Н. В. ЕФИМОВ
КРАТКИЙ КУРС
АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ
ИЗДАНИЕ СЕДЬМОЕ,
СТЕРЕОТИПНОЕ
Допущено Министерством
высшего и среднего специального образования РСФСР
в качестве учебника для высших учебных заведений
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1963

517.3
Е 91
УДК 516. */*

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 	 7
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
Глава 1. Координаты на прямой и на плоскости	 9
§	1. Ось и отрезки оси	 9
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось	11
§	3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскссти. Понятие
о декартовых косоугольных координатах	14
§ 4. Полярные координаты	17
Глава 2. Простейшие задачи аналитической геометрии на плоско¬
сти 	20
§	5. Проекция отрезка. Расстояние между двумя течками ....	20
§ 6. Вычисление площади треугольника 	25
§ 7. Деление отрезка в данном отношении	26
§ 8. Преобразование декартовых координат при параллельном
сдвиге осей	31
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат при
повороте осей	32
§ 10. Преобразование декартовых прямоугольных координат при из¬
менении начала и повороте осей	33
Глава	3. Уравнение линии 	37
§ 11. Понятие уравнения линии. Примеры задания линий при по¬
мощи уравнен ий	37
§ 12. Примеры вывода уравнений	заранее данных линий . . . . . . 43
§ 13. Задача о пересечении двух	линий	45
§ 14. Параметрические уравнения	линии	46
§ 15. Алгебраические линии	48
Глава	4. Линии первого порядка 	51
§ 16. Угловой коэффициент	  51
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом	52
1*

4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 18. Вычисление угла между двумя прямыми. Условия параллель¬
ности и перпендикулярности двух прямых	55
§ 19. Прямая как линия первого порядка. Общее уравнение прямой 57
§ 20. Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой
«в отрезках»	 58
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых 	61
§ 22. Нормальное уравнение прямой. Задача вычисления расстоя¬
ния от точки до прямой	-	63
§ 23. Уравнение пучка прямых 	'	66
Глава 5. Геометрические свойства линий второго	порядка	70
§ 24. Эллипс. Определение эллипса и вывод его канонического урав¬
нения 	70
§ 25. Исследование формы эллипса	73
§ 26 Эксцентриситет эллипса	.	76
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса ....	76
§ 28. Построение эллипса по точкам. Параметрические уравнения
эллипса	77
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость. Эллипс как
сечение круглого цилиндра	78
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы и вывод ее канонического
уравнения	  ....	80
§ 31. Исследование формы гиперболы	84
§ 32. Эксцентриситет гиперболы	90
§ 33. Рациональные выражения фокальных радиусов гиперболы ...	91
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы	91
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы	94
§ 36. Исследование формы параболы  	97
.	§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы	99
§ 38. Диаметры линий второго порядка	100
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы	105
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения .... 106
Глава 6. Преобразование уравнений при изменении координат . . . .107
§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии второго порядка
к каноническому виду	107
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности. Парабола
как график квадратного трехчлена	115
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Глава 7. Некоторые простейшие задачи аналитической геометрии
в пространстве	118
§ 43. Декартовы прямоугольные координату в пространстве . . . .118
§ 44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось .... 121

ОГЛАВЛЕНИЕ
5
§ 45. Проекции вектора на оси координат	124
§ 46. Направляющие косинусы	127
§ 47. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном
отношении	128
Глава 8. Линейные операции над векторами	129
§ 48.	Определение линейных операций	 129
§ 49.	Основные свойства линейных операций 	130
§ 50.	Разность векторов ....	 133
§ 51.	Основные теоремы о проекциях	  134
§ 52.	Разложение векторов на компоненты	.137
Глава 9. Скалярное произведение векторов	142
§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства	142
§ 54. Выражение скалярного произведения через координаты пере¬
множаемых векторов 	145
Глава 10. Векторное и смешанное произведения векторов	148
§ 55. Векторное произведение и его основные свойства	148
§ 56. Выражение векторного произведения через координаты пере¬
множаемых векторов 	154
§ 57. Смешанное произведение трех векторов	157
§ 58. Выражение смешанного произведения через координаты пере¬
множаемых векторов 	160
Глава И. Уравнение поверхности и уравнения линии	162
§ 59. Уравнение поверхности	 162
§ 60. Уравнения линии. Задача о пересечении трех поверхностей . 163
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, парал¬
лельными одной из координатных осей	164
§ 62. Алгебраические поверхности	167
Глава 12. Плоскость как поверхность первого порядка. Уравнения
прямой	169
§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка	169
§ 64. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в от¬
резках» 	172
§ 65. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние	от точки до
плоскости	174
§ 66. Уравнения прямой 	178
§ 67. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения пря¬
мой. Параметрические уравнения прямой	181
§ 68. Некоторые дополнительные предложения и примеры	185
Глава 13. Поверхности второго порядка 		190
§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды	190
§ 70. Конус второго порядка	195

6	ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 71. Параболоиды 	197
§ 72. Цилиндры второго порядка 	‘	.... 200
§ 73. Прямолинейные образующие 'однополостного i иперболоида. Кон¬
струкции В. Г. Шухова	201
Приложение. Элементы теории определителей	205
§ 1. Определители второго порядка и системы двух уравнений
первой степени с двумя неизвестными	205
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени с тремя
неизвестными	209
§	3.	Определители третьего порядка 	212
§	4.	Алгебраические дополнения и миноры	216
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений первой сте¬
пени с тремя неизвестными	219
§	6.	Понятие определителя любого порядка	226

ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящем издании произведены следующие изменения:
1.	Значительно сокращена глава 6, посвященная общему уравне¬
нию линии второго порядка. Дело в том, что приведение- к кано¬
ническому виду такого уравнения само по себе является вполне
простой задачей; кроме того, эта задача не настолько часто
встречается, чтобы имело смысл запоминать для нее готовые фор¬
мулы. Поэтому здесь достаточно разъяснить сущность метода, что
и сделано.
2.	В конце главы 8 добавлены два небольших пункта о разложе¬
нии вектора по косому базису.
3.	Несколько упрощено изложение отдельных мест главы 13.
4.	Исключен материал, содержащийся в §§ 77—81 предыдущего
издания (приведение к каноническому виду общего уравнения поверх¬
ности второго порядка).
Таким образом, в книге оставлены лишь те вопросы, которые со¬
ответствуют основным разделам программы по математике для высших
технических учебных заведений в части аналитической геометрии и
теории определителей.
Теперь по поводу произведенных сокращений. Они касаются
общей теории кривых и поверхностей второго порядка. Изложение
этих вопросов в предыдущем издании книги ориентировалось
только на решение определенных задач аналитической геометрии. Ме¬
жду тем, для приложений требуются многие вопросы алгебры, кото¬
рые тесно связаны с аналитической геометрией. Поэтому аналитиче¬
скую геометрию следует излагать так, чтобы важные алгебраи¬
ческие понятия получили в ней достаточную акцентировку.

8
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
В частности, в теории кривых и поверхностей второго порядка должны
получить достаточное освещение основные свойства квадратичных форм.
Сюда примыкают также линейные преобразования и матрицы. Все эти
вопросы изложены нами в отдельной небольшой книжке («Квадратич¬
ные формы и матрицы»), которая издается в серии «Избранные главы
высшей математики для инженеров и студентов втузов».
28 декабря 1961 г.
Н. Ефимов

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
ГЛАВА I
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Ось и отрезки оси
1.	Рассмотрим произвольную прямую. Она имеет два взаимно
противоположных направления. Изберем по своему желанию одно
из них и назовем его положительным (а противоположное направле¬
ние — отрицательным).
Прямую, на которой «назначено» положительное направление,
мы будем называть осью, На чертежах положительное направление
оси указывается стрелкой (см.,	?
например, черт. 1, где изобра- 	\2
жена ось a).	R	В	D	С	а
2.	Пусть дана	какая-нибудь I	1	1	1

ось и, кроме того, указан мае-	Черт. 1.
штабный отрезок, т. е. линей¬
ная единица, с помощью которой любой отрезок может быть измерен
и тем самым для любого отрезка может быть определена его длина.
Возьмем на данной оси две произвольные точки и пометим
их буквами А, В. Отрезок, ограниченный точками А, В, назы¬
вается направленным, если сказано, какая из этих точек счи¬
тается началом отрезка, какая концом. Направлением отрезка
считается направление от начала к концу,
В дальнейшем тексте направленный отрезок обозначается двумя
буквами с чертой над ними, именно теми же буквами, какими поме¬
чены ограничивающие его точки; при этом буква, которой помечено
начало, ставится на первом месте. Таким образом, АВ обозна¬
чает направленный отрезок, ограниченный точками А, В, началом
которого является точка А; ВА обозначает направленный отрезок,
ограниченный точками А, В, началом которого является точка В.
В дальнейшем, рассматривая направленные отрезки оси, мы часто
будем называть их просто отрезками, опуская слово «направленный».
Условимся называть величиной отрезка АВ некоторой оси
число, равное его длине, взятой со знаком плюс, если направление
10
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
этого отрезка совпадает с положительным направлением оси,
и со знаком минус, если оно совпадает с отрицательным направ¬
лением оси. Величину отрезка АВ мы будем обозначать симво¬
лом АВ (без черты). Мы не исключаем случая, когда точки А и В
совпадают; тогда отрезок АВ называется нулевым, так как вели¬
чина его АВ равна нулю. Направление нулевого отрезка неопреде¬
ленно и, таким образом, называть такой отрезок направленным можно
лишь условно.
Величина отрезка, в отличие от его длины, есть число отно¬
сительное; очевидно, длина отрезка есть модуль его величины *),
поэтому, в согласии с принятым в алгебре способом обозначать
модуль числа, для обозначения длины отрезка АВ мы будем упо¬
треблять символ |ДВ|. Ясно, что [ЛВ| и | ВА | обозначают одно
и то же число. Напротив, сами величины АВ и ВА отличаются
знаком, так что	л	ол
’	АВ — — ВА.
На черт. .1 изображены ось а и на ней точки А, В, С, D; ErEz —
масштабный отрезок. Точки А, В, С, D предполагаются расположен¬
ными так, что расстояние между А и В равно двум, между С и D —
трем. Направление от А к В совпадает с положительным направле¬
нием оси, направление от С к D противоположно положительному
направлению оси. В данном случае мы имеем, следовательно,
или
ВА = — 2,	DC=3.
Кроме того, можно написать
|Д£?| —2, |CD| = 3.
3.	При любом расположении точек А, В, С на оси величины
отрезков АВ, ВС и АС связаны соотношением
(1)
это соотношение мы будем называть основным тождеством.
Докажем основное тождество. Предположим сначала, что от¬
резки АВ и ВС, будучи ненулевыми, имеют одинаковые напра¬
вления (черт. 2, верх); тогда отрезок АС имеет длину, равную сумме
длин отрезков АВ, ВС и направлен одинаково с ними. В этом слу¬
чае все три числа АВ, ВС и АС имеют одинаковые знаки и число АС
равно сумме чисел АВ, ВС, т. е. тождество (1) справедливо.
Предположим теперь, что отрезки АВ и ВС, будучи ненулевыми,
имеют разные направления (черт. 2, низ). Тогда отрезок АС
) Слово «модуль» означает то же, что и «абсолютная величина».

§ 2J
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ЧИСЛОВАЯ ОСЬ
11
имеет длину, равную разности длин отрезков АВ, ВС и направлен
так же, как более длинный из них. В этом случае числа АВ и ВС
имеют разные знаки, а число АС имеет модуль, равный разности
модулей чисел АВ, ВС, и знак,	ВС
совпадающий со знаком того	((
из этих чисел, модуль кото¬
рого больше. Следовательно, - | - 	|	|	•	>.•
по правилу сложения относи¬
тельных чисел и при таком	Черт. 2.
расположении точек число АС
равно сумме чисел АВ, ВС, т. е. тождество (1) справедливо.
Предположим, наконец, что какой-нибудь из отрезков АВ, ВС —
нулевой. Если АВ—нулевой отрезок, то точка В совпадает с точ¬
кой А, следовательно,
АВ-\- ВС — А А АС== О Ц- ДС= АС.
Если ВС— нулевой отрезок, то точка В совпадает с точкой С,
следовательно,
АВ-\- ВС=АС~{- СС = AC-Y 0 = АС.
Итак, тождество (1) действительно справедливо при всех рас¬
положениях точек А, В, С.
Замечание. Если бы в соотношении (1) символы АВ, ВС и АС
считались просто длинами соответствующих отрезков (без учета
знаков!), то оно было бы верно только тогда, когда точка В лежит
между точками А и С. Универсальность соотношения (1) имеет
своим источником именно то обстоятельство, что АВ, ВС и АС
в нем понимаются как величины отрезков АВ, ВС и АС, т. е.
как длины их, взятые с надлежащими знаками *).
§ 2. Координаты на прямой. Числовая ось
4.	Мы укажем здесь способ, с помощью которого положение
точек на произвольно выбранной прямой можно определять зада¬
нием чисел.
Пусть дана произвольная прямая а. Выберем некоторый отрезок
в качестве линейной единицы, назначим на прямой а положительное
направление (благодаря чему она станет осью) и отметим на этой
прямой буквой О какую-нибудь точку.
♦) Если отрезки не лежат на какой-либо оси, а рассматриваются как
произвольные отрезки на плоскости, то нет оснований условно приписы¬
вать их длинам тот или иной знак. В таких случаях длины отрезков можно
обозначать как в элементарной геометрии, без символа модуля, что мы и
будем часто делать в дальнейшем (см., например, п° 40, где длина отрезка
обозначена через СМ вместо | СМ |).

12
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
После этого условимся называть координатой любой точки М
на оси а величину отрезка ОМ. Точку О будем называть началом
координат; ее собственная координата равна нулю.
Заданием координаты точки М положение этой точки на данной
прямой определяется вполне. Именно, модуль координаты, т. е. ОМ,
есть расстояние точки М от (заранее фиксированной) точки О,
а знак координаты, т. е. знак числа ОМ, устанавливает, в каком
направлении от точки О расположена точка М; если координата по¬
ложительна, то точка М расположена в положительном направлении
от точки О, если отрицательна,— то в отрицательном, если же ко¬
ордината равна нулю, то точка М совпадает с точкой О (все это
непосредственно следует из определения величины отрезка оси;
см. п° 2).
Представим себе, что прямая а расположена перед нами гори¬
зонтально и положительно направлена в правую сторону. Тогда рас¬
положение точек прямой а, в зависимости от знака их координат,
может быть описано следующим образом; точки, имеющие положи¬
тельные координаты, лежат справа от начала координат О, а точки,
имеющие отрицательные координаты — слева от начала координат О.
Координату произвольной точки обычно обозначают буквой х.
В тех случаях, когда рассматривается несколько точек, их часто обо¬
значают одной буквой с разными номерами, например, Мг, М2, .. .,Мп;
координаты этих точек тогда также обозначают одной буквой с со¬
ответствующими номерами хп х2, ..., хп.
Желая кратко указать,- что данная точка имеет данную коорди¬
нату, записывают эту координату в круглых скобках рядом с обо¬
значением самой точки, например: М2 (х,), Ж2(х2), ..., Мп(хп).
5.	Здесь мы докажем две простые, но важные теоремы. Они
относятся к оси, на которой введена координатная система.
Теорема 1. Каковы бы ни были две точки оси Mt (х,) и
М2 (х2), всегда имеет место равенство
Af1Af2 = x2 — х,.	(1)
Доказательство. Вследствие основного тождества (п°3)
ОМ,Л-М,Мг = ОМ,
откуда
М1М2 = ОМ2—ОМ1.
Но ОМ2 = х2, ОМ1=х1, следовательно,
М1М2 = х2 — xlt
что и требовалось доказать.
Сущность этой теоремы можно высказать такими словами: чтобы
получить величину отрезка оси, нужно от координаты его конца
отнять координату начала. (См. черт. 3 и 4; в случае черт. 4
необходимо учесть, что координата х, отрицательна.)

§ 2]
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ. ЧИСЛОВАЯ ОСЬ
13
Теорема 2. Если (xj и М2 (х2) — любые две точки оси
и d — расстояние между ними, то
d = |x, —х,|.	(2)
Доказательство. Согласно предыдущей теореме
МхМ2 = х2— xj
но расстояние между точками М2 есть модуль величины отрезка
M2M2i следовательно,
</ = |х4 —X,
Теорема доказана.
Замечание. Так как числа х2 — х, и х,—х2 имеют общий
модуль, то с равным правом можно писать d = |x2— xt | и
Черт. 3.	Черт. 4.
d = | Xj — х21. Приняв это во внимание, мы можем выразить смысл
доказанной теоремы так: чтобы вычислить расстояние между
двумя точками оси, нужно от координаты одной из них отнять
координату другой и взять модуль полученной разности.
Пример 1. Даны точки А (5), В ( — 1), С ( — 8), D (2); найти величины
отрезков АВ, CD и DB.
Решение. На основании теоремы 1 имеем:
АВ — - 1 -5 = -6,
СВ — 2 — ( — 8) = 10,
DB = - 1 - 2 = - 3.
Пример 2. Найти расстояние между точками Р (3) и Q(—2).
Решение. На основании теоремы 2
d = | — 2 — 3 I = | — 5 I = 5.
6.	Если на какой-нибудь оси введена координатная система, то
каждая точка этой оси имеет одну вполне определенную координату.
Обратно, какое бы мы ни взяли (вещественное) число х, на оси
найдется одна вполне опреде¬
ленная точка М с данной коор-	f	f
динатой х.
Условимся говорить, что	Черт 5
точка М изображает число х.
Ось, на которой введены координаты по способу, описанному в п°4, так
что ее точки изображают все вещественные числа, называется число¬
вой осью. На черт. 5 изображены числовая ось и несколько целых
чисел.
Условившись изображать числа в виде точек числовой оси, мы
тем самым делаем геометрически наглядным наше представление
14	КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА плоскости	[гл. 1
о всех числах в их совокупности. Вместе с тем мы получаем воз¬
можность формулировать в геометрических терминах арифметические
соотношения. Например, все решения неравенств 3<^х<^5 можно
наглядно представить себе в виде точек числовой оси, расположен¬
ных между двумя ее точками, из которых одна изображает число 3
(т. е. имеет координату, равную 3), другая — число 5 (т. е. имеет
координату, равную 5). Это обстоятельство можно коротко выразить
так: неравенства 3<^х<^5 определяют интервал (числовой оси),
ограниченный точками 3 и 5.
Выражение арифметических соотношений геометрическими тер¬
минами оказалось весьма удобным и постоянно употребляется во
всех разделах математики.
§ 3. Декартовы прямоугольные координаты на плоскости.
Понятие о декартовых косоугольных координатах
7.	Если указан способ, позволяющий устанавливать положение
точек плоскости заданием чисел, то говорят, что на плоскости вве¬
дена система координат. Мы рассмотрим сейчас простейшую и наи¬
более употребительную систему координат, которая называется
декартовой прямоугольной.
Декартова прямоугольная система координат определяется
заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно
перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
(т. е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй).
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси —
координатными осями, причем первую из них называют также
осью абсцисс, а вторую — осью ординат.
Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс — буквами Ох
и ось ординат — буквами Оу. На чертежах буквы х, у ставятся около
соответственных осей в положительном направлении от точки О в том
месте, где изображения осей обрываются; таким образом, само рас¬
положение букв О и х на чертеже указывает,
куда направлена ось абсцисс, а расположение
букв О и у — куда направлена ось ординат.
Тем самым отпадает надобность указывать по¬
ложительные направления осей стрелками,
поэтому в дальнейшем на наших чертежах
стрелки на координатных осях не ставятся.
Пусть М—произвольная точка плоскости.
Спроектируем точку М на координатные оси,
т. е. проведем через /И перпендикуляры к прямым Ох и Оу; основания
этих перпендикуляров обозначим соответственно Мх и Му (черт. 6).
Координатами точки М в заданной системе называются числа
У
Му-

I
■ I
о	мг
Черт. б.

§ 3]
ДЕКАРТОВЫ ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ КООРДИНАТЫ НА ПЛОСКОСТИ
15
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, ОЛ4у —
величину отрезка OMV оси ординат. Число х называется первой
координатой или абсциссой точки М, число у называется вто¬
рой координатой или ординатой точки М. Желая кратко ука¬
зать, что точка М имеет абсциссу х и ординату у, пользуются
записью: М(х; у). Если нам придется рассматривать несколько
точек, то мы часто будем обозначать их одной буквой с разными
номерами, например, Мх, /И2, ... , Мп; тогда координаты этих
точек мы будем помечать соответствующими номерами и запи¬
сывать рассматриваемые точки так: Л41	М2 (х2; j2), ... ,
Уп)-
8.	Если задана система декартовых прямоугольных координат,
то каждая точка плоскости в этой системе имеет одну вполне опре¬
деленную пару координат х, у. Обратно, каковы бы ни были два
(вещественных) числа х, у, на плоскости найдется одна вполне опре¬
деленная точка, абсцисса которой в данной системе есть х, а орди¬
ната есть у. Чтобы построить точку по ее координатам х, у, нужно
на оси абсцисс отложить от начала координат отрезок ОМХ, вели¬
чина которого равна х, а на оси ординат — отрезок ОМу, величина
которого равна у (направления, в которых следует откладывать эти
отрезки, определяются знаками чисел х, у); после этого, проводя
через Мх прямую, параллельную оси Оу, и через Му— прямую,
параллельную оси Ох, мы найдем искомую точку /И, как точку пе¬
ресечения проведенных прямых.
9.	В п°4 мы объяснили, как вводится система координат на
прямой. Введем теперь на каждой из координатных осей Ох и Оу
систему координат, сохранив данную нам линейную единицу и дан¬
ные направления осей Ох и Оу, а в качестве начала координат на
каждой оси выбрав точку О.
Рассмотрим произвольную точку М и ее проекцию Мх на ось Ох.
Точка Мх имеет на оси Ох координату, равную величине от¬
резка ОМХ; эта же величина названа нами (в п°7) абсциссой точки 7И.
Отсюда можно заключить: абсцисса точки М равна координате
точки Мх на оси Ох. Аналогично: ордината точки М равна ко¬
ординате точки Му на оси Оу. Эти предложения при всей их оче¬
видности являются для нас весьма важными. Именно, они дают право
при рассмотрении точек на плоскости применять теоремы 1 и 2
(п°5), выражающие известные свойства координатной системы на
прямой.
10.	Чтобы удобнее формулировать последующие факты, мы усло¬
вимся сейчас насчет некоторых терминов.
Ось Оу разделяет всю плоскость на две полуплоскости; ту из
них, которая расположена в положительном направлении оси Ох, мы
назовем правой, другую — левой.

16
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
Точно так же ось Ох разделяет плоскость на две полуплоскости;
ту из них, которая расположена в положительном направлении оси Оу,
мы будем называть верхней, другую — нижней*).
11. Пусть М — произвольная точка правой полуплоскости; тогда
отрезок ОМХ имеет на оси Ох положительное направление, и, сле¬
довательно, абсцисса х = ОМх точки Л4 положительна. Если же М
находится в левой полуплоскости, то отрезок ОМХ имеет на оси Ох
отрицательное направление, и число х—ОМх отрицательно. Нако¬
нец, в том случае, когда точка М лежит на оси Оу, ее проекция Мх
на ось Ох совпадает с точкой О и х—ОА4х есть нуль.
Таким образом, все точки правой полуплоскости имеют поло¬
жительные абсциссы (х^>0), все точки левой полуплоскости имеют
отрицательные абсциссы	абсциссы точек, лежащих на
оси Оу, равны нулю (х = 0).
Аналогично рассуждая, установим,
плоскости имеют положительные ординаты
нижней полуплоскости
что все точки верхней полу-
все точки
имеют отрицательные ординаты (^у<^0);
ординаты точек, лежащих на оси Ох, равны
нулю (у = 0).
Заметим, что у начала координат О, как
точки пересечения осей, обе координаты
равны нулю: х = 0, у = 0 и этим оно
характеризуется (т. е. обе координаты равны
нулю только для точки О).
12. Две координатные оси вместе разде¬
ляют плоскость на четыре части; их называют
координатными четвертями и нумеруют
по определенному правилу. Именно — первой
координатной четвертью называется та, ко¬
торая лежит одновременно в правой и
верхней полуплоскостях, второй — лежащая в левой и в верхней
полуплоскостях, третьей — лежащая в левой и в нижней полу¬
плоскостях, наконец, четвертой четвертью называется та, которая
лежит в правой и в нижней полуплоскостях. (Нумерация коорди¬
натных четвертей показана на черт. 7.)
Пусть М — некоторая
щего следует, что
если х^>0, у^>0,
если х<^0, ^>0,
если х<^0, j/<^0,
если х^>0, j/<0,
У
г
Т
О
Ш
/V
точка с
координатами х, у. Из предыду-
то
то
то
то
М
м
м
м
лежит
лежит
лежит
лежит
в первой четверти,
во второй четверти,
в третьей четверти,
в четвертой четверти.
*) Такие названия оправдываются тем, чю на чертежах координатные
оси обычно располагаются так, чтобы при рассмотрении их ось Ох была
видна направленной вправо, а ось Оу — вверх.

§ 4]
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
17
Рассмотрение координатных полуплоскостей и четвертей полезно
тем, что помогает легко ориентироваться в расположении заданных
точек по знакам их координат.
13. Мы познакомились с декартовой прямоугольной системой
координат. Эта система наиболее употребительна. Однако в отдель¬
ных случаях, при рассмотрении специаль-	>у
ных задач, могут оказаться более удоб-	/
ними и другие системы. Расскажем в не-		?М
многих словах о декартовых координатах	7	/
с любым углом между осями.	/	/
Такая система координат определяется у	/а?
заданием масштаба и двух осей Ох, Оу, ~7д	~
пересекающихся в точке О под любым /
углом (кроме 0 и 180°). Пусть М — произ-	Черт. 8.
вольная точка плоскости. Проведем через
М прямые, параллельные осям Ох, Оу, и обозначим точки их пере¬
сечения с этими осями соответственно через Мх и Му (черт. 8).
Координатами точки М в заданной системе называются числа
х = 0Мх, у = ОМу,
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси Ох, а ОЛ1у— вели¬
чину отрезка ОМу оси Оу.
В том частном случае, когда угол между осями Ох, Оу равен
прямому, описанная сейчас система координат оказывается декар¬
товой прямоугольной системой. Если же угол между осями
Ох, Оу не прямой, то эта система координат называется декартовой
“ нашей книге в дальнейшем декартовы косоуголь-
употребляются. Поэтому декартовы прямо¬
угольные координаты
вать просто декартовыми
косоугольной. В
ные координаты не
Черт. 9.
мы будем часто назы-
координатами.
координаты
§ 4. Полярные
14. Здесь мы опишем так называемую по¬
лярную систему координат; она весьма удобна
и применяется довольно часто.
Полярная система координат определяется
заданием некоторой точки О, называемой по-
из этой точки луча ОА, называемого полярной
для измерения длин. Кроме того, при задании
должно быть сказано, какие повороты вокруг
положитель¬
люсом, исходящего
осью, и масштаба
полярной системы
точки О считаются положительными. Обычно считают
ными те повороты, которые совершаются «против часовой стрелки».
Пусть заданы полюс и полярная ось (черт. 9). Рассмотрим
произвольную точку М и обозначим через q расстояние ее от

18
КООРДИНАТЫ НА ПРЯМОЙ И НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 1
точки О (q = | ОМ |), через 0 — угол, на который нужно повернуть луч О А
для совмещения его с лучом OM(J) = ^/ АОМ). Угол 0 мы будем
понимать так, как это принято в тригонометрии (т. е. с учетом
знака и с точностью до слагаемого вида Ч-2/zn).
Полярными координатами точки М (относительно заданной
системы) называются числа quQ. При этом число Q называется первой
координатой, или полярным радиусом, число 0 — второй координатой,
или полярным углом (полярный угол называют также амплитудой).
Замечание 1. Среди возможных значений полярного угла
точки М выделяют одно определенное, именно то, которое удов¬
летворяет неравенствам
— л <^0 л;
его мы будем называть главным. Можно сказать, что в качестве
главного значения полярного угла берется угол, на который нужно
повернуть луч ОА до совмещения с лучом ОМ, но делая при этом
поворот не более, чем на 180° в ту или другую сторону. В частном
случае, когда луч ОМ направлен строго противоположно лучу ОА,
возможными являются два поворота на 180°; тогда выбирается поло¬
жительный поворот, т. е. в качестве главного значения полярного
угла принимается 9 = л.
Замечание 2. Если точка М совпадает с О, то Q = | ОМ | = 0. •
Значит, первая координата полюса равна нулю. Вторая его коорди¬
ната, очевидно, не имеет определенного значения.
15.	В некоторых случаях приходится одновременно пользоваться
и декартовой и полярной системами. В таких случаях возникает
задача: зная полярные координаты
некоторой точки, вычислить ее декар¬
товы координаты и, обратно, зная ее
декартовы координаты, вычислить
полярные. Мы выведем сейчас фор¬
мулы такого преобразования координат
(формулы перехода от поляр¬
ных координат к декартовым и
т обратно) в частном случае, когда полюс
А полярной системы совпадает с началом
декартовых прямоугольных координат,
а полярная ось совпадает с положитель¬
ной полуосью абсцисс (черт. 10). Кроме
полярного угла будем считать положитель¬
ными повороты в том направлении, в каком следует вращать поло¬
жительную полуось Ох, чтобы кратчайшим путем совместить ее
с положительной полуосью Оу.
Пусть М — произвольная точка плоскости, (х; у) — ее декар¬
товы координаты, (q; 0) — полярные координаты. Опишем вокруг
ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ
19
§ 4]
полюса О окружность радиуса Q и будем рассматривать ее в качестве
тригонометрической окружности, а ось Ох — в качестве начального
диаметра. Опустим из точки М перпендикуляры на оси Ох, Оу;
обозначим их основания соответственно через Л4Х, (см. черт. 10).
Отрезок ОМХ является линией косинуса угла 6; следовательно,
ОМХ — | ОМ | cos 0. Отрезок ОМу является линией синуса угла 0;
следовательно, ОМу = | ОМ | sin 0. Но 0Мх = х, ОМу=у,1ОМ[ = (У,
таким образом, из предыдущих соотношений имеем:
х = q cos 0,	у — q sin 0.	(1)
Это и есть формулы, выражающие декартовы коорди¬
наты через полярные. Выражения полярных координат
через декартовы можно получить из этих же формул или не¬
посредственно:
tgo=f.	<2)
Заметим, однако, что формула tg 0 =даже главное значение
полярного угла определяет не вполне; именно, нужно еще знать,
положительна величина 6 или отрицательна.
Пример. Даны декартовы прямоугольные координаты точки: (—2; 2);
найти ее полярные координаты (считая, что полюс полярной системы со¬
вмещен с началом декартовой системы, а полярная ось совпадает с положи¬
тельной полуосью абсцисс).
Решение. По формулам (2) имеем:
6 = 2/2; tgO = —1.
3	1
Согласно второму из этих равенств 0 = — л или 0 = — 47 л* Так как данная
точка лежит во второй четверти, то из двух указанных значений 0 мы должны




в качестве главного выбрать первое. Итак, @ = 2^2,	0 —-^-л.

нужно
ГЛАВА 2
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
НА ПЛОСКОСТИ
§ 5. Проекция отрезка.
Расстояние между двумя точками
16.	В дальнейшем при рассмотрении каких бы то ни было во¬
просов мы будем считать, что задана некоторая система коор¬
динат. Если мы будем говорить, что даны какие-то точки, то это
> в том смысле, что известны их координаты. Если в ка-
кой-нибудь задаче требуется найти неизве-
*	z	стные точки, то задача будет считаться решен-
•	ной, когда будут вычислены их координаты.
В этой главе рассматриваются решения
ряда простейших задач аналитической гео¬
метрии.

17.	Пусть дан произвольный отрезок МХМ2
а и некоторая ось и (черт. 11).
Опустим из точек и Ж2 перпендику¬
ляры на осьии обозначим их основания, соот¬
ветственно, через Pj и Р2. Рассмотрим отрезок
PjP2 оси а, началом и концом которого являются, соответ¬
ственно, проекция начала данного отрезка	и проекция
его конца. Величина отрезка P2Pt оси и называется проекцией
данного отрезка	на ось и, что символически записывается
равенством

пра Af1Af, = PIPt.
Согласно этому определению проекция отрезка на ось есть
число; оно может быть положительным (черт. 11), отрицательным
(черт. 12, а) или равным нулю (черт. 12, б).
Особенно часто в аналитической геометрии встречается необходи¬
мость вычислять проекции отрезка на координатные оси. Условимся
обозначать проекцию произвольного отрезка на ось Ох большой
буквой X, проекцию на ось Оу — большой буквой Y.
И,Г
I
I
I
I
/
Черт. 11.

§ 5]
РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
21
Вопрос о вычислении Л, У по данным точкам
следующей теоремой:
Л4П Мг решается
I
1
1
1
1
1
1 1
4
1 1
1
1
1
1
1 —

1
1
1 л
Pt
(а)
Pf а
Черт. 12.
р,=р3	“
(5)
Теорема 3. Каковы
проекции отрезка МГМ2
бы ни были точки Mt(xx; yj и Л12 (х2; j2),
на координатные оси выражаются фор¬
мулами-.
Х=х2 — хр
(1)
AL совпадает с началом
Доказательство. Опустим из точек М1У М2 перпендикуляры
на ось Ох и обозначим их основания через	Р2 (черт. 13).
Согласно п°9, эти точки имеют на оси Ох соответственно коорди¬
наты хр х2. Отсюда и в силу тео¬
ремы 1 п°5
ЛЛ = *»—*.•
Но PJ\ = X, следовательно, X—
= х2 — хг Аналогично устанавли¬
вается равенство Y = QxQ2=yz—у^
Теорема доказана.
Таким образом, чтобы получить
проекции отрезка на координатные
оси, нужно от координат его конца
отнять соответствующие коорди¬
наты начала.
Предположим, что начало отрезка
координат О; тогда Xj = 0, ух — 0. Обозначив в этом случае конец
отрезка просто буквой АГ, а координаты точки М буквами х, у,
получаем по формулам (1)
Х=х, Y=y\	(Г)
здесь X, Y—проекции отрезка ОАГ. Отрезок ОАГ, идущий из на¬
чала координат в данную точку АГ, называется радиус-вектором
этой точки. Формулы (1') выражают тот очевидный факт, что
декартовы прямоугольные координаты точки суть проекции ее
радиус-вектора на оси координат.

22
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
18.	Одной из наиболее часто встречающихся простейших задач
аналитической геометрии является задача определения рас¬
стояния между двумя данными точками. Для случая,
когда точки определены декартовыми прямоугольными координатами,
решение этой задачи дается следующей теоремой:
Теорема 4. Как бы ни были расположены на плоскости
точки TWj (Xjj j\) и М2(х2; у2), расстояние d между ними опре¬
деляется формулой
— х.у + (Л—у у.	(2)
Доказательство. Сохраняя обозначения, которые приме¬
нялись в предыдущей теореме, пометим, кроме того, буквой N
точку Пересечения прямых МгQ, и М2Р2 (черт. 13). Так как тре¬
угольник	—прямоугольный, то по теореме Пифагора
d =	+
Но, очевидно, длины катетов MyN и M2N совпадают с абсолютными
величинами проекций X, Y отрезка	на координатные оси;
следовательно:
Отсюда и на основании теоремы 3 находим:
d = V<xt — xy-\-{yi — yy,
что и требовалось.
Пример. Найти расстояние между точками МД—2; 3) и М2 (5; 4).
Решение. По формуле (2)
d = У [5 - ( - 2)]2 + (4 — З)2 = У 50 = 5 V2?
19.	Рассмотрим снова отрезок МХМ2. Проведем через его на-
параллельный оси Ох и направленный
с нею в одну и ту же сторону (черт. 14).
Обозначим через 6 угол, на который
следует повернуть луч и, чтобы он
направился по отрезку	этот угол
будем понимать, как принято в тригоно¬
метрии (т. е. с учетом знака и с точ¬
ностью до слагаемого вида Ц- 2лл).
Угол 0 будем называть полярным
углом отрезка	относительно
данных координатных осей. Очевидно,
О представляет собой не что иное, как
полярный угол точки ТИ2 в полярной
системе координат, полюсом которой
служит точка а полярной осью — луч и\ в этой же системе длина d
данного отрезка будет играть роль полярного радиуса точки Л42.
чальную точку Л11 луч и,

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ
23
§ 5]
Примем теперь точку в качестве начала новой декартовой
системы координат, оси которой направлены так же, как оси перво¬
начально данной декартовой системы (на черт. 14 новые оси пока¬
заны пунктиром). Проекции отрезка МгМ2 на соответственные оси
старой и новой системы одинаковы: обозначим их, как и раньше,
через A, Y. Числа A, Y являются декартовыми координатами точки
М2 в новой системе. Применяя к ним формулы (1) п° 15, найдем:
A=dcos6, F=dsinO.	(3)
Формулы (3) выражают проекции произвольного отрезка на
координатные оси через его длину и полярный угол.
Из этих формул и на основании теоремы 3
х2 — x1 = t/cosO, у2—y1 = dsinO,	(4)
или
cos 0 = *2	** , sin 9 = - ~	.	(5)
Формулы (5) позволяют определить полярный угол отрезка
по координатам его конца и начала (предварительно следует
найти d, пользуясь формулой (2)).
Во многих случаях удобной является также формула
(6)
Л2
которая очевидным образом выводится из формулы (4).
Пример 1. Найти проекции отрезка на координатные оси, зная его
длину d = 2]/" 2 и полярный угол 0 = 135°.
Решение. По формулам (3) находим:
X -- 2 /“2 cos 135° = 2 Y~2 (	1=^ = — 2,
\	/ 2;
У = 2 у~2 sin 135° = 2/“2—!= = 2.
У 2
Пример 2. Найти полярный угол отрезка, направленного из точки
Л1Х (5; У 3) в точку Л42 (6; 2]/" 3).
Решение. По формуле (2)
d = И(6 - 5)г + (2 У“3 - /~3)2 = 2.
Применяя формулы (5), найдем:
1	1Л“з
cos 0 = — , sin 0 = r .
Следовательно, главное значение 0 = 60°.
20.	Пусть и — произвольная ось, ср— угол наклона отрезка
к этой оси, именно, угол, на который следует повернуть ось и,
чтобы ее направление совпало с направлением отрезка М1М2,

24
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
Для вычисления проекции отрезка	на ось и служит фор¬
мула

np^/l^ = d cos ф,	(7)
т. е. проекция отрезка на любую ось равна его длине, умножен¬
ной на косинус угла наклона к этой оси.
Доказывать формулу (7) нет необходимости, так как по сути
дела она не отличается от первой из формул (3) п° 19. Заметим
только, что знак угла не влияет на его косинус; поэтому в фор¬
муле (7) угол ф можно понимать в смысле элементарной гео¬
метрии*. без учета знака и в границах от 0 до 180°.
Черт. 15.
Если угол ф острый,
то cos ф и проекция отрезка положи-
Ф — тупой угол, то cos ф и проек¬
ция отрезка отрицательны
(черт. 15, б). Если ф — прямой
угол, то проекция равна нулю.
Пример. Даны точки (1; 1)
и М2 (4; 6). Найти проекцию отрезка,
МХМ2 на ось, проходящую через
точки Л (1; 0) и В (5; 3) и направлен¬
ную от А к В.
Решение. Обозначим через и
данную ось, через ф — угол наклона
отрезка МгМ2 к оси и, через 0 и би¬
полярные углы отрезков	и АВ
(см. черт. 16, где все указанные углы
построены при точке	«Легко
видеть, что cos ф = cos (0 — б')- Пусть
X, Y — проекции на координатные
отрезка АВ, d и d' — длины отрез-
Черт. 16.
оси отрезка	X', У/ — проекции
ков MjAlj и. АВ. По формуле (7)
d cos <p = d cos (0 — 0') — d (cos 0 cos 0' + sin 0 sin 0').
Отсюда, пользуясь формулами (3) n° 19, получим:
np^/HjMj ~d
x
d d' ‘ d d’J
XX' + YY'
~ d’

§ 6]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДИ ТРЕУГОЛЬНИКА
25
Применяя теоремы 3 и 4, найдем:
X — 3,
Следовательно,
Г = 5, X' = 4, F' = 3, d'= У 4! + 3! = 5
..	3-44-5-3	27
npj.AdjM,-- 	1— — у .
Задача решена.
§ 6. Вычисление площади треугольника
21.	Пусть даны три точки А(х^ yj; B(xt; у2) и С(х8; у8), не
лежащие на одной прямой. Выведем формулу, выражающую пло¬
щадь S треугольника АВС через координаты его вершин.
Обозначим через ф угол между отрезками АВ и АС, через d и
d' — длины этих отрезков. Как известно из элементарной геометрии,
площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон
на синус угла между ними, следовательно,
S = ~dd’ sin ф.
(1)
Пусть 6 — полярный угол отрезка АВ. Если кратчайший поворот
отрезка АВ к отрезку АС на угол ф положителен, то, прибавляя
угол отрезка ДС; обозначив его
17, а). Если же кратчайший по¬
к 0 угол ф, мы получим полярный
через О', найдем: 6'=6Ц-ф (черт.
Черт.
ворот АВ к АС отрицателен, то мы получим полярный угол 6*
отрезка АС, отнимая от 0 угол ф; в этом случае (Г =6 — ф (черт. 17,6).
Итак, ф==-4-(0' — 6); отсюда и из формулы (1)
s = ± у AT sin (O' — 9) =
= + у dd' (sin 0' cos f) — cos 6' sin ft).
(2)

26
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
Обозначим проекции отрезка АВ на координатные оси через
Xt У, проекции отрезка АС— через X', Yf. По формулам (3) п° 19
Х= dcosQ, y=6?sin0.
X' = d' cos O', Yf = d’ sin O'.
Раскрывая скобки в правой части равенства (2) и пользуясь
последними соотношениями, найдем:
— Х’У).	(3)
Согласно теореме 3 п° 17
Х=хг — Х1, У=уг — У1,
Х’ — ха — х„
Подставляя эти выражения в формулу (3), получим:
5 - ± 4	— *1) О’. - -У1) — (Л — л)1-	(4)
Выражение, стоящее здесь в квадратных скобках, представляет
собой определитель второго порядка *), поэтому формулу (4)
можно написать также в виде
х2 — Х1
*8 —
У 2— Л
У,—У1
(5)
Установленный результат мы сформулируем в виде следующей
теоремы:
Теорема 5/Каковы бы ни были три точки А(хр, ух), В(х2;у2),
С(х3; у3), не лежащие на одной прямой, площадь S треугольника АВС
определяется формулой (5). Правая часть этой формулы равна -|-S
в том случае, когда кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку АС
положителен, и — S в том случае, когда такой поворот отрицателен.
Пример. Даны точки А (1; 1), В (6; 4), С (8; 2). Найти площадь тре¬
угольника АВС.
Решение. По формуле (5)
_1_ I х2 ~
2 I Уз-У1\- 2 \7 1 Н
Следовательно, S = 8. То, что значение правой части формулы (5) в дан¬
ном случае отрицательно, означает, что кратчайший поворот отрезка АВ
к отрезку АС является отрицательным.
§ 7. Деление отрезка в данном отношении
22.	К числу простейших задач аналитической геометрии, име¬
ющих многие применения, относится задача о делении отрезка
в данном отношении. Прежде чем точно сформулировать,
в чем эта задача заключается, нам придется подробно объяснить,
♦) Основные сведения об определителях даны в приложении (см. стр. 205).

§ 7]
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
27
что мы подразумеваем, когда говорим об отношении, в котором
некоторая точка делит данный отрезок.
Пусть на плоскости даны две произвольные различные точки, из
которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их
в заданном порядке через МТ и Л42. Проведем через данные точки
прямую и и назначим на ней положительное направление; тем самым
мы сделаем ее осью.
Пусть, далее, М—еще одна точка оси и, расположенная на ней
как угодно с исключением только одного случая: она не должна
совпадать с точкой М2 (черт. 18).
Число А, определяемое равенством
*_М>М
л — ММ2'
и ММ2 суть величины направленных
и, называется отношением, в
точка /И делит направленный
отрезков
(сохраняя модуль);
знак
где МгМ
ММ2 оси
котором
отрезок
Замечание 1. Число А не зависит
от того, как выбрано положительное на¬
правление на прямой и, определяемой
точками М1 и М2. В самом деле, если
мы изменим положительное направление
этой прямой на противоположное, то
величины ЛАЛ4 и ММ. одновременно изменят
при этом дробь дуду , очевидно, останется без изменения.
Замечание 2. Число А не зависит и от выбора масштаба для изме¬
рения длин. В самом деле, при изменении масштаба величины всех
отрезков на оси М±М2 умножатся на одно и то же число и, следова¬
тельно, отношение
Замечание
точки М с точкой
равенство (1) не
В этом случае говорят (по причине, которая выяснится в следую¬
щем п°), что отношение	«равно бесконечности».
23. Предположим, что на прямой МгМ2 положительное направле¬
ние выбрано так, что отрезок МХМ2 положительно направлен; тогда
М^М2 есть число положительное. Если при этом точка М находится
между точками Мг и М21 то числа МгМ, ММ2 также поло¬
жительны, а потому и отношение А=4ттт^ есть число поло ж и-
J	мм2
тельное. Если точка М приближается к точке Мх, то А прибли-
М.М
не изменится.
3. Если не исключать возможности совпадения
ТИ2, то в том случае, когда М совпадет с ТИ2,
определяет никакого числа (так как ЛШ2 = 0).

28
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
жается к нулю (X становится равным нулю, когда М совпадает с
если точка М приближается к точке М2, то А неограниченно
возрастает или, как говорят, стремится к бесконечности (поэтому и гово¬
рят, что X «обращается в бесконечность», когда М совпадает с М2).
Допустим теперь, что точка М находится на прямой, определя¬
емой точками и М2, вне отрезка	В этом случае
одно из чисел	ММ2 положительно, другое отрицательно,
а так как М.М и ММ9 суть величины разных знаков, то А =
в данном случае есть число отрицательное.	2
24.	В аналитической геометрии задача о делении отрезка в дан-
ном отношении заключается в следующем.
Считая
Ч(*2; Л)
известными
отношение
и
координаты, двух точек (хг; ух),
Л, в котором некоторая (неизвестная)
точка М делит отрезок	найти
координаты точки М.
Решение этой задачи дает следующая
теорема:
Теорема 6. Если точка М (х; у)
делит отрезок	в отношении Л, то
координаты этой точки выражаются
формулами
х. 4- Кх9
*=-гтг -
Доказательство,
точки Л42, Л7 на ось
У\ 4~ W (съ
■ 1 + Х •
Спроектируем
Ох п обозначим
их проекции соответственно через	и Р (черт. 19). На основа¬
нии известной теоремы элементарной геометрии о пропорциональ-
ности отрезков прямых, заключенных между параллельными пря¬
мыми, имеем:
PJ>

PPt~~
(3)
Согласно теореме 3 (п° 17)
РХР= х — х1?	РР2 = х2 — х.
Отсюда и из равенства (3) получаем:
х2 — X
Решая это уравнение относительно неизвестного х, найдем, что
	xt + U2
х~~ 14-х *
Тем самым мы получили первую из формул (2). Вторая устанавли¬
вается совершенно аналогично при помощи проектирования на ось Оу.
Теорема доказана.

§Л
ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА В ДАННОМ ОТНОШЕНИИ
29
Замечание. Если Х = —1, то формулы (2) теряют смысл,
так как в знаменателях этих формул оказывается нуль (1-(-Х = 0).
Но в этом случае и поставленная задача не имеет решения; в са¬
мом деле, никакая точка не может делить отрезок AljAf* в от¬
ношении А =—1, так как, если, = —1, то М.М = — /ИЛ4, и
/Wj/H-j-/ИМ2 =/И^з = 0, что невозможно, поскольку точки	Л42
предполагаются различными.
25.	Отметим один важный частный случай предыдущей теоремы:
если	и /И2(х2; у2) — две произвольные точки и М(х; у)
— середина отрезка	то
Х— 2 * 1 У— 2 *
Эти формулы получаются из формул (2) п°24 при Z=l*). Мы
можем утверждать, следовательно, что каждая координата сере¬
дины отрезка равна полусумме соответствующих координат его
концов.
Пример 1. Даны точки 2И1 (1; 1) и Л42(7; 4). На определяемой ими
прямой найти точку Л4, которая в два раза ближе к Мlt чем к М2, и нахо¬
дится между точками и М2.

Решение. Искомая точка делит отрезок M^42 в отношении
= Применяя формулы (2) п° 24, находим координаты этой точки: х = 3,
У = ^
Пример 2. Даны точки Л4Х(1; 1) и М2(7; 4). На прямой МХМ9 найти
точку УИ, которая в два раза ближе к УИП чем к УИ2, и находится вне отрезка,
ограниченного точками и /И2.

Решение. Искомая точка делит отрезок MjM2 в отношении X —
= — у. Применяя формулы (2) п° 24, находим координаты этой точки: х = — 5,
£/ = —2 .
Пример 3. Даны вершины треугольника А (5; — 1), В(—1; 7), С(1; 2).
Найти длину его внутренней биссектрисы, проведенной из вершины А.
Решение. Обозначим через А4 точку пересечения указанной биссек¬
трисы со стороной ВС, через с и b — длины сторон АВ и АС. Как известно
из элементарной геометрии, биссектриса, проведенная из какой-нибудь вер¬
шины треугольника, делит противолежащую этой вершине сторону на части,
пропорциональные прилежащим сторонам. Таким образом, точка М делит
отрезок ВС в отношении X, где
— МС~ b ’
Пользуясь формулой (2) п° 18, находим длины сторон АВ и АС
с = /(5+ 1)’ + (— 1 - 7)1 =10, Ъ = /(5- 1)’ + (- 1 - 2)’ = 5.
♦) Если М — середина отрезка	то	=	и потому
1 _УИгУИ_ t
Л“"Л4Л12 L

30
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
Следовательно, А, = 2. Применяя формулы (2) п* 24, находим координаты
АЛ	1	11
точки Л4: X —у, у = —.
Снова пользуясь формулой (2) п® 18, получаем искомую длину биссектрисы
14 г—
ЛМ=у V 2.
Пример 4. В точках A4t (х/, t/J, М2 (х2: r/2), М3 (х3; у3) помещены
массы m2, т3. Найти центр тяжести этой системы масс.
Решение. Найдем сначала центр тяжести ЛГ (%'; у') системы двух масс
mj и т2. Согласно известному положению механики центр Тяжести системы
этих масс делит отрезок МХМ2 на части, обратно пропорциональные массам
т2, т. е. в отношении к = По формулам (2) п° 24 находим:
х. -4	- х2	.
__	__ ^/И1 + х2т2
т,	т. + т2 9
~гт1
У'~
_ У\т\ + Угт2
4- т2
Пусть Л4 (х; у) — центр тяжести системы трех масс тх, т2, т3. Положе¬
ние точки М не изменится, если массы тх, т2 будут сосредоточены в точ¬
ке М'. Иначе говоря, точка М является центром тяжести системы двух
масс: массы т3, помещенной в точке М3, и массы т1-[-т2, помещенной в
точке М'. Следовательно, мы можем найти искомую точку М, как точку,
которая делит отрезок Л4'Л43 в отношении ‘к = —. Применяя форму-
ZTlj -j— т2
лы (2) п® 24, получаем:
/	1	И,
г__*	тх + т2Х\_
Ххтх	Х2т2 1	т3
 тх-\-т2	1 т14~^2 3 Ххтх 4- х2т2 4- х3т3
1+тЛ\
! |	т3	zn14-m24-m3
т1 4~Ш2
, | т3	ухтх + у2т2 . т3
__ У тх + т2 Уз _ тх-{-т2 mx-^m2 Уз _ ухтх + у2т2 -ф- у3т3
J 1 I	j I	тх 4- т2 т3
тх 4- т2	т1 + т2
Замечание. Если дана система масс тх, т2, ..., mki помещенных в
точках Mj (Хр г/,), М2 (х2; у2), ..., Mk(xk\ yk), то координаты центра тяжести
этой системы масс определяются формулами
к _ W + х2т2 + .. ■ + xkmk
т, + т2+. . +гпА
_ У\т\ ~Г Угтг 4~ • • • Vkmk
mi + тг + • • • + mk
Для их доказательства следует применить формулы (2) п° 24 и метод матема¬
тической индукции.

§ 8]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ
31
§ 8. Преобразование декартовых координат
при параллельном сдвиге осей
26.	Как мы уже знаем, в задачах аналитической геометрии по¬
ложение заданных геометрических объектов определяется относи¬
тельно некоторой системы координат. Может, однако, возникнуть,
надобность в замене координатной системы, к которой отнесены
данные рассматриваемой задачи, другой системой по каким-либо
соображениям более удобной. Но произвольная точка в разных ко¬
ординатных системах имеет, вообще говоря, разные координаты.
Поэтому в том случае, когда при рассмотрении одного вопроса
употребляются две системы координат, возникает потребность: зная
координаты произвольной точки в одной системе, вычислить коор¬
динаты этой же точки в другой системе. Для этой цели служат
формулы преобразования координат, соответствующие
данному изменению координатной системы.
27.	Прежде всего мы установим формулы преобразова¬
ния декартовых координат при параллельном сдвиге
осей, т. е. при таком изменении декартовой системы координат,
когда меняется положение начала
координат, а направления осей (и
масштаб) остаются неизменными.
Пусть Ох и Оу — старые, а О'х'
и О'у' — новые координатные оси
(черт. 20). Положение новых осей
относительно	старой	системы
определяется	заданием	старых
координат нового начала: О' (а; £).
Число а будем называть величиной
сдвига по направлению оси
Ох, число b — величиной сдвига
по направлению оси Оу. Произвольная точка М плоскости
имеет относительно старых осей некоторые координаты (х; у); эта
же точка по отношению к новым осям имеет другие координаты:
(х'; /). Наша цель — установить формулы, выражающие х,
х', у' (или х', у' через х, у).
Спроектируем точку О' на ось Ох и точку М на
и О'х'.
у через
оси Ох
Обозначим проекцию точки О' на ось Ох через Ох, проекции
точки М на оси Ох и О'х'—через Мх и Мх>. Очевидно, величина
отрезка ОХМХ оси Ох равна величине отрезка О'МХ> оси О'х'. Но
О'Л4Х/ =х'; следовательно, ОхМх = х'. Кроме того, ООх = а,
0Мх — х. Согласно основному тождеству (см. п°3) ОМХ = ООх-\-
4- ОХМХ, отсюда и на основании предыдущих указаний имеем

32
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
х = х9 а. Аналогично при помощи проектирований на оси Оу и
О’у' найдем у — у'-\-Ь.
Итак,
х = х'-\-а,	y=y'-\-b.	(1)
Это и есть искомые формулы. Их можно также записать в виде
х’ = х — а, у' = у — b.	(Г)
Полученный результат можно сформулировать так: при параллель¬
ном сдвиге декартовой системы координат на величину а в на¬
правлении оси Ох и на величину b в направлении оси Оу абсциссы
всех точек уменьшаются на величину а, ординаты — на вели¬
чину Ь.
§ 9. Преобразование декартовых прямоугольных координат
при повороте осей
28.	Теперь мы установим формулы преобразования де¬
картовых прямоугольных координат при повороте
осей, т. е. при таком изменении декартовой прямоугольной си¬
стемы координат, когда обе оси поворачиваются в одну сторону на
один и тот же угол, а начало коорди¬
нат и масштаб остаются неизменными.
Пусть Охи Оу—старые, а Ох', Оу9—
новые координатные оси (черт. 21).
Положение новых осей относительно
старой системы определяется задани¬
ем угла поворота, совмещающего ста¬
рые оси с новыми. Этот угол мы обо¬
значим буквой а и будем понимать его,
как принято в тригонометрии (положи¬
тельные повороты определим как в п°15).
Произвольная точка Af плоскости
имеет относительно старых осей некото¬
рые координаты (х; у), эта же точка по отношению к новым осям имеет,
вообще говоря, другие координаты (х'; у'). Именно, х—ОМх,
у—ОМу, х' — ОМХ', у’ = ОМу' (см. черт. 21). Наша цель — устано¬
вить формулы, выражающие х', у' через х, у или х, у через х', у'.
Обозначим через (р, 6) полярные координаты точки АГ, считая
полярной осью Ох, и через (р, О') — полярные координаты той же
точки АГ, считая полярной осью Ох' (в каждом случае р — | ОМ |).
Очевидно, 6 = 0' 4“а- Далее, согласно формулам (1) п° 15
и аналогично
x = pcos0, у = р sin 0,
х =р cos О',
у' = р sin О'.

§ 10]	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ	33
Таким образом,
х = q cos 0 = q cos (О' -j- а) = q (cos 6' cos а — sin 0' sin а) =
= q cos 0' cos а — q sin О' sin а = х' cos а — у' sin а,
у = q sin 0 = q sin (О' -|- а) = g (cos 0' sin а 4~ sin 0' cos а) =
= qcosO' sin а -J- Q sin 0' cosa = x' sinoc-j-./ cos а.
Итак,
х = х' cos а~у' sin а,
у = х' sin а у’ cos а.
Это и есть искомые формулы, т. е. формулы, которые при по¬
вороте осей на угол а выражают старые координаты (х; у) про¬
извольной точки М через новые координаты (х'; у') этой же
точки.
Формулы, выражающие новые координаты х', у' точки М через
ее старые координаты х, у, можно получить из равенств (1), рас¬
сматривая их как систему двух уравнений с двумя неизвестными
х', у' и решая эту систему относительно х', у’. Но эти формулы
можно получить и сразу при помощи следующего рассуждения:
если новая система получается поворотом старой
на угол а, то старая система получается поворотом
новой на угол — а; поэтому в равенствах (1) можно поменять
местами старые и новые координаты, заменяя одновременно а на
— а. Выполнив это преобразование, мы получим:
х'= х cos a 4-J sin а,
у’ = — х sin а4~.У cos а,
что и требовалось.
§10. Преобразование декартовых прямоугольных координат
при изменении начала и повороте осей
такое перемещение
параллельного
(масштаб
осей, кото-
сдвига и
предполагается неиз-
системы в
направлении оси Ох
29. Мы рассмотрим сейчас
рое можно осуществить путем
последующего поворота
менным).
Обозначим величину сдвига
через а, величину сдвига в направлении оси Оу через Ь, угол по¬
ворота системы — через а. Пусть О’х' и О'уг— новые оси. Произ¬
вольная точка М плоскости имеет относительно старых осей неко¬
торые координаты (х, у); эта же точка М относительно новых осей
имеет, вообще говоря, другие координаты (х', у'). Наша цель —
2 Н. В. Ефимов

34
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
получить формулы, выражающие х', у' через х, у, а также формулы,
выражающие х, у через
Для решения этой
координат, направления
осей старой системы, а
х', у.
задачи введем вспомогательную систему
осей которой совпадают с направлениями
начало совпадает с началом новой системы
(черт. 22); оси вспомогательной системы
мы обозначим через О'х" и О'у", а коор¬
динаты точки М относительно этих осей —
через х", у". Так как вспомогательная
система получается параллельным сдвигом
старой на величину а в направлении Ох
и на величину b в направлении Оу, то
согласно п° 27
х = х" л,
У=у" + Ь.
Так как, далее, новая система получается поворотом вспомогатель¬
ной на угол а, то согласно п° 28
х" = х* cos а — у' sin а,
У' = х' sin аУ cos а-
Подставляя эти выражения х", у" в правые части предыдущих ра¬
венств, получим:
х = х' cos а —у' sin a 4~ а,
у = х sin а-|-У cos а4~Ь.
Рассматривая здесь х', у' как неизвестные и определяя их из этой
системы, найдем:
х' — (х — a) cos а 4~ (.У — b) sin а,
У = — (х — a) sin а(J — b) cos а.
Последние две пары формул и являются искомыми.
Формулы (1) выражают старые координаты произвольной точки
через ее новые координаты, формулы (2), наоборот, выражают
новые координаты через старые.
Полученный результат мы сформулируем в виде следующей
теоремы:
Теорема 7. Если оси декартовой прямоугольной системы
параллельно переносятся на величину а в направлении Ох и на
величину b в направлении Оу и, кроме того, поворачиваются на
угол а (а масштаб остается неизменным), то этому изменению

§ 10]
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТ
35
системы соответствуют формулы преобразования координат
х = х' cos а — у sin а л,
у — х' sin а 4"У cos а +
выражающие старые координаты х, у произвольной точки пло¬
скости через ее новые координаты х', y't и алгебраически равно¬
сильные им формулы
х' = (х — a) cos а -|~ (у — £) sin а>
у' = — (х — a) sin а 4“ (.У — b) cos а,
(2)
выражающие новые координаты через старые.
Пример. Составить формулы преобразования координат, соответству¬
ющие переносу начала в точку О' (2; 3) и повороту осей на угол + 45°.
л
Решен и е. Полагая в формулах (1) а = 2, Ь = 3, а = —, получим вы¬
ражения старых
координат через новые:
2,
х
3.
Отсюда (или
старые;
из формул (2)) получаются выражения новых координат через
, X + у	5
х V2	/Г’
у /2 /2
Замечание. Обычно на чертежах координатные оси располагаются
так, что для совмещения положительной полуоси абсцисс с положительной
полуосью ординат ее нужно поворачивать (кратчайшим путем) против
часовой стрелки. В таком случае система координат называется правой.
Иногда, однако, употребляется система осей, иным образом расположенных,
именно так, что кратчайший поворот положительной полуоси абсцисс к по¬
ложительной полуоси ординат направлен по часовой стрелке. В таком
случае система координат называется левой.
Пусть даны две (декартовы прямоугольные) системы координат. Если
обе они правые, или обе левые, то оси одной из них можно совме¬
стить с осями другой при помощи параллельного сдвига . и последующего
поворота на некоторый угол; отсюда и из предыдущего следует, что при пе¬
реходе, от одной из этих систем к другой координаты любой точки плоскости
преобразуются по формулам вида (1). Если же одна из данных
систем правая, другая — левая, то оси одной из них нельзя сов¬
местить с осями другой при помощи сдвига и последующего поворота; имен¬
но, если при помощи сдвига и поворота мы совместим положительную
полуось абсцисс одной сиетемы («старой») с положительной полуосью абсцисс
другой («новой»), то их положительные полуоси ординат направятся проти¬
воположно друг другу. Следовательно, в этом случае при переходе от одной
2*

36
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ НА ПЛОСКОСТИ
[гл. 2
системы к другой преобразование координат будет определяться формулами,
которые получаются из формул (1) изменением знака величины у'. Таким
образом, общие формулы преобразования декартовых прямоугольных ко¬
ординат (при неизменном масштабе) могут быть написаны в виде
х — х' cos а у’ sin а -|- а,
у = х‘ sin а у' cos а + bt
где а, Ъ — старые координаты нового начала, а — угол, на который нужно
повернуть старую ось абсцисс, чтобы она направилась так же, как новая;
верхние знаки в формулах (3) соответствуют случаю перехода от п р а-
вой системы к правой или от левой —к левой, нижние знаки
соответствуют случаю разноименных систем. Нужно еще иметь в виду,
что если старая система является левой, то угол а следует считать положи¬
тельным в том случае, когда он отсчитывается по часовой стрелке.

ГЛАВА 3
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
§ 11. Понятие уравнения линии.
Примеры задания линий при помощи уравнений
30.	В элементарной геометрии детально исследуются лишь не¬
многие линии: прямая, окружность, ломаные. Между тем потреб¬
ности техники ставят перед математикой общую задачу исследова¬
ния многочисленных линий, многообразных по своей форме и по
характеру своих свойств. Для решения этой общей задачи тре¬
буются методы более совершенные, чем те, какими располагает
элементарная геометрия. Такие методы дают алгебра и математиче¬
ский анализ. В основе же применения методов алгебры и анализа
лежит некоторый единообразный способ задания линии, именно —
способ задания ее при помощи уравнения.
31.	Пусть х и у — две произвольные переменные величины. Это
значит, что как под символом х, так и под символом у подразуме¬
ваются какие угодно (вещественные) числа. Соотношение вида
F(x, у) = 0, где Р(х, у) означает какое-нибудь выражение, содер¬
жащее х и у, мы будем называть уравнением с двумя перемен¬
ными х, у, если F(x, у) = 0 есть равенство, верное не всегда,
т. е. не для всяких пар чисел х,у. Таковы, например, соотно¬
шения 2x^7у— 1=0, х*4~у2— 25 = 0, sinx4-siny— 1 = 0 и т.п.
Если соотношение /7(х, у) = 0 имеет место при любых чис¬
ленных значениях х, у, то его называют тождеством. Таковы, на¬
пример, соотношения (х-[-у)2 — х2— 2ху—у2 = 0, (х4“У)(* — У) —
— х24-у2 = 0 и т. п.
В дальнейшем, рассматривая уравнения с двумя переменными, мы
не исключаем возможности, что левая часть уравнения, помимо х
и у, содержит еще и другие символы аД е, ...; но в таком слу¬
чае мы будем предполагать, что они представляют собой фикси¬
рованные (хотя бы и не указанные) числа, и будем называть их
постоянными параметрами уравнения. Например, в уравнении ах-\-
4-fry—1=0 параметрами являются а и Ь.
32.	Говорят, что два числа х = х0, у=у0 удовлетворяют
некоторому уравнению с двумя переменными, если при подстановке
их в это уравнение вместо переменных получается верное равенство.

38
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
[гл. 3
Например, числа х = 3, у = 4 удовлетворяют уравнению х2-|“
— 25 = 0, так как при подстановке этих чисел в уравнение
его левая часть обращается в нуль; напротив, числа х=1, у = 2
этому уравнению не удовлетворяют, так как после подстановки их
в уравнение слева получаем число, не равное нулю.
33.	Рассмотрим произвольное уравнение F(x, y) = Q. Предполо¬
жим, что х и у теперь обозначают уже не любые числа, а числа,
удовлетворяющие этому уравнению. И при таком условии
величины х и у могут, вообще говоря, изменяться, но уже не про¬
извольно друг относительно друга: задание численного зна¬
чения величины х обусловливает возможные чис¬
ленные значения величины у. Ввиду этого говорят, что
уравнение F(x, j)=:0 устанавливает между переменными х и у
функциональную зависимость.
34.	Важнейшим понятием аналитической геометрии является
понятие уравнения линии. Чтб под этим подразумевается, мы
сейчас объясним.
Пусть на плоскости дана какая-нибудь линия и пусть вместе с тем
выбрана некоторая система координат.
Уравнением данной линии (в выбранной системе координат) называет¬
ся такое уравнение F(x,y)=0 с двумя переменными, которому удовле¬
творяют координаты х и у каждой точки, лежащей на этой линии,
и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней.
Таким образом, если известно уравнение линии, то отно¬
сительно каждой точки плоскости возможно решить вопрос: лежит
она на этой линии или нет. Для этого достаточно координаты
испытуемой точки подставить в уравнение вместо переменных; если
эти координаты удовлетворяют уравнению, точка лежит на
линии, если не удовлетворяют — не лежит.
Высказанное определение дает основу методам аналитической
геометрии; суть их заключается в том, что рассматриваемые линии
исследуются при помощи анализа их уравнений.
35.	Во многих задачах уравнение линии играет роль первичного
данного, а сама линия рассматривается, как нечто вторичное. Иначе
говоря, часто заранее дается какое-нибудь уравнение и тем самым
определяется некоторая линия. Это связано с потребностью геометри¬
ческого изображения функциональных зависимостей.
Если уравнение дано и мы отвечаем на вопрос «чтб такое опре¬
деленная им линия» (или чтб такое линия, имеющая его «своим
уравнением»),— то удобно пользоваться следующей формулировкой:
линия, определенная данным уравнением (в некоторой системе
координат), есть геометрическое место всех точек плоскости,
координаты которых удовлетворяют этому уравнению.
36.	Линия, определяемая уравнением вида <у=/(х), называется
графиком функции /(х). Можно также сказать, что линия, опреде¬
§ И1
ПОНЯТИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
89
ляемая произвольным уравнением F(x, j/) = 0, есть график той
функциональной зависимости между х и у, которая устанавливается
этим уравнением.
37.	Поскольку величины х, у рассматриваются как координаты
переменной точки, их называют текущими координатами. Если в
основу положена не декартова, а какая-нибудь другая система коор¬
динат, то текущие координаты следует обозначать другими буквами,
так, как принято для этой системы.
38.	Рассмотрим несколько простейших примеров определения
линий уравнениями.
1.	Данное уравнение есть х — ^ = 0. Представив его в виде
у = х> заключаем: точки, координаты которых этому уравнению
удовлетворяют, суть те и только те, которые расположены в первой
или третьей четвертях на одинаковых расстояниях от координатных
осей. Таким образом, геометрическое место точек, координаты кото¬
рых удовлетворяют данному уравнению, представляет собой биссек¬
трису первого и третьего координатных углов (черт. 23). Это и
второй или четвертой четвертях.
во
есть линия, определенная урав¬
нением х—y = Q (она же —
график функции у = х).
2.	Данное уравнение есть
x-f-j = O. Представив его в
виде у — — х, заключаем: точ¬
ки, координаты которых этому
уравнению удовлетворяют, суть
те и только те, которые рас¬
положены на одинаковых рас¬
стояниях от координатных осей
Таким образом, геометрическое место точек, координаты которых
удовлетворяют данному уравнению, представляет собой биссектрису
второго и четвертого координатных углов (черт. 24). Это и есть
линия, определенная уравнением x-J->y = O (она
же — график функции у = — х),
3.	Данное уравнение есть х2 -—j>’ = 0.
Представив его в виде (х — у)(х-\-у) = 0,
х заключаем: точки, координаты которых удов-
““ летворяют данному уравнению, суть те и только
те, которые удовлетворяют либо уравнению
х—jr = O, либо уравнению	Таким
образом, линия, определяемая	уравнением
х2—ву2 = 0, состоит из точек двух биссек¬
трис координатных углов (черт. 25).
4.	Данное уравнение есть x2-j-^2 = 0. Так как при веществен¬
ных х и у числа х2 и у2 не могут иметь разных знаков, то при
сложении они не могут взаимно уничтожиться; следовательно, если
Черт. 25.

40
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
[ГЛ. 3
д?Ц-^2 = 0, то х = 0 и у = 0. Таким образом, данному уравнению
удовлетворяют координаты только точки 0(0; 0). Значит, геометри--
ческое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению
х2Ц->у2 = 0, состоит лишь из одной точки. В данном случае уравне¬
ние определяет, как говорят, вырожденную линию.
5.	Данное уравнение есть	1 =0. Так как при любых
вещественных х и у числа х2 и у2 не отрицательны, то
©4~ 1 >0. Значит, нет ни одной точки,
координаты которой удовлетворяют дан¬
ному уравнению; никакого геометриче-
д ского образа на плоскости это уравнение
		-не определяет.
6.	Данное уравнение есть p = acosO,
где а — положительное число, перемен¬
ные р и 6—полярные координаты. Обо¬
значим через М точку с полярными коор-
Черт. 26.	динатами (р; 6), через А — точку с поляр¬
ными координатами (а; 0). Если p = acos9,
то угол ОМА— прямой, и обратно. Следовательно, геометрическое
место точек, полярные координаты которых удовлетворяют уравнению
p = acos9, представляет собой окружность с диаметром ОА (черт. 26).
7.	Пусть дано уравнение р = а9, где а — некоторое положитель¬
ное число. Чтобы представить себе определяемую данным уравне¬
нием линию, будем предполагать,
что 9 возрастает, начиная от нуля,
и проследим за соответствую¬
щим движением переменной точки
М (р;	0), координаты которой
связаны этим уравнением. Если
6 = 0, то также р = 0; если 9
возрастает, начиная от нуля, то
р будет возрастать пропорцио¬
нально 6 (число а служит коэф¬
фициентом пропорциональности).
Мы видим, что переменная точка
Л4(р;9), исходя из полюса задан¬
ной полярной системы координат,
движется вокруг полюса (в поло¬
жительном направлении), одно¬
временно удаляясь от него. Та-
Черт. 27.
ким образом, точка М описывает
некоторую спираль; спираль, определяемая уравнением р = «9,
называется спиралью Архимеда (черт. 27).
Если точка М (р; 6), исходя из произвольного положения,
движется по спирали Архимеда и совершает в положительном

§ 1И
ПОНЯТИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
41
направлении один полный оборот вокруг полюса, то угол 0 возрастает
на 2л, а полярный радиус р на 2ал. Отсюда следует, что спираль
Архимеда рассекает каждый полярный луч на равные отрезки (не
считая отрезка, примыкающего
к полюсу); все эти отрезки имеют
постоянную длину 2ал.
Уравнение р = аО, где а —
отрицательное число, опре¬
деляет «обратную» спираль Ар¬
химеда, точки которой соответ¬
ствуют отрицательным значениям
6 (черт. 28).
8.	Данное уравнение есть р =
а
= -у, где а — некоторое поло¬
жительное число; будем иссле¬
довать определяемую им линию.
Возьмем какое-нибудь положи¬
тельное значение 6, например 0=
= '-у-, ему соответствует точка
Черт. 28.
* Если ® затем неограниченно увеличивается, то р, бу¬
дучи обратно пропорциональным 6, стремится к нулю; следова¬
тельно, переменная точка М (р; 0) движется вокруг полюса в поло¬
жительном направлении и вместе с тем неограниченно приближается
к полюсу (черт. 29). Пусть теперь 6 уменьшается, начиная от зна¬
вестно из анализа,
sin 0
*~Г
чения , и стремится к нулю;
при этом р —► оо и точка М (р; 0)
уходит в бесконечность. Чтобы
исследовать движение точки М
более детально, спроектируем
точку М на полярную ось и
обозначим ' проекцию через Pt
тогда, очевидно, P/H = psin9
(см. вторую из формул (1)
п° 15). В силу данного уравне-
ния р sin ч = а -у- . Но, как из¬
1 при 0—^0. Следовательно, при 9—
величина РМ стремится к а. Отсюда можно заключить, что точка
Af, уходя в бесконечность, приближается к прямой, которая парал¬
лельна полярной оси и отстоит от нее на расстоянии а.

42
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
[гл. 3
Мы видим, что данное уравнение, как и в предыдущем примере,
определяет спираль; такая спираль называется гиперболической.
Уравнение Q—где а — отрицательное число, опреде¬
ляет «обратную» гиперболическую спираль, точки которой соответ¬
ствуют отрицательным значе¬
ниям 6 (черт. 30).
9. Данное уравнение есть
р = а\ где а — положительное
число, большее единицы. Это
уравнение определяет спираль,
называемую логарифмической.
Чтобы уяснить себе осо¬
бенности логарифмической
спирали, предположим, что
6—> + °о; в таком случае
Q = а9 —► -j- оо и, следователь¬
Черт. 30.
но, переменная точка 714 (q; 6), двигаясь вокруг полюса в положи¬
тельном направлении, неограниченно удаляется от полюса. Если
точка М, исходя из произвольного положения, совершает один пол¬
ный оборот в положительном направлении вокруг полюса, то к ее
полярному углу прибавляется 2л, а полярный радиус умножается
на а2П (так как я9 + 2К = а°а27Т). Таким образом, с каждым оборотом
вокруг полюса полярный радиус точки 714 возрастает, причем рост
идет в геометрической прогрессии (со знаменателем а2Л).
Предположим теперь, что 6—►—оо; тогда Q—>0 и точка Л4,
вращаясь вокруг полюса (в отрицательном направлении), неограни¬
ченно приближается к нему (черт. 31).
Если а меньше единицы (будучи положительным), то уравнение
Q.— а9 определяет «обратную» логарифмическую спираль (черт. 32).

§ 12]	ПРИМЕРЫ ВЫВОДА УРАВНЕНИЙ ЗАРАНЕЕ ДАННЫХ ЛИНИЙ	43
В этом случае при вращении точки М вокруг полюса в положи¬
тельном направлении она неограниченно приближается к полюсу,
а при вращении в отрицательном направлении — неограниченно уда¬
ляется от него (так как в случае 0<^я<^1 имеем cfl—>0 при
О—И (2° —> СО При 0—>  ОО).
Если а=1, то уравнение д = а!* определяет окружность, так
как для любого 0 будет q=1.
Мы привели сейчас примеры уравнений настолько простых, что
определяемые ими линии усматривались непосредственно. В более
сложных случаях даже приближенное изображение линии (с задан¬
ной точностью) может быть весьма затруднительным и потребовать
применения разнообразных методов анализа и аналитической гео¬
метрии.
§12. Примеры вывода уравнений заранее данных линий
39.	В предыдущем параграфе мы рассмотрели несколько приме¬
ров определения линии при помощи заранее данного уравнения.
Здесь мы рассмотрим примеры противоположного характера; в каж¬
дом из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение
ее требуется найти (как говорят, «вывести» из геометрического
определения линии).
Если линия определена как геометрическое место точек, под¬
чиненных известному условию, то, выражая это условие при помощи
т. е.
координат, мы получим некоторую зависимость
между координатами. Это и будет уравнение
данной линии, так как ему удовлетворяют
координаты точки в том и только в том
случае, когда расположение точки подчинено
поставленному условию, т. е. когда точка
лежит на данной линии.
40.	Пр и мер. Дана декартова прямоугольная

система координат. Вывести уравнение окружности, q
которая имеет центр С (а; Р) и радиус, равный г
(черт. 33).
Обозначим буквой М переменную точку, бук¬
вами х, у — ее координаты (т. е. текущие коорди¬
наты)^ Данная окружность есть геометрическое место точек, каждая из
которых отстоит от точки С на расстоянии г, таким образом, точка М находится
на данной окружности в том и только в том случае, когда
Черт. 33.
CM = r.	(1)
По формуле (2) п° 18 имеем СМ = У(х — а)2 (у — 0)2. Заменяя этим выра¬
жением величину СМ *) в равенстве (1), получаем:
—а)2 + (</-₽)2 —Г.
(2)
j См. сноску на стр. 11.

44
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
[гл. 3
Мы нашли уравнение, которое связывает величины х, у и которому удовлетво¬
ряют координаты тех и только тех точек, что лежат на данной окружности.
Это и есть, следовательно, искомое уравнение. Задача решена.
41.	Возводя обе части равенства (2) в квадрат, мы получим стандартную
запись уравнения окружности с центром С (а; и радиусом г:
(х-а)2 + (г/-₽)2 = А	(3)
Оно встречается во многих геометрических задачах*). Полагая в нем а = 0,
0 = 0, найдем уравнение окружности с центром, в начале
координат:
х2 -J- У2 =■ г2.	(4)
42.	Пример. Вывести уравнение траектории точки А4, которая в каж¬
дый момент движения находится вдвое ближе к точке А (2; 0), чем к точке
В (8; 0).
Обозначим через х, у координаты точки М (т. е. текущие координаты).
Согласно условию задачи, точка М. всегда вдвое ближе к А, чем к В, т. е.
2АМ=ВМ.	(5)
По формуле (2) п° 18
А М = У(х - 2)2 + у2, ВМ = У(х-8)2 + у2.
Отсюда и из равенства (5) находим:
2 /(х - 2)2 + у2 = /(х - &)2+у2.	(6)
Мы получили уравнение, связывающее величины х и у. Ему удовлетворяют
координаты любой точки рассматриваемой траектории и не удовлетворяют коор¬
динаты никакой другой точки плоскости. Следовательно, это уравнение и яв¬
ляется искомым. Задача решена. Мы можем только пожелать переделать запись
этого уравнения и привести его к более удобному виду. С этой целью возведем
обе части уравнения (6) в квадрат. Мы получим уравнение:
4[(x-2)24-z/2) = (x-8)2 + /,
равносильное уравнению (6) **). Раскрывая скобки, находим!
4х2 — 16х 4- 16	4г/2 = х2 — 16х -|- 64 4- у2
♦) При возведении обеих частей уравнения в квадрат может получиться
уравнение, не равносильное исходному, а именно, удовлетворяющееся и
такими значениями хну, которые не удовлетворяют исходному уравнению.
В данном случае, однако, так не будет, т. е. уравнение (3) равносильно урав¬
нению (2). В самом деле, извлекая из обеих частей уравнения (3) квадратный
корень, мы получим 4~ VXx — а)2 + (У ~~ Р)2 == — г- Но в правой части необ¬
ходимо взять знак 4-, так как в противном случае получится неверное ра¬
венство. Таким образом, уравнение (2) выводится из уравнения (3), как и
уравнение (3) выводится из уравнения (2).
**) Это доказывается так же, как аналогичное утверждение в п® 41
(см. предыдущее подстрочное примечание).

§ 131
ЗАДАЧА О ПЕРЕСЕЧЕНИИ ДВУХ ЛИНИЙ
45
или
х2 + у* = 16.
Получив уравнение траектории в таком виде, мы легко можем уяснить себе
форму этой траектории. Действительно, сравнивая полученное уравнение с урав¬
нением (4) п° 41, заключаем: рассматриваемая траектория есть окружность,
имеющая центр в начале координат и радиус г — 4.
43.	Пример. Составить уравнение прямой в
полярных координатах, считая известными расстоя¬
ние р от полюса до прямой и угол 0о от полярной
оси до луча, направленного из полюса перпенди¬
кулярно к прямой (черт. 34).
Решение. Пусть а — произвольная прямая,
Р — основание перпендикуляра, опущенного на нее
из полюса 0\ согласно условию будем считать из¬
вестными ОР = р и угол 0О от полярной оси ОД
до луча ОР. Возьмем на плоскости произвольную
точку М (q; 0). Очевидно, точка М лежит на пря¬
мой а в том и юлько в том случае, когда проек¬
ция точки /И на луч ОР совпадает с точкой Р,
т. е. когда о cos <р = р, где ф — Д РОМ. Заметив,
что ф = 0 — 0о (или ф = 0о — 6), получаем отсюда искомое уравнение прямой а
в виде q cos (0 — 0о) = р; текущие координаты здесь суть q и 9.
§ 13. Задача о пересечении двух линий
44.	В аналитической геометрии часто приходится решать следую¬
щую задачу:
Даны уравнения двух линий:
Р(х, у) = о, Ф(х, у) = О.
Найти точки их пересечения.
Как всегда в аналитической геометрии, говоря: «найти точки»,
мы подразумеваем: «вычислить их координаты». Принцип решения
этой задачи усматривается сразу из определения уравнения линии,
данного в п° 34.
В самом деле, каждая точка пересечения данных линий есть их
общая точка. Следовательно, координаты такой точки должны удов¬
летворять как уравнению Л(х, у) = 0, так и уравнению Ф (х, у) = О.
Мы найдем все точки пересечения данных линий, если решим их
уравнения совместно. При этом каждое решение системы
j) = O,
Ф(х, у) —О (
определяет одну из искомых точек. Само собой разумеется, что
практическое осуществление этого общего принципа может натол¬
кнуться на вычислительные трудности.

46	УРАВНЕНИЕ линии	[гл. 3
Пример 1. Даны уравнения двух окружностей (х — 1)24~0/ — 3)2 = 4
и (х — З)2 (У — 5)2 = 4. Найти точки их пересечения.
Решение. Раскрывая скобки и перенося все члены в левую сторону,
можем записать данные уравнения в виде:
х2 */2 — 2х — 6# + 6 = 0, х2 + ^2-6х- Юг/ 4-30 = 0.	(1)
Вычтем из первого уравнения второе; получим: 4x4“ 4#—24 = 0 или
у —— х-[~6. Объединяя это уравнение с первым из данных, составим
систему:
х2 + г/2-2х-6// + 6 = 0,
У = — *4-6.
Система (2) равносильна системе (1)*). Поэтому задача сводится к решению
этой системы. Подставим в первое из уравнений (2) у — — х 4- 6; найдем:
х24-х2—12x4-36 —2x4-6х — 36-|-б = 0, или х2—4x4“ 3 = 0. Отсюда
хЬ2 = 2	4 — 3, т. е. xt = 1» х2 = 3. По найденным значениям х определим
соответствующие значения у из уравнения у = — х-}-б; при хг = 1 получаем
ух=5, при х2 = 3 имеем #2 = 3. Таким образом, искомыми являются точки
(Г, 5) и (3; 3).
Пример 2. Даны уравнения двух линий: х-\-у = 0 (биссектриса вто¬
рого координатного угла) и (х — 5)2 4- У2 = 1 (окружность). Найти точки их
пересечения.
Решение. Составим систему
(х —5)24-£/2 = 1, 1
х4-*/ = о. /
Подставим в первое уравнение у = — х (из второго). Получаем: (х — 5)2 4- *2 = 1,
или х2 — 5х 4* 12 = 0. Отсюда
5
ХЬ2 = у-
Так как V—23 есть мнимое число, заключаем: система не имеет веществен¬
ных решений, следовательно, данные линии не пересекаются.
§ 14. Параметрические уравнения линии
45.	Пусть задана какая-нибудь система координат и пусть даны
две функции от одного аргумента
У = (0- J
*) Так как система (2) выведена из системы (1), а систему (1), в свою
очередь, легко вывести из системы (2).

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
47
§ И1
Условимся величины х и у при каждом значении t рассматривать
как координаты некоторой точки А4. При изменении t величины х
и у, вообще говоря, меняются, следовательно, точка М перемещается
по плоскости. Равенства (1) называются параметрическими уравне¬
ниями траектории точки М; аргумент t называется переменным
параметром.
Параметрические уравнения играют важную роль в механике,
где они используются в качестве так называемых уравнений движе¬
ния. Именно, если материальная точка М движется по плоскости,
то в каждый момент времени i она имеет определенные коорди¬
наты х, у. Уравнения, которые выражают х и у как функции вре¬
мени	и называются уравнениями движения точки /И; они имеют
вид (1).
В механике движение материальной точки считается математически
заданным, если составлены его уравнения.
46.	Пусть некоторая линия определена параметрическими
уравнениями х = ф(/), <у = ф(/), как траектория точки Л4 (х; у).
Если F(x, ,у) = 0 есть следствие данных уравнений, то ему удо¬
влетворяют координаты х = ф(/), ^ = ф(/) точки М при любом t.
Таким образом, точка 7И движется по линии ^(х, <у) = 0. Если при
этом точка Л4 обходит всю эту линию, то /^(х, j) = 0 представляет
собой обычное уравнение траектории точки М. Составление такого
следствия F(x, j/) = 0 параметрических уравнений х = ср (/), j =
называется исключением параметра.
П р и мер. Уравнения x = r cos t, у — г sin i суть параметрические уравне¬
ния окружности, которая имеет центр в начале координат и радиус г. В самом
деле, возводя эти уравнения в квадрат и складывая почленно, мы получим их
следствие хг -\~уг = Р. Отсюда видно, что точка М (х; у) движется по указан¬
ной окружности. Кроме того, так как параметр t принимает все возможные
численные значения, то луч ОМ (который составляет с осью Ох угол t) зани¬
мает все возможные положения. Следовательно, точка М обегает всю окруж¬
ность (при бесконечном возрастании t бесконечно много раз).
47.	Пусть q=/(9)— полярное уравнение некоторой линии. Та
же линия в декартовых координатах может быть определена пара¬
метрическими уравнениями
х=/(9) cos 6,
j=/(9) sin 9.
Чтобы получить эти уравнения, достаточно в формулах x = qcos9,
j = Qsin9 (см. п° 15) заменить Q функцией /(9).
Пример. Спираль Архимеда, гиперболическая спираль и логарифмическая
спираль имеют полярные уравнения, соответственно q ==<20,	Q = ab (см.

48
УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ
[гл. 3
п° 38). Отсюда находим в декартовых координатах параметрические уравнения:
х = аО cos О,
у — аО sin О
— спирали Архимеда,
a cos 9
a sin 9
У = -~Г~
—	гиперболической спирали и
x = aecos9, у — a°sin9
—	логарифмической спирали.
Во всех рассмотренных случаях параметром является полярный угол 9 пе¬
ременной точки.
§ 15. Алгебраические линии
48.	Основным предметом изучения в аналитической геометрии
являются линии, определяемые по отношению к декартовым прямо¬
угольным координатам алгебраическими уравнениями.
Это суть уравнения следующих видов:
Ах —By —|— С = 0;	(1)
Ах9 4- Вху 4- Су2 4- Dx 4~ By 4- F= 0;	(2)
Ах9 4~ Вх9у 4~ Вху9 4- В)у* 4“ Вх9 4- Вху 4- Gy9 4~
4-Яг4-/у4~#=0;	(3)
Здесь А, В, С, D, Е и т. д. — некоторые фиксированные числа; они
называются коэффициентами указанных уравнений.
Уравнение (1) называется общим уравнением первой степени
(численные значения его коэффициентов могут быть какими угодно,
но при условии, чтобы уравнение действительно содержало члены
п е р в ой степени, т. е. одновременное обращение в нуль А и В
исключается); уравнение (2) называется общим уравнением второй
степени (численные значения его коэффициентов могут быть какими
угодно, но при условии, чтобы уравнение действительно содержало
члены второй степени, т. е. случай, когда все три коэффициента А,
В, С равны нулю, исключается); уравнение (3) называется общим
уравнением третьей степени (численные значения его коэффициен¬
тов могут быть какими угодно, исключая случай, когда все четыре
коэффициента А, В, С, D равны нулю). Аналогичный вид имеют
уравнения четвертой, пятой и т. д. степеней.

§15]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЛИНИИ
49
В качестве примеров неалгебраических уравнений укажем
следующие:
у — sin х = О,
у	logX = 0,
у — 10х = О,
10х — 5^4-1 =0,
2ху — х— у — 0.
Линия, которая в некоторой системе декартовых прямоуголь¬
ных координат определяется алгебраическим уравнением степени п,
называется алгебраической линией п^го порядка.
49.	Теорема 8. Линия, которая определяется алгебраическим урав¬
нением степени п в какой-нибудь системе декартовых прямоугольных коорди¬
нат, в любой другой системе таких же координат определяется также алге¬
браическим уравнением и той же степени п.
Доказательство. Пусть некоторая линия определена алгебраическим
уравнением степени п в системе координат с осями Ох и Оу. При переходе
к какой-нибудь другой системе координат с осями О'х', О’у’ координаты всех
точек плоскости преобразуются по формулам вида
х = х' cos а у' sin а +
у = xr sin а у' cos а 4- b
при некотором выборе знаков перед вторыми членами в правых частях (см.
замечание в конце п° 29). Чтобы получить уравнение той же линии в новых
координатах, мы должны старые аргументы ее уравнения заменить по фор¬
мулам (4). Левая часть этого уравнения представляет собой сумму одно¬
членов, каждый из которых есть взятое с некоторым коэффициентом про¬
изведение целых неотрицательных степеней переменных хну. После за¬
мены х и у по формулам (4) и после раскрытия всех скобок мы получим
в левой части преобразуемого уравнения сумму новых одночленов, каждый
из которых есть взятое с некоторым коэффициентом произведение целых
неотрицательных степеней новых переменных х' и у'. Следовательно, алге¬
браический характер уравнения при таком преобразовании сохра¬
няете я.
Теперь мы должны доказать, что и степень уравнения остается неиз¬
менной. Это почти очевидно. В самом деле, так как формулы (4) имеют
относительно х' и у' первую степень, то после замены х и у по этим формулам
и раскрытия всех скобок в левой части преобразуемого уравнения не может
возникнуть ни одного одночлена, степень которого*) относительно новых пере¬
менных х' и у' была бы выше п.
Таким образом, при любом указанном преобразовании алгебраического
уравнения степень его не может повыситься. Заранее, однако, неясно, не
может ли юна понизиться (т. е. не могут ли все старшие одночлены после
преобразования взаимно уничтожиться). Но если при переходе от одной
декартовой системы прямоугольных координат к другой такой же системе
координат степень некоторого алгебраического уравнения понижается, то при
♦) Степенью одночлена называется сумма показателей входящих в него
переменных.

50	УРАВНЕНИЕ линии	[гл. 3
обратном переходе она должна повыситься, а это, как мы видели, невозможно.
Теорема доказана.
Установленная сейчас теорема показывает, что алгебраический характер
уравнения и порядок суть свойства, присущие самой алгебраиче¬
ской л и н и и, т. е. что они не связаны с выбором координат¬
ных осей.
Общая теория алгебраических линий служит предметом специ¬
альных сочинений по аналитической геометрии. В этой книге будут
систематически рассматриваться только линии первого и второго
порядков.
В ближайших параграфах устанавливается, что линии первого
порядка суть прямые (и только прямые).

ГЛАВА 4
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§ 16. Угловой коэффициент
50.	Пусть задана декартова прямоугольная система координат и
некоторая прямая. Обозначим через а угол, на который нужно по¬
вернуть ось Ох, чтобы придать ей одно из направлений данной
прямой; углу припишем знак плюс или минус в зависимости от
того, будет ли этот поворот положительным или отрицательным.
Назовем угол а углом наклона данной прямой к оси Ох,
Если после некоторого поворота оси Ох мы придадим ей одно
из направлений данной прямой, то, совершая дополнительный пово¬
рот на угол Ч-л, или Ч~2л, или Ч- Зл и т. д., мы каждый раз
снова будем получать одно из направлений данной прямой. Таким
образом, угол а может иметь множество различных значений, кото¬
рые отличаются друг от друга на величину Ч-лл, где п—нату¬
ральное число. Чаще всего в качестве угла наклона прямой к оси
Ох берут наименьшее положительное значение угла а (черт. 35, а*
35, б), а в случае, когда прямая параллельна оси Ох, угол на¬
клона ее к оси Ох считают равным нулю.
Существенно заметить, что для данной прямой все значения угла
наклона ее к оси Ох имеют один и тот же тангенс (так как
tg (а± /гл) = tg а).

52
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
51.	Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угло¬
вым коэффициентом этой прямой.
Обозначая угловой коэффициент буквой k, запишем предыдущее
определение символически:
£ = tga.	(1)
В частности, если сс = О, то и Хг = О, т. е. прямая, параллель¬
ная оси Ох, имеет угловой коэффициент, равный нулю. Если
л
а = '2~» то k = tga теряет арифметический смысл (не выражается
никаким числом), т. е. прямая, перпендикулярная к оси Ох, не имеет
углового коэффициента. Впрочем, очень часто говорят, что если прямая
перпендикулярна к оси Ох, ее угловой коэффициент «обращается
в бесконечность»; этим выражают тот факт, что k—► оо при
л
а— 2 .
Угловой коэффициент является важнейшей характеристикой на¬
правления прямой и постоянно используется в аналитической гео-
метрии и ее приложениях.
она не перпендикулярна
52.	Рассмотрим произвольную прямую; предположим только, что
к оси Ох. Возьмем на ней любые две
точки Л1, (xt; J,) и M2(xt; уг)..
Полярный угол 6 отрезка
равен углу наклона рассматриваемой
прямой к оси Ох, следовательно, тан¬
генс угла 0 равен угловому коэффи¬
циенту этой прямой (черт. 36); от¬
сюда и по формуле (6) п° 19 находим:
Черт. 36.
мула (2) выражает угловой
данным точкам.
(это соотношение легко усматри¬
вается также из чертежа 36). Фор-
коэффициент прямой по двум ее
§ 17. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
53.	Пусть дана некоторая прямая; как и раньше, предположим,
что она не перпендикулярна к оси Ох. Выведем уравнение данной пря¬
мой, полагая известными_ее_ угловой коэффициент k и величину b
направленного отрезка ОВ, который она отсекает на оси Оу
(см. черт. 37).
Обозначим через М переменную точку, через х, у — ее коорди¬
наты (т. е. текущие координаты); рассмотрим, кроме того, точку
В (О, Ь), в которой прямая пересекает ось Оу. Вычислим правую

§ 17]
УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ С УГЛОВЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ
53
данной прямой, то
коэффициент этой
угловой
часть формулы (2) п° 52, приняв в качестве Л4, точку В, в каче¬
стве М2 — точку М. Если точка М лежит на
в результате вычисления мы получим
прямой, т. е.
если же М не лежит на данной пря¬
мой, то это равенство не будет со¬
блюдаться. Следовательно, равенство
(3)является уравнением данной
прямой (оно легко усматривается
также из чертежа 37, если принять
во внимание, что & = tga). Осво¬
бождаясь от знаменателя и пере¬
нося b в правую сторону, получим
у = kx 4- b.	(4)
/а
/ 0
— х	'
X
КМ. = 3. После этого,
54.	Итак, каждая прямая, не перпендикулярная к оси Ох,
может быть определена уравнением вида (4).
Обратно, каждое уравнение вида (4) определяет прямую, ко¬
торая имеет угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу от¬
резок величины Ь. В самом деле, если дано уравнение у = kx-\- Ь,
то, каковы бы ни были числа k и Ь, всегда возможно построить
прямую, которая имеет данный угловой коэффициент k и отсекает
? данной величины Ь\ но тогда, согласно пре¬
дыдущему, построенная прямая и будет опре¬
деляться заданным уравнением. Уравнение вида
(4) называют уравнением прямой с угловым
коэффициентом.
Пример. Построить прямую по уравнению
у = |х + 2.
Решение. Отложим на оси Оу отрезок ОВ = 2
(черт. 38); проведем через точку В в «правую» сто¬
рону параллельно оси Ох отрезок BN = 4, и через
точку N в направлении оси Оу («вверх») — отрезок
соединяя точки- В и М, получим искомую прямую
(она отсекает на оси Оу отрезок Ь=2 и составляет с осью Ох угол,
тангенс которого равен ’/4).
55.	Функция	y = kx-\rb
называется линейной. На основании изложенного мы можем сказать,
что графиком линейной функции является прямая линия.
При /> = 0 мы получаем:
у = kx.
(5)

54
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
Переменные х и у, связанные такой зависимостью, называются
пропорциональными друг другу; число k называют коэффициентом
пропорциональности. Из предыдущего ясно, что графиком функ¬
ции y = kx является прямая, которая проходит через начало
координат и имеет угловой коэффициент k.
56.	Во многих случаях встречается необходимость составить
уравнение прямой, зная одну ее точку Л4, (xt; yj и
угловой коэффициент k. Искомое уравнение сразу получается
из формулы (2)п°52. В самом деле, пусть М—переменная точка,
х, у — ее (текущие) координаты. Если М лежит на прямой, которая
проходит через точку и имеет данный угловой коэффициент А?,
то в силу формулы (2) п°52
У — У1 _
X — Xj
(6)
если же точка М не лежит на этой прямой, то равенство (6) не
соблюдается. Таким образом, равенство (6) и есть искомое уравнение;
обычно его пишут в виде
y — yl = k(x — xl).
(7)
Замечание. В том частном случае, когда в качестве М1 (хр,
берется точка 5(0; £), уравнение (7) принимает вид (4).
57.	Применяя соотношение (7), легко решить следующую задачу:
составить уравнение прямой, которая проходит
через две данные точки (хр, уг) и М2(х2\ у2).
Пользуясь формулой (2) п° 52, находим угловой коэффициент
прямой
k _ у2 - Уу
Х2 “ Х1 ’
после чего, на основании (7), получаем искомое уравнение
у— л =—*»)•
Это уравнение принято писать в виде
%2	У 2 У1
Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через точки
Mj (3; 1) и М2(5; 4).
Решение. Подставляя данные координаты в соотношение (8), получим
х —3 _у—1
2	•“	3	’
или Зх — 2у — 7 = 0.

§ 18]
ВЫЧИСЛЕНИЕ УГЛА МЕЖДУ ДВУМЯ ПРЯМЫМИ
65
§18. Вычисление угла между двумя прямыми.
Условия параллельности и перпендикулярности
двух прямых
58. Одной из стандартных задач аналитической геометрии является
вычисление угла между двумя прямыми. Здесь мы выведем формулу,
по которой можно вычислить угол между прямыми, зная
коэффициенты (мы предполагаем, что ни одна из прямых
дикулярна к оси Ох\
Рассмотрим две прямые; будем одну из них (какую
зывать первой, другую второй
венно, через kx и k2 угловые
Ф—угол наклона второй пря¬
мой к первой, т. е. угол, на
который нужно повернуть
первую прямую, чтобы при¬
дать ей одно из направле¬
ний второй прямой. Углу ср
припишем знак плюс или ми¬
нус в зависимости от того,
будет ли этот поворот поло¬
жительным, или отрицатель¬
ным. Говоря об угле между
двумя прямыми, мы и будем
подразумевать угол ф.
Пусть а, — угол наклона
первой прямой к оси Ох. Если
мы повернем ось Ох на угол а1?
первой прямой; если затем повернуть ось Ох еще на угол ср, то
она получит одно из направлений второй прямой. Таким образом,
прибавляя к углу а, угол <р, мы получаем угол наклона к оси Ох
второй прямой; обозначим его через а2. Согласно сказанному,
а,4-(р = а2, или ф = а2— аг
Отсюда
их угловые
не перпен-
угодно) на-
соответст-
(черт. 39). Обозначим,
коэффициенты этих прямых, через
то придадим ей одно из направлений
имеем
х	х /	\	tg tt2 — tg «1
tg ф = tg (а, — а.) =		г—- .
ь \ 2	1/ l + tgajtgUj
Но tga1==k1, tga2 = &2; следовательно,
k2 —
1 4- '4^2
tg <₽
(1)
Это и есть формула, которую мы имели в виду получить.
В случае ф = у тангенс угла ф теряет арифметический смысл
(«обращается в бесконечность»); в этом случае (и только в этом
случае) знаменатель правой части формулы (1) будет равен нулю.

56
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
1	3
Пример. Даны прямые у = —у ~2_ х -{-3. Найти угол ме¬
жду ними.
Решение. По формуле (1) находим:
4 к 7 )	_21 + 4_,
tg<₽~,_l_2.	(_ J \ — 28 — 3~"
+ 4 Ч" 7 J
Таким образом, один из углов, которые составляют данные прямые,
равен 45°.
59.	При решении различных задач аналитической геометрии
часто бывает важно, зная уравнения двух прямых, установить,
являются ли они параллельными, или являются ли они перпендику¬
лярными друг к другу.
Этот вопрос выясняется также весьма просто.
Пусть известны угловые коэффициенты двух прямых kt и k2.
Обозначим через а, и аа соответственно углы наклона этих прямых
к оси Ох. Очевидно, данные прямые параллельны тогда и только
тогда, когда углы наклона их к оси Ох имеют одинаковые значения,
т. е. когда tgOj^tga^. Но tga1 = A:1,tga1 = ^2. Отсюда заключаем,
что признаком параллельности двух прямых является равенство
их угловых коэффициентов'.
Данные прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда
угол ф между ними равен ~ , т. е. когда tg9 теряет арифметиче¬
ский смысл; в этом случае знаменатель правой части формулы (1)
обращается в нуль и мы имеем: \ klki = O. Следовательно, при¬
знаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
Последнее соотношение обычно пишут в виде
А =	<	(2)
и, соответственно этому, условие перпендикулярности двух прямых
формулируют так: угловые коэффициенты перпендикулярных пря¬
мых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Применяя установленные признаки, сразу можно сказать, что
2 2 1
например, прямые у =	у =	5 параллельны, а прямые
у—~х-^2, У — —	— перпендикулярны друг к другу.
Пример. Найти проекцию точки Р (4; 9) на прямую, проходящую через
точки А (3; 1) и В (5; 2).

§ 19J
ПРЯМАЯ КАК ЛИНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
57
Решение. Искомую точку найдем, решая совместно уравнение прямой
АВ с уравнением перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.
Прежде всего, составим уравнение прямой АВ', применяя соотношение (8) п° 57,
получаем:
х — 3 у — 1
2 1 ’
или
1 1
^-2Х-У
Чтобы составить уравнение перпендикуляра из точки Р на прямую АВ, на¬
пишем уравнение произвольной прямой, проходящей через точку Р; согласно
соотношению (7) п° 56 имеем-:
y — 9 = k(x — 4),	(*)
где k — пока еще не определенный угловой коэффициент. Нам нужно, чтобы
искомая прямая прошла перпендикулярно к АВ', следовательно, ее угловой
коэффициент должен удовлетворять условию перпендикулярности с пря¬
мой АВ. Так как угловой коэффициент прямой АВ равен , то согласно
формуле (2) находим k = — 2. Подставляя найденное значение k в уравнение (*),
получаем:
у — 9 = — 2(х — 4) или у — 2х -|- 17.
Решая совместно уравнения
у^-2%+17,
найдем координаты искомой проекции:
х = 7, у = 3.
§ 19. Прямая как линия первого порядка.
Общее уравнение прямой
У
Т
0
Черт.
40.
(черт. 40); таким
60.	Здесь мы докажем следующую принципиальную теорему:
Теорема 9. В декартовых координатах каждая прямая
определяется уравнением первой степени и обратно, каждое урав¬
нение первой степени определяет некоторую
прямую.
Доказательство. Сначала докажем пер¬
вое утверждение теоремы. Пусть дана произ¬
вольная прямая. Если эта прямая не перпендику¬
лярна к оси Ох, то согласно п° 53 она опре¬
деляется уравнением вида y = kx~\-b, т. е. уравне¬
нием первой степени.
Если прямая перпендикулярна к оси Ох, то
все ее точки имеют одинаковые абсциссы, равные
величине отрезка, отсекаемого прямой на оси Ох
образом,, если мы обозначим величину этого отрезка буквой а, то
получим уравнение прямой в виде х = а, что также есть уравнение
58
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
первой степени. Итак, каждая прямая в декартовых координатах опре¬
деляется уравнением первой степени; тем самым первое утверждение
теоремы доказано.
Докажем обратное утверждение. Пусть дано уравнение первой
степени
Лх^-Ву-ф-С^О	(1)
с какими угодно численными значениями Л, В, С. Если В^=0, то
данное уравнение можно записать в виде:
Обозначая — через А?,	—д- через Ь, получим у = kx -ф- b, а та¬
кое уравнение согласно п° 53 определяет прямую, которая имеет
угловой коэффициент k и отсекает на оси Оу отрезок, величина
которого равна Ь.
Если В=0, то А=^0, и уравнению (1) можно придать вид
Обозначая — через а, получим х = а, т. е. уравнение прямой,,
перпендикулярной к оси Ох. Итак, каждое уравнение первой степени
определяет прямую. Теорема доказана.
Линии, которые в декартовых координатах определяются урав¬
нением первой степени, называются, как мы знаем, линиями первого
порядка (см. п° 48). Употребляя эту терминологию, мы можем высказать
установленный результат так: каждая прямая есть линия первого
порядка} каждая линия первого порядка есть прямая,
61.	Уравнение вида Ах -ф- By -ф- С = 0 называется общим уравне¬
нием прямой (как общее уравнение первой степени). При различных
численных значениях Л, В, С оно может определять всевозможные
прямые без исключения.
§ 20. Неполное уравнение первой степени.
Уравнение прямой «в отрезках»
62.	Рассмотрим три частных случая, когда уравнение первой
степени является неполным.
1)	С—0; уравнение имеет вид Ах-^-Ву = § и определяет
прямую, проходящую через начало координат.
Действительно, числа х = 0, у = 0 удовлетворяют уравнению
Ах-\-Ву = Ъ. Следовательно, начало координат принадлежит прямой.
2)	В=0 (И^=0); уравнение имеет вид АхС—0 и определяет
прямую, параллельную оси Оу.

§ 20]
НЕПОЛНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
59
Этот случай уже рассматривался в п° 60 в ходе доказательства
теоремы 9. Как было тогда показано, уравнение Ах-\-С— 0 при¬
водится к виду
х = а,
где
Такое
уравнение определяет прямую, перпендику¬
лярную оси Ох, потому что согласно этому уравнению все точки
прямой имеют одинаковые абсциссы (х = а) и, следовательно, рас¬
положены на одном расстоянии от оси Оу («справа», если а—число
положительное, «слева», если а — число отрица¬
тельное); а есть величина отрезка, который отсе¬
кает прямая на оси Ох (считая от начала коорди¬
нат; см. черт. 40).
В частности, если а = 0, то прямая совпа¬
дает с осью Оу. Таким образом, уравнение
х = 0
У
/
b
А
о
определяет ось ординат.
3)	A =	уравнение имеет вид ByЧерт. 41.
и определяет прямую, параллельную оси Ох.
Это устанавливается аналогично предыдущему случаю. Заметим
Q
только, что если положить— — — Ь, то уравнение ^4-с=о
примет вид
число b есть общий для всех точек прямой «уровень расположения»
(черт. 41) и вместе с тем величина отрезка, который отсекает прямая
на оси Оу (считая от начала координат).
В частности, если д = 0, то прямая совпадает с осью Ох.
Таким образом, уравнение
у = Ъ
определяет ось абсцисс.
63.	Пусть теперь дано уравнение
Ах -j- By	С = 0
при условии, что ни один из коэффициентов Л, В, С не равен
нулю. Такое уравнение может быть приведено к некоторому спе¬
циальному виду, который бывает удобен в ряде задач аналитической
геометрии.
Перенесем свободный член С в правую часть уравнения; полу¬
чим;
Ах-\- Ву = — С.

60
ЛИНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
Поделим затем обе
части уравнения на —С; тогда будем иметь:
Ах . By	1
— С 1 -с
или
\+ —1.
с 1 с
А	В
Вводя обозначения
С	,	С
а = ~А' ь = -Т,
получим:
Это и есть тот специальный вид уравнения прямой, который мы
хотели получить.
Существенно, что числа а и b имеют весьма простой геометри¬
ческий смысл. Именно, а и b суть величины отрезков, которые
прямая отсекает на координатных осях, считая каждый от начала
координат (черт. 42). Чтобы убедиться
в этом, найдем точки пересечения прямой
с координатными осями. Точка пересечения
прямой с осью Ох определяется путем
совместного решения уравнения этой пря¬
мой и уравнения оси Ох*.
ЛЦ--£ = 1 1
а b ’ .
Отсюда х = а, у = 0. Таким образом,
величина отрезка, отсекаемого прямой
равна а. Аналогично устанавливается, что
на оси Ох, действительно
величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Оу, равна Ь.
Уравнение вида (1) принято называть уравнением прямой
«в отрезках». Эту форму уравнения, в частности, удобно исполь¬
зовать для построения прямой на
Пример. Дана прямая
Зх - Ъу + 15 = 0.
Составить для этой прямой уравнение
ках» и построить прямую на чертеже.
Решение. Для данной прямой
«в отрезках» имеет вид
— 5*^3
чертеже.
«в отрез-
уравнение
Мы получим эту прямую на чертеже, если отложим на координатных осях
Ох и Оу отрезки, величины которых соответственно равны а = —5, Ь — 3,
и соединим их концы (черт. 43).

§21J
СОВМЕСТНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВУХ ПРЯМЫХ
61
(П
§ 21. Совместное исследование уравнений двух прямых
64.	Пусть дана система двух уравнений первой степени:
4“ ^2.У 4“ = 0- j
Каждое из уравнений (1) в отдельности определяет прямую. Каждое
их совместное решение определяет общую точку этих прямых.
Будем исследовать систему (1) и дадим результатам исследования
геометрическое истолкование.
А В
Предположим, что	В этом случае определитель системы
А2 о2
не равен нулю:
А в2
имеет единственное решение *); соот-
точки пересечения находятся из
Значит, система совместна и
ветственно, прямые, определяемые уравнениями системы, пересекаются
в одной точке; следовательно, эти прямые различны и не парал¬
лельны. друг другу. Координаты
уравнений (1) при помощи формул:
-С, В,
-С2В2
А, В.
Л В2
или
У
1

л,-с,
Л-с,
А, В,
At Вг
Ct А,
Ct А,
А, В,
At А,
х
В, С, 1
В,Сг |
А, В, |
Л в2 |
(2)
У
А
Предположим теперь, что -v2 —
а2
. Здесь в свою очередь имеются
две возможности: либо ф =	либо	=
Aj L$2 C'i	А% jOj Cj
Рассмотрим первую из них. Обозначим каждое из равных отно-
А В
шений и буквой q\ тогда имеем: А1=А2^, Вх=Вду
Помножим второе из уравнений (1) на q и вычтем по¬
лученное соотношение из первого уравнения; получим — С2^ = 0.
Это соотношение противоречиво, так как C1=^Ciq. Но оно вытекает
из системы (1); следовательно, уравнения системы (1) ни при каких
численных значениях аргументов х, у не могут быть одновременно
♦) См. Приложение, п° 2.
62
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
правильными равенствами, т е. система (1) не имеет совместных
решений. В данном случае уравнения (1) определяют прямые, не
имеющие ни одной общей точки, т. е. параллельные.
Рассмотрим вторую из двух указанных выше возможностей:
A=*l=£i
Л2 Вг Сг
Полагая каждое из этих отношений равным q, найдем: A1=A2q,
Bx — B2q, Cx — C2q. Таким образом, при умножении левой части
второго уравнения на некоторое число q мы получаем левую часть
первого уравнения. Следовательно, уравнения (1) равносильны. Сле¬
довательно, оба уравнения (1) определяют одну и ту же прямую.
Примеры: 1) Прямые
пересекаются,
Зх 4у — 1 = 0,
2х + Зу — 1 = 0
так как 4- # А. Координаты точки пересечения суть
х — — 1, У = +
2) Прямые
2х -J- Зу -f- 1 = 0,
4х 4“ бу 4~ 3 —- о
параллельны,
2	3	1	_
так как — = -g- Ф у . (Система данных уравнении, оче-
видно, несовместна,
так как, умножая первое из них на 2 и отнимая от вто-
рого, получим противоречивое равенство
3) Прямые
х+04-1=о,
2х + 2у + 2 = 0
совпадают друг с другом, так как данные уравнения равносильны.
Замечание. Соотношение ~ = ~ называют условием парал-
Л 2	В 2
лелъности прямых
"4“ ^у 4~ Q = о, а2х в2у+са = о,
хотя, как мы видели, при этом условии прямые могут быть либо
параллельными, либо совпадающими. Таким образом, говоря,
Л1 В.
что соотношение -~- = ~ есть условие параллельности двух прямых,
нужно условиться случай, когда две прямые совпадают, рассматривать
в качестве особого (предельного) случая их параллельности.
65.	Из рассуждений предыдущего пункта непосредственно выте¬
кает следующее важное предложение:
Два уравнения
+ ^У + Ci = 0 и 4“ ^У 4~ Q — ®

§ 22]
НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
63
определяют одну прямую в том и только в том случае, когда
их коэффициенты пропорциональны, т. е.
A	G
А2 В2 С2
Это предложение в дальнейшем будет использоваться.
§ 22. Нормальное уравнение прямой.
Задача вычисления расстояния от точки до прямой
66.	Здесь мы рассмотрим один специальный вид записи уравнения
прямой, известный под названием нормального уравнения прямой.
Пусть дана какая-нибудь прямая. Про¬
ведем через начало координат прямую п,
перпендикулярную к данной,— мы будем
называть ее нормалью,— и пометим бук¬
вой Р точку, в которой она пересекает
данную прямую (черт. 44).
На нормали мы введем положительное
направление от точки О к точке Р (если
точка Р совпадает с точкой О, т. е. если
данная прямая проходит через начало
координат* то положительное направление
нормали выберем произвольно). Таким образом, нормаль является осью.
Обозначим через а угол от оси Ох до направленной нормали,
через р — длину отрезка ОР.
Угол а будем понимать как в тригонометрии и будем называть
его полярным углом нормали.
Мы выведем сейчас уравнение данной прямой, считая известными
числа а и р. С этой целью возьмем на прямой произвольную
точку М и обозначим через х, у ее координаты; очевидно, про¬
екция отрезка ОМ на нормаль равна ОР, а так как положительное
направление нормали совпадает с направлением отрезка ОР, то
величина этого отрезка выражается положительным числом, именно
числом р:
прл ОМ = р.
(1)
Найдем выражение проекции отрезка ОМ на нормаль через
координаты точки М. С этой целью обозначим через <р угол на¬
клона отрезка ОМ к нормали, через Q, 9 — полярные координаты
точки М. Согласно п°20 имеем:
прл ОМ = q cos ф = Q cos (а — 9) = q (cos а cos 6 -j- sin a sin 6) =
= (q cos 0) cos a 4~ (Q sin 9) sin а = x cos a -J-у sin a.

64
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
Таким образом,
прЛ ОМ = х cos а у sin а.
(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что х cos аЦ-j/sin а = р, или
х cos аsin а — р = 0.
(3)
Это и есть уравнение данной прямой (ему, как мы видим, удовле¬
творяют координаты х, у каждой точки 7И, лежащей на данной пря¬
мой; если же точка М не лежит на данной прямой, то ее коорди¬
наты уравнению (3) не удовлетворяют, так как тогда прпОМ=^=р).
Уравнение прямой, написанное в форме (3), называется нор¬
мальным; в этом уравнении а обозначает полярный угол нормали,
р — расстояние от начала координат до прямой.
67. Пусть дана произвольная прямая. Построим ее нормаль п
(назначив на нормали положительное направление так, как было
п
Черт. 45.
описано в предыдущем п°). Пусть, далее,
Ж* — какая угодно точка плоскости, d —
ее расстояние от данной прямой (черт. 45).
Условимся называть отклонением
точки Л4* от данной прямой число Ц-d,
если Л4* лежит по ту сторону от пря¬
мой, куда идет положительное направле¬
ние нормали, и — d, если Л4* лежит
с другой стороны от данной прямой.
Отклонение точки от прямой будем обо¬
значать буквой S; таким образом: 6 =
= 4- d, причем полезно заметить, что
d = -|-d, когда точка Af* и начало координат лежат по разные
стороны от прямой, и 6 = — d, когда точка 714* и начало коор¬
динат лежат по одну сторону от прямой (для точек, лежащих на
прямой, 6 = 0).
Одной из стандартных задач аналитической геометрии является
задача вычисления отклонения точки от прямой. Эта задача
решается следующей теоремой:
Теорема 10. Если точка Af* имеет координаты (х*; j*),
а прямая задана нормальным уравнением
xcos аЦ-j/ sin а — р = 0,
то отклонение точки М* от этой прямой дается формулой
6 = х* cos аЦ-^у* sin а — р.
(4)
Доказательство. Спроектируем точку А1* на нормаль;
пусть Q—ее проекция (черт. 45). Мы имеем:
6 = PQ=OQ—OP,

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
65
§ 22]
где PQ, OQ и ОР суть величины направленных отрезков PQ,
OQ и ОР, расположенных на нормали. Но OQ = nprtCVW*, ОР=р\
следовательно,
6 = прпОЛГ* — р.	(5)
Согласно формуле (2) п°66, примененной к точке Л4*, имеем:
прп ОЛ4* = х* cos а у* sin а.	(6)
Из равенств (5) и (6) получаем:
6 — х* cos а У* sin а — р.
Тем самым теорема доказана.
Заметим теперь, что х* cos	sin а — р есть не что иное,
как левая часть нормального уравнения данной прямой, где вместо
текущих координат подставлены координаты точки	Отсюда
получаем следующее правило:
Чтобы найти отклонение какой-либо точки М* от некото¬
рой прямой, нужно в левую часть нормального уравнения этой
прямой вместо текущих координат подставить координаты
точки 7И*. Полученное число и будет равно искомому откло¬
нению.
Замечание. Расстояние точки от прямой равно модулю
(абсолютной величине) отклонения этой точки: d = 161. Следова¬
тельно, если требуется найти расстояние точки от прямой, то
достаточно вычислить по только что указанному правилу отклоне¬
ние и взять его модуль.
68.	Мы видели, что задача вычисления отклонения точки от
прямой легко решается, если прямая задана нормальным уравне¬
нием. Теперь мы покажем, как привести общее уравнение прямой
к нормальному виду. Пусть
ЛхЦ-5у4-С=0	(7)
—	общее уравнение некоторой прямой, а
х cos а -1-у sin а — р = 0	(3)
—	ее нормальное уравнение.
Так как уравнение (7) и (.3) определяют одну и ту же прямую,
то согласно п°65 коэффициенты этих уравнений пропорциональны.
Это означает, что, помножив все члены уравнения (7) на некоторый
множитель [х, мы получим уравнение
ц/4х —рРу ~~цС — 0,
совпадающее с уравнением (3), т. е. мы будем иметь:
рА = cos a, pB=sina, р,С = — р.	(8)
3 Н. В. Ефимов

66
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
Чтобы найти множитель и, возведем первые два из этих равенств
в квадрат и сложим; получим:
р2 (Л2	S2) = cos2 а sin2 а — 1.
Отсюда
р=—.	(9)
г ]/ А2 + В2
Число р,, по умножении на которое общее уравнение прямой
приобретает нормальный вид, называется нормирующим множите¬
лем этого уравнения. Нормирующий множитель определяется фор¬
мулой (9), но не вполне: остается неопределенным его знак.
Для определения знака нормирующего множителя используем
третье из равенств (8). Согласно этому равенству р,С есть число
отрицательное. Следовательно, знак нормирующего множителя
противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения.
Замечание. Если С=0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать по желанию.
Пример. Даны прямая Зх — 4у 10 = 0 и точка М (4;	3). Найти
отклонение точки М от данной прямой.
Решение. Чтобы применить правило, изложенное в п° 67, нам нужно
прежде всего привести данное уравнение к нормальному виду.
С этой целью находим нормирующий множитель
- 1 __ __1_
Р' —Уз2 + 42_	5 ’
Умножая данное уравнение на р,, получим искомое нормальное уравнение
— у(Зх-4#+10) = 0.
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки Л4, имеем:
6 = —4 (3-4-4-3+10) = —2.
О
Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной прямой и удалена
от нее на расстояние d = 2.
§ 23. Уравнение пучка прямых
69.	Совокупность всех прямых плоскости, проходящих через неко¬
торую точку S(x0; у0), называется пучком прямых с центром S.
В аналитической геометрии часто встречается потребность, зная урав¬
нения двух прямых пучка, найти уравнение некоторой третьей прямой
того же пучка при условии, что направление этой третьей прямой
так или иначе описано. Задачи такого типа можно решать, исполь¬
зуя, например, уравнение (7) п°56:у — yl = k(x-—х,), где в качестве
х,, уг следует брать координаты х0, yQ центра пучка (угловой коэф¬
фициент k находится соответственно тому, как задано направление

§ 23]
УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ
67
искомой прямой). При этом, однако, приходится предварительно
вычислять координаты x0, yQ центра пучка.
Следующее предложение позволяет в подобных случаях избежать
вычисления координат х0, yQ.
Пусть A jX Ц- ВгУ 4“ А — А Ах + А У + А = 0 — уравнения
двух прямых, пересекающихся в точке S, и а, р— какие угодно
числа, неравные одновременно нулю; тогда
а + В1У 4- Q + ₽ (А2х + В2у + С2) = 0	(1)
есть уравнение прямой, проходящей через точку S.
Доказательство. Прежде всего установим, что соотноше¬
ние (1) есть действительно уравнение. Для этого запишем его в виде
(ад 1 4- РА)х 4“ (a^i 4" РА) У 4" (аА 4" РА)= ®	(2)
и докажем, что величины a44“PA и аА4"РА не МОГУТ быть
обе равными нулю. Предположим противное, т. е. что аАх РЛ2 — О
и аВ1_[“РА = А но тогда Ф——— и		Так как числа
а и Р не равны нулю одновременно, то отношение не может
быть неопределенным; поэтому из предыдущих равенств следует
А В
пропорция 4= б1* Однако коэффициенты А , В не могут быть
•‘*2 LJ2
пропорциональными коэффициентам Д2, В2, так как данные прямые
пересекаются (см. п° 64). Таким образом, наше предположение при¬
ходится отвергнуть. Итак, аЛ, 4“ Р А и аА4""РА одновременно
исчезнуть не могут, а это и означает, что равенство (2) есть урав¬
нение (с переменными х и у). Далее, непосредственно ясно, что
оно является уравнением первой степени, и, следовательно, опре¬
деляет некоторую прямую. Остается доказать, что эта прямая про¬
ходит через точку S. Пусть х0, у0 — координаты точки 5. Так как
каждая из данных прямых проходит через точку S, то ^1^О4"АЛ4^
4-0, = 0 и Л2хо4-В2з/о4-Сг = О, откуда
а (Л Л 4-	4- С.) 4- р (ЛЛ 4-	4- с2)=о.
Мы видим, что координаты точки S удовлетворяют уравнению (1)>
следовательно, прямая, определяемая уравнением (1), проходит через
точку S, и наше предложение доказано.
Таким образом, уравнение вида (1) при всяких значениях а, р,
не равных одновременно нулю, определяет прямые пучка с цен¬
тром S.
Теперь мы докажем, что в уравнении (1) числа а, р всегда можно
подобрать так, чтобы оно определило любую (заранее назначенную)
прямую пучка с центром S. Так как каждая прямая пучка с цен¬
тром 5 определяется заданием, кроме точки S, еще одной своей
3*

68
ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
[гл. 4
точки, то для доказательства высказанного утверждения достаточно
установить, что в уравнении (1) числа а, [3 всегда возможно подо¬
брать так, чтобы определяемая им прямая прошла через любую
заранее назначенную точку Л4*(х*; у*).
Но это ясно; в самом деле, прямая, определяемая уравнением (1),
будет проходить через точку ЛТ*, если координаты точки /И* удов¬
летворяют этому уравнению, т. е. если
а (Л,х* + Bj* + С,) + ₽ (Л2х* + В2у* + С2) = 0.	(3)
Будем считать, что точка Л4* не совпадает с точкой 5 (только этот
случай нам и нужен). Тогда хотя бы одно из чисел
не равно нулю, следовательно, равенство (3) является не тождеством,
а уравнением, именно, уравнением первой степени с двумя неизве¬
стными а, Р; чтобы найти неизвестные а, Р, нужно одной из них
придать численное значение произвольно, а другую вычислить из
этого уравнения; например, если Л2х* В2у* -j- С2 =7^ 0, то а можно
взять каким угодно (неравным нулю), а Р соответственно опреде¬
лить равенством:
о		В}у* + G
1	л2х* + в27*+’с2 "
Итак, уравнением вида (1) можно определить прямую, проходя¬
щую через какую угодно заранее указанную точку плоскости, а
значит, и любую прямую пучка с центром S. Поэтому уравнение
вида (1) называют уравнением пучка прямых (с центром S).
Если а7^=0, то, полагая -|-=Л, получим из уравнения (1):
4"	+ci + И2х 4“ &2У 4" с2)= о*	W
В таком виде уравнение пучка прямых в практике решения задач
более употребительно, чем уравнение (1). Существенно, однако,
заметить, что, так как при переходе от уравнения (1) к уравне¬
нию (4) исключается случай а = 0, то уравнением вида (4) нельзя
определить прямую А2х 4-^2^4“ <4= т- е- уравнение вида (4)
при различных X определяет все прямые пучка, кроме одной (вто¬
рой из двух данных).
Пример. Даны две прямые 2х -|- Зу — 5 = 0, 7х 15# -|- 1 = 0, пере¬
секающиеся в точке S. Составить уравнение прямой, которая проходит
через точку S и перпендикулярна к прямой 12х — Бу — 1=0.
Решение. Прежде всего проверим утверждение условия задачи: дан-
2	3
ные прямые действительно пересекаются, так как	Далее составим
( 10
уравнение пучка прямых с центром S:
2х + Зу - 5 + X (7х + 15{/ + 1) = 0.
(4

§ 23]
УРАВНЕНИЕ ПУЧКА ПРЯМЫХ
69
Чтобы выделить в этом пучке искомую прямую, вычислим X согласно усло¬
вию перпендикулярности этой прямой к прямой 12х — Ьу — 1 — 0. Пред¬
ставив уравнение (5) в виде
(2 -|- 7Х) х (3 -J- 15Х) у -{- ( — 5 X) = 0,	(6)
находим угловой коэффициент искомой прямой:
2 + 7Х
. 3+15V
Данная прямая имеет угловой коэффициент
По условию перпендикулярности k=— — , т. е.
2 + 7Х _	5
34-15Х“	12’
Отсюда X —— 1. Подставляя Х = — 1 в уравнение (6), получаем — 5х—
— 12// — 6 — 0 или
5л+12// + 6г=0.
Задача решена.

ГЛАВА 5
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
В этой главе будут рассмотрены три вида линий второго порядка:
эллипсы, гиперболы и параболы. Основной целью главы
является ознакомление читателя с важнейшими геометрическими
свойствами указанных линий.
§ 24. Эллипс7. Определение эллипса и вывод
его канонического уравнения
70.	Эллипсом называется геометрическое место точек, для
которых сумма расстоянии от двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина:
требуется, чтобы эта постоянная была больше расстояния между
фокусами. Фокусы эллипса принято обозначать через F, и F2.
Замечание. Сумма расстояний произвольной точки М от двух
фиксированных точек Г, и F2, очевидно, не может быть меньше
расстояния между точками	F2. Эта сумма равна расстоянию
между Fz в том и только в том случае, когда точка М находится
на отрезке FXF2. Следовательно, геометрическое место точек, сумма
расстояний от которых до двух фиксированных точек Fv F2, есть
постоянная величина, равная расстоянию между Fu F2, представ¬
ляет собой просто отрезок F^F2. Указанный случай исключен ого¬
воркой в конце предыдущего определения.
71.	Пусть М—произвольная точка эллипса с фокусами F, и F2.
Отрезки FyM и F2M (так же как и длины этих отрезков) назы¬
ваются фокальными радиусами точки М. Постоянную сумму фокаль¬
ных радиусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким
образом, для любой точки М эллипса имеем:
(1)
Расстояние FTF2 между фокусами обозначают через 2с. Так как
ТО
2а>2с, т. е. а^> с.
(2)

' § 24]
эллипс
71
Из определения эллипса непосредственно вытекает следующий спо¬
соб построения его при помощи нити: если концы нерастяжимой
нити длины 2а закрепить в точках F„ F2 и натянуть нить острием
карандаша, то при движении острия оно будет вычерчивать эллипс
с фокусами Fn Fz и суммой фо¬
кальных радиусов 2а. Выполнив
это построение фактически, мож¬
но наглядно убедиться, что эл¬
липс представляет собой выпу¬
клую замкнутую линию (овал),
симметричную относительно пря¬
мой FjF2, а также относительно
прямой, которая проходит пер¬
пендикулярно к отрезку F,F2
через его середину (черт. 46).
Немного далее мы установим
Черт. 46.
форму эллипса аналитически при помощи исследования его уравне¬
ния; уравнение эллипса выводится в следующем пункте.
72.	Пусть дан какой-нибудь эллипс с фокусами F1? Fz (вместе
с тем мы считаем данными а и с). Введем на плоскости декартову
прямоугольную систему координат, оси которой расположим спе¬
циальным	образом по	отношению	к этому	эллипсу; именно, в каче¬
стве оси	абсцисс мы	возьмем прямую FJr2,	считая ее направленной
от Fj к	F2, начало	координат	поместим	в	середине отрезка FyFz
(черт. 46). Выведем	уравнение	эллипса	в	установленной системе
координат.
Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее
координаты через х и у. Обозначим, далее, через г, и г2 расстоя¬
ния от точки М до фокусов (r1 = F144, rz — FzM}. Точка N1 будет
находиться на данном- эллипсе в том и только в том случае, когда
Г14“г2 — 2а.	(3)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (3) заменить
переменные гх и г2 их выражениями через координаты х, у.
Заметим, что так как F1F2 = 2c и так как фокусы Fx и F2 распо¬
ложены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то
они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (—{—с; 0); приняв
это во внимание и применяя формулу (2) п°18, находим:
Г1 =	+ с)2 +У, r2 = /(x —с>2+/.’	(4)
Заменяя и г2 в равенстве (3) найденными выражениями, получаем:
V (^ + С)2 + У + /(х —с)2 +/ = 2а.	(5)
Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса в назначенной системе
координат, так как ему удовлетворяют координаты точки М(х; у)
72
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
в том и только в том случае, когда точка М лежит на этом эллипсе.
Дальнейшие наши выкладки имеют целью получить уравнение эллипса
в более простом виде.
Уединим в уравнении (5) первый радикал, после чего возведем
обе части равенства в квадрат; получим:
(х + с)2 4-У = 4а2 — 4а ]/(х — с)2 -f-/ -|- (х — с)2 +/•	(6)
ИЛИ
а ]/ (х — с)2 у2 = а2 — сх.	(7)
Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:
а2х2 — 2а2 сх а2с2 а2у2 = а4 — 2а2сх Ц- с2х\	(8)
откуда
(а2 — с2) х2 &2у2 = а* (а2 — с2).	(9)
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
Ь = У а2—с2\	(10)
геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее;
сейчас мы только заметим, что л^>с, следовательно, а2 — с2^>0 и
величина b — вещественна. Из равенства (10) имеем:
Ь2 — а2 — с2,	(11)
вследствие чего уравнению (9) можно придать вид
Ь2х2 ~уа2у2 = а2Ь\
или
и2)
Докажем, что уравнение (12) есть уравнение данного эллипса. Этот
факт не является самоочевидным, поскольку уравнение (12) получено
из уравнения (5) двукратным освобождением от радикалов; очевидно
лишь, что уравнение (12) есть следствие уравнения (5). Мы должны
доказать, что уравнение (5) в свою очередь есть следствие уравне¬
ния (12), т. е. что эти уравнения эквивалентны.
Предположим, что х, у — какие-нибудь два числа, для которых
соблюдено равенство (12). Производя предыдущие выкладки в обрат¬
ном порядке, мы получим из равенства (12) сначала равенство (9),
затем равенство (8), которое сейчас запишем в виде
а2 [(х— с)2-уУ2] = (а2 — сх)2.
Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим
а У(х — с)2 Ц- у2 = Дз (а2 — сх).	(13)
Заметим теперь, что в силу равенства (12) должно быть | х | а.
Так как | х | а и с<^а, то |гх|<^а2, следовательно, число а2—сх,
§ 25]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА
73
положительно. Поэтому в правой части равенства (13) необходимо
взять знак плюс. Так мы приходим к равенству (7), после чего
получим равенство (6); последнее мы напишем в виде
(х 4- с}г + у2 = [2а — /(х — с)2+У]2.
Отсюда
= -4- (2а — ]/\х — с)2-[-уг).	(14)
Исследуем величину
(х — с)2 у2 — х2 — 2сх 4- с2 4“ у2-	(15)
Вейлу равенства (12) имеем х2^а2. Далее |fx|<^az, следо¬
вательно, число — 2сх по абсолютному значению меньше 2а2. Нако¬
нец, также из равенства (12) заключаем, что у2 ^Ь\ т. е. у2 а2 — с2
или сг-{-у2^а2. Ввиду этих обстоятельств вся сумма в правой
части (15) меньше 4а2, значит, корень из этой суммы меньше 2а.
Поэтому величина, стоящая внутри скобок в правой части (14),
положительна, следовательно, в равенстве (14) перед скобками нужно
брать знак плюс. Таким образом, мы получаем:
/(х4-<?)24-У = 2а — /(х —+
откуда сразу следует равенство (5).
Итак, уравнение (5) выводится из уравнения (12), как и уравне¬
ние (12) выводится из уравнения (о). Тем самым доказано, что
уравнение (12) есть уравнение данного эллипса, поскольку оно
эквивалентно уравнению (5).
Уравнение (12) называется каноническим уравнением эллипса.
73.	Уравнение
определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоуголь¬
ных координат, есть уравнение второй степени; таким образом,
эллипс есть линия второго порядка.
§ 25. Исследование формы эллипса
74.	Выше, в п°71, мы описали форму эллипса, исходя из нагляд¬
ных соображений. Здесь мы проведем исследование формы эллипса
путем анализа его канонического уравнения
(1)
Подчеркнем прежде всего алгебраическую особенность уравне¬
ния (1): оно содержит члены только с четными степенями теку¬
щих координат.

74
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Указанной алгебраической особенности уравнения (1) соответ¬
ствует важная геометрическая особенность определяемой им линии,
именно: эллипс, определяемый уравнением (1), симметричен каю
относительно оси Ох, таю и относительно оси Оу.
В самом деле, если М (х; у) — какая-нибудь точка этого эллипса,
т. е. если числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то числа х, —у
также удовлетворяют уравнению (1); следовательно, точка 714'(х;—у)
также лежит на этом эллипсе. Но точка 714' (х; —у/) симметрична
точке Л4 (х; у) относительно оси Ох. Таким образом, все точки
эллипса расположены парами, симметрично относительно оси Ох.
Иначе говоря, если мы перегнем чертеж по оси Ох, то верхняя
часть эллипса совместится с его нижней частью. А это и означает,
что эллипс симметричен по отношению к оси Ох.
Симметричность рассматриваемого эллипса относительно оси Оу
доказывается совершенно аналогично (на основании того, что если
числа х, у удовлетворяют уравнению (1), то ему удовлетворяют и
числа —х, у).
Чтобы исследовать форму эллипса, выразим из уравнения (1)
величину у, как функцию от х:
или
(2)
Поскольку эллипс симметричен относительно каждой из коорди¬
натных осей, нам достаточно рассмотреть лишь ту его часть, кото¬
рая лежит в первой координатной четверти.
Так как указанная часть эллипса лежит в верхней полуплоскости,
то ей соответствует знак -ф- в правой части уравнения (2); а так
как она вместе с тем лежит в правой полуплоскости, то для всех
се точек х^О. Таким образом, мы должны изобразить график функции
(3)
при условии х 0.
Возьмем сначала х = 0, тогда у=^Ь. Точка £?(0; Ь) является
самой левой точкой рассматриваемого графика. Пусть теперь х уве¬
личивается, начиная от нуля. Очевидно, что при увеличении х под¬
коренное выражение в формуле (3) будет уменьшаться; вместе с тем,
следовательно, будет уменьшаться и величина у. Таким образом,
переменная точка /14 (х; у), описывающая рассматриваемый график,
движется вправо и вниз (черт. 47). Когда х сделается равным а, мы
получим у — 0; тогда точка А4(х; у) совпадает с точкой А (а; 0),
лежащей на оси Ох. При дальнейшем увеличении х, т. е. прих^>а,
подкоренное выражение в формуле (3) становится отрицательным,
§ 25]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ЭЛЛИПСА
75
а, значит, у — мнимым. Отсюда следует, что точка А является самой
правой точкой графика. Итак, частью эллипса, расположенной в пер¬
вой координатной четверти, является дуга ВА, изображение которой
дано на черт. 47.
Производя зеркальные отражения дуги ВА относительно коорди¬
натных осей, мы получим весь эллипс; он имеет форму выпуклого
овала с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии (черт. 48).
Оси симметрии эллипса называют обычно просто его осями,
а точку пересечения осей — центром эллипса. Точки, в которых
эллипс пересекает свои оси, называются его вершинами. На черт. 48
вершины эллипса суть точки Д, Д', В и В'. Заметим, что осями
эллипса принято называть также отрезки ДД' = 2а и ВВ’ = 2Ь. Если
эллипс расположен относительно координатных осей так, как было
описано в п°72, именно, если фокусы его находятся на оси Ох, то
Ь — }^а2 — с2, следовательно, а^> Ь.
В этом случае отрезок ОА — а называют большой полуосью
эллипса, отрезок ОВ=Ь — малой полуосью. Но, само собой разу¬
меется, эллипс, определяемый уравнением вида (1), может быть рас¬
положен так, что его фокусы будут на оси Оу\ тогда Ь^>а и
большой полуосью его будет отрезок ОВ = Ь. Но во всяком случае
длина отрезка ОА на оси абсцисс обозначается через а, а длина
отрезка ОВ на оси ординат обозначается через Ь.
Замечание. На черт. 47 часть эллипса, расположенная в пер¬
вой координатной четверти, изображена в виде дуги В А всюду вы¬
пуклой «вверх»; кроме того, на черт. 47 показано, что направление
этой дуги в точке В перпендикулярно к оси Оу, а в точке А пер¬
пендикулярно к оси Ох (вследствие чего полный эллипс в своих
вершинах не имеет заострений). Между тем мы не доказали, что
дуга ВА действительно обладает такими свойствами. Но мы не будем
этим заниматься, так как такого рода исследования графиков наибо¬
лее естественно проводить при помощи методов математического
анализа.

76
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
75.	В частном случае, когда Ь = а, уравнение
принимает вид
такое уравнение определяет окружность радиуса а (с центром
в начале координат). В соответствии с этим окружность рассма¬
тривается, как частный случай эллипса.
§ 26. Эксцентриситет эллипса
76.	Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас¬
стояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси;
обозначив эксцентриситет буквой е, получаем:
с
е =— .
а
Так как с<^а, то е<^1, т. е. эксцентриситет каждого эллипса
меньше единицы.
Заметим, что с2 = а2— Ь2\ поэтому
отсюда
»=/1
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением осей
эллипса, а отношение осей, в свою очередь, определяется эксцен¬
триситетом. Таким образом, эксцентриситет характеризует форму
эллипса. Чем ближе эксцентриситет к единице, тем меньше 1—е2,
тем меньше, следовательно, отношение — ; значит, чем больше
1	а
эксцентриситет, тем более эллипс вытянут. В случае окружности
Ь = а и е = 0.
§ 27. Рациональные выражения фокальных радиусов эллипса
77.	Рассмотрим произвольную точку М(х; у), лежащую на дан¬
ном эллипсе. Если гг и г2 — фокальные радиусы этой точки, то
=/(*-Н)г +/> г2 —с)2	(1)
Оказывается, для выражения фокальных радиусов можно указать
другие формулы, свободные от иррациональностей.
В самом деле, из равенства (7) п° 72 мы имеем:
V (х — с)2 4- у2 = а — х.

§ 28J
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПСА
77
Полагая здесь — = е и принимая во внимание вторую из формул (1),
получим:
г2 = а — гх
по определению эллипса гг-{- г2 = 2а; отсюда и из предыдущего
гг=а-\- ех.
Итак, имеют место формулы
Г1 = а-^гх, 1
г2 = а— ex. J
В § 34 эти формулы будут существенно использованы.
§ 28. Построение эллипса по точкам.
Параметрические уравнения эллипса
78.	Пусть дан эллипс
(1)
Опишем вокруг его центра две окружности, одну — радиусом а,
другую — радиусом b (считаем а^>Ь); проведем через центр эллипса
произвольный луч и обозначим буквой t полярный угол этого луча
(черт. 49). Проведенный луч пересечет ббльшую окружность в неко¬
торой точке Р, меньшую—в некоторой точке Q. Проведем затем
через точку Р прямую, парал¬
лельную оси Оу, через точку
Q—прямую, параллельную оси
Ох; пусть М — точка пересе¬
чения этих прямых, а Рг и
Qj — проекции точек Р и Q
на ось абсцисс.
Выразим координаты точки
М через t. Из чертежа 49 легко
усмотреть, что
х = ОРг = OP- cos t — a cos /,
y = PiM=QxQ =
= OQ. sin t = b sin t.
Таким образом,
x = a cos /,
у = b sin t.
(2)
Подставляя эти координаты в уравнение (1), убедимся, что они
удовлетворяют ему при любом t Следовательно, точка /И находится
на данном эллипсе. Итак, мы показали, как построить одну точку
эллипса. Проводя ряд лучей и производя указанное построение
78
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
соответственно каждому из них, мы можем построить столько
точек эллипса, сколько пожелаем. Этот прием часто употребляется
в чертежной практике (соединяя построенные точки с помощью лекал,
можно получить изображение эллипса, вполне удовлетворительное
с практической точки зрения).
79.	Уравнения (2) выражают координаты произвольной точки
эллипса как функции переменного параметра /; таким образом,
уравнения (2) представляют собой параметрические
уравнения эллипса (см. § 14).
§ 29. Эллипс как проекция окружности на плоскость.
Эллипс как сечение круглого цилиндра
80.	Здесь мы докажем, что проекция окружности на произволь¬
ную плоскость является эллипсом.
Пусть окружность k, лежащая в плоскости р, проектируется на
некоторую плоскость а. Обозначим через k' геометрическое место
проекций всех точек окружности k; нужно показать, что k' есть
эллипс. Для удобства рассуждений будем предполагать, что пло¬
скость а проходит через центр окружности k (черт. 50). Введем на
плоскости а декартову прямоугольную систему координат, приняв
в качестве оси Ох прямую, по которой пересекаются плоскости а
и Р, в качестве начала координат — центр окружности k. Обозначим
через а — радиус окружности k, через ф— острый угол между
плоскостями а и р. Пусть Р—произвольная точка окружности k,
§ 29]	ЭЛЛИПС КАК ПРОЕКЦИЯ ОКРУЖНОСТИ НА плоскость	79
Л4—ее проекция на плоскость a, Q — проекция на ось Ox, t—•
угол, который составляет отрезок ОР с осью Ох. Выразим коорди¬
наты точки М через /. Из черт. 50 легко усмотреть, что
х = OQ = OP* cos t — a cos /,
у = QM = QP* cos ф = OP* sin t cos <p = a cos cp sin
Обозначив постоянную величину a cos ср буквой b, получим:
x = a cos /,
у — b sin t.
Эти уравнения в точности совпадают с параметрическими уравне¬
ниями эллипса (см. п° 78); следовательно, линия k' является эллипсом
(с большой полуосью а и малой полуосью b = acoscp).
81.	Легко показать также, что каждое сечение круглого цилиндра
плоскостью, не параллельной его оси, есть эллипс.
Для доказательства рассмотрим какой-нибудь круглый цилиндр и
секущую плоскость а (черт. 51); линию, которая образуется в сеченищ
80
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
обозначим через k'. Пусть О—точка, в которой плоскость а
пересекает ось цилиндра; проведем через точку О плоскость р,
перпендикулярную к оси. Эта плоскость пересечет цилиндр по
окружности к. Обозначим через а радиус этой окружности, через
ср — острый угол между плоскостями а и р. Выберем затем на
плоскости а координатные оси так, как показано на чертеже 51.
Возьмем на линии k' произвольную точку пусть Р—ее проек¬
ция на плоскость р, Q—проекция на ось Ox, t — угол, который
составляет отрезок ОР с осью Ох, Выразим координаты точки М
через /, имеем:
х = OQ = OP- cos f = a cos t,
y=: QM =
OP
cos cp
OP-sin t
cos (p
a
COS ф
sin t.
Полагая —— — b, получим:
COS (p	J
x = a cos t,
у = b sin i.
Эти уравнения представляют собой параметрические уравнения
эллипса; таким образом, линия k' является эллипсом, что и требо¬
валось доказать.
т. е.
Заметим, что —— ^>а*. следовательно, а есть малая ось эллипса k',
’ cos <р	’
b = --?—его большая ось, т. е. эллипс kf вытянут в направлении
оси Оу.
То обстоятельство, что эллипс есть плоское сечение круглого
цилиндра, а также проекция окружности на плоскость, делает
представление об этой линии особенно наглядным.
§ 30. Гипербола. Определение гиперболы
и вывод ее канонического уравнения
82.	Гиперболой называется геометрическое место точек, для
которых разность расстояний от двух фиксированных точек
плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина; ука¬
занная разность берется по абсолютному значению; кроме того,
требуется, чтобы она была меньше расстояния между фокусами
и отлична от нуля. Фокусы гиперболы принято обозначать через Fx и
Л2, а расстояние между ними — через 2с.
Замечание. Разность расстояний от произвольной точки М
до двух фиксированных точек Fx, F2, очевидно, не может быть
больше расстояния между точками F,, F2. Эта разность равна рас¬
стоянию между Fx, F2 в том и только в том случае, когда точка М
находится на одном из продолжений отрезка F\F2. Следовательно,

§ 30]
ГИПЕРБОЛА
81
геометрическое место точек, для которых разность расстояний от
двух фиксированных точек Fz есть постоянная величина, равная
расстоянию между Z7,,	Г2, представляет собой оба продолжения
отрезка FXF2 (черт. 52).
Если разность расстояний от некоторой, точки М до точек У7,, Л2
равна нулю, то эта точка равноудалена от Fx и F2. Следовательно,
геометрическое место точек, разность
расстояний от которых до двух фикси¬
рованных точек FA, F2 есть постоянная
величина, равная нулю, представляет
собой прямую, перпендикулярную к от¬
резку FJ\ в его середине (черт. 53).
Указанные случаи исключены оговор¬
кой в конце предыдущего определения.
F,	М
Черт. 52.
Черт. 53.
83.	Пусть 714— произвольная точка гиперболы с фокусами Fx
F2M (так же, как и дли¬
ны этих отрезков) называ¬
ются фокальными радиусами
точки М и обозначаются че-
рез гх и гг (FxM = rx,
F2M = r2\ По определению
гиперболы разность фокаль¬
ных радиусов ее точки Л4
есть постоянная величина
(т. е. при изменении положе¬
ния точки Л4 на гиперболе раз¬
ность ее фокальных радиусов
не меняется); эту постоян¬
ную принято обозначать
через 2а. Таким образом, для любой точки М гиперболы имеем либо
F.M — F2M = 2a,	(1)
если точка М находится ближе к фокусу F2, либо
F2M — F,M = 2a,	(2)
если точка М находится ближе к фокусу У7,.
Так как по определению гиперболы F^M— F^M^F^F* и
F2M — F'Mt'FJ^ то 2а<2с, т. е.
а <^с.
(3)

82
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
В следующем пункте мы выведем уравнение гиперболы, после чего,
анализируя это уравнение, установим ее форму. Мы увидим, что
гипербола состоит из двух отдельных частей, называемых ее вет¬
вями, каждая из которых бесконечно простирается в двух направ¬
лениях; целая гипербола симметрична относительно прямой F,F2,
а также относительно прямой, проходящей перпендикулярно к отрезку
F,F2 через его середину (см. черт. 54).
84.	Пусть дана какая-нибудь гипербола с фокусами F\,F2 (вместе
с тем будем считать данными а и с). Введем на плоскости декар¬
тову прямоугольную систему координат, оси которой расположим
специальным образом по отношению к этой гиперболе; именно,
в качестве оси абсцисс мы возьмем прямую	считая е^ на¬
правленной от Fj к F2, начало координат поместим в середину
отрезка FjF2 (черт. 54).
Выведем уравнение гиперболы в установленной системе коорди¬
нат. Возьмем на плоскости произвольную точку Л4 и обозначим ее
координаты через х и у, а фокальные радиусы F^M и F2M через гг и
г2. Точка М будет находиться на (данной) гиперболе в том и
только в том случае, когда — г2 = 2а,илиг2— г, = 2а. Последние
два равенства мы объединим общей записью
rt-r2 = ±2a.	(4).
Чтобы получить искомое уравнение гиперболы, нужно в равенстве (4)
заменить переменные г, и г2 их выражениями через текущие коор¬
динаты х, у. Так как FAF2 = 2c и так как фокусы F,, F2 располо¬
жены на оси Ох симметрично относительно начала координат, то
они имеют соответственно координаты (— с; 0) и (4"G 0); приняв
это во внимание и применяя формулу (2) п°18, находим:
г, =К\х+ <:)* + /. ra =/(х — с)2 + У.	(5)
Заменяя t\ и г2 в равенстве (4) найденными выражениями, получаем:
/(х + с)2 + /-/(х-С)2 + У = ±2а.	(6)
Это и есть уравнение рассматриваемой гиперболы в назначенной
системе координат, так как ему удовлетворяют координаты точки
М(х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на данной
гиперболе (фактически, мы здесь имеем два уравнения — одно для
правой, другое — для левой ветви гиперболы).
Дальнейшие выкладки имеют целью получить уравнение гипер¬
болы в более простом виде. Уединим в уравнении (6) первый радикал,
после чего возведем обе части равенства в квадрат; получим:
(%4-с)2+У = 4а2Ч-4а)/(х —c)24-/ + (x —с)2+У,	(7)
или
сх — а = —а]/" (х— £)2 —У У»	(8)

30]
ГИПЕРБОЛА
83
Возводя в квадрат обе части этого равенства, найдем:
с2хг — 2а2 сх -Ц- а4 = а2х2 — 2а2сх + а2с2	а2/,	(9)
откуда
(с2 — а2) х2 — а2 у2 = а2 (с2 — а2)..	(10)
Здесь мы введем в рассмотрение новую величину
/> = ]/с2 —а2;	(И)
геометрический смысл величины b будет раскрыт несколько позднее;
сейчас мы только заметим, что с^>а (см. п° 83), следовательно,
с2 — а2^>0 и величина b — вещественна. Из равенства (11) имеем;
ft‘ = c2 —а8,
вследствие чего уравнению (10) можно придать вид
Ь2х2 — а2 у2 = а2Ь2>
или
£2—1
а2 Ь2
(12)
Докажем, что уравнение (12) есть уравнение данной гиперболы.
Этот факт не является самоочевидным, поскольку уравнение (12)
получено из уравнения (6) двукратным освобождением от радикалов;
очевидно лишь, что уравнение (12) есть следствие уравнения (6).
Мы должны доказать, что уравнение (6) в свою очередь есть
следствие уравнения (12), т. е. что эти уравнения эквивалентны.
Предположим, что х, у — какие-нибудь два числа, для которых
выполняется равенство (12). Производя предыдущие выкладки в обрат¬
ном порядке, мы получим из равенства (12) сначала равенство (10),
затем равенство (9), которое сейчас запишем в виде
(сх — а2)2 = а2 [(х — с)2	У].
Извлекая корень из обеих частей этого равенства, получим:
сх — а2 = + а J/\x — с)2 4~ У.	(13)
Если точка (х, у) находится в левой полуплоскости, то х<^0
и левая часть равенства (13) отрицательна. В этом случае, следова¬
тельно, в правой части равенства (13) нужно брать знак минус.
Если же точка (х, 3/) находится в правой полуплоскости, то х^>0;
согласно уравнению (12) имеем х^а. Так как с^>а, то сх^>а2,
следовательно, левая часть равенства (13) положительна; значит,
в данном случае в правой части равенства (13) нужно брать знак
плюс. Таким образом, равенство (13) имеет тот же смысл, что и
равенство (8). Производя надлежащие преобразования, мы получим
из равенства (8) равенство (7); последнее мы напишем в виде
(х 4- с)2 + / =	—с)2+/ ± 2а]2.

84
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Отсюда
+	= ±(У(х-с)2+/ ± 2а).	(14)
Выясним, какой знак нужно брать в правой части этого равенства
перед скобками. Рассмотрим дв$ случая.
1)	Точка (х; у) находится в правой полуплоскости; тогда
согласно предыдущему внутри скобок следует выбрать знак плюс,
вся величина в скобках будет положительна, значит, и перед скоб¬
ками нужно брать положительный знак.
2)	Точка (х; у/) находится в левой полуплоскости. В этом случае
х — число отрицательное, значит, абсолютная величина разностях — с
равна сумме |х|-|-с. Согласно уравнению (12) имеем |х|^а; кроме
того, сУ>а. Следовательно, (х — с)2^>4а2, сумма (х—с)2-\-у2 тем
более превышает 4а2, корень из этой суммы больше 2а и вся вели¬
чина внутри скобок в правой части равенства (14) снова положи¬
тельна. Таким образом, и в этом случае в равенстве (14) перед
скобками нужно брать знак плюс. Мы видим, что при любом распо¬
ложении точки (х, у) равенство (14) приводится к виду
У (х с)2	= V(х —	2а,
откуда сразу получается равенство (6).
Итак, уравнение (6) выводится из уравнения (12), как и уравне¬
ние (12) выводится из уравнения (6). Тем самым доказано, что
уравнение (12) есть уравнение данной гиперболы, поскольку оно
эквивалентно уравнению (6).
Уравнение (12) называется каноническим уравнением гиперболы.
85.	Уравнение
а2 Ь2 ’
определяющее гиперболу в некоторой системе декартовых прямо¬
угольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом,
гипербола есть линия второго порядка.
§ 31. Исследование формы гиперболы
86.	Займемся исследованием гиперболы, определенной уравнением
Выразим из уравнения (1) величину у, как функцию от х:
^=± /»■(£-')
или

§ 31]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ
85
Так как уравнение (1) содержит члены только с четными сте¬
пенями каждой из текущих координат х, у, то определяемая им
гипербола симметрична относительно каждой из координатных осей
(доказывается так же, как аналогичное утверждение для эллипса;
см. п°74); отсюда ясно, что достаточно рассмотреть лишь часть
гиперболы, лежащую в первой координатной четверти.
Так как указанная часть гиперболы лежит в верхней полупло¬
скости, то в уравнении (2) ей соответствует знак а так как она
вместе с тем лежит в правой полуплоскости, то для всех ее точек
х^О. Таким образом, мы должны исследовать функцию
(3)
при условии х^О и изобразить ее график.
Возьмем сначала х = 0. Подставляя х = 0 в правую часть фор¬
мулы (3), найдем у = ^У—а2\ мы получаем мнимое число. При
возрастании х величина у остается мнимой до тех пор, пока х не
станет равным а. Полагая в правой части формулы (3) х — а, найдем
j/ = 0. Следовательно, точка А (а; 0) является самой левой точ¬
кой графика. При дальнейшем возрастании х величина у будет3
вещественной и положительной уже все
время; это сразу видно из формулы (3),
так как при х^>а имеем х2— а2^>0. Из
формулы (3) видно также, что у является
возрастающей функцией от х (если х^а),
т. е. каждый раз, когда увеличивается х,
увеличивается также и у. Наконец, из фор¬
мулы (3) видно, что при бесконечном воз*
растании х происходит бесконечное же	Черт. 55.
возрастание у (при х—также и
у—>-|-оо). Сопоставляя все, что было сейчас сказано, приходим к
следующему заключению: при возрастании х, начиная от х = а,
переменная точка М (х; у), описывающая график, движется все время
«вправо» и «вверх», имея своим начальным положением точку А (а; 0);
удаление точки М как от оси Оу «вправо», так и от оси Ох «вверх»
является бесконечным (черт. 55).
87.	Присмотримся более внимательно к тому, как именно точка М
«уходит в бесконечность».
С этой целью мы наряду с уравнением
у =	(4)
которое при х^а определяет изучаемую сейчас часть гиперболы,
рассмотрим еще уравнение	,
У = + -х-,	(5)
1 а

86
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
оно определяет прямую с угловым коэффициентом k— —, проходя¬
щую через начало координат. Часть этой прямой, расположенная
в первой координатной четверти, изображена на черт. 55 (для по¬
строения ее использован прямоугольный треугольник ОАВ с катетами
ОА = а и АВ—Ь\ очевидно, прямая ОВ как раз и имеет угловой
коэффициент k —	.
Мы докажем, что точка М, уходя в бесконечность, неограни-
ценно приближается к прямой у = -~х.
Возьмем произвольное значение х(х^а) и рассмотрим две точки:
М (х; у) и N (х; У), где	,

у=-[~-угх2 — а‘,
Точка М(х; у) лежит на гиперболе (4), точка N(х; Y) — на пря¬
мой (5); поскольку обе эти точки имеют одну и ту же абсциссу х,
прямая, соединяющая точки /И и N, перпендикулярна к оси Ох
(черт. 56). Подсчитаем длину отрезка MN.
Прежде всего заметим, что
Y = -±--x=-Vx2> + -Vx2 — a1=y.
1 а а г	1 а г	z
Отсюда у и, следовательно, MN=Y—у. Но
У— у= — (х — Vхг - аг\ = — (^~ V-t2 ~ °г) (*+ У*2 ~ а2)
а а
(6)
т. е.
(7)
Проанализируем полученное выражение, предполагая, что х—>4"°°-
Знаменатель его представляет собой сумму двух положительных
бесконечно растущих слагаемых; следовательно,
при х—>Ц-оо знаменатель стремится к (поло¬
жительной) бесконечности. Числитель этого вы¬
ражения есть постоянная величина ab. Сопо¬
ставляя эти два обстоятельства, заключаем,
что при х—>4" 00 правая часть равенства (7)
стремится к нулю; значит, стремится к нулю
и MN= Y — у.
Обозначим через Р основание перпенди-
b	куляра, опущенного из точки М на прямую
у——х (МР—расстояние от точки М до этой прямой). Очевидно
МР<^АШ, а так как MV—>0, то, следовательно, и МР—> 0. А это
мы и хотели доказать.

§ 31]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ
87
Итак, если переменная точка М уходит в бесконечность по
той части гиперболы (1), которая расположена в первой коорди¬
натной четверти, то расстояние от точки 714 до прямой
стремится к нулю.
88.	Пусть Г — какая-нибудь линия, М — переменная точка на
ней, а — некоторая прямая. Если возможно такое движение точки М
по линии Г, что 1) точка 714 уходит в бесконечность, 2) при этом
расстояние от точки 714 до прямой а стремится к нулю,— то говорят,
что линия Г асимптотически приближается к прямой а. Прямая а
в таком случае называется асимптотой линии Г.
Употребляя только что указанную терминологию, мы можем сле¬
дующим образом сформулировать результат исследования, проведен¬
ного в п°87:
График функции y = ^\fх2— а2 (т. е. рассматриваемая часть
гиперболы) асимптотически приближается к прямой у = ~х
при х—>4“°°; или прямая у — ^х есть асимптота графика
функции у=Лух2— (и в то же время асимптота нашей
гиперболы).
89.	Мы отметим еще некоторые дополнительные особенности
расположения гиперболы относительно ее асимптоты (все еще имея
в виду только часть гиперболы, лежащую в первой координатной
четверти).
Рассмотрим снова точки 7W(x; у) и N (х; У), о которых шла
речь в п° 87, и вспомним, что точка 714 лежит на гиперболе, N—
на асимптоте. Как установлено в п° 87, имеет место неравенство
Y>y. Отсюда следует, что точка М всегда находится «ниже»
точки 7V. Иначе говоря, часть гиперболы (1), расположенная, в пер¬
вой координатной четверти, на всем протяжении лежит «ниже»
своей асимптоты.
Далее, на основании формулы (7) имеем:
х + /х2-а2
Знаменатель этой дроби, будучи при х^а вещественным и по¬
ложительным, возрастает при возрастании х. Так как числитель
здесь является постоянной величиной, то в силу указанного обсто¬
ятельства сама дробь при возрастании х всегда убывает. Таким
образом, мы можем утверждать, что если х монотонно стре¬
мится к положительной бесконечности (т. е. все время только воз¬
растает), то MN= Y—у стремится к нулю также монотонно
(т. е. все время убывая).

88
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Пусть ф — угол наклона прямой у = ~х к оси Ох, Р—основа¬
ние перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки ЛТ; тогда,
очевидно,	МР=MN- cos ф.	(8)
Так как MN стремится к нулю монотонно, a cos ф есть постоянная,
то из формулы (8) следует, что и МР стремится к нулю монотонно.
Иначе говоря, где бы ни была расположена на гиперболе (4)
точка М (в первой координатной четверти), если она передвигается
по гиперболе «вправо», то расстояние от нее до асимптоты все время
уменьшается. Это обстоятельство мы выразим следующим образом:
приближение гиперболы, к своей асимптоте является, монотонным.
90.	Подведем итог всему, что было сказано в п°п° 86—89.
Часть рассматриваемой гиперболы, лежащая в первой коорди¬
натной четверти, исходит из точки А (а; 0) и идет бесконечно
«направо» и «вверх», асимптотически приближаясь к прямой
b
у= — х, притом «снизу» и монотонно.
В согласии с только что сформулированным предложением и вы¬
полнен черт. 55.
Замечание. Существенны еще два свойства рассматриваемого
графика: 1) направление его в точке Л (а; 0) перпендикулярно
к оси Ох, 2) своей выпуклостью он обращен везде «вверх». Мы не
будем, однако, доказывать выполнение этих свойств, так как такого
рода исследование графиков наиболее естественно проводить сред¬
ствами математического анализа.
91.	После того как исследована часть гиперболы (4), лежащая
в первой координатной четверти, общий вид целой гиперболы может
быть легко установлен при помощи зеркальных отражений относи¬
тельно координатных осей.
Гипербола, определяемая уравнением
j£_— 1
а2 Ь2 ’
изображена на черт. 57.
имеет две асимптоты
и
Легко понять, что
она (целая гипербола)
первая из этих прямых нам уже знакома, вторая представляет собой
ее зеркальное отражение относительно оси Ох (или оси Оу).
Оси симметрии гиперболы называют, обычно, просто ее осями,
точку пересечения осей — центром гиперболы. (В данном случае мы
имеем дело с гиперболой, оси которой совмещены с осями коорди¬
нат). Одна из двух осей (в данном случае та, которая совмещена

§ 311
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ГИПЕРБОЛЫ
89
с осью Ох) пересекает гиперболу, другая ее не пересекает. Точки
пересечения гиперболы с осью
имеет две вершины (на черт.
Прямоугольник со сторо¬
нами ,2а и 2Ь, расположенный
симметрично относительно осей
гиперболы
вершинах,
основным
гиперболы
прямоугольник ВВ'С'С). Диа¬
гонали основного прямоуголь¬
ника гиперболы совпадают с ее
асимптотами.
Заметим, что в математи¬
ческой литературе принято
также называть осями гиперболы
называются ее вершинами; гипербола
57 они обозначены буквами А и Л').
и касающийся ее в
мы будем называть
прямоугольником
(на черт. 57 это
в'
У
в
ь
# х
Z7
X.а
cf
С
Черт
. 57.
отрезки длиной 2а и 2Ь, соединяю-
щие середины противоположных сторон основного прямоугольника.
Соответственно этому говорят, что уравнение
X2
а2
У1
Ь2 —
определяет гиперболу с полуосями а и Ь.
Замечание. Если требуется сделать эскиз гиперболы с полу¬
осями а и Ь, то следует прежде всего построить ее основной прямо¬
угольник, затем асимптоты. После этого может быть изображена
сама гипербола либо «на-глаз», либо с предварительным нанесением
на чертеж нескольких ее точек. На черт. 57 показано пунктиром,
как построить фокусы гипер¬
болы, имея ее основной пря¬
моугольник; это построение
очевидным образом основано
на равенстве с2 — а2-\-Ь2 (ко¬
торое следует из формулы (11)
п° 84).
92.	Рассмотрим теперь
уравнение вида:
При помощи перестановки букв
х и у, а и b оно сводится к
уравнению, изученному в предыдущих параграфах. Отсюда ясно, что
уравнение (9) определяет гиперболу, расположенную так, как пока¬
зано на черт. 58 (вершины ее В и В’ лежат на оси Оу), Уравне¬
ние (9) также называется каноническим уравнением гиперболы.

90
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
93.	Две гиперболы, которые определяются уравнениями
а2 Ь2 ’	а2 Ь2
в одной и той же системе координат и при одних и тех же значе¬
ниях а и Ь, называются сопряженными друг с другом.
94.	Гипербола с равными полуосями (а = Ь) называется равно¬
сторонней. Каноническое уравнение равносторонней гиперболы может
быть написано в виде
х2—у2 = а2.
Очевидно, что основной прямоугольник равносторонней гиперболы
есть квадрат; отсюда ясно, что асимптоты равносторонней гипер¬
болы перпендикулярны друг к другу.
§ 32. Эксцентриситет гиперболы
95.	Эксцентриситетом гиперболы называется отношение рас¬
стояния между фокусами этой гиперболы к расстоянию между
ее вершинами^ обозначив эксцентриситет буквой е, получим:
с
Так как для гиперболы с^>а, то е^>1; т. е. эксцентриситет
каждой гиперболы больше единицы.
Заметив, что с2 — а2-\-Ь2^ находим:
отсюда
'=/'+(4)" »
Следовательно, эксцентриситет определяется отношением ~, а от¬
ношение в свою очередь определяется эксцентриситетом. Таким
образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму ее
основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем ближе он к единице, тем
меньше е2—1, тем меньше, следовательно, отношение значит,
чем меньше эксцентриситет гиперболы, тем более вытянут ее
основной прямоугольник (в направлении оси, соединяющей вершины).
В случае равносторонней гиперболы а — b и е = ]/2.

§ 34]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ
91
§ 33. Рациональные выражения фокальных
радиусов гиперболы
96.	Рассмотрим произвольную точку 714 (х; у), лежащую на данной
гиперболе. Если г, и г2 — фокальные радиусы этой точки, то
rI = lAx + c)2 + /, гг = У(х-с)‘ + у‘.	(1)
Оказывается для выражения фокальных радиусов можно указать дру¬
гие формулы, свободные от иррациональностей.
В самом деле, из равенства (8) п° 84 имеем:
у\х — с)2+У =	— а) ;
здесь знак плюс относится к случаю, когда точка 714 находится на
правой ветви гиперболы. Полагая — е и принимая во внимание
второе из равенств (1), получим:
г2=±^х-а\	(2)
Чтобы выразить первый фокальный радиус, воспользуемся основ¬
ным соотношением: г,—г? = -4- 2д, где знак плюс также относится
к точкам правой ветви гиперболы. Из этого соотношения находим
1\ = гг Ч-2а= -Ь(ех-^ д)» Итак, для точек правой ветви гиперболы
r2 = sx—а,	(3)
для точек левой ветви
G = —(ех + а),	гг — — (ех — а).	(4)
Эти формулы существенно используются в следующем параграфе.
§ 34. Директрисы эллипса и гиперболы
97.	Рассмотрим какой-нибудь эллипс и введем декартову прямо¬
угольную систему координат так, чтобы этот эллипс определялся
каноническим уравнением
Предположим, что рассматриваемый эллипс не является окружностью,
т. е. что а^Ь и, следовательно, е^=0. Предположим еще, что
этот эллипс вытянут в направлении оси Ох, т. е. что а"^>Ь.
Две прямые, перпендикулярные к большой оси эллипса и рас¬
положенные симметрично относительно центра на расстоянии
~ от него, называются директрисами эллипса.

92
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Уравнения
директрис в выбранной системе координат имеют вид
I а
и х==+т-
Первую из них мы условимся
называть левой, вторую — правой.
Так как для эллипса е<^1,
то	Отсюда следует, что
правая директриса расположена
правее правой вершины эл¬
липса; аналогично, левая ди¬
ректриса расположена левее
его левой вершины. Эллипс
вместе с директрисами изобра¬
жен на черт. 59.
98. Рассмотрим какую-ни¬
будь гиперболу и введем де-
пербола
Две
рая ее
Черт. 59.
картову прямоугольную систему
координат так, чтобы эта ги-
определялась каноническим уравнением
прямые, перпендикулярные к
пересекает, и расположенные
а
на расстоянии — от него,
той оси гиперболы, кото¬
симметрично
называются директрисами
относительно
центра
гиперболы.
Уравнения директрис в вы¬
бранной системе координат
имеют вид
а	| а
х =	и X = 	.
8	1 8
Первую из них мы усло¬
вимся называть левой, вто¬
рую — правой.
Так как для гиперболы
е^>1, то	Отсюда сле¬
дует, что правая директриса
расположена между центром и правой вершиной гиперболы; ана-
логично, левая директриса расположена между центром и левой
вершиной. Гипербола вместе с директрисами изображена на черт. 60.
99. Значение директрис эллипса и гиперболы выявляется следую¬
щими двумя теоремами.
Теорема 11. Если г — расстояние от произвольной точки
эллипса до какого-нибудь фокуса, d — расстояние от той же точки

§ 34]
ДИРЕКТРИСЫ ЭЛЛИПСА И ГИПЕРБОЛЫ
93
до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение
есть постоянная величина, равная эксцентриситету эллипса:
г
-d=e-
Доказательство. Предположим для определенности, что речь
идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть М(х; у) — про¬
извольная точка эллипса (см. черт. 59). Расстояние от /И до правой
директрисы выражается равенством
d = - — x,	(1)
которое легко усматривается из чертежа; расстояние от точки М до
правого фокуса дается второй из формул (2) § 27х
г = а — ех.	(2)
Из соотношений (1) и (2) имеем:
(а — ех) е
=	— = в.
а — ех
г
d
а — ех
а
		X
е
Теорема доказана.
Теорема 12.
Если
г — расстояние от произвольной точки
гиперболы до какого-нибудь фокуса, d—расстояние от той же
точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отно¬
шение ~ есть постоянная величина, равная эксцентриситету
гиперболы:	г
а=г-
Доказательство. Предположим для определенности, что
речь идет о правом фокусе и правой директрисе. Пусть 714 (х; у) —
произвольная точка гиперболы (см. черт. 60). Нам придется рассмот¬
реть два случая:
1) Точка /И находится на правой половине гиперболы. Тогда
расстояние от М до правой директрисы выражается равенством
=	(3)
которое легко усматривается из чертежа. Расстояние от точки М до
правого фокуса дается второй из формул (3) § 33:
г = ех — а.	(4)
Из соотношений (3) и (4) имеем:
г 	ех — а	(ех — а) е

d	а ех — а
х

е

94
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
2) Точка М находится на левой половине гиперболы. Тогда
расстояние от М до правой директрисы выражается равенством
трисы до оси Оу, d есть сумма этих расстояний); но так как М
находится на левой половине гиперболы, то х есть величина отри¬
цательная, следовательно, |х| =— х, и мы получаем:
d = — х
(5)
Расстояние от М до правого фокуса дается второй из формул (4)
§ 33:
г — —(гх— а).
(6)
Из соотношений (5) и (6) имеем:
г  — (ех — а)( — ех + а) е
Теорема доказана.
100. Свойство эллипса и гиперболы, выраженное предыдущими
теоремами, можно положить в основу определения этих линий.
Именно, геометрическое место точек, для которых расстояние г
от некоторой фиксированной точки (фокуса) и расстояние d до
некоторой фиксированной прямой (директрисы) находятся в по¬
стоянном отношении
(е = const),
есть эллипс, если е<И, гипербола, если е^>1. (Чтобы убедиться
в справедливости такого утверждения, нужно вывести уравнение
указанного геометрического места и установить, что полученное
уравнение представляет собой уравнение эллипса или гиперболы,
соответственно случаям е<^1ие>1.)
Естественно поставить вопрос, что представляет собой геомет¬
рическое место точек, определенное аналогичнььм образом, но’при
условии 6=1, т. е. геометрическое место точек, для каждой из
которых r = d? Оказывается, это есть некоторая новая для нас
линия второго порядка, называемая параболой.
§ 35. Парабола. Вывод канонического уравнения параболы
101. Параболой называется геометрическое место точек, для
каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной
точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до не-

§ 35]
ПАРАБОЛА
95
которой фиксированной прямой, называемой директрисой (пред¬
полагается, что эта прямая не проходит через фокус).
Фокус параболы принято обозначать буквой F, расстояние от
фокуса до директрисы — буквой р. Величину р
ром параболы. Изображение параболы дано
вающее пояснение этого чертежа читатель
получит после чтения нескольких следующих
пунктов).
Замечание. В соответствии с изло¬
женным в п° 100 говорят, что парабола
имеет эксцентриситет е = 1.
102. Пусть дана какая-нибудь парабола
(вместе с тем мы считаем заданным пара¬
метр р). Введем на плоскости декартову
прямоугольную систему координат, оси ко¬
торой расположим специальным образом по
отношению к данной параболе. Именно,
ось абсцисс проведем через фокус перпен¬
дикулярно к директрисе и будем считать ее
направленной от директрисы к фокусу;
начало координат расположим посредине
между фокусом и директрисой (черт. 61)-
Выведем уравнение данной параболы в этой
Возьмем на плоскости произвольную точку
координаты через х и у. Обозначим далее через г расстояние от
точки М до фокуса (r = FM)1 через d— расстояние от точки М до
директрисы. Точка М будет находиться на (данной) параболе в том
и только в том случае, когда
r — d.
на
называют
черт. 61
пар а мет-
(исчерпы-
Черт. 61.
системе координат.
М и обозначим ее
(1)
Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве (1) заменить
переменные г и d их выражениями через текущие координаты х, у.
Заметим, что фокус F имеет координаты (у; 0^; приняв это во
внимание и применяя формулу (2) п° 18, находим:
(2)
Обозначим через Q основание перпендикуляра, опущенного из точки М
на директрису. Очевидно, точка Q имеет координаты —у; ;
отсюда и из формулы (2) п® 18, получаем:
(3)

96
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
(при извлечении корня мы взяли х-\-~ со своим знаком, так как
x-f-y—число положительное; это следует из того, что точка
М (х; у) должна находиться с той стороны от директрисы, где
находится фокус, т. е. должно быть х^>	, откуда х-)- —^>0).
Заменяя в равенстве (1) г и d их выражениями (2) и (3), найдем:
/НУ+7=«+|.	»4>
Это и есть уравнение рассматриваемой параболы в назначенной си¬
стеме координат, так как ему удовлетворяют координаты точки
М (х; у) в том и только в том случае, когда точка М лежит на
данной параболе.
Имея в виду получить уравнение параболы в более простом виде,
возведем обе части равенства (4) в квадрат; получим:
хг — рх-\-^-\-у2 = х2-\-рх^-^,	(5)
или
у* := 2рх.	(6)
Уравнение (6) выведено нами как следствие уравнения (4). Легко
показать, что уравнение (4) в свою очередь может быть выведено,
как следствие уравнения (6). В самом деле, из уравнения (6) оче¬
видным образом («обратным ходом») выводится уравнение (5); далее,
из уравнения (5) имеем:
V (x~f)2+/=±(x+i)-
Остается показать, что, если х, у удовлетворяют уравнению (6), то
здесь можно выбрать только знак плюс. Но это ясно, так как из
уравнения (6) х = |^, следовательно, х^О, поэтому x-j--^- есть
число положительное. Мы приходим к уравнению (4). Поскольку
каждое из уравнений (4) и (6) есть следствие другого, они эквива¬
лентны. Отсюда, заключаем, что уравнение (6) является уравнением
параболы. Это уравнение называется каноническим уравнением па¬
раболы.
103.	Уравнение у2 = 2рх^ определяющее параболу в некоторой
системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение вто¬
рой степени; таким образом, парабола есть линия второго порядка*

§ 36]
ИССЛЕДОВАНИЕ ФОРМЫ ПАРАБОЛЫ
97
§ 36. Исследование формы параболы
104.	Постараемся при помощи анализа уравнения
у2 = 2рх
(П
уяснить себе форму параболы и тем самым обосновать вышеуказан¬
ное изображение ее на чертеже.
Так как уравнение (1) включает у только в четной степени,
то парабола, которую оно определяет, симметрична относительно
оси Ох. Поэтому нам достаточно изучить лишь часть ее, лежащую
в верхней полуплоскости. Эта часть параболы определяется урав¬
нением
У = + V Ърх.	(2)
При отрицательных значениях х уравнение (2) дает мнимые зна¬
чения у. Следовательно, левее оси Оу ни одной точки параболы
нет. При х = 0 получаем ^ = 0. Таким образом, начало координат
и является самой «левой» ее точкой. Пусть те-
начиная от нуля; как
все время возрастать.
х—т0 и
видно из уравнения (2),
Из уравнения (2) видно
переменная точка
лежит на параболе
перь х возрастает,
при этом у будет
также, что если
.у —4-00.
Таким образом,
М(х; у), описывающая рассматриваемую
часть параболы, исходит из начала коор¬
динат и движется «вправо» и «вверх»;
удаление точки М как от оси Оу «вправо»,
так и от оси Ох «вверх» является беско¬
нечным (черт. 62).
Замечание. Существенны еще два
свойства параболы: 1) направление ее в
точке 0(0; 0) перпендикулярно к оси Ох,
2) часть параболы, лежащая в верхней полуплоскости, своей выпук¬
лостью обращена «вверх». Чертеж 62 выполнен с учетом этих
свойств. Мы не будем, однако, доказывать, что они действительно
имеют место, так как такого рода исследование линий наиболее
естественно проводить средствами математического анализа.
105.	После того, как мы установили форму части параболы, лежа¬
щей в верхней полуплоскости, установление формы целой параболы
уже не требует ни малейшего труда. Для этого достаточно произвести
зеркальное отражение относительно оси Ох. Общее представление
о целой параболе, заданной уравнением
у2 = 2Рх,
дает рассмотренный ранее чертеж 61.
4 Н. В. Ефимов

98	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО порядка	[гл. 5
Ось симметрии параболы обычно называется просто ее осью
(в данном случае она совмещена с осью Ох). Точка, в которой
парабола пересекает свою ось, называется ее вершиной (в данном
случае вершина совпадает с началом координат). Число р, т. е0
параметр параболы, выражает расстояние от фокуса до директрисы.
Геометрический смысл параметра р можно описать еще следую¬
щим образом. Возьмем какое-нибудь определенное значение абсциссы,
например х — 1, и найдем из уравнения (1) соответствующие зна¬
чения ординаты: у = +]/2р. Мы получаем на параболе две точки
Ж,(1; +/27) и Ж2(1;	-/+), симметричные относительно оси;
расстояние между ними равно 2]/2р. Таким образом, 2 ]/2р есть
длина хорды параболы, проведенной перпендикулярно к оси на
расстоянии в одну единицу длины от вершины. Мы видим, что
длина этой хорды ( = 2]/2р) тем больше, чем больше р. Следо¬
вательно, параметр р характеризует «ширину» области, ограничен¬
ной параболой, при условии, что эта «ширина» измеряется перпен¬
дикулярно к оси на определенном расстоянии от вершины.
106. Уравнение
У2 = — Ърх	(3)
(при положительном р) сводится к уравнению у2 = 2рх путем за¬
мены х на —х, т. е. путем преобразования координат, которое
соответствует изменению направления оси Ох на противоположное.
Отсюда следует, что уравнение у2 = — 2рх также определяет пара¬
болу, ось которой совмещена с осью Ох, а вершина — с началом
координат, но которая расположена в левой полуплоскости (так,
как показано на черт. 63).
107.	По аналогии с предыдущим мы можем утверждать, что
каждое из уравнений
х2 — 2руу х2 ——2ру

§ 37] ПОЛЯРНОЕ УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
99
(р^>0) определяет параболу с вершиной в начале координат, распо¬
ложенную симметрично относительно оси Оу (эти уравнения пара¬
болы, как и уравнения (1) и (3), называют каноническими). Пара¬
болу, определяемую уравнением № = 2/ту, мы будем называть вос¬
ходящей, определяемую уравнением х2 = — 2ру, — нисходящей
(см. соответственно черт. 64, а и 6): эти названия естественны и не
требуют разъяснений.
§ 37. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
108.	Пользуясь результатами, изложенными в п°п° 99— 102, мы
выведем полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
(по форме записи общее для этих трех линий\ при некотором специ¬
альном расположении полярной оси. Оговоримся, однако, что в
случае гиперболы это уравнение определяет
линию не целиком, а только одну ее ветвь.
Пусть нам дана какая-нибудь из на¬
званных линий: эллипс, гипербола или
парабола (если данная линия гипербола,
то мы будем рассматривать какую-нибудь
одну ее ветвь); обозначим ее буквой L.
Пусть F—фокус линии, g—соот¬
ветствующая этому фокусу директриса
(в случае гиперболы в качестве F и g
возьмехм фокус и директрису, ближайшие
к рассматриваемой ветви).
Введем полярную систему координат
так, чтобы полюс совместился с фокусом
F, а полярная ось направилась из фокуса
противоположную директрисе £(черт. 65). Обозначим, как обычно,
через р, 0 полярные координаты произвольной точки
Чтобы вывести уравнение линии А, буде^м исходить из
по оси линии L в сторону,
М линии L.
соотношения
г
d=e>
0)
где в — эксцентриситет линии, а г и d имеют тот же смысл, что и
в n°n° 99—102.
Так как полюс совмещен с фокусом F, то
г = р.	(2)
Далее,
d = QM = DN=DF FN = DF р cos 0.	(3)
Пусть Р—точка, расположенная на линии L так, что отрезок FP
перпендикулярен к оси линии А, и р — длина отрезка FP. Иначе
говоря, р есть половина фокальной хорды линии L, перпендикулярной
4*
100	ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[ГЛ. 5
к ее оси; эта величина называется фокальным параметром *)
линии L.
Вследствие основного соотношения (1), которое относится ко
всем точкам линии L, мы имеем (в частности для точки Р):
FP
SP~e'
FP о
откуда 8Р= — =— . Но SP=DF; следовательно,
8 8
DF= —.
8
Из последнего равенства и равенства (3) получаем:
d = -| + ecosQ.	(4)
Подставляя теперь в левую часть уравнения (1) вместо г и d их
выражения (2) и (4), найдем:
Q =8,
— О О
8 *
откуда
Это и есть полярное уравнение эллипса, гиперболы (вернее одной
ветви гиперболы) и параболы. Здесь р — фокальный параметр, е —
эксцентриситет кривой. Уравнение (5)
используется в механике.
§ 38. Диаметры линий второго
порядка
109.	Важное и неожиданное на первый
взгляд свойство линий второго порядка (эл¬
липса, гиперболы и параболы) выражает
следующая теорема:
Теорема 13. Середины параллель¬
ных, хорд линии второго порядка лежат
на одной прямой.
Доказательство. 1) Пусть данная линия есть эллипс
(1)
(черт. 66). Обозначим через k общий угловой коэффициент параллельных хорд;
*) В том случае, когда линия L есть парабола, FP = PS (см. п° 101)»
следовательно, p — DF, т. е. р равно расстоянию от фокуса до директрисы.
Таким образом, в этом случае величина р совпадает с параметром пара¬
болы, с которым мы встречались уже ранее, обозначая его той же буквой.

§ 38]
ДИАМЕТРЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
101
тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде
г/ =	4- /;
(2)
здесь I для разных хорд имеет разные значения.
Будем искать концы хорды, определяемой уравнением (2) при каком-
нибудь значении Z. Решая совместно уравнения (1) и (2), исключим из них у\
получим:
X2 , (fex + /)2_,
а2 1	Ьг
или
(62 + а2£2) х2 + 2a2klx + а2 (I2 - Ь2} = 0.	(3)
Корни х/, х2 этого квадратного уравнения суть абсциссы концов Mif Мг
хорды. Пусть (х0; yQ) — середина этой же хорды; тогда
Но, по известной теореме о сумме корней квадратного уравнения,
,	2a2kl
Х' + Хг~~ Ь^ + а^‘
Следовательно,
	 a2kl
Х<>— —	+ а2*2 ‘
Зная х0, мы найдем yQ из уравнения (2):
Итак,
a2k2l	b2l
b2-\-a2k2 + L~b2 + a2k2'
azkl
b2 + a2k2 '
__ b2l
y“~b2 + a2k2'
(4)
Меняя здесь Z, мы будем получать координаты середин различных парал¬
лельных между собою хорд эллипса, но при этом, как видно из . соотноше¬
ний (4), х0, yQ будут неизменно связаны уравнением
х0	a2k *
или £/0 = /г'х0, где
Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой
у = k'x.
2) Пусть данная линия есть гипербола
(6)
(7)
(черт. 67, а, б). Обозначим через k общий угловой коэффициент параллель¬
ных хорд; тогда уравнение каждой из них может быть написано в виде
у =. kx -ф- /,	(8)

102
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Заметим заранее, что хорды гиперболы не могут быть параллельными ее
асимптотам (так как каждая прямая, параллельная асимптоте, пересекает
гиперболу только в одной точке); поэтому — и k	. Будем искать
fa)	(5)
Черт. 67.
концы хорды, определяемой уравнением (8) при
Решая совместно уравнения (7) и (8), исключим из
L
каком-нибудь значении
них у\ мы получим:
х2 (^Ч-/)2.-,
а2	Ь2
(Ь2 _ a2k2) х2 - 2 a2klx — а2 (I2 + b2) = 0.	(9)
Так как k ±: — , то b2 — a2k2 & 0. Следовательно, уравнение (9) является
а
квадратным. Корни этого квадратного уравнения хп х2 суть абсциссы концов
М2 хорды. Пусть Мо (х0; г/0) — середина этой же хорды; тогда
.. __ Х1 + *2
ло —	9	*
Применяя теорему о сумме корней квадратного уравнения, находим:
,	2аг!<1
Х,+Хг— b2__a2kf
Следовательно, х0
- , о	• Зная х0, мы найдем у0 из уравнения (8):
b2 — a~k2
a2k2l	b2l
Итак,
a2kl
X0— b2__a2k2^
_ ЬЧ
yo— b2 — a2k2 ’
(10)
Меняя здесь Z, мы будем получать координаты середин различных парал¬
лельных между собою хорд гиперболы, но при этом, как видно из соотно¬
шений (10), х0, у о будут неизменно связаны уравнением
х„ ~агк '

§ 38]
ДИАМЕТРЫ ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
103
или у$ — k где
ь2
k' = ^-.
crk
Таким образом, середины всех хорд лежат на прямой
y = k'x.
3) Пусть, наконец, данная линия есть парабола
. У2 — 2рх
k общий угловой коэффициент параллельных
из них может быть написано в виде
у = kx /.	(14)
параболы не могут быть параллельны ее оси
пересекает параболу только
(черт. 68). Обозначим через
хорд; тогда уравнение каждой
У =
Заметим заранее, что хорды
(так как каждая прямая, параллельная оси,
в одной точке); поэтому k 0.
Будем искать концы хорды, определяемой
уравнением (14) при каком-нибудь значении I.
Решая
чим из
или
(11)
(12)
(13)
совместно уравнения (13) и (14), исклю-
них у; мы получим:
(tv + /)2- 2рх = 0,
Так как
ратным,
абсциссы
А10 (л0,	1
имеем:
k2x2 + 2(kl-р)х + 12 =
k ф 0, то уравнение (15) является квад-
Корни этого уравнения xlt х2 суть
I концов	Л12 хорды. Пусть
у0) — середина этой же хорды. Мы
по теореме
нения
о сумме
Х1 + Х2
2 ’
корней квадратного урав-
*1 + *2
2 (kl — р)
k2
р 	 hl
Следовательно, xQ — —— • Зная мы найдем yQ из уравнения (14):
k2
Итак,
р — kl	р
Меняя здесь Z, мы будем получать координаты середин различных парал¬
лельных между собой хорд параболы; при этом, как видно из
ний (16), уц будет оставаться неизменно равным числу . Таким
середины всех хорд лежат на прямой
(16)
соотноше-
образом,
(17)
которая параллельна оси абсцисс и вместе с тем параллельна оси
парабойы*

104
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
Мы могли бы теперь сказать, что теорема доказана вполне, если бы не
было одного дефекта в технике наших вычислений. Дело в том, что мы пред¬
ставляли хорды линии второго порядка уравнением с угловым коэффициен¬
том (вида у = kx /). Наши выкладки, следовательно, теряют смысл, если
рассматриваемые хорды параллельны оси Оу (так как прямые, параллельные
оси Оу, не имеют углового коэффициента). Однако для таких хорд утвержде¬
ние теоремы сразу вытекает из свойств симметрии эллипса, гиперболы и
параболы. В .самом деле, эллипс, гипербола и парабола, заданные канони¬
ческими уравнениями (1), (7) и (13), симметричны относительно оси Ох.
Следовательно, и в том случае, когда хорды этих линий параллельны оси Оу,
середины их лежат на одной прямой (на оси Ох).
110.	Прямая, проходящая через середины параллельных хорд линии
второго порядка, называется ее диаметром.
Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр; это ясно
геометрически (так как центр является серединой всякой проходящей через
него хорды), а также сразу усматривается из уравнений (6) и (12) п° 109.
Согласно уравнению (17) все диаметры параболы параллельны ее оси.
Отметим некоторые свойства диаметров эллипса и гиперболы.
Рассмотрим эллипс
Пусть k — угловой коэффициент какого-нибудь его диаметра. Проведем
параллельно этому диаметру хорды эллипса; геометрическое место их середин
есть другой диаметр, который называется сопряженным первому. Он имеет
угловой коэффициент k', определяемый равенством (5), или
(18)
Будем теперь искать диаметр, который сопряжен диаметру с угловым коэф¬
фициентом /г'; аналогично предыдущему, угловой коэффициент k" этого
Черт. 69.
нового диаметра определится равен¬
ством
Отсюда и из (18) находим: k"=zk.
Таким образом, если один из двух
диаметров эллипса сопряжен дру¬
гому, то последний сопряжен первому.
Поэтому такие диаметры называются
взаимно сопряженными. Соотноше¬
ние (18) называется условием сопря¬
женности диаметров (эллипса) с
угловыми коэффициентами k и k'.
Взаимность сопряженных диа¬
метров можно выразить еще так: если
один из двух диаметров эллипса делит пополам хорды, параллельные другому,
то последний делит пополам хорды, параллельные первому (черт. 69; этот
чертеж иллюстрирует также интересное следствие предыдущего предложения:
касательные к эллипсу в концах его диаметра параллельны между собой
и параллельны сопряженному диаметру).
Все, что было сейчас сказано о диаметрах эллипса, непосредственно
переносится на диаметры гиперболы. Только условие сопряженности диа¬
метров гиперболы несколько отлично от соотношения (18). Именно, если

105
§ 39] ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЭЛЛИПСА, ГИПЕРБОЛЫ И ПАРАБОЛЫ
гипербола задана уравнением
х*	J/L-]
а2 3 Ь2 ~
то условие сопряженности ее диаметров с угловыми коэффициентами k и k
есть:
№
kk' = ^_.	(19)
а2
Оно вытекает из равенства (11).
Замечание. Оси симметрии эллипса и гиперболы суть взаимно
сопряженные диаметры, так как каждая из них делит пополам хорды, парал¬
лельные другой. Среди всех остальных пар сопряженных диаметров оси
симметрии выделяются тем, что являются диаметрами не только сопряжен¬
ными, но и перпендикулярными друг к другу.
§ 39. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы
111.	К числу наиболее замечательных свойств эллипса, гиперболы и пара¬
болы относятся так называемые оптические их свойства. Эти свойства, между
прочим, показывают, что название «фокусы» имеет источник в физике.
Мы сформулируем их прежде всего чисто геометрически.
1.	Прямая, касающаяся эллипса в некоторой точке /VI, составляет равные
углы с фокальными радиусами /фМ, F2M и проходит вне угла F,MF2 (черт. 70, а).
(а)
Чс[и. /0.
2.	Прямая, касающаяся параболы в некоторой точке/И, составляет равные
углы с фокальным радиусом FM и с лучом, который, исходя из точки Л4,
идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно
простирается (черт. 70, б).
3.	Прямая, касающаяся гиперболы в некоторой точке М, составляет
равные углы с фокальными радиусами F^M, F2M и проходит внутри угла
FXMFZ (черт. 70, в).
Мы не будем останавливаться на доказательстве этих свойств. Заметим
только, что для доказательства их при помощи вычислений нужно уметь
выражать угловой коэффициент касательной, зная уравнение кривой и точку
прикосновения. Соответствующие правила даются в курсе математического
анализа. Чтобы выявить физический смысл приведенных предложений, пред¬
ставим себе, что эллипс, парабола или гипербола вращается вокруг оси
(содержащей фокусы). Тем самым образуется поверхность, называемая соот¬
ветственно эллипсоидом, параболоидом или гиперболоидом. Реальная поверх¬
ность такого вида, покрытая амальгамой, представляет собой, соответственно,

106
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 5
эллиптическое, параболическое или гиперболическое зеркало. Принимая
во внимание известные в оптике законы отражения света, заключаем, что:
1.	Если источник света находится в одном из фокусов эллиптического
зеркала, то лучи его. отразившись от зеркала, собираются в другом фокусе.
2.	Если источник света находится в фокусе параболического зеркала,
то лучи его, отразившись от зеркала, идут параллельно оси.
3.	Если источник света находится в одном из фокусов гиперболического
зеркала, то лучи его, отразившись от зеркала, идут далее так, как если бы
они исходили из другого фокуса.
На указанном сейчас свойстве параболического зеркала основано устрой¬
ство прожектора.
§ 40. Эллипс, гипербола и парабола
как конические сечения
112.	Следующая теорема с новой точки зрения освещает геометриче¬
скую природу эллипсов, гипербол и парабол:
Теорема 14. Сечением любого круглого конуса плоскостью (не
проходящей через его вершину) определяется кривая, которая может
быть лишь эллипсом, гиперболой
или параболой. При этом, если
плоскость пересекает только
одну полость конуса и по замкну¬
той кривой, то эта кривая есть
эллипс; если секущая плоскость
пересекает только одну полость
конуса и по незамкнутой кри¬
вой, то эта кривая — парабола;
если плоскость пересекает обе
полости конуса, то в сечении
образуется гипербола (черт. 71).
Справедливость этой теоре¬
мы можно установить, исходя
из того общего положения, что
пересечение поверхности второго
порядка плоскостью есть линия
второго порядка (см., например,
нашу книгу «Квадратичные формы
и матрицы» п° 31, 32).
Из черт. 71 легко усмотреть,
что, поворачивая секущую пло¬
скость вокруг прямой PQ, мы
заставим изменяться кривую се¬
чения. Будучи, например, пер¬
воначально эллипсом, она на одно мгновение становится параболой, а затем
превращается в гиперболу. Параболой эта кривая будет тогда, когда секу¬
щая плоскость параллельна касательной плоскости конуса.
Вследствие сказанного в этом параграфе эллипсы, гиперболы и пара¬
болы называются коническими сечениями.

ГЛАВА 6
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ
§ 41. Примеры приведения общего уравнения линии второго
порядка к каноническому виду
113.	Важной задачей аналитической геометрии является исследова¬
ние общего уравнения линии второго порядка и приведение его к
простейшим (каноническим) формам. Не стремясь решать эту задачу
в общем виде, мы поясним в настоящем параграфе только сущность
дела, пользуясь конкретными примерами.
Прежде всего сделаем одно замечание технического характера.
Ранее (§ 15) мы писали общее уравнение линии второго порядка,
т. е. общее уравнение второй степени относительно х, у, в виде
Ах2ВхуСу2DxЕуЕ = 0.
Однако в большинстве формул теории линий второго порядка коэф¬
фициенты В, D и Е входят деленными на 2. Поэтому общее уравне¬
ние второй степени оказывается целесообразным записывать следующим
образом:	Лх2 + 2ВхуСу2 + 2Ох +2£> + О,	(1)
т. е. буквами В, D и Е обозначать половины соответствующих коэф¬
фициентов. Например, если дано уравнение
х2 4- Зху Ц- 2у2 -J- 5х	1
то
Д=1, В = |, С —2, О=Л, Е=2, F=l.
Числа А, В, С, £>, Е, Е называются коэффициентами уравнения (1)
(по отношению к В, D и Е это название, как видим, условно). Пер¬
вые три члена уравнения (1), т. е. члены второй степени, называются
его старшими членами.
Чтобы сразу же показать удобство записи уравнения второй сте¬
пени в виде (1), обратим внимание на следующее тождество:
Лх2 4- 2Вху 4- Су2 4- 2Dx 4- 2Еу 4~ Е=
—(А* 4“ ву 4“ х "Ь (&х 4~ ty 4“ ^у 4" (®х 4“ Еу 4~ >	(%)
проверка которого не составляет труда. Оно показывает, что второй,
108
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ [ГЛ. 6
четвертый и пятый члены уравнения (1) естественно составляются из
двух одинаковых экземпляров каждый. Тождество (2) полезно во мно¬
гих случаях и вскоре будет нами использовано.
114.	Пусть дано общее уравнение линии второго порядка:
Ах2 + 2Вху Су2 + 2Dx 2Еу + F= 0.	(1)
Требуется упростить это уравнение путем перехода к другим коор¬
динатам (при ином, более выгодном расположении осей).
Уточним предъявляемые требования:
1) нужно добиться, чтобы в группе старших членов исчез член
с произведением текущих координат; 2) чтобы число членов первой
степени стало наименьшим (если возможно, — совсем их уничтожить);
3) кроме того, если возможно, уничтожить свободный член. Уравне¬
ние, получаемое при соблюдении этих требований, называется кано¬
ническим. Далее практически показывается, как следует выполнять
необходимые действия, чтобы привести данное уравнение к канони¬
ческому виду.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
17х2 + 12хг/ + 8у2 - 46х - 28у + 17 = 0.	(3)
Решение. Прежде всего постараемся упростить уравнение при помощи
параллельного переноса координатных осей. Перенесем начало координат
в точку 5(х0; г/0), которую пока будем считать произвольной. Согласно § 8 по¬
лучим соответствующее преобразование координат:
х=х4-х0, t/ = y + y0.	(4)
Перейдем в левой части уравнения (3) к новым координатам (т. е. заменим х, у
их выражениями (4)); после приведения подобных членов найдем:
17х2 + 12хг/ + 8у2 - 46х - 28у + 17 =
= 17? + 12х>'+ 8р + 2 (17х0 + 6у0 - 23) Г+
+ 2 (6х0-|-8у0— 14) у (17Хд -12х0г/0 -|- 8уга—
— 46х0 — 28^+17).	(5)
В преобразованном уравнении данной кривой члены первой степени исчезнут,
если мы подберем х0, так, чтобы соблюдались равенства:
17хо + буо-23 = 0,
6*0 4- 8Уо —14 = 0.
(6)
Решая эти уравнения совместно, получим: х0=1, у0=1. Свободный член пре¬
образованного уравнения, который мы обозначим через F, особенно легко под¬
считать при помощи тождества (2) с учетом уравнений (6):
F — 17х* +	+ 8уга — 46х0 — 28у0 + 17 =
— (17-*о + 6у0 — 23) х0 -|- (6х0 —|— 8г/0 — 14) yQ +
+ (- 23х0 - 14у0 + 17) = - 23х0 - 14у0 + 17 == - 20.
Теперь начало координат новой системы находится в точке S (старые коорди¬
наты которой х0= 1, j/0 = l). Уравнение в новых координатах имеет вид:
17?+ 12ху + 8? — 20 = 0.
(7)

§ 41] ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 109
Заметим, что левая часть уравнения (7) не меняется при замене х, у на
— х, — у. Поэтому, если уравнению (7) удовлетворяют некоторые числа х, у, то
удовлетворяют также числа — х, — у. Значит, если какая-нибудь точ¬
ка 2И (х, у) лежит на данной кривой, то точка N {— х, — у) также лежит
на данной кривой. Но точки М (х, у) и N ( — х, —у) симметричны относи¬
тельно точки S. Таким образом, все точки данной кривой расположены парами,
симметрично относительно S (черт. 72). Точка S в этом случае называется цен¬
тром симметрии, или просто центрохМ данной кривой. Теперь ясен геометричес¬
кий смысл произведенного преобразования: начало координат перенесено в центр
кривой.
Произведем далее поворот перенесенных осей на некоторый угол а. Со¬
гласно § 9 получим соответствующее преобразование координат:
х = х' cos а — у' sin а,
(3)
у — х' sin а -|- у’ cos а.
Заменим в левой части уравнения (7) величины х, у их выражениями (8);
после приведения подобных членов найдем:
17х2 + 12xz/ 4" &у2 — 20 = (17 cos2 а 12 cos а sin а 4- 8 sin2 а) х'2 -f-
—|— 2 (— 17 cos а sin а + 6 cos2 а — 6 sin2 а -|- 8 cos а sin а) х'у' -ф-
+ (17 sin2 а — 12 cos а sin а 4~ 8 cos2 а) у'2 — 20.	(9)
Постараемся подобрать угол а так, чтобы коэффициент при х'у' обратился
В нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение:
— 17 cos a sin а 4~ 6 cos2 а — 6 sin2 а 4~ 8 cos а sin а — 0,
или
6 sin2 а -|~ 9 sin а cos а — 6 cos2 а — 0.
Отсюда
6 tg2 а 9 tg а — 6 = 0.

по
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ [ГЛ. 6
Решая полученное квадратное уравнение относительно tg а, найдем: tg а = или
tgct —— 2. Возьмем первое решение, что соответствует повороту координатных
осей на острый угол. Зная tga, вычислим cos а и sin a:
/14-tg2a	/5*
]/T-Hg2a /5'
Отсюда и согласно (9) находим уравнение данной кривой в системе хЛ, у'\
или
20х'2 + Ъу'2 — 20 — 0
Мы получили каноническое уравнение эллипса с полуосями 2 и 1 (большая
ось эллипса находится на оси Оу'\ см. черт. 73).
115.	Если дана кривая второго порядка вообще:
Аг2 4- 2Вху + Су2 4- 2Dx 4- 2£у 4- Л= 0,
то уравнения, определяющие ее центр 5(х0, j/J, напишутся так:
Ах0 + Ду0 + & — 0 ’
Bxt
0.
(Ю)
После переноса начала координат в центр S уравнение данной кри¬
вой примет вид:
0,
(11)
где
F=Axl + 2ВХ.У. + Cyl + 2Dx. + 2Еу. + F.
Если применить тождество (2), то
F= {Ах. + By. + D) х. + (Вх. + Су. + Е) у. + {Dx. + Еу. + F),
При условии, что х0, yQ являются координатами центра кривой, учи¬
тывая (10), найдем:
F= Dx.-\-Еу.-\-F.
Чтобы получить уравнения (10) и (И), нужно в общем виде повто¬
рить выкладки, с помощью которых мы получили уравнения (6) и (7),
когда рассматривали предыдущий пример.
116.	Может случиться, что система уравнений (10) несовместна,
т. е. не имеет решений. В таком случае у кривой центра нет. Тогда
упрощение заданного уравнения следует проводить по другому плану.

41] приведение уравнения 2-го порядка к каноническому виду 111
Пример. Привести к каноническому виду уравнение
4х2 — 4ху 4- У’2 — 2х — 14у 4-7 = 0.	(12)
Решение. Составив уравнения (10)
Ч - 2у0 — 1 = О,
— 2х0	z/0 — 7 = О,
видим, что полученная система несовместна. Значит данная кривая не имеет
центра и действовать как в п° 114 нельзя.
Поступим иначе. Не меняя начала координат, повернем оси на некоторый
угол а. Согласно § 9 получим формулы соответствующего' преобразования
координат:
х = х' cos а — у' sin а,
у = х' sin а 4~ у' cos а.
Перейдем в левой части уравнения (12) к новым координатам:
4х2 — 4ху у2 — 2х — 14у 4~ 7 = (4 cos2 а — 4 cos a sin а 4~ sin2 а) х'* 4-
4~ 2 (— 4 sin а cos а — 2 cos2 а 4- 2 sin2 а 4- sin а cos а) х'у' -р
4- (4 sin2 а 4~ 4 sin а cos а 4~ cos2 а) у'2 4~
4- 2 ( — cos а — 7 sin а) х' 4- 2 (sin а — 7 cos а) у' 4- 7.	(13)
Постараемся теперь подобрать угол а так, чтобы коэффициент при х’у’ обра¬
тился в нуль. Для этого нам придется решить тригонометрическое уравнение
— 4 sin a cos а — 2 cos2 а 4~ 2 sin2 а 4~ sin а cos а = 0.
Имеем
2 sin2 a — 3 sin a cos a — 2 cos2 a — 0,
или
2 tg2 a — 3 tg a — 2 = 0.
Отсюда tga = 2,
или tga =	—. Возьмем первое решение, что соответствует
повороту осей на острый угол, Зная tga, вычислим cos а и sin a:
J	1	.	tcr a	2
/14-tg’a	/5	Vl+tg*a / 5’
Отсюда, и учитывая (13), находим уравнение данной кривой в системе x',#'i
б/’-б /Тх'-2/50'4-7 = 0.	(14)
Дальнейшее упрощение уравнения (14) производится при помощи параллель¬
ного перенесения осей Ох*, Оу’.
Перепишем уравнение (14) следующим образом:
б^-г^^-б/ 5х'4-7 = 0.
Дополнив выражение в первой скобке до полного квадрата разности и ком¬
пенсируя это дополнение надлежащим слагаемым, получим:

112
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ [ГЛ. 6
Введем теперь еще новые координаты х”, у", полагая
у' = уп
/б
—— в Ha¬
ft
В координа¬
что соответствует параллельному перемещению осей на величину
тЛ'б
правлении оси Ох и на величину —— в направлении оси Оу'.
тах У, у" уравнение данной линии при¬
мет вид:
Это есть каноническое уравнение пара-
,	3/5
болы с параметром р = —$— и с вер¬
шиной в начале координат системы Xя,
у”. Парабола расположена симметрично
относительно оси х" и бесконечно про¬
стирается в положительном направлении
этой оси. Координаты вершины в системе
, ,	т~5\
х , у суть I —— ;	I , а в системе х,
у суть — у ; -|-	. Расположение этой
параболы показано на черт. 74.
117. Вернемся к
данной кривой:
системе уравнений (10), определяющих центр
Вхо4-Суо + £=О.
(Ю)
Обозначим через 6 определитель этой системы:
А В
В С
6 =
= АС—В\
Если б т~ 0, то система (10) имеет, единственное решение (см.
Приложение, § 1). В этом случае данная кривая второго порядка
имеет единственный центр и называется центральной. К числу цен¬
тральных кривых относятся эллипсы и гиперболы. Но может случиться,
что при 67^0 данное уравнение приводится к каноническому виду,
который сходен с каноническим уравнением эллипса, или с канониче¬
ским уравнением гиперболы, однако не совпадает в полной мере ни
с тем, ни с другим. Сейчас мы приведем примеры такого рода.
Предварительно укажем, что в случае 67^0 общее уравнение второй
степени всегда можно упростить, действуя в точности так, как было
показано на примере в п° 114. Поэтому в приводимых далее примерах
процесс преобразования не указывается.

§ 41] ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИЯ 2-ГО ПОРЯДКА К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 113
Пример 1. Уравнение 5х2 -j- 6xz/ -|- 5/у2—4x4-4# + 12 = 0 (б = 9?£0)
приводится к каноническому виду х'а + 4#'а -(-4 = 0, или
Это уравнение похоже на каноническое уравнение эллипса. Однако оно не
определяет на плоскости никакого действительного образа,.так как для любых
действительных чисел х', у' левая часть его не отрицательна, а справа стоит —1.
Такое уравнение и аналогичные ему называются уравнениями мнимого эллипса.
Пример 2. Уравнение
5х2 + бху + бу2 — 4х + 4# + 4 = О
(д = 9 Ф 0) приводится к канониче¬
скому виду х'г + 4у,г = 0, или
,2 /2
т+т=°- w
Уравнение (*) также похоже на
каноническое уравнение эллипса,
но определяет не эллипс, а един¬
ственную точку: х =0, у'—б.
Такое уравнение и аналогичные
ему называются уравнениями вы¬
рожденного эллипса. Чтобы объяс¬
нить это название, рассмотрим
уравнение
х'2 } у'2	2	/	\
— я—— = е2,	(**)
Черт. 75.
где е — какое-нибудь число (е > 0). Уравнение (**) определяет обыкновенный
эллипс с полуосями а = 2е, Ь = е. Представим себе, что е стремится к нулю.
Тогда а—* 0, b—>0 и эллипс «вырождается» в точку (черт. 75). Вместе
с тем и уравнение (**) превращается в уравнение (*).
Пример 3. Уравнение Зх2 + 10хг/ + Зу2 + 16х + 16г/	16 = 0
(5 =— 16	0) приводится к каноническому виду х'2 — 4z/'8 = 0, или
(*)
Уравнение (*) похоже на каноническое уравнение гиперболы; оно определяет
пару пересекающихся прямых: х'— 2#' = 0, х'+2#'=0. Такое уравнение и
аналогичные ему называются уравнениями вырожденной гиперболы.
Чтобы объяснить это название, положим
где е — какое-нибудь число (е > 0). Уравнение (**) определяет обыкновенную
гиперболу с полуосями а = 2е, Ь = е и с вершинами на оси абсцисс. Пред¬
ставим себе, что е стремится к нулю. Тогда а—> 0, b—>0, вершины гипер¬
болы сближаются и гипербола «вырождается» в пару прямых, именно в пару
своих асимптот. Вместе с тем и уравнение (**) превращается в уравнение (*).
Если в уравнении (**) е2 заменить на — е2, то получим гиперболу с верши¬
нами на оси ординат. Эта гипербола при е —> 0 вырождается в ту же самую
пару прямых (черт. 76).

114	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ [ГЛ. 6
Предположим теперь, что для данного общего уравнения второй
степени имеем S —0. При условии 6 = 0 возможны два случая:
1) Система уравнений (10) совсем не имеет решений; тогда кри¬
вая второго порядка не имеет центра. В этом случае данное уравне¬
ние всегда можно привести к каноническому виду так, как показано
на примере в п° 116, причем в результате всегда будет получаться
каноническое уравнение параболы.
2) Система уравнений (10) имеет бесконечно много решений, тогда
данная линия второго порядка имеет бесконечно много центров.
Пример 4. Рассмотрим линию второго порядка
4х2 — 4хг/ -|- У2 +	— 2у — 3 = 0;	(*)
для нее 6 = 0. Система (10) в данном случае будет
4х0 — 2у0 + 2 — 0,
— 2х0 4~ У о 1 = 0.
Эта система равносильна одному уравнению 2а:0 — r/0-f- 1 = 0, следовательно,
линия имеет бесконечно много центров, составляющих прямую 2х — у -|- 1 ~ 0.
Заметим, что левая часть данного уравнения разлагается на множители пер¬
вой степени:
4х2 — 4ху 4- у2 4~ 4х — 2у — 3 = (2х — у 4~ 3) (2х — у — 1).
Значит, рассматриваемая линия есть пара параллельных прямых:
2ху — z/ 4" 3 = 0 и 2х — z/ — 1 = 0.

§ 42]	ГИПЕРБОЛА КАК ГРАФИК ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
115
Прямая 2х— z/-f-l = 0, составленная из центров, представляет собой не
что иное, как среднюю линию этой пары прямых (черт. 77).
Чтобы упростить данное уравнение (*), можно действовать как в п° 116.
Произведя преобразование левой части уравнения аналогично тому, как сде¬
лано в равенстве (13), и повторяя дальнейшие соображения и выкладки, найдем
tga = 2. Повернув оси на угол a (tga = 2), при¬
ведем данное уравнение к виду
б/2- 2 Уб / -3 = 0;
отсюда
У 5
Полагая / = х", у' = у" -]—g-, что соответствует
параллельному перемещению осей Ох', Оу' на вели-
чину —— в направлении осн Оу , получим, наконец:
5/ — 4 = 0.
Мы снова видим, что заданное уравнение определяет
пару параллельных прямых (Уб/— 2 = 0 и
Уб/-|-2 = 0 в последней координатной системе).
В том случае, когда уравнение второй степени определяет линию
второго порядка с бесконечным множеством центров (как в последнем
примере), принято говорить, что оно является уравнением вырожден-
нои параболы.
118. Рассмотренные примеры убедительно показывают, что общее
уравнение кривой второго порядка всегда можно привести к канониче¬
скому виду. Точное доказательство этого утверждения см., например,
в нашей книге «Квадратичные формы и матрицы».
§ 42. Гипербола как график обратной пропорциональности.
Парабола как график квадратного трехчлена
119. В математике и ее приложениях часто встречается уравнение
вида ху = т, или У=-~- (т = const 0); оно называется уравне¬
нием обратной пропорциональности величин х и у, Нетрудно пока¬
зать, что в декартовых прямоугольных координатах х, у такое
уравнение определяет равностороннюю гиперболу, асимптотами
которой служат оси координат.
В самом деле, повернем оси Ох и Оу на угол а = 45°. Тогда
координаты всех точек плоскости преобразуются по формулам;
(1)

116
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ КООРДИНАТ [ГЛ. 6
Преобразуя уравнение ху = т по формулам (1), получаем в новых
координатах
х'2	у'2	.
2 иг	2 т
Мы видим, что это есть каноническое уравнение равносторонней
гиперболы с полуосями а = Ь = ]/~(2\т\; асимптоты ее наклонены под
углом 45° к новым координатным осям, следовательно, совпадают
со старыми осями; если число т положительно, го рассматриваемая
Черт. 78.
гипербола пересекает новую ось абсцисс, если т отрицательно, она
пересекает новую ось ординат. Отсюда заключаем, что, как мы и
утверждали, уравнение ху — т определяет равностороннюю гипер¬
болу, асимптоты которой совпадают с координатными осями; гипер¬
бола расположена в первой и третьей координатных четвертях, если
т>® (черт. 78, а), во второй и четвертой четвертях, если /п<^0
(черт. 78, б).
На основании изложенного мы можем также сказать, что равно¬
сторонняя гипербола есть график обратной пропорциональности.
120. Уравнение
у = ах2-\~Ьх-\-с (а т^О)	(2)
определяет параболу, ось симметрии которой перпендикулярна
к оси абсцисс; эта парабола будет восходящей, если а>0, нисхо¬
дящей, если a<^Q.
Чтобы доказать сказанное, достаточно привести уравнение (2)
к каноническому виду. С этой целью переделаем его запись следую¬
щим образом:

§ 42] ГИПЕРБОЛА КАК ГРАФИК ОБРАТНОЙ ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
117
или
(3)
или
4ас - Ь2 (	, b V
У	4Г- = а[Х+Га) •
/	Ь/4ас-62\
\ 2а; 4а J '
всех точек плоскости преобразуются по формулам
Ь	~ I 4ас — Ь2
х==х — 2^> У=УЧ	—•
Перенесем теперь начало координат в точку
координаты
Тогда
а уравнение
4а
(3) в новых координатах примет вид
у = ахг,
или
хг = ±2ру,
положительное число, определяемое равенством —
(4)
Черт. 79.
где р есть
_ J_
2а *
Мы получили каноническое уравнение параболы с вершиной
в новом начале координат и расположенной симметрично относи¬
тельно новой оси ординат. Эта парабола является восходящей
или нисходящей в зависимости от того, будет
1
ли число а =——- положительно или отрица-
—
тельно. Так как новая ось ординат перпен¬
дикулярна к старой оси абсцисс, то рассматри¬
ваемая парабола расположена именно так, как
мы указали. Тем самым наше утверждение
доказано.
121.	Выражение ах2-\-Ьх-[-с называется
квадратным трехчленом от аргумента х.
Соответственно этому мы можем сказать, что
парабола (с вертикальной осью) есть график
квадратного трехчлена.
Пример. Уравнение у = 2х2—4х—1 опре¬
деляет восходящую параболу, так как а = 2>0.
Чтобы определить ее вершину, перепишем данное
Уравнение так: у-\-3 = 2(х— I)2. Для приведения этого уравнения к канони¬
ческому виду нужно перенести начало координат в точку" (1; —3). Эта точка
есть вершина рассматриваемой параболы (черт. 79).

ЧАСТЬ ВТОРАЯ
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
ГЛАВА 7
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ
ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 43. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
122.	Если указан способ, позволяющий устанавливать положение
точек пространства заданием чисел, то говорят, что в пространстве
введена система координат. Мы рассмотрим сейчас простейшую и
наиболее употребительную систему координат, которая называется
декартовой прямоугольной.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве
определяется заданием линейной единицы для измерения длин и
трех пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных
осей, занумерованных в каком-нибудь порядке (т. е. указано, какая
из них считается первой, какая второй и какая третьей}.
Точка пересечения осей называется началом координат, а сами
оси — координатными осями, причем первую из них называют также
осью абсцисс, вторую — осью ординат, третью — осью аппликат.
Обозначим начало координат буквой О, ось абсцисс — буквами Ох,
ось ординат — буквами Оу и ось аппликат — буквами Oz. На черте¬
жах буквы х, у, z ставятся около соответственных осей в положи¬
тельном направлении от точки О в том месте, где изображения осей
обрываются; таким образом, само расположение букв указывает, куда
направлена каждая ось.
Пусть М—произвольная точка пространства; спроектируем
точку М на координатные оси, т. е. опустим из М перпендикуляры
на прямые Ох, Оу и Oz. Основания этих перпендикуляров обозначим
соответственно Мх, М и М2.
Координатами точки /И в заданной системе называются числа
х — ОМХ, у = ОМ?, z = 0М2,
где ОМХ означает величину отрезка ОМХ оси абсцисс, OMV— ве¬
личину отрезка OMV оси ординат, OMZ — величину отрезка OMZ

§ 43]
КООРДИНАТЫ В ПРОСТРАНСТВЕ
119
изложено в п° 2).
абсциссой точки
или ординатой
число z называется третьей координатой или ап-
точки М. В тексте координаты записываются в круг-
оси аппликат (что такое величина отрезка оси,
Число х называется первой координатой или
М, число у называется второй координатой
точки /И,
пликатой
лых скобках рядом с той буквой, которой помечена сама точка:
7И(х; у; z).
Проекцию точки М на ось Ох можно получить также, если опу¬
стить из перпендикуляр на плоскость Оху, а затем из его основания,
которое мы обозначим Мх , опустить
перпендикуляр на ось Ох\ этот послед¬
ний перпендикуляр и будет иметь своим
основанием Мх, иначе говоря, Мх есть
проекция на ось Ох точки Мх . Проек¬
ция точки на ось Оу есть, очевидно,
точка Му.
Аналогично, если Mxz и М— осно¬
вания перпендикуляров, опущенных из
/И соответственно на плоскости Oxz и
Oyz, то, проектируя Mxz и М на коор¬
динатные оси, мы получим точки Мх, М
и Mz (каждая из точек Мх, Му, М2
получается при этом двояким способом; например, точка Мх есть
проекция на ось Ох как точки М так и точки Mxz).
Точки Мх, Му, Mz, Мху, Mxz, Myz и О являются вершинами пря¬
моугольного параллелепипеда, стороны которого, взятые с надлежа¬
щими знаками, суть координаты точки 7И. Этот параллелепипед
изображен на черт. 80.
123.	Если задана система декартовых прямоугольных координат,
то каждая точка пространства в этой системе имеет одну вполне
определенную тройку координат х, у, z. Обратно, каковы бы ни
были три (вещественных) числа х, у, z, в пространстве найдется
одна вполне определенная точка, абсцисса которой есть х, орди¬
ната есть у и аппликата есть z. Чтобы
динатам х, у, z, нужно на оси абсцисс
нат отрезок ОМХ, величина которого
отрезок ОМу, величина которого равна
резок OMZ, величина которого равна z. После этого, проводя через Мх
плоскость, перпендикулярную к оси Ох, через Mv— плоскость, пер¬
пендикулярную к оси Оу, и через М2— плоскость, перпендикуляр¬
ную к оси Oz, мы найдем искомую точку, как точку пересечения
проведенных плоскостей.
124.	Условимся насчет некоторых терминов (считая, что оси даны
как на черт. 80).
построить
отложить
равна х,
у, и на оси аппликат — от-
точку по ее коор-
от начала коорди-
на оси ординат —

120
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. 1
Плоскость Oyz разделяет все пространство на два полупростран¬
ства; то из них, которое расположено в положительном направлении
оси Ох, мы назовем ближним, другое — дальним.
Точно так же плоскость Oxz разделяет пространство на два
полупространства; то из них, которое расположено в положительном
направлении оси Оу, назовем правым, другое — левым.
Наконец, и плоскость Оху разделяет все пространство на два
полупространства; то из них, которое расположено в положительном
направлении оси Oz, назовем верхним, другое — нижним.
125.	Пусть М— произвольная точка ближнего полупространства;
тогда отрезок ОМХ имеет на оси Ох положительное направление и,
следовательно, абсцисса х = ОМХ точки М положительна. Если же М
находится в дальнем полупространстве, то отрезок ОМХ имеет на
оси Ох отрицательное направление и число х—0Мх отрицательно.
Наконец, в том случае, когда точка М лежит на плоскости Oyz,
ее проекция Мх на ось Ох совпадает с точкой О и х=0Мх
есть нуль.
Таким образом, все точки ближнего полупространства имеют
положительные абсциссы (х^>0), все точки дальнего полупро¬
странства имеют отрицательные абсциссы (х<^0); абсциссы точек,
лежащих на плоскости Oyz, равны нулю (х = 0).
Аналогично рассуждая, легко установить, что все точки пра¬
вого полупространства имеют положительные ординаты (j^>0),
все точки левого полупространства имеют отрицательные орди¬
наты, (j<^0); ординаты точек, лежащих в плоскости Oxz, равны
нулю (у = 0).
Наконец, все точки верхнего полупространства имеют поло¬
жительные аппликаты (z^>0), все точки нижнего полупростран¬
ства имеют отрицательные аппликаты (г<^0); аппликаты точек,
лежащих в плоскости Оху, равны нулю (2 = 0).
Принимая во внимание, что точки плоскости Oxz характери¬
зуются равенством jz = O, а точки плоскости Оху—равенством z = 0,
заключаем, что точки Ох характеризуются двумя равенствами
у = 0, z = 0.
Аналогично, точки оси Оу характеризуются двумя равенствами
х = 0,	2 = 0,
и точки оси Oz характеризуются двумя равенствами
х = 0, j = 0.
Заметим, что начало координат О как точка пересечения осей
имеет все три координаты равными нулю: х = 0, у = 0, 2 = 0 и
этим характеризуется (т. е. все три координаты равны нулю только
для точки О).

§ 44]
ПОНЯТИЕ СВОБОДНОГО ВЕКТОРА
121
126.	Три плоскости Оху, Oxz и Oyz вместе разделяют про¬
странство на восемь частей: их называют координатными октан¬
тами и нумеруют по определенному правилу. Именно, первым октан¬
том называют тот, который лежит одновременно в ближнем, пра¬
вом и верхнем полупространствах, вторым — лежащий в дальнем,
правом и верхнем полупространствах, третьим — лежащий в даль¬
нем, левом и верхнем полупространствах, четвертым — лежащий
в ближнем, левом и верхнем полупространствах; пятый, шестой,
те, которые находятся в нижнем
под первым, вторым, . третьим и
: координатами х,у, z. Из преды-
Л4 лежит в первом октанте,
/И лежит во втором октанте,
/И лежит в третьем октанте,
Л4 лежит в четвертом октанте,
М лежит в пятом октанте,
М лежит в шестом октанте,
Л4 лежит в седьмом октанте,
М лежит в восьмом октанте.
седьмой и восьмой октанты суть
полупространстве соответственно
четвертым.
Пусть М—некоторая - точка
дущего следует, что
если х^>0, ^>0, 2^>0, то
если х<^0, у 0, г>0, то
если х<^0, j/<^0, z^>0, то
если х^>0,	то
если xj>0, у^>0, z<^0, т0
если х<^0, .У>0» z<^0, то
если х<^0, у <^0, г<^0, то
если х^>0, _у<^0, z<^0, то
Рассмотрение координатных полупространств и октантов полезно
тем, что помогает легко ориентироваться в расположении заданных
точек по знакам их координат.
§ 44. Понятие свободного вектора. Проекции вектора на ось
127.	Из курса элементарной физики читателю известно, что не¬
которые физические величины, как, например, температура, масса,
плотность, называют скалярными. Некоторые другие величины,
как, например, сила, перемещение точки, скорость, ускорение, назы¬
вают векторными.
Каждая скалярная величина может быть охарактеризована
одним числом, которое выражает отношение этой величины
к соответствующей единице измерения. Напротив, для характери¬
стики векторной величины одного числа недостаточно; это
объясняется тем, что векторные величины, кроме размерности, об¬
ладают еще и направленностью.
Для отвлеченного выражения конкретных (физических) век¬
торных величин служат геометрические векторы.
Геометрическими векторами, или просто векторами, назы¬
ваются направленные отрезки.
Геометрические векторы являются предметом так называемого
векторного исчисления подобно тому, как числа являются предметом
122
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
[гл. 7
арифметики. В векторном исчислении над векторами произво¬
дятся некоторые операции; они суть математические абстракции
некоторых единообразных операций, производимых с различными
конкретными векторными величинами в физике.
Возникшее для удовлетворения потребностей физики векторное
исчисление оказалось плодотворным и внутри самой математики.
В этой книге векторы используются как один из удобных инстру¬
ментов аналитической геометрии.
Начальным сведениям из в'екторного исчисления посвящена сле¬
дующая глава. В ближайших пунктах сообщаются только простей¬
шие, чисто геометрические предложения о направленных отрезках
в пространстве.
Однако представляется целесообразным уже здесь ввести не¬
которые понятия, обозначения и термины, принятые в векторном
исчислении.
128.	Вектор, как направленный отрезок, мы будем по-прежнему
записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей
чертой наверху, при условии, что первая буква обозначает начало,
вторая — конец вектора. Но, кроме того, мы очень часто будем
употреблять запись вектора одной малой латинской буквой жир¬
ного шрифта (например, а). На чертеже вектор всегда будем изо¬
бражать в виде стрелки; если вектор обозначен одной буквой,
то на чертеже эту букву мы будем ставить около конца стрелки.
Начало вектора мы часто будем называть также его точкой при¬
ложения. Вектор, начало и конец которого совпадают, называется
нулевым. Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных
прямых, называются коллинеарными.
129.	Определение равенства векторов. Векторы на¬
зываются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые
длины и одинаковые направления.
На черт. 81 изображены равные векторы АВ и CD(AB=
= CD)*)> на черт. 82 — неравные векторы PQ и PR(PQ^t= PR),
EF n GH(EF=^=GH).
Очевидно, два вектора, порознь равные третьему, равны
между собой.
*) Мы предполагаем, что эти векторы лежат в плоскости чертежа.

§ 44]
ПОНЯТИЕ СВОБОДНОГО ВЕКТОРА
123
Из определения равенства векторов следует, что каковы бы ни
были вектор а и точка Р, существует, и притом только один, век¬
тор PQ с началом в Р, равный вектору а\ иначе говоря, для
каждого вектора точка приложения может быть
выбрана где угодно. Соответственно этому в геометрии
векторы рассматривают с точностью до их положения (т. е. не
различая равных векторов, получающихся друг из друга па¬
раллельным переносом). В этом смысле векторы называют сво¬
бодными.
130.	Длина вектора (при заданном масштабе) называется его
модулем. Модуль нулевого вектора равен нулю. Для модуля век¬
тора а пользуются обозначением | а | или а. Очевидно, если а — Ь,
то \а | = | д [; обратное заключение, конечно, недопустимо.
131.	Пусть даны произвольная ось и и некоторый вектор АВ.
Опустим из точек А и В перпендикуляры на ось и и обозна¬
чим их основания соответственно через А' и В'. Число А'В', т. е.
величина направленного отрезка А'В' оси и, есть проекция век¬
тора АВ на ось и:
щ>^АВ=А'В'.
Построение проекции вектора АВ на ось и показано на черт. 83,
где для наглядности через точки А и В проведены плоскости а и (J,
перпендикулярные к оси и. Пе¬
ресечением этих плоскостей с
осью и определяются точки А'
и В' (так как плоскости аир
перпендикулярны к оси и, то
и прямые АА' и ВВ' перпен¬
дикулярны к этой оси).
132.	Возьмем в простран¬
стве произвольную точку S и
проведем через нее два луча:
один в направлении вектора
АВ, другой — в направлении
оси и (черт. 83). Угол ср, со¬
ставленный этими лучами, на¬
зывается углом наклона век¬
тора АВ к оси и. Очевидно,
выбор точки S для построения
также, что если мы заменим ось
угла ф безразличен. Очевидно
и другой осью, имеющей то же
направление, то угол ф останется прежним. Обозначим через v ось,
которая направлена так же, как ось и, и проходит через точку А.
Согласно сказанному, угол наклона вектора АВ к оси v равен ф.
Пусть С—точка, в которой ось v пересекает плоскость ($.

124
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. 7
Так как ось v параллельна оси и, а эта последняя перпенди¬
кулярна к плоскости р, то и ось v перпендикулярна к пло¬
скости р. Следовательно, АС есть проекция вектора АВ на ось v.
Далее, поскольку оси и и v параллельны и одинаково направлены,
их отрезки, заключенные между параллельными плоскостями а и Р,
имеют одинаковые величины: А'В' = АС. Отсюда
прлДВ=пр^АВ.	(1)
С другой стороны, так как вектор АВ и ось v расположены
в одной плоскости, мы вправе применить к ним формулу (7) п° 20;
таким образом,
пр^ЛВ = | АВ | cos ф.	(2)
Сопоставляя равенства (1) и (2), находим:
прнЛВ = | АВ | cos ф.	(3)
Если, ради краткости, обозначить вектор АВ одной буквой а, то
формула (3) примет вид:
прда = |а| соэф.	(4)
Итак, проекция вектора на ось равна его модулю, умножен¬
ному на косинус угла наклона вектора к этой оси,
133.	Рассмотрим два равных вектора А1В1, А2В2 и какую-нибудь
ось и. Так как равные векторы имеют одинаковые модули и оди¬
наковые углы наклона к оси и, то, применяя к каждому из них
формулу (3), мы получим одинаковые результаты:
пр„Л А = П?иА2В2 ■
Таким образом, равные векторы имеют равные проекции на одну
и ту же ось.
§ 45. Проекции вектора на оси координат
134.	Мы предполагаем, что в пространстве задана некоторая
система декартовых прямоугольных координат.
Рассмотрим произвольный вектор а. Пусть X обозначает проек¬
цию вектора а на ось Ox, Y—проекцию этого вектора на ось
Оу и Z — проекцию его на ось Oz.
Согласно п° 133 каждый вектор, равный а, имеет* в качестве
проекций на оси координат те же числа X, Y, Z,
Обратно, если некоторый вектор b имеет проекции на оси коор¬
динат такие же, что и вектор а, то Ь = а. Чтобы убедиться в этом,
приложим оба вектора а и b к началу координат; концы этих век¬
торов при таком их расположении обозначим соответственно бук¬
§ 45J
ПРОЕКЦИИ ВЕКТОРА ИА ОСИ КООРДИНАТ
125
вами А и В. Так как векторы а и b имеют одну и ту же проек¬
цию X на ось Ох, то ясно, что точки А и В должны лежать на
одной плоскости, перпендикулярной к оси Ох, именно, на пло¬
скости, которая отсекает на оси Ох отрезок величины X (считая
от начала координат). По аналогичной причине точки А и В должны
лежать на одной' плоскости, перпендикулярной к оси Оу, именно
на той, которая отсекает на оси Оу отрезок величины Y, а также
на одной плоскости, перпендикулярной к оси Oz, именно на той,
которая отсекает на оси Oz отрезок величины Z, Но в таком слу¬
чае точки А и В необходимо совпадают, поскольку, три указанные
плоскости пересекаются в единственной точке. Следовательно,
Ь=ОВ=ОА = а.
сейчас означает, что проекции вектора на оси коорди-
Сказанное
нат, будучи заданы, вполне определяют его, как свободный вектор,
т. е. с точностью до положения в про¬
странстве. Поэтому проекции X, Y, Z
вектора а называют его (декартовыми)
координатами.
В дальнейшем, желая выразить, что
вектор а имеет координаты X, Y, Z,
мы будем писать:
а — \Х\ У; Z},
рассматривая правую часть этого ра¬
венства как новый символ для обозна¬
чения вектора.
135.	В аналитической геометрии
часто приходится вычислять коорди¬
наты вектора, т. е. проекции вектора
на координатные оси, зная координаты
его конца и начала. Эта задача ре¬
шается следующей теоремой:
Теорема 15. Каковы бы ни были две точки А (х^	г,) и
У^ координаты вектора АВ определяются формулами
—х,, У=л — У„ Z=z1 — zl.
(1)
Доказательство. Опустим из точек А и В перпендикуляры
на ось Ох и обозначим их основания через Ах, Вх (см. черт. 84,
где для наглядности через точки А и В проведены плоскости, пер-
пендикулярные к оси Ох). Точки Ах и Вх имеют на оси Ох соответ¬
ственно координаты хх, х2. Отсюда в силу теоремы 1 (п° 5)

126
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
[ГЛ. 7
Но АхВх—Х, следовательно, А'=х2—Аналогично устанавли¬
ваются равенства: У=у2—уг и Z = z2 — z}.
Таким образом, чтобы получить координаты вектора, нужно
от координат его конца
начала.
136. Пусть 714 (х; у;
Вектор г=ОМ, т. е. вектор, идущей из начала координат в
точку М, называется радиус-вектором этой точки.
Вычисляя координаты вектора ОМ по формулам (1), именно, пола¬
гая в указанных формулах х2 = х, у2=у, z2 = z, хх = ^, ву1 = 0,
<г1 = 0, мы получим:
отнять соответствующее координаты
г) — произвольная точка пространства.
Х=х, У=у, Z = z,
т. е. координаты точки М и координаты ее радиус-вектора ОМ.
суть одни и те же числа. Заметим, однако, что последнее утверж¬
дение помимо формул (1) сразу вытекает из определения декартовых
координат точки М (см. п° 122).
137.	Пусть дан произвольный вектор а—-{Х; У; Z}. Мы уста¬
новим сейчас формулу, которая позволит вычислять модуль век¬
тора а, зная координаты X, У, Z этого
вектора. Будем считать для простоты,
что вектор а приложен к началу ко¬
ординат. Проведем через конец А век¬
тора а плоскости, перпендикулярные к
координатным осям; точки пересечения
этих плоскостей с осями обозначим
соответственно Ах, Az. Проведен¬
ные плоскости вместе "с координатными
плоскостями образуют прямоугольный
параллелепипед, диагональю которого
служит отрезок ОА (черт. 85). Как
известно из элементарной геометрии, квадрат длины диагонали прямо¬
угольного параллелепипеда равен сумме квадратов длин трех его
смежных сторон. Следовательно,
ОА2 = ОА2Х + ОА2 4- ОА2.
Но ОА = |а|, ОАх=Х, ОАу=У, OAz = Z; таким образом, из
предыдущего равенства получаем:
|a|2 = ^+r + Z2,
ИЛИ
(2)
Это и есть искомое выражение модуля произвольного
вектора через его координаты.

§ 46]
НАПРАВЛЯЮЩИЕ КОСИНУСЫ
127
§ 46. Направляющие косинусы
138.	Обозначим через а, [3, у углы, которые составляет вектор а
с осями координат; cos ос, cos [3, cosy называются направляющими
косинусами вектора а. Они называются направляющими косинусами
вектора потому, что, будучи заданы, определяют его направление.
Если заданы не только направляющие косинусы, но и модуль
вектора, то тем самым вектор определен вполне (как свободный
вектор). В этом случае координаты вектора могут быть вычислены
по формулам*.
X=|a|cosoc, K=|a|cosp, Z=|a]cosy,	(1)
которые имеют место согласно п° 132.
139.	Изложенное в предыдущих двух пунктах мы резюмируем
в виде следующей теоремы:
Теорема 16. Каким бы ни был вектор а, его модуль |а|,
направляющие косинусы cos a, cos (3, cosy и координаты X, У, Z
связаны соотношениями*.
Jf=|a|cosa, y=|a|cosp, Z = |a]cosy,
(1)
+ (2)
Замечание. Последние четыре формулы позволяют вычислить
направляющие косинусы вектора, зная координаты этого вектора.
В самом деле, из этих формул следует, что
о	г	X
cos а = -	, cos В = ------..	=r. , I
Y X2 + T2 + Z2’ к /x2 + ?2 + Z I
Z	f
cos у =	... ■ ■ =• .
1 yx2 4- Y2 + Z2	J
Здесь корни понимаются арифметически (как всегда, когда перед
корнем не указаны знаки).
140.	Возводя в квадрат левую и правую части каждого из ра¬
венств (3) и суммируя полученные результаты, найдем:
2 I 2 0 1	2	x2+Y2 + Z2
cos а 4- cos2 ft -Г cos2 Y = X2 +	•>
отсюда
cos2 a cos2 (3 -j- cos2 у = 1,	(4)
Яри помощи соотношения (4) можно вычислить любой из углов
а> Р, у, зная два других и, кроме того, зная, является ли иско¬
мый угол острым или тупым.

128
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В ПРОСТРАНСТВЕ
[гл. 7
§ 47. Расстояние между двумя точками.
Деление отрезка в данном отношении
141.	В аналитической геометрии пространства, как и в аналити¬
ческой геометрии плоскости, каждая задача, какой бы сложной она
ни была, сводится к некоторым простейшим задачам. Таковыми
являются: задача определения расстояния между двумя данными
точками^ задача о делении отрезка в данном отношении, задача вы¬
числения угла между двумя векторами и т. п. В этом параграфе мы
рассмотрим первые две из перечисленных задач.
142.	Пусть даны две произвольные точки (х2;	у,;	2\),
Л42 (х2; у2; z2) и требуется вычислить расстояние d между ними.
Искомый результат получается сразу при помощи теоремы 15
(п° 135) и формулы (2) предыдущего параграфа.
В самом деле, мы имеем:
мХ={^2—л—л;
далее, d есть модуль вектора	следовательно,
а=У(хг — х,)2 + (^2—л)2 + (л — *>)2-	0)
Эта формула и дает решение задачи.
143.	Пусть даны две произвольные точки Л42 (х,; у,;
М2(х2; у2; z2) и требуется на прямой МгМ2 найти точку М, деля¬
щую отрезок МгМ2 в заданном отношении X.
Эта задача решается аналогично тому, как соответствующая за¬
дача в аналитической геометрии плоскости (см. п° 24). Поэтому мы
сразу приведем готовый результат: если х, у, z— координаты,
искомой точки М, то
_ xi + Хх2 	+ Ху2 	г, 4- Xz2
14-Х ’ у 14-Х ’	14-Х *
В частности, координаты середины данного отрезка получаются
отсюда при X = 1:
	*1+*2		Ух +У2	<v_214-Z2
Х— ‘2 ’ У' 2 ’ Z~~ 2 ‘
144.	Для решения других простейших задач пространственной
аналитической геометрии удобно применять некоторые особые опера¬
ции над векторами, которые называются сложением векторов, умноже¬
нием вектора на число, скалярным умножением векторов и векторным
умножением векторов. Определение и основные свойства- этих опера¬
ций будут изложены в ближайших трех главах.

ГЛАВА 8
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
§ 48. Определение линейных операций
145.	Линейными операциями над векторами называются операции
который идет
сложения векторов и умножения векторов на числа.
Определение суммы двух векторов. Пусть даны два
вектора а и Ь. Суммой а-\-Ь называется вектор,
из начала вектора а в конец вектора Ь, при усло¬
вии, что вектор b приложен к концу вектора а.
Построение суммы а-\-Ь изображено на черт. 86.
Правило сложения векторов, которое содержится
в этом определении, обычно называют «правилом
треугольника».
Замечание. Может случиться, что при по¬
строении суммы а-\-Ь по правилу треугольника
конец вектора b окажется совпавшим с началом век¬
тора а; тогда а-\-Ь есть нулевой вектор: а-\-Ь = 0.
Определение произведения вектора
на число. Пусть даны вектор а и число а. Обозна¬
чим их модули соответственно через | а | и | а ]. Произведением аа
(или аа) называется вектор, который коллинеарен вектору а,
имеет длину, равную | а | • | а |, и направление такое же, как у век¬
тора а, если а^>0 и противоположное, если а<^0.
Операция построения вектора аа называется умножением век¬
тора а на число а.
Замечание 1. Если а = 0 или а = 0, то произведение имеет
модуль, равный нулю, и, следовательно, представляет собой нулевой
вектор. В этом случае направление произведения аа является неоп¬
ределенным.
Замечание 2. Смысл операции умножения вектора на число
можно выразить наглядно следующим образом: при умножении
вектора а на число а вектор а «растягивается» в а «раз».
Конечно, это выражение условно; например, если а = у, то
Н. В. Ефимов
130
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
[ГЛ. 8
«растяжение» в а «раз» по существу означает уменьшение длины а в
два раза; если а—число отрицательное, то «растяжение» в а «раз»
следует понимать как такое изменение вектора, при котором этот вектор
удлиняется в |а| раз («модуль а раз») и меняет свое направление
на противоположное.
§ 49. Основные свойства линейных операций
146.	Мы установим сейчас основные свойства линейных операций,
которыми приходится пользоваться в векторном исчислении.
Прежде всего мы покажем, что сумма любых двух векторов
не зависит от порядка слагаемых.
С этой целью рассмотрим два произвольных вектора а и Ь. Так
как геометрические векторы суть свободные векторы, то мы можем
а и b приложить к одной точке О, выбрав
ее произвольно. Обозначим концы векторов а
и Ь при таком их расположении буквами А и
В (черт. 87). Приложим теперь вектор b к
точке Л, обозначим конец его (при новом рас¬
положении) буквой С и соединим точку В
с точкой С отрезком. Очевидно, вектор ВС
имеет такую же длину и так же направлен,
как вектор ОА; следовательно, ВС=а.
а С
В
а Д
Черт. 87.
о
Рассматривая фигуру ОАС и вспоминая
правило сложения векторов («правило треуголь¬
ника»), найдем, что OC=a-\-b. С другой стороны, рассматривая
фигуру ОВС, согласно тому же правилу найдем, что ОС=Ь -\-а.
Отсюда
а
(1)
и утверждение доказано.
Свойство векторного сложения, выраженное тождеством (1),
называется переместительным.
Замечание. Фигуру ОАВС называют параллелограммом, по¬
строенным на векторах а, Ь с общим началом О, вектор ОС—
его диагональю (так говорят даже и в том случае, когда а = ОА
и Ь=ОВ лежат на одной прямой, т. е. когда ОАВС не является
параллелограммом в собственном смысле слова). На основании из¬
ложенного правило сложения векторов можно высказать в новой
формулировке:
Если векторы а и Ъ приведены к общему началу и на них
построен параллелограмм, то сумма а-\-Ь (или Ь-\-а) есть диа¬
гональ этого параллелограмма, идущая из общего начала а и Ь.
Высказанное в такохМ виде правило сложения векторов называется
«правилом параллелограмма».

§ 49]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ
131
147. После того, как определена сумма двух векторов, есте¬
ственным образом можно определить сумму любого числа векторных
слагаемых.
Пусть, например, нам даны три вектора а, Ь и с. Сложив а и Ь,
~	нему вектор г; у нас
мы
мы получим вектор а-\-Ь. Прибавим теперь к
получится вектор	Наряду с этим
также вектор	т. е. к вектору а
прибавить сумму Ь-\-с.
Нетрудно убедиться в том, что, каковы бы
ни были три вектора а, Ь, с, всегда имеет
место равенство
(а Ь) + с — а (Ь с).
Свойство векторного сложения, выраженное
тождеством (2), называется сочетательным.
Чтобы доказать сочетательное свойство,
расположим рассматриваемые векторы так,
чтобы вектор b был приложен к концу век¬
тора а, а вектор с — к концу вектора Ь. При
нии обозначим буквой О начало вектора а, буквой А—его конец,
буквой В — конец вектора b и буквой С—конец вектора с
(черт. 88). Тогда
(a4_^)4_f = (О4 4_ДВ) -[~~BC=z~OB-{-BC=OC,
а 4- (Ь 4- с) = 04 4- (АВ 4-ВС) = ОА 4~ АС=~0С.
построить
можем
Черт. 88.
этом
их расположе-
Следовательно,
(а 4- Ь) 4- с = а 4- (Ь 4- с),
что и требовалось доказать.
На основании сочетательного свойства сложения векторов мы
имеем право говорить о сумме трех векторов а, Ь, с и записывать
ее в виде	не указывая при этом, считаем ли мы а4-Ь-\~
4_г = (а4-&)4-г или a-^-b-^с =	Аналогичным обра¬
зом может быть определена сумма четырех, пяти, вообще, любого
числа векторных слагаемых.
Практически построение суммы нескольких векторов нет надобно¬
сти выполнять последовательно, фиксируя каждый промежуточный
результат; сумма любого числа векторов может быть построена сразу
при помощи следующего правила.
Общее правило сложения векторов. Чтобы построить
сумму векторов ar, az, ..., ап, нужно к концу вектора ах при¬
ложить вектор а2, затем к концу вектора а2 приложить век¬
тор as, затем к концу вектора а2 приложить вектор и т. д.,
пока не дойдем до вектора ап. Тогда суммой at 4~а2 4“ - • • А~ап
будет вектор, идущий из начала вектора а1 в конец вектора ап%
5*

132
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
[ГЛ. 8
Обозначим буквой О начало вектора буквами А1У А2, . . Ап —
соответственно концы векторов а1? а2, ..., расположенных согласно
только что сформулированному правилу. Фигура ОА1А2...Ап назы¬
вается ломаной с векторными звеньями OAi = al, АхА2 = а2,	...
..., Ап_лАп = ап; вектор ОАп называется замыкающим ломаную
ОА^А2.. .Ап. Так как
оап= ^А 4~ А А 4~ А А 4“ • • • A An~iAn =
= «1 + а2+---+ап-
то в соответствии с этим говорят; что построение суммы несколь¬
ких векторов производится при помощи замыкания ломаной (на
Ой
flfj
черт. 89 изображено построение суммы че¬
тырех слагаемых).
Замечание. В п° 146 мы установили,
'УС
1<Ъ
что сумма двух векторов не зависит от
порядка слагаемых. Отсюда и из сочетатель¬
«г X
Л* 4
< УУ
0
Черт. 89.
ности сложения векторов следует, что сум¬
ма любого числа векторов также не зави¬
сит от порядка своих слагаемых.
148. Здесь мы отметим три свойства линей¬
ных операций, которые относятся одновре¬
менно к сложению векторов и умножению
вектора
на число.
Эти
свойства выражаются с помощью следующих
трех тождеств, где А и ц обозначают произвольные числа, а и b —
какие угодно векторы:
1)	(А	4^
2)	А (|ха) = (Ар.) а,
3)	+	=
Справедливость первого тождества сделается наглядно ясной,
если высказать его в геометрических терминах, именно: при растя¬
жении вектора а в А А И Раз получается такой же вектор, как при
сложении вектора а, растянутого в А раз, с вектором а, растянутым
в р раз *).
Столь же прозрачный геометрический смысл имеет и второе
тождество: при растяжении вектора а в р раз и затем еще в А раз
получается такой же вектор, как при растяжении вектора а сразу
в Ар раз.
Третье тождество вытекает из теории подобия фигур. В самом
деле, вектор аД-b есть диагональ параллелограмма, построенного
на векторах а и b (в предположении, что а и b приведены к об¬
щему началу); при растяжении векторов а, b и а-\-Ь к раз этот
*) «Растяжение» здесь надо понимать так* как указано в замечании 2
п° 145.

§ 50]
РАЗНОСТЬ ВЕКТОРОВ
133
параллелограмм изменяется подобно и, следовательно, превращается
снова в параллелограмм. Таким образом, к(а-\-Ь) есть диагональ
параллелограмма, построенного на векторах Ла и Л£; отсюда
Л (а -{-&) = Ла -[-Лб. (См. черт. 90, который соответствует случаю
Л^>0; все векторы, изображенные на
этом чертеже, считаются приложен¬
ными к точке О.)
Указанные сейчас
ных операций имеют
значение, так как они
водить выкладки в векторной алгебре
свойства линей-
фундаментальное
дают право про¬
в основном так же, как проводятся	Черт. 90.
выкладки в обычной алгебре. Первое
из них выражает возможность «распределять» векторный сомножитель
по составляющим числового сомножителя; третье выражает возможность
«распределять» числовой сомножитель по составляющим векторного.
Поэтому оба эти свойства называются распределительными. Совместно
они дают право при умножении скалярного многочлена на векторный
многочлен производить умножение «почленно».
Второе свойство дает возможность «сочетать» числовые сомно¬
жители при последовательном умножении вектора на несколько чисел
(например, 2 (5а) = 10а). Поэтому второе свойство называется соче¬
тательным.
§ 50. Разность векторов
149.	В векторной алгебре вводится действие вычитания векторов;
как и в арифметике оно обратно действию сложения.
Пусть даны два произвольных вектора а и Ь.
Разностью Ъ — а называется вектор, который в
сумме с вектором а составляет вектор Ь.
Приведем векторы а и b к общему началу О,
после чего обозначим концы их буквами А и В
(черт. 91). Будем искать разность b — а. Допустим,
что этот искомый вектор приложен к точке Л;
тогда конец его должен совпасть с точкой В, так
как в сумме с вектором а=ОА он должен составить
вектор Ь=ОВ.
Таким образом, разность b — а представляет собой не что иное,
как вектор АВ:
Ъ — а = АВ.
Итак, разность двух векторов, приведенных к общему началу,
есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец
«уменьшаемого».
5*
Н. В. Ефимов

134
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
[ГЛ. 8
150.	Наряду с произвольным вектором а рассмотрим вектор
(—1)#. Вектор (—1)а называется обратным вектору а и обо¬
значается символом — ах
— а = {— 1) а.
Так как при умножении вектора а на — 1 получается вектор с тем же
модулем, коллинеарный вектору а, но направленный противоположно
ему (черт. 92), то векторы а и —а называются
иногда равно-противоположными.
Если мы приложим вектор —а к концу
вектора а, то конец вектора — а совместится
с началом вектора а\ следовательно, аЦ-(— а)
Черт. 92. есть нулевой вектор:
а + (-а) = 0.	(1)
151.	Рассмотрим снова два произвольных вектора а и Ъ. Из тож¬
дества (1) тотчас следует, что
b — а = Ь-\-(—а).	(2)
В самом деле,
а + [&4-(—a)] = 64-[a + (—а)] = &4-° = &;
таким образом, вектор Ь~\-(—а) в сумме с вектором а составляет
вектор д, а это и значит, что вектор	—а)
является разностью b—а.
Равенство (2) выражает новое правило вычита¬
ния: чтобы получить разность b — а, нужно к век¬
тору b прибавить вектор, обратный вектору а
(черт. 93; из этого чертежа также непосредственно
усматривается, что сумма векторов а и * + (— а)
есть вектор Ь). Последнее правило особенно удобно
для построения результата прибавления и вычита¬
ния нескольких векторов; например, чтобы найти
х = а— Ь — c-\-d— е, достаточно взять векторы а, ——с, d,
— е и построить их сумму, как показано в п° 147.
Черт. 93.
§ 51. Основные теоремы о проекциях
152.	Здесь мы установим две важные теоремы о проекциях
векторов.
Теорема 17. Проекция суммы векторов равна сумме их
проекций (на одну и ту же ось):
при (а, + а2 + ... + а„) = при а, + пр„а2 + ... + прио„.
Доказательство. Составим ломаную с векторными звеньями
а2, ... , ап (см. п° 147), т. е. к концу вектора приложим

§ 5Ц
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ПРОЕКЦИЯХ
135
вектор а2, затем к концу вектора а2 приложим вектор а9 и т. д.,
наконец, приложим вектор ап к концу вектора	Обозначим
(при таком расположении заданных векторов) начало вектора аг
буквой О, конец его — буквой Д,, конец вектора а2— буквой А2
и т. д. Тогда

+	---+ап=ОАп.	(1)
Спроектируем все точки О, Дп Д2, ... , Ап на ось и и обозначим
их проекции соответственно через О', Д', Д', ... , А'п (см. черт. 94,
который соответствует случаю
я=х=3); получаем:
O'X = npaj, д'Дг = прца2,...
• •• > Ап — \Ап —~ прц#п. (2)
С другой стороны, вследствие
равенства (1)
ПРЦ(«. + «2+---+Оп) =
= праОЛ„ = ОХ (3)
Но согласно п° 3 при любом
расположении точек О',	А19
А2, ... , Ап на оси и имеет
место тождество:
о'Х = о'д'4-д;д'ц-
4- АА 4“ • • • 4~ А -i А- (4)
Черт. 94.
Из тождества (4), принимая во внимание формулы (2) и (3), нахо¬
дим, что
при(«1 +	+•••+«„) = првв2 + прца2 4~ ... + праап.
Теорема доказана.
Теорема 18. При умножении вектора на число его проекция
умножается на то же число:
прааа = апраа.
Доказательство. Пусть вектор а приложен к какой-нибудь
точке О оси и; обозначим конец его буквой А. Вектор аа мы
будем предполагать также приложенным к точке О и конец его
пометим буквой В. Таким образом, ОА = а9 ОВ=аа.
Рассмотрим прямую -и, на которой находятся точки О, Д, В.
Установим на этой прямой (какое угодно) положительное направле¬
ние; тем самым мы сделаем ее осью.
5**

136
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
[ГЛ. 8
Спроектируем точки О, А и В на ось и\ пусть С\ А', В' будут
их проекции (черт. 95, а и б). По известной теореме элементарной
геометрии мы имеем пропорцию:
1^|_ |б)В|
|О'Л'| IОА Г	v '
Если отрезки ОВ и ОА (лежащие на оси и) направлены в одну
сторону, то и отрезки О'В' и О'А' (на оси и) направлены в одну
сторону; если же отрезки ОВ и ОА направлены в разные стороны,
то и отрезки О'В' и О'А' направлены в разные стороны (так будет
Черт. 95.
при отрицательном а; этот случай соответствует чертежу 95, б).
~	.	О'В' ОВ
1 аким ооразом, отношения величин этих отрезков и имеют
одинаковые знаки; значит, вместо равенства (5) мы получаем:
О'В'	ОВ
О'А'	О А ‘
Так как ОВ=аа и ОА = а, то	Следовательно, =а,
или О'В' = а - О'А'. Отсюда
пряаа = апрца.
Теорема доказана.
Замечание. Последнюю теорему наглядно можно высказать
так: при растяжении вектора в а раз его проекция растяги¬
вается тоже в а раз.
153.	В п° 134 был установлен принцип определения каждого
свободного вектора в пространстве заданием трех чисел — его ко¬
ординат. Нам существенно знать, какие арифметические операции
с координатами векторов соответствуют линейным операциям,
производимым над самими векторами. Этот вопрос сразу решается
теоремами 17 и 18 п° 152, если принять во внимание, что (декар¬
товы) координаты вектора суть его проекции на координатные оси.

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ НА КОМПОНЕНТЫ
137
§ 52]
Именно, согласно теореме 17 при сложении векторов их коорди¬
наты складываются. Таким образом, если
а = {Х2, Ух; Z, }
И Ь = {Х2, У2, ZJ,
то
zt^z2}.
Отсюда следует, что
а — Ь = { Хх — Х2-,
Уг~Уг>
zt-z2}.
Это же обстоятельство можно выразить
символически одним
соотношением:
{ Л; Г,; Z.} ± { Х2; У2; Z2} = {Xx±X2; У,± У2; Zx ±Z,}. (6)
Далее, согласно теореме 18 при умножении вектора на число его
координаты умножаются на то же число. Таким образом, если
а={Х\ У; Z}, то для любого числа а
аа = {аХ; аУ; aZ}.
Это обстоятельство можно выразить символически еще так:
а{Х; У; Z} = {aX; ссГ; aZ}.	(7)
154.	Из предыдущего легко выводится условие коллинеарности
двух векторов, заданных своими координатами.
Именно, векторы а — {Хг; К,; Zx } и & = {Л2; У2; Z2} колли¬
неарны в том и только в том случае, когда один из них может
быть получен умножением другого на некоторое число: Ь = Ха
(предполагаем а=^=0). Векторное равенство
Ь — Ха
равносильно трем числовым:
Л = У2 = ХУг, z2=xzlt
а эти последние равенства означают, что координаты вектора Ь
пропорциональны координатам вектора а. Следовательно, векторы
а = { Хх\ Ур Zj } и Ь = { Х2; У2; Z2} коллинеарны в том и только
в том случае, когда
Х2_Ь —Ь
х, —г,—
т, е, когда их координаты пропорциональны.
§ 52. Разложение векторов на компоненты
155.	Если нам задана в пространстве какая-нибудь система
декартовых прямоугольных координат, то вместе с нею мы будем
рассматривать некоторую определенную тройку векторов; мы будем
138
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ
[гл. 8
обозначать их символами Z, у, k. Эти векторы определяются сле¬
дующими условиями:
1)	вектор i лежит на оси Ох, вектор j — на оси Оу, век¬
тор k — на оси Oz;
2)	каждый из векторов Z, У, k направлен на своей оси в поло¬
жительную сторону;
3)	векторы г, j, k — единичные, т. е. |/| = 1, |У| = 1, |Л| = 1.
Оказывается, что любой вектор в пространстве может быть
выражен через векторы
Z, У, k при помощи линейных операций.
Как получается такое выражение, мы сей¬
час покажем.
Рассмотрим произвольный вектор а.
Будем предполагать (для удобства изло¬
жения), что он приложен к началу коор¬
динат. Обозначим конец вектора а бук-
У вой А. Проведем через точку А прямую,
параллельную оси Oz. Она должна пере¬
сечь плоскость Оху; обозначим точку
пересечения буквой В. Проведем затем
через точку В прямую, параллельную оси
Оу, и прямую, параллельную оси Ох.
Первая из них должна пересечь ось Ох,
вторая — ось Оу. Обозначим эти точки пересечения соответственно
символами Ах и А,. Проведем, наконец, через точку А прямую, парал¬
лельную прямой ОБ; эта прямая должна пересечь ось Oz в некото¬
рой точке, которую мы обозначим символом Az (черт. 96).
Согласно правилу сложения векторов (применительно к парал¬
лелограмму OBAAZ] имеем:
(1)
Точно так же по правилу сложения векторов (применительно
к параллелограмму ОАуВА^
ОВ=ОАХ^-ОАГ	(2)
Вследствие равенств (1) и (2)
а=Мх+ОАу-\-ОАг.	(3)
Так как векторы ОАХ и I лежат на одной прямой, то ОАХ может
быть получен путем «растяжения» вектора Z; таким образом,
можем написать: OAx = Xi, где А — некоторое число.
Аналогично, OAy=pj и OAz = vk (черт. 96 соответствует слу¬
чаю, когда числа Л, р, и v положительны).

РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ НА КОМПОНЕНТЫ
139
§ 52]
Из равенства (3) и соотношений ОАХ = А/, CM^ = pij, OA2=vk
получаем
а = А/-|-Ц/ +vfe.	(4)
Тем самым мы показали, что любой вектор а в пространстве
действительно может быть выражен при помощи линейных операций
через векторы Z, j, k.
Имея в виду все векторы в пространстве выражать указанным
образом через векторы /, j, fe, мы будем эту тройку векторов
называть координатным базисом.
Представление вектора а в виде суммы hivk назы¬
вается разложением вектора а по базису i, j\ k. Числа Л, pi, v
носят название коэффициентов этого разложения; векторы Аг, pi/, vk
принято называть составляющими (или компонентами) вектора а
по базису г, J, k.
Векторы Л/, pi/, vk называют составляющими вектора а
потому, что они в сумме составляют вектор а.
156.	Теперь мы постараемся выяснить геометрический смысл
коэффициентов Л, pi, v. Так как OAx — Xi, a i — единичный вектор,
то число Л есть отношение отрезка ОАХ к единице измерения, взя¬
той со знаком плюс или минус в зависимости от того, направлен ли
этот отрезок так же, как и вектор г, или противоположно ему.
Иначе говоря, Л есть величина отрезка ОАХ на оси Ох, пони¬
маемая так, как определено в п° 2, т. е. К=ОАХ. Но ОАХ есть
не что иное, как проекция вектора а=ОА на ось Ох. Следова¬
тельно,
Л = прха = X.
Аналогично
pi = пруа = Y, v = пр/г = Z.
157.	Все изложенное в п°п° 155, 156 мы можем резюмировать
в виде следующей теоремы:
Теорема 19. Каким бы ни был вектор а, он всегда может
быть разложен по базису i, j\ k, т. е. может быть представлен
в виде
а = Xi -}- Yj -|- Zk\
коэффициенты этого разложения определяются вектором а одно¬
значно, именно X, Y, Z суть проекции вектора а на координат¬
ные оси (т. е. координаты вектора а).
158.	Заметим теперь, что разложение векторов можно произво¬
дить не только по базису /, /, k.
Пусть даны три вектора ах, а2, at. Для наглядности будем пред¬
ставлять себе, что они приведены к общему началу О. Относительно
этих векторов мы не делаем никаких специальных предположений

140	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ	[ГЛ. 8
(считаем их векторами любой длины и с любыми углами наклона
друг к другу). Мы потребуем только соблюдения одного условия:
будучи приведены к общему началу О, векторы	а2, а8 не долж¬
ны лежать в одной плоскости. При этом условии справедлива сле¬
дующая теорема:
Каким бы, ни был вектор а, он всегда может быть выражен
в виде линейной комбинации векторов аг, а2, а3
a = Aa14-(ia24-vas.	(5)
Такое выражение вектора а называется разложением его по базису
^2’	^3*
Для доказательства высказанной теоремы проведем через точку
О три оси Ох, Оу, Oz по направлениям векторов аг, а2, az соответ¬
ственно. После этого равенство (5) можно установить путем букваль¬
ного повторения выкладок и рассуждений, с помощью которых было
доказано равенство (4). Следует лишь всюду векторы Z, J, k заме¬
нять векторами ах, а2, а3 (параллелепипед, изображенный на черте¬
же 96, следует при этом представлять себе косым).
Остается выяснить геометрический смысл коэффициентов А, pi, v
в равенстве (5). Мы имеем: ОАх = Ха1; отсюда следует, что А есть
величина отрезка ОАХ оси Ох, если в качестве масштабного отрезка
„ .	на этой оси принят вектор aY. Ана-
/	логичный смысл имеют pi и v. От-
/	резки ОАХ, ОАу, ОАг иногда называют
ЧУ	“ А косыми проекциями вектора а на оси
/	/ Ох, Оу, Oz. Соответственно можно
/	/ сказать, что коэффициенты A, pi, v
G J	/	в равенстве (5) являются величинами
.—ж	/	 косых проекций вектора а на оси Ох,
0/ а'	х Оу, Oz, если каждая проекция изме-
Черт. 96а.	рена на своей оси в своем масштабе.
Отсюда следует, что коэффициенты
разложения данного вектора по данному базису определяются
единственным образом (поскольку они выражают вполне определен¬
ные геометрические величины).
159.	Если вектор а лежит в плоскости векторов ах, а2, то его
разложение по базису ах, а2, а3 имеет вид:
а = '/.аг + ца2,
т. е. v = 0. В самом деле, в этом случае точка А совпадает с точ¬
кой В и, следовательно, ОА2 = 0.
Если мы имеем в виду рассматривать только векторы, лежащие в
одной определенной плоскости, и только их разлагать по базису, то
достаточно брать базис из двух векторов аг, а2, лежащих в данной

§ 521	РАЗЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРОВ НА КОМПОНЕНТЫ	141
плоскости (третий вектор становится излишним). В качестве базиса
можно брать любую пару векторов а,, а2 данной плоскости, но с
обязательным условием: если векторы а15 а2 приведены к общему
началу О, то они не должны располагаться на одной прямой. Иначе
говоря, базис на плоскости обязательно состоит из неколлинеарных
векторов. Естественно, что построение составляющих на плоскости
проще, чем в пространстве; оно изображено на чертеже 96а. Имеем:
а = 6а = ОАХ ОАу = Хаг
Отрезки ОАХ, ОАу являются косыми проекциями вектора а на оси
Ох, Оу] коэффициенты X и р— их величины, при условии, что в
качестве масштабных отрезков на осях приняты векторы и аа.

ГЛ AB А 9
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
§ 53. Скалярное произведение и его основные свойства
160.	Скалярным произведением двух векторов называется число,
равное произведению модулей этих векторов на косинус угла
между ними.
Скалярное произведение векторов а, Ь обозначается символом ab.
Обозначим угол между векторами а, b через ф; тогда скалярное
произведение векторов а, b мы сможем выразить формулой:
ab— | а 11 b\ cos ф.	(1)
Для дальнейшего важно заметить, что | b | cos ф = пра6 (см. п° 132),
следовательно,
аЬ = \а\щ)аЬ.	(2)
Аналогично, | а ] cos ф — прда, и мы получаем также
аЬ = [&1 пр6а.	(3)
Таким образом, скалярное произведение векторов а, b можно
рассматривать или как произведение двух чисел, из которых
одно есть модуль вектора а, другое — проекция вектора b на
ось вектора а, или как произведение двух чисел, из которых одно
есть модуль вектора Ь, другое — проекция вектора а на ось
вектора Ь.
161.	Понятие скалярного произведения имеет свой источник
в механике. Именно, если (свободный) вектор а изображает силу,
точка приложения которой перемещается из начала в конец век¬
тора Ь, то работа w этой силы определяется равенством *)
w=|a||6| cos ф.
В векторном исчислении эту величину называют произведе¬
нием двух векторов на том основании, что она обладает некото¬
*) См., например, И. ДА. Воронков, Курс теоретической механики,
Гостехиздат, 1953, § 107.

§ 531
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
143
рыми алгебраическими свойствами обыкновенного произведения
чисел (они будут указаны в следующем параграфе). Ее называют
скалярным произведением, так как она является скаляром
(числом).
162.	Скалярное произведение обладает следующими алгебраиче¬
скими свойствами:
1.	Свойство перестановочности сомножителей:
ab = ba.
Доказательство. По определению ab= | а | \b | cos ф и
Ьа = | b 11 а | cos ф; но | а 11 b | = | Ь11 а поскольку это есть просто
произведение чисел, следовательно, ab = ba.
2.	Свойство сочетательности относительно умно¬
жения на число:
(aa)b = a(ab).
Доказательство. По формуле (3) мы имеем:
(оса) d = | д | пр6 (аа).
Но согласно теореме 18	(п°152) прд (аа) = а пр6 а. Таким
образом,
(оса) Ь— |b | пр6 (аа) = | Ь\ а пр6а = а (| b | npftа).
С другой стороны, по той же формуле (3) \Ь\щ>ьа = аЬ. Сле¬
довательно,
(аа) b = а (| пр6а) = а (ад).
Замечание 1. Из свойств 1 и 2 следует, что
(аа)(рд) = (ар) (ад).
Действительно,
(оса) (Рд) = а (а (₽д)) = а (фд) а) = а (Р (да)) == (ар) (да) = (ар) (ад).
3.	Свойство распределительности относительно
сложения:
a(b-\-c) = ab-[-ac.
Доказательство. По формуле (2) мы имеем:
а(&4-(?) = |а|прв(&4~с).
Но согласно теореме 17 (п° 152) пра(д-]-г) = прад4-прас. Та¬
ким образом,
а{Ь-{-€) = |о|пра(&4-с) = |а|(проб4-прас) = |а|прв&-|-|а|прас.
С другой стороны, по той же формуле (2) ]a\wpab — ab и
Iа | првс = ас. Следовательно,
а (Ь 4- с) = | а | прод +1 а | про c — ab-\- ас.

144
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
[гл. 9
Последнее из доказанных свойств скалярного произведения дает
право при скалярном перемножении векторных многочленов выпол¬
нять действие почленно. В силу первого свойства можно при этом
не заботиться о порядке сомножителей. Второе свойство позволяет
тогда (см. выше замечание 1) объединять числовые коэффициенты
векторных сомножителей. Например,
(2а + 56) (Зс + 4rf) = (2а + 56) (Зг) + (2а + 56) (4rf) =
= (2а) (Зс) + (56) (Зс) + (2а) (4d) + (56) (4d) =
= баг Ц- 156г + Sad 206d.
Замечание 2. В одном отношении скалярное произведение
векторов существенно не сходно с обыкновенным произведением
чисел: так как скалярное произведение двух векторов есть уже не
вектор, а число, то бессмысленно говорить о скалярном произве¬
дении трех или большего числа векторных сомножителей. Заметим,
что символ (аб)г можно понимать только так: (ab)c есть произве¬
дение числа аб на вектор г, т. е. (аб)г есть вектор г, «растяну¬
тый» в аб «раз».
163.	Здесь мы приведем ряд важных геометрических свойств
скалярного произведения.
1.	Если неравные нулю векторы а и b составляют острый
угол, то скалярное произведение ab положительно.
В самом деле, если ср — острый угол, то cos <р 0; следова¬
тельно,
ab = | а 1161 cos ср 0.
2.	Если неравные нулю векторы а и Ь составляют тупой
угол, то скалярное произведение ab отрицательно.
В самом деле, если ср— тупой угол, то cos ср <^0; следовательно,
a6 = |a||6|cos(p<^0.
3.	Если векторы а и b перпендикулярны друг к другу, то
ab = 0.
В самом деле, если а и 6 взаимно перпендикулярны, то <р = у
и cos ср = 0; следовательно, ab— | а 11 6 | cos <р = 0.
4.	Если скалярное произведение двух векторов а, 6 равно
нулю, то векторы а, 6 взаимно перпендикулярны.
В самом деле, если хотя бы один из векторов а, 6 равен нулю,
то его можно считать перпендикулярным к другому, так как
нулевой вектор можно считать направленным любым образом; если
же ни один из этих векторов не равен нулю, то вследствие равен¬
ства а6= | а 11 61 cos ср = 0 должно быть cos ср = 0, т. е. ср=-^,
что и означает перпендикулярность векторов а и 6.

145
§ 54] ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ
Последние два свойства можно высказать совместно следую¬
щим образом: скалярное произведение двух векторов обращается
в нуль тогда и только тогда, когда эти векторы взаимно пер¬
пендикулярны.
Наконец, мы отметим еще одно свойство скалярного произведения:
5.	При скалярном умножении вектора самого на себя полу¬
чается квадрат его модуля'.
aa = \a\z.
В самом деле, аа = | а 11 а | cos 0; но cos 0=1, следовательно,
аа — \а\\
Замечание. Скалярное произведение аа называется скаляр¬
ным квадратом вектора а и обозначается символом а2. На осно¬
вании предыдущего мы имеем: а2 = |а|2, т. е. скалярный квадрат
вектора равен квадрату его модуля.
§ 54. Выражение скалярного произведения
через координаты перемножаемых векторов
164.	Следующая теорема дает возможность вычислять скаляр¬
ное произведение двух векторов, зная их координаты, т. е. про¬
екции на оси некоторой декартовой прямоугольной системы ко¬
ординат:
Теорема 20. Если векторы а и Ъ заданы своими коорди¬
натами*.
а = {Х1-, Г,; Z.}, Ь = {Хг- У2; Z2},
то скалярное произведение их определяется формулой
ab = XlXl-\-Y1Yt-{-ZlZt.
Доказательство. Предварительно составим «таблицу умно¬
жения» базисных векторов f, j, k\
/2=1,
Д=о,
jw=o,
ij=§, ik = 0,}
j2 = l, jk = O, .
Jfe/ = 0, jfc2 = l.
(1)
Здесь скалярные произведения различных базисных векторов равны
нулю, так как они взаимно перпендикулярны (см. свойство 3, п° 163);
i2— 1, у2 = 1, fc2 = 1, так как I, f, k суть единичные векторы
(см. свойство 5 п° 163).
Разложим теперь векторы а и Ь по базису I, j, k:

146
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
[ГЛ. 9
(см. теорему 19 п° 157). На основании установленных в п° 162
алгебраических свойств скалярного произведения мы можем,
вычисляя а&, перемножать правые части равенства (2) почленно:
ab = X,X2i2 4- Хг YtiJ + X'Zjk +
+ УЛП+ Уг yj2 + ytzjk +
+ z1x2^4-zIr2fej+z1z2fe2.
Пользуясь таблицей (1) умножения базисных векторов, находим
отсюда:
ab = XlXt-\-YlYt-[-Z1Zit
что и требовалось.
Содержание установленной теоремы можно выразить еще так:
скалярное произведение двух векторов равно сумме попарных
произведений соответствующих координат этих векторов.
165.	Мы укажем сейчас ряд важных следствий теоремы 20.
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием пер¬
пендикулярности векторов
а = {Х^ Уг; ZJ и Ь = {Х2-, У2; Z2}
является равенство
X.X.+ Y.y^Z.Z^O.	(3)
В самом деле, согласно п° 163 векторы а и Ь взаимно пер¬
пендикулярны в том и только в том случае, когда ab = Q. Но по
теореме 20 имеем: ab= ХГХ2 4- У2 4“ ZXZ2. Следовательно, век¬
торы а и b перпендикулярны в том и только в том случае, когда
выполняется равенство (3).
Следствие 2. Угол ср между векторами
a = {Xi; Yt; ZJ и b = {X,-, Y2; Z2}
определяется равенством
yxl + vf + zf Ух22 + У‘ + г22
(4)
В самом деле, по определению скалярного произведения
ab = ] а 11 b | cos ср; отсюда
соз<Р = -^ПЯ-	(5)
Но по теореме 20 имеем: ab= ХгХ2 4- У2 4- Z\Z2, а по теореме 16
(п° 139) |а| = /х24-г! + ^,	=	Отсюда и
из формулы (5) получается формула (4).

§ 54] ВЫРАЖЕНИЕ СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ
147
Следствие 3. Если некоторая ось и составляет с коор¬
динатными осями углы a, р, у, то проекция произвольного век¬
тора s = { Х\ F; Z} на эту ось определяется равенством
npHs — Xcos а Y cos р Z cos у.	(6)
Для доказательства предположим, что направление оси и задано
единичным вектором е. Согласно формуле (2) п° 160 мы имеем:
£$ = |е|пре$. Заметим теперь, что |е| = 1 и npes = nptts. Таким
образом, прй$ = е$. Так как вектор е направлен по данной оси и,
то он составляет с координатными осями те же углы, что и эта
ось, т. е. а, р, у. Отсюда заключаем (см. теорему 16 п° 139), что
прхе = | е | cos а, пр^£ = [е | cos р, пр^е = | е | cosy;
но |е | = 1, следовательно,
e = {cosa; cos р; cosy}.
Имея s = {X; Y\ Z} и e = {cosa; cos p; cosy}, по теореме 20
находим: при$ = es = Xcos a-f- Кcos P-|~Zcosу, что и требовалось.
166. Пример 1. Даны три точки Л (1; 1; 1), В (2; 2; 1) и С (2; 1; 2),
Найти угол ф — /_ВАС.
Решение. Применяя теорему 15 (п° 135), находим:
ЛВ = { 1; 1; 0}, ЛС={ 1; 0; 1
Отсюда и на основании следствия 2 теоремы 20:
cos ф =	'	■	■ -= =		— = -н- .
/12+ 124-02 УТ24-02+ I2 /2-/2	2
Следовательно, ф = 60°.
Пример 2. Даны точки Л(1; 1; 1) и В (4; 5; —3). Найти проек¬
цию вектора АВ на ось и, составляющую с координатными осями равные
острые углы.
Решение. Пусть cos a, cos р, cos у — направляющие косинусы оси и;
по условию задачи они равны друг другу и положительны (так как a, р, у —
одинаковые острые углы). Но согласно равенству (4) п° 140
cos2 a cos2 р + cos2 у = 1.
Отсюда и на основании только что сказанного
cos а — cos Р = cos у = —= .
У з
По теореме 15 (п° 135)
ЛВ = {3; 4; -4}.
Нам остается применить следствие 3 теоремы 20, т. е. формулу (6); при¬
меняя ее, находим:

ГЛАВА 10
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
§ 55. Векторное произведение
и его основные свойства
167.	Здесь мы определим новое действие над векторами: век¬
торное произведение. При этом мы будем предполагать, что в про¬
странстве выбрана некоторая система декартовых прямоугольных
координат.
Векторным произведением вектора а на вектор b называется
вектор, обозначаемый символом [а&], который определяется сле¬
дующими тремя условиями:
1)	модуль вектора [ай] равен |а] |ft|sin(p, где ср—угол между
векторами а и Ь\
2)	вектор \ab\ перпендикулярен к каждому из векторов а и Ь;
3)	вектор [ab\ относительно векторов а и Ь направлен так
же, как координатная ось Oz относительно координатных осей
Ох и Оу. Точнее, если все три вектора а, b и [ab\ приведены
к общему началу, то вектор [а&] должен быть направлен так, чтобы
из конца его кратчайший поворот вектора а к вектору b был виден
совершающимся в ту же сторону, в какую усматривается кратчай¬
ший поворот положительной полуоси Ох к положительной полу¬
оси Оу, если смотреть из какой-нибудь точки положительной
полуоси Oz.
Для определенности предположим, что в выбранной системе
координат кратчайший поворот положительной полуоси Ох к поло¬
жительной полуоси Оу виден из точек положительной полуоси Oz
совершающимся против часовой стрелки. Такая система координат
называется правой. Правую систему можно охарактеризовать еще
следующим образом: направление оси Oz этой системы указывает
средний палец правой руки, большой палец которой направлен по
оси Ох, а указательный — по оси Оу*).
*) Система координат называется левой, если оси Ох, Оу, Oz направ¬
лены аналогично большому, указательному и среднему пальцам левой руки.

§ 55]	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	149
Соответственно выбору правой системы координат придается
определенное направление и векторному произведению [аЬ]. Именно,
если а, Ь и [а&] приведены к общему началу, то вектор [«*]
должен быть направлен так, чтобы из конца его кратчайший пово¬
рот вектора а к вектору b (т. е. первого сомножителя ко второму)
был виден совершающимся против часовой стрелки (черт. 97). Можно
применять также ^правило правой рукиъх если а, b и [а&] приведены
к общему началу, то вектор [ab] должен быть направлен так, как направ¬
лен средний палец правой руки, большой
палец которой направлен по первому сомно¬
жителю (т. е. по вектору а), а указатель¬
ный— по второму (т. е. по вектору &). На
это правило мы и будем чаще всего ссылаться.
168.	Понятие векторного произведения
имеет свой источник в механике. Именно,
если вектор b изображает силу, приложен¬
ную к какой-нибудь точке Л4, а вектор а
идет из некоторой точки О в точку Л4, то
вектор [ab] представляет собой момент силы b
относительно точки О*).
В векторном исчислении [а&] называют
произведением векторов на том осно¬
вании, что эта величина обладает некоторыми
алгебраическими свойствами произведения чи¬
сел (см. в п° 171 второе и третье свойства),
ным произведением, так как она является вектором.
169.	В первую очередь мы отметим важнейшие геометриче¬
ские свойства векторного произведения.
1.	Если векторы а и b коллинеарны, то их векторное про¬
изведение равно нулю.
Доказательство. Если векторы а и b коллинеарны, то
угол ф между ними либо равен 0 (в случае, когда а и Ь,направлены
в одну сторону), либо равен 180° (в случае, когда а и b направ¬
лены в противоположные стороны). И в том, и в другом случае
sin ср = 0. Следовательно, | [ab\ | = | а 11 b | sin <р = 0, т. е. модуль
вектора [а&] равен нулю, а значит и сам вектор [а&] равен нулю.
2.	Если векторное произведение векторов а и b равно нулю,
то векторы а и Ь коллинеарны.
Доказательство. Пусть [а&] = 0; тогда |[а&]| = 0, а зна¬
чит, | а 11 b | sin ф = 0. Если ни один из векторов а и b не равен
нулю, то из предыдущего равенства получаем sincp = O, следова¬
тельно, векторы а и Ь коллинеарны. Если же хотя бы один из
*) См., например, И. М. Воронков, Курс теоретической механики,
Гостехиздат, 1953, § 44.

150
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
[ГЛ. 10
векторов а и Ь равен нулю, то мы вправе считать его коллинеар¬
ным другому, так как нулевой вектор можно считать направленным
любым образом.
Оба свойства векторного произведения мы выскажем теперь
совместно так: векторное произведение двух векторов обращается
в нуль тогда и только тогда, когда эти векторы коллинеарны.
3.	Если векторы а и b приведены к общему началу, то мо¬
дуль векторного произведения [а&] равен площади параллело¬
грамма, построенного на векторах а и Ь.
Доказательство. Обозначим площадь параллелограмма, по¬
строенного на векторах а и 6, буквой S. Как известно из элемен¬
тарной геометрии, площадь параллелограмма равна произведению его
смежных сторон на синус угла между ними. Отсюда | а |[ b | sin q) =
следовательно,
l[a6]| = S,	(1)
что и утверждалось.
170.	На основании последнего свойства векторное произведение
можно выразить формулой:
[ab] = Se,	(2)
где е — вектор, определяемый следующими тремя условиями:
это число
а так как
1)	модуль вектора е равен единице;
2)	вектор е перпендикулярен к каждому из
векторов а и Ь;
3)	вектор е направлен так, как направлен
средний палец правой руки, большой палец
которой направлен по вектору а, а указатель¬
ный— по вектору Ь (предполагается, что век¬
торы а, b и е приведены к общему началу).
Чтобы доказать формулу (2), сравним усло¬
вия, которые определяют вектор е, с условия¬
ми, которые определяют векторное произведение
[ab]; из этого сравнения легко заключить, что
векторы [ab\ и е коллинеарны друг другу,
причем направлены в одну сторону. Таким
образом, вектор [а&] может быть получен
умножением вектора е на некоторое положитель-
равно отношению модуля вектора \ab\ к модулю
| е | = 1, то оно равно просто модулю вектора
ное число;
вектора е,
[аб], т. е. числу S. Тем самым \ab\ = Se, что и требовалось (чертеж 98
иллюстрирует формулу (2) в случае |а| = 2, |&| = 2, <р = 90°).
171. Теперь мы установим алгебраические свойства векторного
(3)

§ 55]	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА
151
т. е. векторное произведение а на b есть вектор, обратный век¬
торному произведению b на а.
Доказательство. Если векторы а и 6 коллинеарны, то
как [а&] , так и [ба] обращаются в нуль, следовательно, равен¬
ство (3) справедливо. Предположим теперь, что векторы а и ft не
коллинеарны.
' Заметим прежде всего, что согласно первым двум условиям опре¬
деления векторного произведения векторы [ад] и \Ьа\ имеют оди¬
наковые модули и коллинеарны друг другу; таким образом, либо
[ab] = [Ьа], либо [ад] =—[да]. Остается решить вопрос, какая из
этих двух возможностей в действительности имеет место. Этот
вопрос решается третьим условием. Именно, если мы сначала на¬
правим большой и указательный пальцы правой руки соответственно
по векторам а и д, а затем — по векторам ft и а, то нам при этом
придется повернуть кисть руки так, что направление среднего пальца
во втором случае окажется противоположным тому направлению,
какое он имел в первом случае. Следовательно, [ab] и [да] имеют
взаимно противоположные направления, т. е. [ад] =— [да].
2. Свойство сочетательности по отношению к ска¬
лярному множителю:
[а (Лд)] — Л [ад].
(4)
и
(5)
Доказательство. Формула (5) сводится к формуле (4) при
помощи перестановки сомножителей векторных произведений в ее
левой и правой частях (с последующей заменой буквы Ь буквой а
и буквы а буквой д). Таким образом, достаточно доказать фор¬
мулу (4).
Заметим прежде всего, что если Л = 0, или если векторы а и b
коллинеарны, то формула (4) с очевидностью верна, так как в этих
случаях левая и правая части ее будут равны нулю. Предположим
теперь, что Л=^=0 и векторы а, b не коллинеарны.
Согласно первому условию в определении векторного произве¬
дения модуль вектора [ад] равен | а 11 b | sin ср, где ср — угол между
векторами а и д; следовательно, модуль вектора Л [ад] равен
| Л11 а 11 b | sin ср. По тому же условию модуль вектора [(W1
равен | Л11 а 11 b | sin ф, где ф— угол между векторами Ха и д.
Но угол ф равен либо углу ср (если X положительно), либо углу
л— ср (если X отрицательно); и в том и в другом случае sin ср =
= зшф. Отсюда следует, что модуль вектора [(Ла)д] равен модулю
вектора Л [ад].
Согласно второму условию в определении векторного произве¬
дения оба вектора Л [ад] и [(Ла) д] перпендикулярны к каждому из
152	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	[ГЛ. 10
векторов а и #; следовательно, векторы Л \ab\ и [(Ла)#] коллине¬
арны друг другу.
Поскольку векторы Л [а#] и [(Ла) b] имеют одинаковые модули и
коллинеарны, они либо равны, либо взаимно обратны, т. е. либо [(Ла) #] =
= Л[а#], либо [(Ла)#] =— Л [а#]. Остается решить вопрос, какая из
этих двух возможностей в действительности имеет место. Нам при¬
дется отдельно рассмотреть случай, когда Л^> 0, и случай, когда Л<Т).
Пусть Л^>0; тогда векторы Ла и а направлены одинаково.
В этом случае согласно правилу правой руки векторы [(Ла) Ь] и [ab]
направлены в одну сторону; но при Л^>0 вектор Л [а£>] направлен
так же, как вектор [а#]. Следовательно, вектор [(Ла)#] направлен
так же, как вектор Л [«*] , а значит, [(Ла) #] = Л [аб]. Пусть Л<^0;
тогда векторы Ла и а имеют противоположные направления. В этом
случае согласно правилу правой руки вектор [(Ла)#] направлен про¬
тивоположно вектору [a&J; но при Л<^0 и вектор Л [а#] направлен
противоположно вектору [аб]. Следовательно, векторы [(Ла)#] и
Х[а&] направлены одинаково, а значит, [(Ла) #] = Л [а#]. Мы видим,
что это соотношение справедливо всегда.
3. Распределительное свойство относительно сложения:
[а (Ь + с)] = [ab\ -j- [ас]	(6)
[(& + с)а] = [&а]-[-[са].	(7)
Доказательство. Формула (7) сводится к формуле (6) при
помощи перестановки сомножителей в ее левой и правой частях.
Таким образом, нам достаточно доказать формулу (6). Заметим еще,
что при а = 0 формула (6), очевидно, верна. Мы будем предпо¬
лагать в дальнейшем, что а^О.
Рассмотрим сначала частный случай, когда первый вектор является
единичным, а два других к нему перпендикулярны.
Приведем все три вектора к общему началу О, Обозначим пер¬
вый (единичный) вектор через а0; пусть ОВ и. ОС—два других

Черт. 100.
§ 55]	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И ЕГО ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА	153
вектора (перпендикулярных к а0), OD — их сумма: OD=OB-\-OC
(черт. 99). Введем обозначения:
ОВ* = [а0ОВ], ОС* = [а0ОС], OD^ = [aQ~OD] = [aQ (ОВ^ОС)].
В силу первых двух условий в определении векторного произ¬
ведения имеем:
1)	j ОВ* | = | [а0 ОВ] | = | а0 [ | ОВ| sin 90°^ | ОВ|.
2)	~ОВ* J_a0, ОВ* JL ОВ.
Отсюда следует, что вектор ОВ* может быть получен путем
поворота вектора ОВ вокруг а0 на угол 90°. Кроме того, в силу
третьего условия этот поворот будет
виден совершающимся против часовой
стрелки, если смотреть из конца вектора
а0. Аналогично, путем поворота векто¬
ров ОС и OD вокруг а0 на угол 90°
и в ту же сторону, получаются векторы
ОС* и OD*. Таким образом, вся фи¬
гура OB*D*C* получается путем неко¬
торого поворота параллелограмма OBDC\
следовательно, OB*D*C* — параллело¬
грамм. Отсюда заключаем, что OD* =
= ОВ* + ОС* или
[а0ОО] = [а0О5] + [а0ОС].	(8)
Это и есть равенство (6) в данном
частном случае.
Пусть теперь а — какой угодно век¬
тор, перпендикулярный к векторам ОВ
и ОС. Обозначим через а0 — единичный вектор, направленный так
же, как а; имеем а=|а|а0. Умножим обе части равенства (8) на
число \а\ и заменим | а | а0 через а; получим:
[а OD] = [аОВ] + [а ОС].	(9)
Рассмотрим, наконец, векторы а, Ь, с, расположенные произвольным
образом. Предположим, что они приведены к общему началу О. Про¬
ведем через концы векторов Ь, с и Ь-[-с прямые, параллельные
вектору а. Проведем затем через точку О плоскость, перпендикуляр¬
ную к этим прямым; пусть она пересечет их соответственно в точках
В, С и D (черт. 100).

Рассмотрим векторные произведения [а&] и \а ОВ]; легко понять,
что они представляют собой один и тот же вектор. В самом деле,
154
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
[ГЛ. 10
во-первых, модуль вектора [аб] равен модулю вектора [а 05], так как
площадь параллелограмма, построенного на векторах а и 6, равна
площади прямоугольника, построенного на векторах а и О В; во-вто¬
рых, векторы [аб] и [а 05] коллинеарны, так как оба они перпенди¬
кулярны к одной и той же плоскости (именно к той, в которой
лежат векторы а, b и 05); наконец, в соответствии с правилом правой
руки, векторы [аб] и [а 05] направлены в одну сторону. Итак,
[а 05] = [а6].
Аналогично
[а ОС] = [ас], [a 0D] = [а(6-|-с)].
Подставляя эти выражения в равенство (9), получаем:
[а (д4-с)] = [сб] + [ас],
что и требовалось.
172.	Последнее из доказанных алгебраических свойств вектор¬
ного произведения дает право при перемножении векторных много¬
членов выполнять действие почленно. Второе свойство позволяет
объединять числовые коэффициенты векторных сомножителей.
Например,
[(2а + 56) (зс + 4d)] = [(2а + 56) (Зс)] + [(2а + 56) (4d)] =
[ (2а) (Зс)] + [(56) (Зс)] + [(2а) (4d)] + [(56) (4rf)] =
= 6 [ас] + 15 [6с] + 8 [ad] + 20 [bd].
Следует, однако, твердо помнить, что порядок сомножите¬
лей векторного произведения является существенным. Согласно
первому свойству (п° 171) при перестановке сомножителей век¬
торного произведения нужно ставить перед ним знак минус.
Замечание. Как показано в п° 169, векторное произведение
коллинеарных векторов равно нулю. В частности, равно нулю век¬
торное произведение одинаковых множителей: [аа] = 0. Поэтому в век¬
торном исчислении понятие векторного квадрата не употребляется.
§ 56. Выражение векторного произведения
через координаты перемножаемых векторов
173.	Следующая теорема дает возможность вычислять векторное
произведение двух векторов, зная их координаты, т. е. проекции
на оси декартовой прямоугольной системы координат.
Теорема 21. Если векторы а и 6 заданы своими координа¬
тами:
а = {Х.-, Zj, b={Xj Уг; ZJ,

§ 56] ВЫРАЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ
155
що векторное произведение вектора а на вектор
формулой
Ь определяется
(1)
Л
Уг
\ Z,
А
Доказательство. Предварительно составим таблицу вектор¬
ного умножения базисных векторов. Согласно замечанию, сделанному
в конце п° 172, [п] = 0, [jj] = 0, [££] = 0. Рассмотрим теперь
векторное произведение [//]. Модуль вектора [(/] равен площади
параллелограмма, построенного на векторах i и j (см. п° 169, свой¬
ство 3). Этот параллелограмм представляет собой квадрат со сто¬
роной, равной единице, следовательно, его площадь равна единице.
Таким образом, [ij] есть единичный вектор. Принимая во внимание,
что вектор [ij] должен быть перпендикулярен к векторам in j и
направлен согласно правилу правой руки, легко понять, что он
совпадает с третьим базисным вектором k, т. е. [//] = k. Аналогично
рассуждая, найдем равенства: [jfe] = f, [£/]=/. Остается выразить
[//], [V] и [iA]; но [/i] = —[О], [kj] = — [/А], [/*] = — [£/]; сле‘
довательно, [/*] = —k, [V] =— Л [*£] = —j- Итак, искомая таб¬
лица умножения такова:
[й] =0,
[Д] =—k,
[О] =k,
[Д] =0,
[AJ] = — i,
[»*] =—Л ]
[#]=/, V	(2)
[AA] = 0. j
Разложим теперь векторы а и b по базису /, k\
a —Xxi-\-Yxj-\-Zxk, 1
А = Л21+У2У+г2А /
(см. теорему 19; п° 157). На основании установленных в п° 171
алгебраических свойств векторного произведения мы можем, вы¬
числяя [аб], перемножать правые части равенств (3), почленно:
[а&] = ХхХг [«] + Хх г2 [V] + XxZ2 [/А] +
+ У^г [Д] + У. Уг [Д1 + У^г [Л]+
+ ZxX2 [Ai] + Zx У2 [Aj] + ZXZ2 [АА].
Пользуясь таблицей (2) умножения базисных векторов, отсюда находим:
[а&] = (YXZ2 - Y2ZX} i - (X,Z2 - X2Zx)j-[- (Xx Yt — XtYx)k
или
Yx Z.
x, z,
к
1 1
r2 z2
i —
J'+
11
K2
(4.)

156
ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ
[ГЛ. 10
Мы получили разложение вектора [ай] по базису I, J, k\ коэффи¬
циенты этого разложения представляют собой координаты вектора
[а#]. Таким образом,
А1.
Л
Г, Z2|’
(1)
что и требовалось доказать.
Замечание. Для удобства вычислений по формуле (1) полезно
координаты заданных векторов записать предварительно в виде сле¬
дующей таблицы:
/X, rt ZA
\xt r2 zj'
Закрывая здесь сначала первый столбец, потом второй и, наконец,
третий, мы получим последовательно три определителя второго по¬
рядка; вычисляя их и беря второй со знаком минус, мы тем самым
найдем три координаты векторного произведения [аб].
Заметим еще, что формуле (4) (которая равносильна формуле (1)),
можно придать вид:
i J k
Л Yt Zt
(5)
В самом деле, если развернуть этот определитель по элементам
первой строки, то получится точно то же выражение, которое стоит
в правой части формулы (4).
174. Пример 1. Даны векторы а={2; 5; 7| и & =	2; 4}. Найти
координаты векторного произведения [а&].
Решение. В соответствии с замечанием, сделанным в конце преды¬
дущего п°, составим таблицу
(2 5 7\
U 2 4J •
Закрывая последовательно столбцы этой таблицы, мы получим три опреде¬
лителя второго порядка; вычисляя их и беря второй со знаком минус, най¬
дем искомые проекции
[a&] = {6; -1; -1|.
Пример 2. В пространстве даны три точки: Л(1; 1; 1), 2? (2; 2; 2) и
С(4; 3; 5). Найти площадь треугольника АВС.
Решение. Рассмотрим векторы АВ и АС. Согласно п° 169 (свой¬
ство 3) модуль векторного произведения [ЛВ ЛС] равен площади паралле¬
лограмма, построенного на векторах АВ и АС. Но искомая площадь

§ 571
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
157
треугольника АВС равна половине площади этого параллелограмма; следо-
вательно,
SA =1|[ЛВЛС]|.
Остается подсчитать правую часть указанного равенства.
Прежде всего, пользуясь теоремой 15 (п° 135), найдем координаты век¬
торов АВ и АС:
АВ=\\; 1; 1|, ЛС—{3; 2; 4}.
Отсюда [ЛВ ЛС] = |2; — 1; — 1} и | [ЛВ ЛС] | = /22 + 12 + 12 = / 6. Таким
образом, =-±-уг 6.
§ 57. Смешанное произведение трех векторов
175.	Пусть даны какие-нибудь векторы а, b и с. Представим
себе, что вектор а умножается векторно на b и полученный
вектор \ab\ умножается скалярно на вектор г; тем самым опре¬
деляется число [ab]c. Оно называется векторно-скалярным или
смешанным произведением трех векторов а, д, с (мы будем упо¬
треблять последнее название, так как оно короче). В ближайших
параграфах мы изучим основные свойства смешанного произведения
и укажем ряд задач, где смешанное произведение может быть с успе¬
хом использовано.
176.	Условимся говорить, что векторы а, &, с компланарны,
если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Так как геометрические векторы суть векторы свободные, то в слу¬
чае компланарности векторов их всегда возможно при помощи па¬
раллельного перенесения расположить в одной плоскости. В ча¬
стности, компланарные векторы расположатся в одной плоскости,
если их привести к общему началу.
177.	Если одновременно с заданием трех векторов сказано, какой
из них считается первым, какой вторым и какой третьим, то гово¬
рят, что задана упорядоченная тройка векторов; впрочем,
в дальнейшем, опуская прилагательное, мы будем говорить просто:
тройка векторов. В тексте тройка векторов будет записываться
в порядке нумерации; например, если мы пишем: а, Ь, с, то зна¬
чит, а считается первым вектором, Ь — вторым, с — третьим; если
мы пишем: Ь, с, а, то значит, b считается первым вектором, с —
вторым, а — третьим.
178.	Тройка некомпланарных векторов называется правой, если
составляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу,
располагаются в порядке нумерации аналогично тому, как располо¬
жены большой, указательный и средний пальцы правой руки. По¬
дробнее: тройка некомпланарных векторов называется правой, если
се третий вектор расположен относительно плоскости первых двух
158	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	[ГЛ. IQ
с той же стороны, с какой расположится средний палец правой
руки, большой палец которой направлен по первому вектору тройки,
а указательный — по второму.
Тройка некомпланарных векторов называется левой, если соста¬
вляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, распола¬
гаются в порядке нумерации аналогично тому, как расположены
большой, указательный и средний пальцы левой руки.
Тройки компланарных векторов не относятся ни к правым, ни
к левым.
179.	Пусть даны какие-нибудь некомпланарные векторы а, Ь, с.
Нумеруя их всеми различными способами, мы получим шесть троек:
а, &, г; Ь, с, а; с, а, Ь\ Ь, а, с\ а, с, &; с, &, а. При помощи не¬
посредственного наблюдения модели (которую легко изготовить из
проволоки) можно убедиться в том, что среди указанных шести
троек имеются три правых и три левых. При этом
а, д, с\ Ь, с, а\ с, а, Ь
суть тройки одной ориентации, т. е. либо все правые, либо все
левые;
а, г; а, г, Ь\ с. Ъ, а
суть тройки другой ориентации*).
180.	Следующая важная теорема выражает геометрический
смысл смешанного произведения:
Теорема 22. Смешанное произведение [ад] с равно объему
параллелепипеда, построенного на векторах а, д, с, взятому со
знаком плюс, если тройка а, д, с — правая, со знаком минус, если
эта тройка левая. Если же векторы, а, д, с компланарны, то
[ад]г = 0,
Доказательство. Предположим сначала, что векторы а и b
не коллинеарны. Обозначим через S площадь параллелограмма,
построенного на векторах а, &, и через е — единичный вектор,
определенный, как в п° 170. По формуле (2) п° 170 мы имеем:
[ад] = Se.
Отсюда
[a&]r = S(0c) = S| е\ прег = S прег.	(1)
тройки век-
*) Можно указать также следующий наглядный способ различения троек.
Вообразим, что мы находимся внутри телесного угла данной
торов. Тогда, если обход от первого вектора ко второму,
затем от второго к третьему и, наконец, от третьего
к первому виден совершающимся против часовой
стрелки, то данная тройка — правая, если по часовой
стрелке —то левая. Согласно этому правилу тройки
а, Ь, с\ д, с, а и с, а, д на приложенном чертеже — правые.

§ 57]
СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ
159
Но прег = Ч=Л, где h есть высота параллелепипеда, построенного
на векторах a, Ь, с при условии, что основанием считается парал¬
лелограмм, построенный на векторах а, b (черт. 101). Таким образом,
обозначая объем параллелепипеда через V и принимая во внимание,
что AS=IZ, из равенства (1) найдем:
(2)
в каких случаях здесь будет знак
целью заметим, что прег = Ц-А,
же сторону от плоскости векто-
Черт. 101.
Теперь нам нужно установить,
плюс, в каких — минус. С этой
если вектор с расположен по ту
ров а, Ь, по какую лежит вектор
е, т. е. если тройка а, Ь, с —
той же ориентации, что и тройка
Л, Ь, е (см. п° 178); прес =— А,
если векторы с и е лежат по Л
разные стороны от плоскости век¬
торов а, Ь, т. е. если тройки а,
д, с и а,Ь, е— различных ориен¬
таций. Но по определению вектора
е (см. п° 170) тройка а, Ь, е —
правая. Следовательно, в формуле (2) имеет место знак плюс, если
а, Ь, с — правая тройка, и знак минус, если левая. Если же
тор с лежит в плоскости векторов а, Ь, т. е. если векторы а, Ь, с
компланарны, то пр^г = 0, и, как видно из равенства (1), [ab\c = 0.
Тем самым все утверждения теоремы доказаны, но в предположении,
что векторы а, Ь не коллинеарны. Остается рассмотреть случай,
когда векторы а, b коллинеарны. В этом случае [а#] = 0, а
тео-
век-
век-
значит, и [at>]c = 0, что также согласуется с формулировкой
ремы, так как если векторы а и b коллинеарны, то все три
тора а, Ь, с компланарны.
Теорема доказана.
181. Из теоремы 22 легко выводится следующее тождество:
[ab]c = a[bc].
(3)
Доказательство. Так как в скалярном произведении можно
переставлять сомножители, то
а [Ьс] — [6г] а.
(4)
Далее, по теореме 22 мы имеем:
\ab}c = ±V, \bc]a = ±V.	(5)
Согласно п° 179 тройки а, Ь, с и &, г, а — одной ориентации;
поэтому и на основании теоремы 22 в правых частях равенств (5)

160	ВЕКТОРНОЕ И СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ	[ГЛ. 10
нужно брать один и тот же знак. Таким образом, из равенств (5)
мы получаем:
[а&] с — [&г] а.
Отсюда и вследствие равенства (4)
[ab]c = a[bc],
что и утверждалось.
182.	В дальнейшем смешанные произведения [а^]г и a [be] мы
будем обозначать более простым символом: abc. То, что при этом
не указано, какие из векторов а, Ь, с перемножаются векторно, не
может вызвать недоразумений, так как [ab]c = a[bc],
183.	Подчеркнем, что из теоремы 22 непосредственно вытекает
следующее утверждение:
Сметанное произведение векторов а, Ь, с равно нулю в том
и только в том случае, когда векторы а, Ь, с компланарны.
В самом деле, то, что а6с = 0, в случае компланарности векто¬
ров а, д, с прямо утверждается теоремой 22. То же, что abc = $
только в случае компланарности векторов а, г, следует из этой
же теоремы; именно, если векторы а, д, с не компланарны, то по¬
строенный на них параллелепипед имеет отличный от нуля объем,
следовательно, abc=^§.
То же самое утверждение можно высказать еще так:
Необходимым и достаточным условием компланарности трех
векторов а, Ь, с является равенство нулю их смешанного произ¬
ведения: abc = 0.
§ 58. Выражение смешанного произведения
через координаты перемножаемых векторов
184.	Теорема 23. Если векторы а, Ь, с заданы своими коор¬
динатами:
a = {Xt; У,; ZJ, b = {Xt; У2; Z2}, с = {Хг-, У,; Z,},
то смешанное произведение abc определяется формулой
abc =
X. У, Z.
А
У г Z'
Доказательство.
(п° 173),
Мы имеем abc = \ab\c. По теореме 21
^z,
^2 Z2
Л. У,
Л Уг

§ 58] ВЫРАЖЕНИЕ СМЕШАННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ В КООРДИНАТАХ
161
Умножая этот вектор скалярно на вектор c = {Xz, У3; Zz] и поль¬
зуясь теоремой 20 (п° 164), получаем:
abc = [а&] с =
У'
У.
хх к.
Z2 У г
У,
У, л
х, У,
х, z.
хг zt
что и требовалось.
Пример. В пространстве даны четыре точки: Л(1; 1; 1), В(4; 4; 4),
С(3; 5; 5), D (2; 4; 7). Найти объем тетраэдра ABCD.
Решение. Как известно из элементарной геометрии, объем VT тетра¬
эдра ABCD равен одной шестой объема параллелепипеда, построенного
на векторах АВ, АС и AD\ отсюда и из теоремы 22 заключаем, что
Ут равняется одной шестой абсолютной величины смешанного произведения
АВ • АС • AD. Остается подсчитать это смешанное произведение. Прежде
•всего найдем координаты векторов АВ, AC, AD. По теореме 15 п° 135 имеем;
АВ= {3;3;3}, ДС={2; 4; 4|, ДР = {1; 3; 6|.
Применим теперь теорему 23:
3 3
2 4
1 3
3
4
6
АВ - АС - AD =
= 18.
Отсюда: VT = 3.
185.	Согласно п° 183 необходимым и достаточным условием
компланарности трех векторов является равенство нулю их
смешанного произведения.
Отсюда и на основании теоремы 23 заключаем: если векторы
а, Ь, с заданы своими координатами*.
Уй ЛЬ ь={хг-, r2; zj,
с = {Х,-, У,; Z,},
то необходимым и достаточным условием компланарности этих
векторов является соотношение
X. Y. Z.
У.
X, у>
т. е. равенство нулю определителя третьего порядка, составлен¬
ного из координат векторов а, Ь, с.

ГЛАВА И
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
§ 59. Уравнение поверхности
186.	Как известно, некоторые простейшие поверхности (плоскость,
сфера, круглый цилиндр, круглый конус) легко поддаются исследо¬
ванию средствами элементарной геометрии. Но общая задача иссле¬
дования многообразных поверхностей, встречающихся в различных
вопросах самой математики и ее приложений, требует более совер¬
шенных методов алгебры и анализа. В основе же применения мето¬
дов алгебры и анализа лежит некоторый единообразный способ за¬
дания поверхности, именно, способ задания ее при помощи урав¬
нения.
187.	Пусть х, у, z—произвольные переменные величины. Это
означает, что под символами х, у, z подразумеваются какие угодно
(вещественные) числа. Соотношение вида F(x, у, z) = 0, где
F(x, у, z) означает какое-нибудь выражение, содержащее х, у, z,
мы будем называть уравнениями с тремя переменными х, у, z, если
F(x, j, z) = 0 есть равенство, верное не всегда, т. е. не для всяких
троек чисел х, у, z.
Говорят, что три числа х = х0, y=yQ, z = zQ удовлетво¬
ряют какому-нибудь данному уравнению .с тремя переменными,
если при подстановке их в это уравнение вместо переменных оно
станет верным равенством. Если F(x,y,z) = 0 является тождеством,
то ему удовлетворяют любые числа х, у, z.
188.	Важнейшим понятие^м пространственной аналитической гео¬
метрии является понятие уравнения поверхности. Что под
этим подразумевается, мы сейчас объясним.
Пусть в пространстве дана какая-нибудь поверхность и вместе
с тем выбрана некоторая система координат.
Уравнением данной поверхности (в выбранной системе коорди¬
нат) называется такое уравнение с тремя переменными, кото¬
рому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на
этой поверхности, и не удовлетворяют координаты никакой
точки, не лежащей на ней.

УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
163
§ 60]
Таким образом, если известно уравнение поверхности, то отно¬
сительно каждой точки пространства можно решить вопрос: ле¬
жит она на этой поверхности или нет. Для этого достаточно коор¬
динаты испытуемой точки подставить в уравнение вместо переменных;
если эти координаты удовлетворяют уравнению, . точка лежит на
поверхности, если не удовлетворяют,— не лежит.
Высказанное определение дает основу методам аналитической
геометрии в пространстве; суть их заключается в том, что рассма¬
триваемые поверхности исследуются при помощи анализа их уравне¬
ний. При этом, если поверхность определена чисто геометрически,
то исследование начинают с вывода уравнения поверхности. Но во
многих задачах уравнение поверхности играет роль первичного дан¬
ного, а сама поверхность рассматривается как нечто вторичное. Иначе
' говоря, часто заранее дается какое-нибудь уравнение и тем самым опре¬
деляется некоторая поверхность.
189.	Если уравнение дано и мы отвечаем на вопрос: «что такое
определенная им поверхность» (или «что такое поверхность, имею¬
щая его своим уравнением»), то удобно пользоваться следующей
формулировкой:
Поверхность, определенная данным уравнением (в некоторой
системе координат}, есть геометрическое место точек, коорди¬
наты которых удовлетворяют этому уравнению.
Замечание. Если М(х; у; .г) — переменная точка поверх¬
ности, то х, у, z называют текущими координатами.
190.	Пример. В декартовых прямоугольных координатах: уравнение
(х — а)г + (^ — Р)2 + (г — у)2 = г2	(1)
определяет сферу, центр которой находится в точке С(а; fJ; у) и
радиус которой равен г.
В самом деле, если М(х\ у\ z] — произвольная точка, то
/й — а)2 4" (.У—P)2”h(z — у)2 = С7И. Отсюда ясно, что уравне¬
нию (1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек, кото¬
рые удалены от точки С на расстояние г. Следовательно, геометри¬
ческое место точек, координаты которых удовлетворяют этому
уравнению, есть сфера с центром С (а; Р; у) и радиусом г*
§ 60. Уравнения линии.
Задача о пересечении трех поверхностей
191.	В пространственной аналитической геометрии каждая линия
рассматривается как пересечение двух поверхностей и соответственно
этому определяется заданием двух уравнений.
Именно, если F(x, у, z) = 0 и Ф(х, у, z) = Q суть уравнения
Двух поверхностей, пересекающихся по некоторой линии А, то ли¬
ния L есть геометрическое место общих точек этих поверхностей,
164
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
[гл. 1]
т. е. точек, координаты которых удовлетворяют одновременно и
уравнению Р\ху у, г) = 0, и уравнению Ф(х, у, г) = 0.
Таким образом, два уравнения
у, г) = 0, I
Ф(х, у, z) = 0 J
совместно определяют линию L.
Например, два уравнения
(х- 1)2 + (г/-2)2 + (г-3)2=14,1
X2 + у2 4- Z2 = 1	(
совместно определяют окружность (как пересечение двух сфер).
192.	Если F(x> у\ z) = 0, Ф(х, у, z) = 0, Ч;(х, у, ^) = 0 суть
уравнения трех поверхностей, то каждое совместное решение системы
Г(х, у, z) = 0,
Ф(х, у, z) = 0, •
ЧЦх, у, z) = 0 ,
дает координаты общей точки этих поверхностей. Следовательно,
геометрическая задача разыскания точек пересечения трех по¬
верхностей равносильна алгебраической задаче совместного реше¬
ния системы трех уравнений с тремя неизвестными.
Пример. Найти точки пересечения трех поверхностей при условии,
что первая поверхность есть сфера с центром (— 1; — 1; 0) и радиусом 5,
вторая поверхность есть сфера с центром (1; 1; 3) и радиусом 4, а третья
поверхность есть плоскость, параллельная плоскости Оху и лежащая в верх¬
нем полупространстве на расстоянии трех единиц от плоскости Оху.
Решение. Задача сводится к совместному решению трех уравнений
(х+ 1)2 + G/+ О2 + гг = 25, )
(X-l)2 + (i/-l)24-(z-3)2=16, ■
г = 3. J
Полагая в первых двух уравнениях z = 3 и раскрывая скобки, мы получим:
x24-Z/24-2x + 2y= 14,
х24-г/2-2х-2у=14.
Отсюда	= х2 + #2=14; следовательно, х==с^У7, у =— х. Итак,
получаем две точки: (1^7; — У*7; 3) и (—1^7; }^7; 3).
§ 61. Уравнение цилиндрической поверхности
с образующими, параллельными одной из координатных осей
193.	Здесь мы специально рассмотрим уравнение вида ^(х, j/) = 0.
Особенностью этого уравнения является то, что левая часть его не
содержит переменной z. Это означает, что данное уравнение накла¬
дывает связь только на первые две координаты, третья же может
принимать любые значения.

§ 611
УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ
165
Мы докажем, что уравнение такого вида определяет цилиндри¬
ческую поверхность с образующими, параллельными оси Oz.
Обозначим буквой S поверхность, определяемую некоторым урав¬
нением вида F(x, у) = $- Пусть MQ(x0; у0; zQ)—произвольная точка
поверхности S. Так как точка Мо лежит на S, то числа
удовлетворяют уравнению F(x,y) =
*=0; но тогда числа х0, yQ, z, где
z—любое число, также удовлетво¬
ряют этому уравнению, поскольку
F(x, j>) от z не зависит. Сле¬
довательно, при любом z точка
Ж (х0; У^ лежит на поверхности S
(черт. 102). А это означает, что на
поверхности S целиком лежит пря¬
мая, проходящая через точку Мо
параллельно оси Oz. Таким обра¬
зом, поверхность S составлена из
прямых, параллельных оси Oz, т. е.
она является цилиндрической по¬
верхностью и расположена так, как
мы утверждали.
Заметим, что на плоскости
Оху в системе координат, кото¬
рая задается осями Ох и Оу, уравнение F(x, j) = 0 определяет
линию, именно, направляющую рассматриваемого цилиндра. Но
эта же линия в пространственной системе координат должна
быть задана двумя уравнениями:
z = 0. J
Пример. В пространственной системе координат уравнение х2 + У1 =
определяет круглый цилиндр; направляющая этого цилиндра (окружность),
лежащая в плоскости Оху, определяется двумя уравнениями:
*г + у2 = г2, \
з = 0. I
194.	По аналогии с предыдущим легко понять, что уравнение
F(x, z) = 0 (в пространстве) определяет цилиндрическую поверх¬
ность с образующими, параллельными оси Оу; уравнение F(y,z) = 0
определяет цилиндрическую поверхность с образующими, параллель¬
ными оси Ох.
195.	Рассмотрим в пространстве линию Z, определенную урав¬
нениями
F(x, у, г) = 0,
Ф (х, у, z} — 0.
6
Н. В. Ефимов

166
УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ
(ГЛ. 11
Пусть
у) = 0	(2)
есть уравнение, полученное из системы (1) исключением перемен¬
ной z. Это означает, что
1)	уравнение (2) является следствием системы (1), т. е.
каждый раз, когда три числа х, у, z удовлетворяют обоим уравне¬
ниям системы (1), первые два из них удовлетворяют уравнению (2);
2)	если два числа х, у удовлетворяют уравнению (2), то най¬
дется третье число z такое, что три числа х, у, z будут удовле¬
творять обоим уравнениям системы (1).
Согласно сказанному в п° 193 уравнение (2) определяет цилин¬
дрическую поверхность с образующими, параллельными оси Oz.
Далее, вследствие первого из только что отмеченных свойств урав¬
нения (2) каждая точка линии L лежит на этой цилиндрической
поверхности, т. е. эта поверхность проходит через линию L. Нако¬
нец, вследствие второго свойства каждая образующая этой поверх¬
ности проходит через какую-нибудь точку линии L. На основании
всего сказанного мы можем заключить, что поверхность, опреде¬
ляемая уравнением Ф(х, = состоит из прямых, которые проек¬
тируют точки линии L на плоскость Оху; ввиду этого ее называют
цилиндрической поверхностью, проектирующей линию L на пло¬
скость Оху (или, просто, проектирующим цилиндром).
Проекция линии L на плоскость Оху определяется двумя
уравнениями
Ч'(*, J) = o, 1
2=0. /
Аналогичным путем при помощи исключения из системы (1) пере¬
менной х или переменной у можно получить проекции линии L на
плоскость Oyz или на плоскость Oxz.
Пример. Пересечением двух сфер определена окружность
& +	1)2 + (г_ 1)2= 1. /	1 '
Найти ее проекцию на плоскость Оху.
Решение. Нам нужно найти уравнение цилиндра, проектирующего дан¬
ную окружность на плоскость Оху. Для этого следует исключить z из
уравнений (3). Вычитая из первого уравнения системы (3) второе, получим:
(4)
отсюда z = 1 — у. Подставляя вместо г выражение 1 — у в любое из данных
уравнений, найдем:
х2 4- 2у2 — 2у — 0.	(5)
Это и есть искомый результат исключения z из системы (3).

§ 62]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПОВЕРХНОСТИ
167
Действительно, уравнение (5) есть следствие уравнений (3). Кроме того,
если х и у удовлетворяют уравнению (5), то первое из уравнений (3) дает
2 =	1 — х2 — г/2 = zt V12уг — 2у — уг = + (1 — у);
из второго уравнения системы (3) имеем
Z-l = ±Vl-x*-(y-iy=:±Vrl+2y*-2y-y* + 2y-l = ±y.
Таким образом, если два числа х и у удовлетворяют уравнению (5), го най¬
дется третье число г, именно z~\ — у такое, что три числа х, у, г удов¬
летворяют обоим уравнениям системы (3).
Мы видим, что два условия (см. выше этот же п°), которым должен
удовлетворять результат исключения г из системы (3), для уравнения (5)
выполнены. Согласно сказанному выше уравнение (5) определяет цилиндр,
проектирующий данную окружность на плоскость Оху. Сама проекция дается
двумя уравнениями
x2 + 2r/2-2y = 0, 1
z = 0. /
Так как первое уравнение приводится к виду ~ + "	j——-
~2	~4
1 а	1
ная проекция является эллипсом с полуосями а =	, b =
1, то найден-
§ 62. Алгебраические поверхности
196.	Основным предметом изучения в пространственной аналити¬
ческой геометрии являются поверхности, определяемые по отноше¬
нию к декартовым прямоугольным координатам алгебраиче¬
скими уравнениями. Это суть уравнения следующих видов:
Ax4-By4-Cz4-D = 0; (1)
Ах2 + By2 + Cz2 + Wxy^Exz^Fyz^Qx^Hy^Kz^L—^\ (2)
Здесь А, В, С, D, Е и т. д.— некоторые фиксированные числа;
они называются коэффициентами указанных уравнений.
Уравнение (1) называется общим уравнением первой степени
(численные значения его коэффициентов могут быть какими угодно,
но при условии, что уравнение действительно содержит члены
первой степени, т. е. одновременное обращение в нуль А, В, С
исключается); уравнение (2) называется общим уравнением второй
степени (численные значения его коэффициентов могут быть какими
угодно, но при условии, что уравнение действительно содержит
члены второй степени, т. е. случай, когда все шесть коэффициентов
А, В, С, £), Е, Е равны нулю, исключается). Аналогичный вид имеют
уравнения третьей, четвертой и т. д. степеней.
6*

168	УРАВНЕНИЕ ПОВЕРХНОСТИ И УРАВНЕНИЯ ЛИНИИ	[ГЛ. Ц
Поверхность, которая в некоторой системе декартовых
прямоугольных координат определяется алгебраическим уравне¬
нием степени п, называется алгебраической поверхностью п-го
порядка.
Можно доказать, что поверхность, которая определяется алгебраическим
уравнением степени п в какой-нибудь системе декартовых прямоугольных
координат, в любой другой системе таких же координат определяется
также алгебраическим уравнением и той же степени п. Доказательство
проводится аналогично тому, как доказывалась теорема 8.в п° 49, и основы¬
вается на формулах преобразования декартовых прямоугольных координат
в пространстве.
197.	Общая теория алгебраических поверхностей служит пред¬
метом специальных сочинений по аналитической геометрии. В этой
книге рассматриваются только поверхности первого и второго
порядков.

ГЛАВА 12
ПЛОСКОСТЬ КАК ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА.
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
§ 63. Плоскость как поверхность первого порядка
В ближайших параграфах устанавливается, что поверхности пер¬
вого порядка суть плоскости и только плоскости, и рассматриваются
различные формы записи уравнений плоскостей.
198.	Теорема 24. В декартовых координатах каждая пло¬
скость определяется уравнением первой степени.
Доказательство. Считая заданной некоторую декартову
прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольную пло¬
скость а и докажем, что эта плоскость определяется уравнением
первой степени. Возьмем на плоскости а какую-нибудь точку
(х0;	z0); выберем, кроме того, какой угодно вектор (только
не равный нулю!), перпендикулярный к плоскости а. Выбран¬
ный вектор обозначим буквой л, его проекции на оси координат —
буквами Л, В, С.
Пусть Л4(х; z) — произвольная точка. Она лежит на плоскости а
в том и только в том случае, когда вектор	перпендикулярен
к вектору п. Иначе говоря, точка Af, лежащая на плоскости а,
характеризуется условием:
Мы получим уравнение плоскости а, если выразим это условие
через координаты х, у, z. С этой целью запишем координаты век¬
торов М^М и п:
~М^М= {х — х0; у — у^; z — z,},
П={А; В-, С}.
Согласно п° 165 признаком перпендикулярности двух векторов
является равенство нулю их скалярного произведения, т. е. суммы
попарных произведений соответственных координат этих векторов.

170
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[ГЛ. 12
Таким образом, Л10М_[_п в том и только в том случае, когда
А(х— x0)4-5(j — Jo)4-C(z — *o) = O.	(1)
Это и есть искомое уравнение плоскости а, так как ему удовлетво¬
ряют координаты х, у, z точки М в том и только в том случае,
когда М лежит на плоскости а (т. е. когда /4 /И J_ п).
Раскрывая скобки, представим уравнение (1) в виде
Ах + ВУ + Cz + (— Ахо — ВУо — С2о) =
Далее, обозначая число —Ах0— ByQ— CzQ буквой Z), получим:
Ах-\- By-^Cz-\-D = 0.	(2)
Мы видим, что плоскость а действительно определяется уравне¬
нием первой степени. Теорема доказана.
199.	Каждый (неравный нулю) вектор, перпендикулярный к неко¬
торой плоскости, называется нормальным к ней вектором. Упо¬
требляя это название, мы можем сказать, что уравнение
А (х — х») + В — Л) + С — *о) = 0
есть уравнение плоскости, проходящей, через точку Л40(х0; yj zQ]
и имеющей нормальный вектор п={А\ В; С}.
Уравнение вида
Ах-\- By-\-Cz-\-0=0
называется общим уравнением плоскости.
200.	Теорема 25. В декартовых координатах каждое урав¬
нение первой степени определяет плоскость.
Доказательство. Считая заданной какую-нибудь декартову
прямоугольную систему координат, рассмотрим произвольное урав¬
нение первой степени
Ах By -\-Cz -\-D = 0.	(2)
Когда мы говорим «произвольное» уравнение, то подразумеваем при
этом, что коэффициенты Д, В, С, О могут быть какими угодно
числами, но, конечно, исключая случай одновременного равенства
нулю всех трех коэффициентов Д, В, С. Мы должны доказать,
что уравнение (2) есть уравнение некоторой плоскости.
Пусть х0, у0, zQ — какое-нибудь решение уравнения (2), т. е.
тройка чисел, которая этому уравнению удовлетворяет*). Подставляя
*) Уравнение (2), как всякое уравнение первой степени с тремя неизвест¬
ными, имеет бесконечно много решений. Чтобы найти какое-нибудь из них,
нужно двум неизвестным предписать численные значения, а третью неизвестную
тогда найти из уравнения.

§ 63]	ПЛОСКОСТЬ КАК ПОВЕРХНОСТЬ ПЕРВОГО ПОРЯДКА	171
числа х0, у0, z0 вместо текущих координат в левую часть уравне¬
ния (2), мы получим арифметическое тождество
^хо + &Уо 4“	—	(3)
Вычтем из уравнения (2) тождество (3). Мы получим уравнение
Л(х-х0)4-В^-Л) + Си-^)-=°>	(1)
которое по предыдущему представляет собой уравнение плоскости,
проходящей через точку (х0; yQ', zQ) и имеющей нормальный
вектор п={А; В\ С}. Но уравнение (2) равносильно уравне¬
нию (1), так как уравнение (1) получается из уравнения (2) путем
почленного вычитания тождества (3), а уравнение (2) в свою оче¬
редь получается из уравнения (1) путем почленного прибавления
тождества (3). Следовательно, уравнение (2) является уравнением
той же плоскости.
Мы доказали, что произвольное уравнение первой степени
определяет плоскость; тем самым теорема доказана.
201.	Поверхности, которые в декартовых координатах опреде¬
ляются уравнениями первой степени, называются, как мы знаем,
поверхностями первого порядка. Употребляя эту терминологию, мы
можем высказать установленные результаты так:
Каждая плоскость есть поверхность первого порядка-, каждая
поверхность первого порядка есть плоскость.
Пример. Составить уравнение плоскости, которая проходит через
точку Мо(1; 1; 1) перпендикулярно к вектору /г={2; 2; 3}.
Решение. Согласно п° 199 искомое уравнение есть
2(х- 1)4-2 (г/— 1)4-3(2- 1) = 0,
или
2х 4“ 2t/ 4" 32 — 7 —- 0.
202.	В заключение этого параграфа докажем следующее пред¬
ложение: если два уравнения Aix-\-B1y-\~Ciz-\-Di = 0 и А*х-[-
~[-В2у + С2г + П2 = ° определяют одну и ту же плоскость, то
коэффициенты, их пропорциональны.
В самом деле, в этом случае векторы П1 = {Л1; В^ и П2 =
= {Д2; В2; С2} перпендикулярны к одной плоскости, следовательно,
коллинеарны друг другу. Но тогда согласно п° 154 числа Л2, В2, С2
пропорциональны числам Вг, С2; обозначив множитель пропор¬
циональности через р, имеем: Л2 = Л,р, В2 = В^, С2 = С1р. Пусть
Л40(х0; zo) — любая точка плоскости; ее координаты должны
удовлетворять каждому из данных уравнений, таким образом,
АХ0 + ^0 +	4~ D1 = 0 И	+ Д>У 9 +	= 0.
Умножим первое из этих равенств на |Л и вычтем из второго;

172
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
получим О2— Dj|i = 0. Следовательно, £>2 = D1p и
Л2 _ В2 _ с2 _ d2 _м
Л, В, С, — D,
Тем самым наше утверждение доказано.
§ 64. Неполные уравнения плоскостей.
Уравнение плоскости «в отрезках»
203.	Мы знаем, что каждое уравнение первой степени
Ах —By —Cz D 0
(в декартовых координатах) определяет плоскость. Рассмотрим сей¬
час некоторые частные случаи уравнения первой степени, именно,
случаи, когда какие-либо из коэффициентов Л, В, С, D обращаются
в нуль:
1)	D = 0; уравнение имеет вид Ах By Cz = 0 и определяет
плоскость, проходящую через начало координат.
Действительно, числа х = 0, у = 0, z = 0 удовлетворяют урав¬
нению АхByCz = 0. Следовательно, начало координат при¬
надлежит плоскости.
2)	С=0; уравнение имеет вид Ах-\-By D — Q и определяет
плоскость, параллельную оси Oz (или проходящую через
эту ось).
Действительно, в этом случае нормальный вектор п = {А\ В\ С}
имеет нулевую проекцию на ось Oz (С=0); следовательно, этот
вектор перпендикулярен к оси Oz, а сама плоскость параллельна ей
(или проходит через нее).
3)	В = 0 и С=0; уравнение имеет вид Ах-\-О = 0 и опре¬
деляет плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz
(или совпадающую с ней).
Действительно, в этом случае нормальный вектор	В; С}
имеет нулевые проекции на оси Оу и Oz (В=0 и С=0); следо¬
вательно, вектор п перпендикулярен к осям Оу и Oz, а сама пло¬
скость параллельна им (или проходит через каждую из них). Но
это и означает, что плоскость, определяемая уравнением Ах-|-D = 0,
параллельна плоскости Oyz или совпадает с ней. В том же самом
можно убедиться иным путем, так: представим уравнение Лх-^
0 в виде х —— и положим —JT='a’ получим:
х = а.
Согласно этому уравнению все точки плоскости имеют одинаковые
абсциссы (х = а) и, следовательно, расположены на одном расстоя¬
нии от плоскости Oyz («впереди», если а^>0, «позади», если а<^0);
§ 641
НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ
173
следовательно, плоскость, определяемая таким уравнением, парал¬
лельна плоскости Oyz. Отсюда ясно также, что а есть величина
отрезка, который отсекает плоскость на оси Ох (считая от начала
координат). В частности, если Z)=0, то и а = 0; в этом случае
рассматриваемая плоскость совпадает с плоскостью Oyz. Таким
образом, уравнение х = 0 определяет плоскость Oyz.
204.	По аналогии с предыдущим легко установить, что:
1.	Уравнение вида Ax-\-Cz-]-D = 0 определяет плоскость,
параллельную оси Оу (или проходящую через нее); уравнение вида
By-]~Cz-\-D = 0 определяет плоскость, параллельную оси Ох (или
проходящую через нее).
2.	Уравнение вида By0 = 0 определяет плоскость, параллель¬
ную плоскости Oxz (или совпадающую с ней); уравнение вида
Cz-\-0 = 0 определяет плоскость, параллельную плоскости Оху
(или совпадающую с ней). Последние два уравнения могут быть
написаны соответственно в виде у = Ь и z = c. Здесь b и с суть
величины отрезков, которые отсекают эти плоскости на коорди¬
натных осях (первая — на оси Оу, вторая — на оси Oz}. В частности,
уравнение у = 0 определяет плоскость Oxz, уравнение 2 — 0 опре¬
деляет плоскость Оху.
205.	Пусть дано уравнение плоскости
Ах	By 4- Cz 4- О=0
при условии, что ни один из коэффициентов А, В. С. D не равен
нулю. Такое уравнение может быть приведено к некоторому спе¬
циальному виду, который бывает удобен в ряде задач аналитиче¬
ской геометрии.
Перенесем свободный член D в правую часть уравнения; мы
получим:
Ах-]- By -]-Cz = — D.
Поделим затем обе части уравнения на —£); из предыдущего най¬
дем:
Вводя обозначения
а=
Ах
1 . By
+- Сг — 1
— D
1 —D
х 1
У
4-	2
D '
D
‘	D
А
в
С
D
А ’
ь=—
D
В ’ с~
1.
С *
или
получим:
174
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
Это и есть тот специальный вид уравнения плоскости, который мы
хотели получить. Здесь числа а, Ь, с имеют весьма простой геомет¬
рический смысл. Именно, а, Ь, с суть величины отрезков, которые
плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала
координат). Чтобы убедиться в этом, найдем точки пересечения пло¬
скости с координатными осями. Точка пересечения плоскости с осью
Ох определяется из уравнения этой плоскости ~= 1 при
дополнительном условии у = 0, ^ = 0; отсюда х = а и, таким обра¬
зом, величина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ох, действи¬
тельно равна а. Аналогично устанавливается, что отрезки, отсека¬
емые плоскостью на осях Оу и Oz, имеют величины, равные соот¬
ветственно b и с.
Уравнение вида (1) принято называть уравнением плоскости
«<? отрезках'».
Пример. Составить уравнение плоскости, зная, что она отсекает на
координатных осях отрезки а = 2, Ь —— 3, с = 4.
Решение. На основании предыдущего получаем искомое уравнение
сразу: ~	~	~ — 1 или 6х — 4у -f- 3z — 12 — 0.
Л <5 А
§ 65. Нормальное уравнение плоскости.
Расстояние от точки до плоскости
206.	Мы рассмотрим еще один специальный вид записи уравне¬
ния плоскости, известный под названием нормального уравне¬
ния плоскости.
Пусть дана какая-нибудь плоскость л. Проведем через начало
координат прямую л, перпендикулярную к плоскости л, — мы будем
называть эту прямую нормалью, — и пометим буквой Р точку, в
которой она пересекает плоскость л (черт. 103). На нормали введем
положительное направление от точки О к точке Р (если точка Р
совпадает с точкой О, т. е. если данная плоскость проходит через
начало координат, то положительное направление нормали выберем
произвольно). Обозначим через а, р, у углы, которые составляет
направленная нормаль с осями координат, через р — длину отрезка ОР.
Мы выведем уравнение данной плоскости л, считая известными
числа cos a, cosp, cosy и р. С этой целью возьмем на плоскости л
произвольную точку М и обозначим через х, у, z ее координаты.
Очевидно, проекция вектора ОМ на нормаль равна ОР, а так как
положительное направление нормали совпадает с направлением
отрезка ОР, то величина этого отрезка выражается положительным
числом, именно, числом р; таким образом,
пр„ОЛ1 = р.
(1)

НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
175
§ 65]
Заметим теперь, что ОМ = {х; у, z}. Отсюда и согласно следствию
3 теоремы 20 (п° 165)
пр„ 0714 — х cos а у cos Р z cos Y-	(2)
Из равенств (1) и (2) следует, что х cos а-\-у cos р 4~£ cos у = р,
или
х cos а 4-у cosp z cos у — р = 0.	(3)
Это и есть уравнение данной плоскости (ему, как видим, удовле¬
творяют координаты х, у, z каждой точки 7Й, лежащей на данной
плоскости; если же точка М не лежит на данной плоскости,
то ее координаты уравнению (3) не удовлетворяют, так как тогда
пр„ОЖ¥=Р)-
Уравнение плоскости в форме (3) называется нормальным
уравнением плоскости; в этом уравнении cos ос, cosp, cosy суть
направляющие косинусы нормали, р — расстояние плоскости от
начала координат.
207.	Пусть дана произвольная плоскость. Построим ее нормаль п
и назначим на нормали положительное направление так, как было
описано в предыдущем п°. Пусть, далее, 714*— какая угодно точка
пространства, d— ее расстояние от данной плоскости (см. черт. 103).
Условимся называть отклонением точки 714* от данной плоскости
число -\-d, если /И* лежит по ту сторону от плоскости, куда идет
положительное направление нормали, — d1 если 714* лежит с дру¬
гой стороны от данной плоскости. Отклонение точки от плоскости
176
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
(гл. 12
будем обозначать буквой 6; таким образом, 6 =4-причем полезно
заметить, что S = 4-d, когда точка Л4* и начало координат лежат
по разные стороны от плоскости, и 6 =—d, когда точка Л4*
и начало координат лежат по одну сторону от плоскости
(для точек, лежащих на плоскости, 6 = 0).
Теорема 26. Если точка ЛГ* имеет координаты, (х*; у*\ £*),
а плоскость задана нормальным уравнением
х cos а у cos р z cos Y — Р —
то отклонение точки М* от этой плоскости дается формулой
6 = х* cos а 4“ У* cos Р	г* cos у — р.	(4)
Доказательство. Спроектируем точку Л4* на нормаль; пусть
Q — ее проекция (см. черт. 103); тогда
6 = PQ=OQ—OP,
где PQ, OQ и ОР суть величины направленных отрезков нормали:
PQ, OQ и ОР. Но OQ = npwOAf*, ОР—р\ следовательно,
6 = пр„ОЛ1* — р.	(5)
Согласно следствию 3 теоремы 20 (п° 165)
прпОЛ4* = х* cos а 4-J* cos р 4~^* cos у.	(6)
Из равенств (5) и (6) получаем:
6 == х* cos а 4- j* cos Р 4~ г* cos у — р.
Тем самым теорема доказана.
Заметим теперь, что х* cos а 4“ J* cos Р 4“ г* cos у—р есть не
что иное, как левая часть нормального уравнения данной плоскости,
где вместо текущих координат подставлены координаты точки Л4*.
Отсюда получаем следующее правило:
Чтобы найти отклонение какой-либо точки М* от некото¬
рой плоскости, нужно в левую часть нормального уравнения этой
плоскости вместо текущих координат подставить координа¬
ты точки Л4*. Полученное число и будет равно искомому от¬
клонению.
Замечание. Если требуется найти расстояние от точки до
плоскости, то достаточно вычислить по только что указанному пра¬
вилу отклонение и взять его абсолютную величину.
208.	Теперь мы покажем, как привести общее уравнение пло¬
скости к нормальному виду. Пусть
Ах 4~ By 4- Cz 4- D = 0
(7)

§ 65J	НОРМАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ плоскости	177
—	общее уравнение некоторой плоскости, а
х cos а + у cos р 4“ z cos Y — Р — 0	(3)
—	ее нормальное уравнение.
Так как уравнения (7) и (3) определяют одну и ту же плоскость,
то согласно п° 202 коэффициенты этих уравнений пропорциональны.
Это означает, что, помножив все члены уравнения (7) на некоторый
множитель р, мы получим уравнение
цАх 4- рВу 4"	4"	= 0»
совпадающее с уравнением (3), т. е. мы будем иметь:
p4 = cosa, p£ = cosp, pC=cosy, pD =— p. (8)
Чтобы найти множитель р, возведем первые три из этих равенств
в квадрат и сложим; получим:
р2 (Д2 4- В2 4- С2) = cos2 а 4- cos2 Р 4~ cos2 Y-
Но согласно п°140 правая часть последнего равенства равна еди¬
нице. Следовательно,
р =	1 = .	(9)
г /л24-в2 + с2
Число р, по умножении на которое общее уравнение плоскости
приобретает нормальный вид, называется нормирующим множите¬
лем этого уравнения. Нормирующий множитель определяется фор¬
мулой (9), но не вполне: остается неопределенным его знак. Для
определения знака нормирующего множителя используем четвертое
из равенств (8). Согласно этому равенству р£) = — р, т. е. р£> есть
число отрицательное. Следовательно:
Знак нормирующего множителя противоположен знаку сво¬
бодного члена нормируемого уравнения.
Замечание. Если £? = 0, то знак нормирующего множителя
можно выбрать по желанию.
Пример. Даны плоскость Зх —- 4у 4- 12г	14 = 0 и точка М (4; 3; 1).
Найти отклонение точки М от данной плоскости. .
Решение. Чтобы применить правило, изложенное в п° 207, надо прежде
всего привести данное уравнение к нормальному виду.
С этой целью находим нормирующий множитель:
п —	~~ 1	= - 1
И — V3*4-42+ 12‘ _ 13 ■
Умножая данное уравнение на р, получим искомое нормальное уравнение
плоскости:
-1(Зх-4«/ + 12г+14)=0.

178
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
Подставляя в левую часть этого уравнения координаты точки М, имеем:
6 = — ^ (3-4-4-3+12-1 4-14) =-2.
Итак, точка М имеет отрицательное отклонение от данной плоскости н
удалена от нее на расстояние d = 2.
§ 66. Уравнения прямой
Черт. 104.
209.	Мы уже указывали в п°191, что в пространственной ана-
литической геометрии каждая линия рассматривается как пересече¬
ние двух поверхностей и определяется заданием двух уравнений.
В частности, каждую прямую ли¬
нию мы будем рассматривать как
пересечение двух плоскостей
и соответственно этому определять
заданием двух уравнений первой
степени (конечно, в декартовых
координатах).
Пусть в пространстве установлена
некоторая декартова прямоугольная
система координат. Рассмотрим про¬
извольную прямую; обозначим ее
буквой а (черт. 104). Обозначим
через itj и л2 какие-нибудь две различные плоскости, пересекающиеся
по прямой а, и предположим,
известны; запишем их в виде
Л iX	У + CjZ 4“	= о
что уравнения этих плоскостей нам
и Агх-\-В2у-\-С2г-\-В, — 0.
Так как прямая а представляет собой пересечение плоскостей лх и
л2, то она определяется совместным заданием двух уравнений:
+ + + =	1	п
^2Х 4“ ^2-У + С2* + ^2 =	/
210.	Представим себе, что нам заранее даны какие-нибудь два
уравнения первой степени (пусть они написаны в виде (1)). Всегда
ли они совместно определяют некоторую прямую? Очевидно, это
будет в том и только в том случае, когда соответствующие им
плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом, т. е.
когда нормальные векторы этих плоскостей л1 = {Л1; Bj	и
П2 = {Л2; В2; С2} не коллинеарны. Вспомнив, что условием колли¬
неарности двух векторов является пропорциональность их координат
(см. п°154), заключаем:
Два уравнения вида (1) совместно определяют прямую в том
и только в том случае, когда коэффициенты В,, С, одного из
них не пропорциональны коэффициентам Л2, В2, С2 другого.

§ 66]
УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
179
211.	Через каждую прямую проходит бесконечно много различ¬
ных плоскостей; ясно, что существует бесконечно много воз¬
можностей выбрать из них какие-нибудь две. Отсюда следует, что
всякую прямую можно определять двумя уравнениями бесконечно
многими различными способами. Мы укажем сейчас весьма простой
прием, который позволяет, зная уравнения двух плоскостей, про¬
ходящих через данную прямую, «скомбинировать'» из них сколько
угодно новых уравнений, каждое из которых определяет пло¬
скость, также проходящую через данную прямую.
Пусть даны некоторая прямая а и уравнения двух различных
плоскостей л, и л2, проходящих через эту прямую:
Возьмем какие-нибудь два числа а, р, не равные одновременно нулю,
и составим равенство
а (Агх 4~ Вгу Cxz	4““ Р И2х “Г ^2У +	~	(2)
или, в иной записи:
(аА. 4- р Д2) х + (aBf + р/?2) у 4- («С, 4- PQ z 4- (aD1 4- р/)2) = 0.(3)
Легко убедиться в том, что все три числа аЛ,4-РА> а^14“Р^г
и аС, 4- рС2 не могут быть одновременно равными нулю. Действи¬
тельно, если a/44“PA —0’	4“ Р#± — 6, аС14-Р^2 = 6, то
А_! _£ В, _£ £1__₽.
Л2	а ’ В2	а ’ С2	а
Так как числа а и р не равны нулю одновременно, то отношение
— не может быть неопределенным; поэтому из предыдущих про¬
порций следует, что	С, пропорциональны Д2, В2, С2, т. е.
что нормальные векторы заданных плоскостей ni = {A1; В,;
и п2 — {А2; В2; С2\ коллинеарны; но это невозможно, так как задан¬
ные плоскости не параллельны и не совпадают друг с другом.
Поскольку все три числа аЛ14~РД2, aZ?i4~P#2 и а^14“Р^2 не
могут одновременно исчезнуть, равенство (3) есть уравнение. Ясно,
что это — уравнение первой степени, значит, оно определяет неко¬
торую плоскость.
Далее, так как уравнение (3) является следствием уравнений
Аух 4“ Bty 4- C\z 4“	= 0 и А2х 4- В2у 4“ C2z 4“ D2 = 0, то ка¬
ждая тройка чисел (х; у\ z}, удовлетворяющая этим двум уравнениям,
удовлетворяет также и уравнению (3). Отсюда следует, что каждая
точка, лежащая на пересечении плоскостей л, и л2, лежит также на
плоскости, которая определяется уравнением (3). Иначе говоря,
уравнение (3) (или равносильное ему уравнение (2)) определяет пло¬
скость, проходящую через прямую а.

180
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
Итак, если
^ix 4“ в1У 4“	4- ni = 0 а \х + ВгУ +	4“ ^2= о
— уравнения двух плоскостей, проходящих через некоторую пря¬
мую, то уравнение
a(Alx-\-BtyJrClz-}-Dl)^-^{Aix + Biy + Ciz^-Di) = O (2)
определяет плоскость, которая проходит через ту же прямую.
Пользуясь этим предложением, можно упрощать уравнения пря¬
мой. Например, уравнения прямой
х4->у+^4-з = о, |
*4~.у — z—5=о /
можно заменить более простыми, если скомбинировать их, беря
сначала а=1, 0=1, а потом а=1, 0 =—1; именно, мы получим
таким путем уравнения
х+у— 1=0, 1
z + 4 = 0, /
которые определяют ту же прямую, что и первоначально данные.
212.	Пусть некоторая прямая а определена уравнениями
Л*+^+с^4-лх=о J
как пересечение двух плоскостей л, и л2. Мы знаем, что уравнение
а (Аус + Bty + Ctz + О,) + р (Аус + Вгу + Ctz + Dt) = 0	(2)
при любых численных значениях a, 0 (не равных одновременно
нулю) определяет плоскость, проходящую через прямую а. Дока¬
жем, что значения а, 0 всегда можно подобрать так, чтобы урав¬
нение (2) определило любую заранее назначенную плоскость, прохо¬
дящую через прямую а.
Так как каждая плоскость, проходящая через прямую а, опре¬
деляется заданием, кроме прямой а, еще одной своей точки, то
для доказательства высказанного утверждения достаточно показать,
что в уравнении (2) числа а, 0 всегда возможно подобрать так,
чтобы определяемая им плоскость прошла через любую заранее
назначенную точку М*(х*, у*, z*).
Но это ясно; в самом деле, плоскость, определяемая уравне¬
нием (2), будет проходить через точку Ж*, если координаты точки
/И* удовлетворяют этому уравнению, т. е. если
а GV* + Ву>* + Су* + О.) + 0 (Дгх* 4- Вгу* + C,z* + D,) = 0. (4)
Будем считать, что точка /И* не лежит на прямой а (только
этот случай нам и нужен). Тогда хотя бы одно из чисел

§ 67]	КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ	181
Агх*-[-В'У*-[-С'?*-{-D^ A2x*-\-B2y*-]-C2z*-\-D2 не равно нулю,
следовательно, равенство (4) является уравнением первой степени
с двумя неизвестными а, р. Чтобы найти неизвестные а, р, нужно
одной из них придать численное значение произвольно, а другую
вычислить из этого уравнения; например, если А2х*-\-В2у*-\-
-\-C2z*	то а можно взять каким угодно (не равным нулю),
а Р соответственно определить равенством:
1 — Д2х* + В2у* + С2г* + Р2
Итак, уравнением вида (2) можно определить плоскость, про¬
ходящую через какую угодно заранее назначенную точку простран¬
ства, а значит, любую плоскость, проходящую через данную прямую а.
213.	Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну
и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение
вида (2) называется уравнением пучка плоскостей, поскольку оно
при соответствующих значениях а, Р определяет все плоскости
некоторого пучка.
о
Если а 0, то, полагая -^- = Х, получим из уравнения (2)
-|- Вху Cxz Ц-1 (А2х 4- В2у 4- C2z 4- D2) = 0.	(5)
В таком виде написанное уравнение пучка плоскостей в прак¬
тике решения задач более употребительно, чем уравнение (2).
Существенно, однако, заметить, -что так как при переходе от
уравнения (2) к уравнению (5) исключается случай а = 0, то уравне¬
нием вида (5) нельзя определить плоскость А2х-\- B2y-[-C2z-[-D2 = 0,
т. е. уравнение вида (5) при различных X определяет все плоскости
пучка, кроме одной (кроме второй из двух данных).
§ 67. Направляющий вектор прямой. Канонические
уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой
214.	В целях удобства решения ряда задач в аналитической
геометрии используется некоторый специальный вид уравнений
прямой, который сейчас будет указан. Этот специальный вид
уравнений прямой можно получить из общих ее уравнений путем
алгебраических преобразований; однако мы предпочтем установить его
непосредственно; тем самым будет отчетливо выявлена геометри¬
ческая суть дела.
Пусть дана какая-нибудь прямая. Каждый не равный нулю
вектор, лежащий на данной прямой или параллельный ей, назы¬
вается направляющим вектором этой прямой. Указанные векторы
называются направляющими потому именно, что любой из них,
будучи задан, определяет направление прямой.

182
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
Направляющий вектор произвольной прямой мы будем обозначать
буквой а, его координаты — буквами /, т, л:
« = {/; т\ п}.
Мы выведем сейчас уравнение прямой, проходящей через данную
точку Мо (х0; у^ zQ) и имеющей данный направляющий вектор
а = {1; т\ п].
Эти уравнения получаются весьма просто. Пусть ЛЦх; у; z)—
произвольная («текущая») точка прямой (черт. 105). Вектор
— х0; у—yj z — z0}
коллинеарен направляющему вектору
а = {1; т\ п}.
Следовательно, координаты вектора MQM пропорциональны коор¬
динатам вектора а:
x-xQ_y-yQ_z-z0	,
I ~ т ~ п '	v '
Этим соотношениям, как мы видим, удовлетворяют координаты каж¬
дой точки М(х; у; z), лежащей на рассматриваемой прямой; напротив,
если точка М(х; у\ z) не лежит на этой прямой, то ее координаты
Координаты Z,
не удовлетворяют соотношениям (1), так как в этом
случае векторы Л40/И и а не коллинеарны и коор¬
динаты их не пропорциональны. Таким образом,
уравнения (1) представляют собой уравнения пря¬
мой, проходящей через точку Л40 (х0; j0; z0)
в направлении вектора а={1\ т\ п}.
Уравнения прямой полученного сейчас специаль-
ного вида мы будем называть каноническими,
т, п любого направляющего вектора а прямой
называются направляющими параметрами этой прямой. Направля¬
ющие косинусы вектора а называются направляющими косинусами
той же прямой.
215. Пусть некоторая прямая задана двумя общими уравне¬
ниями:
A* + S2.J'+Q; + £,2 = 0- J
Покажем, как составить канонические уравнения этой
прямой.
Обозначим плоскости, определяемые данными уравнениями, через
и л2, нормальные векторы этих плоскостей через п, и п2.
Чтобы составить канонические уравнения данной прямой, нужно:

§ 67]
КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ
183
1)	найти какую-нибудь ее точку Л40(х0; yQ; z^\ для этого сле¬
дует задать численное значение одной из неизвестных координат
хй, У^ zq и подставить его вместо соответствующей переменной
в уравнения (2); после этого две другие координаты определятся
из уравнений (2) путем их совместного решения;
2)	найти направляющий вектор а={1\ т\ и}. Так как данная
прямая определена пересечением плоскостей л, и л2, то она пер¬
пендикулярна к каждому из векторов п, и п2 (см. черт. 104).
Поэтому в качестве вектора а можно взять любой вектор, перпен¬
дикулярный к векторам п1 и п2, например, их векторное произве¬
дение: а=[п1п2]. Поскольку координаты векторов п1 и п2 изве¬
стны:	—	CJ, п2 = {А2\ В2; С2}, для вычисления коор¬
динат вектора а = {1\ т; п} достаточно применить теорему 21
(п°173).
Пример. Найти канонические уравнения прямой
3x + 2i/ + 4z- 11 = 0, I
2x + i/-3z- 1 = 0. J
Решение. Полагая, например, х0=1, находим из данной системы:
= 2, z0=l; таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: 7И0(1; 2; 1).
Теперь найдем направляющий вектор. Имеем: я, = {3; 2; 4|, п2=\2\ 1; — 3};
отсюда а = [пхп2] = { — 10; 17; — 1|, т. е. / =— 10, m = 1/, п = — 1. Кано¬
нические уравнения данной прямой мы получим, подставляя найденные зна¬
чения х0, yQt zQ и lf mt п в равенства (1):
х —1	у—2	z —1
'^Тб“~Т7“~ - 1 ’
216.	Пусть даны канонические уравнения какой-нибудь прямой.
Обозначим буквой t каждое из равных отношений, которые участ¬
вуют в этих канонических уравнениях; мы получим:
т	п
Отсюда
х = ха-\-И,
У=У<, + т*’ ’
z — Z' + nt. .
(3)
Это — параметрические уравнения прямой, проходящей через
точку Л40(х0; j/0; zQ) в направлении вектора а = {1; т\ п}. В урав¬
нениях (3) t рассматривается как произвольно изменяющийся пара¬
метр, х, у, z — как функции от t; при изменении t величины х, у, z
меняются так, что точка М(х; у, z) движется по данной прямой.
Параметрические уравнения прямой удобно применять в тех случаях,
когда требуется найти точку пересечения прямой с плоскостью.

184
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
Пример. Даны прямая
х — 2	у — 3	г — 4
1
и плоскость 2x + t/ + z— 6 = 0. Найти точку их пересечения.
Решение. Дело сводится к тому, чтобы определить х, у, г из трех
данных уравнений (мы имеем два уравнения прямой и одно уравнение
плоскости). Необходимые вычисления будут более простыми, если повысить
х	2
число неизвестных (и число уравнений) до четырех, ' полагая —j— =
У—3	2—4
— —j— = —— = /; отсюда
х = 2 +/, у = 3 + t, г = 4 + 2/.
Подставляя эти выражения в левую часть уравнения данной плоскости, мы
сразу приходим к одному уравнению с одним неизвестным: -
2 (2 + /)+ (3 + 0+ (4 + 2/)-6 = 0.
Решая это уравнение, находим: t = —1, следовательно, координаты искомой
точки суть х=1, У = 2, г = 2.
217.	Условимся считать, что t есть число секунд, прошедших
от некоторого условного момента времени («момент пуска секундо¬
мера»), а уравнения (3) будем рассматривать как уравнения
движения точки Л4(х, j, z) (см. п°45). Постараемся уяснить
себе характер этого движения.
Прежде всего, из предыдущего ясно, что движение точки М
является прямолинейным, причем совершается оно по прямой, кото¬
рая проходит через точку Л40 в направлении вектора a=(Z, /п, п}.
Далее, легко убедиться в том, что движение точки Л4, опреде¬
ляемое уравнениями (3), есть движение равномерное. В самом
деле, согласно уравнениям (3) имеем:
х — xQ = lt, y — yQ = mt, z — z^ — nt.
Последние три равенства равносильны одному . векторному урав¬
нению:
Отсюда видно, что за время t секунд точка Л4 проходит путь
Л4ОЛ4, равный вектору а, удлиненному в «/ раз». Таким образом,
путь, проходимый точкой Л4, пропорционален времени а это и
означает, что движение точки М равномерно.
Подсчитаем, наконец, скорость движения точки Л4. С этой
целью заметим, что за первую секунду (от / = 0 до / = 1) точка Л4
проходит путь /И0Л4 = а. Следовательно, скорость v движения
точки М численно равна модулю вектора а, т. е. v==

§ 68]
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
185
Итак, уравнения (3) определяют прямолинейное и равномерное
движение точки Л4(х, у, z) со скоростью v = VI2 4- т2 Ц-л2
в направлении вектора а = {1, т, п}; точка 7И0 (х0, ;/0, ?0) является
начальным положением переменной точки М(х, у, z) (т. е. при
/ = 0 точка М совпадает с точкой Л40).
Пример. Составить уравнения движения точки М (х, у, г), которая,
имея начальное положение А10(1, 1, 1), движется прямолинейно и равномерно
в направлении вектора s = j2, 3, 6} со скоростью о = 21.

Решение. Сравнивая модуль вектора 5, который равен У‘22 + З2 + 62 = 7,
с заданной скоростью v = 21, мы видим, что в качестве вектора а нам
нужно взять вектор $, удлиненный в три раза, т. е. я = |6, 9, 18|. Искомые
уравнения суть
х = 1+6/,	г/=14-9Л z=l + 18..
§ 68. Некоторые дополнительные предложения
и примеры
218.	В аналитической геометрии часто требуется составить
уравнения прямой, зная две ее точки. Мы решим сей¬
час эту задачу в общем виде, считая данными две произвольные
точки:
Mt (х,; у2, z2) и Mt (х2; уг; z2).
Для решения задачи достаточно заметить, что в качестве на¬
правляющего вектора рассматриваемой прямой можно взять вектор
а =	отсюда
l=x2 — xt, m=y2—yl, n = z2 — z2.
Назначая точке Mt (xt; у2; z2) ту же роль, какую играет в п° 215
точка Л40, получим:
Х-~Х1 = У— Ух = 2—2х
*2 —	У2— У\ *2 “ *1 ’
Это и есть искомые (канонические) уравнения прямой, прохо¬
дящей через две данные точки-, Мх(хг\ ух\ zx) и Л42(х2; у2, z2).
219.	Решим также в общем виде следующую задачу: соста¬
вить уравнение плоскости, проходящей через три
различные точки:	(xt; уг; zj, M2(x2;y2;z2) и M9(xs; у9; z9).
Обозначим через х, у, z координаты произвольной точки М
пространства и рассмотрим три вектора: A\M = {x — х,; у—
Z	 ^1}) ^1^2 — {Х2	 У2 	У1> Z2	 Zl} И	=		Х1»
у3—уг; z2 — z^}. Точка Л1 лежит на плоскости М1М2М3 в том и
только в том случае, когда векторы Л^А/, МгМ2 и	компла¬
нарны; согласно п° 185 условием компланарности этих трех векторов

186
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[гл. 12
является равенство нулю определителя третьего порядка, состав¬
ленного из их координат. В данном случае имеем:
х —х, у—у. z — zx
*2 —У2— У1 ^2 — ^i
= 0.
*3 —*1 У 2— Ух Z* — Zx
Это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через точки
Л4,, М2, Л43, так как ему удовлетворяют координаты х, у, z
точки /И в том и только в том случае, когда она лежит в этой
плоскости.
220.	В ряде задач аналитической геометрии требуется знать
условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей,
двух прямых, а также прямой и плоскости. Выведем эти условия.
1) Пусть даны две плоскости
^.*4-+^4-^=о,)
Данные плоскости параллельны в том и только в том случае,
когда их нормальные векторы nt = {Au CJ, п2 = {Л2, В2, С2}
коллинеарны (черт. 106; совпадение плоскостей мы рассматриваем
Черт. 106.
Черт. 107.
сейчас как особый случай параллельности). Отсюда и согласно п° 154
получаем условие параллельности двух плоскостей:
А, В2 С2
А—В. — С/
Данные плоскости перпендикулярны в том и только в том слу¬
чае, когда их нормальные векторы перпендикулярны (черт. 107).
Отсюда и согласно п° 165 получаем условие перпендикулярности
двух плоскостей:
АА4-5Л4-СА = о.

§ 68]	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ и примеры	187
2) Пусть даны две прямые
У — У1_г —
/j	т1	rti ’
х — х2 _ у — y2_z — г2
/п2	/12
Данные прямые параллельны в том и только в том случае,
когда их направляющие векторы = тх, пг}, а2 = {121 /п2, п2}
коллинеарны (черт. 108; совпадение прямых мы рассматриваем
сейчас как особый случай параллельности). Отсюда получаем условие
параллельности двух прямых'.
	Пг
т1 пх‘
Данные прямые перпендикулярны в том и только в том случае,
когда их направляющие векторы перпендикулярны (черт. 109;
в пространстве перпендикулярные прямые могут быть и не пере¬
секающимися). Отсюда получаем условие перпендикулярности двух
прямых'.
3)	Пусть даны прямая
х — xQ __у — yQ __z —
I	т	п
и плоскость
Ах-\-Ву -\-Cz-\-D = §.
Прямая параллельна плоскости в том и только в том случае,
когда направляющий вектор этой прямой а = {/, /и, п} перпенди¬
кулярен к нормальному вектору плоскости п = {А, В, С} (черт. 110;
случай, когда прямая лежит в плоскости, мы рассматриваем как
особый случай параллельности). Отсюда получаем условие парал¬
лельности прямой и плоскости:
А1 —Вт —Сп	0.

188
ПЛОСКОСТЬ И ПРЯМАЯ
[ГЛ. 12
Прямая перпендикулярна к плоскости в том и только в том слу¬
чае, когда направляющий вектор этой прямой коллинеарен нормаль¬
ному вектору плоскости (черт. 111). Отсюда получаем условие пер¬
пендикулярности	прямой	и плоскости-.
А	_В	£
I т	п
Далее	приводится	ряд	примеров	с	числовыми данными.
221. Пример 1. Составить уравнение плоскости, проходящей через
ПРЯМУЮ	Зх +22/4-5;+ 6 = 0, )
х + 4у + Зг + 4 = 0 J
параллельно прямой
х — 1	у — 5	z 4- 1
3	“	2	“ — 3 ’
Решение. Составим уравнение пучка плоскостей (см. п°п® 212, 213),
проходящих через первую из данных прямых:
Зх %у -Н 5? 4~ б 4“ х (х 4" ^у Зя 4" 4) —— о.	(1)
В этом пучке мы должны выбрать плоскость, параллельную второй данной
прямой; дело сводится к тому, чтобы найти надлежащее численное значе¬
ние X. Представим уравнение (1) в виде
(3 + X)x + (2 + 4X)f/ + (5 + 3X)2 + (6 + 4X)=:0.	(2)
Искомая плоскость должна быть параллельна прямой
х — 1	у — 5	г 4-1
— 3 ’
Используя условие параллельности прямой и плоскости, получаем для не¬
известной величины X уравнение
3 (3 4_ X) 4- 2 (2 4- 4Х) - 3 (5 4- ЗХ) = 0.
Отсюда Х=1. Подставляя найденное значение X в уравнение (2), найдем:
4х4"^/ + 8г4-№ = 0 или 2х4-3#4"4г + 5 = 0.
Пример 2. Дана прямая
Зх — 2у — г 4- 4 =■ 0, 1
х — 4г/ — Зг — 2 — 0. f
Найти ее проекцию на плоскость 5х 4- %У 4"	7 = 0.

§ 68]	ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРЫ	189
Решение. Нам следует найти плоскость, которая проходит через
данную прямую перпендикулярно к данной плоскости; тогда искомая проек¬
ция определится, как пересечение этой плоскости с данной. Составим урав¬
нение пучка плоскостей, проходящих через данную прямую:
Зх — 2у —* z 4- 4 + X (х — 4у — 3z — 2) = 0.	(3)
Искомая плоскость определится этим уравнением при некотором значении X;
его мы должны найти. Представим уравнение (3) в виде
(3 -Ь X) X 4- (— 2 — 4Х) г/ 4- (— 1 — ЗХ) 2 -Ь (4 — 2Х) = 0.	(4)
Искомая плоскость должна быть перпендикулярна к данной. Используя
условие перпендикулярности двух плоскостей, получаем для неизвестной
величины X уравнение:
5 (3 + X) + 2 (— 2 - 4Х) + 2 (— 1 - ЗХ) = 0.
Отсюда Х = 1. Подставляя найденное значение X в уравнение (4), найдем
уравнение плоскости, проходящей через данную прямую перпендикулярно
к данной плоскости: 4х — бу — 4г 4-2 = 0 или 2х — Зу — 2z1 =0. Проек¬
ция данной прямой на данную плоскость определяется уравнениями
2х — Зу — 2г 4- 1 = 0, I
5x + 2y + 2z-7 = 0. /
Пример 3. Найти расстояние от точки Р (1; 1; 1) до прямой
х — 11 _*/— 18_z —4
2 “ 5 — 2 *
Решение. Проведем через Р плоскость а, перпендикулярную к дан¬
ной прямой, и найдем точку Q, где эта плоскость пересекает данную пря¬
мую. Искомое расстояние от точки Р до данной прямой будет равно рас¬
стоянию от точки Р до точки Q.
Согласно п® 199 уравнение плоскости а можно написать в виде
Л(х- 1)4-В (г/- 1)4-С(г- 1) = 0;
эта плоскость должна быть перпендикулярна к данной прямой. По условию
перпендикулярности прямой и плоскости имеем:
А __в — с
2 ““ 5 — — 2 ’
выбирая здесь множитель пропорциональности для простоты равным еди¬
нице, находим А = 2, В = 5, С =— 2. Итак, плоскость имеет уравнение
2 (х1) 4-5 (1/— 1) — 2 (z — 1) = 0, или 2x4*51/— 2z — 5 = 0. Теперь мы
должны найти точку Q, в которой эта плоскость пересекается с данной
прямой. Для этого нужно уравнения данной прямой решить совместно с най¬
денным уравнением плоскости а. Поступая так, как было показано в п® 216
(см. пример в конце этого п°), найдем координаты точки Q: х = 5, 1/ = 3,
z = 10. Искомое расстояние d от точки Р до данной прямой, равное рас¬
стоянию между точками Р и Q, найдется по известной формуле
d = у‘(5- 1)«4-(3- 1)» + (Ю-1)’ = у101	10.

ГЛАВА 13
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 69. Эллипсоид и гиперболоиды
222.	Согласно изложенному в nQ 196, поверхности второго порядка
суть те, которые в декартовых координатах определяются уравнением
второй степени. В этой главе будут рассмотрены различные пред¬
ставители класса поверхностей второго порядка. Прежде всего мы
рассмотрим эллипсоид и два гиперболоида; эти поверхности являются
пространственными аналогами эллипсов и гипербол на плоскости.
223.	Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой си¬
стеме декартовых прямоугольных координат определяется уравнением
1.
(1)
Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида.
Постараемся уяснить себе форму эллипсоида и изобразить его
на чертеже. С этой целью мы употребим так называемый «метод
параллельных сечений».
Рассмотрим сечения данного эллипсоида плоскостями, параллель¬
ными координатной плоскости Оху. Каждая из таких плоскостей
определяется уравнением вида z = Л, а линия, которая получается
в сечении, определяется двумя уравнениями:
(2)
Отсюда видно, что 1) при условии | h | < с плоскость z — h пере¬
секает эллипсоид по эллипсу с полуосями

§ 69]
ЭЛЛИПСОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ
191
расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz;
2) величины а* и /?* имеют наибольшие значения при h = 0 (тогда
а* = а, Ь* — Ь); иначе говоря, самый крупный эллипс образуется
в сечении координатной плоскостью z = 0; 3) при возрастании | h |
величины а* и Ь* убывают; 4) при h = 4- с величины а* и Z?*
обращаются в нуль, т. е. эллипс, образуемый сечением эллип¬
соида (1) плоскостью z — c, или плоскостью 2 — — с, вырождается
в точку; иначе говоря, плоскости £ = -}-с касаются эллипсоида;
5) при | h | с уравнения (2) определяют мнимый эллипс; это озна¬
чает, что плоскость z = h при | h | с с данным эллипсоидом не
встречается совсем.
Совершенно аналогичная картина выявляется при рассмотрений
сечений эллипсоида плоскостями, параллельными координатным пло¬
скостям Oxz и Oyz. Отметим только, что сама плоскость Oxz пере¬
секает эллипсоид по эллипсу,
который определяется уравне-
НИЯМИ -^ + ^=1 и _у = 0,
плоскость Oyz — по эллипсу,
который определяется уравне-
и2 z2
ниями -|	_ = 1 и х = О
Ь2 1 сг
(см. черт. 112, где показаны
сечения эллипсоида (1) плоско¬
стями Оху, Oxz и z = h).
Сопоставляя изложенное,
мы можем заключить, что эл¬
липсоид есть замкнутая оваль¬
ная поверхность, обладающая тремя взаимно перпендикулярными
плоскостями симметрии. При данном выборе координатной системы
эти плоскости совмещены с плоскостями координат.
224.	Величины а, Ь, с называются полуосями эллипсоида. Если
все они различны, эллипсоид называется трехосным. Рассмотрим
случай, когда какие-либо две из величин а, Ь, с одинаковы. Пусть,
например, а = Ь. Тогда уравнения (6) определяют окружность с цен¬
тром на оси Oz. Отсюда следует, что при а = Ь эллипсоид можно
рассматривать как поверхность, образованную вращением эллипса
вокруг одной из его осей. Если эллипсоид образован вращением
эллипса вокруг его большой оси, он называется вытянутым эллип¬
соидом вращения*, эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг
меньшей оси, называется сжатым эллипсоидом вращения» В случае
а = Ь = с эллипсоид является сферой.
225.	Рассмотрим уравнение
(3)

192
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
(гл. 13
Левая часть его содержит такое же выражение, что стоит слева
в каноническом уравнении эллипсоида. Так как это выражение ^0,
а справа в уравнении (3) стоит — 1, то уравнение (3) не определяет
никакого действительного образа. Уравнение (3) ввиду аналогии
с уравнением (1) называют уравнением мнимого эллипсоида.
226.	Теперь мы займемся гиперболоидами. Существуют два гипербо¬
лоида: однополостный и двухполостный.
Однополостным гиперболоидом называется поверхность, которая
в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определя¬
ется уравнением
Д2 I £2_1
а2' Ь2 с2
(4)
Двухполостным гиперболоидом называется поверхность, определя¬
емая уравнением
(5)
Уравнения (4) и (5) называются каноническими уравнениями гипербо¬
лоидов.
227.	В этом пункте мы будем исследовать однополостный ги¬
перболоид
Л2 к£2_±2—1
а2' Ь2 с2 '
Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz.
Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположенную
симметрично относительно координатных осей Ox, Oz и пересекаю¬
щую ось Ох (в точках (а; 0; 0) и (—а; 0; 0)). Сечение плоскостью
Oyz определяется уравнениями
Л2 —
ь2 с2
х = 0. )
Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично
относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Оу (в точках (0; Ь; 0)
и (0; —Ь; 0)).
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями,
параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких пло¬
§ 691
ЭЛЛИПСОИД И ГИПЕРБОЛОИДЫ
193
скостей определяется уравнением вида z = h, а сечение гиперболоида
этой плоскостью определяется уравнениями:
z=^h.
Отсюда видно, что 1) любая плоскость z = h пересекает гиперболоид
(4) по эллипсу с полуосями
а*=а)/1+^,
расположенному симметрично относительно плоскостей Oxz и Oyz\
2) величины а* и Ь* имеют наименьшие значения при Л = 0 (тогда
а* = а, £* = #); иначе говоря, самых малых размеров эллипс обра¬
зуется в сечении координатной плос¬
костью z = 0 (он называется горловым
эллипсом однополостного гиперболоида);
3) при бесконечном возрастании \h\ вели¬
чины а* и бесконечно возрастают
(черт. ИЗ).
Сопоставляя изложенное, можем заклю¬
чить, что однополостный гиперболоид
имеет вид бесконечной трубки, бесконечно
расширяющейся в обе стороны от горло¬
вого эллипса. Однополостный гиперболоид
обладает тремя взаимно перпендикуляр¬
ными плоскостями симметрии; при данном
выборе координатной системы эти плос¬
кости совмещены с плоскостями координат.
228.	Величины а, />, с называются
полуосями однополостного гиперболоида.
Первые две из них (а и Ь) изображены
на черт. ИЗ. Чтобы изобразить на чертеже
полуось с, нужно было бы построить основ¬
ной прямоугольник какой-нибудь из гипер¬
бол, определяемых сечением однополостного
гиперболоида плоскостями Oxz и Oyz.
Заметим, что в случае а = Ь уравнения (6) определяют окруж¬
ность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при а = Ь одно¬
полостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, обра¬
зованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а именно
той, которая гиперболу не пересекает.
229.	Здесь мы исследуем двухполостный гиперболоид
х* . уг z*

194
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 13
Рассмотрим сечения его координатными плоскостями Oxz и Oyz.
Сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
Мы видим, что оно представляет собой гиперболу, расположенную
симметрично относительно координатных осей Ox, Oz и пересекаю¬
щую ось Oz (в точках (0; 0; с) и (0; 0; —с)). Сечение плоскостью
Oyz определяется уравнениями
Оно представляет собой гиперболу, расположенную симметрично
относительно осей Оу, Oz и пересекающую ось Oz (также в точках
(0; 0; с) и (0; 0; —с)).
Теперь рассмотрим сечения данного гиперболоида плоскостями,
параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких пло¬
скостей определяется уравнением вида z = h,
а сечение гиперболоида этой плоскостью опре¬
деляется уравнениями
±2 |	/I2
а2 т ьг с2
z = h.
Отсюда видно, что 1) при условии |А|^>с
плоскость z = c пересекает двухполостный ги¬
перболоид по эллипсу с полуосями
а* = а]/^-1, b* = b
расположенному симметрично относительно пло¬
скостей Oxz и Oyz; 2) при возрастании \h\
величины а* и д* возрастают; 3) если |Л| воз¬
растает бесконечно, то а* и Ь* возрастают
также бесконечно; 4) если |Л|, убывая, прибли¬
жается к с, то а* и Ь* также убывают и при¬
ближаются к нулю; при Л = + с имеем: а* = 0,
/?* = 0; это означает, что эллипс, образуемый сечением плоскостью
z— с, или плоскостью z = — с, вырождается в точку, иначе говоря,
плоскости = касаются гиперболоида; 5) при ) h | с уравнения
(7) определяют мнимый эллипс; это означает, что плоскость z = h
при | h | с с данным гиперболоидом не встречается совсем (черт. 114).

§ 70]
КОНУС ВТОРОГО ПОРЯДКА
195
Сопоставляя изложенное, можем заключить, что двухполостный
гиперболоид есть поверхность, состоящая из двух отдельных «поло¬
стей» (отсюда его название—«двухполостный»); каждая из них имеет
вид бесконечной выпуклой чаши. Двухполостный гиперболоид обладает
тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии; при данном
выборе координатной системы эти плоскости совмещены с плоскостями
координат.
230.	Величины а, Ь, с называются полуосями двухполостного
гиперболоида. На черт. 114 изображена только величина с. Чтобы
изобразить на чертеже а и Ь, нужно было бы построить основные
прямоугольники гипербол, определяемых сечением двухполостного
гиперболоида плоскостями Oxz и Oyz.
Заметим, что в случае а — b уравнения (7) определяют окруж¬
ность с центром на оси Oz. Отсюда следует, что при а = Ь двух¬
полостный гиперболоид можно рассматривать как поверхность, обра¬
зованную вращением гиперболы вокруг одной из осей, а именно,
той, которая гиперболу пересекает.
§ 70. Конус второго порядка
231.	Рассмотрим уравнение
|	— о
Я2 bz с2 — ’
(1)
Особенностью уравнения (1) является то, что оно однородно,
т. е. все его члены имеют одну и ту же степень (=2). Отсюда
проистекает следующая геометрическая особенность определяемой
им поверхности.
Если некоторая точка Af (отличная от начала координат}
лежит на этой поверхности, то все точки прямой, которая
проходит через начало координат и точку М, также лежат на
этой поверхности.
Докажем наше утверждение. Пусть М— точка с координатами
(Z; т; л), W—какая угодно точка прямой ОМ. Согласно п°216
координаты х, у, z точки М определяются равенствами
x = lt, у —mt, z = nt,
где t — некоторое число. Предположим, что точка М лежит на
рассматриваемой поверхности; тогда
/2 I т2 и2	~
Но в таком случае
GO2 I (^02	(nt)*

2 “г ьг Л
r	С2/-U
а1
с

196	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА	[гл. 13
следовательно, точка N также лежит на этой поверхности. Утвер¬
ждение доказано.
Заметим, что тем же самым свойством обладает каждая поверх¬
ность, которая в декартовых координатах определяется однородным
z	уравнением (поскольку в проведенном сейчас
рассуждении мы ничем, кроме однородности
данного уравнения, не пользовались). Иначе
говоря, поверхность, определяемая одно¬
родным уравнением, состоит из прямых,
проходящих через одну точку, именно —
через начало координат. Такая поверхность
называется конической, или, просто конусом.
Прямые, из которых составлен конус, назы¬
ваются его образующими, точка, через кото¬
рую все они проходят, называется верши¬
ной конуса.
В частности, поверхность, которая в
некоторой системе декартовых координат
определяется уравнением вида (/), назы¬
вается конусом второго порядка.
Чтобы уяснить себе форму конуса вто¬
рого порядка, достаточно рассмотреть его
сечение какой-нибудь плоскостью, не про¬
черк 115.	ходящей через начало координат (т. е. не
проходящей через вершину). Возьмем, на¬
пример, плоскость z = c. Сечение конуса этой плоскостью опреде¬
ляется уравнениями
Очевидно, оно представляет собой эллипс с полуосями а, Ь, располо¬
женный симметрично относительно координатных плоскостей Oxz и Oyz.
В согласии с этим обстоятельством исполнен черт. 115, где дано
изображение конуса второго порядка.
Заметим, что если а = Ь, то эллипс, определяемый уравнениями (2),
есть окружность с центром на оси Oz, и, следовательно, конус
оказывается круглым.
232.	Рассмотрим уравнение
Это уравнение определяет единственную действительную точку:
х = 0,	= О, z = 0. Однако ввиду аналогии с уравнением (1) его
часто называют уравнением мнимого конуса.

§ 71]
ПАРАБОЛОИДЫ
197
§ 71. Параболоиды
233.	Существуют две поверхности, которые являются простран¬
ственными аналогами парабол на плоскости. Их называют парабо¬
лоидами (эллиптическим и гиперболическим).
234.	Эллиптическим параболоидом называется поверхность, кото¬
рая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат опре¬
деляется уравнением
2Z=£ + £ (1)
Р 1	<7
(при положительных р и q). Уравнение (1) называется каноническим
уравнением эллиптического параболоида. Исследуем эту поверхность
методом сечений.
Прежде всего рассмотрим сечения координатными плоскостями
Oxz и Oyz. При у = 0 из уравнения (1) имеем: x2 = 2pz; таким
образом, сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
х2 = 2рг, \
> = )
Мы видим, что оно представляет собой восходящую параболу,
симметричную относительно оси Oz, с вершиной в начале координат,
параметр этой параболы равен р. Сечение плоскостью Oyz опреде¬
ляется уравнениями
У = 2?г,
х = 0 I
и представляет собой аналогичным образом расположенную параболу
с параметром q.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями,
параллельными координатной плоскости Оху. Каждая из таких пло¬
скостей определяется уравнением вида г —Л, а сечение параболоида
этой плоскостью определяется уравнениями
z = h.
(2)
Отсюда видно, что 1) при Л^>0 плоскость z — h пересекает эллип¬
тический параболоид по эллипсу с полуосями а* = 2hp, b* =
= ]/r2hq, расположенному симметрично относительно плоскостей
Oxz и Oyz; 2) при возрастании h величины а* и /г* возрастают;
3) если h возрастает бесконечно, то а* и Ь* возрастают также
7 Н. В. Ефимов
198
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 13
бесконечно; 4) если /г, убывая, приближается к нулю, то с* и Ь*
убывают и также приближаются к нулю; при h = Q имеем а* = 0,
= это означает, что эллипс, образуемый сечением параболоида (1)
плоскостью z = 0, вырождается в точку; иначе говоря, плоскость z = 0
касается данного эллиптического параболоида; 5) при Л<0 уравне¬
ния (2) определяют мнимый
эллипс; это означает, что плоскость z = h
при h<ZO с данным параболоидом не
встречается совсем (черт. 116).
Сопоставляя изложенное, можем
заключить, что эллиптический парабо¬
лоид имеет вид бесконечной выпуклой
чаши. Он обладает двумя взаимно пер¬
пендикулярными плоскостями симмет¬
рии; при данном выборе координатной
системы эти плоскости совмещены с
координатными плоскостями Oxz и Oyz.
Точка, с которой совмещено начало
координат, называется вершиной эллип¬
тического параболоида; числа р и q
называются его параметрами.
Заметим, что в случае p = q урав¬
нения (2) определяют окружность с
следует, что при p — q эллиптический
центром на оси Oz, Отсюда
параболоид можно рассматривать как поверхность, образованную вра¬
щением параболы вокруг ее оси.
235.	Поверхность, которая в некоторой системе декартовых
прямоугольных координат определяется уравнением вида
(3)
(при положительных р и q), называется гиперболическим пара¬
болоидом. Займемся исследованием этой поверхности.
Рассмотрим сечение гиперболического параболоида плоскостью
Oxz. При у = 0 из уравнения (3) имеем х* = <2pz\ таким образом,
сечение плоскостью Oxz определяется уравнениями
х2 = 2pz, }
,-о.	}	“>
Мы видим, что оно представляет собой восходящую параболу, сим¬
метричную относительно оси Oz, с вершиной в начале координат;
параметр этой параболы равен р.
Теперь рассмотрим сечения данного параболоида плоскостями,
параллельными плоскости Oyz. Каждая из таких плоскостей опре-

§ 71]
ПАРАБОЛОИДЫ
199
деляется уравнением вида x = h, а сечение параболоида этой пло¬
скостью определяется уравнениями
(5)
Отсюда видно, что при любом h плоскость x = h пересекает гипер¬
болический параболоид по нисходящей параболе, расположенной
Oxzy
симметрично относительно
плоскости Oxz(cm. п° 120).
Все эти параболы, как по¬
казывает первое из урав¬
нений (5), имеют общий
параметр, равный q\ вер¬
шина каждой из них лежит
на линии, которая обра¬
зуется сечением парабо¬
лоида плоскостью
т. е. на восходящей пара¬
боле, определенной урав¬
нениями (4) (черт. 117).
Заметим, что каждая
плоскость y = h пересекает гиперболический параболоид
дящей параболе, что видно из уравнений
y = h,
по восхо-
определяющих такие сечения; одно из этих сечений, а именно,
соответствующее значению й = 0, было рассмотрено нами в первую
очередь.
На черт. 117 изображен кусок гиперболического параболоида;
край изображенного куска составлен из двух отрезков восходящих
парабол, плоскости которых параллельны плоскости Oxz, и двух
отрезков нисходящих парабол, плоскости которых параллельны пло¬
скости Oyz,
Рассмотрим, наконец, сечения гиперболического параболоида пло¬
скостями, параллельными плоскости Оху. Каждая такая плоскость
имеет уравнение z = h, а сечение параболоида этой плоскостью
определяется уравнениями
z — h.
7*

200
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 13
Отсюда мы видим, что плоскости z = h пересекают гиперболический
параболоид по гиперболам, расположенным симметрично относительно
плоскостей Oxz и Oyz, Если Л^>0, то соответствующая гипербола
пересекает плоскость Oxz, если Л<^0, — гипербола пересекает пло¬
скость Oyz\ при Л = 0 гипербола вырождается в пару прямых (на
черт. 117 изображено одно сечение параболоида плоскостью z = h
для случая Л^>0).
Все изложенное позволяет заключить, что гиперболический пара¬
болоид имеет форму седла. Он обладает двумя взаимно перпендику¬
лярными плоскостями симметрии; при данном выборе координатной
системы эти плоскости совмещены с координатными плоскостями
Oxz и Oyz, Точка, с которой совмещено начало координат, назы¬
вается вершиной гиперболического параболоида; числа р, q назы¬
ваются его параметрами.
§ 72. Цилиндры второго порядка
236.	В заключение нашего обзора рассмотрим уравнение второй
степени, не содержащее текущей координаты z, Мы можем написать
его в виде
Ах2 + 2 Вху 4- Су2 + 2Dx -j- 2Ву 4_ F= 0.	(1)
Согласно п°193 уравнение (1) определяет
цилиндрическую поверхность (или, как гово¬
рят короче,— цилиндр) с образующими, параллель¬
ными оси Oz, Поскольку уравнение (1) есть урав¬
нение второй степени, определяемая им поверх¬
ность называется цилиндром второго порядка.
Заметим теперь, что уравнение (1) по суще¬
ству не отличается от уравнения (1) § 41, кото¬
рое в декартовых координатах на плоскости
определяет линию второго порядка. Отсюда заклю¬
чаем, что сечение рассматриваемого цилиндра
плоскостью Оху есть линия второго порядка.
В зависимости от характера этой линии мы имеем
цилиндры второго порядка следующих типов.
1) Эллиптический цилиндр (черт. 118); при помощи надлежащего
выбора координатной системы его уравнение может быть приведено к виду
Если а — b, то цилиндр оказывается круговым.
б) Гиперболический цилиндр (черт. 119); его уравнение может быть
приведено к виду
i2 _	— 1
а2'	Ь2~~ ’

§ 73] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА 201
в) Параболический цилиндр (черт. 120); его уравнение может
быть приведено к виду	у*	^рх
Кроме того, возможен случай, когда левая часть уравнения (1)
есть произведение двух множителей первой степени. Тогда ци¬
линдр «вырождается» в пару плоскостей.
Черт. 120.
Наконец, возможно еще, что уравнение вида (1) совсем не имеет
вещественных решений (например, х2Ц-у2 = —1) и, следовательно,
совсем не определяет, никакого геометрического образа.
Относительно такого уравнения принято говорить, что оно «определяет
мнимый цилиндр».
§ 73. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида.
Конструкции В. Г. Шухова
237.	Обзор различных типов поверхностей второго порядка
(см. §§ 69—72) сейчас же обнаруживает, что среди них имеются
линейчатые поверхности, т. е. поверхности, составленные из пря¬
мых: конусы, цилиндры. Но оказывается, что кроме конусов и ци¬
линдров линейчатыми поверхностями второго порядка являются еще
однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид. Этот
факт «на взгляд» не очевиден, однако легко доказывается алгебраи¬
чески. Проведем доказательство для однополостного гиперболоида.
Представим каноническое уравнение однополостного гиперболоида
в виде
xL-z- = \ _yL
а2 с2	Ь2 ’
или
(1)

202
ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
[гл. 13
Рассмотрим далее два уравнения первой степени:
где а и р — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Если
аир фиксированы, то уравнения (2) совместно определяют прямую;
меняя аир, получим бесконечную систему прямых. Заметим теперь,
что, перемножая уравнения (2) почленно, мы получим уравнение (1).
Отсюда следует, что каждая из этих прямых целиком
лежит на однополостном гиперболоиде. В самом деле,
если координаты х, у, z некоторой точки удовлетворяют двум
уравнениям (2), то они удовлетворяют также уравнению (1); таким
образом, каждая точка прямой, определяемой уравнениями (2) при
любых а, Р (не равных одновременно нулю), лежит на рассматри¬
ваемом однополостном гиперболоиде, т. е. на нем лежит вся эта
прямая.
Покажем, наконец, что через каждую точку однополо¬
стного гиперболоида проходит одна и только одна
прямая из указанной системы. Пусть (х0; j/0;	— про¬
извольная точка однополостного гиперболоида; так как координаты
ее удовлетворяют уравнению гиперболоида, то
(3)
Будем искать такие числа а, Р, чтобы соответствующая им прямая
системы (2) проходила через точку Л40. Так как координаты точки
Л4о должны удовлетворять уравнениям этой прямой, то для опреде¬
ления неизвестных а, р мы имеем два уравнения:
(4)
Если	то из первого уравнения этой системы
Р = /га, где положено
находим
, а 1 с
k =

(5)
При Р = ka также и второе уравнение системы (4) будет удовле¬
творено: это следует из соотношений (3) и (5). Подставим р = £а
в уравнения (2), считая а каким угодно, но не равным нулю. Так

§73] ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ ОБРАЗУЮЩИЕ ОДНОПОЛОСТНОГО ГИПЕРБОЛОИДА 203
как оба уравнения в каждой своей части имеют после этой под¬
становки множитель а, то а можно сократить. Мы получим вполне
определенную пару уравнений
случае решение си-
Черт. 121.
которой соответствует одна вполне определенная прямая; эта пря¬
мая проходит через точку Л40 (так как числа а и 0 выбирались
с соблюдением равенств (4)).
Если же 1 —[—^- = 0, то формула (5) теряет смысл; но при
= 0 непременно 1—у=^=0. В таком
стемы (4) можно найти, исходя из второго
ее уравнения, после чего, аналогично преды¬
дущему, можно доказать, что и в этом случае
через точку Мо проходит одна-единственная
прямая системы (2).
Итак, уравнения (2) при различных значе¬
ниях аир определяют бесконечную систему
прямых, которые лежат на однополостном
гиперболоиде и покрывают его сплошь. Эти
прямые называются прямолинейными об¬
разующими однополостного гиперболоида.
Мы показали, что однополостный ги¬
перболоид составлен из прямых, т. е. яв¬
ляется линейчатой поверхностью. Но,
более того, однополостный гиперболоид
является дважды линейчатой поверхностью.
Это означает, что он обладает двумя
системами прямолинейных образующих.
В самом деле, аналогично уравнениям (2) можно составить уравнения
(в»
Уравнения (6) также определяют систему прямолинейных образую¬
щих однополостного гиперболоида, причем отличную от гой, кото¬
рая определена уравнениями (2).
Однополостный гиперболоид с двумя системами своих прямоли¬
нейных образующих изображен на черт. 121,

204	ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО порядка	[гл. 13
238.	Не вдаваясь в детали вопроса, укажем, что гиперболи¬
ческий параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих,
из которых одна определяется уравнениями
“(й+й)=2₽" Чй~йй-
а другая — уравнениями
“(й~й)=2₽г’ Кй+йН'
Изображение гиперболического параболоида с его двумя системами
прямолинейных образующих дано на черт. 122.
Черт. 122.
239.	Знаменитому русскому инженеру Владимиру Григорьевичу
Шухову принадлежит идея использования линейчатого характера
однополостного гиперболоида в строительной технике. В. Г. Шухов
предложил конструкции из металлических балок, расположенных так,
как расположены прямолинейные образующие однополостного гипер¬
болоида (вращения). Такие конструкции оказались легкими и проч¬
ными. Они часто применяются для устройства водонапорных башен и
высоких радиомачт.

ПРИЛОЖЕНИЕ
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 1. Определители второго порядка
и системы двух уравнений первой степени
с двумя неизвестными
1.	Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а2,	Ь2:
«2
(1)
Число a^b2— а2Ьг
соответствующим
символом
а\
а2
Ьг
называется определителем второго порядка,
таблице . (1). Этот определитель обозначается
соответственно имеем:
Числа ах, а2, Ь1У Ь2 называются элементами определителя. Гово¬
рят, что элементы ах, Ь2 лежат.на главной диагонали определителя,
а элементы а2, Ьг — на побочной. Таким образом, определитель вто¬
рого порядка равен разности между произведениями элементов,
лежащих на главной и побочной диагоналях.
Например,
2.	Покажем, как применяются определители второго порядка
в задаче исследования и разыскания решений системы двух уравне¬
ний первой степени с двумя неизвестными.
Рассмотрим систему двух уравнений:
atx~\-bzy=- ht, j
(3)

206
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
с неизвестными х, у (коэффициенты	а2, b2 и свободные
члены h2 предположим данными). Пара чисел х0, называется
решением системы (3), если эти числа удовлетворяют системе (3),
т. е. если при замене букв х, у соответственно числами х0, у*
каждое из уравнений (3) становится арифметическим тождеством.
Будем разыскивать все решения системы (3); попутно мы про¬
ведем ее исследование, именно, выясним, в каких случаях система(3)
имеет только одно решение, в каких случаях — более одного и
в каких случаях она совсем не имеет решений. Мы употребим обще¬
известный прием исключения неизвестных: умножим обе части пер¬
вого уравнения на Ь2, второго — на — Ьх, и затем полученные ра¬
венства сложим почленно; тем самым неизвестное у исключается,
и мы получим:
(аА — a2bl}x = b2hl — b,h2.	(4)
Аналогично, исключая из системы (3) неизвестное х, найдем:
(ахЬг — a2b1)y — a1h2 — a2h,.	(5)
Введем обозначения:
Д =
'i
(6)
a, bt
а2 b2
h, b2
h2 b2
ai К
a2 h2
Тогда уравнения (4) и (5) можно будет написать так:
A-x = Av, Ь-у — Ьу.
(7)
Определитель Д, составленный из коэффициентов при неизвест¬
ных системы (3), называется определителем этой системы. Опре¬
делитель Ах получается путем замены элементов первого столбца
определителя Д свободными членами системы (3); определитель Д^
получается из определителя Д при помощи замены свободными чле¬
нами системы (3) элементов второго столбца.
Предположим, что Д=^=0. При этом условии из уравнений (7)
найдем:
А х	А «
■ у==~ь'
или, в развернутом виде:
Ь2
(8)

§ 1]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО ПОРЯДКА
207
Эти формулы, очевидно, дают решение выводной системы, состоя¬
щей из уравнений (7). Они же дают решение исходной системы (3).
Чтобы убедиться в этом, следует неизвестные х, у в левых частях
уравнений (3) заменить но формулам (8); после такой замены (в ре¬
зультате «раскрытия» определителей А, Дх, А^ и несложных выкла¬
док, которые легко проведет сам читатель) обнаруживается, что
левая часть первого из уравнений (8) равна числу /г1? а левая часть
второго из уравнений (3) — числу /г2, а это и означает, что фор¬
мулы (8) определяют решение системы (3).
На основании изложенного мы можем высказать следующее
утверждение: если определитель А системы (3) не равен нулю, то
система имеет единственное решение} оно определяется форму¬
лами (8).
3.	Предположим теперь, что Д = 0. Если при этом хотя бы
один из определителей Дх, Д^ отличен от нуля, то система (3)
совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы
несовместны).
В самом деле, если Д = 0, но хотя бы один из определителей
Дх, А не равен нулю, то по крайней мере одно из равенств (7)
является невозможным, т. е. система (7) не имеет решений. Но в та¬
ком случае и система (3) не имеет решений, так как система (7)
выведена из системы (3), следовательно, каждое решение системы (3),
если бы таковое имелось, было бы решением системы (7).
Если же Д = 0, но вместе с тем Av = Ay = 0, то система (3)
имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравне¬
ний системы есть следствие другого).
В самом деле, если Д = Дх = Ду = 0, т. е. если
аД— аД = 0,	— а2кЛ = 0, Ьф2— b2hl = O,
то коэффициенты при неизвестных и свободные члены данных урав¬
нений пропорциональны. А это означает, что одно из уравнений
системы получается путем умножения всех членов другого уравне¬
ния на некоторый общий множитель, т. е. в системе есть лишь одно
существенное уравнение, например, а^-^- Ьуу = Н1У другое же является
его следствием. Но уравнение вида ахх-\- bxy = h* всегда имеет бес¬
конечно много решений, поскольку одной из двух неизвестных х, у
можно придавать численные значения по произволу, а вторую опре¬
делять соответственно из уравнения (например, если #,=^=0, то, на¬
значая произвольно х, мы можем определять у по формуле:
Замечание. В этих рассуждениях предполагалось, что каждое
отдельно взятое уравнение системы имеет решение. Если рассматри¬
вать и такие системы, в которых содержатся противоречивые равенства,
208
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
то высказанное утверждение будет неверным. Например, система:
удовлетворяет условиям: Д —0, Дх = 0, Ду = 0; однако, эта система
не допускает ни одного решения.
4.	Итак: если определитель системы (3) не равен нулю (Д=^0),
то система имеет единственное решение (определяемое форму¬
лами (8)); если Д = 0, то система либо совсем не имеет решений,
либо имеет их бесконечно много.
Пример 1. Найти все решения системы
3x + 4f/=2, |
2х + 3у=7. }
Решение. Подсчитаем определитель системы:
д = |з з| = 3-3-2.4=1.
Так как Д^О, то система имеет единственное решение,
Найдем Дх и Д./
2	4
7 3
3	2
2 7
формулами (8).
определяемое
Отсюда
Пример
Дх =
д,=
Дх -22
Х~ Д
2. Найти все
= 2-3 —4-7 = —22,
= 3-7— 2-2= 17.
решения системы
Зх4-4г/ = 1, 1
6х + 8у = 3. J
I
Решение. Подсчитаем
определитель системы:
Д=|б £| = 3-8-4-6 = °.
Так как Д = 0, то данная система либо совсем не имеет
имеет их бесконечно много. Чтобы установить, какая именно
возможностей осуществляется, найдем Дх и Д^,:
д*=|з sH8-12 = -4-
д*=|б ^|=9-6 = з-
решений, либо
из этих двух
Так как Д —0, но Дх / 0, Д ,	0, то данная система решений не имеет.
Замечание. К тому же выводу можно прийти сразу, если помно¬
жить все члены первого уравнения на 2 и вычесть результат почленно из
второго уравнения; мы получим при этом 0=1, т. е. противоречивое равен¬
ство. Следовательно, данные уравнения несовместны.

§ 2]	ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
209
Пример 3. Найти все решения системы
Зх-|-4у = 1, 1
6х 4" 8у =■ 2. J
Решение. Коэффициенты при х, у — те же, что и в примере 2; по¬
этому А = 0. Следовательно, данная система либо совсем не имеет реше¬
ний, либо имеет их бесконечно много. Но, как легко заметить, второе
уравнение системы есть следствие первого (получается умножением всех
членов первого уравнения на 2). Таким образом, поскольку система сво¬
дится к одному уравнению, она имеет бесконечно много различных реше¬
ний; мы получим их, придавая х численные значения произвольно и находя
соответственные значения у по формуле
1 — Зх
г/=-4--
5.	Рассмотрим, в частности, систему двух однородных уравнений
с двумя неизвестными
+	= I
а2Х + ^ = 0> J
(9)
т. е. систему уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет нулевое решение*.
х = 0, у = 0. Если Д=^0, то это решение является единственным;
если же Д = 0, то однородная система, кроме нулевого, имеет бес¬
конечно много других решений (поскольку для однородной системы
возможность отсутствия решений исключена). Эти же выводы можно
сформулировать еще так: однородная система (9) имеет ненулевое
решение в том и только в том случае, когда Д = 0.
§ 2. Однородная система двух уравнений первой степени
с тремя неизвестными
6.	Займемся решением системы двух однородных уравнений
aix + Ь1У + ci2 = °> I
а2х-\-Ь2у + с,г = 0 )
(1)
с тремя неизвестными х, у, z. Предположим, что
д j
\
=#0.
(2)
Запишем систему (1) в виде
«2^ + ^ = —с2г /
(3)
и будем считать, что неизвестной z здесь предписано какое-нибудь
численное значение. При определенном численном значении z

210
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
система (3) имеет единственное решение, которое мы получим, применяя
формулы (8) § 1:
I —	I
.	I С2? ^2 I
х 1^1 ЬА ’
а2 — ^1
Iai ^i|
I а2 ^2 I '
Числа х, у вместе с числом г составляют решение заданной
системы (1); различным численным значениям z соответствуют
различные решения системы (1) (система (1) имеет бесконечно
много решений, так как z можно выбирать произвольно).
Придадим формулам (4) более удобный вид. Прежде всего заме¬
тим, что
— c,z Ь,
^1 С1
ах — ctz
ах с,
zt
	—
— ctz Ь2
аг — ctz
на основании этих равенств формулы (4) можно переписать
так:
х
bi с,
Ь2 с2
2
1? —
«1
а2
N |
ri	<N
О
ai ьх
>
У
а.
Ь.1 •
d2 Ь 2
а2
М
(5)
Введем обозначения:
к
С!
Дэ =
ai
(6)
д.=
К
К
теперь из формул (5) имеем:
— Д2-г
х==-дГ’
Обозначим ~ буквой /. В таком случае .г = Д3*/,
формулам (7) будут выражаться равенствами: x = A1»tf у —
Получаем формулы
(7)
согласно
= -A2-t
У=^
а х и у
х = Д1«/, у ——	z = &9*t,	(8)
которые определяют все решения системы (1) (каждое отдельное
решение получается при каком-либо определенном численном зна¬
чении /).

§ 2]
ОДНОРОДНАЯ СИСТЕМА ДВУХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
211
Для практики вычислений полезно заметить, что определители
Л,, Д2, Д3 получаются при помощи поочередного вычеркивания столб¬
цов таблицы
/ а, Ь. сг \
\ а2 ь2 Сг1
7.	Предыдущий вывод проводился в предположении, что Д3=^=0
(см. неравенство (2)).
В случае, когда Д3 = 0, но хотя бы один из определителей Др
Д2 не равен нулю, вывод сводится к предыдущему переменой ролей
неизвестных (если, например, Д2т^0, то следует предполагать, что
произвольные численные значения предписываются неизвестной у,
а х и z соответственно определяются из уравнений системы). Окон¬
чательный же результат получается тот же самый, т. е. все решения
системы снова определяются формулами (8).
Если же все три определителя Др Д2, Д3 равны нулю, т. е.
bxc2 — Vi = 0, а.с, —а2с,=0, аД —/>,а2 = 0,
то коэффициенты уравнений системы (1) пропорциональны. В этом
случае одно из уравнений системы есть следствие другого: од¬
но уравнение получается умножением всех членов другого на
некоторый численный множитель. Таким образом, при Д1 = 0,
Д2 = 0, Д3 = 0 система фактически сводится к одному уравнению.
Такая система естественно имеет бесконечно много решений; что¬
бы получить какое-нибудь из них, следует двум неизвестным
предписать произвольно численные значения, а третье найти из
уравнения.
Пример 1. Найти все решения системы
Зх —{— 5у —J— 82 = О, I
7х 2г/ + 4z = 0. J
Решение. Согласно п® 6, имеем:
Д, = 4, Д2 = — 44, Д3 = —29.
Все решения данной системы определяются формулами
х = 4/, у = 44/, г = — 29/,
где t может принимать любые значения.
Пример 2. Найти все решения системы
Зх 4~ %У — Зз = 0, )
6х 4у — 6z = 0. J
Решение. Мы имеем Aj = O, Д2 = 0, Д3 = 0; система содержит лишь
одно существенное уравнение (второе получается почленным умножением
первого на 2). Любое решение системы состоит из трех чисел х, у, г, где
		Зх 4~ 2w
х, у — какие угодно, a z = —

212
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
§ 3. Определители третьего порядка
8.	Пусть дана квадратная таблица из девяти чисел а2, az,
^2’ ^3’ ^1>	^2»	С3‘
/'«, h с. \
«2 Ьг сг :	(1)
\ а> с, /
Определителем третьего порядка, соответствующим таб¬
лице (1), называется число, обозначаемое символом:
а. \ с.
^2 ^2 ^2
^3	^3	С3
и определяемое равенством
а, t>l С1
Ь2 С2
а2 Ь, С2
— aib2c> +	+ сга2Ь2 — С^2а—Ь1агс, — а,сД. (2)
Числа an а2, az, Z\, Z>2, bt, c1? c2, c8 называются элементами опре¬
делителя. Элементы а1? b2, с9 расположены на диагонали определи¬
теля, называемой главной; элементы а8, Ь2, сг составляют его
побочную диагональ.
Обратим внимание читателя на то, что первые три слагаемых
в правой части равенства (2) представляют собой произведения эле¬
ментов определителя, взятых по три так, как показано различными
пунктирами на нижеприводимой схеме слева.
Чтобы получить следующие три члена правой части равенства (2),
нужно перемножить элементы определителя по три так, как пока¬
зано различными пунктирами на той же схеме справа, после чего
у каждого из найденных произведений изменить знак.
Указанное сейчас правило, называемое правилом треугольников,
позволяет без напряжения памяти написать формулу (2), а также

§ 3]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
213
вычислить определитель третьего порядка с численно заданными
элементами (без того, чтобы предварительно выписывать фор-
мулу (2)).
Например,
3 — 2	1
— 2	1	3
2 0—2
= 3«1«( — 2)-]-( — 2)-3-2Ц-( — 2)-0-1 —
— 2-1-1 — З’О-З —( —2)-( —2).( —2) = — 12.
9.	Определители широко применяются как в самой математике,
так и в ее приложениях. Немного далее мы покажем применение
определителей третьего порядка в вопросе исследования и решения
системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными. Но
сначала нам придется познакомиться с некоторыми свойствами опре¬
делителей. Ряд важнейших свойств определителей сообщается в сле¬
дующем п°; все пояснения, относящиеся к этим свойствам, мы бу¬
дем проводить, имея в виду определители третьего порядка; одна¬
ко сами свойства присущи определителям всех порядков (понятие
определителя порядка выше третьего изложено в конце настоящего
приложения).
10.	Свойство 1. Величина определителя не изменится, если
все его строки заменить его столбцами, причем каждую строку
заменить столбцом с тем же номером, т. е.
ci
Ьг с2
а> Ь, с=
«1 аг а,
^1 ^2
С, с2 с»
(3)
Это свойство можно выразить еще так: если поменять местами
элементы определителя, расположенные симметрично относи¬
тельно главной диагонали, то величина определителя останется
неизменной.
Для доказательства этого свойства достаточно применить пра¬
вило треугольников к левой и правой части равенства (3) и сравнить
полученные результаты.
Замечание. Свойство 1 означает равноправность строк и
столбцов определителя; поэтому дальнейшие свойства определителя,
присущие его столбцам и строкам, достаточно доказывать только
для столбцов или только для строк.
Свойство 2. Перестановка двух столбцов или двух строк
определителя равносильна умножению его на —1.
Например,
«1 с,
с, b, а,
«2 С2
= —
с2 Ь2 а2
а> Ь, С2
Ч	й,
(4)

214
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Для доказательства равенства (4) достаточно применить правило
треугольников к его левой и правой части и сравнить полученные
результаты (точно так же устанавливаются аналогичные равенства,
соответствующие перестановке других строк определителя).
Свойство 3. Если определитель имеет два одинаковых столбца
или две одинаковые строки, то он равен нулю.
В самом деле, пусть Д какой-нибудь определитель, имеющий два
одинаковых столбца. Если мы переставим эти столбцы, то, с одной
стороны, в силу свойства 2 определитель изменит знак. Но, с дру¬
гой стороны, поскольку переставляемые столбцы одинаковы, их
перестановка не может изменить определителя. Следовательно, Д =—Д,
т. е. 2Д = 0, или Д = 0.
Например,
8 3
5 5
7 7
17
8
9
= 0.
Свойство 4. Умножение всех элементов одного столбца или
одной строки определителя на любое число k равносильно умно¬
жению определителя на это число k.
Иначе это свойство можно высказать так: общий множитель,
всех элементов одного столбца или одной строки определителя
можно вынести за знак определителя.
Например,
kat Ьг с1
ах Ьх сх
ka2 Ьг сг
= k
аг К Сг
kat b, с,
а>	сз
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что
определитель выражается в виде суммы, каждый член которой со¬
держит множителем один элемент из каждой строки и из каждого
столбца (см. формулу (2) п° 8).
Свойство 5. Если все элементы некоторого столбца или
некоторой строки равны нулю, то сам определитель равен нулю.
Это свойство есть частный случай предыдущего (при & = 0).
Например:
1 0
3 0
7 0
5
8
2
= 0.
Свойство 6. Если соответствующие элементы двух столбцов
или двух строк определителя пропорциональны, то определитель
равен нулю.
Это свойство следует из свойств 4 и 3. В самом деле, если эле¬
менты двух столбцов определителя пропорциональны, то элементы
§ 3]
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА
215
одного из них получаются умножением элементов другого на неко¬
торый общий множитель. Вынося этот множитель за знак опреде¬
лителя, мы получим определитель с двумя одинаковыми столбцами;
согласно свойству 3 он равен нулю.
Например,
8 4	7
4 4	7
10 5 9
= 2
5 5	9
6 3 11
3 3 11
Свойство 7. Если каждый элемент п-го столбца (или п-й
строки) определителя представляет собой сумму двух слагаемых,
то определитель может быть представлен в виде суммы двух
определителей, из которых один в п-м столбце (или соответ¬
ственно в п-й строке) имеет первые из упомянутых слагаемых,
а другой — вторые; элементы, стоящие на остальных местах,
у всех трех определителей одни и те же.
Например,
Д] —|— ах Ьх с,
а, Ь2 С1
< \ с,
+ а"г К С2
=
а'г Ьг Сг
+
< Ь2
a'S + < Ь2 С,
а\ Ь2 <=»
«" *>, с,
з	9	3
Для доказательства этого равенства достаточно применить пра¬
вило треугольников к определителям, записанным в его левой и
правой части, и сравнить полученные результаты.
Свойство 8. Если к элементам некоторого столбца (или
некоторой строки) прибавить соответствующие элементы дру¬
гого столбца (или другой строки), умноженные на любой об¬
щий множитель, то величина определителя при этом не из¬
менится.
Свойство 8 вытекает из свойств 7 и 6; поясним это на примере.
Пусть к элементам первого столбца прибавлены элементы второго
столбца, умноженные на некоторое число k. Тогда согласно свой¬
ству 7 имеем:
ах +	С1
at Ь, с,
kb^ b' С'
+ Ч ь2 с2
=
а2 Ь2 С2
4-
М2 Ь2
аг + kb2 Ьг сг
а, Ь2 С>
kt>3 Ь2
Второй из полученных определителей имеет два пропорциональ¬
ных столбца. Следовательно, по свойству 6 он равен нулю; полу¬
чаем равенство
at 4- kbt bt с,
a, bt c,
+	b2 сг
—
Ь2 C2
аг 4”l)> ci
a> C,

216
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
которое в данном случае и выражает указанное свойство опреде¬
лителя.
Дальнейшие свойства определителей связаны с понятием алгебраи¬
ческого дополнения и минора.
§ 4. Алгебраические дополнения и миноры
11.	Рассмотрим определитель
Д =
at b3 с3
аг Ьг Сг
а, Ь, с.
(П
По определению (см. п° 8)
Д = atbtct 4- b3cta3 + с3агЬ, — ctb2a3 — b3a2c, — а3с2Ь2.	(2)
Соберем здесь члены, содержащие какой-нибудь один элемент опре¬
делителя, и вынесем этот элемент за скобки; величина, остающаяся
в скобках, называется алгебраическим дополнением этого элемента.
Алгебраическое дополнение элемента мы будем обозначать большой
буквой того же наименования и с тем же номером, что и буква,
которой обозначен сам элемент. Например, алгебраическое допол¬
нение элемента а1 будет обозначаться через Аг, элемента —
через Вг и т. д.
Свойство 9. Определитель равен сумме произведений эле¬
ментов какого-нибудь столбца (или строки) на их алгебраические
дополнения.
Иначе говоря, имеют место следующие равенства:
(3)
(4)
Д= С1С1 +	+ СзСз>
(5)
Чтобы доказать, например, первое из этих равенств, достаточно за¬
писать правую часть формулы (2) в виде
Д = a, (b2c, — 63с2) Ц- а2 (b3c, — btc3) + а, (Ь3с2 — Ь2сх\,
величины, стоящие здесь в скобках, являются алгебраическими до¬
полнениями элементов av а2, а3, т. е.
Ь2с3— Ь3с2 — А3-, Ь3с3—Ь3с3 = Аг, Ь3сг — Ьгс3 — А3.
Отсюда и из предыдущего получаем:
Д — ai '1 4' “з'Ч 4" а»А»>

§ 4]
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ И МИНОРЫ
217
что и требовалось. Остальные равенства (3 — 5) доказываются анало¬
гично. Запись определителя согласно какой-нибудь из формул (3—5)
называется разложением его по элементам некоторого столбца или
некоторой строки (первая формула дает разложение по элементам
первого столбца и т. д.).
12.	Минором некоторого элемента определителя называется опре¬
делитель, получаемый из данного путем вычеркивания строки и
столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Напри¬
мер, минором элемента а, определителя А является определитель
IU с I
2 2 и т. д.
«з Сз I
Оказывается, что алгебраическое дополнение любого элемента
определителя равняется минору этого элемента, взятому со
своим знаком, если сумма номеров строки и столбца, на пересе¬
чении которых расположен элемент, есть число четное, и с обрат¬
ным знаком, если это число — нечетное. Чтобы убедиться в спра¬
ведливости этого утверждения, читатель должен рассмотреть алге¬
браические дополнения всех элементов определителя и сравнить
V.
их с минорами.
Указанное сейчас обстоятельство существенно облегчает исполь¬
зование формул (3—5), так как позволяет записывать алгебраические
дополнения элементов определителя сразу, просто «глядя» на этот
определитель. При этом еще полезно иметь в виду следующую
схему:
где знаком плюс помечены места тех элементов, для которых алге¬
браические дополнения равны минорам, взятым с их собственными
знаками.
Пример. Вычислить определитель
2
4
6
5
12
19
3
9
17
разлагая его по элементам первой строки.
Решение.
д_ 91 12 191 л | 5 19 | . А | 5 121 я
2| 9 17 J ~ 4 I 3 17 I + 6| 3 9|~8,
Замечание. Вычисление определителя при помощи разложения по
элементам столбца или строки можно упростить, если предварительно пре¬
образовать этот определитель, используя свойство 8. Именно, умножая эле¬
менты некоторого столбца (или некоторой строки) на любой множитель
и прибавляя их затем к элементам другого столбца (или другой строки),

218
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
мы получим новый определитель, равный данному; при надлежащем выборе
множителя можно добиться того, чтобы один из элементов полученного
определителя оказался равным нулю. Двукратное применение такой операции
может дать определитель, равный данному, у которого два элемента одной
строки (или одного столбца) будут равны нулю. Вычисляя полученный оп¬
ределитель при помощи разложения его по элементам указанной строки
(или столбца), мы должны будем подсчитать лишь один минор, так как два
минора из трех умножаются на элементы, равные нулю. Так, например, вы¬
числяя предложенный в предыдущем примере определитель А, преобразуем
его предварительно так: прибавим к элементам его второго столбца элементы
первого столбца, умноженные на (—2), затем прибавим к элементам его
третьего столбца элементы первого столбца, умноженные на (—3); мы по-
лучим:
[200
А = 5 2 4 .
3 3 8
Разлагая этот определитель по элементам первой строки, находим:
13.	Здесь мы сообщим некоторые предложения, важные для ре¬
шения и исследования системы уравнений первой степени с тремя
неизвестными *).
Пусть дан определитель
ах Ьх сх
^2
а3 Сз
0)
Разложим его по элементам какой-нибудь строки или какого-нибудь
столбца, например, по элементам первого столбца:
—а2А2-\-а3А3,	(6)
Заменим в правой части этого равенства числа а2, а9 любыми
числами Лх, h2, h3, тогда правая часть равенства (6) будет предста¬
влять собой разложение по элементам первого столбца определителя,
который получается из определителя Д заменой элементов его пер¬
вого столбца числами /г2, /г3:
-j- h2A2 Ц- h3А3 —
/?1 сх
^2 ^2 ^2
К b3 с3
(7)
Выберем теперь в качестве hv h2, h9 элементы второго или
третьего столбца данного определителя (т. е. возьмем Л1 = ^1,
h2 = b2, h3 = b3 или hx = c^ h2 = c2, h3 — c3). В таком случае
♦) Аналогичные предложения, относящиеся к определителям высших
порядков, использую1ся для решения и исследования системы уравнений
первой сгепени с любым числом неизвестных.
§ 5]
СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
219
определитель (7) будет иметь два одинаковых столбца и, следова¬
тельно, будет равен нулю; получаем равенство
+ + =	(8))
пли
с1А1 с2/2 4" с3А3 = 0.	(9)
Если мы будем исходить из разложения А по элементам его
второго столбца, то аналогичным путем получим равенства:
+	+	=	(Ю)
сА+^А+^Д=о.	(и)
Исходя из разложения А по элементам третьего столбца, получим
равенства:
а£г +	4“	02)
^А+^сг+^с,=о.	(13)
Кроме того, шесть подобных равенств имеет место для строк опре¬
делителя.
На основании изложенного мы можем сформулировать следующее
свойство определителей:
Свойство 10. Сумма произведений элементов какого-нибудь
столбца (или какой-нибудь строки} определителя на алгебраи¬
ческие дополнения соответствующих элементов другого столбца
или другой строки} равна нулю.
§ 5. Решение и исследование системы трех уравнений
первой степени с тремя неизвестными
14.	Рассмотрим систему трех уравнений
aix^rb1y-Jrc1z = h1, '
a2x-\-b2y-\-c2z = h2, ■
агх+Ь2у-]-с2г=^Ь, _
О)
с неизвестными х, у, z (коэффициенты а^ Ьх, ... , с3 и свободны
члены Л2, h3 предположим данными).
Тройка чисел х0, у0, zQ называется решением системы (1), если
эти числа удовлетворяют уравнениям системы (1), т. е. если при
замене символов х, у, z числами х0, у0, z^ каждое из уравнений (1)
станет арифметическим тождеством. Займемся разысканием всех ре¬
шений системы (1); попутно проведем ее исследование, именно,
выясним, в каких случаях система (1) имеет только одно решение,
в каких случаях — более одного, в каких случаях она совсем не
имеет решений.

220
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
В последующих рассуждениях основную роль будет играть опре¬
делитель
(2)
составленный из коэффициентов при неизвестных; он называется
определителем данной системы.
Будем, как и раньше, обозначать символами Д, А2, ... алгебраи¬
ческие дополнения элементов а2, ... определителя Д. Умножим
обе части первого уравнения системы (1) на второго — на Л2,
третьего — на Л3, а затем почленно сложим эти уравнения; по¬
лучим:
(а1А + А + Х + 1А1 +	+
+ А 4“ с2 А + сзА)z — (А А + АА + А А)-
Аналогично
найдем:
Отсюда и на основании свойств 9 и 10 имеем (см. первое из
равенств (3) п° 11, а также равенства (8) и (9) п° 13):
Д.% — hxAx-\-hiAi-\-hiAt.
(3)
(4)
д.^АА+лл+л.с,,
(5)
Правые
символами
части уравнений (3), (4) и (5) обозначим соответственно
Дх, Ду, Д2. Тогда уравнения (3), (4), (5) примут
=	Д-^ = Д>, Д-2г = Д.
причем, как следует из п° 13 (см., например, формулу (7)
п°
вид
(6)
13):
Л, Ьх с,
ах ^1 С1
ai А
К Ь2 С2
аг h2 С2
аг Ь2 Л2
ь, с>
а2	С3
аг bz h>
(7)
Полезно заметить, что определители Дх, Ду, Д2 получаются из
делителя Д при помощи замены соответственно его первого,
рого и, наконец, третьего столбца столбцом свободных членов дан¬
ной системы.
Предположим,
находим:
опре-
вто-
что Д^О; при этом условии из уравнений
(6)
у=-у-
у А ’
А,
* = д=
(8)
очевидно,
Эти формулы,
стоящей из уравнений (6).
стемы (1). Для доказательства следует подставить в уравнения
схемы (1) вместо х, у, z их выражения (8) и убедиться, что каждое
дают решение выводной системы,
Они же дают решение и исходной
со-
си-
си-

§ 5]
СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
221
из уравнений (1) будет удовлетворено. Выполним эту подстановку
для первого уравнения; мы имеем:
a1^4-/?l^4-cl
— д' а1 4“ ^гАг 4“	4- - д	А 4“ ^гВг 4“ А) 4"
4“ 4 С| 4-	4-	=	А 4“ Ь'В' 4" С1С1) 4“
4“ Й2 (а1А2 4" &1В2 4- С А) 4"д	А 4- ^iBz 4- с А)-
Но согласно девятому свойству определителей
aiAi 4" 1\В14-с А =
а согласно десятому свойству
Таким образом,
а1Л2 4~ А + с А —
а А + А + ciCi — °-
т. е. числа х, у, z, определяемые формулами (8), удовлетворяют
первому уравнению данной системы; совершенно аналогично дока¬
зывается, что они удовлетворяют двум остальным уравнениям.
Все изложенное позволяет сделать следующий вывод: еслиА^О,
то система (1) имеет единственное решение*, оно определяется
формулами (8).
Пример. Дана система
х4~2//+г —4, j
2х -|~ 7у — z = 8. ]
Найти все ее решения.
Решение. Подсчитаем определитель системы:
А =
1 2 1
3—5	3
2	7—1
Так как А =£ 0, то данная система имеет единственное решение, которое
определяется формулами (8). По формулам (7) имеем:
Следовательно, х=1, y=lt г=1.

222
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
15.	Предположим теперь, что определитель системы (1) равен
нулю: Д = 0.
Если в случае Д = 0 хотя бы один из определителей \х, Д Д,
отличен от нуля, то система (1) совсем не имеет решений (как
говорят, уравнения этой системы несовместны).
В самом деле, если Д = 0, но хотя бы один из определителей
Дх, Д^ Д2 не равен нулю, то по крайней мере одно из равенств (6)
является невозможным, т. е. система (6) не имеет решений.
Но в таком случае и система (1) не имеет решений, так как
система (6) выведена из системы (1), следовательно, каждое реше¬
ние системы (1), если бы таковое имелось, было бы решением
системы (6). Например, система
x-j-j4-z = 2, '
Зх 4“	= 1, ►
+	= 4
не имеет решений, так как Д = 0, а Д^ = 1=4=0. В том, что дан¬
ные уравнения несовместны, можно убедиться и непосредственно;
именно, складывая почленно первые два из них и вычитая получен¬
ный результат из последнего, мы найдем 0=1, т. е. неправильное
равенство.
Нам остается рассмотреть случай, когда Д = 0 и также Дл. = 0,
Д^ = 0, Д2 = 0. Но этим случаем мы займемся немного позднее,
после того, как исследуем так называемые однородные системы.
16.	Однородной системой трех уравнений первой степени с тремя
неизвестными называется система вида
ахх-
-Ку-
-c,z = 0, '
а2х-
-Ь,у-
-c2z — 0, •
а3х-
\-ь,у-
-csz = 0, J
(9)
т. е. система уравнений, свободные члены которых равны нулю.
Очевидно, что такая система всегда имеет решение: х = 0, jz = O,
z = Q; оно называется нулевым. Если Д=4=0, то это решение является
единственным.
Мы докажем, что если Д = 0, то однородная система (9) имеет
бесконечно много ненулевых решений. (В этом случае либо какое-
нибудь одно ее уравнение является следствием двух других, либо
какие-нибудь два уравнения суть следствия третьего.)
Сначала проведем доказательство, предполагая, что хотя бы
один из миноров определителя Д отличен от нуля; пусть, например,
«2
^0.

§ 5]
СИСТЕМЫ ТРЕХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ
223
При этом условии первые два уравнения системы (9) имеют беско¬
нечно много совместных ненулевых решений, определяемых форму¬
лами:
л
с.
С2
у=—
(10)
^2 ^2
t
при любом значении t (см. п° 6, формулы (8)). Нетрудно убедиться,
что в случае Д = 0 все эти числа удовлетворяют также и третьему
уравнению системы (9). В самом деле, подставляя их вместо неиз¬
вестных в левую часть третьего уравнения системы (9), находим:
«,*+М+с»*=
С1
Ь2 С2
Л, с,
я, ь.
1 1
+ С.
i	1
й2 С2
аг Ьг
Мы получаем в результате подстановки нуль, так как по усло¬
вию Д = 0. Таким образом, формулы (10) при любом t опреде¬
ляют решение системы (9); если f=^=0, то это решение будет не¬
нулевое. В рассмотренном случае система имеет лишь два суще¬
ственных уравнения (третье уравнение есть следствие первых двух).
Предположим теперь, что все миноры определителя Д равны
нулю; тогда любая пара уравнений (9) имеет пропорциональные
коэффициенты, следовательно, как бы мы ни выбрали в системе (9)
два уравнения, одно из них будет получаться умножением всех
членов другого на некоторый общий множитель (в связи с этим
см. п°7). Значит, в системе (9) будет лишь одно существенное урав¬
нение (два других будут его следствиями). Такая система, очевидно,
имеет бесконечно много ненулевых решений (так как двум неиз¬
вестным можно приписывать любые численные значения, а третье
находить из единственного существенного уравнения системы). Тем
самым наше утверждение доказано. Полученный результат можно
сформулировать следующим образом:
Однородная система (9) имеет ненулевые решения в том а
только в том случае, когда Д = 0.
Пример 1. Система
x4-2y + z = 0, '
Зх — 5у —3z = 0, •
2х 7г/ — 2 = 0 ,
имеет только нулевое решение, так как
Д = 33 ^0.
Пример 2. Система
x + t/ + z = 0, )
2x + 3</4-2z = 0, >
4х + 4z = 0 J

224
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
имеет бесконечно много ненулевых решений, так как
I 1 1 1
А= 2 32
I 4 5 4
= 0.
Все решения определяются формулами (10), согласно которым
х = —-t, у = п, Z = t
при любом t.
Пример 3. Система
x4-t/ + z=:0, ■]
2x-f-2y-j-2z = 0, >
Зх + Зу + Зг = 0 J
также имеет бесконечно много ненулевых решений, так как Д = 0. В дан¬
ном случае все миноры определителя А равны нулю и система сводится
к одному уравнению:	+ z = «Любое решение системы состоит из
трех чисел: х, у, z, где х и — какие угодно, a z =—х — у.
17.	Вернемся к произвольной неоднородной системе
+ V + ctz=ht. .
(П
Мы докажем, что если Д = 0 и система (1) имеет хотя бы
одно решение, то она имеет бесконечно много различных ре¬
шений.
Пусть числа х0, j0, ^составляют некоторое решение системы (1);
подставляя х0, у0, z0 в уравнения (1) вместо неизвестных, мы полу¬
чим арифметические тождества:
й1х0Ц-	cxzQ = "I
а2Хо4“^о + С22Г0 = Л2 1 |	OU
«л+М.+^,=л,- J
Вычтем почленно тождества (И) из соответствующих уравнений (1)
(первое тождество (И) вычтем из первого уравнения системы (1),
второе тождество — из второго уравнения и третье тождество —
из третьего уравнения); получим:
(х — х„) + (у — у„) 4- с, (z — г„) = 0,'
аг(х — х0)4-М.У — Л) + с2(* — го) = °1 ’
<*, (* —*,) + М.у —л) + с,(* —го) = о._
Введем обозначения:
х — хЛ = и, у — уЛ = ъ, z — zt = w.
(13)
(12)

§ 51	СИСТЕМЫ ТРЕК УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ	225
Теперь равенства (12) перепишутся так:
ахи 4- bxv 4" CjW = О,
^2U + ^+C2W = 0»
(14)
Это есть однородная система трех уравнений первой степени с не¬
известными и, т/, w и с теми же коэффициентами при неизвестных,
что и у данной системы (1). Она называется однородной системой*
соответствующей данной неоднородной системе (1).
Так как по условию Д = 0, то согласно п° 16 однородная
система (14) имеет бесконечно много различных решений. Отсюда
следует, что и данная система (1) имеет бесконечно много раз¬
личных решений; именно вследствие равенства (13) каждому реше¬
нию и, у, w системы (14) отвечает решение
>’==л4-г'.
Z — ZQ 4"" W
системы (1). Тем самым наше утверждение доказано.
На основании доказанного сразу получаем следующее предло¬
жение.
Если Д = 0 и также Дх = Ду = Д2=0, то система (1) либо
совсем не имеет решений, либо имеет бесконечно много решений
(в последнем случае по крайней мере одно из уравнений системы
будет следствием других; такая система называется неопределенной).
Пример 1. Система
x 4_ z = 1, ч
2х + 2у 4- 2z = 3, }
Зх 4~ Зу + 3z — 4 J
(удовлетворяющая условиям А = О, Ах == О, Av = 0, Аг = 0) не имеет решении.
В самом деле, даже первые два уравнения этой системы несовместны,
так как, умножая первое из них на 2 и вычитая его затем почленно из вто¬
рого, мы получим невозможное равенство 0=1.
Пример 2. Система
Зх 4- у — z = 1, \
5х 4~	4~ 3z = 2, }
8х 4~ Зу 4~ 2z 3 /
(удовлетворяющая условиям А=0, АЛ. = 0, А^ = 0, Аг = 0) имеет бесконечно
много решений. В самом деле, третье уравнение этой системы является
следствием первых двух, именно, получается при помощи почленного их
сложения. Таким образом, данная система имеет лишь два существенных
уравнения:
Зх + .(/-г = 1. I
5х 4~ 2//4~ Зг = 2. J	* 1

226
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ
Чтобы найти все их совместные решения, запишем систему (*) в виде
3х + У — 1 + 2, I
5х 2у = 2 — Зг )
и будем считать, что неизвестной z здесь предписано какое-нибудь числен¬
ное значение. Применяя формулы (8) п® 2, найдем:
11+ z II	13 1+ z\
| 2 — 3? 2 |	| 5 2 — 3z |
х — —1'з 11	= 5z, у =	.-д—] ■— = 1 — 14г..
|5 2|	)5 2[
Числа х, у вместе с числом z составляют решение данной системы; данная
система имеет бесконечно много различных решений, так как численное
значение z можно выбирать произвольно.
§ 6. Понятие определителя любого порядка
18.	В общей задаче решения и исследования систем уравнений
первой степени со многими неизвестными и во многих других
вычислительных задачах математики приходится иметь дело с опреде¬
лителями и-го порядка (д=2, 3, 4, ...). Теория определителей
произвольного порядка строится в общих чертах аналогично изло¬
женной нами теории определителей третьего порядка; однако фак¬
тическое построение ее со всеми деталями требует ряда вспомога¬
тельных предложений и тем самым представляет некоторые труд¬
ности. Эта теория, как и теория систем уравнений первой степени
со многими неизвестными, излагается в любом курсе высшей
алгебры *).
Мы ограничимся лишь следующими указаниями:
1.	Определитель порядка п задается квадратной таблицей чисел
(элементов определителя), имеющей п строк и п столбцов; обозна¬
чается определитель порядка п аналогично определителям порядка
2 и 3.
2.	Минором некоторого элемента определителя порядка п назы¬
вается определитель порядка п—1, получаемый из данного путем
вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых располо¬
жен этот элемент.
3.	Алгебраическое дополнение некоторого элемента
определителя есть минор этого элемента, взятый со своим знаком,
если сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых
расположен элемент, есть число четное, и с обратным знаком, если
это число—нечетное.
4.	Определитель равен сумме произведений элементов какого-
нибудь столбца (или строки) на их алгебраические дополнения. Тем
*) См., например, «Курс высшей алгебры» А. К. Сушкевича.

§ 6]
ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ЛЮБОГО ПОРЯДКА
227
самым вычисление определителя порядка п сводится к вычислению п
определителей порядка п—1.
5.	Все изложенные нами выше свойства определителей относятся
к определителям любого порядка.
Пример. Вычислить определитель
2	4 4 6
4 2 5 7
3	2 8 5
2 8 7 3
Решение. Разлагая этот определитель по элементам верхней строки,
т. е. представляя его в виде суммы произведений элементов верхней строки
на их алгебраические дополнения, находим:
2 5 7
4 5 7
4 2 7
4 2 5
2 8 5
-4
3 8 5
+ 4
3 2 5
-6
3 2 8
8 7 3
2 7 3
2 8 3
2 8 7
Замечание. Вычисление определителя можно упростить, если пред¬
варительно воспользоваться свойством 8 (см. п° 10 и замечание в конце п° 12).

Николай Владимирович Ефимов
Краткий курс аналитической геометрии
М.. Физматгиз, 1963 г., 228 стр. с илл.
Редактор Л. Ю. Чернышева
Техн, редактор К. Ф. Брудно
Корректор И. С. Цветкова
Печать с матриц. Подписано к печати
25/IX	1963 г. Бумага бОХЭО1/^. Физ.
печ. л. 14,25. Условн. печ. л. 14,25.
Уч.-изд. л. 13,21. Тираж 100 000 экз.
Цена книги 50 коп. Заказ № 897.
Государственное издательство
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Первая Образцовая типография
имени А. А. Жданова
Московского городского совнархоза.
Москва, Ж*54, Валовая, 28.