Физика
В. В. МАЙЕР ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА В ПРОСТЫХ ОПЫТАХ
В. В. МАЙЕР
ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА В ПРОСТЫХ ОПЫТАХ
Москва «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы
1986
Scan AAW
ББК 22.34
М14
УДК 535
Физика	Библиотечка
физико-математической школы
Редактор серии
Я. А. Смородинский
МАЙЕР В. В. Полное отражение света в простых опытах: Учеб, руководство / Под ред. Я. А. Смородинского.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986,— 128 с., ил.— (Б-чка физ.-мат. шк.)
Содержит описание учебных опытов по полному отражению света от границы раздела оптически однородных сред и от слоистонеоднородной среды. Предложены простые приборы и модели, в том числе рефрактометров, миража и фата-морганы. Описаны занимательные и поучительные опыты. Все опыты доступны и могут быть поставлены в школьном физическом кабинете или в домашних условиях. Проводя небольшие исследования, читатель познакомится с красивыми, интересными и практически важными оптическими явлениями, приобретет навыки экспериментальной работы.
Для учащихся средней и высшей школы, преподавателей, руководителей физических и технических кружков, а также лиц, занимающихся самообразованием.
Табл. 1. Ил. 86
Рецензент
кандидат физико-математических наук М. Н. Попова
Валерий Вильгельмович Майер
ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА В ПРОСТЫХ ОПЫТАХ
Редактор Д. А. Миртова
Художественный редактор Т. Н. Нольченко
Технический редактор И. III. Аксельрод
Корректоры Es Ю. Рычагова, И. Я. Кришталь, О. М. Березина
ИБ № 12926
Сдано в набор 06.11.85. Подписано к печати 18.02.86. Формат 84х1081/з2. Бумага тип. № 2. Гарнитура обыкновенная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 6,72. Усл. кр.-от. 7,14 Уч.-изд. л. 6,89. Тираж 82000 экз. Заказ № 1981. Цена 25 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»'
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
2-я типография издательства «Наука»
121099 Москва Г-99, Шубинский пер., 6
М
1704010000-044
053(02)-86	129'86
© Издательство «Наука», Главная редакция физико-математической лтературы, 1986
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.........................................  .	5
Глава 1. Полное отражение света от границы раздела оптически однородных сред...............................  7
§ 1.	Первое знакомство с полным отражением света ...	8
§ 2.	Преломление при переходе света из воды в воздух . .	10
§ 3.	Полное отражение света от поверхности жидкости 13
§ 4.	Всегда ли свет проходит через тонкий слой воздуха? 14
§ 5.	Измерение показателя преломления жидкости с помощью воздушного слоя................................... 15
§ 6.	Фокус с использованием полного отражения ....	18
§ 7.	Наблюдение полного отражения света с помощью стеклянной пробирки........................................  19
§ 8.	Наблюдение полного отражения света с помощью стеклянной воронки ..................................... 22
§ 9.	Как с помощью стеклянной трубки оценить показатель преломления жидкости................................  .	23
§ 10.	«Черное зеркало»	,..................  25
§11.	Появляющийся рисунок.............................  27
§ 12.	Закопченная пластинка в плоской кювете .....	29
§13.	Отражение от нагретой воды........................ 30
§14.	Стеклянный полуцилиндр, булавка, настольная лампа 33
§ 15.	Как, используя фокусирующее действие полуцилиндра, измерить его показатель преломления....................  35
§ 16.	Как с помощью полуцилиндра измерить показатель преломления жидкости...................................  37
§17.	Почему при преломлении на полуцилиндре глаз видит не то, что получается на экране?...................... . . s 40
§ 18.	Модель рефрактометра из полуцилиндра.............  43
§ 19.	Точечный источник света внутри стеклянной пластинки 46
§ 20.	Точечный источник света вблизи поверхности стеклянной пластинки........................................ 49
§ 21.	Рефрактометр из плоскопараллельной прозрачной пластинки.........................................    %	50
§ 22.	Дифракция электронов и толщина экрана электроннолучевой трубки......................................  .	53
§ 23.	Прохождение света через стеклянную палочку . .	56
§ 24.	Световод из оргстекла............................. 58
§ 25.	Как с помощью призмы сравнить показатели преломления жидкостей......................................... 61
§ 26.	Почему полное	отражение называется полным? . .	62
§ 27.	Оптический контакт ............................... 65
§ 28.	Всегда ли при полном отражении свет не проходит через тонкий слой воздуха?.............................. 70
§ 29.	Опыт Мандельштама................................... 73
§ 30.	Полное отражение инфракрасных	лучей................ 76
Глава 2. Полнее отражение света от слоисто-неоднородной сре;ы.......................................... 82
§ 1.	Распространение света в слоисто-неоднородной среде 84
§ 2.	Распространение света в среде с постоянным градиентом показателя	преломления............................. 88
§ 3.	Моделирование светового луча цепной линией ....	91
§ 4.	Моделирование пучка лучей цепными линиями . .	94
§ 5.	Образец оргстекла с постоянным градиентом показателя
преломления......................................... 102
§ 6.	Полное отражение света от слоисто-неоднородной среды	107
§ 7.	Эксперимент по полному отражению света ....	109
§ 8.	Модели миража	................................... 118
§ 9.	Модель фата-морганы	,	............................. 123
«Школьник понимает физический опыт только тогда хорошо, когда он его делает сам. Но еще лучше он понимает его, если сам делает прибор для эксперимента»
П. Л, Капица
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга рассчитана в первую очередь на учащихся старших классов средней школы и студентов-физиков педагогических институтов. Описанные в ней опыты позволяют экспериментально изучить явление полного отражения света и познакомиться с некоторыми практическими применениями этого явления. Основная задача книги — привить читателю вкус к экспериментальной работе и способствовать совершенствованию элементарных навыков экспериментатора, которые столь необходимы во многих областях человеческой деятельности.
Часть из рекомендованных ниже опытов достаточно хорошо известна; их включение в книгу объясняется только необходимостью предоставить читателю определенный тренировочный материал. Ссылки на литературу, описывающую известные опыты, отсутствуют по той причине, что не удалось надежно установить, кто именно их предложил. Такие опыты, по-видимому, допустимо считать физическим «фольклором». Следует, однако, отметить, что злоупотребления известным материалом допущены лишь в той мере, в какой удавалось изложить его под несколько иным углом зрения, чем раньше. Впрочем, подавляющее число экспериментов вряд ли знакомо читателю. Особое внимание в книге уделено иллюстрациям, поскольку можно надеяться, что именно они позволят вначале вызвать интерес читателя, а затем способствовать правильной постановке опытов.
Вся экспериментальная работа, положенная в основу фактического содержания книги, выполнена в лабораториях СКВ Глазовского государственного педагогического института им. В. Г. Короленко. Преподаватели физики института, учителя школ, студенты и учащиеся в течение ряда лет либо наблюдали демонстрации описан
ных опытов, либо самостоятельно ставили их. либо принимали непосредственное участие в разработке и создании соответствующих приборов и установок. Автор благодарен Е. С. Мамаевой, В. Ф. Колупаеву, А. Ф. Волкову, О. Г. Батаноговой, Л. С. Кропачевой и другим членам СКБ, чей труд способствовал созданию книги. Предварительный вариант рукописи был рассмотрен академиком В. Е. Зуевым и получил отзыв, позволивший продолжить работу в выбранном направлении.
Книга, подобная этой, не может быть свободной от недостатков. Уже то, что в ней рассмотрены далеко не все доступные и представляющие интерес явления, вряд ли может быть отнесено к ее достоинствам. Автор будет признателен всем читателям, взявшим на себя труд сообщить о замеченных недостатках и промахах,
Гл а в a 1
ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ГРАНИЦЫ РАЗДЕЛА ОПТИЧЕСКИ ОДНОРОДНЫХ СРЕД
В оптически однородной среде свет распространяется прямолинейно. Если свет падает на плоскую границу раздела двух оптически однородных прозрачных сред, то он, вообще говоря, частично отражается от этой границы и частично преломляется на ней. При определенных условиях свет полностью отражается от границы раздела. Это явление получило название полного внутреннего отражения или просто полного отражения света (физики предпочитают первое название, учителя физики — второе; в книге используется более короткий термин). Явление полного отражения имеет важное научное значение и широко применяется на практике. Отобранные для этой главы опыты позволят вам убедиться и в том, и в другом.
Опыты в большинстве своем чрезвычайно просты, требуют для своей постановки более чем доступного оборудования, и результаты их могут быть объяснены самой элементарной теорией. Однако ощущение тривиальности предлагаемого вам материала, если оно возникло, довольно обманчиво и быстро развеется, коль скоро вы перейдете от рассматривания картинок и чтения к экспериментальной работе. Практически каждый, даже самый простой опыт потребует от вас некоторых навыков, присущих настоящему экспериментатору. Именно эти навыки, столь необходимые многим начинающим, будут развиваться по мере того, как от простых вы будете переходить к более сложным опытам.
Каждый параграф главы посвящен одному или небольшой серии опытов. Сложность экспериментов постепенно нарастает, поэтому имеет смысл выполнять их по порядку, хотя, разумеется, это совершенно не обязательно. Все параграфы состоят из двух частей. В первой сообщается некоторая информация и в явном или слегка завуалированном виде формулируется задание. Сделано это для того, чтобы вы могли приостановиться, попытаться осознать и самостоятельно решить поставленную проблему, а затем сравнить полученные результаты с имеющимся во
второй части параграфа вариантом выполнения задания. Большой беды не будет и в том случае, если вы станете читать текст параграфа подряд. Гораздо хуже, если только этим чтением вы и ограничитесь: ниже предлагаются не детективные рассказы и не сборник задач с решениями, а описания опытов, которые в состоянии дать то, что в них заложено, лишь при условии действительной постановки этих опытов.
Может быть, теперь уже хватит слов и пора приступать к делу? Если и вы готовы к этому, давайте начнем.
$ 1. ПЕРВОЕ ЗНАКОМСТВО С ПОЛНЫМ ОТРАЖЕНИЕМ СВЕТА
На невысокую подставочку 1 положите лист белой бумаги 2 и на него поместите полуцилиндр 3 из стекла или оргстекла (рис. 1). Обведите полуцилиндр карандашом и отметьте на листе центр А полукруга. Направьте на отмеченную точку узкий пучок света от простейшего осветителя 4, источником света в котором может служить лампочка карманного фонаря. Это всегда
Рис. 1. В первых опытах по полному отражению света удобно использовать прозрачный полуцилиндр из стекла или оргстекла
удается сделать, потому что свет, идущий по радиусу полуцилиндра, падает на его цилиндрическую поверхность нормально и, следовательно, не преломляется на ней. Указанное свойство делает удобным использование полуцилиндра в оптических опытах: если свет падает на его центр А, то он преломляется только на плоской грани полуцилиндра независимо от того, падает ли он на эту точку со стороны плоской или цилиндрической поверхности.
Отрегулируйте положение осветителя так, чтобы на листе бумаги был виден ход падающего, отраженного 8
и преломленного световых пучков. Поворачивайте осветитель, изменяя угол падения света на плоскую грань полуцилиндра и наблюдайте за соответствующим изменением углов отражения и преломления света. Проследите также за изменениями интенсивности света в отраженном и преломленном пучках.
* * *
На рис. 2 схематически показаны результаты опытов, которые будут у вас получаться.
При небольших углах падения ц имеются и отраженный под углом и преломленный иод углом z2 световые
Рис. 2. Преломление и отражение при переходе света из оптически более плотной в оптически менее плотную среду
пучки, причем угол преломления больше угла падения. Последнее нетрудно объяснить. Преломление света происходит на границе раздела сред стекло — воздух. Абсолютный показатель преломления стекла пх (первая среда, то есть та, из которой падает свет) больше показателя преломления воздуха и2 (вторая среда, то есть та, в которую свет проходит или преломляется). Согласно закону преломления отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть величина постоянная, равная относительному показателю преломления второй среды относительно первой пли отношению абсолютных показателей преломления второй и первой сред:
sin it	п2
—z—— — д12 = .
sin l2	Hi
Так как свет переходит из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (zzj > /г2), то г2 > sin h и> следовательно, i2 > h-
При увеличении угла падения растут углы отражения и преломления^ причем интенсивность отраженного света
увеличивается, а преломленного — уменьшается. Тот угол падения света при котором угол преломления равен л/2, называется предельным углом полного отражения света гПр- На опыте вы будете наблюдать, что при достижении предельного угла вдруг скачком исчезает преломленный световой пучок и остается только отраженный. При любых углах падения, превышающих предельный, падающий пучок полностью отражается обратно в первую — оптически более плотную — среду, и преломленный пучок вообще отсутствует. Это явление называется явлением полного отражения света, и именно оно является объектом нашего дальнейшего изучения. Обратите внимание на то, что при полном отражении интенсивность отраженного пучка примерно равна интенсивности падающего пучка. Количественные эксперименты показывают, что от достаточно хорошей границы раздела двух сред отражается 99,99% интенсивности падающего света.
Теперь уточним понятие предельного угла. Если вы попытаетесь пустить на границу раздела двух сред световой пучок точно под предельным углом, то не обнаружите преломленного пучка, идущего вдоль этой границы, хотя по определению такой пучок должен быть. Дело в том, что закон преломления, на основании которого принято давать определение предельного угла, не учитывает изменения интенсивности света при преломлении. Опыт же показывает, что при увеличении угла падения интенсивность преломленного пучка непрерывно уменьшается и становится равной нулю, когда угол падения равен предельному. Поэтому правильнее называть предельным тот угол падения, при котором угол преломления светового пучка, вошедшего в оптически менее плотную среду,— если бы такой пучок существовал — был бы равен л/2.
§ 2.	ПРЕЛОМЛЕНИЕ ПРИ ПЕРЕХОДЕ СВЕТА ИЗ ВОДЫ В ВОЗДУХ
Почти во всех учебниках физики, где говорится о преломлении света, есть рисунок, на котором изображены вода, точечный источник света внутри нее и лучи, расходящиеся от источника и преломляющиеся на поверхности воды. Нужно быть начисто лишенным всякого любопытства, чтобы не поставить опыт и не пронаблюдать само явление, а не его рисунок. Предлагаем вам сделать это.
* * *
Прежде всего изготовьте кожух 1 для осветителя (рис. 3). Подберите непрозрачную пластмассовую баночку диаметром 40—50 мм и высотой 20—30 мм. В наши
дни немало продукции продается в цилиндрических пластмассовых упаковках, поэтому найти подходящую вы сможете без труда. Возможно только, что вам придется отрезать от упаковки баночку нужной высоты. В стенке баночки ножовочным полотном сделайте ряд равноотстоящих друг от друга прорезей одинаковой ширины (примерно 1— 1,5 мм).
В нижней части прямоугольной пластинки 2 из алюминия или пласт
Рис. 3. Эскиз прибора для наблюдения преломления и отражения при переходе света из воды в воздух
массы просверлите отверстие по диаметру цоколя лампочки карманного фонаря 3. Покрасьте одну поверхность пластинки в белый цвет. Проще всего это сделать, г «побрызгав» поверхность белой нитроэмалью, которая продается в аэрозольной упаковке. Если вы хотите лишь посмотреть, что получится, то можно просто наклеить на пластинку липкой лентой лист белой бумаги.
К лампочке припаяйте проводники, вставьте ее в отверстие и обмажьте цоколь лампочки с задней поверхности пластинки пластилином. Эта обмазка будет фиксировать лампочку в пластинке и изолировать место соединения лампочки с проводниками.
Подсоедините выводы лампочки к батарейке карманного фонаря. Наденьте на лампочку изготовленный вами кожух так, чтобы лампочка оказалась на его оси, и прикрепите кожух к пластинке. На белой поверхности пластинки вы должны наблюдать расходящиеся от осветителя узкие световые пучки. Возможно, вам придется несколько подрегулировать положение кожуха и подправить в нем щели. Световые пучки должны распространяться от расположенного снизу на пластинке осветителя вверх в пределах углаг не превышающего л. Поэтому кожух можно
закрепить на пластинке пластилином, обмазав его нижнюю часть.
Разумеется, если вы захотите сделать более основательный прибор, скажем, для школьного кабинета физики, то придется придумать и осуществить более надежный способ крепления кожуха. Но прежде чем делать этот более совершенный прибор, попробуйте изготовить простейший его вариант, описанный здесь, и вам станут ясны многие особенности, которые нужно учесть в окончательной конструкции.
После изготовления прибора опустите пластинку с осветителем в сосуд с водой так, чтобы пластинка была расположена вертикально. В опыте лучше всего использовать сосуд с плоской передней стенкой, например аквариум. Через прозрачную стенку сосуда вы будете наблюдать примерно такой ход световых пучков, который показан на рис. 4 (1 — сосуд с водой, 2 — осветитель, 3 — пластинка с белой поверхностью).
Рис. 4. Ход световых пучков, падающих на границу вода — воздух под различными углами
Если уж вы сделали прибор, пронаблюдали явление, то проведите и простейшие измерения. На пластинке, ставя карандашом точки, отметьте положение поверхности воды, места выхода световых пучков из воды и положение пучков света на некотором удалении от поверхности воды. Достаньте пластинку из сосуда с водой, высушите ее и карандашом по линейке нанесите ход световых пучков от щелей осветителя до границы раздела сред и далее — в воздух. Прямой линией обозначьте границу раздела сред и в точках падения пучков восстановите к ней перпендикуляры. Транспортиром измерьте различные углы паде-12
ния и соответствующие им углы преломления света. Пользуясь этими экспериментальными результатами, найдите среднее значение показателя преломления воды.
§ 3.	ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ ПОВЕРХНОСТИ ЖИДКОСТИ
Разработайте и поставьте опыт, позволяющий при разных углах падения наблюдать полное отражение светового пучка от поверхности воды, налитой в круглую стеклянную банку.
* * *
Вы должны догадаться, что с вертикально стоящей банкой опыт получится плохо или совсем не получится.
Подберите стеклянную банку емкостью 0,5—1 литр с достаточно ровным дном. В банку до половины ее высоты налейте воду и закройте отверстие банки полиэтиленовой крышкой. Положите банку боковой поверхностью на стол и посмотрите сквозь ее дно: поверхность воды должна проходить как раз по диаметру дна. Если вы немного ошиблись, долейте или вылейте из банки воду.
Поставьте банку так, чтобы на нее падал свет от настольной лампы или окна, понемногу растворяйте в воде хвойный концентрат (продается в аптеках), наблюдая за раствором сбоку или сверху банки в направлении, перпендикулярном проходящему через банку свету. Вы заметите, что по мере растворения хвойного концентрата вода в банке приобретает зеленоватый цвет. Это люминес-цирует раствор хвойного концентрата. Нужно получить достаточно насыщенный зеленый цвет люминесценции. Если вы растворите слишком много хвойного концентрата, произойдет так называемое концентрационное тушение люминесценции, и раствор, почти перестав светиться зеленым светом, примет желтый оттенок. Большой беды в этом нет: надо разбавить раствор в банке водой и вновь добиться того, чтобы в горизонтально расположенной банке поверхность воды совпадала с диаметром дна.
Вместо того чтобы в опыте использовать люминесци-рующую жидкость, вы можете просто замутить воду в банке, внеся в нее, например, несколько капель молока. Еще лучше сделать раствор канифоли в спирте и, капая им в воду, добиться требуемой мутности жидкости в банке.
На рис. 5 представлена схема опыта (7 — расположенная горизонтально стеклянная банка с водой, сквозь дно которой наблюдается световой пучок, 2 — осветитель).
Для постановки опыта положите банку на стол так, чтобы
часть ее выступала за положении^ например^
этом
двух сторон двумя деревянными брусками. Узкий пучок света от простейшего осветителя, состоящего из лампочки карманного фонаря и щели, направьте на цилиндрическую поверхность банки снизу из-под стола. В темноте вы увидите* путь светового пучка в воде, ярко флюоресцирующий зеленым светом. Если вы при-
край стола, и закрепите ее в обложив с
Рис. 5. Для наблюдения полного меняете мутную жидкость, отражения света можно исполь- т0 благодаря рассеянию зовать стеклянную банку, нано- света будете видеть пра-ловину заполненную водой ктически белый световой пучок. Постепенно поворачивайте осветитель так^ чтобы свет от него падал нормально на боковую поверхность (то есть по радиусу) банки и в то же время изменялся угол падения света на поверхность воды. Внимательно пронаблюдайте и объясните соответствующие явления.
§ 4.	ВСЕГДА ЛИ СВЕТ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОНКИЙ СЛОЙ ВОЗДУХА!
Воздух совершенно прозрачен, поэтому через тонкий слой воздуха свет проходит при любых условиях. А если этот слой расположить в прозрачной жидкости? Казалось бы, и в этих условиях свет всегда должен проходить через воздушный слой. Так ли это?
* * *
Ответ на поставленный вопрос вы получите, если сделаете простой опыт. Между двумя тонкими пластинками стекла или оргстекла проложите вырезанную в виде рамки картонную прокладку толщиной около 1 мм и обмажьте края пластинок пластилином так, чтобы воздушная полость между ними была изолирована от окружающей среды. В стеклянную банку или стакан 1 налейте воду и вертикально погрузите в нее изготовленный вами плоско-
параллельный воздушный слой 2. Посмотрите через боко-
вую поверхность стакана и сквозь стеклянные пластинки, ориентированные перпендикулярно лучу зрения, на какой-нибудь достаточно ярко освещенный предмет 3 (рис.
6, а). Теперь постепенно поворачивайте пластинки, изменяя угол между ними и направлением наблюдения. Начи-
ная с некоторого значения
расположенного за стака-
этого угла, вместо предмета^
ном с водой, вы увидите блестящую, как превосходное зеркало, внутреннюю поверхность ближайшей к глазу пластинки (рис. 6,6)1 Таким образом, опыт показывает, что в определенных условиях свет не может пройти через тонкий слой воздуха, находящийся в прозрачной жидкости.
Нетрудно сообразить, что результат опыта объясняется явлением полного отражения: при переходе света из оптически более плотной среды в оптически менее плотную существует такой предельный угол падения света на границу раздела сред, что угол
Рис. 6. В сосуде с водой расположен плоскопараллельный слой воздуха, заключенный между двумя стеклянными пластинками: а — свет проходит через воздушный слой; б — свет испытывает полное отражение от воздушного слоя
преломления составляет л/2;
если угол падения превышает предельный, то свет во вторую среду не проникает. В описанном опыте световые
лучи, идущие от предмета, испытывают полное отражение от воздушного слоя и не попадают в глаз. Поэтому предмет становится невидимым. Глаз видит свет, тоже испытавший полное отражение от воздушного слоя, но идущий не от расположенного напротив глаза предмета, а от различных других предметов, находящихся сбоку от стакана.
§ 5. ИЗМЕРЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ С ПОМОЩЬЮ ВОЗДУШНОГО СЛОЯ
Можно ли в опыте с погруженным в жидкость плоскопараллельным воздушным слоем измерить показатель преломления жидкости? На первый взгляд, казалось бы,
нет: поскольку воздушный слой ограничен стеклянными пластинками, то свет переходит в воздух из стекла, а значит, предельный угол при полном отражении определяется показателем преломления стекла, а не жидкости. Однако более внимательное рассмотрение условий опыта показывает, что это не так.
* * *
Действительно, пусть абсолютные показатели преломления жидкости и стекла соответственно равны и п2 (показатель преломления воздуха п3 будем считать равным единице). Тогда согласно закону преломления (рис. 7) sin fi/sin i2 — n2/ni,	(5.1)
где ii и i2 — соответственно углы падения и преломления света на границе раздела сред жидкость — стекло. По-
Рис. 7. Плоскопараллельный слой, расположенный между двумя средами с различными показателями преломления, не влияет на направления световых лучей в этих средах
скольку стеклянная пластинка плоскопараллельна, г2 — это одновременно угол падения света на границу стекло — воздух. Если наблюдается полное отражение света, то угол преломления на этой границе i3= л/2. Следовательно, для границы раздела сред стекло — воздух по закону преломления
sin i2/sin f3 = sin f2 = 1M2.	(5.2)
Сопоставляя формулы (5.1) и (5.2), замечаем, что показатель преломления жидкости
ni = 1/sin ii = 1/sin гпр.	(5.3)
Итак, если в опыте измерить предельный угол падения inp света из жидкости на стеклянную пластинку, граничащую с воздухом, то по формуле (5.3) можно вычислить показа-16
тель преломления жидкости. Выходит, что плоскопараллельная стеклянная пластинка, расположенная между жидкостью и воздухом, не влияет на угол преломления при переходе света из жидкости через стекло в воздух (сравните ход лучей на рис. 7, а и рис. 7, б).
На рис. 8 изображен простой прибор, позволяющий осуществить измерения. На основании 1 из фанеры, дерева, линолеума и т. п. кнопками закрепите лист белой бумаги 2. В центре листа вбейте небольшой гвоздик 3 без
Рис. 8. Эскиз прибора для измерения показателя преломления жидкости с помощью плоскопараллельного воздушного слоя
шляпки. На гвоздик наденьте визир 4, изогнутый из картона или дюраля и имеющий две щели 5, для того чтобы через них отмечать на бумаге положение визира, и два круглых отверстия 6 диаметром около 5 мм для наблюдения глазом. На деревянную подставочку 7, расположенную над визиром, поместите стакан 8 с водой и воздушным слоем. Стеклянные пластинки, ограничивающие воздушный слой, предварительно нужно прикрепить к стенке стакана пластилином. Если вы хотите получить достаточно точные результаты, позаботьтесь о том, чтобы стеклянные пластинки были расположены в стакане вертикально и находились над осью вращения визира (над вбитым в основание прибора гвоздиком).
Измерения проведите так. Глядя сквозь одно из отверстий визира на другое, поворачивайте визир до тех пор, пока внезапно не исчезнет второе отверстие. Остро отто-
ченным карандашом через щели отметьте на бумаге положение визира. Затем поворачивайте визир в противоположном направлении и вновь отметьте то его положение, при котором наступает полное отражение света. Разберите установку, соедините на бумаге сделанные вами отметки прямыми линиями и транспортиром измерьте угол между двумя положениями визира, при которых наблюдались полные отражения света от воздушного слоя. Этот угол, очевидно, в два раза больше предельного угла. Измерения его дадут вам значение, близкое к 100°. Следовательно, предельный угол составляет около 50°, а показатель преломления воды, согласно формуле (5.3) и проведенным измерениям, равен примерно 1,3. Напомним, что табличное значение показателя преломления воды 1,33, а предельный угол полного отражения при переходе света из воды в воздух равен 48,75°.
§ 6. ФОКУС С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ
Полное отражение света — настолько красивое явление, что вряд ли вы не воспользуетесь случаем поразить им своих товарищей. Придумайте и поставьте опыт-фокус, в котором предмет «появляется» и «исчезает» по мановению вашей руки.
* * *
Плоской пластинкой, вырезанной из оргстекла, разделите небольшой цилиндрический стаканчик на две равные части, промазав щели между краями пластинки и внутренней поверхностью стакана пластилином. В ближайшую к глазу половину стакана налейте воду. В другую половину поместите какой-нибудь предмет (мы использовали значок с изображением популярного киногероя). Из картона сделайте экран с отверстием, ограничивающим поле зрения так, чтобы наблюдатель мог видеть пластинку в стакане только из одного положения. Поворачивайте стакан с водой и предметом до тех пор, пока не наступит полное отражение света: при этом предмет, находящийся во второй половине стакана, сквозь отверстие в экране виден не будет. Если сбоку от стакана расположена равномерно освещенная белым светом поверхность, пластинка из оргстекла будет выглядеть блестящей. Теперь позовите своего товарища и объясните ему, куда нужно смотреть. Как только он увидит блестящую поверхность оргстекла, незаметно опустите в половину стакана с предметом стек-18
лянную трубку, соединенную с резиновой грушей, в которую набрана вода. Нажимая на грушу, выливайте из нее воду до тех пор, пока она полностью не покроет предмет. Ваш товарищ при этом будет наблюдать, как постепенно исчезает зеркальная поверхность и появляется предмет. Уменьшая давление на грушу и втягивая в нее водул
Рис. 9. Появляющийся предмет: а — в переднюю половину стакана налита вода, а в задней — расположен предмет, который не виден, поскольку свет полностью отражается от границы вода — воздух; б — надавливая на грушу, заполняют заднюю половину стакана водой, и предмет становится видимым
вы вновь заставите предмет исчезнуть. Фотографии, приведенные на рис. 9, поясняют сказанное.
Фокус можно показать и при использовании плоскопараллельного воздушного слоя, заключенного между двумя стеклянными пластинками. Как это сделать изящнее — подумайте сами. Разумеется, возможны и другие варианты фокуса, и мы надеемся, что вы сумеете предложить их.
§ 7. НАБЛЮДЕНИЕ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ СВЕТА С ПОМОЩЬЮ СТЕКЛЯННОЙ ПРОБИРКИ
Это старый, простой и тем не менее очень полезный для начинающих опыт.
В сосуд с водой опустите стеклянную пробирку и, глядя на нее сверху, наклоняйте пробирку в сторону. По
верхность пробирки будет выглядеть блестящей (рис. 10, а) до тех пор, пока угол между направлением наблюдения и нормалью к поверхности пробирки не окажется меньшим, чем предельный угол при полном отражении света от границы вода — воздух.
Рис. 10. Стеклянная пробирка, погруженная в сосуд с водой, позволяет пронаблюдать полное отражение света: а — за счет полного отражения пробирка выглядит блестящей; б — налитая в пробирку вода уничтожает полное отражение; в — помещенный в пробирку предмет не виден там, где имеется полное отражение света
Если же вы нальете в пробирку немного воды, то часть пробирки с водой станет прозрачной (рис. 10, б), а оставшаяся под поверхностью воды в сосуде часть пробирки с воздухом по-прежнему будет восприниматься блестящей.
Опустите в пробирку карандаш, и вы увидите его конец в той части пробирки, гдеесть вода (рис. 10, в); там же, где находится воздух, карандаша не видно.
Карандаш не виден на первый взгляд потому, что свет, попадающий в глаз после полного отражения от стенки пробирки, гораздо интенсивнее того света, который может прийти в глаз от карандаша. Но опустите в пробирку вместо карандаша горящую лампочку карманного фонаря — ее тоже не будет видно! Значит, дело вовсе не в различных интенсивностях света, испытавшего полное отражение на некоторой границе раздела сред, и прошедшего через ту же границу. А в чем же? Попробуйте разобраться в этом самостоятельно.
* * *
Пусть на точку А границы раздела между воздухом и п-2) из воздуха падает свет под всевозможными
водой (ZZ1 углами в пределах от 0 до л/2 (рис. 11). Скользящий по границе раздела луч 3 преломится так, что в воде пойдет по направлению 3'.
Очевидно, угол В'АС' является предельным углом при полном отражении света на границе вода — воздух. Все лучи, падающие на точку А в пределах прямого угла ВАС, преломятся так, что в воде будут распространяться в пределах угла В'АС'.
Представим себе теперь, что глаз находится в воде, смотрит на точку А границы вода — воздух и перемещается по дуге ок-
Рис. 11. Глаз, помещенный в оптически более плотную среду, видит свет, падающий на ее границу в пределах угла ВАС, только в том случае, если он находится в пределах
угла В’АС
ружности так, что в него последовательно попадают лучи 1', 2', 3' и 4'. Пока глаз находится в пределах угла В'АС', он видит свет, идущий из воздуха и преломляющийся в точке А (например, лучи 1, 2, 5). Кроме
того, в глаз попадут, естественно, лучи, отраженные от границы вода — воздух и падающие на точку А из воды (на рис. И эти лучи не показаны).
Как только глаз выйдет за пределы угла В'АС', он сразу перестанет видеть свет, падающий на точку А из воздуха, и будет наблюдать лишь такой свет, который испытал в этой точке полное отражение (например, лучи 4 и 4').
Вернувшись к опыту с пробиркой, мы можем сделать вывод: если пробирка расположена в воде так, что имеет место полное отражение света, то в направлении наблюдения глаз не увидит находящегося в пробирке предме
та потому, что идущие от предмета лучи преломляются при переходе из воздуха в воду так, что не попадают в глаз (в противном случае не было бы полного отражения).
§ 8. НАБЛЮДЕНИЕ ПОЛНОГО ОТРАЖЕНИЯ СВЕТА С ПОМОЩЬЮ СТЕКЛЯННОЙ ВОРОНКИ
В большой сосуд с водой опустите коническую воронку, закрыв отверстие ее трубки пальцем, и смотрите на стенку воронки сверху вертикально вниз (рис. 12). Вы увидите
В с
Рис. 12. Полное отражение света можно наблюдать с помощью стеклянной воронки, погруженной в сосуд с водой
блестящую поверхность воронки. Если открыть отверстие трубки, то вода войдет внутрь воронки и тогда воронка будет выглядеть прозрачной.
Опыт очень прост. Но всегда ли он получается? Каковы должны быть размеры воронки, чтобы наблюдалось описанное явление?
* * *
Из рис. 12 видно, что угол при основании воронки АСВ равен углу отражения света, если наблюдение ведется строго сверху (это углы со взаимно перпендикулярными сторонами). Полное отраже-
ние света от границы вода— воздух (стеклянную стенку воронки не принимаем в расчет!) имеет место, когда угол отражения, а значит, и угол при основании воронки больше или равен предельному углу. Поэтому можно записать
sin АСВ = АВ / АС > sin inp = п2 / пи (8.1)
где п2 = 1 — показатель преломления воздуха, = = 1г33 — показатель преломления воды. Отсюда
О
(8.2)
Итак, если образующая А С конической части воронки не превышает 4/3 ее высоты АВ, то при наблюдении в на-правлении^ параллельном высоте, в глаз будет попадать свет, испытавший полное отражение на погруженной в воду части воронки.
$ 9. КАК С ПОМОЩЬЮ СТЕКЛЯННОЙ ТРУБКИ ОЦЕНИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
В вашем распоряжении имеются сосуд с жидкостью и стеклянная трубка. Используя это оборудование и линейку, попробуйте оценить показатель преломления жидкости.
* * *
Сделать это совсем нетрудно, если не забывать о явлении полного отражения света.
Подберите стеклянную трубку внутренним диаметром 4—8 мм и длиной примерно 25 см. Верхнее отверстие трубки закройте пальцем, погрузите нижний конец ее в сосуд с водой (это, разумеется, самая доступная жидкость для опытов) и, глядя через поверхность воды, наклоняйте трубку. Вы увидите, что находящийся под водой участок трубки становится блестящим (рис. 13, а). Приоткройте на
Рис. 13. Наблюдение полного отражения света с помощью стеклянной трубки: а — трубка заполнена воздухом и в воде выглядит блестящей; б — в трубку на небольшую высоту впущена вода
мгновение верхнее отверстие трубки и немного впустите в нее воду. Часть трубки с водой будет выглядеть прозрачной, а часть с воздухом — блестящей, как это показано на рис. 13, б. Точно такие же явления можно наблюдать в опыте с пробиркой, только с пробиркой работать менее удобно, поскольку воду в нее приходится наливать сверху.
Чтобы измерить показатель преломления воды, смотрите перпендикулярно поверхности воды в сосуде, трубку с закрытым верхним отверстием обоприте о дно и край сосуда и сдвигайте ее по дну из положения 1 в положение 2 (рис. 14) до тех пор, пока не будет наблюдаться полное отражение света (можно действовать и наоборот: двигать трубку из положения 2 в положение 1 до тех пор, пока не прекратится полное отражение). В этом случае угол АСВ
Рис. 14. К оценке показателя преломления жидкости с помощью погруженной в нее стеклянной трубки
между трубкой и дном сосуда равен предельному углу гПр полного отражения при переходе света из воды в воздух, так как это углы со взаимно перпендикулярными сторонами (стеклянная стенка трубки, как нетрудно сообразить, не влияет на значение предельного угла). Поэтому синус предельного угла может быть найден из прямоугольного треугольника АВС:
sin Znp = АВ! AC, (9.1)
а поскольку sin гПр — 1М (показатель преломления воздуха считаем равным единице, п — показатель преломления жидкости), то
п - ACIAB.	(9.2)
Итак, чтобы оценить показатель преломления жидкости, в описанном опыте достаточно измерить высоту сосуда АВ и длину отрезка трубки АС между краем и дном сосуда.
Мы говорим здесь именно об оценке показателя прелом-лення потому, что описанный вариант опыта позволяет получить лишь грубое значение этой величины. Невысокая точность измерения обусловлена в первую очередь невозможностью выдержать нужное направление наблюдения за трубкой. Ставя опыт, вы наверняка обратили на это внимание: сначала полное отражение наблюдается только в небольшой части трубки, например возле ее нижнего конца, а уже затем — по всей длине погруженного в воду отрезка трубки. Можно повысить точность эксперимента, если строго зафиксировать направление наблюде
ния. С этой целью достаточно использовать визир, состоящий из двух параллельных экранов с небольшими отверстиями в них. Впрочем, физическая суть эксперимента от этого усовершенствования не изменится, и поэтому большой беды не будет, если вы ограничитесь лишь оценкой показателя преломления.
§ 10.	«ЧЕРНОЕ ЗЕРКАЛО»
Металлическую пластинку (например, алюминиевую) с плоской поверхностью передвигайте над сильно коптящим пламенем горящей свечи так, чтобы она равномерно закоптилась. Рассмотрите пластинку — ее поверхность совершенно черная, и невозможно представить себе, что она может отражать свет лучше любого зеркала. И все-таки может!
Опустите пластинку вертикально в стакан с водой и, глядя на ее закопченную поверхность сбоку стакана, поворачивайте пластинку вокруг вертикальной оси. При
Рис. 15. Слой копоти на металлической пластинке позволяет пронаблюдать полное отражение света: а — покрытая копотью пластинка находится в воздухе; б — она частично погружена в воду
определенном угле между поверхностью пластинки и направлением наблюдения вы заметите, что ее черная поверхность блестит2 как зеркало! Если сбоку от стакана
рядом с ним вы поставите какой-нибудь предмет или, что еще лучше, поместите его в воду внутрь стакана, то сможете наблюдать отражение предмета в «черном зеркале». Блестящую в воде поверхность закопченной пластинки можно увидеть также, если смотреть на пластинку не сбоку, а сверху через поверхность воды в стакане. Нужно только правильно подобрать угол наблюдения, и тогда явление будет видно не хуже (а может быть, даже лучше), чем при наблюдениях сбоку.
Фотографии, представленные на рис. 15, поясняют сказанное. Вы видите пластинку, покрытую копотью и опущенную в пустую кювету (рис. 15, а). Когда в кювету налита вода, погруженная в нее часть пластинки отражает свет, как зеркало (рис. 15, б). Результат описанного опыта настолько напоминает происходящее при полном отражении света, что, получив его, вы, вне всякого сомнения, будете убеждены в своей новой встрече с этим явлением. Но на границе раздела каких сред оно происходит? На границе вода — копоть? Если это так, то тогда можно определить показатель преломления копоти — непрозрачного вещества!
Теперь можно сформулировать задание: продумайте экспериментальную установку и поставьте опыт по измерению показателя преломления копоти методом полного отражения света.
* * *
Один из возможных вариантов установки показан ца рис. 16. На фанерное или дощатое основание 1 помещен
Рис. 16. Эскиз экспериментальной установки для измерения показателя преломления воды с помощью покрытой копотью пластинки
лист белой бумаги 2. К основанию шурупами прикручены три пробки 3 так, что в ограниченной пробками области основания свободно, но без особого люфта может вращать-26
ся стакан 4 с водой, имеющий вблизи своего дна две диаметрально противоположные метки 5. Покрытая копотью пластинка 6 закреплена в стакане вертикально по его оси с помощью пластилина. Визир 7 расположен на основании прибора неподвижно.
Глядя сквозь отверстия визира на закопченную пластинку, поворачивайте стакан до тех пор, пока область наблюдения пластинки не станет выглядеть блестящей. Поставьте на подложенном под стакан листе бумаги две отметки против меток на стенке стакана. Вращайте стакан в противоположную сторону и вновь отметьте его положение при наступлении полного отражения. Уберите стакан, снимите лист с основания, соедините отметки на нем прямыми линиями и транспортиром измерьте угол между ними. Вы получите значение около 100°, следовательно, измеряемый в опыте предельный угол полного отражения света равен примерно 50°.
Но точно такое же значение предельного угла получается при переходе света из воды в воздух (§ 5). Неужели показатель преломления копоти равен показателю преломления воздуха?!
Это излишне смелое предположение, разумеется, нужно отбросить: логичнее допустить, что между водой и слоем копоти имеется тонкая воздушная пленка. Откуда она берется? Достаньте из воды пластинку, и вы заметите, что ее покрытая копотью поверхность осталась сухой. Вода не смачивает копоть — вот в чем разгадка секрета. Убедитесь в этом еще раз, капнув на слой копоти немного воды: капля примет характерную форму сплюснутой сферы скатится с пластинки, если она расположена не совсем горизонтально.
§ 11.	ПОЯВЛЯЮЩИЙСЯ РИСУНОК
Используя свойства погруженного в воду слоя копоти, поставьте опыт-фокус, позволяющий показать зрителям, как невидимый рисунок становится видимым.
* * *
Оберните черной бумагой (из-под фотопакетов) плоскую металлическую пластинку и закрепите бумагу липкой лентой. Зажгите свечу и, перемещая в ее пламени пластинку, копотью нарисуйте на черной бумаге какой-нибудь простой рисунок или, что уж совсем несложно, поставьте на ней ряд пятен. Делать это нужно достаточно
быстро, убирая бумагу из пламени до того, как она начнет обугливаться и гореть.
Покажите черную бумагу с рисунком копотью на ней вашим товарищам. Если они смотрят издали и бумага освещена соответствующим образом, то рисунка они не заметят. Теперь опустите обернутую бумагой пластинку в большой стакан или банку с водой и поворачивайте пластинку вокруг вертикальной оси. При определенном положении пластинки ваши зрители увидят рисунок, ярко блестящий на фоне черной бумаги!
На рис. 17 представлены фотографии опыта. На первой из них вы видите обернутую черной бумагой пластинку, которая частично опущена в пустую кювету. На второй
Рис. 17. Появляющийся рисунок: а — на черной бумаге копотью сделан рисунок, который в воздухе почти не заметен; б — в воде рисунок становится видимым
фотографии — та же пластинка, в той же кювете, но уже заполненной водой. Результат опыта, конечно, объясняется тем, что к слою копоти, который не смачивается водой, прилипает тонкий воздушный слой. На границе вода — воздух происходит полное отражение света, и поэтому рисунок выглядит блестящим. Черная бумага водой смачивается и при любых углах наблюдения воспринимается черной.
Не правда ли, красивый опыт!
Его вы можете поставить и несколько иначе. Полностью закоптите всю поверхность черной бумаги или подходящей черной пластинки. Деревянной лучинкой пли спичкой, удаляя штрихами копоть, сделайте на пластинке рисунок, который теперь уже может быть более сложным и интересным. Повторив опыт, как описано выше, вы сможете показать появление черного рисунка на блестящем фоне покрытой копотью пластинки.
§ 12.	ЗАКОПЧЕННАЯ ПЛАСТИНКА В ПЛОСКОЙ КЮВЕТЕ
Алюминиевую пластинку закоптите в пламени свечи. В сосуд с плоскими прозрачными стенками налейте воду
и погрузите в нее расположенную вертикально пластин-
ку. Разверните пластинку так, чтобы между ней и стен-
кой сосуда образовался плоскопараллельный слой воды. Глядя на пластинку сверху сквозь поверхность воды в сосуде, вы увидите ее блестящей. Это вполне понятно: слой копоти не смачивается водой, поэгому на нем остается тонкая воздушная прослойка, от которой свет испытывает полное отражение (§ 10), Теперь смотрите на погруженную в воду часть пластинки сквозь боковую стенку сосуда. Ни при каких углах наблюдения вы не обнаружите полного отражения света: пластинка всегда будет восприниматься черной (рис. 18)! Стоит немного развернуть пластинку так, чтобы она оказалась расположенной под углом к стен
Рис. 18.Если покрытая копотью пластинка располо-
жена в плоскопараллельной кювете параллельно ее стенке, то полного отражения света наблюдать не удается
ке сосуда, как станет возможным наблюдение полного отражения.
Не странно ли это? Казалось бы, условия наблюдения
оптимальны тогда, когда пластинка параллельна стенке сосуда. Но именно в этом случае ожидаемого полного отражения наблюдать не удается. Почему же?
* * *
Причина в том, что плоскопараллельный слой не изменяет направления распространения светового пучка, а лишь смещает сам пучок. Пусть перед черной пластинкой 1 имеется тонкий слой воздуха который отделен плоскопараллельным слоем воды 3 от окружающего воз
духа 4 (рис. 19). Лучи,
Рис. 19. К объяснению результата опыта, фотография которого представлена на рис. 18
падающие из воздуха на воду, преломляются в плоскопараллельном слое воды так, что сохраняют направление распространения. Луч, скользящий вдоль границы воздух — вода, преломится таким образом,что будет распространяться в воде под предельным углом, и, дойдя до второй границы воды — воздух, после преломления будет скользить вдоль нее. Полное отражение имело бы место в том случае, если бы на границу между водой и воздушной прослойкой, отделяющей воду от черной пластинки, свет падал под углами, превышающими предельный. Но таких световых лучей простонет: под какими бы углами свет ни входил из ок
ружающего воздуха в воду, внутри воды углы падения его на воздушную прослойку всегда будут меньше пре
дельного.
§ 13.	ОТРАЖЕНИЕ ОТ НАГРЕТОЙ ВОДЫ
В большой сосуд с холодной водой (это может быть подходящая стеклянная банка, которую в таком случае нужно поставить на лист белой бумаги, или глубокий тазик с белым дном) опустите жестяную банку, например из-под кофе (чем больше эта банка, тем лучше; мы использовали банку диаметром 80 мм и высотой 120 мм, и это^ пожалуй, минимальные размеры). Жестяную банку каким-либо способом закрепите вертикально так, чтобы она не всплывала. Вскипятите воду. Смотрите сверху сквозь поверхность воды в большом сосуде 1 почти вертикально вниз вдоль боковой стенки жестяной банки 2 и быст
ро залейте в эту банку кипяток (рис. 20). Сразу вы увидите поверхность жестяной банки блестящей!
Опыт получится более эффектным, если поверхность жестяной банки будет иметь матово-черный цвет. Закоптить ее, конечно, нельзя. Лучше подобрать банку, окрашенную в темный цвет. Если это сразу не удастся, то любую банку можно обернуть слоем черной бумаги от фото
пакета и закрепить его, например, кусочками липкой ленты. При заполнении банки горячей водой черная бумага станет блестеть, как зеркало.
Объясните результат описанного опыта и подтвердите правильность данного вами объяснения экспериментом.
* * *
Неужели и в этом опыте происходит полное отражение
Рис. 20. Черная банка с горячей водой, помещенная в сосуд с холодной водой, позволяет пронаблюдать полное отражение света
Когда банка обернута
света от слоя воздуха на поверхности банки подобно тому, как это получается в опыте с закопченной пластинкой (§ 10)? Легко убедиться, что нет. И жесть, и черная бумага прекрасно смачиваются водой.
черной бумагой, при наливании горячей воды в банку из бумаги действительно вытесняется воздух,находившийся в ее порах, но поскольку бумага смачивается водой, он не образует тонкой пленки, а собирается в пузырьки. На
каждом таком пузырьке воздуха, находящемся в воде,
при соответствующих углах падения тоже происходит полное отражение, но оно не имеет ничего общего с полным отражением света от всей поверхности банки или бумаги, ее обертывающей. И это в самом деле так потому, что спустя некоторое время полное отражение света от поверхности бумаги пропадает, а воздушные пузырьки на ней остаются.
Можно подумать, что опыт показывает, будто полное отражение, которое наблюдается некоторое время сразу после наливания в банку горячей воды, существует, пока
есть разница между температурами воды во внутреннем и внешнем сосудах. Так ли это? Не совсем: опустите палец
последовательно в оба сосуда и вы убедитесь, что, несмотря на отсутствие полного отражения, во внутреннем сосуде вода более горячая, чем во внешнем.
В чем же дело? Повторите опыт еще раз, вновь залив в большой сосуд холодную воду. Теперь, прежде чем налить горячую воду в банку, опустите палец в холодную воду вблизи стенки большого сосуда. Налейте кипяток в жестяную банку: сразу будет наблюдаться полное отражение света, а между тем палец не почувствует изменения температуры воды. Приближайте палец к банке и вы будете ощущать постепенное увеличение температуры воды в радиальном направлении к центру большого сосуда (мы полагаем, что этот сосуд имеет цилиндрическую форму и ось банки совпадает с осью сосуда). Продолжайте наблюдения до тех пор, пока полное отражение не исчезнет. Это произойдет тогда, когда вся толща воды в радиальном направлении внешнего сосуда прогреется до примерно одной и той же температуры.
Так вот в чем разгадка! Полное отражение света в описанном опыте имеет место лишь при условии, что вода во внешнем сосуде нагрета неравномерно. Вблизи банки с горячей водой ее температура наибольшая, а плотность— наименьшая.
Следовательно, минимальна и оптическая плотность,} то есть вблизи банки нагретый слой воды имеет меньший показатель преломления, чем холодная вода в удалении.
Свет, идущий от дна большого сосуда, переходит из области с большей оптической плотностью в область с меньшей оптической плотностью, и поэтому наблюдается полное отражение света.
Отличие от обычных экспериментов с полным отражением заключается только в том, что в последнем опыте нет резкой границы между средами с разной оптической плотностью, а значит, нет и отражения в привычном смысле этого слова.
Световой луч в оптически неоднородной среде с плавным изменением оптической плотности распространяется криволинейно (рис. 20), загибаясь в сторону от меньших значений показателя преломления к большим значениям показателя преломления.
В заключение отметим, что вы можете поставить опыт и в более эффектном варианте. Для этого нужно холодной водой наполнить ванну, в которой вы моетесьд и поставить в нее бак с горячей водой.
$ 14. СТЕКЛЯННЫЙ ПОЛУЦИЛИНДР, БУЛАВКА, НАСТОЛЬНАЯ ЛАМПА
Эти предметы при умелом использовании их позволят измерить показатель преломления стекла. «Ну и что? — скажете вы.— Зачем измерять показатель преломления», если его не значение можно найти в любом справочнике?» Действительно, такое измерение было бы лишено смысла», если бы не физическое явление, которое интересно пронаблюдать, суметь объяснить и найти ему применение. Но судите сами.
* * *
В любом школьном физическом кабинете имеется полуцилиндр из стекла или оргстекла, который используется
Рис. 21. При увеличении угла падения света на плоскую грань полуцилиндра тень от булавки, расположенной посередине этой а рани. перемещается и расширяется
в лучшем случае раз в году для демонстрационных опытов по отражению и преломлению света. Попросите этот полуцилиндр на время и вы вряд ли получите отказ.
На лист белой бумаги поставьте полуцилиндр выпуклой поверхностью вниз так, чтобы его плоская грань была расположена горизонтально. На середину этой грани перпендикулярно боковым сторонам полуцилиндра положите булавку, иглу или спичку. Включите настольную лампу и расположите ее так, чтобы свет падал на плоскую
грань полуцилиндра в направлениях, параллельных его боковым сторонам.
Внутри тени от полуцилиндра вы обнаружите освещенную область, а в ней — тень от булавки, образованную светом, прошедшим через полуцилиндр. Внимательно посмотрите на рис. 21, а и вы поймете, что должны наблюдать. Опускайте лампу к столу так, чтобы углы паде
ния света от нее на плоскую грань полуцилиндра увеличивались, и наблюдайте за изменением освещенной области внутри тени от полуцилиндра. Вы увидите, что тень от бу-
лавки смещается,; удаляясь от места соприкосновения полуцилиндра с листом бумаги (рис. 21, б). При дальней
шем увеличении углов падения света вы обнаружите, что ширина тени от булавки увеличивается, причем один край
тени остается неподвижным, а другой — перемещается (рис. 21, в, а). Почему так происходит?
Чтобы ответить на этот вопрос, обратимся к рис. 22. Тень от булавки образована лучами, преломленными
гранью ВС вблизи центра А полуцилиндра. Луч ВА, скользящий вдоль грани полуцилиндра, падает из воздуха на стекло под углом, близким к л/2, и преломляется так, что угол преломления равен предельному углу гПр при полном отражении света (закон обрати-
Рис. 22. К объяснению результата опыта, фотографии которого приведены на рис. 21
мости хода световых лучей!). Когда лампа расположена высоко, в идущем от нее световом пучке нет лучей, скользящих вдоль границе полуцилиндра.
При опускании лампы такие лучи появляются, и тень от левого (по рисунку) края булавки оказывается в точке D. Тень от правого края булавки образована лучами, проходящими через половину А С плоской грани полуцилинд
ра; ясно, что чем больше углы падения света на эту грань, тем дальше от точки D расположен правый край тени.
В сущности, булавкой обозначен центр полуцилиндра, и тем самым выделены световые лучи, которые идут так же, как шел бы свет из стекла в воздух, если бы на границу раздела этих сред он падал под предельным углом.
Обозначим АЕ = R и ED = d. Согласно теореме Пифагора AD = У cP + У?2, поэтому
♦	•	d	1	/л / А ч
Sin Jnn — —ТгГ — “7===’ = —г====- .	(14.1)
р AD	У (Р + Я2	/1 + R2jd2 V 7
При полном отражении света sin £Пр = 1М; следовательно, показатель преломления 'стекла
п = уг + flW.	(14.2)
Таким образом, измерив радиус R полуцилиндра и расстояние d от места соприкосновения полуцилиндра с горизонтальной плоскостью до остающегося неподвижным края тени от булавки, по формуле (14.2) вы можете вычислить показатель преломления стекла, из которого изготовлен полуцилиндр.
§ 1S. КАК, ИСПОЛЬЗУЯ ФОКУСИРУЮЩЕЕ ДЕЙСТВИЕ ПОЛУЦИЛИНДРА, ИЗМЕРИТЬ ЕГО ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
На лист белой бумаги положите полуцилиндр из стекла или оргстекла. Направьте на плоскую грань полуцилиндра световой пучок от настольной лампы или иного источника света. Вы обнаружите, что полуцилиндр неплохо фокусирует свет. На рис. 23 представлена фотогра-
Рис. 23. Прозрачный полуцилиндр способен фокусировать падающий на него световой пучок
фия? показывающая, что вы должны наблюдать. Можно ли указанное действие полуцилиндра использовать для измерения его показателя преломления? Попробуйте разработать такой способ измерения этой величины, который был бы связан с явлением полного отражения света.
* * *
Прежде всего пронаблюдайте, как изменяется преломленный световой пучок при повороте полуцилиндра в горизонтальной плоскости. Обратите внимание на то, что световой луч, проходящий через центр полуцилиндра и изображение источника света, не преломляется на цилиндрической поверхности. Так и должно быть: этот луч падает на цилиндрическую поверхность перпендикулярно.
Подберите подставку (например, спичечный коробок) такой высоты, чтобы поставленный на нее полуцилиндр (рис. 24) давал на лежащем горизонтально листе белой
Рис. 24. В области тени от полуцилиндра получается изображение источника света в виде светлой, немного размазанной полоски
бумаги изображение источника света в виде узкой светлой полоски. В опыте в качестве источника света можно использовать настольную лампу без абажура или, что лучше, лампочку карманного фонаря, нить которой ориентирована перпендикулярно боковым стенкам полуцилиндра. Изображение нити лампы на листе бумаги получается не очень качественным; тем не менее оно таково, что положение его можно отметить довольно точно. Если вы
будете перемещать (например, опускать) источник света так, чтобы углы падения света на плоскую грань полуцилиндра увеличивались, изображение источника, создаваемое полуцилиндром, также будет перемещаться. Когда в падающем пучке появятся лучи, скользящие вдоль плоской грани полуцилиндра, изображение источника установится в определенном месте и при дальнейшем смещении источника в прежнем направлении останется неподвижным.
Этому случаю соответствует наличие в преломленном плоской гранью полуцилиндра пучке света лучей, идущих под предельным углом полного отражения. Ясно, что изображение источника лежит на луче, выходящем из центра полуцилиндра под предельным углом. А этот луч, как мы знаем, не преломляется на цилиндрической поверхности, поскольку идет по ее радиусу. Сказанное позволяет определить показатель преломления материала, из которого изготовлен полуцилиндр. Для этого достаточно измерить расстояние между центром полуцилиндра и листом бумаги, затем измерить расстояние от изображения источника света до проекции центра полуцилиндра на лист и вслед за этим по формуле (14.2) вычислить показатель преломления полуцилиндра.
§ 16. КАК С ПОМОЩЬЮ ПОЛУЦИЛИНДРА ИЗМЕРИТЬ ПОКАЗАТЕЛЬ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТИ
Придумайте и постройте прибор для измерения показателей преломления жидкости, в котором использовались бы явление полного отражения света и фокусирующее действие стеклянного полуцилиндра.
* * *
Очевидно, в таком приборе должна быть обеспечена возможность соприкосновения жидкости с плоской гранью полуцилиндра.
Работу начните с изготовления камеры для жидкости. Из оргстекла толщиной 2—3 мм вырежьте полоску шириной 15—20 мм. В середине полоски сделайте два параллельных надреза до примерно половины ее толщины так,, чтобы расстояние между надрезами было равно толщине полуцилиндра. Разогрев оргстекло над электроплиткой, изогните полоску по надрезам, придав ей П-образную форму. Изогнутую полоску наденьте на полуцилиндр и
обмажьте ее пластилином так, чтобы над плоской гранью полуцилиндра получилась камера для жидкости, одна из узких стенок которой была бы прозрачной (вторая узкая стенка камеры образована пластилином).
Из дюраля или жести вырежьте пластинку шириной примерно 80 мм и длиной 200—300 мм. Изогните часть этой пластинки по дуге окружности и оклейте поверхность пластинки белой бумагой.
Пользуясь рис. 25, соберите экспериментальную установку {1 — белая пластинка, часть которой изогнута по
Рис. 25. Установка для измерения показателя преломления жидкости: камера пуста, и на изогнутой пластинке получается одно изображение источника света
дуге окружности, 2 — подставка подходящей высоты, 3 — стеклянный полуцилиндр, 4 — камера из оргстекла; свет от лампы падает на узкую стенку камеры слева). Налаживание установки проведите следующим образом. Направьте свет от настольной лампы так, чтобы в световом пучке были лучи, скользящие вдоль плоской грани полуцилиндра, и, подгибая пластинку, оклеенную белой бумагой, а при необходимости — подбирая высоту подставки, на которой стоит полуцилиндр, добейтесь наиболее резкого изображения источника света в виде узкой светлой полоски.
После этого налейте в камеру воду. Вы увидите, что полученное при налаживании установки изображение источника 1 немного смещается по дуге, образованной изогнутой пластинкой, и наряду с первым появляется вто-38
рое изображение 2 источника света, как это показано на рис. 26.
Нетрудно догадаться, что первое изображение обусловлено преломлением скользящего луча на границе воздух — вода, а второе— преломлением скользящего луча
Рис. 26. Та же установка, что и на предыдущем рисунке, но камера заполнена водой, поэтому появляется второе изображение источника света
на границе вода — стекло. Поставленный вами опыт показывает, что экспериментальная установка позволяет измерять показатели преломления жидкостей, оптическая плотность которых меньше оптической плотности материала, из которого изготовлен полуцилиндр.
Будет замечательно, если вы не ограничитесь этим «прикидочным» экспериментом, а уяснив,. в чем суть дела, изготовите прибор, пригодный для использования в школьном физическом кабинете. Для этого, во-первых, нужно сделать хорошую камеру. Проще всего она получится в том случае, если использовать полуцилиндр из оргстекла: стенки камеры можно сделать тоже из оргстекла и приклеить их к полуцилиндру дихлорэтаном или уксусной кислотой. Во-вторых, конструкция прибора должна быть такой, чтобы центр полуцилиндра совпадал с центром дуги, по которой изогнута пластинка, служащая для наблюдения изображения источника света. В-третьих, на самой пластинке желательно нанести шкалу, отградуировав прибор непосредственно в значениях показателя преломления. Такую шкалу лучше всего рассчитать^ зная показатель преломления полуцилиндра
а потом проверить результат расчета измерением показателя преломления контрольных жидкостей. Наконец, последнее: источник света целесообразно неподвижно закрепить относительно полуцилиндра в нужном месте.
Приборы, предназначенные для измерения показателей преломления, называются рефрактометрами (от латинского refractus — преломленный). Значит, сейчас мы обсудили возможность изготовления простейшего рефрактометра. А для чего нужна модель рефрактометра?
Дело в том, что рефрактометры — весьма распространенные оптические приборы, применяемые не только в научных исследованиях, но и в промышленности. Рефрактометры позволяют быстро, пользуясь малыми количествами вещества, с высокой точностью измерять показатели преломления. По этим данным, например, в физической химии судят о составе и структуре веществ, в фармацевтической и пищевой промышленности определяют качество различных продуктов. Модель рефрактометра позволяет разобраться в работе приборов, нашедших самое широкое применение.
§ 17. ПОЧЕМУ ПРИ ПРЕЛОМЛЕНИИ НА ПОЛУЦИЛИНДРЕ ГЛАЗ ВИДИТ НЕ ТО, ЧТО ПОЛУЧАЕТСЯ НА ЭКРАНЕ!
Из листка черной бумаги сделайте непрозрачный экран 1 с прямоугольным отверстием, равным по размерам плоской грани стеклянного полуцилиндра (рис. 27). Располо
Рис. 27. Эскиз прибора для опыта по преломлению полуцилиндром рассеянного света
жите этот экран вплотную к полуцилиндру и перекройте его отверстие полоской матового стекла 2 (вместо него можно использовать тонкую белую бумагу). Выпуклую поверхность полуцилиндра 3 оберните полоской папиросной бумаги 4. Направьте на матовое стекло свет от настольной лампы.
Вы увидите, что огибающая полуцилиндр полоска папиросной бумаги освещена полностью, причем освещенность ее постепенно уменьшается к краям полуцилиндра. Теперь уберите полоску и посмотрите сквозь выпуклую поверх
ность полуцилиндра (расстояние между полуцилиндром и глазом должно быть не менее 25 см). Верно выбрав угол наблюдения, вы обнаружите, что одна часть поверхности светлая, а вторая —• темная, причем граница между светом и тенью будет достаточно резкой. Не правда ли, неожиданный результат! Глаз свидетельствует, что через одну часть полуцилиндра свет проходит, а через другую — нет. Объективный способ наблюдения показывает, что свет проходит через все участки полуцилиндра!
На рис. 28 приведены фотографии описанного опыта. При рассматривании их не забывайте, что глаз почти всегда видит лучше, чем фотоаппарат, потому, что он смотрит
Рис. 28. Преломление полуцилиндром рассеянного света: а цилиндрическая поверхность обернута полоской папиросной бумаги; б — полоска бумаги снята с полуцилиндра
осмысленно. Фотографии удобнее было делать, поставив полуцилиндр на расположенное горизонтально матовое стекло и осветив это стекло снизу. На первой фотографии вы видите, как освещена папиросная бумага, обертывающая полуцилиндр (на фотографии она выглядит серой и похожа на плохой картон; на самом деле это совершенно белая полоска, которая просто имеет меньшую освещенность, чем матовое стекло). Вторая фотография почти точно передает ту картину, которую видит глаз, если снять с полуцилиндра полоску папиросной бумаги.
Объясните явления, наблюдаемые в опыте.
* * *
Более или менее равномерную освещенность полоски, обертывающей выпуклую поверхность полуцилиндра, объяснить несложно, В самом делег на плоскую грань по
луцилиндра падает свет, рассеянный матовым стеклом. Значит, на каждую точку этой грани падают лучи под всевозможными углами падения. Все эти лучи преломляются на плоской грани, доходят до выпуклой поверхности пол у-цилиндра, преломляются на ней и освещают полоску папиросной бумаги. Таким образом, каждая точка полоски освещена или, иными словами, из всех точек выпуклой по
верхности полуцилиндра выходит свет.
Чтобы разобраться, почему глаз видит иную картину, обратимся к рис. 29. Здесь изображены полуцилиндр 7, собирающая линза 2, моде
Рис. 29. К объяснению результата опыта, фотографии которого представлены на рис. 28
лирующая зрачок глаза, белый экран 5, моделирующий сетчатку глаза, и картина 4, получающаяся на этом экране. При наблюдениях в оптические приборы глаз обычно бывает аккомодирован на бесконечность. Такой аккомодации глаза соответствует положение экрана 3 в фокальной плоскости линзы 2,
На плоскую грань полуцилиндра от матового стекла свет падает под всевозможными углами. В падающем пучке рассеянного света есть и
такие лучи, которые скользят по плоскости полуцилиндра. Эти лучи, преломившись, пойдут в материале полуцилиндра под предельным углом гпр. Допустим, что линза расположена как раз так, что ее главная оптическая ось совпадает с направлением лучей, выходящих из полуцилиндра под предельным углом. Тогда все эти лучи соберутся на белом экране в фокусе F
линзы.
Те лучи, которые падают на плоскую грань полуцилиндра под углами падения, меньшими л/2, преломятся так, что углы преломления их будут меньше предельного. Они выйдут из полуцилиндра и сфокусируются линзой в точках фокальной плоскости, лежащих на экране слева от фокуса F (например, в точке Л).
Правая половина экрана будет темной, поскольку в нее должны были бы попасть лучи, преломленные плоской гранью полуцилиндра под углами, превышающими предельный. А таких лучейх идущих от матового стекла^
просто нет (проследите ход лучей, которые должны были бы попасть в точку В).
Мы отмечали, что из всех точек выпуклой поверхности полуцилиндра выходит свет. Однако если на каждую точку плоской грани от матового стекла свет падает по всевозможным направлениям, то из точек выпуклой поверхности он выходит отнюдь не по всем направлениям: нет таких лучей, которые шли бы под углами, превышающими предельный. Линза (или глаз) как бы «сортирует» параллельные пучки лучей, собирая их в зависимости от направления в разных точках своей фокальной плоскости.
Настоятельно советуем, пользуясь известными правилами, построить ход лучей через полуцилиндр и линзу. На рис. 29 представлен готовый результат такого построения; вы сумеете до конца разобраться в нем, если сделаете его полностью самостоятельно. Это весьма полезно еще и потому, что ситуации, подобные здесь рассмотренной, часто встречаются в оптике, и их просто нужно знать.
Обратите внимание на то, что, анализируя опыт, мы пренебрегли преломлением света на выпуклой поверхности полуцилиндра. В данном случае это вполне допустимо, поскольку зрачок глаза имеет небольшой размер (диаметр зрачка порядка 2—4 мм), и поэтому в него попадает узкий пучок света.
В заключение рекомендуем попробовать поставить опыт, аналогичный описанному, в котором вместо полуцилиндра используется прямоугольная стеклянная призма. Интересно сравнить результаты этих двух опытов.
§ 18. МОДЕЛЬ РЕФРАКТОМЕТРА ИЗ ПОЛУЦИЛИНДРА
Многие рефрактометры, часто используемые в наше время, построены по схеме, предложенной еще в прошлом веке немецким ученым Аббе (рис. 30). Прямоугольная осветительная призма 1 имеет матовую гипотенузную грань, на которой рассеивается падающий пучок света. Тонкий слой исследуемой жидкости 2 (на рисунке толщина этого слоя значительно преувеличена) нанесен на прозрачную гипотенузную грань измерительной призмы 3 и «прижат» к этой грани осветительной призмой. Наблюдение ведется в зрительную трубу 4, сфокусированную на бесконечность; в этом случае фокальные плоскости объектива и окуляра зрительной трубы совпадают и аккомодированный на бесконечность глаз резко проецирует их на свою сетчатку.
0
Рис. 30. Оптическая схема рефрактометра Аббе
именно этот угол- однако
Поле зрения 5 разделено на светлую и темную области — вы уже знаете, чем это объясняется (§ 17). При измерениях поворотом зрительной трубы относительно призм (или наоборот: призм относительно зрительной трубы) добиваются, чтобы граница между светлой и темной областями совпала с перекрестием, которым обозначен фокус объектива трубы. В этом случае все лучи, преломившиеся из жидкости 2 в призму 3 под предельным углом, пойдут параллельно оптической оси зрительной трубы и соберутся в точках прямой, проходящей через фокус объектива и лежащей в его фокальной плоскости. Эта прямая является границей между светлой и темной областями поля зрения. Очевидно, угол поворота зрительной трубы однозначно определяется предельным углом и, следовательно, показателем преломления жидкости. При работе с рефрактометром непосредственно измеряют шкалу, определяющую его,
удобно отградуировать в значениях показателя преломления — так обычно и поступают на практике.
Граница между светлой и темной областями, наблюдаемыми в зрительную трубу, будет резкой, если измерения проводятся в монохроматическом свете. Чаще, однако, дело имеют с белым светом. При преломлении белого света на призме за счет дисперсии появляются цвета — граница оказывается окрашенной и напоминает хорошо знакомый вам спектр. Это нежелательное явление, поскольку положение размазанной границы установить на перекрестии с достаточной точностью трудно. Устраняют его введением между измерительной призмой и зрительной трубой специального компенсирующего устройства, действие которого не имеет отношения к полному отражению света, и поэтому рассмотрение его здесь может быть опущено.
Изучив схему рефрактометра Аббе, предложите простой опыт2 позволяющий с помощью прозрачного полуци
линдра смоделировать работу этого прибора. Опыт должен быть таким, чтобы его результат делал принцип действия рефрактометра совершенно очевидным.
* * *
На стеклянную или пластмассовую пластинку 1 положите полуцилиндр 2 и вплотную к его плоской грани поставьте полоску матового стекла 3 (рис. 31). Глядя сквозь выпуклую поверхность полуцилиндра, найдите такое положение глаза, при котором поле зрения разделено на темную и светлую области. После этого слегка отодвиньте матовое
стекло от полуцилиндра и в образовавшуюся щель введите одну-две капли воды. Вновь придвиньте матовое
Рис. 31. Эскиз прибора, моде- Рис. 32. Картина, наблюдаемая лирующего рефрактометр Аббе в модели рефрактометра Аббе
стекло к плоской грани полуцилиндра так, чтобы в промежутке между ними получился тонкий слой воды 4 высотой примерно до половины полуцилиндра. Теперь вы одновременно будете наблюдать положения границ между светлыми и темными областями, обусловленными полным отражением света при переходе из стекла в воздух и из стекла в воду (точнее, скользящим падением лучей на границы раздела сред воздух — стекло и вода — стекло).
На рис. 32 приведена фотография опыта, в котором полуцилиндр стоит на матовом стекле вертикально. Различное положение границ 1 и 2 между светлыми и темными областями наглядно показывает принцип действия рефрактометра Аббе.
Разумеется, вы можете сделать и более основательную модель прибора. Мы надеемся, что при необходимости вы сумеете и отградуировать свой прибор так, чтобы его можно было использовать не только в качественных опытах.
$ 19. ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК СВЕТА ВНУТРИ СТЕКЛЯННОЙ ПЛАСТИНКИ
«Этого не может быть,— скажете вы,— нельзя внутрь стекла поместить лампочку!»
Лампочку, конечно, трудно. Но расположить источник света внутри стекла вы сможете. Если, разумеется, захотите.
Для опыта подберите плоскопараллельную пластинку из стекла толщиной около 7 мм (витринное или зеркальное стекло). Можно использовать пластинки и другой толщины, но тоньше 3 мм — нежелательно. Одну поверхность пластинки сделайте матовой. Достаньте не слишком крупный абразивный порошок (его можно получить, на-примерл смыв водой с наждачной шкурки) и небольшую порцию этого порошка нанесите на стекло размером примерно 30х 30 см (можно использовать кусок оконного стекла неправильной формы). Порцию абразива увлажните и разровняйте по поверхности стекла. Затем положите на стекло вашу пластинку и, беспорядочно перемещая ее по абразиву^ отматируйте поверхность пластинки. Когда вы добьетесь совершенно однородной матовости, влажной тряпочкой уберите с пластинки абразив, промойте пластинку и высушите ее. Оставшийся после работы абразивный порошок ни в коем случае не смывайте в раковину — можете засорить канализацию!
Вместо стеклянной пластинки в опыте можно использовать и плоскопараллельную пластинку из оргстекла,
Рис. 33. Установка для наблюдения полного отражения света в плоскопараллельной стеклянной пластинке: а — детали установки; б — установка в собранном виде
В этом случае сделать матовой ее поверхность вы сумеете шкуркой. Наконец^ можно покрасить одну поверхность
плоскопараллельной пластинки белой краской, хотя, на наш взгляд, все это дает несколько худшие результаты, чем применение стеклянной пластинки с хорошей матовой поверхностью.
Теперь изготовьте осветитель. Найдите жестяную баночку высотой 20—30 мм и диаметром 60—100 мм с крышкой. Удобно (и даже приятно) использовать баночку из-под конфет. В центре ее укрепите лампочку карманного фонаря (можно припаять патрон для лампочки или — если вы хотите только попробовать опыт — прикрепить лампочку пластилином) и выведите соединительные проводники через отверстие в боковой стенке баночки. В центре крышки просверлите отверстие диаметром около 5 мм. В листке черной бумаги иглой проколите небольшое отверстие и, закрыв баночку крышкой, приклейте к ней липкой лентой или клеем листок так, чтобы отверстие в нем находилось точно над нитью лампочки. На рис. 33, а приведена фотография описанных выше деталей экспериментальной установки, а на рис. 33, б —фотография установки, подготовленной к опытам.
В полной темноте включите лампочку, положите на крышку баночки плоскопараллельную стеклянную пластинку матовой стороной вниз и смотрите на пластинку сверху. Вы увидите яркое светлое пятно и вокруг него — относительно слабое светлое кольцо с резкой внутренней границей (рис. 34)!
Объясните результат опыта. Вычислите внутренний диаметр светлого кольца. Проверьте свой расчет экспериментом.
Рис. 34. Картина, получаемая в опыте по полному отражению света в плоскопараллельной стеклянной пластинке
* * *
Свет от лампочки проходит через маленькое отверстие в черном экране и освещает небольшую область на матовой поверхности пластинки. Матовая поверхность рассеивает попавший на нее свет по всем направлениям1 в том
числе и внутрь пластинки. Поэтому маленькое освещенное пятно можно считать точечным источником света, расположенным внутри стеклянной пластинки (точнее, на границе раздела сред воздух — стекло).
Очевидно, расходящийся от этого источника пучок света не может полностью выйти из пластинки (рис. 35): лучи, падающие на границу раздела стекло — воздух под углами, превышающими предельный, испытывают полное отражение на верхней поверхности пластинки и возвращаются к нижней. Поскольку нижняя поверхность пластинки матовая, она будет освещена падающим на нее сверху светом. Ясно, что освещенная область нижней поверхности пластинки должна представлять собой кольцо с размазанным внешним краем и сравнительно резким
Рис. 35. Ход лучей от точечного источника света, расположенного внутри плоскопараллельной стеклянной пластинки вблизи ее нижней грани
внутренним (внимательно разберитесь в ходе световых лучей, показанном на рис. 35).
Вычислим внутренний диаметр D получаемого в опыте светлого кольца. При полном отражении света синус предельного угла падения
sin fnp = n2/ni,	(19.1)
где rii и п2 — соответственно абсолютные показатели преломления пластинки и среды над верхней ее поверхностью. Из треугольника A BS следует
. . SB	D/4
Sin inn — •' с Л.=	 =- .
(19.2)
Исключая из этих двух формул угол 1Пр, получаем
+ (19.3)
Если пластинка находится в воздухе, то п2 = 1. Следовательно, внутренний диаметр светлого кольца связан с показателем преломления пластинки п = п± и ее толщиной h соотношением
Z) =
14 — 1
(19.4)
Пользуясь полученной формулой, можно определить одну из трех входящих в нее величин, измерив две другие. Практическое значение, конечно, имеет определение показателя преломления материала пластинки. Сделав это4 вы получите значение п, близкое к 1,5.
§ 20. ТОЧЕЧНЫЙ ИСТОЧНИК СВЕТА
ВБЛИЗИ ПОВЕРХНОСТИ СТЕКЛЯННОЙ ПЛАСТИНКИ
Покажите, что точечный источник света, расположенный вне плоскопараллельной прозрачной пластинки вблизи ее поверхности, дает иную картину освещенности этой поверхности, чем источник, находящийся внутри пластинки.
* * *
Рассмотрение хода лучей (рис. 36) показывает, что в случае, когда источник расположен вне стеклянной пластинки, нет лучей, распространяющихся в пластинке под
Рис. 36. Ход лучей от точечного источника света, расположенного вне плоскопараллельной стеклянной пластинки вблизи ее нижней грани
углами, превышающими предельный. Действительно, даже скользящие по нижней поверхности пластинки лучи падают на верхнюю поверхность под углами, равными предельному. Поэтому нижняя поверхность пластинки может быть освещена лишь лучамиг которые падают на верхнюю
поверхность под углами, меньшими предельного. Следовательно, освещенная область нижней поверхности должна представлять собой круг с центром в источнике света 5, причем внешняя граница этого круга должна быть резкой. Напомним, что в случае источника, находящегося внутри пластинки (§ 19), все наоборот: освещенная область представляет собой кольцо с резкой внутренней границей (внутрь этого кольца, естественно, падают лучи, частично отраженные от верхней поверхности пластинки, например луч 7', но интенсивность этого света существенно ниже интенсивности света, испытавшего полное отражение).
Чтобы на опыте убедиться в сказанном, достаточно сделать следующее. На освещенное лампочкой маленькое отверстие в черном экране наложите лист папиросной или тонкой белой бумаги, а по
Рис. 37. То же, что и на рис. 34, но источник света находится вне стеклянной пластинки
верх него — стеклянную пластинку, обе поверхности которой прозрачны. Источником света в опыте, очевидноv является освещенное пятнышко папиросной бумаги. Между этим источником и стеклом имеется тонкий воздушный слой. Поэтому источник находится вблизи нижней поверхности, но вне стеклянной пластинки. Фотография получающейся картины приведена на рис. 37.
В заключение — небольшое задание: поставьте опыт, доказывающий, что диамет-
ры резких границ между светлой и темной областями картин одинаковы независимо от
того, находится ли источник внутри или вне стеклянной пластинки вблизи одной из ее поверхностей.
§ 21. РЕФРАКТОМЕТР ИЗ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЙ ПРОЗРАЧНОЙ ПЛАСТИНКИ
Используя плоскопараллельную прозрачную пластинку, на нижней матовой поверхности которой находится точечный источник света (§ 19), постройте модель рефрактометра, позволяющую измерять показатели преломления жидкостей,
* * *
Для решения поставленной задачи, очевидно, нужно создать условия, при которых жидкость может находиться на верхней поверхности пластинки.
На стеклянной пластинке сделайте по ее периметру пластилиновые бортики высотой 5—10 мм. Поверхности пластинки тщательно вычистите, чтобы на них не было жировых пятен от пальцев и пластилина (лучше пластинку аккуратно промыть водой с мылом, затем ополоснуть проточной водой и насухо вытереть). Подготовленную таким образом пластинку матовой стороной положите на освещенное лампочкой небольшое отверстие в листе черной бумаги. Так вы получите точечный источник света, расположенный внутри пластинки вблизи ее матовой грани. Наблюдая источник сверху, вы увидите вокруг него уже хорошо знакомое вам светлое кольцо с резкой внутренней границей.
Теперь нанесите на верхнюю поверхность пластинки несколько капель воды так, чтобы вода растеклась и равномерно покрыла эту поверхность тонким слоем. Сразу, как только вы сделаете это, вокруг источника появится два светлых кольца (рис. 38, а)!
Логично допустить, что если появление одного из этих колец обусловлено полным отражением света от границы стекло — вода, то второе кольцо появляется за счет полного отражения света на границе вода — воздух. Нетрудно убедиться в справедливости сделанного предположения: постепенно доливайте воду в кювету, образованную стеклянной пластинкой и пластилиновыми бортиками. Вы будете наблюдать, что ближайшее к источнику света кольцо растет в диаметре и, наконец, сливается с неподвижным кольцом (рис. 38, б). При дальнейшем увеличении толщины слоя воды диаметр растущего кольца становится больше, чем диаметр неподвижного (рис. 38, в). Ясно, что неподвижное кольцо появляется за счет полного отражения света на границе стекло — вода, так как именно эта граница раздела сред остается в опыте неизменной.
На рис. 39 показан ход лучей в описанном эксперименте. Мы полагаем, что толщина слоя воды h' существенно меньше толщины стеклянной пластинки /г, так что преломлением света при переходе из стекла в воду и затем — после полного отражения — из воды в стекло можно пренебречь. Диаметр подвижного кольца на рисунке обозначен D', а неподвижного — D. Очевидно, измерив диаметр D неподвижного кольца (напомним^ что речь идет о
Рис. 38. При увеличении толщины слоя воды на поверхности плоскопараллельной стеклянной пластинки возникает и увеличивается в диаметре второе светлое кольцо
Рис. 39. К объяснению результата опыта, фотографии которого приведены на рис. 38
диаметре резкой границы между светлым кольцом и темным кругом внутри него) и зная толщину h и показатель преломления п± пластинки, по формуле (которую вы вполне сумеете вывести самостоятельно)
1
П2 ~	' ...  =г
- /1 + 16/г2//)2
можно вычислить показатель преломления жидкости, тонкий слой которой находится на верхней поверхности пластинки.
Имеет ли практическое значение такой рефрактометр? Судите сами: Пфунд, который изобрел этот прибор, оценивает даваемую им погрешность измерений показателей преломления жидкостей не более 0,001 или даже 0,0001 *). Значит, это вполне «приличный» прибор, и кто знает, может быть, именно вы найдете ему какое-нибудь неожиданное применение в подходящей ситуации.
§ 22.	ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОНОВ И ТОЛЩИНА ЭКРАНА ЭЛЕКТРОННО-ЛУЧЕВОЙ ТРУБКИ
Автору посчастливилось присутствовать на одном из выступлений, в котором отмечалось, что школьников нужно хотя бы качественно знакомить с фундаментальными физическими явлениями, и в качестве примера предлагалось демонстрировать дифракцию электронов. Это действительно чрезвычайно интересно: электрон — частица! — обладает свойствами волны. Поэтому поток электронов, проходя мимо препятствия, роль которого обычно выполняет кристаллическая решетка, способен дать дифракционную картину. Посмотреть на нее, да еще в простом и доступном опыте — не только любопытно, но и весьма полезно.
Именно об этом убедительно и долго говорил выступающий. Но вот дело дошло до эксперимента, и стало понятно,; что достаточно убрать горизонтальную развертку осциллографа, получить в центре экрана электронно-лучевой трубки резкое пятно, добиться максимальной яркости этого пятна и тогда... на экране возникнет дифракционная картина: центральное светлое пятно, окруженное чередующимися светлыми и темными кольцами!
Осциллограф есть в любом школьном кабинете физики, и вы без труда сможете пронаблюдать «дифракционную картину». Как правило, на экране видно яркое светлое пятно и вокруг него — два или три равноотстоящих друг от друга светлых кольца, яркость которых тем меньше, чем дальше они от центра картины. Сфотографировать с экрана электронно-лучевой трубки сразу всю картину трудно потому, что слишком различны яркости ее колец. На рис. 40, а представлена фотография, на которой хорошо
♦) Вуд Р, Физическая оптика.— Л.; М.: ОНТИ, 1936, с. 84— 86,
видны центральное пятно и первое светлое кольцо; остальные кольца значительно слабее первого и на фотографии не получились. Вторая фотография (рис. 40, 6) сделана в тех же условиях, что и первая, но на ней видно второе светлое кольцо картины. Сфотографировать это кольцо удалось благодаря перекрытию центральной части картины квадратиком из черной бумаги: это позволило
Рис. 40. Картина, наблюдаемая на экране электронно-лучевой трубки осциллографа при достаточной яркости светлого пятна увеличить выдержку, избежав чрезмерного засвечивания пленки центральным пятном и первым светлым кольцом.
Картина, получающаяся на экране электронно-лучевой трубки, очень похожа на настоящие дифракционные картины, фотографии которых нередко приводятся в учебниках физики. Это, очевидно, и явилось причиной заблуждения при объяснении явления. На самом деле говорить о дифракции электронов в рассматриваемом опыте совершенно неуместно. Все дело в том, что электронно-лучевая трубка изготовлена из стекла, и экран ее... имеет заметную толщину.
Вы в состоянии полностью разобраться в физической сути явления. Сделайте это. Подтвердите правильность своего анализа экспериментом. Попробуйте оценить толщину экрана электронно-лучевой трубки.
* * *
Экран трубки осциллографа изнутри покрыт слоем люминофора. Небольшое пятно этого слоя под действием сфокусированного пучка электронов светится и, следовательно, является источником света, посылающим расходящийся световой пучок внутрь стекла. Свет частично вы
ходит наружу в той области, для которой углы падения его на границу стекло — воздух меньше предельного угла при полном отражении. Этот свет попадает в глаз, благодаря чему глаз видит на экране трубки центральное светлое пятно. Частично же свет испытывает полное отражение от внешней поверхности стеклянного экрана, граничащей с воздухом, падает обратно на люминофор и освещает его или возбуждает свечение в виде кольца. Точки этого кольца в свою очередь посылают свет внутрь стекла во все стороны так, что при полном отражении определенной части этого света возникает второе кольцо и т. д. Отсюда, в частности, следует, что расстояния между светлыми кольцами должны быть одинаковыми, а яркость колец — последовательно уменьшаться.
Подобное рассмотренному чисто оптическое явление вам хорошо известно {§ 19), и вы, должно быть, помните формулу, связывающую диаметр D внутренней границы первого светлого кольца с показателем преломления п и толщиной h стекла:
j/’n2 — 1
Пользуясь этой формулой, вы сможете, не разбивая электронно-лучевой трубки, измерить толщину ее экрана.
Но, может быть, вы не совсем убеждены в правильности данного объяснения? Тогда — эксперимент!
Рис. 41. Схема опыта, доказывающего, что кольца вокруг светлого пятна на экране электронно-лучевой трубки появляются в результате полного отражения света
Идея его проста: нужно, не пользуясь электронным пучком, создать на слое люминофора небольшой источник света. С этой целью перед экраном 1 работающего осциллографа расположите горящую лампочку 4 от карманного фонаря (рис, 41). Часовой лупой Зх дающей четырехкрат-
ное увеличение, сфокусируйте свет от лампочки так, чтобы на внутренней поверхности экрана, покрытой слоем люминофора 2, образовалось изображение нити лампочки S в виде небольшого яркого пятна S'. Вокруг него вы увидите точно такие же кольца, как и вокруг светящегося пятна, образованного потоком электронов, только лампочка дает пятно и кольца белого цвета, а поток электронов вызывает зеленое свечение люминофора. Вы можете уменьшить яркость зеленого пятна на экране и совместить с ним белое пятно, даваемое лампочкой. При наблюдении в затемненном помещении вы заметите, что светлые и темные кольца обеих картин в точности совпадают.
Вряд ли существует более убедительное доказательство тогоА что характерная картина вокруг светлого пятна на экране осциллографа обусловлена именно полным отражением света, а не каким-либо другим явлением.
§ 23. ПРОХОЖДЕНИЕ СВЕТА ЧЕРЕЗ СТЕКЛЯННУЮ ПАЛОЧКУ
Пусть из прозрачного материала сделана цилиндрическая палочка с плоскими торцами, перпендикулярными ее оси. Допустим, что в центр А одного из торцов палочки под всевозможными углами ix падает свет. Как он будет распространяться в палочке?
* * *
Обозначим п2 и п[ показатели преломления материала палочки и окружающей ее среды. Будем считать, что п2
Hi. Тогда по закону преломления света (рис. 42)
Рис. 42. К выводу условия, при котором цилиндр из прозрачного материала может выполнять роль световода
Отсюда синус угла преломления
sin i2 = sin ii. (23.2) Tl%
Из треугольника ABC видно, что преломленный луч па
дает на боковую поверхность палочки под углом
i3 = -%--h.	(23.3)
Применим закон преломления для боковой поверхности 56
палочки:
(23.4)
sin 1*3 _ Hi
sin ?4	n2
Отсюда синус угла преломления
sin	sin i3.	(23.5)
Подставляя в эту формулу значение угла ?3из (23.3), получаем
sin ц = cos i% =	1^1 — sin2 z2 •	(23.6)
Заменим в последней формуле sin z2 его значением из формулы (23.2) и получим, что
sin и =	(4ц-)2 ““ s*n2 ’	(23.7)
Если угол f3 — предельный при переходе света из палочки в окружающую среду, то угол преломления ц = л/2, а синус этого угла равен единице. Следовательно, полное отражение света на боковой поверхности палочки будет иметь место, если правая часть формулы (23.7) больше или равна единице:
/(^r)2~sin2/i>1-	<23-8>
Поскольку максимальное значение угла падения i{ света на торец палочки равно л/2, то для того чтобы все лучи, вошедшие в торец палочки, испытали полное отражение на ее боковой поверхности, должно быть
или -^->/2.	(23.9)
В этом случае свет, вошедший через один торец палочки, сможет выйти из нее только через другой торец, испытывая всякий раз при встрече с боковой стенкой палочки полное отражение.
Если стеклянная палочка находится в воздухе, то ni = = 1, а п2 = 1,5, и соотношение (23.9) выполняется. Такая палочка «не выпустит» из себя попавший в нее через торец свет: она «доведет» его до второго торца почти без потерь (поглощение света в хорошем стекле мало). Мы видим, что стеклянная палочка в воздухе может выполнять роль световода^ «доставляя» свет тудаА куда нужно.
Во всем этом нетрудно убедиться, подобрав стеклянную палочку диаметром 4—8 мм и длиной 20—30 см. Желательно, чтобы торцы ее были плоскими и отполированными. Если торцы имеют изломы неправильной формы, аккуратно отломите концы палочки. Для этого нужно надпилить палочку трехгранным напильником, смоченным в воде, и разломить ее по надпилу, делая руками одновременно с разламывающим растягивающее усилие. Вместо стеклянной палочки можно использовать стеклянную трубку, закрыв отверстие возле одного из ее концов небольшим пластилиновым шариком.
Перед лампочкой карманного фонаря 1 (рис. 43) расположите сделанный из листка черной бумаги экран 2Х
Рис. 43. Эскиз установки, позволяющей убедиться, что стеклянная палочка действительно может служить световодом
имеющий отверстие точно по диаметру палочки. В отверстие проденьте стеклянную палочку 5, а на нее наденьте вырезанный из белой бумаги экран 4. Перемещая этот экран вдоль палочки, вы не увидите на нем света. Значит, световые лучи действительно не выходят из боковой поверхности палочки в воздух. Расположив за палочкой белый экран 5, вы обнаружите на нем светлое пятно, образованное светом, вышедшим из второго торца палочки.
§ 24. СВЕТОВОД ИЗ ОРГСТЕКЛА
Разработайте способ изготовления и сделайте световод из оргстекла. Экспериментально исследуйте работу световода в воздухе и в жидкости.
* * *
Световод можно изготовить из полоски оргстекла сечением 4x4 мм и длиной 500—600 мм. Полоску отшлифуйте мелкой шкуркой так, чтобы ребра боковой поверхности получились округлыми^ а торцы — плоскими. Затем бо-58
ковую поверхность полоски и ее торцы отполируйте куском ткани, смоченной керосином и покрытой тонким слоем полировальной пасты ГОИ. От того* насколько аккуратно вы выполните эту работу* зависит качество световода. Отполированную полоску разогрейте над электроплиткой до полного размягчения оргстекла и изогните так, как вам понравится — чем причудливее изгиб полоски, тем большее впечатление произведет опыт, когда вы будете показывать его своим товарищам. В отверстии, проделанном в дне небольшой пластмассовой или металлической коробочки, с помощью подходящего отрезка резиновой трубки закрепите лампочку карманного фонаря. На конец световода наденьте отрезок резиновой трубки длиной около 1 см, в крышке коробочки сделайте отверстие так, чтобы оно было расположено напротив нити лампочки и имело диаметр, немного меньший диаметра резиновой трубки, а затем закрепите в этом отверстии световод.
Подсоедините лампочку к батарейке и в темноте пронаблюдайте, как свет распространяется по вашему световоду. Попробуйте осветить концом световода предмет* расположенный в каком-либо труднодоступном месте. Обратите внимание на свечение царапинок на поверхности световода, оставшихся после полировки, и объясните это явление. Возьмитесь влажными пальцами за боковую поверхность световода. Что вы наблюдаете? Почему?
Теперь — опыт, которым вы можете вызвать недоумение своих товарищей, если они недостаточно знакомы с явлением полного отражения света. Включите расположенную в кожухе напротив торца световода лампочку и покажите им, что свет, распространяясь по световоду, выходит через его свободный торец (рис. 44, а). Затем возьмите стакан с глицерином и, поднимая его снизу вверх, «наденьте» стакан на среднюю часть световода так, чтобы эта часть погрузилась в глицерин. Ваши товарищи будут наблюдать, что в этих условиях свет, вошедший в один из торцов световода, не достигает или почти не достигает второго его торца (рис. 44, б).
Опустите стакан с глицерином вниз так, чтобы световод вновь полностью оказался в воздухе. Наблюдающие опыт заметят, что яркость выходящего из световода пучка будет каждый раз скачком увеличиваться, как только от средней части световода оторвется очередная капля оставшегося на ней глицерина. Попросите их объяснить все эти явления,
Рис. 44. Распространение света в световоде: а — световод находится в воздухе; б — часть световода погружена в глицерин
Если такое объяснение вызывает затруднения, напомните им значения показателей преломления оргстекла П1 — = 1,49 и глицерина тг2 = 1,47 и попросите их вспомнить условия, при которых наблюдается явление полного отражения света. После объяснения результатов опыта обратите внимание своих товарищей на то, что отполированное оргстекло в глицерине почти невидимо, поскольку среда, состоящая из глицерина и оргстекла, оптически почти однородна.
В описаннном опыте со световодом глицерин можно заменить водой, однако эффектность опыта от такой замены снизится: показатель преломления воды п3 = 1,33 заметно отличается от показателя преломления оргстекла.
§ 25. КАК С ПОМОЩЬЮ ПРИЗМЫ СРАВНИТЬ ПОКАЗАТЕЛИ ПРЕЛОМЛЕНИЯ ЖИДКОСТЕЙ
В вашем распоряжении имеются стеклянная прямоугольная призма (или полуцилиндр) и другое вспомогательное оборудование, которое мы перечислять не будем. Придумайте и осуществите на практике простой способ, позволяющий с помощью призмы сравнить показатели преломления различных жидкостей.
* * *
На листок черной бумаги 1 (рис. 45) наложите стеклянную пластинку 2 и на нее параллельно между собой поместите две узкие прокладки 3 толщиной около 1 мм, изготовленные из картона или спичек. Между прокладками на стекло нанесите две капли 4 разных жидкостей, например воды и глицерина. На прокладки гипотенузной гранью поставьте прямоугольную равнобедренную призму 5 из
Рис. 45. Схема экспериментальной установки для сравнения показателей преломления различных жидкостей
Рис. 46. Картины, наблюдаемые в опыте, который поставлен по схеме, показанной на рис. 45: а, б, в — угол между направлением наблюдения и гипотенузной гранью призмы постепенно уменьшается
стекла или оргстекла так, чтобы капли жидкостей коснулись гипотенузной грани и смочили ее (как уже отмечалось выше, в опыте можно использовать и прозрачный полуцилиндр). Перед призмой расположите равномерно ос* вещенный светом настольной лампы или дневным светом от окна лист белой бумаги 6.
Смотрите сверху на гипотенузную грань призмы через ее катетную грань и постепенно опускайте голову так^
чтобы угол между направлением наблюдения и гипотенуз-ной гранью уменьшался. Когда в глаз попадут лучи, испытавшие полное отражение на границе стекло — воздух,; гипотенузная грань будет выглядеть блестящей, и на ее фоне две капли жидкостей станут восприниматься в виде двух темных пят. и 1 и 2 (рис. 46, а). При дальнейшем опускании глаза внезапно исчезнет сначала одно из двух темных пятен, а затем — второе (рис. 46, б, в).
Предельный угол полного отражения при переходе света из стекла в жидкость определяется условием
sin /Пр = п2/пъ	(25.1)
где — показатель преломления материала призмы (стекла или оргстекла) и п2 — показатель преломления жидкости. В опыте показатель преломления призмы остается неизменным и непрерывно увеличивается угол падения света на границу раздела сред стекло — жидкость (это в самом деле так, поскольку при опускании глаза увеличивается угол отражения света от гипотенузной грани призмы, попадающего в глаз). Пусть исчезновение первой капли произошло при предельном угле /др, а второй — при угле /Пр, причем /дР < /пр. Тогда из формулы (25.1) следует, что показатели преломления п2 и п2 первой и второй капель удовлетворяют неравенству п'2 < п2. Таким образом, в опыте первым исчезает то пятно, которое образовано жидкостью с меньшим показателем преломления.
Вы могли бы сразу догадаться об этом потому, что самой первой «исчезает» область соприкосновения гипотенузной грани призмы с воздухом, а воздух имеет показатель преломления, меньший показателя преломления любой жидкости.
§ 26. ПОЧЕМУ ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ НАЗЫВАЕТСЯ ПОЛНЫМ!
Просто потому, что при полном отражении свет отражается практически полностью.
При полном отражении от границы стекло—воздух, например, обратно в стекло (если, разумеется, его поверхность лишена дефектов и достаточно чиста) отражается до 99,99% падающего света. При этом немаловажно то, что спектральный состав падающего пучка при полном отражении не изменяется, то есть если на границу раздела сред падает белый свет, то и отраженный свет будет белым.
Для изготовления зеркал раньше чаще всего использовалось серебро. Этот металл обладает одним из самых высоких значений коэффициента отражения светау который, однако, при условии даже самой тщательной полировки не превышает 95%. Кроме того, серебро быстро тускнеет на воздухе, так что фактическая отражательная способность его еще ниже. Наконец, напомним, что коэффициент отражения серебра сильно зависит от длины световой волны, причем в пределах видимого спектра он увеличивается с ростом последней. Это, в частности, приводит к тому, что при многократных отражениях белого света от серебряных зеркал выходящий световой пучок окрашен в оранжевый цвет.
В настоящее время широкое применение в науке, технике и быту получили не серебряные, а алюминиевые зеркала. Хотя коэффициент отражения алюминия ниже, чем серебра (он составляет для видимого света примерно 85%)г алюминиевые зеркала предпочтительнее ввиду их меньшей стоимости и большей устойчивости на воздухе.
Итак, даже лучшие металлические зеркала обладают меньшим коэффициентом отражения, чем граница раздела между двумя прозрачными средами, на которой происходит полное отражение света. Придумайте и поставьте опыт, позволяющий воочию убедиться в этом.
* * *
Идея опыта очевидна: нужно сравнить интенсивности света, отраженного металлическим зеркалом и испытавшего полное отражение на границе раздела двух прозрачных сред. Однако эти интенсивности мало отличаются друг от друга, поэтому последовательное сравнение их глазом ни чего не даст: глаз плохо реагирует на абсолютное изменение интенсивности светового пучка. Впрочем, выход есть: одно из замечательных свойств глаза заключается в том, что он уверенно отмечает, например, различие в освещенностях двух имеющих общую резкую границу областей. Следовательно, чтобы обнаружить искомое отличие в интенсивностях отраженного света, нужно создать такие условия, при которых металлическое зеркало и поверхность, на которой происходит полное отражение, граничат между собой.
Для этого можно покрыть слоем металла (например, посеребрить) часть гипотенузной грани прямоугольной призмы. Вы вполне можете сделать это2 воспользовав-
Рис. 47. Схема экспериментальной установки для сравнения полного отражения света и отражения от металлического зеркала
шись известной из школьного курса химии «реакцией серебряного зеркала».
Есть и другой, более доступный путь. В школьном кабинете физики имеется входящее в комплект к проекционному аппарату зеркало, внешняя поверхность которого алюминирована. Это зеркало вполне подходит для опыта. Следует только помнить, что зеркало с внешним покрытием не прощает небрежного обращения, поэтому, работая с ним, будьте особенно аккуратны.
Оптическая схема эксперимента показана на рис. 47. На лист черной бумаги 1 помещено металлическое зеркало 2 отражающей поверхностью вверх. На край зеркала
нанесена капля глицерина 5, на которую поставлена стеклянная призма 4. На призму падает рассеянный свет от белого экрана 5, освещенного посторонним источником.
При наблюдении глазом гипотенузной грани призмы вы будете видеть, что при углах падения света, меньших
Рис. 48. Результат эксперимента, поставленного по схеме, изображенной на рис. 47: а — угол падения света меньше предельного; б — угол падения превышает предельный
предельного, выступающая за зеркало часть гипотепузпой грани призмы темная, а лежащая на зеркале часть — блестит (рис. 48, а). При опускании глаза, когда угол падения света превысит предельный, вся гипотенузная грань станет блестеть, причем выступающая за зеркало часть грани 1 будет выглядеть несколько более светлой, чем лежащая на зеркале часть 2 (рис. 48, б). Таким образом, опыт показывает, что действительно при полном отражении свет отражается лучше, чем при использовании алюминиевого зеркала. Обратите внимание на то, что в описанном эксперименте интенсивности отраженного света сравниваются при одинаковых углах падения.
Может быть, более убедительным вам покажется вариант опыта, понятный из схемы, приведенной на рис. 49. Здесь изображены лампочка карманного фонаря 7, используемая в качестве источника света, близкого к точечному; черный экран 2, отсекающий мешающую часть светового пучка от лампочки; белый экран 3, предназначенный для наблюдений. Белый экран нужно расположить на расстоянии 10—20 см, а источник света — на расстоянии не меньше полуметра от призмы. Тогда на экране вы получите резкие «зайчики» от зеркала и ги-потенузной грани призмы.
«Зайчик» от той части гппотенузной грани, которая граничит с воздухом, будет светлее, чем от той, которая лежит па зеркале. Основное преимущество этого варианта опыта заключается в том, что вы легко можете проверить себя, так как результат эксперимента одновременно могут наблюдать несколько человек.
А теперь — вопрос, ответ на который найдите самостоятельно: для чего в описанном опыте рекомендуется использовать каплю глицерина?
Рис. 49. Схема экспериментальной установки для сравнения интенсивностей света при полном отражении и отражении от металлического зеркала
§ 27. ОПТИЧЕСКИЙ КОНТАКТ
Без особых преувеличений можно утверждать, что современная физическая оптика начиналась с «Оптики» Исаака Ньютона, первое издание которой увидело свет в 1704
году. Ньютон был выдающимся экспериментатором, отличающимся чрезвычайно развитой наблюдательностью. Познакомьтесь с одним из наблюдений Ньютона, исследуйте обнаруженное им явление и объясните его.
«Прижимая тесно две призмы одну к другой так, что их стороны (которые случайно были несколько выпуклыми) могли в некоторых местах соприкасаться, я нашел, что место соприкосновения становилось совершенно прозрачным, как будто бы там был непрерывный кусок стекла. Ибо, когда свет падал на воздух, заключенный между стеклами в других местах, настолько отлого, что полностью отражался, то в местах соприкосновения свет казался полностью проходящим настолько, что при рассматривании сверху эти места были похожими на черные или темные пятна благодаря тому, что отражался только ничтожный или неощутимый свет, в отличие от других мест; если смотреть через эти пятна, то они кажутся как бы дырами в тонком слое воздуха, образовавшемся между двумя прижатыми стеклами. Предметы, находящиеся за стеклами, через это отверстие можно видеть отчетливо, хотя они совершенно не видны через остальные части стекол, где была прослойка воздуха. Хотя стекла были несколько выпуклыми, однако прозрачные пятна имели значительную ширину, что происходило, по-видимому, главным образом потому, что частицы стекол подавались внутрь благодаря взаимному давлению. Ибо при очень сильном сдавливании пятна становились значительно шире, чем раньше» *).
•I» 4» sH
Подберите хорошую прямоугольную стеклянную призму. Понятно, что в ящике вашего письменного стола скорее всего не лежит набор оптических призм. Но в школьном физическом кабинете почти всегда найдется то, что нужно, и редкий учитель физики не даст вам требуемое для опыта. Кроме того, каждая трубка полевого бинокля содержит по две прекрасные прямоугольные призмы, и если у вас на примете есть старый бинокль... В самом деле, зачем биноклю две одинаковые зрительные трубки!
Итак, подберите прямоугольную призму. Тщательно вымойте ее с мылом, ополосните проточной водой и насухо вытрите чистой мягкой (лучше полотняной) тряпочкой. После этого за рабочие поверхности призмы пальцами
*) Ньютон И. Оптика.— М.; Л.: ГНТИ, 1927, с. 151.
браться нельзя, так как остающиеся на стекле после пальцев жировые пятна сведут на нет все ваши усилия.
Найдите собирающую линзу, радиусы кривизны выпуклых поверхностей которой составляют несколько метров — такие поверхности небольших по размерам линз на глаз воспринимаются совершенно плоскими. Не пугайтесь, сделать это несложно: как правило, одна из пластинок школьного прибора для наблюдения колец Ньютона вполне подходит для наших целей. Кроме того, можно попробовать использовать плоско-выпуклые линзы конденсора проекционного аппарата или фотоувеличителя — нередко «плоская» поверхность таких линз слегка выпукла.
Те из отобранных линз, которые кажутся вам пригодными, тщательно вымойте и высушите точно так же, как вы это сделали с призмой. Перед началом работы внимательно осмотрите поверхности линз и призмы: на них не должно быть никаких пылинок или ворсинок. Замеченные пылинки нужно аккуратно смахнуть чистой кисточкой или осторожно сдуть.
На листок черной бумаги положите линзу, а на нее — мягко поставьте гипотенузной гранью призму. Смотрите почти вертикально вниз через одну (или обе сразу) из ка-тетных граней призмы. Вы должны увидеть разноцветные интерференционные полосы. Слегка надавите пальцем на верхнее ребро призмы — полосы будут смещаться и, может быть, изменять свою форму. Если вы наблюдаете прямые полосы, то поверхность линзы, касающаяся призмы, плоская и для опыта такая линза не подойдет. Вам нужно подобрать линзу с выпуклой сферической поверхностью, а она дает интерференционные полосы в виде колец (так называемые кольца Ньютона). Чем меньше радиус кривизны выпуклой поверхности линзы, тем меньше размер интерференционных колец. Для опыта следует подобрать такую линзу, которая совместно с призмой дает кольца Ньютона не слишком большие и не слишком маленькие: хорошо, если диаметр центрального пятна интерференционной картины будет порядка 5—8 мм.
Теперь сосредоточьте свое внимание на центральном пятне системы колец Ньютона. Как правило, оно имеет белесоватый оттенок. Надавите на верхнее ребро призмы пальцем, и пятно будет изменяться: оно может стать совсем светлым, потом снова темным и т. д. Будет меняться и вся интерференционная картина: разноцветные интерференционные кольца при давлении на призму станут
увеличиваться. Вскоре вы заметите, что увеличение давления на призму почти перестает приводить к изменению интерференционной картины, и в этом случае в центре картины наблюдается темное пятно.
Если при давлении на призму вы услышите характерный хруст раздавливающихся твердых пылинок (которых всегда так много в воздухе и которые обычно стремятся осесть в самых неподходящих местах), нужно прекратить давление, снять призму с линзы и очистить их соприкасающиеся поверхности. В противном случае вы рискуете безнадежно исцарапать стекло.
Получив в центре интерференционной картины темное пятно, не ослабляя давления (будьте осторожны: это давление не должно быть чрезмерным!), слегка поверните призму относительно линзы. Вы почувствуете рукой, как призма «зацепляется» за линзу. Теперь можно убрать руку с призмы: она окажется «соединенной» с линзой. Если вы попробуете приподнять призму, то будете увлекать за ней и линзу, удерживаемую молекулярным сцеплением стеклянных поверхностей.
Говорят, что в этом случае между поверхностями призмы и линзы имеется «оптический контакт». Эти слова означают, что между двумя стеклянными поверхностями есть соприкосновение; поверхности непосредственно контактируют между собой так, что в области контакта отсутствует слой воздуха.
Итак, вы установили между линзой 2 и призмой 3 оптический контакт (рис. 50). Теперь — опыт. Перед призмой вертикально поставьте лист белой бумаги 4 и осветите его достаточно равномерно. Это можно сделать, воспользовавшись настольной лампой или расположив лист так, чтобы на него падал рассеян
ный дневной свет от окна. Под линзой — напомним это — должен находиться лист черной бумаги 7. Смотрите сквозь катетную грань призмы сверху и постепенно опускайте голову, уменьшая угол между направлением наблюдения и гипотенузной гранью призмы.
Вначале вы будете видеть уже хорошо знакомую вам систему разноцветных колец Ньютона, в центре которой
Рис. 50. Схема опыта по наблюдению колец Ньютона
находится совершенно темное пятно (рис. 51, а). По мере уменьшения угла наблюдения кольца Ньютона будут расширяться (рис. 51, б); мы предоставляем вам возможность самостоятельно объяснить этот эффект. Когда угол наблюдения станет таким, что в глаз попадет свет, падающий на гипотенузную грань призмы под предельным углом, эта грань призмы внезапно станет блестящей, разноцветные кольца Ньютона сразу исчезнут и останется лишь центральное темное пятно (рис. 51, в).
Объясним результат опыта. Кольца Ньютона получаются за счет интерференции световых волн, отраженных от
Рис. 51. Результат эксперимента, поставленного по схеме, приведенной на рис. 50: а, б, в — угол между направлением наблюдения и гипотенузной гранью призмы постепенно уменьшается
границ воздушного слоя, то есть от верхней поверхности линзы и нижней поверхности призмы. Когда свет па гипотенузную грань призмы падает под углом, большим
предельного, происходит полнее отражение, и скеозь гипо-тенузную грань призмы свет не проходит. Следовательно, отсутствует световая волна, отраженная от поверхности линзы, а раз так, то нет и интерференции: ведь для существования интерференции необходимы, как минимум, две когерентные волны.
В области оптического контакта отсутствует воздушная прослойка, и поэтому полного отражения не происходит. Свет проходит через оптический контакт так, как если бы вместо него был монолитный кусок стекла. Поэтому центральное пятно интерференционной картины — темное и остается темным при полном отражении света от гипоте-нузной грани призмы. Фактически через это пятно вы видите черную бумагу, на которой лежит линза.
Вы можете дополнительно убедиться в правильности сказанного, нанеся вблизи призмы на поверхность линзы каплю воды. Капиллярные силы втянут воду в промежуток между линзой и призмой. При этом сразу появятся интерференционные кольца Ньютона, поскольку полное отражение света на гипотенузной грани призмы уже не будет иметь места. Чтобы вновь пронаблюдать исчезновение интерференционной картины, придется увеличить угол наблюдения, наклонив голову вниз. Для нас наиболее существенно в последнем опыте то, что темное центральное пятно от наличия прослойки воды не исчезает. Это означает, что вода не проникает в область оптического контакта, и в этой области призма и линза действительно соприкасаются друг с другом.
§ 28. ВСЕГДА ЛИ ПРИ ПОЛНОМ ОТРАЖЕНИИ СВЕТ НЕ ПРОХОДИТ ЧЕРЕЗ ТОНКИЙ СЛОЙ ВОЗДУХА!
Ответ на этот вопрос может дать опыт, впервые поставленный еще Исааком Ньютоном. Вы сумеете повторить его, поместив на выпуклую поверхность линзы с большим радиусом кривизны прямоугольную призму (§ 27). Больше ничего не нужно, кроме самых доступных материалов, которые всегда под руками, умения наблюдать и оценивать наблюдаемое. Скажем так: если вам удастся самостоятельно обнаружить то, что сумел увидеть Ньютон,— вы вполне можете гордиться своей наблюдательностью.
* * *
А наблюдать вы должны следующее. При падении света на гипотенузную грань призмы под углом, меньшим пре-дельного^ видна интерференционная картина, представ
ляющая собой семейство колец Ньютона. Когда свет на гипотенузную грань призмы падает под углом, несколько превышающим предельный, эта грань выглядит блестящей и лишь центральное пятно бывшей интерференционной картины (область оптического контакта) воспринимается совершенно черным. Если теперь уменьшать угол между направлением наблюдения и гипотенузной гранью призмы, то есть «ловить» глазом лучи, отраженные от гипотенузной грани под углами, все более превышающими предельный, то темное пятно оптического контакта будет немного уменьшаться в диаметре!
Это совершенно неожиданно: область оптического контакта неизменна и не может зависеть от направления наблюдения, тем не менее в опыте наблюдается уменьшение этой области.
Объяснить явление можно только тем, что при полном отражении свет проходит через очень тонкий слой воздуха вблизи области оптического контакта и проходит тем лучше, чем ближе угол падения света к предельному углу.
Рис. 52. Центральное темное пятно интерференционной картины при полном отражении света от гипотенузной грани призмы: а — угол падения света незначительно превышает предельный; б — угол падения существенно больше предельного
При углах наблюдения, близких к предельному, вы воспринимали в качестве темного пятна область оптического контакта плюс небольшое кольцо вокруг нее, где слой воздуха настолько тонок, что свет при полном отражении преодолевает его (рис. 52, а). При углах наблюдения, значительно больших предельного, вы видели только область оптического контакта, так как тонкий слой воздуха при
таких углах падения света становится для него непреодолимым препятствием (рис. 52, 6),
Какова должна быть толщина слоя воздуха, чтобы свет при полном отражении еще мог преодолеть его? Нетрудно
Рис. 53. К вычислению оптической разности хода между интерферирующими волнами
оптическая разность хода
сделать соответствующую оценку. Первое светлое кольцо интерференционной системы колец Ньютона получается, когда оптическая разность хода между интерферирующими световыми волнами равна одной длине волны света X. Если толщина воздушного слоя в точках этого кольца составляет d, то при нормальном падении света шс. 53)
А - 2d + М2.
Здесь к геометрической разности хода 2d прибавлена величина М2 потому, что при отражении света от оптически более плотной среды (от точки В поверхности линзы) происходит «потеря полуволны». Приравнивая оптическую разность хода к длине световой волны X, получаем, что в области первого интерференционного кольца толщина слоя воздуха равна четверти длины волны света: d = М4. А вблизи оптического контакта она и того меньше! Следовательно, в опыте вы наблюдали, что при полном отражении свет проходит через воздушный слой, толщина которого по порядку величины составляет десятые доли длины волны света.
Означает ли это, что при увеличении длины световой волны вы будете наблюдать прохождение света через более толстый слой? Конечно! Вы, должно быть, заметили, что края темного пятна при наблюдениях вблизи угла полного отражения слегка размыты и имеют явно выраженный синеватый оттенок. Поскольку в опыте используется белый свет, это свидетельствует о том, что входящий в его состав синий свет (с меньшей длиной волны) испытал полное отражение и попал в глаз, а красный свет (с большей длиной волны) преодолел преграду в виде тонкого воздушного слоя и не дошел до глаза.
Теперь вы вполне подготовлены к тому, чтобы в должной мере оценить наблюдательность и прозорливость Ньютона. Он писал:
«Темное пятно в середине колец также возрастало при наклоне глаза, хотя почти незаметно. Однако если вместо объективных стекол применять призмы, то возрастание более заметно, если смотреть столь отлого, что вокруг пятна не появляется цветов. Пятно было наименьшим, когда лучи падали наиболее отлого на слой воздуха между призмами; по мере уменьшения наклона пятно увеличивалось все больше и больше, пока не появлялись окрашенные кольца, и затем снова убывало, но не так сильно, как раньше. Отсюда очевидно, что прозрачность была не только при абсолютном соприкосновении стекол, но также и там, где они разделялись малым промежутком» *).
Небольшой комментарий, по-видимому, необходим. Ньютон экспериментировал с двумя стеклянными призмами, сложенными вместе гипотенузными гранями. Поскольку он наблюдал интерференционные кольца, грани призм были не плоские, а слегка выпуклые (вряд ли Ньютон имел в своем распоряжении такие призмы, которые может достать любой из вас!). Слово «отлого» означает: при малом угле между направлением наблюдения и гипотенузными гранями сложенных призм.
§ 29. ОПЫТ МАНДЕЛЬШТАМА
Л. И. Мандельштам — выдающийся советский ученый, в равной степени тонко чувствовавший физику и как теоретик, и как экспериментатор,— еще в 1914 году поставил изящный опыт, показывающий, что при полном отражении свет на небольшую глубину проникает из оптически более плотной в оптически менее плотную среду. Идея опыта изложена им следующим образом.
«Прежде чем описать самые опыты, я хотел бы остановиться на установке, которая далее применяется и которая одновременно может служить для доказательства существования поля, проникающего в менее плотную среду при полном внутреннем отражении. Я хочу, впрочем, сразу же заметить, что это поле уже неоднократно подвергалось экспериментальному исследованию.
Если заставить свет падать на поверхность раздела между стеклом и флюоресцирующей жидкостью в направлении стекло — жидкость и постепенно увеличивать угол падения, то, как только превзойден предельный угол,; флюоресцирующий конус исчезает. Однако если раствор
*) Ньютон И. Оптика,— М.; Л.: ГНТИ, 1927, с. 160.
не слишком слаб, то та часть поверхности раздела, на которую падает свет, продолжает светиться и тогда, когда предельный угол значительно превзойден. Это свечение указывает, очевидно, на существование искомого поля. Этот метод доказательства представляется мне особенно хорошим потому, что здесь — в соответствии с теорией — мы действительно имеем дело с двумя оптически однородными произвольно протяженными средами, граничащими между собой по плоскости»*).
Разработайте и поставьте упрощенный вариант опыта Мандельштама.
* * *
Прежде всего сделайте осветитель (можно использовать и готовый осветитель, имеющийся в любом школьном кабинете физики). В качестве линзы осветителя используйте, например, часовую лупу с двух-, трехкратным увеличением. Линзу закрепите резиновым колечком на деревянной рейке подходящей длины. На той же рейке также резиновым колечком укрепите лампочку карманного фонаря так, чтобы ее нить находилась на главной оптической оси линзы. Подсоедините лампочку к батарейке и перемещением ее вдоль рейки добейтесь, чтобы изображение нити получилось на расстоянии примерно 30 см от линзы. Оберните лампочку и линзу черной бумагой и скрепите бумагу липкой лентой так, чтобы получилась трубка, препятствующая распространению света от лампочки во все стороны. Простейший осветитель готов.
Наберите в стакан воды и понемногу растворяйте в ней хвойный концентрат (вместо него можно использовать флюоресцеин) до тех пор, пока зеленоватый вначале раствор не примет отчетливо выраженный желтый цвет.
На расположенный горизонтально листок черной бумаги 1 наложите стеклянную пластинку 2, нанесите на нее большую каплю 4 приготовленного вами раствора, рядом с каплей положите две (или одну) спички 3 и поставьте на них прямоугольную стеклянную призму 5 так, чтобы ги-потенузная грань ее коснулась капли (рис. 54). Возьмите в правую руку осветитель 6, расположите его возле глаза и направьте свет от него сквозь катетную грань призмы на каплю так, чтобы изображение нити лампочки находилось вблизи границы раздела стекло — жидкость.
В полной темноте вы увидите яркое зеленое свечение капли. Объясняется оно тем, что приготовленный вами
*) Мандельштам Л. И. Полное собрание трудов, Т. 1.— М,: Изд. АН СССР, 1948, с. 263-266.
раствор флюоресцирует под действием преломленного пучка белого света. Теперь постепенно поворачивайте осветитель так, чтобы увеличивался угол падения света на гипо-тенузную грань призмы. Глаз можно опускать вместе с
осветителем или оставить его неподвижным. В обо
их случаях вы заметите, что при достижении предельного для границы стекло — жидкость угла падения света интенсивность зеленого свечения жидкости скачком уменьшается, но свечение не исчезает совсем. Если вы и дальше будете увеличивать угол падения света, то раствор по-прежнему будет продолжать флюоресцировать, несмотря на то, что
Рис. 54. Схема упрощенного варианта опыта Л. И. Мандельштама
на границе стекло — жидкость происходит полное отражение света.
Это означает, что при полном отражении свет из оптически более плотной среды частично проникает на небольшую глубину в оптически менее плотную среду, вызывая флюоресценцию тонкого ее слоя (толщина этого слоя, как мы уже знаем, составляет доли длины световой волны).
Л. И. Мандельштам описал и второй вариант этого опыта. Световой пучок от осветителя нужно направить на гипотенузную грань призмы под углом, большим предельного, и закрепить осветитель неподвижно. Затем смотреть на область падения пучка, изменяя угол наблюдения наклоном головы. При любом угле наблюдения будет заметна слабая, но вполне отчетливая флюоресценция
раствора.
Во многих опытах с полным отражением света стеклянную призму можно заменить самодельной призмой из оргстекла (способ шлифовки и полировки оргстекла подробно рассмотрен ниже). Однако в только что разобранном эксперименте такая замена недопустима. Дело в том, что вряд ли вам удастся отполировать призму так, чтобы на ее гранях не осталось мельчайших царапинок (хотя это и возможно!). Но на царапинках гипотенузной грани призмы будет происходить рассеяние света, и опыт окажется неубедительным: можно будет предположить, что
флюоресценция жидкости при полном отражении обусловлена не проникновением света из оргстекла в жидкость, которое ожидается, а рассеянием его на царапинках.
§ 30. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ ИНФРАКРАСНЫХ ЛУЧЕЙ
По схеме, приведенной на рис. 55, соберите индикатор инфракрасного излучения.
Приемником излучения в этом приборе является фоторезистор 7?1 типа ФС—А1, сопротивление которого
Рис. 55. Принципиальная схема индикатора инфракрасного излучения.
Радиодетали: транзисторы VI, V2 типа МП39—МП42; фоторезистор JR1 типа ФС-Al; резисторы К2 = Н4 — 2,2 кОм, R3 = 470 кОм, Н5 = 200 кОм (подбирается), Н6 = 43 Ом; микроамперметр РА1 магнитоэлектрический с током полного отклонения 100—300 мкА; источник питания G1 —две последовательно соединенные батарейки карманного фонаря типа 3336Л на 4,5 В
зависит от интенсивности света так, что с увеличением интенсивности уменьшается. Максимум спектральной чувствительности фоторезистора типа ФС—А1 лежит в инфракрасной области и приходится на длину световой волны, равную примерно 2,2 мкм. На видимый свет (длины волн которого заключены в пределах от 0,4 до 0,8 мкм) этот фоторезистор реагирует слабо. На транзисторах VI и V2 выполнен простейший усилитель постоянного тока. Коллекторные переходы этих транзисторов совместно с резисторами 7?2 и 7?4 образуют мост. В одну диагональ моста включен микроамперметр РА1, на другую — подается напряжение от батареи G1. Переменный резистор 7?3 предназначен для балансировки моста.
Собрав прибор, проверьте его в работе. При первом включении вместо микроамперметра РА\. используйте ампервольтметр, включенный для измерения токов. Это
позволит избежать выхода измерительного прибора из строя, если при сборке схемы были допущены грубые ошибки. Поставьте предел измерения ампервольтметра 30 мА, перекройте фоторезистор листом черной бумаги, включите питание и вращением движка переменного резистора R3 добейтесь, чтобы стрелка прибора установилась папуле. Затем переключите предел измерения ампервольтметра сначала на 3 мА, а потом на 0,3 мА и при необходимости вновь установите стрелку прибора на нуль.
Если этого сделать не удается, а индикатор собран точно по схеме, измените значение резистора R5. Дело в том, что темновое сопротивление фоторезистора типа ФС—А1 может колебаться в значительных пределах от примерно 10 до 200 кОм. Баланс моста при прочих равных условиях будет иметь место в том случае, если сопротивления резисторов и R5 примерно равны (чтобы облегчить налаживание прибора, сопротивление резистора R3 на схеме указано достаточно большим; при правильном подборе -Я1 и R5 это сопротивление можно уменьшить до 50—30 кОм).
Закончив налаживание, вместо ампервольтметра включите в схему микроамперметр с пределом измерения 100—200 мкА (если его у вас нет, то вполне можно обойтись и ампервольтметром). Направьте на фоторезистор свет от лампы накаливания — стрелка прибора должна отклониться на тем больший угол, чем меньше расстояние между лампой и фоторезистором.
Чтобы убедиться, что изготовленный вами индикатор реагирует именно на инфракрасные лучи, вы можете использовать так называемый тепловой фильтр. Такой фильтр входит в комплект к школьному проекционному аппарату, им нередко бывает снабжена также бытовая проекционная аппаратура. Тепловой фильтр пропускает видимый свет и задерживает инфракрасные лучи. Поместив его перед фоторезистором, вы обнаружите, что ваш индикатор реагирует практически только на инфракрасное излучение.
Нетрудно также изготовить инфракрасный фильтр, задерживающий видимый свет и пропускающий инфракрасные лучи. Мы предпочитаем в качестве такого фильтра использовать предназначенные для фотоаппаратов и имеющиеся в свободной продаже поляризационные светофильтры (поляроиды) типа ПФ-36 или ПФ-32. Два поляроида нужно расположить рядом (удобно закрепить их в трубке подходящего диаметра или, сложив поляроиды
их оправами вместе, обмотать оправы слоем липкой ленты — при этом возможность вращения поляроидов в оправах сохранится). Если главные направления поляроидов параллельны между собой, то свет проходит сквозь поставленные друг за другом поляроиды. Повернув один из поляроидов на 90°, то есть установив главные направления поляроидов перпендикулярно друг другу, вы почти полностью устраните проходящий через них видимый свет. Однако инфракрасные лучи, непосредственно примыкающие к видимой части спектра, не поляризуются поляроидами н поэтому свободно проходят через два «скрещенных» поляроида. В этом вы без труда убедитесь, использовав свой индикатор инфракрасного излучения. При работе с поляроидами следует помнить, что они боятся перегрева и поэтому располагать их близко к лампе накаливания нельзя.
Возможны и другие инфракрасные фильтры, правда, на наш взгляд, менее удобные, чем два скрещенных поляроида. Например, можно попробовать покрыть стекло слоем битумного лака такой толщины, при которой будет обеспечено почти полное поглощение видимого света.
Теперь — задание: изготовив и проверив в работе индикатор инфракрасного излучения, исследуйте явление полного отражения света в инфракрасной области спектра.
* * *
Вы можете ограничиться экспериментальным подтверждением того, что инфракрасные лучи, как и видимый свет, при переходе из оптически более плотной в оптически менее плотную среду могут испытывать полное отражение. Для этого достаточно направить на прямоугольную стеклянную призму пучок света от лампы накаливания и с помощью индикатора инфракрасного излучения убедиться, что пучок испытывает полное отражение на гипоте-нузной грайи призмы.
Гораздо интереснее, впрочем, изучить проникновение инфракрасных лучей при полном отражении в оптически менее плотную среду. Мы уже знаем, что такое проникновение имеет место и глубина его составляет по порядку величины десятые доли длины волны света (§ 28). Поскольку инфракрасные лучи имеют большую длину волны, чем видимый свет, соответствующие опыты с ними должны быть более простыми.
Схема экспериментальной установки (вид сверху) представлена на рис. 56. Осветитель, состоящий из источника
света 5 и собирающей линзы 7, дает сходящийся световой пучок (можно использовать школьный осветитель; если вы не располагаете им, то сделайте осветитель сами, взяв автомобильную лампу на 6,3 В и линзу диаметром 3—5 см, фокусное расстояние которой составляет 8—10 см). Рядом
Рис. 56. Оптическая схема установки для изучения полного отра жения инфракрасных лучей
с линзой осветителя расположен инфракрасный фильтр 2 (два установленных друг за другом поляроида, один из которых может вращаться вокруг своей оси). Пучок света падает на сложенные гипотенузными гранями прямоугольные стеклянные призмы 3 от бинокля. Испытав от первой призмы полное отражение, пучок собирается в изображении 6' источника света, которое получается на белом экране 4. На втором белом экране 5 изображение источника света получается в случае, когда полного отражения нет. В этом экране прорезано круглое отверстие диаметром около 5 мм, вплотную к которому установлен фоторезистор 6 индикатора инфракрасного излучения. Расстояние между линзой осветителя и призмами надо выбрать в пределах 30—50 см; в этом случае экраны, на которых получаются изображения источника света, должны находиться на расстоянии 15—25 см от призм.
Перед опытом тщательно очистите гипотенузные грани подобранных призм. Световой пучок от осветителя направьте на призмы так, чтобы большей своей частью он проходил через призмы, а меньшей — распространялся над ними. Тогда вы получите большую часть изображения источника на экране 4 и меньшую часть — на экране 5 (если, разумеется, нить лампы в осветителе ориентирована вертикально). Слегка поверните призмы вокруг вертикаль
ной оси так, чтобы угол падения света на гипотенузную грань первой из них стал немного меньше предельного — тогда на экране 5 вы получите полное изображение источника света. Передвигая этот экран с укрепленным на нем фоторезистором, добейтесь, чтобы фоторезистор оказался в том месте, где получается изображение, созданное частью светового пучка, прошедшей через призмы. Верхняя часть изображения, образованная светом, прошедшим выше призм, нужна для контроля положения фоторезистора, если вам придется перемещать его в темноте.
Настроив описанным способом установку, медленно поворачивайте призмы до тех пор, пока свет не испытает полного отражения от воздушной прослойки между ними. Сразу исчезнет нижняя часть изображения источника на экране 5, и индикатор покажет отсутствие проходящего через систему инфракрасного пучка. Теперь давите большим и указательным пальцами на ребра прямых углов призм, прижимая призмы друг к другу так, чтобы толщина слоя воздуха между их гипотенузными гранями уменьшалась. Делайте это аккуратно, стараясь не повернуть призмы.
Если угол падения света на гипотенузную грань первой призмы лишь немного превышает предельный, на экране 5 (несмотря на полное отражение!) вы увидите появление слабого красного изображения нижней части источника света, и индикатор покажет, что через тонкий слой воздуха между призмами проходят инфракрасные лучи.
Если угол падения света существенно больше предельного, то при уменьшении толщины воздушного слоя красный свет на экране 5 не появляется, однако индикатор все равно показывает наличие инфракрасных лучей.
То, что это именно инфракрасные лучи, вы можете подтвердить еще раз, перекрыв видимый свет инфракрасным фильтром,— показания индикатора от этого не изменятся. Если рядом с инфракрасным вы поместите тепловой фильтр, индикатор сразу покажет отсутствие инфракрасного излучения.
Итак, из опыта следует, что, во-первых, при полном отражении свет проникает во вторую среду, оптически менее плотную, чем первая; во-вторых, это проникновение происходит на тем большую глубину, чем больше длина волны света; в-третьих, опыт показывает, что если две одинаковые среды разделены тонкой прослойкой оптически менее плотной среды, то при полном отражении свет
в состоянии преодолеть эту прослойку (так называемый туннельный эффект).
Изученные вами явления чрезвычайно интересны и имеют важное научное и практическое значение. Мы, однако, не будем заниматься несвойственным нам делом, пытаясь подробно разъяснить сказанное. Здесь достаточно отметить, что решающий вклад в объяснение этих явлений внес русский ученый А. А. Эйхенвальд. В 1908 году он опубликовал статью «О движении энергии при полном внутреннем отражении света» *), в которой проанализировал явление полного отражения света в рамках электромагнитной теории. Построенная Эйхенвальдом теория показывает, что при полном отражении электромагнитная волна частично проникает в оптически менее плотную среду, причем глубина проникновения сравнима с длиной волны и зависит от угла падения света и показателей преломления граничащих сред. При этом вдоль границы раздела сред рас
пространяется своеобразная поперечно-продольная электромагнитная волна. Оказывается также, что падающая на границу раздела сред волна при полном отражении частично «ныряет» в оптически менее плотную среду и, пройдя вдоль границы раздела сред путь длиной порядка половины длины волны, «выныривает» обратно в оптически более плотную среду (рис. 57).
Таким образом, поставив описанный выше опыт, вы экспериментально подтвердили существенную часть выводов теории. Подумать о практическом применении рассмотренных здесь явлений мы предоставляем вам самостоятельно.
Рис. 57. Распространение волны при полном отражении света
*) Эйхенвальд А. А. Избранные работы.— М.: Гостекиздат, 1956, с. 121-146.
Глава 2
ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
Полистав несколько следующих страниц, иной читатель может упрекнуть автора за то, что в популярной книге он пишет интегралы. Автор, конечно, смущен, но не испытывает особых угрызений совести: да, вторая глава в теоретическом плане существенно сложнее первой, но зато какие изумительные явления в ней рассматриваются! Хотите с ними познакомиться поближе — нужно немного поработать, и не только руками, но и головой. Впрочем, было бы ошибкой дополнительно пугать вас: все эти «страшные» формулы в общем-то вполне элементарны, и если не сейчас, то через год-другой, когда вы немного подучитесь в институте, станут вам близки и понятны. Тем же из вас, кто испытывает отвращение к любым формулам (не надо слишком стыдиться этого — Фарадей их тоже не очень жаловал), советуем читать главу с конца: опыты, описанные в ней, по-прежнему вполне доступны и, если не гнаться за изготовлением относительно сложных установок, все без исключения могут быть поставлены даже в домашних условиях.
В отличие от первой главы, каждый параграф второй снабжен разделом «Для самостоятельной проработки». В этих разделах собран материал, разъясняющий и дополняющий содержание соответствующего параграфа, а также даны ссылки на некоторые литературные источники. Думается, указанные разделы будут способствовать совершенствованию навыков самостоятельной работы и расширят ваш кругозор.
Теперь несколько слов конкретно о том, чем мы будем заниматься. До сих пор речь шла о явлении полного отражения света на плоской границе раздела двух оптически однородных сред. В таких средах, как мы хорошо это знаем, свет распространяется прямолинейно. Если среда оптически неоднородна, то есть такова, что показатель преломления ее непрерывно изменяется от точки к точке, то свет в этой среде распространяется, вообще говоря, криволинейно. Оптика неоднородных сред — это достаточно 82
обширная и совсем не простая область физики, которая имеет важное научно-практическое значение и в настоящее время интенсивно развивается. Из этой области мы выбрали одно-единственное явление — полное отражение света — и рассматриваем его в самом простом случае, когда показатель преломления среды изменяется только в одном направлении. Такие среды получили название слоисто-неоднородных *), и именно с ними мы будем работать.
Впрочем, один из экспериментов по полному отражению света в слоисто-неоднородной среде вами уже поставлен (см. гл. 1, § 13). Вы, конечно, помните, что оптически неоднородная среда в этом опыте была получена путем неравномерного нагрева воды. Возможны и другие способы создания оптически неоднородных сред, например, основанные на использовании явления диффузии: если две смешивающиеся жидкости разной оптической плотности привести в соприкосновение, то за счет диффузии между ними постепенно образуется переходный слой, показатель преломления в котором непрерывно изменяется. Однако этот способ только выглядит простым, а на самом деле требует немалого времени, труда и тщательности. Самое обидное, однако, заключается в том, что готовить оптически неоднородную жидкость методом диффузии для каждого опыта придется заново.
К счастью, всем вам доступно оргстекло — прозрачный материал, показатель преломления которого довольно сильно зависит от температуры. К тому же, оргстекло легко обрабатывается, шлифуется и полируется, так что из него без особого труда можно изготовить практически любые нужные для опытов образцы. Наконец, если оргстекло не перегревать выше 100 °C, то оно после охлаждения до комнатной температуры восстанавливает свои первоначальные оптические свойства, поэтому один и тот же образец оргстекла можно использовать в опытах многократно. Все это в совокупности позволяет ориентироваться на неравномерно нагретое оргстекло, как на основную
*) Строго говоря, слоисто-неоднородными называют такие оптически неоднородные среды, в которых равные значения показателя преломления образуют слои. Если эти слои плоскопараллельны, то есть если показатель преломления среды зависит только от одной координаты декартовой системы, то среду называют плоскослоистой. Значит, фактически мы будем рассматривать здесь плоскослоистые среды. Но этот термин, на наш взгляд, не совсем подходит для учебных целей, и, поскольку путаницы не может возникнуть, в дальнейшем мы его не используем.
слоисто-неоднородную среду для простых опытов по полному отражению света.
Пожалуй, то, что нужно, уже сказано и пора приступать к делу. Автор еще раз просит не бояться трудностей; при должной настойчивости они вполне преодолимы.
§ 1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА
В СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ
Представим себе оптически неоднородную среду, показатель преломления п которой является функцией только одной координаты у:
п = п(у).
(1.1)
Такая среда, как уже отмечалось, называется слоисто-неоднородной, и примерами ее могут служить земная атмосфера, показатель преломления которой в нормальных условиях уменьшается с высотой, брусок из оргстекла, соприкасающийся одной из своих граней с плоским нагревателем, и т. д. Выясним, как распространяется свет в подобной среде.
Пусть в точке 5(0, ?/i) среды находится точечный источник света, испускающий лучи по всевозможным направлениям (рис. 58). Выберем из расходящегося пучка произвольный луч, идущий
под угломф1<л/2к оси?/ (этот
Рис. 58. К выводу уравнения Угол будем называть углом траектории светового луча в входа луча в слоисто-неодно-слопсто-неоднородной среде родную среду), и найдем траекторию выбранного луча. Разобьем оптически неоднородную среду на плоскопараллельные слои, перпендикулярные оси у и настолько топкие, что в пределах каждого слоя показатель преломления можно считать постоянным. Тогда допустимо представление, что внутри каждого из слоев свет движется прямолинейно, а па границах между соседними слоями преломляется так, что траектория светового луча представляет собой ломаную линию. Согласно закону прелом
ления
sin ср'   пп sin ср" _ __ n"z
sin ср"	п' ? sin (pw п" ’ * * * ’
или
п'sin ф' = //"sin ф" = //"sin ф'" = ...
Мы видим, что хотя показатель преломления и угол падения от слоя к слою изменяются, но их произведение остается постоянным.
Если теперь толщины всех слоев устремить к нулю, то в пределе вместо ломаной мы получим криволинейную траекторию светового луча. Очевидно, что в этом случае произведение показателя преломления п(у) на синус угла Ф между траекторией луча и направлением, параллельным оси г/, во всех точках траектории остается неизменным:
zz(?/)sin ф = т,	(1.2)
где т — некоторая постоянная. Физический смысл постоянной т достаточно прост: это значение показателя преломления в той плоскости среды (если, конечно, для данного луча она существует), в точках которой sin ф = 1, то есть там, где световой луч направлен перпендикулярно оси у.
Для произвольной точки А траектории (рис. 58) можно написать
tg ф = —dx!dy*	(1.3)
Поскольку tgф " ---, из формул (1.3) и (1.2) ]/1 — sin2 ф следует, что dx ___________________	т
^У	— m2
Интегрирование этого дифференциального уравнения дает
dy
Vп* (у) —
(1.5)
Мы получили общее уравнение траектории светового луча в слоисто-неоднородной среде. Как и следовало ожидать, чтобы определить конкретный вид траектории, необходимо знать, по какому именно закону (1 Л) изменяется показатель преломления среды. Тогда, подставив в формулу (1.5) конкретную зависимость п = п{у), можно попытаться вычислить интеграл и записать уравнение траектории луча в явном виде у = у(х). Однако кое-что о распространении света в слоисто-неоднородной среде можно выяснить и без этого. Нетрудно, например, определить,
в какую сторону изгибается световой луч и вычислить радиус кривизны его траектории. Попробуйте сделать это самостоятельно.
* * *
Чтобы узнать, в какую сторону изгибается световой луч при распространении в слоисто-неоднородной среде, выясним, в какую сторону выпукла траектория этого луча. Из курса математического анализа известно, что функция у = у(х) выпукла вниз, если вторая производная ее (Pyldx2, > 0, и выпукла вверх, если d2yldx2 0. Производя дифференцирование по х производной dy/dx, выраженной из формулы (1.4), имеем
d2y __	1 2п (у) dn dy
dx2	2т yf п2 _ т2 dy dx
Исключая из последней формулы dytdx, получаем
d2y _ п(у) dn	.
dx2 т2 dy	\ * /
Производная dnldy имеет простой физический смысл: это быстрота или скорость изменения показателя преломления среды в направлении оси у, то есть градиент показателя преломления dnldy = grad п.
Поскольку отношение п(у)!т2	0, то выпуклость или
вогнутость траектории луча определяется знаком градиента показателя преломления. Если dnldy > 0, то траектория распространения света выпукла вниз, если dnldy 0, то она выпукла вверх. Но при dnldy 0 показатель преломления среды увеличивается с ростом координаты ?/, поэтому можно сделать вывод, что траектория светового луча всегда выпукла в сторону уменьшающихся значений показателя преломления. Иными словами, при распространении в слоисто-неоднородной среде световой луч изгибается, отклоняясь в сторону увеличивающихся значений показателя преломления. Это схематически показывает рис. 59, на котором увеличивающаяся оптическая плотность среды условно обозначена возрастанием «плотности» точек.
Найдем теперь радиус кривизны светового луча. Если траектория луча описывается функцией у = у(х), то, как известно, радиус кривизны ее
В _ [1 + (dy/dx)2]^2	7
d2yjdx2 ’	'
Нам не известна функция у — у(х), но зато мы знаем выражения для ее производных dy/dx (см. (1.4)) и cPyldx2 (см. (1.6)). Подставляя эти выражения в формулу (1.7), получаем
т dn/dy
Вспоминая, что т = /г sin ф (см. (1.2)), можно сделать вы-
вод, что искомый радиус кривизны траектории луча
R — .	(1.8)
sm y-dnidy	v '
Напомним, что ф — это угол между лучом и направлением, параллельным оси ?/втой точке траектории, в которой определяется радиус кривизны. Пользуясь выведенной формулой, можно вычислить минимальный радиус кривизны траектории луча, значение которого получим, положив sin ф = 1:
Рис. 59. Если оптическая плотность слоисто-иеодпород-ной среды монотонно увеличивается снизу вверх, то световые лучи, выходящие из точечного источника по разным направлениям, изгибаются вверх
Таким образом, наибольшее искривление светового луча наблюдается, когда sin ф ~ 1 или ф — л/2, то есть в той точке, где направление распространения света перпендикулярно оси у. Иными словами, искривление максимально в той точке траектории, в которой луч перпендикулярен направлению градиента показателя преломления среды. Этому максимальному искривлению соответствует минимальный радиус кривизны, который равен отношению показателя преломления среды к градиенту показателя преломления.
В оптически однородной среде градиент показателя преломления равен нулю, а радиус кривизны траектории луча — бесконечности. Значит, в такой среде свет распространяется прямолинейно. При падении па границу раздела двух оптически однородных сред свет в общем случае частично отражается, скачком изменяя направление своего распространения. Согласно формуле (1.9) это объясняется тем, что на границе раздела сред градиент
показателя преломления равен бесконечности и радиус кривизны луча в точке падения, следовательно, равен нулю.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Криволинейное распространение света в слоисто-неоднородной среде самыми элементарными средствами можно объяснить в рамках волновой теории света. Мысленно направьте параллельный световой пучок перпендикулярно направлению, в котором изменяется показатель преломления среды. Поскольку принадлежащие пучку лучи проходят через точки среды с разными значениями показателя преломления, скорость световых волн, соответствующих указанным лучам, будет различной. Учитывая это, рассмотрите положения волновой поверхности взятого пучка для двух разных моментов времени. Сделайте окончательный вывод об искривлении пучка, пользуясь тем, что световые лучи нормальны волновым поверхностям.
2.	Радиус кривизны искривленного слоисто-неоднородной средой пучка света в точке, в которой пучок перпендикулярен градиенту показателя преломления, также нетрудно определить, если расчет проводить, опираясь на основные положения волновой теории света. Попробуйте сделать это, и у вас получится формула (1.9).
3.	Поль Р. В. Оптика и атомная физика.— М.: Наука, 1966, с. 300-303.
Пользуясь этой книгой, вы сможете выполнить два предыдущих задания, если не справились с ними без посторонней помощи.
4.	Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах.— М.: Наука, 1973.
В этой книге известного советского ученого дано, как он сам пишет в предисловии, «систематическое изложение теории распространения упругих и электромагнитных волн в слоистых средах». Книга не проста и вряд ли окажется доступной каждому из вас. Тем не менее знать, что она существует, вы должны. Автор будет польщен, если среди его читателей найдутся такие, которые настолько заинтересуются оптикой неоднородных сред, что им потребуется книга Л. М. Бреховских.
§ 2. РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В СРЕДЕ
С ПОСТОЯННЫМ ГРАДИЕНТОМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Сколь бы сложна зависимость показателя преломления п среды от координаты у ни была (1.1), в первом приближении для ограниченной области ее всегда можно считать линейной:
п = /?о+А:г/,	(2.1)
где ло — значение показателя преломления в точках среды с координатами у = 0, k = dnldy — постоянный градиент показателя преломления. Найдите аналитическое выражение для траектории светового луча в среде, показатель преломления которой изменяется по закону (2.1). Постройте график найденной вами функции.
* * *
В формуле (1.5) произведем замену переменной, перейдя от у к п:
у	п
dy	т С dn
х = — т\ 	=-----тг \ —.......- ,
J 1Лп2 (у) — т2 к J п2 {у) — т2
,	1/1	Hi v
где п[ — показатель преломления среды в точках с координатами г/1: Л21 = по + Если воспользоваться подстановкой п = meh 2, то нетрудно убедиться, что первообразная последнего интеграла равна гиперболическому ареако-синусу. Поэтому
т 1 п |п	т /	, п	, Mi \
х =----— arch —	=-----— (arch-----arch---- .
k	m l^i	к \ m	mJ
Отсюда
arch =------— x + arch .
m	m	m
Взяв от обеих частей этой формулы гиперболический косинус, получаем
п — т ch (--— х + arch —-).
\ т 1 т /
Учитывая закон (2.1) и принимая во внимание четность гиперболического косинуса, перепишем предыдущую формулу в виде
2/==--T- + T-ch(4;,:-arch^-)-	<2-2)
Полученное уравнение в явном виде описывает траекторию распространения света в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления.
Функция (2.2) является гиперболическим косинусом. Чтобы примерно построить ее график, найдем координаты минимума этой функции. Дифференцируя функцию (2.2) по координате х, получаем
_^- = sh(—ж-arch-^k	(2.3)
dx	\ т	т /	'
Приравняв эту производную к нулю, обнаруживаем, что указанное равенство будет выполняться, если
х — arch = 0. т	т
Отсюда абсцисса минимума (на графике будем обозначать
ражение траектории распространения света в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления
его точкой М) хм= ~тг arch . (2.4) /с	т '	'
Подставив это значение абсциссы в уравнение (2.2), найдем ординату той же точки М:
Ум —-----1---•
Гиперболический косинус симметричен относительно вертикальной оси, проходящей через точку минимумам. Поскольку точка 5(0, ух) принадлежит графику функции (2.2), сле-
довательно, ему принадлежит и точка Af(xi, yi), где
= 2хм- Построив в декартовой системе координат точки 5, М и N, вы сумеете приближенно нарисовать график функции (2.2), как это показано на рис. 60.
Рис. 61. Преобразования графика гиперболического косинуса
Можно действовать и иначе. Гиперболический косинус
i	е "Г е
y = chx =-----£----
(2-6)
имеет график, обозначенный на рис. 61 цифрой 1. Функция (2.2) может быть переписана в виде
+ <2-’>
Чтобы из графика функции (2.6) «изготовить» график функции (2.7), нужно график (2.6) «умножить» на т/к\ полученную кривую 2 «растянуть» по направлению оси х в т!к раз; получившийся график 3 сместить вниз на величину njk'i и, наконец, график 4 перенести вправо на величину arch . В результате получится график 5, который и требовалось построить.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Егерев В. К., Радунский Б. А., Тальский Д. А. Методика построения графиков функций.— М.: Высшая школа, 1967, с. 79, 80.
«Подсовывая» в качестве эксперимента свою рукопись студентам, автор с изумлением обнаружил, что никакие сведения из математического анализа, используемые в ней, не вызывают таких затруднений, как элементарный метод построения графиков функций. Рекомендуемая книга позволит вам освежить свои знания в этой области.
2.	Среда с линейной зависимостью квадрата показателя преломления от координаты чаще анализируется в литературе, чем рассмотренная нами. Докажите, что в слоисто-неоднородной среде с таким законом распределения показателя преломления траектории распространения света представляют собой параболы.
3.	Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред.— М.: Наука, 1980, с. 126—140.
Эта книга поможет вам выполнить предыдущее задание и к тому же познакомит с современным состоянием теории интересующих нас вопросов.
§ 3. МОДЕЛИРОВАНИЕ СВЕТОВОГО ЛУЧА ЦЕПНОЙ ЛИНИЕЙ
Несколько отвлечемся от оптики и вспомним статику. Представим себе гибкую однородную нерастяжимую и тяжелую нить, концы которой закреплены в точках А и В, расположенных на горизонтальной прямой. Если длина нити больше расстояния А5, нить провиснет. Найдем уравнение, описывающее положение провисшей нити.
Для этого обозначим массу единицы длины нити через р. Сила тяжести, действующая на элемент длиной d]t нити,
P = pgdl,	(3.1)
где g — ускорение свободного падения. Поскольку нить находится в равновесии, сумма сил, действующих на лю-
бой ее элемент dl, равна нулю (рис. 62):
р + г + (F + dF) =
-df	= О,
где F и F 4- dF — силы натяжения нити. Переходя от векторного уравнения к уравнениям в проекциях, получаем
Q	*	— Fx +(Fx-\-dFx) = Q,
Рис. 62. К выводу уравнения прови- Ру 4" (Ру + dFy) сающей нити	__р — ()
Отсюда dFx = 0 (то есть Fx = const) и dFy = Р. Из рисунка видно, что dyldx = tga = Fy/Fx. Дифференцируя эту формулу по х и учитывая, что Fx = const, a dFy = pgdl, получаем
d2y	_ 1	dPv ___ pg	dl
dx2 Fx	dx	Fx	dx	*
Так как dl = У dx2 + dy2 или dl/dx = У1 + (dy/dx)2, to обозначив FJpg = а, получаем дифференциальное уравнение
+	(3-2)
Проинтегрировать уравнение можно, воспользовавшись подстановкой dy/dx = sh z. Тогда d2y/dx2 = ch z*dz/dx.
Принимая во внимание, что 1 + sh2 х = ch2 ж, уравне-ние (3.2) приводим к виду a dz/dx = 1. Отсюда z = ~ х Ci, dy/dx = sh x + Cij . Поэтому окончательно получаем
t/=ach(-J-4-Ci) + C2.	(3.3)
Чтобы определить постоянные интегрирования Ci и С2, нужно использовать какие-нибудь начальные условия. Делать этого мы не станем по той простой причине, что главный результат нами уже получен»
Действительно, сравнение формул (3.3) и (2.2) показывает, что кривая, по которой провисает нить, описывается тем же самым уравнением, что и траектория распространения света в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления. Это позволяет использовать провисшую нить в качестве физической модели траектории светового луча. Попробуйте изготовить такую модель.
* * *
Казалось бы, все просто: нужно взять, например, деревянную рейку, расположить ее горизонтально и привязать к рейке концы нити так, чтобы расстояние между точками крепления оказалось меньше длины нити. Однако если вы попробуете сделать это, воспользовавшись обычной швейной ниткой, то скорее всего, ничего хорошего не выйдет: нить, конечно, провиснет, но кривая будет мало походить на гиперболический косинус. Вы можете попробовать заменить нить веревкой, проволокой, резиновой трубкой и т. п.— все равно результат будет малоудовлетворительным, поскольку вместо плавной кривой вы получите кривую со множеством перегибов.
Поэкспериментировав, вскоре вы догадаетесь, что неудача объясняется чрезмерной легкостью обычной нити. Стоит нить намочить в воде, как она станет провисать нужным образом. Но намокшая нить — не совсем подходящая модель светового луча, во-первых, потому, что с ней неудобно работать, а во-вторых, потому, что она неоднородна по плотности (под действием силы тяжести вода стекает по нити вниз и, собираясь в ее нижней части, искажает картину провисания).
Таким образом, простые опыты убеждают вас в том, что нить действительно должна быть тяжелой, однородной, гибкой и нерастяжимой. Теперь уже нетрудно сообразить, что в качестве такой нити лучше всего использовать цепочку. К слову сказать, именно поэтому график гиперболического косинуса получил название цепной линии.
Подходящую цепочку вы без особых трудностей сможете сделать самостоятельно. Для этого нужно виток к витку навернуть медную проволоку на цилиндрический стержень диаметром 3—4 мм, затем разрезать получившуюся спираль на отдельные кольца и, наконец, из колец собрать цепочку. Практика, однако, показывает, что для моделирования световых лучей в слоисто-неоднородной среде наилучшим образом подходят тонкие цепочки
женских украшений. На рис. 63 щ иведэна фотография модели светового луча, изготовленной из такой цепочки
Рис. 63. Тонкая металлическая цепочка позволяет смоделировать световой луч в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления
(наибольший размер отдельного ее звена составляет около 2 мм).
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1. Янполъский А. Р. Гиперболические функции.— М.: Физмат-гиз, 1960.
В предлагаемой вашему вниманию книге собраны сведения о гиперболических функциях и их применениях при решении различных задач математики, геометрии, механики и физики. Книга окажется полезной тем из вас, кто решил ближе познакомиться с гиперболическими функциями.
§ 4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПУЧКА ЛУЧЕЙ ЦЕПНЫМИ ЛИНИЯМИ
Пусть в точке 5(0, yt) слоисто-неоднородной среды с постоянным градиентом показателя преломления находится источник света, испускающий лучи по всевозможным направлениям в пределах угла cpi от 0 до л/2. Мы хотим смоделировать пучок лучей цепными линиями. Чтобы решить эту задачу, выберем из пучка произвольный луч, выходящий из источника под углом фХ к оси у. и найдем длину I такой нити, чтобы при закреплении ее концов в точках 5(0, ?/i) и 7V(^i, yi) провисшая нить совпала с траекторией выбранного луча (см. рис. 60).
Запишем уравнение светового луча в среде с постоянным градиентом показателя преломления (2.2):
/V	К \ nV	ffV I
Подставив в это уравнение ординату у± точки 7V, найдем абсциссу Xi этой точки:
х, = ^- /arch	+	+ arch -^) = 2 arch
к \	т	т / к	т
(4.1)
[здесь использовано соотношение ni — nQ 4- kyi (см. (2.1))]. Длину дуги кривой у = у (х) между точками 8 и N, как известно, можно найти следующим образом:
I = §	4~ (dy/dx)2 dx.
о
Подставляя сюда значение производной dyldx из (2.3) и принимая во внимание, что 1 + sh2 z = ch2 z, получаем
I = 1/" 1 + sh2 (— x — arch —) dx —
Jr	\ m	mJ
о
— ch (— x — arch dx — shf— x — arch |X1=
J \ m	mJ к \ m	m J [o
= 2 4- sh arch .	(4.2)
к	m	x 7
Учитывая, что sh z = ch2 z — 1 и m = n± sin срДсм. (1.2)), из последней формулы получаем искомую длину дуги цепной линии между точками 8 и N:
‘ =	<4-3)
Теперь вы владеете всем необходимым, чтобы построить модель пучка лучей, распространяющихся в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления. Сделайте это.
* * *
Лист фанеры или толстого картона размером примерно 50x80 см обтяните черной тканью и установите его вертикально. Остро отточенным мелом начертите на ткани
горизонтальную и вертикальную прямые. В точку пересечения их вбейте небольшой гвоздик без шляпки. Эта точка будет моделировать источник света, поэтому для определенности обозначим ее 5. От вертикальной прямой постройте углы q?i с вершинами в точке S. Значения углов <рь если вы не ставите какой-нибудь специальной задачи, могут быть произвольными, например, 80°, 70°, 60Q и т. д. Переписав формулу (4.3) в виде
I — Z0cosq)i,	(4.4)
выберите длину цепочки Zo, соответствующую нулевому углу входа света в слоисто-неоднородную среду. Для каждого из выбранных вами углов фх по формуле (4.4) рассчитайте соответствующую длину цепочки Z. На вбитый в точку S гвоздик наденьте концы цепочек нужных длин и, взяв свободный конец любой цепочки в руку, перемещайте его по горизонтальной прямой до тех пор, пока касательная к цепочке в точке S не совпадет со стороной соответствующего длине взятой цепочки угла. Булавкой прикрепите к ткани на горизонтальной прямой тот конец цепочки, нужное положение которого вы нашли. Проделайте описанную операцию со всеми оставшимися цепочками, и у вас получится модель пучка лучей, выходящих из точки S.
Вполне возможно, что точность построенной модели не совсем, удовлетворит вас, так как на глаз трудно определить, совпадает ли сторона угла с касательной к цепной линии или нет. В таком случае нужно рассчитать координаты концов цепочек разных длин на горизонтальной прямой.
Из формулы (4.2) следует, что
sh arch	I или arch = arsh I.
т 2т	т	2т
Подстановка этого выражения в формулу (4.1) дает
%! = 2 arsh I. к 2т
Поскольку Z = lQ cos фх (см. (4.4)), причем Zo = 2ivjk (см. (4.3)), а т = nisin фх (см. (2.2)), из последней формулы получаем
= Zo sin фх-arsh ctg фх.	(4.5)
Микрокалькулятор позволяет в течение нескольких минут по формулам (4.4) и (4.5) вычислить для каждого угла Ф1 длину цепочки и координату точки закрепления вто-96
Таблица 1
<h, град	С мм	х,, мм	Ф1, град	мм	мм
0	800	0	40	610	520
10	790	340	50	510	470
20	750	480	60	400	380
30	690	530	70	270	260
рого ее конца. Результаты такого расчета для Zo = 800 мм сведены в табл. 1.
На рис. 64 представлена фотография описанной модели, которая показывает, что любые два луча, выходящие из одной точки S под разными, но достаточно большими углами cpi и cpi, при распространении в слоисто-неодноподной
Рис. 64. Модель пучка лучей, распространяющихся в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления среде с постоянным градиентом показателя преломления нигде больше, кроме точки S, не пересекаются. Заметим, что аналитически получить этот результат отнюдь не просто, что лишний раз подчеркивает возможности физического моделирования. Ход лучей, подобный смоделированному, нередко имеет место в реальных условиях при возникновении миража. Мысленно поместите свой глаз на пути одного из лучей так, чтобы свет входил в его зрачок.
Рис. 65. Модель пучка лучей: а — при больших углах входа б, в — при уменьшении угла входа наблюдаются пересечения лучей; идет по тому же направлению, в котором он падал
Тогда источник света вы увидите по направлению касательной к лучу в точке пересечения его со зрачком, то есть смещенным относительно истинного положения.
На рис. 65 представлена последовательная серия фотографий модели светового пучка, в котором постепенно
в, слоисто-неоднородную среду световые лучи не пересекаются; г — при нулевом угле входа световой луч отражается обратно и
уменьшается угол входа лучей в слоисто-неоднородную среду. Эта серия показывает, что при достаточно малом угле входа данный световой луч обязательно пересечет такой луч, который имеет больший угол входа (рис. 65, бу в). Если вы поместите свой глаз в точку пересечения
двух лучей и будете смотреть в направлении, противоположном направлению распространения света, то вместо одного источника увидите два, смещенные относительно реального положения источника.
Особый интерес представляет модель, фотография которой приведена на рис. 65, г. Здесь вы видите, что если угол входа света в слоисто-неоднородную среду равен нулю, то свет, углубившись в эту среду, полностью отражается от определенной ее точки и возвращается назад. Эта ситуация требует небольшого анализа. Из формулы (4.3) следует, что при (pi = 0 луч света до точки отражения пройдет расстояние Z/2 = njk. Координата точки, до которой дойдет свет, очевидно, равна у — yi — щ_!к. Поскольку показатель преломления среды изменяется по закону (2.1): п — п0 + ку, то его значение в точке отражения составляет п — nQ + к(ух — ni/k) =	+ kyi — Но
— это значение показателя преломления в точках с координатами то есть Mi = ио + ку±. Поэтому показатель преломления среды в точке отражения луча п = 0. Таким образом, изображенный на рис. 65, г ход лучей будет иметь место в среде, показатель преломления которой изменяется от нуля по линейному закону (2.1).
Свыкшемуся с элементарной оптикой кажется, что таких экзотических сред нет, а значит, проделанные рассуждения представляют собой бесполезную игру в формулы. Однако, если мы отвлечемся от чистой оптики и обратимся к родственным явлениям распространения радиоволн, то легко убедимся не только в познавательной, но и в практической важности полученных результатов. Действительно, если электромагнитная волна распространяется в ионизованном газе, то в первом приближении показатель преломления такой среды
и =1/1--^-,	(4.6)
где е — заряд, т — масса электрона, N — концентрация свободных электронов (число электронов в единице объема), 80 — электрическая постоянная, со — круговая частота волны. Из этой формулы следует, что показатель преломления ионизованного газа сильно зависит от частоты электромагнитной волны и при некотором значении частоты может обратиться в нуль.
В земной атмосфере плотность воздуха с ростом высоты уменьшается и это приводит к непрерывному уменьшению показателя преломления. Если бы атмосфера просто пе
реходила в вакуум, то показатель преломления ее уменьшался бы до единицы. На самом деле в верхних слоях атмосфера ионизована, причем концентрация свободных электронов в ней с увеличением высоты растет, достигает максимума и затем уменьшается. Ясно поэтому, что для электромагнитных волн определенной частоты земная атмосфера представляет собой слоисто-неоднородную среду, показатель преломления которой непрерывно уменьшается от значения, несколько большего единицы, до нуля. В такой среде электромагнитная волна распространяется криволинейно, и если угол входа ее в эту среду равен нулю, то, углубившись в нее на определенную величину, волна полностью отражается и возвращается в обратном направлении по тому же пути, по которому падала. Все это имеет громадное значение, например, для радиосвязи на коротких и ультракоротких волнах. Таким образом, фотография, представленная на рис. 65, а, если ее перевернуть, может служить упрощенной моделью распространения радиоволн в земной атмосфере.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Геометрическая или лучевая оптика перестает работать в случае, с которым мы соприкоснулись в конце этого параграфа. В самом деле, при стремлении показателя преломления среды к нулю скорость, а следовательно, и длина световой волны стремятся к бесконечности. Но о лучах света можно говорить лишь в том случае, если длина волны пренебрежимо мала. Попробуйте показать, что условием применимости геометрической оптики для оптически неоднородных сред является малость длины световой волны по сравнению с радиусом кривизны луча.
2.	Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн.— М.: Высшая школа, 1974, с. 385—390 и 395—423.
По этой книге вы сможете познакомиться с некоторыми свойствами ионосферы и особенностями распространения радиоволн в атмосфере. Кроме того, здесь имеется элементарный вывод формулы для радиуса кривизны луча и рассмотрено условие применимости геометрической оптики.
3.	Виноградова М. Б., Руденко О. В., Сухоруков А, П, Теория волн.— М.: Наука, 1979, с. 225—237.
Здесь рассмотрены некоторые вопросы геометрической оптики слоисто-неоднородных сред.
4.	Физика океана / Под ред. Ю. П. Доронина.—Л.: Гидро-метеоиздат, 1978, с. 271—277.
Не следует думать, что изучаемые нами явления относятся только к оптике: они характерны для всех волн, независимо от их природы. Рекомендуемая книга позволит вам разобраться в том, как распространяется звук в морской слоисто-неоднородной среде.
§ 5. ОБРАЗЕЦ ОРГСТЕКЛА С ПОСТОЯННЫМ ГРАДИЕНТОМ ПОКАЗАТЕЛЯ ПРЕЛОМЛЕНИЯ
Не пустым ли делом мы занимаемся? Выше получено уравнение светового луча в слоисто-неоднородной среде с постоянным градиентом показателя преломления (2.2), сама траектория распространения света достаточно подробно исследована и даже смоделирована, а существуют ли вообще такие среды? Лучше спросить себя так: можно ли создать среду, в которой зависимость показателя преломления от координаты выражается законом п = п0 + ку (см. (2.1))? Чтобы ответить на поставленный вопрос, нужно рассмотреть какой-нибудь конкретный пример. Конечно, в первую очередь нас интересует неравномерно нагретое оргстекло, поскольку именно оно наиболее пригодно для постановки простых опытов по криволинейному распространению света.
Известно, что в интервале температур от 20 до 60°С зависимость показателя преломления оргстекла (полиметилметакрилата) от температуры линейна:
п = п + а(Г - Г'),	(5.1)
где а = —16-10“5 К’1 и п — 1,492 при температуре Т' — 20 °C. Разумеется, приведенные значения а и п нужно расценивать в качестве ориентировочных, поскольку промышленность в настоящее время выпускает разные сорта оргстекла. Докажите, что при обеспечении определенного теплового режима из оргстекла можно получить среду с постоянным градиентом показателя преломления. Оцените возможность создания соответствующей экспериментальной установки.
* ❖ *
Представим себе, что из оргстекла вырезан плоскопараллельный брусок, толщина которого h существенно меньше его шириныи длины. Положим, что нижняя и верхняя грани бруска поддерживаются при постоянных температурах, соответственно равных Т' и Т", причем Т'
Т” (рис. 66). Тогда от нижней к верхней грани бруска за счет теплопроводности оргстекла будет распространяться тепло. При достижении стационарного состояния системы поток тепла Q станет постоянным. Если считать, что теплопроводность % не зависит от температуры Г, то 102
согласно закону Фурье
Q = —X dTIdy = const.	(5.2)
Отсюда следует, что градиент температуры dTIdy в направлении оси у есть величина постоянная, Обозначив ее А£ получаем dTIdy = А. Ре- у шение этого дифференци- '
ального уравнения дает
Т = Ау + В. (5.3) Постоянные А и В можно определить из условий, что при у = 0 температура оргстекла Т == Г', а при у = h температура Т = Т". Тогда Т' = В и Т" = — Ah + В\ отсюда А = — (у" — T')lh. Подставляя найденные значения А и

T,f / На^евагпе/1Б ,^>'	;
Рис. 66. Между нагревателем и холодильником расположен плоскопараллельный брусок из оргстекла
В в формулу (5.3)2 получаем
h
О
гр п гр!
Т=т h -т- У + т'.	(5.4)
Из формул (5.1) и (5.4) следует, что
rpi _ грп
n==n—а--------й---у.	(5.5)
Это выражение совпадает с формулой п = n0 + ку (см. (2.1)), если положить, что п' = nQ и —а(Т' — T”)1h = к. Таким образом, создав надлежащим способом стационарный тепловой режим в плоскопараллельном бруске оргстекла, действительно можно получить слоисто-неоднородную среду с постоянным градиентом показателя преломления
к = dnldy = -а(Г - T”)lh. (5.6)
На рис. 67 приведены графики распределения температуры и показателя преломления в таком бруске.
Итак, мы делаем вывод, что условия, для которых сйраведлива рассмотренная выше теория, вполне могут быть реализованы в соответствующем эксперименте. Очевидно, экспериментальная установка для его проведения должна состоять из нагревателя и холодильника, между которыми расположен относительно тонкий плоскопараллельный брусок из оргстекла. Температуры нагревателя и холодильника нужно поддерживать постоянными не
только во время непосредственного проведения эксперимента, но и в течение всего того времени до опыта, пока в бруске не установится стационарный тепловой режим. Следовательно, необходимы хотя бы самые простые тер-мостатирующие устройства. Наиболее доступный вариант
Рис. 67. В плоскопараллельном бруске из оргстекла, находящемся между нагревателем и холодильником, создан стационарный тепловой режим: а — график распределения температуры; б — график распределения показателя преломления оргстекла
таких устройств можно представить себе в виде двух плоских металлических сосудов, соприкасающихся с поверхностями бруска, по одному из которых непрерывно пропускается холодная вода (например, из водопровода), а по второму — горячая (допустим, кипяток).
Ясно, что изготовление и эксплуатация такой установки — совсем не простое дело, хотя идея, положенная в ее основу, выглядит простой и привлекательной. Поэтому в дальнейшем мы не будем стремиться получить из оргстекла среду с постоянным градиентом показателя преломления. Все описанные ниже опыты проводятся при нестационарном тепловом режиме образца из оргстекла, то есть в слоисто-неоднородных средах с непостоянным градиентом показателя преломления. Для таких сред рассмотренную выше теорию можно считать теорией первого приближения.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 2.— М.: Наука. 1979. с. 164—184.
Рекомендуем вам изучить (или просмотреть вновь) главу, посвященную теплопроводности, известного вузовского учебника физики. Материал этой главы, помимо прочего, позволит вам оценить распределение показателя преломления в неравномерно нагретом 104
оргстекле в несколько более сложных случаях, чем рассмотренный выше.
2.	Терморегулятор. Не надо думать, что попытка создания в бруске оргстекла постоянного градиента показателя преломления абсолютно безнадежна для школьного физического кабинета. На рис. 68 приведена принципиальная схема простейшего терморегулятора. Датчиком температуры в этом приборе служит терморезистор типа М4К7В, сопротивление которого при комнатной темпе, ратуре составляет примерно 4,7 кОм. Электрический нагреватель-
Рис. 68. Принципиальная схема терморегулятора.
Радиодетали: диод VI типа Д226Б; тринистор У2типа Д235Г, КУ201В, КУ201Г, НУ202В, КУ202Г; резисторы R1 = R4 = 2,2 кОм, JR2 — 10 кОм, R3 => = 4,7 кОм (терморезистор типа М4К7В), RH — резистор нарузки (нагреватель); конденсатор Ci — 0,1 мкФ
обозначенный на схеме как резистор нагрузки Лн, нетрудно изготовить самостоятельно. Одна из возможных конструкций нагревателя подробно описана ниже (см. § 7; нужно только иметь в виду, что нагреватель, работающий совместно с терморегулятором, должен содержать нихромовый провод несколько меньшей длины, чем нагреватель, рассчитанный на непосредственное включение в сеть напряжением 36 В). Разберитесь в принципе действия терморегулятора, разработайте способ его градуировки, соберите и наладьте прибор. Найдите ему применение в описанных ниже экспериментах.
3.	Термоиндикатор. Проконтролировать температуру нагретого оргстекла можно с помощью простого термоиндикатора, принципиальная схема которого приведена на рис. 69, а внешний вид одной из возможных конструкций изображен на рис. 70. В качестве датчика температуры в этом приборе можно использовать терморезистор Ri любого типа (чем меньше размеры терморезистора, тем он менее инерционен и, следовательно, более удобен в работе), сопротивление которого при комнатной температуре составляет 1—2 кОм. На транзисторах VI и V2 выполнен так называемый дифференциальный усилитель — устройство, которое при некотором входном напряжении на выходе дает напряжение, равное нулю, а при увеличении или уменьшении входного напряжения дает соответственно усиленное положительное или отрицательное напряжение. Это напряжение поступает на общий вход двух электронных переключателей, собранных на транзисторах 73, 75 и 74, 76. Нагрузками обоих переключателей являются индикаторные лампочки Я1, Я2, рассчитанные на напряжение 3,5 В и ток 0,26 А. Свечение одной из лам
почек указывает, что температура терморезистора 7?1 ниже того значения, которое задано посредством переменного резистора Я2, а свечение второй — что температура терморезистора выше уставов-
Рис. 69. Принципиальная схема термоиндикатора.
Радиодетали: транзисторы VI, V2, УЗ, Уб типа МП39—МП42, У4, У5 типа МП35 — МП38; резисторы #1 = 1,6 кОм (терморезистор типа СТ1-17) R2 = 1 кОм, R3 = Я4 = 820 Ом, R5 = 3,3 кОм, #6 = #7 = 2,2 кОм, R8 = = R9 = 1,5 кОм; лампочки накаливания Hi, Н2 рассчитаны на напряжение 3,5 В и ток 0,26 А; источником питания служат две последовательно соединенные батарейки карманного фонаря типа 3336Л на 4,5 В
Рис. 70. Внешний вид термоиндикатора
ленной. Подробно изучите принцип действия термоиндикатора, соЙб-рите и отградуируйте прибор.
4.	Максимальная температура нагрева оргстекла. Пользуясь термоиндикатором или иным прибором для измерения температуры, поставьте опыт, показывающий, что нагретое до температуры, превышающей 100 °C, оргстекло после охлаждения сохраняет возникшую в результате нагрева оптическую неоднородность.
§ 6. ПОЛНОЕ ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ СЛОИСТО-НЕОДНОРОДНОЙ СРЕДЫ
Ход светового луча, показанный, например, на рис. 60,
очень напоминает то, что происходит при полном отражении света от границы раздела оптически однородных сред: луч, углубившись в слоисто-неоднородную среду, как бы
отражается и идет назад, причем интенсивность отраженного света равна интенсивности падающего. Попробуем вычислить тот угол входа светового луча в слоисто-неоднородную среду, при котором еще наблюдается полное отражение света.
Для определенности будем считать, что эта оптически неоднородная среда представляет собой брусок оргстек
ла, в котором в результате неравномерного нагрева создан постоянный и отличный от нуля градиент показателя преломления. Пусть, как и раньше, показатель преломления оргстекла линейно возрастает в направлении оси
у в соответствии с законом и = По + ку, где к —dn/dy — градиент показателя преломления и По — значение показателя преломления в точках нижней грани бруска (рис. 71). Очевидно, луч 7, идущий от источника света S в сторону нижней грани бруска, испытает полное отражение от слоисто-неоднородной среды, а луч 3 — нет. Предельным лучом в этом смысле является луч 2, который касается нижней грани бруска
Рис. 71. К вычислению предельного угла входа луча в слоисто-неоднородную среду, при котором еще наблюдается полное отражение света
Этому лучу соответствует
предельный угол входа света в слоисто-неоднородную среду cpinp* Для вычисления предельного угла нужно
вспомнить, что ордината минимума траектории луча (точки М) выражается формулой уШ{П = (т — nQ)/k (см. (2.5)), где т = nt sin(pinp (см. (1.2)), причем ni — показатель преломления оргстекла в точках бруска с ординатами yi (ni = По + kyi). В нашем случае ордината минимума равна нулю (г/тщ = 0)? поэтому т = п0 или пг sin cpinp = = по. Таким образом, полное отражение света будет иметь
место, если выполняется условие
sin(fi > sin ф1Пр == По/ni
(6.1)
107
Мы получили замечательный результат, который заслуживает того, чтобы представить его себе как можно нагляднее. Попробуйте сделать это. Попытайтесь также доказать, что тот же результат получится при любом (а не только линейном) законе изменения показателя преломления слоисто-неоднородной среды.
* * *
Пусть две оптически однородные среды с показателями преломления По и п\ (напомним, что nQ ni) разделены плоскопараллельным слоем толщиной d оптически неоднородной среды, показатель преломления которой линейно изменяется от значения nQ до значения п{ в направлении от нижней к верхней границе этого слоя (рис. 72).
Рис. 72. Сравнение полного отражения от слоисто-неоднородной среды с полным отражением от границы раздела оптически однородных сред
Допустим, что из верхней среды под предельным углом падения cpinp на плоскопараллельный слой падает световой луч (который, очевидно, прямолинеен). Внутри этого слоя свет будет распространяться уже по криволинейной траектории, которая нижней своей точкой касается границы среды с показателем преломления nQ (рис. 72, а). Выйдя из плоскопараллельного слоя, свет опять войдет в оптически однородную среду и вновь станет распространяться прямолинейно, причем угол отражения от плоскопараллельного слоя оптически неоднородной среды будет равен углу падения. Если теперь уменьшать толщину слоя d, сохраняя остальные условия неизменными, то ход светового луча станет таким, какой показан на рис. 72, б, то есть внутри слоя траектория распространения света деформируется, но угол отражения по-прежнему будет равен углу падения. Наконец, в пределе, когда толщина оптически неоднородного слоя станет равна нулю 108
(d = 0), вместо криволинейного хода луча в этом слое будет иметь место полное отражение света от границы раздела оптически однородных сред с показателями преломления п0 и ni (рис. 72, в).
Чтобы обобщить полученный результат, будем считать, что показатель преломления слоисто-неоднородной среды (рис. 71) непрерывно растет от значения п0 при у = = 0 до значения п± при у = yi, изменяясь по произвольному закону п — п(у). Дифференциальное уравнение траектории предельного луча в этом случае имеет вид (1.4):
dy/dx = — У п2(у) — т2/т,
где т — nisin <р1Пр. Из условия минимума траектории dy/dx — 0 следует, что п(у) = т. Минимум траектории лежит на оси х, если в последней формуле положить у — 0. Но при у = 0 показатель преломления п(0) = п0, поэтому получаем п0 = то есть опять приходим к соотношению (6.1): sin ф1пр = п0М1.
Таким образом, можно сделать вывод, что полное отражение будет иметь место во всех тех случаях, когда углы входа света в слоисто-неоднородную среду больше или равны предельному углу, синус которого определяется отношением минимального показателя преломления среды к тому значению показателя преломления^ которым среда обладает в точке входа в нее луча.
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1. Предельный угол входа света в слоисто-неоднородную среду (6.1) может быть найден путем элементарных рассуждений без привлечения методов высшей математики. Проведите такие рассуждения.
2. Волноводное распространение света. Пусть плоскопараллельный слой оптически неоднородной среды граничит с двумя одинаковыми оптически однородными средами, показатель преломления которых по (рис. 72). Будем считать, что показатель преломления слоя плавно возрастает от значения п0 на его границах до некоторого максимального значения п в среднем сечении этого слоя. Мысленно поместите в середину слоя точечный источник света и качественно рассмотрите ход световых лучей от него. Покажите, что всегда найдутся лучи, которые не могут выйти из слоя и распространяются в нем волнообразно. Сравните это явление с теми, которые изучены вами раньше (гл. 1, §§ 23, 24).
§ 7. ЭКСПЕРИМЕНТ ПО ПОЛНОМУ ОТРАЖЕНИЮ СВЕТА
Настало время пронаблюдать ход светового пучка при полном отражении его от слоисто-неоднородной среды. Сделать это можно разными способам^ но для нас наибо
лее привлекателен тот, который позволяет сравнить явление криволинейного распространения света в слоисто-неоднородной среде с явлением полного отражения от границы раздела двух оптически однородных сред. Вспомните свой самый первый опыт по полному отражению света, в котором использовался полуцилиндр из стекла или оргстекла (гл. 1, § 1). Ясно, что если в этом опыте плоскую грань полуцилиндра нагревать, то вблизи нее оргстекло будет представлять собой слоисто-неоднородную среду. Вы без особых затруднений сумеете поставить такой эксперимент и пронаблюдать возникающие в нем великолепные явления, если будете располагать полуцилиндром из оргстекла нужных размеров и нагревателем. Расскажем, как их изготовить.
Прежде всего нужно сделать диск или цилиндр из оргстекла диаметром примерно 160 мм и толщиной 20—40 мм (чем толще диск, тем проще изготовить полуцилиндр нужного качества и легче выполнить опыты). Вначале ножовкой по металлу из листа оргстекла грубо выпилите заготовку диска. Затем приготовьте две фанерные прокладки толщиной 10—12 мм и диаметром около 140 мм. Вложив заготовку диска между прокладками, слегка зажмите получившийся «сандвич» между патроном и так называемым «вращающимся центром», вставленным в заднюю бабку токарного станка. Насколько это возможно, отцентрируйте заготовку диска и окончательно подожмите ее к патрону задней бабкой. Поскольку заготовка между прокладками удерживается только силой трения, обработку ее резцом нужно производить достаточно осторожно. После получения цилиндрической поверхности, не вынимая заготовки из токарного станка, отшлифуйте эту поверхность все более мелкой шкуркой, а затем отполируйте пастой ГОИ, нанесенной на смоченную керосином ткань. Эту часть работы следует выполнить с максимальной аккуратностью, стараясь избежать завалов цилиндрической поверхности по ее краям. Описанные операции не так трудны, как это может показаться тем, кто их никогда не делал: автор совершенно уверен, что любой школьник, допущенный к токарному станку, в состоянии справиться с ними.
Готовый диск, достав из токарного станка, ножовкой по металлу разрежьте по диаметру так, чтобы получились два полуцилиндра. Для этого на плоских поверхностях диска друг против друга чертилкой нацарапайте диаметральные линии. Зажмите диск в тискиг проложив
между тисками и диском фанерные прокладки, чтобы не испортить поверхности диска. Возьмите заправленную острым полотном ножовку и вдвоем со своим товарищем начните распиливать диск. Каждый из работающих при этом должен следить за тем, чтобы полотно проходило точно по линии, нацарапанной на обращенной к нему поверхности оргстекла. Пилить нужно не спеша, периодически вводя в пропил небольшие порции машинного масла.
Помните, что при большой скорости распиловки ножовочное полотно и оргстекло сильно разогреваются теплом, выделяющимся от трения. Это может привести к тому, что оргстекло от перегрева станет оптически неоднородным и затем после охлаждения сохранит возникшую неоднородность.
Плоскую грань и одну из боковых поверхностей каждого полуцилиндра отшлифуйте. Сделать это лучше всего посредством нанесенного на стекло влажного абразивного порошка способом, описанным выше (гл. 1, § 19). Плоскую грань одного из полуцилиндров дополнительно нужно отполировать. С этой целью вначале произведите тонкую шлифовку грани на самой мелкой шкурке, которой вы располагаете (лучше достать так называемую «нулевку»). Оргстекло — мягкий материал, поэтому полировка его требует лишь элементарной аккуратности и не занимает слишком большого времени. Полировать оргстекло следует пастой ГОИ. Нанесите ее на смоченную керосином плоскую поверхность полировальника, представляющего собой лист толстой фанеры, туго обтянутый двумя-тремя слоями не слишком грубой ткани. По этой поверхности перемещайте полуцилиндр до тех пор, пока его плоская грань не окажется полностью отполированной. После полировки полуцилиндр тщательно промойте холодной водой с мылом и высушите. Если на отполированной поверхности остались видимые глазом царапины, то нужно вновь произвести тонкую шлифовку поверхности и затем снова ее отполировать. При работе опыт приходит очень быстро, поэтому вскоре вы сможете по отшлифованной поверхности уверенно прогнозировать качество полировки. Самым неприятным дефектом тонкой шлифовки и полировки, с которым нужно активно бороться, являются завалы по краям обрабатываемой грани. На этих завалах при постановке опытов будет происходить дополнительное преломление света, которое, безусловно, ухудшит их результаты. Чтобы свести завалы к минимумуЛ тонкую шлифовку и
полировку нужно производить на плоских шлифовальиике и полировальнике, ни в коем случае не наклоняя полуцилиндр при обработке его грани. И последнее замечание: условия наблюдения светового пучка улучшатся, если боковую поверхность каждого полуцилиндра покрасить белой нитроэмалью.
Обратимся теперь к изготовлению нагревателя. В экспериментах наиболее удобен электрический нагреватель. Он должен обеспечивать быстрый разогрев поверхности оргстекла до требуемой температуры и вместе с тем не перегревать оргстекло свыше 100 °C. После выключения нагреватель должен охлаждаться также достаточно быстро. Требования сравнительно кратковременного нагрева и охлаждения оргстекла обусловлены тем, что явления криволинейного распространения света лучше всего наблюдать в динамике, следя за их развитием. Практика показывает, что любой нагреватель, который касается поверхности оргстекла^ мало удовлетворяет высказанным требованиям, поскольку он неизбежно оказывается излишне инерционным. Теплопередачу от малоинерционного нагревателя к оргстеклу целесообразно обеспечить путем излучения. При разработке конструкции нагревателя нужно ориентироваться на напряжение его питания 36 В, допустимое в учебных опытах с точки зрения должного соблюдения правил техники безопасности.
Приготовьте нихромовый проводник (от старого реостата или электроплитки) диаметром около 0,3 мм и длиной 1,5—2 м. Закрепите концы его на двух штативах так, чтобы проводник висел в воздухе, и подайте на него напряжение 36 В от трансформатора. Сразу вы заметите, что проводник за счет нагревания электрическим током удлиняется и провисает сильнее. Постепенно уменьшайте его длину (каждый раз выключая напряжение!) до тех пор, пока нихромовый проводник не станет раскален до темнокрасного свечения. Чтобы вам легче было ориентироваться, укажем, что длина такого проводника будет составлять около 115 см. Далее подберите полоску слюды шириной 30—40 мм, длиной 120—160 мм и толщиной 0,6—1 мм. Пластинки слюды больших размеров часто применяются в различных бытовых электронагревательных приборах, поэтому их сравнительно нетрудно достать. В крайнем случае полоску нужных размеров можно набрать из маленьких листков слюды, наложив их друг на друга внахлест и скрепив липкой лентой; после первого включения нагревателя лента сгорит2 а листки слюды будут достаточ-112
но прочно удерживаться его обмоткой. По краям приготовленной полоски слюды лобзиком через равные расстояния сделайте небольшие пропилы и плотно намотайте на полоску нихромовый провод отобранной длины, укладывая его.витки в пропилы. После этого, используя болты с гайками, дюралевые уголки и клеммы, соберите нагреватель так, как показано на рис. 73. Чтобы при постановке опытов не получить ожога, нагреватель нужно снабдить
Рис. 73. Электрический нагреватель, установленный параллельно плоской грани полуцилиндра из оргстекла
защитным металлическим кожухом, оставив открытой только одну его боковую поверхность. Располагать поверхность оргстекла от нагревателя надо на расстоянии 15— 30 мм; время разогрева оргстекла обычно не превышает 1 — 3 мин.
Вы теперь имеете все необходимое для выполнения опытов по полному отражению света от слоисто-неоднородной среды. Разработайте и поставьте их.
* * *
На стол поместите невысокую подставочку и на ней горизонтально расположите полуцилиндр с отполированной плоской гранью. Электрический нагреватель поставьте параллельно плоской грани полуцилиндра (рис. 73). От осветителя, снабженного щелевой диафрагмой шириной примерно 2 мм, направьте узкий световой пучок через цилиндрическую поверхность в центр плоской грани
полуцилиндра. Отрегулируйте положение осветителя так, чтобы на находящейся снизу матовой поверхности полуцилиндра был отчетливо виден след падающего пучка.
Прежде чем начинать эксперимент, по формуле (6.1) вычислите предельный угол падения света, при котором должно наблюдаться явление полного отражения от слоисто-неоднородной среды. Если вы зададитесь перепадом температуры оргстекла от 20 до 90 °C, то у вас получится значение предельного угла, близкое к 83°. Примерно под таким углом падения и нужно направить свет на плоскую грань полуцилиндра. Вы увидите типичный ход падающего и отраженного световых пучков при полном отражении от границы раздела двух оптически однородных сред. Посмотрите на полуцилиндр не сверху, а немного сбоку. Тогда в стоящей вертикально плоской грани полуцилиндр а вы заметите отражение следов, созданных падающим и отраженным пучками на нижней матовой поверхности полуцилиндра. Ощущение при этом таково, будто вы видите два «пересекающихся» пучка. Это наилучшие условия наблюдения, поскольку именно в них наиболее отчетливо проявляются различия между полным отражением в оптически однородной среде и криволинейным распространением света в оптически неоднородной. На рис. 74, а приведена фотография явления, о котором идет речь (на этой и последующих фотографиях свет распространяется слева направо).
Включите электрический нагреватель, и спустя несколько секунд вы обнаружите, что прямолинейный световой пучок начинает искривляться! Это искривление поначалу выражено не очень сильно и проявляется в основном в том, что «точка пересечения» видимых глазом пучков смещается вправо (рис. 74, б). Однако по мере роста температуры плоской грани полуцилиндра полное отражение света от границы оргстекло — воздух постепенно сменяется полным отражением от созданной вами слоистонеоднородной среды: вы видите как бы два искривленных световых пучка, не соприкасающиеся между собой (рис. 74, в). Если вы выключите нагреватель, то события станут развиваться в обратной последовательности, и $ некоторый момент вы сможете наблюдать такой ход пучка, который изображен на рис. 74, г. Теперь создайте в оргстекле максимально возможный градиент показателя преломления (не перегрейте сгоряча оргстекло!) и изменяйте угол падения света на плоскую грань полуцилиндра. Вы без особого труда сможете найти такой наименьший угол 114
Рйс. 74. Полное отражение света от слоисто-неоднородной среды: а — нагреватель выключен, свет испытывает полное отражение от границы оргстекло — воздух; б, в — нагреватель включен и температура оргстекла вблизи gj него повышается; г — оргстекло охлаждается
падения, при котором световой пучок, распространяясь криволинейно, еще не касается плоской грани полуцилиндра (рис. 75). Небольшое уменьшение этого угла приводит к тому, что криволинейность траектории распространения света становится незаметной и наблюдается хорошо изученное вами полное отражение от границы оргстекло — воздух.
Рис. 75. Световой пучок распространяется под наименьшим углом падения, при котором он еще не касается плоской грани полуцилиндра из неравномерно нагретого оргстекла
В вашем распоряжении имеется еще один полуцилиндр, плоская грань которого оставлена матовой. Повторите описанные выше опыты с таким полуцилиндром. Для этого направьте узкий световой пучок нормально на цилиндрическую поверхность так, чтобы угол падения его на плоскую грань полуцилиндра был не меньше 83°. Никакого отражения в этом случае вы наблюдать не будете: свет, доходя до матовой грани, испытывает на ней рассеяние, и падающий пучок просто исчезает (рис. 76, а). Включите нагреватель, расположенный вблизи матовой грани полуцилиндра параллельно ей. Вы обнаружите, как по мере возникновения и роста градиента показателя преломления оргстекла световой пучок искривляется, что приводит к смещению области рассеяния его вправо (рис. 76, б). Наконец, при достаточно большом градиенте показателя преломления световой пучок распространяется криволинейно, не достигая матовой грани полуцилиндра (рис. 76, в). Это очень эффектный опыт, и, поставив его, вы, безусловно, испытаете чувство глубокого удовлетворения.
Рис. 76. Полуцилиндр с матовой плоской гранью: а — нагреватель выключен; б, в — градиент показателя преломления оргстекла возрастает
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Демонстрационный вариант описанного в этом параграфе эксперимента позволяет познакомить с явлением полного отражения света от слоисто-неоднородной среды одновременно многих наблюдателей. Разработайте и изготовьте прибор для постановки такого эксперимента. На рис. 77 приведена фотография, по которой вы можете
Рис. 77. Прибор для демонстрационных опытов по полному отражению света от слоисто-неоднородной среды
представить себе одну из возможных конструкций требуемого прибора. Попробуйте в демонстрационном опыте использовать газовый лазер.
2.	В домашних условиях вы вряд ли сумеете изготовить полуцилиндр. Однако пронаблюдать полное отражение света от слоистонеоднородной среды можно и дома, если вместо полуцилиндра использовать брусок из оргстекла, а электрический нагреватель заменить жидкостным. Разработайте и поставьте соответствующие опыты.
3.	Волноводное распространение света нетрудно пронаблюдать на опыте, если узкую полоску из оргстекла расположить между двумя параллельными нагревателями. Поставьте эксперименты, показывающие, что узкий световой пучок в такой полоске распространяется волнообразно, а широкий несколько раз фокусируется.
§ 8. МОДЕЛИ МИРАЖА
Описанные в предыдущем параграфе опыты наводят нас на мысль, что неравномерно нагретое оргстекло может быть использовано в качестве слоисто-неоднородной среды, позволяющей смоделировать мираж. Прежде чем приступить к соответствующим экспериментам, выполним оценочные расчеты.
Брусок из оргстекла, находящийся при комнатной температуре Т” = 20 °C, нижней гранью поместили на плоский нагреватель, имеющий температуру Т' = 90 °C. На переднем торце бруска нарисован предмет, высота которого, измеренная от нижней грани, составляет h. Выясним, какова должна быть длина бруска Z, чтобы при наблюдении через второй торец в направлении середины нижней грани бруска был виден мираж всего предмета полностью.
Прежде всего напомним, что показатель преломления оргстекла при температуре Т" — 20 °C равен п" — 1,492, а при температуре Т' = 90 °C согласно формуле (5.1) он примерно равен п = 1,481. Ясно, что спустя некоторое время после помещения бруска на нагреватель температура его нижней грани станет равна температуре нагревателя Т', а температура оргстекла на высоте h от нижней грани бруска еще останется комнатной Г". Тогда соответствующие показатели преломления оргстекла составят п' и п . Очевидно, в условиях поставленной задачи будет наблюдаться мираж всего предмета полностью (в виде «зеркального» отражения предмета в нижней грани бруска), если световой луч, направленный от верхней точки предмета в середину нижней грани, входит в слоисто-неоднородную среду
под углом, не меньшим предельного Ф1Пр- Выше найдено значение синуса предельного угла: sin ф1пр = п'/п" (см. (6.1)). С другой стороны, из геометрических соображений (рис. 78) синус предельного угла
Z/2 sin ф1 „о =  >— . -₽	1Л2 + Р/4
(на этом рисунке с целью упрощения вместо криволинейного изображен прямолинейный ход луча и преломление света при выходе его из заднего торца бруска не показано). Отсюда после элементарных преобразований имеем
Рис. 78. К вычислению наименьших размеров установки для наблюдения миража
Подстановка в последнюю формулу вместо п' и пп их значений дает 16х6й. Таким oepasoMj в рассмотренных ус-
ловиях можно увидеть полный мираж предмета, если дли-1 на бруска не меньше чем в 17 раз превышает высоту предмета.
Интересно и небесполезно сравнить между собой миражи, полученные на моделях из оргстекла и из воздуха. Пусть воздух, имеющий температуру Т" — О °C, соприкасается с плоской поверхностью нагревателя, находящегося при температуре Т' = 100 °C. Как и раньше, найдем соотношение между высотой h предмета, расположенного на поверхности нагревателя вблизи одного из его концов, и длиной I этого нагревателя, чтобы при наблюдении с другого конца в направлении середины нагревателя был виден мираж всего предмета, а не какой-то его части.
Для решения поставленной задачи нужно знать зависимость показателя преломления воздуха от температуры. Эта зависимость, как известно (см., например, Физический практикум / Под ред. В. И. Ивероновой.— М.: Наука, 1968, с. 465, 466), выражается следующей формулой:
п = 1 + (п" - 1)/(1 + аГ),	(8.2)
где п" = 1,000292 при Т = Т" - 0 °C и а = 1/273. Подстановка в эту формулу значения Т' ~ 100 °C дает п' = = 1,000214. Пользуясь полученными значениями показателя преломления по формуле (8.1), находим, что приближенно /ж 160 h. Таким образом, при использовании одинаковых по размерам предметов и приблизительно одинаковых перепадов температур модель миража в воздухе должна иметь в 10 раз большую длину, чем модель миража в оргстекле. В этом нетрудно убедиться на опыте.
Разработайте и изготовьте простейшие экспериментальные установки для моделирования миража в воздухе и в оргстекле. Пронаблюдайте и сравните между собой модели миража на этих установках.
* * *
Поскольку температура нагрева оргстекла и воздуха в обеих экспериментальных установках не должна превышать 100 °C, в качестве нагревателей можно использовать металлические кюветы с горячей водой.
Обратимся теперь к моделированию миража в неравномерно нагретом оргстекле. Подберите или изготовьте брусок из оргстекла сечением примерно 45 х 60 мм (брусок, сечение которого меньше, чем 20 х 30 мм, неудобен в работе) и длиной 100—150 мм. Торцы этого бруска должны быть прозрачными, а остальные четыре грани — матовы-120
ми. Из латуни или жести толщиной не более 0,6 мм спаяйте прямоугольную кювету размером примерно 30 х 50 х X 160 мм. Кювету установите рядом с бруском так, чтобы одна из боковых стенок кюветы соприкасалась с матовой гранью бруска (рис. 79).
Вблизи одного из торцов бруска расположите предмет размером около 10 мм (можно использовать подходящий рисунок) и смотрите сквозь второй торец бруска в направлении середины той его грани, которая касается стенки кюветы. Вы будете видеть эту грань матовой и одновременно станете наблюдать сам предмет (рис. 80, а\ здесь предметом является бумажная стрелка, на которой нарисована птичка). Теперь залейте в кювету только что вскипевшую воду. Спустя несколько секунд вы заметите, как матовая грань бруска от
дельными участками становится как бы зеркальной и в ней появляется отражение — мираж! — предмета (рис. 80, б). Постепенно вся матовая грань, соприкасающаяся с кюветой, превращается в своеобразное зеркало, и'вы наблюдаете отчетливый мираж предмета (рис. 80, в). Следующая стадия развития миража показана на рис. 80, г. Если вы слегка измените угол наблюдения так, что
Рис. 79. Для моделирования миража можно использовать брусок из оргстекла, к одной из граней которого прикасается кювета с горячей водой
угол падения света от предмета на нагреваемую грань бруска уменьшится, то мираж будет иметь вид, показанный на рис. 81, а. При изменении угла на-
блюдения в противоположном направлении мираж трансформируется, как это показано на рис. 81, б.
* Что касается модели миража в воздухе, то металлическая кювета для нее должна иметь длину не менее 1 м и сечение порядка 40 X 60 мм. Боковые стенки кюветы
надо сделать плоскими и для устранения зеркального отражения от них равномерно покрыть тонким слоем чистого речного песка, приклеив его клеем БФ-2.
Рис. 80. Модель миража из неравномерно нагретого оргстекла: а — брусок opiстекла имеет комнатную температуру; б, в, г — в кювету залита горячая вода и оргстекло вблизи нее постепенно разогревается
Рис. 81. Если градиент показателя ^преломления оргстекла сохраняется неизменным, то вид миража зависит от угла наблюдения
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1.	Модель миража с электрическим нагревателем может быть собрана так, как это показано на рис. 82: на текстолитовом основании вертикально закреплен нагреватель, по одну сторону от него расположен брусок из оргстекла, а по другую, примерно на таком же расстоянии, что и брусок,— терморезистор, являющийся датчиком температуры термоиндикатора или терморегулятора. Изготовьте подобный прибор и исследуйте его в работе.
2.	Миннарт М. Свет и цвет в природе.— М.: Наука, 1969, с. 60.
3.	Броунов П. И. Атмосферная оптика.— М.: ГНТИ, 1924, с. 26.
Воспользовавшись рекомендованными книгами, вы можете пополнить свои знания о миражах.
§ 9. МОДЕЛЬ ФАТА-МОРГАНЫ
Фата-моргана — это сложный, сравнительно быстро и причудливо изменяющийся мираж, часто напоминающий города с крепостными стенами, башнями и дворцами, появление
Рис. 82. Модель миража с электрическим нагревателем: использован терморегулятор, схема которого приведена на рис. 68
которого людская молва свя-
зывала с проделками некоей феи Морганы. Вы сейчас владеете всем необходимым, чтобы смоделировать мираж любой сложности. Попробуйте получить мираж, в котором помимо самого предмета видны два симметрично расположенных относительно него зеркальных изображения. Разработайте и соберите установку, позволяющую получить мираж на экране так, чтобы его могли видеть одновременно многие наблюдатели.
* * *
Приготовьте брусок из оргстекла размером примерно 30 х 60 X 100 мм. Торцы бруска площадью 30 х 60 мм должны быть отполированы; остальные четыре грани нужно отшлифовать так, чтобы они были матовыми. Изготовьте второй электрический нагреватель, точно такой же, как первый (рис. 73). Расположите брусок так, чтобы его прозрачные торцы были вертикальны, и рядом с бруском параллельно его боковым граням на расстояниях 20—30 мм от них разместите нагреватели (рис, 83), Перед одним из
торцов бруска поставьте небольшой предмет шириной не более 10—15 мм и смотрите на него сквозь противоположный торец.
Рис. 83. Прибор для моделирования фата-морганы
Вы увидите картину, подобную той, которая изображена на рис. 84, а. Включив нагреватели, спустя небольшое время вы обнаружите, что по обе стороны от предмета появляются два его зеркальных изображения (рис. 84, б)! Обратите внимание на боковые грани бруска: при наблюдениях эти матовые грани становятся похожими на зеркала; на фотографиях они как бы исчезают (в них отражается темный фон, находящийся перед бруском). При дальнейшем нагревании боковых граней бруска становятся заметными искажения самого предмета (рис. 84, в); фактически в центре поля зрения вы наблюдаете прямой, а по краям — два перевернутых миража предмета. Если нагреватели выключить, то некоторое время за счет тепловой инерции фата-моргана продолжает развиваться (рис. 84, а), и при внимательном наблюдении вы можете заметить появление еще двух новых миражей, цравда, значительно более искаженных по сравнению с первыми. Далее, по мере охлаждения оргстекла фата-моргана постепенно исчезает (рис. 84, д, ё). Любопытно отметить, что поперечный размер миража на последней из приведенных фотографий существенно больше, чем соответствующий размер самого предмета на первой. Вы в состоянии объяснить это явление, поэтому укажем только, что оно прекрасно моделирует нередко наблюдающийся в природе увеличенный мираж.
. ; Чтобы в описанном опыте получить наиболее эффектные результаты, важно подобрать оптимальные расстояния от бруска до предмета и до глаза наблюдателя. Мы предпочитаем располагать предмет на расстоянии 10—20 см от переднего торца бруска и глаз — на расстоянии 30— 50 см от его заднего торца. Вместо электрических нагревателей практически с тем же успехом, но с несколько меньшими удобствами можно использовать жидкостные. Тогда установка для моделирования фата-морганы будет представлять собой брусок из оргстекла, к боковым граням которого прижаты две плоские кюветы из тонкой латуни или жести, заполненные горячей водой. Такую установку вы сможете собрать даже у себя дома. Начинающим нередко не удается при шлифовке и полировке торцов бруска избежать завалов по их краям. Если эти завалы невелики, то они обычно не мешают наблюдениям. Кардинальный способ устранения вредного влияния завалов заключается в изготовлении такого бруска, у которого нагреваемые грани несколько заглублены, так сказать, «внутрь» оргстекла.
Имеет смысл заметить, что в установке, фотография которой приведена на рис. 83, целесообразно использовать брусок из оргстекла, длина которого неменьше длины нагревателей (на фотографии изображен более короткий брусок только для того, чтобы были видны оба нагревателя).
Фата-моргану или мираж можно получить на экране. Эксперимент в этом случае получается, пожалуй, даже более впечатляющим, чем при визуальном наблюдении (хотя, разумеется, изучать явление лучше, если наблюдения производить непосредственно глазом). Схема соответствующей установки приведена на рис. 85. В качестве предмета проще всего использовать лампочку карманного фонаря 7. Она должна быть расположена около прозрачного торца бруска 2 из оргстекла вблизи его матовой грани. Рядом с этой гранью параллельно ей нужно разместить электрический нагреватель 3. Объектив 4 с фокусным расстоянием 8—10 см дает на белом экране 5 изображение S' предмета S. При включении нагревателя видно, как постепенно появляется мираж S" предмета.
На рис. 86 изображен один из возможных вариантов -тЬлько что рассмотренной установки. При налаживании ее вы можете встретиться с рядом трудностей, главная из которых заключается в том, что мираж предмета лежит не в плоскости самого предмета. Поэтому для одновременного

Рис. 84. Модель фата-морганы: а — нагреватели выключены; б, в — идет постепенный разогрев оргстекла; г, д, е — неравномерно нагретое оргстекло охлаждается
Рис. 85. Схема установки для демонстрации миража на экране
получения на экране резких изображений предмета и его миража нужно увеличить глубину резкости объектива. Это легко достигается диафрагмированием его (если
Рис. 86. Установка, собранная по схеме, представленной па рис. 85
тимальиых положений предл относительно бруска.
вы используете объектив от школьного проекционного аппарата, как это показано на рис. 86, то достаточно снабдить его диафрагмой с отверстием диаметром около 10 мм). Кроме того, чтобы приблизить плоскость миража к плоскости предмета, в качестве слоисто-неоднородной среды нужно использовать возможно более короткий брусок из неравномерно нагретого оргстекла: длина его не должна превышать 50— 80 мм. Вторая трудность заключается в выборе оп-га (лампочки) и объектива
ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ ПРОРАБОТКИ
1. Собирающая линза из оптически неоднородного оргстекла» Описанные в этом параграфе опыты показывают, что слоисто-неоднородная среда способна давать увеличенное в определенном направлении изображение предмета. Разработайте и изготовьте собирающую линзу из неравномерно нагретого оргстекла. Поставьте опыты, в которых такая линза дает действительные изображения предметов на экране.
25 к.