Я. А. ФУРМАН,
A. Н. ЮРЬЕВ,
B. В. ЯНШИН
Цифровые
методы
обработки
и распознавания
бинарных
изображений
ИЗДАТЕЛЬСТВО
КРАСНОЯРСКОГО
УНИВЕРСИТЕТА
1992

УДК 621.856.8
Фурман Я. А., [Юрьев А. Н. , Яншин В. В. Цифровые методы обра-
обработки и распознавания бинарных изображений.— Красноярск: Изд-во
Краснояр. ун-та, 1992г-248 с.
Рассмотрены модели и методы обработки и распознавания изображений
в бинарных по яркости сценах. Основное внимание уделено подходам, приво-
приводящим к алгоритмам, реализующимся на^ современных вычислительных
устройствах. Для синтеза алгоритмов применен аппарат дискретных цепей
Маркова. На его основе с использованием одномерной модели строк (стол-
(столбцов) бинарного изображения описаны новые подходы к фильтрации би-
бинарной сцены, обеспечивающие небольшие временные затраты. Обобщен ме-
метод цепного кодирования контуров изображения по Фримеиу на комплексную
плоскость.
Книга предназначена для научно-технических работников, занимаю-
занимающихся разработкой алгоритмов, проектированием устройств обработки изобра-
изображений и распознавания образов, а также аспирантов и студентов старших
курсов соответствующих специальностей.
Научный редактор
канд. техн. наук, доц. А. Н. Громыко
РЕЦЕНЗЕНТЫ:
д-р техн. наук, проф. В. К. Баклицкий;
д-р техн. наук, проф. П. С. Лешаков
ф 1502000000 ©Я. А. Фурман,
М 178 @3)-91 28-91 I A. H. Юрьев
ISBN 5-7470-0204-Х В. В. Яншин, 1992

Среди специалистов, занимающихся
вопросами статистической радиотехники,
проблемами оптимальной обработки ин-
информации и управления дистанционно
пилотируемыми летательными аппарати-
ми, известно имя доктора технических
наук, профессора Юрьева Артура Нико-
Николаевича.
Круг его научных интересов прости-
простирался достаточно широко: от прикладных
вопросов радиотехники до проблем тео-
теоретической физики, однако основное вни-
внимание уделялось задачам пространст-
пространственно-временной обработки сигналов. В
этом направлении им были подготовлены
кандидатская и докторская диссертации,
сформирована научная школа, насчиты-
насчитывающая не один десяток молодых ученых.
Его отличали высокие человеческие
качества: доброта, отзывчивость, ин-
интеллигентность, которые способствовали
созданию в коллективе атмосферы увле-
увлеченности, творческого научного поиска,
взыскательности и строгости в проведе-
проведении исследований.
Светлой памяти Юрьева Артура Нико-
Николаевича посвящается данная книга.

ВВЕДЕНИЕ
На современном этапе развития информационных систем
возникло очень важное научно-техническое направление, свя-
связанное с автоматической обработкой изображений и распозна-
распознаванием зрительных образов. Задачи данного направления не-
необходимо решать в условиях ограниченного ресурса времени.
Условием успешного развития систем обработки изображений
являются быстро улучшающиеся характеристики вычислитель-
вычислительной техники и ее элементной базы, в первую очередь больших
интегральных схем запоминающих устройств, микропроцессо-
микропроцессоров и однокристальных ЭВМ.
Существующие датчики дают возможность получать изоб-
изображения в разных средах и различных диапазонах волн.
Среди них необходимо, в первую очередь, отметить оптиче-
оптические, радио- и гидролокационные датчики ИК-диапазона.
По сравнению с оптическими остальные датчики формируют,
в основном, изображения с худшими характеристиками:
меньшей степенью детальности, большими уровнем помех
и временем образования изображения и др. Однако они мо-
могут иметь и серьезные преимущества, например, большую
дальность действия, проникновение через облачность, лед, вод-
водную среду. Кроме того, количество поступающей информации
в единицу времени от любого из датчиков чаще всего зна-
значительно превышает возможности существующих систем
обработки на базе цифровой вычислительной техники. По-
Подобное положение, очевидно, сохранится в ближайшие 10—20
лет.
В большинстве случаев практически значимые результаты
могут быть получены по бинарным изображениям, формиру-
формируемым по исходным многоградационным. При этом значи-
значительно упрощается процесс принятия решения, сокращается
объем обрабатываемой информации и при современном уровне
развития вычислительных средств достигается возможность
работы в реальном масштабе времени.

В данной книге рассматривается специфика обработки
бинарных изображений, анализируются и обобщаются извест-
известные подходы к обработке бинарных изображений, причем ос-
основное внимание уделяется тем методам и алгоритмам, кото-
которые реализуются на современных вычислителях.
Главы 1, 4 и 5 подготовлены Я. А. Фурманом, глава 2 и
приложения Ш—П4 — А. Н. Юрьевым, глава 3 и приложение
П5 — В. В. Яншиным, разделы 1.3 и 5.8 — совместно В. В.
Яншиным и Я. А. Фурманом.
СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ
АКФ
ВК
ВКУ
ВП
ипх
КСФ
нсп
ОЗУИ
— автокорреляционная функция
— вектор-контур
— видеоконтрольное устройство
— видеопроцессор
—импульсная переходная характеристика
— контурный согласованный фильтр
—нормированное скалярное произведение
— оперативное запоминающее устройство
изображения
ОЗУК — оперативное запоминающее устройство
контуров
— постоянное запоминающее устройство
— полиномиальный классификатор
— согласованно-избирательная фильт-
фильтрация
— фурье-описание
— цифровое рецепторное поле
— элементарный вектор
— элементарное направление
ПЗУ
ПК
СИФ
ФО
ЦРП
ЭВ
ЭН

1
ОБЩИЕ ПОДХОДЫ
К ОБРАБОТКЕ И РАСПОЗНАВАНИЮ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ы
БИНАРНЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ
Стремление максимально упростить и ускорить решение
той или иной задачи, связанной с обработкой реальных много-
градационных (тернарных, полутоновых) по яркости изобра-
изображений, приводит к получению бинарных (двухградационных)
изображений. Подобные подходы характерны для систем тех-
технического зрения роботов [19, 44, 59, 97]. При этом каждая
бинарная сцена имеет только одно из двух значений яркости,
условно обозначаемых через 0 и 1.
Формирование бинарных изображений — разновидность
сегментации исходной сцены по яркости — может быть осу-
осуществлено путем ограничения по яркости на уровне глобаль-
глобального (постоянного для всей сцены) порога, рассчитанного по
одной из методик, изложенной в обзоре [4].
На рис. 1.1 приведено изображение микросхемы с
экрана видеоконтрольного устройства системы обработки,
имеющее 63 градации яркости и расположенное в поле из
256X256 элементов (пикселей). На рис. 1.2 показаны бинар-
бинарные изображения, полученные из этого изображения путем
ограничения по яркости на уровнях 8, 16, 24 и 48 градаций.
Как видно из приведенных фотографий, работа с низким
(рис. 1.2, а) и высоким (рис. 1.2, г) пороговыми уровнями
приводит к значительным искажениям формы исходного изо-
изображения: в первом случае — за счет включения в область
бинарного изображения части фона; во втором — за счет
отнесения к фону значительной части исходного изображения.
В то же время работа с пороговыми уровнями 16-й и 24-й
градации (рис. 1.2, б, в) дает возможность сформировать
бинарное изображение, форма которого достаточно хорошо
повторяет форму исходного изображения.
Кроме глобальных порогов для формирования бинарных
изображений отдельных объектов применяются локальные

Рис. 1.1. Многоградационное изображение микросхемы
(число уровней яркости 63, размер сетчатки 256X256
элементов)

Рис. 1.2. Бинарные (силуэтные) изображения микросхем, полученные
при разных значениях уровня порогового ограничения по яркости
пороги по яркости (например, для сцен с нестационарным
фоном).
Приведем краткую классификацию изображений в би-
бинарных сценах (рис. 1.3). Точечные изображения представ-
представляют совокупность имеющих одинаковую яркость изолирован-
изолированных точек или пятен, площадь каждой из которых не пре-
превосходит заранее оговоренной величины (рис. 1.4).
Силуэтные изображения (рис. 1.2) состоят из большого
количества примыкающих друг к другу точечных изображе-
изображений. Сплошные силуэтные изображения (рис. 1.2, б, в) имеют
конфигурацию, подобную исходному многоградационному
изображению на уровне сечения по яркости, при этом одному
многоградационному изображению соответствует одно сплош-
сплошное изображение. Разрывные силуэтные изображения (рис.
1.2, г) содержат несколько отдельных, не связанных между
собой сплошных силуэтных изображений. Обычно такие

Бинарные изображения
Рис. 1.3. Классификации бинарных изображений
Рис. 1.4. Сцена с точечным изображением
маркера компостировки автобусного билета
изображения формируются либо при неудачном выборе
порога по яркости, либо при сильном зашумлении исходного
изображения.
Графические изображения представляют собой совокуп-
совокупности линий одинаковой яркости. Это могут быть траектории
объектов, чертежи, карты, линии перепадов яркости на изобра-
изображении многоградационного объекта (рис. 1.5) и др.
Важным частным случаем графического изображения
является контурное изображение, содержащее изображение
границы силуэтного изображения в виде замкнутой несамо-
пересекающейся линии с точками одинаковой яркости (рис.
1.6). Если силуэтное изображение является многосвязным,

Рис. 1.5. Бинарное графическое изобраи«ение,
полученное из перепадов яркости много-
многоградационного изображения, показанного
на рис. 1.1
Рис. 1.6. Бинарное контурное изображение,
соответствующее изображениям на рис. 1.1 и 1.5
10

то соответствующее ему контурное изображение кроме замк-
замкнутой линии внешней границы будет содержать изображе-
изображения линий границ внутренних полостей. Необходимо также
отметить, что по контурному изображению просто восстанав-
восстанавливается соответствующее ему силуэтное изображение и
наоборот.
Ряд датчиков технических устройств, например радио-
радиолокационные датчики в режиме обзора земной поверхности,
формируют радиолокационную карту местности. Если не при-
приняты особые меры, то на индикаторе будут различимы всего
несколько градаций яркости. Это приводит к тому, что прак-
практически вся основная для оператора информация сосредото-
сосредоточена в форме контуров изображений отраженных объек-
объектов [8[.
Другим примером технических систем, в которых форми-
формируются бинарные сцены, являются радиолокационные станции,
входящие в состав систем управления воздушным движе-
движением. На экране индикатора формируются изображения траек-
траекторий летательных аппаратов в зоне обзора станции и появ-
появляется возможность их автоматического обнаружения, сопро-
сопровождения и предотвращения столкновений и других аварий.
Автоматическое чтение текстов, карт, машиностроитель-
машиностроительных и других видов чертежей, принципиальных схем радио-
радиотехнических устройств тякже является сферой, где приходится
сталкиваться с формированием и обработкой бинарных сцен
и распознаванием бинарных изображений.
В то же время необходимо отметить подход, позволя-
позволяющий установить связь между способами обработки много-
многоградационных и бинарных по яркости изображений: произ-
производится последовательное сечение по яркости исходного
многоградационного изображения и ввод в систему обра-
обработки ряда бинарных изображений, соответствующих этим
сечениям. Дальнейшая обработка касается только этих би-
бинарных изображений [44].
1.2
ЗАДАЧИ ОБРАБОТКИ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Применительно к бинарным изображениям можно пере-
перечислить возникающие при их обработке задачи: формиро-
формирование бинарных изображений из многоградационных, кодиро-
н

вание, фильтрация, обнаружение и распознавание. Рассмот-
Рассмотрим их характерные особенности.
1.2.1
ФОРМИРОВАНИЕ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Получение бинарных изображений из исходных полу-
полутоновых достигается при проведении процедуры сегментации
исходной многоградационной сцены, которая позволяет пред-
представить данную сцену в виде совокупности областей, «удов-
«удовлетворяющих некоторому критерию однородности» [4]. Су-
Существуют два основных подхода к решению этой задачи,
каждый из которых объединяет большое количество методов.
Первый подход связан с проведением сегментации путем
пороговой обработки неоднородных по яркости изображений,
а второй — с выделением границ областей. Методы, реали-
реализующие эти подходы, описаны в [4, 5, 19]. Если после сег-
сегментации всем точкам сегментированного изображения при-
присваивается один уровень яркости, а всем остальным — дру-
другой, то в результате получаем бинарную сцену, в которой
изображения объектов имеют яркость, равную 1, а фон —
яркость 0. При этом, естественно, в результате неизбежного
действия шумов и помех некоторые точки фона будут иметь
яркость, равную единице, а точки изображения—нулевую.
Основным источником информации при выборе порога
по яркости является гистограмма яркостей точек сцены.
В связи с тем, что распределения яркостей фона и изображе-
изображения имеют разные значения математических ожиданий, то
суммарная гистограмма яркостей сцены будет иметь провал,
соответствующий яркости границы между фоном и изобра-
изображением (рис. 1.7—1.9). В результате гистограмма будет
двухмодальной, и в соответствии с тем или иным критерием
качества можно выбрать значение порогового уровня и до-
достаточно надежно отделить изображения от фона. В реаль-
реальных сценах изображения каждого объекта могут иметь свои
распределения яркостей, а распределение фона характе-
характеризуется большим разбросом значений яркостей. В этих услов-
виях двухмодальность гистограммы яркостей сцены практи-
практически не наблюдается, и задача сегментации значительно
усложняется. В [5] приведен ряд методов, обеспечивающих
12

гисто-
гистограмма
яркостный срез изображения
координаты точек изображения
(х.У)
Рис. 1.7. Одномерный срез перепада яркости и гистограмма
яркостей [4]
S,
Рис. 1.8. Расположение и
форма окон обнаружителя
границ в сцене
обоснованное принятие решения о принадлежности точки
сцены к фону или изображению объектов.
Ситуация с принятием решения еще больше усложняется
при нестационарном по яркости фоне. В данном случае необ-
необходимо переходить к локально-оптимальным процедурам, ког-
когда порог по яркости выбирается не для всей сцены, а для
каждого изображения в отдельности. При этом предполагает-
предполагается, что в пределах отдельного изображения нестационарность
фона незначительна.
Сегментация изображений методом выделения границ
областей состоит в выделении граничных точек изображения.
13

a)
б)
в)
Рис. 1.9. Взаимное расположение
границы изображения и окон
обнаружителя
Обычно для этих целей используются дифференциальные опе-
операторы в виде масок Превитта, Собела, Кирша и др. Учиты-
Учитывая большую чувствительность таких операторов к шуму,
перед сегментацией обычно производится предварительная
обработка сцены, направленная на ее улучшение.
После выделения граничных точек изображения переходят
к формированию непрерывных границ областей (контуров)
путем утоньшения полученных областей граничных точек и к
удалению разрывов границ [5].
14

1.2.2
КОДИРОВАНИЕ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Задача кодирования возникает в связи с представлением
бинарных изображений в ЭВМ для их последующей обра-
обработки. По сравнению с кодированием многоградационных
изображений в данном случае задача значительно легче из-за
простоты бинарных изображений. Достаточно полно методы
кодирования этих изображений рассмотрены в [17].
Силуэтные изображения кодируются длинами серий. При
этом вдоль каждой строки растра изображения просчиты-
просчитывается количество tt точек одинаковой яркости. Последова-
Последовательность чисел tt нулевых и единичных серий представляет
собой код, задающий в ЭВМ бинарную сцену в виде после-
последовательности чисел. Обобщением этого метода на двухмер-
двухмерный случай является блочное кодирование.
Для графических изображений применяется векторное
кодирование. При этом каждая линия на изображении имеет
кусочно-ломаную аппроксимацию. Отрезки ломаной называют-
называются векторами и подлежат кодированию. Вектор задается гра-
граничными точками и шириной линии. Вопросы кодирования
контурных изображений подробно рассмотрены в п. 4.2.
1.2.3
ФИ/ЪТРАЦИЯ
БИРЧРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Данный вид обработки бинарных изображений, в основ-
основном, применяется для улучшения изображений и формирова-
формирования достаточных статистик для принятия решения об обна-
обнаружении изображения объекта в бинарной сцене или об от-
отнесении его к одному из классов. Вследствие того, что бинар-
бинарные изображения являются частным случаем многоградацион
ных, к ним применимы все способы пространственной фильт-
фильтрации, достаточно подробно описанные в [5, 45]. Однако
простота сцен дает возможность рассмотреть новые виды
фильтров. (Вопросам фильтрации силуэтных изображений
посвящена глава 3 данной книги, контурных изображений—
глава 5.).

1.3
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
ДИСКРЕТНЫХ ЦЕПЕЙ МАРКОВА
Дискретные цепи Маркова — удобная и эффективная
математическая модель бинарных изображений. Это объясня-
объясняется тем, что уровни яркости бинарного изображения имеют
всего лишь два значения, изображение дискретизировано при
занесении его в запоминающее устройство изображений в
ЭВМ, а механизм формирования изображений обычно обес^
печивает определенную степень статистической зависимости
между соседними отсчетами. Марковские модели достаточно
часто применяются при обработке изображений, в том числе
и бинарных (например, в [44]).
В последующих разделах аппарат дискретных цепей
Маркова будет широко применен для решения задач фильтра-
фильтрации, выделения, обнаружения и распознавания бинарных
изображений. В связи с этим ниже даются необходимые све-
сведения по этому аппарату.
Конечной дискретной цепью Маркова называют случай-
случайный процесс, протекающий в дискретном времени и имеющий
конечное число состояний а*(&=1, /) (фазовых). Вероятность
попадания для него в момент времени л+1(я==0, 1, 2, ...)
в какое-либо состояние зависит только от того, в каком состоя-
состоянии находится процесс в момент времени п, и не зависит
от нахождения процесса в более ранние моменты* времени
[28].
Основной характеристикой цепи Маркова является
условная вероятность перехода вида Pij=p{a"+l/a"\> означаю-
означающая вероятность попадания процесса в состояние а, в момент
времени л-f-l, при условий, что в момент времени п процесс
находился в состоянии щ. При независимости указанных
условных вероятностей от времени имеем однородные цепи
Маркова. Вероятности /эч(/, /=1, /) образуют квадратную
матрицу вероятностей переходов р размерности /X/.
Вероятность перехода за п шагов вычисляется через
и-ю степень матрицы Р, т. е.
ЯЯЯ A.3.1)
где
я[0]Н^[0]}1,*, л[п]={л{ «]
16

соответственно, вероятностные векторы состояний марков-
марковской цепи на нулевом и л-м шагах.
Состояние аД/^1) называется поглощающим, если
рц= 1 •
В [28] доказана теорема о том, что в любой дискретной
цепи Маркова, независимо от того, где начался процесс,
вероятность после п шагов (и>1) может оказаться в каком-
либо из поглощающих состояний равной единице.
При имеющейся матрице вероятностей переходов Р
указанную матрицу удобно представить в следующем блоч-
блочном виде:
п
Q
О
A.3.2)
где / — единичная матрица, размерность которой определяет-
определяется числом поглощающих состояний. Для поглощающих це-
цепей Маркова важнейшей характеристикой является фунда-
фундаментальная матрица N:
N=(I-Q)-\ (I.3.3)
где Q — квадратная подматрица матрицы Р, получающаяся
вычеркиванием строк и столбцов, соответствующих поглоща-
поглощающим состояниям.
Элемент фундаментальной матрицы равен математиче-
математическому ожиданию числа шагов, проведенных процессом в
состоянии щ, если начальным будет состояние а,. Построчным
суммированием элементов фундаментальной матрицы опре-
определяется математическое ожидание числа шагов до попадания
в одно из поглощающих состояний. Таким образом, вектор
EV определяет вектор математических ожиданий числа шагов
до попадания процесса в одно из поглощающих состояний.
Вектор DV дисперсий числа шагов до попадания в одно из
поглощающих состояний вычисляется по векторнотматричному
Уравнению
W={2N-IjFV-W{2\ A.3.4)
где EV B) — вектор, каждая координата которого, получается
возведением в квадрат соответствующей координаты вектора
W.

При наличии нескольких, поглощающих состояний воз
никает вопрос: какова вероятность того, что процесс попадае
в конкретное поглощающее состояние? Ответ на него позво-
позволяет дать фундаментальная матрица, с помощью которой вы
числяется матрица В [см. формулу A.3.2)]:
B=NR. A.3.5]
При наличии двух поглощающих состояний имеются уже
не только безусловные значения EV и DV, но и условные
Пусть E]fci) — вектор математического ожидания времен!-
до принятия решения «нет» («да»): DVuft)— вектор диспер
сии математического ожидания времени до принятия решения
«нет» («да»).
Для вычисления EV, и DVj(j=Q, 1) необходима фунда
ментальная матрица JV,(/=O, 1):
#,=(/-Q,), A.3.6
где Qj=D~iQDj [Q — вычисляется по формуле A.3.3)]
Матрица Dj является диагональной с элементами ||6ц||=?
[см. формулу A.3.5)].
Обращенные цепи Маркова позволяют производить прог
нозирование процесса в прошлом времени, если известие
состояние процесса в настоящем.
Матрицу вероятностей переходов обращенной цепи
Маркова Р вычисляют по формуле
A.3.7
где (F*Y — транспонированная матрица эргодической цеп*
Маркова, получающаяся из исходной поглощающей цепи*
D — диагональная матрица с элементами, равными я/(/=1, /)
где я,- — /-я координата вектора предельных вероятностен
я, вычисляемого по формуле ~&=~&Р, дополненной условиен
НОрМИрОВКИ 2 Я,= 1.
Перейдем к рассмотрению методов определения векторо,.
вероятностей состояния й|п] дискретной цепи Маркова.
Исходным выражением для нахождения Щп], п=\, 2,..
является формула A.3.1), я которой основными действиям!
служат умножение вектора на матрицу и возведение матри
цы в целую степень. Данный подход, с вычислительной точк~
18

зрения, прост, но громоздок, так как не обладает свойствами
развязки по состояниям и времени.
Под развязкой по состояниям будем понимать возмож-
возможность вычисления произвольной компоненты п{п], *=1, 2, ...
для произвольного шага п, не вычисляя этой и других компо-
компонент вектора на прошлых шагах; под развязкой по времени—
возможность вычисления вектора вероятностей Я[га] для
произвольного шага п, не вычисляя этого вектора на прош~«
лых п—1 шагах. Методы вычисления вектора Щ_п], обладаю-
обладающие свойствами развязки по состояниям и времени, назовем
независимыми.
Независимые методы базируются на методах производя-
производящих функций, z — преобразованиях и расчетах по формуле
Перрона [51]. Общий механизм вычисления вектора вероят-
вероятностей состояний цепи поясним на примере цепей с регуляр-
регулярной матрицей вероятностей переходов Р [76]. Степень мат-
матрицы Р может быть представлена в виде
Рп = 2 К"Т„ A.3.8)
где Xv, v=l, 2, ... k — характеристические числа матрицы
Р, причем %\ = \,
где Ф и W — матрицы, составленные соответственно из се-
семейств правых ф и левых ф собственных векторов матрицы Р.
Из-за чрезвычайно высокой трудоемкости определения
спектра, а также семейств правых и левых собственных век-
векторов матрицы общего вида применение независимых мето-
методов затруднено для цепей с большим числом состояний.
Метод вычисления компоненты вероятностного вектора
цепи с развязкой по состояниям получается на основе тож-
тождества Гамильтона-Кели. Как для вероятностного вектора,
так и для его отдельной компоненты существуют рекуррент-
рекуррентные соотношения вида [69, 76]:
Щ_п] = 2 'fa[n—i\, n^k, A.3.9)
п/[л]=2 ffii&n—(\, /=1, 2, .... k,
ГД? ft, 1, 2, ..., k — коэффициенты характеристического поли-
полинома матрицы Р, взятые с обратным знаком.
19

На основании рекуррентного соотношения получается
следующее матричное равенство:
П^-к+1=Р-к+1Пк-ио, A.3.10)
где F — матрица Р, приведенная к нормальному виду Фробе-
ниуса, Пч-\,у-к — матрица порядка п, строками которой
являются компоненты векторов it[v— I], 5t[v—2], ... 5t[v—k].
Основные преимущества представления марковской цепи
в виде A.3.10) основаны на том, что матрица F по сравнению
с матрицей Р имеет очень простую структуру. Использование
рекуррентных методов, обладающих свойством развязки по
состояниям, обеспечивает значительный выигрыш в объеме
вычислений для задач, в которых необходимо определение
одной или нескольких компонент вектора вероятностей состоя-
состояний марковской цепи с большим числом состояний. Примером
таких задач является задача срыва слежения конечного
автомата, возникающая, например, при прослеживании кон-
контура изображения.
1.4
ОСНОВНЫЕ ПОДХОДЫ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ СРЫВА
СЛЕЖЕНИЯ КОНЕЧНОГО АВТОМАТА
Срыв слежения конечного автомата со случайными пере-
переходами происходит при выходе точки, описывающей состояние
этого автомата, из некоторого подмножества состояний
АааА, А={Аа, Лр, Ау...\. В общей задаче срыва слежения
предполагается, что случайная траектория точки после выхода
из Аа может снова пройти через это подмножество. В частной
задаче событие возврата точки в Ла считается невозможным..
При анализе частной задачи рассматриваются вопросы пер-
первого выхода из Аа.
Частная задача [70, 76]. Вероятность Щп] характе-
характеризует возможность срыва за заданное число шагов, равное п.
Она равна сумме вероятностей попадания точки на л-м шаге
в подмножества поглощения Лр, Ау, ...
Щп]= 2 л{п]=1- 2 п{п]. A.4.1)
20

Вероятность w[k] задается так:
Чтобы W[ri\ было распределением вероятностей, необходимо
выполнение краевых условий
1Г[0]=0 и Urn W[n] = l.
Щ0]=0 и Urn Щп] = 1.
При этом 2 <u[i]=\.
На основании спектрального представления A.3.8) для
матрицы вероятностей поглощающей цепи Маркова, описы-
описывающей поведение конечного автомата со случайными пере-
переходами, получаем суммарный и разностный законы распреде-
распределения вероятностей моментов времени срыва слежения:
Щп] = \-J2 Xnvuv, A.4.2)
(o[n]= 2 -7-а,A-^)С A.4.3)
v=2 Av
где (ov — первая компонента вектора — jfv=jt[O]7\,.
Рекуррентное соотношение A.3.9) задает вероятность
срыва слежения за п шагов следующим образом:
Щп]= .2 fiW[n-i], n^k. A.4.4)
Для цепи с одним поглощающим состоянием получим
W[n] = l-W[n]= .2 fjW[n—i\, A.4.5)
где fi и f( — коэффициенты характеристического полинома
матрицы вероятностей переходов, взятые с обратным знаком.
Коэффициенты f't (с обратным знаком) получаются при исклю-
исключении корня Я,= 1 из исходного характеристического полинома.
Так как рекуррентное соотношение A.3.9) сохраняет
свой вид и для векторных разностей, то
(о[и]= 2 fi<i>[n-i], A.4.6)
i=1
и для цепи с одним поглощающим состоянием
к
ш[п]= .2 />[и-г]. A.4.7)
21

Среднее время / до срыва слежения определяют как линей-
линейную комбинацию вероятностей слежения на k—1 первых ша-
шагах, используя в качестве весов функции, связанные с коэффи-
коэффициентами характеристического полинома матрицы вероятно-
вероятностей переходов
где
_
7= .2 y-W[k-l-i], A.4.8)
1- 2 U
у,= g— A.4.9)
Если выполняется характерное для реальных задач условие
близости вероятностей слежения на k—1 соседних шагах
то Т&Щ0]ве, A.4.10)
*—1
где эе= 2 у,.
Общая задача [71, 76]. В данном случае полагается, что
срыв слежения происходит, если точка покидает подмножество
Аа на время, большее т. В общей задаче о срыве за пределами
подмножества Аа эргодические классы отсутствуют. В этом
случае все состояния марковской цепи будут сообщающимися,
а сама цепь — регулярной. Если при решении частной зада-
задачи необходимо было найти характеристики первого достиже-
достижения границы, то в общей задаче основное внимание уделя-
уделяется событию возвращения в заданное подмножество состоя-
состояний за время, не превышающее заранее определенного.
Решение общей задачи может быть получено на основе
методики и результатов решения частной задачи. Основной
подход к ее решению состоит в следующем. По условию в
марковской цепи с матрицей вероятностей переходов G,
описывающей поведение конечного автомата в режиме слеже-
слежения при случайных воздействиях, за т. шагов после выхода
из подмножества Аа допускаются любые переходы, а за
большее время возврат в подмножество Аа становится невоз-
невозможным. Тогда матрица вероятностей переходов Рт, описыва-
22

ющая процесс срыва слежения в общей задаче, получается
из матрицы G\ когда все состояния за пределами подмно-
подмножества Аа объявляются поглощающими. Дальнейший ход ре-
решения общей задачи совпадает с ходом решения частной
задачи и связан с анализом стохастической матрицы Рт.
Краевые условия в общей задаче имеют вид
№[0]=0; Urn W[nx] = \,
где U?[nx] — вероятность срыва за пт шагов.
Если fi(x) — коэффициенты характеристического полино-
полинома матрицы Рх, то суммарное распределение вероятностей
срыва запишется в виде
k
Щпх]= 2 f{x)w\(n—l)x\. (Л.4.11)
?= 1
Аналогично разностное распределение вероятностей будет
иметь вид
<д>[лт] = 2 fi(x)w[(n-i)x]. A.4.12)
ОБНАРУЖЕНИЕ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ,
ЗАДАННЫХ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
2.1
ВВЕДЕНИЕ
Обнаружение сигналов — первоначальный этап распоз-
распознавания, когда число классов равно двум. Разграничение
этапов обнаружения и распознавания становится еще более
относительным, когда решение об обнаружении принимается
по большому количеству признаков. При этом сразу же после
принятия решения о наличии объекта резко снижается неопре-
неопределенность его принадлежности к одному из классов. Платой
ча это является объединение всех остальных классов в общий
нулевой класс.
23

Поясним подобный подход на примере задачи классифи-
классификации подвижных объектов по характеру их траектории
[52]. По данным радиолокационного наблюдения, состоящих
из оценок дальности R до объекта и ее производной R, угла
места р и азимута а, формируются вектор элементов орбиты
и его ковариационная матрица, характеризующие траекторию
объекта. На этапе классификации по виду траектории нужно
принять решение, является ли объект искусственным спутни-
спутником Земли с достоверно определенной орбитой или с возмож-
возможным маневром, самолетом с достоверной траекторией, кос-
космическим объектом с гиперболической траекторией и т. п.
Если характеризовать объект вектором состояний [9], то
принять решение о классе объекта можно в процессе решения
задачи обнаружения. Общий подход к решению подобных
задач, связанный с обнаружением стохастических сигналов,
заданных в пространстве состояний, рассмотрен в данной гла-
главе. Вопросам обнаружения стохастических сигналов посвя-
посвящено большое число работ. Среди них необходимо отметить
[6, 39, 57, 82, ПО], где систематически исследованы задачи
обнаружения случайных сигналов.
Синтезированные на базе развитой в этих работах
теории системы обнаружения гауссовских стохастических
сигналов могут быть разделены на две основные группы:
системы, основанные на использовании достаточной статисти-
статистики в виде квадратичной формы, стоящей под знаком экспо-
экспоненты в выражении для отношения правдоподобия [39, 53, 6,
82, 110], и системы совместного обнаружения — измерения,
решающие задачу обнаружения путем введения в структуру
обнаружителя (например, методами калмановской фильтра-
фильтрации) параметров входного сигнала [111, 53, 82, 112]. Систе-
Системы, относящиеся к первой группе, как правило, требуют боль-
большого объема априорной статистической информации, весьма
сложны в реализации [53] и не адаптированы к использо-
использованию в. пространствах состояний. Системы второй группы
описываются в терминах пространства состояний и имеют
более компактную структуру, однако их применение для ре-
решения задач обнаружения проблематично, так как фильтра-
фильтрация параметров сигнала в канале, соответствующем ошибоч-
ошибочной альтернативе, может привести к дополнительным погреш-
погрешностям в формировании отношения правдоподобия, на основе
которого решается задача. Проблема использования систем,
относящихся ко второй группе, для решения задач много-
24

альтернативного обнаружения (распознавания) особенно
остра, так как из всех возможных альтернатив реализуется
лишь одна; фильтрация сигналов в каналах, соответствующих
другим альтернативам, происходит с ошибками, которые
вводятся в систему обнаружения.
В [79] был выполнен синтез системы обнаружения
стохастических сигналов в пространстве состояний. Синтези-
Синтезированные алгоритмы имеют рекуррентный характер. Они яв-
являются, по существу, аналогами фильтра Калмана [53] в
теории обнаружения. Вопросы использования и анализа
двух- и многоальтернативного обнаружения, основанных на
указанных алгоритмах, рассмотрены в главе 2.
2.2
СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ,
ЗАДАННЫХ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Будем считать, что п0 — мерный вектор наблюдения
z(i), представленный в дискретном времени i, i=l,n, может
формироваться в соответствии с двумя гипотезами: Яо (сигнал
отсутствует) и Н\ (сигнал присутствует):
H0:z(i)=n(i);
Huz(i)=H(i)x{i)+n(i), B.2.1)
где xi—m0 — мерный вектор сигнала; n(i)—п0 — мерный
вектор шума; Н — матрица размерности noXwJo, переводящая
вектор сигнала в пространстве наблюдаемых векторов.
Полагаем, что x(i) и (n(i) — нормально распределенные
независимые случайные векторы, средние значения которых
равны нулю.
Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса z(i)
имеют следующий вид:
H0:kn=[kn(i,
kn(i, i)=E[n{)
H{:kcn=[kcn(i, /)]; B-2.2)
kcn(i, j)=kc(i, j)+kn(i, j)=H(i)R(i, j)lf(j)+Nn№h
где /?(/, j)=E[x(i)xT(j)\; 6,-, — символ Кронекера; ?(•) — сим-
символ статистического усреднения.
25

Матрицы kn и kCn представляют собой блочные квадрат-
квадратные симметрические матрицы с числом блоков в каждой
пХп и числом элементов в блоках kn(i, j) и kcn(i, j) поХ^о-
Будем полагать, что для сигнала справедлива линейная
марковская модель, то есть сигнал является решением ли-
линейного разностного уравнения:
х(/)=Ф(/, i~l)x(i-l)+r(i-\)w(i-l), B.2.3)
где Ф(/, I—1) — матрица размера тоХто',
w(i—1)—/о —мерный вектор нормального дискретного
белого шума;
Г(г—1) —матрица размера тоХ/о;
E[w(i))=0; E[n(i)wT(j)]=O;
E[w(i)wT(j)]=Pw(i)Sir, i, }=пп
E[x(i)wT(i)]=0; /
Найдем алгоритм обработки сигнала, наилучшим обра-
образом различающий гипотезы Но и Н\.
Достаточная статистика, представляющая собой выход-
выходной эффект системы оптимальной обработки, может быть вы-
выражена следующим образом [39, 6, 57, 53]:
г/о(п)= .2 2 zT(i)WQ(i, f)z{i), B.2.4)
11 ;=1
.2
1=1 ;=
где
Щ1, j)=M0(i, j)-L0(i, j), B.2.5)
матрицы M0(i, j) и L0(i, j) представляют собой ПоХпо — бло-
блоки обратных ковариационных матриц к =[М0(г, /)];
Рассмотрим следующие два алгоритма обработки сиг-
сигнала, основанные на выражении B.2.4).
1. Алгоритмы обработки вида
f,,(n)= Jj zT(i)Uo(i) или i/i@=f/.(«
i=TJ; t/!@)=0, B.2.6)
где <
f/o(i)= .2 W{i, j)z(j) - B.2.7)
26

выходной сигнал линейной части системы обработки; мат-
матрица W(i, j) может рассматриваться как дискретная импульс-
импульсная переходная характеристика (ИПХ) линейной части
системы. Заметим, что W(i, j)=Wr(j, i).
2. Алгоритм обработки, использующий представление
матрицы W(i, j) в виде [62, 15]:
w(l> /")= Jlj *(». ь)М> k)- B-2-8)
Представление B.2.8) справедливо для любой симмет-
симметрической матрицы W(i, j). Рассматриваемый алгоритм может
быть выражен следующими соотношениями:
У2(п)= JS UT(k)U(k), B.2.9)
или y4k)=y4k-l)+lf(k)U(k),
k=un; г/2@)=0,
где U(k)= 2 bT(j, k)z(j). B.2.10)
/='
Представление матрицы B.2.5) в виде B.2.8) не опре-
определяет однозначно вид матрицы b(i, k). Для устранения этой
неоднозначности будем считать, что матрица b(i, k), подобно
матрице W(i, j), удовлетворяет свойству
b{i,k)=bT(k,i). B.2.11)
Заметим, что свойство B.2.11) позволяет свести алго-
алгоритм обработки сигнала B.2.9) к рекуррентному виду. Учи-
Учитывая выражение B.2.11), соотношения B.2.8) и B.2.10)
могут быть преобразованы к виду:
W(i, /)= J: b(i, k)b{k, j), B.2.12)
= yS b(k, j)z(j); B.2.13)
матрица b(k, j) может рассматриваться как дискретная им-
импульсная переходная характеристика (ИПХ) линейной части
системы обработки, задаваемой соотношениями B.2.12) и
'2.2.13).
27

Проведем синтез алгоритмов обнаружения, используя
представление сигнала в пространстве состояний B.2.3). Нач
нем рассмотрение с алгоритма, задаваемого B.2.9) и B.2.13)
Результаты, относящиеся к алгоритму B.2.6) и B.2.7), буду!
получены как следствие результатов рассмотрения алгоритм,-
B.2.9) и B.2.13).
Преобразуем уравнение B.2.12) для матрицы b{i, k).
Умножив обе части этого уравнения справа на kcn(i, rn) t
слева на kn(l, i) и просуммировав полученные выражени»
по i и /, с учетом того, что
W(i, j)=M(i, j)—L(i, /);
2 ka{l, i)M(i, !)=1-Ьц;
i=i
2 L(i, j)kCn{j, m)—I-btm,
i,
A — единичная матрица), получим
2 [ 2 Kn(l, i) 2 b{k, j)Kcn(i, m)]=Kc{l, m). B.2.14)
*= l i= l ;=¦ i
Так как шум наблюдения n(i) является белым, последнее
уравнение может быть представлено в виде
п I
•2 {Nn(l)b(l, k)[b{k, m)Nn(m)+ 2 b(k, j)Kc{h m)]}=Kc(l, m).
*=' '=1 B.2.15)
Как показано в прил. 1, уравнение B.2.15) эквива-
эквивалентно следующему разностному уравнению:
П
i)—$><{l,l—\)b{l—\,k)) X
X [b(k, m)Nn{m)+ 2( b(k, j)Kc(j, m)]}=0, B.2.16)
ГДе D(l)=N~\l)L-\l, I), B.2.17)
фо(/> l—l)=N~\l)H(l)<$(l, l—l)H~\l—l)Nn(l—l)- B.2.18)
28

При выводе соотношений B.2.17) и B.2.18) полагалось,
что входящие в них обратные матрицы существуют; если
//(/—1) не является квадратной матрицей, то #-'(/—1) сле-
следует рассматривать как квазиобратную матрицу [35].
Пусть в уравнении B.2.16) п=1— 1. Для того, чтобы
матрица b(l, k) для данного к не зависела от аналогичной
матрицы, соответствующей другим значениям k (как это на-
наблюдается при синтезе фильтра Калмана [53]), будем рас-
рассматривать только те решения уравнения B.2.16), которые
приводят к равенству нулю выражения под знаком суммы
B.2.16) на каждом шаге / наблюдения. Так как матрица
[Ken (/> m)]—[Kc(j, m)-\-Nn(j)&jm] является положительно оп-
определенной, то при b(k, m), не равном тождественно нулю,
выражение во вторых квадратных скобках не может быть
равным нулю. Следовательно, это уравнение имеет нетриви-
нетривиальное решение только в том случае, когда выполняется
условие
D(l)b(l, &)=Фо(/, /—1N(/—1, k),
откуда
ЬA, k)=F(l, 1—1Щ1—1, к), B.2.19)
где
,„// / 1\
0\i, I I)— /о о 9П\
Уравнение B.2.19) определяет матрицу импульсных пе-
переходных характеристик системы b(l, k). Из него может быть
найдена связь между матрицей W(i, /), определяющей алго-
алгоритм обнаружения B.2.6) и B.2.7), и параметрами, описы-
описывающими пространство состояний. Умножив справа обе части
уравнения на b(k, m) и просуммировав по k, с учетом B.2.12)
получим
W(l, m)=F{l, 1-Х) W(l—\, m) m</—1. B.2.21)
Таким образом, уравнения для матрицы импульсных
переходных характеристик линейной части алгоритмов B.2.6),
B.2.7) и B.2.9), B.2.13) идентичны.
Вернемся к выражению B.2.13) для линейной части
системы обработки сигнала B.2.9). Это выражение с учетом
B.2.19) может быть записано в следующей форме:
b{l,k)z{k)= Zx b(l,k)z(k)+b([)z(l)=
29

откуда
U(l)=F(t, t-\)U(l-l)+b(l)z(l). B.2.22)
Данная формула представляет собой в рекуррентном виде
алгоритм функционирования линейной части системы обра-
обработки; параметр b(l)=b(l, )) — коэффициент усиления линей-
линейной части системы.
Структура рекуррентного фильтра определяется соотно-
соотношениями B.2.9) и B.2.22), к которым необходимо добавить
начальное условие для последнего разностного уравнения
?/@)=0.
Применительно к алгоритму обработки B.2.6) и B.2.7)
аналогичное рекуррентное соотношение имеет вид:
?/„@)=0; W(l)=
Структурные схемы синтезированных алгоритмов при-
приведены на рис. 2.1 [(алгоритм B.2.6) и B.2.23)] и рис. 2.2
[(алгоритм B.2.9), B.2.22)]. Линейная часть синтезирован-
синтезированных алгоритмов обнаружения (обведенная на рисунках пунк-
пунктиром) по своей структуре близка к фильтру Калмана (для
сравнения схема дискретного фильтра Калмана, формирую-
формирующего оценку сигнала **(/), приведена на рис. 2.3). Отличие
состоит в отсутствии цепи «предсказания» наблюдаемого
сигнала (блока #(/)) и в ином содержании блоков усиления
W(l), b(l) и К{1) и блоков преобразования сигнала F(l, /-1) и
Ф(/, /—1). Структурная близость полученных алгоритмов и
фильтра Калмана обеспечивает возможность их реализации на
общей технической основе и взаимного преобразования путем
изменения соответствующих математических процедур. Ука-
Указанное обстоятельство позволяет использовать единые систем-
системные элементы как для обнаружения, так и для последующей
фильтрации обнаруженного сигнала.
Заметим, что синтезированный алгоритм (рис. 2.1) в
общем случае требует знания N элементов W(l); 1=1, N,
матрицы W=[W(i, })] и N— 1— матричных блоков F(l, l—\),
в то время как классические алгоритмы [39, 53, 6, 82 и др.]
основаны на использовании всех № элементов матрицы W.
Это существенно упрощает работу синтезированного алго-
алгоритма. Кроме того, как показано будет в п. 2.3, для стаци-
30

l_
Рис. 2.1. Вариант структурной схемы рекуррентного алгоритма
обнаружения
1_
Рис. 2.2. Вариант структурной схемы рекуррентного алгоритма
обнаружения
L
л>
х
Рис. 2.3. Дискретный фильтр Калмана
31

онарного случая вообще достаточно только двух матричных
блоков — коэффициентов усиления и обратной связи.
2.3
АНАЛИЗ РЕКУРРЕНТНОГО
АЛГОРИТМА ОБНАРУЖЕНИЯ
Введем некоторые соотношения, связывающие статис-
статистические характеристики сигнала и помех и параметры алго-
алгоритма B.2.6), 2.2.23).
Умножив обе части уравнения B.2.3) справа на х (i—1)
и выполнив статистическое усреднение, получим
откуда
ф(/, i-l)=R(i, ,-_i)/r'(f_l, i-l).
С учетом B.2.2)
Ф(/, i-l)=H-l(i)Kc(i, i-1)V(i-1, i-l)H(i-J), B.3.1)
следовательно,
что позволяет представить выражение B.2.20) в виде
F(l, l-\)=L{l)Kc{l, l-\a)Kj\l-\, l-\)Nn(l-\). B.3.2)
Из уравнения B.2.21) может быть получен еще один
вариант представления F(l, /-1). Умножив справа обе части
уравнения B.2.21) на W~](l—1, m), имеем
F(l, l-\)=W(l, m)W-\l-\, m). B.3.3)
Полагая в B.3.3) m=l—1, получим
Из B.2.2) следует, что M(l, /-l)=0, M(l-\, l—\)=N~\l-\);
таким образом,
F(l, l-\)= -L(l, l-l)[N-\l-l)-L(l-l))-\ B.3.4)
При реализации алгоритма B.2.6), B.2.23) на каждом
текущем шаге наблюдения необходимо знать блочные элемен-
32

ты Ц1) матрицы КсР1 Для вычисления этой матрицы может
быть использована рекуррентная процедура обращения
блочных матриц [55], позволяющая по результатам обра-
обращения матрицы КсР1~\ получить матрицу /С~'@-
Для анализа динамики параметров фильтра, реализую-
реализующего алгоритм B.2.6), B.2.23), а также для иллюстрации
использования полученных соотношений рассмотрим некото-
некоторые примеры. Проанализируем свойства матричных парамет-
параметров W(t) и F(l, /-1), которые представляют собой соответст-
соответственно коэффициент усиления и коэффициент обратной связи
фильтра. Для этого рассмотрим простейший случай, когда
блоки матриц вырождены до чисел (по=1), параметр теку-
текущего времени 1=2, сигнал и помеха стационарны, НA)=
=#(/—!)=1. Примем, что
1 О
О 1
1 Г
Г 1
В этом случае
Knl =
1 О
О 1
Kcnl =
-г
-г \+q
2 2
где (т„ и ас — мощности помехи и сигнала соответственно;
г — коэффициент корреляции сигнала; q=an/al\ d=al-
•Ш+qf—r2]. Величины, входящие в B.3.2) —B.3.4), могут
быть представлены следующими выражениями:
КсB, 1)=(т,г;
Nn(l)=NnB)=a2n-
L(o=(l+q)/d;
K7l(i. i)=i/42;
WB, \)=r/d;
L{2, 1)= -r/d;
В соответствии с B.3.1) ФB, 1)=г. Используя эти выраже-
выражения, получим по любой из формул — B.3.2), B.3.3) или
B.3.4)—
F{2, \)=G2n{\+q)r/d.
B.3.5)
33

Сделаем некоторые выводы, относящиеся к динамике коэффи-
коэффициента F(t, /—1). При г=0 величина FB, l)=0, что вполне
объяснимо, так как сигнал представляет собой дискретный
белый шум и значение сигнала в предшествующий момент
не несет информации о его возможном значении в данный
момент. При жестко коррелированном сигнале (г=1) FB, 1)=
=(l+q)/B-\-q), откуда следует, что при ^->-оо значение
FB, 1)-М, а при q-+0 величина F{2, 1)—*-1 /2.
Проанализируем динамику коэффициента усиления
фильтра W{1). Для рассматриваемого случая
На первом шаге процесса обнаружения при а^->-0(
величина Щ1)->0, а при а2п-+оо W(\)-+o2c. Таким образом,
если априорно известно, что сигнал отсутствует, коэффициент
Щ1)=0. Однако, если ожидаемый сигнал имеет конечную
мощность, но отношение сигнал-помеха мало за счет большой
мощности помехи, то величина коэффициента усиления конеч-
конечна. В том случае, если ^->-0, значение W(\)-*-\ / а2п, то есть
при уменьшении помехи коэффициент усиления фильтра
возрастает, так как растет достоверность поступающей инфор-
информации. На втором шаге WB)-+0 при ^->-оо (вне зависимости
от того, обусловлено возрастание отношения помеха-сигнал
увеличением помехи или уменьшением сигнала). Отметим
также, что для случая д->-0 при г=0 коэффициент WB)^>~1 / о2п;
в случае, когда г=\, величина №B)->-1/2ст2.
Рассмотрим теперь динамику коэффициентов W(l) и
F(l, I—1) в зависимости от /. На рис. 2.4 представлены ре-
результаты расчета значений этих коэффициентов от / для
условий, принятых в рассматриваемом примере с учетом
того, что Kc(i, })=в*г-1~0]. Из приведенных зависимостей
следует, что для стационарных процессов стабилизация
коэффициентов W(L) и F(l, l—l) происходит достаточно
быстро (на втором-третьем шаге наблюдения); лишь при вы
сокой коррелированности сигнала она несколько затягивается
С ростом корреляции сигнала установившийся уровень коэф
фициента усиления снижается, величина F(l, I—1), напротив
возрастает. При увеличении отношения помеха-сигнал зна
чение коэффициента усиления падает, а коэффициент обрат
ной связи растет. При жесткой корреляции сигнала, чт«
имеет место при когерентном приеме г=1, Ф(/, /—\)=\
34

0.8
0,6
0.4
о.г
0
г
Ч'ОЛ
/
/
1,0
s ? г
0,8
0.6
0,4
0,2
О
)
/
г.о,
1
г =
з s 7 г
г
п
0,8
0,6
04
0.2
0
*»—
.
Г3
3 S 7
2 = 0,7S
0,8
0,6
0,2
О
\
\
к
-—
f.o
?А
/ з s
0,8
0,6
0,4
0,2
е
1
1
1
1,0
-L
0.1
/ з s 7 -е
0,8
0,6
0,2
О
1
/
'.0
/ з s 7 г
W-0
0,8
0.6
0,4
0,2
О
s 7 г
1
\
it
0,4
f 3 S 7
Рис. 2.4. Динамика коэффициентов усиления и обратной связи рекуррентного алгоритма
обнаружения

различие зависимостей этих величин от q с ростом / резко
сокращается, при этом роль обратной связи возрастает
[F(t, I—1)-*-1 при /->-оо], а значение новой информации сни-
снижается [№(/)->-0 при /-*-оо]. Это вполне понятно из физи-
физических соображений. Если корреляция сигнала полностью
отсутствует [г=0), Ф(/, /—1)=0], что соответствует приему
быстрофлуктуирующих сигналов, обратная связь в линейной
части фильтра исчезает [F(l, I—1)=0]; накопление сигнала
осуществляется только некогерентным способом B.2.6).
Рассмотренный алгоритм реализует в рекуррентном виде
процедуру обнаружения стохастических сигналов в многомер-
многомерном фазовом пространстве. Для нежесткой временной корре-
корреляции сигнала в стационарном случае параметры фильтра,
построенного на основе данного алгоритма,— коэффициенты
усиления и обратной связи — слабо меняются во времени,
поэтому для всего цикла наблюдения могут быть приняты
параметры, вычисленные для начальных тактов обработки
сигнала.
2.4
РЕКУРРЕНТНЫЕ АЛГОРИТМЫ ОБНАРУЖЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
НА ФОНЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ
ПОМЕХ И ШУМОВ
Полученные в 2.2 алгоритмы синтезированы при усло-
условии некоррелированности во времени помех и шумов, что
заметно ограничивало область их применения. В данном раз-
разделе указанное ограничение снимается; показано, что получен-
полученные ранее результаты служат непосредственной основой для
решения задачи обнаружения стохастических сигналов на
фоне смеси коррелированных стохастических помех и корре-
коррелированных шумов, что существенно расширяет сферу прак-
практического применения полученных алгоритмов.
Пусть пр-мерный вектор z(i), заданный в дискретной
времени i, /=1, N , может формироваться в соответствии с;
двумя гипотезами: #0 (сигнал отсутствует) и #i (сигнал
присутствует):
H0:z(i)=Hn(i)xn(i)+n{i); B.4.1)
36

Hl:z(i)=Hc(i)xc(t)+Hn(i)xn(i)+n(i). B.4.2)
Здесь Xc(i)—mo-мерный вектор сигнала; xn(i)—&о-мерный
вектор помехи; n(i)—no-мерный вектор шума; //с(/) — матри-
матрица размера По-то; Hn{i) — матрица размера no-ko; xc(i), n(i) и
xn(i) — нормально распределенные независимые случайные
векторы; их средние значения равны нулю.
Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса z(i)
имеют следующий вид:
Ho:Ko—[Koii,j)]; B 4 3)
Ko(i, j)=E[H^i)xn(i)xTn(j)ff(j)]+E[n(i)nT(i)] =
i
0/?с(/, j)ffc(i)+Ko(i, /)=
^/(( )ВД )+Щ
Матрицы /(о и /Ci представляют собой блочные квадратные
симметрические матрицы с числом блоков в каждой пХп и
числом элементов в каждом из блоков /<о{*', /) и Ki(i, /),
равным nXi-
Сигнал и помеха могут быть представлены марковскими
векторными дискретными случайными процессами и являются
решениями следующих разностных уравнений:
xc(i)=d)c(i, i-l)xc(/-l)+rc(f-l)coc(i-l); B.4.5)
хпA)=ФпA, i-\)xn(i-l)+rn(i-i)a)n(i-l), B.4.6)
где Фс(/, /—1) и Ф„(г, i—1) — матрицы размеров, соответст-
соответственно, /noXwio и ^оХ/го; Гс(/—1) и Tn(i—1) — матрицы разме-
размеров, соответственно, /по-/о и ko-qo; сос(/— 1) и со„(г—1)—/о-
мерный и ^о-мерный векторы некоррелированных взаимно
независимых нормальных дискретных случайных процессов;
E[Xc(i)iJc(j)]=E[xn(i)<Jn(j)] = O
Требуется найти алгоритм обработки сигнала, обеспечи-
обеспечивающий наилучшее различение гипотез Яо и Hi с учетом соот-
соотношений B.4.5) и B.4.6).
Покажем сначала, что решение сформулированной
задачи сводится, по существу, к решению задач обнаружения
сигналов Xi^H^x^+Hn^Xnii) и Y{i)=Hn(i)xn(i) на фоне
37

некоррелированных во времени нормально распределенных
шумов n(i).
Известно, что достаточная статистика, на основе ко-
которой решается поставленная задача, может быть выражена
следующим образом:
уо(п)= 2 .| zT(i)W(i, j)z(j), B.4.7)
где W(i, j)=M(i, j)—L(i, j); M(i, j) и L(i, j) представляют
собой n0X«o — блоки обратных ковариационных матриц
1
Матрица W(i, j) может быть представлена следующим об-
образом:
W(i, j)=Wx(i, j)-WY(i, j),
где Wx(i, j)=N-\iNi,-L(i, /); Wr(i, !)=N-l(iNt,-M(i, j),
и выражение B.4.7) с учетом этого приобретает вид
Уо(п)=ух(п)-уу(п), B.4.8)
п п
ух(п) = B .2 *№*& />(/)- B-4.9)
уу(п) = .2 .2 *(i)Wr(i, j)z(j). B.4.10)
Последние два соотношения выражают достаточную
статистику для задач обнаружения сигналов X(i) [соотно-
[соотношение B.4.9)] и Y(i) [соотношение B.4.10)] на фоне не-
некоррелированных шумов n(i).
Таким образом, задача обнаружения сигнала Hc(i)xc(i)
на фоне смеси коррелированных во времени помех Hn(i)xn(i)
и некоррелированных шумов n(i) сводится к обнаружению
стохастических сигналов X(i) и Y(i) на фоне некоррелирован-
некоррелированных шумов n(i). Рекуррентные соотношения, решающие пос-
последнюю задачу, синтезированы в разделе 2.2. Опираясь на
них, приведем алгоритмы обнаружения сигнала Hc(i)xc(i)
на фоне смеси коррелированных помех и шумов Hn(i)xn(i)-\-n(i).
В соответствии с п. 2.2 возможны два варианта таких
алгоритмов. Первый вариант состоит в формировании раз-
разности оценок у\\{1) и yio@> достаточных статистик ухA) и
Уу(/), / — текущее дискретное время, 1=1, п,
B-4.11)
38

Процессы t/u@ и уюA) представляют собой выходные эффекты
систем обнаружения сигналов X(i) и Y(i) на фоне шумов
n(i) и формируются в соответствии со следующими рекуррент-
рекуррентными соотношениями:
Уп(/)=г/и(/-1)+/(/)?/п(/); Уп@)=0; B.4.12)
Uu(t)=Fi(l, l-l)Uu(l-\)+Wi(l)z(l); UumJo B.4.13)
t/1o(/)=i/.o(/-l)+zr(/)f/,o(/); y.o(O)=O; B.4.14)
Ul0(l)=F0(l, l-l)Ulo(l-\) + Wo(l)z(l); t/10@)=0. B.4.15)
По результатам сравнения величины у\(п) (или, в зави-
зависимости от используемого критерия обнаружения, у\A)) с уста-
установленным порогом (или порогами) принимается решение
о справедливости одной из гипотез (Но или Н\).
Следует отметить, что на практике реализацию данного
алгоритма для сокращения числа используемых операций
целесообразно выполнять несколько иначе, а именно: вы-
выходные сигналы ?/ц(/) и L/ю с блоков, осуществляющих
линейные рекуррентные процедуры B.4.13) и B.4.15), должны
поступать на вычитающее устройство, где формируется раз-
разность
{/,(/)= {/,,(/)_?/,„(/), B.4.16)
после чего следует произвести нелинейную обработку наблю-
наблюдаемого сигнала:
г/,(/)=у,(/-1)+/(/)?/.(/); г/,@)=0. B.4.17)
Таким образом, первый вариант алгоритма, решающего
задачу обнаружения сигнала #сХс@ на фоне помехи
Я„@*п@+"@> выражается соотношениями B.4.17), B.4.16),
B.4.13) и B.4.15).
На рис. 2.5, а представлена структурная схема линей-
линейной части полученного алгоритма, реализующая соотношения
B.4.13) и B.4.15), а на рис. 2.5,6 — полная структурная
схема алгоритма B.4.13), B.4.15) —B.4.17). Блоком \зад. = \
на рисунке обозначена схема временной задержки на один
такт; матричные параметры Wi(l) и W0(t) играют роль
коэффициентов усиления линейных трактов системы обра-
обработки, а параметры F{(t, I— 1) и F0(l, /—1) — коэффициентов
обратной связи. Приведем соотношения, позволяющие полу-
получить эти параметры.
39

Рис. 2.5. Вариант алгоритма обнаружения
Как показано в п. 2.2, матричный параметр Fi(l, I— 1)
определяется следующим соотношением:
1), B.4.18)
где матрица Ф((/, /—1), входящая в разностное уравнение
для процесса ХA):
ХA)=Ф1A, /_1Щ/_1)+Г(/-1)о>(/-1), B.4.19)
может быть вычислена по формуле
Ф,(Л, /-1)=[Яс(/)Фс(/, l
+НпA)ФпA, /-1)/?„(/-1, t-l
В последнем выражении
( )
Вывод данной формулы приведен в прил. ПЗ.
Матричный параметр W\([) представляет собой матрицу
Wi(i, i)=W{(j, i) для /=/=/; в свою очередь,
Wi(i, /^ЛГ'^б,-,—L,(/, /). B.4.21)
Матрица L\{i, j) вычисляется решением матричного уравнения
.2 Li(i, j)K\(j, mj=/6,-m; i, m</, B.4.22)
40

где / — единичная матрица размера «оХ«о- Заметим, что в
соотношении B.4.18) L,(/)=L,(/, /).
Матричные параметры Fo(l, I—1) и W0(l), входящий' в
B.4.15), определяются из соотношений:
/да-1)=ЭДФо(/, /-1)Л/(/-1); B.4.23)
Wo(l)=WQ(l, I), B.4.24)
причем
ф„(/, /-1)=ЯП(/)Ф„(/, l-\)Rn{l-\, 1-\)^1-\IСп\1-\, 1-Х)
B.4.25)
или, если матрица Нп (I—1) существует,
Фо(/, /-1)=ЯП(/)Ф„(/, /-1) Я;'(/-1); B.4.26)
W /)=<(/, i)=N-l№;-LQ(i, /); B.4.27)
матрица Lo(/, /) вычисляется из уравнения
Д Lo(i,j)Ko(j,m)=I'8im; i, от</. B.4.28)
В выражении B.4.23)
Lo(l)=Lo(l, I).
Приведем второй вариант алгоритма обнаружения.
Он может быть выражен в виде рекуррентных соотношений
для выходного эффекта системы обнаружения г/г(О и выход-
выходных сигналов линейных частей алгоритма i/2i(/) и ?/2о@:
0(/); У2=@)=0, B.4.29)
(/2,@)=0); B.4.30)
U20(l)=F0(l, l-l)U2o(L-l)+bo(l); U2o(O)=O. B.4.31)
На рис. 2.6,а изображена структурная схема линейной
части алгоритма, решающего, задачу обнаружения сигнала
X(i) (или Y(i) на фоне шумов щ. Эта схема входит в ка-
качестве элемента в общую структурную схему алгоритма
B.4.29)-B.4.31) обнаружения сигнала Hc{i)xc{i) на фоне помех
и шумов Hn(i)xn(i)-\-n(i), представленную на рис. 2.6,6. Мат-
Матричные параметры b\(t) и bo(l), входящие в B.4.30) и B.4.31)
и играющие роль коэффициентов усиления линейных частей
алгоритма, определяются из соотношения B.2.12):
41

UJf)
UJ<)\
Рис. 2.6. Вариант алгоритма обнаружения
k/i); b,(i,k)=b\(k,i);
W0(i, /)= t2 *o( 0
С помощью синтезированных алгоритмов может быть
решена задача обнаружения стохастического сигнала на фоне
любого сочетания стохастических помех и шумов. Необходимо
заметить, что приведенные алгоритмы решают, по существу,
двухальтернатиную задачу распознавания сигналов X(i) и У(г).
Полученные алгоритмы обнаружения стохастических
сигналов, поступающих с различного рода помехами и шу-
шумами, выражены в виде рекуррентных соотношений, пред-
представленных в дискретном времени. Это позволяет реализо-
реализовать эти алгоритмы на базе цифровой вычислительной тех-
техники для решения задач обнаружения в многомерных фазо-
фазовых пространствах.
42

2.5
СИНТЕЗ ФИЛЬТРОВ ОБНАРУЖЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
ДЛЯ НЕПРЕРЫВНОГО ВРЕМЕНИ
Рассмотрим модификацию алгоритмов, синтезированных
в п. 2.2, для случая непрерывного времени [80].
Пусть вектор наблюдения z(t) размером п, представ-
представленный в непрерывном времени t(O^Lt^LT), может формиро-
формироваться в соответствии с двумя гипотезами: Но (сигнал от-
отсутствует) и #i (сигнал присутствует) :
H0:z(t)=n(t); ,25П
где x(t)—m — мерный вектор сигнала; n(t)—n— мерный
вектор шума; //(/) — матрица размером пХт; x(t) и n(t) —
гауссовы независимые случайные процессы с математическим
ожиданием, равным нулю. Ковариационные матрицы наблюда-
наблюдаемого процесса z(t) имеют вид:
[Я0:К„@, U)=E[n{t)n*{U)]=Nn(t) • b{t-U); ,„ - „.
\Hi:Kcn{t, tO=Kc{t, t^+Knit, U)=H{t)Pc{t, U)H*{U)+' '
+Nn{t)b(t-tx),
где R(t, ti)=E[x(t)x*(ti)]; 8(t—t\) — дельта-функция; * — сим-
символ эрмитовой сопряженности. Полагаем, что сигнал удовлет-
удовлетворяет следующему векторному дифференциальному уравне-
уравнению:
x(t)=F(t)x(t)+G(t)(o(t), B.5.3)
где F(t) — матрица размером тХт; со(/) — /-мерный вектор
гауссова белого шума; G(t) — матрица размером m"Xl:
?l@]0 ?[@'())]0 Е[(г)%)]0 //
l@] [@())] [()%)]
Точка над x(t) в B.5.3) обозначает операцию диффе-
дифференцирования.
Требуется найти алгоритм обработки сигнала, наилуч-
наилучшим образом различающий гипотезы Но и Hi.
В качестве основы статистического синтеза выберем два
вида алгоритмов обнаружения случайных сигналов, рассмат-
рассматриваемых в теории обнаружения.
1. Алгоритм обработки вида
43

У1(Т) = ^*(t)Uo(t)dt, B.5.4)
0
где Uo(t) = \W(t,t\)z{t\)dt\ — выходной сигнал линейной час-
о
ти обработки; матрица W(t, t\) может рассматриваться как
импульсная переходная характеристика линейной части сис-
системы; W(t, ti)=±W*(tv, t).
2. Алгоритм обработки
yiT)= \U*(t)U(t)dt, B.5.5)
о
использующий представление матрицы W(t, t\) в виде
т
W(/,/i)= \b{t, h)b*(tu h)dt2. B.5.6)
о
В выражении B.5.5)
t
U(t)= \b*{h,t)z{t\)dU.
о
Полагая, что b(t, t\)=b*(t\, t), получим
т
W{t, U) = \b(t, t2)b(t2, ti)dta, B.5.7)
о
U(t) = ]b(t, h)z{U)dU. B.5.8)
о
Матрица b(t, ti) может рассматриваться как импульсная
переходная характеристика линейной части B.5.8) системы
обработки B.5.5), B.5.8).
Синтез алгоритмов обнаружения, использующих пред-
представление сигнала в пространстве состояний, начнем с рас-
рассмотрения процедуры, задаваемой выражениями B.5.5) и
B.5.8).
Преобразуем уравнение B.5.7). Умножив обе части
уравнения слева на /Сп(т, t) и справа на Kcn(t\, ti) и про-
проинтегрировав по t и t\ с учетом того, что
W{t, u)=M(t, t{)-L(t, /,);
т
\Kn{T,t)M{UU)dt=l-b(t\-x)-
B.5.9)
44

/, т,<т
(/ — единичная матрица), получим
Г т т
\[ У<п(т, t)b(t, h)dt
0 0 0
Xdt2=Kc(T, т,). B.5.10)
Так как шум наблюдения является белым, это уравнение
может быть представлено в виде
\ {Nn(r)bT,t2)[b(t2,Tl)Nn(Tl)+\b(t2,
=/Цт, т,). B.5.11)
Здесь для сохранения аналогии с результатами синтеза диск-
дискретных систем считаем дельта-функцию асимметричной,
полагая, что
о
Как показано в прил. П4, выражение B.5.11) экви-
эквивалентно следующему уравнению:
\{[Ь'(т, t2)-F0(T)b(T, t2)][b(t2,
+ \b(t2, U)-K4ti т,)Л1]}Л2=0, B.5.12)
о
где F0(x)=(p(x)—Q(t);
Q(r)=W(T)Nn(r); W(t)=W(t, t); B.5.13)
штрих обозначает производную (для функции от двух аргу-
аргументов — по первому аргументу).
При выводе уравнения B.5.12) полагалось, что верхний
предел интеграла Т—т и матрицы //~'(т) и Nп (т) существуют;
если Я(т) и М»(т) не являются квадратными, то Я и Nn (т)
следует рассматривать как квазиобратные матрицы.
Приведем иную форму записи B.5.13). Умножив обе
части выражения B.5.3) справа на x*(t\), t\<Ct и выполнив
статистическое усреднение, получим
45

R'(t, tt)=F(f)-R(t,ti),
откуда
F(t)=R'(t, t,)R(t, /,). B.5.14)
Из B.5.2) и B.5.14) следует, что
Я(тЩт)Я-!(т)=<(т, /,)<(т), <,),
таким образом,
т)-<(т)]. B.5.15)
Заметим, что матрица А(/)= — /"""'(О может рассматри-
рассматриваться как матричный аналог времени корреляции процесса
x(t). В частности, для одномерного случая, приняв во внима-
внимание, что производная от R(t, t\) берется на правом склоне
функции корреляции, и устремив / к U, получим
F(t)=-A/A), B.5.16)
где Д=Д(/) — отношение R(t, t\) к производной R'(t, ti) при
/i=<+0; это отношение может трактоваться как время корре-
корреляции процесса x(t) для текущего момента времени. Чем вы-
выше степень корреляции процесса x(t), тем ближе величина
/•"(/) к нулю; при F(t)->- — оо процесс x(t) приближается к бело-
белому шуму.
Рассмотрим уравнение B.5.12). По аналогии с B.2.16),
будем учитывать только те решения уравнения B.5.12), ко-
которые приводят к равенству нулю предынтегрального выра-
выражения этого уравнения для каждого текущего значения t2.
Так как матрица Kcn(t\, T\)—K,c(t\, xi)+jVn(/i)-6(/|—ti) явля-
является положительно определенной, то при b(t2, ti), не равном
тождественно нулю, выражение во вторых квадратных скобках
B.5.12) не может быть равно нулю. Следовательно, уравне-
уравнение имеет нетривиальное решение только при условии
Ь'(т, t2)=FQ(T)-b(x), /2). B.5.17)
Аналогичное уравнение справедливо и для алгоритма
B.5.4), в чем можно убедиться, умножив справа обе части
B.5.17) на b(t2, ti) и проинтегрировав по t2 с учетом B.5.7);
W'(t, t,)=F0(tIF(t, ti), ti<t. B.5.18)
Последние два уравнения определяют матрицы ИПХ линей-
линейных частей алгоритмов B.5.5) и B.5.4).
46

Вернемся к выражению ,B.5.8). Продифференцировав
U(г), получим с учетом B.5.17)
U'(x) =
о
= F0(x)-\b(x, t)z(tl)dtl+b(x)z(x),
о
где b(x)=b(x, т.); следовательно,
U'(x)=F0(x)U{x)+b(x)z(x); ?/@)=0. B.5.19)
Применительно к алгоритму B.5.4) имеем:
'z(xy, f/0@)=0. B.5.20)
Последние два уравнения совместно с уравнениями, выража-
выражающими в текущем времени процессы формирования выход-
выходных сигналов
y'l(x)=z*(x)U0(x); 0<т<7; B.5.21)
y'2(x)=U*(x)U(x)- 0<т<7\ B.5.22)
определяют структуру синтезированных фильтров обнаруже-
обнаружения. Структурные схемы фильтров B.5.21), B.5.20) и B.5.22),
B.5.19) приведены на рис. 2.7,а и 2.7,6 соответственно.
Необходимо заметить, что структура линейных частей синте-
синтезированных фильтров отражает структуру уравнения состоя-
состояния B.5.3) и близка к структуре фильтра Калмана-Бьюси
153, 81] (рис. 2.8). Отличие линейных частей синтезирован-
синтезированных фильтров от фильтра Калмана-Бьюси, формирующего
оценку x*(t) сигнала, состоит в отсутствии цепи предсказания
наблюдаемого сигнала (блока #(т)) и в ином содержании
блоков усиления W(x), b(x) и К(х) и обратной связи F0{x)
и F(x).
До сих пор считалось, что элементы матриц W(x, ti) и
b(x, xi) представляют собой обычные (гладкие) функции и
Щх)= W(x, x) и Ь(х, х) существуют. В действительности функ-
функции W(x, ti) и b(x, x\) являются сингулярными, так как содер-
содержат дельта-функции и, следовательно, значения W(x) и Ь(х)
обращаются в бесконечность. Это обусловлено принятой
идеализацией, связанной с представлением функции корре-
корреляции шумов в виде дельта-функции (при этом энергия шума
бесконечно велика), а также с краевыми эффектами, возни-
возникающими при решении второго интегрального уравнения
47

Рис. 2.7. Варианты фильтров обнаружения
Рис. 2.8. Непрерывный фильтр Калмана
B.5.9). Чтобы придать полученным результатам физический
смысл, необходимо «приписать» корреляционной функции шу-
шума некоторую конечную ширину, равную времени корреляции,
и пренебречь краевыми эффектами при решении второго
интегрального уравнения B.5.9); последнее возможно, если
время корреляции сигнала Д^т, что, начиная с некоторого т,
как правило, выполняется.
Дадим приближенную оценку коэффициентов усиления
и обратной связи синтезированных фильтров и проведем
анализ зависимости этих коэффициентов от параметров
сигнала и помехи на примере одномерных фильтров. Оценка
48

основана на переходе в уравнениях B.5.9) от интегралов
к интегральным суммам с интервалом дискретизации, равным
времени корреляции шума Д„ в первом уравнении и времени
корреляции смеси сигнала и шума Асп во втором. Выполнив
эту процедуру, получим:
М(т)=(УУпАп)-1; L(T)=(NcnAcn)-\
где An=Nn/Kn{x, т); Acn=Ncn/Kcn{T, т); Ncn=Nc+Nn; Nc—
средняя в пределах ширины спектра энергетическая спект-
спектральная плотность сигнала; Kcn(r, t)=NcA~'+NnA~ ; Ac =
= yVc//Cc(T, т). Для рассматриваемого случая «р(т)= —А^ . В
приводимых соотношениях обозначение возможной зависимос-
зависимости величин Nn, Nc, An и Ас от т опускается.
Для принятого способа описания сигнала и шума в
случае стационарного шума (Л/'(т)=0) справедливы следую-
следующие соотношения для коэффициентов W(x)=W и Fo(r)=Fo:
WNnAn=l-(\-q/8)/(\+qJ; B.5.23)
, B.5.24)
где q=Nc/Nn\ б=Ас/А„. Графики, представляющие зависи-
зависимости B.5.23) и B.5.24), приведены на рис. 2.9. Что касается
1,0
0,8
0,6
0,2
Ч
\
\
\
5,0
1,0
0,5
Г-ол
0 2 4 6 8
Рис. 2.9. Зависимости коэффициентов усиления W и обратной
связи Fo фильтра обнаружения от отношения времен корреляции
сигнала и помехи
49

коэффициента Ь(т)=х, то, принимая во внимание B.5.7*
можно показать, что он легко вычисляется по известному W
помощью соотношения b=[(l-±-l/q)Nn]l/2W.
Полученные соотношения и графики позволяют сДелат
ряд выводов. В частности, при q-+oo коэффициенты фильтро
стремятся к пределам: W-+l/NnAn; Fo-+ —Ас '; b-+WNw'
Рост значений б за пределы 8=4 практически не приводи
к изменению W (а также и Ь). Коэффициент обратной свя
зи Fo является отрицательной величиной и с увеличением
стремится в пределе к величине 1— q2/(l-\-qJ, которая пр
достаточно большом q близка к нулю. Заметим, что, ка'
следует из B.5.19) и B.5.20), чем ближе Fo к нулю, те"
выше степень корреляции выходных сигналов линейной чае
ти фильтра ?/о(т) и ?/(т) и, следовательно, тем эффектив
нее линейная обработка сигнала; наоборот, чем больш
по абсолютной величине Fo, тем ближе процессы ?/0(т)
U(t) к белому шуму, при этом эффективность обработк
сигнала в линейной части фильтра снижается. Из рис. 2.
также следует, что с увеличением q как коэффициент усиле
ния, так и коэффициент обратной связи возрастают, чт
обусловлено повышением достоверности поступающей инфор
мации.
2.6
РЕКУРРЕНТНЫЙ АЛГОРИТМ
МНОГОАЛЬТЕРНАТИВНОГО ОБНАРУЖЕНИЯ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ
В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
Задача многоальтернативного обнаружения (различия
стохастического сигнала непосредственно связана с задаче*
распознавания объектов, отражающих или излучающих сиг
нал. Известно, что указанные объекты придают сигналу в тол
или ином фазовом пространстве (например, в пространств
принимаемых сигналов или в пространстве параметров, опре
деляющих траекторию или характер движения объекта) опре
деленную «окраску», характерную для объекта данного тип
или класса, что и позволяет связать эти две задачи. Прин
ципы многоальтернативного обнаружения базируются на ре
зультатах теории двухальтернативного обнаружения стохае
тических сигналов.
50

В п. 2.2 был выполнен синтез системы двухальтерна-
тивного обнаружения стохастических сигналов в пространстве
состояний, на основе которого может быть построена система
многоальтернативного обнаружения.
Задача многоальтернативного обнаружения стохастиче-
стохастических сигналов формулируется следующим образом.
Вектор наблюдения z(i) размером п0, представленный
в дискретном времени /, /=1, п, может формироваться в
соответствии с М+1 гипотезами Н^, ц=0, М:
Н,:2A)=Н,A)ХIA)+пA). B.6.1)
В B.6.1) x^i)—Шц-мерный вектор сигнала; n(i)—
()
^)цр р ()р
ный вектор помехи; Яц(г) — матрица размером ПоХ. ЩХ^С) и
n(i) — нормально распределенные независимые случайные
векторы, средние значения которых равны нулю. Ковариацион-
Ковариационные матрицы наблюдаемого процесса z(i) имеют вид:
Н,:К,=[К^ /)]; B.6.2)
где /?ц(/, })=Е[х^(/)/(/)]; Ьц — символ Кронекера. Матрицы
/(|t представляют собой блочные квадратные симметричные
матрицы с числом блоков /Сц(/, /) в каждой пХп и числом
элементов в блоках «оХ«о- Полагаем, что гипотеза Но соот-
соответствует отсутствию сигнала на входе системы: xo(i)=O.
Каждый из сигналов x^(i), \кфО может быть представлен
марковским векторным случайным процессом и является
решением следующего линейного разностного уравнения:
*„@«Фц(«, «— 1 )*ц(«— 1)+Г^* — 1 )©,»(/— 1), B.6.3)
где фц(/, г—1) — матрица размером яДт^и^'-!)-^-
мерный вектор некоррелированного нормального шума;
l\(i—1) — матрица размерим m^X/^; ?[<i)()]0
ц=1, М.
Требуется найти алгоритм обработки сигнала, наилуч-
наилучшим образом различающий гипотезы Яц, ц=0, М.
При решении данной задачи будем опираться на резуль-
результаты синтеза рекуррентных алгоритмов обнаружения стохасти-
стохастических сигналов, полученных в п. 2.2.
При традиционных методах синтеза систем обнаружения
сигнала x^i) на фоне шумов n(i), как правило, формируется
51

квадратичная форма, стоящая под знаком экспоненты в выра-
выражении для отношения правдоподобия; эта квадратичная
форма
Уо»(п)= у .2 2, z\t)W4(i, />(/) B.6.4)
представляет собой достаточную статистику для задач двух-
альтернативного обнаружения. В выражении B.6.4) Wo^(i, /)=
=N~\i)&ij—LOli(i, /); в свою очередь, матрица L0|1(/, /) опре-
определяется из решения следующей системы линейных уравнений:
п
2 L0A(J, /)/(„(/, m)=J-6J;; i, m<n, B.6.5)
где / — единичная матрица размером ПоХ^о- Синтезирован-
Синтезированный в п. 2.2 рекуррентный алгоритм обнаружения записы-
записывается в виде (далее индекс ц, при соответствующих функ-
функциях будем, как правило, опускать):
у(п) = 2 /(l)U(l); U(l) = 2 W(l, j)z(j), B.6.6)
где W(i, j)=N~l(i)8ij—L(i, /); матрица L(i, j) представляет
собой блочный элемент «текущей» обратной матрицы К",
получаемой при обращении матрицы /Сц на текущем интервале
i, /=1, /, / — текущее время, l-^Ln:
2 L(i, j)K»(j, m)=I-bim\ i, m</; l^n. B.6.7)
Таким образом, алгоритм B.6.6) отличается от «традицион-
«традиционного» B.6.4) характером обращения матрицы К» и тем, что
он учитывает только левую нижнюю часть матрицы W=
=[W(i, /)], j^i, i^.L. В результате указанных особенностей
статистики у(п) удалось синтезировать следующий доста-j
точно компактный рекуррентный алгоритм обнаружения
(п. 2.2), эквивалентный B.6.6):
y@)=0; ( g)
l); (/@)=0; K ' ' >
В B.6.8) W(l)=W(l, /); матрица F(t, /-1) определяете^
выражением
\). B.6.9J
52

Полагаем, что Я !(/—1) существует; если Н{1—1) не является
квадратной матрицей, то Н~\1— 1) следует рассматривать
как квазиобратную; L(t)=L(l, /).
Матрица F(l. I—1) связывает между собой матрицы
Щ1, т) и W(l—1, т), полученные для смежных значений
текущего времени, следующим образом:
Щ1, m)=F(l, I—\)Щ1— 1, т); т</—1. B.6.10)
Чтобы решать поставленную в данном параграфе задачу,
необходимо перейти от статистики B.6.6) к логарифму от-
отношения правдоподобия, полученного с учетом характера
обращения матрицы Кц B.6.7), который для задач много-
многоальтернативного обнаружения представляет собой достаточ-
достаточную статистику.
Модифицируем выражение B.6.6) таким образом, чтобы
дополнить нижнюю треугольную матрицу W=[W(i, /)], /<j;
i, j^l членами W(j, i)=Wr(i, j) до симметричной с тем, чтобы
придать полученному выражению вид, аналогичный квадра-
квадратичной форме B.6.4):
У1{п) = 1-2 /@.2 Щ1, j)z(j)=y{n) -
2/=I n '-' B.6.11)
Алгоритм B.6.8) применительно к у\{п) принимает вид:
У.@)=0; B,6.12)
Ux(l)=F(l, /-l)(/,(/-l)+W)z(/); t/i@)=0; 1=Л~п.
С учетом гауссова характера распределения наблюда-
наблюдаемых сигналов соотношение B.6.12) эквивалентно следующе-
следующему выражению для логарифма отношения правдоподобия Л(/):
Л@)=0; 1=ТГп, B.6.13)
p[z(/)/Z/__], #ц(о) — условная плотность распределения вероят-
вероятности вектора z(l) при известном векторе Zi^i={z(\),zB),...,
г{1~ 1} и заданной гипотезе #ц(о), ц=1, М. При /=1 условной
плотности вероятности соответствует функция p[z(\)/Н'ц(о)].
53

Выражения для соответствующих плотностей вероятно-
вероятности имеют вид:
B.6.14)
p[z(\)/H,] =
p[z(l)H0]=
A,=
0
0
L(\)
LB, 1)
/, 1)
- — ZT(\)N(\)Z{\)
, 1I
e~ 2*
0
0
Ц1,2)
I(/, 1)
LT(l, 2)
Ц2)
A,2) ...
V, 1)
(/, 2)
B.6.15
в обозначении подматриц L(fe, у) в выражении для Ц первь
аргумент соответствует значению текущего времени, в пред
лах которого производятся обращения матрицы B.6.7); nf
54

достаточно слабой временной корреляции процесса хA) или
при малых отношениях сигнал-помеха c(l)zz\detL(l)\. При
указанных условиях матрица L~'(/) может рассматриваться
как матрица условных ковариаций вектора z(l) при заданном
векторе Z/_i и справедливости гипотезы Н^.
Величина ail) с учетом B.6.14) и B.6.15) определяется
как 1
аЦ) = у [ln\detN(l)\-lnc(l)]+Ayi(l).
Величина Ayi(l) B.6.12) может быть выражена в виде
. ,« 1
/, B.6.16)
где
о о ... —t (/, 1)
о о ... -z.r(/, 2)
U
1) - -Ц1.2) . . . -Ц[)
о о ... wT(i, 1)
О 0 ... WT(l,2)
W(l, 1) W(t,2) . . . Wll)
Матрицы W(l, k), входящие в B.6.16), с учетом B.6.10)
выражаются через матрицы W(k), k=\, I—1 следующим
образом:
W(l, k)=F(l, l-l)-F(t-l, 1-2) ... F(k+l, k)-W(k).
В окончательном виде рекуррентная процедура вычисления
логарифма отношения правдоподобия может быть представ-
представлена соотношениями (возвращаемся к написанию индекса ц):
Лц(/)=Лц(/-1)+оA@; Л;@)=0; 1=1, п;
)=у[//1|?/в^@|-/ЯС|4(/)];
B.6.17)
55

Рис. 2.10. Рекуррентный алгоритм многоальтернативного обна-
обнаружения: 1~блок сравнения; 2—решение (принимается при
/=л); 3—от других каналов
Структурная схема алгоритма B.6.17) изображена i
рис. 2.10. Решение о наличии или отсутствии сигнала мож*
приниматься посредством сравнения величины Лц(п) с зада
ным порогом. Блок у,ад.= 1 на рис. 2.10 обозначает схев
задержки на один такт.
Для решения задачи различения сигналов строится
алгоритмических каналов B.6.17), вырабатывающих лог
рифмы отношения правдоподобия Л„(я) для каждого из
сигналов; при Лц(я)>п (h — порог обнаружения) и Л„(я)-
>>Av(n) для всех \Фц, принимается решение о Н^, ест
Лц(я)<;/г, для всех ц, — о наличии только одного шума (гип
теза Но).
Все параметры и матричные коэффициенты, входящ
в B.6.17), вычисляются заранее.
При реализации рассматриваемого алгоритма мног
альтернативного обнаружения стохастических сигналов |
каждом шаге наблюдения необходимо знать блочные э/
менты L(l) матрицы K~t\ являющейся обратной по отношенг
к левым верхним подматрицам K^t с числом блоков 1X1 матр
цы /Си [индекс (х у матрицы Ц1) опускаем]. Матрица La
используется при расчете параметров F(l, /-1) и W(l) пол
ченнрго алгоритма. Для вычисления этой матрицы мож
быть предложена процедура, основанная на обращен»
блочных матриц [55] и позволяющая по результатам обр
щения матрицы Кц1-\ с числом блоков (/—1)Х(/—1) пол,
чить матрицу /С^1. Приведем эту процедуру.
Представим матрицу /Сц( в виде
56

Кц1 =
j
1
AT(l) i ЗД
B.6.18)
где /СД/)=/(„(/, /); Л(/) — блочная матрица-столбец, состоящая
из /— 1 блоков.
Матрица, обратная по отношению к K^i,
B.6.19)
Ст{1)
где размер введенных подматриц соответствует размеру под-
подматриц в B.6.18). Воспользовавшись введенными обозна-
обозначениями, приведем рекуррентный алгоритм вычисления матри-
матри(и, следовательно, матрицы L(l). Если известна мат-
матцы
рица К^л, начиная с 1=2, имеем:
1
C(l)= -Kj_
Синтезированные и рассмотренные в данной главе
алгоритмы позволяют обнаруживать и распознавать (при мно-
многоальтернативном обнаружении) стохастические сигналы в
различных фазовых пространствах.
ОБРАБОТКА БИНАРНЫХ СЦЕН
В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ
3.1
ВВЕДЕНИЕ
Из-за зашумленности исходных, многоградационных
по яркости сцен не свободны от помех и формируемые из
них бинарные сцены. Для более эффективного контурного
57

кодирования целесообразно, по возможности, освободитьс
от помех и улучшить контур силуэтного изображения. Эт
достигается с помощью фильтрации зашумленных бинарны
сцен. Для изображения малоразмерных обнаруживаемы
объектов эффективность методов контурного анализа всле^
ствие небольшого количества пикселей, задающих форм
объектов, невелика. Здесь успешному решению задач обнг
ружения и распознавания могут помочь различные метод
бинарной согласованной и пеленгационной фильтрации.
Все рассмотренные в настоящей главе алгоритмы не
линейной фильтрации (и математические модели в вид
конечных дискретных поглощающих цепей Маркова) работаю
по схеме последовательного анализа, т. е. обработка инфог
мации происходит до момента первого выполнения заложе*.
ного в алгоритме критерия принятия того или иного решени
(что приводит к уменьшению времени обработки всей бинар
ной сцены).
3.2
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ
ИЗ ТЕОРИИ МНОГОШАГОВЫХ ПРОЦЕДУР
ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Многошаговыми процедурами принятия решения буде
называть такие процедуры, в которых решение об исследу«
мом процессе (явлении) принимается по результатам нескол"
ких (многих) шагов по заранее выбранному правилу в ел
чайный момент времени [76}. Если число шагов для принятг
решения заранее не ограничено, то такие процедуры назов*
неусеченными многошаговыми процедурами принятия реш
ний, в противном случае — усеченными. Если многошагов1
процедуры позволяют принять только одно решение («да»
имеем многошаговые процедуры с единственным решение
Если же можно выносить как решение «да», так и решен
«нет», то это процедуры с двойным решением.
Неусеченные многошаговые процедуры с единственн!
решением будем обозначать как (k/n)^ , где k — число ед
ниц в п смежных шагах; индекс оо указывает на то, ч
число шагов, необходимых для вынесения решения «дг
сверху не ограничено. Запись (k/n)^ определяет критер
принятия решения, заключающийся в том, что принимает.
58

решение «да», если на v смежных шагах впервые появятся
ровно k единиц (/s<v<n).
Чтобы критерий принятия решения был точно определен,
кроме задания двух чисел (k и п), необходимо сформули-
сформулировать три правила: начала процесса принятия решения A),
окончания процесса принятия решения B) и возврата про-
процесса принятия решения в исходное состояние C):
1. Процесс принятия решения начинается при появлении
в последовательности нулей первой единицы; при этом цепь
Маркова из исходного состояния ао перейдет в первое рабо-
рабочее состояние*
2. Процесс принятия решения заканчивается, когда
впервые на п смежных позициях число единиц станет равным
числу К; при этом цепь Маркова попадает из промежуточ-
промежуточного рабочего состояния в последнее ат.
3. Процесс принятия решения возвращается в исходное
состояние а0, когда впервые после единицы число нулей ста-
станет равным п—k-\-\.
Сформулированные правила позволяют непосредственно
перейти к синтезу цепей Маркова. Изобразим геометрически
процесс принятия решения с помощью обобщенного графа
[76], на котором вершины (состояния) пронумерованы для
удобства построения конкретных графов (соответствующих
заданным числам k и п). Числа около вершин означают
количество путей (траекторий), которыми можно попасть в
указанную вершину из состояния (из вершины с номером 1).
Нетрудно видеть, что указанное число путей может быть вы-
вычислено с помощью известного треугольника Паскаля [46].
На рис. 3.1 стрелкой вверх символически обозначен резуль-
результат принятия решения «да* на очередном шаге (вероятность
этого события равна р); стрелкой вниз — результат принятия
решения «нет» на очередном шаге. Вероятность этого собы-
события равна q.
Покажем теперь, как из обобщенного графа можно
получить ориентированный стохастический граф любого кри-
критерия (k/n)«, . Процесс принятия решений заканчивается,
если число единиц станет равным k. Следовательно, из обоб-
обобщенного графа необходимо выделить подграф (в направле-
направлении вправо-вверх), каждая ветвь которого имеет ровно k—1
переходов,, соответствующих появлению единицы. Процесс
Исходное состояние цепи Маркова будем обозначать как а0; последнее
состояние — как ат; рабочее (промежуточное) состояние — как a(i=l, m—\).
59

Рис. 3.1. Обобщенный граф процесса принятия решения с;
помощью неусеченных многошаговых процедур с единственным
решением
принятия решения возвращается в исходное состояние
если число нулей станет равным n—k-j-l. Следователь»!
обобщенного графа необходимо выделить подграф (в на^
лении вправо-вниз), каждая ветвь которого имеет |
п—k-\-\ переходов, соответствующих появлению нуля, f-
С полученным подграфом поступаем следующим <
зом: стрелки, идущие вверх, «замкнем» на последнее с<^
ние ат; стрелки, идущие вниз,— на исходное состоянй
Разворачивая подграф в линию, получим требуемый орщ
рованный стохастический граф с минимальным числом ё.
яний:
60

l=(k—\)(n-k+l)+2. C.2.1)
Число «2» в последней формуле получается из-за того,
чТ0 берется дополнительно («вне» высекаемого подграфа)
как исходное состояние ао, так и последнее — ат.
В качестве примера рассмотрим синтез ориентированного
стохастического графа критерия B/3)с . Критерий B/3)»
означает, что для принятия решения «да» достаточно появ-
появления (после состояния ai, т. е. после вершины с номером 1)
одной единицы. Для возвращения процесса в состояние ао
достаточно появления двух нулей. События, реализующие
коитерий B/3)сх>, символически могут быть описаны как
Jl-101»[3] (рис. 3.2).
При попадании процесса принятия решения в послед-
последнее (ат) состояние процесс обнаружения заканчивается при-
принятием решения «да». При этом возникает вопрос: каков
исход из этого последнего состояния ат? Ответ зависит от
существа рассматриваемых задач. Если нас интересуют
вероятностно-временные характеристики первого попадания
процесса в состояние ат, то это состояние удобно сделать
поглощающим [76, 83]. В дальнейшем так и будем поступать.
На рис. 3.3 показан развернутый в линию граф критерия
B/3)оо с последним поглощающим состоянием, из которого
следует матрица вероятностей переходов процедуры B/3),»
C.2.2)
Из приведенного обобщенного графа и способа полу-
получения ориентированного стохастического графа видим, что
все критерии типа A/л)» (я=1, 2, ...) эквивалентны между
собой. Действительно, решение при использовании критерия
0/")оо (и=1, 2, ...) принимается при появлении первой еди-
единицы в последовательности, состоящей из одних нулей. Как
нетрудно видеть, закон распределения числа шагов до появле-
появления первой единицы будет геометрическим [83].
Из комбинаторных соображений следует, что число со-
событий Nx , реализующих критерий (k/n)^ , определяется фор-
формулой Л/о. =ChnZ\- Например, для критерия B/3)» #» =
С2
61
q
0
q
0
р
0
0
0
0
q
0
0
0
р
р
1

Рис. 3.2, Синтез ориентированного стохастического
графа критерия B/3)^
Р .
Рис. 3.3. Стохастический граф критерия B/3)оо
В табл. 3.1 и 3.2 приведены значения / и N«> для наи
более часто встречающихся критериев.
Таблица 3.
Критерий
/
Woo
0/0-
2
1
Критерий
1
Woo
B/2),
3
1
B/5).
6
4
B/3).
4
2
C/5).
t
t
5
\
4/5).
8
4
C/3).
4
1
E/5).
6 ¦
1
B/4).
5
3
B/6).
г
C/6).
10
10
C/4).
6
3
D/6).
11
10
D/4).
5
1
Таблица 3.1
E/6).
10
5
F/6).
7
1
62

Усеченные многошаговые процедуры с двойным решени-
еМ будем обозначать (k/n)n. Суть чисел k и п такая же, как и
дЛя процедур (k/n)n«, , рассмотренных выше. Индекс п ука-
указывает на то, что число шагов ограничено сверху.
Заметим, что при k=n получаются многоэтапные про-
процедуры принятия решений, для которых многоэтапность отно-
относится к принятию решения «да». При /г=1 имеем процедуру
(\/п)п\ их также можно считать многоэтапными, но отно-
относительно принятия решения «нет». При п=\ процедура
(l/l)i является обычной (одноэтапной, одношаговой) процеду-
процедурой принятия решений.
Будем считать, что (k/n)n определяют критерий приня-
принятия решений, заключающийся в том, что принимается решение
«да», если на v-смежных шагах впервые появляется ровно k
единиц (k^y^.n). Если на смежных шагах впервые появятся
п—/е —|— 1 нулей, принимается решение «нет».
Трактуя процесс принятия решения как поглощающую
цепь Маркова,, имеем уже два поглощающих состояния. Ре-
Решение «нет» будем соотносить с предпоследним (am_i) погло-
поглощающим состоянием; решение же «да» — с последним погло-
поглощающим состоянием (am).
Для более точного определения критерия принятия ре-
решения для усеченных многошаговых процедур необходимо
сформулировать два правила: начала процедуры принятия
решения и окончания процедуры (возврата в исходное состоя-
состояние в рассматриваемом классе процедур нет).
1. Процесс принятия решения начинается при первом
же шаге, при этом цепь Маркова из исходного состояния
по перейдет в одно из двух рабочих состояний: если результа-
результатом первого испытания будет единица, процесс перейдет в
первое рабочее состояние с вероятностью р; при наличии ну-
нуля—во второе рабочее состояние с вероятностью q.
2. Процесс обнаружения заканчивается, как только
впервые появятся либо k единиц (принимаем решение «да»
и процесс попадает в последнее поглощающее состояние
ат), либо п—/г+1 нулей (при $том принимается решение
«нет» и процесс попадает в предпоследнее поглощающее
состояние am_i).
Перейдем к синтезу ориентированных стохастических
графов и матриц переходных вероятностей процедур (k/n\ .
Сначала покажем, как из обобщенного графа процесса
63

Рис. 3.2. Синтез ориентированного стохастического
графа критерия B/3),^
Р
p .
Рис. 3.3. Стохастический граф критерия B/3),,,
В табл. 3.1 и 3.2 приведены значения / и Nx для наи-
наиболее часто встречающихся критериев.
Таблица 3.!
Критерий
1
A/1)»
2
1
B/2).
3
1
B/3)» ¦
4
2
C/3).
4
1
B/4).
5
3
C/4).
6
3
D/4)»
5
1
Таблица 3.2
Критерий
/
B/5).
6
4
C/5).
1
z
5
1
4/5).
8
4
E/5).
6
1
B/6).
г
C/6).
10
10
D/6).
11
10
E/6).
10
5
F/6).
7
1
62

Усеченные многошаговые процедуры с двойным решени-
решением будем обозначать (k/n)n. Суть чисел k и п такая же, как и
дЛя процедур (/г/я)"» , рассмотренных выше. Индекс п ука-
указывает на то, что число шагов ограничено сверху.
Заметим, что при k=n получаются многоэтапные про-
процедуры принятия решений, для которых многоэтапность отно-
относится к принятию решения «да». При k=l имеем процедуру
(\/п)п\ их также можно считать многоэтапными, но отно-
относительно принятия решения «нет». При п=1 процедура
A/1)! является обычной (одноэтапной, одношаговой) процеду-
процедурой принятия решений.
Будем считать, что (k/n)n определяют критерий приня-
принятия решений, заключающийся в том, что принимается решение
«да», если на v-смежных шагах впервые появляется ровно k
единиц (/s^v^n). Если на смежных шагах впервые появятся
п—k-\-\ нулей, принимается решение «нет».
Трактуя процесс принятия решения как поглощающую
цепь Маркова^ имеем уже два поглощающих состояния. Ре-
Решение «нет» будем соотносить с предпоследним (am_i) погло-
поглощающим состоянием; решение же «да» — с последним погло-
поглощающим состоянием (ат).
Для более точного определения критерия принятия ре-
решения для усеченных многошаговых процедур необходимо
сформулировать два правила: начала процедуры принятия
решения и окончания процедуры (возврата в исходное состоя-
состояние в рассматриваемом классе процедур нет).
1. Процесс принятия решения начинается при первом
же шаге, при этом цепь Маркова из исходного состояния
а0 перейдет в одно из двух рабочих состояний: если результа-
результатом первого испытания будет единица, процесс перейдет в
первое рабочее состояние с вероятностью р; при наличии ну-
нуля—во второе рабочее состояние с вероятностью q.
2. Процесс обнаружения заканчивается, как только
впервые появятся либо k единиц (принимаем решение «да»
и процесс попадает в последнее поглощающее состояние
пт), либо п—k-\-1 нулей (при ^том принимается решение
«нет» и процесс попадает в предпоследнее поглощающее
состояние ат_]).
Перейдем к синтезу ориентированных стохастических
графов и матриц переходных вероятностей процедур (?/")» •
Сначала покажем, как из обобщенного графа процесса
63

р
я
9,
р
Рис. 3.4. Обобщенный граф процесса принятия решения с
помощью усеченных многошаговых процедур с двойным
решением
принятия решения получить ориентированный стохастический
граф любого критерия (k/n)n.
Как указывалось выше, процесс принятия решения
заканчивается принятием решения «да», если число единиц
равно k. Следовательно, из обобщенного графа необходимо
выделить подграф (в направлении вправо-вверх), каждая
ветвь которого имеет ровно k переходов, соответствующих
появлению единицы. Процесс принятия заканчивается приня-
принятием решения «нет», если число нулей станет равным п.—k-\-i
64

Для этого из обобщенного графа выделяем подграф (в нап-
направлении вправо-вниз), каждая ветвь которого имеет ровно
п—/г+1 переходов, соответствующих появлению нуля.
Далее с полученным подграфом поступаем следующим
образом: стрелки, идущие вверх, «замкнем» на последнее
(пт) поглощающее состояние (решение «да»); стрелки, идущие
вниз,— на предпоследнее поглощающее состояние ат-\ (реше-
(решение «нет»). Разворачивая полученный подграф в линию,
получим исходный линейный граф. Из способа получения под-
подграфа вытекает, что результирующий граф имеет минималь-
минимальное число состояний
l=k(n—k+l)+2. C.2.3)
Число «2» в последней формуле получилось вследствие
того, что имеется два дополнительных поглощающих состоя-
состояния (ат и ат-\). Приведем вывод формул для числа события,
реализующих процедуру (k/n)n. Начнем с числа событий,
которые приводят к принятию решения «да».
Итак, для попадания в поглощающее состояние ат
необходимо, чтобы за п шагов появилось ровно k единиц.
Тогда число путей (траекторий), приводящих к состоянию
ат, можно интерпретировать как число сочетаний k предме-
предметов по п местам при условии, что предметы тождественны, т. е.
Определим число событий, приводящих к принятию ре-
решения «нет». Чтобы попасть в поглощающее состояние ат_ь
необходимо, чтобы за п шагов появилось ровно n—k-\-\ ну-
нулей, т. е. число единиц не должно превышать k—1. Аналогично
формуе C.2.4) имеем
- <3-2-5)
Общее число событий, реализующих процедуру (k/n)n,
равно сумме C.2.4) и C.2.5); т.. е.
1=c!'n+l. C.2.6)
В табл. 3.3 и 3.4 приведены значения /, #да> Д,ет и Ns
Для_наиболее часто встречающихся процедур (k/n)n (/г<п,
я—1,6).
65

Таблица 3.3
Критерий
Лда
Л/цет
"г
A/2J
4
2
1
3
A/3)з
5
3
1
4
B/3)з
6
3
3
6
A/4L
6
4
1
5
B/4L
8
6
4
10
C/4L
8
4
6
10
Таблица 3.4-
Критерий
/
^да
ли
л/2
A/5)б
7
5
1
6
B/5M
10
10
5
15
C/5M
11
10
10
20
D/5),
10
5.
10
15
0/6),
8
6
1
7
B/6N
12
15
6
21
C/6)в
14
20
15
35
D/6),
14
15
20
35
E/6),
12
6
15
21 '
Приведем пример синтеза графа B/3)з для k=2,
n—k-\-\=2. На рис. 3.5 показан процесс получения ориенти-
ориентированного стохастического графа критерия B/3)з- На рис. 3.6
развернутый в линию граф критерия B/3)з для /=2X2+2=6,
из которого следует матрица вероятностей переходов крите-
критерия B/3)з
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
q
q
0
0
0
0
0
р
q
i
0
0
р
0
р
0
1
C.2.7)
66

ч
Рис. 3.5. Синтез ориентированного стохастического графа
критерия B/3)з
Рис. 3.6. Стохастический граф критерия B/3) %
67

3.3
ПОДАВЛЕНИЕ ШУМОВ
Пусть имеется бинарная двумерная сцена с вероят-
вероятностью появления единицы, равной р=Р{\), и с вероятностью
появления нуля, равной q=P{0}=l—р{1} = 1—р. Рассмотрим
процесс подавления статистически Независимых шумов на при-
примере зашумленной сцены с вероятностью р—Р{1}=0,05 (рис.
3.7). Для подавления шумов с помощью многошаговых про-
процедур принятия решения необходимо обнаружить помеховые
единицы и не реагировать на них.
Из всего многообразия многошаговых процедур наиболее
подходят неусеченные многошаговые процедуры с единствен-
единственным решением типа (/г/п)то, методы синтеза матриц вероят-
вероятностей переходов которых (при любых, но заданных k и /г)
изложены в разделе 3.2. Для подавления шумов сцены, пред-
представленной на рис. 3.7, достаточно взять критерий с п=2,
т. е. B/2)оо: действительно, критерий B/2)оо приводит к
принятию решения «да», если в последовательности нулей и
единиц впервые появится комбинация «11» [76, 83]. Еди-
Единичный выброс критерий B/2)^ «не заметит», и, таким
образом, подавление единичных помех будет обеспечено.
Синтезированная матрица вероятностей переходов критерия
B/2)„ имеет вид [83]
Р=
я
0
р
0
0
0
р
1
C.3.1)
На рис. 3.8 представлена сцена после построчной (по
горизонтали) фильтрации с помощью критерия B/2H0.
Фильтрация исходной сцены дала ощутимый результат,
однако не очистила ее полностью. Для полной очистки доста-
достаточно еще раз. отфильтровать сцену с помощью критерия
B/2)^ вертикальным проходом.
При увеличении вероятности р насыщенность сцены
«единицами» возрастает, что приводит к необходимости при-
применения критериев с большими значениями п.
Аппарат фундаментальных матриц [28, 83] поглощаю-
поглощающих цепей Маркова позволяет рассчитывать математическое
ожидание и среднеквадратическре значение числа просмотрен-
68

Рис. 3.7. Исходная шумовая сцена
Рис. 3.8. Результат построчной фильтрации сцены
ных пикселей между соседними объявлениями «ложного
обнаружения». Приведем расчет указанных характеристик
на примере критерия B/2)^ с матрицей переходных вероят-
вероятностей переходов Р [выражение C.3.1)]. Итак, фундаменталь-
фундаментальная матрица N=(I—Q)~l цепи C.3.1) имеет вид [83].
69

1 p
я p
Вектор математических ожиданий ?^ числа просмотрен-
просмотренных пикселей до объявления «ложного обнаружения» полу-
получаем из матрицы JV построчным суммированием элементов
фундаментальной матрицы [28] Ev =—=¦
1
Известно
[28], что вектор дисперсии Dv числа просмотренных пикселей
между соседними «ложными_обнаружениями»_^ассчитывается
по матричному выражению Dv=BN—I)Ev—Ev B), где Ev B)—
вектор-столбец, полученный возведением в квадрат каждой
координаты вектор а-столбца Ev [83]:
Dv =
1 +2р—Зр2
C.3.2)
В работе [83] показано, что /-я координата вектора-
столбца ?v критерия (п/п)» может быть рассчитана по
формуле
=^|о Р1-
C.3.3)
В табл. 3.5 приведены рассчитанные значения первых
координат векторов-столбцов Ev(Ev) и Dv(ov= -{-~\[Dv) при
р=0,1 для ряда критериев.
Таблица 3.5
Критерий
?v
A/1)»
10
9,4862
B/2)»
ПО
108,536
C/3L
1110
1107,61
D/4L
НПО
11106,6
E/5L
111110
111110,6
F/6L
1111110
1111110
Как видим, при изображении размером 128X128 кри-
критерий E/5)°° дает «ложную тревогу» в среднем один раз за
6—7 кадров, причем это относится только к одному (либо
70

горизонтальному, либо вертикальному) проходу критерия.
При двухмерном проходе указанная цифра по крайней мере
удвоится. Критерий F/6)», при одном проходе увеличит
рассчитанное число кадров на порядок.
3.4
ОБНАРУЖЕНИЕ
ПРОСТРАНСТВЕННО РАСПРЕДЕЛЕННЫХ
ОБЪЕКТОВ
Допустим, что в бинарной сцене находятся несколько
произвольно расположенных пространственно протяженных
объектов. Используем для их обнаружения неусеченные много-
многошаговые процедуры с единственным решением типа (?/«)<*,.
Моменты принятия решений о появлении или окончании
объекта вдоль строки (столбца) привязаны к окончанию за-
заданных комбинаций нулей и единиц [76, 84, 85]. Поэтому
выделенный сигнал сдвинут относительно истинного. Во избе-
избежание этого следует осуществить двойную коррекцию: по
обнаружении начала конца сигнала. Методы обращенных це-
цепей Маркова [28] позволяют произвести указанную коррек-
коррекцию с расчетом ее точности.
Рассмотрим метод расчета параметров коррекции на
примере критерия B/3)<х>- Матрица вероятностей переходов
обращенной цепи. Маркова рассчитывается по формуле Р~*=
= D~\P3fD.Cnecb(P3) —транспонированная матрица вероят-
вероятностей переходов эргодической цепи Маркова; D — диагональ-
диагональная матрица с элементами с1ц=щ, где щ — /-я координата
вектора предельных вероятностей ~&=лРэ.)
Для критерия B/3),» имеем следующие матрицы:
ч
0
q
0
Р
0
0
0
0
ч
0
0
0
р
р
; P^ =
?
0
<?
р
0
0
0
0
1
0
0
р
р
0
г
О
q'p р\\+я)
0 0
0 0
i+я
C.4.1)
Объявив состояние а0 поглощающим и применив аппарат
фундаментальных матриц, получим:
71

1
2
2+3?
0
0
Я
C.4.2)
что дает следующее: момент возникновения полезного сиг-
сигнала равен моменту принятия решения минус значение
2+3? „ ~\/q
. ' , причем точность указанной оценки ov=
Нетрудно показать, что критерий (п/п)^ имеет следую-
следующие параметры коррекции: Е\=п, ov=0. В дальнейшем, го-
говоря об обнаружении и выделении полезного сигнала, будем
предполагать, что необходимая коррекция проведена.
Алгоритмы обнаружения и выделения полезного сигнала
обозначим [(*„/"„)Л(^/«*)]<», где (frH/nH) —критерий обнару-
обнаружения начала полезного сигнала, a (kk/tik) — критерий обна-
обнаружения конца сигнала. Вследствие того, что в результате
воздействия помех возможны (в области существования
полезного сигнала нулевые значения, необходимо брать крите-
критерий с Пк^2.
Ясно, что критерий обнаружения конца полезного сигна-
сигнала срабатывает не по комбинациям единиц (как это было при
обнаружении начала сгнала), а по комбинациям нулей.
Например, алгоритм [B/3)ЛB/2)]оо обнаруживает начало сиг-
сигнала по впервые появившимся комбинациям «11» либо «101»,
критерий обнаружения конца сигнала срабатывает от впер-
впервые появившейся комбинации «00».
Методы синтеза ориентированных стохастических графов
процедур типа (k/ri)^ (см. 3.2) позволяют получить ориенти-
ориентированный стохастический граф алгоритма [B/3)ЛB/2)],„
Рис. 3.9. Ориентированный стохастический граф алгоритма
[B/3)ЛB/2)]
72

(рис. 3.9), из которого следует матрица вероятностей пере-
переходов
Р =
q
0
q
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
Р
Р
Р
Р
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
q
1
C.4.3)
64,977
54,977
59,714
2,345
2,234
; Dv=
3705,6438
3615,6159
3688,1839
0,687241
0,5625
; ov=
60,874
60,13
60,73
0,829
0,75
Применив аппарат фундаментальных матриц к матрице
C.4.3), получим (п?и р=0,1) следующие векторы математи-
математического ожидания Ev\, дисперсии Dv и среднеквадратического
значения ov числа пикселей до попадания процесса при-
принятия решения в последнее состояние as (см. рис. 3.9):
?v,=
C.4.4)
В первую очередь интерес представлят первые и четвертые
координаты полученных векторов. Число 64,977 означает ма-
математическое ожидание числа пикселей от начала работы ал-
алгоритма до принятия решения об окончании сигнала; число
2,345 — математическое ожидание числа пикселей от момента
обнаружения начала сигнала до момента обнаружения конца
сигнала; число 64,977—2,345=62,632 — математическое ожи-
ожидание числа пикселей от начала работы алгоритма до момента
обнаружения начала сигнала.
Случай р=0,1 эквивалентен работе алгоритма в поме-
ховой области, и отношение 62,632/2,345=26,708 свидетельст-
свидетельствует о неплохой эффективности алгоритма [B/3)ЛB/2)]оо.
В этом случае число 2,345 есть математическое ожидание
(в пикселях) длительности «ложного сопровождения», число
62,632 — математическое ожидание числа пикселей до объяв-
объявления «ложного захвата». Ясно, что тем больше отношение
указанных чисел F2,632 и 2,345), тем лучше работает конк-
конкретный алгоритм.
73

Для более тщательного анализа работоспособности ал-
алгоритмов обнаружения и выделения полезных сигналов не-
необходимо проанализировать характеристики алгоритмов при
работе их в сигнальной области сцены. В табл. 3.6 и 3.7
приведены данные по расчету соответствующих математи-
математических ожиданий при р=0,1 (помеховая область сцены) и
р=0,9 (сигнальная область), где обозначено: Е\н — математи-
математическое ожидание числа пикселей от момента начала работы
алгоритма до момента обнаружения начала сигнала; Е\к—
математическое ожидание числа пикселей от момента обна-
обнаружения начала сигнала до момента обнаружения конца
сигнала; х\ =
; у — отношение чисел т|.
Таблица 3.6
Алгоритм
[B/3)ЛB/2)]оо
[B/3)ЛA/1)]„
[B/2)ЛB/2)]оо
[B/2)ЛA/1)]оо
[B/2)ЛB/3)]00
[A/1^B/2)],»
[C/3)ЛA/1)]„
?vH
62,632
62,632
110,0
110,0
110,0
10,0
1110,0
р=0,
ЕП
2,345
1,111
2,345
1,111
2,233
2,345
1,111
•п
26,708
56,368
46,908
99,0
49,261
4,264
999,0
Р=0,9
?vH
2,233
2,233
2,345
2,345
2,345
1,111
3,717
ЕЧ
110,0
10,0
110,0
10,0
62,632
110,0
10,0
•п
0,0203
0,223344
0,021318
0,234567
0,035812
0,010101
0,371742
4@,1)
7 4@,9)
1315,665
252,3819
2200,394
422,0542
1345,644
232,1552
9687,347
Таблица 3.7
Алгоритмы
[B/3)ЛB/3)]оо
[C/3)ЛB/2)]0о
[C/3)ЛB/3)]0О
[«3/3)ЛC/3)]ОО
Р=0,1
?vH
62,632
1110,0
1110,0
1110,0
?vfe
2,233
2,345
2,233
3,717
•п
28,047
473,348
497,089
298,628
Р=0,9
?vh
2,233
3,717
3,717
3,717
62,632
110,0
62,632
1110,0
•п
0,035653
0,03348
0,0593
0,00334
т,@,1)
1 1@,9)
786,6659
14138,23
8382,495
89409,58
[A/1)ЛC/3)]оо
[B/3)ЛC/3)]оо
[B/2)ЛC/3)]оо
10,0
62,632
110,0
3,717
3,717
3,717
2,69
16,850
29,593
1,111
2,233
2,345
1110,0
1110,0
1110,0
0,001001
0,002011
0,002112
9687,312
8378-.915
13952,38
74

При работе алгоритма в сигнальной области величина
?vn есть математическое ожидание числа пикселей от начала
работы алгоритма до «истинного захвата* обнаруживаемого
пространственно распределенного объекта: ?v& — математи-
математическое ожидание длительности «истинного сопровождения»
объекта (или длительности до «ложного срыва» объекта).
Е\а
При этом чем меньше отношение чисел х\ = -=— , тем лучше
t\k
работает конкретный алгоритм. Таким образом, наибольшей
эффективностью обладает алгоритм с максимальным числом у.
На рис. 3.10 представлена зашумленная сцена с группой
полезных сигналов, результаты пространственной обработки
Рис. 3.10. Зашумленная сцена с группой полезных
сигналов
которой алгоритмом [C/3)ЛB/3)]„ (горизонтальная и верти-
вертикальная фильтрация) (рис. 3.11) свидетельствуют о высокой
эффективности алгоритмов выделения (обнаружения) прост-
пространственно распределенных объектов типа [(А, ДОЛ(&*/П*)]°°-
При наличии полезных сигналов с ярко выраженной анизо-
анизотропной структурой (например, резко различаются размеры
по ортогональным осям) лучшие результаты дает пространст-
пространственная анизотропная фильтрация, под которой понимается,
что алгоритм обнаружения и выделения пространственно
распределенных объектов по горизонтали не равен (другие
75

Рис 3.11. Результат пространственной обработки алгоритмов
[C/3)ДB/3)]
Рис. 3.12. Зашумленная сцена с изображением верти-
вертикальной полосы
параметры 1г„, п„, /г* и /г*) алгоритму обнаружения и выделе
ния сигналов по вертикали.
76

Рис. 3.13. Результат построчной фильтрации
Результат построчной фильтрации зашумленной сцены
с изображением вертикальной полосы представлен на рис.
3.12; результат построчной фильтрации — на рис. 3.13.
3.5
ВЫДЕЛЕНИЕ
ПОДОЗРИТЕЛЬНЫХ ОБЛАСТЕЙ СЦЕНЫ
ПО ПРИЗНАКУ НАЛИЧИЯ СГУЩЕНИЯ
Анализ проведенных исследований по применению ал-
алгоритмов обнаружения и выделения полезных сигналов пока-
показал, что, несмотря на высокую эффективность обработки
изображений с помощью алгоритмов [Aг„ /'i%) /\(kk/'«*)]«>>
полностью очистить сцену от ложных образований не удается
(см. рис. 3.11). Поэтому возникает задача предварительного
выделения так называемых подозрительных областей сцены
для дальнейшей более детальной обработки [86].
Для бинарных изображений отличие сигнальной об-
области сцены от помеховой заключается в том, что р=Р{1}
для сигнальной области, как правило, больше аналогичной
вероятности для помеховой области. Поэтому сигнальные
области сцены характеризуются большей насыщенностью,
чем остальные.
77

Как известно [76], многошаговые процедуры принятия
решений реагируют на локальные сгущения единиц. Восполь-
Воспользуемся указанным признаком. Зададим окно размером пх-пу=
=N и число NS^.N. При текущем положении окна подсчи-
тывается содержащееся в нем число единиц Nt. Как только
оно достигнет значения Nl=Ns, дальнейший подсчет прекра-
прекращается и выносится решение: данная область сцены раз-мером
ПуХпх является подозрительной. Затем окно перемещается на
один пиксель и процедура повторяется. Описанный алгоритм
эквивалентен усеченным многошаговым процедурам принятия
решений типа (jV2/jV)v [76]. Их математическими моделями
являются дискретные цепи Маркова, матрицы вероятностей
переходов которых синтезированы в разделе 3.2. Число состоя-
состояний синтезированных цепей Маркова m=Nz(N—Л^ + 1)+2.
На рис. 3.14 представлена исходная сцена с группой
полезных сигналов. На рис. 3.15 показан результат обработки
данной сцены по критерию E/9) э в окне размером 3X3,
Л^з=5, свидетельствующий о высокой эффективности предло-
предложенных алгоритмов выделения подозрительных областей на
бинарных сценах.
Перейдем к теоретическому анализу предложенных
алгоритмов. Матрица вероятностей переходов критерия
C/4L имеет вид
C.5.1)
Пусть вероятность появления единицы в пикселе р=
=Я{1}=0,9 (сигнальная область сцены). Применяя аппарат
фундаментальных матриц поглощающих цепей Маркова,
можно подсчитать, что математическое ожидание числа
просмотренных пикселей до вынесения истинного решения
«Данная область сцены является подозрительной», равно
?v,=3,466, т. е. практически при первом наложении окна
размером 2X2 алгоритм C/4L выявит сигнальную область.
Пусть р=Р{1}=0,1 (помеховая область сцены). Тогда ?vo=
0
0
0
0
0
1
0
р
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
q
р
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
q
Р
q
0
0
0
0
0
0
Р
0
1

Рис. 3.14. Исходная зашумленная сцена с группой
полезных сигналов
Рис! 3.15. Результат обработки сцены по критерию E/9)д
79

=868,459, т. е. ложное решение будет принято в среднем
«267 перемещений окна.
В табл. 3.8 даны значения Ev0, Ev и Ц=~^~ для Ряда ал~
горитмов, предельная (полный съем информации всего окна)
вероятность ложного выделения а2(р=0,1) и правильного
р
выделения Рпр (р=0,9), а также отношение у= ——. В целом
а2
указанные величины свидетельствуют о высокой эффектив-
эффективности предложенных алгоритмов выявления подозрительных
областей на бинарных сценах.
Таблица 3.8
Алгоритм
B/4).
C/4).
D/4),
B/5)s
C/5M-
D/5).
E/5M
B/6).
C/6N
(V6).
E/6)б
F/6)в
(Р=0,1)
79,936
868,459
21109,0
63,493
503,509
7002,478
211108,991
53,590
340,457
854,482
58583,544
2111108,099
?v,
(р=0,9)
2,228
3,466
5,766
2,223
3,355
4,719
7,699
2,221
3,336
5,472
6,042
9,698
т, ?V°
^ ?v
35,877
260,565
3660,543
28,562
150,077
1483,890
27671,908
24,118
102,005
156,155
9696,0516
217604,88
Рпр
(р=о,0
0,9963
0,9477
0,6561
0,99954
0,99144
0,91854
0,59049
0,999945
0,99873
0,949158
0,885735
0,531441
(р=0,1)
0,0523
0,0037
0,0001
0,08646
0,00856
0,00046
o.ooooi
0,114265
0,01585
0,005158
0,000055
0,000001
Рпр
У «г
19,049712
256,13513
6561,0
12,28382
115,8224
1996,876
59 049,0
8,751104
63,01135
184,0166
16104,27
531441,0
3.6
СЕЛЕКЦИЯ НА ПЛОЩАДИ
Для распознавания объектов заданных размеров нередко
на этапе предварительной обработки используют селекцию
объектов по площади, суть которой заключается в том, что
для дальнейшей обработки отбираются те объекты, площадь
которых находится в заданных пределах (от Smin до Smax)
[86].
Учитывая, что площадь на бинарных изображениях под-
считывается как число единиц, «занимаемых» сегментирован-
сегментированным объектом, работу алгоритма селекции по площади можно
представить следующим образом: задается окно размером
Л^=^тр*^т; ^трКт) —число пикселей по горизонтали (верти-
80

кали), а также два числа Smin, Smax, Smin^Smax<;N. Затем
в окне заданной апертуры производится подсче/ числа единиц
AV При Smin^N^Smax анализируемые объекты селектируются
для дальнейшей обработки (принимается решение «да»). В
противном случае изображения сегментированных объектов
на дальнейшую обработку не поступают (принимается реше-
решение «нет»). Таким же образом окно заданной апертуры «прос-
сматривает» всю сцену.
Перейдём к синтезу дискретных цепей Маркова иссле-
исследуемых алгоритмов селекции. Учитывая, что общее число
просматриваемых пикселей ограничено (и равно N), для
задач селекции по площади наиболее подходят усеченные
многошаговые процедуры с двойным решением (см. 3.2).
Таким образом, для синтеза соответствующих цепей
Маркова потребуется обобщенный граф принятия решений
(рис. 3.1).
Методику синтеза цепей Маркова рассмотрим на сле-
следующем примере. Пусть имеется окно 2X2, в котором селек-
селектируются объекты, с площадью Smin=2 и Sm0*=3. Селекция
объектов с площадью Smin=2 эквивалентна усеченной много-
многошаговой процедуре B/4) 4; селекция объектов с площадью
Smax=3 эквивалентна усеченной многошаговой процедуре
C/4) 4- Сказанное означает, что при наличии двух или трех
единиц принимается решение «да»; при наличии одной или
четырех единиц — «нет». Следовательно, из обобщенного
графа необходимо вычленить подграф, соответствующий
критерию B/4L [тшB,3)=2], и подграф, соответствующий
критерию D/4L- Огибающая указанных подграф и определит
искомый подграф.
На рис. 3.16 для рассматриваемого примера показан
процесс отыскания подграфа с «замыканиями» на поглоща-
поглощающие состояния а,да» и о,нет» (часть сгибающей, соответст-
соответствующая процедуре B/4) 4, изображена сплошной линией, а
процедура D/4L — штриховой).
Разворачивая полученный подграф в линию, получим
ориентированный стохастический граф рассматриваемого
алгоритма селекции по площади (рис. 3.17), из которого сле-
следует матрица вероятностей переходов синтезированной диск-
дискретной цепи Маркова рассматриваемого алгоритма селекции
по площади бинарных изображений:
81

Рис. 3.16. Иллюстрация отыскания искомого подграфа
алгоритма селекции по площади с W=2X2=4 и Smin=2
и Smo,= 3
Рис. 3.17. Ориентированный стохастический граф алгоритма
селекции по площади с W=2X2=4 и Smin=2 и Smllx=3
82

p=
0 p
о о
<70000000
Ор^ООООО
ООООр^ОООО
ООООООрО О q
00 ООООО^Ор
ОООООООр^О
00000000
00000000
Р Я
Я Р
0000000010
0000000001
C.6.1)
Итак, мы изложили метод синтеза дискретных (поглоща-
(поглощающих) цепей Маркова, соответствующих алгоритмам селекции
по площади бинарных изображений. Аппарат фундаменталь-
фундаментальных матриц поглощающих дискретных цепей Маркова позво-
позволяет теоретически производить статистический анализ алго-
алгоритмов селекции по площади, расчет вероятностных (вероят-
(вероятности селекции объектов заданной площади) временных
(условные и безусловные математические ожидания числа
просмотренных пикселей до вынесения того или иного реше-
решения) характеристик алгоритмов селекции.
В табл. 3.9—3.12 представлены данные статистического
анализа различных алгоритмов селекции при р=0,1 и 0,9
(помеховая и сигнальная области сцены соответственно).
Здесь приняты следующие обозначения: дда> — вероятность
селекции объектов заданных площадей; ?V0(?v) — условное
математическое ожидание числа просмотренных пикселей до
принятия решения «нет» («да»); Ev — безусловное математи-
математическое ожидание числа просмотренных пикселей.
Таблица 3.9
Параметры
алгоритма
Smin=2
,V=4
/V =5
р=0,1-
2,16
3,2309
4,286
5,3337
Р=0,9
2,64
3,9985
4,286
4,4001
Р=0,1
2,64
3.4898
4,4
5,3848
Р=0,9
2,16
3,2857
41,4
5,4892
?v
р=0,1
2,18
3,244
4,4952
5,3361
р=0,9
2,18
3,756
4,2952
4,4173
р=0,1
0,028
0,0522
0,081
0,112995
р=0,9
0,972
0,3402
0,081
0,0157
83

Таблица 3.10
Параметры
алгоритма
5„„=4
ЛГ=5
/V=6
Р-0..
2,2114
3,3977
4,4001
Р-0,9
3,2734
4,9694
5,3337
?\
,-0.1
3,7227
4,4778-
5,4872
Р=О,9
3,2308
4,568
5,3548
?v
,=0,1
2,217
3,4349
4,4173
Р=0,9
3,233
4,4173
5,3361
Р<да»
Р-ОЛ
0,0037
0,034470
0,0157950
р=0*
0,9477
0,37503
0,112995
Таблица 3.11
Параметры
алгоритма
S-..-2
S...-3
ЛГ=4
р=0,1
3,2308
4,2857
5,3334
р=0,9
3,7297
4,9998
5,3334
Е-,
р=0,\
3,2734
4,0276
4,8653
0
р=0,9
2,2114
3,5743
4,8653
?v
р-0.1
3,233
4,9647
5,2789
Р=0,9
2,217 •
4,4167
5,2799
р
"«да»
р=0,1
0,0523
0,08145
0,11421
р=0,9
0,9963
0,40905
0,11421
Таблица 3.12
Параметры
алгоритма
Sm0I=5
Sm(n=3
5mar=5
S.,,=4
JV=5
A/=6
JV=5
jy—g
JV=5
W=6
Я1
p=0,l
4,2857
5,3333
3,3088
4,4
2,2204
3,3295
p=0,9
4,7826
6
4,4509
5,999
3,8915
5,9758
Ei
P=0,l
3,8915
4,5941
4,4509
5,2334
4,7826
5,6454
p=0,9
2,2204
3,8821
3,3088
4,5179
4,2857
5,2754
E
p=0,l
4,2536
5,2489
3,3186
4,4132
2,2216
3,3314
V
P=0,9
2,2216
5,0077
3,3186
5,3069
4,2536
5,6587
Р«да»
P=0,l
0,08146
0,114264
0,00856
0,015849
0,00046
0,001269
P=0,9
0,099954
0,468504
0,99144
0,467289
0,91854
0,452709
Приведенные результаты позволяют дать рекомендации
на выбор размера апертуры N. Желательно так выбирать N,
чтобы указанная величина была как можно ближе к задан-
заданному значению Smax. При этом увеличивается вероятность
выделения сигнальных объектов (р=0,9); уменьшаются веро-
вероятности выделения ложных объектов (р=0,1) и математиче-
математические ожидания (условные и безусловные) числа просмотрен-
просмотренных пикселей до вынесения решений, что приводит к уменьше-
84

Нию времени анализа всей цепи. Например, при Smin=3,
S»>«=4 и jV=4 (апертура полностью «согласована» с макси-
максимальной площадью селектируемого объекта) вероятность пра-
правильного выделения объектов равна 0,9477, вероятность лож-
лого выделения — 0,0037 (табл. 3.10).
3.7
ДВУХПОРОГОВЫЕ
АЛГОРИТМЫ ФИЛЬТРАЦИИ
С ЗАПОЛНЕНИЕМ ОКНА
Рассмотрим обобщение алгоритмов селекции по пло-
площади. Оно заключается в.следующем: если число единиц N{
в окне заданной апертуры Ni>Smax, то принимается решение
о заполнении всего окна единицами (это приводит к восста-
восстановлению в сигнальной области сцены ложно пропущенных
единиц). Таким образом, двухпороговые алгоритмы фильтра-
фильтрации имеют три решения: «нет» (очищение от ложных единиц),
«да 1» (перенос содержимого окна без его изменения) и
«да 2» (перенос окна с заполнением его единицами) [86].
Решение будем принимать в момент первого выполнения
критерия (схема последовательного анализа). Математиче-
Математической моделью исследуемых алгоритмов по-прежнему явля-
являются поглощающие цепи Маркова с тремя (по числу
решений) поглощающими состояниями (см. 3.2).
Для синтеза соответствующих цепей Маркова нам потре-
потребуется обобщенный граф процесса принятия решений,
изображенный на рис. 3.4. Методику синтеза дискретных це-
цепей Маркова проиллюстрируем тем же примером, что и в
п. 3.6. Отличие заключается в том, что при N\=3 принимает-
принимается решение «да 1», а при Nt>3 (Ni=4) — решение «да 2».
Как в п. 3.6, из обобщенного графа (рис. 3.1) необходимо
вычленить подграф, соответствующий процедуре B/4) 4, и под-
подграф, соответствующий процедуре D/4) 4. Огибающая указан-
указанных подграфов и определит искомый подграф, с которым
поступаем следующим образом. Стрелки, соответствующие
принятию на каждом шаге решения «да» (вероятность этого
события равна р) и выходящие из части огибающей, соответ-
соответствующей критерию B/4L, «замкнем» на поглощающее состо-
Яние о*Да и- Стрелки, соответствующие принятию на каждом
шаге решения «нет» (вероятность этого события равна q) и
85

выходящие из той же части огибающей, «замкнем» на погло-
поглощающее состояние а,нет>- Стрелки, соответствующие принятию
на каждом шаге решения «да» и выходящие из части оги-
огибающей, соответствующей процедуре D/4) 4, «замкнём» на
поглощающее состояние <4да 2» • Стрелки, соответствующие при-
принятию на каждом шаге решения «нет» и выходящие из части
огибающей, соответствующей процедуре D/4L «замкнем»
на поглощающее состояние *4да(лет),.
На рис. 3.18 для данного примера показан процесс:
отыскания подграфа с «замыканиями» на три поглощающих;
состояния.
Разворачивая полученный подграф в линию, найдем
ориентированный стохастический граф рассматриваемого ал-
алгоритма.
Из графа на рис. 3.19 следует матрица вероятностей
переходов синтезированной дискретной цепи Маркова
Р—
О р
00000000
000р<70000 00
0000р?00000
000000р00
ооооооо^о
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0
q 0
р о
р q 0 0
0 0 q p
C.7.1)
000000 0 0 q p 0
00000000100
00000000010
0000000000 1
Итак, мы изложили метод синтеза дискретных (погло-
(поглощающих) цепей Маркова, соответствующих двухпороговым
алгоритмам фильтрации с заполнением окна.
Приведем данные по вероятностному анализу для ряда
алгоритмов.
В табл. 3.13—3.16 представлены данные предельных-
вероятностей принятия решений при р=0,\ (помеховая об-
область сцены) и р=0,9 (сигнальная область сцены).
Заметим, что при работе алгоритмов в сигнальной
области сцены вероятность правильного принятия решения
есть сумма вероятностей «да 1» и «да 2». При работе в поме-
ховой области сцены вероятность правильного необнаружения
есть вероятность решения «нет».

\
Рис. 3.18. Процесс вычисления искомого подграфа
Рис. 3.19. Ориентированный стохастический граф двухпорогового
алгоритма фильтрации с заполнением окна (N=4, Sm;n=2, Smoi=3)
87

Таблица 3.13
Параметры
алгоритма
Smin=2
Отах^О
N=4
N=5
N=6
р=0,1
Ренет»
0,9477
0,91854
0,885735
Р«да 1»
0,0522
0,081
0,112995
Р.да 2»
0,0001
0.00046
0,00127
Р«нет»
0,0037
0,00046
0,000055
Р=0,9
Р«даЬ
0,3402
0,081
0,15795
Р.да 2»
0,6561
0,91854
0,98415
Таблица 3.14
Параметры
алгоритма
Smin=3
N=5
N=6
Р=0,1
Рс нет»
0,96552
0,98415
Рада 1>
0,03447
0.015795
Р.да 2»
10~5
0,000055
Р«нет»
0,03448
0,00127
Р=0,9
Р.да 1»
0,37503
0,112995
Р.да 2>
0,59049
0,885735
Таблица 3.15
Параметры
алгоритма
N=6
р=0,1
Р.вет»
0,912544
0,885735
Р«да1»
0,08145
0,11421
Р«да 2>
ю-5
0,000055
Р.нет>
0,00046
0,000055
р=0,9
Р«да 1»
0,40905
0,11421
Р.да 2»
0,59049
0,885735
Таблица 3.16
Размер
окна
N=6
к:А
Р==0,1
Р.нет»
0,885735
0,98415
0.99873
Р.да 1»
0,114264
о;015849
0,001269
Р.да 2»
ю-6
ю-6
ю-»
Р=0,9
Р.нет»
0,000055
0,00127
0.01685
Р.да 1»
0,468504
0,467289
0,452709
Р.да 2»
0,531441
0,531441
0,531441

Учитывая сказанное, а также данные табл. 3.13—3.16,
можно сделать вывод, что предложенные алгоритмы обладают
вероятностной эффективностью.
Аппарат цепей Маркова позволяет рассчитывать не
только предельные вероятности принятия решений, но и веро-
вероятности принятия решений как функции числа шагов («прос-
(«просмотренных пикселей). Приведем расчетные (табл. 3.17, 3.18)
данные по двум алгоритмам.
Таблица 3.17
N=6, Smin—4, Smox=5
я
3
4
5
6
р=0,1
Р«нет»
0,729
0,9477
0,99144
0,99873
Рада 1>
0
0
0,00045
0,001268
Рада 2»
0
0
0
ю-6
Р=0,9
Р«нет»
ю-3
0,0037
0,00856
0,01585
Р«да 1»
0
0
0,32805
0,452709
Рада 2»
0
0
0
0,531441
Таблица 3.18
/V—6, bmin—3, Smax—О
п
4
5
6
Р=0,1
Рс нет»
0,6561
0,91854
0,98415
Рада Ь
0,0036
0,00855
0,015849
Р<да 2>
0
0
ю-6
р=0,9
Ренет»
ю-4
0,00046
0,00127
Рада 1»
0,2916
0,40095
0,467289
Р«да 2»
0
0
0,531991
Результаты моделирования двухпороговых алгоритмов
фильтрации показывают, что при соответствующем выборе
параметров N, Smax и Smm могут хорошо выделяться либо
граничные (рис. 3.20—3.24), либо разрежённые (рис. 3.25—
3-28) области бинарного изображения.
89

Рис. 3.20. Исходная бинарная сцена
Рис. 3.21. Результат обработки фильтром с N= 11X20=220,
90

Рис. 3.22. Результат обработки фильтром с W=l IX 12=220,
5т,„=43, SmD,=50
Рис. 3.23. Результат обработки фильтром с N=32X32=1024,
5„„„=304, Smax=320
91

Рис. 3.24. Результат обработки фильтром с W=5X5=25,
Рис. 3.25. Исходная бинарная сцена с порогом 32
92

Рис. 3.26. Результат обработки фильтром с N=\ IX 12=220,
5т,„=43, Smo,=50
Рис. 3.27. Результат обработки фильтром с W= 7X7=49,
5т,„=8, Smox=9
93

Рис. 3.28. Результат обработки фильтром N=32X32=1024
5Ш1„=304, Smor=320
3.8
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Традиционно согласованная фильтрация применяете^
для выделения объектов на полутоновых (многоградационных
сценах при аддитивном воздействии помех. Фильтр, согласр-i
ванный со спектром выделяемого объекта, дает максималь;^
ный отклик при его обнаружении. Другими словами, согласон
ванность со спектром выделяемого объекта есть согласование
фильтра с формой и амплитудным распределением обнару-j
живаемого объекта [45]. В настоящей главе рассматривается
согласованная фильтрация, осуществляемая по форме обнару*
живаемых малоразмерных объектов.
Суть согласованной (по форме бинарных изображений)!
фильтрации заключается в следующем [87]. Пусть изобра*
жение объекта занимает окно размером ra^X«i/=4X3, причем
при построчном съеме информации с объекта сигнал имеет
вид ОНО, 1111, 1111. При очередном наложении окна разме*
ром 4X3 на бинарную сцену производится построчный съей
информации. Решение «да» (обнаружен объект заданной фор*
мы) принимается только в том случае, если съем информации
с первой строки дает результат ОНО; счет информации со
второй и третьей строк дает одинаковый результат, а именнд
94

цИ- Указанной согласованной фильтрации соответствует
цепь Маркова с матрицей (размером 13X13) вероятностей
переходов вида
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Р=о000000 рООООО C.8.1)
0 0 0
0 0 0
р 0 0
0 р 0
0 0 р
0 0 1
Рассчитанные данные для случаев р=0,1 и р=0,9 све-
сведены в табл. 3.19, причем вероятности дда, получены при
полном съеме информации со всех 12 элементов.
Таблица 3.19
р
q
q
р
q
q
q
q
q
q
q
q
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
.0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
Параметр
Численные
значения
Fv
. б
(p=o,i)
12
Рда
(p=o,i)
0,81-10-'°
?v,
(p=0,9)
12
Рда
(P=0,9)
0,2293
На практике случаются ситуации, когда возникают
ложные единицы на фоне и ложные нули на объектах. Это
приводит к нарушениям детерминированности в появлении
нулей и единиц. Соответственно должен быть изменен согла-
согласованный фильтр. Для рассматриваемого примера согласо-
согласованный фильтр может быть построен следующим образом.
В результате действия помех на первую строку возможно
появление одной единицы или пропадание одной единицы.
Учет этих двух факторов приводит к тому, что в первой строке
могут быть либо две, либо три единицы (возможны и другие
значения числа единиц). Зададим два порога: а.\=2, fti=3
(нижний индекс у порогов свидетельствует о том, что пороги
95

«относятся» к первой строке). По первой строке принимается
решение «да», если число единиц в ней не меньше ai=2,
но и не больше fti=3. Аналогичные рассуждения приводят
к тому, что аг=3, &2=4 (а3—3, Ь3=4). В результате получаем
согласованный фильтр, обозначенный как
ф=.
2
3
3
C.8.2)
При увеличении вероятности появления ложных единиц
и ложных нулей пороги а, уменьшаются, а пороги ft,- повы-
повышаются, что в свою очередь увеличивает вероятности ложного
обнаружения.
Перейдем к синтезу цепей Маркова согласованных
фильтров на примере фильтра C.8.2). Итак, принимаем ре-
решение «да» по первой строке, если в результате опроса первой
строки в ней будут две или три единицы из четырех, что
соответствует (см. 3.6) селекции по площади при N=4, Smin=
=2, Smajc=3. Ориентированный стохастический граф представ-
представлен на рис. 3.17, а матрица вероятностей переходов опре-
определяется выражением C.6.1). Решение «да» по второй (и
третьей) строке будет принято, если в результате опроса в ней
будут три или четыре единицы. Сказанное эквивалентно также
процедуре селекции по площади N=^4, Smin=3, Smax=4.
Используя методику синтеза, изложенную в п. 3.6, за-
запишем соответствующую матрицу вероятностей переходов
C.8.3)
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
q
р
0
0
0
0
0
0
0
0
q.
Р
0
0
0
0
0
q
0
q
q
0
0
0
0
Р
0
р
0
1
Учитывая, что решение «да» в целом принимается
только в том случае, когда во всех трех строках принято
решение «да», общий стохастический ориентированный граф
согласованного фильтра C.8.2) получается следующим обра-
образом: последнее состояние стохастического графа предыдущей
96

строки (ассоциируемое с принятием решения «да») совме-
совмещаем с исходным состоянием стохастического графа после-
последующей строки и т. д. Все обратные связи замыкаются на
исходное состояние стохастического графа первой строки а0.
В результате получаем матрицу вероятностей переходов
цепи Маркова C.8.4), являющуюся математической моделью
согласованного фильтра C.8.2).
Рассчитанные данные при вероятностях р=0,1; р=0,9
представлены в табл. 3.20.
Таблица 3.20
Вероятность
р
0,1
0,9
*V
3,3602
4,2077
0,7063
0,9924
Е\
109422
9,7473
OV,,
0,8026
0,7477
?v
3,3602
5,8986
ov
0,7063
2,7153
0,5 10-"
0,3055
На рис. 3.29 и 3.20 даны фотографии, полученные с
экрана видеоконтрольного устройства процессора изображе-
изображений, которые иллюстрируют работу алгоритма бинарной
согласованной фильтрации и свидетельствуют об ее эффек-
эффективности.
Рис. 3.29. Исходная бинарная сцена
97

¦ч-

О о Q CD О О О О О О О OOOOQdQ.OQ.0"^
О О о О О О1* CL СУ» о О О»- О О4- О»- О О Cj*- О О^1 °*~ "*- О
О О О О о ОООооО ОООСзОО СЗ^- Q. О О О
OQOOO ОООООО OOOOCf'Q-OOOOO
ооооо ooooqcj ооооО-аооосэо
ООооо ОООООО ОООг^ОоООСЗОО
ООООО ОООООО ООСЗ°-0000000
ООООО ОООООО °-ОО.оОо ООООО
ооооо оооооо о^О-оооооооосэ
ооооо oooocj-Q. ооооооооооо
ооооо оооооо аоооооооооо
ООООО ООО °^ ОО 00-000000000
ООООО ООО°-.ОО OOOOOOOOOOQ
О о О С^10- Q ^°- ООО ОСЭООООООООО
О О О О О*" СХООООО ООООООООООО
о о о о. о оооооо ооаоооо-оооа
о о о*-о о о о о а а о оооооооаооо
OC^-CLoq ОООООО ООООООООООО
OQ-QOO ОООООО ООООООООООО
С^" О Q О О ОООООО ООООООООООО
о.осьоо оооооо ооооооооооо
98

Рис. 3.30. Результат обнаружения искомого объекта
3.9
АНИЗОТРОПНЫЕ
ПЕЛЕНГАЦИОННЫЕ ФИЛЬТРЫ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
В некоторых задачах обработки изображений требуется
обнаружить объекты с указанием координат обнаруживаемого
объекта (пеленгации). Для этого необходимо обработать
исходную сцену так, чтобы по возможности отфильтровать
помехи, а от обнаруживаемых объектов оставить по возмож-
возможности меньшие образования, сгруппированные относительно
центра (понимаемого тем или иным образом) объекта. Если
удастся «свести» обнаруживаемый объект в точку, то коорди-
координаты указанной точки служат полезным эффектом. Фильтры,
предназначенные для решения указанных задач, будем назы-
называть анизотропными пеленгационными фильтрами бинарных
изображений.
Суть фильтрации изложим на примере пеленгации объ-
объекта, представленного в виде изображения 01110. Необходи-
11111
мо синтезировать такой анизотропный пеленгационный бинар-
бинарный фильтр, чтобы результат фильтрации исходного изобра-
00000
жения имел вид 00100
99

Возьмем крестообразную апертуру с тремя элементами
по вертикали и пятью — по горизонтали. Правило принятия
решения следующее: центральному присваиваем значение «1»,
если в вертикальной полосе апертуры будут две единицы, а
в горизонтальной полосе — ровно пять единиц. В противном
случае центральному элементу фильтра присваивается значе-
значение «О».
Таким образом, процесс анизотропной пеленгационной
фильтрации представляет собой две (по вертикали и горизон-
горизонтали) усеченные многошаговые процедуры принятия решений
с двойным решением B/3) з и E/5M, Объединив эти про-
процедуры в одну (см. 3.8), получим следующую матрицу вероят-
вероятностей переходов анизотропной пеленгационной бинарной
фильтрации
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
я
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
я
я
я
я
я
я
я
я
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
1
C.9.1)
Для увеличения помехоустойчивости фильтра усеченную
многошаговую процедуру принятия решений по горизонтали
E/5) 5 можно заменить на D/5) 5-
Матрица вероятностей переходов цепи Маркова, соответ-
соответствующая рассматриваемому фильтру с повышенной помехо-
помехоустойчивостью, имеет вид
100

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
Q
0
0
0
я
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
я
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
я
p
0
0
0
0
0
я
я
q
q
0
0
q
0
я
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
p
0
p
0
I
C.9.2)
Данные, рассчитанные при вероятностях р==0,1 и р=0,9
для фильтра, представленного матрицей C.9.1), приведены в
табл. 3.21; для фильтра, представленного матрицей C.9.2),—
в табл. 3.22.
Таблица 3.21
Вероят-
Вероятность
Р
0,1
0,9
?ve
2,2122
4,8049
ev0
0,462
1,5217
?v,
7,6429
7,1669
av,
0,4792
0,3727
?v
2,2121
6,1601
av
0,462
1,5589
P
0,02 • 10
0,5739
Таблица 3.22
Вероят-
Вероятность
. P
0,1
0,9
Evo
2,2421
5,1659
av0-
0,5882
1,7876
?v,
7,4255
6,4524
av,
0,6322
0,5856
?v
2,2422
6,3145
av
0,5885
0,8984
P
0,000013
0,892821
101

Синтезируя таким образом анизотропные пеленгацион-
ные бинарные фильтры (необязательно с крестообразной
апертурой), можно пеленговать объекты любой заданной
формы.
зло
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
И ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ
БИНАРНЫХ МЕДИАННЫХ ФИЛЬТРОВ
И ИХ ОБОБЩЕНИЙ
Медианный фильтр для обработки одно- и двухмерных
сигналов (изображений) известен давно [11, 45]. В случае
обработки бинарных изображений возможно применение ме-
медианной фильтрации, но с некоторыми особенностями, выз-
вызванными тем, что выход медианного фильтра должен быть
бинарным.
Естественной представляется следующая интерпретация
понятия медианы для исходной бинарной последовательности:
медиана должна заменяться на «1» и. «0» в зависимости от
имеющейся информации в фильтре заданной апертуры с об-
общим числом пикселей, равным N (N — нечетное число для
однозначности принимаемого решения).
Пусть, например, N=3. Тогда центральному элементу
апертуры присваиваем значение «1», если в этом окне число
единиц N\=2. При наличии подряд двух единиц дальнейшее
считывание информации нецелесообразно [76]. Обозначим
медианные фильтры как (N\/N)', где /=1 соответствует одно-
одномерному фильтру, /=2 — двухмерному фильтру.
Чтобы получить математические модели бинарных меди-
медианных фильтров в виде конечных цепей Маркова и исследо-
исследовать вероятностную эффективность рассматриваемых фильт-
фильтров, предположим статистическую независимость в совокуп-
совокупности исходной бинарной последовательности.
Начнем с фильтра B/3)'. Выход фильтра будет равен
«1», если в результате съема информации возникнет одна из
трех комбинаций [«011», «11», «101»]. В случае комбинаций
«00», либо «100», либо «010» выходом из фильтра будет
«0» [76]. Фильтрация осуществляется последовательным пере-
перемещением слева направо (или сверху вниз) апертуры фильтра
на один пиксель. В результате матрица вероятностей пере-
102

хОдов размером 6X6 бинарного медианного фильтра B/3)'
будет иметь вид
011 11 101 00 100 010
011
11
101
00
100
010
0
0
р
р2
0
0
1
р
0
0
0
0
0
ЯР
0
0
0
р
0
0
0
я
1
0
0
я2
0
0
0
я
0
0
я
ЯР
0
C.10.1)
Полученная цепь Маркова будет регулярной и, к сожа-
сожалению, не допускает укрупнения [28]. Это, в свою очередь,
свидетельствует о том, что случайная бинарная последова-
последовательность на выходе бинарного медианного фильтра не явля-
является цепью Маркова, а представляет собой более сложный
и пока не изученный случайный процесс.
Цепь C.10.1) позволяет вычислить вероятностную
эффективность фильтра B/3)', под которой будем понимать
предельные (устоявшиеся) вероятности «единиц» (яA)) и
«нулей» (я@)) выхода медианного фильтра. Для этого необ-
необходимо с помощью векторно-матричного выражения jf=jfP,
дополненного условием нормировки, рассчитать Й" — век-
вектор предельных вероятностей всех шести состояний цепи
C.10.1).
Вероятность того, что выход медианного фильтра равен
единице яA), получается суммированием первых трех коор-
координат вектора п(я@)=1—яA)).
Аналитический расчет дает
n{\)=p\\+2q), я@)=92A+2р). C.10.2)
Перейдем к фильтру C/5). Фильтрация осуществляется
аналогично предыдущему случаю. Число реализаций, приво-
приводящих к присвоени^о выходу медианного фильтра значения
«1», равно С^' = С5==10, число реализаций, приводящих к
присвоению выходу медианного фильтра значения «0», равно
Cv N' = CT5=\0 [76]. Следовательно, число состояний синте-
синтезированной цепи Маркова
Элементы матрицы вероятностей переходов формируются
легко, например, р{ П01-П0101}=р{01}=<7р; р{000^00110} =
юз

=р{11О}=/?2<7- Таким образом, получим следующую матрицу
вероятностей переходов (т=20) фильтра C/5)' (см. 3.10.4).
Вероятность яA) определяется суммированием первых десяти
(С5=10) координат вектора предельных вероятностей всех
двадцати состояний цепи C.10.4) я@)=1—яA).
Перейдем к двухмерному крестообразному бинарному
медианному фильтру C/5J; в котором опрос исходной после-
последовательности происходит в следующей очередности: *,-_,,
Xi, /—I, Хц, Хц+\, Xi+\j.
Элементы матрицы вероятностей переходов формиру-
формируются просто. Например, /?{1101-И0101}=<7/?, р{000->00110} =
=p2q. В результате получим следующую матрицу вероят-
вероятностей переходов крестообразного медианного фильтра
C/5J— (т=20) C.10.5).
При обработке полутоновых изображений понятие
медианного фильтра обобщается в том смысле, что выходом
фильтра может являться не только медиана, а любая поряд-
порядковая статистика (так называемые процентильные фильтры
[11]). Процентильная фильтрация (соответствующие фильтры
будем называть бинарными процентильными фильтрами)
возможна и для бинарных изображений и заключается в
том, что выходному! значению фильтра присваивается «1»
при любом (наперед заданном) значении числа единиц. При
N\ =—^— имеем бинарный медианный фильтр, при N\ —
= \(N)— бинарный аналог левой (правой) экстремальной
статистики.
Процентильная фильтрация может применяться для сжа-
сжатия или расширения объектов [11]. Например, фильтр C/3)
изображение вида \л\\\ преобразует к виду j i j; то же
изображение фильтр A /3)' преобразует к виду 11 м j j j • Для
этих фильтров матрицы вероятностей переходов р, векторы
п и вероятности я@) и яA) представим в виде (т=4):
000 1 01 001 111 0 10 ПО
000
Р= Л
01
001
0
ЧР
0
1
р
ч2р
0
0
111
; о
10
по
0 0
ЧР
0
1
; C.10.6)
104

о о
° "V
"о- о
О о
о о
о 5з
о а
о о
о о
а о
о о
о о
о в.
о»
° а.
а о
о о
О О;
о
а
о
о
о.
о
S3
о
о
о
о
о
о
о о
t а. <з о »
о
о
о
о
о
о
о
о
<ч
о
о
о
о
о
о а О сэ О*
о <s о о °
о <з о о о.
Q О ¦* a О
>• Q v О °
о о о о а
о а о о о
с> о s> с^ о
<s ° ° й о
о ч ^> са о
о *ь о о о
«э <а о о ск.
<а о в о о
° о. о сз °
о о о о а
о о о о о
*• N. V. i
1 о
$
55
till!
105

P--
111
1101
11001
1011
10101
10011
от
01011
01101
00111
ooo
оюо
оою
1000
nooo
10100
01100
тою
OOIIO
010Ю
in № 11001 юн 10Ю1 toon от oioii от оотот aioo оою юао итююо опоо юою оо/тоюю
2 „г„ пгпг п п п о'а ЛгoV о 0 1* о о pq* о q*p о о q}p'
рг о о q* О о pq* О О q'p О
р- р\ </р о о о РЧ РЧ РЗ-
? Jn О О О О
о о рг
о о о
о о а о
О О
о о о qf
,2
о рг p'q, о о о о ург оо
о о pq о о о p'q О о
О о о о о q3 о о О
" о о угр оооо Огр
q* о О руг О о q'p О
о о
Р °
о Рг
о о
о
о о о р
О рг p2q ооо
оооооо <)р о
оо о ръ p*q р\ о о о pq о1 0 fp fp о а*рг о p'l'p'q*
о о о о
о рч о tfp о о о о о о о о} о о о
о о pzq. о
о о
о p'q о о
г
о О q*p о
О у'р О О О О угр
о о ооо о о q3 а о о
it
о ф о
о ооо о ръ о о о о ^ °
о рг р'ц о о о о p'q, оооо1
о q, о
о о
о о
о о ps о о
о о рг
о о
о рг р\ о о о о p'q о
о рг р% ° ° ° ° p'q а о о q* о о
О (jp О О p'q, 0 0 0
о о q*p оо о о цгр
о qp о О p'q, ооо
oqooqpoopqooo
о о of а о о.гр о о оо д'р
о о о р р
р оооо
оо о о дгр
ягр
о о qzp о о угр о
о о о о о о о
oqpoqpoooo о о о о1 о
о о pf pq. о о
о о у1 о о о*р о о агр
а о
о
A,

jt={<73, p, qp, q2p\\ тГНр3, Я, ЯР> ЯР*Ь
я=93; яA)=1-<73; л@)=1-р3 лA)=/А
При N—Ъ имеем бинарные процентильные фильтры
A/5I, B/5)' D/5)' и E/5)', а при двумерной крестообраз-
крестообразной апертуре - фильтры A/5J, B/5) 2, D/5J и E/5J.
По указанной методике можно получить матрицы вероят-
вероятностей переходов всех восьми бинарных процентильных
фильтров. В табл. 3.23—3.25 представлены значения вероят-
вероятностей эффективности при фильтрации помеховых изображе-
изображений (р=о,1) и сигнальных областей исходных изображений
(р=0,9), а также значения числа шагов (числа перемещений
апертуры фильтров), при котором достигаются предельные
вероятности яA) и л@). Другими словами, в таблицах приве-
приведены" те значения п, при которых исходные матрицы синте-
синтезированных цепей Маркова имеют одинаковые строки, каж-
каждая из которых равна (понимается поэлементное равенство)
вектору предельных вероятностей jf. Например, матрицы веро-
вероятностей переходов фильтров A/3) и C/3) [см. выражения
C.10.6)] примут вид
р=
000
1
01
001
000
<
<
1
р
р
р
р
01
РЧ
РЧ
РЧ
РЯ
001
ряТ2
р<
рч\
ря2
111
; Р=0
10
ПО
111
~р\
р
р3
0
я
я
ч
я
10
ЯР
ЯР
ЯР
ЯР
по
<
чр\
qP2
яр2
Таблица 3.23
Фильтр
/7=0,1
/7=0,9
лA)
л@)
лA)
я@).
п
A/3)'
0,271
0,729
0,999
0,001
3
B/3)'
0,028
0,972
0,972
0,028
3
'C/3)'
0,001
0,999
0,728
0,271
3
107

Таблица 3.24
Фильтр
р=0,1
р=0,9
п(\)
я@)
лA)
Л@)
п
A/5)'
0,40951
0,59049
0,99999
0,0.0001
5
A/5)'
0,40951
0,59049
0,99999
0,00001
3
B/5)'
0,08146
0,91854
0,99954
0,00046
5
B/5J
0,08146
0,91854
0,99954
0,00046
3
C/5)!
0,00856
0,99144
0,91144
0,00856
5
C/5)'
0,00856
0,99144
0,91144
0,00856
3
Таблица 3.25
Фильтр
р=0,1
р=0,9
яA)
л@)
яA)
я@)
п
D/5)'
0,00046
0,99954
0,91854
0,08146
5
D/5)'
0,00046
0,99954
0,91854 .
0,08146
3
E/5)'
0,00001
0,99999
0,59049
0,40951
5
E/5J
0,00001
0,99999
0,59049
0,40951
3
Данные табл. 3.23—3.25 свидетельствуют о том, что
одно- и двухмерные фильтры с одними и теми же правилами
принятия решений имеют одинаковую вероятностную эффек-
эффективность. Однако двухмерные фильтры обладают более быст-
быстрой сходимостью к предельным результатам, что обусловлено
структурой исходных матриц вероятностей переходов: матрицы
вероятностей переходов двухмерных фильтров «более» регу-
регулярные, чем соответствующие матрицы вероятностей пере-
переходов одномерных фильтров. Выбор конкретного фильтра
обусловлен особенностями рассматриваемых задач.
Методика, изложенная в настоящем параграфе, позво-
позволяет синтезировать матрицы вероятностей переходов любых
бинарных медианных и процентильных фильтров (при любых
числах N и Nn и /=1,2) и анализировать их вероятностную
эффективность.
108

3.11
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ
ЛОГИЧЕСКИХ КОМБИНАЦИЙ
БИНАРНЫХ МЕДИАННЫХ
И ПРО ЦЕНТ ИЛЬНЫХ ФИЛЬТРОВ
В [11] рассмотрено обобщение медианной фильтрации
как линейной комбинации медиан для обработки полуто-
полутоновых изображений. Суть линейной комбинации состоит в
следующем. Пусть имеется М медианных фильтров с. аперту-
апертурами вида А\, Ai, Am- Тогда работа фильтра, полученного
с помощью линейной комбинации медиан, определяется
соотношением
м
щ= ^ 2 ak mes {хц\, C.11.1)
Ak
где mes{Xij} — медиана последовательности хц фильтра с
Ак _
апертурой Ak(k=l), М); а* — вещественные коэффициенты.
Фильтры вида C.11.1) обладают свойствами сохранения
перепадов и подавления шума в ряде случаев лучшими, чем
«простые» медианные фильтры.
Обобщение вида C.11.1) при бинарной фильтрации мо-
может быть проведено следующим образом. Пусть мы имеем
два бинарных медианных (или процентильных) фильтра с
выходами г/4 и у2 соответственно. Требование бинарного вы-
выхода логической комбинации указанных фильтров приводит
к двум (по числу исходных фильтров) правилам формирова-
формирования выхода обобщенного фильтра:
^ = min{yu Уг}. C.11.2)
у2 = тах{уи у2). C.11.3)
Нетрудно убедиться, что уравнение C.11.2) эквивалент-
эквивалентно правилу принятия решений с помощью усеченной много-
многошаговой процедуры с двойным решением типа B/2) 2.
Уравнение C.11.3) эквивалентно процедуре A/2J.
При наличии М исходных фильтров имеем М возмож-
возможных правил принятия решений, эквивалентных усеченным
многошаговым процедурам принятия решений с двойным ре-
решением типа (Mi/M) и (Mt/M).
109

Рассчитываем вероятностную эффективность фильтров
C.11.2) и C.11.3). Пусть Pl=p{yx=\), <7! = 1— ри р2=р{у2=Ц,
q2=\—p2. Тогда вероятность того, что выход уъ обобщен-
обобщенного фильтра C.11.2) равен 1:
Аналогичные формулы для фильтра C.11.3) примут вид:
C.11.5)
В табл. 3.26 приведены результаты расчета вероятност-
вероятностной эффективности фильтра C.11.2) для некоторых логиче-
логических комбинаций из двух фильтров (исходные данные взяты
из табл. 3.23—3.25).
Логические комбинации могут включать медианные и
процентильные фильтры одновременно.
Таблица 3.26
Комбинация
фильтров
лA), р=0,1
лA), р=0,9
B/3)ДC/5)
0,00023968
0,96367968
A/3)ЛA/5)
0,1109721
0,9989001
C/3)ЛE/5)
ю-7
0,43046271
В табл. 3.27 даны результаты расчета вероятностной
эффективности фильтра C.11.3).
Таблица 3.27
Комбинация
фильтров
„A), р=0,1
лA), р=0,9
B/3)ЛC/5)
0,03632032
0,99976032
A/3)ДA/5)
0,569582779
0,999999999
C/3)ЛE/5)
0,00100999
0,88902279
Анализ данных табл. 3.26 и 3.27 свидетельствует в це-
целом о повышении вероятностной эффективности логических
комбинаций бинарных медианных и процентильных фильтров.
По изложенной методике можно выбирать такую комбина-
комбинацию фильтров, которая дает наибольший эффект.
по

3.12
СИНТЕЗ МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЕЙ АЛГОРИТМОВ ОБНАРУЖЕНИЯ
ПРОСТРАНСТВЕННО-ПРОТЯЖЕННЫХ ОБЪЕКТОВ
ПРИ ОПИСАНИИ БИНАРНОЙ СЦЕНЫ
СЛОЖНЫМИ ЦЕПЯМИ МАРКОВА
Как показано в разделе 3.4, для автоматического обна-
обнаружения и выделения протяженных сигналов, местоположение
которых на исходном изображении неизвестно, целесообраз-
целесообразно применять алгоритмы [Fл/ппЛFл/«*)]°°- Автоматическое
обнаружение (и выделение) пространственно-протяженных объ-
объектов производится с помощью класса алгоритмов [(kn/nn/\
Д(/г*/п*)]0О независимо по строкам и столбцам исходного
изображения. В разделе 3.4 рассмотрены математические
модели (цепи Маркова) и произведен расчет временной
эффективности (?4, Е\к, п, у) для случая, когда бинарные
сигналы являются статистически независимыми. На практике
бывают случаи, когда статистические свойства бинарных
сигналов описываются простыми и сложными цепями Мар-
Маркова. Рассмотрим описание вероятностных свойств исходных
изображений простыми цепями Маркова. Имеем четыре ус-
условных вероятности р{°/о}, р[1/о), р{ /i}> р[1/\)- Для критерия
B/3)то в случае независимости бинарных сигналов имеем
следующую матрицу вероятностей переходов (п. 3.4):
Р=
Я
0
я
0
р
0
0
0
0
я
0
0
0
р
р
1
C.12.1)
Если исходные изображения описываются простыми
цепями Маркова, матрица вероятностей переходов
Р=
p{
p{
0/ l
0
/о)
0
Pi
7o}
0
0
0
0
p[° 1
0
0
о
М7о}
1
C.12.2)
Сравнив C.12.1) и C.12.2), видим, что вероятности во
второй строке матрицы C.12.2) отличаются от вероятностей
in

в первой и третьей строках. Ниже представлены матрицы
критерия C/3)<„ для двух рассматриваемых случаев:
Я Р
q О
Я О
О О
0
р
0
0
0
0
р
1
; Р=
рGо}
о
о
Pi1/.}
1
C.12.3)
Матрицы C.12.3) имеют одинаковую структуру, но в
правой матрице вероятности в первой строке отличаются
от вероятностей во второй и третьей строках. Нетрудно пока-
показать, что и в общем случае (для любого критерия (k/n)<^
структура матриц вероятностей переходов, когда вероятност-
вероятностные свойства исходных изображений описываются простыми
цепями Маркова, не отличается от структуры матриц веро-
вероятностей переходов, когда бинарные сигналы статистически
независимы, лишь в первом случае вероятности в некоторых
строках будут отличаться от вероятностей в других. Таким
образом, методика расчета временных характеристик алгорит-
алгоритмов класса [(kn/nn)/\(kk/rik)]oo не отличается от методики,
рассмотренной ранее (см. 3.4).
Перейдем к случаю описания вероятностных свойств
исходных изображений двухсвязными цепями Маркова.
Синтез соответствующих математических моделей (цепей
Маркова) проведем для трех критериев: A/1)», B/2)„> и
B/3)..
Пусть исходное изображение характеризуется тем, что
условные вероятности появления «нулей» и «единиц» зави-
зависят от Двух предыдущих значений бинарного сигнала. Общая
теория цепей Маркова [51] позволяет свести двухсвязную
цепь Маркова в простую (односвязную), но для двухмерного
вектора. При этом число состояний вновь образованной цепи
Маркова рассчитывается по формуле М=1 , где / — число
состояний исходной (простой) цепи Маркова.
Начнем с критерия A/1),», для которого имеем услов-
условные вероятности р{°/о> 0}* и р{'/о, 0}. Переходя к двухмерному
вектору и учитывая, что 1=2 [3], получим матрицу вероят-
вероятностей переходов двухмерного вектора размерностью 4X4:
00 01 10 11
р=
112
00
01
10
11
р{ 00/00
р{ 00/01
р{ 00/10
р{ 00/11
р{01/00}
р{01/01
р{01/10
pJOl/11
р{ 10/00} р{ 11 /00}
р{ 10/01} р\ 11/01}
р\ 10/10} pfll/10}
р{ 10/11} pjll/ll}
. C.12.4)

Для отыскания искомой матрицы на основе C.12.4)
необходимо учесть, что событие «10» для критерия A/1).»)
невозможно. Следовательно, в C.12.4) необходимо вычеркнуть
третью строку и третий столбец. Учитывая заданные вероят-
вероятности р{0/00} и р{1/00}, получим матрицу вероятностей пере-
переходов размерности 3X3:
. C.12.5)
Цепь C.12.5) допускает укрупнение объединением двух
последних состояний, после чего имеем искомую матрицу
процедуры (I/I)» размерностью 2X2:
/>{0/00}
0
0
р{1/00}
0
0
0
1
1
р{0/00]
0
р{1/00}
1
C.12.6)
Перейдем к критерию B/2),». Число возможных сос-
состояний соответствующей цепи Маркова равно Af=32. Для
перечисления всех девяти состояний (событий) обозначим
появление первой единицы 1', а появление второй единицы —
1". Тогда все события могут быть представлены в виде: 00,
01', 01", 1',0, 1'Г, 1'1", 1, 1*1, \"\". Для критерия
B/2)„ события 01", W, 1 и 1"Г являются невозможными.
Учитывая заданные вероятности р{0/00}, р{\'/Щ, р{0/0Г},
р@"/0Г), />{1"/0Г}, р{0/1'0}, р{171'0}, получим матрицу
вероятностей переходов 5X5 (9—4=5):
0Q 01' 1' О Г И" 1"
00
01'
го
ГП"
1
р{0/00}
0
р{0/1'0|
0
0
р{ Г/00|
0
р{Г/Г0}
0
0
0
р@/0Г}
0
0
0
0
р{\"/0\'\
0
0
0
0
0
0
1
1
. C.12
Цепь C.12.7) может быть укрупнена объединением двух
последних состояний {1'1}1"}. В результате окончатель-
окончательная матрица размерностью 4X4 будет иметь вид
113

p=
p{0/00)
0
p{0/10}
0
p{ t /00}
0
pjl/10}
0
0
MO/01}
0
0
0
p\W
0
1
. C.12.8)
Перейдем к критерию B/3)<х>. Число всевозможных
состояний соответствующей цепи Маркова Ж=42=16. Для
перечисления всех шестнадцати состояний (событий) обозна-
обозначим появление второго нуля 0, появление первой едини-
единицы — Г, а появление второй единицы — 1". Тогда все события
можно представить в виде: 00, 0Г, 00', 01", Г0, l'l, l'O',
Г1", О'О, ОТ, 0'0', ОТ', 1, IT, l', и 1". Для крите-
критерия B/3) следующее событие невозможно: 00', 01", 1'0,
IT, ОТ, 0'0', 1, IT и 1". Учитывая заданные вероят-
вероятности р{0/00}, р{1/00}, р{0/0Г}, р{1"/01'}, р{0/1'0'}, р{\"/1'0'},
/?{О/0'0}, р{1'/0'0}, имеем матрицу вероятностей переходов
размерностью 7X7 A6—9=7):
00
01'
l'l"
О'О
I'M"
р=
00
01'
l'O'
l'l"
O'O
)'l"
P|O/OO}
0
0
0
PIO/O'O)
0
0
p\ 1 '/00}
0 p
0
0
Pi 170'0}
0
0
0
|0'/01'
0
0
0
0
0
0
} p{ i"/oi)
0
0
0
0
0
0
с/го-}
0
0
0
0
0
0
рA"/1'0'}
0
0
0
0
0
0
0
1
0
1
I
C.12.9)
Возможно укрупнение цепи C.12.9) объединением трех
состояний {IT'UOT'UIT'}. В результате получим оконча-
окончательную матрицу размерностью 5x5:
Р=
р@/00) р| 1/00| 0 0 0
0 0 р@/01) р{ 1/01} 0
0 0 0 р@/10) р{1/10}
р@/00} р{1/00} 0 0 0
0 0 0 0 1
. C.12.10)
Итак, найдены матрицы вероятностей переходов крите-
критериев (I/I)», B/2),» и B/3)оо. Для нахождения матрицы
вероятностей переходов алгоритмов [(fcn/rcn)Л(?*/"*)]«, посту-
поступаем следующим образом: последнее состояние критерия
/пп)оь совмещаем с первым состоянием критерия (?*/«*)<»•
результате получаем поглощающую цепь Маркова с послед-
последним поглощающим состоянием. Приведем найденные изло-
изложенным способом матрицы вероятностей переходов трех алго-
алгоритмов: [A/1)AA/1)L, [B/2)ЛA/1)]оо и[Г2/2)ЛB/2)]оо.
Для алгоритма [A/1)ЛA/1)]»
114

p=
р{О/Щ
о
о о
р{1/00) О
р{о
C.12.11)
Для алгоритма [B/2)ДA/1)]0,
P=
р|0/00) р{1/00) 0 0 0
0 0 p{0/01) p{l/01} 0
p{0/10} p{ I /10} 0 0 0
0 0 0 p{l/ll} p{0/ll}
0 0 0 0 1
C.12.12)
Для алгоритма [B/2) Д B/2)]=,
p=
р{0/00} рA/0О} О
О 0 р@/01}
р{0/01) р{1/10} О
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0
о
р{1/11)
о
р{1/01} р{0/01}
о о
о pji/io! Р{о/щ
. C.12.13)
фундаментальных
матриц погло-
Применяя аппарат
щающих цепей N=(I—Q)~\ можно рассчитать временные
характеристики ?4>й и Evk (п. 3.4) как при отсутствии полез-
полезного сигнала (помеховая область сцены), так и при его нали-
наличии (сигнальная область сцены).
В табл. 3.28—3.30 представлены рассчитанные величины
Е%, Evk, r\, у для следующих исходных данных: при справед-
справедливости гипотезы Но (нет полезного сигнала) р{1/00}=0,1;
р{1/01}=0,2; р{1/10}=0,15; р{ 1/11>=0,05; при справедливости
гипотезы Hi (есть полезный сигнал) р{ 1/001=0,95; р{ 1/01} =
-0,85.
Таблица 3.28
Алгоритм
Ev.k
[A/0ЛA/1Iоо
10
1,053
9,49668
[B/2)ЛA/1Iоо
53
1,053
50,3324
[B/2)ЛB/2)]оо
53
2,443
21,6946
[A/1)ЛB/3)]0о
10
2,271
4,4033
115

Окончание табл. 3.28
Я,
?vH
?vft
У
1,053
10
0,1053
90,1869
2,443
10
0,2443
206,027
2,443
53
0,046
470,656
1,053
36,875
0,0885
154,201
Таблица 3.29
Алгоритм
Яо
Я,
?vB
Е\
Ч
?vH
Tl
У
Щ/ОЛ^/з)]^
10
3,843
2,6021
1,053
1070,5
0,0010
2645,38
[(з/з)лA/1)]«,
1070,5
1,053
10,1662
3,843
10
0,3843
2645,38
[B/2)ЛB/3)]0о
53
2,271
23,3377
2,243
36,875
0,0608
383,673
Кг/злО/зМо,,
53
3,843
13,7913
2,443
1070,5
0,0023
6043,22
Таблица 3.30
Алгоритм
Яо
Я,
?vH
Evk
n
л
Т
[C/3)ЛB/2)]
1070,5
2,443
438,191
3,843
53
0,0725
60093,23
[C/3)ЛC/3)]
1070,5
3,843
278,5584
3,843
1070,5
0,0036
77594,6 '
[C/3)ЛB/3)]
1070,5
2,271
471,378
3,843
36,875
0,1042
4523^04
[B/3)ЛC/3)]
36,875
3,843
9,5053
2,271
1070,5
0,00212
4523,04
116

Как видим, наибольшей эффективностью обладают ал-
горитмы [C/3)ЛC/3)], [C/3)Л2/2)], [B/2)ЛC/3)].
Пусть вероятностные закономерности исходной бинарной
последовательности Jtn(*n=O,l) описываются m-связной цепью
Маркова, т. е. заданы условные вероятности р\хп/хп-\ ...
... хп~т\. Зададим также критерий обнаружения {к/п}^,
с помощью которого процесс принятия решения описывается
соответствующей цепью Маркова [76] с числом состояний,
рассчитываемым по формуле /=(&—1)(п—&+1)+2 [83].
Тогда искомая цепь Маркова имеет число состояний М—1т
[51]. Затем необходимо все М состояний перечислить. Для
заданного критерия (k/n)^ выявляются невозможные собы-
события, в дальнейшем они не учитываются. Для оставшихся
возможных событий составляется матрица вероятностей пе-
переходов, которая подвергается укрупнению (возможно не-
несколько раз).. Полученная укрупненная матрица и является
искомой.
Приведем пример получения матрицы вероятностей
переходов для критериев A/1)» и B/2)» при т=3. Начнем
с критерия A/1)». Число возможных событий (состояний)
УИ=23=8. Все восемь событий представим в виде 000, 001,
010, 011, 100, 101, ПО и 111, из них только четыре события
возможны: 000, 001, 011 и 111. Имеем матрицу
000 001 011 111
000
001
Р= 011
111
р|000/000) р{001/000) 0 0
0 0 pjOU/001) 0
0 0 0 1
0 0 0 1
. C.12.14)
Учитывая заданные вероятности р{ 0/000} = q0 и
р{\/0ОО}=р0, получим матрицу Р', которую укрупнением при-
приведем к Р":
ь
0
0
0
Ро
О
0
0
0
1
О
О
0
0
1
1
Р"=\ чо Pol C.12.15)
Сравнив C.12.15) с C.12.6), видим, что матрица кри-
критерия A/1),» как для простой, так и для двух- и трех-
связной цепи Маркова имеет размерность 2X2 и одинаковую
117

структуру. Нетрудно показать, что это справедливо и в более
общем случае (т>3).
Получим матрицу переходных вероятностей критерия
B/2H0 при т=3. Число возможных событий М=3 = 27
Представим все события в виде: 000, 001', ОГО, 014.', 001 "\
ого, ori", oi'i", ог'г. гоо, ут', г го. rri'. Ш"
г г ту. гг'о, ггт, гг'гу. ИШ, Ш", гщр.ИШ'. i"i'o|
ГЧЧ', \"\'\", \"\"\\ \"\"\" (подчеркнутые события невоз-
невозможны). Следовательно, имеем следующую матрицу вероят-
вероятностей переходов размерностью 8X8:
000
оог
ого
on
гоо
'01'
' 1" 1"
T'l"
000 ООГ
р( 0/000) р{1
0
0
0
р@/1'00| р|Г
0
0
0
-/00)
0
0
0
/1 '00|
0
0
0
ого
0
р|О/ООГ)
0
0
0
р(о/гог|
0
0
0Г1"
0
р|1'7юг)
0 р
0
0
р|1"/Г0Г|
0
0
гоо
0
0
1 o'/oi 'о)
0
0
0
0
0
ГОГ
0
0
Р1Г/0Г0)
0
0
0
0
0
I'll"
0
0
0
1
0
0
0
0
\"V
0
0
0
0
0
0
1
I
Укрупнив цепь C.12.16) объединением трех состояний
{O11"U1 l'T'Ur'r'l}, получим искомую цепь Маркова раз-
размерностью 6X6:
р{ 0/000) р{ 1/000) 0 0 0 0
0 0 р{0/001( 0 0 р{ 1/001}
0 0 0 р{0/010) р{ 1/010) О
р{0/100) р{ 1/100) 0 0 0 0
О 0 р{0/101) 0 0 р{ 1 /101}
0 0 0 0 0 0
C.12.17)
Матрицы C.12.15) и C.12.17) позволяют синтезировать
цепи Маркова алгоритмов [A/1)Л0/1)]», [A/1)ЛB/2)]ОО(
(/)][(/(/)]
Приведем синтезированную цепь Маркова алгоритма
)ЛB/2)]
р( о/ооо) р| 1/ооо| о о о о
О 0 р{0/001| 0 0 р( 1/0011
0 0 0 /з@/010)р{1/010( О
00)
О р|0/101)
р{
о
¦¦{1/Щ
О p|l/lll)p|O/llij О
0 0 0 рA/П0)р
о С 9 °
о рA/оп|р(о/011) о '' 'о
0 0 0 р|1/010) О
ооооо
о о
о о
о о
о о
о о
О О'
О р|О/!!й!
— о
о о
О pjO/010)
118
C.12.18)

Расчет двух вариантов, дал следующие результаты:
вариант I: все Р{1(-)}=0,1; ?vn=2,346;
вариант II: все Р{1/(-)}=0,9; ?vn=236; Evk=ll0.
В заключение заметим, что синтезированные матрицы
вероятностей переходов при понижении порядка связности
(числа т) укрупнением «переходят» в соответствующие цепи
Маркова (но с меньшим числом т). Например, матрица
C.12.17) при т=2 переходит» в матрицу C.12.8), которая
в свою очередь при т=\ «переходит» в матрицу
Р=
Р{0/0}
{1/)
О
О
0
О
1/
1
C.12.19)
а при /п=0 — в известную матрицу [83]
Р=
р=Р{\), q=P{0} = l-p.
q
q
0
р
0
0
0
р
1
C.12.20)
3.13
ВЕРОЯТНОСТНАЯ ЭФФЕКТИВНОСТЬ
АЛГОРИТМОВ СГЛАЖИВАНИЯ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Для сглаживания бинарного изображения в [21] пред-
предложен следующий алгоритм. Центральному элементу окна
размером 3X3 присваивается значение «1», если число единиц
в окне Ni^Nz, где Afe — заданное число (порог). Примене-
Применение такого алгоритма позволяет получить более правильный
контур объекта на бинарном изображении. Из изложенного
следуют две разновидности алгоритма сглаживания: с учетом
значения центрального элемента окна исходного изображения
и без его учета. В первом случае число обрабатываемых
пикселей равно 9, во втором—8. Алгоритм сглаживания экви-
эквивалентен усеченной многошаговой процедуре с двойным ре-
решением (см. 3.2). В результате имеем две многошаговые
процедуры (Ni/9)g и (Л^/8)8. Число состояний / синтезирован-
119

ных цепей Маркова процедур (Ni/N)N рассчитывается по
формуле l=N1.(N—Ni + l)+2.
В табл. 3.31 и 3.32 представлены значения числа состоя-
состояний, рассчитанные для процедур (Ni/9)g и (N1/8)9 соответ-
соответственно.
Таблица 3.31
Л/,
1
1
11
2
18
3
23
4
26
5
27
6
26
7
23
8
18
9
11
Таблица 3.32
/
1
10
2
16
3
20
4
22
5
22
6
20
7
16
8
10
9
Приведем для примера синтезированную матрицу веро-
вероятностей переходов алгоритма C/8)в:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
Q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
р
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
0
p
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
q
q
q
1
0
0
0
p
0
0
p
0
0
p
0
0
p
0
0
p
0
0
p
0
1
120

В табл. 3.33, 3.34 представлены величины вероятности
придания центральному элементу окна размером 3X3 значе-
значения, равного единице для случая работы алгоритма в сигналь-
сигнальной (р=0,9) и помеховой областях (р=0,1).
Анализ данных таблиц показывает, что алгоритмы типа
(jVi/8)e предпочтительнее алгоритмов типа (Л^|/9)э, так как
при почти одинаковой вероятности приписывания централь-
центральному элементу окна значения единицы при работе этих алго-
алгоритмов в сигнальной области алгоритмы типа (yVi/8)e дают
существенное уменьшение вероятности приписывания цент-
центральному элементу окна значения, равного единице при работе
алгоритма в помеховой области.
Таблица 3.33
Ал.оритм A/8), B/8), C/8), D/8), E/8), F/8), G/8), (8/8),
р=0,9 0,99999999 0,99998927 0,9995635 0,99497565 0,81310423
0,99997659 0,96190821 0,43046721
0=0.1 0,56953229 0,18689527 0,00502435 0 00002341
0,03809179 0,00043165 0,0000073-10"8
Таблица 3.34
Алгоритм A/9), B/9)s C/9), D/9), E/9), F/9), G/9), (8/9), (9/9)»
р = 0,9 0,999999999 0,999997002 0,99980908 0,931084632 0,38742048
0,999995518 0,999935766 0.998668906 0.774840978
р=0,1 0,672579511 0,052572138 0.О0089032 0.000007768- 10"*
0,225159022 0,008331094 0,000064234 0,000000082
121

4
МЕТОДЫ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА
В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ИХ ФОРМЕ
4.1
ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
В данном разделе будет рассмотрен подход к распоз-
распознаванию изображений по их форме, задаваемой контурами
этих изображений. Контуры изображений являются областями
с высокой концентрацией информации, слабо зависящей от
цвета и яркости, вследствие того, что подавляющее коли-
количество информации в сообщении находится в местах измене-
изменения сигнала [7, 34].
В экспериментальных исследованиях по психологии
оператора радиолокационной станции обзора земной поверх-
поверхности было показано, что предварительное формирование у
него зрительного образа происходит в следующем порядке:
грубое различение общих пропорций изображения и его поло-
положения, мерцание формы, различение резких перепадов кон-
контура, выделение отдельных деталей и, наконец, восприятие
формы и деталей всего контура [18].
В работе [24] приводится гипотеза о формировании
зрительного образа в сознании человека, в которой предпо-
предполагается, что при восприятии глаз производит отслеживание
линии контура, вследствие чего в сознании отмечаются все
его характерные детали. В работах [47, 69] приводится мне-
мнение, что при восприятиии в сознании человека формируются
два образа: образ контура и образ внутренней части изобра-
изображения. Необходимым этапом восприятия считается сканиро-
сканирование по линии контура с целью выработки кода объекта
для дальнейшего распознавания [17].
Приведенные данные вскрывают важную роль контуров
при распознавании изображения. Исключительно важная роль
анализа контуров подчеркивается в целом ряде оригинальный
и обобщающих работ по распознаванию зрительных образов
в области создания систем машинного зрения [3, 12, 25, 26,
44, 67, 78 и др.].
122

Из приведенных данных видно, что контурный анализ,
под которым будем понимать совокупность методов выделения,
описания и преобразования контуров изображений, является
важным этапом обработки изображений и распознавания
зрительных образов. Контур целиком определяет форму изо-
изображения и содержит всю необходимую информацию для
распознавания изображений по их форме. Такой подход поз-
позволяет не рассматривать внутренние точки изображения и
тем самым значительно сократить объем перерабатываемой
информации за счет перехода от анализа функции двух пере-
переменных к функции одной переменной. Следствием этого часто
становится возможность обеспечения работы системы распоз-
распознавания в реальном масштабе времени. Однако даже в зада-
задачах, где нельзя отказаться от, анализа внутренних точек
изображения, методы контурного анализа играют роль допол-
дополняющих и безусловно необходимы.
Другим доводом в пользу этих методов является резкое
сокращение объема запоминающих устройств системы распоз-
распознавания. Учитывая, что в современных вычислительных
устройствах количество корпусов запоминающих устройств
составляет 40—80% от общего количества корпусов микро-
микросхем, данный фактор дает возможность значительно умень-
уменьшить стоимость, снизить размеры, вес, энергопотребление.
Третий серьезный довод в пользу применения методов
контурного анализа для автоматической обработки и распоз-
распознавания зрительных образов состоит в следующем. Совер-
Совершенствуя датчики и увеличивая объем запоминающих уст-
устройств, можно сформировать слабо искаженные шумом мно-
многоэлементные изображения. При этом задача распознавания
облегчается, но основные трудности принятия решения о
классе изображения вызваны искажениями распознаваемого
изображения по отношению к эталону вследствие случайных
переносов, поворотов и изменения масштаба. Применение
методов контурного анализа в большей степени, чем простран-
пространственных методов, дает возможность получить модели, инва-
инвариантные к параметрам этих линейных преобразований изоб-
изображения. Свойство инвариантности аналитических описаний
контуров к группе линейных преобразований проявляется при
соответствующем выборе линейного пространства для пред-
представления контуров как разновидности сигналов и позволяет
резко снизить трудоемкость операций обработки и распоз-
распознавания изображений.
123

Четвертым доводом в пользу методов контурного анали-
анализа служит устойчивость контуров изображений, получаемых
одним и тем же или другими датчиками в разное время и
при различных условиях. Другие характеристики изображе-
изображения при этом значительно варьируются [42].
Способы аналитического задания контуров кодами тесно
связаны с вопросами представления изображения для цифро-
цифровой обработки, которые, в свою очередь, являются одним из
разделов клеточной логики. Первые работы в этой области
относятся к 50-м годам и были обязаны этим развитию теории
автоматов. Для рассматриваемых далее вопросов нам будут
важны следующие положения в отношении алгоритмов обра-
обработки изображений с использованием клеточной логики [18].
1. Правило дискретизации непрерывного бинарного по
яркости изображения на сетчатке состоит в следующем:
клетке присваивается значение единица, если изображение
занимает площадь больше определенного порогового значе-
значения, например, больше 50 % площади, и значение ноль —
в противном случае.
2. С позиций упрощения программирования задач обра-
обработки изображений, выражения координат точек на сетчатке в
целых числах и обеспечения сопряжения с аппаратурой ска-
сканирования целесообразно выбирать для рецепторных полей
квадратную сетчатку.
4.2
СПОСОБЫ КОДИРОВАНИЯ
КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Для дальнейшего рассмотрения методов контурного ана-
анализа будем предполагать, что обобщенная структурная схема
системы цифровой обработки изображения имеет вид, пред-
представленный на рис. 4.1. Все блоки системы общаются через
программно:управляемый канал связи. Сформированное дат-
датчиком изображение преобразуется в цифровой вид и зано-
заносится в одно из цифровых рецепторных полей (ЦРП). В
других ЦРП, общее число которых обычно равно 2... 10, хра-
хранятся изображения, полученные в предшествующие моменты вре-
времени. ЦРП представляет собой одну из разновидностей оператив-
оперативно-запоминающего устройства изображений (ОЗУИ).
Банк изображений служит для хранения большого
количества изображений, в том числе эталонных. Он выпол-
124

Датчик
изображений,
аналого-
цифровой
преобразова-
преобразователь
Кана
цифровые
рецепториые
ПОЛЯ
Банк
изображений
видео-
видеопроцессор
Йидео-к.онт рольное
устройство,
цифро-аналоговые
преобразоват&ль
л с в я з и
ОЗУ промежуточных результатов
обработки изображений
QOj.ia^«JTJ8HH4X
изображений
Рис.'4.1. Структура системы обработки изображений
няется на основе накопителей на магнитных дисках, магнит-
магнитной ленте, запоминающих устройств на цилиндрических маг-
магнитных доменах и др.
Видеопроцессор (ВП) обрабатывает информацию, пос-
поступающую из ЦРП и банка изображений. Промежуточные
результаты обработки хранятся в соответствующих ОЗУИ.
Среди них необходимо особо отметить ОЗУ для хранения
контуров изображений (ОЗУК). Окончательные результаты
обработки размещаются в ОЗУ обработанных изображений
(ОЗУОИ). Наблюдение изображений, хранящихся в любом
из ОЗУИ системы, производится после преобразования в
аналоговую форму видеоконтрольным устройством (ВКУ).
ОЗУИ имеет матричную организацию ячеек и содержит
jVi строк и N2 столбцов. Обычно JViX№ равно 256X256
или 512X512, а ячейка является шести- или восьмиразряд-
восьмиразрядной. Адрес каждой ячейки ОЗУИ связан с определенным
положением освещенной точки на чувствительном элементе
датчика. Чем больше разрядность ячейки и больше формат
WiX№, тем меньше искажено шумами дискретизации и
квантования хранящееся в ОЗУИ изображение. Однако выбор
значений iVi и N2, а также разрядности ячейки ОЗУИ огра-
ограничиваются возможностями существующей элементной базы.
Кроме того, poctJVi и N2 приводит к быстрому увеличению
требуемого количества операций по обработке изображения.
Один разряд ОЗУИ будем называть страницей. В каждой
такой странице может храниться бинарное по яркости (си-
луэтное) изображение. На графических иллюстрациях фраг-
фрагмент страницы будем изображать квадратной сетчаткой,
125

Рис. 4.2. Силуэтное изображение, заданное на квадратной
сетчатке
причем ячейки, в которых хранятся единицы, будут заштри-
заштрихованными (рис. 4.2).
Рассмотрим некоторые работы по представлению и ана-
анализу контуров изображений, заданных на квадратной сет-
сетчатке. Наиболее интересные исследования по кодированию
контуров и формированию по коду информативных признаков
представлены в [17]. Исследования, описанные в ней, направ-
направлены на выяснение биологических аспектов процесса рас-
распознавания. При этом рассматривается иерархическая система
признаков. Первичные признаки отражают геометрические
свойства линий: прямая-кривая, выпуклая-вогнутая, плавная-
излом.
Вторичные признаки получаются в результате анализа
первичных. Примерами вторичных признаков являются: ранг,
характеризующий сложность контура и равный числу фраг-
фрагментов в нем; степень прямолинейности, определяющая со-
содержание в линии контура прямолинейных фрагментов;
степень вогнутости; степень изрезанности; характер кривизны
и т. д.
126

Третичные признаки отражают отношения между конфи-
конфигурацией обрабатываемого объекта и другой фигурой. При-
Призерами таких признаков будут площадь, компактность, удли-
ненность. В качестве признаков более высокого- уровня вво-
вводятся транспозиционные признаки, характеризующие взаимное
положение фигур и меру их сходства.
Все рассмотренные признаки инвариантны относительно
преобразований переноса и поворота.
Оценке степени сложности формы фигуры по ее контуру
посвящены работы [91, 93, 99]. Полагается, что основной
показатель сложности — количество фрагментов в контуре.
д\енее важными, но достаточными характеристиками слож-
сложности являются коэффициент формы и число углов. Точки ну-
нулевой кривизны, удлиненность, найденная по скелету фигу-
фигуры,— это информативные признаки, определяемые по контуру
фигуры. В качестве системы таких признаков принимается со-
совокупность отношений длин и углов наклона прямолинейных
отрезков контура [69].
Линии контура обычно кодируются при обходе его по
часовой стрелке. С целью введения единой терминологии
дадим необходимые определения (рис. 4.3).
Элементарный вектор (ЭВ)у(п) — вектор, соединяющий
центры или узлы соседних контурных ячеек сетчатки, прове-
проведенный в направлении обхода [3]; п — номер этого ЭВ, от-
отсчитываемый от точки а0 обнаружения контура; п=0, 1, ...,
k— I, k — количество ЭВ в контуре данного изображения
(рис. 4.3,а),.
Элементарное направление (ЭН) — аргумент ЭВ. Клетка
заполняется, если площадь изображения в ней не менее 50%
площади клетки.
На прямоугольной сетчатке возможны восемь различных
ЭВ (рис. 4.3,6).
Рассмотрим примеры способов кодирования контуров.
1. Кодирование по трем признакам: длине текущего ЭВ,
направлению поворота при переходе к следующему ЭВ и
углу между соседними ЭВ [17].
2. Кодирование текущего ЭВ трехразрядным двоичным
кодом (числа от 0 до 7) (рис. 4.3,в). Данный код был пред-
предложен Фрименом [103] и получил широкое распространение
в задачах обработки изображений [21, 43, 68, 97, 104—
-109].
3. Р — представление контура [77] основано на проведе-
проведении в области изображений ряда равноотстрящих сечений
127

г
,—•
f
it")
V
\
\
/
/
-
\
/
4
5
4
3
6
г?
/
Рис. 4.3. К определению элементарных векторов контуров:
а) задание контура элементарными векторами;
б) виды возможных элементарных векторов на квадратной
сетчатке;
в) нумерация элементарных векторов по Фримену
параллельно координатной оси и определении координат точек
пересечения с контуром. Контур в каждом сечении задается
вектором, двумя обязательными компонентами которого явля-
являются экстремальные значения координат его точек. Данное
представление полезно при выводе изображения для опреде-
определения факта пересечения изображений, вычисления некоторых
геометрических характеристик.
В то же время Р — представление затрудняет оценку
связности соседних контурных точек.
4. Кодирование (рис. 4.4) текущего ЭВ двумя его проек-
проекциями на оси координат [3, 101] —двухмерный код. Данное
представление, как и кодирование по Фримену, принято в
качестве базового для дальнейшего рассмотрения.
5. Полигональное представление контура [77] получа-
получается при аппроксимации контура линейными сегментами. Ко-
Кодирование контуров состоит в фиксации координат концов
этих сегментов. Данный способ получил широкое распростра-
распространение благодаря компактности получаемых описаний. При
этом возникает проблема сегментации, сходная с проблемой
дискретизации сигналов, и для реальных контуров она обычно
связана с потерей информации.
128

¦/./
-1,0
-1,-1
0,1
\\/
и
1,0
Рис. 4.4. Координаты элемен-
элементарного вектора контура при
двухмерном кодировании
6. Задание точек контура радиус-векторами, приведен-
приведенными из центра тяжести фигуры. В работе [8] рассмотрены
условия, при которых полученный таким образом полярный
код инвариантен к группе линейных преобразований изобра-
изображения. Данный способ кодирования посредством дополнитель-
дополнительной статистической обработки позволяет сформировать доста-
достаточную статистику для принятия решения о классе изобра-
изображения по его форме. Следует отметить, что совмещение по-
полюса с центром тяжести изображения носит эвристический
характер и вызвано биологическим аспектом восприятия
изображения [100]. В этом плане имеются определенные
противоречия, например: в работе [102] такая тенденция при
исследовании точек фиксации глаза не наблюдалась.
7. Представление линии контура в виде функции комп-
комплексного переменного [45, 95, 97, 98, 101}. Контур, как непре-
непрерывная замкнутая кривая в.комплексной плоскости, задается
ее координатой z(l), зависящей от текущей длины /¦ [45].
В работе [101] и в ряде других используется инвариантное
к группе линейных преобразований аналитическое описание
контура угловой функцией. Задание контура в виде зависи-
зависимости в(/) угла касательной от функции текущей длины /
инвариантно к переносу, но зависит от поворота и изменения
масштаба (рис. 4.5).
Определим кумулятивную функцию Ф(/) как угол между
касательными в точках а0 и *(/), y(t), т. е.
129

Рис. 4.5. Задание линии контура угловыми функциями
Ф(/)=0(/)-в(О). D.2.1)
При этом для простых замкнутых кривых с ориентацией
по часовой стрелке будем иметь
ФЩ= -2я,
где L — длина контура. Подобное описание приобретает инва-
инвариантность к повороту и переносу. Область определения угло-
угловой функции Ф(/) меняется для контуров разной длины. Сле-
Следующий шаг в получении нормализованного описания контура
необходимо сделать в направлении исключения этой зависи-
зависимости. Введем нормализованный интервал области определе-
определения угловой функции Ф контура, равный 0,2л , причем такой,
что
ф*@)=Ф*Bя)=0.
Зададим функцию Ф*(?) в виде
Ф*@=Ф (^ )+ t. D.2.2)
При этом Ф*@)=Ф@)=0 и Ф*Bя)=ФA)+2я= -2я+2я=0.
130

Задание контура изображения в виде функции Ф*(/)
является инвариантным к переносу, повороту и масштабу
изображения.
Работы [95, 97, 98, 101] и некоторые другие посвящены
вопросам создания на основе коэффициентов Фурье для угло-
угловой функции экономного и инвариантного описания контура.
8. Задание ЭВ контура в плоскости квадратной сет-
сетчатки (рис. 4.6) комплексными числами [72—74]:
{1, l—i, -i, -l-i, — 1, -1-К i, !+«}. D.2.3)
-fn
-1
-1-1
I
-I
1+1
1
f-i
Рис. 4.6. Координаты элементар-
элементарного вектора при комплексио-
значном кодировании
Комплекснозначный код контура ДГ={у(л)}0,*-| введем
как обобщение цепного кода Фримена ДФ на плоскость комп-
комплексного переменного с квадратной сеткой.. Вместо номеров,
кодирующих текущие ЭВ у(п) контура, каждому ЭВ ставится
в соответствие координата его конечной точки в системе
отсчета, совмещенной с началом вектора.
В общем случае выражение для элемента кода ДГ
запишется как
Y(n)=Yi(«)+'72(n)=lv(n)I^P{i<P(n)}. D.2.4)
где yi(n)=Rey(n); y2(n)—Jmy(n.); <p(ri)=argy(n).
С учетом принятых обозначений текущий элемент кода
Фримена запишется как —ф(«), двухмерного — [yi(n),7г(я)].
а сами коды можно записать следующим образом:
131

4
1) код Фримена — ДФ = {—w(n)}ok-i~,
я
2) двухмерный — AD = {у\(п), 7г(")}о,*-1; D.2.5)
3) комплекснозначный — ДГ = {у(п)H,к-\.
Пространство сигналов (кодов) Фримена обозначим че-
через Ф*, двухмерных кодов — Е2к, комплекснозначных—Ск.
4.3
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Процедура распознавания изображений с позиций ста-
статистического подхода содержит следующие этапы [66]:
получение по распознаваемому изображению его фор-
формального описания, т. е. переход от изображения к адекват-
адекватному сигналу, являющемуся элементом линейного метри-
метрического пространства, к которому относятся все эталонные
изображения, при этом распознаваемое и эталонные изобра-
изображения представляют собой точки в данном пространстве;
определение расстояния между точкой, соответствующей
распознаваемому изображению, и точками, соответствующими
эталонным изображениям;
принятие обоснованного решения в пользу одного из
классов сравнением полученных значений расстояний с поро-
пороговым значением.
Кодирование контура — этап формирования сигнала при
распознавании изображений по их форме. Для оценки того
или иного метода кодирования надо проанализировать степень
адекватности получаемых при этом сигналов и метрические
свойства пространств, элементами которых они являются.
С этих позиций рассмотрим цепные коды Фримена
ДФ, двухмерный AD и комплекснозначный ДГ и свойства
соответствующих им пространств сигналов Ф*, Е2к и С*.
4.3.1
СРАВНЕНИЕ СВОЙСТВ
ПРОСТРАНСТВ ЭЛЕМЕНТОВ КОДА
Метрические свойства пространств вектор-контуров
(ВК) тесно связаны со свойствами пространств элементов
132

кодов. С этих позиций рассмотрим пространства Ф1, Е2 и С1
[27].
Пространство Ф. Значение элементов кода Фримена —
это восемь чисел —ф;, где ф/=/ -т-, /=0, 1, ..., 7. Данные
числа не образуют числового поля. Поэтому для введения
линейного пространства будем их рассматривать как подмно-
подмножество произвольных вещественных чисел в интервале {—7, 7}
с расширенным условием равенства
±Ф/=2тя ±), D.3.1)
где т — произвольное число.
При таком подходе сумма двух элементов из Ф1 —
4 4
— Ф/ и — ф; соответствует повороту /-го ЭВ контура на угол
Л Л
4 4
— Ф/ либо повороту /-го ЭВ на угол —фу. При этом, естест-
JX JT
венно, когтур должен быть оторван от рецепторного поля
при сохранении его полигональной структуры.
Отрицательный элемент Ф1 задается отсчетом ЭВ против
часовой стрелки, а нулевым элементом будет горизонтально
расположенный и направленный вправо вектор произвольной
длины. На рис. 4.7 представлены примеры противоположных
векторов из Ф1. Произведение элемента из Ф1 на произволь-
произвольное действительное число к, т. е. к — фу, соответствует пово-
4 4
роту ЭВ —фу на угол (Я—1)—фу.
Таким образом, линейные операции в Ф1 связаны лишь с
вращением элементарных векторов контура и совершенно не
затрагивают их длину. Это объясняется тем, что код Фримена
не является адекватным линии контура, т. к. здесь мы имеем
последовательность скаляров, описывающих поведение не все-
всего ЭВ, а лишь его аргумента. Поэтому даже в расширенном,
т. е. оторванном от сетчатки, пространстве Ф1 аналитические
преобразования не затрагивают длины ЭВ, и вследствие этого
нельзя задать отрезок, соединяющий произвольные контурные
точки. Отсюда следует невозможность задания суммарного
133

-2
-5
-7
Рис. 4.7. Противоположные векторы в пространстве
кода (см. 4.4) и связанных с ним таких характеристик, как
площадь контура, координаты центра тяжести и др.
Метрика в пространстве Ф1 вводится на основе скаляр-
скалярного произведения двух элементов пространства, которое за-
записывается в виде
Пространство ?2 и С1. Пространство Е2 является дей-
действительным координатным пространством, и ЭВ в Е2 задается
двумя проекциями у\ и у% на взаимно перпендикулярные оси.
Чтобы координаты у\ и 72 образовывали числовое дей-
действительное поле, будем их также рассматривать как подмно-
подмножество множества произвольных вещественных чисел. В отли-
отличие от пространства Ф1, в пространстве Е2 ЭВ контура адек-
адекватно задается своими проекциями у\ и уч. Сложение в прост-
пространстве Е2 происходит по правилу параллелограмма, а при
умножении на произвольное действительное число А. ЭВ
растягивается в Я раз. Скалярное произведение ЭВ в ?2
определяется известным выражением
Г\1тЕ>=У\1-Уи+У21'У21. D.3.2)
Пространство С1 является одномерным линейным комп-
комплексным пространством с положительным значением скаляр-
скалярного квадрата, т. е. унитарным. В С1 элементарный вектор
134

адекватно отражается комплексным числом
7=71+'72.
причем будем предполагать, что комплексные числа у обра-
образуют поле. При этом значения, которые принимает 7 на квад-
квадратной сетчатке, образуют подмножество этого поля.
Сложение двух ЭВ в С1 осуществляется так же, как и в
?2, по правилу параллелограмма, а при умножении на комп-
комплексный множитель X=\X\exp{iAq>] происходит не только рас-
растяжение ЭВ в |А,| раз, но и его поворот на угол Дф.
В качестве метрической формы в пространстве С1 прини-
принимается положительно определенная эрмитова форма q(y)=
=о277*[22]. Скалярное произведение в унитарном простран-
пространстве выражается формулой
Л/fc1 =G/, 7/)=а27/7*/=
D.3.3)
При ot=l нормы векторов равны их длинам. При этом из
D.3.2) и D.3.3) следует, что скалярное произведение в Е2
является составной частью скалярного произведения в С1:
i\ie'=Rej\ic> ¦ D.3.4)
Из рассмотрения пространств Ф1, Е2 и С1 следует:
1) ЭВ контура адекватно выражается элементами
пространств Е2 и С , а в Ф1 отражается лишь его аргумент;
2) скалярное произведение, наделяющее пространства
Ф1, Е2 и С1 метрическими свойствами, наиболее информативно
в пространстве С1, т. к. зависит не только от аргументов,
но и от модулей элементарных векторов и включает в себя
как составную часть скалярное произведение в простран-
пространстве ?2.
4.3.2
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
ВЕКТОР-КОНТУРОВ
Контур изображения или его фрагмент, заданный в виде
последовательности ЭВ, будем рассматривать как элемент
одного из линейных пространств Ф*, Е2к или С*. Этот элемент
будем называть вектор-контуром (ВК) и обозначать пропис-
135

ными буквами греческого алфавита Г, N, ..., а соответствую-
соответствующие им ЭВ — строчными у(п), v(n), где п — номер ЭВ при
произвольно, в общем случае, выбранном нулевом векторе
7@), v@)... Конечной целью рассмотрения свойств каждого
из пространств Ф\ Е2к и Ск будет выбор одного из них для
наиболее эффективного решения задачи распознавания изоб-
изображений по их контурам на основе анализа в пространствен-
пространственной области, т. е. на основе формирования такой статистики,
как скалярное произведение при координатном представлении
ВК [27]. В связи с такой постановкой конечной задачи в дан-
данном разделе будут рассмотрены характеры линейных пре-
преобразований и скалярное произведение в каждом из прост-
пространств. При этом под поворотом контура Г на угол Дф будем
понимать линейное преобразование, при котором на этот угол
поворачивается каждый элементарный вектор контура, т. е.
ГА,=Г^={т(п)^}о.»-1. D.3.5)
Аналогично под изменением масштаба контура в |Я| раз
будем понимать линейное преобразование, при котором каж-
каждый элементарный вектор контура растягивается в |А.| раз, т. е.
Г|А.|=МГ={1Мт(л)}о.*-1. D.3.6)
Рассмотрение пространств Ф*, Е2к и С* базируется на ре-
результатах раздела 4.3.1, где исследованы свойства этих прост-
пространств для одномерного случая, когда их элементами слу-
служат не ВК, а элементарные векторы контуров.
Пространство Ф*. Пространство Ф является действи-
действительным координатным пространством [22], в котором ВК
представляется упорядоченным набором из k чисел -¦- ф(л),
й=0, 1 k—1, где ф(гс) — аргумент л-го ЭВ контура.
В пространстве Ф* ВК задается в виде Г={ — <pr(«)}o,ft-i
4 4
Два ВК Г={— фг(«)}о,*-1 и N—{— ф/у(л)}<»-1 равны, если
Л Л
Фг(«)=Фл<(«), «=0, 1, ..., k—\.
Определим линейные операции в Ф* соотношениями
P=T+N= {— Фг (л) + — Ф„ (л) ) о,*-1 D.3.7)
136

о
'-5
-6
-2
.5 Ъ,
. 4
Рис. 4.8. Противоположные контуры
k-i, D.3.8)
к — действительное число.
Суммарный ВК Р получаем из компонент ВК Г поворотом
А
каждого из них на соответствующий угол — фл/(га).
Нулевой ВК состоит из нулевых ЭВ и в связи с этим не
замкнут. Представим два контура (рис. 4.8), которые описы-
описываются противоположными ВК. При одинаковой форме они
отличаются направлением обхода.
Скалярное произведение, норма и расстояние между
двумя ВК в Ф* определяются выражениями
гг)фЛ,("); D.3.9)
D.3.10)
D.3.11)
Как видим, скалярное произведение, норма и расстояние
в пространстве Ф* не затрагивают длины элементарных век-
векторов. Если же рассматривать вопросы, связанные только с
аргументами этих векторов, то скалярное произведение не
инвариантно к повороту ВК. Действительно, повернем ВК Г
на угол Дф и найдем скалярное произведение:
D.3.12)
1.47

Из выражения D.3.12) следует, что скалярное произведение
двух ВК, соответствующих одному и тому же контуру при его
повороте на угол Дф относительно исходного положения, явля-
ется функцией угла Дф. Это значит, что ВК, соответствующие
одному и тому же контуру, будут иметь различную норму, и
расстояние R(T, Гл,) не будет равно нулю.
В силу своей простоты код Фримена ДФ широко при-
применяется целым рядом исследователей при решении задач
распознавания на основе контуров изображений. Обзор боль-
большого количества работ, посвященных этому вопросу, приведен
в [68]. Вместе с тем приведенный выше анализ общих свойств
кода Фримена как сигнала в линейном пространстве Fk пока-
показал, что так как он не отражает длины вектора, то на его
основе нельзя с общих позиций теории сигналов получать оп-
оптимальные структуры устройств обработки и обоснованного
принятия решения.
Для тех задач, где важно знать, из каких именно ЭВ
слагается контур и какой вид имеет их конкатенация, код
ДФ содержит всю необходимую информацию. Поэтому на его
основе можно получить ряд статистических и лингвистических
описаний изображения, например матрицу вероятностей смены
ЭВ в контурах изоображений определенного класса.
Обычно при анализе контуров изображений кодирование
по Фримену сочетается с другими методами кодирования
контуров. Например, в [104] код ДФ используется для ана-
анализа формы клеток крови, но при измерении площади клеток
крови производится переход в пространство Е2к. Аналогично в
[21] при формировании цепной взаимно корреляционной,
функции вместо значений элементов кода Дф вводятся соот-
соответствующие им косинусы углов элементарных направлений.
При анализе контуров на основе кода Фримена может
создаться впечатление, что он недостаточно эффективен в
общем случае, когда аргумент ЭВ принимает произвольные
Значения. В то же время на квадратной сетчатке, где аргу-
йёнт^ектора принимает всего восемь различных значений и
кЬл?$анШ'ЧмВД^ля вектора составляют около 40%, влияние
модуля ЭВ можно не учитывать. Можно отказаться от евкли-
евклидовой метрики и ввести метрику Минковского [40], рассмат-
рассматривая в качее^if& одиночной окружности единичный квадрат,
считать, что все элементарные векторы имеют
138

одинаковые единичные длины. Но даже в этом случае все
преобразования элементарных векторов связаны лишь с их
поворотом.
Пространства Е2к и С*. Сопоставим задание ВК в прост-
пространствах Е2к и С*. Такое сопоставление применяется при
рассмотрении геометрии унитарного пространства [22].
Пусть {fti)o,*_i — ортонормированный базис в С* и
T={yi(n)-\-iy2(n)\o,k-i — разложение произвольного ВК по это-
этому базису^. Одновременно с базисом {е^0,к-\ рассмотрим
векторы lm=iem, т=0, 1, ..., k—l. Тогда произвольный ВК
Г можно представить в виде
Теперь ВК можно рассматривать как элемент действительного
координатного пространства Е2к. Таким образом, мы получили
два представления ВК в координатных пространствах Е2к и С*:
rc.={Y.(n)+iY2(rt)}o.*-., D.3.13)
I>=b,(n), Y2(«)}o.*-i. D.3.14)
Два ВК Г и iV равны, если yi(n)=\i(n) и y^n^v^n), n=0, 1,
¦ -, k—l. Сумма ВК Г и iV есть ВК Р, определяемый как
Р*=Гс+#<:• ={ Y(rt)+v(rt)}o,*-.; D.3.15)
(n)}o,*-i. D.3.16)
ВК Р, являющийся результатом умножения ВК Г на прои-
вольный коэффициент к (комплексный для С* и действитель-
действительный для Е2к), имеет вид
п D.3.17)
{y }o,k-i. D.3.18)
При умножении в пространстве С* контур растягивается
в Щ раз и поворачивается на угол A(p=argX, а при умноже-
умножении в пространстве Ё?к — только растягивается.
В качестве ортонормированного базиса в Е обычно
выбирается канонический базис [10]. В пространстве С выбор
базиса, аналогично каноническому, неоднозначен. В качестве
такого базиса может служить любой базис вида
139

Н Ц; еГ_,={ОО...ОА,},
где х _ комплексное число с единичным модулем [32].
Скалярные произведения ВК в пространствах Е и С
при ортонормированном базисе имеют вид [22]:
(Г, Л0е»=  [Y»(«)vi(n)+T2(n)v8(n)]; D.3.19)
n=0
А-1
(Г, Л^Ь=(Г,Л0в-+* 2 [V2(n)v,(n)-v.(n)v2(n)]. D.3.20)
Сравнивая выражения D.3.19) и D.3.20), видим, что ска-
скалярное произведение в С* содержит в качестве своей дейст-
действительной части скалярное произведение в Е2к. Вследствие
этого скалярное произведение в унитарном пространстве за
счет своей мнимой части более информативно, чем скалярное
произведение в пространстве Е2к. Отсюда, например, следует,
что ВК, ортогональные в Е2к, могут не быть ортогональными
в С*. Ортогональность сохраняется лишь при Jm(T, N)c*=0.
В то же время норма ВК Г в обоих пространствах совпадает,
т. е.
Выражения для расстояния в Е2к и С* имеют вид:
Так как в унитарном пространстве (Г, N)=(N, Г)*, то
/?^=*=/?с», т. е. оба пространства изометричны. Отметим сле-
следующий факт:
если ||Г|12=||ЛЛ|М(Г, ЛОЯ D.3.23)
то #с*=0.
140

4.3.3
ОСОБЫЕ СВОЙСТВА
СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
В ПРОСТРАНСТВЕ С
Скалярное произведение в действительном координат-
координатном пространстве Е2к позволяет ввести не только норму для
вектора этого пространства, но и обобщить понятие угла
между векторами:
со«(р=(Г, JVWIiril \\N\\. D.3.24)
Величину, задаваемую выражением вида D.3.24), будем на-
называть нормированным скалярным произведением (НСП).
В пространстве Ск НСП в общем случае является комплексной
величиной и не может быть косинусом какого-либо действи-
действительного угла [30]. Рассмотрим более подробно вопрос о том,
какие характеристики ВК задает их скалярное произведение
в пространстве С*.
Экстремальное свойство НСП в Ск. В соответствии с не-
неравенством Коши-Буняковского для комплексных чисел
имеем
D.3.25)
причем равенство возможно лишь при r=AJV, где Х=
= \X\exp{iA(p] — произвольное комплексное число. На основа-
основании выражений D.3.24) и D.3.25) можно заключить сле-
следующее.
Положение I. Модуль НСП в пространстве С*
1п,| = |т|1/11Г|| \\N\\ D.3.26)
равен нулю, если ВК Г и N ортогональны, т. е. максимально
несхожи, и принимает максимальное значение, равное едини-
единице, если Г и N — это один и тот же контур, причем контур
/V может быть повернут относительно контура Г на произ-
произвольный угол Аф и изменен в масштабе в |А,| раз. НСП в
пространстве Е2к проявляет близкие экстремальные свойства.
Однако в силу действительного характера множителя к век-
вектор-контуры Г и IV4<P имеют значение НСП, не достигающие
единицы. Таким образом, НСП в С* позволяет обнаружить
высокую степень близости для значительно больших значе-
значений ВК, чем в Е2к.
Положение 2. Максимальное значение модуля НСП~"в
С* инвариантно к преобразованию поворота ВК, т. е. если
141

r=Nexp{iA(f), то НСП D.3.2-5) сохраняет свое экстремальное
значение независимо от угла поворота Дф:
\jb\=f(Ay)=const. D.3.2.7)
При этом НСП в Е2к таким свойством не обладает.
Положение 3. Значение максимума модуля НСП инва-
инвариантно к изменению масштаба контура за счет растяжения
каждого его элементарного вектора в \К\ раз. Положение
справедливо для НСП в пространствах Е2к и С*.
Инвариантность максимума модуля НСП в С* к углу
поворота контура позволяет считать повернутые относительно
друг друга контуры одними и теми же, в то время как
НСП в Е2к не позволяет сделать такой вывод. В случае,
когда угол Дф будет равен значению л/2, расстояние между
этими контурами было бы максимально возможным, что сви-
свидетельствовало о наибольшей несхожести этих контуров, а
НСП в С* показало бы, что мы имеем дело с одним и тем
же контуром.
Так как цепные коды обладают инвариантностью к
сдвигу контура в плоскости рецепторного поля, то НСП в
С* представляет собой характеристику близости двух кон-
контуров, инвариантную к линейным преобразованиям сдвига,
поворота и масштаба (трансляции, ротации и гомотетии).
Покажем, что инвариантность модуля НСП в тройке линей-
линейных преобразований ВК относится не только к его экстре-
экстремальному значению, но и к модулю произвольного значе-
значения ВК.
Действительно, используя показательную форму для
комплексного числа, запишем:
л= Jo y(n)v*(n)± Д \у(п)Ь(п)\ ехр{1\^(п)-^2(п)}, D.3.28)
где q>i(n)'и фг(я) — соответственно, аргументы п-х элементар-
элементарных векторов контуров Г и N. Умножая обе части этого
выражения на K=\K\exp{i\(p}, получим
т|А.= п=Б 17(яIКяIМ<?х/?{/[ф|(я)-ф2(я)+Д«р]}- D.3.29)
Из последнего выражения следует, что в этом случае модуль
НСП \ц,\ не меняется, так как аргументы всех комплексных
слагаемых получили одинаковое приращение, что не повлияло
на их соотношение, а изменение масштаба одновременно с
142

изменением модуля скалярного произведения привело к та-
такому же росту нормы одного из ВК-
Показательная и тригонометрическая формы скалярного
произведения в пространстве С . Запишем на основании
D.3.28) выражения для скалярного произведения в С* в по-
зательной и тригонометрической формах:
а—1
2= 2
2 ц(и)едср{р()}
D.3.30)
где
jx(n)=lv(n)||v(rt)|, Дф(п)=ф1(п)—ф2(п).
Для случая, когда N=\X\re'&*, будем иметь:
Дф(п)=ф|(я)—ф2(п)=Дф; ц(п)=\к\ \у(п)\2;
а—1
г\= 2 \Х\ \y(n)\2(cosA(f-\-isin\(f)—\k\ || ГЦ (cos Дф+шяДф).
"=0 D.3.31)
Из выражения D.3.31) следует, что линейные преобразования
контура приводят к аналогичным преобразованиям вектора
скалярного произведения ВК. В этом случае
tgb<t=Jmr\/Rei\; 1л1=М1Г||2. D.3.32)
По результатам проведенного в этом разделе анализа
можно сделать следующие выводы.
1. Скалярное произведение в С* является в общем
случае комплексным числом. Вследствие изометричности
пространств С* и ?2* значения норм ВК в них совпадают.
Реальная часть скалярного произведения в С* равна значению
скалярного произведения в Е2к. Таким образом, скалярное
произведение в С* включает в себя скалярное произведение в
Е1к как частный случай и поэтому обладает большой инфор-
информативностью.
2. Модуль нормированного скалярного произведения
ВК в пространстве С* является характеристикой близости
двух контуров, инвариантной к линейным преобразованиям
сдвига, поворота и масштабирования контуров. Скалярные
произведения ВК в пространствах Ф* и Е2к таким свойством
не обладают.
3. Поворот контура на угол Дф приводит к такому же
преобразованию вектора скалярного произведения ВК, соот-
143

ветствующих исходному и преобразованному контурам. По-
Поэтому аргумент вектора скалярного произведения в С* равен
углу поворота контура.
Таким образом, комплексное линейное пространство С*
является предпочтительным для представления контуров
изображений.
4.4
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И СВОЙСТВА
КОМПЛЕКСНОЗНАЧНЫХ
МОДЕЛЕЙ КОНТУРА
Элементы комплекснозначного кода АГ равны первым
векторным разностям линии контура, и поэтому целесообраз-
целесообразно данный код назвать кодом первой разности.
Текущая сумма р (п) элементов кода ДГ задает новый
код, который назовем суммарным и обозначим как 2Г:
л-]
2Г={р(п)}о.*_,; №= Д, у(г).
D.4.1)
Элемент 0(я) суммарного кода задает вектор, соединяющий
начальную точку а0 с началом вектора у(п). Текущий суммар-
суммарный вектор р5(я) для скользящего окна шириной s элементов
(рис. 4.9) может быть найден как
РДя)= 2 у(п). D.4.2)
А
/
;
Л
*s(n)
\
.—*
-Он
S
¦s
>
Рис. 4.9. Текущий суммарный вектор контура
144

Смещенный суммарный код контура, получаемый при
задании начала отсчета в произвольной точке, задается
2Гс„={ро+р(я)}о,*-1, D.4.3)
где ро — вектор, соединяющий начало отсчета с точкой ац.
Элементы кода АГ в виде, когда модули их вещественной
и мнимых частей равны либо единице, либо нулю, назовем
стандартными. Код ДГ со стандартными значениями своих
элементов формируется по изображению, заданному на квад-
квадратной сетчатке. Это является необходимым, но промежуточ-
промежуточным этапом обработки изображения, связанным с его вводом
в ЦРП. Дальнейшая обработка может быть оторвана от
сетчатки, в которой ЭВ имеет всего восемь различных зна-
значений.
Перечислим наиболее важные свойства комплекснознач-
ных кодов.
1. Коды АГ и 2Г инвариантны к переносу изображения.
2. Сумма элементов кода ДГ равна нулю, т. е.
гД у(п)=0. D.4.4)
3. Разностный код ДГ,, для контура, повернутого на
угол Дф и растянутого в \\i\ раз, связан с кодом АГ исход-
исходного контура соотношением
ДГA=1и,к'Лф-АГ. D.4.5)
4. При смещении на г элементов начальной точки а0
контура изображения происходит сдвиг элементов кода на
величину гу т. е.
v'(n+r)=V("). D.4.6)
где у'(п) — элемент., кода при сдвиге начальной точки.
При изменении начала отсчета элементы нового суммар-
суммарного кода p'(rt) выражаются через элементы исходного $(п)
следующим образом:
р'(л)=Р(л)+Ро, D.4.7)
где ро=*о+и/о — комплексное число, определяющее положе-
ие начальной точки контура относительно начала новой
системы координат. Так как при этом разностный код не
изменился, то элементы нового суммарного кода задаются
рекуррентным соотношением
145

. D.4.8)
5. В ряде случаев комплекснозначный код контура
удобно рассматривать как периодическую последовательность.
При этом
y(n)=y(n+km), m=0, ±1, ±2... D.4.9)
4.5
ФОРМИРОВАНИЕ
ПРИЗНАКОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ
ПО КОДАМ ИХ КОНТУРОВ
4.5.1
ПОЛУЧЕНИЕ ПРИЗНАКОВ
ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ
КОДА ПЕРВОЙ РАЗНОСТИ
Цепной код АГ для изображений с сильной вариабель-
вариабельностью формы, например, таких, как изображения облачности,
береговой черты, водоемов и др., целесообразно рассматривать
в качестве дискретного случайного процесса ^ДГ}. Получим
статистические модели контуров, которые могут быть исполь-
использованы для классификации подобных изображений [74].
Случайную величину у(п) зададим распределением
вероятностей
Р{у(п)}={Р[у(п)=1], P[y(n)=l-i], ..., P[y(n)=l+i]\.
При условии стационарности процесса смены ЭВ одномерные
распределения в сечении процесса перестают быть функцией
от п. Если дополнительно предположить независимость слу-
случайных величин на соседних шагах, то контур изображения
/-го класса описывается полиномиальным распределением
вероятностей
/>,<*,, ka,..., k8)=k\ Д 7%/Д k.1. D.5.1)
где &!=[&,, &2 .., ?8] — вектор частот yv;
nvj=P(yvf) — вероятность появления ?v в контуре изобра-
изображения ;-го класса.
Дальнейшее уточнение модели контура связано с учетом
зависимости между случайными величинами yv. Предполагая,
146

что процесс Р{ДГ} обладает простым марковским свойством
получим
Р{АТ}=Р{у(О)\По Р{у(п)/у(п-\)}. D.5.2)
При условии стационарности мы приходим к простой
однородной цепи Маркова с вектором начальных вероятностей
n"[0]={nv[0]}1,8, где jiv[0] — вероятность того, что yv будет
начальным элементом кода ДГ, и с матрицей вероятностей
переходов восьмого порядка с вероятностями переходов
pah а, р=1, 2, ... 8,
P«fi=P{y(n)=yt/y(n-l)=ya}. D.5.3)
Масштабирование изображения приводит к изменению
спектра линии контура и, как следствие, к зависимости вида
матрицы вероятностей переходов от параметра этого преобра-
преобразования.
Наиболее полной статистической моделью контура яв-
является многосвязная неоднородная цепь Маркова. Однако ее
использование связано со значительным усложнением системы
обработки и распознавания. Например, если контур из 100
элементов описывается неоднородной трехсвязной цепью
Маркова, то для хранения элементов матрицы вероятностей
переходов только одного класса изображений необходимо
2,6-107 многоразрядных ячеек ЗУ. Поэтому увеличение
связности цепи Маркова накладывает серьезные ограни-
ограничения на сложность системы обработки и распознавания
изображений, особенно когда последняя должна работать в
реальном масштабе времени.
В то же время, как показывают экспериментальные
исследования, использование многосвязных цепей Маркова
не дает значительного роста эффективности распознавания.
Последнее -обстоятельство является следствием накопления
ошибок оценивания с ростом числа признаков и характерно
для задач распознавания образов [14].
Рассмотрим методы получения признаков на основании
распределения вероятностей jx(vv) появления величины yv,
v=l, 2, ... 8, в коде ДГ (рис. 4.10).
Среднее значение т* величины у в распределении часто-
стей, задаваемой вектором it *(vv), на основании свойства кода
ДГ будет равно
в I S
у JS *()
ту = JS YvJX*(Yv)= XS Yv*v=0. D.5.4)
147

Рис. 4.10. Вид распределения вероятностей элементов комплексно-
значного кода контура
Поэтому математическое ожидание ту не является информа-
информативным признаком и характеризует лишь свойство замкну-
замкнутости линии контура
Рассмотрим величину
С учетом конкретных значений для eY получим:
Величина d\ характеризует среднюю разницу между шириной
и высотой фигуры, a d2 — разницу в диагональных направ-
направлениях.
Таким образом, величины d\ и d<i позволяют оценить
направленность фигуры.
148

dr-0
d,<o
d,>o
>0
Рис. 4.11. Связь значений di и d2 с направленностью
изображения
Количественно направленность можно задать достаточно
хорошо выраженным направлением в контуре фигуры. На
рис. 4.11 показана связь направленности со значениями d\ и
d2.
Направленность будем оценивать углом. я|), который с
учетом свойств кода ДГ определяется следующим образом:
arctg Пг1 ] А при d|>0, d2>0;
arctg-
при
4.5.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК
ФОРМЫ ИЗОБРАЖЕНИЙ
1. Распространенной характеристикой формы фигуры
является коэффициент формы, определяемый как отношение
квадрата периметра L к площади S, т. е.
Периметр L через элементы кода АГ находится как
1= |МПI-
149

Определим площадь фигуры. Из формулы Грина [10]
При Q=0 и Р= —у имеем следующее выражение для
площади
Si= \ xdy.
Для случая дискретного комплексного переменного с учетом
выбранного направления обхода контура
dy=y(n), x= Ъс(т).
Тогда для площади 5*, расположенной на сетчатке фигуры,
получим
Величина S* будет верхней оценкой площади фигуры.
Формула дает точное значение площади в количестве ячеек
сетчатки, если элементом кода считать одну из внешних сторон
клетки. При использовании цепного кода из ЭВ у(«) получен-
полученное значение площади имеет погрешность, не превышающую
площади контурных элементов изображения.
2. Центр тяжести. Совместим начало отсчета декарто-
декартовой системы координат с точкой ао контура и сформируем
коды АГ и 2 Г. Расстояние, на котором находится каждая
контурная ячейка от оси у, равно y(n)=Re$(n). Предполагая,
что в каждой клетке изображения сосредоточена единичная
масса, можно найти распределение массы контурных ячеек
относительно оси у. Тогда координата центра тяжести контура
Аналогично получим выражение для координаты пгх центра
тяжести:
т- VI Jm^= ТЛ 2 /mv(r). D.5.8)
3. Габариты. Максимальные размеры фигуры в горизон-
горизонтальном Ахтах и вертикальном Аутах направлениях вычис-
вычисляются через элементы кода 2Г следующим образом:
150

Axmax=maxRe$(n)—minRe$(n)+1; D.5.9)
4. Вогнутые и выпуклые участки фигуры. Текущий
суммарный вектор f$s(l), построенный на выпуклом участке
контура, находится целиком внутри, а на вогнутом — цели-
целиком вне фигуры. Учитывая сложность проверки аналитическим
путем соотношения Щя)е5, целесообразно воспользоваться
следующим свойством векторов у(п): на выпуклом участке
у(п) повернут по отношению к у(п—1) по часовой стрелке,
а на вогнутом — против. При у(п)—у{п—1) участок может
быть как выпуклым, так и вогнутым.
5. Текущая ширина фигуры. При автоматической обра-
обработке изображений приходится сталкиваться с двумя видами
задач по определению ширины фигуры.
В задачах первого вида необходимо найти длину гори-
горизонтального отрезка, который начинается в текущей точке щ
контура и заканчивается в первой найденной контурной
точке (рис. 4.12,а).
Задача решается на основе суммарного кода 2Г. Вектор
является текущим суммарным вектором контура р(п) с
началом в точке щ и удовлетворяет условиям
R\ai)=Re^{n), /тр(я)= Д у(п)=0.
Второй вид задач связан с определением текущей
ширины фигуры, например ширины реки, по ее оптическому
изображению. При этом под шириной в точке щ понимается
модуль вектора Rjaj) с началом в этой точке, имеющий мини-
минимальную длину, и с концом в другой контурной точке (исклю-
(исключая точки, соседние с точкой a.j).
Определение R~(aj) также производится с помощью
суммарного кода. Для этого, начиная с точки а„ строится
текущий суммарный вектор и в момент достижения глобаль-
глобального минимума его модулем производится отсчет /?[а,)
(рис. 4.12,6).
6. Получение полярного кода контура через элементы
кода АГ. Выберем начало отсчета в центре тяжести фигуры,
т. е. т'х—т'у=0. Тогда начальной точке ао контура будет
соответствовать вектор ро== — (my-\-imx) и радиус-вектор
p(n)=p'(rt) найдется как
р(л)=р'(я)=р(я)+р@).
151

Ул
'f<
%
я
У/,
У/,
6>J)
''Л
V/
У,
0/
%
%
%
/
к/
У/
'//
ъ
*>*
~~~
я/
'/г
Рис. 4.12. К определению текущей ширины фигуры: а — ши-
ширина фигуры в горизонтальном направлении; Ь — ширина фи-
фигуры как минимальное расстояние между противоположными
сторонами
152

Смещенный суммарный код контура при выборе начала от-
отсчета в центре тяжести определяется следующим образом:
находится элемент кода для начальной точки контура
P'(l)=Y(l)-(m,+imx)=
=Y(l)-4- [%Л ^(«)+/|J0 Jmy(n)}; D.5.10)
текущий элемент кода определяется рекуррентным соот-
щением
. D.5.11)
Модули элементов кода р(я) задают полярный код
а
онтура
4.6
РАСПОЗНАВАНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ
С СИЛЬНОЙ ВАРИАБЕЛЬНОСТЬЮ
ФОРМЫ ПО ИХ КОНТУРАМ
Из-за существенной вариабельности формы, часто встре-
встречающейся у относящихся к одному классу изображений, не-
невозможно рассматривать их как совокупность небольшого
количества простых геометрических фигур и шума. Поэтому
определение статистических характеристик классов теорети-
теоретическим путем наталкивается на серьезные затруднения, и
вопрос решается посредством обработки достаточно предста-
представительных выборок изображений каждого класса.
4:6.1
ХАРАКТЕР ГРУППИРОВКИ
ТОЧЕК ИЗОБРАЖЕНИЙ
ОТНОСИТЕЛЬНО ТОЧКИ
ЭТАЛОННОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ
Для оценки эффективности системы распознавания изоб-
изображений по их форме, задаваемой контуром, необходимо
знать закономерности расположения в признаковом простран-
пространстве точек реализации ВК ГЛ,-, Гг/, ... изображений у-го
класса относительно эталонного ВК Гэ/. Эти точки образуют
153

компактную в некотором смысле область точек — кластер [63],
Распределение вероятностей группировки точек T\j, Г2/, ...
внутри кластера чаще всего находят эмпирически по данным
статистического эксперимента.
Для снижения априорной неопределенности целесообраз-
целесообразно свести задачу о нахождении данных распределений к пара-
параметрической, т. е. найти из теоретических предпосылок
вид распределения с точностью до параметров, определить
из экспериментальных данных оценки этих параметров и в
соответствии с критериями согласия проверить гипотезу о
виде теоретического распределения.
Ниже рассматривается достаточно общий вид распреде-
распределения вероятностей точек образов в кластере Q/, /=1, 2, ... ,
относительно точки, соответствующей эталонному или сред-
среднему изображению класса [75].
Пусть и-;={и-<;}> t==l> 2,v.., п — вектор признаков эталон-
эталонного образа /-го класса, a xj={xti} — соответствующий вектор
текущего образа. Примем, что компоненты вектора независи-
независимы и распределены по нормальному закону с одинаковой дис-
дисперсией и математическим ожиданием, равным соответствую-
соответствующей компоненте вектора hj.
Точку 0; в признаковом пространстве, задаваемую
концом вектора цу, назовем центром кластера Q/.
В соответствии с принятыми условиями для вектора 3f;
его модуль R относительно точки 0/ характеризуется распре-
распределением плотности вероятностей [32]:
{|}
W{R)= . ;*_' t 0<Я<оо,
( )
* (Г ) D.6.1)
оо
где F(z)= J tz~le~'dt — гамма-функция.
о
С ростом п распределение нормализуется, т. е. пере-
переходит в распределение с симметричной формой кривой плот-
плотности вероятности. Математическое ожидание m(R) случайной
величины R с учетом табличного выражения для интеграла
] R'exp {-R2x2 }dR=T (Л±1 )/2x"+1 D.6.2).-
154

общем случае [75] равно
Средний квадрат оа и дисперсия D распределения W(R)
выражаются следующим образом:
г
а2=пв2; D= {я-2. [ LJ ]}ст2. D.6.4)
2
С ростом А; величина дисперсии стабилизируется. Это сле-
следует из асимптотического выражения для гамма-функции [58]
'5. D.6.5)
Отсюда следует, что асимптотически величина D слабо зави-
зависит от п (см. 5.7). В то же время из выражений D.6.3)
и D.6-5) следует, что
m{R)~o^fi, D.6.6)
т. е. математическое ожидание с ростом количества признаков
пропорционально -\fn . Учитывая процесс нормализации
распределения W(k), получаем, что при увеличении п точки
кластера с вероятностью, близкой к единице, располагаются
внутри гиперсферического слоя. Если величина п не превы-
превышает 300, то этот гиперсферический слой характеризуется
радиусами:
D.6.7)
Возникновение внутреннего обедненного точками образов
гиперсферического слоя вызвано следующей причиной. При
достаточно большом п, несмотря на высокую вероятность
получения малых отклонений от точки О/, подавляющее число
точек образов будет сосредоточено внутри слоя с парамет-
параметрами, задаваемыми выражениями D.6.7), так как объем
155

гиперсферического слоя постоянной ширины с увеличением
радиуса R растет пропорционально R".
Наличие зависимости между ЭВ, а также разница в
их дисперсиях приводят к уменьшению числа степеней сво-
свободы в распределении W(R). В связи с этим реальные клас-
кластеры характеризуются числом степеней свободы д,ф<<я. В силу
сложности получения распределения W(R), учитывающего
взаимную зависимость между признаками и разные значения
их дисперсий, целесообразно значение п,^ конкретизировать
опытным путем.
В качестве примера рассмотрим распределение вероят-
вероятностей точек изображений лаврового листа внутри кластера.
Признаки изображения формировались по контуру листа на
основе кода Фримена. Вектор признаков jE*(Yv) содержит
восемь компонент, т. е. п=8. Компонента вектора определяет
частость соответствующего ЭВ контура листа. Статистический
эксперимент был проведен по выборке объемом 96 изображе-
изображений. В качестве критерия согласия использовался критерий
X2. Для «эф = 8 плотность распределения вероятностей точек
изображений листьев внутри кластера относительно централь-
центральной имеет вид
2R7exp i- ?
W*(R)=
Wm BаУГD) •
При этом Р(х2>хч)=0,39, т. е. гипотеза не противоречит
опытным данным. Если принять, что д,ф=6, то вероятность
P(%2>%q) еще не превышает принятых уровней значимости.
4.6.2
СИНТЕЗ КЛАССИФИКАТОРА
ИЗОБРАЖЕНИИ С СИЛЬНОЙ
ВАРИАБЕЛЬНОСТЬЮ ФОРМЫ
НА БАЗЕ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ
МОДЕЛИ КОНТУРА
Получим алгоритм классификации изображений по их
контурам, используя полиномиальную модель, задаваемую
выражением D.5.1) [74]. Для этого случая функция правдо-
правдоподобия по изображениям класса Л/, /=1, 2, ..., М будет
иметь вид
156

L(k /Aj)=k\ П я* / П h !, D.6.8)
где k==[k\, k2, ..., kg] — вектор частот ЭВ;
jty=[n,y]i,8 — вектор вероятностей этих частот для изоб-
изображения /-го класса.
Представим логарифм этой функции как
lnL(k/Aj)=B+? Ыпщ, D.6.9)
где В — константа, значение которой определяется вектором
Z
Введем матрицу
П={1плц} D.6.10)
порядка AfX8. Тогда вектор значений логарифмов функции
правдоподобия с точностью до постоянной составляющей,
одинаковой для всех классов, будет иметь вид
Т=Ш, T=[L-[, /=1, 2, ..., М. D.6.11)
Матрица П будет эталонной при классификации изображений
на базе полиномиальной модели контура. Отношение прав-
правдоподобия для класса А\ представляется как
2 . L(k/Av) 2 П я*
......
D.6.12)
Данный классификатор реализует критерий заданного
превышения максимальной апостериорной вероятности над
суммарной апостериорной вероятностью всех остальных гипо-
гипотез [16]. Подобный классификатор в дальнейшем будем
обозначать как ПК1. Применение классификаторе ПК1 обос-
обоснованно в тех случаях, когда принятие решения связано со
значительным риском. Более простая структура классифика-
классификатора обеспечивается при использовании критерия заданного
превышения максимальной вероятности гипотезы по отноше-
отношению к ближайшей к ней [8]. Такой классификатор в дальней-
дальнейшем будем обозначать как ПК2. Для классификатора ПК2
обеспечивается соотношение
157

P(AU/Bi) ^ >
где P(Aj/Bt)max — максимальная апостериорная вероятность;
P(AU/Bi) — ближайшая к максимальной апостериорная
вероятность; С — пороговое значение, зависящее от требуе-
требуемой надежности распознавания.
Логарифм отношения правдоподобия для ПК.2 запишет-
запишется в виде
8
lnLj= 2 k^njlij—lnnim). D.6.14)
С учетом выражения D.6.11) решающее правило для
класса At представляется как
где т — номер класса, наиболее близкий к классу А,.
Таким образом, классификатор ПК2 выполняет следую-
следующие операции: _^
1. Вектор частот ? ЭВ умножается на эталонную мат-
матрицу Я:
2. Для вынесения решения по классу А,, /=1, 2, ..., М
отбирается компонента р, вектора р, а среди оставшихся
(М— 1) компонент определяется максимальная рт(/).
3. Формируется и сравнивается с порогом разность
W=P;-Pm(/)>a, /=1, 1, .... М. D.6.15)
Потенциальные возможности классификатора на основе
полиномиальной модели описываются матрицей L, составлен-
составленной из компонент вектора %=B-\-TIkT для каждого из классов.
Ее элементы равны логарифмам вероятностей (с обратным
знаком) отнесения /-го эталона к у'-му классу. Диагональные
элементы матрицы характеризуют вероятности D, правильной
классификации эталонов.
Для получения конкретной структуры классификатора
КК1 выражение D.6.12) запишем в виде
/т. 1
exp |_2j kilnnij j
' — <=1 D.6.16)
158

или с учетом того, что
получим
p/= 2 kilnmi, D.6.17)
Lj=exp{pj} I 2 exp{pv]. D.6.18)
Выражение D.6.17) задает цифровой фильтр восьмого
порядка, импульсная переходная характеристика (ИПХ) ко-
которого определяется структурой эталонного вектора Ж,. С уче-
учетом этого представим структурную схему классификатора
ПК1 для М=А (рис. 4.13). Классификатор содержит М оди-
одинаковых по структуре и взаимосвязанных каналов. В каждом
канале содержится цифровой фильтр ЦФ, устройство возве-
возведения в степень р/( сумматор, устройство деления и порого-
пороговое устройство ПУ.
Рис. 4.13. "Структура классификатора ПК 1 изображений с сильной
вариабельностью формы для четырех классов
Более простой вид имеет классификатор ПК2 (рис. 4.14).
Кроме известных цифровых фильтров в каждом канале
содержатся устройства: экстремальное (ЭУ), вычитающее (ВУ) и
пороговое (ПУ). Как и в классификаторе ПК1, в данном
случае все каналы также взаимосвязаны. Экстремальное
устройство в отдельном канале выделяет из всех компонент
Р; других каналов компоненту pm(j)- Вычитающее устройство
формирует значение логарифма отношения правдоподобия,
которое сравнивается с пороговым значением.
При оценке эффективности полиномиального классифи-
классификатора непосредственное определение вероятности ошибки
классификации наталкивается на серьезные вычислительные
трудности, и поэтому эффективность оценивается на основе
159

Рис. 4.14. Структура классификатора ПК 2 для четырех классов
математического моделирования по методу статистических
испытаний. Эксперимент целесообразно проводить в соот-
соответствии с методикой, изложенной в [16].
4.6.3
КЛАССИФИКАТОР ИЗОБРАЖЕНИЙ
С СИЛЬНОЙ ВАРИАБЕЛЬНОСТЬЮ ФОРМЫ
НА БАЗЕ МАРКОВСКОЙ
МОДЕЛИ КОНТУРА
Переход от полиномиальной модели контура изобра-
изображения к модели в виде односвязной цепи Маркова должен
привести, благодаря наличию корреляционных связей между
ЭВ, к повышению эффективности классификации. В этрм
случае вероятность того, что все k элементарных векторов
примут определенные значения —
Р(уо, Yi. •-. yk-1)=P(yo)P(yi/yo)..-P(yk-l/(yk-2), D.6.19)
где Р(у0) — вероятность того, что первый ЭВ контура будет
равен Yo;
P(yn/yn-i) — переходная вероятность.
Процесс принятия решения по максимуму отношения
правдоподобия поясним структурной схемой (рис. 4.15).
Постоянное запоминающее устройство (ПЗУ), в котором
хранятся начальные векторы, позволяет учесть значение пер-
первого ЭВ. В другом ПЗУ хранятся матрицы вероятностей
переходов. При воздействии на данное ПЗУ сигнала в виде
текущего ЭВ yt и предыдущего ЭВ Y* выдаются элементы
Рц матриц вероятностей переходов всех классов, по которым
производилось обучение классификатора. Эти элементы умно-
160

Опредеаекие
номера
элементерного
направления
Экстремаль-
Экстремальное устрой-
устройство
Рис. 4.15. Структура решающего устройства для марковского
классификатора
жаются на соответствующие произведения, полученные таким
же образом до данного шага, в результате чего получим
текущую функцию правдоподобия Lv для каждого из классов.
После окончания обхода контура формируются отно-
отношения правдоподобия, и по ним принимаются решения по
каждому из классов. Для получения структуры марковского
классификатора сформируем матрицу k=[kj] двухмерных
частот ЭВ контура текущего изображения. Тогда отношение
правдоподобия класса Ат запишется как
ехр{рт)
М 8
2 Я Рк!>
D.6.20)
где
рт= _ 2
D.6.21)
Последнее выражение задает цифровой фильтр 64-го
порядка. Структурная схема марковского классификатора
совпадает со структурой полиномиального классификатора.
Она является многоканальной по числу классов, построения
всех каналов одинаковы и взаимосвязаны. В каждом канале
содержится цифровой фильтр, устройства деления, возведения
в степень и суммирования.
Для критерия заданного превышения максимальной
вероятности гипотезы по отношению к ближайшей к ней от-
отношение правдоподобия может быть записано в виде
lnLv= . 2
D.6.22)
где т — номер класса с ближайшим к v-му классу значе-
значением функции правдоподобия.
161

Вектор функций правдоподобия определяется как
f=nt, D.6.23)
где Я — эталонная матрица, строками которой являются
логарифмы вероятностей переходов каждого из классов.
Матрица П имеет размер 64X64, а вектор k представ-
представляет собой вектор из 64 двухмерных частот ЭВ контура
распознаваемого изображения. Алгоритм принятия решения
в пользу класса Av имеет вид
(Av=Pv—pm(v)^a, D.6.24)
где pv — компонента вектора р* для v-ro класса, pm(v) —
максимальная компонента этого вектора без учета компо-
компоненты pv.
4.7
ОБНАРУЖЕНИЕ И ПРОСЛЕЖИВАНИЕ
КОНТУРОВ БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Пусть в бинарной сцене содержится совокупность щ,
Иг, •-- изображений. Начальной точкой по изображения на-
назовем принадлежащую ему точку с минимальным номером
строки и номером столбца, минимальным в этой строке.
Упорядочивание изображений выполним по правилу: если про-
ранжировать линейные адреса в ОЗУИ всех их начальных
точек, то номер начальной точки будет равен номеру изобра-
изображения. Линейный адрес Аин точки связан с номером /1сТр
ее строки и номером я?Т ее столбца следующим образом:
где #2 — количество точек в строке изображения.
Наиболее просто путем строчного поиска в порядке
нарастания линейных адресов находится начальная точка
изображения «ь Для определения ЭВ у(<д) контура необхо-
необходимо найти следующую точку at контура, которая опреде-
определяется осмотром окружающих точку ао точек (рис. 4.16).
Алгоритм поиска точки а0> как первой заполненной
ячейки ОЗУИ, дает правильные результаты лишь для изобра-
изображения И|. Поиск начальных точек изображений щ, /=2, 3, ...
связан с исключением из рассмотрения точек изображений
И|, U2, ..., «/-I.
С этой целью формируется сопряженное по адресам
162

f-f
ш
Of
-ft
1-1
0-1
-1-1
to
00
40
11
01
-ft
Рис. 4.16. Формы стробов для выделения контурных точек
ячеек ОЗУИ другое ОЗУК (ОЗУ контуров), в котором хра-
хранятся контуры ранее обнаруженных изображений.
Система поиска изображений в бинарной сцене рабо-
работает как конечный автомат с памятью. В табл. 4.1 приведены
возмбжные состояния автомата поиска, а на рис. 4.17 —
его граф.
Обнаружен контур
нового изображения
Рис. 4.17. Упрощенный граф автомата поиска первой точки контура
нового изображения
163

Таблица 4.1
Состояние автомата поиска начальной точки
нового изображения
Номер
сооб-
сообщения
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Число в ОЗУИ и ОЗУК
шаг п—1
00
00
00
10
10
10
11
11
11
шаг п
00
10
11
00
10
11
00
10
11
Состояние
Точки фона Aа) или внутренние
точки полости A6)
Точка нового изображения Bа)
или выход из полости B6)
Вход в ранее обнаруженное изоб-
изображение A шаг)
Обнаружение полости
Точка внутри изображения
Выход из ранее обнаруженного
изображения A шаг)
Выход из ранее обнаруженного
изображения B шаг)
Вход в ранее обнаруженное изоб-
изображение B шаг)
Движение по контуру вдоль строки
В качестве базового алгоритма прослеживания линии
контура, при котором последовательно, без разрывов выде-
выделяются контурные точки изображения и формируется код
контура, целесообразно использовать алгоритм, предложенный
Розенфельдом [49]. По сравнению с другими алгоритмами
(например, алгоритмом «жука» [21]), он не приводит к
зацикливанию при любых конфигурациях контура и допускает
простую реализацию. По Данному алгоритму на и-м шаге
прослеживания формируется строб С размером 3X3 эле-
элемента (рис. 4.16,6). Его центр совмещается с текущей точкой
ап контура (рис. 4.18). Благодаря непрерывности линии
контура предыдущая, текущая и последующая точки контура
всегда находятся в пределах этого строба, т. е.
{ап_ь ап,
Поиск последующей точки ап+\ состоит в осмотре по
часовой стрелке ячеек строба Сд, начиная от предыдущей
точки ап-\. Первая заполненная ячейка считается содержа-
содержащей точку ап+\. Если проанализировать положения стробов
С„-1 и С„, то оказывается, что первая точка строба Сп,
взятая в направлении часовой стрелки от точки ап-\, всегда
будет принадлежать фону. Следующая за ней вторая точка
164

Рис. 4.18. Выделение контурной точки
п
П-1
п
П-1
п
П-1
n-1
W
n
—-
n-1
) = 0
n
\
n-1
n
п
п-1
Рис. 4.19. Конфигурация строба для базового алгоритма
прослеживания контура
165

строба С, тоже всегда будет относиться к фону, но при усло-
условии, что предыдущий ЭВ не был диагональным.
На рис. 4.19 показаны конфигурации строба просле-
прослеживания, которые в соответствии с базовым алгоритмом бу-
будут оптимальными с позиции минимального требуемого коли-
количества просматриваемых ячеек. Рассмотрим получающееся
при этом сокращение времени прослеживания.
Для определенности алгоритм прослеживания контура,
при котором последовательно до точки ап+\ просматриваются
все точки строба Сп, начиная от точки ап~\- назовем алго-
алгоритмом ПВЭ, а алгоритм, при котором просматриваются
только точки, в которых возможно нахождение контурной
точки а„+|, — алгоритмом ПТВЭ.
Для среднего времени прослеживания линии контура
из k ЭВ можно записать:
М 7 7
Tk=k 2 Рг 2 я/У.2_
v=0
/=0
D.7.1)
где Pj — априорная вероятность изображения /-го класса,
/=1, 2, ..., М; я/v — безусловная вероятность ЭВ yv; Pjvi —
переходная вероятность смены вектора yv вектором yi для
изображения /-го класса.
Весовые коэффициенты pv/, равные количеству шагов,
которые надо совершить в стробе С„ от ап-\ до ап+ь опре-
определяются алгоритмом поиска точки an+i и задаются в виде
матрицы B={pv4- Для алгоритмов ПТВЭ и ПВЭ эти матрицы
имеют, соответственно, вид:
Впткя =
0
1
2
3
4
5
6
7
2
2
0
0
6
6
4
4
3
3
.1
1
0
7
5
5
4
4
2
2
0
0
6
6
5
5
3
3
1
1
0
7
6
6
4
4
2
2
0
0
0
7
5
5
3
3
1
1
0
0
6
6
4
4
2
2
1
1
0
7
5
5
3
3
166

Впвэ —
0
1
2
3
4
5
6
7
4
3
2
1
8
7
6
5
5
4
3
2
1
8
7
6
6
5
4
3
2
1
8
7
7
6
5
4
3
2
1
8
8
7
6
5
4
3
2
1
1
8
7
6
5
4
3
2
2
1
8
7
6
5
4
3
3
2
1
8
7
6
5
4
Сравним характеристики алгоритмов для двух крайних
случаев. В первом случае смена ЭВ есть независимый про-
процесс, все векторы равновероятны, т. е.
J 1/6 при v=0, 2, 4, 6,
Fvl~\\/7 при v=l, 3, 5, 7.
Во втором случае смена ЭВ представляет сильно
коррелированный процесс, причем по-прежнему все векторы
равновероятны, т. е.
я„=0,125,
р A при /=v,
vt~ @ при 1фх.
В табл. 4.2 приведены значения среднего времени поиска
контурной точки, рассчитанные по формуле D.7.1) для случая,
когда все классы равновероятны. Как и следовало ожидать,
наличие корреляции снижает время поиска, так как при
сильной корреляции ЭВ сохраняют свое значение, т. е.
у(п)=у(п—\) и количество элементов в стробе С„ от точки
а„-\ до точки ап+\ равно четырем для алгоритма ПВЭ и
двум или трем — для ПТВЭ.
Таблица 4.2
Среднее число шагов поиска в стробе
последующей точки контура
Алгоритм
ПВЭ
ПТВЭ
Процесс
Независимый
5,57
3,75
Сильно коррелированный
4
2,5

Если смена ЭВ представляет собой независимый про-
процесс, то точка an+i с одинаковой вероятностью может нахо-
находиться в любом элементе строба. Алгоритм ПТВЭ (табл. 4.2)
обеспечивает по сравнению с алгоритмом ПВЭ ускорение
процесса прослеживания линии контура примерно в полтора
раза.
Рассмотрим несколько подходов к обобщению базового
алгоритма прослеживания контуров бинарных изображений
на случай многоградационных изображений.
При обнаружении и прослеживании контуров бинарных
изображений перепады яркостей на границах были идеаль-
идеальными. Это дает возможность получить контуры изображений
и их комплекснозначные коды, минуя стадию формирования
силуэтных изображений. При решении аналогичных задач
для многоградационных изображений перепад яркости на
границах фон/изображение или изображение/изображение
становится в реальных случаях чаще всего пологим и за-
шумленным. Из-за растянутости и переменного характера
крутизны линия контура как линия внешней границы изоб-
изображения становится неопределенной в пределах ширины
этого перепада, а действие шумов приводит к ошибкам вы-
выделения контуров. Подавление таких ошибок связано с
использованием методов борьбы с шумами. В этом случае
строб С для прослеживания линии контура будет иметь более
сложную структуру: каждый его элемент представляет собой
квадратное окно из 3X3 пикселей (рис. 4.20).
При прослеживании контуров многоградационных изоб-
изображений решение на каждом шаге целесообразно принимать
с учетом принятых на предыдущих шагах. В первую очередь
в условиях мультипликативных помех по яркости это отно-
относится к выбору порога т], по яркости, при превышении кото-
которого точка в стробе прослеживания считается контурной.
Величина т],- в простейшем случае определяется как
где bi-j — яркости предыдущих контурных точек; N — число
этих точек; Дт] — некоторая константа, превышающая прира-
приращение средней яркости сцены за один шаг.
Рассмотрим алгоритм прослеживания контуров много-
многоградационных изображений с классификацией точек в стробе
по яркости с учетом средних значений яркости, полученных
на предыдущих шагах.
168

1
Рис. 4.20. Строб для прослеживания
контуров изображений в зашумлен-
ной многоградационной сцене
На рис. 4.21,а показаны два положения строба, форми-
формирующего линию контура, причем Сп-\ — это строб на пред-
предшествующем шаге, а Сп — на текущем. Буквами «Ф» здесь
отмечены точки фона, «k» — контурные точки и «0»— точки
изображения объекта.
Этим точкам соответствуют полученные на предшест-
предшествующих шагах средние значения яркостей (рис. 4.21,6): яр-
яркость объекта Ьо(п—1), контурных точек bk(n—1) и точек фона
Ъф(п— 1). Центр строба Сп-\ находится в точке \k. На га-м
шаге центр строба переместится в точку 2k, найденную также
на (п—1)-м шаге.
Порядок просмотра строба Сп показан стрелками (рис.
4.21,а). Анализ базируется на допущении, что контурные
точки относятся к объекту. В процессе анализа для каждой
непроклассифицированнои точки строба С вычисляется рас-
расстояние по яркости точки от средней яркости контурных и фо-
фоновых точек, полученных на (п— 1)-м шаге (рис. 4.21,6):
Яф= \bv(n)-\(n-l)\,
Решение о принадлежности точки к контуру выносится при
выполнении условия
169

'П-1
r
Ок
Ф
/к
0
Ф
2k
0
0
Зк
0
6K(n-<) 50(n-l)
Рис. 4.21. Классификация точек строба по яркостному
расстоянию
В противном случае принимается решение о том, что точка
является внутренней для изображения. После окончания
классификации точек в стробе производится коррекция оценок
яркостей \(п-\), Ък{п-\) и bdn—\) с учетом интенсивно-
стей вновь полученных точек в стробе Сп.
В заключение рассмотрим один из подходов к форми-
формированию силуэтных изображений при наличии только их
контуров.
До сих пор рассматривались вопросы, связанные с кон-
контуром изображения, образованным граничными точками изо-
170

- точки внутреннего конт^рь (.множество S )
- точкл внешнего контора (множество S )
Рис. 4.22. Внешний и внутренний контуры изображений объекта
бражения. Пусть й — множество точек изображения. Внут-
Внутренняя точка этого множества обладает свойством четырех-
связности, т. е. смежные с ней точки — правая, левая, нижняя
и верхняя — тоже принадлежат ?2. Точка этого множества
будем граничной в том случае, когда не все эти смежные
точки относятся к Q [49].
Любое изображение окаймлено границей из фоновых
точек. Последовательность точек такой границы будем рас-
рассматривать как внешний контур изображения. На рис. 4.22
приведен пример изображения объекта с выделенными внеш-
внешними и внутренними контурами.
Рассмотрим, каким образом наличие внешнего контура
облегчает решение задачи формирования силуэтного изобра-
изображения при наличии внешнего и внутреннего контуров [89].
На рис. 4.22 показана ситуация, связанная с наличием узкого
участка толщиной в один элемент. При сканировании изобра-
изображения по строке А после первой точки внутреннего контура
а(!) всем последующим ячейкам строки присваивается еди-
единичная яркость до тех пор, пока не встретится следующая
точка внутреннего контура 6(!). При сканировании по строке
171

В точки с№ и йB) внутреннего контура совмещены. Поэтому
значение единичной яркости будет присвоено всем точкам
фона, находящимся правее точки аB).
Наличие внешнего контура меняет ситуацию. При скани-
сканировании по строке заполнение точек единичной яркостью
начинается после появления первой точки внешнего контура
и прекращается при появлении второй точки внешнего кон-
контура.
4.8
ПРОСЛЕЖИВАНИЕ
ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ
НА МНОГОГРАДАЦИОННОМ ФОНЕ
4.8.1
МАРКОВСКАЯ МОДЕЛЬ
ПРОЦЕССА ПРОСЛЕЖИВАНИЯ
Процедура прослеживания линии контура является
одной из разновидностей сегментации изображения. Получим
математическую модель процесса прослеживания границы
(контура) изображения, заданного на помеховом фоне, для
случая, когда эта граница является прямолинейной и доста-
достаточно протяженной [23].
Пусть плотность вероятности интенсивностей элементов
фона на локально однородном участке сцены равна /ф(/),
а соответствующая плотность для объекта — fJ{J)- Для опре-
ленности будем считать, что отношения фон/шум и сигнал/
шум достаточно велики. Тогда эти распределения будут
близки к нормальным. Выборки фона и объекта подверга-
подвергаются бинарному квантованию с порогом а. При этом необхо-
необходимо оптимизировать значение порога, при котором макси-
максимизируются вероятности недостижения на каждом шаге про-
прослеживания заданной максимально допустимой ошибки
выделения контура.
Рассмотренная задача относится к общей задаче срыва
слежения конечного автомата и является разновидностью мно-
многошаговой процедуры принятия решения (см. 1.4). При откло-
отклонении в область фона ошибка определения линии контура
может стать достаточно большой, но через конечный интервал
времени, в силу свойств базового алгоритма прослеживания
172

(см. п. 4.7.), она уменьшается до нулевого значения. Таким
образом, в области фона описывается петля и слежение вос-
восстанавливается, но при этом ошибка е выделения контура
может быть достаточно большой. Отклонение от линии истин-
истинного контура в область объекта также может быть значи-
значительным, но опять-таки через некоторое время ошибка станет
равной нулю.
В качестве состояния марковской цепи, описывающей
процесс прослеживания прямолинейной границы, возьмем зна-
значение вектора ошибки, соединяющего точку в сцене с истинной
контурной точкой, и значение выделенного элементарного
вектора у. Будем считать, что события превышения значения
интенсивности в каждой ячейке сетчатки порогового значения
независимы и для области фона их вероятность равна р ,
а для области изображения объекта — рс. Выбор состояния
цепи поясняется на рис. 4.23,а, а процесс смены состояний —
на рис. 4,23,6. На первом рисунке представлен строб просле-
прослеживания. Линия истинного контура проходит через правую
колонку его элементов. В качестве ЭВ контура на рассматри-
рассматриваемом шаге принят вектор i, при этом получалась ошибка е,
задаваемая вектором 1, который соединяет кратчайшим
путем начало вектора ошибки с точкой истинного контура.
Данное состояние цепи обозначается как A,х). Рис. 4.23,6
фиксирует момент выделения следующего ЭВ контура, равного
1 —|—г. При этом имеется вектор ошибки, равный 1. Таким
образом, произошла смена состояний цепи: A, г)~КЬ 1~М) с
вероятностью рA, i/1, 1+ 1)=рфрс, где p^ — l—p^. Ниже при-
приводится выражение для A, г)-й строки матрицы вероятностей
переходов цепи.
1, г 1, 1—i 1, —( —1,1—х 1,-1 l,—l+i l,i I, 1+i
Pit
Обобщенная структура матрицы вероятностей переходов G
для произвольного гтах приведена на рис. 4.24,а, а на рис.
4.24,6 представлены положения строба прослеживания отно-
относительно линии контура для 0 и ±1-го блоков матрицы.
Первый квадрат в матрице G определяет матрицу веро-
вероятностей переходов для гтах=1, второй — для етах=2 и т. д.
Блоки в матрице G имеют размер 8X8 элементов, причем
необозначенные блоки являются нулевыми. Таким образом,
173

Рщ,
рр
рр
Рр
Y
я
Рс
рс
Рс
линия границы
а
Рис. 4.23. К определению состояния и переходной вероятности
марковской цепи
-3
-г
-i
0
I
z
5
—
Во
а
-1
В-,
Во
-3
В-г
в-,
Л
-г
В-г
в.,
во
в-,
в.,
Во
о
/-да
/«
I/O
1
Г„
1г<
в,
В2
3
в,
в* вг
в,
\
в,
Вг
Вг
?,1
в,
Вг
6
фон
гра
ниш
объект
Рис. 4.24. a — структура матрицы вероятностей переходов цепи,
б — положения стро&а прослеживания относительно границы
0-го и ±1 -го блоков матрицы
174

при emai=l прослеживание контура описывается матрицей
вероятностей переходов 24-го порядка, при emai:=2 — 40-го
и т. д. Блоки Bi, B2 и В3 задают блуждание внутри изоб-
изображения объекта, блоки Во, В_ь В_2 — внутри фона, а бло-
блоки / — на границе фон—объект. Все блоки с одним и тем
же индексом одинаковы. В зависимости от значения гтах
некоторые состояния в крайних блоках объявляются погло-
поглощающими. Матрица G имеет блочно-ленточную структуру
(не более чем три ненулевых блока в каждой строке), что
облегчает ее анализ.
Перейдем к рассмотрению задач прослеживания конту-
контуров изображений объектов, которые можно решить с помощью
данной модели. Методика решения этих задач базируется на
теории цепей Маркова с матрицами вероятностей переходов,
приведенными к нормальному виду Фробениуса и теории
срыва слежения конечного автомата (см. 1.3 и 1.4). Особен-
Особенность рассматриваемой здесь задачи в том, что переход от
частной задачи срыва слежения к общей состоит в наклады-
накладывании ограничения не на время пребывания автомата в состо-
состояниях, определяющих срыв слежения, а на сами состояния
подмножеств Лр и А,, соответствующих объекту и фону.
4.8.2
МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ
ЗАДАЧИ ПРОСЛЕЖИВАНИЯ
ПРЯМОЛИНЕЙНОЙ ГРАНИЦЫ ИЗОБРАЖЕНИЯ
1. Распределение вероятностей достижения максималь-
максимальной ошибки Етах за k шагов. Объединим все состояния цепи,
соответствующие значениям ошибки, большим етах, в одно
подмножество. При любом значении е цепь имеет три состоя-
состояния поглощения: {(ес, 1+t), (гс> 1), (е,;, 1—i)}, соответствующие
достижению максимальной ошибки прослеживания ес в теле
изображения, и три состояния поглощения {(Еф, —1—г),
(?ф, —1), (?ф, — 1+i)}, соответствующие достижению макси-
максимальной ошибки прослеживания в области фона. В каждой
строке матрицы вероятностей переходов G+1 для максималь-
максимальных ошибок ес=еф=1- Значения вероятности поглощения 6,-
дополняют до единицы сумму остальных элементов /-й строки.
В связи с высоким порядком матрицы G текущую веро-
вероятность W[k] достижения подмножества поглощения Ае целе-
целесообразно вычислять с помощью рекуррентных соотношений:

<а о о q о о о а
о о о <а ъ о о о
Гов- ¦* а?- в.
1,, "*' "•" о о а а о о а iqJj о oj*
**^ Qu qo qu
О id."
о? в Гч« о
о."
5 о о о ?¦ «." а о
*^
о о ft о
о о о о
176

причем
п-5
W[k]= 51 fiW[k-i], D.8.1)
Д
где ft, i=\, 2, ..., и—5 — коэффициенты характеристического
полинома матрицы G; п — общее количество состояний цепи
до объединения всех поглощающих состояний в одно.
2. Средняя длина контура 1ср до достижения ошибки
втах. Величина 1ср является математическим ожиданием в рас-
распределении W[k] и находится в соответствии с выражением
л-6
/cp=v2 yvW[n-v-l], W(n)=l-W(n), D.8.2)
где коэффициенты yv равны:
У,= ——, /=1, 2, .... п-6. D.8.3)
Для случая, когда вероятности достижения подмножества
Ле мало изменяются за один шаг прослеживания (а именно
такой случай и представляет практический интерес), величину
1ср находят с помощью более простого соотношения
A,p=?[0]=Vy,. D.8.4)
3. Влияние результатов обнаружения линии контура
на процесс прослеживания. При определении двух первых
точек контура, задающих ЭВ у@), возможны ошибки, опре-
определяющие качество дальнейшего прослеживания линии конту-
контура. Эти ошибки определяются начальным вектором it[0] цепи.
Варьируя его, можно оценить влияние условий обнаружения
на процесс прослеживания контура.
4. Выбор оптимального порога квантования а. Данная
задача является одной из важнейших при обработке изобра-
изображений. Она может быть решена следующим образом. Зада-
Зададим критерий качества в виде
1ср-+тах или а1ср4-\-ЫСрХ-^тах, D.8.5)
177

Рис. 4.25-. Зависимости средней длины выделенного конту-
контура от величины порога квантования по интенсивности
где 1сР.ф, tcp.c — соответственно, средние длины контура в
области фона и сигнала до достижения максимальных зна-
значений ошибок ?ф и ес; а и b — весовые коэффициенты.
Определяя в соответствии с выражением D.8.2) средние зна-
значения длин 1ср для выбора значений порога а, выбираем то
значение а=оь„т, при котором выполняются критерии D.8.5).
На рис. 4.25 и 4.26 приведены графики характеристик
процесса прослеживания прямолинейной границы изображе-
изображения для случая, когда распределения вероятностей интенсив-
ностей фона и изображения являются нормальными с матема-
математическими ожиданиями пц и тс и дисперсиями <?ф=в = 1
для &тах= 1 [23]. Из них видно, что величина порога, опре-
определяемого в соответствии с критерием обеспечения максималь-
максимальной средней длины выделенного контура, приближенно равна
178

3
2
1
0
1 Z 3 4 5 am
Рис. 4.26. Зависимость величины оптимального порога
квантования от разности математических ожиданий
интенсивностей сигнала и фона
4.9
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ
С КОНТУРАМИ ИЗОБРАЖЕНИЙ
Контурный анализ связан с выполнением над контурами
изображений ряда специальных операций, которые не встре-
встречаются при обработке сигналов других видов. В данном
разделе мы рассмотрим две наиболее важные из них — стан-
стандартизацию и эквализацию кодов контуров [90].
4.9.1. СТАНДАРТИЗАЦИЯ КОДА КОНТУРА
При различных операциях, связанных с линейными пре-
преобразованиями контуров, элементы разностного кода теряют
свойство стандартности. В то же время для индикации изобра-
изображений, формирования частот ЭВ, согласованной фильтрации
с использованием табличных методов умножения необходимо
иметь код ДГ с элементами в стандартном виде. В связи с
этим рассмотрим одну из возможных процедур стандартиза-
стандартизации кода ДГ. На рис. 4.27 представлен фрагмент контура,
179

У
/
0
ву,<
8yt
а
А/
У1
/^
ах
j
L
4-
Ах
-fsB
Вх>
X
X
Рис. 4.27. Формирование стандартных элементов комплексного кода
описываемый двумя нестандартными^ элементами кода АГ
{векторы ОЙ и АЁ), причем вектор ОЙ начи]1ается из центра
ячейки. Пусть, например, проекции вектора 7Й на оси х и у
системы координат, совмещенной с началом вектора, больше
единицы, т. е. ОА*>\ и ОАУ>\. Выделим из них проекции
Оах и Оау и построим вектор Оа, определяющий стандартный
элемент кода.
Если хотя бы одна из проекций вектора аЙ=ОЙ—Qa
больше единицы, то процесс можно продолжить. В противном
случае складываем этот вектор со вторым элементарным
вектором Ж& и получаем новый вектор aS с началом в центре
ячейки. С этим вектором поступаем так же, как и с ОА.
В результате получим вектор ао, задающий второй стандарт-
стандартный элемент кода АГ, и разностный вектор ЪВ. Продолжая
этот процесс, получим конкатенацию элементов кода АГ. Если
полученный вектор а2=аЛ-|-ЛЙ не имеет проекций, больших
единицы, то складываем его со следующим вектором контура
до тех пор, пока не создадутся условия выделения из суммар-
суммарных векторов стандартного.
Описанный процесс стандартизации является сходящим-
сходящимся, т. е. последний разностный вектор исходного нестандарт-
нестандартно

ного кода ДГ={т(л)}о.*-1 равен нулю, так как он описывает
замкнутую линию. Последний шаг процесса стандартизации
сВязан с образованием вектору конец которого совпадает
с началом нулевого вектора О А. По условию вектор О А
начинается в центре ячейки. Поэтому полученный стандарт-
стандартный код также задает замкнутый контур, т. е.
Л Y*(»)=0. D.9.1)
где k\ — количество элементов стандартного кода ДГС=
Ы)}
Из этого выражения следует равенство нулю последнего
разностного вектора.
4.9.2
ЭКВАЛИЗАЦИЯ КОДА КОНТУРА
При решении ряда задач контурного анализа необходимо
изменять число ЭВ контура при сохранении формы изобра-
изображения. Например, при контурной согласованной фильтрации
размерности ВК, задающих импульсную переходную характе-
характеристику фильтра и фильтруемый контур, должны быть оди-
одинаковы. Процедуру, состоящую в выравнивании двух ВК,
назовем эквализацией кода контура.
Рассмотрим процедуру эквализации кода контура путем
деления заданного на квадратной сетчатке контура на зара-
заранее определенное количество одинаковых по длине отрезков
(рис. 4.28,а).
Каждый из отрезков состоит из трех частей:
1) остатка Ау0Ст{п—1) вектора y(v—1);
2) г полных векторов y(v), у(у—1), ..., y(v-\-r—1);
3) использованной части АуЖт{п) вектора y(v-\-r) исходного
контура. —,.
Вектор MN (рис. 4.28,6), соединяющий концы п-го
участка, назовем ЭВ эквализованного контура и обозначим
как уа(п). При этом Ауост(п— \)=ЖВ;
Ауисп(п)=Ш; y(v)=B?; y(v+1)=CD.
Модуль вектора ун(п) определяется как
№)l D.9.2)
181

4
в
и
\
ч
5
ч
V
N
(
/
.2
л
)
5
em
с
\
б
Рис. 4.28. Эквализация линии контура: а — разделение линии на
одинаковые отрезки, б — формирование элементарного вектора
На каждом шаге эквализации из условия
\Ayocm(n-l)\+ .| \y(v-\+i)\>gs D.9.3)
определяется параметр г, равный количеству ЭВ контура,
используемых для получения текущего эквализованного
вектора.
Если г=0, то \Ауост{п— l)|>gH. Тогда
и
Если же г>0, то
— 1I
i)—Y-
r-1
D.9.5)
182

и АТ-М-
Тогда
уа(п)=Ауост(п-1)+Ауисп(п)+ S, Y(v-1 +i) D.9.6)
и
AYoc/»(n)=V(v+/') — Ауит{п).
Для эквализованного контура АГн={т„(п)} характерно:
1) концы и начала векторов уя(п) принадлежат линии
исходного контура;
2) процесс эквализации является сходящимся, так как
начало вектора ун@) совпадает с концом вектора yH(s—1).
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ
5.1
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Задачи классификации и опознавания изображений
могут быть решены методами оптимальной фильтрации с
последующей пороговой обработкой [12, 45]. Оптимальный
фильтр для изображения S(x, у) представляет собой после-
последовательное соединение фоноподавляющего и согласованного
фильтров [12]. Вследствие больших сложностей, возникающих
при реализации оптимальных фильтров, целесообразно при-
принять подход, состоящий в отказе от фоноподавляющих фильт-
фильтров. Он основан на том, что большинство фонов характери-
характеризуется экспоненциально-косинусной автокорреляционной функ-
функцией вида [12, 50]
R(l)=R@)exp (j)cospg, E.1.1)
где R(Q) — дисперсия флуктуации;
а — декремент затухания непериодической составля-
составляющей;
Р — круговая частота периодической составляющей.
183

Наиболее информативной частью изображения являются
его контуры, которым соответствует высокочастотная часть
пространственно-частотного спектра. В этой области частот
спектральная плотность типичных фонов имеет вид квадра-
квадратичной гиперболы [12]
|G((o)|2=/?(O)-^-. E.1.2)
(О
Подход к построению квазиоптимальных фильтров для
изображений, не требующий фоноподавляющего звена, назван
согласованно-избирательной фильтрацией (СИФ) и состоит в
построении оптимальных фильтров на фоне, спектральная
плотность которого задается выражением E.1.2). Его работа
сводится к формированию меры близости между контурами
фильтруемого и эталонного изображений. При этом контур
эталонного изображения задается импульсной переходной
характеристикой h(x, у) СИФ [12]
h{x, y)= -CV2S(x, у), E.1.3)
где С — константа, зависящая от значений дисперсии шума и
дисперсии интервала корреляции флуктуации фона.
Концепция согласованно-избирательной фильтрации
изображений открывает широкие возможности для практи-
практической реализации квазиоптимальной фильтрации. Определен-
Определенное препятствие при этом составляет неинвариантность струк-
структуры СИФ к такому распространенному линейному преобра-
преобразованию изображения, как поворот. Эта неинвариантность
вызвана процедурой выделения контура на основе оператора
Лапласа V2S(x, у) при поточечной обработке изображения.
В связи с этим для практической применимости важно
использовать представление контура, которое инвариантно
к группе линейных преобразований. Решение задачи согла-
согласованно-избирательной фильтрации изображений с таким
представлением контуров рассматривается в данном разделе.
5.2
КОНТУРНЫЙ
СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР
И МЕХАНИЗМ ЕГО РАБОТЫ
В п. 4.2 был введен как обобщение цепного кода Фриме-
на комплекснозначный код AT={y(n)}o,k-\ контура изображе-
изображения. Здесь у(п) — элемент кода, задающий ЭВ контура на
184

квадратной сетчатке и принимающий в этом случае восемь
различных значений: ±1, +*; ±A+0; ±0—0> ^—количество
элементов кода. При дальнейшей обоработке контур может
быть оторван от сетчатки и элементы его кода становятся
произвольными комплексными числами.
Контур изображения можно задать в виде точки Г в
линейном комплексном пространстве С*. Скалярное произве-
произведение двух ВК в пространстве Ск не менее информативно,
чем в действительном пространстве Е2к (см. 4.3). Модуль
нормированного скалярного произведения (НСП) двух
ВК — Г и N в Ск
Ы E21)
инвариантен к переносу, масштабу и повороту контуров, за-
задающих ВК r(v(n)}0,fc-i и N={v(n)}o,k-\-
Свертка двух ВК — Г и N, рассматриваемая как после-
последовательность комплексных чисел? имеет вид
*—1
т](т)= 2 y(n)v(m-n), m=\, 2, .... k-l. E.2.2)
Пусть ВК N рассматривается как реакция линейного
фильтра на сигнал в виде единичной функции. Тогда N — это
ИПХ, a r)(m) — его выходной эффект. Пусть этот фильтр
согласован с входным сигналом ДГ={у(п)}о,*-1. ИПХ согла-
согласованного фильтра имеет вид входного сигнала, взятого в
обратном времени и смещенного на время, не меньшее вре-
времени существования входного сигнала [37]. Учитывая комп-
комплексный характер фильтруемого сигнала, для формирования
отсчета фильтра, равного энергии входного сигнала, ИПХ
должна быть комплексно-сопряженной функцией по отноше-
отношению к функции входного сигнала. С учетом этого ИПХ кон-
контурного согласованного фильтра (КСФ) имеет вид
v*(n)=y*[-n+(k-l)]=y*(k-\-n), E.2.3)
и выходной эффект контурного выходного фильтра (КСФ) при
обработке сигнала в виде ВК Г запишется как
4—1
Л(ш)= 2 у(п)у*(п+т—/г+1)=
E.2.4)
= 2 \y(n)\\y(n+m-k+l)\exp{il4(n)-4(n-\-m-k+l)]}.
rt=0
185

Из последнего выражения следует, что выходной сигнал КСф
в общем случае есть смещенная автокорреляционная функция
(АКФ) комплекснозначного кода контура. При n=ft—j
будем иметь
ф-1)= % 1у(п)|2=||Г||2. E.2.5)
Таким образом, в момент m=k—1 КСФ при подаче на
его вход сигнала, с которым он согласован, воспроизводит
на своем выходе квадрат нормы этого сигнала. При этом
механизм рабрты КСФ можно пояснить на основании выра-
выражения E.2.4) следующим образом: каждый ЭВ у(п)=
= \y(n)\exp{i(f)(n)} поворачивается на угол — <р(л) и получает
горизонтальную, направленную вправо ориентацию. Затем
производится квадрирование длины каждого вектора. Следо-
Следовательно, механизм работы КСФ, выступающего в качестве
СИФ изображения, состоит в выпрямлении линии контура
и формировании суммарного вектора из квадратов длин ЭВ
(рис. 5.1) [65].
В том случае, когда на вход КСФ подается произволь-
произвольный ВК P={p(n)}o,k-i, фильтр формирует на своем выходе
смещенную ВКФ, т. е.
i\(m)= 2 p(n)y*(n+m-k+\). E.2.6)
Для m=k—1 будем иметь
*
т)(*-1)= 2 p(n)v*(«). E.2.7)
п=0
Из последнего выражения видно, что в момент m=k—1 КСФ
вырабатывает сигнал в виде скалярного произведения ВК
Г и Р в комплексном линейном пространстве Ск.
Так как норма ВК инвариантна к порядку следования
компонент вектора, то- при исследовании КСФ будем пользо-
пользоваться НСП двух ВК, которое будет одновременно норми-
нормированным представлением выходного эффекта при любом
значении т:
E.2.8)
При этом для Р=Г получим
T).(A-l)=|T)ll(/n)LB«=l. E.2.9)
186

44*
У-
У.
¦ [ I
к
V
i
- ¦ -
- —¦ 1
i
4-4*
7 в
/О
Рис. 5.1. Формирование выходного эффекта КСФ:
а — контур исходного изображения (входной сигнал);
б — векторный выходной сигнал КСФ
Из выражения E.2.7), описывающего обработку КСФ
несогласованного с ним сигнала, следует, что'механизм работы
фильтра в этом случае состоит в следующем. Каждый ЭВ
р(л) поворачивается на угол, в общем случае не связанный
со значением его аргумента, растягивается в (у{п)) и склады-
складывается с предыдущим преобразованием ЭВ р(п—1). Так как
при этом компенсация углов поворотов исходных ЭВ не наб-
наблюдается, то суммарный вектор ц(т) будет иметь модуль,
меньший чем ||Г||2.
Таким образом, нормированный к величине ||Р|| ||Г||
вектор на выходе КСФ при фильтрации несогласованного
контура имеет значение модуля меньше единицы и не равный
нулю аргумент. Кроме того, для данного случая справедливо
неравенство
187

f>(n)y*(n+m-k+l)\< 2 |p(n)| \y(n+m-k+l)\.
n=0 E.2.10
5.3
СВОЙСТВА КОНТУРНЫХ
СОГЛАСОВАННЫХ ФИЛЬТРОВ
1. Контурная фильтрация при неизвестном угле пово-
поворота. Выходной сигнал КСФ г\(т) в пространстве Ск пред-
представляет собой комплексное число и может рассматриваться
как двухкомпонентный вектор. Когда опознаваемое и эталон-
эталонное изображения имеют одинаковую направленность, этот век-
вектор задается действительным числом. Повернем опознаваемое
изображение на угол Д<р, т. е. от кода его контура Я={р(л)}0,*ч
перейдем к коду Ре'*у={р(п)е'^)ол-i- Умножив обе части вы-
выражения E.2.6) на ei&f, получим
W")=i(™yA4P, E.3.1)
где Tbq>(m) — сигнал на выходе КСФ при повороте изобра-
изображения. Из выражения E.3.1) следует, что поворот опозна-
опознаваемого изображения на угол Аф приводит к повороту на
такой же угол вектора выходного сигнала КСФ при неизмен-
неизменной величине его модуля. Если в качестве основного выход-
выходного эффекта КСФ принять сигнал с максимальным зна-
значением модуля, то поворот изображения на неизвестный
произвольный угол Дф не влияет на эту величину.
2. Контурная фильтрация при неизвестном сдвиге на-
начальной точки контура. Поиск изображения в сцене произ-
производится обычно путем сканирования ОЗУ сцены по опреде-
определенному правилу, например, перебором адресов ячеек слева
направо и сверху вниз. При этом первая найденная точка
нового изображения считается начальной точкой контура и
с нее начинается прослеживание линии контура и формиро-
формирование цепного кода. Произвольный поворот сцены приводит
к сдвигу начальной точки и изменению кода контура. Учиты-
Учитывая свойство периодичности цепного кода ДГ, сдвиг начальной
точки можно рассматривать как фазовый сдвиг сигнала от
контура.
Так как периодичность цепного кода приводит к пери-
периодичности вектора на выходе КСФ, то
188

i\c.(m)=*i\(m-s±kt), 1=0, 1, 2, .... E.3.2)
где s — величина сдвига; г\ся(т) — реакция КСФ при смеще-
смещении начальной точки контура.
Таким образом, сдвиг начальной точки контура на s
единиц приводит к аналогичному смещению взаимнокорреля-
ционной функции, формируемой КСФ. При этом для контура,
согласованного с фильтром, пиковое значение АК.Ф будет
достигаться в точках
m=s—l±fe. E.3.3)
Последнее выражение определяет момент возникновения
на выходе КСФ максимального по модулю сигнала при произ-
произвольном значении s, в том числе и при s=0. Следует отме-
отметить, что в частотной области такой простой зависимостью
выходного сигнала от сдвига начальной точки обладает
только базис Фурье [101]. В связи с этим использование
более просто определенных по сравнению с преобразованием
Фурье разложений линии контура (например, по системе
функций Уолща) значительно усложняет задание контура лри
сдвиге его начальной точки.
3. Контурная фильтрация при неизвестном масштабе
изображения. Пусть масштаб опознаваемого изображения
изменен таким образом, что длина его контура в Я, раз превы-
превышает длину контура эталонного изображения, т. е.
ку(п)=р{п).
Тогда в соответствии с выражением E.2.6) получим
г\х(т)=кг\(т),
где г\],(т) — выходной сигнал КСФ при изменении машстаба
изображения.
При Р=кТ в момент m=k— 1 будем иметь
E.3.4)
4. Обобщенная инвариантность КСФ к линейным преоб-
преобразованиям изображения и сдвигу начальной точки контура.
Пусть
P={p(n)}o,k-i, p(n)=Xexp{iA((}y(n+s). E.3.5)
При этом контур Р повернут относительно эталонного на угол
Аср, растянут в к раз, а его начало сдвинуто на s элементов.
Пусть
189

- E.3.6)
нормированный максимальный выходной эффект КСФ, дости-
гаемый в момент т0, 0<m0<fe—1. Тогда с учетом выражений
E.3.1), E.3.2) и E.3.4) получим
|т)„(/поI = 1, E.3.7)
т. е, КСФ, выходной эффект которого формируется в соот-
соответствии с выражением E.3.6), инвариантен к преобразо-
преобразованиям переноса, поворота, масштабирования и сдвига на-
начальной точки контура.
5. Оценка параметров линейных преобразований изобра-
изображений и сдвига начальной точки контура по выходному
сигналу КСФ. Инвариантность структуры КСФ к рассмотрен-
рассмотренным выше линейным преобразованиям опознаваемого изобра-
изображения не является его единственным полезным качеством.
Не менее интересной является возможность получить оценки
параметров этих изображений.
В соответствии с выражением E.3.1) при /п=/г—1,
T=Pexp{iAq>} аргумент вектора выходного сигнала равен
углу поворота Д<р опознаваемого изображения относительно
эталонного:
JmiUk—1)
Aw=arctg -. E.3.8)
Из выражения E.3.8) получаем оценку величины изме-
изменения длины контура при масштабировании
Л=т1х(*-1)/||Г||2, E.3.9)
а выражение E.3.3) позволяет найти величину сдвига началь-
начальной точки контура
s=m0— l±k. E.3.10)
6. Влияние процедуры квантования линии контура в
плоскости сетчатки на процесс КСФ. Рассмотренная выше
работа КСФ при неизвестных значениях угла поворота, масш-
масштаба, сдвига начальной точки контура, а также инвариант-
инвариантность кода АГ к переносу изображения, приводящая к инва-
инвариантности КСФ к этому виду преобразования, относится
либо к случаю, когда ошибками квантования линии контура
в плоскости сетчатки рецепторного поля можно пренебречь,
либо когда подобным преобразованиям подвергается уже
проквантованное изображение. Процедура квантования явля-
190

еТСя нелинейной операцей, и поэтому нарушается взаимно
однозначное соответствие между кодами исходного и преобра-
преобразованного изображений, которое наблюдается при аналити-
аналитических линейных преобразованиях.
При переносе изображения в зависимости от отношения
параметров переноса Ах и Ау к размеру клетки сетчатки
будут изменяться значения элементов кода ДГ, т. е. разност-
разностный код в этом случае теряет свойство инвариантности. Если
через N={v(n)}0,k-\ обозначить ВК ошибок квантования,
являющихся функциями параметров переноса Ах, Ау, то КСФ
будет формировать величину
Л(т)= 2 [y(n)+v(n)]y*(n+m-k+l).
п=\)
Для момента m=k—1 получим
ф-1)=(Г+Ы, Г)Н|Г||2+(ЛГ, Г).
Из-за случайного характера компонент ВК N скалярное
произведение (N, Г) является комплексным числом, и аргумент
выходного вектора уже не будет равен нулю. Соотношение
11Г+ЛГ||.||Г||>|(Г, Г+Л01
переходит в равенство лишь тогда, когда скалярное произве-
произведение (N, Г) будет действительным числом. Поэтому r\(k—l)
имеет не только не равный нулю аргумент, но и не равный
единице модуль. Аналогичная ситуация получается при пово-
повороте и масштабировании опознаваемого изображения до ввода
его в ОЗУ сцен. Таким образом, процесс квантования линии
контура в полости рёцепторного поля приводит к тому, что
вектор на выходе КСФ становится случайным за счет нало-
наложения на детерминированный выходной эффект шумов кванто-
квантования, дисперсия которых определяется размером ячейки
рёцепторного поля.
Эффект квантования линии контура приводит также к
тому, что количество элементов у(п) в контуре одного и того
же изображения в зависимости от его положения тоже ста-
становится случайной величиной. Так как для работы КСФ
контур опознаваемого изображения должен иметь фиксиро-
фиксированное количество элементов, то перед фильтрацией необхо-
необходимо произвести эквализацию кода ДГ.
7. Формирование ИПХ КСФ. Импульсная переходная
характеристика КСФ H={h(n)}o,k-i выполняет роль эталонного
контура. Между ним и контуром опознаваемого изображения
191

КСФ формирует оценку меры близости (схожести). В ряде
случаев ИПХ можно заранее задать исходя из известной
формы распознаваемого изображения, например, при распоз-
распознавании фигур многоугольников. Однако чаще всего ИПХ
представляет собой контур сложной формы и определяется
экспериментально. Пусть Тнепр, есть истинный контур опозна-
опознаваемого изображения. После многократного ввода этого
изображения в ОЗУ сцен получим в рецепторном поле сово-
совокупность контуров
Tj=THenp.+Nh /=1, 2, ...,.v. E.3.11)
где Nj — ВК ошибок квантования.
Суммируя контуры Г, и учитывая, что компоненты ВК
Nj представляют собой случайные числа с нулевым мате-
математическим ожиданием, будем иметь
Д r^vW+Jj N,.
п
При v->-oo сумма ВК 2JVj дает нулевой ВК и
S Г,-»- хТнепр.=Тзтал. . E.3.12)
/=1 V-»-00
Таким образом, при суммировании большого количества
реализаций контуров одного изображения можно осуществить
подавление ошибок квантования и получить ИПХ для КСФ
с точностью до масштабного коэффициента v, совпадающую
с истинным контуром изображения.
Следует отметить принципиальную роль тремора при
вводе изображения для формирования эталонного контура
Гетол. В результате тремора реализации шумового ВК оказы-
оказываются независимыми случайными векторами и процесс
v
схождения 2 Г; к Гэтал ускоряется.
8. Сравнительная трудоемкость контурной согласован-
согласованной фильтрации. Осуществим ориентировочную оценку тру-
трудоемкости вычислений при контурной согласованной фильтра-
фильтрации. Базовая операция для КСФ представляет одномерную
свертку комплексных дискретных функций
192

ц(т)= S р(п)у*(п+т-А+1),
п=0
и для получения k отсчетов потребуется выполнить Ыксф =
= 16а)^с^ действительных операций (умножение+сложение),
где Оксф — коэффициент, учитывающий трудоемкость прог-
программной реализации КСФ.
Для объекта, вписанного в квадрат со стороной М,
будем полагать, что его контур содержит AM элементарных
векторов. Тогда
Ксф=64аксфМ2.
При фильтрации такого объекта с помощью линейного
пространственного фильтра (ЛПФ), у которого размер окна
имеет форму квадрата со стороной М, потребуется Мл'пф =
=а„пфМл операций. Пусть далее вследствие неинвариантности
ЛПФ к повороту изображения необходимо через каждые 3,6°
менять ИПХ ЛПФ. В этом случае для фильтрации изобра-
изображения с неизвестным углом поворота потребуется выполнить
N(Jnl =WON% действий.
Полагая коэффициенты ак-ф и а,юф близкими друг к
другу, получим следующее выражение для выигрыша в тру-
трудоемкости выполнения К.СФ по сравнению с ЛПФ:
Реально величина /^составляет 20—100 элементов, и выиг-
выигрыш в трудоемкости при этом составит 102—104. Необходимо
отметить, что действительный выигрыш для КСФ еще на
один-два порядка выше, т. к. процедуру ЛПФ необходимо
выполнять для изображения, положение которого заранее
неизвестно. Поиск и выделение контуров изображения тре-
требует при этом значительно меньшего количества действий.
Реализация СИФ с помощью КСФ по сравнению с ЛПФ
дает также выигрыш в объеме запоминающего устройства
процессора обработки изображений.
Следует отметить, что выигрыш в вычислениях отмеча-
отмечается лишь до тех пор, пока степень близости опознаваемого
изображения к эталонному устанавливается на основе сравне-
сравнения их форм. В других случаях, например, когда необходимо
учитывать интенсивность каждой точки изображения, хорошие
результаты можно получить лишь с .использованием ЛПФ.
193

По результатам проведенного анализа приходим к выво-
выводам, что процесс контурной согласованной фильтрации обла-
обладает следующими свойствами:
поворот изображения приводит к повороту выходного
вектора КСФ на тот же угол;
сдвиг начальной точки контура вызывает такой же сдвиг
выходного сигнала КСФ, имеющего максимальный модуль;
растяжение контура изображения при его масштабиро-
масштабировании приводит к аналогичному изменению длины выходного
вектора КСФ;
модуль нормированного выходного контура КСФ ин-
инвариантен к переносу, повороту, масштабированию изображе-
изображения и сдвигу начальной точки его контура;
сравнение параметров выходного вектора КСФ для
преобразованного и эталонного изображения позволяет оце-
оценить параметры поворота и масштабирования изображения,
а также сдвиг начальной точки его контура;
линейные преобразования изображений с последующим
квантованием линии контура в плоскости рецепторного поля
приводят к нарушению инвариантности КСФ к данным преоб-
преобразованиям вследствие возникающих при этом эквивалентных
шумов квантования.
5.4
ПРОХОЖДЕНИЕ
ШИРОКОПОЛОСНОГО ШУМА
ЧЕРЕЗ КОНТУРНЫЙ
СОГЛАСОВАННЫЙ ФИЛЬТР
5.4.1
МОДЕЛЬ ШУМА
Рассмотрим вопрос о прохождении через КСФ широко-
широкополосного комплекснозначного шума
и<г)=Ып)+Ып), E.4.1)
где |i(n), ?2A), я=0, 1, ..., k—1—независимые для любого
значения п отсчеты шума со следующими характеристиками:
математическим ожиданием
fI(n)=l2(n)=0,
194

дисперсией
D[li(n)]-
корреляционной функцией
= K[^2(s), i>2{fn)]==oexb(s—w); п, s, /м=0, 1, ..., k—1.
Закон распределения величин 1\(п) и ?2(я) предполага-
предполагается нормальным или равномерным. Случайная величина ?(л)
является комплексной, и поэтому ее математическое ожидание
и дисперсия будут равны [2]:
ш5=0, D[5(n)=2oe2x. E.4.3)
В рамках принятой модели шума рассмотрим опреде-
определение следующих характеристик процесса контурной согла-
согласованной фильтрации шума:
1) корреляционная функция и дисперсия выходного
процесса;
2) корреляционный момент вещественной и мнимой час-
частей шумового выходного вектора;
3) распределение вероятностей модуля и аргумента
шумового выходного вектора КСФ;
4) распределение вероятностей квадрата модуля шумо-
шумового выходного вектора КСФ.
5.4.2
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ
И ДИСПЕРСИЯ
ВЫХОДНОГО ПРОЦЕССА
Формально выражение для выходной АКФ имеет вид
Kux(s)= r\(m)r\(s-\-m) =M{i\(iri)T](s+m)}, E.4.4)
О
где ц(т) — центрированное значение выходного эффекта КСФ.
С учетом выражения для выходного эффекта КСФ
k-i
¦n(/n)= 2 Ып—m-\-k—l)v*(n) E.4.5)
л=0
и выражения E.4.3) получаем, что среднее значение комплекс-
позначного выходного шума
у\= 2 t(n—m+k—l)y*(n)=0. E.4.6)
195

Тогда выражение E.4.4) принимает вид
=М
Комплексно-сопряженная сумма (произведение) чисел
равна сумме (произведению) комплексно-сопряженных чисел.
С учетом этого
Knuc(s)=M{ *| l(n-m+k-\y*(n)
М{ я2 2oy*(n)y(i)Un-m+k-l)l*{j-m+s+k-\))
Учитывая, что
и принимая во внимание фильтрующее свойство б-функции,
получаем
#_v Y(/)Y*(/+s). E-4.7)
Запишем теперь выражение для дисперсии выходного шума
4-1
м* вх .=0
Из полученного выражения следует, что мощность выходного
шума растет с увеличением нормы ВК эталонного контура,
по которому была синтезирована ИПХ КСФ. С помощью
выражений E.4.7) и E.4.8) найдем выражение для коэффи-
коэффициента корреляции выходного шумого процесса:
E.4.9)
~"У ' Д„ ||Г||а/-0
Учитывая, что величина
Т1эт(х)= 2 y(i)y*(j-\-s) E.4.10)
/=0
196

есть результат фильтрации незашумленного эталонного
контура, для коэффициента корреляции можно записать
2 E.4.11)
5.4.3
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ
ШУМОВОГО ВЫХОДНОГО
ВЕКТОРА КСФ
Выходной шумовой сигнал КСФ для момента m=k—1
равен *-i
т)ш = 2\Цп)у*(п)=г]ш1+Цш2. E.4.12)
причем
Ь{п)Ып+т) = Ып)Ып+т) = авхЬ(т). E.4.13)
Для выходного сигнала в момент m=k—1
Чш= 2 [?i(n)+i62(n)][Yi(n)-W»)] =
Отсюда получаем
А-1
Л;-=/?«)«=' 2 [?i(n)Yi(»)+?a(»)Vs(n)l, E.4.14)
п=0
ц2ш =1тг)ш= 2 [h(n)yi(n)—b(n)yz(ri)]- E.4.15)
Выражение для корреляционного момента в общем виде
запишется как
Лд1/шЛ2ш= E.4.16)
Ъ
При перемножении сумм для одного и того же значения
аргумента получаются слагаемые четырех видов:
197

1. Un)Un)yi(n);
2. -?,(n)S,(n)Yi(n)Ys(n);
3. h(n)Un)yi(n)y2(n); n=0, 1, ..., k-\.
4. -Ып)Ы1
В связи с тем, что случайные величины |i(n) и ?г(я) неза-
независимы при любом значении п, слагаемые первого и четвер-
четвертого видов при усреднении будут равны нулю, т. е.
Un)h(n)y(n) = ~b(nMn)yl(n) = 0; E.4.17)
слагаемые второго и третьего видов при усреднении соот-
соответственно:
2
(n)= -a;xY.(n)Y2(n), E.4.18)
I. E.4.19)
При перемножении слагаемых сумм для разных значений
аргумента из-за независимости случайных величин h(n) и
?2(я), о=0, 1, ..., k—l при усреднении получим для каж-
каждого произведения нулевое значение. Тогда с учетом выра-
выражений E.4.17) — E.4.19) окончательно получим
Кц,шЦ2ш=0. E.4.20)
5.4.4
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТИ ШУМА
НА ВЫХОДЕ КСФ
Плотность распределения вероятностей вещественной
и мнимой частей вектора. Выходной эффект КСФ при подаче
на вход шумового ВК. 2=Щл)}о,*-1 имеет вид
г)ш(т)= 2 ?(n)Y*(n+m-*+l),
где ип)=Ып)+*ЫпУ> т\ш{т)=г\,ш{т)-\-щ2ш(т).
При этом по-прежнему g[(n) и |2(«) — независимые слу-
случайные величины с характеристиками, задаваемыми выра-
выражениями E.4.2) и E.4.3).
Для момента m^=k— 1 можно записать:
198

T,1B(m)=(s,r)=(iSi
_0 »)] Ып)-1у2(п)]= E.4.21)
*—i
Из последнего выражения видно, что как действитель-
действительная, так и мнимая части т) являются результатом суммиро-
суммирования большого количества равномерно взвешенных (при
близких значениях Vi(«) и у2(п)) случайных величин. Поэтому
можно считать, что для протяженных контуров законы распре-
распределения как действительной г\,ш, так и мнимой т\2ш. частей
комплексной выходной величины г\ш близкик нормальному.
Рассматривая Цш^Цш, Лгш) как Двухмерную нормально
распределенную случайную величину с корреляционным
моментом Rr\tm, г\2ш [см. выражение E.4.20)], для плотности
ее вероятности можно записать:
EA22)
Вследствие нормальности закона распределения зна-
значений вероятностей действительной и мнимой частей г\ из
некоррелированности этих частей следует их независимость.
Плотность распределения вероятности модуля и аргу-
аргумента выходного шумового вектора. Перейдем в распреде-
распределении Р{т\) от переменных т}/ш и х^ш к переменным |тц| и
ф, т. е. к модулю и аргументу выходного шумового вектора
х\ш. При этом учитываем следующие связи:
1'Пш12=111'ш12+.1т]2ш12; т)/ш = |т)«|1с<мФ; Ц2ш — \Цш\в1Щ. E.4.23)
Якибиан этого преобразования
Тогда
cosy —|т}ш|хтф
\г)ш \cosy
199

Р(\г)Лч>)= о а*!!"' -ехр {-
X
2ств;||Г||2 E.4.24)
ехр {
р {
Плотность распределения вероятности модуля выходного
шумового вектора. Для получения выражения плотности
Р{\Ци\) модуля выходного шумового вектора КСФ проинте-
проинтегрируем полученное выражение по всем значениям ср:
exp [
J.
о ч
E.4.25)
Из последнего выражения следует, что модуль выходного
шумового вектора распределен по закону Релея. При этом
среднее значение модуля [2]
|т)ш[^=1,253<%х||Г||, E.4.26)
дисперсия и среднеквадратическое отклонение
?>{hJ} =0,42920^11 Г ||2,
Чт)ш1=0,655|ст«| ||Г ||. ( " 7)
Плотность распределения вероятностей агрумента вы-
выходного шумового вектора. Для получения плотности вероят-
вероятностей распределения агрумента выходного шумового вектора
Ци проинтегрируем двухмерную плотность вероятностей
Р(|т)ш|, ф) по всем значениям \г\ш\:
'1= 2яо1 IIГЦ2 Х
1„ |2
X \\г)ш\ехр {—
;* iirii2
Учитывая, что [20]
<хз
\zexp {-у }= 1,
о
для плотности Р(ф) получаем
Р(ф)= J-. E.4.28)
200

Таким образом, аргумент выходного шумового вектора
подчиняется равномерному закону распределения вероятнос-
вероятностей. Среднее значение аргумента
Ф=я, E.4.29)
а дисперсия
ОД=^-. E.4.30)
Плотность распределения вероятности квадрата модуля
выходного шумового вектора.
Квадрат модуля \т\ш\2 часто является частью выход-
выходного эффекта КСФ в связи, с тем, что с вычислительной
точки зрения удобно определять величину квадрата модуля
нормированного скалярного произведения
|т)„|2=|т|1711Г||2-||ЛГ||2.
В этом случае отпадает необходимость в процедуре
нахождения квадратного корня при определении |[Г|| и \\N\\.
Выше было показано, что плотность распределения
вероятности модуля выходного шумового вектора подчиняется
закону Релея:
N
Р(\г\ш\)= — ехр-[
?||Г||2
с?||Г||2 2с?||Г||а
Вводя новую случайную величину |т}ш|2, по правилам
нахождения преобразованных плотностей получаем, что квад-
квадрат модуля выходного шумового вектора КСФ (пропорцио-
(пропорциональный мощности выходного шума) подчиняется экспо-
экспоненциальному закону распределения вероятности [60]:
Р(|Лш|2)= —^ ехр {- 'Г1"' , )• E.4.31)
1 "" ' 2с? ||Г||2 К 1 2ов2,||Г||2 J
С учетом выражений для числовых характеристик экспо-
экспоненциального распределения вероятностей получаем следую-
следующие соотношения [2]:
среднее значение квадрата модуля
1ц\2=2о?х ||Г||2; E.4.32)
дисперсия квадрата модуля
4 4 E.4.33)
201

5.5
ПРОХОЖДЕНИЕ
ЗАШУМЛЕННОГО ВЕКТОР-КОНТУРА
ЧЕРЕЗ КСФ
5.5.1
МОДЕЛЬ ЗАШУМЛЕННОГО ВК
Рассмотрим в рамках аддитивной модели процесс фильт-
фильтрации КСФ зашумленного ВК, т. е.
E.5.1)
где N, Г и 2 — соответственно зашумленный, эталонный и
шумовой ВК, причем
N={v(n)H,k-\; v(n)=vi(n)+iv2(n); v(n)=y(n)+l(n);
ГЧтИЬ,*-.; У{п)=у1(п)+1у2(пу, E.5.2)
2={|(п)}о,*-,; l(n)=Un)+ih(n).
Случайные величины §i(n) и ^(п), п=0, 1, ..., k—I обла-
обладают свойствами, задаваемыми выражениями E.4.2) и E.4.3),
и подчиняются равномерному или нормальному законам
распределения вероятностей.
Для принятой модели сигнала и шума, определяемой
выражением E.5.1), получим статистические характеристики
выходного вектора КСФ.
5.5.2
КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ МОМЕНТ
ВЕЩЕСТВЕННОЙ И МНИМОЙ ЧАСТЕЙ
ЗАШУМЛЕННОГО ВЫХОДНОГО
ВЕКТОРА КСФ
В разделе 5.4.3 было показано, что при подаче на вход
КСФ широкополосного шума вещественная и мнимая части
выходного шума будут некоррелированными. Покажем, что
это соотношение сохраняется для выходного вектора КСФ и
при подаче на вход зашумленного ВК N.
Выходной вектор КСФ при m=k — 1:
Ц = (Ы, Г)= 2 v(n)?*(n) = T|+i
п=° E.5.3)
202

k-l
— 2 [vi(n)+iv2(rt)] [yi(n)—iy2(n)] =
Определим математические ожидания вещественной и-
мнимой частей т\:
П] = vl(n)yi(n)+v2(n)y2(n) = [gi(n)+vi(n)]Ti(n) +
JS ?(«)+72(п)] = 11Г||2; E.5.4)
JS
A-l
Запишем выражение для корреляционного момента
вещественной и мнимой частей т):
Тогда
А—1
]я2о [v2(n)Yi(n)—v,(n)Y2(/i)
E.5.6)
При перемножении сумм для одного и того же значения
аргумента получаются слагаемые следующих видов:
После перемножения и усреднения для этих сомножи-
сомножителей получаем соответствено:
я 3 2
Yl(rt)Y2(rt); —yi(n)y2(n)—yi(n)y2(n)Oex i
2 з E 5 7)
rc)Y2(n)orM; — Yi(«)Y2(n).
Для неравных между собой значений аргументов в суммах
выражения /С,,ла также получаем четыре вида сомножителей,
для которых после усреднения можно записать соответственно:
—vi(n)Yi(rt)vl(m)Y2(m)= —yi{n)yi(m)y(m); E.5.8)
203

)Y2(m)= — yl(n)yi(m)y2(m);
n, m=0, 1, .... ft—1.
С учетом выражений E.5.7) и E.5.8) для искомого
корреляционного момента
AU=0. E.5.9)
5.5.3
ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТИ ЗАШУМЛЕННОГО
ВЫХОДНОГО ВЕКТОРА КСФ
Закон распределения вещественной и мнимой частей
выходного вектора. Как следует из выражения E.5.3), дей-
действительная Tii и мнимая т}2 части выходного вектора
КСФ при фильтрации зашумленного ВК являются результа-
результатами суммирования большого количества равномерно или нор-
нормально распределенных случайных величин и поэтому под-
подчиняются нормальному закону распределения. При этом
математические ожидания и дисперсия величин t)i и rj2 и их
корреляционный момент соответственно:
/п,,,=0.
el=ol=o?x ||Г||2, E.5.10)
Для плотности распределения вербятностей величин
(Ль Лг) с учетом 'выражения E.5.10) запишем:
Плотность распределения вероятностей модуля и аргу-
аргумента выходного вектора. Перейдем к определению плот-
плотности распределения вероятностей модуля \т\\ и аргумента ср
выходного вектора КСФ. При этом
204

9 2
Якобиан преобразования по-прежнему равен hi. Тогда
hi
exp 1 —
? 11ГЦ2
-2||Г||2|т1|со5ф 11= ^—г<?*р f г-!—-X
Т JJ 2ла^||Г||2 F l 2а^||Г||2 E.5.12)
X(hl2+lir|l4-2iini2hkoscp) }
Плотность распределения вероятности модуля выходного
вектора. Интегрируя распределение Р(]т\\, ф) по всем зна-
значениям аргумента выходного вектора г\, получим распреде-
распределение вероятности Р(|т)|} его модуля
hi f h + | \ {
^ { Ыexp
{ hl2+liril4 \ /hi
где /о• (—я—)= -„—5вл;Р{ —Ycos<f f f/ф — модифицирован-
модифицированная ' ^я 0 Овх
пая функция Бесселя нулевого порядка от мнимого аргу-
аргумента.
Учитывая неотрицательность величины модуля вектора,
для плотности распределения вероятности его модуля при
фильтрации зашумленного контура можно записать:
i |2 I II г11|4
E.5.13)
при |тI>0.
P(hl)=0, при
205

Таким образом, рассматриваемая случайная величина
|тг|| подчиняется распределению Раиса.
Рассмотрим случай больших отношений сигнал/шум.
При этом выходной эффект КСФ целиком определяется В К
фильтруемого контура изображения, т. е.
т|«||Г||2«|т)| E.5.14)
|т|1»с?. E.5.15).
При выполнении последнего условия для модифицированной
функции Бесселя существует следующее разложение в ряд:
Io(y)=—— (l + -^-+... ). У>!- E-5.16)
В данном случае
и с учетом выражения E.5.14) получим
ехр
Подставляя выражение E.5.17) в выражение E.5.13),
получим
}=
E.5.18)
f Aп1-||Г||2J 1
ехр
Из E.5.18) следует, что при выполнении условия E.5.14)
или E.5.15) распределение вероятностей модуля выходного
зашумленного вектора КСФ близко к нормальному. При этом
математическое ожидание модуля вектора
кI=ЦГ||2. E.5.19)
Выразим распределение E.5.13) через параметр, опре-
определяющий отношение сигнал/шум qeux по длине на выходе
КСФ
206

Овлг
Введя переменную
hi hi
E.5.20)
_
V овых ofcjim E.5.21)
и переходя к ней в распределении E.5.13), получим
Плотность распределения вероятности аргумента выход-
выходного вектора. Перейдем к определению распределения вероят-
вероятностей для ф. Интегрируя распределение Р(\т\\, <p) по всем
значениям модуля ]т)|, получаем выражение для плотности
вероятности аргумента выходного вектора КСФ при фильтра-
фильтрации зашумленного вектора
р(ч>)=
X \Hexp {- о J (hl2-2|irii2hkOs9)dhl }.
о 2,авх ||1 ||
Последнее выражение приводится к виду
E.5.23)
2адх
где Ф(г)= —\ехр \ ^- jdx — табулированный интеграл
У2^0
вероятности. При ||Г|]/стм>3, т. е. при достаточно большом
отношении сигнал/шум распределение переходит в нормаль-
нормальное, а при ЦГЦ-COb* все значения аргумента выходного век-
вектора становятся равновероятными [60].
Плотность вероятности квадрата модуля зашумленного
выходного вектора. Введем переменную
207

E-5.24)
и перейдем к этой переменной в выражении E.5.22).
Обратная функция v= ±л/^и двузначна, но с уче-
учетом того, что амплитуда всегда положительна, имеет смысл
только положительное значение и. Тогда dv/du=l/y2u и
2 -\J2u
=ехр {— (+
) E.5.25)
Из анализа выражения E.5.25). следует, что с ростом
величины отношения сигнал/шум вид распределения начинает
Все больше отличаться от экспоненциального, появляются
хорошо выраженный максимум и тенденция к нормализа-
нормализации [6].
5.6
ЭФФЕКТИВНОСТЬ ПОДАВЛЕНИЯ
ШИРОКОПОЛОСНЫХ ШУМОВ
КОНТУРНЫМ СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ
Сигнал на входе КСФ можно рассматривать как со-
совокупность сдвинутых по фазе ЭВ у(п):
y(n)=\y(n)\exp{i<p(n)}, л=0, 1, ..., А-1.
Эти ЭВ подаются последовательно, и в каждой отсчет
времени на входе КСФ имеется только один ЭВ с энергией
У(п)у*(п)=\у(п)\\
т. е. энергия сигнала на входе КСФ
Общая энергия ЭВ на входе КСФ за все время фильтра-
фильтрации равна сумме энергий входных сигналов, т. е.
208

^()|||| E.6.1)
n=\j
При этом можно говорить о средней энергии сигнала
на входе КСФ:
В рамках аддитивной модели входного сигнала КСФ
по-прежнему предполагаем, что шум центрирован и доста-
достаточно широкополосен, его средняя энергия равна дисперсии
Тогда усредненное входное отношение сигнал/шум
4, = lir||2/2fea«. E.6.2)
При фильтрации осуществляется суммирование компо-
компонент входного сигнала после предварительного изменения их
фазы и амплитуды и соответствующая задержка каждой
компоненты с тем, чтобы для образования суммарного выход-
выходного сигнала все его элементы существовали одновременно.
Аналогичное можно сказать и о суммировании шумовых
компонент. При фильтрации контура, на который КСФ наст-
настроен, выходной сигнал в момент m=k— 1 будем равен ||Г||2,
а его энергия— ||Г||4. КСФ выпрямляет контур, причем каж-
каждый элементарный вектор возводится по модулю в квадрат,
а его аргумент становится равным нулю. Таким образом,
энергия выходного сигнала в момент /п=&—1 становится
равной четвертой степени нормы.
Как было сказано выше, дисперсия выходного шума
«х = 2ств.
2
т. е. энергия выходного шума увеличивается в ||Г||2 раз.
Выходное отношение сигнал/шум
2 ,и м ||Г>|4 ||П|2 /К*оч
<кых(к—\)= ч = а , E.6.3)
2авЛГ||2 2а«
т. е. пропорционально квадрату нормы фильтруемого контура
(его длине). Выигрыш в отношении сигнал/шум при контур-
контурной согласованной фильтрации по энергии
lir||2/2aL
E.6.4)
209

Таким образом, независимо от формы контура выигрыш
при согласованной фильтрации по энергии равен количеству
k ЭВ контура.
5.7
СТАТИСТИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ НОРМЫ
ШУМОВОГО ВЕКТОР-КОНТУРА
Норма шумового ВК
E.7.1)
входит в состав выражения выходного эффекта КСФ при
фильтрации широкополосных шумов. В связи с этим целе-
целесообразно в рамках введенной в п. 5.4.1 модели широко-
широкополосного комплекснозначного шума, действующего на входе
КСФ, определить основные статистические характеристики
IIS».
5.7.1
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ НОРМЫ
ШУМОВОГО ВЕКТОР-КОНТУРА
При условии, что независимые случайные величины |i(/i)
и ?2A), it=Q, 1, .., k—1 подчиняются нормальному закону
распределения с равным нулю математическим ожиданием
и единичной дисперсией, квадрат нормы шумового ВК 2
будет распределен по закону %2 с 2ft степенями свободы [2]:
где Г(й) — гамма-функция:
оо
Г(й)= \e-z-zk-xdz,
х — значение случайной величины 2 ||(ге) или 2
210

Обычно случайные величины §i(n) и ?г(я), я=0, 1, ...,
k—1 обладают произвольным значением дисперсии авх.
При этом плотность вероятности случайной величины
2 -sii-J- или 2 -22LJ- опять будет подчиняться за-
кону х2. Чтобы выделить эту случайную величину, надо осу-
осуществить функциональное преобразование исходной случайной
величины типа у=о2х. Тогда плотность вероятности случайной
величины 2 [?,(л)-|-!2(п)] (сохраняя х в качестве обозначе-
л=0
ния переменной) [32] (см. также п. 4.6.1) имеет следующий
вид:
где х — значение случайной величины 2 |g(n)|2
л=0
Получим теперь выражение для плотности вероятности
нормы шумового ВК при аехф\:
ъ [&п)+&п)]. E.7.4)
Для случайной величины х с плотностью вероятности,
определяемой выражением E.7.3), зададим функциональное
преобразование вида у2=*. Находя плотность вероятностей,
случайной величины у и сохраняя х в качестве обозначения
переменной, получаем, что норма шумового ВК характери-
характеризуется плотностью вероятности вида [32]
2*-. / X2
х ехР \- -Z-T-
где х — значение случайной величины E.7.4).
Определим плотность вероятности для средней энергии
компоненты шумового ВК k_:_i
д:=1||2||2=уп2. ВД|2. E.7.6)
Случайная величина
211

ft л=С
будет подчиняться закону распределения х2- Для формирова-
формирования такой величины из исходной, задаваемой выражением
E.7.6), надо последнюю дополнительно умножить на о,*/к,
т. е. требуемое функциональное преобразование имеет вид
2
Овх
Осуществив это преобразование, получим, что средняя
энергия компоненты шумового ВК характеризуется плот-
плотностью вероятности вида [2]:
где х — значение случайной величины E.7.6).
Плотность вероятности frjx) задает распределения энер-
энергии шума на входе КСФ.
В заключение определим плотность вероятности сред-
среднего модуля элементарного шумового вектора, произвольное
значение которого задается как
С учетом методики получения распределения вероят-
вероятностей для нормы шумового ВК и средней энергии его компо-
компоненты будем иметь [2]
2 (^)р {
где х — значение случайной величины |||.
5.7.2
АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ НОРМЫ ШУМОВОГО ВЕКТОР-КОНТУРА
Найдем числовые характеристики и рассмотрим поведе-
поведение распределения вероятностей нормы шумового ВК с ростом
числа компонент [75]. С учетом выражения для плотности
212

вероятности нормы математическое ожидание имеет вид
Для нахождения /п*(||2||) воспользуемся табличным ин-
интегралом D.6.2). В результате получим
E.7.10)
где ,
W(k)=r(k+±)/T{k). E.7.11)
Учитывая, что [58]
Г(Л+1)=*! и Г(Л+1)=*Г(*),
получаем рекуррентное соотношение для W[k], позволяющее
проводить вычисления математического ожидания нормы с
ростом размерности ВК:
W{k)=S(k)W(k—l), E.7.12)
где S(*)=(ft—0,5)/(ft—1) и
W(l)=r(+ y )=0,886230.
Учитывая, что lim S(k)=l, получаем, что при боль-
ших значениях ft математические ожидания норм шумовых
ВК больших размерностей слабо отличаются друг от друга,
т. е.
Получим теперь выражение для среднего квадрата
||) и дисперсии ^*(||2||) нормы шумового ВК:
X1
}dx.
0 z
С учетом значения табличного интеграла D.6.2) нахЪ-
дим
Gt*(||2||)=2fco? . E.7.13)
Далее,
* D^II2||)=o*(||2||)—mi(||2||)==2a* [k—W\k)]. E.7.14)
G ростом размерности ВК дисперсия его нормы при больших
значениях k очень слабо зависит от величины ft, что сле-
следует из асимптотического выражения для гамма-функции
213

[см. D.6.5) ]. С учетом D.6.5) получим
j E.7.15)
Подставив E.7.15) в E.7.14), убедимся в слабой зависимости
при больших значениях ft дисперсии нормы ВК от размер-
размерности ft. На рис. 5.2 приведена зависимость относительного
значения дисперсии ?)*(||2||)/о„ от ft. Как следует из графика,
при увеличении размерности ВК от 10 до 250 относительная
дисперсия его нормы увеличилась с 0,4936 до 0,9491, т. е.
менее чем в два раза. При этом среднеквадратическое откло-
отклонение возросло еще меньше — в 1,4 раза.
Распределение /*(||2||) при авх = 1 является /2 — распре-
распределением с k степенями свободы. Выражения для моментов
M{||2||m} и характеристической функции (p(t) для этого рас-
распределения имеют вид [31]:
Л1{||2|Г}=2т
Рассмотрим поведение распределения /*(||2||) с ростом ft.
При k=\
)= —ехр {-—г )
а 2о
представляет собой распределение Релея. Затем по мере роста
k кривая плотности распределения становится все более сим-
симметричной и в силу центральной предельной теоремы теории
вероятностей стремится к гауссовой (рис. 5.3). Уже при fe=10
(Овх = 1) распределение вероятностей нормы шумового ВК
становится нормальным:
схр{ [x-mk{\m\)f\
Р
{
214

0,9
08
0.7
06
0,5
04
0,3
о,г
__
i
I :
ТА [¦-;¦ ¦
1 ]
j !
i
i
-|
! | :
i
1 ¦ !
|
\ 1
i
¦
50
/OO
fSO
гоо
Рис. 5.2. Зависимость относительной дисперсии нормы
шумового ВК от размерности вектора
fill
I г 2 4 5 6 7 в 9 10 It 12 X
Рис. 5.3. Плотности распределения вероятности нормы шумового вектора
215

Как следует из выражений E.710) и E.7.15), при больших
значениях k математическое ожидание нормы
mk(\m\)=-y/2koex. E.7.16)
С учетом этого
Так как математическое ожидание нормы шумового ВК
увеличивается пропорционально -уй, т. е. значительно быст-
быстрее, чем среднеквадратическое отклонение нормы, то с учетом
нормализации распределения f*(||2||) получаем, что случайные
значения при 1<&<300 с вероятностью, достаточно близкой
к единице, располагаются в интервале
e=-^aeiW(k)dz3aex, l<ft<300, E.7.18)
причем в правой части интервала W(k)~-\jk И
E=^x(-y/2k±3). E.7.19)
В связи с тем, что норма ||2|| характеризует длину
многомерного вектора, задающего контур изображений в виде
точки 6-мерного линейного комплексного пространства, пос-
последние выражения показывают, что эти точки не заполняют
более или менее равномерно часть пространства в окрест-
окрестности т. О—начала координат, а концентрированно располага-
располагаются внутри узкого гиперсферического слоя сравнительно пос-
постоянной ширины со значениями радиусов Нты=ввх{-фк — 3) и
Возникновение внутренней, объединенной точками кон-
контуров гиперсферы вызвано причиной, рассмотренной в 4.6.1.
5.8
АНИЗОТРОПНАЯ БИНАРНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
И КОМПЛЕКСНОЕ КОДИРОВАНИЕ ПРИ ОБНАРУЖЕНИИ
ДВИЖУЩИХСЯ ОБЪЕКТОВ
При реализации алгоритма обнаружения и измерения,
изменений в динамической сцене, основанного на черескад-
ровом вычитании, выполняются следующие основные опера-
216

ции: поэлементное вычитание изображений в соседних сце-
сценах, пороговая обработка, согласованная фильтрация остат-
остатков вычитания и измерение параметров движения. При этом
соответствующие элементы изображения в соседних сценах
полагаются жестко коррелированными (за исключением изоб-
изображения перемещающегося объекта), а шум датчика изобра-
изображения является белым. Процедура вычитания обеспечивает
обеление помехи (фона) на входе согласованного фильтра,
имеющего пространственную структуру. Размер и форма его
окна, а также весовые коэффициенты должны быть согласо-
согласованы с размером, формой и интенсивностью изображения в
сцене с остатками вычитания.
Учитывая громоздкость процедуры пространственной
фильтрации и априорную трудность определения формы об-
обнаруживаемого объекта, целесообразно рассмотреть квази-
квазисогласованные фильтры со значительно меньшей трудоем-
трудоемкостью, позволяющие разработать обнаружители, эффективно
функционирующие в реальном времени и легко реализуемые.
Переход к упрощенным процедурам согласованной фильтра-
фильтрации необходим, так как форма обнаруживаемого изобра-
изображения после операции вычитания меняется в зависимости от
параметров смещения, и для каждой формы необходим отдель-
отдельный фильтр.
В целях резкого снижения трудоемкости операций
сглаживания остатков вычитания и обнаружения положений
смещенного объекта в [88] был предложен переход от тер-
тернарной к бинарной структуре результатов черескадрового вы-
вычитания с последующей анизотропной фильтрацией, изложен-
изложенной в п. 3.3.
На рис. 5.4 показан процесс обнаружения маломасштаб-
маломасштабного перемещения объекта для следующих условий: динами-
динамический диапазон сигналов — 6 разрядов, контрастность
перемещаемого изображения по отношению к фону — 26, шум
датчика распределен по равномерному закону с вариа-
вариацией ±8.
Параметры фильтров для горизонтальной фильтрации
[C/3)ЛB/3)]1оо,для вертикальной фильтрации [B/3)ЛB/2)]«,.
В результате фильтрации происходит высококачественное
выделение обнаруживаемого объекта.
Рассмотрим задачу измерения таких параметров переме-
перемещения объекта, как расстояние dmin между центрами тяжести
изображений и угла Аф, между исходным А\ и смещенным
Ач. изображениями с помощью результирующего изображе-
217

Рис. 5.4. Обнаружение эффекта маломасштабного перемещения
объекта: а, б, — изображения земной поверхности со смещенными
положениями прямоугольных объектов; в — черескадровое вычитание;
г — фильтрация по строкам; д — фильтрация по столбцам
218

Рис. 5.5. Определение параметров маломасштабного
перемещения
ния, которое формируется после обнаружения. Если смещение
объекта за интервал поступления данных невелико, т. е.
изображения А\А% перекрываются, то результирующее изобра-
изображение имеет характерную полость (рис. 5.5).
На рис. 5.5. обозначено: А\т, Aim — центры тяжести,
О\, О2 — соответствующие точки изображений А{, А2. Угол
поворота Дф определяется как угол между прямыми ОО\, 00%,
проходящими через центры тяжести А\т, А2т и точки 0\02.
Результирующее изображение АР=\А\—А2\. Контур полости
в этом изображении представлен штриховыми линиями.
Решение задачи измерения параметров dmin и Дф про-
проведем на основе контурного анализа в следующем порядке.
1. На основе кодов внешнего контура ДГР, контура
полости ДГП и результирующей фигуры Ар определим коды
AFi, ДГ2 контуров фигур А\ и А2.
2. По кодам ДГь ДГг найдем расстояние dmin и угол
поворота Дф.
Для нахождения кодов ДГь ДГг по кодам ДГР, ДГ„
строим суммарные коды Вр, Вп для внешнего контура и конту-
контура полости относительно точки О\\
J'-V Вп== Ьо1.о2+ Д V«(/) }i.*n ,
где yp(j) и уп(п) — соответственно, элементы кодов ДГР и ДГП;
kp и kn — длины этих кодов; 701,02 — отрезок, заданный комп-
комплексным числом, причем точка О\ является началом отсчета.
219

Контур полости касается линии внешнего контура,
поэтому коды Вр, Вп будут иметь совпадающие элементы,
соответствующие точкам у\ и у2 на рис. 5.5.
На основании кодов Вр, Вп получаем коды контуров
Г,, Г2:
1. Код ДГ1={72(п)}1,*1, k\ —длина кода. Строим суммар-
суммарный код В\ контура фигуры А[ из участка кода Вр от началь-
начальной точки О{ до 7ь участка кода Вп от у\ до у2, участка кода
Вп от 72 До О\. Затем образованием первых разностей кода
В\ формируем код ДГь
2. Код ДГ2={72(гс)}1,а2, k2 — длина кода. Строим суммар-
суммарный код Bi контура фигуры Л2 из участка кода Вп от началь-
начальной точки О\ до у\, участка кода Вр от Yi A° ?2, участка кода
Вп от 72 До О]. Затем образованием первых разностей кода
Вг формируем код ДГг.
Координаты А\т и Ачт центров тяжести находим
следующим образом:
1 ftl S 1 k\ S
Ашх= -г- 2 2 Reyi(n); АШу= -г— 2 2 Jmyi(n);
1 ft2 S I ki S
Aimx=-r— 2 2 Rey2(n); A2my— -r- 2 2 Jmy2(n).
Й2 Ji = l я=1 Й2 si=1 n=1
Оценка угла поворота фигуры At относительно фигуры
А\ может быть произведена согласованной фильтрацией
(определением скалярного произведения) кода ДГь когда
импульсная характеристика фильтра определяется кодом ДГ2.
Выходной эффект г\ фильтра в данном случае пред-
представляет собой вектор с максимальным значением модуля,
аргумент которого определяет угол поворота Дф, т. е.
k; т](т)= 2 у\н(п)у2„(т—п);
п— 1
2
п— 1
\Цпик\=тах\г\(т)\, т=\, 2, ..., k,
где Yih(^) и 72н(^) — нормированные к единичному модулю
элементы кодов ДГ|, ДГ2: k — наименьшая из длин k\ и
ki кодов ДГь ДГ2. Неодинаковая длина кодов ДГ^ ДГг вы-
вызвана эффектами дискретизации фигур А\, А2 в плоскости
рецепторного поля и действием шумов. Точность определения
значения Гф можно улучшить, увеличивая длины периметров
фигур А\ и А2 с коэффициентами d\, d2 (чтобы d\k\=d2k2)
с последующей процедурой согласованной фильтрации.
220

5.9
ФАКТОРЫ, ОГРАНИЧИВАЮЩИЕ
ПРИМЕНИМОСТЬ МЕТОДОВ
КОНТУРНОГО АНАЛИЗА
Достоинство методов контурного анализа в задачах
обработки изображений и распознавания зрительных образов
заключается в том, что эти задачи можно решать с теорети-
теоретических позиций в условиях, когда влияние произвольных
значений параметров положения, поворота и масштаба изоб-
изображений не приводит к большому увеличению объема вы-
вычислений. В связи с этим целесообразно проанализировать
границы применимости методов контурного анализа, рассмот-
рассмотрев, какие факторы и в какой степени затрудняют их исполь-
использование.
Сложность процедуры выделения контуров (краев)
изображений
Задача выделения контуров (краев) многоградационного
изображения на многоградационном фоне эквивалентна зада-
задаче обнаружения двухмерного сигнала на фоне шумов и дру-
других сигналов, играющих роль помех. Важность решения этой
задачи не подлежит сомнению, поскольку при отсутствии
линии контура нельзя применять методы контурного анализа.
Вопросам выделения контуров посвящена обширная ли-
литература (например, [1, 5, 50]). В обзорной статье веду-
ведущего американского специалиста в области обработки изоб-
изображений и распознавания образов А. Розенфельда подчерки-
подчеркивается, что «до сих пор нет сколько-нибудь удовлетворитель-
удовлетворительной модели краев областей оптимальных операторов обнару-
обнаружения границ» [50, с. 78].
В настоящее время существенных сдвигов в этом направ-
направлении не произошло. Часто используемые на практике мето-
методы формирования статистик для принятия решения, базиру-
базирующиеся на операторах Кирша, Собела, Робертса, Превитта
и др., являются сугубо эвристическими и вопрос об опти-
оптимальном решении задачи выделения краев изображения
остается открытым.
Таким образом, отсутствие адекватных сигналов и помех
приводит к тому, что в общем случае неизвестны оптималь-
оптимальные решающие процедуры выделения контуров изображений.
Данное положение вызвано значительно более сложной и
221

разнообразной по сравнению со случаями обработки одномер-
одномерных сигналов структурой сигналов и помех.
Влияние нелинейного характера процедуры квантования
линии контура
Инвариантность КСФ к преобразованиям переноса,
поворота и изменения масштаба изображения наблюдается
лишь для подобных преобразований уже оцифрованных
изображений. Если же преобразованиям подвергается изобра-
изображение до его ввода в систему обработки изображений, то
вследствие нелинейного характера процедуры квантования
линии в плоскости сетчатки, размерность получаемого ВК N
оказывается случайной величиной. Данный фактор затрудняет
процедуру контурной согласованной фильтрации, так как ВК
Г, сформированный по эталонному изображению и задающий
ИПХ фильтра, имеет неизменную размерность. Поэтому до
фильтрации необходимо проводить операцию эквализации
линии контура, в результате которой происходит выравни-
выравнивание размерностей ВК JV и Г (см. п. 4.10). Однако данная
операция представляет собой повторное квантование линии
контура, что приводит к дополнительному зашумлению сиг-
сигнала.
Флуктуации амплитуд и фазы сигналов на входе дат-
датчиков изображения приводят, в конечном счете, к флуктуа-
циям интенсивности сигналов, формирующих цифровое изоб-
изображение в ОЗУИ. В результате полученные силуэтные изоб-
изображения становятся многосвязными из-за образующихся по-
полостей и разрывными, причем значительно искажается линия
контура (края).
Разрушение односвязной структуры изображений вслед-
вследствие указанных факторов, а также воздействие шумов и
помех в области изображения приводят к тому, что вместо
одного контура, описывающего форму исходного изображе-
изображения, мы получаем систему контуров пятен случайной формы
в пределах контура исходного изображения. Вследствие
этого контурный анализ форм образовавшихся пятен не дает
необходимой информации о классе изображения. В этом
случае целесообразно переходить к пространственным методам
обработки, например, к бинарной согласованной фильтрации
или к выделению подозрительных областей по признаку
наличия сгущений, и другим методам, изложенным в главе 3.
222

Влияние количества пикселей, содержащихся
в изображении объекта
Данный фактор наряду с предыдущим оказывает наибо-
наиболее существенное влияние на применимость методов контур-
контурного анализа. С уменьшением числа пикселей, составляющих
распознаваемое изображение, падает отношение сигнал/шум
квантования. Маскирующее влияние шумов квантования при-
приводит к потере отдельных деталей изображения, т. е. к потере
ряда информативных признаков в его контуре. Необходимое
количество пикселей связано с шириной спектра контура и
должно выбираться исходя из теоремы Котельникова. Однако
в целом ряде случаев это количество определяется возмож-
возможностями применяемых датчиков изображения.
В том случае, когда количество пикселей изображения
меньше необходимого для неискаженной передачи формы
объекта, распознавание возможно, однако даже при отсутст-
отсутствии шумов и помех его качество становится функцией коли-
количества распознаваемых классов. При заданном алфавите клас-
классов на вид принятого при распознавании решения будут
влиять информативные для каждого класса признаки, т. е.
такие признаки, которые хорошо выражены в изображениях
данного класса и слабо выражены или отсутствуют в изоб-
изображениях остальных классов. При этом в контурах изобра-
изображений рассматриваемого алфавита классов могут присут-
присутствовать характерные фрагменты, которые сохраняются даже
при незначительном количестве пикселей, составляющих
изображение. Однако они не могут повлиять на результат
решения задачи распознавания, если являются общими для
изображений всех классов.
Влияние внутренней структуры изображений
Методы контурного анализа обеспечивают принятие ре-
решения о классе изображения по его форме, задаваемой кон-
контуром изображения. Если же информативные признаки свя-
связаны с внутренней структурой изображения, то применение
этих методов становится нецелесообразным, т. к. форма
изображения становится малоинформативной. Как показы-
показывают экспериментальные исследования по распознаванию та-
таких изображений, при условии одинаковой информативности
ЭВ, задающих его контур и внутреннюю структуру, прием-
приемлемые для практики результаты получаются до тех пор, пока
длины контуров внутренних областей изображений не превы-
превышают 30—40 % от длины контура.
223

В заключение наметим некоторые пути решения задач
обработки изображений и распознавания образов в условиях,
когда непосредственное применение методов контурного ана-
анализа затруднено.
Вредное влияние флуктуации может быть снижено за
счет процедур накопления изображений. Снижение одного
из наиболее сильно влияющих помеховых факторов — шума
зернистости в изображениях, получаемых в когерентном свете,
достигается путем усреднения нескольких независимых изоб-
изображений одного и того же участка поверхности. Рост эффек-
эффективности от накопления наблюдается при этом до тех пор,
пока число накапливаемых изображений не превысит
W«25 [94].
Другим подходом, позволяющим устранить возника-
возникающую вследствие флуктуации сигнала многосвязность изобра-
изображения, является пространственная фильтрация скользящего
среднего. Однако ее реализация для всех точек сцены связана
с большими временными затратами и, кроме того, результи-
результирующее изображение имеет большие размеры, чем исходное.
Следствием этого будет подавление изображений малораз-
малоразмерных объектов. Лучшие результаты обеспечиваются исполь-
использованием логических процедур типа « k из п» в разных по
яркости срезах изображения (см. п. 3.4).
Улучшение формы сильно зашумленных контуров, в
том числе шумами квантования, достигается в результате
операции накопления контуров (см. п. 5.2).
В условиях, когда линия контура многоградационного
изображения имеет переменную интенсивность или когда фон
характеризуется ощутимой в пределах изображения вариа-
вариацией средней интенсивности, решение задачи обнаружения
контурных точек и прослеживание линии контура с после-
последующим формированием его комплекснозначного кода может
быть достигнуто при подходе к линии контура как к траекто-
траектории определенной точки. В данном случае становится воз-
возможным применение методов траекторией обработки [33].
При наличии априорной информации о форме изобра-
изображения появляется возможность на каждом шаге прослежи-
прослеживания рассчитывать положение прогнозированной контурной
точки и учитывать эту информацию при вынесении реше-
решения о положении обнаруженной точки.
224

ЛИТЕРАТУРА
1. Абду И. Э., Прэтт У. К. Количественный расчет детекторов кон-
контуров, основанных на подчеркивании перепадов яркости с последующим
пороговым ограничением //ТИИЭР.—1975. - Т. 67, № 5.- С. 59—70.
2. Справочник по вероятностным расчетам/Г. Г. А без г а уз, А. П.
Тронь, Ю. Н. Копенкин и. др.- М.: Воениздат, 1970.
3. А н и с и м о в Б. В., Курганов В. Д., Злобин В. К. Распо-
Распознавание и цифровая обработка изображений; Учеб. пособие для студентов
вузов.— М.: Высш. шк., 1983.
4. Б а к ут П. А., Колмогоров Г. С, Ворновицкий И. Э.
Сегментация изображений. Методы пороговой обработки//3арубежная радио-
радиоэлектроника.— 1987.— № 10.-- С. 6—24.
5. Б а к у т П. А., Колмогоров Г. С. Сегментация изображений:
методы выделения границ областей//3арубежпая электроника.— 1987.—
№ 10.— С. 25—47.
6. Вопросы статистической теории радиолокации. Т. I/П. А. Б а к у т,
И. А. Большаков, Б. М. Герасимов и др.— М.: Сов. ра-
радио, 1963.
7. Б а с к а к о в СИ. Радиотехнические цепи и сигналы. — М.: Высш.
шк., 1983.
8. Вопросы статистической теории распознавания/Ю. С. Б а р а б а ш,
Б. В. Барский, В. Т. Зиновьев и др.— М.: Сов. радио, 1967.
9. Б р а й с о н А., Хо-Ю-Ши. Прикладная теория оптимального
управления.— М.: Мир, 1972.
10. Б р о й н ш т е й и И. Н., Семендяев К. К. Справочник по
математике для инженеров и учащихся вузов.— Лейпциг: Тойбнер; М.:
Наука, 1981.
11. Быстрые алгоритмы в цифровой обработке изображений/Под ред.
Т. С. X у а н г а.— М.: Радио и связь, 1984.
12. Василенко Г. И. Топографическое опознавание образов.— М.:
Сов. радио, 1977.
13. Вентцель Е. С. Теория вероятностей.— М.: Наука, 1969.
14. Распознавание образов. Состояние и перспективы/К. Верхаген,
Р. Д е й н, Ф. Г рун и др.; Пер. с англ.; Под ред. И. Б. Гуревича.— М.:
Радио и связь, 1985.
15.-Г а н т м а х е р Ф. Р. Теория матриц.-- М.: Наука, 1967.
16. Горелик А. А., Скрип кин В. А. Методы распознавания.—
М.: Высш. шк., 1984.
17. Г р а п о в с к а я Р. М., Березная И. Я. Запоминание и узна-
узнавание фигур.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1974.
18. Денисов В. М., Матвеев Ю. Н., Очин Е. Ф. Принципы
организации систем обработки изображений на базе клеточной логики//
Вопросы зарубежной радиоэлектроники.— 1984.— № 1.— С. 3—25.
19. Д е н и с о в Д. А., Н и з о в к и н В. А. Сегментация изображений на
эвм//3арубежная радиоэлектроника.— 1985.-- № 10.— С. 5—30.
20. Д в а й т Г. Б. Таблицы интегралов и другие математические фор-
формулы.— М.: Наука, 1966.
21. Дуда Р., Харт П. Распознавание образов и анализ сцен.—
М.: Мир, 1976.
22. Е ф и м о в Н. В., Розенлорн Э. Р. Линейная алгебра и много-
многомерная геометрия.— М.: Наука, 1974.
23. Фурман Я. А., Мальгин Ю. Ю. Задача пррележивания прямо-
225

линейных границ изображений/Марийск. политехи, ин-т.— Йошкар-Ола,
1987— 13 с— Деп. в ВИНИТИ 11.08.87, № 5818—В87.
24. 3 и н ч е н к о В. П., Ломов В. Ф. О функциях движения руки
и глаза в процессе восприятия изображения//Вопросы психологии.— 1960.—
№ 1.— С. 29—41.
25. Интегральные роботы: Сб. ст./Пер. с англ.; Под ред. Г. Е. Поздняка.—
М.: Мир, 1973.
26. Интегральные роботы : Сб. ст./Пер. с англ. и яп.; Под ред. Г. Е.
Поздняка. Вып. 2.— М.. Мир, 1975.
27. Ф у р м а н Я. А. К вопросу о выборе линейного пространства
контуров изображений для их анализа в пространственной области/Ма-
рийск. политехи, ин-т.— Йошкар-Ола, 1987.— 20 с.— Деп. в ВИНИТИ
16.04.87. № 2668—В87.
28. Кемени Д., Снелл Д. Конечные цепи Маркова.— М.: Наука,
1970.
29. Клейн рок Л. Теория массового обслуживания.— М.: Машино-
Машиностроение, 1979.
30. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций
и функционального анализа,— М.: Наука, 1972.
31. Справочник по теории вероятностей и математической статистике/
B. С. Кор олю к, Н. И. П о р т е н к о, А. В. Скороход, А. Ф. Тур-
Турбин,— М.: Наука, 1985.
32. Крамер Г. Математические методы статистики.—• М.: Мир, 1975.
33. К у з ь м и н С. 3. Основы теории цифровой обработки радиолока-
радиолокационной информации.— М.: Сов. радио, 1974.
34. Лебедев Д. С, Цукерман И. И. Телевидение и теория
информации.— М.; Л.: Энергия, 1965.
35. Л а н к а с т е р П. Теория матриц.— М.: Наука, 1978.
36. Л е в и н Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники.
Т. 1.— М.: Сов. радио, 1969.
37. Л е з и н Ю. С. Оптимальные фильтры и накопители импульсных
сигналов.— М.: Сов. радио, 1969.
38. Л и х а р е в В. А. Цифровые методы в радиолокации.— М.: Сов.
радио, 1973.
39. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 2.—
М.: Сов. радио, 1962.
40. Математическая энциклопедия. Т. 3.— М.: Сов. энциклопедия, 1982.—
C. 700.
41. Матвеенко В. И., Староверов Ю. Г. Бинарная система
технического зрения для промышленного применения// Микропроцессорные
средства и системы.— 1989.— № 2,— С. 81—83.
42. Н а д ь Г. Цифровая обработка изображений, получаемых при
дистанционном зондировании природных ресурсов//Распознавание образов
при помощи вычислительных машин/Под ред. Л. Хармона.— М.: Мир, 1972.—
№ 90, Т. 67.— С. 90—121.
43. Н е б а б и н В. Г., Сергеев В. В. Методы и техника радио-
радиолокационного распознавания.— М.: Радио и связь, 1984.
44. Б у т а к о в Е. А., Островский В. И., Фадеев И. Л. Обра-
Обработка изображений на ЭВМ.— М.: Радио и связь, 1987.
45. Прэтт У. Цифровая обработка изображений. Кн. 1—2.— М.:
Мир, 1982.
46. Радиолокационные станции обзора Земли/Г. С. Кондратенко в,
В. А. П о т е к и н, А. П. Реутов, Ю. А. Феоктистов; Под ред.
Г. С. Кондратенкова.— М.: Радио и связь, 1983.
226

47. Распознавание образов. Исследование живых и автоматических реша-
решающих систем.— М.: Мир, 1970.
48. Р е п и н В. Г., Т а р т а к о в с к и й Г. П. Статистический синтез
при априорной неопределенности и адаптации информационных систем.—
М.: Сов. радио, 1977.
49. Розенфельд А. Распознавание и обработка изображений.—
М.: Мир, 1972.
50. Р о з е н ф е л ь д А., Дейвис Л. С. Сегментация и модели
изображения//ТИИЭР.— 1979. Т. 67, № 5,— С. 71—82.
51. Р о м а н о в с к и й В. И. Дискретные цепи Маркова.— М.: Гос-
техиздат, 1979.
52. С а в р а с о в Ю. С. Алгоритмы и программы в радиолокации.—
М.: Радио и связь, 1985.
53. Сейдж Э., Меле Д ж. Теория оценивания и ее применение в
связи и управлении.— М.: Сов радио, 1976.
54. С е р г е е в Г. А., Я н у т ш Д. А. Статистические методы исследо-
исследования природных объектов,— Л.: Гидрометеоиздат, 1973.
55. Современная математика для инженеров/Под ред. Э. Ф. Беккен-
баха.— М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958.
56. С о к о л о в В. П. Пространственные матрицы и их приложения.—
М.: Физматгиз, 1960.
57. Сосулин Ю. Г. Теория обнаружения и оценивания стохасти-
стохастических сигналов.— М.: Сов. радно, 1978.
58. Справочник по специальным функциям/Под ред. М. Абрамовича,
И. Стигон.— М.: Наука, 1979.
59. Техническое зрение роботов/Под ред. А. Пью; Пер. с англ. Д. Ф.
Миронова.— М.: Машиностроение, 1987.
60. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Сов. радио,
1966.
61. Тихонов В. И. Статистическая радиотехника.— М.: Сов. радио,
1982.
62. Т и х о н о в В. И., Миронов М. А. Марковские процессы.—
М : Сов. радио, 1977.
63. Т у Д., Гонсалес Р. Принципы распознавания образов.— М.:
Мнр, 1978.
64. Ф а й и В. Ф. Опознавание изображений. Основы непрерывно-
групповой теории и ее применение.— М.: Наука, 1970.
65. Фурман Я. А. Фильтрация контуров изображений, представленных
комплекснозначным цепным кодом/Марийск. политехи, ии-т.— Йошкар-Ола,
1987.— 17 с— Деп. в ВИНИТИ 24.08.87, № 6189-В87.
66. Ф о м и н Я. А., Т а р л о в с к и й Г. Р. Статистическая теория
распознавания образов.— М.: Радио и связь, 1986.
67. Фор А. Восприятие и распознавание образов: Пер. с фр. А. В.
Серединского.— М.: Машиностроение, 1989.
68. Фу К- Структурные методы в распознавании образов.— М.: Мир,
1977.
69. Ф у р м а и Я. А. Марковская цепь с матрицей вероятностей пере-
переходов, приведенной к нормальному виду Фробениуса//Изв. вузов. Матема-
Математика.— 1978.— № 4.— С. 119—123.
70. Ф у р м а н Я. А. О срыве слежения конечного автомата со слу-
случайными переходами//Изв. АН СССР. Техн. кибернетика.— 1980.— № 4 —
С. 204—209.
71. Фурман Я- А. Общая задача срыва слежения конечного авто-
227

мата//Радиоэлектронные устройства: Межвуз. сб./КАИ— Казань, 1978.—
Вып. 2.— С. 108—112.
72. Ф у р м а н Я. А., Ц и в л и н И. П., Клейман И. Г. Обобщен-
Обобщенная вторичная обработка информации//Тез. докл. на науч.-техн. семинаре
«Обработка сигналов от распределенных целей при гауссовых и негауссо-
негауссовых помехах»/Науч. совет АН СССР по комплексной проблеме «Статисти-
«Статистическая физика».— Свердловск: УПИ, 1977.— С. 49—52.
73. Фурман Я. А., Вер не р Д. Л. Алгоритм обработки градиентных
изображений//Теория и техника радиолокации. VII. Моделирование и обра-
обработка радиолокационной информации/Под ред. А. Г. Сайбеля.— М., 1979.—
С. 79—82.
74. Ф у р м а н Я. А. К вопросу о распознавании изображений с сильной
вариабельностью формы//Автоматизация анализа и распознавания изобра-
изображений. Вып. 2: Науч. тр. АН Латв. ССР.— Рига: Зинатне, 1980.— С. 131 — 157.
75. Ф у р м а н Я- А. Распределение вероятностей расстояний точек
образов в кластере//Радиотехника.— 1985.— № 2.— С. 84—86.
76. Фурман Я. А., Яншин В. В. Многошаговые процедуры принятия
решений.— Красноярск: Изд-во Красиояр. ун-та, 1989.
77. Ч у к и н Ю. В. Структуры данных для представления изображений//
Зарубежная радиоэлектроника.— 1983.— № 1.— С. 85—107.
78. Ш и б а н о в Г. П. Распознавание в системах автоконтроля.— М.:
Машиностроение, 1973.
79. Ю р ь ё в А. Н. Синтез алгоритмов обнаружения стохастических
сигналов, заданных в пространстве состояний//Радиотехника и электроника.—
1989.— Т. 34, № 5.— С. 990—996.
80. Юрьев А. Н. Синтез фильтров обнаружения стохастических
сигналов в пространстве состояний//Радиотехника,— 1990.— № 6.
81. Г. Ван Т р и с. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 1.—
М.: Сов. радио, 1972.
82. Г. Ван Три с. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Т. 3.—
М.: Сов. радио, 1977,
83. Я н ш и н В. В., Р о з е н т а л ь Н. А. Расчет математического
ожидания и среднеквадратического значения времени принятия решений при
использовании логик типа (k/n)^ в задачах вторичной обработки информа-
ции//Вопросы радиоэлектроники. Сер. Общие вопросы радиоэлектроники.—
1985.— Вып. 1.— С. 20—26.
84. Я н ш и н В. В., 3 у р а б ъ я и Р. С, Бойко И. Ф. Исследование
точностных характеристик неусеченных многошаговых процедур принятия ре-
решений типа (k/п)^ //Статистические методы обработки информации в авиа-
авиационных радиоэлектронных систем ах/КИИ ГА.— Киев, 1987.— С. 26—31.
85. Яншин В. В., Бойко И. Ф. Исследование точностных характе-
характеристик усеченных многошаговых процедур принятия решений с двойным
решением//Теория и практика совершенствования радиообеспечения поле-
полетов.— М.: МИИГА, 1988.— С. 66—72.
86. Я н ш и н В. В., Фурман Я. А. Алгоритмы локального интегри-
интегрирования двухградационных изображений//Статистические методы в теории
передачи и преобразования информационных сигналов. Тез. докл. Всесоюз.
науч.-техн. конф./КИИГА.— Киев, 1988.— С. 96.
87. Я н ш и н В. В., Фурман Я. А. Бинарная согласованная фильтра-
ция//Статистические методы в теории передачи и преобразования информа-
информационных сигналов: Тез. Докл. Всесоюз. науч.-техн. конф./КИИГА.— Киев,
1988.— С. 87—88.
88. Оброс о в К. В., Яншин В. В., Фурман Я. А. Алгоритм
228

обнаружения и распознавания движущихся объектов и оценка точностных
и вероятностных характеристик//Статистические методы в теории передачи
и преобразования информационных сигналов: Тез. докл. Всесоюз. науч.-техн.
конф./КИИГА.— Киев, 1985.— С. 16.
89. Фурман Я. А. Анализ согласованной фильтрации зашумленных
контуров изображений/Марийск. политехи, ин-т.— Йошкар-Ола, 1990.—
11 с— Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, № 1813—В90.
90. Ф у р м а и Я. А. Воздействие широкополосных шумов иа контурный
согласованный фильтр/Марийск. политехи, ин-т.— Йошкар-Ола, 1990.—
14 с— Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, № 1807—В90.
91. Apnoult M. Prediction of perceptual vesponses from Structural
characteristics of the stimulus//Perceptual Motor Skills.— 1960.— № 11..—
P. 261.
92. С о s g r i f f R L. Identification of shape. Ohio State Univ. Res.
Foundation, Columbus. Rep. 820. ASTIA AD 254792. Dec. 1960.
93. D e u t s с h E. Conjectures on the Perception on elongation//Advan-
ced Papers of the 2nd International Joint Conference on Artificial Intelli-
Intelligence.— London, 1971.— P. 238.
94. Elachi С, В ic knell Т., Jar den R. L, Chialin W.
Spaceborne Synthetic aperture Imaging Rada's applications, Techniques and
Technology//Proceedings of the IEEE.— 1982.— Vol. 70, № 10,— P. 78—82.
95. G r an d I u n d G. M. Fourier Preprocessing For Nand Print Charac-
Character Recognition//IEEE Transactions on Computers.— 1972.— Vol. C—21,
№ 2.— P. 197—201.
96. К о I e r s P. A. Intensity and cotour effects in visual masking,
Vision Res. 1962.— № 2.— P. 277—294.
97. Person E., F u k. Shape disrimination Using Fourier Descriptors//
IEEE Transactions, Man and Cybernetics.— 1977.— Vol. SMC-7, №3.— P.
170—179.
98. Richard С W., Hemani H. Identification of Three-Dimen-
tional Objects Using Fourier Descriptors of the Boundary Curve IEEE
Transactions on Systems//Man and Cybernetics.— 1974.— Vol. SMC-4, № 4.
99. W a 11 А., В e u r 1 e R Recognition of Hand-printed numerals
reduced to graph-representable form//Advanced Papers of the 2nd Inter-
International Joint Conference on Artificial Intelligence. London, 1977.— P. 322.
100. Whitman R, Kanfman L. «Center-gravity» tendencies for
fixations and flow pattern//Perception and Psychophysics—1969.— Vol.
5, № 2.
101. Zahn С. Т., Roskies R. Z. Fourier Prepocessing For Hand
Print Chpracter Recognition//IEEE Transactions on Computers.— 1972.—
Vol. C—21, № 3.— P. 269—281.
102. Zuske L., Michels K. Nonrepresentational shapes and eye
movements//Perceptual and Motor Skills.— 1964.— Vol. 18, № 1
103. Freeman H. On the digital-comuter classification of geometric
line pattern. Proc. Nat Electron. Conf.— № 18.— P. 312—324.
104. Пат. 4097845 США, МКИ3 G6 K9/00. Method and Apparatus for
Automatic Classification of Red Blood Cells.
105. 3,943,833. USA. 93—35R B39/00. Production of Lined Valved
Bags Division of Ser. № 301, 760, Oct. 30, 19,72, abandoned. This ap-
application Sept. 17, 1974, Ser № 506, 758. Claims priority. M'6, 1971, 2155265.
106. Заявка № 2144251. Великобритания, МКИ3 6 K9/80, 8/48, 9/68,
НКИ G4R. Устройство распознавания изображений.
107. Пат. 4361830. США, МКИ3 GO 6 К9/48, НКИ 340—146.3
Устройство для отображения характерных признаков.
229

108. Заявка № 2540263. Франция, МКИ3 GO 6 К9/62. Способ автома-
автоматического распознавания изображений по соответствующему эталонному
изображению.
109. Заявка № 53—4774. Япония, МКИ3 GO 6 К9/00. НКИ 9717 В 622.
Система распознавания образов.
110. Теория обнаружения сигналов и ее применение: Тем. выпуск/ТИИЭР
— 1976?— Т. 58, № 5.
111. Schweppe F. С. Evaluation of likelihood function for quassian
signals. IEEE Transactions on Information Theory.— 1965, January,—
Vol. IT—11, № h— P. 61-70.
112. Farina A., Russo A. Radar detection of correlated targets in
clutter. IEEE on Aerospace Electronic Systems.— 1986, May.— Vol. AES—22,
№ 5.— P. 513—532.
113. Ф у р м а н Я. А., Митрофанов В. И. Специальные операции
над контурами изображений/Марийск. политехи, ин-т.— Йошкар-Ола,
1990.— 10 с. Деп. в ВИНИТИ 04.04.90, № 1811—В90.
114. Мальгин Ю. Ю., Фурман Я. А. Использование двойных кон-
контуров в алгоритмах обработки изображений/Марийск. политехи, ин-т.—
Йошкар-Ола, 1990.— 9 с— Деп. в ВИНИТИ 09.07.90, № 4088—В90.

Приложение Ш
ВЫВОД РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИММПУЛЬСНОИ
ПЕРЕХОДНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА
ОБНАРУЖЕНИЯ
Взяв от обеих частей уравнения B.2.15) первую разность по параметру
текущего времени /, получим:
JS, {[#„(/)&(/, *)_#„(/-1N(/-1, k)][b(k, m)Nn(m)+
/-1 n
=*,(/, m)—ft^i—1, m).
Правая часть (П.1.1)
с учетом того, что выражение в квадратных скобках преобразуется с помощью
выражения B.2.3) к виду:
может быть представлена следующим образом:
Ц1, т)-Ц1-1, т)=[Я(/)Ф(/, /-1)//"'(/-1)-/]Х т . „,
ХЦ1-1, т). (lllZ>
При получении выражения (П.1.2) полагалось, что т^.1—1 и матрица
Н~'A— I) существует; если НA—\) не является квадратной матрицей, то
Я~'(/—1) следует рассматривать как квазиобратную [35]. Полагая так-
также, что матрица «"'(/) существует, получим, умножив обе части (П.1.1)
на N~\t):
,|, -l)b(l-l , k)]X
l-l n
X [b(k, m)Nn(m)+ _2 b(k, j)kc(j, m)])+ ^ b(l, k)b(k, OX (П.1.3)
ХМ'. т)=Ы-\1)[Щ1)Щ1, 1-\)Н~\1-\)-[].Ц1-\, т).
Подставив в (П.1.3) вместо k,{l—1, т) левую часть уравнения B.2.15)
с заменой /на /—1, приходим к соотношению:
2 ([&(/, *)-Фо(/, /-1N(/-1, k)][b(k, т)ЛГ„(т)+
(-1 в
+ .2 Ь(к, 1)Щ, т)]}+ 2 ЬA, k)b(k, [)Ц1, т)=0, (П. 1.4)
где
Фо(/, /-1)=ЛМ(/)Я@Ф('. l-l)H-\l-l)N,J[l-\).
Введем обозначение
231

Подставив в (П.1.4) выражение для kj^l, m) из B.2.15), получим
следующее соотношение:
4( )-Ф„(/, 1-1Щ1-1, k)][b(k. m)Na(m) +
+ 2 b{k, 1)Щ, m)])+Q([)W([)kc(l, m)=0,
/='
где
Q(l)=W(t)N^l)=l-L(l, t)Nn(t).
Повторяя операцию подстановки kc{l, m) неограниченное число раз,
приходим к следующему уравнению:
Ъ ШЩ1, Л)-Фо(/, 1-1Щ1-1, k)][b(k,
+ 2 b(k, j)kc(i, m))}+C(C)W(t)k^ m)=0, (П.1.5)
где /='
C(/)= Urn [Q(l)Y; D(l)= 2 [0@]". (П.1.6)
В том случае, если
где К — собственные значения матрицы (?(/), получим [62]:
С(/)=0;
Для ряда практических случаев можно показать, что условие |Я,|<1 вы-
выполняется (см. прил. П2). Можно предположить, что указанное условие
выполняется и в общем случае: проведенные численные расчеты не проти-
противоречат этому утверждению. При этом справедливы соотношения (П.1.7),
в результате чего приходим к разностному уравнению B.2.16).
Приложение П2
ОЦЕНКА ВЫПОЛНЕНИЯ УСЛОВИЯ СУЩЕСТВОВАНИЯ
ДИСКРЕТНОГО ФИЛЬТРА ОБНАРУЖЕНИЯ
Докажем справедливость утверждения (П.1.6) для двух частных слу-
случаев: когда матрицы kJJ., [) и *„(/, t)=NJ,t) диагональиы и когда матрица
kc=[(kc(i, /)] является квазидиагональиой, а шумы наблюдения по пространст-
пространству состояний однородны и некоррелированы (Ы„(Г)=о„Г)- В первом случае
Ц1, t)=dia&o]{(t), ..., a]4(t)l N»(l)=diag{e2J[), ..., 0-^@] и следовательно,
kcn(l, [)=diag[a2cl([)+o2jl), ..., alo(')+<4o@]> где a'jl), ajt) - мощность
сигнала и помехи, соответственно, р=1, л0 . Матрица Q([) в этом случае
232

также диагональна и имеет вид:
Элементы матрицы Q(/) могут рассматриваться как ее собственные зна-
значения, которые по своему физическому смыслу всегда меньше единицы;
таким образом, условие |А,|<1 выполняется.
Во втором случае kcn(i, j)=kcn(i, i)-8l7, и матрица Q(/)=/a^~' (/, /)
является эрмитовой.
Диагонализируя матрицу Q(l), получим
Q'([)=diag[h, .... Xj=r-1Q@r=/-a>-Ift-'(/, 0=/-а>7>, 0,
где Т — матрица, столбцами которой являются собственные векторы матрицы
(?(/); матрица kcn(l, [) и, следовательно, матрица kc^l, /) при этом также
диагонализируются. Матрицу K'Cn{L, [)=Т~(КСпA, t)T и неизменившуюся
матрицу N'n{t)=T-yNn{l)T=Nn(t) можно рассматривать как ковариационные
матрицы процесса z'(/)=7'-1z(i)=T*z(() для момента времени / при выполне-
выполнении гипотез Я, и Но соответственно. Заметим, что Т~1=Т*, так как матрица
Q(t) эрмитова. Элементы диагональной матрицы Q'(l), являющейся матрицей
собственных значений для Q(/), представляют собой величины, имеющие
физический смысл отношения мощности сигнала к суммарной мощности
сигнала и помехи наблюдаемого процесса z'(i) при /=/, поэтому условие
|ХТ|<1, как и в первом случае, выполняется.
Для проверки выполнения условия \К\<.1 для коррелированного
во времени сигнала используем пример, приведенный в разделе 2 для /to=l.
В этом 2 случае матрица Q(/) вырождается в число, которое равно (?(/)=
= Г(/)а
Были также проведены численные расчеты Хр для ло=3 и ковариа-
ковариационных матриц следующего вида:
\+огмЪрг].Ь„; р, л=Г7Ж.
Результаты расчета показали, что 0<Хр<1; зависимость Хр от / в большей
степени проявляется при сильной временной корреляции сигнала (то есть
для малых а). В табл. П2 приведены результаты расчета для а=10~г
p=V= 10~3.
Таблица П2
Собственные значения "Кр матрицы Q(l)
p
oF-i
2
^„,=10
trc=10
^,= 10"'
233

Окончание табл. П.2
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
4,28-10-'
1,99-103
6,67-10-*
3,03-10"'
1,99-10-'
6,66-10-*
2,38-10-'
1,98-10-'
6,64-10-*
7,44-Ю-3
1,96-10
6,44-Ю-6
7,39-10
2,00-10
6,31-10-6
7,34-10~3
1,85-10
4,89- Ю-6
9,87-10-'
1,66-10-'
6,25-10
7,10-10-'
1,43-10-'
5,89-10
6,86-10-'
1,26-10-'
5,57-Ю-2
Результаты расчетов для более широкого диапазона исходных данных не
противоречат условию |Я,|<1. Это позволяет предположить, что указанные
условия выполняются в общем случае.
Учитывая выражения B.4.5) и B.4.6), получим:
Приложение ПЗ
ВЫВОД СООТНОШЕНИЙ ДЛЯ МАТРИЦЫ Ф,(/, /— 1).
Вектор суммы сигналов и помех, поступающих иа систему обработки,
(П.3.2)
Матрица Ф|(/, /—1) входит в уравнение состояния дискретного процесса *(/):
*(/)=ф,(/, /_1)*(/_1)-|-Г(/— 1)(о(/— 1). (П.3.3)
Умножив обе части этого уравнения справа на хтA—1) и выполнив статис-
статистическое усреднение, получим
КспA, /-1)=Ф,(/, 1-\)КспA-\, 1-\). (П.3.4)
Умножив справа левую часть (П.3.2) иа /(/—1), а правую —на транспони-
транспонированную правую часть (П.3.1), имеем:
(П.3.5)
/— 1).
Из соотношения (П.3.4), (П.3.5) следует формула B.4.20) для Ф](/, /— 1).
Аналогичным образом могут быть получены формулы B.4.25) и B.4.26) для
Фо(/, /-1).
234

Приложение П4
ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОЙ ПЕРЕХОДНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕПРЕРЫВНОГО ФИЛЬТРА ОБНАРУЖЕНИЯ
Взяв от обеих частей B.5.11) производную по т, получим:
т
${[<(тN(т, h)+Nn(T)b'(T, t2)][b(h, т,)ЛГДт)+
0
т т
+ \b(t2, t,)-K<(tu T,)d<,])d<2+J[Arn(TN(T, h)b(h, т)Х
о о
ХКс(т, T,)]dt2=K'c(T, т,).
Правая часть (П.4.1)
Кс(т, т,)= ^-?[Я(т)х(т)/(т|)Я*(т1)], т,<т,
с учетом B.5.3) преобразуется к виду
К'р:, Т1)=[Я*(т)+Я(т)/7(т)Я-1(т)/(<;(т, т,). (П.4.2)
При получении (П.4.2) полагалось, что Я~'(т) существует; если Я(т)
ие является квадратной матрицей, то Я~'(т) следует рассматривать как
квазиобратную матрицу. Полагая, что Nn также существует, получим,
умножив обе части (П.4.1) на Na (т) слева:
т
(Т)#п (т)Й(т, <г)+6'(т, JC2)][6(<2, Tl)A^n(T|) +
Т т
\b(t2, U)Kc(t\, i)dt2+ \[b(i, t2)b{t2, т) х
о о
, т,)]Л2=Л/~1(т)[Я*(т)+Я(т)]Я-|(т)/Сс(т, Ti). (П.4.3)
Подставив в правую часть (П.4.3) вместо Кс(т, ti) левую часть B.5.11),
приходим к соотношению:
т
5 \[Ь'(т, и)-ф)Ь(т, U)][b(U, т,)ЛГ„(т,)+
о
(П.4.4)
+ \b(U, U)Kc(ti, i:{)dt}\dU+W{x)Kc^, т,)=0,
где 7
Г(т)= Ju(t, U)b(U, i)dt2;
о
235

Подставив в (П.4.4) выражение для Kc(t, ti) из B.5.11), приходим
к выражению B.5.12).
Приложение П5
ЦЕПИ МАРКОВА С ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ МАТРИЦАМИ
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПЕРЕХОДОВ
Анализ многосвязных цепей Маркова в настоящее время производится
по методике В. И. Романовского путем перехода к эквивалентной простой
цепи с Lm состояниями, где L — число состояний исходной цепи и т —
ее связность [51]. Рассмотрим метод анализа подобных цепей иа основе
пространственных матриц [56].
Начнем изложение на примере двухсвязной цепи Маркова (т=2).
Тогда Pijk есть вероятность перехода на л-м шаге в состояние а*, если на
п—1 шаге система находилась в состоянии а/, а на п—2 — в состоянии а,.
Пусть имеется всего два состояния (L=2): ai и аг- Тогда имеем
восемь (Z."+'=23=8) вероятностей перехода рии рт, pm, P122, ргп, рг\г,
Р221, р222- Геометрически указанные восемь вероятностей можно представить
в виде пространственной матрицы (см. рис. П5.1). Метод Романовского при-
привод бы к матрице размером 8X8. Если имеется три состояния (ei, аг и
аз), то имеем уже (Зя+1=33=27) двадцать семь вероятностей, которые в виде
пространственной матрицы представлены на рис. П5.2.
Метод Романовского привел бы к матрице размером 27X27.
Матрицу на рис. П5.1 можно представить в виде двух граней:
Pill Pi 12
Pl2l Pl22
P2I1 Р212
Р221 Р222
п
9J-
(П5.1)
Каждая грань отражает зависимость перехода от л—2 шага.
Матрица вероятностей переходов, представленная на рис. П5.2, мо-
может быть представлена в виде трех граней, каждая из которых является
стохастической матрицей размером 3X3 (L=3), т. е.
(П5.2)
Матрицу вероятностей переходов с т^З геометрически представить
невозможно: ее можно представить в виде таблицы. При L=2 и т=3
имеем 24=16 вероятностей, которые можно представить в виде
рш
Р121
Р131
Р112
PlC2
Pl32
риз
Pl23
pl33
P211
p221
P231
p212
P222
P232
P2I3
P223
P233
рзп
p321
P33I
P321
i>322
P322
Р313
р323
рззз
Pllll
Р1121 Р1122
Pi 2i I P1212
Р1221 Р1222
Р2111 Р2112
Р2121 Р2122
Р2211 Р2212
Р2221 Р2222
(П5.3)
236

I
4.*
'-—\C
Рис. П.1. Кубическая матри-
матрица цепи с двумя состояни-
состояниями
П31 ' V-
Рис. П.2. Кубическая матрица цепи с тремя
состояниями
Метод Романовского привел бы к матрице размером 16X16.
Определим единичную пространственную матрицу (П5.1) как соот-
соответственно для матриц (П5.1) и (П5.2)):
/=
1
0
—
0
1
1
0
0
1
—
/=
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
0
1
(П5.4)
Для получения вероятностей перехода за несколько щагов необхо-
необходимо ввести произведение пространственных матриц. Учитывая, что р;,-*=
=p{ak/aiaj\, и применяя формулу полной вероятности, получим следующее
237

определение произведения пространственных матриц (для т=2):
(П5.5)
или 2
р = 2p,,vp/v*. (П5.6)
Для т=3 определения (П1.5) и (П1..6) имеют соответственно вид
р^щ/сц, а,-, ak}= Sp{a,/ai, ah ak}-p{ai/at, ak, av} (П5.7)
v
или
Pjiki= Spytv-prtvi. (П5.8)
v
Заметим, что определения (П5.5) —(ПК.8) корректны (произведения
могут быть выполнены) только тогда, когда i, j, k, la\,L, т. е. число гра-
граней равно числу строк и столбцов.
Нетрудно проверить, что определения (П5.5) — (П5.8) приводят к мат-
матрицам, являющимся стохастическими, т. е. сумма вероятностей всех строк
всех граней равна единице. Например, [см. (П5.1), (П5.5) и (П5.6], имеем:
2 2
P21,=P2U-PlU+P212-Pl2i; P2,2=P211-P112+P212-P122;
2 2 A11.9)
Р\Р)к)
Для простых цепей Маркова, описываемых обычными (плоскими)
матрицами, справедливы прямое и обратное уравнения Колмогорова и урав-
уравнение Чепмен-Колмогорова [29]:
рп==рЛ-1.р=р.рЛ-1==рл-».рт (т==0,ЛО. (П5.10)
Рассмотрим, какому уравнению подчиняются пространственные матри-
матрицы с произведением, определенным (П5.5) — (П5.8) из формулы полной
вероятности.
Формула (П5.6) (ее левая часть) показывает, что переходная вероят-
вероятность за два шага может быть представлена в виде
Для получения вероятности перехода за три шага формула (П5.5)
примет вид
Чг Я~Ь2 . л—2 л — 1. _ I я I п—2 п—К о» п~2 . п—1 п—1. |Г1Г, - _.
p3{ak /at , а. )= SpjcT/a,. , а, }р2{а* /a, , a, !• (П5.12)
Матричный вариант (П5.12) имеет вид
Р3=Р-Р2.
Вариант р3—р2-р несправедлив, так как выражение (П5.12) приняло
бы вид
, л+2 п—2 п—\ у , п+1 и—2 л+2 "—2 *+1, ,пс. . „,
ръ{ак /в. , a. )= ip2{av ,/a. )p{aft /а, , а/ }, (П5.13)
что невозможно.
Аналогично доказывается, что Р*=Р-Р3, Р5=Р-Р* и т. д. Таким обра-
образом, можно сделать вывод, что многосвязные цепи Маркова, имеющие модели
в виде пространственных матриц, подчиняются только обратному уравнению
Колмогорова, т. е.
238

p»_p.p»-i (П5.14)
Уравнение (П5.14) является основным уравнением многосвязных цепей
Маркова, позволяющим рассчитывать вероятности перехода за любое число
шагов п(п^\).
Классифицируем многосвязные цепи Маркова. Многосвязная цепь
Маркова называется поглощающей, если ее матрица вероятностей перехо-
переходов имеет вид (для L=2 н т=2, и т=3) соответственно:
Я=
qo
0
Pi
1
9i
0
Pi
1
qo
9i
0
Po
Pi
0
ro
1
qi
93
0
Pi
Рз
0
r2
Гз
1
94
95
0
P4
Pb
0
r4
p-
1
(П5.15)
Многосвязная цепь Маркова называется регулярной, если ее матрица
f^l) при некотором к не будет иметь нулевых элементов. В частности,
регулярной будет цепь с матрицей переходных вероятностей вида (Z.=2, m=2)
Я=
Ро
qi
Pi
Рз
(П5.16)
Учитывая определения (П5.3) и (П5.6), получим произведение PI.
Пусть Р является регулярной цепью Маркова и имеет вид (П5. К>).
Тогда PI равно
(П5.17)
(П5.18)
(П5.19)
qopo
<7iPi
qipi
qzPi
1 0
0 1
1 0
0 1
qopo
q\P\
qWi
qsP3
т. e. Pl=P.
Переставляя местамн сомножители, получим
IP
1 0
0 1
1 0
0 1
q\P\
qopo
qipi
q2p2
qspa
=
qopo
дзрз
qopo
qsPi
т. e.
1РФР.
Для поглощающих цепей Маркова равенства (П5.17) — (П5.20)
представимы в виде (для Z.=2 и тп=3)
Для поглощающих цепей Маркова (П5.17) — (П5.20) представим в виде
(для 1=2 и т=3)
(П5.21)
239
9oPo
0 1
9.Pi
О Г
1
0
0
1
1
0
0
1
<?opo
0 1
9i
0
Pi
1
т. е.

IP=
1
0
0
1
1
0
0
1
Чо
0
Po
1
<7i
0
Pi
1
qopo
0 1
0
Po
1
(П5.22)
(П5.23)
1РфР.
Равенства (П5.17) — (П5.24) справедливы для любых L н т. Таким
образом, приходим к следующему выводу: для многосвязных цепей Маркова
существует только правая единица.
Заметим, что если соответствующие элементы в разных гранях равны
(есть статистическая зависимость только от прошлого шага), то, простран-
пространственные матрицы «вырождаются» в плоские.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
Список сокращений 5
1.
ОБЩИЕ ПОДХОДЫ
К ОБРАБОТКЕ И РАСПОЗНАВАНИЮ
БИНАРНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ
1.1.
Бинарные изображения 6
1.2.
Задачи обработки
бинарных изображений 11
1.2.1.
Формирование
бинарных изображений , . 12
1.2.2.
Кодирование
бинарных изображений 15
1.2.3.
Фильтрация
бинарных изображений . 15
1.3.
Сведения из теории
дискретных- цепей Маркова 16
1.4.
Основные подходы
к решению задач срыва
слежения конечного автомата 20
2.
ОБНАРУЖЕНИЕ
СТОХАСТИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ,
ЗАДАННЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЙ
2.1.
Введение 23
2.2.
Синтез алгоритмов обнаружения
стохастических сигналов,
заданных
в пространстве состояний 25
2.3.
Анализ рекуррентного
алгоритма обнаружения 32
2.4.
Рекуррентные алгоритмы обнаружения
стохастических сигналов
в пространстве состояний
на фоне коррелированных
помех и шумов 36
241

2.5.
Синтез фильтров обнаружения
стохастических сигналов в пространстве состояний
для непрерывного времени 43
2.6.
Рекуррентный алгоритм
многоальтернативного обнаружения
стохастических сигналов
в пространстве состояний 50
3.
ОБРАБОТКА БИНАРНЫХ СЦЕН
В ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ОБЛАСТИ
3.1.
Введение 57
3.2.
Необходимые сведения
из теории многошаговых процедур
принятия решений 58
3.3.
Подавление шумов 68
3.4.
Обнаружение
пространственно распределенных
объектов 71
3.5.
Выделение
нодозрительиых областей сцены
по признаку наличия сгущений 77
3.6.
Селекция на площади 80
3.7.
Двухпороговые
алгоритмы фильтрации
с заполнением окна 85
3.8.
Согласованная фильтрация
бинарных изображений 94
3.9.
Анизотропные
пеленгационные фильтры
бинарных изображений 99
3.10.
Математические модели
и вероятностная эффективность
бинарных медианных фильтров
и их обобщений 102
3.11.
Вероятностная эффективность
логических комбинаций
бинарных медианных
и процентильных фильтров 109
242

3.12.
Синтез математических
моделей алгоритмов обнаружения
пространственно-протяженных объектов
при описании бинарной сцены
сложными цепями Маркова 111
3.13.
Вероятностная эффективность
алгоритмов сглаживания
бинарных изображений 119
4.
МЕТОДЫ КОНТУРНОГО АНАЛИЗА
В ЗАДАЧАХ РАСПОЗНАВАНИЯ
ИЗОБРАЖЕНИЙ ПО ИХ ФОРМЕ
4.1.
Вводные замечания 122
4.2.
Способы кодирования
контуров изображений 124
4.3.
Линейные пространства
контуров изображений 132
4.3.1.
Сравнение свойств
пространств элементов кода 132
4.3.2.
Линейные пространства
вектор-контуров 135
4.3.3.
Особые свойства
скалярного произведения
в пространстве Ск 141
4.4.
Преобразования и свойства
комплекснозначных
моделей контура 144
4.5.
Формирование
признаков изображений
по кодам их контуров 146
4.5.1.
Получение признаков
по статистическим характеристикам
кода первой разности 146
4.5.2:
Определение характеристик
формы изображений 149
4.6.
Распознавание изображений
с сильной вариабельностью
формы по их контурам 153
243

4.6.1.
Характер группировки
точек изображений
относительно точки
эталонного изображения 153
4.6.2.
Синтез классификатора
изображений с сильной
вариабельностью формы
на базе полиномиальной
модели контура 156
4.6.3.
Классификатор изображений
с сильной вариабельностью формы
иа базе марковской
модели контура 160
4.7.
Обнаружение и прослеживание
контуров бинарных изображений . . 162
4.8.
Прослеживание
прямолинейной границы изображения
иа многоградациоином фоне 172
4.8.1.
Марковская модель
процесса прослеживания 172
4.8.2.
Методика решения
задачи прослеживания
прямолинейной границы изображения 175
4.9.
Специальные операции
с контурами изображений 179
4.9.1.
Стандартизация кода контура 179
4.9.2.
Эквализация кода контура 181
5.
СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ
КОНТУРОВ ИЗОБРАЖЕНИЙ
5.1.
Постановка задачи 183
5.2.
Контурный
согласованный фильтр
и механизм его работы 184
5.3.
Свойства контурных
согласованных фильтров 188
244

5.4.
Прохождение
широкополосного шума
через контурный
согласованный фильтр 194
5.4.1.
Модель шума 194
5.4.2.
Корреляционная функция
и дисперсия
выходного процесса 195
5.4.3.
Корреляционный момент
вещественной и мнимой частей
шумового выходного
вектора КСФ 197
5.4.4.
Плотность распределения
вероятности шума
иа выходе КСФ 198
5.5.
Прохождение
зашумлениого вектор-контура
через КСФ 202
5.5.1.
Модель зашумлеиного ВК 202
5.5.2.
Корреляционный момент
вещественной и мнимой частей
зашумленного выходного вектора КСФ 202
5.5.3.
Плотность распределения
вероятности зашумленного
выходного вектора КСФ 204
5.6.
Эффективность подавления
широкополосных шумов
контурным согласованным фильтром 208
5.7.
Статистические
характеристики нормы
шумового вектор-контура 210
5.7.1.
Распределение
вероятностей нормы
шумового вектор-контура 210
5.7.2.
Анализ распределения
вероятностей нормы
шумового вектор-контура 212
245

5.8.
Анизотропная бинарная фильтрация
и комплексное кодирование
при обнаружении
движущихся объектов 216
5.9.
Факторы, ограничивающие
применимость методов
коитуриого анализа 221
ЛИТЕРАТУРА 225
Приложение П1. Вывод разностного уравнения для импульсной пере-
переходной характеристики дискретного фильтра обнаружения 231
Приложение П2. Оценка выполнения условия существования дискрет-
дискретного фильтра обнаружения 232
Приложение ПЗ. Вывод соотношений для матрицы <X>i(l, I— 1) . . . . 234
Приложение П4. Вывод уравнения, для импульсной переходной характе-
характеристики непрерывного фильтра обнаружения 235
Приложение П5. Цепи Маркова с пространственными матрицами веро-
вероятностей переходов 236

БИБЛИОТЕКА
программных модулей для решения типовых задач
обработки изображений «Imageproc»
Назначение и области применения
Библиотека «Imageproc» предназначена для создания i
ее базе различных программных систем, предполагают.)
ввод, обработку и архивацию полутоновых изображений i
ПЭВМ типа IBM PC/AT.
В библиотеку включены модули для решения типов*
часто встречающихся задач обработки изображений, что по
воляет ее использовать для различных областей применени
Краткое описание
Библиотека состоит из объектных модулей, написание
на языках «Микроассемблер» и «Турбо-Паскаль». Алгоритм
ческая основа модулей и их программная реализация орие
тирована на обеспечение максимальной производительности
архитектуре IBM PC.
В библиотеке присутствуют модули ввода-вывода изобр
жений через стандартные периферийные устройства, модул
обеспечивающие улучшение качества изображений (разн
образные фильтры), яркостную коррекцию, геометрическ
преобразования и модули анализа изображений.
Библиотека удобна для создания различных прикладш
систем, значительно упрощает труд программиста и ускоря
работу персональных рабочих станций.
Библиотека может быть использована как специалиста!
в области цифровой обработки изображений, так и непр
фессионалами в этой области.
Адрес: 117900, ГСП-1, г. Москва, ул. Вавилова, 30/6
Телекс: 411853, INFO SU
Тел. 234-22-86

Научное издание
ФУРМАН ЯКОВ АБРАМОВИЧ
ЮРЬЕВ АРТУР НИКОЛАЕВИЧ
ЯНШИН ВАЛЕРИЙ ВЛАДИМИРОВИЧ
ЦИФРОВЫЕ
МЕТОДЫ
ОБРАБОТКИ
И РАСПОЗНАВАНИЯ
БИНАРНЫХ
ИЗОБРАЖЕНИЙ
Редактор Н. Ф. Ткачук
Художественный редактор Е. В. Масловский
Технический редактор Н. В. Козлова
Корректор Т. В. Бусовцева
ИБ № 674
Сдано в набор 25.07.91. Подписано в печать 23.04.92. Формат 60X84/
Бумага тип. № 3. Гарнитура литературная. Печать офсетная. Усл. п
л. 14,41. Уч.-нзд. л. 12,84. Заказ 116. Тираж 500 экз.
Издательство Красноярского университета
660049 Красноярск, пр. Мира, 53
Полиграфическо-редакцнонное объединение Мининформпечати
Республики Марий Эл. 424700 Йошкар-Ола, ул. Комсомольская, 112