Автор: Вайнберг С. Фейнман Р.
Теги: ядерная, атомная и молекулярная физика физика
ISBN: 5-03-003364-5
Год: 2000
Текст
Поль Дирак
Рисунок Р. Фейнмана
ELEMENTARY PARTICLES
AND THE LAWS OF PHYSICS
THE 1986 DIRAC MEMORIAL LECTURES
RICHARD P. FEYNMAN
California Institute of Technology
and
STEVEN WEINBERG
University of Texas, Austin
Lecture notes compiled by
Richard MacKenzie and Paul Doust
I Cambridge
UNIVERSITY FB?SS
P. Фейнман, С. Вайнберг
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ
ЧАСТИЦЫ
и
ЗАКОНЫ
ФИЗИКИ
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
Д. Е. Лейкина
Москва «Мир» 2000
ОГЛАВЛЕНИЕ
Джон Тейлор. Предисловие 5
Ричард Фейнман. Почему должны су-
существовать античастицы 10
Теория относительности и античастицы.. 14
Частицы с нулевым спином и статистика
Бозе 23
Соотношение между поведением частиц и
античастиц 36
Спин | и статистика Ферми 42
Обращение времени и античастицы 54
Два последовательных обращения време-
времени 58
Магнитные монополи, спин и статистика
Ферми 67
Заключение 74
Стивен Вайнберг. На пути к оконча-
окончательным физическим законам 80
Научно-популярное издание
Ричард П. Фейнман, Стивен Вайнберг
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ЧАСТИЦЫ
И ЗАКОНЫ ФИЗИКИ
Зав. редакцией В. В. Герасимовский
Ведущий редактор В. И. Самсонова
Художники Б. Л. Будинас, Н. В. Зотова
Технический редактор О. Г. Лапко
Корректор Е. Н. Клитина
Оригинал-макет подготовлен С. А. Янковой
Лицензия ЛР № 010174 от 20-05.97 г.
Подписано к печати 24.10.2000 г.
Формат 70 х 100/32. Бумага офсетная.
Гарнитура «Ньютон». Печать офсетная.
Объем 2,25 бум. л. Усл. печ. л. 5,85.
Уч.-изд. л. 4,17. Изд № 2/9727.
Тираж 3000 экз. Зак. 6886
Издательство «Мир»
Министерства РФ по делам печати,
телерадиовещания и средств массовых коммуникаций
129820, Москва, 1-й Рижский пер., 2
Диапозитивы изготовлены в издательстве «Мир»
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных диапозитивов
в Производственно-издательском комбинате ВИНИТИ,
140010, г. Люберцы, Московской обл., Октябрьский пр-т, 403.
Тел. 554-21-86
УДК 539.14
ББК 22.38
Ф36
Фейиман Р., Вайнберг С.
ФЗб Элементарные частицы и законы физи-
физики. Пер. с англ. — М.: Мир, 2000. — 138 с, ил.
ISBN 5-03-003364-5
Данная книга представляет собой перевод лек-
лекций, прочитанных Нобелевскими лауреатами Ричар-
Ричардом Фейнманом и Стивеном Вайнбергом на Дира-
ковских чтениях в Кембридже. В живой и увлека-
увлекательной форме рассматриваются различные аспекты
сложной и до конца еще не решенной проблемы объ-
объединения квантовой теории с теорией относительно-
относительности. В лекции Р. Фейнмана подробно обсуждаются
природа античастиц и связь спина со статистикой.
Лекция С. Вайнберга посвящена вопросам построе-
построения единой теории, объединяющей теорию гравита-
гравитации с квантовой теорией.
Для широкого круга читателей, интересующихся
проблемами современной физики.
ВБК 22.38
Редакция литературы по физике и астрономии
ISBN 5-03-003364-5 (русск.)
ISBN 0-521-65862-4 (англ.)
(с) Cambridge University Press 1987
First published 1987
Reprinted 1988, 1989, 1991, 1993, 1994, 1995, 1998
First paperback edition 1999
(с) перевод на русский язык, «Мир», 2000
ПРЕДИСЛОВИЕ
Джон Тейлор
Кембриджский университет
Поль Дирак был одним из самых выдающих-
выдающихся физиков нашего столетия. Квантовая ме-
механика возникла на рубеже веков, но имен-
именно Дирак в 1925—1926 годах разработал для
нее совершенный математический аппарат
и тем самым придал этой теории не менее
законченный вид, чем у ньютоновской меха-
механики.
Дирак был первым, кто еще в 1925 г. взял-
взялся за объединение квантовой теории со спе-
специальной теорией относительности Эйнштей-
Эйнштейна A905г.). Плоды объединения этих заме-
замечательных теорий и по сей день остаются в
центре внимания физиков-теоретиков. Дирак
внес наибольший вклад в развитие основопо-
основополагающих идей теории, в том числе в 1930 г.
6 ДЖОН. ТЕЙЛОР
им было предсказано существование анти-
антивещества.
Дирак умер в 1984 г. Колледж Сент Джон
в Кембридже оказывает щедрую материаль-
материальную поддержку ежегодным чтениям, проводи-
проводимым в Кембриджском университете в память
Дирака. В данной книге публикуются две пер-
первые лекции этих чтений. Их можно рассматри-
рассматривать как две вариации на предложенную Ди-
Дираком тему объединения квантовой теории с
теорией относительности.
После второй мировой войны наибольший
вклад в развитие релятивистской квантовой
теории внес Ричард Фейнман. Ему принадле-
принадлежит создание универсальных и эффективных
теоретических методов, используемых в физи-
физике элементарных частиц и квантовой теории
поля. Работы Фейнмана являются идейным
продолжением работ Дирака. Его неповтори-
неповторимый научный стиль оказал огромное влия-
влияние на развитие физики. Публикуемая здесь
лекция Фейнмана позволяет получить неко-
некоторое представление об особенностях этого
стиля. В ней объясняются основные физиче-
физические идеи, лежащие в основе гипотезы Дирака
о существовании антивещества.
До настоящего времени наивысшим до-
достижением релятивистской квантовой тео-
Предисловие 7
рии остается объединение электромагнетиз-
электромагнетизма (электричество и магнетизм были объеди-
объединены общей теорией еще самим Максвеллом
столетие назад) с теорией слабого взаимо-
взаимодействия, которое играет важную роль при
радиоактивном распаде. Стивен Вайнберг —
один из основных авторов работы, посвящен-
посвященной объединению этих теорий. В ней выдви-
выдвигалась гипотеза о существовании и свойствах
нового типа частиц с массой порядка массы
атомов тяжелых элементов. Впоследствии, в
1983 г. в лаборатории европейского центра
ЦЕРН в Женеве эта гипотеза нашла блестя-
блестящее подтверждение в эксперименте, в кото-
котором такие частицы были обнаружены в точ-
точном соответствии с предсказаниями теории.
Это событие явилось своего рода отголоском
событий полувековой давности, когда гипо-
гипотеза Дирака о существовании позитрона на-
нашла свое экспериментальное подтверждение.
Разница в том, что для рождения позитрона
требовались примерно в 100 000 раз меньшие
энергии.
В своей лекции Вайнберг показывает, что
квантовая теория совместно с теорией отно-
относительности ставит законы Природы в весь-
весьма жесткие рамки. В ней он также обсужда-
обсуждает проблему будущего объединения квантовой
8
ДЖОН ТЕЙЛОР
теории с общей теорией относительности Эйн-
Эйнштейна A915 г).
Нам посчастливилось, что эти два замеча-
замечательных физика согласились приехать на ди-
раковские чтения в Кембридж и выступить
здесь с лекциями. Они собрали аудиторию из
нескольких сотен студентов и аспирантов, сре-
среди которых были не только физики. И Фейн-
ман, и Вайнберг стремились сделать сущность
физических вопросов понятной для неспециа-
неспециалистов , и мы надеемся, что эта книга будет
интересна широкому кругу читателей.
Дирак однажды сказал, что «физические
законы должны иметь изящную математи-
* R. P. Feynman, R. В. Leighton, M. Sands A963).
Lectures in Physics, vols. 1—3. Addison-Wesley. (Имеется
перевод: Фейнман, P. Лейтон, М. Сэндс. Фейнманов-
ские лекции по физике. —М.: Мир, 1965-1967.)
R. P. Feynman A985). QED. Princeton University
Press. (Имеется перевод: Фейнман Р. КЭД — странная
теория света и вещества. — М.: Наука, 1988.)
S. Weinberg A978). The First Three Minutes. Fonta-
na. (Имеется перевод: Вайнберг С. Первые три мину-
минуты. — М.: Энергоиздат, 1981.)
S. Weinberg A983). The Discovery of Subatomic
Particles. Scientific American Library. (Имеется перевод:
Вайнберг С. Открытие субатомных частиц. — М.: Мир,
1986.)
Предисловие 9
ческую формулировку» . Дирак, Фейнман и
Вайнберг — авторы красивых теорий, нашед-
нашедших потрясающие экспериментальные под-
подтверждения. Впрочем, тема эксперименталь-
экспериментальных исследований выходит далеко за рамки
этих Лекций и заслуживает отдельного рас-
рассмотрения.
Док,оп Тейлор
Сентябрь 1987 г.
* R. H. Dalitz, R. Pe.ie.rls A986). In: Biographical Me-
Memoirs of Fellows of the Royal Society, vol. 32, pp. 137—86.
Royal Society.
ПОЧЕМУ ДОЛЖНЫ
СУЩЕСТВОВАТЬ
АНТИЧАСТИЦЫ
Ричард Фейнман
Название этой лекции не вполне отражает ее
содержание, потому что на самом деле я со-
собираюсь обсудить здесь два вопроса: откуда
берутся античастицы и как связан спин со ста-
статистикой. Дирак стал моим кумиром, когда я
был молод. Он совершил настоящий прорыв,
предложив по существу новый подход к за-
занятию физикой. С его стороны было действи-
действительно смело просто угадать уравнение, кото-
которое теперь мы называем уравнением Дирака,
и лишь затем посмотреть, что оно означает.
К примеру, для вывода уравнений своей те-
теории Максвеллу пришлось проделать огром-
огромную работу, заполняя пространство массой
воображаемых «шестеренок и зубчатых коле-
колесиков».
Почему долснсны существовать античастицы 11
?¦•*•
П. Дирак и Р. Фейнман.
Для меня большая честь находиться здесь.
Я. не мог не принять приглашения, ведь Дирак
всегда был моим кумиром. Мне все еще трудно
поверить в то, что я выступаю с лекцией в его
честь.
Дираку первому удалось с помощью сво-
своего релятивистского уравнения объединить
квантовую механику с теорией относительно-
относительности. Сначала ему казалось, что все дело было
в спине, т. е. собственном угловом моменте;
Дирак думал, что спин является основным
следствием релятивистской квантовой тео-
12
РИЧАРД ФЕЙНМАН
рии. Однако именно проблема отрицательных
энергий, возникающих при решении уравне-
уравнения, в конце концов навела на мысль, что
для объединения квантовой теории с теорией
относительности необходимо допустить суще-
существование античастиц. Если сделать это до-
допущение, то проблему объединения можно ре-
решить при любом спине, как это было показано
Паули и Вайскопфом. Я же хочу подойти к за-
задаче с другого конца и попробую объяснить,
почему античастицы обязательно появляют-
появляются, как только мы попытаемся объединить
квантовую механику с теорией относитель-
относительности.
Двигаясь в этом направлении, нам удаст-
удастся найти объяснение другой величайшей за-
загадки— принципа запрета Паули. Этот прин-
принцип гласит, что если взять волновую функ-
функцию двух частиц со спином ^ и затем поме-
поменять частицы местами, то волновая функция
нового состояния получится из исходной про-
просто добавлением знака минус. Легко показать,
что если бы с самого начала Природа была
нерелятивистской, то таковой она бы остава-
оставалась всегда, так что ответ пришлось бы ис-
искать в акте Сотворения, и одному Богу бы-
было бы известно, почему так вышло. Если же
допустить существование античастиц, то ста-
Почему долсисны существовать античастицы 13
новится возможным рождение пар частица —
античастица, например, электрона с позитро-
позитроном. Загадка теперь заключается в том, по-
почему при образовании электрон-позитронной
пары только что родившийся электрон дол-
должен быть обязательно антисимметричен по
отношению к электронам, которые уже бы-
были до него? Другими словами, почему он не
может оказаться в том же состоянии, в ко-
котором находился какой-нибудь из уже имев-
имевшихся электронов? Если допустить существо-
существование частиц и античастиц, то возникает еще
один очень простой вопрос: пусть имеется две
электрон-позитронные пары, и я сравниваю
амплитуду их аннигиляции с амплитудой ан-
аннигиляции после того, как частицы поменяли
местами; спрашивается, откуда здесь возьмет-
возьмется знак минус?
Все эти вопросы давно решены изящным
способом, который оказывается очень про-
простым при дираковском подходе, т. е. с исполь-
использованием кучи разных символов и операторов.
Я. же собираюсь вернуться к использованию
максвелловских «шестеренок и зубчатых ко-
колесиков» и постараюсь найти ракурс, при ко-
котором проблема не будет казаться такой ми-
мистической. Я. ничего не собираюсь добавить
к тому, что уже известно; все, что я скажу,
14
РИЧАРД ФЕЙНМАН
есть просто интерпретация уже установлен-
установленных фактов. Итак, попробуем понять, в чем
тут дело, но прежде всего давайте все-таки
разберемся, почему должны существовать ан-
античастицы.
Теория относительности
и античастицы
Согласно нерелятивистской квантовой меха-
механике, если частица, пребывающая в некотором
состоянии фо, попадет под влияние возмуща-
возмущающего потенциала U, то ее состояние изме-
изменится. Если положить h = 1, то с точностью
до фазового множителя амплитуда перехода
в новое состояние х определяется проекцией
X на 11фо, т. е.
0 = -1(х\и\ф0).
A)
Выражение (х\и\фо) представляет собой ам-
амплитуду, записанную в элегантной дираков-
ской форме с использованием бра-кет векто-
векторов; впрочем, я не буду здесь часто применять
эти обозначения. Условимся считать, что эта
формула остается справедливой при переходе
в релятивистскую область.
Почему долснсны существовать античастицы 15
Предположим теперь, что состояние части-
частицы возмущалось дважды — первый раз в мо-
момент времени t\, а затем в момент времени t<i;
нас будет интересовать амплитуда возврата в
исходное состояние фо под влиянием второго
возмущения. Обозначим через U\ первое воз-
возмущение, действовавшее в момент времени i\,
а через Ц~2 — возмущение в момент времени t<i.
Нам нужно теперь записать результаты сле-
следующих процессов: рассеяния на потенциале
U±, эволюции состояния частицы в интервале
времени от t\ до t<2 и рассеяния на потенциале
С/2; все это мы проделаем с помощью теории
возмущений. Разумеется, самое простое, что
может случиться, — это непосредственный пе-
переход из состояния фо опять в состояние фо с
амплитудой (фо\фо) — 1. Эта амплитуда опре-
определяет член низшего порядка ряда теории воз-
возмущений. Член следующего порядка малости
отвечает процессу, при котором частица рас-
рассеивается на возмущении U\ и переходит в не-
некоторое промежуточное состояние фт с энер-
энергией Ет\ в этом состоянии она пребывает в
течение времени (?2 — ^i), а затем рассеивает-
рассеивается на возмущении U<i обратно в состояние фо.
По всем промежуточным состояниям нужно
просуммировать. Полная амплитз^да перехода
из состояния фо в исходное состояние фо будет
16
РИЧАРД ФЕЙНМАН
равна
X
т
х
). B)
(Для простоты я здесь считаю, что амплитуды
первого порядка, отвечающие переходам из со-
состояния фо обратно в фо, равны нулю, т. е. что
(<f>o\Ui\<f>o) = 0 и (фо\и2\фо) = 0.) Если в ка-
качестве промежуточных состояний фт исполь-
использовать плоские волны и раскрыть выражения
для амплитуд (фо\и2\фт) и (фт\и1\фо), то мы
увидим, что
х exp{—i[Ep(t2 — ti) —
C)
Здесь
а(хх) =
и ?^, = уР2 + гп2 Для частицы с массой гп.
Мнодкжтели с Ер введены здесь с единственной
Почему долоюны существовать античастицы 17
Рис. 1. Диаграммное представление вкладов пря-
прямого (а) и непрямого (б) переходов фо —> фо в пол-
полную амплитуду.
целью явно отразить релятивистские свой-
свойства, ибо величина d3 p/B7rK2.Ep представ-
представляет собой инвариантную плотность импуль-
импульса. Графически данный процесс изображен на
рис. 1.
Проанализируем полученное соотношение
в некоторых специальных случаях. Я соби-
собираюсь сначала рассмотреть некоторые очень
простые примеры, а затем перейду к более об-
18
РИЧАРД ФЕЙНМАН
щему случаю. Надеюсь, вы разберетесь в этих
примерах, поскольку, осмыслив их, вы сразу
же схватите суть дела; по крайней мере, ко
мне понимание приходит именно таким путем.
Амплитуда перехода через промежуточ-
промежуточное состояние отвечает рассеянию частицы из
xi в Х2, причем в промежуточном состоя-
состоянии она имеет импульс р и энергию Ер. Сей-
Сейчас мы сделаем некое предположение, а имен-
именно, допустим, что все энергии строго положи-
положительны.
А вот теперь сюрприз: если оценить ам-
амплитуды для некоторых o(xi) и Ь(хг) (мож-
(можно даже допустить, что o(xi) и 6(х2) зависят
от импульса р), то оказывается, что они не
обращаются в нуль, когда Х2 находится вне
светового конуса с вершиной в xi. Вот что
удивительно: если все энергии положительны,
то волны, исходящие из некоторой точки, не
смогут уместиться внутри светового конуса.
Это вытекает из следующей математической
теоремы.
Если функция f(t) пред ставима в виде ин-
интеграла Фурье только по положительным ча-
частотам, т. е. если ее молено записать в виде
*ОО
—iut
D)
Почему должны существовать античастицы 19
то она не может обращаться в нуль на ко-
конечных интервалах ?, если только она тож-
тождественно не равна нулю. Я предпочел бы не
останавливаться здесь на доказательстве этой
теоремы, которое опирается на использование
свойств функции F(u>).
Вероятно, эта теорема вызовет у вас удив-
удивление, поскольку вы знаете, что молено взять
функцию, обращающуюся в нуль на конечном
интервале, и вычислить ее фурье-образ. Де-
Дело в том, что наряду с положительными час-
частотами вы всегда будете получать и отрица-
отрицательные. Я. же настаиваю на том, что имеются
только положительные частоты.
Чтобы использовать эту теорему в нашем
случае, зафиксируем точки xi и хг и предста-
представим интеграл по р в виде интеграла по пере-
переменной си = Ер. Этот интеграл будет совпа-
совпадать по форме с интегралом D), в котором
значение F{lS) равно нулю при ш < т\ F{uo)
зависит от xi и Х2- В нашем случае данная
теорема применима непосредственно; мы ви-
видим, что амплитуда не может обращаться в
нуль на любом конечном интервале времени.
В частности, она не будет обращаться в нуль
вне светового конуса с вершиной в xi. Дру-
Другими словами, будут существовать отличные
от нуля амплитуды для частиц, движущихся
20
РИЧАРД ФЕЙНМАН
со скоростями больше скорости света, и ника-
никакая суперпозиция состояний с одними положи-
положительными энергиями не сможет исправить это
положение.
Следовательно, если t2 отвечает более
позднему моменту времени, чем ti, то в
результирующую амплитуду будут вносить
вклад частицы, которые движутся со скоро-
скоростями больше скорости света и для которых
точки xi и Х2 разделены пространственнопо-
добным интервалом.
Если события U\ и Ui разделены простран-
ственноподобным интервалом, то порядок их
наступления зависит от выбора системы от-
отсчета: если наблюдать эти события из системы
отсчета, которая достаточно быстро движет-
движется относительно исходной, то момент t'2 будет
предшествовать tft (рис. 2).
Как будут выглядеть эти события в новой
системе отсчета? До наступления t'2 у нас бу-
будет иметься одна безмятежно движущаяся ча-
частица. В момент t2 произойдет нечто очень
странное, а именно: в точке х2 на конечном
расстоянии от исходной частицы возмущение
приведет к рождению пары частиц, одна из
которых будет, очевидно, двигаться вспять во
времени. В момент t'x исходная частица и та,
что двигалась вспять во времени, исчезнут.
Почему должны существовать античастицы 21
Световой
конус
а
Рис. 2. Один и тот же процесс, наблюдаемый из
различных систем отсчета: а — исходная система
отсчета (t2 > *i); б— движущаяся система отсчета
Таким образом, теория относительности и тре-
требование положительности энергии заставляют
нас допустить возможность рождения и анни-
аннигиляции пар, в которых одна из частиц дви-
движется вспять во времени. Чтобы понять, ка-
какой физический смысл имеет движение части-
частицы вспять во времени, предположим, что у нее
есть заряд. На рис. 2,6 частица перемещает-
перемещается из точки -Xj в точку х2 и переносит, ска-
скажем, положительный заряд из х'х в х2; однако
в точке х2 частица оказывается раньше, по-
22
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Почему должны существовать античастицы 23
этому все выглядит так, будто отрицательный
заряд переносится из х.'2 в x'j.
Другими словами, порядок наступления
событий зависит от выбора системы отсчета,
и то, что одному кажется частицей, другому
будет представляться как античастица. Фак-
Фактически это и означает, что античастицы обя-
обязательно должны существовать.
Подводя итог сказанному, молено утвер-
утверждать следующее:
1) должны существовать античастицы, а
также процессы рождения и уничтожения
пар;
2) поведение античастиц определяется по-
поведением обычных частиц.
Впоследствии мы тщательно проанализи-
проанализируем второе из этих утверждений, однако сей-
сейчас ограничимся следующими замечаниями.
Если изменить на противоположные знаки ко-
координат х, у, z и времени t, то частица,
первоначально двигавшаяся вперед во време-
времени, окажется движущейся во времени вспять.
Если обозначить через Р оператор простран-
пространственной инверсии, изменяющий знаки трех
пространственных координат, через Т — опе-
операцию обращения времени, изменяющую на-
направление его течения, и через С — оператор
зарядового сопряжения, превращающий час-
частицы в античастицы и наоборот, то окажется,
что действие операторов Р и Т на некоторое
состояние приводит к тому же результату, что
и действие оператора С, т. е. РТ = С.
Частицы с нулевым спином
и статистика бозе
Теперь мне хотелось бы поговорить о величине
амплитуд различных процессов. Это позволит
иначе взглянуть на проблему и даст ключ к
решению вопроса о связи спина со статисти-
статистикой. Основная идея состоит в том, что если
взять некоторое произвольное начальное со-
состояние и воздействовать на него произволь-
произвольным набором возмущающих факторов, то ве-
вероятности перехода во все возможные конеч-
конечные состояния должны в сумме дать единицу.
Сначала рассмотрим пример из нереля-
нерелятивистской области, а затем сравним его с
результатами для релятивистского случая.
Предположим, что на частицу, первоначально
находившуюся в исходном состоянии фо, воз-
воздействует возмущение. Мы хотим подсчитать
с помощью теории возмущений вероятность
перехода в заданное конечное состояние. Ам-
Амплитуда перехода в состояние фо под влиянием
возмущения дается выражением C); отсюда
24
РИЧАРД ФЕЙНМАН
для вероятности события, в котором с части-
частицей ничего не происходит, следует:
Prob
Фо—нро
= 1- 2Re / d3 xid3x2 x
x exp{—i[Ep{t2 — ti) —
— p • (x2 — xi)]}a(xi), E)
где использовано разложение |l + a|2 = l-1-a-l-
а* Ч = 1 + 2Reo! + ... .
Амплитуда перехода частицы в состояние
фр под влиянием возмущения равна
F)
Отметим, что в выражении Атр(фо —> фо) мы
удержали члены порядка U0 и U2 и опустили
члены более высоких порядков. Чтобы полу-
получить вероятность РюЪ(фо —$¦ р) с точностью
до U2, мы здесь сохранили член порядка U1 и
отбросили величины более высоких порядков.
Искомая вероятность равна
Prob
Фо-+р —
-/
G)
Почему долоюны существовать античастицы 25
-2
Фо
2Re2
р
Рис. 3. Диаграммное тождество, которое должно
выполняться, если полная вероятность равна 1.
Полная же вероятность должна быть равна 1:
j
d3p
В результате мы находим соотношение между
вероятностью однократного рассеяния в новое
состояние и вероятностью двукратного рассе-
рассеяния, возвращающего частицу в исходное со-
состояние. Диаграммы, отвечающие этим про-
процессам, показаны на рис. 3.
Можно показать, что на самом деле это со-
соотношение выполняется для любых потенциа-
потенциалов ?7(х, t).
26
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Перейдем теперь к релятивистскому слу-
случаю, считая, что спин равен нулю. Тут воз-
возникает следующая проблема. В дополнение
к рассмотренным выше процессам нам при-
придется учесть, что промежуточное состояние
может быть античастицей; другими словами,
нам нужно будет добавить диаграмму того же
вида, что и на рис. 2,6. К полной вероятности
процесса мы должны будем прибавить удво-
удвоенную вещественную часть вклада этой диа-
диаграммы. Нам предстоит найти нечто, что ком-
компенсировало бы дополнительный вклад этой
диаграммы в полную вероятность, поскольку
эта полная вероятность должна остаться рав-
равной единице.
Ключом к разгадке этой тайны является
процесс, изображенный на рис. 4, который на-
напоминает рис. 3. Возможно, это заранее не оче-
очевидно, однако, вычислив обе амплитуды, мы
убедимся, что здесь все в порядке.
Новая диаграмма в левой части рис. 4 нуж-
нужна, чтобы удовлетворить требованиям теории
относительности, и описывает рождение пары,
в которой одна из частиц находится в состоя-
состоянии фо. Отметим, что этот процесс дает отри-
отрицательный вклад в полную вероятность. Та-
Таким образом, если мы сможем использовать
Почему долоюны существовать античастицы 27
2
ч
2 Re 2
я
Рис. 4. Диаграммное тождество для частиц с
нулевым спином при наличии античастиц.
диаграмму в левой части рис. 4 для вычис-
вычисления полной вероятности, то последняя ока-
окажется равной единице, и тем самым мы решим
проблему.
Однако непосредственное использование
этой диаграммы лишено смысла по двум при-
причинам. Во-первых, диаграмма в левой части
рис. 4 отвечает вакуумному начальному со-
состоянию вместо состояния фо и, во-вторых, у
нас, по-видимому, нет основания рассматри-
рассматривать только те пары, в которых одна из частиц
рождается в состоянии фо, так как частицы
могут находиться в любых состояниях. Таким
28
РИЧАРД ФЕЙНМАН
образом, мы получили правильный ответ, ис-
исходя из неверных посылок.
Все, что я успел вам рассказать, — чистая
правда, но отнюдь не вся правда. Мы пре-
пренебрегли некоторыми диаграммами; если бы
мы учлвгих вклады, то пришли бы к важно-
важному свойству бозе-частиц: если в определенном
состоянии находится частица, то вероятность
рождения в этом же состоянии еще одной час-
частицы возрастает.
Давайте вернемся на один шаг назад и вме-
вместо частицы в начальном состоянии фо рас-
рассмотрим вакуумное состояние (т. е. состояние
вообще без частиц), а затем используем уже
знакомую нам идею, согласно которой полная
вероятность должна быть единицей. Для нере-
нерелятивистского случая все выглядит тривиаль-
тривиально: раз нет частиц, то ничего не произойдет, и
вероятность отсутствия событий будет равна
единице. Однако мы уже знаем, что в реляти-
релятивистской области необходимо учитывать воз-
возможность рождения и аннигиляции пар под
влиянием возмущений. Нетрудно видеть, что
в первом приближении теории возмущений су-
существенный вклад дадут только три диаграм-
диаграммы на рис. 5. Первая диаграмма изобража-
изображает отсутствие событий — несмотря на возму-
возмущение вакуум остается вакуумом. На второй
Почему должны существовать античастицы 29
(Вакуум — вакуум)
а
t
2
р. я
Рис. 5. Процессы с начальным вакуумным состо-
состоянием (состояние без частиц).
диаграмме изображены переходы из вакуум-
вакуумного состояния снова в вакуумное состояние,
просуммированные по всем возможным про-,
межуточным частицам. Третья диаграмма от-
отвечает рождению пары.
Как и раньше, вероятность того, что хоть
что-нибудь произойдет, равна единице. На
языке диаграмм рис. 5 это означает, что 1 =
\Ьа-\-ЬЪ+... |2-Ь|5с-!-... |2-(-...; отсюда следует
соотношение, изображенное на рис. 6.
Возвращаясь к рассмотрению процессов с
частицей в начальном состоянии фо, нам при-
30
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Почему должны существовать античастицы 31
2
Р.Ч
= 2 Re 2 Р
р-ч
Рис. 6. Диаграммное тождество с
вакуумным состоянием.
начальным
дется учесть возможность рождения и анни-
аннигиляции пар. Мы получим всего шесть диа-
диаграмм, показанных на рис. 7. На первых че-
четырех диаграммах система возвращается в ис-
исходное состояние 0о? а. на двух последних со-
состояние системы изменяется.
Как мы уже видели в нерелятивистском
случае, вклады диаграмм на рис. 7,6" и 7,<?
в полную вероятность гасят друг друга (см.
рис. 3), следовательно, вероятности для осталь-
остальных диаграмм на рис. 7,в,г,е также должны
компенсироваться. Сравнивая эти диаграммы
с изображенными на рис. 5, можно подумать,
что суммарный вклад диаграмм 7,г и 7,е ра-
равен нулю, как это было с диаграммами 5,6"
Фо
Рис. 7. Диаграммы для частицы в начальном
состоянии 0о-
и 5, в, поскольку эти диаграммы различают-
различаются только «посторонней» частицей — спекта-
тором, присутствие которого никак не связа-
связано с рождением пары (во всяком случае, так
может показаться). Но тогда у нас останется
32
РИЧАРД ФЕЙНМАН
диаграмма 7, в; это и есть та проблема, с ко-
которой мы сталкиваемся в релятивистском слу-
случае — неясно, что будет компенсировать вклад
этой диаграммы в полную вероятность.
У этой проблемы очень изящное решение:
«посторонняя» частица на диаграмме 7,е на
самом деле связана с рождением пары! Рас-
Рассмотрим частный случай диаграммы 7, е, в ко-
котором состояние р совпадает с начальным со-
состоянием фо- Теперь у нас есть одна части-
частица в начальном состоянии фо, две частицы в
конечном состоянии фо, и одна частица в со-
состоянии q. Существует ли способ узнать, ка-
какая из двух частиц в конечном состоянии фо
идентична исходной частице и какая возникла
при рождении пары? Ответ таков: узнать это
невозможно. Поэтому нам придется добавить
еще одну диаграмму; на рис. 8 показана диа-
диаграмма, дающая вклад в 7,е, и так называемая
диаграмма с обменом.
Именно возможность взаимного обмена
местами и решает нашу проблему. Две диа-
диаграммы на рис. 8 в сумме дают дополнитель-
дополнительный вклад в полную вероятность, который
гасит отрицательный вклад диаграммы 7,в
(см. рис. 4).
Давайте подведем итог. Мы добавили не-
несколько дополнительных диаграмм, чтобы
Почему долсисны существовать античастицы 33
Фо
Рис. 8. Диаграмма 7,е и диаграмма с обменом.
учесть возможность рождения пар, в част-
частности, нам пришлось добавить диаграмму
рис. 7,в. При попытке подсчитать полную ве-
вероятность обнаружилось, что эта диаграмма
(рис. 7, в) дает отрицательный вклад, который
должен чем-то компенсироваться. То, чем он
компенсируется — это избыточная (из-за при-
присутствия спектатора) вероятность рождения
пары, в которой одна из частиц оказывается в
том же состоянии, что и спектатор.
Увеличение вероятности — очень глубокий
и важный результат. Он означает, что са-
само по себе присутствие частицы в некото-
некотором состоянии удваивает вероятность рожде-
рождения пары частиц в том лее состоянии. Если
34
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Рис. 9. Рождение двух пар без обмена частица-
частицами (о); рождение двух пар с обменом частица-
частицами (б).
в заданном состоянии первоначально находи-
находилось п частиц, то вероятность увеличивается
в п _j_ i раз. Это на самом деле замечательно!
Это объясняет основное свойство статистики
Бозе, благодаря которой работают лазеры и
прочее.
В качестве еще одного примера рассмот-
рассмотрим вакуумные диаграммы более высокого
порядка. Допустим, что четырехкратное дей-
действие возмущения привело к рождению и ан-
аннигиляции двух пар частица-античастица, как
показано на рис. 9,о. Предположим, что мы
сравниваем полученный результат с тем, ког-
когда частицы аннигилируют с античастицами из
другой пары. Вы получите диаграмму типа
изображенной на рис. 9,6. Амплитуды обоих
процессов дают вклад в вакуумную амплиту-
Почему долснсны существовать античастицы 35
ду. Это очень просто и на этом основана ста-
статистика Бозе.
По существу, в статистике Бозе нет ничего
особенно загадочного. В том, что при перехо-
переходе двух частиц из А, В в А', В' одна из них
попадает из i в 5', а другая из В в А' вместо
того, чтобы переходить из А в А' и из В в В', и
при этом амплитуды складываются, нет ниче-
ничего удивительного, поскольку это просто част-
частный случай общего принципа квантовой меха-
механики: если процесс может иметь несколько ис-
исходов, то следует сложить амплитуды, отвеча-
отвечающие всем этим исходам. Если частицы возни-
возникают в результате квантования классическо-
классического поля (скажем, электромагнитного поля или
колебаний кристаллической решетки), то со-
согласно принципу соответствия частицы долж-
должны подчиняться статистике Бозе при надлежа-
надлежащей корреляции интенсивности, как в случае
эффекта Ганбери-Брауна-Твисса*. Проще го-
говоря, бозе-частицы естественно возникают при
квантовании полей как моды гармонических
осцилляторов.
* R. P. Feynman A962). Theory of Fundamental
Processes, pp. 4—6, W. A. Benjamin. (Имеется перевод:
Фейнман P. Теория фундаментальных процессов. —
М.: Наука, 1978.)
36
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Оказывается, что в случае фермионов —
частиц с полуцелым спином, неожиданно воз-
возникает знак минус. Например, для процесса
на рис. 9 каждая петля приводит к появлению
знака минус у амплитуды. Из-за этого у ам-
амплитуды, отвечающей диаграмме на рис. 9,а,
будет два знака минус, тогда как у амплитуды
на рис. 9,6 с одной петлей только один. В ре-
результате эти амплитуды будут вычитаться, и
мы получим статистику Ферми. Мы собираем-
собираемся разобраться в том, почему спин \ приводит
к появлению отрицательного знака для каж-
каждой петли. Как мы увидим далее, все дело в
скрытых поворотах на угол в 360°.
Соотношение между поведением
частиц и античастиц
Прежде чем начать разговор о фермионах,
мне хотелось бы вернуться назад и немного по-
подробнее объяснить, как соотносится поведение
частиц с поведением античастиц. Разумеется,
поведение античастиц полностью определяет-
определяется поведением соответствующих частиц. Рас-
Рассмотрим это более подробно для простейшего
случая нулевого спина и скалярного потенциа-
потенциала U. Мы уже знаем, что для t^ > t\ амплиту-
Почему должны существовать античастицы 37
да перехода свободной частицы массой т из
в Х2 равна
FB,1)=J
X
х ехр{- i[Ep(t2 - *i) - р • (х2 -
(9)
Эта формула релятивистски ковариантна, по-
поэтому для нулевого спина величины a, b в E)
можно считать постоянными. Нас интересует,
какова будет амплитуда при t^ < t\.
Для ?2 < t\ и пространственноподоб-
ного интервала ответ прост: амплитуда по-
прежнему равна FB,1). Объясняется это сле-
следующим. Как мы уже знаем, FB,1) справед-
справедлива для пространственноподобных интерва-
интервалов при ti > t\. Если наблюдать наш процесс
из другой системы отсчета, то интервал по-
прежнему будет пространственноподобным,
однако может оказаться, что в такой системе
отсчета ^2 < t\. Там мы получим ту же ам-
амплитуду, поскольку она не может зависеть от
выбора системы координат; если лее мы по-
попытаемся выразить FB,1) в новой системе
отсчета, то получим для FB,1) в точности
такую эюе формулу в силу ее релятивистской
ковариантности. Итак, выражение для FB,1)
38
РИЧАРД ФЕЙНМАН
справедливо в области «абсолютно будущего»
(верхняя полость светового конуса) и в обла-
области «абсолютно удаленного» (т. е. для собы-
событий, отстоящих от вершины конуса на про-
странственноподобный интервал). А как на-
насчет области «абсолютно прошедшего»?
Здесь нам придется учесть, что при t^ < t\
волны по-прежнему будут распространяться
только с положительными энергиями. Следо-
Следовательно, в данной области мы сможем запи-
записать амплитуду в виде
/•ОО
GB,l)=/
Jo
A0)
где х — некоторая функция, вид которой нам
еще предстоит определить. Причину измене-
изменения знака показателя экспоненты молено объ-
объяснить следующим образом. Волны испуска-
испускаются из точки xi, и мы настаиваем на том, что
они покидают источник, имея только поло-
положительные энергии (частоты). Другими сло-
словами, зависимость от времени должна иметь
вид ехр(—ли At), где и > 0. Здесь At — интер-
интервал времени, прошедший с момента испуска-
испускания волны; этот интервал должен быть поло-
положительным. При t<i > ti волны существуют в
течение времени At = t^ — ii, а при ?2 < t
существуют в течение времени At =¦ t\ —
Почему долоюны существовать античастицы 39
Таким образом, при ^2 < t\ мы должны по-
попытаться записать амплитуду в виде A0) и в
области абсолютно прошедшего, и в области
абсолютно удаленного. Это означает, что при
^2 < t\ амплитуду можно вычислить в области
абсолютно удаленного с помощью любого из
выражений (9) или A0). Путем этих рассуж-
рассуждений молено сначала определить G в указан-
указанной области, а затем найти однозначное про-
продолжение полученного выражения на произ-
произвольные времена ^2 < t\.
Если ^2 < *i5 и события xi и Х2 раз-
разделены пространственноподобным интерва-
интервалом, то мы получим формулу (9), в кото-
которой суммирование ведется по отрицательным
частотам. Вопрос в том, можно ли записать
эту амплитуду в виде функции только по-
положительных частот? В общем случае сде-
сделать этого нельзя. Поистине удивительно, что
именно для данной релятивистски инвари-
инвариантной функции найти такое представление
оказывается возможным. Давайте выясним
почему.
Прежде всего отметим, что при t\ — to.
функция .FB,1) вещественна. В этом случае
экспоненциальный множитель просто равен
exp[ip • (х2 — xi)]; его мнимая часть — нечет-
нечетная функция, интегрируя ее в симметричных
40
РИЧАРД ФЕЙНМАН
пределах, мы получим нуль. Если же F веще-
вещественна при t\ = t25 то в силу релятивист-
релятивистской инвариантности она должна оставаться
вещественной для любых событий t\ и ±ч, раз-
разделенных пространственноподобным интерва-
интервалом. В самом деле, движущийся наблюдатель
должен получить такое же вещественное зна-
значение для амплитуды, хотя для него i^ ф t\-
Поскольку эта амплитуда вещественна, то она
совпадает со своей комплексно сопряженной,
в которую время входит с обратным знаком.
Таким образом, амплитуда GB,1) совпадает с
комплексно сопряженной амплитудой FB,1):
х
X
-*i) -Р- (х2 -
A1)
С этой формулой все в порядке: волны
распространяются только с положительными
энергиями. Полученное решение единственно,
так как в силу теоремы D) не существует
функции вида A0), которая отличалась бы
от него только в области абсолютно прошед-
прошедшего. Итак, когда t\ предшествует ti в обла-
области абсолютно будущего, решение дается ра-
равенством (9): если t<i предшествует t\ в обла-
Почему должны существовать античастицы 41
сти абсолютно прошедшего, то решение да-
дается равенством A1); в промежуточной обла-
области абсолютно удаленного, где события t\ и to,
разделены пространственноподобным интер-
интервалом, решение дается любым из соотноше-
соотношений (9) или A1) —в этой области обе формулы
совпадают!
Сначала мы рассмотрели, что происходит
в одной области пространства-времени, а за-
затем обобщили полученный результат на все
остальные области, опираясь только на со-
соображения релятивистской инвариантности.
В этом нет никакой мистики. Если бы мы
знали, что происходит хотя бы в одной обла-
области четырехмерного евклидова пространства,
и при этом знали, как это нечто преобразу-
преобразуется при поворотах системы отсчета (здесь
предполагается инвариантность), то мы мог-
могли бы как угодно повернуть нашу область и
при этом абсолютно точно знали, что произой-
произойдет; действуя подобным образом, мы выясни-
выяснили бы, что происходит в любом месте наше-
нашего четырехмерного евклидова пространства.
Здесь же мы имеем дело с четырехмерным
пространством Минковского x,y,z,t, которое
устроено немного иначе; впрочем, отличия не
столь велики, и мы могли бы действовать
тем же образом. Трудность с пространством
42
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Минковского состоит в том, что в нем име-
имеется «ничейная» полоса, нейтральная зона;
находясь в ней, событие t<i оказывается вне
светового конуса с вершиной в t±; преобра-
преобразования Лоренца туда «не достают». Тем не
менее, мы получили правильный ответ и в
области абсолютно удаленного, воспользовав-
воспользовавшись тем, что требование положительности
энергий накладывает определенные ограниче-
ограничения на решения. Иначе говоря, изменяющая
все знаки операция РТ по существу является
релятивистским преобразованием, или, ско-
скорее, преобразованием Лоренца, продолжен-
продолженным на область абсолютно удаленного с по-
помощью требования положительности энергий.
Вот почему нет ничего удивительного в том,
что релятивистская инвариантность столь
важна.
СПИН \ И СТАТИСТИКА ФЕРМИ
До сих пор спин считался равным нулю; те-
теперь мне бы хотелось положить его равным
^ и посмотреть, что из этого получится. Если
имеется состояние со спином ^ и вы совершите
поворот, скажем, относительно оси z на угол О,
то фаза состояния изменится на е~10/2. В те-
теории групп имеется уйма методов доказатель-
Почему долснсны существовать античастицы 43
ства подобных штук; я не буду здесь на этом
останавливаться, хотя это довольно приятное
времяпрепровождение. Суть в том, что ког-
когда вы совершаете поворот на 360°, волновая
функция умножается на (—1). Этот результат
очень трудно осмыслить, и интуиция здесь не
поможет. Как может поворот на 360° что-либо
изменить? Сложнее всего нам надо будет сле-
следить за тем, был ли совершен поворот на 360°
или нет, или, другими словами, надо ли пи-
писать знак минус или нет. Мы увидим, что по-
появление загадочного знака минус у фермионов
обусловлено именно таким незамеченным по-
поворотом на 360°.
Дирак очень изящно продемонстриро-
продемонстрировал то, как полный поворот можно отли-
отличить от ситуации, в которой ничего не про-
произошло . В действительности только два
полных поворота дают тот же результат,
что и отсутствие вращения. Я. вам сей-
сейчас покажу кое-что из того, что делают
танцовщицы. Я. собираюсь повернуть этот
стакан на полный оборот (см. серию сним-
снимков на рис. 9А) — запомните, в какую сто-
* Об этом известном примере Дирака с ножницами
см. R. Penrose and W. Rindler A984). Spinors and Space-
Time, vol. 1, p. 43. Cambridge University Press.
44
РИЧАРД ФЕЙНМАН
рону я это делаю — пока вы опять не уви-
увидите вот эту метку; вот я повернул его
на 360°, но у меня возникли проблемы.
Если я буду продолжать в том же духе —
для этого потребуется немного мужества,
если учесть обстоятельства — и не вывих-
вывихну себе руку, то все встанет на свои места.
Таким образом, два поворота равносиль-
равносильны тому, что ничего не произошло, но для
одного поворота это не так, поэтому вам
придется все время следить, был ли по-
поворот; остальная часть этой лекции будет
действовать вам на нервы из-за этих по-
постоянных попыток отследить, был ли по-
поворот или нет .
Чтобы у вас сложилось представление о
структуре часто встречающихся здесь фор-
формул с половинными углами, я упомяну в ка-
качестве примера еще кое-что. Допустим, у вас
есть электрон, и вы знаете, что проекция его
спина на ось z составляет +|. Какова веро-
вероятность того, что измерение проекции спина
на какое-либо другое направление, скажем, на
ось z', даст +5? Если угол между этими двумя
Этот фрагмент дословно воспроизведен по лекции
Фейнмана.
Почему должны существовать античастицы 45
РИС. 9А.
направлениями составляет 0, то ответ будет
таков:
тэ о 0 1 + COS 0
Вероятность = cos — = —¦
2 2
Амплитуда = cos @/2) = у/[{1 + cos0)/2].
A2)
Давайте теперь посмотрим, что происходит в
теории полуцелого спина с амплитудами для
скалярного взаимодействия. Мы рассмотрим
простое возмущение U, для которого спино-
спиновые составляющие амплитуд будут обусловле-
46
РИЧАРД ФЕЙНМАН
ны свойствами самих частиц, а не возмуще-
возмущения; это существенно упростит анализ. Мы
выведем соотношения, сходные с полученной
выше формулой с половинным углом, однако
в них будут реально учтены релятивистские
поправки. Итак, приступим.
Если у нас есть частица массой т, то, как
мы знаем, энергия и импульс удовлетворяют
соотношению
л2 _™2
A3)
где т2 — разумеется, просто постоянная, и
Р = |р|—абсолютная величина импульса. Из
A3) вытекает, что если энергия Е задана,
то импульс р известен, и наоборот, так что
здесь можно обойтись только одной перемен-
переменной. С учетом сказанного соотношение A3)
становится похожим на тригонометрическую
формулу cos2 О + sin2 0=1, разница только в
том, что здесь есть множитель т2 и стоит знак
минус. Чтобы выразить Е шр через одну пере-
переменную, вместо тригонометрических функций
нужно использовать гиперболические. Если
написать
Е = т cosh oj,
р = msinho;,
A4)
Почему должны существовать античастицы 47
то Е и р будут автоматически удовлетворять
соотношению A3), здесь ш — новая перемен-
переменная — быстрота.
Предположим, что частица в состоянии
с некоторым спином переходит под влияни-
влиянием возмущения из состояния покоя в состо-
состояние с импульсом р. В начальном состоянии
4-импульс был равен р\ = (т, 0,0,0), а в ко-
конечном р2 = (Е,р, 0,0), где Е и р определе-
определены в A4). Амплитуда перехода частицы из на-
начального состояния в конечное состояние да-
дается формулой с половинными углами, анало-
аналогичной A2); с точностью до несущественного
множителя она имеет вид
^¦переход СХ COsh(o;/2).
A5)
По аналогии с рассмотренным выше простран-
пространственным поворотом с точностью до несуще-
несущественного множителя мы можем записать это
выражение в форме
"•переход
ос V(cosha7+T) ее у/(Е
A6)
Эту амплитуду молено представить в реляти-
вистски-ковариантной форме, если учесть, что
Pi • Р2 = Ет, где р\ • Р2 — скалярное произведе-
48
РИЧАРД ФЕЙНМАН
ние 4-векторов. В результате амплитуда при-
принимает вид
переход
у/рг • р2 +7П2).
A7)
Преимущество релятивистски-ковариантной
формы записи состоит в том, что амплиту-
амплитуда, полученная нами для частного случая, бу-
будет верна при любых р\ и р2. Попробуем с
помощью этого выражения найти амплиту-
амплитуду рождения пары. Положим, как и прежде,
Р\ — (т,0, 0,0), но будем теперь считать, что
Рч = (—Е, — р,0,0). Состояние с отрицатель-
отрицательной энергией, разумеется, отвечает антича-
античастице. В данном случае pi • Р2 — —Ет,^ и для
амплитуды рождения пары мы находим
—гпЕ + га2) ос i y/{E - т). A8)
ос
Используя эти результаты, мы продолжим
наш разговор о полной вероятности для спи-
спина | и увидим, что здесь нам придется столк-
столкнуться с принципом Паули. Поскольку рассмо-
рассмотрение данного вопроса во многом аналогично
случаю нулевого спина, основное внимание я
уделю только различиям между ситуациями с
нулевым спином и спином ^.
Если рассматривать начальное вакуумное
состояние, то результаты для нулевого спина
Почему должны существовать античастицы 49
непосредственно обобщаются на наш случай,
я мы получим такое же соотношение, как и на
рис. 6.
Рассмотрим теперь процесс, начальное
условие для которого задается частицей в со-
состоянии фо; будем считать, что в этом состо-
состоянии частица покоится. Мы получим те же
шесть диаграмм, что и на рис. 7, однако на
этот раз амплитуды на этих диаграммах бу-
будут связаны между собой совершенно други-
другими соотношениями.
Для вычисления полной вероятности нам
потребуются вещественная часть амплитуд на
рис. 7,6, в, г и квадрат модуля амплитуд на
рис. 7 ,д и е. Начнем с процесса на рис. 7,6, в
котором частица рассеивается в точке х± & со-
состояние р, затем движется до точки х^, где ис-
испытывает еще одно рассеяние, возвращающее
ее в состояние фо. Из соотношения A7) видно,
что каждый акт рассеяния приводит к появле-
появлению множителя /
+ т, поэтому амплитуда
процесса на рис. 7,6 будет равна
х exp{-i[Ep(t2
- р • (х2 -
A9)
50
РИЧАРД ФЕЙНМАН
причем знак минус здесь обусловлен множи-
множителями — i, появляющимися в каждой из вер-
вершин диаграммы.
Вероятность процесса на рис. 7,д дается
квадратом модуля выражения A6); результат
суммирования по импульсам показывает, что
в силу A6) и A9) соотношение на рис. 3 будет
справедливо и для частиц со спином 2-
Теперь надо быть очень внимательными,
чтобы получить правильное выражение для
диаграммы на рис. 7, в. Это выражение содер-
содержит отрицательные частоты и должно совпа-
совпадать с A9), когда события *i,xi и *2,х2 разде-
разделены пространственноподобным интервалом.
Но A9), очевидно, совпадает с выражением
-[m + i(d/dt2)FB,1)] [см. G)], которое, в свою
очередь, равно -[т + i(d/dt2)GB,l)] в обла-
области абсолютно удаленного, так что амплитуда
на рис. 7,в будет однозначно определяться ра-
равенством
¦(-Ер-\-т) х
J BтгK2Ер
x exp{+i[Ep(t2 — *i) — P
B0)
Эта формула получена только на основе ана-
аналитических свойств амплитуды [таким же спо-
Почему должны существовать античастицы 51
собом было получено равенство A1)]; при ее
выводе выражение A8) не использовалось, хо-
хотя можно было бы считать, что множитель
(—Ер + го) возник из-за двух факторов Апары
[см. A8)].
Здесь проявляется важное различие слу-
случаев нулевого спина и спина |: соотношение
на рис. 4 неприменимо для фермионов. Мы
теперь располагаем всем необходимым, чтобы
убедиться в правильности этого вывода для
частиц со спином |. Согласно A8), вероят-
вероятность рождения пары (которая обязательно
должна быть положительной) равна Ер — т;
сравнивая этот результат с вещественной ча-
частью амплитуды B0) (равной произведению
—ЕР + т на амплитуду при нулевом спине),
мы получим соотношение на рис. 10, которое
из-за знака минус принципиально отличается
от соотношения на рис. 4.
Вспомним теперь, что для бозе-частиц диа-
диаграмма на рис. 7,е давала отрицательный
вклад в полную вероятность. Это означало,
что должно было возникнуть нечто, дающее
положительный вклад и тем самым сохраня-
сохраняющее общий баланс. Эту проблему можно ре-
решить, рассмотрев диаграммы 7,ги7,еср = 0
и диаграмму на рис. 7,в. Мы видели, что до-
добавление обменной диаграммы (рис. 8) дает
52
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Почему долснсны существовать античастицы 53
+ 2
я
2 Re 2
я
Фо
00
Рис. 10. Тождество для частиц со спином |, ана-
аналогичное показанному на рис. 4.
необходимый положительный вклад. В ко-
конечном счете все это привело к статистике
Бозе.
В случае фермионов диаграмма на рис. 7, в
дает, наоборот, положительный вклад в пол-
полную вероятность (это видно из рис. 10), так
что теперь нам понадобится отрицательная
добавка. На самом деле, в силу рис. 6 и
10 вклады диаграмм на рис. 7, в и г (при
р = 0) в точности гасят друг друга, и нам оста-
остается только потребовать, чтобы вклады диа-
диаграмм на рис. 8 полностью компенсировали
друг друга —тогда полная вероятность будет
равна единице.
Из сказанного ясно, что амплитуды, отве-
отвечающие диаграммам, в которых два фермио-
на поменялись местами, должны вычитаться.
Это может быть верно только при следующем
условии: если в некотором состоянии имеется
частица-спектатор, то вероятность появления
в том же состоянии другой частицы при ро-
рождении пары уменьшается для фермионов;
если для бозонов амплитуда увеличивалась до
1 + 1 = 2, то для фермионов она падает до
1 — 1 = 0. Правило состоит в том, что если име-
имеется частица в некотором состоянии, то при
рождении пары в этом состоянии не может
возникнуть другая частица; присутствие ча-
частицы не позволяет произойти тому, что вы
ожидали, и величина вероятности изменяется
в нужную сторону. Таким образом, мы на кон-
конкретном примере продемонстрировали связь
спина со статистикой и, в частности, показа-
показали, что она должна быть разной для частиц с
нулевым спином и спином ^. Мы использова-
использовали теорию относительности и квантовую ме-
механику и получили соотношения, вытекающие
из уравнения Дирака. Продолжим обсуждение
этих вопросов, чтобы еще яснее представить
себе, почему все это происходит.
54
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Почему должны существовать античастицы 55
Обращение времени
и античастицы
Я. собираюсь сейчас сформулировать слцее
правило, по которому частице ставится в со-
соответствие ее античастица. Мы уже подробно
говорили, что для описания поведения анти-
античастицы достаточно рассмотреть обращенное
во времени движение соответствующей части-
частицы. Если говорить более определенно, то спра-
справедливы следующие утверждения. Предполо-
Предположим, у нас есть античастица в некотором на-
начальном состоянии с импульсом pi, энергией
Ei и спином щ (здесь неважно, какого типа
частицы рассматриваются — бозоны или фер-
мионы). С этой античастицей могут происхо-
происходить разного рода вещи. Например, если ан-
античастица обладает электрическим зарядом,
она может испустить фотон с поляризацией
а, импульсом Qa и энергией Еа и перейти в
конечное состояние с импульсом р/, энерги-
энергией Ef и спином Uf. Амплитуда этого процесса
для античастицы равна амплитуде обращенно-
обращенного во времени процесса для частицы, которая
сначала находилась в состоянии с импульсом
Pf, энергией Ef и спином (PT)uf, затем по-
поглотила фотон с поляризацией —а*, импуль-
импульсом Qa и энергией Еа и перешла в конечное
состояние с импульсом р^, энергией Е{ и спи-
спином {РТ)~1щ (рис. 11). Следовательно, чтобы
найти амплитуду событий для частицы, доста-
достаточно подействовать преобразованием РТ на
события, произошедшие с античастицей. За-
Заметим, что действие РТ на состояние с им-
импульсом р и энергией Е дает состояние с те-
теми же импульсом р и энергией Е. Почему?
Дело в том, что обращение времени дает со-
состояние с импульсом — р и энергией Е, одна-
однако пространственная инверсия изменяет знак
у всех пространственных координат на проти-
противоположный и опять приводит к состоянию с
импульсом р и энергией Е. Вместе с тем пре-
преобразование РТ изменяет поляризацию фо-
фотона и спиновое состояние частиц. Заметим,
что в конечном состоянии одного из процессов
нам пришлось применить обратное преобразо-
преобразование (РТ)~1. Хотя {РТ)~Х выглядит эквива-
эквивалентным РТ, между ними есть небольшое раз-
различие, и мы скоро убедимся в этом. Преобра-
Преобразование С, превращающее частицу в антича-
античастицу, эквивалентно пространственной инвер-
инверсии Р и обращению времени Т. При этом все
события развертываются в обратном порядке,
например, если мы имеем дело с поляризован-
поляризованной по кругу световой волной с вектором по-
поляризации, равным, скажем, (ех,еу) =
56
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Конечное Nv^j
состояние
Время
f
Начальное
состояние
Конечное
состояние
Время
t
Начальное
состояние
(PJT'u,
б
Рис. 11. Процесс для античастицы (а) и для час-
частицы {б).
Почему должны существовать античастицы 57
то при обращении времени поляризация изме-
изменится на (ех,еу)* = A,—г), что отвечает изме-
изменению направления вращения электрического
вектора волны на противоположное. Это зна-
значит, что РТ(ех,еу) = —(ех,еу)*, и так далее.
С =¦ РТ — и события развиваются в обратном
порядке. Впрочем, я не стану вдаваться в по-
подробности доказательства этого утверждения.
Как уже говорилось, когда мы анализи-
анализировали поведение частицы, исходя из пове-
поведения соответствующей античастицы, в од-
одном из крайних состояний на спиновую пе-
переменную действует оператор РТ, тогда как
в другом крайнем состоянии действует опера-
оператор (РТ)~г. Было бы удобнее, если бы в обоих
крайних состояниях действовал один и тот же
оператор, поскольку тогда при одинаковых со-
состояниях щ и Uf были бы одинаковыми и со-
состояния (РТ)щ и (PT)uf. Мы воспользуемся
этим фактом позднее. С операцией простран-
пространственной инверсии Р не возникает трудностей,
поэтому выберем фазу таким образом, чтобы
Р2 = 1, т.е. чтобы две пространственные ин-
инверсии оставляли все без изменений. Мы со-
собираемся показать, что для частиц со спином
\ Т'1 = -Т, т.е. ТТ = -1, тогда как для
частиц с нулевым спином будет ТТ = +1.
Принцип Паули и статистика Ферми обязаны
58
РИЧАРД ФЕЙНМАН
своим происхождением именно этой разнице в
знаках, именно этому дополнительному знаку
минус.
Два последовательных
обращения времени
Почему так получается, что двукратное при-
применение операции обращения времени к ча-
частице со спином | изменяет ее знак на про-
противоположный? Ответ заключается в том,
что двукратное действие Т эквивалентно про-
пространственному вращению на 360°. Если два-
дважды поменять направление оси х на проти-
противоположное, то получится поворот на 360°;
в четырехмерном пространстве то же самое
справедливо и в отношении оси t. Ниже я по-
покажу, что это на самом деле верно (для этого
мне даже не понадобится использовать какие-
либо релятивистские соотношения между t и
х). Как мы уже говорили, для частицы со спи-
спином | поворот на 360° приводит к умножению
на (—1), и, таким образом, ТТ = — 1. Давайте
покажем, что для частиц со спином | действи-
действительно должно получаться ТТ = — 1. В табл. 1
приведены различные состояния и показано,
как они изменяются после однократного и дву-
двукратного применения операции Т.
Почему долоюны существовать античастицы 59
О
о
9
3
3
сх
»
1
о,
I
S
К
2
S
CD
а
о,
я
S
о
I
f
си
\о
о
I
I
о
О
-о
Еч
Л _& с
в
а,
Т
^l _ е
в
а.
си
N N Н Н
i i i Т
н
1ся |с^
о
II
я- g
и я °
О
В
о
О
о
Я
о
о
\СА (СЧ
I i
+
-Si в О?^=> О_____
60
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Первое состояние — это состояние, в кото-
котором частица находится в точке ж; с исполь-
использованием дираковских обозначений оно запи-
записывается в виде \х). Между символами «|»
и «>» находится индекс состояния или лю-
любой другой символ, обозначающий состояние;
в данном случае это координата точки х, в
которой находится частица. Состояние части-
частицы после обращения времени будет иметь вид
Т\х) = |ж), т. е. ничего не произойдет, и части-
частица останется на том же месте. С другой сторо-
стороны, обращение времени для частицы в состоя-
состоянии с импульсом \р) переведет ее в состояние с
импульсом —р; повторное обращение времени
вернет частицу обратно в состояние \р).
Анализ состояния \р) показывает, что Т
является так называемой антиунитарной опе-
операцией. Состояние \р) молено представить в
виде линейной комбинации, в которую состо-
состояния \х) для различных положений частицы
входят с различными фазами. Чтобы полу-
получить состояние | — р), достаточно взять то
же разложение Т\х) = \х), в которое, однако,
состояния входят с комплексно сопряженны-
сопряженными фазовыми множителями. Следовательно, в
общем случае Т[а\а) +/3\Ъ)] = а*Т\а) + /3*Т\Ь),
т. е. при действии любого антиунитарного опе-
оператора вы должны сразу лее заменить коэф-
Почему долоюны существовать античастицы 61
фициенты на их комплексно сопряженные. Ра-
Разумеется, при повторном применении Т вам
опять понадобится вычислять комплексно со-
сопряженные коэффициенты, но если вы раз-
разбираетесь в алгебре, то знаете, что это будет
пустой тратой времени. Смотрите, что теперь
получается. Состояние ТТ\а) было бы физи-
физически эквивалентным состоянию |а), если бы
не эта дьявольская квантовая механика, из-за
которой вечно получается путаница с фазами.
В соответствии со сказанным ТТ\а) — фазо-
фазовый множитель |а), причем этот множитель
будет одинаковым для всех состояний, кото-
которые могут быть наложены на состояние |а), и,
таким образом, действие оператора ТТ не из-
изменит результата интерференции состояний.
Состояния с нулевым спином и спином | не
могут быть наложены друг на друга, посколь-
поскольку между этими типами состояний есть фун-
фундаментальные различия; следовательно, сум-
суммарное изменение фазы в результате действия
оператора ТТ может быть различным.
Сейчас мы собираемся использовать следу-
следующий факт: если у нас есть состояние с неко-
некоторым угловым моментом \j, m), то T\j, m) =
фазовый множитель \j, —m). Для углового мо-
момента все должно выглядеть следующим обра-
образом: если объект вращается, то обращение
62
РИЧАРД ФЕЙНМАН
времени даст тот лее объект, вращающийся
в противоположном направлении. Например,
поскольку Т действует как г —>¦ гир —> —р,
то для углового момента L = гЛр будет
ТЪ —> —L, т. е. действие оператора Т изменяет
угловой момент на противоположный.
Рассмотрим состояния с целочисленным
спином. Среди них имеется состояние с нуле-
нулевым угловым моментом, а именно \j, m = 0).
Однократное применение оператора Т к этому
состоянию дает то же состояние \j, m = 0) с не-
некоторым фазовым множителем, повторное же
применение Т вернет состояние к исходному
\j, тп = 0) в силу антиунитарности Т. Таким
образом, поскольку фаза должна быть одина-
одинаковой для всех интерферирующих состояний,
то ТТ = +1 для состояний с целочисленным
спином.
Чтобы разобраться в том, что происходит
с полуцелым спином, рассмотрим простейший
случай, когда спин равен \. Попробуем запол-
заполнить нашу таблицу для четырех специальных
случаев: спин направлен параллельно оси z в
прямом и в обратном направлениях, | + zI
| — 2г), спин направлен параллельно оси х в
прямом и в обратном направлениях: | + ж),
| — х). Элементарная теория спина объясняет
нам, как два последних случая можно выра-
Почему должны, существовать античастицы 63
зить через базисные состояния 1+2:) и | — z):
состояние | + х) является результатом сложе-
сложения базисных состояний в фазе, а | — х) — в
противофазе. Физически обращение времени
переводит состояние | + z) в состояние | — z),
и наоборот. Точно так лее при обращении вре-
времени из состояния | + х) должно получиться
состояние | — х) с точностью до фазового мно-
множителя.
Для первой ячейки в таблице Т\+ z) с точ-
точностью до фазового множителя у нас долж-
должно получиться j — z). Легко проверить, что эта
фаза может выбираться произвольно, и мы на-
напишем Т\ + z) — | — z). Далее, Т\ — z) долж-
должно быть равно | + z) с некоторым фазовым
множителем. Мы не можем записать резуль-
результат просто в виде | + z): поскольку при дей-
действии Т на состояние | + х), которое являет-
является результатом синфазного сложения | + z) и
| — z), вместо противофазного состояния \ — х),
умноженного на некоторое число, получилось
бы опять синфазное состояние | + ж), что ли-
лишено физического смысла. Чтобы произошло
требуемое изменение фазы, мы обязаны поло-
положить Т\ — z) = — | + г:), т. е. взять противопо-
противоположную по сравнению с Т\ + z) фазу. Значит,
Т(Т\ + z)) = Т\ — z) = —| + z), и мы можем
заполнить оставшиеся ячейки в таблице. Та-
¦т
64
РИЧАРД ФЕЙНМАН
ким образом, ТТ = — 1 для спина |, и обра-
обращение времени всегда приводит к иному фи-
физическому состоянию; как легко показать, это
справедливо для любого полуцелого спина j.
Используя этот факт совместно с результатом
для частиц с целочисленным спином, получа-
получаем, что ТТ эквивалентно полному повороту:
ТТ = 360°.
Мы наконец подошли к вопросу о знаке
петли для частиц со спином \. Вы, наверное,
еще помните, что в релятивистской кванто-
квантовой теории потенциал приводит к рождению
пар, поэтому вероятность того, что вакуумное
состояние (т. е. состояние, в котором нет ча-
частиц) остается вакуумным, должна быть мень-
меньше единицы. Запишем амплитуду перехода из
вакуумного состояния опять в вакуумное со-
состояние в виде 1-ЬХ, где X — вклад всех замк-
замкнутых петель, показанных на рис. 6 справа.
Величина X должна давать отрицательный
вклад в вероятность того, что вакуумное со-
состояние остается вакуумным; это следует из
тождества на рис. 6, поскольку выражение в
его левой части строго отрицательно.
Рассмотрим петли, дающие вклад в X.
Петля образуется электроном, который выхо-
выходит из состояния, описываемого, скажем, ди-
раковской волновой функцией и, обходит пе-
Почему долоюны существовать античастицы 65
тлю и возвращается в то же физическое состо-
состояние и; мы же должны вычислить след полу-
получающегося произведения матриц, просумми-
просуммировав диагональные элементы. Но здесь име-
имеется одна тонкость: конечное физическое со-
состояние могло оказаться повернутым на 360°,
и мы действительно сталкиваемся с таким по-
поворотом (или с эквивалентным ему преобра-
преобразованием ТТ). Из какой бы системы отсчета
вы ни наблюдали этот процесс, на определен-
определенном этапе электрон превратится в движущий-
движущийся вспять во времени позитрон (одно Т), а за-
затем превратится снова в электрон, движущий-
движущийся вперед во времени (второе Т); таким обра-
образом, обойдя петлю, вы в конце концов придете
к состоянию ТТи (рис. 12).
Такой же оператор ТТ будет действовать
и в случае бозонов (нулевой спин), однако при
этом ТТ = +1, так что здесь не возникнет
никаких проблем. С бозонами все получается;
вычисление для X дает отрицательный вклад.
Однако для спина ^, как мы только что пока-
показали, появляется дополнительный знак минус.
Следовательно, чтобы обеспечить выполнение
тождества на рис. 6, т. е. чтобы вклад X при-
приводил к отрицательной добавке к вероятно-
вероятности, необходимо ввести дополнительное пра-
правило для частиц с полу целым спином, а имен-
66
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Позитрон
Рис. 12. Петля для пары частица-античастица;
показаны две операции обращения времени.
но, вычисляя вклад каждой одиночной петли,
мы должны поставить еще один знак минус,
чтобы компенсировать знак минус, который
появляется из-за ТТ = — 1. Если мы этого
не сделаем, то не сможем правильно вычис-
вычислить вероятность и не получим последователь-
последовательной теории частиц со спином |. Этот допол-
дополнительный знак минус связан со статистикой
Ферми.
Статистика Ферми для частиц со спином
^ обусловлена общим правилом, согласно ко-
которому вы должны умножать результат для
каждой замкнутой петли на —1 (см. рис. 9).
Случаи, изображенные на рис. 9,а и б, разли-
Почему должны существовать античастицы 67
чаются знаком минус, поскольку на рис. 9,а
имеется две петли, тогда как на рис. 9,6—
только одна. Таким образом, рис. 9 говорит
о том, что, поменяв две частицы местами, вы
должны поставить знак минус, а это и есть
статистика Ферми!
Магнитные монополи,
спин и статистика Ферми
Чтобы сделать еще более ясным соотноше-
соотношение между свойствами частиц по отношению
к пространственным поворотам и их статисти-
статистикой, мне бы хотелось привести в качестве при-
примера объект со спином |, причем нам удаст-
удастся выяснить, откуда у этого объекта берется
угловой момент. Предположим, у нас имеется
система из магнитного монополя и электриче-
электрического заряда (рис. 13). Магнитный монополь
был придуман Дираком, поэтому здесь будет
уместно сказать о нем несколько слов. По-
Подобно тому, как электрический заряд являет-
является источником электрического поля, магнит-
магнитный монополь является источником магнит-
магнитного поля. Хотя никто никогда не видел маг-
магнитного монополя, его легко себе представить.
Если бы у вас был очень длинный стержневой
магнит, то магнитное поле вблизи полюса та-
f
68
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Рис. 13. Система из магнитного монополя /z и
электрического заряда q.
кого магнита напоминало бы поле монополя,
поскольку другой полюс находился бы очень
далеко.
И все же представим себе, что у нас име-
имеется магнитный монополь с магнитным заря-
зарядом /х в присутствии обычного электрическо-
электрического заряда q. Будем считать, что обе части-
частицы имеют нулевой спин, так что нам не при-
придется учитывать их собственный угловой мо-
момент. Поскольку каждая из частиц находит-
находится в поле, создаваемом другой частицей, мы
можем построить вектор Пойнтинга Е Л В по
обычным правилам. Интегрирование вектора
Пойнтинга по объему дает импульс. Если про-
проделать необходимые вычисления, то окажет-
Почему долоюны существовать античастицы 69
ся, что наша система из двух частиц обладает
угловым моментом (направленным вдоль пря-
прямой, соединяющей заряд и монополь), причем
его величина не зависит от расстояния меж-
между частицами. Угловой момент можно вычис-
вычислить различными способами, и я оставлю это
в качестве упражнения. Оказывается, что он
равен fiq .
В квантовой механике угловой момент
квантуется. Как известно, разрешенные зна-
значения углового момента должны быть кратны
A/2) К. Примем момент равным наименьшей
разрешенной величине, т. е. положим fj,q =
A/2)h. Таким образом, мы своими руками со-
создали объект со спином \. Теперь мы должны
убедиться в том, что поворот на 360° изменя-
изменяет фазовый множитель на (—1); посмотрим,
так ли это.
Допустим, что магнитный монополь за-
закреплен, а электрический заряд совершает во-
вокруг него оборот на 360° (рис. 14). Существует
По-видимому, один из самых простых способов вы-
вычислить угловой момент состоит в том, чтобы найти
момент силы, необходимый для вращения оси (т. е. ли-
линии, соединяющей заряд и монополь) с угловой скоро-
скоростью ш, при которой электрон будет двигаться по кру-
кругу с монополем, в центре. Сила, разумеется, возникает
из-за движения электрона в магнитном поле монополя.
70
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Ья
РИС. 14. Поворот заряда q на 360° вокруг магнит-
магнитного МОНОПОЛЯ.
известная теорема, которая утверждает сле-
следующее: если электрический заряд q движет-
движется в магнитном поле, то изменение фазы опи-
описывается множителем exp(i<? / A • сЬс/Я), где
/ А • dx — криволинейный интеграл от вектор-
векторного потенциала А вдоль траектории электри-
электрического заряда. (Эта теорема упомянута для
устрашения!) В данном случае интеграл вы-
вычисляется по замкнутой окружности. Исполь-
Используя основы векторного анализа, преобразуем
криволинейный интеграл от А по замкнуто-
замкнутому контуру в поверхностный интеграл от маг-
магнитного поля В по натянутой на этот контур
поверхности. Допустим, я преобразовал наш
Почему должны существовать античастицы 71
криволинейный интеграл в интеграл от В по
верхней полусфере. Поверхностный интеграл
от В есть просто поток через данную поверх-
поверхность. Величина полного потока магнитного
поля монополя есть 4тгд4, т. е. интеграл от В
по сфере, окружающей монополь, будет ра-
равен 4тг/х. Здесь же мы интегрируем по полу-
полусфере, поэтому результат вдвое меньше, т. е.
2тг/х. Изменение полной фазы будет опреде-
определяться фактором expB-jrifj,q/h); подставив сю-
сюда (iq — A/2) Н, получим, что exp(i7r) = —1,
т. е. здесь все абсолютно правильно.
Сейчас я должен сделать небольшое отсту-
отступление. Мы вплотную подошли к одному фак-
факту, который в свое время был доказан Дира-
Дираком, а именно: если бы во всей Вселенной су-
существовал хотя бы один монополь, то вели-
величина электрического заряда квантовалась бы.
Доказательство состоит примерно в следую-
следующем. Если бы мы интегрировали не по верх-
верхней, а по нижней полусфере, то получили бы
тот же самый результат. Однако в этом слу-
случае ориентация поверхности была бы проти-
противоположной по отношению к направлению об-
обхода контура, и фазовый множитель был бы
равен ехр(—1тг), что, впрочем, дало бы тот же
результат (—1). Но заметьте, если бы заряд q
не квантовался и не был кратен /г/2д, то инте-
72
РИЧАРД ФЕЙНМАН
грирование по этим двум поверхностям дало
бы различные результаты, и мы пришли бы
к противоречию. Следовательно, существова-
существование магнитных монополей влечет квантование
заряда. Судя по всему, заряд на самом деле
квантуется, и на этом основании кое-кто ве-
верит в существование магнитных монополей.
Предположим теперь, что у нас есть две
такие составные частицы, каждая из которых
обладает как электрическим, так и магнитным
зарядом. Обозначим первую частицу через А,
а вторую частицу, тождественную первой —
через В. Пусть в исходном состоянии частица
А находится в точке х, а частица В — в точке
у (обе частицы считаются одинаково ориенти-
ориентированными). Что случится, если мы поменяем
эти частицы местами? Давайте посмотрим.
На рис. 15,а показано, как частицы меня-
меняются местами. Мы собираемся определить из-
изменение фазы в результате этой процедуры.
Причина изменения фазы обусловлена движе-
движением электрического заряда частицы А вокруг
магнитного заряда частицы В и движением
электрического заряда частицы В вокруг маг-
магнитного заряда частицы А. (Взаимное распо-
расположение электрического и магнитного заря-
зарядов внутри каждой из частиц не изменяет-
изменяется.) Для частицы В перестановка выглядит
Почему должны существовать античастицы 73
А?
Ч
X
Рис. 15. Перестановка частиц, состоящих из элек-
электрического и магнитного зарядов.
так, как показано на рис. 15,6, тогда как для
частицы А она выглядит, как на рис. 15,в.
Каждое из этих относительных перемещений
приводит к появлению фазового множителя
exp(i<7/A - dx./h). Поскольку А поворачива-
поворачивается на 180° вокруг В, а В, в свою очередь,
поворачивается на 180° вокруг А, то мы име-
имеем дело с вращением на 360°. Для вычисле-
вычисления изменения фазы посмотрим на контуры,
вдоль которых выполняется интегрирование:
74
РИЧАРД ФЕЙНМАН
на рис. 15,6 интеграл вычисляется вдоль кон-
контура от точки х до точки у, а на рис. 15,в —
от точки у до точки х. Эти интегралы дают в
сумме криволинейный интеграл по замкнуто-
замкнутому контуру вокруг монополя — такой лее ре-
результат получается и при повороте на 360°.
Как мы уже видели, в этом случае появляет-
появляется множитель (—1). Разумеется, именно этого
и следовало ожидать для статистики Ферми:
множитель (—1) появляется всякий раз при
перестановке частиц со спином |. (Мы счита-
считали, что составные частицы, т. е. заряд и моно-
поль имеют нулевой спин и подчиняются ста-
статистике Бозе.)
Заключение
Мы уделяли большое внимание деталям, одна-
однако значение имеют только основные идеи. На-
Напомним, в чем они состоят. Если потребовать,
чтобы частицы могли обладать только поло-
положительными энергиями, то их траектории бу-
будут выходить за пределы светового конуса в
область абсолютно удаленного. Если наблю-
наблюдать за такими частицами из другой систе-
системы отсчета, то будет казаться, что они дви-
движутся вспять во времени: это античастицы.
То, что одному наблюдателю пред став ляет-
Почему должны существовать античастицы 75
Ричард Фейнман, выступающий с лекцией на
Дираковских чтениях.
ся частицей, другому наблюдателю кажется
античастицей. Затем, опираясь на тот факт,
что вероятность достоверного события равна
единице, мы обнаружили, что дополнитель-
дополнительные диаграммы, возникающие из-за существо-
существования античастиц и рождения пар, приводят
к статистике Бозе для частиц без спина. Когда
же мы попытались использовать тот лее под-
т
76
РИЧАРД ФЕЙНМАН
ход для частиц с полу целым спином, то уви-
увидели, что, переставив частицы, мы получаем
знак минус, т. е. они подчиняются статисти-
статистике Ферми. Общее правило состояло в том, что
двукратное обращение времени эквивалентно
повороту на 360°. Это позволило нам найти
связь спина со статистикой и привело к прин-
принципу Паули для частиц со спином \. Именно
в этом основная суть; все остальное — только
иллюстрации.
Вот, собственно, и все, о чем я собирал-
собирался рассказать в этой лекции. И все же из
бесед с вами у меня родилась мысль доба-
добавить несколько замечаний, позволяющих сде-
сделать связь спина со статистикой еще более яс-
ясной и понятной. Результат для системы элек-
электрического заряда и монополя мы получили
как следствие поворота на 360°: для этого
нам не потребовалось проводить релятивист-
релятивистского анализа последствий двукратного обра-
обращения времени. Такой подход можно сделать
еще более общим. Мы видели, что статистика
Бозе непосредственно следует из того факта,
что квантовомеханические амплитуды, отве-
отвечающие различным альтернативам процесса,
Почему должны существовать античастицы 77
складываются. А что будет в случае частиц
Ферми?
Мы уже отмечали, что со знаком ампли-
амплитуды для частиц с полуцелым спином может
возникнуть путаница, поскольку можно не за-
заметить, как система повернулась на 360°.
Попробуем сформулировать общее прави-
правило, связывающее спин и статистику для ча-
частиц обоих сортов, а именно: если две частицы
меняются местами, то изменение волновой
функции будет таким otce, как если бы сис-
систему координат, связанную с одной из час-
частиц, повернули на 360° относительно систе-
системы координат, связанной с другой частицей.
Почему это так? Да потому, что перестанов-
перестановка частиц как раз и означает относительный
поворот системы координат!
Рассматривая систему электрического и
магнитного зарядов, мы видели, что при пере-
перестановке частиц А и В (по непересекающимся
траекториям) частице А кажется, что В об-
обходит вокруг нее на 180°, а частице В — что
вокруг нее обходит частица А на те же 180°
и в том же направлении: общий поворот при
этом составляет 360°.
Чтобы проверить справедливость сказан-
сказанного в общем случае, представим себе (здесь
мы используем идею, предложенную Давидом
78
РИЧАРД ФЕЙНМАН
Рис. 16. На серии рисунков а — д концы ленты ме-
меняются местами. Обратите внимание на то, что пе-
перегиб ленты в правой части рис. д ориентирован
в обратном направлении по отношению к соответ-
соответствующему перегибу на рис. а. Чтобы вернуться
к исходному состоянию, требуется дополнительно
повернуть ленту справа относительно вертикаль-
вертикальной оси на 360°.
Почему должны существовать античастицы 79
Финкелыптейном), что к одним и тем лее точ-
точкам предметов АиВ прикреплена лента, свя-
связывающая их между собой. Мы сможем убе-
убедиться в том, что системы отсчета поверну-
повернулись относительно друг друга, когда обнару-
обнаружим на ленте перегиб на 360° (если А и В по-
поменять местами, то пространственное распо-
расположение ленты будет похоже на начальное).
Вполне очевидно, что перестановка предме-
предметов (каждый предмет перемещается с сохра-
сохранением начальной ориентации, без вращения)
приводит как раз к такому перегибу ленты
(рис. 16).
Поскольку перестановка фактически озна-
означает поворот одного предмета относительно
другого на 360°, то при перестановке частиц
с полуцелым спином мы вправе ожидать по-
появления множителя (—1), который обусловлен
этим поворотом.
НА ПУТИ
К ОКОНЧАТЕЛЬНЫМ
ФИЗИЧЕСКИМ ЗАКОНАМ
Стивен Вайнберг
Я чрезвычайно признателен Колледжу Сент
Джон и математическому факультету Кем-
Кембриджского университета за приглашение вы-
выступить с лекцией на Дираковских чтени-
чтениях. Дирак стал моим кумиром, когда я еще
студентом узнал о его замечательных до-
достижениях. Впоследствии мне посчастливи-
посчастливилось несколько раз встретиться с Дираком
лично. Я до сих пор испытываю благого-
благоговение перед ним. Выступление с лекцией в
память о таком замечательном человеке ко
многому обязывает. Планируя свое выступле-
выступление, я чувствовал, что здесь уместно гово-
говорить только о чем-то очень значительном.
По-видимому, было бы недостаточно сооб-
К окончательным физическим законам 81
.«¦>. г.
Стивен Вайнберг, выступающий с лекцией на
Дираковских чтениях.
щить о небольшом открытии в области фи-
физики элементарных частиц, которое мы сде-
сделали на прошлой неделе. Я не стану углу б-
82
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
ляться в детали и расскажу о том, что пред-
представляется самым важным для людей, рабо-
работающих в моей области, а именно о том, как
будут выглядеть окончательные физические
законы.
Конечно, мне бы очень хотелось почтить
память Дирака, показав вам плакат, на ко-
котором были бы написаны окончательные за-
законы физики, но я пока не в состоянии это-
этого сделать. Тема моего выступления гораз-
гораздо скромнее. Она будет звучать так: «Можем
ли мы найти в современной физике какой-
либо намек на то, как будет выглядеть окон-
окончательная фундаментальная теория, которую
мы когда-нибудь построим?».
Прежде всего, позвольте мне сказать, что
я понимаю под окончательной фундаменталь-
фундаментальной теорией. На протяжении нескольких по-
последних столетий ученые находили объясне-
объяснения явлениям окружающего мира, шаг за ша-
шагом продвигались от масштабов повседневной
жизни ко все более микроскопическим. На
этом пути множество старых вопросов — поче-
почему небо голубое, почему вода мокрая, и т. п. —
нашли свое объяснение на основании свойств
атомов и света. В свою очередь, свойства ато-
атомов удалось объяснить, исходя из свойств то-
того, что мы называем элементарными части-
К окончательным, физическим законам 83
нами: кварков, лептонов, калибровочных бо-
бозонов и некоторых других. Развитию науки
всегда сопутствовало стремление к просто-
простоте. Сказанное не означает, что математиче-
математический аппарат со временем становится проще
или что число элементарных частиц долж-
должно с каждым годом уменьшаться. Скорее, это
говорит о том, что основные принципы те-
теории становятся со временем логически бо-
более согласованными между собой и кажутся
более неизбежными. Мой коллега из Техаса
Джон Уилер считает, что, открыв окончатель-
окончательные физические законы, мы будем пораже-
поражены тем, что они не были очевидны нам с са-
самого начала. Как бы там ни было, наша за-
задача заключается в том, чтобы продолжать
поиски простых физических принципов, ко-
которые выглядели бы максимально убедитель-
убедительными и из которых мы в принципе смогли
бы вывести все, что известно из современной
физики.
Я не знаю, достигнем ли мы когда-нибудь
этой цели; на самом деле у меня далее нет уве-
уверенности в том, что существует такая вещь,
как набор окончательных фундаментальных
физических законов. И все же я совершенно
уверен, что эти поиски не пропадут для нас
даром, как не пропал даром поиск семи зо-
84
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
лотых городов для испанских конквистадоров,
впервые отправившихся на север из централь-
центральной Мексики. Они не нашли городов, зато им
открылись другие полезные вещи, например
Техас.
Позвольте мне теперь пояснить, что я не
считаю фундаментальными физическими за-
законами. Я не думаю, что традиционным обла-
областям физики угрожает опасность быть за-
замененными некоторой окончательной верси-
версией теории элементарных частиц. Мне кажет-
кажется, что термодинамика может послужить хо-
хорошим примером. Сегодня мы уже многое зна-
знаем о молекулах воды. Допустим, когда-нибудь
мы узнаем все, что о них в принципе мож-
можно узнать; предположим, мы будем обладать
безграничными вычислительными ресурсами,
и у нас будут компьютеры, способные рассчи-
рассчитать траекторию движения каждой молекулы
в стакане воды. (Скорее всего, этого никогда
не случится, но мы все же допустим такую
возможность.) Даже если мы будем в состо-
состоянии описать поведение каждой молекулы в
стакане воды, однако в кипах компьютерных
распечаток мы не обнаружим интересующих
нас свойств воды, таких как температура и эн-
энтропия. Эти свойства имеют смысл только в
пределах термодинамической теории, которая
К окончательным физическим законам 85
оперирует понятием теплоты, не сводя его к
свойствам элементарных частиц или молекул.
Сегодня нет никаких сомнений в том, что
своими законами термодинамика в конечном
счете обязана свойствам вещества в малом,
на элементарном уровне. (Если вы читали, на-
например, биографию Больцмана, то, вероятно,
знаете, что в начале века это мнение счита-
считалось ошибочным.) Сегодня нет сомнений в
том, что законы термодинамики вытекают из
более глубоких, фундаментальных принципов
физики. Тем не менее термодинамика будет
существовать и дальше на правах одного из
разделов физики.
Сказанное справедливо и в отношении дру-
других, более актуальных сегодня областей на-
науки, например теории конденсированного со-
состояния и теории хаоса. В еще большей степе-
степени сказанное справедливо в отношении наук за
пределами физики; в особенности это касает-
касается астрономии и биологии, для которых важен
элемент преемственности.
Я не утверждаю, что теория элементар-
элементарных частиц является самым важным разделом
физики. Я только пытаюсь сказать, что из-за
связи с фундаментальными законами приро-
природы теория элементарных частиц имеет особое
значение, пусть даже ей не всегда сразу уда-
86
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
ется найти практическое применение. Об этом
стоит вспоминать, когда ученые, занимающи-
занимающиеся физикой элементарных частиц, обращают-
обращаются за финансовой поддержкой для продолже-
продолжения экспериментальных исследований.
Я занимаю сейчас несколько оборонитель-
оборонительную позицию, поскольку существует одно
скверное словечко, которым называют всех,
кто говорит о фундаментальных физических
законах. Их называют редукционистами. Ра-
Разумеется, верно, что наивный редукционизм
может иметь ужасные последствия, особенно
в сфере общественных наук. Но есть одно об-
обстоятельство, из-за которого, я полагаю, не
стоит спорить о достоинствах и недостатках
редукционизма — сегодня мы все редукциони-
редукционисты. Представляю, с каким недоверием отнес-
отнесся бы в наши дни химик к любому объясне-
объяснению химического сродства, которое не могло
хотя бы в принципе быть выведено из свойств
молекул.
В подобном отношении к проблеме есть
нечто древнее, восходящее к досократовским
временам. Реальная надежда найти неболь-
небольшое количество простых принципов, лежащих
в основе всей физики, возникла всего 60 лет
тому назад и обязана своим появлением ве-
великому перевороту в науке — созданию тео-
К окончательным физическим, законам 87
рии, которой Поль Дирак придал завершен-
завершенную форму и которая известна как квантовая
механика.
Когда я готовил эту лекцию, мне сказали,
что она должна быть рассчитана на студентов,
прослушавших вводный курс квантовой меха-
механики. Допуская, что не все присутствующие
здесь удовлетворяют этому критерию, я при-
приготовил для вас двухминутный курс кванто-
квантовой теории. Мне необходимо уложиться в эти
две минуты, поэтому я рассмотрю очень про-
простую систему — обычную монету. Отвлекаясь
от проблем, связанных с ее движением, будем
интересоваться единственным вопросом — что
выпадает, «орел» или «решка». При класси-
классическом описании состояние может быть либо
орлом, либо решкой; классическая теория от-
отвечает на этот вопрос, когда монета переска-
перескакивает из одного состояния в другое. В кван-
квантовой механике состояние монеты нельзя опи-
описать, просто сказав, что оно есть орел или
решка; для его описания потребуется ввести
вектор, называемый вектором состояния. Век-
Вектор состояния существует в двумерном про-
пространстве с координатными осями, помечен-
помеченными в соответствии с двумя возможными со-
состояниями — орел и решка (рис. 1). Может ока-
оказаться, что вектор состояния направлен вдоль
88 СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
«Решка»
«Орел»
О
Рис. 1. Монета как пример простейшей кван-
товомеханической системы. Вероятность выпаде-
выпадения «орла» О2, вероятность «решки» Р2, так
что О2 + Р2 = 1. Длина вектора состояния
VO2 + Р2 == 1.
оси «решка», и тогда вы скажете, что монета
определенно находится в состоянии «решка»:
если же вектор состояния направлен вдоль оси
«орел», то вы скажете, что монета опреде-
определенно находится в состоянии «орел». В клас-
классической механике имеются только два воз-
возможных исхода. Однако в квантовой механи-
К окончательным физическим законам 89
ке вектор состояния может указывать в лю-
любом промежуточном направлении. Если этот
вектор указывает в промежуточном направ-
направлении, то монета определенно не находится
ни в состоянии «орел», ни в состоянии «реш-
«решка». Однако, взглянув на монету, вы застане-
застанете ее в одном из этих двух состояний. Дру-
Другими словами, в результате измерения реали-
реализуется одна из двух возможностей — «орел»
или «решка». Когда вы проводите измерение
с целью выяснить, находится ли монета в со-
состоянии «орел» или «решка», она будет ока-
оказываться в том или ином состоянии с веро-
вероятностью, зависящей от величины угла, под
которым вектор состояния был ориентирован
до измерений.
Вектор состояния можно задать, опреде-
определив его компоненты, одну из которых я бу-
буду называть О («орел»), а другую — Р («реш-
(«решка») (см. рис. 1). Величины О и Р называ-
называются амплитудами вероятности. Вероятность
обнаружить монету в состоянии «орел» рав-
равна квадрату величины О, а вероятность по-
получить решку — квадрату другой амплиту-
амплитуды — Р. Теорема Пифагора говорит о том, что
сумма квадратов этих амплитуд равна ква-
квадрату длины вехтора состояния. Вам также
известно, что сумма вероятностей всех воз-
90
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
можных исходов события должна равняться
единице. Это означает, что сумма квадратов
амплитуд должна быть равна единице, и, сле-
следовательно, квадрат длины нашего вектора
тоже равен единице. Другими словами, вектор
состояния должен иметь единичную длину.
Таким образом, в квантовой механике сис-
система описывается вектором состояния единич-
единичной длины, а вероятность получить в резуль-
результате эксперимента тот или иной результат да-
дается квадратом соответствующей компоненты
этого вектора. Динамика такой системы опи-
описывается законом, в соответствии с которым
вектор состояния изменяет свою ориентацию
со временем. Правило, гласящее, что в опре-
определенный момент вектор состояния повернет-
повернется на определенный угол, и есть динамическое
описание системы. Выходит, что такое описа-
описание носит абсолютно детерминированный ха-
характер. Временная эволюция вектора состоя-
состояния при этом полностью предопределена, а не-
неопределенность возникает лишь при попытке
узнать, в каком именно состоянии находится
система.
Вот и все, что касается квантовой меха-
механики. Разумеется, для реальных систем де-
дело обстоит намного сложнее. Например, на-
наша монета занимает какое-то положение в
К окончательным физическим законам 91
пространстве, и, следовательно, вектор состо-
состояния на самом деле находится в простран-
пространстве большего числа измерений, причем каж-
каждому возможному положению монеты в про-
пространстве будет отвечать свое направление
вектора состояния. Определяя положение мо-
монеты, вы будете получать значения коорди-
координат с вероятностями, равными квадратам со-
соответствующих компонент вектора состояния.
Обычно приходится иметь дело с комплексны-
комплексными (т. е. невещественными) бесконечномерны-
бесконечномерными пространствами. Тем не менее, приведен-
приведенного примера вполне достаточно для наших
целей.
Сохранится ли квантовая механика после
создания в будущем окончательной физиче-
физической теории? Я. думаю, что да, отчасти из-за
огромных успехов квантовой механики на про-
протяжении последних шестидесяти лет, но в еще
большей степени из-за ощущения фатальной
неизбежности, которое эта теория у нас вы-
вызывает.
Весьма примечательно, что среди описан-
описанных попыток провести количественную про-
проверку устоявшихся теорий, например, тео-
теории относительности, теорий электрослабого и
сильного взаимодействий, в литературе очень
редко можно встретить упоминание об экспе-
1
92
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
риментах по количественной проверке кванто-
квантовой механики . Причина в том, что для коли-
количественной проверки теории необходима более
общая теория, в которую проверяемая входи-
входила бы как частный случай. Тогда вы сможете
поинтересоваться, что предсказывает эта бо-
более общая теория, а затем посмотреть, согла-
согласуются ли опытные данные с теоретическими
предсказаниями и с предсказаниями частной
теории, которую вы проверяете. В настоящее
время мы в состоянии найти обобщение теории
гравитации и теории электрослабого взаимо-
взаимодействия. Эти обобщения не очень-то изящ-
изящны, и в этом одна из причин, по которым мы
верим общей теории относительности и тео-
Известны убедительные опыты по количественной
проверке классической механики, например, экспери-
эксперименты А. Аспекта по измерению спиновых корреля-
корреляций. (Речь идет о статье A. Aspect, J. Dalibard, and
G. Roger. Phys. Rev. Lett., 49 A982). — Прим. перев.)
Как было показано Беллом, классические представ-
представления приводят к некоторому неравенству для этих
корреляций, которое может нарушаться в квантово-
механической области. Нарушение неравенства, обна-
обнаруженное в этих экспериментах, показало, что зако-
законы классической механики неприменимы для описа-
описания спиновых корреляций, однако это позволило про-
проверить саму квантовую теорию с точностью только
порядка 1%.
К окончательным физическим законам 93
рии электрослабого взаимодействия. Тем не
менее, эти обобщения могут принести поль-
пользу, если рассматривать их в качестве вообра-
воображаемого противника, которого мы должны
нокаутировать при проверке общей теории от-
относительности и теории электрослабого взаи-
взаимодействия.
Мне не известно ни одного обобщения
квантовой механики, которое имело бы смысл.
Другими словами, я не знаю более общей и
логически замкнутой теории, которая содер-
содержала бы квантовую механику в качестве част-
частного случая. Обычные трудности при попыт-
попытке обобщить квантовую механику заключа-
заключаются в том, что либо полная вероятность не
получается равной единице, либо возникают
отрицательные вероятности. Вам это может
показаться странным, но я думаю, что все-
таки будет полезно найти более общую тео-
теорию, чем квантовая механика, и тем самым
открыть новые горизонты для эксперимен-
экспериментаторов. Если же это не удастся, то, пола-
полагаю, вы согласитесь, квантовая механика набе-
наберет еще больше очков по рейтингу фатальной
неизбежности.
Но одной квантовой механики недоста-
недостаточно, поскольку она не является динами-
динамической теорией как таковой. Это всего лишь
94
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
пустая сцена. Вам придется ввести актеров,
т. е. определить конфигурационное простран-
пространство — комплексное пространство бесконеч-
бесконечной размерности, а также задать динами-
динамические правила, по которым вектор состоя-
состояния изменяется со временем в этом прост-
пространстве.
Многие из нас приходят к мысли, что не-
недостающим звеном квантовой механики явля-
является один или несколько принципов симмет-
симметрии. Принцип симметрии — это утверждение,
что существуют различные возможности из-
изменить способ описания явления природы, при
котором фактически изменяется направление
вектора состояния, но остаются неизменны-
неизменными правила, определяющие изменение векто-
вектора состояния со временем. Полный набор та-
таких способов изменения точки зрения называ-
называется группой симметрии природы. Постепенно
приходит понимание того, что группы симме-
симметрии — это самое важное, что мы сегодня мо-
можем узнать о природе. Я. хотел сейчас ска-
сказать кое-что, в чем я до конца не уверен, но
что вполне может стать реальностью, а имен-
именно: все, что нам потребуется сверх квантовой
механики для описания физической карти-
картины мира, — это определить группу симметрии
природы.
К окончательным физическим законам 95
Примером симметрии природы являются
пространственно-временные симметрии. Эти
симметрии говорят о том, что законы природы
не зависят от того, где находится и как ори-
ориентирована ваша лаборатория, с какой скоро-
скоростью она движется и сколько времени на ва-
ваших часах.
Рассмотрим, например, симметрию отно-
относительно поворота в пространстве. Согласно
этому принципу симметрии совершенно не-
неважно, как ваша лаборатория ориентирована
в пространстве. Чтобы понять, что дает эта
симметрия, давайте рассмотрим ее на примере
электрона. Как и в случае монеты, мы не ста-
станем обращать внимания на движение электро-
электрона и будем интересоваться только его спином.
Одна из специфических особенностей кван-
квантовой механики заключается в том, что кон-
конфигурационное пространство спина электрона
устроено очень просто. Как и в случае монеты,
оно представляет собой двумерное простран-
пространство (рис. 2). Если выбрать какое-либо направ-
направление, скажем, вдоль вертикальной оси, то от-
относительно этого направления спин электро-
электрона может быть ориентирован либо вверх, что
означает «вращение» электрона относитель-
относительно вертикальной оси против часовой стрелки,
либо вниз, что означает «вращение» электро-
96
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Спин-вверх
Рис. 2. Влияние поворота на спин электрона.
К окончательным физическим законам 97
на относительно вертикальной оси по часовой
стрелке. Таким образом, в пространстве опять
имеются два направления, которые, однако,
теперь будут называться не «орел» и «реш-
«решка», а «спин-вверх» и «спин-вниз». Если век-
вектор состояния, описывающий спин электрона,
направлен вверх, то электрон определенно на-
находится в состоянии, в котором и спин направ-
направлен вверх; если же вектор состояния направ-
направлен вниз, то электрон определенно находится
в состоянии, в котором и спин направлен вниз.
Вектор состояния, однако, может иметь и про-
промежуточную ориентацию. (Например, вы точ-
точно знаете, что электрон вращается по часо-
часовой стрелке относительно горизонтальной оси;
в этом случае его состояние в пространстве
« спин- вверх » / « спин- в низ » будет определять-
определяться промежуточным направлением между ося-
осями «спин-вверх» и «спин-вниз», т. е. это бу-
будет отвечать измерению проекции спина на
вертикальное направление.) Если теперь из-
изменить ориентацию лаборатории, накренив ее
так, чтобы вертикаль отклонилась на угол в,
(просто представьте себе, что комната накло-
наклонилась), то вектор состояния изменится. На
самом деле вектор состояния повернется на
угол в/2. Математически это следует из то-
того факта, что собственный момент электрона
98
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
(спин) равен одной второй в системе единиц,
в которой постоянная Планка равна единице.
Несмотря на то, что вектор состояния изме-
изменился, правило, определяющее изменение век-
вектора состояния со временем, осталось преж-
прежним. Именно это мы и понимаем под инвари-
инвариантностью по отношению к пространственным
вращениям, которая является одной из сим-
симметрии природы.
Помимо пространственно-временных сим-
симметрии существует и много других, назы-
называемых внутренними симметриями. Сохра-
Сохранение электрического заряда является при-
примером такой симметрии, которую в физике
принято называть калибровочной инвариант-
инвариантностью. Между прочим, некоторые из этих
симметрии могут нарушаться. Нарушенная
симметрия не является симметрией для ре-
решений уравнений, отвечающих наблюдаемым
физическим состояниям, однако она останет-
останется таковой для основных уравнений окон-
окончательной теории. Моя работа была тесно
связана с нарушенными симметриями, одна-
однако я не собираюсь говорить о них в этой
лекции.
51 думаю, теперь понятно, почему прин-
принцип симметрии является принципом просто-
простоты. Если бы законы природы зависели от ори-
К окончательным физическим законам 99
ентации вашей лаборатории, как это счита-
считалось во времена Аристотеля, то в них обя-
обязательно имелась бы какая-нибудь ссылка
на расположение лаборатории по отноше-
отношению к чему-либо еще; согласитесь, это бы-
было бы очень неудобно. В отсутствие ссылок
на ориентацию лаборатории законы приро-
природы выглядят проще. На первый взгляд, мо-
может показаться, что, взяв за основу кван-
квантовую теорию и большое число упрощаю-
упрощающих принципов симметрии, можно приду-
придумать огромное число в высшей степени вздор-
вздорных теорий, которые будут совместимы с
квантовой механикой и всеми принципами
симметрии.
Мне думается, есть два повода для боль-
большего оптимизма. Первый из них заключается
в том, что одна из необходимых симметрии,
по-видимому, почти несовместима с квантовой
механикой. Симметрия, известная как лоренц-
инвариантность, является составной частью
созданной Эйнштейном в 1905 г. специаль-
специальной теории относительности и говорит о том,
что законы природы не зависят от движения
лаборатории, если только оно является рав-
равномерным и прямолинейным. Данная симме-
симметрия и квантовая механика плохо совмести-
совместимы; их одновременное использование налага-
100
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
ет сильнейшие ограничения на форму любой
динамической теории. Например, нам извест-
известно, что в любой такой теории у каждой ча-
частицы должна быть соответствующая антича-
античастица с теми же массой и спином, но с про-
противоположным зарядом. Поскольку есть элек-
электрон, то должен существовать антиэлектрон,
т. е. позитрон; эту частицу открыли в 1932 г.
Поскольку есть протон, то должен существо-
существовать и антипротон; эту частицу эксперимен-
экспериментально обнаружили в 1955 г. Эти открытия,
несомненно, составляют одно из величайших
достижений теории Дирака. Создавая свою те-
теорию в 1928-1930 гг., Дирак по-своему пытал-
пытался примирить квантовую механику со специ-
специальной теорией относительности и пришел к
выводу о неизбежности существования анти-
антивещества. Существуют и другие факты, ко-
которые с необходимостью следуют из объеди-
объединения квантовой механики с теорией отно-
относительности и связаны с поведением частиц
при попытке поместить несколько из них в
одно и то же состояние. Многие из вас по-
помнят— в первой лекции на Дираковских чте-
чтениях Ричард Фейнман показал, что совмест-
совместного использования принципов квантовой ме-
механики и специальной теории относительно-
относительности достаточно не только для вывода о суще-
К окончательным физическим законам 101
ствовании античастиц, но также и для объ-
объяснения поведения частиц, находящихся в од-
одном состоянии (так называемая связь спина со
статистикой).
Сейчас широко распространено мнение,
хотя оно и не является окончательно обосно-
обоснованным, что объединение квантовой механики
с теорией относительности осуществимо лишь
в рамках квантовой теории поля. Основными
объектами квантовой теории поля являются
не частицы, а поля; частицы в этой теории
представляют собой малые порции энергии по-
полей. Существуют электронное поле, фотонное
поле, а также поля остальных фундаменталь-
фундаментальных частиц.
Имеется и другое основание считать, что
в основе всего лежат симметрии и что вме-
вместе с квантовой механикой они составляют все,
что, по-видимому, нужно знать о физическом
мире. Посмотрим, как можно описать элемен-
элементарную частицу. Чем одна частица отличается
от другой? Описывая частицу, вы указывае-
указываете ее энергию, импульс, спин, электрический
заряд, а также задаете значения еще несколь-
нескольких величин. Набор этих величин и составляет
все, что можно сказать о частице; электрон с
данными значениями энергии, импульса и т. п.
неотличим от любого другого электрона с те-
102
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
ми лее значениями этих величин. (В этом от-
отношении элементарные частицы ужасно скуч-
скучны, вот почему ими с таким интересом за-
занимаются.) Оказывается, что все эти величи-
величины— энергия, импульс и т.д. просто опреде-
определяют поведение частицы при различных пре-
преобразованиях симметрии. Например, я уже го-
говорил, что когда вы поворачиваете свою ла-
лабораторию, вектор состояния, описывающий
спин электрона, поворачивается на половин-
половинный угол; поэтому об электроне говорят как
о частице со спином одна вторая. Совершенно
аналогично (хотя это может и не быть для всех
очевидным) энергия частицы просто говорит
о том, как изменяется вектор состояния ча-
частицы, когда я перевожу стрелки своих часов;
импульс — о том, как изменяется вектор со-
состояния, когда вы передвигаете лабораторию
на другое место, и т. д. С этой точки зрения
на самом глубинном уровне нет ничего, кро-
кроме симметрии и откликов на преобразования
симметрии. Материя как таковая исчезает, и
вся вселенная в целом предстает как огромное
приводимое представление группы симметрии
природы.
И все же мы по-прежнему очень дале-
далеки от нашей цели — поиска окончательных за-
законов природы. Даже если нам будут из-
К окончательным физическим законам 103
вестны все симметрии и у нас будет уверен-
уверенность в правильности квантовой механики, и
мы будем знать, что они совместимы друг
"с другом в рамках квантовой теории поля,
то максимум, чего мы сможем достичь — это
получить теорию с бесконечным числом не-
неизвестных констант, которые еще надо опре-
определить.
Позвольте мне попытаться объяснить это
на примере гипотетической вселенной, в ко-
которой существует только два сорта частиц —
электроны и фотоны; именно эти части-
частицы Дирак рассмотрел в своей знаменитой
работе. Давайте обсудим следующее выра-
выражение:
_ 1 (dAv
4 \dxv дхи
— Офффф +
A)
104
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Наверное, не все из вас до конца понима-
понимают его смысл. К счастью, в дальнейшем из-
изложении нам не надо будет углубляться в
детали. Позвольте мне только пояснить ис-
использованные здесь обозначения. С — плот-
плотность лагранжиана; грубо говоря, эту величи-
величину можно рассматривать как плотность энер-
энергии. Энергия — это то, что определяет из-
изменение вектора состояния со временем; ту
же роль играет и плотность лагранжиана —
она определяет эволюцию системы. Плот-
Плотность С записывается в виде суммы произ-
произведений полей и их производных, ф — элек-
электронное поле (это функция координат точки
х в пространстве-времени), т — масса элек-
электрона. Знак д/дх^ обозначает производную
поля, определяющую, как быстро оно изме-
изменяется в пространстве-времени. Величины 7^
и о^ являются матрицами; о них я ничего
не буду говорить, отметив лишь, что 7^ на~
зываются матрицами Дирака. Ац — фотонное
поле, которое называется электромагнитным
потенциалом.
Посмотрим на слагаемые в правой части
уравнения A). В первое слагаемое электрон-
электронное поле входит дважды; в следующее слага-
слагаемое дважды входит фотонное поле, так как
К окончательным физическим законам 105
выражение в скобках возводится в квадрат;
в третий и четвертый члены электронное по-
поле входит два раза, а фотонное поле — один
раз; в пятое слагаемое электронное поле вхо-
входит пять раз, и т. д. Используя принципы
симметрии, мы можем сконструировать бес-
бесконечное число последующих членов лагран-
лагранжиана, содержащих все возрастающее количе-
количество полей и их производных. В каждом члене
лагранжиана присутствует в качестве сомно-
сомножителя независимая постоянная, называемая
константой взаимодействия. В уравнении A)
константами взаимодействия являются вели-
величины е, /2, G,... . Константы взаимодействия
определяют, насколько сильно каждый член
влияет на динамику. Первые два слагаемых не
содержат констант взаимодействия просто по-
потому, что я включил их в определение полей
ф и Afj,. Если бы, например, первый член со-
содержал постоянный множитель, то я бы про-
просто переопределил поле ф, и эта постоянная
исчезла. Однако перед каждым из оставших-
оставшихся членов, число которых равно бесконечно-
бесконечности минус два, будет стоять своя константа.
В принципе, все эти константы присутствуют
здесь и все они неизвестны. Непостижимо, ка-
какой прок может быть от такой теории!
106
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
В действительности эта теория не так
уж плоха. Экспериментально подтверждено,
что теория, в которой фигурируют толь-
только первые три члена, а остальные отброше-
отброшены, позволяет описывать электроны и фо-
фотоны с потрясающей точностью. Эта тео-
теория называется квантовой электродинамикой
(КЭД).
Чтобы продемонстрировать здесь, насколь-
насколько точна КЭД, я сошлюсь на одну из экспе-
экспериментально измеренных величин — магнит-
магнитный момент электрона. Вы можете рассмат-
рассматривать электрон как крошечный постоянный
магнитик; сила этого магнитика называется
магнитным моментом электрона. Магнитный
момент удобно измерять не в единицах санти-
сантиметр — грамм — секунда, а в так называемой
естественной системе единиц. В этой систе-
системе величина магнитного момента электрона
равна единице; этот результат был впервые
установлен Дираком в 1928 г. К этому зна-
значению имеются поправки, возникающие из-за
того, что электрон окружен облаком посто-
постоянно испускаемых и поглощаемых им вир-
виртуальных фотонов и электрон-позитронных
пар. Эти поправки неоднократно вычисля-
вычислялись; в первый раз, мне кажется, это сде-
сделал Швингер; наиболее точный расчет был
К окончательным физическим законам 107
произведен Киношитой в 1981 г. Получен-
Полученный Киношитой результат приводится ни-
ниже вместе с известным экспериментальным
результатом:
Магнитный момент электрона:
Результат расчета, принадлежащий Кино-
шите:
1.00115965246 ± 0.00000000020
Наиболее точный экспериментальный ре-
результат:
1.00115965221 ±0.00000000003 B)
Думаю, вы согласитесь, что эти результаты
неплохо согласуются между собой. Неопре-
Неопределенность теоретического значения обусло-
обусловлена главным образом неопределенностью
величины электрического заряда электрона,
т. е. неопределенностью значения постоянной
ев A). Таким образом, несмотря на то, что ла-
лагранжиан A) для фотонов и электронов мож-
можно усложнять до бесконечности, на практике,
по-видимому, имеют значение только первые
три члена.
Многим кажется понятным, почему по-
поведение электронов и фотонов описывается
только этими тремя членами в A). Одно из
108
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
возможных объяснений восходит к работе Гей-
зенберга 1930 г.; еще пять-шесть лет тому на-
назад я бы с радостью привел его без всяких
оговорок. Этот довод основан на соображе-
соображениях размерности, т. е. на анализе размерно-
размерностей физических величин. Я буду работать в
так называемой физической системе единиц, в
которой скорость света и постоянная Планка
полагаются равными единице. Единственной
размерной величиной в этой системе оказыва-
оказывается масса; размерность любой величины мо-
может быть выражена через соответствующую
степень массы. Например, расстояние и вре-
время будут иметь размерность массы в минус
первой степени. Сечение, имеющее в обычных
единицах размерность площади, в физической
системе имеет размерность массы в минус вто-
второй степени. Большинство фактически изме-
измеряемых величин имеет в естественной системе
единиц размерность отрицательных степеней
массы. Предположим теперь, что все констан-
константы взаимодействия являются просто числа-
числами, как и константа е в третьем члене A). (В
физической системе единиц значение е рав-
равно приблизительно д/4тг/137 и не зависит от
выбора единиц измерения массы.) Итак, до-
допустим, что все константы взаимодействия —
просто числа, так же как и е. Нетрудно вы-
К окончательным физическим законам 109
яснить, какой вклад в измерение будет воз-
возникать из-за облака виртуальных фотонов и
электрон-позитронных пар при очень высоких
энергиях Е. Предположим, что наблюдаемая
О имеет размерность [масса] ~а, где а — по-
положительное число. (Поскольку в естествен-
естественной системе единиц скорость света равна 1,
то масса и энергия будут иметь одинаковую
размерность.) Если энергии Е виртуальных
частиц очень велики и намного превосходят
энергию и массу частицы в начальном и ко-
конечном состояниях, у нас не будет возмож-
возможности выделить какое-то характерное значе-
значение энергии. Вклад виртуальных частиц с вы-
высокой энергией в нашу наблюдаемую в этих
условиях должен определяться интегралом
вида
поскольку это единственная величина, имею-
имеющая ту же размерность, что и О. (Нижний
предел интегрирования определяется некото-
некоторой конечной энергией, условно разделяющей
области высоких и низких энергий.) Приве-
Приведенные рассуждения верны хотя бы потому,
что в теории нет ни одной другой величи-
величины, имеющей размерность массы или энергии.
110
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Время от времени физики прибегают к такого
рода рассуждениям, особенно в тех ситуациях,
когда им не удается найти другого подхода к
задаче.
Предположим, что существуют и дру-
другие константы, имеющие размерность отри-
отрицательных степеней массы. Если в наше вы-
выражение будут входить некоторая констан-
константа С\ с размерностью [масса] ~^1, констан-
константа С-2, с размерностью [масса]""'82, и т.д., то
вместо полученной выше простой формулы
мы получим сумму нескольких слагаемых
вида
/ОО
Ea+l
D)
Вид этих выражений опять однозначно опре-
определяется из условия, чтобы их размерность
совпадала с размерностью наблюдаемой О.
Интеграл в выражении C) сходится (т. е.
имеет конечное значение), если только ве-
величина а. положительна. Если, однако, сум-
сумма /3i + /З2 + • •. окажется больше, чем ск,
то интеграл в выражении D) будет расхо-
расходящимся. Здесь не имеет значения, какая
степень энергии будет стоять в знаменате-
знаменателе в D), поскольку интеграл разойдется,
как только вы дойдете до константы связи
К окончательным физическим, законам 111
достаточно высокого порядка. Дело в том,
что когда у вас наберется достаточно мно-
много констант взаимодействия С\ С-2,..., име-
имеющих размерность отрицательных степеней
массы, сумма /?i + /% + . • ¦ рано или поздно
превысит а.
Исходя из вида лагранжиана A), легко
определить размерность констант е, /л, G и
т. д. Поскольку расстояние и время измеря-
измеряются в единицах обратной массы, а резуль-
результат интегрирования плотности лагранжиана
по пространству-времени должен получать-
получаться безразмерным, то плотность лагранжиана
должна иметь размерность [масса]4. Взяв член
т'фф, мы видим, что электронное поле имеет
размерность [масса]3/2, поскольку § + | + 1 = 4.
Операция взятия производной имеет размер-
размерность [масса]1, и, следовательно, размерность
фотонного поля тоже равна [масса]1. Теперь
мы можем определить размерность констант
взаимодействия. Как я уже говорил, элек-
электрический заряд оказывается просто безраз-
безразмерным числом. Размерность соответствую-
соответствующих констант взаимодействия в слагаемых со
все большим количеством полевых перемен-
переменных и производных с размерностью положи-
положительных степеней массы будет определяться
все меньшими степенями массы, поскольку
112
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
размерность плотности лагранжиана долж-
должна оставаться равной [масса]4; в конце кон-
концов вы доберетесь до констант типа ц и G,
имеющих размерность отрицательных степе-
степеней массы. (Размерность fj, есть [масса], а
размерность G — [масса]".) Присутствие этих
членов в A) приведет к полнейшему несо-
несоответствию между теорией и экспериментом
для значений магнитного момента электро-
электрона; поэтому молено утверждать, что они нуж-
нужны отнюдь не для повышения точности. Вот
уже много лет бытует мнение, что эти чле-
члены вообще должны быть отброшены, посколь-
поскольку они приводят к таким лее расходимостям,
как ив D).
Именно к этому мы и стремились — к те-
теории, построенной на базе квантовой механи-
механики й нескольких принципов симметрии и име-
имеющей смысл только для лагранжиана совер-
совершенно определенного вида. В конечном счете
мы хотим почувствовать, что «иначе и быть
не могло».
Огромные достижения теорий типа кван-
квантовой электродинамики сегодня уже не ка-
кажутся столь впечатляющими по целому ряду
причин. Вероятно, мне лучше будет сначала
рассказать о том, в чем эти успехи состоят.
Примером одного из достижений квантовой
К окончательным физическим законам 113
электродинамики может служить вычисление
магнитного момента электрона. В 1960-х го-
годах те лее подходы были использованы в те-
теории слабого взаимодействия; успех этой тео-
теории становился все более очевидным на про-
протяжении 70-х годов благодаря многочислен-
многочисленным экспериментальным работам. В 70-х го-
годах те же идеи были использованы в тео-
теории сильного взаимодействия; результаты ока-
оказались настолько изящными, что в них по-
поверили еще до экспериментальной проверки;
впоследствии они также нашли многочислен-
многочисленные экспериментальные подтверждения. Се-
Сегодня мы располагаем теорией, основанной
на лагранжиане типа A). Бели добавить не-
несколько индексов полевым переменным, то по-
получится много полей одного и того же ти-
типа, и первые три члена в A) будут описы-
описывать так называемую стандартную модель,
т. е. принятую сегодня теоретическую мо-
модель, в рамки которой укладываются силь-
сильное, слабое и электромагнитное взаимодей-
взаимодействия. Похоже, что эта модель способна опи-
описать все, что мы можем узнать о физиче-
физической картине мира с помощью современных
ускорителей.
И все-таки мы остаемся неудовлетворенны-
неудовлетворенными. Я уже показал, что в общем случае в тео-
114
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
рии может содержаться лишь конечное число
свободных параметров, таких как е; если вы
попытаетесь ввести более сложные виды вза-
взаимодействия, то в константах взаимодействия
обязательно появятся отрицательные степени
массы. Одна из причин нашей неудовлетво-
неудовлетворенности в том, что число свободных пара-
параметров все-таки слишком велико. Если даже
допустить, что мы не обнаружим новых ча-
частиц сверх уже существующих в рамках стан-
стандартной модели, то для согласования теории
с экспериментом потребуется ввести семна-
семнадцать свободных параметров. Пожалуй, сем-
семнадцать параметров — не так уж и много, если
этого хватит для описания всех физических
явлений, наблюдаемых в наших лаборатори-
лабораториях. Однако это все-таки намного больше то-
того, чего мы ожидаем от окончательной те-
теории — ведь пока ниоткуда не следует, поче-
почему эти семнадцать параметров должны иметь
именно те значения, которые известны нам из
эксперимента.
Существует и другая причина быть не-
неудовлетворенным стандартной моделью. Это
связано с гравитацией. Как я уже показал,
расходимости при вычислении физических ве-
величин можно устранить, потребовав, чтобы
определяющие интенсивность взаимодействия
К окончательным физическим законам 115
константы были безразмерными; единицы их
измерения не должны быть отрицательны-
отрицательными степенями массы. Однако гравитацион-
гравитационная постоянная, определяющая силу грави-
гравитационного взаимодействия, не является без-
безразмерной величиной. Значение этой постоян-
постоянной в физических единицах составляет 10~10
граммов в минус второй степени, т. е. это
как раз случай отрицательной степени мас-
массы. Поэтому следует ожидать, что любая тео-
теория гравитации, содержащая гравитационную
постоянную, приведет к возникновению рас-
ходимостей в силу объясненных выше при-
причин. Чтобы избежать расходимостей, многие
пытались построить теорию гравитации по
образцу квантовой теории поля, которая ис-
использовалась для описания слабого, электро-
электромагнитного и сильного взаимодействий, одна-
однако большинство ученых уже признало пора-
поражение. Одна многообещающая попытка бы-
была описана Стивеном Хокингом в 1980 г. в
его инаугурационной лекции на кафедре, ко-
которую до него возглавляли Дирак и Ньютон.
В этой лекции он пытался разрешить пробле-
проблему квантовой гравитации и предложил доба-
добавить еще одну симметрию, так называемую
N = 8-суперсимметрию, которая позволит из-
избавиться от расходимостей и тем самым при-
116
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
ведет к конечной теории. Результаты теоре-
теоретических исследований показывают, что аргу-
аргументы в пользу конечности Л/"=8-суперграви-
тации в низших порядках теории возмущений
рушатся при учете более высоких порядков,
как я полагаю, начиная с шестого порядка
и выше. Из-за вычислительных трудностей в
действительности еще никому не удалось по-
показать, что эта теория приводит к расходи-
мостям, однако почти никто уже не надеет-
надеется, что на этих принципах (с суперсимметри-
суперсимметрией или без нее) удастся построить конечную
теорию, объединяющую все известные взаи-
взаимодействия, включая гравитационное. Тем не
менее, я должен признаться, что основная
идея моей сегодняшней лекции совпадает с
затронутой в лекции Хокинга идеей объеди-
объединить все известные взаимодействия в рамках
единой и непротиворечивой математической
теории.
Большинство физиков-теоретиков сейчас
пришли к выводу, что предмет нашей гор-
гордости— стандартная модель, т. е. варианты
квантовой теории поля для сильного, элек-
электромагнитного и слабого взаимодействий, —
это всего лишь низкоэнергетическое прибли-
приближение для более глубокой и совершенно на нее
не похожей теории. У нас имеются два ука-
К окончательным физическим законам 117
зания на то, что простота законов природы
сможет обнаружиться лишь при неизмеримо
больших энергиях, чем энергии, с которыми
мы сегодня работаем. Одно из них состоит в
следующем. Если посмотреть, что происходит
с константами взаимодействия электрослабо-
электрослабого и сильного взаимодействий при значитель-
значительно более высоких энергиях, чем те, при ко-
которых их сегодня измеряют, то мы обнару-
обнаружим, что их значения сближаются и стано-
становятся равными друг другу при энергиях, при-
примерно на пятнадцать порядков превосходящих
массу протона (Ю15 ГэВ). Кроме того, величи-
величина гравитационной постоянной, которая, как
вы помните, была ответственна за возникнове-
возникновение расходимостей в теории гравитации, в фи-
физических единицах составляет A019 ГэВ)~2.
Все это говорит о том, что если бы мы бы-
были в состоянии ставить эксперименты при
очень высоких энергиях, то где-то в диапазоне
Ю15 — 1019 ГэВ мы смогли бы обнаружить по-
настоящему простую картину мира, в которой
все теории сливаются воедино и которая, воз-
возможно, даже вызовет у нас чувство фаталь-
фатальной неизбежности, обрести которое мы так
стремимся.
Но пока у нас нет возможности поднять-
подняться до таких энергий. В обозримом будущем
118
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
(на нашем веку) нам не суждено достичь этих
энергий на ускорителях, имеющихся в распо-
распоряжении человеческой цивилизации. Мы оста-
остались почти без экспериментальной поддержки
и лишь пытаемся разглядеть очертания окон-
окончательных фундаментальных законов при-
природы сквозь разделяющую нас бездну при-
примерно в двенадцать-пятнадцать порядков по
энергии.
Вы можете задаться вопросом, почему
стандартная модель, о которой я только
что говорил, оказывается столь успешной,
если она является лишь низкоэнергетическим
приближением для окончательных фунда-
фундаментальных законов природы, которые, по-
видимому, будут на нее совсем не похожи. От-
Ответ очень прост, т. е., по крайней мере, нам
кажется, что он прост. Дело в том, что все кон-
константы взаимодействия с размерностью обрат-
обратных степеней массы, по-видимому, являют-
являются величинами того лее порядка, что и отри-
отрицательные степени нового фундаментального
масштаба энергии. Из соотношения A) видно,
что ц имеет размерность [масса], и мы пред-
предполагаем, что по порядку величины она будет
равна A015 — Ю19 ГэВ)". Аналогично кон-
константа G имеет размерность [масса], и мы
предполагаем, что по порядку величины она
К окончательным физическим законам
119
будет равна A015 — 1019 ГэВ)~2, и т. д. Это не-
невероятно малые величины, поэтому вы их про-
просто не замечаете, когда сравниваете теорию
с экспериментальными данными для величин
типа магнитного момента электрона. Другими
словами, существующие теории неплохо рабо-
работают, и, разумеется, мы рады этому; печально
лишь, что из работоспособности современных
моделей отнюдь не следует, что будущая те-
теория окажется хоть сколько-нибудь похожей
на них. Стандартная модель хорошо работает
только благодаря чрезвычайной малости по-
поправок, которые могли бы существенно ее из-
изменить. Экспериментаторы проделали огром-
огромную работу, пытаясь обнаружить явления, об-
обусловленные этими поправками. Мы надеемся,
что такие эффекты, как распад протона или
наличие массы у нейтрино, будут когда-либо
обнаружены, однако ничего подобного пока не
наблюдалось. До настоящего времени грави-
гравитация остается единственным известным нам
явлением из области самых высоких энергий,
где, как мы полагаем, прячется истина.
Все это заставляет меня сказать несколько
слов о теории струн. Последующие десять ми-
минут будут трудны для восприятия из-за тех-
технических подробностей. Я не знаю, как из-
изложить необходимые технические детали, не
120
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
используя специальной терминологии, однако
обещаю вам, что этот разговор не займет мно-
много времени.
В течение двух последних лет физики-
теоретики были крайне воодушевлены идеей,
что фундаментальными составляющими при-
природы при энергиях 1015 —1019 ГэВ являются
не поля или частицы, а струны. Чтобы пре-
предельно упростить рассмотрение этого вопроса,
я собираюсь рассказать здесь только об одном
типе струн. Струна такого типа представля-
представляет собой маленькую петлю, нарушающую не-
непрерывность пространства-времени, малень-
маленький дефект пространства-времени, свернутый
в колечко. Струна обладает натяжением и мо-
может колебаться, как обычная струна. Колеба-
Колебания струны образуют бесконечную последова-
последовательность нормальных мод, каждой из кото-
которых отвечает определенный тип частиц. Низ-
Низшей моде струны отвечает наилегчайшая ча-
частица, следующей моде отвечает более тяже-
тяжелая частица и т. д. Взаимодействие между ча-
частицами выглядит так, как будто эти колеч-
колечки сливаются, а затем опять расходятся. Этот
процесс можно описать с помощью поверхно-
поверхности, поскольку при движении в пространстве-
времени струна заметает двумерную мировую
поверхность (трубку). Взаимодействие между
К окончательным физическим законам 121
частицами представляется в виде двумерной
мировой поверхности, которая может расще-
расщепляться и вновь воссоединяться, поглощая
«колечки», имевшиеся в начальном состоянии,
и испуская «колечки», отвечающие конечному
состоянию. Например, процесс рассеяния, при
котором в начальном состоянии было две ча-
частицы, а в конечном — три, будет описываться
поверхностью, в которую входят две длинные
трубки (описывающие частицы в начальном
состоянии) и из которой выходят три длинные
трубки (описывающие частицы в конечном со-
состоянии). Сама эта поверхность может иметь
довольно сложную топологию (рис. 3).
Время
Рис. 3. Диаграмма, описывающая один из вкла-
вкладов в процесс превращения двух частиц в три
частицы.
122
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Поверхность можно описать, задав на ней
координатную сетку. Поскольку поверхность
двумерна, то положение произвольной точки
а на ней задается двумя координатами, кото-
которые я назову сг1 и о1. Теперь нужно каким-
то образом указать, где находится произволь-
произвольно выбранная точка струны в любой задан-
заданный момент времени. Для этого необходи-
необходимо задать правило, которое ставит в соответ-
соответствие каждой точке а — (or1, or2) на поверхно-
поверхности точку х^ в пространстве-времени. Мате-
Математически, это правило записывается в виде
xfj. _ х^(а1, а2). Геометрия поверхности опре-
определяется заданной на ней метрикой. Как и в
случае общей теории относительности, метри-
метрика задается с помощью тензора да/з(ог), элемен-
элементы которого зависят от координат; посколь-
поскольку мы имеет дело с двумерной поверхностью,
то индексы а. и C могут принимать значения,
равные единице или двойке. Метрика опреде-
определяет, как вычисляется расстояние между дву-
двумя точками на поверхности: расстояние меж-
между двумя бесконечно близко расположенны-
расположенными точками а и a + dor определяется как
ds =
Согласно принципам квантовой механики
в фейнмановской формулировке, для вычис-
К окончательным физическим законам 123
ления амплитуды вероятности (это та самая
величина, которую надо возвести в квадрат,
чтобы получить вероятность процесса) нуж-
нужно просуммировать амплитуды для всех воз-
возможных путей перехода из начального состо-
состояния в конечное. В теории струн нужно про-
просуммировать по всем двумерным поверхно-
поверхностям, описывающим данный процесс. Каж-
Каждая поверхность задается двумя функциями
хм _ xv((j^ и да0^а), которые были определе-
определены выше. Все, что осталось сделать для вы-
вычисления вероятности, — это найти для каж-
каждой поверхности значение величины I[x,g], a
затем просуммировать е~1^х'9^ по всем поверх-
поверхностям. Функционал 1[х,д] называется дей-
действием; действие функционально зависит от
хи _ ^(сг) и дар(сг), и определяется выраже-
выражением*
х
Эх»(а) дх»(а)
да
а.
да?
E)
На самом деле здесь должен присутствовать еще
один член, который нужен для того, чтобы задать от-
относительную шкалу различных порядков теории воз-
возмущений.
124
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Оживленный интерес к струнам обусло-
обусловлен тем, что они впервые позволили постро-
построить теорию гравитации без расходимостей, ко-
которые возникали в более ранних теориях. В из-
известном смысле, теоретическое открытие гра-
гравитации было сделано именно в рамках те-
теории струн. (Мне, разумеется, известно, что
о гравитации знали задолго до создания тео-
теории струн.) Основы этой теории были зало-
заложены на рубеже 60-х и 70-х годов, а ее по-
появление связано с попытками объяснить при-
природу сильного взаимодействия в ядре. Вско-
Вскоре выяснилось, что поверхности с длинными
тонкими трубками (рис. 4) отвечают безмас-
безмассовой частице со спином 2, испускаемой в ви-
виде кванта излучения в промежутке, разделя-
разделяющем начальные и конечные состояния ча-
частиц. (Везмассовые частицы — это просто ча-
частицы, движущиеся со скоростью света, а их
спин измеряется в тех же единицах, в кото-
которых спин электрона равен одной второй.) По-
Появление этой частицы вызвало тогда ужас-
ужасное замешательство. К тому времени уже бы-
было известно, что такими же свойствами дол-
ясен обладать квант гравитационного поля —
гравитон, но несмотря на это в конце 60-х и
начале 70-х годов по-прежнему продолжали
считать, что предметом теории струн явля-
К окончательным физическим, законам 125
Время
Рис. 4. Пересечение струн с испусканием и погло-
поглощением безмассовой частицы со спином 2.
ются только сильные взаимодействия, а вовсе
не гравитация. Эти обстоятельства обуслови-
обусловили утрату интереса к теории струн в начале
70-х годов.
В 1974 г. Шерк и Шварц выдвинули ги-
гипотезу о том, что струнную теорию следует
рассматривать в качестве теории гравитации,
однако тогда никто не воспринял это всерьез.
Лишь благодаря работам Грина, Гросса, По-
Полякова, Шварца, Виттена и их молодых кол-
коллег физики начали постепенно соглашаться с
тем, что теория струн хорошо подходит на
роль окончательной единой физической тео-
теории с энергетической шкалой порядка 1015 —
1019 ГэВ.
Вам, вероятно, может показаться, что та-
такая перспектива не слишком привлекатель-
привлекательна. Чтобы в общих чертах обрисовать теорию
126
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
струн, мне все-таки придется сказать, что та-
такое действие. Действие — это интеграл от ла-
лагранжиана: выражение под знаком интеграла
в E) есть лагранжиан, или плотность энергии,
который в квантовой электродинамике запи-
записывался в виде A). И все же вы можете за-
заявить: «Откуда это вытекает? Кто сказал, что
это правильная теория мироздания? Может
быть, из эксперимента и известно, что обыч-
обычные струны ведут себя именно так, ну и что из
того? Какое все это имеет отношение к флук-
туациям геометрии пространства-времени?
Куда подевалось бесконечное число добавоч-
добавочных членов в лагранжиане? И вообще, почему
струны?»
На самом деле эта теория имеет вполне ра-
рациональное объяснение в терминах использу-
используемых в ней симметрии, хотя оно и не вполне
очевидно. С действием E) связано несколько
симметрии. Так же, как и в случае общей тео-
теории относительности, задание метрики порож-
порождает симметрию по отношению к преобразова-
преобразованиям координат а —> сг'(сг). Имеется также и
другая, менее очевидная симметрия, справед-
справедливая только в двумерном случае. Эта сим-
симметрия связана с локальным изменением мас-
масштаба расстояний — так называемым преобра-
преобразованием Вейля, при котором метрический
К окончательным физическим законам 127
тензор умножается на произвольную функ-
функцию координат: дар{р) -> /(сг)дар(а). И, на-
наконец, имеется еще одна довольно очевидная
симметрия по отношению к преобразовани-
преобразованиям Лоренца: х^ —> А.„хи'+ а^. Первые две
симметрии кажутся совершенно необходимы-
необходимыми для нашей теории. Без этих симметрии
попытки вычислить сумму по всем поверх-
поверхностям приводили бы к бессмысленным ре-
результатам. Без этих двух симметрии вы ли-
либо получите отрицательные вероятности, ли-
либо полная вероятность не будет равна едини-
единице. На самом деле есть очень тонкие кван-
товомеханические эффекты, способные нару-
нарушить эти симметрии. Квантовые аномалии бу-
будут «портить» эти симметрии до тех пор, пока
вы не станете использовать подходящую ком-
комбинацию обычных и спиновых координат (о
которых я пока еще ничего не сказал). Если
быть очень аккуратным, то квантовые ано-
аномалии исчезнут, симметрии останутся, и сум-
суммирование по всем поверхностям будет иметь
смысл.
В математике есть одна очень красивая
теория, которая напрямую связана со свой-
свойствами двумерных поверхностей, инвариант-
инвариантных по отношению к координатным преобра-
преобразованиям и преобразованию Вейля. Эту тео-
128
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
рию создал Риман в начале девятнадцатого
столетия. Большинство ее результатов оказа-
оказались совершенно необходимыми для понима-
понимания физики струн. Например, все что тре-
требуется для описания топологии произволь-
произвольной двумерной поверхности (точнее, произ-
произвольно ориентированной замкнутой поверх-
поверхности), это указать количество ее «ручек».
Если число «ручек» задано, то для описания
геометрии достаточно задать конечное чис-
число параметров. Проводя суммирование по по-
поверхностям, по этим параметрам нужно бу-
будет проинтегрировать. Число этих парамет-
параметров равно нулю, если «ручек» нет, двум —
если есть одна «ручка», и 6h — 6, если число
ручек h > 2.
Именно эти старые теоремы позволяют
нам провести суммирование по всем поверх-
поверхностям. Если бы не было симметрии, вы не
смогли бы проделать необходимые вычисле-
вычисления, а если бы у вас что-нибудь и полу-
получилось, то результат, скорее всего, оказал-
оказался бы бессмысленным. Вот почему симме-
симметрии представляются совершенно необходи-
необходимыми. Мы вплотную подошли к самому глав-
главному; то, что я сейчас скажу, чрезвычай-
чрезвычайно важно: симметрии определяют действие.
Структура функционала действия и, следо-
К окончательным физическим законам 129
вательно, сама динамика однозначно опре-
определяются этими симметриями. (С некото-
некоторыми оговорками сказанное очень близко
к истине.)
Существует примерно полдюжины различных те-
теорий струн, которые совместимы со всеми указан-
указанными выше симметриями и различаются числом
пространственно-временных координат жм и спиновых
переменных. К сожалению, во всех этих теориях число
пространственно-временных измерений больше четы-
четырех. Один из способов преодолеть эту трудность осно-
основан на предположении, что лишние пространствен-
пространственные измерения «компактифицируются», т. е. «свер-
«свертываются» на очень малых расстояниях. Однако та-
такой подход не исчерпывает всех возможностей. Бо-
Более последовательные теории основаны на предпо-
предположении, что число дополнительных пространствен-
пространственных и спиновых переменных может быть любым,
а лоренц-инвариантность относится только к четы-
четырем обычным пространственно-временным измерени-
измерениям. Действие и число переменных затем определяют-
определяются из требования, чтобы остальные симметрии (при
преобразовании координат и преобразовании Вейля)
сохранялись несмотря на квантовые флуктуации. Ис-
Исследования в этом направлении только что нача-
начались; пока мы не знаем, удастся ли на этом пути
создать удовлетворительную теоретическую модель,
и если да, то будут ли в этой модели свободные
параметры.
130
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
Иначе говоря, сюда просто невозмож-
невозможно что-либо добавить. Не существует ника-
никаких дополнительных членов, которые бы-
были бы совместимы с данными симметриями.
Мне кажется, с динамической теорией та-
такое случается впервые, когда задание сим-
симметрии полностью определяет характер ди-
динамики, т. е. полностью определяет измене-
изменение вектора состояния со временем. Я. ду-
думаю, что именно по этой причине некоторые
физики испытывают сейчас такое воодушев-
воодушевление.
Эта теория выглядит фатально неизбеж-
неизбежной. В эту теорию нельзя внести никаких
изменений, не испортив ее; другими слова-
словами, если вы попытаетесь что-нибудь сделать
с этой теорией, например, введете добавочные
члены или по-другому определите величины,
то вы останетесь без симметрии, а без сим-
симметрии ваша теория потеряет смысл. В этом
случае суммирование по мировым поверхно-
поверхностям будет давать бессмысленные результаты.
Именно по этой причине, не говоря уже о спо-
способности теории струн описывать гравитаци-
гравитационные явления, нам кажется, что теперь у нас
появилось большее поводов для оптимизма при
оценке шансов приблизиться к разгадке окон-
окончательных законов природы.
К окончательным, физическим законам, 131
Авторы этих теорий и те, кто, как и я,
просто стараются оставаться в курсе событий,
пытаются разобраться в этих теориях, чтобы
выяснить, к чему они приводят при обычных
энергиях и согласуются ли они со стандартной
моделью. Мне, вероятно, следует остановится
на этом вопросе более подробно. Я у лее гово-
говорил, что в теории струн нет свободных пара-
параметров, и это действительно так, в этой теории
нет никаких констант.
Однако тут есть одна тонкость. Коор-
Координаты точки х^ на струне измеряются в
естественных «струнных» единицах, но если
вы захотите измерять расстояния, скажем,
в сантиметрах, то вам придется добавить
в E) постоянный множитель. Этот посто-
постоянный множитель называется натяжением
струны и служит для перехода от «струн-
«струнных» единиц к обычной метрической сис-
системе. Натяжение струны имеет размерность
квадрата энергии и оценивается (исходя из
величины гравитационной постоянной) при-
приблизительно как 1018 ГэВ; это значение за-
задает масштаб энергетической шкалы теории
хтрун.
Когда я говорю «разобраться в этих те-
теориях», то имею в виду, что нужно выяс-
выяснить, к чему эти теории могут привести при
132
СТИВЕН ВАИНБЕРГ
существенно меньших, чем 1018 ГэВ, энер-
энергиях, при которых мы ставим эксперимен-
эксперименты. На данном этапе основная задача за-
заключается в том, чтобы выяснить, смогут
ли эти теории привести к стандартной мо-
модели, описывающей слабое, электромагнит-
электромагнитное и сильное взаимодействия. Если да, то
возникает второй вопрос: что теория струн
сможет сказать о семнадцати параметрах, со-
содержащихся в стандартной модели? Сможем
ли мы с ее помощью непосредственно вычис-
вычислить массу электрона, кварков и т. д.? Если
да, то проблема будет решена. Как считают
многие из нас, эта теория настолько изящ-
изящна, что обязательно войдет в число оконча-
окончательных фундаментальных законов физики,
и это самое важное, что у нас есть на данный
момент.
А теперь позвольте ненадолго остановить-
остановиться на вопросе о том, что подразумевается под
изяществом физической теории. В заключе-
заключение своей лекции мне хотелось бы вступить в
диалог с тенью Дирака, душа которого, я по-
полагаю, витает где-то неподалеку от Кембрид-
Кембриджа. Однажды я стал свидетелем, как в своей
лекции, адресованной в основном студенче-
студенческой аудитории, Дирак сказал, что в первую
К окончательным, физическим, законам, 133
очередь следует заботиться о красоте уравне-
уравнений, а не об их физическом смысле. Мысль о
том, что студенты будут подражать Дираку,
была воспринята присутствовавшими там пре-
преподавателями с тяжелым сердцем. Отчасти я
согласен с Дираком, но только отчасти. Кра-
Красота служит нам ориентиром в занятиях тео-
теоретической физикой, однако здесь речь идет
не об изяществе написанных на листе бума-
бумаги уравнений, но о красоте фундаментальных
принципов, о том, насколько логично они бу-
будут увязаны между собой. Мы стремимся най-
найти принципы, которые выглядели бы фаталь-
фатально неизбежными. Здесь не имеет значения,
насколько изящными окажутся уравнения
теории.
Например, общая теория относительности
Эйнштейна основана на дифференциальных
уравнениях второго порядка; то лее верно и в
отношении теории тяготения Ньютона. С этой
точки зрения обе теории одинаково красивы,
но в теории Ньютона меньше уравнений и на
этом основании ее можно было бы счесть более
изящной. Однако общая теория относительно-
относительности Эйнштейна выглядит более неизбежной.
В рамках этой теории вам не уйти от закона
обратных квадратов, по крайней мере в преде-
134
СТИВЕН ВАИНБЕРГ
л ах области его применимости, т. е. при малых
скоростях и на достаточно больших расстоя-
расстояниях .
Видоизменяя эйнштейновскую теорию, вы
неизменно будете получать закон обратных
квадратов до тех пор, пока не сломаете ее
окончательно. Напротив, в теории Ньютона
вы можете получить какую угодно отрица-
отрицательную степень расстояния. Следовательно,
эйнштейновская теория выглядит более краси-
красивой, поскольку она оказывается более строгой
и неизбежной.
И все же в одном отношении я должен
согласиться с Дираком. Занимаясь теорети-
теоретической физикой, мы часто топчемся на ме-
* Это не совсем верно из-за введенной Эйнштейном
так называемой космологической постоянной. Этот
член описывает силы, которые возрастают с рассто-
расстоянием. Если допустить, что этот член достаточно мал
и не изменяет наших представлений об объектах ти-
типа галактик или вселенной в целом, то в масшта-
масштабах порядка размеров Солнечной системы его влия-
влиянием можно будет вообще пренебречь. Следует, од-
однако, признать, что пока никто не понимает, поче-
почему космологическая постоянная должна быть столь
малой '.
^ По существующим сегодня оценкам величина космо-
космологической постоянной составляет |Л|<10~ см" . —
Прим. перев.
К окончательным, физическим, законам 135
сте, потому что не до конца понимаем су-
существо тех принципов, на которые опира-
опираемся. В этих условиях изящество математи-
математических формулировок зачастую становится
единственным надежным ориентиром. Очень
часто красивые математические построения
остаются в физических теориях даже после
того, как со временем выясняется ошибоч-
ошибочность принципов, положенных в основу этих
теорий. Например, разработанная Дираком
теория электрона явилась попыткой объеди-
объединения квантовой механики со специальной
теорией относительности на основе реляти-
релятивистского обобщения уравнения Шредингера.
Я думаю, что сегодня от такого подхода уже
отказались .
Предложенный Дираком подход оправдан только
для частиц со спином ^, например для электрона.
Дираку казалось, что успех его теории заключался в
объяснении, почему электрон должен иметь спин \.
Разумеется, Дираку было известно, что существуют и
другие частицы, например «-частица, спин которых не
равен ^, и что от этих частиц электрон принципиально
отличается лишь тем, что он является «более элемен-
элементарным»; на этом основании Дирак, вероятно, решил,
что спин всех элементарных частиц должен быть ра-
равен |. Этот вывод был оспорен в 1934 г. в статье Па-
Паули и Вайскопфа, которые показали, что релятивист-
релятивистскую квантовую теорию вполне можно построить и для
136
СТИВЕН ВАЙНБЕРГ
В настоящее время большинство ученых
считает, что объединение специальной тео-
теории относительности с квантовой механи-
механикой осуществимо только в рамках кванто-
квантовой теории поля. (Теория струн — это раз-
разновидность квантовой теории поля.) Имен-
Именно по этой причине идеи, на которых Дирак
построил свою теорию, сейчас не использу-
используются; несмотря на это, созданное Дираком
изящное уравнение стало неотъемлемой ча-
частью теоретического багажа любого физика;
это уравнение выдержало испытание време-
временем и останется в физике навсегда. Разуме-
Разумеется, я не знаю, показалась бы Дираку тео-
теория струн достаточно изящной для того, что-
чтобы она могла претендовать на роль состав-
частиц с нулевым спином, однако эта теория будет раз-
разновидностью квантовой теории поля типа квантовой
электродинамики, а вовсе не релятивистским обобще-
обобщением шредингеровской волновой механики. (В самом
деле, если частицам с нулевым спином приписать за-
заряд, то у них появятся античастицы; поскольку по-
последние являются бозонами, то их нельзя будет рас-
рассматривать как дырки в море частиц с отрицатель-
отрицательными энергиями.) Сегодня известно, что существуют
W-бозоны, Z-бозоны, и, возможно, хиггсовы бозоны; в
отличие от электрона все эти частицы имеют целый
спин, но являются столь же «элементарными», как и
электрон.
К окончательным физическим законам 137
ной части будущей фундаментальной теории.
Если даже и нет, то я не думаю, что он не
одобрил бы того, что мы пытаемся сейчас
делать.