Текст
САЙТ
"Ленинградский геофизик”
Библиотека сайта.
htxtv.gff-lgi.spb.ru
Н. Ф. МАРГОЛИН
Доктор технических наук
ТОКИ В ЗЕМЛЕ
я
БИБЛИОТЕКА
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МОСКВА ' 1947 ЛЕНИНГРАД
ПРОВЕРЕНО
Книга предназначена служить учебным пособием по од-
ноименному разделу соответствующих специальных дис-
циплин для студентов втузов.
Книга содержит теоретический материал с числен-
ными примерами. В теории заземлителей даны выводы
фЪрмул для подсчета сопротивлений растеканию различ-
ных по выполнению единичных, и многократных заземли-
телей при постоянном токе и рассмотрена работа зазем-
ляющей системы „опоры-трос' при постоянном и пере-
менном токах.
Во 2-й чести книги даны выводы формул для подсчета^
сопротивления линии „провод — земля" и сопротивлений
многопроввдных воздушных и кабельных линий различного
выполнения при протекании по ним токов нулевой по-
следовательности.
Редактор Н. А. Мельников. Технический редактор А. Д. Чаров
Сдано в пр-во 17/V 1946 г. Подписано к печ. 14/IV1947 г. Объем 12^^п.л.
14 v4.-aem. л. Тираж 40С0. Формат бумаги 60Х92'/к. Цена 14 р
А—04731. 45700 тип. знак в 1 печ, л. Заказ № 181
- :--------------. Л — —f - - 5 * —‘
' Отпечатайте' йабсра'13-й‘ типографии ОГИЗа в типографии
, ; Го.сэнергоиздата МЭС. Мордва, Шлюзовая наб., 10.
" Пред и с л о шге 1
J . . , .. - <' - . ,;„?3 ч -и = Л
Настоящая книга является второй. частью (третьим выпус-
ком) написанного проф. Н. Ф. Марголиным |в 1940—1941'г.'
труда под заглавием „Токи короткого замыкания и токи
в земле", предназначавшегося служить пособием по одно-
именному специальному курсу. Первый выпуск этого труда,
содержащий материал по углубленному (по сравнению
с трактовкой в общем курсе „Токи короткого замыкания")
анализу нестационарного режима трехполюсного короткого
замыкания в одной точке, вышел в свет в середине 1941 г.
в издании Московского Ьрдена Ленина энергетического
института им. В. М. Молотова. Оставшийся в рукописи
последний (третий) выпуск, как посвященный только вопросам,
связанным с протеканием токов в земле, достаточно неза-
висим от предыдущих и поэтому может быть издан отдельно.
За истекшее время программа общего курса „Токи ко-
роткого замыкания" подверглась изменениям и ныне
включает в себя и раздел „Токи в земле", ввиду чего
надобность в соответствующем пособии возросла. Издание
данной книги в значительной степени удовлетворяет воз-
никшую потребность.
Книга издана по рукописи, подготовленной к печати
автором, без существенных изменений,- помимо согласован-
ных' с самим автором еще при обработке рукописи. Наиболее
значительные изменения особо оговорены в тексте.
Книга содержит чисто теоретический материал: выводы
формул для подсчета сопротивлений растеканию
различного вида заземлителей и сопротивлений ну-
левой последовательности линий электропе-
редачи, а также рассмотрение распределения
переменного тока в толще земли при участии ее
в качестве „обратного провода".
В тексте встречаются ссылки на литературные источники
[Л...], перечень которых за указанными номерами приведен
в конце каждой' главы.
4 Предисловие-
Нумерация формул произведена по главам. Нумерация
фигур общая.
Пояснения к важнейшим индексам и обозначениям даны
в конце книги. В отличие от указаний ОСТ 5580 все вели-
чины, определяемые комплексными числами, отмечены
точками над соответствующими буквенными обозначениями.
Звездочкой под буквой’ фиксировано выражение изобра-
женной величины в относительных единицах.
Недостатком книги как учебного пособия можно считать
отсутствие материала по прикладной части данного раздела,
касающейся" конструкций и проектирования заземляющих
устройств.
Редактор
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.......................................... 3
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ В ЗЕМЛЕ
1. Введение............................................. 1
2. Основные допущения. Потенциальные уравнения в прямолиней-
ных и криволинейных ортогональных координатах...... 8
3. Электрическое поле на границе двух сред............ 15
4. Плоскопараллельное поле............................. 15
5. Заземлитель произвольной формы, со всех сторон безгранично
ок руженный землей......................... . . . 19
6. -Влияние земной поверхности. Метод зеркальных изображений . 22
j Литература к главе первой...................... 25
ГЛАВА ВТОРАЯ
ЕДИНИЧНЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
7. Полушаровой заземлитель............................. 26
- Пример 1 . . ................................... 29
8. Цилиндрический круглый вертикальный (трубчатый) заземлитель 30
Пример 2..........................:.................... 41
9. Цилиндрический полукруглый заземлитель, горизонтально рас-
положенный у поверхности земли......................... 41
Пример 3.......................................... 47
10. Полосовой заземлитель.............................. 48
Примеры 4 и 5................................• • 58
Литература к главе второй^........................ 58
ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОКРАТНЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ. КОЛЬЦЕВЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
11. Введение......................................... 59
12. Многократный заземлитель, составленный из единичных за-
землителей, расположенных у поверхности земля на большом
расстоянии друг от друга........................ .... 64
13. Многократный заземлитель, составленный из одинаковых еди-
ничных заземлителей, расположенных у поверхности земли
по вершивам правильного многоугольника или в ряд • . . . 66
Примеры би 7. ................................. 69
14. Кольцевые горизонтальные заземлители.................. 3
Пример 10......................................... 81
Литература к главе третьей ........................ 82
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ
УГЛУБЛЕННЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
15. Введение..............................•.............. 82
16. Углубленный шаровой заземлитель...................... 83
Пример 11 ...............•...........-.............. 86
6
Содержание
17. Углубленный цилиндрический круглый вертикальный (трубча-
тый) заземлитель......................................... .86
Пример 12 . . . .................-...................88.
18. Углубленный горизонтальный заземлитель — цилиндрический
круглый с прямолинейной осью и полосовые—прямолиней-
ный и кольцевой.............Z •.......................... 91
Примеры 13 и 14...................................• .95, 97
Литература к главе четвертой ........................ 97
• ГЛАВА ПЯТАЯ
ЗАЗЕМЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА „ОПОРЫ-ТРСС"
19. Введение..................... . . . г.................... 98
20. Общий закон распределения тока замыкания на землю между
опорами и участками троса...................................... 99
21. Распределение тока замыкания на землю между опорами н
участками троса и сопротивления заземляющей системы
опоры-трос для частных случаев................................ ЮЗ
Примеры 15—17.................. . . ................Ю8, 112, 11
22. Общий закон распределения токов нулевой последовательности
между опорами и участками троса........................ - - 116 ,
23. Распределение тока нулевой последовательности между опо-
рами и участками троса и сопротивления переменному току
заземляющей системы опоры-трос для частных случаев . . 121
Пример 18- . ...................................... .... 127
Литература к гЛаве пятой.............................. 130
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
СОПРОТИВЛЕНИЯ линий
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СОПРОТИВЛЕНИЯ*ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ ВОЗДУШНОЙ ЛИНИИ
.ПРОВОД-ЗЕМЛЯ"
24. Введение. Сопротивление однофазной двухпроводной воздуш-
ной линии э шктропередачи.............................131
Пример 19........................... 134
25. Сопротивление воздушной линии провод-земля’............... 136
26. Сопротизление взаимоиндукции двух линий цровод-земля . . . 151
Литература к главе шестой ...... ...I...... 156
. /
ГЛАВА СЕДЬМАЯ •
СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ
ПРОВОДОВ
27. Среднее сопротивление взаимоиндукции между любыми двумя
проводами системы -................. .................. . 156
28. Сопротивления прямой и обратной последовательностей трех-
фазноиТодноцепчой линии электропередачи . .... 158
29. Сопротивления нулевой последовательности одноцепных и двух-
цепных линий трехфазного тока без тросов................... 160
30. Схемы замещения двух взаимоиндуктирующих систем па-
раллельно расположенных проводов в нулевой последова-
тельности. Сопротивления нулевой последовательности. трех-
фазных линий с тросами. Схемы-рамещения двухцеппой ли-
ний при замыкании на землю в одной из цепей .' . . . . . 169
Пример 2< ....... . ............................... 175
31. Сопротивление нулевой, последовательности подземных кабелей 185
Пример 21—22 ........................................ 188—190
Литература к главе седьмой» ....... ........... 193
Основные индексы н обозначения . . . . . •...........' 194
РАЗДЕЛ П Е Р В Ы Й
ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
ГЛАВА ПЕРВАЯ
ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОСТОЯННЫХ ТОКОВ
В ЗЕМЛЕ
t L ВВЕДЕНИЕ
Для предупреждения возможности попадания человека
под опасные напряжения при стекании в землю через за-
земляющие устройства тока замыкания на землю /3 необхо-
димо, чтобы „на п р я ж ен и е пр и к ос новен и я“ U„ и ма-
ксимальное „напряжение шага “ иш (фиг. 1) не превос-
ходили определенной величины. Отношение каждого из этих
4/А
напряжений для данных условий
к напряжению U3 заземлителя
определяется соответствующими
коэффициентами: „коэффици-
ентом напряжения при-
косновения”
«-г; 0,1)
3
Фиг. 1.
и „коэффициентом напряжения шага”
.(1,2)
Численно эти коэффициенты определяются типом зазем-
ляющего устройства. .
Таким образом, для обеспечения допустимых напряже-
ний прикосновения и шага необходимо выполнить каждое
заземляющее устройство так, чтобы напряжение заземлителя
не превосходило меньшего из значений, определяемых выра-
жениями (1,1) и (i;2). • ‘ ' '
9 Элементы теории постоянных токов в земле [гл. »
Напряжение заземлителя пропорционально стекающему
с него току замыкания на землю /3 и так называемому со-
противлению растеканию заземлителя R3, кото-
рое мы в дальнейшем для простоты будем условно называть
сопротивлением заземлителя:
U3 = I3R3, (1,3а)
или
R3=^-. (1,36)
При заданных условиях (конструкции заземляющего
устройства, расположении относительно него заземленных
предметов и т. д.), а следовательно, и коэффициентах ап и аш
и расчетном токе замыкания на землю /3 расчет заземляю-
щего устройства сводится к определению размеров последнего
в целях достижения надлежащего его сопротивления, опреде-
ляемого из (1,36) [Л. 1, § 1 и 6; Л. 2, стр. 3—5, 167—168
и § 42'и 48; Л. 3, XXI, 1 - XXI, 5].
Весь раздел первый в основном и посвящен определению
сопротивлений для некоторых типов заземлителей.
В дальнейшем все электрические и магнитные величины
будут выражаться в единицах практической системы1 [см. на-
пример: Л. 4, приложения и § 46; Л. 6].
2. ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ. ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ПРЯМОЛИНЕЙНЫХ И КРИВОЛИНЕЙНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ
КООРДИНАТАХ
Основные допущения. В основу всех выводов настоя-
щего раздела положены два допущения:
1. Земля во всей своей толще предполагается однород-
ной, т. е. обладающей одной и той же удельной электриче-
ской проводимостью.
В действительности электрическая проводимость землй
зависит и от состава почвы, в частности от степени влаж-
ности, и от ее температуры [Л. 1, § 1; Л. 2, гл. III; Л. 3,
табл. XXI, 4].
В качестве средней величины удельной проводи-
мости земли можно принять
тогда среднее удельное сопротивление земли
Рг (ер) = 104 Q cm. (1,46}
1 Более подробные указания автора здесь опущены.
§21
Основные допущения
9
Для сравнения приведем примерные значения удельных
проводимости и сопротивления меди и железа (при О °C):
7си = 6,5-lO6-^-; pcu -= 1,54- 10-еS cm,
следовательно, )
-^- = 6,5-IO9,
^£' (ер)
т. е. • удельная проводимость меди в среднем в 6,5 млрд,
раз больше удельной проводимости земли;
7Ре ~ 1,1 • ЮБ; pFe == 9,1.10-6 й ст
и
-^- = 1,1-109.
. (ер)
Из приведенного сравнения видно, что пренебрегать
электрическим сопротивлением земли, или, что то же, паде-
нием напряжения в земле при протекании по ней рассмат-
риваемого тока можно только в тех случаях, когда для
тока предоставляется очень большое сечение, и, следова-
тельно, плотность тока получается настолько малой, что
даже при достаточно большом удельном сопротивлении
земли падение [напряжения в ней оказывается ничтожным.
Поэтому на небольших расстояниях от заземлителя, когда се-
чение для стекающего с заземлителя тока замыкания на
землю относительно невелико, и следовательно, имеют место
значительные плотности тока, в земле появляется заметное
падение напряжения. Это падение напряжения в земле прак-
тически исчезает на расстоянии порядка 15 — 20 m от зазем-
лителя (фиг. 1) вследствие того, что на таком расстоянии
плотность тока уже очень сильно снижается.
2. Предполагается, что плотность тока j в любой точке
земли постоянна во времени по величине и направлению
[Л. 1, § 2]:
j =const (1,5)
Плотность тока прямо пропорциональна напряженности
Электрического поля:
Т=ЧЁ=-^Е. (1,6)
Линии плотности тока J совпадают.с линиями напряжен-
ности электрического поля Е. В любой точке земли напря-
женность электрического поля, следовательно, также постоян-
на во времени по величине и направлению: Е
Е = const (1,7)
10
Элементы тедред постоянных токов в земле
[гл. I
следует, что интеграл
£
' Фиг. 2.
в
k вследствие постоянства плотности тока во времени и ве-
личина магнитного потока, пронизывающего, любой контур
в земле, постоянна во времени-
^ = °- . .. Р)
Из постоянства магнитного потока для любого контура
[апряженности электрического поля
между - двумя точками А . и В
(фиг. 2) не зависит от пути инте-
грирования:
в в
I ESl-ds— J ESi-ds=Q,
А ' А
В В В
откуда . j ESi-ds = J ESi-ds= f Es-ds= UAB. (1,9)
AAA
Вытекающие друг из друга условия (1,5), (1,7) и (1,9)
могут иметь место только в цепях постоянного тока. Для
сетей переменного тока при небольших частотах — порядка
промышленной (50 Hz) выводы настоящего раздела прибли-
женно применимы/ за исключением заземляющей системы
„опоры—трое1*, для которой выводы, полученные в предполо-
жении протекания по ней постоянного тока замыкания на
землю, в случае относительно малого активного сопротив-
ления тросов, - могут привести к заметным Ошибкам даже
и при промышленной частоте.
- Потенциальное уравнение в прямолинейных ортого-
нальных координатах [Л. 1, § 2; Л. 4, § 25 и 27; Л. 5, § 12,
-14, 15 и 18]. Йз (1,9) следует, что напряженность электри-
ческого поля в земле при протекании по ней постоянных
токов равна градиенту электрического потенциала с обрат-
ным знаком:.
£.= -•ЭГ Д10)
и Е = — grad U. (1,10а)
В частном случае при разложении напряженности элект-
рического п /ля по координатным осям прямолинейной
Ортогональной системы’
dU 1
ох ' |
dU i1 ч
“Ж (МОб)
ди"
дг J
4§-g] маг-Потенциальное^ уравнение v" П
Потенциал, равный нулю, условно приписывается поверх-
ности шарового слоя бесконечно большой проводимости
и бесконечно большого радиуса. При этом иод напряжением
какой-либо ‘точки
подразумевается ее
потенциал.
Вследствие непре-
рывности тока в про-
воднике диверген-
ция плотности тока
должна быть равна
нулю (первый закон
Кирхгофа в диффе-
ренциальной форме):
div j = ^M(I,Ha)
где NJ— поток век-
тора плотности тока.
Из (1,11а) и (1,6)
следует, что дивер-
генция вектора напряженности электрического поля также
равна нулю:
divE₽-^-=0, (1,116)
а из (1,116) и (1,10а) следует, что и дивергенция градиента
потенциала равна.нудю:
div grad С7 = 0. (1»11в)
Элементарный поток вектора напряженности электриче-
ского поля (фиг. 3):
tZ/V£={Ех:+ dx -Er)-dydz±(Ey + c!y — Еу) dz dx:-f-
4~ (^z + dz — Ez) - dx dy =
= , - dx • dу • dz 4- —dy-dz-.dx-\- dz-dx- dy =
ox ' 1 oy uz
/ dEx dE., dEz \ , /т
= (—I- d—5— dx -ay-dz. (1,12)
\ dx ' dy ' dz ) J
Элементарный объем
dV—dx-dy-dz. (1,13)
Из (1,116), (1,12) и (1,13) получаем:
- — дЕл ' dEyf » dEz
£ ’ + -ТГ t i-.. (Mfl
12
Элементы теории достоянных токов в земле
Ггл. 1
Подставляя в (1,14) значения напряженности электриче-
ского поля из (1,10а) и его составляющих из (1,106), полу-
чим потенциальное уравнение в системе пря-
молинейных ортогональных координат:
- div div grad U = = ДП= 0, (1,15)
где (оператор Лапласа)
Потенциальное уравнение в криволинейных ортого-
нальных координатах. Для определения электрических по-
лей вокруг заземлителей представляет удобство введение
систем криволинейных ортогональных коорди-
нат.
На фиг. 4а представлена произвольная точка Р, опреде-
ляемая в прямолинейной ортогональной системе координат
х,у, z с началом 0 координатами х,у viz. ОС означим криво-
линейные координаты точки Р через g, h и k.
Проведем через точку Р три кривые координатные по-
верхности, характеризующиеся тем, что на каждой из них
значение одной из криволинейных координат остается
постоянным, т. е. поверхности
g= const,
h — const,
k=const.
Линии пересечения этих поверхностей являются коорди-
натными линиями и характеризуются тем, что вдоль каждой
§2]
Потенциальное уравнение
13
из них изменяется только одна из координат. Вследствие
ортогональности рассматриваемой системы координат, коор-
динатные линии в каждой точке взаимно перпендикулярны.
Аналогично прямолинейной системе координат в данной кри-
волинейной мы будем называть координатные линии линия-
ми соответственно g„ hnk.
Между криволинейными н прямолинейными координатами
точки имеет место связь,
определяемая соответ-
ственными уравнениями:
x=-fAg, h, k),
h, A),
z = fz(g, h, k\
(1,17)
Элементарным приращениям dx, dy и dz длины вдоль
прямолинейных координатных осей соответствуют элемен-
тарные приращения dsg, dsh и dsk длины вдоль криволиней-
ных координатных линий (фиг. 46):
rfs*=/GW+Gny+Gs МУ - Hdh’ 1 (V8)
*.=/GHy+$<»)’+( W=I
где
«=ЖУ + (^У+(^)’. (I, ,9)
х-УШ+Ш+Ш- I
Дивергенция здесь может быть определена совершенно
аналогично тому, как она была определена при прямолиней-
ной ортогональной системе координат (фиг, 4в).
14 Элементы теории постоянных токов в земле [гл., 1
---------------------'--------------------- - - >• .~-----—
Элементарный поток вектора напряженности электриче-
ского поля с учетом (1,18) ‘
dNE *=Eg+as-{dsh dsk)g+dg - Eg (dsh dsk\ +
+ Eh + dh • (dsk • ds 'E)h + dh Eh\dsk • ds^h -{- *
“f" Eg ak • dsfik .j: dk EF (dsg dst)k =
d(Eg-'H-K) ' J d(Eh-K-G)
=-----------dg-dh dk -j------------dh -dk-dg-\-
. d(Ei,-G-H) ,, , ,,
4——. dk dg-dh =
d(Es-H-K) t 'd[Eh.K-G) , d(Ek-G-H)-}^ t J,
L dg dh "* dk ylg-dh-dk. (1,20)
Элементарный объем с учетом (1,18),
dV ~tisg-dsh-dsk= G-H-K-dg-dh-dk. (1,21)
Произведя подстановки из (1,20) и (1,21) в (3,116), полу-
чим:
-г- _ j--
diV^— ~GHK
д(Е^Н-К) .d(Eh-^-G) d(Ek-G-H)\.
dg :> + ~ dh , '“ dk
= 0/ (1,22)
1 i , _ - У: i - f f z
Составляющие напряженности электрического поля вдоль
координатных линий в соответствий с (1,10) и (1,18):
F _ dU _ 1 \dU 1
g 'л &sg G'dg‘ .
F___d'U __ 1 'dU
Ch~~X ds^~ H ' d/l
F ’ ffU ' i --du
Ck ^k~ ' dk •
(1,23)
Из (1,10a), ^(1,22) h_JI,23)’ получаем потенциальное
уравнение в системе криволинейных ортого-
налъных координат:
div grad LI — — divE'=MJ — \ X
, <jr*/7eA
Д’d dC \ dU_\'S d (G^H at/ДЗ
A L <% \ Gii ’ og. j + dh \ ‘ dh^-j 1 dk л ’avJ
°- ПЖ,
§41
-. Плоскопараллельное поле
1
3. ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ НА ГРАНИЦЕ ДВУХ СРЕД*
. [Л. 1, § 3] . ;
Разложим векторы напряженности электрического поля
(£\ и Д2) в бесконечно близкйх друг к другу точках, распо-
ложенных соответственно в средах 7 и 2 у границы этих
двух сред (фиг.. 5), на тангенциальные (Ett,Etl) .и нормаль-
ные (Еп„ Е„а) составляющие. , ,; -
Вследствие неизменности магнитного поля [из (1,8)]
Etl=E^. (1,25а)
Произведя подстановку в (1,25а) из (1,10), получим:
•: . (,25б)-
; э dst dst -
Условие (1,25б) выполняется в том случае, если непосред-
ственно у границы потенциал в любой точке для обеих сред
имеет, одно и то же значение.
Вследствие непрерывности тока
jn,= jns- (1,26а)
Произведя подстановку в (1,26а)
значения j из (1,6), получим:
= (1,266
.. ... - V
Принимая во внимание фиг.
и выражения (1,25а) и (1,266), на-
ходим отношение тангенсов углов „
наклона векторов напряженности У
электрического поля к нормали
у границы в обеих средах:
P-t.
<g°4 _ д„, T1
^“2 Pt, Рщ ,12 '
£
4. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ПОЛЕ
(Л. I, §.15] г
Под плоскопараллельным, как известно, подразу-
мевается такое силовое поле, в котором'отсутствует состав-
ляющая рассматриваемого вектора в некотором определен-
ном направлении, например, -в направлении Оси'z. Во всех
плоскостях; нормальных к- этому направлению, в указанном-
случае в плоскостях, параллельных плоскости хоу, ^ имеет"1
место одна и-та. же картина:линий поля. ~
1 Данный параграф .-помещен в несколько сокращенном виде.: и
16
Элементы теории постоянных токов в земле
|гл. 1
Поверхностями уровня в таком поле являются цилиндри-
ческие поверхности с образующей, параллельной оси z.
При этом
^=-4г=°-
Соответствующее потенциальное уравнение в прямоли-
нейных координатах может быть получено из (1,15)
и (1,28):
а>29)
Плоскопараллельное поле может быть создано бесконеч-
но длинным расположенным вдоль оси z заземлителем про-
извольного, но неизменного по длине сечения выполнен-
ным из материала с бесконечно большой проводимостью и
следовательно, при совершенно равномерном распределении
вдоль оси z стекающего с этого заземлителя в з§млю тока,
т. е. при постоянной вдоль этой оси линейной плотности
тока i (в А/сш), численно равной току, стекающему в землю
с единицы длины заземлителя. При этом распределение плот-
ности тока по периметру сечения заземлителя может быть и
неравномерным.
Частным случаем такого заземлителя является идеальный
„линейный" заземлитель, т. е. заземлитель в виде
бесконечно длинной прямой линии (фиг. 6).
§ 4)
Плоскопараллельное поле
Одинаковое (во внешней его части х) с нолем линейного
заземлителя создается поле круговым цилиндрическим за-
землителем с осью, совпадающей с линейным заземлителем
и при той же линейной плотности тока I.
Из условия непрерывности тока следует, что в случае
плоскопараллельного поля линейная плотность тока для лю-
бой поверхности уровня остается равной линейной плотно-
сти тОка заземлителя. Отсюда* в частном случае — линейногр
дли кругового цилиндрического заземлителя — может быть
определена плотность тока (в А/cm1 2), а по последней
и напряженность электрического поля на любой поверх-
ности уровня: а
j = (1,30)
J 2пр-1 2яр ' ’
а из (1,30), (1,6) и (1,10)
или
&U j 1_
dp 2ят р ’
где р — радиус рассматриваемой поверхности уровня (кру-
гового цилиндра).
Уравнение (1,316) является потенциальным урав-
нением; из него мы получаем:
(7,_.2е|Пр+с=5£?1ПД+с. (1,32)
Если принять условно, что потенциал цилиндрической
поверхности с некоторым радиусом р*р0 равен нулю,
Ц-₽0=о,
то из (1,32) следует:
(1,33,
и
(1,34)
Симметричное круговое цилиндрическое поле является
частным решением потенциального уравнения плоскопарал-
лельного поля (1,29). Более общим решением является либо
вещественная и, либо мнимая v компоненты любой анали-
тической функции w от комплексного переменного ?:
та (1,35)
1 Аналогично этому шаровым заземлителем создается во внешней
части такое же поле, что и точечным, расположенным в центре шара,
при одном и том же стекающем в землю токе [см. ниже, § 5 и б].
2 Марголин
(1,316)
18 Элементы теории постоянных токов в земле (гл. 1
где
• /. ' . z=x \ /у. (1,36).
Производная от аналитической функции w по комплекс-
ному переменному z' должна получиться одинаковой неза-'
висимо от того, как образуется дифференциал от z.
' Разберем дв.а случая:
а), для этого случая dw dz = dx-, ди I . dv (1,37). (1,38). (1,39) (1,40)
4 б) для этого случая dw _ dz _ ди dx 1 •' dx ’ -dzs=d(jy); ,dv_ . da dv
dz j-ду d_y dy 1 dy
Приравнивая друг другу (1,38) и (1,40), получим:
ди । . ди . ди . dv
дх дх J ду "Т" иу '
Приравнивая отдельно вещественные и мнимые
ляюЩие обеих производных, получаем окончательно
состав-
уравпе-
ния, называемые обычно уравнениями Коши —Ри-
м<на (Cauchy, ..Riemann) [Л. 7]:
ди dv
: у • ; - • - дх ду дх ~ ду ’ ( ди f ду ‘ 1 (1,41)
Из уравнений Коши — Римана пол, d2zz _ d2v /чаем:
дх2 д?и Оу^дх ’ дч-и (1,42а)
ду2 d2v dx-dy. д2и ✓
Ь* * ’ ду2 d2v дх-иуУ l <Уи ! । (1,426)
Из (1,42а) следует: .. Г . дх2 №и ду-дх дЫ -_ 0 (1,43а) (Т,43б);,
а из (1,426) дх2 d’-v ду2 . —б
. - • д.у2 _ и
§,61
Заземлитель произвольной формы
19
Сравнивая (1,43а) и (1,436) с (1,29), мы видим, что как ве
шественная, так и мнимая часть функции w является ре-
шением потенциального уравнения.
Для получения их конкретных значений необходимы до-
полнительные условия. Обычно таковыми являются следую-
щие два условия: 1) поверхность заземлителя является поверх-
ностью уровня (см, ниже, § 5); 2) если |z| стремится к бес-
конечности, то поверхность -уровня стремится к круговому
цилиндру аналогично' тому, как в общем случае на беско-
нечно больших расстояниях от заземлителя конечных разме-
ров поверхность уровня переходит в шаровую (см. ниже, § б).
5. ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ, СО ВСЕХ СТОРОН
БЕЗГРАНИЧНО ОКРУЖЕННЫЙ ЗЕМЛЕЙ
[Л. 1, § 4]
г ...... . - J _ - 4
Представим себе заземлитель произвольной формы из
относительно (по сравнению с землей) хорошо проводящего
материала (практически в большинстве случаев железный),
со всех сторон безгранично окру-
женный землей. Пусть к этому
заземлителю через изолирован-
ный провод подводится ток /3,
который с заземлителя стекает
в землю (фиг. 7).
Мы видели выше (§ 2), что
если заземлитель сделан из хо-
рошо проводящего материала, то
его удельная проводимость очень
велика по сравнению с удельной
проводимостью земли, так что
можно принять
— —- ОО, (1,44а)
•г
или
Фиг. 7.
Ъ —* оо. (1,446)
С другой стороны, между плотностью тока и напряжен-
ностью поля в любой точке-заземлителя имеет место таксе
же соотношение,-как и для земли [см. (1,6) и (1,10а)]:
/з = ТзЕ3 = — grad U3. (1,45)
Поскольку плотность тока в заземлителе является вели-
чиной конечной, то из (1,446) и (1,45), следует, что напря-
женность поля внутри заземлителя равна нулю:,
E3=Q,
(1,46 а)
2*
So
Элементы Теории пбстбяйных токов в земле
[гл: Г
и потенциалы во всех точках заземлителя равны друг другу:
U3 ~ const (1,466)
Допущение о равенстве потенциалов во всех точках за-
землителя равносильно пренебрежению его собственным со-
противлением Ч
Таким образом, поверхность заземлителя можно с очень
большим приближением к действительности считать поверх-
ностью уровня и принять, что у поверхности заземлителя
напряженность электрического поля и пропорциональная
ему плотность тока направлены по нормали к ней (фиг. 7).
Обозначив величины у поверхности заземлителя индексом з,
получим:
(1,47)
где -------производная от потенциала по нормали к по-
верхности заземлителя.
Плотность тока распределяется по поверхности заземли-
теля по закону, определяемому формой заземлителя.
а] Полный ток, стекающий с заземли-
ь / теля в землю
f j3‘df, (1,48)
Т где df— элемент полной поверхно-
\/ сти F заземлителя.
У----Элемент поверхности действитель-
Z \ ного заземлителя мы можем рассмат-
фиг. 8> ривать как элементарный точёч-
н ы й з а з е м л и т е л ь, расположенный
в данной точке, с которого стекает элементарный ток -
dl3~j3-df. ' (1,49)
Рассмотрим электрическое поле, которое было бы обра-
зовано элементарным точечным заземлителем при стекании
с него тока dl3, если бы этот точечный заземлитель был
со всех сторон окружен землей, т. е. если бы не имела
места вся остальная часть заземлителя (фиг. 8).
Вследствие симметрии линии плотности тока и совпадающие
с ними линии напряженности электрического поля здесь ока-
зываются направленными по радиусам концентрических сфер,
а поверхностями уровня являются эти сферические поверх-
1 Это следует иметь в виду при применении термина „сопротивление
заземлителя", под которым понимается величина, отличная от сопротив-
ления самого заземлителя.
Заземлитель произвольной формы 21
ности, в центре которых расположен рассматриваемый
точечный заземлитель.
Вследствие непрерывности (соленоидальности) тока имеем
на расстоянии р от рассматриваемой точки (центра сферы):
dj'4-ttp2 — dl3,
откуда
dr,
dj=^' (1.50)
Из (1,50) и (1,6) имеем:
dE = — (1,51)
Принимая во внимание (1,51), определяем элементарный
потенциал сферической поверхности уровня радиуса р, соз*
даваемый током dl3:
ОО со
dU= Г (dE) -dp = Г J^--dp=-^~> — . (1,52)
«У V ' г 4717Р-1 р v 7
p p
Из (1,52) и (1,49)
= Г J* df
чят J p 4лт p
F F
Совершенно очевидно, что поле, образованное шаро-
вым заземлителем радиуса р0, безгранично со всех
сторон окруженным землей, со стекающим с его поверх*
йости током
/,=;3-4пр’,
Вне этого заземлителя такое же, как и создаваемое .током 19,
стекающим с точечного заземлителя, расположенного в цент-
ре рассматриваемого шарового заземлителя: в соответствии
с (1,52)
U=^~. (1,54)
Однако, определение в какой-либо точке земли потен-
циала, созданного полным током заземлителя 13, в виде
суммы потенциалов, созданных элементарными точечными
заземлителями, в предположении, что каждый из послед-
них безгранично со всех сторон окружен землей, невоз-
можно, так как при этом не учитывалось бы то, что. часть
пространства конечных размеров, занятых самим заземли
тёлем, обладает удельной проводимостью, отличающейся
ОТ удельной проводимости земли. Иными словами, опреде-
22
Элементы теории постоянных токов в земле
[гл. I
ление потенциала какой-либо точки земли по выраже-
нию (1,53) является, строго говоря, неправильным.
Определение потенциала таким путем практически ока-
зывается невозможным еще и потому, что для Получения
картины электрического поля, при помощи потенциаль-
ного уравнения (1,53), необходимо знание закона распреде-
ления плотности тока j3 по поверхности заземлителя. В гро-
мадном большинстве случаев это распределение заранее
неизвестно и приходится поступать как раз наоборот—по
заданной картине поля определять плотность тока ja в инте-
ресующей точке, исходя из выражения [см. (1,6) и (1,10)]:
= (Ь55)
dU
где — производная от потенциала по нормали к поверх-
ности уровня, проходящей через данную точку.
Для точек земли, расположенных от любой точки зазем-
лителя на расстояниях, очень больших по сравнению с раз-
мером заземлителя, можно принять расстояния от рассмат-
риваемой точки земли до любой точки поверхности зазем-
лителя равными некоторому среднему расстоянию ре. Весь
заземлитель, таким образом, можно принять как бы сосре-
доточенным в одной точке, находящейся на расстоянии ре
от рассматриваемой точки земли. Для таких точек можно
принять, что [ср. (1,54)]
U -> оо -Т—-. (1,56)
Поверхности уровня от формы, близкой к форме поверх-
ности заземлителя, постепенно, по мере отдаления от зазем-
лителя, переходят к форме, приближающейся к сфериче-
ской поверхности (фиг. 7), чему и соответствует выраже-
ние (1,56).
На том положении, что поверхность заземлителя можно
считать поверхностью уровня и что поверхности уровня от
формы поверхности заземлителя переходят к сферической
С нулевым потенциалом, и основан в дальнейшем анализ
электрических полей вокруг заземлителей.
6. ВЛИЯНИЕ ЗЕМНОЙ ПОВЕРХНОСТИ. МЕТОД ЗЕРКАЛЬНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
[Л. 1, § 5]
В действительности заземлитель не окружен безгранично
со всех сторон землей, как это было принято в предыду-
щем параграфе, а находится на конечном расстоянии от по-
верхности земли. Мы можем рассматривать землю как бес-
§ 6]
Влияние земной поверхности
23
конечное полупространство с совершенно плоской поверх-
ностью, которой земля граничит со вторым полупростран-
ством, заполненным воздухом. Проводимость земли по срав-
нению с проводимостью воздуха очень высока, так что
можно принять:
(1,57)
*возд к
Из (1,57) и (1,27) следует, что нормальную составляющую
напряженности электрического поля у поверхности земли
можно принять равной нулю:
‘g “£
-------— -*•' 'оо,'
'S авозд
или
(£„), = ^-(^)воз,=0.
(1,58)
Электрическое поле, создающееся при протекании по-
стоянных токов в земле, может быть отображено таким
электрическим полем, в кото-
ром вдоль какой-нибудь пло-
скости нормальная составляю-
щая напряженности поля Еп
равна нулю. При этом зем-
ля имитируется полупростран-
ством, расположенным по одну
из сторон указанной плоскости.
Рассмотрим сначала поля,
образованные элементарными
точечными заземлителями, с
Которых стекает элементарный
TOK dl3.
Пусть такой элементарный
точечный заземлитель распо-
ложен на поверхности земли Фиг.,9.
(фиг. 9). Сферическое поле, ;
т. е. поле со сферическими поверхностями уровня (получен-
ное нами раньше для элементарного заземлителя, со всех
сторон безгранично окруженного землей), обладает как раз
тем свойством, что вдоль любой плоскости, проходящей
через заземлитель, нормальная составляющая напряженности
электрического поля
£„~0.
Это сферическое поле и является полем, создаваемым
в земле точечным заземлителем, расположенным на ее л<ъ
верхности. В воздух вследствие очень малой проводимости,
24
Элементы теории постоянных такоз в земле
Г ГД. 1
принимаемой нами равной нулю, токи с заземлителя стекать
не будут.
Если представить себе далее второе заполненное землей
полупространство над горизонтальной плоскостью, проходя-
щей через элементарный заземлитель, т. е. над действитель-
ной поверхностью земли, и второй точечный заземлитель .
со стекающим с него током dl3, расположенный в той же
точке, что и действительный, то мы в общем получим один
точечный заземлитель со стекающим с него током 2-б?/э, со
всех сторон безгранично окруженный землей и создающий
в действительной земле такое же электрическое поле, как
и действительный элементарный заземлитель, расположен-
ный на поверхности земли со стекающим с него током dl3.
Но есди элементарный точечный заземлитель располо-
жен в земле на некоторой глубине t (фиг. 10), то в этом
случае сферическое поле уже не может удовлетворять
условию (1,58), что нормальная составляющая напряженности
электрического поля у поверхности земли равна нулю. Та-
кому условию удовлетворит поле, образованное двумя то-
чечными заземлителями — действительным и фиктивным, яв-
ляющимся зеркальным изображением первого относительно
поверхности земли, если предположить, что и второе по-
лупространство над поверхностью земли также заполнено
Землёй (фиг. 10).
Переходя к случаю заземлителя с конечными размерами,
мы получим, что такое же поле, которое создается этим за-
землителем в действительной земле, может быть получено,
если представить себе второе полупространство над поверх-
ностью Действительной земли также заполненным землей.
Влияние земной поверхности 25
и в этом полупространстве расположенным второй — фиктив-
ный заземлитель, являющийся зеркальным изобра-
жением действительного относительно поверхности земли.
При этом следует себе представить, что со второго—фик-
тивного—заземлителя стекает такой же ток /3, как и с дей-
ствительного заземлителя (фиг. И).
.В частном случае, когда заземлитель крнечных размеров
расположен у поверхности земли (фиг. 12а), мы получим
один фиктивный комбинированный заземлитель (фиг. 126) со
всех сторон безгранично окруженный землей, со стекающим
с него током
/г = 2/а (1,59)
(аналогично току 2dl3, стекающему с фиктивного точечного
заземлителя на фиг. 9). Этот фиктивный заземлитель состав-
ляется из действительного И его зеркального отражения от
йоверхности земли.
Применяя к фиктивному комбинированному заземлителю
(фиг. 126) выражение (1,56), для отдаленных от заземлителя
точек получим, принимая во внимание (1,59):
1е 4
. , ,1»'
ЛИТЕРАТУРА И ГЛАВЕ ПЕРВОЙ
1. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932 г.
(.перевод с немецкого), § 1— 7.
2. Вайнер, Заземления, ГНТИУ, 1938 г., стр. 3 — 5, 167—168
и § 8.
3. Глазунов (редактор), Электрические станции и подстанции,
* осэнергоиздат, 1944 г., §§ XXI, 1 —XXI, 5.
4. К р у г, Основы электротехники, т. I, ГОНТИ, 1938 г., § 25, 27, 46,
" приложения.
(1,60)
26
Единичные заземлители у поверхности земли
Ггл.?
5. К о ч и н. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления,
ОНТИ, 1937 г., глава II.
16. Пол ь, Введение в современное учение об электричестве, ГНТИ
1933 г. (перевод с немецкого).
7. Смирнов, Курс высшей математики, ГТТИ, 1934 г., т. III, гл.
IV, § 76.
ГЛАВА В'РОРАЯ
ЕДИНИЧНЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
7. ПОЛУШАРОВОЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ
[Л. I, § 8]
На фиг. 13а представлен расположенный у поверхности
земли полушаровой заземлитель радиуса р0, с которого сте-
кает в землю ток /э. Электрическое поле вокруг этого за-
х землителя может быть определено по методу зеркальных
изображений (§ 6): оно идентично полю шарового заземли-
теля того же радиуса р0 с цент-
ром, расположенным в центре
рассматриваемого заземлителя,
при условии, что этот фиктивный шаровой заземлитель со
всех сторон окружен землей (фиг, 136) и с него стекает
фиктивный ток [см. (1,59)]
/е = 2/3. '
Как уже было указано (§ 5), поле, образованное шаро-
вым заземлителем, со всех сторон безгранично окруженным
землей, вне этого заземлителя идентично полю, создаваемому
точечным заземлителем, расположенным в центре шарового,
при условии, что с точечного 'заземлителя стекает такой же
ток, что и с шарового. В силу симметрии поверхности уровня
этого поля являются сферическими, как это уже было нами
установлено для элементарного точечного заземлителя.
Потенциал (или напряжение) какой-либо точки этого поля,
Находящейся на расстоянии р от центра заземлителя^ может
быть получен из выражения (1,54), если в нем заменить -/^
на
U = ш 1)
§ 7]
Полушаровой заземлитель
27
В соответствии с (11,1) потенциал (или напряжение) зазем-
лителя
(II,2)
Назовем относительным на пряжение м, U в ка*
кой-либо точке рассматриваемого поля отношение напряже-
ния U в данной точке к напряжению U3 заземлителя.
’> Из (11,1) и (11,2) получаем: j
: Ьп-з>
U
♦
1
(де под относительным расстоянием р данной точки
подразумевается отношение ее расстояния р от центра зазем-
лителя к радиусу заземлителя р0:
Р (II,4)
* Ро
На фиг. 14 представлена кривая
относительных напряжений на по-
верхности земли:
4? *
Сопротивление заземлителя
может быть определено из /т’
и (1,36):
/?-£k_ 1 ..
Кэ 13 >ТРо
(П,2)
(П,5)
а.9
0.8
0.7
0.8
0.5
0,9
0.3
0.2
0.1
Фиг. 14.
. , ‘ и и
Так как напряжение заземлителя обусловлийа'ется' не
протеканием тока через самый заземлитель, падением на-
йряжения в котором мы пренебрегаем, а протеканием тока
в земле, то и сопротивление заземлителя определяется удель-
ной проводимостью земли у которой оно обратно. пропори
Циональио. .......................................... ~ л J
28
Единичные заземлители у поверхности земли
Ггл. 2
Из (П,5) следует, что сопротивление рассматриваемого
нами полушарового заземлителя обратно пропорционально
его радиусу р0, т. е. обратно пропорционально не площади
его поверхности, а только корню квадратному из этой пло-
' щади. Это объясняется тем, что, хотя плотность тока в слоях
земли, прилегающих к заземлителю, зависит от значения
тока /э и от формы и площади поверхности
заземлителя (см. также § 5, фиг. 7), но пло-
щадь . сечения для тока, поступающего из
заземлителя в землю, увеличивается по
отдаления от заземлителя и все менее
'.сит от формы и размеров заземлителя.
Шаговым
пряжением иш в
какой * либо точке,
расположенной на
поверхности земли,
на расстоянии р от
центра заземлителя,
называется напряже-
ние между двумя
точками, лежащими
на прямой, проходя-
щей через центр за-
и находящимися на
U
и.
J
Фиг. 15.
мере
зави-
н а-
землителя и рассматриваемую точку,
расстояниях, равных половине шага, г.о обе стороны от этой
точки (фиг. 15).
Обозначив величину шага через S, получим из приведен-
ного определения и (11,1):
и 1з f 1 I
----Г~—-----Г~
v 2 Р "I- *2*
‘з . s
2лТ 1
1 P2-TS2
Относительным шаговым напряжением назы-
вается отношение шагового напряжения к напряжению зазем-
лителя-:
(11,6)
I] —Чш
Ш -- /г .
Подставив в (11,7) Значение иш из (11,6) и U3 из (II,2)
и введя относительное расстояние р для рассматриваемой
очки [см. (П,4)], Получим: *
s
TJ —____» __
» 1 9 ’
pa-T-S2
S’ * * »
— — относительная длина шага.
(П,7)
(П.ба)
где
Полушаровой зазеМЛйтёЛь
Из (И,6) и (П,6а) следует, что напряжение шага резко
уменьшается с увеличением расстояния р рассматриваемой
точки от заземлителя (фиг. 16). Максимальное значение ша-
говое напряжение получает на расстоянии половины шага
от края заземлителя:
Из определения и из (П,6) получаем:
(И, 8)
ш
2^Рэ(Ро + 5) •
Максимальное относительное шаговое напряжение
или, что то же, коэффициент напряжения шага а,„
[см. (1,2)] можно определить из (11,2) и (П,8):
иш та о = а» = в • СИ,8а)
Пример 1. Определить сопротивление R3 и коэффициент напряжений
шага аш, для расположенного у поверхности земли полушарового заземли-
теля радиуса р0 = 100 ст с поверхностью
F = 2r.pl = 6,28 • 104: стг= 6,28 нА
Проводимость земли
7 = 10-4 1
Принимаем величину шага
Из (П.5) $ = 80ст.
Ост '
1
/?, = ——4— =: 16 а.
3 2я-10~4-100
3ft Единичные ЗаземлитёЛи у йовёрхности земли
Из (II,8а)
' ' 80
11 _ аш— 100 + 80 =°>445- , -
По; выражениям (11,3) и (II,6а) построены кривые £Д(р)‘
и t/»(p), приведенные на фиг. 14 и 16.
8. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КРУГЛЫЙ ВЕРТИКАЛЬНЫЙ (ТРУБЧАТЫЙ)
ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ
[Л. 1, § 70]
Цилиндрические круглые вертикальные заземлители на
практике в громадном большинстве случаев выполняются
из труб и поэтому обычно носят название „трубчатых",
которого и мы будем придерживаться.
На фиг. 17 представлен расположенный у поверхности
земли забитый вертикально трубчатый заземлитель длиной I
и радиуса р0, причем, как это обычно имеет место,
Ро с I (II,9)
(грубо в среднем -у- = 0,01). С этого заземлителя стекает
в землю ток 13. - •«
Дополнив трубчатый заземлитель его зеркальным изо-
бражением согласно § 6, мы получим трубчатый зазейли-
тель, безгранично со всех' сторон окруженный землей, дли-
ной 21 и радиуса р0, со стекающим с него током [см. (1,59)]
, ..... 4=2Л.
..Этот заземлитель, создает в действительной части земли
такое же электрическое поле, какое создается действитель-
ным заземлителем.
/Примем согласно? § ^допущение о том, что поверхность
комбинированного фиктивного заземлителя является поверх-
ностью уровня, й дополним ?его допущением о том, что. эта
поверхность является поверхностью эллипсоида, образован-
ного вращением вокруг оси- трубы вертикально расположен-
ного эллипса с центром., в точке О пересечения оси трубы .
с поверхностью земли, с малой полуосью
Ьз (ал) = Ро, (П, I 0) i
с абсолютным эксцентриситетом, равным I, и, следовательно,
с большой полуосью
0.7 (ал) = (II. 11)
§ 81
Трубчатый заземитель
31
Подставляя в (11,11) значение Ь3{аЛ} из (11,10) и принимая
во внимание (11,9), получим:
а3 (ВЛ)=У /2 + ро ~ I- (П, 11 а)
Поверхность такого эллипсоида на большей части длины
заземлителя очень мало отличается от его действительной
цилиндрической поверхности.
В соответствии с принятыми допущениями относительно
фиктивного заземлителя и вследствие того, что по мере от-
даления от заземлителя поверхности уровня от формы, близ-
кой к поверхности заземлителя, постепенно переходят к форме,
приближающейся к шаровой (§ 5), поверхностями уровня
рассматриваемого электрического поля являются эллипсоиды
вращения, конфокальные с поверхностью заземлителя, т. е.
обладающие абсолютным эксцентриситетом, равным I. Эти
эллипсоиды образованы вращением вокруг оси заземлителя
эллипсов с большими полуосями
,a^=g (П, 12а)
и с малыми полуосями _____________
baJt = Vg2-P. (П,12б)
По мере отдаления от заземлителя, т. е. по мере увеличения
большой полуоси аал.) се отношение к малой полуоси ЬаЛ
вследствие постоянства эксцентриситета уменьшается и в
пределе, стремится к единице:
lim Игл —______________________=1.
g -» оо ®эл g —* со g^ — v*
(11,13)
Из (11,13) следует в согласии с вышеприведенным,
что по мере отдаления от поверхности трубы поверхности
эллипсоидов стремятся к переходу в сферическую поверх-
ность.
Расположим начало координат в точке О и ось oz на-
правим по оси заземлителя (фиг. 17 и 18). Плоскость - хоу
совпадает при этом с поверхностью земли.
Проекцию радиуса-вектора ОР к какой-либо точке Р с
координатами л, у и z на плоскость хоу обозначим через р.
ь координатами х и у величина р связана следующими урав-
нениями:
• x=p-cosi, (П,14а)
y=p-sin<b
(П, 146)
р^Ух'+у2, (П,14в)
н^осьеГо™ МеЖДУ ука3анной пРоекцией радиуса-вектора
Фиг. 17.
§ 81
Трубчатый заземлитель
33
Плоскость, проходящая через ось заземлителя и какую-
либо точку Р и. составляющая угол ф с плоскостью zox,
называется меридиональной плоскостью. Пересечение
эллипсоида вращения с меридиональной плоскостью дает эл-
липс, уравнение которого в системе координат z, р имеет вид:
4+-^Г=1- (IMS)
Линии плотности тока j и совпадающие с ними
напряженности электрического поля Е, нормальные
верхностям уровня, яв-
ляются расположенны-
ми в меридиональных
плоскостях гипербола-
ми, конфокальными с
эллипсами, вращением
ЛИНИИ
к не-
л
/I
zl
которых вокруг оси за- / yf
землителя; образуются / I
поверхности уровня. —1
Действительная полу-
ось этих гипербол
cLmn=h, (П,16а)
а мнимая полуось
Ъгвп — yfE — h.2 (11,16.6) Фиг. 18.
Уравнение этих гипербол в координатах г, р имеет вид:
—-------—=1 (П 17)
Лг /2-ла '
Ввиду того что потенциал U какой-либо точки Р с коор-
динатами х, у и z (фиг. 17 и 18) определяется положением
ее на определенной поверхности уровня, для составления
потенциального уравнения Д17 — 0 удобно перейти к соот-
ветствующим поверхностям уровня и линиям напряженности
электрического поля—криволинейным ортогоналъ-
йым координатам (§2).
Положение точки Р может быть определено меридио-
нальной плоскостью, в которой она расположена, т. е. углом ф
между этой’ плоскостью и плоскостью zox. Таким образом, ф
является одной из криволинейных координат, которую мы
Обозначим через k'
ф = А (11,18)
В этой меридиональной плоскости положение точки Р
определяется, с одной стороны, прямолинейными координа-
тамир [см, (П,14а), (II,146) и (П,14в)] и z, а с другой стороны.,
® Марголин
34. Единичные заземлители у поверхности земли |гл. 2
тем, что точка Р является точкой пересечения эллипса с
большой полуосью аэд—g и конфокальной ему гиперболы
с действительной полуосью amn = h. Следовательно, g и h
являются остальными двумя криволинейными координатами
точки Р. ’
Координаты g и h, с одной стороны, и р и z с другой, —
связаны между собой уравнениями соответствующих эллип-
са (11,15) и гиперболы (11,17). Решив эти уравнения относи-
тельно р иг, мы получим значения этих двух последних
координат при заданных g и h:
p = /a!-'W-gr. (п>19)
z=t“. (11,20)
Уравнения (II,14а), (II,146), (11,19) и (11,20) дают связь
между прямолинейными и криволинейными координатами.
Нетрудно видеть, что вследствие симметрии картина
электрического поля во всех меридиональных, плоскостях
одна и та же (такое поле называется плоскомеридио-
нальным) и, таким образом, значение потенциала U или
напряженности электрического поля Е не зависит от коор-
динаты ф.
Координатной поверхностью g — const является поверх-
ность эллипсоида вращения с большой полуосью asz=g,
проходящая через рассматриваемую точку Р. Координатной
поверхностью h—const является проходящая через данную
точку Р поверхность гиперболоида вращения с действитель-
ной полуосью агип = к. Координатной поверхностью А=ф=
= const является меридиональная плоскость, проходящая че-
рез данную точку Р..
Координатной линией пересечения поверхностей g= const
и h = const является расположенная в плоскости, перпенди-
кулярной оси oz, окружность радиуса р, проходящая через
данную точку. Вдоль этой .окружности изменяется, только
координата k = ф. Координатной линией пересечения поверх-
ностей й== const и /г = ф = сопз1 является гипербола с дей-
ствительной полуосью amn=h, расположенная в меридио-
нальной- плоскости Рог и проходящая через точку Р. Вдоль
этой гиперболы, изменяется только координата g, т. е. боль-
шая полуось эллипса аал. Координатной линией пересечения
поверхностей k~ ф=const и g = const является расположен-
ный 'В; меридиональной плоскости и проходящий через дан-
ную точку Р эллипс с большой полуосью aaA=g. Вдоль
этого эллипса изменяется только координата h. Касательные
К этим трем координатным линиям в точке Р взаимно пер-
!Гррбчатый заземлитель 33 -
пендикулярны, и введенная система координат является
ортогональной.
Определим теперь входящие в потенциальное уравне-
ние (1,24) величины G,H и К для данной системы координат, к
Из (1,19), (П,14а) и (II,146) получаем:
о_^ИГ+]“],+ (^)1. (11,21)
Поскольку ф— независимая переменная, то
^=0. (11,22)
Из (П,21) и (11,22) следует, что
° = К(cos2 Ф + sin2 ф) )Л + =
-1/ Is V \dg ) + v>g ) ' (П,23)
Из (1,1.9), (II,14а) и (II,146) получаем аналогично дущему: преды-
Из (11,19) (11,24)
и др _ g/ Z3 — h2 dg g2 — Z2 (II,25a)
dp Л -j/ g2 — Z2 (11,256)
Из (11,20) dti i у p —
и oz h og ~~ (II,26a) t
dz g . oh I (11,266)
п /п Разведя подстановки из (II,25а), (II,256) (II,26а) и (11,266)
в (П,23) и (1.1,24), получим: ге
„ 0=/-$^- (11,27)
. "=|Z (П.28)
Ввиду того что координата z не зависит от ф,
^ = °- (П,2£)
3*
Ёдийичйце Заземлйтёлй у йовёрХйостй земли
Ггл. 2
Из (И,14а) и (II,146)
^-=-p-sin* (11,30а)
^- = Р-с<М. (П,30б)
Произведя подстановки^из (11,29), (II,30а) и (11,306) в (1,19),
получим:
/<= ]/р;- (sin* ф-f- cos’ ф) =р. (И,31)
При элементарном перемещении по координатной линии,
вдоль которой изменяется только координата А=ф (эта ли-
ния, как было уже указано выше, представляет собой окруж-
ность радиуса р), описывается элементарный путь [см.
(1,18)1
dsk=K-dk = rjd''j.
В рассматриваемом электрическом поле потенциал изме-
няется только при переходе от поверхности одного эллип-
соида вращения к поверхности другого и остается неизмен-
ным, если, оставаясь на поверхности одного и того же эл-
липсоида, переходить от одного гиперболоида к другому или
от одной меридиональной плоскости к другой:
~ = 0 (II,32а)
и
dU дЦ
dk = оф
Подставляя в (1,24) полученные значения G, Н и К из
(11,27), (11,28) и (11,31) и принимая во внимание (11,19), (II,32а)
и (II,326), получим потенциальное уравнение в выбранной
системе криволинейных координат;
Д (НК_tdU\=J_/&-Р .dU\ = п
dg { G ' dg ) dg\ I ‘ dg / ‘
Перейдем к решению уравнения (11,33).
Непосредственно из (11,33) имеем:
g> — /2 dU _ г
7
откуда
dJJ - _£1£_ Ci
dg g" — P g2 — P *
Решение уравнения (11,34) имеет вид:
7Тт+с.)=с-'"
(II,326)
(И,33)
(П,34)
(П,35)
§&]
Трубчатый заземлитель
37
Определим теперь две произвольные постоянные инте-
грирования С и С4 из пограничных условий.
Постоянная С4 может быть определена из того положе-
ния, что на бесконечно большом расстоянии от заземлителя
мы переходим к сферической поверхности с потенциалом,
равным нулю (см. § 2):
,11m U== lim ZC- In ^-±7 + сЛ = С-In 1-f- С4 = С4 == 0.
g^.(X> g^.OQ \ S J
Следовательно,
£7=C.lnji^. (II,35a)
Постоянная С может быть определена по напряжению
заземлителя. Подставляя из (11,11) в (II,35а) значение боль-
шой полуоси эллипса, соответствующего поверхности зазем-
лителя, получаем:
С-1п
(11,36)
Ua=C-ln^-=----
Vi^p20-i
Учитывая относительную малость радиуса заземлителя р0
(П,9), т. е. принимая во внимание (11,11а), получим:'
L73^2-C.ln —
Ро
и
С=-~г. (П,37)
2 In
Ро
Входящее в (11,37) напряжение заземлителя может быть
найдено, исходя из того положения, что по мере отда-
ления от заземлителя поверхность уровня стремится к сфе-
рической и поэтому ее потенциал может быть определен в
предположении, что действительный заземлитель является
точечным [см. (1,60)]:
U ~ п
р-*°° ~ 2iqPe ’•
В рассматриваемом нами поле стремление поверхностей
уровня к переходу в шаровую сказывается в уменьшении
отношения постоянного эксцентриситета I к растущей боль-
шой полуоси g:
'lim-^-=0. <П,38)
*>38 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
Разложим выражение (II,35а) в ряд:
1
Имея в виду (И,38), получаем, что потенциал стремится
к значению, которое может быть получено из разложе-
ния (П,39), если в нем отбросить все члены, в которых от-
/ „
ношение — входит в степени выше первой.
Учитывая (П,37), имеем:
. (11,40)
8 In — 8
Fo
Приравнивая (П,40) и (1,60) и принимая во внимание, что
’по мере отдаления от заземлителя большая полуось эллип-
соида g стремится к радиусу шара ре, получим:
ls _ U3 I
~ 2/ * ’
In —
Ро
откуда ,
|ПЛ-
Из (11,41) и (1,36) определяем сопротивление за-
землителя:
2/
(j In -—
(ПЛ2а)
Вводя вместо радиуса р0 диаметр трубы d = 2p0 и вместо
натурального логарифма десятичный, получим:
п 2,3 1 . 4Z 0,366 , 4/ ...
= О1-42»)
Из (II,426) видно, что, как и следовало ожидать, сопро-
тивление трубчатого заземлителя обратно пропорционально
проводимости почвы у. Что же касается размеров зазем-
лителя, то на величину сопротивления сильно влияет длина
?его I (сопротивление заземлителя почти обратно пропорцио-
нально /) и весьма мало — его диаметр d.
§ 81
Трубчатый заземлитель
39
Подставляя значение U3 из (П,41) в (П,37), получим:
C=W-
Из (И,43) и (11,35а) получим выражение для потенциала
в любой точке земли:
u=4h~ •1п
4 г у/ g —-1
(П,44)
Найдем теперь распределение потенциала Ц«1/г=о на
поверхности земли вдоль прямой, лежащей на какой-либо
меридиональной плоскости.
Из (11,15)
^ = o=Vpa4-Za. (11,45)
Подставляя значение g из (11,45) в (11,44), получим:
,, '3 , / ра-ь/г +i
? 2=° . 4)qZ In рЗ-р/2 _/
~ . in /Pa + 'L±_t. (11,46)
zr.-(Z р ' '
Назовем относительным расстоянием ? точки на
поверхности земли от оси заземлителя отношение этого
расстояния к длине заземлителя:
Р = ~Г- (11,47)
Сохраняя для относительного напряжения определение,
данное в предыдущем параграфе [выражение (II,3)J, получим
из (11,46) и (11,41):
(П,48)
На фиг. 19 приведена кривая распределения потенциала
на поверхности земли при р0=0,01.
Из (П,46), (11,48) й из кривой фиг. 19. следует, что
наибольшее напряжение и наибольший градиент потенциала
имеют место у края заземлителя:
67 (max) = 67Оо
И
\др Ушах \. др /р=?11
40 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
Для точек, близких к заземлителю, т. е. при р /, из
(П,46) [по аналогии с (Л,41)]
/ 97
т<^-2^1п-р • (П’49)
В соответствии с определением напряжения шага приве-
ченным в предыдущем параграфе (фиг. 15),
Uш (mas) = (U™) , S — ^Po+.S- (Ц50)
Р “ Ро + -j-
Поскольку величина шага 5 в большинстве случаев за-
(С \
—= 0,25-1-0,40),
то при определении шагового напряжения возможно поль-
зование приближенным выражением (П,49).
Принимая во внимание, что радиус заземлителя р0 значи-
тельно меньше величины шага:
(грубо в среднем -у-=0,025-г-0,04), мы можем принять:
(11,51)
§ 91
Цилиндрический полукруглый заземлитель
41
Подставляя в (11,50) значения L7Po и Ц,о + 5 из (П,49) и учи-
тывая (11,51), получим:
”« - Д. 1" S’) - | - W
Из (1,2), (11,41) и (И,52) коэффициент напряжения
шага
-S
1g —
(П,53)
lgK
Пример 2. Определить сопротивление расположенного у поверхности
земли трубчатого заземлителя длиной I = 300 ст и радиусом р0 = 3 ст
или соответственно диаметром d = 6 cm.
Проводимость землиу = 10~ д —.
Для этого же заземлителя построить кривую распределения потенци-
ала на поверхности земли и определить коэффициент напряжения шага,
принимая длину шага S=80 cm.
Из (11,426)
0.366 4-300
₽3 =soo?i(F* g—б—=28,1 °
Из (11,47)
”300 “ 0,01 •
Из (11,48)
Кривая распределения потенциала
(7п (р) приведена на
фиг. 19.
Из (11,53)
80
lg^
- 2-Зои
'Ч Jg~3~
М
9. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ПОЛУКРУГЛЫЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ,
ГОРИЗОНТАЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫЙ У ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ
= 0,62.
'.ТА
а
На фиг. 20 представлен цилиндрический полукруглый
заземлитель длиной I и радиусом р0, горизонтально распо-
ложенный у поверхности земли. Как и для цилиндрического
круглого заземлителя, вертикально расположенного у по-
42 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
верхности земли (см. предыдущий параграф), принимаем,
что
Р«<С4- (п»54)
С заземлителя стекает в землю ток 13.
Дополнив рассматриваемый нами заземлитель его зеркалы-
ным изображением, мы получим горизонтально расположен-
ный цилиндрический круглый заземлитель, безгранично
со всех сторон окруженный землей, с которого стекает
в землю ток [см. (1,59)]
Нетрудно видеть, что электрическое поле, создаваемое
горизонтальным фиктивным круглым заземлителем, а сле-
довательно, и поле,- создаваемое в действительной земле
действительным полукруглым горизонтальным заземлителем,
по своему строению совершенно такое же, как и поле, соз-
даваемое фиктивным вертикальным цилиндическим заземли-
телем длиной I, безгранично со всех сторон окруженным
землей, со стекающим с него током /е = 2/3. Такое же поле
(§ 8) создается в действительной земле действительным ци-
линдрическим вертикальным заземлителем длиной
I
(П,55)
со стекающим с него током 13.
Разница между полями, создаваемыми горизонтальным
и вертикальным заземлителями, заключается только в том,
что эти поля повернуты пространственно друг относительно
друга на 90°. В рассматриваемом случае ось заземлителя
расположена на поверхности земли и поэтому последняя
является одной из меридиональных плоскостей.
Благодаря такому соответствию электрических полей
потенциал (напряжение) рассматриваемого нами горизон-
тального заземлителя получается таким же, как и у верти-
кального длиной Г при стекании с него тока 13.
-Из (11,41) с учетом (11,55) получаем:
= (11,56)
Из (11,56) и (1,36) сопротивление горизонтального зазем-
лителя
2L (п;57>
луД /-j 6 d0’ ' '
где диаметр заземлителя
Цилиндрический полукруглый заземлитель
43
В то время как потенциалы точек на поверхности земли
для вертикального заземлителя изменялись совершенно
одинаково вдоль любой прямой, пересекающейся с осью,
т. е. одинаково во всех направлениях от заземлителя, напря-
жения точек, расположенных на поверхности земли, при
горизонтальном заземлителе имеют такие же значения U9,
как и для вертикального заземлителя, только вдоль пря-
мой р, проходящей через середину заземлителя и перпен-
дикулярно к его оси, т. е. в направлении малой полуоси
Фиг. 20.
эллипсов, образованных, пересечением поверхности земли
с поверхностями уровня—эллипсоидами вращения. Градиенты
потенциала — вдоль этой прямой являются наименьшими,
а следовательно, наименьшими получаются и напряжения
шага вдоль этой прямой.
Наибольшие градиенты потенциала а следователь-
но, и наибольшие напряжения шага имеют место вдоль оси
трубы или вдоль большой оси эллипсов, образованных
пересечением меридиональных плоскостей с поверхностями
уровня—эллипсоидами вращения (фиг. 20). Особенно велика
разница между градиентами потенциала на поверхности
земли вдоль указаниях направлений в точках, расположен-
ных вблизи заземлителя: большие‘значения вдоль оси
трубы в точках, близких к ней, объясняются малыми радиу-
сами кривизны поверхности заземлителя у обоих его кон-
цов (эффект острия, фиг. 21а).
Таким образом для напряжений U9 может быть исполь-
зовано выражение (11,48), если отнести относительное рас-
44 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
стояние р к половине длины горизонтального заземли-
теля I' [см. (И,55)]:
= .-(11,58)
Фиг. 21а.
Кривая Ц,(р) приведена на фиг. 22.
* 1 *
Выражение для напряжения Uz вдоль оси горизонталь-
ного заземлителя может быть получено из общего выраже-
ния (11,44) для вертикального заземлителя, если вместо
величины I подставить р него Г из (11,55) и вместо g—
большой полуоси эллипса (фиг. 216) подставить ее значе-
ние, соответствующее оси заземлителя, т. е. g^o.
Из (П,15) имеем:
5^=0 — 2.
Произведя указанные подстановки в (11,44), получаем:-
’4, - / z 4- Г
Ч.-тН» 7=7-
о :рз.Не’|
Введя относительные координаты
э г = 4 (11,60)
* * ,
и относительные напряжения вдоль оси заземлителя
U.-&. (11,61)
§ б] Цилиндрический полукруглый заземлитель 46
из (11,56) и (11,59) с учетом (11,55) и (11,47) получим:
z + 1
иг------(И,62)
2-Jg-f-
₽о
Наименьшее значение г (и соответственно z), которое
может быть подставлено в (11,59) [и соответственно в (11,62)},
равно большой полуоси эллипсоида вращения, поверхностью
Фиг. 22.
Сравнивая кривые Ua и U2, мы видим, что вблизи зазем-
» *
dU, dU-,
лителя разница между градиентами потенциала и —т—
р
велика, и но по мере отдаления от заземлителя
разница между градиентами потенциала в обоих взаимно
перпендикулярных направлениях сглаживается.
В соответствии с приведенным в § 7 (фиг. 15) определе-
ние^ напряжение шага вдоль оси заземлителя в точке,
определяемой координатой г,
Um г—и S — и 5.
Т г+ -2
46
Единичные заземлители у поверхности земли
[гл. 2
Согласно выражению (II,На) и фиг. 17 краю (торцу)
горизонтального заземлителя соответствует большая полу-
ось эллипса:
= (Г)г -)- pj.
Наибольшее напряжение шага в соответствии с вертикаль-
ным трубчатым заземлителем [см. (11,50)]
Uui(z)max = U -------с = U ,----------—U ,--------- . (1163)
^(гу+'о + у Г (/)’+РО VW+po+s
Разложим выражение \(Z')2 ф- pj по формуле бинома
Ньютона и, вследствие малости величины-^ [см. (11,54) и (11,55)],
Произведя подстановки из (11,59), (11,64) и (11,65) в (11,63)
учитывая также относительную малость значения Лк
«• < ЙИП И
и
получим:
г j ______ l г ^lr , 2Г -f- <S
—In-----y-
2
_4_ln_4i'P-s _ =. 13
4л*Г Po(2/' + S) 2«ТГ 1
S
2Z'+S
Цилиндрический полукруглый заземлитель
4?
§9]
Принимая во внимание относительную малость величины
шага по сравнению с длиной заземлителя,
SC2Z',
получим:
и.(Я„„ = In У =-У-г Ш (П.67)
(11,68)
Из (1,2), (П,67), (11,56). и (П,55) получим:
аш (?) = РС1 •
,g^
Пример 3. Определить сопротивление цилиндрического полукруг-
лого заземлителя длиной 1 = 2/' = 1570 ст и радиусом р0=1,25ст или
соответственно диаметром d=2,5 cm, расположенного у поверхности
земли.
. 1
Проводимость земли у = 10 ст .
Для этого же заземлителя построить кривые распределения потен-
циала на поверхности земли и определить коэффициент напряжения шага,
принимая величину шага 5 = 80 ст.
Из (11,57) сопротивление заземлителя
0.732 2-1570
1570-Ю-4 lg 2,5 =cl4’5Q-
Из (П.48) найдем напряжения в направлении малой полуоси.
Из (11,58) относительный радиус заземлителя
2-1,25
: £°~ 1 57и — °.°016;
при этом ____
1g + -PV + 7~) /, г------г I \
F? =-------------------* _ = 0,323-lg (У 1 +у +у).
Ig о,оо1б
Из (11,62) напряжения вдоль оси заземлителя
z ь 1
1g*------------------------
Sz-I z+1
,. = ----S— = 0,162-lg f—p.
2‘,g 0,0016 *
Кривые U, (g) и UAz) приведены на фиг. 22 и 23.
* * * *
Из (11,68) коэффициент напряжения шага
. 1<1570-80
8 1.25 ,о
=---------1570------0.Z9.
lg 1,25
48
Единичные заземлители у поверхности земли
[гл. 2
Для сравнения определим коэффициент напряжения шага в направ-
лении малой полуоси.
Из (11,53) с подстановкой I’ вместо / получаем:
80
’^1,25 -
~ 1’570 —0,583.
10. ПОЛОСОВОЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ
' Цилиндрический круговой заземлитель, эквивалентный
полосовому. Представим себе бесконечно длинный полосо-
вой заземлитель пря-
моугольного сечения
। " шириной
Ь~2р, (П*69)
безгранично со всех
сторон окружен-
йый землей (фиг. 24).
Толщина пластины
28 предполагается
очень малой по срав-
нению с ее .шириной:
КА- ‘ (П,70)
Это позволяет нам
принять допущение
о том, что пластина
является бесконечно
тонкой. Материал, из
, которого сделана
Фиг. 24.
пластина, предпола-
гается обладающим удельной проводимостью, гораздо боль-
шей, чем земля:
Tg-
(11,71)
На этом основании принимаем допущение о бесконечно
большой'удельной проводимости пластины.
С пластины стекает в землю равномерно распределены! "t
вдоль ее оси ток, характеризующийся линейной плотностью
i А/cm. Ось пластины предполагается совпадающей с осью
координат oz.
Из изложенного в § 4 следует, что при пренебрежении
падением напряжения вдоль пластины вследствие принятого
допущения о бесконечно большой удельной ее проводимо-
§ {0} - Полосовой заземлитель - 49
сти и, следовательно,- при постоянной линейной плотности
тока электрическое поле в земле, образующееся вокруг
пластины, является .плоскопараллельным полем, в котором
напряженность электрического поля в направлении оси
пластины, т. е. в направлении оси oz, равна нулю:
4=0. (11,72)
Из того же допущения о бесконечно большой проводи--
мости пластины следует, что поверхность пластины явля-
ется поверхностью уровня.
Вследствие введенного условия (11,70) сечение пластины,
являющееся' в действительности вытянутым прямоугольни-
ком с очень малой высотой 28, можно приближенно рассма-
тривать как предел, к которому стремится эллипс, когда
его большая полуось аал стремится к совпадению с эксцен-
триситетом, равным половине ширины пластины р. В пределе
большая полуось этого эллипса
а<и)о=р, (П,73)
и малая полуось
^e!)o=j/'a^ о-р2=О: (11,74)
эллипс вырождается в отрезок прямой.
В соответствии с указаниями, приведенными в § 5, отно-
сительно поверхностей уровня электрического поля, созда-
ваемого заземлителем конечных размеров, поверхностями
уровня электрического поля, создаваемого рассматриваемым
нами бесконечно длинным заземлителем, являются эллипти-
ческие цилиндры с постоянным эксцентриситетом направляю-
щих эллипсов, равным р.
По мере отдаления от заземлителя поверхности этих
цилиндров вследствие уменьшения относительной разницы
между большой и малой полуосями направляющего эллипса
все. больше приближаются по форме к круговому цилиндру.
То, что электрическое поле в рассматриваемом случае
является плоскопараллельным, позволяет нам ограничиться
рассмотрением его только в одной произвольной плоско-
сти хоу, перпендикулярной к оси цилиндра oz, и вместо
поверхностей уровня рассматривать направляющие эллипсы
(фиг. 24).
Положение любой точки Р в этой плоскости с коорди-
натами х и у может быть определено комплексным числом
P=x + jj, (11,75)
где расстояние точки Р от оси заземлителя
р = |/л‘2-}-у’. (11,76)
4 Марголин
50 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
В соответствии с вышеуказанным, по мере увеличения f>
направляющий эллипс все больше приближается по форме
к окружности, а выражение для потенциала по форме прибли-
жается к выражению для потенциала в круговом цилиндри-
ческом поле, создаваемом бесконечно длинным цилиндри-
ческим круговым заземлителем с той же линейной плотностью
тока i [см. (1,32)]:
=-----2^-1пр + С. (11,77)
Потенциал любой точки Р в нашем поле является неко-
торой функцией от положения точки, т. е. от р. Эта функ-
ция U (р) должна удовлетворять уравнению (1,29) ддя пло-
скопараллельного поля и двум пограничным условиям:
а) условию на поверхности заземлителя, которая является
поверхностью уровня;
в) условию (11,77) при р—>оо.
Для аналитического исследования плоскопараллельных по-
лей, образующихся между сравнительно сложными погра-
ничными поверхностями уровня, удобно использовать кон-
формные отображения* 1. С помощью специально по-
добранной аналитической функции комплексного переменного
известное в каком-либо простейшем случае плоское поле,
заданное на комплексной плоскости, переводится на ограни-
ченную следами новых направляющих пограничных эквипотен-
циальных поверхностей часть другой комплексной плоскости.
Вследствие конформности преобразования сетка из изопо-
тенциальных направляющих и линий поля остается ортого-
нальной. При этом для заданных потенциалов пограничных
эквипотенциальных поверхностей соответственные изопотен-
циальные направляющие эквивалентных полей определяют
поверхности, обладающие одинаковыми потенциалами.
В нашем случае при одинаковой линейной плотности тока
для эквивалентных заземлителей и заданном потенциале
бесконечно удаленной поверхности цилиндрическая поверх-
ность, соответствующая поверхности полосы, как обладаю-
щая тем же самым потенциалом U3, и определяет эквива-
лентный полосовому круговой цилиндрический заземлитель.
Рассмотрим функцию
®y=p.ch(ln-^-), (11,78)
где (фиг. 25)
Р = р • 0*=х -|- Jy. (11,79)
1 Из трех приведенных в рукописи вариантов вывода условия экви-
валентности в книге оставлен один; помещенный автором по предложению
редактора.
И
§ 10] Полосовой заземлитель 51
Из (11,79) получаем:
1П^ =1П*4 + Н- (П.80)
, л
Подставляя значение 1п-^- из (11,80) в (11,78), получаем:
®у=/ьсЬ (in P‘ch (in -^)-cos<p4-iP‘sh-^--sin ф=
= «+j^- (П,81)
Функция а/ позволяет конформно отобразить плоскость
p=x-|-j_y на плоскость причем окружностям р=
=const на плоскости р соответствуют эллипсы на плоско-
сти W.
Действительно, из (11,81) имеем:
u-p-ch (in —) -COS(J)
и * (11,82)
D^p- sh (in - sin ф,
ЛЯ:
62 Единичные заземлители у поверхности земли [гл. 2
откуда
। и
Cos<|> = -—-—р-,
p.ch (ш
SM =-------/ -р-у
у*? -49
и
coss фУ sin2 ф ----"2 С +------z - р-у = 1 (п>83)
рз.сьуп-^) P!-siyiny)
Уравнение (11,83) и является уравнением эллипсов в пло-
скостр w, которым соответствуют окружности в плоскости р.
Большая полуось этих эллипсов
a3Jl=p-ch (in ' (II,84а)
и малая полуось
^л=Р-8Ь(1п-£). (II,846)
Эксцентриситет этих эллипсов постоянен и равен полови-
не ширины полосового заземлителя:
еал=^ =
= Р2 [ch2 (in —sh2 (in j = p. (II,84b)
Эти эллипсы, как было указано выше, являются направ-
ляющими поверхностей уровня электрического поля, создан-
ного полосовым заземлителем.
Прямым ф = const на плоскости р соответствуют гипер-
болы на плоскости ш. Действительно, из (11,82) имеем:
и
sh (In -4-") =-—г-,
ch2(In-sh2fin= „ ,— -„ X2- = 1. (11,85)
\ Ci / \ Ci/ p2-cos2<p \ j /
Уравнение (11,85) и является уравнением гипербол в пло-
скости tv, соответствующих прямым ф = const в плоскости р.
Эти гиперболу конфркальны приведенным выше направ-
ляющим изопотенциальным эллипсам, так как их эксцен-
§ 1Q] Полосовой заземлитель S3
триситет также равен половине ширины пластины р
[ср. (11,84b)]:
его„=/ агв„4Аи2п = V (cos24> 4- sin2 ф) = р = еел.
Вследствие конфокальности с направляющими эллипсами
эти гиперболы нормальны к поверхностям уровня и являются
линиями напряженности электрического поля или линиями
плотности тока, что также уже было отмечено.
Определим постоянную Сг из приведенного выше усло-
вия, что сечение нашего полосового заземлителя можно рас-
сматривать как выродившийся в отрезок прямой эллипс с
большой полуосью a3(aJI)—p и малой полуосью Ь3 м = 0. Со-
гласно предыдущему этот эллипс отображает окр ужность ра-
. •>
диуса ре? в плоскости р.
Подставляя в (II,84а) величину ре? вместо р, мы получим:
as^Beq=p-Ch (1п-^-)=А
откуда
In ~~ = arch 1 = 0
и
G=Pe(?- (П,86)
Подставляем в (II,84а) значение С, из (11,86):
ааЛ—р-с\\ fin-),
\ ?eq /
откуда
lnp = lnP₽9+arch-^. (11,87)
Потенциальное уравнение электрического поля, срздан-
ного круговым цилиндрическим заземлителем бесконечно
большой длины, с постоянной линейной плотностью г сте-
кающего с него тока, было получено в § 4 [см. (1,32)]:
U=—^-1прЧ-С.
2п? г 1
Подставив в это уравнение значение In р из (П,87), полу-
чим: i.
и=-4('"р-+аг,|‘”7)+с- («да
Из определения следует, что
54
Единичные заземлители у поверхности земли
[гл. 2
откуда1
"—arch^-lnf^+j/
Поэтому выражение (11,88) можно записать в виде:
U = { 1п Р« + >П [ <П’88а)
Уравнение (II,88а) является потенциальным уравнением
плоскопараллельного поля, созданного рассматриваемым нами
полосовым заземлителем бесконечно большой длины.
На очень больших расстояниях от оси заземлителя, как
уже было указано выше, поверхности уровня электрического
поля стремятся к круговым цилиндрам (что непосредственно
следует из постоянства эксцентриситетов эллипсов) и, соот-
ветственно, изопотенциальные эллипсы—й окружностям с ра-
диусом р:
lira ~ = 11m - =1, (11,89)
авл->оо ал авл-^° у а^_рч
И
Um Ьэл = ам =Ь р. (11,90)
“ал-^00
Иначе говоря, в соответствии с предыдущим потенциал,
создаваемый полосовым заземлителем, при отдалении от
оси заземлителя стремится к потенциалу, создаваемому экви-
валентным круговым цилиндрическим заземлителем.
1 Строго говоря, при решения квадратного уравнения
4-1=0
получаются два корня
е»1,2 = ^±
Однако, нетрудно видеть, что
• 1 (°вл V т 1
= -1п[— + |/ V77-IJ=~'"b
т. е. второе решение не представляет интереса, так как соответствует
условию р<р£в [см., например, (11,87)[.
§ Ю]
Полосовой. заземлитель
55
Из (11,89) следует, что выражение (II,88а) для потенциа-
ла, создаваемого полосовым заземлителем, принимает вид:
----------й;{ [у +/(у)2”1
+с=-Й[1п^+’"(271)]+с- (п’91)
Приравнивая выражения ,(11,91) и (1,32), мы и получим
искомое значение эквивалентного радиуса. Принимая во
внимание (11,90), получаем:
-24,[|"^+1"(2т)]+с=-й1,’(2₽»'-»+с==
откуда
(П.92)
Подставляя в (11,92) вместо р его выражение из (11,69),
получаем:
ь,—г- с1’93»
Условие эквивалентности1 определено нами для заземли-
телей бесконечно большой длины. В действительных усло-
виях полученный, вывод может быть применен к цилиндри-
ческому и полосовому заземлителям ® конечной длины, но
значительно' превосходящей их поперечные размеры. Для
таких заземлителей поле у их поверхности, за исключением
точек, расположенных очень близко к концам, может с
1 При конформных преобразованиях комплексной плоскости рас-
стояния между фиксированными точками в общем случае изменяются.
Поэтому радиусы изопотенциальных окружностей поля эквивалентного
цилиндрического заземлителя, строго говоря, отличаются от большой
в(эл)5 и малой ^(ал)5 полуосей соответствующих изопотенциальных
эллипсов рассматриваемого поля полосового заземлителя, которые про-
ходят через отстоящие на расстоянии шага от поверхности полосы точ-
ки земли [см, (11,87) и (11,92/]:
Р arch
₽ = - Р
Однако, обычно S^>p, т. е. [см. (11,89)]
а(эл)5 = У fc 2 —р2 ~ Ь (эл)з ~^>Р
и, следовательно, при определении коэффициента напряжения шага можно
принимать
а(эл) S- S’
так как при этом
/ аЪЛ \
arch —-— !п ^2 —J (Ред).
£6
Единичные заземлители у поверхности земли
[гл. 2
совершенно достаточной для практики точностью > считаться
плоскопараллельным, причем исчезает составляющая, па-
раллельная оси заземлителей. Это следует непосредственно
из того, что поверхность заземлителя может считаться по-
верхностью уровня.
Что же касается точек, находящихся на расстояниях,
очень больших по сравнению с длиной этих заземлителей,
то электрическое поле в них определяется уже не поверх-
ностями уровня в виде круговых цилиндров, как это имеет
место для бесконечно длинных заземлителей, а поверхнос-
тями уровня, приближающимися
к сферическим.
I.
Фиг. 266.
Фиг. 26а.
Полосовой горизонтальный заземлитель, расположен-
ный „плашмя" у поверхности земли. На фиг. 26а пред-
ставлено сечение расположенного „плашмя" у поверхно-
сти земли горизонтального полосового заземлителя шириной b
и длиной /. С заземлителя стекает в землю ток /3 с по-
верхности
= (11,94)
Дополнив заземлитель его зеркальным изображением и
заполнив воздушное полупространство землей, мы получим
полосовой, окруженный со всех сторон землей комбиниро-
ванный заземлитель, с которого в землю стекает ток
(см. (1,59)1 ,
*е—
с поверхности
Qre = 2Q„=2W.
Такой заземлитель при условии
Ь<^1,
как было выведено выше, эквивалентен круглому цилинд-
рическому заземлителю той же длины / и с тем же стека-
ющим с него током 1е, при условии, что радиус последнего»
(фиг. 266)
' Pne?=V’ (П,95а)
или соответственно диаметр
2 рп(£?) — -у • (II,956)
§ Ю1
Полосовой заземлитель
57
Фиг. 27.
Из условия эквивалентности полей, создаваемых действи-
тельным и фиктивным, комбинированным заземлителем, сле-
дует, что действительный полосовой заземлитель эквива-
лентен цилиндрическому полукруглому заземлителю радиу-
са pnfe„) [см. (II,95а)], длиной I и со стекающим с него то-
ком /3.
Подставляя в выражение (11,57) для сопротивления ци-
линдрического полукруглого заземлителя вместо р0 или da
соответственно значение рл(₽9) из (II,95а)
или dnieq) из (И,956) и производя неко-
торые преобразования, поЛучим, что
супротивление заданного полосового
заземлителя
г, 2.3, 4Z 0.732 , 4/ /Тт псч
(П’9б)
Сопротивление полосового го-
ризонтального заземлителя, распо-
ложенного „на ребро" у поверх-
ности земли. На фиг. 27 представ-
лено сечение расположенного „на
ребро" у поверхности земли гори-
зонтального полосового заземлителя
шириной b и длиной I. С этого за-
землителя стекает в землю ток /э с
поверхности в два раза большей, чем
в том случае, когда он расположен
плашмя [ср. (1,94)];
QP=2W.
Дополнив заземлитель его зеркальным изображением
и заполнив воздушное полупространство землей, мы полу-
чим фиктивный комбинированный полосовой заземлитель,
безгранично окруженный со всех сторон землей, шириной
Ьр=‘2Ь
и длиной I. С этого заземлителя стекает в землю ток
[см. (1,59)] 1е=213 с поверхности
Qpe^2Qp==M=2bpl. (11,97)
Этот комбинированный заземлитель эквивалентен цилинд-
рическому круговому заземлителю радиусом
рр^=4=4’ <п’98а>
Или соответственно диаметром
dt>(qe) == Ь.
(II,986)
58
Единичные заземлители у поверхности земли
' [гл. 2
Действительный расположенный на ребро полосовой
заземлитель эквивалентен цилиндрическому полукруглому
заземлителю радиусом рр(£9).
Вследствие стекания тока с поверхности, в два раза
большей, чем в случае расположения полосового заземлите-
ля плашмя, эквивалентный радиус также удваивается. Од-
нако, на сопротивлении заземлителя это сказывается отно-
сительно слабо: как было уже указано при рассмотрении
трубчатого заземлителя, величина радиуса (входящая под
знак логарифма) сравнительно мало влияет на величину со-
противления.
Подставляя в (11,57) вместо р0 или dn соответственно
значение рР(ев) из (И,98а) или dp(eq} из (П,98б), получаем:
D 2,3. 2/ 0.732 . 2/ ,тт ппч
-г=—* (П’"\
Пример 4. Определить сопротивление /?п3 расположенного плашмя
у поверхности земли горизонтального полосового заземлителя шириной
b — 5 cm и длиной I — 1 570 cm.
Проводимость земли принять 7 = 10 ~4 q— .
Из (II,95а) получаем:
_ 5
Рп(е^)--= 1,25 ст.
Для цилиндрического полукруглого горизонтального заземлителя
радиуса
Го Pn(c0=^>25 ст
и длиной 1=1 570 ст нами в примере 3 было получено сопротивление»
равное искомому:
ЯП'3~ 14,5 Q.
Пример 5. Определить сопротивление Rp-3 горизонтального полосо-
вого заземлителя таких же размеров, как и предыдущий, но при условии
расположения его на ребро.
Из (II,98а) ’ “
Рд {eq} ~ ~2 = 2»5 ст.
Из (11,99)
получаем искомое сопротивление:
0.732-104
Rp.3~ 1 ь/и g
2-1570
5
13 й.
Сравнивая значения сопротивлений при расположении полосы плашмя
и на ребро в условиях одинаковой проводимости земли, получаем:
14,5 ~ °’9-
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ВТОРОЙ
1. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932 г5
(перевод с немецкого), глава II.
2. Вайнер, Заземления, ГНТИУ, 1928 г., гл. I.
§ И]
Введение
59
3. Глазунов (редактор), Электрические станции н подстанции,
Госэнергоиздат, 1944 г. XXI, 6.
4. Беляков, Основания для проектирования заземлений электриче-
ских установок, ГОНТИ, 1938 г., гл. I и II.
'ГЛАВА ТРЕТЬЯ
МНОГОКРАТНЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ. КОЛЬЦЕВЫЕ
ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
11. ВВЕДЕНИЕ
[Л. 1, § 13]
Для получения допустимых в рассматриваемых условиях
максимальных напряжений—ш а г а Ци (шах) и прикоснове-
ния UD (тах) необходимо, чтобы напряжение заземлителя не
превосходило меньшего из значений, определяемых допу-
стимыми величинами напряжений—шага и прикосновения:
11 Uwidon)
- -
И
Un (доп)
3 ап
Дак как, с другой стороны, напряжение заземлителя
пропорционально току [см. (1,3а)], то для получения допу-
стимых значений напряжения заземлителя необходимо с
увеличением стекающего с него тока 4 уменьшать его
сопротивление R3.
Это уменьшение сопротивления R3 достигается парал-
лельным включением единичных заземлителей, т. е. шутем
одновременного использования нескольких единичных за-
землителей, связанных между собой металлически так, что
на всех них получается практически одинаковое напряже-
ние:
с/_и2-„=и.=„-ип=и3, (III,1)
где напряжения отдельных заземлителей, вхо-
дящих в общую систему, равные напряжению сложного
многократного заземлителя U3.
Если эти параллельно включенные единичные заземли-
тели находятся на таком большом расстоянии друг от дру-
га, что создаваемые ими электрические поля не взаимодей-
ствуют, т. е. что нет таких участков земли, по которым
протекают токиот нескольких единичных заземлителей, то
проводимость полученного таким образом многократного
заземлителя равна сумме проводимостей -соединенных меж-
60
Многократные заземлители
[гл. а
ду собой единичных заземлителей, определенных при
условии изолированной их работы:
п
1з
(III,2а)
ИЛИ
1
1
R3 --Rd СО- Z'
иэ
п
(III,26 )
i= 1 ‘3
где ОД и R'i3 — соответственно проводимость и сопротивле-
ние единичного заземлителя за номером I при его изоли-
рованной работе, ап — число
параллельно включенных еди-
ничных заземлителей."
В этом случае проводи-
мость ОД каждого из единич-
ных заземлителей при его
изолированной работе исполь-
зуется полностью.
Если п параллельно вклю-
ченных заземлителей одинако-
фиг 28 вы и сопротивление каждого
и’ из них при изолированной'
работе равняется R'3, то сопротивление многократного за-
землителя
R'
R3 = R3oo—~_. (Ш,3>
При отсутствии взаимодействия электрических полей по-
лучается полная аналогия со случаем параллельного соеди-
нения, например, п сосредоточенных активных сопротивле^
ний (фиг. 28):
1
п
R =
Если эти сопротивления
но R', то
одинаковы и каждое из них рав-
R'
R =
П
Строго говоря, взаимодействие электрических полей от-
дельных заземлителей отсутствует только при бесконечно
большом расстоянии между ними: а—->оо, что и отмечается
индексом при соответствующих обозначениях проводимости:
и сопротивления многократного заземлителя. Практически,
§ П] Введение 61
однако, необходимо, чтобы расстояния между параллельно
включенными единичными заземлителями были лишь до-
статочно большими по сравнению с размерами самих зазем-
лителей и при этом составляли бы величины не менее
30—40 т:
а^>ЗОн-40 т.
При более близких расстояниях между заземлителями
сказывается одновременное протекание по одним и тем же
участкам земли токов, стекающих от нескольких единич-
ных заземлителей, что можно рассматривать так же как со-
ответствующее уменьшение сечения для тока, стекающего
с каждого единичного заземлителя. Падения напряжения на
общих участках земли из-за увеличения плотности тока на
них получаются большими, чем в том случае, когда нало-
жения токов не происходит. Следовательно, при сравни-
тельно малых расстояниях между отдельными заземлителя-
ми и сопротивление каждого заземлителя, численно равное
напряжению йа данном заземлителе при стекании с него
тока 73, равного единице,—также оказывается большим, чем
при изолированной его работе:
п
Ri3 = (Uu), = £ (Ua ), =1 > /?:3 = (Un), =1. (Ш,4) '
ТТ 13 1з
(—1
*
Проводимость Gi3 при этом оказывается меньше прово-
димости G'i3t т. е. в этом случае не получается полного ис-
пользования проводимостей отдельных заземлителей, кото-
рыми они обладают при их изолированной работе. Имеет место
эффект так называемого взаимного 'экранирования или
выталкивания линий плотности тока j.
В выражении (III,4) Uu — напряжение, появляющееся на
рассматриваемом заземлителе за номером i вследствие сте-
кания с заземлителя за номером I некоторого тока, имею-
щего место при стекании с рассматриваемого заземлителя
за номером i тока 7,-3 = 1, a — сопротивление рассматри-
ваемого заземлителя при изолированной его работе; оно
численно равно напряжению Un, которое появляется на
нем при стекании с него тока /,-3 = 1 в' условиях изолиро-
ванной работы.
На фиг. 29а и 296 представлен многократный заземли-
тель, состоящий из двух полушаровых заземлителей 7 и 2.
Если бы единичные заземлители 1 и 2 находились на бес-
конечно большом расстоянии друг от друга, то ток от каж-
дого из них растекался бы по земле равномерно во все
стороны и линиями тока являлись бы радиусы шаров с об-
щим центром, совпадающим с центром рассматриваемого
62
Многократные заземлители
[гл. 3
полушарового заземлителя. При расположении же их на
конечном расстоянии друг от друга ток от заземлителя 1
не проходит уже в часть пространства справа от верти-
кальной плоскости АВ, которая является как бы экраном»
не пропускающим этот ток. Точно так же и ток от еди-
ничного заземлителя 2 не проходит в часть пространства
слева от плоскости АВ. Это и приводит к тому, что, как
быдо уже показано выше, Противление каждого из еди-
ничных заземлителей, рабо-
тающих в системе много-с
кратного, увеличивается по
сравнению с его же сопро-
тивлением при изолирован-
ной работе.
/4
Фиг. 29а.
Фиг. 296.
Вследствие уменьшения проводимостей Gi3 единичных
заземлителей по сравнению с их проводимостями G'i3 при изо-
лированной работе и проводимость многократного заземли-
теля в действительности получается меньшей, чем в случае
расположения отдельных единичных заземлителей вне сфе-
ры их взаимного влияния:
п
'3 оо.
(III,5а)
а сопротивление соответственной большим:
> — = Rax.
(111,56)
7=1 ,yi3 ЭН
Отношение г; проводимости действительного . многократ-
ного заземлителя к проводимости: многократного заземли-
§ П]
Введение
63
теля при идеальном расположении единичных заземлителей,
вне сферы их взаимного влияния, меньше единицы и назы-
вается коэффициентом использования многократ-
ного заземлителя:
1
R3
(III,6а}
4 =
При одинаковых единичных заземлителях:
R3
п-Н3
Ч
(111,66}
Явление, имеющее место при взаимнфм влиянии единич-
ных заземлителей, аналогично явлению, имеющему место,
например, при последовательном включении группы из «
параллельно соединен-
ных между собой со-
средоточенных актив-
ных сопротивлений с Г
некоторым сопротивле- Ч
нием 7?0 (фиг. 30). Для Н I
простоты примем, что ' S |
все п параллельно со- уу
единенных сопротивле- L—
ний группы равны друг
другу:
— /?2 = —=#£=
Результирующее со-
противление R't при по-
фиг. 30.
следовательном вклю-
чении с сопротивлением /?0 только одного из единичных
сопротивлений /?г:
R'. = R. + R0.
При включении же последовательно с сопротивлением /?0,
группы из п параллельно соединенных сопротивлений уча-
стие каждого из них в проведении тока определяется со-
противлением R[ численно равным падению напряжения в.
данной цепи при протекании по рассматриваемому сопротив-
лению тока, равного единице (фиг. 30):
R. — (Uab) Я 4-/?о (ft — 1) Ro=R+nRo> Rt.
64
Многократные заземлители
Ггл; 3
Сопротивление R'. получилось большим в сравнении с
R’. при отсутствии параллельно включенных (я—1) сопро-
тивлений вследствие того, что теперь по сопротивлению Ro
протекают одновременно токи от всех п параллельно соеди-
ненных сопротивлений, равный в сумме п единицам. По-
этому и эквивалентное сопротивление цепи получается боль-
шим ‘по сравнению с ~ частью- сопротивления R.:
Req= (UAB) =(Uab) +
И n
При параллельном соединении п сопротивлений R'. полу-
чилось бы эквивалентное сопротивление
R'i __ R + Ro
п
Req CO n
И
_ R CO _ ___________”_____ _
n '
Как и следовало ожидать,
»] n=l = 1
И
R 4~ a-q I
R -f~n Ro
Р ___2_
^°° - R^ - R(j
=0.
12. МНОГОКРАТНЫЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ЕДИ-
НИЧНЫХ ЗАЗЕМЛИТЕЛЕЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ У ПОВЕРХНОСТИ
ЗЕМЛИ НА БОЛЬШОМ РАССТОЯНИИ ДРУГ ОТ ДРУГА
[Л. 1, § 14]
Рассмотрим случай (фиг. 31), когда расстояние ак меж-
ду двумя любыми заземлителями за номерами i и I велико
по сравнению с размерами самих единичных заземлителей.
В ’ этом случае можно приближенно принять, что в
электрическом поле, созданном вследствие стекания тока
с заземлителя за номером I, потенциал во всех точках по-
верхности заземлителя за номером i одинаков и что этот
потенциал можно определить, принимая, что на расстоя-
нии ап от зазем'лителя за номером I поверхность уровня
является сферической (см. § 5). Если мы, кроме того, уч-
тем дополнение каждого из единичных заземлителей его
§ 12]
Многократный заземлитель
65
зеркальным изображением, то в соответствий с (1,59) напря-
жение, создаваемое заземлителем за номером I на заземли-
теле за номером i
Полное напряжение Ut единичного заземлителя за но-
мером i образуется путем наложения на обусловленное
собственным током li3 напряжение
= (III,8)
напряжений Un [см. (III,7)], обусловленных токами, стекаю-
щими с других заземлителей. Учитывая к тому же (III, 1).
полуйим:
«—1 п п
и^и3 = + ц. + £ ин, (Ш.9)
Z—1 Z=i-pi 1= I
Уравнение (111,9) может быть написано для каждого из
единичных заземлителей. Таким образой получаются п урав-
нений. После подстановки в них значений и Uti из (III,7)
и (111,8) эти уравнения можно будет решить относительно п
токов единичных заземлителей и получить для послед-
них выражения в функции от напряжения заземлителей U3.
Это решение даст нам, с одной стороны, закон распре-
деления полного тока 13 между единичными заземлителями
и с другой—величину полного тока
п
1=1
/ ’ л
в функции от U3. Тогда из (1,36) можно будет определить
и сопротивление R3 многократного заземлителя:
5 Марголин
Л
65 Многократные заземлители [гл. 3>
Фиг. 32
13. МНОГОКРАТНЫЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ, СОСТАВЛЕННЫЙ ИЗ ОДИ-
НАКОВЫХ ЕДИНИЧНЫХ ЗАЗЕМЛИТЕЛЕЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ У
ПОВЕРХНОСТИ ЗЕМЛИ ПО ВЕРШИНАМ ПРАВИЛЬНОГО МНОГО-
УГОЛЬНИКА ИЛИ В РЯД
[Л. 1, § 14]
Многократный заземлитель, составленный из единич-
ных заземлителей, расположенных по вершинам пра-
вильного многоугольника. На фиг. 32 представлен много- ।
кратный заземлитель, состав- .
ленный из п совершенна I
одинаковых единичных за- 1
землителей, расположенных
у поверхности земли по вер- I
шинам правильного n-уголь- I
ника, вписанного в окруж- ]
ность радиуса рт.
Сопротивления отдель- I
ных единичных заземлите- I
лей при их изолированной. I
работе вследствие их оди-
наковости равны друг ДРУ; I
гу:
R13 — ...=Ri3 —
= Rn.3=R3'. (Ш,И} ]
Вследствие полной сим- '
метрии устройства токи, стекающие с отдельных единичных
заземлителей, равны друг другу:
713 = ...=7Р =.. -7„.3 = ^. (Ill,12}
Сопротивление многократного заземлителя при беско-
нечно больших расстояниях единичных заземлителей друг-
от друга определяется выражением (П1,3):
7?
Л\ЗСО = --
П
Из фиг. 32 имеем: расстояния между двумя заземлите-
лями за номерами I и i
ай = 2pm sin[^-(/—i)]. (111,13} j
Для определения связи между напряжением заземлите- I
ля U3 и стекающим с него током 73 и получения, таким
образом, сопротивления заземлителя R3 и коэффициента ис-
пользования данного заземлителя т], рассмотрим напряжение-
§ 13]
Контурный заземлитель
67
на единичном заземлителе за номером я. Из ,(Ш 9), (III,7)
(111,8), (111.13), (111,12), (111,11) и (Ш,1) получаем:.
л—1 п -1
и=и,=—i-i—=
ы S'" .24 2f" anf’-M-ji „ ,
R’3
л-1
1 1
4лтрш к Zu
Z= 1 Sln
(п /)ГЛИ)Т <П1,14)
Из (111,14), (1,36) и (III,3) получим выражение для со:
противления заземлителя:
П П Гч I 1
(111,15)
где
^Рт-Яаоо’-^^] ’
[/(n)]„>2o^|(ln п + 0,12), (111,16)
Из (111,15) и (III,6а) получаем выражение для коэффи-
циента использования:
1
1
7] =
(111,17)
--ъ--------•fin)
1 4лурта/?зоо ’
Для трубчатых заземлителей выражения (Ill 6) и (111,17)
могут быть применены без поправок лишь в тех случаях,
когда расстояние между двумя соседними единичными за-
землителями а значительно больше длины заземлителя, т.е.
при а^>/, иво всяком случае при а 2^2/. >
Для многократного заземлителя, составленного из-оди-
наковых трубчатых заземлителей, расположенных по ПрЯМО-
11 л
угольному контуру с отношением сторон —<.4мо-
гут бйть использованы выражения (Щ,15) и (111,17), вы-
веденные для случая расположения труб по вершинам рав-
5*
€8
Многократные заземлители
[гл. 3
постороннего многоугольника, при подстановке в них вместо
2прт периметра контура
/7 = 2 (М-с) (П1Д8)
и при введении дополнительной поправки 0, величина ко-
торой зависит от отношения расстояния между соседними
единичными заземлителями к длине единичного заземлите-
ля, т., е. от1 отношения [Л. 2, § 13; Л. 3, гл. 3; Л. 4, гл. 3].
Учитывая подстановку (Ш,18), получаем из (III,15) и
/111,17 ) с попр авк о й
/?., - Язоо + • /(») - 0 (111,19)
и
С'1-20»
Поправка
©----^Ф. (HI,21)
. 4 а
где ф зависит от отношения
Ф=А(т)
и изменяется [Л. 2, фиг. 24] от
до
фя =0,016.
Т —2
При у>2 практически можно 'принимать
Ф^г^0-
г ’
т. е. без большой погрешности' пренебрегать поправкой.
Это позволяет и, >,.случае расположении труб по прямоуголь-
ному конту у прй условиях “ 4 и у->2 пользоваться вы-
ражениями (ПЦ 5) и (111,17.) с указанной выше подстановкой
[см. (III,18)]: '
Rs ^--/?з.. 1-|- 1/7гД3о.' •/(”)
1
(III, 15а)
W.,.
•: >) = ------р1--------------- (III, 17а)
'-b+'s/Ziff,; •/(л)
§ 13]
Контурный заземлителр
69
Пример 6. Определить коэффициент использования и сопротивление
многократного заземлителя, составленного из расположенных у Поверх-
ности земли по вершинам правильного многоугольника одинаковых труб-
чатых заземлителей.
Дано: п = 10; рт = 970 ст; у = 10-4—.
й ст
Размеры единичных заземлителей и их сопротийлёние при изолиро-
ванной работе (см. пример 2): / = 300 cm, f0 = 3 ,сиц ₽э,= 28,1 й. j
Из (111,13)
а — 2 - 970. sin = 600 = 2/,
и, следовательно, применение выражений (111,15) и (1П,17) является до-
пустимым.
Из (111,3)
^ = ^=2,81 е.
Из ЛИ,17а) при /(10) = 1,55 ’ 1
чя-970-2,81 *1’55
Из (111,ба)
Пример 7. Определить коэффициент использования и сопротивление
многократного заземлителя, составленного из расположенных у поверх-
ности земли по прямоугольному контуру совершенно одинаковых труб-
чатых заземлителей.
Дано: п = 100; — = —; а — 600ст;у = 10— 4____—
с 2 йсвг
Размеры единичных трубчатых заземлителей и их сопротивление При
изолированной работе такие же, как и в предыдущем примере, tie данным
О. 600 q ~ —q
— /7 = с-п=6-10 ст.
/ o(Jv • 1
Из (111,3)
= 0,281 fi.
зсо 100
При
. h = 0,016
г=2
из (111,21)
е = ———о, О1б~о,005.
100-300
70
Многократные ' заземлители
[гл. 3
Из' (111,16)
f(n) ж1[1п 100+0,12]=3,01.
Из (П1,20)
4 = ГТ п? ЗО1_о,обГ = 0>534-
12-6-104-0.281 ’ 0,281
При вычислении коэффициента использования т/ без поправки из
(III,17а) получаем:
Ч =
1
1+
10*
2'-.6-(0‘-0,281
.3,01
0,529.
Ошибка
Дч'% = . 1(Ю ~ 1%>
0,534
т. е. вполне допустима.
Из (И 1,6а)
Многократный заземлитель, составленный из единич-
ных, расположенных в ряд. В качестве несимметричного
многократного за-
землителя рассмот-
рим заземлитель, со-
ставленный из четы-
рех совершенно оди-
Фиг, 33. наковых единичных
заземлителей, распо-
ложенных в ряд с одинаковым расстоянием между дв^мя
соседними единичными заземлителями (фиг. 33). Сопротивт
ление каждого из заземлителей при изолированной работе
равно R3'. ’
Непосредственно- из фиг. 33 следует, что крайние
единичные заземлители за номерами 1 и 4 и внутренние за
номерами 2 и 3 находятся попарно в одинаковых условиях,
так что ;
1у3 = Ьз, " (Ш,22а)
/2з = /з3 (111,226)
и /3 = 2(/1з + /2з). (111,23)
Так как п=4, то из (III, 3)
R3~ = (111,24)
Составляем уравнения, аналогичные уравнению (III,9),
только для одного из внешних и одного из внутренних'
§ 13]
Контурный заземлитель
71
заземлителей. С учетом (III,7), (Ш.8), (111,22а), (111,226) и
фиг. 33
, =/, а — +А> • 4,4+4)=
=/.(«', +5t4J + i.A; (Ш,25а)
^.=+-4)+'*«'+£4 =4?4+'«4+
+sj4)- (Пигво
Решаем уравнения (III,25а) и (III,256) относительно
/)з и Аз:
['3~(р '_i—L.JL\(r (J-Y; (ш,26а)
3 '2пуа 3 J\3 '2i^aJ 4 \2п7й/
, _ Ц (^-ут) .
/s-(p M-L.-IV О _______S-f-Lf- t™-26#)
\43 2тг^а 3 у\ 3 ‘2яуа/ 4 \2nya/
Разделив (111,266) на (III,26а), получим отношение тока,
спекающего с
стекающему с
внутреннего единичного заземлителя к току,
внешнего:
Аз 2пуа • к3' "‘6
Тз ! 1 ~
2-4-{a-R3' 2
(П1.27)
Из (111,27) следует, что ток внутренних заземлителей
меньше тока внешних заземлителей вследствие того, что
экранирующее действие по отношению к средним
единичным заземлителям оказывается более сильным, чем
по отношению к крайним.
По мере увеличения расстояния а между соседними
единичными заземлителями их взаимное влияние друг на
друга ослабевает и токи внутренних единичных заземлителей
стремятся к равенству с токами внешних:
11m — - 1.
д_>са 'Is
Полный ток, стекающий, с многократного заземлителя в
землю, определяется из (111,23), (III,26а). и (111,266):
I3=U3-
.^3 +
1 Ю
— з
, 1________1_\
^з + ^п^й' 3 J
Т. (111,28)
7?
Многократные заземлители
[гл. 3
Сопротивление растеканию для многократного
заземлителя [из (1,36), (III,28) и (III,24)]
1 -------------------------------
Коэффициент использования [из (III,6а) и (111,29)}:
1______________Б
Как уже указывалось в § 12, выражение (111,30) может
быть применено лишь в том случае, когда расстояние
между единичными заземлителями а велико по сравнению
с размерами самих заземлителей. В частности, для трубчатых
заземлителей выражение (111,30) может быть применено без
больших погрешностей только в случае а^>21, где Z—длина
единичного трубчатого заземлителя.
При меньших расстояниях между единичными заземли-
телями и для числа единичных заземлителей, отличного от
четырех, следует пользоваться коэффициентами использо-
вания, полученными с помощью уточненных расчетов и экспе-
риментальным путем [Л. 2, § 12; Л. 3, гл. III; Л. 4, гл. III;
Л. 5, § XXI, 6].
Пример 8. Определить сопротивление многократного трубчатого-
заземлителя, составленного из четырех (п = 4) совершенно одинаковых
труб, расположенных вертикально у поверхности земли при расстоянии
между соседними трубами а =6(0 ст. Размеры е'диничных заземлителей
и сопротивление каждого при изолированной работе R'3 приведены в
примере 2.
При подсчетах можно принять у = 10 4 —-—
-------------------------- й-cm
Так как
а 600 _ ,
"2/ “ 2-г0и~ ’
то согласно предыдущему возможно применение выражения (111,30):
МО* 5
2л-6О0-28.1 ‘ 6
1-104 \ j , 1 1-104 \ 9 / J04 у -0,84
1^.600-28,1/4 3 *2п-60и-2й,М 4 Д2-п-600-28,1/
§ 14] 'Кольцевые горизонтальные заземлители 73.
Из (III,24)
й.
Из (III,6а)
/?а =-212=8,3 S.
- О,Ь4
По более точным данным [Л. 2, фиг. 21]
71=0,86.
Ошибка предыдущего расчета
Дц% = —2,3%.
Из (111.27) отношение тока, стекающего с внутреннего заземлителя
току стекающему с внешнего,
__________1 7
2п-10-4.600-28,Г 6
Лз ______________1___,____2_ ’ ’
2п-КГ'*•600-28,1 2
откуда
2/, =0,52/ • 2Л =0,48 / .
J •> tj
Пример 9. Определить сопротивление многократного трубчатого-
заземлителя, составленного из десяти (и=10) таких же труб и распо-
ложенных в ряд с таким же расстоянием между соседними трубами,
как и в предыдущем примере 8.
Из [Л. 2, фиг. 21] получаем
^=2;я=1О = 0.73.
I
[Для многократного заземлителя, составленного из десяти таких же
труб, но симметрично расположенных по вершинам правильного деся-
тиугольника, и при таком же расстоянии между соседними трубами
(а — 690 ст), было получено в примере 6
4 = 0,69].
Из (111,3)
/? = 5511=2,81 й.
ЗСО
Из (1П,6а)
7? = 5151=3,85 й.
3 0./3
14. КОЛЬЦЕВЫЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
[Л. 1, § 12]
Эффект экранирования проявляется и при расположении
горизонтальных заземлителей — цилиндрических, полукруг-
лых и полосовых—под углом или по замкнутому контуру.
Сопротивление заземлителя, составленного из нескольких
одинакового сечения горизонтальных заземлителей,-распо-
ложенных под углом друг к другу или по замкнутому кон-
туру, получается большим, чем сопротивление прямоли-
74
Многократные заземлители
[гл. 3
нейного горизонтального заземлителя длиной, равной сумме
.длин расположенных под углом заземлителей или перимет-
ру замкнутого контура.
Частным случаем замкнутого контура, образованного
горизонтальными заземлителями, является кольцевой за-
землитель с полукруглым или прямоугольным сечением.
В дальнейшем мы ограничимся только исследованием поля,
созданного таким зазем-
лителем, и определением
его сопротивления расте-
канию.
Начнем с расположен-
ного у поверхности земли
кольцевого заземлителя
радиуса рт, с полукруг-
лым сечением (т. е. полу-
тороидального) радиуса р0
(фиг. 34).
Радиус, кольца пред-
полагается достаточно
большим по сравнению с
радиусом сечения:
Pm:>p0. (ш,31)
С заземлителя стекает
в землю ток 13.
Дополнив рассматри-
ваемый заземлитель его
зеркальным изображением и заполнив воздушное полупро-
ч:транство землей, получим кольцевой заземлитель с круг-
лым сечением (тороидальный), безгранично со все?с сторон
окруженный землей. С этого заземлителя стекает в землю
ток [см. (1,59)]
/е = 2Д.
Поле, создаваемое этим фиктивным заземлителем в дей-
ствительном полупространстве земли, идентично полю, соз-
даваемому там же рассматриваемым нами действительным
заземлителем, расположенным у поверхности земли.
Вследствие симметрии строение поля во всех его пло-
скостях, проходящих через ось заземлителя, которую мы
принимаем совпадающей с осью oz, будет совершенно оди-
наковым. Таким образом рассматриваемое поле является
плоскомеридиональным. Это обстоятельство приводит
к тому, что потенциальное уравнение выводится легче при
переходе от прямоугольных ортогональных координат к
§ 141
Кольцевые горизонтальные заземлители
.75
криволинейным цилиндрическим ортогональным коор-
динатам.
Положение какой-либо точки Р с радиусом-вектором
ОР=$е в прямолинейной ортогональной системе координат
с началом в центре рассматриваемого заземлителя О и с осью
vz, совпадающей, как уже было указано выше, с осью за-
землителя (фиг. 35), определяется координатами х, у и г.
Положение этой точки
в проходящей через нее г f
плоскости, параллельной
плоскости хоу, может
быть определено вместо
координат* х и у коорди7
натой р, представляющей
собой проекцию радиуса ре
на плоскость, параллель-
ную плоскости хоу, и уг-
лом О между координа-
той р и ссью ох.
Координата р опреде-
ляет координатную боко------
вую поверхность круто- /
вого цилиндра радиуса р /
с осью, совпадающей с /
осью oz. Координата
определяет меридиональ-
ную плоскость, проходя-
щую через данную точ-
ку Р, т. е. плоскость, проходящую через ось заземлителя
oz и данную точку Р.
Для полного определения положения точки Р необхо-
дима еще координата z, определяющая проходящую через
нее плоскость, параллельную плоскости хоу.
Из сказанного выше следует, что потенциал зависит
только от координат риг:
^--=0
<?& •
(111,32)
При использовании прямолинейной ортогональной системы
“координат xyz потенциал является функцией всех трех
координат точки.
Определим потенциал дочки Р, расположенной в мериди-
ональной плоскости zox (фиг. 36).
Потенциал точки Рможно рассматривать как сумму элемен-
тарных потенциалов dU, создаваемых элементарными тока-
ми dle, стекающими с фиктивного тороидального заземлителя:
dle=-^ db. (Ill,33)
75
Многократные заземлители
[гл. 3:
Элементарный потенциал [см. (1,52) и (Ш,33)]
лтт di & 1 Ie 1 d &
. 4 uf t 4 п] z е / ’
где i — расстояние рассматриваемой точки Р от элементар-
ного заземлителя (фиг. 36), посылающего в землю ток dle.
Фиг. 36.
Потенциал рассматриваемой точки, обусловленный пол—
ным током заземлителя, 2 л [_J = С '* 4 пк 2 ” / 0 (Ill,34)
Из фиг. 36 имеем: t — \/ (111,35)
где Р2 = Р2 + рст —2ppCT-cos&. (111,36)
Произведя подстановки из (111,35) и (III,36) в (III,34), полу-
чим:
2 к
___? е 9 I Г ®
/p2 + pCT2-2Pfwi.COS& + 22 ' (1П’37>
Для интегрирования производим подстановки:
Э = it - 2 Jj (111,38)
и
(П1.39>
§ 14]
Кольцевые горизонтальные заземлители
Из (111,38) имеем:
cosd = — cos2q = —(cos’ j] — sin2?;). ’(HI,40)
С учетом (Ш,40) и (Ш,39) получим:
У р24-р^— 2ppCT-cos9 + z2 = ]/ (p + pJ2 + z2 — 4ppm-sin2?] =
. == 2 . (Ш,41)
Произведя подстановки из (III,38) и (III,41) в (111,37) и
учтя изменение пределов интегрирования в связи с подста-
новками, получим:
ТС
U— _Z£_.JL.-------- Г-------^3---_ (in 42)
о
Выражение А
Г =K=F(k) (Ш,43)
м/ у 1 — fe2Sin2/J
о *
представляет собой полный эллиптический интеграл первого
рода (Л. 6, стр. 677 — 684; Л. I, § 12).
Подставляя' из (111,43) в (111,42), получим потенциальное
уравнение в окончательном виде:
—---* »Л(Л). (111,44)
4лТ " 2/fp,, v 1 ’
Перейдем к определению сопротивления R3 кольцевого за-
землителя. Для этого сначала определим напряжение самого
заземлителя U3.
Точка на поверхности заземлителя определяется коорди-
натами:
Р = Рот + Ро
и
z = 0.
Подставив приведенные значения риг, получим с уче-
том (111,39):
( = _L_.
\ 2 Л = Рт + ?0 2?т+Ро
2=0
Принимая еще во внимание поставленное
(111,31) получим окончательно:
/ k \ 1
\ 2 j/ рр у ___ 2 рт
V rrm / t—от — р0
(1П,45)
нами условие
(Ш,46)
78
Многократные заземлители
[гл. &
Аналогично получаем:
(fc2), = 0 -н = J?Pm + po)2~-PL^ 1—|-{^Y(III,47a>
|2р”+,"'/г
и
(kr) =*= *(II .1-
’ . *
Вследствие принятого нами условия (Ш,31) из (III,39)>
следует, чго
1
и из (111,476)
к' ъ 0.
Из разложения функции F (k) в ряд следует, что при А.
очень близком к единице, или соответственно при Л', очень,
близком к нулю,
(1Щ48>
Подставляя значение Л' из (111,476) в (111,48), получим:
’ (Ш,49>
Произведя подстановки в (111,44) из (111,46), (111,49) в
(1,59), получим напряжение заземлителя:
- (Ш,50>
»
Длина (криволинейной оси) тороида
/ = 2тгрст, (III,51 >
а диаметр его сечения
rfe==2p0. ' (Ш,52>
Подставляя эти значения из (111,51) и (III,52) в (111,50),.
получим:
из=-^-ЛпЦ-. (111,53)-
л у/ л а0
Из (111,53) и (1,36) получаем искомое сопротивление
заземтителя:
In-^- = ^flg-^ +0Д055). (III,54>
3 ir(l я do 7/ < d0 1 J \ '
§ 14]
Кольцевые горизонтальные заземлители
79
Для цилиндрического полукруглого прямолинейного го-
ризонтального заземлителя, расположенного у поверхности,
земли, было получено [(см. (11,57)]:.
„ 0.732, 2/
Сравнивая выражения для сопротивления кольцевого и:
прямолинейного заземлителя, мы видим, что при одной и той.
же длине, как уже было указано, сопротивление кольцевого
заземлителя больше вследствие взаимного отталкивания ли-
ний плотности тока внутри кольца. Относительная разница,
между этими обоими сопротивлениями уменьшается, как
видно, с увеличением длины (или радиуса' кольца) кольце-
вого заземлителя, так как с 'увеличением длины уменьшает-
ся взаимное влияние отдельных элементов кбльцевого зазем-
лителя друг на друга.
Перейдем теперь к определению .максимального напря-
жения шага и соответственно коэффициента напряжения
шага. Раньше всего следует нап мнить, что в противополож-
ность прямолинейному горизонтальному заземлителю при
кольцевом заземлителе ввиду симметрии градиенты потен-
циала, а следовательно, и напряжение шага на поверхности
земли изменяются совершенно одинаково во всех централь-
ных направлениях.
Следует ожидать, что напряжения шага для кольцевого
горизонтального заземлителя большого радиуса должны
получаться приблизительно такими же, как и наименьшие
напряжения шага для прямолинейного горизонтального
заземлителя, имеющие место в направлении малой полуоси
эквипотенциальных эллипсов (§9).
В соответствии с приведенным в § 7 определением на-
пряжения шага максимальное напряжение шага в данном
случае
Ciu(max)=C?3--, (II 1,55)'
P=Pm+ Po+S
где S — длина шага.
Из (111,39) _
= (Ш,56а}
Р-ГРт
И
(й2)г=0 = 1 - (2/Р°Д + ^ • (Ш>566>
P=?m + °<,+S -
Длина шага обычно бывает значительно меньше диаметра
кольца, а радиус сечения кольцевого заземлителя значи-
тельно меньше величины щага:
2Рт (III,57)
SO
Многократные заземлители
[гл. 3
При неравенствах (III,57) из (111,566) имеем:
(^)z=o
2Pm^> 5 Z2j> ft>
И
(k')z=a = o.
P=Pm + Po +s
Из полученных значений для k или k' в соответствии
с предыдущим:
mUa In А in (111,58)
Р^Р/н 4" ?о +5
Из ([11,44), (П1,56а) и (III, 58), принимая во внимание (1,59)
и (111,57), получаем напряжение на расстоянии шага от за-
землителя:
(г тх 2 1 । Яр»».
(и)^Э -------с;------— In —
P=?m + ?o + S к ^Pm + Po + S О
Произведя подстановки из (111,50) и (111,59) в (111,55), по-
лучим с учетом (111,51) максимальное напряжение шага:
^шсшах)=^---^-- In in JL (П160)
и коэффициент напряжения шага из (1,2), (III 60)
(111,50) и (111,51):
Максимальное напряжение шага прямолинейного горизон-
тального полукруглого заземлителя в направлении малой
полуоси эквипотенциальных эллипсов (§8 и 9) такое же,
как и максимальное напряжение шага трубчатого заземли-
теля длиной /Л±=-|~. Производя последнюю подстановку
в (11,52), получим:
1п
т. е. такое же напряжение, какое мы получилй для коль-
цевого заземлителя [см, ч (III,60)].
§ 14]
Кольцевые горизонтальные заземлители
81
Так же, как и для случая прямолинейного горизонталь-
ного заземлителя, можно принять, что кольцевому 'заземли-
телю с прямоугольным сечением эквивалентен некоторый
кольцевой заземлитель с полукруглым сечением, причем
эквивалентный радиус заземлителя с полукруглым сечением
определяется так же, как и для случая прямолинейного гори-
зонтального полосового заземлителя [см. § 10, (И,95а),
(II,956), (II,98а) и (II,986)].
При расположении горизонтального заземлителя по пря-
моугольному контуру можно при достаточно большой длине
сторон прямоугольника приближенно пользоваться выра-
жением для сопротивления соответствующего кольцевого
заземлителя [Л. 5, § XXI, 6].
Пример ТО. Определить сопротивление расположенного у поверхно-
сти земли кольцевого заземлителя с прямоугольным сеченцем. Радиус
кольца рт = 250 ст. Ширина прямоугольного сечения b = 5 ст.
Проводимость земли у = 10 Qcm~ '
а) Заземлитель расположен плашмя у пэверхности земля.
Из (II,95а) и (П,95б> . ~
5
Рео = -— = 1,25 ст
и 4
deg — 2Д сгп-
Длина (криволинейной оси) заземлителя
/ = 2л-250 = 1 570 ст.
Из (111,54)
R = 0,732-10*_/ 2-! 570 _|_о I055V 14 g s
3 1 570 t 2,5 . J
В приме эе 4 для расположенного плашмя у поверхности земли пря-
молинейного заземлителя той же длины и того же сечения было получе-
но R3 =±= 14,5 Q. Следовательно,
. — 1,03.
R(np) п.з
Малая разница (— 3%), полученная между сопротивлениями прямо-
линейного (пр) и кольцевого- к заземлителей, объясняется относительно
большим радиусом кольца.
б) Заземлитель расположен на ребро у поверхности земли.
Из (II,98 а) и (11,986) -
Ре? = 4-= 2,5 ст
И 2
deQ — 5 ст.
Из (111,54)
R3 = . 0,73|’qC!— (lg 2'1557Q. 4-0,1055 ) = 13,55 Й.
Как и следовало ожидать, при расположении на ребро,
вследствие увеличения поверхности стекания тока сопротив-
ление заземлителя уменьшается.
6 Марголин
82
Углубленные заземлители
[гл. 4
Для расположенного на ребро прямолинейного заземлителя в приме-
ре 5 было получено при той же длине и том же сечении R3 = 13 2. Сле-
довательно,
R ~ 1,04.
7? (пр) рз
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ТРЕТЬЕЙ
1. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932 г.
(перевод с немецкого), § 12—14.
2. Вайнер, Заземления, ГНТИУ, 1938 г., гл. II.
3. Беляков, Основания для проектирования заземлений электри-
ческих устанбвок, ГОНТИ, 1938 г., гл. III.
4. Беляков, Гуревич, Сенкевич, К расчету заземляющих
устройств электрических установок высокого напряжения, ОНТИ, 1936 Г.,
гл. III.
5. Глазунов (редактор). Электрические станции и подстанции
ГЭИ, 1944 г., § XXI, 6.
6. Смирнов. Курс высшей математики, ГТТИ, 1934 Г., т. Ill, стр.
677—684.
Глава четвертая
УГЛУБЛЕННЫЕ ЗАЗЕМЛИТЕЛИ
15. ВВЕДЕНИЕ
Углубление заземлителей производится как с целью
уменьшения сопротивления заземлителей—путем помещения
их в слое почвы, обладающей большей проводимостью,
чем поверхностный слой, и, в частности, путем опускания
их в сферу влияния грунтовых вод, так и с целью получе-
ния более устойчивого значения сопротивления заземли-
телей, так как при их углублении уменьшается атмосферное
влияние, изменяющееся в течение года и более резко
проявляющееся в поверхностном слое; в частности, путем
углубления в известной степени устраняется переменное
влияние температуры и влажности, приводящее для по-
верхностных заземлителей к значительному увеличению
сопротивления зимой и к его уменьшению осенью.
, В .зависимости от различных условий, верхний край за-
землителя погружается на глубину от 0;3 до 1 гл.
В § 6 было указано, что электрическое поле, создавае-
мое в земле действительным заземлителем, расположенным
на некоторой глубине, эквивалентно полю, создаваемому
действительным заземлителем и его зеркальным изображе-
нием в предположении, что заземлитель и его зеркальное
изображение безгранично со всех сторон окружены землей.
Таким образом, -напряжение действительного заземлителя
определяется как своим собственным полем, так и полем
зеркального изображения, причем очевидно, что чем даль-
§ 16] Углубленный шаровой „заземлитель 83
ше отстает зеркальное изображение от заземлителя, т. е.
чем глубже помещен заземлитель, тем меньше будет влия-
ние зеркального изображения и тем меньше будет действи-
тельное результирующее напряжение заземлителя, а следо-
вательно, тем меньше будет и сопротивление заземлителй.
В пределе наименьшим сопротивление заземлителя будет
при помещении его на бесконечно большой глубине. Наи-
большее же значение сопротивление заземлителя имеет при
расположении его у поверхности земли,, когда зеркальное
изображение находится непосредственно у самого заземли-
теля.
Фиктивный заземлитель, представляющий собой зеркаль-
ное изображение действительного, отражает эффект экра-
нирования, обусловленный близостью поверхности земли.
Это экранирование ослабляется по мере углубления зазем-
лителя.
Из сказанного следует, что при углублении заземлителя
достигается некоторое уменьшение его сопротивления, даже
и в том случае, когда почва однородна. Правда, как будет
видно ниже, для применяемых .на. практике заземлителей
и при обычной глубине.заложения это уменьшение сопро-
тивления только за счет углубления (при неизменной про-
водимости земли) незначительно.
Вследствие углубления заземлителя потенциалы на по-
верхности земли и градиенты потенциала или напряженности
электрического поля уменьшаются. Это приводит к значи-
тельному уменьшению напряжений шага иш и коэффици-
ента напряжения шага аш [см. (1,2)] по сравнению с тако-
выми при расположении заземлителя у поверхности земли1.
С другой стороны, именно вследствие уменьшения напря-
жений на поверхности земли увеличивается напряжение
прикосновения Un и коэффициент напряжения прикоснове-
ния ап [см. (1,1), фиг. 1)] [Д. 1, § 18; Л. 2, §^43].
16. УГЛУБЛЕННЫЙ ШАРОВОЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ
На фиг. 37 представлен шаровой заземлитель радиуса р9
с центром, расположенным на расстоянии t от поверхности
земли. С заземлителя стекает ток /3.
Поле, создаваемое- в земле этим заземлителем, эквива
лентно полю, создаваемому действительным заземлителем
вместе с его зеркальным изображением при условии, что
оба они безгранично со всех сторон окружены землей и с
каждого из них стекает ток 13.
1 При этом максимальным напряжение шага оказывается не вблизи
контура проекции поверхности заземлителя на поверхность земли, а на
некотором удалении от него, в зависимости от глубины заложения и фор»
мы заземлителя. (Р е д.) •
6*
84
Углубленные ваземлителя
[гл. 4
Напряжение на поверхности заземлителя U3 можно раз-
ложить на две составляющих: напряжение U3, обусловлен-
ное только током действительного заземлителя, и напряже-
ние и'з, обусловленное только током зеркального изобра-
жения:
U3 = U'3 + U"- (IV,!)
Напряжение, обусловленное током рассматриваемого
заземлителя, определяется из выражения (1,54), если в
тельного заземлителя очень
него вместо р подставить ра-
диус заземлителя р0:
£4 = #-. (IV,2а)
4пТРо ' ’
При определении U"3 введем
допущение о том, что напря-
жение, обусловленное током
зеркального изображения, оди-
наково «для всех точек по-
верхности действительного за-
землителя и равно напряже-
нию в центре действительного
заземлителя О. Такое допу-
щение может быть принято
только в том случае, если
различие между напряжениями
поля, создаваемого зеркаль-
ным изображением, в разных
точках поверхности действи-
невелико. Последнее же воз-
можно лишь в том случае, если
2^»р0-
При таком допущении мы получаем из (1,54):
11" —
(IV,26)
Результирующее действительное напряжение на поверх-
ности заземлителя получается из (IV, 1), (IV,2а) и (IV,26):
Из (IV,3) и (1,36) сопротивление углубленного шаро-
вого заземлителя _
| 16] Углубленный шаровой заземлитель 85
-Вводя относительное углубление
'=i> <IV-5>
получим:
+i)- (,v-4a>
*
Сравним полученное нами сопротивление с сопротивле-
нием /?э двух полушаровых заземлителей, расположенных
у поверхности земли (/ = 0): полушарового заземлителя
радиуса р’а с такой же поверхностью стекания тока, что и
у данного'углубленного шарового заземлителя, и полуша-
рового заземлителя с таким же радиусом рй, как у рассма-
триваемого нами шарового.
Радиус ро первого полушарового заземлителя опреде-
ляется из условия:
2л (Ро)2.'= 4тгро,
откуда
Ро = Ро]/2.
Сопротивление первого поверхностного полушарового
заземлителя, радиуса рс, из (11,5):
р' = —1— . (IV,6)
2/2 к-гро
Отношение сопротивления углубленного шарового радиу-
са ро заземлителя.' к сопротивлению полушарового поверх-
ностного радиуса Ро = ро/2 заземлителя из (IV,4а) и (IV,6):
р . 1+ 2Г
~ =---------Л-. (IV,7)
А* .--и /2
Из (IV,7) следует, что с увеличением t, а.следовательно,
и t, сопротивление заземлителя уменьшается. Это, как было
уже указано выше, объясняется уменьшением влияния зер-
кального изображения. Наименьшее сопротивление, как было
также указано выше, имеет место при t^oo.
Из (IV,26), (IV,4а) и (IV,7) получаем соответственно:
lim U'3 = 0- (IV,8)
/—*со Рзоо И t—>oo “ (IV,9а)
R3t 1 lim —/=—=0,705. г /2 (IV,96)
86
У глубленнй^зйемли^ёли ’
[гл. 4
Сопротивление второго' поверхностного полушарового
заземлителя, радиуса р0, из (11,5):
р _ 1
Отношение к этому сопротивлению сопротивления рас-
сматриваемого. углубленного заземлителя [см. (IV,4а):
1
R4 1+ 2t
(IV, 10а)
2
Отсюда
(IV,106)
, Rst R™ 1
Um .
t—>оо 'YgQ -3 2
Вследствие удвоения поверхности, с’которой стекает
ток 13 в землю при углублении ' заземлителя неизменного
радиуса в последнем случае эффект уменьшения сопротив-
ления получается' большим, чем в предыдущем. При погру-
жении на бесконечно большую глубину, когда исчезает
влияние зеркального изображения, это увеличение поверх-
ности стекания в два раза приводи^ к уменьшению в Дна
раза и сопротивления заземлителя;- ;
Пример 11. Определить уменьшение сопротивления заземлителя
в результате его углубления при t=^“2.
а) Из (IV,7) -уменьшение сопротивления '.по^.отношению к поверх-
ностному полушаровому заземлителю -радиуса рц
1
-#-=--------—_ ~ 0,88; ДК’/о = 12%.
R30 /2 .
б) Из' (IV,Юа) уменьшение сопротивления по отношению к поверх-
ностному полушаровому заземлителю радиуса р0;
R3t ..1+Т
-р— = —тг—- = 0,625;
Д/?3 °/о = 37,Б°/о.
17. УГЛУБЛЕННЫЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КРУГЛЫЙ
ВЕРТИКАЛЬНЫЙ ^ТРУБЧАТЫЙ) ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ
На фиг. 38 представлен трубчатый заземлитель радиу-
'са Ро, длиной Z, верхний торец которого расположен на рас-
стоянии q от поверхности земли, а середина — на расстоя-
нии
i
t — q -|- 0,5л
(IV,11)
§ 17]
Углубленный трубчатый заземлитель
87
Как и для шарового заземлителя (§ 16), напряжение
заземлителя [см. (IV,!)].
t73=U + U'-
Из §8 следует, что напряжение '(/Л, обусловленное то-
ком 4 Самого заземлителя в предположении безграничного
со всех сторон окружения его зем-
лей, такое же, как и у расположен-
ного у поверхности земли трубчатого
заземлителя длиной
/'=0,5/, (IV, 12а)
со стекающим с него током
4 = 0,5/3. (IV,126):
Подставив в (11,41) указанное зна-
чение I' вместо I и 1з вместо 1а по-
лучим:
£/3=-Д-1п—. (IV,13)
Аналогично из (11,44) можно по-
лучить потенциальное уравнение поля,,
создаваемого в отдельности заземли-
телем и его зеркальным изображением,
подставляя в него те же значения: /'
из (IV,12а) вместо../ и 13 из (IV, 126)
вместо /3:
/, 2g +1
О = ^7-1п„—(IV,14)
4тг[/ 2g — I ' ’
Вводим допущение, аналогичное
принятому для шарового углубленного
заземлителя (§16): напряжение, обус-
ловленное током 13, стекающим с зер-
кального изображения, предполагается
Фиг, 38.
заземлителя и
.одинаковым для всех точек поверхности
'равным напряжению, создаваемому этим током в точке &-
в середине заземлителя (фиг. 38):
; » /Л = ( C/)z=2« •
’. , - Р=°
(IV, 15)
Такое допущение может быть принято при условии, что
расстояние между средними точками заземлителя и его зер-
кального изображения-2/ больше половины^длины заземлителя
7 2/>0,5/. у ' ! Ж16)
88
Углубленные заземлители
Ггл. 4
Из (11,15) следует для точки О' с координатами р = 0
и z = 2t:
g=Z = 2t. , (IV,17)
Производя подстановки из (IV,14) и (IV,17) в (IV,15),
получаем:
„ 1 4/4-/
. 4-7^7- . (IV>18> =
Из (IV,1), (IV,13) и (IV, 18) напряжение заземлителя
и°=^г 0” 4+4£У)- . <IV’19)
Из (1,36) и (IV, 19) сопротивление заз’емлителя
«-=w (1п 4+'ln £+()• (I v.2O)
Выразив радиус р0 через диаметр d0 и натуральный ло-
гарифм через десятичный, получим:
= -VZ- (’g do- + ~2 ’g 4/=Z> (!V,20a)
Сравним полученное нами сопротивление с сопротивле-
нием /?з0 трубчатого заземлителя тех же размеров, но рас-
положенного у поверхности земли.
Из (IV,20а) и (II,426) получаем:
^st
^зО
, 3/ ,1 4/ + Z
lg d0 + 2 lg 4Z —/
4/
(IV,21a)
Отсюда
"fa ЗЕ 3EjQ)
lim-p—— —-
t-»оэ кз0 кзО
21
In -Г-
d0
4/‘
In -r~
rfo
(IV.216)
Из (IV,21 а) и (IV,216) следует, что при углублении труб-
чатого заземлителя с сохранением его размеров, а следо-
вательно, и площади поверхности, с которой стекает ток
в землю, в условиях однородного грунта сопротивление за-
землителя уменьшается незначительно.
Пример 12. Определить уменьшение сопротивления трубчатого за-
землителя длиной I = 300 ст и диаметром dn = 6 cm при расположении
его верхнего края на глубине q = 100 cm (фиг. 38).
Из (IV.11)
t = 100 4- 0,5 - 300 - 250 cm.
Поскольку
2/ = 500 cm > 0,5 I = 150 cm,
§ 17] Углубленный трубчатый заземлитель
89»
использованное при выводах формул допущение (IV,15) здесь приемлемо.
Из (IV,21а)
. 2-300 , 1 . 4-250 + 300
Я3(250) 8 6 2 8 -250 - 300
6 6
При расположении на бесконечно большой глубине из (1V.216)
^3°0
^зо
. 2-300
lg —
j 4-ЗсО — °’87'
g 6
Как видно из полученного результата, максимально возможное умень-
шение сопротивления рассматриваемого трубчатого заземлителя за счет
только его углубления без увеличения проводимости земли составляет
сего 13%.
Упрощенно, с некоторым приближением, коэффициент напря-
жения шага прн углубленном заземлитёле! можно определить по-
наибольшему (абсолютному) значению горизонтальной составляющей
напряженности электрического поля у поверхности земли:
S
aiut ~ n
'-'з
dUg=t
dp
max
В силу симметрии относительно поверхности земли в расположении
действительного и фиктивного (зеркально отраженного) заземлителей,,
потенцйал у поверхности земли [см. (1V,1) (IV,44), (IV,12а) и (11,39)],.
при 2g>l.
U - '° 1п 2е + ‘ ~ -
2g—I z^g
где нз (11,15) с учетом (IV,12а) при. t2 + р Z
1 Добавлено редактором.
90 ''’‘' Углубленные заземлители ' . (гл."4
« Прй условии
т. е. на расстоянии от оси
(в данном случае оказывается
получается
I dUz=t I
I do J шах
и, следовательно, [см. (1,2) и (IV,19)],
_ 2W V"1 + (2г) ~ ОМ IS .
Подстановка в полученное выражение заданных значений приводит
к результату
аш(250) ~ 0,04. ,,
(Для вертикально расположенного у поверхности земрти такого же
по размерам трубчатого заземлителя в примере 2 было пойучецо:
, , ‘>, = 0,62:) - I !
На фиг. 38а, представлен график распределения потенциала у поверх-
ности земли Uz=t ='f (р), построенный по полученным более точными
подсчетами [из (IV,14), (1V,1) и (11,15)] результатам, (ср-» фиг»: 19)г !’, г
.§ 18]
Углубленный цилиндрический заземлитель
91
18. УГЛУБЛЕННЫЙ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЙ ЗАЗЕМЛИТЕЛЬ —
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ КРУГЛЫЙ С ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ОСЬЮ
И ПОЛОСОВЫЕ—ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ И КОЛЬЦЕВОЙ
Цилиндрический круглый заземлитель с прямолинейной
осью. На фиг. 39 представлен цилиндрический круглый
прямолинейный заземлитель длиной I, радиуса р0 или соот-
ветственно диаметром <f0=2p0 с горизонтальной осью, распо-
ложенной на глубине't.
Фиг. 39.
В соответствии' с имеющим место в действительности
условием принимаем, что глубина заложения t мала по срав-
нению с длиной I заземлителя, а радиус р0 мал по сравне-
нию с двойной глубиной заложения.
|:>20ро." (iv,22)
Л!
*
( Как и для рассмотренных в предыдущих параграфах слу-
чаев, напряжение на поверхности рассматриваемого зазем-
лител^ можно разложить на две составляющих — напряже-
ние и'3, обусловленное током /3 действительного заземли-
теля, и напряжение Z73> обусловленное током фиктивного
зеркального изображения в предположении, что как зазем-
литель, так и его зеркальное изображение безгранично со
всех сторон окружены землей [см. (IV,1)]:
и3 = и'3±и3.
Из § 9 следует, что напряжение U3 —такое же, каки для
расположенного у поверхности земли горизонтального полу-
круглого пряйолинейного.заземлителя той же длины итого
же радиуса, что и рассматриваемый, но со стекающим с
него током , .
/3'=0,5/3. (IV,23)
92 Углубленные заземлители [гл. 4
Это объясняется тем, что ток 13 круглого заземлителя,
со вс^х сторон безгранично окруженного землей, соответ-
ствует фиктивному току 1е комбинированного заземлителя, со-
ставленного из действительного полукруглого, расположен-
ного у поверхности земли, и его зеркального изображения.
Подставив в (11,56) значение /3 из (IV,23) вместо 13 , полу-
чим:
= (IV,24}
Потенциальное уравнение поля, обусловленного током 13,
стекающим с круглого цилиндрического прямолинейного-
заземлителя, безгранично со всех сторон окруженного зем-
лей, может быть получено из потенциального уравнения
(11,44) поля трубчатого заземлителя, расположенного у по-
верхности земли, если в него вместо величины /(, подставить /а
из (IV,23) и вместо величины I подставить
/' = 0,5/. (IV,25)
Произведя указанные подстановки, получаем:
При определении напряжения U3, обусловленного то-
ком /3, стекающим с зеркального изображения, принимаем, чтб
это напряжение имеет одно и то же значение для всех точек
поверхности действительного углубленного заземлителя и
равно напряжению, создаваемому током зеркального изо-
бражения в точке О' — в середине оси действительного
заземлителя (фиг. 39):
U"3^(u)^t . (IV,27}
z = u •
Такое допущение обосновано принятым нами условием
(IV,22). Так как радиус действительного заземлителя р0 зна-
чительно меньше двойной глубины заложения 2/, то разни-
ца между напряжениями в точках на оси и на поверхности
заземлителя невелика. Расстояние 2/от зеркального изобра-
жения до заземлителя невелико по сравнению с полови-
ной длины заземлителя у • На небольших же расстояниях
от зеркального изображения поле по обе стороны плоскости,
перпендикулярной оси зеркального изображения заземлителя
oz и проходящей через середину О зеркального изобра-
жения, мало меняется и его можно без больших погрешно-
стей считать плоскопараллельным. Отсюда следует, что соз-
даваемое током зеркального ' изображения 13 напряжение
вдоль оси действительного заземлителя o'z' мало меняется.
§ 181
Углубленный цилиндрический заземлитель
93
Допущение (IV,27), конечно, могло бы быть принято и
в том случае, если бы двойная глубина заложения была
значительно больше половины длины заземлителя:
24» 4’ (IV,28)
Из (11,15) после подстановки туда значения I' из (IV,25)
вместо I получаем:
&-« =/?+? 0V.29)
Из (IV,26), (IV,27) и (IV,29) получаем окончательное
выражение для составляющей напряжения, обусловленной
током зеркального изображения:
Ц"3 = Д In . (IV,30)
16/2 /2 _ I
Освободившись от радикала в знаменателе дроби под
знаком логарифма, получаем
U"3 = Д1п , (IV>30a)
При принятом нами условии (IV,22)
Z2»>164J
к, следовательно,
/ 1642 + Z2 I (IV,31)
Произведя подстановку из (IV,31) в (IV,30а), получим:
<iv>32>
Сложив обе составляющие из (IV,24) и (IV,32), получим
результирующее напряжение на поверхности действитель-
ного углубленного заземлителя [см. (IV,!)]:
1/,=Д (1цА-|-1пД = Д 1пД • (IV,33)
2т.-(1 \ ро 2// 2т.-{1 2/р0 ' ’ '
Из (1,36) и (IV,33) сопротивление цилиндрического
круглого прямолинейного углубленного заземлителя
^3‘ 2^1ln 2tPo
(IV, 34)
Полосовой прямолинейный заземлитель. В § 10 было
установлено, что длинный цилиндрический круглый прямо-
линейный заземлитель, безгранично со всех сторон qKpy-
женный землей, эквивалентен полосовому заземлителю
94
Углубленные заземлители
(гл. 4
ширина Ь которого связана с радиусом цилиндрического»
выражением (11,93):
ъ
Ро —
Подставив в (IV,34) указанное значение р0 и выразив
натуральный логарифм через десятичный, получим:
п 0,366 , 2Z« Avzqkx
lg-П-- (1V,35>
В §10 было получено выражение (11,96) для сопротивле-
ния полосового заземлителя, расположенного плашмя у
поверхности земли: z
При расположении этого заземлителя у поверхности зем-
ли ток 1з стекает с площади Ы, а при погружении его в
землю ток стекает с площади 2Ь1. Удвоение поверхности
увеличивает эффект уменьшения сопротивления при углу-
блении заземлителя.
Сравнивая (И,96) и (IV,35), получим:
Полученное отношение справедливо лишь при неболь-
шом углублении в связи с использованием при выводе
(IV ,35) условия (IV,22).
При увеличении глубины заложения заземлителя, как
уже было указано в § 15, уменьшается составляющая напря-
жения, обусловленная зеркальным изображением, и, следо-
вательно, уменьшается сопротивление заземлителя.
Из (IV,30a) имеем:
11ш£7'"=-Д,- In 1=0. (IV,37)
При бесконечно большом углублении остается только
составляющая напряжения, обусловленная собственным
током заземлителя [см. (IV,24)]:
<IV’38>
Подставив в (IV,38) значение р0 из (11,93) и выразив
натуральный логарифм через десятичный, получим для
полосового заземлителя, расположенного на бесконечно
большой глубине:
г г 0,366 , , 4/
из со ==•-— j3 lg—, (IV,39)
§ 18]
Углубленный цилиндрический заземлитель
95
а из (IV,39) и -(1,36)—сопротивление полосового заземлителя
на бесконечно большой глубине:
Rsoo = —Igry . (IV,40}
Сравнивая (IV,40) с выражением (11,96) для сопротивления
полосового заземлителя, расположенного плашмя у поверх-
ности земли, мы видим, что вследствие удвоения поверхности
стекания тока сопротивление при углублении уменьшилось-
в два раза: . • •
^ = 0,5. • (IV,41}
*'пэ
Для сопротивления полосового заземлителя, расположен-
ного на ребро у поверхности земли, было получено [см..
(II,9Э)]:
„ 0,732 . 2/
RP3 = — ig-y •
При углублении этого заземлителя поверхность стекания:
не изменяется, что приводит к меньшему эффекту чем для
заземлителя, расположенного плашмя.
Уменьшение сопротивления при углублении: при неболь-
шом углублении из (IV,35) и (11,99)
R3t _ 1
, 2
р.з
I 1
^7
2/
’g "ГJ
(IV,42}
максимально возможное уменьшение сопротивления
f?3oo 1
Rp3 2
1g 2 R3oo 1
2/
’ST
П.3
(IV,43}
Пример 13. Определить сопротивление горизонтального полосового,
прямолинейного заземлителя длиной / = 1570 ст и шириной 6 = 5 ст,
проложенного на глубине t = 50 ст.
Принять 7=10-4 .
Из (IV.35)
D _ 0,366-Ю-4 . 2.15702
^(50) — ---Г57и g “F5U
ю.о а.
1 57и
При расположении этого заземлителя плашмя у поверхности земли
соответствующее сопротивление было получено в примере 4:
/?пя=14,Ба.
п.з
96
Углубленные заземлители
Г гл. 4
Следовательно,
^з(50) Ю.о
*пз “14,6
= 0,69.
При расположении этого заземлителя на ребро у поверхности земли
в примере 5 было получено:
Р = 13,0 6.
Следовательно,
^3(50) 1п,0
Rp3 ’
Максимально возможное уменьшение сопротивления, расположенного
на ребро заземлителя из (IV,43):
— I +------------ГГбГи ~°’55'
2 \ 1g---------- /
о /
Кольцевой заземли-
тель. Перейдем к опре-
делению сопротивления
. кольцевого горизонталь-
ного заземлителя диамет-
ром D, с прямоугольным
сечением, шириной Ь, рас-
положенного на неболь-
шой глубине t (фиг. 40).
Принимаем имеющее
место в действительности
условие:
Фиг. 40.
В § 14 мы видели, что
при расположении у по-
верхности земли имеет
место небольшая разница
между сопротивлениями
полосовых заземлите-
лей — прямолинейного и
кольцевого—при условии
одной и той же длины I
и одной и той же ши-
рины сечения Ь. На этом основании может быть принято
допущение о наличии между сопротивлениями кольцевых
заземлителей у поверхности земли и углубленного соотно-
шения, аналогичного таковому между сопротивлениями
прямолинейных полосовых заземлителей—расположенного
у поверхности земли и углубленного.
§ 18] Углубленный кольцевой заземлитель 97
Выше нами было получено нижеследующее соотношение
между сопротивлениями прямолинейных полосовых заземлите-
лей — у поверхности земли и углубленного при расположении
плашмя [см. (IV,35) и (11,96)]:
R(np)3t — I lg "27 • (IV, 45)
Для кольцевого полосового заземлителя, расположенного
плашмя у поверхности земли, из (Ш,54) и (II,956)
п 0,732, 16/
^Wn^-^-Ig^.
Применяя к кольцевому заземлителю соотношение (IV,45),
полученное для прямолинейного, находим
п 0,366, 16/ . 0.366 , I 0,366,^8/2 Zl.r.„4
^r=-;-lg^. (IV,46)
В выражении (IV,46) длина кольцевого заземлителя
1 = kD. (IV,47)
Пример 14. Определить сопротивление кольцевого полосового зазем-
лителя диаметром D = 5и0 ст. длиной / = 1 570 ст, шириной сечения
Ь = о ст, расположенного на глубине t == 5Э ст от поверхности земли.
л 1
Принять у=10
Из (IV,46)
D 0,366-Ю-4 ,„ 8-15702
= 157'6— lg TaUT = 10-2 а-
Для прямолинейного полосового заземлителя, расположенного на той
же глубине, в предыдущем примере 13 практически было получено такое
же значение сопротивления.
При расположении кольцевого заземлителя таких же размеров
плашмя у поверхности, земли в примере 10 было получено R^ пз = 14,9 S,
а при расположении на ребро R(K)p а 13,55 2.
Уменьшение сопротивления при углублении:
%Ы^10,2
*<к)п3 14,9
R(K)at’_ 10,2 ~ 0 75
R(k)P3 13>55
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ЧЕТВЕРТОЙ
1. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932 г.
(перевод с немецкого), § 18 и 20.
2. Вайнер, Заземления, ГНТИУ, 1938 г.. § 5, 7 и 43.
3. Глазунов (редактор), Электрические станции и подстанции,
ГЭИ, 1944 г. § XXI, 6.
4. Беляков, Основания для проектирования заземлений электри-
ческих установок, ГОНТИ, 1938 г., гл. I.
7 Марголин
S3
Заземляющая 'Система «опоры-тросы»
[гл. 5
ГЛАВА ПЯТАЯ
ЗАЗЕМЛЯЮЩАЯ СИСТЕМА „ОПОРЫ-ТРОСЫ"
19. ВВЕДЕНИЕ
Во всех предыдущих выводах мы пренебрегали сопро-
тивлением металла заземлителей вследствие большой удель-
ной проводимости материала, из которого они сделаны, и
относительно небольших их размеров.
Пренебрежение сопротивлением металла позволяло рас-
сматривать поверхность заземлителя как поверхность уровня.
Фиг. 41.
При заземлителях большой протяженности (фиг. 41) па-
дение напряжения вдоль них, вызываемое их собственным
сопротивлением, может достигать значений порядка падения
напряжения в земле вокруг заземлителя. Это падение на-
пряжения вдоль протяженного заземлителя приво-
дит к тому, что части заземлителя, отдаленные от точки
перехода в заземлитель тока замыкания на землю 13 , могут
оказаться под очень небольшим напряжением по отноше-
нию к земле. Вследствие этого и ток, стекающий с этих
частей протяженного заземлителя в землю, оказывается срав-
нительно малым. Эти отдаленные части практически не
дают никакого уменьшения сопротивления заземлителя: при
беспредельном увеличении протяженности заземлителя про-
водимость его не стремится к бесконечности или, соответ-
ственно, сопротивление его не стремится к нулю— и та и
другая величина стремится к некоторому конечному преде-
лу (Л. 1, § 21).
К протяженным заземлителям следует отнести трубопро-
воды и оболочки кабелей.
Одним из практически важных видов заземлителей боль-
шой протяженности является „система опор ы-т росы “,
представляющая собой Комбинированный .заземлитель, со-
стоящий из ряда проводящих заземленных опор воздушной
линии электропередачи, соединенных между собой участ-
ками тросов (фиг. 42).
Вследствие падения напряжения на участках тросов меж-
ду опорами напряжение опор по отношению к земле умень-
шается по мере их отдаления от той опоры, у которой ток
замыкания на землю 1Э поступает в заземляющую систему
§ 20] Закон распределения тока замыкания на землю 99
опоры-тросы. Пропорционально уменьшению напряжения
уменьшается и ток, стекающий с опоры в землю. Это при-
водит к тому, что увеличение числа пролетов, на которых
проложены тросы, не обусловливает соответственного"увели-
Фиг. 42.
чения проводимости системы. При беспредельном увеличении
числа пролетов или соответственно числа опор проводимость
системы стремится к некоторому конечному пределу.
20. ОБЩИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКА ЗАМЫКАНИЯ
НА ЗЕМЛЮ МЕЖДУ ОПОРАМИ И УЧАСТКАМИ ТРОСОВ
(Л. 2, § 21; Л. 1, § 22)
При выводе общего закона распределения тока замыка-
ния на землю между опорами и участками троса мы примем
следующие два допущения.
1. Допущение о равенстве подлине всех пролетов линии
на которых проложены тросы, и в соответствии с этим допу
Фиг. 43.
щение о равенстве активных сопротивлений участков тро-
сов. А*,., определяемых средней длиной пролета 11р , проводи-
мостью материала трос ов рт , сечением троса q\ и числом
тросов w.
2. Допущение о равенстве друг другу '^сопротивлений
отдельных опор /?Сп, определяемых как среднее сопротив-
ление опоры. Сопротивление опоры в основном определяется
соп ротивлением ее з а з е м л е н и я.
7»
1 CO Заземляющая система «опоры-тросы» [гл. 5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
£
в
n
।
।
।
I
I
I
।
I
।
i
।
।
।
।
।
।
।
।
I
।
।
।
।
I
I
I
I
I
I
।
I
I
I
I
I
I
I
I
।
।
I
На фиг. 43 представлена схема участка рассматриваемой
нами системы опоры-тросы между опорами за номерами (/z — 1)
и п.
Применим второй закон Кирхгофа к контуру „(п —1)-
-я-земля-(я— 1)а:
(JОП(Л—1) I(оп)л) /?ОП —-I тп RT- (У J 1 )
Для исключения из (У,1) токов /оп через опоры приме-
ним первый закон Кирхгофа к узлам за номерами (я—1)
и п:
/оп(« — i)==A(« —п 1тп (У,2а)
и
1(рп)П /тл + О - (У>2б)
Вычитая почленно (V,26) из (V,2a), получим:
!<m(n — V) ‘— 1(<т)п = (А (п — 1) An ) (Ап А (п + 1 ) — А (л — 1) —-
— 2Ап -j-А (« + !)• (У,3)
Правая часть выражения (V,3) представляет собой раз-
ность двух конечных разностей или конечную разность вто-
рого порядка.
Л „
—ЛПЛГ—t—Л-П-ПГ -1 - -лплг—
^ол §
Фиг. 44.
Произведя подстановку из (У,3) в (V,l), мы исключим
токи Ап и получим для тока А одно уравнение второго
порядка в конечных разностях без свободного члена:
А (л — 1) —_ 2Ал А(л + п Ь1тП = 0, (У,4)
где
b=^-. (V.5)
Если бы проводимость опор по отношению к земле была
равномерно распределена вдоль линии и погонное ее значе-
ние (на единицу длины линии) было бы равно £оп, а погон-
ное сопротивление троса гт (фиг. 44), то вместо уравнения
(У,4) в конечных разностях мы получили бы линейное диф-
§ 20] Закон распределения тока замыкания на землю 101
ференциальное уравнение второго порядка с постоянными
коэффициентами и свободным членом, равным нулю:
-^--CA=0, (V.6)
где I — расстояние рассматриваемой точки от точки поступ-
ления в заземляющую систему опоры-тросы тока замыкания
на землю 1Э , а
C=rTgon. (V,7)
Решение дифференциального уравнения (V,6) имеет вид:
/т =Peil. (V,8)
В соответствии с тем, что уравнение (V,6) является урав-
нением второго порядка, величина v и произвольная посто-
янная интегрирования Р имеют по два значения: Рг и
причем \ и v2 являются корнями характеристического
уравнения второй степени.
Допущение о равномерном распределении вдоль линии
проводимости опор принимается 1 некоторыми авторами при
выводе общего закона распределения тока замыкания на
землю в системе опоры-тросы (Л. 3).
В соответствии с решением дифференциального уравне-
ния (V,6) и решение уравнения (V,4) в конечных разностях
имеет вид:
/тп-_=Ает, (V,9)
где величина а и произвольная постоянная А в соответствии
с порядком уравнения имеют по два значения: а^Д, и а2,Д..
Для определения -а подставляем значение /т из (V,9) в
(V,4)i
Де3" (е ~а — 2 -|- е°) = Д Ье3",
или
( — V , „49
\е 2 — е 2 J — 2 sh у j = b ,
откуда
1 = (V,10)
Вследствие нечетности функции shy уравнению (V,10)
удовлетворяют два значения аргумента а, равные друг дру-
гу по абсолютной величине и противоположные по знаку:
а1 = ₽
и
а2 = - Р-
(V.11)
IC2
Заземляющая система «опоры-тросы»
Im 5
На основании сказанного выше о двух значениях а и Л
получаем окончательно нижеследующее выражение для то-
ка на участке тросов:
/т.„ = Л1е₽«4-Л2е^п. (У, 12)
Выражение для тока опоры /(Оц)П получим, подставив
значение тока /т тросов из (У,12) в (У,26):
+ (V,13)
где
Я, = 4,(1-<?*>) (У,14а)
и
В, =Д2(1-<?-₽). (У,146)
Значения произвольных постоянных А, и Л, и связанных
с ними уравнениями (У, 14а) и (У,146) постоянных и В,
для каждого частного случая определяются двумя характер-
ными для этого, случая пограничными условиями..
Уравнение (У,4), строго говоря, применимо лишь для
случая постоянного по величине и направлению тока 13
Для случая же переменного тока промышленной частоты
о но грубо приближенно справедливо лишь при тросах с
большим погонным сопротивлением, т. е. практически при
железных тросах.
Рассмотрим в качестве примера случай прокладки одного железного
троса сечением q = 70 mm2, с погонным сопротивлением rT ~2B/km, при
средней длине пролета 1ср = 200 т. При этих данных
7?т =2.0,2 = 0,4 2.
Для сопротивления опоры примем сравнительно небольшое значение
Ron — 10Q.
При приведенных значениях
и из (V.10) и (V.11)
sh == ±°.L
Для такого порядка значений гиперболического синуса
аргумент функции можно приравнять самой функции:
arsli 0,1 =0,1,
и вообще с совершенно достаточной точностью можно при-
нять
+ . (У,15)
§ 21] Замыкание в начале бесконечно длинной линии с тросами ЮЗ
21. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА ЗАМЫКАНИЯ НА ЗЕМЛЮ
МЕЖДУ ОПОРАМИ И УЧАСТКАМИ ТРОСОВ И СОПРОТИВЛЕНИЕ
ЗАЗЕМЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ ОПОРЫ-ТРОСЫ ДЛЯ ЧАСТНЫХ
СЛУЧАЕВ
1. Ток замыкания на землю 13 поступает в начале за-
земляющей системы опоры-тросы с числом пролетов, на
которых проложены тросы, равным бесконечности (беско-
нечно длинная линия с тросами) (фиг. 45) [Л. 1, § 22; Л. 2,
$ 21а]. При возрастании номера пролета или номера опоры
соответствующий ток должен стремиться к нулю:
=0 (V,16)
Л—»с©
(в противном случае ток /3 не мог бы иметь конечного зна-
чения).
, Уравнение (V.16) является первым пограничным условием
для данного случая.
Фиг. 45.
Второе пограничное условие (фиг. 45):
/Т0=Л. (V.17)
Из (V,12) и (V,16) имеем:
Д^+Л^-Э^О,
откуда
4 = 0. (V,18)
Подставив в (V,17) значение 1ТО из (V,12) и значение А1
из (V.18), получим:
Л2=Л- (V.19)
Подставив значения произвольных постоянных Ах и At
из (У,18) и (У,19) в (V.12), получим выражение для тока
на участке тросов:
(V,20)
104 Заземляющая система «опоры-тросы» [гл. 5
Подставив значения и А2 из (V,18) и (V,19) в (V,14a)
и (V,146), получим:
В1=0 (V,21a)
и
Bs = /s(l-r₽). (V,216)
Подставив полученные значения В, и Д2 из (V,21a) и
(V,216) в (V,13), получим выражение для тока опоры:
/(ой;л^Л(1-е-₽)е-₽". (V.22)
Из (V,20) и (V,22) следует, что по мере отдаления от
опоры № 0, у которой ток 13 входит в заземляющую систе-
му, как токи на участках тросов, так и токи, стекающие по
опорам в землю, убывают по экспоненциальному за-
кону.
Как было указано в § 19, это объясняется уменьшением
напряжения на опорах Uon вследствие падения напряжения
на участках тросов.
Убывание тока происходит тем интенсивнее, чем боль-
ше р, т. е. [см. (V,15) и (V,5)] чем больше сопротивление
участка троса Дг и чем меньше сопротивление опоры ROIt.
Для ориентировки в том, какое число опор практически
принимает участие в отводе тока /3 в землю, определим по
Рюденбергу (Rtldenberg) номер т опоры, через которую
стекает в землю ток, например в 100 раз меньший, чем че-
рез начальную опору (№ 0), или, соответственно, номер
участка тросов, для которого протекающий ток составляет
всего 1 % от полного тока /3.
Из (V,20) и (У,22)
buL = = е~^= 0,01,
*т о * (оп) о
откуда с учетом (V,15)
= (V.23)
Для приведенных выше данных из (V.5)
0,4
ь = -г0-=°’С4
и из (V.23)
При Ron ~ 40 В соответственно
6 = 0,01
и
т = 45.
§ 21] Замыкание в начале бесконечно длинной линии с тросами 105»
Для опоры, ток которой составляет 5% от тока начальной опоры,,
получаем:
от —11122 = 2,99 (V,23a>
откуда
/гай = 0,04 == 15
и
т6 = 0,01 = 30.
Значение т вместе с тем грубо приближенно опреде-
ляет, начиная с какого конечного числа опор s можно вести
расчеты, основанные на выводах, полученных для. s—-оо.
Это число опор
s^m. (V,24>
Поступающий в систему ток 13 разбивается на две части,,
из которых одна [см. (V,22)]
Лоп)о = 4(1 -<?-₽) (V,25a>
поступает в землю через начальную (п = 0) опору, а вторая
[cm.(V,20)J
ZTi=Z3e-₽ (V,256)
поступает на первый (п=1) участок тросов и отводится в
землю всеми последующими опорами, которые, таким обра-
зом, вместе с соответствующими участками тросов шунти-
руют начальную опору, и поэтому сопротивление заземляю-
щей системы получается меньшим, чем сопротивление од-
ной опоры
R3 <С Ron .
Напряжение заземляющей системы равно напряжению на
начальной опоре.
Учитывая (V,25a), получаем;
L/g = [7о = I(on)aRon = L Ron (1 - £ “₽)> (^>26)’
а из (V,26) и (1,36) определяем сопротивление зазем-
ляющей системы опоры-тросы:
R3 (1-<?"₽). (V,27>
Из (V,27) и (V,25a) вытекает, что, как и следовало ожи-
дать, сопротивление всей заземляющей системы R3 меньше
сопротивления одной опоры Ron в отношении тока началь-
ной опоры 7(0п)о к полному току замыкания на землю 13.
Входящий в (V,27) член может быть определен раз-
1С6
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гж 5
личными путями. Можно, например, решить относительно
е 2 уравнение (V,15):
А _ А
е 2 — е 2 1 т/ 77
shf =—2—
.а можно (по Рюденбергу) выразить е~? через th-|-, что мы
и сделаем:
Р
th-Ue2~-ZT' (V’28)
е2 -f-e , 2
Следовательно,
1 - th А
-----Г = <?-₽, (V,28a)
l+ihf
a
2th
=_ (V,286)
i + n4
Из (V,15) ___
ch 4=1/^+sh4=1^+4
.И
«4=У^- (v.29)
Из (V.286) и (V,29)
2 l/~b—
1 - e~ ₽ = —= -------)=-=-. (V.30)
Произведя подстановку из (V,30) в (V,27), получим окон-
чательно:
Значение /?э, определяемое выражением (У,31), и пред-
ставляет тот отличный от нуля предел, к которому стремится
§21] Замыкание в лича ле линии с тросами на конечном числе пролетов 107
сопротивление заземляющей системы при
беспредельном возрастании числа опор1.
Проводимость рассматриваемой заземляющей системы
Проводимость системы без начальной опоры
G'a =» G3 Gon,
(V.32)
и из (V,32) и (V,31a) для рассматриваемого случая (s-*oo)
оп
(V,32a)
Сопротивление той же части системы
^=-^7-.. (V.33)
^3
и из (V,32a) и (V.33) для рассматриваемого случая (s->oo)
Й - . ---— • (V,33a)
Гт+т-т
При 7?оп^>^?т можно' в знаменателе выражения (V,
1 R
пренебречь всеми членами кроме [см. (V,5)]r
(Яз )т?оп^>7?т == У /?оп A*T . (V,34)
I Формулу (V.31) можно получить значительно проще (предложение
проф.. Д. А. Городского). Если односторонне бесконечную цепочечную
схему, состоящую из сопротивлений — последовательных и параллель-
ных 7?оп (фиг. 45), дополнить еще одним полным звеном, то ее эквива-
лентное сопротивление 7?3 должно остаться неизменным:
(/?3 4-7?т )||7?оп
Отсюда с учетом (V.5):
(/?3 +/?т )/?оп _р
Кз +#т +^оп
7?3=7?т
(1/± . 2__. R°n______
И 4 + b 2J- 1 ,/-]--Г
7 + Ут+7
Развивая тот же прием, можно получить далее и общий закон рас-
пределения токов в рассматриваемой системе [выражения (V,20), (V.22)
и другие. (Ред.)
1С8
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5
Пример 15. а) Определить сопротивление заземляющей системы
опоры-трос при /?оп=10й, /?т =0,4 й и5->оов случае, когда ток /д
вступает в систему у начальной опоры.
Из (V,5)
Ь и,4 2
Из (V.31)
10
R3-----т-----,-----_- = l,81Q.
+ У 25,25
По приближенной формуле (V.34)
R3 = ]/10-0,4 = 2Q.
Ошибка приближенного подсчета
Д/?% ~ 10%.
Фиг. 46.
б) То же, но при Ron
= 40й.
Из (V.5)
1 _ 40
b 0,4
= 100.
По точкой формуле (V,31)
Rs
40
1
2
-_____- =3,81 Q.
100,25
По приближенной формуле (V.34)
Ошибка
R3 = /‘40-0,4 = 4 а.
Дл?% ~ 5%.
2. Ток замыкания на землю /3 поступает в начале за-
земляющей системы, состоящей из s пролетов с тросами
(фиг. 46). Из фиг. 46 вытекают нижеследующие два погра-
ничных условия:
1т = 1з (V,35a>
и
Лг(5 + 1) =0.
(V.356)
§21] Замыкание в начале линии с тросами на конечном числе пролетов Ю9
Подставив в (V,35a) и (V.356) значение /т из (V,12), мы
получим два уравнения для определения произвольных
постоянных А± и Л2:
A,^-A2=I3 (V,36a)
и
i)_j_y42e-₽(i+i) = o. (V,366)
Решая совместно уравнения (V,36a) и (V,366), получаем:
e-₽(s + i)
А1 ~ ~1з e₽(s + D_e-3(s + D (V,37a)
и
е₽С?4-1)
л«=/' <v,37<5)
Подставив значения Аг и А2 из (V,37a) и (V,376) в
(V,14a) и (V,146), получим:
-Pfi + D.z, _ -р ч
= — А —-₽(s + 1) _е-₽ (Г}- if (V,38a)
и
. e₽(s+ 1). л_р— ₽ ч
в*=1э е₽<*+о _e-₽(s+в (V.386)
Подставив значения ВА и Д2 из (V,38a) и (V,386)
в (V,13), получим выражение для тока начальной опоры;.
, _Л [e₽(* + D _e-₽(s + !)j_ (е^_е-^}
/(on)o h e₽(s4-l) е ₽(s+o -
= 7 / 1 sh (fc)_________1
M sh [₽(« + !)] J '
(V,39)
Напряжение заземляющей системы
U3 = ио = /(ои)о/?оп = Л Ron I 1-----sh'fB (s 4-111 1 • (V,40)
l Й11 [p Id "1“ J
Из (V,40) и (1,36) сопротивление заземляющей
системы
1-Tirwrn-I
Для более точного определения числа опор т, при котором
вычисление сопротивления системы по формуле (V,27) или
(V,31), выведенной для случая $—*оо, приводит к ошибке,
не превосходящей определенного предела, например, Д%=’
— 5 %, определим отношение этого приближенного значения
сопротивления к его значению, вычисленному по точному
по
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5.
выражению (V,41) для конечного числа опор и решим по-
лученное таким образом уравнение
_____1 е ________ _ 1___Д% ___л ок
1 sh <И) ~ 100 ’
sh [₽ (т + 1)]
относительно tn.
Решение дает:
1 .
т = -^т- In
Д% \
100 )
1 „ J0/i_ f е-₽.
1 юо е \ е
Д°/0 ft
Too” ~
0,95 —(е~Р —0,05)
Для> случаев, предусмотренных предыдущим примером 15, получаем
из (V.42):
а) нри <1 = yr b =1/ ~~г~ ~ 0,2
1 , 0,05 — 0,819(0,819 — 0,05)
~2-и,2 1п 0,05 (1,221 — 1)
= 8,4 - 9;
б)при₽=:/ Ь = !/ 7ПД=0,1
1 0,95 — 0,905 (0,905 — 0.05)
т = 2щТ'1п “ 0,00 (1,1и5—Т) = х7,6 т8.
Сравнивая значения т, полученные по (V,42), со значе-
ниями т, полученными по (V,23a) при тех же значениях Д,
находим, что выражение (V,23a) дает некоторое преувели-
чение.
Сопротивление заземляющей системы R3 может быть
получено также и непосредственно из схемы фиг. 46 путем
ее преобразования:
/?т s “р /?(оп) S ~ Ry,
R(oti) (s — 1) [, Ri ~ R‘z,
R-r (s -1) + R^ = R»,
Ron (5 — 2) | Rs~Ri'>
R T1 4- Rzs—2 = /?2s-l ;
/?(оп)о I I Rls-l — Rls = R3 .
При таком определении сопротивления системы сопро-
тивления отдельных опор и отдельных участков троса могут
быть, конечно, и не равны друг другу.
§ 21] Замыкание в начале линии с тросами на конечном числе пролетов ПТ
Недостатком такого способа определения сопротивления
системы является его громоздкость.
Выражение (V,41) является общим (при сделанных допу-
щениях о равенстве сопротивлений всех участков троса и
сопротивлений всех опор), и из него; как частный случай,
может быть получено определенное уже раньше [см. (V,27)J
сопротивление (7?3)
Лт~™Ьт-е-’- ’W
и из (V,41) и (У,43)
Jim/?3=/?оп (V,44>
S —> со
Так же как мы выше сделали для случая s-^оо, мы и в.
данном случае можем определить проводимость G'a и сопро-
тивление R'3 всей системы без начальной опоры [см. (У,32)
и (V,33)].
Если по обе стороны от начальной опоры, у которой посту-
пает ток замыкания на землю 13 , отходят соответственно з,
и з.2 пролетов линии передачи с тросами, то проводимость
заземляющей системы может быть определена как сумма
проводимостей начальной опоры и правой ,и левой частей
системы:
G3 = Gon + G.;-|-G2;, (V,45>
где G^ и G?3 определяются по выражению (V,32).
Сопротивление заземляющей системы в этом случае
<v>46>
При малых значениях Ь, т. е. при /?т <С Z?on, и при зна-
чительном з выражение (V,41) может быть упрощено.
Действительно, как уже было указано [см. (V,15)],
₽ b = sh;P.
Далее, при малом b, а следовательно, и при малом р
chp-1. (V,47>
Учитывая (V,15) и (V,47), получим:
Sh (pS) = Sh {₽ [(3 + 1) - 1]} sh [₽ • (з +1)] - ? ch [р (3 +1)],
и
1 - ,мХ1)] -? cth[p(s+l)]. (V,48>
.112
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5
Тогда из (V.41). (V,48), (V,15) и (V,5)
J?3 = /?onP-cth^(s+l)] = l/^r₽T-cth [j/—; (s+ 1) ] =
== (R3 )^oo - cth[ 1/(s+ 1)1 . (V,49)
При возрастании s функция cth [p (s + 1)] быстро стре-
мится к единице. Поэтому при малых значениях Ь, а следо-
вательно и р, и значительном числе s
р - cth (Ps) = р. (V,5Q)
Таким образом из (V,49) и (V,50) получается выражение,
идентичное полученному нами выше для случая малых
значений b при s—»оо (V,34):
, R3 = 7?оп /Т«=]/коп . (V,49a)
Пример 16. а) Вычислить сопротивление заземляющей системы
опоры-тросы при /?оп = 10 Q и /?т = 0,4 О для случая $ = 10.
Из (V.15) и (V.5) '
К/Т-/«=0,2.
При вычислении по точной формуле (V,41)
При вычислении по приближенной формуле (V,34)
R3 = V 10-0,4 = 2,0 о.
Из (V,49)
R3 = 2 cth (0,2-11) =2-1,024 = 2,05 2.
Ошибка приближенного подсчета
Д/?% = 7,5 4-10%.
В примере 15а при тех же значениях Ron и RT _ но для случая
_s->co, было получено
(/?з >=00=1.81 В-
Ошибка, обусловленная таким допущением, составляет в данном
случае
Д/?% = —2,7%.
б) Вычислить сопротивление заземляющей системы опоры-тросы
при таких же значениях Ron и Rr , как и в предыдущем п. »а“, но для
случая s = 25.
Из (V.41)
sh(0,2-25)
sh (0,2-26)
>что вполне совпадает с результатом вычисления для случая s-xo.
Из (V.34) и (V,49a)
/?з = 10 1
= 1,812,
R3 = 2,0 0.
§ 21] Замыкание в начале линии с тросами на конечном числе пролетов 113
Ошибка
Д/?%=:1С%.
в) Вычислить сопротивление заземляющей системы опоры-тросы при
Ron = 40 Q и R.f = 0,4 Q для случая s = 10.
Из (V.15) и (V.5) '
'aVr=w-
Из (V,41) '
Г sh (0,1.10)]
=4011-йНоДЛп] = 4»8а-
В примере 156 при тех же /?оп и /?т, но для случая s = со, было
полечено:
(R-з )^оо = 3.81й.
Ошибка вычисления по формуле для s-»oo
Д/?3 21%.
При вычислении по приближенной формуле (V.34) получается:
R3 = <40.0,4 = 4,0 Q.
Ошибка приближенного подсчета
ДЛ3 = - 17%.
Из (V.49)
R3 =4-cth(0,1-11) = 4.1,25 = 5,00,
что приводит к ошибке только порядка 4%.
Резкая разница между величинами ошибок, полученных в настоящем
случае и в других — предыдущих (пп. „а“ и „б“), объясняется, как уже
было указано выше, тем, что число опор т, при котором получается
определенная ошибка (например 5%), если вычислять сопротивление R3
по формуле (V.27) или (V.31) для s-»- со, сильно зависит от сопротивления
опоры Ron. Так, при ошибке в 5% нами было получено mR _ J0 Q = 9
и mRo =40S = 18.
г) Вычислить сопротивление заземляющей системы опоры-трос при
тех же значениях /?оп и RT t но для случая s = 25.
Из (V.41)
, Г sh(0,1-25)] „ _
R3 — 40 Р — sh (0,1 -26) J ~ 3,80 S-
В примере 156 при тех же /?оп и /?т , но для случая s-*co было по-
лучено (см. п. „в"):
(Я3 V-h=o = 3.81
\ О /о
т. _е. почти точное значение (ошибка Д/?3 ~ — 1,0%).
При вычислении по приближенным формулам (V.34) и (V,49a) полу-
чается (СМ. п. яв“)
R3 =4,0 Q,
что дает ошибку
Д/?3 =3,9%
— меньшую, чем во всех предыдущих случаях (пп. .а“, „б“ и »в*).
8 Марголин
114
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5
3. Ток замыкания
бесконечно длинной
)
S
е
Из (¥,28) и (¥,29)
на землю 13 поступает в середине
линии с тросами (фиг. 47). Непо-
средственно из фиг. 47 получаем
оба пограничных условия:
/тда = 0 (V.51)
и
2/т, +Ш =Л. (¥,52)
Из (V,12) и[(У,51)прип-—по-
лучаем:
Л^О. (¥,53)
Подставляя в (¥,52) значе-
ние А, из (¥,12), Л, из (¥,53), Вх
и В2 из (¥,14а) и (¥,146) и /(ОП)о
из (¥,13), получим:
2Л^~гЛ2(1-е-₽) = /3,
откуда
л — 3
Из (¥,54), (¥,146) и (¥,13)
Лоп)о=В2 = /а • (¥’,55)
1-Ре PJ
Напряжение заземляющей си-
стемы, равное напряжению на
начальной опоре, получаем, при
нимая во внимание (У,55):
z==l^7[|==/(on)o Ron ==
= (V.56)
" 1+е р
Из (¥,56) (1,36) сопротивление
заземляющей системы
1-е-₽
Ra ~ Ron~~
1-j-e •
(¥,54)
1—ё
(¥,57)
1-е-₽
1+е-^
“th 2 4+6
(¥,58)
§ 21] Замыкание в середине бесконечно длинной линии -с тросами 115
Подставляя из (V,58) в (V,57) и учитывая (V,5), полу-
чим окончательно:
При Ron Rt членом 1 в знаменателе выражения (V,59)
под знаком корня можно пренебречь и принять:
(/4o^T Ron R[ ' (v,eo)
При большом сопротивлении опоры Ron по сравнению с
сопротивлением участка тросов Ri проводимость начальной
опоры (Ооп) очень мала по сравнению с ( ®'3 )д , ц (см. выше,
частный случай!)—проводимостью заземляющей системы
опоры-трос при s—> со без проводимости начальной опоры,
и поэтому сопротивление рассматриваемой заземляющей си-
стемы (фиг. 47) получается примерно в два раза меньше
сопротивления заземляющей системы, изображенной на
фиг. 45, при s—-оо, но при поступлении тока замывания на
землю в начале линии.
Выражение (V,59) для сопротивления R3 может .быть
получено также исходя из того, что рассматриваемая система
представляет собой параллельное соединение трех ветвей—
начальной опоры с проводимостью Ооп = —я— и двух вет-
^ОП
вей с проводимостью ( (ZJ •-
gs-c„+2(O;)„.-J-+2(c;)s_ . (v,6i)
Подставляя в (V,61) значение [C3^s_^ из (V,32а), полу-
чим: ____
l/’+4
G3=v b , (V,62)
Ron
откуда с учетом (V,58)
что вполне совпадает с ранее полученным выражением
(V,57).
Пример 17, а) Вычислить сопротивление заземляющей системы
опоры-тросы по фиг. 47 при Roa == 10 Й и /?т =0,4 й.
Ь*
116 Заземляющая система «опоры-тросы» [rat Б
Из (V,5)
0,4
b = -^=0.04.
Из (V,59)
/?, =10 1/—— — 1,0 2.
3 V 44*0,04
Из приближенной формулы (V,60)
Дэ ~ ~Т]/Г 10-0,4=1,0 2,
т. е. результаты практически совпадают.
б) Вычислить сопротивление заземляющей системы оПоры-тросы по
фиг. 47 при 7?ОП = 40 2 и =0,4 2.
Из (V.5)
0,4
6=40 =0,01.
Из (V.59)
«•=«/ ф^г'=2.»В.
Из приближенной формулы (V.60)
Ra ==4-|/Г40-0,4 = 2,0 2.
22. ОБЩИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТОКОВ
НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ МЕЖДУ ОПОРАМИ
И УЧАСТКАМИ ТРОСОВ 1
Пусть мы имеем трехфазную линию электропередачи, со-
стоящую из а цепей и, следовательно, из р=3а фазных про-
водов, и системы из w тросов.
Схема замещения участка этой линии в нулевой после-
довательности изображена на фиг. 48.
По цепям линии протекает ток нулевой последователь-
ности /0, по участку тросов за номером п — ток /(Tn>o и по
опоре за номером п,— ток/[(Оп)л]о. Суммарный ток системы
тросов [см. §29, выражение (VII,6)].
/(тл) S == 3/(тл)0
Действительный ток каждого из тросов
• я/
(V.63)
1 К чтению этого параграфа следует приступать после ознакомле-
ния с §28 и 29.
§ 22] Закон распределения токов нулевой последовательности
117
Действительный ток опоры
7on = 3Z(on)0. (V.64)
Как и в §20 для случая постоянного тока, вводим сред-
нюю длину пролета I и среднее сопротивление опоры
7?(оп)0 ~~ 3/?on. (V.65)
гпв „
-----^ЛА/VWW------------
2 то „ 2т0
Л/л-лс Ui knfo Cl h(n-n)0
й(ОП)0 ^(ОП)0^\^[(оп)п]о
3 fyfr/yo—» 1
* Фиг. 48.
Среднее сопротивление нулевой последовательности
участка* 1 фазных проводов между двумя соседними
опорами
Zm=znol. (V,66)
Среднее сопротивление взаимоиндукции в нулевой после-
довательности между системой фазных проводов и систе-
мой тросов на участке1 между двумя опорами
Zmq—ZmoI. (V,67)
Среднее сопротивление нулевой последовательности
участка1 тросов
Zt0=zt0/. (V,68)
Из~(У,64) иДУ,65) следует, что напряжение Un на опо-
ре за ^номером п
^7п = /(оп)л/\оп == 7[(оп)п]/?(оп)0* (^>69)
Это напряжение и падение напряжения
й(п_ъ=п=йп^-йп (V.70)
1 Выражения для определения погонных сопротивлений соб-
ственных и взаимоиндукции — приведены в § 29.
‘ИВ • • - Заземляющая система «опоры-тросы» {гл. 5
на участке тросов за номером п между узлами за номерами
(и-—1) и п—являются напряжениями нулевой последователь-
ности.
- Применим закон Кирхгофа к контуру „земля-(п—2)-
-п-земля“, принимая во внимание падение напряжения
в системе тросов от взаимоиндукции с фазовыми прово-
дами и учитывая противоположность принятых положитель-
ных направлений для /о и /т0:
Дтп)О^т0 (Доп)(л —1)0 ^[(оп)л]0 (оп)0 = /о^МО- (У>71)
Исключив ток в опорах аналогично тому, как это бы-
ло сделано при выводе общего закона распределения по-
стоянного тока между опорами и участками тросов [§20,
выражения (V,2a), (У,2 б) и (У,3)], получим:
/(тл)0^т0 ^т(л—1)0 2 /(1Л)о+/т(л+1)О )/?(оп)0 = /0^М0. ‘(У,72)
Сравнивая уравнения (У,72) и (У,4), мы видим, что ле-
вая часть уравнения (У,72) построена так же, как и левая
часть уравнения (У,4), но, в то время как в уравнении
(У,72) для переменного тока в правой части имеется сво-
бодный член, в уравнении (У,4) для постоянного тока он,
естественно, отсутствует вследствие того, что протекаю-
щий по линии постоянный ток / не может наводить э. д. с.
взаимоиндукции в системе тросов. Таким образом, уравне-
ние (У,72) так же является уравнением второго порядка
в конечных разностях со свободным членом.
Уравнение (У,72) является более общим, чем уравнение
(У,4) для постоянного тока, которое можно рассматривать
как частный случай уравнения (У,72) при частоте тока
/=0. Кроме того, уравнение (У,72) отличается от уравнения
(У,4) тем, что в последнее входит действительный сум-
марный ток тросов, в то время как само уравнение состав-
лено для токов нулевой последовательности в фазных про-
водах и в системе тросов.
Найдем теперь частное решение уравнения (У,72)—ток /то,
определяемый свободным членом По аналогии с
нестационарным процессом во времени этот ток может
быть назван „пространственно-вынужденным"
(raumllch erzwungene Stromverteilung) (Л. 1, § 40), причем
вынуждающим является ток нулевой последовательности:
системы фазных проводов /о:
; i ^°. (У,73)
1т0—10 •
ZtO
22] Закон распределения токов нулевой последовательности 119
Этот ток одинаков на всех участках системы тросов,
если постоянен ток 10 на всех участках системы фазных
проводов: постоянство эффективного его значения в про-
странстве соответствует постоянству эффективного значения
вынужденного (стационарного) переменного тока во вре-
мени. Он представляет собой часть тока нулевой последова-
тельности, возвращающуюся через тросы (т. е. отсасываемую
системой тросов из земли; см. гл. VII, §30, фиг. 71). Суммар-
ный вынужденный ток системы тросов [см. (VII,6)]
7iE = 37iO. ( (V,74)
Действительный вынужденный ток, протекающий по каж-
дому из тросов [см. (V,63)],
(V,74a)
Часть тока 70, возвращающаяся через землю (фиг. 71),
/Л - 4-4 (1 - т-^~) =4^- • (V.75)
Придадим уравнению (V,72) вид, аналогичный уравнению
(V,4) для постоянного тока, отмечая соответствующие со-
ставляющие токов дополнительным обозначением Д:
b • Д/(тп)о — [А7т (л —1)0 — 2Д/(тл)о^ Д^т («+1)0 ]= 0, (V,76a)
где
Решение уравнения (V,76a) без свободного члена имеет
вид, аналогичный приведенному выше решению (V,9) урав-
нения (V,4) для постоянного тока:
Д/(1П)о ^Ае". (V,77)
По аналогии ^нестационарным процессом во времени, ток
Л/(тл)о может быть назван „пространственно-свобод-
ным" (raumlich freie Stromverteilung) (Л. 1, §40). Затухание
этого тока в пространстве соответствует затуханию свобод-
ного тока во времени.
Произвольная постоянная решения полученного уравне-
ния без свободного члена определяется пограничными усло-
виями в пространстве (например, значением определяемого
тока в начальном и последнем пролетах), в то время как
120 Заземляющая система «опоры-тросы» [гл. 5
для нестационарного процесса она определяется погранич-
ными условиями во времени (например, значением искомой
величины в начальный момент и при установившемся ре-
жиме).
При постоянном токе имеют место только простран-
ственно-свободные токи вследствие упомянутого уже выше
отсутствия взаимоиндукции от Системы фазных проводов
на систему тросов.
Токи в опорах содержат При переменном токе только
пространственно-свободную составляющую вследствие того,
что, как уже было указано выше, пространственно-вынуж-
денный ток 7То одинаков для всех участков системы тросов
[ср. (V,26)[:
/(тл)0 =/т0 —Д/(тл)0; (V,78a)
7[(оп)л)0 = 7(тл)0 — /Т (п+1)0 =Д7 (тл)„ = Д/т(л+1)0=Д/[(оп)л]„. (V ,786)
По аналогии с решением для постоянного тока [см. (V, 10)
и (V,l 1)] имеем:
• ’ (V,79)
«!=+> = 8+'jC; (V,80a)
;.2e-p = -S-jC (V,806)
Величина & определяет затухание или нарастание (отри-
цательное затухание) модуля токов Д/(Тл)0 и /[(On)niw а С—из-
менение их по фазе.
При
^т0
что в громадном большинстве практических случаев и
имеет место,
sh 1. Л., (V,82a)
и
±₽=±(5+ю=±/' 'ь- ода>
По аналогии с (V,12), (V,13), (V,14a) и (V,146),
Д/Г(я)о = А,е ~Рп (V,83a)
и
7((оп) л]0= В2еп + В2е~Р\ (V,836>
5 23]
Бесконечно- длинная линия переменного тока с тросами
121
где
^=4^1-е₽) (V,84a)
и
В2 = Д2(1—е~₽). (V,846)
с Згт
Если погонное активное сопротивление тросов гт0= -
значительно превышает модуль второго и третьего членов
выражения (VII, 10а) для ?т0, т. е. если
-$-»|0,16+j0,4351i;s^-|, (V.85)
I т I
то для b и р получаются приближенно те же значения, что
и при постоянном токе [см. (V,5) и (V, 15)]:
b =s b , (V,86)
^(оп)о
где
R^rJ=-^-l=3Rv (V,87)
и с учетом (V,65)
Можно было ,бы присоединить к сопротивлению гтй и
активную составляющую, определяемую потерями энергии
в земле [см. (VII,10а)],
^„=0,15 й/km,
но при условии (V,85) поправка эта оказывается незначи-
тельной.
23. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
МЕЖДУ ОПОРАМИ И УЧАСТКАМИ ТРОСА И СОПРОТИВЛЕНИЕ
ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ ЗАЗЕМЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМЫ
ОПОРЫ-ТРОСЫ ДЛЯ ЧАСТНЫХ СЛУЧАЕВ
1. В точке К в начале линии с тросами и числом проле-
тов п—>оо имеет место замыкание на землю (фиг. 49а и
496) или в той же точке К подводится для перевода через
систему опоры-тросы в землю ток /й=3/0 — 34О [см § 29,.
(VII, 6)]
По системе тросов протекает суммарный вынужденный
ток, определяемый из (V,73) и (V,74).
Свободными токами в системе тросов следует перевести.
J22 - Заземляющая система «опоры-тросы» • [гл. 5
в землю через опоры вынужденный ток [см. (VII,6), (V.64),
(V,75) и фиг. 496].
4=34,=/.^—(V.89)
тУ п—0
Под участком [за номером п линии в земле протекает
ток нулевой последовательности l(gri)0, с одной стороны, рав-
н
И 1
rJ\ ко
^0)0 h
% ПО К i/to
—М? -dVWW—
1 сто *
рМММУ—f—VVW/VW—
□ 1 \(оп)с]о R(CtyO Cj joq}f]o 51
I Ьд1)^1[(пп)о]11 | ^(д2)О] ^09%
Фиг. 496.
ный сумме вынужденного и свободного токов, и, с другой
стороны, равный сумме токов всех опор, расположенных от
точки замыкания до данного участка:
Л—1
Z(£«)о ~ ^gO “Ь (gn)0 = У/[(ол) лО] • ( V, 90)
л=о
Этому току соответствует действительный суммарный ток
7gn = 3/(^n)o.
Свободный ток в земле равен по величине и противопо-
ложен по направлению свободному току в тросе:
Л7^я)о = — Д/(т) ло. (V, 91)
На бесконечно большом отдалении от точки замыкания К
остается только вынужденный ток и, следовательно
[см. (V,90)]>
сю
Ig = (on) л =igco. (V,92)
л=о
Для определения постоянных Аг и Й2 уравнения (V,83a)
имеем два условия. Первое из них и вывод из него анало-
§ 23] Бесконечно длинная линия переменного тока с тросами
123 '
гичны таковым же для случая постоянного тока (см. (V, 16)
<V,12) и (V.18)]:
Д,=0. (V.93)
Второе условие дает участок за номером „нуль“ Гем.
•(V,78a) и фиг. 496]
ЛтО)0 = /т0 + А ДтО)О — 10,
«откуда, с учетом (V,83a) и (V,75)
A + A2 = Zg0. (V,94)
Подставляя в (V,94) значение из (V,93), получим:
Л=4о- (V.95)
;Из (V,83a), (V,93) и (V.95)
д/ —г е-&п (У,96)
ш \тя) о — ‘ got: .
-' "Уравнение (V,96) для свободного тока на участке тросов
.-аналогично уравнению (V,20) для постоянного тока, причем
вместо полного тока (нулевой последовательности, замыкания
'на землю 40=70 в него входит только часть тока 1ео, воз-
вращающаяся через землю.
Из (V.836), (V,84a), (V.846), (V,93) и (V,95) имеем:
в,-о . <V'№l>
В,(v’97<s)
«и
Wio=4o(l-e-'₽) е-Ч (V’9b)
Проверим выражение (V,89), пользуясь (V,98):
2 7[(оп)п] =7^0 (1 — j e~$n=lso (1 — 73Г = ^о-
л=о л=о - 1— е р
Проверим, удовлетворяет ли выражение (V,98) выраже-
нию (V,90):
2 /[(on)«]o=/go (1 —£ Ь 2 e~'^n~Igo (1 ---i- =
я=о я=о 1 -<?-₽
=/g0(l- ₽-₽");
•с другой стороны, из (V,90), (V,91) и (V,96) имеем:
7g«o = 7gO—A/^T_n)o—7go(l ^п) — 2 А(0п)я]о.
71=0
124
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл1 5
Принимая во внимание, что в землю переводится ток Igt
мы по аналогии со случаем постоянного тока [см. (V,26),.
(1,36) и (V,27)] получим:
t)3=t/0=/>on(l -е~₽)
и
Z3=-= Яоп (1 — e-pj (V,99)>
!g
или, произведя замену e_₽=sl—р, из (V,99), (V,826) и (V,766),
с учетом (V,65) аналогично (V,34) получим окончательно.
(V,99a>
где (§ 29)
•у -ZtO
В частном случае, налагая условие (V,85), с учетом
(V,67) находим [ср. (V,34)]:
Z3^fl3 =/?оп (1 — е-Р) J/Яоп Ят ’ (V,996>
если р определить из (V,88).
Полученные нами выражения для пространственно-сво-
бодных токов Д/то и Д 7(оп)т=/(оп)о и для сопротивления за-
земляющей системы Z3 справедливы и в том случае, когда
протекающий по системе фазных проводов ток /о=О, и си-
стема опоры-тросы используется только как заземлитель—
для перевода в землю тока /3, соответствующего возвра-
щающейся через землю части тока ig в рассматриваемом
нами случае1.'
1 Связанная взаимоиндукцией между системами тросов и проводов
линии [Л. 3] остальная часть тока—пространственно-вынужденный ток
[выражения (V,73), (V,74) и (V,75)], возвращающийся целиком по тросам,,
переводится через опоры в землю на противоположном конце линии..
Поскольку [см. (V,75) и (V.64)]
40=/
то из (V,99)
§ 23]
Линия переменного тока конечной длины
125
2 . В начале линий, первые s пролетов которой снаб-
жены тросами, в точке К имеет место замыкание на зем-
лю или в той же.точке К для перевода в землю через
систему опоры-тросы подводится ток = 3/0=3Z0ft
(фиг. 49а—496).
По аналогии с предыдущим случаем мы должны рас-
смотреть две системы токов—пространственно-вынужден-
ные токи 7т0 и /е0, определяемые из протекающего по - ли-
нии тока нулевой последовательности /0 совершенно так
же, как и в предыдущем случае [см. (V,73) и (V,75)], и
пространственно-свободные токи Д/т0, Д/((1пю=/(оп)о и Д/(гП)о=
=—д/(тп) о, назначением которых является перевод тока 1Е0
в землю2.
По аналогии с соответствующим случаем для постоян-
ного тока [§§ 20 и 21 и выражения (V,12), (V,13) (V,37a),
(V,376), (V,38a), (V,386) и (V,41)], свободные токи и со-
противление заземляющей системы опоры-трос могут быть
определены из нижеследующих выражений, где вместо 13
и j при постоянном токе фигурируют, соответственно,
1ей или/3 и
д7(т„)0 = л/₽“+Ле^, (V’100)
7[(оп)П]о=В1^ + В2е-₽»,
где
Л, == —IЕ л •
t0 cp(s+l)_e-PU+I)
-^2 = ^g0 - j ’
еР(«4-1)_е-Р(Ж)
(V,102a)
(V.1026)
Таково утроенное эквивалентное сопротивление, действующее в
месте повреждения на пути протекания тока нулевой последовательности
из системы проводов.
В первом приближении для линий конечной длины с заземляющими
тросами это сопротивление, следовало бы включать в схему нулевой по-
следовательности линии (подобную фиг. 71), последовательно с сопро-
тивлением Z(nV)0 = I (фиг. 71). Однако влияние его при этом было
бы практически незначительным.
При отсутствии токов нулевой последовательности в проводах ли-
нии, т. е. при работе системы опоры-тросы только в качестве сложного
заземлителя, и пространственно вынужденный ток в тросах также отсут-
ствует. (Ред.)
2 Распределение тока /0 может несколько измениться из-за влияния
конечного значения сопротивлений заземляющих систем [см. (V.104) или
(V,104a)[ по концам линии. (Ред.)
126
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5
и •_ . <,-№+!).(! _е₽) £?! JgQ (V,103a)
• _ • е№+1).(1 —g-P) 2~ В° e^s+1>—е-₽(«+О (V.1036)
сопротивление системы
7 Р 1 sh(₽s) о 1
^3 /\оп sb[₽(5+l)] Л on e₽(s+i)_e-₽(*+i) . (V,104>
По аналогии с (V,49) из (V.104) получаем:
^(ze)^-cth[₽(s-|-l)].
(V,104a>
Пели замыкание на землю не имеет места в точке К и
система опоры-тросы рассматриваемой линии используется;
как заземлитель, то в выражениях (V, 102а), (V,1026), (V, 103а)-
и (V,1036) следует вместо [gc ввести 13, что сразу дает дей-
ствительные токи на участках троса
и в опорах.
Величина j3 определяется в об-
щем случае из (V,826) и (V,766),
а при наложении условия (У,85)—из-
(V,88).
3. В середине бесконечно длин-
ной линии с тросами в точке К
имеет место замыкание на землю-
или в этой же точке К для пере-
вода в землю через систему опоры-
тросы ИОДЕОДИТСЯ TOK/fe=3Z0= 3/Mt.
(фиг. 50а и 506).
в системе опоры-тросы и в земле
И в данном случае
имеют место вынужденные токи, определяемые токами ну-
левой последовательности Ло и /ц0 в системе фазных
проводов по обе стороны от точки К, и свободные токи на
участках тросов, в опорах и в земле. В то время как вы-
нужденные токи /т0 и 4о по обе стороны от точки К имеют
различные значения, если вынуждающие токи Ао и Аго-
не равны друг другу,—свободные токи распределяются по обе
стороны от точки К совершенно симметрично (конечно, в
предположении совершенно одинаковой конструкции линии,
по обе стороны от точки К).
§ 23] Сопротивление переменному току 127
Выражения для вынужденных-токов на каждой из сто-
рон линии передачи получаются совершенно так же, как и
в обоих предыдущих случаях, а выражения для свободных
токов получаются по аналогии с соответствующим случаем
для_постоянного тока (§ 21, случай 3). Здесь мы ограничимся
Фиг. БОб.
/
только выражением для сопротивления заземляющей сис-
темы опоры-тросы, которое она представляет току Ig или
соответственно току 13. Это выражение также аналогично
соответствующему выражению для постоянного тока [cm.(V,57)
и (V,58)]:
Z3 = /?oa-b£±-=/?o“n.thL. (V.105)
Пример 18. Определить сопротивление для переменного тока зазем-
ляющей системы - опоры-тросы линии, рассмотренной t в примере 20в.
к §30.
Данные тросов приведены в том же примере. Длина пролета
Z = 0,2 km.
Сопротивление опоры /?оп = 10'0.
Из (V.65) ~
/?(оп)0=30й-
1.' Для первого варианта—сталеалюминиевых тросов (СА-95)—полу-
чено (стр. 178)
= °.416 + Л .612 = (1,66 |7Б,5°) Q/km.
Из (V.68) сопротивление участка тросов
Zt0 = 0,2(1,66 |75,5°) = (0,332 |75,Б°)£У.
Так как
Гт0 + гgo = 0,416 zC*-i9 = 1,612,
то пренебречь реактивным сопротивлением троса нельзя.
Из (V.766)
30
128
Заземляющая система «опоры-тросы»
[гл. 5
Вследствие малости значения Ь, для определения р применим выра-
жение (V.826): >
₽ = «+/£ = /О.ОШ= 0,0834 + /0,0645 = 0,105 |37,7° ,
а) Число пролетов, снабженных тросами, s-»oo.
Из (V.99)
Z3 = 10 [1 — е-(°*0834+7010645)] =0,818+/0,594=(1,01 | 56,0°) 2.
Приближенно из (V,99a):
• 1/ 0,оо2 75,5'
z3 = V 10 - з —
2 =0,834 4-/0,645 = (1,05 |37,7°)8.
Ошибка по модулю получается:
. „ 1,05—1,01
AZ = - ; ц1---100 - 4% .
Для сравнения определим Za — R3 для постоянного тока, пренебре-
гая rso и лт0.
Сопротивление участка тросы
rl 0,177-0,2
w ~ 2
= 0,0177 2
Из (V.31) и (V.5)
, 10
/? = • - -----
1 1/ 1и I 1
2 У 0,0177 "г 4
10
1/^2
Г 0,0177
0,422 S .
Ошибка по модулю получается:
0,422—1,01
AZ =------j-щ-----100 ~ — 58%;
-ошибка по активной составляющей — 1
, 0,422-0,818
ДЯ = "л х.х-------100 - — 48°/о
U ,0.10
б) Число пролетов, снабженных тросами, szzzIO.
Из (V.104)
Г е ю ₽_ е - юр -] 2,22|47,8°\
А “10 L ,—>]-10 V-глтЦ)-1 •га =
= (1,06 |17,1°)8 .
1 Фактически ошибка получается еще большей, так как правиль-
шее было бы сравнивать значение не с Re (Z3), а с
- ч =Re(Z3)+ >^е(Д).
(Ред.)
§ 23] Сопротивление переменному току 129
Приближенно из (V,I04a) совместно с (V,99a):
Z3 =1,05 |37.7°-cth[ll (0,С834+7'0,0645)] = l,O5|37,7°-l ,05 | — 17,9° =
= (1,10 |19,8°)fi .
Ошибка по модулю получается порядка 4%.
2. Для второго варианта—железных тросон (Ж-95) получено (стр. 179)
zi0 = 2,65 +7’2,54 = (3,67 |43,8е) S/km.
Оказывается, что очень большого преобладания активного сопро-
тивления троса над реактивным и в этом случае нет вследствие боль-
шого внутреннего индуктивного сопротивления железных тросов.
Из (V.68) сопротивление участка троса
7т0 = 0,2-(3,67 |43,8°) = (0,734 |43,8°) й.
Из (V.766)
. 0,734 |43,8°
Ь =------------=0,0245 [43.8° .
31) !:—*
Вследствие малости Ь из (V.826)'
- ' г----- I 43.8°
f = 8+Д = у\),024о — =0,145+/0,058 = 0,156 | 21,9°.
а) Число пролетов, снабженных тросом, s->oo.
Из (V,99)
Z3 = 10 [1 - е ~(О’145 +'°-058>] = 1,36 |-/0,50=(1,45 | °0,2°) Q .
Из (V,99a)
у -j/ 0,734 I 43.8’
zs = |/ 10--^-д- |—— =1,56 [ 21,9°й.
Ошибка по модулю получается
„ 1,56—1,45
----М5----100 ~ 8%'
Для сравнения определим Z3 = R3 для постоянного тока.
Сопротивление участка тросов (см. стр. 175)1
Из (V,31) и (V.5)
2 + к 0,167+4
1 Значение погонного сопротивления тросов оставлено таким же,
какое принято и для переменного тока; проверяется только ошибка,
обусловленная использованием формулы, выведенной для постоянного
тока.
9 Марголин
130
Замыкающая система «опоры-тросы»'
[гл. 5 и 6
Ошибка по модулю получается
1,21-1,45
д2 = -----------00 = 17%;
ошибка по активной составляющей
. 1,21—1,56
Д/? =—1 о/ 100 ~ 11%.
1 ,оо
Вследствие относительно большей активной составляющей сопро-
тивления тросов ошибка, получаемая прн применении формулы, выве-
денной для постоянного тока', здесь оказывается значительно меиьшей»
чем в случае хорошо проводящих тросов.
б) Число пролетов, снабженных тросом, з = 10.
Из (V.104) '---—-----
Z =10 1 — sh
L sh(lip)_
'3
= 1.48+У0.39 = (1,53 [15,3е) Q.
Из (V,I04a) и (V,99a)
2з = 1,56 j2129°-cth [11(0,145=70,058)] =1,5-|21.9.1,02 1-4,5° =
= (1,59 [17,4° Q.
Ошибка получается всего лишь около 4%.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ПЯТОЙ
1. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932г.
(перевод с немецкого), § 21, 22 и 40.
2. Рюденбеог, Явления неустановившегося режима в электриче-
ских установках, ГИЗ, 1930, г. (перевод с немецкого), § 21.
3. Сиротинский и Свекольников. Применение хорошо
проводящих тросов для распределения токов замыкания на землю и для
ослаблений электромагнитных воздействии на провода связи. „Вестник
теоретической и экспериментальной электротехники", 1928 г., № 5.
4. Глазунов (редактор), Электрические станции и подстанции,
ГЭИ, 1944 г., § XXI, 6.
5. Вайнер, Заземления, ГНТИУ, 1938 г., § 30 и 31.
6. Беляков, Гуревич, Селкова, К расчету заземляющих
устройств электрических установок высокого напряжения, гл. IV.
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
СОПРОТИВЛЕНИЯ линий
ГЛАВА ШЕСТАЯ
СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ
ВОЗДУШНОЙ ЛИНИИ „ПРОВОД-ЗЕМЛЯ" -
24. ВВЕДЕНИЕ. СОПРОТИВЛЕНИЕ ОДНОФАЗНОЙ
ДВУХПРОВОДНОЙ ВОЗДУШНОЙ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
На небольших расстояниях от заземлителя (примерно до
20 ш), когда плотность тока j достаточно велика, при стека-
нии с заземлителя в землю тока небольшой частоты f, па-
дение напряжения, обусловленное удельным сопротивлением
земли, преобладает над падением напряжения, необходимым
для компенсации э. д. с., наведенной синусоидально изменяю-
щимся во времени магнитным потоком, и поэтому выводы
полученные для постоянного тока, могут без особенно боль-
шой погрешности быть применены и для установившегося
переменного тока.
На больших расстояниях от заземлителя — вдоль трассы
линии передачи можно принять, что падение напряжения,
обусловленное удельным сопротивлением земли, при очень
малой плотности тока как раз компенсируется э. д. с., на-
веденной синусоидально изменяющимся магнитным потоком,
так как разность потенциалов между точками на поверхно-
сти земли -практически равна нулю. Это обусловливает необ-
ходимость рассматривать не только электрическое поле, как
это имело место в предыдущих главах (кроме последнего
параграфа, выводы которого основаны на последующем ма-
териале), но и магнитное поле.
При протекании по линии провод-земля постоянного
тока явление сводится к тому, что на достаточном расстоя-
нии от заземлителей, по которым ток из воздушного прово-
да поступает в землю, как в „обратный провод", земля
практически не оказывает никакого влияния' на условия
протекания тока, так как плотность тока в земле прак-
тически может считаться равной нулю, а индуктивное дей-
ствие тока не имеет места.
При протекании же по линии провод-земля переменного
тока, хотя бы даже и небольшой частоты — порядка про
мьппленной, индуктивное действие совершенно изменяет кар-
тину протекания тока в земле вдоль трассы линии передачи.
В основном при этом имеет место явление, аналогичное
9®
132 Сопротйвледия переменному току воздушной линии [гл. S
проявляющемуся в применяемых в технике массивных про-
водниках конечных размеров поверхностному эффек-
ту („скин-эффекту") и сказывающееся в вытеснении тока из
глубины земли по направлению к оси провода линии пере-
дачи. Плотность тока в земле при приближении к оси про-
вода линии передачи достигает заметных конечных значений.
В дальнейшем мы определим составляющую реактивного
сопротивления линии провод-земля, соответствующую части
Фиг. 51.
магнитного потока, замыкающейся только в воздухе и внутри
провода, совершенно так же, как аналогичную составляю-
щую сопротивления, отнесенного к одному проводу двухпро-
водной линии. Наряду с этим при определении полного ре-
активного сопротивления линии провод-земля мы приве-
дем ее к некоторой эквивалентной двухпроводной линии.
Поэтому мы начнем рассмотрение с двухпроводной линии.
На фиг. 51 схематически представлен разрез однофазной
двухпроводной линии передачи с проводами радиусом р0>
расположенными на расстоянии D друг от Друга.
Индуктивность этой линии передачи на единицу длины
определяется магнитным потоком, пронизывающим петлю, об-
разуемую проводами линии на единице длины, при протека-
нии по проводам в разных направлениях тока г = 1А. Этот
поток равен сумме двух совершенно одинаковых потоков,
создаваемых в той же петле током каждого из про-
водов. Поэтому индуктивность L, приходящаяся на один про-
§ 24]
Введение;
133
вод и на единицу длины, которую мы в дальнейшем будем
называть погонной индуктивностью одного про-
вода, определяется полным магнитным потоком, создавае-
мым током i —1А, протекающим по одному из проводов,
в петле единичной длины и шириной D.
Этот поток и соответствующая индуктивность L мо-
гут быть разбиты на Две части: на составляющую потока: за-
мыкающуюся вне прово-
да, которой соответствует
„внешняя" составляю-
щая индуктивности Lex,
и составляющую потока,
замыкающуюся внутри об-
текаемого током, провода,
которой соответствует
„внутренняя" состав-
ляющая индуктивности Lin.
Внешняя составляю-
щая индуктивности на 1 ст
длины линии численно
равна магнитному потоку,
создаваемому током в 1 А,
водов в петле длиной в 1
протекающим по одному из про-
ст и шириной D — р0 (фиг. 51а),
* D
Lex J*j д ' 1 ’ ^Р>
Ро
(VI,!)
где магнитная индукция вне провода *
(В„ЬА-Ио51?=2-10-»у. (VI,2)
Подставляя значение (В₽Д.=1Аиз (VI,2) в (VI, 1), получаем:
г
I)
L, =210-9 f-^=2-10-9-1п —=4,6-10~9-lg—•’ (VI,За).
ех J Р Ро Ро
Ро
В дальнейшем все погонные величины будут, относиться
к 1 km длины линии. ’
Соответствующая внешняя погонная индуктивность
= ^4,6-10 ~4 • lg И/km. (VI,36)
В соответствии с погонной индуктивностью, и погонное
индуктивное со<противление х состоит из двух состав-
ляющих — внешней хег и в нут ренне й Xtn:
(VI,4)
134
Сопротивления переменному току воздушной линии
[гл. 6
где
xeX=^JLe, (VI,5а)
и
Xin=^fLin. (VI,Нб)
Для внешней составляющей погонного индуктивного со-
противления из (VI,36) и (VI,5a) получим:
хех = 29/-10-4 • 1g ~ 2 km. (VI,6)
При промышленной частоте /" = 50 Hz
(^)да = 0>145.1ё^ 2/km. (VI 7)
Полное погонное индуктивное сопротивление при про-
мышленной частоте из (VI,7) и (VI,4)
*/=50Hz=(0,145-lg^- +х,„ ) 2/km. (VI,8)
При вычислениях представляется удобным, как это часто
и принимается в американской литературе [Л.1, § 61], учесть
внутреннюю составляющую индуктивного сопротивления
соответственным уменьшением радиуса провода р0 до такого
приведенного рт, при котором индуктивное сопротив-
ление провода в случае сосредоточения всего тока только
на его поверхности, т. е. при отсутствии внутреннего
магнитного поля, равнялось бы индуктивному сопротивле-
нию действительного провода.
Из (VI,7) и (VI,8) получаем уравнение для определе-
ния рт при промышленной частоте:
0,145-lg^- +*<„ =0,145-lg .
Ро Рт
откуда
lg> = 6,9
И
рт = р0-1(Г6’9^ . (VI,9)
Нетрудно видеть, что при произвольной частоте f„ если
для нее дано значение xin, приведенный радиус
рот-Ро-Ю (VI,9а)
Пример 19. а) Определить приведенный радиус круглого провода
из цветного металла с магнитной проницаемостью = |i0.
Как известно, внутренняя погонная индуктивность для круглого
однородного провода имеет значение:
Z.;„ = 0,5-10~4Hkm. (VI,10)
•§ 24] Введение 135
Из (VI,10) и (VI,56) получаем:
Хщ = дЛ 10 “ 4 й/km. (VI, 11)
И
(Х1п) /=50Hz =0.0157 Q/km . (Vl.lla)
Из (VI.11) и (VI,9a) получаем:
7t/-10~4 !
рт = р0.10 2.4.6.Z/.1G-4 = ро . w “ 9J- = 0>779 ₽о (VI,12)
Для витых проводов в литературе [Л. 2, § 11] приводятся
нижеследующие значения приведенного радиуса:
Рт (0,724-^-0,771) р0 . (VI, 12а)
Для сталеалюминиевых проводов, вследствие того
что преобладающая часть тока приходится на расположен-
ную на.периферии алюминиевую часть провода, приведен-
ный радиус провода более близок к действительному. Для
этих проводов приводится значение [Л.2, § 11]
Pm=^O,95Po. (VI,126)
6) Определить приведенный радиус железного провода Ж-95 с дей-
ствительным радиусом р0 = 0,63 ст .
Внутреннее погоннре индуктивное сопротивление этого провода при
токе в 100 А и частоте / = 50 Hz (из опыта)
(xin)f= 100А= 0,60 Q /кт,
/=50 Hz
Это погонное внутреннее индуктивное сопротивление почти в 40 раз
больше такового для провода из цветного металла [ср. (VI, 11 а)] и при-
мерно в полтора раза -больше среднего погонного индуктивного сопроти-
вления прямой последовательности трехфазной воздушной линии с про-
водами из цветного металла.
Вследствие сравнительно большого значения внутреннего индуктив-
ного сопротивления приходится ожидать очень малого значения приве-
денного радиуса рт. И действительно, из (VI,9):
рт=0,6-10~ 6,9’С)'6 = 4,6-10 ~5 ст.
Произведя приведение к чисто поверхностному распре-
делению тока путем введения приведенного радиуса рт, мы
получаем для полного погонного индуктивного сопротивле-
ния х одного провода двухпроводной линии выражение,
аналогичное полученному ранее для внешней его состав-
ляющей Хех [см. (VI,6)]-:
х = 29-Л 10“4lg —й/km (VI,13)
Pzn
И
X/ = so Hz = 0,145 • lg fi/km. (VI,1 За)
136 Сопротивления переменному току воздушной линии Ггл. 6
Полное погонное сопротивление одного провода двух-
проводной линии с учетом (VI, 13) и (VI, 13а):
2=r+j-x = ^r+j29/-10~4lg j^Q/km (VI,14)
и
2/=sjhz =fr4-jO,145-lg--')S/km, (VI,l4a)
x Pm '
где r — погонное активное сопротивление провода.
25. СОПРОТИВЛЕНИЕ ВОЗДУШНОЙ ЛИНИИ ПРОЗОД-ЗЕМЛЯ
Пусть по проводу радиуса р0, расположенному на вы-
соте h от поверхности земли (фиг. 52), протекает устано-
вившийся синусоидаль-
, . ный ток
.. Г-S'"7 / = / (VI,15)
частоты/и соответственно
круговой частоты со—2к/.
Обратным проводом слу-
жит земля.
В соответствии с си-
нусоидальностью тока и
индукция В в любой точ-
ке магнитного поля и
плотность тока J в любой
Фиг. 52. точке земли в установив-
шемся режиме являются
также синусоидальными функциями времени той же частоты,
что и ток линии /.
Так как земля представляет собой проводник громадных раз-
меров и возвращающийся по ней ток является переменным,
то вследствие эффекта, аналогичного поверхностному
(см. § 24), этот ток распределяется в земле неравномерно.
При бесконечно большой проводимости земли весь ток со-
средоточился бы на ее поверхности, причем линейная плот-
ность его убывала бы по обе стороны от трассы линии. Но
ввиду того, что земля обладает конечной проводимостью, ток
проникает в глубь земли, причем при полной однородности
почвы плотность его убывает как по мере углубления, так
и по мере отдаления от трассы линии в обе стороны.
При условии полной однородности земли явления, имею-
щие место при возвращении по ней синусоидального тока,
поддаются относительно простому анализу, если принять
§ 25]
Сопротивление воздушной линии провод-земля
137
упрощение, предложенное Рюденбергом [Л. 3, § 37; Л. 4, § 28;,
Л. 2, гл. II]. Результаты, получаемые при таком приближен-
ном рассмотрении, немногим отличаются от результатов
более точного анализа1.
Упрощение, введенное Рюденбергом, заключается в том,
что действительное расположение провода относительно по-
верхности земли заменяется расположением его по оси кру-
гового полуцилиндра, образованного выемкой у поверхности
земли, причем радиус этой полуцилиндрической выемки
принимается равным действительной высоте провода над
землей h (фиг. 53).
Фиг. 53.
При полной однородности почвы можно приближенно
принять, что на достаточном расстоянии от точек стекания
тока из провода в землю и возврата его из земли в провод
линии магнитного поля как в земле, так и в воздушном
полупространстве являются концентрическими окружностями
с центром, расположенным на оси провода, и что при задан-
ных частоте тока f и проводимости земли у значения маг-
нитной индукции В и плотности тока в земле J зависят
только от расстояния р от оси провода2.
Вследствие неравномерности распределения тока в земле
фазы плотности тока J и магнитной индукции В в раз-
1 Более строгое решение дано Карсоном [Л. 7]. (Ред.).
2 В действительности принятые условия соответствуют полной осевой
симметрии в окружающей среде, т. е. требуют заполнения всего верхнего
полупространства однородной землей и зеркальной полуцилиндрической
выемкой. Для получения некоторой эквивалентности действительную про-
водимость земли следует при этом вдвое уменьшить,• а действительную,
плотность тока в земле находить путем удвоения соответствующих зна-
чений, получаемых по такой модели (Ред.).
138 Сопротивления переменному току воздушной линии [гл. 6
личных точках земли, вообще говоря, не совпадают с фазой
полного тока линии I [ср. (VI,15)]:
В~Ве^-, (VI, 16)
j=Je*. (VI, 17)
Для удобства в дальнейшем модули всех рассматривае-
мых величин предполагаются выраженными в эффективных
значениях.
Положительное направление для плотности тока J в земле
примем противоположным таковому для плотности тока
(или, как говорят обычно, для тока) в проводе.
Перейдем к определению выражений для плотности тока J
и магнитной индукции В в земле в функции от расстояния
точки от оси провода* р.
Положительное направление индукции В выбрано в соот-
ветствии с положительным направлением для тока в проводе.
Интеграл напряженности магнитного по^я
В„ Вп
TJ р Р
-- ==----
Ро ы 9
(VI,18)
вдоль линии поля радиуса р равен полному охватываемому
этой линией току, равному разности тока провода и соот-
ветствующей части обратного тока земли:
В, у9 •
Jicp-dp,
h
или
Вр2гр = 4п 10-9f 7 - У Лр-dp). (VI,19)
'л '
Соответственно, исходя из интеграла напряженности маг-
нитного поля вдоль линии поля радиуса (p-f-ф), получим:
£?P4-jp-2k (p-|-dp)=4lt-10_9 (j — J" Jnp-dpV (VI,19a)
' h '
Вычитая почленно (VI, 19) из (VI, 19a) и пренебрегая бес-
конечно малыми высшего порядка, получим:
dB -2яр 4- В-с2~ dp = — 4п • 10-9 J лр-dp. (VI,20)
Линейный интеграл при переходе от линии с радиусом р
к линии с радиусом (р -ф- dp) изменяется на величину 2тср
§ 251
Сопротивление воздушной линии провод—земля
139
вследствие изменения напряженности магнитного поля и на
величину ~^-2к-йр вследствие изменения р.
Из (VI,20).
—1- — = —2к-10~9 ). (VI,21)
dp 1 Р
Необходимая для проведения тока в земле на расстоя-
нии р от оси провода активная составляющая падения на-
пряжения, приходящаяся на единицу длины вдоль трассы
линии, численно равна напряженности электрического поля
£P = y-Z'. (VI,22)
Напряженность электрического поля на расстоянии (р-[-
4~^р) от оси провода
£Р-Н₽ = уЛ+*г Л (VI,22а)
Вычитая почленно (VI,22) из (VI,22а), получаем:
dE=~>dj . (VI,23)
-Это изменение напряженности электрического поля полу-
чается за счет э. д. с., наведенной синусоидально изменяю-
щимся во времени магнитным потоком, пронизывающим
сечение (1-rfp) cm2, расположенное в меридиональной пло-
скости на расстоянии р ст от оси провода:
dE = dJ = — уо В dp, (VI,23а)
откуда
(VI,24)
др v
Для определения двух неизвестных J и В нами получено
.два уравнения — (VI,21) и (VI,24).
Из (VI,24) следует:
Произведя подстановки из (VI,24) и (VI,25) в (VI,21), мы
исключим В и получим одно уравнение для J:
tPJ .1 dJ \ п
+ (VI, 26)
140 Сопротивления переменному току воздушной линии [гл. 6
где
Полученное дифференциальное уравнение является урав-
нением второго порядка, линейным относительно J и его
производных, без свободного члена (однородное) с перемен-
ным коэффициентом-^- при . Оно является одним из ви-
дов уравнений Бесселя (Bessel).
Вследствие второго порядка уравнения получаются две
произвольных постоянных интегрирования, для определения
которых необходимо наложить два пограничных условия.
Первое условие получается 'из того, что полный ток, воз-
вращающийся через землю, имеет* конечное значение и при
принятом положительном направлении равен току в проводе:
(VI,27)
J J к?-dp =
h
Отсюда следует, что по мере отдаления от оси провода,
плотность тока в земле должна стремиться к нулю:
lim j=0. (VI,28)
р—>оо
Уравнение (VI,28) и выражает собой первое пограничное
условие, при наличии которого решением уравнения (VI,26)
является цилиндрическая функция Ганкеля (Hankel)
первого рода нулевого порядка:
ее аргумент
jK? = p
где относительная отдаленность
$=р|/ 2пу<о • 10~9 =-------------------------. (VI,29)
2 иуш Ю-у
Вводя произвольную постоянную интегрирования А, кото-
рая должна быть определена из второго пограничного усло-
вия, получим1:
___________ (VI, 30)
1 Значения функции (]/"— j могут быть получены из .значе-
ний (]/" j 5) подстановкой (—j) вместо j. Значения функции
приведены, например, в Л. 3, § 36 и в Л. 4, § 28 и приложе-
ние ,,Funktionentafeln“.
!§ 25J Сопротивлейие воздушной линии провод-земля 141
Принимая во внимание, что
4-(?) = -
dz
513 (VI,30) и (VI,29) получаем:
4—^’> (/—
= - Л]Л—j ]/2лТ(0-10-9 -Лр(|Л-У0. (VI,31)
Подстановкой из"^(VI,31) в (VI,24) получим:
' В = — А 2 n7‘fl'16/ — 1У (К~Ь)_ (VI,32)
]/ —/шу
Модули значений функций е)и //(')(--/!;) ,
которым, согласно уравнениям (VI,30) и (VI,32), соответ-
ственно пропорциональны плотность тока J и индукция В маг-
нитного поля, — с увеличением отдаленности Е непрерывно
убывают по величине, асимптотически стремясь к нулю.
Фазы величин В и J также непрерывно изменяются по
мере изменения р.
Необходимость непрерывного изменения по величине и
фазе плотности тока J в земле вытекает из (VI,23а). Это
изменение обусловливается пульсацией магнитного потока с
частотой f и происходит с тем большей резкостью, чем вы-
ше эта частота и чем больше проводимость земли.
Необходимость изменения модуля магнитной индукции
вытекает из того, что, во-первых, полный ток, охватываемый
линиями магнитного поля, по мере отдаления от провода
все убывает по величине, и в пределе, при р—»оо, когда
обратный ток. земли достигает по величине и фазе тока
провода [см. (VI,27)], — обращается в нуль; поэтому при
р —> оо и магнитная индукция равна нулю. Во-вторых, по мере
отдаления от провода длина линий магнитного поля так-
же возрастает, так как она пропорциональна р, а это обстоя-
тельство в свою очередь обусловливает уменьшенйе модуля
магнитной индукции. Так как с изменением р полный ток,
охватываемый линиями магнитного поля, по фазе непрерывно
изменяется, то непрерывно должна изменяться и фаза
магнитной индукции.
Возвращающийся по земле ток как бы подтягивается к оси
1 Получается функция Г анкеля первого рода первого-порядка,
лля которой также справедливо указание предыдущей сноски.
142
Сопротивления переменному току воздушной линии
[гл. 6
провода, так что наибольшая (по модулю) плотность этого-
тока "имеет место у поверхности земли непосредственно под
проводом и убывает по обе сторюны от него и в глубину,
протекая практически в ограниченной зоне по обе стороны
линии передачи. При этом ток в земле следует за всеми
поворотами линии по ее трассе (фиг. 54).
Постоянную интегрирования А можно определить и»
значения магнитной индукции у поверхности полуцилиндри-
ческой выемки рассматриваемой модели, т. е. из значения
В^н Так как линии магнитного поля в выемке замыкаются
в воздухе и сцепляются только с током, протекающим по
проводу, то и магнитная индукция у самой выемки, т. е.
при р = h, может быть определена, исходя из указанного
сцепления только с током провода. Но, с другой стороны,
она может быть определена и из (VI,32) при подстановке
вместо £ величины
5o=;?=ft = h ]/2кшТ-10-а . (VI,33);
Сравнивая два выражения для В,.=1г , мы и получим урав-
нение для определения постоянной интегрирования А
4пЛ0-9 7 ~л V 2л7ш.1О 9 • Нр (]/— j е0)
— ~: — ““ Ут .— —L
откуда
2Л0-9]/—/шт 1
-- - --------------------- -
hV 2гстшЛ1Г9 (]/-/ Ео )
или с учетом (VI.33)1 .
л = щ
_________ s»)
(VI,34)
1 Постоянная интегрирования А может быть определена также из
(VI,27) и (VI,3G) (см., например, Л. 4, § 28).
§ .25]
Сопротивление воздушной линии провод--земля
143
Подставляя значение А из (VI,34) в (VI,30), получим:
,пз5>
Полное погонное*сопротивление линии провод-земля
численно равно падению напряжения на единицу длины
линии при протекании по ней тока 1= 1 А.
Это сопротивление может быть разложено на три со-
ставляющие-: составляющую г, обусловленную потерей мощ-
ности на тепло Джоуля в проводе линии; составляющую jxa,.
обусловленную э. д. с., индуктированной в проводе ли-
нии сцепляющейся с ним слагающей магнитного потока,,
замыкающейся в воздухе, и составляющей zg, обуслов-
ленной э. д. с., индуктированной в проводе линии частью-
магнитного потока, проходящей в земле:
2£ = (ДЙ)г=1 = г 4- /X - ze. (VI,36)
/=1
Начнем с составляющей zg.
Из фиг. 53 видно, что охватывающая провод линии сла-
гающая магнитного потока, проходящая в земле, одновре-
менно охватывает и элементарный слой тока у самой по-
верхности полуцилиндрической выемки и, следовательно, в
этом слое указанной частью магнитного потока вследствие
его гармонического изменения с частотой f тока провода’
наводится та же э. д. с., что и в проводе. Эта э. д. с. за-
трачивается на проведение указанного выше элементарного
тока через активное сопротивление земли или, иначе говоря,,
э. д. с. Eg, приходящаяся на единицу длины, равна напря-
женности электрического поля у самой поверхности вы-
емки [см. (VI,22)]:
= = . (VI,37)
Значение плотности тока у погерхности выемки jp=ft,
являющееся, как уже было указано выше, по абсолютной
величине максимальной, можно получить из (VI,35):
4-»=А«- - Z7=, ) (VI,38)-
Для значений Е<;0,3 функция
(VI,39)
Н44 Сопротивления переменному току воздушной ливни [гл 5
зи соответственно функция
Е)
d (/-Л)
; А .1:78П-Е . = _]/_ 2 . (VI,40)
J л 2 />/--“ 1 ' *
d[V -/ Ч
Из (VI,33) можно определить частоту, при которой
50=О,3. Учитывая, что со=2тг/, получим:
г 0.3S
/ So = 0,3 = ------— ----ZTq
1Ъ 9
(VI,41)
При h = 10m = 103cm и у —10-4
, _____________о,з»_________
Л, = о,3— 47l3>j0-9 .1С6.Ц)~9
1
й ст
=5=23000 Hz.
При h = 20 m и т = 2-10_'1-п-—
* 1 й cm
А = 0,3 ^2 900 Hz. .
Из приведенных примеров следует, что при промышлен-
ной частоте приближенные выражения (VI,39) и (VI,40)
.для функций {\/— j£) и М1’для обычных реаль-
ных условий могут быть применены.
Так, например, при /г=20т и у=2-10~4 е '— из (VI,33)
20 о од
io = 2O-102]/2п-2д50-2-10-4• 10~9 й00 ~U’U4,
Одновременно мы получили и выраженное в метрах зна-
чение величины >/о ,~== 10~2, к которой отнесена от-
1/ li+
далендость Е [см. (VI,29)]. Для рассматриваемого нами слу-
чая (у=2-10-4 {Дт и /’=50 Hz) эта величина оказывается
равной 500 ш.
Из (VI,39)
0,04) = 4+ j Ф In r;?8,^;w -= 0,5 + j 2,12,
а из (VI,40)
w (/=7-0,04) = 15,9
= —11,2 + j 11,2,
что вполне соответствует данным соответствующих таблиц.
§ 25] Сопротивление воздушной линии провод-земля 145
Рюденберг считает возможным применять приближенные
выражения используемых функций для частот до 5 000 Hz
[Л. 4, § 28].
Произведя подстановки из (VI,39) и (VI,40) в (VI,38), по-
лучим:
Л-» =л«=Ц (4 +4-dhr) <v,-42>
Подставив в (VI,42) значение % из (VI,33), учитывая, что
со = 2к/, получим окончательно;
J p=ji =
/1 , . 2 , 0.178 \
=J^=I 2rt2fy Ь-+/ - In \ IO-9 А/cm2. (VI,43)
Определим модуль максимальной плотности тока для
случая /г = 10 m = 103 ст и у == 10~4 —при промыш-
ленной частоте/ = 50 Hz.
Из (VI,43) следует:
Jmax=7-2n2-50-10-4 1 - . . 4,6 . 0,178 2 J ? ё юз уУо-ю-^о-9 •10-9 =
= 7-2,81 •10_|° А/сш2 = 7-2,81 A/km2.
Таким образом, каждому амперу эффективного значения
тока в проводе непосредственно под линией соответствует
плотность тока примерно в 3 A km’2.
Несмотря на такое малое значение плотности тока в
земле, напряженность электрического поля получает замет-
ное значение вследствие малой проводимости земли. Так,
для вышеприведенного примера каждому амперу эффектив-
ного значения тока в проводе соответствует напряженность
электрического поля в 2,81 p-VjCm2 == 0,3 V/ktn.
Ориентируемся, теперь в том, на какое расстояние по
обе стороны от трассы линии и в глубину практически
распространяется ток в земле.
Для приведенного выше примера
। / /---- м I 1 I - 4,6 , 0,178
1 0(V— А)| — I 2 * g юз у/ 50.io-*.i0’
= | 0,50 4/2,78 | = 2,83.
Из таблиц имеем, например:
\Н' (/_ j.4) [ = 0,023.
Ю Марголин
146
Сопротивления переменному току воздушной линии
[гл. >
Из (VI,35) следует:
-fe- = °Йт=0’008^0’01 •
J »—So Z., с о
Таким образом, при относительной отдаленности с = 4
плотность тОка составляет уже всего примерно !°/0 от мак-
симального ее значения, и поэтому можно грубо принять,
что при приведенных выше условиях относительной отда-
10
15
150
S000
2000
ло
т
20
т
30
-40 '
50
SO
ленностью $ = 4 практически и ограничи-
вается зона распространения тока в
земле. .
Определи^ расстояние р от оси про-
вода, соответствующее относительной
отдаленности В = 4,
Из (VI,29)
z.lG“2
(p)5=4 =2 850 m 3k m.
f— soiiz V ^AO-lO'
Таким образом, для приведенных вы-
ше условий при промышленной частоте
ток в земле практически распростра-
няется примерно на расстояние до 3 km
от оси провода1.
При тех
же условиях, но при часто-
те /=5001) Hz зона рас-
пространения тока опре-
деляется расстоянием
(р): 4 =285m=s=300m.
/=5000 Hz
J‘P>
300
¥00
500
600
800
1000
с увеличением частоты
усиливается и эффект
подтягивания тока к про-
воду линии.
В порядке иллюстра-
ции на фиг. 55а2 показан
график комплексов /(р)*
для случая /==50 Hz,,
же случая на фиг. 55б2
Фиг. 55а.
и А=Ю ш. Для того
приведен график зависимости от значения р комплексной ве-
о 1 Следует оговорить, однако, что подсчитанное значение относитель-
ной плотности тока еще не характеризует с достаточной полнотой раз-
ность между током провода и током, возвращающимся по выделенному
сечению земли (сравнить фиг. 55а и 556), поскольку в результате действия
наведенных в земле э. д. с. при значениях р, близких к Л, величина /
в основном определяется составляющей, опережающей по фазе ток в про-
воде на четверть периода (фиг. 55а). (Р е д.)
2 Добавлено редактором.
§ 25] Сопротивление воздушной линии провод-земля 147
личины тока/р, возвращающегося через полукольцевое се-
чение земли с внутренним радиусом р0 и внешним р. Графики
ориентированы по фазнсму углу тока в проводе: в соответ-
ствии с (VI, 15) принято arg(/) =0.
Возвращаемся к определению сопротивлений линии про-
вод-земля.
Подставив в (VI,37) значение максимальной плотности
тока в земле из (VI,43), получим выражение для погонной
э. д. с., наводимой слагающей магнитного потока, проходя-
щей через землю:
, , f 1 , . 2 , 0,178 \
kg = /2к7-Г-2 4-j — In —j 10-9V/cm. (VI,44)
Положительное направление этой э. д. с. соответствует
полЬжительному направлению плотности тока в земле, кото-
рое принято нами противоположным положительному направ-
лению тока в проводе. Поэтому, для компенсации э. д. с. Eg,
к проводу на каждый 1 ст длины линии должно быть
приложено напряжение ^Ug, направленное по току I в про-
воде и равное Eg. Соответствующая же составляющая zg пол-
ного погонного сопротивления Zl [cm. (VI,36)] численно равна
10*
148 Сопротивления переменному току воздушной липни Ггл. 6
падению напряжения, приходящемуся на единицу длины
и на 1А эффективного значения тока в проводе. Из (VI,44):
Д, I -
zg-------“F J —
I
—-Л178. .Л10-9 S/cm=
\ А V Л-ю-9 )
=^7+j29/-lg/^^7I_.. )10~* fi/km. (VI,45)
По существу обе составляющие сопротивления zg—ак-
тивная rg и реактивная хе — определяются слагающей маг-
нитного потока Фг, проходящей через землю. Соответствую-
щая йогонная индуктивность численно равная значе-
нию этой слагающей магнитного потока, приходящейся на
единицу длины линии при протекании по ней тока эффек-
тивным значением в 1А, может быть получена из (VI,45)
= (-/^- + 4,61g 10-4H/km. (VI,46)
\ 2 h / /jir9 /
Индуктивность Lg (в соответствии с потоком Ф^) в
свою очередь также состоит из двух составляющих:
1) составляющей Lr= — j ~ 10-1 Н/кш, которой опреде-
ляется активное сопротивление rg; соответствующая составляю-
щая магнитного потока отстает по фазе на периода от тока
литии Z и ею наводится в проводе линии э. д. с., сдвинутая
по фазе на периода по отношению к току г,
2) составляющей Lg—Lg — 4,6-lg -—-Р’178 ---IQ-4 H/km,
«]/ кг9
которой определяется реактивное сопротивление xg\ соответ-
ствующая составляющая магнитного потока совпадает по
фазе с током линии I, и ею наводится в проводе линии
I :
э. д. с., отстающая на -j- периода от тока /.
Путем индуктивной связи из провода в землю передается
энергия, необходимая для покрытия потерь в земле и за
единицу времени определяемая составляющей напряжения,
приложенного к линии, которая затрачивается на проведение
тока /через сопротивление rg.
§ 25] Сопротивление воздушной линии проаод-земля 149
Активное сопротивление rg пропорционально частоте f
[см.(VI,45)]. Это объясняется тем, что с увеличением часто-
ты увеличивается степень неравномерности распределения
тока в земле. Сопротивление rg не зависит от проводимо-
сти земли у. Это объясняется тем, что если, с одной сто-
роны, увеличение проводимости должно вести к уменьше-
нию потерь на тепло Джоуля, то, с другой, эта тенденция
к уменьшению компенсируется увеличением степени не-
равномерности распределения тока при увеличении у.
Слагающая магнитного потока, проходящая через зем-
лю, как это видно, например, из второго члена правой части
выражения (VI,46), медленно убывает с увеличением часто-
ты f и удельной проводимости у. Это объясняется тем, что
с увеличением частоты или удельной проводимости увели-
чивается и степень неравномерности распределения тока в
земле. При /-*оо или у-*-оо весь обратный ток сосредото-
чился бы под проводом на поверхности земли или вернее на
поверхности выемки модели Рюденберга (фиг. 53), и магнит-
ный поток, сцепляющийся с землей, не имел бы места.
Для того, чтобы определить погоннсе полное сопротив-
ление линии провод-земля zl, необходимо еще учесть
сцепление провода со слагающей магнитного потока, замы-
кающейся в воздухе, и погонное активное сопротивление
самого провода г [см. (VI,36)].
Слагающая магнитного потока, замыкающаяся в воздухе,
как уже было указано выше, охватывает только ток I, про-
текающий по проводу, и поэтому совпадает с ним по фазе.
Этой слагающей потока соответствует чисто реактивная со-
ставляющая погонного сопротивления провода jx а.
Как нетрудно убедиться из фиг. 53, определение этого
сопротивления ничем не отличается от определения индук-
тивного сопротивления х одного провода однофазной двух-
проводной линии (§24, фиг. 51а).
Поэтому мы можем непосредственно воспользоваться
выражениями (VI,3 6) с подстановкой в него величины рт
вместо р, и (VI, 13), подставив в оба выражения вместо
расстояния между проводами D высоту подвеса над зем-
лей Л провода рассматриваемой линии провод-земля. Тогда
xa = 29./.10-4g— (VI,47)
Рт
и индуктивность, соответствующая замыкающейся в воздухе
слагающей магнитного потока,
£.-4,6-10 ~4 lg — H/km. (VI,48)
Pm
150
Сопротивления переменному току воздушной линии
[гл. 6
Погонное полное сопротивление линии
провод-земля определяется из (VI,36) (VI,45) и (VI,47):
zL = г + rg + jxg + jxa = rL + jxL=
= +j29/.lg - 0ЦТ8 Vo-4 1 2/km (VI>49)
L \ P/wy 7.10—у )
При промышленной частоте /=50Hz:
(zJ u =(r4-0,054-/0,145 lg °'178 (VI,49a)
/=50Hz \ 1 1 J & РИ./Д10-9 J \ > /
Как видно из (VI,49), значение полного реакгизного со-
противления Xl линии пров эд-зе для не зависит от высоты
подвеса h провода. Эго объясняется тем, что уменьшение
одной его составляющей xg [см. (VI,45)] при увеличении h
вследствие уменьшения слагаю ней магнитного потока, за-
мыкающейся через землю, компенсируется увеличением
второй его составляющей х* [см. (VI,47)] вследствие соответ-
ствующего увеличения слагающей магнитного потока, замы-
кающейся в воздухе:
Карсон (Carson), который шел иным (более точным) путем,
получил для полного сопротивления Zl линии провод-зем-
ля приближенное выражение, в активной своей части пол-
ностью совпадающее с выражением, получающимся по Рю-
денбергу, и несколько отличающееся от него в реактивной
своей части [Л. 1, §64] а именно:
= 29/10 “4g -----°’21 й/km. (VI,50)
Pm У ЛЮ-9
Значения xL, вычисленные по (VI,49) и (VI,50), для
линии провод-земля с номинальным сечением медного
провода ^ = 95 mm3 и соответственно рт = 0,49сш, при у =
= Ю-4 и / = 50 Hz, отличаются друг от друга всего
на 1,5 %.
В американской литературе [Л. 1, §65] реактивное со-
противление линии провод-землл Xl часто рассматривается
как реактивное сопротивление одного провода некоторой
фиктивной двухпроводной однофазной линии [см. (VI,13)]
с соответствующим расстоянием Dg между прово/Дми
(фиг. 56). Это расстояние Dg может быть определено, если
приравнять друг
для xL из (VI,49):
29/10-4 1g
откуда
другу выражение
и выражение
^ = 29/10-41g —в---78^
Р/П Рт Д 10—9
0.178 1,78-10-3
.... ст = . .. —- т.
(VI,51 а)
§ 25]
Сопротивление воздушной линии провод-земля
151
При использовании выражения для xl по Карсону
(VI,50) получим:
2,1-Ю-з
т.
(VI, 516)
(VI, 52)
De— г________
/71-10-»
Произведя подстановку из (VI,51a) или (VI,51 б) соответ-
ственно в (VI,49) или (VI,50), получим:
Xl - - 29/- 10“4Ig — 0/km.
Рт
Как в. (VI, 13), так и в (VI,52) расстояние между про-
водами D или Dg или приведенный радиус провода рт должны
быть выражены в одних и тех же, но, вообще говоря,
произвольных единицах.
При бесконечно большой удельной проводимости земли у
обратный ток, как уже было указано выше, был бы
вытеснен к поверхности земли. Линии магнитного поля за-
мыкались бы при этом только в воздухе (фиг. 56а) и реак-
тивное сопротивление провода получилось бы таким же как
и в том случае, когда обратным был бы провод, являющийся
зеркальным изображением действительного провода в земле,
поверхность которой являлась бы, таким образом, зеркалом
[Л. 6]. Расстояние между проводом и его зеркальным изобра-
жением должно цри этом равняться двойной высоте подвеса
провода 2А.
При конечной удельной проводимости земли можно также
представить фиктивный обратный провод как зеркальное
изображение действительного. Зеркалом в этом случае яв-
ляется горизонтальная плоскость, расположенная на рас-
стоянии 0,5 от оси действительного провода (фиг. 56).
Для рассмотренного выше примера . (f= 50 Hz, у =
= п0 Рюдепбергу [из (VI,51а)]
Г, 1,78-10“3
£)„= , = 797 ш,
]/50-10~4.10“®
и по Карсону [из (VI,51 б)]
2,1-1072^ = 938 т<
/50-10“ 4 10“ 9
Кривые (Dff)/=Const = /(р), где удельное сопротивление
земли р=-у-, см в Л. 1, § 65.
Рекомендуется при предварительных подсчетах [Л. 2, § 11],
если неизвестно значение у, принимать Dg = 1 000 m..
.152 Сопротивления переменному току воздушной линии [гл. 6
Произведя подстановку из (VI,52) в (VI,49), получим:
k = r+ ^f+ j29/-lg^) lO-^fi/km, (VI,53)
й при промышленной частоте f= 50 Hz
(^z)/=50Hz= ( г4- 0,05 4-/0,145 -Ig^fi/km. (VI, 53а)
Увеличение расстояния Dg (величина порядка 1000 ш)по
сравнению с расстоянием D (величина порядка 10 ш) не
влечёт за собой про-
порционального увели-
чения реактивного со-
противления [ср. (VI,52)
с (VI, 13)]. Это объ-
h
O-SDg
Фиг. 56.
Фиг. 56a.
ясняется тем, что по мере отдаления от оси провода (см. вы-
вод выражений для L и х в § 24) длина линий поля увели-
чивается и соответствующие значения напряженности маг-
нитного поля Н и индукции В уменьшаются. Поэтому на-
растание магнитного потока, сцепляющегося 'с проводом,
сильно отстает от увеличения расстояния между проводами.
Для примера сравним значение х, вычисленное^по выражению
(VI,13a) при D=5 ш со значением xL, определенным по (VI,52) при Dg=
= JOS ш. В обоих случаях примем о = 95 mm2 и р™ = 0,00429 ш.
Из (VI,13а)
5
х = °’145-1g l),0U4z9 -°’47 В/кга-
§ 26]
Сопротивление взаимоиндукции линий провод-земля
153;
Из (VI,52)
Отношение реактивных сопротивлений линии провод-
земля и провода двухпроводной однофазной линии:
.*£ = 1,66
X .
при
Q.S = 200.
D
26. СОПРОТИВЛЕНИЕ ВЗАИМОИНДУКЦИИ ДВУХ ЛИНИЙ
ПРОВОД-ЗЕМЛЯ
Двухпроводную
считать эквивалентной — по
полю и соответственным
I и II провод-земля (фиг. 57),
так как можно принять, что
обратные токи в земле ком-
пенсируют друг друга и не
оказывают никакого резуль-
тирующего действия.
Условие взаимной пол-
ной компенсации обратных
токов в земле, при использо-
вании модели Рюденберга,
равносильно условию, что
расстояние между прово-
дами меньше или равно вы-
соте подвеса (фиг. 58):
D^h. (VI, 54)
однофазную линию (фиг. 51) можно-'
создаваемому ей магнитному
сопротивлениям—двум линиям.
А
Фиг. 57.
При таком условии каждый из проводов двухпроводной
линии охватывается двумя слагающими магнитного потока,,
проходящими через землю, равными по величине и проти-
воположными по направлению. Отсюда следует, что и-
получаемое в дальнейшем выражение для погонного
сопротивления взаимоиндукции Zm может быть-
без заметных ошибок применено лишь при условии (VI,54).
Заменяя. в свою очередь линии I и II провод-земля
двухпроводными линиями I—I' и II—1Г с расстоянием между-
проводами, равным Dg (см. § 25 и фиг. 59), мы можем считать,
рассматриваемую нами двухпроводную линию эквивалентной
двум двухпроводным линиям I—К и II—If.
Ввиду того, что D^>D (см. § 24), можно принять, что-
расстояние от каждого из фиктивных обратных проводов
354
Сопротивления переменному току воздушной линии
[гл. 6
J' и 1Г до каждого из действительных проводов I и II
равны друг другу:
Di-iv Di-i’ = Dn—п' Du-v Dg. (VI, 55)
При этом условии результирующее электромагнитное
воздействие обратных токов проводов Г и 1Г на действи-
тельные провода получается почти равным нулю.
Фиг. 58.
Произведенная нами замена двухпроводной линии позво-
ляет рассматривать погонное сопротивленце ее провода
[см. (VI,14)] как сумму собственного сопротивления линии
провод-земля zL [см. (VI,53)], например, провода I линии
/—Г, и искомого сопротивления взаимоиндукции zm от
соседней линии провод-земля, например, сопротивления
2i_n от линии II—И'.
Учитывая, что токи рассматриваемой и индуктирующей
линии провод-земля равны по величине и противоположны
по знаку, получим:
Z = ZL — Zm.,
откуда
zm = zl z-
Подставляя в (VI,56а) значение Zl из (VI,53)
(VI, 14), имеем:
(VI,56)
(VI,56а)
И 2 ИЗ
+ 10-4 й/km. (VI,57)
При /= 50 Hz
(^i)/=5oHz=(rjn+jXM)/=53Hz=fo,05-|-jO, 145 lg ^7) й/km. (VI, 57a)
§ 26]
Сопротивление взаимоиндукции линий провод-земля
155
Смысл полученного выражения выясняется из фиг. 60.
При протекании тока по индуктирующему проводу, например
II и возврате его по земле с индукти-
руемым проводом сцепляется вся слагаю-
щая магнитного потока, замыкающаяся
через землю, и часть слагающей магнит-
ного потока, замыкающейся в воздухе
между индуктируемым проводом и зем-
D
Л
. D
Фиг. 59.
Фиг. 60.
лей. Слагающей магнитного потока, замыкающейся через
землю, соответствует сопротивление zg [см. (VI,45)]. Введя
в (VI, 45) фиктивное расстояние между прямым и обратным
проводом Dg, из (VI,51 а) получим:
zg =(^/+;29/. lg 10-^ Й/km. (VI,58)
Сцепляющейся с индуктируемым проводом части магнит-
лого потока, замыкающейся в воздухе, соответствует реак-
тивное сопротивление хям •
Из фиг. 60 и (VI, 47) следует:
лоЛ1 =29/- fig- -lg-^Л 10-* = 29/10-4 • Ig^ й/km. (VI,59)
Сложив значения сопротивлений zg из (VI,58) и jxaM из
(VI,59), мы и получим, как в этом нетрудно убедиться,
значение zM [ср. (VI,57)].
Наличие активной составляющей в сопротивлении взаи-
моиндукции, равной активной составляющей сопротивления zg
индуктирующего провода, объясняется указанным выше
156 Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
сцеплением с индуктируемым проводом всей замыкающейся
через землю слагающей магнитного потока, созданного
током индуктируемого провода.
При расстоянии D между проводами, большем высоты
подвеса h проводов, с индуктируемым проводом уже будет
сцепляться только часть слагающей магнитного потока,
замыкающейся через землю, и поэтому полученные нами
выражения не могут быть применены.
Погонному сопротивлению zM [см. (VI, 57)] соответствует
погонная взаимная индуктивность
^=W=(--/-r+4,6.1g-§)-10-4H/km. (VI, 60)
Выражения (VI,53) и (VI,57) для zL и zM являются
основными;-1 из них могут быть получены значения сопро-
тивлений установившемуся синусоидальному току для рас-
положенных на любых расстояниях друг от друга, удовле-
творяюших условию (VI,54), параллельно проложенных
проводов и при любых соотношениях между амплитудами
и фазами протекающих по ним токов одной и той же
частоты.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ ШЕСТОЙ
1. Вагнер и Эванс, Метод симметричных составляющих, ОНТИ,
1936 г. (перевод с английского), § 61—66.
2. Руководящие указания по производству вычислений токов и
напряжений при коротких замыканиях в трехфазных электрических
системах. Проект (1-я редакция). Научный руководитель доц. С. А. Улья-
нов, МЭИ, 1938 г. § 11.
3. Оллендорф, Токи в земле. Теория заземлений, ГНТИ, 1932 г.
(перевод с немецкого), § 66 и 37.
4. Rii den berg, Electrische Schaltvorgange, 1933, §, 28.
5. Марголин, Сопротивления воздушных линий передачи, ОНТИ,
1937 г., гл. I—IV.
6. Городе к и й, Сопротивление нулевой последовательности воз-
душных линий передачи, „Электричество", № 12,1 1933 г.
7. Carson, wave Propagation, in Overhead 'Wires Graund Return,
.Bell System Tecnlcal Journal", vol. 5, p. p. 539—555, October 1926.
ГЛАВА СЕДЬМАЯ
СОПРОТИВЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННОМУ ТОКУ
СИСТЕМЫ ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОВОДОВ
27. СРЕДНЕЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ ВЗАИМОИНДУКЦИИ
МЕЖДУ ЛЮБЫМИ ДВУМЯ ПРОВОДАМИ СИСТЕМЫ
Среднее сопротивление взаимоиндукции между двумя про-
водами системы из р параллельно проложенных проводов
(фиг. 61) принимается равным среднему арифметическому из
§ 27]
Среднее сопротивление взаимоиндукции
157
сопротивлений взаимоиндукции между каждой парой прово-
дов системы. . .
Погонное сопротивление взаимоиндукции zik между про-
водами за номерами t и k системы ______________2)
[см. (VI,57)] определяется расстоянием 1 т
между этими проводами Dik. Число рас-
стояний между каждой парой проводов и
такой системы равно числу сочетаний
Фиг. 61. Фиг. 61а.
из р элементов по два, т. е. — р (р—1). В соответствии со
сказанным и из (VI,57) получим
=т2— ("V+J29/- 1g A -H7+W- 1g +
yp(p-l) V
+ l7+j29/.lg^. . .+KV+j29/.lg7TL).10-<;=
= ^V+j29/-lg-gj-) 10- 0,'km, ^VI1,I)
где среднее геометрическое расстояние между
проводами системы
~р (p—j) /-----------------------—----------
Dm — I/ £>i—2 D1-3... Di-p D-2-з- •. D2-p ... D(p—r)p. (VII,2)
При f — 50 Hz
zM = (0,05 + j0,145- lg fi/km. (VII,la)
158Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Сравнивая (VII,!) с(VI,57), мы видим, что среднее со-
противление взаимоиндукции между любыми двумя
проводами системы из р проводов равно сопротивлению
взаимоиндукции двух линий провод-земля, расположенных
друг от друга на расстоянии, равном среднему геометриче-
скому расстоянию между проводами системы Dm (фиг. 61а).
28. СОПРОТИВЛЕНИЯ ПРЯМОЙ И ОБРАТНОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬ-
НОСТЕЙ1 ТРЕХФАЗНОЙ ОДНОЦЕПНОЙ ЛИНИИ ЭЛЕКТРОПЕРЕДАЧИ
Пусть по трем проводам 1-2-3 одноцепной трехфазной
линии передачи протекают токи прямой последовательности:
. _2_
1а1 = 1, /и = а2 и 1е1 ~ а, где а = е 3 * .
Вводим допущение о том, что линия транспонирует-
с я таким образом, что каждый из трех токов протекает по-
очередно по каждому из трех проводов линии на протяже-
нии. каждой трети полной длины, как это показано на фиг. 62.
В соответствии с произведенным в § 26 замещением
двухпроводной однофазной линии двумя линиями провод-
земля мы можем и трехпроводную трехфазную линию пе-
редачи (фиг. 62) заменить тремя линиями провод-земля, не-
зависимо от того, равна ли сумма токов Ia, 1Ь и 1С нулю,
как это имеет место в рассматриваемом нами случае проте-
кания токов прямой или обратной последовательности, или
эта сумма токов не равна нулю, и в действительности имеет
место возврат тока по земле. В первом случае обратные
токи в земле друг друга компенсируют, а во втором их гео-
метрическая сумма дает действительный конечного значения
обратный ток.
1 Здесь и в дальнейшем условно используется общепринятый упро-
щенный термин. Во всех случаях имеется в виду сопротивление линии
обнаруживаемое при протекании по ней симметричной системы токов со-
ответствующей последовательности. (Р ед.)
§ 28] Сопротивления прямой и обратной последовательностей
159
Среднее геометрическое расстояние между двумя прово-
дами одноцепной трехфазной линии из (VII,2)
:< 2
2 /------------
Dm— I/ Da Dis Dsi-. (VII,2a)
Среднее погонное сопротивление взаимоиндукции между
двумя проводами системы определяется выражениями (VII, 1)
и (VII, 1а).
Погонное сопротивление прямой последовательности чи-
сленно равно эффективному значению напряжения, которое
нужно приложить на единице длины к одному из проводов
трехфазной одноцепной линии электропередачи для преодо-
ления активного сопротивления самого провода г и компен-
сации э. д. с. само- и взаимоиндукции при протекании ПО'
линии приведенной выше системы токов прямой последова-
тельности с эффективным значением в 1 А; импедансный'
угол искомого сопротивления определяется углом фазового'
сдвига прикладываемого напряжения относительно тока в
данном проводе:
zi = ^'zl +a2zM + azM = ’zL — ZM- (VII,3)
Сопротивление прямой последовательности системы мень-
ше сопротивления линии провод-земля на величину со-
противления взаимоиндукции, так как сумма токов, проте-
кающих по двум проводам системы, равна- по величине и об-
ратна по фазе току третьего — рассматриваемого провода..
Подставляя в (VII,3) значения zL из (VI,53) и Zm из
(VII,1), получим:
zx=(r-]-j 29 f IO-41g й/km. (VII,4)
, X. Pm /
При / = 50 Hz
(zJ/^ohz = (ж 0,145 • 1g -^-)й/кш. (VII,4a>
Сравнивая, с одной стороны, (VI,56) и (VII,3) и, с другой
стороны (VI,14) и (VII,4), мы видим, что сопротивление
прямой последовательности одноцепной трехфаз-
ной линии равно сопротивлению провода двухпроводной ли-
нии' с расстоянием между проводами, равным Dm (фиг. 63).
Это объясняется указанной выше эквивалентностью двух
проводов трехфазной линии передачи обратному проводу
двухпроводной однофазной линии1.
1 Выражение для сопротивления прямой последовательности Zj мож-
но, как это обычно и делается, получить и непосредственно из (VI,13)?
и (VI,14), не вводя сопротивлений zL и z^.
16С Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Ввиду того что сумма токов обратной последовательно-
сти во всех трех фазах также равна нулю и поэтому каждые
два провода являются обратными по отношению к третьему
сопротивление обратной
рт последовательности линии
, при условии транспозиции проводов
#тЧ ИЧ должно быть равно ее сопротивле-
*4-* нию прямой последовательности:
Фиг. 63. ,, z2 =zt. (VII,5)
Это нетрудно доказать и непосредственно рассуждениями,
•аналогичными тем, которые были приведены при выводе
выражения (VII,3) для прямой последовательности.
29. СОПРОТИВЛЕНИЯ НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ОДНОЦЕПНЫХ’ И ДВУХЦЕПНЫХ ЛИНИЙ
ТРЕХФАЗНОГО ТОКА БЕЗ ТРОСОВ
Введение. Протекание по цепи трехфазного тока системы
токов нулевой последовательности /0 означает протекание
ло каждой из трех фаз цепи тока /0, а по всем трем фазам
тока:
Л = /Ео=3/О. (VII,6)
В соответствии с (VII,6), если в трехфазной линии со-
стоящей из а параллельных цепей и, следовательно, из числа
проводов
Р = За, (VII,7)
протекает ток /0, то по каждому из проводов линии проте-
-жает ток
4 = -37О . (VII,8)
а р
Приведенные нами положения для проводов трехфазной
линии передачи могут быть распространены и на другие ча-
сти цепи, по которой протекает система токов нулевой
лоследовательности, даже и в том случае, если эти части
цепи не являются трехфазными. Так. протекание тока нуле-
вой последовательности /0 через одно какое-нибудь сопро-
тивление, например, сопротивление в нейтрали ZN, или со-
противление дуги Zdi означает протекание через это сопро-
§ 29]
СопротййлейиЯ нулевой последовательности линий
161
тивление тока /10 = 3/0, в соответствии с чем, как известно,
сопротивление нулевой последовательности нейтрали и дуги
'равняется утроенному значению соответствующего дей-
ствительного сопротивления [ср. (V,65)].
Возврат тока нулевой последовательности через землю
означает протекание в земле тока
4=7IO=3ZO. (VII,9)
Возврат тока /0 через систему из -а> тросов означает про-
текание по всем w тросам тока/ю =3/0, а по каждому из тросов
тока — [ср. V.63)].
Сопротивление нулевой последовательности системы
параллельно проложенных проводов. Погонное сопротив-
ление нулевой последовательности z0 системы из р параллельно
проложенных проводов численно равно падению напряжения
на единицу длины каждого из проводов системы при протека-
.нии по этой системе тока нулевой последовательности /0=1А,
т. е. при протекании по всем проводам тока [см. (VII,6)]
/10=3 А, а по каждому из проводов тока [см. (VII,8)] —А.
Из приведенного определения, вводя погонное сопротив-
ление самоиндукции zL [см. (VI,49)] и среднее погонное со-
противление взаимоиндукции- между каждой парой проводов
системы [см. (VII,1], получим:
+Ао = -~zL + (p— 1)-у zM -
+ (Р- 10~4—
•=[-- + (3^+да-~а. R)1б'4] ^km’ <vn’10)
где средний геометрический радиус (Geometric
Mean Radius) эквивалентного провода
при /—50 Hz
(^Usoh, = + 0,-15+Д 435 • lg -^) fi/km. (VII,10а)
Йз сравнения (VII,10) и (Vll,10а) с (VI,49) и (VI,49а) сле-
дует, что система из р параллельно проложенных проводов,
И Марголин
162Сопротивления переменному току системы параллельных проводов |гл 7
GMR ..
Фиг. 64.
по которой протёкает ток нулевой последовательности /и>
эквивалентна линии провод-земля с погонным активным со-
противлением провода г'= — и ё поверхностным распреде-
лением тока по проводу радиусом р^, равным GMR > рт, при
протекании по ней суммарного тока системы /в = 3/0 (фиг. 64).
Из указанной эквивалентности следует, что сопротивление
нулевой последовательности рассма-
триваемой нами системы проводов равно трой-
ному сопротивлению эквивалентной линий
провод-земля:
(VIMD
р г
Увеличение радиуса провода эквивалент-
ной линии провод-земля pm=GMR по срав-
нению с приведенным радиусом рт провода
рассматриваемой системы и соответствующее
уменьшение сопротивления z0 отражают факт
отсутствия пространственного совпадения р
проводов системы и наличия вследствие этого
замыкающихся (в воздухе при условии Dm-^h)
потоков рассеяния (д— 1) проводов системы
по отношению к рассматриваемому проводу
(см. § 26).
• Сопротивление нулевой последователь-'
ности трехфазной одноцепной линий. В част-
ном случае одноцепной линии й=1 и [из
(VII,7)] р = 3.
Из (VII,10), (VII,10а) и (VII,11) при подстановке в них
д = 3 получим:
zo = ro + jхо = z£ + 2zAi в
= [г+ (Зп7+;87/. 1g ой?)10~4] й/km. (VII, 13)
и •
i
(zo)f=50Hz=(r0 + jX(>)A-50Hz —
= (г + 0,15 +J0,435-lg й/km, (VII,13а)
где
GMR^'p^, (VH,14)
a Dm определяется выражением (VII,2а).
§29] Сопротивления нулевой последовательности линий
163
Соотношения между сопротивлениями нулевой и пря-
мой последовательности трехфазной линии и сопротив-
лениями линии провод-земля и двухпроводной одно-
фазной линии. Из (VII,3) и (VII,13). получаем отношение
сопротивления нулевой последовательности к сопротивлению
прямой или обратной последовательности для трехфазной
линии: - -
-5»—^—^+-^. (VII,15)
Zi г2 zL — zM
В то время как при протекании системы токов нулевой
последовательности поле, создаваемое токами двух прово-
дов, совпадает по направлению с магнитным полем, созда-
ваемым третьим проводом, при протекании системы токов
прямой или обратной последовательности токи двух прово-
дов являются размагничивающими по отношению к третьему.
Для соотношения между реактивными сопротивлениями
нулевой и прямой или обратной последовательностей трех-
фазной, одноцепной линии без тросов можно грубо прибли-
женно принять:
•*0 _ ’о _ XL + ^ХМ 3 5
Х1 х2 XL-^XM '
Из этого, приближенного соотношения вытекает прибли-
женное соотношение и между сопротивлением линии про-
вод-земля и сопротивлением прямой или обратной после-
довательности, с одной стороны, и между сопротивлениями
xL и хм, с другой:
0,455; (VII, 17)
-^=-^ =—= 1,84. (VII,18)
х1. *2 XL — XM \ .
Полное реактивное сопротивление двухпроводной одно-
фазной линии равно удвоенному сопротивлению одного прб-/
вода этой линии. Обозначив погонное сопротивление двух-
проводной петли через х', получим учитывая (VI,56):
х' — 2 (х/. — Хм) (VII, 19)
а. 2 .
^_=^=0,92 ' (VII,20)
— реактивное сопротивление линии провод-земля приблизи-
тельно равно полному реактивному сопротивлению двух;
проводной однофазной линии передачи.
Сопротивление взаимоиндукции между двумя систе-
мами параллельно проложенных проводов в нулевой
II*
166Сопротивдения переменному току системы параллельных проводов [гл 7
ление взаимоиндукции от системы // на систему I, то ре-
зультат получился бы тот же:
2(1-11)0 =2(П-1)0= 2дю. (VII,26)
Сравнивая (VII,24) с (VI,57), нетрудно видеть, что по
своему взаимоиндуктирующему действию системы / и // эк-
вивалентны двум линиям провод-земля с расстоянием м:ежду
их проводами, равным среднему геометрическому расстоя-
нию между системами, при протекании по индуктирующей
линии провод-земля тока / = 3/0 (фиг. 66). В связи с этим
сопротивление взаимоиндукции в нулевой последовательно-
сти между двумя системами равно утроенному сопротивле-
, . __________ ____ нию взаимоиндукции между дву-
J2* ‘/-л “ мя линиями провод-земля,
/=?/ расположенными на расстоянии
2ЛЮ = з (Zm)d=d^ н (VII,27)
Г
Погонное сопротивление нулевой последовательности
двухцепной линии без тросов. Двухцепную трехфазную
линию (фиг. '67) можно рассматривать как две обычно
симметрично расположенные на опорах системы проводов:
система / (первая цепь) с числом проводов /> = 3(№ 1, 2
и 3) и система И (вторая цепь) с числом проводов w = 3
(№ 4, 5 и 6).
Погонное сопротивление, нулевой последовательности
двухцепной линии численно равно падению’напряжения в
любом проводе каждой из цепей при протекании по обеим
цепям тока /(2)о=1А и/следовательно, по каждой из цепей
Т£жа 7(1)о=О,5А.
§ 29] Сопротивления нулевой последовательности линий 167
В соответствии с приведенным [определением, учитывая
(VII,13) и (VII,24), получим: *
Z'(2)O = 0:,,5z'0 -|-0,5 ^MO=7(2)oH_/-’Q2)O==
=0,5r+(o,5-3^/+J-0,5-87 •/•lg^ + °’5-3^+
+ /0,5 • 87 lg ГО-4 = [o,5r + (з i?f+
+1 •87<1s l.o-‘]o/km, (VI1.28)
где средний геометрический радиус каждой из цепей, при-
нятый одинаковым для обеих цепей вследствие предполо-
жения об их полной симметрии,^определяется из (VII,14);
М-»н. -(о.5'-+о. 15+0,4351g 2/ta- (VII,28а)
Если параллельно включенные цепи обладают разными
и неодинаково расположенными проводами, что бывает край-
не редко, то приближенно определение сопротивления двух-
цепной линии удобнее производить, исходя из рассмотрения
двухцепной линии как системы из шести проводов, к чему
мы и перейдем.
При таком рассмотрении искомое сопротивление опреде-
ляется из СУП,10)'для р=6:
г(2)0=[о,5г + (зтгУ+ /87/- lg ) 10"1] й/km. (VII,29)
и [см. (V,10a)]
Mr-50 Hz = (°’5r + °’ 15<+ °’435’ Q/km, (VII,29a)
\ / J UU lit \ 1 /
где из (VII,11) при p = 6
з 6 /-------
; = PmDl2}m, (VII,30)
а из (VII,2)
£>(2)m= 'J/ D14D13.. .DieDiS.. .Di6D3i.. .DitDi3Di6D3t. (VII,31)
Легко показать, что при одинаковом расположении про-
водов обеих цепей средний геометрический радиус двухцеп-
ной линии GMR(2)=V GMR-Di—u и что,, таким образом,
выражения (VII,29)- и (VII,28) при этом идентичны1.
1 Более точное определение сопротивления z^ в общем случае см.
ниже, в § 30, [выражение (VII,40)].
16е Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Грубо приближенно в среднем .можно принять, что реак-
тивное сопротивление нулевой последовательности двухцеп-
ной линии передачи в 5,5 раза больше сопротивления пря-
мой или обратной последовательности:
х(2)0 яа х(2)0 55
-*•(2)1 -*Г(2)2
(VII,32)
Большее отношение сопротивлений нулевой и прямой
последовательности для двухцепной линии, чем для одно-
цепной, объясняется тем, что в то время как в двухцепцой
линии токи пяти проводов при нулевой последовательности
создают потоки, совпадающие по направлению с потоком,
едздаваемым шестым проводом, в прямой и обратной по-
следовательностях, как и пои одноцепной линии, токами двух
фаз создаются потоки, противоположные по направлению
потоку, создаваемому током третьей фазы:
~*(2)0 __ +
*(2)1 Щб(Х£— ХМ).'
(VII,33)
Если принять соотношение между xl и Хм, полученное
нами выше из среднего соотношения между сопротивлениями
нулевой .и прямой последовательности одноцепной линии,
то получается:
,-*(2)0 _ 1 +5-0,455 _„
*(2)1 1—0,455 '
но, поскольку среднее расстояние между проводами для
двухцепной линии получается большим,, чем для одноцепнрй
(т. е. то и среднее реактивное сопротивление
взаимоиндукции между проводами двухцепной линии меньше
сопротивления взаимоиндукции между проводами одноцеп-
ной линии, т. е. X(2)M<ZXM, и поэтому
'^<0,455.
Х1
Приведенному нами соотношению [см. (VII,33)1 соот-
Х(2)1
ветствует
= 0,428,
Ч
§ 30] Схемы замещения в нулевой последовательности 169
30. СХЕМЫ ЗАМЕЩЕНИЯ ДВУХ ВЗАИМОИНДУКТИРУЮЩИХ
СИСТЕМ ПАРАЛЛЕЛЬНО РАСПОЛОЖЕННЫХ ПРОВОДОВ В НУЛЕ-
ВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. СОПРОТИВЛЕНИЯ (.НУЛЕВОЙ ПО-
СЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТРЕХФАЗНЫХ ЛИНИЙ С ТРОСАМИ. СХЕМЫ
ЗАМЕЩЕНИЯ ДВУХЦЕПНОЙ ЛИНИИ ПРИ ЗАМЫКАНИИ НА ЗЕМЛЮ
В ОДНОЙ ИЗ ЦЕПЕЙ.
Схема замещения двух взаимоиндуктирующих систем.
На фиг. 68 схематически представлены две системы парал-
лельно расположенных проводов; система / из р проводов
и система // из w прово-
дов, по которым соответ- у
ственно протекают токи ну- 7/0 j
левой последовательности
ho и /цо.
Падение напряжения на — 1 л ........... it
единице длины в каждом из до
проводов каждой из этих Фиг. 68.
систем определяется как по-
гонным сопротивлением самоиндукции (zi0, Zno), так и со-
противлением взаимоиндукции (zAf0):
Д t/io — /ioZio -f-7 по^лго, (VII,34а)
А Йпо— /по?по ~4~ IioZmo. (VII,346)
Прибавив к правым частям равенств (VII,34а) и (VII,346)
соответственно + Ло^мо и ± /hoZmo, получим:
Д 7/ю=/10(2'10 — zmo) -f- (/io + 7ii o)zmo (VI1,35a)
и
Д T/tio = 7 no(2uo — Zjmo) + (Zro -|- /110)2^0. (VII,356)
Сопротивления (zI0—zM0) и (zu 0 —Zmo) обусловливаются,
с одной стороны, сцеплением соответственно проводов
системы / и системы II с потоками рассеяния. С другой
стороны, рассматриваемые сопротивления определяются
активными сопротивлениями самих проводов соответствующих
систем г\ и гц. Поэтому сопротивления (гю—z^o) и (zuo—zmo)
в действительности представляют собой сумму активных
сопротивлений самих проводов и сопротивлений рассеяния.
Обозначим эти сопротивления соответственно через гцо и Znp.
170Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Из (VII, 10) и (VII,24):
гпо = ixo-zM0 =(^ +J87/10-4lg^)fi/km, (VII,36а)
^шо^г.ю^о =(2^+i/87/10-4lg-|^_)9/kni, (VII,366)
и [см. (VII, 10а) и (VII,24а)]
(М^0Н2 = (у+/0,435-lg ^)й/кА, (VII,37а)
(^zo)^SOH2 = (^4JO,435.-lg -^-)й/кт. (VII,3,76)
Zlto
ШМ. ~
^10 ___
—
Zsto
---------Д£/
,770
--------*1
I
I
% МО |
MWW-----f
' Фиг. 69.
Произведя подстановки из (VII,36а) и (VII,366) в
(VII,35а) и (VII,356), имеем:
Д£/ю= hoZuo (Ао-}-/поХмо (VII, 38а)
и
ДО/по == Ino^iпо -f- (Ао+ /по) ^мо- (VII, 386)
Выражениям (VII,38а) и (VII,386) соответствует схема
замещения двух взаимно индуктирующих систем
(на единицу длины), представленная на фиг. 69. Эта схема
не является, конечно, специфической схемой замещения толь-
ко на единицу длины двух взаимно индуктирующих систем
параллельно проложенных проводов в нулевой последова-
тельности. Такой же вид будет иметь схема замещения и
Для участка двух взаимно индуктирующих систем любой
длины и вообще для любых двух взаимно индуктирующих
Систем (например, для двухобмоточного трансформатора).
Если взаимно индуктирующие системы включены парал-
лельно, например, представляют собой две цепи двухцепной
§ 30]
Схемы замещения в нулевой последовательности
171
трехфазной линии передачи, то падения напряжения в каждой
из систем равны друг другу, т. е. имеет место условие
Д1Ло= Д^по
(VII,39)
и схема замещения (фиг. 69) принимает вид, представленный
на фиг. 70. Из этой схемы легко определяется эквивалент-
ное сопротивление обеих параллельно включенных систем
/ и 41:
2(е?)0 = z(2)0 = хЛ,о + Л1-0'*™' . (VII, 40)
2//о4 2)1/0 1
Фиг. 70.
Результирующее сопротивление системы I с учетом
взаимоиндукции от системы 11 должно удовлетворять сле-
дующему уравнению:
Iю2/(ге^)0 — 1192ю~|-1цо2м0 = 1Ю^НО Ц- (7ioj~ Лю) 2д1О (VII, 41)
[см. (VII,36а) и фиг. 70].
Из схемы фиг. 70 следует:
/П0=2ю2ш_ (VII, 42)
2/1/0
t. Подставив значение 1ио из (VII,42) в (VU,-41), мы'
исключим из (VII,41) токи и с учетом (VII,36а) получим
. гл/о zizo ,, ... ,
2l(rej)0 — 2/0-]-;---- . (VII, 43)
zIU0
Из условия симметрии
2п(л«)0 = 2цо-]-------:---. (VII,43а)
гцо
172Сопротивленцд переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Если рассматриваемые параллельно включенные системы
1 и II представляют собой две цепи линии передачи с
совершенно одинаковыми и одинаково расположенными
проводами, то
£цге) = ^n(res)0 = 2(res)0—Z(1)O22^10. (VII,44)
Эквивалентное сопротивление этих параллельно включен-
ных систем или сопротивление нулевой последовательности
двухцепной линии передачи с симметричными цепями из
(VII,40) и (VII,44)
гИ)о =Z(2)o = O,5z(„4)o= O,5z}o+ zMo = 0,5 (z(i)o + гЛ10). ' (VII,45)
Такое выражение для сопротивления нулевой последова-
тельности двухцепной линии передачи уже было получено
нами Выше [см. (VII,28)].
Схема замещения и сопротивления трехфазной линии
передачи с тросами. Рассмотрим теперь другой частный
случай, когда падение напряжения вдоль одной из систем',
например системы И, равно нулю. Это имеет место в линии
передачи (фазные провода — система 1 или П) с хорошо
заземленными тросами (система II или Т) на таком расстоя-
нии от точки замыкания на землю, на котором возвращаю-
щийся через землю и тросы ток уже окончательно распреде-
лился между ними (см. выше гл. V).
В рассматриваемом случае
Д£7ц ~ 0,
и схема замещения фиг. 69 принимает вид фиг. 71* 1. Из этой
схемы легко определить эквивалентное сопротивление нуле?
вой последовательности г(ЛТ)0 линии передачи с тросами:-
2(г§)0 — 2(лт)о — ZnlQ -[—:-;— , (VII, 4b)
ZrZO 4- гМ0
где zmo—z„t0— сопротивление взаимоиндукции между фаз-
ными проводами линии передачи и системой тросов, из
(VII,36а) и (VII,366)
- 2цо %мо (VII,47 а)
и
z-rio Zjnoj (VII,476)
1 Такой вид получает схема замещения для любых двух взаимоии-
дуктирующих систем, одна из которых короткозамкнута (например,
для ; трех фазного трансформатора, соединенного по схеме ¥0/Д,— в
нулевой последовательности или для синхронного генератора в переход-
ном режиме). (Ред.)
§ 30] Схемы замещения а нулевой последовательности 173
здесь.Zno—сопротивление нулевой последовательности линии
передачи, без тросов, zl0 — сопротивление нулевой последо-
вательности системы тросов.
Из (VII,46), (VII,47а) и (VII,476) получаем:
Л.тр= (VII,46а)
Zt0
и
__ _, _, I ztZ0 ZMO z Л10 ZAZIT
-2-л.тО— ZnO — ZjUO ~|—~--= ZnO----Г— • (VII,466)
Zt0 zt0
Из (VII,46), (VII,46a) и (VII,466) и фиг. 71 следует,
что модуль сопротивления нулевой последовательности
Фиг. 71.
линии с тросами меньше сопротивления нулевой последова-
тельности линии без тросов:
?л. то ^по (VII,48)
4 Уменьшение сопротивления нулевой последовательности
вследствие наличия системы, тросов [см (VII,466)] тем
значительнее, чем (по модулю) больше сопротивление взаимо-
индукции Zmo и меньше сопротивление zTzo:
г2мо ZM0 ‘
*АГО
Из (VII,366) и (VII,24) следует, что z/ла будет тем
больше и гтю будет тем меньше, чем меньше среднее
Геометрическое расстояние Di-n=Dn.r между системой
фазных проводов линии и системой Тросов и чем меньше
активное сопротивление тросов гт.
174СоМроТиЬЛеййя временному току системы параллельных Проводов [гл ?
Уменьшение сопротивления нулевой последовательности
при наличии тросов объясняется тем, что протекающий по
системе фазных проводов линии ток нулевой пос ледова-
тельности /по наводит в системе тросов,’'как во вторичной
короткозамкнутой обмотке трансформатора, размагничиваю-
щий ток До- Это вызывает уменьшение результирующего
магнитного потокосцепления с фазными проводами линии фпо
и соответственно сопротивления линии гл.1О.
Наведенный в тросе ток будет тем больше, а следова-
тельно, эффект уменьшения сопротивления тем значитель-
нее, чем больше сопротивление взаимоиндукции zm или чем
ближе система тросов расположена к линии и чём меньше
сопротивление троса zTo . Поэтому хорошо проводящие
тросы’ из цветного металла вызывают большее снижение
сопротивления нулевой последовательности, чем система
тросов из ферромагнитного материала (железные), которые
обладают значительно большими активным и индуктивным
сопротивлениями.
Ток нулевой последовательности системы фазных про-
водов линии /по (точнее—суммарный ток /ns = 37no) возвра-
щается уже не только через землю, но и через систему
тросов, которая как бы отсасывает на себя часть обратного
тока. При принятом на схеме фиг. 71 положительном
направлении для токов в тросах До и в земле — обратном
по отношению к положительному направлению, принятому
для тока в линии /п1: ’
40=70=40+Ао. (VII,49)
Действительный обратный ток в земле Ig и суммарный
ток системы тросов /Tt равны утроенным значениям
соответствующих токов нулевой последовательности
[см. (VII,6)].
Из схемы совершенно ясно, что явление отсоса тока
из земли системой тросов тем резче, чем меньше отноще-
Грубо в среднем можно принять нижеследующие соот-
ношения между реактивными сопротивлениями нулевой
последовательности линий с хорошо проводящими тросами и
линий без тросов и сопротивлением прямой последователь-
ности (Л. 3, § 11); х
§ 30] Схемы замещения а нулевой последователыюсг.й 176
а) для одноцепных
б) для двухцепных
линий:
-^.=.3, (VII,51 а)
*(2)1
-^-^0,55. (VII.516)
*(2)0
Пример 20. На фиг. 72
схематически представлена
двухцепиая линия с двумя
тросами.
Фазные провода линии
(№ 1-4-6) сталеалюминиевые
марки СА-951. Радиус про-
вода рп = 0,915 ст, погон-
ное активное сопротивле-
ние гп = 0,177 B/km.
Тросы (№ 74-8) рассма-
триваются в двух вариан-
тах:
1) тросы такие же, как
и провода линии (СА-95) и
) тросы железные марки
Ж-95 радиусом =0,63 ст,
при частоте f = 50 Hz и то-
ке /=100А, ^обладающие погонным активным сопротивлением г =
= 1,67 B/km и внутренним .индуктивным сопротивлением х,л = 0,6 B/km.
а) Определение сопротивления нулевой последовательности одной
цепибез ’тросов.
Из (VI,126) приведенный радиус фазного провода линии (см. § 24)
рп.т= 0,95-0,915-Ю-2 =0.87 - 10-2 ш.
Из (VII,2а) среднее геометрическое расстояние между проводами
одной цепи
£>(|)ш = ^3,1ьг.’б,36 = 4,01 ш-
Из (VII.14) средний геометрический радиус для системы проводов
одной цепи
G/WZ?(i) = #0,87-ИГ2 -4,012 =0,52 т.
Принимаем De — 1 000 т (см. 8 25).
Из (VII,13а) £ 7
1 - 1(00
*(1)0 — r(i)o + 7*(i)o~ гц)о I Ф<1Ю =0,177 -|- 0,15 4 /0,435-lg =»
_____ = 0,3274-/1,430 = (1,47 | 77,1°) B/km.
1 Провод марки СА-95 старого стандарта отличается от провода мар-
ки АС-95/18.
17бСопротивлейия переменному току системы параллельных проводов [гл 7
z.
Из (VII,4a) сопротивление прямой последовательности одной цепи
4.01
'(1)1 =г(1)1 +^*(1)1 — z(i)i | ?(i)i ?=0,177 +/0,14o-lg 0>87>10-2 —
= 0,177-1-/0,386= (0,424 | 65,3° )R/km.
Между сопротивлениями: нулевой и прямой последовательностей од-
ной цепи линии без тросов получаются следующие соотношения:
->°- = 1,85,'
г(1)1
*(1)0
—— = 3,70,
*(1)1
= 3,47 111,9° .
*(1)1
б) Определение сопротивления нулевой последовательности двух-
цеп'ной линии без тросов.
1. Первый вариант расчета.
Рассматриваем двухцепную линию как две параллельно включенные
системы: систему I с числом проводов р=3 (№ 1-4-3) и систему // с
числом проводов w = 3 (№ 4=6).
Из (VII,25) и фиг. 72 среднее геометрическое расстояние между
проводами двух цепей
з-з
Di-U = #пп =
9 г—
#14 #24 #34 #15 D‘& 1)гъ £>1(i £>26 £>36 =
— у #14 #21 #16 #34 #25#16 —6,65 П1.
Из (VII,24а) сопротивление взаимоиндукции между двумя цепями
1000
*(1-11)0 *(ш»0 = *ЛЮ= OJ5+jO,43o-lg
" = 0,15 + /0,947 = (0,96)81.0°) S/km.
Из (VII,28)
2(2)0er(2)o + /*(2)0 =*(2)о| ?(2)о == 0,5 (0,с27+/1,430 + 0,15+/о,947)=
= 0,239+/ 1,188= (1,21 | 78,6°) й/km.
Сопротивление прямой последовательности двухцепной линии
*(2)i =0.5z(I)1 = r(2;i +/*(2)1 = *(2)1 ^(2)1 =0,089+/0,193—
= (0,212165.3°) Q/km.
Между сопротивлениями нулевой и прямой последовательностей двух-
цепной линии без тросов получаются следующие соотношения:
=2,69,
42)1
*(2)0 „ , .
—— = 6,1о.
*(2)1
§ 30] Схемы замещения в нулевой последовательности 177
-^ = 5,72|13jr .
z(2)1
Еслй бы мы не учли взаимоиндукции между обеими цепями и опреде-
лили бы сопротивление нулевой последовательности двух цепей линии
z(2j0 как половину сопротивления нулевой последовательности одноцеп-
ной линии z (1jOj то мы совершили бы грубую ошибку, так как активное
и реактивное сопротивления получились бы примерно в полтора раза
меньше действительных:
О.ЬЛ’Ю"
И. Второй вариант расчета.
Рассматриваем двухцепную линию с числом проводов р = 6 (№ 1-ьб)
как одну систему.
Из (VII,31) среднее геометрическое расстояние между проводами
двухцепной линии
15 /*------------------------т—«—s—-—-----------
£ i)m = У (^12 Аз ) ( Dus D4e Ds6 ) ( D ;4 D<4 D 1s Z),4 £>25 Z)16 ) =
= =’kb(f)mOL =5.43 m.
Произведение из шести возможных различных расстояний между про-
водами внутри каждой из цепей может быть заменено шестой степенью
среднего геометрического расстояния между проводами данной цепи. Про-
изведение из девяти возможных разных расстояний между проводами
различных цепей может быть заменено девято г степенью среднего гео-
метрического расстояния Dnn между проводами этих цепей.
Из (VII,30) средний геометрический радиус для системы проводов
двухцепной линии
ОЛ4Д(2) =6/‘oi87-10- 2-5,435 = 1,86 ш.
Из (VII,29а) сопротивление нулевой последовательности двухцепной
линии
1 000
Z(2)0 =0,5-0,177+0,15 +/ 0,435-lg -pgg- = (0,239+J 1,188)
в) Определение сопротивления нулевой последовательности двух-
цепной линии с двумя тросами.
I. Первый вариант. Тросы сталеалюминиевые.
Рассматриваем линию с тросами как две системы проводов: систе-
му 7 или П — обе цепи линии с числом проводов р = 6 (№14-6), н сис-
тему 7/ или Т — систему тросов с числом проводов w — 2 (№ 7 и 8).
Из фиг. 72 расстояние между тросами
7>т = D78 = 4,4 m.
Из (VII,11) средний геометрический радиус для системы тросов
т = ]/о,87.’К)-2.4,4 = 0,196 т'
12 Марголин
178Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Из (VII, 10а) сопротивление нулевой последовательности системы
тросов
- з . 1 ОСО
Ао — гто 4"1xt0 =zto I?т° ~ 2d0,177 + 0,15+/0,435-lg-0 |gg —
- 0,416+71.612 = (1.661 75,5° )S/km.
Из (VI 1,25) среднее геометрическое расстояние между системой фаз-
ных проводов линии и системой тросов
е,2 --------------------- 6 --------------------
(Dn£>27DS7£>jgDi8DSg)2 —у = 6,75m.
Из (VII,24а) сопротивление взаимоиндукции между системами про-
водов линии и тросами в нулевой последовательности:
Z(I-II)0 = гптО = ZM0 GitO “Ь /VnTJ ' Znr0 | УптО =
1 000
• = 0,15+70,435i£ 6 75 = °«,5+/ 0,944 = (°.96181,0°) й/km.
Из (VII,466) сопротивление нулевой последователь-
ности двухцепной линии с системой тросов
Z(2)t0 = Г(2)т0 + 7-г(2)т0 = Z(2)i0 ] У(2)т0 = (0,239+/ 1,188) —
(0,96 181,0°)2
~'l С6 |7g^' = (0,239+;' 1,188)— (0,034+/0,555) = 0,2С5+/0,633 =
= (0,67 172,1° ) B/km-
Сравнивая полученные значения сопротивлений двухцепной линии с
тросами и без тросов, получим: .
г(2)то _ 0.205 _
\2)0 “ V.239 “ °’£6’
Х(2)т0 _ 0, 633
х(2)0 1
zC?)iQ
Z(2)0
0,67 р2>1°
1,21 [78,0
= 0,55 |-6,5°.
Распределение обратного тока между тросом
и землей.
Из (VII,376)
. 3-0.177 , . , г , 6,75
ZTO = r-M =J\io =zt1o|Ii[o = 2—+j °’435 1g 0/96 “
= 0,266+/0,669 = (0,72 |68,3°)Q/km.
Из схемы на фиг. 71 и (VII*,6)
/л Лт 0,96181,0°
то _ jrs _______|_ * - = 0,58 5,
+ ; 1,66175,5° 1---
/0 /£ ।-----
§ 30] Схемы замещеиш: в нулевой последовательности 179
I -n 1 0,72 168.3°
—g2 = -_g.n —_2 1-------= 0,43 -7,2°.
j- 2,661 7о,5° -----—
у0 IS 1-----
Тросы отсасывают из земли около 58% обратного тока. Токи в тро-
сах и в земле
II. Второй
Из (VI.9)
расходятся по фазе на угол в 12,7°.
вариант. Тросы стальные
ртт = 0,63-10~ 2.10 - 6'9-°’60= 4,6-10 —7 m.
Из (VII,11) средний геометрический радиус для системы тросов
GMRt = j/4,6-10“ 7-4~4" = 1,42- 1СГ3 * * m .
Из (VII, 10а) сопротивление нулевой последовательности системы
тросов1
3-1,67 1 000
х n = г -\-jк n = z . I «то = —Q— 4- 0,154J 0,435- 1g---------5- =
то то 1 * то т0 — z 1 1 • 1 42-1
= 2,65+/2,54=» (3,67 | 43,8°) Q/km.
Из (VII,376)
. • . 3-1,67 , 6,75
+/о — rrio + J *7/0 =* ztio | ¥тг 1 ~ 2 + 0,430-Jgj 42,10—3 = 2,50 +
+/ 1,6Э = (2,97|32,6°) Й/km-
Из (VII,466) сопротивление нулевой последователь
ности двухце.пной линий с тросами
Z(2)t0 = г(2)тО “Ь7*(2)тО = z(2)t3 | ?(2)т0 =0,239+/ 1,188 —
(0,96 181,0°)2
— з^67 | = 0.358 +/0,966 = (1,03169,7°) й/кш.
Сравнивая полученные сопротивления с сопротивлениями нулевой
последовательности линии без тросов, имеем:
г<2)т0 0,358 , ,,
г(2)0 = 0,239
Х(2)т0 0.966
х(2)0= 1,188у°>81’
*(2)то 1,03 |69,7° ’ . _
zm — 1,21178,6° -°>8° 1—8.92.
z(2)o 1—:—
1 Параметры троса действительны лишь в том случае, когда протекаю-
3/ о
щий по каждому из тросов ток / =~~~ = 100 А. Если ток /т, вычис-
ленный по параметрам троса для / = 100 А, окажется не равным 100 А,
то, строго говоря, следует произвести пересчет, введя тросы параметрами,
соответствующими вычисленному току. Расчет, ’Таким образом, должен
Вестись методом последовательных приближений до тех пор, пока ток,
которому соответствуют введенные в расчет параметры тросов, не совпа-
дет с вычисленным значением тока в тросах.
12*
18ССопротивлейия переменному току системы параллельных проходов Ггл 7
В то время как заземленные сталеалюминиевые тросы
привели к уменьшению полного и реактивного сопротив-
лений нулевой последовательности линии приблизительно
на 45%, а активного—приблизительно на 15%, железные
тросы, обладающие сравнительно гысокими индуктивным
и активным сопротивлениями, приводят к уменьшению
полного и реактивного сопротивлений всего на 15—19%;
активное сопротивление при этом даже увеличивается при-
близительно на 50%.
Распределен ие обратного тока между тросами и землей
находится из схемы на фиг. 71:
0,96 | 81,0е
77 ° 3,67 | 43,8~
0,26 |37,2° ,
2,97 1 32,6°
Д' = 3,67 143,8° *°'<81 I-11-2:. - •
В то время как сталеалюминиевые тросы отсасывали от
земли около 58% обратного тока, железные тросы отсасы-
вают только около 26 °/о, причем расхождение по фазе между
Фиг. 73.
цепей. 1. Схемы
сов.
замещения при
токами в тросах и
j в земле получается
„ более значительным,
чем в случае стале-
_____ алюминиевых тросов:
около 48° вместо
12,7°.
Схемы замеще-
ния двухцепной ли-
нии при замыкании
на землю в одной из
отсутствии тро-
G
ММ
Фиг. 74.
М
а) Поврежденная цепь отключена с одной из сторон
$30)
Схемы замещения в нулевой последовательности
]£1
Фиг. 75.
(фиг. 73). Применяя схему фиг. 69 к правой части участка
между точками И и К, получим в нулевой последовательно-
сти схему замещения, представленную на фиг. 74.
б) Обе цепи включены с обеих сторон (фиг. 75). Как
правая часть приведенного на фиг. 75 участка—между точ-
ками Н и К, так и левая^его часть—между точками G и К
могут быть замещены в^ нулевой последовательности схе-
мами по фиг. 69.
Совмещая схемы
обеихАчастей участ-
ка, получим общую
схему замещения,
представленную на
фиг. 76.
Схема фиг. 74 мо-
жет быть получена
из схемы фиг. 76,
если в последней от-
ключить ветвь KL.
Параметры отдельных элементов схем замещения'фиг. 74
и 76 могут быть определены по выражениям,
в настоящем
приведенным
и предыдущем параграфах.
2) Схемы замещения при наличии системы
тросов [Л. 2, гл. VII, § 4].
а) Схема замещения участка линии передачи единич-
ной длины в общем случае. Схема замещения двухцепной
трехфазной линии передачи с цепями I и II и системой
тросов III (фиг. 77) в нулевой последовательности в общем
случае может быть получена из уравнений падения напря-
жения на единице длины провода каждой из трех систем,
причем для системы заземленных тросов это падение на-
пряжения должно равняться нулю:
182Сопротивления леременвому току системы параллельных проводов [гл 7
И
АМ0 =/IoZIO~bAlO 2(1-11)0 +Апо^(1-1П)о,
At^lio — Al<)2iie-|-/i0 2\n-I)o + Лпог(П-1П)о
(VII,52а)
(VII,526)
AtZiiio= Aiio2iiio4-/i o2(in-i)o + Aio2(ni-n)o =0. (VII,52в)
Для исключения из этих уравнений тока системы тро-
сов /in0 Решаем относительно него уравнение (VII,52в) и по-
лученное значение подставляем в (VII,52а) и (VII,526):
; Ло^пыю + АиЛпмго
'П1о=
znio
Л Л ’г (' 2’(i-Ш)О ) , J ( 2(1-’П)0 2(тг-ппо \ (VII
AC/jO3* '10 ( 2ю--;---- \-\-lпо! 2(М1)0 -7----- ]' V 11,ООа)
' znio ' ' 2Ш0 '
AU,o=7„o('ino-^!b5!»+Ло (z^№ (Vn,536)
' ZIIIO ZI1IO '
Ш
Фиг. 77.
ляют собой соответственно
вательности цепей I и II с
Введем обозначения:
' 2(Г-Ш)0 Z(II-III)O ’
2(i-ii)o-------------- = Zmm,
гто
(VII,54а).
г10_5щ=г1.1. (VII,546)
ZII10
• \
21Ю----^™=Zn-n. (VII,54в)
ZIII0 •
Из сравнения выражений
(VII,546) и (VII,54в) с выраже-
нием (VII,466) видно, что сопро-
тивления гы и хи.» представ-
сопротивления нулевой последо-
учетом для каждой из них в
отдельности системы тросов III:
; ; (VII,54г)
; (vii,54д)
2ц-П — 2(jr.T)i.
Произведя подстановки из (VII,54а), (VII,546) и (VII,54в)
в (VII,53а) и (Vll,536) получим:
Д[7ю =/ю 2ы -j- IiiqZmm,
(VII,55а)
§ 30] Схемы замещения в нулевой последовательности 183
Д£Лго— /го^п-п-}- 4о Zmm • (VII,556)
Прибавляя к правым частям уравнений (VII,55а) и (VII,556)
соответственно ± IioZmm и ±/пЛдьм . имеем после
перегруппировки членов:
Д?Ло = /10(2'1-1 —zmm ) И- (/го -|- /по)^мл£, (VII,56а)
At^iio’=/no(^ii-n —fZmm ) -J- (/и -]-/ho)zmm . (VII,566)
Введем обозначения:
Zi-i — Zmm =* Zu , (VII,57a)
zn-ii — zjum — Znr. (VII,576)
Произведя подстановки из (VII,57a) и (VII,576) в (VII,56а)
и (VII,566), получаем окончательно:
Д(7ю=/ю Zu -J- (/io + Aio) Zmm , (VII,58a)
Д^Аго = Л10 Zni-f- ( /10 + /по) Zmm • (VII,586)
Полученные нами уравнения (VII,56a), (VII,566), (VII,58a)
и (VII,586) и выражения (VII,57а) и (VII,576) по своему по-
строению совершенно аналогичны прежним шести соответ-
ственным выражениям (VII,35а), (VII,356), (VII,38а), (VII,386),
(VII,36а) и (VII,366).
Мы, таким образом, свели три взаимоиндуктирующие
системы I, II и III в частном случае — отсутствия падения
йапряжения вдоль одной из них — к двум системам I и II
с параметрами £ы, Zn-п (собственные сопротивления) и
Zmm (взаимное сопротивление). Очевидно, что и схема
замещения рассматриваемых нами трех систем, при исклю-
ченной третьей системе (фиг. 78), должна быть аналогичной
прежней схеме замещения фиг. 691.
б) Схема замещения при выключении с одной стороны
цепи, в которой имеет место замыкание на землю (фиг. 73).
Применяя схему фиг. 78 к правой части рассматриваемого
нами участка между точками Н и К, мы получим желае-
мую схему замещения (фиг. 79), где z(nT)o — сопротивление
нулевой последовательности цепи II при учете системы III
тросов.
1 Выражения (VII,54а) — (VII,54в), (VII,57а), (VII,576), (VII,58а) и
XVII ,586) и фиг. 77, при подстановке в них сопротивлений вместо погон-
ных сопротивлений и напряжений вместо падений напряжения на еди-
ницу длины определяют схему замещения трехобмоточного трансформа-
тора с обмотками I, И и III, при короткозамкнутой и исключенной об-
мотке III.
184Сопротивления переменному току системы параллельных проводов (гл-7
, в) Схема замещения при включенных с обеих сторон
здоровой и замкнутой на землю цепей (фиг. 75). Как правая
часть приведенного на фиг. 75 участка между точками Ti и К,
так и левая его часть между точками G и К могут быть
замещены в нулевой последовательности схемами фиг. 78,
Совмещая схемы обеих частей участка, мы и получим
общую схему замещения, представленную на фиг. 80.
Схема фиг. 79 может быть получена из схемы фиг. 80,
если в последней отключить ветвь KL,
. : Сопротивление нулевой последовательности трехфад-
ной линии передачи, составленной из а параллельно
включенных цепей проводов и системы тросов. Сопротив-
ление нулевой последовательности трехфазной линии, со-
ставленной^из а цепей проводов и системы тросов, при от-
сутствии замыкания на Землю на рассматриваемом участке
да при. одинаковом сечении проводов отдельных цепей, мо-
жет быть приближенно2(определено из рассмотрения.-.двух
§ 31] Сопротивление нулевой последовательности кабелей 185
систем: системы / или П — фазных проводов, с общим их •
количеством р = За, и системы II или Т — тросов, в количе-
стве 1SD.
Фиг. 80.
При наличии замыкания на землю в одной из цепей в
пределах рассматриваемого участка распределение токов
нулевой последовательности может быть определено путем
составления уравнений падения напряжения, аналогичных
уравнениям, приведенным при рассмотрении двухцепной
трехфазной линии с тросами при замыкании на землю в од-
ной из цепей.
31. СОПРОТИВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
ПОДЗЕМНЫХ КАБЕЛЕЙ
... Введение. Вследствие недостаточной определенности зна-
чений сопротивлений, связывающих свинцовую оболочку
кц'бедя с землей, определение сопротивления нулевой после-
довательности кабелей может быть произведено только
грубо приближенно.' Ниже рассмотрены два крайних случая,
для которых и-приведены выражения для
Сопротивление нулевой последовательности одноцеп-
ных кабельных линий в частных случаях, 1. Оболочки,
кабелей заземлены вдоль трассы, и токи нуле-
вой последриательностщ протекающие по системе
| фазных проводов,, врз-вращаются по оболочкам и
B-земле. Этот случай приводит к схеме, аналогичной уже
рассмотренной нами для воздушной линии с тросами.(фиг..49а,
496, 50а, 506), причем вместо тросов выступают свднцовьщ
.оболочки а вместо опор—утечки. . _
в
186Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Одна из возможных цепей нулевой последовательности
при этом условии представлена на фиг. 81, причем рассмот-
рение производится на таком расстоянии от точки замыка-
ния К, на котором пространственно-свободные токи ДДоол
ДЛУт)о = 1(ут)о, Ыможно считать уже затухшими, а про-
странственно-вынужденный ток /gM0 — уже полностью пере-
веденным ifWW
Фиг. 81.
Можно и в данном случае анализировать возврат тока
через землю, исходя из приближенной концепции Рюденберга
(§ 25 и 26 и Л.-4, § 28), и получить выражения, анало-
гичные полученным выше для воздушных линий.
То, что кабель иначе расположен по отношению к по-
верхности земли, чем воздушная линия, не может заметно
влиять на величину сопротивления нулевой последователь-
ности, так как мы видели, что высота подвеса проводов воз-
душной линии h не влияет на величину сопротивления.
К выводу о возможности применения для сопротивления
нулевой последовательности кабелей выражений, полученных
для воздушных линий с тросами, пришел и Карсон [Л. 1, §87]..
2. Токи нулевой последовательности, проте-
кающие по системе фазных проводов, возвращаются
только по системе оболочек.
Этот случай соответствует допущению об отсутствии за-
земления оболочек вдоль трассы.
Одна из возможных цепей нулевой' последовательности
при этом условии представлена на фиг. 82.
В обоих рассматриваемых нами случаях не учитывается
влияние брони.
Первому случаю соответствует схема замещения, приве-
денная на фиг. 83 и аналогичная схеме для воздушной лй-
вии с тросами (§ 30 и фиг- 71 j.
§ 31] Сопротивление нулевой последовательности кабелей 187
Соответственно и для сопротивления нулевой последо-
вательности получим выражения, аналогичные (VII,46а) и
(VII,466)
’ ' ' I Г(об)0 • ZM0 _ • , г(об)0 гмо zVIT KQ ч
2(«аб)0= ZnJO-fc----------:------ zn/0 “г---:----- (vn.oya;
Г(0б)0 + ZMC Z(o6)0
Z(o<5)0
Для второго случая в схеме замещения следует пред-
ставить ветвь земли (взаимоиндукции) разомкнутой:
г(Каб)о= £пго~г г(об)0. (VII,60)
Вагнер (Wagner) и Эванс (Evans) [Л.1, стр. 198—208] при-
водят для трехжильных кабелей таблицу сопротивлений ну-
левой последовательности
2(каб)0= Z(Kaff)0 (VII,61)
определенных для второго случая (cm.(VII,60)].
1 Равенство Z(o6W~ Г(об)0 объясняется охватом оболочкой фазных
проводов и будет выведено ниже.
188Сопротивления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Иногда ориентировочно определяют сопротивление нуле-
вой последовательности кабелей как среднее арифметиче-
ское из сопротивлений, полученных для первого и второго
случаев [Л. 5, гл. VIII. § 6]:
2(КОб)о = . (VII,62)
Пример 21. Определить сопротивление нулевой последователь-
ности трехжильного кабеля (фиг.. 84).
Данные кабеля': погонное активное сопротивление фазного провода
(жилы) гп—гп0 = 0,09й/km, радиус фазного провода (жилы) рп =0,98 ст,
внутренний радиус свинцовой обо-
лочки р(обДп= 3,81 ст, внешний
радиус оболочки р(Об)ел=4,13 рт,
погонное активное сопротивление
оболочки г0о = 0,315й/km.
Рассматриваем две системы
проводов: систему / или П—фаз-
ных проводов (жил), в количестве
р = & (№ 1-е-З), и систему 11 ’или
об — оболочку с числом проводов
w - 1 (№ 4).
Приведенный радиус фазного
провода из (VI,12)
Рпт = 0,779-0,98 = 0,76 ст.
Из (VH.ll) средний геометри-
ческий радиус для системы П—
фазных проводов.
GMRn = f 0^76-3,072 =1,93 cm.
Среднее расстояние между системами фазных проводов и оболочкой
приблизительно равно среднему радиусу оболочки, который в свою оче-
редь приблизительно равен приведенному радиусу оболочки:
r> < \ ~ P(o6)cz+ P(o6)in
— об — Роб Р\об)т g — а>У/ С1П.
Принимаем
Р = ю3 т.
Из (VII,24a)
Ю®
Zn_ (о<5)0 = = Гуцо “гАдго = °>15 +/0,435-lg =
= 0,15 +/1,914 = (1,97 |^,7°) й/кт.
Из (VII,37a) и (VII,376)
Znl0 = 0,09 +/0,435-lg = 0,09 +/0,136 =
= (0,163 |57,5С)й/кт
1 Трехфазные кабели с круглыми жилами в настоящее время не изго-
товляются. На приведенный пример следует смотреть только как- на
ориентировочную иллюстрацию возможных пределов соотношений между
сопротивлениями нулевой и прямой последовательности.
§31] Сопротивление нулевой последовательности кабелей 189
и
3-ГО/; _ ж £\п-об)
Z(o6)zo = ! +/0,435-Ig QMXоб —
= Sro6 = г („б)0 = 0,945 B/km,
так как
GMRO6~f> (Об)т = 3,97 ст.
Полученный результат [/т(2(об)го) = 0] объясняется тем,
что оболочка охватывает систему фазных проводов, вслед-
ствие чего при протекании по
ней тока создается магнитный
поток, полностью сцепляю-
щийся с системой фазных про-
водов (фиг. 85). Рассеяние обо- /'
лочки по отношению к фазным /
проводам отсутствует, и из у
выражения для z^io выпадает [
второй член, представляющий '
собой сопротивление рассея-
ния. \
Полное сопротивление нулевой
последовательности оболочки
2(об)0 = г(об)о + гмо = 1.095 +
+ /1,914= (2,20 ] 60,8°) B/km. фиг. 85.
Из (VII,59а)
2(каб)0 = г(каб)0 + 1х(каб)0 = г(кабу) | ~
0,945-1,97 | 82,7°
= 0,09 +/ 0,136 + —" 9.9о I 60.8°” “
= 0,875+/ 0,452 = (0,99 | 27,4° S/km.
Для сравнения определим сопротивление прямой (или обратной)
последовательности кабеля.
Из (VII,4а)
2(каб)1 — г(кабу1 +7 х(кав)1 =г(каб)1 |_£1_— =
= 0,09+/ 0,145-Ig 3’07-= 0,09 +/ 0,088 = (0,126 | 44,5° S/km.
Сравнение дает:
г(таб)о __ д 7
Г(каб)1
Х1каб)1 к .
Х^каб)!
ЮССопротив ления переменному току системы параллельных проводов [гл 7
Z(^6)Q = 7 g
Z(«a6)l
Из (VI 1,60)
П П I ' " V I Л ~
г(каб)0 = fyra6)0 +• х(кабЮ г(кабХ) | ?0
= 0,09+/ 0,136 + 0,945 = 1,035+/ 0,135 = (1,04 | 7,7° й/km.
Сравнение дает:
—---------=П.5,
'(каб)1
х(каб)0 , г
—---------= 1.5
л(каб)1
»
г(каб}0 _ 8 з
г(каб)1
Из (VII,62)
z(«a6)0 = Г(габ)0 + х(каб£ ~ г(ка<Т)0 ]_^2— ~
- »* + '" o.<524-0.136 _0 955+/0|294 =
Л 4
= (1,00 118,0°), й/km
и соответственно
~ ю б
Г(Каб)\
= 3j3t
х(каб)\
г(каб)0 = 7 g
г(таб)1
Пример 22. Определить сопротивление нулевой последовательности
трехфазной це/ш из трех однофазных кабелей (фиг. 86).
Данные кабелей гп = 0,072 й/km; рп = 1,465 ст; го(5=0,312 Й/кт;
₽(об) ~ Р(об)т
P(ofl) ех + Р(об)/я „
--------2--------------=9.о ст.
Принимаем Ds = 103 т.
Рассматриваем две системы проводов: систему I или П — фазных
проводов (жил), в количестве р = 3 (№ 14-3), и систему 11 или oil—обо»
лочек, с числом проводов w = 3 (№ 4 + 6).
Из (VI,12) приведенный радиус фазного провода
рпга = 0,779-1,465 = 1,14 ст.
§ 31] Сопротизлеийе му левой поЬлеДойаТеЛЬности кабелей 191
Из (VII,2) среднее геометрическое расстояние между ' фазными про-
- водами, равное среднему геометрическому расстоянию между оболочками,
3-2
Впт = В(о6) т = j/ 2U-4U-20 = 25,2 cm.
Из (VII, 11) средний геометрический радиус фазных проводов
ОЛ1/?П = ]7 1,14-25,2-s =9 cm.
Фиг. 86.
Из (VII,25) и (VII,И) среднее геометрическое расстояние между
проводами системы П и системы об
' D(n-off) — |/^14 ^34 ^15 Дб ^35 Вщ =
= GMR°* = 1^2^= 12.8 cm.
Из (VII,37a)
12,8
гпЮ = 0,072 +/0,435- 1g —g~ =0,072 +/ 0,067 =
= (0,0981 43,0°) E/km.
Из- (VII,24a)
105
z(n-o6)0 = 2лю=0’ 15 +/0,435- lg"i2X = 0,15 +/1,69 =
= (1,70 | 84,9“) B/km.
Из (VII,376)
8 Го6 , „ , -Цп-об)
z«rfoo — 3 +/ 0.435-1g GMRo6 —ro6 —
=0.312 B/km.
И в данном случае каждая из оболочек охватывает со-
ответствующий фазный провод (жилу). Магнитный поток,
создаваемый токами нулевой последовательности, проходя-
щими по системе оболочек, не может не сцепляться с фаз-
ными проводами, и, таким образом, вовсе отсутствует рас-
сеяние системы оболочек по отношению к системе фазных
проводов (фиг. 87).
192Сопрбтив Ленин переменному току системы параллельных НроВоДоВ ftJi ?
Поэ ому
Z(o6)o = r(0/J)o + ’^0=0,462» 1,69 = (1.7ё|2Н1)й/кш.
Из (VII,59а)
z (ксб)о = ^(ксЙО + /'Л (ксб)о — z (лсб)О | ==
0,312.1,70 |84,9°
= 0,072 + /0,067-j- 1 75+747° =
= 0,370+ /0,121 = (0,39| 18,1° ) й/кт.
Фиг. 87.
Из (VII,60)
z,,(*o6)0 — г"(каб)о + 1 х"(каб'К> = г"(лаб)ч | =
= 0,072 +/0,067 + 0,312 =
= 0,384 + / 0,067 =(0,39| 9,9° ) й/кт.
Сопротивление прямой последовательности рассматриваемой трех-
фазной цепи с учетом оболочек:
г(каб)1 = 0,15 + / 0,16 = (° - 22| ) Й/кт.
Сравнение дает:
1',(кп/)'ю 2 g. х (хдб)0 ____Q g, z (i:afi)0 _ j g
Г(каб)1 •Х(каб')! z(ko6)1
И ’
(каб}0 „ q. ^'(каб'П q z"(i.gf)}n ____________ j g
Пкаб)1 ' ’ -y(kc6)i ’ z(ac6)1
Из (VI 1,62)
z(/cc6)0 = П/,об)о4'7 ^(кябЪ — г(каб)о =
0/ 70+0.384 , . 0,121+0.067
= ——a--------------+J — 9--------------=
= 0,377+/ 0,094 = (0,388 f 14,0° ) й/кт,
м соответственно
Г(каб)0 2 5" X *ка&м _________q g. __z(kc6^0 j g
§31] Сопротивление (Нулевой последовательности кабелей
Сопротивление нулевой последовательности кабельной
линии, составленной из нескольких параллельных вклю-
ченных цепей. Сопротивление нулевой последовательности
кабельной линии, составленной из а параллельно включен-
ных трехфазных цепей, может быть приближенно опреде-
лено аналогично сопротивлению нулевой последовательности
рассмотренных уже нами трехфазного кабеля и трехфазной
линии из трех однофазных кабелей.
Если линия составлена из а трехжильных кабелей, то
рассмотрению подлежат две системы: система П—фазных
проводов, в количестве р — 3<z, и система об — оболочек,
с числом проводов w = а.
Если линия . составлена из одножильных кабелей, то
рассмотрению подлежат следующие две системы: система
П—фазных проводов, с числом проводов р=3а, и система
об—оболочек—с числом проводов м—За.
ЛИТЕРАТУРА К ГЛАВЕ СЕДЬМОЙ
I. Вагвер и Эванс, Метод симметричных составляющих, ОНТИ,
1936 г. (Перевод с английского), гл, VII, VIII и X.
2. Марголин, Сопротивления воздушных линий передачи, ОНТИ,
1937 г.
3. Руководящие указания по производству вычислений токов и на-
пряжений при коротких замыканиях в трехфазных электрических систе-
мах (проект, I-я редакция). Научный руководитель доц. С. А. Ульянов,
МЭИ, 1938 г., § II.
4 Riidenberg, Electrische Schaltvorgange, 1933, § 28.
5. Щедрин. Токи короткого замыкания высоковольтных систем,
ОНТИ, 1933 г„ гл. VIII, § 4 и 6.
13 Марголин
ОСНОВНЫЕ ИНДЕКСЫ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
g — индекс земли.
/ — индекс рассеяния (в гл. VI—VII)
L — индекс собственного сопротивления. _
М — индекс взаимного сопротивления.
res — индекс результирующей величины.
ед — индекс эквивалентной величины.
з — индекс заземлителя.
лт — индекс линии передачи с тросами,
оп — индекс опоры.
п — индекс фазного провода (в гл. VI—VII).
т — индекс троса.
об—индекс свинцовой оболочки кабеля. .
1, 2, 0—(нижние) индексы прямой, обратной и нулевой
последовательности (в гл. V—VII).
(1),(2)—(нижние) индексы одно- и двухцепных линий
передачи.
2— индекс суммы токов всех проводов системы.
t — индекс углубления (в гл. IV).
I — длина.
h— высота подвеса провода под землей (в гл. V—VI).
L — погонная индуктивность (коэффициент самоиндук-
ции на единицу длины).
М — погонная взаимная индуктивность (коэффициент
взаимной индуктивности на единицу длины).
г, х, z — погонные активное, реактивное и полное сопро-
тивление линии, отнесенное к одной фазе
(в гл.У—VII).
х'—погонное реактивное сопротивление друхпровод-
ной линии.
xL, zL— погонные реактивное и полное сопротивления
линии провод-земля.
Хм, zM — погонные реактивное и полное сопротивления
взаимоиндукции между двумя линиями провод-
земля.
R, X, Z активное, реактивное и полное сопротивления,
цепи.
Ф — магнитный поток.
Е — напряженность электрического поля; э. д. с.
Es — составляющая напряженности электрического по-
ля по касательной к линии s.
U3 — напряжение заземлителя.
Основные индексы и обозначения
195
Un — напряжёние прикосновения.
U ш— напряжение шага.
а„ — коэффициент напряжения прикосновения.
а.ш — коэффициент напряжения шага.
13 — ток, стекающий с заземлителя.
4 — ток фиктивного эквивалентного заземлителя, со-
ставленного из действительного расположенного
у поверхности земли заземлителя и его зеркаль-
ного изображения: — 24.
/g — ток, протекающий в земле.
j; J— плотность тока.
/=]/—1—мнимая единица (отличается от предыдущего по
смыслу).
Y ~ удельная электрическая проводимость.
I) — коэффициент использования.
5 — длина шага.
р — радиус.
?т ~ Радиус провода, приведенного к поверхностному
распределению тока.
— расстояние от центра шарового заземлителя, экви-
валентного действительному заземлителю.
D — расстояние между проводами.
Dm — среднее геометрическое расстояние между прово-
дами.
GMR — средний геометрический радиус.
П— периметр.
t — глубина заложения заземлителей.
х, у, z — координаты точки в прямолинейной ортогональной
системе (в гл. I—IV).
g, h, k — координаты точки в криволинейной ортогональной
системе (в гл. I—IV).
а — число цепей линии передачи (в гл. VII).
р = За — число фазных проводов трехфазной системы
(в гл. VI-VII).
w— число тросов (вторая система проводов).
« — текущий номер пролета, опоры (в гл. V); число
единичных заземлителей (в гл. III).
х —число пролетов линии (в гл V).
|| — знак эквивалентной замены параллельных сопро-
тивлений.
I, II, III — нумерация цепей линий,
Л, В, С — постоянные интегрирования.
САЙТ
"Ленинградский геофизик'
Библиотека сайта
WWW. GFF-LGL SPB.RU