § 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ 435
(не равная тождественно 0), имеет бесчисленное множество
нулей, то эти нули образуют последовательность, сходящуюся
к бесконечно удаленной точке. Действительно, в противном слу-
чае можно было бы выделить последовательность нулей f(z),
сходящуюся к конечной точке плоскости, в которой f(z) по ус-
ловию правильна, и по теореме единственности п. 20 f(z) была
бы тождественно равной нулю.
Пусть bi, b2, .... Ьп, ... будет последовательность нулей
f(z), расположенная, например, в порядке неубывания их моду-
лей. Через тп мы обозначим порядок нуля Ьп и через аь
а2, ..., — последовательность, составленную из тех же нулей,
но так, что каждый нуль записывается столько раз, какова его
кратность. Составим логарифмическую производную функции
f(z):
v f (z) dz 1 ' ' /J
Как было доказано в п. 23, она имеет особенности лишь в точ-
ках Ьп, являющихся ее полюсами первого порядка с вычетами,
равными тп; следовательно, G(z) является мероморфной функ-
цией.
Разложение G(z) на простейшие дроби тесно связано с раз-
ложением f(z) в бесконечное произведение. Именно, имеет место
Теорема 4. Пусть логарифмическая производная целой
функции f(z) на некоторой правильной системе контуров рас-
тет не быстрее, чем гР~\ где р 1 — целое число. Тогда для
функции f(z) справедливо разложение вида
°° —+—(~)2+ 1 1 ( г V
f(z) = zmes^ р\ап1 , (5)
где ш^О— порядок нуля f(z) в точке z = 0, g(z) — некото-
рый многочлен степени ^р и ai, а2, ..., ап, ... — последова-
тельность нулей ffz), в которую каждый нуль входит столько
раз, какова его кратность.
В самом деле, предположим сначала, что г = 0 не является
нулем функции f(z). Тогда по теореме 2 предыдущего пункта
ее логарифмическая производная G(z) допускает разложение'
вида
436
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
|72
ибо тейлоровские разложения главных частей G(z) в нашем
случае имеют вид:
тп
z~bn
тп 1 __ _ тп Г. , z , / z V
Ъп । _ z Ьп [ Ьп \ Ьц J
Ьп
В силу равномерной сходимости разложение G(z) можно по-
членно интегрировать вдоль любой линии, соединяющей точку
z = 0 с произвольной точкой г и не содержащей нулей /(г).
Получим:
р-i
in ш=in но)+у; z*+i+
А=0
где значения логарифмов определяются линией интегрирования.
Разбивая n-е слагаемое последней суммы на тп одинаковых
слагаемых, мы можем переписать разложение (6) в виде
°° ( / 2 [ 1 ( г У21-
ln/(z)==g(z) + ^1п|(1 ~
п— 1
••• +— (—Y
р \ап!
где g(z)— многочлен степени На основании теоремы 1 от-
сюда следует сходимость к функции f(z) бесконечного произве-
дения
°° / 2 \2 . Д-— (—\р
Ш = её(г)JJ (1 (7)
во всех точках, которые не являются нулями этой функции. Но
в йулях f(z) бесконечное произведение, очевидно, сходится
к нулю, и, следовательно, формула (7) справедлива для всех
конечных точек г.
Если z — 0,является нулем /(г) кратности т, то достаточно
применить наше рассуждение к функции f (z)/гт и мы получим
формулу (5). Теорема доказана.
Замечание 1. Доказанная теорема обобщается на случай
произвольной целой функции в следующем виде:
Теорема (К- В е й е р ш т р а с с). Существует такая целая
функция g(z) и такая последовательность целых чисел р)(
р2, • • • > Рп, ..., что имеет место формула
°» 2 . 1 f 2 )2i ... I 1 ( г \Рп
J(z) = zme«<2)TT(l——)евп 2|'ап) рп \ап! , (8)
Л. JL \ ап /
П=1
72]
§ 1. РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯДЫ И БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ
437
Справедлива и обратная
Теорема (К. Вейерштрасс). Для любой последова-
тельности*) комплексных чисел ап, сходящейся к бесконечно-
сти, можно найти такую последовательность целых чисел рп,
что бесконечное произведение (8) сходится и определяет целую
функцию f(z), которая имеет своими нулями точки ап и только
эти точки, причем нуль ап будет такой кратности, сколько
имеется в последовательности членов, равных ап.
Замечание 2. Представимость целой функции формулой
(5), а не общей формулой (8) можно было бы доказать при
следующем, более естественном условии: существует такое це-
лое положительное число р и такая постоянная М > 0, что для
всех z
\f(z)\^Me^P. (9).
Функции, удовлетворяющие этому условию, называются целыми
функциями конечного порядка**).
На основании второй теоремы Вейерштрасса легко доказать,
что любая мероморфная функция f(z) представляется в виде
отношения двух целых функций. В самом деле, построим целую
функцию fz(z), имеющую в каждом полюсе f(z) нуль такого
же порядка (это можно сделать на основании упомянутой тео-
ремы), тогда произведение f(z)f2(z) будет целой функцией,
скажем fi (г), и
?(*)=£>• (10)
Приведем несколько примеров представления целых функций в виде бес-
конечных произведений***). По формуле (12) предыдущего пункта логариф-
мическая производная синуса представляется рядом
п v * 1 । V' ( 1 । 1 \
(In sin z) = ctg z --p 7,-----------------.
' 6 z —J \ Z — ПЛ ПЯ J
П——ОС
Интегрируя ctg г —— вдоль пути, соединяющего z = 0 с точкой z /гл, и-
потенцируя, получаем:
П~—ОО
*) Среди членов последовательности могут быть и равные в любом
конечном числе раз. Доказательство этих теорем можно найти, например,
в книге Б. В. Ш а б а т а [10].
**) Порядком целой функции f(z) называется нижняя грань таких по-
I f (г) I
ложительных чисел р, что - ' остается ограниченным при z->°o; на-
I е I г
пример, sin z — функция первого порядка, функция ее — бесконечного по-
рядка.
***) Все эти представления были известны еще Л. Эйлеру (см. сноску
на стр. 431).
438
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
(73
(штрих при символе бесконечного произведения обозначает, что выпускается
индекс п = 0).
Если воспользоваться вместо (12) формулой (13) предыдущего пункта,
то получим аналогично
ОО
sin z
Z
(12)
Отметим еще формулы, которые получаются из (11) и (12) заменой г на яг:
sin nz
nz
'-Ж
(13)
Заменяя в формуле (12) z на iz, получаем:
Al = TT(i+—)
n=I
(14)
’Используя формулу (16) предыдущего пункта, находим разложение логариф-
мической производной функции ez — 1:
ег _ , 1 _ 1,1 < V 22
е2 — 1 ”t'e2—1 2 г z1 + 4я2и2 ’
n=l
^интегрируя и потенцируя это соотношение, получаем:
z °°
ez - 1 - zeT ТТ (1 + -ДЦ. (15)
I I \ 4л2п2 /
п=1
т-r sin 2г , , /tn. *
Представляя COS2:==“2^in— и ПОЛЬЗУЯСЬ формулой (12), после разбиения
числителя на два произведения (по четным и нечетным множителям) и со-
кращения получаем:
оо
cosz^^fl-p^p^). (16)
П=1
§ 2. Приложения теории вычетов
В этом параграфе рассматриваются применения теоремы
п. 23 о вычетах и о логарифмических вычетах к вычислению
определенных интегралов и подсчету числа нулей.
73. Вычисление интегралов. Сущность методов вычисления
интегралов, основанных на применении теоремы о вычетах, со-
стоит в следующем. Пусть требуется вычислить интеграл от
действительной функции f(x) по какому-либо (конечному или
бесконечному) отрезку (а, Ь) оси х. Мы дополняем (а, Ь) неко-
торой кривой С, вместе с (а, Ь) ограничивающей область D, и
73} 5 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 439
аналитически продолжаем f(x) в D. К построенному аналитиче-
скому продолжению f(z) применяем теорему о вычетах и, сле-
довательно, находим:
ь
j f (х) dx + | f (z) dz = 2n,i R, (1)
a c
где R— сумма вычетов f(z) в области D. Если интеграл по С'
ь
удается вычислить или выразить через искомый интеграл J , то
а
Ъ
задача вычисления J будет решена.
а
В некоторых случаях вспомогательную функцию /(г) выби-
рают так, чтобы заданная на (а, Ь) функция была ее действи-
тельной или мнимой частью; тогда искомый интеграл находится
соответственно отделением действительных или мнимых ча-
стей (1).
Описанный метод ясно показывает значение теоремы Коши
о вычетах, сводящей вычисление интегральной величины — ин-
теграла по контуру — к вычислению величин дифференциаль-
ных— вычетов f(z) в ее особых точках. Вычисление последних
значительно более просто, в особенности для полюсов, когда
можно воспользоваться формулами (3) или (5) п. 23.
В случае бесконечных отрезков (а,Ь) обычно рассматривают
семейства неограниченно расширяющихся контуров интегриро-
вания, которые строят так, чтобы в результате предельного пе-
рехода получить интеграл по (а,Ь). В этом случае интеграл по
С' в соотношении (1) можно не вычислять, а лишь найти его
предел, причем часто оказывается, что последний равен нулю.
В некоторых примерах оценку интеграла по С' можно про-
изводить по следующей лемме.
Лемма (К. Жордан). Если на некоторой последователь-
ности дуг окружностей CR ’.\z\=Rn, 1тг>—a (Rn-^><x>,
а — фиксировано) функция g(z) стремится к нулю равномерно
относительно argz, то для любого положительного числа X
lim f g (z) eiKz dz = 0. (2)
H~>00 J
Cp
Обозначим z = x-[-iy = rel<f, M„ = max| g (z) | и a„ == arcsin-^-.
Cr
n
По условиям леммы Af„—>0 при n->oo, an также стремится
к нулю, причем anRn->a. Пусть aj> 0; на дугах АВ и CD
440
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
|73
(рис. 154) имеем | eiKz | = е~Ку е°\ следовательно,
g(z)eiKzdz ^MneaKanRn
АВ, CD
и интеграл по этим дугам стремится к нулю при п->оо.
На основании известного неравенства *) sin <р спра-
ведливого при мы заключаем, что на дуге BE
2KRn
следовательно,
"/2 2KRn
j ^MnRn J e "
BE 0
и J также стремится к нулю при п—>оо. Если на дуге СЕ
BE
•отсчитывать полярный
И
угол от отрицательной полуоси по часо-
вой стрелке, то для
J получится
СЕ
такая же оценка и утверждение лем-
мы будет доказано. В случае а 0
доказательство упрощается, ибо бу-
дет излишней оценка интеграла по
дугам АВ и CD. Лемма доказана пол-
ностью.
Последовательность дуг окружно-
стей CR в лемме можно заменить
п
семейством дуг Сй: 1-21 = /?, Imz>
тогда, если функция g(z) при /?->оо
> —a (Ro < R
стремится на CR к нулю равномерно относительно argz, то для
любого положительного числа К
lim g (z) eiKz dz = 0.
«-><>□ J
(3)
.Для этого случая проведенное доказательство остается в силе.
*) Для доказательства этого неравенства достаточно заметить, что
/ sin <р V cos ср , , . (п л \
I----— I =------- (ф — tg <р) отрицательна на интервале 10, — I и что, следо-
. sin ф _ „
вательно, функция —-— убывает на этом интервале. Неравенство выражает
выпуклость синусоиды на интервале fo,
73]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
44 X
В следующей главе лемма Жордана потребуется нам в не-
сколько видоизмененной форме. Заменим переменное iz — р,
тогда дуги окружностей леммы заменятся дугами CR : | р | = R,
Rep<Za (рис. 155), и мы получим, что для любой функции
F(p), стремящейся на Сп к нулю при >оо равномерно отно-
сительно arg р, и для любого положитель-
ного t ®
lim
j F (р) ept dp = 0.
CR
Заменяя в (4) p на —p, мы получим, что
в тех же условиях для любого отрицатель-
ного t
lim [ F (р) epl dp = 0, (5)
7?-»oo “
где С'ц — дуга окружности ]р| = /?, Rep>a (рис. 155).
Общий метод вычисления интегралов с помощью теории вы-
четов мы проиллюстрируем на отдельных конкретных приме-
рах. Начнем с вычисления интегралов от произведения дробно-
рациональной функции на синус или косинус.
Пример 1. Для вычисления интеграла
(Лаплас)
cos х dx
о
мы выберем вспомогательную функцию
е1г
J- «2
f(z)
и контур, указанный на рис. 156. Так как функция g (г)
влетворяет неравенству ] g (z) | < 1 ,
на с» УД°'
то она равномерно стремится
к нулю при R-> оо, и по лемме Жордана, при /?->оо
J / (г) dz — J g (г) eiz dz -> 0.
CR CR
Для любого R>a имеем по теореме о вычетах
f eix dx
J х2 + а2
-R
+ f = 2л/
J 2ai
CR
442
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
!73
(вычет в единственной лежащей внутри контура особой точке z — ai функ-
ции f (z) — полюсе первого порядка — находим по формуле (5) п. 23). В пре-
деле при R -> оо получим:
ОО
е1Х dx я
х2 + а2 аеа ‘
— ОО
Отделяя действительные части и используя четность функции, найдем иско*
мый интеграл
оо
cos х dx я
х2 + а2 2аеа ’
о
Пример 2. Для вычисления интеграла (Эйлер *))
dx = si оо
(6)
о
(см. п. 70) мы возьмем вспомогательную функцию
1<онтур интегрирования выберем, как указано на рис. 157; точка z = 0
обходится малым полукругом ст, ибо она — особая точка f (г). По тео-
реме Коши
—Я
J-a
CR
J — 0. Для оценки J рассмотрим
CR сг
лораповское разложение f (z) в окрестности z = 0; это разложение имеет вид:
, , , О'?)2
2
Z
Из леммы Жордана видно, что lim
f(z)
7 + Р(2)’
где Р (г) — непрерывная в точке z = 0 функция. Отсюда видно, что
о
J V-+JP(2)d2= J —^-+О(г) = -/л+О(г) **).
ст сг сг " Ге
*) Интеграл (6) обычно связывают с именами Лапласа или Дирихле;
однако он был впервые вычислен Эйлером в работе 1781 г.
**) Через 0(a) мы обозначаем функцию, бесконечно малую при а->0.
73]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
413
Таким образом, теорему Коши можно записать в виде
R
eix dx . f eix dx . , „ , . . _ / 1 \
—_+J—_ = m + 0(r) + 0(-).
—R r
R
f e~ix
Заменяя в первом интеграле х на — х, получим, что он равен—J —— dx,
г
и, объединяя его со вторым интегралом, будем иметь:
R
е~{х
----dx = /л + О (г) + О
В пределе при г -> 0 и R -> оо получим окончательно:
si оо =
sin х
х
. л
dx=s~2
(7>
Приведем далее несколько примеров вычисления интегралов, содержа
щих показательную функцию.
Пример 3. Для вычисления интеграла
(Эйлер)
ОО
f eojr dx
J 1 +e*
— 00
мы рассмотрим функцию
Paz
и воспользуемся тем ее свойством, что когда г получает мнимое прира-
щение 2л/, она умножается на постоянный множитель е2л,°. В соответствии
с этим будем интегрировать f (г) по контуру прямоугольника, как указано
на рис. 158. Внутри него f (z) имеет один полюс z — ni первого порядка
с вычетом с-i =---— —— еат; следовательно, по теореме о вычетах
еп‘
I+ .[ + 1 +/=-2я/еаЧ
I II III IV
Имеем:
R —R R
f f еах dx f f eo(x+2ni) f eax dx
На отрезках II и IV соответственно
If (2)1 =
ea (R+iU)
1 + eR+iy
eaR
eR — 1 1 — e~R '
If (2)1 =
ea(—R+it/>
1 + e~R+iy
e~aR
1 — e~R
444
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ к АНАЛИЗУ
[73
следовательно, при /? -> оо оба интеграла J и J стремятся к нулю, если
II IV
потребовать, чтобы было 0<а<1. Таким образом, прн 0<а<1
Л
(1 - е2ал{) [ + О Ш--------2л1еап1
J 1 -г е \ К /
—Л
и в пределе при R -> °° получаем искомый интеграл
00
еах . 21
-------ах = п-------:--------г
I + е* еат _ e~ani
— оо
Л
sin ал
(0<а<1).
(8)
Пример 4, Для вычисления интеграла (Пуассон)
J е ax* cos bxdx
о
рассмотрим функцию
Ш=е-Я2’
и заметим, что ее интеграл по действительной
оси вычисляется на основании известного резуль-
тата (erf оо = 1, см, п. 70), а на прямой y — h она
обращается в функцию е~а , e~ax\cos 2ahx — i sin 2ahx), действи-
тельная часть которой при й = -А- отличается от подынтегральной функции
постоянным множителем. В соответствии с этим мы выбираем контур инте-
грирования, как указано на рис. 159. По теореме Коши
j + j + J + J-o. (9>
I II III IV
Здесь
Л лУа Л
f = f e~ax2dx = ^ Г e-^dt, f = -ev‘ia [ e~axle~ibx dx,
I —R a 0 III -R
на отрезке И и IV, где х = ± R,
| е-аг2 | = е-а (Л2-у2) еЬг14ае~аЛ2.
следовательно, если а>0 (что мы и предположим), то J ->0 при R->oo.
II, IV
В пределе при R -> оо из (9), используя известное значение erf оо = 1 (п. 70),
находим:
00
^-е^а f e-ax!e~il,xdx=O,
— 00
731
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
445
откуда, сравнивая действительные части, имеем окончательно:
00
J е~ах‘ cosbx dx — -Ь (a>0). (10)
о
Пример 5. Для вычисления интеграла (Лежандр)
00
мы возьмем вспомогательную функцию
eiaz
е№г - 1
Г (г)
(ее удвоенная мнимая часть на оси х равна подынтегральной функции) я
проинтегрируем ее по контуру, показанному на рис. 160. Так как f (х + <) =
= e~af (х), то интегралы по нижней и верхней границам можно объединить
R
в один: (1 — е a) j f (х) dx, интеграл по от-
Г
резку х = Р стремится к нулю при R -> оо (см.
пример 3), на отрезке х = 0 полагаем z = iy.
Тогда по теореме Коши
У
Рис. 160.
R 1-г
где I и II означают дуги окружностей (см. рис. 160). Вблизи точки z — i
имеем:
Иг)
eia~ = е~а + с, (г - I) + ... = е~а 1 , р
е2л(г-<)_| 2л (г — i) + с'2 (г — г)* 2 + ... 2л z — i
где Р (г — i) — правильная в точке г = I функция; так как на дуге I имеем
г — i + ге1ф; dz — rlel'f dtp, то
—л/2
_ е~а Г rie^ dtp
2 л J ге1<₽
+ 0(г)
= - + О (г).
о
Аналогично J — J / dtp + О (г) = —+ О (г), и равенство (11) прини-
II Л/2
маег вид
R 1-г
а-е-^У^У _^_^ + ±(1 + е-а) + 0(г) + 0Ш.
Г г
446 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ [73 ’
Отделим здесь мнимую часть и перейдем к пределу г->0, /? -> оо; учи->-‘
тывая, что i
i-r 1-r *
„—НУ 1
-dy = — (е-“ - 1) + О (г),
2 2а
е~ау dy
e2^iy _ j
будем иметь окончательно:
со
Г sin ах . 11+ е~а 1 , „ л.
е пх-------dx —-------——--------(а > 0).
J sh пх 2 1 — е а
о
(12)
Пр и м е р 6. Для вычисления интегралов (Эйлер *))
оо оо
Zj = J cos х2 dx, 12 — J sin x2 dx
о 0
мы выберем вспомогательную функцию
f (z) = elz*
и контур, указанный на рис. 161. На дуге CR после замены z2 = £ получим:
J f (z) dz = j*
где CRi — четверть окружности радиуса /?2; следовательно, по лемме Жор-
дана этот интеграл стремится к нулю при R -» оо. По теореме Коши, если
на О А положить г = х, а на ОВ: г — tV i, имеем:
R о
j е1Х> dx + | + Ki j e~i2dt — о.
о CR R
Переходя к пределу при R -> оо и пользуясь зна-
чением erf оо = 1, получим:
оо
I ix.2 1 i/T V Л
etx dx = V i -j--
о
Отделяя здесь действительные и мнимые части, найдем:
ОО
J cos х2 dx =
о
со
Jsinx2 dx = |)/|.
о
(13)
*) Интегралы впервые были вычислены Эйлером в 1781 г.
74] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 447
С интегралами (13) связаны специальные функции — так называемые инте-
гралы Френеля
х х
S (х) = [ dt, С(х) — f dt. (14)
J V2nt J V2nt
В самом деле, подстановка t = т2 дает:
S (х) = J sin т2 dx, С (х) = J cos т2
о о
и следовательно, формулы (13) можно записать в виде
S (оо) = С(оо) = 1 (15)
74. Вычисление интегралов (продолжение). Начнем с вычисления инте-
гралов, содержащих многозначные функции.
Пример 1. Для вычисления интеграла
ОО
f In х dx
J (x2+l)2
0
мы возьмем вспомогательную функцию
' v ~ (z2 + I)2
и контур интегрирования выберем, как в примере 2 предыдущего пункта *)
(см. рис. 157). Внутри этого контура логарифм допускает выделение одно-
значных ветвей; In z пусть означает ту ветвь, которая определяется нера-
венствами 0<argz<n. Функция f (z) имеет в точке z = i полюс второго
порядка с вычетом
,. , d „, , , .,п Г d In z ] л + 2z
с"‘ = 17(2) (г ~ ° 1= [17 й+7р-Ц = —~•
По теореме о вычетах
-г Я
НФН-т
-Я Сг г CR
При z = Rel<f, 0< ф< л имеем, начиная с достаточно большого R, | In z | =
= /1п2 R -ф ф2 2 In R; следовательно,
CR
*) Мы окружаем z = 0 малым кружком, чтобы исключить особенность
функции f (z).
448
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
Р4
-> оо. Аналогично при z = гегч>, 0 < <р < л, начиная с доста-
И J
CR 1
точно малого г, | In z | 2 In — ; следовательно,
и этот интеграл также стремится к нулю при г-»0. В первом интеграле
после замены z = — х получим:
-Г Я
f f In х 4- л/ ,
J = J ~(s+wdx’
-К г
и, таким образом, в пределе при г->0, R -> оо будем иметь:
СО СО
„Г In х dx . ( dx л21 л
J (х2+ I)2 + Ш J (х2+ I)2 ~~1 2-
о о
Сравнение действительных частей *) дает искомый интеграл
л
Т'
I In х dx
J (х2+1)2
о
Пример 2. Для вычисления интеграла
(О
( In х dx
J (x + a)2 + b2
о
мы выберем вспомогательную функцию f (z) =
In2 z
= т----:—и контур, указанный на
(zi 4- а)2 4- Ь2
рис. 162 (внутри контура In z однозначен, если считать 0<argz<2n).
На верхнем и нижнем берегах разреза, входящего в этот контур, ln2z при-
нимает соответственно значения In2 х и (In х + 2лг)2 = In2 х + 4лх In х — 4л2,
поэтому интегралы от In2 х. взаимно уничтожаются и появляется возмож-
ность вычислить искомый интеграл. Внутри контура лежат два полюса пер-
вого порядка Z],2 = — а± bi функции f (z) с вычетами
с-1 = (|п г + ‘ (л — ф)}2, с" ] = — (In г + i (л 4- <р)}2,
I £ Iz fr
*) Сравнение мнимых частей дает элементарный интеграл
f dx л
J (х24-02 Г*
о
74]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
449
где г— V а2 + Ь2 и <р — arctg—. Применяя теорему о вычетах, получаем:
л . ,
-у 4<р (л —
i In г).
В соответствии со сказанным выше имеем:
R
Г Г_____ Г 4лг In х — 4л2
J + J “ J (x+a)2 + ft2 dX-
II
Так же как в предыдущем примере, докажем, что
lim
и тогда в пределе при г -> О, R -» °о будем иметь:
dx
J (х + а)2 + Ь2
о
Г In х dx 4лф .
J (х + а)2 + Ь2 Ь~ (Л “ 1 1п г)'
о
Отсюда, сравнивая мнимые части, получим искомый интеграл
In х dx m In г In V а2 + b2 b
----,----=-------=-------------arctg_.
J (х + а)2 + Ь2
о
(2)
ПримерЗ. С помощью
(Эйлер)
того же контура вычисляется интеграл
Xя-1
dx (О
СК
Ь
b
о
если в качестве вспомогательной функции взять
Иг)
1 +г
e(a-l) In z
1 +г
и заметить, что на нижнем берегу разреза f (хе2л‘) = е2ал,[ (х). Про-
делывая необходимые вычисления и оценки, получаем:
Г х 1 , л
— dx = —---------
J 1 + х sin ал
о
(0<а<1).
(3)
Впрочем, подстановкой х = е1 этот интеграл сводится к интегралу из при-
мера 3 предыдущего пункта.
Пример 4. Вычислим главное значение особого интеграла
ОО
/ =
dx
(0< а< 1)
1
450
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
174
(особенность в точке
тельную функцию
х — 1). Для его вычисления мы выбираем вспомога*
f(z)
2а-1 g(a-1) lnz
1 -Z
и контур, указанный на рис. 163. Учитывая, что на нижнем берегу разреза
вдоль положительной полуоси f (xe2lti) — e2an‘f (х) и чтз внутри контура f (г),
Рис. 163.
1 — Z
Очевидно, J ->0 при г -> 0 и J ->0 при У?-> оо. Вдоль уг и у'г имеем со-
сг с%
ответственно za~1 = 1 + О (г) и za~1 = e2aiti + О (г); 1 — z = re‘‘*, dz —
= — irel(p d<$, где ср меняется от 0 до — л и от — л до — 2л; следовательно
j + J = л/(1 +е2ал;) + О (г).
Переходя в (4) к пределу при г -> 0, R -> °о, получим, таким образом,
(1 _е2а«С)/ + я{.(1+е2алС) = 0(
откуда искомый особый интеграл равен
Г ха~1
------dx = л ctg ап.
J I — х
о
(5)
Пример 5. Для вычисления интеграла
1
__ f_______dx______
-1 К(1-х)(1+х)2
3 ______________
прежде всего убеждаемся в том, что функция f (z) =1^(1 — z) (1 + z)2 во
внешности отрезка (—1, 1) распадается на три однозначные ветви. В самом
деле положим <₽! = arg (1 + z), <р2 = arg (1 — z). При обходе против часовой
стрелки замкнутого пути, изображенного пунктиром на рис. 164, cpi и ср2
_ е z \ Ф1 Ч"* 2фз
получают приращение 2л, следовательно, arg f (z) = ——а -- получает при-
о
ращение 2л и f (z) возвращается к исходному значению. Будем рассматривать
74]
S 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
451
ту ветвь функции / (z), которая на верхнем берегу отрезка (—1, 1) прини-
мает положительные знрчення, и возьмем контур, изображенный на рис. 164
жирными линиями. На берегу / имеем arg f (z) = 0, т. е. f (г) =К(1— х) (1+х)2,
на берегу II (после обхода точки z = 1 по часовой стрелке) arg f (z) =
2Л/
2 —з- _________________
= —д-л, т. е. f(z)=e У (1 — х) (1 + х)2; интегралы же по малым
О
окружностям сг и сг, очевидно, стремятся к нулю при г -> 0. Следовательно,
по теореме Коши для многосвязиых областей
Для вычисления J лучше
с7
всего воспользоваться разложением нашей
бесконечно
ветви \ . V в окрестности
f (г)
удаленной точки. Имеем, вынося из-под
знака корня — z3,
1 1 j
f (г) ze~nii3 (
/ 1 \“ '/»
И
—71
означают
где
те ветви этих функций, которые положи-
тельны на отрезке (1, оо) положительной
оси. Разлагая последние по формуле бино-
ма, находим вычет выбранной ветви 1// (z)
в бесконечно удаленной точке: он равен
—ел‘13 (коэффициент прн 1/z с обратным
знаком).
Но интеграл J равен этому вычету, помноженному на
CR
следовательно, имеем:
Рис.
164.
2л/ (см. п. 24),
откуда окончательно
(1 -е2яг/3)/ = _еш732Л/,
dx
л_____2л
/(1 -х) (1+х)2 sin -5- ^3
(6)
Приведем еще два примера вычисления интегралов с конечными пре-
делами.
Пример 6. Для вычисления интеграла
2л
f di
I , л ь---772“ (а>6>0)
J (а + b cos /)2
о
452
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
74
it л dz dz , 1
положим e“ = z, тогда dt =—~г = — , cos t — —
ielt iz 2
грал перейдет в интеграл по единичной окружности:
2л
и этот инте-
dt
______________ 4
J (а + b cos t)2 ib2 J
о lz|=l
z dz
2
Внутри окружности | z| = 1 подынтегральная функция имеет один полюс
У а2 — Ь2 — а
z0 -------------- с вычетом
__ d z
С~' ~ ~^z / , /а2-б7
г+-------------------—
По теореме о вычетах искомый интеграл
2л
Г dt ____________ 2ла
" (а + b cos О2 (а2 — Ь2У2
(а> b >0).
(7)
Пример 7. Аналогично вычисляется интеграл
2л
[* (1 + 2 cos t)n cos nt , ! 1 \
—j--------------— dt — 1 < a < — .
J 1 — a — 2a cos t \ 3 )
0
После подстановки elt = г имеем:
2л
Г (1 +2 cos t)n eint dt=l_ Г (1 +z + z2)n
J 1— a — 2a cost i J (1 — a) z — a (1 + z2)
o i z
Один из полюсов подынтегральной функции z1>2 =--------------2о~---------’
лежит внутри окружности, а другой — вне ее, ибо по свойству корней квад-
1
ратного уравнения г12г= 1; при этом в силу условия — 1<а<-у эти корни
действительны и различны. Таким образом, по теореме о вычетах
Г (1 + 2 cos t)n e,nt (l + z. + zf)" 2л / zX
J 1 — а — 2а cos t 1 — а — 2az\ У 1 — 2а — За2 \ а /
где Zi = (1 — а — УI — 2а — За2 )—полюс, лежащий внутри окружности.
Так как правая часть (8) действительна, то она дает искомый интеграл
2л
Г (1 +2 COS t)n cos nt 2л /] _а_/1 -2a-За2 V ,n.
-----------------dt == —, I----------------------I . (9)
J 1 — a — 2a cos t 1^1 — 2a — За2 \ 2а2 '
.74]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
453
В заключение приведем несколько интегральных представлений так назы-
ваемой гамма-функции.
Пример 8. Гамма-функция определяется интегралом (Эйлер)
ОО
Г (z) = У dt,
о
(Ю)
который берется по положительной полуоси. Этот интеграл абсолютно схо-
дится и представляет аналитическую функцию для всех г, лежащих в пра-
вой полуплоскости Rez>0, ибо | e~*tz~x | = 1 (см. теорему 4 п. 16).
Деформацией контура интегрирования можно получить другое представление
гамма-функции, справедливое в более широкой области значений аргумента,
т. е. осуществить аналитическое продол-
жение этой функции.
Рассмотрим функцию
F (z) = j е'Ч2-1 dt,, (П)
с
где интеграл берется вдоль контура С, состояще- Рис. 165.
го из двубережного разреза по положительной по-
луоси и окружности — г (рис. 165). Под £2-1 здесь понимается функция
e(z-i)in^ где [n g — Ветвь логарифма, для которой 0 < arg £ 2л.
Полагая на верхнем берегу разреза £ = t, а на нижнем £ =/е2лг, мы
можем представить F(г) также в следующем виде:
f (z) = f + f + J = (е2л<2 - 1) j dt + j е-Ч2-’ dt,.
I сг II г Сг
При фиксированном г несобственный интеграл, входящий в эту формулу,
сходится равномерно относительно z в любой ограниченной области значений
z = х + iy. Это следует из того, что при |z| < М подынтегральная функция
мажорируется функцией интеграл от которой вдоль отрезка (г, оо)
сходится. Таким образом, функция F(г) аналитична для всех конечных зна-
чений z (целая).
На сг, тд.е£=ге,ц>, имеем \ e~*t,~~l \ — e~rcosvel'x~1''< Агх~1, где
А — некоторая постоянная (при фиксированном г); отсюда следует, что
>А2ягх. Предположим теперь, что Re z = х >0, тогда ->0 при г->0.
сг ст
Таким образом, при Rez>0 мы имеем право перейти к пределу при г-> 9
и на основании определения (10) получаем:
F (г) = (е2л1'г - 1) | dt = (е2л/г - 1) Г (z)
о
(при RezsjO этот предельный переход незаконен). Мы получаем новое
интегральное представление гамма-функции (X а н к е л ь)
Г^=~2^~(12)
в — I V
454
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[75
Заметим, что правая часть представляет собой отношение двух целых функ-
ций F (z) и e2niz — 1. В правой полуплоскости она совпадает с аналитиче-
ской функцией Г (г); следовательно, (12) дает аналитическое продолжение
Г (г) в левую полуплоскость и Г (г), таким образом, оказывается мероморф-
ной функцией, аналитической всюду, кроме отрицательных*) целых точек
z = — п и г = 0, в которых знаменатель (12) обращается в нуль.
Заменим в (12) z через 1 —г:
I f — niz P
Г (I - - ^—7 J <-£>-’« -
е - l - е с
- 2^ Р1 <|3>
С
В главе VII будет доказана формула
Г (г) Г (1 — г)
л
sin лг ’
(14)
справедливая для всех
№
комплексных z. Пользуясь этой формулой и заменяя
в (13) переменное интегрирование £ через —у, отче-
го контур С заменится контуром С* (рис. 166), по-
лучим интегральное представление функции
Рис. 166.
(X а и к е л ь):
1
Г (г)
1
Г (г)
(15)
75. Подсчет числа нулей. Вопросы устойчивости. В анализе
часто встречается задача определения числа нулей аналитиче-
ской функции, лежащих в заданной области. Общее решение
этой задачи дает принцип аргумента п. 23: число нулей функ-
ции f(z) внутри замкнутого контура С
с
где Acargf(z) обозначает полное приращение argf(z) при об-
ходе контура С. При этом предполагается, что f(z) аналитична
внутри С, непрерывна на С и не обращается там в нуль; каж-
дый нуль считается столько раз, какова его кратность.
Иногда полезно воспользоваться простым следствием прин-
ципа аргумента.
Теорема (Руше). Если, функции f(z) и g(z) аналитичны
внутри С, а на С непрерывны и удовлетворяют условию
\f&\>\g(z)\, ’ (2)
*) В положительных целых точках, как мы видели раньше, Г(г) анали-
тична; следовательно, в этих точках обращается в нуль и числитель (12).
75]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
455
то функции f(z) и f(z) + g(z) имеют внутри С одинаковое число
нулей.
Для доказательства заметим, что в силу нашего условия на
С |f(z)|>0 и |f(z) + g(z) | |f(z) | — |g(z) | > 0. Следова-
тельно, функции f(z) и f(z) + g(z) не обращаются на С в нуль
и к ним применйм принцип аргумента. Из соотношения
arg{/(2)+^(z)} = argf(2) + arg{ 1 +у^-}
получаем:
Дс arg {f (?) + g (z)} = \с arg f (z) + Ac arg| 1 +
Ho так как при движении точки z по контуру С точка w = 1 + J
все время остается внутри круга | w — 1 | < 1 (это следует из
того, что -8 I <1 на ck то точка w не может обойти начала
I г (г) I /
координат и, значит, Дсarg{ 1 + gf 1 — 0. Таким образом,
{ I \Z) J
Acarg{f(z) + g(z)} = Acargf(z), (3)
и остается воспользоваться формулой (1).
Приведем несколько примеров применения этой теоремы.
1) Докажем так называемую основную теорему алгебры:
уравнение
cozn + ctzn~\+ .. + cn-iZ + сп = 0 (с0 =# 0) (4)
имеет в комплексной плоскости п (конечных) корней. Для доказательства
примем f(z)~Ct>zn, g(z) = cizn~l + ... + сп и выберем R столь большим,
чтобы па окружности |г| = R было | f (г) | > |g(z) |—это можно сделать,
ибо |f(z) | — jcoj/?n, |g(z) | sg .. + |cn I, a Rn растет быстрее,
чем любой многочлен степени (п—1). Тогда по теореме Руше число корней
уравнения в круге |z| < R равно числу нулей гп, т. е. п. С другой стороны,
так как согп -f-... -f-Cn °° при г-»-оо, то, еще увеличивая в случае надоб-
ности R, мы можем считать, что вне круга уравнение не имеет корней.
2) Для определения числа корней уравнения г8 — 5z5—2г + 1 — 0
в единичном круге положим f(z)=—5г5 -f- 1 и g(z)=zs— 2г. Так как при
|г| = 1 имеем |f (г) [ Тг |5г5| — 1 =4, а |§(г) | гТ |г|8 + 2|г| =3, то наше
уравнение в единичном круге имеет столько же корней, сколько 5г5 = 1,
т. е. пять.
3) Докажем, что уравнение
z + e~2 = X, (5)
где X > 1, имеет в правой полуплоскости единственный (действительный)
корень. Для этого рассмотрим контур, составленный из отрезка (—iR, iR)
и правой полуокружности |zl = R, и положим f(z) — г — X, g(z) = е~1.
На отрезке, где z = iy, имеем |f(z)| = |X — iz/|^X>1, a |g(z) j = = 1.
На полуокружности: |z| = R, Re z = x > 0, при достаточно большом
R(R > X+ 1) имеем: |f(z) | |z[ —X=R —X > 1; |g(z) | = e~* «С 1- Сле-
456 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ (75
довательно, применима теорема Руше, и внутри любого контура описанного
вида уравнение (5) имеет столько же корней, что и уравнение г— X = О,
т. е. один и только один корень. А значит, и во всей правой полуплоскости
данное уравнение имеет единственный корень. Этот корень действителен,
ибо при г —О левая часть уравнения равна 1 < X, а при г = х->ос она
неограниченно возрастает; следовательно, найдется такое г = х, при котором
левая часть равна X.
Для прикладных вопросов особенно важна так называемая
проблема Рауса — Гурвица*):
Найти условия, при которых нули многочлена или дробно-
рациональной функции (а в более общей постановке — целой
или мероморфной функции) все лежат в левой полуплоскости.
Значение этой проблемы определяется тем, что она связана
с проблемой устойчивости колебаний в механических и электри-
ческих системах. Чтобы пояснить эту связь, напомним, что про-
стейшие задачи теории колебаний приводятся к линейным диф-
ференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами:
dnx dn~]x
А[х] = а°^ + а1^4+ ... +а„х = °. (6)
Общее решение такого уравнения, как известно, имеет вид:
х = С1ер^ + С2е^+ ... +С„ер<
где р\, р2....рп — корни характеристического многочлена
А(р) = аорп + ахрп-{ + ... +ап,
a Ci, С2, ..., Сп — произвольные постоянные**). Каждому ком-
плексному корню ри = Sk + iok многочлена соответствует коле-
бание ePkt = eSkt {cos okt + i sin okt} с частотой Ok- При Sk < 0
это колебание затухающее, при Sk = 0 — гармоническое и при
Sft > 0 оно имеет неограниченно возрастающую амплитуду. Та-
ким образом, если мы хотим ограничиться колебательными кон-
турами, не допускающими собственных колебаний с неограни-
ченно возрастающей амплитудой, мы должны потребовать, что-
бы все корни многочлена А (р) лежали в левой полуплоскости
пли на мнимой оси.
Мы укажем простейшие методы решения проблемы Рауса —
Гурвица; более полное изложение читатель может найти в мо-
нографии Н. Г. Чеботарева и Н. Н. Меймана [4] или в курсах
*) Проблема была впервые поставлена Дж. Максвеллом в 1868 г.
Э. Раус (1877 г.) дал первое решение этой проблемы, не получившее широ-
кого распространения, А. Гурвицу (1895 г.) принадлежит решение, более
удобное для приложений (см. ниже).
**) Для простоты мы ограничиваемся случаем простых корней.
75]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
457
теории регулирования (см., например, [5] или [6]). Начнем с од-
ного алгебраического метода решения проблемы для много-
членов.
1) Критерий Гурвица. Для простоты будем предпола-
гать, что коэффициенты исследуемого многочлена
f(z) = aoz'! + alzr!~l + ... +а„
(7)
действительные числа и что а0 > 0. Имеет место
Теорема (А. Гурвиц, 1895 г.). Для того чтобы все корни
многочлена (7) с действительными коэффициентами ak(aaZ>0)
имели отрицательные действительные части, необходимо и до-
статочно выполнение следующей системы неравенств:
а1 а0 0
U-[ Uq
д2 = аз а2 >0, D3 = «з а2 а, > 0
аз а4 а3
а 1 а0 0 . 0
Dn = а3 а2 а1 . 0 > 0 (8)
а2п-1 а2п-2 а2п~3 • • • ап
мы полагаем afe=0 при k > п).
Будем доказывать теорему методом полной индукции. Для
п = 1 теорема верна, ибо условие (8) в этом случае сводится
к неравенству ai > 0, из которого с учетом предположения
а0 > 0 следует, что корень многочлена f (z) = aoz + at отрица-
телен.
Предположим теперь, что теорема верна для многочленов
степени — 1, и докажем, что тогда она верна и для много-
членов степени п. Для этого положим f(z) = p-]-q, где
р = айгп + a2zn~2 + ..., q — alzn~l + a3zn~3 + ...,
рассмотрим многочлен степени СДг—I
<р (г) = аут + — aoz) q = a2zn~'[ + {аха2 — аоа3) zn~2 +
+ ащ3гп~3 + (ауц — а0а5) zn~3 + ... (9)
Дальнейшее доказательство проведем в два приема.
а) Определители (8) для многочлена <p(z) выражаются че-
рез такие же определители для f(z) по формуле
(* = 1>2.......п-1). НО)
458
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[75
В самом деле, имеем:
а\аЧ аоаз 0 0 . 0
а,а. — а„а. a,aQ а, а., — апа., 0? . 0
а{а6 — ааа7 а1а5 aia4 — а0а5 а,а3 .. . 0
aoai 0 0 0 0
аоаз | а\а2 ~ Мз 0 0
= «0«5 i а,а. — апа. : 1 4 U 5 а1аз ata2 — аоа3 а? .
а0а7 i ata6 — а0а7 «1«5 а1а4 — а0а5 а,а3 .
а0Я1 а^о 0 0 0 . .. 0
«оаз ata2 Я? а1а0 0 . .. 0
ао«5 а1аз а1а2 а] . .. 0 aQa\Dk+i
а0а7 аха^ «1Я5 «1^4 а{а3 . .. 0
(мы «окаймляем» определитель, затем добавляем к элементам
2-го столбца элементы 1-го, к элементам 4-го — элементы 3-го,
умноженные на а0/<21 и т. д.; наконец, из первого столбца вы-
носим общий множитель во, а из остальных — множитель й|).
б) Корни f(z) лежат в левой полуплоскости Н в том и
только том случае, если 0 и корни <p(z) лежат в Н.
Пусть корни f(z) лежат в Н\ построим наряду с этим мно-
гочленом
п
f (*) = а0П {z — zk) = aozn + atzn~'‘ + ... + ап (11)
*=1
многочлен
п
f,(z) = 0oll (z + ^) = aozn — afzn~l + ... + (—l)n а„, (12)
Л=1
корни которого лежат в правой
его коэффициентов получаются
Очевидно,
для
полуплоскости (выражения
при раскрытии произведений).
fU)+f,(2) = 2p, f(z)-ft(z) = 2q.
Так как | z — zk | § | z + zk | при Re z = 0, то и
lf(z) |$|f.(z) I при RezgO; (13)
поэтому q может иметь лишь чисто мнимые корни. Покажем,
что эти корни простые. Пусть от противного в какой-либо точке
75]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
459
iy одновременно f (iy) = f(iy) и f' (iy) = f* *(iy); тогда
f' (iy) f' (iy)
f (iy) f. (iy)
или [In f (iy)]' = [In ft (iy)]'
(у нас f и не имеют корней на мнимой оси). На основании
формул (11) и (12) последнее соотношение переписывается
в виде
п п
У—1 =у. L- ,
Д iy — z. iy + z.
л=1 й fe=l я
но так как Re -—-— >0, a Re - - - < 0 *) для всех k, то
iy zk iy -t- zk
это соотношение не может иметь места.
Степень многочлена q равна п— 1, ибо по известному свойству
п
корней многочлена -у- = — у zk > 0 и, следовательно, а, =И= 0;
fe=i
степень р равна п. Таким образом, учитывая доказанное выше,
мы имеем разложение
п— 1
Р (г) _ ч0 . VI Xfe
q (z) ч[ Т г - i$k
1 n=l B
Так как
1 + —
P f + f, f
q f~f> i _ A
f
(14)
(15)
и дробно-линейная функция <о = у_отображает круг |g|< 1
на правую полуплоскость, то на основании неравенств (13)
можно утверждать, что
Re Р<гг 0 при Re z = 0.
q (z) r
(16)
Отсюда мы заключаем, что в разложении (14) все Xk > 0
/ибо Re —0 при Re г § 0 и в окрестности точки z — г'р*
\ 2
знак Re— определяется знаком Re—
q z
мнимая постоянная.
и что С — чисто
1 X
*) Напомним, что Re z = х и Re — = —г . г имеют одинаковые знаки.
Z X “I- у
460
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
[75
Наконец, пользуясь (14), мы находим:
Ф = «1Р + («1 — aoz) q = axq
а из этой формулы видно, что <р не может иметь корней при
RezZ^O. В самом деле, действительная часть выражения в фи-
гурной скобке при Rez^O положительна, a q обращается в
нуль лишь в точках i|3ft, в которых, очевидно, <р =/= 0 (ибо в про-
тивном случае в этих точках было бы р = 0, а значит и f — 0,
что противоречит условию). Таким образом, все корни много-
члена <p(z) лежат в левой полуплоскости И.
Пусть теперь дано, что все корни <p(z) лежат в Я и щ > 0.
Из формулы (9) видно, что для <р многочлены и qif анало-
гичные многочленам р и q, для f, имеют вид р\ — atq и ?i =
— а\р — aozq, поэтому
^=-^ + -^2. (17)
Я Pi * Щ v ’
Повторяя для ф рассуждения, которые выше мы проводили
для f, найдем, что Re —= 0 при Re 2 = 0. Так как — >0 и
<7i г «1
знак Re — совпадает со знаком Re—, то из (17) мы придем
Pi <71
к неравенствам (16). Но тогда при помощи (15) мы докажем
справедливость неравенств (13). Таким образом, при Re z > 0
будем иметь |f(z) | > |f*(z) j, откуда следует, что f(z) не имеет
корней в правой полуплоскости. Но f(z) не может иметь корней
и на мнимой оси, ибо там | f (z) | = |f»(z) | и каждый чисто мни-
мый корень f(z) был бы корнем р и q, а следовательно, и кор-
нем ф(г), что противоречит сделанному предположению. По-
этому все корни f(z) лежат в Н. Итак, утверждение б) дока-
зано. Опираясь на него и на утверждение а), легко сделать
переход от п—1 к п и тем самым закончить доказательство
теоремы Гурвица.
Примеры. 1) Для многочлена f (z) = z3 + 2z2 + 3z + 1 имеем Dt = 2,
2
1 0
в левой
3 = 5, D3 = 1
0
полуплоскости.
3 2= 5; следовательно, все его корни лежат
2) Для многочлена
f (z) = z3 + 2z2 + г + 1 имеем D2 —
-1,
O2= ,
0 1
1
1
следовательно, хотя бы один его корень лежит в правой полуплоскости, или
на мнимой оси (впрочем, f (iy) — iy (1 — у2) + 1 — 2у2, откуда видно, что мно-
гочлен не имеет чисто мнимых корней, т. е. можно утверждать, что хотя бы
один его корень лежит в правой полуплоскости).
75'
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
461
Из разложения (II) можно получить необходимое ус-
ловие того, что все корни многочлена с действительными коэф-
фициентами лежат в левой полуплоскости: все коэффициенты
этого многочлена должны иметь одинаковый знак (условие
А. С то долы). Однако, как показывает, скажем, пример 2,
это не является достаточным*).
2) Геометрические методы. Геометрически проблема
Рауса — Гурвица сводится к вопросу о том, будет ли образ А
правой полуплоскости Рег^О при отображении w = f(z), осу-
ществляемом данной мероморфной функцией, содержать точку
w = 0. На римановой поверхности R функции f(z) область А
ограничена кривой Г, соответствующей мнимой оси плоскости
z—в теории автоматического регулирования эту кривую назы-
вают частотным годографом.
На основании геометрических свойств аналитических функ-
ций можно сформулировать следующий
Критерий устойчивости. Если часть А римановой по-
верхности функции f(z), остающаяся справа от частотного го-
дографа при его обходе в направлении возрастания у, не содер-
жит точек, расположенных над w = 0 (и сам годограф не
проходит над этой точкой), то соответствующая система авто-
матического регулирования устойчива, если же это условие не
выполняется, — то неустойчива.
В практических задачах исследование формы римановой по-
верхности часто оказывается затруднительным, между тем как
построить проекцию Г частотного годографа на плоскость w
обычно довольно легко. Для этого достаточно отделить дей-
ствительную и мнимую части в уравнении w = f {iy) и мы полу-
чим параметрические уравнения и = и(у), v = v(y), —оо <
< у < оо, кривой Г. Однако если не рассматривать римановой
поверхности и применять сформулированный критерий к обла-
сти Ао плоскости w, расположенной справа от Г, то можно
прийти к неправильному выводу. Это относится к тем случаям,
когда Г проходит не по всем листам R, расположенным над
Г — по листам, свободным от точек Г, можно выйти за пределы
области Ао и, быть может, дойти до точки w — 0, хотя Ао ее и
не содержит. В силу односвязности области А в этих случаях
над точками Ао непременно существуют точки разветвления по-
верхности R, связывающие листы, свободные от Г, с листами,
содержащими эту кривую.
Пример. Для многочлена
f (г) = z3 - г2 + 2г — 3
*) Интересно отметить, что А. Стодола предложил это условие как
необходимое и достаточное (1894 г.).
462
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ
|75
кривая Г: и = у2— 3, v = у(2 — у2) имеет вид, изображенный на рис. 167.
Область А» (оттенена на рисунке) не содержит точки ш = 0, однако об-
ласть Д (проекции Д) представляет собой всю плоскость; соответствующая
система автоматического регулирования, ко-
нечно, неустойчива (не выполняется условие
Стодолы). Здесь риманова поверхность имеет
точки ветвления *) над точками, которые
отмечены звездочками на рис. 167; кривая Г
лежит на одном из трех ее листов.
В некоторых задачах вид области
Д — проекции Д на плоскость w —
удается выяснить без изучения рима-
новой поверхности. Для этого, напри-
мер, можно рассмотреть систему по-
лукругов Dr: |z| Д, 1гп2^0 и вы-
яснить вид областей Дк, соответствую-
щих этим полукругам при отображе-
нии w~f(z). Зная, как меняется Ад
будем знать и вид области А. Очевидно,
в формулировке критерия устойчивости область А на рима-
новой поверхности можно заменить этой плоской областью.
Приведем еще один геометрический критерий устойчивости,
относящийся к важному классу задач теории автоматического
регулирования, в которых исследуемая функция имеет вид
KG(z) +
(18)
где G(z)— дробно-рациональная функция и К — некоторая по-
стоянная. Это — случай так называемых систем с простой обрат-
ной связью. Постоянная К. имеет определенный физический
смысл и называется коэффициентом усиления' ее выделение из
выражения для G (г) оправдывается конструктивными сообра-
жениями: на величины К и G влияют разные звенья системы
регулирования.
Чтобы получить искомый критерий устойчивости для функ-
ции (18), мы воспользуемся принципом аргумента п. 23. Оче-
видно, полюсы функции f(z) являются нулями G(z); если обо-
значить число этих полюсов в правой полуплоскости через Р,
то согласно принципу аргумента условие отсутствия нулей f(z)
в правой полуплоскости сводится к условию
iAQargf(z) = P,
*) Точки ветвления соответствуют при отображении w = f(z) корням
уравнения f'(z) — 3z2 — 2z -|- 2 = 0.
751
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
463
где CR — граница полукруга DR (см. выше) достаточно боль-
шого радиуса, обходимая по часовой стрелке*).
Таким образом, при обходе CR (по часовой стрелке), вектор
f(z) должен Р раз поворачиваться вокруг начала координат
против часовой стрелки. Учитывая, что поворот вектора f(z) во-
круг начала равносилен повороту вектора = f (z) ~ 1 во-
круг точки w = —1, или вектора Q вокруг точки w =
= —К, мы приходим к следующему критерию устойчивости,
который связывают обычно с именами Г. Найквиста и А. В. Ми-
хайлова.
Критерий Найквиста —Михайлова. Для того что-
бы система автоматического регулирования, описываемая функ-
цией (18), была устойчивой, необходимо и достаточно, чтобы
при обходе по часовой стрелке границы полукруга Dn, ограни-
ченного отрезком мнимой оси и полуокружностью достаточно
большого радиуса, вектор \/G(z) поворачивался вокруг точки
w — —К против часовой стрелки Р раз, где Р — число полюсов
l/G(z) в правой полуплоскости.
Пример. Пусть функция G (г) имеет вид
° ~ z(l -j-rtz) (1 +т2г) ’
где Т] и т2 — положительные постоянные. Частотный годограф функции
\/G(z) описывается уравнением
w = ! = iy (1 + 1тху) (1 + ix2y) = — (Т1 + т2) у2 + iy (1 — TiT2y2)
б (iy)
и имеет вид, изображенный на рис. 168 жирной линией. В самом деле, мы
имеем:
и = — (Т1 + Т2) У2, V = у (1 — T,T#’),
откуда видно, что этот годограф целиком расположен в левой полуплоскости,
пересекает ось и при у = 0 и при у — ± 1/KtiT2, причем угловой коэффи-
. dv 3tiT2z/2 — 1 ,
циепт касательной — = тт/-—-----г— равен °о и ±-----ri-- в точках пересече-
du 2(ti+t2)j/ г Tj + т2
ния годографа с осью и и неограниченно возрастает при | у | -> °°. При доста-
точно больших | z | имеем 1 Т1Т2г3,. откуда видно, что правой полу-
окружности | г | = R, Re z > 0 при больших R соответствует кривая, близкая
• к полтора раза проходимой окружности [а>|=т1т21?3 (см. рис. 168).
Пусть значение коэффициента усиления К = К{ таково, что точка
лежит внутри петли годографа (так как в точке самопересечения годографа
« 1 „ т< + Т2 v
уг =------, то для этой точки и —------:------ и наш случаи соответствует
Т]Т2 т,т2
*) Различие в знаке с формулой п. 23 объясняется тем, что там граница
области обходилась против часовой стрелки.
464 ГЛ. v. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ (75
значениям 0<7<< Тг Как видно из рисунка, при полном обходе С_
Т1Т2 / к
1 1 , „
вектор -х- - =г (изображен пунктиром на рисунке) в этом случае не де-
Cz \Z) Lrj
лает ни одного оборота, — если начинать обход с точки а, то l/G[ сначала
(при обходе годографа) сделает более одного оборота против часовой стрелки,
но затем (при обходе кривой, соответствующей полуокружности) повернется
на такой же угол по часовой стрелке. Если же значение К.=К11 таково,
что точка —Д’,, лежит левее петли годографа (т. е. К>-^—-2 V то при
“ \ Т!Т2 )
„ 1 1
полном ооходе С „ вектор „ . . = , очевидно, сделает два полных обо-
fl G (г) Gn
рота по часовой стрелке (рис. 168).
Так как в рассматриваемом случае число полюсов 1/G (г) в правой полу-
плоскости равно нулю, то согласно критерию Найквиста — Михайлова соот-
ветствующая система автоматического регулирования устойчива при
0<К<—и неустойчива при К>———.
3) Метод Вышнеградского — Найквиста. Этот ме-
тод является развитием предыдущего и также приспособлен
к исследованию функций, зависящих от параметров*). Мы рас-
*) Идея метода принадлежит русскому инженеру И. А. Вышнеград-
скому (1877), дальнейшая его разработка — американскому инженеру
Г. Найквисту (1932); четкое обоснование метода дал советский матема-
тик Н. Н. М е й м а н (1949), мы следуем его изложению [4].
75] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ 465
смотрим семейство многочленов, зависящих от двух действи-
тельных параметров £ и ц или, что то же самое, от одного ком-
плексного параметра £ = £ itj:
f(z, 0 = ^(2) 1 + Р2(г)П-Рз(Д (19)
где Ph(z)— некоторые фиксированные многочлены. Мы будем
считать, что не существует общего корня всех трех этих много-
членов (если бы такой корень z0 существовал, то уравнение
можно было бы сократить на множитель z — za в надлежащей
степени); через п обозначим наибольшую из их степеней.
Обозначим через D(k,n—k) совокупность точек плоскости
параметра С, для каждой из которых многочлен (19) имеет k
корней относительно z с отрицательными действительными час-
тями и п — k корней с положительными действительными час-
тями*). В частности, D(n, 0) — область устойчивости — совокуп-
ность тех точек £, для которых все корни имеют отрицательные
действительные части. Так как корни многочлена непрерывно
зависят от £, то вместе с каждой точкой £ совокупности
D(k,n — k) принадлежит и некоторая достаточно малая окре-
стность этой точки. Отсюда вытекает, что совокупность
D(k,n — k) состоит из некоторого числа областей.
Точка t не принадлежит ни одной из областей D(k,n — k),
если соответствующий многочлен (19) имеет хотя бы один чисто
мнимый корень или, в частности, бесконечно удаленный корень,
который также можно рассматривать как лежащий на мнимой
оси. Малым изменением значений параметров § и ц в этом слу-
чае можно достичь того, что многочлен уже не будет иметь
чисто мнимых корней; следовательно, дополнение к совокуп-
ности всех областей D(k,n — k) состоит из граничных точек
этих областей. Идея Вышнеградского и состоит в отыскании
областей D(k,n — k) в плоскости параметров.
Рассмотрим сначала частный случай, когда многочлен
P2(z) = iPi(z), т. е.
Иг, ?) = Р|(г)^-Р3(г). (20)
Уравнение f(z, £) == 0, которое в этом случае можно переписать
в виде
? = (2D
устанавливает некоторое соответствие между плоскостями z и
£, причем каждой точке £0 соответствует п точек —корней
уравнения (20) при заданном значении параметра £0 (некото-
рые из них могут совпадать или уходить в бесконечность).
) Как всегда, корни считаются столько раз, какова их кратность.
466
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
|75
Из сказанного выше следует, что граница Г областей
D(k,n — k) представляет собой образ мнимой оси при отобра-
жении (21), т. е. частотный годограф функции = P3(z)/Pi(z).
Пусть £о будет точка, не лежащая на Г; число /г(£0) корней
соответствующего уравнения (20) с отрицательными действи-
тельными частями можно найти, как и выше, при помощи прин-
ципа аргумента. Предположим, что Pi(z) не имеет чисто мни-
мых корней и обозначим через k\ число его корней в левой по-
луплоскости, через iii и п3 обозначим, соответственно, степени
Pi(z) и Р3(г) и положим
т —
Пз — п,
2
если п3 > nlt
(22)
если
Рассмотрим полукруг, ограниченный полуокружностью
С'ц: | z | = R, Rez^O, и отрезком С%: — у R мнимой оси;
пусть С*к — C'RC'ff. Для достаточно больших R по принципу
аргумента
к Ы - arg) - -J* } + лс. a rg Р, (г). (23)
где контур Cr проходится против часовой стрелки.
Для больших | z | имеем £0 — р3 — гп*-п' ( с0 + — + ...
соУ=О, следовательно, arg{t(— р3 } = л (п3 — п}) + О
при n3>ti\, при это приращение равно О . Таким
образом, в силу нашего выбора т всегда
А/ argf £0 —р - у-,--1 = т + О .
2л ° (™ Р] (z) J ' \ /? /
Разбивая первое слагаемое формулы (23) на два, соответст-
вующие обходу С'% и С%, а также учитывая, что второе ее сла-
гаемое по принципу аргумента равно klt мы получим из этой
формулы в пределе при /?->оо
k i Дс arg{ “ ТгШ + т + kl’
где С — мнимая ось плоскости г, проходимая снизу вверх. Пе-
реходя к параметрической плоскости £, получим следующий ре-
зультат.
Число корней в левой полуплоскости уравнения (20) при
£ = to равно
М£о) = 2^Г Аг arg (£0 — £)+ «* + &!> (24)
75)
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
467
где Г — частотный годограф функции (21), проходимый в на-
правлении возрастания у, пг определяется по формуле (22) и
ki —число корней многочлена Р[(г) в левой полуплоскости.
Замечание. При доказательстве мы исключили случай,
когда P\(z) имеет чисто мнимые корни. В этом случае формула
(24) остается в силе, если каждый такой корень Pi (г) засчи-
тывать с половинной кратностью и первое слагаемое рас-
сматривать как сумму приращений arg(Co —£) вдоль отдель-
ных уходящих в бесконечность ветвей годографа (из уравнения
годографа £ = P3(iy)/Pi (iy) видно, что С-*00 при приближе-
нии к каждому мнимому корню Pi (г)). В самом деле, все про-
веденные рассуждения останутся в силе и в этом случае, если
при обходе С'" обойти каждый чисто мнимый корень слева по
малой полуокружности с центром в корне. Обход каждой такой
1 л f ч- Рз (z) 1 р
полуокружности вносит в A arg I So ~ р| у величину у, где
р — кратность соответствующего корня *), величина же
A «argPt(z) остается без изменения, ибо внутри C*R не по-
является новых корней P\(z). Устремляя радиусы всех таких
полуокружностей к нулю, в
пределе получим нужный ре-
зультат.
Пример. Для семейства много-
членов
f (z, С) = (z3 — О С + 3az (z + 1)
кривая Г определяется уравнением
Г — 3аУ щ ; 3аУг
1 + у3 1 + У3
и представляет собой декартов лист
(рис. 169). Здесь П] = 3, п2 = 2, /м = 0;
Pi (z) = z3 — i имеет один чисто мни-
мый корень z = —i и один корень
z = е5л‘'6 в левой полуплоскости, так что kx = 3/2. Формула (24) принимает вид
k (Со) = ^г ars (Со — С) +
Для Со справа от ветвей Г первое слагаемое равно —
у (см. рис. 169: обход
*) Действительно, в окрестности каждого такого корня а имеем:
^о-тНг)-='(Г=ГщР_{Со + с1 (г-а)+ Си*°>
и полуокружность проходится по часовой стрелке.
468
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
участка I дает A arg (Jo — t) —-—, участка 11 — 0, участка III—— j, сле-
довательно, для таких £о имеем k (£0) = 1- Точно так же получим, что для
внутри петли k (20) = 0, а для з0 слева от ветвей k (Zo) = 2. Таким образом,
мы полностью выясняем расположение корней.
Рассмотрим, наконец, общий случай многочлена (19). Полагая
Pk (z) = uk (х, у) + ivk (х, у) (6=1,2, 3),
мы видим, что уравнение f (z, £) = 0 равносильно системе
[/ = U| (х, у) Z + и2 (X, у) Т) — и3 (х, у) = о, 1
V = vt (х, у) g + v2 (х, у) л — у3 (х, Z/) = о. J
Как и выше, будем считать, что эта система устанавливает
отображение плоскости z на плоскость £, которое можно запи-
сать в явном виде, решая систему относительно £ и тр
Е _ ы3^2 — “2^3 „ _ «103 ~ «зЩ
ь _ _ t п _ , (2b)
где А ='А(z) = U1V2 — «2^1 — определитель системы. Очевидно,,
точкам z, в которых А (г) =/= 0, отвечают вполне определенные
конечные точки £. Точкам, в которых A(z) = 0, но хотя бы один
из числителей (26) отличен от нуля (а следовательно, и второй
числитель также, в чем легко убедиться), отвечает точка £=оо.
Наконец, если в некоторой точке z обращаются в нуль и числи-
тели и знаменатель (26), то этой точке соответствует целая пря-
мая плоскости £ — такие точки и соответствующие им прямые
мы будем называть исключительными *).
Отображение, обратное (26), не более чем /г-значпо, ибо каж-
дая точка z, соответствующая — это корень многочлена (19)
при данном значении £.
Выясним вопрос о сохранении ориентации при отображении
(26). Для этого продифференцируем систему (25) по х и у, счи-
тая £ и г] функциями х и у:
dg + «2 dx + ^dy== °>
у, dl + v2 dt] + dx + dy = 0.
Решая эту систему относительно dg и dt) и пользуясь уравне-
„ „ dU дУ М дУ
ннями Коши — Римана, согласно которым-?-==-= , =----,
’ 1 дх ду ду дх
*) В случае многочленов (20) исключительных точек быть не может.
75]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ВЫЧЕТОВ
469
получаем:
If ( dU , dU \ , I dU dU\ . \
dx + blT-v^)dyi’
. 1 f ( dU , dU \ , I dU dU\ . ]
at] — -т-< \щ ——f- v, --- dx — и, u. —— \dy ;.
1 Д I \ 1 dy 1 1 dx j \ 1 dx dy ) v )
Отсюда находим якобиан отображения (26)
d (g, т]) _ 1 f [dU_V . 1дЦ\г1
d (x, у) Д ( \ dx ) ' \ dy / j
и видим, что знак этого якобиана совпадает со знаком А. Следо-
вательно, отображение (26) сохраняет ориентацию, если А > О,
и меняет ее, если А < 0.
Как и выше, рассмотрим разбиение плоскости £ на области
D(k,n — k) и обозначим через Г границу этих областей. Очевид-
но, параметрические уравнения Г можно по-
лучить, полагая х — 0 в уравнениях (26).
Положительным обходом Г, по-прежнему, бу-
дем считать тот, который соответствует воз-
растанию у. Кривая Г может состоять из не-
скольких ветвей, причем в отличие от случая
многочленов (20) при полном обходе оси у
ее участки могут проходиться и по несколь-
ку раз (не более п). Кроме того, кривая Г мо-
жет содержать исключительные прямые, —
это будет в том случае, когда на оси у
имеются исключительные точки.
। 6 о
t f г г
• 8=1 B-л 6ч 8—1
Рис. 170.
Рассмотрим некоторый участок £i£2 кривой Г и предполо-
жим, что при полном обходе оси у он обходится I раз, т. е. что
этому участку соответствует I отрезков y\Ly'^(ц =1, 2, /)
оси у. Положим ец = 1, если направление у^у% совпадает с на-
правлением оси у, и ец =—1 в противоположном случае. По-
ложим также 6ц =1, если на у*у$ определитель А > 0, и
6ц = —1 в противоположном случае (рис. 170).
Пусть точка £, двигаясь непрерывно по некоторому доста-
точно малому пути,' пересекает дугу £]£2 слева направо. Этому
пути в плоскости z соответствует I путей, пересекающих отрезки
yvyv оси у. Очевидно, если еи6ц > 0, то соответствующий путь
идет из левой полуплоскости в правую и многочлен (19) при-
обретает на нем один корень с положительной действительной
частью и теряет корень с отрицательной действительной частью;
в случае ецбц < 0 наоборот. Таким образом,
-470 ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ (76
при переходе с левой стороны дуги кривой Г на правую
многочлен (19) теряет 6161 + 8262+ ••• + 8/6; корней с отрица-
тельной действительной частью*).
С помощью этого замечания мы сможем найти все области
D(k, п — k), зная какую-либо одну из них.
. В заключение приведем пример, принадлежащий Вышнеградскому:
f (z, g) = z3 + gz2 + T]Z + 1.
Полагая z — iy и разделяя действительную и мнимую части, найдем пара-
метрические уравнения кривой Г: £ — 1/у2, т] = у2. Это лежащая в первом
квадранте ветвь гиперболы |т] = 1
(рис. 171). При полном обходе оси у
она описывается два раза; при этом
если считать для нижней полуоси
р. = 1, а для верхней (1 = 2, то бу-
дем иметь: 61=1, ег = —1. Далее,
определитель А, определяющий знак
якобиана, на осн у равен &(iy) =
= —у3, следовательно, =-|-1,
62 = —1. Таким образом, при пере-
ходе через дугу £+2 слева направо
теряется е+ + 8262 = 2 корня с от-
рицательной действительной частью.
В начале координат £ = т] = 0 мно-
гочлен принимает вид z3 + 1 и имеет
. 1 ± iГз
корни Z, = — 1, Z2, 3 = --2-----’
следовательно, область под гипербо-
лой есть £1(1,2), но тогда область
над гиперболой есть £1(3,0)—область
устойчивости. Для проверки можно взять точку | = ц =3, в которой много-
член принимает вид z3 + Зг2 + 3z + 1 и имеет тройной корень z = —1.
§ 3. Методы асимптотических оценок
Во многих технических вопросах важно иметь методы из-
учения так называемых установившихся режимов. Математиче-
ски эти вопросы сводятся к изучению свойств функций для
больших значений аргументов, или, как говорят, к изучению
асимптотического поведения функций. Мы приведем здесь не-
которые из методов асимптотического изучения функций. Для
более подробного изучения этих вопросов мы рекомендуем
книгу М. А. Евграфова [7].
76. Асимптотические разложения. В основе асимптотиче-
ского исследования функций лежит замена этих функций более
простыми так, чтобы сохранялись основные свойства и отбра-
*) Если эта сумма равна нулю, то по обе стороны дуги (+г лежат обла-
сти D(k,n — k) с. одинаковыми индексами. В случае многочлена (20) эта
сумма всегда равна единице; следовательно, здесь слева от Г всегда лежит
область с-числом k, на единицу большим, чем справа (ср. рис. 158).
76)
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
471
сывались второстепенные. В частности, исследуя функцию f(z)
при больших значениях аргумента на каком-либо множестве Л1,
простирающемся в бесконечность (чаще всего на какой-либо
линии, идущей в бесконечно удаленную точку), проще всего за-
менить эту функцию рядом
Со + ~ + ^+ + >+•> (1)
в некотором смысле приближающем ее. Обычно требуют, чтобы
погрешность при замене функции f(z) частной суммой s„(z)
этого ряда при z —*оо по точкам Л1 была малой высшего по-
рядка относительно последнего члена частной суммы, т. е.
lim zn
2“>ОО
= 0*)
(п = 0, 1, 2, .. .).
*=0
(2)
Из этого условия не следует, конечно, сходимости ряда (1),
однако, как мы увидим ниже, даже всюду расходящиеся ряды,
удовлетворяющие этому условию, содержат много полезных све-
дений об асимптотических свойствах функции f-(z).
Ряд (1), удовлетворяющий условию (2), называют асимпто-
тическим разложением функции f(z) на множестве М и эту
связь между рядом и функцией записывают в следующем виде:
f(z)-c0 + ^- + >+ •••+>+ ... (3)
На данном множестве М асимптотическое разложение функ-
ции, если оно существует, определяется единственным образом.
В самом деле, из условий (2) при п — Q мы найдем:
lim {/ (z) — с0} = 0, откуда определяется с0— lim / (z); при п = 1:
Z-»QO Z->oo
lim z < f (z) — с0 —— > = 0, откуда щ = lim z {f (z) — c0} и вообще
Z->eo * z J 2->oo
cn= lim zn{f(z) — s„_,(z)} (n = o, 1, 2, ...). (4)
Z->OO
С другой стороны, один и тот же ряд (1) может служить
асимптотическим разложением различных функций. Например,
ряд, тождественно равный нулю, служит асимптотическим раз-
ложением как функции, тождественно равной нулю, так и функ-
ции е~х на луче х > 0 (или даже в любом секторе | argz | <
<-^ — а, а > 0 ; это видно из того, что lim хпе~х — 0 для лю-
бого П.
*) В этой и следующих формулах предельный переход при г->оо совер-
шается, конечно, по точкам множества — мы не будем этого специально-
оговаривать.
472 гл. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ [76
Легко доказать, что асимптотические разложения суммы и
произведения двух функций получаются соответственно по-
членным сложением и умножением их асимптотических разло-
жений-. если
ОО 00
и g(Z)~^±L,
то
оо
f(z) + g(z)~S
оо
f (z) g (z) ~2 ro4 + C.rfn-n+,..,+.cnrfo.. (5)
Точно так же легко доказывается правило почленного инте-
оо
грирования асимптотических разложений: если f(z)~ 4 (т. е.
п=2
при z —> оо по множеству М функция f (г) является бесконечно
малой порядка не ниже второго), то
~ °°
J f (z) dz — . (6)
z rt=2
Почленное дифференцирование асимптотического разложения,
вообще говоря, незаконно. В самом деле, легко видеть, что
е~х sin ех~0 на луче х > 0, однако (е~х sin ех)' = — e_xsinex +
4-cosex вовсе не имеет асимптотического разложения, ибо на
луче х > 0 не существует даже предела этой функции при х—► ос.
Примеры. 1) Найдем асимптотическое разложение на луче х>0
функции, определяемой интегралом
ОО
/ (х) = J — ex~t dt.
х
Повторным интегрированием по частям (полагая = ex_t dt — dv и т. д.)
найдем:
оо
J у ех-‘ dt =
X
оо
= 1-4 + 4- +(-!)"-'144- + (-!)"«! J-Sr^
X X X X J t
X
76] § 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК 473
Для остатка (с помощью интегрирования по частям) получаем оценку
ОО оо
I I* eX~l nt п! Г I 14. Г е*~‘ п!
J 7Г+1-^=77ТГ-("*!)! J 7+rdZ<^+r.
X X
откуда вытекает, что в принятых выше обозначениях
хп If (*) — sn (х)} <
стремится к нулю при х->оо; следовательно,
f J_+ 21__ ...+ (_1)П_^+ ... (7)
J t X X2 хл X +‘
X
Рассматриваемый интеграл связан со специальной функцией — инте-
гральной показательной функцией *)
X
Ei (х) = dx. (8)
J т
— 00
В самом деле, после замены переменной т = —t имеем, очевидно,
ОО 00
Г e-i г 1
Ei (—х) = — —— dt = — е~х ~^-ех~^1.
х х
Таким образом, из (7) мы получаем следующее асимптотическое равенство:
_Ei(-x)~-^{l-l + ^-- ... +(-!)" ^|+... }. (9)
Ряды (7) и (9) расходятся, ибо их общие члены не стремятся к нулю (отно-
шение -------=--------> °° при п -> оо и любом фиксированном х). Тем не
Un X
менее, они дают приближенные значения функции, весьма точные даже для
довольно малых х и и, например: для интеграла (7) Ss(10) = 0,09152 дает
приближение с точностью до 0,00012.
2) Найдем асимптотическую формулу для функции вероятности ошибок
(см. пример 1 п. 70) для положительных значений х. Рассмотрим сначала
функцию
f (х) = J е*2 *2 dt = —
х
1 1 ( №—/2
= ~2х~~2 J 6 ~Р'
X
X
) При х > 0 интеграл понимается в смысле главного значения.
474
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[76
повторяя интегрирование по частям, получаем:
f \ 1 1 1-3 1.3*5
1 {Х} 2х 22х3 "Г 23х5 24х7 + +
п-1
1 • 3 - 5 ... (2л - 3)
’ 2лх2л-1
ЬЗ...(2л-1) Г ехг~(2
J fin
X
Для остатка (с помощью интегрирования по частям) получаем оценку
1 • 3 ... (2п -
2Л
1 • 3 ... (2л - 1)
2^4'4-1
откуда вытекает, что х2п 1 {) (х) — s2n-i (х)} -> 0 при х -> °о; следовательно
J______1 I 1,3 '-3-5
2х 22х3 23х5 -24х7
(Ю)
Пользуясь тем, что J ех ~7 dt = ех (см. п. 67), получим:
о
ех~* dt = e:
—/2 , «• 2 ~у Л 1.1
е * dt~ex -4---------к— + 755-Т
2 2х 22xJ
_ 1-3
23х5
и, наконец,
erf х —
, 2 _х2 / 1 1 ,1-3
। _ —__ g л I_—_______।____
V л \ 2х 22х3 23х5
1-3-5
Ух7
X
0
X
X
о
(Н)
3) Асимптотические разложения можно строить и для функций целочис-
ленного аргумента п; множеством М в этом случае служит последователь-
ность целочисленных точек. В качестве примера рассмотрим задачу об асим-
птотической оценке нулей функции
f (2) = sin 2 + -у,
(12)
близким к точкам zn = лп.
Подставляя z = лп + 6] (п)
1
п------;--7—\---°- откуда
л/г + 61 (п)
тельно, второе приближение для zn имеет вид
В качестве первого приближения примем 2п~ли.
в уравнение ) (2) = 0, получаем (—1)” sin е, (п)+
(—I)"' '
находим б| (п) —1--—
и, следова-
zn — л,п -)-------
ЛП
76]
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
475
Далее полагаем z = sin-{------------F е2 (м) и из уравнения /(z)=0 полу-
чаем:
-1 )п sin I
( ЯП
jw+(—1)" 1 —- + e2(n)
Заменяя левую и правую части их приближенными выражениями, на-
^--(-l)n
sin
откуда е2 (и)
для гп'-
Sl3n3 L 6 J
что дает третье приближение
, (-1)"-1 1 Г, , (-1
zn ~ Sin 4------------77- 1 4-----
sin si3n3 L 6
Наш процесс можно продолжать неограниченно, и так как погрешность при-
ближений является малой высшего порядка относительно последнего сохра-
няемого члена, мы получаем асимптотическое разложение гп.
В заключение отметим, что ряды вида (1) по целым отри-
цательным степеням аргумента являются простейшим, но не
всегда наиболее удобным средством асимптотического прибли-
жения. Обобщая понятие асимптотического разложения, мы вы-
бираем вместо l/zn для сравнения произвольную последователь-
ность функций <7n(z), удовлетворяющую условию
lim -Ф. = о,
Z->oo Яп (z)
а для приближения — произвольную последовательность pin(z),
такую, что
(13)
(14)
lim
Рп+1 (г) ___г»
Яп (г)
lim |-^-Ш >0.
,->oo I (7n (z) I
(15)
Ряд 2 cniin(z)
п—0
функции f(z),
мы называем
асимптотическим разложением
f(z)~2 c„ipn(z),
<1=0
(16)
если
1- 1
lim —7-7
г^.«, Яп (z)
f^)-^ckpk{z) = 0 (n = 0, 1, 2, ...). (17)
А=0
л
п
1
В качестве примера такого более общего разложения рассмотрим раз-
ложение для больших х решения дифференциального уравнения
у" + (1 -
а \ X2
(18)
476
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[76
Чтобы получить представление решения, запишем уравнение в виде
и, считая правую часть известной, воспользуемся формулой Коши из курса
дифференциальных уравнений:
X
у (х) = A cos (х — а) + a J sin (х — t) dt. (19)
х,
Из этого представления видно, что у (х) ограничена при х-> <ю. В самом
деле, обозначим через Л-1, = max | у (х) |; тогда из (19) получаем:
Хц<Х<Х1
Х|
М, <1 А I + I а| ‘ ,
J I Xq
Хо
откуда 1—р—j- и наше утверждение доказано (число х0 можно счи-
1__ 1 I
х0
тать положительным и сколь угодно большим). Таким образом, интеграл (19)
сходится на бесконечности и, следовательно, в (19) можно принять х« = оо.
В качестве первого приближения примем
у (х) = A cos (х — а) + о (1);
полагая у (х) = A cos (х — а) + ё! (х) и подставляя это в (19), найдем:
X X
J sin (х — 0 cos (t — а) + о J {Sin (х — а) +
00 оо
+ sin (х — 2/ + а)} + о
____аА
~ ~2х
sin (х — а) + о ( —
Мы получаем второе приближение:
аА
у (х) — A cos (х — а)--sin (х — а) + о
Вводя новую поправку е2 (х), находим из (19):
х х
, , аА Г . . . dt а2А Г . , . ,, , dt ,
е2 (х) = — J sin (х — 2t + а) ----------J Sin ~ Sln — Т" +
ОО 00
, { 1 \ аА . . а2 А . , ,
+ 0 = 4^2 cos (х “ а) ~ -fjJTcos (*-“) + °
X
*) Интеграл J sin (х — 2/ + а) = о (у
ОО
в чем можно убедиться
интегрированием по частям.
7]
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
477
^первый интеграл мы преобразуем интегрированием по частям, второй — по
формуле тригонометрии; остающиеся интегралы входят в величину о(—j-) .
Таким образом, мы получаем третье приближение:
, , . , . аА . . аА I, а\ , , , / 1 \
у (х)=Л cos (х—а)—2х"аш (х—«)+~уг 11 — у I cos (х — а) + о I у I. (20)
Наши приближения можно уточнять неограниченно. Получаемое разло-
жение является асимптотическим в обобщенном смысле, причем здесь
, . cos (х — а + пл/2) . . 1
М*) =---------------- > Яп W = уг-
77. Метод перевала. Этот метод применяется для оценки при
больших значениях положительного параметра X контурных ин-
тегралов вида
F (Л)= j q(z)eKf(z} dz, ц)
с
где /(г) и <р(г) — функции, аналитические вдоль линии интегри-
рования С. Интегралами вида (1) представляются многие спе-
циальные функции, решения дифференциальных уравнений,
обыкновенных и с частными производными; такие интегралы
встречаются при решении различных задач физики. Этим объ-
ясняется важное место, которое занимает метод перевала в
приложениях теории функций комплексного переменного.
Мы начнем с изложения частного случая, который восходит
еще к Лапласу и относится к действительным интегралам вида
h
j dt. (2)
a
Идея метода Лапласа весьма проста. Предположим, что f(t)
имеет на отрезке (а, Ь) один резко выраженный максимум. Чем
больше значение параметра %, тем резче выражается этот мак-
симум, и поэтому ясно, что при больших Z основной вклад
в значение интеграла дает окрестность точки максимума.
Используем эту идею при доказательстве леммы, которая
лежит в основе метода.
Лемма. Пусть дан интеграл
F (л) = J ф (/) e~uadt (0 < а < оо, а > 0), (3)
о
где функция ф(() при |(|<2/i представляется сходящимся ря-
дом
ф(0 = Лсо + ^ + ••• +cntn+...), р>-1, (4)
478
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
177
причем 11 ф (/) | е~к>*а dt М для некоторого Ао. Тогда имеет
о
место асимптотическое разложение
оо
п=0
где Г — гамма-функция Эйлера.
Для доказательства заметим, что при Л > Ло
| Ф (t) е~иа dt
h
поэтому
а
ha J | ф (/) | e~K>ta dt =
h
= О(е-('.-Мл«) = С)(е-иа)>
h
F (Л) = J Ф (t) е~ма dt + О {e~}-h"Y
О
Так как величина 0{e~Kha) при X—>°о много меньше любой
степени К~п(п > 0), то в соответствии с идеей Лапласа на асим-
птотическое разложение влияет лишь часть (0, /1) отрезка ин-
тегрирования, примыкающая к точке максимума. В выделенной
части интеграла мы делаем подстановку — т, а затем, поль-
п—1
зуясь тем, что при |/| h имеем ф (/) — У, ckt&+k + О (/₽+") и
k=0
что для любых р^О и с>0
С оо
j тр-1е_т J Tp-ie-t = г
о о
находим:
е~'л<1 dt —
—1 —t
т“ Л ae~'tdx =
, “_1 P+ft+‘ , I Р+2+1
J ’ ° '->*+<>(» °
А=0 a Q
(6)
Заметим, наконец, что
J тр-1е~г dx = Г (р) + О
9
77]
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
479
ибо для любого с > 0, полагая т==ст4~с> имеем:
оо оо
j тр-1е~т dr — J (ст + с)Р-1<?~а^ст <
с О
(г °° 1 (
<е-Ч] (2с)р-1е-°7/ст4-J (2CT)p~1e-'JrfCTl=e-c(Xcp+B)==oU 2,
1о о '
Поэтому, учитывая еще, что О (е~и) = О (^~п) для любых фик-
сированных е > 0 и п > 0, мы можем переписать (6) в виде
* «-1
J ф(0е-х<аЛ = -^2
о k=a
/Р + & + 1
* \ а
p+fe+i
/ Р+ГС+1\
+-оU а ).
а по определению п. 76 это и доказывает справедливость
асимптотического разложения (5).
К доказанной лемме сводится оценка интеграла (2). Имеет
место
Теорема 1. Пусть интеграл (2) абсолютно сходится для
некоторого А, — А,о, т. е.
ь
J I <р (О I (/> dt М,
а
(7)
и f(t) достигает своего наибольшего значения во внутренней
точке tQ отрезка (а,Ь), в окрестности \t—101 < 6 которой f(t)
представляется рядом
f (t) — f (А)) + Я2 (/ — 4)2 + • • • + ап (t — /о)" + • • • («2 < 0), (8)
причем существует h > Q такое, что вне этой окрестности
f(t0)— Пусть еще функция / = ф(т) определяется
в окрестности точки т = 0 из уравнения f(to) — /(/) = т2, при-
чем в этой окрестности
оо
ф[Ф (т)]ф'(т) = 2 спхп. (9)
Тогда интеграл (2) имеет асимптотическое разложение
i __ОО
ЛЛ)=] (Ю)
а п—0
Заметим прежде всего, что, как и в лемме, асимптотическое
разложение F (А) определяется окрестностью точки макси-
480
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
177
мума to. В самом деле, в соответствии с условиями теоремы
j Ф^е-мни-н^
b
g-M Л J I <p (0 | M dt — О (e~'h)
и аналогично оценивается интеграл по отрезку (/0 + 6, Ь).
В оставшейся окрестности (t0—6, /0 + 6) полагаем f(t0) — f(t)=x2
и на основании (8) находим: т2 = — а2 (/ — /0)2 — а3 (/ — /0)3 — ...,
откуда т = (t — /0) у — а2 — а3 (t —t0) — разлагая корень по
оо
формуле Тейлора, получаем ряд т = У a'n{t — t0}n. В окрест-
П=1
ности точки т = 0 этот ряд можно, обратить (см. п. 70), и мы
получим t = ф (т) = tn + У с'пхп * *).
П=1
Пользуясь сказанным, мы делаем замену f (t0) — f (/) = т2
в интеграле
г0+в в"
J Ф (/) е~к lf (/)1 dt = J <p [ф (т)] ф' (т) е-Хт! dx,
/„-в -в'
затем замечаем, что с принятой степенью точности можно
считать б'= 6" = 61**) и, обозначая для простоты письма
Ф [ф (т)] ф'(т) = ф1 (т), получаем:
б,
J ф! (т) dx —
о fi,
j Ф! (т) e~K^dx + J ф! (т) e~^dx =
-б, о
б,
= j [<Р1 (— t) + Ф1 W] е-?‘т2 dx
О
(в первом интеграле мы заменили т на —т).
/1 /2
*) Отметим, что с, = ,_= 1/---------и, следовательно, враз-
1 V~a2 V
ложении (9) свободный член с0 = q> (/0) ct — <р (/0)
чанием мы воспользуемся в дальнейшем.
**) Погрешность включается в член О (е-ХЛ).
2
утгтГх • Этим заме-
/ vo)
77]
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
481
Теперь мы можем применить лемму, в которой для нашего
случая р = 0 и а = 2. Так как на основании (9) имеем:
оо
Ф1 (— т) 4- Ф1 (т) = 2 2 с2п12п,
п=0
то лемма дает
Г / 1 \ -
J <р (/) W1 dt ~ с2пГ \n + -g-j A, 2. ,
a n=0
г> I i 1 \ (2л)! V л z
Остается воспользоваться тем, что Г (n 4~ yj = 1' jn~|— (эту
формулу мы докажем в гл. VII) и тогда получим искомое раз-
ложение (10).
Теорема 1 относится к случаю, когда наибольшее значение
/(/) достигается во внутренней точке отрезка (а, Ь). Аналогично
доказывается следующая теорема, относящаяся к случаю наи-
большего значения на конце.
Теорема 2. Пусть удовлетворяется условие (7) и f(t) до-
стигает наибольшего значения в точке t = а, аналитична в этой
точке, 1'(а)=/=0 и существует /г > 0 такое, что [(a) — [(фУ-й.
вне некоторой окрестности точки а. Пусть еще функция t—ф(/)
определяется в окрестности точки т = 0 из уравнения f(a) —
— [(/) —т, причем в этой окрестности имеет место разложе-
ние (9). Тогда
ь
А(Л)==/ф(/)^ЩЛ~2±1^ 4^*
а п=0
В качестве примера применения метода Лапласа рассмот-
рим вывод асимптотической формулы для гамма-функции Эй-
лера
Г (Л + 1) = J хке~х dx.
о
Полагая х = kt, получаем:
оо оо
Г (А + 1) = j = j e-K{t~^nt)dt. (12)
о о
К интегралу в последней форме применима теорема 1, в ко-
торой ф(?)^1 и f(t) =—(t—1 — In/) достигает наибольшего
482
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ К АНАЛИЗУ
|77
значения в точке f=l*). Мы ограничимся первым членом
разложения. По формуле в сноске к стр. 475 находим с0 =
= <P(^)]Z—=/2 и формула (10) дает:
оо
О
Подставляя это в (12), находим искомую оценку (фор-
мула Стирлинга):
Г(^+1) = 1/2^(4)Л{1+0(4)}. (13)
При желании можно было бы получить и следующие члены
асимптотического разложения:
Г(Л + 1) { 1 +‘Т2Л 288V — 51 840V "}•
Перейдем теперь к изложению собственно метода перевала.
Сущность этого метода состоит в том, что при больших значе-
ниях параметра X величина интеграла
F (А) = J q (z) eKf dz (1)
с
в основном определяется тем участком пути интегрирования С,
на котором | № | = Не Л*), т. е. Ref (г), велика по сравнению
со значениями на остальной части С. При этом интеграл оце-
нивается тем легче, чем меньше этот участок и чем круче па-
дает величина Ref(z). В соответствии со сказанным, при при-
менении метода перевала стараются деформировать путь инте-
грирования С в наиболее удобный путь С, пользуясь тем, что по
теореме Коши такая деформация не меняет величины инте-
грала.
Чтобы уяснить вопрос геометрически, положим z = х iy и
представим
n = Ref(z) (15)
как поверхность S в пространстве (х, у, и). Так как функция и
гармоническая, то S не может иметь точек максимума и ми-
*) Условие (7) теоремы выполняется при любом > 0, ибо интеграл
J e-X0(l-l-ln J dt сходится.
О о
77)
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
483
нимума, а точки, в которых f'(z) — O, будут для нее точками
перевала (седловыми точками, рис. 172).
Как мы говорили, наиболее удобный для оценки путь инте-
грирования С по крайней мере на участке, имеющем наиболь-
шее значение для оценки интеграла, в каждой точке должен
проходить в направлении наиболее быстрого изменения Ref(z),
а так как функция f(z) аналитическая, то это направление
должно совпадать с направлением линии Im f(z) = const. Та-
ким образом, путь С, по крайней мере на участке, наиболее
существенном для оценки интеграла, должен совпадать с ли-
нией уровня Imf(z) = const.
Далее, путь С должен содержать точку Zo, в которой Ref(z)
достигает наибольшего среди значений этой функции на С. По-
кажем, что f'(zo)=0; иными словами, точка линии Imf(z) =
= const, в которой Ref(z) достигает наибольшего значения,
является точкой перевала.
В самом' деле, в точке z0 производная от Ref(z) вдоль
линии С должна быть равна нулю: — Ref.(z) — 0, а так как
Im f (z) == const на С, то -^-1т/(г) = 0, а поэтому f'(z0) =
= ^Ref(^) + ^Im/(z) = 0.
484
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
[77
Итак, при применении метода перевала к интегралу (1)
путь интегрирования С следует деформировать в путь С, про-
ходящий через точку перевала z0 и в окрестности этой точки
идущий вдоль линии наибольшего ската Im f (z) = const *)
(рис. 172).
Замечание 1. Сказанное требует небольшого уточнения.
Из свойств гармонических функций (теорема 8 п. 41) вытекает,
что окрестность точки перевала z0 разбивается линией уровня
Re f(z) на 2п секторов (п 2, п—1 — кратность нуля f'(za)),
над которыми поверхность S находится попеременно, то выше,
то ниже своей касательной плоскости в точке (х0,у0,и0). Линия
уровня Imf(z)=const в окрестности z0 распадается на п ли-
ний, проходящих через zo в направлении биссектрис упомяну-
тых выше секторов. Одну из таких линий мы и выбираем в ка-
честве С.
Замечание 2. Если поверхность S имеет несколько то-
чек перевала, то обычно следует выбирать в качестве С путь,
проходящий через наиболее крутой из перевалов. Впрочем, воп-
рос о выборе точки перевала в общем виде решается далеко
не просто и его приходится рассматривать отдельно в каждом
конкретном случае.
Отметим важное обстоятельство, обеспечивающее эффектив-
ность применения метода перевала: так как вдоль линии С име-
ем arg = Im f(z) = const, то оценка интеграла (1) сводится
к оценке интеграла от действительной функции, которая может
быть проведена по методу Лапласа.
Это замечание позволяет нам воспользоваться результатами,
содержащимися в теоремах 1 и 2, которые доказаны при из-
ложении метода Лапласа. Как мы уже говорили, функции f(z)
и ф(г) предполагаются аналитическими в некоторой области.
Рассмотрим сначала случай, когда путь интегрирования С
можно деформировать в путь С, проходящий через точку пере-
вала z0, где f'(zo) = O, f"(zo)=#O, и в окрестности Zo совпадаю-
щий с линией наибольшего ската Im f (z) = const, причем на С
вне этой окрестности Ref(z) < Re/(z0)— h (/г>0). Кроме того,
предположим, что интеграл (1) абсолютно сходится для до-
статочно больших значений А.
В этом случае оценку интеграла можно провести на осно-
вании теоремы 1. В самом деле, пусть z = z(t) будет уравне-
ние контура С; имеем, очевидно,
ь
= J <р (z) eV м dz = eKi Ira f P <«1 J <p [z (/)] e?- Re f & W (/) dt (16)
c a
*) Метод перевала называют также методом наибольшего ската или ме-
тодом седловых точек.
77]
§ 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
485
и задача свелась к оценке интеграла вида (2), разложение ко-
торого дается формулой (10).
Выпишем первый член этого разложения. Для этого обозна-
чим ф[г(£)]г<(0 = ф(0. Ref[z(01 = 7(0 и тогда по формуле
(10) получим искомый член
ь
J Ф (0 е^ w dt ~ (f«) j/”у- с0, (17)
а
где Со —свободный член в разложении функции ф [ф (т)] ф' (т),
который находится по формуле в сноске к стр. 480. Имеем:
ф(/о) =ф(г0)г'(/0) и, так как /[г(0] = Re/[z(/)] + i Imf[z(/)] —
= J(t) + const вдоль С, то
V' = W U = f" z'2 &)
(член f'[z(t)]z"(t) = 0 при t = t0). Так как эта величина отри-
цательна, то, полагая z'(to) = kei9, мы можем записать ее в виде
f"(/o) = —|f"(z0) |k2. Таким образом,
c0 = ф (to) 1/— = Ф (z0) iZ-----------,
Ф v o; f„ {to} т \ o7 у | r (го))
и, подставляя найденное значение в (17), а затем в (16), полу-
чим искомую формулу
F (Л) ~ <г«> т/ 2я ф (z0) ei!) ~. (18)
V Г I г (г0) |Т Г X v ’
Если на контуре С имеется несколько точек перевала, в ко-
торых значения Ref(z) находятся вблизи к наибольшему, то
следует взять сумму выражений (18) по всем этим точкам.
Случай, когда контур интегрирования заканчивается в точке
перевала Zo, совершенно аналогичным образом приводится к тео-
реме 2.
В качестве примера применения метода перевала найдем
асимптотическую формулу для цилиндрической функции пер-
вого рода целого порядка п
,м=^ (|9)
|Z|=1
(ср. формулу (14) п. 70). Здесь ф(г)=-р^г, f(z) = -^(z — ,
/ (2) — у 11 + — 1, следовательно, существует две точки пере-
вала Zi,2—±i одинакового уровня Ref(z) — 0, и согласно
486
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ к АНАЛИЗУ
[78
сделанному выше замечанию нужно рассмотреть обе эти точки.
У нас ф(±/)= + ге 2, f(±i) = ±i, |f"(±Z)|=l. Линия
уровня и = Re f (z) = ~ 1 — = 0> проходящая через точки
перевала, состоит из окружности | z |= 1 и прямой х = 0, напра-
вление же линии наибольшего ската должно быть бисекторным
по отношению к этой линии; учитывая еще распределение зна-
ков и, которое указано на рис. 173,
находим ©1=Зл/4, 0,2 = л/4. Таким
образом, по формуле (18) мы полу-
чаем искомую асимптотическую
оценку
Дальнейшие примеры примене-
ния метода перевала будут приве-
дены в гл. VII.
78. Метод производящих функций. Идея этого метода со-
стоит в том, что для получения асимптотической оценки какой-
либо функции заменяют эту функцию другой (производящей
функцией), аналитической по некоторому вспомогательному пе-
ременному.
Простейший вариант метода принадлежит Дарбу (1878 г.)
и позволяет найти асимптотические выражения для больших
значений п функций fn(z), определяемых через производящую
функцию F(z,w) по формуле
F (z, w) = 5 fn (?) wn
12=0
(1)
(см. примеры 2, 3 и 4 п. 70, а также гл. VII п. 93).
Пусть известны особые точки F(z,w), рассматриваемой как
функция w, на окружности круга сходимости ряда (1), за кото-
рую мы для простоты примем |ау|= 1. Пусть еще известны
функции
оо
Fk (z, w) = 2 fnk (z) wn (2)
/1=0
такие, что разность F(z, w)—Fh(z,w) при приближении к ок-
ружности |w|= 1 сходится к р раз дифференцируемой функции
78]
. § 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
487
от Z = arga/. Тогда коэффициенты fn—fnh в разложении
F (г, w) — Fk (z, w) = 5 (fn — fnk) eint
n=0
будут коэффициентами Фурье p раз непрерывно дифференци-
руемой функции и, следовательно, по известному свойству коэф-
фициентов Фурье*) будет:
lim п?-1 {fn (z) — fnk (z)} = 0.
П->оо
(3)
Таким образом, функции fnh(z) дают тем лучшее приближение
fn(z) для больших п, чем больше показатель р.
В качестве примера применения метода Дарбу найдем асимптотическое
выражение для многочленов Лежандра Р„(г) больших порядков п; для этих
многочленов
F (2, w) = , 1....=- (4)
У I — 2га» + w2
(см. пример 2 п. 70). Пусть для простоты г — действительное число и
—1 < z < 1; положим z = cos t, 0 < t < л, тогда 1 —2zw + w2 =
= (w— ei()(w— ri(); следовательно, кругом сходимости ряда Тейлора
функции (4) будет круг |w| < 1, а особыми точками — точки w = e±il.
Получим разложение по степеням w — е±и той ветви двузначной функции
(4), которая выделяется условием, что
(5)
где корень справа означает ветвь, равную 1 при w = 0 (т. е. представляе-
мую биномиальным рядом) **). Имеем:
F (z, w)
= + (е«_е-«)} 2 =
злг ,
У w — elt 1^2 sin t t elt — e~if J
3ni i
oo n'“’~X
e 4 yi (w — eiz) 2
Cn (e‘‘_e-«T ’
n=0
(6)
(-1)" 1 .3 ... (2n- 1)
где cn — -y----------^n—'------биномиальные коэффициенты.
*) См. Фихтенгольц, т. Ill, стр. 606 и след.
**) Из принятого условия следует, что знаменатель в выражении (4)
равен 1 при w — 0.
488
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
[78
Аналогично
3ni 1
—----- оо ,, п---
е 4 V — e~li) 12
(Z’ W) ~ /2^7 i Сп (е~“ - elt)n '
п=0
Положим:
Fk (z, w) =
ft ( Зл/ , 3л/ , ...v-
1 V I 4 (w — e1') 2 , 4 (w — e "')
j-— . у C/i I в — ""— - -4- в —
/2-7^ I (e“-e-“)V (e~"-e“)'
(7)
(8)
тогда разность F (z, w) — Fk (z, w) на окружности | w | = 1 будет k раз не-
прерывно дифференцируемой функцией. В самом деле, это очевидно для
точек w =^= е* lt, а для w = elt, например, следует из того, что разложение
• *+“
разности по степеням (ш — е“) начинается (w — elt) 2 (это видно из раз-
ложений (6) и (7)).
Для того чтобы найти коэффициенты разложения (8) в ряд по степеням w,
V—-
заменим (w — e*lt) 2 с помощью формулы (5). Тогда общий член ряда (8)
перепишется в виде
/+V(/+n) i (] _ we-n)v~^
+
1
+ e~‘~V <f+It) * О - welt)V~ 2 ,.
(e-“-e“)v
I
V——
разлагая (1 — w*if) 2 в ряд по формуле бинома
(1 - we* = J (-1)" itnwn,'
п—()
после элементарных преобразований получаем коэффициент при wn в разло-
жении (8)
___ k п
UW = 1/ -ЛгУ Cv^-—77CosM(l+2v) + [v-n-lb], (9)
г sin t (2 sin tr I 4 \ 2/1
V=0 x/ч , /
который и дает асимптотическое выражение Рп (г) для больших п. Ограни-
чиваясь первым членом, находим искомое асимптотическое выражение
« 1/ 2 1-3 ... (2га- 1)
V sin t 2 • 4 ... 2я
(Ю)
Способ построения производящей функции по формуле (1) —
далеко не единственный. Для функций не целочисленного, а не-
прерывно меняющегося переменного часто применяют, напри-
78]
5 3. МЕТОДЫ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
489
Рис.
174.
ПО
мер, метод интегральных преобразований, который состоит в за-
мене функции f(t) функцией F(p) (производящей функцией),
определяемой по формуле
F(p)= j K(t,p)f(t)dt, (11)
с
где K(t,p)— заданная функция (ядро интегрального преобра-
зования). Наиболее часто применяются преобразования с яд-
рами K(t,p) = е_г( (преобразование Лапласа), K,(t,p) — t?~x
(преобразование Меллина) и др. Первому из
них посвящена следующая глава (см. особен-
но п. 88).
В этой главе будет показано, что в слу-
чае преобразования Лапласа функция f(t)
определяется через свою производящую функ-
цию F(p) по формуле
'®=2S7 J (Н')
X—Zoo
где F(p) — функция комплексного перемен-
ного р = s + io, аналитическая в правой по-
луплоскости Rep^X^O, интеграл берется
прямой П: Re р = X и t — положительный параметр. В заклю-
чение этой главы укажем способ отыскания асимптотического
выражения для таких интегралов.
Обозначим через L кривую, состоящую из двубережного
разреза вдоль отрицательной оси s и малой окружности, обхо-
дящей точку р = 0. Через Пд и LR мы обозначим участки кри-
вых П и L, для которых соответственно Re/?>—R,
а через CR — дуги окружностей |р| = А?, Rep <7, (рис. 174).
Мы предполагаем, кроме того, что:
1) функция F (р) допускает выделение однозначной ветви
в плоскости р с вырезанной отрицательной полуосью;
2) выделенная ветвь имеет конечное число особых точек и
на дугах окружностей Сл стремится к нулю при /?-*оо равно-
мерно относительно arg/г,
3) интеграл по Р(р)е^ вдоль L стремится к нулю при
t —♦ оо.
В этих условиях для больших t
/R)«2reS{F(^)ePH- (12)
где сумма берется по всем особым точкам F(p) с неотрица-
тельной действительной частью.
490
ГЛ. V. ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ К АНАЛИЗУ
178
Действительно, на основании теоремы о вычетах имеем:
пя+ся+€я
(13)
где £(/)—полная сумма вычетов функции F(p)ep' (мы счи-
таем столь большим, что контур рис. 162 охватывает все
особые точки). По лемме Жордана п. 73 из условия 2) следует,
что при R —»оо интеграл вдоль CR стремится к нулю (см. заме-
чание после доказательства этой леммы); следовательно, равен-
ство (13) в пределе принимает вид:
/W=^r JJ(И)
П L
Но при больших t члены суммы S(t), относящиеся к особым -
точкам F(p) с отрицательной действительной частью, весьма
малы в силу малости множителя [ер'|, интеграл вдоль L по
условию также мал. Отсюда и следует (12).
В качестве примера найдем асимптотическое выражение интеграла
А+‘°° pt Vp*+2ap
= Г —--------------.........dp, (15)
2Я‘ , т (P — J'®)^ P2 + 2ap
a— (go
где a, v и <o — положительные постоянные (этот интеграл встречается в за-
даче включения длинной линии без утечки на э. д. с. его асимптотиче-
ское выражение дает установившийся режим в линии — см. п. 87 следующей
главы). Здесь условия 1) и 2) выполняются при х > 0, если под V р2 + 2ар
понимать однозначную в плоскости с вырезанной отрицательной полуосью s
ветвь, которая при положительных р принимает положительные значения.
Чтобы доказать выполнимость условия 3), положим pt = q, отчего контур L
перейдет в контур L* такого же вида, и мы будем иметь:
q-~Vq*+2aqt
| = -----7==^,
J (<7 — «®0 Г Я2 + 2aqt
откуда непосредственно видно, что этот интеграл стремится к нулю при
I —> оо.
Таким образом, описанный метод применим, и асимптотическое выраже-
ние интеграла (15) дает вычет подынтегральной функции в полюсе р = йо:
1 (х, i)
im tint——^Zaifn—a1
‘ e о
V 2aia — a2
(16)
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ V
491
Литература к главе V
(1] А. И. Марку шевич, Теория аналитических функций, Гостехиздат, 1950.
J2] А. Гурвиц и Р. Курант, Теория функций, «Наука», 1968.
[3] Уиттекер и Ватсон, Курс современного анализа, ч. 1, Физматгиз,
1963.
[4] Н. Г. Ч е б о т а р е в и Н. Н. Мейман, Проблема Рауса — Гурвица для
полиномов и целых функций. Труды Матем. института им. В. А. Стек-
лова, XXVI, 1949.
(5] Основы автоматического регулирования, под ред. В. В. Солодовни-
кова, Машгиз, 1954.
[6] Ц я и ь Сюэ-сэнь, Техническая кибернетика, Иноиздат, 1956.
[7] М. А. Евграфов, Асимптотические оценки и целые функции, Физмат-
гиз, 1962.
[8] Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. I,
Гостехиздат, 1951.
{9] Янке и Эмде, Таблицы функций с формулами и кривыми, Физмат-
гиз, 1959.
f 10] Б. В. Ш а б а т. Введение в комплексный анализ, «Наука», 1969.
[11] Н. Н. Боголюбов и Ю. А. Митропольский, Асимптотические
методы в теории нелинейных колебаний, Физматгиз, 1963.
[12] Н. Г. де Брейн, Асимптотические методы в анализе, Иноиздат, 1961.
[13] А. Э р д е й и, Асимптотические разложения, Физматгиз, 1962.
(14] Э. Ко пс он, Асимптотические разложения, «Мир», 1966.
Глава VI
Операционный метод и его приложения
В прошлом столетии многие математики (в том числе у нас
в России, например, Ващенко-Захарченко и Летни-
ков*)) занимались так называемым символическим исчисле-
нием. В основе этого исчисления лежит построение математи-
ческого анализа как системы формальных операций над сим-
волом P — V— независимая переменная). Например, п-я
производная функции x = x(t) представляется как результат
dn
действия на х символа рп = левая часть линейного диф-
ференциального уравнения с постоянными коэффициентами
L [х] — a0*(n) + aix(n-1) + ... + апх— как результат действия на
х символа L(p) — аорп + aipn~l + ... + ап, операция интегриро-
вания ^x(t)dt рассматривается как применение символа —,
о
t
1 1 Г ,// / 1 < Г 1 . tn
так что—• 1 — J —.1 = — , .... -^.1 = — и т. д.
о
Символическое исчисление оказалось довольно удобным для
решения различных задач, связанных с линейными дифферен-
циальными уравнениями. Его популяризации уже в нашем веке
в сильной мере способствовал английский инженер-электрик
О. Хевисайд, который успешно использовал символическое
исчисление в электротехнических расчетах.
Для иллюстрации метода Хевисайда приведем решение про-
стого дифференциального уравнения
х' — х = 1
*) См. М. Ващенко-Захарченко, Символическое исчисление и
приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений,
Киев, 1862. А. В. Летников, Теория дифференцирования с произвольным
указателем, Москва, 1868.
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
493
при начальном условии х(0) = 0. Заменяя дифференцирование
умножением на р, получим вместо дифференциального уравне-
ния уравнение рх— х = 1, откуда х ~ р _"f и после формаль-
ных преобразований получаем:
Р
Учитывая сказанное выше относительно символов — и ,
находим окончательно:
t t
х= |(1+/ + 4+ ••• + + •••) dt=^ e‘dt = e‘ - 1.
о ' о
В правильности полученного решения можно убедиться непо-
средственной проверкой.
Однако Хевисайд нисколько не заботился об обосновании
применяемых им методов и в ряде случаев приходил к неверным
результатам. Обоснование символического или, как его стали
теперь называть, операционного метода было дано лишь в два-
дцатых годах нашего столетия Бромвичем и Карсоном,
связавшими этот метод с известным из теории, функций ком-
плексного переменного методом интегральных преобразований,
которым с успехом пользовались Коши, Лаплас и другие ма-
тематики. При этом символ (оператор) р получил новое тол-
кование, как комплексное переменное р = s + io, а вместе
с ним новую трактовку получил и сам операционный метод *).
Пусть, например, требуется найти функцию x(t) действи-
тельного переменного t из некоторого уравнения, содержащего
эту функцию под знаками производных и интегралов. Опера-
ционный метод решения задачи сводится к следующим этапам:
1) от искомой функции х(Г) переходят к функции Х(р) ком-
плексного переменного р — «изображению» x(t)-, 2) над изо-
бражением Х(р) производят операции, соответствующие задан-
ным операциям над x(t), — получают «операторное уравнение»
относительно Х(р). При этом операции над изображением ока-
зываются значительно более простыми, например: дифференци-
рованию соответствует умножение на переменное р, интегриро-
ванию— деление на р и т. д.; 3) полученное операторное
*) Операционный метод получил также иное строгое обоснование с по-
мощью общей теории операторов, развитой в функциональном анализе — см.,
например, работу В. А. Диткина и А. П. Прудникова [11]. В последнее
время весьма оригинальную и простую трактовку операционного метода дал
польский математик Ян Минусинский [12].
494
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(79
уравнение решают относительно Х(р), что обычно сводится
к простым алгебраическим действиям; 4) от найденного изобра-
жения Х(р) переходят к оригиналу x(t), который и является
искомой функцией.
Применение операционного метода можно сравнить с лога-
рифмированием, когда: 1) от чисел переходят к логарифмам,
2) над логарифмами производят действия, соответствующие дей-
ствиям над числами, причем умножению чисел соответствует
более простая операция сложения логарифмов и т. д., 3) от
найденного логарифма снова возвращаются к числу.
В этой главе излагаются основные положения операционного
метода и иллюстрируются его применения к различным задачам
анализа и математической физики.
§ 1. Основные понятия и методы
79. Преобразование Лапласа*). Функцией-оригиналом мы
будем называть любую комплексную функцию f(t) действитель-
ного аргумента t, удовлетворяющую следующим условиям:
1°. Функция f(t) удовлетворяет условию Гёльдера всюду на
оси t, кроме отдельных точек, где она имеет разрывы первого
рода, причем на каждом конечном интервале таких точек ко-
нечное число. Это означает, что для каждого t (кроме указан-
ных исключительных точек) существуют положительные по-
стоянные А, а 1 и йо такие, что
\f(t + h)-f(t)\^A\h\a (1)
для всех й, | й | <=: йо.
2°. f(t) = 0 для всех отрицательных t.
3°. f(t) возрастает не быстрее показательной функции, т. е.
существуют такие постоянные М > 0, so О, что для всех t
| f (0 ] < Ме*>*. (2)
Число so назовем показателем роста f(t); для ограниченных
оригиналов можно, очевидно, принять**) s0 = 0.
С точки зрения физических приложений условия Г и 3° не
нуждаются в пояснениях — они, очевидно, выполняются для
большинства функций f(t), описывающих физические процессы
(t интерпретируется как время). Условие 2° на первый взгляд
кажется искусственным. Однако следует иметь в виду, что опе-
рационный метод приспособлен к задачам, приводящим к ре-
*) Пьер Симон Лаплас (1749—1827)—французский математик, астро-
ном и физик.
**) Если стремиться к более точным оценкам, то в качестве показателя
роста лучше принять нижнюю грань таких чисел s, что |)(/) |е~” остается
ограниченным при t -> оо.
79]
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
495
шению дифференциальных уравнений с данными начальными
условиями. В таких задачах вся информация о ходе процесса
до момента начала наблюдения, за который, конечно, можно
принять момент t = 0, содержится в начальных условиях. Та-
ким образом, и условие 2° физически вполне естественно.
Простейшей функцией-оригиналом является так называемая
единичная функция
fl, / > О,
п(/)==1о, /<0.
Очевидно, умножение функции <р(0 на ц(/) «гасит» эту функ-
цию для / < 0 и оставляет без изменения для t > 0: если функ-
ция ф(0 удовлетворяет условиям 1° и 3° и не удовлетворяет 2°,
то произведение
[ <р (/), t > 0,
f (/) = т)(Оф(О = | о> (<о
будет удовлетворять и условию 2°, т. е. будет оригиналом (на-
пример, т| (/)sin со/, и г. д.). Для простоты записи
мы будем, как правило, опускать множитель ц(/), условившись
раз навсегда, что все функции, которые мы будем рассматри-
вать, равны нулю для отрицательных t (например, вместо ц(/)
будем писать 1, вместо rj(^)sin<o^ — просто sin со/ и т. д.).
Изображением функции f(t) (по Лапласу) называют функ-
цию комплексного переменного р — s + io, определяемую соот-
ношением
F(p)= J f(t)e~ptdt,
о
(3)
где интеграл берется по положительной полуоси. Фразу: «функ-
ция f(t) имеет своим изображением F(p)» мы будем записы-
вать символом *)
f(t)^F(p) или F(p) = /(/).
Заметим, что метод Хевисайда, как это стало ясно после ра-
бот Карсона, заключается в переходе от функции f(t) к функ-
ции
оо
F’(p) = pJ 1(1)е-р‘М.
о
Таким образом, изображение по Хевисайду отличается от
изображения по Лапласу множителем р.
*) Употребляются также символы -<—►, || и другие.
496
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[79
Наличие дополнительного множителя р приближает метод
Хевисайда к другому символическому методу, применяемому
в электротехнике, однако оно вносит неоправданные усложне-
ния в некоторые выкладки. Кроме того, преобразование Лап-
ласа более естественно связывается с известным интегралом
Фурье, который также широко применяется в математической
физике (см. п. 88) *). Исходя из этих соображений, мы будем
всюду рассматривать преобразование Лапласа, а не преобра-
зование Хевисайда.
Теорема 1. Для всякого оригинала /(/) изображение
F (р) определено в полуплоскости Rep>s0, где s0 — показа-
тель роста f(t), и является в этой полуплоскости аналитиче-
ской функцией.
В самом деле, при Rep = s>s0 интеграл (3) абсолютно
сходится, ибо в силу неравенств (1) он мажорируется сходя-
щимся интегралом
J f (0 e~pt dt
о
< i dt = —ttt— .
J S — So
о
(4)
Далее, в любой полуплоскости Rep>st>s0 интеграл, полу-
чающийся из интеграла (3) дифференцированием по р, сходится
равномерно, ибо он также мажорируется сходящимся интегра-
лом, не зависящим от р,
ОО
J f (/) te~pt dt
о
M
(si — s0)2 ’
(5)
f dt
Отсюда на основании теоремы 4 п. 16 мы заключаем, что функ-
ция F(p') в любой точке полуплоскости Re р > s0 обладает про-
изводной. Теорема доказана.
Замечание 1. Интеграл Лапласа (3), вообще говоря,
определяет изображение F(p) лишь в полуплоскости Rep>s0-
Между тем, как мы увидим ниже, в большинстве практических
задач область определения изображения значительно шире этой
полуплоскости. Поэтому часто мы будем рассматривать анали-
тическое продолжение изображений за прямую Rep — s0 и бу-
дем пользоваться тем, что соотношения между различными изо-
бражениями, которые, как правило, устанавливаются в полу-
плоскостях сходимости соответствующих интегралов Лапласа,
при таком продолжении сохраняются (ср. п. 25).
*) Наконец, как увидит читатель из дальнейшего изложения, свойства
преобразования Лапласа более симметричны: каждому свойству оригиналов
соответствует аналогичное («двойственное») свойство изображении — см.
свойства III и IV, V и VI, VII, VIII, IX и X.
79]
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
497
Замечание 2. Если точка р стремится к бесконечности
так, что Re р = s неограниченно возрастает, то F (р) стремится
к нулю:
lim F(p) = 0. (6)
S -> + 00
Это утверждение непосредственно вытекает из неравенства (4).
Отсюда следует, что F(p) —>0, если р-*оо, оставаясь внутри
любого угла-----y + 6 < argp < —6, где 6>0 сколь угодно
мало, причем эта сходимость равномерна относительно argp.
Если, в частности, F(p) аналитична в бесконечно удаленной
точке, то F(p)—>-0 при р-+<х> по любому пути; следовательно,
F (р) просто должна иметь нуль в бесконечности.
Свойства преобразования Лапласа мы выясним в следующих
пунктах, а сейчас остановимся на выводе формулы, определяю-
щей функцию-оригинал по ее изображению
(четвертый этап операционного метода
см. стр. 489). Мы дадим прежде нестро-
гий, но зато конструктивный вывод этой
формулы, а затем приведем строгое дока-
зательство.
Рассмотрим интеграл
a+ioo
'<'>=2^ .[ <7>
a— i оо
взятый вдоль прямой Rep = a>0, прохо- Рис’ |75-
димой снизу вверх. Обозначим еще через
СциС'ц части окружности |р| — R, лежащие соответственно
слева и справа от прямой Re р = а, а через а — ib и a-\-ib —
концы CR и C'r (рис. 175).
Пусть t > 0; так как ->0 при /?->оо равномерно относи-
тельно argp, то по лемме Жордана п. 73 (формула (4)) имеем:
lim I — dp = 0.
R->oo J P
CR
Следовательно, из теоремы Коши о вычетах, согласно которой
a+lb
a—ib
мл С ePt I
— dp + J — dp = 2ш res — | = 2ш,
сн Р~~
498
ГЛ. VI. операционный метод и его приложения
|79
в пределе при /?->оо получим:
a+ib
1 Г
f(/)=lim J -—dp = l. (/>0).
Ь-»оо Р
о—io
Если t < 0, то по той же лемме Жордана (формула (5) п. 73)
имеем:
. С ер1
lim — dp = O,
оо у Р
CR
а по теореме Коши
a+ib
Г ept С ept
J J
a—ib „f
откуда в пределе при /?->оо получим:
a+ib
1 Г оР1
~TdP = 0
b-+oo » Р
a—ib
(/<
0).
Таким образом, интеграл (7) представляет единичную функцию.
Ясно, что если заменить в (7) t на
t — т, где т — фиксированное число, то
мы получим функцию
O-J-Z оо
1 f ep(t~x> f 0. Z<T>
2л/ J p P I 1, />т.
fl—too
(8)
Подставляя в (8) т == ti, а затем т —
= Т2 > Ti и вычитая второй интеграл из
представление ступенчатой функции
а+i о»
I f ept e~px,—e~pX1
2лг J р
a—i°°
dp =
О,
1,
О,
t < Tj
Т| < t < т2,
t > т2.
Точно таким же образом можно представить интегралом сту-
пенчатую функцию, график которой изображен на рис. 176,
1
2 л I
a+i оо
fl—/оо
гс—1
f(TA)
*==0
e-pxk е-рт*+1
dp =
р
1
2 л i
epi
a—too
гс—1
5} f (тА)
*=о
dp,
(9)
791
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
499
где
(Дт/г = п+1 — та). Если теперь увеличивать число п так, чтобы
тахДтА стремился к нулю, то А'та будет бесконечно малой ве-
личиной, эквивалентной Дта, и сумма в фигурных скобках в фор-
муле (9), мало отличающаяся от интегральной, в пределе пе-
рейдет в интеграл. Естественно ожидать, что в пределе мы
получим интегральное представление функции f(t) на интер-
вале (0, т)
1
2 л i
ер‘
т
j*f (т) е~рх dr
б
dp.
Устремляя т к оо и обозначая через
F(p) = [ f(i:)e~pxdT GO)
б
преобразование Лапласа функции f(t), мы получим в пределе
искомое выражение оригинала через его изображение
a+i со
№ = / eP‘F^dP-
(И)
Формула (11) «обращает» формулу (10), т. е. выражает функ-
цию /(/) через ее изображение F(p). Точно так же и (10)
можно считать обращением (11), поэтому формулы (10) и (11)
называются формулами обращения (Лапласа).
Приведем теперь точный результат.
Теорема 2. Если функция f(t) является оригиналом, т. е.
удовлетворяет условиям 1°, 2°, 3°, и F(p) служит ее изобра-
жением, то в любой точке t, где f(t) удовлетворяет условию
Гёльдера, справедливо равенство
i °°
Ш = j eplF(p)dp, (11)
a—i оо
где интеграл берется вдоль любой прямой Re р — а > s0 и по-
нимается в смысле главного значения*).
, *) То есть как предел интеграла вдоль отрезка (а — ib, а + ib) при
Ь —► оо.
500
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[7?
В самом деле, рассмотрим интеграл
a+ib a+ib f 00 1
/ь(0 = -^ j eP‘F (-Р^1р:=^л j eP* I / f (T) e'₽T dx \dp
a—ib a—ib *0 *
(см. формулу (10)). Так как в полуплоскости Rep^ а интеграл
сю
J f(x)e~pxdx сходится равномерно относительно р (см. дока-
0
зательство теоремы 1), то можно изменить порядок интегриро-
вания*), и мы получим:
оо a+ib
= f^dx j ep{t~x)dp =
0 a—ib
oo oo
= |f f(T)e°^-^-sin^~^6/T^|efl< f f^ + t)e-^s^dl
JI «7 I — t, Jb g
0 -t
(мы заменили т—t = l). Полагая g (t) = f (i) e~at и учитывая,
что g(t) = 0 для всех t <. О, мы получаем
00 оо
= I g^ + P-g.^.sin^^ + -^(O f ~^dl. (12)
JV t) ъ •’* V ъ
— OO —oo
Интеграл во втором слагаемом — это интеграл Эйлера (см.
пример 2 п. 73), он равен л при любом b > 0, и, значит, второе
слагаемое равно f(t). Для доказательства нужного нам соотно-
шения lim fb (/) = f (t) остается, следовательно, доказать, что
&-> ОО
первое слагаемое в (12) стремится к 0 при &->оо. Для этого
нам понадобится
Лемма. Для любой функции <p(g), интегрируемой на от-
резке [а, р],
lim f ср (?) sin bl dl = 0.
6->oo J
Действительно, если ф(?) непрерывно дифференцируема на
[а, р], то все доказывается интегрированием по частям:
Р Р
/ Ф (g) sin bl dl = - ф (?) [+/<₽' (?) dl -> О
а а
*) Это непосредственно вытекает из известной теоремы анализа, см.,
например, Фихтенгольц, т. II, стр. 733.
79]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
501
при Ь—>-оо. Если же <p(g) — произвольная интегрируемая функ-
ция, то для любого 8 > 0 найдется непрерывно дифференци-
руемая функция <ре(£) такая, что
и
/| фШ-ФеШ \dl <
а
Но тогда
е Р ₽
j Ф (g) sin bl dl = j {ф (g) — фе (g)} sin Ы dl + j фе (g) sin bl dl,
a a a
где первое слагаемое справа по модулю не превосходит е/2 для
всех b (ибо |sin &g| 1), а второе — для достаточно больших b
(по только что доказанному). Лемма доказана.
Чтобы закончить доказательство теоремы, фиксируем е > 0
и разобьем интеграл в первом слагаемом формулы (12) на три:
J eg + »)-«<0 sintUS= ( A« + >).-g«)sintu£ +
-сю —В
+ f 8(^t} sin ы dl-g(t) f ^dl.
v b v b
1EJ>jB l£l>B
Здесь второе и третье слагаемые — сходящиеся интегралы, по-
этому каждый из них можно сделать по модулю меньшим е/3,
если выбрать число В достаточно большим. Множитель при
sin bl в первом слагаемом — интегрируемая на отрезке [—В, В]
функция, ибо в силу условия Гёльдера в окрестности g = 0 мы
имеем | g ~ g W | । р-а > где а > 0- Поэтому в силу
—а
леммы первое слагаемое по модулю будет меньше е/3 при всех
достаточно больших Ь. Таким образом,
оо
lim f + sin6g^ = Oi
b->0 J s
— oo
и теорема доказана полностью.
Непосредственно из доказанной теоремы следует
Теорема 3. Оригинал f(t) вполне определяется своим изо-
бражением F(p) с точностью до значений в точках разрыва f(t).
В самом деле, по доказанному значение оригинала в точке
его непрерывности выражается через изображение F(p) по фор-
муле (И). Значения оригинала в точках разрыва, очевидно,,
не влияют на изображение.
1502
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(79
Приведем еще условия, достаточные для того, чтобы задан-
ная функция комплексного переменного F(p) служила изобра-
жением некоторого оригинала:
Теорема 4. Если функция F(p) аналитична в полуплоско-
сти Re р > so, стремится к нулю при | р | —* оо в любой полупло-
скости Re р а > s0 равномерно относительно argp и интеграл
а+1<х>
f F (р) dp
абсолютно сходится, то F(p) является изображением функции
a+i оо
f('>=2ST J ''W
a—i оо
(11)
Действительно, фиксируем некоторое число ро, Re ро > а, тогда
из (11) следует:
оо оо . а+i о° ч
| e-P^f(t)dt = ~ J e~Pd ! J ep‘F(p)dp\dt. (13)
О 0 ’ a—Zoo ’
Так как во внутреннем интеграле р — а -{ io, dp = ido, то
можно вынести за его знак множитель eat и оставшийся инте-
грал
а-Н'°о
У ei<5tF (р) dp
a—i оо
оо
J | F (а 4- /о) | do.
— оо
Отсюда видно, что этот интеграл сходится равномерно относи-
тельно t, и, следовательно, в формуле (13) можно переменить
порядок интегрирования. Мы получим:
оо а+1оо оо
J e~Pdf (/) dt = 2^- У F (р) dp j 1 dt =
О a—ioo О
а-Н <»
' [ J^dp> (14)
2ш J p — po ’ ' '
a— i oo
ибо в силу того, что Re(p —р0)<0 и t > 0, внутренний инте-
грал сходится и равен-------!—. Далее, в силу условий тео-
Р Ро
ремы на дуге окружности Ср: | р | = R, Rep>a, имеем
79)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
50a
max | F(p) | = aR -> 0 при /? -* оо, следовательно,
f F (p) ao
-----dp ^~d——гя^
J P~Po н Я — | p0 |
CR
и этот интеграл стремится к нулю при R —> оо. Отсюда следует,
что прямую интегрирования в (14) можно заменить замкнутым
контуром Сц, составленным из CR и отрезка (a-\-ib, а — ib),
проходимого сверху вниз:
оо
J »-->•?«) dt=^ \-^dp
0 cR
(мы освобождаемся от знака «—» в формуле (14), меняя на-
правление обхода прямой). Но внутри контура CR аналитиче-
, F (р) ,
ская функция имеет лишь одну особую точку р — р0 —
полюс первого порядка с вычетом F(p0); следовательно.
/ e-^7(O^ = F(Po).
о
что и требовалось доказать.
Заметим теперь, что при t <. О по лемме Жордана
Й I e₽'F(p)dp = 0;
c'r
следовательно, прямую интегрирования в формуле (11) можно
заменить тем же контуром Сл, что и выше. Мы получим при
К О
IV = TSl ) dp = 0.
ибо подинтегральная функция аналитична внутри CR, так что
условие 2° для оригинала выполняется. Далее, из (11)
оо
1/(0 к-^-eat \ [F(a + io)\dC = Meat,
— оо
так что и условие 3° также выполняется. На проверке условия 1°
мы не будем останавливаться.
504
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[80
80. Свойства преобразования Лапласа. Мы приведем здесь
ряд простых предложений, составляющих аппарат операцион-
ного метода. Прежде всего отметим два простых примера пре-
образования Лапласа*)
1=1, ер»« = —(I)
Р Р — Ро '
которые получаются непосредственно из его определения (фор-
мула (2) предыдущего пункта).
Далее мы всюду будем обозначать через f(t), g(t), ... ори-
гиналы и через F(p), G(p), ... — их изображения:
Р (р) = J f (0 е~Р* dt, G(p) = j g (0 e~pt dt, ...
о о
Непосредственно из свойств интегралов получаем:
I. Свойство линейности. Для любых (комплексных}
постоянных а и 0
af(t) + M) = aF(p) + W(p). (2)
На основании этого свойства, например, сразу получаем из
формул (1) соотношения
1(0^ — icof 1/1 1 \ ,,
• / £? в t I I [ 1\ СО /о\
Sin (Ы = ---—----== -7П- ---:------7-г— = —уу--у . (3)
2l \ р — ZCO р + 1(0 / р2 + (О2 V '
Аналогично,
cos ю/ = —2-г—г 1 sh at = , ch at = —~F—r. (4)
p2 + co2 p2 — or p2 — co2 '
II. Теорема подобия. Для любого постоянного а>0
'«IB <5>
В самом деле, полагая at = x, имеем:
f (at) е-р( dt = 1 J f (x) e x dx = F [fy.
о 0
III. Дифференцирование оригинала. Если функ-
ция f(t) непрерывна при t >0 и f' (t) или вообще Fn~>(t) является
оригиналом, то
f'(t) pF (р) — f (Q), (6)
или
fW(t)^pnF(p)-p’2-'f(Q)-p’l-2f'(Q)- ... -f^(0), (7)
где под (0) понимается правое предельное значение lim (/).
______________ <->+о
*) Здесь 1 и ePl,t по вашему условию обозначают соответственно т|(/) и
ер,<г) (/).
80]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
505
В самом деле, переходя к изображениям и интегрируя по
частям, получаем:
ОО 00
f' (О = J Л (0 dt = [/ (/) + р j f (/) dt.
о о
В силу того, что Rep = s>s0, имеем | f (/)е~Р* Me(s-s«)f и
подстановка t—oo в первый член дает нуль, подстановка же
/ = 0 дает, очевидно, —/(0)*); второй член равен pF(p), и
формула (6) доказана. Применив формулу (6) дважды, получим:
f" (0 = [Г (/)]' Р [pF (р) - f (0)] - f' (0) = p2F (р) - pf (0) - f' (0)
и т. д.
В частности, если f (0) — 0, то
f'(t) = pF(p), (8)
и дифференцирование оригинала сводится к умножению на р
его изображения (ср. введение к этой главе).
Двойственным **) к свойству III является свойство
IV. Дифференцирование изображения. Диффе-
ренцирование изображения сводится к умножению на —t ори-
гинала, или вообще
F{n\p) = (-\)ntnf(t). (9)
В самом деле, так как F(p) является в полуплоскости
Rep>5o аналитической функцией, то ее можно дифференциро-
вать ***) по р, и мы получим:
F' (р) = - J tf (() е-Р* dt,
О
(10)
F"(p) = J t2f(f)e~ptdt,. .., F(ra)(p) = (-lf j tnf (t) e~P* dt,
0 0
что равносильно формуле (9).
В качестве примера применения свойства IV отметим, что
из соотношений (1) вытекает:
,п , п! Л ptt ,
— рп+1 ’ 1 е ~
п!
(Р-Рдп+1 ’
(11)
*) Очевидно, под ДО) следует понимать правое предельное значение,
левое всегда равно нулю.
**) См. примечание к стр. 496.
***) Возможность дифференцирования под знаком интеграла вытекает
из того, что все интегралы (10) сходятся равномерно относительно р в лю-
бой полуплоскости Re р а > з0; можно также использовать теорему Вейер-
штрасса п. 16.
506
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(80
а из формул (3), (4):
t sin со/ = , , t cos at = . (12)
(p2 + co2)2 (P + co2)2 ' '
V. Интегрирование оригинала. Интегрирование
оригинала сводится к делению изображения на р
t
(13)
о
(ср. введение к этой главе).
t
Прежде всего, легко проверить, что функция g (/) = j f (/) dt
о
вместе с /(/) является оригиналом, т. е. удовлетворяет усло-
виям Г, 2°, 3° п. 79. Тогда в силу формулы (8) (она применима,
ибо g(0) = 0) имеем:
f(O = g'(/)~pG(p).
Таким образом, для изображения f{t) имеем F(p) = pG(p), от-
куда
О(р) = ^-,
что и требуется.
Двойственным к свойству V является свойство
VI. Интегрирование изображения. Если интеграл
ОО
J F{p)dp сходится, то он служит изображением функции f{t)/t'.
р
оо
~~=^F{p)dp, (14)
р
{интегрирование изображения равносильно делению на t ори-
гинала) .
В самом деле, имеем:
j F (р) dp = j dp | f (0 е~р* dt.
p p о
Предполагая, что путь интегрирования (р, оо) весь лежит в по-
луплоскости Re р о > so, получим оценку внутреннего инте-
грала
J f{t)e~ptdt «С Af j e~l'a~s>)tdt,
о о
801
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
507
из которой ясна его равномерная сходимость относительно р.
Поэтому мы можем изменить порядок интегрирования:
со со оо оо
J F(p~}dp — J f if) dt J e~ptdp = ^ ^p-e~ptdt.
p Op о
Полученное равенство равносильно формуле (14)*).
Пример 1. Имеем (см. (1)):
Пользуясь свойством VI, получаем: <
eb‘-eal . F / 1 1 \ . . р — а
—Ч (7^-^)dp = ln7^&- (15>
р
Пример 2. Из формулы (3), применяя свойство VI, найдем:
оо
sin t . f dp л.
—f-?= J T+V ~2 ~ arCtg P arCCtg P'
p
Применяя свойство V, найдем изображение интегрального синуса
t
Г sin t . arcctg p
SI/ = J—~dt^—p—- (16)
0
VII. Теорема запаздывания. Для любого положи-
тельного т
/(/-т) = е-Р^(р) (17)
(включение оригинала с запаздыванием на т (рис. 177) равно-
сильно умножению изображения на е~рх).
Так как f(t — т) — 0 при t < т, то, делая замену переменных
t — т = 6, получим:
f (t — т) = J f (t — т) e~pi dt — J f (/,) e~p (6+T) dtt — e~pxF (p),
X 0
что и требовалось доказать.
*) Заметим, что из нашего рассуждения следует сходимость интеграла
о
508
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[80
Теорему, в частности удобно применять при отыскании изо-
бражений функций, которые на разных участках задаются раз-
личными аналитическими выражениями.
Рис. 178.
Пример 1. Найдем изображение ступенчатой функции, график которой
изображен на рис. 178. Имеем, очевидно,
f (t)=A{i\ (0 + i] (t - т) +ц (/ - 2т) + •};
следовательно, по теореме запаздывания
f (/) - А ( 1 + -L е-Рх +1 е~2рх + ...
I Р Р Р I
Справа мы имеем сходящуюся геометрическую прогрессию, ибо | е~рх
1 _ А
1 - е~рХ ~ 2р
(18)
— е 1
р
Пример 2. Периодический прямоугольный
импульс g (t), график которого изображен на
рис. 179, можно записать в виде
g (О = А {ч (/) — 2ц (/ — т) + 2ц (t — 2т) — ...};
следовательно, по теореме запаздывания
g(/) = nfl-le-^ + -2 е_2рг _ 1
I Р Р Р J
р V “ 1 +е~рх} р 2 '
Периодический треугольный импульс h (t), график которого изображен пунк-
тиром на рис. 179, равен J g (I) dt; следовательно, по свойству V
о
= (20)
р £
Двойственной к теореме запаздывания является
VIII. Теорема смещения. Для любого комплексного р0
epdf(f) = F(p-p0) (21)
(«смещение» изображения на р0 равносильно умножению ори-
гинала на еР‘*).
811
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
509
Имеем:
еро7 (0 = j f (t) 1 dt = F (р — p0),
о
что и требовалось доказать.
Теорема позволяет по известным изображениям функций
находить изображения тех же функций, умноженных на экспо-
ненту, например:
р—м cin (л/ ~cos (at ==-------Р ----
• (р + Л)2 + й)2, е coson. (р + Л)2 + и2,
-и,п . nt '
' (р + Л)п+‘'
81. Теоремы умножения. Особое место в операционном ме-
тоде занимают предложения, выражаюцше связь между ориги-
налами и изображениями произведения <^1кцнй.
IX. Теорема умножения (Э. Борель). Произведе-
ние двух изображений F(p) и G(p) также является изображе-
нием, причем
t
F(p)G(p)^f(r)g(t-T)dT. (1)
о
В самом деле, интеграл в правой части формулы (1) яв-
ляется оригиналом: свойства 1° и 2° очевидны, а для доказа-
тельства 3° заметим, что если взять число s0
равным наибольшему из показателей роста
f(0 И g(t), то
t
J f (t) g (t — т) dr
0
t
J es<>xeSi^~x^dT —
о
= Mte5at.
Рис. 180.
Отсюда и следует, что интеграл (1) не пре-
восходит некоторой константы, умноженной на e(Sc+s>/, где е
сколь угодно малое положительное число.
Рассмотрим теперь изображение интеграла (1):
t О<3 t
J f (т) g (t — т) dr = J e-p< dt j f(r)g(t — t) dr.
0 0 0
Справа здесь стоит двукратный интеграл, распространенный на
сектор S плоскости (t, т) (рис. 180), ибо при фиксированном t
интегрирование по т ведется в пределах от 0 до r=t, а затем
изменяется от 0 до оо, Так как при Rep > So этот двукратный
610
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[81
интеграл абсолютно сходится, то в нем можно изменить поря-
док интегрирования*), и мы получим (заменяя еще t на Л =
= t — т):
J f W g (I — т) dx <= J f (т) dx J e~ptg (t — x)dt =
О От
= Р W е~рх dx j g (Ц) e-p*' dti = F(p)G (p),
о о
что и требовалось доказать.
Интеграл в правой части формулы (1) называется сверткой
функций f(t) и g(t) и обозначается символом
(f * g) = J f (т) g (t — т) dx. (2}
о
Теорема IX утверждает, что умножение изображений рав-
носильно свертыванию оригиналов:
(f * g) Г (р) G (р) **) (3)
В приложениях полезно следствие теоремы умножения, ко-
торое относится к случаю, когда надо найти оригинал произве-
дения pF(p)G{p). Пользуясь правилом дифференцирования
оригинала (формула (6) предыдущего пункта) и доказанной
теоремой умножения, мы получаем так называемый интеграл
Дюамеля:
pF (р) G(p) = f (0) G (р) + {pF (р) - f (0)} G (р) =
^f(O)g(Z)+p'(T)g(/-T)dT. (4)
о
На основании свойства симметрии свертки этот интеграл пере-
писывается также в виде
pF(p) G(p)^f (0) g (t) + / g (r) f' (t - x) dx, (5)
о
*) См., например, Фихтенгольц, т. Ill, стр. 270.
**) Отметим свойство симметрии свертки
(М £) = (g ♦ f),
которое легко доказать, заменяя в определении свертки переменное т на
Ti = t — т; оно следует также из того, что левая часть (3) не меняется при
перемене ролей £(р).и G(p).
811
§ t. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
511
а перемена ролей функций F(p) и G{p) приводит к формулам
Г
pF(p)G(p) = g(O)f(t)± g'(r)f(t-x)dx =
О
t
==g(o)Ho + р(т)£'а-т)л. (6)
о
Примеры применения интеграла Дюамеля будут даны ниже
(см. п. 84 и след.).
Приведем теорему, двойственную теореме умножения.
X. Теорема. Пусть даны два оригинала f(t) и g(t) с по-
казателями роста «1 и «2- Их произведение также является ори-
гиналом, причем
a-^ioa
f{t)g(t)=~ J F(q)G(p-q)dq, (7)
a-- ioo
где a > $i и Re p > s2 + a.
В самом деле, произведение f(t)g(t), очевидно, удовлетво-
ряет условиям 1° — 3° для оригиналов. Его изображение
ОО
О
Возьмем а > Si и заменим f(t) по формуле обращения:
f(t)g(ty
1
2 л i
F (q) eqt dq
g (/) e~pt dt —
OO v
F (q) J g (t) e~(p~4} * dt\ dq
о '
(изменение порядка интегрирования можно обосновать).
Если считать еще Rep > s2-|-а, то будем иметь
Re(p — q) > S2, ибо у нас Req = a, и внутренний интеграл
можно заменить через G(p — q). Теорема доказана.
Заметим еще, что так как а можно взять сколь угодно близ-
ким к Si, то изоображение функции f(t)g(t) определено в полу-
плоскости Rep>s, где s = si4-s2— показатель роста этой
функции.
В приложениях полезна доказанная в 1935 г. советским ма-
тематиком А. М. Эфросом.
512 гл. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
XI. Обобщенная теорема умножения. Пусть
дано изображение F(p)=f(t) и аналитические функции G(p)
и q{p) такие, что
G (р) e~xt>(p) g (f, т), (8)
тогда *)
оо
F[q(p)]G(p)^ p(T)g(/; х) dx. (9)
О
В самом деле, изображение правой части соотношения (9),
J f (г) ё т) dx = j е~?* dt J f (т) g (t\ т) dx =
О 0 0
оо оо
= J f (т) dx J g (/; т) e~pt dt
о о
(мы предполагаем, что можно изменить порядок интегрирова-
ния). Но внутренний интеграл есть изображение §(/;т); следо-
вательно, по формуле (8) можно написать:
оо оо
J f (т) g (/; т) dx И G (р) J f (т) е-ч^ xdx = G(p)F [9 (р)],
о о
что и требуется.
Замечание. Если, в частности, принять q(p) = p, то
ё^>^ e~PxG(p) и по теореме запаздывания g(t-, т) — g(t — т);
следовательно, формула (9) принимает вид
оо t
F (р) G (р) Н J f (т) ё (t — т) dx = J f (т) g (t — т) dx
о о
(при x>t в силу свойства 2° оригиналов g(t— т)=0) и совпа-
дает с формулой (1). Таким образом, теорема Эфроса действи-
тельно является обобщением теоремы умножения.
Приведем несколько примеров применения теоремы Эфроса.
Пример 1. Пусть G (р) = п q (р)—Ур. Функцию g (t; т) найдем
У р
по формуле обращения
a-j-ioo
/Т — t rv» ‘
*) Мы не формулируем условий теоремы; из этих условий должно сле-
довать, что нужные функции являются изображениями и что можно менять
порядок интегрирования (см. доказательство).
81]
§ 1. ОСНОВНЫЕ понятия и МЕТОДЫ
513
б
а + сЬ
а-Л
Рис. 181.
Рассмотрим замкнутый контур, составленный из отрезка (а — ib, a-\-ib),
дуг CR и C'R окружности |р| = R, двубережного разреза I, И и окруж-
ности сг: |р| =г (рис. 181), Внутри этого контура подынтегральная функция
аналитична и однозначна (для определенности мы считаем —л < arg р < л).
Поэтому по теореме Коши интеграл вдоль отрезка
(а — ib, а ф- ib) можно заменить интегралом вдоль
остальной части контура (направление интегрирова-
ния показано стрелками на рис. 181). Так как_т>0,
то на дугах CR и СR функция е ‘1 р -> 0
V Р
при R->co. Следовательно, по лемме Жордана при
Z>0 интеграл от е~х^р +pt вдоль c'R и C"R
V р
стремится к нулю при R -> оо, и можно написать:
„ . 1 ( Г -rVp+pt dp Г П
е<';т,-Дт«а7 J 7T + J+J
II
На берегу I имеем р = хе in, Ур = — i
Ур = i VX', следовательно,
берегу II: р = хе
irVx—xt dx
е -—
I R
Интеграл вдоль
Г . м
< г_ 2лг.
очевидно,
Таким образом,
R
f iт Vх — xt dx
J i У~х
стремится к нулю при
I. . 1 I — xt 1 /*— dx
g (1> т) = — e x cos т V x
о
(мы положили x = и2 и затем
грала Пуассона — см. пример 4)
-т/'р
— — e z“!cos th du =e
V x л J V nt
воспользовались известным значением инте-
п. 73), т. е. *)
(Ю)
е р . 1
V р ’ У nt
Пусть теперь известен оригинал функции F (р) = f (t). Учитывая соот-
F (Ур)
ношение (10), мы можем найти оригинал —непосредственно по тео-
V Р
реме Эфроса;
^(У_р) 1_ I
У p Уnt J
dr.
(И)
*) При t < 0 стремится к нулю интеграл вдоль дуги CR, обозначенной
пунктиром на рис. 181; аналогичным рассуждением покажем, что g (I; т) = 0
514
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(81
Например, полагая F (р) = —-—(« > 0), найдем
/ (/) = т| (/—- а), и формула (11) даст
по теореме запаздывания
оо оо
(мы воспользовались тем, что т|(т —а)=0 при т < а, а затем положили
<£
—р— = х). Пользуясь обозначениями
X
2 Г 2
ег(х = -^=- \ е х dx, 1—erfx = Erfx (12)
Г л J
о
и учитывая, что erf оо = 1 (см. п. 70), мы можем записать последнюю фор-
мулу в виде _
-------=±1 _ erf
Р
(13)
Пример 2. Положим G (p) = — и<у(р)= —. Функция g (t; x) =
P P !
— e~T‘ip найдется с помощью теоремы подобия из формулы — е~^р==
=*/о (2 КО, которая будет получена в следующем пункте *):
g (t; т) = Jo (2 Кtx).
Теорема Эфроса дает;
If
р
j f (т) Jo (2 V~ix) dx.
0
(14)
В частности, полагая f (т) = cos х, получим F (р)
~Т~г (см. (4) п. 80),
формула (14) примет вид:
j Jo (2 Кtx) cos х dx == —yq
0
(15)
Учитывая формулу
бесселеву функцию
(3)
п. 8, получаем следующее соотношение, содержащее
J Jo (2 КД) cos х dx — sin t.
о
(16)
*) См. формулу (4) п. 82, Jo — бесселева функция нулевого порядка, см.
п. 70, а также следующую главу.
82] § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ 515
82. Теоремы разложения. Мы докажем здесь несколько тео-
рем, относящихся к разложению в ряды оригиналов или изо-
бражений. В первой теореме мы предположим, что изображе-
ние F(p) аналитично в бесконечно удаленной точке (по заме-
чанию п. 79 тогда F(oo)-O), и докажем, что в этом случае
оригинал можно находить, беря формально сумму оригиналов
членов лорановского разложения функции F(p) в окрестности
бесконечно удаленной точки. Учитывая формулы (11) п. 80 для
оригиналов отрицательных степеней р, мы можем сформулиро-
вать эту теорему в следующем виде:
XII. Первая теорема разложения. Если F(p) пра-
вильна в бесконечно удаленной точке и имеет в ее окрестности
| р | R лорановское разложение
ОО
(о
fe=l р
то оригиналом F (р) служит (умноженная на ц(/)) функция
оо
*=1
При этом f (t) является целой функцией.
Для доказательства положим p = и T’f'yj =Ф(</). Функ-
ОО
ция Ф(р) = ^ ckqk аналитична в круге | <7-i-; следовательно,
А=1
неравенства Кощи из п. 17 дают
\ck\<MRk.
Из полученных неравенств для любого (комплексного) t по-
лучаем:
= MRe*^.
k=\ ' fe=0
Отсюда следует, во-первых, что ряд (2) сходится для всех
комплексных t, т. е. является целой функцией, и, во-вторых, что
Для положительных t. Таким образом, функция
действительно является оригиналом. В силу равномер-
ной сходимости ряда (2) в любом конечном круге мы можем
умножить его на е-?* и проинтегрировать почленно по t от 0 до
любого Т > 0. Если при этом Rep > R, то можно почленно ин-
тегрировать и от 0 до оо. Использовав формулы (11) п. 80,
мы и получим нужное разложение (1). Теорема доказана.
516 ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [82
Замечание. Можно доказать и обратное предложение:
если оригинал имеет вид т)(0/(0, где f(t) — целая функция,
удовлетворяющая неравенству | f (/) | < Ales«|ZI (т. е. f(t) имеет
конечный порядок), то ее изображение F(p) правильно в беско-
нечно удаленной точке.
Пример. Рассмотрим разложение
F (p)=_J_e-vP = y _______________!___
w р«+' 2а fe! рм-*+1 •
/г=9
Так как F (р) правильна в бесконечности и имеет там нуль, то по теореме XII
можно формально перейти к оригиналам
оо
_J__ е-^ V (-9 (П+ - =
«+1 е • Za k! (n + k)l
' fe=0
Ряд справа напоминает разложение цилиндрической функции Jn (см. п. 70,
формула (13)); чтобы свести его к этой функции, положим i = ; тогда
k=0
Таким образом, мы имеем:
tnPJn (2^7) (3)
в частности, при п = 0
(4)
Приведем также некоторые следствия полученных формул. Из соотно-
шения (3) по теореме обращения получим
a+ioo
J
a—loo н
_ 2
Заменяя здесь 2 "Кt == т и (при фиксированном т) р — “ Рь а также учи-
тывая, что в силу последней замены прямая интегрирования лишь сдвинется
/ 2 \
в правой полуплоскости параллельно самой себе (ибо—> 0 , мы получаем:
\ ТГ /
Лг(т)=~ [ (5)
2л/ J Pi
а, — i<x> ‘
(ср. с аналогичной формулой п. 70). Положим теперь р = -L ( Pt — ] ;
правая полуплоскость Re р, > 0 перейдет при этом в плоскость р с вырезан-
32]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
517
ними лучами (— i°°, — i), (I, too). Чтобы выяснить характер образа L пря-
мой интегрирования, положим pi = relV, р — s + io, тогда
1 ( I \ 1 ( . 1 \ .
s = — r-------cos qi, a = — r 4--------sin ф.
2 \ r / 2 \ r / 1
На прямой интегрирования Re pi = at имеем r cos<p = a1; следовательно,
параметрическими уравнениями кривой L будут:
1 ( cos2 ф'
s=Tla‘——
1 I , , sin 2<р X
a=y(aItg<p + -^r)
тде —Из этих уравнений видно, что L лежит в полосе между
2 2
— и s = а" = — й] и имеет вертикальную асимптоту
/ 2
Л
Второе уравнение показывает, что при ф, изменяющемся
я
от —— Д° "2“» ff изменяется от - оо до оо, причем при
достаточно больших (что можно предполагать без
ограничения общности) — монотонно. Таким образом,
кривая L имеет вид, изображенный на рис. 182.
гг - 1 ( П
После нашей подстановки р = — pi-------------L
_____ \ Pi /
pi = р + Кр2 +1> соотношение (5) перейдет в
dp
s — а‘
s = а при
л
~2
заменить L пря-
1п W 2л/ J е КрПЛ (/, + ]/д2 + ])"
(мы пишем опять t вместо т). Так как подынтегральная
функция здесь имеет особенности лишь в точках ± i
(точки ветвления) и кривая L имеет вид, указанный
на рис. 182, то мы можем, не меняя величины интеграла,
мой Re р = а" > 0. Вспоминая формулу обращения, мы получаем изображе-
ние цилиндрической функции
(6)
г fn=£_______!_______ .. (Кр2 + 1 - рГ
п [)- К^+Т(р + /^ТТГ /F+T
В частности, для цилиндрической функции нулевого порядка имеем:
J0
/р2+1
(7)
(8)
Для одного важного класса изображений F(p) легко полу-
дить разложение оригиналов в ряд, члены которого соответ-
ствуют особым точкам изображений. Именно, имеет место
XIII. Вторая теорема разложения. Пусть функция
F(p): \)мероморфна и правильна в некоторой полуплоскости
Rep>so-, 2) существует система окружностей Сп: |р| = /?п,
Ri < R2 < ..Rn -» оо, на которой F(p) стремится к нулю рав-
номерно относительно arg р; 3) для любого а > s0 абсолютно
518
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[82
сходится J F(p)dp. Тогда оригиналом F (р) служит (умно-
женная на г](/)) функция
f (t) — S res F (p) ep*,
(Pk) Pk
(9)
где сумма вычетов берется по всем особым точкам ph функции
F(p) в порядке неубывания их модулей.
В самом деле, в наших условиях применима теорема 4
у. 79*), согласно которой F(p) является изображением функции
a+i оо
/ ePtF^dP- (Ю)
а—г оо
Обозначим через С'п часть окружности Сп, расположенную
слева от прямой Rep — а, через a±ibn— точки пересечения Сп
с этой прямой и через Г„ — замкнутый контур, составленный из
отрезка (а — ibn, а + ibn) и С'п и проходимый против часовой
стрелки. Так как по лемме Жордана при /<?0
lim f eptF (р) dp = О,
то при t > 0 вместо (10) можно написать
Ш = lim f ePtF^dP-
П-*СХ>
1 П
(11)
Применяя теорему Коши о вычетах, мы получаем, что
f (/) = lim 2 res F(p)ept,
«-*°°(rn) Pk
где сумма берется по всем особым точкам функции F(p), ле-
жащим внутри Гп, а это и есть нужный результат.
Следствие. Если функция F(р) — дробно-рацио-
нальна, причем степень многочлена А(р) в числителе меньше
степени многочлена В(р), то оригиналом ее служит (умножен-
ная на я(^)) функция
lim (Нр)(р-р^Л. (12)
\.nk lT p->pfe dP k
*) То, что у нас Ffp) ->0 при лишь по некоторой системе окруж-
ностей не вносит в доказательство этой теоремы существенных изменений.
82J
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
519
где ph — полюсы F(p), a nh — их кратности и сумма берется по
всем полюсам.
В самом деле, то, что Е(р) служит изображением, следует
немедленно из свойства линейности преобразования Лапласа и
формул (11) п. 80 на основании теоремы о разложении дробно-
рациональной функции на простейшие дроби (см. п. 71). Спра-
ведливость формулы (11) следует из леммы Жордана, которая
применима, ибо Е(р)-*0 при р —'оо. Поэтому справедлива и
формула (9), в которой ряд заменен конечной суммой. Остается
воспользоваться формулой для вычисления вычетов в полюсах
из п. 23, и мы получим искомую формулу (12).
В частности, если все полюсы F (р) простые, то формула
(12) упрощается-.
В(Р) • s'(^) ( )
(мы воспользовались формулой для вычисления вычетов в про-
стых полюсах; множитель т](0 в правой части мы опускаем со-
гласно принятому условию).
В приложениях (главным образом электротехнических) важ-
на разновидность этой формулы, которая относится к случаю,
когда изображение имеет вид Е(р) = где степень А(р)
не превосходит степени В(р) и В(р) имеет простые корни, от-
личные от нуля. В этом случае вместо (13), очевидно, получаем:
л W Л (0) - У (14)
рВ (р) • В (0) + 2| PkB' (Pk)
vjiq сумма берется по всем корням В(р).
Замечание 1. Если многочлен В(р) имеет действитель-
ные коэффициенты, то каждому его комплексному корню р от-
вечает комплексно сопряженный корень р. В самом деле,
В (р) = а0 (р)п + at (р)п 1 + ... + ап — а^р*1 + «iP^-1 + .... + ап =
= ад = о.
Если, кроме того, и многочлен А(р) имеет действительные ко-
эффициенты, то
_ Л (р)
В' (р)
Л(р)
В' (р)
epi
и, следовательно, сумма выражений д, ept, подсчитанных для
корней p — pk и p = pk, будет равна 2Re- А—, ePfet. Таким об-
й (Pk)
520
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
разом, если многочлены А(р) и В (р) имеют действительные
коэффициенты, то формулу (13) можно представить в виде
В(р) • ZiB'(Pk)e B'(pk)е ’
где первая сумма распространена на все действительные корни
В(р), а вторая — на все комплексные корни с положительными
мнимыми частями.
Замечание 2. Каждый член формулы (13), соответствую-
щий корню ph = sk + ioft, можно представлять как записанное
в комплексной форме колебание
B'^pl) (C0S ki + i sin
Отсюда ясно, что действительным корням (aft = 0) соответ-
ствуют апериодические колебания, комплексным корням с от-
рицательными действительными частями sh — затухающие коле-
бания, чисто мнимым корням (sh = 0)—гармонические колеба-
ния. Положительные действительные корни или комплексные
корни с положительными действительными частями вообще не
могут иметь места, если рассматриваемая система не допускает
колебаний с неограниченно возрастающей амплитудой.
Для таких систем легко написать колебание, соответствую-
щее установившемуся режиму,
= ,16)
где сумма распространена на все чисто мнимые корни рь — ioh
с положительными мнимыми частями*). В самом деле, в нашем
предположении действительные части всех корней неположи-
тельны, sh 0, а амплитуды колебаний, соответствующих отри-
’цательным sk, стремятся к нулю по показательному закону и не
входят в установившийся режим.
Примеры применения теоремы разложения мы приведем в
следующих пунктах.
83. Примеры. Дополнения. В этом пункте мы приводим ряд
соотношений и теорем, полезных при работе операционным ме-
тодом.
В (16) будет еще входить постоянное слагаемое
Л (0)
В'(0)
, если В (0)
0
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ и МЕТОДЫ
521
1) Предельные соотношения. Если f(t) является
оригиналом вместе со своей производной и F(p) = f(t),
то
lim pF(p) = f(O), (1)
р->ОО
где р~>оо внутри угла | arg р |< — S и f(0)= lim f(f); если,
2 i->+0
кроме того, существует lim f (t) —f (оо), то
оо
lim pF(p) = f(oo). (2)
p->0
где p -> 0 внутри того же угла.
В самом деле, соотношение (1) следует непосредственно из
того, что pF(p)-*f(O) является изображением f'(f) и, значит, по
замечанию п. 79 стремится к нулю при р—*оо, | argp | < Л—fi-
Для доказательства соотношения (2), заметим, что из суще-
ствования limf(t) следует ограниченность функции f(t). По-
этому можно принять «о = 0 и F(р) определена в полуплоско-
сти Rep>0. По формуле преобразования Лапласа для любого
р, Re р > 0, получаем:
J f' (0 e~pt dt = pF (р) — f (0),
о
Так как при р = 0 интеграл в левой части существует, а в
угле | arg р | < -j — 6 он сходится равномерно по р, то в по-
следнем соотношении можно перейти к пределу при р -* 0 в этом
угле, и в пределе мы будем иметь:
оо
[ f'(t)dt= lim pF (р) — f (0),
о р^°
что равносильно (2).
Соотношения (1) и (2) полезны для проверки вычислений
с помощью операционного метода. Например, из (22) п. 80 при
Z > 0 получаем:
lim е~м sin at = lim , —г= 0; из (16): si 0 = lim arcctg р—
(Р + М2 + ®2 „_>оо
t -> оо р ->0
= 0; из (18); /(0) = lim — f 1 H-cth-^-'j = А и т. д.
Р -> ОО 2 \ /
*) Это ограничение вводится лишь для простоты доказательства, однако
оно не является обременительным и на практике обычно выполняется.
522
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[S3’
2) Изображения дробных степеней. По определе-
нию гамма-функции Эйлера для любого а > —1 имеем:
Г (а + 1) = J tae~r\dt
о
(см. пример 8 п. 74). Пусть р = reia — произвольное комплексное
число из правой полуплоскости у<а<40- Введем в по-
следнем интеграле вместо t комплексную переменную интегри-
t
рования<7 = —, получим:
Г (а + 1) == pa+1 J qae~P4 dq,
L
где интеграл берется вдоль луча L: arg </= — а. На дуге Сц\
= —a<arg<7<0, положим q = тогда будем
иметь:
о
^.Ra J e~rR cos dtp .
Cr -a
Так как здесь a + ср меняется между 0 и а, то cos(a + <p)
остается большим положительной постоянной. Следовательно,
интеграл вдоль CR стремится к нулю при /?-+оо. Учитывая
еще, что между L и действительной осью плоскости q нет осо-
бых точек подынтегральной функции, мы можем заменить ин-
теграл вдоль L интегралом по положительной полуоси. Обозна-
чая переменную интегрирования снова через t, получим:
оо
р о
(3)
При функция f(t)=ta (умноженная на т](/)) является
оригиналом; следовательно, последнее уравнение эквивалентно
операторному соотношению
г (а + 1) . JQ
ра+'
(4)
Полученная формула распространяет соотношение (11) п. 80
на произвольные положительные степени (при а = п — целом
неотрицательном Г (о + 1) = «!).
При —-1<а<0 функция ta неограниченно возрастает при
t—*0 и поэтому не удовлетворяет условиям, наложенным на
оригиналы. Однако для таких значений а интеграл в правой
83]
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
523
части (3) сходится и эта формула остается справедливой. По-
этому можно говорить, что при —1 < а < 0 функция ta является
«особым» оригиналом, а функция Г(а + l)/pa+I — его «особым»
изображением.
В частности, при а — — 1/2 имеем:
оо оо
г (4-) = Г -4 = 2 f е-иг du = /л
\2J J уt J
о о
известным значением
(мы положили t = и2 и воспользовались
erf оо = 1 из п. 70), и формула (4) дает:
1 , 1
У7с7 Yp
3) Приведем несколько часто встречающихся
ных соотношений, содержащих Yp- Изображение
f(Kz7) 1 -t
вить в виде ---.— , где F (р) =-------== е . По формуле (11) п. 81
У р р + 1
имеем, следовательно:
(5)
в приложениях операцион-
1
—----=• можно предста-
p+Vp
____«Л «
p + Yp Ynt J
Выделим в показателе степени под интегралом
,— т \ 2
dx.
\ 2
получим:
и заменим переменную
полный квадрат т + — =
т на x — Yt-j-------т=-;
2 У t
I _ , е
р + Yp Ynt J
dx
Г
е dx.
2
Вводя принятое обозначение (см. (5) п. 70), найдем окончательно:
---4=г е< Erf 0^И)
р + V р
Отсюда, используя еще- формулу (5), находим:
---4=- = -Д=--4=^ — 4=- - е‘ Erf (/7). (7)
i+YV Yp p + Yp Ynt
Далее имеем:
Yp + a __ p + a __ 1 ____«
P pYp + a Yp + a pYp + a *
По теореме смещения из (5) находим:
t-J =e~at^L, (5')
V р + а У nt
524
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
и отсюда по теореме об интегрировании оригинала
t Vai
1 1 . Г yr r/т 1 2 —к2 , 1 /т/—\
— ...== е ~^=- = -г=г е dx = —=— erf (Kaf) (8)
р У р + а J У ли У а У л J У а
(мы положили ат = х2). Окончательно,
Р а ?=* -4^" e~at + Ка erf (Ка?). (9)
р V nt
Наконец, из формулы (8) п. 82 с помощью теоремы подобия получаем:
/о
V р2 — [г
Бесселева функция 7 о 0'0 от чисто мнимого аргумента обозначается спе-
циальным символом /0 (/); пользуясь этим обозначением и подставляя в по-
следней формуле р + а вместо р, по теореме смещения находим:
* 2 --^e-atI0(№. (Ю)
V (р + а)2 —Р2
4) Изображения интегралов Френеля. По определению
этих интегралов имеем (см. п. 73, пример 6):
Г cos t dt
J Y2nt '
о
S(0 =
sin t dt
J Y 2nt
Рассмотрим вместо них
т/ 1
смещения имеем е - > =
V4nt
| cit dt
J F 2nt
1
По формуле (5) и теореме
ровании оригинала
r ............... =, а отсюда по теореме об иптегри-
)/2 (p-i)
F
о
dt_______________
Y2nt pY2 (p — /)
Аналогично найдем:
J Y 2nt
1
pY2 (p + i) '
по свойству линейности отсюда сразу получаем:
С(,)гД ( ' + У1/р[+1+» („)
2рК2 \ Кр + i Vp—i! 2р Кр2+1
и
S(0= ' / ’ ' l± vj+E+Z. (,ч
2pi Y2 \Yp — i V p + i J 2p V p2 + 1
83]
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
525
5) Из теоремы подобия, которую можно переписать в виде
ОО
Е(ар)=
О
интегрированием по а от 0 до 1 получаем:
1 оо 1
О 0 0
(мы предполагаем, что можно изменить порядок интегрирования). Это равен-
ство означает, что
Р (4)4-^ Р (a₽) da-
о о
тп i
Введем в левом интеграле новое переменное т = —, а в правом— <? = ар;
получим:
оо р
А р (q)dq' (13)
t и о
косинуса
Приведем несколько примеров применения формулы (13). Прежде всего
из формулы cos t ==- 2~+ 1 получаем изображение интегрального
(см. п. 70):
р
г,. , COS Т ,
Ci t = — -------------dx
J т
1 1 1
— == — In — __:
2 р Kp* 2 + i
о
(14)
из формулы е
1
получаем:
ОО
— Е1(—/) = J ^~dr
t
р
1 f dq
p J q + i
о
A- In (1 4- p) (15)
(cm. (8) n. 76); из формулы Jo (?) = :
V 1 + P2
oo p
(MLdt=±- Г J^ = lin(p + /i+v). (16)
J t p j v 1 + p2 p
Все оригиналы в формулах (14) —• (16) особые, ибо при 0 интегралы
в левой части расходятся.
526 гл. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [83
Замечание. Из теорем об интегрировании оригиналов и изображений
следует:
t оо
f f F (q) dq.
J T p J
o P
Складывая это с (13), будем иметь:
ОО 00
f ~ (Т- dx = — f F (q) dq.
J x p J
о 0
Интегралы в левой и правой частях последнего соотношения постоянные,
следовательно, это соотношение имеет вид: А==—. Сравнивая его с соот-
ношением по теореме единственности преобразования Лапласа за-
ключаем, что А — В. Таким образом, мы приходим к соотношению
00 оо
j dt = j F (?) dq. (17)
О о
6) Правило дробных показателей. Первая тео-
рема разложения п. 82 распространяется и на обобщенные сте-
пенные ряды (см. п. 25). Мы ограничимся следующим простым,
но важным для практики, случаем.
Теорема. Пусть F(p)-+O при р-+оо, Rap<Za (а — неко-
торое положительное число) и не имеет в конечной р-плоско-
сти никаких особенностей, кроме начала координат р = О, ко-
торое является точкой ветвления конечного порядка. Тогда, если
разложение F(p) в обобщенный степенной ряд имеет вид
оо
F(p) = pa2i ckpW, (18)
fe=O
где р—рационально и положительно, то оригиналом F(p) слу-
жит (умноженный на т] (0) Ря&
оо
f (О — Za+1 S г (- a - &₽)
в котором вычеркнуты все члены с целыми неотрицательными
а + fe₽.
Рассмотрим замкнутый контур С/?, г, составленный из отрезка
(а — ib,a-}-ib), дуг C'r и С'% окружности | р | = R, Rep<a,
двубережного разреза /, // вдоль отрезка —R < р <—г и
окружности с,: | р | = г (см. рис. 181).
83] § 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ 527
Так как F (р) аналитична и однозначна внутри этого контура
(мы считаем для определенности — у < argp < ), то по тео-
реме Коши интеграл вдоль отрезка (а — ib, а -j- ib) можно за-
менить интегралом по остальной части контура. Так как, кроме
того, при t > 0 по лемме Жордана интеграл от F(p)ePf вдоль
С^ + Сд стремится к нулю при R-*oo, то формулу обращения
можно записать в виде
Н*) = lim lie J F (P)ePt dP =jF(p)ef‘dp,
^°° c^r c;
где Cr — контур, составленный из двубережного разреза —оо<
< р < — г по отрицательной полуоси р и окружности |р| = г
(без точки р ==—г). Подставляя в последнюю формулу разло-
жение (18) для F(p) и интегрируя почленно*), найдем:
f(0=2 Mi J Ри+к&ер( dp\.
fe=° | c* J
Введем новое переменное интегрирование £ — pt; так как t > О,
то эта замена не изменяет вида контура, и мы получаем:
__ J pa+^ept dp = ^aW+1 J = /aW+1 r (_ a _
Cr c*rt
(см. ханкелевское интегральное представление гамма-функ-
ции—формула (15) п. 74). Подставляя этот результат в пре-
дыдущую формулу, мы и найдем искомое разложение (19).
Если и +/гр — целое неотрицательное число, то интеграл от
pa+k^ept вдоль Сг равен нулю, следовательно, из нашего разло-
жения нужно вычеркнуть все члены с такими a + ^p**).
Замечание. Так же как и в первой теореме разложения,
ряд (19) формально получается почленным применением к ряду
(18) формулы изображения степеней
Г (—а) /й+1 ’
*) Строго говоря, для возможности почленного интегрирования ряда
вдоль бесконечной прямой требуются дополнительные условия. Доста-
точно, например, потребовать сходимости интеграла вдоль С* от суммы ряда
ОО
У, | ck 11 р (см. Ватсон [7J из литературы к гл. VII, стр. 727).
**) Это следует также из того, что целая функция 1/Г(г) имеет нули
в точках 2 = 0, —1, —2, ... (см. гл. VII, п. 89).
528
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
Однако эта формула была доказана только для отрицательных
а, для а > 0 она имеет условный характер. Кроме того, заме-
тим, что сумма ряда (19), вообще говоря, не удовлетворяет
условию 3° и, следовательно, является особым оригиналом.
Пример. Пусть _
F (р) —р
и Р
Зя
Положим р—
Re V р (Z — 1)
Кроме того, д
следовательно
что F (р) -> О,
виям правила
_ /гп * т/"п 4 тх г\ О ТС
Re , z — 1 = V 2 е ; при Re р < 0, т. е. — < ср < —, имеем
iPttk / Ф 1 Зп \ , _ _ . <р . Зл: Зп
= У 2R cos + — < 0, ибо тогда л <
\ Л пг / X Л
ля больших Imp и 0 < Re р < а будем иметь <р « Л- или
Гр (I — 1) — T2R или — i Г2R. Из всего этого следует,
если р -> оо и Re р < а, т. е. что F (р) удовлетворяет усло-
дробных показателей. Имеем:
зл , k
—Т- г 00 ПГ Зйл s fe-1
1 4 <1 2 2 —г- I —
е h k\ е р •
' /;=0
Переходя формально к оригиналам и оставляя лишь те члены, для которых
k- 1 , „
—-— не является целым числом, 'Т. е. члены с четным k = 2га, получим
1 /К (1-1) у (- i)n 2Л 1
Гр • «Ц •
Г(т-“)
В следующей главе будет показано (см. формулу (19) п. 89), что
' 1 1 - 3-5 ... (2га- 1) (—1)” .
учитывая это и подставляя (2га)! = 1-3-5 ... (2га—1) 2rtra!, будем иметь:
ОО I
1 УР (i-1) 1 у 1 / j \п __ 1 е"2Г
Гр Гл/ “ га! \ 2t / Гnt '
г п=0
ИЛИ
е"/р к- , . е~Ур . г_ 1 1 , . 1 . 1
- -у-—- COS У р + I sm У п == -/= cos---------р I sm —.
Ур Ур ' V nt 2t У nt 2t
Отсюда
>— cos — = -*4=7 е~^р cos Гр , sin — == —е~^р sin т/У (20)
Vnt 2t К р У nt 2t Гр ГР‘ (
§ 1, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
529
7) Импульсные функции. Если функция F(p)=l/]/p
уже является особым изображением, то функции F(p) = 1, р, р2, ...,
которые даже не стремятся к нулю при р—>оо, можно считать
изображениями лишь в совершенно условном смысле. Эти ус-
ловные изображения и соответствующие им оригиналы, так на-
зываемые импульсные функции, были введены Дираком и
оказались полезными в ряде прикладных
задач, в которых приходится иметь дело Т $
с величинами, имеющими характер мгно- Л ‘
венного толчка. р
Рассмотрим функцию 6л(0> график ко- /—,----------
торой изображен на рис. 183, /
О, t < 0, t > h,
= < I
О < t < h.
Рис. 183.
Она представляет величину, которая действует лишь на отрезке
(О, Л), где имеет постоянное значение 1/Л, суммарный эффект ее
действия равен
| 6Л(/)Л== f 4=1‘
Предположим теперь, что й->0; семейство функций 6/ДО,
очевидно, при этом расходится, но мы введем условную
функцию 6(0> которую будем считать пределом такого семей-
ства,
6 (/) — lim 6Л(/),
л-»о
и называть импульсной функцией нулевого порядка, или, ко-
роче, 6-функцией. Импульсная функция 6(t) равна нулю всюду,
кроме точки t — 0, где она равна оо, и тем не менее для нее
считается справедливым соотношение
J 6(0 dt= 1,
— оо
предельное для такого же соотношения с функцией 6/Д/).
Таким образом, 6-функция представляет собой условное со-
кращенное образование для вполне определенного предельного
процесса, который часто рассматривается в физике: бесконечно
большая величина, действующая в бесконечно малый промежу-
ток с суммарным эффектом, равным 1. Введение этой функции
сильно упрощает вычисления, связанные с таким предель-
ным процессом: вместо того чтобы производить выкладки до
530
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
перехода к пределу и перейти к пределу в окончательном ре-
зультате, переходят к пределу сразу, до выкладок. В большин-
стве физических задач законность такой перестановки вполне
оправдана.
Мы условимся считать, что изображение б-функции полу-
чается как предельное для изображения функции 6А(/) =
= у [П (0 — ~ ^)]» которое по теореме запаздывания равно
Переходя здесь к пределу при /г —*0, получим (условно):
1 _p~~ph
б (/)Н lim 1 - Д— = I. (21)
/1->0 Рп
Соотношение (21) «подкрепляется» еще следующими сообра-
жениями. На рис. 183 изображен пунктиром график интеграла
функции бл(О
t
Пл (0 = J 6л (0 dt-
о
Из этого графика видно, что т]л(О при й—>0 стремится к еди-
ничной функции ц(/), так что мы положим
t
| б (0 dt — ц (/).
о
Но тогда б (/) = и'(0, а так как ц(/) = у, то по теореме
о дифференцировании оригиналов мы снова получаем б(/) =
= р = 1 (значение оригинала при t = 0, участвующее в этой
теореме, мы считаем равным нулю на том «основании», что оно
получается как предельное при /г —► 0 из значений т]Д(0)= 0;
формальное применение указанной теоремы, где мы должны
положить т](0)= lim т] (/)=!, привело бы к неправильному
/->+о
результату. Удивляться этому не следует, ибо мы применяем
теорему в ситуации, когда ее условия нарушаются).
Далее, для любой функции <р(/), удовлетворяющей условию
Г п. 79, по теореме о среднем получаем:
оо h
J % (0 М) dt = J J % (о dt = <р (Г),
о о
83]
§ I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
531
где 0 < t* < h. Переходя здесь к пределу при /г-* О, считаем
по определению
оо
j Ф (/) б (0 dt = qp (0) (22)
о
(если ф(0 разрывна при t — 0, то ф(0) обозначает ее правое
предельное значение). В соответствии с этим снова получаем:
6(f) = J 6(0 е-Рге//=1.
о
На 6-функцию распространяются основные правила операцион-
ного метода, например теорема запаздывания дает:
б (t — т) = е~рх
| это согласуется с (22), по которой J 6(/ — т) e~pt dt — е~рх
\ о
теорема умножения
t
1 -/ЧрМ J f(T)6(i-T)dT = f(0
о
(что также правильно).
Аналогично вводятся импульсные функции высших порядков.
Рассмотрим, например, функцию 6(AU (0 =[п (0 — 2т) (^ — Л)+
+ т] (t — 2/г)] (рис. 184); ее «предел» при
Л->0
61 (0 = lim6(ftI)(0
Л->0
мы будем называть импульсной функцией
первого порядка. Будем считать, что ее изо-
бражение является пределом изображений
m 1 — <2e~hp 4- e~2hp
6^ / = 2---- й2 '---- , т- е‘
t _ bp-hp 4- p-2hP
Sl {t) = lim -1—2-e—- +-g------= p. (23)
/l->0 n P
На рис. 184 пунктиром изображен график второго интеграла
функции бй1)(О
t t
^’(0= f dt j ^(t)dt-,
0 0
532
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ метод и его приложения
[S3
из него видно, что ф]*)/) при /г—>0 стремится к единичной
функции Мы будем считать по определению
t t
о о
и тогда в соответствии с (23) получим d[ (/) = р2 • у = р.
Точно также можно рассматривать «оригинал» от степени
рп — импульсную функцию п-го порядка
/7П+1
О) = Р+тП(0. (>n(t)=Pn. (24)
Примеры применения импульсных функций будут приведены
ниже.
8) Обобщенные функции. В наше время импульсные
функции получили строгое обоснование в так называемой тео-
рии обобщенных функций, которая обязана своим возникнове-
нием работам С. Л. Соболева и французского математика
Л. Шварца. Мы опищем в общих чертах некоторые основные
положения этой теории и, в частности, приведем строгие ва-
рианты приблизительных рассуждений раздела 7). Подробное
изложение можно найти, например, в книгах И. М. Гель-
фанда и Г. Е. Шилова [12] и Л. Шварца [13].
Главная идея теории состоит в переходе от функций к функ-
ционалам, заданным на том или ином пространстве функций,
которые называются основными функциями. Наиболее употре-
бительное пространство состоит из всех комплексных функций
ср(/) действительного переменного t, бесконечно дифференци-
руемых на всей оси, каждая из которых обращается в нуль вне
некоторого конечного отрезка (зависящего от функции). По-
следовательность фп функций этого пространства называется
сходящейся к нулю (фп —>0), если все фп обращаются в нуль
вне одного отрезка, ’а на этом отрезке фп(/)—>0 равномерно
вместе с производными всех порядков. Это пространство основ-
ных функций мы будем обозначать буквой зФ.
Обобщенной функцией класса называется непрерывный
линейный функционал f на множестве т. е. отображение, ко-
торое каждой функции ф£.;/ сопоставляет комплексное число
(Д ф) так, что при этом выполняются
1°. Свойство линейности: ([, <Х]ф1+<Х2ф2) =«1 (А Ф1) +
+ ссг(Дф2) для любых комплексных чисел cci, аг и любых функ-
ций фь ф2 е S&',
2°. Свойство непрерывности: последовательность
комплексных чисел (Афп)~*О Для любой последовательности
83] 5 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ 533
Ф« е j/, сходящейся к нулю в смысле принятого выше опре-
деления.
В частности, любая обычная функция f(t), определенная
на всей оси t и интегрируемая на каждом конечном интервале,
определяет обобщенную функцию f по правилу
(Лф) = J fttW)dt (25)
(мы не будем писать пределы интегрирования, если интеграл
берется по всей прямой, или, что то же самое, по отрезку, вне
которого <р = 0). Можно доказать, что если для двух таких
обычных функций f(t) и g(t) функционалы (25) совпадают, т. е.
(А ф) = (g, ф) Для всех ф е то g(t) лишь несущественно от-
личается от f(t) (например, значениями в отдельных точках).
Поэтому мы можем считать, что функционал f представляет
функцию f(t), т. е. рассматривать обычную функцию как обоб-
щенную. Обобщенной функцией является и б-функция, которая
строго определяется как функционал, сопоставляющий каждой
функции ф е <;$ ее значение в точке t — 0:
(б, ф) = ф(0) (26)
(ср. с формулой (22)).
Обобщенная функция — не функция, а функционал, поэтому
ее значение в точке смысла не имеет. Однако говорят, что об-
общенная функция равна нулю в окрестности точки /0, если для
всех основных функций ф, отличных от нуля лишь в пределах
этой окрестности, (/,ф) = 0. Носителем обобщенной функции f
называется совокупность точек t0 таких, что f не равна нулю
ни в какой окрестности t0. В частности, для обычных функций
f(t) носитель совпадает с замыканием множества точек t, в ко-
торых /(/)У=0. Очевидно, б-функция равна нулю в окрестности
любой точки /о =/= 0, так что ее носитель есть точка t = 0.
Сложение обобщенных функций определяется естественно:
(f + g, ф) = (А ф) + (Я> ф) для всех ф ge j/. Но перемножать их
в общем случае нельзя, можно определить лишь произведение
обобщенной функции на бесконечно дифференцируемую. Это
делается при помощи следующего приема: для обычной функ-
ции /(/) и бесконечно дифференцируемой а(/) имеем
(af, ф) = J а (0 • f (/) ф (/) dt = (f, аф)
(мы смогли перебросить множитель а к основной функции, ибо
«Фе;/ в силу бесконечной дифференцируемости а), и это
свойство в общем случае принимается за определение: произве-
дением обобщенной функции f на бесконечно дифференцируемую
534 ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ (83
функцию а(/) называется функционал af, который действует
на функции ф е лг/ по правилу
(«Л Ф) = (Г, а<р). (27)
Преимущества обобщенных функций особенно ярко прояв-
ляются при их дифференцировании. Так, отпадает необходи-
мость всяких оговорок о существовании производных — любая
обобщенная функция оказывается бесконечно дифференци-
руемой.
Это полезное свойство вытекает непосредственно из опре-
деления производной, в котором используется тот же прием
переброски к основным функциям, что и в предыдущем опреде-
лении. Именно, для обычных непрерывно дифференцируемых
функций /(/) мы имеем
(Г. ф) = J f' (О Ф (0 dt = f (/) Ф (01^ — / f (!) ф' W dt = — (f, ф'),
(неинтегральный член исчезает, ибо ф(£) равна нулю вне ко-
нечного отрезка). В общем случае мы примем это за определе-
ние: производной обобщенной функции f называется функцио-
нал f' на пространстве который действует на основные функ-
ции ф по правилу:
(Г.ф) = -(Л ф')*)- (28)
Примеры. 1) Для единичной функции Т)(/) производная
ОО
(ч'> ф) = — (р, ф') = — J Ф' (0 dt = Ф (0),
о
ибо ф(°о) = 0, следовательно, тр = б (ср. со сказанным на стр. 530).
2) Пусть f(t)—обычная функция, непрерывно дифференцируемая всюду,
кроме точки t = 0, где она имеет разрыв первого рода со скачком
h = 7(4-0)—f(—0). Ее производная в смысле теории обобщенных функций
0 оо
(Г, ф) = - р (0 ф' (0 dt - f f (0 ф' (0 dt =
—оо 0
= — (ф |1оо — (ф I” + Jr (0 Ф (0 dt = J Г (0 ф (/) dt + Йф (0).
Таким образом,
где слева стоит производная в смысле обобщенных функций, а справа —
классическая производная (определенная всюду при / =/= 0) и б-функция,
*) Производная основной функции также является основной.
83 J
§ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
535
умноженная на скачок f(t). Этот пример является обобщением предыдущею,
где f' л (0 = 0 и h = 1.
3) Производная б-функции (б', ср) =—(б,ср')=—ср'(0) и, вообще я-я
производная (б<п>, ср) = (—1)"ф(”)(0); очевидно, б(п> = фп+О (ср. с форму-
лой (24)).
Далее, последовательность обобщенных функций fn назы-
вается сходящейся к обобщенной функции f, если для любой
функции ср e<s^
lim (fn, <р) = (f, <р) (29)
П->оо
(здесь речь идет о пределе последовательности комплексных
оо
чисел). Ряд из обобщенных функций S fn называется сходя-
п = 1
п
щимся, если последовательность его частичных сумм sn — У fk
4=1
сходится в смысле предыдущего определения.
Примеры. 1) Последовательность обычных функций бп(/), равная п
на отрезке (0, 1/я) и нулю вне его, в классическом смысле расходится. Но
по теореме о среднем
1/л
(б„, <р) = п J Ф (0 dt = ф (£„),
о
где s (0, 1/я) и, следовательно, lim (б„, ф) = ф (0). Таким образом, в
П->оо
смысле обобщенных функций lim бп (/) существует и равен б-функции (ср.
М->оо
стр. 529).
2) Точно так же предел последовательности обычных функций, графики
которых изображены на рис. 184, в смысле обобщенных функций существует
и равен б'.
Замечательно, что в теории обобщенных функций любую
сходящуюся последовательность или ряд можно почленно диф-
ференцировать. Это свойство получается сразу из определения:
если то (/', <р) = —(fn, <р') стремится к — (f, <р') = (f, <р)
для любой <р е <5$, а это и означает, что Таким обра-
зом, в теории обобщенных функций снимаются все классиче-
ские предосторожности, связанные с дифференцированием по-
следовательностей и рядов.
Наша дальнейшая цель — определить преобразование Лап-
ласа обобщенных функций. Для обычных функций /(/) инте-
грал Лапласа
F (р) — j ) (0 e~pi dt = (f> e~pt)
536 гл. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [83
хочется рассматривать как значение функционала f на функ-
цию е-Р*. Но последняя не принадлежит классу основных
функций, и мы должны расширить этот класс, заменив условие
равенства его функций нулю вне конечного отрезка менее стес-
нительным условием. Так как в теории преобразования Лапласа
рассматриваются функции с носителями на полуоси t 0, то
на поведение основных функций при t -*—сю мы не будем на-
кладывать никаких ограничений. Однако мы потребуем, чтобы
при /->4-оо они стремились к нулю вместе со всеми производ-
ными быстрее любой степени 1//.
Иными словами, мы введем новый класс основных функций
состоящий из всех бесконечно дифференцируемых на оси t
функций <р(/), для каждой из которых lim /z<p(m) (/) = О при
/ -> + оо
любых целых I, 0. Последовательность функций ge
будем называть сходящейся к нулю, если для любых целых
I, т 0 последовательность /йр^Д/) стремится к нулю при
ц—>оо равномерно на любом отрезке (а, оо).
Функционалы, линейные и непрерывные на пространстве &
(т. е. обладающее свойствами 1° и 2° стр. 532 с новым опреде-
лением сходимости фп~>0) мы будем называть обобщенными
функциями класса <Й*. Так как то, очевидно, .$* с з$*, но
обратное неверно — не все обобщенные функции класса про-
должаются на основные функции из 31 и, следовательно, при-
надлежат
Теперь можно сформулировать основные определения. Бу-
дем называть обобщенную функцию f е S&* с носителем на по-
луоси t 0 обобщенным оригиналом, если существует действи-
тельное число So такое, что при всех s > s0 обобщенная функ-
ция e~stf е 31*. Изображением такого оригинала называется
функция комплексного переменного р = s ф- io
F (р) = (f, e~pt), (30)
которая определена в полуплоскости Rep>s0 и понимается
следующим образом. Для фиксированного р, для которого
Re р = s > s0, выбирается число Si, s0 < Sj < s, и тогда
(f, е-р«) = (e-^f, e-(P-s^); (30')
так как | e-ip-^n | = g-is-sat быстро стремится к нулю при
/->4-оо, то г а по условию e~stf^3T, поэтому
правая часть (30') определена (она, очевидно, не зависит от
выбора sj.
Примеры. I) Любой оригинал /(/) в смысле п. 79 является и обоб-
щенным оригиналом, ибо e~Sltf (/) при Si > s0 является интегрируемой фуик-
83) § 1- ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ 537
ций, а для пих, как мы условились на стр. 533,
e~(P-s') *) = j f (/) е~Р* dt,
t. e. совпадает с интегралом Лапласа.
2) Любая обобщенная функция класса т/ с ограниченным носи-
телем принадлежит и классу ^*, ибо поведение основных функций на бес-
конечности здесь несущественно. Поэтому для всех наших обобщенных функ-
ций преобразование Лапласа определено. В частности,
(6, е~Р() = e~pt |/=0 = 1, (6', е-Р') = (6, pe~pi) = р,
и вообще
(б<4 e~pi) = Рп
(ср. с формулой (24)).
Преобразование Лапласа обобщенных функций обладает
многими свойствами классического преобразования; мы пере-
числим некоторые из них. Изображение F(p) обобщенного ори-
гинала f оказывается аналитической функцией в полуплоскости
Re р > So, и остается справедливым свойство IV:
tnf
Свойство III дифференцирования оригинала следует сразу из
определения производной обобщенной функции:
(Г, е~Р*) = р (f, e~pt).
Заметим, что если, в частности, f — обычная функция, непре-
рывная при t > 0, то эта формула приводит к формуле (6)
п. 80. В самом деле, согласно примеру 2) на стр. 534,
f' = ['ил (/) -j- f (0) б, где f(0)—правое предельное значение f(t)
при / —>0 (левое равно нулю), и поэтому
(Г, е-pt) = - (^л, e-pt) - f (0) (5, e-pt) = р (f, е~Р<) - f (0).
Свойство VII (теорема запаздывания) в общем случае не со-
храняется, потому что функция f(t — т) не имеет смысла. Но,
например, для б-функции она справедлива и имеет вид
бс = е~рх (т^О),
где бт — функция Дирака с носителем в точке т (в обозначе-
ниях раздела 7) 6t — 6 (( — т).
В заключение приведем следующую теорему Л. Шварца.
Для того чтобы аналитическая в полуплоскости Re р > s0 функ-
ция F (р) была преобразованием Лапласа некоторой обобщен-
ной функции f с носителем на полуоси t 0, необходимо и до-
статочно, чтобы |F(p)| в этой полуплоскости не превосходил
некоторой степени |р|”.
*38
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
Таблица оригиналов и их изображений *)
№ п/п Оригинал Изображение
1 Г (a + 1)
(83.4) ta (а > — 1) pa+t
9 ->.t 1
(80.1) е P + &
3 e~Kita Г (а + 1) (P + Л)й+1
4 (80.3) sin mt (0
рг + т2
5 (80.4) cos mt Р
р2 + <а2
6 tn sin mt , Im (р + Zm)ra+1
(80.12) (p2 + m2)n+l
7 , Re (р + lm)ra+1
(80.12) tn COS 0)/ (р2 + co2)tt+1
8 <o cos a + (p + Л) sin a
(80.22) e sin (mt + a) (p + Z)2 + a>2
9 (80.22) e-AJcos (mt + a) (р+Л) cos a — <o sin a (p + M2 + ®2
10 sh mt 0)
(80.4) p2 — a>2
11 ch mt P
(80.4) p2 — m2
12 ebl - eat In
(80.15) t m p-b
13 e~at 1
(83.5') V nt Yp + a
14 1 -2а/Г —7=r e У nt a2 тг“Ег,Ш
— p2
15 e-o?t*
16 i -4 e-«/p
(81.10) Ynt 6 Vp
*) В скобках под порядковыми номерами указаны пункт и номер формулы, в тексте;
Г —гамма функция (пп. 74, 89); ег[ и Erl —функции вероятности ошибок (п. 70); si, Si,
Ci и Ei — интегральные функции (пп, 70, 76); S и С—интегралы Френеля (и. 83);/д, ,
Yп, ber, be i — цилиндрические функции (п. 96).
83)
5 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ
539
Продолжение таблицы
№ п/п Оригинал Изображение
17 sin 2 Vat V па 1 pVp e
18 —2— cos 2 Vat i ~ r— e p
/л/ Vp
19 (83.20) 1 1 —^=3- Sin V nt 2t - L=- e~^p sin /p V P
20 (83.20) CCS — F nt 2t - /- e~^p cos /p /p
21 i t 1 ' —- sin (i>t P nt 1/ V P2 + “2 — p
' p2 + M2
22 / 2~ 1/ —-r cos at V nt 1/ /p2 + W2 + p
r p2 + co2
23 1 1 ± t T e±p Ei (=b p)
24 1 sin p Ci p — cos p Si p
1 + /2
25 1 j/ i e^Erf/p-
/1 +/
26 4 in (i+o Ci2 p + Si’ p
27 у in (1 - О Ei p Ei (—p)
28 (82.7) 4 (t) (n> — I) (n>0) Q/p2 + 1 - pf /р2+ 1
29 30 (83.10) p2_|_a2_p)'‘ 1
e-atl. (p/)
/(p + a)2 — P2
31 Ге-“/„(Л/) (я>-1) (р + Л-У р2 + 2рЛ/
У p2 + 2рЛ
32 tnJn (/) (« > -y) 2" г/я+ Ч 1
- .— l/ill । Ул \ 2 / п+4
(Р2 + 1) 2
33 n 1
(82.3) t 2J„(2/D (n>—1) —— е 2р рП+i
34 -yfJ-in (2/0 гр \ 2р )
540
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[83
Продолжение таблицы
№ п/п Оригинал Изображение
35 /о (а Vt2 — г2) I] (/ — т) 1 —т/р2+а2
(99.19) V p2 + a2
36 е-тр _ e-x Ур2+аг
У t2 — т2 ат
37 Го (0 _ 2 1п(р + У p2+ 1) л /p2+l
38 1 _ 2i In (р+У p2+ 1)
/p2+l n Kp2+1
39 УУ ber со/ -1/ /p’ + ^ + p2
' p4 + O)4
40 1^2 bei at l/ Kp4 + <B4 — p2
' p4 + <i>4
41
(83.8) erf СИаГ) V а
рУ p + а
42 (81.13) Erf (— \2Vt / 1 е~а^Р P
(83.6) ? Erf (/Г) 1
р+Ур
44
(83.7) -yLr-e'Erf (Vt ) V nt
i + Kp
45 (83.9) -^=r e~at + Уа" erf (/аГ) У nt Zp + а Р
46 (80.16) si t arcctg р
47 Р
(83.14) 48 at — In 1
Р У р2 + 1
(83.12) S(t) 1 у/р2 + 1-Р 2р /р2 + i
49 (83.11) C(t) 1 VVp2+i + p
50 2р V Р2 + 1 -
(83.15) - Ei (-t) — In (1 + р) Р
84]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
541
Достаточность условия доказывается просто: можно счи-
тать .?о > 0, и в полуплоскости Re р So функция = G (р)
Р
удовлетворяет достаточному условию для изображения класси-
ческого оригинала g(t) (теорема 4 п. 79). Но тогда F(р) будет
изображением (н-]-2)-й производной g(t) в смысле обобщен-
ных функций, которая всегда существует. На доказательстве
необходимости мы не останавливаемся.
Для удобства читателя мы приводим сводку всех получен-
ных операционных соотношений, а также некоторых соотноше-
ний, которые получаются аналогичными приемами. Большой
сборник операционных соотношений читатель может найти в
справочнике В. А. Диткина и П. И. Кузнецова [10].
§ 2. Приложения
Мы рассмотрим здесь приложения операционного метода к решению за-
дач, связанных с линейными дифференциальными уравнениями. Некоторые
приложения операционного метода к специальным функциям мы рассмотрим
в следующей главе.
84. Обыкновенные дифференциальные уравнения и системы.
Операционный метод особенно просто применяется к решению
линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами и систем таких уравнений. Пусть дано дифферен-
циальное уравнение
= ••• +an^^- + anx = f(t) (1)
ti £ Cl I HL
и начальные условия
x(O) = xo, x'(0) = xI, ..., x'”-1’(0) = (2)
Будем считать, что a0 =A= 0, а функция f(0 и решение x(/) вме-
сте с его производными до п-го порядка являются оригиналами;
обозначим Х(р) = х(0, К(р) = f(0.
По правилу дифференцирования и свойству линейности вме-
сто дифференциального уравнения (1) с начальными данными
(2) получаем операторное уравнение
(аорп + . + ап) X (р) = F (р) + х0 + ^рп-2 + ...
... +«„_!) + х, (aQpn~2 + а,:рп~’ 4- ... +п„_2)4- ... +х„_1а0,
или
A(p)X(p) = F(p) + B(p), (3)
где А (р) и В (р) — известные многочлены. Решая это уравнение,
найдем операторное решение'.
542
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
184
Если уравнение (1) при начальных данных (2) допускает реше-
ние x(t), удовлетворяющее условиям, наложенным на ориги-
налы (а можно было бы доказать, что такое решение сущест-
вует в принятых условиях всегда), то это решение является
оригиналом X (р).
Приведем несколько примеров решения уравнений таким методом.
1) х" + а2х — Ь sin at, общие начальные данные. Операторное уравнение
Y / \ j Р ; -^1
Х “ (р2 + а2)2 + Х° р2 +а2 + р2 + а2 ' (5)
Оригиналы второго и третьего члена есть в таблице. Оригинал первого члена
находим по формуле 6 таблицы и по теореме об интегрировании оригинала
t
' аЬ . Ь [ , Ъ , . , . ,,
-Г-ГТ—?= тг t sin at dt = —T (sin at — at cos at)-,
(p2 + a2)2 2 J 2a2
о
можно было воспользоваться также теоремой разложения. Окончательно:
ZA ( 1 Ь \ Sin at I ( bt\
*W = I+1 + 27j“T" + ro“ 2?)cosat (6>
2) x'" + 3x" + 3x' + x = 1, нулевые начальные данные. Операторное
уравнение: (р + 1)3Х = 1/р; его решение:
у_ 1 _ 1______1 _ 1_____________L__
w р(р+1)3 р р + 1 (р+1)2 (р + 1)3.
Оригинал находим по формулам 1 и 11 таблицы:
х (0 = 1 — е-/ — te~f — -у е~*. (7)
3) х"' + х — 1, нулевые начальные данные. Операторное решение:
Оригинал находим по второй теореме разложения:
(I +Т Л.
1 л'^2/ । o-Lj i/T
х (/) = 1 — — е~г + 2 Re-----х---= 1 — —е~‘ — —е 2 cos —г—. (8)
О ~~~ О О О Z
4) xlv 4- 2x/z 4- х = sin /, нулевые начальные данные. Операторное реше-
ние;
х (р} = (р2 +1)3‘
*) Имеем lim рХ — х0 в соответствии с начальным условием (см. пре-
р->00
дельное соотношение (1) п. 83). Аналогичную проверку допускают и другие
примеры.
84]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
543
Оригинал находим как вычет функции X (р) ept в особой точке р = I:
dl ГГ ept 1 3
x(/)==Re |Ц=_ (3-/2)sin/-— /cos/. (9)
5) х" + ®2х — а [1] (/) — 1) (/ — />)], нулевые начальные данные. Опера-
торное уравнение находим по теореме запаздывания; его решение:
Х(р)
а(1 - е-Ьр)
р(р2 + шг)
По второй теореме разложения
а
Р (р2 + <в2У
а 2а . , <в/
—7 cos at = т sin2 ——
<в2 со2 2
по теореме запаздывания
ae~bp , 2а a (t ~ Ъ)
——тг ?= —г sin2 —ь_~—п (/ — Ь).
р (р2 + ®2) со2 2
Окончательно,
... 2а Г . , at . , <в (/ — Ь) ,,
x(t)=--^ |_sin2 — т] (/) - sin2 —7] (t -
(Ю)
График решения изображен на рис. 185.
6) Точечная масса т совершает прямолинейные колебания, причем со>
противлением среды мы пренебрегаем, а восстанавливающая сила та2х
пропорциональна смещению. В моменты времени tk = kx, k = 0, 1, 2, ...
массе сообщаются импульсы величины а. Найти движение частицы, если
начальное отклонение и начальная
скорость равны нулю.
Уравнение движения имеет вид
тх" + та2х = a^P,iS (t — kx),
k=o
где б (/) — импульсная функция. Ре-
шение операторного уравнения
ОО
Л(р) = Л___> у e-kxp =
т
___а___________1_________
т (р2 + со2) (1 - е“хр)
удовлетворяет условиям второй теоремы разложения. Согласно этой теореме
оригинал представляет собой сумму вычетов функции X (р) epl во всех ее
полюсах: р = 0, р — ± ia и Рк = ~~~ (£=1, 2, ...). Если х не является
2л
целым кратным т1~ чт0 мы и предположим, то все полюсы простые,
и, найдя вычеты, мы получим окончательно:
х (t) =----2
то
со
-----cos (О
т 2sin-^-
V 2т Ti /
Zj ~2---72-2 COSk--
^1 Т - k Т*
• (И)
544
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
184
Отметим особо роль интеграла Дюамеля п. 81. Пусть тре-
буется решить линейное дифференциальное уравнение с по-
стоянными коэффициентами
F[x]=f(t) (12)
при нулевых начальных условиях. Если известно решение
Xi(t) уравнения
L[x]=I (13)
с той же левой частью и правой частью 1, также при нулевых
начальных условиях, то интеграл Дюамеля позволяет написать
решение уравнения (12) без всяких вычислений.
В самом деле, операторные уравнения, соответствующие
уравнениям (12) и (13), имеют вид
Д(р)Х(р) = Г(р), Д(р)Х1(р) = ±,
где F(p)— изображение f(f), откуда
X(p) = pXl(p)F(p).
Таким образом, согласно формуле Дюамеля,
t
х (t) — j f (т) x'i (t — т) dx (14)
о
(мы учитываем, что хДО) —0 согласно начальным условиям),
или
t
x(t) = xl (0/(0) + J Xj (х) f' (t — т) dx. (15)
о
Пример. Уравнение х"— а2х~Ье~1\ нулевые начальные условия.
Сначала решаем уравнение х" — агх = 1 при тех же условиях
t
X1 = —7—т---тг ?= f sh at dt = (ch at — 1)
p (p~ — a2) a J a2
о
(мы воспользовались формулой 10 таблицы и теоремой об интегрировании
оригинала). По формуле (14) находим искомое решение
t
х (0 — — J е~г2 sh a (t — т) dx,
о
которое после простых преобразований выражается через функцию erf:
л— £1
, ,\ Ь 1 JT /if di - [ . Fl \ —Clt f { a Ct \ П C ( & \ 1 < 1 /I
x (0 ——т----e 1 < e erf / + -5- — e erf f — 2 erf ch at >. (16)
84]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
545
Совершенно аналогично применяется операционный метод и
к решению систем линейных дифференциальных уравнений с по-
стоянными коэффициентами. Пусть, например, нужно решить
систему п дифференциальных уравнений второго порядка
= («v* + bvk + c^xk) = Л, (0 (v = 1, 2, ..., п) (17)
i=l
при заданных начальных условиях •
(0)
xfe(0) = aA, —(18)
Если считать xk(t) и fv(t) оригиналами и обозначить через
Xh(p) и Ev(p) их изображения, то система (17) с начальными
условиями (18) заменится операторной системой
2 (avkp2 + bvkp + cvk) Xk (p) =
= ^(р)+2 l(oVkp + bVk) a* + (18)
k=\
Решая ее как алгебраическую линейную систему уравнений,
найдем Xh(p), а затем и их оригиналы xft(/). Приведем не-
сколько примеров.
1) Решить систему
(2х" - х’ + 9х) - (у" + у’+ Зу) = 0,
(2х" + х' + 7х) — (у" — у' + 5у)= О
при начальных условиях х (0) = х' (0) = 1, у (0) = у' (0) = 0. Переходим
к операторной системе
(2р2 - р + 9) X - (р2 + р + 3) У = 2р + 1,
(2р2 + р + 7) X - (р2 - р + 5) Y = 2р + 3
и для упрощения берем сумму и разность ее уравнений
Отсюда
1 1 , 2 р 2 1
3 р - 1 "Г 3 р2 + 4 3 р2 + 4 ’
> ______________1А______1
Зр-1 3 р2 + 4 3 р2 + 4 •
Переходя к оригиналам, находим окончательно:
х == 4" (е< + 2 cos % + sin 20. У — 4- (2е< — 2 cos 2/ — sin 2t). (20)
О о
546 ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ (84
2) Система
х" — х + у + z = О,
х + у"-у + г = 0,
х + у + z" — z = О,
начальные условия х (0) = 1, у (0) — z (0) = х' (0) — у' (0) = z' (0) = 0. Опера-
торная система имеет вид
(р2 - 1) X + Y + Z = р,
X + (р2 - 1) Y + Z = 0,
X + Y + (р2 - 1) Z = 0.
Ее решение легко получить с помощью определителей
Л~ (р2+1)(р2-2)’ (р2 + 1) (р2 - 2) *
По второй теореме разложения находим оригиналы
х = ch 0У 2 ) + 4- cos t, y — z = — i ch 0У2 ) + 4-cos t. (21)
О О О
3) Система уравнений
х0 = — ах0, xk + axk = axk_{ (k = 1, 2, ..n)
при начальных данных х0 (0) — 1> *i (0) = = хп (0) =0. Операторная си-
стема имеет вид:
(р-|-а)Л0=1, (р + a) Xk — aXk_\ =0,
откуда
Оригиналы находим по формуле 3 таблицы
xk ю (at>k e~at-
4) Три одинаковые точечные массы т закреплены на рруне так, что
расстояния между ними и расстояния от крайних масс до закрепленных кон-
цов струны равны I. В начальный момент все массы находятся в положении
равновесия, причем средней массе сообщается импульс ц0. Найти движение
системы.
Дифференциальные уравнения движения системы проще всего найти с
помощью уравнений Лагранжа, которые для малых свободных колебаний
имеют вид (см. [8]):
dt d(lk
где Т — кинетическая, П — потенциальная энергия системы, qh — обобщенные
координаты, и точка означает дифференцирование по времени.
S4] § 2. ПРИЛОЖЕНИЯ 547
В нашем случае, если обозначить Xi(/), x2(t), x3(t) отклонения масс от
положения равновесия, будем иметь:
Т = Y (*1 + *2 + *з)> П = Т И + Х2 + Х1 ~ *1*2 - *2*з'1-
где Р — натяжение струны. Следовательно, уравнения движения имеют вид
X] У Л (2xi — Хг) === О»
Хг 4~ Л (2х2 — X] — х3) ~ О,
х3 + К (2х3 — х2) =0,
Р
где Л = уу • Учитывая начальные условия Х) (0) = х2 (0) = х3 (0) = х( (0) =
= х3 (0) = 0, х2 (0) = го, получим операторные уравнения
(р2 + 2Л) У) -ЛХ2 = 0,
— у (р2 4“ 2Л) Х2 — ЛХ3 = го,
- ЛХ2 4- (р- 4- 2Л) Х3 = 0.
Решив эту систему, найдем:
v Р2 + 2Л х = Х =_________-_v
Л'2 (р2 4-2Л)2 - 2V °’ Л‘ 3 (р2 4-2Л)2 - 2V °‘
Применяя вторую теорему разложения, получаем:
г 1/Х „ /А_ °0 /sincojf Sin <в2/ \ ]
Х1 (<) — Х3 (О — — "у-----------------,
2 V 2 \ <о. <в2 / 1
( (23)
... v0 / sin a,t sin \ I
*2(0 = ту —-—-4---------— > I
Z \ (0j (Й2 / )
где coi = V(2 4-/2)A, (02 = /(2-/2)Л.
Операционный метод может оказаться полезным и при реше-
нии некоторых линейных дифференциальных уравнений с пере-
менными коэффициентами. Пусть х(() = Х(р); по теоремам
о дифференцировании оригиналов и изображений имеем:
х^Х, tx= — X', t2x = X",...,
х' = рХ — х (0), tx' = — (pXY, t2x' = (рХ)", . .., (24)
х" ^р^х~х (0) р - х' (0), tx" = - (р2Х)' + х (0), t2x" = (р~Х)", . ..
и т. д. Переход к изображениям позволяет иногда упростить
дифференциальные уравнения, содержащие члены подобного
вида.
Пример. Дифференциальное уравнение
tx" 4- х' 4- tx = 0 (25)
называется уравнением цилиндрических функций с индексом 0 (см. п. 95).
По формулам (24) находим операторное уравнение
(р2+1)Г + рХ = 0.
548
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[85
Это уравнение с разделяющимися переменными, оно легко решается и
дает:
У _ С
Vi +р2 '
где С — произвольная постоянная. Так как lim рХ = С, то согласно пре-
р-»оо
дельному соотношению (1) п. 83 мы должны иметь С = х(0). Положив для
определенности х(0) = 1, мы найдем по формуле 28 таблицы, что решением
уравнения (25) при этом начальном условии служит бесселева функция *)
<»•
fe=0
85. Расчет электрических контуров. Как известно, ток i(/)
и напряжение u(t) на концах элемента цепи, содержащего ак-
тивное сопротивление R, самоиндукцию L или емкость С, свя-
заны соответственно соотношениями
]/(/)
о
dt + 7о
(1)
где </о — начальный заряд на обкладках конденсатора.
Если ввести изображения i(t) и «(()— «операторный току»
1(р) и «операторное напряжение» U(p), то эти соотношения пе-
рейдут в следующие:
U = RI, U = Lfp! — i0), U=-^-(I + q0), (2)
ЬК
где io = i(O)—начальный ток. Если считать i0 — qo — 0, что
соответствует задачам включения, то вместо уравнений (2) бу-
дем иметь:
U = Rl, U = LpI, U = -^I.
~ г. п
Последние соотношения объединяются в форме «оператор-
ного закона Ома»
U = ZI, (3)
где Z— «операторное сопротивление» (его называют также им-
педанцем), которое в случае активного сопротивления, самоин-
дукции и емкости соответственно равно
ZR =/?, ZL = Lp, Zc = -^. (4)
*) Точка t = 0 является особой для дифференциального уравнения (25);
этим и объясняется, что операторное уравнение не содержит начальных усло-
вий. В гл. VII мы увидим, что все решения уравнения (25), правильные
в точке t = 0, пропорциональны решению (26). Решения этого уравнения,
линейно независимые с (26), имеют особенность при t = 0.
85]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
549
Далее заметим, что при последовательном соединении двух эле-
ментов с импеданцами 1\ и Z2 получим U\ = ZJ, U2 = ZJ,
U — U\ + V2 (смысл обозначений понятен); откуда U = (Zt Ч-
Z2)l — ZI, или
Z = Z{+Z2. (5)
Аналогично при параллельном соединении U = ZJ\ = Z2l2,
Л + /2 = Л откуда, положив U = ZI, найдем:
_L=_L + J_.
Z z1 ~ z2
(6)
Таким образом, операторные сопротивления цепей в случае за-
дач включения можно подсчитывать по обычным правилам со-
единения элементов.
Если начальные ток и заряд отличны от нуля, то в уравне-
нии (3) появляются дополнительные члены. Например, в слу-
чае последовательно соединенных сопротивления, емкости и са-
моиндукции (/?АС-контур), получим:
где Z = R + Lp + ~г----операторное сопротивление контура,
ср
Если имеется цепь, составленная из элементов, представ-
ляющих собой /?ЬС-контуры, то в каждом таком контуре будем
иметь:
di. (0 1
RiJk И + ----И
t
J г’л (0 dt 4- qM
о
+ dt —
v ft
= М0. (8)
где Rh, Lh, Ch, qM, i\(0. uk(J)— обычные величины для й-го
контура, a Mkv — коэффициент взаимной индукции между k-м
и v-м контурами. Переходя от (8) к операторному уравнению,
получаем:
= + ---Lkik0—
V & V k
где
Zkk = Rk 4- i-kp + ~c^p. Zkv = Mkvp (vM=fc).
(9)
(10)
Складывая соотношения (9) для всех элементов, образующих
замкнутый контур, и пользуясь вторым законом Кирхгофа, на-
ходим:
k v й'Ч v ф k k /
550
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[85-
где сумма берется по всем элементам, образующим этот контур,
и U означает сумму операторных э. д. с., приложенных к нему.
Первый закон Кирхгофа дает для любой точки разветвления
Ц/4 = 0, (12)
где сумма берется по всем элементам, ведущим в эту точку.
Система уравнений (11) и (12) позволяет определить оператор-
ные токи во всех элементах цепи.
Отметим еще роль интеграла Дюамеля при решении задач
включения. Рассматривая для простоты случай одного контура,
получим для включения этого контура соответственно на э. д. с,
и(/) и единичную э. д. с. следующие операторные уравнения:
I = AU, 1Х = А — ,
Р
где Л = —операторная проводимость («адмитанц») контура.
Поэтому
l = plxU
и по формуле Дюамеля
t t
i (Z) = J и (т) (t — r) dr== it (f) « (0) + J i\ (t) u' (t — t) dx, (13)
о 0
где i\(t) — оригинал функции /Др) — ток в контуре при включе-
нии его на единичную э. д. с. («временная проводимость»).
Таким образом, зная ток в контуре при включении его на
единичную э. д. с., мы можем по формуле Дюамеля (13) сразу
написать значение тока в этом контуре при включении его на
произвольную э. д. с. (ср. формулы (14) и (15) предыдущего
пункта).
Предельные соотношения (1) и (2) п. 83 позволяют указать
простую связь временной проводимости г'Д/) для момента вклю-
чения Д — 0) для установившегося режима (t = оо) со значе-
ниями операторной проводимости А (р) для р = оо и р — 0.
Именно, из равенства Л =Д-р на основании этих соотношений
получаем:
ц (0) — lim /]р = А (оо), /] (оо) == lim Цр — А (0). (14)
р->оо р->0
Соотношения (14) удобно использовать для проверки вычис-
лений.
Приведем несколько примеров применения операционного
метода к расчету контуров и цепей:
1) Включение постоянной э. д. с. Uo в контур рис. 186—последователь-
но соединенные самоиндукция и емкость, шунтированная сопротивлением.
851
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
551
Операторное сопротивление находим по формулам (4), (5) и (6):
7 , , 1 LCRp2 + Lp + R
Операторная э. д. с. U— следовательно, по формуле (3) операторный
ток
U0(RCp+V)
р (LCRp2 + Lp + R) •
Временной ток находим по второй теореме разложения. Функция 1(р) имеет
полюсы первого порядка в точках р = 0 и
Pt, 2
2RC ±У 4R2C2 LC •
Если L < 4R2C, то корни комплексно сопряжены, Pi,2 =— о ± Z®, где
ст
1
2RC '
1
4R2C2 '
Рис. 187.
и процесс имеет колебательный характер.
По формуле (15) п. 82 находим тогда
I (/) = [ 1 — е at [cos ®t + (—
R I L \ ®
R
®L
(15)
Если же L > 4R2C, то а будет чисто мнимым и, полагая в (15) ® — /Л, где
Z — действительно, найдем:
«(0=-^Ч 1 - e~at [chM + (-£---^shA,/ll. (16)
At L \ Л ЛЬ / J J
Процесс имеет апериодический характер.
2) Найдем ток Ц (/), текущий через емкость С в контуре рис. 187, вклю-
ченном на постоянную э. д. с. Uo. Пусть Zl = R1+~^~ и Z2 = R2 + Zp —
Ср
импеданцы ветвей контура, по которым текут токи it (/) и i2 (t) (см. рис. 187) и
2 = R +
2,22
2i + Z2
552
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[85
— импеданц всего контура. Имеем / =-^-==/1 +/2, /1Z1 = /2Z2, следова-
pZ
тельно, 11 = 1---откуда
z2
г __ ZSZ UgZ2
1 ~ Z1 + z2 = р (Z1 + Z2) Z
Подставляя найденные значения Z2 и (Zj + Z2) Z, получаем:
I I'M = (Ra ^P)
1 {P> ар2 + 2pp + Y ’
где a = (R + Ri) L, 2(5 = (Rt 4- R2) R + R1R2 + Y — ~t,%2 • Времен-
G G
ной ток находится по формуле (13) п. 82:
2
где
k=l
R2 ~Ь ^Pk
apft + p е
(17)
рк — корни квадратного трехчлена в знаменателе выражения для (р).
3) Включение RLC-контура на
Z = Lp + R + 7т—, U
Пом
Р2 + <
синусоидальную э. д. с. Uo sin at. Здесь
следовательно, операторный ток равен
У (Р)
____________Удар_____________
W + со2) (ip2 + Rp + -£-) ’
(18)
По теореме разложения (15) п. 82
«о (0 = Уда
eia>t
j- + 2 Re —---------------------------
; 1. (pg + ®2) (2£р0 + R)
G
Re
— L®2 + Ria + -У-
R , .,/ 1 R2
где Ро=--2Г+гу
= — (To + i®o — корень квадратного трех-
члена в знаменателе выражения (18) (мы считаем, что имеет место колеба-
тельный случай, т. е. что ®0 — действительное число). Вводя принятые
в электротехнике постоянные: X — La—, X' — La + (реактивные
G СО G (О „
сопротивления), Z* = KR2 + X2 (полное сопротивление), после простых пре-
образований найдем:
'°= "z^sin (coZ ~б)
Уд____
agZ* VLC
е °et sin {aot — 60).
(19)
где tg6=^-, tP6o = -^.
4) Пусть э. д. с., действующая на RLC-контур, на отрезке времени
JT
О < t < —, равна Уд sin at, а затем снова равна нулю. Найдем ток в кон-
85]
5 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
553
туре при t > Л-. Действующая э. д. с.
= Uo < Т] (/) sin + г| I / —
где i] (1) — единичная функция; мы преобразовали второй член так, чтобы
воспользоваться теоремой запаздывания. По этой теореме
л'
1 + е
и=—.
Р'
Операторный ток равен
Hp) = Mp)G +« ₽ “).
где /о (р) определяется формулой (18). По той же теореме запаздывания
_ л
10 (р) в ° = ;0 G —
It
складывая правую часть этого соотношения с (19) и замечая, что при t > —
имеем т]
1, находим искомый
ток
'о — Л
Г 7 ( Л<Уа
I (0 =-----e-a,< I sin (®°f — 6о) + е “
уТс I
5) В контур рис. 188 включена на время
в момент t — 0 э. д. с. выключается; найти ток в контуре при t > 0.
Найдем ток на участке с самоиндукцией и заряд на конденсаторе в мо-
мент времени t = 0. Для этого предварительно
контура на э. д. с. Uo. Пусть 1 и 2 будут
участки контура, содержащие соответственно R,
L и С; имеем
т постоянная э. д. с. Uo и
решим задачу включения
Zi = R + Lp, Za------
op
IxZl = - I2Z2 = -~
L
Рис. 188.
(направления токов указаны стрелками на рис. 188). Отсюда Ц --0 ,
г гг „ Р W-rLp)
I2 — UqC, следовательно,
( -—А
й(0 = --^-\1-е L J, i2 (t) = U0Ct> (t),
A
где 6 (/) —импульсная функция (см. п. 83). Таким образом, к моменту t — r
о
554 ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ 185••
(см. свойство интеграла от импульсной функции — формула (22) п. 83). Теперь
решаем задачу выключения контура RLC с начальными данными (21). По-
формуле (7) имеем:
( р । г п j_U j г ;_____912_____LUq (. _ Г T j
\R+Lp + Сру— Li0 Ср R \1 е / р.
Отсюда при обозначениях примера 3) и действительном ®0 получаем:
i(f) -----^re~a‘t sin aot---e~Ol>t (®0 cos ®0Z — а0 sin ®оО \ 1 — е L /. (22)
®oL /<®о
6) Два одинаковых /?/.С-контура связаны взаимной индукцией М (рис. 189)-
К одному из них, начиная с момента 1=0,
приложена постоянная э. д. с. Uo-, найдем ток
в другом.
Система операторных уравнений будет
/1 -Т М р12 = ——,
р.
2 + МрЦ=0,
откуда находим операторный ток во втором контуре:
/2 (р) =
UpMp2
/ 1 \2
М2р* -\Lp2 + Rp + -Lj
Полюсы /2 (р) суть pi, 2 = — 01 ± z®i, Рз, 4 = — а2 ± г®2, где
R 2 ___ 1 2
a'-2~2(L±M)’ W|'2~C(L±M)
Оригинал находим по второй теореме разложения п. 82; после простых пре-
образований получаем:
и Г —<r1+i©l) f —Оз+гсОз) f )
; lf\ __ vo np ? g_________ _ к_
2 w 2 I (L + М) /®! (L - M) z®2 J
__ Uo ( e~<T,/sin®1Z e_<T:,/sin®2Z 1
“ 2 I ®! (L + Af) ®2 (L - M) J •
7) Рассмотрим так называемый фильтр, т. е. цепь, состоящую из неко-
торого количества последовательно соединенных контуров (секций, рис. 190).
Мы предполагаем, что э. д. с. приложена к первой секции через импедани
Z' н что последняя секция замкнута на тот же импедани Zr. Применив
последовательно к замкнутым контурам закон Кирхгофа, найдем:
1/70 + /(/„-/!) = и,
Z (1о - Л) - /.Z' - Z (/, - /2) = о,
- Z (1п-г Г1п = 0.
'851
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
555
Токи в соседних секциях (кроме первой и последней) связываются, таким
образом, уравнением в конечных разностях *)
(2Z + Z')/ft-Z(/ft+1+/ft_1) = 0. (25)
Решение уравнения (25) можно искать формально так же, как решение соот-
ветствующего дифференциального уравнения, в виде
lk = Аеук + Be-Vft, (26)
где Л и В — произвольные постоянные, а у подбирается надлежащим образом.
Подставляя (26) в (25), получим уравнение для у: 2Z + Z' — 2Z ch у = О,
откуда
7'
chy=l+-2F. (27)
Постоянные Л и В определяются
.последним из уравнений (24).
Найдя эти постоянные, мы
представим выражение (26) в
виде
___ U ch (п — k) у
* Z sh у sh пу
В качестве примера рассмот-
рим дроссельный фильтр,
для которого Z’ = R + Lp,
«граничными условиями», т. е. первым и
Рис. 190.
1
рС’
включенный на постоянную э. д. с. Uo. Из (27) имеем:
Р2 + 4 Р + ~ (1 - ch У) = °, (29)
Z
я формула (28) принимает вид
/ =п С ch ~ V
к 0 sh у sh пу
.'Знаменатель здесь обращается в нуль в точках yv — —— (v = 0, 1, .... п),
которым по формуле (29) соответствуют полюсы первого порядка
£
р =0, р = —j- (v = 0), р = — а ± z<ov (v = 1, 2, .... л),
R / 2 / vji R2
где <’'==‘2д-, ®V = J/ (1 — cos-^-1 —-jp-. Оригинал ik (/) найдем по
теореме разложения. Для этого сначала, пользуясь формулой (29), вычисляем:
d / RC \
В' = (sh у sh пу) = (cth у sh пу + п ch пу) \ LCp Л—g— j.
*) Вводя разности AZft = Zft+1 _ j и A4k — AZft f — AZк, мы можем пере-
писать уравнение (25) в виде A2Zlkl — Z'Ik = 0. Это уравнение относится
к классу линейных уравнений в конечных разностях (с постоянными коэф-
фициентами). Решение таких уравнений во многом аналогично решению соот-
ветствующих дифференциальных уравнений. Сведения об уравнениях в ко-
нечных разностях читатель может найти в книге А. О. Гельфонда «Ис-
числение конечных разностей» (Гостехиздат, 1952).
556
ГЛ, VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
185
Переходя здесь к пределу при у->уо = 0 и соответственно при р -> 0>
О .
—j-, найдем Во — ± nRC. Аналогично при у -> у„ = /л и р -> — оп ±
найдем В'п = ± 2i (—\)n nLC®n, а при y->yv(v=l, 2, 1)В' =
= ± i (—i)v nBCav. Тогда теорема разложения даст ток в Л-й секции фильтра:
Rt „
i L + (~}} U° e~atsin <o„f +
*w nR nR nLan
n-1
±L^C0S^L.
cov n
V=1
Первый член здесь дает установившийся режим и равен напряжению, де-
ленному на полное омическое*сопротивление, остальные члены дают переход-
ный ток. Затухание осциллирующих членов одинаково, при малых ча-
стоты
, 2^0
r nL
2
исследо-
а в фор-
. kn
СО, ~ sin ---.
к VLC 2п
2
Максимальная частота соп = -р===~; разница между частотами уменьшается
при увеличении п, т. е. фильтр хорошо настраивается в резонанс для целой
полосы частот. Его называют поэтому полосным фильтром.
8) Фильтр с бесконечным числом элементов более прост для
вания. Уравнение (27) останется в этом случае без изменения,
муле (28) следует перейти к пределу при и -> оо
Це~^
k Z sh у
(мы считаем Re у > 0). Заменяя здесь Z sh у = Z J^ch2 у — 1
= У ch2 у — 1 4- ch у, по формуле (27) получаем;
U
(31)
и е1 =
к
В качестве примера
тивлений IZ ~ ,
\ Ср
мула (32) дает:
Z'
2Z
рассмотрим бесконечный фильтр из емкостей
(32)
и сопро-
включенный на постоянную э. д. с. Ua. Фор-
/ _ 2и<> (р + К-Ур2 + 2р%)к
k= RKk Vp2+ 2рк ’
2
где . По формуле (31) таблицы находим оригинал
/<с
к / ZZ'
(33)
Л (it)
где Ik (/) -----г----цилиндрическая функция порядка к мнимого аргу-
мента (см. п. 96).
86]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
557
86. Уравнения с частными производными. Операционный ме-
тод успешно применяется к решению так называемых нестацио-
нарных задач для уравнений математической физики. Для прос-
тоты мы ограничимся случаем, когда искомая функция и зависит
от двух независимых переменных х и t, из которых первую мы
будем трактовать как пространственную координату, а вторую
как время. Кроме того, мы предположим, что дифференциальное
уравнение имеет вид
. г л д2и , . ди . , д2и , . ди п , 1Ч
L [и] — а -т—j—k b -z—Н си о, -ттх—|- Ь\ = 0, (1)
1 J дх2 ' дх ' 1 1 dt2 1 1 dt ' 7
где а, Ь, с, ах и Ь\ — непрерывные функции от одного х, заданные
в интервале О х I. Мы будем всегда считать, что а > 0 и
рассматривать два основных случая: 1) а\ <. О — гиперболиче-
ский случай и 2) fli = 0, bi <Z 0 — параболический случай.
Нестационарная задача в нашем случае формулируется сле-
дующим образом.
Найти решение u(x,t) дифференциального уравнения (1)
для 0 х / и / О, удовлетворяющее заданным начальным
условиям
и (х, 0) = <р (х), —- = ф (х) (2)
(второе задается лишь в гиперболическом случае) и краевым
условиям
u(O,t) = f(t), = /), (3)
где а, р и у — постоянные*).
Нестационарность задачи выражается в том, что рассмат-
ривается решение, существенно зависящее от начальных усло-
вий («неустановившийся», «переходный» режим физического
процесса).
_ - ди д2и
Предположим, что и, и рассматриваемые как
функции t, являются оригиналами, и обозначим через
00
U (р, х) — j и (х, t) e~pt dt
о
ди
дх
изображение функции и. В силу наших предположений тогда
СО оо
J дх dx дх2 J дх2 dx2
о о
*) Краевые условия могут несколько видоизменяться. Кроме того, часто
встречается случай, когда I = оо, тогда второе краевое условие отпадает.
558 гл. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ [86
(дифференцирование U по х мы обозначим с помощью символа
d, а не д, ибо всюду в дальнейшем р будет рассматриваться
лишь как параметр). По правилу дифференцирования оригина-
лов получаем также:
^^pU-u(x, 0), ^^p4j-u(x,0)p-^^-,
или, учитывая начальные условия,
ф(х), ~ = р2и — РФ (х)- ф(х).
Предположим еще, что f(t) является оригиналом и F(р) =
тогда граничные условия дают
и u=F [° -S-+0 и-
Таким образом, операционный метод приводит решение по-
ставленной выше нестационарной задачи для уравнения (1) с
частными производными к решению обыкновенного дифферен-
циального уравнения
а-^т + Ь— + AU + В = 0, (4)
dx2 1 dx 1 1 ’ ' '
где
А — с -ф а,р2 + Ъхр, В — — ахрц> — «[ф — 6,ф
и р — комплексный параметр, при следующих граничных усло-
виях-.
U\x=0 = F(p), [а-^- + (рр_у)[/-₽ф]^ = 0. (5)
Приведенные выше рассуждения показывают, что в принятых
условиях изображение IJ решения и нестационарной задачи
удовлетворяет уравнению (4) и граничной задаче (5). Если из-
вестно, что нестационарная задача имеет единственное решение,
удовлетворяющее вместе со своими производными первых двух
порядков условиям, наложенным в п. 79 на оригиналы, и если
задача (5) для уравнения (4) имеет единственное решение U.
то, очевидно, решение нестационарной задачи можно получить
как оригинал для U.
Приведем несколько примеров.
1) Температура и(х,/) в тонком стержне удовлетворяет уравнению
где а2 — постоянный коэффициент. Рассмотрим распределение температур в
полуограниченном стержне 0 < х < оо, если известен закон изменения темпе-
86j
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
559
ратуры его левого конца, а начальная температура стержня равна нулю:
и|(=о = О, и|х=о = НО. (7)
Переходя к изображениям, получим обыкновенное дифференциальное урав-
нение
,, , лги
pU = а ~d^' (8}
с комплексным параметром р, которое нужно решить при условии
U\x=a^F (р).
Общее решение уравнения (8) есть
/р~
С==Се а
(9)
здесь должно быть Cj = 0, ибо иначе
х -> оо. Условие (9) дает тогда С — F(p), следовательно,
-^Х
U = F (р) е
Для нахождения оригинала рассмотрим
У~р
1 1--------------* х
тогда F(p) = —, Щ— — е а ипо
гинал для U\-
V р
х —— X
+ с!й а ;
U будет неограниченно возрастать при
сначала частный случай f (/) = 1,
формуле 42 таблицы находим ори-
«1 (х, /) =
2а Vt
Г- J
(Ю)
В случае
(6) и. 81;
произвольных граничных данных (7) используем интеграл Дюамеля
имеем U (р) = pF (р) Ut (р), следовательно *),
и (х, t) =----г=-
2а V л J
е 4а2«-г)л==
(/ — т)'А
2
2а Vt
(11)
4а2£2 /
х
I мы положили Е-----.
\ 2а/(-
« (0, t) = f (/) erf (оо) = f (/),
х = 0 из выражения (11) получаем
что и требуется.
*) В обозначениях п. 81 здесь g(f)=Erf(-z=-J> g(0)=0, g'(t) =
\2aV t /
x1
— x g~
2a /nF
560
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[86
2) Та же задача, но на левом конце стержня происходит теплоизлучение
в среду с нулевой температурой, .начальная температура стержня «о = const.
Задача сводится к решению уравнения (6) при следующих начальных и крае-
вых условиях:
«1/=0 = «в; 1^=hu 1*=о (12)
{/г > 0 — постоянная). Операторное уравнение имеет вид
,, 2 dW
PU~a2~^—^
его нужно решить при условии: 1 = hU |Xs=0. Решение этого уравне-
ния, ограниченное при х -> оо, имеет вид
Ур
U=— + Ce а Х.
Р
Пользуясь граничным условием, находим окончательно:
1 —— х I X \
По формуле 42 таблицы имеем —е а Erf (---------, следовательно,
Р \2a~ft I
оригинал первого члена равен н0 erf /—-7=-). Для нахождения оригинала
\2аУ t /
второго члена заметим, что по теоремам запаздывания и подобия
F (р) —---------е а = ае hl-at t) {at — х).
+Л
а •
Тогда по следствию теоремы Эфроса (11) п. 81
F(Kp)_ 1 1 , a f -Нят-х)--^
Vp “Кр ’ V7 ,/ J
а ~а
„ т + 2аМ
Заменяя здесь ------— = Е, найдем окончательно:
2V t
и {х, t) = и01 erf I—+ ehx+°2ft2/ Erf I—^7=- + ahVt 'j 1. (13)
( \ 2a V t / \ 2a V t I J
3) Рассмотрим распределение температур в ограниченном стержне
О < л- < /, левый конец которого теплоизолирован, а на правом поддержи-
86]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
561
вается постоянная температура ut; начальная температура Uo также постоян-
на. Задача сводится к решению уравнения (6) при условиях
। ди I . .
«1/=9 = «о> "5Г|х==о==0’ “lx=Z = “i-
Операторное уравнение имеет вид:
d2U р I! Ua
dx2 а2 а2 '
его надо решить при условиях
Общее решение операторного уравнения берем в виде
U = — -{-Ci sh^-x + C2ch^-x;
р а а
подстановка первого краевого условия дает С\ = 0, второго — Ct =
— «о 1 гр
=-------------------- 1аким образом, изображение решения имеет вид
р ch-^-Zp
i х лГ~
ch — Гр
U = «о «1 — «о а
Р р ch-*-Гр'
а
Функция U (р) однозначна, ибо гиперболический косинус — функция четная
и его тейлоровское разложение содержит лишь четные степени аргумента.
Эта функция мероморфна и имеет простые полюсы в точках р = 0 и
а2л2 I. 1 \2 ,, , „ ч „
Рк —-----р—\k----g-l (k= 1, 2, ...). Можно доказать, что она удовлетво-
ряет условиям второй теоремы разложения *).
*) Наметим путь доказательства: положим ~^Р = 41 тогда, повторяя
рассуждения, которые мы проводили в п. 71 для ctg г, мы покажем, что
ch— Vp ch^y-p
функция -----j------- —--- остается ограниченной в плоскости с исклю-
ch — Гр С 4
а
ченными (посредством кружков) полюсами. Отсюда следует, что функция
. ch — Vp
la
------------- стремится к пулю при р -> оо на некоторой системе окруж-
Р ch— Vp
а
ностей (условие 2 теоремы); кроме того, так как при больших | р | модуль
этой функции не превосходит некоторой постоянной, умноженной на
1 ГГрТ
л—г е а > и у нас х < I, то эта функция абсолютно интегрируема на
I р |
прямой Re р = а (условие 3 теоремы). (В первом издании книги здесь была
допущена неточность, на которую нам любезно указал Ким Сеи Ен (Корея).)
562 гл. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ №
Обозначим А (р.) =, иа ch ~У Р + (“i ~ ио) ch ~ V р, В (р)=р ch-^-V р 5
тогда ^(0) = «r В'(0) = 1, и для р = р =-£^.^_ ' ?
В (р) 1 я I2 \ 2}
где k — 1, 2, имеем:
А (Pk) = (“i - “о)ch т (k ~ т)/Я = <“1 ~ “о) cos (k - 4) Т’
в'(рк)-4г =(-1)йт(*-4)-
Вторая теорема разложения даст тогда
00 к сп'' I 1V
, ,. , 2 (и, — u0) V (—0* /, 1 \ лх —)(
ц(х, Ц = И) + 24 А—i-CO5\fe-y) — g 1 v 47 ('4}
fc=l k— y
4) Для уменьшения скорости нейтронов, которые освобождаются в ре-
зультате цепной реакции, происходящей в ядерных реакторах, применяются
замедлители (обыкновенно — графитовые). Рассмотрим замедлитель в форме
полупространства х > 0, который содержит плоский источник нейтронов,
пусть в плоскости х = х0. При известных упрощающих предположениях
процесс замедления нейтронов в этом замедлителе описывается дифферен-
циальным уравнением
+а 6 <’> <,5>
где 0—символический возраст нейтронов, %(х, 0)—плотность их замедле-
ния, т. е. число нейтронов на единицу объема и в единицу времени, а б —
импульсная функция*).
Это уравнение нужно решить при граничном условии
~°- (Ю)
\ °х ) |х=0
где у — некоторая постоянная (это соотношение физически выражает условие
равенства нулю полного потока нейтронов через плоскость х — 0) и условии,
что плотность замедления стремится к нулю при х->оо;
lim % (х, 0) = 0 • (17)
Х->оо
для всех 0. Начальные условия (условия при 0 = 0) отсутствуют, ибо урав-
нение содержит импульсную функцию.
Применяя преобразование Лапласа по 0 и используя соотношение
6(0) ?=* 1, мы приходим к операторному уравнению
рЛ =~4-б(х-х0). (18)
Наличие в уравнении импульсной функции приводит к тому, что его реше-
ние, оставаясь непрерывным при х = х0, испытывает в этой точке разрыв
*) Вывод уравнения (15) читатель может найги в книге Снеддона
(101,§27.
86!
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
563
производной. В самом деле, интегрируя уравнение (18) по х вдоль отрезка
(х0— h, Хо +/1) и пользуясь свойством интеграла от 5-функции, мы находим:
Xo+h
Р I
х0—h
dx =
dX lx»+ft
U-л
1,
X
откуда, пользуясь непрерывностью функции X, в пределе при й->0 полу-
чаем:
44 -44 =>• оэ)
dx |Ха_0 dx |г<+()
На основании сказанного общее решение уравнения (18) при х < х0
можно взять в виде
х = Ле(х,-х) ,
а при х > х0, с учетом условия (17), в виде
X = Се~'х~х>] Ур\
где А, В и С — некоторые постоянные. Условия (16) и (19), а также условия
непрерывности решения при х = х0 приводят к системе
Л(1 +уКр)ех»^ + В(1 - уУр)е~х°Ур =0,
Ур (— А + В + С) = 1, Л + В-С = о,
(20)
2 Ур ур + Ур
есть в таблице. Чтобы найти оригинал
вполне определяющей эти постоянные. Решая эту систему, после несложных
преобразований находим операторное решение:
-\x-xt\Vp „-(x+Xol/p” „-(х+*1>'/р
Х = -----------+- е
2Ур
Оригиналы первых двух слагаемых
третьего слагаемого, обозначим
е~а *'р
$р + /р
е~ар
тогда будем иметь F (р)
Ур
-—— и по теореме запаздывания найдем ори-
i + Рр
t—a
гинал f (/) = -р- е т] (t — а). Поэтому по следствию теоремы Эфроса
(формула (11) п. 81) будем иметь:
а оо ,
.-а/р______________________Г _2_Л
_£____________е е Р d
Рр + /р ' у
Полученный интеграл легко выразить через функцию Ег1,_если, выделив
т У t
в показателе степени полный квадрат, положить —. - 4----- получим
564
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[86
окончательно:
-а/р j / 1/у\
_______2_ рр 3 prf ( Ц— I. _г |
Рр+/р ’ Р \2/Г+ р J'
(21)
xU’e)=nsrle
Таким образом, мы находим оригинал решения (20) — окончательное
выражение *) для плотности замедления нейтронов:
( (х-х,)г (х+х0Р) х+хс , 6
46 +е 46 /—Le v +v’Erfto + H\
V \2 у 0 у /
(22)
Приведем еще приближенное выражение для этой функции при малых
значениях у. Пользуясь асимптотической формулой для функции Erf х (фор-
мула (11) п. 76), мы можем написать для больших х:
Поэтому для малых у последний член формулы (22) асимптотически
равен
(х+х,У (х+ХаР
1 40 1 I, X + ха \ 40
ТА" (х + х° 4- 6 26 '
yyn\Wf+~)
и для малых y мы имеем:
% в) ~
( (х-ХаУ (х+Ха)а 1 (х+хор
1 У 40 40 ( , X + Х0 40
—( е — е J Ч----------------уе
2)6x0 20/л0
(23)
Для физических приложений важно уметь определять точку х = хс,
в которой скорость замедления равна нулю, так называемую экстраполиро-
ванную концевую точку. На основании приближенного выражения (23) на-
ходим из условия х(хс, 0) = О
1-е «
хс+хо
V 6
Если еше считать хсхо малым в сравнении с 0, получим: —хсхс = у(х0Ч-хо),
откуда
хс~ —
Y*° те_у.
х0 + У
5) В линейной теории неустановившегося обтекания крыльев самолета
рассматривается следующая задача* **).
♦) Разрывность производной операторного решения в точке х = х0 при
переходе к оригиналам исчезла.
**) См., например, «Современное состояние аэродинамики больших ско-
ростей» под редакцией Л. Хоуарта (ИЛ, 1955), т. 1, гл. IX, § 6.
86)
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
565-
Функция двух переменных f (х, у) — приведенный потенциал сверхзву-
кового потока, обтекающего крыло, — равна нулю при х <. О, а при х^О
удовлетворяет дифференциальному уравнению
~ Д = 0. (24),
дх2 дуг '
где Ь2 и с2 — положительные постоянные; и нулевым условием при х = 0:
причем j (х, у) остается ограниченной при i/-»--|-oo.
Из физических соображений считается известной функция----~ I =
"У !1/=о
~а (х)— приведенный скос потока на поверхности крыла — и через эту функ-
цию требуется выразить значения потенциала на поверхности крыла f(x, 0).
Задача изящно решается операционным методом. Преобразование Лап-
ласа по переменной х переводит f(x, у) в функцию F(p,y), удовлетворяю-
щую уравнению
d2F
— _b2(p2 + b2)F = 0,
с2
где Х2 = -£2—положительная постоянная. Общее решение этого уравнения,
имеет вид
F = Се~ьуГр2+К1 у 4- C}eb Ур2+к1 У,
причем в нашей задаче <?i =0, ибо F (р, у) должна оставаться ограниченной
при у -> + оо. Следовательно,
^£1 =-С&Кр2 + А2 =-Л (р),
аУ 1у=о
где А (р) — изображение скоса потока а (х); отсюда
Л(р)
F (р, 0) = С = —, .. ... . .
ьУР2 + к2
Пользуясь теоремой умножения и формулой 28 таблицы, получаем решение
задачи:
х
1 (х, 0) = 1 j а (х - И /о (W d|. (25)
о
6) Стержень длины I находится в состоянии покоя и его конец х = О'
закреплен, а к свободному концу х = I приложена сила A sin ot, направлен-
ная по оси стержня. Найти продольные колебания стержня.
Уравнение колебаний стержня имеет вид
д2и ___ 2 д2и
dt2 ~а дх2’
где и = и(х, t)—продольное смещение и а2 — постоянный коэффициент,
зависящий от материала стержня. Начальные и граничные условия сводятся
к следующим:
। du I _ , п ди I А . ,
’ u|*=o=0’ -d7\x^r~E ‘ у
:566
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(88
где Е— модуль упругости*). Операторное уравнение имеет вид
p2U = а2
d2U
dx2 ’
его надо решить при условиях
П=о=О;
dU I _______А ®
dx Е р2 + го2 '
Общее решение берем в виде
U = С, ch ~ х + С2 sh — х;
а а
подстановка х = 0 дает Ci=0,
Ь , Ла®
=--------------------, где о
р (р2 + ®2) ch I
подставляя х = I, получаем С2 =
Е • Таким образом, операторное решение
имеет вид
, х
sh — р
U =------------—
Ир2 + ^) chlp
а г
(27)
Для нахождения оригинала опять можно использовать вторую теорему раз-
ложения. Функция U имеет один действительный полюс р = 0 и бесчислен-
ное множество чисто мнимых полюсов, причем все они попарно сопряжены,
т-т - . ла 7 1 \
Полюсы, лежащие в верхней полуплоскости: р = i®, pk = i —у I k—yj =
= iak (k = 1, 2, 3, ...) все первого иорядка и различны, если <»/, ы ни
при каком целом k (это — условие отсутствия резонанса, мы предполагаем
его выполненным). На основании второй теоремы разложения получаем:
®2 COS----
а
ОО
® 1 . 2а& ут , ,.fe
sin — х sin at Л—-— V (— 1)к
fe=i
. “а
Sln"a-X sin ®fef
а\ — ®"
(28)
1
7) Два одинаковых стержня длины I с одинаковой скоростью о,> дви-
жутся навстречу друг другу вдоль своих осей. Определим смещение точек
стержней после удара.
Пусть удар происходит при t — 0 в начале координат. В силу симметрии
достаточно рассмотреть смещение u(x,i) точек одного стержня, например
правого. Задача сводится к решению уравнения
д2и , д2и
। - 5=55 fl & “ 1 1
dt2 дх2
*) Мы воспользовались тем, что согласно закону Гука сила X, действую-
щая вдоль стержня, связана со смещением и соотношением
дх
86]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
567
при условиях
и 1/=о = 0.
ди 1
dt
= — v0;
"Uo-о.
Операторное уравнение запишется в виде
d2U Р2,, v°
dx2 а2 а2’
(29)
а граничные условия перейдут в
и Uo = °. =0.
ил
Решение уравнения (29) при этих условиях имеет вид
х 21-х
—р — — р----
п_______£о_ , Ро е а + е а
р2 f р2 _2р£
1 +е а
( 2pi у1
Разлагая \1+<? а / в геометрическую прогрессию (сходящуюся,
I I
I е а I < 1), получаем:
(30)
ибо
пользуясь, далее, теоремой запаздывания, находим оригинал
и (х, t) = va
(31)
Это решение пригодно лишь до тех пор, пока стержни соприкасаются, т, е
ди | _ dU I
до тех пор, пока —— <0. Но из формулы (30) имеем —г— =
ох |х_о dx |х=0
=-----— th и по формуле (19) п. 80 -г~\ — — g (t), причем в этой
GP Cl ОХ |
, . n t du |
формуле A=—-t t = 2—. Следовательно, —— <0 лишь при 0</<
/2 a ox | у q
<2—, а для этого участка в формуле (31) отличны от 0 лишь три члена,
т. е.
. х\ I. х\ , I, 21 — х\ I, 21 —
ц(х, /) = п0|~(+^--)Ц/_-) + ^---------—--у-)}.
(32)
л , 21 . л. „ ди
Отсюда видно, что при t -> — имеем и (х, г)->0, —> v0, т. е. стержни
отскакивают друг от друга без вибрации со скоростью оо-
568
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(87
87. Расчет длинных линий. Мы будем рассматривать двух-
проводную длинную линию как систему равномерно распреде-
ленных сопротивлений, индуктивностей, емкостей и утечек; их
величины, отнесенные к единице длины, мы обозначим соответ-
ственно R, L, С и G (рис. 191). Фиксируем участок линии ме-
жду точками к и х-|-Дх, тогда для напряжения и и тока i бу-
дем иметь:
«(х, t) — м(х + Дх, t) = L Дх-|| + /?Дх • Z,
i (х, /) — I (х + Дх, /) = С Дх — + G Дх • и,
и, перейдя к пределу при Дх-+0, получим:
— =C-^- + Gu. (1) •
дх dt 1 дх dt 1 ' '
Эта система дифференциальных уравнений в частных произ-
водных первого порядка легко сводится к одному уравнению;
, например, для тока полу-
Рис. 191. и точно такое же урав-
нение имеет место для
напряжения. Так как коэффициенты L и С Неотрицательны, то
уравнение (2) будет либо гиперболического, либо параболиче-
ского типа, в зависимости от того, будет LC > 0 или LC = 0.
Обозначим через U и / соответственно изображения (по
времени) напряжения и тока и через i0 и и0 — значения послед-
них при t = 0; тогда системе (1) будет соответствовать сле-
дующая операторная система:
(Lp + R)I = - ^- + Lia, (Cp + G)U^-~ + Ctta. (3)
Исключая из системы (3) операторный ток, получаем уравне-
ние для U
S—y’U = L^--C(Lp + R)^ (4)
где ________________
X = V(Lp + R)(Cp + G) (5)
-обозначает так называемый коэффициент распространения
волны. В случае нулевых начальных данных правая часть урав-
S7J
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
569
нения (4) будет равна 0 и общее решение этого уравнения бу-
дет иметь вид
U = Ae-w + Веух, (6)
где А и В могут зависеть лишь от р, но не от х. Эти функции
определяются из условий на концах линии.
Для операторного тока получается уравнение, аналогичное
уравнению (4), однако, зная U, ток проще определить из пер-
вого уравнения системы (3):
1 (dU г
~ Lp + R \ dx
(7)
В случае нулевых начальных данных, используя решение (6),
получаем:
1 = ~ (Ле-^ - Веух), (8)
где _____
г=/W <9>
— так называемое характеристическое сопротивление линии.
В общем случае исследование уравнений длинной линии пред-
ставляет значительные трудности и обычно делаются какие-либо
упрощающие предположения. Одним из таких предположений
является предположение о том, что длина линии бесконечна.
Обычно такую бесконечно длинную линию представляют прости-
рающейся от точки х = 0 в бесконечность вдоль положитель-
ной оси х. Условие ограниченности U и I на бесконечности при-
водит тогда к тому, что в уравнениях (6) и (8) коэффициент
В = 0 (мы считаем /?еу>0), и эти уравнения принимают, сле-
довательно, вид
и = Ае~Ух, (Ю)
Физически наше условие означает, что мы пренебрегаем явле-
ниями отражения волн от конца линии.
Кроме того, иногда пренебрегают различными параметрами
линии, или считают, что эти параметры связаны некоторыми со-
отношениями.
Рассмотрим несколько примеров.
1) Бесконечно длинная линия без индуктивности и утечки (кабель) *).
Здесь L — G = Q, y = VRCp, Z = ’l/ -х— , следовательно, уравнения (10)
принимают вид
(Н)
*) В подземном или подводном кабеле вследствие близости проводов
можно пренебречь самоиндукцией, а при хорошей изоляции и утечкой.
570 ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ (87
Величина А находится из условий включения кабеля. Например, если на ле-
вом конце включается постоянная э. д. с., то из первого уравнения (11) при
х = 0 получим А — и0/р, и тогда по формулам 42 и 6 таблицы изображений
(в которых считаем a = VRCx) сразу находим напряжение и юк:
г____ _____RCx1
U(xJ)=t/pErf^l/-^), i (х, t) = UQ у e . (12)
Заметим, что задача определения напряжения вполне аналогична задаче
определения температуры в примере 1) предыдущего пункта ^достаточно
1 \
. Поэтому по формуле (11) п. 86 при включении
кабеля на произвольную э. д. с., закон изменения которой задан функцией
f(t), получим:
00
х /~ PC
2 V t
лишь положить a = —72=
Vrc
2) Установившийся режим в кабеле удобнее находить непосредственно
с помощью формулы обращения Лапласа, используя метод деформации кон-
тура, изложенный в конце п. 78. Для примера найдем установившийся ток
при включении кабеля на э. д. с. «(/) = Uo sin mt.
Из уравнений (11) имеем:
Цоа /~ Ср -/ксГх
р2 + <о2 V R
и по формуле обращения
A+foo
i{x> 0=^-1/5’ [
2ш г R J р2 + со2
Л —/оо
(14)
Деформируя прямую интегрирования в контур L, указанный на рис. 174, по
методу п. 78 находим:
.____РСа , ,____.
rr if ’ 2 • / , , л if R.Cm\
i(x,t)=Uay -%- е sin(^/ + -— -xy ~2~ / ~
' L
где первый член представляет собой сумму вычетов подынтегральной функ-
ции (14) в ее особых точках р == ± ia> (Vp означает ветвь корня, опреде-
ляемую условием —JT<argp<jr), а под знаком интеграла стоит та же
функция, что и в (14). Заменив pt = q, найдем:
Vq
RCq ,
-7-+4
dq,
е
L
87]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
57 F
где L* — контур того же вида, что и L. Отсюда видно, что при /->оо инте-
грал стремится к пулю, следовательно, установившийся ток равен
,____.Г RCu> , t_______
, .. Со XV 2 . Я / RC(i> \
/уст(х, O = t7oy -д- е sin(a/ + —— ху ——. (15>
В частности, положив х = О, находим установившийся ток в начале линии
3) Включение кабеля через' импеданц. Пусть на левом конце кабеля
через импеданц Zo включается э. д. с. и0 (t). Как известно, приложенная э. д. с.
складывается из падения напряжения на импеданце и э. д. с. в начале линии
Uо (р) = Z0I |х=9 + U |х_0. (16)
Для кабеля из системы (II) находим U |х=0 = А, 1 |х==0 = у А, следо-
вательно, условие (16) принимает вид
П0(р) = л(1+70-|/(17)
откуда и находится А.
Например, при включении кабеля на постоянную э. д. с. Uo через сопро-
тивление Ro имеем Л =—--0 .-- , где Д =-j-, Отсюда по форму-
лам (11) операторное напряжение равно
U = = С0<Га/Р _ Uo е~аУр
где а = х)/Г/?С.По формуле 42 таблицы и формуле (21) предыдущего пункта
находим оригинал:
«(x,Z) = f70Erf ийеХ *+₽/Erf(-|-|/ (18)
По формуле (11) операторный ток
следовательно,
i(x, е йо+^Егг(^т/-^- +ж). (19)
4) Бесконечно длинная линия без потерь (R — G = 0). Согласно фор-
мулам (5) и (9) коэффициент распространения волны равен у = ЦьС Р=="~>
‘572
ГЛ, VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(87
1
тде
скорость распространения волны, а характеристическое
сопротивление
следовательно,
U = Ae v
(20)
Здесь 4 = t/|x_0, и если линия включается на произвольную э. д. с. f (0, то
дю теореме запаздывания получаем:
u(x,t)=f[t/(г, 0 f (/--£). (21)
Это означает, что вдоль такой линии волны напряжения и тока распрост-
раняются с постоянной скоростью v без изменения формы.
5) Бесконечно длинная линия без искажений. Так называют линию,
R G
параметры которой удовлетворяют условию — = —= б (при 6 = 0 полу-
- \ о р 4- б 1 ™ .. Г L
чаем предыдущий пример). Здесь у = ----, где о = "r^=-t 7.—Д/ — и,
о V LC г С
следовательно,
р+а х у----р+й х
U = Ае ° , 1 = у ~ Ае ° . (22)
Если такая линия включается на произвольную э. д. с. f (f), то
— х
и (х, 0 =е v f
i(x, П=)/е ° Х f (f --i-J. (23)
Это означает, что в такой линии волны напряжения и тока распространяются
с постоянной скоростью v без изменения формы и с постоянным затуханием.
6) Бесконечно длинная линия с потерями, но без утечки (G = 0). В этом
случае + 2ар , где
следовательно,
-г- —а =-------и L— I/-------
УБС 2L г С р
-—xVp2+2ap
и = Ле v
г___ -—Ур'+чар
-.Г С Ape v__________
г L у pt _|_ Чар
(24)
Если такая линия включается на постоянную э. д. с. t/0, то Лр ==.[70 и
___ _А/(р+а)а_аг
/ = £Z°V Т /(р + а)2_а2-
= F(p + a),
1 /рг-а*
где F (р) = — е v .По формуле 35 таблицы (эта формула
V р2 — а2 _____
будет выведена в п. 99 *)) находим оригинал / (t) =i) Л> у/"
*) См. формулу (19) п. 99; здесь т = х/о и вместо а стоит ia.
871
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
573
где /0 — цилиндрическая функция нулевого порядка мнимого аргумента,
а по теореме смещения
i(x, 7- —£). (25)
7) Установившийся ток в линии предыдущего примера, включенной
на э. д. с. Uaeiu>t. Имеем Л = 6/к_п==—— и по формуле обращения
х и р — 1(0
из второй формулы (24) находим:
,____ 'i+iM V р2+2ир +pt
.. „ -.fc 1 f ре v ,
i (х, Z) = U0 1/ -г- —-------г — dp.
Г L 2ш J (р — jro) Vp2 + 2ар
"У—ZOO
Асимптотическое выражение этого интеграла было найдено в п. 78 методом
деформации контура интегрирования (см. (16) а 78). Подставляя это выра-
жение, получаем:
г- l(s>t—— Via la—а2
С ltd v
----г —- ---е
L V 2ai(0 —• <о2
8) Линия конечной длины I включается на постоянную э. д. с. Ua,
правый конец разомкнут. Формулы (6) и (8) дают
U = Ae~vx + Ве^, I = А- (Ле"** - Ве^),
постоянные Л и В находим из условий на концах
4e-vi Bevi
1уст
t/Uo = ^+B = -^,
Z
следовательно,
(26)
(27)
pchyl ’
(28)
I—Uq sh у (Z — x)
Z p ch yZ
где у = -i- Vp2 + 2ap , знаменатель
Для линии с потерями, но без утечки,
операторного напряжения имеет бесчисленное множество нулей, определяе-
мых уравнением ch yZ = 0, yf= (2/1 + 1) — i (п=0, ±1, ±2, ...). В пло-
скости р им соответствует бесчисленное множество полюсов функции V,
определяемых уравнением
1 \2 л2о2 п
2 ) ~Т2 °’
откуда
р = — а ± 1(Оп,
где (on
I2 П2У2 2
I /2 й
разложения, находим:
V 2« + 1 • ! , 1 \ пх
Пользуясь второй теоремой
z TT I t Jte V
u (x, t) = Uo {I--------5----
I (
I n=0
X (a sin wnZ + (оп cos wnZ) (29)
574-
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[88
88. Другие интегральные преобразования. Преобразование
Лапласа, которое каждому оригиналу f(t) ставит в соответствие1
изображение F(p) по формуле
О
(1)
и каждому изображению F(p) оригинал f(i) по формуле обра-
щения
a + ico
= J F(P)eP‘dP, (2)
“ a—ioo
является частным случаем интегральных преобразований вида
^(р)=/ Ж(А P'ldt,
О
(3)
где K(t,p) — ядро интегрального преобразования — известная
функция переменной t и параметра р. Такого рода преобразо-
вания применяются при решении дифференциальных уравнений
и в других задачах анализа. В заключении главы мы укажем
важнейшие из этих преобразований и приведем несколько при-
меров их применения.
1) Преобразование Фурье. Так как в формуле обра-
щения Лапласа (2) интегрирование производится по прямой
Re р = а, то в этой формуле можно положить р = а + io и она
примет вид
оо
Ш = J F{a + io)eiatdo.
Введем еще новые обозначения
f (/) e~at = g (t), -p= F (a 4- io) = G (a); (4)
в этих обозначениях последняя формула перепишется в виде
I G 'eiot da'
88]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
575
Формулу (1) для прямого преобразования Лапласа можно за-
писать в виде
оо
F (а + ш) = / t (0 e-ate~iat dt,
О
или, в новых обозначениях, в виде
G(o) =
-у1— f g (0 e~iot dt.
/2л J
(6)
Формулы (5) и (6) называются формулами обращения
Фурье, а переход от функции g(t) к G(o)— преобразованием
Фурье. Таким образом, преобразование Лапласа, связывающее
функции f(t) и F(p), является преобразованием Фурье, связы-
вающим функции g (t) — f(t) e~at и G (а) — —Д=- F (а -ф io), где
У 2л
а — произвольное действительное число, большее показателя
роста функции f(t).
Область применимости преобразования Фурье значительно
уже области применимости преобразования Лапласа. Это свя-
зано с тем, что для сходимости несобственного интеграла (6)
функция g(t) должна удовлетворять довольно стеснительному
условию на бесконечности, например условию абсолютной ин-
оо
тегрируемости *), т. е. сходимости интеграла J | g (/) | dt. На-
личие в интеграле Лапласа (1) дополнительного множителя
e~at, «гасящего» значения f(t) для больших значений аргумента,
расширяет класс оригиналов до функций, растущих на беско-
нечности не быстрее некоторой показательной функции, а это
условие практически вовсе не является стеснительным.
Если, в частности, показатель роста функции f(t) равен О
и в формуле обращения Лапласа можно принять а = 0, то пре-
образование Лапласа (1)—(2) отличается от преобразования
Фурье (6) — (5) только несущественными множителями перед
интегралами. В этом смысле можно говорить, что преобразо-
*) Для применимости преобразования Фурье достаточно, кроме условия
абсолютной интегрируемости функции g(I), потребовать еще, чтобы эта
функция была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изменение на
каждом конечном отрезке о&и Р, доказательство см., например, Смирнов,
т. II.
576
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД Н ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[88
ванне Фурье является частным случаем преобразования Лап-
ласа *).
Преобразование Фурье с точки зрения физики является бо-
лее естественным, чем преобразование Лапласа. Это объяс-
няется тем, что формулы (5) — (6) аналогичны формулам раз-
ложения функции g(j) в ряд Фурье:
ОО Т
g(0= 2 Gneinot, Gn~~^r g (t) e~inot dt
/!=-оо о
(T — период функции g(0; ср. формулы (20) —(21) п. 70).
В самом деле, формулу (5) можно рассматривать как разложе-
ние функции g(t) в непрерывный спектр простых гармонических
колебаний G(o)ei0t, частоты которых меняются не скачками,
как в случае рядов Фурье, а сплошным образом. Функцию
G(g), определяемую формулой (6), можно рассматривать как
аналог коэффициентов Фурье Gn, т. е. как комплексную ампли-
туду колебания с частотой о. Величина |G(o)| показывает, ка-
кова доля этого колебания в спектре колебания g(t), поэтому
функцию G(o) называют спектральной функцией.
На основании сказанного легко понять, что применение пре-
образования Фурье во многом аналогично применению преоб-
разования Лапласа.
В качестве примера рассмотрим в общих чертах задачу о безвихревых
движениях идеальной несжимаемой жидкости, происходящих под действием
силы тяжести. Для простоты ограничимся случаем плоских волн в жидкости
бесконечной глубины. Направим ось х горизонтально и перпендикулярно
гребням волн, а ось у — вертикально вверх и предположим, что равновесное
положение свободной поверхности жидкости совпадает с плоскостью у = 0,
а также, что в начальный момент свободная поверхность занимает равно-
весное положение.
Как известно из гидродинамики**), потенциал и = и(х, у, t) скорости
движения жидкости в этой задаче удовлетворяет уравнению Лапласа
условиям:
при у — 0, (8)
дх2
и следующим граничным и начальным
ди___________________________1_ д2и
"ду ~ g dt2
и = (х), = 0 при у = 0 и t — 0 (9)
*) Заметим, что в теории преобразования Фурье обычно не предпола-
гают, что g(0 равна нулю для отрицательных t и поэтому в формуле (6)
нижним пределом интеграла берут —°о, а не нуль. В теории преобразования
Лапласа иногда также отказываются от этого предположения и тогда при-
ходят к так называемому двухстороннему преобразованию Лапласа (см., на-
пример, Ван дер Поль и Бремер. Операционное исчисление на основе
двухстороннего преобразования Лапласа, ИЛ, 1953).
**) См., например, Кочин, Кибель и Розе, Теоретическая гидро-
механика, Гостехиздат, 1948, т. 1, стр. 399.
88]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
577
(второе условие (9) определяется нашим предположением, что при t = 0
свободная поверхность занимает положение у = 0).
Введем изображение по Фурье потенциала скоростей *)
е l0X dx\
ди
тогда, в предположении что и и стремятся к
д2и
получим, что изображением 2 служит — o2t/**),
(8) получим уравнение
нулю при |х|
мы
и следовательно, вместо
= 0.
dr/2
Решение этого уравнения,
стремящееся к нулю при
£7 = С (<т, 0 е|0|у,
у~+-—сю, имеет
вид
(Ю)
где С (a, t) = о- С
e~iox и интегрируя
откуда
другой стороны, умножая уравнение
по х от —оо до +°°, мы получим:
। 1 d2C
а С =--------—
g dt2 ’
(8) на
С (cr, t) = С[ (о) el z -)- с2 (a) _
(Н)
Но при у = 0 и t = 0 мы имеем:
= 1 (с. (а) - С2 (о)}
с2(о)=
и поэтому на основании второго условия (9) получаем, что ci(cr) =
= с(о). Но тогда на основании первого условия (9) при т/ = 0 и Z = 0 мы
будем иметь:
U = С (о, 0) = 2с (а) = Ф (а),
где Ф(о) —изображение по Фурье функции ср(х).
Таким образом, из (II) мы получаем, что С = Ф (cr) cos Vg | а | t, и по
(10) окончательно находим изображение решения
U — ф (с) cos Kg" | сг | Ze'o,y;
*) См. сноску *) па стр. 576.
**) В самом деле, интегрируя по частям, мы найдем, что в нашем пред-
положении изображение первой производной имеет вид
_1_ d»-icxdx = _>ueiax
/2л J дх /2л
г-— ие‘ах dx — iaU.
/2л •'
аналогично вторая производная — вид (1<з)2С.
578
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[88
чтобы найти само решение, достаточно воспользоваться формулой обраще-
ния Фурье (5)
ОО
« (х, у, 0 = __ [ Ф (a) cos Vg | а | do. (12)
V 2л J
— ОО
В общем случае вычисление этого интеграла затруднительно. Предполо-
жим для упрощения, что <р(х)=4б(х), где б—импульсная функция (фи-
зически это означает, что волны возникают под действием импульса, прило-
женного в начале координат). Тогда по свойствам интеграла от импульсной
функции мы находим, что Ф (о) — __________- А и из формулы (12) получаем
У 2л
при у = 0:
оо оо
и (х, 0, t) = cos Kg I a I telax do = — cos Кag t cos ox do
J Л J
— oo — oo
(мы отделили действительную часть и воспользовались четностью cos ох).
После некоторых преобразований (мы на них не останавливаемся) этот ин-
теграл выражается через интегралы Френеля (см. п. 73 пример 6)
и (х, 0, f) = -^-j/" {cos тС (т) + sin tS (т)}; (13)
2) Преобразование Меллина. Заменим в формулах
двухстороннего преобразования Лапласа*) (1) и (2) перемен-
ные р на —р и t на т = е(; эти формулы примут вид
оо $4-/оо
F(—р) = Г f(ln т) 7(1пт)=-я^т I F (— p)e~pinxdp.
0 S— Joo
Если еще положить /(1пт)==^(т) и F(—р) = G(p), то мы при-
дем к так называемым формулам обращения Меллина**)-.
оо S+*oo
G{p) = \ g(f)tp~ldf, g(t) = ^ j ^fi-dp (14)
0 s—too
(мы снова пишем t вместо т).
*) Двухстороннее преобразование Лапласа отличается от обычного тем,
что в формуле (1) интегрирование ведется от —оо до оо, а не от 0 до оо;
см. сноску на стр. 576.
**) Для применимости этих формул достаточна аналитичность G(p) в
ОО
полосе Si < s < s2, абсолютная сходимость интеграла J G (s + io) do
— ОО
для всех s из этой полосы и равномерная сходимость 0(5 + кг) к нулю при
|о’|->оо в любой более узкой полосе Si — б s s2 + б, б > 0; прямая
интегрирования во второй формуле должна принадлежать этой полосе (см.,
eel
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
579
Элементарно доказывается, что преобразование Меллина об-
ладает рядом свойств, аналогичных свойствам преобразования
Лапласа, например:
g(a/)^-^, /ag(/) = G(p + a),
S+(’oo (15)
f F{q)G(p-q)dq
s—i<x>
и др. Особо отметим теорему об изображении производной:
если предел g(/)/p-1 при t->0 и /-*-|-оо равен нулю, то*)
g'(/)H-(p-l)G(p-l); (16)
повторно применяя эту теорему, получим формулу для изобра-
жения старших производных. Простые изображения имеют про-
изведения ZAg(A)(0; интегрированием по частям мы получаем:
если g(t)tp\"~o = O, то
tg'(t)^-pG(pY, (17)
если, кроме того, g'(t)tp+' |“ = 0, то
t2g"(t)^(p+V)pG(p) (18)
и т. д. Последнее свойство можно использовать для решения
ь dkx
дифференциальных уравнении, содержащих члены вида г—
«И®
В качестве примера применения преобразования Меллина рассмотрим за-
дачу о стационарном тепловом поле в секторе |argz| < а, на сторонах
которого в точках, где |г| < а, поддерживается постоянная температура «о,
например, Курант и Гильберт [2] из литературы к гл. VII, т. 1,
стр. 95).
Можно формулировать условия применимости и в терминах функции
g(t): достаточно потребовать, чтобы эта функция была кусочно-непрерывной
и имела ограниченное изменение на каждом отрезке полуоси t > 0 и суще-
ствовали бы две постоянные st и Зз, si < Зз, такие, что интегралы
ОО
J g (О <s'-1 dt и J g (/) tSr~{dt абсолютно сходятся; прямая интегриро-
о
вания во второй формуле также должна принадлежать полосе si < s < s2
(см., например, Титчмарш [9], стр. 65). Иногда комбинируют эти типы
условий и выбирают, например, st из условия сходимости первого из напи-
санных выше интегралов, а s2 — как абсциссу ближайшей справа к прямой
з = st особой точки функции G(p).
*) Доказательство получается сразу интегрированием по частям
. оо оо
g' (О j g1 (0 tp~' dt = g (t) I” - (p - 1) j g (0 /Р-2 dt =
0 0
= — (p — 1) <7 (p — I).
580
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[88
а в тачках, где |г| > а, — температура, равная нулю. Задача ^сводится к ре-
шению уравнения;
,, , д2и ди д2и п
г- \и = г2 -—у- + г —-----р ~т—у = 0, -
dr2 dr dtp2
(19)
где А — оператор Лапласа в полярных координатах г, <р,
условиях
f и0 при г<а,
<р=±а | 0 При г>а_
при граничных
(20)
Совершим преобразование Меллина по переменной г; на
мул (18). и (17) мы получаем, что уравнение (19) переходит
дифференциальное уравнение
осповании фор-
в обыкновенное
Р^+^ = 0,
аф-
общее решение которого имеет вид
U = А (р) cos рф + В (р) sin pqp.
Граничные условия (20) после перехода к изображениям дадут:
а
У1<р=±а = f «ОГР-’ ^ = Ио-^,
о
следовательно, мы должны иметь:
ар
А (р) cos ра ± В (р) sin ра ~ и0 —
Отсюда находим
шения
А (р) = «о
ар
р cos ра
В (р) = 0 и получаем изображение ре-
U — и0
ар cos р<р
р cos ра
Само решение найдем по формуле обращения Меллина
s+ioo
Г ( а\р cos рф dp
2л( J \г ) cos ра р
s— i°a
Подынтегральная функция аналитична в полосе 0<Rep<l, ибо бли-
жайший к р=0 полюс подынтегральной функции лежит в точке р = >1,
если а<—, что мы и предположим. Следовательно, в последней формуле
в качестве s можно взять любое число, 0 < s < 1 *). Перейдя к пределу при
s —> 0, мы можем брать интеграл по мнимой оси плоскости р с обходом
точки р = 0 по малой полуокружности против часовой стрелки. При этом
обходе приращение интеграла будет равно вычету подынтегральной функции
*) Относительно выбора s см. сноску на стр. 578—579.
88]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
581
-в точке р = 0, умноженному на ш, т. е. равно ш, и мы получим:
ОО
___ и0 , и0 Г / а ch огр do
2 2ni J \ r ) ch oa o’
— OO
tt ( a\l°
тде интеграл понимается в смысле главного значения. Подставляя 1 — 1 =
'”1П7 / а\ . ( . а\
= е = cos I o’ In — I + i sin I o’ In — 1 и пользуясь четностью и нечет-
ностью соответствующих подынтегральных функций, найдем окончательно:
н0 , и0 Г . / , а \
Н = ~77--|-— Sin О In —
2 nJ \ г )
о
ch шр do
ch oa o'
(21)
3) Преобразование Ханк ел я. По аналогии с (1)
можно написать двумерное преобразование Фурье
G(a, т)
оо оо
= J J g(x, у) e~l(ax+xy) dx dy,
— оо —оо
S<x’ f
ОО
J G (о, т) е1 ^х+ху'> do dx.
—оо
Перейдем здесь к полярным координатам, положив x=rcosqp,
ty — r sinqp и ff = pcos0, T = psin0; будем иметь:
00 2л
G(p, 0) = -Л- | г dr | g(r, ф) e-^Pc°s№-0) dq,
J J
о о
оо 2л
g(r, ф) — j* р dp J G(p, 0) eirpcos(tp_9) d0.
о о
(22)
Положим, в частности, g(r, q) = e~in®g(r), где п — целое
число, и заменим в первой формуле (22) ф —• 0 ==-ту +/; поль-
зуясь известным свойством интеграла от периодической функ-
дии, получим тогда:
G(p, 0)
00 2л
+ 2 J J dt,
о о
582
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
[88
По формуле (15) п. 70 внутренний интеграл равен 2л/п(гр),
где Jn — цилиндрическая функция первого рода порядка п.
щ (0+—\
Поэтому, полагая G(p, 6)е v 2' = Grt(p), мы можем пере-
писать последнюю формулу в виде
со
Gn (р) = f g (г) ]п (rp) г dr. (23)
о
В новых обозначениях вторая формула (22) принимает вид
оо 2л
, , 1 f г / \ j f /|п(ф-0—±\+rpcos(<p-e)l
£ О') = J (р) Р J е 1 V 2 > МО;
о о
после подстановки 0 — <р = t —% внутренний интеграл снова
приводится к формуле (15) п. 70, и мы получаем:
g(r) = j Gn (р) Jn (гр) р dp.
о
(24)
Формулы (23) и (24) называются формулами обращения
Ханкеля порядка п (или иначе — формулами Фурье — Бессе-
ля)*).
Выясним вид формул для изображения производных при
рассматриваемых преобразованиях. По определению преобра-
зования Ханкеля порядка п
со оо
g' (г) = J Jn (гр) rdr = rg (г) ]п (гр) | — J g(r)-^r [rJn (гр)] dr
о г 0 о
(мы воспользовались формулой интегрирования по частям).
Предполагая, что внеинтегральный член равен 0 и пользуясь
формулой (22) п. 95, по которой J'n(rp) — Jn-i (гр)—^-/n(rp), мы
*) Для применимости формул обращения Ханкеля достаточно, например,
чтобы функция g(r) была кусочно-непрерывной и имела ограниченное изме-
нение на всяком конечном отрезке полуоси г > 0 и чтобы интеграл
ОО
J ё(г)Уг dr абсолютно сходился (см., например, Ватсон [7] из литера-
о
туры к гл. VII, стр. 502—510).
48]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
583
найдем:
^7 {<-Jn (Гр)] = Jn (Гр) 4- prJ'n (гр) = — («—1)4 (гр) + рг/п_! (гр)
И
оо оо
g' (г) = (« — 1) j g (г) Jn (гр) dr — pf g(r) Jn_t (rp) r dr.
о о
Интеграл во втором члене равен изображению Ханкеля порядка
п—1 функции g(r), которое мы обозначим Gn_i(p). Интеграл
в первом члене равен изображению порядка п функции g(r)fr,
но нам удобнее выразить его через изображения самой функ-
ции. Для этого воспользуемся рекуррентной формулой (23)
п. 95, по которой 1п [4-1 (П>) + 4+1 (гр)], и найдем
окончательную формулу
ё' (О^-Р (р) “ G„+I (р)]. (25)
Полученная формула достаточно сложна; еще более сложный
вид имеют формулы для изображения g"(r) и старших произ-
водных. Не выписывая этих формул, найдем изображение не-
которой комбинации функций g, g' и g". Предполагая, что
МО')Ai (ГР) 1<Г == 0, интегрируя по частям, получим:
оо оо
J* ^-Jn(rp)rdr = - J ^-±-[rJn(rp)]dr,
о о
следовательно,
/ (^ + 74f)/MpW'- =
О
оо
-^- rJ’n (гр) dr = р j g (г) [гIn (гр)] dr
О G
(мы еще раз проинтегрировали по частям и воспользовались
тем, что rg(r)J'n (гр) |“ = 0). Но согласно уравнению (1) п. 95,
которому удовлетворяет функция Jn(rp), имеем:
Р £ [г Д (гр)] = - (р2 - rJn (гр),
584 ГЛ, VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ (ЗЕ
следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде
ОО 00
/ (^~ + 7"^~~J^'s)Jn(-r^rdr==~p2 S gWArp) г dr.
о о
Таким образом, если rgr (г) Jn (гр) £° = rg (г) J'n (гр) £° — 0, то
g" (г) + j g' (г) - g (г) = - p2Gn (р). (26>
В частности, для преобразования Ханкеля нулевого порядка
имеем:
g"(r) + 4^(r)H-p2G(p), (27}
где
G(p) = G0(p). (28).
Комбинация производных, участвующая в левой части фор-
мулы (27), встречается в выражении оператора Лапласа в ци-
линдрических или полярных координатах. Поэтому преобразо-
вание Ханкеля и применяется главным образом в задачах, со-
держащих такое выражение.
В качестве примера рассмотрим классическую задачу о потенциале поля,,
созданного наэлектризованным плоским диском (Вебер). Задача сводится
к интегрированию уравнения Лапласа
д2и 1 ди д2и
dr2 + 7 ~)7 + 7г7 ~
(29)
где г — координата вдоль оси, перпендикулярной диску, при граничных усло-
виях
и |г=0 = «о Для 0^г<1,
ди
"dz
I =°
1г=0
при г > 1
(30)
(«о— постоянная, второе условие выражает симметрию поля относительно
плоскости г = 0).
Воспользуе.мся преобразованием Ханкеля нулевого порядка. Операторное
уравнение на основании формулы (27) записывается в виде
гг, , d2U л
-pt7 + -^7 = °’
где U — изображение функции и, а его общее решение — в виде
U = А (р) е рг + В (р) ерг.
В силу симметрии достаточно рассмотреть поле при г > 0; так как при
г->-|-оо потенциал должен стремиться к нулю, то В = 0 и по формуле
S8]
§ 2. ПРИЛОЖЕНИЯ
585
обращения Ханкеля (24)
ОО
и (г, 2) = j* А (р) е”р2/0 (гр) Р dp-
о
.Граничные условия записываются в виде
ОО
j А (р) Zo (гр) р dp = ий для 0<г<1,
О
ОО
J А (р) Jo (гр) р2 dp — 0 для г>1.
о
Сравнивая их с известными соотношениями *)
ОО
f sin р л
Ja (гр)--- dp= — для 0<г<1,
J Р 2
о
ОО
J Jo (гр) sin р dp = 0 для г > 1
о
мы видим, что обоим этим условиям удовлетворяет функция
Аф)^^-.
Учитывая единственность решения задачи (она ясна из физических сообра-
.женин), мы получаем окончательно:
ОО
. . Г —02 т f \ SIH Р « /л 1 \
u(r,z)=-— г pzJo(rp)-~dp. (31)
Л j р
о
4) Обращение одного контурного интеграла.
В заключение приведем пример формулы обращения несколько
иного типа. Такого рода формулы применяются при решении
дифференциальных уравнений посредством • контурных инте-
гралов.
Пусть функция g(z) аналитична в односвязной области D,
содержащей начало координат, и
<32>
где С — граница области D, N— положительное число и
fN
---2—— однозначная в области D с разрезом вдоль пути у,
*) См. формулы (9) и (10) п. 99.
586
ГЛ. VI. ОПЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
(88
соединяющего точки 0 и г, ветвь аналитической функции. Тогда
g(z) вполне определяется формулой
1
g(z) = / (зз>
о
Для доказательства предположим сначала, что точка z при-
00
надлежит кругу сходимости разложения Тейлора g (z) = 2 ckzk,
и деформируем контур С в контур с, также принадлежащий
этому кругу и охватывающий разрез у. Подставляя это разло-
жение в формулу (32) и интегрируя его почленно, мы найдем:
у ck Г lN+k^
(34}
Вычет подынтегральной функции в точке £ — оо находится
. / Z\-N
из разложения функции £Д1 —и равен
_ *(* + D ...(N + k) k+l _ _ Г + fe + 1) ,+1
(k + 1)! * Г (й + 2) Г (N) '
Так как интеграл в k-м члене формулы (34) равен этому вычету,
оо
умноженному на —2ш, то в разложении f (z) = 2 bkzk мы
fc=O
имеем:
f. ___ Г 4- fe -|- 1) __ А 1 о у /осу
^А+1 г (k 4- 2) Г (N) Ck № О, 1, 2, ...). (35}
С другой стороны, интеграл в правой части формулы (33) равен
оо
(/г + 1) bk+lzk
*=о
Л==о
оо
^ + 1
А=0
Г (* 4-2) Г (АГ) _
Г (N 4- k 4-1) Zk~
= CkZ>l S (*)
А=0
(для вычисления интеграла — так называемой бета-функции
Эйлера — мы воспользовались формулой (2) п. 90 и по формуле
(35) заменили bh+\ через ch). Таким образом, формула (33)
доказана, в принятом выше дополнительном предположении.
Чтобы доказать ее для всех z из области D, достаточно вос-
пользоваться аналитическим продолжением.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VI
587
Формулы обращения (32) — (33) были получены Макки*) и
использованы им для решения уравнения Эйлера — Пуассона, ко-
торое находит важные применения в газовой динамике.
Литература к главе VI
(1] А. М. Эфрос и А. М. Данилевский, Операционное исчисление и
контурные интегралы, ДНТВУ, 1937.
[2] А. М. Лурье, Операционное исчисление и его приложения к задачам
механики, Гостехиздат, 1950.
[3] X. Карслоу и Д. Егер, Операционные методы в прикладной мате-
матике, Гостехиздат, 1948.
[4] М. И. Канторович, Операционное исчисление и нестационарные яв-
ления в электрических цепях, Гостехиздат, 1953.
[5] К. А. Круг, Переходные процессы в линейных электрических цепях,
Гостехиздат, 1948.
[6] А. В. Лыков, Теплопроводность нестационарных процессов, Госэнерго-
из дат, 1948.
[7] С. И. Е в 1 я н о в, Переходные процессы в приемно-усилительных схе-
мах, Гостехиздат, 1948.
[8] Б. В. Б у л г а к о в, Колебания, Гостехиздат, 1954.
[9] Е. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат,
1948.
[10] И. Снеддон, Преобразование Фурье, ИЛ, 1955.
[11] В. А. Дит кин и А. П. Прудников, Интегральные преобразования
и операционное исчисление, Физматгиз, 1961.
[12] Я. Минусинский, Операторное исчисление, Иноиздат, 1956 .
[13] Г. Д ё ч, Руководство к практическому применению преобразования Лап-
ласа, «Наука», 1965.
[14] И. М. Гельфанд и Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия
над ними, Гостехиздат, 1958.
[15] Л. Шварц, Математические методы для физических наук, «Мир», 1965.
*) A. G. Mackie, Contour integral solutions of a class of differential
equations, J. Rational Meeh, and Analysis, 4, 5 (1955), 733—750.
Глава VII
Специальные функции
В этой главе мы рассмотрим основные, наиболее часто-
встречающиеся в прикладных задачах классы так называемых
специальных функций и главнейшие их применения. Многие из
этих функций (гамма-функция, цилиндрические функции, спе-
циальные многочлены Чебышева, Лежандра и др.) уже рас-
сматривались в предыдущих главах в качестве примеров, здесь
их свойства будут изложены более систематически.
Основными методами изучения свойств специальных функ-
ций в данном изложении будут методы, развитые в предыду-
щих главах. Однако многие важные свойства специальных
функций не связаны с теорией функций комплексного перемен-
ного, и нам придется затрагивать иногда вопросы, довольно да-
лекие от этой теории.
Целью настоящей главы является лишь общее ознакомление-
читателя с важнейшими свойствами специальных функций.
В приложениях к отдельным конкретным задачам приходится
иногда пользоваться свойствами значительно более детальными.
Не имея возможности на них останавливаться, мы отсылаем
читателя к литературе.
§ 1. Гамма-функция Эйлера
В большом числе формул анализа участвует впервые вве-
денная Л. Эйлером (1729 г.) функция «гамма» — в предыдущем
изложении мы не раз встречались с нею. Значение этой функ-
ции видно хотя бы из того, что она является естественным рас-
пространением факториала на дробные и даже комплексные
значения аргумента*). Это соображение мы и положим в-
основу определения гамма-функции.
89. Определение и основные свойства. Рассмотрим функцио-
нальное уравнение
f(z+V) = zf(z), (1)
*) Ср., например, формулу (4) п. 83.
?9] . § 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 589
которому для всех целых неотрицательных значений z = п
удовлетворяет функция
/•(«+!) = «! (2)
Будем искать аналитическую функцию f (z), удовлетворяю-
щую уравнению (1) для всех комплексных z и, для определен-
ности, равную 1 при г — 1 (условие /).
Прежде всего заметим, что искомая функция для любых це-
лых положительных п должна удовлетворять уравнению
f(z + n+ l) = (z + n)(z + n- 1) ...(z + l)f(z+ 1), (3)
которое получается повторным применением формулы (1).
Полагая в соотношении (3) z = 0, получаем, что для всех
целых положительных п значение f(n-f-l) совпадает с п\.
Заменив в (3) f(z 4- l) = zf(z) и переписав это соотношение
в виде
f (z) =____, (4)
1 [ > (z + n) (z + n- 1) ... z ’ w
мы видим, что искомая функция f(z) должна иметь полюсы во
всех целых неположительных точках г — —п (п = 0, 1, 2, ...).
В самом деле, при г—>—п числитель выражения (4) стремится
к 1, а знаменатель к нулю.
Из той же формулы (4) видно, что
(г + п) f (г) = _(_я) = , (5)
т. е. что все полюсы f(z)— первого порядка, причем вычет в по-
(—1)"
люсе z = —п равен .
Мы предположим еще, что f(z) не имеет других особенно-
стей, кроме z = 0, —1, —2, ..., и нигде не обращается в нуль
(условие II).
Тогда логарифмическая производная функции /(z-f-l):
ф(г + 1)=^_ inf(2+ 1) = £<£+!),
1 ' 1 ' dz 1 ' 1 f (z + 1)
будем мероморфной функцией, имеющей в точках z—— 1,—2,...
простые полюсы с вычетами, равными —1 (см. п. 23). Из фор-
мулы (3) логарифмированием и последующим дифференциро-
ванием получаем:
п
Ф (z + п + 1) = 2 + ф (z + 1).
*=1
590
ГЛ. VII, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
|89
Подставим здесь z = 0 и обозначим -ф (1) = —С:
п
ф(п+1) = 2|-С;
fe=i
вычитая полученное равенство из предыдущего, найдем:
п
1)^=-С-ЕЬтпг-т} + *(* + " + D-*(" + О- (6)
й=1 4
Ряд с общим членом
. 1 1 1 —Z
Uk(Z)~ z + k k ~' k2 £ ’
1 + k
очевидно, сходится при любом z =/= —k (k = 1, 2, ... ), ибо от-
ношение его общего члена к члену сходящегося ряда \/k2 стре-
мится к конечному пределу — z. Кроме того, в любой ограни-
ченной области, начиная с некоторого k, имеем |izft(z) | ^M/k2,
где М — некоторая постоянная, следовательно, этот ряд схо-
дится равномерно. Таким образом, по теореме Вейерштрасса
оо
п. 16, сумма ряда У uk (z) представляет собой функцию, ана-
fe=i
литическую во всех конечных точках, кроме точек z — —k
(k — 1, 2, ...), где она имеет полюсы первого порядка с вы-
четами, равными —1.
Перейдем в формуле (6) к пределу при п—>оо; по только
п
что доказанному существует предел 2iUk(z), следовательно,
k=i
существует и предел ф(г + n + 1)— ф(/г-|-1), который мы обо-
значим через фо (2). В пределе будем иметь:
оо
^(z+l) = -C-2{7±T-|} + +oW. (?)
fe=l
Так как по доказанному f(z+l) имеет в точках z——k
(k = 1, 2, 3, ...) полюсы первого порядка, то главные части
ее логарифмической производной ф(г-|- 1) в этих полюсах
равны —- г_р£- (см. п. 23). Отсюда следует, что функция фо(г)
должна быть целой. Очевидно, что и обратно, какова бы ни
была целая функция фо(г), функция f(z), определяемая по
своей логарифмической производной ф(г), будет удовлетворять
условию II.
89]
§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
591
Условие I налагает на функцию ф0(г) дополнительное огра-
ничение. В самом деле, из функционального уравнения (I) ло-
гарифмированием и дифференцированием получаем следующее
уравнение для функции ф(з):
ф(г-ф 1) —ф(г) = у. (8)
Но из равенства (7) следует:
Ф (2 + 1) — ф (г) =у + фо(2) — фо(2 — b
(постоянная С и все слагаемые, кроме первого, при вычитании
сокращаются), поэтому для того чтобы удовлетворялось соот-
ношение (8), функция фо (г) должна быть периодической с пе-
риодом 1, т. е. фо(г) = фо(г—1). Обратно, для любой такой
фо (г) функция ф(г) будет удовлетворять уравнению (8) и, инте-
грируя и дифференцируя последнее, найдем:
In f (z + 1) — In f (z) = In z + A,
где A—некоторая постоянная. Если функция f(z) удовлетво-
ряет еще условиям f(l) = f(2) = 1, то, подставляя в последнее
уравнение z= 1, найдем А = 0, т. е. после потенцирования по-
лучим функциональное уравнение (I).
Таким образом, для любой целой периодической с перио-
дом 1 функции фо (г) соответствующая функция f(z) (если для
нее f (1) = /(2) 1) удовлетворяет обоим условиям I и II.
Иными словами, условиям I и II удовлетворяет целый класс
мероморфных функций. Простейшую из функций этого класса
мы получим, если положим в (7) фо(г)==О— она и называется
гамма-функцией Эйлера и обозначается символом Г (г).
Для логарифмической производной гамма-функции имеем,
следовательно, разложение
оо
^(2+1) = -С-2{Дт-1}. (9)
. /?=1
где С — постоянная, которую мы сейчас определим. Интегрируя
разложение (9) вдоль некоторого пути, соединяющего точку
z = 0 с произвольной точкой z #= k (k = —1, 2, ...) и не со-
держащего точек k, получим разложение логарифма гамма-
функции:
оо
lnr(z+l) = -Cz-2{ln(l+f)-|}. (Ю)
fe=i1
592 ГЛ- VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (89
Постоянная С определяется условием Г(2)=1, которое мы
наложили выше на гамма-функцию*). Подставляя в (10) z= 1,
получим:
оо ( п п )
fe=l (*=I й=! J
-r-r 2 3 n + 1 . ,
Последнее произведение равно, очевидно, “ • у • • • " п = «+1;
добавляя в сумму, стоящую под знаком предела, стремящийся
к нулю член га р и заменяя еще п + 1 через п, получим окон-
чательно:
(п \
V 4- — in п). (п)
/
Эта постоянная носит название постоянной Эйлера-, ее прибли-
женное значение равно 0,5772157**).
Из формулы (10) потенцированием получаем представление
функции -г-..- в виде бесконечного произведения
г (z 1)
ОО
<|2>
fe=l
Полученное бесконечное произведение сходится для всех ко-
нечных г, для z =£ —k (k = 1, 2, 3, ...) это следует из доказан-
ной сходимости ряда (9) и теоремы п. 72, а для z = —k непо-
средственно видно, что оно сходится к нулю.
Перечислим основные свойства гамма-функции, которые мы
получили при ее определении:
1) Г(г) аналитична всюду, кроме целочисленных отрица-
тельных точек и точки z — 0.
2) Г (г) удовлетворяет функциональному уравнению
Г (г + 1) = гГ (г), (13)
или более общему
Г (г + п + 1) = (г + п) (г + п - 1) ... (г + 1) Г (г + 1). (14)
3) При всех целых положительных z — n значение Г(/г+ 1)
совпадает с п\\
Г («+!) = «!. (15).
*) Второе условие Г(1) =1 имеет место при любом С в силу нашего
выбора начала пути интегрирования (ср. разложение (10)).
**) Постоянная Эйлера С встречается и в других вопросах.
89]
§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
593
4) Все полюсы гамма-функции первого порядка, причем вы-
чет Г (г) в полюсе z = — п равен ' (п = О, 1, 2, .. .).
Из сходимости произведения (12) заключаем:
5) Функция ----целая, следовательно, гамма-функция
не обращается в нуль.
Свойства 3)—5) выясняют общий характер графика функ-
ции Г(х) действительного аргумента х. Этот график изображен
на рис. 192*) пунктиром на том же рисунке изображен график
г ; у На рис. 193 приведен также рельеф гамма-функции, т. е.
1 (X)
поверхность с уравнением
и = |Г(г)|. Ярко выражен-
ные пики над точками z—О,
— 1, —2, ... соответствуют
полюсам. Два семейства
линий на поверхности пред-
ставляют собой семейства
Линий равного модуля и
равного аргумента, цифро-
вые отметки на них указы-
вают значения модуля и ар-
гумента (последние — в гра-
дусах).
Приведем еще несколько
свойств гамма-функции. На-
ряду с соотношением (13)
во многих вопросах полезно
еще второе функциональное
уравнение для гамма-функ-
ции:
6) Для всех комплекс-
ных z
Г (г) Г (1 —• z) =(16) Рис- 192.
(при z — п, п — 0, ±1, ±2, ..., обе части равенства обра-
щаются в бесконечность).
*) Максимумы и минимумы Г(х) для отрицательных х приближаются
к нулю при —оо, это связано с тем, что по свойству 4) вычет, т. с.
коэффициент при главной части разложения Г(х) в окрестности точки
х = —п, сильно убывает с ростом п:
г (х) = ---, + Со + Ci (х + п) + ....
ft; X “f- <1
594
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[89
Для вывода этого соотношения подставим сначала
Г(г+ 1) = гГ(г) в формулу (12), получим:
оо
гЬ- = г<йпт = “СгП(1+1)е-г'*- <17>
&=1
затем заменим в той же формуле (12) z на —г:
---!---= е~Сг П (1 —ег>к
Г(1—г) е 11V 1гГ •
А=1
Перемножив полученные произведения (это законно в сиду их
абсолютной сходимости, см. п. 72), найдем:
1
г (г) Г (1-2)
Остается воспользоваться разложением sinnz в бесконечное
произведение (см. п. 72), и мы получим искомую формулу (16).
Рис. 193.
Отметим некоторые следствия полученных формул. Полагая
z= 1/2 в формуле (16), находим Wyj —я> откуда
89J $ I. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА 595
Применив теперь формулу (14), в которой положено z=—1/2.
найдем:
гН4М"->-4)-Ж
1-3-5 ... (2л-1) (2м)1Кл ,.о.
=-------2й---- V Л =---4^.-• <18>
Полагая в (16) z=n+y, будем иметь:
Г(п+т)Г(-п + т)- / П 1\
sin (n + I л
откуда по (18) получим формулу, которой мы уже пользова-
лись в п. 83:
г(—п + у) = (—1) j ,3.5 __ (2п _ j) /л =(— 0 Т2п)Г
Остановимся на интегральных представлениях гамма-функ-
ции, которые также использовались в предыдущих главах.
7) Для всех z из правой полуплоскости
Г(г) = j е~Чг~{ dt, (20)
о
где интегрирование производится по положительной полуоси t
(Эйлер).
Для доказательства прежде всего заметим, что интеграл
(20) сходится для всех г, для которых х = Re z > 0. В самом
деле, \e~tf~'\ = e~t+{x~')hlt = e~ltx~l, и мы видим, что при
t —»• оо сходимость интеграла (для любого х) обеспечивается
множителем г(, а при t—*0 подынтегральная функция имеет
порядок tx~l, так что для х > 0 интеграл будет сходиться.
Далее, рассмотрим еще функцию
п
ц (0=4(1
о
вводя здесь новое переменное интегрирования х = tin и при-
меняя затем формулу интегрирования по частям, находим:
1 1
f„(z) = nz J (1 — х)п xz~x dx = ^-п J (1 — х)п~' хг dx
о о
596
ГЛ: VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[89
(проинтегрированная .часть исчезает). Повторив этот прием, до
тех пор, пока не исчезнет множитель (1—т), получим:
1
fn (2) = —i—, п -----------гг f Tz+ra_1 dx —
1 п ' ' г (г + 1) ... (г + п — 1) J
о
____________ nznX_____________ ег1пга
z (г + 1) ... (z + п — 1) (г + п.) п
Л1('+т)
Й=1
Умножим числитель и знаменатель полученного выражения на
гг
-2 -у « _Л_
е fc=1 =][ е /г, тогда найдем:
^=1
(п \
ы 4
k=} к}
-------------•
гП('+т)'“"*
л=]
Перейдем теперь к пределу при /г->оо; на основании формул
(11), (12) и (13) получим:
1. г / \ 1 Г (z 4-1) _/ \
hm fn (z) =-------------------=---------= I (г).
П -> ОО ТПГ / \
/г=1
С другой стороны, так как (1 — — I при п->оо, то есте-
ственно ожидать, что
П оо
. Пт (2) = Пт Г (1 — -Г dt = f е~Чг~х dt (21)
и —АЛ И —ПЛ -V \ Н" / V
и тогда формула (20) будет доказана. Для доказательства по-
следнего соотношения мы воспользуемся неравенством *)
0<e-i_(l при Q<t<n. (22)
*) Непосредственным дифференцированием по t проверяется формула
t
t
Г т I2
причем интеграл в правой части заключен между On \ е‘ — dx — е'
о
отсюда и вытекает неравенство (22).
Л9]
'.ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
‘597
Оценим, разность между предполагаемым пределом и fn(z):
п оо
Д = J [е-*-(1 / e~itz~1dt.
О п
Е) силу сходимости интеграла (20) для любого фиксированного
£ > 0 найдется такой номер п0, что при п > п0
оо
j е~Чг~' dt
п
оо
п
dt<,^.
о
(23)
Фиксируем этот номер п0 и для любого п > п0 представим Д
в виде
«о . .
А = j [e-i — tz~l dt +
о
’ _ П оо
+ J [e~‘ - (1 - (г-1 dt + J е~Чг-{ dt.
n& n .
Для оценки первого слагаемого воспользуемся неравенством
(22); получим:
«о
0
По
< f tx+' dt,
j
о
откуда видно, что при достаточно больших п (и фиксирован-
ном п0) это первое слагаемое по модулю не превосходит
Для второго слагаемого имеем:
п
п
По По
dt < Г е~Чх~х dt<^
оо
По
(мы отбросили вычитаемое и увеличили интервал интегриро-
вания, а затем воспользовались неравенством (23)). Модуль
третьего слагаемого при любом п > п0 не превосходит и,
следовательно, | Д | < е. Соотношение (21) доказано, а значит,
доказана и формула (20).
Из интегрального представления Эйлера (20) выше*) были
получены следующие
*) См. п. 74 формулы (12) и (15).
'598
ГЛ. VH. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
г»в
8) интегральные представления гамма-функции во всей, пло-
скости (X а и к е л ь):
г(г'~-7жЬтрчг’«.
с
ТйГ = 2лГ I d^'
с*
(24)
(25)
Здесь С и С* — контуры, указанные на рис. 165 и 166. Фор-
мула (24) представляет мероморфную функцию Г(г), как отно-
шение двух целых функций (ср. п. 72); формула (25) пред-
ставляет целую функцию
1
Г (г) ’
9) В заключение приведем полученную
готическую формулу для гамма-функции
для больших положительных х
нами в п. 77 асимп-
(Стирлинг):
Г(х+1) = /2лх (-^)*{1 + 0(|)}.
(26)
90. Примеры. Дополнения. В качестве первого примене-
ния гамма-функции мы приведем вычисление так называемого
эйлерова интеграла первого рода*), или бета-функции, кото-
рая для Re z > 0, Re w > 0 определяется соотношением
1
В (z, w) — | т— (1 —- т)“’-1 dx (1)
о
(интеграл (1) в наших предположениях, очевидно, сходится).
Для вычисления интеграла (1) мы воспользуемся операцион-
ным методом.
Рассмотрим несколько более общий интеграл
t
/ T^1R-T)'8'-1rfT = (f-1*r-1),
а
который является сверткой функций tz~l и tw~l (см. п. 81) и
при t— 1 дает B(z,w). По теореме умножения (п. 81) изобра-
жением этой свертки является произведение изображений В-1
и tw~l, т. е. по формуле (6) п. 83
^z-l . . Г (г) Г (w) _ Г (г) Г (и>)
V *t -------
*) Введен Л. Эйлером в статье, опубликованной в «Комментариях Пе-
тербургской Академии наук*, 1772 г.
96]
§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
599
С другой стороны, так как Г (г) Г (да)— постоянная, то ориги-
нал правой части можно найти по той же формуле (6) п. 83:
Г (г) Г (да) . чп, v
— т= Г (г) Г (да)---------------.
pz+w v v Г (г + да)
По теореме единственности изображений получаем, следова-
тельно,
Лг-1 * ^ш-1\ Г (г) Г (да) ^г+ю-1
' ' Г (г + да) 1
Полагая здесь t= 1, получаем искомое выражение В (г, w) че-
рез гамма-функцию:
B(z, да)=Г(г)£(а,) (2)
Между прочим, заметим, что формула (2) дает аналитическое
продолжение бета-функции, определенной интегралом (1) лишь
для Rez>0, Re да > О, на всю комплексную плоскость значе-
ний Z И W.
К эйлеровым интегралам сводятся различные, часто встречающиеся в
анализе интегралы. Приведем несколько примеров:
1) Интеграл
| (1 — х)Р (1 + х)« dx (р > — 1, q > — 1)
-1
подстановкой х. = 2Z—1 приводится к виду 2в+«+’ В(р + 1, <?-Н) и по
формуле (2) он равен:
J(1 -x)pa + ^dx = 2p+?+1-r(p+^^ + l). (з>
-1
2) Интеграл
I
j dx (p,q,rn>0)
о
подстановкой хт = t приводится к ~ Следовательно, по фор-
муле (42) он равен
Г хр~1 (1 - хт)4 dx = ~----(4>
О \т ГЧ)
«оо
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(90
3) Интеграл
Л/2
J sinp_| ср cosQ-1 <p dtp
о
подстановкой sin ср = х приводится к интегралу, вычисленному в примере 2)
4) Полагая в предыдущем примере р — 1 = г, q — 1 = — г (— 1 < г < 1)
получим, в частности:
Л/2
Но по второму функциональному уравнению для гамма-функции (формула (16)
г, _г ( 1 + г \ г f 1 ' + г \ п _ _
п. 89) Г -g- Г ~2- =Г -^-jr =, т. е.
cos—-
Я/2
ftgr<prf<p=—(6)
о 2 cos
5) К гамма-функции сводится после подстановки In — = t интеграл
1 оо
| 1пр -1- dx = J е“^р dt = Г (р + 1).
о о
(7)
6)
ерам
К эйлеровым интегралам сводятся также
при значении модулей k = k'
1
/2
(см.
полные эллиптические инте-
п. 39):
л/2
Е
Л/2
-!/
1------sin2 ср dtp.
2
Действительно, подстановка
из них к виду
cos q> = t, а затем t* = т приводит первый
1
1
2/2
1 3 .
Г т 4 (1—т) 2 dt
о
1__
2/2
(8)
90]
§ 1. ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
601
аналогично
4/2
7) Для 0< Re z< 1
°© niz
J /г-|е~‘7 dt =Г (z) е 2
о
(9)
(Ю)
Действительно, рассмотрим интеграл вдоль замкнутого контура,,
показанного на рис. 194:
Л rl
/Г'<с^=1 + 1 + / + /=о
С Cr г Ск Ri
(он равен нулю по теореме Коши). Так
как при Re z = х < 1 величина | /-| | s/
стремится к нулю при /?—>оо, то по
лемме Жордана (п. 73, формула (2)) инте-
грал вдоль Ск также стремится к нулю
при R—>оо. С другой стороны, при % > 0
интеграл вдоль Сг стремится к нулю при г->
0, ибо по теореме
xj Y 1 JTZ" JT Y
об оценке интеграла его модуль не превосходит г*-1 ~2—~2г •
Таким образом, в пределе при г->0 и 7?->оо мы получаем:
Г (г) = j f !е г dt — J (it)z 1 е ai dt = e 2 J tz 'e lt dt,
oo о
откуда и вытекает искомая формула. Полагая в ней, в част-
ности, z=\/n, п> 1, и затем заменяя ti/n = x, находим:
оо оо
<• J ] f ...
tn e~‘tdt = n е~‘х>г dx = Г (—)е 2п ,
J J \ п)
о о
откуда, отделяя действительные и мнимые части, получаем
интеграл:
оо оо
f cos хп dx = — Г (—) cos f sin хп dx = — Г (—'j sin-^- (11)
J n \n } 2n J n \n) 2n ' '
о о
(при n = 2 получаем известный нам результат, см. п. 73,
пример 6).
602
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(90
В заключение приведем несколько соотношений, в которых участвует
•гамма-функция.
1. Интеграл Раабе. Вычислим интеграл
1
Ro = J In Г (П dt.
о
Заменяя t на 1 — I, можем написать:
1
рй= j In Г (I — 0 dt
о
и тогда, складывая это выражение с предыдущим и пользуясь вторым функ-
циональным уравнением для гамма-функции, получим:
1 1 л
2R0 — I In Г (0 Г (1 — 0 dt = I In - . d/ — In л-- I In sin x dx.
J J sin In nJ
oo o
Последний интеграл вычисляется простой заменой переменной х — 2а (Э й л е р):
л л/2 л/2 л/2
I = J In sin х dx — 2 J In sin 2« da — n In 2 + 2 J In sin и du + 2 J In cos « du\
о 0 .0 0
я
второй из полученных интегралов после замены и = v----переходит
л
в J In sin о do, и объединяя его с первым, находим I = n In 2 + 27, откуда
Л/2
I — — л In 2. Таким образом,
1
Ro — J In Г (0 dt = -i- In л + In 2 = In V2л.
о
Раабе рассмотрел более общий интеграл (а 2^0)
а+1 а+1 а
R(a)~ j tn Г (I) dt = J - J .
a 0 0
Так как Rz.(a) = In Г (a + 1) — In Г (a) = In а, то интегрированием находим
R (a) = a (In a — 1) + С. Полагая здесь a — 0 и учитывая, что R (0) = Ro =
— In )z2n, найдем окончательно:
a 4-1
R (a) = J In Г (!) dt = a (In a — 1) + In У2л. (12)
a
2. Формула Лежандра. Рассмотрим интеграл
1 1
В (г, г) = | тг“1 (1 - т)г-1 dx = 11 у — 0т - т) } dx.
о о 1
se)
J 1. ГАММА ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА
603
Так как парабола a —(——т | симметрична относительно прямой т = 1/2,,
4 \ А )
то можно написать:
’А
в(г’2)=2dT-
о
1 1 1/г
откуда после замены -у — т = — У t получаем:
1
В(«.,)_ A j ,
Заменяя здесь бета-функцию ее выражением (2) и вспоминая, что Г j «
найдем так называемое третье функциональное уравнение для гамма-функ-
ции (Л е ж а н д р):
Г(2)г(2 + 1) = -Д-Г(22). (13>
3. Формула Эйлера. Вычислим величину произведения
где п — любое положительное число. Для этого напишем произведение
в обратном порядке
£ = г/”_ ~ U г ('Л_~7 2Л ... г(—)
\ п ) \ п ) \п/
и перемножим оба выражения. Объеденив каждую пару множителей, с по-
мощью второго функционального уравнения получаем:
£2 = —5_________5____...______5_______=_____. (14>
sin— sin 2 — sin (я— !)— ттг я
п п ' п I I sin k —
к=\
Для вычисления произведения синусов рассмотрим тождество
гп - 1 = (г - 1)
2 — е
п
(ср. корни я-й степени из 1), откуда
и в пределе при г -> 1 найдем
*=1
604..
ГЛ. VIL. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Г9Р
= 1). Переходя в правой части к абсолютным
’ • 2я kn ' ' ! •.•••
(ср. производную zn в точке г
величинам и учитывая, что
/гл о •
а= 2'SltI
П
е
будем иметь:
п
ik —
1 п
1 — е
п—1
п
L Я
sin k---
п
Подставляя это в соотношение (!4), получаем формулу (Эйлер)
п
V п
(15)
§ 2. Ортогональные многочлены *
91. Ортогональные системы функций. Во многих задачах ма-
тематической физики встречаются разложения функций в так
называемые обобщенные ряды Фурье. Напомним основные по-
нятия, связанные с такими разложениями.
Рассмотрим семейство действительных функций действитель-
ного переменного х, заданных на фиксированном интервале
(а, &), быть может, неограниченном. Мы предположим, что эти
функций ' кусочно-гладки и обладают лишь точками разрыца'
1 рода. По аналогии с векторной алгеброй введем понятие ска-
лярного произведения функций семейства.
В векторной алгебре скалярным произведением векторов
а = {а\, а2, ..., ап} и Ь = {6Ь Ь2, ..., Ьп} называют сумму про-
изведений их одноименных координат
п
(a, b) = S akbk.
fe=i
В соответствии с этим, рассматривая функции f(x) и g(x) как
векторы с бесконечным множеством «координат» (значений этих
функций в отдельных точках интервала (а, Ь)), их скалярным
произведением называют «непрерывную сумму произведений
одноименных координат», т. е. • . •
ь
(f, g)-$f(x)g(x)dx. (1)
а . • ,
Также по аналогии с векторной алгеброй вводятся и другие
понятия. Нормой («длиной») функции /(г) называют квадрат-
Bi]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ: МНОГОЧЛЕНЫ
6(W
ный корень из ее скалярного квадрата: -
llfll=/(f, f) = )/ (2)
а
Введенные понятия обладают и некоторыми свойствами, анало-
гичными обычнЫм.'Например, очевидно, что в наших' предполо-
жениях ||f||= 0:в том и только в т'ом случае, когда f(x);= О' (мы
не учитываем значения функций в точках разрыва, которые йе
оказывают влияния на ||f||). Известное из анализа неравенство
Буняковского — Шварца
можно трактовать как свойство скалярного произведения
I(f, g)KllfIl-Uli ' (3)
и т. д.
Функции f(x) и g(x) семейства называются' орюгональ-
ными, если их скалярное произведение равно нулю:
h .
(f, g) = f f (x) g (x) dx = 0. (4)
a
В соответствии с этим и система функций {фп(л:)} называется
ортогональной, если два любых ее представителя ортогональны
друг другу:
(фт, ф„) — 0, если m =£ п.
Эта система называется, кроме того, нормированной, если
нормы всех функций, ее составляющих, равны 1.
Введенные определения распространяются и на функции
действительного переменного х, принимающие комплексные
значения, если под скалярным произведением таких функций
понимать вместо интеграла (1) интеграл
ь
(f, g) = \f(x)g (х) dx, (5)
а
где g(x) обозначает функцию, которая принимает значения,
комплексно-сопряженные с g(x). При этом, правда, теряется
свойство симметрии скалярного произведения: очевидно,
(Л g) = (ш1).
606 ГЛ. VH. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ |9f
Скалярный квадрат функции остается неотрицательным:
ь
(f, /)= Jlf(x)Mx>o,
а
и понятие нормы вводится без изменений; также без изменений
вводится понятие ортогональной и нормированной системы.
Простейшим примером ортогональной системы является си-
стема функций
Фп (х) = einax (п — 0, ±1, ±2,...).
Эта система ортогональна на произвольном интервале длины
Т — 2л/(о. В самом деле, при п имеем (а — любое действи-
тельное число):
а+Г
Г Цт-п)к>а
(фт. Фп) = J el^-^*dx = =
а
Система не нормирована, ибо
Га+Т
11ф„|| = ]/ J |ег^Мх=/г,
а
но ее легко нормировать, разделив все функции на /Т.
Ортогональные системы функций особенно удобно приме-
нять для разложения по ним других функций. В самом деле,
пусть функция f(x) представлена равномерно сходящимся ря-
дом по функциям ортогональной системы {фп(х)} (п — 0, 1, 2,...):
f (х) = софо(х) + с]ф1(х) + ... +СпФ„(х)+ ... (6)
Пользуясь свойством ортогональности, легко определить все
коэффициенты ряда. Для определения коэффициента сп мы
умножаем обе части представления (6) на <рп (х) *) (отчего ряд
не перестает равномерно сходиться) и интегрируем по основ-
ному промежутку (а, Ь):
h оо Ь
J f (х) фп (х) dx = Q J Фа (х) ф„ (х) dx.
а к=0 а
*) Если система {фп(х)} состоит из действительных функций, то
фп (х) = фп (х).
911
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
607
В силу ортогональности системы все интегралы справа, кроме
одного, для которого k = п, исчезнут, и мы получим:
ь
j f (х) <p„ (х) dx — сп || ср„ |р,
а
откуда
ь
Сп = ТфЬр I dx
а
(мы предполагаем, что система {фДх)} не содержит функций,
равных тождественно нулю).
Ряд вида (6) называется обобщенным рядом Фурье функ-
ции f(x) по ортогональной системе {фп(х)}, а формулы (7) для
определения его коэффициентов называются обобщенными фор-
мулами Фурье. Для рассмотренного выше примера системы
фп(х) = е<п®х (п = 0, ±1, ±2, ...) ряд (6) совпадает с обыч-
ным рядом Фурье, записанным в комплексной форме,
f(x) = У cneinax,
(см. п. 70), а формулы (7) — с обычными формулами Фурье
г
С"=Т J f(x)eims>xdx.
о
Для дальнейшего изложения важную роль играет так на-
зываемая ортогонализация системы функций, т. е. замена функ-
ций системы фп(х) такими их линейными комбинациями фп(х),
которые образуют ортогональную систему. При доказательстве
возможности ортогонализации мы будем предполагать, что си-
стема {фп(х)} линейно независима. Это так же, как в вектор-
ной алгебре, означает что ни одна из функций системы не мо-
жет быть представлена как линейная комбинация каких-либо
других функций той же системы.
Теорема об ортогонализации. Какова бы ни была
линейно независимая система функций {фп(х)} (« = 0,1,2, ...),
всегда можно построить функции (х), которые являются ли-
нейными комбинациями фДх) и образуют ортогональную нор-
мированную систему.
В качестве функции ф$(х) мы возьмем
’1’о(х) = 1 фо(Д
608
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[91
так как система {фп (х)}— линейно независима, то она не может
содержать функций, тождественно равных 0 *), следовательно,
|| ф01| #= 0. Выберем теперь постоянную так, чтобы функция
ф1(х) = ф1(х) — а10ф°(х)
была ортогональной к ф“; имеем (фр ф°) = (фр ф°) — а10, следова-
тельно, достаточно взять а10 = (фр ф°). Функция (х) не может
тождественно равняться нулю, ибо тогда ф! (х) линейно выража-
лась бы через фо(х), что противоречит условиям теоремы. Сле-
довательно, в качестве ф°(х) мы можем принять
После этого берем функцию
Ф2 (х) = ф2 (х) — а20ф° (х) — а21ф° (х)
и подбираем постоянные а20 и а21 так, чтобы ф2 была ортогональной
ф« и ф». Так как (ф2, ф°) = (ф2, ф°) - а20 и (ф2, ф°) = (ф2, ф°) -‘а21,
то для этого достаточно выбрать а20 = (ф2, ф°), а21 = (ф2, ф°).
Функция ф2 (х) не может оказаться тождественно равной нулю,
ибо тогда ф2 (х) оказалась бы линейной комбинацией ф0 и фр
следовательно, можно взять
Наше построение можно продолжать неограниченно. Если функ-
ции фд(х), ф°(х), .... ф°_](х) уже построены, мы берем
% М = ф„ (х\~ 20 апЛ (8)
гДе ank = (фп> и затем
Система (ф°(х)] и есть искомая.
Замечание 1. Из нашего построения видно, что не только
все ф° (х) являются линейными комбинациями ф0, фр ..., фга, но и,
наоборот, фга (х) являются линейными комбинациями ф°, ф°, ..., ф”.
Отсюда следует, что любая функция фй (х) ортогональна всем
функциям ф£+р Ф^+9, или, иначе, что любая функция ф°(х)
ортогональна ф0(х), ф] (х), ..., фя_](х).
*) Функция ср(х) =0 всегда выражается линейно через другую:
ф(х) = 0ф(А).
91] § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 609
Замечание 2. В некотором смысле имеет место единствен-
ность ортогональной системы: если функция ф(х) является ли-
нейной комбинацией <р0, фь ..., ф„ и ортогональна ф0, Фь •.
фп-ь то она может отличаться от ф°(х) только постоян-
ным множителем. В самом деле, пусть
п п
1|).(х)= 2₽йфа(х) (9)
#=0 k—Q
(здесь согласно предыдущему ап=/=0). Рассмотрим функцию
^(х) = Ф(х)-^ф«(х);
она, очевидно, линейно выражается через функции фо, фь ...
..., фи-i (ибо разложение ее по ф& уже не содержит ф„) и
ортогональна всем этим функциям. Но отсюда вытекает, что
V (х) = 0, т. е. что ф (х) = ф° (х).
В заключение укажем обобщение понятия ортогональности,
которым мы будем пользоваться ниже (мы ограничиваемся
случаем действительных функций). Система функций {фп(х)}
называется ортогональной с весом р(х) на интервале (а, Ь),
если для любых двух функций системы
ъ
j фт(х)фп(х)р(х)б/х = О (т #= /г). (10)
а
Здесь р(х) — «вес» — фиксированная неотрицательная функция,
непрерывная на интервале (а, Ь). При р(х)=1 мы получаем
обычную ортогональность.
Теорема об ортогонализации легко обобщается на случай
ортогональности с весом. Очевидно, Для того, чтобы ортогона-
лизировать с весом р(х) систему функций {фп(х)}, достаточно
ортогонализировать в обычном смысле систему функций
{/рМ ф„ (х)}. При этом функции, получающиеся в результате
ортогонализации, будут представлять собой произведения
]/р(х) на линейные комбинации функций фл(х). Система таких
линейных комбинаций
Ф°(х) = 2 а„Л(х) (11)
окажется ортогональной с весом р(х).
Пусть некоторая функция f(x) разложена в равномерно схо-
дящийся ряд
!(х)=^спц>п(х) (12)
rt=o
610
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[92
по функциям ортогональной с весом р(х) системы {фГ((х)}. Для
определения коэффициентов такого разложения мы будем иметь
вместо (7) формулу
1
6
f f (х) ф„ (х) р (х) dx,
(13)
где dn— «взвешенная норма» функции ф„(х):
dn = J Ф* (х) р (х) dx .
а
(14)
Для вывода формулы (13)' достаточно умножить разложе-
ние (12) на фп(х)р(х), затем почленно проинтегрировать его
и воспользоваться ортогональностью с весом системы {фп(х)}.
92. Ортогональные многочлены. Выберем некоторый интер-
вал (а, Ь) и применим описанный в предыдущем пункте про-
цесс ортогонализации с весом р(х) к системе степеней х:
Фп(х) = хп (п = 0, 1, 2, ...), которая, как известно, линейно
независима. В результате для каждого фиксированного интер-
вала (а, Ь) и фиксированного веса р(х) мы получим вполне
определенную систему многочленов {qn(x)}, нормированную и
ортогональную на {а, Ь) с весом р(х). Из формулы (11) сле-
дует, что каждый многочлен q°n(x) имеет степень п.
Наиболее употребительными являются следующие системы
ортогональных многочленов *):
Интервал Вес Обозначение Автор
(-1.1) 1 Рп (х) Лежандр
(-1-1) 1 V \ -X2 tn (х) Чебышев
(-1,1) (1 - х)х (1 + х)и Л, р>-1 р{п' W (X) Якоби
(—оо, оо) е~х2 hn (х) Чебышев — Эрмит
(0, оо) Хке-х х>-1 (х) Чебышев — Лагерр
*) Многочлены рп(х) были введены в 1785 г. Лежандром; многочлены
/п(х), hn(x) и 1п(х) = /0 (х) —П. Л. Чебышевым в 1859 г. (в работе «Во-
просы о наименьших величинах, связанных с приближенным представлением
функций», опубликованной в мемуарах Петербургской академии наук), кроме
того, многочлены hn(x) изучал Эрмит в работе 1864 г., а 1п(х)—Лагерр в
работе 1879 г. Многочлены Лежандра и Чебышева являются частным слу-
чаем многочленов Якоби (1859 г.)—первые при Л = р = 0, вторые при
7 = р — -1/2.
92] § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 611
Отметим некоторые свойства ортогональных систем много-
членов. Через q°n(x) мы будем обозначать многочлены, принад-
лежащие произвольной, но фиксированной ортогональной и
нормированной системе, через Qn(x)— многочлены, отли-
чающиеся от q°n(x) произвольным постоянным множителем
Qn(x) = dnq<>n(x),
где dn — взвешенная норма Qn(x). Выражение «произвольный
многочлен» будет означать многочлен с произвольными коэф-
фициентами, вообще не принадлежащий рассматриваемой си-
стеме.
Из замечания 1 предыдущего пункта непосредственно вы-
текают следующие теоремы:
Теорема 1. Произвольный многочлен степени п может
быть представлен как, линейная комбинация многочленов Q0(x),
•••» QnW-
Теорема 2. Многочлен Qn(х) ортогонален с весом р(х)
произвольному многочлену степени ниже п.
Имеет место также следующий общий факт:
Теорема 3. Многочлен Qn(x) на интервале (а, Ь) имеет
в точности п различных корней.
Для доказательства рассмотрим интеграл
ь
j Qn(x)p(x)iZx = 0 (I)
а
— он равен 0, ибо Qn(x) по теореме 2 ортогонален с весом
р(х) многочлену нулевой степени х° = 1. Так как по принятому
выше условию вес р(х)—неотрицательная функция, то из ра-
венства (1) вытекает, что Qn(x) не может сохранять на всем
интервале (а, Ь) постоянный знак.
Пусть Qn(x) на интервале (а, Ь) меняет знак m 1 раз
в точках X], х2...хт. Рассмотрим многочлен степени т,
Rm(x) = (х — Xi) (х — х2) ... (х — хот);
очевидно, произведение Qn(x)Rm(x) должно сохранять на (а, Ь)
постоянный знак, следовательно,
ь
J Qn(x) Rm{x)p(x)dx Ф 0. (2)
а
С другой стороны, если т < п, то по теореме 2 многочлен
Qn(x) должен быть ортогональным с весом р многочлену
Rm(x) и интеграл (2) должен равняться 0. Отсюда следует,
что т = п и теорема доказана.
612
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(92
Для произвольной системы ортогональных многочленов
можно получить и рекуррентную формулу, связывающую три
последовательных многочлена Qn-i, Qn и Q„+i. Предположим
сначала, что система нормирована. По теореме 1 произведение
xq°n(x), которое является многочленом степени нф-1, может
быть представлено как линейная комбинация 7°, ....
п+1
xq°n(x)^ 2 cnkqak(x). (3)
к—О
По формуле (13) предыдущего пункта для коэффициентов
этого разложения имеем:
ь
cnk = J* хЯп (*) W Р Wdx- (4)
а
Но если k <_ п—1, то х</° (х) — многочлен степени ниже п и
по теореме 2 тогда cnh — 0. Таким образом, в соотношении (3)
могут быть отличными от 0 только три последних коэффициента
fn, п—1» Сп, п И Сп> п+1*
Обозначим через а°п — коэффициент при старшей сте-
пени х в выражении q°n(x). Сравнение в тождестве (3) коэффи-
циентов при xn+l дает а^ = сп п+1а°+1, откуда
п. п + 1 0
ап+1
Но из формулы (4) видно, что cnk = ckn для любых а и k, сле-
4-.
довательно, = с„_1>п = -5Г-,
ап.
рекуррентную формулу
(х) = q°n+l (х) + cnnq°n (х) 4
и мы получаем искомую
о
... а. ... _**У«1Д (5)
«п+1..............................ап
Коэффициент спп легко выразить через коэффициенты Ь°п при хп~1
в выражении (х) — сравнивая в (5) коэффициенты при хп,
а°
получим b°n = -~-ba+i-{-сП1гал, откуда
ап+1
_ °п _ °п+\
Спп ~~ а°
ati ап+1
(6)
42] § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 613
Чтобы перейти к случаю произвольной ортогональной си-
стемы многочленов {Q„ (х)}, не обязательно нормированной,
достаточно заметить, что
=== dn,an.t bn == dnbriy
где dn — взвешенная норма многочлена Qn(x).
Пользуясь этими выражениями после простых преобразова-
ний формул (5) и (6), получим следующую теорему:
Теорема 4. Любые три последовательных многочлена
ортогональной системы связаны рекуррентным соотношением
xQn (*) = Q„+1 (х) + Qn (*) + ^ (A)2
an + l \O-tl ап + 1/ ап —
Таким образом, зная коэффициенты ап и Ьп при двух стар-
ших степенях Qn(x), мы сможем последовательно определять
эти многочлены. Подсчет коэффициентов для конкретных си-
стем мы проведем в п. 93, где и получим окончательные соот-
ношения.
Для получения дальнейших свойств ортогональных много-
членов мы предположим, что вес р(х) удовлетворяет дифферен-
циальному уравнению
р' _ а0 + ajx ______а (х)
Р Po + PjX + PjX2 Р(х) ’ w
где р(х) имеет своими корнями концы а и b интервала, на ко-
тором ортогональна (с весом) рассматриваемая система мно-
гочленов, и условиям на концах интервала-.
р(х)₽(х)|х=а ь = 0. (9)
Заметим, что этим условиям удовлетворяют все перечислен-
ные выше, специальные классы ортогональных многочленов*).
а) Многочлены Лежандра-, р' = 0, следовательно, уравне-
ние (8) удовлетворяется при a(x)=s0; для выполнения (9)
достаточно принять р(х) = 1 — х2. Таким образом, для много-
членов Лежандра
а = 0, ₽=1- х2. (10)
б) Многочлены Чебышева-. р'= .-7=^=^- — , следовательно,
(V 1—х2) 1—х2
а — х, р= 1 — х2. (11)
Условие (9) удовлетворяется.
*) Можно доказать, что этими классами и исчерпываются многочлены,
ортогональные с весом, который удовлетворяет условиям (8) иД9).
614
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[92
в) Многочлены Якоби: — = ------— = -—х ,
' Р 1 + X 1 — X 1— X2
следовательно,
а = (ц — Л) — (ц А.) х, р = 1 — х2; (12)
при Я.>— 1, ц > — 1 условие (9) удовлетворяется.
г) Многочлены Чебышева—Эрмита: £- = —• 2х, следовательно,
а = — 2х, 0=1; (13)
условие (9) удовлетворяется, ибо р = е-х!->0 при х—>±оо.
д)Многочлены Чебышева — Лагерра:^—^— , следовательно,
a = Z — х, р = х; (14)
условие (9) удовлетворяется при К >—1.
Оказывается, что ортогональные многочлены удовлетворяют
линейным дифференциальным уравнениям второго порядка
с переменными коэффициентами, к которым часто приводят
различные физические задачи*). Мы получим дифференциаль-
ное уравнение для произвольной системы ортогональных мно-
гочленов, удовлетворяющей условиям (8) и (9).
Пусть Qn(x)— произвольный многочлен системы, ортого-
нальной с весом р(х) на интервале (а, Ь) и не обязательно
нормированной. Интегрированием по частям получаем
ь ь
I = J [0 (х) р (х) Q'n (х)]' xk dx = xk [₽pQn]& — k J x^-’PpQ; dx;
a a
в силу условия (9) первый член справа исчезает, и интегрируя
еще раз по частям (xfe"IPp = w, Q'ndx = dv), получаем:
ь
I=-k [x*-'₽pQ„^ + k f Qn [(£ - 1) xft-2pp 4- x*-'p'p 4- x^-’pp'J dx.
a
Пользуясь опять условием (9) и заменяя в силу (8) 0р' = ар,
будем иметь:
ь
I = k\qnp I(fe - 1) х*-20 4- (Р' 4- а)] dx.
а
В квадратных скобках под знаком интеграла здесь стоит не-
который многочлен степени k, ибо 0 — многочлен второй сте-
*) Это обстоятельство и делает понятным значение ортогональных мно-
гочленов для приложений.
92] § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 615
пени, а Р' + а — первой степени. По теореме 2 мы заключаем
отсюда, что при k = 0, 1, 2, ..., п—1 этот интеграл равен 0.
Вспоминая начальное выражение I, получим, что при
fe = 0, 1, ..., и—1
ь ь
/== J (рШ + Pp'Qn + PpQ»)xMx= J I(a-bp') Qn-bPQn]
a a
(мы снова воспользовались уравнением (8)). Последнее равен-
ство означает, что многочлен n-й степени, стоящий в квадрат-
ных скобках, который по теореме 1 есть линейная комбинация
<2о, <21, •••, Qn, ортогонален с весом р всем степеням xh для
k = 0, 1, ..., п—1. Так как система {Q„} получена ортогона-
лизацией с весом р степеней {хп}, то по замечанию 2 предыду-
щего пункта мы можем заключить отсюда, что этот многочлен
отличается от Qn лишь постоянным множителем
(а + р') Q'n (х) + PQ" (х) = ynQn (х). (15)
Для определения множителя уп достаточно сравнить в (15)
коэффициенты при хп; обозначая через ап коэффициент при
старшей степени Qn и вспоминая обозначения, введенные
в условии (8), будем иметь (cti + 2$2)пап -|- р2м(/г—\)ап —
= упап, откуда
Yn = «l«i + (« + 1)Рг]. (16)
Таким образом, доказана
Теорема 5. Для любой системы многочленов {Qn(x)},
ортогональных с весом р(х), удовлетворяющим условиям (8)
и (9), многочлен Qn(x) является решением линейного диффе-
ренциального уравнения С переменными коэффициентами
РУ" + (а + Р')/ = (17)
где уп определяется формулой (16).
В качестве примеров приведем дифференциальные уравне-
ния, которым удовлетворяют специальные многочлены. Из фор-
мул (10) — (14) и уравнения (17) имеем:
а) многочлены Лежандра
(1 — х~) у" -—2ху' + «(//ф-1) z/ = 0 (18)
б) многочлены Чебышева
(1 — х2) у" — ху' 4- п2у = 0; (19)
в) многочлены Якоби
(1—х2) У" + {н—А,—(11 4~ + 2) х} у' 4- п (р. + А4-«+1) У — 0; (20)
616 гл. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ [93
г) многочлены Чебышева — Эрмита
у" — 2ху' + 2пу = 0; (21)
д) многочлены Чебышева — Лагерра
ху" + (Л — 1 - х) у' + пу = 0. (22)
93. Выражение через вес. Производящие функции. Мы по-
прежнему будем рассматривать произвольную систему много-
членов {Qn(*)}, ортогональную на интервале (а,Ь) с весом
р(х), удовлетворяющим условиям
р' Cto + ctiX _ Ct (х) / чд, ,, _П
Р — Р0 + М + Р2Х2 Р(х) ’ Ь °- (О
и не обязательно нормированную. Для таких систем оказы-
вается возможным получить формулу, непосредственно выра-
жающую многочлен Qn(x) через вес р(х) и функцию ₽(х).
Имеет место
Теорема 1. Для любой системы многочленов {Qn(*)}> ор-
тогональных с весом р(х), удовлетворяющим условиям (1), мно-
гочлен Qn{x) представляется в виде
Qn(x) = An-^-^r{p(x)^(x)}, (2)
где Ап — постоянный коэффициент, зависящий от нормировки
многочленов.
Для многочленов Лежандра эта формула была доказана
Родри гом (1814 г.), аналогичные формулы получены и для
других специальных многочленов. Мы приведем вывод этой фор-
мулы, который нам сообщил И. Г. Араманович.
Докажем прежде всего, что выражение
(3>
представляет собой многочлен /i-й степени. Имеем:
= рГ + pfl"-= pff-’Qn, I.
где Qn, i — а + пР' — многочлен первой степени (мы воспользо-
вались дифференциальным уравнением (1)). Аналогично
(pPT = (p₽n-IQn. 1)' = рГ-и,2>
где Qn, 2 = [а + (п — 1) 0'] Qn, j + i — многочлен второй сте-
пени.
ед § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 617
Имея в виду применение метода полной индукции, предпо-
ложим, что справедлива формула
(ррТ = (p|3n-*+1Qtt, ъ-iY = 9?>n~kQn. k, (4)
где
Qn. k= [a + — £ 4~ 1) P'] Qn, k~i + PQ«, (5)
—многочлен fe-й степени. Тогда снова используя уравнение (1),
получим:
(р,вТ+1) = №~kQn, k)' = {[« + (n - k) ₽'] Q„, k + ₽Q', a}.
Мы видим, что эта формула содержит в себе формулы (4)
и (5), записанные для k-j- 1. Таким образом, по принципу пол-
ной индукции можно утверждать, что (4) и (5) справедливы
для всех k= 1, 2, ..., п. Заметим, что (4) остается в силе и
для k — 1, если считать Qn, о 1-
Формулы (4) и (5) для k — п дают
(ppT -pQa>
где
Qn — Qri, П ~ (“ + Qn, re-1 + PQre, re-1
— многочлен /i-й степени. Отсюда и вытекает утверждение о вы-
ражении (3).
Покажем теперь, что многочлен Q,n ортогонален с весом р
любой степени xk (k = 0, 1, ..., п—1). Для этого будем по-
следовательно Применять формулу интегрирования по частям
к интегралу
ь ь
h = J *kQnP dx — j xkd „-J,
a a
пользуясь все время формулой (4) и условием (1) для рр. На
(k— 1)-м шаге получим:
ь
==(—/ xd (pP*Qn, (6)
а
а на fe-м
ъ
/й = (-1)^! p(pPft+1Qn. = 0.
а
Последняя формула имеет место для k = 0, 1, 2, .... п—1
(при k = п—1 мы считаем Qn,o= 1), и ортогональность до-
казана.
618
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[93
По замечанию 2 п. 91 мы можем теперь утверждать, что
многочлен Qn отличается от ортогонального многочлена Qn лишь
постоянным множителем: Qn — AnQn, а это и дает искомую
формулу (2).
Как уже отмечалось, величина коэффициента Ап зависит от
нормировки многочлена. В частности, например, многочлен Qn
нормирован так, что Ап = 1. Найдем коэффициент ап при
старшей степени такого многочлена. Для этого сравним сна-
чала коэффициенты при старшей степени х в формуле (5):
ап. k — Iai 4~ (2n — k 1) Рг] ап, fe-i-
Отсюда получаем:
ап = ап,п = [«j 4- (n + 1) ₽2] [«1 4- (п 4- 2) fe] ... [04 4- 2гар2] й„, 0,
где ап о=1. или короче
2п
а„= П (ai4-fep2)- (7)
fe=zt+l
Совершенно аналогичным образом найдем и коэффициент
при хп-1 в выражении многочлена Qn:
2п-1
4’п = п(«о + «Р1) JJ («1 + k^2) = -^^^nan*). (8)
fc=n+l
В качестве примеров отметим значения ап и Ьп для специаль-
ных многочленов, нормированных так, что в формуле (2) коэф-
фициенты Ап= 1.
Для многочленов Якоби a = (ц — А,) — (ц. 4~ Л) х, 0 = 1 — х2,
следовательно:
2п
= (-1)" П № + „ + 4) - (- !)• , (9)
k=n±l
ибо в силу функционального уравнения для гамма-функции
(см. (14) п. 89)
Г (г 4- 2п 4- 1) = (z 4- 2n) (z 4- 2п — 1) ... (z 4- п 4-1) Г (z 4- га 4- 1)
и
= п Л + [х + 2п = (—0" (^ — н)« г +\); • <10>
*) Для получения формулы (8) нужно сравнить коэффициенты при хк~1
в формуле (5), что дает
bn, k = [«j + (2n — k) р2] Ьп, k-i + («о + пр,) ап, k-i
(обозначения аналогичны предыдущим), и затем последовательно применять
эту формулу, начиная от on,i = ao4-nPi до тех пор, пока не получится
п — Ьп; при этом надо пользоваться полученными выше выражениями
для an, а.
93J
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
619
Из формул (9) и (10), в частности, получаем для многочленов
Лежандра (Z = ц = 0):
й„ = (-1)я^-; Ьге = 0, (11)
и для многочленов Чебышева (Л = ц = —1/2):
а« = (-1)п *„ = о. (12)
Для многочленов Чебышева — Эрмита (а= —2х, 0 = 1) имеем:
ап — (—1)п2п; Ьп~0, (13)
а для многочленов Чебышева — Лагерра (а = Л — х, р = х):
ап = (-!)"; Ьп = (- 1Г+1 (X + п)п. (14)
Найдем теперь взвешенную норму Зп многочлена Qn. Имеем:
ь ь ь
dn = j QnP dx = J (anxn 4- ...) Q„p dx = an j xnQnp dx,
a a a
ибо no теореме 2 предыдущего пункта Qn ортогонален с весом р
любому многочлену степени ниже п. Применяя теперь фор-
мулу (6) для k=n и интегрируя по частям, находим:
ь
3\ — {—l)nnlan^ pfin dx,
а
или окончательно
Зп = У(-1)пн!апдп, (15)
где
ь
6n=JpPndx (16)
а
— величина, определяемая весом р и функцией р.
Зная Зп и ап, нетрудно определить коэффициент а°п при
старшей степени нормированного многочлена qQn (х) = Qn (х):
п dn V п! Ъп-
Для многочленов Якоби формула (16) дает:
1
Ъп = f(l- х)Х+ге (1 + xf^dx = 2?'^+2-+ir «+J) +»+Л
J 1 {А, *г ЛЛ “Г 4)
620
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(93
(мы воспользовались формулой (3) п. 90). На основании (9) и
(17) получаем тогда
/ <д2 _______1_________Г (Л Н~ ц 4~ 2п + 2) Г (Л + Ц 4~ 2п 4-1) ,.
(%) — 2х+ц+2п+1я! г (Л + п + 1) Г (g + n+ 1) Г (Л + ц + п+ 1) ’ u 7
В частности, для многочленов Лежандра и Чебышева отсюда,
соответственно, получаем:
(19)
Для многочленов Чебышева — Эрмита и Чебышева — Лагерра,
соответственно,
бп— j e~x2dx — Ул, 6п = j е~ххк+п dx — Г (Л -ф п -|- 1),
— оо О
и на основании (13) и (14) получаем:
(О’-.ТТСТУИГ- <20>
В литературе обычно рассматриваются ненормированные
ортогональные многочлены Qn(x). Для того чтобы однозначно
определить эти многочлены, достаточно, очевидно, задать, кроме
веса и интервала, величины их старших коэффициентов ап. Со-
храняя принятые выше обозначения, будем иметь:
Qn(x) = AnQn(x)^dncfn(x),
откуда, сравнивая старшие коэффициенты, найдем:
bn = Anbn = dnb°n. (21)
Так как коэффициенты ап и а°п найдены выше, то, зная ап, мы
можем определить отсюда Ап и dn- Приведем эти величины для
специальных многочленов.
93]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
62 И
Многочлен Обозна- чение ап dn Ап
Лежандра Рп W (2/г)! 2 (—ip !— 1 ' 2пп\
2rt(n!)2 2п+ 1
Чебышева тп(х) 1 Л / 1 n ~~ QI ' 1 (2п-1)!
22П-1
Якоби Р«’*} (X) 1 Г(Х+ц+2п+П 2^+и + ' Г(Л+«+1)Г(ц+п+1) (_|у>—!— 1 ? 2пп\
2%) Г(А + ц+п+1) п!Г (Л+ц+rt+l) (А+р + 2/i+l)
Чебышева — Эрмита Ип (х) 2п 2”п! /77 (-1/
Чебышева — Лагерра (-1)" п!Г(Л + п+ 1) 1
Зная Ап, мы можем записать формулу (2) для всех этих
многочленов. В качестве примера выпишем ее для многочленов
Лежандра
(!-«’) (22)
(она совпадает с известной формулой Родрига) и для много-
членов Чебышева— Лагерра
(х) = х~кех (e-xxK+n) (23)
(она часто служит определением Ln} (х)).
Далее, зная коэффициенты ап, dn и Ьп (последний опреде-
ляется из (21) через Ап и найденные выше 5„), мы можем за-
писать в окончательной форме рекуррентные соотношения для
таких многочленов (см. формулу (7) предыдущего пункта):
а) многочлены Лежандра
хРЛх) = ^^Рп+Лх)+ 2^ТР«-1(х)’ П>1; (24)
б) многочлены Чебышева
хТ„(х) = 7’„+1(х)4-1т’„_1(х), /г>2*); (25)
*) При п < 2 формулы имеют несколько иной вид:
xTj = Т% + — То + —, хТо—Ту
622
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[93
в) многочлены Якоби
(v 4- 2л) (v + 2п 4- 1) (v 4- 2п 4- 2) хР%’ц) (х) =
= 2(n4-l)(v4-n4-l)(v4-2n) P^’W +
4-(ц2-л2)^4-2п4-1)Р(п’и)М4-
4- 2 (X 4- п) (IX 4- «) (V 4- 2п 4- 2) р№ (Х), (26)
где v = Z 4- ц;
г) многочлены Чебышева — Эрмита
хНп(х) = ^Нп+1(х) + пНп.{(х), п>1; (27)
д) многочлены Чебышева — Лагерра
xL^ (х)= -£Й, (х) 4- (Л4- 2п +1) * (х) - п (А 4- п) L(^ (х), 1
, (2о)
п > 1. >
В заключение покажем, что многочлены ортогональной си-
стемы можно рассматривать как коэффициенты разложения
в ряд Тейлора некоторой аналитической функции, которая на-
зывается производящей функцией многочленов этой си-
стемы *).
Как нам сообщили И. Г. Араманович и Н. И. Кожевников,
производящую функцию можно получить для любого семейства
многочленов, ортогональных с весом р, удовлетворяющим
условию (1). Мы следуем здесь их изложению.
Для простоты мы рассмотрим многочлены Оп, нормирован-
ные так, что в формуле (2) все коэффициенты Ап = 1. Назовем
производящей функцией семейства {Qn| функцию двух комплекс-
ных переменных z и w, определяемую соотношением **)
¥ (г, да) = да".
л=0
(29)
Преобразуем выражение (29), пользуясь формулой (2) и
формулой Коши для высших производных. Мы имеем:
= 1 у wn dn (pPn)___________1 у Г р (?) (?)
р (z) ^4 n! dzn р (z) Ju nl 2л/ J (? —z)"+1 ®’
n—0 n=0 C
*) В n. 70 мы уже приводили примеры определения многочленов с по-
мощью производящей функции.
**) Радиус сходимости ряда (29), расположенного по степеням W, зави-
сит, конечно, от значения г. В предыдущем изложении Qn определялся для
действительных значений аргумента, но так как Qn — многочлен, мы можем
считать его определенным во всей комплексной плоскости.
93]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
623
где С — замкнутый контур, охватывающий точку t, = z и ле-
жащий в области аналитичности' функции р (£)₽"(£) Меняя
в последней формуле порядок суммирования и интегрирования
и суммируя полученную геометрическую прогрессию, мы полу-
чаем:
оо
W(Z t^ = J____L Г pЮ.
' ’ ' p (z) 2ni J £ — z \ t, — z ) ® p (z) 2л/ J £ — z — аф (£) ’
C n—0 C
наши преобразования законны, если для всех £ на кривой С
шр (?)
модуль знаменателя геометрической прогрессии мень-
ше 1, а это всегда будет для достаточно малых | w |. Знамена-
тель подынтегральной функции представляет собой многочлен
второй степени относительно £, причем при малых |ш| один
корень этого многочлена — мы обозначаем его — близок
к точке £ = z, а другой велик по абсолютной величине. Умень-
шая в случае надобности контур С, мы можем считать, что
второй корень лежит вне этого контура. Тогда подынтеграль-
ная функция имеет внутри С лишь один полюс первого порядка
g = с вычетом
г Р
1 — 1 -№₽'(£«-) ’
Применяя теорему Коши о вычетах, мы получаем оконча-
тельно:
Теорема 2. Для любой системы {СЦх)} многочленов,
ортогональной с весом р(х), удовлетворяющим условию (1),
существует производящая функция W(z, ©) такая, что
00 ~
Чт (2, w) = w"- (29)
n=Q
Эта функция определяется формулой
Ч' (z, w) = -j- , р(Ь4-у. (30)
' ’ ' р (z) 1 — аф' (U) v ’
где означает тот корень квадратного уравнения
?-г-шр(0 = 0, (31)
который при малых w близок к £ = z.
Приведем несколько примеров.'
1) Многочлены Лежандра. Уравнение (31) принимает вид,
— (zH-. ®) = 0, откуда
i 1 + /1+4даг + 4ш2)
624
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(знак перед корнем выбирается с учетом того, что при малых
|w| должно быть £w«z), и по формуле (30) мы получаем:
“° ~
W (г, да) = .. 1 . = У wn.
V 1 + 4шг + 4ai'2 п 1
Заменяя Рп = -т— Рп = 2пп! (— 1)" Рп и w на — , получим окон-
/Irt 2
чательно
—- = у Рп (г) ып, (32)
V 1 — 2гш + w2
п=0
что совпадает с формулой (8) п. 70.
2) Многочлены Чебышева — Эрмита. Уравнение (31) имеет
вид £ — z — w = 0 и по формуле (30)
оо ~
ЦТ (Z, w) = = е-^2+^ = wn.
Р 2 и=0
Заменяя Нп = {—\угНГ1 и w на — w> получаем:
оо
(33)
п~ О
3) Многочлены Чебышева — Лагерра. Уравнение (31) имеет
вид £ — w — = 0 и по формуле (30)
-х 00
W (Z, W) =.... V,.- = У (34)
(1 — сг’Г+ п! ' '
' ' n=0
94. Примеры. Приложения. 1) Многочлены Лежандра
играют важную роль в теории потенциала. Рассмотрим в про-
странстве притягивающую точку Р массы 1, находящуюся на
расстоянии а от начала координат О. Потенциал этой массы,
вычисленный в точке М, которая отстоит от начала координат
на расстоянии г, имеет вид:
) MP + г2 — 2ar cos ф *
где ф — угол между ОР и ОМ. Положим t = a/r, х — cos <р,
тогда
V (М) = 1 - 1 1 ---•
' /1-2^Ф+4 +
94)
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
625
и если разлагать правую часть в ряд по степеням перемен-
ного t, то согласно формуле (32) предыдущего пункта коэф-
фициентами такого ряда будут служить многочлены Лежандра:
00
V(M) = 1^ P„(x)Z". (1)
п—О
При действительных х, —1 х 1, это разложение сходится
при |/|< 1, т. е. при г > а. В самом деле, для таких х корни
квадратного уравнения t2— 2xt -j- 1 = О, Л, 2 = e±i<f,(x—cos ф),
которые являются особыми точками V, рассматриваемой как
функция t, и лежат на единичной окружности.
2) Рекуррентные формулы для многочленов
Лежандра. Кроме основной рекуррентной формулы
хР- W = 2^ТТ Рп~'(х) + Йт &
для многочленов Лежандра можно получить и другие формулы,
связывающие Рп(х) различной степени. Прежде всего, диффе-
ренцируя разложение
. -L......=У р n(x)tn (3)
К1 - 2xt + Р ~
п=0
по х, находим:
......1 = (1 - 2xt 4- t2) У р; (X) tn,
/1 - 2xt + Р V V ’
n=0
откуда, пользуясь снова разложением (3) и сравнивая коэф-
фициенты при одинаковых степенях t, получаем вторую рекур-
рентную формулу
Рп (х) = Рп+1 (х) — 2хР'п (х) 4- Pn-i (х). (4)
Дифференцируя (2) по х и исключая из полученного соотно-
шения и формулы (4) производную PnU), получим третью ре-
куррентную формулу
(2л 4- 1)Р„(х) = Р^+1 (х)-Р;_( (х). (5)
3) Интегральные представления многочле-
нов Лежандра. По формуле Родрига (22) предыдущего
пункта имеем:
1 нп
626
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[94
Пользуясь формулой Коши для старших производных из п. 17,
находим отсюда первое интегральное представление
р ы = —L- I
2г+,ш J (g- x)n+J
с
(6)
где С — замкнутый контур, окружающий точку х. Пусть, в част-
ности, х— действительное число, | х | < 1, а С — окружность
с центром в точке х и радиуса У1 — х2, тогда, полагая £ — х =
— У1 — х2 еа, найдем t2 — 1 = 2 У1 — х2 elt (х -j- i sin t У1 — х2)
и, следовательно,
2Л
Рп М [ (х ф- i sin t У1 — х2)пdt.
О
Так как слева и справа здесь стоят аналитические функ-
ции х, то последнее равенство, полученное нами для действи-
тельных х, |х| <_ 1, справедливо и для всех комплексных зна-
чений х. Кроме того, легко видеть, что sin t в нем можно за-
менить на cos/, а интеграл от 0 до 2л — удвоенным интегралом
от 0 до л. Мы получим второе интегральное представление мно-
гочленов Лежандра (Лаплас):
Л
₽п(х)=-^ J(x + Z V1 — x2cost)n dt. (7)
О
Заменим здесь х -ф1 У1 — x2cos/ = £, тогда dt = -r=^==
К /1-2х£ + £2
и линией интегрирования в плоскости £ будет служить верти-
кальный отрезок, соединяющий точки х -ф i У1 — х2 — е‘ф,
х — i УI — х2 = е~г<₽, так что
Ра(*) =
ei<?
L Г
л J /1 - 2х£ + £2 ’
е-»Ф
По теореме Коши этот отрезок можно заменить дугой окруж-
ности |£|=1, на которой £ = е‘е, — тогда получим:
ф ф —\ fi
J_ Г eHn+D6de t f / V +2>l ae
11 у 1 - 2xe10 + e216 л/2 _j /cos0 - x
Заменяя здесь x — coscp и отделяя справа действительную часть,
находим третье интегральное представление многочленов
94]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
627
Лежандра (Дирихле):
I р COS (fl + y) ®
Рп (COS ф) = -р=- J /cos0_ co - .
-ф
(9)
4) Асимптотические формулы для многочленов
Лежандра. Будем рассматривать в интеграле (8) вместо 0
комплексное переменное £ = з + га и по теореме Коши заменим
отрезок интегрирования (—<р, <р) трехзвенной ломаной I+II+III
(рис. 195), получим:
л/2Р„(со5ф)= J+ / + р (Ю)
1 п in
на отрезке II, где £ = s + 1Н, модуль подын-
тегральной функции
н
е 4 '
Kcos £ — COS ф
-t
е ______________
К| COS g I — I cos ф I
Рис. 195.
и стремится к нулю при Н->оо, следовательно, j —>0 при
п
Н-+ОО', на отрезках / и III имеем £= + <p4~za, d'C = ida.
Переходя к пределу при Я->оо, получим из (10):
iZ_n , ч e~^)ado
л у 2Pn (cos ф) = te ' 2'
у V cos (ф — zn) — cos ф
— te
“ -(n+v)a
С ' ? (11)
J У cos (ф + its) — cos ф
Для приближенной оценки интегралов при больших значе-
ниях п воспользуемся методом перевала п. 77. Для больших п
функция е (л+2)а ИМеет весьма крутой пик в точке а = 0,
причем наикрутейшим является спуск, для которого а прини-
мает действительные значения, так что путь интегрирования не
нужно деформировать. Наличие множителя / —-1- —
У cos (ф т io) — cos ф
перед е 4 2' лишь усугубляет пик в точке о = 0. В самом
деле, cos (ф ± га) — cos <р = +2 sin(<p ± -y-j sin-у-, и модуль этого
628
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[94
множителя
______________1_____________
У' cos (<р ± io) — cos <р
____________1___________
J/S sh у | sin ± / |
стремится к бесконечности при о—>0 и убывает со скоростью
показательной функции при и—>оо.
Таким образом, главную часть интегралов (11) при боль-
ших п можно вычислять, ограничиваясь лишь малым интерва-
лом интегрирования 0 < о < h, на котором
__________1__________
Ycos (<р ± io) — cos <р
____________1_____________
у4 + 2 sin <р •
. л
--
— р 2
У sin <р
С той же степенью точности можно сохранить и оставшуюся
часть (h, оо) интервала интегрирования, ибо при больших п
функция е 4 все равно принимает на ней весьма малые
значения. Мы получим тогда для первого интеграла фор-
мулы (11):
1 -1
sin <р
Аналогично оценивается второй интеграл:
тогда
Рп (cos ф) «
2лУ81п<р у п+ 1
или после простых преобразований
Рп (cos ф) ~
Ysin <р
94]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
629-
С той же степенью точности мы можем заменить в знаменателе
п + у через п и тогда получим окончательно асимптотическую
формулу для многочленов Лежандра (Лаплас):
Г/ , 1 \ л
/-2-со8[п + у)ф-т
^(СОЗФ)-У тп-------------------
(12>
На оценке погрешности в полученной формуле мы останавли-
ваться не будем.
Из асимптотической формулы видно, что Рп при неограни-
ченном возрастании п стремится к нулю, как 1/Уп. Из той же
формулы получается приближенная формула для нулей,функ-
ции /\(соз<р):
Z "'Г1 2Л1 (*=1’2.................«)> (13)
тем более точная, чем больше число п.
5) Функции Лежандра. Попытаемся удовлетворить
дифференциальному уравнению для многочленов Лежандра
(формула (18) п. 92):
L [to] = (1 — z2) w" — 2zw' -ф п (n + 1) w = О
при нецелых п тем же интегралом (6), каким для целых по-
ложительных п представлялся многочлен Рп{х):
«чу
С
Подставив это в уравнение (14), найдем:
= j-(^^з-[2(п + 1)и?-2)-(п+2)(^-1)]^ =
с
_ п + 1 Г d f (g2-l)n+1 1
2"+‘л/ J dt, I (t, — z)n+2 J
с
Таким образом, L [&у] = 0, если при обходе контура С функ-
ция
' _z)”+2
возвращается к исходному значению. Вырежем из плоскости £
луч, идущий от точки —1 до —оо по отрицательной оси, и
выберем в качестве С любой замкнутый контур, охватывающий
630
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[94
точки X — 1 и £ = z и не задевающий разреза (рис. 196). При
полном обходе такого контура
argf(£) = (n + l){arg(£ — l) + arg(£ + 1)} — (n + 2) arg(£ — z)
получит приращение («4-1)2л— (« + 2)2л =—2л, ибо при
этом arg(£—1) и arg(£— z) получат приращения 2л,
a arg(£+l) вернется к исходному значению. Отсюда следует,
что при обходе контура С функция
/(£) возвращается к исходному
значению, т. е. интеграл
Р (z) = ——
' 2П+>Я<- J (£_2)П+1
С
(15)
где С — контур описанного вида,
является решением уравнения (14)
при любом п. Этот интеграл назы-
вается функцией Лежандра первого
рода. При целых положительных п
точки £ = ± 1 перестают быть осо-
быми и С можно деформировать в
любой контур, окружающий точку £ = г. Следовательно, при
таких п функция Лежандра обращается в обычный многочлен
Лежандра.
Так как дифференциальное уравнение Лежандра (14) — вто-
рого порядка, то наряд}' с Pn(z) оно должно обладать еще од-
ним решением, линейно независимым от Pn(z). Такое решение
может быть получено из Рп(?) с помощью одной квадратуры:
Z
W — Рп (г) [ —
J (1 - ?) Р2п (?)
(16)
Действительно, уравнение Лежандра можно переписать в виде
— Г( 1 — z2) 4^-1 4- п (п + 1) w — 0;
dz |? ' dz J 1 ' 1 '
так как Рп(г) ему удовлетворяет, то и
4[<1-г')4Н+»(п+1)А.=о.
Умножая первое из этих двух уравнений на Рп, а второе на w
и вычитая, находим:
Гл _ z2\ (р —о
dz 13 dz w dz /] ’
94]
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
63!
откуда интегрированием получаем (1 — z2) (рп^ —• — С»
или
и далее
d / w \ ___С____
“(1-22) Р2(г) ’
W = Pn(z)C J
dz
(1 - г2) Р2 (г) ’
что совпадает с интегралом (16) с точностью до постоянного
множителя С. Интеграл (16), нормированный так, что в бес-
конечности он равен нулю, т. е.
2
Qn(z) = Pn(z)\ {1_^р2(?)
оо
(17)
обычно называется функцией Лежандра второго рода.
Функции Pn(z) и Qn(z) линейно независимы, ибо Pn(z)-±co
при z-> оо, a Qn(z)->0 (из соотношения aPn(z)+0Qn(z) = О,
устремляя z к оо, получаем сначала а = 0, а затем подстановкой
какого-либо г получаем 0 = 0).
Как видно из формулы (17), точки £ = ±1 являются для
функции Лежандра Qn(z) особыми точками логарифмического
характера, так что Qn(z) и при целых п не является много-
членом.
6) Сферические функции. Рассмотрим однородный
гармонический многочлен Un(x,y,z) вида
Un(x, у, z) = 2 aklmxkylzm, (18)
k+l+m=n
где сумма берется по всем неотрицательным индексам k, I, m,
сумма которых равна п. Многочлен Un удовлетворяет трехмер-
ному уравнению Лапласа
\rj __ d2Un . d4Jn I d2Un —о zigy
дх2 + ду2 + dz2 У1У)
В сферических координатах x = rsin0cosrp, у = г sin 0 sin гр,
z — г cos 0 гармонический многочлен представляется в виде
t/„(x, у, г) = г"У„(0, ф), (20)
где Уп— многочлен относительно cos0, cos гр, sin 0, sin гр. Функ-
ция Уп(0, гр) называется сферической функцией п-го порядка.
632
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(94
Непосредственным дифференцированием по х, у и z под зна-
ком интеграла мы убеждаемся в том, что 2п -ф 1 многочленов
степени п:
Л
j (z 4- ix cos t + iy sin t)n cos mt dt
— Л
Л
j (z + ix cos t + iy sin t)n sin mt dt
— Л
(m — 0, 1, 2, ..., n),
(m= 1, 2, .... ti)
(21)
(при m > n интегралы равны нулю в силу ортогональности
тригонометрических функций), являются гармоническими мно-
гочленами. Можно доказать, что они образуют максималь-
ную*) линейно независимую систему многочленов степени п.
Вводя сферические координаты и пользуясь представле-
ниями (20), мы получаем из (21) систему (2«4~1) сфериче-
ских фуйкций:
Л
J [cos 0 + i sin 0 cos (t — <p)]" cos mt dt,
— Л
Л
| [cos 0 + i sin 0 cos (t — <p)]rt sin mt dt.
— Л
Заменяя в этих интегралах t — ф = т, мы представляем их
в виде
л—Ф
j [cos 0 + i sin 0 cos т]"{ т (<р + т) dx.
— Л—ф
Пользуясь теперь известным свойством периодических функций,
по которому интеграл по отрезку длины, равной периоду, не
зависит от положения этого отрезка, мы заменяем отрезок ин-
тегрирования [—л — ф, л— ф] отрезком [—л, л]. Наконец, раз-
лагая созт(ф4~т) по известной формуле и пользуясь нечет-
ностью функции sin тх, мы получаем окончательные выражения
системы (2«4-1) сферических функций n-го порядка;
Л
cos тф J (cos 0 + i sin 0 cos x)n cos mx dx (m = 0, 1,2, ..., n),
(22)
sin тф J (cos 0 + i sin 0 cos т)" cos mx dx (m—l,2,...,n).
—я
*) Это означает, что любой гармонический многочлен Un(x, у, г) сте-
пени п можно представить как линейную комбинацию многочленов (21).
94)
§ 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
633
Коэффициенты при cosmtp и sin/пер в выражениях (22) равны;
отличающиеся от них лишь постоянным множителем функции
Л
т (cos 0) = J (cos 0 4- i sin 0 cos x)rt cos tnx dx (23)
— Л
называются присоединенными функциями Лежандра. В част-
ности,
Л
Рп, 0 (cos 0) = — J (cos 0 + i sin 0 cos x)n dx — Pn (cos 0)
0
совпадает с многочленом Лежандра (мы воспользовались ин-
тегральным представлением Лапласа (7)).
Таким образом, систему (2п-j- 1) сферических функций п-го
порядка можно представить в виде
P„(cos0); Pn<m (cos 0) cos mq>, Pn< „ (cos 0) sin гшр, (24)
где /п=1, 2, ..., n и Pn,m — присоединенные функции Ле-
жандра.
7) Экстремальное свойство многочленов Че-
бышева. Многочлены Чебышева являются многочленами, наи-
менее отклоняющимися от нуля на интервале (—1, 1). Это озна-
чает, что максимум модуля Тп(х) достигает на интервале
(—1, 1) наименьшего значения, которое только возможно для
многочленов n-й степени со старшим коэффициентом, равным 1.
В самом деле, положим х = cos <р и xk = cos (k = 0, 1, ..., п),
тогда из формулы
Тп U) = cos arccos х) = -Суг ”?' -
(см. (11) п. 70) получаем:
'Г \ — coskn _ (—1)*
* п \л/г/ 2п~1 2п~1 ’
т. е. в этих точках Тп(х) достигает своего максимального по
модулю значения.
Пусть Rn(x) будет многочлен n-й степени со старшим коэф-
фициентом 1. Предположим, что Rn(x) отклоняется от нуля
на интервале (—1, 1) не больше, чем Тп(х), тогда, очевидно,
(х0) > Rn (х0), Тп (х,) < R„ (xj, Тп (х2) > Rn (х2), ...
Но отсюда следует, что разность 7?„_i(x) = Rn(x)—Тп(х), ко-
торая является многочленом степени не выше п— 1, меняет
знак на интервале (—1, 1) не менее п раз, т. е. имеет не
634
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[94
менее п корней. Это противоречие и показывает, что Тп(х) яв-
ляются многочленами, наименее уклоняющимися от нуля.
8) Многочлены Якоби и гипергеометрический
ряд. Дифференциальное уравнение
z(z — l)w" + [— у + (1 + а 4- 0) z] w' 4- а0ш = 0 (25)
называется гипергеометрическим уравнением (Гаусс). Его ре-
шением является степенной ряд
г , о \ it аР । а (а 4- 1) Р Ф + О о ।
да = Д(а, 0, у; г)= 14-7^24----2!7(у+1)' г +
а (а + 1) . (а + га — 1) Р (Р + 1) ... (0 + га — 1) „ . >26)
• • • “г га! у (у + 1) ... (у + га — 1) “Г • • •» ( )
называемый гипергеометрическим рядом*). При а=0=у= 1
он обращается в обычный геометрический ряд (геометрическую
прогрессию со знаменателем z).
Для того чтобы ряд (26) обращался в многочлен степени п,
очевидно, нужно, чтобы а или 0 было равно —п. Положим, на-
пример, 0 = —п и обозначим
у — 1 — Л, а 4- 0 — у = р;
полученный многочлен, умноженный на коэффициент Сп, обо-
значим через
Ом’(z) - CnF (Л 4- Н + П 4- 1, -П, Л 4-1; г).
Можно показать, что если ввести вместо z переменную х по
формуле
и положить
г __Г(1 + га+1)
« га!Г(Х+1) ’
до Q(n'g>(2) перейдет в многочлен Якоби
9) Волновое уравнение и функции Чебышева —
Эрмита. Волновое уравнение для частицы в силовом поле
(Шрёдингер) имеет следующий вид:
^-Дф4-(£-т = ^-. (27)
где Д— оператор Лапласа, ф— функция геометрических коор-
динат частицы и времени, h — постоянная Планка, m — масса
*) Коэффициенты ряда (26) находятся обычным методом неопределен-
ных коэффициентов.
94] § 2. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 635
частицы, V — потенциал и Е— параметр. Мы предположим, что
ф зависит лишь от координаты х и У == у х2, что соответствует
случаю линейного осциллятора. Вводя две новые постоянные
а2 = tnklh2, А, = 2тЕ)№, из которых первая задана, а вторая
играет роль параметра вместо Е, мы переписываем уравнение
(27) в виде
^ + (^~а2х2)ф = 0. (28)
Уравнение (28) сводится к уравнению для многочленов Чебы-
шева— Эрмита. Чтобы доказать эго, мы рассмотрим систему
функций
ф„(0 = е-^Я„(0, (29)
ортогональную с весом 1 на интервале (—оо, оо) (фп(/) назы-
вают функциями Чебышева — Эрмита). Подставляя Hn(t) =
= е/2/2фп(/) в дифференциальное уравнение для многочленов
Чебышева — Эрмита, найдем после сокращения на е/2/2:
ф" (/) + (1 + 2п — Е) ф„(0 = 0. (30)
Это уравнение сводится к уравнению (28) простой заменой не-
зависимого переменного. В самом деле, положим t=ax, где а —
некоторая постоянная, и фп(«х) = ф(х), откуда ф"(х) = а2ф" (0
(производная берется по аргументу, который стоит в скобках).
Подставляя это в уравнение (30), мы приведем его к виду
ф" (х) -f- [(I + 2п) а2 — а4х2] ф (х) = 0.
Сравнивая полученное уравнение с (28), мы видим, что если
принять а — ]/а, то при
А, = А,„ = (1-ф2п)а (31)
оно будет совпадать с уравнением (28). Таким образом, если
параметр А, уравнения (28) удовлетворяет условию (31), то
решением этого уравнения служит функция
Ф = фД/а20 = е-а*2/2#л (/“*)• (32)
где Нп — многочлен и фп — функция Чебышева — Эрмита.
10) Функции Чебышева — Эрмита и параболи-
ческие координаты. Рассмотрим двумерное волновое урав-
нение вида
где р,2 — некоторая постоянная. Перейдем здесь к новым неза-
висимым переменным g, ц, полагая £ = £-}- й) и
z = x-H*/ = /(£),
•636
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(91
где f(£) — аналитическая функция. Непосредственным примене-
нием правила дифференцирования сложных функций и урав-
нений Коши — Римана найдем:
д2и , д2и . г, р / д2и , д2и \
~д^ Тгф — 1' Г ) •
следовательно, уравнение (33) в новых переменных примет вид:
4^ + |^- + н21Г©12«==0. (34)
Положим, в частности, /(£) = у£2, тогда
х=4^2—
у = &1
(35)
и координатными линиями g = const, ц = const в плоскости
г = х 4- iy будут служить параболы, поэтому координаты £ и ц
называются параболическими.
Уравнение (34) для параболических координат имеет вид:
Будем искать его решение методом разделения переменных,
полагая н= Тогда последнее уравнение примет (по-
сле простых преобразований) вид:
U” ® + ц2£2_ ^(n) U2„2
У (е) + ё V (п) 1 ’
и так как слева стоит функция одного только g, а справа — од-
ного г), то обе части равны одной и той же постоянной, которую
мы обозначим —02. Вместо одного уравнения (35) мы полу-
чаем два
U" (?) + (ц2?2 + р2) и (Ю - о, V" (ц) + (н2п2 - Р2) V (п)=0.
Оба этих дифференциальных уравнения сводятся к уравне-
нию (30) для функций Чебышева — Эрмита, если перейди в них
к новым независимым переменным / = £, т = г У ip ц и по-
ложить р = р„ = У(2п+ 1)/ц (ср. (8) этого пункта). Таким
образом, мы получаем бесчисленное множество решений волно-
вого уравнения (33) в виде
и = «п = Л„ф„ Фп О У^ п)>
где фп — функции Чебышева — Эрмита и Ап — постоянные.
Построенные решения позволяют решать, например, задачи
дифракции для параболического цилиндра.
94]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
637
§ 3. Цилиндрические функции
Цилиндрические, или, как их обычно называют, бесселевы
функции, играют особо важную роль в приложениях, главным
образом в задачах, связанных с круглыми или цилиндрическими
телами. Это объясняется тем, что решение уравнений математи-
ческой физики, содержащих оператор Лапласа в цилиндриче-
ских координатах, классическим методом разделения перемен-
ных (см. п. 99, примеры 6—8) приводит к уравнению
*24% + *5Г- + (*2-^)</ = 0. (1)
ах2 1 dx 1 ' ' ' '
служащему для определения цилиндрических функций.
Цилиндрическая функция J0(x) была впервые рассмотрена
Даниилом Бернулли в работе, посвященной колебанию тя-
желых цепей (Петербург, 1732 г.). Д. Бернулли пришел к част-
ному случаю уравнения (1) для X = 0 и, решая его, нашел вы-
ражение /0(х) в виде степенного ряда; кроме того, он заметил
без доказательства, что уравнение /о(х) = О имеет бесчисленное
множество действительных корней (см. п. 99, пример 6).
Следующей работой, в которой встречаются цилиндрические
функции, была работа Леонарда Эйлера (Петербург, 1738 г.).
В этой работе Л. Эйлер, рассматривая задачу о колебаниях
круглой мембраны, пришел к уравнению (1) с целыми значе-
ниями X = и (см. п. 99, пример 7). Решая это уравнение, он
нашел для целых п выражение 7п(х) в виде ряда по степеням х,
а в последующих работах распространил это выражение на
случай произвольных значений индекса X. Кроме того, Л. Эйлер
доказал, что для X, равного целому числу с половиной, функ-
ции /Цх) выражаются через элементарные (см. п. 95), заметим
без доказательства, что при действительном X функции Д(х)
имеют бесчисленное множество действительных нулей (см. п. 98)
и дал интегральное представление для А(х).
Наконец, для случаев 1 = 0 и 1= 1 Эйлер в работе 1769 г.
дал выражение в виде ряда второго решения уравнения (1), ли-
рейно независимого от Д(х) (см. (4) п. 96).
Таким образом, Л. Эйлер получил основные результаты, свя-
занные с цилиндрическими функциями и их приложениями
к математической физике.
Немецкий астроном Ф. Бессель, с именем которого обычно
связывают цилиндрические функции, в работе 1824 г., в связи
с изучением движения планет вокруг солнца, дал рекуррентные
соотношения для функций Jk(x), которые, несмотря на всю их
важность, все же носят элементарный характер (п. 95), полу-
чил для целых п новое интегральное представление /п(х) (см.
выше п. 70), доказал наличие бесчисленного множества нулей
J9(x) и составил первые таблицы для Jq{x), Л(х) и Jz(x).
638
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[95
95. Цилиндрические функции первого рода. 1) Интеграль-
ные представления Н. Я. Сонина. Рассмотрим диффе-
ренциальное уравнение цилиндрических функций
fix" + tx' + (t2 — V) х = О, (I)
где t — независимое переменное, х — искомая функция и X — па-
раметр, индекс уравнения (1), который для простоты мы будем
считать действительным числом. Будем решать это уравнение
операционным методом, так, как это указано в п. 84.
Если обозначить через Х(р) изображение искомой функции,
то по теоремам о дифференцировании оригиналов и изображе-
ний III и IV п. 80 будем иметь:
fix" = (р2Х -рхп - х^" = р2Х" + 4рХ' + 2рХ,
tx'— (рХ — х0)'— ~ рХ'— X, t2x = X",
где хо = х(О), Xi = x'(0) — начальные данные*). Таким обра-
зом, операторное уравнение, соответствующее уравнению (1),
имеет вид:
(р2+ 1)Х" + ЗрХ' + (1 -Л2)Х = 0. (2)
Для решения этого уравнения произведем замену независи-
мого переменного и искомой функции, положив
p = sh<7, Х(р)=-^Г(<7).
Тогда будем иметь: X' = -4^Y'----------------тг~У, X" —
dq dq ch2 q ch3 q
— dX' ,dp 1 „she . 3 sh2 q — ch2 q ..
-5-— . ~~ = -Г3— Y" — 3 -ст2- Y' -j------- Y и, подставляя
dq dq ch3 q ch4 q 1 ch5 q
это в (2), придем к простому уравнению
У" —Х2У = 0.
Возвращаясь от частного решения У — e~'-'i этого уравнения
к старым переменным р и X, получим частное решение уравне-
ния (2):
Ур2+1 Ур2 + 1 (р + Ур2+1)л ' u
Функция j/р2 4~ 1 допускает выделение однозначных ветвей
в плоскости р — s 4- /о с выброшенными лучами s = 0, |о| > 1.
Примем А > 0 и условимся рассматривать ту ветвь V р2 4- 1 >
которая на оси s принимает положительные значения. Тогда
функция Х{р) будет стремиться к нулю при |р|—»оо, Rep>0
*) Начальные данные не участвуют в операторном уравнении (2)> ибо
t = 0 является особой точкой уравнения (1).
95]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
639
равномерно относительно argp и, следовательно, будет служить
изображением (см. теорему 4 п. 79; на проверке остальных
условий мы не останавливаемся). Оригинал для Х(р)— частное
решение уравнения (1) — мы будем называть цилиндрической
функцией 1-го рода, или бесселевой функцией порядка К и обо-
значать символом />,(0 (Для целых X = п см. формулу (7)
п. 82)). Функцию Д(0 находим по формуле обращения п. 79:
ept dp
2ш’ J + j (р + ур2 + ! )х ’
(4)
где L — произвольная прямая Reр = а > 0.
Перейдем здесь к новой переменной
© = р + У р2 + 1 ;
(5)
1 I 1 \ dp da>
тогда р= —(©---------J, у ) —— и линиеи интегрирования
будет служить кривая С плоскости co=g-4-rr] — образ прямой L
при отображении (5). Так как ось q
переходит при отображении (5) в со;
вокупность лучей g = 0, | т] | > 1 и по-
луокружность |со| — 1, g > О (см.
свойство отображения Жуковского в
п. 7, отображение (5) несущественно
от него отличается), а число а сколь
угодно мало, то С имеет вид, изобра-
женный на рис. 197 пунктиром. Ин-
теграл (4) перейдет при этом в интег-
рал (Н. Я. Сонин, 1870 г.)
Не меняя величины интеграла, кривую С можно, очевидно, за-
менить любой вертикальной прямой Irnco — а > 0.
Так как на окружности | со [ = /? функция е_^2“/юх+1 стре-
мится к нулю при R —> оо, то при t > 0 по лемме Жордана
интеграл (6) вдоль дуг Cr (рис. 197) стремится к нулю. Сле-
довательно, в формуле (6) контур С можно заменить конту-
ром С*, указанным на рис. 197, который идет из точки —оо по
нижнему берегу отрицательной полуоси g, обходит начало коор-
динат по окружности и возвращается в —оо по верхнему бе-
регу той же полуоси. Таким образом, мы получаем еще одно
интегральное представление цилиндрических функций, также
640
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
195
принадлежащее Н. Я- Сонину (вместо t мы пишем z):
I г
h (2) — 2л/ J х+1 (1<л- (7)
с*
Интеграл Сонина (7) получен нами для положительных z, од-
нако правая его часть представляет аналитическую в правой
полуплоскости z функцию, ибо при Re z > 0 интеграл (7) схо-
дится равномерно по г. Таким образом, интеграл Сонина дает
аналитическое продолжение А (г) в правую полуплоскость.
Кроме того, при Rez>0 интеграл Сонина сходится не
только для положительных, но и для любых комплексных зна-
чений параметра л, ибо на горизонтальной части контура С*
показательный множитель стремится к нулю быстрее, чем мо-
жет возрастать | оУ-+' |. Следовательно, интеграл Сонина опре-
деляет в правой полуплоскости бесселевы функции произволь-
ного комплексного порядка.
2) Аналитические свойства. При целых значениях
параметра ). = п (п — 0, ±1, ±2, ...) подынтегральная функ-
ция интеграла Сонина (7) однозначна, следовательно, интегралы
по горизонтальным частям контура С* исчезают и интеграл (7)
принимает вид, уже встречавшийся выше (см. п. 70):
1 г ЛСНг)
J Мп+Г (8)
1 (О 1—1
(радиус окружности, входящей в состав контура С*, мы прини-
маем равным 1). Так как интеграл в правой части (8) сходится
для любых г и притом равномерно, то мы можем утверждать,
что при целочисленных значениях параметра h ~ п функции
Jn (z) являются целыми.
Пусть, далее, z — положительное, а X — произвольное ком-
плексное число. Заменяя в интеграле Сонина (7) переменное
= мы получим интеграл Сонина — Шлеффли:
О)
с*
(при такой замене контур С* заменяется подобным ему кон-
туром, имеющим, следовательно, тот же вид, что и С*).
Интеграл Сонина — Шлеффли сходится и притом равномерно
в любой ограниченной области значений z и при любом ком-
плексном X и, следовательно, дает аналитическое продолжение
цилиндрической функции /Цг) на всю комплексную плоскость z
95)
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
641
и на все комплексные значения параметра X. Наличие множи-
теля zK перед интегралом показывает, что эта функция, вообще
говоря, бесконечнозначна с точкой ветвления z = 0. Но отно-
шение /x(z)/zx при любом комплексном X оказывается целой
функцией.
3) Другие интегральные представления. Пусть
Rez>0; заменим в интеграле Сонина со = е^, отчего кон-
тур С* заменится контуром П, изображенным
на рис. 198 (радиус окружности в контуре С*
мы считаем равным 1). Интеграл Сонина пе-
рейдет в интеграл Шлеффли-.
W==
п
(Ю)
представляющий цилиндрическую функцию в Рис. 198.
правой полуплоскости.
При целых значениях параметра /. = п (п = 0, ±1, ±2,...)
в силу периодичности функций ein^ и sin g интегралы по верти-
кальным частям контура П взаимно сокращаются, и мы по-
лучаем:
Л л
(г) = ту J gZzsin;-(-nt _ J_ J cos (г sing — riQ d'C (11)
—л 0
(мы разлагаем функцию e<(zsinc-np по фОрМуле Эйлера и поль-
зуемся четностью cos и нечетностью sin). Это — интеграл Бес-
селя, который мы уже приводили в п. 70.
4) Представление рядом. Разложим в интеграле Со-
нина — Шлеффли (9) множитель е t в ряд по степеням -у
и переменим порядок суммирования и интегрирования (это за-
конно в силу равномерной сходимости полученного ряда):
4 (г)
оо
— 1 (г\к v (z\2k
2ni \ 2 J J e k\ I* \ 2 )
C* k=4 b
S(—l)fe (z\M+^ 1 Г Лг-к-
k\ \2) 2ni J e
k=0 c*
k dt.
Вспоминая интегральное представление Ханкеля для гамма-
функции (см. формулу (24) п. 89), находим искомое разложение
цилиндрической функции в ряд'.
S(— l)ft /zlM-а
kl Г (Л + k + 1) \2j
(12)
642
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[95
Из формулы (12) видно, что при действительных к и z — x
функция JK(x) принимает действительные значения.
Для целочисленных неотрицательных значений полу-
чаем, в частности, разложение
<.з)
fc=0
с которым мы уже встречались (см., например, пп. 70 и 82).
Для целочисленных отрицательных значений Л = — п первые п
слагаемых суммы (12) исчезают, ибо г^_п + ц = 0 при k —
= 0, 1,..., п — 1, и формула (12) принимает вид:
I („х — V (-1)* (z_\~n+2k _ У (-1)"+V Л* \"+2v
kl (-п+k)l \2 ) Zj (n + v)!v! \2/
fe=n №0
(мы заменили индекс суммирования k индексом v = £—«), или
7_„(г) = (-1)ге4(4. (14)
5) Производящая функция. Для целочисленных
значений Л = п = 0, ±1, ±2, ... интеграл Сонина (8) совпадает
* L_jj)
с формулой для коэффициентов разложения функции e2V
в ряд Лорана по степеням w. Таким образом,
J Jn(z)wn. (15)
П—~~ оо
4 (ш_±\
Функция е2 4 w> называется производящей функцией для 7n(z).
В п. 70 мы использовали ее для определения цилиндрических
функций целочисленного порядка.
Заменяя в (15) ау = е‘е, мы получаем разложение в ряд
Фурье функции
eosine = J Jn(z)eln9. (16)
П=—ОО
Отделяя в (16) (при действительных г и 0) действительные и
мнимые части, получаем:
со оо
cos(zsinO)= У, Jn(z) cos п0, sin(zsin0)= У /n(z)sinn9,
п~— oo Г?яи —00
95]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
643
или, используя соотношения (14), получим ряды Фурье в дей-
ствительной форме:
ОО
cos (z sin 0) = /0 (z) + 2 S J2tt (z) cos 2nd,
п=1
(17)
sin (г sin 0) = 2 2 Лв-i (z) sin (2/г — 1) 0.
n=l
При 0 = у, в частности, будем иметь:
cos z = Jq (г) — 24 (z) + 2J4 (г) — ...,
sin z — 2Ji (г) — 2/3 (г) 4~ ....
6) Рекуррентные соотношения. Из разложения
в ряд (12) находим:
d h (г) _ 1 у (-1)* =
dz z'‘ 2К & (k - 1)1 Г (Л + k + 1) \2 /
&==!
______1_ у (—l)ft / г\к+2й +1
' ~ г>- Д fei г (Л + k + 2) \"2 )
й=0
(мы заменили индекс суммирования k на k — 1), или оконча-
тельно
d Л+i (г)
dz zK z''
(18)
Последнюю формулу можно переписать в виде
d h (г)
г dz zK
4+i (z)
^+1
откуда видно, что применение к -!к операции —— сводится
2Г z dz
к изменению знака и замене индекса Л на Л -ф 1. Применяя эту
операцию последовательно и вводя сокращенное обозначение
d d d dn
г dz z dz z dz (z dz)n ’
п раз
получаем:
dn (z dz)n 4(z) 2K = (_1Г/^М. (19)
01*
644
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(95
Точно так же получаем:
fc=0
= -X У (-1)* /_£
Zj *!Г(х + &) \г;
fe=0
(мы воспользовались рекуррентным соотношением для гамма-
функции), или
(zKh (*)) = zxA.-i (г)- (20)
Деля обе части равенства на г, мы видим, что применение
операции к гхД(г) сводится к изменению индекса Л на
Л—I. Последовательно применяя эту операцию, найдем:
{гЧк (г)} = (г). (21)
Формулы (18) и (20) переписываются в виде
J'k (г) = (г) - JK+l (г)-, J'K (г) = (г) (z). (22)
Вычитая из одного уравнения (22) другое, найдем рекуррентное
соотношение, не содержащее производных:
4-i(2) + 4+i(2)=v^^- <23)
Точно так же, складывая уравнения (22), найдем второе рекур-
рентное соотношение
7х_1(г) —7х+1(2) = 2/£(2)- (24)
Отметим еще, что из (22) при Л = 0 получаем:
7$(2) = -/1(й). (25)
7) Цилиндрические функции порядка, равного
целому числу с половиной. Как показал Эйлер, эти
функции выражаются через элементарные. В самом деле, по
, zii\ , 3\ (2fc + 2)tKn“ ,
формуле (11), учитывая, что Г ~ 4*+1 (/+ щ ' (Cb1,
951
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
645
формулу (18) п. 89), получим сначала
S(— l)fe4fe+1 (fe+ 1)! Iz\i + 2k
6! (26+ 2)! КГ (2/
. - 00 __
=KГХтйтоГг!,+, = / Г si"2>
fe=O
оо I
S(—1)»4^1 /_z\- 2 +2k =
6! (26)! КГ Ы
(26)
=Krs
ft=O
(-1)*
(26)!
Z2ft == Т/ COS 2.
r rcz
(27)
Затем, пользуясь соотношениями (19) и (21), найдем:
dn sin z
(z dz)n z
dn COS 2
(z dz)" z
(28)
откуда и видно, что J i (z) выражаются через элементарные
функции.
После простых преобразований эти формулы принимают вид:
Jn+L sin (2 - ПГ) + cos (* - ^)} '
(г) = |/{ S, cos (г + - S2 sin (г +^-)}.
(29)
где
S =V (~l)ft(» + 26)l
1 Д (2*)! (п-2й)1 (2z)2ft ’
(30)
([а] означает целую часть положительного числа а, например,
17/2] = 3).
646
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(95
8) Ортогональность. По определению цилиндрическая
функция у — /х(х) удовлетворяет дифференциальному уравнению
х2Я (х) + xJ'K (х) + (х2 - V) JK (х) = 0. (31)
Положим x = at, где а — постоянная, и рассмотрим функцию
z/ = 7x(aZ) = z/(Z). Имеем КЛх) = ^-^-, Г[(х) = и, под-
ставляя это в (31), находим дифференциальное уравнение, ко-
торому удовлетворяет функция y~JK(at):
'/" + |^ + (a2-^)z/=O. (32)
Рассмотрим теперь две функции yt=JK(af) и у2~ Л(Р/),
где аир - постоянные; по только что доказанному, они удо-
влетворяют уравнениям:
у" + уу\ + («2 - -f) 1/1=О’ Уг + ТУ* + О52 ~ = о.
Умножим первое из этих уравнений на z/2, второе на у} и выч-
тем из первого второе. Если обозначить еще и = у(у2 — уху2, то,
очевидно, и' = у"у2 — уху" и мы получим:
и' Л-^и = ^ — а2)у{у2.
После умножения на t левая часть будет равна -^-(ut), по*
этому, интегрируя по t от 0 до I, получим:
i
w/U = (P2-«2) / y^tdt
о
(для сходимости интеграла при нецелы^ % мы должны пред-
положить, что —1; тогда подынтегральная функция
/х(а/)А,(р/)/ при t—*0 если и обращается в бесконечность, то
порядка ниже первого). Подставляя вместо у^ и у2 их выра-
жения через А, будем иметь:
i
(Р2 - a2) j JK (at) JK (₽/) t dt = I {aJ'K (al) JK (PZ) - (al) J'K (pZ)}. (33)
0
Пусть теперь аир будут различные корни уравнения
4U/) = 0 ' (34)
или уравнения
]’(х1) = Ъ. (35)
95| § 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 647
Тогда правая часть (33) будет равной нулю, и мы получим:
i
[ K(at)JMtdt==Q. (36)
о
Как будет доказано в п. 98, при действительных X каждое
из уравнений (34) и (35) имеет бесчисленное множество дей-
ствительных корней. Пусть «], а2, ..., ak, ... — система корней
одного из этих уравнений, тогда на основании формулы (36)
можно утверждать, что функции Ji,(azt), ..., JK(akt),-..
образуют семейство, ортогональное с весом t на интервале
(О, /) *).
Этот факт указывает на аналогию между цилиндрическими
функциями А, (а?) (удовлетворяющими дифференциальному
уравнению у" + -j- у' + (а2 — = и тригонометрическими
функциями since?, cos а? (удовлетворяющими уравнению у" +'
+cc2z/=0). Действительно, тригонометрические функции sinfea?,
cos kat.также образуют семейство, ортогональное на некотором
интервале. В дальнейшем мы не раз будем отмечать эту ана-
логию.
9) Ряды по цилиндрическим функциям. Пусть
cci, а2, .... сел, ... — положительные корни уравнения (34) или
(35) и f(?)— кусочно-гладкая на интервале (0,/) функция,
Предположим, что на этом интервале f(?) представляется рав-
номерно сходящимся рядом
оо
f(?)=ScftA(aft?). (37)
fe=i
Так как по доказанному в 8) функции А(ал?) образуют си-
стему, ортогональную с весом t на интервале (0,/), то коэффи-
циенты ряда (37) определяются по общей формуле (7) п. 91:
i
Ck=~^ \f(t)JK(akt)tdt, (38)
где
i
d2k = J Л (ant) t dt.
о
Вычислим последний интеграл. Для этого воспользуемся фор-
мулой (33), в которой предположим, что ап является одним из
*) При нецелых А мы предполагаем А > — 1.
648
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[96
корней уравнения (34) или (35), а 0 непрерывно приближается
к этому корню. Для случая уравнения (34) формула (33) при-
нимает вид:
J hМ) А(РО i dt = t
откуда видно, что при 0 —► снова имеется неопределенность
вида у. Раскрыв эту неопределенность по правилу Лопиталя,
найдем:
А— J dt— \im ft2 „2 2 A (aft9-
Q p — «ft 2
По первой формуле (22), полагая в ней z = aU, найдем
Д (aft/) = — Л.+ 1 (aft/), и последняя формула перепишется в виде
^ = 4^+1 Ы)- (39)
Аналогично, для случая уравнения (35) будем иметь:
.2 .. (aftZ)/£ (РО пг„, ,х
dk = — lim ----------g-=------A (a*/) h. (aA/).
0-*“й P “«ft 2
Но из дифференциального уравнения (31), полагая в нем х=
и пользуясь формулой (35), находим Д(а*/) = — 11-2T|A(aftO>
\ akl J
следовательно, последнюю формулу можно переписать в виде
^=4(/2--^гЫЫ). (40)
Ряд (37), коэффициенты которого находятся по формулам (38),
представляет собой обобщенный ряд Фурье; он называется
также рядом Фурье — Бесселя. Доказывается, что он сходится
к у If (/— 0) + f (t + 0)] для любой кусочно-гладкой на интер-
вале (0, /) функции.
96. Другие цилиндрические функции. 1) Функции Хан-
келя. Рассмотрим снова дифференциальное уравнение цилинд-
рических функций с индексом X:
z2w" -|- zw' + (z2 — Л2) w = 0 (1)
95] § 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 649
(z — независимое переменное, w — искомая функция, X — пара-
метр; все величины предполагаются здесь комплексными). По-
пытаемся найти решения уравнения (1) методом интегрального
преобразования (см. п. 88), т. е. будем искать решение в виде
w= \k(z, (2)
с
где W—новая искомая функция, а функция K(z,Q и контур С
выбираются так, как будет указано ниже. Подставляя (2)
в уравнение (1), мы будем иметь (предполагается, что переста-
новка порядка дифференцирования и интегрирования законна):
/{г2^ + ^нчг2-вд}ич:)л;=о.
с
Пусть теперь К удовлетворяет дифференциальному уравнению
{3*
тогда предыдущее соотношение принимает вид:
с
д2К
Интегрируя первый член (С) два раза по частям, мы пре-
образуем последнее уравнение к виду
Г {IF" + VIF} к dt + [г - KW']b = О,
с L & ja
где а а b обозначают концы линии С. Отсюда видно, что если
положить
IF = e±z^ '
и выбрать путь интегрирования так, чтобы на его концах вы-
ражение IF -^- — KW' обращалось в нуль, то интеграл (2) бу-
дет давать решение уравнения (1). Легко проверить, что урав-
нение (3) будет удовлетворяться, если положить 7< = e‘2SinS.
В качестве путей интегрирования выберем контуры Ci и Сг
рис. 199; так как на мнимой оси sin £ = sintr] = ish гр а на
прямых ±л + й) имеем sin £ = —sin гц — —i sh т], то на верти-
кальных частях Ci и С2
( e-xshnj Т] > О,
1 exshl\ ц < 0.
650
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
195
Отсюда видно, что если считать x = Rez>0, то при т]->+оо,
соответственно при ц ->—оо, |Я| стремится к нулю со скоростью
--е~'п ЛК
е 2 , соответственно — е 2 . Но тогда и W = e±iKliz cost,-К,
и RW' = ± стремятся к нулю при £, приближающемся
к концам Ci и С2, ибо стремление
к нулю К погашает возможный
рост множителя при К.
Таким образом, мы получаем в
правой полуплоскости Rez>0 ре-
шения уравнения (1)
Рис. 199.
= ~ J* d^
с,
H^(Z) = ± J ^sin5-AC
c.
(4)
которые называются цилиндрическими функциями 3-го рода,
или функциями Ханкеля *).
2) Связь цилиндрических функций 1- и 3-го
рода. Если сложить обе формулы (4), то интеграл по мнимой
полуоси сократится и, вспоминая интеграл Шлеффли (см. фор-
мулу (10) предыдущего пункта), мы получим:
М” (г) + Я12) (г) =-Ц eZzsin = 2JK (z)
п
(П — контур рис. 198). Таким образом, для всех комплексных
значений Л в правой полуплоскости Rez>0 бесселева функ-
ция равна
<(2) + М2)(г)
А (?) =-------------------
(5)
Для того чтобы найти выражение ханкелевых функций че-
рез бесселевы, найдем сначала связь между ханкелевым'и функ-
циями порядков, отличающихся лишь знаком. Имеем, например,
(2) = -L Г eiz sin & + dt
Л J
Ct
и вводя новую переменную интегрирования ы = —£-}-л, отчего
*) Цилиндрические функции 2-го рода будут введены ниже. Функции
2> (z) ввел в 1902 г. Нильсен и назвал их в честь Ханкеля, па работе
которого (1869) основаны исследования, приведшие к этим функциям. Инте-
гральные представления (4) получены А. Зоммерфельдом (1896).
ЭД § 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 651
контур Ci перейдет в контур СГ, совпадающий с Ci, но прохо-
димый в противоположном направлении, получаем:
Н±\ (z) = - ~ f eiz slndo = eiKaHp(z).
71
СГ
Аналогично, вводя со — —£— л, получим формулу для Я12)(г).
Таким образом,
Я(Д (z) = eiKnH^ (z), Н{1\ = e~iKnH{? (z). (6)
Теперь, если наряду с соотношением (5) рассмотреть формулу
7_X(Z) =-------------=-----------2-----;--
(мы воспользовались формулами (6)), то из этих двух формул
найдем выражение ханкелевых функций через бесселевы
нг1(г)=_,-С2и^Щ>. (7)
Строго говоря, формулы (7) получены для Л, отличных от
целых чисел, однако они остаются справедливыми и в случае
целых Л, если в правых частях раскрыть неопределенность
вида по правилу Лопиталя. Мы можем тогда утверждать,
что формулы (7) дают аналитическое продолжение Нк](г) и
Як2)(г) на всю плоскость комплексного переменного z. Как и
бесселевы функции H^'2)(zj оказываются, вообще говоря, мно-
гозначными функциями с точкой ветвления z = 0.
Из формул (7) для ханкелевых функций получаются соотно-
шения, аналогичные таким же соотношениям с бесселевыми
функциями. Например, пользуясь рекуррентной формулой (23)
предыдущего пункта, находим рекуррентные формулы
Я^ф + Я^г^-^ЯНг), = (8)
(здесь Ях может означать как Нх\ так и Ях1)- Пользуясь фор-
мулами (24) и (25) предыдущего пункта, получим:
= Я?(2) = -/]/^ е-Ч (9)
Выше мы отмечали аналогию между бесселевыми и триго-
нометрическими функциями; формулы (5) и (9) указывают на
аналогию между функциями Я^(г) и e±iz.
652
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[96
3) Функции Вебера. Формула (5) показывает, что
функции А строятся из функций Нъ как косинус из функций
e±iz. Рассматривают также функции, которые строятся из
как синус:
Я^(г)-Я^(г)
Ул(г)=- 2<-
(10)
Эти функции называются цилиндрическими функциями 2-го
рода или функциями Вебера-, их называют также функциями
Неймана и тогда обозначают через iVx(z) *).
Так как при действительных значениях z и % функции 7х(,г)
действительны, то из формул (7) вытекает, что для таких зна-
чений z и Z ______
М!)(г) = М2)(г).
Но тогда из (10) видно, что для действительных значений г
и X функции Вебера принимают действительные значения.
Пользуясь формулами (7), из (10) получаем также выра-
жение функций Вебера через функции Бесселя:
У _ cos <г) ~ (z) (11\
к' sin Ля ‘
Последняя формула справедлива для нецелых X; при X, стремя-
щемся к целому числу п, мы получаем неопределенность
вида -5-. Раскрывая ее по правилу Лопиталя, получаем для це-
лых Л — п:
<э/. (z) 37 , (г)
—%;— cos Ля — л sin ЛяЛ (z)-——
у _____
2 n w Я cos Ля
_ 1 r^(z)
я L дК
Для функций Вебера остаются справедливыми рекуррентные
соотношения
УЛ-1(г) + У!1+1(г) = ^Уиг), Ух_,(г)-Ух+1(г) = 2УИг); (13)
для их проверки достаточно подставить выражение А через Н\
(формула (10)) и воспользоваться соотношениями (8).
(z)
дК
(12)
*) Функции УДг) ввел Вебер в 1873 г. Нейман в 1867 г. ввел функ-
ции, несколько отличающиеся от Ух(г); именно они равны
пуУх (z) + (ln2-C)/x (z),
где С — постоянная Эйлера.
96]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
653
Функции Вебера порядка, равного целому числу с полови-
ной, также выражаются через элементарные функции, ибо из
формулы (11) вытекает при А = ±
У i (г) = (—1)"+17 ,(г); У , (г) = (-1)" J , (г). (14)
п+-^ -п--^ -п--2 п+~
Найдем выражение функций Вебера целочисленного порядка
в виде степенного ряда. Для этого можно воспользоваться фор-
мулой (12) и разложением в ряд
г (z} = V С"1)* 1 и51
’ \2/ Z k\ \2/ Г (Л+ *+!)' U '
fe=0
Получим сначала вспомогательные формулы из теории гамма-
функции. Из формулы (9) п. 89 для логарифмической произ-
водной гамма-функции, полагая в ней z=n—1 (п=1, 2, 3,...),
получаем:
т ' Г (п) \ п ) \п + 1 2 / \п 4- 2 3)
... --С+1+4+ ... (16)
(остальные члены сокращаются). Отсюда для п—\, 2, 3, ...
имеем
d. 1 I _ Г7 («) 1 (г 1 1 1 \
di Г (/) Г2 (л) — (п - 1)! Г 2 • • • п - 1 )
(мы заменили Г (») — (« — 1)1). В точках /= — п (я = 0, 1, 2, ...)
гамма-функция имеет полюсы первого порядка с вычетами
(—1)п (см. п. 89), следовательно, в окрестности точки t=± — п
справедливо разложение
^M-l)nn!tf + rt){l+£,(/ + «)+ ...}.
Отсюда видно, что для п = 0, 1, 2, ...
— L I. ’ll =(—l)rtn!
Теперь, дифференцируя (15) по Л, находим:
dJAz) 1 2 г / \ । lz\K V (—1)* I г}2к d 1 I
-yy--In 2 7x(z) + (2/ М W dt Г(/) Lx+a+i
А=0
и
_ 1пг,
дК ~ П 2 \2/ Zi fel \2/ dt Г (0 li==_x+ft+1 ’
Л==0
654
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[95
Для целых положительных к = п отсюда на основании фор-
мулы (12) и уже вычисленных значений получаем:
Г. и _ 4 w | + С) _ (Л.)»-” _
*=1
__ JLV (-Р* (j.Vft+raf 1 । 1 1 । 1__ .
я Ju М (п ч- k)\ \ 2 ) 1 2 п + k +
й=о
+1 +4 + • • +4}07)
а для п = О
Уо(г) = 47^г)(1пт + С)-
+4+ •••+!)• а*)
fc=l
Мы видим, что в то время как бесселевы функции целочи-
сленного порядка являются целыми, в разложение У„(г), кроме
степеней г, входит еще Inz.
4) Общее решение уравнения цилиндриче-
ских функции. По построению функции Ханкеля Н'^ (z) и
Н%} (г) служат решениями уравнения
z2w" + zw' + (г2 — A2) w = 0. (1)
Б следующем пункте мы увидим, что эти решения линейно не-
зависимы, следовательно, по известному свойству линейных
дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (1)
представляется в виде
w = C{H^(z)-\-C2H^(z), (19)
где Ci и С2 — произвольные постоянные.
Так как функции /x(2) и Ух(г) выражаются через Нк}(г) и
11%’(г) линейно и с отличным от нуля определителем
1 1
2 2 i
1 1 =Т
21 21
*) Выражение в фигурных скобках для первого слагаемого (6 = 0) равно
96]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
655
(см. формулы (5) и (10)), то и функции /х(г), Ух(г) являются
линейно независимыми решениями уравнения (1). Следова-
тельно, общее решение этого уравнения при любых Л можно
представить также в виде
a» = CA(z) + C2yx(z), (20)
где Ci и С2— произвольные постоянные. Кроме того, так как
/7л" и 77л’ выражаются через /х и /_л линейно и с определи-
телем
. е~Ля 1--г~ sm Ля i _ 2i
sin Ля
. е/Ля i sin Ля
sin Ля sin Ля
отличным от нуля и конечным при любом нецелом Л, то при
нецелом X общее решение можно представить еще в виде
+ (21)
При Л = п целом функции Jn и становятся линейно зависи-
мыми, ибо J_n(z) = (— \)nJn(z), и вместо (21) надо брать об-
щее решение в виде (19) или (20).
5) Цилиндрические функции мнимого аргу-
мента. В некоторых приложениях встречаются цилиндриче-
ские функции чисто мнимого аргумента z = ix. Из формулы
(28) предыдущего пункта вытекает, что функция у — J%(ix)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
y" + jy'-(l +^-)// = 0. (22)
Из разложения /Цз) в ряд находим:
S, 1 ;Kj2k / Y 1
< 1 1 (А) — Л V______________!________
k\ Г (Л + k + 1) \ 2 J k\ Г (Л + k -|- 1)
А=л k=o
х \x+2ft
Т/
Отсюда видно, что если мы хотим получить функцию, действи-
тельную при действительных К и х, мы должны умножить 7x(ix)
на постоянный множитель z . 1акое произведение
обозначается символом
W‘)='-u,sM“>=2 wW <23>
k=Q
Функция /-x(z) также является решением уравнения (22), и
если К не равно целому числу, то 7%(х) и /_х(х)— линейно
656
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[95
независимы. Если же к = п— целое, то из (23) и соотношения
/_п(г) = (—1)”/„(г) получаем:
/_„(?) = /„(?). (24)
Для получения второго решения линейно независимого с 1п,
здесь надо воспользоваться функциями, получающимися из дру-
гих цилиндрических функций. Наиболее употребительна из них
функция, которая получается из первой функции Ханкеля от
мнимого аргумента умножением на некоторый постоянный мно-
житель (Макдональд, 1899 г.)
Кк(х)==^е~Кя112нР(1х). (25)
Важность этой функции для приложений обусловлена тем, что
она является решением уравнения (22), положительным и стре-
мящимся к 0 при х—> оо по экспоненциальному закону (см.
формулы (17) следующего пункта). Пользуясь выражением (7)
функций Ханкеля через функции Бесселя, находим для неце-
лых А
Хя'72Д(/х)-е?Л('/Д_х(/х)
Х Л 2 sin Хл
или, вводя по формуле (23) функции 1\(х):
КЛх)
_ Л (х) - Д (х)
2 sin Ал
(2G)
Переходя здесь к пределу при А, стремящемся к целому чис-
лу п, и раскрывая неопределенность, получаем:
fC л-v- ^(х)1
2 L дк dk J, „
JA—fl
(27)
Отсюда можно получить и'разложение Кп(х) в ряд так, как мы
делали это для функций Вебера. Например, для п = 0 получим
Ко (х) = - Л> (х) In -£ + 4 S w (fe + 1)> (28)
k=0
где ф— логарифмическая производная гамма-функции. На осно-
вании формул (25) и (6) этого пункта для любых к получаем:
Кк(х) = К-к(х).
Легко проверить, что функции /x(z) и K>.(z) удовлетворяют не-
сколько видоизмененным рекуррентным соотношениям:
Д_1(г)-4+1(г) = ^-Д(г); Д_, (z) + IK+l (г) = 2I'K{z). (29)
Кл-! (г) - Кх+1 (*) = ~ V (г); + Кх+1 (г) =-2М (г), (30)
971
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
657
в частности,
(31)
При X, равном целому числу с половиной, эти функции выра-
жаются через элементарные; например,
/ о / 2~
//2 (г) = ]/ — sh z, /_./2 (г) = у — ch г;
К-/2 (г) = К-ч. (г) = У e~z (32)
В некоторых задачах встречаются еще цилиндрические функции
аргумента г = хУ—i = е3/л/4х. Для действительных и мнимых
частей этих функций введены специальные обозначения
Д,(х V—i)=-eKMl2IK(x Vi ) = berxx + i beixx,
е-Ъи/2^ у y. ) = kej^ x x,
U V—i) = herx x Д- i heix x.
(33)
Для л = 0 индекс обычно опускается, например,
/0 (х У — I) = /0 (х Уг ) = Ьег х + z bei х. (34
97. Асимптотические выражения для цилиндрических функ-
ций. Асимптотические выражения имеют различный вид в зави-
симости от того, считаем ли мы большим порядок X, аргумент х,
или обе эти величины (мы предполагаем, что они действитель-
ные). В соответствии с этим будем различать три случая:
1) Асимптотические выражения для больших порядков. Рас-
смотрим сначала первую функцию Ханкеля, которую мы возь-
мем в виде интеграла (4) предыдущего пункта
Н>.} (х) = -A- j* elx sin (1)
с,
где С]—контур рис. 199. Мы будем считать Х>х и обозна-
X 1
чим меньшее 1 число у = Формула (1) примет вид:
(х) = 1 J еК d? = J exf rfg, (2)
с, с,
где
£ , . . sing sh а , , . ( . ch <т \
f (g) =z —г-2-— = — cos S —Г----pff + z Stns—j-----S (3)
' ch a ’ ch a 1 \ ch a / '
(мы полагаем g=s4-ia). Для получения асимптотической фор-
мулы мы воспользуемся методом перевала п. 77. Седловые точки
658
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[97
находятся из уравнения
= й = о,
' 'ьи/ \ ch a j ’
откуда cos £о = ch а и
Со = ± га.
(4)
Линия наибольшего ската, проходящая через эти точки, опре-
деляется уравнением
Imf (С) = sins-^y — s = 0
(5)
(действительно, в седловых точках s — 0, о=±а), откуда
ch a = cha—Л—.
sin $
Она имеет вид, указанный на рис. 200 пунктиром, и состоит
из мнимой оси и двух дуг, асимптотически приближающихся
Рис. 200.
к прямым s = ±л. Из дуг этой линии
можно составить путь интегрирования, даю-
щий интегралу (1) то же значение, что и
путь С]. Мы обозначаем этот путь Ct и от-
мечаем его на рис. 200 жирным пунктиром;
этот путь состоит из луча (ioo,—аг), иду-
щего вдоль мнимой оси, и правой половины
нижней дуги линии наибольшего ската*).
Так как согласно (5) на кривой С] име-
ем Im/(0 = 0, то на ней
f(0 = -coss^- + a.
На оси а функция f (га) = а — -|^-
достигает максимума a — th а в точке
а=а и минимума th a — а в точке a= —a
^это вытекает непосредственно из рассмот-
df ch а . . \
рения производной = — тпт +
Легко видеть, что максимум в точке О = аг — единственный
максимум функции /(0 на линии Cj. Так как f(£o)=a— th a,
/"(£0)=tha и угол наклона линии наибольшего ската в точке
*) Для доказательства того, что С» и Ci дают интегралу (1) одинаковые
значения, достаточно заметить, что Cj может быть переведен в Ct посред-
ством деформации в ограниченной области и в полуполосе я — в < s < я,
о < —Af, где е сколь угодно мало, а М сколь угодно велико (эта область
заштрихована на рис. 200), причем интегралы по частям Ct и лежащим
в этой полуполосе, сколь угодно малы.
9П
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
659
перевала & = —л/2, то по формуле (18) п. 77 мы получаем
Нк}(х) « — e*(«-tha)-|/’ _J^L е ‘ —L-= — / 1/' —2---------------------------e4«-tha).
л ’ th а У к ’ nA, th а
Заменяя здесь tha = J/ 1 —ср~^~ где
р = — х2 и а = аг1Ь-у, получаем окончательно искомое
асимптотическое выражение первой ханкелевой функции боль-
шого порядка л:
(6)
(здесь надо считать х < л).
Совершенно аналогично находится и асимптотическое выра-
жение второй ханкелевой функции большого порядка
<7>
С помощью формулы (5) предыдущего пункта из оценок (6)
и (7) находим асимптотическое выражение бесселевых функ-
ций большого порядка
4(*) =
Н^(Х) + Н^(Х)
2
(8)
Если провести совершенно аналогичные
выкладки, рассматривая вместо (2) интег-
рал Шлеффли
W = i f * f e^f^ dZ
II П
(формула (10) n. 95; функция имеет
то же выражение, что и выше), и заменить
контур П рис. 198 контуром П рис. 201 —
частью линии наибольшего ската поверхности r=Ref(f;), то
вместо (8) получим другое асимптотическое выражение для
больших X
ц—л arth 4-
л
(9)
Подробнее на этих выкладках мы не останавливаемся.
По формуле (10) предыдущего пункта на основании (6) и
(7) находим еще асимптотическое выражение для функций
660
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
197
Вебера большого порядка
= (10)
2) Асимптотические выражения для больших значений аргу-
ментов. Будем считать х > Л. и обозначим меньшее 1 число
у — cos а (о < а < -у). Первую функцию Ханкеля можно пе-
реписать в виде
Нк}(х) = -у j e^(<sinE-itcosa)^ =_L J exg(l) Qp
c, c,
где
g (?) = i sin ? — it, cos a =
= —cosssha + ocosa-H'(sins - cha — scosa) (12)
лишь постоянным множителем
формулы
(3). Седловые точки
202.
Рис.
отличается от функции f(?) из
находятся из уравнения g'(Q =
— i (cos ?0 — cos a) = 0, откуда
?о — ±a. Линии наибольшего
ската, проходящие через эти
точки, определяются уравне-
ниями
Ini g (?) = sin s • ch a — s cos a =
= ± (sin a — a cos a),
или
, s sin а — a cos а
ch а = cos а — ±------------:--------
sms sins
Эти линии имеют вид, указан-
ный на рис. 202, каждая из
них
состоит из двух ветвей,
пересекающихся в
седловых
асимптотически приближающихся к мнимой оси и пря-
точках и
мым s =
Мы выбираем контур Сь представляющий одну из ветвей
линии наибольшего ската, проходящей через точку ?0 — а,
, s . sin а — a cos а
cho = cosayH7 +-------------,
по которому интеграл (17) имеет то же значение, что и по
на рис. 202 этот контур отмечен жирным пунктиром. На
имеется только одна точка стационарности функции
т = Re g (?) = — cos s sh a + a cos a,
97)
$ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
661-
именно, седловая точка £0 = а, и при приближении к обоим
концам Ci эта функция стремится^ к —оо. Отсюда следует, что
£о = а является единственной на Ci точкой максимума функции
т = Reg(£).
Так как у нас g/o) = г (sin а — acoscc), g"(so) — — i sin а и
& = — -у*), то по формуле (18) n. 77 мы получаем:
(x)~i/—
л v 1 г лх sin
ix (sm a—a cos a)— i —-
e 4
откуда, заменяя x cos a = A, sina = v/x, где у~Ух2 — А2 и
a —arcsin у, получим асимптотическое выражение первой хан-
келевой функции большого аргумента'.
/ у nv I
Совершенно аналогично получается асимптотическое выражение
второй ханкелевой функции
<14>
Если считать еще х » А, так что v — Ух2 — Л2 «= х, а —
= arcsin у -у, то последние формулы упростятся:
- /37° ~
(15)
Из формул (15), между прочим, вытекает утверждение, вы-
сказанное без доказательства в предыдущем пункте, о том, что
при любом действительном А функции Ханкеля M°(z) и Нъ} (z)
линейно независимы.
Из тех же формул на основании формул (5) и (10) преды-
дущего пункта мы получаем асимптотические выражения
*) Чтобы найти угол 0 заметим сначала, что линия Reg(g) = const, про-
ходящая через седловую точку go — а, имеет уравнение
— cos s sh о -|- о cos а = О,
главные члены которого в окрестности go записываются в виде
o(s— a) sin а-)-...== 0 (мы заменили cos s = cos а — sin a(s — а)+ ... »
sh о = а-j-...). Поэтому касательными к этой линии в точке go служат пря-
мые s — а и о = 0. Касательными к линии Img(g) = const в той же точке
по свойству сопряженных гармонических функций служат биссектрисы этих
прямых, т. е. 0 = ± -2-, следовательно, нужно взять Ф = —у.
€62
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
197
цилиндрических, функций I и II рода для значений х^К
(16)
Интересно отметить, что для значений параметра Х=±у эти
асимптотические выражения являются точными (для целых
К — п первая формула была получена
выше в п. 77).
Совершенно аналогичным образом
получаются асимптотические формулы
цилиндрических функций мнимого ар-
гумента для значений х >> л:
/х(х) = е~ 2 4(ix) ~ ~~== ех,
Кк(х) = ^-е 2 (1х) ~ е~*.
(17)
На их выводе мы не будем останавли-
ваться.
3) Асимптотические выражения для больших х и К. Если
считать х = X и положить
g (?) = i sin £ — iX, (18)
то
Нк}(х) =4" f =4-/ eXg(Orf?- (19)
c o.
и мы будем иметь лишь одну седловую точку в начале коорди-
нат £о = 0. Линия наибольшего ската
lmg(O = sinschff — s = 0 (20)
состоит из трех ветвей, проходящих через начало координат:
мнимой оси s = 0 и двух дуг, асимптотически приближающихся
к прямым $ = ±л (рис. 203). Из ветвей этой линии мы строим
контур 61 (обозначен на рис. 203 жирным пунктиром), который
дает интегралу (19) то же значение, что и Ci, и к этому кон-
туру применяем метод перевала.
Здесь в отличие от предыдущих случаев в точке перевала
g" (V) = —1 sin t, обращается в нуль и лишь g"'(0) = —i отлич-
на от нуля и поэтому формула (18) п. 77 неприменима. Элемен-
97)
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
663-
тарный анализ показывает, что тем не менее точка — О
является точкой максимума функции g(£) на и притом
единственной. В соответствии с идеей метода перевала для по-
лучения асимптотического выражения мы можем заменить
п'" (0) I
—- 7 g3 = — — g3 и кривую Ci малой окрестностью сед-
Ol О
ловой точки, или с той же степенью точности
W ~ v {Iе <6 + Jе ® V
где I — положительная мнимая полуось, а 1Г — касательная к
к участку II (см. рис. 203). Уравнением этой касательной служит
1
/з
а =
(что нетрудно получить из тейлоровского разло-
жения левой части (20)), и на ней g3 = (s -|- го)3 = /а (3s2 — а2) =
— 8га3, dt, = е 1 6 У ds2 + do2 = — 2е 6 do (знак — объяс-
няется тем, что у нас do < 0).
Поэтому полагая еще на участке I £ = io, мы получаем:
и мы получаем окончательно
<21>
В. А. Фок дал другую асимптотическую формулу для случая
У%2-х2~ У',
или, что то же самое, для конечных значений
'=(1Г (£-)•
Эта формула имеет вид:
M1)U)«--^(^r,/i^(/), (22>
г «ГС \ ^!
664
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[98
где
W (/)
е 3 d£
(23)
и L — контур, идущий от £ = оо до 0 по лучу arg£ =—2л/3, и
от £ = 0 до оо по положительной полуоси arg£=0. Эта функция
исследована и для нее построены таблицы. На выводе формулы
Фока мы не останавливаемся (см. В. А. Фок [10], стр. 55—60).
98. Графики цилиндрических функций. Распределение нулей.
Мы приведем здесь графики наиболее употребительных цилинд-
рических функций для положительных значений аргумента. На
рис. 204 и 205 сплошными линиями изображены графики функ-
ций Jo(x) и Уо(х). Для малых значений аргументов характер
98)
« 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
665'
этих графиков можно выяснить из представлений Л(х) и Yq(x)
в виде рядов. Для больших значений х можно воспользоваться
асимптотическими выражениями (24) предыдущего пункта, из
которых следует
У.(х) ~/Д-sin(x—i). (1>
Пунктирными линиями на тех же рисунках изображены гра-
фики функций Бесселя и Вебера первого порядка. Они полу-
чаются из графиков /о(х) и Y0(x) посредством графического-
дифференцирования на основании соотношений J,(x)= — Д(х),
Y, (x) = -Y'0(x).
На рис. 206 и 207 приведены также графики цилиндрических
функций мнимого аргумента
/0 (х) = Jo (ix) ~ -^== е\ /0 (X) = < (ix) - е-\ (2)
которые часто применяются в физике; на первом из них пунк-
тиром указаны также графики 7„(х) для п = 1, 2, 3, 4.
Функции Jn(x) и У„(х) имеют колебательный характер; их
частота примерно постоянна, а амплитуда убывает как l/Ух.
При этом функции Уп(х) при приближении к началу координат
стремятся к —оо.
Напротив, функции 10(х) и Ко(х) не имеют колебательного
характера: первая из них монотонно возрастает от значения 1
до оо примерно со скоростью показательной функции, а вторая
убывает от 4-ос до нуля.
!666
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(98
На рис. 208 приведен рельеф функции Jo(z), на нем нанесены
линии вдоль уровня модуля (через 0,2) и аргумента (через 30°),
Рис. 209.
сечение вдоль действительной оси дает график |Ув(х)|. Рис. 209
показывает рельеф той ветви Ho}(z), которая терпит разрыв
вдоль отрицательной действительной оси и стремится к 0 при
//-♦4-00- На нем нанесены линии уровня модуля (через 0,2) и
98]
5 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
667
аргумента (через 15°). На рис. 210 показана зависимость Д(х)
от двух действительных переменных х и \\ линии на поверхности
дают графики J0(x), h(x), До(х) и /х(2), Jx(4), ...
••.4(20).
Для практики большое значение имеют нули цилиндрических
функций. Рассмотрим вопрос о расположении нулей бесселевых
функций. Пусть А— действительное число, А > —- 1. Из фор-
мулы (33) п. 95, которую мы вывели при доказательстве орто-
гональности этих функций, для любых нулей z = а и z = 13-
функции A(z) вытекает соотношение
1
(Р2 —а2) / = (3}
о
Так как все коэффициенты разложения
t t , |' ZV- V (—О* (г \2k
( 2 ) М Г (А + k + 1) \ 2 /
£=0
действительны, то, очевидно,
JK(z) = JK(z).
(5>
Отсюда, в частности, вытекает, что если z— комплексный корень
уравнения Jx(z) = 0, то и z будет корнем того же уравнения.
Полагая в формуле (3) a =z, р — z и пользуясь формулой (5),
согласно которой JK(z)Jx(z) = |)x(z) |2, будем иметь:
1
(z2-z2) Jia('z)F'<«=0.
о
668
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(98
Но так как интеграл здесь не может равняться нулю, то
z2— z2 = 0, откуда либо г — г, либо z =—г. Таким образом,
при действительных X > —1 функция Jx(z) может иметь лишь
действительные или чисто мнимые нули.
Из полученной в предыдущем пункте для К 0 асимптоти-
ческой формулы
АД)-)/ -i^cos(x-^i-^) (6)
вытекает, что /Дх) имеет бесчисленное множество положитель-
ных нулей (в самом деле, /Дх) непрерывна и, как вытекает из
(6), бесконечно часто меняет знак). Но из формулы
/Д-г) = Д^/х(г), (7)
непосредственно вытекающей из разложения (4), видно, что
нули /Дг) расположены симметрично относительно начала ко-
ординат. Следовательно, /Дг) имеет и бесчисленное множество
отрицательных нулей.
Из (6) вытекает приближенная формула для нулей /Дх):
4-^, <8>
тем более точная, чем больше |й|. Приведем в качестве приме-
ра значения наименьших положительных нулей функции /0(х):
k 0 1 2 3 4 5 6
2,4048 5,5201 8,6537 11,7415 14,9309 18,0711 21,2126
Заметим, что приближенная формула (8) дает при k — 6 зна-
чение а<.0) —21,206 (точность 0,01).
Чтобы исследовать вопрос о чисто мнимых корнях /Дг), по-
ложим в формуле (4) z — xi, получим:
JK (г) _ 1 V ( х Vk 1
Zi 2 ) k\ Г (X + k + I) *
k~0
(9)
Пусть X — произвольное действительное число; так как А, + k 4-’
4- 1 для всех k, кроме конечного числа, имеет положительные
значения, то и все коэффициенты ряда (9), кроме конечного их
числа, положительны. Так как, кроме того, знак правой части
формулы (9) для больших | х | определяется знаком высоких
98]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
669
„ А (г) . -
степеней, то мы можем утверждать, что х > 0 для доста-
точно больших |г|, т. е. /Дг) =/= 0. Но на конечном отрезке мни-
мой оси целая функция может иметь лишь конечное чис-
ло нулей, следовательно, для любого действительного X функция
/х(г) может иметь лишь конечное число чисто мнимых нулей.
В частности, при X > —1 все коэффициенты ряда (9) положи-
тельны, следовательно, функция 7^(г) при X > —1 вовсе не
имеет чисто мнимых нулей.
Выясним некоторые особенности распределения нулей бессе-
левых функций. Для этого, прежде всего, обозначим
(10)
х
и заметим, что эта функция удовлетворяет дифференциальному
уравнению
xy" + (2k + i)y' + xy = Q, (11)
которое получается подстановкой /х, = х~'-у в уравнение цилинд-
рических функций.
Пусть а будет любой положительный нуль производной у',
тогда уравнение (11) при х = а принимает вид у" (а) -ф у (а) =
= 0. Но г/(а) не может равняться нулю, ибо тогда из условий
у(а) = 0, £/'(а) = 0 по теореме единственности*) решения на-
чальной задачи дифференциального уравнения (11) следовало
бы, что «(х)е=0. Поэтому у(а) и у"(а) имеют различные знаки.
Пусть теперь а и р(р > а) будут два соседних положитель-
ных нуля у'(х), так что у'(х) =И= 0 на интервале (а, р). По изве-
стной теореме Ролля на интервале (а, р) лежит хотя бы один
нуль у"(х), точнее, нечетное число таких нулей. Отсюда следует,
что у"(а) и £/"(Р), а значит у(а) и t/(p), имеют разные знаки,
т. е. что на интервале (а, р) лежит хотя бы один нуль у(х).
Но больше чем один нуль у(х) на (а, р) лежать не может, ибо
тогда на этом интервале лежал хотя бы один нуль у'(х), что
противоречит принятому нами условию. Таким образом, можно
утверждать, что положительные корни у(х) и у'(х) взаимно
разделяют друг друга. То же самое справедливо и для отрица-
тельных нулей.
Далее заметим, что рекуррентное соотношение (18) п. 95 пе-
реписывается в виде
(12)
*) Точка х = а является правильной точкой уравнения (11)*
670
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(99
Следовательно, нули у'(х) совпадают с нулями 7х+1(х); с другой
стороны, из (10) видно, что нули у(х) совпадают с нулями 1\(х).
Таким образом, полученное выше утверждение можно формули-
ровать так: нули бесселевых функций порядков, отличающихся
на 1, взаимно разделяют друг друга. Мы снова обнаруживаем
сходство между бесселевыми и тригонометрическими функциями:
нули cos (х 4-А.у) и cos р + (Л + 1)у]. очевидно, также раз-
деляют друг друга.
99. Примеры. Приложения. 1) Теорема сложения для бессе-
левых функций. Для любого целого п и комплексных г( и Zz
Zn(Z!-|-Z2)= 2 Zfe (Zi) (1)
&=—OO
Доказательство вытекает из теоремы сложения для показательной функ-
ции и определения 1п с помощью производящей функции. Имеем:
2 Jn (Zl 4-z2) wn — e 2 — e 2 «’A
n=— oo
разложим теперь в ряды функции
— (а,—L\ оо —(w——00
е2 V 2 а21' *'= 2
П=— OO fc=—ОЗ
и перемножим разложения, располагая произведение по степеням w. Будем
иметь:
2 4 («1 + z2) о>'* = 2 I (Zi) 4-4 (z2) ] ю",
ОО Hssa—ОО I fe=— ОО J
откуда в силу единственности разложения в ряд Лорана для любого п = О,
±1, ±2, ... получаем формулу (1).
2) Примеры дифференциальных уравнений, решаемых
в цилиндрических функциях. Важный класс примеров линейных
дифференциальных уравнений второго порядка, решаемых в цилиндрических
функциях, дает уравнение
х2у" + аху' + (6 + сха) у — О, . (2)
где а, Ь, с и а — некоторые постоянные, причем с и а отличны от нуля*).
Действительно, перейдем в уравнении (2) к новой независимой перемен-
ной t и новой искомой функции и, положив
х = kt^, у — t4u, (3)
*) Если с или а равно нулю, то уравнение (2) решается в элементарных
функциях.
991
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
671
где g, v и k — некоторые постоянные. Заменим
У dt dx у dt dx
dt dt
и вычислим производные в правой части этих формул, используя соотноше-
ния (3). Подставим этн выражения в уравнение (2). После сокращений при-
дем к уравнению вида
t2u" + [2v + (а — 1) g + 1] tu' + [cp2ka 4- (а — 1) gv 4- bp2 4- v2] и — О,
где и' и и" обозначают производные по t. Если подобрать постоянные р, v
и k так, чтобы '
2v + (а — 1) g = 0, ар = 2, ср2Ла=1 (4)
(это всегда возможно, если а и с отличны от 0), то наше уравнение при-
мет вид
t2u" 4-/и' 4-(/2 — X2) и = 0. (5)
где
Z2 = — [(а — 1) gv 4- &Р2 4- v2] = v2 — бр2 (6)
т. е. будет совпадать с уравнением цилиндрических функций с индексом X.
3) Интегралы, содержащие бесселевы функции. Приме-
нив теорему подобия п. 80 к формуле (7) п. 82 для изображения цилиндри-
ческой функции, найдем:
Ьп
’ у pi ц- ь2 (К р2 4- Ь2 4- р)п ’
По формуле для преобразования Лапласа (заменяя в ней для симметрии р
на а) будем иметь:
ОО
Г 4 hn
e~atJn (bf) dt = > ,. . (8)
J У a2 4- b2 (У a2 4- &2 4- a)
При n = 0 получим, в частности, интеграл (Липшиц)
ОО
j W)"' (8)
о
который сходится при Re а 0.
Заменяя в (8') а на ai, получаем:
, —|а|>|б|
У а2 - Ь2 1
(можно проследить, что V означает здесь ветвь, принимающую положи-
тельные значения при действительных а и Ь). При действительных а и Ь,
672
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
|99
отделив действительные и мнимые части, найдем интегралы (Вебер)
/0 (at) cos bt dt =
1
/а2 - &2 ’
О
Jo (at) sin bt dt =
0,
1 0)
V b2 — a2
(верхняя строка относится к
Пусть а > Ь; интегрируя
случаю а > Ь, нижняя — к случаю а < Ь).
первую из формул (9) по Ь, найдем:
co Ь
Г , . sin bt ,, f db
J y==
о 0
(0<Z><a).
Интеграл слева сходится также при b — а, и в пределе при b -> а мы
получаем для любого а > О
ОО
I .... sin а/ , л
Jo (at)—-—dt — arcsin 1 = -£- (10)
о
(законность предельного перехода можно обосновать). С другой стороны,
интегрируя ту же формулу (9) на отрезке (Ьо, Ь), а < Ьо <_Ь, получаем:
ОО
f f sin bt sin bot I ,, n
J h (at) <---------------\dt = °>
0
откуда, переходя еще к пределу при Ьо-+а (законность предельного пере-
хода также можно обосновать), находим с учетом (10)
ОО
f , , rt sin bt л
J 7o (at) —-t— dt = ~ (h > a).
o
Таким образом, объединяя найденные результаты, мы получаем:
оо I Ь
“ I arcsin—,
I sin bt ..I a
Jo (at) —-—dt = \ (11)
J tin
° IT’
где первая строка относится к случаю 0 < Ъ а, а вторая — к случаю Ь^а.
Мы имели также формулу
ОО
]'e-PM2/,1(2/7)dT=-7^Te-|/p (12)
о р
(см. (3) п. 82 и формулу Лапласа для преобразования); полагая в ней
т — a2t2/4 и р = 4Ь2/а2, получаем еще один интеграл (Вебер)
ОО
J /„ (at) dt = —да- eaW . (13)
ft !
991 § 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 673
4) Интегралы Сонина. Из представления Jm (х) в виде ряда на-
ходим:
1т (х sin t) sinm+11 cos2n+’/ — V J.——--------------sin2'"’1’2*4’11 cos2'’4"'/
2m+2^! Г (m + k + 1) 1 cos
Интегрируя это соотношение почленно по t от 0 до л/2 (это законно при
ш>“1, п>—1) и используя формулу (5) п. 90, будем иметь:
л
2
J Jrn (х sin 0 sinm+11 cos2rt+1 t dt =
о
S°° (-l)fexm+2fe 1 Г (w + fe+ 1) Г(л+ t)
4m+-kk\Y (m +k+ 1) 2 Г(»г + лг + ^ + 2)
k—'J
_ г . П 2" V (-0* / -v \m + n+2ft + l _
x'H~‘ L Wr(m + n + fe + 2) (2/
= r (« + 1) 7m+,i + i (x),
ИЛИ
oo
1 /*
/m+n+1 W = 2„r _|_ !)~ J (* sin 0 sinm+I t cos2,I+4 dt (14)
0
(m, n>—1). Этот интеграл получен H. Я. Сониным.
Аналогично получается второй интеграл Сонина
л,
2
J ]т (х sin t) Jn (у cos t) sinm+11 cosrt+1/ dt =
__ xmynJn+m+i (Kx2 + y2)
(x2 + j/2)(m+'l+1)/2
(in, rt > — 1).
(15)
H. Я. С о н и н у принадлежит также формула
00
j" 7/n (°0
0
]n(bVt2 + x^
(t2 + x2)nl2
tm+l dt =
Jn-m-i (xVa2 — b2);
°<я<£>, ([6)
а > b >0.
Для вывода этой формулы
фли (9) п. 95 при Л > — 1
мы заметим, что в интеграле
по лемме Жордана можно
Сонина — Шлеф»
заменить кон гур
674
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(99
интегрирования С* прямой 1т£ = с>0. Мы получим новое интегральное
представление бесселевой функции (Сони н)
С—(оо
(17)
Заменив в левой части формулы (16) Jn
найдем, что эта левая часть равна
(6 К/2 + х2) по формуле (17),
(мы заменили 2£/& = со и воспользовались тем. что при 6>0 эта замена не
изменяет пути интегрирования). Переставляя здесь порядок интегрирования
и пользуясь интегралом Вебера (13), находим:
-Л- ®-я-1е 2 ' </со е-ь‘2‘"2а/т (at) tm+' dt =
2ni J J
C— zoo 0
c+'°° b2—a! bx2
=-----r e 2b 2(Л v>m-n da. (18)
2nibm+l J '
C—(oo
При a > b этот интеграл равен нулю; действительно, в Этом случае коэф-
фициент при со в показателе степени е отрицателен и по лемме Жордана
интеграл можно получить как предел интеграла по отрезку (с — id, c + id),
дополненному правой полуокружностью, но внутри такого контура под-
интегральная функция правильна. Вторая часть формулы (16) доказана.
При а < b по той же формуле Сонина (17) находим:
c+z’oo L? О 1
г _ Ъх
-2-г е 2& <om-nrfco =
2лг J
с— ZOO
1 / t/*T>--5Чп-т-1
= (- --а ) - U К*2 - И2 )
( 2Ь
1мы заменили со = ^2 _ аг £ и применили формулу (17) для Л = п — т — 1,
z = xVb2 — a2'^. Подставляя найденное значение интеграла в формулу (8,1)
получим и первую часть формулы Сонина (16).
99)
§ 3, ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
675
5) Интеграл теории электромагнитных волн. Выведем
формулу
(19)
V р2 + а2
которой мы уже пользовались в п. 87 при решении задачи о распростране-
нии волн в длинных линиях. Мы исходим из интеграла Сонина (8) п. 95;
положив в нем п = 0 и z = a У~12 — т2, будем иметь
Jo (а 1Л2-т2)
Заменим здесь
, с aVp-v ( 1\,
J_ f е------2--
2лг J и
|и|=|
окружность | <0 | = 1 перейдет при этом в окружность | £ | —
точку 5 = 0,
получим:
и так как подынтегральная функция имеет лишь одну особую
то эту окружность можно заменить окружностью | £ | = 1. Мы
У0(а/^^)=-Ц- I Л с)+2 (20)
2ш J Q
1С1=1
Пользуясь этой формулой, найдем изображение по Лапласу левой части
(19); считая т > 0 и, как всегда, Re р > 0, имеем:
J e-^/0(a/z2-T2)rf/ =
(мы изменили порядок интегрирования). Во внутреннем интеграле действи-
тельная часть коэффициента при t в показателе степени равна
Re р —
Re (р — al sin q>) = Re р >0
(мы полагаем ?= е11р и считаем а действительным числом); поэтому инте-
грал сходится и легко вычисляется:
т
dt = -------
Р —
Подставив это значение в интеграл (21), найдем:
---— > е~^р
2 — т2) dx — —
аш
eaxt ________
g2 - — £ - 1
5 а
676
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
|99
Подынтегральная функция имеет здесь два полюса: 2
= р ± I4/?2 + а2
а
НЗ которых один лежит внутри круга | g |< 1, а другой — вне его, ибо ?i?2=
= — 1. При условии Rep>0, Re Vр2 + а2 > 0 внутри круга лежит корень
= — (р — Vp2 + а2) и по теореме о вычетах последний интеграл равен
ОО
(* _______ л-ър
e~ptJ0 (a Yt2 — т2) dt =--------—
J ат
т
<zTg, p-xVp^+a1
2л1-------------= £ -.
2£2 — 2 — 'р2 + а'г
что совпадает с формулой (19).
Точно таким же образом получается более общий результат: для любого
целого неотрицательного п
П (/ - т) (/ - т)п и £ У)Р+> OV+J-P)'1 (22)
(/2 — T2)rt 2 /р2+1
6) Задача Бернулли о колебаниях висящей цепи.
В 1732 г. Даниил Бернулли поставил и решил задачу о колебаниях вер-
тикально висящей тяжелой цепи. Пусть однородная тяжелая цепь А МВ
длины / подвешена вертикально в точке В и под действием
'////&///// силы тяжести совершает малые колебания вокруг положения
равновесия. Если обозначить через t — время, х — длину цепи
\ от точки .4 до переменной точки М и через и = и{х, t) —
\ отклонение точки М от вертикали (рис. 211), то уравнение
\ малых колебаний будет иметь вид:
\ М д2и I д2и , ди \
-д^==е\Х^+-д^)’ (23)
где g— ускорение силы тяжести. Следуя Бернулли, будем ре-
\\ шать это уравнение методом разделения переменных. Для
[ Ц этого прежде всего найдем его частное решение, имеющее вид
’ т произведения двух функций, из которых одна зависит лишь
Рис 211 от пеРемени°й х’ а ДРУгая лишь от t:
И ' и = X (х) Т (/).
Подставляя это в (23), после простых преобразований будем иметь:
Т" (/) хХ" (х) + X' (х)
Т(Г) ~8 Х(х)
Так как слева здесь стоит функция одного t, а справа — функция одного, х,
то равенство возможно лишь в том случае, когда обе части равны одной и
той же постоянной, которую мы обозначим через — оз2*). Тогда последнее
уравнение разобьется на два:
Т" (/) + и>2Т (t) = 0; хХ" (х) + X' (х) + -у X (х) = 0. (24)
Решение первого уравнения имеет вид:
Т (f) = A sin («й + <р)
*) Эта постоянная должна быть отрицательной, ибо в противном слу-
чае, как Видно хотя бы из первого уравнения (24), решение не будет иметь
колебательного характера, что противоречит физическим соображениям.
99]
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
677
где А и ср — некоторые постоянные, а второе уравнение имеет вид уравне-
<о2
ния (2) этого пункта при а=1, b = 0, с — <х=1. По формулам (4) на-
ст
ходим ц = 2, v — 0, k = н, следовательно, подстановка (3), которая
в нашем случае имеет вид * **)) х = или ~ 2со у —, приводит урав-
нение к виду уравнения цилиндрических функций с индексом Л = 0, как видно
из соотношения (6). Таким образом, общее решение второго из уравне-
ний (24) имеет вид:
Х(х)—В10 (2о>-|/ f) + Cr° (2“ ]/ ~
где В и С — постоянные. Из физических соображений ясно, что при х->-0
решение должно оставаться ограниченным, следовательно, С = 0; постоян-
ную В можно считать равной 1, ибо в выражение для Т уже входит произ-
вольный множитель А. Таким образом мы находим частное решение урав-
нения (23) в виде ___
и = AJ0 ^2со у/" у j sin (ш/ + ср). (25)
Величина ш здесь не может иметь произвольного значения, ибо из того усло-
вия, что цепь подвешена в точке В, мы находим, что м(/,/)=0 для всех /.
Это возможно лушь в том случае, если
70(2а>|/' у) = 0. (26)
ak
откуда ® = afc = —у у. где ах-
нули бесселевой функции нулевого по-
рядка.
Уравнение (25) показывает, что все
точки цепи совершают гармонические
колебания с одинаковой частотой =
ak /~~g
— 1/ у и с амплитудой, меняю-
щейся от точки к
точке по закону
Частоты колебаний и форма колеблющейся цепи могут быть различными, в
зависимости от того, какой нуль а/, функции /»(х) рассматривается; на ри-
сунке 212 изображены законы изменения амплитуд точек цепи при k — 0,
1, 2. Обычно колебания цепи представляют собой наложение колебаний (25)
с различными амплитудами и начальными фазами
и (х, 0 = 2 AkJa \ak у -у sin (у/ + <pfe).
А=0
(27)
*) Замена неизвестной функции излишня, ибо v — 0.
**) При х = 0 функция Jo(x) = 1, следовательно, постоянная А озна-
чает амплитуду колебаний свободого конца цепи.
678
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
Чтобы определить коэффициенты Ak и cpfe, надо задать начальные отклоне-
ние и скорость точек цепи, т. е. и (х, О') — f (х), = <р (х). Тогда будем-
ot 1/=о
иметь условия
ОО ___ оо __
f W = 2 Vo (аА т) Sin Ф* **)’ 8 W = S A^kJ0 (аА V т) C0S
k=0 k=0
которые, обозначая V^x/l = т и f (/т2) = F (т), g [lx2) = G (г), можно пере-
писать в виде обобщенных разложений Фурье
ОО оо
F (т) = 2 Ak sin Vo (afeT)’ G W = S Akak cos Vo (afeT)- <28>
k—Q k—Q
Из этих двух разложений по формулам (38) п. 95 можно найти все
коэффициенты А^ и q>k.
В работе, опубликованной в 1732 г. в комментариях в Петербургской
Академии наук, Д. Бернулли решает второе уравнение (24) с помощью ряда,
-приходит к условию (26) и замечает, что цепь может иметь бесчисленное
множество форм колеблющейся нити.
7) Задача Эйлера о колебаниях круглой мембраны.
Прогиб и = u[x,y,t)—отклонение от равновесного состояния мембраны*),
совершающей малые колебания под действием сил натяжения, подчиняется
уравнению
д2и ,
~di2~a
(29)
где а2 = Т/о, Т — натяжение и а — поверхностная плотность. В работе, опу-
бликованной в 1764 г., Л. Эйлер рассмотрел задачу о колебаниях круглой
мембраны. Эйлер исходил из уравнения
Да 1 ди д2и \ _______ д2и
дг2 г дг + dip2 ) dt2 ’
(30)
соответствующего уравнению (29) в полярных координатах. Для построения
частных решений уравнения (30) Эйлер полагает u = /?(/)sin(w/4-y)sin(Z<f-)-6),
где со, X, у и б — постоянные, и после подстановки в (30) получает
r2R" + rR’ + I г2 - Л2) R = 0. (31)
После перехода от г к новой переменной р = гсо/а последнее уравнение при-
нимает обычный вид уравнения цилиндрических функций
р27?" + ptf + (р2 - V) R = 0. (32)
Из физических соображений ясно, что период функции по ср должен быть
равен 2л, следовательно, X должно быть целым числом. Для таких значе-
ний Л Эйлер дал решение уравнения (31) в виде ряда**). Таким образом.
*) Мембраной называется тонкий слой из свободно гнущегося и мало
растягивающегося материала, пример — барабанная пленка.
**) В более поздней работе Л. Эйлер рассмотрел также случай не-
целого X.
99}
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
679
Эйлер получил частное решение уравнения (31) вида
и = Aln I sin + т) sin (п<Р + 6).
(33)
Если мембрана закреплена на концах, то при г == г«, где г» — радиус мем-
браны, должно быть Н—^ = 0, откуда — где a(fert) — fe-й
нуль функции J„(x). Эйлер замечает также, что
существует бесчисленное множество возможных
колебаний мембраны.
При п — 0 функция и не зависит от ф:
и = (afe 77) sin (®feZ + Yfe)> (34)
т. e. все точки мембраны, находящиеся на одина-
ковом расстоянии от центра, колеблются одина-
ково. Точки мембраны совершают гармонические
колебания, с одинаковой частотой ш. =-----------и с
й Го
амплитудой
зависящей от расстоя-
Рис. 213.
ния точки до центра. На рис. 213 изображены законы изменения амплитуды
колебаний отдельных точек мембраны при k = 0, 1,2.
Самый общий вид колебаний мембраны получается сложением всех
колебаний (33) при различных п и k
ОО
“ = У А^п (akn> ~ ) sin (<o^V + sin (и<р + б„й).
п, fe = 0
(35)
При заданных начальном положении и отклонении мембраны коэффициенты
Ank, \пк, бпл можно найти, пользуясь ортогональностью систем тригоно-
метрических и цилиндрических функций.
8) Мгновенный цилиндрический источник тепла. Пло-
ско-параллельный поток тепла, в котором распределение температуры и во
всех плоскостях (П), перпендикулярных какому-либо фиксированному напра-
влению, одинаково, описывается дифференциальным уравнением
ди __ 2 / д2и д2и \
dt а \ дх- ’ ду2)’
(36)
где t — время, а — постоянный коэффициент и х, у — декартовы координаты
в одной из плоскостей II. Непосредственным дифференцированием прове-
ряется, что функция
(х—5)г+(д-ч)г
где A, g и т) — постоянные, удовлетворяет уравнению (36). Очевидно, что
при t 0 в любой точке г = х + iy, отличной от £ = Ц- й), функция и 0,
а в точке £ эта функция -> оо. Можно поэтому говорить, что (37) физически
означает температуру, возникающую в точке г от действия мгновенного
точечного источника тепла, помещенного в момент t = 0 в точке £.
680
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[99
Вычислим суммарную температуру, возникающую в точке z от действия
мгновенных точечных источников тепла, при t — 0 равномерно размещенных
вдоль окружности |£| = р. Мы будем считать, что эффект от источников,
размещенных на малой дуге pdd этой окружности, равен эффекту от одного
точечного источника. Тогда температура от действия этих источников опре-
делится по формуле (37) *):
| z—£ Is r2+p2—2pr cos 9
. A dd 4a2t Add "" 4а2/
du = —-— e == —j— e ,
где мы считаем z = rei4>, g=pe<('&+’₽> (рис. 214). Интегрируя это выраже-
ние по О' от —л до л, найдем искомую суммарную температуру
г’--И»1 " рг „
_ A 4a2i Г ~2a2t COS ®
и~ t е J е
dv.
—л
Функцию cos О' здесь можно заменить на sin fi1, ибо эта замена сводится
лишь к замене переменного fi1 на Ф-вместо пределов интегрирования
Зп л
,.у -----2~, -g- можно снова взять — л, л, что
j ~ не меняет величины интеграла. Вспоминая
ss'‘ ' тогда интегральное представление Бессе-
/ Л-г/вля (Ч) п. 95 для функции /o(z), мы получаем
/ 1 выражения для и в виде
f _ЖДЕ-
\ s >38)
;--' Для выяснения физического смысла констан-
ты Л подсчитаем суммарное количество теп-
Рис. 214. ла, которое нужно для того, чтобы получить
в плоскости z наше распределение температур.
Если обозначить через с удельную теплоемкость и через о—поверхностную
плотность вещества, то количество тепла на элементе площади г dr dtp будет
dQ = сайг dr dtp, а на всей плоскости
2Л ОО р2 ОО г2
ЛЧ Г л Г . 2лЛссг 4^Fn Г ыч . ( рг \ ,
Q = са аср иг dr —-----------------—е 2л е г аг.
J %) * v \ t /
0 0 о
Учитывая интеграл Вебера (13) этого пункта ^в нем п, а и Ь2 в нашем слу-
„ pi 1 \
чае равны соответственно 0, -^-г— и 2^-1, находим:
“________Г2 Р2
| 4a2t , ( рг \ „ 4а2/
I е \r dr = 2a2te .
о
*) Мы пишем du и A dd вместо и и А, чтобы подчеркнуть, что наши
Величины относятся лишь к малой дуге р df>.
99
§ 3. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
681
Следовательно, Q — 8л2Асоа2 и выражение для и примет окончательный вид
Г2 + Р2
Q 4аЧ . ( рг \
4na2cot °\ 2a2t )'
(39)
Переходя от плоского теплового поля к пространственному плоско-па-
раллельному, можно считать, что формула (39) дает выражение для темпе-
ратуры, возникающей от действия мгновенных источников тепла, в момент
t = 0 равномерно размещенных на некотором цилиндре (цилиндрический
источник тепла). При этом Q означает суммарное количество тепла, заклю-
ченное в полосе шириной 1 и перпендикулярной к оси цилиндра.
9) Задача на теплопроводность в круглом цилиндре.
Пусть на поверхности круглого цилиндра радиуса р поддерживается темпе-
ратура, равная «о cos со/. Найдем распределение температур при условии,
что начальная температура внутри цилиндра равна нулю.
Поскольку задача обладает осевой симметрией, естественно перейти
к цилиндрическим координатам г, ср, г. Но так как здесь и не будет зависеть
от г и от ср, то уравнение теплопроводности примет вид:
ди „ ( д2и
-дт- = ° тт
dt \ дг2
1 ди \
+ ~ дг /
(40)
причем начальными и краевыми условиями будут и 0 = 0, и |r=p=Uo cos со/
Задачу будем решать операторным методом. Переходя к преобразованию
Лапласа по переменной /, получим операторное уравнение
dr2 г dr а2
которое надо решить при условии
U 1г=р ~ р2 + со2'
Общим решением операторного уравнения согласно формулам (32) п. 91
и (20) п. 96 будет:
ри0
U = AJ0
+ BY0
(у нас X = 0, а = —
при г -> 0, то 8 = 0 и
, причем, так как U должно быть ограниченным
U = A!a
Подставляя граничное условие, найдем А10
телыю, операторное решение имеет вид:
р«о
„ , и следова-
р2 + со2
'о
U = и0 —
/о
(41)
Функция U (р) имеет бесчисленное множество полюсов, из которых два чисто
I aak \2
мнимые: р= ± /со, а остальные отрицательные: pft = — ——] , — нули
Р
682
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1100
}а (х) (fe = 0,l, ...). Согласно первой теореме разложения п. 82 оригинал
найдется как сумма вычетов функции U (р) ept во всех ее полюсах, т. е.
и (г, /) = Uo
}' (ak) a4ak + Р4®2
где первый член дают полюсы р = ± zco, а сумма относится к полюсам
/ аа. \2
Р^—— — j Если заменить согласно формуле (34) п. 96
/ 0 (. х е 4 ) = 10(х Vi ) = ber х + i bei х
УМ ak
и для простоты записи обозначить —— = Л, -у = то последняя формула
перепишется в следующем окончательном виде:
{ber V ber Лр + bei V bei Лр , ,
-------- cos wt +
ber2 Лр + bei2 ?.р
ber V bei Лр — bei V ber Лр 2e4 ж-д -a2P?/ 70(r₽A $k I
ber2 Лр-j-bei2Лр p ~ A)(P0li) a Pfc w I
(42)
§ 4. Эллиптические функции
В этом параграфе мы рассмотрим свойства эллиптических
интегралов и эллиптических функций. С одним эллиптическим
интегралом и обращающей его функцией sn мы уже встречались
в п. 39, когда рассматривали задачу о конформном отображении
прямоугольника на полуплоскость. Эллиптические функции
встречаются во многих задачах динамики твердого тела, аэро-
динамики, электротехники, теории упругости и др.
Эллиптические интегралы изучались еще Лежандром в кон-
це-XVIII столетия, теория эллиптических функций создана, в ос-
новном, в XIX столетии совместными усилиями крупнейших ма-
тематиков (Абель, Якоби, Лиувилль, Вейерштрасс).
Мы начинаем с изложения общих свойств мероморфных пе-
риодических функций, в совокупность которых входит, в част-
ности, и класс эллиптических функций.
100. Периодические функции. Функция f(z) называется пе-
риодической, если для всех значений z из области своего опре-
деления она удовлетворяет функциональному уравнению
f (г + Г) = /(*), (I)
100]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
683
где Т 0 — некоторая постоянная, называемая периодом функ-
ции *).
Периодическая функция непременно обладает бесчисленным
множеством периодов. Действительно, имеет место
Теорема 1. Если Tiy Т2, ..., Th (/г 1) являются перио-
дами функции f(z), то и любая их линейная комбинация с целы-
ми (отрицательными, нулевыми или положительными) коэффи-
циентами
Т = П[Т{ -ф- п2Т2 + ... ~[-nkTk
также является периодом этой функции.
В самом деле, для неотрицательных пч утверждение очевид-
но, ибо многократное прибавление периода к аргументу не изме-
няет значения функции. Чтобы доказать его для отрицательных
nv, достаточно показать, что наряду с Tv периодом f(z) служит
и — Tv. Но, действительно, для любого z, в силу уравнения (1),
f(z-7’v) = H(z-7’v) + M = f(2)(
а это и означает, что — Tv является периодом f(z).
Во всем дальнейшем изложении мы будем считать функцию
f(z) однозначной и мероморфной — мы особо выделяем ус-
ловие однозначности, чтобы подчеркнуть, что для многозначных
аналитических функций излагаемая теория не имеет места. Ради
наглядности формулировок мы будем изображать периоды f(z)
точками плоскости z. Перейдем к выяснению структуры множест-
ва периодов. Докажем прежде всего одну лемму.
Л е м м а. Множество периодов мероморфной функции f(z)
=ё const не может содержать никакой последовательности, схо-
дящейся к конечной точке плоскости.
Действительно, пусть существует последовательность перио-
дов Tv, сходящаяся к конечной точке Т, и пусть z0 — произволь-
ная правильная точка f(z). Сходящаяся к нулю последователь-
ность Ту = Tv+l — Ту по теореме 1 снова будет последователь-
ностью периодов f(z). Таким образом, для любого v = 1, 2, ...
f(z0 + fy) = f(z0).
Но последовательность точек zv = z0 + Tv сходится к Zo и в точ-
ках этой последовательности f(z) принимает одно и то же зна-
чение; по теореме единственности отсюда следует, что f(z) s
= const, а это противоречит условиям теоремы.
Полную характеристику множества периодов дает следую-
щая
*) Область определения периодической функции должна, следовательно,
вместе с любой точкой z содержать и точку г + Т.
684
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(100
Теорема 2 (Абель). Мероморфная функция f(z) может
иметь самое большее два линейно независимых периода. Иными
словами, существуют два периода хит' таких, что любой пе-
риод Т функции f(z) имеет вид:
Т — пт + п'т', (2)
где пип' — целые числа.
Доказательство разобьем на две части:
1) Пусть на некоторой прямой L, проходящей через начало,
лежит хотя бы один период Т° функции f(z); покажем, что тогда
множество всех периодов f(z), лежащих на L, имеет вид:
Г = пт, (3)
где п = 0, ±1, ±2, ... ит — некоторое комплексное число. Дей-
ствительно, на отрезке ОТ0 прямой L по лемме может лежать
лишь конечное число периодов f(z) (в противном случае на L
существовала бы последова-
тельность периодов, сходя-
щаяся к конечной точке). По-
этому на ОТ0 существует наи-
меньший по модулю период
f(z). Обозначим этот период
через т и покажем, что любой
период f(z), лежащий на L,
имеет вид (3). Предполагая
противное, допустим, что на L
существует период Т, лежа-
щий между какими-либо дву-
мя точками пт и (п4-1)т.
Тогда Т представляется в виде
Т— (п + Ф)т, где 0<О<1
и по теореме 1 периодом f(z)
будет служить также т — ёт.
на отрезке От, где по нашему
Противоречие и доказывает
Но этот период должен лежать
построению нет периодов )(г).
утверждение.
2) Предположим, что наряду с периодами (3) f(z) обладает
еще какими-либо периодами, не лежащими, следовательно, на
прямой L. По лемме существует наибольший круг с центром в
точке z = 0, который не содержит таких периодов (периоды, ле-
жащие на L, мы не принимаем во внимание). По той же лемме
на окружности этого круга лежит лишь конечное число перио-
дов и, следовательно, существует период, ближайший к прямой
L при движении против часовой стрелки от положительного на-
правления L; этот период мы и обозначим через т' (рис. 215).
Покажем, что любой период f(z) имеет вид (2). Для этого, пред-
100]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
685
полагая противное, допустим, что существует период
f = (п + $) х + (п' + Ф') х',
где пип' — какие-либо целые числа и 0 О иД 1, 0 0' сД 1,
причем в и не являются оба целыми (равными 0 или 1). По
теореме 1 тогда и
х = От + О-V
будет периодом f(z). Но этот период лежит в параллелограмме
с вершинами 0, х, х', т + х и не совпадает ни с одной из его вер-
шин. По нашему построению он не может лежать в части парал-
лелограмма, заштрихованной на рис. 215, т. е. внутри треуголь-
ника Отт'. Следовательно, он лежит в другой части, но тогда
точка т' = т + т'—т, которая также является периодом f(z),
лежит в треугольнике Отт' и не совпадает ни с одной из его
вершин, что противоречит нашему построению, ибо в этом тре-
угольнике нет периодов f(z). Теорема доказана.
Числа т и т', участвующие в доказанной теореме (а также —т
и —т'), называются основными периодами функции [(г). Из этой
теоремы вытекает, что все мероморфные функции делятся на три
класса:
1) Непериодические функции. Для них оба основных периода
равны нулю, т = т' = 0.
2) П росто-периодические функции. Для них один из основ-
ных периодов, например т' = 0, равен нулю, а другой отличен от
нуля. По теореме 2 все периоды просто периодической функции
представляют собой целое кратное основного периода т. Приме-
ры таких функций дают элементарные функции ez (основной пе-
риод т = ±2лг), sin z, cos z (основной период т = ±2л), tg z,
ctg z (основной период х = ±л) и др.
3) Двоякопериодические функции. Для них оба основных пе-
риода т и т' отличны от нуля. По теореме 2 тогда отношение т/т'
не может быть действительным и все периоды функции имеют
вид:
Т = пх-\-п'х' (п,п'~0, ±1, ±2, ...).
Двоякопериодические мероморфные функции и называются эл-
липтическими.
Основным свойством эллиптических функций будут посвяще-
ны следующие пункты этого параграфа. Здесь же мы приведем
ряд предложений, относящихся к любым (просто или двояко)
периодическим функциям.
Обозначим через т основной период функции f(z) и через
все точки пх(п = 0, ±1, ±2, ...), лежащие на прямой L, про-
ведем прямые, параллельные какому-либо направлению, отлич-
ному от направления L. При этом вся плоскость разобьется на
686
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[100
полосы равной ширины, которые называются полосами периодов.
Ясно, что все значения, которые f(z) принимает в какой-либо
полосе периодов, периодически повторяются в соседних полосах.
Таким образом, периодическую функцию достаточно изучить
лишь в какой-нибудь из этих полос.
Обозначим через G двусвязную область, получающуюся из
вспомогательной плоскости £ удалением двух точек £ = 0 и £ =
= оо, ив этой области рассмотрим многозначную функцию
z = -^-г Ln (4)
9тг/ 9 х '
Значения функции (4), принимаемые ею в какой-либо точке £,
отличаются друг от друга слагаемыми, целыми кратными т, по-
этому сложная функция
(5)
однозначна в области G. В каждой точке £,
ответствующие точки z являются
для которой
точками [,
со-
эта
правильными
функция, очевидно, анали-
тична, а в точках, соответ-
ствующих полюсам f, она
также имеет полюсы*).
Подставляя в (5) функцию,
обратную к (4),
2л Z
£ = Z (б)
(в — 2л/т — «частота»
где
функции f, получим пред-
ставление f(z) в виде
f(z) = <p(e'“~’). (7)
Из этого представления мы
и получим некоторые тео-
ремы о периодических
функциях.
Теорема 3. В любой полосе, ограниченной прямыми L'
L", параллельными прямой периодов L (рис. 216) и не содер-
жащей особых точек f(z), эта функция представляется рядом
Фурье
f(z)= 2 ckeikv>z.
k=—oo
(8)
*) Для доказательства достаточно рассмотреть какую-нибудь однознач-
ную в окрестности точки ветвь функции (4) и воспользоваться теоремой об
аналитичности сложной функции.
1001 § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 687
В самом деле, прямым L' и L" плоскости z, на которых, со-
ответственно,
z — z'-\-tx, Z — z" + tx
(г' и z" — фиксированные точки L' и L", t — действительный па-
раметр, изменяющийся от —оо до оо), в плоскости £ в силу (6)
соответствуют концентрические окружности
g — giz'wginlt g — giz"<s>g2nit
с центрами в точке £ = 0 и радиусами r' = \eiz'a\, г" =| eiz"a |.
В кольце между этими окружностями функция ф(£) аналитична
и, следовательно, представляется рядом Лорана
ф(?)= 2 с£.
, /?==—оо
Подставляя сюда £ = е‘“г и пользуясь формулой (7), получим
искомое разложение (8).
В частности, отсюда получается
Теорема 4. Целая периодическая функция f(z) представ-
ляется рядом Фурье (8), сходящимся для всех значений z.
Далее отметим следующие простые теоремы:
Теорема 5. Если целая периодическая функция ограничена
в полосе периодов, то она постоянна.
Следует непосредственно из теоремы Лиувилля, ибо из ог-
раниченности функции в полосе периодов вытекает ее ограни-
ченность во всей плоскости.
Теорема 6. Если целая периодическая функция f(z) при г,
стремящемся к концам полосы периодов, стремится к конечным
или бесконечным пределам*), то она является тригонометриче-
ским многочленом
f{z) = 2 ckeik®z. (9)
k" — n
Действительно, в наших условиях точки с = 0 и £ — оо яв-
ляются самое большее полюсами функции ф(£), следовательно,
разложение (8) может содержать лишь конечное число отличных
от нуля членов.
Справедлива и более общая
Теорема 7. Если мероморфная периодическая функция
f(z) стремится к конечным или бесконечным пределам при z,
стремящемся к концам полосы периодов, то она является отно-
шением двух тригонометрических многочленов.
*) По теореме 5 эти пределы не могут быть оба конечными, если
f(z) const.
688
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(101
101. Общие свойства эллиптических функций. Пусть f(z) —
произвольная эллиптическая, т. е. двоякопериодическая меро-
морфная функция с основными периодами т и х'. Множество
всех периодов f(z) имеет вид:
Т = пх-\-п'х' (n,n' = Q, ±1, ±2, ...). (1)
Мы условимся любые две точки Zi и z2, отличающиеся на некото-
рый период: Zt — z2 = Т, называть конгруентными и записывать
это в виде
z, == z2 (mod т, т') (2)
(читается «?i сравнимо с z2 по модулям т и т'»). Множество Mi
и множество М2, состоящее из всех точек, конгруентных точкам
М\ (при данном Т), мы так-
кУ / —же будем называть конгру-
-——~~ / / ентными.
/ т.-т' Отношение т'/т не может
~ быть действительным (см.
предыдущий пункт), следо-
вательно, точки О, т, т + х'
xxyxxxi-' и х’ образуют невырожден-
/° / / ный параллелограмм (рис.
/_________У.______—- 217). Это параллелограмм,
Л------- / / а также все параллелограм-
мы, конгруентные ему, мы
Рис. 217. будем называть параллело-
граммами периодов. Для
конкретности мы предположим, что вершины О, х, х + х', х' рас-
положены в порядке положительного обхода границы параллело-
грамма,— для этого, очевидно, достаточно предположить, что
1ш — >0.
т
Кроме того, мы условимся причислять к этому параллело-
грамму стороны От, Ох' без вершин т и х' и не причислять
остальную часть границы и то же самое будем делать для всех
конгруентных параллелограммов. Тогда параллелограммы пе-
риодов не будут содержать никакой пары конгруентных точек
и для каждой точки z плоскости в любом параллелограмме най-
дется конгруентная ей точка.
Перечислим основные свойства эллиптических функций.
Теорема 1. Сумма, разность, произведение и частное двух
эллиптических функций с одними и теми же периодами х и х'
и вообще любая рациональная комбинация R(fi, fz, , fn) та-
ких функций также является эллиптической функцией с перио-
дами х и х'. То же верно и для производной эллиптической
функции.
101)
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
689
Доказательство теоремы следует из того, что и свойство ме-
роморфности и свойство периодичности при указанных опера-
циях не нарушаются.
Теорема 2 (Лиувилль). Если двоякопериодическая
функция является целой, то она постоянна.
Действительно, наша функция должна быть ограниченной в
параллелограмме периодов, но тогда она ограничена и во всей
хотя бы один полюс
выбираем контур,
полу-
плоскости и, следовательно, постоянна.
Таким образом, в параллелограмме периодов (дополненном
так, как указано выше) должен лежать
/(г). В силу мероморфности /(г) об-
щее число полюсов, принадлежащих
параллелограмму периодов, должно
быть конечным; это число (причем
каждый полюс считается столько раз,
какова его кратность) называется по-
рядком эллиптической функции.
Теорема 3 (Лиувилль).
Сумма вычетов эллиптической функции
f(z) относительно всех ее полюсов,
принадлежащих параллелограмму пе-
риодов, равна нулю.
Для доказательства достаточно
выяснить, что интеграл по любому
замкнутому контуру С, содержащему
все полюсы, принадлежащие паралле-
лограмму периодов, и только эти по-
люсы, равен 0. Если на контуре парал-
лелограмма нет полюсов, то в каче-
стве С можно принять этот контур.
В противном случае в качестве С мы
чающийся из контура параллелограмма параллельным сдвигом
вершины 0 в точку z0 так, как это указано на рис. 218 (на этом
рисунке полюсы отмечены звездочками; напомним, что к па-
раллелограмму не причисляются стороны, изображенные пунк-
тиром). Имеем:
J f(z)dz = J + / + / + / , (3)
С I II III IV
но в первом и третьем интегралах элементы интегрирования
f(z)dz, соответствующие конгруентным точкам, отличаются лишь
знаком, ибо значения функции f(z) в конгруентных точках рав-
ны, a dz отличаются знаком, поэтому сумма первого и третьего
интегралов равна нулю. То же самое можно сказать о сумме
второго и четвертого интегралов. Теорема доказана
690
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(101
В качестве следствия отметим, что не существует эллиптиче-
ской функции первого порядка. В самом деле, по определению
такая функция должна иметь в параллелограмме периодов один
полюс первого порядка и, следовательно, интеграл (3) должен
быть отличен от нуля. Из теоремы 2 следует также, что не су-
ществует эллиптической функции нулевого порядка.
Теорема 4 (Лиувилль). Эллиптическая функция в па-
раллелограмме периодов принимает каждое комплексное значе-
ние а одинаковое число раз*), равное порядку эллиптической
функции.
Для а = оо утверждение следует непосредственно из опреде-
ления порядка эллиптической функции. Для а =/= <х> вспомним,
что по принципу аргумента п. 23 разность между числом а-точек
и числом полюсов функции f(z) в параллелограмме периодов
равна
_1_ Г JC)_dz (4)
2л/ J f (z) — а ’ ' '
с
где С — контур, введенный в предыдущей теореме (нужно толь-
ко еще предположить, что он не проходит через a-точки функции
f (z)
f(z)). Функция i а по теореме 1 является эллиптической
функцией с теми же периодами т и т', что и f (z), поэтому по тео-
реме 3 интеграл (4) равен 0, а это и доказывает утверждение.
Теорема 5. Сумма всех точек z параллелограмма пери-
одов, в которых f(z) принимает любое фиксированное значе-
ние а, кбнгруентна сумме всех полюсов из параллелограмма
периодов.
Для а = оо утверждение очевидно. Для а =/= оо разность
между суммой всех а-точек и суммой всех полюсов из паралле-
лограмма периодов равна (п. 23)
1 Г „ f (?) dz
2ш J j (z) — а ’
(5)
где С — контур, применявшийся в теореме 4. Представим
f'(z)dz
J f (?) — а
(рис. 218) и убедимся в том, что сумма первого и третьего ин-
тегралов, так же как сумма второго и четвертого, равны неко-
торым периодам f(z) —это и будет доказывать теорему. Но,
*) Каждая точка г, в которой )(г) = а, засчитывается столько раз, ка-
кова кратность этой точки.
10!, § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 691
действительно, пусть z и £ будут переменные точки отрезков I и
///; тогда можно считать £ = z + т', и так как т' является пе-
Г (г)
риодом функции -j__ а и направления интегрирования вдоль
отрезков / и /// противоположны, то
1 l\ f'(z)dz , 1 Г f (g)
2ш J f (z) — а 2л» J ® I ($) — а
1 ill
= _!_ f .... И Р dz — X' f(Za + r)-g _
2ni J w f (z) - a 2ni bn f (z0) - a
I
где ti' — целое число (т является периодом f(z), следовательно,
дробь, стоящая под знаком Ln, равна 1 и ее логарифм можно
считать равным —2n'ni). Совершенно аналогично получим, что
1 Li 1 f —
2ni J 2л/ J ПХ’
ll IV
где ti — также целое число. Таким образом, интеграл (5) равен
пт + п'т' ~ Т, н теорема доказана.
Теорема 6. Между любыми двумя эллиптическими функ-
циями f(z) и g(z) с одинаковыми периодами тих' существует
алгебраическое соотношение вида
P[f(z),g(z)] = 0, (6)
где P(Z, IF) —многочлен относительно Z и W с постоянными
коэффициентами.
В самом деле, обозначим через fli, а2, . . ., ат все точки па-
раллелограмма периодов, в которых одна из функций f (z) и g(z)
или обе одновременно имеют полюсы. Пусть рь будет наиболь-
ший из порядков полюсов этих функций в точке ah и р — р1 +
+ Р‘2 + • • • +pm- С другой стороны, пусть Q (Z, IF) будет неко-
торый многочлен степени п относительно своих аргументов Z и
W. Если заменить в нем Z — f(z) и W = g(w), то по теореме 1
мы получим некоторую эллиптическую функцию F (г) с теми же
периодами т и т', что и данные функции. Покажем, что много-
член Q можно выбрать так, что эта функция сводится к тожде-
ственной постоянной С; тогда теорема будет доказана, ибо в-ка-
честве многочлена Р в формуле (6) можно выбрать многочлен
Q — С.
Функция Е(г) может иметь полюсы лишь в точках аь (и
конгруентных им), и для того, чтобы она была постоянной, по
теореме 2 достаточно равенство нулю ее главных частей во всех
точках ak. Но для F(z) точка ak является полюсом порядка не
692
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[101
выше npk, следовательно, условие равенства нулю главных
частей F (г) во всех точках ah сводится не более чем к /г(щ +
+ р2 + . . . + рт) — пр уравнениям, линейным и однородным от-
носительно коэффициентов многочлена Q. Этот многочлен имеет
всего n(n-f-3)/2 коэффициентов (свободный член мы не учиты-
ваем), следовательно, выбирая п 3 > 2р, мы получим, что
коэффициентов будет больше, чем уравнений. Тогда уравнения
будут иметь хотя бы одну систему решений, отличную от нуля,
и многочлен Q с коэффициентами из этой системы, будет иско-
мым. Теорема доказана.
Так как производная f (г) является эллиптической функцией
с теми же периодами, что и f(z), то из теоремы 6 непосредствен-
но вытекает
Теорема 7. Любая эллиптическая функция f(z) удовлетво-
ряет алгебраическому дифференциальному уравнению вида
P[f(z),f'(z)] = 0, (7)
где P(Z, F) —многочлен относительно своих аргументов.
В качестве примера проиллюстрируем доказанные теоремы
на эллиптической функции второго порядка, имеющей в паралле-
лограмме периодов два простых полюса (эллиптические функции
с одним полюсом второго порядка мы рассмотрим в п. ЮЗ).
Функции второго порядка играют особую роль в теории эл-
липтических функций, ибо как оказывается, любую эллиптиче-
скую функцию можно выразить рационально через эллиптиче-
скую функцию второго порядка и ее производную (доказатель-
ство мы опускаем). Обозначим полюсы эллиптической функции
второго порядка /(г) через а\ и а2; не нарушая общности, мож-
но предположить, что а{ + а2 = 0, ибо сдвигом плоскости z (за-
меной аргумента z через z + с) всегда можно достичь того, что-
бы начало координат попало в середину отрезка а4а2- В качестве
параллелограмма периодов мы выберем параллелограмм с цент-
ром в точке z — 0. Точки ал и а2 не могут лежать на границе
этого параллелограмма, ибо тогда они должны были бы лежать
на противоположных сторонах, что невозможно (параллело-
грамм содержит лишь по одной из каждой пары противопо-
ложных сторон). По теореме 4 функция f(z) в параллелограмме
периодов принимает любое значение дважды, именно, в точках
Zj и г2, сумма которых по теореме 5 конгруентна сумме полю-
сов, т. е. нулю:
2 ] + г2 = 0 (mod т, х').
Но так как сумма двух точек, лежащих в параллелограмме
периодов, не может быть конгруентной 0 и не равной 0, то
101|
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
693
Zi + z2=0. Иными словами, для любого г справедливо соотно-
шение f(—z) — f(z), т. е. f(z) является четной функцией.
Отсюда следует, что производная нашей функции нечетна:
f'(—z) =—f'(z) и так как f'(z) правильна всюду в параллело-
грамме периодов, кроме точек щ и а2, где она имеет полюсы
второго порядка, то она является эллиптической функцией чет-
вертого порядка. Из нечетности и непрерывности f'(z) в точке
z — 0 следует, что она равна там 0. Далее, имеем:
откуда видно, что z = т/2 также является нулем f'(z). Анало-
гично находим еще два нуля /'(г): точки z ~ т'/2 и (т + т')/2.
Таким образом, мы знаем все четыре нуля в параллелограмме
периодов.
По теореме 7 между f(z) и f'(z) существует алгебраическое
соотношение
P[fW, f' (г)] = 0. (7)
Полагая f(z) — Z, f'(z) = W, мы можем высказать следую-
щие утверждения: а) каждому значению Z уравнение (7) ставит
в соответствие два значения W; б) эти значения отличаются
лишь знаком; в) каждому W соответствует четыре значения Z;
г) функции Z и W одновременно обращаются в бесконечность.
Действительно, для проверки а) и б) заметим, что так как
Z = f (г) —четная функция второго порядка, то каждому Z со-
ответствуют два значения z, отличающиеся лишь знаком, а так
как W = f'(z) —нечетная функция, то соответствующие значе-
ния W7 также отличаются лишь знаком. Утверждение в) прове-
ряется так же, как а), а утверждение г) справедливо, так как
полюсы f(z) и f' (г) совпадают.
Из а) и в) следует, что многочлен в левой части (7) имеет
вид:
Р (Z, W) = Ао (Z) IF2 + A (Z) W + А2 (Z),
где А/,(z) —многочлены степени не выше четвертой, из б) мож-
но заключить, что AJZ) = 0, и, наконец, из г) —что A0(Z) =
= const (в противном случае из уравнения IF2 = —А2/А0, к ко-
торому сводится (7), вытекает, что в точках z, которые обра-
щают в нуль A0(Z), непременно W = оо).
Таким образом, уравнение (7) сводится к виду W2 — cA2(Z),
где с — некоторая постоянная и А2 — многочлен четвертой степе-
ни. Так как нули последнего совпадают с нулями W, которые
мы знаем, то окончательно получаем дифференциальное
694
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
|102
уравнение вида
II' (г)Г = с [I V) - I (0)1 [l (г) - I (|)] [/ (г) -
(8)
Иначе полученный результат можно выразить так: функция
Z = f(z) является обращением интеграла-.
— I .... I /
J V с (w — ayj (га — ta2) (ay — w3) (w — ш4)
где с и ио — постоянные и
^=/(0), ^2 = z(j). ay3 = f(-y), = )• (10)
Интеграл (9) носит название эллиптического интеграла. С ча-
стным случаем такого интеграла
W
z= f -т=- dw =. (11)
J И(1 - w2) (1 — kV) ' '
мы уже встречались в п. 39, когда рассматривали конформное
отображение верхней полуплоскости на прямоугольник. Функ-
цию, обращающую этот интеграл, мы обозначили
ay = snz (12)
и назвали эллиптическим синусом. Она является одной из эллип-
тических функций Якоби, к изучению которых мы и переходим.
102. Эллиптические интегралы и функции Якоби. Эллиптиче-
ским интегралом называется вообще интеграл вида
J ]/Р(ш)]<Уш, (1)
где R — рациональная функция своих аргументов и P(w) —
многочлен третьей или четвертой степени. В отдельных случаях
этот интеграл может выражаться через элементарные функции,
как, например, интеграл
fvSrT=iln(i’! + v'5T+T)+c-
Тогда его называют псевдоэллиптическим.
Вообще же интеграл (1) не выражается в элементарных
функциях. Можно показать *), что с помощью элементарных под-
*) См., например, Фихтенгольц, т. 2, стр. 103—105.
102)
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
695
становок и преобразований эллиптический интеграл преобразует-
ся к одной из трех канонических форм
dw
1^(1 — w2) (1 — k2w2)
dw
(1 -|- lw2) К(1 — и»2) (1 — k2w2)
(2)
где k и I — постоянные. Интегралы (2) называют эллиптически-
ми интегралами в форме Лежандра, соответственно, первого,
второго и третьего рода. Число k называется модулем интеграла.
Подстановка
w = sin <р (3}
приводит интегралы (2) к тригонометрической форме
-7====-, [ У1 — k2 sin2 ф dtp,
У I — /г2 sin2 <р J
| йф
(1 + I sin2 ф) У 1 — k2 sin2 ф
Аргумент ф называется амплитудой эллиптического интеграла.
Для интегралов в форме (4) приняты следующие обозначения:
<₽ <₽
F (ф, fe) = [ —г—. , £ (ф, fe) = f —/г2 sin2 фб/ф,
«/ v 1 — k2 sin2 ф J
л * т n
(5)
dq>
(1 -f- I sin2 qp) Kl — k2 sin2 qp
Особенно часто встречаются интегралы с амплитудой ф = л/2;
они называются полными и для первых двух из них приняты
специальные обозначения
£(Д, k}=K(k), E^,k] = E(k). (6)
Часто вводят еще один аргумент а из соотношения
sina = &, (7)
который называется модулярным углом. Эллиптические интегра-
лы первого и второго рода, рассматриваемые как функции ам-
плитуды ф и модулярного угла а, табулированы. Пятизначные их
таблицы, составленные через 1° для ф и через 5° для а, приве-
дены в сборнике Янке и Эмде [14] (стр. 162—171); там же
696
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[102
имеются указания о более подробных таблицах и таблицах пол-
ных эллиптических интегралов как функции а через 1°
(стр. 177) и как функции k2 через 0,01 от 0 до 1 (стр. 180 и 182).
На рис. 219 мы приводим также рельеф над плоскостью
k2 = 7 = той ветви функции К. — К (к), которая равна
л/2 при X = 0 и терпит разрыв на отрезке (1, оо) оси 7ь Из ри-
сунка видно, что функция обращается в бесконечность при
7 = 1, где она имеет точку ветвления. На рельефе изображены
линии постоянного модуля (через 0,2) и аргумента (через 0,01
прямого угла), вертикальной стрелкой отмечено положение на-
чала координат.
4 О
Рис. 219.
Остановимся несколько подробнее на свойствах эллиптиче-
ского интеграла первого рода в форме (2), т. е. рассматривае-
мого как функция комплексного переменного w — sin ср:
К(1 - ш2)(1 - k2W2) '
В п. 39 мы уже убедились, в том, что обращение этого интегра-
ла, т. е. функция Якоби — эллиптический синус
w = sn z = sn (г, k) (9)
является двоякопериодической мероморфной, т. е. эллиптической
функцией с основными периодами
1 i/fe
4 | —====^=== = 4К, 2i f - - - dt - —(10)
J ^(l-Oll-Z;2/2! J V(t2 - 1) (1 - k2t2) '
102]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
697
где K = F\^-, k j и К' = F , k'j — полные эллиптические инте-
гралы, соответствующие модулю k и так называемому дополни-
тельному модулю ______
k' = V1 — k2 — cos а (11)
чтобы убедиться в этом, достаточно в первом интеграле заменить
t=sin q> и тогда он перейдет в F (у, ; второй же интеграл после
и убедились, что она является нечетной функцией:
sn (—• z) = — sn z. (13)
На рис. 220 мы приводим рельеф функции sn z для k = 0,8.
Из него видно, что полюсы этой функции лежат в точках
698
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[102
z — 2пК 4- (2«' + 1) K'i и нули — в точках г = 2пК + 2п'К', где
п и п' — произвольные целые числа (это находится в полном
соответствии с тем, что мы говорили в п. 39).
Из двоякопериодичности функции (9) следует, что обратная
функция z = F(w, k)—эллиптический интеграл первого рода,
рассматриваемый в зависимости от w, — является бесконечно-
значной. Любое ее значение получается из какого-либо одного
добавления периода Т = 4п/( -ф 21п'К'‘.
1 dw
J У (1 — W2) (1 — k2W2)
(Л
Г dw
J У (1 — га2) (1 — k2w2)
0L«
У4пК+21п'К'. (14)
Здесь L означает произвольный путь, соединяющий точки 0
и w, a Lo — какой-либо фиксированный путь, скажем, прямоли-
нейный отрезок (ср. аналогичное свойство In w в п. 8). На
Рис. 221.
рис. 221 изображен рельеф одной из ветвей эллиптического ин-
теграла F(w, k) при k = 0,8. На нем ясно видны точки ветвле-
ния, лежащие над точками w = ± 1 и w = ± ~ плоскости w.
Если ввести, как раньше, переменную ф (амплитуду), так что
w — sin ф, то интеграл (8) перейдет в интеграл
ф
dtp
J У 1 — k2 sin2 <р ’
(15)
102П § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 699
обратная функция — амплитуда эллиптического интеграла г —
имеет специальное обозначение
Ф = атг. (16)
Эллиптический синус Якоби можно будет тогда представить в
виде
w = sn z — sin am г; (17)
и называть синусом амплитуды. Это название и обозначение
ввел сам Якоби; в настоящее время более принято обозначение
sn. Якоби рассматривал также функции косинус амплитуды и
дельта амплитуды
cos am z = 1 — w2 — |/1 — sn2 г,
Д am z — ]/1 — k2w2 = 1^1 — k2 sn2 z, (18)
в настоящее время для этих функций чаще употребляют обо-
значения
cn z = ]/1 — sn2 г, dn z = ]/1 — k2 sn2z (19)
(читаются по буквам «це эн г» и «де эн г»). На рис. 222 мы
приводим графики sn. сп и dn для действительных значений
аргумента z=x и небольших положительных k. Заметим, что
при k = Q из формулы (8) вытекает, что z — arc sin су, следо-
вательно, sn(z, 0) = sin г; тогда формулы (19) дают сп(г, 0) =
= cos г, dn(z, 0) — 1.
Можно было бы доказать, что функции сп г и dn г, как и
sn z, являются эллиптическими функциями второго порядка и
что их основные периоды, соответственно, равны 4/С, 2К + 2K'i
(для сп) и 2Х, 4K'i (для dn)*). Здесь мы приведем лишь фор-
мулы дифференцирования и теоремы сложения для эллиптиче-
ских функций Якоби, из которых ясно видна аналогия между
ними и обычными тригонометрическими функциями.
) Доказательство см. А. И. Маркушевич, стр. 598.
700
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
П02
Для вывода первой формулы дифференцирования мы от-
правляемся от соотношения (8), из которого получаем:
или, подставляя w = sn z,
d sn z ,
—— = cn z dn z. (20)
Для получения других формул дифференцируем соотношения
sn2 z + cn2z = 1, fe2sn2z + dn2z= 1, (21)
которые непосредственно следуют из равенств (19); тогда полу-
чаем:
d cn z , d dn z ,п
—— =— snzdnz, —-j— = — rsnzcnz. (22)
dz dz ' 7
Заметим, что при k = 0 формула (20) и первая из формул (22)
обращаются в известные формулы дифференцирования sin z и
cos z. Отметим еще, что из формул (22), если выразить в них с
помощью (21) sn и dn через сп и, соответственно, sn и сп через
dn, получаются следующие дифференциальные уравнения для
w = сп z и w = dn z:
— ^(1—w<i) (.k'2 -ф- k2w2), — ^(1—w2)(w2—k'2), (23)
где k' = 1 — k2 — дополнительный модуль. Учитывая, что
cn 0 = dn 0 = 1 (это следует из (19) и равенства sn 0 — 0) и
что сп г и dn г — четные функции, мы видим из формулы (23),
что эти функции обращают, соответственно, интегралы
W W
(* dw ___ Г dw /п л\
z — , ; z = 7- —-- . (24)
I у (1 — ш2) (k’ + k2w2) { у (1 — w2) (w2 — k'2)
Для вывода теорем сложения мы воспользуемся методом, идея
которого восходит еще к Эйлеру и который послужил первым
толчком для исследования эллиптических интегралов. Следуя
Эйлеру, рассмотрим дифференциальное уравнение
dw , <7<о
/(1 - ш2) (1 - feW) ' К(1 -<о2) (1 - F<o2)
Найдя независимым образом два его интеграла и сравнивая эти
интегралы, мы получим искомое соотношение, выражающее тео-
102|
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
701
рему сложения. Первый из таких интегралов получается непо-
средственно
f -------dZ-^-— + f .......... dw .. = C. (25)
V (1 - ш•).'!- k"w’) J V(1 -co2) (1 - Feo2)
Для под- -'чня второго интеграла заменим наше дифферен-
циальное уравнение системой
^- = /(Г=^2)(1 - W). ^-=-/(1 — со2) (1 - £2со2), (26)
где и — вспомогательное переменное. Дифференцируя эти урав-
нения, находим:
АД. = w (2kV — 1 — k2), = со (2/г2со2 — 1 — fe2),
откуда
d2w d2co d f dw dm\ , 9,
(0 -7-5--W -J-г = -j— CO —j------w -r- = 2k£w<iy {wi — co2).
du- du2 du \ du du ' ’
С другой стороны, из формул (26) находим:
0)2 (ды-)2 ~ w2 (Дц”) =(со2 — ш2) (1 — Fw2co2),
и, деля на это уравнение предыдущее, получаем:
d / dw -r- co -г- du ' du dm \ . — w —— du ‘ 2k2wm ! dw \® du + w —— du /
или dw (0 —; du d « ( —7— In (0 du \ dm — w — du dw d(i) \ w __ du du / d du k2w2m2 — 1 ’ In (й2ш2со2 — 1).
Отсюда лой (26), dw dm r>r n t.9 9 CO—; W -7— =C (1 — kVa du du находим второй интеграл i2) И, пользуясь форму-
W К(1 — со2) (1 — fe2CO2) + СО К(1 — W2) (1 — k2W2) _
1 — /г2ш2со2
Обозначая
W <0
Г dw ____ f dw
J /(1 - ш2) (1 - Fay2) ’ J V(1 - со2) (1 -Feo2)
С,
откуда w = sn г, со = sn £, и подставляя это в формулы (25) и
(27), находим интегралы нашего дифференциального уравнения
в виде
z + £=C,
sn z сп g dn g 4- sn g sn z dn z
1 — k2 sn2 z sn2 g
= Cp
(28)
702
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1102
Так как эти интегралы по теореме единственности решения диф-
ференциального уравнения должны вытекать один из другого, то
Ct должна быть функцией С, пусть С\ = ф(С) — <р(г -j- £)• Под-
ставим это соотношение во второе из уравнений (28) и для на-
хождения вида функции <р подставим еще £ = 0. Получим
<р(г) — sn г, следовательно, в окончательной форме теорема
сложения запишется так:
, I _____ sn z cn g dn g + sn g cn z dn г
sn (Z с,) — 1 — fe2 sn2 z sn2 g
(29)
При k ~ 0 эта формула будет совпадать с известной теоре-
мой сложения для синуса.
Аналогичные формулы справедливы и для других функций
Якоби, так
СП (г 4- £) =
cn z cn g — sn z sn g dn z dn g
1^ — /г2 sn2 z sn2 g
dn (z + £) =
dn z dn g — fe2 sn z sn g cn z cn g
1 — fe2 sn2 z sn2 g
(30)
(31)
Из этих основных формул сложения получаются другие, анало-
гичные известным формулам тригонометрии. Их можно найти,
например, в справочнике А. М. Журавского [13], стр. 76—77.
В заключение заметим, что так как функции Якоби зависят
лишь от одного (комплексного) параметра k, то их периоды не
могут выбираться произвольно. Оказывается, можно задавать
произвольно лишь отношение
х = (32)
или, что то же самое, величину
q — е~яи — е к .
(33)
Тогда величины К и k могут быть определены по формулам *)
(34)
т' K'i
*) Ряды (34) сходятся, ибо по условию (1) п. 79 1m -^-=1т^у.-~
= Re>0, следовательно, [<?| < 1- Вывод формул (34) см., например,
л
в книге И. И. Ахиезера [11], стр, 94—95.
i 03]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
703
Приведем график зависимости q от k2 на интервале (0, 1)
(рис. 223). На нем сплошными линиями изображены графики q
и 10<7 и пунктиром — график q на интервале (0,999; 1); для по-
следнего графика значения k2 надо брать на верхней шкале.
В сборнике Янке и Эмде имеются пятизначные таблицы для
десятичного логарифма q в зависимости от модулярного угла а
для а, изменяющегося от 0 до 90° с интервалом в 5' (стр. 147—
149). Из них можно найти k по данному q и тогда по таблицам
полных эллиптических интегралов найдется К — так можно из-
бежать применения формул (34).
103. Функции Вейерштрасса. Тэта-функции. 1) Функции
Вейерштрасса р и Функции Якоби являются эллипти-
ческими функциями второго порядка, имеющими в параллело-
грамме периодов по два простых полюса. Вейерштрасс построил
эллиптические функции второго порядка, имеющие в паралле-
лограмме периодов один кратный полюс. В отличие от функций
Якоби эти функции зависят от двух комплексных параметров и
периоды т, т' можно задавать произвольно с одним лишь об-
щим условием
1m-^>0. (1)
Свойства функций Вейерштрасса аналогичны свойствам функций
Якоби. Заметим, что в теоретических рассмотрениях функции
704
ГЛ. VII, СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[ЮЗ
Вейерштрасса почти всегда оказываются более удобными, од-
нако в практических задачах чаще встречаются функции Якоби.
Докажем одно вспомогательное предложение.
Лем м а. Каковы бы ни были комплексные числа т и т',
удовлетворяющие условию (1), ряд
со
(«Т + п'т')3 ’ (2)
п, п=—оо
в котором суммирование распространяется на все целые зна-
чения п и п', кроме п — п' — 0, абсолютно сходится.
Точки Т — пт + п'т' лежат в вершинах сети параллелограм-
мов. Рассмотрим сначала параллелограмм IL. на котооом лежит
8 точек Т (рис. 224). Обозначая через I кратчайшее расстояние
от z — 0 до точек Пь заме-
тим, что для каждой из
о I 1 I - 1
этих 8 точек так
что сумма, на них распро-
страненная, удовлетворяет
неравенству
8-2= 16 точек Т. каждая из них
п,
Аналогично на параллело-
грамме П2 (рис. 224) лежит
удалена от начала не менее
чем на 2/, и сумма, на них распространенная,
VI 1 __8_
Zi | Т I3 22/3 '
п2
Вообще для параллелограмма Пп, на котором лежит 8п точек,
удаленных от начала не менее чем на nl, имеем:
Таким образом ряд (2) мажорируется сходящимся рядом
оо
’F’Zj и’ слеД°вательно> сходится абсолютно. Лемма дока-
П=1
зана.
Из леммы вытекает, что ряд
(z — ПТ — п'т')3 S (z — Г)3
П, п'=—<х>
(3)
103)
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
705
сходится абсолютно и равномерно в любом круге |z|^ /?, если
исключить из него конечное число членов, имеющих полюсы в
этом круге (здесь значения п = п' = 0 допускаются). Действи-
тельно, рассматривая лишь члены, для которых |Т| > 2R, имеем
ItHt и
I 1 1^ 1 1 „ 8
I (z-ту I5** ' |Г|3 < | Т |3 ’
откуда по лемме и получаем наше утверждение.
Представляя f(z) для z из круга [г|<С R в виде
f (г) = (г _ 7)3 + 2 (г - У)3 ’
|Т|<Я ) Т I > R
мы видим, что первая сумма есть рациональная функция, имею-
щая в каждой точке Т полюс третьего порядка с главной
1
частью , а вторая, по только что доказанному, — функ-
ция, аналитическая в круге |z| |7?|. Таким образом, можно
утверждать, что /(г) является мероморфной функцией.
Далее ясно, что f(z) будет иметь тит' своими основными
периодами. Действительно, например,
f (z + г) = [г_ (т-т)]3 =
ибо Т —т снова является периодом и пробегает всю совокуп-
ность периодов вместе с Т. Следовательно, т и, аналогично, т'
являются периодами f(z). Но если Т — произвольный период
f (z), то из того, что Т является полюсом f (z), можно заключить,
что и Т + Т — Т' является полюсом. Отсюда Т — Т' — Т, т. е.
является целочисленной комбинацией т и т'; следовательно, т и
т' являются основными периодами f(z).
Итак, f(z) является эллиптической функцией третьего поряд-
ка с заданными периодами т и г'. Кроме того, она нечетна; дей-
ствительно,
f (— z) = V (_2_ у)з = — [г _ (_ Г)]з = — f (г)>
ибо — Т пробегает всю совокупность периодов вместе с Т.
Отправляясь от f(z), с помощью интегрирования можно по-
строить четную эллиптическую функцию второго порядка: если
г0 и z — точки, отличные от периодов, то, интегрируя почленно
ряд (3) вдоль кривой, соединяющей z0 с z и не содержащей
периодов, получаем:
2
ф (z) = С + J f (z) dz = С — У 2 [ (г _ Ту (2о _ 7)2 ] •
706
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[103
Выделяя в сумме член с Т = 0, мы перепишем последнюю фор-
мулу в виде
<р (г) + А = С + А ~ ~ У' -1 - 2---------^1- (4)
2z2 2г2 2 (z - Т)2 (zQ - Г)2
Правая часть здесь правильна в точке z — 0, поэтому постоян-
ную С можно выбрать так, чтобы значение этой правой части
при г = 0 равнялось нулю:
с+А---У/Ц----------------—2-]=°- (5)
2Z2 2^ [Т2 (г0-Т)2]
Вычитая (5) из (4), находим:
Ф (?) = — у{ [(г — Т)2' Г ] }'
Мероморфная функция, стоящая в фигурных скобках, называет-
ся функцией Вейерштрасса и обозначается символом р (г) (чи-
тается «пе от г»):
(г) = ~ [уутГуу —f?] • (6)
Ряд (6) сходится абсолютно, ибо модуль его общего члена для
достаточно больших [Pl оценивается неравенством
I j__£_ I
I 1 I I (2Т-г)г I _ 2 | 2Т I . , А | z |
I (z - Ту Т2 | — | T2 (г - Т)2 | — | Т |3 * * I г I* 1 Z ’ < | Г |3 ’
I 1 т I
где А — некоторая константа. Пользуясь этим, мы доказываем,
что р (г) — четная функция:
Р(—2) = -^-+^ | (г —(—Г)]2 “ (—Г)2 (7)
ибо замена Т на —Т сводится лишь к перестановке членов ряда.
Производная функция Вейерштрасса
(г) = — у- — 2 V (угту == ~ 2 (г _ ту (г)
лишь множителем отличается от функции f(z), определяемой
по (3), и, следовательно, является двоякопериодической с перио-
дами т и г'. Таким образом,
Р' (г + т) — р' (г) = 0, р' (г + т') — р' (г) = 0,
и, интегрируя, получим:
р(г + т)-р(г) = С, р(г + т')-р(г) = С.
ЮЗ]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
707
Полагая здесь z = —т/2 и z = —и пользуясь четностью
(р (г), найдем С — Ct = 0, откуда следует, что V’ (г) является
эллиптической функцией с периодами т и г'. Она, очевидно, яв-
ляется функцией второго порядка и в каждом параллелограмме
периодов имеет двойной полюс в точке Т с главной частью
1/(2Г — Г)2-
Производная (z) — нечетная эллиптическая функция треть-
его порядка. Как и в п. 101, мы найдем три ее нуля в точках
z = т/2, т'/2, (т + т')/2 (сумма нулей т + т' = 0 (mod т, т'), как
и должно быть по теореме 5 п. 101). Следовательно, эти точки
являются двукратными для р (г), так что значения
(так же, как и значение оо) принимаются функцией (р в слив-
шихся точках. Другие значения (р (z) принимает в двух различ-
ных точках, ибо в противном случае мы получили бы еще один
Рис. 225.
нуль tf'(z) в параллелограмме периодов, что невозможно. На
рис. 225 мы приводим рельеф функции f? (г).
Чтобы получить дифференциальное уравнение, которому на
основании теоремы 7 п. 101 удовлетворяет *p(z), найдем разло-
жение этой функции в ряд Лорана в окрестности z — 0. Для
любого Т =/= 0 имеем:
708 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ (10J
следовательно, пользуясь выражением (6) и тем, что в силу чет-
ности (г) наше разложение содержит лишь четные степени г,
мы получаем:
Ж==^ + Зг22/7г + 5г*2/^-+ ...
Вводя принятые обозначения
£2 = 60^'^, £3=1402'^. (9)
мы получаем искомое разложение в виде
Нг) = тг + < г2 + <2*+ ... (10)
Дифференцируя ряд (10), найдем разложение
Г(^) = -^ + -Й-г+-^гз+ ... (11)
Отправляясь от разложений (10) и (11), мы найдем искомое
дифференциальное уравнение, составляя рациональную комбина-
цию J» и р', не имеющую полюсов в параллелограмме периодов
и, следовательно, постоянную (теорема 2 п. 101). Имеем:
[р'(г)]2 = 4{1 гв+ ...},
1Нг)13-4-{ 1 + + • • • }’
следовательно, искомой комбинацией будет
(z)]2 - 4 (z)]3 + (г) = - g3 + c2z2 + с3.г4 + ... (12)
Действительно, левая часть (12) есть эллиптическая функция с
периодами тит' (теорема 1 п. 101); единственным ее полюсом
в параллелограмме периодов могла служить бы точка z = 0, но,
как показывает правая часть (12), функция правильна в этой
точке. Следовательно, эта функция постоянна и равна своему
значению при z = 0, т. е. —g-. Таким образом, мы получаем ис-
комое дифференциальное уравнение
[^(г)]2 = 4[р(г)]3 — g$(z} — g3. (13)
Выше мы нашли нули $'(z) и обозначили значения в Пих
р (г) —см. (8). Учитывая это, равенство (13) можно переписать
в виде
(г)]2 = 4 [|р (Z) — ej № (z) - е2] (г) — е3]. (14)
Сравнение формул (13) и (14) по известным из алгебры свой-
ствам корней уравнений дает Соотношения
ei + e2 + e3 = 0, + е2е3 + . (15)
103]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
709
Обозначая (г) — w, мы переписываем уравнение (13) в виде
dz___________________________1______
dw у 4«)3 — g2w — g3
откуда заключаем, что ja (z) является обращением интеграла
Z — z0 = [ л dw-= (w0 = Р (z0)).
J у 4ш3 — g2w ~ g3
Устремляя здесь Zo к 0, отчего Wo устремляется в оо, получаем
эллиптический интеграл в форме Вейерштрасса
W
z = f r ..dw ==-, (16)
J У 4w3 — g2w — g3
обращением которого является функция ^>(г).
В заключение отметим без доказательства теорему сложения
для (г):
Иг + £) + (z) + (С) -4{F > <17>
ее вывод можно найти, например, в книге Н. И. Ахиезера [11],
стр. 60—63.
2) Функции Вейерштрасса £ и о. Среди периодиче-
ских функций аналогом (г) является функция l/sin2z, также
имеющая в своих периодах Т — пл двойные полюсы с главными
частями l/(z— Ту. По аналогии с функцией
Z
Ctgz = 4-- (ctg2)' = __^-.
0
Вейерштрасс ввел функцию £(г) («дзета-функция») соотноше-
нием
г
t,'(z)= — ^(z). (18)
о
Подставляя вместо jp(z) ее разложение (6) на простейшие дроби
и интегрируя, получаем:
Ш=4 + 2/(^7 + т + ^)- (19>
Дзета-функция нечетна. Действительно,
[U*)+£(-*)]' = £'(*)-Г (-z) = H- г)-р(г)=0
для всех z, следовательно, £(z) +£(—z) = С. Устремив z-»0,
из формулы (18) найдем, что С = 0 и £(—г) = —£(z).
710 ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ЦОЗ
Функция £(г) имеет простые полюсы в периодах Т и поэтому
не может быть эллиптической (п. 101). Однако при изменении
аргумента на величину периода она изменяется лишь на по-
стоянное слагаемое; действительно, например,
К (z + т) — £ (г)}' = (г) — (г + т) = 0
при любом z и аналогично для х', следовательно:
иг + т)-?(г) = б, £(г + т')-Ш = д'. (20)
Между величинами т, х' и 6, <У существует простая зависи-
мость. Чтобы найти ее, проинтегрируем £(г) по контуру парал-
лелограмма с вершинами ±-у±-у. Так как внутри паралле-
лограмма функция имеет лишь один полюс z = 0 с вычетом 1,
то этот интеграл равен 2m. С другой стороны, объединяя ин-
тегралы по противоположным сторонам параллелограмма и учи-
тывая соотношение (20), находим, что этот интеграл равен
6х' — 6'т. Таким образом,
бт' — б'т = 2лг. (21)
Это соотношение получено Лежандром.
По аналогии с функцией
г
J (ctgz-?)dz
sinz = ze° ; (In sinz)' = ctgz
введем о(г) —«сигма-функцию» Вейерштрасса:
Z
/ (иг)-4)^
о(2) = ге° ; {lna(z)}' = g(z). (22)
Подставляя разложение (19) для £(z), интегрируя почленно и
потенцируя, находим представление o(z) в виде бесконечного
произведения:
о (г) = 1п (> ~г)+Т+ 2F = гП/ (j _ . (23)
Из этого представления видно, что о (г) является целой функ-
цией с простыми нулями в точках z — Т. Она нечетна, ибо из
(22), пользуясь нечетностью £(z), можно заключить, что
/ {cw-i-}du
о (— z) — — ze° = — ze} = — о (г)
ЮЗ] § 4, ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 711
(мы заменили u — —v). Из соотношений (22) и (20) находим:
</ (г + т) _ </ (г) ..
g (г + т) а (г) ’
интегрируя и потенцируя, имеем:
а (г + т) = а (z) e62+Y.
Подставляя здесь z = —х/2 и пользуясь нечетностью а (г), полу-
чаем — 1 — е 1 , откуда eY = — е 2 и
о (г 4~ т) = — о (z) е ( + 2 \ (24)
Таким образом, при изменении аргумента на величину периода
т функция о (г) приобретает показательный множитель
— е -' (то же справедливо и для т ).
Кроме о (г), вводят еще три сигма-функции-.
e6z/2 ‘ х\ , , I т' \
а,(г) = - о2(г) =-----а 2__ ;
g ® ы
, . е6"2'2 I х"
(25)
где т" — т + х' и 8" — соответствующая этому периоду постоян-
ная 6 из формул (20) и (24) (знак минус введен для того, чтобы
а/г(0) = 1, нумерация традиционна).
В заключение докажем следующую теорему:
Теорема. Любую эллиптическую функцию п-го порядка
f(z) с нулями И1, «2, . . . , и полюсами Pi, р2, .. , Рп в парал-
лелограмме периодов (каждый считается столько раз, какова его
кратность) можно выразить через с-функцию:
t (~\ _ с g (z — И1) g (г — а2) ... а (г — а„)
' ? g (г - р,) g (г - р2) ... g (г - ₽„) ’
где С — постоянная и
(26)
(27)
Действительно, в силу того, что по теореме 5 п. 101
(«1 + а2 + ... + а„) — (Pi + Р2 + ••• +PJ = 0(mod т, х'),
имеем aj = aj (mod т, т'). Рассмотрим теперь функцию
, , _ g (г — 51) g (г — а2) ... g (г — а„) .
® ' g (г — Pi) g (г — р2) ... g (z — р„) ’
712
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1103
она имеет периоды т и т', ибо в силу формулы (24), учитывая
нечетность о, получаем, например:
g (z + т) = е (э>+^+ - +3»-а>-“2----an)g (2) = g (2).
Кроме того, отношение f(z)lg(z) в параллелограмме периодов не
имеет полюсов, ибо каждый полюс числителя является полюсом
той же кратности для знаменателя и каждый нуль знаменателя
является нулем той же кратности для числителя (мы учиты-
ваем, что 61 зв он (modr, т')). Таким образом, по теореме 2
п. 101 это отношение постоянно, и мы получаем искомую фор-
мулу (26).
Формула (26) аналогична представлению дробно-рациональ-
ной функции в виде отношения двух многочленов, разложенных
в произведения линейных множителей. Совершенно так же до-
казывается теорема, аналогичная теореме о разложении дробно-
рациональной функции на простейшие дроби: если f(z) имеет в
основном параллелограмме полюсы z — (k = 1, 2, ..., m)
с главными частями
+ + ... +—"Ч,-. (28)
2 (2 Pfe) (z - рА) к
ТО
m г
f (z) = С + (z — pft) — ck2t,' (z — + ...
й=1
•••+(- В"*'1' ^ С-пГ^(Я*~1) - ₽*)}. (29)
(nk J
3) Тэта-функции Якоби. Для числовых расчетов с
эллиптическими функциями удобно пользоваться их выраже-
ниями с помощью быстро сходящихся рядов, а между тем все
разложения, которые мы до сих пор рассматривали, сходятся
весьма медленно. Этот пробел восполняется тэта-функциями
Якоби, которые представляются быстро сходящимися рядами и с
помрщью которых можно выразить все эллиптические функции.
Обратимся к формуле (24) и заметим, что легко указать це-
лую функцию, которая при изменении аргумента на период при-
обретает такой же множитель, как и o(z), именно
, ч ^-(6z2-2n/2)
Ф (г) = ел . (30)
В самом деле, имеем:
, . -2- (6г2—2niz) б(г+-2') , . 6(2+v)
<р(z + т) — — е 4 2 / = — <р(z)е '
Обозначим ф (z) — ° !4-; очевидно, — это целая функция, ибо
ф \2)
о и ф — целые и <p (z) #= 0.
103]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
713
В силу (24), а -также аналогичного соотношения для перио-
да х' будем, следовательно, иметь:
Ф (Z + т) = ф (г),
7 ГД . х' 2niz
ф (z + т') = —- ф (z) е х '' 2' т = —ф(г)е х (31)
(мы воспользовались соотношением Лежандра (21)). Первая
из формул (31) выражает периодичность ф(г).
По теореме 4 п. 100 целая периодическая функция ф(г) во
всей плоскости z может быть представлена своим рядом Фурье
ф (z) = 2 ckeikaz, (32)
= — ОО
где со = 2л/т. Для определения его коэффициентов мы восполь-
зуемся вторым соотношением (31) и теоремой единственности
разложения в ряд Фурье, которая в нашем случае вытекает из
соответствующей теоремы для рядов Лорана. Подставляя в
(32) z 4~ х' вместо г, получаем:
ОО
ф (г + т') — 2 ckq2keik<i,z,
k = — оо
tax' X"
q — e 2 — е™ x , (33)
откуда, используя соотношения (31), находим
оо
ф(г) = — егмгф (z + т') =— 2 с^2ке{(к+,)<»г.
k—— оо
Сравнивая это разложение с (32), по теореме единственности
имеем:
с*+1== — ckq2k (й==0, ± 1, ± 2, .. .).
I
Обозначая для удобства коэффициент Cg — Cq^ , где С — неко-
торая постоянная, последовательно получаем:
1 — (2_1У
С] = -С<74, = =Cq-
и вообще
ck = (- 1)*(ft = 0, ±1, ±2,...) (34)
(справедливость формулы (33) легко проверить методом полной
индукции). Подставив это в разложение (32), получим оконча-
тельно:
ф(г) = Се 2 2 (-l)V 2Г\ (35)
k~—оо
714
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[103
Функция ф(г) лишь несущественно отличается от одной из тэта-
функций Якоби, именно, по определению
(*--У
fti(z) = -ye-'"zi|>(Tz) = z (“ OV e^k~^niz. (36)
/г=—оо
Вспоминая, что о(г) = -ф(г?)<р(г?) и пользуясь формулами (36) и
(30), мы находим выражение сигма-функции Вейерштрасса че-
рез 'ftb
6г2 ( z\
о (г) = — iCe2г (, т/
Чтобы найти входящую сюда постоянную С, дифференцируем
это соотношение по г в точке z — 0 и учитываем, что в силу (23)
(о)
о'(0)= 1; мы получим 1 = — 1С—-—, откуда
6гг
V 7 0((О) Чт/ V ’
Учитывая известные свойства o(z), мы можем теперь утвер-
ждать, что &! (г) — нечетная целая функция, периодическая *)
с периодом 2 и с простыми нулями в точках z = п + п' у-.
Так как по нашему условию Im-y- >0, то из (33) мы нахо-
—л
дим | q | = е г < 1, следовательно, ряд (36) для 0ч (г) быстро
« - (Ч)2
сходится благодаря наличию в его членах множителей q .
С другой стороны, так как через От выражается о, а через по-
следнюю, как мы знаем, — любая эллиптическая функция, то
любая эллиптическая функция выражается через 0т. Таким об-
разом, тэта-функция действительно восполняет пробел, о котором
мы говорили в начале этого раздела.
Кроме 0i(z) вводятся еще три тета-функции Якоби-.
02 (г) = 0'1
0'з (г) = <74ел‘г0’1 (г-ф у + yj = qkie2kniz,
k=—tx>
оо
<>4(г) = #з(г +4)= s (~l)Ve2to/z-
k=— оо
(38)
*) То, что 0'1 (г) имеет период 2, проще усмотреть из (36); оттуда же
видно, что 01 (z+ 1) = —0i(г).
104]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
715
Все они — целые четные функции; th (г) имеет период 2, а Ф3(г)
и (z) — период 1. Через них выражаются ^-функции Вейер-
штрасса по формулам, отличающимся от (37) тем, что вместо о
слева стоит щ, а справа вместо #ги &' — функции и f)'A+l.
Если положить х = — i ~(в силу нашего условия Im-^- > 0
эта величина положительна), то из (33) получаем q = е~лк. По-
этому тэта-функции Якоби зависят от х как от параметра и их
часто обозначают символами О’Дг, х) (/ = 1, 2, 3, 4). Дифферен-
цируя ряды (36) и (38), мы найдем, что эти функции удовлетво-
ряют дифференциальному уравнению
д2®, д&,-
—-L = 4л ' (/ = 1,2, 3, 4). (39)
дг2 ди v ' \ /
Так, например,
оо
= = - л X k2qk"e2kniz,
ОО
-^=-4л2
k~ — оо
откуда и получается (39).
Как доказано выше, любая эллиптическая функция выра-
жается через тэта-функции. Приведем без доказательства такие
выражения для эллиптических функций Якоби:
snz —
dnz = ]/ k'
здесь постоянную q, входящую в определение тэта-функций, еле-
(Л Х' л —
дует выбирать не в виде е х , а в виде е k , что совпадает
с формулой (33) предыдущего пункта. Через тэта-функции вы-
ражаются также величины К и k, фигурирующие в теории функ-
ций Якоби, — именно,
к=4^ (°); й=={4гШ2 (40)
(это совпадает с формулами (34) предыдущего пункта). Вывод
формул (39) и (40) можно найти, например, в книге Н. И. Ахие-
зера [11], стр. 92—95.
с а
104. Примеры. Приложения. 1) Вычисление длины
х2 у2 .
= * приводит к эллиптическим интегралам.
дуги эллин-
Действительно,
716
ГЛ. VII. специальные ФУНКЦИИ
[104
отрезок дуги, соответствующий изменению абсциссы от 0 до х, равен:
х х/а ___________
Цх) = J /1 + у'2 dx = a j У dt, (1)
О о
qP — ^2
где = —и/г2=———. Это — эллиптический интеграл второго рода в
форме Лежандра см. (2) из п. 102. Полная длина эллипса выражается через
полный эллиптический интеграл
1 __________
1 = 4а J V 'У-£’ dt = 4я£ (2)
о
Этому обстоятельству и обязаны своим названием эллиптические интегралы,
а также их обращения — эллиптические функции.
2) Эллиптические координаты также связаны с эллиптически-
ми функциями. Чтобы ввести их, рассмотрим уравнение
х2 . У2 Z2
р — а2 "г р — Ь2 р — с2
(3)
оно третьей степени и имеет при фиксированных х, у и z три действительных
корня X, р. и у, удовлетворяющих неравенству X > а2 > р > b2 > v > с2.
Эти корни и называются эллиптическими координатами точки (х, у, г).
Система координат (Л, ц, у) ортого-
нальна, ибо поверхности X = const,
р = const и v = const представляют
собой, соответственно, софокусные эл-
липсоид, однополосный и двуполосный
гиперболоиды, т. е. взаимно ортогональ-
ные поверхности (рис. 226).
Нетрудно вывести формулы, выра-
жающие декартовы координаты через
эллиптические *)
2 (X — а2) (ц — а2) (у — а2)
(а2 - Ь2} (а2 - с2)
, (Л - Ь2) (р - Ь2) (у - Ь2)
' (Ь2 - с2) (Ь2 - а2)
, (X — с2) (ц — с2) (у — с2)
’ (с2 - а2) (с2 - Ь2)
(4)
Отметим еще, что, как это доказывается в курсах векторного анализа, урав-
*) Для этого достаточно привести левую часть (3) к общему знамена-
телю и, заметив, что в числителе при этом получится многочлен третьей
степени относительно р со старшим коэффициентом — 1, разложить его на
линейные множители
х2 у2 z2 _________________________(р — Л) (р — р) (р — у)
р — а2 р — Ь2 р — с2 (р — а2) (р — &2) (р — с2) ‘
Чтобы получить (4), остается умножить обе части, соответственно, на
(р — а2), (р — Ь2), (р — с2) и положить р — а2, Ь2, с2.
104) § 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ 7)7
некие Лапласа в эллиптических координатах имеет вид:
М - у d 1'гг ди\ v-Х д ди \ \ А ~ И д (тт ди\.
дК \ х мГ nvnx <3(1 11 dv \Uv dvj-0, (5)
где ______________________
Пр = У7р — а2) (Р — &2) (р — С2), (6)
а Щ, ... получаются соответственно заменой р на X, ...
Вместо эллиптических координат Л, p, v вводят еще другие координаты
а, р, у, связанные с эллиптическими с помощью функции |р Вейерштрасса.
Для этого проще всего вместо р ввести переменную а по формуле
p = f(ff) + A (7}
где А — некоторая постоянная. Обозначим через ei, е2 и е» корни многочлена»
который получится, если в выражение Пр вместо р подставить (7), тогда
П2 = (р - а2) (р - Ь2) (р - с2) = {(? (о) - е,} {j? (а) - е2} {(? (а) - C.J.
Отсюда видно, что при р = о2, Ь2, с2, соответственно, (а) = eit е2, е3. Под-
ставив это в (7), найдем: а2 = е>А-А, Ь2 = е2А-А, с2 = ез-]-А, откуда
сложением получим
Л = 4-(а2 + &2+с2).
О
Новые координаты а, р, у определяются как значения о, которые полу-
чаются при подстановке в (7) р = X, ц, v:
X = р (а) + 2 (а2 + Ь2 + с2),
Н = ^ (₽) + 4-(а2 + 62 + с2),
О
у = Р (у) + 4 (а2 + ь2 + с2).
О
Отсюда получаем:
Л - а2 = Р (а) + А - а2 = р (а) - et,
и аналогично для других разностей. Подставляя это в (4), найдем формулы
перехода от координат (а, Р, у) к декартовым:
{F (д) — gj {F (Р) — gj {F (у) — ej '
(О - ег) (е, - е3)
{F (а) — ег} (3) — е2} {F (У) — ег)
У ~ (ег - е3) (е2 - е,) ’
, {Р («) ~ fo) {Р (Р) — е3] {р (у) — е3} .
(ез — ei) (ез —
Интересно отметить, что согласно формуле (14) п. 103 правые части выра-
жений (9) являются квадратами однозначных функций, следовательно, х.
718
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[104
у и г представляют собой однозначные аналитические функции коорди-
нат а, (3, у.
Далее, из (8) и дифференциального уравнения (13) п. 103 для функции
Р найдем:
da____1 dp_____1 dy ___ 1
dK Пх ’ dp П(1 ’ dv nv ’
следовательно, например, Их = ——
ил да
и уравнение
Лапласа в
координатах (если заменить разности (ц — v), ... по формулам (8))
мает виД:
новых
прини-
rflfi c)~1J
№ (Y) - !? ф)} + де (а) - (V)) + де (₽) - Р (а)} = 0. (Ю)
3) Коэффициент взаимной индукции двух кру-
говых токов по определению равен
.. Г Г cos (РТ, Р'Г) , . ,
A1 = J J --------pp^dsds'^
С С'
2л 2л
, Г Г cos (<₽' — <р)
= аа I --------------------—— dtp dtp',
о о
где смысл обозначений ясен из
рис. 227. Обозначим через Q проек-
цию точки Р' на нижнюю плоскость
(на рис. 227 не отмечена); тогда
г = У P'Q2 + PQ2 =
= У Ь2 + а1 + а'2 — 2аа' cos (ср' — <р).
Рис. 227.
няя еще по известному
делы интегрирования по
Введем вместо ср' новую перемен-
ную т = ср' — <р + л, тогда’, заме-
свойству интегралов от периодической функции пре-
т, равные л — ср и Зл— tp, на 0 и 2л, получаем:
2л 2л я
, Г , f cos (т — п) . . , Г COST dr
М = аа dtp ------------1-------— dx = —4 аа л — .............
•; % г У У а2 + а'2 + &2 + 2аа' cos т
или, заменяя т = 2/:
л
2
М = 8лаа' J
о
Если положить
________(2 sin2t — Г) dt_______
Kfa + а')2 + b2 — 4аа' sin2t
___ 2 V аа'
} (а ф- а')2 + *
104]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
719
то получим окончательно.
М = 4л/(а+ а')2 + Ь2
k2 sin2 t dt-\-
2
- fe'2 Г dt
2 ‘J Kl — k2 sin21
= 4л/(а + аТ + 62р-4^/<-Л (И)
4) Конформное отображение верхней полуплоскости
на данный прямоугольник. В п. 39 мы рассмотрели отображение
верхней полуплоскости 1m да > 0 на прямоугольник плоскости г, стороны
которого определяются выбором параметра k эллиптической функции Якоби.
Здесь мы будем считать прямоугольник со сторонами а и 6 произвольным, но
расположенным так, чтобы его вершины попали в точки ± -% и ± — + to.
Искомое отображение реализует функция
w
г — С\ .— -dw— —
J 1^(1 — да2) (1 — k2w2) ’
(12)
причем для определения параметров k и С мы имеем два уравнения (см. (1)
и (2) п. 39):
а = 2С
dt = 2СК (k),
/(1 - t2) (1 - /г2/2)
(13)
Из этих уравнений мы прежде всего находим:
26 К (fe') .
а К (6)
_ 2л&
я==е-™='~
затем по известному q находим k2 из рис. 223 или таблицы, цитированной
на стр. 703, или второй формулы (34) п. 102. Зная k, находим К по таблице
полных эллиптических интегралов или непосредственно по q с помощью пер-
вой формулы (34). Наконец, зная К и а, из первой формулы (13) опреде-
ляем С.
В качестве примера рассмотрим отображение верхней полуплоскости на
квадрат со сторонами а = Ь — 1. Имеем х = 2, следовательно, q = е~2л
» 0,00187 (см. [14], стр. 58), log q = 3,27184; а = 9° 53' (см. [14], стр. 147),
К = 1,5825 (см. [14], стр. 177). Таким образом.
С = = 0,3159, й2 = sin2 а = 0,02943
720
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
[104
и искомым отображением будет *)
W
z = 0,3159 [ ====^=======. (14)
J У (1 — w2) (1 — 0,02945т2)
Если не требуется большой точности, то при решении задачи об отобра-
жении прямоугольника удобно пользоваться следующей таблицей, которую
мы заимствуем из книги Морса и Фешбаха [16].
К к К! 0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
к 1,571 1,571 1,571 1,571 1,573 1,583 1,604 1,643 1,699 1,768 1,854
к ОО 15,71 7,855 5,237 3,933 3,166 2,673 2,347 2,124 1,966 1,854
k 0 0 0,00156 0,0213 0,0784 0,171 0,265 0,407 0,320 0,622 0,707
k' 1,000 1,000 1,000 1,000 0,998 0,985 0,965 0,913 0,853 0,784 0,707
а 0 0 5,4' 1° 11.7' 4° 30' 9° 50' 15° 22' 24° О' 31° 23' 38° 30' 45°
q = e~ ЛИ 0 0 0 0 0,0004 0,0019 0,0053 0,0114 0,0197 0,0307 0,0432
Так, в рассмотренном выше случае 1/х = 0,5, из этой таблицы мы на-
ходим k = 0,171, откуда k2 = 0,0292, и далее К = 1,583, откуда
С = 2^- =0,316.
При небольших k (0 < k < 0,1) достаточно хорошим приближением слу-
жит k х 4е~пК' ^к — 4 При к > I вместо К, k и а берут соответ-
ственно К', k' и 90° — а.
5) Конформное отображение плоскости со щелями
на круговое кольцо (рис. 228). Рассмотрим сначала отображение
ваются. Но это означает, что сложная
z = sn (со; k) (15)
верхней полуплоскости г на
прямоугольник с вершинами
±К, ±К + iK'. Продолжая
отображение (15) через отре-
зок AD, получим отображение
плоскости z с выброшенными
лучами |z|> 1, у = 0 на вдвое
больший прямоугольник пло-
скости со = ^ + й). Функция
я
-jr®
w — ел отображает
прямоугольник на
К
К' /I ,
этот
круговое
кольцо е < | w | < е 14
причем точки со = g ± 1К’ склеи-
функция
К' И л Г dz
w — е = ехр | -7ТГ
[ к J /(l-Z2)(l-fe2Z2)
(16)
*) Заметим, что в рассматриваемом случае, когда прямоугольник яв-
ляется квадратом, параметр k определяется точно. Именно, можно доказать,
что в этом случае двойное отношение точек —1/fe, —1, 1, l/k равно —1 и,
значит, k = 3 — 2 К 2. Отсюда k2 — 17 — 12 |' 2 « 0,029437.
1041
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
721
реализует искомое отображение. Правый отрезок АВ переходит при этом
во внешнюю окружность кольца, а левый — во внутреннюю.
6) Конформное отображение верхней полуплоскости
на область рис. 229. Пусть точки z = 0, 1, оо переходят, соответственно,
в w = 0, D, оо; тогда функция, реали-
зующая искомое конформное отображе-
ние, запишется в виде интеграла Швар-
ца — Кристоффеля (п. 37):
v
ДВС б D Е F ®х
где Ci >0, &>1 и > 1 — некоторые
постоянные, подлежащие определению.
После простых преобразований этот ин-
теграл переписывается в виде комбинации
Рис. 229.
и второго рода:
эллиптических интегралов первого
Z Z __________, ч
Г_______________dz Гт/" l — fc2z2 , I
I /(1 - г2) (I - fe2z2) + J V 1z2 J’
где С — некоторая положительная постоянная. Для определения постоянных
воспользуемся соответствием точек г = 1, w = h; z = w — h и z = b,
w — h + ia. Из соответствия первой пары получаем:
h = C{(kW- 1)К + £}. (18)
где /С и Е — полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соот-
ветствующие модулю k (см. п. 102). Из соответствия второй пары, учитывая
соотношение (18), получаем:
о = (k2b2 - 1) К' + El = fe2 w - Е\ (19)
где К' = K(k'), k' = V^1 — k2 (см. и. 102), а
1
ft
Г Г 1 — fe2i2
== J У dt = -Е' (2°)
1
и Е'= E(k') чтобы убедиться в последнем равенстве, достаточно заменить
У1 — 6'2т2
в интеграле t ------------------]. Наконец, соответствие третьей пары с уче-
том соотношения (18) после сведения эллиптических интегралов к интегралам
с пределами, меньшими 1 ( это делается с помощью замены t = — -
\ у 1 - fe'V
в интеграле первого рода и замены, указанной в предыдущих скобках, для
722
ГЛ. VII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(104
интеграла второго рода , дает:
а = С {(k2b2 - 1) F (a', k') + K'-F (a", k') + F (а", k')}, (21)
где sin а' — ~^rVb2 — 1, sina" = -y- К1 — k2b2. Из формул (18), (19) и
(21) можно приближенно найти неизвестные k, b и С.
7) Электростатическое поле двух прямоугольных
полюсов (рис. 230). Отобразим конформно верхнюю полуплоскость $ на
верхнюю половину поля с соответствием
точек, указанным на рис. 230. Интеграл
Шварца — Кристоффеля имеет вид:
г = (22)
о
т. е. является эллиптическим интегра-
лом второго рода. Из соответствия
точек z = 1, w — h и z = -г-. ai = h 4- ia,
k
как в предыдущем примере, найдем:
h = CE {k), а = С{К (k’) - Е (fe')}_ (23)
Отсюда, деля одно уравнение на другое,
получаем соотношение для определения
модуля k, а найдя k из (23), нахо-
дим и С.
По принципу симметрии функция, обращающая интеграл (22), дает
отображение всей области поля на плоскость £ с выброшенными лучами
| £| >1, Im £ = 0. Функция
1 , я®
7sh~2V
£ = — sin
inw
2V
(24)
реализует отображение полосы—VcImwcV на верхнюю полуплоскостью,
причем нижней границе полосы соответствует левый разрез, а верхней —
правый.
Следовательно, формулы (22) и (24) дают параметрическое представле-
ние комплексного потенциала поля, которое получается, если левый полюс
несет потенциал — V, а правый V. Вектор напряженности поля будет равен:
_ . dw dw dt 2V 1
E = — i — = — i--------• —2- =----------, —=
dz dt, dz лС у i _ k2t,2
(25)
8) Электростатическое поле точечного заряда, рас-
положенного внутри прямоугольника. Пусть заряд величины
q расположен в точке £ = g + и] внутри прямоугольника
с пР0В°Дяшими стенками (рис. 231). Потенциал поля U — функ-
ция, гармоническая всюду внутри прямоугольника, кроме точки £, где она
имеет особенность вида 2q In -------r-г, и равная нулю на стенках прямо-
104]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
723
угольника. Влияние стенок можно заменить системой зарядов ±<7, получае-
мых отражениями q в стенках заданного прямоугольника (рис. 231), что
равносильно продолжению функции U на
всю плоскость z. ‘ ’
После такого продолгкения функция V будет двоякопериодической с перио- дами т и т', причем в точках g, •ч ’i'o \
т + it' — £ и конгруэнтных им, она будет иметь особенности вида 2о 1п —: , t'. 1 2 — £ ] V. а в точках С, т + it' — t,— особенности ; вида 2<?ln|z— Ц. Пусть V(z)—функ- д ция, сопряженная U(z), тогда 4- iU+iV) w —f (z) = е (26) 1 л’
•?
чч г Рис. 231. г
будет эллиптической функцией с основными периодами т и it' и с простыми
полюсами и нулями, конгруентными соответственно g, —g и g, — g. По тео-
реме п. 101 функция f(z) представляется с помощью <т-функций Вейер-
штрасса:
f = р (? + S) о (г — Ь
k ’ о (г + g) a (z - g)
(27)
(здесь С = 1 в силу нашего выбора множителя при U + iV в формуле (26)).
Искомый потенциал поля
п i \ о о । о (г + ?) о (z — ?)
и (г) = 2q Re In ——г—(—-ry .
о г + g о (г - g)
(28)
9) Формула Ахиезера — Г о л у з и п а. В заключение мы приведем
вывод формулы для конформного отображения кругового кольца па дву-
связпую область D, ограниченную двумя многоугольными контурами. Эта
формула аналогична формуле Шварца — Кристоффеля п. 37; она была най-
дена в 30-х гг. независимо Н. И. Ахиезером и Г. М. Голузиным
(см. [11]).
Для определенности предположим, что область D плоскости ui содержит
бесконечно удаленную точку, т. е. представляет собой внешность двух замкну-
тых многоугольников без точек самопересечения, которые мы обозначим че-
рез Го и Гь Вершины Ai, Аг, .... Ап обоих многоугольников занумеруем об-
щей нумерацией так, чтобы при их обходе в естественном порядке область D
оставалась слева. Как и в п. 37, внутренний по отношению к D угол при
вершине Ай мы обозначим через (0 < ал < л); по элементарной теореме
о сумме внешних углов многоугольника
2(аА-1)=4. (29)
fe=l
Будем искать отображение на D кругового кольца /<: r<|z|<l, где
число г (0<r< 1) должно определиться в процессе решения задачи (см.
теорему 3 п. 35 и замечание вслед за ней). Предположим, чго окружность
Со: |z|= 1 переходит в контур Го, а окружность С\-. |г| = г — в контур Гь
Прообраз вершины А* обозначим через о* (k — 1,2, ..., п), через г = а
724
ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
1104
обозначим прообраз точки w = оо; без ограничения общности можно считать,
что а лежит на положительной полуоси, т. е. что г < а < 1.
Отображающая функция w = f(z) аналитична в кольце Д всюду, кроме
точки z = а, где она имеет полюс первого порядка (в силу однолистности
отображения). Поскольку эта функция непрерывно продолжается на границу и
преобразует любую дугу окружностей Со и Сь лежащую между двумя после-
довательными точками «л и as+i, в прямолинейный отрезок, то к ней приме-
ним принцип симметрии п. 35. Согласно этому принципу мы продолжим функ-
цию /(г) в кольцо К-f. 1 <|г|<—, и она будет там аналитической всюду,
кроме точки г =~, где она имеет полюс первого порядка; кольцо К-} эта
функция отображает конформно на область D-i, которая получается из D
отражением в одной из сторон многоугольника Го. Точно таким же образом
мы продолжим эту функцию в кольцо Kr. r2<|z|<r и, вообще, в кольца
Ку. г>+’ < |z| < г3 (j — 0, ±1, ±2, ...; кольцо Ka = К). Получим, как и
в п. 37, многозначную аналитическую функцию с точками ветвления в концах
дуг ак и точках, симметричных с ними относительно граничных окружностей
колец Kj, и с полюсами первого порядка в точке а и симметричных с ней
точках.
Четное число, пусть равное 2k, отражений в прямых на плоскости w сво-
дится к линейному преобразованию W <= bkW + с*, а в плоскости г ему
соответствует преобразование Z = г2кг. Поэтому ветви многозначной функ-
ции f(z), которые для простоты мы обозначим той же буквой, должны удовле-
творять соотношению / (г2кг) = bkf (z)+ ck. Дифференцируя его два раза и
беря отношение второй производной к первой, мы получим
ы __ f"(z)
f' (r2kz) r (z)
(ср. вывод формулы Шварца — Кристоффеля в п. 37). Отсюда видно, что
f,f (z)
функция Ф(г) — г -—у.-.-, удовлетворяющая соотношению
I \2)
ф(г2*2)=ф(г), k = ±\, ±2, ...,
(30)
не зависит от выбора ветви функции /(z), т. е. является однозначной
функцией.
Функция Ф(г) не изменяется, если ее аргумент умножается на г2. Чтобы
перейти от нее к периодической функции, фиксируем некоторое число <в > О
и положим
/ ni \
ф(г) = Ф\е“ /• (31)
В силу однозначности Ф(г) и периодичности показательной функции полу-
чаем, что
( 2л/+-^-г\
<р(г + 2<о) = Ф \е “ / = ф(г).
ш'
ni —
Если же выбрать мнимое число <о' так, чтобы было е “ то свой-
ство (30) функции Ф (z) даст
Ф (z + 2<в') = Ф \г2е “ / = ф(г).
104]
§ 4. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
725
Таким образом, функция <p(z) оказывается двоякопериодической, с перио-
дами 2а> и 2(о'.
Выясним характер особенностей функции <р(г) в ее прямоугольнике пе-
риодов, скажем прямоугольнике е Re z < 2со + е, е ^ Imz < —2ив' + е,
где е >0 и невелико (мы взяли несколько сдвинутый прямоугольник, чтобы,
т
--------------------------------------------------------------- Z
на его границу не попали особые точки). При отображении Z = е“ этому
_ Я£
прямоугольнику соответствует кольцо Хг2 |Z | •<X (где Х = е и < 1 в
близко к 1)
ции Ф (Z) в
окружностях
функция f (Z)
с разрезом вдоль луча arg Z = . Особыми точками фуик-
этом кольце являются точки а* (й = 1,2, ..., и), лежащие па
1
Со и С], а также точки а и —. Как и в п. 37, мы найдем, что
в окрестности точек аЛ допускает разложение вида
HZ) = А + (Z - а^ {с0 4- с, (Z - а„) + ...},
1
а в окрестности точек а и —
А’
Z — a
f(z) = ^=T + 4 + c"(aZ-l)+ ....
/(2)
+ с'й + С; (Z — а) + ..
1" (Z)
Отсюда для функции Ф (Z) = Z ' „д/ получаем соответственно
I №)
2а
— Ф(г) = _.
а. — I 2а 2
= Ф(2) = -у^+...> ®(Z) = -5z—г+...
(точками обозначена правильная часть разложений). Положим здесь снова
т
— z tt>
Z = е w , Ф(2)= <p(z), обозначим zA == —lntzA точку, соответствующую
Ял, и заметим, что
Z~ak = ak
Л1
«а &h—
k (О
мы получим разложение <p(z) в окрестности точки zA:
<о а. — 1 .
ф(г) = _.-------*-------+ .
v' nt <о ,
z — —у In ak
nt K
<о
Точно так же в окрестности точек z = соответствующих точкам я
1
и —, получим
а
. . <0 2 , , . <о 2
ф(г) = ——------------------------1- .... 4>(z) = ——т---------------------
nt <0 , nt . а .
z------г In a z 4----г 1п а
nt nt
726
ГЛ. VIII. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
(101
Таким образом, все особые точки двоякопериодической функции ср (г) в
ее прямоугольнике периодов — полюсы, следовательно, эта функция является
эллиптической. Все эти полюсы — простые и сумма вычетов в них, согласно
соотношению (29),
как и должно быть для эллиптических функций. Пользуясь разложением (29)
п. 103, мы можем выразить ср (г) через дзета-функцию:
п
. X ® X1 7 , «. / со , \
41 («* — о
fe=i
2ю со ,
—- £ -z-----г In а
Я1 \ 711
-2^-£;(z+ -^rlno) + С, (32)
ш \ ш /
где С — постоянная.
т ( “ 1
1еперь вспомним, что cpl-^rlnz
формуле (27) п. 103
учтем,
что по
Г (г)
z , и
f (г)
лег d
со dz
Подставляя это в (22), получим
Г (г)
Г (г)
п
О f ( ® т
— 2 —— In о —г In
dz \ ш
2 J— In о
аг
In az
откуда, интегрируя и потенцируя, найдем выражение f'(z) через сигма-
функцию:
Заменяя о через тэта-функцию О'! по формуле (37) п. 103 (в которой т = 2со),
будем иметь
где С" и с — постоянные. Рассуждением, которое мы опускаем (см. [11],
стр. 186), можно доказать, что с = 2. Интегрируя еще раз, получим оконча-
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ VII
727
тельную формулу для конформного отображения кольца г <|г|< 1 иа дву-
связную многоугольную область, содержащую бесконечно удаленную точку:
/(г) = С
f 1 . 2 \ 2 ( 1
К—- In— &, ——г
I 2ш а ) 1 \ 2nz
dz
z2 ’
(33)
Точно так же доказывается аналог этой формулы для отображения
кольца на ограниченную двусвязную многоугольную область, у которой вну-
тренний (по отношению к области) угол при вершине Ил равен
(k = 1,2.....я):
f(z) = C
(34)
Заметим, что, как и формулы Шварца — Кристоффеля, эти формулы со-
держат неизвестные параметры (С, ак и г), которые должны определяться
в процессе решения задачи. Трудности их определения ограничивают практи-
ческие применения этих формул.
Литература к главе V11
[1] В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. Ill, ч. II, Гостехиздат,
1949.
[2] Р. Курант и Д. Гильберт, Методы математической физики, т. 1,
Гостехиздат, 1951.
[3] А. Н. Тихонов и А. А. Самарский, Уравнения математической
физики, Гостехиздат, 1953.
[4] Н. Н. Лебедев, Специальные функции и их приложения, Физматгиз,
1963.
[5] Е. Уиттекер и Г. Ватсон, Курс современного анализа, т. II, Физ-
матгиз, 1963.
[6] Д. Джексон, Ряды Фурье и ортогональные полиномы, ИЛ, 1948.
[7] Г. Ватсон, Теория бесселевых функций, ч. 1—теория, ч. 2 — таблицы,
ИЛ, 1949.
[8] Р. О. Кузьмин, Бесселевы функции, ОНТИ, 1935.
[9] Э. Грей и Г. Мэтьюз, Функции Бесселя и их приложения к физике
и механике, ИЛ, 1953.
[10] В. А. Фо к, Дифракция радиоволн вокруг земной поверхности, Изда-
тельство АН СССР, 1946.
[И] И. И. Ахиезер, Элементы теории эллиптических функций, Гостехиз-
дат, 1948.
[12] Ю. С. Сикорский, Элементы теории эллиптических функций с при-
ложениями к механике, ОНТИ, 1936.
[13] А. М. Журавский, Справочник по эллиптическим функциям, Изда-
тельство АН СССР, 1941.
[14] Е. Янке и Ф. Эм де, Таблицы функций с формулами и кривыми, Физ-
матгиз, 1959.
[15] А. Кратцер и В. Ф р а п ц, Трансцендентные функции, ИЛ, 1963.
[16] Ф. М. М о р с и Г. Фешбах, Методы теоретической физики, т. т. 1, 2,
ИЛ, 1958.
Предметный указатель
Абель Н. 70
Абеля теоремы 70, 684
Автоморфизмы верхней полуплоско-
сти 140
— единичного круга 139
Адиабатности условие 334
Амплитуда эллиптического интеграла
695
Аналитическая дуга 162
— функция 38, 97
---- полная 97
Аналитическое продолжение 93; 95,
163
----гармонической функции 214
----непосредственное 53, 94
Аналитичность в оо 92
Аргумент комплексного числа 13
— производной 111
Аргумента принцип 88
Арккосинус 41
Арккотангенс 42
Арксинус 42
Арктангенс 42
Асимптотическое выражение второй
ханкелевой функции 659
----гамма-функции 452, 598
— — многочленов Лежандра 488, 627
---- первой ханкелевой функции 659
----функций Бесселя 486
----— Вебера 660
— разложение 471
----обобщенное 475
«-точка 90
Ахиезера — Голузнна формула 723
’Безциркулярное обтекание 256
Берпулли Д. 676
— задача 676
интеграл 334
— теорема 399
Бернулли — Эйлера формула 247
Бесконечно удаленная точка 90
Бесконечное произведение 432 и сл.
Бесселевы функции 548, 637—674
Бесселя интеграл 419
Бета-функция Эйлера 586, 598
— —, аналитическое продолжение 599
Бигармоническая функция 276
-----, комплексное представление 277
Биномиальный ряд 487
Буняковского неравенство 605
Бурмана — Лагранжа ряд 422
Вариационный принцип 359
Вариация граничной производной 385
— отображения 384
— подъемной силы 393—397
Вебера функции 652
Вейерштрасс К. 10
Вейерштрасса теоремы 68,69, 436, 437
— функции 703, 709
Вектор потока тепла 249
Векторное поле 235
----- безвихревое 238
----- потенциальное 238
Векторное поле соленоидальное 237
-----стационарное, плоскопарал-
лельное 235
Ветвь 27, 31, 35
Вихревая точка 238
Вихреисточник 242
Вихрь поля 238, 241
Волна длинная 401
— малой амплитуды 401
— уединенная 403
Волновое уравнение 634
Волны период 401
Вторая краевая задача 229
Вычет функции 84
-----в полюсе 84
-------оо 92
-----логарифмический 86
Вышиеградского — Найквиста метод
464
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гамма-функция 453, 591
— —, аналитическое представление
453
----, асимптотическая формула 452,
598
----, интегральные представления
453, 454, 595, 598
•— —.свойства 591—598
----, формулы Эйлера 595, 604
— —, функциональное уравнение 592
— —,------второе 593
----,-----третье 603
Гармоническая функция 199
----.аналитическое продолжение 214
---- многозначная 202
----, сопряженная 200
Гаусс К- Ф. 105
Гахова теоремы 300, 303
Гёльдера условие 117, 288
Гильберт Д. 296
Гильберта — Привалова краевая за-
дача 296
Гиперболические функции 41
Гипергеометрический ряд 634
Гипергеометрическое уравнение 634
Главное значение интеграла 289
Годограф частотный 461
Годографа плоскость 337
— уравнение 338
Голоморфная функция 23
Граница области 16
Граничная задача 255
— теорема единственности 212
— точка 16, 57
— функция 115
Граничное значение 211
Грин Дж. 221
Грина формула 221
— функция 221
Грунтовые воды 406
Гука закон 274
Гурвиц А. 457
Гурвица критерий 457
Даламбер Ж. 9
Даламбера — Эйлера условия 16
Дарбу метод 486
Дарси закон 407
Движение грунтовых вод 406
— жидкости под действием силы тя
жести 576
Двойной слой 243
Деление степенных рядов 420
Деформация 273
— контура 359
Дзета-функция Вейерштрасса 709
729'
Дивергенция 236
Диполь 242
— точечный 242
Дирихле Л. 215
— задача 215
----для круга 219
------полуплоскости 224
----обобщенная 215
----.формула для решения 221
Дифференциальные уравнения сме-
шанного типа 326
Дифференцирование изображения 505
— оригинала 504
Длинная волна 401
Дополнительный модуль 697
Дробно-линейные отображения 128
Дроссельный фильтр 555
Дуга аналитическая 162
— Ляпунова 116
Дюамеля интеграл 510
б-функция 529
Единичная функция 495
Естественная граница функции 97
Жордана лемма 439
Жуковский Н. Е. 24
Жуковского профили 150, 264
— теорема 261
— формула 261
— функция 24, 29, 30
Задача Дирихле 215
----обобщенная 215
----, теорема единственности 216
----, формула для решения 221
— наклонной производной 311, 312
— Неймана 229
— Трикоми 326
— о штампе 355
— Эйлера 678
Закон Гука 274
— Дарси 407
Извлечение корня из комплексных чш
сел 12
Изображение дробных степеней 522
— интегралов Френеля 524
— функции (по Лапласу) 495, 536
Изолированная особая точка 78, 98
Изотермическая линия 249
Изотропное тело 274
Иээнтропичности условие 334
730
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Импеданц 548
Импульсные функции 529, 531, 532
Инверсия 15, 131
Интеграл Бернулли 334
— Бесселя 419
— вероятности ошибок 473
—, главное значение 289
— Дюамеля 510
— Лапласа 441, 496
— Лежандра 445
— Липшица 671
— несобственный 61
.— особый 289
— от функции комплексного пере-
менного 43
— псевдоэллиптический 694
— —, модулярный угол 695
— — полный 695-х
— Пуассона 219, 224, 416, 444
— Раабе 602
— Сонина 639, 640, 673, 674
— Сонина — Шлеффли 640
—, сходящийся равномерно 62
— типа Коши 287
— Френеля 447
— Шварца 223
--- для полосы 227
— — — полуплоскости 224
— Шварца — Кристоффеля 175, 226
— Шлеффли 641
— Эйлера 417, 442, 443, 446
— эллиптический 184, 600, 694
— —, амплитуда 695
---, модуль 695
— — полный 600
Интегральная показательная функ-
ция 473
Интегральное преобразование 489
Интегральный косинус 417
— синус 417
Интегрирование изображения 506
— оригинала 506
Интенсивность вихря 241
— источника 240
Источник поля 237
Кабель 569
Карлеман Т. 316
Карлемапа система 316
Квадруполь 246
Квазиконформное отображение 321
Келдыша — Седова теорема 304
---формула 306, 309
Келлога теорема 117
Колосов Г. В. 198
Колосова формула 278
Комплексная плоскость открытая 91
----- полная 91
Комплексное представление напряже-
ния 278
— — смещения 278
Комплексные числа 10
— — в показательной форме 33
-----, геометрическое изображение 13
Комплексный потенциал 239, 249, 252,
253
Компоненты смещения 274
Конденсатор Роговского 267
Контур звездный 49
— кусочно-гладкий 17
Конформное отображение 109
— — верхней полуплоскости на себя
140
-------------единичный круг 137
—------------прямоугольник 183
-------— с исключенными отрезка-
ми на верхнюю полуплоскость 166
— — внешности дуги на внешность
круга 148
-------круга с исключенными от-
резками па внешность круга 165
—------креста на внешность круга
164
------ второго рода 109
-----единичного круга на внешность
«звезды» 123, 124
— — — — на себя 139
— — круга на внешность пятиуголь-
ной звезды 191
-----— — плоскость с исключенны-
ми лучами 123
— — — с выброшенной луночкой на
круг 152
— — — с выброшенным отрезком
радиуса на круг 143
-----, круговое свойство 109
-----многоугольниокв 170, 724
— — областей, ограниченных кривы-
ми второго порядка 168
•----.основная задача 112
-----плоскости с выброшенными лу-
чами па полосу 144
— — — с исключенными отрезками
на плоскость с исключенными от-
резками 168
-----полосы на единичный круг 140
-------с выброшенной луночкой на
полосу 153
-------с вырезом на полосу 145
—------с горизонтальным вырезом
185
-----полуплоскости с выброшенным
отрезком на полуплоскость 142
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
731
Конформное отображение полупло-
скости с выброшенным сегментом
на полуплоскость 150
— —, принцип соответствия границ
117
----, свойство сохранения углов 109
— —, теорема единственности 160
---эксцентричного кругового коль-
ца па концентрическое 147
Конформность в оо 118
Косинус амплитуды 699
— интегральный 417
Коши О. 10
Коши — Адамара формула 71
— неравенство 64, 77
Коши — Римана условия 16, 21
---- — в полярных координатах 24
------обобщенные 23
— теорема 45, 49, 426
----для многосвязных областей 54
— — о вычетах 85
----обобщенная 49
— формула 54, 294
Коэффициент распространения волны
568
— , усиления 462
— фильтрации 407
Краевая задача 255
----Гильберта — Привалова 296
----Римана — Гильберта 310
----смешанная 260
— — теории упругости 279
Краевые задачи на обтекание 255—
265
— условия 215
Кратность точки 17
Кривая кусочно-гладкая 17
— простая 52
Кристоффель Э. 175
Критерий (метод) Вышнеградского —
Найквиста 464
— Гурвица 457
— Найквиста — Михайлова 463
— устойчивости 461
Критические точки потока 247
Кумулятивный эффект 339 и сл.
Лагранжа формула 401
Лаплас П. 494
Лапласа интеграл 441, 496
— метод 477
— преобразование 494
---- двустороннее 578
----.свойства 504—512
— уравнение 199
— формулы обращения 499
Лежандра интеграл 445
— многочлены 418, 613
— формула 602
Лемма Жордана 439
— Шварца 57
Линделёфа принцип 359
Линейные эллиптические системы 319
— эллиптические системы 319
Линия изотермическая 249
— наибольшего ската 484
— тока 237
— уровня 205, 359
Липшица интеграл 671
Лиувилль Ж. 64
Лиувилля теорема 64, 92
Логарифм комплексного числа 35
Логарифмическая производная 87
— функция 34
Логарифмический вычет 86
Локальная вариация 384
Лоран П. 77
Лорана ряд 74
— теорема 77
Магнитное поле в зазоре электриче-
ской машины 267
--- тока 253
Маклорен К. 67
Массовые силы 273
Меллина преобразование 489, 578
— формула обращения 578
Мероморфные функции 83, 425
Метод аналогий 234
— Вышнеградского — Найквиста 464
— Дарбу 486
— интегральных преобразований 489
— итераций 233
— Лапласа 477
— операционный 492 и сл.
— перевала 477 и сл.
— последовательного отображения
412
— производящих функций 486
— сеток 232
— фрагментов 409
— Чаплыгина 337
— Янсена — Рэлея 335
Миттаг-Леффлер М. 429
Миттаг-Леффлера теорема 429
------- обратная 429
Мнимая единица 10
Многочлены Лежандра 418, 613
---, асимптотические формулы 627
---, интегральные представления'
626
---, рекуррентные формулы 625
— ортогональные 610—636
732
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Многочлены Чебышева 418, 613
— —, экстремальное свойство 633
— Чебышева — Лагерра 614
— Чебышева—Эрмита 614
— Якоби 614
Модуль дополнительный 697
— комплексного числа 13
— производной 111
— эллиптического интеграла 695
Модулярный угол 695
Момент диполя 242
— квадруполя 246
Монтеля принцип 363
Морера Г. 65
Мореры теорема 65
Мультиполь 247
Напряжение 273
— касательное 273
—, комплексное представление 278
— нормальное 273
— операторное 548
Нейман К- 229
Неймана задача 229
Неопределенный интеграл 48
Непрерывность функции 20
--- равномерная 20
Неравенство Буняковского 605
— Коши 64, 77
Несобственный интеграл 61
Норма 604
Нормированная система функций 605
Носитель обобщенной функции 533
Нуль, порядок 73
— функции 73
Область 16
— замкнутая 16
— звездная 359
— многосвязная 17
— ограниченная 17
— односвязная 17
— существования аналитической
функции 97
— сходимости ряда 71, 77
Обобщенная задача Дирихле 2(5
— теорема Коши 49
— функция класса S4-* 532
---класса <Я* 536
Обобщенный оригинал 536
— принцип экстремума 211
— ряд степенной 99
---Фурье 604
Обращение контурного интеграла 585
— степенных рядов 424
Обтекание кругового цилиндра 261
— отрезка 269
— произвольного профиля 263
— профилей Жуковского 264
— со срывом струй 260
— тел газовыми потоками 333
Общая показательная функция 43
— степенная функция 42
Окрестность 16
— бесконечно удаленной точки 91
Операторная система уравнений
545
Операторное «напряжение» 548
— решение 541
— «сопротивление» 548
— уравнение 541
Операторный «закон Ома» 548
— метод расчета электрических кон-
туров 548
-----решения дифференциальных
уравнений 557
— «ток» 548-
Операционный метод 492 и сл.
-----, предельные соотношения 521
----.свойства 504—512
----, теоремы разложения 515
Оригинал-функция 494
— — особый 523
Ортогональное преобразование 109
Ортогональности условия 109
Ортогональные многочлены 610
— системы функций 605
-----—, единственность 609
-----, нормировка 605
------ — с весом 609
Основная теорема алгебры 455
Основной вариационный принцип 359
Основные функции 532
-----, сходимость 532
Особая точка 98
-----ветвления, алгебраическая 98
--------- конечного порядка 98
— — — трансцендентная 99
— — гармонической функции 205,
210
-----изолированная 78, 98
•------в бесконечности 91
-----многозначного характера 98
----- однозначного характера 98
-----, существенно рсобая 78, 210
-г---устранимая 78, 210
Петроградский М. В. 280
сь действительная 12
— мнимая 12
Отображение 18
— дробно-линейное 129
«— квазиконформное 321
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
733
Отображение конформное 109
— однолистное (взаимно однознач-
ное) 18
— суперпозиция 18
Отображения, главная линейная
часть 105
Палатини формула 227
Параллелограмм периодов 688
Первообразная 48
Перевала метод 477
Период волны 401
— интеграла 53, 201
— функции 683
----основной 685
Периодические функции 682
— —, полосы периодов 686
Плоскость годографа 537
Поверхность модуля 38
Подъемная сила крыла самолета 248,
393
Показатель роста 494
Показательная форма комплексного
числа 33
— функция 32
Поле векторное 235
---- безвихревое 238
----, вихрь или ротор 238
----, дивергенция или расхождение
236
----соленоидальное 237
— магнитное 253
— скоростей 245
---- стационарное плоскопараллель-
ное 235
— — течения жидкости 245
— тепловое 248
— электростатическое 251, 265
Полная аналитическая функция 97
Полный эллиптический интеграл 600
Положительное направление обхода
17
Полосной фильтр 556
Полюс 78, 210
Порядок нуля 73
— полюса 80
— а-точки 90
— связности 17
— целой функции 437
Постоянная Эйлера 592
Потенциал 200
— двойного поля 244
— поля 239, 251
----комплексный 239
плоского диска 584
— простого слоя 243
Потенциальная функция поля 239
Поток адиабатный 334
— векторного поля 236
Правило дробных показателей 526
Правильная система контуров 426
Предельные соотношения преобразо-
ваний Лапласа 521
Преобразование Лапласа 489, 499
— — двустороннее 578
— Меллина 489, 578
— Фурье 574, 575
— Ханкеля 581
Привалов И. И. 296
Принцип аналитического продолже-
ния 163
---— — для гармонической функции
214
— аргумента 88
— Линделёфа 359
— локализации 388
— максимума модуля 56
— Монтеля 363
— непрерывного продолжения 93
— отвердевания 251
— симметрии 158, 213
— соответствия границ 117
— экстремума 204
---обобщенный 211
Проблема Рауса — Гурвица 456
Произведение комплексных чисел 11
Производная обобщенной функции
534
— функции 21
---, геометрическая интерпретация
111
--- обратной 23
Производные высших порядков 63
Производящие функции 486, 614
Профили Жуковского 150
---, обтекание 264
Пуассон С. 219
Пуассона интеграл 219, 224, 416, 444
Раабе интеграл 602
Равномерная непрерывность функции
20
— сходимость 58
— — интеграла 62
•--последовательности функций 58
---ряда 60
Радиус сходимости степеннбго ряда
71
Распределение температур в канале
369
Рауса — Гурвица проблема 456
Регулярная функция 23
734
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Рчман Б. 10
Римана — Гильберта краевая задача
310
— теорема 113
Риманова поверхность 100
---- арксинуса 102
---- корня 101
— — логарифма 102
----функции, обратной к функции
Жуковского 102
Ротор поля 238
Руше теорема 454
Ряд биномиальный 487
— Бурмана—Лагранжа 422
— Лорана 74, 415
— степенной 70
— Тейлора 67, 415
— тригонометрический 422
— функциональный 58
— — равномерно сходящийся 60
— Фурье 420
— Фурье — Бесселя 648
Свертка 510
Свертывание оригиналов 510
Седловая точка 483
Сигма-функция Вейерштрасса 710
Силовая функция 252
Силы массовые 273
— поверхностные 273
Симметрия относительно окружности
15, 131
Синус 36
— амплитуды 699
— интегральный 417, 442
— эллиптический 184, 694, 696
Система Карлемана 316
— с простой обратной связью 462
Скругление углов 192
Смешанные задачи для гармониче-
ских функций 313
Сонина интеграл 639, 673
— формула 673
Сонина — Шлеффли интеграл 640
Сопряженные гармонические функции
200
— комплексные числа 10
Сохоцкий Ю. В. 81
Сохоцкого теорема 81, 291
— формула 291
Спектральная функция 576
Степенная функция общая 42
Степенной ряд 70
----обобщенный 99
----, обращение 424
— —, радиус сходимости 71
Степенной ряд, теорема единственно-
сти 72
Степень комплексного числа 12
Стереографическая проекция 90
Стирлинга формула 482, 598
Стодолы условие 461
Сток 237
Суперпозиция отображений 18
Существенно особая точка 78, 210
Сферические функции 631
Таблица оригиналов и их изображе-
ний 538—540
Тейлора ряд 67, 415
— —, коэффициенты 415
— —, равномерная сходимость 67
— формула 67
Тейлоровские разложения элементар-
ных функций 68
Теорема Абеля 70, 684
— Бернулли 399
— Вейерштрасса 68, 69, 436, 437
— Гахова 300, 303
— Гурвица 457
— единственности 73, 211
----- граничная 212
-----разложений в ряд 72, 78
— Жуковского 26!
— запаздывания 507
— Каратеодори 116
— Келдыша — Седова 304
— Келлога 117
— Коши 45, 49, 420
— — для многосвязных областей 54
-----обобщенная 49, 323
— Коши — Лиувилля 64, 92
-------обобщенная 115
— Лорана 77
— Миттаг-Леффлера 429
------- обратная 429
— Мореры 65
— о вычетах 85, 92
— — соответствии границ 115
-----среднем 56, 204
------- обратная 206
— об ортогонализации 607
— подобия 504
— разложения 515, 517
— Римана 113
— Римана—Шварца 158
— Руше 319, 454
— сложения для бесселевых функ-
ций 670
------- показательной функции 32
— смещения 502
— Сохоцкого 81, 291
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
735
Теорема умножения 509
--- двойственная 511
— — обобщенная 512
— Шварца 537
— Шварца — Кристоффеля 175
— Эфроса 512
Тейлор Б. 67
Тейлора ряд 67
— формула 67
Теория пробивания 347
Тепловое поле 248
Тока линия 237
— трубка 237
— функция 237, 332
Топкое сопло 330
Точка бесконечно удаленная 90
— ветвления 98
--- алгебраическая 98
--- конечного порядка 98
---логарифмическая 99
— — трансцендентная 99
— граничная 16
— исключительная 468
— кратная 17, 206
— критическая 247
— наибольшей деформации 359,
368
— особая изолированная 78, 98
---устранимая 78, 210
— перевала 483
— простая 17, 206
— разветвления потока 263
— седловая 483
— схода потока 263
Точки, симметричные относительно
окружности 130
Тригонометрические функции 36, 39
— — обратные 41
Трикомн Ф. 326
— задача 326
Трубка тока 237
Тэта-функция Якоби 712
Угол в бесконечно удаленной точке
133
— модулярный 695
Удар пластинки о воду 270
Ударные задачи 259
Уединенная волна 403
Упругость, основные уравнения 273—
279
Уравнение Лапласа 199
— неразрывности 333
— цилиндрических функций 547
Уравнения газовой динамики 334
— годографа 338
Уравнения движения 334
— равновесия 273
— с частными производными 315
Условия Гёльдера 117, 288
— Даламбера — Эйлера 21
— изэнтропичности 334
— Коши — Римана 16, 21
— ортогональности 109
— Стодолы 461
— Чаплыгина 263
— эллиптичности 320
Установившийся режим 520
Устойчивости критерий 461
Устранимая особая точка 78, 210
Фильтр 554
— дроссельный 555
— полосной 556
Флютбет 407
Формула Бернулли — Эйлера 247
— Ахиезера — Голузина 723
— Грина 221
— Дюамеля 511
— Жуковского 261
— Колосова 278
— Келдыша — Седова 306, 309
— Коши 54
— — для неограниченных областей
294
— производных 63
— —, обобщение 325
— Коши — Адамара 70
— обращения Лапласа 499
--Меллина 578
— — Фурье 575
— — Ханкеля 582
— Остроградского 280
— Палатини 227
— представления 317
— Римана — Грина 238
— Сонина 673
— Сохоцкого 291
— Стирлинга 282, 598
— Тейлора 67
— Чаплыгина 248
— Чизотти 228
— Фока 663
— Фурье — Бесселя 582
---— обобщенная 607
— Шварца — Кристоффеля 175, 178,
179
— Эйлера 33, 595
Функции гиперболические 41
обратные 41
— тригонометрические 36, 39
---обратные 41
736
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функции ортогональные 605
— — с весом 609
Функция аналитическая 23, 97
— — полная 97
— Бесселя 419, 637
— бета Эйлера 586, 598
— бигармоническая 276
— Вебера 652
— Вейерштрасса 703, 709
— вероятности ошибок 416, 473
— гамма Эйлера 453, 591
— гармоническая 199—215
— голоморфная 23, 83
— граничная 115
— Грина 221
— двоякопериодическая 685
— дифференцируемая 21
— дробная 83, 425
— единичная 495
— Жуковского 24, 29
— —,обратная 30
— изображение (по Лапласу) 495,536
— импульсная 529
— — нулевого порядка 529
— — первого порядка 531
— конечного порядка 437
— Лежандра 629
— — второго рода 631
первого рода 630
— присоединенная 633
— линейная 18
— логарифмическая 34
— мероморфная 83, 425
— напряжения 275
— Неймана 652
— непрерывная 20
• равномерно 20
— обратная 18
— общая степенная 42
— ограниченная 20
— периодическая 682
— показательная 32, 43
— потенциальная 239
— производящая 486
— просто периодическая 682
— регулярная 23
— силовая 252
— сложная 18
— спектральная 576
— сферическая 631
— тока 237
Функция тока тепла 249
— тригонометрическая 36, 39
— целая 83
— цилиндрическая 419, 485, 637
— Чебышева —Эрмита 634
— Ханкеля 650
Функция эллиптическая 184, 688
----, свойства 688—692
— Якоби 184, 712
Фурье преобразование 574
— формула обращения 575
Ханкеля преобразование 581
— формула обращения 582
— функция 650
Характеристическое сопротивление
линии 569
Хевисайда метод 492, 495
Циклическая постоянная 53, 201
Цилиндрические функции 485, 637
----, асимптотические формулы 486,
660
— —, интегральное представление
639
----, разложение в ряд 641
----, рекуррентные соотношения 643
Циркуляция поля 238
Чаплыгин С. А. 198
Чаплыгина метод 337
— условие 263
Чаплыгина формула 248
Чебышев П. Л. 418
Чебышева многочлены 418, 613
Чебышева — Эрмита функция 634
Чизотти формула 228
Шварц Г. 57
Шварца задача 223
— интеграл 223
— Кристоффеля интеграл 175, 179
— лемма 57
Шварц Л. 537
Шварца теорема 537
Эйлер Л. 9
Эйлера задача 678
— постоянная 592
— формулы 33, 595
Экстремум, обобщенный принцип 211
Электростатическое поле 251
---- у краев плоского конденсатора
265
Эллиптические функции 688
----Вейерштрасса 703, 709, 710
----Якоби 184, 696, 699
Эллиптический интеграл 184, 694
----полный 600
— синус 184, 694, 696