/
Автор: Ильин В.Н.
Теги: электротехника компьютерные технологии электроника машиностроение электросхемы издательство энергия
Год: 1972
Текст
МАШИННОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
В. Н. ИЛЬИН
МАШИННОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ
СХЕМ
в. н. ИЛЬИН
МАШИННОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ
СХЕМ
«ЭНЕРГИЯ»
МОСКВА 1972
6Ф7
И 45
УДК 621.396.6:681.3
Ильин В. Н.
И 45 Машинное проектирование электронных схем.
М., «Энергия», 1972.
280 с с. ил.
В книге сделана попытка обобщить и систематизировать материа¬
лы по машинному проектированию электронных схем. Последовательно
излагаются общие сведения о машинном проектировании, математиче
ские модели активных и пассивных компонентов электронных схем, ме-
тоды автоматического составления уравнений схем, методы детермини¬
рованного и статистического анализа схем и их оптимизации по детер¬
минированным и статистическим критериям. Книга рассчитана на
инженеров по радиоэлектронике и вычислительной технике, а также
может быть полезна студентам и аспирантам соответствующих спе¬
циальностей.
Валерий Николаевич Ильин
Машинное проектирование электронных схем
Редактор В. Т. Фролкин,
Редактор издательства Е. Н. Сальников
Переплет художника В. И. Карпова
Технический редактор Н. А. Галанчева
Корректор И. А. Володяева
Сдано в набор 15/ХI 1971 г. Подписано к печати 6/IV 1972 г. Т-06729
Формат 84X108732 Бумага типографская № 2 Уел, печ. л. 14,7
Уч.-изд. л. 15,51 Тираж 12 000 экз. Зак. 444 Цена 90 коп.
Издательство „Энергия". Москва, М-114, Шлюзовая наб., 10.
Московская типография № 10 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР,
Щлюзовая наб., 10,
ПРЕДИСЛОВИЕ
Машинное проектирование электронных схем — не¬
давно возникшая область науки и техники. Стимулом
для ее развития являются потребности микроэлектрони¬
ки, научной основой — теория электрических цепей и вы¬
числительная математика, а технической базой — элек¬
тронные, главным образом цифровые вычислительные
машины (ЦВМ). Сложность и высокая стоимость про¬
цессов конструирования и производства .микроэлектрон¬
ных схем, невозможность осуществления при эксплуата¬
ции ремонтных работ определяют низкую эффективность
традиционных аналитических методов «ручного» проек¬
тирования. Это объясняется тем, что «ручной» расчет,
как .правило, основан на ряде упрощающих допущений,
существенно снижающих его точность и предполагает
необходимость дополнительной настройки и регулировки
схемы после ее изготовления. Однако поскольку регули¬
ровка изготовленной интегральной схемы практически
невозможна, то погрешности «ручного» расчета .приводят
к значительному количеству |брака и необходимости
поиска оптимальных параметров методом «проб и оши¬
бок», обычно неприемлемым из-за 'больших затрат
средств и времени на перестройку технологического про¬
цесса производства интегральных схем.
Машинное проектирование позволяет существенно
повысить точность расчета схемы, а также найти ее опти¬
мальные параметры с учетом их статистических характе¬
ристик и тем самым существенно снизить процент брака
и стоимость производства схемы. Кроме того, примене¬
ние ЦВМ значительно ускоряет процесс проектирования
схемы.
В настоящее время в машинном проектировании схем
образовалось три направления, отличающихся ,по исполь¬
зуемым .методам: проектирование линейных схем, проек¬
тирование нелинейных схем и проектирование межсоеди¬
нений в схемах. Данная книга посвящена второму
направлению, сравнительно мало освещенному в лите¬
ратуре — проектированию нелинейных схем, работаю¬
щих -в режиме переключения и составляющих в Настой*
щее время основную часть интегральных схем. Специфи¬
ка расчета нелинейных схем обусловлена применением
нелинейных моделей компонентов и сказывается главным
образом на таких этапах, как расчет статического ре¬
жима, где необходимо решать системы нелинейных
алгебраических уравнений, и расчет переходных процес¬
сов, где используются нелинейные дифференциальные
уравнения.
Книга может служить введением в проектирование
нелинейных схем с помощью цифровых вычислительных
машин. (Применение для проектирования схем аналого¬
вых машин, обладающих по сравнению с ЦВМ меньши¬
ми логическими и информационными возможностями,
носит дока ограниченный характер ,и в книге не рассма¬
тривается. Книга состоит из -четырех .глав.
В гл. 1 рассмотрены математические модели компо¬
нентов электронных схем и изложены основные требо¬
вания к ним. Не претендуя на строгость изложения,
автор прежде всего преследовал цель дать читателю до¬
статочно полное представление о наиболее распростра¬
ненных типах моделей, используемых в машинном проек¬
тировании, их особенностях и недостатках. Следует
отметить, что большинство рассмотренных моделей пред¬
назначено для расчета схем и не может .полностью удов¬
летворить специалистов по 'проектированию самих компо¬
нентов, интересующихся обычно не электрическими,
а электрофизическими и конструктивно-технологически¬
ми параметрами компонентов.
В гл. 2 изложена методика автоматического состав¬
ления уравнений схем на ЦВМ, отличающаяся тем, что,
во-первых, позволяет анализировать схемы с произволь¬
ным типом нелинейностей, в том 'числе с нелинейными
активными компонентами, не управляемыми токами и
напряжениями реактивных компонентов, и, во-вторых,
допускает замену математических моделей компонентов.
В гл. 3 рассмотрены методы численного анализа ста¬
тического режима, переходных процессов и статистиче¬
ских характеристик схем по уравнениям, составленным
как «вручную», так и автоматически. Освещены вопросы
устойчивости численных методов.
В гл. 4 изложены регулярные и статистические ‘мето¬
ды оптимизации схем по детерминиро'ванным и статисти¬
ческим критериям. В частности, рассмотрены вопросы
4
оптимизации контрольных параметров (тестов) схем,
ранее мало освещенные в литературе.
Уровень изложения' книги рассчитан ’на инженеров
по радиоэлектронике, желающих овладеть методами
проектирования электронных схем с использованием
ЦВМ, поэтому математические доказательства исполь¬
зуются лишь в той мере, в какой они необходимы для
понимания прикладной стороны численных методов.
Вместе с тем автор надеется, что книга может быть по¬
лезной для специалистов в области прикладной матема¬
тики, поскольку в ней изложена постановка вычисли¬
тельных задач применительно к практическим нуждам
радиоэлектроники, что в свою очередь должно стимули¬
ровать развитие теории.
,В книге сделана одна из первых в отечественной
литературе попыток обобщения широкого круга материа¬
лов по современной теории электрических цепей, вычис¬
лительной математике, программированию, полупровод¬
никовой электронике и радиоэлектронике, представ¬
ляющих интерес для решения задач машинного
проектирования. Часть этих материалов была опублико¬
вана в отечественных и зарубежных периодических изда¬
ниях и сборниках статей. Ряд материалов освещался на
различных семинарах и конференциях. Книга содержит
также некоторые результаты, полученные автором в про¬
цессе 'работы над задачами машинного проектирования.
В гл. 4 (§ 4-4, п. В) использованы ранее не опублико¬
ванные материалы, любезно предоставленные автору
В. М. Землянским.
В работе над рукописью большую помощь автору
оказали его товарищи по работе Е. М. Литкенс,
Н. Ю. Камнева, С. М. Кожухова, Т. Л. Лаврова,
В. И* Неплехович. Всем им автор приносит глубокую
благодарность.
Автор особенно признателен рецензенту книги канд.
техн. наук Е. А. Глузбергу и научному редактору докт.
техн. наук, проф. В. Т. Фролкину, чьи советы и критиче¬
ские замечания во многом способствовали улучшению
изложения материала. Новизна предмета изложения <не
позволяет надеяться, что книга свободна от недостатков
и спорных мест, поэтому автор будет благодарен чита¬
телям за все замечания и пожелания, которые нужно
присылать по адресу: Москва, М-114, Шлюзовая наб. 10,
изд-во «Энергия», редакция литературы по автоматике.
5
ВВЕДЕНИЕ
Одной из важнейших задач, возникающих при проек¬
тировании новых радиоэлектронных устройств, является
уменьшение сроков и стоимости (проектирования.
Большие сроки проектирования приводят к тому, что
проектируемое устройство морально устаревает еще до
того, как оно изготовлено, а высокая стоимость 'Проек¬
тирования делает нерентабельным всякое мелкосерийное
производство. Задача ускорения и удешевления проек¬
тирования особенно актуальна для микроэлектронных
схем в связи с быстрым ростом требований к их пара¬
метрам и расширением областей их применения.
Одним из основных средств ускорения и удешевления
проектирования является использование средств вычис¬
лительной техники на всех этапах проектирования, на¬
чиная с исследования новых физических или технологи¬
ческих процессов и кончая изготовлением новых радио¬
электронных устройств с использованием этих процес¬
сов.
Проиллюстрируем возможности использования ЦВМ
на основных этапах исследования и применения новых
физических процессов (рис. В-1).
При открытии нового явления основная роль принад¬
лежит человеку, его опыту, знаниям, способностям. Роль
ЦВМ на этом этапе является пока вспомогательной и
сводится к сравнительному анализу исследуемых процес¬
сов. Человек выбирает определенную стратегию в изуче¬
нии и сопоставлении множества факторов и ситуаций,
а успех исследования зависит от близости выбранной
стратегии к оптимальной. В этом смысле наибольшую
помощь человеку могут оказать ЦВМ, работающие по
эвристическим программам. Известное шахматное состя¬
зание советской и американской ЦВМ по этим програм¬
мам может служить примером выбора эффективной ква-
зиоптимальной стратегии игры. Однако разработки
эффективных эвристических программ находятся пока
еще в начальной стадии.
Более широко ЦВМ применяются на этапе изуче¬
ния новых процессов, помогая быстрее и глубже понять
6
Рис. В-1. Блок-схема основных этапов проектирования радиоэлек¬
тронных устройств и систем.
их суть и оценить возможности практического примене¬
ния. В частности, ЦВМ играет роль «большого арифмо¬
метра» в решении математических уравнений, описываю¬
щих процессы. В связи с многообразием физических
процессов, методов их описания и возникающих при этом
задач сколько-нибудь универсальных программ для авто¬
матизации этого этапа пока не существует. Минимально
необходимой степенью автоматизации здесь можно счи¬
тать разработку стандартных программ для решения ,
определенных классов математических уравнений.
После того, как явление изучено, наступает этап
его использования в практических устройствах. Под
устройством будем понимать радиоэлектронную схему,
занимающую низшую ступень в иерархической цепи: си¬
стема— блок — узел — каскад (модуль). На этом этапе,
который назовем этапом синтеза, главная роль так¬
же принадлежит человеку; его знания, опыт и интуиция
определяют построение основных связей и тем самым
принцип действия устройства. ЦВМ здесь может исполь¬
зоваться как библиотека сведений о сходных функцио¬
нальных устройствах.
Имеющиеся методы синтеза устройств, главным обра¬
зом линейных, пока еще не поддаются алгоритмизации и
программированию, так как не дают однозначного реше¬
ния и требуют обязательного вмешательства человека
для выбора оптимальных вариантов.
После разработки на этапе синтеза схемы связей и
компонентного состава устройства наступает этап из¬
готовления опытного образца с использованием не¬
посредственного макетирования или математического
моделирования устройства.
Оптимальная степень сочетания этих двух методов
является весьма сложной проблемой, зависящей от ком¬
плекса конструкторско-технологических и эксплуата¬
ционных факторов, и рассмотрение ее выходит за рамки
данной книги. Укажем только, что, например, при про¬
изводстве интегральных схем эффективность математи¬
ческого моделирования определяется в первую очередь
наличием достаточно точных и удобных в обращении
моделей активных компонентов.
Этап анализа новой схемы включает натурные
измерения выходных параметров (в случае макета) или
их расчет на ЦВМ (в случае модели). Модель имеет тол
преимущество, что расчету могут быть подвергнуты па¬
раметры, которые нельзя непосредственно измерить на
макете из-за недоступности точек измерения, что обычно
имеет место в интегральных схемах. Использование мо¬
дели позволяет осуществить анализ предельных режи¬
мов, физическая реализация которых опасна для макета,
а также провести анализ статистических характеристик
устройства и 'прогнозирование их изменения, например,
при старении компонентов. В настоящее время разрабо¬
тан и успешно применяется ряд программ автоматиче¬
ского' анализа моделей электронных устройств.
По результатам анализа делается вывод о соответст¬
вии устройства заданным условиям работоспособности,
а также осуществляется количественная оптими¬
зация параметров устройства, заключающаяся в изме¬
нении численных значений параметров в соответствии
с программой оптимизации. Программы количественной
оптимизации разработаны в настоящее время меньше,
чем программы анализа.
Использование ЦВМ на всех этапах моделирования
анализа и оптимизации параметров оказывается особен¬
но эффективным в отношении экономии средств и вре¬
мени. Примером может служить разработка новых
интегральных схем (ИС), специфика технологии кото¬
рых, рассчитанная на групповое производство, обуслов¬
ливает весьма высокую стоимость и длителыное время
изготовления каждого опытного образца. Для доводки
опытного образца до промышленного изделия методом
макетирования требуется целая серия изменений пара¬
метров ИС, каждое из которых равносильно изготовле¬
нию нового типа ИС из-за изменения фотошаблонов и
технологических режимов. Моделирование на ЦВМ по¬
зволяет избежать этого и провести машинный экспери¬
мент над математической моделью ИС с учетом нели¬
нейности характеристик, разброса параметров компо¬
нентов и т. д., а также определить их оптимальные
параметры.
Если оказывается, что для заданной структурной схе¬
мы устройства невозможно выполнить условия работо¬
способности в практически реализуемом диапазоне изме¬
нения компонентов, то необходима структурная
оптимизация, заключающаяся в изменении связей,
а иногда и принципа действия устройства. На этом
этапе, так же как на этапе синтеза, пока основная роль
принадлежит опыту и знаниям человека. Имеющиеся
9
программы структурной оптимизации основаны большей
частью на переборе различных вариантов структуры
схемы и (не оптимальны по количеству затрачиваемого
на оптимизацию времени.
После того как устройство прошло проверку на соот¬
ветствие условиям работоспособности, наступает этап
составления технической документации,
называемый также этапом конструкторского
проектирования. На этом этапе разрабатывается
схема размещения компонентов, трассировка соединений,
конструктивное оформление устройства и другие вопросы,
не затрагивающие принципиальной схемы. В настоящее
время имеются программы, весьма эффективно решаю¬
щие эти вопросы. Этот этап проектирования, по-видимо¬
му, больше остальных поддается автоматизации, и
в принципе здесь возможна полная замена человека вы¬
числительной машиной.
При производстве ИС способ размещения компонен¬
тов может оказать влияние на электрические характери¬
стики схемы из-за появления паразитных емкостных,
тепловых и других связей, В этом случае процесс проек¬
тирования итеративно повторяется.
Проектирование устройства завершается его про¬
мышленным изготовлением и занесением све¬
дений о нем в библиотеку. Такими библиотеками,
например, являются сейчас каталоги интегральных
схем. Однако применение информационных ЦВМ с боль¬
шим объемом памяти в качестве 'библиотеки устройств
должно существенно облегчить получение необходимой
информации и повысить ее эффективность. Конечной
стадией проектирования является создание системы на
основе разработанных устройств. Ряд этапов этого про¬
цесса близок к этапам проектирования устройств, однако
роль ЦВМ может отличаться от рассмотренной выше.
Этап синтеза состоит из последовательной разработки
блок-схемы системы, функциональной, логической и принципиальной
схем. Роль ЦВМ при синтезе блочной и функциональной схем по¬
ка носит лишь информационный характер и здесь, как и при син¬
тезе устройств, определяющими являются знание и способности че¬
ловека. Разработка логической схемы благодаря развитию методов
логического синтеза в ряде случаев может быть поручена ЦВМ.
Составление принципиальной схемы, определяемой выбранным типом
устройств, также может 'быть 'выполнено с использованием ЦВМ.
На этапе изготовления опытного образца еще большее
значение, чем при анализе устройств, имеют математические модели
системы, существенно более эффективные, нежели макет системы.
10
Этап анализа системы включает проверку временных диа¬
грамм функционирования системы, а также основных информацион¬
ных и энергетических параметров — быстродействия, мощности
и т. д. В настоящее время разработан и используется ряд программ
логического анализа для проверки логических и временных соотно¬
шений в системе.
В случае несоответствия этих соотношений заданным произво¬
дится изменение структуры системы, которое мЪжно считать ее
оптимизацией по критерию правильности ф у н к -
ц и о'.н и р о :в а н и я. Если имеется несоответствие информационных
или энергетических параметров заданным значениям, то может по¬
требоваться переход к устройствам другого типа.
Этап составления технической документации
на систему аналогичен подобному этапу при изготовлении устройств,
отличаясь лишь еще большей сложностью из-за необходимости рас¬
чета соединений между блоками, узлами и каскадами.
В процессе эксплуатации системы возможны катастрофические
отказы ее компонентов или отклонения выходных параметров от
нормы. Моделирование работающей системы на ЦВМ позволяет
осуществить прогнозирование, диагностику, а в ряде случаев и
устранение неисправностей включением резервных блоков.
Таким образом, рассмотренный процесс перехода от
открытия нового явления ik его практическому исполь¬
зованию в системе, который можно назвать проектиро¬
ванием систем, на многих этапах предполагает примене¬
ние ЦВМ. Поэтому под машинным проектированием
в широком смысле слова следует понимать любое при¬
менение ЦВМ при использовании новых явлений в прак¬
тических устройствах и системах.
Имеющиеся программы для машинного проектирова¬
ния электронных схем можно классифицировать следую¬
щим образом (рис. В-'2).
В общую -программу автоматического проектирова¬
ния должны входить составными частями программы
анализа, оптимизации и синтеза электронных схем.
Программы анализа по степени участия
человека в их работе могут быть разделены на
полуавтоматические, автоматические и пригодные для
анализа в реальном масштабе времени. Признаком полу¬
автоматической программы .является необходимость вво¬
да информации в ЦВМ в виде заранее составленных
вручную уравнений схемы. 'В связи с этим возможны
ошибки, круг пользователей программой ограничивается
лицами, умеющими составлять уравнения. Более совер¬
шенными являются автоматические программы анализа,
позволяющие автоматизировать процесс составления
уравнений по весьма простой входной информации
11
Рис. В-2. Классификация программ для машинного проектирова'
ния электронных схем.
о структуре схемы. Наконец, третьим типом -программ
анализа являются программы, ,предназначенные для об¬
щения человека с ЦВМ в реальном масштабе времени.
Особенностью этого типа программ является возмож¬
ность внесения изменений в схему, пользуясь экраном
электроннолучевой трубки и световым «пером», на ос¬
новании результатов текущего анализа схемы, отобра¬
жаемых на экране трубки. Эти программы в отличие от
двух первых типов являются наиболее перспективными
в отношении использования творческих возможностей че¬
ловека; при этом мысли человека непосредственно пере¬
водятся с экрана электроннолучевой трубки в ЦВМ на
язык машинных команд, минуя промежуточные стадии
составления новых уравнений, перфорирования карт
12
и т. д. Программы этого ти-па можно 'Считать програм¬
мами оптимизации и синтеза, в которых функции блоков
оптимизации и синтеза выполняет человек.
Полуавтоматические и автоматические программы
анализа могут быть -специализированными и универсаль¬
ными. Специализированные программы пригодны для
анализа отдельных типов схем и их характеристик, уни¬
версальные .программы в значительной степени свободны
от этого ограничения. Достоинством специализирован¬
ных программ является возможность их использования
на малых ЦВМ, имеющих небольшой объем памяти. Кро¬
ме того, специализированный характер программы по¬
зволяет более глубоко анализировать схемы данного ти¬
па, получать большее число специфических характери¬
стик этих схем. Универсальность программы достигается
обычно ценой увеличения объема памяти и потери ряда
возможностей, присущих специализированным програм¬
мам.
Использование универсальных программ является
наиболее 'целесообразным в тех случаях, ковда произво¬
дится разработка устройств или систем, включающих
комплекс схем различных типов, взаимосвязанных меж¬
ду собой, а также при работе в реальном масштабе вре¬
мени, когда возникает необходимость внесения сущест¬
венных изменений в структуру схемы.
По методам анализа программы можно разде¬
лить на две группы — программы, производящие анализ
схемы численными методами, на основе матричной алгеб¬
ры, и программы, производящие анализ символическими
методами, на основе теории сигнальных графов.
Программы могут быть пригодны для анализа только
линейных схем, или толдао нелинейных схем, или и тех
и других. Такое разделение обусловлено 'тем, что методы
анализа линейных и нелинейных схем могут быть су¬
щественно различны, особенно в части анализа переход¬
ных процессов, где для линейных схем предпочтение от¬
дается частотной трактовке, а для нелинейных— времен¬
ной.
Наконец, по характеру анализа программы
можно разделить на две группы —программы для детер¬
минированного анализа, определяющего неслучайные
значения выходных параметров, и программы дл.я стати¬
стического анализа, необходимые для получения гисто¬
грамм и других статистических характеристик выходных
13
параметров. Как правило, детерминированный анализ яв¬
ляется главной составной частью статистического анали¬
за, поэтому программы статистического анализа предпо¬
лагают обычно предварительный детерминированный
анализ. В настоящей книге рассматривается анализ не¬
линейных схем численными методами, являющимися бо¬
лее универсальными по сравнению с символическими.
Рис. В-3. Блок-схема типовс-й автоматической универсальной про¬
граммы анализа и оптимизации электронных схем.
В приведенную классификацию программ анализа не
включены программы расчета межсоединений схем. Ме¬
тоды расчета межсоединений существенно отличаются
математическим аппаратом от методов анализа электри-
14
ческих параметров и их рассмотрение выходит за рамки
настоящей книги.
.Программы оптимизации электрических па¬
раметров электронных схем «предполагают проведение
предварительного анализа схем, поэтому характер этих
программ определяется содержанием программ анализа
и их выходными данными.
,'По критериям о л т и ми з а ци и программы мож¬
но разделить на две группы: программы для оптимиза¬
ции по дет.ерминированным критериям, например по мак¬
симальному быстродействию, и .программы оптимизации
по статистическим критериям, например по -проценту вы¬
хода работоспособных 'схем.
По качеству оптимизации можно выделить
программы, -позволяющие найти локальный (частный)
экстремум и главный из локальных — глобальный экстре¬
мум.
Программы синтеза электронных схем, предна¬
значенные для поиска связей в схеме, обеспечивающих
заданный способ и качество ее функционирования, как
указывалось выше, ,в настоящее время еще не разрабо¬
таны.
(Перейдем к рассмотрению достаточно общего вида
автоматической программы .анализа и оптимизации элек¬
трических параметров нелинейной электронной схемы
(pitfc. iB-3).
Перед началом работы программы в ЦВМ вводится
исходная информация, содержащая сведения о связях
(топологии) схемы, об ее компонентном составе, о номи¬
налах компонентов и допусках, о том, -какие виды ана¬
лиза и оптимизации нужно произвести и по какому кри¬
терию оптимизировать схему. Эта информация состав¬
ляется вручную.
Далее программа работает автоматически. Вначале
ЦВМ на основе информации о топологии и компонент¬
ном составе схемы составляет уравнения, описывающие
ее статический режим и переходные процессы. Процесс
составления уравнений предполагает обращение к биб¬
лиотеке математических моделей активных и пассивных
компонентов схемы.
После составления уравнений производится анализ
статического режима схемы и анализ переходных про¬
цессов, возникающих под воздействием входного сигна¬
ла. Если на этапе составления уравнений из библиотеки
15
модели использовались лишь адреса модели, то на этапе
анализа происходит обращение к библиотеке моделей по
этим адресам с целью получения численных значений
параметров моделей (токов, напряжений и т. д.). Ре¬
зультатами анализа являются численные значения токов
и напряжений, играющих роль аргументов в уравнениях
схемы, причем эти значения известны для любого мо¬
мента времени.
Полученные значения поступают в блок обработки
результатов анализа. В зависимости от задания, содер¬
жащегося в исходной информации, в блоке обработки
производится какой-либо из следующих расчетов: расчет
выходных параметров схемы, например быстродействия,
мощности; расчет чувствительности, характеризующей
изменение выходного параметра при изменении какого-
либо компонента схемы, называемого в дальнейшем
входным параметром; расчет на наихудший случай, пред¬
ставляющий расчет выходных параметров при наихуд¬
шем сочетании допусков на входные параметры; расчет
гистограмм, обычно основанный на методе Монте-Карло
и предполагающий многократное повторение анализа
схемы для'случайных значений входных параметров, за¬
даваемых в блоке формирования случайных -чисел в со¬
ответствии с реальными статистическими законами рас¬
пределения этих входных параметров.
:На основании задания, содержащегося в исходной ин¬
формации, и данных, полученных в блоке обработки ре¬
зультатов анализа, производится выбор и расчет крите¬
рия оптимальности схемы. Таким критерием может быть
отдельное значение или комбинация выходных парамет¬
ров схемы, процент выхода работоспособных схем, про¬
цент взаимозаменяемых схем и ,т. д.
Далее производится проверка выбранного критерия
схемы на соответствие заданному значению или на экс¬
тремальность. Если этого соответствия нет, то в блоке
оптимизации производится процедура оптимизации, за¬
ключающаяся в изменении входных параметров схемы и
обработке получаемых при этом результатов на выходе
схемы 'в соответствии с заложенным в программу мето¬
дом оптимизации до тех пор, пока критерий оптималь¬
ности не .примет заданного или экстремального значения.
В результате расчета по этой программе можно опре¬
делить все основные оптимальные электрические пара¬
метры схемы, необходимые для ее изготовления. Прора¬
16
ботка принципиальной схемы устройства с помощью та¬
кой программы -позволяет существенно сгладить основ¬
ное противоречие при производстве интегральных схем
между высокой стоимостью и длительным временем их
проектирования, с одной стороны, и малосерийностью и
быстрым моральным старением, с другой стороны.
Объем библиотеки моделей компонентов схем и биб¬
лиотеки критериев оптимальности в значительной мере
определяет степень универсальности программы.
Практические программы могут >в той или иной части
отличаться от рассмотренной общей блок-схемы, однако
в них присутствуют основные ее части — библиотека мо¬
делей компонентов, блок составления уравнений, блок
анализа и обработки его результатов и блок оптимиза¬
ции.
Глава первая
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
КОМПОНЕНТОВ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
1-1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАТЕМАТИЧЕСКИХ
МОДЕЛЯХ КОМПОНЕНТОВ
А. ПОНЯТИЕ МОДЕЛИ. ВНУТРЕННИЕ И ВНЕШНИЕ
ПАРАМЕТРЫ МОДЕЛИ
Одним из центральных вопросов расчета и проекти¬
рования электронных схем двляется разработка матема¬
тических моделей активных и пассивных компонентов
схем. Этот вопрос приобрел особую важность в связи
с переходом от «ручных» методов расчета к более про¬
изводительным машинным, расширившим диапазон ре¬
шаемых задач и выдвинувшим поэтому более жесткие и
многообразные требования к моделям компонентов.
В общем случае под математической моделью объек¬
та обычно понимается любое математическое описание,
отражающее с требуемой точностью поведение реально¬
го объекта в реальных условиях.
Если объектом является активный компонент элек¬
тронной схемы, то его математической моделью будем
называть математическое описание связей между токами
и напряжениями, возникающими в компоненте в стати¬
ческом и динамическом режимах работы. В частности,
математическими моделями могут быть уравнения вольт-
2—444 17
амперных характеристик или дифференциальные уравне¬
ния переходных .процессов .в 'компоненте.
Математическую ,модель можно рассматривать ка/к
некоторый оператор, ставящий в соответствие системе
внутренних параметров объекта xh ...,хт совокупность
функционально связанных между собой внешних пара¬
метров ,г/ь ..г/п. Вид функциональной связи зависит от
принципа действия объекта, а содержание понятий
«внешних» и «внутренних» параметров объекта опреде¬
ляется его физической сущностью и способом использо¬
вания. В приведенном выше определении модели актив¬
ного компонента внешними параметрами являются
токи и напряжения, так как любая модель компо¬
нента в конечном счете предназначена для расчета схе¬
мы, а преобладающим методом расчета схем в настоя¬
щее время является расчет по токам и напряжениям.
Поэтому модель активного компонента, .в которой внеш¬
ние параметры не представляют собой токов и напряже¬
ний, нельзя считать законченной.
'Внутренними параметрами модели компо¬
нента могут быть его электрические, электрофизические
или конструктивно-технологические параметры. Электри¬
ческими будем считать параметры, определяемые только
при электрических измерениях. Такими параметрами мо¬
гут быть коэффициенты усиления, крутизна, входное и
выходное сопротивления и т. д. В некоторых случаях
электрическим параметрам вообще нельзя придать физи¬
ческого смысла, например, когда они являются коэффи¬
циентами достаточно сложных уравнений, описывающих
объект в виде «черного ящика». Обычно электрические
параметры являются функциями электрофизических и
конструктивно-технологических параметров, в связи с чем
целесообразно назвать последние первичными парамет¬
рами, а электрические — вторичными.
Выбор тех или иных параметров в качестве внутренних опре¬
деляется целью расчета схемы. Предприятия, выпускающие инте¬
гральные схемы, заинтересованы в определении оптимальных вели¬
чин электрофизических и конструктивно-технологических парамет¬
ров для получения (максимального процента выхода годных схем.
В качестве внутренних параметров в этом случае обычно выбира¬
ются геометрические размеры компонента, концентрация приме¬
сей, подвижность носителей заряда и т. д.
На предприятиях, потребляющих готовые компоненты, целью
расчета схемы является выбор вольт-ампер,ных характеристик ком¬
понента для получения оптимального электрического режима его
эксплуатации. В качестве внутренних параметров модели в этом
18
случае можно выбрать ее электрические параметры, например пара*
метры характерных точек на вольт-амперных характеристиках. Этот
случай характерен для схем на дискретных компонентах, когда сво¬
бода проектирования схем у разработчика ограничена набором
однотипных компонентов с различными вольт-амперными характе¬
ристиками.
При выборе внутренних параметров модели важно
учитывать возможность прямого или ‘косвенного их из¬
мерения, а также управления ими, для того чтобы зна¬
чения внутренних параметров, полученные в результате
анализа и оптимизации, .можно было реализовать на
практике.
Б. КЛАССИФИКАЦИЯ МОДЕЛЕЙ
На основании приведенного выше определения клас¬
сификацию моделей компонентов можно представить
следующим образом (рис. >1-1).
По характеру отображаемых процессов модели мож¬
но разделить на статические и динамические.
Статические модели отображают состояние компонента
Рис. 1-1. Классификация моделей компонентов электронных
схем.
и не учитывают реактивных элементов или элементов,
параметры которых зависят от времени. Динамические
модели отображают процессы в компоненте и учитывают
реактивные или времязависимые элементы.
|По способу представления модели могут быть ана¬
литическими, графическими или табличны-
м и.
Аналитические статические модели компонентов пред¬
ставляются обычно в виде явной зависимости токов и
2*
19
напряжений, выраженной в форме уравнений вольт-ам¬
перных характеристик. Представление в явном виде до¬
статочно полной динамической аналитической модели
неудобно, так как требует вычисления множества пере¬
ходных характеристик для сигналов разнообразной фор¬
мы. Гораздо удобнее представить динамическую модель
в неявном виде — в форме дифференциальных уравне¬
ний, .переложив на ЦВМ работу ло вычислению токов
и напряжений для конкретного вида сигналов.
Графические модели .могут быть представлены, так
же как и аналитические, в двух видах — в форме графи¬
ков функциональной связи токов и напряжений или
в форме эквивалентных схем. Для машинного расчета
графики представляют ценность лишь в том случае, если
имеется устройство ввода, автоматически переводящее
их в цифровую форму. Эквивалентные схемы, обладая
большой наглядностью, вместе с тем требуют обычно до¬
полнительного 'анализа для получения значений токов и
напряжений.
Графическую статическую модель компонента можно
представить в форме графиков вольт-амперных харак¬
теристик или в форме статической эквивалентной схемы.
Графическую динамическую модель компонента пред-’
ставляют обычно только в виде эквивалентной схемы.
Весьма часто исключение реактивных элементов из ди¬
намической эквивалентной схемы превращает ее в стати¬
ческую. Реактивные элементы в этом случае могут быть
отнесены к внешним цепям, не относящимся к модели¬
руемому компоненту. Такие динамические эквивалентные
схемы можно назвать сепарабельными. Они представля¬
ют собой статическую безынерционную эквивалентную
схему для получения вольт-амперной характеристики
компонента, дополненную, например, его паразитными
внешними емкостями.
'В отличие от сепарабельных несепарабельные дина¬
мические эквивалентные схемы могут в качестве состав¬
ной части содержать модели компонентов в форме диф¬
ференциальных уравнений, отражающих инерционный
характер внутренних процессов в этих компонентах. Эти
инерционные процессы можно моделировать подключе¬
нием к компоненту внешних дополнительных емкостей и
тем самым превращать несепарабельную модель в сепа¬
рабельную. Иногда несепарабельная в общем случае мо¬
дель на низких частотах может считаться сепарабельной
20
вследствие возможности пренебрежения внутренней инер¬
ционностью компонента по сравнению с медленными
процессами во внешних цепях.
Наконец, модели можно представить в виде цифро¬
вых таблиц, соответствующих графикам вольт-амперных
характеристик. Обычно таблицы используют для пред¬
ставления сложных экспериментальных характеристик,
для которых трудно найти аналитическое выражение или
эквивалентную схему или вычисления требуют больших
затрат времени и их удобно произвести один раз, офор¬
мив результаты таблично.
В последнее время в связи с развитием машинного
проектирования получил распространение еще один спо¬
соб представления моделей (называемых цифровыми мо¬
делями)— в виде подпрограмм для расчетов на ЦВМ.
Практически любую модель — аналитическую, табличную
или заданную эквивалентной схемой, можно оформить
в виде подпрограммы, так что понятие цифровой модели
является обобщающим по отношению к предыдущим
формам представления моделей в случае их использова¬
ния для расчетов на ЦВМ. Однако среди аналитических
и графических моделей можно выделить класс так на¬
зываемых алгоритмических моделей, характеризующих¬
ся тем, что вследствие сложности связей между токами
и напряжениями рассчитать их можно только численны¬
ми методами, задав алгоритм, метод вычислений. По¬
скольку использовать алгоритмические модели можно
только в виде подпрограмм, то к ним более всего под¬
ходит определение цифровых моделей. Таким образом,
цифровая модель — это запрограммированный алгоритм
расчета заданной формы представления модели обычно
в виде нелинейных дифференциальных уравнений либо
в виде сложной эквивалентной схемы, уравнения кото¬
рой составляются и решаются в самой ЦВМ.
Следует отметить, что цифровые алгоритмические мо¬
дели являются наиболее перспективным способом пред¬
ставления моделей в отношении точности. Действитель¬
но, аналитические модели получаются обычно из предва¬
рительного рассмотрения процесса в компонентах. При
этом для того, чтобы избежать математических трудно¬
стей и получить конечное аналитическое выражение, раз¬
решенное относительно искомых переменных, исследова¬
телю приходится пренебрегать эффектами второго поряд¬
ка и идти на всевозможные упрощения в ущерб точности
.21
модели. В случае же представления компонента циф¬
ровой алгоритмической моделью исследователь может
ввести в нее любые элементы и уравнения для модели¬
рования самых незначительных эффектов, не задумыва¬
ясь над сложностью получающейся схемы или системы
уравнений, поскольку в дальнейшем ее анализ будет
производиться самой ЦВМ численными методами. Огра¬
ничение на точность цифровой модели может быть обу¬
словлено лишь временем расчета.
По характеру зависимостей, используемых для моде¬
лирования, модели делятся на два больших класса —
линейные и нелинейные. Линейные модели осно¬
ваны на использовании только линейных зависимостей
между токами и напряжениями в случае аналитического
представления или только линейных пассивных и актив¬
ных элементов в случае представления в виде эквива¬
лентных схем. Нелинейные модели обязательно включа¬
ют в себя элемент с нелинейной вольт-амперной харак¬
теристикой.
При «ручных» методах расчета наиболее удобными являются
линейные (мо'дели, предназначенные для расчетов схем в режиме ма¬
лого сигнала, или кусочно-линейные — для расчетов схем в режиме
большого сигнала. Эти модели обеспечивают инженерную
точность расчета порядка 15—30%. Такая точность при машинном
проектировании обычно является недостаточной, что определяет не¬
обходимость разработки более точных нелинейных моделей. Однако
отказываться полностью от линейных моделей было бы нецелесо¬
образно, так как, несмотря на невысокую точность, линейные моде¬
ли при машинном расчете имеют перед нелинейными определенные
преимущества, состоящие в том, что анализ и оптимизация схем
с этими моделями приводят к линейным уравнениям, для которых
разработаны надежные и быстрые численные методы решения. По¬
этому линейную модель можно использовать для получения первого
приближения, а затем уже вести расчет на основе нелинейных мо¬
делей в окрестности точек, рассчитанных с помощью линейных мо¬
делей.
В. ОСНОВНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ К МОДЕЛЯМ
Перейдем к рассмотрению основных требований к мо¬
делям в свете задач машинного проектирования.
Требованием первостепенной важности является точ¬
ность соответствия модели реальному компоненту. Обыч¬
но оцежу точности производят по степени совпадения
вольт-амперных характеристик модели и реального ком¬
понента (рис. 1-2). Здесь следует сказать, что до сих
пор нет общепринятого способа количественной оценки
22
Точности Тайогб совпадения. Ё качесТвё возможных оце-
нок можно использовать следующие:
1. Максимальное относительное отклонение в рабо¬
чем диапазоне
где iM, iKf uMf Uk — 'соответственно токи .и нал ряжения
вольт-амшерных характеристик модели и компонента.
Как правило, модели
не обеспечивают малого
относительного отклоне¬
ния во всем диапазоне
токов и напряжений. В
режиме больших токов и
напряжений Ы и 6и мо¬
гут составлять несколько
процентов, а в режиме
малых токов и напряже¬
ний — десятки и сотни
процентов. В связи с этим необходимо указывать на¬
ряду с величинами 6i, дц также и режимы их измерения.
2. Среднеквадратическое относительное отклонение
в рабочам диапазоне
где п — число точек измерения, х = и или i.
Эта характеристика точности усредняет отдельные
«выбросы» ошибок и характеризует расхождение модели
и компонента не в одной 'точке, а в некотором диапазоне.
Поскольку модель является одним из элементов элек¬
тронной -схемы, то точность модели нельзя рассматри¬
вать в отрыве от точности расчета всей схемы. Точность
расчета всей схемы определяется, во-лервых, точ¬
ностью модели и, во-вторых, точностью вычислений
на ЦВМ.
Ошибка, обусловленная вычислениями на ЦВМ, скла¬
дывается из методической погрешности, определяемой
принятым численным методом, и инструментальной .по¬
грешности, определяемой округлениями, производимыми
23
и
Рис. 1-2. Вольт-амперные харак¬
теристики компонента (/к) и мо¬
дели (i*M).
в ЦВМ в процессе вычислений. Как правило, при любом
методе вычислений общая ошибка вычислений на ЦВМ
пренебрежимо мала по 'Сравнению с ошибкой, обуслов¬
ленной неточностью модели, так как ошибка вычислении
может быть доведена до 10~7—'10-8, в то время как ошиб¬
ка модели редко бывает ниже 10-2, составляя обычно
несколько процентов. Таким образом, ограничения на
точность расчета ставит прежде всего модель, а не метод
вычислений. Из теории ошибок известно, что точность
методов при действиях над числами должна быть одного
порядка с точностью самих чисел, в противном случае
производятся точные вычисления с заведомо недостовер¬
ными цифрами. Отсюда следует, что точность вычисле¬
ний, производимых в ЦВМ при расчетах электронных
схем, должна быть одного порядка с точностью модели,
т. е. допустимая ошибка вычислений может составлять
несколько процентов. Это позволяет значительно сокра¬
тить время вычислений при использовании различных
итеративных методов, метода статистических -испытаний
И др.
Требования к точности модели зависят от типа и на¬
значения схемы. Использование же во всех случаях,
в том числе и не требующих высокой точности, наиболее
точной модели может привести к неоправданному увели¬
чению времени расчета, так как обычно чем точнее мо¬
дель, тем она сложнее. Поэтому целесообразно для од¬
ного и того же компонента иметь набор моделей различ¬
ной сложности и точности.
Весьма важным требованием к любой модели, пред¬
назначенной для расчета интегральных схем, является
отражение связи вторичных электриче¬
ских параметров модели с первичными
электрофизическими и конструктивно-тех¬
но логически ми параметрами моделируе¬
мого компонента, так как именно эта бвязь позво¬
ляет проектировать интегральные схемы по заданным
внешним характеристикам. В принципе, как известно,
любую непрерывную зависимость можно с любой стег
пенью точности аппроксимировать, например, полиномом
Лагранжа достаточно высокой степени. Однако для це¬
лей расчета интегральных схем такая формальная ап¬
проксимация не всегда приемлема, так как коэффициен¬
ты полинома обычно не выражаются через первичные
параметры компонента. Требования, налагаемые на связь
24
первичных и вторичных параметров модели, весьма
сложны и противоречивы. iC одной стороны, для повыше¬
ния точности модели 'необходимо возможно полнее учесть
все -первичные параметры, но, с другой стороны, часть
первичных параметров, например геометрические разме¬
ры транзистора, трудно измерить с высокой точностью
или (можно определить (лишь качественно. В связи с этим
может возникнуть вопрос, чем обусловлена ошибка мо¬
дели — неудачным выбором математического описания
или неточным измерением ее параметров. Для решения
этого вопроса необходимо привлекать статистические ме¬
тоды. Вообще оценка точности модели должна носить
статистический характер, т. е. наряду с величиной ошиб¬
ки (модели нужно указывать также ее вероятность. 'К со¬
жалению, в литературе подобные оценки точности пред¬
лагаемых читателю моделей почти никогда не приводят¬
ся в связи оо сложностью их получения.
(Следующая группа требований к моделям связана
с удобством их использования для расчетов на ЦВМ.
Одним из таких требований является непрерывность
модели, под которой понимается справедливость одной
и той же модели для всех режимов работы компонента.
Непрерывная аналитическая модель описывается единым
аналитическим выражением, непрерывная графическая
модель характеризуется одной и той же эквивалентной
схемой длд.рсех режимов работы. В противоположность
непрерывной «кусочная» модель описывается набором
формул или эквивалентных схем, каждая из которых
действительна для одного из режимов работы компо¬
нента.
Если модель носит кусочный характер, то программы
вычислений существенно усложняются из-эа необходимо¬
сти введения большого количества условий проверки на¬
рушения границ применимости каждого участка модели.
Непрерывная модель значительно упрощает составление
программ вычислений.
Одним из требований, обеспечивающих высокую точ¬
ность вычислений, является хорошая обусловлен¬
ность модели, под которой понимается малое влия¬
ние относительных ошибок расчета или измерения аргу¬
ментов на вычисляемую величину, а также возможность
расчета или измерения самих аргументов с малой отно¬
сительной ошибкой. Так, модель транзистора плохо обу¬
словлена, если аргументом служит напряжение база—
25
эмиттер Мб.э и хорошо обусловлена, если аргумент — ток
базы i§, так как /б можно рассчитать «с меньшей относи¬
тельной ошибкой, чем «б.э-
Если расчет ведется ;по вольт-амперным характери¬
стикам, то для получения хорошей обусловленности мо¬
дели можно (выбрать для расчета либо зависимость и (f),
либо обратную ей i (и), т. е. представить компонент как
управляемый током генератор напряжения 'или управ¬
ляемый -напряжением генератор тока. Предпочтение от¬
дается лучше обусловленной зависимости.
Наконец, последним требованием к модели является
ее простота. Несмотря на то, что применение ЦВМ
позволяет использовать модели практически любой
сложности, обычно простая модель более предпочтитель¬
на 'В отношении сокращения времени вычислений.
Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные
математические модели большинства компонентов элек¬
тронных схем. Основное внимание уделено качественным
вопросам — способам представления моделей, их особен¬
ностям, удобству для машинных расчетов. Рассмотрение
вопросов точности ,модели, носящих обычно статистиче¬
ский характер, ра'вно как и вопросов измерения пара¬
метров моделей, требует специальных исследований, вы¬
ходящих за рамки книги.
1-2. МОДЕЛИ АКТИВНЫХ КОМПОНЕНТОВ
А. ВЫПРЯМЛЯЮЩИЙ диод
Общие соотношения. В законченном 'виде мо¬
дель диода должна -представлять зависимость между то¬
ком диода и приложенным внешним напряжением в виде
аналитического выражения или в виде эквивалентной
схемы. Б общем случае полная плотность тока в полу¬
проводнике состоит из четырех составляющих:
где индексы обозначают соответственно диффузионные
и дрейфовые составляющие потоков дырок (р) и элек¬
тронов (п).
Диффузионные составляющие определяются неравенством кон¬
центрации носителей в разных точках полупроводника, а дрейфо¬
вые составляющие — неравенством потенциалов. Будем рассматри¬
вать одномерный случай, когда движение носителей происходит
только вдоль одной оси
3§
Учитывай, ^то йЛоТности диффузйбн'нЫх и дрейфовых состав¬
ляющих полной плотности тока подчиняются соотношениям
получаем выражение для полной плотности тока
где Dp, Dn — коэффициенты диффузии £>=фмрт; рр, \лп — подвиж¬
ности носителей; р, п — концентрации носителей; Е — напряженность
поля; фт — температурный потенциал; q — заряд электрона; ар,
Gn — удельные электрические проводимости.
Из (1-2в) видно, что для определения плотности тока необхо¬
димо 31нать закон распределения концентрации носителей и напря¬
женности поля в полупроводнике. Б общем случае концентрации
носителей являются функциями пространственной координаты х и
времени t и могут быть найдены из решения уравнений непре¬
рывности, которым в любой момент времени подчиняется дви¬
жение носителей заряда:
где ро, по — равновесные концентрации дырок и электронов;
х — время жизни неосновных носителей.
Первые слагаемые правых частей уравнений (1-За) и (1-36)
характеризуют скорости рекомбинации избыточных носителей, а вто¬
рые— характеризуют 'скорости изменения концентрации носителей
в некотором элементарном объеме из-за неравенства потоков носи¬
телей, втекающих и вытекающих из этого объема.
Если положить, что перенос заряда осуществляется только
за счет диффузионных процессов, т. е. из-за неравенства концентра¬
ций носителей в разных точках полупроводника, то уравнения не¬
прерывности переходят в уравнения диффузии. Полагая
В (11-3) /р Др =0 и /п др=0 и подставляя /дифф из '(1-2а), для одно¬
мерного случая получаем:
Решение уравнений непрерывности и диффузии позволяет найти
концентрации зарядов и вычислить токи в полупроводниковом ма¬
териале.
27
Модель р-п перехода. Перейдем к рассмотре¬
нию модели, выражающей зависимость тока через р-п пе¬
реход от приложенного внешнего напряжения.
Пусть для диода (рис. 1-3) концентрация дырок
в p-области рр много больше концентрации электронов
в я-области пп.
Тогда из приведенных выше уравнений можно рас¬
сматривать только те, которые описывают поведение ды¬
рок. Положим далее, что области р и п легированы рав-
Рис. ll-З. Схематичное изображение р-п перехода (а) и вольт -
амперные характеристики идеального ( ) и реально¬
го ( ) р-п переходов (б).
номерно, р-п переход ступенчатый и все внешнее напря¬
жение приложено к этому переходу, т. е. пренебрежем
объемным сопротивлением базовой п-области диода. Кро¬
ме того, будем считать, что внешнее напряжение не -со¬
здает в полупроводнике сильного электрического поля и
поэтому дрейфовыми составляющими тока через р-п
переход можно пренебречь (работа в режиме низкого
уро'вня инжекции, т. е. ib области малых токов). При
сделанных допущениях можно решить диффузионное
уравнение (1-4а) и получить для стационарного режима,
т. е. при dp/dt = 0, распределение Ар(х, и) концентрации
избыточных дырок ib базе вдоль оси х в зависимости от
приложенного к р-п переходу напряжения и [Л. 1]:
где ЬР = У Dpx — диффузионная длина дырок.
Важно отметить, что распределение концентрации яв¬
ляется функцией пространственной координаты х. Ис-
28
(1-5)
Гшльаованйё моДеЛй р-п перехода в таком ,вйдё чрезвы¬
чайно усложняет растет электронных схем даже при
использовании ЦВМ, так как 'наличие дополнительной
пространственной переменной приводит к необходимости
решать уравнения в частных производных, что требует
обычно больших затрат машинного времени.
Поэтому следующим шагом, общим для получения
модели не только р-п перехода, но и других компонентов,
является устранение пространственной переменной. Диф¬
ференцируя (1-5) по х и используя (1-2а), получаем рас¬
пределение плотности диффузионной составляющей ды¬
рочного тока через р-п переход
Для устранения пространственной координаты в дан¬
ном случае достаточно положить х = 0. Таким же путем
можно получить функцию jn (и). Складывая /р и /я и
умножая на площадь перехода S, получаем известное
уравнение вольт-амперной характеристики р-п перехода
(рис. 1-3,6):
— ток насыщения, или тепло¬
вой ток.
Модель Эбер с а—Мол л а. При прямом смеще¬
нии диода необходимо учитывать падение части внешне¬
го приложенного напряжения и на объемном сопротивле¬
нии базы Гб, а при обратном смещении диода учитывать
ток через сопротивление поверхностной утечки JRy, обыч¬
но линейно зависящий от приложенного напряжения.
С учетом этих;факторов уравнение (1-7) принимает вид:
Если 'внешнее напряжение создает )В полупроводнике
сильное электрическое поле (работа в режиме высокого
уровня инжекции, т. е. больших токов), то необходимо
учитывать обусловленный этим полем дополнительный
дрейфовый ток /дР. Обычно этот ток учитывают, вводя
29
§ уравнение (i-8) эмпирические коэффициенты А и М;
после чего первый член этого уравнения приобретает вид:
где ип — напряжение на переходе; ип = и—*Уб.
Полная динамическая нелинейная эквивалентная -схе¬
ма диода ,по Эберсу—Моллу [Л. 2] приведена на рис. 1-4.
В этой схеме нелинейными элементами являются барь¬
ерная емкость Сб, диффузионная емкость Сд и генератор
Рис. 1-4. Эквивалентная схема дио¬
да по Эберсу—Моллу.
тока i=f(un)1 определяемый формулой (1-9). Эта экви¬
валентная схема сепарабельна, так как исключение ем¬
костей превращает ее в статическую.
Полная непрерывная модель диода. Урав¬
нение (1-9) вписывает поведение диода только в двух
режимах — при прямом и обратном смещениях, но не
учитывает режима .пробоя, поскольку в этом режиме
возникают новые физические процессы, не отраженные
в исходных предпосылках.
Чтобы учесть режим пробоя параллельно генератору
тока / = /,, определяемому из (1-9), можно включить до¬
бавочный генератор [Л. 4 \i2 — — еА (W“P BWn) , в результате
чего уравнения, характеризующие получившуюся экви¬
валентную схему (рис. 1-5), приобретают вид:
Величины /ш М определяются прямой ветвью вольт-
амперной характеристики, Ду определяется обратной
ветвью /при 0>w>wnp/2, коэффициенты А и В «вычисля¬
ются по результатам измерений ib области пробоя.
В режиме прямого смещения диода ток /2 «=< О, /Е « г',;
режиме обратного смещения при | «п I | «пр/2| *.«<>,
il^Ia, tE /н -|- . По мере увеличения обратного сме¬
щения ток г2 растет и в режиме пробоя ix ^ /н,
Коэффициент В определяет момент начала резкого воз¬
растания тока на обратной 'ветви вольт-амперной харак¬
теристики, а коэффициент А определяет скорость роста
тока иосле достижения пробоя.
Зависимость емкости перехода С от напряжения оп¬
ределяется по формуле
(l-ii)
где Сб — барьерная емкость р-п перехода.
Функция в знаменателе формулы (1-11) отражает
значительное уменьшение барьерной емкости р-п перехо¬
да после достижения пробоя.
Рассмотренная модель диода иллюстрирует полуэм-
пирический подход к получению модели, когда уравнение
вольт-амперной характеристики не .выводится целиком из
анализа физических процессов, а подбирается так, чтобы
аппроксимировать экспериментальные характеристики
31
Рис. 1-5. Модель диода с учетом участка пробоя.
а — эквивалентная схема; б — вольт-амперная характеристика.
с учетом найденных ранее для отдельных участков тео¬
ретических выражений. Выражение (1-10) весьма удобно
для расчетов на ЦВМ, поскольку представляет непре¬
рывную функцию, справедливую для всех режимов ра¬
боты диода. Некоторым недостатком является то, что
эта функция является трансцендентной относительно
напряжения перехода Цц. Кроме того, коэффициенты мо¬
дели А, В, М не выражены через первичные параметры
диода.
Рис. 1-6. Кусочно-линейная модель диода.
а—линеаризованные вольт-амперные характеристики; б — линейные эквива¬
лентные схемы для режима прямого смещения (/), обратного смещения (2),
пробоя (5). е0 — напряжение отсечки, R. — прямое сопротивление диода.
Кусочно-линейная модель, так же дак и пре¬
дыдущая, описывает поведение диода во всех трех об¬
ластях, но с меньшей точностью. Уравнения модели и
ее эквивалентная схема весьма просто получаются из
кусочно-линейной аппроксимации вольт-амперной харак¬
теристики диода по участкам (рис. 1-6).
Модель Л и н в и л л а. Модель, рассматриваемая ниже, иллю¬
стрирует, физический подход к получению модели, впервые разви¬
тый Г. Линвиллом [Л. 5]. Этот подход заключается в том, что рабо¬
чая область полупроводникового прибора разбивается на ряд эле¬
ментарных объемов, 'связанных друг с другом. Каждый объем
характеризуется набором символических элементов, а каждый симво¬
лический элемент в свою очередь характеризует определенный физи¬
ческий процесс — дрейф, диффузию, накопление и т. д. Для полного
определения всех физических процессов Г. Линвилл предложил сле¬
дующий набор символических элементов: ко'мбинанс Нс, диффузанс
На, 'сторанс 5, мобиланс М, дрифтанс F, кондактанс G, характери¬
зующих соответственно рекомбинацию, диффузию, накопление заря¬
да неосновных носителей и т. д. Каждый из этих элементов можно
32
выразить через геометрические и электрофизические параметры эле
ментарного объема А, Ах, например:
где А — площадь поперечного сечения объема, имеющего длину
Ax = xi—х2‘, D — коэффициент диффузии.
Токи, протекающие через объем и определяемые различными
физическими процессами -в этом объеме, выражаются через разно¬
сти концентраций носителей pi, р2 и разности потенциалов ии и2
на границах объема х1} х2, причем коэффициентами пропорциональ-
Ри€. 1-7. Модель поведения неосновных носителей в слое
полупроводника толщиной \Ах (а) и односекционная модель
диода по Линвиллу (б).
ности служат параметры символических элементов. Так, используя
формулу fl-2a) для плотности диффузионного тока /дифф и обозна¬
чения Нл i(1-i12), можно записать диффузионный ток в виде
Аналогично можно записать ток отражающий про¬
цесс накопления неосновных носителей; ток рекомбинации неоснов¬
ных носителей iHc =* Нс (рх — р2) и т. д.
Таким образом, символические элементы, с одной стороны,
непосредственно выражают физические процессы в полупроводни¬
ке, а с другой стороны, имеют схемотехнический смысл, позволяя
записывать физические процессы в виде электрической эквивалент¬
ной схемы. Так, сгоранс можно представить в схеме емкостью,
комбинанс и диффузанс — проводимостью и т. д., «не забывая, ко¬
3—444
33
нечно, о различии в размерностях из-за того, что роль напряжений
на этих элементах играют концентрации.
В результате можно получить электрическую эквивалентную
схему, описывающую любой физический процесс в слое полупровод¬
ника толщиной Ах, например поведение неосновных носителей
(рис. 1-7,а). Разделяя весь рабочий объем полупроводника на сек¬
ции толщиной Ах и заменяя каждую секцию эквивалентной схемой,
получим одно- или многосекционные модели процессов в полупро¬
воднике. На практике используются обычно односекционные модели,
для которых легко определить граничные условия pi, р2 через
внешние токи и напряжения. Увеличение числа секций приводит
к повышению точности, но существенно усложняет определение irpa-
ничных условий для каждой секции внутри полупроводника и за¬
трудняет использование модели для расчетов.
Односекционную модель диода по Линвиллу можно представить
в виде четырех областей (рис. 17,6). Основные роли играют 2-я
область, представляющая идеальный выпрямляющий контакт, и 3-я
область, характеризующая рекомбинацию и накопление носителей
с помощью символических элементов Нс и Sp. Эта модель без уче¬
та барьерной емкости С б описывается уравнением
где р — избыточная концентрация неосновных носителей.
Благодаря максимальной приближенности к физическим про¬
цессам модель Линвилла позволяет рассчитывать внутренние первич¬
ные параметры полупроводникового прибора, но имеет существенный
недостаток, заключающийся в том, что коэффициенты модели Нс,
5 не могут 'быть непосредственно измерены. Модель выражает ток
диода как функцию концентраций носителей, а не напряжения и
не может быть использована непосредственно для расчета схемы.
Преобразования, имеющие цель выразить ток диода как функцию
приложенного напряжения, приводят модель к форме модели Эбер-
са — Молла. Некоторые модификации модели Линвилла, в которых
параметрами являются непосредственно измеряемые величины, при¬
ведены в |[Л. 6, 7].
В заключение этого раздела отметим, что наиболее
удобной для машинного расчета схем я!вляется модель
Эберса—Молла и ее модификации, поскольку их внеш¬
ними параметрами являются ток и напряжение, связан¬
ные между собой достаточно легко измеряемыми внут¬
ренними электрическими параметрами. Кусочно-линейная
модель диода может быть использована как вспомо¬
гательная при расчете первого приближения. Отметим
также, что инерционность механизма переноса носителей
в этих моделях учитывается .введением в динамическую
эквивалентную схему Диффузионной емкости. При расче¬
те сверхбыстродействующих схем, работающих в диапа¬
зоне длительностей рабочих сигналов менее 0,1 мксек,
например схем на диодах с накоплением заряда, такой
34
учет инерционности может оказаться слишком грубым.
Модели диода для этих схем должны строиться на осно¬
ве более строгого решения уравнения непрерывности.
В этом смысле для расчета параметров диода перспек¬
тивна модель Линвилла при условии увеличения числа
ее секций.
Б. БИПОЛЯРНЫЙ ТРАНЗИСТОР
Модели биполярных транзисторов, как и других (ком¬
понентов электронных схем, можно разделить на два ти¬
па. Это, во-первых, модели для расчета ^схемы с транзи¬
стором и, во-вторых, модели для расчета внутренних па¬
раметров самого транзистора.
В первом случае модели описывают зависимости меж¬
ду токами и напряжениями транзистора, выраженные
через его электрические параметры, например коэффи¬
циент усиления по току в схеме с общей базой а. Эти
параметры легко измеряются, но, как .правило, не позво¬
ляют точно рассчитать сам транзистор. Во втором слу¬
чае модели описывают зависимости между токами и на¬
пряжениями через первичные параметры транзистора —
геометрические и электрофизические величины, точное
измерение которых крайне затруднено.
Модель биполярного транзистора, полностью удовлет¬
воряющая и требованиям расчета схемы, и требованиям
расчета первичных (параметров транзистора, пока еще не
разработана.
Постановка з а д а ч и. В законченном виде анали¬
тическая модель транзистора должна представлять зави¬
симость между токами транзистора и внешними напря¬
жениями. Ее можно найти, если известна плотность то¬
ков, протекающих через эмиттерный и коллекторный р-п
переходы. Для определения плотности тока необходимо
знать законы распределения концентрации носителей и
напряженности" поля в .полупроводнике. Для транзисто¬
ров эта задача является более сложной, чем для диодов,
из-за необходимости учитывать инерционный процесс
Движения носителей от эмиттера к коллектору через .об¬
ласть 'базы, параметры которой имеют распределенный
характер. В общем случае для нахождения законов рас¬
пределения концентрации носителей и напряженности
поля в базе необходимо решить уравнение непрерывности
(1-3), т. е. дифференциальное уравнение /в частных про¬
изводных. Точное решение этого уравнения содержит
3* 35
весьма сложные функции (бесконечные ряды), неудоб¬
ные для пользования не только при аналитических, но и
при машинных расчетах схем. Поэтому основным направ¬
лением в работе над моделями транзисторов является
устранение пространственной переменной таким обра¬
зом, чтобы перейти от дифференциальных уравнений
в частных производных к обыкновенным дифференциаль¬
ным уравнениям. Получающиеся в результате этого мо¬
дели различаются .в зависимости от принятых при .преоб¬
разовании допущений.
Ниже рассматриваются основные типы моделей би¬
полярного транзистора: модель Эберса—Молл а, модель
управления зарядом Бьюфоя—Спаркса и модель с со¬
средоточенными элементами Линвилла, а также их мо¬
дификации.
Модель Эберса — Молл а. Рассмотрим бездрей-
фовый симметричный транзистор, ток в базе которого
распространяется только вдоль одной оси х, направлен¬
ной от эмиттера к коллектору (одномерный случай), а
для базы выполняется условие нейтральности объемного
заряда. В этом случае прямое решение диффузионного
уравнения для симметричного р-п-р транзистора можно
найти в виде следующей зависимости токов эмиттерного
и коллекторного переходов /э, iK от концентрации носите¬
лей у границ переходов pQ, рк [JL 8]:
(1-15)
где А — площадь поперечного сечения базы, ,постоянная
от эмиттера до коллектора; W — ширина базы; 5 —опе¬
ратор ,Лапласа.
Эти уравнения получены при следующих допущениях:
1) величины объемных сопротивлений областей полупро¬
водника пренебрежимо малы; 2) плотность токов инжек-
ции мала; 3) можно пренебречь эффектом расширения
слоя пространственного заряда (коллекторной реакци¬
ей), определяющим конечный наклон выходных вольт-
амперных характеристик; 4) при любых напряжениях на
переходах ток через каждый переход определяется сум-
36
мой двух составляющих, одна из которых обусловлена
напряжением «на эмиттерном переходе, а вторая — на кол¬
лекторном. Первые два допущения означают, что паде¬
ние напряжения ib транзисторе локализуется на р-п пе¬
реходах, а эффективность эмиттера не за-висит от его
тока. Из последнего допущений следует, что распределе¬
ние концентрации носителей в базе насыщенного тран¬
зистора является суммой распределений 'концентраций
носителей в базе для нормального и инверсного актив-
Рис. 1-8. Модель биполярного транзистора по
Эберсу—Моллу.
а — эквивалентная схема; б — распределение концентра¬
ции неосновных носителей в базе в режиме насыщения,
в -- коллекторные вольт-ампериые характеристики в схе¬
ме с общей базой
ных режимов включения транзистора (рис. 1-8,6). Бели
считать, что ,токи эмиттерного и коллекторного переходов
в отдельности определяются уравнением тока диода (1-7),
то 1в статической режиме (5 = 0) уравнения (1 -15) .прини¬
мают вид:
где uD, ик — напряжения на эмиттерном 'и коллекторном
переходах. Коэффициенты этих уравнений можно опре¬
делить {Л. 1, 2] через токи насыщения эмиттерного и кол¬
лекторного переходов /эо, /ко и коэффициенты усиления
37
по току в нормальном и инверсном режимах aN, cti
в схеме с общей базой из эквивалентной схемы идеализи¬
рованного транзистора (рис. 1-8,а), построенной с уче¬
том приведенных выше допущений «и составляющей осно¬
ву модели Эберса—Молла и ее модификаций. Оконча¬
тельные уравнения представляют собой аналитическое
выражение вольт-амперных характеристик биполярного
транзистора называются уравнениями Эберса—Молла:
Можно отметить, что, например, ток /к0 не равен току
насыщения 'изолированного .коллекторного диода /02 из-
за влияния эмиттер,ного диода (рис. 1-8,а).
Ток базы /б равен: /б=4—'*к-
Уравнения Эберса—Молла справедливы для всех
трех режимов работы транзистора: отсечки, активного
режима и режима насыщения и широко используются
при построении различных эквивалентных схем транзи¬
стора.
Рис. 1-9. Уточненная модель биполярного тран¬
зистора по Эберсу—Моллу.
38
Уравнения Эберса—Молла описывают статический
режим идеализированного транзистора. Реальный тран¬
зистор отличается от идеализированного тем, что объем¬
ные области базы, эмиттера и коллектора имеют конеч¬
ные сопротивления; обратные характеристики эмиттер¬
ного и коллекторного .переходов ймеют 'конечный наклон;
коэффициент усиления по току а не постоянен и зависит
от (тока эмиттера. Эти недостатки уравнений Эберса—
Молла частично устранены в эквивалентной схеме на
рис. 1-9 путем включения сопротивлений г$, г'д, /к, моде¬
лирующих объемные сопротивления базы, эмиттера и
коллектора, а также сопротивлений гэ, «гю учитывающих
конечное обратное сопротивление .переходов.
Однако эти сопротивления обычно принимаются по¬
стоянными и, следовательно, не учитывается их зависи¬
мость от режима работы транзистора.
-При расчете переходных процессов емкость переходов
и инерционность движения носителей в 'базе транзистора
учитываются в модели Эберса—Молла путем включения
параллельно переходам барьерных емкостей Сб.э, Сб.к и
введения частотной зависимости коэффициентов усиле¬
ния по току ia,N, юц. Для точного, |В (рамках сделанных до¬
пущений, решения (1-15) диффузионного уравнения (1-4)
ajv имеет вид:
где
coa/V, (oa/ — граничные частоты, на которых модули коэффи¬
циентов усиления схемы с общей базой aN (s), aj (s)
уменьшаются до уровня 0,7 от статического значения адг,
39
В модели ,Эберса—Молла в качестве ia (5) приняты
первые два члена разложения в степенной ряд выраже¬
ния (l-2'О) так, что
ai соответственно в нормальном и инверсном включени¬
ях транзистора.
Таким образом, пространственная координата в урав¬
нениях диффузии учтена Эберсом и Моллом путем .вве¬
дения весьма простой частотной аппроксимации для а.
Эта аппроксимация удобна при расчете переходных про¬
цессов в ,линейных схемах, т. е. в режиме малого сиг¬
нала. Расчет на ЦВМ переходных процессов в нелиней¬
ных схемах ведется не с помощью преобразования
Лапласа, а путем численного интегрирования дифферен¬
циальных уравнений, составленных 'на основе полной экви¬
валентной схемы транзистора. Поэтому удобнее инерци¬
онность процесса распространения носителей в базе
отображать не с помощью временной или частотной зави¬
симости а (/) или а (5), а с использованием понятия диф¬
фузионной емкости эмиттерного перехода Сд.э. Действи¬
тельно, при прямом смещении эмиттерного перехода
Сд.э^Сб.э ’и (из рис. 1-9 следует, что напряжение на эмит-
терном переходе щ ток эмиттерного перехода ii и ток
коллекторного перехода ajsrh будут нарастать 'в соответ¬
ствии с зарядом емкости Сд.э.
По .определению емкость Сд.э обусловлена изменени¬
ем заряда в базе, т. е. отражает диффузионный процесс
движения неосновных носителей 'В базе, поэтому уже нет
необходимости считать коэффициент усиления по току а
зависящим от времени. Таким образом, если в эквива¬
лентной схеме учтены диффузионные емкости, то про¬
цесс переноса носителей -нужно считать безынерционным,
характеризуемым действительными, независящими от
времени коэффициентами усиления ictjv, iaj. При этом эк¬
вивалентом такого показателя инерционности транзисто¬
ра, как время диффузии носителей та, становится посто¬
янная 'Времени эмиттерной цепи Сд^гэ. Если считать рас¬
пределение неосновных носителей в базе линейным,
а (входной сигнал duQ — ступенчатым, то диффузионные
емкости эмиттера Сд.э и коллектора Сд.к можно опре¬
делить соотношениями [JI. Л]
где та — среднее время диффузии неосновных носителей
в базе. Обычно в нормальном активном режиме Сд.э»
» Сб.Э.» 2. Сдц<^Сб.К*
Модель транзистора, изображенная -па рис. 1-9, используется
для расчетов в американской программе машинного анализа элек¬
тронных схем NET-.1 [Л. -2], однако параметры модели определя¬
ются по формулам, несколько отличным от приведенных выше. Так,
например, в показателях экспонент, входящих в уравнения Эберса—
Молла ('1-iie), (1-19) для этой схемы, введен коэффициент М [ана¬
логично формуле I(1 -9) ], учитывающий отличие реального р-п пере¬
хода от идеального. Барьерные и диффузионные емкости коллек¬
торного и эмитгерного переходов вычисляются по формулам
R, N — постоянные величины, определяемые тшюм перехода.
'В .модели учтена зависимость коэффициентов Un и ui от тока.
Эта зависимость аппроксимируется полиномами третьей степени от
напряжения на переходе. Однако в модели не учтено влияние моду¬
ляции ширины базы на коэффициент усиления по току а и распреде¬
ленный характер сопротивления базы.
Модель Эберса — Молла является наиболее удобной моделью
транзистора для машинных расчетов, поскольку она представляет
собой зависимости между токами и напряжениями транзистора.
Большинство других моделей, используемых для машинных расче¬
тов схем, являются более или менее сложными модификациями мо¬
дели Эберса — Молла [JI. 10, 111].
Необходимо отметить, что из-за особенностей технологии из¬
готовления транзисторы интегральных схем в отличие от рассмотрен¬
ных бездрейфовых имеют неравномерное распределение примесей
в' базе, приводящее к появлению внутреннего поля Е и дрейфовой
составляющей полного тока. В этом случае для получения зависи¬
мостей i0(pd, рк) и 1к(рэ, рк) нужно решать не уравнение диффузии
(1-4), а уравнение непрерывности (1-3). Обычно распределение при¬
меси в базе интегрального транзистора можно аппроксимировать
экспоненциальным законом и считать поэтому поле Е постоянным.
При этом условии уравнение непрерывности остается линейным и
можно получить его прямое решение, аналогичное по форме урав¬
нениям (1-15), но отличающееся содержанием коэффициентов Ли(5),
Л12(s) и т. д. [Л. 34]. (В статическом режиме уравнения дрейфового
транзистора совпадают по форме с уравнениями Эберса — Молла.
Для расчета же переходных процессов используют разложение
в ряд функций c&(s), получаемых аналогично формуле (1-20), огра¬
ничиваясь членами, содержащими одну или две постоянных вре¬
мени, в зависимости от требуемой точности. В случае одной по¬
стоянной’времени динамическая модель дрейфового транзистора по
(1 -22а)
(1-226)
где il — ток эмиттерного диода,
/2 — ток коллекторного диода,
41
форме будет совпадать с моделью Эберса — Молла, в случае двух
постоянных времени в модель вводится двухз©енная 7?С-цепочка для
моделирования каждой постоянной времени.
Кусочно-линейная модель транзистора. Кусочно¬
линейная модель транзистора получается путем линеаризации ста¬
тических вольт-амперных входных и выходных характеристик тран¬
зистора {Л. '3], которые можно представить тремя семействами пря¬
мых (рис. 1-10,а), соответствующих трем режимам работы транзи¬
стора: активному 1\ отсечки 2 и насыщенному 3. Для каждого ре¬
жима работы можно построить эквивалентные схемы входной и
выходной цепей транзистора (рис. il-10,6). Эти схемы можно ис¬
пользовать при определении начальных приближений для после-.
дующих расчетов статического режима.
Рис. 1-10. Кусочно-линейная модель биполярного транзи¬
стора.
а — линеаризованные входные и выходные характеристики; б — линей¬
ные эквивалентные схемы для активного режима (1), режима отсеч¬
ки (2) и режима насыщения («5); е0 — напряжение отсечки входных ха¬
рактеристик; //ко=(Р + 1)^кО’
Модель Бьюфоя — Спаркса. Модель транзи¬
стора, предложенная Бьюфоем и Спарксом [Л. 12], назы¬
ваемая также зарядовой моделью, получена на основе
метода заряда. Суть метода заряда заключается в опре¬
делении закона изменения во времени заряда неоснов¬
ных носителей в базе транзистора Q(t) (в общем случае
42
также в эмиттере и коллекторе) и связи этого заряда
с внешними токами транзистора. Для определения Q (/)
уравнение непрерывности (1-3), описывающее распреде¬
ление неосновных носителей в базе во времени и в прост¬
ранстве, интегрируется по всему объему базы V:
где Q (/) —заряд неравновесных неосновных носителей
в базе.
Таким образом, из уравнения непрерывности в ре¬
зультате интегрирования устраняется функциональная
зависимость от пространственных координат и в резуль¬
тате получается основное уравнение для заряда (1-24),
при этом даже не нужно делать допущения об одномер¬
ности рассматриваемой задачи.
В стационарном активном режиме dQ/dt=0, поэтому
из (1-24) следует:
Учитывая, что iK = (3/б, z =5= (Зта, получаем:
Одним ,из основных положений метода заряда являет¬
ся экстраполяция соотношения (1-26), справедливого для
стационарного активного режима, на переходный актив-
-ный режим, т. е.
Другими словами, считается, что при изменении кон¬
центрации заряда в какой-либо из областей базы во
столько же раз изменяется концентрация во 'всех дру¬
гих областях базы. Для этого реальное распределение
заряда в базе заменяется в каждый .момент времени ли¬
нейным, при котором выполняется принцип подобия
(рис. 1-11,а).
Принцип подобия позволяет, зная входной ток /б(О»
найти по уравнению заряда (1-24) закон изменения
Q (t), а затем по уравнению 1 ('1 -27) найти выходной ток
43
(1-28)
(1-29)
где
Рис. 1-11. Изменение распределения концентраций неосновных носи¬
телей в базе.
а — при быстром включении (линейная аппроксимация); б— при быстром
включении (реальное распределение); в — при быстром выключении (реальное
распределение).
ния тока коллектора из-за конечного времени пролета
базы (по методу заряда ток коллектора появляется сра¬
зу после появления тока эмиттера). ,Эта погрешность
обычно мала и ею можно пренебречь, так как
Метод заряда дает также ошибку при быстром вы¬
ключении транзистора (рис. 1-11,в), когда плотность но¬
сителей у эмиттерного перехода упала до нуля, а в базе
еще значительна (момент^).
В режиме насыщения уравнение заряда должно быть
несколько изменено, так -как в этом режиме эффективное
время жизни тн отличается от т в активном режиме:
тя = ят, где а< 1—коэффициент, зависящий от типа
транзистора. Уравнение заряда (1-28) без последнего
44
iu(t). Уравнения (1-24) — (4-27) и составляют модель
Бьюфоя—Спар-кса.
Бели учесть также емкости переходов, то вместо урав¬
нений (1-24), (1-27) получим:
Сэ и Ск эмиттерного и коллекторного переходов.
Линейная аппроксимация распределения заряда при¬
водит к погрешности при быстром включении транзисто¬
ра (рис. 1-11,6) вследствие неучета задержки t3 появле-
члена вместе <с уравнениями (1-2в) для плотности тока
дырок и (1-9) для тока диода послужили основой при
разработке модели транзистора, используемой в отечест¬
венной программе анализа электронных схем ПАЭС
[Л. 33]. Эта модель представляется системой дифферен¬
циальных уравнений, описывающих эквивалентную схему
на рис. 1-12;
Рис. I-12. Модель транзистора,
используемая в программе ПАЭС.
(1-30)
(1-31)
где
Модель транзистора, приведенная в [J1. 33], учитывает
также влияние подложки, на 'которой находится тран¬
зистор, что особенно важно для ‘расчета интегральных
схем.
Эту модель можно отнести к классу цифровых алго¬
ритмических моделей, заданных аналитически. Она вы¬
45
годно отличаётся от зарядовой тем, ,что внешними пара¬
метрами являются токи и ‘напряжения, а не токи и заря¬
ды. Отметим, что представление модели в форме
дифференциальных уравнений приводит к некоторым
особенностям в методике расчета схем с этой моделью.
Модели Бьюфоя—Спаркса, Эберса — Молла и рас¬
смотренная выше обеспечивают примерно одинаковую
точность расчета схем (10—16%) и обладают одним и
тем же недостатком — они учитывают процессы толь/ко
в активной области базы, расположенной непосредствен¬
но .между эмиттером и коллектором. Процессы в пассив¬
ной области базы, где базовые токи создают поперечное
Рис. 1-13. Модель биполярного транзистора по Линвиллу.
а — разбиение области базы на секции; б — односекционная мо¬
дель с сосредоточенными элементами.
падение напряжения, и в периферийной области базы,
где нет поперечных токов, этими моделями не учиты¬
ваются. Эти модели не учитывают также задержки по¬
явления тока коллектора при мгновенном включении
транзистора, появляющейся из-за конечного времени
пролета базы. Кроме того, на основе этих моделей нель¬
зя вести расчет возникающего при сильном сигнале
режима инверсного запирания, отличающегося от нор¬
мального тем, что избыточная плотность зарядов вначале
спадает до нуля не у коллекторного, а у эмиттерного
перехода. В этом случае расчет нужно вести, непосредст¬
венно решая уравнение непрерывности, 'например мето¬
дами Т. М. Агаханяна [Л. 13].
Модель Линвилла. Модель транзистора по Линвиллу
[Л. 5] подобно модели диода основана на представлении области
базы отдельными ячейками с сосредоточенными символическими
элементами Нс, и др., каждый из которых характеризует опре¬
деленный процесс в базе: диффузию, рекомбинацию и т. д. Простран¬
ственная переменная устраняется из уравнения непрерывности уже
46
(1-36)
Первый член в правой части заменяет частные производные
в (1-3). Умножая обе части уравнения (1-36) на qA, где
А — площадь поперечного сечения элементарного участка, и исполь¬
зуя символические элементы, получаем:
Для получения точности этой модели одного порядка с точно*
стью модели Эберса — Молла и зарядовой модели достаточно об¬
ласть базы представить одной П-образной секцией (рис. ‘1-13,6).
Такая модель характеризуется следующими уравнениями [Л. 34]:
(1-38)
В отличие от предыдущих моделей параметры модели Линвилла
тесно связаны с физическими процессами в базе транзистора. Мо¬
дель в принципе может обеспечить весьма высокую точность. Не¬
достаток модели заключается в затруднительности прямого измере¬
ния ее параметров и в необходимости оперировать с несхемньгми
переменными — концентрациями неосновных носителей вместо напря¬
жений. Различные модификации модели Линвилла приведены
в [Л. 6, 7, |14, 116].
В настоящее время, несмотря на определенные недо¬
статки, наиболее часто используемой для машинного
проектирования нелинейных схем является модель Эбер-
са — Молла и ее модификации. Бели зарядовая ,модель
связывает внешние токи с зарядом, модель Линвилла —
с концентрацией носителей, то модель Эберса — Молла
выражает связь «внешних toikob ,с напряжениями на пере¬
ходах, что более удобно для схемных расчетов. Недо¬
статком этой модели следует считать отсутствие прямой
связи ее параметров с физическими процессами в тран¬
зисторе. В этом отношении более предпочтительной
является модель Линвилла.
47
ti самом начале за счет представления уравнения в частных про¬
изводных уравнением в конечных разностях. Разделив 'базу на ряд
участков (рис. 1-13,а), можем записать уравнение непрерывности
для &-го участка в следующем виде:
В отношении точности модель Эберса—Молла рав¬
ноценна зарядовой и односекционной модели Линвилла,
так как каждую из них можно «свести к системе двух
однотипных дифференциальных уравнений первого по¬
рядка, так что степень приближения каждой модели
к реальному транзистору 'одинакова [Л. 34]. Работы над
повышением точности модели биполярного транзистора
связаны в основном с попытками .прямого решения на
ЦВМ уравнения непрерывности при любых граничных
условиях на переходах.
В. ПОЛЕВОЙ ТРАНЗИСТОР
Полевой транзистор—сравнительно новый полупро¬
водниковый прибор, обладающий высокоомным (входным
сопротивлением и некоторыми другими особенностями
вольт-амперных характеристик, что позволяет конструи¬
ровать простые и надежные схемы с непосредственными
связями. Дополнительными преимуществами долевых
транзисторов при использовании их в интегральных схе¬
мах являются малые размеры, простота технологии из¬
готовления и возможность применения полевых транзи¬
сторов в качестве пассивных элементов интегральных
схем — емкостей и сопротивлений. Имеются два основных
типа полевых транзисторов — транзистор с р-п перехо¬
дом затвора и транзистор с изолированным затвором,
называемый МДП- или МОП-транзистором. Полевые
транзисторы с р-п переходом 'затвора благодаря малому
коэффициенту шума применяются главным образом
в линейных усилительных схемах, в то время (как более
быстродействующие МДП-транзисторы ,нашли основное
применение в нелинейных переключательных схемах.
В связи с этим ниже рассматриваются только ^модели
МДП-транзисторов.
Модель Хофстайна. Эта модель получена на
основании рассмотрения физических процессов в канале
МДП-транзистора. Принцип действия одного из типов
МДП-транзистора—с индуцированным каналом и под¬
ложкой p-типа (рис. 144) —состоит в том, что при при¬
ложении внешнего положительного напряжения к затво¬
ру под слоем диэлектрика наводится поверхностный
заряд. Этот заряд включает заряд QA подвижных элек¬
тронов в инверсионном слое, неподвижный заряд Q2
акцепторных ионов в обедненном слое, который отделяет
индуцированный n-канал от нейтральной р-подложки, и
48
Неподвижный заряд Q3 (зарйд поверхностных состоя¬
ний), обусловленный ловушками на .границе диэлек¬
трик— полупроводник, ионами в диэлектрике, образую¬
щимися при его выращивании, и разностью ,работ выхо¬
да системы диэлектрик — полупроводник.
Упрощенная теория МДП-транзистора [Л. 17] основа¬
на на предположении, что только заряд подвижных элек¬
тронов зависит от внешнего напряжения, а остальные
две составляющие общего поверхностного заряда можно
Рис. 1-14. Полевой транзистор.
« — структура транзистора; б — условное обозначение.
считать постоянными. Таким образом, подвижный заряд
у поверхности возникает лишь в том случае, когда внеш¬
нее напряжение и3 превысит некоторое постоянное кри¬
тическое значение U0, называемое пороговым. Величина
Uo определяется составляющими Q2 и Q3 общего заряда
у поверхности и может быть определена как t/0=
= — (Q2+Q3)/C3, где С3 —емкость затвора. Кроме того,
будем считать, что подвижность \х носителей заряда
в канале постоянна, изменение глубины канала по его
длине мало, толщина окисла много больше глубины ка¬
нала, длина канала L постоянна и не зависит от напря¬
жения на стоке (отсутствует модуляция длины канала),
паразитными сопротивлениями выводов и токами утечки
можно пренебречь, подложка соединена с истоком.
Рассмотрим некоторую точку канала, расположенную
на расстоянии х от истока (рис. 1-14) и имеющую .потен¬
циал их. Здесь и ниже будем отсчитывать все потенциа-
4—444 49
Лы относительно истока. С учетом определения порого¬
вого 'напряжения U0 плотность подвижного заряда о(х)
в этой точке, обусловленного напряжением и3, можно
представить 'следующим образом:
(1-39)
После подстановки (1-41) в (1-40) получим:
Формулы (1-40), (1-42), определяющие вольт-амлер-
ные характеристики МДП-транзистора соответственно
В триодной (ы0т^«з— и0) и лентодной («ст^Ыз—и о)
областях (рис. >1-15), называются уравнениями Хофстай-
на.
На рис. 1-16, а изображена полная эквивалентная схема
МДП-транзистора, включающая нелинейный источник тока icт, опреде-
50
где 8Д — диэлектрическая проницаемость диэлектрика;
Сд — удельная 'емкость диэлектрика.
Проводимость G (х) участка канала шириной г равна
G (х) = (х), а ток канала jCT=G(x) —■ . Умножая обе
части (1-39) на fvz , интегрируя по длине канала от 0
до L и учитывая, что и(0) =0; u(L) =«ст, а также добав¬
ляя неуправляемый ток /0 р-п перехода сток — подлож¬
ка, получаем:
где k = = |аСд -gj, а/е2—удельная крутизна.
Выражение (1-40) справедливо лишь при напряжении на
стоке 0 <[ uCT Uгр> где значение напряжения насыщения
итр, полученное из условия
составляет:
ляемый уравнениями Хофстайна, сопротивления утечек г3_и, г3_ст, со¬
противления выводов и пассивных частей, на которые не распространя¬
ется влияние затвора г'Ст, г'и, межэлектродные постоянные и перемен¬
ные емкости ~С3_И, С3.ст, Сст.и, С3.и, С3.ст и емкость между стоком
и каналом Ск_ст, быстро убывающую по мере приближения напря¬
жения на стоке к напряжению насыщения. Кроме того, в эквива¬
лентной схеме рис. 1-16,а учтена инерционность движения носите¬
лей в канале МДП-транзистора <с помощью цепочки Сг, представ¬
ляющей собой эквивалент распределенных емкости и сопротивления
канала. Диоды Ди Д2 соответствуют р-п переходам, образующимся
соответственно между стоком и подложкой и между истоком и под¬
ложкой.
Эквивалентная схема включает также конечное выходное со¬
противление гк реального ,МДП-7ранзистора, не учитываемое урав¬
нениями Хофстайна и вносящее существенные количественные по-
Рис. 1-15. Вольт-амперные характеристики полевого тран¬
зистора.
а — выходные; б — сток—затвор.
Рис. 1-16. Эквивалентные схемы полевого транзистора,
а,— полная; б — упрощенная, без учета влияния подложки.
4* 51
правки на иентодном участке вольт-амперных характеристик. В об¬
щем случае гк сложным образом зависит от напряжения на затворе
и стоке [Л. 18]. Упрощенно эту зависимость можно представить
в виде
где п= (1-4-2)—показатель, определяемый технологией изготовления
МДП-транзистора. В большинстве случаев можно положить п=' 1.
Так как выходное сопротивление гк отражает модуляцию эф¬
фективной длины канала МДП-транзистора при изменении напря¬
жения на стоке (аналогично эффекту модуляции ширины базы
в биполярном транзисторе), то величина гк зависит от геометрии
транзистора. Чем короче канал, тем больше его относительное изме¬
нение и тем меньше гк. Обычно гк имеет порядок Ю4—:105 ом.
Для практических применений рассмотренную схему без боль¬
шого ущерба для точности можно существенно упростить (рис. 1-16,6),
если пренебречь большими (107—1010 ом) сопротивлениями утечек
гз-и» гз-ст и малыми (1—10 ом) сопротивлениями г'я, г'ст, а также
малой емкостью (10-1 пф)Ск,ст. Полагая, что инерционность
внешних цепей много 'больше инерционности канала МДП-транзи¬
стора, можно также исключить из схемы цепочку Сг.
Межэлектродные емкости С3_ст, С3_и, обусловленные частями
канала, находящимися под управляющим действием затвора, яв¬
ляются сложными функциями межэлектродных напряжений [JL 19].
Основной составляющей выходной емкости является емкость
р-п перехода сток — подложка Сш вычисляемая по обычным фор¬
мулам для ступенчатого перехода [JI. 19].
Учет нелинейности емкостей С3.ст и С3_и значительно увеличи¬
вает машинное время расчета переходных процессов. Как показы¬
вают расчеты, в переключательных схемах нелинейность этих емко¬
стей можно не учитывать, полагая С3_и = const; С3_ст = const и за¬
меняя дифференциальную емкость р-п перехода сток — подложка ее
интегральным значением. Ошибка расчета длительности переход¬
ного процесса возрастает не более чем на несколько процентов.
Рассмотренная модель достаточно точно описывает переходные
процессы в МДП - тр а н зист ор е вплоть до микр о секундного диапазона
длительности рабочих сигналов, когда инерционностью процессов
в канале МДП-транзистора можно пренебречь по сравнению с инер¬
ционностью процессов во 'внешних цепях. Описываемые ниже мо¬
дели являются различными аппроксимациями и уточнениями урав¬
нений Хофстайна, представляющих собой основную статическую
часть модели на рис. 1-16; динамические элементы модели остаются
без изменений.
Ку'с очно-линейная ;м о д е л ь. Кусочно-линей¬
ная модель МДП-транзистора основана на кусочно-ли¬
нейной аппроксимации его выходных характеристик
(рис. 1-17). На рис. 1-17,а изображены три возможных
положения аппроксимирующий линии ограничения тока:
52
линия 1 проходит через точку, лежащую на границе
триодного и пентодного участков опорной выходной ха¬
рактеристики iCT = f (ист) \ы =^о; линия 2 является ка¬
сательной к этой характеристике в начале координат,
а линия 3 проведена из условия равенства площадей,
заштрихованных оправа и слева от нее. Можно показать
[Л. 20], что в общем случае на линиях ограничения тока
выполняется соотношение
где а=1; 0,5; 0,66 для прямых 1—3 соответственно;
Р = ^з.оп/£^о — относительное напряжение на затворе для
опорной выходной характеристики; йСт = ист/и0; в3 =
= u4Uq — текущие значения напряжений на стоке и за¬
творе в относительных единицах.
Рис. 1-17. Кусочно-линейные аппроксимации вольт-ампер-
ных характеристик полевого транзистора.
Во втором варианте (рис. 1-17,6) линейно аппрокси¬
мируется триодный участок каждой характеристики.
Очевидно, соотношения (1-43) останутся справедливы¬
ми, если положить в них р='й3. Тогда напряжение в точ¬
ках излома будет йСт=а(й3—1) и среднее сопротивле¬
ние канала равно:
53
Модели, учитывающие влияние потен¬
циала подложки. В рассмотренных моделях пред¬
полагалось, что заряд Q2, который обязан акцепторным
ионам в слое объемного заряда, отделяющем канал от
подложки, постоянен. На самом деле при изменении
потенциала подложки этот заряд изменяется и вызы¬
вает изменение порогового напряжения С/0. Это явление
сказывается тем сильнее, чем больше концентрация
примесей в подложке N'u. Количественная теория {Л. 21,
22] показывает, что влияние потенциала подложки ип
на Uq выражается зависимостью
(1-44)
- постоянные величины.
При А^п=1016 см~х величина 2Ф = 0,7 в и ею можно пре¬
небречь при достаточно больших ип.
Таким образом, рост по¬
тенциала подложки ведет
iK росту напряжения на за¬
творе, при (котором открыва¬
ется транзистор, или, при
постоянном и3> t/оэ, ж умень¬
шению тока -стока /Ст-
Влияние ип на icт нужно
учитьив а ть в и нтегр а л ь -
(ных схемах, где исток на¬
грузочного М Д П - т р анз и ст о -
ра, используемого в 'каче¬
стве резистора,, оказывается
под некоторым потенциа¬
лом относительно подложки
(рис. 1-18). Это влияние можно отразить в уравнениях
Хофстайна заменой величины U0 на £/оЭ = U0 -}- b уиа.
Зависимость U0 от ап можно линеаризовать, а так-
же учесть, что наличие концентрации примеси в под¬
ложке Njr уменьшает /ст и it/rp даже при ип= 0. В этом
случае уравнения Хофстайна можно записать в виде
[JL 23]
Рис. 1-18. Симметричный триг
гер на полевых транзисторах.
где Uoa='U0 + r)Un; v}=Sn/S = du3/dun— коэффициент влия¬
ния подложки, имеющий смысл отношения крутизны по
подложке 5П к крутизне по затвору 5. Однако точность
учета влияния ип на U0 путем линеаризации зависи¬
мости '(1-44) в этой аппроксимации существенно падает
при больших диапазонах изменения ип, характерных
для переключательных схем.
Обобщенную модель Хофстайна с учетом влияния
подложки и конечного сопротивления гк в пентодной
области после некоторых преобразований можно при¬
вести к виду [J1. 35]
-46)
»
I
k% — постоянная модуляция длины канала.
Ошибка расчетов на основе этой модели составляет
не более пяти процентов. Эквивалентная схема
МДП-транзистора для расчета ИС, включающая модель
('1-46) и учитывающая (со¬
противления контактов
всех Быводов, изображена
на рис. 1-19. Сопротивле¬
ние )гк отдельно не выде¬
лено, так как его влияние
учтено в генераторе тока
(1-46) третьим сомножи¬
телем.
Непрерывная
модель. Существен¬
ным недостатком всех
р ас см отр ен н ы х м о дел ей
МДП-транзистора являет¬
ся их 'кусочный характер.
В этом случае алгоритм
55
Рис. 1-19. Упрощенная эквива¬
лентная схема полевого транзи¬
стора с учетом подложки и сопро¬
тивлений ВЫВОДОВ г'и, г' ст, Г'и\у
г'
* П2*
(расчета схемы на ЦВМ должен содержать множе¬
ство логических условий для определения режима
работы МДП-транзисторов и выбора соответствующего
уравнения для расчета. Так, например, при расчете пе¬
реходных процессов в схеме триггера (рис. 1-18) на
каждом шаге интегрирования необходимо произвести
15 проверок, так как каждый из пяти транзисторов схе¬
мы при переключении триггера может оказаться в од¬
ном из трех режимов — пентодном, триодном или
в режиме отсечки. В связи с этим особую важность при¬
обретает задача разработки непрерывной модели, пред¬
ставляющей единое аналитическое выражение, спра¬
ведливое для всех режимов работы. Вольт-амперные ха¬
рактеристики МДП-транзистора в открытом состоянии
можно аппроксимировать следующей зависимостью
[Л. 20]:
где иоэ =,f/0 -f- b Уun — эквивалентное пороговое напряже¬
ние; k2 (и3 — £/оэ)п: = Явых = — выходная проводимость
на пентодном участке. Остальные параметры совпа¬
дают с параметрами уравнений Хофстайна.
Первый член выражения (1-47) представляет непре¬
рывную аппроксимацию уравнений Хофстайна. При
иСт<и3—Uoq аппроксимируется триодный участок, а при
иСт>и3—,£/0э экспонентной можно пренебречь и первый
член совпадает с уравнением (1-42) для пентодного
участка.
Второй член выражения (1-47) уточняет аппрокси¬
мацию Хофстайна путем учета конечного выходного со¬
противления.
Модель (1-47) обеспечивает совпадение с экспери¬
ментальными характеристиками с ошибкой, не превы¬
шающей в среднем нескольких процентов, и весьма
удобна для машинных расчетов переключательных схем
на МДП-транзисторах.
Дальнейшее совершенствование модели МДП-тран-
зистора связано с учетом зависимости подвижности
носителей в канале fx от поперечного поля, обусловлен-
56
ного напряжением на затворе [JI. 15]. Обычно эта зави¬
симость проявляет себя в транзисторах с малой тол¬
щиной окисла, имеющих малое пороговое напряжение
J70 = 3^5e.
Г. ТУННЕЛЬНЫЙ ДИОД
Туннельный диод является двухполюсным прибором
с так называемой N-образной вольт-амперной характе¬
ристикой (рис. 1-20), имеющей за счет туннельного
эффекта участок с отрицательным сопротивлением. До
настоящего времени туннельный диод не нашел широ¬
кого применения в интегральных схемах из-за техноло¬
гических трудностей, поэтому основной областью его
Рис. 1-20. Вольт-амперная характеристика (а) и эквивалент¬
ная схема (б) туннельного диода.
применения являются схемы с дискретными компонен¬
тами. В связи с этим внутренними параметрами модели
туннельного диода целесообразно считать не физико¬
технологические параметры, необходимые для его изго¬
товления, а параметры вольт-амперной характеристики,
необходимые для его правильной эксплуатации. При¬
нято считать такими параметрами величины /пик, £Лтю
/мин, Uмин, Ulb смысл которых ясен из рис. 1-21,а.
Для большинства моделей туннельного диода при¬
нята аквивалентная схема, изображенная на рис. 1-20,6.
Величины пассивных элементов схемы — индуктивности
выводов LB) последовательного сопротивления \RB и
сопротивления утечки р-п перехода /?у можно опреде¬
лить по паспортным данным. Емкость Сп в основном
определяется емкостью р-п перехода и может быть вы¬
числена по формуле (1-65). Так же как модели поле¬
вого транзистора, рассматриваемые -ниже модели тун¬
нельного диода различаются лишь видом аппроксима¬
ции вольт-амперной характеристики, пассивная же часть
модели остается неизменной,
57
Кусочные модели. Кусочно-линейная .модель
основана на разбиении вольт-амперной характеристики
туннельного диода на четыре линейных участка
(рис. 1-21,а), уравнения которых следуют непосредствен¬
но из эквивалентной схемы рис. 1-21,6. Основное до¬
стоинство модели состоит в легкости определения ее
параметров и простоте аппроксимирующих выражений.
Более высокую точность дают кусочно-нелинейные мо¬
дели, однако методика определения их параметров яв-
ляется весьма сложной. Один из способов кусочно¬
нелинейной аппроксимации заключается б разбиении
вольт-амперной характеристики на ряд участков и
отыскании многочлена для описания каждого участка
[Л. 4]:
(1-48)
Рис. 1-21. Кусочно-линейная аппроксимация вольт-амперной
/ \ п ^пик .
характеристики туннельного диода (а); аД1 = -7 >
1 пик
эквивалентные схемы для каждого участка (б).
59
На многочлены U, Ip описывающие соседние областй
в точке стыковки uBj накладываются граничные усло¬
вия:
В принципе этот ме¬
тод может обеспечить
любую точность при до¬
статочно высокой сте¬
пени многочленов. Ко¬
эффициенты многочле¬
нов можно отыскивать
на ЦВМ методами ин¬
терполяции по экспери¬
ментальным точкам, сня¬
тым ,в интерполяционных
узлах.
Более простую модель
туннельного диода мож¬
но получить, исходя из
теоретического выражения для тока туннельного диода
[Л. 25]:
Это уравнение аппроксимируется двумя отрезками:
Для анализа 'переключательных схем вместо точек
^мин, /мин рекомендуется использовать точки /7/Мин=
= ({Лшк+ДО/2; //мин=/(^/мин). Более высокую точ¬
ность дает представление характеристики диода двумя
степенными функциями [Л. 24] (рис. 1-22):
Непрерывные модели. Эти модели дают мень¬
шую точность, чем кусочно-нелинейные, однако в силу
непрерывности они более удобны для составления про¬
грамм. Примером модели этого типа может служить
уравнение [Л. 4]
представляющее собою сумму туннельного, диффузион¬
ного и избыточного токов. Однако определение коэф¬
фициентов этой модели весьма затруднительно, так как
требует решения системы нелинейных уравнений, ко¬
торое не всегда можно найти. Более удобными являют¬
ся модели, полученные эмпирически, но имеющие легко
определяемые коэффициенты [Л. 25—28]:
пик
Коэффициенты этой модели определяются из системы
уравнений, составленной из условий у! (х) |х=1 ==0;
У' (х) \х =х = 0, а значение аппроксимирующей функции
привязывается к какой-либо точке на участке с отри¬
цательным сопротивлением;
3)
где
На рис. 1-23 приведена
модель туннельного диода,
используемая в программе
NET-1 [Л. 29]. Модель со¬
стоит из трех резисторов,
один из которых имеет от¬
рицательное сопротивление,
трех диодов с различными
параметрами и источника
постоянного напряжения.
Модель аппроксимирует ха¬
рактеристику с ошибкой не
более нескольких процен¬
тов. При расчете переход¬
ных процессов учитывается
емкость только одного диода. Модель успешно исполь¬
зуется для анализа релаксационных схем.
1-3. МОДЕЛИ ПАССИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
К пассивным элементам электронных схем относятся
резисторы, конденсаторы и индуктивности. В схемах
с дискретными компонентами моделирование пассивных
элементов не представляет трудностей, поскольку экви¬
валентная схема дискретного пассивного компонента не
содержит никаких других элементов, кроме самого
компонента и его паразитных параметров — индуктив¬
ностей выводов LB, межвитковых емкостей Сп, омическо-
Рис. 1-23. Модель туннельного
диода, используемая в про¬
грамме NET-1.
Рис. 1-24. Эквивалентные схемы дискретных пассивных компонентов.
а — резистор; б — индуктивность; в — конденсатор.
го сопротивления катушки \г, сопротивления утечки кон¬
денсатора (рис. 1-24), которымй обычно в рабочем
диапазоне частот можно пренебречь. Нелинейности
в эквивалентных схемах пассивных дискретных компо¬
нентов обычно можно не учитывать, за исключением
специальных случаев, когда используются, например,
нелинейные емкости — варикапы и др. Ниже рассматри¬
ваются модели пассивных элементов пленочных и инте¬
гральных схем, имеющие некоторые особенности по
сравнению со своими дискретными аналогами.
А. ПЛЕНОЧНЫЕ ПАССИВНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
О л е н о ч ный резистор. Пленочный резистор представляет
резистивную пленку, нанесенную на диэлектрическую подложку,
в качестве которой можно использовать стекло (рис. il-25,a). Основ¬
ной характеристикой резистивной пленки является сопротивление,
отнесенное к произвольному квадрату ее поверхности и обозначае¬
мое
Рис. 1-25. Пленочный резистор.
а — общая структура; б — резистивная пленка.
Величина не зависит от длины стороны квадрата а
(рис. 1-25,6) и при условии однородности резистивного слоя может
быть вычислена по общей формуле:
где (б — удельная проводимость пленки; А — толщина пленки.
Таким образом, для данного материала R^j зависит только от
толщины пленки. Тогда общее сопротивление однородной резистив¬
ной пленки шириной h и длиной /2 (рис. il-25,6) равно:
'Пленочный конденсатор. Пленочный конденсатор
представляет диэлектрическую подложку с нанесенными по обе
стороны металлическими пленками, служащими его обкладками
(рис. 1-26). Очевидно, общая емкость С тонкопленочного прямо¬
угольного конденсатора размерами h X h вычисляется так же,
как емкость плоскопараллельного конденсатора с удельной емко¬
стью С0:
62
Если удельные параметры пленки Rq, С0 изменяются по ее
длине, то такие пленки называются неоднородными. Неоднородность
пленки может быть получена, например, изменением ширины пленки
d и оценена коэффициентом неоднородности ц [Л. 32]: v\=di/d0, где
di=d0f (х) | Х=1 — ширина пленки в ее конце при x=l\ f(x)—закон
изменения ширины пленки; d0 — ширина пленки в ее .начале при
л;=0. Тогда емкость АС элементарной секции между пленками дли¬
ной Ах и шириной d(x) =d0f(x) равна:
АС(х) =C0d0f(x)Ax. (1-518)
Переходя к пределу и интегрируя, получаем общую емкость
неоднородной пленки:
Рис. 1-27. Пленочная ^С-структура (а) и ее эквивалентная
схема (б).
роль распределенного сопротивления и одной из обкладок конден¬
сатора, а по другую — металлическая пленка, играющая роль вто¬
рой обкладки конденсатора. Эквивалентная схема этой структуры
представляется в виде однородной ^С-линии с распределенными па¬
раметрами |(рис. ilJ27,6), где гш Сп, gn — погонные сопротивления,
емкость и проводимость утечки пленки: гп = #ц/^; Cn — C0d.
Если оборвать емкостный вывод 3, то сопротивление и по по¬
стоянному и по переменному току между выводами 1 и 2 будет
определяться формулой (!1-5'6). При использовании вывода 3 эту
структуру можно использовать как форсирующую, укорачивающую
или интегрирующую цепочку (рис. 1-28).
63
Рис. 1 -26. Пленочный
конденсатор.
Аналогично можно получить общее сопротивление неоднородной
пленки
Распределенная пленочная RC - с т р у кт у р а. Про¬
стейшая однородная распределенная пленочная RС-структур а
(рис. 1-'27,а) состоит из диэлектрической подложки (стекла), по од¬
ну сторону от которой .нанесена резистивная пленка, играющая
Очевидно, «и при каких значениях параметров сосредоточен¬
ных элементов в этих эквивалентных схемах их переходные ха¬
рактеристики не могут совпадать полностью с переходными харак¬
теристиками исходной RC-структуры. Поэтому моделью распределен¬
ной /?С-'структуры целесообразно считать эквивалентную схему,
в которой численные значения сосредоточенных элементов обеспе¬
чивают приближенное совпадение переходных характеристик. Связь
между параметрами эквивалентной схемы и ^С-структуры можно
Рис. 1-28. Способы использования RC-структуры.
а — форсирующая цепочка; б — интегрирующая цепочка; в - диффе¬
ренцирующая цепочка.
получить, если найти вначале точное выражение переходной харак¬
теристики по току замкнутой на конце однородной RC-линии
(рис. 1-27,6), представляющее собой сумму бесконечного экспоненци¬
ального ряда:
а затем, воспользовавшись быстрой сходимостью этого ряда, учесть
в нем только один член [Л. 30]. Тогда для RC-структуры на
рис. 1-28,а получим следующие значения параметров эквивалентной
схемы:
где г, СЕ—общие сопротивление и емкость структуры, вычисляемые
соответственно по формулам (1-56), (1-57).
Интересно отметить, что емкость в эквивалентной схеме почти
в 2,5 раза меньше полной емкости исходной /?С-стру(ктуры.
•При включении /?С-структуры по схеме на рис. '1-28,6 ее мо¬
делью можно считать интегрирующук^цепочку с параметрами R=r,
С=0,4С2, на входе которой включена идеальная линия задержки
с временем задержки t3aA=0,WRC. Параметры модели RC-струк¬
туры, включенной по схеме дифференцирующей цепи (рис. 1-28,в),
те же, что и параметры модели на рис. 1-28,а. Рассмотренные мо¬
дели дают наибольшую погрешность в области малых времен,
64
Распределенная пленочная R - С - N R - структура.
Пленочная R-C-NR-структура (рис. 1-29,а) состоит из резистивной
пленки R, диэлектрической подложки, играющей роль емкости С, и
резистивной пленки NR, где N>0. Таким образом, при N=0 полу¬
чается RС-структур а, рассмотренная выше. В общем случае пере¬
ходный процесс в R-C-NR-структуре описывается системой уравне¬
ний в частных производных, неудобной для машинного расчета.
Используя преобразование Лапласа, из этих уравнений можно
найти переходную характеристику по току однородной структуры
в режиме короткого замыкания на конце [Л. 31, 32], которая совпа¬
дает с переходной характеристикой однородной RC-структуры (1-01),
Рис. 1-29. R-C-NR-структура (а) и ее эквивалентная
схема (б).
отличаясь лишь множителем (iV+il) RC в показателе экспоненты.
Следовательно, модели R-C-NR-структуры совпадают с моделями од¬
нородной RC-структуры, отличаясь лишь тем, что сосредоточенные
сопротивления модели и, значит, эквивалентная постоянная времени
увеличены в N+‘1 раз. Если структура неоднородна, то выражения
точных переходных характеристик существенно усложняются и отыс¬
кание модели, хотя бы приближенно соответствующей исходной
R-C-N^-структуре, представляет трудную задачу.
Б. ПАССИВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫЕ
ЭЛЕМЕНТЫ
Полупроводниковый конденсатор. В качестве кон¬
денсатора в полупроводниковых интегральных схемах обычно ис¬
пользуется емкость запертого р-п перехода, называемая барьерной
емкостью.
Вычисление барьерной емкости производится на основании
уравнения Пуассона, описывающего распределение напряженности
поля в р-п переходе. В случае ступенчатого р-п перехода барьерную
емкость можно вычислять'по формуле {Л. 1]
где ЛГД — концентрация примеси;
—равновесная ширина р-п перехода;
— контактная разность потенциалов; пП) пр, рП) рр — концентрация
электронов и дырок в р и п областях; фт — температурный потен¬
циал; S — площадь р-п перехода; е0 — диэлектрическая проницае¬
мость вакуума; е — относительная диэлектрическая проницаемость;
и — внешнее напряжение.
Подставляя в (1-63) значения постоянных величин, получаем
для германия и кремния соответственно [Л. 36}:
В формуле (1-63) внак « + » соответствует обратному смещению
р-п перехода, а знак «—» прямому. Точность формулы довольно ве¬
лика при больших обратных смещениях |и|>|Дфо и падает по мере
уменьшения смещения.
Рис. 1-30. Полупроводниковый диффузионный
резистор (а) и его эквивалентная схема (б).
Для плавных р-п переходов барьерная емкость вычисляется по
формуле [JL 1]
где а — градиент концентрации примесей.
Объединяя формулы (1-63), i(il-04), получаем:
N='1/2 для ступенчатого р-п перехода, N=1/3 для плавного р-п пе¬
рехода.
Полупроводниковый резистор. В качестве рези¬
стора интегральных полупроводниковых схем используются участки
полупроводниковой подложки, имеющие отличную от окружающих
областей концентрацию примесей (рис. 1-30,а). Характер примесей
определяет резистивную зону, а количество примесей наряду с гео¬
метрическими размерами зоны определяет величину сопротивления.
Такие сопротивления образуются методом диффузии примесей в под¬
ложку и называются диффузионными. Концентрация примесей
в диффузионном сопротивлении непостоянна и уменьшается по мере
удаления от поверхности. Поэтому в расчете величины сопротивле¬
ния необходимо учитывать закон распределения примесей N(x) по
толщине сопротивления х, что обычно осуществимо с помощью
ЦВМ. Этот расчет базируется на формуле для электропроводности
резистивного слоя [JI. 36]:
где Nb, N (х) —концентрации примесей соответственно на границе
р-п перехода у «дна» диффузионного слоя (рис. 1-30,а) и на рас¬
стоянии х от поверхности; Xj — глубина залегания диффузионного
слоя; ||А=1f\[N (х)—Nb]— подвижность носителей, зависящая от плот¬
ности ионизированных атомов примеси n=N(x)—Nb.
Так как диффузионное сопротивление отделено от подложки
р-п переходом, то часть поперечного сечения сопротивления состав¬
ляет слой объемного заряда р-п перехода, зависящий от приложен¬
ного напряжения. Ори изменении тока через сопротивление напря¬
жение на нем относительно подложки изменяется, что приводит
к изменению ширины слоя объемного заряда, а значит, и величины
самого сопротивления.
Таким образом, величина диффузионного сопротивления нели¬
нейно зависит от приложенного напряжения, причем тем сильнее,
чем меньше толщина сопротивления Xj и больше амплитуда прило¬
женного напряжения «£/м. Этой зависимостью можно пренебречь,
если для ступенчатого и плавного р-п переходов выполняются соот¬
ветственно условия [Л. 36]
Если эти условия не выполняются, то в формуле (1-66) не¬
обходимо учитывать зависимость верхнего предела от величины на¬
пряжения, приложенного к р-п переходу в рассматриваемом сечении.
Это напряжение в свою очередь зависит от расположения сечения
по отношению к концам сопротивления, что еще более усложняет
расчеты по формуле (1-66).
Смещение в обратном направлении р-п перехода на границе
диффузионного сопротивления и пластины помимо модуляции сопро¬
тивления влечет за собой также появление паразитной барьерной
емкости вдоль всей длины сопротивления и паразитного тока утечки
/о. Обычно величиной */0 можно пренебречь по сравнению с мини¬
мальным рабочим током, текущим через сопротивление, однако
в ключевых схемах это пренебрежение не всегда допустимо. При
(1-66)
5*
67
расчёте переходных 'йроцёссов в схемах с диффузионными сойро-
тивлениями нужно учитывать паразитную емкость изолирующих
/wi-переходов, что приводит к представлению диффузионного сопро¬
тивления в виде RC-линии с распределенными параметрами. Эту
линию можно заменить эквивалентной /^С-цепочкой с сосредоточен¬
ными параметрами (рис. 1-30,6), которая имеет такое же сопро¬
тивление между входными и выходными зажимами, как и RC-ли-
ния, и накапливает такой же заряд. Если погоныше сопротивления и
емкость RC-лшим равны соответственно Л и С, то нетрудно опре¬
делить параметры звена ^С-депочки из «.-звеньев J7I. 134]. Для цепи
с коротким замыканием на выходе R='Rl/n\_ С=Cl/п-для цепи,
работающей в режиме холостого хода, R=Rljn—1; C=Cl/n.
Аналогично можно получить значения R и С для /^С-цепочки,
в которой первым элементом является сопротивление. Точность мо¬
дели диффузионного сопротивления зависит от числа звеньев
в /?С-цепочке. Число звеньев для обеспечения заданной точности
можно рассчитать путем последовательного добавления звеньев
к /?С-цепочке и сравнения переходной характеристики на ее выходе
с точной переходной характеристикой. Влияние р-п перехода на ха¬
рактеристики диффузионного сопротивления можно не учитывать,
если для изоляции схемы от подложки используются не р-п пере¬
ходы, а диэлектрическая изоляция из двуокиси кремния.
Глава вторая
СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ С ПОМОЩЬЮ
ЦВМ
2-1. ИСХОДНЫЕ ПРЕДПОСЫЛКИ
ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Одним из важных этапов проектирования электрон¬
ной схемы является математическое описание происхо¬
дящих в ней процессов на базе основных законов элек¬
трических цепей. Это математическое описание вклю¬
чает два этапа: составление эквивалентной схемы по
заданной принципиальной схеме и составление уравне¬
ний, описывающих процессы в эквивалентной схеме.
В качестве примера рассмотрим математическое опи¬
сание схемы электронного ключа (рис. 2-1,а), в которой
для общности рассмотрения конкретный активный ком¬
понент заменен обобщенным нелинейным элементом.
На этапе составления эквивалентной схемы учитыва¬
ется физическая реализация каждого компонента схемы
(дискретная, пленочная, твердотельная) и в соответст¬
вии с этим производится замена компонента его мате-
68
матической моделью обычно в виде эквивалентной сХё-
мы. В данном случае при условии, что пассивные
компоненты — дискретные, а математическая модель
нелинейного элемента — сепарабельная и .может быть
представлена в виде независимай композиции инерцион¬
ной части (емкостей) и безынерционной части (уравне¬
ния статических вольт-амперных характеристик), экви¬
валентная схема ключа примет вид, изображенный на
рис. 2-1,6. Необходимо отметить, что задача составле-
Рис. 2-1. Электронный ключ (а) и его эквивалентная схе¬
ма (б), подготовленная для составления топологического и
алгебраического описания.
ния эквивалентной схемы пока еще не может быть пол¬
ностью возложена на ЦВМ даже при наличии в ее
памяти библиотеки математических моделей для каж¬
дого компонента схемы. Это объясняется тем, что прин¬
ципиальная схема и математические модели могут не
отражать всех связей, имеющих место в реальной схе¬
ме. В частности, применительно к интегральным схемам
могут быть не отражены паразитные емкости и гальва¬
нические связи из-за общей подложки; связи неэлектри¬
ческого происхождения, например тепловые из-за само-
разогрева близко расположенных компонентов, и т. д.
Чтобы автоматизировать процесс составления эквива¬
лентной схемы, в ЦВМ должна быть заложена инфор¬
мация не только о математических моделях7 и соедине¬
ниях компонентов, но и информация о взаимном рас¬
положении компонентов на подложке для оценки
существенности паразитных связей. Кроме того, в ЦВМ
нужно ввести математические электрические модели
побочных физических явлений, сопутствующих электри¬
ческим процессам. Так, например, для упомянутого
69
явления связей из-за саморазогрева нужно, во-первых,
построить электрическую эквивалентную схему и, во-вто¬
рых, определить ее численные параметры. Поскольку
методы автоматического учета паразитных связей и
побочных явлений пока не разработаны, задачу состав¬
ления эквивалентной схемы с учетом этих связей и яв¬
лений может решать лишь сам разработчик.
На втором этапе математического описания на осно¬
ве эквивалентной схемы составляется в общем случае
система алгебраических или трансцендентных уравне¬
ний для расчета статического режима эквивалентной
схемы и система дифференциальных уравнений для рас¬
чета переходных процессов. Очевидно, что ошибки,
допущенные на этапе составления уравнений, опреде¬
ляют ошибочность всего последующего расчета схемы.
В связи с этим весьма важно формализовать процесс
составления уравнений до такой степени, при которой
вероятность ошибок становится минимальной. В этом
случае процесс составления уравнений должен пред¬
ставлять собой последовательность стандартных эле¬
ментарных логических и арифметических операций, вы¬
полняемых в строго регламентированном порядке без
творческого участия инженера-разработчика, и тогда
задача составления уравнений эквивалентной схемы
может быть выполнена в ЦВМ автоматически. Посколь¬
ку при правильно составленной программе в ЦВМ не
возникает ошибок по небрежности, рассеянности или
незнанию, характерных для человека, то вероятность
ошибок в составлении уравнений существенно сокра¬
щается и определяется в основном ошибками в исход¬
ной информации об эквивалентной схеме, составляемой
вручную.
Б. ОБЛАСТЬ ПРИМЕНИМОСТИ ЗАКОНОВ КИРХГОФА
Составление алгебраических и дифференциальных уравнений
для данной эквивалентной схемы основано на двух законах Кирх¬
гофа. Первый закон Кирхгофа гласит, что сумма токов, втекающих
в любой узел электрической цепи, равна сумме токов, вытекающих
из этого узла, или с учетом знаков алгебраическая сумма токов i
в узле равна нулю:
Второй закон Кирхгофа состоит в том, что сумма падений
напряжений вдоль любого замкнутого контура электрической цепи
70
равна сумме напряжений источников, действующих в этом контуре,
или с учетом знаков алгебраическая сумма напряжений Uh ветвей
в контуре равна нулю:
Напомним, что любой замкнутый путь в цепи называется кон¬
туром, отрезок, символизирующий двухполюсный элемент цепи —
ветвью, а точка соединения двух или 'более ветвей — узлом.
Первый закон Кирхгофа основан на принципе нейтральности
заряда, согласно которому в стационарном режиме в любой точке
электрической цепи суммарный заряд равен нулю.
(Второй закон Кирхгофа основан на условии равенства нулю ;
результирующей работы при перемещении электрического заряда '
в электростатическом поле вдоль любого замкнутого контура.
Весьма важно подчеркнуть, что законы Кирхгофа имеют -уни¬
версальный характер и справедливы для анализа по постоянному
току и в переходном режиме как линейных, так и нелинейных це¬
пей.
Справедливость законов 'Кирхгофа для нелинейных цепей вы¬
текает из независимости принципа нейтральности заряда и условия
электростатичности поля от линейного или нелинейного характера
элементов в цепи. Законы Кирхгофа, безусловно справедливые в
цепях постоянного тока, можно применять и для расчета переходных
процессов, если выполняется условие квазистационарности токов и
напряжений. Это условие заключается в том, что скорость изменения
токов и напряжений в схеме предполагается достаточно малой по
сравнению со скоростью распространения этих изменений. Другими
словами, необходимо, чтобы за время t, в течение которого измене¬
ния токов и напряжений передаются от одного участка цепи к дру¬
гому, сами токи и напряжения изменились незначительно, т. е. вы¬
полнялось бы условие:
где Т — период колебаний для колебательных цепей или постоянная
времени для апериодических цепей.
Применительно к колебательным цепям после умножения обе¬
их частей неравенства (2-3) на скорость распространения электро¬
нов в металле с=3-1010 см/сек получим слева линейный размер
цепи l = ct, а справа — длину электромагнитной волны к=сТ. По¬
этому условие квазистационарности можно записать в следующем
виде:
Невыполнение условий (12-3) и (2-4) означает, что параметры
цепи имеют распределенный характер, т. е. токи и напряжения за¬
висят от пространственной координаты, и для математического
описания цепи нужно использовать не законы Кирхгофа, а соответ¬
ствующие им уравнения Максвелла в случае цепи, излучающей
электромагнитные волны, или уравнения >в частных производных
в случае неизлучающей цепи. В последнем случае, чтобы приме¬
нить законы Кирхгофа, отнесенные к мгновенным значениям токов
и напряжений, для расчета переходных процессов нужно либо
вводить в каждой части схемы свое начало отсчета времени путем
71
расчета задержек распространения сигнала от одной части схемы
к другой, либо аппроксимировать цепь с распределенными парамет¬
рами цепью с сосредоточенными параметрами, как это уже было
проделано в первой главе с базовой областью биполярных транзи¬
сторов и пленочными структурами.
'Количество звеньев с сосредоточенными параметрами в аппрок¬
симирующей цепи зависит от ее быстродействия. В цепях, рабо¬
тающих с сигналами длительностью более 0,1 мксек, условие (2-3)
выполняется хорошо, задержкой распространения сигнала -(временем
пролета базы в транзисторах) можно пренебречь по сравнению
с длительностью переходных процессов и использовать однозвенную
аппроксимацию с одной постоянной времени (модель Эберса—Мол-
ла). Для более быстродействующих схем, работающих с наносекунд-
ными сигналами, где условие /(2-3) выполняется хуже, могут по¬
требоваться более сложные многозвенные модели либо необходимо
непосредственно решать уравнения в частных производных (уравне¬
ние непрерывности для транзистора).
В. ИСХОДНАЯ ИНФОРМАЦИЯ ДЛЯ СОСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ
Вернемся к схеме на рис. 2-1,6 и будем ее рассчиты¬
вать на основе законов Кирхгофа. Пусть нужно найти
законы изменения напряжений в узлах 1м 2 (рис. 2-1,6)
при замыкании ключа. Выбрав потенциалы этих точек
в качестве узловых, приняв потенциал заземленной ши¬
ны равным нулю и задав направления токов, получим
следующие уравнения по первому закону Кирхгофа:
(2-5)
где fi(ui, u2) = г'вх И f2(ui, u2) = г'вых — соответственно
входная и выходная характеристики нелинейного эле¬
мента.
При составлении уравнений (2-5) нами использова¬
лась информация о соединении компонентов в цепи для
определения ветвей, подходящих к узлам 1 и 2. Инфор¬
мацию подобного рода о связях в схеме будем называть
топологическим описанием эквивалентной схемы. Кроме
того, чтобы правильно записать формулу тока ветви,
нами использовалась информация, описывающая тип
компонентов в каждой ветви. Для решения системы
(2-5) требуется также информация о номиналах ком¬
понентов схем и характеристик нелинейного элемента.
Эту описательную и числовую информацию будем на-
72
ЗЫвать алгебраической. Наконец, при составлении ей-
стемы (2-5) мы в неявном виде использовали некоторые
дополнительные правила, например закон Ома для вет¬
вей цепи. Эту информацию назовем управляющей.
Для автоматического составления с помощью ЦВМ
уравнений, подобных (2-5), в программу нужно ввести
всю ту информацию об эквивалентной схеме, которой
располагал разработчик. Для этого узлы и ветви экви¬
валентной схемы нумеруют и дают каждому компонен¬
ту схемы описание. Описание включает в себя топологи¬
ческую часть — номер компонента и номера узлов,
между которыми он включен, и алгебраическую часть —
тип компонента и номинал для постоянных конденсато¬
ров, резисторов, индуктивностей и источников тока и
напряжения. Нелинейные компоненты обычно задаются
подпрограммой, обращение к которой указывается
в описании. Все вычисления, связанные с нелинейностя¬
ми характеристики компонента, производятся внутри
подпрограммы в соответствии с выбранной математиче¬
ской моделью этого нелинейного компонента. В качест¬
ве примера приведем возможное описание схемы на
рис. 2-1. Индексы элементов проставим так, чтобы они
соответствовали последовательным номерам ветвей схе¬
мы. Обычно нумеруется сначала один тип элементов,
затем посадовательно второй, третий и т. д. Пронуме¬
руем так же узлы схемы, приписав базисному зазем¬
ленному узлу, относительно которого ведется отсчет,
нулевой номер.
В результате получим следующее описание схемы
(табл. 2-1).
Таблица 2-1
Топологическое описание
Алгебраическое описание
Номер ветви
Номер началь¬
ного узла
Номер конеч¬
ного узла
Тип элемента
Номинальное
значение
1
8
1
R
Ю3
2
7
1
R
2.108
3
1
0
R
5-103
4
7
2
R
6-102
5
1
0
С
1 • 10~10
6
2
0
С
5-10-11
7
0
3
Е
10
8
0
4
0,001, а, Ьу с
73
Для описанйя и расчета нелинейных компонентов можно вос¬
пользоваться программным способом (Л. 95]. В таблице исходных
данных расположим информацию о каждой нелинейности в следую¬
щем порядке: сначала запишем общее число параметров N не¬
линейности — внутренних (электрофизические, геометрические, кон¬
станты и др.) и внешних |(токи и напряжения, необходимые для
расчета данной нелинейности), затем перечислим внутренние пара¬
метры, представленные в виде своих численных значений, и потом
внешние, представленные номерами тех компонентов, к которым они
относятся. Зафиксируем порядок следования параметров и обозна¬
чим номером N подпрограмму для расчета данной нелинейности,,
если, конечно, нет других типов нелинейности с тем же числом,
параметров. Например, если активный нелинейный элемент на.
рис. 2-il,6 является МДП-транзистором, управляемым напряжениями:
на затворе и на стоке, равными соответственно .напряжениям на.
элементах с номерами 5 и 6, то его можно описать так:
7; = 10 ~5 q2 » ^2 ~ 10 ~6 g2 » и0 — 5 b = 0; /о—0; 5;
где 7 — общее число параметров и номер подпрограммы, вычис¬
ляющей ток стока по формуле (1-47). Пусть схема содержит k ком¬
понентов, каждый из которых имеет rii параметров (i — порядковый
номер компонента i= 1, 2,..., /г), так что общее число параметров;
k
равно 2 пг- Запишем все параметры в массив Ml один за другим,
i=\
так что в нем образуются группы по Пх ячеек с информацией об
i-м компоненте.
Параллельно сформируем массив М2 из k ячеек и поместим в
каждой его /-й ячейке число mt — 1 + 2 щ, равное номеру ячейка®
/= 1
массива Ml, начиная с которого в этом массиве хранится ийфор-
мация о компоненте номера i. Таким образом, при обращении
к i-й ячейке массива М2 для расчета i компонента вызываются на¬
чальная ячейка rrii и группа из щ параметров массива Ml, а также
происходит обращение к подпрограмме номера tii=N, в которую
засылаются извлеченные из Ml внутренние параметры я значения
внешних параметров, рассчитанные по соответствующим уравнениям.
Очевидно, компонент с постоянным номиналом можно рассматри¬
вать как частный случай нелинейности с одним параметром, при
этом для его расчета не нужно даже обращаться к подпрограммам,
достаточно обращения к массивам М2 и Ml.
Сложный входной сигнал в общем случае тоже мо¬
жет быть задан подпрограммой. В этом случае в опи¬
сании, кроме номера подпрограммы, нужно указать
параметры сигнала, например 0,001,а, Ь, с.
Таблицы, содержащие топологическое и алгебраиче¬
ское описание эквивалентной схемы, заносятся на пер-
фокарты и вводятся в ЦВМ. Кроме того, в память вво¬
дится совокупность подпрограмм, образующая библио¬
74,
теку математических моделей нелинейных элементов и
входных сигналов. Чтобы ЦВМ могла составить урав¬
нение, осталось ввести в нее управляющую информа¬
цию, представляющую собой алгоритмы переработки
топологической и алгебраической информации, записан¬
ные в виде программы составления .уравнений.
Методы получения этих алгоритмов основаны на
матричном представлении компонентов схемы и тополо¬
гических законах цепей, рассматриваемых ниже.
Г. МАТРИЦЫ КОМПОНЕНТОВ СХЕМЫ
Параметры компонентов схемы можно представить
в виде матриц, облегчающих запись уравнений цепей
для машинного расчета. Для этого в отличие от про¬
стой ветви, содержащей только один компонент, как
в табл. 2-1, рассмотрим обобщенную ветвь MN элек¬
трической цепи (рис. 2-2), в которую помимо собствен¬
ного сопротивления ветви zn или проводимости ветви уп
включены источники тока 1п и напряжения Еп.
Рис. 2-2. Ветвь электрической цепи
в общем виде.
Обобщенная ветвь, в которой пассивный компонент
классифицируется как сопротивление z, называется
2-ветвью в отличие от у-ветви, в которой пассивный
компонент рассматривается как проводимость у. Оче¬
видно, любую обобщенную ветвь можно рассматривать
и как г-\ и как у-ветвь. Закон Ома для е-ветви имеет
вид:
Положительные направления источников и токов на
рис. 2-2 выбраны произвольно, но должны соблюдаться
одинаковыми по отношению друг к другу внутри каж¬
дой ветви схемы.
75
Для всех в ^-ветвей схемы можно составить систему
уравнений
или в матричной форме
где и, Е, I, i — вектор-столбцы напряжений ветвей, источ¬
ников напряжений в ветвях, источников тока в ветвях
и токов ветвей; z — матрица сопротивлений ветвей по¬
рядка вХв. Важно отметить, что эта :матрица — диаго¬
нальная. Ее диагональными членами являются собст¬
венные сопротивления ветвей. В частном случае, если
имеется взаимная связь между какими-либо двумя эле¬
ментами схемы Zi и я*, то она представляется в матри¬
це z недиагональными симметричными членами Zih
с соответствующими знаками.
Если элементы связаны пассивной связью, имеющей
равные коэффициенты передачи с входа на выход и
с выхода на вход, то недиагональные члены равны по
модулю: \zik\ = \zui\. Например, если в схеме имеется
индуктивная связь между двумя индуктивностями L*
и Lk, то в матрице z она будет отражена недиагрналь-
ными симметричными равными по модулю членами Мы
и Mik, представляющими собой коэффициенты взаимо¬
индукции. Если элементы связаны активной связью,
имеющей однонаправленный характер, то недиагональ¬
ные члены не будут равны: \zik \ ¥=}\zki\-
76
Закон Ома для обобщенных ^-ветвей можно запи¬
сать также в матричной форме через проводимости
ветвей:
где у—квадратная матрица проводимостей ветвей по¬
рядка вХв, обратная матрице z.
Матрицы параметров ветвей схемы могут быть со¬
ставлены на ЦВМ на основе исходного описания схемы.
Очевидно, в каждой ветви реальной схемы необяза¬
тельно должны присутствовать все элементы, обозна¬
ченные на рис. 2-2. Разбиение схемы на ветви может
Ркс. 2-3. Представление схемы различным числом ветвей.
а, б — конкретный пример; в, г — общий случай.
быть неоднозначным и зависит от метода, выбранного
для расчета схемы. Например, для схемы на рис. 2-3,а
можно либо считать каждый компонент самостоятель¬
ной простой ветвью, либо включить источник питания Е
в состав ветвей L и С, а источник тока / в состав вет¬
ви R (рис. 2-3,6). В первом случае получим пять про¬
стых ветвей, а во втором — три обобщенных, которые
можно рассматривать либо как г-ветви, либо как у-вет-
77
ви. Матрицы параметров обобщенных 2-ветвей получа¬
ются непосредственно из рассмотрения уравнений вет¬
вей, записанных в матричной форме (2-7а):
Если схема разбита на простые ветви, содержащие
источники тока и напряжения, то запись закона Ома
для всех ветвей в форме (2-66) или (2-8) затруднитель¬
на, так как 2-ветви — источнику тока 1п соответствует
бесконечно большое параллельное сопротивление zn,
а у-ветви — источнику напряжения Еп — бесконечно
большая последовательная проводимость этой ветви уп-
Естественно, что бесконечно большие величины не мо¬
гут- находиться в составе матриц z и у. Запись для
простых ветвей Еп и 1п закона Ома в смешанной фор¬
ме— для ветвей Еп по уравнению (2-76), а для ветвей
1п — по уравнению (2-8), также неприемлема, так как
при этом в составе матриц z и у появятся нулевые
строки и столбцы, соответствующие ветвям — источни¬
кам тока и напряжения. В связи с этим для простых
ветвей с пассивными компонентами закон Ома записы¬
вается, например, в форме (2-6а) для 2-ветвей, а вет¬
ви— источники напряжения и тока образуют отдельные
вектор-столбцы, не связанные с '.пассивными ветвями.
Естественно, алгоритмы составления уравнений схем
с простыми и обобщенными ветвями различны.
Для экономии времени расчета следует стремиться
к уменьшению порядка компонентных матриц, т. е.
к -разбиению схемы на возможно меньшее число ветвей.
Для этих целей можно воспользоваться, ,в частности,
приемами, изображенными на 1рис. 2-3,в, г, каждый из
которых уменьшает число ветвей на единицу, за счет
исключения ветви Е на рис. 2-3,в и ветви I ка рис. 2-3,г.
Вообще способ разбиения схемы на ветви и компонент¬
ный состав ветвей определяется, как будет видно из
дальнейшего, методом анализа схемы.
78
Д. МАТРИЧНАЯ ЗАПИСЬ ОСНОВНЫХ МЕТОДОВ АНАЛИЗА
ЦЕПЕЙ
Основными методами анализа цепей являются:
1) метод уравнений Кирхгофа; 2) метод контурных то¬
ков; 3) метод узловых потенциалов ,и 4) метод пере¬
менных состояния. Главеое различие этих методов
заключается в составе физических величин, выбираемых
в качестве переменных. Эти переменные относятся
обычно к определенным категориям соединений элек¬
трической цепи: ветви, контуру или узлу.
Обозначения переменных и компонентов электриче¬
ской цепи, которыми мы будем пользоваться в дальней¬
шем, приведены в табл. 2-2.
Таблица 2-2
Тип переменной или компонента
цепи
Ветвь
Контур
Узел, узловая пара
Ток
i
/
—
Напряжение
и
—
<р> е
Сопротивление
Z
Z
—
Проводимость
У
—
Y
Источник тока
I
—
V
Источник напряжения
Е
Ег
—
Например, для анализа схемы на рис. '2-4 можно использовать .
следующие компоненты и переменные цепи: сопротивления ветвей
2i, Z2, *3, 24, КО'НТурНЫе СОПрОТИВЛеНИЯ Zi = 2i + 22+2з, Z2=23+
+ 24+25, Z3=£1+22+24+г5; проводимости ветвей i/i=.l/2i, 1/2=1/22
и т. д.; узловые проводимости Fa с = */3 + 1/(24+25) +‘l/(2i+22) и т. д.;
токи и напряжения ветвей iif ии i2> и2 и т. д.; контурные токи /1,
/2, /з, узловые напряжения относительно базисного узла С фл, ,фв,
узловые пары напряжений еАв, еАс, еВс, источники напряжения
79
Рис. 2-4. К понятию переменных цепи.
Elt E2, источники тока /4, /2. На практике обычно компоненты вет¬
вей z, у, If Е можно считать заданными, а тип переменных цепи
определяется, как показано на рис. '2-5, выбранным методом анализа
цепи. Методы уравнений Кирхгофа, контурных токов и узловых
Методы анализа цепей
Рис. 2-5. Связь переменных цепи с методами их анализа.
Рис. 2-6. К анализу схем методом переменных состояния.
а — исходная схема для составления уравнений Кирхгофа; б — число диф¬
ференциальных уравнений схемы равно числу реактивностей; в — число диф¬
ференциальных уравнений схемы меньше числа реактивностей.
потенциалов хорошо известны, поэтому рассмотрим их кратко. При
использовании метода уравнений Кирхгофа составляются уравнения
баланса напряжений в контурах цепи и уравнения баланса токов
в узлах, причем в качестве переменных, входящих в эти уравнения,
используются либо только токи ветвей, либо только напряжения
ветвей.
80
Например, для схемы на рис. 2-6,а уравнения (Кирхгофа йрй
использовании в качестве переменных токов ветвей будут иметь вид:
Уравнения Кирхгофа можно записать с помощью векторов
и матриц:
для случая переменных — токов ветвей
и для случая переменных — напряжений ветвей
(2-9а)
(2-96)
Здесь Е! — векторы-столбцы алгебраических сумм
соответственно токов и источников тока в узлах и напряжений и
источников напряжений в контурах; z', у'— матрицы, суммы элемен¬
тов строк которых соответствуют собственным сопротивлениям
(проводимостям) контуров '(узлов).
При составлении уравнений необходимо, чтобы в первом слу¬
чае между узлами не 'было одних лишь независимых источников на¬
пряжений, а во втором случае в контуры не входили независимые
источники тока, в противном случае необходимо их преобразование.
Метод контурных токов состоит в выделении в схе¬
ме п независимых контуров и протекающих по ним
контурных токов jn и присвоении каждому току произ¬
вольного направления. Эти токи принимаются в ка¬
честве независимых переменных. Для их. определения
по второму закону Кирхгофа составляются уравнения
для каждого контура. Получается система уравнений:
или в матричном виде
где Z — матрица контурных сопротивлений порядка
кХк, в которой диагональные члены Zu являются соб-
6—444 81
ственными сопротивлениями контуров, а недиагональ-
ные Zij — взаимными сопротивлениями i-го контура для
/-го контурного тока.
Метод контурных токов требует преобразования
источников тока в схеме в источники напряжения.
Метод узловых потенциалов предполагает, что не¬
зависимыми переменными являются потенциалы фп уз¬
лов цепи относительно опорного, базисного узла. Урав¬
нения для определения фп составляются по первому за¬
кону Кирхгофа для каждого узла:
или в матричном виде
где Y — матрица узловых проводимостей порядка пХп,
в которой диагональные члены Уц являются собствен¬
ными проводимостями узлов, равными сумме проводи¬
мостей компонентов, связанных с данным узлом, а не¬
диагональные члены Yij — взаимными проводимостями
между узлами.
Метод узловых потенциалов требует преобразования
источников напряжения в схеме в источники тока.
Отметим, что во всех трех методах используются
однотипные переменные или, говорят, уравнения состав¬
ляются в однородном базисе. Нужно отметить также,
что в настоящее врем.я наиболее разработаны числен¬
ные методы решения систем дифференциальных урав¬
нений первого, порядка, приведенных к так называемой
нормальной форме, т. е. разрешенных относительно
производных. Рассмотренные же методы составления
уравнений в общем случае приводят к системам диф¬
ференциальных уравнений, неразрешенным -относитель¬
но производных и неудобным для численного решения
на ЦВМ, так как для это^о нужно использовать срав¬
нительно мало разработанные методы неявного инте¬
грирования.
От этого недостатка избавлен сравнительно новый
метод анализа цепей, получивший название метода
переменных состояния. Основная идея этого
метода заключается в следующем.
82
Из теории цепей известно (Л. 37], что переходные
процессы в любой электрической схеме, содержащей
реактивные элементы — емкости и индуктивности, описы¬
ваются дифференциальным уравнением n-го порядка,
где п — число независимых начальных условий, равное
числу независимых начальных запасов энергии в схеме.
Поскольку энергия запасается в реактивных элементах
схемы, то порядок дифференциального уравнения равен
сумме числа емкостей с независимыми начальными за¬
рядами Q и числа индуктивностей с независимыми на¬
чальными потокосцеплениями 4я.
Величины Q и ? определяют все степени свободы
схемы, поэтому их можно выбрать в качестве незави¬
симых переменных, называемых переменными состоя¬
ния, так как эти величины полностью определяют со¬
стояние схемы как в текущий момент времени, так и
в последующие. Поскольку Q=Cuc и x¥ = LiL, то, по¬
лагая, что емкости С и индуктивности L постоянны,
будем считать независимыми переменными состояния
напряжения на емкостях ис и токи в индуктивностях^.
Дифференциальное уравнение п-го порядка, описы¬
вающее переходные процессы в схеме, эквивалентно
системе п дифференциальных уравнений первого поряд¬
ка относительно ис и iL, Например, линейную систему
можно записать в следующем виде:
(2-12а)
6*
83
или в матричной нормальной форме
—►
где X — вектор-столбец независимых переменных состояния
X = (иС1,uck, iLk+l , ..iLn)1; А — квадратная матрица
коэффициентов ац — 6,-j/Cj (/ = 1, 2,k), ац = bijjLj (/ =
—V
= £-|-1, k-{-2,п); В—матрица коэффициентов при V;
V — вектор-столбец сигналов.
В общем случае решение системы (2-12) состоит из
свободных (собственных) и вынужденных колебаний,
возникающих под воздействием сигналов V. При отсут¬
ствии сигналов (V=0) решением системы (2-1.2) явля-
_ ются уравнения свободных колебаний в схеме, возни-
—>
кающих при ненулевых начальных условиях Х0фО.
Например, при включении напряжения питания, играю¬
щего роль скачкообразного сигнала, в схеме возникают
свободные и вынужденные колебания, а при выключе¬
нии— свободные колебания. Очевидно, после включе¬
ния схемы свободные колебания, если схема неавтоге-
нераторная, через некоторое время затухнут и в схеме
установится стационарный, статический режим. Поэтому
значения переменных состояния ис и iL“ в статическом
режиме можно найти двумя способами: либо как реше¬
ние системы дифференциальных уравнений (2-12) при
t—^оо, либо как решение системы алгебраических
уравнений, получающихся из системы (2-12) при нуле¬
вых производных в левых частях. Справедливость вто¬
рого способа вытекает из того, что в статическом ре¬
жиме изменения переменных 'состояния ис и iL равны
нулю.
Уравнения, входящие в систему (2-12), называются
уравнениями состояния. Очевидно, они составляются
на основе законов Кирхгофа. Однако рассмотренный
выбор независимых переменных ис, 1ь приводит к нор¬
мальной форме дифференциальных уравнений, которая
позволяет анализировать как линейные, так и нелиней¬
ные схемы в статическом и переходном режимах на ос¬
нове хорошо разработанных для уравнений в нормаль¬
ной форме численных методов.
84
Если выходными величинами увых являются пере¬
менные состояния и с, ib, то их можно найти из уравне¬
ния (2-12). Если же выходные величины не совпадают
с переменными состояния, то для определения увых
нужно дополнительное уравнение, которое выражает
Увых как линейную комбинацию переменных состояния
и -сигналов:
(2-13)
где Уъых — вектор выходных величин; С и D — матрицы
коэффициентов, выраженных через компоненты схемы.
В качестве примера приведем запись уравнений состояния, опи¬
сывающих переходные процессы в схеме на рис. 2-6,6 при замы¬
кании ключа i[Jl. 3!8]. Обычная запись по законам Кирхгофа имеет
вид:
(2-14)
где X =
—вектор переменных состояния иси iL; УВЫх =[w^2] —
вектор выходных величин; V=[/ (t)]—вектор сигналов; А, В, С, D —
матрицы коэффициентов:
Полагая ducldt=dib/dt=0, /i(£)=const, получаем систему алге¬
браических уравнений для расчета статического режима:
Систему (2-15) можно получить также из уравнений (2-14),
П1ри0С = 0 и L=0, т. е. при размыканий емкостной ветви, и коротком
замыкании индуктивной ветви.
85
В матричном виде эту систему можно записать так:
Порядок системы независимых дифференциальных
уравнений, описывающих переходные процессы в схеме,
не может превышать число реактивностей с независи¬
мыми начальными условиями и легко определяется не¬
посредственно из эквивалентной схемы как сумма ем¬
костей с независимыми напряжениями и индуктивностей
с независимыми токами. Так, схема на рис. 2-6,в описы¬
вается системой четырех дифференциальных уравнений,
так как три емкости образуют контур, в котором только
два независимых напряжения, а три индуктивности
образуют звезду, в которой только два независимых
тока.
Метод переменных состояния является наиболее пер¬
спективным методом анализа цепей и позволяет анали¬
зировать линейные, нелинейные и параметрические це¬
пи. Этот метод в последнее время начинает широко
использоваться и для проектирования систем автомати¬
ческого управления.
2-2. ТОПОЛОГИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
А. ГРАФ СХЕМЫ И ЕГО ЭЛЕМЕНТЫ
Задача топологического описания схемы состоит
в том, чтобы перевести графическую конфигурацию
электронной схемы, т. е. упорядоченную совокупность
соединений ее компонентов, на алгебраический язык,
который затем можно было бы использовать для со¬
ставления уравнений. В основе- топологического описа¬
ния схем лежит понятие графа. Графом в общем случае
называется совокупность отрезков произвольной длины
и формы, называемых ветвями, и точек пересечения
ветвей, называемых вершинами. Любая совокупность
ветвей, принадлежащих графу, называется подграфом.
Подграфы, не имеющие
общих вершин, образуют
несвязный граф. Граф
нельзя рассматривать как
геометрическую фигуру,
которая описывается дли¬
ной составляющих ее от¬
резков и углами между
ними. Основная тополо¬
гическая информация, за-
ь
а
Рис. 2-7. Два одинаковых графа.
клк)ченная в графе, состоит в графическом выражении
связей между вершинами графа. Графы на рис. 2-7,а и
б эквивалентны друг другу, так как связи между вер¬
шинами одинаковые.
Следует отметить, что для расчета электронных цепей ис¬
пользуются два типа графов — направленные [Я. 39, 40] и ненаправ¬
ленные |[Л. 50]. Направленным, или сигнальным, графом электронной
цепи, называется диаграмма прохождения сигнала по цепи,
состоящая из вершин и направленных ветвей, причем верши¬
нами являются не узлы цепи, а ее переменные, например контурные
токи или узловые потенциалы, а направление ветвей соответствует
направлению передачи сигнала по принципу причина — следствие.
Каждой ветви приписывают алгебраическую величину, называемую
передачей ветвей и равную отношению переменных в конце и в на¬
чале ветви. Сигнальный граф не выражает топологическую егрук-
Рис. 2-8. Принципиальная электрическая схема (а), ее граф (б)
и деревья графа (в и г).
туру цепи и 'представляет собой графическую запись законов Кирх¬
гофа. В дальнейшем сигнальный граф последовательно упрощается
по определенным правилам, гари этом изменяются передачи ветвей.
В конечном итоге можно получить алгебраичеокие выражения для
искомых параметров схемы через параметры ее компонентов непо¬
средственно из графа, не прибегая к составлению и аналитическому
решению уравнений Кирхгофа.
В отличие от сигнального ненаправленным графом называется
графическое отображение топологической структуры цепи. Верши¬
нами и ветвями ненаправленного графа являются узлы и ветви
электрической цепи ,(рис. 2-8). Если приписать каждой ветви переда¬
чу и направление, то, применяя формулу Мэзона [JI. 39], 'ненаправ¬
ленный граф можно использовать и как сигнальный непосредственно
для расчета схемы, минуя стадию составления и решения уравнений
Кирхгофа. Однако ненаправленный лраф можно использовать и
для других целей, а именно для аналитической записи топологиче¬
ской структуры цепи в виде матриц, называемых топологическими
матрицами. Эти матрицы совместно с матрицами компонентов схе¬
мы используются для автоматического составления уравнений схемы
на ЦВМ. Ниже мы будем понимать под графом только ненаправ¬
ленные графы.
0 Чтобы построить граф схемы (рис. 2-8,а и б), нуж¬
но заменить в ней каждый двухполюсный компонент
87
6fO сйМволоМ — ветвью. Весьма важном понйтиеМ тео¬
рии графов является дерево графа. Деревом графа
называется совокупность его ветвей, включающая все
узлы, но не включающая ни одного контура. Очевидно,
один и тот же граф может иметь несколько различных
деревьев (рис. 2-8,в и г). Совокупность ветвей, не во¬
шедших в дерево, называется дополнением дерева.
Ветви графа, вошедшие в дерево, будем называть реб¬
рами, а ветви графа, вошедшие в дополнение дерева, —
хордами. В литературе последние называют также свя¬
зями, звеньями, главными ветвями и т. д. Представляет
интерес соотношение между числом узлов у, ветвей в
и контуров к в графе и его дереве. Число ветвей и узлов
в связном графе связано соотношением
Действительно, если взять одну ветвь, то имеем стро¬
гое равенство 1 = 2—1; с добавлением каждой ветви, не
образующей контура, добавляется и один новый узел,
поэтому равенство сохраняется. Если же новая ветвь
образует контур, то новый узел не образуется, поэтому
равенство переходит в неравенство. Отсюда следует,
что, во-первых, в дереве в=р=у—1, т. е. число ребер р
на одно меньше числа узлов, и во-вторых, число хорд к
в дополнении дерева равно к = в—(у—1), где в — число
ветвей в графе. Очевидно, к есть также число контуров
в графе, так как каждая хорда образует один контур.
Количество всех деревьев Д графа можно найти как
число сочетаний из числа всех ветвей графа в по числу
ребер р, т. е. Су__, за вычетом тех подграфов с р вет¬
вями, которые содержат контуры. Процесс построения
дерева можно автоматизировать, используя, например,
алгоритм Брэнина [JT. 41] (рис. 2-9).
Исходная информация, состоящая из списка номеров ветвей
и номеров начального +N и конечного —N концов каждой ветви,
содержится в топологическом описании схемы, введенном в ЦВМ.
Из описка номеров ветвей берем последовательно ветви и проверяем,
образуют они контуры или нет. Дерево строится путем добавления
только тех -ветвей, которые не образуют контуров.
Номера концов ветвей (узлов), вошедших в дерево, образуют
список ребер !(СР). Так как выбранная на данном шаге ветвь
может не иметь общих узлов с предыдущими ветвями, то номера
ее концов запоминаются сначала в так называемых частных списках
(ЧС), которые затем могут войти в СР. Для ЧС и СР нужно
заранее выделить массивы ячеек в памяти ЦВМ. Использование
ЧС позволяет строить дерево сразу из нескольких точек, так как
88
о
Рис. 2-9. Структурная схема алгоритма построения дерева.
каждый ЧС представляет собой поддерево, сливающееся затем с пер¬
вым поддеревом, построение которого началось с ветви, первой
по списку номеров. Очевидно, номера концов ветвей первого под-
дерева входят в первый ЧС и в СР.
Логическую основу деления на ребра-хорды составляют еле-
дующие положения:
il)• если +N=—N, то ветвь есть хорда;
2) если или |+N, или —N, или оба вместе отсутствуют в СР,
то ветвь есть ребро;
G)' если и +N, и —N имеются в СР, то:
а) ветвь есть хорда, если и +N и —N имеются в одном и том
же ЧС;
б)1 ветвь есть ребро, если +N и —N имеются в различных ЧС.
Это ребро соединяет два разобщенных поддерева, соответствующих
этим ЧС.
Такие ЧС объединяются и получившемуся ЧС присваивается
больший из номеров составляющих ЧС, а ЧС меньшего номера об¬
нуляется, чтобы его можно было использовать снова. После проверки
каждой ветви описок СР и соответствующий список ЧС пополня¬
ются и, кроме того, номер проверенной ветви запоминается в мас¬
сивах «дерево» ;(|Д) или «дополнение дерева» (ДД). <В алгоритме
разделения ветвей графа на ребра и хорды, изображенном на
рис. 2-9, индексами i, k, т обозначены текущие номера ветвей и
частных списков и использованы следующие формы записи:
+Ni—>-ЧС — занести номер \+N{ в частный список;
Ni £ СР — Ni имеется в списке ребер;
ЧС*мин=0—'частный список минимального номера, не содер¬
жащий номеров узлов и подлежащий заполнению номерами тех
узлов, которые рассматриваются впервые и не вошли в предыдущие
частные списки.
Этот алгоритм позволяет найти число несвязных частей графа
по количеству ЧС, оставшемуся после перебора всех ветвей. Если
заранее известно, что граф связный, то можно не вводить част¬
ные списки, ограничившись одним списком ребер. Деление на реб¬
ра— хорды производится, как и раньше, но п. 3 будет формулиро¬
ваться так: если и +N и —N имеются в списке ребер, то ветвь есть
хорда.
Б. СТРУКТУРНАЯ МАТРИЦА ГРАФА
Графическое начертание связей в схеме переводится
на алгебраический язык с помощью топологических
матриц.
Рассмотрение топологических матриц начнем со
структурной матрицы, впервые предложенной Кирхго¬
фом. Для построения любой топологической матрицы
предварительно нужно пронумеровать узлы и ветви
графа, а затем произвольным образом выбрать положи¬
тельные направления ветвей графа.
Составим матрицу, строки которой соответствуют
различным узлам графа, а столбцы — ветвям графа.
Каждая i-я строка этой матрицы показывает,, какие
ветви соединены с i-м узлом, а каждый /-й столбец
.90
показывает, с какими узлами соединена /-я ветвь гра¬
фа. Каждый элемент a,ij этой матрицы принимает зна¬
чение + 1, если /-я ветвь подходит к iz-'му узлу, —1, если
/-я ветвь уходит от i-то узла, или 0, если /-я ветвь не
имеет общей точки с i-м узлом. Например, для графа
на рис. 2-10,а, соответствующего схеме на рис. 2-8,а,
получим табл. 2-3.
Рис. 2-10? Граф схемы (а), произвольные сечения (б), главные
сечения (в), канонические сечения (г), случай совпадения глав¬
ных и канонических сечений (d). Толстыми линиями на рисун¬
ках 2-10,в—д выделены деревья графа.
Таблица 2-3
Комера
узлов
Номера ветвей
Номера
узлов
Номера ветвей
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
1
2
1
0
— 1
1
0
—1
0
—1
0
0
3
4
0
—1
0
0
0
1
1
0
— 1
1
91
Эта таблица называется структурной матрицей, или
матрицей соединений (инциденций). Она позволяет
записать содержащуюся в графе информацию о связях
в схеме в алгебраическом виде.
Очевидно, поскольку в ЦВМ введено описание схе¬
мы, включающее номера узлов и соединяющих их вет¬
вей, нетрудно составить программу для образования
структурной матрицы схемы. Легко заметить, что в каж¬
дом столбце этой матрицы два ненулевых элементов 1
и —1, так как каждая ветвь выходит из одного узла и
входит в другой. Поэтому сумма элементов каждого
столбца и, значит, сумма всех элементов матрицы рав¬
на нулю. Следовательно, сумма элементов любой стро¬
ки равна сумме элементов остальных строк, взятых
с обратным знаком, т. е. любая строка есть линейная
комбинация остальных строк. Это значит, что одна из
строк несет избыточную информацию и ее можно вы¬
черкнуть. Как будет видно из дальнейшего, вычеркну¬
тая строка соответствует узлу, относительно которого
отсчитываются потенциалы остальных узлов схемы.
Поэтому обычно вычеркивают строку, относящуюся
к базисному, заземленному узлу, например строку 4
в вышеприведенной структурной матрице (см. табл. 2-3).
Полученную укороченную матрицу инциденций назы¬
вают матрицей узлов и обозначают А. Для графа на
рис. 2-10,а она имеет вид:
(2-17)
Матрицу узлов- можно использовать для записи
уравнений по законам Кирхгофа, если придать ее эле¬
ментам определенный физический смысл. Например,
каждый единичный элемент в п-м столбце можно счи¬
тать обозначением тока 1п в п-й ветви. Тогда сумма
токов в ik-й строке матрицы А является алгебраической
суммой токов в k-м узле схемы и, следовательно, равна
нулю по первому закону Кирхгофа. Чтобы записать
это математически, обозначим совокупность токов it,
/2, ..., in всех ветвей схемы с помощью вектор-столбца i:
92
(2-18)
Тогда первый закон Кирхгофа можно записав как
матричное произведение:
Припишем каждому^ n-му узлу графа потенциал срп
относительно базисного узла. Тогда каждый единичный
элемент апи матрицы А можно считать обозначением
напряжения на k-и ветви, вызванного током через мее
из-за наличия потенциала срп в п-ш узле. При этом по¬
тенциалы остальных узлов считаются нулевыми. Тогда
сумма напряжений в k-м столбце, равная алгебраиче¬
ской сумме напряжений на k-и ветви при одновремен¬
ном действии всех узловых потенциалов, является
результирующим напряжением на k-и ветви, выражен¬
ным как линейная комбинация узловых потенциалов.
Обозначив совокупность напряжений на зажимах всех
->
ветвей схемы вектор-столбцом а, а совокупность потен-
циалов всех узлов — вектор-столбцом <р, можем найти
напряжение ветвей
где транспонирование А необходимо для суммирования
ее элементов по столбцам, а знаки фп соответствуют
направлению увеличения потенциала, обозначенному
стрелками ветвей на рис. 2-10,а.
Запись (2-20) отражает тот факт, что напряжение
между концами любой ветви является разностью потен-
циалов концов этой ветви, отсчитываемых относительно
базисного узла с нулевым потенциалом. Матрицу А
можно рассматривать как оператор, переводящий по¬
тенциалы узлов в напряжения на ветвях схемы.
(2-19)
или для графа на рис. 2-10,а
(2-20)
93
В. МАТРИЦА ГЛАВНЫХ СЕЧЕНИЙ ГРАФА
Рассмотрим топологическую матрицу, называемую
матрицей главных сечений П. Определим сначала поня¬
тие сечения графа. Сечением графа называется сово¬
купность ветвей, при удалении которых граф распада¬
ется на два отдельных подграфа. В частном случае один
или оба образующихся подграфа могут быть узлами.
Приведенное определение служит для аналитической
записи сечений. При графическом изображении сече¬
нием называют произвольную линию, которая разделяет
граф на две части и пересекает ветви, составляющие
данное сечение. Например, на рис. 2-10,6 сечениями
являются следующие линии или, что то же, совокуп¬
ности ветвей: /, 3, 5 (сечение /); 1, 3, 4 (сечение II)
и т. д. Для получения главных сечений необходимо вна¬
чале построить дерево графа. Главным сечением назы¬
вается совокупность ветвей, одна из которых принадле¬
жит дереву, т. е- является ребром, а остальные
принадлежат дополнению дерева, т. е. являются хорда¬
ми. На рис. 2-10,в главные сечения состоят из ветвей
1, 3, 4 (сечение /); 2, 3, 4 (сечение II) и 4, 5 (сече¬
ние III). Очевидно, число главных сечений равно числу
ветвей дерева. Если дерево графа построено, то можно
построить матрицу главных сечений П, строки которой
соответствуют главным сечениям, а столбцы — ветвям
графа. Каждая i-я строка показывает, какие ветви во¬
шли в i-e главное сечение, каждый у'-й столбец показы¬
вает, какие главные сечения проходят через /-ю ветвь.
Каждый элемент ац матрицы П равен +1,если /-я ветвь
пересекает i-e сечение в том же направлении, что и реб¬
ро, определяющее это сечение, и —1, если направление
/-й ветви противоположно направлению ребра, и нулю,
если /-я ветвь не входит в i-e сечение. При этом собст¬
венное направление ребра в сечении считается всегда
положительным. Для дерева на рис. 2-10,в матрица П
имеет вид:
(2-21)
94
Главные сечения
Ветви
Матрицу сечений, как и матрицу узлов, можно ис¬
пользовать для записи уравнений по законам Кирхго¬
фа, если придать ее элементам определенный физиче¬
ский смысл. Например, каждый единичный элемент
в п-м столбце можно считать обозначением тока in
в п-й ветви. Тогда сумма токов каждой к-й строки рав¬
на алгебраической сумме токов, протекающих через &-е
сечение. Очевидно, по принципу нейтральности заряда
сумма токов, втекающих в к-е сечение, должна быть
равна сумме токов, вытекающих из него. Таким обра¬
зом, алгебраическая сумма токов, протекающих через
каждое сечение, должна быть равна нулю. Математи¬
чески это можно записать как
(2-22)
где i— вектор-столбец токов всех ветвей схемы.
; Таким образом, запись (2-22) является первым за¬
коном Кирхгофа, обобщенным с узлов схемы на ее се¬
чения.
~> —>
Из сравнения формул Ai = 0 и Ш = 0 следует, что
матрицы узлов А и сечений П либо равны друг другу,
либо строки (столбцы) одной из них являются линей¬
ной комбинацией строк (столбцов) другой матрицы.
В последнем случае матрицы П и А называются экви¬
валентными и имеют одинаковый ранг.
Таким образом, матрица узлов А является частным
случаем матрицы сечений П, когда сечением является
совокупность ветвей, соединенных с одним и тем же
узлом графа. Такое сечение называется каноническим.
Графически каноническое сечение изображается замк¬
нутым контуром, содержащим внутри только один узел
и не пересекающим ветвей графа, не соединенных
с этим узлом (рис. 2-10,г). Поэтому матрицу узлов
можно называть матрицей канонических сечений. Оче-
, видно, каноническое сечение может пересекать не одно,
а несколько ребер, как показано на рис. 2-10,г, поэтому
оно не всегда является главным. Система канонических
или для графа на рис. 2-10
сечений совпадает с системой главных сечений с точ¬
ностью до знаков элементов строки только для одного
частного вида дерева, когда узел в дереве соединен
с базисным узлом только одним ребром (рис. 2-10,д).
При этом в матрице П нужно выбросить сечение вокруг
базисного узла, отсутствующего в матрице А. Различие
в знаках вызвано тем, что направление ребра в сечении
всегда положительно, а в узле оно положительно, когда
ребро подходит к узлу. Если в системе главных кано¬
нических сечений направить все ребра от базисного
узла, то матрицы А и П совпадут. Например, изменив
направление ребер 3 и 5 на рис. 2-10,д, получим:
Если система канонических сечений не является си¬
стемой главных сечений, как, например, на рис. 2-10,г,
то матрица узлов А не равна строго матрице П, однако
может быть получена из нее с помощью так назы¬
ваемых элементарных 'матричных преобразований:
1) взаимной перестановки двух строк или столбцов;
2) умножения всех элементов строки или столбца на
одно и то же число, отличное от нуля, и 3) сложения
элементов одной строки (столбца) с соответствующими
элементами другой строки (столбца), умноженными на
одно и то же число. Так, например, для графа на
рис. 2-10,2 матрица А (2-18) канонических сечений не
равна матрице П (2-21) главных сечений, так как эти
сечения не совпадают друг с другом, как на рис. 2:10Д
Но эти матрицы эквивалентны между собой, так как А
получается из П элементарными преобразованиями:
первая строка А равна разности первой и второй
строк П, а третья строка А равна третьей строке П,
умноженной на —1. Если рассматривать единичные
элементы матрицы П как коэффициенты системы урав¬
нений (2-22), то в результате элементарных преобра¬
зований получается новая система (2-19), уравнения
которой являются линейной комбинацией уравнений
старой системы. Такие системы уравнений не равны, но
эквивалентны друг другу, т. е. имеют одинаковые реше¬
ния, так как эквивалентны матрицы их коэффициентов,
96
Элементам матрицы главных сечений П можно при¬
дать физический смысл напряжений на ветвях дерева,
т. е. на ребрах. Пусть для данного сечения напряжение
на п-м ребре равно еп=^п—а напряжения на
остальных ребрах равны нулю. Тогда я-е сечение делит
граф на две части, потенциал всех узлов одной из ко¬
торых равен срп> а другой <pn-i. Поэтому все ветви, вхо¬
дящие в п-е сечение, также будут находиться под на¬
пряжением еп = срп—фп-i, равным напряжению n-го реб¬
ра. Тогда каждый единичный элемент апк строки
матрицы сечений можно считать напряжением на k-и
ветви, обязанным току этой ветви из-за наличия напря¬
жения еп на я-м ребре. При этом напряжения на осталь¬
ных ребрах считаются нулевыми. Тогда сумма элемен¬
тов в k-м столбце, равная алгебраической сумме напря¬
жений на k-и ветви при одновременном существовании
напряжений на всех ребрах, является результирующим
напряжением на k-и ветви, выраженным как линейная
комбинация напряжений ребер. Для графа на рис. 2-10,в
имеем:
где номера ei напряжений на ребрах соответствуют но¬
мерам сечений, а знаки вг соответствуют направлению
ребер в сечениях.
В общем случае это можно записать так:
где транспонирование матрицы П необходимо для сум¬
мирования ее элементов по столбцам. Матрицу П* мож¬
но рассматривать как оператор, переводящий напряже¬
ния ребер в напряжения ветвей. Отметим, что если
дерево выбрано так, как на рис. 2-1 ОД то матрицы А
и П равны. Тогда напряжения ребер е* совпадают
с узловыми потенциалами срг- и уравнения (2-23) совпа¬
дают с уравнениями (2-20).
7—444 97
Важным достоинством топологических матриц явля¬
ется возможность выбора с их помощью системы неза¬
висимых переменных для уравнений цепи. В качестве
переменных в уравнениях электрической цепи можно
выбрать различные величины: токи и напряжения вет¬
вей, узловые потенциалы, контурные токи. При этом,
если части переменных дать произвольные значения, то
оставшиеся переменные будут однозначно определены
и не могут принимать произвольных значений, т. е. они
являются зависимыми. Так, например, в емкостном
контуре С1—С3 на рис. 2-6,6 можно считать независи¬
мыми напряжения на двух любых емкостях. Тогда на¬
пряжение на третьей емкости, равное алгебраической
сумме первых двух напряжений, — зависимая перемен¬
ная. Аналогично в звезде индуктивностей Li—L3 неза¬
висимыми могут быть только два тока из трех.
В общем случае цепь может быть весьма сложной
и определение независимых токов и напряжений пред¬
ставляет трудную задачу. Матрица главных сечений П
позволяет выбрать систему независимых напряжений
ветвей. Покажем сначала, что строки матрицы П явля¬
ются линейно независимыми. Действительно, так как
каждой строке соответствует свое главное сечение,
а каждое главное сечение обязательно включает одну
новую ветвь-ребро по сравнению с другими главными
сечениями, то эти сечения, а значит, и строки линейно
независимы. Поскольку при составлении матрицы П
каждое ребро входит только в одно сечение, то напря¬
жения на ребрах не выражаются через другие перемен¬
ные, а напряжения на остальных ветвях, являющихся
хордами, выражены через напряжения на ребрах. От¬
сюда следует, что напряжения ребер представляют со¬
бой независимые переменные, а напряжения хорд
являются их линейными комбинациями.
Если для схемы известно число узлов, то в соответ¬
ствии с (2-16) число независимых напряжений ветвей р,
равное числу ребер, определится как
Р = У— 1 • (2-24)
Так как число главных сечений равно числу ребер,
то порядок матрицы П равен рХв=(у—1)Хв, где в —
число ветвей схемы. Поскольку в каждой строке мат¬
рицы П содержится только одно ребро, а остальные
ненулевые элементы являются хордами, то выбор не-
зависимых напряжений ветвей можно автоматизировав,
если привести матрицу П к виду
где 1—единичная матрица ребер порядка (у—1)Х
X {у—1); Пх — матрица хорд порядка (у—1) X (в—у+1).
Например, матрица (2-21) перестановкой столбцов
приводится к виду
Тогда напряжения на ветвях-ребрах, соответствую¬
щих первым у—1 столбцам матрицы П, можно взять
в качестве независимых переменных при составлении
уравнений методом узловых напряжений. Отметим, что
в матрице узлов А, как и в матрице П, имеется у—1 -не¬
зависимых напряжений, однако эти напряжения явля¬
ются линейнымц комбинациями напряжений ребер.
Чтобы независимые напряжения были одновременно
напряжениями ребер, нужно матрицу А привести к ви¬
ду (2-25). Отсюда следует способ определения незави¬
симых переменных. Нужно по таблице соединений,
содержащейся в исходном описании схемы, составить
матрицу соединений (инциденций); отбросить строку,
соответствующую базисному узлу, и получить матрицу
узлов А; после этого с помощью элементарных дейст¬
вий над матрицами превратить ее в матрицу сечений П
вида (2-25). Для перехода от матрицы А к матрице П
можно использовать алгоритм Гаусса для решения си¬
стем линейных уравнений. Как известно, этот алгоритм
предполагает последовательное исключение неизвест¬
ных, при котором образуется треугольная (трапецие¬
видная) матрица с единичными диагональными коэф¬
фициентами. Это свойство используется для получения
единичной матрицы в составе матрицы П (см. пример
в конце гл. 2).
Интересно отметить, что если матрица узлов приве¬
дена к виду (2-25), то тем самым определено и дерево
7* 99
(2-25)
графа схемы, так как ветви, вошедшие в единичную
матрицу, являются ребрами и принадлежат дереву.
Укажем в заключение этого раздела, что выбор си¬
стемы независимых переменных для даиного графа не¬
однозначен. Действительно, этот выбор определяется
деревом графа, а для одного и того же графа можно
построить несколько деревьев, каждому из которых бу¬
дет соответствовать свой набор независимых перемен¬
ных.
Г. МАТРИЦА ГЛАВНЫХ КОНТУРОВ
Определим вначале понятие главного контура графа.
Пусть имеется граф и его дерево (рис. 2-11). Если под¬
ключить к дереву одну хорду, то получится один кон¬
тур, называемый главным контуром. Подключая к де¬
реву поочередно хорду за хордой, получаем полную
Рис. 2-11. К определению матрицы главных контуров.
а — граф схемы (толстыми линиями выделено дерево графа); б, в-
главные контуры графа.
систему главных контуров (рис. ,2-11,6 и в). Среди
ветвей, входящих в каждый главный контур, всегда
имеется одна хорда, а остальные ветви являются реб¬
рами. Поскольку каждый главный контур всегда отли¬
чается от остальных своей хордой, то системы ветвей,
образующих главные контуры, являются независимыми.
Направление главного контура обычно выбирается
совпадающим с направлением его хорды, поэтому хорда
всегда входит в контур со знаком « + ». Ребра имеют
знак « + », если их направление совпадает с направле¬
нием контура, и знак «—», если нет.
Для построения матрицы главных контуров Г необ¬
ходимо составить таблицу, строки которой соответст¬
вуют главным контурам, а столбцы — ветвям графа.
Каждый элемент' ац этой таблицы равен +1, если /-я
ветвь входит в i-й контур с положительным знаком, или
100
Подобно матрицам А и П матрицу Г можно исполь¬
зовать как оператор алгебраического суммирования то¬
ков ветвей или напряжений на ветвях при составлении
уравнений Кирхгофа. Например, обозначив напряжения
на ветвях 1, 2, ..., 5 графа (рис. 2-11,а) через ии и2, ...
..., и$ и полагая, что направление падения потенциала
вдоль каждой ветви совпадает с обозначенным направ¬
лением ветви, можем для главных контуров, представ¬
ленных на рис. 2-11,6 и в, записать уравнения по вто¬
рому закону Кирхгофа:
(2-27а)
(2-28)
где и — вектор-столбец напряжений на ветвях.
Матрицу Г можно рассматривать как оператор алге¬
браического суммирования падения напряжений на вет¬
вях, входящих в 'главные контуры.
101
— 1, если с отрицательным знаком, и 0, если ветвь не
входит в контур. Например, для графа и его дерева на
рис. 2-11 матрица главных контуров имеет вид:
или в матричной форме
Таким образом, если считать, что единичным эле¬
ментам столбцов матрицы Г соответствуют напряжения
на ветвях графа, то суммы элементов строк являются
алгебраическими суммами напряжений в замкнутых
главных контурах, которые, как известно, равны нулю
по второму закону Кирхгофа. Тогда в общем случае
второй закон Кирхгофа записывается с'помощью мат¬
рицы главных контуров в виде
Обозначим токи ветвей 1, 2, 5 графа (рис. 2-11)
через i\, н, ..., к- Полагая, что направления тока
в каждой ветви совпадают с обозначенным (направле¬
нием ветви, выразим токи ветвей через токи ]\, /2 глав¬
ных контуров графа:
или в матричной форме
(2-29а)
(2-296)
Легко заметить, что первая матрица в левой части
является транспонированной матрицей в формуле
(2-276). Таким образом, если считать, что единичным
элементам строк матрицы Г соответствуют контурные
токи в главных контурах, то сумма элементов каждого
столбца дает выражение тока ветви, соответствующей
данному столбцу, через контурные токи.
В общем случае это можно записать так:
где j — вектор-столбец токов в главных "контурах; i—век¬
тор-столбец токов ветвей. Транспонирование необходимо для
суммирования по столбцам матрицы Г. Матрицу П
можно рассматривать как оператор, переводящий токи
главных контуров в токи ветвей.
Рассмотрим вопрос о выборе независимых перемен¬
ных в уравнениях Кирхгофа с помощью матрицы глав¬
ных контуров. Подобно тому, как матрица главных
сечений позволяет выбрать систему независимых на¬
пряжений ветвей, матрица главных контуров позволяет
выбрать систему независимых токов ветвей. Действи¬
тельно, через каждую хорду протекает только один
102
контурный ток, относящийся к главному контуру, про¬
ходящему через эту хорду, в то время как через одно
и то же ребро могут протекать несколько контурных
токов, относящихся к разным главным контурам. Сле¬
довательно, токи хорд равны контурным токам, не вы¬
ражаются через другие токи и являются независимыми
переменными, а токи ребер являются линейными комби¬
нациями токов хорд.
Если для схемы известно число ветвей в и узлов у,
то число ребер будет равно ^—1, а число хорд и, зна¬
чит, число независимых токов ветвей будет равно
в—у-Н. Отсюда ясно, что порядок матрицы Г равен
(в—у+1) Хв. Выбор независимых токов ветвей упро¬
щается, если матрицу Г привести к виду
у — 1 в — г/ + 1
Г = Т }в — у+1, (2-31)
в
где 1—единичная матрица хорд порядка (в—у-Н)Х
X (в—у+ 1);
Гр — матрица ребер порядка (в—у-Н)Х(у—1).
Тогда токи последних в—у-И ветвей-хорд можно
взять в качестве независимых переменных при состав¬
лении уравнений методом контурных токов. Например,
матрица (2-26) для графа, показанного на рис. 2-11,
приводится к виду
Независимыми контурными токами являются токи
ветвей 2 и 4. Так же как и сечения, контуры графа мо¬
гут быть главными и произвольными. Нужно отметить,
что совокупность независимых контуров не обязательно
должна состоять только из главных контуров, так же
как совокупность независимых сечений не обязательно
должна состоять только из главных сечений. Так, на
рис. 2-12 контуры ABED А, EBCFE, FCADF и DEED —
линейно независимы, хотя и не являются главными, от¬
носящимися к какому-либо дереву. Например, ;в кон¬
туре DEFD нет ни одной ветви, которая принадлежала
бы только этому контуру.
103
Важно отметить, что любая совокупность N линейно
независимых контуров может быть получена как ли¬
нейная комбинация N главных контуров. Применитель¬
но к матрице Г это означает следующее. Используя
элементарные матричные
преобразования, можно вме¬
сто матрицы Г получить но¬
вую матрицу, строки которой
также будут линейно неза¬
висимыми. Они будут соот¬
ветствовать системе хотя и
произвольных, но 'независи¬
мых контуров. Если эту но¬
вую матрицу 'произвольных
контуров Г привести к виду
(2-31) матрицы главных
контуров, то ветви, относя¬
щиеся к столбцам новой еди¬
ничной матрицы, будут хордами нового дерева, а токи
этих хорд — токами новой системы главных контуров.
Сказанное отражает тот факт, что для одного и того же
графа можно построить несколько деревьев, а следова¬
тельно, получить несколько систем хорд, токи которых
будут независимы.
Д. СВЯЗЬ МЕЖДУ ТОПОЛОГИЧЕСКИМИ МАТРИЦАМИ
Ниже рассмотрены соотношения, связывающие три
основных топологических матрицы А, П и Г. Для полу¬
чения этих соотношений целесообразно ввести вспомо-
гатёльную топологическую матрицу путей Вр l[JI. 43],
столбцы которой соответствуют всем , ребрам дерева
графа, а каждая i-я строка показывает, какие ребра и
с каким знаком входят в путь от *-го узла к опорному.
Строка, соответствующая опорному узлу, естественно,
отсутствует. Например, для дерева иа рис. 2-13 матрица
путей Вр имеет вид:
Рис. 2-12. Пример независимо¬
сти контуров, не являющихся
главными.
104
Поскольку в дереве графа число узлов без единицы
равно числу ребер р, то матрица Вр — квадратная, по¬
рядка рХр или, что то же, (у—1) X (у—1).
Если обозначить напряжение на ребрах uiy uz, u3f то
можно найти потенциал каждого узла относительно
опорного, выраженный через напряжения ветвей:
->
где щ—вектор-столбец напряжений
на ребрах. Таким образом, матри¬
ца Вр является оператором, алге¬
браически суммирующим напряже¬
ния на ребрах, входящих в путь ог
/-го узла к опорному. Найдем выражение Вр через ос¬
новные топологические матрицы.
Рис. 2-13. К построе¬
нию матрицы Вр пу¬
тей дерева.
Формула
(2-34)
представляет собой выражение для напряжений и на каж¬
дой ветви через потенциалы узлов <р. Разделим матрицу А
-> -у ->
и вектор-столбец и на части Ар, Ах и ыр, их, относя¬
щиеся соответственно к ребрам и xof
из (2-34) потенциал каждого узла чере
ветвях:
(2-36)
(2-37)
105
или в матричной форме
Уравнение (2-35) эквивалентно двум уравнениям
Так как число узЯов дерева без опорного равно числу
ребер, то матрица — квадратная и имеет обратную
матрицу. Выразим <р из (2-36), умножив обе части слева
на (А;)-1:
Матрица (А*)"1 является оператором, суммирующим
напряжения на ребрах, и позволяет выразить потенциал
каждого узла через напряжения на рёбрах. Из сравне¬
ния (2-33) и (2-38) следует, что
Для дальнейшего важно указать еще одно соотно¬
шение
Действительно, каждый элемент матрицы этого про¬
изведения матриц есть сумма членов вида а^Гц. Каж¬
дый такой член не равен нулю лишь в том случае, когда
1-й узел соединен с /-й ветвью и одновременно /-я ветвь
входит в /-й контур. Любой контур, проходящий через
узел, должен включать в себя две ветви, соединенные
с этим узлом. Поэтому получаются два отличных от
нуля члена ац=Гц, каждый из которых равен единич¬
ному произведению, соответствующему одному и тому
же узлу. Один из единичных сомно¬
жителей каждого произведения
имеет знак, соответствующий на¬
правлению ветви по отношению к
узлу, а другой — направлению этой
же ветви по отношению к контуру.
Получившаяся пара единичных про¬
изведений всегда имеет противопо¬
ложные знаки, так как если одна из
соответствующих им ветвей (и от¬
носящиеся к ней сомножители)
имеет одинаковые знаки по отношению к узлу и конту¬
ру, то для другой ветви эти знаки обязательно противо¬
положны (рис. 2-14), и наоборот. Поэтому в сумме еди¬
ничные произведения всегда дают нуль. Таким образом,
каждый элемент в матрице произведения (2-40) равен
нулю.
106
Рис. 2-14. К поясне¬
нию соотношения
АРе=0.
Транспонируем и раскроем выражение (2-40):
Решая относительно Гр, получаем:
(2-42)
где 1 —единичная матрица порядка в—у-И.
Найдем связь матриц А и П. Так как матрица узлов
А является частным случаем матрицы сечений П, то так
же, как и выше, можно показать, что
(2-43)
Раскрывая это выражение через подматрицы Пх
и Гр, получаем:
(2-44)
Отсюда получаем выражение матрицы главных се¬
чений П через матрицу узлов А:
Подставляя в (2-45) 1 = А 1 Ар, получаем связь П и Вр:
(2-476)
107
Отсюда получаем выражение матрицы главных кон¬
туров Г через матрицу узлов А:
где 1 — единичная матрица порядка у — 1.
Можно также показать, что
В заключение этого параграфа рассмотрим некото¬
рые топологические соотношения, необходимые при
составлении уравнений методом переменных состояния.
В § 2-1 было показано, что независимыми переменными
в этом методе являются токи в индуктивностях и напря¬
жения на емкостях схемы. С другой стороны, при рас¬
смотрении топологических матриц П и Г указывалось,
что после приведения матриц П и Г к виду П=:[1; Пх]
И Г=[ГР; 1] напряжения на ребрах, соответствующих
столбцам единичной подматрицы в матрице П, и токи
в хордах, соответствующих столбцам единичной под¬
матрицы в матрице Г, являются независимыми перемен¬
ными. Отсюда следует, что, во-первых, уравнения со¬
стояния должны составляться относительно токов хорд
и напряжений ребер графа, и, во-вторых, элементы схе¬
мы— емкости и индуктивности — при построении дерева
должны рассматриваться в определенной последова¬
тельности с тем, чтобы емкостные ветви соответствова¬
ли ребрам, а индуктивные ветви — хордам.
Оставляя пока в стороне вопрос о построении дере¬
ва, рассмотрим топологические уравнения состояния
относительно токов хорд и напряжений ребер.
—^
ВекторьГтоков i ги напряжений и ветвей схемы разде-
лим на две части /р, /х и ир, их, соответствующие ребрам
и хордам, и запишем первый и второй законы Кирхгофа: '
Решая уравнения (2-48) относительно гр и мх, и объе¬
диняя результаты, получаем искомую систему уравнений
в матричном виде
В литературе для матриц Пх и Гр в связи с их важ¬
ностью введены специальные обозначения: Пж=F, тогда
из (2-44) следует, что Гр=—F4. (В некоторых работах
[Л. 38] эти обозначения обратны: rp=F, Пх = —F*.)
108
В уравнении (2-49) токи ребер с помощью матри¬
цы Пх выражены через независимые токи хорд, а на¬
пряжения хорд с помощью матрицы Гр выражены через
независимые напряжения ребер; матрицы Гр и Пх мож¬
но рассматривать как операторы, представляющие со¬
ответственно напряжения хорд как алгебраическую
сумму напряжений ребер и токи ребер как алгебраи¬
ческую сумму токов хорд.
Рис. 2-15. Связь топологических матриц.
Таким образом, для получения любой топологиче¬
ской матрицы достаточно знать матрицу узлов графа А
и ее части Ар и Ах, относящиеся к ребрам и хордам.
Деление ветвей графа на ребра — хорды осуществляет»
ся в процессе построения дерева.
На рис. 2-15 изображена диаграмма, поясняющая
связь различных топологических матриц. Из диаграммы
следует, что одним из способов построения топологи¬
ческих матриц П и Г является построение матрицы
узлов А, построение дерева, разделение А на А* и Ар и
построение подматриц контуров Гр и сечений Пх. По¬
строение матриц П и Г заканчивается присоединением
легко формируемых единичных подматриц, порядок
которых однозначно определяется числом ветвей, узлов
и ребер.
109
Второй способ построения матриц П и Г требует
построения матрицы путей Вр [Л. 43].
Наконец, третий способ состоит в построении матрицы
узлов А, приведении ее с помощью алгоритма Гаусса кви-
ДУ [1; Пх], построении Гр = — П* и далее Г. Применение
алгоритма Гаусса в данном случае, как указано на
стр. 99, заменяет операцию построения дерева. Тополо¬
гические матрицы связывают три категории перемен¬
ных цепи, соответствующих трем основным топологиче-
Рис. 2-16. Алгебро-топо-
логическая связь пере¬
менных цепи.
ским категориям: ветви, узлу и контуру. Эта связь по¬
казана в виде диаграммы на рис. 2-16, поясняющей
переход от одного типа переменных к другому. В сле¬
дующем параграфе рассмотрим выражение переменных
цепи через параметры компонентов схемы.
2-3. АЛГЕБРО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
ЦЕПЕЙ
Выше рассматривались отдельно алгебраические и
топологические соотношения в цепях. Пусть задана не¬
которая электрическая схема с известными типами и
номиналами компонентов ветвей; составлено описание
схемы и по нему составлены алгебраические матрицы
-> ->
компонентов ветвей г, у, I, Е и топологические матри-
110
Цы А, П, Г. Рассмотрим последний этап составлений
уравнений, состоящий в объединении алгебраического
и топологического описания схемы на основе топологи¬
ческих соотношений (рис. 2-15).
А. ОСНОВНЫЕ АЛГЕБРО-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ
В ОДНОРОДНОМ КООРДИНАТНОМ БАЗИСЕ
Прежде чем составлять уравнения, нужно выбрать
метод расчета и переменные цепи. Этот выбор произ¬
водится разработчиком в зависимости от типа схемы и
конкретных требований к ее расчету. Для расчета ли¬
нейных и нелинейных цепей по постоянному току,
а также для расчета переходных процессов можно ис¬
пользовать какой-либо один из трех классических ме¬
тодов: метод уравнений Кирхгофа, метод контурных
токов или метод узловых потенциалов.
В методе уравнений Кирхгофа переменными явля¬
ются токи или напряжения ветвей. Если в схеме в вет¬
вей и у узлов, то метод уравнений Кирхгофа для токов
требует составления у—1 уравнений по первому закону
Кирхгофа для узлов и в—(у—1) уравнений по второму
закону Кирхгофа для контуров. Напряжения ветвей
определяются по закону Ома для ветвей u=iz, где токи
ветвей определяются из первых в уравнений, а сопро¬
тивления ветвей £ заданы. Всего необходимо 2в урав¬
нений. Столько же уравнений нужно для определения
токов и напряжений ветвей в случае составления урав¬
нений Кирхгофа для напряжений.
Для уменьшения числа уравнений в качестве пере¬
менных используют не токи и напряжения ветвей,
а промежуточные переменные — токи контуров в мето¬
де контурных токов и напряжения узлов в методе узло¬
вых потенциалов. Число уравнений снижается за счет
автоматического выполнения первого закона Кирхгофа
для контурных токов в узлах, если используется метод
контурных токов, и второго закона Кирхгофа для узло¬
вых потенциалов в* контурах, если используется метод
узловых потенциалов. В первом случае составляется
в—(у—j) уравнений по второму закону Кирхгофа, а во
втором—{у—1) уравнений по первому закону Кирх¬
гофа.
Отсюда следует, что выбор оптимального по числу
уравнений метода расчета цепи определяется ее кон¬
фигурацией, т. е. числом узлов и ветвей. Поскольку
111
кантурные токи совпадают с токами хорд, то они обра¬
зуют систему независимых переменных. Такую же си¬
стему образуют потенциалы узлов, совпадающие с на¬
пряжениями ребер в случае канонических сечений или
с их линейно независимыми комбинациями в случае
произвольных сечений. Рассмотрим составление алгеб-
ро-топологических уравнений цепи методами контурных
токов и узловых потенциалов [JI. 43].
В методе контурных токов используется закон Ома
для обобщенных г-ветвей:
Умножая обе части на матрицу Г и учитывая, что
-*
Ги = 0, получаем:
От переменных токов ветвей i перейдем к другим пере-
-*
менным — контурным токам /, используя выражение i =
Отсюда получим матричное уравнение для контурных
токов:
содержащее в—(у—1) алгебраических уравнений (по
числу хорд). Из сравнения уравнений (2-10) и (2-53)
следует, что тройная матрица ГгП в уравнении (2-53)
играет роль матрицы контурных сопротивлений:
Например, для простейшей схемы (рис. 2-17) имеем:
т. е. преобразование (2-54) перевело сопротивления
ветвей zu z2 в сопротивление контура Z1 + Z2. Из срав-
112
нения (2-10) и (2-52) следует также, что выражение
—> —>
Г(£—ъ1) представляет собой вектор эквивалентных
—>
источников .напряжений Е' в контурах, каждый элемент
которого есть алгебраическая сумма э. д. с., действую¬
щих в контуре, причем источники тока I ветвей, вхо¬
дящих в контур, преобразованы в источники напряже¬
ния г/.
Определив из (2-53) контурные токи, с помощью соот¬
ношения (2-30) можно найти токи i! и напряжения и' пас-
сивных компонентов ветвей: Г = Г*/ — /; u' = zi'. Эти у—
— 1+в уравнений перехода от контурных токов к токам
и напряжениям ветвей вместе с в—у+1 уравнениями
контурных токов в сумме дают 2в
уравнений (по числу переменных).
Таким образом, 'если нужно
определять токи и напряжения
всех в ветвей схемы, то выигрыша
в общем числе уравнений по
сравнению с методом уравнений
Кирхгофа нет, однако если в методе
уравнений Кирхгофа для определе¬
ния всех токов нужно решать систему из в уравнений
одновременно, то по методу контурных toikoib необходимо
решить отдельно 'систему из в—у+]1 контурных уравне¬
ний, а затем систему у—1 уравнений перехода к токам
ветвей, что предъявляет меньшие требования к объему
оперативной памяти ЦВМ.
В методе узловых потенциалов используется закон Ома
—> —>
для обобщенных у-ветвей: i -f-1 = у (Е -f- и). У множим
обе части на матрицу А и с учетом выражений (2-19),
(2-20) проделаем те же преобразования, что и в методе
контурных токов:
Рис. 2-17. К опреде¬
лению контурного со¬
противления.
где <р— вектор узловых потенциалов.
8—444
113
Сравнивай формулы (2-57) й (2-11), заключаем, что трой¬
ная матрица АуА* является матрицей узловых проводимо-
стей Y, а выражение А (/ — у£)— вектором эквивалентных
источников тока V в узлах, каждая составляющая кото¬
рого есть алгебраическая сумма источников токов, соеди¬
ненных в узел, причем источники напряжения Е ветвей
этого узла преобразованы в источники тока уЕ. От узловых
—>■ ->
потенциалов <р можно перейти к напряжениям и' и токам
V пассивных компонентов ветрей по уравнениям и'=А*<р—
— Е, V = уи!. Сравнительная оценка числа уравнений по
методу узловых потенциалов и по методу Кирхгофа
остается такой же, как для метода контурных токов.
Если в качестве набора независимых переменных
взять не вектор узловых потенциалов, а вектор напря¬
жений ребер е, то топологическим оператором, связы¬
вающим структуру схемы с ее компонентами, вместо
матрицы узлов А будет матрица сечений П. Алгебро¬
топологические уравнения цепи аналогичны уравне¬
ниям (2-57)
Здесь ПуП* = Yc — матрица проводимостей сечений.
Матрицы Z=rzP, Y=AyA*, ¥с=ПуП* — квадратные.
Их диагональные члены представляют собой соответст¬
венно собственные сопротивления контуров, собствен¬
ные проводимости узлов по отношению к базисному
узлу и собственные проводимости сечений, равные сум¬
ме проводимостей ветвей, вошедших в данное сечение.
Недиагональные члены соответствуют взаимным сопро¬
тивлениям и проводимостям. Методика расчета изло¬
женными методами резистивных линейных схем очевид¬
на. Для расчета резистивных нелинейных схем уравне¬
ния (2-53), (2-57), (2-58) нужно решать итеративными
методами (см. гл. 3) с использованием на каждом шаге
итераций соответственно соотношений (2-30), (2-20),
(2-236) для расчета токов и напряжений ветвей, функ¬
циями которых являются нелинейные источники в пра¬
вых частях уравнений. Для расчета нелинейных схем
114
(2-58)
t емкостями и индуктивностями используют конечно¬
разностные соотношения uc,i+i = Uc,i+At/Cic,i+i и iL,i+1 =
= iL,i+At/LuL,i+t (где At— интервал времени), позво¬
ляющие заменить емкость последовательными источни¬
ком .напряжения uc,i и сопротивлением At/C, а индук¬
тивность— параллельными источником тока ib,i и про¬
водимостью At/L, после чего можно применять обычную
методику расчета резистивных нелинейных схем.
В последующих разделах рассмотрим составление
уравнений схем на основе только простых ветвей.
Б. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ
ЛИНЕЙНЫХ СХЕМ
В смешанном координатном базисе одну часть неза¬
висимых переменных составляют токи ветвей, а другую
часть — напряжения ветвей. Естественно принять в .ка¬
честве таких переменных токи хорд и напряжения
ребер, которые, как было показано в § 2-2, образуют
систему независимых переменных. Будем рассматри¬
вать схему вначале как линейный пассивный многопо¬
люсник. Тогда в смешанном координатном базисе его
входными величинами (аргументами) являются незави¬
симые токи хорд и напряжения ребер, а выходны¬
ми величинами (функциями)—зависимые напряжения
хорд и токи ребер. Уравнения многополюсника примут
вид:
(2-59а)
или в матричном виде
(2-596)
где Н — гибридная матрица многополюсника, а ее под¬
матрицы ZBX, YBbix, Т, Q являются соответственно мат¬
рицами входных сопротивлений, выходных проводимо¬
стей, коэффициентов передачи по току и по напряже¬
нию, которые можно выразить через топологические
матрицы и матрицы параметров ветвей данного много¬
полюсника [Л. 38].
8* 115
Инженеры по радиоэлектронике легко могут устано¬
вить аналогию между гибридными Л-параметрами,
используемыми для расчета схем с биполярными тран¬
зисторами, и матрицей Н. Поскольку транзистор есть
частный случай многополюсника, то для него
Применение гибридной системы аргументов для со¬
ставления уравнений электронных схем позволяет ис¬
пользовать в качестве аргументов токи индуктив¬
ностей iL и напряжения емкостей ис, благодаря чему
оказывается возможным описать схему системой неза¬
висимых дифференциальных уравнений первого поряд¬
ка. Как указывалось в § 2-2, чтобы токи iL и напряже¬
ния и>с были независимыми переменными цепи, необхо¬
димо построить дерево так, чтобы все емкости были его
ребрами, а индуктивности — хордами.
Следует уточнить понятие независимости перемен¬
ной цепи. Очевидно, что изменение любой переменной
цепи вызывает изменение всех остальных переменных,
и в этом смысле все переменные зависят друг от друга.
Независимыми мы считаем те переменные, на основе
которых можно формировать линейно независимые
уравнения. Такие переменные нельзя выразить как ли¬
нейную комбинацию других переменных. Так, токи хорд
и напряжения ребер являются независимыми перемен¬
ными, поскольку они обеспечивают линейную независи¬
мость уравнений, составляемых по законам Кирхгофа
(2-1), (2-2). Если дополнить эти уравнения уравнения¬
ми по закону Ома для постоянных сопротивлений
(резисторов), то токи и напряжения резистивных вет¬
вей станут линейно зависимыми и их, как будет показа¬
но ниже, можно исключить из уравнений цепи, выразив
через другие переменные. Таким образом, резистивные
переменные можно назвать промежуточными, псевдо-
независимыми, или просто псевдопеременными.
Так как напряжения емкостных ребер и токи индук¬
тивных хорд, будучи переменными дифференциальных
уравнений, обеспечивают их линейную независимость,
то при расчете переходных процессов численными по¬
шаговыми методами эти напряжения и токи внутри
116
каждого временного шага вычислении можно считать
независимыми переменными, определяющими значения
всех остальных переменных, в том числе резистивных,
на данном временном интервале. С учетом сказанного
уравнения (2-59) примут вид:
L C J
Учитывая, что
, получаем про¬
стейший вид уравнений состояния:
где X = [iLuc\ * — вектор переменных состояния в общем
виде; L, С — матрицы индуктивностей хорд и емкостей ре-
бер; Но с] Н —матрица, введенная Башковым [Л. 44].
(Ее не нужно смешивать с матрицей узлов А.)
Уравнение состояния (2-60) описывает простейшую
пассивную линейную RLC-схему, не содержащую неза¬
висимых источников напряжения и тока — источников
питания и входных сигналов. Очевидно, если эти источ*
ники имеются, то их независимые токи и напряжения
нельзя выразить через вектор X. Следовательно, неза¬
висимые источники должны образовать второй вектор
аргументов V=[Eh Е2, Eh Iif ..., 1п] в дополнение
к вектору X, при этом при построении дерева источники
напряжения должны войти в дерево и стать ребрами,
а источники тока должны войти в дополнение дерева и
стать хордами.
В этом случае уравнение состояния примет вид:
где матрица В аналогична матрице А: В = М_1Н,, а мат-
->
рица Нх отражает изменение uL и /с при включении в схему
источников сигнала и питания.
Более подробные сведения о составлении уравнений
состояния для линейных схем можно найти в [J1. 38, 4,2].
В. УЧЕТ НЕЛИНЕЙНЫХ АКТИВНЫХ КОМПОНЕНТОВ
В УРАВНЕНИЯХ СОСТОЯНИЯ
Весьма существенным моментом при составлении
уравнений состояния является учет нелинейностей ак¬
тивных компонентов схем.
Наиболее распространенным способом учета этих не¬
линейностей является представление их в виде двухпо¬
люсников, для которых известно аналитическое выраже¬
ние вольт-амперных характеристик. Любой реальный
двухполюсник имеет конечное дифференциальное сопро-
Рис. 2-18. Зависимые источники.
а _ управляемый напряжением нелинейный источник тока; б — управ¬
ляемый током нелинейный источник напряжения.
тивление. В этом случае двухполюсник можно предста¬
вить либо источником напряжения u=f(i), управляе¬
мым током, либо источником тока i=f_1(«), управляе¬
мым напряжением (рис. 2-18), где f-1(w)—функция,
обратная f(i). Так, например, уравнение тока диода
(1-9) предполагает, что диод — источник тока, управля¬
118
емый напряжением. Но это же уравнение можно пред¬
ставить в виде
(2-61)
и считать диод источником напряжения, управляемым
током. Возможность идеализации нелинейности путем
представления идеальным источником тока или напря¬
жения зависит от топологии схемы. Так, идеальные
источники тока с бесконечным внутренним сопротивле¬
нием не должны образовывать узлов, а идеальные
источники напряжения с нулевым внутренним сопротив¬
лением — контуров во избежание нарушения законов
Кирхгофа (рис. 2-19).
Рис. 2-19. Случаи нарушения первого закона Кирхгофа (а) и
второго закона Кирхгофа (б).
Отмстим, что нелинейный двухполюсник можно пред¬
ставить также как нелинейное сопротивление, управля¬
емое током, jR[h(/), i] или как нелинейную (проводимость,
управляемую напряжением, G{i(u), и] (рис. 2-18):
В общем случае нелинейный двухполюсник может
быть представлен как источник тока, источник напря¬
жения или резистор, управляемые произвольным чис¬
лом токов и напряжений, часть из которых может вхо-
дить в вектор состояний X и вектор независимых источ-
ников V. Будем пока рассматривать нелинейные
двухполюсники, управляемые только одной переменной.
119
Целесообразно выделить нелинейные вольт-амперные
характеристики двухполюсников в отдельный вектор-
функцию нелинейностей а, составляющими которого яв¬
ляются управляемые источники тока и напряжения /п=
==|/ (^п) 9 ^3 ='/ ( ^3) »
Аи» •••» ^пп> -^31» -^32» • •> £3), (2-62)
где индексы «п» — переменный и «з» — зависимый слу¬
жат для различения ветвей с управляемым источниками
тока и ветвей с управляемыми источниками напря¬
жения.
Аргументы ип, /3 нелинейных двухполюсных источников
—>■ —>
также выделим в отдельный вектор аргументов W=(un,
/3). В более общем случае многополюсного нелинейного
источника, управляемого несколькими переменными, не-
обходимо ввести в вектор аргументов W значения пара¬
метров вольт-амперных характеристик многополюсника,
например напряжения на затворе и на подложке для
полевого транзистора.
—>
Обозначив совокупность всех параметров субвектором q,
—> —> —> -v
получим W = (ыш г3) 9). Тогда вектор-функцию нелинейно-
-> -> ->
стей в общем виде можно записать как а (ип, 4. <7) =
= ПЩ-
Управляемые источники наравне с постоянными счи¬
таются независимыми переменными (об условности этой
независимости сказано ниже). Поэтому при составлении
дерева управляемые источники тока должны войти
в хорды, а управляемые источники напряжения — в реб¬
ра. Тогда уравнение состояния запишется:
где матрица В^М-1 Н2; матрица Н2 отражает измене¬
ние uL и ic при подключении к схеме зависимых источ¬
ников.
Поскольку нелинейность можно считать не только источ¬
ником тока или напряжения, но и резистором, то нелиней¬
ные переменные а = f (W) подобно линейным резистивным
в принципе можно исключить из уравнений состояния,
120
используя уравнения вольт-ам'перных характеристик.
Однако исключение нелинейных переменных требует
обычно расчета трансцендентных уравнений, не имею¬
щих аналитического решения. В связи с этим аналити¬
ческая запись уравнений состояния без нелинейных пе-
->
ременных а затруднительна и целесообразно оставить
эти переменные в урав¬
нениях состояния, счи¬
тая их псевдонезави-
симыми или просто
псевдоперемен н ы м и.
Таким образом, в урав¬
нения состояния не
вошли только линей¬
ные резистивные пе¬
ременные.
В связи с этим со¬
ставление уравнений
состояния для нелиней¬
ной схемы, содержа¬
щей линейную рези¬
стивную часть, требует
выделения этой части
в виде многополюсни¬
ка, входами которого
являются хорды и реб¬
ра графа схемы, содер¬
жащие независимые
переменные iL> ис, /, Е, /п и Е3 (рис. 2-20).
Если схема содержит нелинейные резисторы, то бу¬
дем их представлять в виде управляемых источников
/п или Е3. Не будем пока раскрывать содержание мат¬
риц А, В, В' и других, подобных им, поскольку оно ста¬
нет ясным читателю после ознакомления с методом
составления уравнений состояния, подробно рассматри¬
ваемым в конце этого параграфа. Здесь мы попытаем¬
ся дать общее представление о способах организации
вычислений в схеме с учетом управляемых источников.
В зависимости от того, что считать функциями и аргу¬
ментами в источниках и в какой последовательности их
вычислять, вычисления можно организовать двумя спо¬
собами.
Рассмотрим первый способ [Л. 42[. Если каждый нели¬
нейный источник управляется одной переменной, то вектор
121
Рис. 2-20. Обобщенное представление
многополюсника при составлении
уравнений состояния.
аргументов нелинейностей W состоит из токов i3 ребер и
напряжений ип, на хордах, содержащих нелинейности. По¬
скольку токи ребер и напряжения хорд являются зависи-
-> -> ->
мыми переменными, то вектор W = (/3, ип) можно предста¬
вить как линейную комбинацию независимых переменных
X, V и псе-вдонезависимых переменных а = (/п, £3)-
С другой стороны, токи и напряжения ветвей с не¬
линейностями связаны уравнениями вольт-ам'перных
характеристик этих нелинейностей, которые мы записа¬
ли выше в виде вектор-функции нелинейностей
Совместное решение уравнений (2-64) определяет значе-
—^ —>
ния а и W. При этом возможны две эквивалентные формы
записи решения, отличающиеся тем, что в одном случае
составляется и решается нелинейное уравнение относитель¬
но W:
->
а во втором случае — относительно а:
—^ —> —> —> —^
где f~l(a) = W — функция, обратная f(W), например, если
у = f (х) = ех, то / _ 1 (у) = х = In у. Оставшиеся нелиней-
ные переменные а — в первом случае и W — во втором оп¬
ределяются по уравнениям вольт-амперных характеристик
—>■ —> —> —> —>
a = f(W) или W = f'1 (а). В тех случаях, когда токи /п
или напряжения Е3 управляемых источников зависят от па-
раметров, для определения вектора параметров q, входя-
щего в W, необходимо дополнительное уравнение
Добавив к уравнениям (2-63), (2-66) уравнение,
определяющее нужные нам выходные величины схемы
Увых, получим систему трех уравнений для описания
работы схемы в переходном режиме:
В статическом режиме ic = Ub = 0, поэтому Х=0.
Уравнение (2-68) содержит нелинейности управляемых
источников. Структурная схема образования уравнений
Рис. 2-21. Структурная схема образования уравнений состояния
для нелинейных схем.
и организации вычислений с нелинейностями в общем
виде пояснена на рис. 2-21. Для схемы рис. 2-22, в ко¬
торой использована модель Эберса — Молла без учета
емкостей, уравнения (2-67) — (2-69) будут иметь вид
[Л. 42]:
(2-70а)
123
и г^з11
В этих уравнениях уЕ J =а, токи i3l, i32 — аргументы
нелинейных источников напряжения £3i, £32. Уравнение
(2-706) можно решать относительно токов i3 в соответ¬
ствии с (2-65). Тогда вместо Е3 нужно подставить фор¬
мулу (2-61).
В частных случаях, когда псевдонезависимые перемен-
-*
ные а управляются непосредственно переменными состоя-
—^
ния X, необходимость в отдельном уравнении (2-68) для
—>
определения а отпадает. Например, для схемы (рис. 2-23),
Рис. 2-22. Транзисторный усилитель (а) и его эквивалентная схе¬
ма (б).
Рис. 2-23. Транзисторный ключ (а) и его эквива¬
лентная схема (б).
124
в которой учтены емкости переходов, вместо двух урав¬
нений (2-70а) и (2-706) можно записать одно уравне¬
ние:
а также одно уравнение для выходных величин
(2-716)
где
В этом примере напряжения емкостей переходов
являются одновременно и (переменными 'состояния, и
аргументами нелинейностей. Из приведенных примеров
видно, что в общем случае схема описывается системой
Рис. 2-24. Блок-схема расчета нелинейных схем по урав¬
нениям состояния.
дифференциальных уравнений (2-67) и системами алгеб¬
раических уравнений (2-68) и (2-69). Процесс решения
(рис. 2-24) складывается из расчета статического ре¬
жима по уравнениям, получающимся из уравнений
125
(2-67) и (2-68) при Х = 0 и постоянных внешних сигна¬
лах:
(2-72)
(2-73)
и расчета переходных процессов по дифуравнениям состоя-
—> —> —
ния (2-67), начальные условия для которых Х0 = (асо, /L0)
определяются из расчета статического режима.
Расчет статического режима можно начинать с урав¬
нения (2-72) или (2-73), задавшись начальными усло-
-» ->
виями а0 или Xq и подставляя результат решения одно¬
го из уравнений в оставшееся. Обычно исходные состоя¬
ния нелинейных активных элементов схемы известны
(закрыто или открыто), поэтому проще задать значение
ао. Если переменные состояния и псевдонезависимые
источники совпадают, то статический режим определя¬
ется из одного уравнения типа (2-72), например урав¬
нения (2-71) в примере к рис. 2-23.
Это уравнение можно решать или как алгебраическое
при Х = 0, или как дифференциальное при Х=£0. В пос¬
леднем случае решение для статического режима полу-
—> -> —>
чается при <—► оо. Найденные значения Х0, а0 вместе с У0
позволяют определить выходные величины Увых в начальный
момент времени t0. После этого интегрирование уравнений
состояния (2-67) от момента t0 до момента tl = t0-{-At,
где At — шаг интегрирования, дает значения X, в момент
tx. Для определения псевдонезависимых переменных а в мо¬
мент ti нужно снова решать систему нелинейных алгеб¬
раических уравнений (2-68), после чего можно произво¬
дить новый шаг интегрирования. Таким образом, на
каждом шаге интегрирования нужно решать систему
нелинейных алгебраических уравнений, что является
весьма серьезным недостатком рассмотренного способа
анализа, так как численные методы, гарантирующие
получение решения системы нелинейных алгебраических
уравнений, отсутствуют.
126
Рассмотрим второй способ организации вычислений,
свободный от указанного недостатка (рис. 2-25).
При этом способе полная система уравнений для
описания схемы имеет вид:
(2-74)
(2-75)
(2-76)
(2-77)
где W — вектор аргументов нелинейностей.
Уравнения (2-74) — (2-77) для схемы рис. 2-22 в этом
случае запишутся:
Токи /ш, /П2 образуют вектор-функцию а, а напряже-
—>
ния иП1, иП2 — вектор аргументов W. Расчет статического
режима можно произвести, положив X = 0, на основе урав¬
нений (2-74) — (2-76) так же, как и в первом способе, по¬
скольку уравнения (2-75) и (2-76) можно объединить в одно,
эквивалентное (2-73). В результате этого расчета получаем
начальные условия X (/0), W (/„), a (t0) для расчета переход¬
ных процессов по уравнению
(2-79)
127
Рис. 2-25. Улучшенная структурная схема образования уравне¬
ний состояния (а) и структурная схема расчета нелинейных схем
по уравнениям состояния (б).
126
получающемуся после подстановки (2-75) и (2-76)
в (2-74). Дальнейший ход вычислений изображен на
рис. 2-25,6. Существенное отличие второго способа вы¬
числений от первого проявляется при расчете переход¬
ных процессов и состоит в том, что для получения зна¬
чений W и а после каждого шага интегрирования диф¬
ференциальных уравнений (2-74) уравнения (2-75) и
(2-76) не решаются совместно как нелинейная алгебра¬
ическая система, а вычисляются последовательно.
—>
Сначала определяется W подстановкой в (2-76) значе-
ний X и V, действующих на данном шаге вычислений, и
значения а, полученного на предыдущем шаге, а затем
—>
определяется а для данного шага подстановкой в (2-75)
полученного значения W. По существу здесь используется
->
один цикл итераций по а
в уравнении (2-68) с использо¬
ванием в качестве нулевого
приближения значений а, по¬
лученных на предыдущем шаге
интегрирования дифферен¬
циальных уравнений.
В качестве примера, поясняющего
различие алгоритмов на рис. 2-24 и
2-25, рассмотрим возможные спо¬
собы организации вычислений в схе¬
ме .триггера на МДП-транзи-
сторах на рис. 2-26. В этой
схеме МДП-транзисторы можно
представить нелинейными генерато¬
рами тока In(u 1, и2), образующими
вектор-функцию а=(1пи ^п2, /пз).
—►
Вектор аргументов W состоит из переменных и2. Поскольку
напряжение на стоке каждого транзистора одновременно является
напряжением на затворе противоположного, то переменные ии и2
—^
образуют также субвектор параметров q. Пусть в статическом ре¬
жиме 'напряжения ui = ul0 и и2=и20 определены и нужно найти за¬
кон их изменения при подаче сигнала иВх(0- Как видно из схемы,
аргумент Ui одновременно является переменной состояния uci и
в любой момент времени определяется из дифференциального урав¬
нения
Рис. 2-26. К пояснению двух
способов расчета нелиней¬
ных схем по уравнениям
состояния.
9-444
129
которое при решении численным методом можно представить в виде
Для расчета ис 1 в момент времени ti = U+At величина и2 в пра¬
вой части известна: и2(М=^2о, однако для расчета Uci в следующий
момент времени t2='ti+At значение u2(t 1) нужно рассчитать. Так
как и2 не является переменной состояния, то для его расчета по
алгоритму на рис. 2-24 придется решать нелинейное алгебраическое
уравнение относительно u2(ti):
Если же воспользоваться алгоритмом на рис. 2-25, то u2(ti)
рассчитывается по формуле
в которой все величины в правой части известны.
Таким образом, второй способ вычислений в отличие от
первого не требует на каждом шаге интегрирования реше¬
ния системы алгебраических нелинейных уравнений для опре-
деления вектор-функции псевдопеременных а (W) = [/п (W),
Б3(Щ.
Недостатком второго способа является неточность в оп-
—^
ределении вектора аргументов W(t{-\-Lt) на основе значе¬
ний a{ti), а не А/) тем меньшая, чем меньше вели-
—> —> —^
чина Aa = a(ti-\-kt) — a(tt). При малых интервалах Дг эта
неточность несущественна. Ошибка в определении W
—>
-)-Л0 отсутствует, если вектор аргументов W выражается
через переменные состояния X и независимые источники V:
так как в этом случае
(2-80)
Такая ситуация имеет место, если нелинейности
управляются непосредственно переменными состояния,
как на рис. 2-23. В этом случае уравнения (2-74),
(2-75) и (2-76) имеют 'вид:
Сравнивая уравнения (2-80) и (2-71а), видим, что
если аргументами нелинейности являются переменные
состояния, то алгоритмы на рис. 2-24 и 2-25,6 совпада¬
ют, поскольку в обоих алгоритмах вектор-функция не-
—У —> —> —V —У
линейностей a =f (W) == f (X) на каждом шаге инте¬
грирования определяется значениями переменных состо¬
яния на этом шаге. Если аргументы нелинейностей не
выражаются через переменные состояния, как, напри¬
мер, напряжение иг в схеме на рис. 2-26, то для умень¬
шения динамической ошибки из-за использования «за¬
паздывающих» значений a(\t) можно воспользоваться
следующим приемом [JI. 45]. Разложим вектор-функцию
—У
a(W) в ряд Тейлора в окрестности At точки /, ограни¬
чившись линейным членом разложения:
где Wt+At — Wt = AW — приращения аргументов нелиней-
ностей за время At; a' (W) — производная вектор-функции
аф).
Подставляя это выражение в формулу (2-76) и решая
получившееся уравнение относительно WtJ^LV определим уточ-
ненное значение
Изложенный способ уточнения значений вектора
—^
аргументов W в момент t+At означает, что вольт-ампер-
ная характеристика каждого активного нелинейного
элемента экстраполируется в интервале At не постоян¬
ной величиной, как раньше, а прямой линией с угловым
9* 131
коэффициентом, равным производной dIuldUn или
dE3/di3— ib предыдущий момент времени t.
В рассмотренных алгоритмах составления и решения
уравнений состояния модели активных компонентов за¬
даны алгебраическими уравнениями, описывающими
безынерционную часть модели, обычно статическую
вольт-амперную характеристику. Отметим, что если эти
Рис. 2-27. Учет нелинейности, задан¬
ной дифференциальным уравнением.
уравнения трансцендентны относительно /п и Е3, то
—>
в алгоритме на рис. 2-25,6 для определения вектора а .
придется решать алгебраические уравнения вида а =
=f(a) на каждом шаге интегрирования.
Однако, как указывалось в гл. 1, модели могут быть
заданы не только алгебраическими, но и дифференци¬
альными уравнениями относительно напряжений на
емкостях или токов в индуктивностях, управляющих не¬
линейностью, например вида (1-30):
В этих случаях для учета нелинейных компонентов
при составлении уравнений состояния можно восполь¬
зоваться следующим способом [JI. 33] |(рис. 2-27). Из
рис. 2-27 следует, что правая часть дифференциального
уравнения (2-81) может быть записана в виде
где i3=f(uc)—статическая вольт-амперная характери¬
стика двухполюсника.
При численном интегрировании уравнений состояния
уравнение (2-81) можно записать:
132
Токи iBX и «з определяются независимо друг от друга:
iBX вычисляется через параметры линейного многополюсника,
a i3 = f(ur ) — по подпрограмме для данной нелинейности.
г-1
Этот способ можно свести к предыдущим алгорит¬
мам, если переписать уравнение (2-81) в .виде
->
В общем случае можно записать duc/dt = X; iBX/C =
—> —> —>
= AX-j-BV; i3/C = B'f(li^), откуда видно, что уравнение
(2-83) сводится к уравнению (2-80).
В рассмотренном способе правая часть выражения
(2-81) описывается только алгебраическими уравнения¬
ми, поскольку все емкости нелинейного компонента вы¬
делены в самостоятельный компонент, общий для много¬
полюсника и нелинейного компонента. В более общем
случае в правую часть выражения (2-81) могут входить
и дифференциальные уравнения относительно напряже¬
ний на тех емкостях, которые по каким-либо причинам
не могут быть вынесены за пределы безынерционной ча¬
сти нелинейного -компонента и характеризуют протека¬
ющие в нем инерционные процессы. Переходный про¬
цесс в схеме для этого случая рассчитывается путем
поочередного решения системы линейных дифференциаль¬
ных уравнений для многополюсника и 'системы нелиней¬
ных дифференциальных уравнений для нелинейных ком¬
понентов. При этом шаги /гл и hH интегрирования 'этих
систем могут быть различными. Во время интегрирова¬
ния нелинейных уравнений с шагом Ян общие для линей¬
ной и нелинейной частей схемы напряжения, получен¬
ные из интегрирования линейных уравнений, считают¬
ся постоянными и играют роль внешних источников для
нелинейной части- После того как интервал времени Лл
будет проинтегрирован с шагом hш рассчитываются вы¬
ходные токи и напряжения нелинейной части, играю¬
щие роль псевдонезависимых источников Е3, /п для ли¬
нейной части на следующем шаге интегрирования /гл-
Этот способ учета нелинейностей был разработан
Ф. Брэниным и использован в программе ТАР (Л. 41].
Достоинством этого способа, как будет показано в гл. 3,
является повышенная скорость расчета переходных про¬
цессов з схеме.
133
Ниже мы -будем -рассматривать составление и реше¬
ние уравнений состояния применительно к случаю зада¬
ния нелинейности статической вольт-амперной характе¬
ристикой.
Г. ИЕРАРХИЯ ВЕТВЕЙ, ПОСТРОЕНИЕ ДЕРЕВА
И КЛЕТОЧНОЕ РАЗБИЕНИЕ МАТРИЦ КОНТУРОВ
И СЕЧЕНИЙ
Из предыдущего ясно, что при построении дерева гра¬
фа схемы для составления уравнений состояния необ¬
ходимо соблюдать определенные правила. Чтобы обес¬
печить независимость управляемых и неуправляемых
источников напряжения и напряжений на емкостях, нуж¬
но все источники напряжения и емкости включить в реб¬
ра графа, а чтобы обеспечить независимость управляе¬
мых и неуправляемых источников тока и токов в
индуктивностях, нужно все источники тока и индуктив¬
ности включить в хорды графа. Сопротивления могут
находиться и в ребрах, и в хордах графа. Поскольку
при построении дерева вначале определяются ребра, а
потом хорды, то отсюда вытекает определенная иерар¬
хическая последовательность в рассмотрении ветвей гра¬
фа в зависимости от их физического содержания: источ¬
ники напряжения, емкости, сопротивления, индуктивно¬
сти, источники тока. Для построения дерева можно
использовать рассмотренный в 1§ 2-2 алгоритм Брэннна
или любой другой алгоритм, последовательно применя¬
емый вначале только к ветвя.м с источниками напряже¬
ния, затем к емкостным ветвям и т- д.
После рассмотрения каждого класса ветвей ветви, во¬
шедшие в очередное частное дерево, заносятся в спи¬
сок ребер, а не вошедшие — в описок хорд. По окончании
рассмотрения всех классов ветвей образуются общие
списки ребер и хорд, в которых ветви разделены на
классы в соответствии с их физической природой. Спи¬
сок ребер образует дерево. Построенное дерево может
обладать следующими свойствами:
1) все источники напряжения и емкости вошли в реб¬
ра, а все источники тока и индуктивности вошли в хорды
(такое дерево называется собственным и алгоритмы со¬
ставления уравнений состояния в этом случае наиболее
просты |[Л. 44});
2) все источники напряжения вошли в ребра, источ¬
ники тока — в хорды, но часть емкостей вошла в хорды
134
и (или) часть индуктивностей — в ребра. Эти емкости
и индуктивности называются избыточными, а дерево на¬
зывается нормальным ![Л. 47]. Схемы, для которых нель¬
зя построить собственное дерево, а только нормальное,
называются схемами с неправильной структурой (схе¬
мами с вырождением). Рассмотренный случай возника¬
ет, например, если в схеме имеются ем.костные контуры
или звезды индуктивностей (рис. 2-6);
3) часть идеальных источников напряжения вошла в
хорды или часть идеальных источников тока вошла в
ребра. В этом случае в схеме имеются контуры с иде¬
альными источниками напряжения или звезды с идеаль¬
ными источниками тока, что свидетельствует о нару¬
шении законов Кирхгофа, т. е. говорит об ошибке при
составлении эквивалентной схемы.
Для построенного дерева далее нужно получить под¬
матрицы сечений Пх или контуров Гр одним из спосо¬
бов, описанных в § 2-2, причем в любом случае нужно
соблюдать очередность рассмотрения ветвей в соответ¬
ствии с табл. 2-3,1 где ветви классифицируются не толь¬
ко по их физической природе, но и по принадлежности
к ребрам или хордам. Эта очередность обеспечивает
отсутствие ветвей с независимыми токами в матрице
Гр и независимыми напряжениями в матрице Пх.
Таблица 2-4
№
Ветвь
Обозначе¬
ние ветви
Обозначение напряже¬
ния и тока
1
Зависимые источники напряже¬
ния
£3
Е3,
2
Независимые источники напря¬
жения
Е
Е> 1Е
3
Емкости ребер
С
иС’ *с
4
Индуктивности ребер
Г
Иг, it
5
Сопротивления ребер
г
^г
6
Сопротивления хорд
g
**
7
Емкости хорд
S
us, is
8
Индуктивности хорд
L
UL> *L
9
Независимые источники тока
I
Uj, /
10
Зависимые источники тока
/п
IП
135
Классификация ветвей может отличаться от приве¬
денной в табл. 2-4 в зависимости от подхода к рассмот¬
рению нелинейностей. Например, если нелинейность рас¬
сматривается не как зависимый источник, а как не¬
линейное сопротивление, то ветви 1, 10' из табл. 2-4
можно исключить. Расположив столбцы матриц П и Г в
указанном в табл. 2-4 порядке, запишем эти матрицы в
виде клеточных матриц, выделяемых в соответствии
с физической природой ветвей и их принадлежностью
к ребрам или хордам.
(2-84)
(2-85)
Каждая подматрица вида I\Mn, где М — индекс ре¬
бер, а N — индекс хорд, образуется на пересечении всех
строк с индексом М оо всеми столбцами с индексом N.
Например, Псь образуется на пересечении строк, соот¬
ветствующих емкостным ребрам со столбцами, соот¬
ветствующими индуктивным хордам. Подматрицы nMiv
и Tnm, как и Пх и Гр, связаны соотношением
136
(2-87)
Из формул (2-48а), (2-486) следует, что
т. е. каждая (Подматрица вида — TImn составе Пх вы¬
ражает токи М ребер через независимые токи N хорд,
а каждая подматрица вида — TNM выражает напряже¬
ния N хорд через независимые напряжения М ребер.
Таким образом, первый индекс в подматрицах Пmn и
Ггум относится к 'выражаемым величинам, а второй —
к выражающим.
В единичных подматрицах ПМм и rNN содержатся
хорды с независимыми токами и ребра с независимыми
напряжениями. Нулевые подматрицы в Пх и Гр получа¬
ются из-за выбранной последовательности рассмотрения
ветвей при построении дерева. Так, матрицы ПГ5 =
= 0 и-Г5г=0, т. е. токи индуктивных ребер, не выража¬
ются через токи емкостных хорд, а напряжения емкост¬
ных хорд не выражаются через напряжения индуктив¬
ных ребер. Действительно, поскольку первыми рассмат¬
риваются ветви Е3, £ и С, то емкость может стать
хордой лишь в составе чисто емкостного контура или кон¬
тура из емкостей С и источников напряжения Е или
Е3, а следовательно, напряжение на емкостной хорде
может вьпражаться только через напряжения ис, Е, Е3;
в контурах с другими компонентами емкость ;может быть
только ребром, поэтому Г5г = TSr = 0.
Аналогично индуктивность становится ребром лишь в со¬
ставе чисто индуктивной звезды или звезды индуктивно¬
стей L с источниками тока /, /п, поэтому токи индуктив¬
ных ребер выражаются только через токи iv /, /п осталь¬
ных L, /, /п хорд в звезде. Поэтому ПГ5 = ПГ^ = 0. Ана¬
логично можно объяснить, почему равны нулю Fgr и Пг5.
Разбиение матриц Пх и Гр на подматрицы в зависи¬
мости от физической природы ветвей и их положения по
отношению к дереву позволяет выражать токи емкост¬
ных (ребер и напряжения индуктивных хорд через токи
и напряжения остальных ветвей, что и требуется в ме¬
тоде переменных состояния.
Д. СОСТАВЛЕНИЕ АЛГЕБРО-ТОПОЛОГИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ СОСТОЯНИЯ
С учетом обозначений табл. 2-4 токи и напряжения
ребер и хорд можно представить в виде вектор-столб¬
цов
137
Подставляя в уравнения (2-48а), (2-486) развернутые
выражения матриц Гр, Пх (2-84), (2-85) и переменных
—^ —> -> —>
*’р> *х, (2-88), получаем матричные уравнения:
Эти общие уравнения служат основой для составле¬
ния различных вариантов уравнений состояния в зависи¬
мости от вида схем и представления в 'них нелинейно¬
стей [JI. 38, 42, 47, 48]. Рассмотрим способ составления
уравнений, обобщающий эти варианты. Введем матри¬
цы компонентов схемы, относящихся к ребрам R, Lpj
Ср и к хордам G, Lx.» ^х- Тогда
Токи резистивных хорд ig и 'напряжения резистивных
ребер иг являются независимыми переменными (точнее,
псевдонезависимыми). Выразим из уравнений (2-89) за¬
висимые токи и напряжения реактивных и резистивных
элементов как функции независимых переменных ис, 1ь,
ип ig) а также зависимых и независимых источников:
Уравнения (2-91) являются уравнениями состояния.
Уравнения (2-92) отражают неправильную структуру
схемы и показывают, что напряжения на емкостных
хордах выражаются по второму закону Кирхгофа через
напряжения емкостных ребер и источников напряжении,
а токи индуктивных ребер выражаются по первому за¬
кону Кирхгофа через токи индуктивных хорд и источни¬
ков тока. Уравнения (2-93) описывают линейный рези¬
стивный многополюсник в составе нелинейной схемы.
Уравнения (2-94) служат для вычисления араументов
нелинейностей — токов /3 для нелинейных источников на¬
пряжения ЕЭу находящихся <в ребрах, и напряжений ии
для нелинейных источников тока 1т находящихся в хор¬
дах.
Исключим из уравнений состояния зависимые перемен¬
ные is и иг Перенесем в уравнениях (2-91) члены с is
139
и в левую часть:
—> —>
Подставляя сюда выражения us и /г из (2-92), полу¬
чаем уравнения состояния, соответствующие преобразова¬
ниям (2-74) или (2-67):
Учет вырождений в схеме (Lp^O; Сх^'0) привел к
появлению и правых частях производных по времени от
зависимых и независимых источников. Аналогичным пу¬
тем можно получить уравнения для аргументов псевдо-
независимых переменных /п и Е3— напряжений ип на
хордах с зависимыми источниками тока /п и токов i3 ре¬
бер с зависимыми источниками напряжения Е3:
При Сх=£0, Lp^O кроме производных по времени
от источников в этих выражениях дополнительно появи¬
лись производные переменных состояния. Уравнения
(2-96) соответствуют преобразованию (2-76), выражаю-
140
щему аргументы нелинейностей. Если нелинейный эле¬
мент— двухполюсный, независящий от па-раметров, то
/п=/(^п) и E3=f(i3) вычисляются на 'каждом следую¬
щем шаге интегрирования по значениям ип и i3, получен¬
ным на предыдущем шаге, с помощью подпрограммы,
в которой нет обращений к другим переменным цепи.
Если же /п и Е3 зависят не только от ип и i3, но и от дру¬
гих переменных цепи (параметров), то подпрограмма
вычисления /п и Е3 должна иметь доступ к этим перемен¬
ным. Например, в описании нелинейного элемента мож¬
но указать номера узлов, к которым подключены ветви,
или непосредственно номера ветвей (компонентов), то¬
ки (напряжения) которых являются параметрами нели¬
нейного элемента. 'В частности, такими параметрами мо¬
гут быть токи '(напряжения) ug, ig, ur, гг резистивных ли¬
нейных компонентов или токи ir и напряжения Us-
Тогда необходимо пользоваться уравнениями (2-93) или
(2-92), представляющими собой алгебраические уравне¬
ния. Обычно нелинейность управляется переменными
состояния ис, ib- Поэтому переменные цепи иг и ig из
уравнений (2-91) — (2-94) можно исключить. Для этого
выразим вначале иг и ig через ис, II, Е, Е3, I, /ш исклю¬
чив из уравнений (2-93) зависимые резистивные пере¬
менные ir и ug. Умножим обе части уравнения (2-936)
на R, а обе части уравнения (2-93а) на G. Учитывая,
-> -» -» ->
что ur = R ir, ig = Gug, получаем:
Отсюда получаем выражения для ur и ig:
Уравнения (2-95) — (2-97) полностью описывают ра¬
боту схемы с учетом 'вырождений и зависимых источ¬
ников.
141
После подстановки уравнений для ur, ig в уравнения
состояния (2-95) и их объединения можно получить обыч-
7*
ную форму этих уравнений Х = АХ BV-\-Bra, в которой
резистивные переменные исключены, но появятся члены
с производными из-за вырождений в схеме. Отсюда, в;
частности, следует способ определения содержания 'мат¬
риц А, В, В' и других, рассмотренных выше. Однако»
объединение уравнений состояния (2-95а), (2-966) в од-
но нецелесообразно из-за 'увеличения времени расчета
переходных процессов, так как интегрирование объеди¬
ненного уравнения требует обращения объединенной
индуктивно-емкостной матрицы высокого порядка. По¬
этому целесообразно интегрировать уравнения (2-95а)
и ((2-956) отдельно, получая решение на 'каждом шаге
поочередно для емкостных и индуктивных переменных.
Нелинейность реактивных элементов учитывается при
расчете так же, ка:к нелинейность резистивных элемен¬
тов. Например, если емкости заданы своими вольт-фа-
радными характеристиками С (и), то на каждом после¬
дующем шаге расчета переходных процессов нужно под¬
ставлять в емкостную матрицу значения С {и) для
предыдущего шага. Необходимо указать, что зависимость
С (и) может быть задана как статическая C^ = qluc или
дифференциальная Cm$$=dqlduc Так как емкостный
ток tc = dq/dt=dq/duc • duc/dt = Cm$$ducldt, то в емкост¬
ную матрицу на каждом шаге нужно подставлять диф¬
ференциальную емкость. Если же используется выраже¬
ние статической емкости, то
и необходимо учитывать второй член, если емкость за¬
висит от времени. Аналогичные рассуждения справед¬
ливы и для нелинейной индуктивности.
Рассмотрим случай, когда параметры R, L, С зави¬
сят от времени. Уравнения состояния (2-95) сохраняют
свой вид. Однако, учитывая, 'что истинными параметра¬
ми состояния являются не напряжения ис и токи iL,
а заряды q емкостей и потоки я|> в индуктивностях, нуж¬
но записать левые части уравнений (2-95) в виде
142
-г
и перенести члены с ис и iL в правые части уравнений
(2-95а), (2-056). Если скорость изменения величин емко¬
стей и индуктивностей во .времени соизмерима со ско¬
ростью переходных -процессов в схеме, то для расчета
L(t) и C(t) требуется «подпрограмма, вычисляющая
значения L и С на каждом шаге расчета переходных
процессов в соответствии с их .временной зависимостью.
Учет временной зависимости параметров безреактивных
элементов производится аналогично. Если скорость из¬
менения величин R, L, С элементов значительно меньше
скорости переходного процесса, то учет временной за¬
висимости сводится к изменению номиналов элементов
в описании схемы.
Рассмотрим различные способы представления резистивных эле¬
ментов схемы и нелинейных источников. Первый способ, реализован¬
ный в уравнениях (2-95)—«(2-97), состоит в разделении резистивных
элементов на два класса — линейные резисторы, описываемые мат¬
рицами R и G с постоянными элементами, и нелинейные резисторы,
представляемые как управляемые источники тока /п и напряжения
Е3. При этом потребовались различные уравнения для токов и на-
пряжений линейных ветвей igj иг и нелинейных ветвей i3, ип. Вто¬
рой способ основан на том, что каждый линейный резистивный эле¬
мент можно рассматривать как частный случай управляемого источ¬
ника с линейной вольт-амперной характеристикой, определяемой вы¬
ражениями E3=Ri3 или In = Gun. В этом случае резистивная часть
схемы представляется только совокупностью постоянных и управляе¬
мых источников, а классы ветвей г и g в та'бл. 2-2 будут отсут¬
ствовать. Третий способ обратен второму и основан на том, что
управляемые источники в свою очередь можно рассматривать как
частный случай нелинейного сопротивления R(i)=E3/i3 или прово¬
димости G\(u) =1п/ип (см. § 2-3, п. В). В этом случае резистивная
часть схемы представляется только совокупностью линейных и не¬
линейных резисторов, а классы ветвей /ш Е3 в табл. 2-2 будут от¬
сутствовать.
Недостаток двух последних способов состоит в том, что в обоих
случаях резистивная часть цепи описывается объединенной матри¬
цей большого порядка, содержащей как линейные, так и нелинейные
элементы. При различных операциях с этой матрицей необходим ин¬
дивидуальный подход к каждому ее элементу, поскольку заранее
143
неизвестно, является ли он линейным или нелинейным. В резуль¬
тате обращение матрицы большого порядка необходимо на каждом
шаге вычислений, что занимает много времени. В отличие от этих
способов первый способ, в котором линейная и нелинейная рези¬
стивная части выделены в отдельные подматрицы, позволяет обра¬
щать эти матрицы по отдельности. При этом линейную подматрицу,
очевидно, «придется обращать только один раз, а нелинейную об¬
ращать вообще не нужно, так как она представлена вектор-
столбцами зависимых источников, поэтому общее время расчета су¬
щественно уменьшается. Аналогичный подход целесообразен и по
отношению к реактивной части схемы, где также в составе емкост¬
ной и индуктивной матриц С и L с целью сокращения времени их
Рис. 2-28. Триггер на МДП-транзисторах.
а — принципиальная схема; б — эквивалентная схема, подготовлен¬
ная для автоматического составления уравнений.
обращения можно выделить линейные и нелинейные подматрицы.
Уравнения для выходных величин схемы G ,('2-77) можно по¬
лучить аналогично уравнениям для переменных состояния и пере¬
менных цепи. Выходными величинами могут быть напряжения и
токи любых элементов цепи. Поскольку даже при расчете одной и
той же схемы разным потребителям могут потребоваться различные
выходные величины, то целесообразно задавать выходные величины
описанием. Если выходная величина совпадает с переменной цепи,
то достаточно в исходном описании схемы указать на печать этой
переменной. Если выходная величина является функцией перемен¬
ных цели, то для ее вычисления нужно вводить в ЦВМ подпрограм¬
му реализации этой функции, подобно подпрограмме вычисления
нелинейности.
В качестве примера, иллюстрирующего применение изложенного
метода автоматического составления уравнений, рассмотрим состав¬
ление уравнений для схемы триггера на МДП-транзисторах
(рис. 2-'28,а). Пронумеровав ветви и узлы эквивалентной схемы, про¬
извольно выберем направления ветвей и, приняв за опорный узел
144
заземленную точку, составим матрицу узлов А, рассматривая по¬
очередно классы ветвей Е, С, R, /:
Приведем эту матрицу к виду П = [1 П*], воспользовавшись ал¬
горитмом Гаусса. Методика использования этого алгоритма в данном
случае состоит в следующем (Л. 42]. Рассматриваем поочередно каж¬
дый столбец, добиваясь равенства единице его диагонального элемен¬
та с помощью перестановки строк и их умножения на —1. При этом
возможны следующие случаи. Если диагональный элемент не равен
нулю, то сначала он делается равным +1 (если был равен —1),
а затем с его помощью уничтожаются все ненулевые элементы
в данном столбце путем прибавления к строке с ненулевым элемен¬
том строки с единичным диагональным элементом, умноженной на
±1. Если диагональный элемент равен нулю и ниже его имеется
единичный элемент, то производится перестановка строк с этими
элементами, после чего повторяется предыдущий пункт. Если диа¬
гональный элемент равен нулю, а ниже его нет единичного, то ни¬
какая перестановка строк не может привести к единичной подмат¬
рице и данный столбец нужно перевести в подматрицу хорд, при¬
ступив к рассмотрению следующего по порядку столбца. Применяя
эту методику, получаем матрицу сечений П:
Подматрицы контуров легко получить, используя соотношение
rM/v = —nW например Г5С=[1 —1].
10—444 145
Отсюда получаем топологические подматрицы сечений:
'КомйонентиЫе йодматрицы определяются в соответствии с клас¬
сификацией столбцов по классам в матрице сечений П:
; сх=[с4].
Далее формируем вектор-столбцы токов и напряжений в со¬
ответствии. с количеством столбцов в каждом классе переменных,
например:
Теперь можно записать уравнение схемы в алгебр о-топологиче-
ском виде. Дифференциальные уравнения состояния в данном слу¬
чае примут вид:
Производя действия над матрицами, получаем эквивалентную
данному алгебро-топологическому уравнению систему обычных диф¬
ференциальных уравнений:
Эти же уравнения можно было бы записать и в нормальной
форме, если предыдущее уравнение решить относительно производ¬
ных dua/dt, ducsldt, обратив матрицу в скобках в левой части.
Уравнения для определения аргументов нелинейности после
подстановки соответствующих подматриц принимают вид:
Токи /ш вычисленные, например, по формуле (1-47) в блоке
нелинейностей, зависят не только от аргументов «п, но и от пара¬
метров— напряжений на затворах, которые должны вычисляться
также в блоке нелинейностей.
146
Справедливость всех полученных уравнений вытекает непосред¬
ственно из рассмотрения эквивалентной схемы.
Глава третья
АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
3-1. АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Анализ статического режима можно произвести дву¬
мя способами. Первый способ основан на решении
алгебраических уравнений, описывающих схему в стати¬
ческом режиме. Эти уравнения можно автоматически
10* 147
Произведя действия над матрицами, получаем:
Б подматрице источников напряжения Е=[—Е] взят знак «ми¬
нус», поскольку источник рассматривается как падение напряже¬
ния:
Алгебраические уравнения i('2-97) для резистивных переменных
имеют вид:
получить из системы дифференциальных уравнений, опи¬
сывающих переходные процессы в схеме, если учесть,
что в статическом режиме емкостные токи и напряжения
на индуктивностях равны нулю-
Положим в уравнениях (2-91) ic = is = uL = ur = 0;
исключим с помощью (2-97) резистивные переменные ur, ig
и решим получившиеся выражения совместно относительно
ис, iL. Тогда вместе с уравнениями (2-94) при is = ur = О
и (2-97) получим систему уравнений для «расчета реак¬
тивных, а также линейных и нелинейных резистивных
переменных в статическом режиме:
Переменные ип, i3 входят в вектор аргументов нелиней-
—у —> —>■ —>
ностей W = («ц, 4» <?)> где q — вектор параметров нелиней¬
ностей, а переменные /п, £3 образуют вектор-функцию
148
псевдопеременных а = (/п, Ё3), характеризующих нелиней¬
ности схемы. Если нелинейности не зависят от параметра,
то <7 = 0.
Тогда, учитывая, что
f,, /2—векторы-функции нелинейностей схемы, и подставляя
(3-1), (3-3) в '(3-2), получаем вместо уравнений (3-2),
систему 'нелинейных алгебраических или трансцендент¬
ных уравнений в зависимости от 'вида fь /2-'
Если нелинейности зависят от параметра, то q^O.
Очевидно, поскольку в вектор q могут входить любые пе¬
ременные 1цепи, то в общем случае 1можно записать всю
систему уравнений для статического режима ib вектор¬
ном виде:
Процесс численного решения этого уравнения можно
записать в виде последовательных однотипных циклов
вычислений, называемых итерациями:
где п — номер итерации.
Запись (3-6) означает, что в .качестве аргументов на
я-Hi шаге итерации используются значения функций на
п шаге.
—> —> —>
Если последовательность значений W°, W1, ...,Wn при
п—^“оо стремится к некоторому конечному пределу, то
говорят, что процесс вычислений сходится. Решение си¬
стемы нелинейных уравнений (3-6) составляет существо
вычислительной задачи при расчете статического режи¬
ма схемы.. Различные итеративные процедуры для реше¬
ния уравнения (3-6) будут рассмотрены далее, здесь же
мы укажем на весьма важный 'метод, служащий основой
доказательства сходимости многих вычислительных
149
процедур. Этот метод называется принципом сжатых
отображений. Пояснить его можно следующим образом
[Л. 51]. Рассмотрим вначале понятие о неподвижной
точке отображения. Пусть на числовой оси дан сегмент
[а, Ь] '(рис. '3-1). Проведем его сжатие- Тогда его концы,
торая точка с сегмента не изменит своего положе¬
ния и останется неподвижной. Процесс сжатия означает,
что каждой точке л; сегмента {а, Ь] мы ставим в соот¬
ветствий точку xi = f(x) сжатого сегмента или, как го¬
ворят, задаем отображение А такое, что Ax=f(x). Тогда
неподвижная точка с должна удовлетворять равенству
Аналогично можно задать отображение А, ставящее
в соответствие одной функции q>(X) другую функцию
/7|[ф|(л:)]=Лф|(л:). Тогда неподвижной точкой отображе¬
ния А будет функция, удовлетворяющая условию <р(х) =
= F[ф(Х)]. Отображение А называется сжатым в области
R, если для любых двух точек этой области хь Х2 их
образы tji=Axi и 1)2=Ах2 удовлетворяют условию
где р — расстояние между точками в пространстве, на¬
зываемое метрикой соответствующего пространства. Та¬
ким образом, сжатое отображение не увеличивает рас¬
стояния между точками. Важно отметить, что сжатое
отображение имеет только одну неподвижную точку, к
которой стремится предел последовательности, заданной
равенством хп = Ахп-i при п—*оо. Следовательно, дока¬
зательство сходимости любой итеративной вычислитель¬
ной процедуры сводится к доказательству сжатости со¬
ответствующего ей отображения. Например, для уравне¬
ния вида x = f(x), выбрав в качестве метрики р(х{, х2) =
= 1*1—х2\ и используя теорему Лагранжа, можем запи¬
сать:
Рис. 3-1. К пояснению принципа
сжатых отображений.
занимавшие ранее поло¬
жение а, Ь, переместятся
в точки аи bi, точки же,
занимавшие положения
аи Ьи займут положения
(22, &2. Интуитивно МОЖНО
предположить, что неко-
Если f(x) в рассматриваемом сегменте [а, b] опредё-
лена, дифференцируема, удовлетворяет условиям f(x)<=
^[а, Ь] при х<=\[а, b] и |Г(ХН^0<1> то р(Ахи Лх2
^0|xi—Xz \ = 0p(^i, х2), т. e. отображение Ax = f(x) сжа¬
тое, и процесс вычислений сходится. Аналогично можно
провести доказательство для векторных величин.
Основным недостатком первого способа анализа ста¬
тического режима является невозможность во всех слу¬
чаях гарантировать сходимость процесса вычислений
при решении уравнений (3-1) — (3-3), поскольку сходи¬
мость зависит от выбора начального приближения
Ып ’ С от вида Функции E3j /п и ряда других причин.
Второй способ основан на представлении статическо¬
го режима как предельного, асимптотического режима,
к .которому стремятся переходные процессы в схеме при
своем затухании, т. е. при Ь—*оо. Например, в отсутст¬
вие изменяющихся внешних сигналов статический ре¬
жим можно считать асимптотическим решением системы
дифференциальных уравнений, описывающих переход¬
ные процессы в схеме, которые возникают при включе¬
нии источников питания, играющих в данном случае
роль внешних возмущений. Этот способ анализа стати¬
ческого режима является частным случаем анализа
переходных процессов, рассматриваемого в § 3-2. Досто¬
инством этого способа является принципиальная воз¬
можность получить асимптотическое решение для любо¬
го вида уравнений схемы, так !как при интегрировании
дифференциальных уравнений с достаточно малым ша¬
гом отсутствует проблема сходимости вычислений, ха¬
рактерная для решения алгебраических уравнений.
Недостаток этого способа состоит в значительно боль¬
шем по сравнению с решением алгебраических уравне¬
ний времени вычислений- Поэтому второй способ можно
использовать 'как запасной вариант на случай, если не
удается рассчитать статический режим первым способом
из-за расходимости процесса решения алгебраических
уравнений.
Б. РАСЧЕТ СТАТИЧЕСКОГО РЕЖИМА МЕТОДОМ ПРОСТОЙ
ИТЕРАЦИИ
Метод итерации, называемый также методом после¬
довательных приближений, составляет основу большин¬
ства численных методов решения нелинейных алгебра¬
151
ических и трансцендентных уравнений. В общем случае
запись итеративного процесса имеет вид:
В зависимости от способа представления правой 'ча¬
сти различают метод простой итерации, .метод хорд, ме¬
тод касательных (Ньютона) и т. д. Здесь :мы рассмот¬
рим метод простой итерации, при котором уравнения
схемы имеют вид (3-4). Рассмотрим вначале метод ите¬
рации для решения нелинейных уравнений с одним неиз¬
вестным:
Графически процесс решения этого уравнения иллю¬
стрируется на рис. 3-2. В случаях, показанных на рис.
3-2,а и б, процесс сходится, а в случаях, показанных на
рис. 3-2,в и д — расходится- Достаточное условие сходи-
Рис. 3-2. Решение нелинейных уравнений методом простой итерации.
а, 6 — процесс итерации сходится: е, <? —процесс итерации расходится; г —
колебательный итерационный процесс.
мости на отрезке [а, Ь] уже рассматривалось и сводится
к ограниченности модуля производной единичным зна¬
чением:
где % = ф'ООмакс — максимальное значение производной
ф'(Х) на отрезке [а, b]. Дифференцируя правую часть
уравнения (3^10) по я, убеждаемся в выполнении усло¬
вия сходимости:
(3-11)
Очевидно, вместо Х=q'(x) макс
можно выбирать любое достаточно
большое число (я)Макс.
При расчете схем обычно в пра¬
вую часть уравнения (3-10) входят
выражения вольт-амперных характе¬
ристик нелинейных элементов. Тог¬
да я/(я) является функцией либо
дифференциальной выходной прово¬
димости £вых, либо дифференциаль¬
ного выходного сопротивления
ГВЫХ‘ Поскольку их максимальные
значения, как правило, априорно
Рис. 3-3. Ключ на
МДП-транзисторе.
153
В атом случае процесс сходится независимо от на¬
чальных условий к единственному корню уравнения х=
= f(x), причем последовательные приближения ;могут
монотонно стремиться к корню с одной стороны П'ри
1>//(л:)>0 (рис. 3-2,а) или с обеих сторон при —1<
<Г(х)<0 (рис. 3-2,6). Независимость сходимости от на¬
чальных условий означает, что метод итерации является
самоисп'равляющимся, приводящим к успеху независимо
от сбоев ЦВМ и погрешностей вычислений на отдельных
циклах, если, конечно, эти сбои и погрешности не вы¬
водят процесс за границы отрезка \[а, Щ, где не выпол¬
няется условие (3-9). Самоиоправляемость метода ите¬
рации значительно повышает его надежность по срав¬
нению с другими вычислительными методами.
Если условие (3-9) не выполняется (рис. 3-2,в и г),
то уравнение (3-8) 'можно преобразовать к эквивалент¬
ному виду, для которого это условие будет выполняться
[Л. 52]. Для этого заменим уравнение x — f(x) эквива¬
лентным ф(Х)=>0, где ср(х)=х—f(x)- Тогда уравнение
(3-8) можно записать:
Так как ^вых.макс имеет место в начале координат,
то, вьгбра>в £вых.макс= Ю R= 1 Мом, обеспечим схо¬
димость практически при любых начальных условиях в
диапазоне 0<ист<Е и любых параметрах схемы.
Рассмотрим зависимость скорости сходимости урав¬
нений (З-ilO) от величины Я. Обозначим <рч(х) =х—fi(x).
Тогда, учитывая (.3-11), получаем:
Пусть — корень уравнения крч(х)=0у т. е. cpi(£)=0.
Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем:
Отсюда следуют два важных вывода: во-первых, схо¬
димость тем быстрее, чем меньше величина 0. Из фор¬
154
известны, то обеспечение сходимости при численном рас¬
чете токов и напряжений в схеме не вызывает затруд¬
нений. Например, в схеме ключа на МДП-транзисторе
(рис. 3-3) можем найти выходное напряжение ист:
Окончательно расчетное уравнение примет вид:
Учитывая, что для сходящегося процесса \хп+1—хп\<^
<в|** —хп~г |, последнее выражение можем записать в виде
мулы (З-iil) видно, что для получений малых 0 npri
всех х необходимо, чтобы к = (р'(х)идмсж«рГ(х), т. е.
4>"(х)ж0. Идеально этому условию удовлетворяет пря¬
мая линия. В этом случае 0 = 0 и для решения уравне¬
ния (3-10) достаточно одной
итерации. Если выбирать
Я>ф/(л:)макс, то надежность
сходимости увеличивается
из-за 'увеличения допустимого
диапазона значений х, в кото¬
ром выполняется условие схо¬
димости (3-11), однако ско¬
рость сходимости уменьшается
из-за увеличения '0 в усло¬
вии (3-16). Во-вторых, усло¬
вие (3-16) позволяет оценить
точность вычисления корня по
разности двух последователь¬
ных приближений хп и хп~х.
Обычно момент достижения за¬
данной точности вычислений
8=|£—хп\ определяется по условию \хп+х—яп|<е.
Однако, как видно из рис. 3-4, это может привести к
ошибочным результатам из-за остановки вычислений в
момент, когда значение корня £ еще весьма далеко от
текущего приближения. Чтобы избежать ошибки, необ¬
ходимо определять момент достижения заданной точно¬
сти ei, исходя из неравенства (3-16). Если его правая
часть в процессе вычисления окажется меньше е
Рис. 3-4. К определению
окончания процесса итера¬
ции.
(3-17)
то левая часть, характеризующая точность вычисления кор¬
ня, будет тоже меньше в, т. е. хп — е<Ь<хп -\-е. При
0<-i- условие \хп — ^n_1|<s есть частный случай усло¬
вия (3-17). Если 6>-у-, то при остановке вычислений по
условию | хп — хп "11 < е корень определяется с ошибкой,
большей е.
Рассмотрим еще один прием, обеспечивающий сходи¬
мость процесса вычислений методом итераций [Л. 52].
Пусть для уравнения (3-8) на отрезке [<а, Ь] условие
(3-9) не выполняется и процесс итерации расходится.
155
Очевидно, если \dy/dx\ = \f'(x) | >1, то \dx/dy\ =
= 11/Г(Х) 1- Таким образом, для сходимости доста¬
точно заменить уравнение (3-8) эквивалентным: х =
=ty(x), где я|>(Х) =f~i(x)—функция, обратная f(x), по¬
лучающаяся из f(x), если счи¬
тать х функцией, a f(x)—ар¬
гументом. Г еометрический
смысл этого преобразования
состоит в том, что итерацион¬
ный процесс ведется не отно¬
сительно оси х, а относитель¬
но оси у (рис. 3-5). Например,
если при расчете схемы отно¬
сительно токов вычисления
расходятся, то необходимо ве¬
сти расчет относительно на¬
пряжений, при этом вольт-ам-
перные характеристики преоб¬
разуются от вида u(i) к обрат¬
ному виду i(u). Так, для схемы на рис. 3-7,а возможны
два варианта вычисления:
где i(u) и u(i) —взаимно-обратные нольт-ам'перные ха¬
рактеристики диода i(il-i9) и (2-61).
Рис. 3-5. Способ обратной
функции для обеспечения
сходимости итерационного
процесса.
Рис. 3-6. Структурная схема расчета статического режима с после¬
довательной итерацией переменных.
156
Перейдем к рассмотрению решения методом итера¬
ции системы п уравнений:
(3-18)
которую запишем в векторной форме
Для решения уравнения (3-19) необходимо исполь¬
зовать понятие нормы матрицы. Норма матрицы явля¬
ется одной из форм метрик по отношению ,к матричным
величинам.
Наиболее часто применяемыми нормами матрицы А,
обозначаемыми || А || , являются максимальная сумма из
сумм модулей элементов строк || А [| т = макс | а,ц |
i
J
(т. — норма), максимальная сумма из сумм модулей эле¬
ментов столбцов || А || i= макс I аИ | — норма) и корень
1 i
квадратный из суммы квадратов элементов || А || k =
(k — норма). Так же как и для одного
уравнения, итерационная процедура для системы уравнений
(3-18) записывается:
и при р —* оо сходится к вектору решения £=(£,, Еа,.... 5„)>
если отображение АХ = f (X) сжатое. Вектор решения яв¬
ляется неподвижной точкой этого отображения. Все
рассмотренные выше доказательства, относящиеся
к итерационным методам решения нелинейного уравне¬
ния с одним неизвестным, справедливы и для системы
нелинейных уравнений, если относить доказательства
к какой-либо одной из норм соответствующей матрицы
или вектора. При этом под производной от вектор-функ-
ции f(X) понимается матрица Якоби:
Поэтому в качестве аналога пройзводной f (X) для си¬
стемы уравнений используется какая-либо норма матрицы
Якоби f'(X). Например, аналог теоремы Лангранжа для
—> —>
вектор-функции f (X) записывается в виде
где норма понимается в смысле I или т нормы.
Необходимым и достаточным условием сходимости
метода итерации для системы уравнений (3-18) являет¬
ся ограниченность какой-либо из норм матрицы Якоби
этой системы б соответствии с условием [Л. 52]:
—> —>
где f(X) и f'(X) определены и непрерывны в выпуклой
—>
ограниченной замкнутой области G, а X может принимать
любые значения в этой области.
При выполнении условия (3-23) с учетом (3-22) легко
доказывается сжатость отображения ЛХ = /(Х), что эк¬
вивалентно доказательству сходимости процесса (3-20).
Если условие (3-23) не 'выполняется, то процесс ите¬
раций расходится. (В принципе для обеспечения сходимо¬
сти можно привести уравнения (3-19) к ©иду (3-10),
выбрав множители Xi так, чтобы какая-либо из норм
матрицы Якоби правой части была меньше единицы при
наиболее тяжелых © смысле величины нормы сочетаниях
элементов матрицы, т. е. (когда они одновременно при¬
нимают свои наихудшие экстремальные значения. Одна¬
ко эти значения не всегда известны и их трудно найти;
кроме того, скорость сходимости может быть очень ма¬
ла. -В связи с этим для решения систем уравнений, опи¬
сывающих статический режим схемы, обычно использу¬
ют либо различные модификации итеративных методов,
либо взятые наугад различные начальные условия до
тех пор, пока исходная точка не попадает в область
сходимости, ,где выполняются условия (3-23). Отметим,
что чем лучше выполняются эти условия, тем больше
область сходимости, но тем медленнее процесс сходи¬
мости. Перейдем к вопросу организации итерационного
158
процесса для 'расчета статического режима .по уравне¬
ниям (3-1) — (3-3).
Расчет можно проводить двумя способами: с после¬
довательной или с параллельной итерацией перемен¬
ных. Рассмотрим алгоритм с последовательной итера¬
цией (итерацией по Зайделю), представленный на
рис. 3-6, когда переменные вычисляются и подставляют¬
ся из одного уравнения в другое последовательно.
В этом алгоритме в .качестве начальных условий можно
взять значения любых переменных, однако удобнее
всего начинать с задания начальных условий % > К ’
отражающих исходное состояние активных компонентов
«открыто», «закрыто» и потому известных точнее осталь¬
ных переменных. iK тому же в этом случае требуется
минимальное число начальных условии.
Дальнейший ход вычислений ясен из рис. 3-6. Перемен-
—> —> —> —>
ные ir, ug вычисляются по закону Ома: /r = R-1wr, ug —
= G~4g.
Отметим, что в каждом цикле итерации рассчитывают¬
ся все переменные цепи, так как в общем случае в вектор
аргументов нелинейностей W кроме переменных ий, i3 могут
входить любые другие переменные в качестве параметров
—> —>
q. Если заранее известно, что в q какой-либо из типов пе-
ременных us, in ug, ir не входит, то его можно вычислить
лишь один раз, после окончания процесса итераций.
Алгоритм с параллельной итерацией переменных
реализует процедуру (3-20). В этом алгоритме значения
переменных на .каждом последующем цикле итераций
определяются, в отличие от алгоритма, приведенного на
рис- 3-6, только значениями переменных на предыдущем
цикле. Алгоритм требует одновременного независимого
задания начальных условий для всех переменных, что
является eiro недостатком, так как в этом случае труд¬
нее попасть в область сходимости.
Рассмотрим пример, поясняющий составление и процесс реше¬
ния уравнения статического режима простой схемы (рис. 3-7,а) по
алгоритму, приведенному на рис. 3-6. Составим вначале матрицу А,
рассматривая ветви в последовательности, определяемой табл. 2-3,
и путем элементарных преобразований (прибавление к первой строке
второй, а затем к первой и второй строкам третьей) приведем мат¬
рицу к виду П=|[1, Пх],
159
Рис. 3-7. Схема, допускающая расчет статического ре¬
жима методом обратной функции (а) и эквивалентная
схема, подготовленная к расчету методом переменных
состояния (б).
Подматрицы сечений Пх:
пС '
-1 0].
160
Подматрицы контуров
Матрицы компонентов
Вектор-столбцы переменных
Остальные подматрицы и векторы — нулевые.
Используя уравнения (3-1) — (3-3), получаем:
Подставляя выражения для топологических и компонентных
подматриц, получаем:
Ток igi тождественно равен нулю, так как очевидно, что в ста¬
тическом режиме Ez=uci+uc2- По закону Ома напряжение ug2=
= ig2R2=<E—ис i.
Алгоритм, представленный на рис. 3-6, приводит к следующей
последовательности вычислений после задания начального значения
^п: fn-*(uC\*aC2)-*un^(*£l’u°g2)^li — f(un)~*(aC\* UC2)
и т. д. В данном случае переменные ig, ие, не входящие в W, можно
вычислять не на каждом цикле, а один раз после окончания итератив¬
ного процесса.
В. МЕТОД НЬЮТОНА
Одним из распространенных итеративных методов решения не¬
линейных уравнений является метод Ньютона ;(метод касательных)
[Л. 32].
Рассмотрим этот метод ©начале применительно к уравнению
с одним неизвестным. Пусть £ — корень уравнения f(x)—0. Полагая,
что п-е приближение хп незначительно отличается от корня £, так
что
и разлагая f(x) в ряд Тейлора в окрестности hn, точки jcn, получаем:
Подставляя hn в формулу (3-24), получаем я-И-е приближение
(3-24)
(3-25)
Отсюда
(3-26)
(3-27)
И—444
161
Геометрическая сущность метода Ньютона состоит в том, что
на каждом цикле итерации кривая f(x) заменяется прямой линией,
касательной к f(x) в точке хп (рис. 3-8).
Для сходимости процесса решения уравнения f(x)= 0 методом
Ньютона достаточно, чтобы, во-первых, на отрезке [а, b], содержа¬
щем единственный корень уравнения, функция \f(x) имела непре¬
рывные, >не обращающиеся в нуль производные и, во-вторых, при
выбранном начальном приближении х° выполнялось условие
f(x°)f"ix»)> 0.
Оценку погрешности п-го приближения можно производить по
формуле
(3-28)
где т — наименьшее значение производной \f'(x)\ на отрезке [а, Ь].
Можно показать, что в методе Ньютона ошибка
g—xn+i .каждого последующею приближения уменьша¬
ется пропорционально
квадрату ошибки £—хп
предыдущего приближе¬
ния, т. е. метод Ньютона
сходится квадратично, в
то время как метод про¬
стой итерации сходится
линейно, т. е. более мед¬
ленно, чем метод Ньюто¬
на. В отношении области
сходимости обычно метод
Ньютона более критичен
к выбору начального при¬
ближения, чем метод ите¬
рации. Например, выбор
начального приближения
х° в точке А (рис. 3-8)
приводит к выходу точки х1 за пределы области опреде¬
ления функции f(x) и расходимости.
Рассмотрим некоторые модификации метода Ньюто¬
на. Запишем формулу (3-27) >в виде
Рис. 3-8. Решение нелинейных
уравнений методом Ньютона.
(3-29)
Тогда
где Ах71 — уточнение п-го приближения на л-ад цикле,
162
Первая модификация состоит в замене f'(xn) вели¬
чиной f'(x°), так что
Q
Целью этой модификации является уменьшение вре¬
мени расчета, так как отпадает необходимость в вычи¬
слении производной f'(xn) на каждом цикле итерации.
Это преимущество особенно заметно, если методом
—> ->
Ньютона решается система уравнений f(X)= 0, так (как
в этом случае поправка АХ71 принимает вид:
и для ее расчета на каждом цикле требуется вычислять
—>
и обращать матрицу Якоби f'(X), что занимает весьма
много времени. Время решения существенно сократится,
если в соответствии с (З-ЗЮа) обратить матрицу Якоби
только на первом шаге.
Вторая модификация, предложенная Бройденом
[J1. 63], преследует цель повысить надежность сходи¬
мости метода Ньютона и состоит в том, что в качестве
поправки используется не все значение Ахп, а лишь
часть его, так что
Для улучшения сходимости предлагается использо¬
вать не фиксированное, а переменное значение k, кото¬
рое на каждом цикле итерации выбирается так, чтобы
минимизировать или хотя бы уменьшить значение
|f(xn+i)\ по сравнению с \f(xn)\ (рис. 3-9,6). Расходи¬
мость этого метода практически исключается, если толь¬
ко ^(х71^1) Ф0У но абсолютная сходимость не гарантиру¬
ется, так как возможен предельный замкнутый цикл
итерации.
Можно отметить, что рассмотренный ранее способ
улучшения сходимости метода итераций путем приведе¬
ния исходного уравнения (1З-8) к виду (З-ilO) есть тоже
модификация метода Ньютона. На рис- 3-9 приведено
графическое сравнение всех трех модификаций. Из
рис. 3-9 видно, что в тех случаях, когда модификация
(З-ЗОа) не дает сходимости процесса, модификация
(3-10) обеспечивает сходимость независимо от выбора
11* 163
начальной точки А или В. С увеличением f'(x)макс на¬
дежность сходимости увеличивается, но одновременно
уменьшается шаг итераций hn=f(xn)jf'(x)
макс» т. е. за¬
медляется скорость сходимости. При решении систем
уравнений условия сходимости для метода Ньютона
значительно сложнее, чем для простой итерации, и поз-
Рис. 3-9. Модификация метода Ньютона.
а — метод, реализующий (3-30); б — метод Бройдена; в — метод, реали¬
зующий (3-10).
воляют лишь качественно указать на возможные спо¬
собы улучшения сходимости, например путем перехода
от характеристик вида u(i) ik характеристикам вида
i(u) [Л. 54], количественных же рекомендаций практи¬
чески получить не удается.
164
Помимо Методов простой итерации и метода Ньютона длй ре¬
шения нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений
в специализированных программах анализа схем используются и
другие методы. Для нахождения одиночного корня уравнения
с одним неизвестным f(x)=Q удобно применить метод половинного
деления. Если f(x) непрерывна на отрезке \[а, Ь] и имеет разные зна¬
ки на его концах, то процесс вычислений состоит в последователь¬
ном вычислении f[(an+ Ьп)/\2] при п=0, 1, 2 где ant bn — та по¬
ловина предыдущего отрезка |(an~i, bn~l), на концах которой f(x)
принимает разные знаки (рис. 3-10).
Рис. 3-10. Метод половинного деления.
а — графическое пояснение; б — алгоритм решения уравнения f(x)= 0; 8“
— точность вычислений.
Кроме метода половинного деления, для решения одиночных
уравнений f(x)= 0 можно применять более быстрый метод хорд
(рис. 3-111).
Укажем еще два численных метода, используемых для решения
систем уравнений: метод Зайделя и метод градиента.
Метод Зайделя является разновидностью метода про.стой итерации
и заключается в том, что после задания начального приближения
Х° вместо параллельного итерирования системы уравнений Xi+1 =
= f (Х{) производится последовательное итерирование, причем в
каждое последующее уравнение подставляется приближенное зна¬
чение неизвестной xn-i, полученное из предыдущего уравнения:
165
Область сходимости для метода Зайделя обычно больше, чем
для метода простой итерации, хотя возможен и обратный случай.
Метод Зайделя реализован в алгоритме, показанном на рис. З-б.
—^
Метод градиента основан на том, что корни системы f (А') =
одновременно обращают
в нуль функцию U (X) = .S lft(X)]2. Если имеется единственное изо-
i=l
лированное решение системы уравнений f (X) = 0, то оно одновре¬
менно является точкой минимума функции U (,X). Таким образом, для
решения системы уравнений достаточно отыскать минимум соответ¬
ствующей функции. Метод градиента, используемый для отыскания
координат минимума, будет рассмотрен в гл. 4.
В заключение этого
параграфа напомним, что
точность расчета элек¬
тронных схем определяет¬
ся точностью моделей
компонентов, в лучшем
случае не превышающей
нескольких процентов.
Поэтому в приведенных
выше оценках е точно¬
стей различных методов
не следует назначать
слишком малые е. Прак¬
тически достаточно на¬
значить е, обеспечиваю¬
щее относительную ошибку 6 рассчитываемой величи¬
ны | порядка одного процента.
Соблюдение разумного соотношения между точ¬
ностью исходных данных и точностью вычислений, про¬
изводимых на их основе, позволяет значительно сокра¬
тить .время расчета.
3-2. АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Целью анализа переходных процессов в нелинейных
электронных схемах является расчет времени установ¬
ления статического режима под воздействием внешних
сигналов и изменений параметров схемы- Иногда пред¬
166
Рис. 3-11. Метод хорд.
ставляет интерес также форма колебаний переходного
процесса и длительность его отдельных этапов.
Критерием окончания расчета переходных процессов
является достижение заданных уровней напряжения или
тока, определяемых из расчета статического режима
схемы или из физических соображений. Например, в пе¬
реключательных схемах такими уровнями обычно явля¬
ются значения U мин + 0,1 (С/ макс— U мин) И U мин + 0,9 X
X(U макс—’^мин) , ГДе ^макс, ^мин ВЫСОКИЙ И НИЗКИИ
уровни напряжения на выходе схемы в статическом ре¬
жиме (рис. 3-12).
Рис. 3-12. Переходный процесс в переклю¬
чательной схеме.
Помимо исследования формы и длительности коле¬
баний дополнительной целью анализа переходных про¬
цессов, как было указано в § 3-1, может являться расчет
статического режима. В этом случае интерес представ¬
ляют асимптотические уровни, к которым стремятся
кривые переходного процесса при воздействии источни¬
ков питания в качестве сигналов. В пределе при \t—>~оо
эти уровни определяют стационарные значения токов и
напряжений схемы, т. е. ее статический режим. Посколь¬
ку заранее асимптотические уровни неизвестны, то
связывать -с ними критерий остановки расчета пере¬
ходного процесса нельзя. Поэтому в качестве такого
критерия обычно служит уменьшение скорости измене¬
ния переходного процесса до минимально возможной,
определяемой на основе предварительных сведений о
схеме. Однако указанный критерий остановки вычисле¬
ний не гарантирован от ошибок. Например, в спусковых
схемах при слабом сигнале и малом коэффициенте
167
усиления регенеративный процесс развивается очень
медленно и расчет может быть ошибочно остановлен
задолго до установления стационарного режима. Для
повышения надежности критерия остановки вычислений
но минимальной скорости изменения переходного про¬
цесса необходимо, чтобы этот критерий выполнялся в те¬
чение достаточно длительного времени.
Анализ переходных процессов в электронных схемах
может быть выполнен на основе уравнений (2-95) —
(2-97) в соответствии с алгоритмом, представленным на
рис. 2-25. Поясним процесс вычисления правых частей
указанных уравнений по этому алгоритму.
В результате анализа статического режима нам известны
значения переменных состояния ис, iL , резистивных пере¬
менных цепи иГо, гГо, ugo, г , вектор аргументов нелиней-
ностей W0 = (i ипо, q0) и вектор нелинейностей
a0 = [In(W0), E3(W0)\. Расчет правых частей начинается с
расчета внешних сигналов E(\t), /(/), действующих в мо¬
мент O+Atf. Если внешние сигналы изменяются скачко¬
образно, например £(iH))=0, a E(>t+°)=E, то некоторые
резистивные переменные, а также управляемые ими не¬
линейные источники тоже изменятся скачком. Поэтому
перед расчетом переходных процессов в момент 0 + А^
нужно провести дополнительный расчет статического
режима, чтобы вычислить резистивные переменные и
управляемые ими источники в момент i+0.
В том случае, когда все нелинейности управляются
реактивными переменными, расчет резистивных пере¬
менных в момент t+° легко выполнить по уравнениям
(3-3) и (2-90). Если же часть нелинейностей управля¬
ется скачкообразно изменяющимися резистивными пере¬
менными, то, кроме резистивных, нужно провести до¬
полнительный расчет нелинейных переменных i3, ип и
источников Ль Е3 для момента времени tf+0, причем емко¬
сти и индуктивности должны классифицироваться как
источники напряжения Uc{'t~°) и тока ib(t~°), так как
в отличие от расчета статического режима в момент
t~°, в момент t+0 ic(^+°)ф0\ uL{t+0)-Ф0. Отметим, что
решение алгебраических уравнений для расчета стати¬
ческого режима в момент (^+0) в данном случае нельзя
заменить асимптотическим решением дифференциальных
уравнений при t—>-оо, так как одним и тем же значени-
168
ям реактивных переменных ис, 1ь в моменты t~6, t+0 со¬
ответствуют разные значения скачкообразно изменяю¬
щихся остальных переменных и источников. Рассмотрен¬
ную особенность начала расчета переходных процессов,
требующую решения нелинейных алгебраических; урав¬
нений, можно обойти, если аппроксимировать скачки
входных сигналов какими-либо функциями, например
линейными с достаточно крутыми наклонами или экспо¬
ненциальными с малой 'постоянной времени, и вести
расчет начальной части переходного процесса с малым
шагом интегрирования. Такое приближение оправдано
тем, что практически идеальных скачков сигнала быть
не может, а реальные сигналы имеют линейную или экс¬
поненциальную форму.
Пусть начальные условия для момента t+° известны.
Дальнейший расчет переходных процессов заключается
в расчете внешних сигналов для момента t+0+At и инте¬
грировании систем дифференциальных уравнений
(2-95а), ('2-956) для определения (переменных состояния
ис и 1ь в моменты i+°+At и последующие в соответст¬
вии с алгоритмом на рис. 2-25,6.
Если вектор аргументов нелинейностей W состоит толь¬
ко из переменных состояния, то по значениям uc(t+0-\-At)
и iL (/+0 -j-Д/) в блоке нелинейностей вычисляется вектор
нелинейностей a (t*0 + ДО = а W (^+0 + ДО]» затем опреде¬
ляются резистивные переменные по уравнениям (2-97),
(2-90) и снова интегрируются уравнения (2-95). Отме¬
тим, что если в схеме имеются чисто емкостные конту¬
ры (индуктивные звезды), не содержащие зависимых
источников напряжения Е3 (источников тока /п), то на¬
пряжения емкостных хорд Из(£+0+Д£) [индуктивных
ребер iL('t+0+At)] могут быть легко вычислены на осно¬
ве уравнении (2-92) при Г,дз=0 сразу после
вычисления uL(t+° + At) и iL{t+°+At). Таким образом,
в этом случае в вектор нелинейностей W могут входить
не только переменные состояния, но и определяемые ими
напряжения us и токи jr.
—>■
Если же вектор W содержит переменные, не являющие*
ся переменными состояния, то их нужно вычислять по
формулам (2-96), (2-97) и др., в которых наряду со значе¬
169
ниями
значения вектора a(i/+°) на предыдущем шаге вычисле¬
ний, что приводит к погрешности. Способ уменьшения
погрешности был рассмотрен в § 2-3. Эта погрешность
не возникает, если в соответствии с алгоритмом на
рис. 2-24 перед вычислением lF(i+0+iM) провести расчет
квазистатического режима, считая емкости и индуктив¬
ности источниками постоянного напряжения Uc('t+0+М)
и тока ib(^+0+iM). Однако в этом случае возникает про¬
блема сходимости решения.
Б. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Математическую основу анализа переходных процес¬
сов в схемах составляет численное решение систем
обыкновенных дифференциальных уравнений первого по¬
рядка, описывающих поведение схемы под воздействи¬
ем сигналов. Рассмотрим наиболее распространенные
численные методы решения этого класса дифференци¬
альных уравнений [Л. 55—60].
Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)
первого порядка, разрешенное относительно производ¬
ной от искомой переменной, имеет вид:
где t — независимая переменная (время); x = x(t)—за¬
висимая от t искомая переменная (ток, напряжение)
(ее график называется интегральной кривой); f(x, t) —
заданная функция этих переменных, полученная, напри¬
мер, по законам Кирхгофа. Если f(x, t) линейно зависит
от х, то уравнение (3-32) называется линейным. В ли¬
нейном ОДУ коэффициенты при х и t могут быть либо
постоянными (линейное ОДУ с постоянными коэффици¬
ентами), либо зависеть от независимой переменной t
(линейное ОДУ с переменными коэффициентами). Если
коэффициенты при л; и t — функции я, то, очевидно,
уравнение (3-32) становится нелинейным. Более общее
определение нелинейного ОДУ вида F(dxfdt, х, ^)=0
состоит в том, что оно должно быть нелинейным не
только по отношению к зависимой переменной я, но и
к ее производной, например содержать члены типа хп
170
приходит ся исполb3oBafЬ
(idx/dt)n при пф\ или произведения xn(dx/dt)m при
пф0, тфО. Численные методы пригодны для решения
любых типов ОДУ и поэтому являются универсальными.
Обычно для (решения ОДУ первого порядка численным
методом его приводят к виду (3-32). Задача расчета пе¬
реходного процесса в схеме по уравнению (3-32) мате¬
матически формулируется как задача Коши, заключа¬
ющаяся в том, что ищется решение x(t) уравнения
(3-32), удовлетворяющее заданному начальному усло¬
вию x(t0)=x0 на интервале U<i<tK, причем конец ин¬
тервала /к заранее может быть и неизвестен. При реше¬
нии численными методами искомая функция x(t) ищется
в отдельных точках интервала (U—tK), to, tif ..tn, на¬
зываемых узлами, в виде таблицы значений х0, хи ...
..., хПу приближенно равных значениям x(U), х(4), ...
..x(tn) точного решения x{t). Расстояние между узла¬
ми \Ait = tn+i—tn называется шагом интегрирования и мо¬
жет быть задано либо перед началом вычислений (инте¬
грирование с постоянным шагом), либо определяться
в процессе вычислений (интегрирование с автоматичес¬
ким выбором шага). Значения искомой функции в двух
соседних узлах связаны соотношением
Решение задачи Коши существует и единственно, если f(x, t)
непрерывна в прямоугольнике a<x<b) и удовлетворяет
в нем условию Липшица:
где N— константа Липшица.
Условие Липшица можно заменить более легко проверяемым
условием ограниченности по модулю частной производной df(x, t)/dx
в прямоугольнике D, получающемся из i(3-$4) при Xi—*х2. Послед¬
нее условие более жесткое, так как в отличие от условия Липшица
оно не допускает точек, в которых отсутствует производная (на¬
пример, точек стыка кусочно-линейных аппроксимаций).
Для доказательства теоремы существования и единственности
воспользуемся принципом сжатых отображений [Л. 51]. Соотношение
(3-33) можно рассматривать как отображение х= Лх, где Ах = х0+
+ \ f(x,t)dt в пространстве С непрерывных функций х (t). В каче-
t
О
171
стве метрики р пространства С возьмем величину
представляющую собой максимальное расстояние между функциями
Xi(t) и x2(t) на интервале (ti—12). Тогда для двух произвольных
точек Xj Xi пространства С -можем записать:
Используя условие Липшица (3-34), получаем:
+
Выбирая d=N\t—f0|<l, получаем сжатость отображения, отку¬
да следует существование и единственность решения x(t).
В частности, полагая t0 = tn\ t=tn+i, получим, что для существо¬
вания решения необходимо на каждом шаге интегрирования уравне¬
ния (3-32) выполнять условие ограниченности шага /г:
где Nn — константа Липшица на интервале h.
Если условие (3-35), начиная с какого-нибудь шага интегриро¬
вания, перестает выполняться, то решение не существует, что может
привести к так называемой числовой неустойчивости, когда при даль¬
нейшем интегрировании значения x(t)—>~оо, хотя заведомо известно,
что x(t) ограничено при всех t. Более подробно о числовой неустой¬
чивости будет сказано далее.
Перейдем *к рассмотрению 'численных 'методов инте¬
грирования уравнения (3-32). Эти методы различаются
в основном лишь подходом к приближенному вычисле¬
нию интеграла в интегральном уравнении (3-33), экви¬
валентном дифференциальному уравнению (3-32). Боль¬
шинство методов основано на разложении искомой фун¬
кции x(t) в ряд Тейлора в h — окрестности точки tn:
Если аналитическое выражение x(t) и всех производ¬
ных известно, то при выбранном шаге h значение x(t)
в точке in+i определяется по значению x(t) в предыду¬
щей точке tn в соответствии с формулой (3-36). Прак-
тически в любом методе используется, конечно, ограни¬
ченное число производных. Метод, в котором исполь¬
зуются производные из ряда Тейлора до т порядка
включительно, называется методом m-го порядка. По¬
скольку непосредственное дифференцирование x(i) до¬
вольно сложно и приводит к громоздким вычислениям,
в методах порядка т> 1 хотя и используется разложе¬
ние в ряд Тейлора, однако оно приводится к виду, не
содержащему производных'.
Рассмотрение численных методов дифференцирова¬
ния начнем с простейших конечно-разностных методов
•первого порядка.
Метод Эйлера. Оставляя в разложении Тейлора
(3-36) два первых члена, получаем:
Поскольку начальное приближение dx(to)/dt=f(xo, 4)
известно, то последующие легко определяются, так что
Геометрически метод Эйлера можно наглядно интер¬
претировать по отношению как к дифференциальному
уравнению (3-32), так и к интегральному уравнению
(3-33), причем обе интерпретации эквивалентны. В пер¬
вом случае метод Эйлера означает в соответствии с фор¬
мулой (3-38) замену интегральной кривой, представля¬
ющей точное решение x(t), кусочно-ломаной линией,
участки которой параллельны касательной к x(t) в уз¬
лах tn (рис. 3-13,а). Во втором случае метод Эйлера
означает интегрирование кривой f(x, t) методом прямоу¬
гольников (рис. 3-13,6), так как замена интеграла
в уравнении (3-33) произведением hf(x п> tn ) равносиль¬
на замене криволинейной трапеции под кривой f(x, t)
прямоугольником. Ошибка метода Эйлера, как, впрочем,
и других методов, состоит из двух составляющих. Пер¬
вая составляющая обусловлена тем, что для расчета
каждого последующего значения xn+i используется, как
173
это видно из рис. 3-13, не точное значение x(tn) в пре¬
дыдущем узле tn, а приближенное хп. Эта составляющая
ошибки обусловлена отбрасыванием квадратичного и
последующих членов ряда Тейлора и имеет поэтому по¬
рядок h2. На интервале t0—tK, разбитом на п частей,
получим h=(tK—{t0)/n, а суммарная ошибка будет иметь
порядок nh2=(tK—U)2/п, т. е. для повышения точности
в я раз нужно увеличить число точек деления тоже
в п раз. Поэтому точность метода Эйлера невелика.
Рис. 3-13. Геометрическая интерпретация метода Эйлера.
а — по отношению к дифференциальному уравнению (3-32); б — по
отношению к интегральному уравнению (3-33).
Вторая составляющая ошибки обусловлена тем, что
в каждом узле вычисление f(xn, tn) обычно производит¬
ся неточно, с округлением. Из рис. 3-13,6 видно, что эта
составляющая ошибки приводит к неточному вычисле¬
нию ординат прямоугольников и, как и первая состав¬
ляющая, накапливается от шага к шагу.
Обычно при небольшом числе шагов преобладающее
значение имеет первая составляющая ошибки, а второй
составляющей можно пренебречь.
Модификации метода Эйлера. Поскольку метод Эйле¬
ра часто не обеспечивает требуемой точности, разработало довольно
много модификаций метода Эйлера, отличающихся друг от друга
выбором наклона аппроксимирующей ломаной между узлами на
рис. 3-iL'3,a или, что то же, выбором ординаты прямоугольников на
рис. 3-13,6.
Первая модификация (метод Эйлера — Коши) состоит
в том, что функция x(t) разлагается в ряд Тейлора (3-36) в точках
tn+h и tn—h. Вычитая одно разложение из другого и ограничиваясь
линейными членами разложения, получаем, что первый отброшенный
174
*ыен имеет порядок Л®, т. е. точность метода выше предыдущего.
Формула для 'вычислений приобретает вид:
(Поскольку в начале вычислений (п— 1) значение f(xu t\) неиз¬
вестно, его нужно предварительно определить, воспользовавшись, на¬
пример, простым методом Эйлера (3-138) для точки t0. Такого рода
предварительно вычисляемые точки называются разгонными.
Вторая модификация (улучшенный метод Эйлера —
Коши, метод предсказания и коррекции) предполагает
два этапа расчета. 'Вначале находят грубое приближение обычным
методом Эйлера по предсказывающей формуле
В качестве предсказывающей можно использовать также фор¬
мулу (3-39).
Затем Xn+i уточняется по корректирующей формуле
Выигрыш в точности по сравнению с простым методом Эйлера
равен площади заштрихованного прямоугольника |(рис. 3-14), равно-
зеликого треугольнику ABC, в связи с чем этот метод можно назвать
также 'методом трапеций.
Третья модификация (комбинированный метод) основа¬
на на интегрировании кривой f(x, t) методом трапеций по формуле
Этот метод точнее предыдущего, так как используется не при¬
ближенное значение fn+и а точное значение fn+i. Если известны хп,
tn, tn+1, то уравнение (3-41)
можно рассматривать как нели¬
нейное алгебраическое или транс¬
цендентное уравнение вида х=
=ср(л:) относительно неизвестной
хп+1. Значение xn+i можно найти
либо простой итерацией, либо ме¬
тодом Ньютона, причем начала
ное приближение можно оп¬
ределить по формуле (3-38) для
простого метода Эйлера. Таким
образом, каждый шаг решения
дифференциального уравнения
этим методом является комбина¬
цией интегрирования по методу
трапеций и итерационного процес¬
са. Очевидно, точность метода
повышается только в том случае,
когда итерационный процесс схо¬
175
Рис. 3-14. Выигрыш в точности
при интегрировании по форму¬
ле (3-40).
(3-40а)
дится. Если ограничиться лишь одним циклом итерации, т. е. под*
становкой одного только начального приближения, то комбиниро¬
ванный метод совпадает с методом трапеций.
Разновидностью метода трапеций является метод ломаных,
когда
где fn +1/2 — значение функции f (х, t) в средней точке между узла¬
ми, вычисляемое по формулам
Метод Рунге — Кутта. В методе Рунге — Кутта
т-то порядка отрезок ряда Тейлора для функции f(x, t)
с производными до m-no порядка 'включительно преобра¬
зуется к виду, не содержащему производных. Подроб¬
ное описание преобразований громоздко, и поэтому
здесь мы в качестве примера приведем лишь некоторые
конечные формулы для метода Рунге — Кутта. Формула
Рунге — Кутта первого порядка совпадает с формулой
Эйлера (3-38), а второго порядка — с формулами
(3-40а), (3-406) улучшенного метода Коши — Эйлера.
Формулы Рунге — Кутта при каждом пг>2 имеют раз¬
новидности. Так, для т = 3 наиболее распространены
формулы [Л. 59]
Наиболее важным достоинством метода Рунге — Кут¬
та является его точность, если выбрать метод достаточ¬
но высокого порядка. Ошибка метода Рунге — Кутта
т-то порядка имеет порядок ftm+1. Основным недостат¬
ком метода Рунге — Кутта является значительное вре¬
мя расчета, так как метод m-го порядка требует т-крат-
ного вычисления правой части дифференциального урав¬
нения. Так, для наиболее распространенного метода
четвертого порядка порядок ошибки — h5, а время вы-
176
числений примерно в 4 раза больше времейи расчета
по методу Эйлера, требующему лишь однократного вы¬
числения правой части ОДУ.
Разностные методы. Метод Адамса. При решении ОДУ
методом Эйлера переход от каждой предыдущей точки к последую¬
щей осуществляется на основе линейной экстраполяции, т. е. в пред¬
положении, что решение между точками есть прямая линия. Пусть
известно несколько таких точек. Разностные методы основаны на
предположении, что порядок экстраполирующей линии выше первого.
Это может быть, например, парабола. При этом в начале вычисле¬
ний нужны разгонные точки, вычисляемые каким-либо другим мето¬
дом. На первом шаге парабола проводится через разгонные точки,
а в дальнейшем — через точки, полученные данным разностным ме¬
тодом. Точность метода тем выше, чем выше порядок экстраполи¬
рующей кривой. Одним из распространенных разностных методов
является метод Адамса. По методу Адамса функция f(x, t) в урав¬
нении (3-32) заменяется интерполяционным полиномом Ньютона п-й
степени. Число разгонных точек соответствует степени интерполя¬
ционного полинома. Для одной разгонной точки (начальное прибли¬
жение) метод Адамса совпадает с методом Эйлера.
В случае квадратичного полинома
где A/n-i=/(*n, tn)—f,(xn-!, tn-1);
A2fn— 2 = Afn — i—(Afn-2.
Формулы (0-43), '(.3-44) позволяют получить последующие точки
на основе предыдущих и называются экстраполяционными. Можно,
однако, вывести выражения, позволяющие получить предыдущие
точки на основе последующих, эти формулы называются интерполя¬
ционными формулами Адамса. Метод Адамса позволяет получить
любую точность; затраты времени на каждом шаге меньше, чем
в методе Рунге — Кутта. Недостатком метода Адамса является не¬
обходимость иметь разгонные точки и невозможность менять шаг
в процессе вычислений. Более подробные сведения о методе Адамса
и других разностных методах изложены в [JI. 58, 59],
Если дана система k однородных дифференциальных
уравнений первого порядка
то все полученные ранее формулы численного интегри¬
рования одиночных ОДУ применимы и для интегриро¬
вания этой системы, если заменить в формулах хп на
В случае полинома третьей степени
, 12—444
177
ki,n и fn на fi,n, где i= 1, 2, ..k — номер уравнения.
Например, решение системы ОДУ простым методом Эй¬
лера записывается в виде
В. О ТОЧНОСТИ И УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОВ
ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
Численные методы решения ОДУ различаются по
алгоритмам вычислений, по сведениям, используемым
на каждом шаге, по точности, по удобству проверки
ошибок и по скорости вычислений. Основными из пере¬
численных факторов являются точность и скорость вы¬
числений.
На рис. 3-15 изображена типичная картина числен¬
ного решения ОДУ для различных шагов интегрирова¬
ния. Видно, что с уменьше¬
нием шага интегрирования
точность растет, однако из-
за роста числа шагов одно¬
временно увеличивается и
время расчета. При оценке
точности расчета переходных
процессов в электронных
схемах следует различать
два случая, иллюстрируемые
на рис. 3-16. В первом слу¬
чае (рис. 3-16,а) рассчитыва¬
ется время переходного про¬
цесса между заданными
уровнями напряжения (то¬
ка), вычисляемыми заранее,
а во втором случае (рис.
3jli6,6) рассчитывается фор¬
ма переходного процесса на заданном интервале времени.
Точность расчета в первом случае характеризуется ошиб¬
кой по времени Ы, а во втором — ошибкой по уровню б и.
Как видно из рис. 3-17 соотношение между этими ошиб¬
ки может меняться для одной и той же 'кривой в весьма
широком диапазоне. В первом приближении 6и и бt свя¬
заны соотношением 6u~u'(t)6t. В дальнейшем для оп¬
ределенности под точностью расчета переходных процес¬
сов будем понимать ошибку Ьи.
178
Рис. 3-15. Результаты интегри¬
рования численными методами
для разных шагов интегриро¬
вания.
Перед расчетом переходных процессов разработчику
необходимо выбрать численный метод расчета и шаг
интегрирования, руководствуясь соображениями скоро¬
сти и точности вычислений. Следует сказать, что до сих
Рис. 3-Г6. Два случая расчета переходных процессов в элек¬
тронных схемах.
пор эта задача не решена (а возможно, и не может
быть решена) однозначно. Чтобы у читателя состави¬
лось представление о ее сложности, приведем простей¬
ший пример интегрирования
дифференциального уравне¬
ния
Поскольку точное анали¬
тическое решение этого
уравнения известно
то предсташглется возмож¬
ным оценить ошибку числен¬
ного интегрирования. В табл. 3-1 приведены ошибки по
уровню Ъи, имеющие место в момент t/T = 0,04 для раз¬
личных методов решения уравнения (3-45) и для раз¬
личных шагов интегрирования h.
По данным табл. 3-1 можно сделать следующие вы¬
воды:
1) наиболее точным является метод Рунге — Кутта;
12* 179
Рис. 3-17. Ошибки по уров¬
ню 6и и по времени 6t при рас¬
чете переходных процессов.
Таблица 3-1
Шаг
h
Ошибка по уровню 5 и
Метод
Эйлера-
Коши
Улучшен-
, ный метод
Эйлера-
Коши
Метод
Адамса по
формуле
(3-43)
Метод
Адамса по
формуле
(3-44)
Метод Рун¬
ге—Кутта
4-го поряд¬
ка
10"4
3,213.10"8
—3,469.10-8
-1,022-10-7
8,235-10-8
1,828-10-в
10"3
2,254-10-е
—4,528.10-е
— 4,095*10-6
1,186 • 10-7
9,313.10-»
5.10-3
5,660-10-5
—1,197.10-4
—2,523-10-4
1,868.10-s
5,005-10-®
ю-2
2,22Ы0-*
-5,062-10-4
-8,995-10-4
1,816-10-4
2,335-10-*
2-10”а
7,107.10-*
—2,187.10-з
—2,793-Ю-з
2,187-Ю-з
4,216-10-в
2) с увеличением шага интегрирования точность всех
методов ухудшается, причем с разной скоростью — на¬
иболее быстро (на 'пять порядков)—для улучшенных
методов Эйлера и Адамса, наиболее медленно (на два
порядка) —для метода Рунге — Кутта;
3) с* уменьшением шага интегрирования (от h = 5Х
ХЮ_3 до h< 10-4, не указанного в табл. 3-1) точность
всех методов монотонно растет, за исключением метода
Рунге — Кутта. Наиболее вероят¬
ной причиной ухудшения точно¬
сти метода Рунге — Кутта при
уменьшении h является рост той
составляющей общей ошибки, ко¬
торая обязана округлению ре¬
зультатов при вычислении пра¬
вых частей. Поскольку в методе
Рунге — Кутта на каждом шаге
производится неоднократное вы¬
числение правых частей, то ошиб¬
ка округления начинает сказы¬
ваться раньше, чем для других
методов. Таким образом, имеет¬
ся оптимальная величина шага /г0Пт, обеспечиваю¬
щая максимальную точность (рис. 3-18). При А>А0пт
точность ухудшается из-за увеличения методической
ошибки, нри h<chonT точность ухудшается из-за увели¬
чения ошибки округления, которую можно назвать
инструментальной. В рассматриваемом примере правая
часть дифференциального уравнения весьма проста, по¬
этому инструментальная ошибка для остальных методов
проявиться не успевает.
Рис. 3-18. Зависимость
ошибки вычисления от
шага интегрирования.
180
Как уже указывалось ранее, точность расчета схемы
должна соответствовать точности модели компонентов.
Точность моделей реактивных компонентов, используе¬
мых при расчете переходных процессов, еще ниже, чем
точность резистивных и активных компонентов, поэтому
требования к точности расчета переходных процессов
обычно ниже, чем к точности расчета статического ре¬
жима (ошибка в 5—10% вполне допустима). Шаг ин¬
тегрирования h, обеспечивающий такую точность, обыч¬
но оказывается значительно
больше /г0пт, и влияние ошиб¬
ки округления можно не учи¬
тывать.
Однако весьма часто не
представляется возможным ве¬
сти расчет с шагом, обеспечи¬
вающим заданную невысокую
точность, из-за возникновения
числовой неустойчивости, на¬
кладывающей ограничение на
максимальную величину
шага.
Явление числовой неустойчивости, теоретически обус¬
ловленное нарушением условия сжатости отображения
(3-35), на практике проявляется в том, что в течение
каждого последующего шага ошибка интегрирования не¬
уклонно растет, приводя в конце концов к таким зна¬
чениям x{t), при которых разрядная сетка ЦВМ пере¬
полняется и происходит остановка расчета. График
переходного процесса при возникновении числовой не¬
устойчивости приобретает вид, изображенный на рис.
3-19. Оказывается, что величина шага, с которого начи¬
нается числовая неустойчивость, для разных методов
различна. Из табл. 3-2, в которой приведены максималь¬
ные значения шага Кр, соответствующие возникновению
числовой неустойчивости при решении одного и того же
линейного ОДУ разными методами, видно, что наибо¬
лее устойчивым является метод Рунге — Кутта, а наи¬
менее устойчивым — метод Адамса по формуле (3-44).
Отсюда, в частности, следует что метод, обеспечива¬
ющий более высокую точность, не всегда является более
устойчивым.
В теоретическом плане вопрос об условиях устойчи¬
вости решен только для линейных ОДУ [JI. 42]. Сущ¬
Рис. 3-19. Вид численного
решения ОДУ при числовой
неустойчивости.
181
ность метода анализа устойчивости вкратце состоит
в следующем. Процесс решения дифференциального
уравнения представляется как разностное уравнение
первого порядка
выражающее значение х в каждый последующий дис¬
кретный момент времени (n+l)h через х в предыдущий
момент nh. Далее уравнение (3-46) с использованием
дискретного преобразования Лапласа или эквивалент¬
ного ему Z-преобразования [Л. 61] превращается в ал-
гебраическое уравнение относительно комплексной пере¬
менной q.
Таблица 3-2
Метод
Эйлера
улучшенный
Коши—
Эйлера
Адамса по
формуле
(3-43)
Адамса по
формуле
(3-44)
Рунге—
Кутта 4-го
порядка
^гр
1
1,5
2,1
0,9
2,8
Преобразованное уравнение (3-46) решается относи¬
тельно x(q). Анализ устойчивости заключается, как
обычно, в исследовании полюсов получившегося урав¬
нения, т. е. корней знаменателя. Для устойчивости вы¬
числительного процесса необходимо и достаточно, чтобы
корни знаменателя находились в левой полуплоскости
комплексной переменной (Re </<0) в случае дискрет¬
ного преобразования Лапласа или внутри единичного
круга \z\<l в случае Z-преобразования. Из этого усло¬
вия определяется значение hrр. Приведенную методику
анализа устойчивости поясним примером. Пусть уравне¬
ние (3-46) решается простым методом Эйлера. Тогда
F[x(nh)]=x(nh) +hf{x(nh)\ Допустим также, что диф¬
ференциальное уравнение — линейное, т. е. f[x(nk)]=
= ax(nh)+cb(nh), где b(nh) определяется видом вход¬
ного воздействия и не влияет на устойчивость решения.
В результате уравнение (3-46) примет вид:
Переходя к относительному времени п=пк/к и при¬
меняя прямое дискретное преобразование Лапласа при
я(0) —0, получаем:
182
Находим полюс уравнения (3-49) й определяем усло¬
вия, при которых его действительная часть лежит в ле¬
вой полуплоскости:
Для действительных а и h /со0=/ф=0 и полюс лежит
на действительной оси. Для устойчивости необходимо,
чтобы <7о = сто<0. Это условие выполняется, если |1 +
+ ah|<1, откуда с учетом h>0 получаем:
Отметим, что такой же результат получается при
использовании Z-преобразования, т. е. при ev=z. В этом
случае условия (3-50) получаются непосредственно из
уравнения \z\ = | 1 +
+ ай|<1. Точное реше¬
ние уравнения dx/dt =
= ax+b можно предста¬
вить в виде двух состав¬
ляющих, одна из которых
(собственные колебания)
является -экспонентой с по¬
стоянной времени Т=
= 1/а, знак и величина
которой определяются
анализируемой схемой, а
другая составляющая
(вынужденные колеба¬
ния) определяется зако¬
ном входного воздейст¬
вия b(t). Учитывая нера¬
венства (3-50), получаем,
что’ при интегрировании
линейного ОДУ методом
Эйлера неустойчивости не
будет, если анализируе¬
мая схема имеет отрица¬
тельную собственную постоянную времени Г<0 и шаг
h не превышает значения hrv=2/\a\ —\2\T\. Если в фор¬
мулу (3-49) подставить изображение входного воздейст¬
вия b(q) и с помощью обратного дискретного преобра¬
зования Лапласа перейти к х(п), то можно указать ха¬
рактер процесса решения в зависимости от величины
183
Рис. 3-20. Результаты численного
интегрирования уравнения (3-45)
для разных шагов интегрирования
при £(/) = ! (/).
inara h. Так, если входной сигнал — единичный скачок
(рис. 3-20), то при h<\T\ решение имеет апериодичес¬
кий вид, при h=\T\ —критический (установившееся ре¬
шение получается за один шаг), при |Г|</1<|2Г| —
колебательный затухающий с периодом 0 = 2, при 1г =
= 127" | —колебательный незатухающий с постоянной ам¬
плитудой, а 'при h>\2T\—колебательный расходящий¬
ся. Эти соотношения, определяют характер процесса ре¬
шения только для собственных колебаний схемы и
остаются справедливыми при любых внешних сигналах.
Таким образом, вид переходного процесса искажается
до неузнаваемости задолго до того, как решение станет
неустойчивым. Поэтому истинной границей допустимого
шага должно быть даже не йГр = 2|Г|, соответствующее-
потере устойчивости, a h= | Т\ <С^Гр, соответствующее
критическому виду переходного процесса.
Очевидно, для других методов численного интегри¬
рования условия устойчивости будут другие.
—^
Применительно к системе линейных ОДУ вида dXjdt—
—>
= АХ + В полученный выше критерий устойчивости для
метода Эйлера (3-50) сохраняется в силе; необходимо
только учесть 'различие постоянных времени 7\ и рассмо¬
треть наихудший случай
где ТМин минимальная собственная постоянная време¬
ни анализируемой цепи.
Для того чтобы практически воспользоваться усло¬
вием (3-51), необходимо знать все постоянные времени
цепи Ti или соответствующие им величины а*. В случае
системы линейных ОДУ значения аг- определяются *как
собственные значения матрицы А, равные корням веко¬
вого уравнения. При этом, если собственные значения
окажутся комплексными числами Яг = СГг + /С0г, то условия
устойчивости (3-51) принимают вид [JI. 42]:
В случае системы нелинейных ОДУ матрица А на
каждом шаге вычисляется заново, поэтому собственные
значения а\ в процессе вычислений также изменяются.
В связи с этим возникает проблема быстрого вычисле-
184
ния или хотя бы оценки наибольшего собственного зна¬
чения матрицы А, соответствующей линеаризованной не¬
линейной 'схеме, на каждов шаге вычисления с целью
определения максимально допустимого значения следу¬
ющего шага.
Условие (3-51) является весьма серьезным ограниче¬
нием на скорость анализа переходных процессов в элек¬
тронных схемах, создающим проблему, известную в ли¬
тературе как «'Проблема постоянной времени». Действи¬
тельно, при наличии в схеме цепей с существенно
различными постоянными времени необходимо выбирать
шаг, не превышающий наименьшую из них. Например,-
рассчитывая схему мультивибратора, необходимо расчет
вершины импульса вести с весьма малым шагом, соиз¬
меримым с фронтом импульса, хотя, конечно, такая
точность анализа вершины не требуется и приводит
к излишней трате времени; увеличение же шага ведет
к искажению формы вершины и расходимости вычисле¬
ний.
В настоящее время «проблема постоянной времени»
полностью не решена и является одним из основных пре¬
пятствий на пути использования таких численных мето¬
дов, как метод Монте-Карло, методы оптимизации и др.,
требующих многократного быстрого детерминированного
анализа схемы. Частичным решением этой проблемы
можно считать способ, использованный в программе
ТАР [Л. 41] (см. § 2-3, п. В), когда общая система диф¬
ференциальных уравнеий, описывающих схему, разбива¬
ется на две подсистемы — линейную и нелинейную. Обыч¬
но линейная подсистема, относящаяся к пассивной части
схемы, характеризуется большими постоянными време¬
ни, а нелинейная, относящаяся к активным компонен¬
там, — малыми. Поэтому линейную подсистему можно
интегрировать с большим шагом, внутри которого с ма¬
лым шагом интегрируется нелинейная подсистема. По¬
скольку количество уравнений (а значит, и правых ча¬
стей) в нелинейной подсистеме обычно невелико, то
достигается существенная экономия общего времени ин¬
тегрирования. Другой подход к решению «проблемы по¬
стоянной времени» связан с разработкой новых, более
устойчивых методов численного интегрирования ОДУ,
например [Л. 101]:
185
Используя изложенную выше методику анализа ус¬
тойчивости для линейного ОДУ, можно получить усло¬
вие устойчивости 11—ah |>1. Если а<О, т. е. в схеме нет
положительных постоянных времени, то метод устойчив
при любых значениях шага h. Если а>0, то шаг не
должен быть меньше, чем hTV = 2/a = 2T. Таким образом,
здесь имеется ограниченная зона «неустойчивых» ша¬
гов 0<h<2T при Г>0, значительно меньшая, чем в ме¬
тоде Эйлера. Однако, метод имеет низкую точность и,
кроме того, значения лгп+1 заданы здесь неявно. Для их
определения нужно на каждом шаге интегрирования
решать алгебраическое или трансцендентное уравнение,
например, методом итераций:
где k — номер итерации, а = Хп — начальное ус¬
ловие.
Применение метода итераций или метода Ньютона
может предотвратить также неустойчивость при наличии
в схеме малых положительных постоянных времени.
Помимо сохранения устойчивости весьма важным
моментом анализа переходных процессов является обес¬
печение заданной точности расчета. Точность расчета
можно оценивать в процессе вычислений различными
способами [JI. 62].
Одним из способов является интегрирование с перемен¬
ным шагом, когда на каждом шаге производится сравнение
результатов х* и х^12, полученных при вычислении одним
полным шагом и двумя половинными шагами. Ёсли
| хн. —Xй.121 <s или (xht —xh.l2)[x^lj2< s, где e — заданная
абсолютная или относительная оценка точности вычислений,
то за конечный результат принимается значение xhJ2 и за¬
тем выполняется следующий шаг интегрирования. Если
| xht —xht121 > s, то полученный результат отбрасывается и
вычисления возвращаются на шаг назад. Половинный
шаг принимается за целый, а результат сравнивается
с результатом, (полученным за два шага й/4 и т. д. Не¬
достатком этого способа является увеличение вдвое
времени расчета и необходимость запоминать результа¬
ты вычислений на предыдущем шаге,
186
Для ускорения расчета после каждого удачного шага,
обеспечивающего заданную точность, шаг можно увели¬
чивать, например, вдвое. Иногда увеличение шага про¬
изводят лишь в том случае, если предыдущий шаг обес¬
печивает запас по точности, т. е.
где k < 1.
Другим способом оценки точности является парал¬
лельное вычисление по двум формулам (3-40), одна из
которых называется предсказывающей, а вторая — кор¬
ректирующей. Задавая допустимую разность е вычисле¬
ний по обеим формулам, мы тем самым обеспечиваем
определенную точность вычислений на каждом шаге.
Следует, однако, отметить, что в обоих рассмотренных
способах оценка е характеризует точность только дан¬
ного шага, но не является точностью совпадения истин¬
ного решения с приближенным в целом. Эти способы
обеспечивают лишь плавность кривой приближенного
решения, заставляя ее с минимальной задержкой повто¬
рять все изменения в форме кривой истинного решения.
Несовпадение оценки е с истинной точностью интегриро¬
вания следует хотя бы из того, что при постоянном е
ошибка интегрирования накапливается от шага к шагу
и может значительно превзойти е.
Г. СРАВНЕНИЕ МЕТОДОВ ЭЙЛЕРА И РУНГЕ—КУТТА
В настоящее время из всего многообразия численных
методов решения ОДУ наиболее часто используются ме¬
тоды Эйлера и Рунге — Кутта. В отличие от -разностных
методов они не требуют разгонных точек, что облегчает
программирование и позволяет в любой момент менять
шаг интегрирования. Достоинствами метода Эйлера
являются простота и скорость расчета, а достоинствами
метода Рунге — Кутта — более высокая точность и
большое значение допустимого шага hTр. Недостатками
являются невысокая точность для метода Эйлера и
большое время расчета для метода Рунге — Кутта. При
выборе того или иного метода определяющим является
требование минимального времени расчета при одинако¬
вой точности или равносильное ему требование макси¬
мальной точности при одинаковом времени расчета. Не¬
смотря на простоту формулировки требований к методу
187
расчета, его выбор предстабляет весьма сложную, а воз¬
можно, и неоднозначную задачу, зависящую от многих
параметров: величины шага, погрешности расчета на
каждом шаге, времени расчета одного шага и т. д. В ка¬
честве примера приведем некоторые приближенные срав¬
нительные оценки методов Эйлера и Рунге — Кутта.
Как известно, погрешность простого метода Эйлера на
каждом шаге имеет порядок /Д а метода Рунге—Кутта
т-го порядка — порядок где йэ, hp — шаги соответ¬
ствующих методов. Если задан интервал интегрирования At,
то для обеспечения одинаковой погрешности на этом ин¬
тервале нужно, чтобы /гэ/^^= Яр/Zp+1, где /гэ, пр — число
шагов интегрирования каждым методом. Учитывая, что
= nvhv=Ы, получаем условие одинаковой ошибки
интегрирования О на интервале Ш:
Отметим, что с увеличением шага погрешность мето¬
да Рунге — Кутта растет быстрее, чем метода Эйлера.
С другой стороны, учитывая, что затраты машинного
времени на один шаг в методе Эйлера примерно в т
раз меньше, чем в методе Рунге — Кутта m-го порядка,
можно записать условие одинакового машинного вре¬
мени интегрирования 11 на интервале М:
Нанося уравнения (3-51 а) и (3-52) в виде кривых
в плоскости координат hv (рис. 3-21), видим, что эти
кривые делят всю плоскость на ряд областей, в которых
могут быть различные соотношения между временем и
ошибками расчета обоих методов в зависимости от со¬
отношения между /гэ и /гр. Можно отметить, что область
У, где метод Рунге — Кутта, безусловно, лучше метода
Эйлера (|/р</э, Ор<Оэ), значительно меньше области 2
с обратной оценкой этих методов, а с ростом т увеличи¬
вается незначительно. Однако преимущества метода Эй¬
лера могут быть реализованы лишь при достаточно
больших шагах т~ш, не всегда допустимых из
соображений устойчивости процесса вычислений, кото¬
рые выделяют в плоскости /гэ, hv прямоугольную область,
ограниченную значениями шагов Аэ.Гр и Лр.гр. Например,
188
есЛи т = 4, то методом Эйлера выгоднее пользоваться
только при h> \/4~4 —0,16, а такой шаг для линейного
ОДУ допустим, лишь если в 'рассчитываемой 1схеме нет
цепей с постоянными времени Т<к/2 = 0,08 (h и Т изме¬
ряются в условных безразмерных единицах). Все приве¬
денные рассуждения справедливы для случая расчета
с постоянным шагом. Интегрированию с переменным
шагом на рис. 3-21 будет соответствовать не точка,
а зона используемых шагов, которая в зависимости от
Рис. 3-21. Соотношение точности и скорости
вычислений для методов Эйлера и Рунге—
Кутта.
заданной точности может находиться в разных частях
плоскости ftp и в зависимости от характера переход¬
ного процесса (диапазона шагов) может перекрываться
с одной или несколькими областями. В этом случае ре¬
комендации по выбору того или иного метода расчета
становятся весьма приближенными.
3-3. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭЛЕКТРОННЫХ
СХЕМ
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О СТАТИСТИЧЕСКОМ АНАЛИЗЕ
ЭЛЕКТРОННОЙ СХЕМЫ
Расчет любой электронной схемы, как правило, сво¬
дится к определению номиналов ее компонентов, обес¬
печивающих работоспособность схемы в условиях экс¬
плуатации, задаваемых техническими условиями. В даль-
189
нейшем компоненты схемы будем называть ее входными
параметрами xi, х% ..хп-
Обычно работоспособность схемы обеспечивается
выполнением определенных требований, предъявляемых
к выходным параметрам схемы yi(xi, ..., Xi, .. хп) —
потребляемой мощности, быстродействию и т. д. Кроме
того, часть требований относится к входным параметрам
схемы и обусловлена ограниченными возможностями их
физической реализации. Эти требования имеют вид
•^г'мин^Яг^-^гмакс, ГДе Х^мин -^гмакс — ДИапаЗОН реаЛИЗу-
емых значений х^
Совокупность всех требований, выполнение которых
является необходимым и достаточным условием правиль¬
ного функционирования схемы в условиях, оговаривае¬
мых техническими условиями, называется системой ус¬
ловий работоспособности.
Условия работоспособности всегда выражаются в ви¬
де неравенств относительно параметров схемы, так как
точное равенство никогда не может быть'выполнено из-за
производственного разброса входных параметров. Эти
неравенства могут быть ка>к односторонними, так и
двусторонними.
В любом случае условие работоспособности можно
привести к нормальной форме, при которой функция ра¬
ботоспособности, характеризующая условие работоспо¬
собности, является положительной. Например, условие
работоспособности, заданное двусторонним неравенст¬
вом типа XiMTm<Xi<X
гмакс* можно записать в нормальной
форме в виде двух неравенств: Xi—х гмин^О И Хгмакс
—Xi> 0.
Таким образом, система условий работоспособности
схемы в общем случае может быть записана в виде
Представляет интерес геометрическая интерпретация
задачи о расчете параметров схемы.
Входные параметры схемы xif х2, ..х\ можно пред¬
ставить как координаты д-мерного вектора в д-мерном
пространстве. Тогда условия работоспособности уи ...
• • •, Уи • • •, Уш при приравнивании их нулю будут опреде¬
лять гиперповерхности, ограничивающие некоторую я-мер-
190
(3-53)
ную область работоспособности Q. Детерминированный
расчет схемы сводится к определению вектора X таким
образом, чтобы его конец находился внутри области ра¬
ботоспособности Q. При наличии производственного раз¬
броса входных параметров вместо точки, соответству-
ющей концу вектора X, получим некоторую область G.
Часть области G, выходящая за пределы G, определяет
.процент негодных схем, т. е. процент производственного
брака. Задача статистического расчета схемы в этом
случае сводится к нахождению брака и определению со¬
вокупности признаков брака, по которой можно было бы
построить систему тестов для отбраковки негодных схем.
С этим же тесно связана задача оптимизации схемы
по минимуму брака. Поскольку форма и положение об¬
ласти G зависят от вида и формы статистических зако¬
нов распределения входных параметров, то задача оп¬
тимизации заключается в выборе таких параметров за¬
конов распределения (математического ожидания,
дисперсии и др.), чтобы возможно большая часть обла¬
сти G оказалась внутри области Q. Процент негодных
схем при этом будет минимальным-
Таким образом, статистический расчет схемы можно
—>
определить как расчет вероятности Р того, что вектор X,
изображающий состояние схемы, находится в области
работоспособности Q, т. е.
или, что то же, в определении совместной части обла¬
стей G и Q:
а задача оптимизации схемы заключается в .максимиза-
—^
ции величины Р. Аналитически вероятность Р(Х) выра¬
жается многократным интегралом вида
где Хь х% ..хп—входные параметры схемы с одина¬
ковыми цли различными законами 'распределения '(p(*i);
191
У±(хь Хъ ...jXnh---j Ут[х 1, х% ..Хп]—’Уравнения связи
входных параметров схемы с выходными yt, у% ..ут\
Аь Bt, Аъ В2, . •Ат, Вт — допустимые границы изме¬
нения выходных параметров, определяемые условиями
работоспособности схемы; 4s — многомерная плотность
вероятности Хь х% .. •, хп.
Отметим, что форма и положение области G внутри
Q с течением времени и изменением условий эксплуата¬
ции изменяются вследствие изменения входных парамет¬
ров. Учет этих изменений является весьма сложной за¬
дачей, составляющей суть расчета надежности схемы.
Статистический расчет схемы без учета изменения ее па¬
раметров во времени можно назвать определением на¬
чальной схемной надежности. Ниже ,мы ограничимся
лишь расчетом начальной схемной надежности.
Б. МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО
Существуют различные методы расчета допусков на
параметры электронной схемы: экспериментальные
(метод граничных испытаний), аналитические (на наи¬
худший случай, метод моментов) и численные (-матрич¬
ный метод, метод Монте-Карло). Часть этих
методов (экспериментальные, на наихудший слу¬
чай) обходят статистическую постановку задачи.
Из остальных методов наиболее пригодным для
вычисления интеграла (3-55) в ряде случаев является
метод МонтечКарло [Л. 66], применимый в отличие от
других методов в условиях произвольных законов рас¬
пределения и неограниченного разброса входных пара¬
метров, а также при нелинейных или неявных уравнени¬
ях связи входных и выходных параметров схемы. Метод
Монте-Карло обеспечивает также максимальную скорость
вычисления на ЦВМ многократного интеграла (3-55)
по сравнению с другими вычислительными методами в
приемлемое время (несколько .минут) при достаточной
для практики точности (несколько процентов). Для по¬
яснения сущности метода Монте-Карло приведем мето¬
дику вычисления однократного интеграла. Пусть х —
случайная величина, все значения которой лежат на
интервале (аи &i) и подчиняются закону распределения
ср(я). Тогда, по определению, вероятность попадания
192
случайной величины х «в интервал (а, Ь), лежащий внут¬
ри интервала (at, bi), можно записать в виде интеграла
(3-56)
Будем моделировать на ЦВМ случайные значения х
на интервале (at, bi) по закону ф(х) и считать испыта¬
ние успешным, если а^х^Ь. Если из общего достаточ¬
но большого числа испытаний N было М успешных, то
отношение М/N с определенной точностью и надежно¬
стью равно интегралу
(3-56). Применительно к
статистическому расчету
электронной схемы сущ¬
ность метода Монте-Кар¬
ло, как видно из рис.
3-22, заключается в мно¬
гократном повторении
детерминированного рас¬
чета схемы, в котором
аргументами являются
конкретные реализации
случайных величин (вход¬
ных параметров), полу¬
ченные в блоке моделиро¬
вания входных пара¬
метров.
Рис. 3-22. Обобщенная структур¬
ная схема расчета электронной
схемы методом Монте-Карло.
Каждый расчет эквивалентен одному испытанию «ре¬
альной схемы. Испытание считается успешным, если
схема удовлетворяет всем условиям работоспособности,
и неудачным, если при расчете не удовлетворяется хотя
бы одно условие работоспособности. Если из общего
числа испытаний N было М успешных, то отношение
М/N с определенной точностью и надежностью характе-
—^
ризует вероятность Р(Х) получения годных схем.
Рассматривая преимущества метода Монте-Карло как
средство статистического анализа интегральных схем,
следует подчеркнуть особенности этих схем, заключаю¬
щиеся в нелинейности или неявном виде уравнений связи
входных и выходных параметров, что обусловлено йовы-
шенньвми требованиями к точности расчета; в высоком
уровне корреляционных связей между параметрами схем,
в ряде случаев исключающем возможность аналитичес¬
13—444 193
кого расчета из-за его сложности, особенно с учетом
предыдущего замечания; в невозможности раздельного
изменения одного из параметров при неизменных осталь¬
ных, затрудняющей применение .метода граничных испы¬
таний. Если учесть еще, что законы распределения
входных параметров схем весьма часто отличаются от
нормального, а также то, что в монолитных ИС имеет
место большой разброс параметров от партии к партии,
то становится ясно, что наиболее перспективным методом
статистического анализа и расчета интегральных схем
является метод Монте-Карло, для которого не являются
ограничениями перечисленные выше особенности ИС.
Одним из недостатков метода Монте-Карло является
то, что этот метод требует большого числа испытаний
(до 108) и 'чрезмерных затрат машинного времени для
статистических расчетов высокой точности и надежности
(0,01—0,001 %). Однако подобная точность обычно не
требуется при расчете начальной схемной надежности
интегральных схем, поскольку нестабильность парамет¬
ров технологического процесса и неточность моделей
компонентов не позволяют выдвигать столь жесткие тре¬
бования к точности расчета; практически вполне прием¬
лема точность в 1—5%', для обеспечения которой доста¬
точно сравнительно небольшого числа испытаний (при¬
мерно il001—500). (Помимо расчета начальной схемной
надежности, метод Монте-Карло позволяет построить
приближенные законы распределения (гистограммы)
выходных параметров схемы- (По гистограммам можно
более обоснованно составлять технические требования
на выходные параметры схемы, устанавливая такие
границы отбраковки — тесты, которые удовлетворяют
требованиям изготовителей схем и их потребителей.
Методика статистического анализа схем методом
Монте-Карло весьма проста и в общем случае состоит из
следующих этапов:
1) определения законов распределения входных па¬
раметров;
2) моделирования законов распределения на ЦВМ;
3) детерминированного повторяющегося расчета схе¬
мы;
4) составления алгоритма для получения гистограмм
выходных параметров и составления (системы тестов.
Методика статистической обработки данных и опре¬
деления на ее основе закона распределения какого-либо
194
входного параметра включает в общем случае опреде¬
ление объема выборки статистических данных, постро¬
ение гистограмм распределения входного параметра по
данным выборки и аппроксимацию гистограммы теоре¬
тическим законо,м распределения с использованием кри¬
териев согласия 'Пирсона, Колмогорова и др. [Л. 64]. Не
останавливаясь подробно на этих вопросах, отметим
лишь, что определение законов распределения входных
параметров может быть произведено на ЦВМ путем ав¬
томатического построения гистограмм по эмпирическим
данным и определения согласующегося с гистограммой
теоретического закона распределения (аппроксимации).
Построение гистограмм можно выполнить различными
способами, один из которых изображен на рис. 3-23.
Этот способ предусматривает определение крайних зна¬
чений параметров в выборке хМИн и яМакс, разбиение диа¬
пазона ломаке—*мин на интервалы — «разряды» гистограм¬
мы, поочередное сравнение каждого из значений пара¬
метров с каждым из интервалов и определение его
принадлежности интервалу, после чего строится гисто¬
грамма по обычным правилам.
В. МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СЛУЧАЙНЫХ ЧИСЕЛ НА ЦВМ
После определения законов распределения всех вход¬
ных параметров схемы и коэффициентов корреляции
между ними возникает задача моделирования этих за¬
конов |[Л. 65—67]. Для этой цели используется один из
следующих способов:
1) генерирование случайных чисел с помощью физи¬
ческого датчика случайных чисел (ДСЧ), в котором
используются различные физические явления — шумы
радиоламп, распад нестабильных изотопов и т. д.;
2) табличный способ, основанный на использовании
специальных таблиц случайных чисел;
3) программный способ, основанный на формирова¬
нии случайных последовательностей чисел с помощью
некоторых рекуррентных соотношений, когда каждое
последующее случайное число &+1 образуется из одного
или нескольких предыдущих.
Использование физических ДСЧ не получило широ¬
кого распространения из-за необходимости их периоди¬
ческой профилактики вследствие нестабильности пара-
13* 195
Рис. 3-23. Алгоритм построения гистограммы.
метров и из-за невозможности так называемого двойно¬
го счета для контроля и отладки программ. Еще реже
применяется табличный способ, требующий большого
объема памяти ЦВМ. Наиболее распространен програм¬
мный способ моделирования случайных чисел, который
196
мы опишем подробнее. Очевидно, полученные програм¬
мным способом числа строго говоря, не являются слу¬
чайными, так (как рекуррентный способ их образования
позволяет по одному числу найти все остальные. Однако
последовательность чисел не будучи полностью слу¬
чайной, может удовлетворять основным статистическим
критериям случайности. Поэтому такие числа называют¬
ся псевдослучайными. Ниже мы везде будем понимать
под случайными числами псевдослучайные, не оговари¬
вая это особо. Качество последовательности случайных
чисел можно охарактеризовать различными критериями,
важнейшими из которых являются апериодичность и пе¬
риод последовательности (рис. 3-24). Если первые L
последовательно полученных случайных чисел начиная
с начального h не равны друг другу, а L+1-е случайное
число £ь+1 совпадает (с одним из ранее полученных чисел
то в дальнейшем подпоследовательность
чисел от £г- до будет периодически повторяться. Число
L ‘называется отрезком апериодичности, а число T = L—
—i+1 —периодом случайной последовательности- При
решении задач методом Монте-Карло желательно, чтобы
количество используемых случайных чисел не превыша¬
ло отрезка апериодичности, в противном случае расчет
может привести ik неверным результатам из-за повторе¬
ния случайных чисел, которое можно истолковать как
паразитную корреляцию исходных данных. Таким обра¬
зом, из двух последовательностей случайных чисел наи¬
лучшей будет та, у которой больше отрезок апериодич¬
ности.
Основой для получения разнообразных законов рас¬
пределения случайных чисел обычно служит последова¬
тельность равномерно распределенных в интервале (ОД)
случайных чисел. Из многих возможных способов полу¬
чения таких последовательностей рассмотрим наиболее
распространенные:
197
Рис. 3-24. Параметры последовательности псевдослучайных
чисел.
1. Способы усечения случайных чисел, включающие
две разновидности:
а) способ середины квадрата (способ Неймана) со¬
стоит в том, что исходное ft-разрядное число возводит¬
ся ;в квадрат, средние п разрядов принимаются за новое
случайное число £*+1, а крайние разряды отбрасываются
и т. д. Недостатком полученной равномерной в интер¬
вале (0,1) последовательности является малая длина
отрезка апериодичности L<2n, так как для /г-разрядной
сетки можно получить не более 2П различных чисел.
Кроме того, возможно вырождение последовательности,
т. е. получение с некоторого момента только нулевых
чисел. Для предотвращения вырождения и для увеличе¬
ния L можно рекомендовать периодическую смену ис¬
ходного члена последовательности в качестве которого
можно брать иррациональные числа: j/3/2, ^2/2,5 15/235;
б) способ середины произведения (модификация пре¬
дыдущего способа), основанный на использовании в ка¬
честве числа £г+1 середины произведения двух предыду¬
щих чисел & и 1- Отрезок апериодичности
в этом случае больше, чем в предыдущем способе,
однако и здесь L<2П.
2. Способы, основанные на использовании специаль¬
ных процедур:
а) &+i=2-*ap<; Рж = 517|3г (mod242); .р0=1; Г«1^,
где запись mod 242 означает, что разность (Зг+i—'Рг делит¬
ся без остатка на Я42;
б) gi+1 = 2-3epi; рж=б^р, (mod 236); р0--1; Т~2 -1010.
3. Способы перемешивания, основанные на имитации
хаотического перемешивания содержимого разрядов
мантиссы случайных чисел.
Для получения равномерного распределения чисел Xi
в произвольном интервале (а, Ь) может быть использо¬
вано соотношение
Равномерное распределение в интервале (ОД) (рис.
3-25) служит основой большинства способов моделиро¬
вания произвольных законов распределения. Наиболее
распространенным является способ обратной функции,
основанный на теореме [Л. 66], утверждающей, что если
случайная величина х описывается непрерывной произ¬
вольной функцией распределения F(x), то закон распре¬
деления случайной величины y = F(x) является равно-
198
мерным ib интервале (0,1) (рис. 3-26). Таким образом,
получение заданного закона распределения ср (х) ово-
дится к получению 'равномерно распределенных чисел
yit рассматриваемых как величина y = F(x), и решению
уравнения Xi^F-^yi) где F^(yt) —функция, обратная
Рис. 3-25. Пример моделирования на ЦВМ рав¬
номерного закона распределения.
F(x). Уравнение Xi = F~l(yi) эквивалентно интегрально¬
му уравнению
199
Закон распределения
Уравнение преобразования равномерно
распределенной величины
Сдвинутый экспоненциальный
Закон Релея
В табл- 3-3 приведены решения уравнения (3-57) для
ряда законов распределения [Л. 67].
Весьма важным законом распределения является
нормальный. Его можно смоделировать на ЦВМ на ос¬
нове центральной предельной теоремы теории вероят¬
ностей как 'сумму т равномерных законов. Практически
при т=3-^5 получается
хорошее приближение к
нормальному закону. В
общем случае сумма т
равномерных на интерва¬
ле (а, Ь) законов стре¬
мится к нормальному
распределению -с -мате¬
матическим ожиданием
Мх=т(а-\-Ь)!2 и диспер¬
сией ох = т(Ь—а)2/2. Что¬
бы получить нормальный
закон с заданными значениями M=Mi и cr=icri, нужно
вначале привести его к нормированной и центрирован¬
ной форме (iM=0; а=1) по формуле £>i= (Xi—Mx)/ах,
а затем преобразовать к заданной форме: igj^Ali+icri^i.
На рис. 3-27 приведены примеры моделирования на
ЦВМ нормального закона и закона Вейбулла.
Укажем также еще один достаточно универсальный
способ моделирования произвольных законов распреде¬
ления, основанный на их кусочный аппроксимации. Сущ¬
ность этого способа состоит в аппроксимации непрерыв¬
ного закона распределения ф(Х) гистограммой, внутри
каждого i-то интервала (ak—ak+i) которой распределе¬
ние х считается равномерным и 'моделируется по форму¬
ле Xi = ak+ (ah+l—ak)li, где g*— равномерно распреде¬
ленные в интервале (0,1) числа. Методика применения
этого способа изложена в [Л. 66]- Там же рассмотрена
методика моделирования совокупности входных пара¬
метров электронной схемы, распределенных по нормаль¬
ному закону и связанных значимыми коэффициентами
корреляции.
При расчете электронных схем методом Монте-Карло
часто возникает следующая задача: входные парамет¬
ры— составляющие случайного вектора — имеют раз¬
личные ненормальные законы распределения и связаны
коэффициентами корреляции. Законченная методика
моделирования этой системы коррелированных величин
Рис. 3-26. Получение произвольно¬
го закона распределения по спо¬
собу обратной функции.
200
на ЦВМ пока не разработана. Отдельные этапы расче¬
тов (Л. >85] состоят в том, что вначале производится пер¬
вичная обработка данных и определяются законы рас¬
пределения всех входных параметров. Затем все стати¬
стические данные, подчиняющиеся ненормальным зако¬
нам распределения, подвергаются специальным преоб¬
разованиям, после которых эти данные описываются
Рис. 3-27. Примеры моделирования на ЦВМ законов распределения.
а — нормальный закон; б — закон Вейбулла.
нормальными законами. После этого определяются ко¬
эффициенты корреляции между преобразованными
величинами и моделируется система коррелированных
нормальных величин. Наконец, каждая промоделирован¬
ная случайная величина подвергается обратному пре¬
образованию, после которого она вновь оказывается
распределенной по тому закону, который имел место
при первичной обработке данных.
Г. МЕТОДИКА СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СХЕМ
МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО. ТОЧНОСТЬ
МЕТОДА МОНТЕ-КАРЛО
Методику статистического анализа схем методом
Монте-Карло рассмотрим на конкретном примере анали¬
за схемы симметричного триггера на МДП-транзисторах
(рис. 3-29,а). Блок-схема алгоритма (рис. 3-28) явля¬
ется типовой и включает моделирование входных пара¬
метров, анализ статического режима, анализ переходных
процессов, проверку условий работоспособности, пост¬
роение гистрограмм. Конкретные алгоритмы могут от¬
личаться последовательностью и содержанием перечис¬
ленных операций. В данном случае нужно отметить
следующие особенности алгоритма.
201
1. Входные параметры моделируются на все сразу
перед началом каждого испытания, а лишь необходимые
на данном этапе расчета: вначале — параметры, требу¬
ющиеся для расчета статического режима, затем пара¬
метры, необходимые для 'расчета переходных процес¬
сов. В результате в каждом испытании в случае брака,
например, по статическому режиму, экономится время
моделирования динамических параметров, а также пара¬
метров сигналов, запускающих транзисторы.
2. В каждом испытании расчет статического режима
производится дважды — вначале для открытого левого
плеча триггера (/ = 2), затем правого (/=1). Аналогич¬
но производится расчет .переходных процессов — вначале
Рис. 3-28. Алгоритм статистического расчета триггера методом
Монте-Карло.
202
для запуска в левое плечо (т=2), затем в правое пле¬
чо (т=1).
3. Каждый случай несоблюдения какого-либо усло¬
вия работоспособности фиксируется 'соответствующим
счетчиком брака, после чего расчет повторяется. Инди¬
кация брака различными счетчиками позволяет 'выявить
основные причины брака.
Статистический расчет схемы методом Монте-Карло
включает расчет по алгоритму, представленному на
рис. 3-28, с контролем одних лишь абсолютных условий
р а бот осп о с об ноет и (н аори м ер, ус л ош й существом алия
двух устойчивых состояний в триггере) с целью получе¬
ния гистограмм выходных параметров схемы ист, Р,
и т. д. и выбор по гистограммам границ относительных
условий работоспособности Рдош -t/м.дош ^ф.доп и т. д.,
обеспечивающих приемлемый процент брака.
Следует отметить, что нельзя рассчитывать общий
процент брака как сумму частных процентов брака по
каждой гистограмме, т. е. сумму показаний счетчиков
брака, так как одна и та же схема может быть забрако¬
вана на нескольких гистограммах. Поэтому оценку об¬
щего процента брака по гистограммам как сумму пока¬
заний счетчиков брака можно считать оценкой по наи¬
худшему случаю, когда каждая схема не удовлетворяет
только одному условию работоспособности; общий про¬
цент брака при этом завышается. Показания счетчиков
брака позволяют оценить лишь совместимость предъяв¬
ленных технических условий с технологией производства
рассчитываемой схемы.
Рассмотрим вопрос о точности метода Монте-Карло
и необходимом числе испытаний для обеспечения этой
точности. Поскольку метод Монте-Карло —вероятност¬
ный, то для оценки точности нужно использовать дове¬
рительные интервалы, т. е. границы, за пределы которых
ошибка не выйдет с определенной степенью вероятно¬
сти, близкой к единице. Возможны два подхода к оцен¬
ке точности метода Монте-Карло.
В первом случае каждое испытание схемы на
годность рассматривается как событие, т. е. случайная
величина, имеющая всего два значения: 1—для годной
схемы и 0 — для негодной. Как известно, математиче¬
ское ожидание т этого события равно вероятности Р
годности схемы. При большом числе испытаний, харак¬
терном для метода Монте-Карло, математическое ожи¬
203
дание распределено по нормальному закону, а довери¬
тельные интервалы для гп и Р одинаковы:
где P = MJN — оценка вероятности годности схемы, ото¬
ждествляемая обычно с процентом выхода годных схем.
Значения (2 -ь 3) соответствуют надежности оценки 0,95
или 0,997. Если определять точность метода с надеж¬
ностью 0,95 и учесть, _что эмпирическая дисперсия слу¬
чайного тобытия S2=P( 1—Р), а дисперсия математиче¬
ского ожидания этого события в N раз меньше =
Рис. 3-29. Результаты расчета на ЦВМ схемы симметричного
а — принципиальная схема; бис — зависимость потребляемой мощности и
импульсов от параметров схемы R, Е\ е — зависимость максимального быстро-
граммы потребляемой мощности
204
={Р(1—P)]/N, то получим следующее выражение для
доверительного интервала:
Отсюда следует, что число испытаний N, необходи¬
мое для обеспечения искомой вероятности с погреш-
триггера на МДП-транзисторах.
амплитуды импульса от параметров схемы R, Е\ г ид — зависимость фронтов
действия ) от параметров МДП-транзисторов k, t/0; ж и з — гисто-
ф. МИН
и быстродействия схемы.
205
ностью не более Д!=Р—Р при надежности 0,95, будет:
Отсюда видно, что число испытаний в методе Монте-
Карло обратно пропорционально квадрату абсолютной
ошибки. Следовательно, как указывалось ранее, метод
не эффективен из-за больших затрат машинного време¬
ни в тех случаях, когда нужна высокая точность расче¬
та вероятности Р (А «'0,001). Однако при расчете элект¬
ронных схем ошибки оценок исходного статистического
материала и моделей не позволяют выдвигать столь же¬
стких требований к точности. Если вести расчет вероят¬
ности Р с точностью iA!='(l -т-б) %', то, задавшись надеж¬
ностью 0,95 и ориентируясь на наихудший случай, когда
в формуле (3-59) числитель принимает наибольшее зна¬
чение (при Р'=0,5), получим, что для достижения 5%
точности нужно не менее 400 испытаний. Практически
Р = 0,7 -=-0,9 и можно либо снизить число испытаний, ли¬
бо повысить точность расчета (при А/”=400).
Во втором случае каждое испытание схемы
рассматривается не как случайное событие, а как слу¬
чайная величина а, принимающая не два, а бесчислен¬
ное множество значений. Например, в процессе модели¬
рования переходных процессов получается совокупность
чисел — длительностей фронтов f<j>. В этом случае под
точностью понимают определение, например, среднего
значения ^ф.ср в заданных доверительных интервалах.
Формула (3-59) остается справедливой, однако эмпири¬
ческая дисперсия выражается иначе (S^-^S|-), поэтому
для случайной величины а доверительные интервалы
с надежностью 0,95 определяются как
Отсюда следует, что для получения среднего значе¬
ния с ошибкой, не превышающей |Д|=а—а, необходимое
число опытов равно:
206
Дисперсия SL определяется по результатам опыта
а затем уточняется.
В заключение рассмотрим способ представления ре¬
зультатов расчета на ЦВМ электронной схемы. В каче¬
стве примера приведем результаты .машинного расчета
схемы триггера на МДП-транзисторах (рис. 3-29, а).
.В основе расчета статического режима лежит опреде¬
ление напряжения аст на стоке транзистора в открытом
плече триггера по уравнению (3-12), а в основе расчета
переходных процессов — решение системы двух нелиней¬
ных дифференциальных уравнений относительно напря¬
жений на стоках транзисторов. В качестве модели МДП-
транзистора использовалось выражение (1-47). Резуль¬
таты детерминированного расчета схемы представлены
ib виде трехмерных фигур, основанием которых является
область работоспособности триггера, а по вертикали
отложены соответствующие анализируемые параметры.
Под областью работоспособности здесь понимается сово¬
купность точек в плоскости R, Е, в которых триггер
имеет два устойчивых состояния, характеризующихся
протеканием тока в одном плече и отсутствием его
в другом.
Подобное представление результатов анализа в ви¬
де трехмерных фигур более наглядно, чем обычно
используемые 'семейства кривых.
Как видно из рис. 3-29,б и в, потребляемая триггером
мощность и амплитуда импульса в области работоспособ¬
ности изменяются монотонно, без оптимумов. Из рис. 3-29,2
и д следует, что, во-первых, быстродействие схемы опре¬
деляется временем выключения f|\ которое оказывается
больше времени включения при любых значениях R
и Е, и, во-вторых, имеется точка на границе области
работоспособности, яв которой быстродействие макси¬
мальное. Расчет максимального быстродействия в этой
точке для различных параметров МДП-транзисторов k±
и Uo показал (рис. 3-29,в), что при каждом значении kt
имеется оптимальное напряжение t/оопт, обеспечиваю¬
щее наивысшее быстродействие. Впоследствии аналити-
207
ческими расчетами удалось установить, что в точке
максимального быстродействия параметры схемы свя¬
заны соотношением £/0 0Пт = 0,43 Е\ £? = ^Мин. Совокуп¬
ность рассмотренных трехмерных фигур вместе с гисто¬
граммами распределений 'быстродействия и мощности
(рис. 3-29,ж и з), полученными по алгоритму на
рис. 3-28, позволяет составить достаточно полное пред¬
ставление о возможностях схемы.
Глава четвертая
ОПТИМИЗАЦИЯ ЭЛЕКТРОННЫХ СХЕМ
4-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
А. ТИПЫ КРИТЕРИЕВ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Оптимизация электронной схемы является завершаю¬
щим этапом ее расчета. Задача оптимизации схемы со¬
стоит в отыскании таких значений входных параметров,
при которых заранее выбранные выходные параметры
или их совокупность принимают наилучшее значение.
Отдельные выходные параметры, по которым оптимизи¬
руется схема, называются частными критериями опти¬
мальности. Например, схему можно оптимизировать по
максимальному быстродействию, по минимальной по¬
требляемой мощности и т. д. Однако случаи оптимиза¬
ции схемы по одному частному критерию оптимальности
довольно редки, так как схема характеризуется не од¬
ним, а целой совокупностью выходных параметров.
В связи с этим возникает необходимость введения общих
критериев оптимальности, учитывающих (все частные
критерии.
Можно определить два типа общих критериев опти¬
мальности: критерии, оптимальные для изготовителя
схем, и критерии, оптимальные для потребителя схем.
Критерием оптимальности для изготовителя является
прежде всего отношение числа годных схем, попавших
в область работоспособности, к общему числу изготов¬
ленных схем. Этот критерий называется процентом вы¬
хода годных схем Р.
Для потребителя же, помимо самого факта годности
схемы к моменту ее покупки, весьма важно положение
ее параметров в области работоспособности, ибо от него
208
зависит срок службы схемы, ее надежность. Очевидно,
чем дальше расположены параметры от границ области
работоспособности и чем медленнее 'их движение к гра¬
ницам is процессе эксплуатации схемы, тем схема на¬
дежнее. Если для расчета процента выхода достаточно
знать лишь статистические характеристики входных па¬
раметров, то для расчета надежности нужно знать так¬
же законы изменения этих характеристик от времени,
температуры, влажности и т. д. Обычно при изготовле¬
нии новых схем эти характеристики неизвестны и их
определение является весьма сложной задачей. Таким
образом, общий критерий — процент выхода—при пе¬
реходе схемы из сферы производства в сферу эксплуа¬
тации переходит в другой общий критерий — надеж¬
ность, характеризующий вероятность того, что в тече¬
ние определенного времени параметры схемы не выйдут
за границы области работоспособности. В связи со
сложностью расчета этой вероятности часто критерий
максимальной надежности упрощают, заменяя его кри¬
терием максимального удаления параметров схемы от
границ области работоспособности (без учета различий
в скоростях движения параметров к этим границам. Кри¬
терии процента выхода и надежности являются стати¬
стическими. От них отличаются детерминированные кри¬
терии: например, схема считается оптимальной, если ее
выходные параметры принимают наилучшие экстре¬
мальные значения. Поскольку координаты этих экстре¬
мумов в пространстве входных параметров обычно не
совпадают, то приходится считать схему оптимальной,
когда экстремальное значение принимает не каждый из
выходных параметров, а какая-либо их комбинация, в
которой отдельные параметры могут отличаться от сво¬
их наилучших значений.
Общий критерий при таком подходе должен представ¬
лять собой количественное выражение наилучшего со¬
четания выходных параметров. Известно несколько вы¬
ражений для критерия этого типа:
1. Критерий максимальной суммы взвешенных выход¬
ных параметров:
где y(t+) — „положительные" выходные параметры схемы,
при увеличении которых качество схемы улучшается (быст-
14—444 209
родействие, надежность); „отрицательные* выходные
параметры (потребляемая мощность, задержка сигнала,
вес); aif cij — ве'совые коэффициенты, характеризующие
важность соответствующих выходных параметров для
конкретного потребителя (изготовителя) схемы. Досто¬
инством этого критерия (является его общность, посколь¬
ку в нем кроме указанных параметров могут быть
учтены в качестве составных частей и надежность, и
процент выхода, а также расстояния до границ обла¬
сти работоспособности (запасы работоспособности).
Основным недостатком критерия является субъективный
характер весовых коэффициентов aiy aj.
2. Критерий максимального отношения произведений
взвешенных выходных параметров
Этот критерий имеет те же достоинства и недостат¬
ки, что и предыдущий. В качестве примера можно при¬
вести критерий оценки логических схем: К='Шп/UP, где
А\ип — помехоустойчивость; U — время задержки; Р —
потребляемая мощность.
3. Часто в. качестве слагаемых в первом критерии и
сомножителей во втором используются не абсолютные,
а относительные значения выходных параметров, взя¬
тые по отношению к своим предельно допустимым зна¬
чениям.
4. Чтобы снизить влияние субъективности в оценке
весовых коэффициентов, удобно определять весовые ко¬
эффициенты в зависимости от разницы между конкрет¬
ным значением выходного параметра и его предельно
допустимым значением [Л. 71]. В этом случае при уже¬
сточении требований на какой-либо параметр, например
уменьшение ^з.доп, автоматически возрастает вес этого
параметра по сравнению с остальными.
Б. ТИПЫ ОГРАНИЧЕНИЙ
Характерной особенностью оптимизации электронных
схем является наличие ограничений, которые можно
разбить на три типа: ограничения на входные, проме¬
жуточные и выходные параметры.
210
1. Ограничения на входные параметры обусловлены
возможностями физической реализации этих парамет¬
ров. К числу этих ограничений можно отнести, напри¬
мер, минимально достижимые значения межэлектрод-
ных емкостей, максимально достижимые значения кру¬
тизны характеристик и т. д.
2. Ограничения на промежуточные параметры схемы
обусловлены способом функционирования схемы. Так,
в регенеративных импульсных схемах необходимо, что¬
бы коэффициент усиления по цепи обратной связи в ак¬
тивном режиме был
больше единицы. В дан¬
ном случае коэффициент
усиления не является ни
входным, ни выходным
параметром, поэтому его
можно отнести к проме¬
жуточным. Как правило,
ограничения на промежу¬
точные параметры пред¬
ставляют собой необхо¬
димые условия работо¬
способности, при наруше¬
нии которых ехема перестает функционировать за¬
данным способом, т. е. переходит в новое (качество.
Например, триггер ори /С0.с<1 -становится двухка¬
скадным усилителем оо слабой положительной обратной
связью.
3. Ограничения на выходные параметры представля¬
ют собой технические условия на схему.
Совокупность ограничений всех трех типов, приве¬
денных, например, к пространству входных параметров,
определяет область их допустимых значений. При этом
некоторые ограничения могут оказаться излишними, так
как они перекрываются другими, более жесткими огра¬
ничениями. Так, на рис. 4-1, где изображена область
допустимых значений параметров триггера на МДП-
транзисторах, линия 7, полученная из промежуточного
ограничения — условия обеспечения двух устойчивых
состояний, перекрывает ограничение на входной пара¬
метр Яшин в большом диапазоне напряжений питания Е,
а ограничение «а 1/?Макс, полученное из выходного огра¬
ничения— условия обеспечения заданного быстродейст¬
вия, делает излишним ограничение на ^'макс, наклады¬
Рис. 4-1. Область работоспособ¬
ности триггера на МДП-транзи-
сторах.
211
ваемое физической реализуемостью больших сопротив¬
лений в интегральных схемах.
Помимо ограничений типа неравенств могут быть
ограничения типа равенств, когда в процессе оптими¬
зации необходимо поддерживать какой-либо из пара¬
метров схемы на строго заданном уровне. Однако
в электронных схемах ограничения типа равенств встре¬
чаются довольно редко.
В. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Из предыдущего ясно, что конкретные цели и задачи
оптимизации могут быть весьма различными в зависи¬
мости от исходных данных, типа схемы, требований по¬
требителя и возможностей изготовителя схем. Чтобы
сформулировать задачу математически, абстрагируемся
от ее физического содержания и рассмотрим некоторые
общие положения.
Задача оптимизации многопараметрических систем
в общем случае может быть сформулирована следую¬
щим образом.
Имеется объект оптимизации, характеризуемый не¬
которым количеством п входных параметров (аргумен¬
тов) Xi, Х2, ..хп »и одним выходным параметром Q,
однозначно зависящим от входных параметров, так что
Q=Q(x 1, х2,..., хп) или в векторной форме
Величину Q называют функцией качества системы
или функцией цели, а вектор X — вектором входа. Огра¬
ничения типа неравенств или равенств можно в общем
случае записать в виде
Задача оптимизации заключается в определении век¬
тора входа, удовлетворяющего условиям (4-2), (4-3) и
минимизирующего (максимизирующего) функцию ка¬
чества Q(X).
212
Для характеристики функции качества и процесса
оптимизации часто используются понятия локального
экстремума и глобального, т. е. наибольшего из локаль¬
ных экстремумов. На рис. 4-2 точке 0А соответствует
глобальный экстремум функции z=\f(x,y), а точке Ог —
локальный экстремум. От локального и глобального
экстремумов следует отличать условные и безусловные
экстремумы. Если независимые переменные не связаны
никакими соотношениями, то экстремум (безразлично
локальный или глобальный) называется безусловным.
В тех же случаях, когда независимые переменные свя¬
заны ограничениями типа равенств, экстремум называет¬
ся условным. Если функцию качества Q = z = f(x, у) рас¬
сечь плоскостями Q = const и спроектировать все сече¬
ния на одну плоскость, то получим линии уровня, на
которых функция качества постоянна (рис. 4-2). Как
известно, направление, перпендикулярное линии уровня,
соответствует наибольшему изменению функции качест¬
ва и называется градиентным, а сам вектор, направ¬
ленный вдоль градиентного направления в сторону воз¬
растания функции качества — градиентом. Понятие гра¬
диента лежит в основе широкого класса градиентных
методов оптимизации, основанных на движении к экст¬
ремуму в градиентном направлении.
Методы оптимизации могут отличаться друг от друга
как по своему содержанию, так и по решаемым зада¬
213
Рис. 4-2. Линии уровня функции двух переменных.
чам (рис. 4-3). Прежде всего следует отличать анали¬
тические методы от алгоритмических. В первом случае
положение экстремума определяется формулой, что яв¬
ляется основным достоинством аналитических методов.
Однако для преодоления математических трудностей
аналитическими методами приходится вводить столько
допущений и упрощений, что результат оптимизации
даже для простых схем не внушает доверия. Если при
наличии ограничений-равенств условный экстремум еще
Рис. 4-3. Классификация методов оптимизации.
можно найти, например, методом множителей Лагран¬
жа [Л. 60], то 'при ограничениях-неравенствах оптимиза¬
ция аналитическими методами невозможна, так как по¬
нятие производной функции качества в граничных точ¬
ках неопределенно. Задача может быть решена лишь
численно методами математического программирова¬
ния— новой области науки, специально разработанной
для отыскания экстремумов в условиях ограничений —
неравенств. Наконец, для аналитических методов необ¬
ходимо явное выражение функции качества — случай,
весьма редкий в практике.
От 'всех этих ограничений свободны алгоритмичес¬
кие методы, не дающие конечную формулу, а лишь ука¬
зывающие способ отыскания экстремума.
В ряде случаев, когда аналитические методы опти¬
мизации приводят к слишком сложным формулам, на
отдельных этапах оптимизации для расчета по этим фор¬
мулам привлекаются численные методы, реализуемые на
ЦВМ, которой отводится роль мощного арифмометра.
В целом такие методы можно назвать численно-анали¬
тическими, поскольку в их основе лежат все же вычис-
214
ления по конечным формулам. Эти методы занимают
промежуточное положение ’между аналитическими и ал¬
горитмическими. Ниже мы будем рассматривать только
алгоритмические методы.
Алгоритмические методы оптимизации можно под¬
разделить на регулярные, когда выбор начального зна¬
чения вектора входа однозначно определяет все его по¬
следующие значения, и статистические, когда последую¬
щие значения вектора входа связаны с предыдущими
случайным образом. Подавляющее большинство регу¬
лярных методов оптимизации относится к классу гра¬
диентных, в основе которых лежит либо вычисление гра¬
диента функции качества, если функция качества зада¬
на в явном виде, либо измерение градиента путем «проб¬
ных шагов», если функция качества задана неявно.
Прочие методы не нашли широкого применения. К чис¬
лу статистических методов поиска следует отнести ме¬
тоды случайного поиска [Л. 72, 73] и методы случайного
поиска с накоплением информации о предшествующем
процессе оптимизации (адаптивные методы).
По типу отыскиваемого экстремума методы оптими¬
зации можно разделить на локальные и глобальные.
Большинство методов являются локальными, однако не¬
которые статистические методы или их комбинации
с регулярными могут быть использованы для отыскания
глобальных экстремумов.
Рассмотрим некоторые характеристики процесса оп¬
тимизации. Искомую оптимальную точку обычно назы¬
вают целью, процесс оптимизации — поиском цели,
а точку, характеризующую положение объекта оптими¬
зации в пространстве его входных параметров, — изо¬
бражающей, или рабочей точкой. Поиск цели состоит
в последовательном перемещении рабочей точки в на¬
правлении уменьшения расстояния до цели. Каждое пе¬
ремещение рабочей точки называется шагом оптимиза¬
ции. Каждый шаг оптимизации можно разбить на два
этапа. На первом этапе собирается информация, необ¬
ходимая для выбора направления движения рабочей
точки. На втором этапе объект оптимизации переводит¬
ся из старой в новую рабочую точку, т. е. определяются
направление и величина шага оптимизации и функция
качества в новой рабочей точке. Для определения на¬
правления движения рабочей точки на первом этапе
обычно вычисляют функцию качества в соседних проб¬
215
ных точках. Число определений функции качества, не¬
обходимое для того, чтобы сделать один шаг оптимиза¬
ции, называется потерями на поиск. Как правило, вре¬
мя, затрачиваемое на втором этапе, много меньше потерь
на поиск, поэтому потери на поиск являются основной
характеристикой быстродействия алгоритма оптимиза¬
ции. Из числа других характеристик можно отметить
надежность поиска, определяемую как вероятность того,
что при заданном числе шагов оптимизации N рабочая
точка окажется в заданной 8 окрестности цели.
4-2. РЕГУЛЯРНЫЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
А. ГРАДИЕНТНЫЕ МЕТОДЫ
Большинство регулярных методов оптимизации явля¬
ются градиентными, так как используют ib своей основе
движение по градиентному направлению функции ка¬
чества, обеспечивающему наибольшую скорость движе¬
ния к цели. Как известно, градиент многомерной функ¬
ции Q(*i,..., хп) является вектором и аналитически
выражается в виде суммы частных производных по от¬
дельным координатам:
где Xi(i= 1, 2,..., п)—единичные векторы, направлен¬
ные вдоль координатных осей (орты п-мерного прост¬
ранства).
Составляющие dQ/dXj можно считать компонентами
вектора-градиента, поэтому справедлива запись gradQ =
лен по нормали к поверхности уровня Q = const [в част¬
ном случае Q = f(x4, х?) по нормали к линии уровня]
в сторону возрастания Q. Прежде чем излагать гради¬
ентный метод оптимизации, рассмотрим необходимые и
достаточные условия экстремума функции многих пе¬
ременных, определяющие стратегию оптимизации и мо¬
мент окончания поиска цели.
Для функции одной переменной Q(x) необходимое
условие экстремума хорошо известно и записывается
в виде
указывалось, градиент направ-
(4-5)
216
Для определения типа экстремума нужно исследо¬
вать знак второй производной. Для этого разложим
Q(x) в h окрестности точки Хо в ряд Тейлора с точно¬
стью до квадратичного члена включительно:
Таким образом, знак второй производной определя¬
ет знак 'приращения функции в окрестности экстремума:
если d2Q/dx2<0, то AQ<0 и в точке х0 максимум, если
d2Q/dx2>0, то в точке Хо минимум, а если d2Qjdx2=0, то
необходимо провести дополнительное исследование
с учетом третьей производной.
Аналогично можно провести исследование на экст¬
ремум функции многих переменных. Так, если Q =
= Q(xi, *2), то разложение в ряд Тейлора имеет вид:
где h = Xi—xiq, g—x2—X20 — отклонения от точки (хю, *20);
Qo — Q(xio, Х20). Перепишем выражение (4-6) в матрич¬
ном виде
При выполнении условия (4-5) можем записать:
(4-7)
векюр отклонений.
217
Из (4-6), (4-7) по аналогии с предыдущим случаем
следует, что в точке экстремума grad Q = 0, а тип экст¬
ремума определяется знаком суммы квадратичных чле¬
нов в (4-6) или, что то же, знаком корней векового
уравнения матрицы вторых производных в (4-7). Эта
матрица называется гессианом. Если все корни положи¬
тельные (отрицательные), то гессиан называется поло¬
жительно (отрицательно) определенным, а экстремум
Рис. 4-4. Оптимизация методом градиента (лома¬
ная ОВ1В2В3...) и методом наискорейшего спу¬
ска (ломаная АЛ1Л2 ...).
является минимумом (максимумом). Если часть корней
положительна, а часть отрицательна, то экстремум яв¬
ляется седловой точкой, если же гессиан равен нулю,
то нужно исследовать в разложении Тейлора сумму
кубичных членов.
Перейдем к рассмотрению существа градиентного метода.
Пусть В — начальная точка оптимизации, в которой опре¬
делено значение функции качества Q(X°) (рис. 4-4). Через
эту точку проходит некоторая поверхность уровня (в данном
случае линия) Q (X) = const = Q(X°). Пусть задача состоит
в поиске максимума Q(X). Тогда направление движения
рабочей точки должно совпадать с градиентным. При
этом возникают две задачи: 1) определить градиентное
218
направление и 2) определить величину рабочего шага
в этом направлении. Первая задача решается всегда
одинаково, так как направление любого вектора / одно¬
значно определяется его направляющими косинусами:
Отсюда следует, что для определения направления и
длины градиента функции качества достаточно найти
его проекции на координатные оси. Из определения гра¬
диента (4-4) следует, что эти '.проекции характеризуют
скорость роста функции качества Q в направлении каж¬
дой из осей, т. е. являются частными производными
dQ/dXi. Обычно, аналитическое выражение функции ка¬
чества Q в явном виде отсутствует, поэтому dQ/dXi
определяется методом численного дифференцирования,
при котором приращение AQ* функции Q в направлении
оси Х{ заменяется дифференциалом dQi~AQ*. Точность
соответствия дифференциала dQi приращению AIQ* за¬
висит от величины d2Q/dx. постоянства скорости из¬
менения функций Q вдоль оси Xi\ чем оно больше, тем
больше эта точность, в большей области справедлива
замена приращения дифференциалом и, следовательно,
большее значение Ах* можно брать. Поскольку заранее
величина d2Q/dx2. неизвестна, то выбор А'** неодно¬
значен. Обычно выбирают AXi = l. Таким образом, реше¬
ние первой задачи состоит в том, чтобы каждому неза¬
висимому переменному Xi (г = 1,..., п) поочередно дать
приращение Abq (сделать п пробных шагов) и вычис¬
лить соответствующие приращения AIQi=iQ(*i, ..., Xi,'...
хп)—Q(x±, ..., xi+\hxu ..., хп). После этого при¬
ближенно вычисляются частные производные QF ^
X-i
—AQi/AU;;, определяющие по формуле (4-8) направле¬
ние и длину градиента функции качества.
219
где ф — угол между вектором I и осью хг-; Пр„ 1—1 —
хг xt г
проекция вектора I на ось хг-; | / | — длина (модуль) век-
тора I :
Перейдем ко второй задаче — выбору рабочего ша¬
га. Из рис. 4-4 следует, что это можно сделать различ¬
ными способами. Так, если в точке В каждой перемен¬
ной Хг дать приращение AQifAxi, так что +
+AQi/AXi, то рабочая точка сместится в градиентном
направлении на длину градиента
и переместится в точку Ви в которой можно снова опре¬
делить направление и длину градиента и т. д. В резуль¬
тате получим путь к цели —ломаную OBiB2B3. В вектор¬
ном виде этот способ записывается:
где р — номер шага.
Очевидной разновидностью этого способа является
выбор шага, не равного по длине градиенту, но пропор¬
ционального ему:
или в векторном виде
где \а — коэффициент пропорциональности.
Поскольку величина градиента заранее неизвестна,
то и величина шага также неизвестна. Иногда удобнее
вести оптимизацию с заранее заданной длиной шага,
равной а. Для этого нужно нормировать приращения ко¬
ординат по формуле
Используя формулу (4-8а) при lXi=A/xil получаем,
что длина результирующего перемещения рабочей точки
вдоль градиентного направления будет равна <х:
220
Во всех рассмотренных случаях оптимизация закан¬
чивается, когда grad Q<?e или когда для приращений
Nx любой величины и знака соответствующие прираще¬
ния lAiQi^O.
Метод оптимизации по формулам (4-9) — (4-11), ког¬
да на каждом шаге вычисляется градиент Q, называ¬
ется методом градиента. Из сравнения ломаных ОА и
ОБ на рис. 4-4 следует, что с увеличением а путь к це¬
ли !в геометрическом исчислении становится длиннее,
а во временном исчислении — короче, так как число то¬
чек, в которых нужно вычислять градиентное направ¬
ление и, значит, потери на поиск, уменьшается. Из
рис. 4-4 следует также, что на каждом шаге при увели¬
чении а функция качества Q сначала увеличивается, до-
стигая максимума в точке, где вектор Хр+1 касается
одной из линий уровня Q, а затем снова уменьшается.
В связи с этим нужно выбирать а таким, чтобы вектор
—^
Хр+1 заканчивался в точке максимума Q по данному на¬
правлению. Метод оптимизации, при котором новое (р +
+ 1) градиентное направление вычисляется лишь после
того, как движение в предыдущем направлении исчер¬
пало себя и приводит к уменьшению функции качества
Q, называется методом наискорейшего спуска (подъема)
[JI. 74]. Способы определения , соответствующего
—>
на р-м направлении значению Q(Xp)mакс, могут быть
различными. Практически отыскание представля¬
ет собой задачу оптимизации функции Q по одному па¬
раметру а. Методы однопараметрической оптимизации
достаточно просты, если функция Q (а) унимодальна,
т. е. имеет только один максимум [Л. 75].
Наиболее^распространенным из-за легкости программиро¬
вания является последовательный шаговый поиск Q(A>)MaKC
и а^п , при котором производится последовательное переме¬
щение рабочей точки в градиентном надравлении с шагом
Да до тех пор, пока функция Q не перестанет расти. При
этом автоматически получаем а^ = 2Да и рабочая точка
221
Тогда
оказывается в точке, соответствующей Q (Хр)макс, после че¬
го нужно определять следующее (р+1) градиентное на¬
правление.
Более сложным в программировании, но более быст-
—>
рым 'способом отыскания Q(XP)MaKC является метод
дихотомии (половинного деления), состоящий в следую¬
щем (рис. 4-5,а). Пусть задан интервал изменения|Д1а =
—>
=,аМакс—1аМин, на котором ищется <2(ХР)Макс. Этот ин¬
тервал последовательно уменьшается путем вычисления
Q в двух расположенных возможно ближе друг к другу
точках Aia/2 + е и Д1а/2—е, находящихся в середине
Рис. 4-5. Поиск максимума унимодальной функции методом
дихотомии (а) и методом Фибоначчи (б).
интервала Ala. Если Q(Aa/2 + e) >lQ(Aia/2—&), то с уче¬
том унимодальности и возможности максимума в интер¬
вале 2е) для дальнейшего поиска должен быть взят ин¬
тервал Аа/2—е-Мамакс и т. д. Интервал 2е является
интервалом неопределенности положения максимума.
Назовем экспериментом совокупность операций, позво¬
ляющих 'принять решение об уменьшении интервала
поиска. После п/2 экспериментов (п = 2, 4, 6 и т. д., так
как в каждом эксперименте две точки) интервал, в ко-
—>
тором заключено Q(Xp)mакс, сужается до значения
Еще более быстрым способом поиска Q(^)MaKc яв¬
ляется метод Фибоначчи. В отличие о ^предыдущего он
222
требует в каждом эксперименте не двух, а одного ново¬
го значения Q; в качестве остальных значений Q
попользуются те, которые были получены в предыдущих
экспериментах, за счет чего и получается выигрыш
в скорости поиска Q(X^)MaKc. Стратегия поиска состоит
в том (рис. 4-5,6), что в каждом новом эксперименте
новая точка 'поиска располагается симметрично отно¬
сительно точки, оставшейся от предыдущего экспери¬
мента, так чтобы обе они одинаково отстояли от кон¬
цов интервала, внутри которого в данном эксперименте
ищется максимум.
В качестве следующего, (k -{- 1)-го интервала берется тот
из двух возможных интервалов
(Да^ лежит слева, а Аа^ — справа от Aafe), внутри ко¬
торого находится большее значение Q. Начальные точ¬
ки поиска должны отстоять от 'концов исходного интер¬
вала Да на расстоянии |Д1сц=Да(Fn-2/Fn—(—l)Qns/Fn),
где 2е — интервал неопределенности, как и в методе ди¬
хотомии; п — 'число точек расчета Q, а Fn, Fn-2— 'числа
из ряда Фибоначчи, определяемого следующим образом:
Для начала 'поиска «опт методом Фибоначчи нужно
заранее задаться числом точек расчета /г, исходя из
допустимого значения е
интервала неопределенно¬
сти максимума в конце
поиска. От этого недо¬
статка свободен метод зо¬
лотого сечения. В отличие
от метода Фибоначчи, где
расстояние между точка¬
ми определялось числами
Фибоначчи, здесь в каждом эксперименте три точ¬
ки располагаются так, что выдерживается постоян¬
ным отношение длин последовательных интервалов
(рис. 4-6):
223
Выбор интервала для дальнейшего поиска (Эмакс
производится по значениям Q в двух точках, как в ме¬
Рис. 4-6. Деление интервала
поиска при оптимизации методом
золотого сечения.
тоде дихотомии. В выбранном интервале находится од¬
на из точек предыдущего эксперимента. Для продолже¬
ния поиска новая точка должна находиться на одинако¬
вом 'расстоянии от концов интервала со старой точкой по¬
добно методу Фибоначчи. После /г испытаний интервал,
—>
в котором заключено а0пт и Q(Ap)mакс, равен Д1а/тп-1.
По скорости сужения интервала поиска метод «золото¬
го сечения» почти не уступает методу Фибоначчи.
Недостатком обоих методов является необходимость
предварительного определения интервала А'а, содержа¬
щего значение а0пт. Для этого можно воспользоваться
каким-либо грубым методом, например шаговым с по¬
стоянным или возрастающим шагом. Необходимость
предварительного поиска интервала Aia на каждом ша¬
ге оптимизации увеличивает время оптимизации.
Заканчивая рассмотрение методов однопараметри¬
ческой оптимизации, отметим их общий недостаток, со¬
стоящий в том, что они справедливы лишь для унимо¬
дальных функций Q(a), когда не возникает задача по¬
иска глобального оптимума. Гарантировать же заранее
унимодальность Q(a) можно лишь в весьма редких слу¬
чаях.
Градиентные методы являются наиболее быстрыми
и надежными детерминированными методами поиска
локальных экстремумов. Дальнейшее их усовершенст¬
вование возможно либо за счет использования произ¬
водных высшего порядка, либо за счет использования
на каждом шаге информации о предыдущих шагах. Вы¬
числение высших производных на ЦВМ весьма неточно
и трудоемко, поэтому
более перспективен
второй путь . Так,
Флетчером и Пауэллом
разработан алгоритм
[Л. 76, 77], в котором
на каждом последую¬
щем шаге оптимизации
движение рабочей точ¬
ки производится орто¬
гонально по отношению
не к одному предыду¬
щему вектору, как в
методе наискорейшего
спуска, а ко всем
Рис. 4-7. Поиск оптимума методом
прямого перебора.
224
предыдущим векторам. Благодаря этому метод сходит¬
ся к оптимуму значительно быстрее, чем методы гради¬
ента и наискорейшего спуска, относящиеся к линейным
методам.
Из числа неградиентных методов оптимизации мож¬
но отметить метод прямого перебора, когда диапазон
изменения каждого из входных переменных разбивает¬
ся на интервалы и пооче¬
редно исследуется функция
качества при всех сочета¬
ниях входных переменных в
узлах образующейся решет¬
ки (рис. 4-7). При числе пе¬
ременных /г>5-И0 метод
практически не реализуем
из-за больших затрат вре¬
мени. Другим методом опти¬
мизации является метод по¬
координатного спуска (Га¬
усса — Зайделя), когда
ищется оптимум поочередно
по каждой из переменных
в отдельности (рис. 4-8).
Если линии уровня оптими¬
зируемой функции имеют оси симметрии, параллельные
координатным осям, то данный метод совпадает с мето¬
дом наискорейшего спуска.
Б. ОПТИМИЗАЦИЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ-НЕРАВЕНСТВ
Эффективность градиентных методов значительно
снижается, если в задаче имеются ограничения. Будем
рассматривать пока ограничения типа неравенств. Разо-
бъем всю область определения входных параметров на
две части: область /, где удовлетворяются функции-ог¬
раничения
и область //, • ичения (4-12) не удовлетворяют¬
ся. Число ограничений может быть больше, равно или
меньше числа входных переменных. Пусть рабочая точ¬
ка, будучи на первых шагах оптимизации внутри обла¬
сти /, на каком-либо шаге вышла из области / в сб-
15—444 225
Рис. 4-8. Поиск оптимума
методом покоординатного
спуска (Гаусса—Зайделя).
ласть II. Тогда естественным будет стремление возвра¬
тить как можно быстрее рабочую точку (в область I.
Для этого нужно 'перемещать ее вдоль градиентного
направления той функции ограничения Rg, для которой
оказалось нарушенным условие (4-12). Если нарушено
не одно, а т ограничений, то движение должно осуще-
->
ствляться в направлении суммарного градиента S:
Как только рабочая точка опять окажется в обла¬
сти /, это движение сменяется движением вдоль grad Q
и т. д. В качестве простейшего примера приведем рас-
Рис. 4-9. Оптимизация с учетом ограничений ме¬
тодом зигзагообразного движения вдоль гра¬
ницы.
пространенный случай ограничений на входные пара¬
метры: х%—^Доп>0 или Хдоп—*г>0 (рис. 4-9). Градиент
ограничений равен Л-Xi или —Xi, что соответствует не¬
обходимости увеличения или уменьшения одного или
нескольких параметров, вышедших из заданного диапа¬
зона. Таким образом осуществляется зигзагообразное
движение вдоль границы областей / и II в направлении
увеличения Q. Поиск прекращается, если выполняется
одно из следующих условий: 1) в некоторой точке внут¬
ри области I выполняется условие | grad Q | <‘е, свиде¬
тельствующее о достижении оптимума в этой области;
2) в процессе поиска при движении по направлению
226
неарными и направленными в противоположные сто¬
роны; в этом случае оптимум находится на границе.
К числу особенностей метода зигзагообразного дви¬
жения вдоль границы нужно отнести проверку возраста¬
ния функции качества Q после возвращения рабочей
точки из области II в область / по сравнению с значе¬
нием Q на предыдущем шаге до перехода в область II.
В противном случае поиск возвращается в точку, из ко¬
торой был сделан последний переход в область //, и
поиск повторяется с уменьшенным шагом. Основным
недостатком рассмотренного метода является медленное
движение вдоль границы. Поиск оптимума ускоряется,
если рабочий шаг делать вдоль прямой, проходящей
через две точки в области /, в которых вычислялась
функция Q до перехода в область II и после возвраще¬
ния из нее. Направление этой прямой определяется сум¬
мой векторов:
Более эффективным методом оптимизации в услови¬
ях ограничений является метод допустимых направле¬
ний, называемый также проекционным градиентным
методом [Л. 62, 78]. Рассмотрим тонкий е-слой, приле¬
гающий к границе областей / и II со стороны области /
(рис. 4-10). Пусть на некотором шаге оптимизации ра¬
бочая точка попала в
этот слой. Тогда некото¬
рое число ограничений d
из общего числа k может
быть записано в виде
0</?*(xi...,*nXte,
где g= 1, ..., d; d^\k.
Будем исходить из
наихудшего случая Rg = 0.
Эти ограничения на дан¬
ном шаге оптимизации
нужно рассмотреть в пер¬
вую очередь, так как
на следующем шаге они
15* 227
Область П
Рис. 4-10. Оптимизация с учетом
ограничений методом допусти¬
мых направлений.
grad Q произошел переход из области / в область //,
а векторы grad Q и оказались колли-
могут быть нарушены. Направления движения ра¬
бочей точки, при которых ограничения не наруша¬
ются, называются допустимыми направлениями. Оче¬
видно, допустимым является движение вдоль любого
вектора а, составляющего с вектором grad Rg угол,
меньший 90° (рис. 4-10), т. е. когда скалярное произве¬
дение (a grad ^)>0. Однако не всякое допусимое на¬
правление -приводит к росту функции Q. При поиске
следует двигаться по тому допустимому направлению,
которое дает наибольшую скорость возрастания Q, т. е.
по направлению вектора grad Q. Движению из точки г
в направлении grad Q препятствуют лишь те из по¬
верхностей Rg = 0, для которых grad Rg в точке г состав¬
ляет с grad Q в этой точке угол больше 90°, т. е. ска¬
лярное произведение:
(grad Q grad Rg)r<0. (4-14)
При проверке в точке г (или в любой другой точке
в енуюе близ границы) условий (4-14) могут быть раз¬
личные случаи:
1. Для всех d ограниче¬
ний неравенства (4-14) не¬
справедливы. Следователь¬
но, ни одно из ограничений
не препятствует движению в
направлении grad Q и сле¬
дующий шаг делается в
этом направлении.
2. Пусть неравенство
(4-14) справедливо для од¬
ного ограничения Rb, ко¬
торое препятствует движе¬
нию в направлении grad Q.
Тогда допустимым направлением с наибольшей
скоростью роста функции Q является направле¬
ние Р вдоль проекции grad'Q на плоскость N, перпен¬
дикулярную к вектору grad Rb в точке г (рис. 4-11). На
следующем шаге движение производится <в направлении
вектора Р9 лежащего в плоскости N, касательной в точ¬
ке г к поверхности Rb(xi, ..., xn)='0. Направление век¬
тора Р определяется выражением
Рис. 4-11. Оптимизация проек¬
тивным градиентным методом
с учетом одного ограничения.
228
Коэффициент а определяется из условия перпенди¬
кулярности векторов Р и grad Яь : (Р gradi?b)=0. Умно¬
жая обе части (4-15) скалярно на grad Яь, получаем:
екции Р на ось Xi. Если из точки г делается шаг АХ дли¬
ной h, то приращения координат A Xi будут равны:
Чтобы не нарушить существенно ограничение Яь
при большом шаге, можно либо ввести пограничный
8_|слой со стороны области II и выбрать шаг так, чтобы
рабочая точка не покидала этого слоя, либо при нару¬
шении ограничения возвращать точку на поверхность
ограничений движением по направлению grad Яь, как
в методе зигзагообразного движения вдоль границы.
3. Пусть неравенства (4-14) выполняются для не¬
скольких (но не всех) ограничений, например для двух
(■#1 и Я2) из пяти.
Рассмотрим рис. 4-12, на котором плоскости Nu N2
касаются поверхностей ограничения 7?i = 0 и /?2 = 0 вточ-
16—444 229
(4-16)
Запишем вектор j
Рис. 4-12. Оптимизация проективным градиентным
методом с учетом нескольких ограничений.
ке г, а векторы Р4 и Р2 есть проекции grad Q на Зти
плоскости. Векторы grad^i и gradi?2 направлены в сто¬
рону области /. В данном случае движению по направ¬
лению grad Q препятствуют обе плоскости N± и N2.
Кроме того, плоскость Ni препятствует движению по
направлению Р2, так как скалярное произведение
(P2gradi/?i)r<0. Допустимым остается лишь движение по
—>
направлению Ри так как (Pi grad R2) >0. Вообще, пусть
неравенства (4-14) справедливы для b ограничений
(l<b<,d) из общего числа d<k, действующих в данной
точке ограничений Rg = 0. Остальные k—d ограничений
в этой точке еще далеки от нарушения. Тогда допусти-
мым является направление того вектора Ра, для кото¬
рого справедлива система неравенств:
где а — одно из q]= 1,2, ..., 6, a (3 пробегает все значения
q, кроме а. Можно доказать, что направление Ра в этом
случае единственно допустимое из всех других проекций Рд
вектора grad Q на плоскости Nq и обеспечивающее
к тому же наибольший рост функции. Это означает, что
если движению в градиентном направлении одновремен¬
но препятствуют несколько плоскостей Nb(l<b<d), то
можно выделить одну из них Na, препятствующее дей¬
ствие которой наиболее сильно, и двигаться дальше
только в этой плоскости, не учитывая остальных. Вектор
Ра определяется формулой (4-15) при Ь = а.
4. Пусть неравенства (4-14) выполняются для всех d ограни¬
чений (b==:d<s) или, что то же, нет вектора Ра, для которого бы¬
ли бы справедливы неравенства (4-14). В этом случае
движение из точки г возможно в направлении проек-
—^
ции М вектора grad Q на линию пересечения b гипер¬
плоскостей, касательных в точке г к поверхностям огра¬
ничений Rg = 0 (g=l, 2, ..., b) и препятствующих дви¬
жению в направлении
Так как вектор М перпендикулярен всем векторам
grad Rgj то для определения коэффициентов оё можно
составить систему линейных уравнений
После определения вектора ЛГ = Л^г производится
шаг длиной АХ = h путем приращения всех координат на
величину
Во всех рассмотренных случаях поиск завершается и
граничная точка г может быть точкой оптимума, если в этой
точке вектор grad Q противоположен по направлению к одному
—► —>
из векторов Rg, т. е. |Р|0 в случае 2, |Pj<e в слу¬
чае 3, или перпендикулярен линии пересечения плоскостей,
т. е. |M|<s в случае 4.
Проекционный градиентный метод довольно хорошо
разработан [Л. 62, 78] и обеспечивает эффективное дви¬
жение вдоль границы. К недостаткам метода можно
отнести сложность 'программирования и дополнительные
затраты времени на анализ системы ограничений и вы¬
числение коэффициентов а для отыскания допустимого
направления движения. Более простым и поэтому более
распространенным методом оптимизации в условиях ог¬
раничений является метод штрафных функций, называ¬
емый иногда методом обобщенного критерия [Л. 62, 79].
По этому методу вместо экстремума функции качества
Q ищется экстремум обобщенной функции QE, равной
сумме функции Q и функций ограничений Rgy взятых
с некоторыми весовыми коэффициентами аё:
п
(4-18)
Вторая составляющая этого выражения называется функ¬
цией штрафа. В результате сложная задача оптимизации
функции Q с учетом ограничений Rg превращается в более
простую задачу оптимизации функции QE без ограничений,
поскольку они уже учтены в функции QE в виде функций
штрафа.
Весовые коэффициенты ag имеют переменный вес:
ag =0, если ограничение удовлетворяется, и ag=±Ag =
= const, если ограничение Rg нарушено. Знак Ag выби¬
рается так, чтобы изменение функции QE при наруше¬
нии ограничений имело характер «штрафа» для оптими¬
зируемой функции Q. При этом появляется дополни¬
тельная возможность оптимизации Q путем «снятия
штрафа», т. е. вывода рабочей точки из запретной обла¬
сти II в область I. Пусть ищется максимум Q. Пока
рабочая точка находится внутри области допустимых
значений /, ограничения не учитываются и оптимизация
проходит обычным порядком. При нарушении ограни¬
чения Rg и попадании в запрещенную область II с функ¬
ции взимается штраф путем ее уменьшения на соответ¬
ствующую величину AgRg или hAgRg. В этом случае
для максимизации Q вместо движения по направлению
grad QE = grad Q нужно двигаться в направлении
где т — число нарушенных ограничений.
Вторая составляющая выражения (4-19) прижимает
направление перемещения к поверхности ограничения,
Очевидно, максимальное значение функции Qs достигает¬
ся при условии минимальности штрафа, т. е. при удов¬
летворении всех ограничений. Точность удовлетворения
ограничений тем выше, чем больше величина весовых
коэффициентов Ag. Требования на величину Ag противо¬
речивы. С одной стороны, при слишком больших значе¬
ниях Ag процесс поиска может быть расходящимся.
С другой стороны, значения Ag должны выбираться до¬
статочно большими, чтобы любое нарушение ограниче¬
ний достаточно сильно изменяло функцию QE, т. е. нуж¬
но, чтобы AgdRg/dXi>dQ/dXi. Чтобы удовлетворить этим
требованиям, величины Ag можно менять в процессе
232
поиска в соответствии с изменением величин частных
производных dQldXi.
Сравнивая выражения (4-15), (4-17а) и (4-19), не¬
трудно заметить, что при Ag = og метод штрафных функ¬
ций совпадает с градиентным проективным методом.
В случае же произвольного выбора Ag движение рабо¬
чей точки производится в направлении, не лежащем
в плоскости, касательной к поверхности ограничения, и
отклоняющемся от него либо в сторону области допу¬
стимых значений / при Ag>ag, либо в сторону запрет¬
ной области II при Ag<og.
Некоторым недостатком выражения (4-18) является
возможность выхода рабочей точки в запретную область
//, где оптимизируемая функция Q может быть и не
определена. Для устранения этого недостатка функцию
штрафов можно записать в другом виде, например,
и учитывать ограничения в области /, не дожидаясь их
нарушения.
В этом случае, если оптимизация начинается внутри
области /, в процессе градиентного поиска рабочая точ¬
ка при разумном выборе шага не может покинуть
область I. В отличие от выражения (4-18) здесь коэффи¬
циенты ag<0 имеют постоянный вес. По мере прибли¬
жения к границе области / Rg—^0 и «штраф» автома¬
тически увеличивается. Градиент второй составляющей
выражения (4-20) прижимает направление перемеще¬
ния рабочей точки к поверхности ограничений, но не со
стороны запретной области //, как в выражении (4-19),
а со стороны области I. Чем меньше коэффициенты
тем ближе к границе может подойти рабочая точка.
Модуль в знаменателе позволяет сохранить работоспо¬
собность метода при случайном (при большом шаге)
выходе в область //, когда Rg<0.
Метод штрафных функций выгодно отличается от
предыдущих методов учета ограничений своей просто¬
той и возможностью использования при оптимизации не
только градиентных, но и других методов.
233
В задачах оптимизации электронных схем весьма
часто ограничения носят не функциональный, а числен¬
ный характер. Например, обычно ограничен диапазон
изменения выходных или входных параметров:
В этих случаях ограничение можно учесть соответству¬
ющей заменой переменных. Так, если 0<л;г<<оо, то вместо
Хг в функции качества можно ввести замены е1 — Xi или
y2i = X{, удовлетворяющие заданному ограничению при лю¬
бых уь в том числе отрицательных, и проводить оптими¬
зацию в координатах у* без учета ограничений [Л. 42].
Очевидно, в этом методе используется функциональное
преобразование, переводящее граничные точки в беско¬
нечно удаленные точки. Так, ограничения (4-21) можно
учесть, заменив Х{ функцией /(г/г, ki, k2)1 в которой для
определения ifei, &2достаточно положить /(О, kif k2) = xiMmb
zt
a f(oo, ki, k2) — л^гмакс» после чего замена вида у%= е^
или y/==z2t опять позволяет оптимизировать в коорди¬
натах Уг без учета ограничений. Например, Xi=(kit/i +
+ k2)/yi+l9 откуда k2=xiMmi при yi = 0 и ki=xiM&KC при
yi — oo. Окончательная замена имеет вид:
Здесь Х\ находится В диапазоне Хгмин^Яг^'Ягмакс
при любых z%.
В. ОПТИМИЗАЦИЯ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЯ-РАВЕНСТВ
До сих пор мы рассматривали ограничения типа не¬
равенств, которые делили все пространство входных па¬
раметров схемы на две области: запретную и разрешен¬
ную, при этом число ограничений могло быть больше
числа входных параметров. Ограничения типа строгих
равенств
где i=l, 2, ..., /, при 1<п уменьшают число незави¬
симых переменных, за счет которых можно изменять
234
положение рабочей точки, при этом размерность задачи
понижается на число ограничений-равенств. Следова¬
тельно, число ограничений-равенств не может быть
больше числа входных параметров, в противном случае
задача обычно не имеет решения. Например, если за¬
дана функция качества Q=f(xif х2), представляющая
собой поверхность в трехмерном пространстве (рис.
4-13), то одно ограничение Hi(xil х2) =0 заставляет ис¬
кать оптимум на пространственной кривой, лежащей на
данной поверхности Q и проецирующейся на плоскость
Рис. 4-13. К оптимизации в условиях ограничений типа
равенств.
Хъ Х2 в линию Hi. Задача оптимизации превращается
в поиск условного экстремума с одной независимой пе¬
ременной. Введение же еще одного ограничения-равенст¬
ва Н2(хif х2)—0 превращает задачу оптимизации в по¬
иск точек пересечения кривых #i и Н2, являющихся
единственным решением задачи.
Пусть дано только одно ограничение #1 (xif х2)=0.
Очевидно, при оптимизации градиентными методами
движение строго по линии Hi невозможно. Простейшим
выходом из положения является замена строгого равен¬
ства Hi(Xi, х2) —0 неравенством х2)^г, где
6 — достаточно мало. В этом случае на поверхности Q
вместо линии вырезается е-полоска (рис. 4-13), играю¬
щая роль области допустимых значений, и оптимизация
проводится внутри этой 8-полоски с учетом двух огра¬
ничений-неравенств:
В некоторых случаях ограничение-равенство можно
аналитически решить относительно какой-либо перемен¬
ной; тогда для учета ограничения достаточно заменить
в функции качества эту переменную полученным анали¬
тическим выражением. Однако обычно явно выразить
переменные из ограничений-равенств не удается. В этих
случаях можно воспользоваться классическим методом
определения условного экстремума — методом неопреде¬
ленных множителей Лагранжа [Л. 60]. Согласно методу
Лагранжа вместо условного экстремума функции
Q(xu . .хп) с ограничениями Hi(xlf ..., хп) =0 (i=
= 1, 2, ..., К.п) ищется совпадающий с ним безуслов¬
ный экстремум обобщенной функции:
где п + 1 независимыми переменными являются xh х2, ...
. . хп и неопределенные множители Лагранжа %ъ
..., I%i.
Физический смысл множителей Лагранжа состоит в
том, что они с точностью до знака характеризуют ско¬
рость изменения условного экстремального значения
Q3(*b .... хп) при изменении положения линий уровня
Hi(x 1, .. хп) =Ы функций-ограничений Не
Для отыскания безусловного экстремума функции п-\-1
переменных можно воспользоваться необходимым условием
эстремума grad QE = 0, которое применительно к заданному
случаю дает систему п + 1 уравнений
Поскольку функции Hi и Q заданы неявно, то для ре¬
шения этой системы, т. е. оптимизации Qs, можно восполь¬
зоваться любым поисковым методом оптимизации, например
градиентным. Обозначив систему первых п производных че¬
рез gradzQs, а систему последних I производных через
grad^Qs, можем записать алгоритмы поиска оптимальных
значений векторов X и Я:
—> —> —> —> —>
или в общем виде Ср+1 = Ср -|- a grad Qs, где С= (X, Я)—об¬
общенный вектор неизвестных переменных. Нетрудно заметить,
что выражение (4-22) для Qs при Яг = а* = Лг- идентично
выражениям (4н17а) и (4-18) в методах допустимых на¬
правлений и штрафных функций. Следовательно, оба эти
метода реализуют метод неопределенных множителей
Лагранжа и разница заключается только в подходе
к вычислению множителей Очевидно, во всех этих
методах ограничения-равенства соблюдаются лишь при¬
ближенно, что соответствует замене на рис. '4-13 линии
Нх 8-1П0Л0СК0Й.
г. ПОИСК ГЛОБАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
Градиентные методы оптимизации по своему сущест¬
ву являются локальными, позволяющими обследовать
лишь некоторую часть области допустимых значений
переменных. Эти методы позволяют отыскать стацио¬
нарную точку, в 'которой grad Q=0, однако они не могут
ответить на вопрос, имеются ли в области допустимых
значений другие стационарные точки с большими значе¬
ниями функции качества Q, поскольку после отыскания
стационарной точки не остается информации, на основе
которой можно было бы продолжать поиск других ста¬
ционарных точек.
Более того, в ряде случаев градиентные методы не
позволяют найти даже локальные экстремумы. Напри¬
мер, если функция качества имеет «гребни» или «овра¬
ги» (рис. 4-14,а), то поиск может прекратиться далеко
от оптимума, так как частные производные по любой
переменной Xi и х2 говорят об уменьшении функции, в то
время как имеется направление вдоль вершины «греб¬
ня» (или дна «оврага»), приводящее к увеличению фун¬
кции качества. Аналогичное положение может быть
в случае седловидной функции качества. Для поиска
237
оптимума в этих условиях можно использовать метод
«оврага» [Л. 80, 74].
Согласно этому способу (рис. 4-14,6) сначала из лю¬
бых двух достаточно удаленных точек Л0 и Ai последо¬
вательно проводится оптимизация градиентным методом
до тех пор, пока функция качества Q в некоторых точ¬
ках С0 и Ci не перестанет изменяться больше, чем на
малую величину 8 за один шаг. После этого производит¬
ся шаг по «оврагу» — вдоль прямой, соединяющей точки
С0 и Ci в направлении роста Q, причем шаг по «оврагу»
Рис. 4-14. Оптимизация методом «оврага».
а — точка на дне оврага; б — движение рабочей точки.
берется значительно больше, чем шаг при градиентном
поиске точек С0 и Ci. В результате получим следующую
точку А2, из которой градиентным методом перемеща¬
емся в точку С2, затем делаем новый шаг по оврагу
вдоль прямой С1С2ИТ. д. Применение «овражного» мето¬
да хотя и снижает вероятность остановки рабочей точ¬
ки в ложном экстремуме, однако значительно усложня¬
ет программу и замедляет поиск, если «гребень» или
«дно» оврага сильно искривлены. Для отыскания гло¬
бального экстремума можно воспользоваться комбинаци¬
ей градиентного метода и метода Монте-Карло [Л. 74].
Исходная точка поиска выбирается случайным образом
путем моделирования координат входных параметров по
какому-либо статистическому, чаще всего равномерно¬
му, закону, а определение локального экстремума, к ко¬
торому ведет путь из данной исходной точки, произво¬
дится градиентным методом. После того как эта проце¬
дура повторится несколько раз, можно из полученных
238
локальных экстремумов выбрать наибольший, соответ¬
ствующий глобальному. Наилучшие результаты в поиске
глобального экстремума могут быть достигнуты стати¬
стическими методами, рассматриваемыми ниже.
4-3. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
А. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Если в регулярных методах оптимизации направле¬
ние движения рабочей точки на каждом шаге однознач¬
но определялось 'предысторией этого движения, в ста¬
тистических методах направление движения на каждом
шаге зависит от случайных причин, так что путь рабо¬
чей точки не может быть дважды повторен при повтор¬
ной оптимизации из одной и той же исходной точки.
В связи с этим статистические методы получили назва¬
ние методов случайного поиска. Наиболее полно эти 'ме¬
тоды исследованы в работах Л. А. Растригина [Л. 72,
73], разработавшего ряд алгоритмов случайного поиска
и показавшего их преимущества перед регулярными.
Случайный поиск может быть в принципе реализо¬
ван двумя способами. Первый способ, называемый сле¬
пым поиском, аналогичен методу прямого перебора
(рис. 4-7) с той лишь разницей, что перебор множества
допустимых состояний оптимизируемого объекта осу¬
ществляется не по узлам координатной сетки, а случай¬
ным образом в области допустимых значений входных
параметров. Оптимум ищется сразу и может быть най¬
ден на любом шаге, но априорная вероятность этого *
события очень мала. Если представить область допус¬
тимых значений и область оптимума в виде я-мерных
гиперсфер радиусов р и е, то эта вероятность равна Р =
= (е/р)п. Так, если /2=10, а 8=0,1р, то Р= 10-10. Отсю¬
да видно, что слепой поиск в большинстве случаев не¬
приемлем. К тому же до самого конца испытаний неиз¬
вестно, дает очередное испытание экстремальное значе¬
ние функции качества или же оно появится при
дальнейших испытаниях, т. е. отсутствует критерий оста¬
новки поиска.
Второй способ случайного поиска основан на после¬
довательном приближении к цели путем использования
на каждом шаге сведений о функции качества. По мере
приближения к цели зона поиска сужается и вероят¬
ность достижения оптимума увеличивается. В предыду-
239
щем способе априорная вероятность отыскания оптиму¬
ма с ростом числа испытаний также увеличивалась,
однако в данном способе это увеличение происходит
значительно быстрее из-за справедливости для большин¬
ства функций качества так называемой гипотезы бли¬
зости, согласно которой поведение функции качества
в двух достаточно близких точках Х\ и Х2 различается
несущественно, так что, например, gradQ(Xi)^
—У
^gradQ(X2). В этом случае стратегия оптимизации на
(£+ 1)-м шаге при неудачном i-м шаге состоит не в вы¬
боре совершенно нового случайного состояния в преде¬
лах всей области допустимых значений, как в предыду¬
щем способе, а лишь в незначительном изменении i-го
состояния, производимом хотя и случайным образом, но
в пределах довольно малой окрестности предыдущей
точки, так что
где £ — случайный вектор, компоненты которого имеют
случайные величины, моделируемые обычно по равномерно¬
му закону.
Случайные шаги 6, производимые при неудаче в точке
Xдолжны быть достаточно малы по модулю, чтобы по¬
высить вероятность успеха на (i+l)-M шаге. В случае
успеха изменение состояния на (/+1)-м шаге произво¬
дится так же, как и на i-м шаге, т. е. направление
поиска сохранится, так как по гипотезе близости успех
—^
в точке X1 с большой вероятностью может повториться
в точке Xi+i, если эти точки достаточно близки. Алго¬
ритм (4-23) характеризует случайный поиск с «наказа-
->
нием случайностью», когда случайный шаг £ является
отрицательной реакцией на неудачный предыдущий шаг.
Возможны и другие алгоритмы случайного поиска, рас¬
сматриваемые далее.
Поскольку направление движения к оптимуму в сред¬
нем не совпадает с наилучшим — градиентным направ-
240
где
лением, то возникает вопрос, можно ли отыскать локаль¬
ный оптимум функции качества методами случайного
поиска быстрее, чем методом градиента. Для ответа -на
этот вопрос нужно учесть, что время оптимизации опре¬
деляется не только количеством шагов рабочей точки
на пути к локальному
оптимуму, но и поте¬
рями на поиск — коли¬
чеством вычислений
функции качества на
один шаг рабочей точ¬
ки. Если в методе гра¬
диента каждый рабо¬
чий шаг при оптимиза¬
ции функции п пере¬
менных требует п проб¬
ных шагов для пред¬
варительного вычисле¬
ния частных производ¬
ных, то в методе слу¬
чайного поиска с нака¬
занием случайностью
для каждого рабочего
шага нужно только одно вычисление функции качест¬
ва. 'В общем случае с учетом неудачных шагов и при
больших расстояниях до оптимума потери на поиск в
методах случайного поиска с ростом числа переменных
п растут пропорционально V п, в то время как в гради¬
ентных методах они растут пропорционально п [Л. 72].
Отсюда ясно, что с ростом числа переменных методы
случайного поиска становятся более быстродействую¬
щими, чем градиентные методы. Однако это верно толь¬
ко при больших расстояниях до оптимума, по мере же
приближения к оптимуму преимущество случайного по¬
иска уменьшается. Действительно, при уменьшении
расстояния р до оптимума гипотеза близости выполня¬
ется все хуже, диапазон «удачных» случайных направ¬
лений уменьшается и в пределе при р—ИЗ вырождается
в градиентное направление. Поэтому при большом чис¬
ле переменных п вероятность удачного шага по мере
приближения к оптимуму уменьшается и время оптими¬
зации увеличивается.
Таким образом, при оптимизации сложных многопа¬
раметрических схем целесообразно применять на на¬
Рис. 4-15. Области целесообразного
применения случайного и градиент¬
ного методов для разного числа пе¬
ременных.
241
чальных Этапах оптимизации случайный поиск, а закан¬
чивать оптимизацию градиентными методами. На рис.
4-15 изображен примерный вид границы, разделяющей
области целесообразного применения обоих методов
[JI. 72]. При п<3 градиентный метод почти всегда ока¬
зывается более быстродействующим, чем случайный по¬
иск. Следует отметить перспективность применения
методов случайного поиска для проектирования больших
интегральных схем (БИС), состоящих из нескольких
сотен компонентов. Каждый из компонентов можно рас¬
сматривать как самостоятельный входной параметр,
вносящий свой вклад в общий показатель качества
БИС, например в общую задержку распространения сиг¬
нала по цепочке каскадов, составляющих БИС. В этих
условиях может возникнуть задача оптимизации одно¬
временно нескольких сотен компонентов БИС. Очевидно,
применение методов случайного поиска может по мень¬
шей мере существенно ускорить оптимизацию, если во¬
обще не оказаться единственным приемлемым способом
решения этой задачи.
Б. АЛГОРИТМЫ СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА
ЛОКАЛЬНОГО ЭКСТРЕМУМА
В общем виде шаговые алгоритмы оптимизации мож¬
но записать:
Локальность рассматриваемых ниже алгоритмов оп¬
тимизации [Л. 72] обусловлена независимостью страте-
—>
гии оптимизации в данной точке, т. е. выбора AXi+iy от
информации, полученной на всех или нескольких пре¬
дыдущих шагах оптимизации.
Такие алгоритмы называются одношаговыми. При¬
мером одношагового алгоритма может служить алгоритм
(4-23). Другие алгоритмы, отличающиеся выбором
AXi+i, приведены в табл. 4-1. Во всех случаях функция
качества Q минимизируется. В алгоритме с поощрением
случайностью оптимизация происходит за счет того, что
в случае неудачного шага рабочая точка возвращается
назад, после чего делается новый случайный шаг. Алго¬
ритм с пересчетом при неудачном шаге отличается от
предыдущего большим быстродействием, так как при
242
Локальные шаговые алгоритмы случайного поиска
Таблица 4-*
Примечание
Математическая запись алгоритма
Название алгоритма
_ Алгоритм с „поощре¬
нием случайностью „
(с возвратом при неудач¬
ном шаге)
Алгоритм с „пересче¬
том при неудачном шаге“
Алгоритм с „парной
пробой"
С?макс — наибольшее значение функции
качества за i—1 предыдущих шагов
поиска
—> —^
X1 ± gS — пробные точки; g — величина
пробного шага; а—величина рабочего
шага
-»
% — здесь и ниже единичный случайный
многомерный вектор
Г=(б,. 6...... w
St = О или 1 (i = 1, ... , п)
Название алгоритма Математическая запись алгоритма Примечание
Продолжение табл. 4-1
Алгоритм статистиче¬
ского градиента
- пробные шаги
—направление наилучшей пробы, при
которой Q (X* + gl*) =макс. Q (X* +
—>
+ gW> где /' = 1, 2, ... , ж, g — ве-
-»
личина пробного шага; —единичные
случайные независимые векторы; а—ве¬
личина рабочего шага
Алгоритм с поиском
по наилучшей пробе
неудачном шаге происходит не просто обратный шаг
в исходную точку, а сразу же и новый случайный шаг
из исходной точки. Алгоритм с парной пробой предпола¬
гает, что каждому рабочему шагу предшествуют два
пробных шага в обе стороны от исходной точки, а ра¬
бочий чшаг делается в ту сторону, где функция качест¬
ва Q больше. Поскольку здесь отсутствует сравнение
значений Q в пробных точках с значениями в исходной
точке, то при достижении экстремума рабочая точка
тут же уходит от него, начиная блуждать в районе цели.
Чтобы этого не случилось, можно дополнительно срав¬
нивать значения Q в пробных точках и в исходной и
двигаться в направлении увеличения Q. Если же в обоих
пробных точках значения iQ не растут, то производятся
новые пары проб в других случайных направлениях до
достижения успеха. Этот алгоритм можно считать раз¬
новидностью алгоритма с поиском по наилучшей пробе
при числе проб в серии т=2. При т—>-оо, очевидно,
направление поиска будет стремиться к градиентному.
Если наилучшее из направлений определять не после
каждого рабочего шага, а лишь после того, как движе¬
ние по наилучшему направлению, найденному из преды¬
дущей серии проб, не приводит к росту функции качест¬
ва, то поиск по наилучшей пробе превращается в стати¬
стический аналог метода наискорейшего спуска. Таким
же аналогом является и алгоритм статистического
градиента, в котором векторная сумма V при т—>-оо
совпадает с направлением градиента. Достоинством
алгоритма статистического градиента является возмож¬
ность приближенной оценки градиентного направления
даже в случае, когда число пробных шагов т меньше
числа переменных оптимизируемой функции, При т=п
и неслучайных ортогональных пробных шагах, направ-
—> —>
ленных вдоль осей координат (1, 0, ..., 0) .. . 1п (0,
0, ..., 1), алгоритм статистического градиента превраща¬
ется в обычные методы градиента или наискорейшего
спуска.
Как видно из табл. 4-1, алгоритмы случайного поис¬
ка выгодно отличаются от градиентных алгоритмов про¬
стотой программной реализации, приводящей в среднем
к более высокому быстродействию. Помимо быстродей¬
ствия, важной характеристикой любого метода оптими¬
зации. является его надежность, т. е. вероятность Р оп¬
245
ределения оптимума за определенное время Т (число
шагов N).
На рис. 4-16,а изображена плотность распределения
расстояний S, пройденных по направлению к оптимуму
за одно и то же число шагов N при оптимизации гра¬
диентным методом и методом случайного поиска [JI. 72].
Поскольку градиентный метод детерминированный, то
соответствующая плотность
вероятности выражается
дельта-функцией. Из рис.
4-16,а видно, что хотя в сред-
Рис. 4-16. Сравнение методов гра¬
диента и случайного поиска.
Плотности распределения: а — времени
достижения цели; б — пути, пройден¬
ного в направлении цели за фиксиро¬
ванное число шагов.
нем метод случайного поиска эффективнее градиентного,
тем не менее имеется конечная вероятность обратного
случая, численно выражаемая заштрихованной пло¬
щадью. То же можно сказать и о соотношении плотно¬
стей распределения времени оптимизации (числа шагов
N этими методами) одной и той же функции качества
(рис. 4-16,6).
Таким образом, можно ставить вопрос о том, какова
вероятность большего смещения к оптимуму S за дан¬
ное время (число шагов N) при оптимизации методом
случайного поиска по сравнению с градиентным мето¬
дом. Как показывают расчеты [Л. 72], эта вероятность
Ро растет при увеличении числа входных переменных п
и заданного числа шагов N (рис. 4-17).
246
Рис. 4-17. Вероятность боль¬
шей эффективности метода
случайного поиска по сравне¬
нию с градиентным.
В. АЛГОРИТМ С САМООБУЧЕНИЕМ
Характеристики алгоритмов случайного поиска могут
быть существенно улучшены путем введения самообу¬
чения в процессе поиска. Самообучение может быть на¬
правлено непосредственно на увеличение вероятности
удачного шага или же на уменьшение вероятности не¬
удачного шага, при этом предполагается, что вероят¬
ность удачного шага автоматически будет увеличивать¬
ся. Процесс самообучения основан на учете предыдуще¬
го опыта и обычно заключается в изменении
статистических свойств случайного единичного вектора
определяющего случайное направление поиска в про¬
странстве входных параметров. Поскольку заранее вид
функции качества неизвестен, то обучение начинается
в условиях равновероятности всех направлений поиска.
Следует отметить, что самообучение изменяет только
вероятность выбора направления рабочего шага, но не
решает судьбу этого шага. Поэтому самообучение может
существовать параллельно с алгоритмом случайного
поиска, 'Определяющим немедленную реакцию на пове¬
дение функции качества (судьбу шага), и, следователь¬
но, может быть использовано для оптимизации незави¬
симо от этого алгоритма. Поиск в этом случае позволяет
отыскивать глобальные экстремумы. В качестве примера
можно привести алгоритм покоординатного самообуче¬
ния с произвольным законам изменения вероятности
[Л. 72].
Если выбор положительного шага АхN по i-и координа¬
те на N-м шаге считать величиной случайной, имеющей ве¬
роятность Р1^, то эту вероятность можно поставить в зависи¬
мость от удачи поиска:
где
f (W1^) — монотонная неубывающая функция.
Если предыдущий шаг по Хг был удачным, т. е. при¬
водил к росту функции качества Q, то величина WN., а зна¬
чит, в силу свойств функции f(W") и вероятность PNt
247
увеличиваются. При неудачном шаге PNt уменьшается. Ско¬
рость изменения PNt определяется величиной 8 и является
скоростью самообучения. При 8 = 0 самообучение отсутст¬
вует и процесс поиска самообучения определяется только
основным алгоритмом поиска, например алгоритмом с нака¬
занием случайностью. Процесс изменения PNt характеризует
накопление опыта, информации о функции. Поскольку вели¬
чина РУ в процессе поиска за один шаг изменяется незна¬
чительно, то она характеризует устойчивость поиска
в i-м направлении. При уменьшении функции Q в i-м
направлении поиск будет все же в течение 'некоторого
времени продолжаться в среднем в этом же направле¬
нии, пока PNi не уменьшится до такой величины, при
которой начнут преобладать вероятности поиска в дру¬
гих направлениях. Таким образом, величине PNi можно
поставить в соответствие инерцию рабочей точки в i-м
направлении, численно характеризуемую количеством
движения mvi, где т — масса рабочей точки; Vi — ее
скорость в нм направлении. Наличие у рабочей точки
инерции позволяет ей проскакивать те локальные экс¬
тремумы («гребни», «холмы»), высота которых оказы¬
вается недостаточной для гашения инерции. Чем больше
PNi, тем больше должен быть локальный экстремум,
способный остановить движение рабочей точки в i-м на¬
правлении. Величина 6 характеризует изменение инер¬
ции за счет изменения массы (или скорости) рабочей
точки. Отсюда ясно, что при больших 6 инерция может
быстро уменьшиться, и рабочая точка остановится в не¬
значительном локальном экстремуме, а при малых б, на¬
оборот, инерция будет уменьшаться так медленно, что
даже глобальный экстремум не сможет остановить ра¬
бочую точку и поиск будет продолжаться до бесконеч¬
ности.
Г. СТАТИСТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ
ГЛОБАЛЬНОГО ПОИСКА
Большинство статистических методов поиска глобаль¬
ного экстремума можно разделить на два .типа: диффе¬
ренциальные и интегральные. К дифференциальным отно-
248
сятся методы случайного поиска с учетом на каждом
шаге «предыстории поиска», т. е. результатов поиска на
предыдущих шагах.
Отличительной чертой дифференциальных методов
поиска является получение на каждом шаге информа¬
ции о функции качества Q лишь в одной точке на осно¬
ве разности (дифференциала) значений Q в данной и
предыдущей точках, что и послужило причиной назва¬
ния этих методов. Как правило, методы этого типа реа¬
лизуются алгоритмами с самообучением, один из кото¬
рых был рассмотрен выше.
Следует отметить, что самообучение, позволяя прео¬
долевать локальные экстремумы, не может со 100%-ной
надежностью выявить глобальный экстремум. В зависи¬
мости от скорости самообучения рабочая точка может
либо остановиться в том или ином локальном экстре¬
муме, либо оказаться в глобальном экстремуме, либо
осуществлять бесконечное блуждание в пространстве
входных параметров. Оптимальная скорость самообуче¬
ния, при которой рабочая точка останавливается только
в глобальном экстремуме, очевидно, зависит от конкрет¬
ной функции качества и заранее задана быть не может.
Следовательно, в дифференциальных алгоритмах с по¬
стоянной скоростью самообучения нельзя гарантировать,
что поиск закончится в глобальном экстремуме, и необ¬
ходимо изменение скорости самообучения в процессе
поиска в соответствии с поведением функции Q. Однако
отыскание скорости самообучения, соответствующей
остановке рабочей точки в глобальном экстремуме, мо¬
жет быть произведено лишь после исследования функ¬
ции в достаточно широком диапазоне скоростей само¬
обучения, в том числе при скорости vKV, соответствующей
«проскакиванию» всех экстремумов, включая глобаль¬
ный. Очевидно, установить сам факт достижения этой
скорости можно лишь на основе безостановочного
блуждания рабочей точки теоретически в течение бес¬
конечного времени. Практически из-за ограниченности
времени поиска всегда появляется вероятность ошибки
в определении уКр, так как при неизвестной функции Q
нет гарантии, что за наблюдаемый интервал времени
поиска рабочая точка проскочила глобальный экстре¬
мум. Ошибка в определении может повлечь ошибку
в определении глобального экстремума. Таким образом,
дифференциальные методы даже при переменной скоро¬
J7—444
249
сти самообучения не могут за конечное время найти гло¬
бальный экстремум со 100%-ной надежностью.
Интегральные методы поиска глобального экстрему¬
ма отличаются от дифференциальных тем, что иссле¬
дование функции Q производится не последовательно от
точки к точке, а сразу по всей области допустимых зна¬
чений входных параметров. Для такого интегрального
исследования на каждом шаге поиска осуществляется
серия «проб» или испытаний — независимых вычислений
функций в различных точках, распределенных в области
допустимых значений по какому-либо статистическому
закону, обычно равномерному. На основе этих вычисле¬
ний производится сужение области поиска путем измене¬
ния либо самого статистического закона, либо его отдель¬
ных числовых характеристике тем, чтобы пробы на следу¬
ющем шаге группировались в районе, «подозреваемом»
на глобальный экстремум. Хотя интегральные методы
тоже практически не обеспечивают 100%иной надежно¬
сти поиска (для этого нужно производить бесконечное
число вычислений), тем не менее они представляются
предпочтительнее дифференциальных хотя бы потому,
что уже на первых шагах поиска позволяют выявить
район с высокой вероятностью нахождения в нем гло¬
бального экстремума. Ниже мы рассмотрим некоторые
алгоритмы, основанные на интегральных методах.
1. Простейший алгоритм, работающий по методу
«слепого поиска», осуществляет случайный перебор проб
в области допустимых значений параметров с запомина¬
нием максимального значения функции Q и соответст¬
вующих значений входных параметров. Очевидно, при
числе проб N—>-оо алгоритм гарантирует определение
глобального экстремума. При конечном N можно отыс¬
кать значение Q в некоторой .8-окрестности глобаль¬
ного экстремума, однако даже в этом случае необходи¬
мое число проб оказывается неприемлемо велико.
2. Дальнейшим развитием алгоритма слепого поиска
является алгоритм с концентрацией равномерно распре¬
деленных проб на (л+>1)-,м шаге около наилучшей про¬
бы на п-ш шаге поиска (Л. 62].
Идея алгоритма заключается в том, что на каждом
последующем шаге оптимизации диапазон проб по каж¬
дому йму переменному уменьшается в с> 1 раз, а центр
диапазона переносится в точку Ягмакс, соответствующую
максимальному значению функции качества на предь?-
2Щ)
Дущем шаге. При постоянйом числе проб в серии умень¬
шение диапазона проб от шага к шагу приводит к уве¬
личению плотности проб и соответствующему уточнению
экстремального значения Qmrkc. Этот алгоритм дает вы¬
сокую точность отыскания глобального экстремума при
одном существенном условии: глобальный экстремум не
должен быть утерян © процессе сужения диапазона
проб, который ниже мы будем называть интервалом по¬
иска.
На рис. 4-18 показан поиск глобального экстремума
для функции одной переменной при с = 2. Из рис. 4-18
видно, что глобальный максимум (точка А) окажется
потерянным, если на первом шаге поиска координатой
наилучшей точки будет хМакс1 (точка В) и интервал по¬
иска Дцх будет уменьшен в два раза — до значения А%х.
Выбор коэффициента с в данном алгоритме произволен,
что также составляет недостаток алгоритма. В целом
этот алгоритм плохо приспособлен для надежного отыс¬
кания глобального экстремума.
3. Рассмотрим алгоритм, отличающийся малой веро¬
ятностью потери глобального экстремума вследствие от¬
сутствия связи между наилучшим на каждом шаге зна¬
чением Q и центром распределения проб [Л. 97;].
Исходной информацией для алгоритма являются:
а) явное или неявное выражение оптимизируемой функ¬
ции качества f(xi,..хп) = Q; б) область, в которой ищет¬
ся глобальный максимум, заданная диапазонами изме¬
нения переменных хг*мин—*гмакс(*=1, 2, ..., п), в) на¬
чальное значение функции Qo, по возможности соответ¬
ствующее ее минимальному значению (рис. 4-19).
17* 251
Рис. 4-18. Поиск глобального
экстремума. Случай утери гло¬
бального экстремума.
Рис. 4-19. Поиск глобального
экстремума с малой вероят¬
ностью его утери.
В заданной области изменения аргументов (Ло^О
производится моделирование всех аргументов по равно¬
мерному закону. Для каждой совокупности случайных
значений аргументов Хъ рассчитывается значение Q и
проверяется условие Q^Qo. Если это условие 'выполня¬
ется, то испытание считается успешным, если нет — то
неудачным. Таким образом, величина Qo играет роль
порога для отбора успешных испытаний. По результа¬
там серии из N испытаний определяется QMaKc, играю¬
щее роль порога Qk (k — номер шага) на следующем
шаге оптимизации, а также минимальные и максималь¬
ные значения xiM]mи, хтакси каждой переменной Xi из
числа удовлетворяющих условию Q^Qk. Эти значения
каждой переменной определяют область изменения пе¬
ременных на следующем шаге оптимизации Ахи =
== (XiM&KCk—-^гмин/t) (/=1, 2, . . ., ft).
Из рис. 4-19 видно, что эта область меньше прежней,
т. е. в процессе оптимизации происходит сужение обла¬
сти поиска экстремума.
Если на каком-либо шаге поиска наилучшим оказа¬
лось значение Qk из окрестности локального экстрему¬
ма (например, среднего пика на рис. 4-19), то из-за
отсутствия связи между Qk и центром распределения ис¬
пытаний на следующих шагах все же будут моделировать¬
ся значения х* из окрестности глобального экстремума,
поскольку они обязательно попадут в интервал Axi зна¬
чений х^ удовлетворяющих условию Q>Qk• Поэтому
вероятность потери глобального экстремума здесь
меньше, чем в предыдущих алгоритмах. Однако если
Qk^>lQk-i, то интервал изменения аргументов AkXi ока¬
зывается значительно больше «полезного» интервала, в
котором Q^Qk и плотность успешных испытаний па¬
дает. В результате вероятность выполнения условия
^'Qk резко уменьшается и возможна потеря глобально¬
го экстремума. Чтобы этого не случилось, можно на
каждом из шагов, где число удачных испытаний (Q^
Qk) равно 0 или 1 (т. е. интервала для следующего
шага нет), уменьшать порог Qk на величину Д1 Q =
= ('Qk—Qft-О/2 и проводить на следующем шаге срав¬
нение Q^Qk+i=Qk—(Qk—Qk-1)/2 только для тех зна¬
чений аргументов, которые удовлетворяли условию
Q^'Qk-i на предыдущем шаге испытаний. Если успеш¬
ных испытаний опять нет, то порог еще раз опускается
вдвое, если есть, то испытания продолжаются по мето-
252
253
Дике, описанной выше. Оптимизация заканчивается, ког¬
да начинает выполняться условие Qk—Qk-i<e, где е—
заданная точность нахождения экстремума.
Работоспособность этого алгоритма проверялась на те¬
стовых многоэкстремальных функциях
X cos Су)2 — х2 (рис. 4-20, а) и z = хе~Ахе~ВуsinCy~\-D
(рис. 4-20,6). Постоянная С регулирует число максиму¬
мов в области допустимых значений, а постоянная В —
их величину.
Проверка показала, что для определения глобально¬
го из трех экстремумов с ошибкой не более 0,1% тре¬
буется около 5 шагов по 200—500 испытаний в серии,
причем число испытаний можно существенно уменьшить
при снижении требований к точности определения экст¬
ремального значения. Ал¬
горитм обеспечивал на¬
дежный поиск глобаль¬
ного экстремума и для
функции качества 2=
= е~А(х+у) sin Вх sin Cy+D,
представляющей собой
холмистую поверхность с
разной высотой холмов,
когда в области опреде¬
ления находилось 13 ло¬
кальных экстремумов.
Рис. 4-20. Тестовые функции для проверки алгорит¬
ма поиска глобального экстремума.
Рассмотренные случаи иллюстрируют преимущества
статистических интегральных алгоритмов перед гради¬
ентными как в отношении надежности поиска глобаль¬
ного экстремума, так и в отношении отсутствия ограни¬
чений на 'вид функции качества в смысле существования
«оврагов», «гребней» или седловых точек.
Надо отметить^ что точность определения глобально¬
го максимума уменьшается, если максимум расположен
на границе области определения, так как из-за случай¬
ного характера моделирования испытаний неизбежно
сужение области поиска по сравнению с первоначаль¬
ной. В этом случае алгоритм можно усовершенствовать
двумя путями:
1. После нахождения приближенных координат гло¬
бального экстремума XQM{mc, Уямакс, которые оказывают¬
ся вблизи границы области определения, нужно уточ¬
нить их, пользуясь предложенным методом и принимая
з качестве области допустимых значений интервалы (а,
^макс), (с, гамаке), где а и с — значения границ по х
и у, вблизи которых находится максимум.
2. Глобальный экстремум можно уточнять, исполь¬
зуя не равномерный, а нормальный закон распределения
аргументов с центром в точке ломаке, Уямакс. Экспери¬
ментальная проверка показала высокую эффективность
первого способа, который достаточно прост и дает ре¬
зультаты не хуже, чем в случае, когда максимум рас¬
положен внутри области определения.
Данный алгоритм легко использовать, если на вход¬
ные или выходные параметры накладываются ограниче¬
ния типа неравенств R(&i, ..., хп)^0. В этом случае
успешным следует считать испытание, при котором вы¬
полняется не только условие Q>Qh, но и ограничения
R{xi} . . Хп) >0.
Простота учета ограничений также выгодно отлича¬
ет этот алгоритм от градиентных.
4-4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО СТАТИСТИЧЕСКИМ
КРИТЕРИЯМ
А. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО ПРОЦЕНТУ ВЫХОДА
ГОДНЫХ СХЕМ
Во многих практических случаях при оптимизации
электронной схемы необходимо учитывать статистичес¬
кий разброс ее входных параметров Xi и рассматривать
254
их как случайные величины, характеризуемые в (первом
приближении математическим ожиданием тх и диспер¬
сией Dx. Одним из таких случаев является оптимиза¬
ция по проценту выхода годных схем Р(х), т. е. схем,
удовлетворяющих заданной .системе технических усло¬
вий работоспособности. Геометрическая интерпретация!
задачи оптимизации по проценту выхода в терминах
n-мерного пространства рассматривалась ib § 3-3.
Процесс оптимизации заключается в выборе начального
положения вектора математических ожиданий входных па¬
раметров МХ° = (тх°1, ...,тх°п) и последовательном изме¬
нении его величины и направления таким образом, чтобн
соответствующее ему значение Р(Х) увеличивалось да
достижения максимально возможной величины.
Заметим, что обычно изменение среднего значения
тх какого-либо входного параметра влечет за собой и
изменение его дисперсии Dx такое, что коэффициент
вариации
характеризующий разброс параметра около среднего
значения в процентном отношении, остается примерно
постоянным. В связи с этим при изменении вектора вхо¬
да в процессе оптимизации одновременно нужно изме¬
нять дисперсии входных параметров по формуле
Более точным является использование зависимости
дисперсии от математических ожиданий, однако такая
зависимость обычно неизвестна.
В основе методов оптимизации по любым критериям
лежит, как известно, анализ схем, который должен рас¬
сматриваться в процессе оптимизации как стандартная
подпрограм1ма. Число обращений к этой подпрограмме
за один шаг оптимизации определяет потери на поиск —
одну из основных характеристик метода оптимизации.
В случае статистического критерия оптимизации анализ
также должен быть статистическим и проводиться либо
регулярным методом (метод моментов, метод наихуд¬
шего случая), либо случайным (метод Монте-Карло).
В первом случае время анализа мало, но невелика и
255
точность анализа, во втором случае, наоборот, точность
велика, но она достигается ценой увеличения времени
анализа. При использовании регулярных методов ста¬
тистического анализа оптимизация по статистическим
критериям может осуществляться любым из рассмотрен¬
ных выше способов оптимизации, поскольку затраты
времени на анализ невелики. Использование же для
статистического анализа метода Монте-Карло практи¬
чески исключает возможность оптимизации рассмотрен¬
ными способами. Например, для определения составля¬
ющих градиента функции десяти переменных требуется
десятикратный анализ методом Монте-Карло. Если
учесть, что однократный анализ занимает десятки минут
времени, а в процессе оптимизации нужно сделать двад¬
цать— тридцать шагов, то станет ясна практическая не¬
приемлемость метода Монте-Карло для оптимизации
градиентным методом. Однако достоинства метода Мон¬
те-Карло столь велики, что отказываться от него было
бы неразумно. В связи с этим в последнее время были
разработаны алгоритмы оптимизации по статистичес¬
ким критериям, специально рассчитанные на использо¬
вание метода Монте-Карло. Например, для оптимиза¬
ции по проценту выхода можно рекомендовать следую¬
щий алгоритм [Л. 81, 68]:
или
Запись (4-25) означает, что математическими ожидания¬
ми тх^~] входных параметров схемы на я-f- 1-м шаге оп¬
тимизации являются математические ожидания тхп^ вход¬
ных параметров, вычисленные для тех схем, которые
удовлетворили всем условиям работоспособности на
предыдущем п-м шаге оптимизации.
Алгоритм (4-25) наиболее эффективно может быть
реализован методом Монте-Карло, позволяющим на
каждом шаге оптимизации выделять годные схемы и
вычислять соответствующие значения мх^.
Поясним работу алгоритма графически (рис. 4-21).
Пусть для простоты Q — двумерная область работоопр-
256
собности в плоскости входных параметров схемы xif х&
подчиняющихся произвольным законам распределения.
Каждая точка в плоскости х±, х2 соответствует одной
схеме, которая считается годной, если эта точка лежит
внутри Q, и бракованной, если точка находится за пре¬
делами Q.
Допустим также, что математические ожидания mxif
тх2 входных параметров Хи х2 выбраны на первом шаге
Рис. 4-21. Движение рабочей точки О, 01, О2 в про¬
цессе статистической оптимизации.
оптимизации неудачно и основная часть точек, характе¬
ризующих 'состояние схемы, оказалась вне области ра¬
ботоспособности Q, однако некоторая малая часть точек
лежит внутри Q. В предельном случае алгоритм требу¬
ет для своей реализации попадания хотя бы одной точки
в область Q. Значения х1у х2, соответствующие точкам
внутри Q, в процессе статистических испытаний фикси¬
руются и по прошествии заданного числа эксперимен¬
тов на данном шаге оптимизации вычисляются их сред-
* *
ние значения тх 1, тх2. На втором шаге оптимизации
в качестве математических ожиданий mxi, тх2 берутся
* *
вычисленные значения mxif тх2. Очевидно, центры рас¬
сеивания или математические ожидания выходных пара¬
метров схемы должны при этом измениться так, что
257
большая часть точек (хи х2) «окажется внутри Q и, сле¬
довательно, процент выхода годных схем повысится
и т. д. Ори этом возможны два характерных случая.
1. Размеры области работоспособности Q существен¬
но больше области разброса входных параметров, т. е.
технические условия на схему недостаточно жесткие и
можно получить 100% годных схем.
2. Размеры области работоспособности Q меньше об¬
ласти разброса входных параметров, т. е. технические
условия на схему весьма жесткие и не позволяют полу¬
чить Г00% годных схем.
В первом случае точки, характеризующие выходные
параметры схемы, концентрируются на одном краю об¬
ласти Q, не выходя за ее противоположную границу.
Алгоритм не позволяет оторваться от границ области
работоспособности, поскольку в этом случае все 100%'
схем будут годными и потеряется информация о целе-
-> *
направленном изменении MX, так как МХ=МХ на лю¬
бом шаге оптимизации. Таким образом, в рассмотрен¬
ном случае процент выхода будет стремиться к 100%,
никогда, однако, его не достигая.
Очевидно, входные параметры схемы не могут в дан¬
ном случае считаться оптимальными, поскольку сущест¬
вует потенциальная возможность разместить область
возможных значений входных параметров внутри обла¬
сти Q на максимальном удалении от ее границ. При
этом будет достигнут 100%-ный выход годных схем и
одновременно обеспечена повышенная их надежность.
Для обеспечения максимальной начальной схемной
надежности можно применить следующий прием. Искус¬
ственно увеличим в некоторое одинаковое число раз от¬
носительный разброс каждого из входных параметров,
так чтобы область Q оказалась меньше области разбро¬
са входных параметров. Тогда часть схем всегда будет
за пределами Q, а процент выхода — всегда меньше
100%. В этих условиях изменения будут такими, чтобы
обеспечить максимальный процент выхода за счет опти¬
мального расположения области вероятных значений х±,
х2 в пределах всей области Q. После того как процесс
оптимизации закончится и процент выхода при увели¬
ченном относительном разбросе входных параметров пе¬
рестанет расти, уменьшим разброс до первоначального
значения. При этом область возможных значений пара¬
258
метров резко уменьшается и вся она размещается внут¬
ри области (Q, занимая (положение, близкое к оптималь¬
ному в отношении обеспечения максимальной начальной
схемной надежности.
Следует отметить три особенности рассмотренного
алгоритма:
1) автоматический выбор рабочего шага изменения вход¬
ных параметров Дхп^ = тхп^— /юлЛ”1;
2) автоматический, без пробных шагов, выбор градиент¬
ного направления изменения входных параметров, поскольку
* *
вектор, проходящий через точки MX™ и MX1*-1, является
статистическим градиентом функции качества—процен*
та выхода годных и 'при числе испытаний N—^оо в пре<
деле совпадает с истинным градиентом;
3) возможность поиска глобального экстремума.
В рассматриваемом случае задача поиска глобально*
го экстремума значительно облегчена тем обстоятельст¬
вом, что входные параметры имеют статистический раз*
брос, в связи с чем алгоритм можно классифицировать
как интегральный. Очевидно, разброс должен перекрьь
вать всю область работоспособности Q. Глобальный экс¬
тремум такой статистической функции, как процент выхо¬
да, можно трактовать как наиболее частое попадание
в область работоспособности схем с соответствующими
значениями входных параметров. Отсюда следует, что
если <в области разброса входных параметров окажется
несколько значений входных параметров, соответствую¬
щих различным локальным экстремумам процента вы¬
хода, то в процессе оптимизации чаще всего будут
встречаться значения, соответствующие глобальному
экстремуму. Следовательно, в конце оптимизации будут
получены значения входных параметров, соответствую¬
щие глобальному экстремуму.
Структурная схема алгоритма (4-25) представлена
на рис. 4-22. На каждом шаге оптимизаций осуществля¬
ется обычный расчет схемы методом Монте-Карло (блоки
/, 2) по N статистическим испытаниям. В процессе ра¬
счета в блоке 2 накапливаются группы значений раз¬
личных входных параметров схем, прошедших все
проверки на годность. По окончании расчета в блоке 3
осуществляется вычисление средних арифметических
в каждой группе значений, соответствующих какому-ли-
259
Рис. 4-22. Алгоритм статистической оптимизации.
бо одному параметру, и новых дисперсий из условия по¬
стоянства коэффициентов вариации каждого из входных
параметров (v" =const). В блоке 4 осуществляется за¬
мена исходных числовых данных новыми, полученными
в блоке 3. Процесс повторяется до тех пор, пока 'процент
выхода перестает увеличи-
заться, о чем можно судить
визуально, выводя на пе¬
чать вычисленные вели¬
чины.
Результаты расчета по
алгоритму (4-25) схемы
триггера на МДП-транзи¬
сторах с линейными нагруз¬
ками iR (рис. 3-29) показа¬
ли, что независимо от на-:
чальных условий в процес¬
се оптимизации параметры
триггера i/?, Е стремятся к
одним и тем же величинам
(рис. 4-23), а максималь¬
260
Рис. 4-23. Движение рабочей
точки в плоскости входных па¬
раметров при статистической
оптимизации для разных на¬
чальных условий (1, 2, 3).
ный процент выхода составляет 92—98% (рис. 4-24,а).
Столь высокий процент выхода наводит на мысль, что
разброс входных параметров триггера значительно
меньше области допустимых значений. В связи с этим
была проведена оптимизация <в условиях искусственно
увеличенного разброса входных параметров (рис. 4-24,6).
После достижения максимума процента выхода (около
65%) разброс был уменьшен до своего первоначального
значения (шаг 12). При этом вся область разброса вход¬
ных параметров оказалась внутри области допустимых
значений и процент выхода стал равен 100%'.
Рис. 4-24. Изменение процента выхода годных
схем в процессе статистической оптимизации.
а — для разных начальных условий; б — в условиях
искусственно увеличенного разброса.
Максимальное время оптимизации пяти статических
■входных параметров триггера на ЦВМ БЭСМ-2М со¬
ставляло 16—20 мин.
Рассмотренный алгоритм требует для определения
процента выхода на каждом шаге серии из нескольких
сотен испытаний, занимающих много времени. Для даль¬
нейшего ускорения статистической оптимизации число
испытаний в серии можно сократить, если по ходу ана¬
лиза учитывать уже проведенные на данном шагеиспы-
261
тания. В этом случае вместо критерия «процент выхо¬
да», относящегося к партии схем, удобней рассматри¬
вать эквивалентный критерий «вероятность Р» годности
схемы, т. е. попадания в область работоспособности, от¬
носящийся /к одной схеме. Эта 'вероятность 'оценивается
в каждо'м испытании с возрастающей точностью и на¬
дежностью. Поскольку для оценки вероятности Р годно¬
сти схемы в каждом испытании учитываются результа¬
ты 'предыдущих испытаний, то общее число испытаний
для оценки вероятности Р с заданной точностью и на¬
дежностью оказывается значительно меньше, чем в ме¬
тоде Монте-Карло.
Рассмотренная идея лежит в основе метода последо¬
вательного анализа Вальда [Л. 83], использование кото¬
рого для целей проектирования электронных схем изло¬
жено в работе [Л. 84]. Пусть задана вероятность годно¬
сти схемы Р0. Проверка выполнения условий
работоспособности эквивалентна проверке выполнения
двух сложных конкурирующих гипотез: Но{Р^Ро}— ги¬
потезы годности схемы, т. е. выполнения всех условий
работоспособности, и Hi{P<Po}— гипотезы негодности
схемы. Необходимо сделать выбор между этими гипоте¬
зами. Вероятность принятия гипотезы Но, когда в дейст¬
вительности верна гипотеза Н±, обозначим через а, а ве¬
роятность противоположной ошибки (принимается Hi,
когда верно Но) обозначим через |3. Будем рассматри¬
вать результат каждого испытания схемы как случай¬
ную величину z, принимающую значение 1, если схема
годна, и 0, если схема не годна. Таким образом, веро¬
ятность годности каждой схемы pi оказывается случай¬
ной величиной, распределенной при малом числе неза¬
висимых испытаний по биномиальному закону:
где 0<Р<1 — неизвестная нам вероятность годности
схем.
Сущность последовательного анализа состоит в том,
что для каждой совокупности расчетных значений pi,
р2, ..рп можно на основе биномиального закона найти
вероятность Рг того, что они получены из совокупности
с вероятностью годности Pi^Po, и вероятность Р" того,
что они получены из совокупности с вероятностью год^
262
ности Р2<Ро. Согласно принципу максимума правдопо¬
добия на практике осуществляются события с макси¬
мальной вероятностью. Следовательно, при Р'>Р" нуж¬
но считать, что РС^Ро, т. е. параметры схемы, соот¬
ветствующие данной серии испытаний, обеспечивают за¬
данный процент выхода Р0у а при Р'<Р" нужно считать
Таким образом, принятие решения зависит от отно¬
шения правдоподобия Р"/Р'. При большом отличии его
от единицы можно принимать решение Р2<Ро или
Pi^Po, если же отношение близко к единице, то испы¬
тания надо продолжать.
Точная величина отношения, при котором можно
принимать решение, зависит от заданных вероятностей
ошибок аир. Как показал Вальд, при P"/Pf^. )р/(1—'а)
можно считать P{^P§, а при Р"[Р'^(\—р)/а можно
считать Р2<Ро. Если р/(1—а)<Р"/Р\ то принимать ре:
шение нельзя. Так как в процессе испытаний а и р
постоянны, меняется лишь отношение P"iP', то в послед¬
нем случае испытания надо продолжать до тех пор, по¬
ка отношение правдоподобия не позволит принять опре¬
деленное решение.
Последовательный анализ позволяет на порядок
уменьшить число испытаний в серии по сравнению с ме¬
тодом Монте-Карло. Однако в рассмотренном случае
определяется лишь соответствие параметров схемы за¬
данному значению Ро вероятности годности схемы, а не
само значение Ро, как в методе Монте-Карло. Примене¬
ние последовательного анализа для определения направ¬
ления изменения параметров схемы с целью повышения
величины Ро требует дополнительных исследований.
Б. ОПТИМИЗАЦИЯ ПО УСЛОВИЯМ
ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ
От условий работоспособности схемы следует отли¬
чать условия взаимозаменяемости. Условия работоспо¬
собности контролируют годность данной схемы без учета
возможности ее стыковки с другими схемами. Однако
не всякая схема, удовлетворяющая условиям работоспо¬
собности, может быть состыкована с себе подобными,
поскольку выходные токи и напряжения данной схемы
могут не обеспечить срабатывание схем, подсоединяе¬
мых к ее выходу, а пороговые значения токов и напря-
263
жений (уровни срабатывания) могут оказаться столь
высокими, что данная схема не сможет работать со
схемами, подсоединяемыми к ее входу. В связи с этим
контролю должны подвергаться не только условия ра¬
ботоспособности, но и стыковочные параметры: уровни
пороговых и выходных токов и напряжений. Под усло¬
виями взаимозаменяе¬
мости будем понимать
совокупность у с лов и и г
обеспечивающих воз¬
можность стыковки
данной схемы с други¬
ми схемами того же
или другого типа, или,
что то же, возможность замены данной схемы,
работающей в составе какого-либо узла, любой другой
схемой того же типа. Таким образом, условия взаимоза¬
меняемости призваны обеспечить 100%-ную взаимоза¬
меняемость схем в случае их выхода из строя. Различе¬
ние условий работоспособности и условий взаимозаме¬
няемости особенно необходимо для интегральных схем.
В качестве примера рассмотрим большую интегральную
схему (БИС), представляющую собой функциональный
узел — сдвигающий регистр, состоящий из цепочки ста¬
тических триггеров Tpi, . .., Трп (рис. 4-25).
Каждый «внутренний» триггер, не имеющий внешних
выводов, должен удовлетворять лишь условиям работо¬
способности и стыковаться лишь с двумя триггерами —
предыдущим и последующим, но не с любым предыду¬
щим и любым последующим, так как взаимозаменяе¬
мости здесь не требуется. В то же время триггеры Tpi
и Трп, имеющие внешние выводы, должны удовлетво¬
рять как условиям работоспособности, так и условиям
взаимозаменяемости, поскольку их стыковочные пара¬
метры: пороговые токи и напряжения Tpi и выходные
токи и напряжения триггера Трп, должны находиться
в пределах, общих для всех БИС в данной серии.
Только в этом случае можно гарантировать 100%-ную
взаимозаменяемость БИС.
Обычно условия работоспособности — технические
требования — задаются заказчиком схем и не могут из¬
меняться изготовителем схем. При этом заказчик мол¬
чаливо предполагает, что все поставляемые схемы вза¬
имозаменяемы, однако условий взаимозаменяемости,
264
Рис. 4-25. Большая интегральная схе¬
ма (БИС).
выраженных в ввде границ, в которых должны нахо¬
диться стыковочные параметры, обычно не задает. Чаще
всего заказчиком задается помехоустойчивость, опреде¬
ляемая разностью уровней стыковочных параметров,
право же задавать абсолютные значения уровней сты¬
ковочных параметров предоставляется изготовителю
схем. Между тем от этих уровней существенно зависит
процент выхода, например, годных схем на МДП-тран¬
зисторах (рис. 4-26). Напряжение иСтп, снимаемое с вы¬
хода открытого плеча оконечного ключа одной БИС,
должно обеспечить запирание транзистора первого клю¬
ча любой другой БИС,
подсоединенной к вы¬
ходу данной. Для это¬
го необходимо ввести
некоторое граничное
напряжение агр такое,
что условием взаимо¬
заменяемости схем,
обеспечивающим запи¬
рание транзистора Тi,
будет выполнение не¬
равенств:
<ит. (4-26)
Так как обычно
£»t/o, то проверку ус¬
ловий отпирания Т1
можно не производить.
Отметим, что если бы
взаимозаменяемости не
требовалось, то доста¬
точно было бы выпол¬
нение условия UCt<Uq,
причем в рамках этого
условия ист и Uo могли
бы принимать любые
значения, не связанные
с г/Гр. Это условие было
бы достаточным для
стыкования ключей
внутри одной БИС.
Процент выхода
существенно зависит
от выбора величины
18—444
Рис. 4-26. К понятию оптимизации
по условиям взаимозаменяемости.
Рис. 4-27, Определение оптпмальноГг
границы отбраковки по условиям
взаимозаменяемости.
26 Б
мГр. Чтобы пояснить это, обратимся -к 1рис. 4-27,а,
на котором изображены плотности распределения
Ф'(Ист) и ф(£/0). Обычно эти распределения перекрывают
друг друга. Если в качестве итр взять математическое
ожидание milо, то получим значительный процент брака
по |[/0 за счет того, что транзисторы с Uo<mUo следует
считать негодными, если же в качестве итр взять тист,
то будет велик процент брака за счет ист>тист.
Проведем на рис. 4-27, а сечение u?v и рассмотрим
вероятности брака из-за нарушения условий взаимоза¬
меняемости P(uCT>urv) =4—P(uCT<urv) и POt/oCMip)
(заштрихованные площади). При увеличении uTV эти ве¬
роятности будут изменяться так, как показано на рис.
4-27,6. Очевидно, в качестве аГр.опт следует выбрать та¬
кое Игр, при котором сумма этих вероятностей была бы
минимальной (рис. 4-27,в).
На практике для определения иГр.опт вместо теорети¬
ческих распределений Kpi (ист) и ф('^о) можно использо¬
вать их гистограммы.
Отбраковка по условию взаимозаменяемости (4-26)
не предусматривает запаса помехоустойчивости Аи. Для
его обеспечения нужно ввести значения и?р.Мин и игр.макс,
такие ЧТО ^гр.макс—Игр.мин = Д'И, и проводить отбраковку
годных схем по условиям
Рассмотренный пример весьма типичен для случаев,
когда необходимо оптимизировать границы отбраковки
стыковочных параметров. В дальнейшем эти границы бу¬
дем называть стыковочными тестами. Отметим, что ве¬
личина стыковочных тестов никак не влияет на условия
работоспособности схемы и ее 1входные параметры, ска¬
зываясь лишь на той части процента выхода, которая
обязана условиям взаимозаменяемости. Рассмотрим за¬
дачу оптимизации стыковочных тестов, т. е. минимиза¬
ции брака по условиям взаимозаменяемости, при усло¬
вии, что параметры схемы и их статистические харак¬
теристики постоянны. Эта задача легко решается
в рамках алгоритма статистического анализа схемы ме¬
тодом Монте-Карло. Пусть *rpi, , xrvn — стыковочные
тесты, «е зависящие друг от друга. В этом случае общий
процент брака по условиям взаимозаменяемости являет¬
ся суммой процентов брака, обязанных каждому стыко-
266
вочному тесту в отдельности, так как одна и та же схема
не может быть одновременно забракована по нескольким
тестам в силу их независимости.
Оптимизация стыковочных тестов осуществляется гра¬
диентным методом с использованием парных проб. Для это¬
го выберем начальные значения^тестов лг° , а также малые
приращения Ахгр1-. В процессе расчета в каждом испыта¬
нии последовательно осуществляется сравнение стыковочных
параметров Xi с тремя соответствующими стыковочными
тестами л:° ; + Ахгр t-; x°^t—Ахтр * и по результатам
серии испытаний вычисляются проценты брака по
каждому стыковочному параметру для трех значений
стыковочных тестов (рис. 4-28). Отметим, что каждое
испытание продолжается до 'конца независимо от ре¬
зультатов проверки схемы по очередному тесту. Очевид¬
но, в следующей серии
испытаний в качестве
х1^ выбирается то
значение стыковочного
теста, при котором
процент брака в соот¬
ветствующем счетчике
брака минимальный.
Выбор шага по xTVi мо¬
жет производиться в
соответствии либо с
методом градиента,
либо с методом наи¬
скорейшего спуска. Не¬
трудно заметить, что в
изложенном алгоритме
составляющие градиен¬
та определяются па¬
раллельно за одну се¬
рию испытаний и неза¬
висимо друг от друга.
Рассмотренный слу¬
чай независимости
тестов довольно редок,
гораздо чаще стыковочные тесты взаимозависимы.
Такая зависимость может быть либо явной, когда
один стыковочный тест выражается через другие стыко¬
вочные тесты, либо неявной, когда процент выхода по
18* 267
Рис. 4-28. Схема типовых проверок
ib случае оптимизации взаимно неза¬
висимых тестов (последовательный
алгоритм оптимизации).
одному стыковочному тесту зависит не только от значе¬
ния другого стыковочного теста, но и от параметров
схемы, не подвергающихся тестовому контролю. Явная
зависимость появляется обычно в сложных разветвлен¬
ных схемах. Например, в логической схеме (рис. 4-29)
выходной ток /вых транзисто¬
ра То равен сумме базовых
токов Iб транзисторов Tiy ...
..., Тп. Если требуемая сте¬
пень насыщения транзисторов
7i, ..., Тп различна, то тест
/вых.гр равен 'сумме тестов
/б1гр, ../бпгр. Влияние явной
зависимости стыковочных те¬
стов на взаимозаменяемость
устраняется путем рассмотре¬
ния наихудшего случая, т. е.
такого сочетания режимов сты¬
куемых схем, при котором наи¬
более тяжело обеспечить сра¬
батывание последующих схем
от предыдущих. Так, в схеме
на рис. 4-29 наихудшим слу¬
чаем будет режим, когда тран¬
зисторы Ti, ..., Тп насыщены и
потребляют максимальные ба¬
зовые токи, а закрытый тран¬
зистор Г0 обеспечивает ми¬
нимальный выходной ток.
Следовательно, стыковочные
тесты в наихудшем случае связаны уравнением
Отбраковка по условиям взаимоза-
1
меняемости, производимая в режиме наихудшего случая
на внешних зажимах схемы, позволяет гарантировать
взаимозаменяемость во всех остальных промежуточных
случаях. Следует особо подчеркнуть, что под наихуд¬
шим случаем здесь понимается лишь качественное соче¬
тание режимов стыкуемых схем (открыт и потребляет
максимальный ток, закрыт и потребляет максимальный
ток и т. д.), а не конкретные числовые характеристики
этих режимов. Определение же количественного содер¬
жания наихудшего случая, например численных величин
Рис. 4-29. Ключевая схема
с разветвлением по выходу.
268
Iвых.мин? /бгмакс в предыдущем примере, производится на
основе оптимизации стыковочных тестов таким образом,
чтобы обеспечить минимум брака по условиям взаимо¬
заменяемости. При ЭТОМ величины /вых.мин, /бгмакс МОГуТ
и не принять (и обычно не принимают) своих наихудших
крайних значений, определяемых законами распределе¬
ния этих параметров.
В связи с этим рассмотренный наихудший случай
можно назвать алгебраическим, или относительным,
в отличие от абсолютного, когда используются действи¬
тельно наихудшие крайние значения параметров.
Неявная зависимость стыковочных тестов имеет
обычно статистический характер, проявляющийся в том,
что взаимозависимы не сами тесты,
а определяемые ими статистические
величины—проценты брака по каж¬
дому тесту. Так, в схеме на рис. 4-30
процент брака по выходному тесту
Ивых<Игр.вых зависит от входного
теста иВх>^вх.гр. При статистиче¬
ской зависимости тестов одна и та
же схема может быть забракована
одновременно по нескольким тестам.
Оптимизация зависимых стыко¬
вочных тестов должна проводиться
с учетом их явной и неявной зависи¬
мостей. Явные зависимости те¬
стов играют при этом роль ограни¬
чений типа равенств. В общем случае, когда стыковоч¬
ные тесты 'связаны явной зависимостью XiTV=f(XiiV, ...
. . ., Х{—1гр, ^г+1гр, • • •> -^пгр), 3 МеЖД’у ТбСТаМИ #1гр, • • ., %i—1гр»
*7+irp, ..xnvv имеется неявная статистическая зависи¬
мость, для оптимизации тестов нужно в процессе серии
испытаний методом Монте-Карло «испробовать» все ком¬
бинации тестов (рис. 4-31).
'Процесс проверки тестов по этой блок-схеме может
быть организован по-разному. Можно проверять комби¬
нации тестов последовательно, переходя после вычисле¬
ния процента выхода для данной комбинации к следую¬
щей, однако этот способ требует много времени. Более
быстрым является способ, когда в случае неудовлетво¬
рения схемы тесту из какой-либо комбинации, проверка
не начинается сначала для этой же комбинации (но при
новых параметрах схемы), а продолжается по тем ком¬
269
Рис. 4-30. Ключ на
МДП-транзисторе.
бинациям тестов, в которых еще не было брака. Оче¬
видно, 'число возможных комбинаций равно 2п и каждой
комбинации будет соответствовать свой процент выхода.
Каждую комбинацию тестов можно рассматривать как
направление движения в пространстве тестов с целевой
функцией — процентом выхода. Наилучшее направление
соответствует максимальному проценту выхода, поэтому
в следующей серии испытаний схемы подвергаются кои-
Рис. 4-31. Схема тестовых проверок в случае оптимизации взаимно-
зависимых тестов (параллельный алгоритм оптимизации).
тролю по той из комбинаций тестов, которой соответст¬
вовал наибольший процент выхода в предыдущей серии.
Рассмотренную схему оптимизации зависимых тестов
можно назвать параллельной в отличие от последова¬
тельной 'схемы для независимых тестов на рис. 4-28.
Основное различие между ними состоит в том, что на¬
правление изменения тестов в последовательной схеме
определяется по проценту брака для каждого теста в от¬
дельности, а в параллельной схеме — по проценту брака
для комбинации тестов.
В. ОПТИМИЗАЦИЯ КОСВЕННЫХ ТЕСТОВ
Условия работоспособности схемы задаются заказчи¬
ку потребителем в виде неравенств относительно выход¬
ных параметров: мощности, нагрузочной способности
270
й т. д. Между тем 'прямая проверка условий работоспо¬
собности “путем непосредственного измерения выходных
параметров весьма трудоемка, а в ряде случаев вообще
невыполнима. Поэтому на практике вместо выходных па¬
раметров контролю подвергают связанные с ними и лег¬
ко измеряемые токи и напряжения. Например, вместо
прямого изменения мощности Р9 потребляемой транзи¬
стором в ключевой схеме, можно измерить напряжение
на его коллекторе U и потребляемый ток /. Поскольку
Р = Щ, то вместо отбраковки схем по условию Р<
<Рдоп.макс МОЖНО ОТбраКОВаТЬ ИХ ПО условиям U<]U^ou-,
/<j/flon, ГДе t/доп/ доп — Р доп.макс* Тесты по токам и напря¬
жениям, функционально связанным с выходными пара¬
метрами схем, будем называть 'косвенными, в отличие
от прямых тестов непосредственно по выходным пара¬
метрам или по условиям 'взаимозаменяемости.
Очевидно, существует бесчисленное множество пар
Значении /доп, t/доп, таких ЧТО /доп^доп==/)доп.макс, при
этом каждой паре значений при отбраковке будет соот¬
ветствовать свой процент выхода.
Поскольку в схеме число измеримых токов и напря¬
жений обычно меньше числа выходных параметров, то
тесты на одни и те же токи и напряжения могут быть
функционально связаны с разными 'выходными пара¬
метрами. Например, тест для напряжения на коллекторе
открытого транзистора t/<l[/AOn помимо обеспечения за¬
данной потребляемой транзистором мощности обеспечи¬
вает заданную амплитуду импульса ключа t/M =
— Е 1U ДОП^>,£^ м .доп.мин* При этом может оказаться, что
выбор .величины 't/доп обеспечивает малый процент брака
при отбраковке по амплитуде по одному тесту на мощ¬
ность Ц<идоп, но дает большой процент брака по вто¬
рому тесту на мощность /</доп=/)доп.макс/^/доп, опреде¬
ляемому первым тестом Uдоп.
Таким образом, возникает задача оптимального вы¬
бора значений косвенных тестов, обеспечивающих мини¬
мальный процент брака при заданных неизменных требо¬
ваниях на выходные параметры схемы. Эта задача мо¬
жет быть решена аналогично задаче оптимизации вы¬
бора зависимых стыковочных тестов.
Действительно, выражения выходных параметров че¬
рез косвенные тесты можно рассматривать как уравне¬
ния явной зависимости тестов, а зависимость процента
выхода по одному косвенному тесту от значений других
271
тестов — как их неявную статистическую зависимость.
В этих условиях для оптимизации системы стыковочных
тестов нужно использовать параллельную схему оптими¬
зации (рис. 4-31). В соответствии с этой схемой нужно:
1. Предварительно написать уравнения связи стыко¬
вочных тестов с каждым выходным параметром для ал¬
гебраически наихудшего случая.
В рассмотренном примере эти уравнения имеют вид:
Где t/макс» /макс> Емин— ТеСТЫ| -Рдоп.макС) ^м.доп.мин — 33-
данные выходные параметры.
2. Далее нужно задаться произвольными значениями
части косвенных тестов, причем число тестов, которым
заданы произвольные значения, должно быть меньше об¬
щего числа тестов на число уравнений связи с выходны¬
ми параметрами. В данном случае можно задать произ¬
вольное значение лишь одному из трех тестов, например,
^макс, так как два остальных теста определяются урав¬
нениями (4-27).
3. Последним этапом является составление схемы оп¬
тимизации тестов в соответствии с рис. 4-31. В данном
случае эта схема должна включать последовательные
проверки:
В результате оптимизации получим систему косвен¬
ных тестов t/CC/макс, /</макс, Е>Ештт где границы от¬
браковки i/макс, /макс, £мин обеспечивают максимальный
процент выхода схем, удовлетворяющих заданным
условиям работоспособности Р<Рдоп .макс’» и*>и м.доп мин»
Рассмотренный способ позволяет, в частности, повы¬
сить процент выхода интегральных схем без изменения
технологического процесса их изготовления.
Однако возможности повышения процента выхода не
исчерпываются оптимизацией косвенных тестов. В рабо-
272
(4-27)
те |[JI. 102] предложен алгоритм, в котором повышение
процента выхода осуществляется одновременно как за
счет оптимизации стыковочных и косвенных тестов, так
и за счет оптимизации входных параметров схемы при
неизменных требованиях к ее выходным параметрам.
Таким образом, в результате оптимизации достигается
наивысший для данных условий работоспособности про¬
цент выхода годных схем.
ЛИТЕРАТУРА
1. Степаненко И. П. Основы теории транзисторов и тран¬
зисторных схем. iM., Госэнергошдат, ,Г9'63.
2. Эбере Д., Молл Д. Характеристики транзисторов на боль¬
ших сигналах. — В кн.: Вопросы радиолокационной техники. М.,
1955, т. 4.
3. Фрол кин В. Т. Импульсные устройства, Машиностроение,
1966.
4. Дени эл М. Е. Разработка математических моделей полу¬
проводниковых приборов для анализа схем с помощью вычислитель¬
ных машин. Proc. IEiEE, 1967, № lil.
5. L i n v i 11 G., Lumped models of transistors and diodes. Proc.
IRE, 1958, v. 46, p. 949, June.
6. В e d d о e s M. P. Some comments on Linfvill’s lumped models
for semiconductor devices. Electronics Record, il965, August, № 4.
7. Б e д д о з М. P. Модели ячеек Линвилла и упрощенная мо¬
дель. Proc. ГВЕЕ, 1965, № 5.
8. Hamilton D. J., L i n d h о 1 m F. A., N a r u d J. A. Compa¬
rison of large signal models for junction transistors. Proc. IEEE,
1964, iNb 8.
9. Malmber g A. F. NET — I gets an «А» for accuracy Electr}-
nics, 11967, № 3.
10. Ллойд P. Более простая модель транзистора. Proc. IE'EE,
1965, № 5.
lil. Гольденберг Л. М. Теория и расчет импульсных
устройств на полупроводниковых приборах. «Связь», 1969.
12. В е a f о у R., S р а г k е s J. J. The junction transistor as a
charge controlled device. ATE Journal, 11957.
ГЗ. А г a x а н я н Т. М. Переходный процесс в полупроводнико¬
вом ключе при его запирании. — В кн.: Полупроводниковые приборы
и их применение. Под ред. Я. А. Федотова. «Советское радио», М.,
1963, вып. ilQ.
14. М а к и м о т о Т. Упрощенное представление полупроводни¬
ковых диодов -и триодов путем выбора параметров модели. Proc.
IEEE, 1968, № 7.
45. Молчанов А. А., Ходош Л. С. Влияние зависимости
подвижности от поперечного поля на характеристики МДП-тран-
зисторов, — «Известия вузов СССР. Радиоэлектроника», 11970, '№ 7.
16. Галицкий В. А. Модель диффузионного триода. «Известия
вузов СССР. Радиоэлектроника», il963, № 3.
17. Hof stein S. R., H e i m a n F. P. The silicon insulated-gate
field effect transistor. Proc. of the IEEE, 1963, v. 51, p. 1190.
18. IR e d d i V. G. K-, !S a h С. T. Source to drain resistance beyond
pinch-off in MOST’s IEEE Transact, on El. Dev. ED-42, Д965, N° 3,
274
19. Й a h С. Т. «Characteristics of the iMOST’s. 1БЁ1Ё Transact oil
El. Dev., ED-ill, 1964, № 7.
20. Ильин В. H. Об аппроксимациях вольт-амперных характе¬
ристик МДП-транзисторов.— «Приборы и системы управления»,
1968, № 7. j v •
21. Van Nielen J. A., Memelink О. W. The influence of the
substrate upon the dc characteristics of silicon MOS-transistors. Phi¬
lips 'Res. iReports, 1967, v. 22, '№ 1.
'22. 'S a h С. Т., P а о H. C. The effects of fixed bulk charge on the
characteristics of iMOS-transistors. Transact, on «El. Dev., )BD-3, 1966,
№ 14.
'23. Байков В. Д., 'Кармазинский А. Н., Н е м ч и-
н о в В. Ж. Влияние потенциала подложки на вольт-ампериые харак¬
теристики |МД|П-унитрона. — «Известия вузов СССР. Радиоэлектро¬
ника», (1969, '№ 5.
24. «Кононов Б. И., Сидоров А. С. Туннельные диоды и их .
применение в триггерах. — В кн.: Полупроводниковые приборы и их
применение. Под ред. Я. А. Федотова, 1961, № 7.
'25. Т а р и а и К. Линейно-гиперболическая аппроксимация вольт-
амперной характеристики туннельного диода. Proc. IEE'E, 1963, № il.
26. Дмитриев А. В. Об аппроксимации вольт-амперных ха¬
рактеристик туннельных диодов. — «Известия вузов СССР. Радио¬
электроника», 1964, № 5.
27. Шварц И. 3., Логинова И. М. 'К вопросу об аппрокси¬
мации вольт-амперной характеристики туннельных диодов. — «Радио¬
техника и электроника», 1968, № 10.
08. Карлин с кий В. Г. Об аналитическом представлении ста¬
тической вольт-амперной характеристики туннельного диода. — «Тру¬
ды учебных институтов связи», 1967, вып. 33.
29. Блейкардт В. Модель туннельного диода для программы
NET-1. ТИИЭР, 1968, LNb 7.
60. Агаханян Т. М. Расчет микроэлемента с распределенными
#С-,звеньями. — «Радиотехника», 1963, т. 18, № 10.
31. М а р к о с я я 9. Г. Переходные характеристики и расчет
тонкопленочных неоднородных RC-структур с распределенными па¬
раметрами. — В кн.: Микроэлектроника. «Советское радио», 1967,
№ il.
32. Кильметов Р. С., Механцев Е. Б. Переходные ха¬
рактеристики распределенных однородных Я-С-ВД-структур. — «Ра¬
диотехника», 19'67, т. '2, № !1.
'33. Норенков И. П. и др. Программа анализа электронных
схем на ЦВМ. — «Вопросы радиоэлектроники. Сер. ЭВТ», 1968,
вып. 5, ЛГ° 7.
34. Анализ и расчет интегральных схем. Под ред. Д. Линна
и др. Пер. с англ., «Мир», 1969, ч. 1.
35. Hodges D. A., Shichman Н. «La-rge signal insulated-gate
field-effect transistor model for computer circuit simulation. ISSOC
Dig. Tech. Pap., Philadelphia, Pa., 1968.
>36. Колосов А. А., Горбунов Ю. И., Наумов Ю. Е. По¬
лупроводниковые твердые схемы. «Советское радио», 1965.
37. И ц х о к и Я- С. Импульсные устройства. «Советское радио»,
1959.
138. К у Е. С., Р о р е р Р. А., (Применение метода -переменных,
характеризующих состояние к анализу цепей. ТИИЭР, 1965, № 7.
275
39. М э з о ih С., Циммерман Г. Электронные цепи, сигналы
и системы. Пер. с англ. Изд-во иностр. лит., 1963.
40. С и г о р с к и й ‘В. П. Матрицы и графы в электронике. «Энер¬
гия», 1969.
41. F. Н. В г a n i n Jr. DC and transient analysis of networks using
a digital computer. IRiE Mernat. Convent. Record, 1962, pt. 2.
42. С a 1 a h a n D. A. Computer-aided network design. McGrew-
Hill Book Company, il968.
43. Б p э н и н Ф. Методы анализа цепей с помощью вычислитель¬
ной машины. Proc. (ШЕЕ, )1967, т. 55, |№ 11.
44. В a s h к о w Т. R. The A matrix new network concept, IRE
Trans. Circuit Theory, 1957, v. CT—4.
45. И л ь я н В. Н., Н е п л е х о в и ч В. И. Анализ нелинейных
схем на ЦВМ. XXX Всесоюзная сессия НТОР0С им. А. С. Попова,
Тезисы докладов, М., 1971.
46. D е s о е г С. А., К a t z е n е 1 s о n J. Nonlinear networks. The
Bell System Techn. Journal, il965, v. 44, № 1.
47. В г у a n t P. R. The explicit form or Bashkow’s A matrix.
IRiE Transact, on Circuit Theory, 1962, v. CT—9.
48. S e d о r e S. R. Sceptre: Programm for automatic network
analysis. IBM Journal of Research and Development, {1967, v. 11, i№ 6.
49. Roth J. P. An application of algebraic topology ;to numeri¬
cal analysis: on the existence of a solution to the networks problem.
Proc. Nat’l Acad. Sciences, 1955, v. 41, p. 5,18—521.
50. P e з а Ф., Сили С. Современный анализ электрических це¬
пей. Пер. с англ. М., «Энергия», 1964.
51. Макаров И. П. Дополнительные главы математического
анализа. Учпедгиз, 1961.
52. Демидович Б. М., М а р о н И. А. Основы вычислительной
математики. Физматгиз, il963.
53. В г a n i n F. A fast raliable iteration method for DC analysis
of nonlinear networks. Proc. IEEE, 1967, v. 55, № 11.
54. Бондаренко В. M, Вопросы анализа нелинейных цепей.
«Техшка», Киев, 1967.
55. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Э. 3.
Численные методы анализа. Физматгиз, 1962.
56. К а м к е Э. Справочник по обыкновенным дифференциаль¬
ным уравнениям. Физматгиз, «1961.
57. Г у т е р Р. С., О в ч и н с к и й Б. В. Элементы численного ана¬
лиза и математической обработки результатов опыта. Физматгиз,
1962.
08. Приближенные методы решения дифференциальных и инте¬
гральных уравнений. Справочная математическая библиотека. «Нау¬
ка», 1965.
59. Дымарский Я. С. и др. Справочник программиста. Суд-
промгиз, 1963, т. 1.
60. Эльсгольц JI. Е. Дифференциальные уравнения и вариа¬
ционное исчисление. к<Наука», 1965.
61. Цып кин Я. 3. Теория импульсных систем. М., Физматгиз,
1958.
'62. Каган Б. М., Тер-Микаэлян Т. М. Решение инженер¬
ных задач на ЦВМ. М., «Энергия», 1964.
63. Каннингхем В. Введение в теорию нелинейных систем.
Пер. с англ. М., Госэнергоиздат, 1962.
276
Ф4. Ш о р Я. £>. Статистические методы анализа и контроля ка¬
чества и надежности. '«Советское радио», 1962.
65. Голенко Д. И. Моделирование и статистический анализ
псевдослучайных чисел «а ЭЦВМ. М., «Наука», 1965.
'66. Бусленко Н. П., Голенко Д. И. и др. Метод матема¬
тических испытаний. — Справочная математическая 'библиотека. М.,
Физматгиз, 1962.
67. Креденцер Б. П. и др. Решение задач надежности и
эксплуатации на универсальных ЭЦВМ. «Советское радио», il967.
68. Ильин В. Н. Статистический расчет и оптимизация тригге¬
ров на МДП-транзисторах.— «Известия вузов СССР. Радиоэлектро¬
ника», 11970, iNb 6.
69. Никола е© А. В., -П а р а т о в Г. М. К вопросу о статисти¬
ческом методе расчета логических схем с непосредственной связью.—
В кн.: Полупроводниковые приборы и их применение. Под ред. Фе¬
дотова Я. А. '«Советское радио», 1966, вып. 'Г5.
70. Белов Б. Н., Норенков И. П., Иванов С. Р. Метод
расчета допусков статических и динамических параметров электрон¬
ных схем. — «Приборы <и системы управления», 1968, № 3.
71. Ермолаев Ю. П. Методика выбора наилучшего варианта
электронной аппаратуры. — «Известия вузов СССР. Радиоэлектро-’
ника», .1969, № 111.
72. Р а с т р и г и н Л. А. Статистические методы поиска. М.,
«Наука», 1968.
73. iP а с т р и г и я Л. А. Случайный поиск в задачах оптимиза¬
ции многопараметрических систем. Рига, «Зинатне», 1965.
74. Ка н т о р о в и ч Л. В. О методе наискорейшего спуска. ДАН,
1947, 56, !Nb 3.
75. Уайльд Д. Дж. Методы поиска экстремума. Пер. с англ.
М., «Наука», 1907.
76. F 1 е t с h е г R., Р о w е 11 М. J. D. A rapidly convergent des¬
cent method for minimization. Computer Journal, 11963, y. 6, p. 163—
168.
77. T e м e ш Г., К а л a x а н Д. Машинная оптимизация электри¬
ческих цепей. — Труды института инженеров по электротехнике и ра¬
диоэлектронике». Пер. с англ., 1967, т. 55, № 11, стр. 65—98.
78. Хедли Дж. Нелинейное и динамическое программирование.
М., «Мир», 1967.
79. С т а х о в с к и й Р. И. Метод из охр он в решении задач опти¬
мального управления. М., «Энергия», '19'67.
80. Гельфанд И. М., Цейтлин М. П. Принцип нелокального
поиска в системах автоматической оптимизации. ДАН, 1961, т. 137,
№ 2.
81. Разработка методики статистического расчета многофунк¬
циональных схем на МДП-транзисторах. Научно-технический отчет,
МАИ, январь, 1968.
82. Александров В. М., Сысоев В. И., ШемеиеваВ.В.
Стохастическая оптимизация систем. — «Известия АН СССР. Техни¬
ческая кибернетика», '1968, № 3.
83. Вальд А. Последовательный анализ. Физматгиз, 1960.
84. Б а т и щ е в Д. И. Оценка работоспособности электронных
схем в процессе проектирования. — «Известия вузов СССР. Радио¬
электроника», 1970, № 3.
85. Коню с А. А. Относительно преобразования любого закона
к нормальному. — В кн.: Вопросы статистического измерения связей
277
МёЖДу йвлениями. Под ред. Струмилила С. Г. М., ГосэнергоизДат*
1950.
86. С и горский В. П. От редактора. «Известия вузов ССОР.
Радиоэлектроника», 1968, № .Ы.
87. Wall Н. М. Flexibility is ECAP’s forte. Electronics, 1967;
№ 2.
88. Katzenelson J. AEDNlET: a simulator for nonlinear net¬
works. Proc. HEEiE, 1966, v. 54, iNb lil.
89. Carpenter R. iNASAP: Network analysis for system appli¬
cations program. Computer-aided circuit design seminar sponsored
by NASA/IEiRiC. Cambridge, Mass., 1967.
90. Happ W. W., NASAP: present capabilities of a maintained
program. Proc. Conf. Analysis of Circuits with Digital Computer, Nat.
Univ. Mexico, Mexico City, June 1967. 7
91. Kobylarz T. J. The application of the NASAP program in
the analysis of nonlinear networks. Progress Report Submitted to the
Design Criteria Branch 'Electronics 'Research Center, NASA, Cambridge,
Mass., ,1967.
92. H e r s k о w i t z G. J. Computer-aided integrated circuit de¬
sign. MoGraw — Hill Book Company, iNew-York, 1968.
93. iDickhaut R. D. CIRCUS, a digital computer program for
transient analysis of electronic circuits. Computer-aided circuit design
seminar, IM.I.T., Cambridge, Mass. seminar pros, published by
NASA/ElRC, April '1967.
'94. Парфенов В. П. и др. Автоматизация анализа электрон¬
ных схем. Первая конференция по применению методов машинного
проектирования. Тезисы укладов. М., il969.
95. Строю В. К. Универсальная программа машинного анализа
микроэлектронных схем. Первая конференция по применению мето¬
дов машинного проектирования. Тезисы докладов. М., 1969.
96. Ильин В. Н. Расчет ключевых и триггерных схем на
МДП-транзисторах. Первая конференция по применению методов
машинного проектирования. Тезисы докладов, М., 1969.
97. Ильин В. Н., Камнева Н. Ю. Алгоритм поиска гло¬
бального экстремума. XXX Всесоюзная сессия НТОРЗС им. А. С. По¬
пова. Тезисы докладов, 1971.
98. Шерстнев В. В. и др. Оптимальный расчет параметров
электронных схем. Первая конференция по применению методов ма¬
шинного проектирования. Тезисы докладов, М., 1965.
99. Ильин В. Н. Статистический анализ и оптимизация симме¬
тричных триггеров на МДП-транзисторах. Первая конференция по
применению методов -машинного проектирования. М., *1969.
1100. Землянский В. М., Донн ер Б. Л. Использование ме¬
тода математического моделирования для расчета оптимальных ком¬
понентов и тестовых параметров цифровых логических схем. Первая
конференция по применению методов машинного проектирования. М.,
1969.
101. S,a n»d b е г g 'I. W., Shichman H. Numerical integration
of systems of stiff nonlinear differential equations. The Bell System
Technical Journal, 1968, v. 47, April, '№ 4.
-102. Землянский В. М. Оптимизация ИС методом статисти¬
ческого моделирования системы тестов на ЭЦВМ. В кн.: Микроэлек¬
троника. «Советское радио», 1971, вып. 4.
278
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 6
Глава первая. Математические модели компонентов элек¬
тронных схем 17
1-1. Общие сведения о математических моделях компонен¬
тов 17
A. Понятие модели. Внутренние и внешние параметры
модели 17
Б. Классификация моделей 19
B. Основные требования к моделям ... 22
1-2. Модели активных компонентов 26
A. Выпрямляющий диод . 26
Б. Биполярный транзистор 35
B. Полевой транзистор 48
Г. Туннельный диод 57
1-3. Модели пассивных элементов 61
А. Пленочные пассивные элементы 62
Б. Пассивные интегральные полупроводниковые эле¬
менты 65
Глава вторая. Составление уравнений электронной схемы
с помощью ЦВМ 68
2-1. Исходные предпосылки для составления уравнений . 68
A. Постановка задачи 68
Б. Область применимости законов Кирхгофа ... 70
B. Исходная информация для составления уравнений 72
Г. Матрицы компонентов схемы 75
Д. Матричная запись основных методов анализа це¬
пей 79
2-2. Топологическое описание электронных схем ... 86
A. Граф схемы и его элементы 86
Б. Структурная матрица графа 90
B. Матрица главных сечений графа 94
Г. Матрица главных контуров 100
Д. Связь между топологическими матрицами . . . 104
2-3. Алгебро-топологические уравнения цепей . . . . ПО
A. Основные алгебро-топологические соотношения
в однородном координатном базисе . . . • и. 111
Б. Общие сведения об уравнениях состояния линей-
ных схем 115
B. Учет нелинейных активных компонентов в уравне-
ццях состояния . 118
Г. Иерархия ветвей, построение дерева и клеточное
разбиение матриц контуров и сечений . . . . 134
Д. Составление алгебро-топологических уравнений
состояния 137
Глава третья. Анализ электронных схем 147
3-1. Анализ статического режима 147
A. Постановка задачи 147
Б. Расчет статического режима методом простой
итерации 151
B. Метод Ньютона 161
3-2. Анализ переходных процессов 166
A. Постановка задачи 166
Б. Методы численного решения обыкновенных диффе¬
ренциальных уравнений 170
B. О точности и устойчивости методов численного
интегрирования 178
Г. Сравнение методов Эйлера и Рунге—Кутта . . 187
3-3. Статистический анализ электронных схем . . . . 189
A. Постановка задачи о статистическом анализе элек- 189
тронной схемы
Б. Метод Монте-Карло 192
B. Моделирование законов распределения случайных
чисел на ЦВМ 195
Г. Методика статистического анализа схем методом
Монте-Карло. Точность метода Монте-Карло . . 201
Глава четвертая. Оптимизация электронных схем . . 208
4-1. Постановка задачи 208
A. Типы критериев оптимальности 208
Б. Типы ограничений 210
B. Математическая постановка задачи 212
4-2. Регулярные методы оптимизации • . 216
A. Градиентные методы 216
Б. Оптимизация с учетом ограничений-неравенств . 225
B. Оптимизация с учетом ограничений-равенств . . 234
Г. Поиск глобального экстремума 236
4-3. Статистические методы оптимизации 239
A. Постановка задачи 239
Б. Алгоритмы случайного поиска локального экстре¬
мума 242
B. Алгоритм с самообучением 247
Г. Статистические алгоритмы глобального поиска . . 248
4-4. Оптимизация по статистическим критериям . . . 254
A. Оптимизация по проценту выхода годных схем . . 254
Б. Оптимизация по условиям взаимозаменяемости . 263
B. Оптимизация косвенных тестов 270
Литература 274
Цена 90 коп.