В. ХОДЖ и д. пидо
МЕТОДЫ
АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
. ГЕОМЕТРИИ
ТОМ III
Перевод с английского
А. и. у з к о в А
и * л
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ-
Москва —1955
METHODS
OF
ALGEBRAIC GEOMETRY
by
W. V. D. HODGE and D. PEDOE
VOLUME III
BOOK V: BIRATIONAL GEOMETR?
CAMBRIDGE
195 4
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
Целью этого тома является изложение современных алгебраиче-
ских методов, полезных при исследованиях в области бирациональной
геометрии алгебраических многообразий. Подобное изложение уже опу-
бликовано Вейлем в его книге [9]. Когда будут опубликованы лекции
Зарисского, прочитанные в Коллоквиуме Американского математиче-
ского общества в 1947 г., станет доступным еще одно полное изло-
жение этой области геометрии. Оправданием появления третьей ра-
боты, посвященной тому же предмету, служит то, что этот том
предназначен для другой категории читателей. Он предназначен для
читателя, хорошо знакомого с классическими методами алгебраиче-
ской геометрии, желающего овладеть новыми мощными методами,
которые дает современная алгебра, и в то же время выяснить, что
представляют собой эти методы с точки зрения привычных ему поня-
тий. Таким образом, здесь мы будем заниматься в первую очередь
методами, а не получением оригинальных результатов и не изложе-
нием единой теории многообразий.
Указанная цель повлияла на план этого тома во многих отноше-
ниях. Во-первых, мы ограничились рассмотрением многообразий, опре-
деленных над основным полем без характеристики. Это сделано отчасти
потому, что геометрический смысл алгебраических методов и резуль-
таты в этом случае легче воспринимаются геометром, привычным к клас-
сическим понятиям. Кроме того, хотя современные алгебраические ме-
тоды и позволили значительно продвинуться в теории алгебраических
многообразий над полями конечной характеристики, многие резуль-
таты, которые в классической алгебраической геометрии считаются
фундаментальными, до сих пор доказаны лишь при упомянутом огра-
ничении.
1*
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
4
Во-вторых, почти полторы главы посвящены целиком алгебраиче-
ским теориям. Теория идеалов в кольцах и теория нормирований
являются центральными в современной алгебре, и можно было бы
отослать читателя к другим монографиям по этим теориям. Но наша
задача состояла именно в объединении всего материала, необходи-
мого геометру, и по этой причине мы сочли целесообразным вклю-
чить в книгу изложение указанных алгебраических теорий. Алгебраи-
ческая часть книги была написана с учетом потребностей геометрии,
и это часто оказывало влияние на акцентирование тех или иных поня-
тий. Тем не менее мы стремились на начальных стадиях дать доста-
точно общее изложение, которое могло бы создать у читателя пред-
ставление о значении излагаемых теорий вообще.
В-третьих, чтобы ознакомить читателя с возможно большим числом
методов, мы не ограничивались изложением единственного метода и
время от времени пользовались средствами, которые знатоку предмета
могут показаться неизящными. Например, изучение бирациональных
преобразований на начальных стадиях можно было бы, как показал
Вейль, проводить без ссылок на теорию нормирований, да и обосно-
вание теории бирациональных преобразований с помощью теории спе-
циализаций казалось бы более приятным с эстетической точки зрения.
Но возможность построения теории бирациональных преобразований
в полном объеме без применения нормирований весьма маловероятна,
и поэтому представляется необходимым, чтобы геометр имел в своем
распоряжении и этот рабочий инструмент. Мы иногда применяли
теорию нормирований лишь для иллюстрации излагаемых методов и
там, где она не является настоятельно необходимой. Кроме того,
некоторые результаты мы доказываем дважды, чтобы не отсылать
читателя слишком часто назад.
В-четвертых, в наши задачи не входило изложение предмета на-
столько далеко, насколько это вообще возможно. Поэтому многие
важные результаты алгебраической теории многообразий даже из той
области, которой мы ограничились, вообще опущены. Однако мы
надеемся, что этот том даст возможность читателю освоиться с изла-
гаемыми в нем современными методами и что после изучения книги
он сможет приступить к чтению работ, более далеко проникающих
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
5
в наш предмет. В отличие от большей части тома, посвященной
основным принципам, во второй части главы XVIII рассматривается
приложение изложенных методов к некоторым задачам значительной
трудности: локальной теореме об униформизации и редукции особен-
ностей алгебраической поверхности. Мы включили этот материал
потому, что указанные задачи относятся к самым основам классиче-
ской алгебраической геометрии и арифметическая теория много-
образий позволяет достичь здесь состояния полной определенности и
получить наиболее замечательные результаты. Поэтому было жела-
тельно дать изложение этих результатов в качестве иллюстрации
описанных раньше методов.
Может показаться странным, что в нашей книге, посвященной
бирациональной теории многообразий, нет упоминаний о работах боль-
шой итальянской геометрической школы. Объясняется это тем, что
мы сосредоточиваем здесь внимание лишь на некоторых методах, раз-
работанных в других странах. Свойства многообразий, открытием
которых мы обязаны таким математикам, как Сегре, Кастельнуово,
Энриквес и Севери, остались за пределами нашей работы. Труды
этих геометров играли бы выдающуюся роль в любом более полном
изложении приложений описанных в этой книге методов к теории
бирациональных инвариантов алгебраических многообразий.
Мы с удовольствием пользуемся' возможностью устранить недора-
зумение, часто возникавшее у наших друзей, относительно библио-
графических замечаний, сделанных в конце каждого из трех томов
нашей работы. Цель этих замечаний состоит в указании основных
источников, из которых черпались описываемые методы и резуль-
таты. Замечания не охватывают даже всех использованных работ,
но мы надеемся, что они помогут читателю проследить источники
излагаемых нами идей.
В частности, библиографические замечания не исчерпывают и всей
литературы по обоснованию алгебраической геометрии, и даже лите-
ратуры, связанной с излагаемыми нами методами. Иногда нам указы-
вали, что следовало бы дать полный список работ по обоснованию
алгебраической геометрии и что неудобно не перечислить всех мате-
матиков, писавших по этому вопросу. Вряд ли необходимо говорить,
6
ИЗПРВДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
что здесь нет преднамеренной невежливости. В конце нашей работы
мы внимательно продумали возможность дать исчерпывающие указа-
ния такого рода, но скоро пришли к выводу о нецелесообразности этого.
По вопросам, рассматриваемым в трех томах нашей книги, написано
настолько много, что анализ и описание вклада отдельных матема-
тиков по этим вопросам составил бы большую исследовательскую
работу, которую можно выполнить лишь в связи с историей значи-
тельной части математики. Любой же промежуточный курс, с одной
стороны, содержал бы в себе опасность важных упущений и, с дру-
гой стороны, затянул бы на много месяцев окончание нашей работы,
одновременно увеличив ее объем, уже и без того очень большой
для тех целей, для которых она предназначена.
Кембридж
май 1953 г.	В. Ходж
Д. Подо
ЧАСТЬ V
БИРАЦИОНАЛЬНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА XV
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Во втором томе мы занимались главным образом геометрией много-
образий в проективном пространстве, рассматриваемых как подмного-
образия этого пространства. Однако нам приходилось также рассма-
тривать соотношения между различными многообразиями в одном и
том же пространстве или в различных пространствах. При этом мы
пользовались теорией соответствий, изложенной в гл. XI. В частности,
время от времени мы пользовались бирациона льными соответствиями
между неприводимыми многообразиями. Неприводимые многообра-
зия U и V, лежащие в пространствах с координатными системами
(х0,..., хп) и (у0,..., _ут), называются бирационально эквивалент-
ными, если между ними существует алгебраическое соответствие,
среди уравнений которого имеются уравнения вида
№) —• •• Ут) = ®	(I. 7 = 0....«)>
yigj(x0....х„) — yjgi(x0,. . ., хп) = 0	(I, 7 = 0,.. ., т),
где не все формы fi(y) обращаются в нуль на V и не все g4(x)
обращаются в нуль на U. Изучение свойств, общих для всех бира-
ционально эквивалентных многообразий, составляет содержание одной
из важных ветвей алгебраической геометрии. В этой теории мы имеем
дело главным образом не со свойствами индивидуальных многообра-
зий, рассматриваемых как многообразия в проективном пространстве,
а со свойствами систем бирационально эквивалентных многообразий.
Теория, в которой изучаются указанные свойства, называется бира-
циональной геометрией.
Задачей этого тома является ознакомление читателя с наиболее
важными алгебраическими методами, применяемыми в бирациональной
геометрии, а также с основными результатами, с которыми геометру
нужно ознакомиться перед тем, как начинать систематическое изу-
чение этой ветви геометрии. Для этого необходимо более подробно
изложить некоторые алгебраические понятия, уже введенные в томе I,
а также ввести некоторые новые понятия. В гл. I было дано опре-
деление кольца. В дальнейших главах упоминалось также об идеалах
в кольце, но при этом использовались только наиболее элементарные
свойства идеалов. Теперь нам необходимо более систематически изу-
чить коммутативные кольца и идеалы в них. Это и составляет задачу
настоящей главы.
10
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
§ 1. Идеалы в коммутативных кольцах
Пусть 91 — произвольное коммутативное кольцо. Непустое мно-
жество I, состоящее из элементов 91, образует идеал кольца 91, если
оно обладает двумя следующими свойствами:
(I) если « и р — любые элементы из X, то элемент а — р также
принадлежит t;
(II) если а принадлежит i и р — любой элемент из 91, то произ-
ведение ра принадлежит t.
Кольцо 91 содержит нулевой элемент. Если в свойстве (II) взять
этот элемент в качестве р, то из (II) будет следовать, что элемент
0 • а = 0 принадлежит t. Таким образом, каждый идеал кольца 91
содержит нуль этого кольца. Далее, если множество i состоит только
из нуля кольца 91, то оно удовлетворяет условиям (I) и (II) и будет
поэтому идеалом. Такой идеал будет называться нулевым идеалом
кольца 91. Если множество С содержит все элементы кольца 91, то
оно также удовлетворяет условиям (I) и (II) и, значит, также будет
идеалом. Этот идеал называется единичным идеалом кольца 91. Сле-
довательно, любое коммутативное кольцо содержит по крайней мере
два идеала — нулевой и единичный. Иногда эти идеалы называются
несобственными. Идеалы, отличные от обоих упомянутых, называются
собственными.
Если кольцо 91 содержит единичный элемент е, причем е содер-
жится также в t, то множество i содержит произведение ре = р при
любом р из 91. Таким образом, идеал i является единичным в том
и только в том случае, если он содержит е.
Полезно с самого начала установить, какие коммутативные кольца
обладают только двумя несобственными идеалами. Рассмотрим отдельно
два случая.
Случай I. Пусть в 91 имеются два элемента р и <о, для которых
р<»#=0 (это заведомо верно, если кольцо 91 обладает единицей). Рас-
смотрим множество х элементов вида а<о, где а — любой элемент
из 91. Ясно, что в таком случае множество i удовлетворяет усло-
виям (I) и (II), так что i — идеал. Ввиду того, что г содержит эле-
мент ро>#=0, i не может быть нулевым идеалом. Если кольцо 91 обла-
дает только несобственными идеалами, то из сказанного следует, что
i —91. Таким образом, для любого элемента ч из 91 в кольце 91 най-
дется элемент х, удовлетворяющий условию
ха> = ч.
Пусть е — решение этого уравнения в случае, когда v = <о, ах — ре-
шение при произвольном v из 91. Тогда
еч = ех<л — х (еа>) = хш — ч.
Отсюда следует, что е является единицей кольца 91. Пусть теперь
\ — любой элемент из 91, отличный от нуля. Тогда совокупность эле-
S 1. ИДЕАЛЫ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
11
ментов вида av, где а — произвольный элемент кольца 91, образует
идеал j, который содержит элемент = v и поэтому должен быть
единичным идеалом. Таким образом, найдется такой элемент v' из 91,
для которого v'v = е. Следовательно, каждый ненулевой элемент из 91
имеет обратный, так что 91 есть поле.
Обратно, пусть 91—поле и t — идеал в 91, не являющийся нуле-
вым. идеалом, t содержит элемент а, отличный от нуля. Если р—
произвольный элемент из 91, то, в силу свойства (II), множество i
должно содержать элемент р«_1.а==р. Отсюда следует, что t со-
держит все элементы из 91 и поэтому является единичным идеалом.
Случай II. Пусть 91 — коммутативное кольцо, состоящее не только
из нулевого элемента и такое, что для любых двух его элементов а
и р будет а»р = О. Если <о — элемент кольца 91, отличный от нуля,
то очевидно, что элементы 0, ±<в, ±2<о, ±3<о,... образуют идеал t
кольца 91, отличный от нулевого идеала. Следовательно, если кольцо 91
обладает только несобственными идеалами, то должно быть 1 = 91.
Элементы 0, ±<о, ±г2ш, ±3<о,... не могут быть все различными,
так как в этом случае элементы 0, zt: 2<в, zt 4<в,... составляли бы
собственный идеал кольца 91, а мы предположили, что 91 обладает
только несобственными идеалами. Пусть т — наименьшее целое число,
для которого /и<о = 0. Тогда элементы 0, <о, 2<о.(т—1)<о исчер-
пывают все 91. Если число т не просто, например т = ab, где
«> 1 и b > 1, то совокупность элементов 0, аа>, 2аа>,.... (Ь—1)ао>
составляла бы собственный идеал кольца 91. Следовательно, т является
некоторым простым числом: т — р. Если через 2 обозначить матрицу
/О 1\
\о о)
над кольцом вычетов целых чисел по модулю р, то из сказанного
выше следует, что кольцо 91 изоморфно кольцу, состоящему из
элементов 0, 2, 22,..., (р—1)2. Непосредственно очевидно также,
что если кольцо 91 изоморфно последнему кольцу, то все его идеалы
будут несобственными. Таким образом, доказана следующая 
Теорема I. Есла кольцо 91 является полем, то в нем нет
собственных идеалов. Любое кольцо без собственных идеалов либо
является полем, либо изоморфно кольцу матриц вида
/О
\0 О/
над кольцом вычетов целых чисел по некоторому простому мо-
дулю р.
Вернемся теперь к общей теории идеалов коммутативного кольца 91.
Мы можем построить идеал следующим образом. Пусть a>t......<ог—
конечная система элементов из 91; рассмотрим совокупность t
12
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
элементов кольца 9?, которые могут быть записаны в виде
CtjOJj Ц-• •— Л1Ш1 — • •  —(О
где вр..., аг — произвольные элементы из 91, а выражения
представляют собой суммы слагаемых, каждое из которых равно
В случае, если в 91 есть единица е, элемент (1) можно переписать
в виде
(otj :+• лхе) оц -|- ... (аг ± пге) шг =	агшг,
где «1,..., аг — элементы кольца 91. Следовательно, в этом случае
в выражении (1) излишне вводить члены nta>v..., пгшг. Можно про-
верить непосредственно, что множество i удовлетворяет условиям (I)
и (П), а значит, образует идеал. Этот идеал обычно называется
идеалом, порожденным элементами <Ор..., <ог, или идеалом, имею-
щим базис <Ор..., шг. Такой идеал обозначается через 91 • (а>р..., ®г).
Из определения базиса ясно, что элементы базиса некоторого идеала i
сами принадлежат t. Однако, вообще говоря, не каждый идеал i
кольца 91 обладает конечным базисом, т. е. не для каждого идеала i
из 91 найдется конечная система элементов <ю1,..., шг, удовлетворяю-
щая соотношению i = 9t-(a>1.......<ог). Если кольцо 91 обладает тем
свойством, что каждый его идеал имеет конечный базис, то мы будем
говорить, что в кольце 91 справедлива теорема о базисе. Многие
результаты, имеющие место для колец, в которых справедлива тео-
рема о базисе, уже не верны для более общих колец. Примером
кольца, в котором теорема о базисе справедлива, является кольцо
многочленов от г неизвестных над коммутативным полем (гл. IV, § 2,
теорема I). Для некоторых колец, например для кольца целых чисел
или для кольца многочленов от одного неизвестного над коммута-
тивным телом, можно доказать, что в них каждый идеал имеет базис,
состоящий из одного элемента. Идеал, порождаемый одним элемен-
том, называется главным идеалом. Кольцо, в котором каждый идеал
является главным, называется кольцом главных идеалов.
Введем теперь некоторые обозначения. Если a — любой элемент
идеала t, то мы будем писать a £ i или, более часто,
a = 0 (i).
В случае, когда i = 91 • (®1,.... <ог), мы будем записывать то же
самое так:
a = 0 (mod «ip..., шг).
Если j —идеал, каждый элемент которого принадлежит t, то будем
писать jgi или, чаще,
1 = 0 (I).
Очевидно, что если одновременно
j = 0 (i) и i — 0 (j),
то 1 = 1-
§ 1. ИДЕАЛЫ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
13
Теперь определим несколько элементарных операций, которые
можно производить над идеалами.
I. Пусть t, j — идеалы коммутативного кольца ill. Рассмотрим
совокупность f элементов кольца 91, которые можно записать в виде
а + р, где
® = 0 (i) и р = 0 (j).
Если ot-j-р и а'-|~Р'— два таких элемента, то
(« + ?)- (а' р') = (а - а') + (? - Р'),
где
а—а' = 0 (t) и р —р' = 0 (j).
Если р — любой элемент из 91, то
р(« + Р) = Ра + р?>
где
ра == О (I), рр = 0 (j).
Отсюда следует, что f есть идеал. Он называется объединением (или
суммой) идеалов i и j и обозначается символом (t, j).
Сумма (t, j) обладает следующими свойствами, доказательства
которых очевидны:
(I) t s (t. i). i = (t> j);
(II) (i, j) = (i, ();
(HI) (i, i) = i;
(IV) если a = (i, j), b = (j, f), где f—.любой идеал кольца 91,
то (a, f) = (t, b), так как обе части состоят в точности из тех эле-
ментов 91, которые могут быть записаны в виде а-|-Р4-7, где
«= о. (i), р = 0 (j), 7 = 0 (Г).
Мы можем, не опасаясь путаницы, писать (a, f) = (i, b) = (i, j, f).
Обобщая сказанное, можно определить сумму любого конечного числа
идеалов.
(V) Если идеалы i и j оба обладают конечными базисами:
i = 9i • (о>(, ..., <ог),
i =	.....>в).
то
(t, j) = 9l • (®р .... v .... ^).
II. Если t, j — идеалы кольца 91, то совокупность элементов a
из 91, удовлетворяющих условиям
а = 0 (i) и a = 0 (j),
14
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
очевидно, является идеалом. Обозначим его через [t, j] и будем назы-
вать пересечением идеалов t и j. Следующие свойства пересечения
очевидны:
(I) [i. j] = i. [t. il = j;
(П) [i, jl = [j, il;
(III) [i, i] = i;
(IV) [i, [J, f]] = [[t, il, f],
где t — любой идеал кольца SR. He опасаясь путаницы, можно писать
[I, Ij> f]l = [i> ji t]. Аналогично можно определить пересечение любого
числа идеалов из 91.
III. Если t и j — идеалы кольца 91, то совокупность элементов ар,
где
а = 0 (i) и р = 0 (j),
вообще говоря, уже не будет идеалом в 91. Но элементы из 91, запи-
а
сываемые в виде конечных сумм S afcpk, в которых
1
«й = о (0 и pfc = o (j)
при k=l, ..., s, как легко проверить, всегда образуют идеал.
Мы будем называть его произведением идеалов t и j и обозначать
через tj. Можно проверить непосредственно, что умножение идеалов
коммутативного кольца коммутативно и ассоциативно:
ij = it. i(iO = (ii)f = iit.
Кроме того,
ii = 0. (i), tj = O (j),
а значит,
Ч = И. il-
Полагая i = i, мы можем определить степени V2, г................ip, ...
идеала t для любого целого числа р > 1. Если кольцо 91 имеет единицу
и если (1) — его единичный идеал, то, поскольку любой элемент а
из i может быть записан в виде еа, он лежит в i(l). Следовательно,
{==0 (4(1)). Но мы имеем t(l) = 0 (t), и поэтому
i(l) = i.
IV. Пусть i и i — два идеала в 91. Рассмотрим элементы у из 91,
для которых
= 0 (t)
при любом а из i. Если у и ч'— два таких элемента, а р— любой
элемент из 91, то
(К — т')« = 0 (0. РТ« = О (I)
§ 1. ИДЕАЛЫ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
15
для любого элемента a из j. Следовательно, элементы -f, обладающие
указанным свойством, образуют идеал кольца 91. Мы будем называть
этот идеал частным идеалов i и j и обозначать его через i: j. Оче-
видно, что
1 = 0 (t:j)
и
i: i = fR.
Докажем теперь еще некоторые свойства четырех только что
введенных операций.
Теорема II. Имеет место равенство
i(j. 0 = (ii. it).
Пусть ар ot,2, ...—элементы идеала i, [?а, ...—элементы j,
7i> Та» •••—элементы t. Любой элемент идеала t(j, f) имеет вид
8	8	8
2 аа (?о+ 7«)=2	+ 2 «л» € (ц, if).
1	11
Следовательно,
t(i, f) = (ij, if).	(2)
Обратно, любой элемент из (ij, if) имеет вид
2«А + 2«8+6%+ь=2	-Не)€ i(j- 0.
iii
где
Ps + 1	. • . =	= 71 = • • • = 7s = 0.
Поэтому
(ij, it) = i(j, t).	(3)
Нужный результат следует теперь из (2) и (3).
Теорема III. Имеет место равенство
lip i-a..Vi •• 1 = (Ч •• Ь i2;j. •••• i, : II-
Если
71 = 0 ([ip i2.irl),
TO
71 = 0 (ta) (a = l, .... r).
Следовательно,
7 = 0 (io: j) (a = 1....r),
и поэтому
7 = 0 (Ht: L i2:j...V : j]),
откуда вытекает, что
[ip i2...Vl:i£[ii:i> i2:i> •••> i»-Jil- (4)
16
гл. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Обратно, если
ГЧ : b Vi> •••. i,: jl.
то
li = О (О (а = 1, г),
а значит,
11 = 0 (liv ia, • • •  U)>
т. е.
„	1€1‘р t.......V1--I-
Следовательно,
Hi '• i> ta : j, ..., ir : j] с [ip i2.t, j : j-	(5)
Теорема вытекает теперь из включений (4) и (5).
Теорема IV. Справедливо соотношение
[<» 11 (I. i) = 0 (ij).
Согласно теореме II,
[с ii(t. i) = (it ii t. it ii j).
Ввиду того, что
It il = 0 (i),	[t, ii = 0 (i),
мы имеем
[i, j]i = 0 (ij),	[i, j]j = O (ij).
Отсюда нужный результат вытекает непосредственно.
Следствие I. Если (i, j) = 91 и кольцо 91 обладает единицей,
то [i, j] = ij.
В самом деле,
It jl(i> j) = It j] 9i = [i, j].
Поэтому
Ii. jl = ijS It j].
Идеал i кольца 91 называется максимальным идеалом в 91, если
i¥=9l и если для любого идеала j, удовлетворяющего условиям
i = 0 (j).	i#=0 (i),
будет j = 91. Из теоремы IV мы получаем
Следствие II. Если кольцо 91 обладает единицей и если
t — максимальный идеал в 91, то для любого идеала j, удовле-
творяющего условию j¥=0 ' (i), будет [i, j] = ij.
Действительно, ввиду того, что j#=0 (i), сумма (i, j), содержащая i,
содержит также хотя бы один элемент, не принадлежащий i. Так
как идеал i максимален, должно быть'0> j) = 9l. Нужный результат
получается теперь из следствия I.
Теорема V. Имеет место равенство
i •• 0i. •••> t) = U : ii. •••> i = U
г
!
§ 1. ИДЕАЛЫ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
17
Если 1 i • (it* •••’ то
= ° (i) (a = 1...., г).
Следовательно,
7 0i :jt...............................i  U
С другой стороны, если у £ [i: ........i: jr], to
lje = 0 (0	......
а значит,
70 : (ii. • • •> Ir)-
(6)
(7)
Из (6) и (7) вытекает нужное равенство.
Мы закончим этот параграф рассмотрением некоторых следствий
предположения о том, что в кольце 91 имеет место теорема о базисе.
Пусть 9? — любое коммутативное кольцо, в котором справедлива
теорема о базисе, и пусть ix, t2, i3, ... — последовательность идеалов
кольца 91, удовлетворяющих условиям
Ч = ° (U> ta = ° (У...........tr = 0 (trM).......
Рассмотрим совокупность i элементов кольца 91, записываемых в виде
8
конечных сумм 2 aj> где каждый элемент otj принадлежит некоторому
идеалу ij из нашей последовательности. Очевидно, что множество t
удовлетворяет условиям определения идеала. Ввиду того, что в 9? имеет
место теорема о базисе, в г найдется конечная система элементов
“>р .... %> образующая базис для i. Но.так как лежит в г, то
аа
“а = 2
4 = 1
где	Положим / = max[s1.......sr|. Ввиду того, что
М=° (tj)> v = ° (О
при всех встречающихся значениях j, должно быть
г	<М0г
Следовательно,
% = 0 (if) (а = 1........г),
и поэтому
i = 0 (гД	(8)
Пусть теперь k — любое целое число, большее t. Если а £ ifc,
то, по определению г, имеем а £ i, а значит,
Поэтому, в силу (8),
(л = 0 (i).
ifc = 0 (гД
2 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
18
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Но из неравенства k > t следует, что	'
4 = 0 (4),
и поэтому
4 — 4-
Таким образом, для последовательности ip i2, ... найдется такое
целое число t, что
4 = 4+1= 4+2 ==••••
Наоборот, предположим, что кольцо 91 обладает тем свойством, •
что для любой последовательности ip ia, ... идеалов из 91, удовле-
творяющей условиям
4 = 0 (ц), ia = 0 (t3).......
необходимо найдется число t, начиная с которого имеют место
равенства
4 — 4+1= 4+2 = • • • •
Покажем, что отсюда следует справедливость в кольце 91 теоремы
о базисе. Пусть j — любой идеал кольца 91, а а>х — любой элемент
из j. Тогда ясно, что
4 = 9l.(«>i) = 0 (j).
Если tj не совпадает с j, то j содержит элемент <о2, не принадлежа-
щий ip и мы имеем
ta = 9i-(<»p wa) = 0 (j),
4 = 0 (ia).
Если ia не равен j, то мы выберем в j элемент <и3, не принадле-
жащий ia, и продолжим таким же образом далее. В силу сделанного
предположения, для последовательности i2, ta, ... найдется целое
число t, начиная с которого
4 = 4+i = - • •>
если только последовательность не обрывается на члене it. Из равен-
ства 4 = 4+1 следует, что cui+1£it. Но это противоречит методу
построения w(+1. Поэтому последовательность должна оборваться на
некотором if. Но это может случиться лишь при ц = j. Отсюда вытекает,
что j = if = 91 • (о>р ..., (»f), т. е. j имеет конечный базис.
Если t и j — два идеала кольца 91, для которых
i = 0 (j),
то говорят, что идеал i делится на идеал j или что j является
делителем i. Если при этом j=#0 (i), то i называется собственным
кратным j, a j — собственным делителем i. В этой терминологии
установленный только что результат формулируется так:
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
19
Теорема VI. Для того чтобы в кольце 91 имела место
теорема о базисе, необходимо и достаточно выполнение в 91 сле-
дующего условия1, любая последовательность идеалов, в которой
каждый следующий член является собственным делителем пре-
дыдущего, обрывается на конечном числе членов.
Иногда бывает удобно рассматривать в качестве основного свой-
ства кольца 91 именно сформулированное только что свойство. В таком
случае мы будем говорить, что в кольце 91 имеет место „условие
обрыва возрастающих цепей".
Можно отметить два следствия, вытекающие из теоремы VI:
Следствие I. Если в кольце 91 имеет место теорема о базисе,
то любое непустое множество его идеалов содержит идеал, не яв-
ляющийся собственным кратным ни для одного идеала множества.
Доказательство очевидно.
Следствие II. {Принцип индукции для идеалов.) Пусть
в кольце 91 имеет место теорема о базисе, и пусть Е — некоторое
свойство. Если (I) это свойство имеет место для единичного
идеала и (II) из того, что оно имеет место для всех собствен-
ных делителей идеала i, следует его справедливость для i, то
свойством Е обладают все идеалы кольца 91.
Предположим, что сформулированное утверждение неверно. Рас-
смотрим совокупность S идеалов кольца 91, не обладающих свой-
ством Е. В силу следствия I, в этой совокупности найдется идеал i,
не являющийся собственным кратным ни для одного идеала совокуп-
ности. Так как, по предположению, для единичного идеала свойство Е
имеет место, то i не является единичным идеалом. Идеал t обладает
собственными делителями (собственным делителем для i будет, напри-
мер, единичный идеал). Ввиду того, что ни один из собственных
делителей идеала i не принадлежит S (так как идеал i является
максимальным идеалом в S), из условия (II) следует, что свойство Е
имеет место для t. Но i принадлежит 5 и поэтому не может обладать
свойством Е. Из этого противоречия следует, что S пусто, так что
наше предположение неверно.
§ 2. Простые и примарные идеалы
Идеал р коммутативного кольца 91 называется простым, если,
из соотношения
«Р = 0 (р)
следует хотя бы одно из соотношений
а = 0 (р) или р — 0 (р).
Очевидно, что единичный идеал всегда прост, а нулевой идеал является
простым тогда и только тогда, когда кольцо 91 не содержит дели-
телей нуля. Далее, если идеал р прост, at и j — любые два идеала
2*
20	ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
из 9?, удовлетворяющие соотношению
4 = 0 (р),
то будет i = 0 (р) или j = 0 (р).
В самом деле, пусть 1^0 (р). Тогда в i существует элемент а,
не принадлежащий р. Если р— любой элемент из j, то ар £ ij и
поэтому
ар = О (р).
Но так как а не принадлежит р, а идеал р прост, то отсюда выте-
кает, что р принадлежит р. Следовательно,
1 = 0 (р).
Идеал q из Dt называется примарным, если из соотношений
ар = О (q) и а=£0 (q)
следует, что
рР = О (q)
при некотором целом р. Ясно, что каждый простой идеал является
также примарным.
Если 91 — кольцо целых рациональных чисел, то идеал 91 • (d)
будет простым тогда и только тогда, когда d есть простое число,
и примарным тогда и только тогда, когда d есть степень простого
числа. Для наших целей, однако, более поучителен пример кольца
91 = А'[х, у] многочленов от двух независимых неизвестных х и у
над основным полем К. Пусть р = SR  (х, у). Элементами идеала р
являются те и только те многочлены, в которых свободный член
равен нулю. Если а и р— многочлены, произведение которых имеет
нулевой свободный член, то свободный член одного из многочленов
а или р должен быть также равен нулю, а значит, этот многочлен
должен принадлежать р. Таким образом, идеал р прост. Пусть теперь
q = 91 • (х, уа). Любой элемент из q имеет вид
ах 4- (сх2	2 dxy 4~ еу3) 4" (/х8 -|- Ътхау 4~ Зпх_уа	ру^) 4~ ... .
Положим
а = й1 (Ьус с(_у) 4“ • • •
и
Р = й2 "Н-	+ СчУУ + • • •
Если ap£q, то мы должны иметь
й1й2 = 0, й1с.2 + а2с1 — 0-	*
Если а не принадлежит q, то коэффициенты at и сг не могут быть
оба нулями. Отсюда непосредственно вытекает, что должно быть
й.2 = 0. Но если й2 = 0, то элемент
р\= (^х2 4- 2Ь.^ху 4- cly2) 4- • • •
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ	21
принадлежит идеалу q. Следовательно, идеал q примарен. Так как
при с2¥=0 элемент р не содержится в q, то идеал q не является
простым.
Пусть теперь q — любой примарный идеал некоторого коммута-
тивного кольца 91. Рассмотрим совокупность элементов а, р, . .. из 91,
обладающих тем свойством, что некоторая степень каждого из них
содержится в q. Если
ар = 0 (q) и р’ = 0 (q),
то выражение (а — Р)р+а-1 равно сумме членов, каждый из которых
является произведением ар или ра на некоторый элемент кольца 91.
Следовательно, (а — р)р+<’_1 £ q, и поэтому разность а — р содержится
в нашей совокупности. Аналогично, если $ — любой элемент из 91, то
($а)р = ^рар = 0 (q),
и поэтому произведение $а принадлежит рассматриваемой совокуп-
ности. Таким образом, эта совокупность является идеалом, который
мы теперь обозначим через р. Покажем, что идеал р прост. Пусть
элементы а и р таковы, что
ар = 0 (р),	а#=0 (р).
Так как ар£р, то найдется целое число р, для которого
аррр = О (q). .
Так как а не лежит в р, то ар не принадлежит q. Ввиду того, что
идеал q примарен, отсюда вытекает существование целого числа т,
для которого ppT£q. Следовательно, элемент р принадлежит р, так
что идеал р прост, р называется простым идеалом, принадлежащим
примарному идеалу q, или радикалом идеала q. Очевидно, что
q=0 (р).
Равенство q = р имеет место тогда и только тогда, когда идеал q
прост.
Из определений примарного идеала и его радикала мы видим,
что если
ар = О (q), ay=0 (q),
то
р = 0 (р).
Следовательно, идеал q и его радикал р обладают следующими свой-
ствами:
(I)	если ар = О (q) и (q), то р —0 (р);
(II)	'1 = 0 (р);
(III)	из соотношения р = 0 (р) следует, что рр = 0 (q) при неко-
тором^целом положительном р.
22
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Можно заметить, что если кольцо 9? обладает единицей и если q
не является единичным идеалом, то'из (I) следует (II) (если q является
единичным идеалом, то условие (I) не определяет идеала р). Дей-
ствительно, если р — любой элемент идеала q, то мы имеем
l.p = 0 (q).
Ввиду того, что q не является единичным идеалом, он не может
содержать 1, а значит, в силу свойства (I), должно быть р = 0 (р).
Но это означает, что q = 0 (р).
Покажем теперь, что если q и р — любые идеалы некоторого
кольца 9t, удовлетворяющие условиям (I), (II) и (III), то идеал q при-
мерен, а р есть его радикал. Более коротко мы будем выражать это
словами: идеал q является р-примарным. Из условий (I) и (III) при-
марность идеала q следует непосредственно. Для доказательства того,
что р является радикалом идеала q, рассмотрим любой элемент р
из такой, что pp£q при некотором р. Если р£q, то р£р, в-силу
условия (II). Если же р не принадлежит q, то пусть р (р > 1) — наи-
меньшее целое число, при котором рр £ q. Тогда
Р • РР—1 = О (q)
и
Г Vo (q).
Отсюда, в силу условия (I), вытекает, что
р = 0 (р).
Этим соотношением вместе с условием (III) и доказывается
Теорема I. Примарный идеал q а его радикал р вполне
характеризуются свойствами (I), (II) и (III).
Теорема II. Если идеал q является у-примарным, a i и j—
любые идеалы из 9t, удовлетворяющие условиям
ij = 0 (q), i¥=0 (q),
то
i = о (p).
Ввиду того, что i не содержится в q, в i найдется элемент я,
также не содержащийся в >q. Если теперь р — любой элемент из j,
то ap£q. Так как я не содержится в q, то, в силу свойства (I),
должно быть
так что
1 = 0 (р). -
Следствие I. Если ij = 0 (q) и j/'O (р), то i = 0 (q).
Следствие П, Если j=£Q (р), то q’-j^q-
$ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
23
Теорема’!!!. Если ^идеалы >q zzjq' оба у-примарны, то [q, q'|
также у-примарен.
(!) Если ар = О ([q, q']) и а=#0 ([q, q'J), то
ар = О (q), ар = О (q'),
причем либо а^О (q), либо а=^0 (q')- Предположим, например, что
оф = 0 (q), а^=0 (q).
Тогда, в силу р-примарности идеала q, получаем £ = 0 (р). Если
а#=0 (q'), то соотношение [3 = 0 (р) следует из р-примарности
идеала q'.
(II) Так как q = 0 (р) и q' = 0 (р), то [q, q'] = 0 (р).
(!!!) Если р£р, то найдутся такие целые числа р и а, что
Р₽ = 0 (q), р’=0 (q').
Если мы положим т = шах[р, о], то будем иметь [Г = 0 ([q, q']).
Теперь из теоремы I следует, что идеал [q, q'J является р-примарным.
Теорема IV. Если идеалы q и q' являются соответственно
р- и р'-примарными, р¥=рл. а если
[q. q'l=#q « lq>
то идеал [q, q'] не примарен.
Ввиду того, что p¥=pz> в одном из этих идеалов найдется элемент,
не принадлежащий другому идеалу. Пусть
а = 0 (р), а =£0 (р').
Тогда никакая степень элемента а не принадлежит q' и найдется
показатель р, для которого
ар = 0 (q).
В таком случае
«Р Ф 0 (|q, q'J).
Но так как [q, q']¥=q/, то в идеале q' найдется элемент р, не при-
надлежащий [q, qz], а значит, и q. Отсюда следует, что
,	«fP € qq's iq. q'l
(§ 1, стр. 14). Но
([q, q']).
Если бы идеал [q, q'] был примарным, то некоторая степень элемента ар
лежала бы в [q, q'j, т. е. некоторая степень элемента а лежала бы
в q . Но так как а не принадлежит р', то это противоречит условию,
что идеал q' р'-примарен. Отсюда заключаем, что идеал [q, q'| не
примарен,
24
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Теоремы, доказанные в этом параграфе до сих пор, не требуют
предположения, что в кольце 9? имеет место теорема о базисе. Мы
переходим теперь к доказательству некоторых результатов, основы-
вающихся на этом предположении. Везде далее в этом параграфе
предполагается, что в кольце 9? справедлива теорема о базисе.
Пусть q— некоторый р-примарный идеал кольца 91, и пусть
ш1, ....	— некоторый базис идеала р. Для каждого ш(- найдется
такой показатель а4, при котором
<< = 0 (q).
Положим
р=2(^-D+.1-
i = l
Любой элемент идеала р₽ имеет вид
к	к
2 a&i + 5 ni®i>
i=l	»=1
где а,......ак — элементы из 9t, п1г ...,пк— целые числа,
а ...,	— произведения, каждое из которых содержит р мно-
жителей из системы <о1, .... <ог. Если, например,
2i = ah .. . <оPr,
то
Г	г
2 р»=р = 2 (° i—1)+1 >
i=l	i=l
и поэтому при’ некотором J должно быть р;- Sj. Отсюда следует,
что 2j£q> а значит,
р₽ = 0 (q).
Конечно, может существовать и меньший показатель а < р, для
которого
р’ = 0 (q).
Наименьший показатель о, обладающий этим свойством, называется
индексом идеала q. Примарный идеал прост тогда и только тогда,
когда его индекс равен единице.
Теорема V. Пусть q — примарный. идеал, а р — простой
идеал. Если
q = 0 (р) и р’ = 0 (q)
при некотором о, то идеал q является у-примарным.
Действительно, пусть р' есть радикал идеала q.. Тогда найдется
показатель р, для которого
Р'Р = О (<!)•
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
25
Следовательно,
р'р = q = р,
т. е.
р'р = 0	(р).
Но так как идеал р прост, мы заключаем отсюда, что
р' = 0 (р).	(1)
С другой стороны,
q = 0 (р'),
а значит,
р° с q = р'-
Поэтому, ввиду простоты р',
Р=0 (р').	(2)
Из (1) и (2) следует, что р = р'.
Идеал i кольца 9? называется приводимым, если он может быть
записан в виде
t = lj. Я.
где j и f— собственные делители идеала t. Если такая запись идеала i
невозможна, то он называется неприводимым. Простой идеал (в част-
ности, единичный идеал) неприводим. Действительно, если i прост
и если
i = [j> Л,
то, так как
if = [j. f] = i.
должно быть j = 0 (i) или f = 0 (i). Поэтому j и f не могут быть
оба собственными делителями идеала i.
С помощью принципа индукции для идеалов (§ 1, теорема VI,
следствие II) легко показать, что любой идеал i является пересече-
нием конечного числа неприводимых идеалов. Если i неприводим, то
нечего доказывать. Предположим поэтому, что i приводим:
i = lj> f],
где j и f—собственные делители идеала i. Если
j = lit. • • •, i,i
и
f=[fP .... fel.
гДе Ii....Д и ft........fs — неприводимые идеалы, то идеал
i = Ijj, . . . , j;-, Ij, . • • , fg]
также будет пересечением неприводимых идеалов. Поэтому, если все
собственные делители некоторого идеала обладают свойством быть
26
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
пересечениями конечного числа неприводимых идеалов, то этим свой-
ством будет обладать и сам идеал. А так как единичный идеал обла-
дает этим свойством, то оно имеет место для всех идеалов кольца 9t.
Мы доказали теорему:
Теорема VI. Каждый идеал кольца, в котором имеет место
теорема о базисе, является пересечением конечного числа непри-
водимых идеалов.
Теорема VII. Каждый неприводимый идеал примарен.
Пусть идеал i не примарен. Тогда можно найти элементы а и 3
кольца 9t, удовлетворяющие условиям
«3 = 0 (t), а 0 (I),	+ 0 (t)
при любом целом положительном р. Ясно, что элементы кольца 91,
представимые в виде где $ — любой элемент из 9? и а — фикси-
рованное целое число, образуют идеал. Обозначим этот идеал через ja.
Если в кольце 9? имеется единица, то ja = 9R • (3“); в общем же цлучае,
если в 91 единицы нет, ja будет собственным кратным идеала 9t • (3“)-
Мы видим непосредственно, что
i: Ji Е i: i-з — * • _ • • • • .
В силу теоремы VI § 1, найдется число г, для которого
i:jr = i:Ui= ••• •
Положим f = 9t-(a). Идеал (i, t) является собственным делителем
для t, поскольку он содержит как t, так и не содержащийся в t эле-
мент а. Идеал (t, jr+1) также является собственным делителем для t,
так как он содержит i и элемент Зг+а = 3 • Pr+1, не лежащий в i.
Теорема будет доказана, если мы сможем показать, что
i = [(t О. (t. Ui)b
Очевидно, что i с [((, f), (i, jr+1)]. Для доказательства того, что
[(i, t)> (t ir+i)l E t> рассмотрим любой элемент i), принадлежащий
обоим идеалам (i, f) и (t, jr+1). Покажем, что этот элемент принад-
лежит t Так как т) £ (t, f), мы имеем
7]==f-{-pa-|-na,
где p£9t и п — целое число. Но так как ц £ (t, jr41), то
7] = o-(-aPr+1,
где 8£i и o£9t. Ввиду того, что элементы 7 и оф принадлежат i,
мы получаем
р8 -|-аЗг+а = ?'»]*= ₽7-t~p*3	0 (i).
Отсюда следует, что
ap^+2 = 0 (i),
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
27
так как 8 также принадлежит t. Из последнего соотношения выте-
кает, что » С i:	Но i: jr+a = i: jr, а значит,-а принадлежит и
j : jr. Из равенства apr+1 — a(p • pr) следует теперь, что элемент
принадлежит i. Вместе с ним и т] принадлежит i, что и дока-
зывает теорему VII.
Теоремы VI и VII, взятые совместно, утверждают, что каждый
идеал i кольца может быть представлен в виде пересечения конеч-
ного числа примарных идеалов. Пусть мы имеем
i = 1Ч1....qJ.
где каждый идеал q, является р,-примарным. Если pi = pJ-, то из тео-
ремы III следует, что идеал q»j = [Цг, qj] также ^-примарен. В этом
случае в выражении для i мы можем отбросить идеалы q, и q^-, заме-
нив их на qy. Продолжая таким образом, мы можем сгруппировать
все примарные идеалы д.г, имеющие один и тот же радикал, в один
примерный идеал. В конце концов получится следующее выражение
для i:
t = [£р •••>
где каждый идеал является ^-примарным и все простые идеалы
.. ., различны. Идеалы ©.1, ..., Cig называются примарными
компонентами, идеала i.
Может случиться, что для некоторого будет
2 2ч = IQ-1....^U-l> ^i+l> •••>
В таком случае С., называется устранимой примарной компонентой
идеала t. В этом случае
i = [Of, .Sil = 31-
так что компонента в выражении для i может быть опущена.
Продолжая таким образом, мы приходим в конце концов к предста-
влению i в виде пересечения примарных идеалов
i = [Qp ....
в котором радикалы компонент различны и отсутствуют устранимые
компоненты.
Если в таком разложении сгруппировать вместе две компоненты,
то получим идеал, уже не являющийся примарным (теорема IV).
Если же отбросить хотя бы одну компоненту, то изменяется пере-
сечение. По этим причинам представление .........О*] называется
несократимым. Практически несократимые представления идеалов
более важны, чем представления в виде пересечений неприводимых
идеалов.
Можно привести примеры, показывающие, что идеал i может
иметь два различных несократимых представления. Однако справед-
ливы важные теоремы единственности, которые мы теперь и докажем.
28
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Теорема VIII. Пусть [цг, qfr] и [q', .... q'] — два несо-
кратимых представления идеала t кольца sJt, в которых каждый
идеал q^. \>.-примарен, а каждый идеал q' у'.-примарен. Тогда
k—l и, при надлежащей нумерации идеалов, р'. = р^ (J== 1» 2,	k).
В силу характеристического свойства несократимых представлений,
все идеалы р,	так же как и идеалы р', pj, различны.
Среди общего числа k-\-l перечисленных простых идеалов всегда
можно выбрать идеал, не являющийся собственным кратным ни одного
из остальных идеалов. Без ограничения общности можно считать, что
таким идеалом является pt. Идеал pt не равен ни одному из pj (j>l)
и может быть равен, самое большее, одному из р'..
Предположим сначала, что pt не равен ни одному из р'.. Для
каждого значения J > 1 найдется элемент а, лежащий в рх, но не
лежащий в pj [ведь рх Ф 0 (р^)]. Пусть теперь р — такой показатель,
при котором a^qj. Так как я не лежит в pj, то ар также не .лежит
в pj, а значит,
qi ¥= 0 Од)-
Это верно при j = 2, . .., k. Далее, в силу того, что
Pi'^0 (рр,
аналогичное рассуждение показывает, что
4i#=° (₽р
при J = l, . . ., I. Но (§ 1, теорема III)
[Qi : 4Х> Q2: Д1> • • • ’ 4* : 411 = 1: Qi =	 4ц • • • > 4z = 4j-
Очевидно, что
41 -41 = 91.
Кроме того, в силу следствия II теоремы II,
4j:4i = 4j	(;>1)
и
4р4, = 4;	(/>1).
Следовательно,	’
142. •••> 4*1 = К- •••• 4П = {>
вопреки предположению, что представление [qp .... qft[ идеала i несо-
кратимо. Отсюда вытекает, что идеал pt должен быть равен одному
из р'.. Перенумеровав, если нужно, компоненты q', .... q't надлежа-
щим образом, можно получить р1 = р'.
В силу теоремы III, идеал f=(q q'] является р1-примарным. Как
и выше, мы можем доказать, что
qJ:f = q. и qj : f = q'
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
29
при /> 1- Но ввиду того, что f с qi и fcq', мы будем иметь
<Ii: f = «ft = q': f.
Следовательно, из равенства
Нг ....	= ........q']: f
мы получаем равенство
[с|2> •••> 9*] = [Чг’ •••’ Ъ]•
Покажем теперь, что пересечение [qa, .. ., qj является несократимым.
Действительно, если
[q-3, • • •- qi_P qi+1, .... qft] = 0 (q<),
TO
[‘li> q.j> •••, q<_i> Qi+i’ •••• 9fc] =	(q»)>
вопреки предположению, что выражение [qp .. ., qft] является несо-
кратимым представлением идеала i.
Теорема VIII получается теперь с помощью простого рассуждения,
использующего индукцию по наименьшему числу компонент в пред-
ставлении идеала t несократимым пересечением примарных идеалов.
Если fe=l, то идеал i примарен и qt = i. Если [q'...........q^|— дру-
гое несократимое представление идеала t, то проведенное выше рас-
суждение показывает, что
[‘I2.........=
а значит,
q; = lR (1 = 2......../).
Следовательно, пересечение [q', ..., q^] может быть несократимым
только в том случае, если I == 1. Но тогда q' — qx и поэтому р' = рх.
Предположим теперь справедливость теоремы для идеалов, предста-
вимых несократимым пересечением k—1 примарных идеалов, и до-
кажем, что теорема остается верной и для идеалов, требующих k
компонент:
<== Их» •••> ‘lft] = [<> •••> 9/1-
Пользуясь приведенным выше рассуждением, мы имеем:
(I) при надлежащей нумерации компонент
Р1 = Р?>
(II)	[q2> • • •> <ifti = [‘i2.<i?]•
Из предположения индукции следует теперь, что k—1 = I—1, т. е.
« = /, и что компоненты можно занумеровать так, чтобы было
=	.....kY
Этим доказательство закончено.
30
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Для формулировки второй теоремы единственности нужно сначала
определить изолированные и вложенные компоненты идеала t. Пусть
[qt,	— несократимое представление для i и ру— простые
идеалы, принадлежащие идеалам q^. В силу теоремы VIII, простые
идеалы рр ..., pft однозначно связаны с t, независимо от выбора
несократимого представления. Если идеал pj не является собственным
делителем ни одного из других простых идеалов р4, то q;- называется
изолированной компонентой идеала i. Если же pj является собствен-
ным делителем некоторого рр то компонента qj называется вложен-
ной. Вложенные компоненты идеала i определены неоднозначно. Для
изолированных же компонент имеет место
Теорема IX. Изолированные компоненты идеала t однозначно
определены.
Пусть [q , ..., qfcJ и [q', .... q^]—два несократимых представле-
ния идеала i, и пусть компоненты расположены так, что qf и q'
являются рг-примарными. Пусть qt — изолированная компонента
идеала Тогда pt не является собственным делителем ни одного
из Pj U > О- Следовательно, q' также является изолированной ком-
понентой идеала i. Положим для удобства
j = [q2, .... qft], Г =	.... q^l.
так что
Kit- j] = i = Iqf fl-
Пусть индекс идеала q^ равен pj. Тогда
^...^* = 0 (j).
Если бы было jcpp то выполнялось бы соотношение
pp/...ppft = O (pt)
и, следовательно, при некотором значении I > 1 было бы
Pi = 0 (Pi).
вопреки предположению о том, что компонента qt — изолированная.
Поэтому	,
1 ¥= 0 (pt),
а значит (теорема II, следствие II), q1 = [qr j]: j = t: j — [qf j']: j
и qi = ° (qi).
Аналогично можно показать, что
Г^о (рд
и вывести отсюда, что
qi=o (qj-
Таким образом, qt = q', что и нужно.	•
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
31
Особенно интересным является случай, когда t = рр есть степень
простого идеала р. Пусть
Рр = {<!1....qd
— некоторое несократимое представление идеала р?, причем каждая
компонента q4 р4-примарна. Тогда
рр = 0 (q,)
и поэтому
рр = о (рД
Отсюда следует, что
Р = 0 (Pj)>
т. е. что идеал р кратен всем pj. Ввиду того, что идеалы рр ..., рк
все различны, идеал р может быть равен самое большее одному из pj.
Покажем, что р действительно равен одному из pj. В самом деле,
если бы р был собственным кратным всех Pj, то в каждом из pj можно
было бы найти элемент не принадлежащий р (j = 1, ..., k).
Пусть — такое целое число, что
«/ = 0 (q,-).
Тогда, полагая о = тах[з1, ок], мы имели бы
(a1...afc)° = 0 ([qx......qk]) =
= 0 (р).
Отсюда, в силу простоты идеала р, следовало бы, что один из эле-
ментов ал- принадлежит р, вопреки предположению. Таким образом,
один из идеалов рл- равен р, причем можно занумеровать компоненты
так, что этим ру будет рх. Так как
Pi = 0 (Pj) U = 2, ..., k),
то qx является изолированной компонентой идеала р?, а компоненты
q2, ..., qk— вложенными. В силу теоремы IX, компонента qx не за-
висит от выбора рассматриваемого несократимого представления
идеала рр. Эта компонента называется символической р-й степенью
идеала р и обозначается через р<₽>.
Мы заключим настоящий параграф несколькими результатами,
полезными для дальнейшего. Они относятся к областям целостности,
в которых имеет место теорема о базисе.
Пусть 'Л — такая область целостности, i и j — два идеала в 9t.
Мы будем предполагать, что i является собственным идеалом, а идеал j
может быть также нулевым. Случай, когда j является единичным
идеалом, вообще не представляет интереса. Рассмотрим совокупность
элементов кольца SR, принадлежащих всем идеалам (i“, j), соответ-
ствующим целым положительным значениям п. Пусть а и р— два
таких элемента из SR, а р — произвольный элемент из SR. Так как
« = о ((Г, j)) и р = 0 ((Г, j))
32
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
при всех значениях п, то
«-,3 = 0 ((ire, j)) и р« = 0	((i”, j))
также при всех значениях п. Следовательно, элементы кольца SR,
принадлежащие идеалам (ire, j) при всех значениях п, сами образуют
идеал. Обозначим его через f. Докажем прежде всего, что
(it. j) = t.
Так как ifcf и j с f, то
(if. i)Et.	(3)
Пусть теперь [qt........qr]—несократимое представление идеала
(if, j) в виде пересечения примарных идеалов. Радикал qh обозначим
через рА (А = 1, ..., г). [Если (if, j) является нулевым идеалом, то
г=1 и p1 = q1, так как 5R является областью целостности.)
Случай I. Если
i 0 (Рл).
то мы имеем (теорема П, следствие II)
. fcif:ic(tf. j): icqh:i = qh.
Случай II. Если
1 = 0 (рА),
ТО
i” = 0 (qA)
при всех значениях п, превышающих индекс идеала qA. Поэтому
i E(if. j)Eqft. t E(i”. i)Eqft-
Отсюда следует, что в любом случае будет
fEqfe-
Но так как это верно при всех значениях А, то
f E(tf, j).	(4)
Из (3) и (4) мы заключаем, что '
(if, j) = f.
Пусть теперь тд, ....	— базис идеала f. Тогда
Ъ = 2 ’йН (г = 1,..., $),
где ay£i и Pi С 1- Если положить Д = |3^ —	|, то из написанных
уравнений будет следовать, что
Д^ = 0 (j).	(5)
8 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
33
Но, по определению Д,
Д—1=0 (i).
Следовательно,
Д =# 0 (с),
так как i не является единичным идеалом.
Рассмотрим теперь некоторые частные случаи.
А. Пусть j — нулевой идеал. Из (5) мы получаем, что
у. = 0 (Z=l,..., $), так как Д отличен от нуля, а 9? — область
целостности. Следовательно, f есть нулевой идеал.
Б. Пусть идеал j р-примарен, причем р £ i. Тогда Д не со-
держится в р, так что (теорема II, следствие I) должно быть
(/= 1,..., s), и поэтому
Но так как j £ f, то
f = i-
В. Предположим, что (t, j) является единичным идеалом. Тогда
идеал (ira, •••> jra) — также единичный. Но так как этот
идеал содержится в идеале (1п, j), то последний также должен быть
единичным идеалом при всех значениях п. В этом случае очевидно,
что f также будет единичным идеалом.
Г. Пусть i = p — максимальный идеал кольца Dt1). Положим
j = [qi....................q?> qf. • • •> q»l>
где идеалы qs рл-примарны, a qs р^-примарны, причем рй содер-
жится в р (ft = 1и рь не содержится в р (ft = 1, ..., т).
Если обозначить через (д пересечение идеалов (рга, q^) при всех п,
а через th — пересечение идеалов (р“, q») также при всех п, то из
„Б“ следует, что q», и, как легко показать, есть единичный
идеал. Действительно, так как р" не содержится в р, идеал (рд, р)
является делителем для р, не совпадающим с р. Ввиду максимальности
идеала р, идеал (р", р) будет единичным. Если р есть индекс иде-
ала q", то
(q£. р) = (р", рХ
так что идеал (q", р) будет единичным. Нужный результат следует
теперь из „В“.
Так как при всех значениях п мы имеем
(₽”. j) с (рга, q;>
• 1) в § 3 будет доказано (теорема III), что каждый максимальный идеал
области целостности 9? прост. Здесь, однако, этот результат не используется.
3 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
34
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
(Рга. j) = (р”> q£).
то
t =	t;, гr;i=iq;...........qjj.
Положим
ii=l<......С.и 13=И1...........Cl-
Тогда идеал j3 не содержится в р, и поэтому, в силу максималь-
ности р, мы имеем
(ja, г) 3(12. Р)га = Я,
так что
(ja. р«) = И.
Но при всех значениях п справедливы соотношения
ii=ii (1а. р”) = (iii2. iiPra) s (i. Рга)-
Следовательно, jx с f. Однако мы уже видели, что f с jv так что
t = [qTj ..., q,].
Суммируем теперь полученные результаты, нужные нам в даль-
нейшем, в виде следующей теоремы:
Теорема X. Пусть t a j — идеалы области целостности 91,
в которой справедлива теорема о базисе. Если идеал t — соб-
ственный, то:
(1) единственным элементом в 91, принадлежащим всем сте-
пеням ?*, является нуль кольца 91;
(2) если t = p — максимальный идеал кольца 91, a j = [q', ....
q', q".....q"l, где q', .... q' — примарные компоненты идеала j,
кратные р, и q"....q'^— компоненты идеала j, не кратные р,
то пересечение идеалов (р”, j) для п= 1, 2, ... равно [q^, .... q^].
Удобно здесь же доказать одну лемму, вытекающую из получен-
ного результата.
Пусть р — максимальный идеал кольца 91 и q' — примерный идеал
этого кольца, имеющий радикал р'. Мы уже видели, что если р' не
содержится в р, то
(q'« P) = (q'. р3)= ... =91.
Допустим теперь, что р' с р. Тогда
p = (q', p) = (q', p3) = (q'. р3)=....
Можно показать, что идеал (q', р”) является р-примарным. Действи-
тельно, если [qt...qk] — несократимое представление идеала (q', р«)
и р4 — радикал идеала q4, то
р» = 0 (q<).
§ 2. ПРОСТЫЕ И ПРИМАРНЫЕ ИДЕАЛЫ
35
Следовательно,
р“ = 0 (Pi)-
Поэтому	'
Р = 0 (Pi)-
Ввиду того, что идеал р максимален, должно быть pi = р. Но идеалы
......pfc все различны, так что А=1, т. е.
(q'. Pra) = qr
Нам нужен случай, когда (q\ ра) = р. Докажем, что при этом
(q', р») = р для всех значений п. Действительно, пусть	а>г —
базис идеала р. Из равенства р = (q', ра) вытекает, что
wi = ₽i+/i (“i> • • • • шг) 0=1..г),
где .........хг)— однородные многочлены степени А относительно
неизвестных х1...хг с коэффициентами из 91; Р» — элементы идеала q'.
Из написанных соотношений следует, что
®i = ?<+/?(?1+/?(4---. ?,+/») =
=₽;+/|(“р--->шг) 0=1,...,г),
где р' —элементы из q'. Таким образом, р с (q', р*)- Но так как
р 5 (q', р8) = (q', р4),'
то мы получаем
p = (q', ps) = (q', р4).
Продолжая таким же образом, получим
(q', р») = р
при всех значениях п. 
Из доказанного вытекает, что пересечение идеалов (q', рга) при
п — 1, 2, ... равно р. Но из теоремы X мы видим, что это пере-
сечение равно q'. Следовательно, q' = p, и мы имеем следующую
лемму:
Лемма. Пусть р — максимальный идеал области целостности 91,
в которой имеет место теорема о базисе. Если q' есть у'-при-
марный идеал из 91, то
(I) в случае р' #= 0 (р) имеют место равенства
(q', p) = (q', ра)=...=91;
(П) если же р' = 0 (р), то идеал (q', рга) ^-примарен, причем
он будет простым в том и только в том случае, когда q' = p.
Условия q' = p и (q', ра) = р эквивалентны.
3»
36
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
§ 3. Кольца вычетов
Пусть i — идеал коммутативного кольца 91. Два элемента а и (3
из 91 называются сравнимыми по модулю i, если
я — р — 0 (t).
Непосредственно очевидно, что отношение сравнимости рефлексивно,
симметрично и транзитивно, так что оно является отношением экви-
валентности. Поэтому элементы кольца 9? разбиваются с помощью
этого отношения на попарно не пересекающиеся классы элементов,
сравнимых друг с другом по модулю t. Будем обозначать класс,
к которому принадлежит элемент а, через а. Равенство я = р имеет
место тогда и только тогда, когда я — p£t Если
я — я' = 0 (t) и р —р' = 0 (i),
то
(« + ₽)-(«' + ₽') = 0 (i)
и
яр —а'р' = я(р —РЭ + Р7Я —я') = 0 (t).
Следовательно, мы можем определить обычным образом сложение и
умножение классов, ^причем непосредственно проверяется, что такое
определение удовлетворяет всем требованиям, предъявляемым к опре-
делению сложения и умножения в кольцах. Поэтому совокупность
классов будет кольцом, которое мы обозначим через 9t. Отображе-
ние, определяемое формулой я->я, является отображением кольца 91
на 91. Оно обладает следующими свойствами:
Я —|—р = Я —Р, яр=я.р.
Отображение с такими свойствами называется гомоморфизмом. При
указанном выше отображении на нуль кольца 91 отображаются те и
только те элементы из 9t, которые принадлежат i.
Обратно, пусть мы имеем некоторый гомоморфизм я -> я, ото-
бражающий кольцо 91 на некоторое кольцо 91. Рассмотрим элементы
из 91, отображающиеся на нуль кольца 91. Если элементы я и р
таковы, что я=р = О, а р — произвольный элемент 91, то мы имеем
я — р = я—р = 0 и ря = ря = 0.
Следовательно, элементы кольца 91, отображающиеся на нуль кольца 91,
образуют некоторый идеал i кольца 91. Два_ элемента я и р из 91
отображаются на один и тот же элемент из 91 тогда и только тогда,
когда разность а — р отображается на нуль кольца 91, т. е. когда
я —р = 0 (i).
$ 3. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ
37
Таким образом, любой гомоморфизм кольца 91 может быть получен
описанным выше образом при надлежащем выборе идеала t. Кольцо 91,
полученное выше из 91 с помощью идеала t, называется кольцом
вычетов и обычно обозначается через 9i/t. Если i есть нулевой идеал,
-го кольцо 9l/t, очевидно, изоморфно 91; если же t есть единичный
идеал, то кольцо 9l/i состоит только из нуля.
Ввиду того, что каждое поле имеет только два идеала — нулевой
и единичный, — мы получаем следующее предложение:
Теорема I. Гомоморфизм поля либо является изоморфизмом,
либо отображает каждый элемент поля на нуль.
Пусть i, j — два идеала кольца 91. Рассмотрим отображение
идеала j в кольцо вычетов 9i/i. Если jet, то каждый элемент из j
отображается на нуль кольца 9t/i, так что образом идеала j будет
нулевой идеал кольца 9l/t. Пусть теперь j не содержится в t. Если а
и р— элементы из 9t/i, являющиеся образами некоторых элементов а
и р из j, и р — произвольный элемент кольца 9t/i, являющийся обра-
зом некоторого элемента р из 91, то а — р и ра будут также обра-
зами элементов а— ,3 и ра идеала j. Следовательно, элементы
кольца 9t/i, являющиеся образами элементов идеала j, образуют идеал
кольца 9l/t. Мы будем обозначать этот идеал через j/t.
Пусть теперь t — произвольный идеал кольца 9i/t, а а и р— любые
элементы из 91, отображающиеся на элементы а и р из f. Если
р — любой элемент из 91 и р—-его образ в 9i/t, то элементы а — р
и ра отображаются на элементы а — р и ра, входящие в f. Таким
образом, совокупность всех элементов кольца 91, отображающихся
на f, образует некоторый идеал f кольца 91. Так как элементы из i
отображаются на нуль кольца 9i/t, лежащий в идеале t, то i с f.
Если f = j/t, то очевидно, что j с f. Но при этом не обязательно j=f.
В самом деле, необходимым и достаточным условием того, что эле-
мент а из 91 отображается на некоторый элемент из j/t, является
существование элемента р из j, удовлетворяющего соотношению
а — Р = 0 (t). Следовательно, если f = j/t, то
f = (i. i)-
Необходимым и достаточным условием равенства f = j будет поэтому
соотношение
i = 0 (j).
Из сказанного непосредственно вытекает
Теорема II. Любой идеал j кольца 91 отображается на неко-
торый идеал j/t кольца 9?/т. Наибольшим идеалом кольца 91, ото-
бражающимся на j/t, является идеал (i, j), в котором содержатся
все идеалы из 91, отображающиеся на j/i. Между идеалами кольца
38
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
9t/i а идеалами кольца 91, являющимися делителями i, имеется
взаимно однозначное соответствие.
В силу этого результата, при рассмотрении соотношений между
идеалами колец 9t/t и 91 мы можем ограничиваться теми идеалами
в 9t, которые делят i.
Если кольцо 91 обладает единицей и t не является единичным
идеалом, то образ единицы кольца 91 в 9i/t является единицей послед-
него кольца.
Воспользуемся теперь кольцами вычетов для доказательства сле-
дующей теоремы:
Теорема III. Максимальный идеал коммутативного кольца 9i
примарен. Если 91 обладает единицей, то любой максимальный
идеал кольца 91 прост.
Пусть г— максимальный идеал в 91. Тогда кольцо 9i/i не имеет
собственных идеалов. Действительно, если j — любой идеал кольца 91/1,
то максимальный соответствующий ему идеал кольца 9? является
делителем t. Ввиду максимальности t, указанный идеал либо будет
совпадать с t, либо будет единичным идеалом. Но отсюда следует,
что j будет либо нулевым, либо единичным идеалом кольца 91/1.
Так как кольцо 91/1 не имеет собственных идеалов, то оно является
либо полем, либо кольцом из конечного числа элементов а1( ..., ар,
подчиненных соотношениям а4а^ = 0 (§ 1, теорема I).
(I) Предположим сначала, что 9t/i есть поле. Это обязательно
будет в случае, когда кольцо 91 содержит единицу, так как в этом
случае и 9i/t обладает единицей. Пусть а и р— любые два элемента
из 91, для которых ap£t. Тогда, если обозначить через аир соот-
ветствующие им элементы в 91/1, мы будем иметь
аР = О.
Так как 9i/i является полем, то хотя бы один из элементов а или р
должен быть равен нулю. Отсюда следует, что хотя бы один из эле-
ментов а или р содержится в i, т. е. что идеал t прост.
• (II) Пусть теперь 91/1 состоит из конечного числа элементов
ах, .... ар. Если а—любой элемент из 91, то соответствующим ему
элементом кольца 9l/i будет один из а^ Так как а2 = 0, то a2 £i.
В частности, если а и р — элементы из 91, удовлетворяющие условиям
ар = 0 (i) и а=#0 (i),
то	р2 = 0 (I).
Поэтому идеал i примарен. Заметим, что радикал р идеала i является
единичным идеалом, так как квадрат любого элемента из 91 лежит в i.
При этом	р2==0 ф
Ввиду того, что р не содержится в t, идеал t не прост.
$ 3. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ
39
Следствием наших рассуждений является, в частности, то, что
если максимальный идеал t прост, то кольцо вычетов 9?/t является
полем. Можно показать, что и обратно, если Я?/( есть поле, то идеал i
максимален и прост. В самом деле, если бы i не был максимален,
то у него имелся бы собственный делитель j, не совпадающий с еди-
ничным идеалом. Поэтому идеал j/t был бы собственным идеалом
кольца 9t/i. Но, как мы знаем, поле не имеет собственных идеалов.
Если а и р— любые два элемента из 9t, удовлетворяющие соотноше-
нию a{3£t, а а и р— соответствующие им элементы из 9t/i, то
;р=о.
Отсюда следует, что один из элементов а или (3 равен нулю, т. е.
что один из элементов а или р содержится в i. Следовательно,
идеал t прост.
Этим доказана
Теорема IV. Для того чтобы кольцо вычетов 9t/i было полем,
необходимо и достаточно, чтобы идеал г был максимальным и
простым.
Аналогичные рассуждения показывают, что для отсутствия в кольце
91/1 делителей нуля необходима и достаточна простота идеала t. Дей-
ствительно, если ap £t, то ар равно нулю. Если 9t/i не содержит
делителей нуля, то хотя бы один из элементов а или р должен быть
равен нулю, т. е. хотя бы один из элементов а или р должен лежать
в t. Следовательно, идеал t прост. .Обратно, если идеал i прост, то
из равенства ар = 0, эквивалентного соотношению ap £ i, следует
что а или р лежит в i. Поэтому один из элементов а или р должен
быть равен нулю. Но это и означает, что в 9t/t отсутствуют дели-
тели нуля. Иногда приведенный факт используется в качестве опре-
деления простого идеала.
Теорема V. Пусть j — делитель идеала т. Идеал j/i примарен
тогда и только тогда, когда j примарен. Если j является р-при-
марным, то ]]{ (у/1)-примарен.
Допустим сначала, что идеал j примарен и что р— его радикал.
В таком случае р э j = i.
(I)	Пусть a, р—элементы кольца 9?/i, удовлетворяющие соотно-
шениям
а? = ° (j/t), «¥=0 (j/i).
Если а и р — элементы 9t, отображающиеся на а и р, то мы будем
иметь
aP = ° (j). a ^0 (j).
Но .так как идеал j р-примарен, то отсюда вытекает, что Р С р. Сле-
довательно,
Р = 0 (p/i).
40
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
(II)	Из соотношения j = 0 (р) следует, что
j/i = 0 (p/t).
(Ill)	Если
1=0 (p/i),
то мы имеем •
? = 0 (р),
а значит, для некоторого показателя р будет
₽Р = 0 (j).
Следовательно,
р=0 (j/i).
Теперь из теоремы I § 2 следует, что идеал j/i является (рД)-при-
марным.
Пусть теперь примерным будет идеал j/i. Обозначим через р
радикал идеала j/i, а через р — максимальный идеал кольца !R, ото-
бражающийся на р. Тогда p = p/i. Как и прежде, мы будем обозна-
чать через я, р, ... элементы кольца 91, а через я, р, ... —образы
этих элементов в 9i/t.
(I)	Если я и р — элементы из 9t, удовлетворяющие соотношениям
яр = О (j), я^=0 (j),
= 0 (j/t), я=#0 (j/i).
Так как идеал j/i (р/1)-примарен, то из этих соотношений следует,
что РС(Р/О> а поэтому Р£р.
(II)	Из соотношения j/t = 0 (p/i) вытекает, что
1 = 0 (р).
(III)	Если р £ р, то р £ p/i. Следовательно, при некотором пока-
зателе р будет pPCj/t. Но это означает, что рр £ j.
Таким образом (§ 2, теорема I), идеал j р-примарен.
Допустим теперь, что существует целое положительное число я,
удовлетворяющее условию
(P/i)° = 0 (j/t).
Если Р£р’, то
₽ = S ««•••««,>
где я^-£р. Следовательно,
F=Saii---ai« = ° ((₽/»)")•
i
По предположению, р£ j/t, а значит, р £ j. Отсюда вытекает, что
р’ = 0 (j).
S 3. КОЛЬЦА ВЫЧЕТОВ
41
Аналогично можно показать, что и обратно, из соотношения
Г = 0 (j)
следует, что
(p/t)’ = O (j/t).
Таким образом, мы получаем
Следствие I. Если идеал j (j 3 t) ^-примарен и р’=0 (j), та
(p/i)’ = 0 (j/i).
Обратно, если найдется показатель р, при котором
(p/i)p = 0 (j/i),
то
Рр = 0 (j).
Следствие II. Если j = i, то идеалу)}, прост тогда и только
тогда, когда j прост.
Это вытекает из следствия I при р = о = 1.
Следствие I показывает, что при условии справедливости в коль-
цах 9? и 9t/t теоремы о базисе соответствующие примарные идеалы
этих колец имеют один и тот же индекс (см. теорему VII).
Пусть i, j — два идеала некоторого кольца 9?, удовлетворяющие
условию
t=o ф.
При гомоморфизме кольца 9? на 9t/i'идеал j отображается на идеал j/i
кольца 9t/i. Этому идеалу соответствует гомоморфизм кольца 94/1
на (9t/t)/(j/t). Последовательное выполнение этих гомоморфизмов опре-
деляет гомоморфизм 9? на (9t/i)/(j/i). Элемент а из 91 отображается
на нуль кольца (91/0/0/0 тогда и только тогда, когда он отображается
на элемент идеала j/i кольца 9?/t, т. е. тогда и только тогда, когда
этот элемент принадлежит j. Отсюда следует, что кольцо (9l/i)/(j/i)'
изоморфно кольцу вычетов кольца 91 по идеалу j, т. е. 9t/j. Тем
самым доказана следующая
Теорема VI. Если i и j — идеалы кольца 91, удовлетворяю-
щие условию i с j, то кольцо вычетов 9t/j изоморфно кольцу
Wi)/0/i).
Теорема VII. Если теорема о базисе имеет место в кольце 94,
то она имеет место и в кольце St/i.
Пусть j — любой идеал кольца 9t/t и j — максимальный идеал
кольца 94, отображающийся на j. Пусть, далее, <о1,..., wr — базис
идеала j. Если обозначить через а любой элемент из j, а через-
“—-элемент кольца 91, соответствующий а, то а должно будет при-
надлежать j. Поэтому
а = p^j +...	ргшг 4- п1а>1	+ пгаг,
42
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
где рх...рг — элементы из St, a nv..., пг— целые числа. Сле-
довательно,
а = р1а>1 +... -j- рг% 4-... -j- пг<лг,
и потому
j £ SR/t • (<Ор. .. ,<»,.).
Но элементы <ох,.... принадлежат идеалу j. Поэтому
»l/t • К...
Отсюда следует, что элементы а>р..., <ог образуют базис идеала j.
Теорема доказана.
Предшествующие теоремы позволяют нам рассматривать связь
между свойствами идеалов кольца 9?, являющихся делителями
идеала I, и свойствами соответствующих им идеалов кольца 91/1. Такое
рассмотрение очень просто и не вызывает необходимости в дальней-
ших пояснениях. Мы приведем лишь несколько наиболее полезных
результатов. Доказательства мы оставляем читателю. Идеалы кольца 9l/t
мы обозначаем через j, f,..., а максимальные идеалы кольца 91,
соответствующие этим идеалам в 9t/i, — через j, f,... .
(I) (j, fj = (j,t), причем (j, t) есть наибольший идеал в SR,
соответствующий идеалу (j, f).
GD It- fl = lj> fl> причем [j, f] есть наибольший идеал кольца SR,
соответствующий [j, f].
(Ill)	jf = jt, причем наибольшим идеалом кольца SR, соответ-
ствующим идеалу jf в SR/t, является (jf, i). Этот идеал не обя-
зательно совпадает с jf.
(IV)	j: f — j: f, причем j: f есть наибольший идеал кольца 9?,
соответствующий j : f.
(V)	Если теорема о базисе имеет место в кольце 91 и если
[qx,.... qfc]— несократимое представление некоторого идеала j,
являющегося делителем t, то [qx,..., qfc] есть несократимое пред-
ставление идеала j.
§ 4. Подкольца и расширения колец
В дальнейшем нам придется довольно часто рассматривать со-
вместно пару колец, одно из которых является подкольцом другого.
Поэтому удобно собрать в одном месте общие теоремы об идеалах
в таких кольцах. Для наших целей достаточно ограничиться случаем,
когда оба рассматриваемых кольца обладают одной и той же еди-
ницей.
Условимся обозначать меньшее из двух рассматриваемых колец
через 91 и записывать его идеалы готическими буквами без звездо-
S 4. ПОДКОЛЬЦА И РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
43
чек, большее же кольцо будем обозначать через 9?” и записывать
еГ0 идеалы готическими буквами со звездочками. Вообще, символ S
будет означать некоторое множество элементов кольца 91, а сим-
вол S*— некоторое множество элементов из 9?*. Любое подмно-
жество кольца 91 является подмножеством и для 9?*. Однако идеал
кольца 9? может и не быть идеалом в 9?*. Если i и j — идеалы
кольца 9?, то соотношение
i = 0 (j)
является соотношением между этими идеалами именно в кольце 9?.
Соотношение же
t = j
можно рассматривать как в кольце 91, так и в кольце 9?”.
Если S — некоторое множество элементов из 91, то через 9?* • S
мы будем обозначать совокупность элементов, которые можно запи-
Г
сывать в виде конечных сумм	где ??»•••» Р* — произвольные
элементы из 9?*, а аг...... аг — элементы множества S. С другой
стороны, если S* — множество элементов из 9?*, то через 9? fl S* мы
будем обозначать совокупность элементов из S*, лежащих в 91.
Теорема I. Если i и j — идеалы кольца 91, то 91* • t и 91* • i
являются идеалами кольца 9?*, причем имеют место следующие
соотношения'.
(I)	из i = 0 (j) следует 9Г • t = 0 (9?* • j);
(II)	r-(i, j) = 0R*-t, Г-j);-
(III)	SR* • [t, j] с [Г • t, 9i* • jl;
(IV)	91* • ij = (91* • i) (91* • j);
(V)	91* • (i: j) c (9?* • i): (9t* • j).
Пусть а* и P* — любые элементы из 91* • t, a p*— произвольный
элемент из 91*. Тогда
.	k	а
«*=2р*А и
»=1	г=1
где р*,..., р* а*,..., а* — элементы из 91*, а ..afr,	—
элементы из i. Ясно, что элементы
«*-?*= 2рХ-1^
. г=1	г=1
И
к
р а — р Piai
4=1
будут принадлежать 91* • i. Следовательно, 91* • i есть идеал кольца 9?*.
44
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
(I)	Если а*— элемент из St* • i, то
ft
где a-i Следовательно, a* £ SR* • j.
(II)	Любой элемент из (i, j) может быть записан в виде a -f- р,
где а £ t и р £ j. Поэтому, если 'f*£ St* • (t, j), то должно иметь
место соотношение
h	к	к
1*=2р:(«<+₽{) = 2рХ+2р^.
1	ii
показывающее, что
7* £(Г Ч Г • j).
Поэтому
SR*. (г, j) с (SR*. i, St* • j).
С другой стороны, любой элемент из (St* • t, St* • j) можно запи-
сать в виде a*-f-p*, где
ft	s
a*=2p*iai> =
1	1
и
«4 = 0 (t), Р» = 0 (i).
Если мы положим
7»=«* (« = 1,..., k),	7i = Pi-fe (i==*-J-l.....Л+s)
и
-:=p:	....н	*:=<_fc a=*+i............*+*>,
то получим
a* + P*= 2
где
T< = 0 (t, j).
Следовательно, a*-J-p* £ St* • (t, j). Таким образом,
(St* • i, St* • j) £ St* • (i, j).
Из двух полученных результатов вытекает, что
St* • (t, j) = (SR*. t, Г • j).
(Ill)	Любой элемент 7* из St* • [i, j] имеет вид
ft
Г=2рй,.
где
7< = 0 (i) и 7< = 0 (j).
Следовательно,
7* = 0 (Г-t),	7* = 0 (Г-j),
t 4. ПОДКОЛЬЦА И РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
45
т. е.
9?*- в, j] с is»*-1, at*-j].
(IV)	Если 7* £ 91* • ij, то
где
aj==0. (t)	и	^=0 (j).
Следовательно,
PXer-i	и
Поэтому мы имеем
91*- ц = (9Г-OCR’-j).
Обратно, если
1’6(Г-1)Г -j),
ТО
т*=2“Х
г=1
где
a	t
а!=Ур!.а. и
j=l	fc=l
причем
а, = 0 (i) и = 0 (j).
Следовательно,
2 2 2рИ,«А
4=lj=lfc=l
и поэтому
(91* • i)(9i* • j) £ 91* • q.
Комбинируя два полученных результата, имеем
(Г- t)GR*. j) = r- if.
(V)	Если -f £9J* • (t: j), TO
где
= 0 (i).
Следовательно, в силу (I),
14Г-1 = 0 (91*. i),
и поэтому
fr.j = 0 (9f.i).
Отсюда
ar • (i: j) = (at* • t): (Г • i).
46
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Теорема II. Если i* и f — идеалы кольца 91*. то 91 fl 1* и
91Л j* являются идеалами в 91, причем
(I)	из I* — 0 (j*) следует 91ПI* = 0 (91Л ]*)’>
(II)	91Л (i‘. Г) = (91Л Г, 91П Г);
(III)	91Л [i*. f] = [91Л i*. 91Л fl:
(IV)	91Л (И*) =(91Л О (91Л Г);
(V)	91Л (Г: П = (91 ПО: (91Л Г).
Пусть а и р — элементы из 91 Hi*, а Р — произвольный элемент
кольца 91 (а значит, и элемент кольца 91*!). Так как 1* есть идеал,
то а — р и ра принадлежат i*. Но так как они принадлежат также
и 91, то они являются элементами 91ЛI*. Поэтому последнее мно-
•жество является идеалом.
(I)	Если а £ 91Л t*. то а £ i* с j*. Следовательно, а лежит как
в j*, так и в 91, а значит, и в 91П Г- Поэтому
9lni* = 0 (91ЛГ)-
(II)	Если a£(9tni*> 91П Г). т0 <*€((*> D- Но так как a лежит
также и в 91, то он является элементом 91Л (1*, I*)- Поэтому
91Л(I*, Г) = (91 Пт*. 91Лf).
(III)	Если a £91Л [Г, fl. то
a£t*, «6Г. a€9l.
Следовательно,
а£91Л1*. а£91ЛГ. •
Поэтому
«Gl9tHf. 91ЛП.
а значит, мы имеем
91Л It*. П = [91ЛГ. 91ЛП
Наоборот,
91Л i* S t”, 91 Л j* S i*.
Следовательно,
[9tni*. 91Л fl Sit*, j*].
Но
[91Лi*. 91ПП = 91.
Поэтому
I9tni\ 91ЛГ! = 91П[Г. fl-
Комбинируя оба полученных результата, имеем
91Л If. П = 191Л Г, 91Л П-
(IV)	Так как 91Л i* S I* и 91Л j* S j*, то
(91Л i*) (91Л Г) S И .
g 4. ПОДКОЛЬЦА И РАСШИРЕНИЯ КОЛЕЦ
47
В силу соотношения
(И л Г) (JH П Г) = я
мы получаем
91 П (И*) = (91 П о (И Л Г).
(V)	Если 7 £ 91Л (t*: j*)> то *r€(i*:D> и поэтому
1Г=о (П.
В силу (I), имеем
791ЛГ = О (91Л I’).
Следовательно,
91Л (Г: Г) = (91Л П : (И Л Г).
Теорема III. Если q* является р*-примарным идеалом кольца 91*,
то 91Л q* является (91Л ^-примарным идеалом кольца 91. В част-
ности, если р* прост, то 91 Пр* также прост.
(I)	Пусть а, 0— элементы из 91, удовлетворяющие условиям
«0 = 0 (91Л q*) и а^О (91Л q*).
Тогда
ар = О (q*) и а#=0 (q*).
Но так как идеал q* является р*-примарным, то отсюда следует,
что 0£р*. Кроме того, 0— элемент из 91, так что
0 = 0 (91ЛР*)-’
(II)	В силу соотношения
q* = 0 (р*).
из утверждения (I) теоремы II следует, что
9tHq* = 0 (91 Пр*).
(III)	Если
0 = 0 (91ЛП
то мы имеем
0 = 0 (р*).
Следовательно, существует показатель р, при котором
₽₽ = 0 (q*).
Но 0₽ лежит в 91. Поэтому
0f = O (91Л q*)-
Из теоремы 1 § 2 вытекает, что идеал 91Л q* является (91Лр*)-при-
марным.
Вторая часть- теоремы получается непосредственно, если положить
q’ = p\
48
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Рассмотрим теперь результат последовательного применения опе-
раций 91* • и St П • Пусть i — идеал в 91, a i* = 91* • t Мы будем говорить
в таком случае, что идеал t расширяется до идеала i*. Если мы
положим j = 91П <*, то, в силу i с Г, будем иметь
t = 9?ni = 9?nt’ = i.
В следующем параграфе [приводятся! примеры, показывающие,
что j действительно может быть собственным делителем г. Ввиду
того, что i с j, мы имеем [теорема I, утверждение(В]
= Г .tcSR’-j.
С другой стороны, однако, j с г*. Следовательно, 91* • j с 91* • Г = Г,
и поэтому 91” • j = i*. Если i' — любой другой идеал кольца 91, для
которого 91” • f — i*, то V с 91 pi i* — j- Следовательно, идеал j является
делителем любого идеала i' из 91, имеющего то свойство, что 91* • i' = i*.
Мы получили следующую теорему:
Теорема IV. Если i — любой идеал кольца 91 и j = 91П (91* • i),
то i с j и 91* • i = 91* • j. Идеал j является наибольшим идеалом
кольца 91, расширяющимся до 91* • t: все идеалы кольца 91, рас-
ширяющиеся до 91* • i, содержатся в j.
Укажем частный случай, для которого в теореме IV можно доказать
равенство i = j:
Теорема V. Если в кольце 91* существует такое конечное
множество элементов т]*, ..., что любой элемент из 91* запи-
Г
сывается в виде Sp/'lp г()е Pi...Рг—элементы из 91, и если
р— простой идеал кольца 91, обладающий конечным базисом, то
р = 91П (91* • р).
Пусть Wj, .... <»s — базис идеала р. Тогда любой элемент из
в
91* • р имеет вид 2р*°\> гле Р*..Pg — элементы 91*. Пусть со —
произвольный элемент из 91П (91s • £)• Тогда сот]* £ 91* • р и поэтому
Sp*A <z=1.........r)-
Но	3~
Г
2^ Pyfc7!*’
где pyfc — элементы из 91. Следовательно,
о =	, и,
Л=1
где
’^• = 0 (р).
S 4. ЯбДКОЛЙЦЛ Й РАСШИРЕНИЯ колйй	4$
Исключая отсюда ..., rfr, получаем
ia//u-dy| = o,
и поэтому
= р (р).
Так как идеал р прост, то отсюда следует, что w *= 0 (р), и поэтому
9? Л (91* • р) с р.
Пользуясь теперь теоремой IV, сразу получаем требуемое. Полезно
отметить такое
Следствие. Пусть выполнены условия теоремы V, и пусть
в кольце 91* имеет место теорема о базисе. Если 91*  р= [q*...q£],
где компоненты q* примарны, то хотя бы при одном значении i
справедливо равенство 9? Hq* = p-
В силу утверждения (III) теоремы II, мы имеем
р = ЙЛ(Г • p) = [9tnq*.......SRnqXb
Но, по теореме III, идеал 9? fl q« примарен. Пусть его радикалом бу-
дет рг. Тогда
р = 0 (р^,
так как р с 9? Л q* S рг
Если бы каждый идеал р^ был собственным делителем для р, то
мы могли бы найти элементы а^Ср», не лежащие в р (i = 1, .... k).
Следовательно, при некотором целом р было бы
>(а1...afc)₽ = 0 ([Otnq:.....Wj)-
т. е.
(«1 • • • «а)р — 0 (₽)•
В силу того, что идеал р прост, хотя бы один из элементов
должен принадлежать р, так что мы получили противоречие. Следо-
вательно, хотя бы при одном значении I должно быть р4 —р. Но
р £ 9? Л q<’ £= рР и поэтому
?tnq* = p.
Вернемся к общей задаче о связи между идеалами колец 9? и 9?*.
Пусть i” — идеал в 9Г, i = 9? Л Г и Г — 91’ • i- В этом случае мы
будем говорить, что идеал f сжимается в идеал 91Л i*> Так как
i £ Г, то j* = 9Г • i с 91”. i* = f*. Следующий пример показывает,
что j* может быть собственным кратным идеала i*. Пусть К—поле,
х — неизвестное над К, а у — корень уравнения у^ = х3 в некотором
расширении кольца АГ(х]. Возьмем 9? = /([х, у], 9?*=К[х, у, ух'1]
и положим
Г = 9Г • (х, у, ух-1).
4 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
5o гл. xv. теория идеалов в коммутативных Кольцах
Тогда можно проверить, что
i = 9tni* = 9t-(x, у) и j* = 9i*-i = 9i* . (х,
Так как t с j*, то t с 91Л j*, а значит, ввиду включения j* с (*,
будет 91П Г S 91 Л i* = 1- Следовательно, имеет место равенство
SR П j* = 91Л С• Таким образом, доказана
Т е о р е м а VI. Если Г-—любой идеал кольца 91* и j* = 91* • (91Л I*),
то j* с i* и 91Л j* — 91ЛI*. Идеал j* является наименьшим идеа-
лом в 91*, сжимающимся в 91 Л i*; j* кратен любому идеалу из 91*,
сжимающемуся в 91Л 1*.
Идеал Г кольца 91* называется идеалом расширения, если он
равен некоторому 91*-^, где 12— идеал кольца 91. Если i* — любой
идеал из 91*, то идеал i* = 91* • (91ЛI*) называется идеалом расши -
рения, связанным с идеалом ij. Аналогично, идеал t из 91 назы-
вается идеалом сжатия, если он равен некоторому 91Л й, где t* —
идеал из 91*. Если ix — любой идеал в 91, то идеал 1 = 91Л (91* • ij
называется идеалом сжатия, связанным с tr
Каждый идеал сжатия из 91 является сжатием одного и только одного
идеала расширения из 91*. Действительно, пусть t = 91 Л Д — про-
извольный идеал сжатия из 91. Если i2 = 91 • t, то (теорема VI)
91Л12 = 91 Л ii = 1, так что t является сжатием идеала расширения i2.
Если ig = 91 • — другой идеал расширения, удовлетворяющий усло-
вию i = 91Л 1з, то из теоремы IV следует, что 91 • Д = 91 • i, так
что 1з = 12- Точно таким же образом можно доказать, что каждый
идеал расширения из 91* является расширением в точности одного
идеала сжатия из 91. Следовательно, справедлива
Теорема VII. Между идеалами сжатия из 91 и идеалами
расширения из 91* имеется взаимно однозначное соответствие.
Если идеалы i и f отвечают друг другу в этом соответствии,
то i* = 91* • i и i = 91П !*• Идеал i является единственным идеалом
сжатия, расширяющимся до Г, а i*— единственным идеалом рас-
ширения, сжимающимся в i.
Теорема VIII. (I) Если t, j — идеалы сжатия из 91, то [i, j]
и i :j также являются идеалами сжатия.
(II) Если i*. j*—идеалы расширения из 91*, то (1*, ]*) и i*j* так-
же являются идеалами расширения.
(I) Мы можем записать i = 91Л1*, i = 91Л j*, где 1* = 9Г • 1,
)* = 9t"-j.. В силу утверждения (III) теоремы II, имеем
It, П = 91П[1*, Г1-
Таким образом, идеал [t, j] является идеалом сжатия.
В силу утверждения (V) теоремы I, 91’ • (i: j) с i* : j*. В силу же
утверждения (V) теоремы II,
9in(i*:f) = i:i-
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
51
Следовательно,
Я П (Г • (t : j)) с t: j.
Но идеал в левой части этого соотношения является идеалом сжатия,
связанным с t: jj, так что (теорема IV) он содержит t: j. Поэтому
i:j = atn(r-(t:i)),
т. е. t: j является идеалом сжатия.
(II) Если г* = 91* • i и j* = 9?* • j, то из теоремы I вытекает, что
(Г, f) = r - (t, j)
и
iT = r-(ij).
Следовательно, (i*, j*) и i*j* являются идеалами расширения.
§ 5. Кольца частных
В этом параграфе мы рассмотрим один из способов перехода от
кольца 9? к его расширению 91*, находящий многие применения
в алгебраической геометрии. Пусть 91 — любое коммутативное кольцо
и S— непустое множество элементов из 91, обладающее следующими
свойствами:
(I) Множество S мультипликативно замкнуто,’ т. е. если а и
Р— элементы S, то ар также является элементом S.
(II) S не содержит нуля и делителей нуля из 91.
Таким образом, если а и р — элементы множества S, то ар не
может быть ни нулем, ни делителем нуля.
Способ, с помощью которого мы получим из S кольцо SR*, напо-
минает способ построения поля частных области целостности (гл. I,
§ 4). Будем рассматривать пары элементов вида (а, р), где а — эле-
мент из 91, а р — элемент из S. Две пары (а, р) и (а', р') будем
называть эквивалентными, (а, р)~(а', р'), если
ар' = а'р.
Очевидно, что отношение эквивалентности рефлексивно и симмет-
рично. Чтобы доказать его транзитивность, предположим, что пара
(«. р) эквивалентна (а', р'), а пара (а', р') эквивалентна (а", р").
Тогда
ар'=а'р и а'р" = а"р'.
Поэтому
ар'р" = а'рр" = а'р"р = а"р'р,
т. е.
(ар"-а"р)р' = °-
следовательно,
ар" —а"р = О,
4*
52
гл. xv. теория идеалов в коммутативных кольцах
так как Р' не является делителем нуля. Но это и означает, что пара
(а, [5) эквивалентна (а", $"). Таким образом, введенная нами экви-
валентность является истинным отношением эквивалентности (гл. I,
§ 2) и поэтому может быть использована для разбиения множества
всех пар на непересекающиеся классы эквивалентных пар.
Определим теперь сложение и умножение пар таким же образом,
как это было сделано при определении поля частных области цело-
стности:
(«. Р) + (Т. 8) = (а8 + р-г, р8)
и
(«> Р)(Ъ 8) = (аъ ₽8).
Пользуясь тем, что множество S мультипликативно замкнуто и не
содержит делителей нуля, можно доказать, как и в § 4 гл. I, что
если
(а, р)~(а', р') и (7, 8)~(/, 8'),
то
(а, ₽) + (ъ 8)~(а', И+СГ §')
и
.(«, Р)(Ъ 8)~(а', р')(/, 8').
Поэтому мы можем определить сложение и умножение классов
эквивалентных пар и, как в теории поля частных области целостно-
сти, доказать, что эти классы при наших определениях сложения
и умножения образуют кольцо 91*, нулем которого является класс,
содержащий пары, эквивалентные паре (О, Р), а единицей — класс
пар, эквивалентных (а, а). При этом каждому элементу $ из 91 соот-
ветствует элемент $* из 91*, состоящий из пар, эквивалентных паре
(а?, а). Так как эквивалентность (а$, а)~ (ртц, Р) имеет место в том
и только в том случае, если
а?($ —П> = 0,
т. е. если ; = '<[ (ведь аир принадлежат S и поэтому не являются
делителями нуля), то это соответствие однозначно обратимо. Но так
как при этом ($ -f- -q)’ = Г -f-»)* и (b])* = Гт]*, то элементы Г обра-
зуют подкольцо кольца 9t*, изоморфное 9t. Следовательно, мы можем
отождествить это подкольцо с 91, так что 91* станет расширением
кольца 91. Элементы из 91* мы будем обычно записывать в виде а/р,
где (а, р) — любая пара, взятая из соответствующего класса.
В приложениях, которыми мы будем заниматься, кольцо 91 всегда
будет областью целостности. Поэтому ниже мы будем предпола-
гать, что имеем дело с таким случаем. Тогда кольцо 91* будет
изоморфно некоторому кольцу, содержащему 91 и содержащемуся
в поле частных К области целостности 91. Мы будем отождествлять 91*
с этим кольцом. Так как 9Г содержит 91, то 91* и 91 имеют одну
и ту же единицу, а так как 91* содержится в поле К, то в 91* отсут-
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
53
ствуют делители нуля. Таким образом, 9Г является областью цело-
стности. Очевидно, что поле частных кольца 9?* совпадает с К.
Множества S из SR, с которыми нам придется иметь дело, будут
соответствовать простым идеалам р из 91, отличным от единичного
идеала: в качестве S мы будем брать совокупность элементов из 91,
не лежащих в р. Так как идеал р прост, то ясно, что множество S
мультипликативно замкнуто и не содержит нуля или делителей нуля.
Получаемое при таком выборе S кольцо 91* будем обозначать через 9tp
и называть кольцом частных идеала р. Если р является нулевым
идеалом, то 91), есть поле частных для 91, так как элементами S,
лежащими вне р, будут в этом случае все отличные от нуля эле-
менты 91.
При рассмотрении соотношений между идеалами колец 91 и 91),
мы можем воспользоваться результатами § 4. Однако для колец
типа 91), эти результаты можно существенно уточнить, как показы-
вают следующие теоремы.
Теорема I. Каждый идеал кольца 91), является идеалом рас-
ширения.
Пусть I* — любой идеал из 9tp и i = 91Л1*. Если а/р £ 1*, то
a = P(a/P)£t*. Но так как а принадлежит 91, то a£i. Наоборот,
если a£i и fl — любой элемент, не лежащий в р, то a£i* и р-1 £91),.
Следовательно, a/p£i*. Таким образом, идеал Г состоит из част-
ных a/Э, в которых а принадлежит 1, а р не содержится в р. По-
этому каждый элемент из i* принадлежит идеалу SRp • t, г. е. i* с
с 91), - I. Но в силу теоремы VI §^4, имеет место включение 91р • i с i*.
Следовательно,
1* = 91), • i.
Теорема II. Если i—-любой идеал из 31 и i* = 9tj,-t, то I*
в том и только в том случае будет единичным идеалом кольца 91)»
когда i О (р).
Любой элемент с из 91), • t имеет вид
Pt "А 0 (р). Следовательно,
J S aACi?l • • • Рг-А + 1 •••?>• _ 1
где ч £ i и р 0 (р).
Если i -4=. О (р), то в t существует элемент р, не лежащий в р.
Отсюда следует, что элемент 1 = р/р лежит в 91), • i, а значит,
1 является единичным идеалом. С другой стороны, если i* есть еди-
ничный идеал, - то он содержит единицу. Поэтому существует эле-
мент р из 91, не принадлежащий р и такой, что при некотором a
из i будет a/р — 1. Но это означает, что a = р лежит в i и не лежит
в т. е. что i 0 (р).
гДе «itИ, «п£1,
54
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Теорема III. Если ф— простой идеал кольца SR, содержа-
щийся в р, и идеал Cl ^-примарен, то идеал q” = JRp • Cl является
р*-примарным, где р* = 9% - ф.
Любой элемент из q* = 9% • Cl может быть записан в виде а/р,
где a£Ci> a [5 не лежит в р. Подобным же образом любой элемент
из р* можно записать в виде 7/З, где 7 £ ф, а 8 не лежит в р.
(I)	Пусть а/p и 7/8 — элементы из удовлетворяющие условиям
• у4 = ° «Г) И | + О (q*).
р о	р	’
Тогда
ат_______________________________ Е
где $ £ Q, т] не содержится в р, а тем самым и в ф, так как послед-
ний идеал, по условию, кратен р. Таким образом,
apq — р8$ = 0 (Cl),
а значит,
a-f — 0	(Cl),
так как элемент ц не принадлежит ф. Но так как a/р не лежит в q*,
то а не содержится в Ci. Отсюда, в силу ф-примарности идеала Cl,
следует, что 7 £ ф, а значит,
(- = 0 (/)•
(II)	Любой элемент из q* имеет вид a/р, где a £ Cl и 0 не при-
надлежит р. Отсюда следует, что а£ф, и поэтому а/Р£р*. Следо-
вательно,
q* — 0 (р*).
(Ill)	Любой элемент из р* имеет вид a/р, где а £ ф. Следовательно,
при некотором р будет ap£Ci. Кроме того, так как идеал р прост
и Р не содержится в р, то рр также не содержится в р. Поэтому
(у)'=° Ю-
Из теоремы 1 § 2 следует теперь, что идеал q р*-примареи.
Воспользуемся обозначениями теоремы III и предположим, что a —
элемент из.ЭТ(Ц*. Тогда а£91и
a = —.
t
где р^ Cl и 7 не принадлежит р. Отсюда вытекает, что 7a = P£Cl.
В силу того, что 7 #= 0 (ф), получаем, что a £ Cl. Следова-
тельно,
Я Л q* S &•
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
55
Но, в силу теоремы IV § 4,
CicsRnq*-
Поэтому
а=91п<Г-
Подобное же рассуждение применимо и к идеалу 9? П р*. Из теорем I
и III мы получаем следующую теорему:
Теорема IV. Между примарными идеалами кольца 91, ради-
калы которых кратны р, и отличными от единичного идеала
примарными идеалами кольца 9?р существует взаимно однознач-
ное соответствие. Каждый из отвечающих друг другу идеалов
является соответственно расширением или сжатием другого.
Рассмотрим теперь идеал 9^ • р. Любой элемент из 91р, не при-
надлежащий этому идеалу, может быть записан в виде ст/Р> где ни а>
ни р не принадлежат р. Отсюда следует, что p/а 9?^, т. е. что
элементы 9?р, не принадлежащие 9?р  р, являются в 9^ делителями
единицы. С другой стороны, ни один из элементов идеала 9?р • р не
может быть делителем единицы, так как если бы идеал 91р • р содер-
жал делитель единицы, то он был бы единичным идеалом, вопреки
утверждению теоремы II. Поэтому идеал 91р • р совпадает с множе-
ством элементов из 91р, не являющихся делителями единицы. Если i*—•
любой идеал кольца 9%, отличный от единичного идеала, то он не
может содержать делителей единицы из 9?р. Следовательно, {* должен
содержаться в 9?р • р. Таким образом, имеет место
Теорема V. Элементы кольца не являющиеся делителями
единицы, образуют идеал SRp • р. Любой идеал кольца 9tp, отлич-
ный от единичного идеала, кратен 9?р • р.
Пусть теперь ф*— любой простой идеал кольца 91р и ф = 91Л Ф*-
Тогда идеал ф прост. Предполагая, что ф* не является единичным
идеалом, будем иметь
Ф* = о gvp), ф-б (р).
Пусть С —любой элемент из (9?р).в*. Мы можем записать его в виде 5/nq,
где $ и 7) — элементы причем т; не лежит в ф*. В таком случае
где р и 8 не лежат в р, а 7 не лежит в ф. Следовательно,
Но так как ф £ р, то p'f не лежит в ф, и поэтому С есть элемент SRjj,
т. е.
(9М®* С 91г(.
Обратно, если Ч — любой элемент из 9ty, то можно записать его
в виде $ = а/p, где а и р — элементы 91, причем р не лежит в ф.
56
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
В таком случае аир являются элементами 9*4, и Р не принадлежит ф*.
Поэтому 5 является элементом кольца ($;,)$*, т. е.
9*р £ (9*},)$*.
Сопоставляя полученные результаты, имеем
(9*},)$* 91$.
К этому можно добавить, что если ф является собственным кратным р,
то ф* есть также собственное кратное 9*$, • ф и поэтому является
собственным идеалом кольца 9%. При этом в кольце 9*4, имеются не
принадлежащие идеалу ф* элементы, не являющиеся делителями еди-
ницы. Следовательно,
9tj, <= (9%) = 91$.
Пусть, далее, ф — любой идеал кольца SR, для которого
9*4, £ 91$.
В таком случае каждый делитель единицы из 9*4, будет делителем
единицы в 9*$. Поэтому каждый элемент кольца 9t, не лежащий в р,
не будет лежать в ф. Отсюда следует, что ф £ р. Суммируя ска-
занное, получаем следующую теорему:
Теорема VI. Если р и ф — два простых идеала кольца SR,
то включение 9*р с 9i$ имеет место тогда и только тогда, когда
ф£р. В частности, 9*р = 91$ в том и только в том случае,
если р = ф. Если ф £ р, то 91$ = (9*4,)$^.$.
Теорема VII. Если теорема о базисе имеет место в 9*, то
она справедлива и в 9*),.
Пусть I* — произвольный идеал из 9*4, и i = 9* П **• * есть идеал
кольца 9* и поэтому обладает конечным базисом a>t..............<»г. Так
как го -,ег. Любо» элемент . из i имеет зил 2РЛ, тле
р4 — элементы 9*. Но, ввиду теоремы I, любой элемент а* из i* запи-
сывается в виде а/p, где а£{ и р#=0 (р). Следовательно,
Г
Поэтому ........о>г является базисом идеала С. Тем самым теорема
доказана.
Всюду ниже в этом параграфе мы будем предполагать, что
теорема о базисе имеет место в 9*.
В силу теоремы VII, теорема о базисе будет справедлива и в 9*р.
Поэтому для примарных идеалов колец 9* и 9*), могут быть опреде-
лены индексы. Докажем, что имеет место
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
57
Теорема VIII. Примарные идеалы колец 91 и отвечающие
друг другу в соответствии, определенном в теореме IV, имеют
одни и те же индексы.
Пусть q*—некоторый р*-примарный идеал кольца а El=9? f] q*—
соответствующий ему примарный идеал кольца 91. Его радикалом
служит простой идеал ф = 91 П р*.
(I) Допустим, что р есть индекс Cl. Тогда
фр = 0 (Q).
В силу утверждения (IV) теоремы I § 4, имеем
• фр =	• ф)р = (рТ
Далее, из равенства q* =	• Cl, согласно утверждению (I) теоремы 1
§ 4, получаем
(рУ = 0 (q*).
Следовательно, индекс идеала q* не превосходит р.
(II) Пусть о — индекс идеала q*. Пользуясь утверждениями (I) и (IV)
теоремы II § 4, имеем
F = (91П Р’У S 91 П Г с 91 n q* =
Отсюда следует, что индекс идеала Q не может превосходить а.
Сопоставляя оба эти результата, получим р = з, как и требова-
лось.
Рассмотрим теперь произвольный идеал i из 91. Пусть
i = Iqr ••qg. q'+1..q'J
— его несократимое представление пересечением примарных идеалов.
Если при 1= 1, ..., s радикалы идеалов, q4, а значит и сами
содержатся в р, а при i =	..... t q'^fcO (р), то, в силу
утверждения (III) теоремы I § 4, имеет место соотношение
91,-iSI^-qp .... VV VCi..............W =
= [SRrqP .... 94» - qj,
так как, ввиду теоремы II,
=	(<=д-н.......О.
Пусть теперь $ — любой элемент из [9^ • qr . .. ,9^ • qsJ. Тогда
при 4 = 1, ..., 5 мы’ можем записать
f—
где otj^qp а р{ не принадлежат р. В таком случае
«^=«А=° (о?-
58
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Так как радикал идеала qj кратен р, a не лежит в р, то Pj
не лежит в радикале идеала Следовательно, должно быть ot^q^.
Но ввиду того, что q' не содержится в р, в q' найдется элемент 0',
не лежащий в р (j — s -f- 1, .... f). Отсюда следует, что
е. . ai-	a
где « — элемент идеала [qt, .... qa, q' ,	q'[ = i, a ,8 не при-
надлежит p. Следовательно (теорема 1),
[91), • qp •.., SRp • qj c 91,, • i.
Таким образом,
SRp • i = [91), • qt...................• qs]. .
Полученное представление идеала fRp•i несократимо. Действи-
тельно, если бы было, например,
91р • q< 2 [SR), • qt, . •., 91), • q^_p SR), • q<+1.91),	• q.J,
то мы имели бы [§ 4, утверждение (III) теоремы II и теорема IV|
q* = 91П (9t„. • q<) 2 [SR П (91„ • qj, ..., 91Л (9t„ • q^),
91П (9tp • q<+i)...9in(»tp-qs)l-=
= iqi> •••>	<i<H. •••> ‘U^[qr • ••’. Qi-г qi+1..qd> q'+1...qjb
Отсюда следовало бы, что компонента q< в представлении идеала t
является устранимой, вопреки условию.
Наоборот, отправляясь от некоторого идеала i* из 91), и его несо-
кратимого представления Г —[q*, .... q*], мы получаем, в силу
утверждения (III) теоремы II § 4, что
9tni*=(9tnq?, .... 9tnq;i-
Рассуждение, подобное приведенному выше, показывает, что это пред-
ставление идеала 91ЛI* также несократимо.
Таким образом, доказана
Теорема IX. Собственными идеалами сжатия в кольце 91
являются те и только те идеалы из SR, которые представимы
пересечениями примарных идеалов, имеющих радикалы, кратные р.
Идеал сжатия, связанный с идеалом i = [qv qj, получается
отбрасыванием примарных идеалов написанного разложения, ради-
калы которых не кратны р. Если t = [q1, .. ., qr) — несократимое
представление некоторого идеала сжатия из 91, то [SR^-qj..........
91),-q,.] будет несократимым представлением идеала 91), • 1. Если
|q*, ...,q*[ — несократимое представление некоторого идеала 1*
из 91^, то [91Лq*, •••, 91Лq^l будет несократимым представле-
нием идеала 91ЛI*,
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНЫХ
59
Этот результат иллюстрирует выгоду использования колец част-
ных. Во многих вопросах, в частности во многих приложениях теории
идеалов к алгебраической геометрии, мы интересуемся только ком-
понентами встречающихся идеалов, кратными одному и тому же про-
стому идеалу р. Переход к кольцам частных позволяет в таких слу-
чаях исключить все остальные компоненты. В последующих главах
будет много примеров использования этого приема.
Следующие две теоремы, заключительные в этом параграфе, нахо-
дят частое применение в алгебраической геометрии. В первой из них
предполагается справедливость в кольце 9? теоремы о базисе. Во
второй теореме такого предположения не делается1).
Теорема X. Область целостности 9? является пересечением
ее колец частных по простым идеалам. Более того, 91 есть пере-
сечение колец частных по максимальным идеалам.
Под пересечением колец частных мы понимаем совокупность эле-
ментов поля частных для 9?, содержащихся во всех кольцах частных.
Покажем прежде всего, что достаточно рассматривать лишь макси-
мальные идеалы в 91. Эти идеалы просты, так как в 9? имеется еди-
ница. Пусть р— произвольный простой идеал из 9?. Если р не макси-
мален, то он является собственным кратным некоторого собственного
идеала i из 91, а значит, и некоторого примарного идеала q', являю-
щегося компонентой i. Радикал р' идеала q' не будет единичным
идеалом, так как если бы было р' = 91, то р'р при любом р совпа-
дал бы с 91 (ведь в 9? имеется единица!); с другой стороны, в силу
конечности индекса идеала q', должно существовать такое значение р,
при котором р'р с q'; следовательно, q' был бы единичным идеалом,
вопреки предположению о том, что q' есть компонента собственного
идеала кольца 91. Мы получили, таким образом, что pcq'cp',
т. е. что имеется собственный простой идеал кольца 91, являющийся
собственным делителем р. Если идеал р'*не максимален, то таким же
образом находится- его собственный простой делитель р", являющийся
собственным идеалом в 91. Если р" не максимален, то процесс можно
продолжить. Таким образом, мы получаем последовательность идеалов
рср'ср"с....
В силу теоремы VI § 1, эта последовательность должна быть конеч-
ной, а значит, мы после конечного числа шагов достигнем идеала рр
являющегося делителем р и максимального в кольце 91. В силу тео-
ремы VI, 9?^ с 91р, т. е. каждый элемент поля частных, лежащий
в 91^, лежит и в 9?р. Следовательно, при рассмотрении элементов
О В действительности и первая из приводимых ниже теорем может быть
доказана без предположения о справедливости теоремы о базисе: достаточно
лишь показать, что любой собственный идеал кольца 91 содержится в макси-
мальном идеале этого кольца. Для колец с единицей такое доказательство
выполняется с помощью трансфинитной индукции. — Прим, перев.
60
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
поля частных кольца 9?, содержащихся во всех кольцах частных,
можно не рассматривать кольца SR4,, так как элементы 91^ необходимо
лежат в 91р. Поэтому достаточно рассматривать лишь кольца частных
для максимальных идеалов.
Очевидно, что каждый элемент кольца 9? лежит в любом кольце
частных. Пусть теперь $ — любой элемент поля частных кольца 91,
лежащий в кольцах частных 91 по всем его простым идеалам. Пусть
5 = а0/р0, где а0 и р0 — элементы 91. Если р0 является делителем
единицы в 91, то ££91. Если же р0 не является делителем единицы,
то 91  (ро) есть собственный идеал кольца 91. Пусть
‘Л • (Ро)~ l<h...
где идеалы q; р(-примарны. Элемент £, по предположению, содер-
жится в 91^. Следовательно, £ = а1/р1, где и pt —элементы 91,
причем pj не лежит в рР Следовательно, pt не принадлежит также qp
а значит, и идеалу 91 • (р0). Поэтому
91 • (ро)а91- (ро, Pt).
Если идеал 91 • (р0, Pj) не единичный, положим
Л-(Р0, Р,) = ^......<].
где идеалы q' р'-примарны. Так как 5 лежит в кольце частных
идеала р', то можно записать $ = а2/Р2> где а2 и Р2 — элементы 91,
причем Р2 не содержится в р'. Отсюда, как и выше, следует, что
91 • (р0, р^сЭ! • (р0, рр р.2).
Таким образом можно построить последовательность идеалов
91 • (р0)<=4Я • (Ро. Р,)с91 • (р0, р1( р.2)с...,
обрывающуюся лишь в том случае, если она заканчивается единичным
идеалом. Но в силу теоремы VI § 1, эта последовательность должна
оборваться. Поэтому найдется такое г, что
91-(р0, рр .... рг) = 91.
Поэтому должны существовать элементы р0, ..., рг из 91, удовлетво-
ряющие соотношению
РоРо + • • • + PrPr = 1 •
Но ^i = ai (i—O, ..., г). Следовательно,
£ ~ Ро^Ро 4* • • • рЛРг — Роао + • • • + Ргаг>
т. е. элемент В содержится в 91. Это и доказывает теорему.
Наша заключительная теорема устанавливает перестановочность
операций образования колец частных и колец вычетов. Пусть 91 — об-
ласть целостности, р — простой идеал из 91 и i — произвольный идеал
§ 5. КОЛЬЦА ЧАСТНИК
61
этого кольца, содержащийся в р. Тогда (§ 3, теорема V) при пере-
ходе к кольцу вычетов SR/i получается простой идеал p/i, и мы можем
образовать кольцо частных (iR/i)^1). С другой стороны, так как icp,
то SRp - i является идеалом кольца SRp, отличным от единичного идеала
(теорема II). Следовательно, можно образовать кольцо вычетов  i.
Мы докажем следующее предложение:
Теорема XI. Кольца • i и (Sft/i)изоморфны.
Пусть Т/т] — любой элемент (SR/t)^. Здесь $ и т] — элементы из JR/t,
причем 7) не лежит в p/i. Если ;,	— элементы кольца IR из
класса вычетов 5, а т], 7)', ... — элементы 4R, лежащие в 7), то т],т/,...
не содержатся в р. В то же время
В — $' = 0 (i), 7)—= 0 (t).
Так как т), т]', ... не лежат в р, то S/'G и являются элемен-
тами iRp. Далее,
= £=*)*=*	= 0 («,.{).
1)	1)'	1)1)'	\
следовательно, Е/т), S'/V принадлежат одному и тому же классу
вычетов кольца 9% по идеалу (R), • i. Поэтому элемент !;/7) однозначно
определяет элемент из JR^/iRp • i, так что мы имеем отображение эле-
ментов кольца (!R/i)p,( в кольцо iRp/lRp • i. Обозначим это отображение
через Н.
Наоборот, пусть С* — элемент из IRp/lRp • i. Пусть 8/т), V/'f)'> • • • —
элементы из SRp, содержащиеся в классе вычетов Здесь $,	...
и т], т]', ... —элементы 9?, причем 7), т/, ... не лежат в р. Так как
А-|=о (Я,.о.
то мы имеем
$7)' — ^ = 0 (i).
Перейдем к кольцу вычетов 9?/i. Если 5, Р, .... т), т/, ... означают
элементы кольца fR/i, соответствующие элементам .......7),	т)', ...,
то
V/---Рт) = 0.
Но так как т), т/, ... не лежат в р, то т), -т)', ... не содержатся
в p/i. Следовательно, элемент — B//’f является элементом кольца
(iR/i)^,.. Этим каждому элементу С* поставлен в соответствие одно-
1) Кольцо (Э?/1)рд может быть построено описанным в книге образом
лишь в случае, если все делители нуля кольца 9i/i содержатся в идеале p/i.
В частности, это возможно, если идеал i прост. Для рассматриваемых далее
приложений отмеченное ограничение несущественно. — Прим, перев.
62
tJi. xv. теория Идеалов в коммутативных кольцах
значно определенный элемент Е/т] кольца (9i/i)t/i. Ясно, что элементу Е/т]
при отображении Н соответствует элемент С*, так что между эле-
ментами обоих рассматриваемых колец фактически установлено взаимно
однозначное соответствие. Можно усмотреть непосредственно, что
установленное соответствие сохраняет суммы и произведения и поэтому
является изоморфизмом. Этим теорема доказана.
Следствие. Если i == р, то является полем частных
кольца 91/р. Следовательно, кольцо • р изоморфно полю част-
ных кольца 91/р.
§ 6. Модули
Прежде чем переходить к мультипликативной теории идеалов, мы
рассмотрим вкратце некоторые свойства модулей над коммутативным
кольцом.
Пусть 91 — произвольное коммутативное кольцо, a 2)1— коммута-
тивная группа, записанная аддитивно. Пусть, далее, определено умно-
жение элементов из 91 на элементы из 9)1 таким образом, что если
а — элемент из 91, а 5 — элемент из 9)1, то = 5<х является элемен-
том из 2)1. 2)1 называется ^.-модулем или иногда просто модулем,
если выполнены следующие условия:
(I)	+ = +
(П) а (; 4-7)) = аЕ + ат),
(HI) а(рЕ) = (а₽)Е.
В случае, если 91 — поле, примерами 91-модулей являются линей-
ные системы (гл. И, § 1). Каждый идеал кольца 91 является 91-мо-
дулем.
Если 7] есть нуль группы 9)1, а Е —любой элемент из 2)1, то при
любом а из 91 мы имеем
аЕ = а (Е -j- 7]) = «Е ат].
Следовательно,
ат] = 0.
Аналогично, если а есть нуль кольца 91, а Е — произвольный элемент
из 9)1, то можно показать, что
аЕ = О.
Рассмотрим теперь элементы а из R, для которых аЕ = О при лю-
бом Е из 9)1. Если а и р — два таких элемента из 91, ар — произволь-
ный элемент 91, то
(а — р)Е = о.Е — {ЗЕ = 0, (ра)Е = р(аЕ) = О.
Следовательно, рассматриваемые элементы кольца 91 образуют неко-
торый идеал i. Далее, если а и 0—два элемента из 91, удовле-
§ G. МОДУЛИ
63
.творяющие условию	при любом $ из -Di, то (а— [3); = 0 и
поэтому (а — ₽) £ 1. Другими словами, эти элементы принадлежат одному
и тому же классу вычетов из 9?/i. Обратно, непосредственно очевидно,
что если а и Р принадлежат одному классу вычетов, то а? = [3$ при
любом $ из Поэтому при рассмотрении 2R в качестве 91-модуля
мы можем заменить 9? на 9?/i и получать свойства 9?-модуля 2R из
свойств 2R как 9%/1-модуля, с учетом результатов § 3, связывающих 9t
и 9i/i. Поэтому в дальнейшем достаточно рассматривать 2R как
9?/1-модуль, т. е. предполагать, что из равенства аЕ = О при всех $
из Зй следует, что а = 0. Везде ниже мы будем считать это пред-
положение выполненным. Кроме того, будем предполагать, что в
кольце 9t имеется единица.
Как и выше, можно показать, что элементы $ £ 2R, удовлетворяю-
щие при всех « из 91 условию
а£ = 0,
образуют подгруппу группы QR. Пусть теперь е — единица кольца 91,
$ — любой элемент из 2R и $ = Тогда
еГ = е* = А = I
а значит,
e(l — £) = et — еГ=0.
Если мы положим т] = $— £ и выберем любой элемент а из 91, то •
будем иметь
ат; = (ае)т] = а (ет]) = 0.
Следовательно,	Поэтому любой элемент £ из Di может быть
записан в виде
^ = 1+^
где	_
е; = $ и et] — 0 .
Такая запись однозначна. Действительно,, если
Н- т] = v
где	_	_	_
е\' = V и ет]' = 0,
то	_____
£ — 5'
следовательно,
I— ? = е(Г— Г) =	— ет]'= 0,
т. е. $ = !/, а значит, и т] = т]'.
Можно доказать непосредственно, что элементы $ из Di, удовле-
творяющие условию ei—i, образуют подгруппу Di.2 группы Di.
Действительно, 	_ _
«(Т+т)) = е; + ет] = $ + т].
64
гл. XV. теория идеалов в коммутативных кольцах
Таким образом, ЭК является „прямой суммой” подгрупп 2>ij и 2К2.
Очевидно, что можно получить все свойства группы 2R как 91-модуля
из рассмотрения свойств 91-модулей SRj и Si.2. Так как мы будем
ограничиваться рассмотрением колец с единицей, мы можем сосредо-
точить внимание лишь на случае таких модулей 2R, для которых
равенство
4 = 0
имеет место при всех а из 9t лишь в случае, когда $ есть нуль. Будем
в дальнейшем считать выполненным и это предположение. Из
него следует, что 4 =4 при любом $ из ЭК.
Теория ^-модулей даже при введенных ограничениях настолько
обширна, что ее подробное изложение увело бы нас далеко за пре-
делы нашего основного предмета. Поэтому мы ограничимся лишь не-
большим числом результатов, необходимых в дальнейшем.
Говорят, что 9?-модуль 2)t имеет конечный базис, если в 2R су-
ществует такое конечное множество элементов а)х.....шг, что любой
элемент из записывается в виде
«Л + • • • +«г“г.
где ар .... аг — элементы из 9?. Так, идеал кольца 9t, имеющий
конечный базис, будет 91-модулем с конечным базисом. Следуя обо-
значению, установленному для идеалов, мы будем обозначать 9?-мо-
дуль с конечным базисом .а>р .. ., тг через SR-(<и,.а>г).
Любая подгруппа модуля 2К, замкнутая относительно операции
умножения на элементы 91, называется подмодулем. Справедлива
Теорема I. Если в 9? имеет место теорема о базисе и
91-модуль 2)t имеет конечный базис, то каждый подмодуль 9R'
модуля 2И также имеет конечный базис.
Пусть 2)1 = 9? • (а>(.шг). Мы будем доказывать теорему ин-
дукцией по числу элементов г базиса. Рассмотрим прежде всего слу-
чай г = 1. Любой элемент из 2)1' имеет вид аа>р где а — элемент
из 9?. Если и (За»!—элементы ЯЯ', а р — любой элемент из 9i,
то элементы
(а — р) а>1 = аш1 —
и
(Р«)	= р (ao>t)
принадлежат 9)i', так как ФГ есть группа, замкнутая относительно
умножения на элементы кольца 9i. Отсюда следует, что элементы а,
встречающиеся в качестве коэффициентов при в выражении эле-
ментов из Ж', образуют идеал i кольца 91. Этот идеал имеет конеч-
ный базис at.......aft. Так как при этом £ i, то являются
элементами 2И', причем любой элемент с ш, из 2R' можно записать
в виде
к	к
1	1
S 6. МОДУЛИ
65
где Pi,..., рл — элементы 9t, и любой такой элемент содержится
к
в ШС, так как^]	Следовательно, SW'= 91 • (а^ o>j...
i
Предположим теперь, что теорема верна для всех 91-модулей,
имеющих 91-базис, состоящий менее чем из г элементов. Положим
3^! = 91 • (<ov .... «V-x).
Если $ и к) — любые два элемента модуля 2R = 9t • (®р ..., <ог), лежа-
щие одновременно в ЗХ' и в 2)iP то ясно, что 5 — ц и а; при а £91
также лежат в 2)1' и в 2RP Следовательно, элементы из 2)(', лежа-
щие в Wtp образуют подмодуль 2R' модуля 2)iP По предположению
индукции, 2R' имеет конечный базис. Пусть, например, 2R'=9i • (vx.vg).
Рассмотрим элементы а из 9t, для которых в 91 найдутся эле-
менты «р .... аг_1, удовлетворяющие условию
«1“1 + • • • + аг-1 “г-1 + а“г € ЭД'-
Как и в случае г=1, можно показать, что такие элементы состав-
ляют идеал кольца 91. Пусть этот идеал есть 9t • (pj.....pt). В та-
ком случае в ЭК' существуют элементы ve+p ..., vs+f, имеющие вид
г-1
vi = 2 aij“j 4“ Pi-s “г	(f — s -f- 1..s -|- t).
i=i
Пусть
r
m — 2 «<“*
i=l
— любой элемент из 2)i'. Мы знаем, что ar£9i • (рр ..., рг). Пусть
t
«Г = 2 p8+i Pi-
1=1
Тогда элемент
“ — . 2
8
принадлежит 2)i' и поэтому равен некоторой сумме 2pivi, где
<=1
Pi.....ps — элементы 9L Поэтому
d +1
“ = 2 рл.
i = l
т. е.
“€91.(Ур ..., vs+t).
С другой стороны, из построения следует, что элементы vp ,.., vs+i
принадлежат Wi', так что
я • (Vi...v8+t) с ОД'.
5 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
66
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦА#
Отсюда мы заключаем, что
=	....W
и теорема доказана.
Следствие. Нужно отметить, что если !)t есть кольцо
главных идеалов, то t =0 ила 1, и поэтому легко показать, что
если 2)1 имеет базис из г элементов, то 2R' имеет базис, состоя-
щий не более чем из г элементов.
§ 7. Мультипликативная теория идеалов
Мы можем теперь рассмотреть некоторые мультипликативные свой-
ства идеалов области целостности. Пусть 9%— область целостности,
К—ее поле частных. Будем предполагать, что в 94 имеет место теорема
о базисе. 91-модуль 2)i будем называть дробным идеалом, если (I)
каждый элемент из 2R принадлежит К, (II) произведение элемента а
из 9? на элемент $ из 2R всегда совпадает с произведением этих
элементов в К и (III) 2)i имеет конечный 94-базис. Идеалы кольца 94
представляют собой частный тип дробных идеалов. Мы будем назы-
вать их целыми идеалами и будем пользоваться в этом параграфе
термином „идеал" как для целых, так для дробных идеалов. Прежде
чем обращаться к мультипликативной теории целых идеалов, рассмот-
рим некоторые свойства дробных идеалов вообще.
Если 2)4t и 2)4а— дробные идеалы кольца 94, то их суммой
(2>4Р 2Ra) называется совокупность элементов из К, представимых
в виде где € ®4Х и	Непосредственно проверяется,
что эта сумма является дробным идеалом. Пересечением [QRp 2)42]
идеалов 2)4Т и 2)4а называется совокупность элементов из К, принад-
лежащих и 2)4а одновременно. Ясно, что эта совокупность пред-
ставляет собой 94-модуль, являющийся подмодулем как 2)^, так и 2)4а.
Поэтому (§ 6, теорема I) [SUj, 2)4а] имеет конечный 94-базис и, сле-
довательно, является дробным идеалом. Наконец, произведением
2Ki2Na идеалов 2Rt и 2)4а называется совокупность элементов поля К,
записываемых в виде Т ^т]4, где — элементы 2)4t, а ти— эле-
менты 2)4а. Можно показать, что 2)412>4а есть 94-модуль и, далее, что
это дробный идеал.
Пусть 2)4— произвольный ненулевой дробный идеал кольца 9?.
Рассмотрим совокупность S элементов $ из К, для которых произве-
дение Вт] принадлежит & при любом т] из 2)i. .
Если $ и £'— два элемента из S, то
^£94 и ^£94.
Следовательно,
(; — О т] £ 91 и £ 94
при любом т] из 2)4 и любом а из 9%. Это означает, что S есть
94-модуль. Кроме того, если т]— любой элемент из 2)4, отличный от
§ 7. Мультипликативная теория идеалов
67
нуля, а $ — произвольный элемент из S, то Ет(£91. Поэтому $ лежит
в 91 • CV1), т. е. S является подмодулем модуля 91 • (т(~’), имеющего
конечный 9?-базис. Таким образом, S является дробным идеалом. Мы
будем обозначать этот идеал через ЗЯ-1. (Следует заметить, что если ЗЯ
является нулевым модулем, т. е. состоит только из нуля, то ЗЯ“1 сов-
падает с К и, вообще говоря, не обладает конечным базисом.)
ЗЯ-1 называется обратным идеалом для дробного идеала ЭЯ. Если
= St - (С), где С — отличный от нуля элемент из К, а Е— элемент
из ЗЯ-1, то EC£9i, так что Е£9?-(С-1); с другой стороны, если
Е £ 91 • (С1), то Е = а/С, где а £ 9t, и поэтому Е(рС) = aj3 £ 9t для любого
элемента из ЗЯ. Следовательно, в этом случае ЭЯ-1 = 9i • (С-1).
В частности, если ЭЯ = 91, то ЗЯ-1 = 9L Множество ЗЯ = 91, рас-
сматриваемое как дробный идеал, играет важную роль во всем даль-
нейшем. Удобно обозначать его через 1, так как оно играет роль
единицы в теории разложения на множители.
I. Если 9Я1 с ЗЯ.а, то любой элемент £ из ЭЯ-Г1 при умножении
на любой элемент из (являющийся также элементом ЗЯа) должен
давать элемент из 9?. Следовательно, ЗЯГ1 € ЗЯГ1. Обращение этого
результата не всегда верно. Например, пусть 91 есть кольцо Kt [х, у]
многочленов от двух неизвестных над основным полем и STq = 1,
9Я3 = 91’(х, у). Пусть а(х, у)/[3 (х, у)— любой элемент из ЗЯГ1.
причем многочлены а(х, у) и Р(х, у) из кольца 91 не имеют общих
множителей. В таком случае элементы
х« (х, у) у« (х, у)
£> (х, у) “	₽ (х, у)
должны лежать в 91. Из теоремы об однозначном разложении много-
членов на множители следует, что Р(х, у) должен принадлежать
т. е. что элемент а (х, у)/р (х, у) принадлежит 9t. Наоборот, ясно, что
если а (х, у) £9?, то а(х, у)^2ЯГг. Следовательно, 9ЯГ1=1 = ЗЯГ1.
Но ЗЯХ не лежит в ЗЯа.
II. . Два дробных идеала ЗЯ^ и ЗЯа называются квазиравными,
ЗЯ1~ЗЯа, если ЗЯГ1 = ЗЯГ1. Приведенный выше пример показывает,
что квазиравенство не влечет за собой обычного равенства. Однако
из определения следует, что квазиравенство является отношением экви-
валентности.
Из определения ЗЯГ1 вытекает, что ЗЯГ^! S 91. Следовательно,
(ЗЯГ1)'1.
Обозначим (ЗЯГ1)'1 через ЗЯ*. Тогда, в силу I,
. (ЗЯ?)'1 S зяг1.
5*
68	КЛ. XV. ТЕОРЙЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
С другой стороны, мы имеем
эдг'эд;=эдг1 <эдг] г1 s at,
и поэтому
акг1 = еХ)-1.
Следовательно,
ЭД*-1 = ЭДГ1,
т. е.
ЭД1~ЭД!.
Аналогично, если ЭД2 ~ ЭДР то
эд2”= (Ж1)-1^ (эдг1)-1 = эд;,
так что
ЭД2 = ЭД!-
Отсюда следует, что ЭДХ является наибольшим дробным идеалом,
квазиравным идеалу ЭДХ, причем 2R* содержит все дробные идеа-
лы, квазиравные ЭДХ. Мы будем называть ЭДХ приведенным дробным
идеалом, полученным из ЭДР Любой дробный идеал, обозначаемый
в дальнейшем буквой со звездочкой, является приведенным дробным
идеалом. (Заметим, однако, что идеал ЭДЭД* может и не быть при-
веденным!)
Отметим следующие непосредственные следствия определения при-
веденного идеала.
(I) Если ЭД1 — ЭД2, то ЭД1 ~ ЭД2— ЭД*, а значит,
ЭД* с ЭД*.
Аналогично,
ЭД* = эд*>
так что
эд:=эд;,
Наоборот, если
эд:=эд;,
то мы имеем
эдг ~ эд;=эд; ~ ЭД2,
и поэтому
ЭД^ЭДа.
(П) Возьмем в (I) ЭД2 = ЭДр Мы получим
(эд:>*=эд:.
Отметим также, что если ЭД — 91 • (Q, где С — Отличный от нуля
элемент из К, то ЭД-1 ~ 91 • (С-1), а значит, ЭД* = (ЭД-1)-1 = ЭД. Кроме
§ 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
69
того, если ЗЛ-Г1 с ЭЛ^1, то (Sltf1)-1 £ (ЭЛ71)”1 (см. выше I). Следо-
вательно, хотя из соотношения ЗЛ-Г1 с ЗЛГ1 не вытекает, что 2Itj с Э_Ла,
из него вытекает, что ЭЛ1 £ ЗЛ2. Но, в силу I, из ЗЛг с ЗЛ.2 следует
Э.1Г1 £ ЗЛГ1. Поэтому, если
а»! £ зла,
то
ал* £ ал;.
В частности, последний результат можно применить к случаю,
когда 2Л = ( является целым идеалом. В этом случае
t £ 1,
так что
f с 1* = 1.
Другими словами, если идеал t целый, то i* также целый.
Заметим еще, что (ЭЛ*)-1 == ((31Г1)-1)-1 == (ЭЛ-1)*.
III. Мы будем говорить, что идеал 2Л квазикратен идеалу ЭЛ
(или что 2i является квазиделителем ЭЛ), и писать ЗЛ >> ЭЛ (или
ЭЛ С 2Л)> если идеал ЭЛЭГ1 содержится в ЭЛ. Так как ЭЛ-1 содержит все
элементы из К, произведения которых на элементы ЗЛ принадлежат ЭЛ,
то сформулированное условие равносильно условию ЗГ1 £ ЭЛ-1.
Отметим, что одновременное выполнение условий
 ал>at и ал>зл
влечет за собой, что
ал—эл,
ибо указанные условия означают соответственно, что
аг^шг1 и air1 £ at-1,
так что
аг1 = эл'3.
Из сказанного в I мы видим, что если ЗЛ £ 3t, то 31Г1 £ at-1 и
поэтому 5Л>ЭЛ. С другой стороны, из II следует, что если ЭЛ Г at,
то ЭЛ* £ at*. Поэтому соотношение ЭЛ 1 влечет за собой, что
ait £ ЭЛ* £ 1* = 9t, т. е. из 2Л^>1 следует, что ЭЛ является целым
идеалом. Обратно, если идеал ЗЛ — целый, то ЗЛ £ 1 и поэтому 2Л 1.
Пусть теперь ЭЛ и ЭЛ — ненулевые дробные идеалы, удовлетво-
ряющие условию ЗЛ <ЭЛ, а Й — произвольный дробный идеал. Тогда ЙЗЛ
не будет нулевым идеалом, так как в К нет делителей нуля. Следо-
вательно, можно определить (ЙЗЛ)'1. Произведение (ЙЗЛ)-1 (ЙЗЛ), по
определению, содержится в 31. Следовательно,
(йзлг^сал^саг1,
70
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
и- поэтому
(W)-1 £91 с 91.
Таким образом,
Если 2)1 ~ 91, то мы имеем
2R>91 и 91>2)1.
Следовательно, в силу только что доказанного,
£2)1 >£91 и £91 > 22И,
т. е.
£931 ~£91.
Последнее соотношение позволяет вывести более общий резуль-
тат: если
2)1~2)1' и 91— ЗГ,
то
93191 — 2)191' —9)1'91'.
Рассмотрим теперь частный случай этого соотношения, взяв
31 = 9J1-1, 2)1' == 2)1* и 91' = 9Г=(2)1*)-1. Мы видим, что
зжг1 —2)Г(2)1*г1.
Для дальнейшего изучения свойств квазиравенства нам нужно
выяснить, будет ли справедливо соотношение
2)1 • 93Г1 — 1.
Следующий пример показывает, что это соотношение в общем слу-
чае неверно. Пусть Кг — поле, х — неизвестное над Кг, а у— корень
уравнения
у- - х3
в некотором расширении кольца Kt [х]. Возьмем 91 = /ц[х, у] и
2)1 = 91 • (х, у). Любой элемент поля частных К кольца 91 имеет вид
а Д- Ру, где а и р— рациональные функции от х над Kv Если элемент
s = а Ру принадлежит 2R-1, то элементы
ах -|- рху и рх3 -f- аУ
должны лежать в 91. Отсюда вытекает, что а и рх должны принад-
лежать 91. Наоборот, если а и рх принадлежат 91, то $=а—|—Ру
додержится в 9R-1. Следовательно,
ЗГ1 = 91.(1, Д.
\ л /
§ 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
71
Но в таком случае
• ЗЛ-1 = !Л • (х, у, у, у*/х) = 91 • (х, у, х2) = 9? • (х, у) — ЗЛ.
С другой стороны, DC1 не содержится в 91, а значит,
2Л-1 + 1 = I"1,
т. е. идеал ЗЛ не является квазиравным идеалу 1, так что 2Л • ЭЛ-1
и 1 в рассматриваемом случае не квазиравны.
Однако для многих важных областей целостности можно доказать,
что соотношение 2>i • 2)?”1 — 1 имеет место при любом ненулевом
дробном идеале ЭЛ. Пример такого рода будет приведен в § 8. Поэтому
целесообразно специально рассмотреть дальнейшие свойства дробных
идеалов таких областей целостности, в которых для любого ненуле-
вого дробного идеала имеет место соотношение
алал-1~1.
Везде ниже в настоящем параграфе это условие будет считаться
выполненным.
Сделанное предположение вместе с ранее доказанными свойствами
дробных идеалов позволяет развить теорию разложения на множители
целых идеалов из 91. Именно по этой причине было введено выше
понятие дробного идеала.
Непосредственным следствием нашего предположения является то,
что любой дробный идеал 2Л кольца 91 удовлетворяет соотношению
3Ji~ij-1, где i и j — целые идеалы. В самом деле, пусть
ал=9&.(с1.....U.
где
= ail$i>
а элементы а{ и 0i принадлежат 9t. Положим
0 = 01 ... 0,. и j = 9?- (0),
Тогда
=at • (0^,..., ₽:r) s эг.
Следовательно, }ЗЛ является целым идеалом. Назовем его i. Тогда
^ал ~ 1ал~ал.
Теорема I. Классы квазиравных ненулевых дробных идеалов
кольца 91 образуют коммутативную группу.
Если
зл~ ал' и
то, в силу III,
ЖЛ-т'.
72
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Следовательно, можно однозначно определить умножение классов.
Ввиду того, что коммутативность и ассоциативность умножения имеют
место для дробных идеалов, эти свойства будут справедливы для
умножения классов. Кроме того, если 2R и 91 —ненулевые дробные
идеалы, то уравнение
имеет решение
Ж = ЭГ1?!,
ибо
= ЯГ'ЗО ~ 191 = 91.
Тем самым теорема доказана. Класс идеалов, квазиравных I,
является единицей определенной нами группы.
Мы будем заниматься в основном введенными ранее целыми идеа-
лами. Вернемся к принятому ранее обозначению таких идеалов малыми
готическими буквами.
Пусть t и j — ненулевые целые идеалы, удовлетворяющие условию
Ч~1.
Тогда
Следовательно, идеал I-1 — целый. Отсюда следует, что i-1<=l =1-г,
а поэтому i<^l. С другой стороны, так как t — целый идеал, то
i^>l. Отсюда вытекает, что i~l. Подобным же образом
Поэтому имеет место
Теорема II. Если, i и j — целые идеалы кольца SR, удовле-
творяющие условию if — 1, то i—1 и\ — 1.
Пусть, далее, Тогда идеал if-1 = t—целый и
jf == il ~t.
Но так как j-1j содержится ц 91, то jf = i(j-1j) S i. Следовательно,
доказана
Теорема III. Если t и j — идеалы кольца 91 и i">j, то су-
ществует (целый) идеал t кольца 91, удовлетворяющий соотноше-
ниям
i~jt, |f = О (t).
Идеал i кольца 91 называется квазинеприводимым, если квази-
равенство i — jt влечет за собой, что либо j—1, либо t—1. В про-
тивном случае i называется квазиприводимым. Так как t — Г, то i
квазинеприводим тогда и только тогда, когда I* квазинеприводим.
Теорема IV. Если идеал t квазинеприводим, то i* прост.
Обратно, если i* прост, то i квазинеприводим,
§ 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
73
(I) Предположим, что i* квазинеприводим. Если(*= 1, то он прост.
Если же i*=#l и если а, b — два идеала из 9t, удовлетворяющие
условиям
ab = O (i*), .	(i*),
то положим
с = (Ь, Г).
В таком случае с является делителем Г. Следовательно, i’^>c, и
поэтому (теорема III) в 9? найдется такой идеал Ь, что
i*~cb.
Так как I* квазинеприводим, то либо с~1, либо b—1. Если Ь ~ 1, то
i*~c и поэтому c* = i*. Но ccc‘=i‘, а это противоречит тому,
что с есть собственный делитель i*. Следовательно, должно быть
С — 1. Но мы имеем
а = 91 • а —"са = (bet, Га) с (*.
Поэтому а —О (Г), так как (са)* с ({*)*== t* и а с (ся)*. Отсюда
следует, что i* прост.
(II) Пусть i* прост. Если i* = 1, то он квазинеприводим в силу
теоремы II.
Пусть теперь идеал {*=#1 и является квазиприводимым. Тогда
существуют приведенные идеалы j* и Г из 9?, ни один из которых
не является квазиравным 1, такие, что
Так как I* является приведенным идеалом, получаемым из jT, то
ff=o (Г).
Кроме того, t* (j*)-1 — f* с 91, т. е.	Поэтому i* с j*. Ана-
логично, i* с f*. Если бы было i* = f, то мы имели бы
Г ~ (*(]•) "1 = i*(i*)-1-l,
вопреки предположению. Следовательно,
и подобным же образом
Г с Г.
Отсюда вытекает, что в j* найдется элемент а, не принадлежащий i*.
а в F — элемент р, также не принадлежащий i*. При этом
aP£ff*Si*. Следовательно, в 9? имеются элементы аир, удовле-
творяющие условиям
(Г),	(Г), p^Q (Г),
74
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
т. е. идеал Г не прост. Так ’как это противоречит условию, то i*
(а значит, и i) квазинеприводим.
Следствие. Если идеал i квазинеприводим и если
то i является квазиделителем а или Ь.
В самом деле,
яЬГ1 ~ j с 1,
так что
ЯЬ> t-
Поэтому
яЬ с (яЬ)* с t*,
т. е.
яЬ = О (Г).
Так как идеал i* квазинеприводим и потому прост, то мы имеем
я = 0 (i*) или b = 0 (i*).
Следовательно,
=	или	i-1 = (i’)-1 с (Г1.
Поэтому
Я>1 или	b>t.
Пусть теперь! — любой идеал из 9t. Покажем, что i квазиравен
произведению конечного числа квазинеприводимых идеалов из 9?.
В самом деле, если это не так, то i не может быть квазинепрйво-
димым и поэтому
Mt-
где tj и jx не будут квазиравными 1. В таком случае
Следовательно,
Если i* = ti, то

.Jft
I
>С
1,
вопреки условию. Поэтому
Ceti и аналогично i eji.
Если бы и оба были квазиравными произведениям конечного
числа неприводимых идеалов, то это же было бы справедливо и для
Следовательно, из нашего предположения вытекает, что tx
или jj не квазиравен такому произведению. Пусть таким будет ir
Тогда, как и выше,
Ч ~ М-з’
где

§ 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
75
причем один из идеалов i2 или j2 не квазиравен конечному произ-
ведению квазинеприводимых идеалов. Пусть таким будет 12. Ясно,
что продолжая этот процесс, мы получим бесконечную возрастаю-
щую последовательность идеалов
.* .* ,*
l clidal..
если только идеал i не является квазиравным произведению конеч-
ного числа квазинеприводимых множителей. Но, в силу теоремы VI
§ 1, это невозможно, так как в имеет место теорема о базисе.
Следовательно, пользуясь теоремой IV, мы можем написать
i~p*p;...p;,
где идеалы р®....р® просты и поэтому квазинеприводимы, причем
можно считать, что ни один из них не будет квазиравным 1.
Допустим теперь, что имеется другое представление идеала i квази-
равным ему произведением квазинеприводимых идеалов. Тогда мы
можем написать
<~р;р;...р;~р;*р'*---р"-
В силу следствия из теоремы IV, р* является делителем р'* или
р'*.. .р'*. Если р* есть делитель р'*.. . р'*, то он будет делителем р'*
или р'*.. .р'*. Продолжая таким образом, мы усматриваем, что р*
является делителем одного из р'Л Изменив, если нужно, нумерацию
множителей, мы можем считать, что р* есть делитель р'*. В таком
случае, в силу теоремы III, мы имеем
рГ~рЗ-
Но, по условию, идеал р'* квазинеприводим, а р* не квазиравен 1.
Следовательно, j~l, т. е.
К‘~ Pi-
Так как оба названных идеала являются приведенными, то
рг=р:-
Следовательно, мы имеем
Р2---Рг~Р1 Р1Р2 •••Р. ~Р2 ---Pd-
Применяя теперь обычное рассуждение по индукции, как это сде-
лано, например, в доказательстве теоремы VIII § 2, мы выводим,
что r = s и что множители могут быть перенумерованы так, чтобы
было
(i=l,	Г),
76
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Таким образом, мы получили следующую теорему об однозначном
разложении'.
Теорема V. Любой идеал i кольца 91, не являющийся квази-
равным единичному идеалу, удовлетворяет квазиравенству
где идеалы р*... р* квазинеприводимы и не квазиравны единичному
идеалу. Квазимножители в таком разложении определены одно-
значно с точностью до порядка.
Нашей очередной задачей является теперь нахождение тех простых
идеалов в SR, которые квазиравны 1. Пусть р — любой такой идеал.
Если а£р и мы положим t = • (o'), то Т-1 = 9? • (а-1), и поэтому
I не является квазиравным 1. Следовательно,
где идеалы р*,..., р* квазинеприводимы и не квазиравны 1 (тео-
рема V). Так как i* = i (ведь ( — главный идеал), то
p;...p;=tsp
и поэтому при некотором значении j
р* = 0 (р).
Ввиду того, что р*¥=1 и р*=1, р* есть простой идеал, являющийся
собственным кратным р. Таким образом, любой простой идеал
кольца SR, квазиравный 1, имеет собственное кратное, являющееся
простым идеалом.
Покажем теперь, что если идеал р* квазинеприводим (и поэтому
прост) и не квазиравен 1, то он не может иметь собственного крат-
ного, являющегося простым идеалом. Действительно, пусть простой
идеал i кратен р*:	.
1	= 0 (р‘).
Тогда t>>p* и, следовательно (теорема III), существует идеал q,
удовлетворяющий условиям
i —p‘q, p*q = O (*).
Если ([gt, то мы можем подобным же образом найти такой идеал г,
чтобы было
q—ir.
Следовательно,
i — ip*r,
И поэтому
S f. МультиЙлиКАТийнАя тйОрий йдёалой	??
В силу теоремы II, из полученного результата вытекает, что р* — 1,
вопреки условию.
Поэтому мы имеем
p*q = O (i),	q/-0 (i).
Следовательно, ввиду того, что идеал t прост,
р* = 0 (i).
Поэтому
i = p*.
Рассмотрим, наконец, произвольный простой идеал р из 91, не
квазиравный 1. Имеем
где р®,..., р* квазинеприводимы и не квазиравны 1. Отсюда выте-
кает, что
p(p:)-1~p;...p;_1p;+1...p;=i,
так что р >- р® и поэтому р ср’с р*. Таким образом, р является
простым идеалом, кратным р*. Из доказанного выше результата сле-
дует теперь, что р = р®. Дальнейшим следствием этого является то,
что г — 1.
Суммируя полученные результаты, приходим к следующей теореме:
Теорема VI. Простой идеал р из 9t либо квазиравен 1, либо
является квазинеприводимым и равным соответствующему ему
приведенному идеалу. Идеал р квазиравен 1 тогда и только
тогда, когда существует собственное кратное р, являющееся
простым идеалом в 9i.
Рассмотрим теперь примарные идеалы в 9t. Пусть q есть р-при-
марный идеал из 9i, ар — индекс q. Предположим сначала, что р—-1.
В таком случае
рр = О (q)
и из теоремы III следует, что существует идеал I из 91, удовлетво-
ряющий условию
рр —qi-
Так как р — 1, то мы будем иметь
qi~l,
а значит,
q~l
(теорема II). Далее, в силу соотношения q = 0 (р), найдется такой
идеал j в 9t, что
Pi-
Отсюда следует, что если q — 1, то должно быть и р — 1.
78	ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАМ
Рассмотрим теперь случай, когда р не квазиравен 1. При этом
условии будет р* = р. Докажем прежде всего следующую'лемму:
Лемма. Если а и b— квазиравные идеалы в 31, то в 31 суще-
ствуют идеалы cab, квазиравные 1 и такие, что ас — bb.
Так как а~Ь, то мы имеем а-1=Ь-1. Следовательно,
а(Ь~1Ь) = (аа-1)Ь.
Но с = Ь-16 иЬ = аа-1 являются идеалами в SR, каждый из которых
квазиравен 1. Эти идеалы удовлетворяют указанному в лемме требо-
ванию.
Применим эту лемму к квазиравным идеалам q и q*. Для них
найдутся идеалы с, Ь, удовлетворяющие условиям
qc — q*b, с ~ 1, b — 1.
Если бы было b S р> то в 91 существовал бы такой идеал i, что
b ~ pt.
Если это так, то
pi~l,
а значит,
р~1
(теорема II). Однако это противоречит условию. Отсюда следует, что Ь
не содержится в р. Но
q*i> = qc = О (q),
причем идеал q р-примарен. Так как Ь не содержится в р, то
q* = 0 (q).
Ввиду того, что q* есть приведенный идеал, получаемый из q, мы
имеем
q = 0 (q*).
Поэтому
q = q*.
Этим доказана
Теорема VII. Если идеалу из 9t ^-примарен, то квазиравен-
ство q ~ 1 имеет место в том и только в том случае, когда
р ~ 1. Если р не квазиравен 1, то q = q*.
Пусть теперь i — любой идеал в Ж, не квазиравный 1, и пусть
[qt....qj — его несократимое представление пересечением примар-
ных идеалов. Можно считать, что qt является изолированной компо-
нентой i. Положим для удобства qt = q и tq.3> ..., qr] = t. Радикал
идеала q обозначим через р. Полагая j = (q, f), докажем, что j~l.
Действительно, пусть j не квазиравен 1. Положим
j~pi...ps (s>l),
§ 7. Мультипликативная теория идеалов
79
где простые идеалы рг....р3 не' квазиравны 1. Если р есть индекс
идеала q, то
VpSqEj.
Следовательно,
pp~pi ... psr,
где г — некоторый идеал в 9? (теорема III). В силу теоремы об одно-
значном разложении, должно быть р4~р, а значит,
i~r
Отсюда следует, что (I) р не квазиравен 1 и (II) j с р. Так как
q = является изолированной компонентой идеала i, то в радикале
каждого идеала q< (t > 1) найдется элемент а^, не лежащий в р. При
этом для некоторого числа а имеем
(«а • • • аг)’ £ f,
причем написанное произведение не лежит в р. Отсюда следует, что
(а2 ... ar)J содержится в j, но не содержится в р, вопреки резуль-
тату (П), доказанному выше. Из всего сказанного вытекает, что пред-
положение о том, что j не квазиравен 1, неверно, так что
j~l.
Так как i = [q, f] и j = (q, f), мы имеем (§ 1, теорема IV)
ii	= 0 (q0-
Поэтому
ij > qt
а значит,
t’f = t*>qT.
С другой стороны, имеем
qt = O (i),
и поэтому
q*f* = O (Г),
т. е.
q г .> i.
Отсюда вытекает, что
i*~qT.
Так как любой идеал квазиравен его приведенному идеалу, то из
доказанного выше получаем
[q*, f]~[q*, rr~q*T* = qT~i*.
Следовательно,
i*~[q*. Г].
80
гл. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
В силу того, что идеал 1“ содержит любой идеал, квазиравный
ему, должно быть
[q*. Г] = 0 (Г).
С другой стороны,
i S q и i с f,
так что
i* с q* и i* с Г.
Поэтому
i* S [q*> Г].
Сопоставляя полученные два включения, получаем
i* = [q*, Г].
Рассматривая идеал f = [q2, ..., IqJ таким же образом, как мы
рассматривали [qp .... qr], мы получаем в конце концов, что
i* = [q:, .... q*j.
Вспомним теперь, что, по теореме VII, квазиравенство q*—1
имеет место в том и только в том случае, если р4~ 1, и что при р;,
не квазиравном 1, будет qj — qr Отсюда следует, что если
i = [q1, ..., qr], то мы получим {*, опуская в написанном разложении
все примарные компоненты, радикалы которых квазиравны 1. Отме-
тим еще, что радикал р4 идеала q4 не квазиравен 1 в том и только
в том случае, если у него нет простого собственного кратного (тео-
рема VI). Отсюда вытекает, что в этом случае компонента qz необ-
ходимо является изолированной. Таким образом, имеет место
Теорема VIII. Если [qp ..., qr]—несократимое представле-
ние некоторого идеала i кольца 91, где q4 = q* при I = 1..........$
и q,- — 1 при i = $	1.....г, то пересечение [qp ..., qj является
несократимым представлением идеала i*. Идеалы qp ..., qg яв-
ляются изолированными компонентами идеалов i и i*.4
Применим эту теорему к степеням некоторого простого идеала р
из 9% (ср. стр. 31). Если р~1, то р?~1 при всех значениях р.
Если же р не квазиравен 1, то рр ни при каком р > 0 не будет
квазиравен 1. Пусть
р? = [р(р), qp .... qft],
где р(Р> — символическая p-я степень р, a qt....... qk — вложенные
компоненты р?. Если идеал q, р4-примарен, то простой идеал р будет
собственным кратным р4. Отсюда следует, что р4 ~ 1 (теорема VI),
и поэтому (теорема VII) q4~l. Отсюда следует, что (теорема VIII)
(рр)* = р(р).
Рассмотрим теперь произвольный примерный Идеал q в 9t, не
квазиравный 1. Пусть р — радикал идеала q, а а — его индекс. Мы
S 7. МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ
81
имеем
q = 0 (р).
Отсюда вытекает, что существует такой идеал t, что
q ~ Р<-
Кроме того,
Ра = 0 (q).
Следовательно, существует такой идеал j, что
p»~qj.
Поэтому
p’ — pij,
или, что то же,
p’-1~ij.
В силу теоремы об однозначном разложении, отсюда вытекает, что
при некотором т а будет
и поэтому
q~p\
Так как q = q*, то
pac(pT)* = q* = q.
Отсюда следует, что Таким образом, т==о и
q = q* = (p»)* = p(’>.
Следовательно, справедлива
Теорема IX. Примарные идеалы кольца 9t, не квазиравные 1,
являются символическими степенями простых идеалов.
В заключение приведем один полезный результат о главных идеа-
лах кольца 91. Пусть i = 9i- (а) — некоторый главный идеал в 91.
Тогда, как мы видели, i* = i. Если
i = [qr •  qj>
то
i = i* = [p(1P1>.р^’],
где каждый из р^ является символической степенью некоторого
простого идеала ро не имеющего собственных кратных, являющихся
простыми идеалами. Поэтому ни один из р^ не будет вложенным.
Этим доказана
Теорема X. Все компоненты главного идеала являются изо-
лированными.
6 Зак. 1831 В Ходж и Д Пидо
82
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
§ 8. Целые элементы
Пусть 9? — некоторое кольцо и S — другое кольцо, содержащее 9?
в качестве подкольца. Элемент $ из б называется целым относи-
тельно 91, если он удовлетворяет уравнению вида
Е^^'Ч ... +ап + /И1$»-1+ ... + ^ = 0,	(1)
где av ..., ап— элементы из 91, mv ..., тп_± — целые числа и
п— натуральное число. Если $ является элементом а из 91, то
а = 0.
Следовательно, любой элемент из 91 является целым относительно 91.
Из равенства (1) очевидно, что если Е— целый относительно 91 эле-
мент, удовлетворяющий уравнению (1), то все его степени Е, Е2, Е3, ...
содержатся в конечном 91-модуле 9? • (Е, ..., Е”-1). Нужно предупре-
дить читателя, что во многих книгах по современной алгебре этот
факт принимается за определение целого элемента: элемент E£S
называется целым относительно 91, если все его степени Е, Е2, ...
содержатся в конечном 91-модуле. Это определение не совпадает
с нашим. Как мы уже видели, из целости в нашем смысле следует
целость в смысле определения с помощью 91-модулей. Обратное же,
вообще говоря, неверно. Мы покажем, что оба определения эквива-
лентны, если в кольце 9? имеет место теорема о базисе; но этим
случаем нельзя ограничиваться, так как впоследствии нам придется
рассматривать целость в связи с так называемыми кольцами нормиро-
ваний, в которых теорема о базисе может и не быть справедливой.
Наше определение, как видно из сказанного, более узко, но оно более
удобнб для геометрических приложений, которые мы имеем в виду.
Для построения теории целых элементов в нашем более узком пони-
мании нам вскоре придется наложить на рассматриваемые кольца
некоторые ограничения, не обязательные при пользовании более широ-
ким определением. Однако эти ограничения всегда выполняются
в кольцах, появляющихся в связи с геометрическими задачами, к ко-
торым будет применяться наша теория.
Докажем прежде всего упомянутую выше теорему. Во всем даль-
нейшем целость будет пониматься в нашем более узком смысле.
Теорема I. Если в кольце 91 имеет место теорема о базисе
и если Е'—элемент из <5, все степени которого содержатся в ко-
нечном di-модуле Ж, то Е является целым относительно 91.
Так как элементы Е, Е'2, Е3, ... содержатся в 2R, то в 2R содер-
жится и любое выражение
^+^4- ... +araE"4-»z1E4- ... +/и„Е«,
в котором «j £91, a — целые числа. Ясно, что эти выражения
образуют 91-модуль	причем с ЭД. Так как в 9? имеет место
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
83
теорема о базисе, a 2R — конечный 91-модуль, то из теоремы I § 6
следует, что 2Rt также является конечным 91-модулем:
Wit=9l.(7|i......^)-
Но так как элементы т]( содержатся в 2И1( то
i]i = S + S т^.
3=1	3=1
Положим я = max [/ip ..., ns[. Тогда
Wii с 91 •	.....П
Но ;4£Wip и поэтому
91 • (;, i2.$«)cWip
Следовательно,
Wi± = 91 • ($, ;2, ..., £«).
Но $"+1 содержится в 2КГ Поэтому
’”+1 — ап'П “F • • • + ai^ + тп'П + • • • + т1'>
где а^£91, а — целые числа. Следовательно, элемент $ является
целым относительно 91.
Мы будем рассматривать целые элементы лишь в тех случаях,
когда как 9t, так и (5 являются областями целостности. Так как
S — область целостности, то в б имеется единица, а так как 9? £ S,
то единица в S является единицей и в 91. Всюду далее в этом
параграфе предполагается, что 9? и <5 — области целостности. Поэтому
в уравнении (1) вместо а» + /И4 мы можем написать bit так что если
элемент $ — целый относительно 9t, то имеет место равенство
s» + ^n-i+ _ +*я=0
Кольцо 91 называется целозамкнутым в S, если каждый элемент
из (5, целый относительно 91, принадлежит 91. Мы будем часто рас-
сматривать случай, когда <5 есть поле частных кольца 91. Если будет
сказано, что 91 является целозамкнутым, без указания на кольцо <5,
то это нужно понимать как целозамкнутость в поле частных. В общем
случае совокупность 91* элементов из <5, целых относительно 91, назы-
вается целым замыканием кольца 91 в <5.
Теорема II. Целое замыкание 91* кольца 91 в <Е> является
областью целостности. Область целостности 91* целозамкнута в <5.
Для доказательства того, что 91* есть кольцо, нужно показать,
что если $ и т] —элементы из 9t*, то $±т| и также содержатся
в 91*. Мы докажем, что если f(x, у) — любой многочлен от х и у
с коэффициентами из 9t, то элемент £ = /($, т]) является целым отно-
сительно 91. Пусть
+	... +а„ = 0	(^£91)
6*
84
Гл. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
— уравнение, выражающее целость элемента $ относительно 91, а
тГ+^ч-... +^=о	(1^91)
— уравнение, выражающее целость элемента т] относительно 91. Обо-
значим через шр ..., шг систему из тп произведений (0	1	— 1,
0	— 1), расположенных в некотором порядке. Тогда
является многочленом от 6 и т]. Используя написанные выше уравне-
ния ДЛЯ $ И 7), мы видим, что
c«><=2<w (*=1.............г),
J=1
где Су £ 91. Отсюда, пользуясь обычным процессом исключения, получаем
К8у-су|шА = 0,
где Зу — символ Кронекера. Ввиду того, что хотя бы одно произве-
дение отлично от нуля и не является делителем нуля (ведь <Е> — область
целостности!), мы будем иметь равенство
1^-^1 = о,
выражающее тот факт, что элемент С — целый относительно 91. Сле-
довательно, С есть элемент 9?*, а поэтому 9?* является кольцом. Так
как 91* 3 91 и кольцо 91 содержит единицу из <5, то 9t* также содержит
единицу. Кроме того, 91* не содержит делителей нуля, ибо 91* с (5.
Таким образом, 91* есть область целостности.
Пусть, далее, 5 — элемент из ®, целый относительно 91*. Тогда
... +«п=о,
где «!>..., аи — элементы из 91*. Так как каждый элемент является
целым относительно 91, то
Ф +	... +aiHlf = 0,
где «у£91 (1=1,..., п). Обозначим через ..., ш8 взятые в неко-
тором порядке произведения вида а*1 ...	(0 mi — 1,
—1). Как и выше, будем иметь
$шг = 2	(1=1, .. ., s),
J=1
а значит,
|$у — 6у|шА = 0.
Но так как шк не являются делителями нуля в <3, то
— ^| = 0,
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
85
т. е. элемент $ — целый относительно 91. Следовательно, £ есть эле-
мент 91*, и поэтому кольцо 91* целозамкнуто в <Е>. Тем самым тео-
рема II доказана.
Следует заметить, что вторая часть теоремы II равносильна утвер-
ждению, что целость элемента из <5 относительно некоторого
подкольца в <Е> является транзитивным свойством.
Теорема III. Если 91 — область целостности, целозамкнутая
в ее поле частных, и если теорема о базисе имеет место в 91,
то для произвольного ненулевого дробного идеала 2R кольца 91
справедливо соотношение 2R • ЮГ1 ~ 1.
Если 3)1— ненулевой дробный идеал кольца 91, то, по определе-
нию идеала ЮГ1, имеет место соотношение
Ю1ЮГ1 с 91,
т. е.
МГ‘> 1.
Остается доказать, что
Для этого достаточно установить, что (Ю1ЮГ1)-1 с 91. Пусть
X— любой элемент из (Ю1ЮГ1)-1. Тогда 1 £ 9L Поэтому
ХЮГ1 £ ЮГ1. Таким образом, мы будем иметь
ХЮГ1 с 2R-1,
Х2Ю1-1 £ ХЮГ1 с ЮГ1,
хгю1-1 с юг1
при любом натуральном г. Следовательно,
Х^ЮГ1 с Ю1ЮГ1 с 91.
Пусть р. — любой элемент из Ю1ЮГ1, отличный от нуля. Тогда Хгр.£91
при всех значениях г. Следовательно, все степени элемента X принад-
лежат конечному 91-модулю 91 • (р.-1). В силу теоремы I, отсюда выте-
кает, что элемент X является целым относительно 91, а значит, ввиду
целозамкнутости 91, X должен принадлежать 91. Поэтому
(Ю1ЮГ1)"1 £ 91.
Следовательно,
Ю1Ю1-1<1.
Но так как одновременно
2RSW_1> 1,
то мы имеем
Ю1ЮГ1~1.
86
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
Из полученного результата вытекает, что развитая в § 7 мульти-
пликативная теория идеалов применима к любой области целостности,
в которой имеет место теорема о базисе, если только эта область
целостности целозамкнута в ее поле частных. Это одна из причин,
по которым в рассматриваемых далее приложениях теории идеалов
к алгебраической геометрии столь большое внимание уделяется цело-
замкнутым областям целостности.
Теорема IV. Пусть 31 — область целостности и%С— ее целое
замыкание. Если р—простой идеал в 31, то кольцо 3^ целозамк-
нуто тогда и только тогда, когда 3t* £ 3^.
Предположим сначала, что 3tj, целозамкнуто. Если $ — любой эле-
мент поля частных кольца 31 (оно будет также полем частных для 31),),
целый относительно 31, то $ будет также целым относительно 31),,
ибо 31 с 31;,. Так как 3tj, целозамкнуто, то 5 содержится в 3tj,. Отсюда
ввиду того, что $ — любой элемент из 31*, следует включение
3t* S 31„.
Обратно, пусть 31* с 31),. Если $ — любой элемент из поля частных
кольца 3i, целый относительно 3tp, то
5”+а1Г"1+ ... +«й = 0,
где а{ £ 31р, т. е. o.i = aijbi, а и Ь.— элементы из 31, причем
не содержатся в р. Умножая это соотношение на (Ьг .. . Ьп)п, получим
равенство
• • • bn^n + atb.2 ...bn(br... b£Tl +..•+«„&?... bnn_ibnn-1 = О,
выражающее тот факт, что элемент bt . .. bnt является целым отно-
сительно 31. Следовательно,
bt ... ^£3t*c 3t„.
Но так как идеал р прост и bt =# 0 (р) (Z = 1, ..., га), то мы имеем
bt .. . bn 0 (р), т. е. bt ... bn является в 3tj, делителем единицы.
Отсюда вытекает, что В есть элемент из 3tp, а поэтому кольцо 31,,
целозамкнуто.
Непосредственным следствием этого результата является
Теорема V. Если 3t есть область целостности, в которой
справедлива теорема о базисе, то 31 целозамкнута тогда и только
тогда, когда целозамкнуты кольца частных всех простых идеалов
из 3t. Для целозамкнутости 3t достаточна целозамкнутость
колец частных максимальных идеалов из 3t.
Допустим сначала, что область целостности 31 целозамкнута. Если
р — любой простой идеал в 3t, то мы имеем 31* = 3t с 31),. Отсюда,
в силу теоремы IV, следует, что кольцо 3tj, целозамкнуто.
С другой стороны, пусть целозамкнуты кольца частных всех
максимальных идеалов из 31. Мы знаем (§ 5, теорема X), что 31
является пересечением этих колец частных. В силу теоремы IV, любой
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
87
элемент целого замыкания 91* кольца 9? содержится в кольце частных
каждого максимального идеала из 91, а поэтому содержится и в пере-
сечении всех этих колец, т. е. в 91. Следовательно, 91* = 91.
В следующих двух теоремах рассматриваются свойства целых
замыканий тех типов колец, с которыми нам придется главным обра-
зом иметь дело в геометрических приложениях.
Теорема VI. Если К—произвольное поле и хг, хг— неза-
висимые неизвестные над К, то кольцо 91 = K[xt.......хг] цело-
замкнуто (в его поле частных).
Кольцо 9? является кольцом с однозначным разложением на мно-
жители. Следовательно, любой элемент поля K(xv .... хг) можно
записать в виде
t д (xt....хг) а
b (хь ..., xr)	b '
где а и b — многочлены от xv .... хг, не имеющие общих множи-
телей. Если элемент 5 является целым относительно 91, то справедливо
равенство
... +с„ = о,
где ci = ci(xl......хг) — многочлены от ..., х,. с коэффициен-
тами из К. Поэтому
ап + сгЬап~Л + ... + спЬп = О,
т. е.
ап — Ь (— сгап~у — ... — сп&га-1).
Отсюда следует, что b является делителем ап. Но так как в 91 имеет
место однозначность разложения на множители, а а и Ь не имеют
общих множителей, то многочлен Ъ должен быть элементом поля К,
т. е. $ есть элемент из 91. Этим теорема доказана.
Пусть теперь 91 — область целостности, в которой имеет место
теорема о базисе, и £— ее поле частных. Предположим, что £—
поле без характеристики и что 91 целозамкнута в S. Пусть S*—
конечное (а значит, простое) алгебраическое расширение поля S,
а 91* — целое замыкание кольца 91 в S*. Имеет место
Теорема VII. Поле S” есть поле частных кольца 91*. 91* является
конечным 81-модулем, в котором имеет место теорема о базисе.
Поле является простым расширением S. Следовательно, в S*
существует элемент $ со следующими свойствами:
(I) f удовлетворяет уравнению
г+ а1Г-1+...+«„ = О,	(2)
в котором ах, . ..,	— элементы из S, а многочлен
. .. -}-ап неприводим над полем S.
(II) Любой элемент из Е* можно записать в виде
Ро+М+--+Р"-1Е”'1«
88
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
где (30, ..— элементы поля S. Элемент Е был назван в томе I
примитивным элементом поля S* над S. Так как а.; лежат в S,
то ai = cii/bi, где at и bi — элементы из 91. Из равенства (2) мы по-
лучаем, что
(^ • • •	. ьп(ъх...	... +
+ «Л ...	=
Следовательно, элемент iq = bt .,. bni из поля S* является целым
относительно 91, т. е. т] £ 91*. Ясно, что 7] также является примитив-
ным элементом поля Е* над S, так что примитивный элемент поля Е*
над S можно выбрать в 91*.
Любой элемент С из Е* имеет вид
^=То + Ъ‘»)+-	-Hn-f'l*’-г>
где —	— элементы поля I. Поэтому мы можем написать
~d'
где d£9i и з£91[т|], т. е. а лежит в кольце многочленов от т] с ко-
эффициентами из 91. Отсюда следует, что Е* есть поле частных
кольца 9?[т]]. Но так как элемент т] — целый относительно 91, то
9t (<]] с 9t*. Поэтому S* является полем частных для 91*. Этим дока-
зана первая часть теоремы.
Пусть теперь <р(х)— характеристический многочлен элемента т]
над полем S. Если Sj — поле разложения многочлена ср (х), а ..., т]га—
корни этого многочлена в поле Ех, то мы можем положить т] = т|1.
В силу нашего выбора элемента т], коэффициенты многочлена <р(х)
лежат в 91, причем его старший коэффициент равен единице. Так
как ср (tiJ = 0, то все элементы ....т]п являются целыми над 91
(это кольцо является подкольцом поля Е*== Е^) с SJ. Пусть те-
перь С — любой элемент поля Е*. целый относительно 91. Тогда
C = Po + Pi»)<+ ••• 4-Р»-№1.
где р.г £ Е. Все элементы
^ = Ро + р1^+.. •+ри_1т1”-1	(3)
также являются целыми относительно 91 (I — 1.....п). Обозначим
D = определитель (т?.) = Д(т]< — т^) #= 0.
i<j
Так как все элементы —целые относительно 91, то D — также
целый относительно 91 элемент. Кроме того, элемент Z)2 инвариантен
относительно автоморфизмов поля Ех над S. Следовательно, в силу
леммы V § 10 гл. X, £)2 содержится в S. Но так как кольцо 91
целозамкнуто в £, то О2 содержится в 91.
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
89
Если мы разрешим уравнения (3), то получим
п
^=2 $</,,,
j=i
где все коэффициенты S.^ лежат в и являются целыми относительно 94.
Отсюда вытекает, что каждый элемент si = £)2pf— целый относи-
тельно 94. Но s$ £ S, и поэтому st £ 94.
Таким образом,
£)2
Но С — любой элемент из S*, целый относительно 94, а значение О2
не зависит от выбора С- Следовательно,
94* £94-(О-2, О-27], .... D-V"1)-
Поэтому 94* является подмодулем конечного 94-модуля. Так как
в кольце 94 имеет место теорема о базисе, то отсюда вытекает (§ 6,
теорема I), что 94* является конечным 94-модулем.
Наконец, любой идеал i* из 94* является подмодулем 94-модуля 94*
и поэтому имеет конечный 94-базис. Этот базис будет одновременно
базисом идеала i* кольца 94*. Следовательно, в 94* также имеет место
теорема о базисе. Теорема VIII доказана.
Теория § 4 может быть применена для установления соотношений
между идеалами области целостности 94 и ее целого замыкания 94*.
Мы будем предполагать, что 94* является целым замыканием 94 в его
поле частных. Кроме того, предположим, что 94* является конечным
94-модулем и что в 94 имеет место теорема о базисе. Докажем, что
если i есть собственный идеал в 94, то 94* • t является собственным
идеалом в 94*. Точно так же, если i*— собственный идеал в 94*, то
94 ПI* — собственный идеал в 94.
Пусть i — собственный идеал кольца 94. Так как i с 94* • i, то
94* • t не может быть нулевым идеалом. Покажем, что он не является
также единичным идеалом кольца 94*. По условию, 94* — конечный
94-модуль. Пусть ...,	—-его базис. Тогда элементы идеала
94* • i имеют вид 2СЛ> где c»€i- ^сли бы было 94*-i —9Г, то в t
существовали бы элементы Су, удовлетворяющие условиям
(; = 1..... о-
/=1
Исключая отсюда ..., получим равенство
I Cij I ~ О'
Отсюда, в силу условия мы имели бы
1=0 (г),
90
ГЛ. XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
•так что 1 = 91. Так как мы предположили, что 1 есть собственный
идеал в 91, то налицо противоречие. Отсюда следует, что 91* • i не
является единичным идеалом. Таким образом, 91* • 1— собственный
идеал.
Пусть теперь 1*— собственный идеал кольца 91*. Если С — любой
ненулевой элемент из i*, то он является целым относительно 91, и
поэтому справедливо равенство
С«4-н1С’»-1+ ... -|-ап = 0,
в котором £ 91. Если здесь ат+1 — ат+2 = . .. — ап = 0, но ат #= 0,
то
^п-т (Гт _]_ а^т-1	ат) — 0.
Так как С отличен от нуля, а 91* — область целостности, то
... Ц_а?п = 0.
Следовательно, мы можем предполагать, что ап^= 0. Ввиду того, что
элемент ап должен принадлежать i*. Поэтому 91 П i* не является нуле-
вым идеалом кольца 91. Предположим теперь, что 91 Пt* = 91. Тогда
91*. (91 п Г) = 91*.
Но, в силу теоремы VI § 4,
91* • (91П i*) = i’-
Следовательно, 1* = 91*, вопреки условию. Таким образом, 91(11* есть
собственный идеал кольца 9L
Так как мы предположили, что 91* есть конечный 91-модуль, то
к нему можно применить теорему V § 4 и ее следствие. Из этих
результатов вытекает, что если р — простой идеал в 91, то
р = 91П (91* • р).
Кроме того, если
91*.р = ^, .... q*J,
где идеалы q* р*-примарны, то идеалы 91П р^ являются делителямир,
причем хотя бы для одного значения I будет 91П q* = 91(1 р’^ = р. Мы
можем уточнить этот результат в том случае, когда кольцо 31^ цело-
замкнуто в его поле частных.
Предположим, что 91р целозамкнуто. Тогда, в силу теоремы IV,
91* с 9tp. Пусть q* — та из компонент идеала 91* -р, радикал кото-
рой р* сжимается в р, т. е. такая компонента, для которой
9inp:=p.
Покажем, что
9^ = 91,.
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
91
Любой элемент из 9?], имеет вид а/p, где а и р— элементы из 31,
а значит, и из 9?*, причем Р не содержится в р. Отсюда вытекает,
что р не лежит и в pj, так как в противном случае р содержался бы
в идеале 9£Ар* = р. Следовательно, а/p лежит в 9£* , и поэтому
=и;?.	(4)
Рассмотрим теперь любой элемент из 9Тр-ч. Он имеет вид а*/Р*> где
а* и р* лежат в 9?*, а значит, и в 9^, и р* не принадлежит р*. Но эле-
мент р* является целым относительно 91 и поэтому удовлетворяет
уравнению
p»n_|_aip‘»-i+ . . . +«„ = 0,
где коэффициенты alt ..., ап принадлежат 91. Эти коэффициенты
не могут все содержаться в р, так как в этом случае мы имели бы
Р*" = _ flip*»-i —.... _ ап £ г . р с
а значит, ввиду простоты р*, и р* = 0 (р*), вопреки сказанному выше.
Пусть число т 1 таково, что
(Р)> flm+i = ° (Р) (;= 1, . • П —/и).
Тогда
p*(n-») (Р’т	fllp‘m-1 _|_ ат) = 0 (Рр.
Но так как идеал р’: прост и не содержит р*, то мы имеем
р*и +	_|_ ... ат = о (р*).
Положим
г* мт I л	1 I	I л
С = р 4-aiP +•••+«»»•
Тогда
а* _ а* + а^-2 + ... + am-i)
Г	е -ат
Элементы кольца 9%, не являющиеся делителями единицы, обра-
зуют идеал 9?^ • р (§ 5, теорема V). Так как элемент ат не содер-
жится в р, то он является делителем единицы кольца Если бы
элемент С* также был делителем единицы в SRp, то мы могли бы найти
такие элементы [ и 8 из SR, что
и 8 не содержится в р. Тогда мы имели бы ^*^91. Но так как
С*£р*, то было бы 8 = yC* £ 9?Пр^ = р. вопреки условию. Таким об-
разом, не является делителем единицы в 91р. Поэтому элемент
— ат служит делителем единицы в fRp, так как если бы он принад-
лежал идеалу 9?|, • р, то элемент am = Z* — (С* — ат) также
92
ГЛ XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОММУТАТИВНЫХ КОЛЬЦАХ
принадлежал бы этому идеалу, а мы знаем, что ат есть делитель
единицы в 9^. Таким образом, элементы
+	и С-ап
принадлежат кольцу ОТ, содержащемуся в SRp, причем (,* — ат является
делителем единицы. Поэтому	а значит,
^ = 9?#.
Сопоставляя полученное с включением (4), получаем
^ = 3^.
Так как SR* • р = [q*..q*]	и JRp, то
SRp • (Г • р) = 5R, • р - fRj? -.[qf, ..., qr*J - (fRjj • q^, ..., SR^’]
(§ 5, теорема IX). Идеал 9?р • p является максимальным идеалом
кольца 9?р = IRpi (§ 5, теорема V). Но очевидно, что идеал j =
— [!R^ • q*, ....	• q’’] может быть максимальным лишь в том слу-
чае, если для каждого k либо
fR₽.q; = fR;rq; = SR;:>
либо
V • Чп =1
В частности, при k = I идеал 9?^ • q^ не является единичным (§ 5,
теорема II). Следовательно,
VP-
Этот идеал прост, а значит (§ 5, теорема VIII), и q* должен быть
простым, т. е. q* = p!.
Далее, имеем (§ 4, теорема V)
g,	ч.	л	»	а-
Р, = ЭТ W р{) = 91 П(^-р).
Отсюда следует, что радикал примерной компоненты идеала 91*-р,
сжимающейся в р, однозначно определен. Поэтому, если [q*, ..., q*J —
несократимое представление 91* • р, то только одна из компонент q*
имеет радикал, сжимающийся в р. Суммируя полученные результаты,
получаем следующую теорему:
Теорема VIII. Если р есть простой идеал кольца 91 и кольцо 9%
целозамкнуто, то идеал 91* • р можно представить несократимым
пересечением примарных идеалов в виде
9Г-р = |р‘, qt....q;i,
где
SRHp* = p,
§ 8. ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
93
а идеалы 91Л pt являются собственными делителями р {здесь р* —
радикал идеала qt). Кроме того, имеет место равенство
9?» =
В геометрических приложениях особенно важно такое
Следствие. Если р—максимальный идеал кольца 91 и
кольцо 9?р целозамкнуто, то идеал
9?*-р = р*
прост. Идеалы р и р* являются соответствующими друг другу
идеалом сжатия и идеалом расширения.
В силу теоремы VIII, мы имеем
Г-р = [р‘, Ч1*. .... q*J.
Если бы было s > О, то каждый из SR П р^ был бы собственным де-
лителем р. Однако идеал р максимален. Следовательно,
9tnp: = 9l.
Но, как мы видели, отсюда следует, что р* есть единичный идеал.
Ввиду того, что 9? — область целостности, в которой имеет место
теорема о базисе, и qt должен быть единичным идеалом. Следова-
тельно, в несократимом представлении обязательно должно быть
s = 0.
ГЛАВА XVI
АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
§ 1. Алгебраические многообразия в аффинном пространстве
Мы можем теперь воспользоваться методами теории идеалов
в геометрии алгебраических мнбгообразий. В применениях обычно
бывает удобно пользоваться неоднородными координатами. В связи
с этим нужно сделать несколько предварительных замечаний.
Основным полем К может быть произвольное поле характеристики
нуль. Рассмотрим пространство Sn над К- Для введения неоднород-
ных координат (гл. X, § 3) мы выбираем некоторую гиперплоскость П,
называемую „бесконечно удаленной гиперплоскостью*. Выбор И может
быть либо вполне произвольным, либо ограниченным рассматриваемой
задачей. Например, если мы хотим изучать точку Р некоторого алге-
браического многообразия V в 5„, то JI должна быть выбрана так,
чтобы она не содержала точку Р, а значит, не содержала и много-
образия V. После этого мы выбираем однородные координаты в про-
странстве Sn таким образом, чтобы гиперплоскость П имела урав-
нение
хо = О,
и получаем неоднородные координаты .. ., хп), определяемые
уравнениями
x'i = Xi/x0 (i = 1, ..., n).
Каждой точке Р пространства Sn, не лежащей на П, соответствует
при этом определенная строка координат (xt, ..., х„), и обратно.
Если (Xi....х„) — неоднородные координаты точки Р, то однород-
ными координатами Р служат (х0, xtx0. ..., хгах0), где х0 — любой
ненулевой элемент некоторого поля, являющегося расширением К.
Точки из Sn, не лежащие на II, составляют аффинное простран-
ство п измерений, которое мы будем обозначать через Ап.
Рассмотрим произвольное допустимое преобразование координат
в пространстве Sn:
УР=ЪацХ.з (i = 0........п).
у=о
Если в новой координатной системе гиперплоскость П имеет урав-
нение у0 = 0, то
й01 = а02 = • • • — а0п ~ О-
§ 1. МНОГООБРАЗИЯ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
95
Кроме того, так как матрица преобразования должна быть невырож-
денной, то элемент га00 должен быть отличен от нуля. Поэтому мы
имеем уравнения
Уг
Jo
п
аИхз
(i=l, .... га),
/
yt =

которые можно записать в виде
п
Уг = bi -|- 2 btjXj (i = 1, ..., га).
/=1
Заметим еще, что из равенства
а00	а01
аю аи
@п0
&0п
а1п
__Лп+1
— ЙОО
«ц/«00	• • • а1п/аоо
Пут
anilaoo • • • апп!а00
следует

Ьщ
¥= О
Ьп\
Ьпп
Обратно, непосредственно очевидно, что если
Уг = 2	(«— О, .... га)
у=о
есть любое допустимое преобразование координат в S„, в котором
aOt = ... = аОп = 0, то в новой координатной системе гиперпло-
скость II имеет уравнение у0 = 0. Очевидно также, что если
y'i=^bi-\-'^lbijXj (/ = !,...,»),	(О
/=1
где \Ь^\ #= 0, то равенства (1) определяют преобразование неодно-
родных координат в А„, которое можно получить описанным выше
образом из допустимого преобразования у == Ах в пространстве S„,
в котором
/1	0	. .. 0 \
Л = [ 1	‘ ^1И I
\Ьп &п1 • • • ^nn!
Таким образом, мы можем определить допустимые преобразова-
ния координат в пространстве Ап как преобразования вида (1).
96
Гл. XVI. арифметическая теория многообразий
Интересным упражнением для читателя может послужить опреде-
ление аффинного пространства п измерений с помощью приемов, при-
мененных в гл. V для определения проективного пространства. Но ввиду
того, что в этой книге мы будем иметь дело только с аффинными
пространствами, получаемыми из проективных пространств с помощью
выбора некоторой гиперплоскости, более удобно понимать аффинное
пространство именно так, а не определять его абстрактно. Таким
образом, для наших целей аффинное пространство является проек-
тивным пространством, из которого исключена гиперплоскость и
в котором допустимые преобразования координат определяются урав-
нениями типа (1).
Логически теперь мы должны определить многообразия в аффин-
ном пространстве и вывести их свойства. Однако, относящаяся сюда
теория вполне аналогична теории многообразий в проективном про-
странстве, так что на этом этапе нужно лишь указать немногие наи-
более важные свойства. Многообразие V в пространстве Ап является
совокупностью точек, удовлетворяющих (в заданной допустимой коор-
динатной системе) системе (неоднородных) уравнений
/Дхр .... х„) = 0	(/ = 1,2,...).
Пользуясь теоремой Гильберта о базисе (гл. IV, § 2, теорема I),
можно показать, как и в случае проективных пространств, что любое
многообразие в А„ определяется конечной системой уравнений
/Дхр . . ., х„) = 0	(/ = 1....г).
Если Vt и Va— два многообразия в А„, то их сумма	опре-
деляется как совокупность точек, лежащих на Vt или на Va, а пере-
сечение Vj П У2— как совокупность точек, лежащих на Vt и на V2
одновременно. Ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность
операций „“ и Доказанные для проективных пространств,
имеют место также и в аффинном пространстве.
Многообразие V в пространстве Ап называется неприводимым,
если из равенства
v=v;+va
следует, что
V=Vt или V=V2.
Как и в § 2 гл. X, можно показать, что необходимым и достаточным
условием приводимости многообразия является существование двух
многочленов /(xt......хп) и g(xt, .... х„), ни один из которых не
обращается в нуль на V (т. е. не обращается в нуль во всех точках V),
и таких, что
/(Хр .... xn)g{xl.....х„) = 0
на V.
§ 1. МНОГООБРАЗИЯ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
97
Точка Е = (£1( •••,£») из Ап называется общей точкой много-
образия V (над основным полем К), если:
(I) она лежит на V и
(П) если /(Xi.....х„)— любой многочлен от хх........х„ с коэф-
фициентами из К, для которого
№ .... Q = o,
то
7(*i..............................хп) = 0
на V. Как и в § 3 гл. X, доказывается, что если многообразие V
имеет общую точку, то оно неприводимо. Для доказательства того,
что неприводимое многообразие V имеет общую точку, рассматриваем
рациональные функции
/(хг .... x„)/g(xp ..., х„)
от Хр . . ., хи над полем К, в которых g(xp .... хп) не обращается
в нуль на V, и определяем отношение эквивалентности
/(Х1....x„)	/z(xt.....х„)
............................хп)	g'(x1....х„)
условием равенства
/(Хр ..., X„)g'(Xp ..., х„)—/'(X!........X„)g(Xp ..., х„) = 0
на V. Как и в случае многообразий в проективном пространстве,
можно показать, что определенное так отношение является истинным
отношением эквивалентности, если только многообразие V неприво-
димо. После этого можно определить сложение и умножение классов
эквивалентности и получить таким образом некоторое поле Е — поле
функций на многообразии V, содержащее подполе, изоморфное К-
Отождествляя это подполе с К, мы получим расширение поля К-
Если В4 — элемент этого расширения, соответствующий классу, содер-
жащему х4/1, то можно показать, что точка (Вр ..., Еп) является
общей точкой многообразия V. В следующем параграфе мы приведем
более простой способ получения общей точки неприводимого много-
образия в пространстве Ап, использующий методы теории идеалов.
Пользование неоднородными координатами позволяет ввести по-
нятие собственной специализации элемента 7] из поля функций
Л/?!.....£„) некоторого алгебраического многообразия V. Если
т] £ /С($1....$и), то пара (£, т]) является общей парой некоторого
соответствия, многообразием-прообразом которого будет V, а много-
образием-образом— некоторое многообразие V', являющееся прямой
в случае, когда 7] трансцендентен над К, и нульмерным много-
образием, когда т] алгебраичен над К- Если х' — любая точка
на V, то ей соответствует по меньшей мере одна точка у' много-
образия V'. Неоднородная координата у' любой из таких точек (может
быть, бесконечно удаленной) называется собственной специализацией
элемента 7], соответствующей специализации >х'.
7 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
98	ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Исходя из приведенных результатов, для аффинных многообразий
можно доказать многие свойства, полученные в гл. X и XI для проек-
тивных многообразий. Это, однако, не является необходимым, так как
мы теперь в состоянии установить связь между многообразием в про-
странстве Sn и многообразием, соответствующим ему в аффинном
пространстве, получаемом выбором бесконечно удаленной гиперпло-
скости в Sn. Эта связь позволит переводить любую теорему о много-
образиях в проективном пространстве в соответствующую теорему
о многообразиях в аффинном пространстве, и обратно.
Пусть Sn — проективное пространство я измерений над основным
полем К, а (х0, ...., хп)— допустимая система координат в Sn. Пусть,
далее, Ап — аффинное пространство, получаемое из S„ выбором бес-
конечно удаленной гиперплоскости х0 = 0. Так как точки из S„, не
лежащие на этой гиперплоскости, имеют координату х0 #= 0, то их
координаты можно предполагать нормированными так, чтобы было
х0=1. В таком случае (хг......хп) являются неоднородными коор-
динатами точки (1, xt, .... хп) из Sn.
Пусть
V— Vi + V9+ • • •	• + Vs
— некоторое многообразие в Sn, Vt....... Vs — его неприводимые
компоненты. Предположим,' что V1; .... Vk не лежат в гиперпло-
скости х0 = 0, a Уй+1, .... Va лежат в ней. Обозначим через
(1,	..., общие точки многообразий УД/ = 1...........k),	а через
(0,	....общие точки многообразий (г > k). Пусть, далее,
fi(x0.....хп) = 0 (4 = 1......г)	(2)
— уравнения многообразия V.
Обозначим через Vi неприводимое многообразие в Ап, общей
точкой которого является (Ei \ .... Е^) (Z = 1, .... /г), и положим
y' = y;-i-...4-y'.
Так как на V справедливо равенство
А(х0, .... х„) = 0
при I = 1, ..., г, то
-• Л(1, Е?>.....&>) = 0 (Z = l, .... г; 7=1........k).
Поэтому на Vj мы имеем
/*(1, xv ..., х„) = 0
при 4 = 1, ..., г и при всех значениях j (1	Следовательно,
точки многообразия V' удовлетворяют уравнениям
fi(\, xv .... х„) = 0	(1=1......г).	(3)
§ 1. МНОГООБРАЗИЯ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВА
99
Наоборот, пусть /(хр . .., хп)— любой многочлен над К, обращаю-
щийся в нуль на V', и F(x0, . . хга)— однородный многочлен, удо-
влетворяющий условию
> • • • >	= f (-^i..-^п)	•
Тогда
F(l, ........^=/(^, .... ^’) = 0	(7 = 1....k).
Следовательно,
F(x0, .... х„) = 0
на многообразии Ух + ... Vk. Отсюда вытекает, что точка
(х', .... х') лежит на многообразии V' тогда и только тогда, когда
точка (1, х', .... х') лежит на V, а значит, уравнения (3) являются
уравнениями многообразия V'. Таким образом, точки многообразия V,
не лежащие на гиперплоскости х0 = 0, образуют алгебраическое
многообразие в аффинном пространстве, причем последнее многообра-
зие неприводимо тогда и только тогда, когда многообразие V имеет
лишь одну компоненту, не лежащую на гиперплоскости х0 = 0.
Подобным же образом многообразие
v'= vi+... +к
в пространстве Ап, где многообразия Vi неприводимы и имеют общие
точки (^г), ...,	). определяет некоторое многообразие
в пространстве. Sn, неприводимые компоненты Vt которого имеют
общие точки (1, ^г), ..., ЙУ Как и выше, точка (хх...х„) лежит
на V тогда и только тогда, когда (1, хх, .... хп) лежит на V.
Отметим, что если многообразие V' первоначально получено из неко-
торого многообразия V в пространстве S„, то V и V отличаются
лишь на компоненты, лежащие на гиперплоскости х0 = 0. Если же
мы начнем с некоторого многообразия V в пространстве Ап, перейдем
от него к многообразию V в Sn, а затем вернемся к некоторому
многообразию в Ап, то мы получим снова V'. Далее, как мы уже
видели выше, если /(х,.....хга) — любой многочлен над К, обра-
щающийся в нуль на V, a F (х0, ..., хп) — однородный многочлен,
обращающийся в/(х1......х„) при замене х0 на 1, то F(х0....х„)
обращается в нуль на V. Однако следует заметить, что если
Л(*1......х„) = 0 (i=l..........г)
— уравнения многообразия V, a F<(x0, ..., х„) — однородные много-
члены, обращающиеся в /Дхр ..., хга) при замене х0 на 1, то урав-
нения
Fi(x0, .. ., хга) = 0	(7=1......г)
7*
100
ГЛ. XVl. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
удовлетворяются на многообразии V, но могут определять многообра-
зие, отличающееся от V компонентами, лежащими на гиперплоскости
х0 = 0. Например, если многообразие V' в А.2 определяется уравне-
ниями
х2 = 0, xtx.2 — 0,
то переход к однородным уравнениям определяет многообразие в 52,
имеющее единственную компоненту
х2 = 0.
Но многообразие V' можно определить также уравнениями
(Xj-j-1)х2 = 0, ххх2 = 0.
В этом случае многообразие в S2, которое мы получим, делая уравне-
ния однородными, имеет еще одну компоненту, состоящую из точки
(0, 0, 1).
Практически указанная трудность в определении многообразия
в S„, соответствующего некоторому многообразию в Ап, не возникает,
так как мы всюду занимаемся в первую очередь многообразиями в S„
и поэтому должны выбирать бесконечно удаленную гиперплоскость
так, чтобы она вообще не содержала компонент рассматриваемого
многообразия. Если мы условимся исключать из рассмотрения много-
образия, имеющие в S„ компоненты, лежащие на бесконечно удаленной
гиперплоскости, то соответствие между определенным так классом
многообразий в Sn и многообразиями в Ап будет взаимно однозначным
без исключений.
Прежде чем переходить к построению арифметической теории
многообразий в аффинном пространстве средствами теории идеалов,
мы сделаем несколько предварительных замечаний, используемых
в дальнейшем, о выборе координат в аффинном пространстве. Инте-
ресующие нас результаты не должны зависеть от выбора коорди-
натной системы, но доказательства часто можно упростить надле-
жащим выбором координат. Читатель знаком со многими примерами
такого рода из элементарной геометрии. В доказательствах часто
бывает удобно считать, что рассматриваемая система координат
является „достаточно общей1*. Смысл этого выражения связан с рас-
сматриваемой задачей и учитывает то, что нашим выбором координат
мы избегаем неудобных конфигураций или упрощаем некоторые
вычисления. Например, при рассмотрении общей точки многообразий
размерности d нам часто было удобно предполагать, что координат-
ную систему можно выбрать так, чтобы координаты ($0...........£„)
общей точки были нормированными, т. е. чтобы было = 1 и чтобы
$!> .... были алгебраически независимыми над основным полем.
Вообще, если мы делаем преобразование
п
Уг = ^ + 2 bijXj (1=1, .... п)	(4)
J=1
§ I. МНОГООБРАЗИЯ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ
101
аффинных координат, то в рассматриваемых задачах может быть
желательным исключить координатные системы, которые получаются,
если коэффициенты и Ьц удовлетворяют некоторым конечным
системам алгебраических соотношений. Преобразования координат,
не удовлетворяющие ни одному из этих соотношений, и будут
достаточно общими преобразованиями (для рассматриваемой задачи).
Если тождественное преобразование является достаточно общим в этом
смысле, то исходная координатная система (хр ..., хга) будет
достаточно общей. Несколько примеров достаточно общих коорди-
натных систем пояснят то, что мы имели в виду в предыдущем
описании.
(1)	В простой точке многообразия размерности d существует
касательное подпространство, определяемое системой уравнений
п
а{ 2 atjxi ~ 0 G = 1 , 2, . . ., п — d),
7=1
в которой матрица (га,-, а,у) имеет ранг п — d. Не все квадратные
подматрицы (п— d)-ro порядка матрицы (a,-j) обязаны иметь этот
ранг. Если мы теперь выполним преобразование (4) с общими коэф-
фициентами, то все квадратные подматрицы порядка (га — d) новой
матрицы будут иметь указанный ранг. Если мы специализируем пре-
образование, то эти матрицы могут стать матрицами меньшего ранга
лишь в том случае, когда коэффициенты преобразования (4) удовле-
творяют некоторым алгебраическим соотношениям. Во многих задачах
преобразование будет достаточно общим, если ни одно из этих соот-
ношений не выполнено. Другими словами, координатная система
(хр ..., хп) является достаточно общей для рассматриваемой
задачи, если любая квадратная матрица порядка (га — d), получаемая
из матрицы (а^), имеет ранг (га — d). В таком случае уравнения
касательного подпространства могут быть записаны в виде
а
xd г i — cd+i 2 cijxj (i = \, ..., га — d).
7=1
Читатель может убедиться, что в этом частном примере на коэффи-
циенты Ь{ вообще не налагается никаких ограничений. Поэтому
в случае, если рассматриваемая точка рациональна, систему координат
можно выбрать так, чтобы этой точкой была точка (0, . . ., 0) и
чтобы система была достаточно общей.
(2)	Пусть (^..$„)— координаты общей точки некоторого
многообразия в V' в пространстве Ап, имеющего размерность d,
и пусть Uy (i, 7=1, га) — система из га2 неизвестных. Если
положить
п
'i = 2«i&	(/=!,...,«),
102
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
то, как мы знаем (гл. X, § 6), элементы ......будут алгебраи-
чески независимы над полем ЛГ(Иу), причем существуют неприводи-
мые алгебраические соотношения вида
Л(«у ........Ъ W = °	(/=1........n-d).
Если g—порядок многообразия V', то эти соотношения имеют сте-
пень g относительно Ср .... td+{, причем они содержат члены
с Cd+i, коэффициентами которых являются ненулевые многочлены
а,(м) от Ufj. Рассмотрим теперь преобразование
п
yi = 3jbijXj (i — 1, • • .. п).
j=i
Это преобразование будет достаточно общим для многих задач, если
“‘",к0(,=1.........“-d) и есл”мемен™ Р<А«=‘...................“>
алгебраически независимы над полем К. В таких случаях координат-
ная система xv .... хп будет достаточно общей, если ..........td
алгебраически независимы над К и если элементы ;d+1...\п являются
целыми над кольцом /С[£р . . ., Ed].
(3)	Если ...td—-алгебраически независимы над К, то в поле К
п
можно выбрать элементы av ..., ап так, чтобы сумма была
1
примитивным элементом поля ЯД^......;и) над /С(£х...£d).	Поэтому
существует достаточно общая координатная система, в которой эле-
менты Вр ..., $d алгебраически независимы над К, a $d+1 является
примитивным элементом поля ЯГ($р . . ., $й). Доказательство мы оста-
вляем читателю.
(4)	В любой задаче имеется лишь конечное число алгебраических
соотношений между коэффициентами допустимого преобразования,
которые нужно устранить для того, чтобы новая система координат
была достаточно общей. Поэтому можно объединять конечное число
таких систем ограничений, чтобы получить координатную систему,
достаточно общую сразу для нескольких целей. Так, при рассмотрении
геометрии неприводимого многообразия V размерности d в окрестности
некоторой точки часто возникает следующее положение: мы будем
требовать, чтобы
(а)	уравнения касательного подпространства в рассматриваемой
точке могли быть записаны в виде
а
xd+i = cd+i +2 Cify (i=l, .. ., n — d)\
(б)	если (£р ..., £и) — общая точка многообразия V, то ..., \d
были алгебраически независимы над К\
(в)	^+1 был примитивным элементом поля функций многообразия V
[над полем /С($р .... £d)[;
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
103
(г)	элементы $d+p	были целыми относительно кольца
....U-
Из сказанного выше ясно, что система координат может быть выбрана
достаточно общей для того, чтобы удовлетворять всем этим условиям.
Ввиду сделанных пояснений термина „достаточно общиймы будем
оставлять читателю доказательство того, что систему координат можно
выбрать достаточно общей для целей каждого доказательства, встре-
чающегося ниже.
§ 2. Идеалы и многообразия в аффинном пространстве
Пусть Ап — аффинное пространство размерности п, определенное
над основным полем К, и пусть (хр ..., хп)—-допустимая система
координат в этом пространстве. Рассмотрим область целостности
91==/С[хр ..., хп]. Мы знаем (том I, гл. IV, § 2), что в 91 имеет
место теорема о базисе. Если i — идеал в 91 и fi(x1.........х„)
(г = 1, .... г) — его базис, то уравнения
Л(хр ..., х„) = 0 G=l, ...» г)	(1)
определяют некоторое алгебраическое многообразие U в простран-
стве Ап. Так как любой многочлен, принадлежащий t, имеет вид
• • •> •’Cn)A(xi> • • ч хп)> т0 все многочлены из i обращаются
в нуль на U. Если i есть нулевой идеал, то U является всем про-
странством Ап, и, наоборот, если U — все пространство, то уравне-
ния (1) должны удовлетворяться всеми точками из Ап, а значит,
/f(xp ..., х„) = 0	(/=1......г),
т. е. t является нулевым идеалом. С другой стороны, если i является
единичным идеалом и х' — любая точка из Ап, то в i найдется много-
член, не обращающийся в нуль в точке х'. Поэтому точка х' не при-
надлежит U и мы заключаем, что U является пустым множеством
точек. Обратно, если U пусто, то отсюда вытекает, что уравнения (1)
не имеют решений и поэтому [гл. IV, § 7, теорема I] существуют
многочлены af(xp ..., хп), удовлетворяющие соотношению
Had*!.......xn)fi(xl.......х„) = 1.
Следовательно, t содержит единицу из 9? и поэтому является единич-
ным идеалом.
Различные идеалы кольца 91 могут определять одно и то же
многообразие U. Пусть, например, j — другой идеал в 9?, опреде-
ляющий то же многообразие U, что и идеал i, и пусть gi(xt, .... х„)
(Z = 1, ..., s) — базис для j. Так 'как многочлен gi(x1, ..., хи)
обращается в нуль на U, то из теоремы Гильберта о корнях вытекает,
что существует такой показатель sf, при котором многочлен g°.i
104
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
принадлежит t. Если положить з = 2(3»—0+Ъ то отсюда будет
следовать, что
i’ = o (i).
Подобным же образом, существует такое натуральное число р, что
ip = 0 (j).
Наоборот, если два идеала i и j кольца 9? связаны соотношениями
f = 0 (t) и ip = 0 (j),
то они определяют одно и то же многообразие. Действительно, из
первого условия следует, что
gi (Xi....хп) = 2	, xn)fj(xv хп), (/= 1,
а значит, многочлен ..., хп) обращается в нуль во всех точках
многообразия, определяемого идеалом i. Поэтому многообразие, опре-
деляемое идеалом j, содержит многообразие, определяемое идеалом t.
Второе условие таким же образом показывает, что многообразие, опре-
деляемое идеалом t, содержит многообразие, определяемое идеалом j.
Следовательно, оба многообразия совпадают.
Такое же доказательство дает, что если i и j — два идеала из 9?,
определяющие соответственно многообразия U и V, то соотношение
U с V имеет место тогда и только тогда, когда существует число з,
удовлетворяющее условию j’ с t.
Пусть, с другой стороны, нам задано многообразие U в про-
странстве Ап. Очевидно, что многочлены из !Н, обращающиеся в нуль
на U, образуют идеал. Если обозначить через t* идеал, определяе-
мый таким образом с помощью U, а через t — идеал в 91, которым
многообразие U было определено, то i с (*, так как все многочлены
из i обращаются в нуль на U и поэтому принадлежат i*. Таким об-
разом, i* является наибольшим идеалом в 9?, определяющим U, и со-
держит все другие идеалы, которые определяют многообразие U.
Посмотрим теперь, как мы можем перейти от t к i*.
Пусть
i = [qp • • • > Qfc> Ял Hi» • • • >
— несократимое представление идеала t в виде пересечения пример-
ных идеалов, и пусть qp . . ., qrf— изолированные компоненты, а ком-
поненты qfc+p ..., qz— вложенные. Обозначим радикал идеала q<
через pj. Если f==f(xv ..., х„)— любой многочлен, обращающийся
в нуль на U, то многообразие, определяемое главным идеалом j—9? • /,
содержит U, и потому найдется такой показатель р, при котором
|р с i. Поэтому
/р = 0 (i),
а значит,
G=1.......0-
£ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
105
Следовательно,
/=о (р4) 0=1,..., о-
Поэтому мы имеем
/€1Рр M = IPv -> Ы.
ибо при каждом значении а, большем k, найдется такое Ь, не пре-
восходящее k, при котором рь с ро.
Обратно, если ...........pft], то мы имеем
/=о (рг)	о=1.......о,
и поэтому существует такое целое число р, что
/р = 0 (qO	0=1........0.
а значит,
/р = 0 (t).
Следовательно, многочлен f(xv ..., х„) обращается в нуль на U.
Отсюда вытекает, что
Г = [Pi. •• • Pftl-
Очевидно, что если i* и j* — идеалы, состоящие из всех много-
членов, обращающихся в нуль соответственно на U и на V, то вклю-
чение U с V имеет место тогда и только тогда, когда j* с i*.
Пусть U—многообразие в Ап, a i*— идеал, состоящий из всех
многочленов, обращающихся в нуль на U. Необходимое и достаточное
условие неприводимости U состоит в следующем: если f(xt, ..., хп)
и g(xv ..., хп) — два многочлена, произведение которых обращается
в нуль на U, то либо f(xv .... хп), либо g(xt, ..., хп) обращается
в нуль на U. Это равносильно тому, что если
/(хр ..., х„) g(xp .... х„) = 0 (Г),
то либо
Ж........хи) = 0 (Г),
либо
g(*i.....х„) = 0 (Г),
т. е. тому, что идеал i* прост. Таким образом, имеет место
Теорема I. Необходимым и достаточным условием неприво-
димости многообразия U в пространстве Ап является простота
идеала, состоящего из всех многочленов, обращающихся в нуль
на U.
Пусть теперь t — идеал, определяющий неприводимое многообра-
зие U, а
i = [qP • • •, q,l
— его несократимое представление пересечением примарных идеалов.
Тогда, как мы видели,
t* = [Рх> • • •> Ы
106
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
где qt, ..., qfc— изолированные компоненты идеала i, а рг—ради-
калы идеалов q£. Так как многообразие U неприводимо, то идеал i*
прост. Следовательно, А=1, и мы получаем теорему:
Теорема II. Многообразие, определяемое идеалом i из 9?, не-
приводимо в том и только в том случае, если все компоненты
идеала i, кроме одной, являются вложенными.
Рассмотрим теперь соотношения между суммами и пересечениями
идеалов, с одной стороны, и суммами и пересечениями определяемых
ими многообразий, с другой. Пусть t — некоторый идеал в 9?,
[qt.....qt]— его несократимое представление, в котором qp ..., qfc—
изолированные компоненты идеала i, а рх— радикалы идеалов
Если идеал i определяет многообразие U, то это же многообразие
определяется идеалом i* — [pt.....pfc]. Пусть — неприводимые
многообразия, определяемые идеалами р? Многочлен /(хр .... х„)
обращается в нуль на U тогда и только тогда, когда он принадле-
жит идеалам рр ..., рЛ, т. е. когда он обращается в нуль на много-
образии -j- . . . -j- Uk. Поэтому
... J- Uk.
Если идеал t = [qp ..., qj определяет многообразие U, a
! = [<>•••> <1
— идеал, определяющий многообразие V, то из равенства
[t> jl = [qr • ••.	.... <]
следует, что идеал [i, j] определяет многообразие U-{- V.
Если fi (хр .... х„) (г = 1, . .., г) — базис идеала t, a gj (хх.х„)
(у — 1, ..., s) — базис идеала j, то многочлены
/г(хх, ..., xn)gj(xx....х„)	(/=1.......г; у = 1, ..., s)
образуют базис для ij. Отсюда следует, что идеал ij также определяет
многообразие V.
При тех же обозначениях мы непосредственно усматриваем, что
многочленов
Л(хР...,х„)	0 = 1,..., г) и &(хр .... хи) (/=1,..., s)
составляют базис идеала (t, j). Следовательно, идеал (i, j) определяет
пересечение UП V.
Пусть 91—любое кольцо, содержащее поле К, а i — идеал в 91.
Говорят, что i имеет размерность г над К, если выполнены сле-
дующие условия:
(I) в кольце 91 существуют элементы ..., такие, что много-
член /(хр ..., хг) из ЯГ[хр ..., хг] только тогда удовлетворяет
условию
Ж.......У = 0 (i),
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
107
когда
/(хр ..хг) = 0;
(II) если ....$r+t — любая система из г —1 элементов кольца 9?,
то существует ненулевой многочлен /(xt, .... х,.+1) с коэффициентами
из К, такой, что
/01.....^+1) = о (t).
Применим это определение к области целостности 9? —/С[хр ...
.... хи], рассматриваемой в связи с аффинным пространством Ап. Пусть
i — идеал кольца 91, определяющий некоторое многообразие U, и
пусть [qp .... qj— несократимое представление i в виде пересече-
ния примарных идеалов. Пусть при этом qt.....qfc — изолированные
компоненты (, а р4— радикалы идеалов q4. Если ............—	эле-
менты из 91 и f(xt...........................................х,.) — любой многочлен над К, то из соот-
ношения
У = 0 (i)
следует, что
/(?!,..., UEqiS’Pi 0’ = 1.
Обратно, если существуют такие многочлены fi(xv .... х,.) (Z — 1,..., k),
что
AGp...,	(<=1......
то существуют многочлены fi(xr.....х(.) (I = 1....t), такие, что
ЛС1.....и €)>< (/ = 1.........О-
В самом деле, при любом j, большем k, найдется значение I, не
превосходящее k и такое, что pi с р^-. Поэтому нам достаточно взять
в качестве fj(xv .... хг) соответствующий многочлен А(хх, ..., хг).
Если pi — индексы идеалов qf и
t
f(xv ..., xr) = П fi{ Ц. • • •. xr),
i = l
то
/С>1..........................U = o (t).
Из доказанного следует, что размерность идеала I равна наибольшей
из размерностей идеалов рр .... pft. Действительно, пусть г — раз-
мерность t, rt — размерность р4. Тогда любые г-}-1 элементов из 91
будут алгебраически зависимыми по модулю i, а значит, и алгебраи-
чески зависимыми по модулю pi- Следовательно,
г^-тах[г1, ...,
С другой стороны, если s > гг (I = 1, ..., k), то любые $ эле-
ментов из 91 алгебраически зависимы по модулю pi (i = 1, .... А)
108
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
и поэтому алгебраически зависимы по модулю i. Следовательно,
r-Cmax[rt......rfc], и поэтому	<
г = max [гр ..., Г/{].
Пусть теперь р — простой идеал, образованный многочленами,
обращающимися в нуль на неприводимом многообразии U. Пусть,
далее, (т^.....т]п) — общая точка для U. Если многообразие U имеет
размерность d в смысле определения гл. X, то среди найдется d
алгебраически независимых над полем К элементов, например
, • • • > Тогда, если f(xii, ..., xQ £ р, то
'П«<г) = 0.
а значит,
/(xfi, ..., xirf) = 0.
Поэтому размерность идеала р не меньше d. С другой стороны, если
of(x) (1=1,..., d -|- О — система из d-|-l любых элементов
кольца 31, то найдется такой ненулевой многочлен F(yv . . ., _yrf+1),
то
/"(аД-ц), . . ., а4.,1(т1)) = 0.
Следовательно,
W4 . . ., ad+1(x)) = 0 (р).
Отсюда вытекает, что размерность идеала р равна размерности мно-
гообразия U.
В заключение отметим, что размерность любого идеала t кольца 3i
равна наибольшей из размерностей компонент многообразия, опреде-
ляемого этим идеалом, т. е. равна размерности всего этого многооб-
разия. Таким образом, размерность идеала не является для нас
существенно новым понятием. Однако определение размерности с по-
мощью идеалов иногда оказывается более удобным.
Приведенные выше предварительные замечания необходимы при
изучении геометрии неприводимых многообразий. Пусть теперь V —
неприводимое многообразие в пространстве Ап. Это многообразие
может быть и всем пространством Ап\ мы будем лишь предполагать,
что оно не пусто.
Обозначим через ф простой идеал, состоящий из всех многочле-
нов кольца
31 = /([Хр .. ., хи],
обращающихся в нуль на многообразии V. Рассмотрим кольцо выче-
тов 31/ф. Так как идеал ф прост, то это кольцо является областью
целостности (гл. XV, § 3, стр. 39), причем в этой области целост-
ности имеет место теорема о базисе, так как она справедлива
в 31 (гл. XV, § 3, теорема VII). Пусть а и b — два элемента поля К,
а а и b — элементы кольца 31/ф, на которые отображаются а и Ь.
§ 2. Идеалы и многообразий	109
Тогда равенство а = b будет иметь место в том и только в том слу-
чае, если а — Ь содержится в Но так как ф не является единич-
ным идеалом, то это может случиться лишь при а — Ь. Следовательно,
кольцо 9?/ф содержит подкольцо, изоморфное полю К. Мы можем
отождествить это подкольцо с К и рассматривать кольцо 91/ф как
расширение поля К. Обозначим его через 3 и условимся обозначать
через $.г элемент из 3> соответствующий элементу хг из 91. Если
f(xv .... хп) — любой многочлен из 91, то он отображается на эле-
мент /($!> ..	В„) из 3» причем f(xv ..хп) принадлежит ф тогда
и только тогда, когда f(lv .. Еп) = 0. Следовательно, точка
(ijp .... ?и) является общей точкой многообразия V. Кроме того,
кольцо 3 = ^1^1.....U является кольцом многочленов от .. ., Q
с коэффициентами из К. Если (т^, . .., т]п) — любая общая точка
многообразия V, то кольца .........Ц и К[7]р ..., являются
эквивалентными расширениями К, в которых элементы и
соответствуют друг другу. Поэтому кольцо 3 однозначно определя-
ется общей точкой многообразия V. Кольцо 3 (или любое кольцо,
ему изоморфное) называется областью целостности многообразия V
в пространстве Ап.
Область целостности 3 не зависит от выбранной в Ап допусти-
мой координатной системы. В самом деле, если (*', .... х'п) — лю-
бая другая допустимая система координат, то
xi = + S bijXj (i = 1, ..., и)
и
Xi = ^ + 2	(i = 1, . . ., и),
где коэффициенты bit Ьц, ct, с^ принадлежат К- Если ......£„)—
координаты общей точки многообразия V в первоначальной системе,
то координатами этой точки в новой системе будут (S'.........Q,
причем новые координаты удовлетворяют уравнениям
=	<7 = 1,..., п)
и
a=i.......«)
Из этих соотношений следует, что
....U =	.....q.
В § 3 гл. XV мы рассматривали соотношения между идеалами
кольца и идеалами кольца вычетов. Применим полученные результаты
к кольцам 9? и 3- Каждому идеалу Я в 9? соответствует однозначно
определенный идеал f в 3> причем наибольшим идеалом кольца 9?,
которому соответствует идеал !, будет (Я, ф). Каждому идеалу I из
3 соответствует некоторый идеал Ях из 91, являющийся делителем ф,
причем любой идеал кольца 9?, которому соответствует идеал t, будет
110 гл. Xvi. Арифметическая теория Многообразий
кратен Если Я — любой идеал в 9?, определяющий некоторое
многообразие U в пространстве Ап, то идеал (Я> ф) определяет
многообразие U П V. Многообразие U П V пусто тогда и только тогда,
когда (Я, ф) является единичным идеалом, т. е. когда идеал f из 5.
соответствующий Я, есть единичный идеал. Таким образом, любой
идеал t кольца 3 определяет некоторое многообразие, содержащееся
в V. Именно: если fi(x1, ..., х„) (1=1.....г) — базис идеала
a ...........£„)	(i = 1....s)— базис для i, то многочлены
A(*i......xn) (Z= 1.....г) и g-Дхр хп) (1 = 1, .... s) состав-
ляют базис соответствующего идеала кольца 91, являющегося дели-
телем Определяемое идеалом i многообразие имеет уравнения
fi(xv .... xn) = 0	(Z= 1, .... г),
g}(xv ...., х„) = 0	(j=l,...,s).
Обратно, если U — любое многообразие, лежащее на V, и
gi (xv .... xn) (i — 1s) — базис идеала, состоящего из всех
многочленов, обращающихся в нуль на U, то элементы gj($p .... tn)
(I = 1....$) составляют базис наибольшего идеала кольца 3> опре-
деляющего многообразие U.
Результаты, доказанные в начале этого . параграфа относительно
соотношений между идеалами кольца 91 и многообразиями в про-
странстве Ап, можно переформулировать теперь в результаты, свя-
зывающие идеалы кольца 3 и многообразия, лежащие на V. Дей-
ствительно, наши более ранние результаты соответствуют частному
случаю, в котором идеал является нулевым. Здесь нет необходи-
мости останавливаться на деталях этой переформулировки, которая
непосредственно получается из доказанного в § 3 гл. XV. Наиболее
важный результат состоит в том, что если U есть некоторое .много-
образие, лежащее на многообразии V, то U будет неприводимым
в том и только в том случае, когда наибольший идеал кольца 3>
определяющий U, прост. Отметим, что если t — любой идеал кольца
3, а Я — идеал из 91, соответствующий идеалу f и содержащий
в себе идеал ф, то размерность над полем /С идеала !, рассматри-
ваемого как идеал в 3> равна максимальному числу элементов из 3>
алгебраически независимых по модулю f, и поэтому равна макси-
мальному числу элементов из 9t, алгебраически независимых по мо-
дулю Я. Другими словами, размерность идеала ! равна размер-
ности Я. Следовательно, размерность идеала f над полем К равна
размерности многообразия, определяемого этим идеалом.
Ввиду того, что 3 является областью целостности, ее максималь-
ные идеалы, все просты (гл. XV, § 3, теорема III). Пусть р— ма-
ксимальный идеал в 3> a U—определяемое им неприводимое много-
образие. Если бы многообразие U имело размерность, ббльшую нуля,
то существовало бы неприводимое многообразие W, являющееся
собственным подмногообразием U. Если р'— наибольший идеал, опре-
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
111
делающий многообразие U1, то р' не являлся бы единичным идеалом,
так как U' не пусто, и из соотношения U'<z.U следовало бы, что
рср', вопреки условию, что р есть максимальный идеал кольца 3-
Следовательно, многообразие U имеет размерность нуль. Наоборот,
если простой идеал р определяет многообразие U размерности нуль,
то идеал р должен быть максимальным. Действительно, если бы это
было не так, то существовал бы простой идеал р', отличный от еди-
ничного идеала и такой, что рср'. В таком случае многообразие,
определяемое идеалом р', было бы собственным подмногообразием U.
Но это невозможно, и, следовательно, имеет место
Теорема III. Максимальные идеалы кольца 3 соответст-
вуют неприводимым многообразиям размерности нуль, лежащим
на многообразии V.
Пусть р — любой простой идеал в 3, a U—определяемое им не-
приводимое подмногообразие многообразия V. Кольцо частных 3»>
идеала р называется кольцом частных подм.ногообразия U и часто
обозначается через Q(U). В силу теоремы X § 5 гл. XV, кольцо 3
является пересечением колец частных многообразий U, лежащих на V.
Более того, оно будет пересечением колец частных неприводимых
многообразий размерности нуль, лежащих на V, так как неприводи-
мые подмногообразия размерности нуль многообразия V определяются
максимальными идеалами в 3-
Рассмотрим два неприводимых многообразия Ut и U.2, лежащие
на V. Пусть pi и ра — соответствующие им простые идеалы кольца 3-
Тогда, как мы видели, включение Ur с U2 имеет место в том и
только в том случае, если ра с рг Но (гл. XV, § 5, теорема VI)
соотношение ра с pt справедливо тогда и только тогда, когда
3ft — 3ft- Следовательно, многообразие Ur содержится в U2 тогда
и только тогда, когда Q(L\) содержится в Q(t7a). В частности, Ur
будет собственным подмногообразием U2 (т. е. с U2) в том и
только в том случае, если QfU]) является собственным подкольцом
кольца Q(U2). Действительно, в этом случае <7а не содержится в Uv
а значит, и <?(<7а) не содержится в QiU^. Таким образом, доказана
Теорема IV. Если Ur и U2 — неприводимые многообразия,
лежащие на многообразии V, то
(I) U2 в том и только в том случае, когда Q (U^) с Q (U2);
(II) Ц с U2 в том и только в том случае, когда Q^U^) cz Q([7a).
Следует напомнить, что результаты этого параграфа относятся
к многообразиям в аффинном пространстве. Если многообразие V
получается из некоторого многообразия V в проективном простран-
стве, то область целостности 3 зависит от выбора бесконечно уда-
ленной гиперплоскости. Например, если V является всем простран-
ством (х0.....хп) и если в качестве бесконечно удаленной гипер-
плоскости мы возьмем гиперплоскость хо = 0, а в качестве общей
112
Гл. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
точки — точку (1,	$„), где ..... — независимые неизве-
стные над К, то 3 =	• • •> Вв1- Пользуясь тем же полем функций
на многообразии V и беря гиперплоскость хп = 0 в качестве бес-
конечно удаленной, мы должны взять в качестве общей точки точку
(5»1,	•••>	1)- Поэтому областью целостности соответ-
ствующего аффинного многообразия будет кольцо \ £вЧр ...
• •.,	отличное от 3- Следует заметить также, что в тео-
реме, гласящей, что 3 является пересечением колец частных непри-
водимых подмногообразий многообразия V, имеющих размерность
нуль, подмногообразия рассматриваются в аффинном пространстве.
Тем' не менее понятие кольца частных неприводимого подмного-
образия многообразия V является проективным понятием. Пусть V—
неприводимое многообразие в проективном пространстве Sn с коор-
динатной системой (х0, .... хп), не лежащее в гиперплоскости х0 = О,
и пусть V — соответствующее ему многообразие в аффинном про-
странстве Ап, получаемом из Sn выбором бесконечно удаленной
гиперплоскости х0 = 0. Напомним, как мы получали поле функций
на многообразии V в § 3 гл. X. Мы рассматривали отношения
/(•у) _ /С*о....хя)
g(x) g(x0, ..., хп)
однородных многочленов одинаковых степеней из кольца ЛГ[х0,..., хп],
таких, что g(x0.....хп) не обращается в нуль на V. Отношения
/(x)/g(x) и f(x)lg'(x) назывались эквивалентными, если на много-
образии V имеет место равенство
/(х) g' (х) —? (х) g(x) = 0.
При надлежащих определениях сложения и умножения классов экви-
валентных отношений мы получили поле, изоморфное полю функций
на многообразии V. Пусть S означает расширение поля К, изоморф-
ное полю классов эквивалентности. Пусть теперь U — неприводимое
многообразие, лежащее на V и не лежащее в гиперплоскости х0 = 0,
a U—соответствующее многообразие в Ап. Рассмотрим элементы
поля Е, соответствующие отношениям f(x)jg(x), в которых g(x) не
обращается в нуль на U. Если f(x)lg(x) и /,(x)/g,(x)—два отно-
шения, знаменатели которых не обращаются в нуль на U. то
/(х) , /'(х) _f(x)g'(x)+f'(x)g(x)
g(x)r g>(x)	g(x)g'(x)
и
fix) . f’jx) _ fjx)f'jx)
g (X) ’ g' (X) g (X) g' (X)
также являются отношениями, знаменатели которых не обращаются
в нуль на U. Отсюда следует, что соответствующие таким отноше-
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
113
пиям элементы поля Е образуют кольцо 91. Ясно, что 91 содержит К,
а значит, обладает единицей. Кроме того, так как в поле S отсут-
ствуют делители нуля, то их нет и в 91. Поэтому 91 является об-
ластью целостности. Сверх того, S есть поле частных для 9i.
Пусть теперь — элемент кольца 91 (а значит, и поля S), соот-
ветствующий классу х^х0(1—), ..., п). Тогда точка (1,	..., $п)
является общей точкой многообразия V, а ($г, ..., Вп) — общей
точкой V. Кольцо 3 = Xl’v • • • > У является областью целостности
многообразия V. Пусть р — простой идеал в соответствующий
подмногообразию U. Любой элемент С из X имеет вид
Г _/ (1,	 ч in)
^(1Л1.....U’
где /(х0, .... хп) и g(xQ, ..., хп) однородные многочлены над
полем К, имеющие одну и ту же степень и такие, что второй из них
не обращается в нуль на V. Элемент С принадлежит кольцу 3t> в ТОМ
и только в том случае, если мы можем найти такие /(х) и g’(x),
для которых элемент g(l, ;t, ..., В„) не принадлежит идеалу р. Но,
по определению идеала р, сказанное равносильно условию, что
многочлен £(1, хр ..., хп) не обращается в нуль на U, т. е. что
g(x0, xt....хк) не обращается в нуль на U. Следовательно, эле-
мент С содержится в тогда и только тогда, когда он содержится
в 91, так что Зр — 91-
Кольцо частных многообразия U можно определить и не обра-
щаясь к полю функций на многообразии V, просто рассматривая
отношения f(x)lg(x), в которых g'(x) не обращается в нуль на U,
и определяя эквивалентность отношений таким же образом, как и
выше. Введя после этого сложение и умножение классов обычным
образом, можно показать, что совокупность классов является обла-
стью целостности, которая, как мы видели, изоморфна полю частных
многообразия U. Однако ввиду того, что нам придется рассматривать
кольца частных нескольких подмногообразий многообразия V одно-
временно, мы должны рассматривать их как подкольца одного и того
же представления поля функций многообразия V.
Приведенные соображения показывают, что кольцо частных не-
приводимого подмногообразия многообразия V в проективном про-
странстве определяется полем функций многообразия V и подмного-
образием и поэтому не зависит от выбора бесконечно удаленной
гиперплоскости. В связи с этим в последующих параграфах мы бу-
дем стараться выражать свойства многообразий в аффинном про-
странстве при помощи колец частных, с тем чтобы эти свойства
можно было истолковать как свойства многообразий в проективном
пространстве.
Мы закончим параграф несколькими замечаниями, связанными
с задачей нахождения базиса идеала, определяемого неприводимым
8 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
114
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
подмногообразием многообразия V. Практически эта задача возникает
не часто, так как обычно бывает достаточно знать, что базис суще-
ствует, а это гарантируется теоремой о базисе. Здесь мы приводим
результаты, которые будут полезны в дальнейшем.
Пусть U — неприводимое подмногообразие V, имеющее размер-
ность е. Обозначим через F(uQ, ..., ие) форму Кэли для U (т. е.
форму Кэли многообразия U при „пополнении" пространства Ап до
проективного пространства Sn). Тогда, если S° Se — кососим-
метрические квадратные матрицы порядка я -f~ 1, элементы которых
являются независимыми неизвестными над К, то уравнения U полу-
чаются приравниванием нулю коэффициентов различных произведений
неизвестных sjk в выражении
F(S°x, . .., S«x),
в котором х означает столбец из элементов 1, xt, .... хп. Отсюда
следует, что если обозначить через $ столбец из элементов 1, l^,.	'
то коэффициенты различных произведений неизвестных в вы-
ражении
F(S°*, ....
будут порождать идеал i кольца 3> определяющий многообразие U.
Пусть i = [q1, ..., qr]— несократимое представление i в виде пере-
сечения примерных идеалов, — радикалы идеалов q*, а £7»— не-
приводимые многообразия, лежащие на многообразии V и определяе-
мые идеалами рг Тогда
... 4-ц..
Ввиду того, что многообразие U неприводимо, одна из компонент Ut,
например Uv должна совпадать с U, а остальные компоненты
являются вложенными. Отсюда следует, что рг есть простой идеал,
соответствующий U, а компоненты q2, .... qr идеала i — вложенные.
 Существует случай, важный в дальнейшем, в котором мы можем
пойти дальше. Это случай, когда U— неприводимое подмногообразие
многообразия V, имеющее размерность d — 1 и не состоящее сплошь
из кратных точек многообразия V. Здесь d — размерность V. В это
случае можно показать, что qr является простым идеалом, соответ-
ствующим многообразию U. Докажем следующую теорему:
Теорема V. Пусть V—неприводимое многообразие размер-
ности d в некотором аффинном пространстве, 3 — область цело-
стности многообразия V. Пусть, далее, U—неприводимое под-
многообразие многообразия V, имеющее размерность d — 1 и про-
стое на V, a F(u0, .... ud^ — его форма Кэли. Тогда, если
(£р • • - . $„) (£*ЕЗ) — общая точка многообразия V, a S4 (1 = 0, ...
...,d—1) — система из d — 1 независимых кососимметрических
матриц, составленных из неизвестных, то простой идеал из 3.
определяющий многообразие U, является изолированной компонен-
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
115
той идеала, порождаемого коэффициентами различных произве-
дений неизвестных s\k в выражении F(S°Z.......Sd-4).
Нам будет удобно вернуться к проективному пространству S„,
получаемому из пространства Ап. В таком случае V будет многооб-
разием, имеющим общую точку (1, В1(	$и) в координатной си-
стеме (х0.................................хп).
Пусть W(x)=W(x0.........хп) — любая форма с неопределенными
коэффициентами w1,	Покажем прежде всего, как получить
форму Кэли для пересечения многообразия V с гиперповерхностью
Г(х) = 0.
Пусть
Л(Х) = О (i = 1.......s)	(2)
— однородные уравнения многообразия V, а
п
= 0 (i = О, ..., d — 1)	(3)
j=o
d независимых общих гиперплоскостей из Sn. Уравнения (2) и (3)
имеют конечное число решений =	£0))(ч=1, ..., g).
Эти g точек сопряжены над полем К(м0, •••> ua-i)> причем каждая
из них является общей точкой многообразия V над полем К (гл. X,
§ 7). Отсюда вытекают следующие заключения.
в
(I) Произведение	’>), рассматриваемое как форма от ..
ч=1
. . ., wt, неприводимо над полем К(и0, .. ., иЛ_^).
(II) Произведение У7(?'О является формой от <а>1...<wt, коэф-
v=2
фициенты которой лежат в поле
К(«0.....«4-V
Учитывая (I), можно написать:
я
-......
где многочлены А (и0...... Md-i)	и #(ио.......ма-х) принадлежат
.. , ucl_lj и могут предполагаться не имеющими общих мно-
жителей, a B(w, и0, .... ud_1) является неприводимым многочленом
из кольца /([ш, и0....aa-tl-
Для любой специализации W'(x) многочлена W(x) уравнения (2)
и (3), взятые вместе с уравнением
1Г(х) = 0,
имеют решение в том и только в том случае, если равно нулю выра-
жение B(w', uQ, ..., ud_1). Следовательно, B(w, и0........ ud-i)
8*
116
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
является м0-результантом уравнений (2) и уравнений
= 0 (г = 1........d — 1), W(x) — 0.
j=o
Таким образом (том П, стр. 49), В(/ш, и0, ..., «d_t)— форма Кэли
пересечения многообразия V с гиперповерхностью W(x) = 0.
Пусть р — простой идеал в X определяющий многообразие U, и
W'(l, £х, ..., !•„) =№"(£) — произвольный элемент из р, отличный
от нуля. Здесь многочлен W' (х0.....хи) предполагается однород-
ным. Тогда
B(w', «0, ..., ud_J = F(tiQ....ud_x)F'(u0........
где F(u0...... Md~i) является формой Кэли многообразия U,
a F'(и0, ..., ad_x) — также некоторая форма Кэли, именно форма
Кэли многообразия, состоящего из остальных компонент пересечения V
с гиперповерхностью W' (х) = 0 и, может быть, содержащего также
компоненту U. Следовательно, мы имеем
д
«d_x)nr'($(-)) =
У = 1
= ^(мо......«d-i)F'(«o..................... «d-i)-
Пользуясь теперь уравнениями (2), мы можем написать
nw// (t(v)\  C(uo, .... ud-b gio)
_	( } ~ C'(u0,...,ud_b ?W) ’
где С(и0...... ad-i> x) и С'(m0.....Md-i> x) — однородные отно-
сительно х0, . .xn многочлены с коэффициентами из .........ud-i^
Мы имеем теперь
Н(«о......^-!)С(и0.......ud_v
= А(и0, .... ad_1)C'(a0.....ua_v $(D)F'(a0, ..., Md_t) X
X F (uo> • • • i ud-i)-
Точка $(1) является общей точкой многообразия V, а
S ««Л = о
J = 0
есть общая гиперплоскость, проходящая через эту точку. Но $ также
является общей точкой для V, причем d независимых общих гипер-
плоскостей, проходящих через нее, могут быть заданы уравнениями
У = 0 (Z = 0, ..., d — 1),
j, к
§ 2. ИДЕАЛЫ И МНОГООБРАЗИЯ
117
где S0, .... Sd~1—система из d кососимметрических матриц, эле-
менты которых являются независимыми неизвестными. Следовательно,
.......................Stf~4, $)ИГ(«) =
= A (SO;, .... 5Й-Ц) C'(S°E....Sd“4, $) F' (S<*, .. ., S<*-4) X
X ^(S°;, • •., S^1').	(4)
Над полем /C(S°......S6*-1) многообразие V неприводимо (гл. X,
§ 5, теорема VI), причем точка х' многообразия U, являющаяся про-
стой точкой многообразия V над полем К, будет также простой точ-
кой V над полем K(S°, ..., Sd-1). Далее,
д
г =	.....g:iU) = тт
С' (S0;...5Й~1;,	;) -JUt V 1 >'
где ;, т|(2), ...,	— система из g различных точек многообразия V,
лежащих в (и — й)-мерном пространстве
2sfe = o (Z = o,.... d-V).
j.k
Если мы специализируем точку - в точку хг, являющуюся точкой
многообразия U, простой на V, то
(-, т;(а\ ...,	>(х',	..., у^),
где точки х', у&, ..., yW все различны и не лежат на бесконечно
удаленной гиперплоскости. Отсюда вытекает, что при ;->х' элемент t,
имеет однозначно определенную специализацию, отличную от нуля,
ибо общее (и — й)-мерное подпространство над полем К, проходящее
через х', не пересекает гиперповерхности W' (х) = 0 на многообра-
зии V нигде, кроме точки х'. В силу результата, который будет
доказан позже (гл. XVIII, § 1, следствие из теоремы VII), отсюда
следует, что С является делителем единицы в кольце частных много-
образия, имеющего х' своей общей точкой. Поэтому без ограничения
общности мы можем предполагать, что
C(S°;....S'*-1;,	$) и C'(S°', . . ., S^1;, ₽)
не обращаются в нуль при специализации >хл и потому не лежат
в идеале K(S°, ..., Sd-1) • р, где р— простой идеал, соответствую-
щий многообразию U.
Далее, многочлен Н(«о........ай_1) обращается в нуль только
тогда, когда (и — й)-мерное подпространство
2 ^ijxj = 0 (Z = 0, ..., d — 1)
У
пересекается с V на бесконечности. Следовательно,
H(SPx', .... Sd-1x')=A0,
118
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
и поэтому
Н(5°;........Sd-4)=#0	(K(S°.....Sd-1) • р).
Мы можем теперь найти такие специализации Т°, Та~г для
матриц S0, ..., Sd-1 в поле К, чтобы было
(C(S°$............5),	.....Sd"4, 0, H(S°'.......Sd"lc,)]->
-►ICd), С' (В), H(E)J,
где C(;), C'(;), A/(;) не содержатся в p.
Пусть i — идеал, порождаемый коэффициентами выражения
F(S0$, ..., Тогда, как мы видели выше,
t = [Q1. qa- • • •> qj.
где имеет идеал р своим радикалом, а компоненты q3, ..., qr
являются вложенными. Специализируя матрицы 5°, .. ., S’1-1 в Т°, . ..
.... 74-1, выводим из (4), что
Так как Н($) и (?($) не содержатся в радикале идеала q(, то мы
имеем
1Г© = 0 (qt).
Но 1Р"(Е) — любой элемент из р. Следовательно,
р = 0 (qt).
Ввиду того, что р есть радикал qp отсюда вытекает, что p = qp
а это и требовалось.
§ 3. Простые точки
В этом параграфе мы начнем более или менее детальное изучение
свойств точек неприводимого многообразия V размерности d в про-
странстве Sn, определенного над основным полем К- Здесь будут
рассматриваться точки, удовлетворяющие следующим условиям: (I)
они рациональны над К и (II) они являются простыми точками
многообразия V. В следующем параграфе полученные результаты
будут обобщены на алгебраические точки. В качестве бесконечно
удаленной гиперплоскости х0 — 0 мы возьмем любую гиперплоскость,
не проходящую через рассматриваемую точку Р, и рассмотрим Р
как точку многообразия в аффинном пространстве Ап. Так как эта
точка рациональна, то в системе координат (хр ..., хп) она имеет
координаты (оц......ап), где (1=1, ..., п) — элементы поля К.
Если (£р .... !-п) — общая точка многообразия V, а 3 —	• • •> Ц
— область целостности этого многообразия, то простым идеалом,
соответствующим точке Р, будет р = 3 • Gi— 7t......-и— аи). неза-
висимо от того, является ли точка Р простой или нет. Наша задача
состоит в том, чтобы выразить с помощью идеала р тот факт, что
точка Р проста.
§ 3. ПРОСТЫЕ точки
119
Наши исследования упростятся надлежащим выбором допустимой
системы координат в Ап. Если мы выполним преобразование коор-
динат
x't = хг — а, (1—1,..., п),
то точка Р станет „началом" новой координатной системы^ Мы пред-
положим теперь, что это сделано и что система координат является
достаточно общей для того, чтобы было выполнено следующее усло-
вие: если ($р .... у — общая точка многообразия V, то
(I) координаты Ej, ..., алгебраически независимы над К;
(П) ;d+1 является примитивным элементом поля функций
s = /C($1(.... и
многообразия V над полем K('.v	$d);
(Ш)	координаты $d+1, .... являются целыми над кольцом
к&,.... U;
(IV)	касательное подпространство к многообразию V в точке Р
определяется уравнениями вида
а
xd+i ~ 2 aijxj (1 — 1,  , n — dy,
i=i
(V)	если
/(-Vj, .... xd+l) = О
— неприводимое уравнение, связывающее элементы 5t, ..., ;d+1, то
уравнение
/(О, . . О, х) = 0
имеет простые корни.
Хотя предполагать выполнение всех этих условий необходимо не
везде, при рассмотрении простых точек обычно лучше всего с самого
начала подготовить почву таким образом.
В § 1 мы видели, что координатную систему можно выбрать до-
статочно общей для того, чтобы выполнялись условия (I) — (IV). Если
мы покажем, что можно выбрать систему координат достаточно общей
для выполнения условия (V), то отсюда будет следовать, что она
может быть выбрана и так, чтобы выполнялись условия (I) — (V)
одновременно.
Для доказательства того, что выбор системы координат может
быть сделан с выполнением условия (V), предположим, что
Р(и0....«д)=/(«у; «оо> > идо)
есть форма Кэли многообразия V. Она может быть разложена на
множители и представлена в виде
(7	п
Р (Мд, ..., wd) А (Ид, . . ., Md)HG*oo Ч” S	)>
9=1	< = 1
120
ГЛ. XVI. арифметическая теория многообразии
где g—порядок многообразия V, а	(v = 1, ...» g)
— точки, в которых V пересекает (п — й)-мерное подпространство
м»о 4“ 2 uijxj — 0 (i = 1.......d).
j=i
Если
« п
Ujo -|- 2 UijXj = 0 (f = 1, . .., d),
j=0
— любое (n— й?)-мерное подпространство, имеющее с V конечное
число точек пересечения, ни одна из которых не лежит на беско-
нечно удаленной гиперплоскости, то форма F (и0,	......ий) от
Moo, . .., иОп является формой Кэли для этого пересечения.
Рассмотрим, в частности, случай, когда ai0 = 0 (i= 1, ..., d),
a u'{j (i = 1, ..., d', j — 1...ri)— независимые неизвестные. Тогда
F (a0, u'i....Мд) является формой Кэли для пересечения V с общим
(п — й)-мерным подпространством, проходящим через точку Р. Так
как точка Р проста, то, как мы знаем, указанное пересечение должно
состоять из взятой один раз точки Р и g— 1 общих точек -rf®, . . .
.... многообразия V, сопряженных над полем ЛГ(м', ..u'd) и не
лежащих на бесконечно удаленной гиперплоскости (гл. XI, § 10,
теоремы I и III). В таком случае мы имеем
д	п
м0о> 0, ..., O) = F(«o, .......ий) — ЛаооП(аОо + 2«о»'»11''))-
v = 2	1
Следовательно, уравнение
/«/. Z, 0........0) = 0
имеет простые корни. Кроме того, если положить
--о = 5 ао&
и
—q =	(z = i,...,rf),
то уравнение
/(«у; Ъ.......Q = o
будет неприводимым уравнением, связывающим Со, .. ., (гл. X, § 6).
При специализации	это уравнение будет иметь меньше g
различных конечных корней в том и только в том случае, если эле-
менты удовлетворяют конечному числу некоторых алгебраических
соотношений. Изменяя наши обозначения и обозначая aOj- через
(7= 1............и), мы заключаем, что при достаточно общих зна-
§ 3. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
121
чениях a{j (I — 1....d -j- 1; j — 1, .... я) неприводимое уравнение
/("Пх....= О»
связывающее элементы
п
—=	({== 1,..rf-f-1),
j=i
будет таким, что уравнение
/(О, 0, .... О, х) = 0
имеет g простых корней. Следовательно, если преобразование коор-
динат
п
Xi = S anxi (j = 1 > •  • > Я)
является достаточно общим среди преобразований, оставляющих на
месте начало, то новая координатная система будет удовлетворять
условию (V).
Следует заметить, что условие (V) равносильно, тому, что если
g—порядок многообразия V (в проективном пространстве), то
(я— </)-мерное подпространство Sn-a> определяемое уравнениями
Xi = 0 (г — 1, .... d),
пересекает V ъ g точках (одной из которых является начало), ни одна
из которых не лежит на гиперплоскости х0 = 0. Если бы одна из
этих точек была кратной точкой многообразия V, то проходящее
через нее (я — </)-мерное подпространство пересекало бы V либо
в бесконечном множестве точек, либо менее чем в g точках. Следо-
вательно, g точек, в которых подпространство Sn_d пересекает много-
образие V, являются простыми. Далее, если бы подпространство Sn-a
было касательным к V в одной из этих точек, то оно пересекало бы V
также менее чем в g точках. Поэтому условие (V) состоит в том,
что (я — </)-мерное подпространство
х( = 0 (х = 1, ..., d)
пересекает многообразие V в конечном числе g простых точек и ни
в одной из этих точек не касается V.
Теорема I. Кольцо частных простой точки целозамкнуто.
Предположим, что система координат в пространстве Ап взята
достаточно общей в описанном выше смысле. Для доказательства
нашего утверждения достаточно показать, что целое замыкание кольца
3 = ^1^х> М содержится в где р —	•••> U — простой
идеал, соответствующий рассматриваемой точке (гл. XV, § 8, тео-
рема IV). Пусть С — любой элемент поля частных кольца 3> целый
над 3- Так как элементы ;d+1........... — целые над кольцом
122
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
U> т0 из теоремы II § 8 гл. XV следует, что элемент С
является целым также над .... Вд]. Но ввиду того, что
£d+1 — примитивный элемент поля функций многообразия V над полем
ЛГ($1,	из теоремы VII § 8 гл. XV следует, что
г —	+	••• + rg—lg%+l
02
где коэффициенты г0.......гд_1 лежат в ............*а],	а £>3 — ре-
зультант многочленов
t <?/(h............U-*)
где уравнение
f(xv .... xd+1) = 0
является неприводимым уравнением, связывающим . . ., $й+1. В силу
условия (V) для нашей координатной системы, отсюда следует, что
О2 =)= О (р), а значит, С С Следовательно, целое замыкание кольца 3
содержится в 3$> и поэтому кольцо Зц целозамкнуто.
Необходимо указать здесь, что кольцо частных точки может быть
целозамкнутым и в том случае, если точка не будет простой. Рас-
смотрим, например, поверхность в пространстве А3, определяемую
уравнением
Легко проверить непосредственно, что начало координат здесь не яв-
ляется простой точкой. Мы покажем, однако, что его кольцо частных
целозамкнуто, доказав, что кольцо 3 нашей поверхности целозамкнуто,
и применив теорему V § 8 гл. XV.
Точка (и, v, uP/v), где и и v — независимые неизвестные над
основным полем К, является общей точкой рассматриваемой поверх-
ности. Поэтому
з = K[U, V, а2/®],
и любой элемент из 3 имеет вид У, где — элементы поля К
и i^>0, ? + Обратно, покажем, что если О и f-|-2/^-0,
то произведение i*W£3’ Если j^>0, тот это очевидно; если же
j = — k < 0, то мы имеем
= uil'uk — ц^а4-2*/^ =	(ц2/®)^ £ 3-
Очевидно, что полем частных кольца 3 является поле К (и, v). Пусть
элемент этого поля
Г _/>(«, Р) _. />
Я V) q ’
где р = р(и, v) и q = q(u, v) — многочлены от и и v, не имеющие
общих множителей, является целым относительно 3- Тогда справед-
ливо равенство
е +	... +а„ = 0,
S 3. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
123
где аг£3> а значит, Оч = Ь<1ъ\ где Ь^К\и, Следовательно,
найдется целое число k, такое, что элемент v*', будет целым над
К[и, ©]. Отсюда вытекает, что чъг, содержится в К{и, г/] (гл. XV,
§ 8, теорема VI). Поэтому
— 2	{I 0),
где aij^K. Так как элемент г,-—целый относительно 3> то элемент
2 ау-а*^5^+^ является целым относительно кольца АГ[а£, J3fa, а2/р] =
= /С[/], где а и р— отличные от нуля элементы из К. Но, в силу
теоремы VI § 8 гл. XV, кольцо /С[Й целозамкнуто. Следовательно,
для каждого члена суммы	выполняется неравенство
I -|- 2у>- 0, и поэтому, в силу сказанного выше относительно вида
элементов из 3> ’ содержится в 3- Таким образом, кольцо 3 цело-
замкнуто.
Рассмотрим теперь некоторые свойства простой точки многообра-
зия, которые позволят характеризовать простые точки посредством
их колец частных. Ввиду того, что понятие кольца частных является
проективным понятием, полученная при этом характеристика простой
точки будет проективной. Будем предполагать, что точка Р опре-
деляется простым идеалом р=3-(?!..........>«)	и что координатная
система является достаточно общей в указанном выше смысле. Тогда
уравнения касательного подпространства в точке Р могут быть запи-
саны в виде
d
xd+i =	(/ = 1, ..:, п — d),
и поэтому среди уравнений многообразия V можно найти п — d
уравнений, имеющих вид
d
fi .......Хп) = xd+i 2 aljxj ' fi (xv • • • > xn) — 0
J=1
(i — 1, .... n — d),
где многочлены ft (xt, . . ., xn) не содержат членов ниже второй сте-
пени. Так как
Л(^.....и = о (?=1, ..., п —d),
то мы имеем
d *
'd+i “ 2 fi (’1>  • • > ’»)>
т. e.
а
5W = 2^ (Р2)	(*=1......n-d).	(1)
j=i
124
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
Если о> — любой элемент из 3> то
о) = а + 2аД +У01........U>
1
где в многочлене /*(хр .... хп) все члены имеют степени '> 2. Следо-
вательно, /*(;х..а поэтому, ввиду (1),
d
ш — e+So'A (ра)>
где а, а', ..., а'—элементы поля К, причем а = 0 тогда и только
тогда, когда о> принадлежит р.
Наоборот, предположим, что существуют d' элементов Ср .... Cd'
идеала р = 3,(£р •••> U некоторой точки Р на многообразии V,
такие, что любой элемент <о из 3 удовлетворяет соотношению
d'
ад — а + 5 a£i (р2),
1
где коэффициенты a, а. принадлежат К. Мы покажем, что d'^d и
что если d' = d, то точка Р проста. Так как элементы $г, .... 1п
содержатся в р, то
d'
\ =	(р2) (i=l......П),
J =1
где bij^K- Ранг d" матрицы (Ьф не превосходит dr. Поэтому мы
получаем п — d"~^- п-— d' линейно независимых уравнений
п
(р2).
у=1
Теперь можно построить многочлены
U1>  •	ct-x + <?’ (Хх..Х„),
3 = 1
где <р* (х , .... х ) не содержат членов, степени которых меньше 2,
обращающиеся в нуль в точке $, а значит, и на многообразии V.
Следовательно, если
А(*о.....= °	0 = 1, г)
— базис для уравнений многообразия V, то ранг матрицы
(О
§ 3. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
125
в точке Р не меньше п— d". Так как многообразие V имеет размер-
ность d, а точка Р лежит на V, то ранг этой матрицы не больше
п—d (гл. X, § 14, теорема I). Поэтому
Если d' = d, то и d" = d, и поэтому многообразие V имеет в точке Р
касательное подпространство. Но в таком случае Р является простой
точкой V.
Если р есть простой идеал некоторой точки многообразия V и
если существует система d элементов ..., r-.d из р, такая, что
любой элемент ад из J удовлетворяет соотношению
а
ад = а + 2 «Л (Ра).
1
говорят, что многообразие имеет униформизирующие параметры
в точке Р, а сами .. ., называются униформизирующими пара-
метрами в этой точке. Таким образом, справедлива
Теорема II. Для того чтобы точка Р являлась простой точ-
кой многообразия V, необходимо и достаточно, чтобы в этой
точке существовала система униформизирующих параметров.
Отметим, что если координатная система является достаточно
общей и имеет начало в точке Р, то координаты .. ., будут
униформизирующими параметрами в Р. Пусть .... r->d—любая
другая система униформизирующих параметров в точке Р. Тогда, так
как обе системы ..., id и ..., являются системами пара-
метров и поэтому лежат в р, то мы имеем соотношения
а
(р2) (l’ = I......d)
И
d
(ра) (1 = 1, ..., d),
где коэффициенты йу и by принадлежат полю К. Следовательно,
(р2)-
Если произведение матриц (6^) и не являлось бы единичной
матрицей, то отсюда следовало бы, что существует соотношение
л
= 0 (р*),
1
в котором .... ad — элементы из К, не равные нулю одновре-
менно. Если а/£ #= 0, то мы можем без ограничения общности считать
126
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
его равным единице. Если о> — любой элемент из то мы имели бы
соотношение
а	а
* = Ь + S Ь& = b + 2 (6.г - bkat) е, (рЗ).
1	1
а поэтому любой элемент из 3 был бы сравним по модулю р2 с не-
которой линейной комбинацией	tk_v lk+l, . ...Sd, что, как
мы знаем, невозможно. Следовательно, произведение (6y)(ajfc) является
единичной матрицей, а значит, (а^)— невырожденная матрица.
Обратно, если (с^)— невырожденная матрица порядка d,
а Тр ...,	— элементы из р, удовлетворяющие соотношениям
а
=	(р2),
то эти уравнения можно разрешить относительно и записать
d
<р2)-
Отсюда непосредственно следует, что элементы тг, .. ., td являются
униформизирующими параметрами. Таким образом, мы нашли, как
по одной системе униформизирующих параметров в точке Р получить
любую другую систему.
Теорема III. Если Р—-простая точка неприводимого много-
образия V размерности d, определяемая простым идеалом р об-
ласти целостности 3 многообразия V, и ...........—униформи-
зирующие параметры в точке Р, то р является изолированной
компонентой идеала t = 3 • (Ст, ..., Q. Обратно, если Р — неко-
торая точка многообразия V, определяемая простым идеалом р
кольца 3> и если существуют элементы ............из р, такие,
что р является изолированной компонентой идеала
t = 3-(q......Q).
то Р — простая точка многообразия V, а .... г,л—униформи-
зирующие параметры в этой точке.
Рассмотрим прежде всего случай, когда Р есть простая точка,
a С,, ....	— униформизирующие параметры в точке Р. Восполь-
зуемся леммой, доказанной в конце § 2 гл. XV. Пусть ад — любой
элемент из р. Мы имеем соотношение
d
ш =	(Ра)>
1
где av ...» ad— элементы поля /С Следовательно,
р = (I. р2)-
Пусть
i = [qi.....Qrl
S 3. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
127
есть представление идеала i несократимым пересечением примарных
идеалов, причем р4— радикалы идеалов q^ Так как	то
(i, р9) = ((|р р9), а значит,
p = (t, p9)S[(qv Р9). ' (qr> Р2)].
Ввиду того, что р является максимальным идеалом кольца 3> идеал
в правой части этого соотношения либо будет равен р, либо будет
единичным идеалом. Но единичным идеалом он может быть лишь
в том случае, если идеалы (q0 р’а) являются единичными идеалами
при I — 1.....г, а значит, в силу упомянутой леммы, только в том
случае, если pf не содержится в р при всех значениях i. Допустим,
что это условие выполнено. Если — элемент идеала р,, не лежащий
в р, а а{— индекс идеала qt., то произведение	принадлежит
идеалу i и не принадлежит р. Но так как !^£р, то iczp, и мы полу-
чаем противоречие. Следовательно,
P = l(qi> Р9)...(Чг. Р9)Ь
Применяя лемму еще раз, получаем, что идеал (qit р2) является
р-примарным тогда и только тогда, когда Pi с р, и равен р тогда и
только тогда, когда qf = р. Так как идеалы рх....рг различны, то
один из qz, например qp должен быть равен р, а для остальных ком-
понент идеала i идеалы (qp р2) должны быть единичными, т. е. q^
не должны содержаться в р. Следовательно,
i=[p> qa, • • •. qj.
т. е. р является изолированной компонентой идеала t.
Можно заметить попутно, что в случае, когда основное поле Л
алгебраически замкнуто, различные компоненты идеала
3 • &.....U
определяют g точек, в которых подпространство Sn_d, определяемое
уравнениями = ... = xd — 0, пересекает многообразие V. Ввиду
ограничения (5), наложенного на нашу координатную систему, все эти
точки являются простыми точками многообразия V, а элементы
;х, ..., £d являются униформизирующими параметрами в каждой из
них. Отсюда мы заключаем, что в этом случае r — g, а идеалы
q2..... q0 просты и определяют остальные g— 1 точек пересече-
ния Sn_d и V.
Возвращаясь к доказательству теоремы, допустим теперь, что
идеал р является изолированной компонентой идеала I = 3 • Сч.'-а)<
т. е.
i = [P, qa..........q,b
128
ГЛ. XVt. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Если ад— любой элемент из-3> то мы имеем
п
<0 = а + 2 ai'i Ч~ члены высшего порядка,
1
где a, at.....ап — элементы К. Так как £ р (I = 1, . . ., п), то
(<о — а) £р. Следовательно, для каждого элемента ш из 3 суще-
ствует такой элемент а из К, для которого
ш = а (р).
Элемент а равен нулю тогда и только тогда, когда ш £ р.
Так как идеал р является изолированной компонентой идеала t,
то в 3 найдется элемент а, лежащий в [qa......qj, но не лежащий
в р. Пусть со — любой элемент из 3> причем
ш = а (р).
Тогда а(ш — а) лежит в р и в [qa, ..., qr], а значит, и в t. Поэтому
в 3 найдутся элементы ар ..., ad, такие, что
d
а (о> — а) = 2 “А-
1
Положим
а —с (р)
и
'Ji — Ci (Р) (i=l.......d),
где с, ср .... cd — элементы поля К. Так как а не лежит в р, то с
отличен от нуля. Если а4 = с4/с, то мы заключаем, что
d
ш = а + 2аЛ« (Ра)>
1
а значит, элементы Cj......являются униформизирующими пара-
метрами точки Р. Поэтому точка Р является простой.
В случае, когда элементы .........r,d являются униформизирую-
щими параметрами в простой точке Р, перейдем теперь к кольцу
частных 3> этой точки. Если i = 3 ' Gi> •••> £<j)> то мы имеем
t = (Р. Фз....qj.
где идеалы q4 не содержатся в р. Следовательно (гл. XV, § 5, тео-
рема IX),
3» • I = 3» • Р-
т. е. идеалом, состоящим из элементов кольца 3*» не являющихся
делителями единицы, служит идеал 3<> • (--i...^)-
Обратно, пусть кольцо частных 3t> некоторой точки многообра-
зия V имеет то свойство, что его (единственный) максимальный идеал
8 3. ПРобТЫЁ ТОЧКИ
129
имеет базис, состоящий из d элементов <ot, . .., ша. Мы можем
написать
где %......— элементы J, причем не содержится ври поэтому
является делителем единицы кольца Зр- Отсюда следует, что эле-
менты	составляют базис максимального идеала кольца Зр-
Этим идеалом будет
So • Р = 3» • Gi, •••> Q-
Допустим, что
t = 3•(--!. •••> ’d) = [<ь •••• qJ-
В силу равенства
Зр • Р = Зр • t
из теоремы IX § 5 гл. XV вытекает, что один из идеалов q^ ска-
жем qt, равен р, а при I > 1
q<#=0 (Р)-
Следовательно, р является изолированной компонентой идеала t. По-
этому, в силу теоремы III, точка Р является простой точкой много-
образия V, а элементы . . ., ^ — униформизирующими параметрами
многообразия V в точке Р. Таким образом, доказана
Теорема IV. Для того чтобы точка Р многообразия V была
простой точкой, необходимо и достаточно, чтобы максимальный
идеал ее кольца частных обладал базисом, состоящим из d эле-
ментов (d—размерность V). Если \..........— базис указанного
идеала, состоящий из элементов кольца 3, то элементы ... ,r,d
являются униформизирующими параметрами в точке Р.
Можно отметить еще, что если Р — любая рациональная точка
многообразия V, а .....— базис максимального идеала ее кольца
частных, то d'^d. Действительно, если
ЗгР = Зг(^.......^),
то мы можем, как и выше, предполагать, что .... Сд- являются
элементами В таком случае р будет изолированной компонентой
идеала 3 • Gi.... Вторая часть доказательства теоремы III
показывает, что если ад — любой элемент из 3> то
в'
о> = а + 2 «А (Р2)>
1
а значит, как мы уже видели, должно быть d'^d.
Следующий результат, который мы сейчас докажем, поясняет
термин „униформизирующие параметры". Рассмотрим Простую точку Р
неприводимого многообразия V размерности d\ как обычно, будем
пользоваться достаточно обшей координатной системой с началом
9 Зак 1831. В. Ходж и Д. Пидо
130
f.n. xvi. Арифметическая теория многообразий
в точке Р. Пусть .......... —неоднородные координаты обшей
точки многообразия V.
Теорема V. Пусть Р—простая точка многообразия V, опреде-
ляемая простым идеалом р области целостности 3 =	....М>
и пусть	— базис максимального идеала кольца Зг-
Для произвольно заданного элемента <о из Зр существует однозначно
определенная последовательность %,	<р.2, ..общий член ко-
торой является однородным многочленом степени т относительно
......с коэффициентами из К, такая, что
Ш— 2	• V)”4 при т=1,2,...
О
Кроме того, отображение
0)->4'o+4i + 4a + • • ‘
элементов кольца 3t> 8 кольцо _ формальных степенных рядов
.........от неизвестных ............. (.й является изоморфным
отображением 3t> на подкольцо кольца /CfCj, Cd}.
Мы начнем с доказательства первой части теоремы в случае, когда:
(О с1=е1 a=i..... ау,
(II)	о) содержится в 3-
В этом случае в формулировке теоремы мы заменим идеал 3t> • р
на р.
Существование константы 60 и ее единственность уже были дока-
заны. Существование 4ч также было доказано. Доказательство же
единственности является легким упражнением.
Предположим справедливость теоремы при т — 1 и докажем, что
ее утверждение остается верным для т. Допустим, что существуют
однозначно определенные многочлены <|>0, ..., такие, что
‘° = % + ’?1+ • • • + 4Ч-1	Q>9	(i= 1. • • т).
Построим теперь и докажем его единственность. Так как
ш —1
“ — 2 4ч — 0 (Рт)>
о
то существуют элементы из 3> в которых ip .... in прини-
мают любые неотрицательные значения, подчиненные условию
G + ...+/„ = «
И такие, что
т-1
ш 2 4ч — 2 “ij...
£ з. простые точки
131
В силу уже доказанного утверждения теоремы при т = 0, мы знаем,
что существуют такие элементы	из К, что
О*
Следовательно,
ш-S	(p’”+1).	(2)
ибо £р. Кроме того, существуют такие константы что
а
(Ра) (/ = 1, .... n-d).
J=i
Подставляя правые части в (2), мы получаем соотношение
ш-1
<» - 2 Ф«=2 V • • <а$...	(pm+1),
в котором Ь^... ^ — элементы из К, а суммирование производится
по неотрицательным значениям iv .. id, для которых
г'1+ • • • + = т-
Если положить
то ясно, что
® = фо + Ф1Ч-----+ Фя» (Рто+1)-
Остается теперь доказать единственность фт. Предположим, что
существует другой однородный многочлен степени т, такой, что
<° = Фо + • • • + Фя»-1 + 'Ь» (р’"+1)-
Тогда разность /($1, ..., ?й) =	является однородным много-
членом степени т от .... принадлежащим идеалу pm+1.
Пусть 3-^1........ &<j) = i = Ip> qa... qrb Мы видели, что
в действительности идеалы qa........ qr являются простыми идеа-
лами нульмерных многообразий, отличных от точки Р, в которых
(п— (Т)-мерное подпространство
=...== xd = О
пересекает многообразие V. Отсюда следует, что все они будут
максимальными идеалами кольца 3- Поэтому идеалы (q^ q2) и (р, qj)
являются единичными, а значит, i = р q,2 ... qr (гл. XV, § 1, тео-
рема IV, следствие I). В таком случае
xCt.....
9*
132 гл. xvt. Арифметическая теория многообразий
Но, по предположению, у £ pm+1. Следовательно, у £ р"‘+*q. q’“=pi"‘.
Поэтому
Где суммирование производится по всем значениям it......id, сумма
которых равна т, и у	Так как элементы !jd+1, . ..,	—
целые над кольцом ..........$dj, то и все элементы из 3 являются
целыми над этим кольцом, и поэтому должны быть целыми
над К[?х.....£d]. Эти элементы принадлежат некоторому алгебраи-
ческому расширению поля . .., ?d), и их сопряженные элементы
....
(над указанным полем) также являются целыми над кольцом TCiSp ...,5J.
д
Поэтому выражение Ф = 112	^i1 • • • будет многочленом
•>=1	1 d
степени mg относительно .. ., коэффициенты которого являются
целыми относительно АД?!, . .., Но эти коэффициенты являются
симметрическими функциями от корней алгебраического уравнения
над полем K($v .... ?d), имеющим характеристику нуль. Поэтому
они лежат в этом поле. Кроме того, кольцо ..., ;d] целозам-
кнуто в поле .........;d), так как элементы ..., алгебраи-
чески независимы над К (гл. XV, § 8, теорема VI). Поэтому Ф будет
многочленом степени mg от ........имеющим коэффициенты из
/<[$!, ..., SdJ. Более того, эти коэффициенты принадлежат идеалу i,
так как =0 (р). Поэтому Ф является многочленом от ...,
не содержащим членов со степенями, меньшими mg -|- 1. Но так как
.....
то мы имеем, беря сопряженные над полем .... :d),
.....................................и	g).
а значит,
ф = 1х(«1. •••» W1<
Так как /(^........ ?d) имеет точно степень т, а Ф — многочлен
от ..., не содержащий членов меньшей степени, чем /ng-j-l,
написанное выше соотношение может быть тождеством лишь в случае,
если Ф и у оба равны нулю. Но элементы .... Kd алгебраически
независимы над К. Поэтому у^, •••>	Этим доказана един-
ственность многочлена
Пусть теперь в> и v — два элемента из 3> и пусть %,	...
и То» ?1> • • • — последовательности, полученные описанным выше
§ 3. ПРОСТЫЕ точки
133
способом для этих элементов. В таком случае из соотношений
® = 4о + 4*1 + • •  + Ът-1 0рт)
и
^ = 'Po + ?i+• • •	Ф’”)
следует, что
® 4" v — ('?0 + ?о) 4" (4*1 4" ?1) 4" • • • 4" (4ш-1 4" ?та-1) ()>”*)•
Так как каждый многочлен 414“'?* однороден и имеет степень I отно-
сительно .......$d,	то последовательность 4о4“?о> 414“'Рр ••• соот-
ветствует элементу ei-f-i. Далее,
= 4о?0 4- (4о?1 4" 41?о) 4- • • • 4" 4m - I'Pm -1 (Р”‘)-
Каждое произведение 6^ является однородным многочленом сте-
пени i-\-J от jjj....и потому лежит в рт при	По-
этому, если мы положим
f,i = 4o?i 4- 'l'l'Pi-1 4" • • • 4" 4/Ро>
то будем иметь
шу==604-614--• • 4-°m-i
Но так как 0z есть однородный многочлен степени I от $р ..., Ed,
то последовательность 90, 0р ... будет последовательностью, соот-
ветствующей элементу «iv.
Обозначим через ...............кольцо всех формальных степен-
ных рядов от	$d. Поставим в соответствие каждому эле-
менту о> из элемент
® = 4о 4-414- • • •
из К {$Р .... в котором последовательность %, 'Д, • • • получается
из ш, как указано выше. Только что установленный результат озна-
чает, что если элементы ш и v отображаются указанным способом
на <о и », то ш-рч и div отображаются на и ®v- Отсюда выте-
кает, что' построенное отображение является гомоморфизмом. Оно
будет изоморфизмом в том и только в том случае, если единствен-
ным элементом из отображающимся на нуль, будет о> — 0. Но
если ш отображается на нуль, то последовательность %, >Д, ... должна
состоять только из нулей. Следовательно,
01 = 0 (рт) (>и = 1, 2, ...).
Но, в силу теоремы X § 2 гл. XV, единственным элементом, при-
надлежащим всем идеалам р, ра, .... является нуль. Поэтому oi ото-
бражается на нуль кольца К {?р . . ., лишь в том случае, если oi = О,
а значит, наше отображение является изоморфизмом. Образы элемен-
тов из 3 составляют некоторое подкольцо R кольца ЛД^...........
изоморфное 3-
Элементы кольца	$d}, не содержащие свободного члена,
как легко проверить, образуют простой идеал П этого кольца. Пд-
134
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
этому пересечение л = R |~| И является простым идеалом кольца R
(гл. XV, § 4, теорема Ш). Элемент ад из 3 отображается на элемент
идеала л тогда и только тогда, когда
ш = 0 (р).
Поэтому л является образом идеала р при изоморфизме колец 3
и R. Поэтому кольцо 3d изоморфно кольцу Rn- Но, в силу элемен-
тарного свойства формальных степенных рядов, элемент ш из
А7{«i,.... $d}, не принадлежащий П, имеет в кольце /С{$(,...,
обратный элемент. Поэтому кольцо Rn будет подкольцом R* кольца
#(’!» • • • > содержащим R, так что существует изоморфное ото-
бражение кольца Зр на некоторое подкольцо R* кольца ., Ц.
Если ад — любой элемент из Зр> а
Ш   (Oq —||— . . .
1»—1
— его образ в R*, то разность <о— S отображается на степенной
о
ряд + “от+| + • • • > содержащийся в П'“. Но так как эта разность
содержится в R*, то она содержится также в
R* п П" = (R* П П)’п = (R„ • л)”‘.
Следовательно,
Ж —1
о
Таким образом, последовательность <о0, <ut>... будет соответство-
вать элементу о> в смысле, указанном в формулировке нашей тео-
ремы. Единственность этой последовательности является непосред-
ственным следствием единственности последовательности, соответствую-
щей произвольному элементу из 3-
Пусть, наконец, .... г-.л— любой базис максимального идеала
кольца 3d- Тогда, как мы видели, можно написать
r-i = 'Gi/'Go-
где т]0,. . ., т>с1— элементы из 3> причем т]о#=0 (р) и тц rld—
униформизирующие параметры в точке Р. Поэтому, в силу уже до-
казанного свойства униформизирующих параметров, мы имеем
а
Vi = S (Р2) (z — 1............d)>
J=1
где определитель |Су|=£0. Если с=£0— элемент из К, удовлетво-
ряющий условию 7]0 = с (р), и если положить а^ = с^/с, то мы
будем иметь
<♦
((Згр)3).
$
S 3. ПРОСТЫЕ ТОЧКИ
135
Отсюда вытекает, что если элементы отображаются на ряды
'?<о + '^<14~ • • •	(3)
из R*, то ^i0 = О (7 = 1,.. ., d) и
d
=	(« = i,..d),
где |а,у|=^0. Поэтому ряды (3) могут быть обращены, так что эле-
менты Ef выражаются степенными рядами от ЕР..., Cd. Тем самым
мы получаем изоморфное отображение кольца R* на подкольцо S*
кольца ........Edp Отсюда легко следует, что таким путем мы
получаем изоморфное отображение кольца Зр на кольцо S*, обладаю-
щее всеми требуемыми свойствами. Доказательство теоремы V закон-
чено.
Другая полезная характеристика простой точки с помощью опре-
деляющего ее идеала р из 3 дается следующей теоремой:
Теорема VI. Если Р—рациональная точка многообразия V,
определяемая простым идеалом р, то точка Р проста в том и
только в том случае, когда р/р9 является К-модулем, имеющим
базис из d элементов (здесь d — размерность многообразия V).
Предположим сначала, что точка Р проста. Примем Ер. .., Ed
за униформизирующие параметры в этой точке. Если ш — любой эле-
мент из р, то мы имеем
а
(ра)>
1
где av..., ad— элементы из К- Рассмотрим теперь отображение
кольца 3 на 3/1>'2- Если элементы <о, ЕР.. ., Ед отображаются на оз,
Е<,. . ., Ея, то мы имеем
1
т. е. элементы Ёр..., Ed составляют К-базис модуля р/р2.
Предположим, наоборот, что ^-.d есть /(-базис модуля р/р9.
Обозначим через Ер . .., элементы кольца 3> отображающиеся на
элементы ......Если <о —любой элемент из 3> то найдется такой
элемент а из К, для которого (<и— а)^р. Пусть элемент из р/р9,
d
соответствующий разности <о — а, имеет вид 2 Тогда
1
“ = а +	+ • • • + а-а-а (ра).
и поэтому элементы .......r,d являются униформизирующими пара-
метрами в точке Р. Следовательно, Р есть простая уочка,
136
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
Мы уже видели выше, что ни для одной точки Р, простой или
нет, нельзя найти систему из d' элементов .....(d' < d),' такую,
что любой элемент в> из 3 удовлетворяет некоторому соотношению
® = а +	(ра).
1
Отсюда следует, что модуль р/ра никогда не может иметь /(-базис,
состоящий менее чем из d элементов.
§ 4. Неприводимые подмногообразия многообразия Vd
Исследование, проведенное в предыдущем параграфе, относится
только к простым рациональным точкам многообразия V, т. е. к точ-
кам, неоднородные координаты которых лежат в основном поле К.
Если поле К алгебраически замкнуто, то этот случай включает в себя
и алгебраические точки V и достаточен для большинства приложе-
ний. Однако, если мы рассматриваем подмногообразия многообра-
зия V, имеющие размерность, большую нуля, то оказывается естест-
венным выводить свойства простых неприводимых многообразий
размерности s на многообразии V из свойств неприводимых под-
многообразий размерности нуль на некотором новом многообразии Vt,
определенном над основным полем /Ср которое может не быть алге-
браически замкнутым даже в том случае, когда первоначальное
основное поле /С алгебраически замкнуто. Это создает необходимость
рассмотрения неприводимых подмногообразий размерности нуль на
многообразии V, определенном над алгебраически незамкнутым основ-
ным полем. Мы начнем с обобщения результатов § 3 на многообра-
зия размерности нуль, представляющие собой не просто точки, а си-
стемы точек, сопряженных над основным полем.
Рассмотрим снова многообразие V размерности d в аффинном
пространстве Ап, неприводимое над основным полем К. Как и в § 3,
оказывается удобным предполагать при нашем исследовании, что
система координат в пространстве является „достаточно общей".
Читатель уже достаточно привык теперь к этому термину, и мы
будем в большинстве случаев оставлять ему проверку возможности
такого выбора координатной системы, чтобы имели место нужные
свойства достаточно общей системы координат.
Если многообразие V не является абсолютно неприводимым над К,
то существует алгебраическое расширение К* поля К, над которым V
распадается на конечное число абсолютно неприводимых многообра-
зий, имеющих каждое размерность of:
у — И1'-j-..,-j-У(Ю
(гл. X, § 11, теорема П). Алгебраическое расширение К* поля К,
дбдадаюшее указанным свойством, будет называться полем разло-
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
137
жения многообразия V. Легко видеть, что точка Р многообразия V
является простой точкой V тогда и только тогда, когда она лежит
лишь на одной компоненте многообразия V и является простой
точкой этой компоненты. Докажем это для проективного простран-
ства. Для аффинного пространства это будет следовать отсюда непо-
средственно. Напомним (гл. XI, § 10, теоремы II и IV), что точка Р
является простой точкой на V тогда и только тогда, когда общее
(ге — й)-мерное подпространство, проходящее через Р, имеет в этой
точке простое пересечение с V. Если Р(и0,..., мй) — форма Кэли
многообразия Vd, неприводимая над К, и если
п
2^Л' = °	(1=1,..., <Г)
,; = 0
— общее (п— с?)-мерное подпространство, проходящее через точку
Р(х',.... х^), то точка Р будет простой тогда и только тогда,
когда сумма	является простым множителем выражения
F(ua,	vd), рассматриваемого как форма от и№1....... и0„.
Если /С — поле разложения многообразия Vk, то над Л* мы имеем
к
F(uQ,..., ud) = П Pi (“о,   ,
4 = 1
где F*(uu,.... ud)— (неприводимые) формы Кэли многообразий Vм*.
Отсюда следует, что сумма ^и рс* является простым множителем
выражения F (ий,	vd) тогда и только тогда, когда она будет
множителем только одного из выражений Ff (и0, Vi,..., vd) и при-
том множителем простым. Отсюда нужный результат следует непо-
средственно.
В этом параграфе важно знать, является ли подмногообразие U
многообразия V состоящим целиком из точек, лежащих более чем
на одной абсолютно неприводимой компоненте многообразия V. Тео-
рема I дает ответ на этот вопрос в наиболее удобной форме. В под-
ходящей координатной системе пространства А„ мы рассматриваем
общую точку (;(.......;и)	многообразия V и полагаем, как обычно,
3 = ЛГ[п, . ., Вп]. В таком случае многообразие V абсолютно непри-
водимо тогда и только тогда, когда все элементы поля функций
/С(ВР..., Вп) многообразия V, алгебраические над АГ, лежат в К
(гл. X, § 11, теорема IV). Если V не является абсолютно неприво-
димым, то элементы поля /С($(>. . ., ?п), алгебраические над К, обра-
зуют конечное алгебраическое расширение поля К, называемое алге-
браическим замыканием этого поля в /C($t.......;rt).
Теорема I. Пусть U—неприводимое подмногообразие много-
образия V. (I) Если алгебраическое замыкание К' поля К в поле
/С($р..., ;„) содержится в кольце частных Q(U) многообразия U,
то U содержит только точки, лежащие лишь на одной абсолютно
138
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
неприводимой, компоненте многообразия V. (II) Если подмного-
образие U просто на V, то К' с Q (U).
(I) Пусть а — примитивный элемент поля К’ над К. Так как
К'	то мы можем записать а — а($)//>($), где а(х) и Ь(х)—
многочлены над К, причем Ь(х) не обращается в нуль на U. Так как
а (0 — »/>($) = 0,
то отсюда следует, что а(х) — ab(x) = 0 на одной из компонент V*
многообразия V над полем К*, являющимся полем разложения много-
образия V и нормальным расширением К, содержащим К'. При этом
а(х)— ab(x)=£Q на V. Пусть теперь a,,..., afc— элементы поля К*,
сопряженные с и. Тогда (гл. X, § 11) многообразие V имеет k
абсолютно неприводимых компонент	Vk, причем на любой из
них обращается в нуль одна из форм g{ (х) — а (х) — a fi (х) и каждая
из форм gj(x) обращается в нуль на некотором Vj. Предположим,
что gi(x) обращается в нуль более чем на одной компоненте. Тогда
на некоторой компоненте Vj обращаются в нуль две формы gp(x)
и gg(x). Поскольку ap=£aq, отсюда следует, что Ь(х) обращается
в нуль на Vj. Но так как Z>(x)£/C[xt,. . ., х„] и dim Vj = dim V,
то b(x) обращается в нуль на V, а значит, и на U. Так как полу-
ченный вывод противоречит предположению, то каждая из форм £,(х)
обращается в нуль в точности на одной компоненте Vj многообразия V.
Так как 6(х) не обращается в нуль на U, можно найти такую
точку х' многообразия U, чтобы было Ь(х')^=0. Предположим, что
эта точка лежит на двух компонентах Vf и Vj. Тогда
gi(x') = 0, gj(x') = 0,
а поэтому 6(х') = 0, так как a^aj. Из полученного противоречия
следует, что х' может лежать лишь на одной абсолютно неприво-
димой компоненте многообразия V. Первая часть теоремы доказана.
(II) Пусть подмногообразие U имеет размерность s. Так как U
является простым подмногообразием V, то точки из U, являющиеся
кратными точками многообразия V, образуют подмногообразие много-
образия (7, имеющее размерность s' < s. Это подмногообразие содержит
все точки многообразия U, лежащие более чем на одной абсолютно
неприводимой компоненте многообразия V. Поэтому достаточно общее
(п — в)-мерное подпространство пространства Ап пересекает U в ко-
нечном числе алгебраических точек, являющихся простыми точками
многообразия V. Следовательно, U должно содержать систему со-
пряженных точек х(1), .... х(г), являющихся простыми точками V
(а значит, каждая из них лежит лишь на одной абсолютно неприводи-
мой компоненте многообразия V). Пусть Uo — многообразие над по-
лем К, образованное точками х^,..., х(Ч и пусть i C^($j.....?„)—
примитивный элемент поля К' над К, а ар. . ., ак— его сопряженные
над К. В таком случае существуют такие многочлены /0 (х),. . ., Д (х),
что многочлен
/о (х) ~Ь/1 (х) Н-• • • А-i Qc)
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
139
обращается в нуль на абсолютно неприводимой компоненте Vit но не
обращается в нуль ни в одной из точек х^>, не лежащих на V}.
Предположим, что точка х(1> лежит на Vt. Тогда уравнения
/о (х(1)) + А (*w) z +... +	(xU>)	= О,
П(г —«i) = 0
i=l
имеют общий простой корень <xt, который может быть вычислен
с помощью алгоритма деления. Отсюда следует, что элемент
............’п) имеет при *->х(1) однозначно определенную спе-
циализацию. Так как точка х(1> проста, то ее кольцо частных цело-
замкнуто. Отсюда, в силу результата, который будет доказан позже
(гл. XVIII, § 1, теорема VII, следствие), вытекает, что a £Q(x<4).
Так как х<б является общей точкой многообразия Uo над полем К,
то отсюда следует, что а £ Q(Uq) Q(t/). Поэтому
Заметим попутно, что в (II) достаточно предполагать только,
что U содержит подмногообразие, определенное над некоторым рас-
ширением поля К, лежащее на одной компоненте многообразия V и
такое, что его кольцо частных целозамкнуто. При этих условиях при-
меним предыдущий метод получения соотношения K'cQ(U). Однако
и при таком обобщении полученный результат остается неполным,
а теорема I дает все, что нам потребуется.
Рассмотрим теперь некоторые соотношения, относящиеся к мак-
симальным идеалам области целостности 3 —	.... £„] многооб-
разия V. Пусть р — максимальный идеал из 3- Он необходимо
прост, так как 3 — область целостности, р является идеалом не-
приводимого подмногообразия U размерности нуль, лежащего на V.
Поэтому U состоит из точек х(1)...х(г), сопряженных над полем К.
Рассмотрим нормальное расширение К* поля К, являющееся полем
разложения многообразия V и содержащее неоднородные координаты
точек х(<). Кольцо 3* = Л*[$Р . . ., $„] является областью целостности
(над полем К*) одной из абсолютно неприводимых компонент V*
многообразия V (гл. X, § 12). На многообразии U имеются точки,
лежащие на любой компоненте многообразия V. Можно считать, что
точки xw перенумерованы так, что х(1).......x(ft) лежат на V*,
a х(*+1).... х(г) не лежат на V*. Пусть р*—простые идеалы
точек х(<) в кольце 3* G = L •••> А)- 3* является расширением 3-
Следовательно, любой идеал кольца 3 определяет идеал расширения
в 3*- Докажем следующую теорему:
Теорема II. Имеет место соотношение
з*-р=)>:.
Пусть
/{(х) = 0 (C = l,..., s),
140
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
— базис уравнений многообразия U в Ап. Тогда элементы /, (?)
(I = 1, s) составляют базис идеала р в кольце 3- Эти же эле-
менты из 3 образуют базис идеала 3* • Р кольца 3*- Следовательно,
многообразие на V*, определяемое идеалом 3* • Р> является пересече-
нием V* и многообразия, определяемого уравнениями
/4(Х) = О (i=l,
Отсюда вытекает, что это многообразие состоит из точек х(1), ...
..., х(к\ Следовательно,
Г • Р = ........qjl.
где идеалы q* р*-примарны. Так как р^ является максимальным иде-
алом кольца 3* и так как все идеалы р*, р* различны, то при
i Ф j будет (q*, q’:) = !J*> а значит,
iQi» • •  > Qftl ~	•
Пусть теперь f*(xt, ..., xn)— любой многочлен над К*, такой,
что ............. Q€P*	0 = 1, •••> *)• Тогда f(xv ..., хп) обра-
щается в нуль в точках х(1), ..., хда. Мы можем найти многочлен
g*(xv .... хп), обращающийся в нуль в точках x(fc+1).......х(г), но
не обращающийся в нуль в хх\ ..., х'к\ Тогда произведение /*(х) X
Xg*C*0 обращается в нуль в точках х(1).......х(г).	Пусть 6 — при-
митивный элемент поля К* над К, a = 6, 02, ....	— сопряжен-
ные с ним элементы. Можно написать
г (х) g* (х) = Ло (х) 4- л, (х) е 4-... 4- ht^ (х) о*-*,
где АДх)— многочлены из К[хг, ..., хп]. Рассмотрим автоморфизм
поля К* над К, переводящий 0 в 0,. Он переводит систему точек
хг,)....хм в ту же систему, лишь меняя порядок точек. Следо-
вательно, выражение
Ло (х) 4" (х)	• • • +	(х)
обращается в нуль в точках ха), ..., х(Ч Это имеет место при
i = 1, ..., t. Так как определитель	отличен от нуля, мы за-
ключаем отсюда, что АДх) = 0 в точках х(1)	x*’J при г = 1,.. ., t.
Следовательно, АД?)£р, и поэтому
W© = 0	([q*, q* ..., q*J).
Но мы перенумеровали точки так, что g*(S) ф 0 (р*) (i = 1......А).
Отсюда вытекает, что
Гф = 0 ([qj........q*])
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
141
(гл. XV, § 2, теорема I, следствие I). Однако /*($)— любой элемент
идеала [р*. .... р*]. Поэтому
№......Рр с 1С <С1-
Отсюда следует, что q* = pl' (i = 1, ..., k), так что
з--р=р: ... Р^.
Пусть теперь Ct*— область целостности, составленная из элемен-
тов поля К* , $п), могущих быть записанными в виде а*/[3,
где а* — элемент 3*> a (3 принадлежит 3> н0 не принадлежит р.
Тогда Ci* есть расширение 3> Следовательно, любой идеал г из 3
определяет соответствующий ему идеал расширения Ct* • i в Ct*.
Имеет место
Теорема III. Справедливо соотношение
=	0 Л ЛС&’О,
где — кольцо частных идеала р* кольца 3*.
Любой элемент идеала Ct* • i можно записать в виде а*(О/Р(О>
где а*(х)£/Г[хр . .., хп], р(х)£ЛГ[хх...хп], причем а*($) со-
держится в 3* • i> a Р (О не содержится в р. Следовательно, (3 (х) не
обращается в нуль на U, а потому не обращается в нуль ни в одной
из точек х(1), ..., х(Ч Поэтому (3 (с) =f= 0 (ph) (А = 1, ..., А),
так что а* ($)/(3 (?) принадлежит Зр* • i (А = 1. К).	Поэтому
Cf.tsOrf.i) Л ... Л (SJri).	(1)
Теперь мы можем найти элемент о>д из р*. не содержащийся ни
в одном р* при j h. Положим
Тогда
= ° (Рр ('=#*)
и
v;-A*h^o (р*л),
где Ah — некоторый элемент из К*. Положим ль = (Аь) Чь- Тогда
л! = 5.. (р*),
где бы- символ Кронекера. Пусть 5* — любой элемент, принадлежа-
щий всем k идеалам 3$ • i (А = 1.....А).	Тогда можно написать
142	ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
‘где а*£3*. i и о (р*). Поэтому
«•=(S W/(S «)=«•/?.
где «ЧУ-i "	<Й>	(*=<.....*>• Идеал 3‘ ()>. f)
кольца 3* определяет пустое многообразие на V*, так как опреде-
ляемое им многообразие является пересечением многообразия, опре-
деляемого идеалом 3* • т- е. системы точек х(1).хк\ и мно-
гообразия, определяемого элементом [Г, где (5* =/= 0 (р*) при любом
значении h. Следовательно, идеал 3* • (р> Р*) должен быть единичным
идеалом кольца 3** Отсюда вытекает, что должны существовать
элемент -rf из 3* • Р и элемент s* из 3*> для которых
71Ч-е*р*=1.
Так как элемент принадлежит 3* • р> то он может быть записан
в виде
»Г=2 ^){>
г = 0
где 0 — примитивный элемент поля К* над К, a 7i0, .... при-
надлежат р. Если = О, 02, ..., 0t — сопряженные с 0 элементы
над полем К, то все они принадлежат К*, так как К* есть нормаль-
ное расширение. Поэтому, если
$ = S V*-
то все ..., т]® принадлежат 3* • р 11
П(1 - = 1 -н,
3 = 1	3
где принадлежит р. Мы имеем теперь
'•«‘IIO-’lJ)
е* _	2	_ 1
t	~~' 1-+-С ’
(I —П*)П<1 —
где 7*СЗ*‘Г и 1~J~C принадлежит 3. но не принадлежит р. Следо-
вательно, ;* принадлежит идеалу Q* • i. Поэтому
(&•<) П ... П (ЗрГ i)SCi’• i.
Сопоставляя это с соотношением (1), получаем утверждение тео-
ремы III.
£ 4. йёпривоДиМыё подМногбоврАзйя	ЦЗ
Следствие I. Если i — единичный идеал, то он содержит
единицу кольца 3*- Следовательно,
&•♦«=&•. з;и=*ф
и поэтому
= з»! п ... П 3$-
Следствие II. Если i = p, то
$4 • Р “3& • №*>  >	= (теорема II)
= 3тр РЙ (гл. XV, § 5, теорема II).
Следовательно, идеал Cl • р является пересечением максимальных
идеалов колец частных 3*й-
Для перехода к новой теореме нам понадобится
Лемма. Если i* — идеал кольца^*, содержащий делитель еди-
ницы кольца Зрй при любом значении h, то i* является единичным
идеалом.
Пусть а*/{3*— делитель единицы кольца Зф лежащий в i*. Здесь
«й и — элементы 3\ не лежащие в р*. Так как а®/р^ лежит в Cl*,
мы можем написать
* •
ч ’
где Yj —элемент из 3*> а &Й содержится в $ и не содержится в р.
Тогда 8Й не содержится в р* при любом значении J. Покажем,
что 7* не принадлежит р’л Мы имеем
= К ч*
п Л 'П'П
Следовательно, если 7^ принадлежит указанному идеалу, то
принадлежит р*. Так как идеал р* прост, то отсюда вытекает, что Ь}1
или а* принадлежит р^. Поскольку это не так, 7* не принад-
лежит р*. Рассмотрим элементы Е*£=7*/8Л, лежащие в С и являю-
щиеся делителями единицы соответственно в кольцах 3^ (Л = 1, ...
..., А). Эти элементы можно привести к общему знаменателю
8 == 8Х ... 8Л и записать
144
Гл. xvi. Арифметическая теорий Многообразий
где s® не содержится в р*. Если А*, . . л* — элементы, определен-
ные в доказательстве теоремы III, то элемент =
— (2 А*е*)/о принадлежит i* и
=	(р*)	(Л=1......./г).
Следовательно, (Г)-1 принадлежит Зя ПРИ всех значениях h и
поэтому содержится в Q*. Поэтому i* содержит единицу кольца Q*,
а значит, идеал i* является единичным.
Теорема IV. Кольцо Ci* имеет k максимальных идеалов,
именно
«ii=Зя п ••• n Зя_х п (Зя • »>1) п Зя+1 п ... п Зя (Л =1....*)•
Ясно, что каждый идеал л*, определенный в формулировке тео-
ремы, является собственным идеалом кольца Q*. Но он является
максимальным идеалом, так как любой более широкий идеал должен
содержать делитель единицы из каждого кольца Зя и поэтому, в силу
предыдущей леммы, должен быть единичным идеалом кольца Q.*.
С другой стороны, любой собственный идеал л* кольца Q* должен
быть таким, что его элементы все не будут делителями единицы
некоторого кольца Зя- Поэтому при некотором значении h будет
л* с л*. Если идеал я* максимален, то отсюда вытекает, что
я* = я*. Следовательно, идеалы я*....я* исчерпывают все макси-
мальные идеалы кольца ОЛ То, что все эти идеалы различны, не-
посредственно вытекает из следующей теоремы:
Теорема V. Кольцо частных совпадает с кольцом Зя«
Заметим прежде всего, что
3* П < = (3* П Зя) П • • • П (3* П Зя • п ... П (3* П Зя) = ₽V
Мы имеем также
так что
Зя-
С другой стороны, если а*/р*— элемент из Зя> где а* и р* принад-
лежат 3*, а р* не лежит в р£, то элемент р* не принадлежит и я^,
так как в противном случае он принадлежал бы идеалу 3* П =
= р*(. Следовательно, а*/р* £ т. е.
ЗЯ 5&Я-
Нужный результат теперь очевиден.
S 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
145
Теорема VI. Если алгебраическое замыкание К' поля К в поле
/С(51( •••> £«) лежит. в% и если I —любой идеал из то
3» Г1 (Q-* • 0 = 3» • ь
Пусть а — примитивный элемент поля К' над К, а 0 —примитив-
ный элемент поля К* над К'. Тогда любой элемент т; из Ct* • t имеет
вид 2 где 'fiu € 3$> • i-
i, 3
Допустим, что т] принадлежит также 3f> и выберем элемент (3
(3^=0) из 3 так, чтобы элементы
и
содержались в 3- Тогда многочлен
i.i
будет обращаться в нуль на V*. Но многообразие V* абсолютно
неприводимо и может быть определено над полем К' ’= К (а). Отсюда
следует, что если 0х....0s — элементы, сопряженные с 0 над полем К',
то на многообразии V*
цх)-2^(х)«М‘ = о.
3
Так как определитель |	| отличен от нуля, отсюда вытекает, что
С(Х) —2с<о(х) а* = 0
на V*. Следовательно,
"И = S т1<0«4-
Но так как К' £ 3|>, то и а £ Зу Поэтому 2 "’ко®4 € 3*> • t а значит,
3» П (&* • 0 = 3»  i-
С другой стороны, ввиду включения 3<> — Ct*,
Зр • i — • ь
Отсюда нужное соотношение следует непосредственно.
Теоремы II —V имеют место для любого максимального идеала р
кольца 3, т. е. для простого идеала произвольного многообразия U
размерности нуль, лежащего на V и неприводимого над полем К.
В теореме VI требуется, чтобы было К' £= Зр> а в остальном она
справедлива также для любого U. Ниже мы рассмотрим случай, когда
многообразие U просто на V, т. е. когда U содержит хотя бы одну
точку, являющуюся простой точкой многообразия V. Если U содержит
такую точку, то оно не содержится в подмногообразии, состоящем
из кратных точек многообразия V. Но так как U, будучи неприводи-
мым многообразием размерности нуль, не имеет вообще собственных
10 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пндо
146
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
подмногообразий, то оно не может пересекать многообразие кратных
точек. Следовательно, все точки U будут простыми точками много-
образия V.
Если U — простое подмногообразие на V, то точки х(Л) =
=(х(1й), ..., х(*>) будут простыми точками многообразия V* при
h. = 1....k. Мы можем предполагать систему координат в про-
странстве Ап выбранной достаточно общей, чтобы разности Ei—х^\ .. .
?d— были униформизирующими параметрами в точках
Х(А) (А = 1, . . ., k) многообразия V* и чтобы уравнения многообра-
зия U над полем К можно было записать в виде.
?1 (х) = О,
?4(x)sxf —^(xt) = 0	(1 = 2....я),
где <рх(х)—-неприводимый многочлен от xt над полем К, имеющий
степень г, a ^(xj— многочлены от хР В таком случае
?! G) = (Х1Л)) (’1 — 4ft)) (Рл)>
?Д0 = -ФИ4Л))^-х(?)) + ^-ЧЛ)) Ю (‘ = 2...................«)>
где ^(х^) отлично от нуля, так как многочлен <pt(x) неприводим
и <р1(х<А)) = 0. Квадратная матрица порядка d
/	(Х1Л)) 0 • • • 0 \
-^(xW) 1	... О
\-toA)) •	••• 1/
является невырожденной. Отсюда следует, что система элементов
= cpi (;) (/= 1.....d) будет системой униформизирующих пара-
метров на многообразии V* в точках х(Л) (Л=1......А) (§ 3, тео-
рема II). Поэтому
34 • & ~ 34 • Oh. • • • - ^d)-
Далее,
• Р = (34 • Р*) Г1 • • • П (34 • pb =
= (34 П • • • П 34) C»li..'»!<*) = »*• (”П1.^)-
До сих пор мы пользовались только тем, что точки х^.....х<А>
являются простыми точками многообразия V*. Но так как многообра-
ие U просто на V, то мы знаем из теоремы I, что если К' — алге-
раическое замыкание поля Л" в /((^.....$„), то имеет место соот-
ношение К' <= 3iJ- Следовательно (теорема VI), мы имеем
ЗгР = 31>П(£1*-р) = 31,П(&‘-('»11, •••. ^)) = 3г (^v •••> 'Hd)-
Тем самым доказана
§ 4. Неприводимые подмногооёрАзйя
147
Теорема VII. Если многообразие U просто на V, то макси-
мальный идеал кольца Зр имеет базис, состоящий из d элементов.
Рассмотрим теперь обращение теоремы VII. Пусть р — максималь-
ный идеал кольца 3> такой, что идеал Зр • Р имеет базис, состоящий
из d элементов, например ......Cd. Идеал р определяет многообра-
зие U, состоящее из точек х(1>, ,.., х<г), сопряженных над К. Как
обычно, мы будем рассматривать нормальное расширение Л* поля К,
являющееся полем разложения многообразия V и содержащее неодно-
родные координаты точек х(1>, ..., х,г>. Через V* мы обозначим абсо-
лютно неприводимую компоненту многообразия V, общей точкой кото-
рой над полем К* является заданная общая точка $ многообразия V
над полем К- Через jcW, ..., х^ обозначим точки многообразия U,
лежащие на V*. Для доказательства того, что многообразие U будет
простым на V, нужно показать, что:
(а)	одна из точек х<Л>	является простой точкой V*;
(б)	алгебраическое замыкание К' поля К в поле ..........$„)
содержится в кольце Зр-
Из второго условия следует, что U не содержится в геометрическом
месте точек пересечения нескольких компонент многообразия V над
полем К*. Но так как U неприводимо над К и имеет размерность нуль,
то отсюда вытекает, что ни одна из точек многообразия U не лежит
на этом геометрическом месте. Отсюда вместе с условием (а) следует,
что точка xW будет простой точкой V, а, значит, U будет простым
подмногообразием многообразия V.
Нам дано, что
Зг (Ср .... Q = 3p-P-
Из определения кольца Cl* видно, что Зр £ &*• В силу следствия I
теоремы HI, Cl с Зр£. Следовательно, кольцо Зд является расшире-
нием кольца Зр- Поэтому
.....Q = 34-(3p-(Ci, ...» Cd)) =
= 34-(ЗгР) = 3;г)’==^-^-
Отсюда следует, что максимальный идеал кольца 3^ имеет базис,
состоящий из d элементов. Поэтому точка xW является простой точкой
многообразия V* (§ 3, теорема IV). Заметим, кстати, что Ср . . ., Cd
служат униформизирующими параметрами в точке х<4
Для доказательства того, что К S 31» нам нужно предварительно
доказать некоторые леммы.
Лемма I. При любом целом р справедливо соотношение
Зр П (3^ • рв) = 3» • Рр-
Если р = О, то доказывать нечего. Если р = 1, то мы имеем
Зр • Р Е Зрр Р = Зр£- Р».
10*
148
ГЛ. XVI. АРЙФМЁТИЧЁСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Следовательно,
3d * Р — 3d П (3»>й • Рь)-
Так как 3d • V есть максимальный идеал кольца 3d> то здесь должно
выполняться равенство. Действительно, в противном случае мы
имели бы, что
3d П (Зя • рл) = 3d-
Однако отсюда следовало бы, что идеал Зя • рй содержит единицу
и поэтому является единичным идеалом, что невозможно. Таким обра-
зом, для р=1 лемма доказана.
При произвольном значении р мы имеем
3d • Р — Зрд • (pi • • • Ps) — Зя  Pft 
Следовательно,
Зр • Рр = Зр П (Зя ’ Рл )•
Если здесь равенство не имеет места, то должен существовать эле-
мент а, который при некотором значении з<р принадлежит 3d • р’> но
rv	о_|_1	rv*
не содержится в Зр • р и который содержится в 3^ ’ Рл —	• рл
Покажем, что это невозможно. Если а лежит в Зр • Ра и не содержится
в 3d • Р’+1> то можно написать
“ = S ... i^l •  • С? (Ч + • • • + г’д = 3)>
где коэффициенты Л<..л принадлежат 3d> причем хотя бы один из
_	X.*	♦
них не содержится в • р, а значит, не содержится и в ^*рл
(случай р = 1!). Если а* 1 — такой элемент поля К*, что
... = ai, ... id (Зя ‘ Р&)
(назовем его для краткости вычетом	в точке хб‘>), то не все
а,- равны нулю. Следовательно,
1 d
(Зя-рГ1).
*	%а+1
Если а принадлежит Зя ’ Рд > то> в СИЛУ написанного выше,
S4...^../>=o (Зя-»ГХ).
Отсюда, как и в доказательстве теоремы V § 3, заключаем, что
все а^.,,1 равны нулю. Таким образом, мы пришли к противоречию.
_	_ Ф	Ф<х + 1
Следовательно, а не принадлежит • рл > и лемма доказана.
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
149
Лемма II. Если а — любой элемент кольца и
а = ^4-^ 4- ...
есть разложение а в степенной ряд по ........в точке х&>,
то коэффициенты однородных многочленов Фр степени р о/я • • • > -а
все являются вычетами элементов кольца в точке х(Ч
Очевидно, что а — ф0 • рл). Следовательно, лемма справедлива
для %, какой бы элемент а из мы ни рассматривали. Докажем
прежде всего, что лемма справедлива и для фр, если он является
первым отличным от нуля членом разложения. Действительно, в этом
случае мы видим, что а £ П (3»» • Рв) ~	' Рр (лемма I). Поэтому
а ...	Oi + •  • +г4 — р)>
где Ai i £ %>• Если a} i —вычет А{ t в точке х<А>, то
« = 2 <4... </i‘ • • • $ (StfJ • рГ*)•
Поэтому
ФР = 2<Ц...</‘ •  •
так что коэффициенты являются вычетами.
Воспользуемся теперь индукцией, приняв в качестве индуктивного
предположения справедливость утверждения леммы для %, фр ...,
(при любом а из ЗД Нужно показать, что тогда и коэффициенты
многочлена будут вычетами. Пусть р — произвольное целое число,
меньшее т. Если
% — 5 ai. ...	O’i+• • •+^ = р)>
то, по предположению индукции, коэффициенты а* { являются
вычетами в точке х(Л> некоторых элементов кольца например эле-
ментов А. . . Положим
г, ... г
а	Л	•
₽P = S+...ldCi1... сХ
Применим предположение индукции к коэффициентам Д^.,.4 в вы-
ражении рр. Мы получим, что
₽р ~ % + Фр? р +1 + Фр?р + 2 + • • • .
где коэффициенты многочленов 'Ьр.« при г^р4~/« — 1 являются вы-
четами. Подобным же образом, если
— Фр, р+1 = S biL ...	. . . С/ 0'1+ • • • +г4 = Р +1);
150
ГЛ. XVI. арифметическая теория МНОГООБРАЗИИ
где b\ ... { являются вычетами некоторых элементов	из то
мы получим разложение элементов
в виде
Рр, 1 — Фр?р+1 ~Ь '/р?р+2 + • • • Wp^p+i + Фр?р+1 — 0)«
Таким образом мы построим элементы рР,i, Рр,з, •••, РР,»»-2 из
такие, что
Рр. 3 = ^р+Л + ^P+J'+I + • • • >
где
'/р?р+> + 'PpVp+j + • • • + 'T'pfp+j — 0	(/ = 1..т — 2)
и коэффициенты многочленов являются вычетами при £ р Ч~
+j + т — 1  Положим
ТР = Рр -Ь Рр, 1 + • • • + Рр, т-г-
Из построения элементов pPt, мы видим, что
7р = бр-|-«р+т_1-|-члены высшего порядка,
где фр+то_1 — форма степени ?-\-т— 1, коэффициенты которой
являются вычетами в точке
Положим теперь
ш = а — 71 — 7а — ... — ym_v
Тогда
с» = <р0 -|-	— <рт + члены высшего порядка.
% принадлежит К* и поэтому удовлетворяет неприводимому уравне-
нию /(.?) = 0 над К. Можно предполагать, что
/(*) = (z - %) (z - <>) ... (z -
В таком случае ясно, что
*	* )П+1
/(«>) = (К -?«)/' (%) (ЗрГ Рл )•
У(о>) есть элемент из Зр- Очевидно, что в его разложении в степен-
ной ряд по ........первым членом будет (фот — 'рЯ1)//(%)• В СИЛУ
доказанного выше частного случая леммы, коэффициенты этого члена
будут вычетами. Но /'(б0) является вычетом для /'(<») и не принад-
лежит идеалу • Р- Следовательно, коэффициенты — <?т будут
также вычетами элементов из Зи- Но так как, по построению, коэф-
фициенты формы <рто являются вычетами, отсюда следует, что и коэф-
фициенты Ьт— вычеты. Тем <;амым индукция закончена и лемма до-
казала,
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
151
Пусть теперь 0 — любой элемент из К'. Тогда существуют эле-
менты а и р из 3> такие, что а — бр = О. Пусть разложением эле-
мента р в точке будет
₽ = 2^1... <	...	+члены высшего порядка,
где	= р и хотя бы один коэффициент, например Ь*
отличен от
некоторого элемента В из 3d • В не лежит в • р, так как Ь*
отличен от
иметь вид
J<Z ’
нуля. В силу последней леммы, Ь‘ , является вычетом
л---за
d
нуля. Так как а = и •)£/<*, то разложение а должно
гДе <... id
элемента А из 3d-
элемента 7Х = Л/В
Пусть
...	-j-члены порядка выше р,
. . Элемент а*. __ является вычетом некоторого
Следовательно, 6 = а! /Ь
31 а •
кольца 3d*
>,	. есть вычет
Л -зл
— разложение у1 в
тельно ...,
Ti = ° + ’p1 ± •••
точке xw, где — формы
Если
то с* являются вычетами в точке х(Л> некоторых
Если положить
степени j относи-
элементов из 3d-
то fa будет элементом кольца 3». разложение которого в точке х(,4)
имеет вид
Продолжая таким образом, можно для каждого целого п найти эле-
мент из такой, что
7n — +	• • • •
Следовательно,
а—г„р=о (з;грп
Но элемент а — уяр лежит в 3d- Поэтому он лежит также в
3» П (Зя • Рл*) = 3d • р”
(лемма I). Отсюда следует, что а С 3d ' (?> Р”) ПРИ « = 1, 2.......
Так как р есть максимальный идеал кольца 3d> то мы можем
152
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
применить теорему X §2 гл.ХУи вывести из нее, что а принадлежит^ (Р).
Следовательно, существует такой элемент f из Зр> что а = Мы
заключаем отсюда, что элемент 0 = принадлежит З^ Так как О —
любой элемент из К', то мы имеем К’ с Зц.
Суммируя полученные результаты, приходим к следующей теореме:
Теорема VIII. Многообразие U, определяемое максимальным
идеалом р кольца 3> тогда и только тогда является простым
подмногообразием многообразия V, когда максимальный идеал
кольца имеет базис, состоящий из d элементов.
Теперь можно без труда обобщить предыдущие результаты на
неприводимые простые подмногообразия многообразия V, имеющие
произвольную размерность. Если р— любой простой идеал в 3 и
U — неприводимое многообразие размерности 5, определяемое идеа-
лом р на многообразии V, то U будет простым, если оно содержит
точку, являющуюся простой точкой многообразия V. Ясно, что U
будет простым подмногообразием V тогда и только тогда, когда его
общая точка будет простой точкой многообразия V. Также ясно, что
U будет простым тогда и только тогда, когда оно содержит алге-
браическую точку, являющуюся простой точкой V. Последнее усло-
вие равносильно тому, что U содержит неприводимое многообразие
размерности нуль, являющееся простым. Наша задача состоит в уста-
новлении необходимых и достаточных условий простоты подмногооб-
разия U на многообразии V, формулируемых в терминах, связанных
с кольцом Q(U)~ 3t>-
Пусть
/4(хр .... х„) = 0	(1=1,..., г)
— базис уравнений многообразия V, а $ = (?р .. ., ?га) — общая точка
этого многообразия. Можно предполагать, что система координат
выбрана достаточно общей, так что элементы ?р ..., ?8 алгебраически
независимы по модулю р. Так как многообразие U имеет размерность 5,
то элементы ?8+Р ..., ?„ алгебраически зависят по модулю р от эле-
ментов .... $8. Если подмногообразие U просто на V, то матрица
(dJJdXj) в некоторой точке многообразия U имеет ранг п — d. Без
ограничения общности можно считать, что определитель
dft df,
дхп
Ф) =
dfn-d dfn-d
дхп
(2)
не обращается в нуль на U. В таком случае а (?) ф 0 (р). Обратно,
если а. (?)	0 (р), то а (х) не обращается в нуль на U, а значит,
матрица {dfjdx^ в некоторых точках U имеет ранг п — d, и поэтому
подмногообразие U будет простым на V,
§ 4. НЕПРИВОДИМЫЕ ПОДМНОГООБРАЗИЯ
153
Пусть теперь 2 = Л’(!;1,	;g). Рассмотрим многообразие V
в аффинном пространстве (xg+1, .... хп) над полем 2, определяемое
уравнениями
AGi. • •	*8+v.-• • ^ = °	1- • • •> г).
Это многообразие содержит точку (;g ьг, . . ., ;п). Пусть <р* (х8+1,...
. .., хп) — любой многочлен над полем 2, обращающийся в нуль
в точке (5g+1, ..., В таком случае можно написать
где <?(xv xn)	xs) — многочлены над полем К. Так
как
•••-и = о,
то мы имеем
<?(э-----и = о,
а значит,
®(%i, ..х„) = 0
на многообразии V. Поэтому существуют многочлены ai(x1, хн)
над полем К, удовлетворяющие условию
Следовательно, мы имеем
( v	v \ __ ai С1» • • •> «S. XS 4-1> • • •> хп) к/
* ^+1.........Хп) — 2d ф(5ь ..., ;8) Х
> -^S+l’ • • •’ Xli)-
Отсюда вытекает, что многочлен ®*(-vg1.l, . .., хп) обращается в нуль
на многообразии V, и поэтому ($8+1, ..., $„) является общей точкой
этого многообразия. Так как поле К(;1, ..., £„) имеет размерность d
над К, отсюда следует, что поле 2($8+1, . ..,	=	. ..,Q
имеет размерность d—s над 2.
Областью целостности многообразия V в пространстве An_s яв-
ялется кольцо^ = 2 [В8+1, . .., £п|. Оно состоит из элементов вида а/р,
где 3 и ^[?i> •••> ’«]• Область целостности 3 является рас-
ширением 3- Рассмотрим идеал 3 • Р- Он состоит из элементов вида а/р,
где и р £	..., $8]. Если а/р и а'/$' — два элемента, про-
изведение которых принадлежит идеалу 3 • Р> т- е-
аа' __ y
где и	•••> ’sl> т0
аа'$ •= урр' == 0 (р).
154
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Но так как 8 =/= О (р), то
ota' = 0 (р),
и поэтому а или а' принадлежит р. Следовательно, один из элемен-
тов а/0 или а'/0' принадлежит идеалу 3 • р. Поэтому идеал 3 • р прост.
Так как элементы ;8+1, ..., 5„ алгебраически зависят по модулю р
от элементов	5S, то они будут алгебраическими над полем S.
Следовательно, идеал р = 3 • р определяет неприводимое многообра-
зие U размерности нуль, лежащее на V. Покажем, что (7 является
простым подмногообразием V тогда и только тогда, когда U есть
простое подмногообразие V.
Если система координат выбрана достаточно общей, то подмного-
образие U просто на V в том и только в том случае, если элемент a (!),
определяемый соотношением (2), не принадлежит р. Подобным же
образом подмногообразие U просто на V тогда и только тогда, когда
a (5) не принадлежит р. Так как р с р, то ясно, что если a (5) не
принадлежит р, то он не принадлежит и р. Следовательно, если U
просто на V, то U просто на V. Если же а (?) £ р, то а (?) ~ 0/у,
где Р£р и	••• U Следовательно,
ya (5)= 0 = 0 (р).
Но так как у =# 0 (р), отсюда вытекает, что а (5) = 0 (р). Поэтому,
если а($)¥=0 (р), то а (5)^=0 (р). Следовательно, если U просто
на V, то U просто на V.
Необходимо подчеркнуть геометрический смысл многообразий U
и V: они являются пересечениями многообразий U и V (п — .^-мер-
ным подпространством
= (;=1..........«),
где 5Р ..., — независимые неизвестные над К- Связь этого с дока-
занным только что результатом очевидна.
Ясно, что 3^ G Sjj-. Пусть т|— любой элемент из 3jj- Мы можем
записать т; = а/0, где а и 0 принадлежат 3. причем 0 не принадле-
жит р. Поэтому
где А, принадлежат 3> а I*, v — элементы кольца .... 58].
Кроме того, <о, р, v не принадлежат идеалу р. В таком случае
— лч
'П = —,
1	|Х<0 ’
и поэтому тц содержится в Зр- Следовательно, 3$ £ 3^,» а значит,
8 5. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
155
Многообразие U является простым подмногообразием (размерности
нуль) на V в том и только в том случае, если кольцо частных имеет
то свойство, что идеал 3» • Р обладает базисом, состоящим из d — s
элементов. Так как U просто на V тогда и только тогда, когда U
просто на V, и так как 3^ = 3j> то мы получаем следующую
теорему:
Теорема IX. Пусть U — неприводимое подмногообразие раз-
мерности s на неприводимом многообразии V размерности d.
Подмногообразие U является простым на V тогда и только
тогда, когда максимальный идеал кольца частных многообразия U
на многообразии V имеет базис, состоящий из d — s элементов.
Такой базис максимального идеала кольца Q{U) называется систе-
мой униформизирующих параметров многообразия V в окрестности U.
В заключение этого параграфа обобщим теорему I из § 3.
Теорема X. Кольцо частных любого простого неприводимого
подмногообразия U размерности s на многообразии V является
целозамкнутым в его поле частных.
Доказательство этого результата сходно с доказательством тео-
ремы I § 3, так что мы воспользуемся теми же обозначениями. Если
система координат является достаточно общей, то можно предпола-
гать, что элементы .... 5d алгебраически независимы над К, что
Sd+1, ..., сп являются целыми над .... $d], a Ed+1 служит при-
митивным элементом поля	$п) над К{^-, , £d). Любой
элемент целого замыкания 3* кольца 3 в поле К($1> .... $п) имеет
вид
__Го+Г1^+1+ ••• +Г0-1^+1
’I—	r>2(St,.... ей)
где /\£/<|£р . .., 5d]. Если U содержит простую точку (может быть,
и алгебраическую), то систему координат можно считать достаточно
общей для того, чтобы выражение £)a(xt, ..., xd) не обращалось
в нуль в этой точке. Следовательно, Da($t..Ed) не принадлежит р,
а значит, т]£3^- Таким образом, 3*£2^> и поэтому (гл. XV, § 8,
теорема IV) кольцо 3^ целозамкнуто.
§ 5; Нормальные многообразия в аффинном пространстве
Пусть V—неприводимое многообразие размерности d в афинном
пространстве Ап над основным полем К, и пусть (£,, ..., Еп) — не-
однородные координаты его общей точки. Многообразие V* назы-
вается нормальным многообразием в пространстве Ап {аффинно нор-
мальным), если его область целостности 3 =	»• • • > 5J целозамкнута
в ее поле частных. В силу теоремы V § 8 гл. XV, область целостности 3
целозамкнута тогда и только тогда, когда целозамкнуты все ее
кольца частных по простым идеалам. Для этого, в свою очередь,
156
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
достаточно, чтобы были целозамкнутыми кольца частных 3> соответ-
ствующие максимальным простым идеалам. Следовательно, имеет
место
Теорема I. Неприводимое многообразие V в пространстве Ап
аффинно нормально в том и только в том случае, если кольца
частных его неприводимых подмногообразий целозамкнуты. Для
этого достаточно, чтобы были целозамкнутыми кольца частных
неприводимых подмногообразий размерности нуль.
Опыт показывает, что нормальные многообразия играют фунда-
ментальную роль во всей геометрии многообразий. Более возвышен-
ные отделы бирациональной теории многообразий почти полностью
основываются на понятии нормальности. В гл. XVIII, где мы будем
заниматься теорией бирациональных соответствий, важность понятия
нормального многообразия станет очевидной. Но мы уже здесь можем
указать несколько более или менее непосредственно получаемых
результатов, которые помогут читателю составить себе представление
о значении этого понятия.
Заметим прежде всего, что ввиду целозамкнутости кольца 3 в его
поле частных, мы можем применить к нему мультипликативную теорию
идеалов (гл. XV, § 7). Если р— простой идеал из 3> то мы знаем
(гл. XV, § 7, теорема VI), что идеал р квазиравен единичному идеалу,
р ~ 1, в том и только в том случае, если в 3 существует простой
идеал р', отличный от нулевого идеала и являющийся собственным
кратным идеала р. Если U—неприводимое многообразие, определяе-
мое идеалом р, то простое собственное кратное р' идеала р суще-
ствует тогда и только тогда, когда существует неприводимое под-
многообразие U' многообразия V, содержащее U в качестве собствен-
ного подмногообразия. Если U с U', то dim U < dim U' < d.
Следовательно, dim U^d— 2. Наоборот, если dim Ud — 2, to
мы рассмотрим ненулевой элемент идеала р, например v ($). Гипер-
поверхность v (х) = 0 пересекает многообразие V по несмешанному
многообразию размерности d—1, содержащему многообразие U.
Следовательно, в этом пересечении найдется неприводимая компо-
нента U', содержащая U в качестве собственного подмногообразия.
Таким образом, р ~ 1.
Пусть i — любой идеал кольца 3, и пусть .............qz] —
его несократимое представление пересечением примарных идеалов.
Обозначим через р4 радикалы идеалов дг, через — индексы и
предположим, что идеалы рр ..., pfc (d—1)-мерны, a pfc+1, ..., рг
имеют размерности, меньшие d—1. В таком случае (гл. XV, § 7,
теорема VIII) максимальным идеалом, квазиравным идеалу t, будет
идеал
Г =	.... qj-lp'4 .... р'М
где р£?—символические сг-е степени идеалов р^. Таким образом,
для перехода от i к i* мы просто отбрасываем компоненты идеала i,
i 5. йсФМальйыё Многообразий	15?
имеющие размерности, меньшие d—1. Целые числа (J^k) назы-
ваются кратностями соответствующих идеалов в идеале t* или
кратностями определяемых этими идеалами многообразий Uj размер-
ности d—1. Таким образом, мультипликативная теория идеалов
кольца 3 эквивалентна некоторой мультипликативной теории много-
образий размерности d — 1, лежащих на V.
В гл. XI мы развили мультипликативную теорию многообразий
на V. Покажем теперь, что эти две теории согласуются друг с дру-
гом в той области, где они обе применимы. Мы скоро докажем, что
каждое (d—1)-мерное подмногообразие аффинно нормального много-
образия просто. Следовательно, мы можем применить теорему V § 2.
Пусть
U = gjUj	3fcUfc
— мультипликативное (d— 1)-мерное подмногообразие многообразия V.
Обозначим через рг простые идеалы кольца определяемые много-
образиями Up а через Ft(u0, . .ud_j) формы Кэли многообразий t/4.
Тогда формой Кэли мультипликативного многообразия U будет
к
1РЖ...........««/-Л
Если S0, ..., 5й-1 — кососимметрические матрицы порядка п1,
элементы которых являются независимыми неизвестными над полем К,
то коэффициенты различных произведений неизвестных в выра-
жении
к
Ц/7(5°$.......
г = 1
определяют некоторый идеал i. Но (§ 2, теорема V) коэффициенты
упомянутых произведений в выражении	.... опреде-
ляют идеал вида [р4, q;t, qi2, ...], где компоненты вложены в
Следовательно,
(Pi. q»i-	Pt.
и поэтому
... .......................................
На первый взгляд может показаться, что мультипликативная тео-
рия многообразий на V, даваемая теорией идеалов, является менее
сильной, чем ранее рассмотренная теория, так как первая имеет дело
лишь с многообразиями размерности d — 1, в то время как прежняя
теория оперирует с многообразиями любой размерности. Тем не менее
в действительности мы добились многого уже тем, что кратности
(d—1)-мерных многообразий определили внутренним образом с по-
мощью свойств некоторого подкольца поля функций многообразия V,
а это окажется существенным для дальнейшего развития теории.
158
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Заметим еще, что если кольцо 3 целозамкнуто, то главные идеалы
в 3 не имеют вложенных компонент (гл. XV, § 7, теорема X).
Понятие кратности, введенное нами для идеалов кольца 3» может
быть обобщено и приводит к понятию нормирования поля функций
/C0J....Еп) многообразия V, понятию, которое мы будем рассма-
тривать на протяжении всей следующей главы. Пусть 77 — неприво-
димое многообразие размерности d — 1 на многообразии V, лежащем
в пространстве Ап, и пусть р— простой идеал кольца 3> соответ-
ствующий U. Если С — любой отличный от нуля элемент поля
/(($!...$п),	то мы можем записать его в виде С = а/р, где а
и р— элементы из 3- Идеалы 3 • (а) и 3 • (?) мы можем в кольце 3
разложить на множители:
3 • (a)~ppppi ... рр*,
З-ОО-рХ1
где pj....pfc — (d—1)-мерные простые идеалы в 3> а Р> Pt> • • •
. .., pfc, а, Эр ...,	— неотрицательные целые числа. Определим
норму v (С) элемента С на U равенством v (Q = р — з. Ясно, что это
определение не зависит от частного выбора элементов « и р, так как
если а' и р' — любые другие элементы из 3, удовлетворяющие усло-
вию г, = а'/?', то мы имеем
3 •(«')-/•)>?
3-(?')~/-Р? ... •
Но ввиду того, что а?' = а'р, и в силу теоремы единственности
разложения (гл. XV, § 7, теорема V), должно быть р Ц-з'= р'-^-з,
т. е,
р' — з' = р — з — w (С).
Из нашего определения очевидно, что
«(^l) =='»© +«О')).	(1)
Пусть теперь т], С — два элемента из поля /((^.5П). Предполо-
жим, что £> (?]) ;> т» (Q. Мы можем записать т] = aft, С —р/7, где а,
.р, у—элементы из 3- Если
3-(«)~Р₽-Р?‘ •••.
3-(?)~₽’-₽? •••.
3- (7)~рт- Р1 • • •>
то из соотношения	следует, что р^>з. Поэтому
3 • (а -|- Р) р’, а значит,
З.(а + Р)~р’’.р< ....
§ S. НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
150
где а' о. Следовательно,
г/ (т| -J-Q = <з' —	— z = v (С),
т. е.
v + Q > mJn I® Cn)> 'У (QI •	(2)
Наконец, если С — любой элемент кольца 3> лежащий в р, то
©(C) >0.
Если же С — элемент из К, то	и поэтому •у(С) = О.
Таким образом, выбрав на многообразии V неприводимое под-
многообразие U размерности d—1, мы построили отображение
и (С) элементов С поля .........Е„)	на аддитивную группу целых
чисел, удовлетворяющее соотношениям (1) и (2). Такое отображение
называется нормированием поля ...........;п). Тот факт, что при
этом не все элементы поля отображаются на нуль, означает, что
нормирование нетривиально, а то, что ti(C) = O для любого нену-
левого элемента из поля К, показывает, что наше нормирование под-
чинено важному ограничению, которое мы будем налагать на норми-
рования, рассматриваемые в следующей главе.
Докажем теперь результат, уже использованный раньше в этом
параграфе:
Теорема II. Любое неприводимое подмногообразие размер-
ности d — 1 на аффинно нормальном многообразии V размер-
ности d является простым на V.
Пусть U — неприводимое подмногообразие размерности d — 1 на
многообразии V, и пусть р — простой идеал многообразия U
в кольце 3- Пусть, далее, «>* = со* (1^,	(/=1, ..., г) —
базис идеала р, а <о = в>($1....?п)— элемент из р, не лежащий
в символическом квадрате р(2) идеала р. Если 1 = 3 • (<»), то (ср.
Следовательно, i^>p, и поэтому существуют простые идеалы
pj....pfc, отличные от р и такие, что
i~ppi ... рк,
где ppi ... pfc = 0 (t) (гл. XV, § 7, теорема III). Пусть <р =
= <?($!.....$„)	— элемент идеала рх ... pfc, не принадлежащий р.
Тогда оур£рРх ••• PfcSt а значит,
=	(J— I. •••, г),
где a^ — aj^........Q€3-
Пусть
......Хп)=0	(4 = г+1, .... S)
— базис уравнений многообразия V. Предположим, что ai(x1....хп)
равны нулю при i = г 1, ..., s, и определим многочлены
\ (*i.....хп) = 0>i (х) <Р (х) — at (x) <e (x) (i = 1.s).
160
Гл. xvi. арифметическая теория многообразий
Тогда уравнения
wi (х) “О О’ — 1........s)
составляют базис для уравнений многообразия U, а значит, найдутся
многочлены ^(xt, xn) (/ = 1, ...,5), такие, что
ш (х)—“»(х)
1
(ведь ад (х) обращается в нуль на U\). Следовательно,
\ (х) — Sl<? (х) % — ai (х) bj (х)1 (X) (» = 1..S).
у=1
Так как, по построению, Vj($) равно нулю при всех значениях i, то
мы получили 5 уравнений, удовлетворяющихся точками многообра-
зия V. Если мы сможем доказать, что матрица (d^JdXj) имеет
в общей точке ц многообразия U ранг п — d, то отсюда будет сле-
довать, что подмногообразие U является простым на V (§ 4,
стр. 152).
Ввиду того что ij есть общая точка U, а уравнения (х) = О
(/ — 1, ...,$) образуют базис для уравнений этого многообразия,
матрица	имеет ранг п — d ~|- 1. Далее, так как
“j(’l) = 0	0= 1, .... s),
то
(ч) - ai (ч) ("|)1	•
J=1
Но так как <p (£)=£() (p), то ?(x) не обращается в нуль на U. Сле-
довательно, <p(t|)?'O.
Непосредственное вычисление показывает, что определитель
матрицы
(?(ч) Ч~а«(ч)^(ч))
равен
8
I? (ч)1я — I? (ч)!"1 S (ч) bi (ц).
г=1
Поэтому ранг р этой матрицы равен либо s— 1, либо s, в зависи-
мости от того, выполняется или нет соотношение
8
<?(4) = S «»(ч) Мч)-
i-i
Из теоремы 1 § 6 гл. II следует, что ранг матрицы (dvjdijfc) не
меньше p-j-n-—d-j- 1—s^n — d. Но этот ранг не может превос-
S 5. нормальный многообразия
161
ходить п — d. Следовательно, он точно равен п — d и р = $—1.
Но из того, что ранг матрицы (д\[дч\к) равен п — d, вытекает, что
подмногообразие U просто на V, и теорема II доказана.
Пусть теперь V—любое неприводимое многообразие размер-
ности d в пространстве Ап, не обязательно нормальное, и пусть
(Sp .... 5П) — общая точка V. Из теорем II и VII § 8 гл. XV сле-
дует, что существует конечное множество элементов -Qj...........-qs
поля частных кольца 3 = А'[$1, .... ?п], таких, что кольцо
3* = 31‘П1. •••> ''lel = Ktfv 'Пр •••> 'Пв] является целым за-
мыканием 3- Пусть .........Cj — любое конечное множество элемен-
тов из 3*’ Для которых 3* = ^Кр • ••, У- Рассмотрим аффинное
пространство At размерности t над полем К и обозначим через V*
многообразие, общей точкой которого является точка .............Q.
Его областью целостности является кольцо 3*> и поэтому много-
образие V* аффинно нормально. Полем частных кольца 3* является
поле частных для 3- Поэтому многообразие V* бирационально экви-
валентно многообразию V. Любое многообразие V*, получаемое опи-
санным путем из V, называется нормальным многообразием, связанным
с V. Установим теперь несколько свойств соотношения между V и V*.
Пусть U* — неприводимое многообразие на V*, имеющее размер-
ность 5, и пусть р*— простой идеал этого многообразия в кольце 3*-
В таком случае пересечение р = 3 П Р* является простым идеалом
кольца 3 (гл- XV, § 4, теорема III). Этот идеал определяет непри-
водимое подмногообразие U многообразия V. Покажем, что U имеет
размерность $. Пусть !^, ..., С8+1— любые элементов из 3
(а значит, и из 3*)- Они алгебраически зависимы по модулю р*
в кольце 3*- Поэтому существует ненулевой многочлен f(zv . ..,г8+1)
над полем К, такой, что /(Сх, .... С8+1)СР*- Но так как элементы
Ср .... С8+1 принадлежат 3, то /(Ср ..., С8+1) £ 3- и потому
/Gp •••> С8+1) принадлежит пересечению 3 П р* = р- Следовательно,
любые s-f- 1 элементов кольца 3 алгебраически зависимы по мо-
дулю р, и поэтому U имеет размерность, не превышающую $. До-
пустим теперь, что U имеет размерность s'(s'-С s). Мы можем
найти s' элементов Тр ..., *:8/ кольца 3> таких, что любой элемент
из 3 будет целым по модулю р над порождаемым ими кольцом.
В самом деле, кольцо 3/р является областью целостности многооб-
разия U, а так как это многообразие имеет размерность s', то, как
мы знаем, в его области целостности найдутся s' таких элементов,
что все элементы 3/Р являются целыми над кольцом, порождаемым
найденными элементами. В таком случае можно взять в качестве
Тр ..., элементы из 3, соответствующие указанным элементам
из 3/Р- Но любой элемент из 3* — целый относительно 3> а значит,
и целый по модулю р* относительно кольца ...,ту]. Поэтому
многообразие U* имеет размерность, не превышающую s', т. е.
s'^s. Отсюда следует, что s = s'. Таким образом, каждому непри-
водимому многообразию U* размерности 5, лежащему на V*,
11 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Ппдо
162
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
соответствует однозначно определенное подмногообразие размерности s
на V. .
Пусть теперь U — неприводимое подмногообразие размерности s
на многообразии V и р — его простой идеал в кольце 3- Предпо-
ложим, что 3* • Р = И*, •••, HfeL гДе Qi являются р*-примерными
идеалами кольца 3*- При этом хотя бы для одного значения i будет
Р = 3 П Pi (гл. XV, § 4, теорема V, следствие), и р=ЗПч’^=ЗПр*
при всех i. Обозначим через Ui подмногообразия на V*, опреде-
ляемые идеалами р*, а через — многообразия на V, определяемые
идеалами ЗПр^ Тогда U^U, причем хотя бы для одного значения
i будет £7^=£7. Предположим, что многообразия Ц, ..., Ur
совпадают с £7 и что Ur+v • • •  &к — собственные подмногообра-
зия U. Так как dim и\ — dim то многообразия £7*.............£7*
имеют размерность s, а £7г+1, .... t7ft — размерность, меньшую $.
Мы будем говорить, что подмногообразия Ui, ..., Ur на V* соот-
ветствуют подмногообразию U на V.
Если £7* — любое многообразие на V*, определяющее многообра-
зие U на V, то мы имеем ЗПр* = р, и поэтому 3* • р = 0 (р*)
(гл. XV, § 4, теорема VI). Так как идеал 3* • Р имеет размер-
ность s, как и многообразие U*, то U* должно быть одним из мно-
гообразий £71, ..., Ur. В частности, если кольцо 3)) целозамкнуто,
то теорема VIII § 8 гл. XV гласит, что г=1, q* = p* и что
з’. = Зн- Следовательно, если кольцо частных многообразия £7 цело-
*1 •₽
замкнуто, то на многообразии V* существует единственное подмно-
гообразие £7*, соответствующее £7, причем Q (£7) = Q (£7*). Таким
образом, доказана
Теорема III. Между неприводимыми подмногообразиями раз-
мерности s на неприводимом многообразии V в аффинном про-
странстве и неприводимыми подмногообразиями размерности s
аффинно нормального многообразия V*, связанного с V, существует
некоторое соответствие. При этом каждому подмногообразию
U* размерности s, лежащему на V*, соответствует однозначно
определенное подмногообразие U размерности s на V, а каждому
подмногообразию размерности s на V соответствует конечное
число подмногообразий на V*. Если кольцо частных подмногооб-
разия U целозамкнуто, то соответствующее ему подмногообра-
зие U* на V* однозначно определено и Q(£7) — Q (£7*).
Соотношение между различными нормальными многообразиями в
аффинном пространстве, связанными с одним и тем же многообра-
зием V, может быть установлена непосредственно, так как каждое из
этих многообразий можно рассматривать как нормальное многообра-
зие, связанное с любым другим из них. При этом соответствие
между неприводимыми подмногообразиями будет взаимно однозначным.
§ 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
163
Читатель может заметить, что мы говорили здесь о соответствии
между многообразиями V и V*, но не показали, что это понятие
согласуется с определениями гл. XI. Однако здесь мы не рассма-
тривали соответствующие точки многообразий V и V*. а рассма-
тривали соответствующие неприводимые подмногообразия. Описан-
ное здесь соответствие имеет тесную связь с понятием, рас-
смотренным в гл. XI. В самом деле, между V и V* легко уста-
новить соответствие того типа, .какой рассматривался в гл. XI, так,
чтобы каждой точке многообразия V соответствовало конечное число
точек на V* и каждой точке многообразия Vе соответствовала одно-
значно определенная точка на V. При этом, если U—любое непри-
водимое многообразие на V, определяемое простым идеалом р
кольца и если идеал 3* • Р определяет многообразие U* =
—	Ujc, то совокупность точек многообразия V*, соот-
ветствующих точкам многообразия U, составляет целиком многооб-
разие U*. Наоборот, если U* — неприводимое многообразие на V*,
определяемое простым идеалом р* кольца J*, то геометрическое
место точек многообразия V, соответствующих точкам, лежащим
на V*, определяется идеалом 3 П р* кольца 3- Мы не будем, однако,
доказывать эти результаты здесь, так как они содержатся в более
общих результатах, которые будут доказаны для бирациональных
соответствий в гл. XVIII.
§ 6. Проективно нормальные многообразия
Большинство результатов этой главы доказано для многообразий
в аффинном пространстве, хотя некоторые из них, которые можно
выразить в форме свойств кольца частных неприводимого подмного-
образия заданного неприводимого многообразия, могут толковаться как
проективные свойства. Свойства многообразий в аффинном пространстве
представляют интерес и сами по себе, но мы будем заниматься главным
образом применением этих свойств для получения свойств многообразий
в проективном пространстве. Теперь мы в состоянии воспользоваться
уже полученными в этой главе результатами для введения и изучения
важного понятия проективно нормального многообразия.
Пусть V — неприводимое многообразие размерности d над основ-
ным полем К, лежащее в проективном пространстве Sn. Как обычно,
предположим, что V не лежит на гиперплоскости xQ = 0. Пусть
’ = Go» U — общая точка многообразия V. Мы можем предпо-
ложить координаты точки нормированными так, что £0=1. Общий
вид координат точки !• есть
(Tq, Tj, ...» Tn) — (т01 ^1 ’ • • • > '►О’п)»
где т0 — элемент некоторого расширения поля К, отличный от нуля.
Нам будет удобно считать, что т0 является неизвестным над полем
функций S = ZC(51, .... Q многообразия V. Тогда и элементы
11*
164
гл. xvi. Арифметическая теория многообразий
xi = являются неизвестными над полем X при 1 = 1, .... п, так
как Sj £ S г). В этом параграфе мы всюду будем предполагать одно-
родные координаты общей точки (~0.....тга) многообразия V такими,
что
(I)	=
(И) поле S* = М(т0..... тп) = K(z0, т05<, .... т0$п) = S(т0) яв-
ляется чисто трансцендентным расширением 2.
Если мы будем рассматривать (х0, ..., хп) как неоднородные
координаты точки пространства Ап+1, то (т0, ..., тп) будет общей
точкой некоторого многообразия V* размерности d 1, полем фун-
кций которого является 2*. Каждой точке (fv ..t^) многообра-
зия V*, отличной от точки (0.......0), соответствует однозначно
определенная точка с однородными координатами (/', .... ?п), лежа-
щая на V. Наоборот, каждой точке (х'о, .. ., х'п) многообразия V
соответствует множество точек на V*, координаты которых имеют
вид (/'х'....Z'x^). точки составляют прямую, проходящую через
точку (0.....0). Таким образом, V* является „конусом' с вершиной
в точке (0........0). Сечение этого конуса бесконечно удаленной пло-
скостью пространства Ап+1 представляет собой многообразие V. Мы,
однако, не будем пользоваться таким представлением.
Если t—-произвольный ненулевой элемент поля К, то точка
(^о> •   > ftn) будет общей точкой многообразия V, причем
K(tx0, ..., tx„) = S(г0) -1*. Пусть Z — любой элемент поля 2*.
Тогда мы можем написать
г ап + ai + • • • + вр
*0 + ^1 + • • • +	’
где а, и bi являются формами степени i от т0, . . ., хп над полем К.
Отображение поля 2*, получаемое заменой на txt, переводит С
в элемент (. , где
j,(f) _ йо + tai + • • • +
- ьл + ^+...+еья'
Элемент г, называется однородным степени А, если r,w = t\ при
любом выборе t из К. Предположим, что элемент г, является одно-
родным степени А 0. Тогда
ао + ^at	(^о + ^1 + • • • + ^«)-
Так как это соотношение должно иметь место при / = 0, 1, 2, ...,
то отсюда следует, что
йи. = °(Н<х)> «x+ll = ^	=	1. • • •)
1)	Конечно, это верно лишь для тех I, для которых =/= 0. В частности,
сказанное верно для достаточно общей системы координат.— Прим, перев.
§ 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
165
Но так как хотя бы для одного значения р, например для р == v,
должно быть Ь.,Ф 0, то мы получаем, что С = ах+.,/А,, т. е. что эле-
мент ч должен быть отношением однородного многочлена от т0, ...,
над полем К, имеющего степень А —|—v, к однородному многочлену
степени v. Аналогичное рассуждение имеет место, и при А < 0. Сле-
довательно, любой элемент поля £*, однородный и степени X, имеет
вид ато, где а £ 2. Наоборот, если
« = ?&------и/1(ч. Q
и
; = = ...................................
то С представляет собой отношение однородного многочлена степени
X —v к однородному многочлену степени v и поэтому является одно-
родным элементом степени А. В частности, элемент поля L*. являю-
щийся однородным степени нуль, принадлежит полю I. И обратно,
любой элемент из S является однородным степени нуль.
Будем обозначать через 3* кольцо /С[т0, ..., т„]. Его полем
частных служит поле X*. Мы будем говорить, что многообразие V
проективно нормально, если любой однородный элемент поля X*,
степень однородности которого больше нуля, целый относительно 3*>
лежит в 3*- Существование многообразия V, имеющего то же поле
функций, что и многообразие V, и являющегося проективно нормаль-
ным, нельзя доказать, просто беря 3*-базис ..., тп+). для целого
замыкания кольца 3* и строя многообразие в пространстве Sn+r,
имеющее общую точку (т0.........тп+г). Действительно, элементы
т„+1, .... zn+r могут и не быть все однородными со степенью одно-
родности 1. Но если они не являются такими, то легко видеть, что
• • •»	*bi+r/fco)
имеет размерность d-|-l над К, так что многообразие с общей точ-
кой (т0, .... тп+г) имеет размерность, превосходящую размерность
многообразия V. Поэтому мы должны доказать следующую теорему:
Теорема I. Если V—неприводимое многообразие размерно-
сти d над полем К, то существует бирациональный образ много-
образия V, являющийся проективно нормальным.
При доказательстве этой теоремы мы определим некоторый класс
бирациональных образов многообразия V, являющихся проективно
нормальными многообразиями. Эти многообразия будут называться
производными нормальными многообразиями многообразия V.
Докажем прежде всего, что любой элемент поля X*, целый отно-
сительно кольца 3*> представляет собой сумму однородных элементов
неотрицательных степеней из поля X*, каждый из которых является
целым относительно 3*- Пусть С — любой элемент из X*, целый отно-
сительно 3*- В таком случае мы имеем соотношение
Г +	••+«- = 0.
166
ГЛ. XVI АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИИ
где а1,	ат—-элементы 3*. Так как Е* — Е(т0) и 3* £ 2 ['Со!»
то отсюда следует, что С является элементом поля Е(т0), целым отно-
сительно кольца Е [т0]. Но кольцо Е[т0] целозамкнуто в своем поле
частных (гл. XV, § 8, теорема VI). Следовательно, С £ S [т0], и мы
можем написать
с = гоч-с1ч-... 4-Ср,
где каждый из элементов С» однороден степени I. Если t — произ-
вольный отличный от нуля элемент поля К, то отображение
переводит кольцо 3* в себя. Следовательно, оно переводит любой
элемент из Е*, целый относительно 3*> также в элемент, целый отно-
сительно 3*- В частности, элемент
будет целым относительно 3*- Возьмем t = 0, 1...р. Тогда эле-
менты £(0)...................................... С(р)— целые относительно 3*> и мы получаем
р 1 уравнений, позволяющих выразить Со, .... через С(о)..С(р).
Определитель из коэффициентов этих уравнений является отличным
от нуля элементом поля К и поэтому представляет собой делитель
единицы кольца 3*- Отсюда следует, что элементы Со.  • •. Ср выра-
жаются суммами элементов, целых относительно 3*> а следовательно,
и сами должны быть целыми относительно 3*- Этим наше утвержде-
ние доказано.
Целое замыкание 3 кольца 3* в поле имеет конечный 3*-базис
(глава XV, § 8, теорема VII). Любой элемент такого базиса является
суммой однородных элементов, каждый из которых будет целым
относительно 3*- Поэтому можно считать, что рассматриваемый
3*-базис кольца 3 состоит из однородных элементов. Так как кольцо 3*
порождается над полем К однородными элементами т0....тп, то 3
также порождается над К конечным множеством однородных эле-
ментов неотрицательных степеней:
3 = А'1'По. • • •. Ч-1>
где т]0, ..., т]г — однородные элементы поля Е*. имеющие неотрица-
тельные степени. Рассмотрим теперь элементы изЗ. являющиеся одно-
родными степени нуль. Если С — однородный элемент степени нуль,
удовлетворяющий уравнению
e+«1e-1+---+«w=o.
где £ 3*> то мы положим
= 5 «у-
;’>о
§ 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
167
где aty имеет степень однородности j, а	В этом случае, рас-
сматривая автоморфизмы -► поля 2*, мы получаем уравнение
г+3	+  • • + 2«./=о.
^>0
имеющее место при всех t из К. Отсюда следует, что
. “Г “10’	+ • •  ~Ь am0 — 0.
Но так как С — элемент поля 2*, имеющий степень однородности
нуль, то он принадлежит полю 2 и является, в силу написанного
уравнения, алгебраическим над К. Следовательно, С принадлежит алге-
браическому замыканию К' поля К в поле 2. Обратно, если С — лю-
бой элемент из К', то он удовлетворяет уравнению
е + а/Л~1+---+«те = 0.
в котором ai £ К. Следовательно, г, является целым относительно
и поэтому лежит в
Пусть а есть степень поля К! над К. Тогда в кольце 3 суще-
ствует система из а элементов, линейно независимых над полем К и
имеющих степень однородности нуль. Без ограничения общности можно
считать, что в кольце 3 = /([^о, • • •> "М элементы т]0.т]р имеют
положительные степени однородности, а т]р+1, . . .,	— степени одно-
родности нуль, причем г — р = а. Предположим, что элементы
(j С р) имеют степени однородности б^. Любой элемент из 3 со сте-
пенью однородности k может быть выражен в виде линейной комби-
нации с коэффициентами из К, составленной из произведений
•••'<* ('/><».
в которых
=	(О
а множитель С имеет степень однородности нуль и лежит в 3- Так
как Z, является линейной комбинацией элементов т]р+1, . .., т|г с коэф-
фициентами из К, отсюда следует, что произведения . '’)рР1')#+р,
в которых показатели 10, ..., /р удовлетворяют условию (1),
а j = 1, ..., г — р, образуют базис /(-модуля, состоящего из элемен-
тов 3, имеющих степень однородности k. Линейно независимый
/(-базис этого модуля мы обозначим через
Число 8 (8 > 0) будет называться характером однородности
многообразия V, если оно обладает тем свойством, что /(-базис
модуля элементов из 3, имеющих степень однородности £8 (при любом
целом положительном k), может быть построен из произведений эле-
ментов Со\   > состоящих из k множителей, т. е. если
О
.....	(1 = 0, .... п^).
168
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
где /f (z0, .... zn?) — однородные многочлены степени k над полем К.
Мы вскоре докажем, что характеры однородности существуют.
До сих пор относительно возможных характеров однородности много-
образия известно довольно мало. Однако легко видеть, что если 8
является характером однородности многообразия V, то /8 также будет
характером однородности этого многообразия при любом положитель-
ном целом t. Действительно, так как 8 является характером одно-
родности многообразия V, то элементы выражаются однородными
многочленами степени kt от элементов б,3*,...., коэффициенты
которых принадлежат К-' Следовательно, указанные элементы выра-
жаются также однородными многочленами степени k от всевозможных
произведений элементов ..., содержащих t множителей. Но
такие произведения, в свою очередь, являются линейными комбина-
циями элементов С(о<3)...Отсюда нужный результат вытекает
непосредственно. • Если многообразие V проективно нормально, то
3 = 3*- Любой элемент из 3*> имеющий степень однородности k>
является однородным многочленом степени k от элементов т0, ..., тп-
Следовательно, если многообразие V проективно нормально, то целое
число 1 является характером однородности.
Мы докажем существование характеров однородности многообра-
зия V, показав, что если d есть общее наименьшее кратное чисел
d0, . . ., d? (здесь dt — степень однородности элемента т]г), то pd будет
характером однородности многообразия V. Пусть k — любое целое
число, большее р. Чтобы найти элементы из 3> имеющие степень
однородности kd, рассмотрим произведения вида	{, где
Ч~ • • • Ч~	(2)
Если ij < d/dj (t = 0, ..., р), то
ЬА) Ч~ • • • Ч- 1'р^р < (р Ч~ 1)	kd.
Следовательно, хотя бы один показатель ij должен быть не меньше d/dj.
Пусть, например, if^dldQ. Тогда
где и
*odo -J- • • • + ipdp = (А — 1) d.
Поэтому, если k > р, то любое произведение элементов т]0.........т]г,
имеющее степень однородности kd, является произведением элемента из
3 со степенью однородности d и некоторого произведения тех же эле-
ментов со степенью однородности (k — 1) d. Если k — 1 > р, то можно
трактовать последнее произведение таким же образом и продолжить
процесс далее. Если fc^w-j-p, то произведение . ц** j
S 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
169
равно произведению т элементов, каждый из которых имеет
степень однородности d, умноженному на произведение элемен-
тов т]0, . . ., имеющее степень однородности pd. Если взять
т = ip, то отсюда следует, что любое произведение к)*0 . . . 7]S7]p+J-,
имеющее степень однородности (t -j- 1) pd, равно произведению t 1
элементов из 3> имеющих степень однородности pd. Следовательно,
любой элемент из 3 -со степенью однородности (/-|-l)pd выра-
жается однородным многочленом над К от элементов из 3 со сте-
пенью однородности pd. Это показывает, что pd является характером
однородности многообразия V.
Пусть теперь 8 — любой характер однородности многообразия V,
а И5»—многообразие в пространстве Sns, имеющее общую точку
(№1.....С(3))	над полем К- Мы докажем теорему I, показав, что
О	П5
многообразие бирационально эквивалентно многообразию V и
является проективно нормальным. Так как есть элемент из 3,
имеющий степень однородности 8, то он является линейной комбина-
цией элементов .... С(8) с коэффициентами из К- Без ограниче-
ния общности мы можем считать, что Со> = ('со)’!- Элемент. т1(т0),’“1
из 3 ПРИ любом i имеет степень однородности 8. Следовательно,
Поэтому
а значит,
W*0.........TjT0).C^/:(06), .... ф1о’).
С другой стороны, является элементом поля Е*, имеющим
степень однородности нуль. Следовательно, он содержится в S, а
значит,
.....С(„>(ой)) с ...........т„/г0) = S.
Отсюда вытекает, что
WW..... У№) = Ъ-
Но поле	.....^/Со)), является полем функций многообра-
зия И5). Таким образом, многообразия V и V(8> имеют одно и то же
поле функций, т. е. они бирационально эквивалентны.
Поле Е<8> =/((С®’> •••> Cng), .совпадающее с полем Е(С®’) = Е(то),
является чисто трансцендентным расширением поля функций S много-
образия И8\ При рассмотрении степеней однородности элементов
170
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
поля Е(8) (расширенного поля, связанного с многообразием ,У<8)) мы
должны считать С(о8) элементом степени однородности 1. Если С —
любой элемент из поля имеющий степень однородности р (р > 0),
то, ввиду соотношения Е(8> с Е* = £ (т0), его можно рассматривать
как элемент из Е*. В таком случае его степень однородности будет
равна ро. Если элемент является целым относительно ..., C^l,
то он будет целым и относительно 3* —	• • •  SJ> так как
/([Со', ..., с 3, а последнее кольцо состоит из элементов, целых
относительно 3*- Следовательно, С С 3- Но так как 3 есть характер
однородности многообразия V, а С имеет степень однородности рЗ
(как элемент поля S*), то С должен выражаться однородным много-
членом от бо1, ..., Сп? и поэтому должен лежать в /ПСо’......
Но любой элемент т] из £(3), целый относительно кольца /С[С(05), ...
• , CngJ, является суммой однородных элементов, каждый из кото-
рых будет также целым относительно этого кольца. Отсюда сле-
дует, что т] £/С[С(05), ..., и поэтому последнее кольцо цело-
замкнуто, а значит, многообразие У<8) проективно нормально.
Многообразие V(8> определяется многообразием V и характером
однородности 8 с точностью до проективного преобразования. Дей-
ствительно, И8) определяется М-модулем, состоящим из элементов
имеющих степень однородности 8. Система Со5), ..., является
линейно независимым базисом этого модуля. Если 'г/08), ..., к)(п8>—дру-
гой линейно независимый базис того же модуля, то п' — п8 и
= 2	(г’ = °...«»)>
4=о
”8
=	(» = 0, ..., n8),
4 = 0
где коэффициенты и принадлежат К. В таком случае мы
имеем
й,,=22«.АЛ’-
4 к
Но так как элементы С(8), . . ., линейно независимы над К, то
должно быть
п5
Za O'ijbjk — ^ik-
i=
Следовательно, матрицы (a4j) и (^) обе невырождены. Если —
многообразие в пространстве имеющее (т/оЧ .... своей общей
§ 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
171
точкой, то 'V(5) получается из проективным преобразованием
л=2м О’ = °..............."«)•
i
Следует отметить еще, что многообразие И8) не лежит ни в каком
линейном подпространстве пространства Sra.. В самом деле, если бы
оно лежало в гиперплоскости
с0г0 + с1г1 + •  • + cn~zn. = О,
то мы имели бы
с0--0 > 4“  • • +	= О,
в то время как по построению элементы CoS), •. •, с£'8 линейно неза-
висимы над полем К.
Многообразия И8*),	..., определяемые многообразием V и
соответствующие характерам однородности 8Р 62.......называются
производными нормальными многообразиями, соответствующими много-
образию V.
Рассмотрим теперь соотношение между двумя производными нор-
мальными многообразиями и И8'), полученными для многообра-
зия V. Прежде всего введем одно понятие, которое имеет смысл для
любого неприводимого многообразия U размерности d в простран-
стве Sn, независимо от того, будет ли U проективно нормальным
или нет. Снова обозначим через (1, ?р . .., ;ге) нормированную общую
точку многообразия U и предположим, что — неизвестное над
полем /(($р ..., En), a Tf —т0^. Точка (т0...т„)	является общей
точкой многообразия U. Элементы кольца /([т0, . . ., тге], имеющие
степень однородности k, где k — положительное целое число, соста-
вляют конечный /(-модуль. Пусть Со, • • • > Сп' —линейно независимый
/(-базис этого модуля. Без ограничения общности можно предпола-
гать, что Со = То и что элементы Сг являются произведениями элемен-
тов tj. Пусть U' — многообразие в пространстве Sn>, имеющее
общую точку (Со, ..., СП')- Тогда, как мы видели выше,
/((^.......тп/то) = /((С1/Со..Ся-/Со),
т. е. многообразие U' бирационально эквивалентно многообразию U.
Рассмотрим соответствие С между пространствами Sn и Sn>, задан-
ное в пространстве Sn,n> общей точкой (т, С). Многообразия U и
U' являются соответственно многообразием-прообразом и многообра-
зием-образом этого соответствия. Покажем, что каждой точке мно-
гообразия U в этом соответствии отвечает однозначно определенная
точка на U', а каждой точке многообразия U' — однозначно опре-
деленная точка на U. В таком случае говорят, что между много-
образиями U и U' установлено взаимно однозначное соответствие
без исключений.
172
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Так как U' и U являются многообразиями-образом и -прообра-
зом в определенном выше соответствии, то каждой точке любого из
них соответствует по крайней мере одна точка другого. Пусть
Сj = fi (т0, ..., тп), где многочлены /г (х0, . .., хп) однородны и
имеют степень k. Покажем прежде всего, что ни одна собственная
специализация элементов т не может обращать в нуль соответствую-
щую ей специализацию всех элементов /{(т0.......т„) одновременно.
В самом деле, при I = 0, . . ., п можно записать
п'
j=o
Но для любой специализации f элементов т хотя бы одно значение
отлично от нуля, и для этого р мы имеем
п’
J = 0
откуда и следует требуемое.
Далее, если (х0....хп) и (z0......zn’)— координатные системы
в пространствах Sn и , то среди уравнений соответствия С имеются
уравнения
(/,/ = 0, ..., п).
Но ввиду того, что ни для одной точки х' многообразия U не вы-
полняются одновременно равенства
/.(х') = 0	(4 = 0, .... д'),
написанные выше уравнения показывают, что каждой точке х' много-
образия U соответствует однозначно определенная точка на U'.
Для доказательства того, что каждой точке многообразия U'
соответствует единственная точка на U, рассмотрим любую специа-
лизацию z' = (z't .. ., z'n,) точки С. Хотя бы один из элементов z\,
например отличен от нуля. Положим
Ср = /р(?0,..., •:„) = •#...#
и выберем индекс j так, чтобы было kj > 0. Так как элементы
однородны и имеют степень k, то мы должны
иметь
п1
...Лт. = 2адк (4 = 0,..., Д),
где Ьл £ К, Ь3-у = 0 при А =£ р и = 1. В таком случае соответствие
С удовлетворяет уравнениям
—х;5^>А = 0	(4 = 0, ...,д),
$ 3, ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
17.3
из которых следует, что точка (х', .... х^), где
x'i = 2
х=о
является единственной точкой многообразия U, соответствующей
точке г'.
Таким образом, соответствие между многообразиями U и U' ока-
зывается взаимно однозначным без исключений. Многообразие U'
называется образом многообразия U при преобразовании с помощью
гиперповерхностей порядка k.
Очевидно, что если 8 есть характер однородности многообразия V,
a k — любое положительное целое число, то многообразие Ик8>
является образом многообразия У<8> при преобразовании с помощью
гиперповерхностей порядка k. Если У<8) и У(8'>— два производных
нормальных многообразия, Д — общее наименьшее кратное чисел 8
и о' и
Д = еб — е'<>',
то У<л) является образом И8' при преобразовании с помощью гипер-
поверхностей порядка е и одновременно образом при преобра-
зовании с помощью гиперповерхностей порядка е'. Из доказанного
следует также, что соответствие между многообразиями И8) и V<8')
будет взаимно однозначным без исключений. Следовательно, доказана
Теорема II. Если У<8) и У<8')— производные нормальные мно-
гообразия для некоторого многообразия V, соответствующие
характерам однородности 8 и 8', и если ±~еЬ = е'ь'— общее
наименьшее кратное чисел 8 и 8', то образ многообразия И8) при
преобразовании с помощью гиперповерхностей порядка е проек-
тивно эквивалентен образу У<8') при преобразовании с помощью
гиперповерхностей порядка е'. Между точками многообразий У<й>
и И8') существует взаимно однозначное соответствие без исклю-
чений.
Предположим теперь, что многообразие V проективно нормально
в пространстве Sn, а Ап — любое аффинное пространство, получен-
ное из Sn (конечно, при том ограничении, что V не лежит целиком
на бесконечно удаленной гиперплоскости пространства А„). Покажем,
что в таком случае V будет аффинно нормальным в Ап.
Если в качестве бесконечно удаленной гиперплоскости взята ги-
перплоскость
сохо + • • • + спхп —
то областью целостности многообразия V в Ап будет
174
гл. xvi. Арифметическая теория многообразий
Пусть т] — любой элемент поля частных кольца 3- целый относи-
тельно 3- Тогда существует такое целое число р (р > 0), для кото-
рого элемент С=я(2 СЛ)Р будет целым относительно 3*=ЛГ[т0,. • •> vJ-
Но так как многообразие V проективно нормально, то С будет не-
которой формой /(т0.......хп) над полем К, имеющей степень р.
Следовательно,
' Zj Wi	ci'i /
а значит, многообразие V аффинно нормально в пространстве Ап.
Таким образом, справедлива
Теорема III. Пусть многообразие V проективно нормально
в пространстве Sn, а Ап — аффинное пространство, получаемое
из Sn. Если гиперплоскость, принимаемая в качестве бесконечно
удаленной при построении пространства Ап, не содержит много-
образия V, то это многообразие аффинно нормально в про-
странстве Ап.
Мы можем теперь воспользоваться теоремой II § 5 и вывести из
нее следующую теорему:
Теорема IV. Каждое неприводимое многообразие размерности
d — 1, лежащее на проективно нормальном многообразии V раз-
мерности d, является простым подмногообразием V.
Из теорем I и IV в качестве частного случая вытекает следующее
предложение:
Теорема V. Любое неприводимое многообразие размерности 1
может быть бирационально преобразовано в многообразие, все
точки которого просты.
Читателю может показаться правдоподобным предположение о том,
что имеет место обращение теоремы III. Именно, если V—много-
образие в пространстве Sn, такое, что при любом переходе от 5„
к аффинному пространству Ап многообразие V оказывается аффинно
нормальным в А„, то оно будет проективно нормально в Sn. Однако,
как показывает следующий пример, это предположение неверно. Рас-
смотрим в S:! многообразие V, имеющее общую точку (1, t, t', t*),
где t—-неизвестное над основным полем К. Читатель может про-
верить, что все точки этого многообразия являются простыми, а
значит, кольцо частных любого нульмерного подмногообразия много-
образия V будет целозамкнутым. Если мы перейдем к любому аф-
финному пространству А.., то область целостности многообразия V
в А., будет пересечением колец частных нульмерных подмногообра-
зий на V (гл. XV, § 5, теорема X) и поэтому будет целозамкнутой.
Поэтому V аффинно нормально в Аа. Мы покажем, однако, что V
не является проективно нормальным в S3. Пусть т0 — неизвестное
над полем функций K(t) многообразия V. Положим xof,
= т0Г3, т3 — т0^4. V будет проективно нормальным в том и только
в том случае, если кольцо /С[т0,	т2, т3] целозамкнуто в его поле
g 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЙ МНОГООБРАЗИЯ
175
частных К(т0, t). Но если мы положим С = то будем иметь
Са = (if/)2 = т0т3. Следовательно, элемент С является целым над коль-
цом K’l'to, т1, т2, т3]. Но так как С не принадлежит этому кольцу,
то многообразие V не является проективно нормальным.
Дело в том, что аффинная нормальность многообразия при любом
выборе бесконечно удаленной гиперплоскости является, по существу,
локальным свойством, т. е. может быть выражена с помощью
свойств подмногообразий (как. мы и сделали в предыдущем примере).
Свойство же многообразия быть проективно нормальным есть свой-
ство многообразия в целом.
Следукицая теорема будет использована для получения новой
характеристики проективно нормального многообразия. Однако она
довольно важна и сама по себе.
Пусть V—алгебраическое многообразие размерности d и порядка g
в пространстве Sn, и пусть (т0..ти) — общая точка для V, причем
координата т0 трансцендентна над полем функций Е = К.... тп/т0)
многообразия V. Допустим, что V* — неприводимое многообразие
в пространстве Sm, бирационально эквивалентное многообразию V.
Координаты (т*, .... общей точки многообразия У* мы можем
выбрать из элементов поля Е(т0), имеющих степень однородности 1.
Если имеют место соотношения
т
= 2 а&з = Q............»)>
3=о
в которых элементы а^ принадлежат полю К, то мы будем говорить,
что V является проекцией многообразия V*.
Если элементы т0, ...,	удовлетворяют самое большее г линейно
независимым соотношениям вида
п
2 «/Ч = О,
о
то многообразие V лежит в пространстве (п — г) измерений и не
лежит в пространстве низшей размерности. Мы будем говорить, что
система сечений многообразия V гиперплоскостями полна, если
любое многообразие V* порядка g, проекцией которого является V,
также лежит в пространстве размерности п — г. Эта терминология
взята из теории линейных систем, играющей основную роль в теории
бирациональных инвариантов алгебраических многообразий, но нахо-
дящейся за пределами настоящей книги. Докажем следующую теорему:
Теорема VI. Система сечений многообразия V гиперплоско-
стями полна в том и только в том случае, если каждый эле-
мент поля Е(т0), имеющий степень однородности 1 и целый
относительно кольца ..........тп], лежит в этом кольце.
176
ГЛ. XVI. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ МНОГООБРАЗИЙ
Сделаем сначала преобразование координат в пространстве Sn так,
чтобы многообразие V лежало в подпространстве
%пг+1	> A-ft =" О
(здесь п' — п— г) и не лежало в подпространстве низшей размер-
ности. В таком случае V можно рассматривать как многообразие
в пространстве Sn>, имеющее общую точку (т0......тп-),	координаты
которой линейно независимы над К. Можно предполагать еще, что
элементы $г = т£/т0 удовлетворяют следующим условиям: (I) В1Г ..
являются алгебраически независимыми над К, (П) 5d+1, • • • > £»' являются
целыми над кольцом .... $d], причем каждый Ed+j служит при-
митивным элементом поля ............$„-) над полем /((Sp ..., ;d),
и (III) неприводимое уравнение, связывающее элементы	id+i,
имеет степень g и содержит член Эти условия можно выразить
в однородных координатах следующим образом: все элементы т£
(j = 0,	д')— целые над кольцом К\у0,	тД причем zd+i
является примитивным элементом поля K(z0, ....	над K(z0.....тД
а неприводимое однородное уравнение
f(t0.....=
связывающее т0, . . ., zd, zd+i, имеет степень относительно td+i и
полную степень, равные g. Пользуясь теоремой I § 9 гл. X, мы усма-
триваем, что неприводимое уравнение, связывающее Элементы т0, . . ., zd
п'
и т — S ал.-. будет однородным и имеет полную степень, самое боль-
о
шее, g, причем элемент т можно выбрать так, чтобы это уравнение
имело полную степень, точно равную g.
Если (т®, . ... т*) — общая точка многообразия V*, проекцией
которого является V, то мы имеем
(i = О, . . ., n ),
где матрица (a^) должна иметь ранг д'-|-1, так как элементы
г0, ..., t'n линейно независимы над полем К- Отсюда следует, что
в пространстве Sm мы можем выбрать систему координат так, чтобы
было — т! (/ = 0, . . ., д'), и в качестве общей точки многообразия V*
взять (т0, .... zm). Нам необходимо доказать следующие утверждения:
(I) Если многообразие V* имеет порядок g и если каждый элемент
поля К(т0, ..., тп>), имеющий степень однородности 1 и целый отно-
сительно кольца /С[т0, .... znr], лежит в этом кольце, то справед-
ливы соотношения
п'
in' +«= S btjtj (г = 1, .... т — д').
J=o
§ 6. Проективно нормальные многообразия
177
(II) Если существуют элементы поля К(х0,	хП')> имеющие
степень однородности 1 и целые относительно кольца АГ[т:0, ...» тп>],
но не лежащие в этом кольце, то можно найти многообразие V*,
имеющее V своей проекцией и не лежащее в n'-мерном пространстве.
(I)	Так как Td+1 является примитивным элементом поля /<(т0, ...,:„')
над	Td), а Тп'+г лежит в более широком из этих полей,
то элемент т = аха+1 ЪхП' +1 будет примитивным элементом при
всех значениях отношения ajb из поля К, кроме конечного числа
исключительных. Мы выберем значения а, b из К так, чтобы было
и чтобы элемент т оставался примитивным. Тогда неприводимое
уравнение, связывающее элементы т0, ..., Td, т, будет иметь степень
относительно т, точно равную g. Кроме того, так как порядок много-
образия V* равен g, то упомянутое уравнение должно иметь полную
степень, не превосходящую g. Отсюда мы заключаем, что это уравне-
ние имеет вид
t'+ZMto........Т(г)т»-1+...+^(То, .... Td)==o,
где ВДт) £ К[т0, .... хП']. Далее, т есть элемент поля 2(т0) со сте-
пенью однородности 1, а написанное выше уравнение показывает,
что элемент т—целый над кольцом /С[*ё0, ..., тп/]. Так как, по
условию, любой элемент поля S(i0), имеющий степень однород-
ности 1 и целый относительно кольца /С[т0, •••> ’»']. содержится
в этом кольце, то
т €	..., тП’ ].
Но в силу того, что t однороден степени 1, должно быть
п’
• = aTd+14~ btn> +i = 2 ctfj-
Следовательно,
п'
^п' +i = 2 bifa’
3 = 0
так как Ь^О. Тем самым утверждение (I) доказано.
(II) Если в поле 2(т0) существует элемент т, имеющий степень
однородности 1 и целый относительно кольца К [т0, ..., тп-], но не
лежащий в нем, то элементы т0, ..., т будут линейно незави-
симыми над К и однородными степени 1. Отсюда вытекает, что
многообразие V* в пространстве Sn'+i> имеющее общую точку
(т0, ...,	, т), не лежит в подпространстве меньшей размерности
и имеет многообразие V своей проекцией. Для доказательства утвер-
ждения (II) осталось показать, что многообразие V* имеет порядок g.
п'
Пусть т = at -j- 2 aiti, где a, a0, ..., an> — элементы поля К.
i=0
Тогда, ввиду целости элемента т относительно кольца /C[t0....тга-],
х также будет целым над этим кольцом. Но, по условию, элементы
Td+1, ..., хП'—целые над кольцом /С[т0........тй]. Следовательно,
12 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
178
гл. xvi. Арифметическая теория многообразий
х также будет целым над /([То, .... td], «поэтому существует одно-
родное уравнение вида
Р(Ъ.....x) = ? + Bx(t0........^)?-1+...+вр(То........Td)=0,
связывающее элементы т0, ..., ха, х. Но так как х есть элемент поля
2(т0), являющегося расширением степени g поля /С(т0, ...,тй), то
неприводимое уравнение
Ж.......td, 7) = 0,
связывающее т0, .... xd, т, должно иметь степень относительно t,
не превышающую g. Многочлен F (t0......td, t) содержит f(t0...td, ~t)
своим множителем. Следовательно, коэффициент старшей степени 1
в многочлене f(tQ...td, ~t) должен принадлежать полю К- Поэтому можно
предполагать, что многочлен F(t0, ..., td, t) неприводим и что
Кроме того, для некоторых х, например при а = ^ = 0 (z^d-J-1),
степень р должна быть точно равной g. Теперь из теоремы 1 § 9 гл. X
следует, что многообразие V* имеет порядок g. Теорема VI доказана.
Мы воспользуемся этим результатом, чтобы доказать следующее
предложение:
Теорема VII. Многообразие V в пространстве Sn проективно
нормально в том и только в том случае, если образ многообразия V
при преобразовании с помощью гиперповерхностей порядка h при
любом значении h имеет полную систему сечений гиперплоскостями.
Предположим сначала, Что многообразие V проективно нормально.
Тогда каждое положительное целое число h является характером
однородности для V. Поэтому образ ИА> многообразия V при пре-
образовании с помощью гиперповерхностей порядка h будет проек-
тивно нормальным. Но отсюда, в силу теоремы VI, следует, что
система сечений ИА> гиперплоскостями является полной.
Наоборот, предположим, что V не является проективно нормаль-
ным. Тогда в поле /С(т0......тп) существует элемент х, имеющий
некоторую степень однородности h (Л > 0), целый относительно
/С[т0....тп], но не содержащийся в этом кольце. Построим образ VW
многообразия V при преобразовании с помощьк гиперповерхностей
порядка h. Пусть (т^, ...,	— общая точка У(й). Без ограничения
общности можно считать, что т(ой) = (т0)й. При рассмотрении много-
образия Ий) мы должны считать, что элемент х^ имеет степень
однородности 1. Так как элемент т/г(ой) = 7/(т0)й принадлежит полю
функций многообразий V и ИА), то он имеет степень однородности
нуль как относительно многообразия V, так и относительно ИА).
Отсюда следует, что элемент х имеет степень однородности 1 отно-
сительно многообразия ИА). Но так как т удовлетворяет уравнению
J + ai (Ъ ••••	(х0, .... 0 = 0,
a,G)€A'[-c0> . .., т„],
§ 6. ПРОЕКТИВНО НОРМАЛЬНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
то, приравнивая члены, имеющие одну и ту же степень однородности,
мы усматриваем, что можно считать а»(т) формами степени ih. Следо-
вательно, т является целым относительно кольца К[$\ .... 4^].
Но так как
/Ый)......тЭД £ Kho.......т„]
и т не принадлежит /Срсо» ти], то отсюда следует, что в поле
K(x(q>....т’п^) существует элемент степени однородности 1 (отно-
сительно многообразия целый относительно .... и
не содержащийся в этом кольце. Следовательно, в силу теоремы VI,
система сечений многообразия V(h) гиперплоскостями не будет полной.
Полученные в этом параграфе результаты дают читателю неко-
торое представление о специфических свойствах нормальных много-
образий. Дальнейшее изложение покажет, что при изучении бирацио-
нальных инвариантов алгебраического многообразия проективно нор-
мальные многообразия играют основную роль. Говоря кратко, мы
обнаружим, что наилучший подход всегда состоит в переходе от
заданного многообразия V к производному нормальному многообра-
зию в установлении связи между этими многообразиями и в по-
следующем изучении проективно нормальных многообразий. Имеются
два рода свойств, делающих проективно нормальные многообразия
наиболее удобными для изучения: (I) локальные свойства, концентри-
рующиеся вокруг целозамкнутости колец частных неприводимых под-
многообразий (для этого достаточна аффинная нормальность, если
только рассматриваются подмногообразия, не лежащие на бесконечно
удаленной гиперплоскости), и (II) свойства в целом, описываемые
теоремой VII. В дальнейшем мы всегда будем строить проективно
нормальные многообразия, помня, что такие многообразия будут
аффинно нормальными при любом выборе бесконечно удаленной
гиперплоскости. Обычно мы будем называть проективно нормальные
многообразия просто нормальными.
12*
Глава xvii
ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Понятие нормирования поля функций уже рассматривалось в каче-
стве примера в § 5 гл. XVI. Оно является обобщением понятия ветви
кривой в классической алгебраической геометрии и играет основную
роль в теории бирациональных преобразований. В этой главе мы при-
ступаем к изложению общих свойств нормирований, а в гл. XVIII
перейдем к некоторым приложениям. Мы начнем с рассмотрения
основных свойств нормирований любых полей и лишь впоследствии
обратимся к специальному изучению нормирований полей алгебраиче-
ских функций. В этом случае мы будем считать основное поле К не
имеющим характеристики, но не обязательно алгебраически замкнутым.
§ 1. Упорядоченные абелевы группы
В § 1 гл. I мы определили абелеву группу как группу, в которой
закон композиции коммутативен. Мы упоминали также о том, что
в абелевой группе закон композиции часто записывается как сложение
и что в таком случае группа называется аддитивной. В этом пара-
графе мы рассматриваем аддитивную группу Г с элементами а,Ь,с.
Предположим, что элементы из Г, отличные от нуля, разбиты на
два непересекающихся множества Гр и Гп. Если а принадлежит Гр,
то мы будем писать о>0, если же а — элемент из Гп, то мы
будем писать а < 0. Таким образом, каждый элемент х группы Г
удовлетворяет одному и только одному из соотношений
х > 0, х — 0, х < 0.
Элементы из Гр называются положительными, а из Гп — отрица-
тельными. Разбиение отличных от нуля элементов группы Г на два
множества Гр и Г„ называется упорядочением группы Г, если выпол-
нены следующие условия:
(I) из а < 0 следует —а > 0;
(II) иза>0иА>0 следует а -(-/>> 0.
Мы займемся в этом параграфе элементарными свойствами упо-
рядоченных аддитивных групп.
(1)	Докажем, что если а > 0, то —а<0. Очевидно, что элемент — а
не равен нулю. Если бы было —а > 0, то мы имели бы, в силу
свойства (II), 0 = а-]-(—а)>0, т. е. 0 принадлежал бы Гр, вопреки
g 1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
181
определению последнего множества. Следовательно, — а отличен от
нуля и не принадлежит Гр. Поэтому он должен принадлежать Гп.
(2)	Если а — b > 0, то мы будем писать а > Ь. Покажем, что опре-
деленное таким образом отношение транзитивно. Предположим, что
а > Ь и /> > с. Тогда
а — /> > О и b — с > 0.
Следовательно, в силу (II),
а — с — (а — Ь) (Ь — с) > О,
т. е.
а
с.
Аналогично, если а — & < 0, то мы будем писать а < Ь. Можно
показать, что отношение < также транзитивно и что соотношение
а < b равносильно соотношению b > а.
(3)	Пусть а > b и с — любой элемент из Г. Тогда
(а с) — (Р с) — а — Ь> О,
т.
е.
а-\-с > b4-с.
(4)	Если а — элемент из Г, отличный от нуля, и если через па
обозначить сумму п слагаемых, каждое из которых равно а, то равенство
та —па (т> п) влечет за собой (т — п) а = 0 и (т — п) (— а) = 0.
Предположим, что а > 0. Тогда, в силу свойства (II), должно быть
2а = а -|- а > 0,
За — 2а4~а > 0>
(т — п)а> 0,
и мы получаем противоречие. Аналогично, если а < 0, а значит,
— а > 0, то мы получим соотношение (/и — п) (—а) > 0. Таким обра-
зом, и в случае а > 0, и в случае а < 0 из равенства та — па при
мы получаем противоречие. Следовательно, элементы 0, ±а,
±2а, ... все различны. В частности, любая упорядоченная группа,
не состоящая только из нулевого элемента, содержит бесконечное
множество элементов.
Можно привести несколько примеров упорядоченных аддитивных
абелевых групп.
(а)	Любая подгруппа аддитивной группы действительных чисел
при обычном определении положительных и отрицательных чисел будет
упорядоченной. В частности, является упорядоченной аддитивная группа
целых чисел.
182
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИИ
(б)	Пусть Г и Г' — две упорядоченные аддитивные группы, и
пусть а, Ъ, с, ...—элементы Г, а а', Ь', с', ...—•элементы Г'.
Рассмотрим пары вида (а, а'), состоящие из некоторого элемента а
группы Г и некоторого элемента а' группы Г'. Из этих пар построим
группу Г*, определив закон сложения формулой
(а, а') + (^ b’} — {a-\-b, а' -j-У).
Легко проверить непосредственно, что Г* является аддитивной груп-
пой. Мы будем называть ее прямой суммой групп Г и Г'. Как легко
видеть, нулем группы Г* является пара (0,0). Будем говорить теперь,
что (а, а') > 0, в том и только в том случае, если либо а > 0, либо
а = 0 и а’ > 0. Докажем, что этим определено упорядочение группы Г*.
Если (с, а') — любой отличный от нуля элемент из Г*, то либо
(а, а') > 0, либо а < 0, либо же а — 0 и а’ < 0. Следовательно,
либо (а, а') > 0, либо — (а, а') = ( — а, — а') > 0. Таким образом,
выполнено условие:
(I) Если (а, а') <0, то — {а, а') > 0.
(II) Предположим, что (а, а') > 0 и (Ь, д') > 0. Если при этом
а>0 или b > 0, то а-|-6>0. Следовательно, в этом случае"
(а, а')-[-(&, b') = (a-[-b, а' —д') > 0. Если же а = 0 и Ь = 0, то
должно быть а' > 0, Ь' > 0, а значит, (а, а') -|- (Ь, Ь') = (0, а' Ь') > 0.
Следовательно, группа Г* удовлетворяет условиям, наложенным на
упорядоченные группы. Если отвлечься от упорядочения, то группа Г*
определяется через группы Г и Г симметрично. Однако в определе-
нии упорядочения Г занимает привилегированное место. Если мы
поменяем ролями группы Г и Г', то получим другое упорядочение
группы Г*.
Если задано любое конечное множество Гр .... Гг аддитивных
групп, то простой индукцией можно определить прямую сумму Г*
этих групп. Если каждая из групп Гр ..., Гг упорядочена, то можно,
как и выше, определить упорядочение группы Г*, соответствующее
заданному расположению групп 1\.......Гг. Таким образом, можно
получить г! различных упорядочений группы Г*.
Рассмотрим теперь любую упорядоченную аддитивную группу Г.
Группа Г называется архимедовски упорядоченной, если для любой
пары положительных элементов х и у из Г существуют такие целые
числа т, п, для которых
тх > у, пу> х.
Ясно, что любая подгруппа упорядоченной группы действительных
чисел является архимедовски упорядоченной. С другой стороны, если
Г* — прямая сумма двух упорядоченных аддитивных групп Г и Г',
определенная в примере (б), то Г* не будет архимедовски упорядо-
S 1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
183
ченной. Действительно, если х = (а, а'), где а > 0, и у = (О, Ь'),
где Ь' > 0, то элементы х и у положительны, причем
(а, а') = х> пу — (0, nb')
для любого целого числа п.
Теорема I. Каждая архимедовски упорядоченная аддитивная
группа Г изоморфна некоторой подгруппе аддитивной группы дей-
ствительных чисел.
Если Г состоит только из нуля, то теорема тривиальна. Если Г
состоит не только из нуля, то в ней необходимо содержится хотя бы
один положительный элемент. Пусть а — один из положительных эле-
ментов группы Г, а b — любой другой ее положительный элемент.
Рассмотрим совокупность Rb упорядоченных пар (гаг, п) положительных
целых чисел, для которых
ma'^nb.
Если (гаг, п)— любая пара положительных чисел, а г — произвольное
положительное целое число, то
та nb или та < nb
в зависимости от того, выполняется ли неравенство
г та	rnb или г та < rnb.
Пусть теперь X — произвольное положительное рациональное число.
Если X = т!п-= p/q, где т, п, р, q — положительные целые числа,
то из сформулированного выше свойства непосредственно видно, что
пара (гаг, п) принадлежит совокупности Rb тогда и только тогда,
когда пара (р, q) принадлежит Rb. Если пара (гаг, га) принадлежит Rb,
то мы будем говорить, что рациональное число А принадлежит сово-
купности сЯь. Докажем, что сЛь определяет дедекиндово сечение,
а значит, и действительное число, которое мы обозначим через Ь. Прежде
всего, не все положительные рациональные числа принадлежат сово-
купности сЛ6. В самом деле, так как группа Г архимедовски упоря-
дочена, то найдется такое положительное число га, для которого
а < nb. Отсюда следует, что 1/га не принадлежит еЛь.
Далее, если X = гаг/га принадлежит eHb, а р — r/s > X, то р также
принадлежит сЛь, так как из соотношения X£eR6 мы получаем
та nb.
Следовательно, в силу соотношения
(гаг — ms') а > О,
будет
п (га — sb) = (гаг — ms) a-j-s (та — nb) > О,
184
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
и поэтому
га '> sb,
так что у. принадлежит Жь.
Эти два результата показывают, что cRft является верхним классом
дедекиндова сечения, определяющего некоторое положительное дейст-
вительное число Ь. Тем самым при фиксированном а каждому поло-
жительному элементу х из Г поставлено в соответствие положительное
действительное число х. Очевидно, что при этом а = 1. Определим теперь
действительное число .у, соответствующее отрицательному элементу у
из Г, формулой
J = —(—Д')
и поставим в соответствие нулевому элементу группы Г число нуль.
Покажем, что действительные числа, являющиеся образами элементов
из Г, образуют подгруппу А аддитивной группы действительных
чисел и что при обычном упорядочении группы А отображение Г на А
является изоморфизмом, сохраняющим порядок.
Докажем прежде всего, что если х и у — любые элементы из F,
а х и у — соответствующие им действительные числа, то элементу
х-^у соответствует число хЦ->. Это ясно, если х или у будет
нулем. Следовательно, достаточно рассмотреть три случая: (I) х > О,
у > О, (II) х < 0, у < 0 и (III) х vi у имеют различные знаки.
(I)	Если х > 0 и у > 0, то х-}->> 0. Кроме того,, по определе-
нию, х > 0, у'у> 0, х-\-у > 0. Предположим, что
*+Д'Хх+Д')-
Тогда существуют такие рациональные числа л = p/q и р = rjs, что
л < х, р<>,	> (x-f-jz).
Первые два из этих соотношений показывают, что
ра < qx, га < sy.
Следовательно,
(ps + qr) а < qs (х+у),
т. е.
X —р (х --|— у).
Таким образом, мы получили противоречие. Аналогично, если мы
предположим, что
х+д'<(х4-д')>
то также придем к противоречию. Следовательно.
S 1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
185
(II)	Если х < 0, у < 0, то мы имеем
(х	у) = — (— х — у) = — (—х) — (—у) = х+у.
(III)	Предположим, например, что х > 0, у 0. Если х-|~у>-0,
то мы имеем
*	+ > + (— у) = х.
Следовательно, в силу (I),
*	+ .У4-(—.У) = *,
и поэтому
X + у = X — (— у) = х + у.
С другой стороны, если x-f-y<0, то
—(*+>)+•* = — У,
и поэтому
— (х-]-у) + х = —у,
т. е.
Таким образом, Д является подгруппой аддитивной группы дей-
ствительных чисел. Если бы установленное гомоморфное отображение
группы Г на А не было изоморфизмом, то в Г существовал бы не-
нулевой элемент, отображающийся на нуль из Д. Но таких элементов
не существует, так как при х > 0 будет х > 0, а при х < 0 должно
быть х < 0. Наконец, в силу того, что положительные элементы из Г
соответствуют положительным элементам из Д и обратно, определен-
ный нами изоморфизм группы Г на Д сохраняет порядок.
Полученный изоморфизм группы Г и некоторой подгруппы адди-
тивной группы действительных чисел зависит от выбора элемента а
из Г, отображающегося на число 1. Если мы выберем другой элемент,
например Ь, в качестве элемента, отображающегося на единицу, то
получим другую подгруппу Д' группы действительных чисел. Если
при отображении Г на Д' элемент а отображается на действительное
число р, то образом любого элемента х из Г в группе Д' будет
число рх, где х есть образ х в группе Д. Если Г отображается на
подгруппу группы действительных чисел описанным выше образом
так, что элемент а отображается на число 1, то группа Г называется
нормализованной относительно этого элемента.
При рассмотрении упорядоченных аддитивных групп мы всегда
можем заменять группу любой изоморфной группой с подобным
упорядочением. В частности, мы будем обычно представлять архиме-
довски упорядоченные группы подгруппами аддитивной группы дей--
ствительных чисед,
186
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Рассмотрим теперь аддитивную группу Г, упорядочение которой
не является архимедовским. В этом случае в Г найдутся положитель-
ные элементы £ и 7], такие, что соотношение Е > гат| имеет место для
всех целых чисел п > 0. Рассмотрим теперь при фиксированном $
совокупность всех положительных элементов т| из Г, удовлетворяющих
условию $ > пт) при всех целых п > 0. Если и -q2 — два элемента
этой совокупности, причем, например, тц^т^, то
-> 2дт]1 >»(-q1 + 'q.2)
при всех п > 0. Таким образом, рассматриваемая совокупность зам-
кнута относительно сложения. Аналогично,
5 >« (-61 + Чз) >« (^i —-Пв) >«(—’Пт —'По-
следовательно, подгруппа Г' группы Г, порождаемая нашей совокуп-
ностью, имеет то свойство, что 5 > trq для любого целого положи-
тельного числа п и любого элемента -q из Г'. Подгруппа Г' обладает
также свойством, заключающимся в том, что если -q — любой поло-
жительный элемент из Г', а — любой положительный элемент из Г,
меньший iq, то -q' принадлежит Г'. В самом деле, в таком случае
$ > «-q > пч\' для любого целого положительного п.
Подгруппа Д некоторой упорядоченной аддитивной группы Г назы-
вается изолированной, если для любых элементов -q и т)Л из Г, удо-
влетворяющих условию -q > т]' > 0, из включения 7] £ Д следует, что
7]' £Д. Из сказанного выше ясно, что в том случае, когда упорядо-
чение группы Г не является архимедовским, группа Г необходимо
содержит собственную изолированную подгруппу. С другой стороны,
если Г упорядочена архимедовски, то ее можно рассматривать как
подгруппу аддитивной группы действительных чисел. Если Д — изоли-
рованная подгруппа группы Г, не состоящая только из нуля, и если
т]—положительный элемент из Д, а С — любой положительный эле-
мент из Г, то ясно, что найдется целое число п, удовлетворяющее
условию С<пт]. Так как т|£Д, то и пт]£Д, а значит, изолированная
подгруппа Д должна содержать и элемент С, меньший пт]. Следова-
тельно, должно быть Д = Г. Таким образом, имеет место
Теорема II. Упорядочение аддитивной группы является не-
архимедовским тогда и только тогда, когда рассматриваемая
группа содержит собственные изолированные подгруппы.
В приведенном выше примере (б) упорядоченная группа Г* являлась
прямой суммой упорядоченных аддитивных групп Г и Г'. Легко видеть,
что элементы группы Г*, имеющие вид (0, а'), образуют изолирован-
ную подгруппу.
Рассмотрим некоторые свойства изолированных подгрупп упорядо-
ченной аддитивной группы Г. Если Д — любая подгруппа группы Г,
то мы можем воспользоваться ею для разбиения элементов группы Г
на классы эквивалентных элементов: два элемента аи а' из Г назы-
ваются эквивалентными относительно Д, если разность а — а’ содер-
§ 1. УПОРЯДОЧЕННЫЕ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ
187
жится в Л. В частности, элементы, эквивалентные нулю, являются
элементами подгруппы Д. Определенное так отношение является истин-
ным отношением эквивалентности, так как оно рефлексивно, симме-
трично и транзитивно. Обозначим через (а) совокупность элементов
группы Г, эквивалентных элементу а. Тогда равенство (а) = (а') имеет
место в том и только в том случае, если элемент а эквивалентен а'.
Если а эквивалентен а', а b эквивалентен Ь', то разность
[а ~\-Ь ] — \а' + Ь'\ = [а — а'\ + [6 — Ь'\
принадлежит Д, так как а —а' и Ь — Ь' лежат в Д, а Д является
группой. Отсюда следует, что класс (а-\-Ь) однозначно определяется
классами (а) и (Ь). Поэтому можно определить сложение классов
эквивалентных элементов формулой
(«) + (*) = (« + *)•
Определенное так сложение классов, очевидно, ассоциативно и ком-
мутативно. Если (а) и (Ь) — любые классы и (с) = (Ь — а), то оче-
видно, что класс (с) является решением уравнения
(а) + х = (й).
Таким образом, принятое определение сложения делает классы эле-
ментов группы Г, эквивалентных относительно Д, элементами аддитив-
ной группы. Эта группа называется, фактор-группой группы Г по
подгруппе Д и обозначается через Г/Д. Нулем группы Г/Д является
класс (0), т. е. совокупность элементов группы Д.
Если группа Г упорядочена, а Д является изолированной подгруп-
пой группы Г, то мы можем определить упорядочение группы Г/Д
следующим образом. Рассмотрим любой ненулевой элемент (а) из Г/Д.
Предположим, что (а) содержит положительный элемент а из Г.
В таком случае для любого положительного элемента ц из Д будет
а > -q, так как в противном случае из определения изолированной
подгруппы следовало бы, что а принадлежит Д, а значит, (а) = 0.
Поэтому а будет большим, чем любой элемент из Д. Любой другой
элемент класса (а) имеет вид а±г\, где т] — неотрицательный элемент
из Д. Но так как а больше, чем любой элемент из Д, то azfcт] > 0,
и поэтому любой элемент класса (а) положителен и больше любого
элемента из Д. В этом случае мы будем писать, что (а) > 0. Анало-
гично, если класс (#)¥=0 содержит отрицательный элемент, то можно
показать, что каждый элемент этого класса отрицателен и меньше
любого элемента из Д. Будем писать в таком случае (6) < 0. Этим
самым мы разбили отличные от нуля элементы группы Г/Д на непере-
секающиеся классы положительных и отрицательных элементов. Оче-
видно, что при этом:
(1) если (а) < 0, то — (а) = (— а) > 0;
(II) если (а) > 0, (6) > 0, то (a = (а)	> Q.
188
ГЛ, XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Следовательно, мы определили упорядочение группы Г/Д, так что
справедлива
Теорема III. Если Д — изолированная подгруппа группы Г,
то фактор-группа Г/Д является упорядоченной аддитивной группой.
Докажем теперь такую теорему:
Теорема IV. Если Дх и Да — изолированные подгруппы группы Г,
то либо Дх содержит Д2, либо Д2 содержит ДР Если Дх э Д2, то
фактор-группа Дх/Д2 является изолированной подгруппой группы Г/Д2.
Теорема тривиальна, если Дх совпадает с Д2. Следовательно, можно
предполагать, что одна из заданных подгрупп, например Др содержит
элемент av не содержащийся в Д2. Элемент а{ отличен от нуля, так
как он не принадлежит Д2. Далее, •—аг также является элементом
подгруппы Др не принадлежащим Д2. Поэтому без ограничения общ-
ности можно считать, что > 0. Пусть теперь а2 —любой положи-
тельный элемент из Д2. Если бы было «2^-о1( то, в силу изолиро-
ванности подгруппы Д2, было бы также а}£к2, вопреки условию.
Следовательно, аа<«Р Но так как подгруппа Дх— также изолиро-
ванная, то элемент а.2 должен принадлежать ДР Таким образом, каждый
положительный элемент из Да принадлежит ДР А так как Дх и Д2
обе являются группами, то отсюда следует, что и любой элемент из Д2
принадлежит Др т. е. что Дх о Д2. Из определения изолированной
подгруппы видно, что Д2 является изолированной подгруппой группы ДР
Рассмотрим теперь элементы фактор-группы Г/Д2, получаемые из
элементов группы Г, лежащих в ДР Если а принадлежит Дх и а' — а
принадлежит Д2, то элемент аг — а' — а-\-а принадлежит Др так как
Д2с ДР Следовательно, если элемент а принадлежит Др то любой
эквивалентный ему относительно подгруппы Да элемент из Г также
принадлежит ДР Таким образом, элементы из Дх распадаются на
такие классы эквивалентности относительно подгруппы Д2, что каждый
класс является полным классом эквивалентности в группе Г (относи-
тельно погруппы Д2). Эти классы образуют подгруппу группы Г/Д2,
очевидно, изоморфную группе Д1/Д2 и могущую быть отождествленной
с последней. Если (а)— любой положительный элемент из Дх/Д2,
а (Ь) — положительный элемент из Г/Д2, удовлетворяющий условию
(«)>(#), то а>£>0, причем а содержится в ДР Поэтому и b
должен содержаться в Др а значит, (Ь) должен принадлежать фактор-
группе Дх/Д2. Таким образом, Дх/Д3 является изолированной подгруп-
пой группы Г/Да.
Пусть теперь Д2 — любая изолированная подгруппа группы Г,
а Г* — изолированная подгруппа группы Г/Д2. Рассмотрим совокуп-
ность элементов из Г, соответствующих элементам подгруппы Г* при
отображении Г на группу Г/Д2. Если а и b — два таких элемента,
то элементы а-\-Ь и —а будут отображаться соответственно на
(а) -{-(#) и — (а). Но эти классы принадлежат Г*, и поэтому элементы
группы Г, отображающиеся на элементы из I1*, образуют подгруппу Дх
группы Г, Так как элементы из Д2 отображаются на элемент из Г*
S i. Нормирований пояй	189
(на нуль), то	Пусть теперь а — любой положительный эле-
мент из Дх, а b — положительный элемент группы Г, удовлетворяющий
условию а > Ь. В таком случае (а)>(й)>0, причем (а) принадлежит Г*.
Но так как Г* является изолированной подгруппой группы Г/Д2, то (Ь)
также должен принадлежать 1*, а значит, b должен принадлежать ДР
Поэтому At является изолированной подгруппой группы Г.
Мы установили, таким образом, взаимно однозначное соответствие
между изолированными подгруппами группы Г, содержащими заданную
изолированную подгруппу Д, и изолированными подгруппами фактор-
группы Г/Д. Легко видеть, что если Д' — любая изолированная под-
группа группы Г, содержащая Д, то (Г/Д)/(Д'/Д) ~ Г/Д'.
Мы будем заниматься дальше только случаем, когда группа Г
содержит лишь конечное число различных изолированных подгрупп.
В силу теоремы IV, эти подгруппы можно расположить так, чтобы
каждая из них содержала следующую. Пусть последовательность
ГэГ^ГзГЗ... =>rfc —О
содержит все изолированные подгруппы группы Г. Мы будем гово-
рить в таком случае, что Г имеет ранг k. Каждая группа Г1+1
является изолированной подгруппой предыдущей группы Г*. Если бы
фактор-группа Г4/Гг+1 не была архимедовски упорядоченной, то в ней
существовала бы собственная изолированная подгруппа. Эта подгруппа,
в свою очередь, определяла бы собственную подгруппу Г' группы Г4,
содержащую Г<+1 своей собственной подгруппой и изолированную
внутри Г4. Покажем, что Г' должна быть изолированной подгруппой
группы Г. Очевидно, что Г' есть подгруппа группы Г. Если а — любой
положительный элемент из Г', а b — положительный элемент из Г,
удовлетворяющий условию а > Ь, то, в силу изолированности Г4 в Г,
должно быть Ъ £ Г4. Но так как Г' — изолированная подгруппа 1\, то
отсюда следует, что b принадлежит Г'. Таким образом, Г' есть изо-
лированная подгруппа группы Г. Но последовательностью Г,...Гк
исчерпываются все изолированные подгруппы группы Г. Поэтому
должно быть либо Г' = Г4, либо Г' = Г4+1. Но это несовместимо
с предположением, что Г' является собственной подгруппой группы Гг
и содержит Г<+1 в качестве собственной подгруппы. Таким образом,
доказана
Теорема V. Если группа Г имеет ранг k, то ее изолирован-
ные подгруппы могут быть расположены в последовательность
... гэГк = 0 так, что фактор-группы Г4/Г4+1 являются
архимедовски упорядоченными.
§ 2. Нормирования поля
Пусть S—-произвольное поле, а Г — упорядоченная аддитивная
группа. Отображение $->^(5) отличных от нуля элементов поля S
на элементы из Г называется нормированием поля 2 (или нормой
ГЛ. XVIt, ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
1<м
в Е), если оно удовлетворяет следующим условиям:
(I) »(5т]) = -р (0+ «('»!)>
(И) о($-}--»i)> min [•»($), ©(-»))] при nq^=O.
Если v (;) = 0 для любого отличного от нуля элемента из 2, то
норма называется тривиальной, В качестве примера нормирования
рассмотрим поле Е функций комплексного переменного z, являющихся
мероморфными в окрестности точки z = 0. Любая отличная от нуля
функция С из этого поля может быть разложена в ряд вида
С = г’(а0 + а1г+ ...) (ао=#О),
где о — целое число. Возьмем в качестве Г аддитивную группу целых
чисел и определим ©(£) равенством г>(») = <з. Этим определится ото-
бражение Ё на Г, являющееся нормированием. Действительно, если
Е = д»(а0 4-0^4- ...) (ао^О)
и
т] = г₽(д0 + ^+...)	(W0),
то
— Z‘+₽ [аойо 4- (аойх 4- оД) *4* • • • 1	(«о^о+0)
И
£4-71 = z4c04- ...]	(СО¥=О),
где аmin [а, р], причем о конечно, если только ?4-т1=£0’ Следо-
вательно,
и
<и ($т|) — а 4~ Р, и($4~71)^-гп^п РЬ
Доказываемые в этом параграфе теоремы справедливы для норми-
рований любых полей. Однако в применениях к алгебраической гео-
метрии, которые нам встретятся дальше, приходится иметь дело лишь
с нормированиями полей функций алгебраических многообразий, опре-
деленных над некоторым основным полем К характеристики нуль.
В этом случае на отображение поля Е в группу Г необходимо накла-
дывать третье условие:
(III) если а£К и а^=0, то и(а) = 0.
Для избежания ненужных повторений мы будем для каждой теО*
ремы формулировать те видоизменения, которые необходимо внести
в случае поля функций, когда должно быть выполнено условие (III).
Начнем с нескольких общих результатов о нормированиях произ-
вольного поля £.
(I)	Если $ —любой отличный от нуля элемент из 2, то равенство
1
J 1 НОРМИРОВАНИЯ НОЛЯ
191
влечет за собой, в силу условия (I), что
y(l)-f-y(E) = y(B),
откуда
у (1) = 0.
Так как (—1)^=1, то v(—1)—|—т/( — 1) = v(1) = 0, а значит,
v( — 1) = 0.
Поэтому
у ( 0 — v( 1)Ц-уф = V ($)
для любого отличного от нуля элемента $ из 2.
В силу условия (П), должно быть
v (2) > min [у (1), у(1)]>0.
При помощи элементарной индукции мы получаем, что
у (от) 0,
где т — любое целое число, не кратное характеристике поля 2.
Покажем теперь, что если 2 имеет конечную характеристику р,
а т — целое число, не кратное р, то у(от) = 0. Действительно, если т
не кратно р, то существует целое число п, удовлетворяющее усло-
вию тп = 1 (р). В таком случае
0 = v (1) = v (от) v (п).
Но так как у(от)^>0, у(«)^-0, то последнее равенство возможно
лишь в том случае, когда v (jri) = v (n) = 0.
Обратимся к случаю поля без характеристики. В этом случае
может существовать положительное целое число т, для которого
у(от)>0. Пусть q — наименьшее число, обладающее этим свойством.
Докажем, что число q просто. Допустим, что q является составным:
q=zab, где а> 1, > 1. Тогда из неравенств a<iq и b <Cq выте-
кает, что у (а) = v (Ь) = 0. Поэтому
v (q) = у (а) Д- у (Ь) — 0,
и мы пришли к противоречию. Следовательно, q должно быть простым.
Пусть т — любое целое число, большее q и такое, что у (/я) > 0.
Если бы было т = aqД-Ь, где а~^Л, 1	6 <iq, то было бы
0 — v (Ь) = у (т — aq) min [у (от), у (aq)\ > 0,
так как, по условию, у(от)>0 и v(aq) = у (а) Д-у (^) > 0. Из полу-
ченного противоречия следует, что т должно быть кратным q.
Если от = ^°р“- ... где q, рг, .... pft — различные простые числа,
то из сказанного вытекает, что у (р*) — 0, а значит,
у(от) = ау(?)Д-а1у(р1)Д- ... +afco(pft) = ay(9).
192
гл. xvii. теория Нормирований
Рассмотрим, в частности, случай, когда £ есть поле рациональных
чисел. Если С — элемент из Е, то мы положим
С = q>{% ... pfr,
где Л, Хр .... Xfc — положительные или отрицательные целые числа,
a q, pv рк — различные простые числа. Если р.,	...,	—
такие положительные числа, для которых суммы X-f-p, Xj-f-pt.......
Xfc-j-рй положительны, то
(X + И) г» (q) = v (q^p^‘ ... р^) =
= ®	 • • Ркк) = v G) + fw (q).
Следовательно, v (£) — kv(q). Таким образом, нормы v(-_) элементов
из Е все являются кратными v(q'), а значит, их значения составляют
архимедовски упорядоченную абелеву группу. Если произвести нор-
мализацию этих значений относительно v (q), группа значений становится
аддитивной группой целых чисел. Поэтому любое нетривиальное нор-
мирование поля рациональных чисел получается выбором некоторого
простого числа р и определяется формулой	. ,р£й) = Х.
(II)	Если $ — любой отличный от нуля элемент из Е, то
О = т»(1) = v ($?-!) =2 v (0 + v (М).
Следовательно,
г, (5-1) = — Фф.
При отображении $ -> v (£) поля Е в группу Г может случиться,
что не все элементы из Г будут образами элементов из Е. Но если а
и b — два элемента группы Г, являющиеся образами элементов $
И 7| из Е,
v (;) a, v (т)) = Ь,
то
<и (;т|) = а Ь, и(£-1) = -—1»(;) — —а.
Следовательно, элементы группы Г, являющиеся образами элементов
поля Е, составляют подгруппу Г* группы Г. Мы можем определить
то же самое нормирование поля Е, пользуясь группой Г* вместо Г.
Обычно бывает удобным сделать это, и в дальнейшем мы будем
считать, что каждый элемент из Г является образом некоторого эле-
мента из Е. В таком случае группа Г называется группой, значений
нормирования, a v (?) — нормой элемента
(III)	Вторым условием того, что отображение поля Е на группу Г
является нормированием, служит неравенство
v С + 'П) > min I® (£)> '»('»!)]-
Покажем, что это неравенство заменяется равенством в случае
§ i. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
1йЗ '
когда значения v(§ и 0(4) различны. Пусть 0(ii)>0(7]). Если поло-
жить £ = то
v (С) min [v (£), v (т|)] = v (tj).
Но
v(^t=v(^—- ;)	min [г» (С), 0 ( — $)] = min [0(C), 0(01*
Ввиду неравенства
®(4) <0(0,
мы должны иметь
min 0(0]= 0(C).
Следовательно,
® ('»!)>'» (0 •
Таким образом, 0(7|)=0(С), и поэтому
f (5 + •»!) = ® (О = v (т|).
Следовательно, если 0(7|)<0(О, то мы имеем
v ($	т|) — min [0 (0, 0(т])].
(IV)	В определении нормирования мы исключили нулевой элемент
поля Е. Иногда бывает удобным формально определить норму нуля,
полагая, что она не является элементом группы Г, а представляет
собой некоторый новый элемент со. Если считать, что условия (I)
и (II) определения нормирования остаются в силе и при включении
нормы нуля, то должно быть
со = 0 (0) = 0 (0 • ij) = 0 (0) -ф- у (0 — оо 0 (?)
[из условия (1)1 и
со = 0 (0) — 0 ($ — 0< min [0 (6), 0 (—;)] — 0 (?)
[из условия (II)].
Таким образом, элемент оо обладает двумя свойствами „бесконеч-
ности” в том виде, в каком она применяется в анализе. Как правило,
элемент оо ведет себя как бесконечность, но читателя следует пре-
дупредить, чтобы он не пытался приписывать этому элементу свой-
ства, которые не были доказаны.
Сказанное позволяет иногда рассматривать нормирование как ото-
бражение всего поля £ на множество (Г, оо), а не как отображение
отличных от нуля элементов из Е на Г.
Мы перейдем теперь к более детальному изучению нетривиаль-
ного нормирования 33 поля Е с группой значений Г. Рассмотрим
совокупность элементов поля Е, нормы которых неотрицательны, и
присоединим к ней нуль поля £. Если $ и т,— два элемента этой
совокупности, то мы, в силу условий (I) и (II), имеем
0 ($7|) = 0 (0 4- 0 (7|) > 0
и
V т]) > min [0($), 0(7])] >0.
13 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
194
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Следовательно, рассматриваемая совокупность является кольцом. Мы
будем называть это кольцо 9? кольцом нормирования 33. Так как
нормирование 33 нетривиально, то в поле £ найдется элемент С, норма
которого отлична от нуля. Поэтому одно из значений •р(С) или
= — v(,) отрицательно, а значит, один из элементов С или С"1
не принадлежит 9t. Таким образом, 9? является собственным подколь-
цом поля S. Так как это подкольцо содержит единицу и не содержит
делителей нуля, оно будет областью целостности. Если С—произ-
вольный элемент поля £, то либо С есть элемент 9?, либо же v (С) < О
и п(С-1)> 0, так что С-1 £9?. Отсюда следует, что £ является полем
частных кольца 9?.
Рассмотрим теперь элементы поля £ (включая нуль), нормы кото-
рых положительны. Если $ и -q — два таких элемента, то, в силу
условия (П), мы имеем
v (; — -q) > min [•» (;), v Cq)) > 0.
Если же ' — любой элемент из 9t, то uQ^O, а значит, в силу усло-
вия (I),
v (,6) = v Q + v G) > 0.
Следовательно, рассматриваемые элементы составляют идеал р кольца 91.
Ясно, что этот идеал прост. В самом деле, если $ и qq — два эле-
мента из 9?, не лежащие в р, то
v (5) = 0, v (-q) = 0,
а значит, в силу (I),
и поэтому произведение $т| не принадлежит р.
Если С — любой элемент из 91, то его обратный элемент С-1 при-
надлежит 9? в том и только в том случае, если	0, т. е.
если v (Q 0. Но так как С есть элемент из 91, то v (i)	0. Сле-
довательно, элемент С имеет в кольце 9? обратный элемент тогда и
только тогда, когда С не принадлежит р. Таким образом, р — идеал,
составленный из всех элементов кольца 91, не являющихся дели-
телями единицы. Ясно, что этот идеал есть максимальный идеал
кольца 91. Действительно, если i — собственный делитель идеала р,
то он должен содержать элемент Ч из 9?, не содержащийся в р. Для
этого элемента ©(C) —0. Отсюда вытекает, что С-1 £91, и поэтому
= 1 £ i. Следовательно, элемент 1 принадлежит i, а значит, i
является единичным идеалом.
Идеал р обычно называется идеалом нормирования 33.
Рассмотрим любой собственный идеал i кольца 9?. Если С — любой
элемент из i, то ^(Q>0, так как в противном случае кольцо 91
содержало бы элемент С"1 и поэтому в i содержался бы элемент
К-1 = 1, так что i был бы единичным идеалом. Следовательно,
i = 0 (р).
J i. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ	195
Пусть $ — любой элемент из i, а 7]— такой элемент кольца 91,
что « (»))>>»(;)• В таком случае ч? (?]/£)> О, и поэтому элементу/;
принадлежит 91. Отсюда вытекает, что элемент т] == (т|/$) • $ принад-
лежит i. Таким образом, элементы поля Е, принадлежащие идеалу t,
суть те и только те элементы, значения нормы которых в (Г, со)
принадлежат некоторому подмножеству 2, обладающему следую-
щими свойствами:
(I) элементы из 2 неотрицательны;
(II) если элемент а принадлежит 2, а Ь — любой элемент из Г
(или оо), удовлетворяющий неравенству b > а, то b также принад-
лежит 2.
Подмножество множества (Г, оо), обладающее двумя этими свой-
ствами, называется верхним классом множества (Г, оо). Если, обратно,
задан некоторый верхний класс 2 из (Г, оо), то элементы поля Е,
нормы которых принадлежат 2, составляют идеал кольца 9i. Чтобы
усмотреть это, предположим, что 2 — некоторый верхний класс
из (Г, co), a S — множество элементов поля Е, нормы которых при-
надлежат 2. Так как 2 содержит бесконечность, то в S содержится
нуль поля S, а так как элементы из 2 неотрицательны, то S 91.
Далее, если $, t]£<S и, например, »($)>- v (т|), то
— T))>min[v(0, v (т])] = v (т|).
Так как и(т])£2, то отсюда следует, что — -q) £ 2, т. е. что
(£ — т|)£5. Если С — любой элемент из 9i, то г;(С)'>0, а значит,
у (С£) = w (С) + ® ($) > w ($).
Поэтому Таким образом, 5 является идеалом кольца 91.
Если i — идеал в 9i, а 2 — соответствующий ему верхний класс
из (Г, оо), то 2 может содержать или не содержать наименьший
элемент. Пусть сначала 2 содержит наименьший элемент а, и пусть
С — элемент из i, для которого v (С) = а. Если £ — любой элемент
из t, то v (?) >• а = v (Q и поэтому v ($/С) >- 0. Следовательно, эле-
мент т) = В/С принадлежит 91. Отсюда вытекает, что любой элемент
идеала t можно записать в виде где т] — некоторый элемент из 91.
Таким образом, t является главным идеалом, имеющим базис, состоя-
щий из элемента С. Пусть, обратно, идеал t кольца 9? имеет конеч-
ный базис «j, ..., <»г. Можно предполагать элементы Wj.......
расположенными так, чтобы было v (о^) v (ш.2) С ... С v (шг). Тогда,
как и выше, можно показать, что = p/»t (1 = 2.......г), где рг —
элементы из 91. Следовательно, базис идеала i может быть сведен
к одному элементу шр так что идеал i — главный. Элемент y(iDt)
принадлежит к верхнему классу 2, соответствующему идеалу i.
Если С — произвольный элемент из i, то должно быть С = ршр где
р £ 91. Поэтому v (Q = v (р)—чу (у\) v (“J- Отсюда вытекает, что 2
содержит наименьший элемент. В некоторых группах значений норм
каждый верхний класс содержит наименьший элемент. В таком
13*
196	ГЛ. XVH. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
случае каждый идеал кольца нормирования будет главным. Однако
существуют примеры групп значений, в которых имеются верхние
классы, не содержащие наименьших элементов. Соответствующие
таким верхним классам идеалы колец нормирований не могут обла-
дать конечным базисом.
Если ц и i2— идеалы кольца 91 нормирования 23 поля Е и если
содержит элемент С, не принадлежащий i2, то норма ^(т]) любого
элемента из i2 больше и(С). Так как v (tj) > v (С), то элемент
должен принадлежать ir Следовательно, должно быть
t2 cz ir Таким образом, из двух любых идеалов кольца 9? один дол-
жен быть делителем другого.
Найдем теперь простые идеалы кольца ‘Л с помощью рассмотре-
ния соответствующих им верхних классов в множестве (Г, оо). Если
i — простой идеал в Л, 2 — соответствующий ему верхний класс, то
мы рассмотрим два неотрицательных элемента а, b из Г, не принад-
лежащих 2. В кольце Л найдутся элементы Е и к], не принадлежа-
щие t и такие, что
v (;) = a, v (т|) — Ь.
Так как идеал i прост, то произведение $7] не содержится в t. Сле-
довательно, значение нормы v (;т() — а b не принадлежит 2. Поэтому
неотрицательные элементы из Г, не лежащие в 2, образуют множе-
ство, замкнутое относительно сложения. Как мы покажем, отсюда
вытекает, что неотрицательные элементы из Г, не лежащие в 2,
вместе с их противоположными элементами образуют изолированную
подгруппу Д группы Г. Прежде всего заметим, что такие элементы
составляют подгруппу. Если а и b неотрицательны и не принадле-
жат 2 или являются противоположными для таких элементов, то эле-
менты а-\~Ь и —а будут такими же. Действительно, мы уже видели,
что если а ;> 0 и b > 0, то элемент а 4- b не принадлежит 2. Если
же элементы —а>0и —b > 0 не принадлежат 2, то и элемент
— (а 4~ Ь) > 0 не принадлежит 2, так что а 4- b является противо-
положным для некоторого положительного элемента группы Г, не при-
надлежащего 2. Наконец, если, например, а 0 и b < 0, то мы рас-
смотрим прежде всего случай, когда a-\-b^Q. Тогда элемент
а > а О не принадлежит 2, а значит, и неотрицательный эле-
мент а-[-Ь не принадлежит 2. Если же а-\-Ь < 0, то — b >—а—b > О,
а следовательно, элемент — а — b положителен и не принадлежит 2
(ведь —b не принадлежит 21). Таким образом, рассматриваемые
элементы образуют некоторую подгруппу ДсГ. Если а — любой
положительный элемент из Д, а b—’положительный элемент из Г,
удовлетворяющий условию а > Ь, то b не принадлежит 2 и поэтому
содержится в Д. Следовательно, подгруппа Д является изолированной.
Обратно, если Д есть изолированная подгруппа группы Г, то из
определения изолированной подгруппы ясно, что положительные эле-
менты множества (Г, оо), не содержащиеся в Д, образуют верхний
§ 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
197
класс Q и что соответствующий Q идеал t является простым. Макси-
мальный простой идеал р кольца 9?, очевидно, соответствует изоли-
рованной подгруппе группы Г, состоящей только из нуля. Следова-
тельно, мы доказали такую теорему:
Теорема I. Если 23— нормирование поля S со значениями
в (Г, оо), то элементы из Е, имеющие неотрицательные нормы,
образуют кольцо 9i. Если ранг группы Г равен k и если Гр . . ., Г;(—
изолированные подгруппы Г, причем
Г DTf э ... = ^ = 0,
то в кольце имеется k простых идеалов р,, ..., pft. Элемен-
тами р,- являются те из элементов кольца 9t, нормы которых
не содержатся в Гр Кроме того, р, = 0 (рр,), и р — р/£ есть
идеал, составленный из всех элементов кольца 9?, не являющихся
делителями единицы, р есть максимальный идеал кольца 91.
Следующая теорема показывает, что нормирование однозначно
определяется его кольцом.
Теорема II. Если 231 и 2% — нормирования поля Е со значе-
ниями соответственно в (Гр оо) и в (Г2, оо), имеющие одно и
то же кольцо нормирования 9t, то группа Г, изоморфна Г2. Если
отождествить элементы этих групп, отвечающие друг другу
при упомянутом изоморфизме, то равенство w । (?) = w2 (?) будет
иметь место для всех элементов $ из S.
Покажем прежде всего, что для любых отличных от нуля эле-
ментов ? и т; из I, для которых v, (?) = v1 (т|), необходимо будет и
и2(;) = иа(т|). Действительно, если (?) = vr (т)), то (?/-q) = 0, и
поэтому элемент ?/-q является делителем единицы в кольце 9?. Отсюда
следует, что v.2 (?/»]) = 0, а значит, ®2(?) = г/а(т]). Аналогично, если
v.2 (?) = v2 (7|), то (?) =	(Т|).
Пусть теперь at — любой элемент из Гр а ?, т,, ...—элементы
поля S, для которых
(0 = *4 (т|) = . . . = аг.
В силу только что доказанного,
= • • • •
Обозначим и2(?) через а.2. Элемент а, однозначно определяет а.2.
Подобным же образом, каждый элемент а.2 из Г2 однозначно опре-
деляет соответствующий ему элемент из 1\. Этим между элементами
групп Г( и Г2 установлено взаимно однозначное соответствие. Остается
показать, что это соответствие является изоморфизмом, сохраняющим
упорядочение элементов. Пусть аг и Ьх— элементы из Г,, а а.2 и Ь.2 —
соответствующие им элементы из Г2. Обозначим через ? и эле-
менты поля S, такие, что
Vt(?) = а1г v^) = b2,	(?) = «,, и2(т]) = />2.
198
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИИ
Тогда
(Ь1) = «! + bv v2 (fr|) = «а 4- b2.
Отсюда вытекает, что элементы a^-^-b^ и а2-\-Ь2 соответствуют
друг другу. Таким образом, установленное соответствие является
изоморфизмом. Если аг > 0 и vt (?) — то $ не является делителем
единицы кольца 9?. Следовательно, элемент a.2 — v.2(%) должен быть
положительным. Таким образом, расположение элементов при рассма-
триваемом изоморфизме сохраняется. Теорема доказана.
Если задано поле 2 и его подкольцо 91, то важно уметь узна-
вать, является ли кольцо 91 кольцом некоторого нормирования поля 2.
Прежде всего ясно, что в таком случае 9i должно быть областью
целостности, а поле 2 должно быть полем частных для 91. Кроме
того, если 2 является полем функций некоторого алгебраического
многообразия, определенного над основным полем К, и если интере-
сующее нас нормирование должно удовлетворять условию (III), то
элементы из К, отличные от нуля, должны иметь нулевую норму и
поэтому должны принадлежать Следовательно, должно быть К с 91.
Однако для того, чтобы 91 было кольцом некоторого нормирования,
оно должно удовлетворять еще нескольким условиям. Всюду дальше
мы будем считать упомянутые выше элементарные условия для кольца
91 выполненными.
Теорема III. Область целостности 91 является кольцом
нормирования ее поля частных 2 тогда и только тогда, когда
для любого $ из 2 один из элементов £ или принадле-
жит 91.
Необходимость этого условия уже была доказана. Докажем его
достаточность. Пусть 91 — область целостности, удовлетворяющая сфор-
мулированному в теореме условию. Если 91 = 2, то 91 является коль-
цом нормирования для тривиальной нормы, так что для этого случая
теорема доказана. Пусть теперь 91 не совпадает с 2. Элементы из 2,
отличные от нуля, составляют коммутативную группу G относительно
умножения. Далее, элементы кольца 91, имеющие в этом кольце об-
ратные, также составляют коммутативную группу Gt относительно
умножения в поле 2. Эта группа является подгруппой группы G.
То, что эти группы записаны мультипликативно, а не аддитивно,
является лишь вопросом обозначения. Важно, что они обе коммута-
тивны, и мы поэтому можем определить фактор-группу GIGV как
указано в § 1. Эта фактор-группа также коммутативна и может быть
записана как аддитивная группа Г. Предыдущее построение ставит
в соответствие каждому отличному от нуля элементу С из 2 одно-
значно определенный элемент группы Г, который мы будем обозна-
чать через ©(C). При этом элементами, отображающимися на нуль
группы Г, являются элементы группы Gt и только они. Очевидно,
чтоу(1)~0. Так как рассматриваемое отображение мультиплика-
тивной группы поля 2 (без нуля) на аддитивную группу Г является
§ 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
199
гомоморфизмом, то мы имеем
n($7]) = o(0 + t>(iq).	(1)
Пусть а, Ь — два произвольных элемента из Г, Е, V, ... такие
элементы поля 2, что
v (0 = v (Е')	... — а,
а т). V» •••—элементы поля X, для которых
v (т|) — v (»]') = .. . = Ь.
По условию, хотя бы один из элементов E/iq или лежит в 9^-
Предположим, что в 9? лежит Е/т]. Так как элементы $ и V оба ото-
бражаются на элемент а из Г, то отношение Е'Д принадлежит Glt
а значит, и 9i. По той же причине и т]/т]' лежит в 91. Поэтому частное
^'=G7S)(W)(^)
также лежит в 9?. Таким образом, все частные Е/т], i'/rf, ... при-
надлежат 9?. В этом случае мы будем писать, что а^Ь или b ^.а.
Если одновременно и bZ^-a, то отношение Е/ц должно принадлежать Gv
а значит, элементы $ и т] должны отображаться на один и тот же
элемент из Г, т. е. должно быть а=-Ь. Наоборот, из равенства а = Ь
следует, что отношение принадлежит Gv а значит, а~^>Ь и Ъ^а.
Если а b и а + Ь, то мы будем писать а > Ь. Очевидно, что не-
равенство а>0 влечет за собой, что элемент $ = $/1 принадлежит
кольцу 9t, но Е-1 не лежит в 91.
(I) Если-©(E) < 0, то элемент Е не принадлежит 91. Следовательно,
элемент Е-1 принадлежит 94, а его обратный не принадлежит этому
кольцу. Поэтому v (Е"1) > 0. Но 0 = v (1) = v (5 • Е-1) = v (Е) -f- v (E-1).
Отсюда вытекает, что
—©(Е)=©(Е-1)>о.
(II) Если о (0 > 0 и о (т|) > 0, то элементы Е и -q содержатся
в 9?. Отсюда следует, что Ец также является элементом из 9?, т. е.
что о($т])^0. Если о (E-q) — О, то произведение Eq принадлежит Gv
а значит, для него существует в 91 обратный элемент С. В таком
случае EqC = 1, и поэтому элемент qC является обратным для $ и
лежит в 9?. Следовательно, о (Е) == 0, и мы пришли к противоречию.
Поэтому должно быть
© (Е) -f- © (q) = v (Eq) > 0.
Таким образом, нами установлено некоторое упорядочение группы Г.
В силу равенства (1), отображение Е->©(Е) поля 2 на Г удовле-
творяет первому условию для нормирования. Для проверки второго
условия предположим, что Е и q— любые отличные от нуля элементы
из 2. Пусть для определенности ©(0>®0|)- Тогда отношение E/q
200
ГЛ, XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
принадлежит 9?. Но так как единица также принадлежит 91, то и
сумма 1 -j- £/т] будет элементом 9?. Поэтому
а значит,
v (’ + 'П) > v ('»!) = min (0>
Таким образом, отображение £—>?>(;) отличных от нуля элементов
поля 2 в группу Г является нормированием, а кольцо 9? — кольцом
этого нормирования.
Если поле частных S кольца 91 является полем функций некото-
рого алгебраического многообразия над полем К, то мы должны иметь
/С cz 91. В этом случае для любого отличного от нуля элемента а из К
элемент а-1 также принадлежит К, а значит, элементы а и а-1 со-
держатся в Qv Поэтому v (а) = 0, и условие (III) выполнено.
Перед рассмотрением другой характеристики колец нормирований
удобно доказать следующую лемму:
Лемма. Если область целостности 91 обладает тем свойством,
что любое ее собственное расширение, содержащееся в поле частных
2 для 91, содержит обратный элемент хотя бы для одного эле-
мента 91, не являющегося в 9? делителем единицы, то кольцо 91
целозамкнуто в 2.
Пусть 9t* — целое замыкание кольца 9i в 2. Если бы 91 не было
целозамкнутым, то было бы ЗГэЯ, а значит, в кольце 91 сущест-
вовал бы элемент не являющийся в 91 делителем единицы и такой,
что £-1£91*. Так как $-1^9?*, то этот элемент — целый относи-
тельно 91, и поэтому должно иметь место некоторое соотношение
f-» + ai$-n+i+...+On==0	(а^‘Л).
Следовательно,
1 а£	. • • -|- а£п ~ 0.
Если теперь положить
-q = — (ai + а£ + ... +
то мы усматриваем, что элемент т| принадлежит 9i и является обрат-
ным для элемента $. Это противоречит тому, что $ не является дели-
телем единицы кольца 9?, а значит, наше предположение, что 9i не
целозамкнуто, неверно.
Из доказанной леммы следует
Теорема IV. Кольцо 9i нормирования 23 поля 2 является
целозамкнутым в 2.
Так как кольцо 9i состоит из всех элементов поля 2, нормы ко-
торых (при рассматриваемом нормировании) неотрицательны, то лю-
бое расширение кольца 9? в поле 2 будет содержать элемент С, для
которого (Q < 0. Но тогда v (С’1) > 0, т. е. элемент С-1 не является
делителем единицы кольца 9|. Следовательно, кольцо 9} имеет то
8 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
201
свойство, что любое собственное расширение в поле 2 содержит
элемент, обратный для некоторого элемента из 91, не являющегося
в 9? делителем единицы. Поэтому, в силу леммы, кольцо 9? цело-
замкнуто.
Перейдем теперь ко второй характеристике колец нормирований.
Мы уже установили следующие свойства кольца нормирования 9?:
(I) элементы из 9i, не являющиеся в нем делителями единицы, образуют
идеал кольца 9?; (II) любое собственное расширение кольца 9? в поле X
содержит элемент, обратный для некоторого элемента из 91, не являю-
щегося делителем единицы. Эти два условия достаточны для того,
чтобы кольцо 9? было кольцом некоторого нормирования. Точнее
говоря, мы докажем, что имеет место
Теорема V. Область целостности 9? является кольцом
некоторого нормирования ее поля частных 2 тогда и только
тогда, когда она удовлетворяет следующим условиям'.
(I) элементы из 91, не являющиеся делителями единицы, об-
разуют идеал кольца 91;
(II) любое собственное расширение кольца 9? в поле 2 содержит
элемент, обратный для некоторого элемента из 9?, не служащего
делителем единицы в 91.
Отметим, что если 2 есть поле функций некоторого многообразия,
определенного над основным полем К, и если требуется, чтобы нор-
мирование удовлетворяло условию v (а) = 0 для любого отличного от
нуля элемента а из поля К, то в условиях теоремы V мы должны
добавить требование, чтобы поле К содержалось в 91.
Доказательство будет состоять в проверке того, что кольцо 91,
удовлетворяющее указанным в нашей теореме условиям, удовлетво-
ряет также условиям теоремы III для кольца нормирования. Нужно
показать лишь, что если кольцо 94 удовлетворяет условиям теоремы V
и если Е— любой отличный от нуля элемент из 2, то один из эле-
ментов Е или Е-1 должен принадлежать 9?. Предположим, что при за-
данном Е элемент Е-1 не лежит в 9?. Тогда кольцо 91 [Е-1! является
собственным расширением 91. По условию, в 91 [Е-1] содержится об-
ратный элемент для некоторого элемента из 9?, не являющегося
в 91 делителем единицы:
— ао 4" ai Ч- •  • г («г £91).
Отсюда следует, что
(1 — йот|) Ег — а1т|Ег-1 — ... — а/г] = 0.
Элемент аот] не является делителем единицы в 91. Но так как эле-
менты, не являющиеся делителями единицы в 91, образуют идеал этого
кольца, то отсюда вытекает, что разность 1—аот] должна быть
делителем единицы. Следовательно, элемент 1 —аот] имеет в кольце 9(
обратный, скажем Поэтому справедливо равенство
4 — aj'fl’Er"1 — ... — artf, = 0,
202
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
показывающее, что элемент $ — целый относительно SR. В силу дока-
занной выше леммы, из условий теоремы V вытекает, что кольцо 9?
целозамкнуто в поле 2. Следовательно, $ содержится в 91. Таким
образом, мы видим, что если $ — отличный от нуля элемент из 2, то
либо Е, либо Е-1 содержится в 91, и поэтому, в силу теоремы III, 91
является кольцом нормирования.
Теорема IV гласит, что кольцо любого нормирования целозамкнуто
в его поле частных. Пусть теперь мы имеем некоторое множество
нормирований ®х, 33.2, . . . поля 2. Рассмотрим кольца 91х, 91.2, . . .
этих нормирований. Обозначим через 9t совокупность элементов поля 2,
принадлежащих всем кольцам 91х, 9t.3, .... Если а и р — элементы 9J,
то элементы а±р и ар должны принадлежать всем кольцам 9tp
9i2, . .., а потому должны принадлежать и 9t. Следовательно, 9i есть
кольцо. Если С—элемент поля 2, целый относительно 9i, то он
будет целым относительно каждого из колец 91х, 9?3.....Но эти
кольца, будучи кольцами нормирований, целозамкнуты. Следователь-
но, С принадлежит 9lx, 9t3, ... , а значит, принадлежит и 9i. Таким
образом, кольцо 91 целозамкнуто в поле 2, а поэтому целозамкнуто
и в своем поле частных, так как последнее содержится в 2. Важно
следующее обращение полученного результата:
Теорема VI. Если 91 есть область целостности, целозамк-
нутая в содержащем ее поле 2, то 91 является пересечением ко-
лец нормирований поля 2, содержащих 9J.
Мы сначала докажем эту теорему для случая, когда 2 есть поле
частных кольца 9J. Обобщение на случай более общих полей 2, со-
держащих 9i, а значит, содержащих и поле частных для 9i, будет
непосредственно следовать из теоремы VII. В приложениях к алгеб-
раической геометрии обычно желательно накладывать еще дополни-
тельное условие, что 91 содержит основное поле К. В этом случае
нормирования, кольца которых содержат 91, будут иметь то свойство,
что и(а) = 0 для любого отличного от нуля элемента а поля К.
Первым шагом в доказательстве теоремы VI будет доказательство
того, что для любого элемента Е поля 2, не лежащего в 9i, в поле 2
найдется подкольцо 9?;, служащее кольцом некоторого нормирования,
содержащее 9i, не содержащее элемента Е и имеющее поле 2 своим
полем частных. Так как Е не лежит в 9?, а кольцо 9i целозамкнуто
в 2, то Е не содержится в кольце 91 [Е-1]. Действительно, если бы
было
Е = «о + о1^1+---+«Л-г (^£91),
то мы имели бы равенство
Er+1 — а0 Ег — ... — аг = 0,
из которого, в силу целозамкнутости 91, следовало бы, что Е при-
надлежит 91, вопреки условию.
Осуществим теперь полное упорядочение элементов поля 2, не
принадлежащих кольцу 91 [Е-1]. Затем с помощью трансфинитной
§ 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
203
индукции определим на этом множестве элементов функцию <р(х),
удовлетворяющую следующим условиям:
(I)	®(х) = 1, если кольцо, получаемое присоединением к кольцу
SR [$-1] элемента х и элементов <р(у)у для всех у, предшествующих
элементу х, не содержит
(II)	®(х) = 0 в противном случае.
Множество элементов поля Е, состоящее из кольца 9?[;-1] и эле-
ментов вида ®(х)х, которые получаются, когда х пробегает мно-
жество S — 91 очевидно, будет кольцом. Обозначим это кольцо
через 91$. Поле частных для 9?$ содержит поле частных для 91 и по-
этому должно совпадать с S. Докажем, что 91$ является кольцом не-
которого нормирования поля Е. Прежде всего, любое расширение
кольца 9?$ в поле Е должно содержать некоторый элемент х, для
которого ®(х) = 0. Но из определения функции ®(х) вытекает, что это
расширение содержит элемент $, служащий обратным для элемента ;-1,
не являющегося делителем единицы в кольце 9t[;-1]. Следовательно,
любое расширение кольца 91$ в поле 2 содержит обратный элемент
для элемента из 9?$, не являющегося в этом кольце делителем еди-
ницы. Из теоремы V вытекает тецерь, что нам достаточно доказать
лишь следующее утверждение: элементы кольца 91$, не являющиеся
в нем делителями единицы, образуют идеал этого кольца. Тем самым
будет доказано, что 9i$ есть кольцо некоторого нормирования поля S.
Но если элементы кольца 9i$, не являющиеся в нем делителями еди-
ницы, не составляют идеала кольца 91$, то в 91$ должны найтись два
элемента V и т/, не являющиеся в нем делителями единицы и такие,
что их сумма <7=!/-ф-т]' есть делитель единицы в 9?$. Однако в та-
ком случае элементы С = а-1^ и т) = а-1т)' также не будут дели-
телями единицы в 9i$, а их сумма С-ф-т] = 1. Покажем, что это не-
возможно.
Так как С и т) не являются в 91$ делителями единицы, то элементы
С"1 и т]-1 не принадлежат 9i$. Отсюда следует, что кольца 9?$[С-1]
и 91$ [т)-1] являются собственными расширениями кольца 9?$ и поэтому
оба содержат элемент Следовательно,
$ = а0 + а, С-i + ... + аг?~г {а. е
t = ь0+м-1 + • • • + Vrs € 91$).
Поэтому, если мы положим £ = max[r, s], то будем иметь равенства
$ - а/С* — p/7]f,
в которых а и р — элементы 91$. Пусть теперь р и q — два неотри-
цательных целых числа, сумма которых p-\-q=t. Тогда
С’ = С? ?)’
204
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Следовательно, элемент является целым над кольцом Ж?. Но,
в силу нашей леммы, кольцо 91с целозамкнуто. Поэтому цК9; = cpq,
где cpq — элемент из 91^. Однако
$ =	= 2 cptCpf_p,
р=0	р=ь
а значит, $ есть элемент из 9U Полученное противоречие показывает,
что элементы кольца 9^, не являющиеся делителями единицы, обра-
зуют идеал. Поэтому кольцо 91? есть кольцо некоторого нормирова-
ния поля Е.
Если ; пробегает все элементы поля S, не содержащиеся
в 91, то мы получим множество колец нормирований вида
Пересечение этих колец содержит !R и не содержит ни одного
элемента из Е, не принадлежащего 9i. Следовательно, кольцо 9i
является пересечением указанных колец нормирований. Этим тео-
рема VI для случая, когда Е есть поле частных кольца fR, доказана.
Если Е является расширением поля частных кольца 9(, то наши
рассуждения сохранят силу, коль скоро будет показано, что поле
частных Ег кольца 91^ совпадает с Е. Но в теореме VII будет дока-
зано, что если Ее есть собственное подполе поля Е, то в Е имеется
кольцо нормирования 91|, такое, что 91. П Е. — 91?. Кольцо Ж£ есть
собственное расширение кольца 9(? (ведь его поле частных Е есть
собственное расширение поля Е-). Отсюда, в силу основного свойства
кольца 9?-, вытекает, что 9?^ содержит элемент Но так как поле
Е- также содержит элемент то £ должен принадлежать и кольцу
9t j П — 9?£, вопреки построению. Отсюда следует, что Е£ = Е. Этим
доказательство теоремы VI закончено.
Пусть теперь Et и Е3 — два поля, причем EjZdE^ Рассмотрим
любое нормирование поля Е( с группой значений Гх и кольцом
нормирования 91г Отображение поля Е, на группу индуцирует
отображение поля Е2 на или на ее подмножество, которое, как
легко видеть, будет подгруппой Г2 группы Г\. Г2 является упорядо-
ченной аддитивной группой, и очевидно, что отображение поля Е2
на Г2, индуцируемое нормированием 5B1S будет нормированием 232
поля S2. Элементами кольца 9i2 нормирования 332 являются те из
элементов поля S2, которые отображаются на неотрицательные эле-
менты из Г2, т. е. элементы поля Ер лежащие в Е2 и отображаю-
щиеся на неотрицательные элементы группы Гг Следовательно,
fR3 = tRt П К2.
Таким образом, любое нормирование поля St индуцирует описан-
ным образом однозначно определенное нормирование в произвольном
подполе S2 поля Е, (конечно, индуцируемое нормирование может
быть и тривиальным). Нормирование 932 называется индуцируемым
нормированием подполя Е.?, определяемым нормированием JBj. Нор-
8 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ
205
мирование же называется продолжением нормирования 23.2. Есте-
ственно возникает вопрос о том, существует ли для заданного нор-
мирования 23.2 поля £.2 нормирование 23t заданного расширения Et
поля Е.2, являющееся продолжением нормирования 23а? Ответ на этот
вопрос дает следующая
Теорема VII. Если S*— произвольное расширение поля S,
а 25 — нормирование поля Е, то существует нормирование поля Е*.
являющееся продолжением для 23.
Если 23 —тривиальное нормирование поля 2, то тривиальное нор-
мирование поля Е* удовлетворяет условиям теоремы. Поэтому можно
ограничиться случаем, когда в группе значений Г нормирования 23
имеются отличные от нуля элементы. Мы условились рассматривать
лишь нормирования с группами значений конечного ранга. Если k —
ранг группы Г, то мы обозначим ее изолированные подгруппы через
1\, .... 1\, причем
= 0.
Группа = архимедовски упорядочена (§ 1, теорема V).
Пусть а — положительный элемент из Г^_р а b — положительный
элемент из Г. Если b не принадлежит rfc_p то b > а. Если же
b принадлежит Гй_х, то найдется такое положительное целое число п,
что nb~>a (ведь группа Гй_1 архимедовски упорядочена!). Выберем
в поле Е такой элемент С, чтобы было v (С) = а. Из сказанного сле-
дует, что если $ — любой элемент поля Е, норма которого положи-
тельна, то найдется положительное целое число п, удовлетворяющее
условию v (£п) > v (С).
Обозначим через 21 кольцо нормирования 23. Так как u(Q>0,
то V есть элемент из SR, не являющийся в этом кольце делителем
единицы. Построим кольцо 9i* = 9tI.-1, лежащее в поле £>*, как это
было сделано в доказательстве теоремы VI. Это кольцо является
кольцом некоторого нормирования. Для доказательства теоремы VII
нам нужно показать только, что (I) 9i* П Е = 91 и (II) поле частных
кольца 91* совпадает с Е*.
(1) Очевидно, имеем 91* Э 91 и £=>91. Следовательно, 9? — 9?* П S =?9t.
Если бы 91 было собственным расширением кольца 91, то оно содер-
жало бы обратный элемент для некоторого элемента из 91, напри-
мер В, не являющегося делителем единицы (ведь 9( есть кольцо нор-
мирования поля Е). Мы видели выше, что в таком случае сущест-
вовало бы целое число п, удовлетворяющее условию v(tn) > -и (С).
Следовательно, было бы ^”/C^9i. Но 9i ^9? и 5“1 £ 91. Следовательно,
9? э 91 [Е-1]. Поэтому элемент С-1 — (£”/С) Г"” должен содержаться
в 9L Но так как 9i <= 9i*, то должно быть С1 £ 91* = 9t;-i, вопреки
тому, что кольцо 91*, по его построению, не содержит элемента С-1-
Следовательно, наше предположение, что 9? является собственным
расширением кольца 91, неверно.
206	ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ  
(II) Покажем прежде всего, что кольцо 9i* является собственным
расширением 91. Допустим, что это неверно. Тогда любое собствен-
ное расширение кольца 91 в поле S* должно содержать элемент С1.
В частности, если 5 — произвольный элемент поля S*, не лежащий
в X, то оба кольца 9i [;] и 91 [$-1] должны содержать С-1. Следова-
тельно, должны иметь место равенства
«„+W+--- + «oc” = r1 (^€9(),
co+qr1 + -.-+^"i = ’-1	(o€9i),
а значит,
&ое”+&1г-1+...+&„=о
+ —о>
где
^ = в£ = 0 (р)	(1 = 0. и—1),
Ьп = а£—1=#0 (р)
и
=	= 0 (р)	(1=1.. т),
rf0 = с0С — 1 =/= 0 (р).
Здесь р — максимальный идеал кольца 91. Следовательно, уравнения
и
^ох’‘ +  •  + bn — 0
doxm + dm — 0
должны иметь общий им корень, и поэтому их результант D равен
нулю. Но мы имеем (гл. IV, § 3)
	d0		•	dm		. 0	
	0	d0 .	•	•	dm	. 0	
	b0	br ..	- do	h?-	'		• dm	= d-b^ (p)
	0	bo	•		bn .		
			bo			•• bn	
Следовательно, должно быть drolb'" = 0 (р). Однако это невозможно,
так как d0 и Ьп не принадлежат р, а идеал р прост. Поэтому наше
предположение неверно, и 91* является собственным расширением 91.
£ 2. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЯ	20?
Так как SR* П S = 9t, то в 91* существуют элементы, не принадлежа-
щие полю Е, а значит, поле частных Е' кольца 9Г есть собственное
расширение поля
Если Е7 не совпадало бы с £*, то мы могли бы повторить про-
цесс, начав с кольца	вместо 91, и построить кольцо 9i**, являю-
щееся собственным расширением кольца JR* и такое, что 9Г* П S' — 91*.
Но С£Ес£. Следовательно, элемент С-1 принадлежит Е\ Так как
9R** есть Собственное расширение кольца SR* в поле Е*, то оно должно,
по построению 91*. содержать элемент С-1. Но отсюда вытекает, что
С-1 содержится в кольце 91*, вопреки его построению. Таким обра-
зом, должно быть 2' = Е*, т. е. поле частных кольца 9?* должно
совпадать с £*.
Существует ряд теорем о возможных нормированиях поля Е*,
служащих продолжением заданного нормирования поля S. Эти тео-
ремы относятся к случаям, когда поле Е* получается из Е какими-
либо стандартными способами, например присоединением неизвест-
ного. Мы докажем потом несколько теорем такого типа в том виде,
в каком они нужны для целей алгебраической геометрии, но прежде
нужно доказать некоторые теоремы относительно совокупностей нор-
мирований заданного поля Е.
Теорема VIII. Пусть 9?х и 91а— два кольца нормирований,
поля Е, a pj и р2 — идеалы соответствующих нормирований
(т. е. идеалы, состоящие из всех элементов колец 91г и 9?2, не
являющихся в них делителями нуля). Тогда'.
(I) если StjCziR.j, то	причем ранг нормирования, соот-
ветствующего кольцу 9tv больше ранга нормирования, соответ-
ствующего 9i2;
(II) если не содержится в 9t2, то в поле Е существует
элемент Е, являющийся делителем единицы кольца 9?! и не
являющийся делителем единицы в 9?а.
Здесь рангом нормирования называется ранг соответствующей
группы значений.
Случай, когда 9^ = Э12, мы можем опустить, так как при этом
нормирования одинаковы (теорема II).
(I) Если $ — элемент из Э12. не являющийся делителем единицы,
то i;-1 не принадлежит 912, а значит, не содержится и в кольце
SRjCzjRg. Поэтому элемент £ = (;_1)-1 содержится в и не является
в нем делителем единицы. Следовательно, р2 с рх. Пусть теперь т]—
любой элемент из 9ia> не входящий в 9tr Тогда	также при-
надлежит 9ia и не принадлежит 911. Так как элементы кольца 9ta,
не являющиеся в нем делителями единицы, образуют идеал кольца 91.2,
не содержащий элемента 1 = (%]	1) — т], то один из элементов
или т; -f-1 должен быть делителем единицы в 9ta. Следовательно,
208
гл. xvit. теория нормирований
в кольце Я2 существует делитель единицы т (например, один из
элементов -q 1 или <Г|), не принадлежащий кольцу Яг Но в таком
случае С = является делителем единицы в кольце Я2, принад*
лежит Я| и не является в последнем кольце делителем единицы.
Таким образом, в идеале рг имеется элемент, не лежащий в р2.
Поэтому
Пусть теперь ф2— любой идеал кольца Я2, отличный от еди-
ничного идеала. Тогда
Следовательно, ф2 содержится в 91 г Легко усмотреть, что ф2 есть
идеал кольца ЯР Достаточно заметить, что если а и р— элементы
из ф2, то а — р также лежит в ф2, так как ф2 —идеал кольца 912.
Если же р — элемент из ЭТХ, а — элемент из ф.2, то р содержится
также в Ф2 (ведь Я1сзЭ12), и поэтому ра является элементом ф2.
Если ф2 —простой идеал кольца Я2 и если 3 и у — два любых
элемента из Э11, произведение которых принадлежит ф2, то один
из этих элементов должен принадлежать ф2, так как о и у являются
одновременно элементами 912, а ф2 —простой идеал последнего
кольца. Отсюда вытекает, что ф2 является простым'идеалом кольца Ях.
Из сказанного следует, что любой собственный простой идеал
кольца 912 будет и собственным простым идеалом Яг Но так как
pt есть также собственный идеал в Яр то в Stj содержится больше
собственных простых идеалов, чем в Я2. Ввиду того, что число соб-
ственных простых идеалов кольца нормирования равно рангу (тео-
рема I), отсюда следует, что ранг нормирования Stj больше ранга
нормирования Л2.
(II) Если не содержится в Я2> то в существует элемент ц,
не содержащийся в Я2. Заменив, если это нужно, т] на l-j-т], как
и в (I), можно предположить, что т] является делителем единицы
в Jtj и не содержится в Я2. Тогда элемент Е = т;1 является дели-
телем единицы в Яр принадлежит Я2 и не является делителем еди-
ницы последнего кольца.
Иногда полезно следующее обобщение второй части теоремы VIII.
Оно относится к конечному множеству колец нормирований Яр..9tfc.
Эти кольца имеют общий нуль и общую единицу. Мы предположим,
что они имеют хотя бы два общих им элемента а и р, являющихся
делителями единицы в («=!,..., k) и таких, что разность а — р
также будет делителем единицы во всех этих кольцах. Это предпо-
ложение всегда выполняется в случае нормирований поля алгебраи-
ческих функций, так как в этом случае кольца Яр..., Яй содержат
основное поле К характеристики нуль и каждый отличный от нуля
элемент из К будет делителем единицы в Я».
Теорема IX. Пусть Ях........9ifc — кольца нормирований поля 2,
обладающие следующими свойствами'.
J 2. НОРМИРОВАНИЯ Поля
20!)
(a)	не содержится в 8L (г=1......... k, j^l....... i — 1,
/4-1,.... k);
(б)	в пересечении 9tx П 9?а П • • • П ‘Лй существуют элементы а и р,
являющиеся делителями единицы во всех указанных кольцах и
такие, что разность а — 0 также является делителем единицы
во всех 9^.
Тогда в пересечении 5RX П 9?а П • • • П существуют элементы
8t....$ftl удовлетворяющие условиям
4 = 0 (р?	С/>0.	4^0 (р<).
Случай, когда k = 2, уже разобран во второй части теоремы VIII.
Предположим теперь, что теорема доказана для случая k — 1 ко-
лец (&i>3). Тогда найдутся элементы поля S, лежащие в коль-
цах ......9ti+1,.... и такие, что есть делитель еди-
ницы в и не является таковым в остальных кольцах (для
всех t, отличных от i и j). Если vjy принадлежит 'Лр то мы положим
= tii}. Если же не принадлежит 8fti, то т^1 является делите-
лем единицы в !Rj, принадлежит и не является в этом кольце
делителем единицы, но не содержится в кольцах dit (t^i, j).
В таком случае элементы т]”.1— а и 1 — {3 оба содержатся в
и flty, но не содержатся ни в одном 9tt	Оба эти элемента
будут делителями единицы в (так как а и р— делители
единицы), и хотя бы один из них будет делителем. единицы
в Л,-. В самом деле, если бы они оба не были делителями единицы
в SRj, то разность р — а — (ц-1 — а) — (ц-1 — Р) также не была бы
делителем единицы в Л^, вопреки условию. Пусть, например, — а
есть делитель единицы в Если мы положим в таком случае
Cy=(vj“1— а)-1, то Су будет элементом Лр делителем единицы
в и элементом всех Л4 (t=pi, J), не являющимся ни в одном из
них делителем единицы.
Положим
Ь = п 4г
i*3
Так как Су-т^О (pj) при i = 1,..., j— 1, /-j- 1,..., k и так как
идеалы просты, то 4=^0 (рД Если t=pj, то можно выбрать I
отличным от j и t (ведь k 3). При этом значении I
4,=.о (pt).
Следовательно,
4 = 0 (ре).
Таким образом, элементы 4. •••. обладают нужными свойствами.
В заключение этого параграфа докажем один предварительный
результат о продолжениях нормирования 5В поля S в случае, когда Е*
является алгебраическим расширением поля S, имеющим конечную сте-
пень г. Более точные результаты будут получены в следующем па-
раграфе. Пусть Г — группа значений нормирования 58, Г* — группа
14 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
210
ГЛ. kvil. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
значений продолжения ®* нормирования 23 на поле S*. Если а — лю-
бой отличный от нуля элемент S* и если он является корнем алге-
браического уравнения
а.(рп Ч-... -|- ап = 0
с коэффициентами из Е (1^в^г), то в левой части написанного
равенства хотя бы два члена должны иметь одну и ту же норму.
Действительно, если бы все отличные от нуля члены имели различ-
ные нормы, то из результата (3) начала этого параграфа следо-
вало бы, что
v* (a(fin -j- ... + ап) = min [©* (аоаи).v* (а„)]
и поэтому конечно, в то время как v* (0) = оо. Таким образом,
должны существовать хотя бы два члена ai‘sn~i и а^п~3, имеющие
одну и ту же (конечную) норму в нормировании !8*. Если J > i, то
мы получаем (у —i)w*(a) =	Так как
0 J -С Л то для любого элемента а из поля S* число (/ — i)
является делителем г!. Следовательно, значение
равно норме некоторого элемента поля S в нормировании 33.
Таким образом, группа Г является подгруппой группы Г*, обла-
дающей следующим свойством: умножение любого элемента из Г*
на г! есть элемент Г.
Пусть группа Г* имеет ранг k и
Г*=>1^=>...=Г* = 0
— совокупность ее изолированных подгрупп. Тогда Г* П Г 2 Г<+1 П Г,
причем из определения изолированной подгруппы непосредственно
следует, что пересечение Г, П Г является изолированной подгруппой
группы Г. Далее, непосредственно проверяется, что фактор-группы
П Г/Г{+1 П Г изоморфны подгруппам аддитивной группы действи-
тельных чисел, а значит, архимедовски упорядочены. Отсюда выте-
кает, что все изолированные подгруппы группы Г содержатся
в последовательности
гаКпгэ.. . = ГйПГ=о.
Мы докажем, что группа Г имеет ранг k, если установить вклю-
чение
г:пг=эг:+1пг.
Пусть а — любой положительный элемент из Г<, не принадлежа-
щий Г<+1. Тогда элемент г!а содержится в Г< и в Г, т. е. r!a £ fl Г.
Если бы было г!а^Г^+1ПГ, то было бы и r!agl\+i. Но так как
ria > a > 0, то из определения изолированной подгруппы вытекало бы,
§ 3. ПЙЛЯ ВЫЧЕТОВ
211
что а £ 1’i+i, вопреки условию. Следовательно, в Г< П Г имеются эле-
менты, не принадлежащие Г<+1 П Г. Поэтому Г< П Г^Г»+1 П Г и
группы Г* и Г имеют одинаковый ранг. Далее, если группа Г
дискретна, т. е. если она изоморфна аддитивной группе целых чисел,
то из сказанного следует, что Г* также дискретна. Действительно,
в этом случае Г* имеет ранг 1 и обладает наименьшим положитель-
ным элементом а. ('^ 1 /г!). Если р — любой другой положительный
элемент из Г* и па < р < (/г —|— 1) а, то элемент р —	> О должен
быть элементом из Г*. Поэтому либо он равен нулю, либо р — иа^-а.
Но так как р — па < а, то отсюда следует, что р — яа = 0 и
Р = па. Так как группа Г* содержит элементы па для всех значе-
ний п, то ее дискретность следует отсюда непосредственно. Таким
образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема X. Если S* есть алгебраическое расширение конеч-
ной степени поля S, то любое продолжение на поле Е* нормиро-
вания ранга k (соответственно дискретного нормирования) поля Е
имеет также ранг k (соответственно дискретно).
Можно воспользоваться этой теоремой и утверждением (I) тео-
ремы VIII для доказательства того, что если 81 и 82— различные
продолжения нормирования 23 поля Е на поле Е*, являющееся алге-
браическим расширением конечной степени поля Е, то кольцо любого
из этих нормирований не содержит кольца другого. Пользуясь этим
результатом, мы можем применять теорему IX к любому конечному
числу различных продолжений нормирования -8 на поле Е*.
Действительно, в силу утверждения (I) теоремы VIII, если кольцо 911
нормирования 81 содержится в кольце" Э(2 нормирования 82> то ранг 81
должен быть больше ранга 82- Но, в силу теоремы X, ранги норми-
рований 81 и 82 равны рангу нормирования 8. Полученное противо-
речие показывает, что 911 не содержится в Ut2 и 0?2 не содержится в 911-
§ 3. Поля вычетов
Пусть 2 — произвольное поле и 8 — нормирование поля Е с груп-
пой значений Г. Как обычно, обозначим через 9i кольцо рассматри-
ваемого* нормирования, а через р — его идеал, состоящий из элемен-
тов кольца 9i, не являющихся делителями единицы. В таком случае р
есть максимальный идеал кольца 91 (§ 2, теорема I), и поэтому
(гл. XV, § 3, теорема III) кольцо вычетов 9i/p является полем. Мы
будем называть это поле полем вычетов нормирования 8, а образы
элементов. 5 кольца 91 в 91/р — вычетами этих $. Если 9( содержит
некоторое поле К, то каждый отличный от нуля элемент из К имеет
в К, а значит, и в 91 обратный элемент и поэтому является делите-
лем единицы в 91. Таким образом, каждый отличный от нуля эле-
мент из К отображается на ненулевой элемент кольца вычетов 91/р.
14*
212
t Jt. XVll. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Поэтому кольцо fR/p содержит подполе /С, не состоящее только из
нуля, на которое гомоморфно отображается поле /С. Но в силу тео-
ремы I § 3 гл. XV, поле К должно быть изоморфно К. Следова-
тельно, если Е является полем функций над основным полем К,
а нормирование 23 таково, что v (а) = 0 для любого отличного от нуля
элемента а из К, то поле вычетов нормирования 23 содержит под-
поле К, изоморфное К- Конечно, поле SR/р определено лишь с точ-
ностью до изоморфизма. Однако обычно поле К отождествляют с К,
так что поле вычетов любого нормирования, в случае полей функций
над К, оказывается расширением поля К-
Допустим, что группа Г имеет ранг k и что
Г=Г1з...=Гй = 0
есть совокупность ее изолированных подгрупп. Подгруппам Гр Г2,.... Гй
соответствуют простые идеалы рх, ра, ..., рй кольца 91. Пусть А —
любая изолированная подгруппа группы Г. Если А = 1\, то из тео-
ремы V § 1 следует, что фактор-группа Г/1\ имеет ранг I, а группа
1\ — ранг k — i. Обозначим ранг группы А через k', а простой идеал
кольца Л, соответствующий этой подгруппе, — через ^3. Если $ —
любой отличный от нуля элемент поля Е, то он отображается при
нормировании 23 на некоторый элемент v(5) из Г. Применяя после
этого отображение группы Г на фактор-группу Г/Д, получаем отобра-
жение элемента В на элемент v' (?) из Г/Д- Докажем, что отображе-
ние £—>«'(£) является нормированием поля Е. Прежде всего, Г/Д
есть аддитивная упорядоченная группа. Далее, если £, -q—-два эле-
мента из S, то произведение отображается на элемент v (hj) =
= v ($) -|- v (т]) из Г, а этот элемент — на элемент v' (?) -f- v' (tj) из
Г/Д, как это следует из известных свойств групп и их фактор-групп.
Наконец, мы знаем, что если а и |3 — элементы группы Г, такие, что
а>р, то а и р отображаются на элементы а.' и 0' из Г/Д, удовле-
творяющие соотношению а'4>Р'. Отсюда, ввиду соотношения
5 -J- т] -> v ($ -f- ''1) > min (С. ® Сп)! = Р.
следует, что
5 -f- ''1 -► v' (; 4- **1)	min (0> v' Сч)! = Р'-
Таким образом, отображение поля Е на фактор-группу Г/Д -является
некоторым нормированием 23х. Если а.' — любой элемент из Г/Д,
а а — элемент группы Г, соответствующий а' при отображении
группы Г на Г/Д, то в поле Е найдется элемент ?, такой, что v($) — а.
Тогда и'($) = а', а значит, группой значений нормирования 23' служит
группа Г/Д. Ясно, что нормирование 23' тривиально тогда и только
тогда, когда Д = Г. В общем случае ранг нормирования 23' равен
k — k'.
Найдем теперь кольцо нормирования®'. Пусть $ — любой элемент
из Е, удовлетворяющий условию ©'(Е)^О. Тогда существует эле-
§ 3. ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ
213
мент а из Д, для которого v(Z)^a. Определим теперь элемент т]
из поля S следующим образом: если а/>0, то т) = 1, а если а < О,
то т) есть элемент из 9С удовлетворяющий условию 17(7]) = — а.
Тогда, положив С = Ет|, мы будем иметь в обоих случаях, что О,
т. е. что С £91. Так как т/(т]) принадлежит Д, то элемент т] не содер-
жится в простом идеале ф, соответствующем подгруппе Д. Поэтому
элемент $ = С/"») принадлежит кольцу частных 91$ идеала ф кольца 9?.
Наоборот, если С и т]— два элемента из 91, причем т] не принадле-
жит ф, то для элемента $ = С/т] мы будем иметь v'(C)>-0, v'(t]) = 0
и поэтому о' (1)^- 0. Следовательно, кольцом нормирования 23' является
кольцо SRqj.
Идеалом нормирования 23' служит идеал кольца 91$, состоящий
из элементов, не являющихся делителями нуля в этом кольце, т. е.
идеал 9i$ • ф. Поэтому полем вычетов нормирования 23' будет поле
9t$/9i>$ • ф, изоморфное полю частных кольца вычетов 91/ф (гл. XV,
§ 5, теорема XI, следствие). В случае, если Е есть поле алгебраиче-
ских функций над полем К и если v (а) = 0 для любого отличного
от нуля элемента а из К, очевидно, что и v'(a) = 0 для отличных
от нуля элементов из К- Полученные результаты мы суммируем
в следующей теореме:
Теорема I. Пусть 23 — нормирование поля S, имеющее рангй
и группу значений Г. Если Д — изолированная подгруппа группы Г,
имеющая ранг k', то существует нормирование 23' поля Ё с груп-
пой значений Г/Д ранга k — k'. Если 91 — кольцо нормирования %>,
а ф — простой идеал кольца 91, соответствующий подгруппе Д,
то кольцом нормирования 23' является кольцо 91$, а полем вычетов
нормирования 23' — поле, изоморфное полю частных кольца 91/ф.
В случае, если ф = р, т. е. если Д = 0, отсюда следует, что
91$ = 9?.
Сохраним обозначения теоремы I и обозначим через Е' поле выче-
тов нормирования 23'. Пусть £'— произвольный отличный от нуля
элемент поля Е', а £, т), ...—элементы кольца 91$, переходящие
в элемент Г при отображении 9t$ —> 9i$/9i$ • ф. Так как 8' отличен
от нуля, то элементы $, т], ... не принадлежат 91$ • ф, а значит,
v' (5) = v' (•»])=...= 0.
Поэтому элементы v(?), v(t]), ... принадлежат Д. Ввиду того, что
элемент £— т] отображается на нуль поля Е', этот элемент должен
принадлежать 9i$ • ф, и поэтому норма и(;— rj) должна быть больше
любого элемента из Д. Следовательно,
— т]) > г'('П),
и поэтому
V (S) = V («— 7]	7]) = min [V (£ 7|), V (7])] = V (7j).
214
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Таким образом, все элементы с, vj, ... имеют одну и ту же норму
в нормировании 58, причем значение нормы принадлежит А. Этот
элемент группы А однозначно определяется элементом ?', и мы обо-
значим его через Таким образом, мы определили элемент из А,
однозначно соответствующий любому отличному от нуля элементу
поля S'. Каждый элемент из А соответствует при этом хотя бы
одному элементу поля Е'. Действительно, если а — любой элемент
группы А, то в S найдется элемент $, для которого ©0) = а. Так
как ©0)£Д, то ©'0) = О, а значит, $ определяет отличный от нуля
элемент Г поля S'. Для этого элемента мы имеем ©10') = а.
Пусть теперь	;2— Два отличных от нуля элемента из S , a $i,
— соответствующие им элементы поля S. Тогда
V1 01 $2) = v 01 ;2) = V (?i) -J- v 02) = ©! 01) 4- Vj. 02)
и
«1 01 + ?1) = v 01 + м > min [©0i), ©02)1 = min [©101), ©102)1-
Следовательно, отображение ;' -> ©j 0') поля S' на А является норми-
рованием поля S' с группой значений А. Это нормирование мы будем
обозначать через 5ВГ
Легко найти кольцо нормирования 58г В самом деле, неравенство
vi 0Э 0 имеет место тогда и только тогда, когда v 0) + 0. Два
элемента 5, ц кольца 9? определяют один и тот же элемент поля S'
тогда и только тогда, когда разность $ — vj принадлежит ф. Следо-
вательно, кольцо нормирования $8t изоморфно кольцу 9^/ф. Идеалом,
состоящим из элементов этого кольца, не являющихся делителями
единицы, служит р/ф. Таким образом, доказана
Теорема II. При обозначениях теоремы I нормирование 58
поля S определяет нормирование 5Bt поля вычетов S' для норми-
рования 58', имеющее группу значений А. Кольцо нормирования 58t
изоморфно кольцу JR/ф, а идеалом нормирования 58t является
идеал р/ф.
Значение теорем I и II состоит в том, что они описывают рас-
щепление нормирования 58 поля S, имеющего ранг k > 1, на норми-
рование 58' поля S, имеющее ранг k — k', и нормирование 5В, поля
вычетов S' нормирования 58', имеющее ранг k'. Однако знание норми-
рований 58' и 58j еще не дает возможности прямо определить норму
любого элемента $ из поля S: если $ есть элемент поля S, не являю-
щийся делителем единицы кольца нормирования 5R, то его образом
в поле S' будет нуль или бесконечность, в зависимости от того,
будет ли ©'0) > 0, или ©'0) < 0; следовательно, норма ©j 0') в сущ-
ности не существует. Тем не менее, нормирования 58' и 58t однозначно
определяют нормирование $8, так как последнее определяется его
кольцом нормирования 91, а это кольцо можно задать следующим
образом: элемент $ принадлежит 5R тогда и только тогда, когда либо
$ 3. ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ
215
либо v' (0 = 0 и Oj ($')	0, где 5' есть вычет элемента Е в нормиро-
вании 23'.
Следующая теорема служит обращением теорем I и II.
Теорема III. Пусть 23' — нормирование поля 2 с группой
значений Г', а 2' — поле вычетов нормирования 23'. Если 23i —
нормирование поля 2' с группой значений то существует нор-
мирование 23 поля 2, которое распадается в смысле теорем I и II
на нормирования 23' и 23Р
Если 2 есть поле функций над основным полем К, причем ч/ (а) = 0
и Vj (а) = 0 для всех отличных от нуля элементов а из К, то и
ц(а) = 0 для этих элементов.
Из сделанного выше замечания ясно, что если нормирование 23
существует, то его кольцо должно состоять из элементов $ поля 2,
для которых либо v' (?) > 0, либо же v' (;) = 0 и ($')	0, где
— вычет элемента $ в нормировании 23'. Обозначим через 31 сово-
купность таких элементов $ из 2. Докажем прежде всего, что 3i
есть кольцо. Пусть $ и tj— два элемента из 51.
(I)	Если v'(£)>0 и v' (rj) > 0, то
v' (;7j) — v' ($) + ®' (Ti) > 0 и ®'(?-|-i])>.min [v'(5), v'(t])] > 0.
(II)	Если v'(E)>0 и v'(t]) = 0,	(т]') >- 0, то
v' = v' ($) v' (ц) > 0 и v' (; -|- 7]) = V (т]) = 0.
Кроме того, так как Е не является делителем единицы кольца норми-
рования 23', его вычет $' в нормировании 23' равен нулю. Следова-
тельно, (£' +V) — vi (т]')>- 0.
(Ill)	Если г»'(;) —0,	и и'(т])>0, ‘U1(-q')>=0, то
сообржаения использованные в пункте (II), дают
v' (Ь]) > 0, v' (* -|- т)) = 0,	($'-J- 7]') >- 0.
(IV)	Если г»'(;) = 0, v1(i')^-0 и v'(t]) = 0,	то
У ($7]) = v’ (?) 4- v' (7)) = 0,	($'7]') = v1 (;') 4- vA (7]') > 0
и
т»'0 4~ "Ч) m^n [^ (’)» v'(t])]—0.
Если т/(£4~7]) = 0, то $'4~ V¥=0 и
г’10/ + 'Ч/)> min кх(5'), п1(7]')]>0.
Следовательно, во всех случаях, если элементы $ и т] принадлежат 3i,
то $т] и S-p7! также принадлежат 31. Таким образом, 31 — кольцо.
Для доказательства того, что 31 есть кольцо некоторого нормиро-
вания, воспользуемся теоремой III § 2. Пусть — любой элемент
из 2. Нужно показать, что либо С, либо принадлежит 31. Пред-
положим, что С не содержится в 3i. Тогда либо v'(Q<0, а значит,
v'(£-1)>0t либо ^'(Q —0 h’®j(Q<0, где — вычет элементу
216
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
в нормировании 23'. В последнем случае ^'(С1) —0 и ((С')-1) > 0.
Отсюда следует, что в любом из двух указанных случаев элемент -.-1
принадлежит 91.
Пусть теперь 23 — нормирование поля Е, определяемое кольцом Л,
и Г — группа его значений. Элементы $ кольца Л, для которых и'(Е)>0,
образуют идеал ф этого кольца. Действительно, если Е и ц — такие
элементы из 9t, что и'(Е)>0 и v'(i])>0, а р — произвольный эле-
мент из 9^, то
и'(Е— т]) > min [v' (Е), v'(t])]>0
и
У(рЕ) = У(р)4--и'(Е)>0,
так как и'(р)^-0. Если а и т — два элемента из Л, не лежащие
в ф, то
v' (зт) = v' (а) v' (т) = 0.
Отсюда следует, что произведение зт не принадлежит ф, а значит,
идеал $ является простым идеалом кольца 9?.
В силу сказанного, идеал фопределяет изолированную подгруппу Г*
группы Г. Поэтому нормирование 23 расщепляется на некоторое нор-
мирование 23* поля £ с группой значений Г/Г* и нормирование 23*
поля вычетов для 23* с группой значений Г*. Кодьцом нормирования
для 23* является кольцо частных 9?щ. Оно состоит из элементов
вида С = Е/т], где Е и ц— элементы 91 и т(Е)/> 0, причем v(t]) лежит
в Г*. Другими словами, оно состоит из элементов £, для которых v' (С) >- 0.
Таким образом, кольцо нормирования 23* совпадает с кольцом нор-
мирования 23', а значит, эти нормирования можно отождествить.
В таком случае Г' — Г/Г*. Отсюда вытекает, что полем вычетов нор-
мирования 23* является поле Е . Кольцо нормирования 23* предста-
вляет собой совокупность элементов из S', служащих вычетами эле-
ментов поля S, лежащих в 91. Следовательно, оно совпадает с кольцом
нормирования 23t. Таким образом, группу Г* можно отождествить
с Д. Поэтому нормирование 23 может быть расщеплено на нормиро-
вание 23' поля S и нормирование 23t поля вычетов для нормирования 23'.
Мы будем говорить, что нормирование 23 поля S составлено из
нормирований 23' и 23t.
Довольно интересен частный случай, когда нормирование 23' дис-
кретно, т. е. когда группа значений для 23' является аддитивной
группой целых чисел. В этом случае существует элемент С поля S,
для которого v' (С) = 1. Пусть теперь Е — произвольный отличный от
нуля элемент из S, и пусть v'(ty — n (п есть целое число, положи-
тельное, равное нулю или отрицательное). Введем обозначение Е = ЕС”.
Тогда v' (Е) = 0, и поэтому вычет Е' элемента Е в нормировании 23'
отличен от нуля. Положим (Е') = я и условимся писать w (Е) = («, я).
Подобным же образом, если Т| — любой другой элемент из S, то мы
8 3. ПОЛЯ ВЫЧЕТОВ
217
можем определить для него значение w(t|) = (т, р), где ю'(т]) — т,
tj = tjC.-и ‘и1(т)') = р. Так как v' (Ь]) = т -|- п, $т] ==1т]Сге+ш и
vt (Ь'у') = а -}-р, то мы будем иметь w (4) — (т п, a-J-p). Кроме
того, ®'($-|-7])>>niin [т, в], и если, например, о' (£ -|- ч\) —
«=min[m, п] = т, то $ —зц =	nq)С’л,
([TCn~’'‘ -f- т] f) = vr (т)'), если п > т,
и
т]') >-mln [т>1 ($')> ‘*7i('qz)l> если т — п.
Следовательно, если мы будем интерпретировать пары (л, а) как
элементы прямой суммы групп Г' и Д, упорядоченной согласно § 1,
то установленное нами отображение £—>«»($) отличных от нуля эле-
ментов поля 2 на эту прямую сумму оказывается нормированием.
Кольцо этого нормирования состоит из элементов $ поля 2, для которых
либо	либо же и'($) = 0 и vr(¥)~^>0. Следовательно, это
кольцо совпадает с SR, а построенное нормирование совпадает с нор-
мированием 23. Отсюда вытекает, что в рассматриваемом случае
группа Г является прямой суммой групп Г' и Д. Таким образом,
доказана следующая
Теорема IV. Пусть ЗУ — нормирование поля 2 с дискретной
группой значений Г'. Если 23t — нормирование поля вычетов для 23'
с группой значений Д, то группа значений нормирования 23, соста-
вленного из нормирований 23' и 23р является прямой суммой Г' и Д.
В заключение этого параграфа докажем одну теорему о возмож-
ных продолжениях нормирования 23 поля 2 на алгебраическое расши-
рение 2* поля £, имеющее конечную степень.
Теорема V. Пусть 23 — нормирование поля 2, a 2*—алге-
браическое расширение 2, имеющее конечную степень т. Тогда
существует не более т нормирований поля 2*, являющихся про-
должениями нормирования 23.
Мы будем предполагать, что поле вычетов нормирования 23 содер-
жит бесконечное множество элементов.
Докажем прежде всего, что если 23* — любое нормирование поля 2*,
служащее продолжением нормирования 23, то поле вычетов для 23*
изоморфно некоторому алгебраическому расширению поля вычетов
для S3, причем степень этого расширения не превосходит т. Оче-
видно, что любой элемент поля 2, являющийся делителем единицы
в кольце нормирования 23, будет также делителем единицы в кольце
нормирования 23*. Следовательно, поле вычетов нормирования 23* со-
держит подполе, изоморфное полю вычетов для 23. Поэтому поле
вычетов для 23* мы будем рассматривать как расширение поля выче-
тов для 23. Будем обозначать вычет любого элемента а* из 2* в нор-
мировании 23* через а*. Если а* = а £ 2, то а* = а. Пусть теперь
9* — любой отличный от нуля элемент из поля вычетов нормирования 23*.
218
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
а о*—элемент поля £*, имеющий такой вычет. Элемент з* удовле-
творяет уравнению
ао°*П 4" ai3*n 1 + • • • + ап = 0 (<Ч £ Е)
над полем Е, имеющему степень п (п^т). Умножая левую часть
написанного равенства на подходящий элемент поля S, можно добиться,
чтобы было min lv(а0), ..v(an)J = 0. Но так как элемент з* имеет
отличный от нуля вычет, то *и*(з*) = 0. Отсюда вытекает, что v(ai) = 0
при некотором I, меньшем п. Действительно, если бы было и(п„)<
< v (а>;) (/ = 0, .. ., п— 1), то было бы v*(an) < v* (а^*п~1), а значит,
V* 4- • • • 4“	(«») — °-
Но это несовместимо с тем, что v*(0) = oo. Следовательно, мы можем
перейти к полю вычетов. Мы получаем
ао?п+...+«„ = О,
где хотя бы одна степень элемента з* имеет отличный от нуля коэф-
фициент. Таким образом, элемент з* удовлетворяет некоторому урав-
нению, коэффициенты которого принадлежат полю вычетов нормиро-
вания 93, а степень не превышает т.
Предположим теперь, что нормирование 93 имеет т -ф-1 различных
продолжений 93*.....®т+г ® § 2, стр. 211, мы видели, что 3?^ не
содержится в 91J (£#=/)> а значит (§ 2, теорема IX), в кольцах нор-
мирований 93! найдутся элементы $*.....!;*	v такие, что вычет
элемента в нормировании 93^ отличен от нуля, а вычет ?! в нор-
мировании 93! (i^j) равен нулю. Элементы !;* являются алгебраиче-
скими над полем вычетов нормирования 93. Обозначим элементы,
сопряженные с Ц над полем вычетов для 93, через (з — 1,..., гег).
Так как поле вычетов нормирования 93 содержит бесконечное мно-
жество элементов, то в поле Е существуют элементы av ..., ат+1,
для которых	-₽•(<»>,-Et₽)
при а — 1, ..пь р— 1........tij для любых различных I, j. Положим
о* = 2Тогда вычетом этого элемента в нормировании 93! слу-
жит а4£*. Следовательно, все т -ф-1 вычетов элемента а*, лежащие
в некотором расширении поля вычетов нормирования 93, различны.
Но элемент з* удовлетворяет некоторому уравнению над полем S,
имеющему степень <! т. Следовательно, вычеты этого элемента
являются корнями уравнения, степень которого также не превосхо-
дит т, а коэффициенты лежат в поле вычетов нормирования 93.
Поэтому среди вычетов элемента з* может быть не более т различ-
ных, и мы пришли к противоречию, Этим теорема доказана.
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
219
§ 4. Нормирования полей алгебраических функций
В §§ 2 и 3 мы рассматривали свойства нормирований произволь-
ного поля £ и ограничивались лишь замечаниями о применении полу-
чаемых результатов к случаю, когда £ является полем алгебраических
функций над некоторым основным полем К- Но нашим основным
предметом является именно применение теории нормирований к полю
функций алгебраического многообразия, определенного над основным
полем К характеристики нуль. В §§ 4 и 5 мы рассмотрим этот слу-
чай более детально. При этом имеется одна опасность, которую сле-
дует обойти. Предположим, что £— поле функций некоторого алге-
браического многообразия V размерности d над полем К. В таком
случае в поле £ существует алгебраически независимая над полем К
система С(, .... из d элементов. Поле £ является простым алге-
браическим расширением поля /С(£р ..., Cd), имеющим конечную
степень. Если мы рассмотрим какое-либо нормирование 23 поля £
(всегда предполагается, что это нормирование удовлетворяет усло-
вию (П1) из § 2, т. е. что для любого отличного от нуля элемента а из К
будет ®(а) = 0), то окажется, что поле вычетов £' рассматриваемого
нормирования имеет степень трансцендентности d', меньшую d. Дру-
гими словами, в поле £' существуют системы из d' элементов, алге-
браически независимых над К, и не существует таких систем из d' 1
элементов. Однако из этого не следует, что поле £' является полем
функций некоторого алгебраического многообразия, так как если
Ci. • ••. -а1—система из d алгебраически независимых элементов
поля £', то £' не обязательно будет конечным расширением поля-
..., £<г)- В ряде задач будет необходимо рассматривать нор-
мирования таких полей, как £', т. е. полей, имеющих конечную сте-
пень трансцендентности над полем К, но не являющихся полями
функций, алгебраических многообразий. Поэтому следует отметить,
что результаты, полученные в §§ 2 и 3 для полей алгебраических
функций, применимы и к полям конечной степени трансцендентности
над полем К, независимо от того, будут ли эти поля полями функций
алгебраических многообразий или нет. Чтобы избежать путаницы
в дальнейшем, мы будем говорить, что поле £ является полем
функций алгебраического многообразия размерности d, если фор-
мулируемая теорема справедлива лишь в случае, когда £ есть конеч-
ное (а значит, простое) алгебраическое расширение чисто трансцен-
дентного расширения размерности d поля К- Если же теорема имеет
место независимо от того, является £ полем функций алгебраического
многообразия или нет, то мы будем говорить, что £ есть расшире-
ние конечной степени трансцендентности d поля К (или расшире-
ние, имеющее конечную степень трансцендентности).
Пусть £ — расширение поля К, имеющее‘степень трансцендент-
ности d, и 23 — нормирование этого поля. Как обычно, обозначим
220
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
кольцо рассматриваемого нормирования через SR, идеал нормирования —
через р. Поле вычетов нормирования 33 изоморфно фактор-кольцу 9t/p
и содержит подполе, изоморфное К (§ 3). Это подполе мы отож-
дествим с К, так что поле вычетов нормирования 33 будет расшире-
нием поля К. Размерностью нормирования 33 мы назовем степень
трансцендентности его поля вычетов над полем К.
Теорема I. Размерность любого нетривиального нормирования
поля 2, имеющего конечную степень трансцендентности d над К,
меньше d.
Так как любые d-|-l элементов из JJi алгебраически зависимы
над К, то они, очевидно, являются и алгебраически зависимыми по
модулю р. Следовательно, размерность рассматриваемого нормирова-
ния не может превышать d. Предположим, что она в точности равна d.
Тогда в кольце 9? существует система . . ., ;d из d элементов,
алгебраически независимая по модулю р. Пусть ц — любой отличный
от нуля элемент из р. Элементы 51( . . ., tj алгебраически зависимы
над полем К, а значит, удовлетворяют некоторому неприводимому
уравнению
OoCi. •••> U+	....UY-1+• • •................U = °>
где элемент ar ..., td) отличен от нуля. Так как	а
принадлежит р, то мы имеем
«ЛЪ......U = 0 (₽).
Но это соотношение противоречит нашему предположению, что эле-
менты S-p ..., td алгебраически независимы по модулю р. Следова-
тельно, поле 91/р имеет размерность над полем К, меньшую d, т. е.
размерность поля вычетов рассматриваемого нормирования меньше d.
Из доказанного непосредственно вытекает такое
Следствие. Если 2 имеет степень трансцендентности нуль,
то каждое нормирование этого поля тривиально.
Теорема II. Пусть 2—расширение поля К, имеющее степень
трансцендентности d. Тогда ранг любого нормирования поля 2
не превосходит d. Более того, сумма ранга и размерности нор-
мирования не может превосходить d.
Пусть ранг нормирования 33 поля 2 равен k, и пусть группа зна-
чений Г этого нормирования имеет изолированные подгруппы Гр
Г2.....1\, где
ГэГр . . . =>rft = 0.
В силу теорем 1 и II § 3, можно расщепить нормирование 33 на нор-
мирование 33' поля 2 с группой значений Г/1\ и нормирование
поля вычетов 20 нормирования 33 > имеющее группу значений Гг
Таким же образом нормирование 33х может быть расщеплено на нор-
мирование 331 с группой значений 1\/Г3 и нормирование 332 поля
вычетов 2Х нормирования 531, имеющее группу значений Т8. Пцступая
$ 4. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
221
таким образом, мы построим поля вычетов Ео, Si.....S^-i и нор-
мирования 334- полей имеющие группы значений Г4. Обозначим
через df размерности полей Е/. Тогда, в силу теоремы I, d0 < d,
di^di-i. Поэтому di<^d — i. Так как нормирование поля Sfc_2
с группой значений rfc_t не является тривиальным, то А-2 > 0. Сле-
довательно,
d — k	2 > <4_2 > 0,
т. е.
d_fe_|_2>2,
и поэтому
Доказательство последнего утверждения содержится в сказанном.
В частности, отсюда следует, что нетривиальное нормирование поля,
имеющего над полем К степень трансцендентности 1, имеет ранг 1,
так что его группа значений архимедовски упорядочена.
Остальные теоремы этого параграфа относятся к случаю, когда Е
является полем функций некоторого неприводимого алгебраического
многообразия над полем К, имеющего размерность d. Первый из этих
результатов описывает возможные нормирования поля S, имеющие
размерность d— 1.
Докажем прежде всего одну лемму о возможных нормированиях
поля £ в случае, когда оно является простым трансцендентным рас-
ширением поля К, т. е. Е = ЛДх).
Лемма. Любое нетривиальное нормирование поля К(х) полу-
чается одним из двух следующих способов.
(а)	В кольце /С[х] выбирается неприводимый многочлен f(x),
степень которого больше нуля, и каждая рациональная функ-
ция R(x) записывается в виде
R (х) = [/(х) ]“ • [/t (х) fi .. . [ А (х) ]“*,
где a, av ..., ak — целые числа, положительные, отрицательные
или равные нулю, a f(x), Д(х).....AW— различные неприводи-
мые многочлены. Нормирование определяется формулой
v (R (х) ) = а.
(б)	Элементы поля К(х) записываются как рациональные функ-
ции R(x~1) неизвестного хД и норма элемента R(x~1) опреде-
ляется описанным выше образом при /(х-1) == х-1.
Очевидно, что если /(х) — любой неприводимый многочлен или
/(х-1) = х-1, то отображение R(x)-*-a является нормированием
поля KW- Для доказательства того, что таким образом получаются
все нормирования поля ^(x), заметим прежде всего, что в нетри-
виальном нормировании все элементы из АС[х] не могут иметь нулевые
нормы. Действительно, любой элемент из АДх) имеет вид а(х)/й(х),
222
M. XVtl. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
где а (х) и b (х) принадлежат /<[х]. Если бы всегда было ъ(а(х)) — О
и u(i(x)) = 0, то мы имели бы
v (R (х)) = v {а (х)/Ь (х)) = О,
а значит, нормирование было бы тривиальным.
Случай I. Если г/(х)^-0, то и(/(х))^>0 для любого много-
члена /(х) из /С[х]. Действительно, если
/(х) = а0 + ajx+ ... +апх“,
то
v (а<х*) — v tv (х) = tv (х) О,
и поэтому
y(/(x))>min['y(aixi)]>0.
Следовательно, в этом случае кольцо Л" [х] содержится в кольце нор-
мирования 9?. Если р — максимальный идеал кольца 91 и ф = 7<[х] П р,
то ф является простым идеалом кольца /С(х] (гл. XV, § 4). Кроме
того, ф не будет нулевым идеалом, так -как мы уже видели, что
существуют многочлены из /([х], нормы которых отличны от нуля.
Эти нормы положительны, так как 91 Э /С[х]. Ввиду того, что идеал ф
не содержит отличных от нуля элементов поля К, он не является
также единичным идеалом. Следовательно, ф есть собственный простой
идеал кольца /С(х]. Но /С[х] — кольцо главных идеалов (гл. XV, § 1).
Поэтому идеал ф имеет базис, состоящий из одного элемента, на-
пример /(х), который, ввиду простоты идеала ф, должен быть неприво-
димым. Если g-(x) — любой неприводимый многочлен, не кратный/(х),
то существуют многочлены а(х) и Ь(х), удовлетворяющие условию
a(x)f<x) + b(x)g(x) = 1.
Следовательно,
О =-u(l)>mln[-u(a/), v(bg)] =
= mln[-u(a)-|-w(/)> -u(/>)+-u(g)]>min[-u(A v (g) ].
Так как -u(/)>0 и v(jr)^>Q, то отсюда вытекает, что -u(g-)=:0.
Поэтому, если рациональная функция R(x) представлена в виде
R (х) = 1/(х) ]“ [Д (х) ]“i ... [fk (х) 1°*.
как указано в формулировке леммы, то
«(/?) = а«(/) + а1®(Л)+ ... +efc®(/k) = a®(/).
так как ®(А) = 0. Таким образом, группа значений нормирования
состоит из целых кратных значения v(f). Если мы произведем норма-
лизацию так, чтобы было -у(/) = 1, то группа значений Г станет
аддитивной группой целых чисел. Этим лемма в случае, когда v (х) О,
доказана.
§ 4. НОРМИРОВАНИЙ НОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 223
Случай И. Если и(х)<0, то мы запишем элементы поля К(х)
как рациональные функции от х-1. Тогда К[х~*] с 91, а идеал
ф' = /С[х—*] П р будет собственным простым идеалом кольца /С[х-1].
Так как х-1£/<[х_1] П р, причем элемент х-1 неприводим, то эле-
мент xL1 будет базисом идеала ф'. Теперь утверждение леммы полу-
чается как и в случае I.
Доказйнная лемма вместе с теоремой X § 2 непосредственно дает
такое
Следствие. Если Е — поле функций алгебраического много-
образия размерности 1, то все нетривиальные нормирования поля Е
дискретны.
Теорема III. Пусть Е — поле функций алгебраического много-
образия размерности d над полем К, а 33 — нетривиальное норми-
рование поля S, имеющее размерность d—1. Тогда нормирование
дискретно, а его поле вычетов £' является полем функций неко-
торого алгебраического многообразия размерности d—1 над
полем К.
Докажем сначала последнее утверждение теоремы. Так как нор-
мирование SB имеет размерность d — 1, то в кольце 91 рассматриваемого
нормирования существует система .........$d_j из d—1 элементов,
алгебраически независимая по модулю р (здесь р — максимальный
идеал кольца 91). Пусть т) — любой отличный от нуля элемент из р.
Если элементы ..., $d_j, т| связаны некоторым алгебраическим
уравнением
••••	+	•••	.....= 0
над полем К, то мы можем предполагать, что а0(^..........$d_j)	0.
Но отсюда вытекает, что
«оС1. •••Х_1) = 0 (р),
вопреки условию, что . .., $d_x алгебраически независимы по
модулю р. Следовательно, элементы ..., $d_x, т] должны быть
алгебраически независимыми над К- Ввиду того, что £ есть поле функ-
ций некоторого многообразия размерности d над полем К, это поле
является конечным алгебраическим расширением поля /((!;,, . .., $d_v ?]),
имеющим некоторую степень т. Возьмем любой элемент Z этого
расширения и предположим, что
8 ш'
2	.....= 0	(I)
i=0 J=0
— неприводимое уравнение, связывающее элементы ...»
224
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
над полем К- Переходя к полю вычетов S' и учитывая, что
получаем *)
............
1
Здесь не все коэффициенты a0^($i.....£d-i) равны нулю. Действи-
тельно, если бы все они были равны нулю, то и а0^($х........^d-i)
были бы равны нулю при всех значениях у, так как элементы
......$d_x алгебраически независимы по модулю р. Но в таком
случае уравнение (1) было бы приводимым, вопреки условию. А так
как не все .... равны нулю, то элемент С' является
алгебраическим над полем K($1F	£d_i) и удовлетворяет уравнению,
степень которого не превышает т.
Отсюда следует, что поле S' есть алгебраическое расширение
поля Ш, .... имеющее степень т, а поэтому S' является
полем функций некоторого многообразия размерности 4—1.
Так как элементы $х.....$d_1, равно как и элементы . . ., 5d_n
алгебраически независимы над полем К, то
....	.....eLi).
Поэтому мы можем, не опасаясь путаницы, отождествить с
В таком случае поле S можно рассматривать как поле функций много-
образия размерности 1 над полем ..........$d_t) = 2* 2). Рассматри-
ваемое нормирование SB таково, что v (т) = 0 для любого отличного
от нуля элемента т из 2. Поэтому можно воспользоваться следствием
из доказанной выше леммы, показывающим, что нормирование S3
дискретно.
Теорема IV. Пусть S — поле функций некоторого алгебраи-
ческого многообразия размерности d над полем К. Тогда любое
нормирование SB поля S, имеющее ранг d, обладает группой зна-
чений, являющейся прямой суммой d дискретных групп.
Если 4=1, то утверждение содержится в теореме Ш. Если 4 > 1,
то рассмотрим максимальную изолированную подгруппу Гг группы
значений Г нормирования SB. Группа 1\ имеет ранг 4—1. Нормиро-
вание SB можно расщепить на некоторое нормирование SB' поля S
с группой значений Г/1\ и нормирование SBX поля вычетов S' норми-
рования SB' с группой значений Гг Так как группа 1\ имеет ранг 4— 1,
а размерность поля S' меньше 4, то из теоремы II следует, что
1) Элемент С следует брать таким, чтобы ему соответствовал некоторый
элемент С поля вычетов рассматриваемого нормирования, т. е. С должен
содержаться в кольце нормирования. — Прим, перев.
2) Следует.обратить внимание на то, что поле AC(ct, ..., $d_x) содержится
в кольце нормирования 34, так как из алгебраической независимости элемен-
тов ..., по модулю р следует, что норма любого ненулевого много-
члена от «ъ ..., а значит, и норма любой рациональной функции от
.....?d равна нулю. — Прим, перев.
I 4. НОРМИРОВАНИЙ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 225
поле 2' имеет размерность, точно равную d—1. Но так как d—1
есть размерность нормирования 23', то, в силу теоремы III, 2' есть
поле функций алгебраического многообразия, а нормирование 33'
дискретно. Следовательно, мы можем принять в качестве предполо-
жения индукции, что группа является прямой суммой d— 1 дискрет-
ных групп. В таком случае из теоремы IV § 3 вытекает, что Г яв-
ляется прямой суммой групп Г/Гт и Гр а это и нужно.
Полученный результат означает, что в нормировании IB ранга d
норма любого элемента поля 2 может быть записана в виде (т1, ..., md),
где /их....md—целые числа. При этом
(/Пр .... /nd) + (np .... nd) = (nti 4- «р .... md-\-nd),
и
(/Ир .... /nd)>(Hp ..., nd)
в том и только в том случае, если
/»1 = «1, ..., /n^j^n^p /nz>n4
для некоторого i (1	<^). Для любой системы mv . . ., md целых
чисел в поле 2 найдется элемент, нормой которого служит строка
........md).
Рассмотрим теперь нормирования поля функций 2 некоторого
алгебраического многообразия размерности d над полем К, имеющие
ранг 1. Если IB — такое нормирование поля Е, то в качестве его
группы значений можно взять некоторую подгруппу Г аддитивной
группы действительных чисел (§ 1, теорема I). Конечная система из k
действительных чисел av . . ., ак называется рационально зависимой,
если существуют целые числа pv ..., рк, не все равные нулю и
удовлетворяющие соотношению
~\~Ркак~ О-
В противном случае числа a.t называются рационально независимыми
Если некоторое множество чисел содержит k рационально независи-
мых чисел, а каждая система из k 1 чисел этого множества рацио-
нально зависима, то говорят, что рассматриваемое множество имеет
рациональный рангк. Если элементы группы Г образуют множество,
имеющее рациональный ранг k, то нормирование IB называется норми-
рованием рационального ранга к.
Теорема V. Пусть IB—-нормирование ранга 1 поля функций 2
некоторого алгебраического многообразия размерности d. Тогда
рациональный ранг нормирования IB не превосходит d.
Пусть рациональный ранг нормирования 23 равен k (если рацио-
нальный ранг для 18 бесконечен, то достаточно рассматривать под-
группу группы Г, имеющую рациональный ранг k = d-\- 1). Обозначим
через ар ..., ак систему из k рационально независимых элементов
группы Г, а через .........— элементы поля 2, для которых
15 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
226
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
u(Q = ai. Докажем, что элементы	г,к алгебраически незави-
симы над полем К. Пусть
Ж.......ы =
А »
— любой многочлен от ........^к,	коэффициенты которого
принадлежат полю К и не все равны нулю. Если e^... отличен от
нуля, то
V (а{ ... i С? . . . dfc) = v (ai ...«) + lxv (У 4- ... + lkv (Cfc) =
1 n	1 Л
=/i«i4- • • • -Нл-
Никакие два члена многочлена /(Ср . . ., не могут иметь одну и
ту же норму, так как из равенства
4ai+ ••• + Vk = Jiai + ••• +Aafc>
в силу рациональной независимости элементов ар ..., ак, следует,
что lt=Jv ..., ik=Jk- Поэтому
®(/)=Aai+ ••• +Ркак.
„	„РЛ уРъ
где рр ..., рк — показатели множителей произведения 4 ... С& ,
входящего в выражение /(Ср . .., 4) и имеющего наименьшую норму.
Отсюда следует, что норма элемента /(Сх, ..., Сй) всегда конечна,
кроме случая, когда
f(*i......xfc) = 0.
Таким образом, выражение /(4........ -_к) отлично от нуля, если
f(xv .. ., хк) не равен нулю тождественно, т. е. элементы Clt ...,
алгебраически независимы. Ввиду того, что поле X имеет степень
трансцендентности d, из сказанного вытекает, что k d. Теорема
доказана.
Допустим теперь, что рациональный ранг рассматриваемого норми-
рования SB имеет максимальное возможное значение k = d. Обозначим
через ар . . ., ad рационально независимые элементы группы Г, а через
Ср •••> ’«г — элементы поля S, нормы которых v (Q = «»• Тогда, как
мы видели, элементы r,v .... t.d алгебраически независимы над полем К,
и поэтому поле £ является алгебраическим расширением поля
/((Ср • •	’d)> имеющим некоторую конечную степень т. Как и в до-
казательстве теоремы V, можно показать, что если/(хр ..., xd)£
G..........xd], то норма v [/(4.....Cd)J имеет вид ...
... -]-rdad, где т-р ..., rd — целые числа. Пусть С — любой элемент
поля Е, и пусть
/(Хр .... xd, х) == S (х1> • • . xd) xi = 0 (т' < т)
г =0
.$ 4. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 22?
— неприводимое уравнение, связывающее элементы ........r,d, г,. Рас-
суждая как и в теореме X § 2, мы усматриваем, что значение m\v(',)
равно норме некоторого элемента поля .... Cd). Следовательно,
норма любого элемента X поля Е имеет вид
'1-2+
где rt, rk— целые числа.
Таким образом, нормы элементов поля Е составляют подмодуль ВД'
3-модуля 3 • (-“i.........,	где 3 — кольцо целых чцсел. Так как 3
есть кольцо главных идеалов, то из теоремы I § 6 гл. XV (см. след-
ствие) вытекает, что '])1' является 3-модулем, обладающим базисом,
состоящим из d' элементов, где d’ С d. Но так как 9)iz содержит d
рационально независимых чисел, то d' = d. Следовательно, группа
значений Г состоит из чисел вида
+ +sfc?/c>
где sp ..., sk— целые числа, а ...,	— рационально независи-
мые действительные числа. Полученный результат можно сформули-
ровать в виде следующей теоремы:
Теорема VI. Если £— поле функций алгебраического много-
образия размерности d, а 2} — нормирование этого поля, имею-
щее ранг 1 и рациональный ранг d, то группа значений нормиро-
вания SB имеет независимый базис над кольцом целых чисел.
Теорема VII. Пусть Е—-поле функций некоторого алгебраи-
ческого многообразия размерности d и SB — нормирование поля Е,
имеющее ранг 1 и рациональный ранг k. Тогда размерность SB не
может превосходить d-—k.
Обозначим через at, . . ., ак рационально независимые элементы
группы значений Г нормирования SB. Без ограничения общности можно
считать, что > 0 (f=l, ..., k), так как любой ai в случае
необходимости можно заменить на —а4. Пусть .. .,	— элементы
поля S, для которых = (i = 1................k).	Как и в теореме V,
можно показать, что элементы С,......алгебраически независимы.
Кроме того, они лежат в р, так как y(Ci)>0 (здесь р снова озна-
чает максимальный идеал кольца нормирования). Обозначим через
’»+t> •••’ ^d+t любую систему из d — /г —j— 1 элементов кольца рас-
сматриваемого нормирования. Система .......... 'd+1 алгебраически
зависима над полем К. Следовательно, существует такой неприводи-
мый над полем К многочлен /(xlt . . ., xd+1), для которого
Ж........:й+1) = о.
Так как !14£р	то остальные элементы Zfc+1, ..., CdM алге-
15*
228
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИИ
браически зависимы по модулю р, а значит, размерность нормирова-
ния ® меньше d — k -f- 1 х).
В заключение этого параграфа сделаем несколько замечаний о по-
строении нуль-мерных нормирований поля S, имеющих ранг 1 и рацио-
нальный ранг k. Так как этими результатами фактически мы не будем
пользоваться в дальнейшем, а доказательства в некоторых случаях
довольно сложны, мы их не приводим, отсылая читателя к оригиналь-
ным работам, указанным в библиографических замечаниях в конце
книги. Пусть ...,	— система из d алгебраически независимых
элементов поля 2, а«1( .... ad— система d рационально независимых
действительных* чисел. Одно из нормирований поля К^, .... ;d),
имеющее ранг 1 и рациональный ранг d, можно определить следующим
образом. Пусть t—-новое неизвестное, a av ..., аа — произвольные
элементы поля К. Если /($р . .., ;d)—многочлен из .. ., $d], то
мы можем записать
/(?1» •••> и = ^1 —«1........— аа) =
— 2	(’1 ai)1 • • • (?d — °d) а-
а.
Если мы заменим в этом тождестве двучлены на t, то получим
+ ........°d + ^ d) — 2°*! ... J-
Так как 2 ijaj S за исключением случая, когда ij — k}
(J = 1, . . ., d), то написанный ряд по степеням t будет нулем только
в случае, если /(хх.....xd) = 0. Определим теперь норму элемента
/(и. •••> &d) как значение наименьшего показателя степени t в полу-
ченном ряде. Если ..., £d) — рациональная функция от ..., $d,
то мы можем таким же образом получить для нее разложение в ряд
по степеням t и принять за ее норму наименьший показатель степени t
в полученном ряде. Легко проверить, что описанный прием действи-
тельно дает нормирование поля ..., $d) с группой значений,
состоящей из действительных чисел вида
Л1а1+ •  • + /’dad>
1) Приведенное авторами рассуждение неполно, так как необходимо пока-
зать еще, что среди многочленов f(xt, .... JQi) найдется многочлен, хотя бы
один член которого не содержит множителей xt....... Однако проще рас-
суждать следующим образом: если Ср..., Cd/ — алгебраически независимые
над К элементы поля вычетов нормирования S3, а Сь..., Cd-— элементы
кольца 9?, имеющие эти вычеты, то поле можно рассматривать как поле
функций многообразия размерности d— d' над полем /C(Ct, ..., С(Г) (см. вто-
рое примечание к доказательству теоремы III). Тогда из теоремы V непосред-
ственно следует, что k d — d', т. е. что d' <^d — k, а это и нужно. — Прим,
перев.
§ 4. НОРМИРОВАНИЯ ПОЛЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
229
где д.....pd — целые числа. Это нормирование может быть про-
должено до нормирования всего поля £, причем метод доказательства
теоремы 'X § 2 показывает, что получаемое при продолжении норми-
рование может иметь ранг 1 и рациональный ранг d. Из теоремы VII
следует, что полученное нормирование имеет размерность нуль.
Описанный метод построения нормирования поля S, имеющего
ранг 1 и рациональный ранг d, иллюстрирует одну общую теорему
о нуль-мерных нормированиях ранга 1 для полей функций алгебраи-
ческих многообразий. Пусть	..., — такая конечная система
элементов поля Е, что Е = /С($1, ..., (систему ..., можно
рассматривать как общую точку исследуемого алгебраического много-
образия). Если SB — любое нуль-мерное нормирование поля Е, имею-
щее ранг 1, группой значений которого является подгруппа Г адди-
тивной группы действительных чисел, то каждому элементу соот-
ветствует ряд вида
zdt) — А(а0» + О1Л	• • •)	(lh>°> Нч» > Р-д* ••)>
коэффициенты которого принадлежат некоторому алгебраическому
расширению 2 поля К, а показатели содержатся в группе Г.
Эти ряды обладают тем свойством, что если	..., ;п)—
любой отличный от нуля элемент поля ..., $,„) и если
(t).....zn (0) = t° (b0 + bf‘ +...),
где bo=£O, a p,, p.2> ... положительны, то —
Читатель, знакомый с понятием ветви кривой в классической
алгебраической геометрии, легко обнаружит, что наш метод получе-
ния нормирований ранга 1 и размерности нуль сходен с определением
порядка функции f из поля рассматриваемой кривой на некоторой
ветви этой кривой. Всю теорию нормирований можно рассматривать
в некоторых отношениях как обобщение классической теории ветвей
кривых. Однако проводить такую аналогию слишком далеко более
рискованно, чем полезно. „Ветви", встречающиеся в теории нормиро-
ваний и определяемые разложениями $4 = г4(О, в общем случае не
являются алгебраическими. Это очевидно, в частности, если, появляю-
щиеся в разложениях показатели иррациональны. Но и в случаях,
когда группа значений нормирования состоит из целых чисел, в кото-
рых получаемые ряды будут обычными степенными рядами, опреде-
ляемая нормированием „ветвь" может быть алгебраической лишь
тогда, когда d = l. Действительно, если бы было d> 1 и если бы
ветвь = была алгебраической, то в поле S нашелся бы элемент
/($!....;„), отличный от нуля и такой, что /(^(0, • •	гп(/)) = 0.
Следовательно, наш метод определения нормы терял бы силу. Алге-
браические ветви иногда позволяют определить соответствующее
нормирование, но последнее будет необходимо ранга > 1.
230
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
§ 5. Центр нормирования
В § 4 мы рассматривали некоторые свойства нормирований полей
функций алгебраических многообразий. Однако эти свойства относи-
лись к абстрактно заданному полю и не имели отношения к геометрии
того многообразия, для которого рассматриваемое поле построено.
Теперь мы рассмотрим неприводимое многообразие Vd в простран-
стве Sn, имеющее размерность d над основным полем К, и изучим
связь между нормированием 23 поля функций S многообразия Vd
и геометрией этого многообразия. Результаты этого параграфа
составляют основу, на которой базируется применение теории нор-
мирований к алгебраической геометрии.
Пусть (!^, . . ., С„) — координаты общей точки многообразия Vd.
Отношения Ci/Cj- содержатся в поле функций S, но сами Сг могут
умножаться на произвольный элемент любого расширения этого поля.
Потребуем, однако, чтобы £0.......лежали в поле S. Пусть
23 —некоторое нормирование поля S, a k—-целое число, для которого
у(СЛ)<у(СЭ (; = о,...,«).
Рассмотрим множество однородных многочленов /(х0........хи) над
полем К, удовлетворяющих условию
у [/(Со....C„)]>my(Cfc),	(1)
где т — степень многочлена /(х0, ..., хге). Если /(х0, ..., х„)
и g(x0, ..., хп) — многочлены одной и той же степени, обладающие
указанным свойством, то
у [/(Со,	W-№, -, С„)]>
> min {v 1/(С0.....Q, v [g(Co> .... Q]} > mv(^.
Далее, если а(х0, .... хп)— любой однородный многочлен степени г,
то норма элемента а(^0, ..., Сп) не может быть меньшей, чем наимень-
шая из норм его отдельных членов. Но так как v (Cfc)Cv (С»), то
отсюда следует, что
у 1«(С0....Cn)]>ry(Cfc).
Поэтому
у [а (Со, •  •, СП)/(СО, ..., Q] > (т + г) v Gfc).
Таким образом, однородные многочлены /(х0, ..., х„), удовлетво-
ряющие условию (1), образуют однородный идеал (кольца К\х0,. .., хи].
Если многочлен /(х0, .. ., хге) обращается в нуль на Vd, то
/(Со, . • Сч) = 0 и поэтому /(х0, ..., хп) принадлежит (. Следо-
вательно, ( является делителем простого идеала, определяющего
многообразие Vd. Кроме того, если /(х0, ..., хп) и gix^, . .хп) —
однородные многочлены степеней т и г, не принадлежащие (, то
У [/(Со, .... Cn)]^^Gft), y[gG0, ..., ^)]=гу(ад,
§ 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЯ
231
а значит,
® I/(Со....Q •	• • •. Q] = (m + г) V с,л).
Отсюда следует, что многочлен /(х0..........xn)g(xo> •••> ХГ1) не
принадлежит идеалу t. Поэтому идеал i прост, а значит, опре-
деляет некоторое неприводимое многообразие С, являющееся соб-
ственным подмногообразием многообразия Vd. Для доказательства
того, что при нетривиальном нормировании £8 многообразие С дей-
ствительно является собственным подмногообразием Vd, заметим
прежде всего, что любой элемент поля S можно записать в виде
/(Со, .... U/g'Go>  • гДе f(x) и g(x)— формы одинаковой сте-
пени. Если бы любая отличная от нуля форма /(х) степени т удовле-
творяла условию wf/Go, •••> Cm)] = mv(^k), то отсюда следовало бы,
что все отличные от нуля элементы поля S имеют норму нуль,
а значит, нормирование тривиально. Таким образом, если нормирова-
ние 23 нетривиально, то существуют многочлены/(х0, ..., х„), не
обращающиеся в нуль на Vd и принадлежащие идеалу Е Кроме того,
i не является единичным идеалом, так как хк не принадлежит i.
Следовательно, если нормирование 23 нетривиально, то многообразие С
не пусто и является собственным подмногообразием для Vd.
Многообразие С называется центром нормирования 23 на много-
образии Vd. Нами доказана
Теорема I. Любое нетривиальное нормирование 23 поля функ-
ций неприводимого многообразия Vd определяет неприводимое
подмногообразие С многообразия Vd, называемое центром норми-
рования 1В на Vd.
Мы определили центр нормирования с помощью однородных
координат, так как понятие центра нормирования является проектив-
ным. Фактически же удобнее пользоваться неоднородными координа-
тами. Если многообразие Vd не лежит на гиперплоскости х0 = О
и если мы нормируем координаты относительно х0, т. е. будем считать
гиперплоскость х0 = 0 бесконечно удаленной, то многообразие С не
будет лежать на бесконечно удаленной гиперплоскости в том и только
в том случае, когда ® Go)-С Это имеет место тогда и только
тогда, когда ^Gi/Q^O при i = l, ..., п, т. е. когда кольцо
/CjCj/Co, •••> содержится в кольце рассматриваемого нормиро-
вания. При рассмотрении конечного числа нормирований всегда воз-
можно выбрать координаты так, чтобы центры этих нормирований
не лежали на гиперплоскости хо = О. Мы это и будем делать, рас-
сматривая многообразие Vd как многообразие в аффинном пространстве,
а гиперплоскость хо = О — как бесконечно удаленную. В таком слу-
чае все центры рассматриваемых нормирований оказываются лежащими
на конечном расстоянии. Если после этого вводится новое нормиро-
вание, то его центр будет на конечном расстоянии в том и только
в том случае, когда область целостности многообразия Vd содержится
В кольце нового нормирования,
232
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Рассмотрим теперь многообразие Vd в аффинном пространстве Ап
и обозначим через ($р .... неоднородные координаты его общей
точки. Пусть 33 — нормирование поля 2 =	•••> ’«)> центр
которого на многообразии Vd лежит на конечном расстоянии. Если
3 = К[$j, . . ., <; J —- область целостности многообразия Vd> а 9? — кольцо
нормирования 23, то 3	9?. Обозначим через р максимальный идеал
кольца 91. В таком случае центр С нормирования 23 определяется
идеалом кольца состоящим из элементов, нормы которых положи-
тельны. Следовательно, простой идеал определяющий многообра-
зие С, является пересечением
Размерность е многообразия С равна максимальному числу элементов
кольца J, алгебраически независимых по модулю s}3. Предположим,
что элементы т]1, .,., т;е кольца 3 алгебраически независимы по
модулю Тогда, еслиДхр ..., хе)— любой многочлен над полем К,
такой, что /(-Qj... т|е)	£ то /(хр ..., хе) = 0. Если теперь
^(Хр ..., хе) — любой многочлен над полем К, для которого значе-
ние g-(7)t...т)е)СР> т0> ВВИДУ включения g(T)p ..., т|е)£будет
£(т)р . .., т|р)£ф==ЗПр, а значит, g(xt.......х„) = 0. Следова-
тельно, элементы т)р ..., т]е являются элементами кольца 91, алге-
браически независимыми по модулю р. Отсюда вытекает, что раз-
мерность нормирования SB не меньше е. Таким образом, имеет место
Теорема II. Размерность центра нормирования поля функций
алгебраического многообразия не превосходит размерности рас-
сматриваемого нормирования.
Можно показать на примере, что размерность центра нормирова-
ния действительно может быть меньше размерности самого нормиро-
вания. Возьмем в качестве многообразия Vd проективную плоскость
над полем К. В таком случае кольцо 3 является кольцом многочленов
от двух независимых неизвестных, например 3=ЛГ1х, _у], а S=/C(x, у).
Определим нормирование 23 следующим образом. Рассмотрим любой
отличный от нуля элемент С поля S. Можно записать
С = а(х, у)/й(х, у),
где а(х, у) и 6(х, у) — многочлены. Пусть
а(х, у) = аг(х, у) + аг+1(х, у)-}-...
И
б(х, у) = Ьв(х, у) + ^.+1(х, у)4-...,
где многочлены аДх, у) и АДх, у) однородны и имеют степень I,
причем аДх, у) и Ьв(х, у) отличны от нуля. Положим v(Q — r— s.
Значение v Д) зависит только от элемента Ц а не от выбора его
представления в виде а (х, y)/Z> (х, у). Действительно, если С —
С (х> y)ld (х, у), где
с (*, у) = (х, у) Д- (х, у) .
§ 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЯ
233
и
d(x, y) = dq(x, _y)4-d2+1(x, у-) 4-...,
причем ср(х, у) и dq(x, у) отличны от нуля, то равенство
а(х, y)d(x, у)—Ь(х, у)с(х, у)
влечет за собой соотношение
г 4-<7 =5 4-р>
показывающее, что значение v(r,) = r— s — p — q однозначно опре-
деляется элементом С Читатель проверит без труда, что отображение
С —> v (С) отличных от нуля элементов поля 2 на упорядоченную
аддитивную группу целых чисел является нетривиальным нормирова-
нием 33 поля Е.
Так как поле Е имеет размерность 2, то размерность нормирова-
ния SB может быть либо нулем, либо единицей. Но и(_у/х) — О,
а следовательно, элемент _у/х лежит в кольце 91 нормирования SB и
не является алгебраическим по модулю р над полем К (здесь р — мак-
симальный идеал кольца SR). Поэтому размерность нормирования 33
равна 1. Центр С нормирования 33 определяется простым идеалом
4^ -- 3 П Р = 5  (х> У) и поэтому представляется точкой х — 0, у = О,
а значит, имеет размерность нуль.
Возвратимся к нормированию SB поля функций произвольного
многообразия Vd в пространстве Ап. Пусть размерность нормирова-
ния SB равна /, а размерность центра С этого нормирования, лежащего
на конечном расстоянии, равна е, где е < /. Обозначим через
Ц......элементы кольца 3> алгебраически независимые по
модулю Sp. Тогда они будут также алгебраически независимыми по
модулю р элементами кольца SR нормирования SB (ср. теорему II).
В кольце 91 существует еще /—е элементов 7]t, . .., таких,
что система , . . ., тц, . . ., т|/>_е будет алгеб раически независи-
мой по модулю р. Рассмотрим теперь многообразие Уд в простран-
стве An+f_e, имеющее общую точку (;р ..., Еп, .........ту_е). Это
многообразие имеет то же поле функций Е, что и многообразие Vd,
и поэтому является образом Vd при некотором бирациональном пре-
образовании. Так как £ 91 и £ 91, то область целостности
У =	..., -rjp ..., т|^_.е] многообразия У(1 содержится в 91,
а значит, центр С нормирования 33 на Va лежит на конечном рас-
стоянии. Так как элементы 5^, ..., ;<я, т]р ..., т^_е алгебраически
независимы по модулю р в кольце 91 и содержатся в 3'» то они
также алгебраически независимы в кольце 2/ по модулю $' = 2/ПР-
Отсюда следует, что размерность многообразия С' не меньше /. Но,
в силу теоремы II, эта размерность не превышает /, а значит, она
точно равна /.
234
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
Мы имеем 3 S 3' и — 3 П Р = 3 П (S' П Р) = 3 П Ф'- Любой
элемент кольца частных Q(Q = 3sp имеет вид а/p, где а и [3 — эле-
менты из 3, причем р не содержится в 5|?. Но в таком случае а и ]Э
содержатся также в у, а не содержится в 5$', так как иначе р
содержался бы и в ф = ЗПф'. Следовательно, <?/Р£Зь'> и поэтому
Q(C)cQ(C'). Таким образом, мы доказали следующую теорему:
Теорема III. Пусть 23 — нормирование поля функций много-
образия Vd. Если размерность центра С этого нормирования на
многообразии Vd меньше размерности f самого нормирования, то
существует многообразие Va, бирационально эквивалентное Vd
и такое, что центр нормирования 23 на многообразии Va имеет
размерность, точно равную /. При этом Q (С) с Q(C').
Значение последнего утверждения теоремы станет ясным в гл. XVIII.
Попытаемся теперь охарактеризовать центр С нормирования 23
на многообразии Vd с помощью свойств его кольца частных. Пред-
положим, как обычно, что С лежит в пространстве Ап на конечном
расстоянии. Так как область целостности 3 многообразия Vd содер-
жится в кольце 9? нормирования 5В, а простой идеал ф многообра-
зия С в кольце 3 равен пересечению 3 П Р, где р— максимальный
идеал кольца 91, то кольцо частных Q (С) = 3^ с 9?^, = 91. Можно,
однако, пойти еще дальше. Пусть С— любой элемент кольца Q(C),
так что С = а/p, где а и 0 принадлежат 3 и р не содержится в ф.
Так как аир лежат в ЗЕ^. то ®(а)5>0 и ®(?)5>0. Но ввиду
того, что р не принадлежит ф, а потому и р, должно быть v (р) = 0.
Элемент \ не является делителем единицы кольца Q(C) тогда’и только
тогда, когда элемент а принадлежит ф, а значит, и р, т. е. тогда
и только тогда, когда ц(а)>0. Поэтому неравенство т/(С) = т/(а) —
— v (?) > 0 выполняется тогда и только тогда, когда С не является
делителем единицы кольца Q(C). Следовательно, если элемент С не
является делителем единицы кольца Q(C), то он не будет также
делителем единицы в 91.
Рассмотрим любое неприводимое многообразие D, лежащее на
многообразии Vd и такое, что Q (0)^91. Без ограничения общности
можно предполагать, что бесконечно удаленная гиперплоскость выбрана
так, что она не содержит многообразия D и центра С нормирова-
ния 23. Если а — любой элемент кольца 3. Для которого v (а) > О,
т. е. а—любой элемент из ф, то т/(а-1) < 0, и поэтому элемент а-1
не принадлежит 9?, а значит, и кольцу Q(D). Так как а лежит в 3>
то он лежит и в Q(D). Поэтому а не является делителем единицы
в кольце Q(D). Таким образом, все элементы из 3> лежащие в ф,
принадлежат кольцу Q(D) и не являются в нем делителями единицы,
а потому принадлежат простому идеалу ф7, соответствующему мно-
гообразию D. Поэтому фсф', а значит, Q (D)^Q(C). Отсюда,
в силу теоремы IV § 2 гл. XVI, следует, что D с С. Обратно, если
D с С, то должно быть Q (D)	91. Следовательно, условие
§ 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЯ
235
Q(£>)c9? является необходимым и достаточным для того, чтобы
многообразие D содержалось в центре нормирования 23.
Если D есть собственное подмногообразие многообразия С, то
существуют многочлены /(xt, .... хи), обращающиеся в нуль на D
и не обращающиеся в нуль на С. В таком случае элемент /(;1(..$7)
будет делителем единицы в Q(C), а значит, и в SH, но не будет
делителем единицы кольца <?(£>)• Следовательно, в этом случае
существуют делители единицы кольца 9?, содержащиеся в Q(D) и не
являющиеся в этом кольце делителями единицы. Но мы уже видели,
что этого не будет в случае, если D — C. Таким образом, доказана
следующая
Теорема IV. Неприводимое многообразие D тогда и только
тогда содержится в центре нормирования 23 на многообразии Vd,
когда кольцо частных многообразия D содержится в кольце нор-
мирования 23. Многообразие D является центром нормирования SB
на многообразии Vd тогда и только тогда, когда выполняется
одно из следующих дополнительных условий-. (I) D не является
собственным подмногообразием никакого неприводимого многообра-
зия на Vd, кольцо частных которого содержится в кольце нор-
мирования IB. (II) Каждый элемент кольца частных многообра-
зия D, не являющийся делителем единицы в этом кольце, не
является делителем единицы и в кольце нормирования.
Из этой теоремы можно вывести одно соотношение между центром
нормирования 23 поля Е (ранг 23 > 1) и центром нормирования 23',
получающегося при расщеплении IB на нормирование 23' поля Е и
нормирование 23t поля вычетов нормирования 23' (§ 3, теорема II).
Кольцом 9?' нормирования 23' является кольцо частных 9? относительно
некоторого простого идеала. Следовательно, 9t £ 9t'. Если С — центр
нормирования 23, С — центр нормирования 23', то Q (С) £ 91 £ 91'.
Следовательно, в силу теоремы IV, должно быть С с С'. Таким
образом, справедлива
Теорема V. Если нормирование IB расщепляется на норми-
рование 23' и некоторое нормирование поля вычетов для 23', то
центр нормирования 23 содержится в центре нормирования IB'.
Если многообразие Vd определено над алгебраически незамкну-
тым основным полем К, то часто бывает необходимым произвести
расширение этого поля. Если S = К(уг, . .., Еи) и мы расширяем
поле К до поля К*, то поле Z* = f(*(tv ..., U является расши-
рением поля Е, причем любое нормирование 23 поля £ может быть
продолжено одним или несколькими способами до нормирования 23*
поля S*. Точка (^, .... ?„) является над полем К* общей точкой
некоторого многообразия Va, либо совпадающего с самим многооб-
разием Vd, либо являющегося одной из компонент этого многооб-
разия (гл. X, § 12). Нам необходимо установить связь между
236
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
центром С нормирования ® на многообразии 'Vd и центром С* нор-
мирования $8* на многообразии Vd.
Начнем со случая, когда многообразие Vd не является абсолютно
неприводимым. Тогда в поле £ существуют элементы, не принадле-
жащие полю ЛГ и алгебраические над этим полем (гл. X, § 11). Эти
элементы составляют подполе К' — алгебраическое замыкание поля
К в S. Рассмотрим прежде всего случай, когда К*— К'- Над полем
К' точка ..........?„)	служит общей точкой одной из абсолютно
неприводимых компонент Vd многообразия Vd (гл. X, § 10). Область
целостности 2Г = KV Пй.....U в общем случае представляет собой
собственное расширение области целостности 3 =	•••> U> н0
=	..., и =	....
так как /C'cS. Следовательно, ® является нормированием поля S'.
Однако, прежде чем говорить о его центре, необходимо показать,
что для любого отличного от нуля элемента а из К' будет v (а) — 0.
Это вытекает из следствия теоремы I § 4, так как поле К' имеет
степень трансцендентности нуль над полем К. Отсюда вытекает, что
K'cffi., где — кольцо нормирования 23. Если мы предположим, как
обычно, что С лежит на конечном расстоянии, то должно быть
(i—1, • и) и поэтому 3 —9^- Следовательно, центр нор-
мирования 18 на многообразии Vd также лежит на конечном рас-
стоянии. Если р— максимальный идеал кольца 91, то идеал ф = 3 fl р
является идеалом кольца 3, соответствующим многообразию С, 
а ф' = у П р — идеалом кольца 3', соответствующйм многообра-
зию С'. Таким образом, ф^ЙПф7, а значит,
3'-Ф = о (ф').
Пусть
щДхр ..., х„) = 0	(г=1, ..., г)	(2)
— базис уравнений многообразия С над полем Л). Тогда элементы
.....U ('= 1. • • •• г)
составляют базис идеала ф кольца	а значит, и идеала S' • Ф
кольца	Ввиду того, что 2Г • ф^фЛ. отсюда следует, что точки
многообразия С' удовлетворяют уравнениям (2), и поэтому С'сС.
Размерность поля вычетов нормирования 23 над полем К' будет
той же, что и его размерность над К, так как К' есть алгебраи-
ческое расширение К. Следовательно, и размерность нормирования 18
остается одной и той же независимо от того, взято за основное
поле К или К' Далее, если многообразие С имеет размерность /,
то в кольце 3 существует система из / элементов, алгебраически
независимых над полем К по модулю ф. Эти элементы алгебраически
независимы и по модулю р и лежат также в кольце Следова-
•' I 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЯ
237
тельно, в !У существует система из f элементов, алгебраически не-
зависимых над полем К' по модулю SP'. Поэтому размерность мно-
гообразия С не меньше /. Но так как С'с.С, то отсюда следует,
что размерность многообразия С точно равна /. После этого ясно,
что С' является одной из компонент, на которые распадается много-
образие С при расширении поля /(до К'.
Единственным из остальных случаев, которым мы будем зани-
маться, будет случай, когда поле К* есть алгебраическое расшире-
ние поля /(, содержащее К'- Переход от к № можно осуще-
ствить в два приема: сначала перейти от К к К', а затем от К'
к К*. Первый переход мы уже рассмотрели и знаем, что он при-
водит от многообразия Vd к абсолютно неприводимому многообра-
зию Vd. Таким образом, нам остается рассмотреть лишь случай,
когда многообразие Vd абсолютно неприводимо и мы переходим не-
посредственно от К к К*. Если в этом случае поле К* является
собственным расширением поля К, то поле Е* = /(*($1.............Ц
также будет собственным расширением для Е, но многообразие Vd
как множество точек остается тем же самым, что и Vd. Поэтому мы
можем сохранить для Vd прежнее обозначение.
Так как поле Е* есть собственное расширение поля £, то можно
воспользоваться теоремой VII § 2 и заключить из нее, что суще-
ствуют нормирования поля I*, являющиеся продолжениями нормиро-
вания 23. Если К* — алгебраическое расширение поля К, то S*—
также алгебраическое расширение поля Е, а если расширение К*
имеет над К конечную степень т, то и поле Е* служит расширением
степени т поля Е. В силу теоремы V § 3, в последнем случае су-
ществует не более т нормирований поля Е*, являющихся продолже-
ниями нормирования SB. Во всяком случае, такие продолжения суще-
ствуют, и мы можем выбрать одно из них, например SB*. Нормиро-
вание SB* индуцирует нормирование SB поля Ё, и поэтому норма
ц*(а) любого отличного от нуля элемента а поля К в нормировании
SB* будет равна нулю. Но SB* индуцирует также некоторое нормиро-
вание поля К*. В этом нормировании норма любого отличного от
нуля элемента из /< равна нулю. Отсюда и из того, что К* есть
алгебраическое расширение поля К, вытекает, что полученное нор-
мирование поля К* тривиально. Поэтому v* (а) = 0 для любого
отличного от нуля элемента а из К*, и мы можем говорить о центре
нормирования SB*. Ввиду того, что 3* = К*..., SJczSR*, центр
нормирования SB* на многообразии Vd лежит на конечном расстоянии.
Допустим, что центр С* нормирования SB* не содержится в С. Тогда
многообразие С*, вместе с его сопряженными над полем К, образует
многообразие над полем К, не содержащееся в многообразии С.
Следовательно, существует многочлен /(Xj, .... хи) над полем К,
обращающийся в нуль на С и не обращающийся в нуль на С*.
Тогда элемент	„	...
.... и
238	гл. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
принадлежит кольцу 3 и простому идеалу ф многообразия С в этом
кольце, но не принадлежит простому идеалу многообразия С*
в кольце 9?*. Но это невозможно, так как если то
а значит, v (С) > 0, и поэтому v* (С) >0, т. е. С £ SB*.
Таким образом, должно быть С*сС.
Рассуждение, в точности подобное примененному выше в случае
К* = К', показывает, что нормирование SB* имеет ту же размер-
ность, что и SB, а многообразие С* — ту же размерность, что и С.
Поэтому С* является одной из компонент, на которые распадается
многообразие С при расширении поля К до поля К*. Обращение
полученного результата очевидно: если С* — центр некоторого нор-
мирования SB* поля X*, определяемый простым идеалом SB* кольца SR*,
то центр С индуцируемого нормирования поля X определяется простым
идеалом ф = 3 П “’•В* кольца 3- Поэтому С является неприводимым
многообразием над полем К, а С — одной из компонент многообра-
зия С при расширении поля К до поля К*-
Полученные результаты мы суммируем в виде следующей тео-
ремы:
Теорема VI. Пусть SB — произвольное нормирование поля
функций X неприводимого многообразия Vd над полем К, а К* —
алгебраическое расширение поля К, содержащее алгебраическое
замыкание последнего поля в поле X. Если Vd— многообразие над
полем К*, общей точкой которого является одна из общих точек
многообразия Vd над полем К, то существует продолжение SB*
нормирования SB на поле функций многообразия Vd. Центр Cf
нормирования S3* на многообразии Vd является одной из компо-
нент центра С нормирования SB*, на которые С распадается при
расширении поля К до К*. Размерность нормирования SB* равна
размерности SB.
Обратимся теперь к некоторым задачам, связанным с построением
нормирований, обладающих заданным' центром. Покажем прежде
всего, что задача построения нормирований поля функций X много-
образия Vd, имеющих центр С на конечном расстоянии в про-
странстве Ап, сводится к случаю, когда многообразие Vd аффинно
нормально.
Рассмотрим неприводимое многообразие Vd, областью целостности
которого является кольцо 3 =	......Ц. Пусть С — неприводи-
мое многообразие на Vd, лежащее на конечном расстоянии и опре-
деляемое простым идеалом SJJ кольца 3- Обозначим через Vd аф-
финно нормальное многообразие, областью целостности которого
служит целое замыкание 3* кольца 3 в поле X =	.....
Рассмотрим идеал 3* • в кольце 3*- Если 3* • Ф = [&*> •••>
где идеалы ©•* SBj-примарны, то пересечения 3 П являются прос-
тыми идеалами кольца 3 и делителями Sp, причем хотя бы при
i S. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЯ	239
одном значении i будет ф —ЗЛф; (гл. XV, § 8, теорема VIII).
Кроме того, если ф*— любой идеал кольца 3*, удовлетворяющий
условию 3 П Ф* = ф. то ф* совпадает с одним из фь Расположим
компоненты ©•!.......так, чтобы было 3 П ф« = ф при
(z = 1, ...,г) и чтобы при 1>г пересечение 3 П ф/ было соб-
ственным делителем идеала ф. Пусть Ci — неприводимые многооб-
разия на Vd, определяемые идеалами ф^.
Если 29— некоторое нормирование поля X, центр которого на
Vd совпадает с С, 9? — кольцо нормирования *8 и р — максимальный
идеал этого кольца, то 3^91, так как многообразие С лежит на
конечном расстоянии. Любой элемент кольца 3* является целым над
кольцом 3, а значит, и над 91. Но кольцо 91 целозамкнуто (§ 2,
теорема IV), и поэтому должно быть 3*^^- Отсюда следует, что
центр С* нормирования 93 на многообразии Vd лежит на конечном
расстоянии. Если С* определяется простым идеалом ф* кольца 3*>
то ф* = 3* П р, и поэтому
3 П ф* = 3 П (3* Л р) = 3 П Р = ф-
Таким образом, С* должно быть одним из многообразий Clt ...,СГ.
Наоборот, если 23 — нормирование поля S, центром которого на Vd
служит одно из многообразий С{ (l^i^r), то центр нормирова-
ния 23 на многообразии Vd определяется простым идеалом
3 П р = 3 Л (3* П р) = 3 П ф/ = ф
и, следовательно, совпадает с многообразием С.
Таким образом, для построения нормирований поля 2, центром
которых на многообразии Vd является многообразие С, нужно
строить нормирования, центрами которых на многообразии Vd
являются многообразия (z = l, ..., г). Принципиальное преиму-
щество оперирования с аффинно нормальными многообразиями состоит
в том, что кольца частных для подмногообразий таких многообразий
целозамкнуты. Поэтому нам достаточно рассмотреть задачу построе-
ния нормирования с заданным центром С лишь в случае, когда
кольцо частных многообразия С целозамкнуто. Еще некоторые не-
большие преимущества дает предположение о том, что многообразие
Vd нормально.
Предположим теперь, что многообразие Vd аффинно нормально,
а С — неприводимое подмногообразие на Vd, имеющее размерность
d — 1 и определяемое простым идеалом ф. Напомним, что в § 5
гл. XVI мы пользовались мультипликативной теорией идеалов об-
ласти целостности аффинно нормального многообразия для построе-
ния примера нормирования. Было показано, что простой идеал не-
приводимого подмногообразия размерности d— 1 определяет неко-
240
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
торое нормирование. Описанный метод можно, в частности, приме-
нить к идеалу ф многообразия С и получить некоторое нормирова-
ние 53- При этом ясно, что многообразие С служит центром норми-
рования -В на многообразии Vd. Докажем теперь, что В является
единственным нормированием поля X, центром которого служит С.
Мы воспользуемся результатами гл. XV, относящимися к мультипли-
кативной теории идеалов целозамкнутого кольца.
Пусть т] и С — любые отличные от нуля элементы области цело-
стности 3 многообразия Vd. Идеалы 3 • C<l) и 3  (Q можно предста-
вить квазипроизведениями
••• %rr>
1 = 3-(9~ФЬФ?- ...
где ф, фр ..., фг — различные простые идеалы размерности d—1,
а а, а1, .,., аг и b, bY, . . ., br — положительные целые числа или
нули. Покажем, что если а = Ь, то в кольце 3 существуют эле-
менты т]' и С, не принадлежащие идеалу ф и удовлетворяющие
соотношению т|/С = т]'/С. Действительно, в 3 найдется элемент, при-
надлежащий идеалам фр ..., фг, но не принадлежащий ф. Если
С — достаточно высокая степень такого элемента, то
t=3-(O~W ... Фс/.
где c^bi (i = 1..г).	Тогда f^>j, а значит, Ц-1сЗ- Но
О-1 — 3 • W7Q-
Следовательно, элемент	принадлежит 3- Кроме того,
3-(V)~^1 ... ^<4
и поэтому т)' не принадлежит ф.
Если теперь Е — элемент идеала ф, не. лежащий в символическом
квадрате ф^2> этого идеала, то
3-(0~Ф$‘---
Для любого элемента а/(3 поля X (здесь а и р — элементы из 3)
найдется такое целое число А (положительное, нуль или отрицатель-
ное), что для него — &'/$', где
3-«)~W‘ • •••
3-(H~W ••••
Следовательно, мы имеем равенство = &"/$", в котором а" и
'f — элементы кольца 3> не принадлежащие ф. Если В — любое
нормирование поля X, имеющее центр С, то должно быть v (а") — О
S 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЙ	241
и v (3") = 0, так как а" и р" — элементы из 3 с 91, не принадлежа-
щие идеалу Следовательно,
Отсюда вытекает, что группа значений нормирования 93 состоит из
целых кратных значения г/($). Если эту группу значений нормализо-
вать, чтобы было v ($) = 1, то она становится аддитивной группой
целых чисел. Очевидно, что если
3-(а) = ф₽-$* ...
3-(₽) = $’•	...
то ti(a/P) = p — з. Таким образом, рассматриваемое нормирование
необходимо совпадает с нормированием, рассмотренным в § 5 гл. XVI.
Кроме того, если v (а/р)'^ 0, то р^>з, а значит,
а _	__ at
Р ““ р" “' Р"’
где at £ 3> а Р77 принадлежит 3> но не содержится в ф. Следовательно,
любой элемент кольца 9? нормирования 93 принадлежит кольцу Q (С),
т. е. 9?cQ(C). Но мы уже знаем, что Q(C)c9i. Отсюда вытекает,
что 91 = Q(C). Таким образом, мы получили следующую теорему:
Теорема VII. Если многообразие Vd аффинно нормально,
а С—любое его подмногообразие размерности d— 1, то существует
единственное нормирование поля функций многообразия Vd, имею-
щее С своим центром. Кольцо этого нормирования совпадает
с кольцом частных подмногообразия С.
Если многообразие Vd не будет аффинно нормальным, то на
производном аффинно нормальном многообразии Vd подмногообра-
зию С будет соответствовать конечное число неприводимых подмного-
образий размерности d — 1. Нормирования поля функций Е много-
образия Vd, центрами которых на многообразии Vd служат указанные
подмногообразия, будут исчерпывать все нормирования, имеющие
центр С на многообразии Vd. Следовательно, существует лишь конеч-
ное число нормирований, имеющих С своим центром. В случае, если
кольцо Q(C) целозамкнуто, многообразию С соответствует лишь одно
подмногообразие на Vd, и поэтому нормирование с центром С на
многообразии Vd будет единственным.
Если многообразие Vd аффинно нормально, но С имеет размер-
ность е, меньшую d — 1, то существует бесконечное множество
нормирований, центром которых является С. Так как многообразие Vd
аффинно нормально, то кольцо частных Q(C) целозамкнуто. Следова-
тельно (§ 2, теорема VI), это кольцо является пересечением содер-
жащих его колец нормирований. Эти нормирования могут иметь
любую размерность г в пределах е г d — 1, причем их центры
16 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
242
ГЛ. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
содержат С, но не обязательно совпадают с ним. Удобно иметь более
сильный результат, дающий возможность утверждать, что кольцо Q (С)
есть пересечение содержащих его колец е-мерных нормирований. Так
как центры таких нормирований имеют размерности, не превышаю-
щие е, то они должны совпадать с С. Первым шагом к получению
такого результата является доказательство следующей теоремы:
Теорема VIII. Пусть С есть многообразие размерности е,
лежащее на многообразии Vd и являющееся на Vd центром неко-
торого нормирования 23 поля функций Е для Vd. Если размер-
ность f нормирования SB больше е, то из нормирования SB и неко-
торого нормирования поля вычетов для S8 можно составить новое
нормирование поля Е, имеющее размерность е и центр С на
многообразии Vd.
Пусть X' — поле вычетов нормирования SB. Так как кольцо
Q(C) содержится в кольце 3? нормирования S8, то каждому элементу
из Q (С) соответствует определенный образ в поле S'. Элемент из
Q (С) имеет образом нуль в поле S' тогда и только тогда, когда он
не является делителем единицы в кольце SR, а значит, не будет дели-
телем единицы и в Q (С) (теорема IV). Следовательно, образ F'
кольца Q (С) в поле Е' изоморфен с кольцом вычетов кольца Q (С)
по его максимальному идеалу, т. е. F' изоморфен полю функций
многообразия С (гл. XV, § 5, теорема XI, следствие). В этом изо-
морфизме элементы основного поля соответствуют сами себе. Поэтому F'
является полем и расширением размерности е поля К. Если F' не
будет целозамкнутым в поле £', то его целое замыкание F" будет
алгебраическим расширением поля F' и поэтому будет иметь раз-
мерность е над полем К- Поэтому поле F" является собственным
подполем поля S', имеющего над полем К размерность /. Но так
как F" является пересечением содержащих его колец нормирований
поля £' (§ 2, теорема VI), то существует нормирование SB' поля £',
кольцо которого содержит F' и не содержит любой заданный эле-
мент С' поля £', не принадлежащий F". Нормирование SB' является
нетривиальным нормированием поля £'. Если мы построим теперь
нормирование SB* поля S, составленное из нормирований SB и SB', то
кольцо SR* нормирования SB* будет содержать все элементы из SR,
образы которых в поле S' принадлежат кольцу нормирования SB'.
Отсюда следует, что 9?* будет содержать Q(C).
В силу теоремы V, центр нормирования S8* должен содержаться
в многообразии С, являющемся центром нормирования S8. Но центр
для SB* должен содержать С, так как кольцо нормирования для S8*
содержит Q(C). Таким образом, нормирование S8* имеет С своим
центром. Поле вычетов нормирования SB* изоморфно полю вычетов
нормирования S8 поля Е'. Отсюда вытекает, что нормирование SB* имеет
размерность /*, меньшую f:	Если /* > е, то мы можем
повторить то же построение, пользуясь нормированием SB* вместо S8,
§ 5. ЦЕНТР НОРМИРОВАНИЙ	243
и получить новое нормирование 8** размерности /**, где е <^ /** < /*,
имеющее многообразие С своим центром. После конечного числа
шагов будет получено нормирование 93' поля функций многообразия Vd,
имеющее размерность е и имеющее многообразие С своим центром
на Vd. Группа значений Г' нормирования 8' содержит изолированную
подгруппу Д, фактор-группа Г'/Д по которой изоморфна Г, где Г —
группа значений нормирования 8. Кольцо нормирования 23' содержится
в кольце нормирования 8 и, конечно, содержит Q (С). Само нормиро-
вание 8' будет составленным из нормирования 23 поля £ и некоторого
нормирования поля вычетов для 23 с группой значений Д.
Теорема IX. Пусть 8 — нормирование поля S, центром кото-
рого на Vd является многообразие С. Если D есть неприводимое
подмногообразие многообразия С, то из нормирования 23 и неко-
торого нормирования поля вычетов для 23 можно составить новое
нормирование поля S, центром которого на многообразии Vd
будет D.
Доказательство этой теоремы подобно доказательству теоремы VIII.
Если размерность нормирования IB больше е, т. е. больше размерности
многообразия С, то из 23 и некоторого нормирования 93х поля выче-
тов для 18 можно составить нормирование 23' поля 2, имеющее раз-
мерность е и имеющее С своим центром. Рассмотрим теперь поле
вычетов S" нормирования 23' и в нем подкольцо ®", состоящее из
образов элементов кольца Q(D). Так как D является собственным
подмногообразием центра С нормирования 23'» то в кольце Q (О)
имеются элементы, не являющиеся в нем делителями единицы и слу-
жащие делителями единицы в кольце нормирования 23' (теорема IV).
Образы этих элементов в поле X" будут элементами кольца <5", не
являющимися в нем делителями единицы и отличными от нуля. Следо-
вательно, в <5" имеются отличные от нуля элементы, не являющиеся
в ®" делителями единицы, так что <S" не есть поле. Поэтому, как и
в теореме VIII, можно найти нетривиальное нормирование 23' поля Е",
кольцо которого содержит <5". Построим нормирование 23х поля Е, соста-
вленное из 23' и 931. Кольцо нормирования 23х содержит Q (D), причем
размерность 23х меньше размерности е нормирования 23'. Отсюда сле-
дует, что центром нормирования 23х на многообразии Vd является
некоторое многообразие Clt подчиненное соотношению D с Сх с С.
Если Cr=£D, то можно повторить наше рассуждение, пользуясь много-
образием Cj вместо С, и т. д. до тех пор, пока (после конечного
числа шагов) не будет получено нормирование поля S, составленное
из 93 и некоторого нормирования поля вычетов для 93, такое, что его
центром на многообразии Vd будет D.
Из теорем VIII и IX легко получается
Теорема X. Если С — неприводимое многообразие размерно-
сти е, лежащее на многообразии Vd и такое, что его кольцо
частных Q (С) целозамкнуто, то Q (С) есть пересечение содержащих
16*
244
f-Л. XVII. ТЕОРИЯ НОРМИРОВАНИЙ
его колец е-мерных нормирований поля S. (Конечно, эти норми-
рования имеют С своим центром.)
Пусть 23 — любое нормирование поля функций S, обладающее тем
свойством, что кольцо 9? нормирования 8 содержит Q(C). Тогда
центр Е нормирования ® содержит С. В силу теоремы VIII, из нор-
мирования 23 и некоторого нормирования его поля вычетов можно
составить новое нормирование поля S, центром которого на много-
образии Vd будет С. Из полученного нормирования и некоторого
нормирования его поля вычетов можно теперь составить нормирова-
ние 23* размерности е, имеющее С своим центром. Так как нормиро-
вание 8* составлено из нормирования 23 и некоторого нормирования
поля вычетов для 23, то кольцо 9?* нормирования 23* содержится в 9?.
Следовательно,
9? = 9i*=Q(C).
Поэтому при построении пересечения колец нормирований, содержа-
щих кольцо Q(C), можно опустить кольцо 9?, так как любой его
элемент, принадлежащий пересечению, содержится в 91*. Таким обра-
зом, можно опустить все кольца нормирований, имеющих размерности,
большие е. Но это и утверждается в теореме.
Доказанные выше теоремы о нормированиях, имеющих заданный
центр, достаточны для большинства приложений. Более полные резуль-
таты получены Зарисским. Его наиболее исчерпывающий результат
мы сформулируем здесь без доказательства:
Теорема XI. Пусть Со, Ср ...,	— неприводимые много-
образия, лежащие на многообразии Vd и такие, что
Сг|2С1 □ ... ? t.
Если целые числа р0, .... p,.._t удовлетворяют условиям.
d > Ро > Р1 > •  • Рг-1
и
Pi > dim С-, (г < d),
то существует последовательность нормирований 23О, 23р ..., 23,... ।
поля функций многообразия Vd, обладающая следующими свой-
ствами:
(I)	каждое 23$ составлено из 23$ и некоторого нормирования
поля вычетов для 8$_t;
(II)	23$ имеет размерность р$ и ранг i -j- 1;
(III)	центром нормирования 8$ на многообразии Vd является С,.
Г ЛАНА XVIII
БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Бирациональные соответствия
Пусть Sltl и Sn — два проективных пространства над основным
полем К, а (х0, хт) и (у0,	уп)-—координатные системы
в этих пространствах. Обозначим через U и U' многообразия в про-
странствах Sm и 8п, имеющие соответственно общие точки (!j0, . . .
.... ;„t) и (т|0, .. ., т]и). Пусть размерность многообразия U равна d.
Можно предполагать, что многообразие U не лежит на гиперплоскости
хГ1 = 0, а многообразие U' — на гиперплоскости ук = 0. Многообра-
зия U и U' бирационально эквивалентны, если между их полями
функций /C(S0/S,(,	и АГ(тю/г1Ь V»!*) существует изо-
морфизм, при котором элементы поля К соответствуют сами себе.
Если U и U' бирационально эквивалентны, то может случиться, что
существует несколько изоморфизмов указанного типа. Хотя дальней-
шее исследование покажет, что такая возможность является своего
рода исключением, ее следует иметь в виду. Во всяком случае, если
многообразия U и U' бирационально эквивалентны, мы можем выбрать
и выберем один из изоморфизмов их полей функций, при котором
элементы поля К соответствуют самим себе, и отождествим соответ-
ствующие элементы. Если поля функций многообразий U и U' совпа-
дают с самого начала, как бывает, например, в случае, когда U' есть
нормальное многообразие, производное для многообразия U, то есте-
ственным изоморфизмом полей функций этих многообразий служит
тождественный изоморфизм, при котором каждый элемент общего для
рассматриваемых многообразий поля функций соответствует сам себе.
После отождествления полей функций многообразий U и U' мы будем
иметь
•••• W G = 0, .... П).
Отсюда следует, что существует система из n-f- 1 однородных много-
членов <р4 (х0, ..., хт) (t = 0.и) одной и той же степени с коэф-
фициентами из К и таких, что
(?0> • • • >	0
И
Ы = (So.....Sw) (; _ о.........
Пк % (So. • • •, ;W()
246
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Подобным же образом, существует система из т 1 однородных
многочленов
'?«(?0>   •. Уп)
одной и той же степени, для которых
К 0io> •  • > •»!») А 0
И
jhOqo, •	({- = о
Из этих соотношений следует, что
1?0 (?)....Ъ (01 - I'Po (?)..........(?)1	-- 0,
а значит, многочлены
X&j [®о (х), .... ?я (х)] — xfa [®0 (х), .. ., <р„ (х)|
обращаются в нуль на многообразии U. Аналогично, многочлены
[% О0>..... tym (y)]—yf?i 1% (j).....'?,»	(j)l
обращаются в нуль на многообразии U'.
Многообразие W в двукратном проективном пространстве Sm,n, общей
точкой которого является (?, vj), определяет неприводимое соответствие Г
между пространствами Sm и Sn. Многообразием-прообразом этого
соответствия в пространстве Sm служит многообразие с общей точкой
т. е. многообразие £7, а многообразием-образом в пространстве Sn —
многообразие с общей точкой т), т. е. многообразие U'. Так как
(?) — V?» (?) = 0	(« = 0.....п\ j = 0.......«),
то отсюда вытекает, что если х' — произвольная точка многообразия U,
то отвечающая ей в соответствии Г точка многообразия U' удовле-
творяет уравнениям
Л?ЛХ') —Ж‘(х') = 0-
Следовательно, если при некотором i значение (х') отлично от нуля,
то на многообразии U' существует единственная точка у', соответ-
ствующая точке х'. Если все (х') равны нулю, то точке х' соот-
ветствует по крайней мере одна точка многообразия U', но может
соответствовать и большее число точек. Аналогично, если у’ — любая
точка многообразия U’, то ей отвечает по крайней мере одна точка х'
многообразия U, причем если при некотором j значение (у') отлично
от нуля, то точка х' однозначно определяется точкой у'. Таким обра-
зом, соответствие Г между многообразиями U и U' может быть
охарактеризовано как взаимно однозначное соответствие с исключе-
ниями. Исключительные точки многообразия U, каждой из которых
соответствует более чем одна точка многообразия U', образуют
§ 1. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
247
некоторое геометрическое место точек на U. Подобным же образом,
исключительные точки :многообразия U' составляют некоторое гео-
метрическое место точек на U'.
Предположим теперь, обратно, что между многообразиями U и U'
существует такое неприводимое соответствие, что общей точке каж-.
дого из этих многообразий отвечает однозначно определенная точка
другого многообразия. Пусть $ —нормированная общая точка много-
образия U. Тогда, если уравнениями соответствия являются уравнения
Л(х, ^) = о	г),
то система уравнений
Л(5, _У) = 0	(/=!.......г)
имеет единственное решение т]. Следовательно, если координаты точки Т|
нормировать, то
''к 6K(;i....U.
Но точка т] является общей точкой многообразия U', рассматривае-
мого как многообразие над полем К (гл. XI, § 3). Аналогично, можно
обнаружить, что так как $ есть единственная точка многообразия U,
соответствующая точке т;, то
С > »!»).
Таким образом, мы получаем, что	ст) — К(гп......''in)»
и поэтому многообразия U и U' бирационально эквивалентны. Задан-
ное соответствие устанавливает также и изоморфизм полей функций
многообразий U и U'.
Неприводимое соответствие между многообразиями U и U', при
котором общей точке каждого из этих многообразий отвечает един-
ственная точка другого многообразия, называется бирациональным
соответствием между многообразиями U и U'. Отображение же
точек многообразия U на соответствующие точки многообразия U'
называется бирациональным преобразованием многообразия U в много-
образие U'. Установленные только что результаты показывают, что
если многообразия U и U' бирационально эквивалентны и если задан
изоморфизм полей функций этих многообразий, переводящий каждый
элемент поля К в себя, то из этого изоморфизма можно получить
некоторое бирациональное соответствие между U и U'. И наоборот,
если между многообразиями U и U' установлено некоторое бирацио-
нальное соответствие, то U и U' бирационально эквивалентны, причем
заданное бирациональное соответствие определяет некоторый изомор-
физм полей функций для U и U'. Очевидно, что если поле функций
некоторого многообразия U обладает автоморфизмом, оставляющим
элементы основного поля инвариантными и отличными от тождествен-
ного, то этот автоморфизм позволяет определить соответствующее
ему бирациональное преобразование U в себя,
248
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В этом и следующем параграфах мы изложим основы общей тео-
рии бирациональных соответствий и рассмотрим наиболее важные из
встречающихся на практике бирациональных преобразований. При
этом мы будем пользоваться введенными выше обозначениями: U и U'
будут обозначать два бирационально эквивалентных многообразия
в пространствах Sm и Sn. Изоморфизм полей функций этих много-
образий будем считать заданным, а соответствующие при этом изо-
морфизме элементы полей функций будем отождествлять. Общее для
обоих рассматриваемых многообразий поле функций будем обозначать
через Е. Соответствие между многообразиями U и U’, определяемое
заданным изоморфизмом полей функций, будет обозначаться через Г.
Однако вместо рассмотрения многообразия W в пространстве 8т< п
для изучения бирационального соответствия Г оказывается более
удобным представить пространство Snii п многообразием Сегре в про-
странстве 8тп>.т+п и рассматривать многообразие U*, соответствую-
щее многообразию W на многообразии Сегре. При надлежащем выборе
координатной системы (z00........zmn) в пространстве Smn+m+n можно
предполагать многообразие U* заданным общей точкой (Соо, . . ., ”,тп),
где Су — Полем функций многообразия U* является поле
^(=Оо/’ЛЛ> • • •> ’тп/’Ыс)— ^Оо/’Л>  •	  •> fln/Vk)—
=	, UU =	• • •. WT<fc) = S-
Следовательно, U* бирационально эквивалентно каждому из много-
образий U и U'. Но так как поле функций многообразия U* не
только изоморфно полю функций для U (или для U'), но в действи-
тельности совпадает с ним, то этим устанавливается и бирациональ-
ное соответствие между U* и U (или U* и U'). Многообразие. U*
называется соединяющим многообразием многообразий U и U'.
Если U и U' не лежат на гиперплоскостях xh = 0 и yj-0, то
0 и 0, а поэтому и Сл/с =# 0, так что многообразие U* не
лежит на гиперплоскости zhk = 0. Если мы перейдем к аффинным
пространствам, взяв в качестве бесконечно удаленных гиперплоскостей
в пространствах Sm, Sn и SmnAm+n гиперплоскости xh — 0, ук — 0
и Zjjc — 0, то областями целостности многообразий U, U' и U* будут
соответственно кольца
=	UU> Зк = К[ч\ф\к, ..., TjTjJ,
^hk ~ К I’oo/’ift’ ‘ ‘	~	.....^J^k’
Следовательно,
При этом является наименьшим кольцом в поле S, содержащим
оба кольца и '3', т, е. есть объединение колец и
§ 1. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
249
Пусть V—некоторое неприводимое подмногообразие многообразия U,
а $ —общая точка для V. Обозначим через т] точку многообразия U',
соответствующую точке Тогда, если положить	точка С будет
точкой многообразия U*, отвечающей точке $ в бирациональном соот-
ветствии между U и U* и точке ц в бирациональном соответствии
между U' и U*. Обозначим через V неприводимое подмногообразие
многообразия U', имеющее общую точку -г,, а через V* подмного-
образие на U*, имеющее общую точку Воспользовавшись теорией
гл. XI, мы усматриваем, что, в силу равенств ^ = 5^-, многообра-
зие V* определяет некоторое неприводимое соответствие А между
пространствами Sm и Sn, в котором многообразиями-образом и -про-
образом являются соответственно V и V'. Так как V* с (/*, то любая
пара точек многообразий V и V, отвечающих друг другу в соот-
ветствии А, будет парой отвечающих друг другу точек и в соответ-
ствии Г. Наоборот, пусть V и V' — неприводимые подмногообразия
многообразий U и U', между которыми установлено неприводимое
соответствие Д, обладающее тем свойством, что любая пара точек,
отвечающих друг'другу в соответствии А, будет парой отвечающих
точек и в соответствии Г. Тогда общей точке многообразия V в соот-
ветствии Г отвечает хотя бы одна (общая) точка многообразия V'.
Действительно, если $ —общая точка многообразия V, то ее образ
в соответствии А является неприводимым подмногообразием много-
образия V, причем общая точка т] этого подмногообразия будет
общей точкой многообразия V над полем К. Но так как точки ; и т]
отвечают друг другу в соответствии А, они будут отвечающими друг
другу и в соответствии Г. Неприводимые многообразия V и V', лежа-
щие на многообразиях U и U', называются отвечающими друг другу
в бирациональном соответствии Г в том и только в том случае,
если существует неприводимое соответствие А, имеющее V и V' своими
многообразиями-образом и -прообразом и обладающее тем свойством,
что любая пара точек, отвечающих друг другу в соответствии А,
будет парой отвечающих друг другу точек и в соответствии Г.
Если V и V' — неприводимые подмногообразия многообразий U
и U', отвечающие друг другу в соответствии Г, то соответствие А
между V и V' определяется некоторым многообразием V*, содержа-
щимся в многообразии U*. Предположим, что V* не содержится
в гиперплоскости zhk — 0. Тогда координаты общей точки много-
образия V* имеют вид	где ; — общая точка многообразия V,
а т] — общая точка многообразия V', причем ¥= 0,	=/= 0. Перей-
дем теперь от проективных пространств к аффинным и рассмотрим
простые идеалы ф, ф', ф* колец A/,. 3j’A.> определяющие соот-
ветственно многообразия V, V', V*. Любой элемент з кольца 3/»
250	ГЛ. XV11I. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
имеет вид
f(№n>  •. >	• • • - W^a).
где f(x0.....хт)— однородный многочлен над полем К. Элемент <з
принадлежит идеалу ф тогда и только тогда, когда многочлен
f(x0.....хт) обращается в нуль на многообразии V, т. е.* тогда и
только тогда, когда f(zOk, zmk) обращается в нуль на V*. Сле-
довательно, элемент а принадлежит ф тогда и только тогда, когда
он принадлежит ф*. Так как 3ft — Заа> т0 отсюда вытекает, что
ф = ЗйПф*- Аналогично, ф'=ЗйПф*- Следовательно, если V—не-
которое неприводимое многообразие, лежащее на U, не лежащее
на гиперплоскости xh = 0 и определяемое идеалом ф кольца Зл>
а V — неприводимое многообразие, лежащее на U', не лежащее
на гиперплоскости ук — 0 и определяемое идеалом ф' кольца 3& > т0
в случае, когда многообразия V и V' отвечают друг другу в соот-
ветствии Г, в кольце Здй существует простой идеал ф*, удовлетво-
ряющий условиям ф = Зй 0 Ф* и ф' = 3' П Ф*.
Наоборот, пусть V—неприводимое многообразие, лежащее на U
и определяемое простым идеалом ф кольца Зь> а V — неприводимое
многообразие, лежащее на U' и определяемое идеалом ф' кольца 3^-
Предположим, что существует такой простой идеал ф* кольца 3^>
для которого ф = ф* П За и ф' = ф* П 3&- Идеал ф* определяет
неприводимое многообразие V*, содержащееся в U* и определяющее
некоторое соответствие А между отвечающими друг другу подмного-
образиями многообразий U и U'. Форма /(х0, .... хот) обращается
в нуль на многообразии-прообразе соответствия А тогда и только
тогда, когда f(zok, zmk) обращается в нуль на V*. Следова-
тельно, элемент
3 ~-/(’о/’А> • • •>	—/(-07t/’№> • • •> ~mkl^hk)
принадлежит простому идеалу многообразия-прообраза в кольце 3;(
тогда и только тогда, когда з принадлежит ф*. Поэтому многообра-
зие-прообраз соответствия А определяется простым идеалом За П ф*=ф,
а значит, совпадает с V. Аналогично показывается, что многообразием-
образом для А служит V'. Таким образом, многообразия V и V
отвечают друг другу в соответствии Г.
Пусть V — неприводимое подмногообразие на U, определяемое
простым идеалом ф кольца Зл> а V'— неприводимое подмногообразие
на U', определяемое простым идеалом ф' кольца 3&- Предположим
сначала, что многообразия V и V' отвечают друг другу в бирацио-
пальном соответствии Г. Тогда, в силу доказанного, существует про-
стой идеал ф* кольца Злл. такой, что ф = ЗйПФ* й Ф' = З^Пф*-
§ 1. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
251
Обозначим через V* неприводимое подмногообразие на U*, опреде-
ляемое простым идеалом ф* кольца Поле S обладает нор-
мированием SB, центром которого на многообразии U* является
многообразие V* (гл. XVII, § 5, теоремы VII, IX). Обозначим че-
рез 9? кольцо нормирования 23, а через р — максимальный идеал
кольца *Я. Тогда с д? и =	Так как - Xs’ то
X — 91- Следовательно, центр нормирования 58 на многообразии U
не лежит на гиперплоскости xh — 0 и поэтому определяется идеалом
X Л Р кольца Зй. Но так как с то
Таким образом, центром нормирования SB на многообразии U является
многообразие V. Аналогично, центром нормирования 58 на многообра-
зии U' будет V'.
Пусть, наоборот, существует нормирование SB поля S, центром кото-
рого на многообразии U является V, а центром на многообразии U' яв-
ляется V'. Тогда X — 9? и Х^9?, где 91 —кольцо нормирования SB. Так
как кольцо Хь есть наименьшее подкольцо поля £, содержащее X и Х>
отсюда вытекает, что Хь — 91. Обозначим через р максимальный
идеал кольца 9?, а через ф* — идеал ф* = Хь П Р- Так как ф = X Q р,
то мы имеем
Ф = ХП‘Х*пр = ХпГ.
и аналогично,
ф' = 3*Пф*.
Следовательно, в кольце Xft существует простой идеал ф*, удовле-
творяющий условиям ф — X П ф* И ф' = X Г) ф*- Поэтому, в силу
доказанного выше результата, многообразия V и V' отвечают друг
другу в соответствии Г. Таким образом, доказана следующая
Теорема I. Пусть между многообразиями U и U' устано-
влено некоторое бирациональное соответствие. Подмногообразия
V и V' этих многообразий отвечают друг другу в указанном
бирациональном соответствии тогда и только тогда, когда поле
функций S многообразий U и U' обладает нормированием, для
которого многообразия V и V служат центрами соответственно
на многообразиях U и U'.
Это свойство отвечающих друг другу в некотором бирациональном
соответствии многообразий иногда принимается за определение. Ниже
мы будем пользоваться теоремой I для проверки того, являются ли
данные подмногообразия отвечающими друг другу. Пример использо-
вания такого приема дает следующая
Т’еорема II. Если между многообразиями U и U' устано-
влено бирациональное соответствие, то каждому неприводимому
252
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
подмногообразию V многообразия U отвечает по крайней мере
одно подмногообразие V' на U'.
Прямое доказательство этой теоремы, по существу, содержится
в рассуждениях, приведенных выше. Однако мы дадим здесь дока-
зательство, использующее теорию нормирований. Поле функций S
многообразий U и U' обладает по крайней мере одним нормирова-
нием, центром которого на многообразии U будет V. На многообра-
зии U' центром этого нормирования является некоторое неприводимое
подмногообразие V. В силу теоремы I, многообразие V' отвечает V,
Легко проверить, что частный случай взаимно однозначных соот-
ветствий между алгебраическими многообразиями, с которым мы встре-
тились в предыдущей главе, относится к числу бирациональных соот-
ветствий, причем отвечающие друг другу многообразия берутся
в согласии с теоремой I. Например, проективные соответствия между
двумя пространствами являются бирациональными соответствиями, а мно-
гообразия, отвечающие друг другу при таких соответствиях, отвечают
друг другу и в силу теоремы I. Далее, если U — неприводимое много-
образие в пространстве Ам, a U'— его производное нормальное много-
образие, то мы видели в § 5 гл. XVII, как с каждым неприводимым
подмногообразием многообразия U' связывается однозначно опреде-
ленное подмногообразие многообразия U, а с каждым подмногообра-
зием многообразия U связывается конечное число (но не менее чем
одно) подмногообразий на U'. Если V и V — неприводимые под-
многообразия многообразий U и U', то они будут связаны друг с дру-
гом в указанном смысле тогда и только тогда, когда существует
нормирование поля функций многообразий U и U', имеющее V своим
центром на U, а V' — центром на U' (стр. 238). Следовательно,
V и V' связаны друг с другом тогда и только тогда, когда они
отвечают друг другу в бирациональном соответствии между много-
образиями U и U'. Тем самым оправдано применение термина „соот-
ветствующие многообразия" в § 5 гл. XVII.
Рассмотрим теперь некоторые элементарные свойства бирациональ-
ного соответствия Г между многообразиями U и U'.
Теорема III. Если V и V' — отвечающие друг другу непри-
водимые подмногообразия многообразий U и U', a W — неприво-
димое подмногообразие, лежащее на V, то на многообразии U'
существует подмногообразие W', отвечающее W и содержащееся
в V'.
Так как V и V отвечают друг другу в соответствии Г, то суще-
ствует нормирование 33 поля функций Е многообразий U и U', цен-
трами которого на U и на U' являются соответственно подмногообра-
зия V и V'. В силу теоремы IX § 5 гл. XVII, из нормирования 23
и некоторого нормирования его поля вычетов можно составить нор-
мирование 23* поля S, центром которого на U будет многообразие W.
Так как нормирование 8* составлено из нормирования 23 и еще неко-
торого нормирования, то центр W нормирования 23* па многообра-
§ 1. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ	253
зии U' содержится в центре V' нормирования (гл. XVII, § 5,
теорема V). Поэтому W' является подмногообразием на U', отвечаю-
щим многообразию W и удовлетворяющим требованиям теоремы.
Теорема IV. Пусть V — неприводимое подмногообразие много-
образия U, удовлетворяющее одному из следующих условий-.
(I) На многообразии U' существует подмногообразие V', кольцо
частных которого Q(V') содержится в кольце частных Q(V) под-
многообразия V, причем элементы из Q(V')> не являющиеся в этом
кольце делителями единицы, не будут делителями единицы и
в кольце Q(V).
(II) Существует такое целое число k, для которого ‘r\il4\k^Q(V)
(Z = 0, ..., п). Здесь (т]0, ..., •/]„) — общая точка для U'.
Тогда V' есть единственное подмногообразие многообразия U'
отвечающее V в соответствии Г, причем dim V' dim V.
(I) Чтобы найти подмногообразия многообразия U', отвечающие V,
нужно найти на многообразии U' центры нормирований поля функ-
ций S, центром которых на многообразии U является V. Пусть
23 — любое такое нормирование. Тогда кольцо Q(V) содержится
в кольце 9? нормирования 23 (гл. XVII, § 5, теорема IV), причем
каждый элемент Q(V), не являющийся в этом кольце делителем еди-
ницы, не будет делителем единицы и в 9i. Поэтому
С(Г) = <2(Ю = Я.
Если а — любой элемент из Q(VZ), не являющийся делителем еди-
ницы, то, по условию, а не будет делителем единицы и в Q(V),
а значит, и в 91. Так как только что цитированный результат
допускает обращение, отсюда следует, что V' является центром
нормирования IB на многообразии U'. Поэтому V есть единственное
многообразие, отвечающее V.
(II) Так как r\il'f\k^Q(,V) (г = 0...п),	то
X =	•••> s<2(V).
Пусть ф— максимальный идеал кольца Q(V). Тогда ф' = $'Пф
есть простой идеал некоторого неприводимого подмногообразия V'
многообразия U', не лежащего на гиперплоскости ук — 0. Рассмот-
рим кольцо частных Q(V') подмногообразия V. Любой элемент
из Q(V') можно записать в виде а/p, где аир принадлежат 3^>
причем р не содержится в ф7. Так как 3^ != Q(V), то а и р содер-
жатся в Q(V). Но так как элемент р не принадлежит ф', то он не
принадлежит и ф, а значит, является делителем единицы в кольце Q(V).
Следовательно, a/P£Q(V), т. е. Q(V')cQ(V). Кроме того, а/p не
будет делителем единицы кольца Q{V') тогда и только тогда, когда а
лежит в ф7, а значит, и в ф. Следовательно, если а/p не является
делителем единицы в кольце Q(V'), то а/р£ф и поэтому а/p не
будет делителем единицы в Q(V). Поэтому все элементы кольца Q(V'),
не являющиеся в нем делителями единицы, не будут делителями
254
ГЛ. Will. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
единицы и в Q(V). Отсюда, в силу (I), вытекает, что V' — един-
ственное подмногообразие на U', отвечающее многообразию V
в соответствии Г.
Поле функций многообразия V' является кольцом вычетов коль-
ца Q(V') по его максимальному идеалу (гл. XV, § 5, теорема XI,
следствие). Следовательно, размерность многообразия V' равна мак-
симальному числу элементов кольца Q(V"), алгебраически независи-
мых над полем К по модулю максимального идеала из Q(V'). Если
размерность многообразия V' равна е', то в кольце Q(V') суще-
ствует система из е’ элементов, например С1( . .., С/, такая, что
значение /(Ci, Cez) будет делителем единицы кольца Q(V') для
любого отличного от нуля многочлена f(Zi, ..., zer) над полем К.
В таком случае, ввиду включения Q (V') с Q (V), значение /(Ci, .. ., Се/)
является делителем единицы в кольце Q(V) также для любого от-
личного от нуля многочлена f(Zi, ..., zdr). Следовательно, Ci, ...
..., ^ег можно рассматривать как элементы кольца Q(V), алгебра-
ически независимые над полем К по модулю 5$. Поэтому размер-
ность многообразия V не меньше е', т. е. dim V dim V.
Следствие. Если V — неприводимое многообразие, лежащее
на многообразии U, и если на многообразии U' существует под-
многообразие V', удовлетворяющее условию Q(V') = Q(V), то
dim V = dim V',
причем V' является единственным многообразием, отвечающим
многообразию V, а V — единственным многообразием, отве-
чающим V'.
Теорема V. Если существуют такие целые числа h, k, для
которых выполняется включение	т0 каждому неприво-
димому подмногообразию V' многообразия W, не лежащему
на гиперплоскости ук = 0, отвечает единственное подмногообра-
зие V на U. Кроме того, в этом случае Q(V)cQ(V") и
dim V С dim V'.
Так как V не лежит на гиперплоскости ук = 0, то оно опреде-
ляется простым идеалом ф' кольца Пусть 93— любое нормиро-
вание поля S, центром которого на многообразии U' служит V'.
Обозначим через 9? кольцо нормирования 93, а через р— макси-
мальный идеал кольца 9?. Тогда = Так как — Зд. — 9?,
то центр V нормирования 93 на многообразии U не лежит на гипер-
плоскости xh = 0 и определяется простым идеалом
$=зьп)>=злпз;пр=з»пФ'.
Таким образом, подмногообразие V однозначно определяется под-
многообразием V.
§ j. ЁИРАЦЙОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ
255
Так как с 3' и ф = ЗйПф'> то Q(V)CQ(V')- Теперь
соображения, использованные в теореме IV, показывают, что dim V
С dim V'.
Полученный результат может быть непосредственно применен
к случаю, когда U и U' — многообразия в аффинном пространстве,
причем область целостности многообразия U' является целым замы-
канием области целостности для U. Этим путем можно получить
новые доказательства уже полученных результатов. Другое возмож-
ное приложение относится к многообразиям в аффинном пространстве,
имеющим одну и ту же область целостности. В этом случае полу-
чается, что каждому неприводимому подмногообразию одного из
данных многообразий отвечает однозначно определенное подмногооб-
разие другого, причем отвечающие друг другу подмногообразия
имеют одну и ту же размерность. Заметим еще, что если —
то кольцо являющееся объединением колец Зй и совпадает
с З*- Следовательно, в этом случае имеется взаимно однозначное
соответствие (без исключений) между неприводимыми подмногообра-
зиями многообразия U', не лежащими на гиперплоскости ук = 0, и
неприводимыми подмногообразиями многообразия U*, не лежащими
на гиперплоскости zhk = 0, причем отвечающие друг другу подмно-
гообразия имеют одну и ту же размерность. Кроме того, из имею-
щих место в любом случае включений 3ft — 3***	— 3^ ПРИ всех
возможных значениях h и k следует, что каждому подмногообра-
зию V* на /7* отвечает однозначно определенное подмногообразие V
на U а однозначно определенное подмногообразие V' на О'. При
этом многообразия V и V' отвечают друг другу в соответствии Г и
выполняются следующие соотношения
Q(V) = Q(n Q(V')CQ(V*),
dim V С dim V*, dim V' dim V*.
Постараемся теперь найти:
(а)	совокупность всех подмногообразий многообразия U', отвечаю-
щих заданному неприводимому подмногообразию V многообра-
зия U;
(б)	совокупность подмногообразий многообразия U', отвечающих
многообразиям W, содержащимся в заданном подмногообразии V
многообразия U.
Будем рассматривать обе эти задачи одновременно. В силу ска-
занного выше, достаточно найти подмногообразия многообразия U*,
отвечающие подмногообразию V или его подмногообразиям.
Предположим, что V не лежит на гиперплоскости хк = 0. Найдем
прежде всего подмногообразия многообразия U*, не лежащие на
гиперплоскости гък — 0 и отвечающие подмногообразиям многообра-
зия V. Подмногообразие V определяется простым идеалом ф
256	1'Л. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
кольца а любое неприводимое подмногообразие IV* многообра-
зия U*, не лежащее на гиперплоскости zhk=Q, определяется про-
стым идеалом ф* кольца 3^- Однозначно определенное подмногооб-
разие W многообразия U, отвечающее W*, определяется идеалом
За Пф* кольца Зл- Включение W <= V выполняется в том и только
в том случае, если
Ф = о (зйnF).
Но если ф с 3h П F- то
3™ • Ф е 3L • (3ft П F) С Ф* (гл. XV, § 4, теорема VI).
Наоборот, если • Ф — Ф*> то
ф с Зй П (3ftfc • ф) = Зй П Ф* (гл. XV, § 4, теорема IV).
Следовательно, подмногообразие W* отвечает многообразию W, содер-
жащемуся в V тогда и только тогда, когда
Х*-Ф = о (Ф*).
Идеал Здй • ф определяет некоторое алгебраическое многообразие Ткк>
лежащее на U* (Т*к может быть пустым, если 3^ • ф —3^)- Усло-
вие, что W* должно соответствовать подмногообразию многообра-
зия V, состоит в том, что W* должно содержаться в Ткк.
Возьмем теперь для h все значения от 0 до гп, исключая лишь
такие, при которых многообразие V само лежит на гиперплоскости
хп — 0, и будем k придавать значения от 0 до п. Из сказанного
выше следует, что сумма 2 является алгебраическим подмного-
образием многообразия U*, обладающим тем свойством, что любое
подмногообразие многообразия (7*, отвечающее любому подмногооб-
разию многообразия V, содержится в 2 Thk> причем каждому непри-
водимому подмногообразию, содержащемуся в 2 отвечает одно-
значно определенное подмногообразие на К. Многообразие 2 Тпк
называется полным образом многообразия V на многообразии U* и
обычно обозначается символом Т* |У[. Переходя от U* к многооб-
разию U' путем замены каждой компоненты многообразия 7’*{V) от-
вечающим ей многообразием на U', мы получаем полный образ Т' {V}
многообразия V на многообразии U'.
Чтобы получить подмногообразия U\ не лежащие на гиперпло-
скости Zftft = 0 и отвечающие самому V, а не его подмногообразиям,
нужно найти идеалы ф*кольца для которых ЗйГ1ф* — ф- Рас-
смотрим любой такой идеал ф*. Мы снова имеем
^•Ф = о (ф*),
§ 1. ЁЙРАЦИОНАЛЬНЫЕ соответствия
257
и поэтому любое подмногообразие на U*, не лежащее на гиперпло-
скости zltk = 0 и отвечающее V, содержится в
Пусть
зц •»=»;.  41.
где — примарные идеалы, радикалами которых являются идеалы .
Тогда
при любом I, а поэтому
ф = о (Зйпфр (/ = 1,
Так как • ф =. О (ф*), то при некотором значении i
• ф:=о (ф*).
Для такого значения I мы будем иметь
злпф:с^пф*=ф.
Следовательно, для этого значения i
3„Пф?=ф.
Пусть теперь идеалы П* таковы, что
з„пф;=ф a=i—«) и зйпф^ф (/=5+1,...,/).
Из доказанного выше вытекает, что если V*.—подмногообразие на U*,
определяемое идеалом ф*. то подмногообразия V’'.... V* отве-
чают V, причем любое подмногообразие на (/*, отвечающее V и не
лежащее на гиперплоскости zbk = 0, содержится в некотором
из V* при Z-^s. Поскольку мы интересуемся полным образом для V,
будем придавать h и k все допустимые значения и получим некото-
рое алгебраическое многообразие	Т* [ VJ называется образом
подмногообразия V на многообразии U* и обладает следующими
свойствами:
(I)	Каждая изолированная компонента многообразия Т* [V] от-
вечает V.
(II)	Любое неприводимое подмногообразие на U*, отвечающее V,
содержится в многообразии 7'*[У].
Наконец, заменяя компоненты многообразия T*[VJ отвечающими
им подмногообразиями на U' (и опуская вложенные компоненты),
мы получим образ Т [V] подмногообразия V на многообразии U'.
Резюмируя сказанное, получаем следующую теорему:
17 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
258	ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Теорема VI. Если V — любое неприводимое подмногообразие
на U, то на многообразии U' существуют подмногообразия Т' [V]
и Т' {V}, соответствующие V и обладающие следующими свой-
ствами'.
(I) Неприводимое подмногообразие W на U' отвечает неко-
торому подмногообразию W, содержащемуся в V, тогда и только
тогда, когда Wf содержится в Т'\V\.
(П) Каждая изолированная компонента многообразия Т' [VJ
отвечает многообразию V, причем любое отвечающее V подмного-
образие многообразия U' содержится в Т' [V].
(III) Г [У] = Г {V}.
Следствие. Повторным применением свойства (III) мы по-
лучаем, что многообразие Т'{V\ состоит из нульмерных под-
многообразий многообразия U', отвечающих нульмерным подмно-
гообразиям, лежащим на V.
Следующая группа теорем основывается на предположении, что
кольцо частных Q(V) подмногообразия V целозамкнуто. Первая из
этих теорем служит обращением теоремы IV, доказанной без каких-
либо ограничений на кольцо Q(V).
Теорема VII. Пусть V — неприводимое подмногообразие мно-
гообразия U, имеющее целозамкнутое кольцо частных. Если подмно-
гообразию V отвечает на U' единственное подмногообразие V', то:
(I) Q(nSQ(V). причем элементы из Q(V'), не являющиеся
в этом кольце делителями единицы, не будут делителями еди-
ницы и в Q(V).
(II) Если (т]0.•»]„)	— общая точка многообразия U', выбран-
ная в поле I, то найдется целое число k, для которого
€Q(V)	(/ = о, ...,«).
(I) Пусть *8 — любое нормирование поля 1, центром которого на
многообразии U служит V, и пусть 9t— кольцо этого нормирования.
Так как подмногообразие V' является единственным подмногообра-
зием на U', отвечающим V, то V есть центр нормирования 23 на
многообразии U'. Следовательно, Q(V') != 9t, причем каждый элемент
кольца Q(V'), не являющийся в нем делителем единицы, не будет
делителем единицы и в 31 (гл. XVII, § 5, стр. 235). Ввиду того, что
кольцо Q(V) целозамкнуто, оно представляет собой пересечение
содержащих его колец нормирований поля Е, имеющих V своим
центром на многообразии U (гл. XVII, § 5, теорема X). Но так как
кольцо Q(V') содержится во всех этих кольцах нормирований, то мы
имеем Q(V')cq(V). Кроме того, любой элемент а из Q(V'), не
являющийся в кольце Q(V) делителем единицы, не будет делителем
единицы и в 91, а значит, и в кольце Q(V), что и нужно.
(II) В силу (I), Q(V) 5 Q(V). Выберем теперь k так, чтобы
было ук у= 0 на многообразии V'. Тогда
V»i»€Q(V")EQ(V)	(«= о..п).
I 1. БЙРАЦИОНАЛЬНЫЕ СООТВЕТСТВИЯ	259
Следствие. Пусть т] — любой элемент поля K(ylt
а х' — произвольная точка многообразия U, являющаяся общей
точкой некоторого подмногообразия V, кольцо частных кото-
рого целозамкнуто. Если специализации 5->х' соответствует
однозначно определенная конечная собственная специализация
элемента т], то имеет место соотношение — а (;)/р (;), в кото-
ром а($) и р($) принадлежат кольцу К\Чг, ..., и р(х') у= 0.
Возьмем в качестве U' многообразие с общей точкой ($1;	т]).
Многообразие U' бирационально эквивалентно многообразию U, причем
в естественном соответствии между ними точке х' отвечает един-
ственная точка (х1г х'п, у') многообразия U'. Отсюда вытекает,
что существует лишь единственное подмногообразие V' на U', от-
вечающее подмногообразию V, причем Q (V') != Q (7). Но тогда
т| £ Q(V') с Q(V), а следовательно, т) = а ($)/р ($), где а (х) и р(х)
лежат в кольце /С[хг.....х„] и р(х) не обращается в нуль на V.
Так как х' есть общая точка для V, то отсюда вытекает, что
Р (х') + 0.
Теорема VIII. Если V — неприводимое подмногообразие на U,
а кольцо Q (V) целозамкнуто и если существует сечение много-
образия U' гиперплоскостью, не содержащее подмногообразий,
отвечающих V, то на U' существует лишь одно подмногообразие,
отвечающее V.
Без ограничения общности можно считать координатную систему
в пространстве S' выбранной так, чтобы ни одно из подмногообра-
зий многообразия U', отвечающих подмногообразию V, не лежало
на гиперплоскости ук = 0. В таком случае, если 23 — любое норми-
рование поля S, имеющее V своим центром на многообразии U,
то 23 будет иметь центр на многообразии U', не лежащий на гипер-
плоскости ук = 0. Следовательно, кольцо нормирования 23 будет
содержать %'. Так как Q(V) есть пересечение колец нормирования
поля -, имеющих V своим центром на U, отсюда вытекает, что
3jSQ(V). Пусть теперь ф— максимальный идеал кольца Q (V),
а ф'= Идеал ф' кольца 3* определяет некоторое неприво-
димое подмногообразие V' на U'. Если X — элемент из Q(V'), то мы
можем записать его в виде = а/p, где аир лежат в 3^ и р не
содержится в ф'. Так как 3^^Q(H) и ф' —З^Пф, т0 7 и Р при-
надлежат Q(V), причем р является делителем единицы этого кольца.
Поэтому элемент = а/р также принадлежит Q(V). С не будет дели-
телем единицы кольца Q(V') тогда и только тогда, когда а при-
надлежит ф', а значит, и ф. Следовательно, не будет делителем
единицы кольца Q(V') тогда и только тогда, когда он не является
делителем единицы в Q(V). Таким образом, Q(V') != Ф(Ю> и каждый
элемент из Q(V")> не являющийся в этом кольце делителем еди-
ницы, не будет делителем единицы в Q(V). Отсюда вытекает,
17*
260	ГЛ. xvill. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
что V есть единственное подмногообразие на U', отвечающее V
(теорема IV).
Следствие. Если кольцо Q(V) целозамкнуто и число под-
многообразий многообразия U', отвечающих подмногообразию V,
конечно, то существует лишь одно подмногообразие, отвечаю-
щее V.
Это следует из предыдущей теоремы, если заметить, что при
наличии лишь конечного числа подмногообразий, Отвечающих V,
можно найти сечение многообразия U' гиперплоскостью, вовсе не
содержащее таких подмногообразий.
Теоремы VII и VIII показывают, что при рассмотрении неприво-
димых подмногообразий V на многообразии U, кольца частных кото-
рых целозамкнуты, можно получить более точные результаты, чем
в общем случае. В частности, можно ожидать дальнейшего уточнения
наших результатов в случае проективно нормальных многообразий U
и U', когда кольца частных всех подмногообразий многообразий U
и U' целозамкнуты. Этот случай мы рассмотрим систематически
в следующем параграфе. Пока же введем важную классификацию
неприводимых подмногообразий на U (или на U'), имеющих цело-
замкнутые кольца частных. Пусть V—неприводимое подмногообра-
зие многообразия U, имеющее целозамкнутое кольцо частных. В силу
теоремы II, на многообразии U' имеется по меньшей мере одно под-
многообразие V', отвечающее подмногообразию V в соответствии Г.
Подмногообразие V называется регулярным в соответствии Г,
если на многообразии U' имеется подмногообразие V, отвечающее V
и такое, что Q(V') = Q(V). В силу теоремы IV, в таком случае V'
является единственным подмногообразием на U', отвечающим V, и
dim V" = dim V. При этом кольцо частных Q(V') подмногообразия V',
совпадающее с Q(V), также целозамкнуто, а значит, подмногообра-
зие V' также регулярно в соответствии Г.
Подмногообразие V называется иррегулярным в соответствии Г,
если на многообразии U' существует подмногообразие V', отвечаю-
щее V и такое, что Q(V')c:Q(V). Пусть 23 — любое нормирование
поля Е, имеющее подмногообразия V и V' своими центрами на U.
и на U'. Если 9i—-кольцо нормирования 23, то любой элемент
из Q(V'), не являющийся в Q(V') делителем единицы, не будет дели-
телем единицы и в 91, а значит, не будет делителем единицы и
в Q(V). Отсюда, в силу теоремы V, вытекает, что V есть един-
ственное подмногообразие на U', отвечающее V, и что dim V
•С dim V. Из теоремы VII следует, что если на многообразии U'
имеется лишь одно подмногообразие, отвечающее V, то подмногооб-
разие V будет регулярным или иррегулярным.
Подмногообразие V называется фундаментальным в соответ-
ствии Г, если на многообразии U' существует подмногообразие V,
отвечающее V и такое, что Q(V') не лежит в Q(V). Из теоремы VIII
мы усматриваем, что в таком случае отвечающие V подмногообразия
§ 2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ НОРМАЛЬНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 261
на U' содержатся в любом сечении последнего многообразия гипер-
плоскостью, так как в противном случае на многообразии U' имелось бы
лишь одно подмногообразие, отвечающее V, а значит, V было бы
регулярным или иррегулярным. Отсюда следует, что существует бес-
конечное множество подмногообразий на U', отвечающих V. Пусть
V"— одно из этих подмногообразий. Если бы было
Q(V")c=Q(V),
то V было бы регулярным или иррегулярным и V" было бы един-
ственным подмногообразием на U', отвечающим V. Следовательно,
Q(Vr//) не лежит в Q(V).
Заметим еще, что если V иррегулярно и если (однозначно опре-
деленное) подмногообразие V многообразия U', отвечающее V, имеет
целозамкнутое кольцо частных, то подмногообразие V' будет фун-
даментальным в рассматриваемом соответствии.
В заключение определим регулярные бирациональные соответ-
ствия. Пусть соответствие Г таково, что каждому неприводимому
подмногообразию V на U отвечает на многообразии U' такое под-
многообразие V', что
Q(V') = Q(V).
Тогда V' является единственным подмногообразием на U', отвечаю-
щим V, а V — единственным подмногообразием на U, отвечающим V'
(теорема IV; отметим, что при этом не требуется целозамкнутости Q (V)).
В таком случае бирациональное соответствие Г называется регуляр-
ным. Если соответствие Г регулярно, то каждому неприводимому
подмногообразию на U (или на U') отвечает единственное неприво-
димое подмногообразие на U' (или на U). Хотя это определение не
требует нормальности многообразий U и U', само понятие наиболее
полезно именно в случае, когда многообразия U и U' нормальны.
Во многих случаях целесообразно отождествлять многообразия, между
которыми установлено регулярное бирациональное соответствие, так
как неприводимые подмногообразия таких многообразий взаимно одно-
значно соответствуют друг другу.
§ 2. Бирациональные соответствия
между нормальными многообразиями
Прежде чем обращаться к рассмотрению бирациональных соот-
ветствий между двумя проективно нормальными многообразиями,
рассмотрим бирациональное соответствие между неприводимым много-
образием U в пространстве S.tn и его производным нормальным много-
образием = U’ в пространстве S„. Здесь 8 — характер однород-
ности многообразия (гл. XVI, § 6).
Можно предполагать, что многообразие U не лежит на гипер-
плоскости хо=О, Пусть Со> ......... ’f/i) Go=l)— нормированная
262
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
общая точка для U. Обозначим через т0 неизвестное над полем функ-
ций S = К(;р . . ., $,„) многообразия Uи положйм ^=то^(/=О,..., т).
Тогда многообразие U' имеет общую точку (ш0, . . ., ши), коорди-
наты которой принадлежат полю 2(т0) и являются целыми над
кольцом /С(т0, ..., т)И]. Кроме того, кольцо /С[<о0... ш„] цело-
замкнуто в его поле частных. Будем предполагать еще, что при
1=1......т будет о;. = т\ Конечно, элементы	линейны
относительно ш0, ..., шп. В гл. XVI было удобно предполагать,
что координаты <о0, . .., шп линейно независимы над К. Здесь это
ограничение не является необходимым, и мы его отбросим. Любой
из элементов <ai удовлетворяет некоторому уравнению
~СО ~• • • “I- (О = О,
в котором многочлены оДт) однородны и имеют степени ог относи-
тельно тп, .. ., Сделанный выбор координатной системы в про-
странстве Sn гарантирует, что линейное подпространство
yt = 0 (г — 0, ..., т)
не имеет точек пересечения с U'. Следовательно, если V' — любое
неприводимое многообразие, содержащееся в U', то существует зна-
чение k, не превосходящее т и такое, что многообразие V не лежит
на гиперплоскости ук — 0, а значит, определяется некоторым простым
идеалом кольца %'к. Поэтому достаточно рассматривать лишь кольца
(k = 0, ..., т). Так как элементы кольца К[о.>о, ..., <ои] являются
целыми над кольцом ..., тт], то элементы кольца
3' — К[ш0/шк.....
— целые над /C[T0/Tft...^т/^к] = Зл- Но так как кольца 3fc цело-
замкнуты (гл. XVI, § 6, теорема III), то %'к являются целыми замы-
каниями колец 3ft-
Пусть V'— неприводимое подмногообразие на U'. Выберем
k (k т) так, чтобы V не лежало на гиперплоскости ук = 0. В силу
теоремы V § 1, на многообразии U имеется единственное подмного-
образие V, отвечающее V. Следовательно, каждому неприводимому
подмногообразию многообразия U' отвечает единственное подмного-
образие на U. Рассмотрим теперь любое неприводимое подмного-
образие V на U и предположим, что V не лежит на гиперплоскости
х& = 0. Если 33—-нормирование поля X, имеющее V своим центром
на многообразии U, и Л— кольцо этого нормирования, то
Но кольцо 3ft является целым замыканием кольца 3ft, а кольцо 'Л
целозамкнуто (гл. XVII, § 2, теорема IV). Отсюда вытекает, что
3ft != Л, и поэтому центр нормирования 33 на многообразии U' не
лежит на гиперплоскости ^ = 0. Поэтому подмногообразия на U',
§ 2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ НОРМАЛЬНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 263
отвечающие многообразию V, определяются простыми идеалами
кольца сжимающимися в кольце в простой идеал, опреде-
ляющий многообразие V. Следовательно, каждому многообразию,
лежащему на U, отвечает конечное число многообразий на' U'. При
этом отвечающие друг другу подмногообразия на U и на U’ имеют
одну и ту же размерность (гл. XVI, § 5, теорема III).
Допустим теперь, что (7" —другое проективно нормальное много-
образие в пространстве Sn, производное для многообразия U и соот-
ветствующее характеру однородности г. Можно считать, что общая
точка (>0, . .., мп) многообразия U" выбрана так, чтобы было —
= ?*(/ = О, ..., т). Тогда каждое кольцо	является целым
замыканием кольца и поэтому совпадает с %'к. Отсюда следует,
что каждому подмногообразию V многообразия U', не лежащему на
гиперплоскости _yfc = 0, отвечает единственное подмногообразие V"
на U", а каждому подмногообразию V" многообразия U" — един-
ственное подмногообразие V на U'. Если при этом V' определяется
простым идеалом ф' кольца %'к, то V" определяется простым идеа-
лом ф" = ф' кольца 3ft — X’ я значит,
Q(V') = Q(V").
Ввиду того, что все это имеет место для каждого значения k, не пре-
вышающего т, отсюда вытекает, что бирациональное соответствие
между многообразиями U' и U" регулярно. Тот же результат полу-
чается из теоремы II § 6 гл. XVI, из которой следует, что каждому
подмногообразию многообразия U' (или U") соответствует однозначно
определенное подмногообразие на U" (или на (/')• Таким образом,
на многообразиях U' и U" нет фундаментальных подмногообразий,
а значит, соответствие между U' и U" регулярно.
Пусть теперь U и U' — два многообразия, между которыми уста-
новлено бирациональное соответствие, a U и U'— их производные
нормальные многообразия. Обозначим через V и V' отвечающие друг
другу подмногообразия многообразий U и U'. Тогда существует нор-
мирование ЗВ общего поля функций Е многообразий U, U, U', U', имею-
щее на многообразиях U и U' центры V и V'. Обозначим центры
этого нормирования на многообразиях U и U' через V и V. Тогда
многообразия V и V отвечают друг другу в бирациональном соот-
ветствии между U и U, V и V' отвечают друг другу в соответ-
ствии между U и U', и, наконец, V' и V' отвечают друг другу
в соответствии между U' и U'. Наоборот, пусть V, V, V', V' — не-
приводимые подмногообразия, лежащие соответственно на многообра-
зиях U, U, U', U' и такие, что V и V отвечают друг другу в соот-
ветствии между U и U, V и V' отвечают друг другу в соответ-
ствии между U и U', а V' и V' отвечают друг другу в
264
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
соответствии между Ur и U'. Обозначим через 23 нормирование поля 2,
имеющее своими центрами на многообразиях U и U' соответственно
многообразия V и V'. Так как единственным подмногообразием на U,
отвечающим V, является U, а единственным подмногообразием на U',
отвечающим V, является V', то V и V' будут центрами нормирова-
ния ® на многообразиях U и U'. Но отсюда следует, что V и V'
отвечают друг другу в соответствии между многообразиями U и U',
так как нормирование 23 поля 2 имеет многообразия V и V' своими
центрами на U и на U'. Таким образом, многообразия, отвечающие
заданному многообразию V, лежащему на U, получаются следующим
образом: выбирается подмногообразие V на U, отвечающее V, затем
подмногообразие V' на U', отвечающее V, и, наконец, однозначно
определенное подмногообразие V на U', отвечающее V'. Поэтому
изучение любого бирационального соответствия можно расчленить на
изучение соответствий между многообразиями и их производными
проективно нормальными многообразиями и соответствий между проек-
тивно нормальными многообразиями. Остальная часть этого параграфа
посвящена последнему из указанных вопросов.
Пусть U и U' — нормальные многообразия, между которыми уста-
новлено бирациональное соответствие Г, a U* — многообразие, соеди-
няющее U и U'. Нужно иметь в виду, что многообразие U* не обя-
зательно будет нормальным. Так как многообразия U и U' нормальны,
то кольцо частных любого подмногообразия V, лежащего на U (или V',
лежащего на U'), будет целозамкнутым. Следовательно, каждое
неприводимое подмногообразие, лежащее на U (или на U'), необхо-
димо будет либо регулярным, либо иррегулярным, либо фундамен-
тальным в- соответствии Г.
Теорема I. Если подмногообразие V регулярно или иррегу-
лярно в соответствии Г, то оно будет регулярным в соответ-
ствии между U и U*. Если же V является фундаментальным
в соответствии Г, то оно будет фундаментальным и в соот-
ветствии между многообразиями U и U*.
Если V регулярно или иррегулярно, то на многообразии U'
существует лишь одно многообразие V', отвечающее V, причем
Q(V') с Q(V) (стр. 260). Пусть® — нормирование поля 2, имеющее V
и V' своими центрами на многообразиях U и U'. Обозначим через V*
центр нормирования 23 на многообразии U*. Можно предполагать, что V*
не лежит в гиперплоскости znk = 0. В таком случае V не лежит в гипер-
плоскости xh — 0, а V— в гиперплоскости ук -- 0. Многообразие V*
определяется некоторым простым идеалом кольца Кроме
того,
§ 2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ НОРМАЛЬНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ 265
Так как кольцо $кк является объединением колец и %'к, то
любой элемент а* из %кк можно записать в виде
а*=аХ+ ••• +аХ’
где «j, аг принадлежат кольцу а значит, и кольцу Q(V),
а а'....а'г—элементы из также принадлежащие Q(V). Следо-
вательно, а* содержится в Q(V)> т. е- имеет место включение %kk^Q(V).
Элемент а* будет принадлежать идеалу ф* в том и только в том
случае, если его норма в нормировании 23 положительна. Но так
как V есть центр нормирования 23 на многообразии U, это будет
в том и только в том случае, если а* не является делителем еди-
ницы кольца Q(V). Отсюда вытекает, что 3^* — Q(V*) £= С(Ю- Но,
в силу теоремы V § 1 и в силу включения Зл. — 3^> мы имеем
<?(У)<=<2(У*). Следовательно, Q(У) —	V*), и поэтому подмного-
образие V в соответствии между U и U* будет регулярным.
С другой стороны, если V является фундаментальным в соответ-
ствии Г, то V не может быть в соответствии между U и U* регу-
лярным или иррегулярным. Действительно, если бы это было так,
то на многообразии U* имелось бы единственное подмногообразие V*,
отвечающее V. Но так как каждое подмногообразие У* многообра-
зия U* однбзначно определяет отвечающее ему подмногообразие V'
на U', то V' было бы единственным подмногообразием на U', отве-
чающим V. А так как V является фундаментальным в соответствии Г,
то таких подмногообразий бесконечно много. Полученное противоречие
показывает, что V должно быть фундаментальным подмногообразием
в соответствии между многообразиями U и U*.
Теорема П. Если на многообразии U' нет фундаментальных
подмногообразий и если V — фундаментальное подмногообразие
на U, имеющее размерность р, то хотя бы одна компонента
многообразия У [У] имеет размерность^ большую р, причем раз-
мерности всех остальных компонент У [У] не ниже р.
Так как на многообразии U' нет фундаментальных подмногообразий,
то любое неприводимое подмногообразие V' на U' регулярно или
иррегулярно, а значит, на U имеется лишь одно подмногообразие,
отвечающее V, причем размерность этого подмногообразия не пре-
вышает размерности У'. Поэтому, если подмногообразие У' на U'
отвечает подмногообразию У, то должно быть dim V р. Но так
как каждая компонента многообразия У [У] отвечает У, то все ком-
поненты У [У] имеют размерности, не меньшие р. Если бы все ком-
поненты многообразия У[У| имели размерность р, то ими исчерпы-
вались бы все подмногообразия на U', отвечающие У. Ввиду того,
что число компонент многообразия У [У] конечно, отсюда, в
силу следствия теоремы VIII § 1, вытекало бы, что многообра-
зие У [У] имеет лишь одну компоненту, являющуюся единствецнь|М
266
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
подмногообразием на U', отвечающим’ V. Но'это означало бы, что
подмногообразие V не является фундаментальным. Тем самым теорема
доказана.
Зарисский доказал более сильную теорему о том, что при усло-
виях теоремы II все компоненты многообразия Т[V] имеют размер-
ности, большие р (см. библиографические замечания в конце книги).
Теорема III. Если V—фундаментальное подмногообразие
на U в соответствии Г, то любое нульмерное неприводимое под-
многообразие, лежащее на V, также будет фундаментальным.
Пусть U* — производное нормальное многообразие для многооб-
разия U*. Рассмотрим бирациональное соответствие между многооб-
разиями U и U*. Пусть W* — любое неприводимое подмногообразие
на U*. Оно отвечает единственному подмногообразию W* многообра-
зия (7*, a W*, в свою очередь, определяет единственное подмного-
образие W на U. Следовательно, W* не будет фундаментальным на
многообразии U*, так что последнее многообразие вообще не содержит
фундаментальных подмногообразий. Рассмотрим теперь подмногооб-
разия на U, явлющиеся фундаментальными в соответствии между U
и U*. Если W является ‘фундаментальным подмногообразием в этом
соответствии, то из теоремы II следует, что ему на многообразии U*
отвечает некоторое подмногообразие W*, такое, что dim W* > d’m W.
Многообразие W* определяет единственное многообразие W* на U*,
отвечающее W в соответствии между U и U*. При этом dim W* =
= dim W*. Мы знаем, что Q(W*)^>Q(W) и что эти кольца совпа-
дают лишь в случае, если dim W = dim W*. Следовательно, Q(W*)zd
oQ(IF), а значит, подмногообразие W является фундаментальным
в соответствии между U и U*. Но отсюда, в силу теоремы I, сле-
дует, что W есть фундаментальное подмногообразие в соответствии Г.
Обратно, если подмногообразие W является фундаментальным в соот-
ветствии Г, то оно будет фундаментальным и в соответствии между U
и U*. Поэтому, если 1F*— подмногообразие на U*, отвечающее W,
то Q(IF*) не лежит в Q(IF). Пусть теперь W* — любое подмногооб-
разие на 77*,.отвечающее IF*. Тогда Q(IF*) з Q(IF*), а значит, Q(1F*)
не содержится в Q(W). Но так как подмногообразие W* отвечает W,
то отсюда следует, что IF есть фундаментальное подмногообразие
в соответствии между U и 77*. Таким образом, фундаментальными
подмногообразиями на многообразии 77 в соответствии Г будут те и
только те подмногообразия 77, которые являются фундаментальными
в соответствии между 77 и 77*. Следовательно, нашу теорему доста-
точно доказать для соответствия между 77 и 77* или, что равно-
сильно, для соответствия Г, в котором отсутствуют фундаментальные
подмногообразия на 77'. Но в таком случае можно воспользоваться
Теоремой II.
§ 2. СООТВЕТСТВИЯ МЕЖДУ НОРМАЛЬНЫМИ МНОГООБРАЗИЯМИ
267
Так как подмногообразие V является фундаментальным в соот-
ветствии Г и так как на многообразии U' фундаментальные подмно-
гообразия отсутствуют, то из теоремы II следует, что на U' имеется
подмногообразие V', отвечающее V и имеющее размерность, большую
чем размерность V. Пусть размерность V равна р, а размерность V'
равна р/(р'>р). Так как V и V отвечают друг другу в соответ-
ствии Г, между V и V можно установить такое неприводимое соот-
ветствие А, что любая пара точек, отвечающих друг другу в соот-
ветствии А, будет парой отвечающих друг другу точек и в соот-
ветствии Г. При этом размерность а соответствия А не может быть
меньше р'. Но в таком соответствии, в силу принципа счета констант,
общей точке многообразия V отвечает многообразие размерности
а — р. Следовательно, каждой точке многообразия V отвечает под-
многообразие, размерность которого не меньше а — р. Поэтому и
каждому подмногообразию W размерности нуль, содержащемуся в V,
будет отвечать в соответствии А (а поэтому и в Г) подмногообра-
зие W размерности, не меньшей а — р > 0. Но так как dim W' >
> dim W, то подмногообразие W должно быть фундаментальным
в соответствии Г.
Выясним теперь, как находить подмногообразия на U, являющиеся
фундаментальными в бирациональном соответствии Г. Удобно пред-
положить, что система координат в пространстве Sn выбрана так,
что многообразие U' не лежит ни на одной гиперплоскости ук = 0.
Если
'fy_(^0, • • • • сш) / •_л
—	....е») 1
— уравнения, получающиеся после отождествления полей функций
для. многообразий U и U', то ни один из однородных многочленов
®г(х0, .... хт) не обращается в нуль на многообразии U. В таком
случае пересечение U с гиперповерхностью
(•^'0» • • • > -^т) —' 0
»
является чисто (d—1)-мерным многообразием, которое мы обозначим
через Многообразия Ао, . .., Ап могут иметь общие компоненты.
Мы положим
А^^=В—^С^	(/=0, ..., л),
где многообразие В — общее для До......Ап и ни одна из компо-
нент любого многообразия не будет компонентой всех остальных Cj.
Пусть F—пересечение многообразий Со, С(......Сп. Многообразие F
необходимо имеет размерность, меньшую d— 1, и может быть пустым.
Мы докажем, что подмногообразие V многообразия U будет фунда-
ментальным тогда и только тогда, когда V содержится в F.
Найдем идеал кольца Зл> определяющий ту часть многообразия F,
которая не лежит на гиперплоскости хк = 0. Так как многообразие U
268
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
предполагается проективно нормальным, то За — K[)oith.......
целозамкнуто. Поэтому можно воспользоваться мультипликативной
теорией идеалов (гл. XV, § 7). Пусть
С = За • (<?>	• • •. W) (Z = 0, .... л).
Идеал if. определяет часть многообразия Аг, не лежащую на гипер-
плоскости xh = 0. Пусть ЭЯ — общий наибольший квазиделитель идеа-
лов t0, . .., in, и пусть .
i,.~ ЗЯМ,..
Подмногообразие на (7, определяемое идеалом ЗЯ, является чисто
(d — 1)-мерным (если только ЗЯ не равен 1), так как все простые
квазиделители идеалов ir не являются квазиравными 1 и поэтому опре-
деляют неприводимые подмногообразия размерности d—-1 (гл. XVI, § 5).
Следовательно, многообразие, определяемое идеалом ЭЯ, содержится в В.
Наоборот, если В'— некоторая изолированная неприводимая компо-
нента многообразия В fa значит, чисто (d—1)-мерное многообразие],
не лежащая на гиперплоскости xh = 0, и ф'—простой идеал кольца За-
определяющий многообразие В', то 1г'>ф', и поэтому ф' является
квазиделителем всех ir, а значит, и квазиделителем ЗЯ. Отсюда сле-
дует, что идеал ЗЯ определяет ту часть многообразия В, которая не
лежит на гиперплоскости xh = 0, а идеалы определяют не ле-
жащие на этой гиперплоскости части многообразий Сг. Таким обра-
зом, часть многообразия Р, не лежащая на гиперплоскости xh = 0,
определяется идеалом
91 = (910...9Q-
Пусть V — любое неприводимое подмногообразие на U, не лежа-
щее на гиперплоскости xfe = 0, а ф —простой идеал многообразия V
в кольце За- Предположим сначала, что V не содержится в Р. Тогда
V не содержится в одном из С(, например в С„. Следовательно,
=/= 0 (ф). Если а —- элемент из не лежащий в ф, то
И За-Ы^-ВД1. .
Поэтому
За •	> 91,-,
а значит, идеал За ‘ (Я71</71а) — целый. Этот идеал содержит элемент
а^/т)й, и поэтому = 8,., где ^£За- Но так как а =/= 0 (ф), то
= € <Ж) (/ = о, .... п).
Теперь из теоремы IV § 1 следует, что многообразие V имеет одно-
значно определенный образ на U', а значит, не будет фундаменталь-
ным. Таким образом, если V не содержится в Р, то оно не является
фундаментальным подмногообразием.
Предположим, с другой стороны, что V не является фундамен-
тальным подмногообразием в сортветствии Г. Тогда существует такое
§ 2. Соответствия между нормальными многообразиями 269
целое число k, при котором отношения принадлежат кольцу Q(V)
(§ 1, теорема VII), т. е. -^/^ = где и ^принадлежат^,
причем не содержатся в ф при i = 0, . .., п. Но так как идеал ф—
простой, то произведение
ак = Ток • • • Ink
также не принадлежит ф, а значит,
где не принадлежит ф. a ai~?ik II Ijk- В таком случае
 Зл. • («i/«а) ~ Зд • (-r\il-r\k) ~	\
т. е.
• («/) ~	• Ofc) 0 = 0, ..., n),	(1)
и
%  (°k) * 0	(ф).
Если
X •(«*)-$! ••• Ф8>
где фр ..., ф8 — минимальные простые идеалы, то многообразие на U,
определяемое главным идеалом Зд • Од), является суммой неприводи-
мых многообразий, определяемых идеалами ф^-. Так как эти много-
образия не содержат многообразия V, то
Ф^О (Ф)	(J-1,	(2)
Ввиду того, что идеалы %0.....не имеют общих квазиделителей,
из (1) следует, что каждый квазиделитель идеала будет квазиде-
лителем • («fc)- Из (2) вытекает теперь, что чисто (d—1)-мерное
многообразие Ск, определяемое идеалом ЭДк, не содержит V. Следо-
вательно, V не содержится в многообразии F. Таким образом, мы
получили следующую теорему:
Теорема IV. Если на многообразии U имеются подмного-
образия, являющиеся фундаментальными в соответствии Г, то
они все лежат на многообразии F, размерность которого не пре-
вышает d — 2. Неприводимое подмногообразие V на многообразии U
тогда и только тогда является фундаментальным в соответ-
ствии Г, когда V содержится в F.
Многообразие Р называется фундаментальным комплексом мно-
гообразия U.
Обозначим через Т {F} сумму полных образов всех изолированных
компонент многообразия F. Очевидно, что эта сумма является алге-
браическим многообразием на U'. Если V' — любое неприводимое под-
многообразие на Т'[F], то ему отвечает на многообразии U под-
многообразие V, содержащееся в F. Поэтому подмногообразие V
должно быть фундаментальным на U, так что Q(V') не содержится
270	ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
в Q(V). Отсюда следует, что подмногообразие V' должно быть либо
фундаментальным, либо иррегулярным на U'. С другой стороны, если
V'— подмногообразие на U', иррегулярное в соответствии Г, то ему
на многообразии U отвечает единственное подмногообразие V, при-
чем Q(V)cz Q(V'). Поэтому подмногообразие V должно быть фунда-
ментальным на U, а значит, V содержится в Т'{Fj. Этим доказана
Теорема V. Если F — фундаментальный комплекс на много-
образии U, а Т {Р\—его полный образ на U', то любое иррегу-
лярное подмногорбразие на U' содержится в Т' {F}., причем любое
неприводимое подмногообразие на Т' {F} является либо иррегуляр-
ным, либо фундаментальным в соответствии Г.
С помощью двух последних теорем можно найти все иррегулярные
и фундаментальные подмногообразия на многообразиях U и U'.
Непосредственными следствиями теоремы IV являются следующие
теоремы:
Теорема VI. Любое бирациональное соответствие между
проективно нормальными кривыми регулярно.
Теорема VII. На проективно нормальных поверхностях, на-
ходящихся в бирациональном соответствии, может существовать
лишь конечное число фундаментальных подмногообразий размер-
ности нуль. Фундаментальных кривых нет ни на одной из по-
верхностей.
Параграфы 1 и 2 представляют собой сводку методов, применяе-
мых в теории бирациональных соответствий. В следующем параграфе
мы рассмотрим один специальный класс бирациональных преобразо-
ваний, называемых моноидными преобразованиями. Значение таких
преобразований состоит в том, что они часто применяются в геоме-
трических исследованиях в случаях, когда необходимо преобразовать
заданное подмногообразие V некоторого многообразия U в подмного-
образие на U', имеющее более высокую размерность, чем V. Моноид -
ные преобразования являются рабочим инструментом в применениях
бирациональных преобразований к конкретным многообразиям.
§ 3. Моноидные преобразования
Пусть U — неприводимое многообразие размерности d в простран-
стве Sn, а ; = (;0, .... $„)—его общая точка. Без ограничения общности
можно предполагать, что U не лежит на гиперплоскости хл = 0 при
любом значении h и поэтому 0. В частности, можно считать, что
точка i нормирована и поэтому ;0 =-1 • Будем предполагать также,
что многообразие U нормально.
Пусть С —любое подмногообразие на U, имеющее размерность,
не превышающую d — 2, и пусть ч — целое число, обладающее тем
свойством, что существуют по крайней мере две формы /(х), g(x)
степени ч, обращающиеся в нуль на С и такие, что значения /(;) и
g($) линейно независимы над К. Обозначим через <f>W(x), ...» <р(г'Чх)
Й 3. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
271
систему форм степени ч, обращающихся в нуль на С и обладающих
следующими свойствами:
(а)	значения ..., ф'.'Ч’) линейно независимы над Д';
(б)	если /(х)— любая форма степени v, обращающаяся в нуль
на С, то в поле К существуют такие элементы а0, ..а?, что
/ (5) = ao?(ov) (5) + • • • + Or ф':0 G).
Рассмотрим неприводимое многообразие в пространстве Sr, имею-
щее общую точку (®(о'ЧО> ••>	(’))• Обозначим это многообразие
через £/<’>. Ясно, что ёсли многообразие существует, то суще-
ствует и многообразие при любом значении •/, большем ч. Мно-
гообразия £Л'> при различных значениях м могут не быть бирацио-
нально эквивалентными. Если же они бирационально эквивалентны, то
соответствие между ними может не быть регулярным. Непосредственно
очевидно, однако, что поле функций любого многообразия изо-
морфно подполю поля функций S многообразия U. Действительно,
так как, по условию, значение <р(0'> (;) отлично от нуля, то поле функ-
ций для изоморфно полю
s(,) =	($), ...,	<=..........q.
Можно показать, далее, что найдется такое целое число а, что
при v и ч', больших а, многообразия (/Р) и бирационально экви-
валентны многообразию U и находятся в регулярном соответствии
друг с другом. Покажем прежде всего, что если (Д') существует,
то многообразие tA'+M бирационально эквивалентно многообразию U.
Из этого следует непосредственно, что многообразия U^”> при ч' > ч
также бирационально эквивалентны U. Допустим, что существует.
Тогда фё'45) существует и отлично от нуля. В силу свойства (б) форм
мы имеем
и поэтому
t __ J________________cz к (	) = V( °
W'+1)© " 4'+1)(S) ’	?(o'+1W	*
Следовательно,
S = K($V ..., ycl(,+1).
Но так как уже доказано, что Х('+1) с 2, отсюда следует, что
X = S(i'l'1), т. е. что многообразие бирационально эквивалентно
многообразию U.
272	ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Покажем теперь, что при достаточно большом ч многообразие t/C'+O
является связывающим многообразием для U и Пусть
/Дх) = 0	(f=l, .... г)
— базис уравнений многообразия С. Если — степени форм /Дх),
то положим а = max [at, .... аг\. Так как многообразие С имеет раз-
мерность, не превышающую d — 2, то по меньшей мере два из зна-
ченийотличны от нуля. Отсюда следует, что многообразие СКа>
определено. Пусть JVjp)(x) (у == 1, 2, ...) — все различные произве-
дения неизвестных xh, имеющие степень р. Тогда, если то
формы JVj ai\x)fi(x) обращаются в нуль на С и имеют степень v.
Следовательно, должно быть
(у—а.}	-г-.	(у)
х} 1 G)AG) = S WHO,
где £ К- Но, по условию,
(' + !). .	(v + 1-а.)
<?i (х)—3 (x)fj(x)
i 1 к
а значит,
®V+1)(0 = SmMv)(0 ((WK).
Кроме того, так как формы xjffl (х) обращаются в нуль на С и
имеют степень v —|— 1, то
(О = 2 WZ+1) (О	€ Ю-
Соединяющее многообразие для U и имеет общую точку
(..., ОтУЧО, ..)• Следовательно, многообразие fJC+i) проективно
эквивалентно соединяющему многообразию для многообразий U и (/С),
В силу теоремы V § 1, каждому неприводимому подмногообразию И',+1)
многообразия tJC+i) соответствует однозначно определенное подмного-
образие V на U и однозначно определенное подмногообразие У<Э
на U^\ причем
Q (У) = Q (Уе'+1)),	с <?(И'+1))_
Это имеет место при Если v > а, то из сказанного следует,
что
Q(V) = Q(KW).
В пространствах Sn, S>-, 8Г) можно выбрать бесконечно удаленные
гиперплоскости, не содержащие многообразий V, УС), УС+’К Кроме
того, можно добиться, чтобы области целостности 3,	много-
образий U, и<ч\ U^+1} в полученных аффинных пространствах удо-
влетворяли условиям 3 — 3(1|) — Зс'+1) и чтобы область целостно-
сти ^C+i) была объединением и т. е. чтобы было
S з. моноидныё преобразования
273
Тогда, если — простой идеал многообразия УУ+1)в кольце
то простыми идеалами ф и ф<'> многообразий V и УУ> будут
ф = 3 Л ф(ч+1),	ф(') = 3е'’ Л ф<’+1> = ф<ч+1>.
Следовательно,
Q (У(-)) = W = ЗУ+1) = Q (УУ+D).
>у-') sut-'+i)
Поэтому каждому неприводимому подмногообразию УУ+1) на C7<v+1)
отвечает однозначно определенное подмногообразие УУ> на U^. Но
так как Q(y(4)) = ф(УУ+1)), то УС'+У должно быть единственным под-
многообразием на отвечающим У<'). Следовательно, соответ-
ствие между многообразиями и UW регулярно.
Таким образом, между многообразиями t7<a+1>, С/<“+2), . . . суще-
ствует регулярное бирациональное соответствие. Эти многообразия (JW
при v > а называются моноидными образами многообразия U с ба-
зисом С. Справедлива
Теорема I. Моноидный образ многообразия U с базисом С
определен однозначно с точностью до регулярного бирационального
преобразования и бирационально эквивалентен U. Каждому непри-
водимому подмногообразию V' моноидного образа U' многообразия U
отвечает единственное подмногообразие V на U, причем имеет
место соотношение (?(У)	<2(У')-
Отбросим теперь обозначение UW и будем обозначать моноидный
образ многообразия U через U'. Если нам понадобится указать сте-
пень v форм, использованных для определения U', то мы будем на-
зывать ее степенью моноидного образа.
Следует отметить, что моноидный образ U' не обязательно будет
нормальным многообразием. Это вызывает незначительные оговорки
при использовании результатов §§ 1 и 2, но не приводит к серьез-
ным трудностям. Практически бывает удобно сопровождать процесс
построения моноидного образа переходом к его производному нор-
мальному многообразию. Мы, однако, не будем следовать здесь такой
практике.
В качестве примера моноидного преобразования рассмотрим пре-
образование плоскости U с координатами (х0, xv х.2). Пусть С— много-
образие, состоящее из точек (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1). Базис
для уравнений этого многообразия составляют уравнения
хус% = 0, х.2х0 — 0, хох1 = 0.
Здесь а = 2, а многообразие имеет общую точку 5аВ0,
и является плоскостью. £7<2> бирационально эквивалентно U, но не
является моноидным образом, так как точкам (1, 0, 0), (0, 1, 0) и
(0, 0, 1), лежащим на 1К2\ отвечают соответственно все точки пря-
мых х0 = 0, х, — 0, х.2 = 0. Но t/(3) — [/' уже будет моноидным
образом. Это многообразие можно представить в пространстве 5б
18 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
274
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
многообразием, имеющим общую точку	S05i. &0, $.3Й,
ЕочУ- Можно показать, что U' представляет собой поверхность ше-
стого порядка. Эта поверхность содержит три прямые
(*1) Л=Л=^8 = Л = Л = °»
(У У1 = У > = Л = У-о = >в = о,
(АО Л=Л=Л = Л=Л = °-
Любой точке на lt однозначно отвечает точка (1, 0, 0) многообразия U.
Аналогично, точкам прямых 1.2 и 1.А отвечают соответственно точки
(0, 1, 0) и (0, 0, 1) на U. Так как U' есть моноидный образ для U,
то.каждая точка многообразия U' однозначно определяет отвечающую
ей точку на U. Читатель может проверить, что любой точке Р много-
образия U, отличной от точек (1, 0, 0), (0, 1, 0) и (0, 0, 1), отве-
чает единственная точка Р' на U',~ причем Q(P) = Q(P').
Возвращаясь к общей теории моноидных преобразований, докажем
следующую теорему:
Теорема II. Любое подмногообразие многообразия U является
при моноидном преобразовании либо регулярным, либо фундамен-
тальным. Подмногообразие V на U будет фундаментальным в том
и только в том случае, если V <= С, где С — базис рассматри-
ваемого моноидного преобразования.
То, что любое подмногообразие на U является либо регулярным,
либо фундаментальным, следует из теоремы I, которая гласит также,
что на моноидном образе отсутствуют фундаментальные подмногооб-
разия. Так как моноидные образы для U находятся в регулярном
соответствии друг с другом, то достаточно рассмотреть здесь лишь
моноидные образы достаточно высокой степени v. Многообразие U'
определяется уравнениями
У1 = $4*) (х = 0, . .., г,).
Так как многообразие U нормально, можно воспользоваться методом,
примененным для доказательства теоремы IV § 2. Таким образом
обнаруживается, что фундаментальный комплекс многообразия U по-
лучается удалением компонент размерности d— 1 из многообразия,
определяемого уравнениями
<#’(•*:) = 0	(/ —0, ...,гч).
Отсюда следует, что фундаментальным комплексом является С.
Совокупность подмногообразий на моноидном образе U', соответ-
ствующих подмногообразиям заданного многообразия V на U, назы-
вается полным образом /"{У} многообразия V. Докажем такую
теорему:
Теорема III. Полный образ Т{С} базиса С моноидного пре-
образования является чисто (d—\)-мерным многообразием.
S '(. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
27Й
Пусть U' — моноидный образ (с базисом С) многообразия U, имею-
щий степень v. Соединяющее многообразие U* многообразий U и U'
проективно эквивалентно моноидному образу многообразия U, имею-
щему степень м-|-1 и поэтому находящемуся в регулярном соответ-
ствии с U'. Таким образом, достаточно доказать, что полный образ
Т* {С) многообразия U* на С является чисто (d—1)-мерным. Ясно,
что этот прием оперирования с многообразием U* вместо U' служит
только для упрощения обозначений.
Без ограничения общности можно считать, что не обращается
в нуль ни на одном подмногообразии V многообразия U, отвечающем
изолированной компоненте V многообразия Т{С). Кроме этого, систему
координат (_у0...yrj в пространстве можно выбрать так, чтобы
было _у0 =£ 0 на любой компоненте многообразия Г{С}. Тогда, если
мы обозначим через (г00....znr) координатную систему в простран-
стве, содержащем U*, то общей точкой многообразия U* будет
точка (Соо, .. ., где
При этом д00 не обращается в нуль ни на одной компоненте много-
образия Т* {С}. Как обычно, предположим координаты точки $ нор-
мированными так, чтобы было ;0 = 1.
Пусть С’* — подмногообразие на L*, уравнениями которого являются
уравнения U* и еще уравнения
^7)(v •••’z»? = ° (Л J = 0, ..., r„).
Докажем прежде всего, что С*—Т*{С].
Пусть V* — любая изолированная компонента многообразия Т*{С\,
а V и V— отвечающие ей подмногообразия на U и на U'. Обозначим
через 23 любое нормирование, центром которого на многообразии U*
будет У*. Тогда центрами этого нормирования на многообразиях U
и U' будут соответственно подмногообразия V и V. Так как V не
лежит на гиперплоскости x, = 0, а V — на гиперплоскости _уо = О,
то мы при всевозможных значениях I и j имеем
^)>0,	T/[?;.(W0')(^l>0.
Но так как У^С (по определению Т{С}), то
v	О С/ = 0, ....
В таком случае
v W (Ч-......W = v 0) {ч»у> (W’ (’)f'i =
= v [<#’ 0)1 +	(W’ 0)1 > 0.
Следовательно, формы <р(') (г .... гп.) обращаются в нуль на У*,
и поэтому у* с С*. Таким образом, Т* {С}	С*.
18*
276	ГЛ. xviii. еиРАциОнДльнЫЕ rtPEoSPA.BOtsAMttft
Пусть теперь V*— любое неприводимое подмногообразие, содер-
жащееся в С*, а 33 — нормирование, центром которого на многообра-
зии U* является V*. Если V* не лежит на гиперплоскости zhk = 0, то
Но
^Ок’ • • • ’ 'птУЧь ~
Так как w [срС1) (;)/$&]> 0, то центр V нормирования 23 на много-
образии U не лежит на гиперплоскости xh — 0 и его точки удовле-
творяют уравнениям
^•')(х) = 0	(7 = 0....rv).
Отсюда вытекает, что V с: С, а значит,’ К‘£Г{С). Поэтому
С* с 7’*{С}. Но так как уже показано, что Г* {С} с с*, то
С*= Г {С}.
Нам нужно теперь показать, что многообразие С* является чисто
(d—1)-мерным. Пусть
ФД2) =	. .., zni) (i = 0, . .
Тогда
[<₽$'’ ...........+1	=	(’)1'(V+I) = ф< (’) 1ф; С’)Г-
Следовательно, многочлены
.....
обращаются в нуль на U*, и поэтому многообразие С*, являющееся
пересечением U* с многообразием, имеющим уравнения
$4..........%-) = °	(Z, 7 = 0.....г,),
будет пересечением U* с многообразием, определяемым уравнениями
Ф4(г0<, ..., zni) = 0 (i = 0, ..., г.,).
По построению, ни одна компонента многообразия С*=Т*{С\
не лежит на гиперплоскости 200 = 0. Следовательно, С* есть много-
образие, определяемое идеалом 3*’ [Фо (У.......Ф,ч Q] области цело-
стности 3* = A'ICqo/^oo. •••> -пгЛоо!- Но
Ф0(С) ЬоМ	•
Следовательно, многообразие С* определяется также главным идеа-
лом 3*-[Фо(’)1- Но подмногообразие неприводимого алгебраического
многообразия размерности d, лежащего в аффинном пространстве, опре-
§ 3. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
277
делаемое главным идеалом, будет чисто (d—1)-мерным. Следова-
тельно, С*=Т*\С}— чисто (d— 1)-мерное многообразие.
Следующая теорема полезна для нахождения образа V] непри-
водимого подмногообразия V многообразия U, т. е. совокупности
подмногообразий на U', отвечающих V. В силу теоремы VI § 1,
Т^У] есть алгебраическое многообразие. Мы докажем, что если
Ux—моноидный образ многообразия U, имеющий базис С1г и если
компоненты многообразия Ct, содержащие V, совпадают с содержа-
щими V компонентами многообразия С, то между подмногообразиями
на U' и на U}, отвечающими V, имеется взаимно однозначное соот-
ветствие. При этом, если V' и —-отвечающие друг другу в этом
соответствии подмногообразия, то Q(V') = Q(VJ. На основании этой
теоремы мы можем при нахождении подмногообразий на U', отвечаю-
щих V, опустить компоненты базиса С, не содержащие много-
образия V, и рассматривать моноидный образ для U с остающимся
после этого базисом. Так как новое моноидное преобразование может
быть проще первоначального, то задача нахождения многообразия Т[ V]
соответственно упрощается. Кратко теорема, которую нужно дока-
зать, формулируется так:
Теорема IV. Подмногообразия на U', отвечающие неприводи-
мому подмногообразию V многообразия U, зависят только от
компонент базиса С, содержащих V.
Пусть У — неприводимое подмногообразие на U, a Ct — сумма
компонент базиса С, содержащих V. Пусть, далее, > — столь большое
целое число, что существуют моноидные образы U' и Ut много-
образия U, имеющие степень > и базисы С и СГ Обозначим через
уС''(х) (Z = О, ..., nt) базис для форм степени v, обращающихся
в нуль на Ср такой, что формы (z = 0, ..., п' < nJ соста-
вляют базис для форм, обращающихся в нуль на С. Конечно, базис
для форм строится по модулю уравнений многообразия U. Пусть
g(x)— любая форма, обращающаяся в нуль на компонентах много-
образия С, не проходящих через V, но не обращающаяся в нуль на V.
Рассмотрим любое неприводимое подмногообразие V на U', отве-
чающее V, и любое нормирование 23, имеющее многообразия V и V'
своими центрами на многообразиях U и U'. Без ограничения общности
можно считать, что х0 #= 0 на V и у0 #= 0 на V'. Тогда
® (;<) >0, V ($)/<?<-> (')] >0	(/ = 0, ..., п').
Но форма g(x) <pP)+i(x) обращается в нуль на С. Следовательно,
мы имеем
= 2	G=l, П.-П'),
j-o *	*
278
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
где Ay(0(E3 = M?i> ?„1- Поэтому
<$>(?)	^(S) *о')(5)’
Так как форма g(x) не обращается в нуль на V, то элемент (;)/£•(;)
содержится в кольце Q(V), которое, в свою очередь, содержится
в Q(V') (теорема 1), и
Следовательно,
^ (?)/<')(;)- yr^Q(V').
Поэтому
'-ДО+Д?)
<Го} (?)
6<2(Г).
У = К
<С1') (?)	(?) ]
. fo')(?) ’ ’ ’ 'fo ’ (?) 1 ~ 'S1
?Г(?)
Ч'°(?) ’
£= Q(V').
Пусть 'Л — кольцо нормирования 'У, а р — максимальный идеал
кольца Л. Тогда максимальным идеалом кольца Q(V') будет идеал
ф = Q (V') п р, а центр V, нормирования 33 на многообразии Ux опре-
деляется простым идеалом ф1=31П»=31Пф кольца 31- Идеал ф
определяется одним многообразием V', а поэтому многообразие V
однозначно определяет также идеал У.П ф- Следовательно, много-
образие Уг однозначно определяется многообразием V'. Само V
определяется идеалом ф' = у fl I’ = У П Ф1 кольца у. Так как
Ф'=у п Ф!=у п ф,
то
Но
%, (И = Q( По-
следовательно,
<?(И = 31.1!, = <Ж).
С другой стороны, пусть Vt—-любое неприводимое подмного-
образие на (71, отвечающее V. Пусть 23 — нормирование, имеющее
подмногообразия V и Ух своими центрами на многообразиях U и Uv
Без ограничения общности можно предполагать формы Ч^\х)
(Z = 0, ..., п') расположенными так, чтобы было
V [$> (01 > v I?»} (?)1	(i < га')-
Тогда, как и выше, мы получим
^4?)1>®1<?(л?)]	(/ = 0....«р,
§ 3. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
279
и поэтому кольцо 31 лежит в кольце нормирования 23. Следовательно,
подмногообразие У\, являющееся центром нормирования 23 на много-
образии U,, не лежит на гиперплоскости У01> = 0 и определяется
некоторым идеалом ф, кольца Зс Центр V' нормирования 23 на U'
определяется простым идеалом З Пфр причем можно доказать, как
и выше, что Q(V') = Q(V\). Таким образом, между подмногообра-
зиями многообразий U' и U,, отвечающими V, имеется взаимно одно-
значное соответствие. Если V' и Vt отвечают друг другу в этом
соответствии, то Q(V') = Q(Vt).
Следствие. Метод доказательства теоремы IV позволяет дока-
зать одну лемму, которой мы воспользуемся впоследствии. Пусть
целое число м таково, что для многообразия U существует моноид-
ный образ U' степени ч, имеющий базис С. Возьмем /я-|-1 форм
(Z = О..........т) степени v так, чтобы простые идеалы компо-
нент многообразия С в кольце 3 —	•>-«] были изолированными
компонентами идеала i — 3 • (% (-)> • • •,	(-))• Обозначим через U3
многообразие, общей точкой которого будет (%(Е), . ..,	($)), и
допустим, что Uа бирационально эквивалентно многообразиям U и U'.
Если V—неприводимое подмногообразие, содержащееся в С, то
между подмногообразиями на U' и на £Л2, отвечающими V, имеется
взаимно однозначное соответствие. Если V и V.3 отвечают друг другу
в этом соответствии, то Q(V/) = Q(V2) при условии, что много-
образие Уа не содержится ни в одной из отличных от компонент С
компонент многообразия, определяемого идеалом t
Для доказательства этого достаточно лишь выбрать использован-
ный в доказательстве теоремы IV многочлен gix) так, чтобы сечение
многообразия U гиперповерхностью g-(x) = 0 не содержало подмного-
образия V, а также компонент многообразия С, и чтобы элемент
g (Д (?) принадлежал идеалу i. После этого применимо доказатель-
ство теоремы IV.
Полученные до сих пор в этом параграфе результаты относятся
к моноидным преобразованиям многообразия U, имеющим любой
базис С, подчиненный лишь тому ограничению, что все компоненты С
должны иметь размерность, не превышающую d — 2. В приложениях
моноидных преобразований имеет большое значение случай, когда
базис С является неприводимым и простым подмногообразием на U.
Теория моноидных преобразований для этого случая может быть раз-
вита значительно дальше, чем для моноидных преобразований общего
типа. Конец этого параграфа посвящен указанному частному случаю.
Результаты, которые ниже будут доказаны, можно суммировать в виде
следующей теоремы:
Теорема V. Пусть U — неприводимое многообразие размер-
ности d, а С—неприводимое многообразие размерности е, e^d—2,
лежащее на С и являющееся простым подмногообразием на U.
Пусть, далее, U’ — моноидный образ многообразия U с базисом С.
280
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Если V—неприводимое подмногообразие на С, имеющее размер-
ность f и простое как на С, так и на U, то многообразие У[ У|
неприводимо и является простым подмногообразием как на U', так
и на У [С]. Размерность многообразия. У [У] равна d—1—
Любое подмногообразие V' на У [У], отвечающее У, является про-
стым подмногообразием как на У [У], так и на У [С] и на U'.
Если положить У = С, то из этой теоремы следует, что много-
образие У [CJ неприводимо и является простым подмногообразием на U',
причем каждое подмногообразие на U', отвечающее С, будет простым
как на U', так и на У[С].
Прежде чем доказывать теорему V, установим два предваритель-
ных результата, упрощающих доказательство. Покажем сначала, что
если теорема верна в случае, когда / = 0, то она верна и при
любом значении f (не превышающем е).
Без ограничения общности можно считать, что х0 не равно нулю
на У, а значит, не равно нулю на С и на U. Пусть р — простой
идеал многообразия У в кольце 3 =	• • •> а Ф — идеал много-
образия С. Так как р имеет размерность /, то мы можем считать,
опять-таки без ограничения общности, что элементы . .., алге-
браически независимы по модулю р над полем К. Тогда, в силу вклю-
чения ф с р, элементы .... алгебраически независимы также
по модулю ф. Обозначим через 2 поле . . ., ^), а через U
многообразие в пространстве An_f над полем 2, общей точкой кото-
рого является точка (^+t, ..., 5П). Так как элементы
алгебраически независимы над полем К, то многообразие U имеет
размерность d—f. Введем обозначение 3* = 2[^+1,	и рас-
смотрим идеалы р* = 3* • V и 4-'* = 3* • Ф в кольце 3*- Как и в § 4
гл. XVI, можно показать, что эти идеалы просты, а их размерности
равны соответственно нулю и е—f. Кроме того, если У и С—непри-
водимые подмногообразия на U, определяемые этими идеалами, то их
кольца частных <2(У) и Q(C) совпадают соответственно с кольцами
Q(V) и Q(C). Поэтому, в частности, Q(У) с: Q(С), а значит, У£С.
Ясно также, что имеют место равенства р = ЗПр*и ф = 3 П ф*.
Нам дано, что многообразие С есть простое подмногообразие на U
и что У—простое подмногообразие на С и на U.  Эти свойства
можно выразить следующим образом:
(I) Максимальный идеал кольца Q(C) имеет базис, состоящий из
d — е =z(d —f) — (е — /) элементов.
(И) Максимальный идеал кольца <2(У) имеет базис, состоящий
из d — f элементов.
(Ill) Максимальный идеал кольца частных для кольца 3/Ф отно-
сительно идеала р/ф имеет базис, состоящий из е—f элементов.
Но Q(C) = Q(C) и Q(y) = Q(y). Так как многообразия U и С
имеют размерности соответственно d — f и е — f, то из (I) и (II)
§ 3. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
281
следует, что многообразия С и V являются простыми подмногообра-
зиями на U. Далее,
(З/ф^^за-^ <гл- xv> §51 те°рема XI)
Но	_
q(V) = q(V), с(ю-Ф = <?(Ю-ф*,
а значит,
(3/Ф)р/$ = Q (V)/Q ( V) . ф* = (У/Ф*)^'
Но теперь из (III) следует, что V есть простое подмногообразие на С.
Построим моноидный образ U' многообразия U с базисом С. При
этом мы выберем степень > столь большой, чтобы существовали
моноидные образы этой степени как для многообразия U и базиса С,
так и для многообразия U с базисом С. Пусть ^(х^, хп)
(1 = 0, .... л,) — система форм, определяющая моноидный образ
степени м для многообразия U. Тогда, если мы обозначим через
х0, xf+l, хп однородные координаты в пространстве, в котором
лежит многообразие U, то, в силу включений
^’(i, 5р..., иеф<=ф*.
очевидно, что формы $\х0, Etx0.....zfx0, xf+1, ..., хп) обра-
щаются в нуль на С. Пусть теперь х) = <р (;р . .., 4f-, х0,
х?+1....хп) — любая форма из кольца 2 [х0, xf+l..хп], имею-
щая степень v и коэффициенты, лежащие в кольце /С[5р ..., 5Д, и
обращающаяся в нуль на С. Тогда, если р положительное целое
число, для которого выражение
. х^(х1/х0, ХГ/ХО, х0, xf+1......х„)
будет однородным многочленом, то этот многочлен обращается в нуль
на С, так как <р (^ ..., lf, Е^.р .... 5„) С 3 П Ф* = Ф- Отсюда сле-
дует, что на многообразии U будет
г-,
xo'f (х11х0> • • • > хflх0> х0> xf+l> • • • > хп) ==
где аг(х) — формы от х0, ...» хп с коэффициентами из К’ Но
отсюда вытекает, что на многообразии U
4? (5, 7 = 2а<(х)'4’!(х0, ^Хр .. ., Lxf, xf+l, .... хп).
4=0
Ввиду наличия множителя x[j в левой части этого равенства, мы не
можем заключить отсюда, что моноидным образом U' степени v для
282
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
многообразия U будет многообразие над полем 2, имеющее общую
точку (<р(0'Ч’)> •••> '-р'-'Ч’))’ Однако из написанного равенства следует,
что идеал ф* есть изолированная компонента идеала 3* ’ (?оЧ0> • • •
. .., '-Р^Ч?))• Пользуясь следствием теоремы IV, мы можем заклю-
чить, что если W—многообразие, определяемое над полем 2 общей
точкой («ро'Ч?), • • •, ^(S)). то W бирационально эквивалентно U,
причем между подмногообразиями на U' и на W, отвечающими лю-
бому заданному подмногообразию многообразия С, имеется такое
взаимно однозначное соответствие, при котором кольца частных
соответствующих подмногообразий совпадают.
Предположим теперь справедливость теоремы V в случае, когда
f—О. Ввиду того, что многообразие V имеет размерность нуль,
отсюда следует, что образ Г[ У] многообразия V на U' неприводим,
имеет размерность (d —-/) — 1 — (е — f) = d — 1 — е и является про-
стым подмногообразием как на U', так и на Г [С]. Далее, если
V' — любое подмногообразие на 7’[У], отвечающее V, то V' есть
простое подмногообразие на 7’[У], на ТДС] и на U'. Ввиду имею-
щегося соответствия между U' и W, мы заключаем, что эти резуль-
таты останутся справедливыми, если 7’| V] и 7ДС] будут означать
образы многообразий V и С на IV, a W будет заменено на W везде
в формулировке теоремы.
Выясним связь между многообразиями W и U'. Многообразие W
получается из U' присоединением к основному полю f алгебраически
независимых элементов из поля функций многообразия U'. Эти /
элементов не являлись координатами общей точки многообразия U',
но ясно, что это обстоятельство несущественно и связь между W и
U' является, по существу, той же самой, что и между многообра-
зиями U и U. Поэтому мы можем перейти от образов многообразий
V и С на U’ к их образам на W и отсюда непосредственно вывести
справедливость теоремы V. Таким образом, остается доказать тео-
рему V лишь в случае, когда /=0.
Начиная с этого места, мы будем предполагать, что / равно
нулю. Нашим вторым упрощением теоремы V будет доказательство
того, что моноидный образ U' многообразия U может быть заменен
бирационально эквивалентным ему многообразием, с которым легче
оперировать.
Пусть
Ф» О) = 0 (i = 1........а)
— базис уравнений многообразия U. Так как CcU, то мы можем
получить базис уравнений для многообразия С, добавляя к написан-
§ 3 МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
283
ной системе некоторую систему уравнений
6,	(х) = 0 (г = а 4- 1, • • •, Ь).
Но так как V с С, то можно получить базис уравнений для V,
добавляя к уравнениям С еще некоторые уравнения
6Дх) = 0 (г = г>4- 1...... с).
Пусть теперь х'— общая точка многообразия V. Тогда х' будет
простой точкой на V, а так как V — простое подмногообразие на С
и на U, то точка х' будет простой точкой и для многообразий С
и U. Поэтому матрица
/д'О(х')\	/•	1	-1	\
 ; /	(« = 1....а; 7= 1,..., п)
\ dxj /
имеет ранг п — d, матрица
(' = 1..... t>-, 7=1,..., п)
\ дх. /
—	ранг п — е а, наконец, матрица
/ d'l/i (х') \	,.	,	.	.	ч
‘р7-	(4	= 1,...,	с; j =	1,.	. ., «)
\ дх- /
—	ранг п. Отсюда следует, что ранги матриц
<'=»+......................»)
J
и
(г--~ а-|-1, • • •, с; J = и)
\ dxj /
будут соответственно не меньше end. Следовательно, из системы
форм 6Дх) (i = а 4- 1, • • •, с) можно выбрать d форм, например
/г(х),..., /rf(x), так, чтобы у, (х),..., /.rf_e(x) обращались в нуль
на С, а матрица
(i = l,..., d; 7=1,..., п)
\ dxj /
имела ранг d. Обозначим степени уДх) через р( и выберем целое
число v так, чтобы было v > max [рх,.. ., pd]. Если положить теперь
(х) —	(х)	(4=1,..., d),
то ранги матриц
о = 1.....d; 7=1,..., п)
\ дх,- /
d
284
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
И
(dJ>i ('г (i=l........d — е; j= 1,..., п)
X dxj /
J
будут равны соответственно d и d — e. Теория §§ 2 и 3 гл. XVI
показывает теперь, что если положить
Ч =	(‘ = 1...d),
то элементы .....td будут служить униформизирующими параметрами
многообразия U в окрестности У, a td_e— униформизирую-
щими параметрами U в окрестности С.
Так как элементы	td_e являются униформизирующими
параметрами в окрестности С, то идеал
Q(C).(^,..., ta_e)
прост. Кроме того, идеал многообразия С в кольце 3 = К [^> • • • > U
является изолированной компонентой идеала 3 • (^i>- •	^d-e)- Далее,
так как Q(y)cQ(C), а идеал Q(C) • (tv. . ., td_e) прост, то отсюда
следует, что идеал Q(V)-(t1....Zrf_e) также прост. Следовательно,
ни одна из компонент многообразия, определяемого идеалом
^d-e)> кроме компоненты С, не проходит через V. Теперь
можно применить следствие теоремы IV. Пусть W—многообразие,
общей точкой которого является точка
C = Gop..-. C„d_e) = (..., ^....) (1 = 0,..., л; j	d — e).
Названное следствие гласит, что между подмногообразиями на W и
на U', отвечающими V, имеется взаимно однозначное соответствие,
причем отвечающие друг другу в этом соответствии подмногообразия
имеют одно и то же кольцо частных. Отсюда вытекает, что для
доказательства теоремы V достаточно доказать теорему, получаю-
щуюся из теоремы V при замене моноидного образа U' многообра-
зием W. При такой замене Т[С] и будут образами много-
образий С и V на W. Доказательство этой теоремы существенно
проще, и мы его проведем.
Так как хо=£0 на многообразии V, то для любого подмногообра-
зия V' на W, отвечающего V, можно найти такое h, что V'не лежит
на гиперплоскости zOft=0. Сначала найдем отвечающие V под-
многообразия, не лежащие на гиперплоскости г0й = 0. Полный
образ Т {У) многообразия V состоит из подмногообразий многообра-
зия W, отвечающих подмногообразиям на V (§ 1, теорема VI, след-
ствие). Так ка'к V имеет размерность нуль, то полный образ Г {У}
совпадает с образом Т[ У] самого У.
Пусть р— простой идеал кольца 3 = А'[$1,..., определяю-
щий многообразие У. Если в пространстве, содержащем многообра-
$ з. моноидные преобразования
285
зие W, в качестве бесконечно удаленной взять гиперплоскость zOh — О,
то областью целостности многообразия W будет
Зл — ^bot/’O7i>  • • > d-e/’Oftl = 3	....^d-e/^1 — 3-
Не лежащая на гиперплоскости zOh = 0 часть многообразия Т [ У] = Т {V}
определяется идеалом Зл • Докажем, что этот идеал прост.
Любой элемент С из Зл имеет вид
с = 4^,...,
где /р(х1(..., xd_e)— однородный многочлен отХр..., xrf_e, имею-
щий степень р и коэффициенты из кольца 3- Если эти коэффициенты
содержатся в р, то очевидно, что С^Зл'Р- Наоборот, предположим,
что элемент С содержится в Зл • Ясно, что в таком случае его
можно записать в виде
г — SAii....td-e)
rh
где коэффициенты содержатся в р. В таком случае
• • •, ^-0 = tig, (ty..ta-e).
Разложим обе части этого равенства по локальным параметрам
......td в одной из сопряженных точек, из которых состоит много-
образие V. Тогда правая часть не будет содержать членов со сте-
пенями, -меньшими p-j-a-f-!» так как коэффициенты формы g, содер-
жатся в р. Если бы не все коэффициенты форм /р принадлежали р,
то левая часть содержала бы произведение параметров ., td,
имеющее степень р-|-з, с отличным от нуля коэффициентом. Но так
как разложение для элемента ^/Р = tig, единственно, то мы полу-
чили противоречие. Таким образом, коэффициенты формы / должны
лежать в р. Поэтому элемент С принадлежит идеалу Зл' V тогда
и только тогда, когда коэффициенты формы /„ принадлежат р.
Пусть
г__f? (^1> •  • > ^d - е)
Л
И
=	id-e)
‘h
— любые два элемента из Зл> не принадлежащие Зл'Р- Тогда
'-q = ffha/tl+a. Ввиду того, что разложения форм /р и /га в степенные
ряды от параметров tu. . ., td в одной из точек многообразия V
содержат отличные от нуля члены, имеющие соответственно сте-
пени риз, разложение для /рйа будет содержать отличный от
нуля член, степень которого равна р-|-о. Следовательно, коэффи-
286
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
циенты формы /р/га не все принадлежат р, а значит, произведение
не содержится в 5л ’ Р> и поэтому идеал 5л • р является простым
идеалом кольца 5л- Он определяет неприводимое многообразие V*,
являющееся единственной компонентой многообразия TfVjc:^, не'
лежащей на гиперплоскости zOh = 0.
Элементы ti/th (г = 1,..., h — 1, h -(- 1.d — е) алгебраически
независимы по модулю 5л ’ Р- Действительно, в противном случае
существовал бы такой отличный от нуля однородный многочлен
Д (xt...xd_p) с коэффициентами из К, что
/р(/ь- • 4, - - ^-.Ж€3л- р-
Но отсюда следовало бы, как и выше, что коэффициенты /р должны
принадлежать р. Но так как эти коэффициенты лежат в К, то они
должны быть равны нулю, так что многочлен /„ (хр. . ., xd_e) равен
нулю, вопреки условию. Отсюда вытекает, что zOi (г = 1,. .., d — е)
отличны от нуля на многообразии V*. Следуя описанному выше
методу, можно найти часть многообразия 7'[V], не лежащую на гипер-
плоскости гог = 0 при любом значении I. Эта часть снова будет
некоторым неприводимым многообразием и поэтому должна совпадать
с V*. Отсюда следует, что V* = Т[У], а значит, многообразие 7'[ V]
неприводимо.
Из того, что элементы (i = 1,. . ., h — 1, h -J- 1,. - ., d — e)
алгебраически независимы по модулю 5л#Р> вытекает, что d:mV*>
— е—1. Пусть теперь — любой элемент из 5л- Тогда
: =	• -(^-еДлА-₽.
где	е принадлежит 5- Обозначим через zt вычеты элемен-
тов t(/th по модулю 5л ‘ Р, а через	вычеты элементов
й<г по м0ДУл1° V- Тогда выражение
^ai i z’i. .
1 ' ’ d-e 1 а-е
есть вычет элемента г, по модулю 5л ' Р- Так как элементы
алгебраичны над К, то этот вычет будет алгебраическим над полем
K(zv..., zh_t,	zd_e), а значит, элемент Z алгебраически
зависит по модулю 5л ‘ Р от элементов tl/th.. ^л-t/^h, ^л+1/6<> • • • >
^-е/^л- Таким образом, dimV*<;d — е—1, а значит, dim V* —
= d — е — 1.
Ввиду того, что Q(V)cQ(V*), мы имеем
<2(П-(5л-Р) = С(ПЧ<?(Ю-р] =
= <2(И • [<2(Ю • (tv..., ^)] = Q(v*) • (zt,..., td).
Кроме того,
^л€Зл<=<?Ю
§ 3. МОНОИДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
287
а значит,
• а • р)^-е+1. • • • - и-
Но идеал Q(V*)-(3h’P) является идеалом, состоящим из всех эле-
ментов кольца Q(V*), не являющихся в нем делителями единицы.
Поэтому этот идеал имеет базис, состоящий из е -|- 1 = d — (d — е — 1)
элементов. Но так как dimV* = d— е—1, то отсюда следует, что
многообразие V* является простым на W.
Таким Образом, мы доказали, что многообразие TIV] неприводимо
и является простым на IF и что его размерность равна d — е — 1.
Рассмотрение случая, когда V = С, дает, что многообразие С* = Т[С]
неприводимо и просто на 1F, что его размерность равна d — 1,
а также что максимальным идеалом кольца Q(C*) является идеал
Q(C*)-(U-
Рассмотрим теперь V* как подмногообразие на С*. Его кольцом част-
ных является кольцо Q(F*)/Q(F*) • Зл • Ф = Q(V*)/Q(.V*)  ^3. Следова-
тельно, классы вычетов, определяемые элементами td_e+1,..., td,
образуют базис максимального идеала кольца частных подмногообра-
зия V* на С*. Но так как е = (d—1) — (d— е — 1), а размерности
многообразий V* и С* равны соответственно d — е — 1 и d — 1, то
отсюда следует, что V* есть простое подмногообразие на С*.
Чтобы закончить доказательство теоремы V, остается рассмотреть
любое подмногообразие V на W, отвечающее V. Так как V* = Т J У|,
то V с V*. Нужно показать, что подмногообразие V просто на
многообразиях V*, С* и W. Для этого же достаточно обнаружить,
что V' содержит нульмерное подмногообразие V" с такими свой-
ствами. Ввиду того, что V" с V', единственное подмногообразие на U,
отвечающее V", должно содержаться в V и поэтому совпадать
с последним, так как размерность V равна нулю. Таким образом,
многообразие V" отвечает V, и нам достаточно рассмотреть случай,
когда V' имеет размерность нуль. Во всем дальнейшем мы будем
предполагать, что V имеет размерность нуль и не лежит на гипер-
плоскости — 0.
Так как каждое подмногообразие на IF, отвечающее V, является
в соответствии между U и 1F иррегулярным, мы имеем Q(F)c Q(V').
Обозначим через р' простой идеал многообразия V в кольце За-
Тогда р = 3 Л Р7- Далее, так как 3 5= Зл> т0 кольцо вычетов Зл/р7
содержит подкольцо, изоморфное кольцу 3/Р- Но А = 3/Р является
полем и алгебраическим расширением поля К, так как многообра-
зие V нульмерно. Аналогично, ввиду нульмерности многообразия V ,
кольцо вычетов Д' = Зл/р7 также является полем и алгебраическим
расширением поля К. Поле А можно рассматривать как подполе
в Д'. Тогда Д' будет алгебраическим расширением Д. Обозначим
через т1, . . . , тй_1(	..Td_e вычеты элементов trftH,. . . ,
h-ilh’	лежащие в Д'. Пусть fa(z) — характе-
ристические многочлены элементов т; над полем Д. Коэффициенты
288
ГЛ. XVfII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЁ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
многочленов fi(z) являются вычетами элементов кольца 3 в поле
Поэтому можно построить многочлены F^tz) с коэффициентами из 3
так, чтобы при замене этих коэффициентов их вычетами много-
члены обращались в Л (г). Положим
«* =	(i = l, ft—1, ft4-1...........d — e),
ui = ti	(i = h, d — e -ф- 1, .. ., d).
Элементы uh, ud_e+1, .... ud служат униформизирующими парамет-
рами многообразия W в окрестности V*, a uh — униформизирующим
параметром многообразия W в окрестности С*. Если мы сможем по-
казать, что элементы av ..., ud будут униформизирующими пара-
метрами многообразия W в окрестности V', то, в силу уже прове-
денного доказательства простоты подмногообразия V* на С* и на W,
отсюда будет следовать, что V есть простое подмногообразие на
многообразиях У*, С* и W. Таким образом, для окончания доказа-
тельства теоремы V остается показать только, что элементы ud
служат униформизирующими параметрами в окрестности V'.
Покажем для этого, что р' есть изолированная компонента идеала
i = Зл • (Mi> • • • > Md)- Перейдем от кольца Зд к кольцу вычетов по
модулю идеала р* = Зд-Р- Так как l!*J=p', то р'будет изолирован-
ной компонентой идеала i тогда и только тогда, когда р'/р* будет
изолированной компонентой идеала t/p*. Ввиду того, что р = ЗП1’*>
вычеты по модулю р* элементов кольца лежащих в 3> образуют
кольцо, изоморфное полю Д = 3/Р» и могут быть отождествлены
с соответствующими им элементами поля Д. Элементы th,	td
принадлежат идеалу р*, и поэтому их вычеты по модулю р* равны
нулю. С другой стороны, мы видели выше, что вычеты zt,.... zh_v
zn+v-. zd-e элементов tjth, ...,	th+Jth....td-e/th no
модулю p* алгебраически независимы над полем К, а значит, и над
полем Д, являющимся алгебраическим расширением К. Так как
3д = 3144д> • • •>
то мы заключаем, что
Зд/Р = Д lz> • • ч zh.-i< zh+l’   ’ Zd-e\
и что идеал i/p* в этом кольце имеет базис
fi^i) G=1...................A—1, ft4-l.......d — e).
С другой стороны, любой элемент из р'/р* является многочленом
f(Zl......................2Д-1> Zh+1.....Zd-e)
с коэффициентами из Д, обращающимся в нуль в точке
zi = т{ (4 = 1,..., А — 1, А 4- 1...d — е),
где т1, ..., zd_e — вычеты элементов tjth, .. ., td_Jth по модулю р'.
Простой идеал этой точки в аффинном пространстве (zv .... zh_v
§ 4. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ И ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА	28‘)
zA+1, ..., 2d_0) над полем А является изолированной компонентой
идеала кольца
....^Л-1> ^Л+1’
Порождаемого многочленами ff(z) (1 ~ 1,.. ., h — 1, h -f- 1,..., d — е),
так как каждый многочлен f{(z) неприводим над полем Д. Отсюда
следует, что р'/р* является изолированной компонентой идеала i/p*.
Поэтому р' является изолированной компонентой идеала t, а зна-
чит, элементы ult ..,, ud являются униформизирующими параметрами
в окрестности V'. Тем самым доказательство теоремы V закончено.
§ 4. Редукция особенностей и локальная теорема
об униформизации
В трех предшествующих параграфах мы изучали теорию бирацио-
нальных преобразований. Остальная часть этой главы содержит при-
ложения этой теории к вопросам, связанным с кратными точками
алгебраического многообразия. Читатель знает о трудностях, возни-
кающих в случае, когда алгебраическое многообразие имеет кратные
точки. Например, теория пересечений, изложенная в гл. XII, оказы-
вается много более простой, если на многообразии нет кратных точек.
Поэтому возникает следующий вопрос: можно ли получить бирацио-
нальный образ заданного неприводимого алгебраического многообра-
зия размерности d, не содержащий кратных точек? Мы уже показали,
как получить такой образ в случае, когда d = 1 (гл. XVI, § 6, тео-
рема V). Ниже мы докажем существование свободного от особенно-
стей бирационального образа для алгебраической поверхности. Зарис-
ский успешно решил такую же проблему в случае, когда d — 3.
Однако его доказательство сложно, и мы его не будем воспроизво-
дить. Для значений d, превышающих 3, вопрос до сих пор остается
открытым.
Но даже и в том случае, если мы могли бы доказать, что для
любого неприводимого алгебраического многообразия свободный от
особенностей бирациональный образ существует, мы много потеряли бы,
ограничиваясь рассмотрением только таких образов, т. е. многообра-
зий без особенностей. В частности, большой интерес и само по себе
представляет изучение структуры особых точек. Для изучения струк-
туры особой точки обычно лучше всего произвести бирациональное
преобразование, для которого рассматриваемая особая точка является
фундаментальной, а затем рассмотреть образ этой точки с целью
вывести из его исследования свойства изучаемой особенности. При
этом обычно важно добиться, чтобы ни одно подмногообразие преоб-
разованного многообразия или хотя бы ни одно подмногообразие об-
раза особой точки не было фундаментальным. Если бы было возможно
добиться, чтобы каждая точка образа рассматриваемой особенности
была простой на преобразованном многообразии, то, вероятно, мы
19 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
290
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
были бы в состоянии извлечь из такого преобразования всю необхо-
димую информацию о строении особой точки. К несчастью, проблема
построения нужного для этого преобразования имеет тот же порядок
трудности, что и построение свободного от особенностей бирациональ-
ного образа заданного многообразия. Однако частный результат та-
кого рода, имеющий фундаментальное значение как для указанных
выше вопросов, так и для ряда других, дается следующей теоремой:
Локальная теорема об у н и ф о р м и за ц и и. Пусть U — не-
приводимое алгебраическое многообразие, S— его поле функций и
23 — нормирование поля Е, имеющее размерность s. Если центром
нормирования 23 на многообразии U язляется подмногообразие V,
то существует такой бирациональный образ U' многообразия U,
на котором центром нормирования 23 является простое подмного-
образие V' размерности s. При этом Q(V) с Q(y')-
Хотя мы не имеем в виду заниматься изучением кратных точек
алгебраических многообразий, можно кратко указать, как сформули-
рованный результат может служить для исследования изолированной
особой точки Р алгебраического многообразия U, определенного над
полем комплексных чисел. Воспользуемся неоднородными координа-
тами и допустим, что точка Р имеет координаты (0, ..., 0), а общая
точка многообразия U — координаты ($х,	5„). Пусть 23—любое
нульмерное нормирование поля функций S многообразия U, имеющее
точку Р своим центром на многообразии U. Тогда, в силу сформу-
лированной теоремы, существует бирациональный образ U' для U, на
котором центр нормирования 23 будет простой точкой Р', причем
Q(P) с Q(P')- Пусть . . ., td — униформизирующие параметры
в точке Р'. Так как £ Q (Р) с Q (Р')> то элементы можно раз-
ложить в степенные ряды по tv ..., td. Полученные таким образом
ряды будут сходиться в некоторой конечной окрестности 77(23) точки Р'
на многообразии U'. Рассмотрим теперь совокупность нульмерных
нормирований 23 поля S, имеющих точку Р своим центром на U, и
связанные с этими нормированиями окрестности 77(23). Можно пока-
зать, что существует конечное число таких окрестностей, скажем
AZ(2Bt), .... 77 (23/с), обладающих тем свойством, что любое нульмерное
нормирование с центром в точке Р на многообразии U имеет простой
центр в одной из окрестностей 77(23;). Каждому из взятых нормиро-
ваний 23j соответствует некоторое разложение в ряды для .. .,
определяющее „частичную окрестность" или „лист" многообразия U в
точке Р. Эти „листы" покрывают полную окрестность точки Р на U.
Существование такого покрытия окрестности точки Р на много-
образии U конечным числом „листов" составляет основу анализа
особенности в точке Р.
Мы докажем локальную теорему об униформизации в следующих
параграфах, а затем воспользуемся ею для получения некоторых
важных результатов об устранении особенностей алгебраического
многообразия. Доказательство этой теоремы, хотя оно и является
I 4. Редукция особенностей и локальная теорёма 291
прямым, довольно длинно, и мы разобьем его на отдельные части.
Прежде всего полезно заметить, что достаточно доказать теорему
в случае, когда U является гиперповерхностью, т. е. многообразием
размерности d в пространстве d -j- 1 измерений. Это можно показать
следующим образом.
Предположим, что многообразие U задано в пространстве Sn.
Отнесем его к неоднородной системе координат, относительно кото-
рой центр V нормирования 53 лежит на конечном расстоянии. Пусть
(?!,..., $п) — общая точка многообразия U. В кольце 3 — Д'
можно выбрать d-j-1 элементов тц.... 7]d+1 так, чтобы были выпол-
нены следующие условия:
(а)	элементы ..., алгебраически независимы над полем К’,
(б)	vjd+1 является примитивным элементом поля 2 (S есть кольцо
частных для 3) над полем ...........i]d);
(в)	любой элемент кольца 3 является целым над кольцом
A'hi	-Пл].
Пусть f(yv ..., >d+i) = 0 — (однозначно определенное) неприво-
димое уравнение, связывающее элементы ..., T]d+1. В аффинном
пространстве Aa+i уравнение
/01» • • •»-Ул+1) = 0
определяет неприводимое многообразие U', имеющее общую точку
(т]г, ..., %+1) и область целостности 3' =	"Пл-ц]- По П0‘
строению, полем функций для многообразия U' будет поле S, т. е.
U' бирационально эквивалентно многообразию U. Среди уравнений
бирационального соответствия содержатся уравнения
Л = <Р*(*1. •••, Ч) (г = 1.....
где многочлены <pi определяются из выражений
=	.....W (* = 1........d + 1).
В силу построения, элементы области целостности 3 —	.....М
являются целыми над областью целостности 3х —	•••> T|d+1].
Пусть V' — центр нормирования 33 на многообразии U'. Если
локальная теорема об униформизации верна для гиперповерхности U',
то найдется многообразие U", бирационально эквивалентное многооб-
разиям U и U', на котором центр V" нормирования 33 будет простым
подмногообразием размерности $. Кроме того, будет
Q(V')CQ(V").
Так как подмногообразие V" — простое, то кольцо Q(V") целозамкнуто,
а значит, Q(V") будет пересечением содержащих его колец нормиро-
ваний. Так как Q(V') с Q(V"), то все эти кольца нормирований со-
держат Q(V'), а значит, и кольцо 3х- Но элементы кольца 3—-Целые
над 3'. Отсюда, в силу целозамкнутости колец нормирования, выте-
кает, что 3' содержится в любом кольце нормирования, содержащем
19*
292	M. 3<VIH. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ
Q(V")- Следовательно, 5^Q(V'"). Но любой элемент из не содер-
жащийся в простом идеале р, определяющем многообразие V, имеет
в нормировании 23 норму нуль и поэтому является делителем еди-
ницы в кольце Q(V"). Поэтому кольцо = Q(V) содержится в Q(V").
Таким образом, из предположения о справедливости локальной тео-
ремы униформизации для гиперповерхностей U' следует, что она
верна для любого многообразия U.
Первый этап доказательства локальной теоремы об униформизации
для гиперповерхности U состоит в ее доказательстве в случае, когда 23
есть нульмерное нормирование ранга 1. Эта часть — наиболее трудная
во всем доказательстве. В действительности для этого случая будет
доказан более сильный результат, чем нужно для общей теоремы.
Мы докажем, что в качестве U' можно взять тоже гиперповерхность,
причем уравнения соответствия между U и U' (в неоднородных ко-
ординатах) будут иметь вид
Х^РЛУ1> •••• Уа+t)	(i = 1, ••-, d-Р 1), 1	'
yi^Ri(xt, ..., xd+1)	(i = l, .... d-j-1), J
где Pi — многочлены, a — рациональные функции. Более того, мы
докажем, что эти уравнения определяют кремоново преобразование,
т. е. бирациональное соответствие между (<2-|- 1)-мерными простран-
ствами, в которых содержатся гиперповерхности U и U', а не только
бирациональное соответствие между самими U и U'. Эта более сильная
форма теоремы представляет и самостоятельный интерес, но мы при-
водим ее по той причине, что она необходима для последующей стадии
доказательства общей теоремы. Нужно отметить, что сам факт, что
Рг являются многочленами, позволяет вывести включение Q(V)с Q(У7).
Действительно, если (т(1..ты+1)— общая точка многообразия U',
то из уравнений соответствия следует, что
3 =	....Us/ск..........W=3'-
Если ф'— простой идеал многообразия Vr в кольце 3', то простым
идеалом многообразия V будет ф = ЗПф,> а потому Зчз S 3u'i т- е-
Q(V) g Q(V'). Следовательно, первый этап доказательства локальной
теоремы об униформизации должен состоять в доказательстве того,
что если U — гиперповерхность в Аа+1, а 23 — нульмерное нормиро-
вание ее поля функций, имеющее ранг 1, то существует кремоново
преобразование вида (1) пространства Ad+1 в Дд+х, обращающее U
в гиперповерхность U', на которой центр нормирования 23 является
простой точкой.
Как только этот результат доказан, общая теорема доказывается
по индукции. Мы покажем, что если она верна для нульмерных нор-
мирований ранга k, то она верна также для нормирований размер-
ности s и ранга k. После этого будет доказано, что если теорема
§ 5 НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
293
верна для любых нормирований ранга k, то она верна для нульмер-
ных нормирований ранга k Ц-1.
Обратимся теперь к проблеме освобождения от особенностей
алгебраического многообразия, имеющего заданное поле функций 2.
Все, что нам нужно, заключается в нахождении проективной модели
поля 2, т. е. алгебраического многообразия, полем функций которого
является 2, такого, что каждое нульмерное нормирование поля 2
имеет на нем своим центром некоторое простое подмногообразие.
Действительно, каждое нульмерное подмногообразие проективной
модели поля 2 является центром некоторого нульмерного нормиро-
вания этого поля. Если центры всех таких нормирований являются
простыми подмногообразиями на нашей модели, то все нульмерные
подмногообразия модели, а следовательно, все точки модели будут
простыми. К сожалению, мы до сих пор не имеем возможности дока-
зать существование такой проективной модели и можем доказать
лишь, что если 2 есть поле функций алгебраического многообразия,
то существует конечная разрешающая система, т. е. конечное число
проективных моделей поля 2, обладающих тем свойством, что любое
нульмерное нормирование поля 2 имеет своим центром хотя бы одну
простую точку на одной из этих моделей. Ясно, что освобождение
многообразия от особенностей равносильно доказательству того, что
поле функций рассматриваемого многообразия имеет разрешающую
систему, состоящую из единственного многообразия. Естественным
путем для попыток доказать это является рассмотрение разрешающей
системы, состоящей из k моделей, и последующая попытка редукции
от k к k — 1 моделям. Мы покажем, что это можно сделать в слу-
чае алгебраических поверхностей, для которых указанная редукция
сравнительно проста. Для многообразий размерности 3 эта редукция
выполнена Зарисским, но, ввиду существования фундаментальных
кривых в соответствиях между различными моделями, она довольно
сложна. Для многообразий размерности, большей 3, можно лишь
ожидать, что подобная редукция может быть выполнена.
Замечание. Следующие три параграфа посвящены доказатель-
ству локальной теоремы об униформизации. Так как детали этого
доказательства несколько сложны, читатель может предпочесть пред-
варительно принять теорему без доказательства и перейти прямо
к чтению § 8.
§ 5. Некоторые кремоновы преобразования
Доказательство локальной теоремы об униформизации для нуль-
мерных нормирований ранга 1 основано на построении последователь-
ности кремоновых преобразований, так что мы сначала рассмотрим свой-
ства некоторых из таких преобразований, используемых впоследствии.
Пусть U есть d-мерное неприводимое многообразие в аффинном
пространстве Ad+l с координатной системой (хх..Обозначим
294
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
через ($j....5d+1)	общую точку многообразия U. Все рассматри-
ваемые преобразования будут иметь вид
(С) ( Xi ~ Р^У1....Уа+^ ~1..................1)1
t Л =	• • •> Яд+i) (*= 1. • • •. <*+0,
где Pt — многочлены от yt.....уа+1 с коэффициентами из поля /С,
a Ri — рациональные функции от xt.......xdri над тем же полем.
Чтобы не прерывать рассуждений тривиальными определениями, усло-
вимся сейчас обозначать образ точки (Ер .... Ed+1) при преобразо-
вании типа (С) греческими буквами, соответствующими латинским
буквам, применяемым для обозначения системы координат в преобра-
зованном пространстве.
Пусть®—нульмерное нормирование ранга 1 для поля К (^, . .., 5d+1).
Его центр является нульмерным подмногообразием на U, т. е. пред-
ставляет собой систему сопряженных точек (а^), . . .,	0=1,
Мы будем часто иметь дело с полем R, получаемым присоединением
к основному полю элементов (/=1, ..., d-H; 1 = 1............g).
Следует заметить, что если мы произведем преобразование (С), то
центром нормирования 33 в пространстве у будет система сопряжен-
ных точек (р(*), ...,	(1 = 1, • .Л). Поле R' = /C(pW, . ..
.... pW, ...,	.. •, не обязательно совпадает с R, но легко
видеть, что при заданном значении I найдется значение j (1
такое, что
=	-----Р(Дт) (* = 1........<*4-1)-
Следовательно, R с R'. Нужно иметь в виду это свойство преобра-
зования (С).
Поле R является алгебраическим расширением степени g поля К.
Делая в случае необходимости линейное преобразование координат
xv ..., xd+1, можно добиться, чтобы элементы ..., с/Л») были
различными при каждом значении j. Тогда R — R(a^\ ..., atyl)
(j = 1, . .., d-|- 1). Удобно предполагать систему координат с самого
начала выбранной так, что элементы .... аО?) различны. При по-
строении последовательностей преобразований, которыми мы будем
пользоваться ниже, обычно бывает нельзя вводить еще линейное пре-
образование для обеспечения того, чтобы /-е координаты системы
сопряженных точек, составляющей центр нормирования 33 в рассма-
триваемом пространстве, были различными. Однако, как правило, это
свойство будет следовать из свойств использованных преобразований.
На некоторых стадиях нашего рассуждения указанное свойство будет
существенным.
Нам часто будет нужно алгебраически расширять основное поле К
до некоторого поля К*. Обычно мы будем полагать К* = R. При
расширении поля К до К* многообразие U может стать приводимым.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
295
Тогда точка ($р .... !jd+I) будет общей точкой одной из компонент,
на которые распадается многообразие U, например компоненты U*,
а нормирование 23 может быть продолжено до некоторого нормиро-
вания 23* поля К*(^,	£d+1). Если f(xt, xd+1)— любой мно-
гочлен над полем К, не обращающийся в нуль на центре нормиро-
вания 23, то v [/(;)] = 0 и поэтому v* [/(;)] = 0, так что f(xt, ..., xd+1)
не обращается в нуль на центре нормирования 23*. Следовательно,
центр нормирования 23* содержится в центре нормирования 23- В ча-
стности, если К* 3 R, то центром нормирования 23* будет одна из
точек (а(®\ .... Мы будем считать, что при расширении поля К
мы одновременно выбираем соответствующее продолжение 23* норми-
рования ®. Поэтому можно, не опасаясь путаницы, обозначать это
продолжение попрежнему через 23.
Если в качестве расширенного основного поля будет выбрано R,
то можно предполагать, что центром нормирования 23 является точка
(ар .... ad+1) = (а^, .... adli). В таком случае значения —
— ^(-i — ai) > 0- Преобразования, которыми мы займемся в этом
параграфе, будут двух типов: (I) преобразования типа (С) для т
переменных, например xv .. ., хт, в случае, когда значения .%т—
рационально независимые действительные числа, и (И) преобразования
типа (С) для т -|-1 переменных, например х1, .... хт+1, причем
значения тр .. ., zm рационально независимы, а тт+1 рационально
зависит от Тр ..., zm. Мы начнем с одной алгебраической леммы
о рациональных приближениях систем из т действительных чисел.
Лемма I. (Алгоритм Перрона.) Если т1, .... zm— система из т
рационально независимых положительных действительных чисел,
то существует т последовательностей из неотрицательных целых
чисел А<0>, А(/\ А(2), ... (I = 1, .... /и), удовлетворяющих условиям-.
А[Л) А?+1) .. . A^-1’
(I)
л(й) л(Л+1)	*(Л+т-1)
sim
(И)
lim
Л->оо
A'ft) т, •
Если $ — любое положительное число, то мы обозначим его целую
часть через |5]. Положим а^ = и
1 т* i г—1 • г т
(1 — 2......т).
Числа	рационально независимы. Действительно, если бы
целые числа At..... кт удовлетворяли условию
... -J-А ^) = 0,
11	1	* тт *
296
ГЛ XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
то мы имели бы
т—1
(Ут — 2 44+1) *1 + 'ч1*2—1“ • • • + Кт-Пт ~ 0>
1
а значит, из рациональной независимости чисел it, tm следует,
что Aj = Ха = ... --- \т — 0. Кроме того,
х(1) т Гт; 1
Ч __ т1+1 _________________________ 4+1	<
_(1) ~~ Т	t	’
"in Ц	4
и поэтому	Введем теперь следующее определение:
Д(1*> = 0 (А = 1, ..., т — 1), Д'Г’^1,
4l)=l, 4ft) — 0 (k = 2, . . ., т — 1), А(зи) — 4',
=	A^} = af} (у = 3, ..., т).
Тогда
т
= S (i = 1 - • • • > т).
J=i
Построение чисел 40), А^ (I,	и 415.......*»?	будет назы-
ваться далее первым этапом алгоритма Перрона.
Будем отправляться теперь от рационально независимых чисел
4‘>, .... и, повторив тот же процесс, получим т рационально
независимых чисел ..........При этом 4Р = и
1 mf г	г—1 I i m v ’	» /»
где < т(2). В этом случае, однако, мы будем иметь а^^-1, так
как *[1) < 4«> и ат^'а^^'^'
Продолжая таким же образом, мы получим последовательность
систем рационально независимых чисел .... tW (h = 1, 2, ..
связанных соотношениями
^(Д-1)	^(А)	ДА) -j-	(1 = 2, .... т),
a(h-D _ [x(A-i)/x(A-i)j о,
где
а”»-1) > 1, а^-V а(А-1) (h > 2).
Из этих уравнений следует, что
т
— V
»» — Pij ч <
8 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
297
где коэффициенты определяются рекуррентным соотношением
М’ • • •	’
... №
V ml	г тт

w*-” • • • &h~l}
ml	“min
/0 0 ... 0 1 -
1 0 ... 0 a^-1)
\0 0 ... 1
Из этого соотношения можно заключить непосредственно, что
допустима запись рк$ ~ Л<ь+^-1) и что
Л(!Л) . . . д<Л+т~1>
__	рЛ(т-1)
л(Л’) л(Л+т — 1)
... /1^
Л1/” есть неотрицательное целое число. Написанное выше матричное
равенство при значении h -ф-1 вместо h дает для р^/^ уравнение
вида
Процесс перехода от чисел .............к числам . . .,
и определения а^~г\ . .. будет называться Л-м этапом алгоритма
Перрона.
Так как а'Л'^О,	то из равенства (1) следует, что
Л(*+’");> Л^'”-”. Но так как Л<й)......Л(*+т-1) не могут быть все
равны нулю, отсюда вытекает, что существует такое целое число k,
для которого А^1 > 0 при I > k. Во всем дальнейшем мы будем
считать, что h превосходит это значение k. При достаточно боль-
шом h мы получаем из уравнения (1), что
где
л(Л+»»)	’«Д1	.(h+/)
Л(л+ш)	44 'i M+j)'
1	J=o 1
(2)
<»)__„W Ai о
4 ~ <Ъ+1-л(лТт)
Но мы имеем
m — 1
„.-i
V -JM _ 0 __________
M+m)
J = 0	1
A(h+m-l) 1	< ,П^’
так как мы уже видели, что aj+\^.a^, А^^ <^Л^‘+"‘ ”,
298
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
, (Ь) ГГ 1
Из (3) МОЖНО заключить, ЧТО
Положим
И
Г л(-й)
^(Л+ш-1)
iM____
Ki —- 111 1П
д(П+т-1) -
’* л(Л+ш-1)

Равенства (2) показывают, что g'(?+1) и &V*U)	Следова-
тельно, мы имеем вообще

(Л+1)	л-^+2)'*>	">
gi gi	••• Ki <&' Ki <?" Ki •
Отсюда вытекает, что существуют пределы G» = lim g^ и Ki = lim А,/*,>
Л->оо	7t~>co
причем Gi Ki- Покажем, что Gi — Ку
Каково бы ни было s > 0, можно выбрать значение й0 так, чтобы
было
04<е, 0<№ —
при Л > Ло, В таком случае
^(Ь+У)
при h > й0. Далее, при /г > /г0 будет
л(»+«) ’“"2 д(Л1-л)	j(h + w-l)
Ai_______У 1 (Л) Ai_______! W Ai_________
^(h+m)	'3	'"‘“I	^(Л+т-1)
л(Л+»и-1)
| , (Ь) А1 ________ у-
“Г "‘-1 ^(Л+ж-1)	А»
ш —2
J=o
^(Д+ж-1)
. Ъ__________rs _I
1\л(1л+т-1)	4
Следовательно, для А > /г0 будем иметь
_д(Л+т)	/
^h+m) Ki> т
Повторяя этот процесс s=m — г-}-!
^(/»+m)	f А^+г~^
—Ki>m s л(Л<-,-1)
\	/	1
Ki — е 1--------
/	\	т
раз, мы получаем
\	/	1
Ki — е 1-------
/	X	т»
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
299
при достаточно большом h. Так как числа растут вместе с h,
то ввиду (2) очевидно, что можно выбрать h-\-m так, чтобы было
X<ft+’»)/X(1ft+”,)=^ft+1) i),
а затем выбрать г (г С т) таким образом, чтобы было
.(Л+r-l). .(Л+г-1) __ <Л+1)
/1/	/Л1	— Si
Если это сделано, то мы получаем неравенство
g?+1) —Ki<z (т1 — 1) + та (£?+1) — Ki) < е (т“ — 1),
а значит,
— Kt^z(ms— 1).
Отсюда вытекает, что Gi = Kt.
Мы видим при этом, что lim А^/А^ = Gi — Kt- Выберем hr так,
чтобы при Л > hr было | А^/А^—Gi | < е. Имеем
= ^A(in+^\
а значит,
2
1) Это утверждение авторов неверно, и поэтому конец проводимого
здесь рассуждения должен быть несколько изменен. Нужно начинать с выбора
значения Л-]-г—1, при котором А>[1 |-»•-1)/y^(Л+r-1, _^Л+г-1) не
Возможность такого выбора гарантируется следующим: рассмотрим отно-
шения лУ^л'/) при й < j' < ft + m — 1 и при й и ft + 2m — 1 • Макси-
мальное значение отношения в первом промежутке изменения j есть gW,
а во втором glil+m\ Если gW — Л^/Л^ (й <j0< й + т—1), то можно
положить h-\-r—1 = Jo, так как из неравенства	следует, что
ЛУ^/Л^ будет максимальным значением отношения лУ)/-^</) ПРИ
<jo + m—1. Так как минимальное значение отношения ЛУ^Л^ для Jo<j<
Cjo + m— 1 получается при значении j, не превышающем j'o + m—1, то
можно положить, что оно соответствует значению j = й + ш. В таком случае
написанное в тексте неравенство заменяется неравенством
^(Л + Г-1) _Ki < е (m8_ 1} + т8 (йй + г-1 _ Ki}>
которое и приводит к нужному результату, как указано в тексте,—Прим,
пер?в,,
ЗОЭ
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
так как 1)>0,	> 0. Мы заключаем отсюда, что
ЛА> \
lim = —.
Л->оо	tj
Нам будет нужна еще одна лемма, относящаяся к системе сопря-
женных точек (aW, ..., a<6) (I = 1, . .., g), в аффинном простран-
стве Ат, определенном над основным полем К. Обозначим через
поле
W- <0}............
Лемма II. Пусть Х^х^ .. .,хт) и КДх,....хт) (/= 1,. . .,g)—
две системы многочленов из кольца J =	.... хт], сопряжен-
ных над полем К. Если значения X,. (а**), . . ., aW) отличны от
нуля, то в кольце ATfXp . .., хт] существует такой многочлен
Н{хг, ..., хт), для которого выражения XLHYt, записываемые
как многочлены от разностей хг — а*’), ..., хш — а<*>, не содержат
членов меньшей степени, чем заданное целое число р0-
Пусть pi— идеал кольца 3 = R [xt, •••> хтЬ имеющий базис
х± — а(0 ., ,, хт — а^. Так как все точки (aW, . . ., a(0) (t = 1,. . ., g)
различны, то идеалы рх> . . ., pfl являются различными максимальными
идеалами, и поэтому (рР“, рР.) = ^ ПРИ I + J- Следовательно, можно
найти g сопряженных элементов . . ., в кольце 3 так, чтобы
было
С. = 8.. (рр.Л.
г У 'r j'
Ввиду того, что, по условию, Х^§ (р4), мы имеем
з-(а;, ^»)=3-
Следовательно, можно найти в 3 систему из g сопряженных элемен-
тов йх, .. ., hg и систему сопряженных элементов .7]	(nq^ £ р?),
чтобы выполнялись условия
+ = «=1..................<§•)•
Положим
H=h&+...+hgrg.
Тогда
^+^ = ^*+^^=-^=0 Ш
Многочлен Н = Н(хх.....хт) является многочленом над полем R,
совпадающим со своими сопряженными. Поэтому он лежит в кольце
KlXj, ..., хт] и удовлетворяет поставленным условиям.
Обратимся теперь к построению последовательности кремоновых
преобразований неизвестных xv . . ., хт над полем К, соответствую-
щей этапам алгоритма Перрона, примененного к нормам .....tm
й 6. Некоторые кремоновы преобразований
301
элементов — ар ..., ;т— ат в нормировании 'К Эти нормы пред-
полагаются рационально независимыми. Для удобства последующих
применений предположим, что в поле /? = Л'(аМ) .	а^), являю-
щемся расширением степени g поля К, g сопряженных элементов
аП), ..., различны при каждом значении j. Следует обратить
внимание, однако, на то, что в действительности нам нужно лишь,
чтобы элементы aW.........ate) были различными. Ввиду того, что
рассматриваемое преобразование относится только к неизвестным
xt.....хт, мы опустим в уравнениях остальные неизвестные
хт+1> • • • > xd+f
д
Пусть (х) = 11(х — а/1) — характеристический многочлен эле-
мента аСИ=а над полем К. Определив целые числа аО так, как
указано в лемме I, рассмотрим преобразование
X, — X
о<«)
xi = X'i-11'V <x JI 1 +	(x J	(i = 2, ..., tn),
где ®,г(х)—-многочлены над полем К, которые еще нужно определить.
Заметим, что уравнения преобразования Т\ могут быть разрешены
относительно х' и дают
„(0)
xi = lxf+i —	1	т — 1),
Отсюда вытекает, что Т\ есть кремоново преобразование типа (С).
Пусть а', . .., а'т_1 — элементы поля /?, для которых g элемен-
тов, сопряженных над полем К с каждым из а'. (/= 1, .... т—1),
различны, и пусть а'т = аг Если мы положим <р(х) —(х — ai)'l»*(x),
то уравнения преобразования можно будет записать над полем R
в виде
х, —- а, = х' — а' ,
х.__а. = (х' —а' )“^[Ф*(х' )]а<,[0)(х;	а'. .) +
г V	ш7	v m/l v <—1	t—1' I
а(0)
+ <-lU(XJl * “«i + ?JXJ	(f==2’ •••> <
Возьмем в лемме II значения т = 1, р0 = р •+ а^>, где р — произ-
„(0)
вольно большое целое число, и	[ф(х)] г — .
Выберем многочлен <рДх) равным многочлену Щх), построенному
302
ГЛ. XVill. ЙЙРАЦЙОНАЛЬНЫЁ ПРЁОБРАзОВАЙИЯ
в лемме. Тогда из сказанного следует, что
а<°)
х. — a t=(x'—<*') г А, ,(•*')»
г i X щ т' 4—1 4
где
bt(x') = [</(/„)]“* (x'i — a'i) 4- (х'т — a'm)fGi(x'm) (/ = 1,	1).
Рассмотрим теперь нормы элементов	в нормировании 2?.
Из уравнений для Tt вытекает, что
V = v & — а') = v (?. — а,) = т, > 0.
т ' т т' ' 1	1'	1
Кроме того, в силу соотношения =ф’'(«»>)=/= 0, будете [ф*(^)] = 0.
Если значение р взято достаточно большим, то будет выполняться
соотношение ртх > v (4 — аД так как группа значений нормирования
архимедовски упорядочена1). Следовательно, при достаточно большом
значении р мы для I < т будем иметь
® [Д^ (c')J = min [г/ {[ф* (Вт)]О/ $ — а<)},
РТ1 + « {Oi (£„)} = v — a'i) = z'i.
Поэтому
т< — v (4 — а<) — 40) v ($'„ — 4) 4-	4~
Сравнивая это с результатами, полученными на первом этапе алго-
ритма Перрона, мы усматриваем, что
<=ЧХ) (i==1..........«О-
Суммируем теперь существенные свойства преобразования Tv
соответствующего первому этапу алгоритма Перрона [мы будем писать
Am(x') вместо < — <,]:
(I) 1\ есть преобразование типа (С), которое можно над полем R
записать в виде
„(0)
*i~ ai = M*')> xi — ai = ^i-i(.x')^ (х') (Z — 2...............т)
!) Следует иметь в виду, что при изменении р меняется выбор много-
членов <?{, а значит, и соотношения между ? и Поэтому возможность
достижения неравенства рт1>»(^— а'{) будет гарантирована лишь в случае,
когда норма v — оф остается ограниченной при изменении р. Но если бы
имело место неограниченное возрастание этой нормы, то возрастали бы
неограниченно и значения
v [/4 (£')] > min {v — оф, pv (?'m — ат) + v [Gi (4)]},
а это противоречит соотношению = v (5<+1 — ai+1) > v [Af (gz)]» вытекаю-
/	f	t
щему из равенства 4+1 — a«+i = (5OT~•<*»») t+1	—Прим, перев.
§ 5. некоторые Кремоновы преобразования	ЗоЗ
или, что равносильно, в виде
А(!)	Ат)
— = (*') (/=1..............................
(П) (X ) == Ai (*^1> •  • > *^OT) (X{ Cli) —(Xirt	(-^1, • • •, Xm),
rAe At«.......О + 0 (^ w)> Д,„ (*') = < — <•
(III)	Центром нормирования 18 в преобразованном пространстве
является точка
(а' . .., а' , а	а,,,),
\ 1> i т* ш+1’	’	d+1'’
координаты которой лежат в R. Элементы, сопряженные с а', над
полем К, все различны.
(IV)	v(l'{ — ai) = v(^(i')]=^\
(V)	р есть сколь угодно большое целое число.
Для второго этапа алгоритма Перрона мы можем построить пре-
образование неизвестных (х', ..., х'т) в (х", ..., х" ), подобное
преобразованию Tv При этом преобразование (xt, ..., хт)
в (х"......х") будет обозначаться через Т%. Продолжая таким об-
разом, мы получаем преобразование Th, соответствующее h-му
этапу алгоритма. Ясно, что полученное преобразование будет пре-
образованием типа (С):
xi = Pdyi,  Ут) (i= 1............/«).
где Pi — многочлены над полем К. Докажем, что преобразование
обладает следующими свойствами:
(I)	Над полем R преобразование Th можно записать в виде
Ah)	.(A+wt-l)
Xi — «г = А/ (J)	А,/	(У)Ц(У1........ут) (1=1, .. .,т),
где
.................................
(II)	Ат(_у)—Ут
bi(y) = МУ1.........Ут)(Уг— ?;) + (№—	•••> Ут)
(i < т),
где
^i(₽!......
(Ill)	Центром нормирования 18 в преобразованном пространстве
является точка
(Р1.....ат+1...............ad+t)
.ш
ГЛ- Xviii. ёирАционАльные преобразований
с координатами в поле /?. Элементы, сопряженные с каждым из р4
над полем К, все различны.
(IV)	v (т)4 — р4) = v [Д4 (•»))] = т<*).
(V)	р — сколь угодно большое целое число.
Мы видели, что эти свойства имеют место при h — 1. Предпо-
ложим поэтому, что Th обладает этими свойствами, и докажем, что
ими обладает Th+V
Переход от Th к Th+1 осуществляется последующим преобразо-
ванием неизвестных yv ут с помощью преобразования над
полем К, аналогичного преобразованию Т\ и имеющего над полем R
вид
У1 — Р1=У„—Р»>
Уг Pi ~ (Ут Р»>) 4 [Ci (Ут) (У1-1	Р«-1)Н“
+ (/» — рт)р/^»(3'ш)1	(г = 2, ..., т),
где (Р'....р'и, аот+1, ..., ad+1) — центр нормирования 23 в про-
странстве у', имеющий координаты из поля R. Кроме того, все со-
пряженные с каждым из элементов р'. над полем К различны
[свойство (III)], СДР^)=#О и р'— сколь угодно большое целое число.
Из свойств, преобразования 7\ мы усматриваем, что при достаточно
большом р' будет
® [С» (У1т) (^-1 — Pi-1) + (Нт ~ Р-»)р/ Di (И»»)1 =
=®«_1—PL? (/ = 2’ •••_> т)
(мы обозначим эту величину через Далее,
== ® С*)»» Pm) —‘ ® (t)j	Pi) — Ti .
Следовательно,
^ь) — V (т)4 — р4) = a{i} V?’ H-Ti-1	(Z = 2..т).
Сопоставляя эти равенства с равенствами, относящимися к алгоритму
Перрона, находим, что =	(i=l, ..., т).
Рассмотрим теперь выражения ^(у), . ..,Дот(у).
Д1 ( У) — ^1 ( У) (У1 — Р1) + (Ут —	( у) =
- (у'т - pm) Ио (У) + (Ут - рт/^'1 Во (у')],
где До(У) и ^о(У) — многочлены от y'lt ..., y'nt, причем
А(У = ^о(У)-
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
305
Так как v [Д1 (-q)J = 0, то w И0(У)1 = О, т. е. До(р')^0. Но
с№ > 0> а значит, при достаточно большом р
+ Pm) 50«)] = ^[Л0 (О] = 0.
Следовательно,
=	.....Л).
где М (р', . . ., р'в)=#0. Если 1 < i < т, то
У (У) = Л (У) (yi — Pi) + (Ут — Рт)₽Вг (У) =
,	, f а™ ,	, г	,	,	.	,
= Аг (У ) (Ут	Pm) i {£/ (Ут) (Уг-1 Pi-1) Ч- (Ут	Pm) £\(_Ут)}Ч~
Ч“(№— Pm/	{Ст(Ут)(Ут-1— рш-1) 4“
Ч- (Ут Рш)Р Dm ((у'),
где
Л (У = 4 (У), в<(у) = в<(у').
Отсюда вытекает, что при достаточно больших р и р' мы можем •
написать
Му) — (Ут — Рт)“* 1 Hi-1 (У) (/-1 — pi-1) + (Ут — Pm)’ ^i-i (У) 1
где з — произвольно большое заданное число, В$_1(У)—многочлен
и
л*_1(У) = Х(У) сдУ»,)-
Так как
у [X (vf)] =v[Ci (т')1 = 0,
ТО
д/^рЧ^о.
Положим теперь для 1 < i < т
A'i-i (У) = Х-i (У)(У-i — Pi-i) + (Ут — р'н)’в<_1 (у').
Тогда, если число о достаточно велико,
V [Д{_ 1 (О] = У (/г-1 Pi-1) = ЧЛ11’.
Наконец,
/	, aW *
^т(У) ~Ут— Pm — (Ут Pm) "* ^т-1 (У) >
где
Д»»-1 (у) — Вт(ут) (Ут-i.	рт-1) Ч~ (Ут ртУ Dm(ym') =
— Ат-1 (у') (Ут-1 Рт-1) Ч- (Ут Рт) В,п-1 (У)
20 Зак 1831. В Ходж и Д. Пидо
306
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
при р'^а. Далее, если число а достаточно велико, то
V [Дт-1 (7)')]=® (т)т-1 — Рт-1) = ~т-У
Если положить теперь ±*т(у') — ут— ^и, то будет видно, что
выражения Ai( .у'), •••> Д»п(У) удовлетворяют условию (II). Кроме
того, выполнено условие (IV), в котором h заменено на h. -j-1, а
число о удовлетворяет условию (V) для р.
Остается еще рассмотреть условие (I). Мы имеем
AW	A(h+m-l)
Xi — ai = \i (у) .. Дот* (у)Ц(уг.............ym)
и
Д1 (Д') = А® (У)М (У1....у'»),
*	* a[h>
АЛу) = Д<-1(У)[Дш(У)] i (i = 2, •••, т).
Следовательно,
= [д:(у)]А<*+,) ... |Дш-1(У)14ь+то_1)[Дт(У)]*‘ х
,(Ь)
XL<(yv .... ум)[>И(У)]л> ,
где
ki = 2	= а^ (4Л) = 1).
J=1
Если положить теперь
* ,	,	,	, AW
ШУ1........ут) = Ц(у1, ..., ут)[М(у!, .... ут)] 1 ,
то
* /	/	,	, ДЛ)
Мрь .... W = MPi............МИШ............м 1 по-
следовательно, преобразование Ть+1 удовлетворяет условию (I), в ко-
тором выражения Др ..., Дт, заменены на Дъ ..., Д,„, a h
заменено на Л-f-l. Таким образом, все нужные условия выполнены.
Преобразования Th играют основную роль в доказательстве ло-
кальной теоремы об униформизации.
Установим теперь одно важное свойство этих преобразований.
Пусть
.... xd+1)
— многочлен с коэффициентами из R. Положим, что
F (х) = 2 at (хт+1, .... xd+1) (jq — cQ’it . .. {хт — ат)^.
Если i^=j, то не может иметь место равенство
Ч~ • • • "У ^im^m —	~4~ • • • "У
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
307
так как числа	ът рационально независимы и из написанного
равенства следовало бы, что Alk=Ajk при k=l............т. Можно
предполагать члены в выражении F (х) расположенными так, что
имеют место неравенства
'чЛ + • •• + к\тхт <	+ • • • + '^кГ-т (J > !)
Будем говорить, что многочлен F(x) моновалентен относительно
Xj......xm, если
V 1а1 (’)»+!> • • • >	— О'
Если многочлен F(x) моновалентен и если /> 1, то
••• — «»)>*! =
— V laj (’)] + S ^jkxk > v lai (01 + 2 ^|Л'
к	к
Следовательно,
f 1^(01 = ^нт1+ • •  + К1тхт-
Теорема I. Если многочлен F(xp .... xd+1) моновалентен
относительно хр ..., хт, то при достаточно большом h преоб-
разование Th обращает F (х) в многочлен вида
Д^)	^™(у) О(Ук Лг+i),
где
т
®[О(т))] = 0 и = 2
j=i
Так как преобразование Th переводит разность (х^ — аА в вы-
AW	л(Ь+ш-1)
ражение (у) ... Дн/ (y)Lj(y1..................ут~), в котором
т
о [Aj(t))J = 0, то оно переводит произведение ]J
ш	т
В П Д^О) м{(уг, ут), где о [Mt (7|)1 = 0 и = 2 hk^k^"^-
к=1
Далее, по условию,
Но отношение	стремится к причем для доста-
точно большого h числа •Aih+J~1), и tk положительны. Следова-
тельно, при достаточно большом h будет
к
20*
308
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Выберем теперь h настолько большим, чтобы это неравенство имело
место для всех значений г, больших единицы, и для j — 1, . . ., т.
Тогда > p.jj. Если обозначить через Х^, то
т
aiП= д1‘(у) • • • Д’?(.V)К(У1, > уЛ
у=1
где г/[N(i])] = 0. При /г > 1 будем иметь
П(*7 —	=Д1,+1(у) ... д’?+1	.....Ут)-
3=1
Следовательно,
F(x) = Ai1 (у) ... Д> (у) [N(yv .... ут) +
+ ДДу) ... A.m(y) S Нк(у)]-
Так как v [\(т])] > 0, то
+	... Am(vi)S^('G)] = '"[^('G)] = O.
Тем самым теорема доказана.
Следствие. Если многочлены F(x) и G(x) моновалентны
относительно xv ..., хт и если v [F(B)] = v [О ($)], то при до-
статочно большом h преобразование Th переводит F(x) и О(х)
в многочлены от ух, ..., ут, отличающиеся друг от друга только
множителями Fx(y) и Gx(y), для которых значение v [Ft (vJ)] =
[Gi (“11)1 = 0.
Рассмотрим теперь некоторое кремоново преобразование неиз-
вестных хх, .... х,н+1 в случае, когда норма тт+1 разности $)и+1 —
—	рационально зависит от . . ., тт, а эти последние рацио-
нально независимы.
Система форм ДДх), ..., Д„,(х) от неизвестных хх, ..., х„,
с коэффициентами из поля R будет называться нормальной т-си-
стемой относительно хх......хт, если
Д» 0^) — ^4 (-А’ • • • > %т! (A “j- am) (-А’    > %т)’
где р — достаточно большое число, a v [А( ($)] = 0. Отметим, что
Дт(*)=(Ап —aJCtXj...........Хт),
где г/{С($1а ..., Еот)] = 0. Следовательно, можно всегда принять
Дт (х) равным хт — ат. В случае, когда число тот+1 рационально
зависит от тр .... тт, нам придется рассматривать также (т-]-1)-
системы относительно хх.....хт+х, например систему ^(х), ...
• • • - 3m+i (*). где
Хт+Х) (Xt а j) “j-ат) б{(Хх, ...,
Здесь v [а* (Е)] = 0 и р — достаточно большое целое число.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
309
Будем искать кремоново преобразование типа (С), приводящее не-
которую (т -|~ 1)-систему к специальной форме. Докажем такую
теорему:
Теорема II. Если задана некоторая (т-\-\)-система
8, (х)....8т+1	(х), то существует кремоново преобразование
xi — Pl(yV  •  ’ Ут+1)	.....«4-1).,
обладающее следующими свойствами:
(I) Если рассматривать 23 как нормирование над полем R, то
его центром в пространстве у является нульмерное многообразие
с общей точкой
(?1> •••> ?т+1>	sd+i)>
где ^(i^m)— элементы из R, причем элементы, сопряженные
с каждым $i(i<^.m) над полем К, все различны.
(П)а, = РД?р .... ?т, ут+1)	(/=1, .... /я+1).
(Ill)	84(х) = Д^(у) ... А6о»+1(^)ОДЛ.....ут+1),
где 0, определитель |£у| = ±1, у)...............-^т(у) — нор-
мальная т-система относительно ур . . ., ут,
^т+1(У)— Ат+1(У1>	Ут+1)Ут+1 4~
4~ (.Ут ?т)’ &т+1 (У1< •••> _Vm+t)>
V\Ат+1 СП)! = [°i ('»])] — 0,
a ъ— сколь угодно большое целое число.
(IV)	Ат+1(Ъ>	?т, Ут+1) и 0<(?р .... ?т, ут+1) являются
отличными от нуля константами из R.
(V)	®0Wh) = 0.
В доказательстве этой теоремы существенно предположение,
чтобы каждый из элементов а^(/=1, ..., т) вместе с его сопря-
женными над полем К составлял базис поля R над К. Мы видели,
что надлежащим выбором системы координат этого всегда можно
добиться в любом приложении теоремы.
Так как число тт+1 рационально зависит от чисел . . ., тт, то
мы имеем соотношение
= ^'1Т1+    4“ *'тУт>
где целые числа а, /,р ..., '/.т не имеют общих им всем множите-
лей и можно считать X положительным. Ввиду рациональной незави-
симости Тр ..., хт, такое соотношение единственно. Для упрощения
мы разобьем построение нужного преобразования на три этапа. Этап
А будет состоять в преобразовании неизвестных xv ..., хт, при-
водящем к такому положению, когда все а(, ..., положительны,
310
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
причем Хт больше А и не делится на X, если только X > 1. Этап Б
будет позволять нам приводить случай, когда X > 1, к случаю Х= 1.
Наконец, этап В относится к случаю X == 1, Х4 "> 1. Иногда необхо-
димости в этапах А и Б может и не быть, этап же В нужен всегда.
Он нужен для того, чтобы обеспечить свойства (II) и (IV). Для по-
нимания совокупности свойств преобразований, используемых на от-
дельных этапах, читателю будет полезно, если мы на каждом этапе
будем проверять, что полученное преобразование обладает свой-
ством (III).
Этап А. Произведем над неизвестными хр ..., хт преобразо-
вание типа Th. Так как многочлены 8< (х) (г т), очевидно, моно-
валентны относительно хг, ..., хт, то, в силу теоремы I, для
имеем
л(Л)	1)
8Дх) = Д^ (у) ... Д^ (У)1ДЛ....................уот+1), ®1^(71)] = 0.
Система Д^у), ..., Дт(у) является нормальной /и-системой. По-
этому, если положить Дт+1 (у) = 8т+1 (х), то система Дх(у), ...
. ..,Дто+1(у) будет (m 4~ 1)-системой. Из того, что определитель
। д№+^-1)| __ _ц_ 1, а д?*+^_1^о, мы усматриваем, что наше преобра-
зование обладает нужным свойством (III).
Мы имеем
т
j=i
Следовательно,
Ат ., =	-4-	4- X<ftMft>
т+1 — '*1 Ц • • • Ч <„, ,
где
Так как при стремлении h к бесконечности
т
(2 Ш
4 = 1
а числа А1 + г-1, X, тто+1 и тг положительны, то Xjh) будут положи-
тельными при достаточно большом h. Кроме того, так как А^-+оо,
то можно добиться, чтобы было XW>X. Если Л> 1, то числа
Xt......кт не все делятся на а, а определитель | Aib+J"1) | = zt 1.
Отсюда следует, что числа XW, . . ., XW также не все делятся на X.
Но так так Х^+^^Х^ (г < т), то ясно, что при надлежащем вы-
боре h число XW не будет делиться на X. Таким образом, преобра-
зование Th можно выбрать так, чтобы выполнялись соотношения
XW > 0, A.W > X и чтобы число XW не делилось на X. Кроме того,
в силу ранее рассмотренных свойств преобразования Ть, центр нор-
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
311
мирования 23 в пространстве у будет иметь координаты из поля R,
причем элементы, сопряженные над полем с каждой из координат,
все различны.
Итак, посредством надлежащего выбора преобразования Th мы
свели задачу доказательства теоремы II к случаю, когда числа
........Xm положительны, лт > л, причем лт может делиться на А
только в случае X = 1. Если получится, что X = 1, то мы прямо
перейдем к этапу В. Если X > 1, то обратимся к этапу Б.
Этап Б. Напомним, что, в силу одного из свойств преобразо-
вания Th, будет	Поэтому мы будем предполагать соотно-
шение
~	• • • "4“
таким, что Х4 > 0,	> а > 1, -ст>т1 и Хта не делится на X, Тогда
можно записать
где X > X' > 0, a g>l. Подобно тому, как было построено преоб-
разование 7\, можно построить кремоново преобразование над полем
К для неизвестных хт и хт+1, имеющее вид
хт = х'ш,
*m+i = <+/>(<)+ <?(<,)
и приводящееся над полем R к виду
%т+1 ат+1 ~ О»» (СОт) От+1 +
+ (<»-<)’D«)l-
В силу свойств преобразования Th, использованного в этапе А, эле-
менты, сопряженные с каждым из элементов а' =	(» т) над
полем К, все различны, и мы можем выбрать элемент а' так,
чтобы его сопряженные над К также были различными.
Далее,
sm+i О) = От — »m)ff s>»+i О'),
где
Gm-; 1 О ) = &т+1 О) С Ом) От + 1	аш+1) ~F" От	®т) ^т+1 О) ~Н
-4- (х' — а')’ D (х' ).
I v ш w' v иг
Если мы положим SC(x') = 3f(x) (Z = 1, ..., т), то система
З'(х')....^m+iO') будет (/»+ 1)-системой, причем
s» О) = О') (j — 1, •  . т), 8m+i0) = l8m О')]Чнх0')-
312
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Тем самым обеспечено свойство (III). Кроме того,
1 = V + l — <+1) = V lSm+l <$')1 = '«+1 —
и поэтому
^%»+1 = Л1Т1 + • • • + *т-1Ъп-1 +
где 0 < X' < X, Xt > 0.
Здесь следует отметить, что ввиду единственности линейного со-
отношения, связывающего. ..., zm, , и в силу того, что
в этом соотношении присутствуют все числа и число ъ'т+1> любые
т из чисел Tt, ..., тт, т'т должны быть рационально независи-
мыми. Построим теперь другое кремоново преобразование, аналогич-
ное Т, и относящееся к неизвестным х', х'т, (или к х', х'(
если т = 1). Если т = 1, то преобразование будет иметь вид
<=л^(л) + 5(л)>
Х2=У1
и приводится над полем R к виду
< — < — ( У1 — Pi) 1£ (Л) (У-з ~ Р-з) + (У1 “ Pi)T F (л)1.
Х2 — °2^У1 — Pl-
Если же т > 1, то оно будет вида
х[=Ут>
< = ?т+1«(?т)4-5(3»т),
<+1 = Л
и приводится над полем R к виду
= Рш>
Х'т — < = <>m ~ PJ А».+1 (У)’
<»+1-<к = Л — Pl-
Здесь точка (рр ..., pm+t, <*т+2>	“й-i) является центром нор-
мирования 23 в пространстве у, причем элементы, сопряженные с каж-
дым из над полем К, все различны. Многочлен Д,Пь1(у) имеет вид
F (Ут) (Ут, + 1	Pmtl) “1“ ^Ут Pm) F (Ут)>
где v [Е (vi/ft)] — 0, а ~ — сколь угодно большое число.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
313
Так как разница между указанными двумя случаями тривиальна,
достаточно рассмотреть случай, когда т > 1. Мы имеем
81 (х') = a'i (/) (х{ — ai) -f- (x'n —	)' b'i (/) =
— (Ут Pm) ? (У1> • • • ’ Ут+1)>
где
<Р (у) = ai (х) + (ym —	Дт+1 (у) bl (х),
а значит, <?(^г, ... рт+1)¥=0, т. е. v [<?(т])] = 0.
Положим теперь
з;(хЭ = дду) (/ = 2,..., ш-i)
и
(У)—Ут	Pm’
Тогда
йт (X ) = Ди> (У) Дт+1 (У)’
Наконец,
^т+1 (х ) = <Хш+1 (X ) (Xm+i	am + l) “I- С^т	аш) Ьщ +i( X ) =
= ^т+1 (х ) (yi pi) (у», рт) Дт+1 (у) Ьщ+1 (X ) =
= Ат+1 (У) (У1 — Р1) + (Ут — Рт)’ Вт+1 (У) = Д1 (У)-
В таком случае система ДДу), ..., Дт+1(У) является (т -f- ^-систе-
мой, причем
8{(/) = Дт(у)ф(у),
8i (х') = Д/ (у) (г = 2.......т — 1),
8m (.X ) - Дт (у) Дт+i (У)>
8т + 1(/) = Д^у).
Таким образом, свойство (III) обеспечено.
Кроме того,
тт+1 = 1Дт+1	= v (^Im+l Рт-ц) = v (-т ат)
_	z	("Gm ~~ Pm)— vm ь1>
Т1 — у ('*11 ~ Р1) — ^т +1>
Ч» — V (*1т Рт) — Т1 >
\ = "ч (1+\, т,
Следовательно,
Тт Н == ^'т1	Ol Ч~
314
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
В силу нашего построения, числа ..., тт рационально независимы,
а сопряженные с каждым из |J4 над полем К все различны. Поэтому
мы возвратились к исходному положению, но число А. оказалось
замененным меньшим числом X'. Повторением этапов А и Б мы в конце
концов сведем наше рассмотрение теоремы II к случаю, когда
’m+t = ST1 Ч~ • • • Н-
и а4 > 0. Этот случай и составляет содержание этапа В.
Этап В. Для этого этапа построения нам нужна еще одна лемма.
Лемма III. Пусть задано целое число р0, которое мы будем
считать достаточно большим. Тогда существует многочлен
<p(Xj....xm) с коэффициентами из К и т систем г*/*............
(j = 1, 2..../и), состоящих из многочленов над полем R, сопря-
женных над К и удовлетворяющих условиям-.
(а)	?(*) —=
(б)	e(/) = A(/’(Xi..xi){xi — a'f/i -[-члены порядка, не мень-
шего р0, относительно Xi—	......х4— a4J). Кроме того,
.... а(?’)¥=0	(7¥=А).
Напомним, что точки (аД . . .,	(7=1.......g) сопряжены
с центром нормирования 33 в пространстве х и что элементы аУ>
(7=1, .... g) предполагаются различными. Это одно из мест нашего
построения, в котором сделанное предположение существенно по
крайней мере для значений I, не превышающих т.
Мы докажем эту лемму индукцией по т. Рассмотрим прежде
всего случай, когда т = 1. Можно элементарно построить такой
многочлен <р(х) с коэффициентами из К, что
?(«</)) = «'Др
фЬ)(о(Л)=:0 (V=l..........Л — 1, Л 4- 1.........р0—	1),
фР)(а<Я) = 1,
где j = \, ... g, а ®<')(х) означает ч-ю производную от <р(х) г).
t) Из сделанного предположения следует, что R = К т- е> что каж-
дый элемент поля представляется многочленом степени^—1 от эле-
мента сф с коэффициентами из К- Если ф (х) — характеристический много-
член для всех аД то многочлен <р (х) можно искать в виде
f (х) = Р (х) + Рх (х) ф (х) + ... + Рро_4 (х) [ф (х)]*"1,
где Р4 (х) — многочлены степени g— 1 от х с коэффициентами из К. Много-
член Р0(х) определяется условием	= я(„+1, а остальные Pi (х) опре-
деляются последовательно, исходя из условий для производных, Ясно, что
этим условиям достаточно удовлетворить при j—l. — Прим, перев.
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
315
В таком случае многочлены
<?(*,) И 3^
удовлетворяют требованиям леммы.
Предположим теперь, что мы можем построить многочлены 'р'(х),
(i— 1, т) для заданного т и заданных чисел ар .... Х)И.
Если к = 0, то можно положить = 1 и перейти тем самым к слу-
чаю т—1. Докажем теперь утверждение леммы для чисел Хр . . . ,Хт_р
Хот-|-1. Положим
д
1 Дл- ♦ *	4 i' 4
Многочлен лежит в кольце K[xt........xj. Покажем, что многочлен
®(х) = ®'(х)4-[схот-]-Я(хр ..., хт_1)]г1 .. . гт
при надлежащем выборе элемента с из /Си многочлена Н(хр ..., xm_t)
из /С[хр ..., хт_1] удовлетворяет требованиям леммы, в которых
число кт заменено на кт 1. Мы имеем
„(/) _.«)	.(/ПЛ
?\Х)---«}м+1 — si ... stti» ,
где
?>’ = 1 +1«_+и(хг ..., х.л
Но
=	+ S b'ii{xi — а(/0 + члены высшего порядка,
причем, в силу свойств ?({/>, член с№> отличен от нуля. Если Н взят
так, что
WA ....
то
— 1 4~ (са-т 4“ Йо)	[ (с«\п + Ао) Ь^т Я- Сс№] (хт — а^т) 4“ • • . •
Нужно выбрать Н так, чтобы в этом разложении отсутствовал сво-
бодный член. В таком случае коэффициентом при разности (хш —а(-0)
будет (са(^ —	Выберем в качестве с такой элемент из К, при
котором последнее выражение не равно нулю. Пусть теперь Xj — много-
член, получаемый из произведения е*М>... е^') при хт = а<£\ a Y^= 1 -|-
"Ь Применим к этим многочленам лемму II (стр. 300) и найдем
многочлен Н(хг, .. ., х„1_1). Из сказанного следует, что если в много-
члене е^мы положим хт = a(m, то получим многочлен В(^{х1..хт_х),
который при разложении по разностям хх— а<Л, ..., xjn_1— a^)_1
не будет иметь членов порядка, меньшего р0. Следовательно,
?<J) = >0 (хх...хт) (хт — aft) + (хх.........xM,_i).
316
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Но так как коэффициент при разности хт — в разложении
многочлена sfi) отличен от нуля, то
.... «Т)^0.
Кроме того,
s.{^(a[k}, ..., a*m,)= 1 при ]=f=k.
Положим теперь	г(л. Очевидно, что многочлены <р (х),	..
®m-i. удовлетворяют требованиям леммы при замене лт на лтЦ- 1.
Вернемся к построению кремонова преобразования, удовлетворяю-
щего условиям теоремы И.
Построим для чисел Xv кт, входящих в соотношение
"“m+l ’	4~  • • 4“
многочлены ®(х) и г?’. Напомним, что здесь ^>0. Положим
Ут+1
Хт И — ? (-^1......Хт)
Ч (X)...em (х)
-j-SCxp .... хт),
где S(xlt .... хт) — многочлен над полем К, еще подлежащий опре-
делению. Мы имеем
УтИ ~
X — а(1>
m+t и>+1
^(х)..лт(х)
1
4" 5 (х).
Воспользуемся теперь леммой И и определим 5(х) так, чтобы выра-
жения
S(х) ^J’(x)... ’4Л(х) - 1 = СУ)(хр ..., хм)
при разложении по разностям х{ — сМ' (1=1,..., т) не содержали
членов порядка, меньшего з0, где а0 — произвольно большое заданное
число. Рассмотрим кремоново преобразование
(*m+i = Ф (А.....У,п) 4- lym+i — 5 (Л, .... yw)] 31 (у)... -т (у),
I Xi = yi	1).
Прежде всего рассмотрим центр нормирования 23 в пространстве у
(в качестве основного поля берется /?). Если 1=/=т-\-1, то pi = o,i.
Мы имеем при этом
® hi — ₽«) = ® (ч — «г) = ^ > 0.
Кроме того,
л'ш+1 ~~ ат+г — хт+1 °»»+1 =
=41’ (у) • • 41? О') [1 + (Лж - 5 (у)) ^(.у)  • 	(^)1 =
= 41>(j)...4V)^1)(a..........№п)>
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
317
где
О"'<л.......y.J = •,<|Ъ)   	/wl-c"b>,.........yj-
Если число р0 из леммы HI взято достаточно большим, то
' v [41’ (Vi)] —	(7|f — <х4) = лЛ.
Но так как г*(1>(а)=0=О, то -п [2®(1)(т0] = О, и поэтому
Hl	in
S Ч-ч = Xm+1 = v [^) . .. ^’(Vi) О(1)(т))] = 2	[DID(Vi)],
г=1	г=1
т. е. при достаточно большом з0
О = 1/[О(1)(7])1 = Хф^Т]) . .. 8^(7)) V)OT+1].
Отсюда следует, что f(vjm+1) = 0.
Мы видим поэтому, что и(т]г)0 (i = 1, ..., d4~0> а значит,
центр нормирования 23 в пространстве у находится на конечном рас-
стоянии. Он лежит на гиперплоскостях у.; = {34 — (j = 1............т,
т-\-2,	d-[-1), определенных над полем /?, и не лежит на
гиперплоскости Ут+j^O. Этот центр представляет собой нульмер-
ное многообразие над полем R, но не обязательно является точкой.
Общей точкой его будет точка (0Р ..., pd+1), где элемент 0m+1
алгебраичен над R, а элементы, сопряженные с любым из р,- (I /и)
над полем К, все различны.
Обращаем внимание на важное свойство преобразования оГ. Пусть
/(Хр .... хт+1) — любой многочлен от xv .... х,и+1, а ^(у^, . ..,
Ут+i) — многочлен, получаемый из / с помощью преобразования оГ.
Тогда
ё(У1......№+i) =
= /(Л> ’ Ут> ®(Л> •••. Ут) + [У«+1 — 5 (у)] 8( (у) ... 8т(у)).
Но так как
sz(?) = 0,
то отсюда следует, что
^(?1> Рт> Ут 1-1) = /(®1> •••> ат> ? (а1........ат))>
т. е. что §-(Рр .... уот+1) не зависит от ут+1.
Заключительное преобразование представляет собой преобразова-
ние типа Th над неизвестными ур ..., ут и поэтому не нарушает
только что указанного свойства преобразования оГ. Если Th переводит
318
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(Л> •••. Ут+i) В (21 > • • • ’ a (Pt- .... Рй+1) в (ъ, .... т^+t), то
(l^m), и мы получаем
8»(х) = Д^(?)(г)... д4Ь+"‘ \г)Ц(г) (/=1..........т),
где Д1(г)......\п(г)	— нормальная «i-система, a v [£{Q] = 0. Кроме
того,
^m+l (*) = ат+1 (*) (xm+l	®га+1)-Ь Iх т	атУ^т+1 (х) ~
= а (у) ^(у)... ^(у) о(1)(л.........ym+t)+(y,„-	(у),
где
ат+1(х) = а'(у), bm+l(x) = b'(y).
Отметим, что a'(pj......Pm, ym+1) не зависит от ут+1 в силу свой-
ства преобразования
Перейдем теперь от пространства у к пространству г. Так как
многочлены
£}(у), .... в£*(у), ут— рт
зависят только от yv ..., ут, то непосредственное применение тео-
ремы I дает, что
; Л(Л)	хл(Ь+ш-1)
£}(у) = ^ *	1	(г)^(г) (1=1, ..., т),
AW	A(h + m-l)
Ут ?т =	(г) • • •	(z) N(z),
где Nt(z) и N(z) зависят только от z{, zm и
«14 (С)] =®[W(r)] — 0.
Положим а' (у) = а (г) и Ь' (у) = р (z). Эти многочлены зависят
от zt, ..., zm+1, н0> в силу сделанного выше замечания, значение
а (Т1> Ъп> zm+l) ~ а (?1.......^m> J'm+l)
является отличной от нуля константой.
Далее, мы имеем
о(1) (у) =	(у)...	(у)Ут+1 - Ст (ylt ..., ут) =
= Р(гг......zm) zm+1 + л’Хг)...	(z) Q' (г).
Так как не содержит членов со степенями, меньшими, чем
сколь угодно большое число а0, то мы можем считать ат настолько
большим, насколько нам нужно. Пусть ат у р/, где р' — достаточно
большое число. Тогда
Dw (у) = Р (z) zm+l + (zm - lm/R (z),
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
319
где
® I/5 (01 = -и [в*1’ (7])... el1’ (7])1 = О
и
т>(0 = о.
Поэтому мы имеем
U1 (*) = а (у)	(у) ... е(1 (у) Dn) (у) + (ут - $Jb' (у) =
= « (*)П ' (*)ПNi (*) [/> (2) zm+1 + (zm - lmf'R (z)J +
1 1
m Ah+l-i)
+ПХ (z)M(z)?(z),
i
где
„ _ , л(Ы-<-1) I -4- а л(ЬН-1)
ri-- 'ч^1!	|	• • • Amz,m
Выберем p так, чтобы было
pA^'^V-i (* = 1.............«—1)
И
„ л(Л+w—1) \	। '
PAm > + P •
Тогда, если мы положим
^m+1 (2) = «(г)ПЧ (z)P(z),
i
то ЛЯ1+1(71, ....	z.m+1) будет отличной от нуля константой. Если
обозначить
Bm+1(z) = a(z)^Ni(z)R(.z) +
т-1	(h+i—1)	.(h+m-1)
+П^"‘	(z)Vp(z)p(z),
1
то
8m+i (х) = Д^1 (z)... Д?Г (г) Дт+1 (z),
где.
^т+1 (^) Am+i (z) Zm+i (Zln В m_|.i (z).
Этим, в сущности, заканчивается доказательство теоремы II. Ясно,
что если мы скомбинируем все произведенные преобразования в одно,
то получится кремоново преобразование вида
Xi — Pi(yv • • . > .Ут+1)	0 = 1......«4-1),
где Pt(y) — многочлены над полем К. Мы уже показали, что резуль-
тирующее преобразование обладает свойствами (IV) и (V), а также
и (III), так как последнее проверялось на каждом этапе. Кроме того,
было доказано, что имеет место и свойство (I), так что остается
лишь убедиться, что свойство (II) также верно.
320
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть результирующим преобразованием этапов А и Б будет
xi = pi(Xv .. ., Хт^ (/ = 1, . . ., /и-|-1).
Преобразование
=	 Ут+i) (Z = l, ...» m-|-l)
этапа В переводит любой многочлен f(X) в такой многочлен g(y),
для которого значение .... $т, ут+1) постоянно. Беря в каче-
стве f(X) многочлены	Хт+1), мы видим, что для резуль-
тирующего преобразования
Xi = Pi (.У1.....Лп+1)	(г = 1.....т + 1)
всех трех этапов значения (рх, ..., рт, ут+1) не будут зависеть
ОТ Ут+1- Но ПРИ Ут+1 = ?т+1 мы имеем
«< = ^(Рр Рт1) (1=1...................«4-1).
Следовательно,
«4 = Р»(₽1- •••>	Ут+1)	0=1........«-M)>
как это и требуется условием (II).
Тем самым мы убедились, что все требования теоремы II выпол-
нены.
Следующей нашей задачей является обобщение теоремы I таким
образом, чтобы освободиться от условия моновалентности многочлена
F(x) относительно неизвестных хг.........хт. Мы рассмотрим это
обобщение в следующем параграфе. Здесь же ограничимся частным
результатом, который будет полезен. Пусть бДх)..........8та.н(х) —
некоторая («-}-1)-система в том смысле, как это было определено.
Рассмотрим некоторое число произведений
да+1 х
(*) = П ^(х).
•ш+1
Норма л/5) равна 2 Так как числа ................ хт+1 рационально
j=i
зависимы, то может существовать несколько ^ДО. имеющих одну и
ту же норму. Предположим, что
и К (01 = ® I’'? (01 = •   = ® К (01 < ® (01	0=М, Р.........8).
Воспользуемся преобразованием теоремы II. Тогда
т+1
;=1
где v [О4 (т;)] — 0, а Д* (у)....Дт+1 (у) — многочлены, указанные
в теореме. При этом
И1 + 1
§ 5. НЕКОТОРЫЕ КРЕМОНОВЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
321
Мы имеем
т
V(В)] = 2 V-ifl [Д' С»})]-
/=1
Теперь, в силу рациональной независимости чисел v [Aj (vj)], ...
®[Aw(i))J, мы заключаем, что
Ру = 1*М = • • • = Оу (7=1,..., /и)
и что	хотя бы для одного значения j, если только i#=a, j?, ..., 3
(выполняя другое преобразование типа Th, если это необходимо, можно
легко добиться, чтобы было }iy < jiy при всех j).
Рассмотрим два произведения ite (;) и ($), имеющих одну и ту же
норму. В этом случае
2^	— ''?к) &kj — 0	(7=1.......zn)>
m+1
(^«fc h m+i = Pa m+t P? m+r
В силу теоремы II, определитель \Ьц\ = г — ± 1. Пусть sd— опре-
делитель матрицы (pij) (i, j /и) порядка т. Если разрешить напи-
санные выше уравнения, то мы будем иметь
^'а ш+1	ш+1 = (Ра т+1 Р'Р ш+1)‘
Если d = 0, то \ш+1 = Лрш+г В этом случае, в силу рациональной
независимости чисел v [Зх ($)]...® [&»»(’))> из условия •п[гса($)] =
= ®[1С₽(В)1 следовало бы, что = Ay (J = 1........а значит,
a = р. Но так как мы видели, что можно найти два различных произ-
ведения гса(В) и с одинаковыми нормами, то отсюда следует,
что d =# 0. Важно заметить, что d является отличным от нуля целым
числом, зависящим только от' преобразования, использованного в тео-
реме II, а не от рассматриваемых произведений пДх). Тот частный
результат, на который мы будем ссылаться впоследствии, можно
сформулировать так:
Теорема III. Если Зг (х)......... om+l(x)— некоторая (т 1)-
система и если
ш+1	ш+1
”, (*) - П (•*) = ПФ(-К).
4=1	i=l
причем
то преобразование теоремы II обращает эти произведения в произ-
ведения
ш + 1 а'	ш+1 о'
Пл/ио.о-) и П л/(у)О?(у),
i=l	i=l
21 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
322
ГЛ. XVttl. БИРАЦИОНАЛЬНЫЙ преобрАзоёайил
в которых
(I)	V IOe (т))] = v [G? (7))] = О,
(II)	< = у. (4=1.....т),
(»’) р;+1-<+1=Ф)П+г-а,п+ж
где d есть целое число,
зависящее только от преобразования.
§ 6. Локальная теорема об униформизации. Основной случай
В этом параграфе мы проведем доказательство так называемого
основного случая локальной теоремы об униформизации: случая нуль-
мерного нормирования ранга 1. Подлежащая доказательству теорема
точно формулируется так:
Теорема I. Пусть U ~ гиперповерхность в •аффинном про-
странстве ЛЙ+1(Х(.....xd+1),	и пусть 93 — нульмерное нормирова-
ние ее поля функций, имеющее ранг 1, центр которого находится
на конечном расстоянии в пространстве Лй+1. Тогда существует
кремоново преобразование пространства Ad+l в некоторое про-
странство Лй+1 (_ур _yd+1), определяемое уравнениями
Xi^=Pi(yv • , Уа+1)	(/= 1, . . ., d+l),
Л = Pi (xv .... xd+1)	(7 = 1, ..., d + 1),
где Р{ (.у) — многочлены над полем К, а Ri (х) — рациональные
функции с коэффициентами из К. Это преобразование таково,
что оно переводит U в бирационально эквивалентное ей много-
образие U', на котором центр нормирования 23 является простым
нульмерным подмногообразием, лежащим на конечном расстоянии.
Доказательство этой теоремы тесно переплетается с доказатель-
ством в общей форме одного результата, частным случаем которого
является теорема I § 5. Обобщение этой теоремы, которое мы будем
доказывать, формулируется так:
Теорема И. Пусть 23 — нульмерное нормирование ранга 1 поля
функций	$d+1) неприводимой гиперповерхности U в про-
странстве (хр ..., xd+1), имеющее центр на конечном расстоянии.
Пусть, далее, R’ — наименьшее нормальное расширение поля К, над
которым центр нормирования^на гиперповерхности Uраспадается
на систему точек, а 23' — нормирование поля R' ($,	Sd+1),	являю-
щееся продолжением для 23. Если F(xt.....................xr) (г С d -j- 1) — лю-
бой многочлен с коэффициентами из R' от неизвестных xt.х,.,
такой, что F^.......Er) =F 0, то существует кремоново преобра-
зование неизвестных (xv ..., xd+1) в неизвестные (_yt..._yd+]),
имеющее вид
Xi = Pi(yv • • уг) (4 = 1,..., г), х( = у, (4>Г),
§ й. ЯокаЛьйаЯ теорема унифорМизАцйй
323
где Pt — многочлены от уt.....уг с коэффициентами из К. Это
преобразование таково, что над полем Р*, являющимся наимень-
шим нормальным расширением поля Р', над которым центр нор-
мирования 23' в пространстве у распадается на систему точек,
имеет место соотношение
F (хх....хг) = Д* (у)...	(у) О (Л, .... Л).
Если 23* — нормирование поля Р* (51( .... $d+1), служащее про-
должением нормирования 93', (Рх,..., Рй+1) — центр нормирования 93*
в пространстве у, а ......."Wi)—образ точки (^ £й+1), т0-
(I)	Р* является полем, получаемым присоединением к полю К
элемента и его сопряженных над К (при любом J, не превос-
ходящем т)\
(II)	v* [Д4 (т))] = v* (Т|. — р.) = т* (f = 1, .... т), где числа
г*, т*п рационально независимы, а Д1(д'), .... Дш(3') — нор-
мальная т-система относительно уг........ут.
(Ill)	V* [0^.....1Jr)]	= 0.
Для полного понимания доказательства полезно сделать несколько
замечаний, относящихся к приведенной формулировке. Свойство (I)
имеет само по себе небольшое значение, но должно быть включено
в формулировку из-за необходимости провести индукцию. Мы начнем
доказательство теоремы II для многочлена О(xlt .хг+1), беря
в качестве предположения индукции справедливость этой теоремы
в применении к получающемуся в доказательстве многочлену
F(x1.....хг). Следующий этап состоит в применении теоремы II
§ 5 к многочленам Д1(у), .... ^т(у), уг+1— (Зг+1. Для этого как
раз и существенно свойство элементов (/	т), указанное в тео-
реме. Сделанное замечание поясняет, почему на каждом этапе дока-
зательства необходимо убедиться в выполнении условия (I).
Следует отметить, что в формулировке теоремы II поле Р', в ко-
тором содержатся коэффициенты многочлена F(xr.....хг), полностью
определено многообразием, являющимся центром нормирования 93 на
гиперповерхности U. В нашем доказательстве по индукции справед-
ливость теоремы II для многочлена Е{хг, ..., хг) зависит от спра-
ведливости теоремы в рассмотренных ранее случаях применительно
к многочленам О (zv ..., zs) в преобразованном пространстве. -При
этом коэффициенты многочлена О (zt.....zs) могут и не принадле-
жать полю Р'. Однако предположение индукции будет верным, если
эти коэффициенты лежат в поле, являющемся наименьшим нормаль-
ным расширением поля К, над которым центр нормирования 93 в про-
странстве z распадается на систему точек.
Так как в этом параграфе важно делать различие между норми-
рованием 93 поля .... Ег) и его продолжениями 93', 93*, ... на
поля Р'(Bj, .... у, Р*(^......5,)....то мы будем продолженные
21*
324
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
и индуцированные нормирования обозначать разными символами. Через SB
будет всегда обозначаться исходное нормирование поля /((Sj..Q,
а нормирования, получаемые при расширении основного поля, будут
отличаться значками, соответствующими значкам тех основных полей,
к которым они относятся.
Нормирование 33*, указанное в теореме, имеет своим центром
точку (РР ..., pd+i). Условие (III): v* [G (т))] = 0 равносильно тому,
что уравнение
О(рр .... рг_р у) = 0
не имеет своим корнем значения у = Рассмотрим теперь влияние
исключения условия F ('х..... $г) =# 0. Соображения, применяемые
для доказательства теоремы II, в этом случае приводят к равенству
F(x) = A^(y)... Д^(у)О(Л.........Л),
удовлетворяющему условиям (I) и (II) теоремы И. Но если /г($) = 0,
то отсюда следует, что О (ц) — 0. Следовательно, уравнение
О(₽!.....J) = O
должно иметь корень у = рг. Можно, однако, сформулировать неко-
торые результаты относительно кратности этого корня. Мы рассмотрим
частный случай, в котором F(x)— неприводимый многочлен с коэф-
фициентами из К- В таком случае уравнение F(x) = 0 является
уравнением некоторого многообразия U над полем К- Можно пока-
зать, что при этом уравнение
О(₽Р .... Рг_р у) = 0
имеет простой корень у — рг, если кремоново преобразование выбрано
надлежащим образом. Если Л (_у)— многочлен наименьшей степени
над полем X, содержащий в качестве множителя произведение
Д^1(у) ... Д^*(у), то А (ц) #= 0, так как А (у) — многочлен только
от уг....ут, и числа
•V* (•»!» — М (1=1......т)
рационально независимы. Следовательно,
/?(х) = Л(у)П^(у),
где Gi {у) — существенно различные многочлены от у1г ..., уг, имею-
щие коэффициенты из К и такие, что хотя бы для одного значения I
будет ОДт]) = 0. В таком случае уравнение ОДу) = 0 является
уравнением образа U' гиперповерхности U при кремоновом преобра-
зовании. Предположим, что множители перенумерованы так, что
G1(iq) = O. Так как G1(P) = O и уравнение
П«Ж .... J) = O
S 6. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ
325
имеет простой корень у = то отсюда следует, что и уравнение
Gi (Pi.........................Pr-v j) = 0
имеет простой корень	причем рх = 1. Кроме того,
.....
а значит, точка (0t.....P<z+i) является простой точкой на U'. Но
(Pi.....P<z+i) — одна из сопряженных точек, составляющих центр
нормирования 93 на гиперповерхности U', так что центр нормирова-
ния 93 будет простым подмногообразием на U'. Но это и составляет
содержание теоремы I.
Таким образом, доказательства теорем I и II тесно связаны.
Удобно оба доказательства проводить одновременно. Фактически дока-
зательство состоит в доказательстве теоремы II индукцией по г,
а затем в получении из нее теоремы I. Если уравнение F(x) = 0
гиперповерхности U содержит лишь координаты хр ..., хг+1, то мы
будем пользоваться теоремой II в применении к многочленам от
хр . . ., хг. Но метод доказательства при этом очень мало отличается
от метода доказательства теоремы II для г -1- 1 неизвестных в пред-
положении ее справедливости для г неизвестных.
Следует еще упомянуть, что наш первоначальный выбор системы
координат в пространстве х таков, что уравнение гиперповерхности U
содержит d4-l координат xt........xa+v ^ем не менее, по формаль-
ным причинам нам удобно предполагать справедливость теоремы II для
г неизвестных и рассматривать после этого многочлен F(xp . .., хг+1),
лишь различая случаи F(Z) — Q (теорема I) и	(теорема II).
Начнем нашу индукцию с рассмотрения формы F(x,) только от
одного неизвестного. В случае теоремы I уравнение F(xt) = 0 является
неприводимым уравнением для U. Поэтому U будет системой сопря-
женных гиперплоскостей
xt — aW (j = 1, . . ., g).
Так как центр нормирования 93 лежит на конечном расстоянии, то он
лежит на одной из этих гиперплоскостей и уже поэтому будет про-
стой точкой. Таким образом, здесь доказывать нечего. В случае тео-
ремы II можно воспользоваться теоремой I § 5 и непосредственно
получить требуемый результат.
Предположим теперь справедливость теоремы II для многочленов
от г неизвестных и рассмотрим многочлен F(xr> ..., хг+1) от г—1
неизвестных, имеющий коэффициенты из поля R. В случае теоремы I
уравнение F(xt......хг+1)==0 есть неприводимое уравнение гипер-
поверхности U над полем К. Следовательно, ни один из многочленов
от хр ..., хг с коэффициентами из К не обращается в нуль при
замене х на $. Таким образом, при рассмотрении вспомогательных
многочленов от г неизвестных нам нужно заниматься лишь теоремой II.
326
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Пусть (<xt, . .., ad+1) — центр нормирования в пространстве х.
В случае теоремы I мы можем сделать предварительное преобразова-
ние координат xt.....хг+1 так, чтобы многочлен F(alt . . ,, <zr, хг+1)
не был тождественным нулем. Предположим, что этот многочлен
имеет значение хг+1 = <хг+1 своим s-кратным корнем. Так как точка
(04.....a<z+i) лежит на гиперповерхности U, то s > 0. Если s= 1,
то эта точка является простой точкой и поэтому центр нормирова-
ния 93 на гиперповерхности U будет простым. Поэтому предположим,
что теорема I верна в случае, когда s < s0, и рассмотрим случай
s = s0. Нашей задачей при этом будет получение кремонова преобра-
зования требуемого типа, переводящего U в гиперповерхность, для
которой s < sQ. В случае теоремы II многочлен F(x) нужно предва-
рительным преобразованием привести к такому виду, чтобы выраже-
ние F(a1, .. ., аг, хг+1) не было тождественным нулем. Однако наше
промежуточное преобразование может вызвать нарушение исходных
условий. Ясно, однако, что первоначальным выбором координатной
системы мы можем добиться того, что F(x) будет представим в виде
F(x) — A (хр . .., xr) F-l (Xj..xr+i) ... Ft (хр . .., xr+1),
где многочлены /^(Хр ..., хг+1) неприводимы над полем R, причем
значение хг+1 = яг+1 является корнем конечной кратности для
Г4(ар .... аг, хг+1). Промежуточное преобразование не будет нару-
шать этих условий. Если s = max[st, ..., st], то из s = 0 следует,
что s{ = 0 (z = 1, ..., f), а значит,
.....®r+l)	0,
и поэтому v' [F< (Е)] = 0. Если мы применим теорему II для много-
членов от г неизвестных к многочлену А(х±........хг), то непосред-
ственно приведем многочлен F(x) к виду, требуемому в этой тео-
реме. Таким образом, теорема II будет справедливой и для F(x).
Поэтому мы предположим, что теорема II верна для многочленов F(x),
в которых s < s0, и рассмотрим F(x), для которого s — s0. Нашей
задачей будет отыскание преобразования, обращающего взятый много-
член F(x) в такой, для которого s < s0. Если мы сможем доказать,
что преобразование требуемого типа, обладающее таким свойством,
всегда существует, то теорема II будет отсюда следовать по индук-
ции. Таким образом, как в случае теоремы И, так и в случае тео-
ремы I нам нужно лишь доказать существование преобразования типа,
описанного в формулировке теоремы II, сводящего задачу к случаю
S < So-
Положим в случае теоремы I
F(x) =^i(x), где тгг(х) = а((х1, . . ., xr)(xr+1 — <zr+1)\
§ 6 ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ	327
В случае же теоремы II пусть
Fn (х) = S^(x), W ^’(х) — a(t\xv . . ., xr)(xr+1 — яг+1)<.
i
Здесь суммирование будем считать распространяющимся лишь на от-
личные от нуля члены. По построению,
а"о (ai> • > аг)	д«л (ai> • • • > аг)^ 0.
Применим теорему II для многочленов от г неизвестных xv хг
к многочлену Jfzz^Xj......... хг) (теорема I) или к многочлену
__1
.4(хр xr)YJoih)(Xp .... хг) (теорема II). Мы получим тогда
7», г
(х) = bi (Л.....уг) Д/'t (у) .. . Д^» (у) (yr^t — рг+1)<
(теорема I)
т??’(X) = bc(yv . . у,)№(у)  .  Л^»‘(?)(Л+1 —?г+1)1
и
Д (х) = а (ур . . ., уг) Д1‘ (у) . .. д’ш«* (у)
(теорема II), где коэффициенты содержатся в поле содержащем
координаты центра (РР ..., рг+1) (в пространстве у) продолжения 231
нормирования 23. Здесь
Ol)l = Vi [Ь^ (т])] = [а (т))| = 0,
а Д^ (у), ..., Дт(у) — нормальная m-система от ур . .., ут, и сопря-
женные над полем К для каждого (z т) все различны.
Мы имеем (i)r+1 — pr+1) > 0. Рассмотрим сначала случай, когда
значения
V1 1Д1 СП)]...('«Ir+l — ₽г+1)
рационально независимы. В этом случае нужно рассмотреть лишь
теорему II, так как в случае теоремы I из соотношения
следовало бы, что для двух различных значений индексов z и j должно
быть vr [-iti ($)] = Dj [ztj($)]. Но так как значения
.....Ч (t)r+1 — 0r+1)
рационально независимы, то отсюда следовало бы, что
xik = \jk (^ = 1.т) и i—j,
328
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
а это очевидное противоречие. В случае теоремы II многочлены
М.У)........Дт(-У). Уг+1 — ?r+t
составляют (от-}-1)-систему относительно ............ Ут> Уг+v Приме-
ним к неизвестным ...................................ут, уг+1 преобразование типа Th так,
чтобы в новой координатной системе (zv zd+l) было
'"‘’(Х) = \^(Z) . . .	.....Zr+1),
А (х) = Д^ (z) ... д£»+! (z) a (zv .... zr+1),
где	__	_
К»'?’ (01 =	(01 = О,
а Д1(г), ..., Дте+1(г)— нормальная (от-|- 1)-система относительно
zv ..., zm, zr+1. Можно добиться также, чтобы поле Rr получалось
присоединением к полю К любого из элементов вместе с его
сопряженными над К, где (^ ....	— центр нормирования
в пространстве z, и чтобы в случае, когда [к*й’($)] < vi [^’(S)],
было
№<$} (А = 1, .... от + 1).
Если
(4ft) == min [/Д’, (/Д’, . . . ]	(& —1../«+!)
и
;k — Hk 4" 2 /к)-
h
TO
F(x) —	(z) ... A^»+t (г) G (zv ..., zr+i),
где v1[G(Q] = 0, и тем самым требования теоремы II относительно
многочлена F(x) удовлетворены.
Поэтому остается рассмотреть лишь случай, когда значение
^1(^+1 — Рг+1) рационально зависит от значений vt [Aj (nq)J, ...
[Дот (/))]. Так как сопряженные над полем К для любого эле-
мента при г^от все различны (теорема II, утверждение (I) для
многочленов от от неизвестных), то мы можем применить теорему II
§ 5 к (от-|- 1)-системе ДДд»), ..., Дт(_у), уг+1 — рг+1 от неизвест-
ных уг.....ут, yr+v В силу этой теоремы, можно построить пре-
образование требуемого типа, обращающее многочлены кДх) в много-
члены
(х) = с, (zv ..., zr+1) 8^ (z) ... 3^»» (z) S'* (z),
где:
(а)	o^z), .... <>m(z) — нормальная от-система от zv ..., zm;
(б)	0 (z) — P (Zj, . . ., Zm> Zr+^) Zr+i -j-	(^1> • • • ।	^r+l)>
причем P('(v .... ~(m, zr+1) есть отличная от нуля константа р\
§ 6. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ
329
(в)	центр нормирования в пространстве z имеет общую точку
(7(,	-fr+t), координаты	которой содержатся в
a fr+t алгебраична над
(г)	многочлены Ci(zlt zr+1) имеют то свойство, что значения
•••> "tr> zr+t) являются отличными от нуля константами cf;
(д)	V1 (Сг+1) = 0.
Свойство (г) следует из того, что многочлен ci(zl,..., zr+i)
является произведением .......... уг) и некоторого произведения
степеней многочленов Git входящих в формулировку теоремы II § 5.
Но, в силу результатов, доказанных в § 5,
МЛ.......Уг) = а1^1......гг+1)>
где </<(71, ...,	zr+1) является константой. Эта константа необхо-
димо отлична от нуля, так как v [£г (т])] = 0. Теперь свойство (г)
следует из того, что значения Gi(-f1, .... zr+i) — отличные от
нуля константы.
В случае теоремы II мы получаем аналогичные формулы для
^(х) и А (х).
Рассмотрим теперь значения ($), имеющие наименьшие нормы
в нормированиях 93' или 93, (теорема I), или же те из t:W($), ко-
торые имеют наименьшие нормы при заданном h (теорема II). Пред-
положим, что
К (0) = V1 [я? (0] = ••• =®1[*8(’)]	(«V», ?.....S)
или соответственно
Чkft)(01 = 1^Л)(0] = ...
('¥=«, ?....3),
где а < р < . .. < 8. Тогда, если мы положим
Р; = Р<У = Рм = • • • = Ру < Ру
или
а(А) __ u(h) __ „(Л) —	. а(Л) „'Л'
‘ j 1	‘
то будем иметь
F(x) = 8J-1 (z) ... 8£»» (z) [са (z) 8'« (z) + ... +
+ q (z) 8-s (z),4- 8X (z) . .. 8m (z)«(z)\ = 8^i (z) . . . 8£„ (z) H (г)
или, аналогично,
Fh(x) = 8^)(z)...aA*)/W-
Кроме того, в силу теоремы III § 5,
h — Vj = (i-j)ld, v(?’ — v^h) = {i—j)ld,
330
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
где d — отличное от нуля целое число, зависящее только от пре-
образования. Воспользуемся этим, чтобы найти соотношение между
8 и s0 или sh. Мы имеем
г»! (В)] = г»! [«< (01 + «Ч (Ui — Vh)-
Но
К» (’)] = °- vi (Ui — Vh) > °-
Следовательно, при г > s0
В таком случае 8<^$0, Аналогично, в случае многочленов Fh(x)
будет 8 sh. Поэтому
Н — vj = (о — a)/|rf| <SO (или sh).
Предположим сначала, что мы занимаемся теоремой I. Так как
значения vx [8f (С)] конечны, a F(£) = 0, то Н(С) = 0, и мы заклю-
чаем, что неприводимый многочлен F(z), обращающийся в нуль на
образе гиперповерхности U в пространстве z, служит делителем
для H(z). Рассмотрим значение числа s для многочлена F (z).
В силу свойств преобразования, использованного в теореме II
§ 5,	— ь) > 0 (i=/= г-j- 1), v1(Cr+l) = 0. Следовательно, центр
нормирования 33t в пространстве z лежит на конечном расстоянии и
не находится на гиперплоскости zr+x = 0. Поэтому уг+1 не будет
корнем уравнения
Н(Ъ.......0-0.
Но вид многочлена H(z) показывает, что последнее уравнение сво-
дится к уравнению
... + с8 pW = 0,
где р определяется, согласно сказанному выше, как значение коэф-
фициента при zm+1 в многочлене 8 (z) в центре нормирования. Поэтому
кратность корня z = yr+1 уравнения F(^, .... fr, z) = 0 не может
превосходить числа |v6 — va|^s0. Таким образом, в общем случае
число s для образа гиперповерхности U в пространстве z будет
меньше числа s0 и поэтому, в силу предположения индукции, может
быть сведено к единице. В исключительных случаях, когда не про-
исходит понижения s, мы должны иметь | v8 — | = s0, а значит,
a — 0, о = s0. Кроме того, уравнение для элемента fr+1, имеющее
степень s0, должно иметь равные друг другу корни. Но так как
коэффициенты ся, ..., с8, р принадлежат полю то -fr+1 также
должен содержаться в Rv Далее,
(*) _ Cj (*)
’'в (*) св (г)
[8(z)p
(i < s),
8
§ 6. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ
331
а значит, вычет элемента ($)/тг8 ($) в нормировании 231 равен
и уравнение
Po + Pi^+ ••• +p8-?s-1 + — О
имеет только равные корни. Но так как единственный корень
этого уравнения отличен от нуля, то =£ 0.
Наконец, так как
(а, р, .... 3) = (0, 1,	s0),
то
ho (01 — hi (01 = • • • = «1 hu„ (01 = ho (01 =
= V' [вг (0] + (0+i — ®r+t) = •   = h* (01+«0^1 (0+i — «r+i)>
и мы имеем
Vi (O+i — ar+i) = v, [a3o_i (01,
т. e. норма разности 0+i — ar+i равна норме некоторого много-
члена от 0> •	0 с коэффициентами из R'.
Рассмотрим теперь случай теоремы II. Мы имеем
UW J")
^(х) = О1г (Z)...V (z)Hh(z).
Если sh = 0, то ясно, что р.(/‘) = 0 и v [Hh (Q] — 0. Следовательно,
число sh для многочлена Hh(z~) равно нулю. Если sh > 0, то рас-
суждение, примененное выше в случае теоремы I, показывает, что
sh и что если для некоторого h будет sft = sft, то fr+1 лежит
в /?!, а уравнение
Po + Pi^+ ••• + p8h-i^h =
в котором pi являются отличными от нуля вычетами элементов
4Л)(5)МЛ)О) в нормировании ЗЗр имеет лишь равные корни, и норма
разности $г+1 — аг+1 равна норме некоторого элемента кольца
/?'[?!...U
Мы предположили, что число s0 = max[s1......sj больше нуля,
так как в противном случае нечего доказывать. Рассмотрим сначала
случай, когда $0=1, и предположим, что для каждого значения h,
при котором sK = 1, будет sft = 0. Тогда ясно, что мы имеем ра-
венство
F(x) = B(z)^(z)...fy(z),
в котором v [В (г,)] = 0. В этом случае мы уже получили преобра-
зование многочлена F(x), требуемое теоремой II, за исключением
332
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
того, что может не выполняться условие (П), так как элемент fr+1
может быть алгебраичен над Rv Пусть /?*— наименьшее нормальное
расширение поля содержащее элемент fr+t, и пусть 23* — про-
должение нормирования 23х на поле R*(^.......$г+1). Центром нор-
мирования 23* в пространстве z служит точка (-flt fr+1). Если
/?* есть собственное расширение поля /?х, то полем, получаемым
присоединением к полю К элемента (/ т) и его g сопряженных
элементов над полем К, будет не /?*, а поле Rv
Чтобы обойти эту трудность, построим многочлен /(х) с коэф-
фициентами из К, обладающий такими свойствами:
(a)	h элементов, сопряженных со значением /(тг+1) над полем Rv
все различны;
(б)	первые р0—1 производных многочлена /(х) обращаются
в нуль, при х = fr+1.
Тогда для каждого значения i(\^i^m)gh элементов, полу-
чаемых из 7<4-а»/(7г+1) при замене его сопряженными, а эле-
мента уг+1 его h сопряженными над полем Rv будут различными
при любом Ui из К, за исключением, может быть, конечного числа
значений. Если мы положим Т/= у»Ч-^/(уг+1), тополе, получаемое
присоединением к К элемента и его сопряженных над К, сов-
падет с R*. Сделаем теперь кремоново преобразование
г{ = г, —в/Ж+i) (i — 1,..., от),
zt = zt (i > т).
Мы имеем
— Ъ = Ъ + а^	—Ж+1)] =
— Ъ + ^+1 — Tr+1)Po bi (z) (i < от).
Центром нормирования 23* в пространстве z будет точка (f1, . . .
..., I»», Tm+i....Ъч-i)- При этом, если р0 достаточно велико, то
V* — 74) = v* (zt— ух), и поэтому нормы v* (Zj — f i) (i = 1, .. ., от)
рационально независимы. Положим
Zi(.z) = &i(z)	(Z=l, .... от).
Очевидно, что если элементы av ..., ат выбраны с учетом необхо-
димости обойти конечное число исключительных элементов поля К,
то многочлены (z) будут моновалентными относительно zv ...
.... zm. В таком случае, в силу теоремы I § 5, некоторое преобразова-
ние типа Th, произведенное над неизвестными zr..zm, позволяет
привести F (х) к виду, удовлетворяющему всем требованиям теоремы П.
§ б. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ
333
Предположим теперь, что s0 = max[s1, ..., sj> 1 и что
для любого h, для которого sh > 0. В таком случае
t
F (х) = В/i (z) ... Ст (*) а (г) П Hh (г),
Л = 1
где [а(»)] = 0. Подвергнем неизвестные zv ..zr+1 общему линей-
ному преобразованию с коэффициентами из К- В новой координатной
системе многочлен F(x) — G(u) выражается произведением Aj-)-.. •+
4-Am-]-l-|-f множителей, для которых можно определить числа st.
Множители, получающиеся из 8Дг), будут иметь числа £,= 1, мно-
жители, получающиеся из a(z), — числа si — 0, а множители, соот-
ветствующие H^z), —числа Si — sj,. Таким образом, ввиду неравен-
ства s0> 1, наибольшее значение st для многочлена О(«) не превы-
шает числа max [1, Sj, ..., st). Оно может быть меньше названного,
если многочлен Нл(г) приводим и дает множители с кратностями sh
и Sk, где	Следовательно, для многочлена О (и) число s
будет меньшим х0, и мы можем воспользоваться предположением ин-
дукции.
Остается еще рассмотреть исключительный случай, в котором
не происходит уменьшения числа s0. В случае теоремы II из этого
следует, что найдется значение h, для которого sh = sj>. Чтобы рас-
смотреть обе теоремы совместно, обозначим через /(х) и у либо
F(x) и s0 (в случае теоремы I), либо Fh(x) и sh (в случае теоремы II).
Тогда
/W = it0(x)+...4-ir1,(x)+S М*).
где
1ti(x)=e1(X1....x,.)(x,.+.1 —
Мы знаем, что
v' К (В)] = 0, v' ($г+1 — а, +1) — v' (;)]•
Кроме того,
v' (В)] = v' [as (0J + (у — 0 v' (Br+i — яг+1) =
= v' [as(5)] + (s — i) v' ph-i (;)].
Следовательно,
v'
Br+l ar+l
— 0 = v'
as («) (?)
и поэтому при переходе к полю вычетов нормирования ЗУ вычеты с
и at элементов — ------— и -------5—  будут отличны от нуля.
334
гл. xvni. Бирациональные преобразования
Но
МО = МО Г «а-1(0 Г'*
МО «(е)а“-‘(;) (.Ml- “r+l J
Поэтому, переходя к вычетам, мы получаем
di = р»с
Напомним, что вычеты р0, .... pg = 1 элементов к0 (Е)/ла (Е), ...
..., itg (E)Mg (5) обладают тем свойством, что все корни уравнения
po4-pi*4-• • • H-ps-i^8 1+^ = о
одинаковы (стр. 331). Отсюда вытекает, что корни уравнения
^о4-^44~ • • • 4~^s-4 1-|~/‘, = 0
также все одинаковы, причем значение этих корней равно-----jda_t.
Так как ds_t есть вычет элемента а-1 (Е), где as (?) принадлежит
кольцу/?'[Ер ..., Ег], а вычеты элементов Е, принадлежат R', то de_r
также принадлежит R'.
Покажем теперь, что в действительности корни последнего урав-
нения равны с. Мы имеем
У МО рг-и-Ун]*
М0<_1(0	а“"1(5)	*
Следовательно, переходя к полю вычетов, мы получаем, что сумма
4~ ^ic 4“ • • • 4~	4“ cJ
равна вычету элемента AT=/(E)/ag(E)e^_1 (Е). В случае теоремы 1
f ($) = О, и поэтому вычет элемента X равен нулю. В случае же
теоремы II
Л»)	и W
/(х) - Fh (х) = V (z) ... V" (z) Hh (z),
где
„(»)	„ W
Ч [V (Q . . . V‘ (£)] = V1 [4h) (01 = • • • =	(Е)[.
Но так как s'> 0, то [Hh (С)] > 0. Поэтому
Следовательно, в любом случае вычет элемента X равен нулю и
имеет место равенство
do +	+ • • • +	4-^ = 0,
§ 6. Локальная теорема униформизАЦйй
335
которое мы и хотели доказать. Таким образом, можно утверждать,
что в поле /?' существует элемент с, для которого
г,41г+1-М1,._с1==о.
L «а-1(5) J
Положение, к которому мы теперь пришли, можно охарактеризо-
вать следующим образом. Независимо от того, идет ли речь о тео-
реме I или о теореме II, в исключительном случае норма разности
5г+1— яг+1. равна норме некоторого многочлена от ....5Г с коэф-
фициентами из /?' (назовем его Но (5)). При этом существует отличный
от нуля элемент с поля R', удовлетворяющий неравенству
v [(5г+1 — «г+1)/^о (5) — с] > о.
Воспользуемся теперь леммой II § 5 и построим многочлен
Q0(x1, хг) с коэффициентами из К, для которого выражение
Q0(x)— сН0(х) имеет разложение по разностям xY— 04.....хг — аг,
начинающееся с членов достаточно высокой степени р0. После этого
произведем преобразование
xt=Ч1’ о =1 > • • • - г)>
*,+1 = *(,-1h + Qo(41)..4Г))-
Очевидно, что оно является кремоновым преобразованием нужного
типа. Кроме того, при достаточно большом р0
v (5r+i ar+i) — v [5r+1 ar+i Qo('x> •••> 5,)1>
>min ——сН0(5)Ь T/fQoC?) — cH0(5)H =
= lUl — ar+l — сИ0 (5)1 =
= v' \H0 (5)1 + v' [(5,+1 - ar+I)/H0 (5) - c] >
> v' [Ho (5)1 = v' (5™ — ar+1).
Многочлен F (x) обратится в многочлен
(x(1)) - F (x'1’, ..., х'Д x‘‘>! + Qo (X(1))).
Ясно, что этот многочлен имеет те же числа s0...st, что и F(x)-
Попытаемся получить уменьшение этих чисел с помощью ранее при-
мененных методов. Если это удастся, то мы тем самым получим нужную
редукцию для F(x) и теоремы I и II будут доказаны. Если же умень-
шения не произойдет и для F(х(1)), то значение v (5$?ii — ar+i) будет
равно норме некоторого многочлена от (5^....5г>) = (5Х... 5Г),
например норме В этом случае мы можем произвести кремо-
ново преобразование
х^У> = х^ (/=1, ..., г),
41^ = ^i+<?1(x(12)......*!2))
336
гл. xvni. бирациональные преобразования
так, чтобы было
v ($+1 — «г+1) > v (Sr+i — ar+i).
Определим теперь многочлен F<2)(x(2>) равенством
=	......х™ x^x + QiU'2’, .... х'2))),
повторим то же самое с /7<2)(х(2)) и продолжим таким же образом
дальше. Если мы сможем доказать, что после конечного числа шагов
необходимо получается многочлен	для которого уменьшение
числа s0 возможно предыдущими методами, то тем самым индуктив-
ное доказательство теорем I и II будет закончено. Следовательно,
нужно лишь показать, что наше построение многочленов /^'(х^),
... не может продолжаться неограниченно.
Допустим, что мы продолжили это построение неограниченно.
Этим получена бесконечная последовательность многочленов Но (х),
/^(х), /7а(х), ... от неизвестных х2.......хг, имеющих коэффициенты
из поля R' и удовлетворяющих условиям
Но так как
V ($г+1 >	аг+1) > v Сг+1 «г+1)>
то
V' [Но (₽)] < v [Н1 (5)] < V' [На©] < ....
Определим теперь многочлен Ф (х) из R' )хр ..., хг+11 и целое
число з следующим образом: в случае теоремы I Ф (х) = ---------------- и
з = s0 — 1, а в случае теоремы II Ф (х) = (х) и з = sft. Если □ = О,
то теоремы I и II уже доказаны. Поэтому можно предполагать, что
з > 0. Имеем
.....4°.	.... л.
Тогда
Ф © = Ф(1)(£(1)) = Ф<2)(><2)) =...=# 0,
а поэтому значение v' [Ф((,(5(<))1 = Л1 не зависит от t и конечно. Кроме
того, по определению числа <з,
М = v [Ф(()	> av (Й1 — <zr+1) > v	— «г+1) = v Wt (01 -
Обозначим через 2 алгебраическое замыкание поля К, а через
23 — нормирование поля 2 ($р ..., Q, являющееся продолжением
нормирования 23' поля ЛЛ©. •••> V). Пусть т = min [и ©— at), ...
. .., v © — аг)], а т — наименьшее целое число, для которого mt > М.
Пусть, далее, а,©, .. , а„©— базис над полем 2 для модуля,
§ 6. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА УНИФОРМИЗАЦИИ
337
состоящего из многочленов от разностей — ар ?г— аг, имею-
щих степени < т. Можно считать, что расположены так, чтобы
было v [04 (В)] <1* (J > 1). Тогда, ввиду того, что поле 2
алгебраически замкнуто, а нормирование ® имеет размерность нуль,
в 2 существуют элементы с$, удовлетворяющие условиям
•vlaj(6) —	(6)1 > v К (6)1	(J>1).
Без ограничения общности можно считать расположенными так,
чтобы было
•V [«J (6) —	(6)1 > V 1«2 (6) — f2«i (6)].
В таком случае в поле 2 можно найти элементы dj, для которых
® laj(6) —	(6) — dja.2 (?) 4- djC^ (J)] > v [<х2 (?) — е2а1 (?)]•
Если мы положим
Pt (6) = «1 (6), р.2 (6) = а2 (0 - с.^ (5),
Рз (6) = «3 (?) — сза1 (6) —	(6) +	(6), ....
то многочлены PjG), р2(6), ... составят базис над полем 2 для
многочленов от разностей — <хр ...,	— аг, имеющих степени < т,
причем
v[p1(6)i<®(p2(01<v[₽3(0i< ....
Если Р(х) — любой многочлен из кольца 2^, ..., хг], то
а
Р® = 2 W6)+QG),
i=l
где Q(6)— многочлен от разностей — at, ...,	— аг, не содержа-
щий членов со степенями < т, а коэффициенты Ьг.Ьа принад-
лежат полю 2. В таком случае v [Q (;)] >• тх > М. Следовательно,
если v [Р (Е)] < М, то
vlP(6)] = v[2M (?)] = V [рр(0],
г
где p — наименьшее значение i, при котором ^<=0=0.
Но мы уже видели, что
?[М1=Й|ЗД]<Л1.
Следовательно, единственно возможными значениями для v' [///($)]
являются
($)], ...,?Ю)1-
Но так как
НМКНМК ... ,
22 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
338
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
то последовательность Но, Hv ... не может содержать более чем а
членов, вопреки предположению о том, что эта последовательность
бесконечна.
Отсюда мы заключаем, что после конечного числа шагов должен
получиться многочлен F^fx^), для которого возможна редукция
числа s ранее изложенными методами. Этим наше индуктивное рас-
суждение завершено, и тем самым справедливость теорем I и II
доказана.
§ 7. Нормирования размерности s и ранга k
Довольно длинный ряд построений, выполненных в §§ 5 и 6,
позволил нам доказать сформулированную в начале § 4 локальную
теорему об униформизации для случая нульмерных нормирований
ранга 1. В действительности для этого случая мы доказали больше,
так как было показано, что если U есть гиперповерхность в про-
странстве Ad+1 (xv ..., xd+l), а 23 — нульмерное нормирование ранга 1
поля функций для U, то существует кремоново преобразование про-
странства Ad+r, имеющее вид
Xi = Pi (Л.....yd+i) G = 1.........d + 1),
где Pi(yv ..., _Уд+1) — многочлены из /<[л> •••• ЛшЬ и преобра-
зующее U в многообразие U', на котором центр нормирования 23 будет
простым подмногообразием. Ниже будет видно, что это дополнительное
утверждение играет важную роль в рассуждениях настоящего пара-
графа. Нашей задачей здесь будет вывести из указанного частного
случая локальной теоремы об униформизации (для краткости ЛТУ),
что теорема верна для нормирований размерности s и ранга k.
Мы сделаем это в два этапа. Прежде всего покажем, что если ЛТУ
верна для нормирований ранга k и размерности нуль, то она верна
для нормирований любой допустимой размерности s, имеющих ранг к.
После этого будет доказано, что если ЛТУ верна для нормирований
ранга k и любой допустимой размерности s, то она верна и для нор-
мирований ранга Ясно, что эти два результата вместе с тео-
ремой I § 6 влекут за собой справедливость ЛТУ в общем случае.
Пусть U—неприводимое алгебраическое многообразие размер-
ности d в аффинном пространстве А„, и пусть ($1( ..., $„)— общая
точка для U. Допустим, что мы можем предположить справедли-
вость ЛТУ для любого нормирования поля функций S =	.... ?„)
многообразия U в случае, когда нормирование имеет ранг k и раз-
мерность нуль. Рассмотрим нормирование 23 поля S, имеющее ранг k
и размерность s. Без ограничения общности мы можем предполагать,
что центр V нормирования 23 на многообразии U лежит на конечном
расстоянии. Обозначим через 91 кольцо нормирования 23, а через р
§ 7. НОРМИРОВАНИЯ РАЗМЕРНОСТИ S И РАНГА k
339
максимальный идеал кольца 91. Так как подмногообразие V лежит на
конечном расстоянии, то
3 = К[$1, .... М с 91
и V определяется простым идеалом ф — 3 П Р кольца 3-
Пусть V имеет размерность s'. Мы знаем, что s'<is. Если s' < s,
то поступим следующим образом. Среди координат можно выбрать s'
алгебраически независимых по модулю ф. Можно предполагать коор-
динаты перенумерованными так, что .... алгебраически неза-
висимы по модулю ф, а значит, и по модулю р. Так как размерность
нормирования 23 равна s, то можно найти еще s — s' элементов
V+i.......’’Is кольца 91 так, чтобы элементы $1, ....	т]8'+1.7]g
были алгебраически независимыми по модулю р. Мы рассмотрим
многообразие U' в аффинном пространстве размерности n-]-s — s',
имеющее общую точку ($р ..., $п, к]у+1.....т|ч).	Очевидно, что 67'
бирационально эквивалентно многообразию U, так как поле ...
. . ., 5Я, 7)^+1, . . ., 7]g) == S.
Пусть 3'— область целостности ..., тр-н» •••> lei-
Тогда
3 = 3' С 91
и центр V' нормирования 23 на многообразии U определяется простым
идеалом ф' == 3' П р кольца 3'- Так как элементы .$g', 7]/+1, .., iqg
алгебраически независимы по модулю р и лежат в 3\ то они алге-
браически независимы и по модулю ф'. Следовательно, многообразие V
имеет размерность, не меньшую s. Но так как размерность центра
s-мерного нормирования не может превосходить s, то отсюда вытекает,
что размерность многообразия V' точно равна s. Далее, мы имеем
Ф = 3пр = 3п3'пр = 3п Ф'.
а из соотношений
3 = 3', Ф =3 П ф'
следует, что
Q(V) = 3'B = 3^ = Q(V').
Поэтому достаточно доказать ЛТУ для многообразия U' и нормиро-
вания 23.
Таким образом, можно предполагать, что центр V нормирования 23
на многообразии U имеет размерность s и что £р ..., ;g алгебраи-
чески независимы по модулю ф. Обозначим через 2 поле К’(!;1..Q.
Любой многочлен от ..., $g с коэффициентами из К является
делителем единицы в кольце 91. Следовательно, нормирование поля 2,
индуцируемое нормированием 2В, тривиально. Возьмем поэтому поле 2
в качестве нового основного поля и рассмотрим многообразие U,
22*
340
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
определяемое над этим полем общей точкой (q.....$„). Непосредст-
венно очевидно, что это многообразие имеет размерность d — s. Так как
2 = К($1( .... U,
то поле
2=^(4........U = 2&.........U
будет полем функций £ для многообразия U и поэтому нормирова-
ние 23 будет и нормированием поля S. Ранг этого нормирования,
как нормирования для 2, равен fe. Но ввиду того, что нормирование 23
имело размерность s, а элементы .......!js алгебраически незави-
симы по модулю максимального идеала р кольца 91, любой элемент ц
из 91 будет алгебраически зависимым над полем от элементов
Sip .... 6S по модулю р. Следовательно, элемент ц будет алгебраи-
ческим над полем 2 по модулю р, и поэтому размерность нормиро-
вания 23, как нормирования поля S, равна нулю. Таким образом,
23 является нульмерным нормированием поля S. Пусть V — центр
этого нормирования на многообразии U. Он определяется идеалом
2 • (3 П р) = 2 • Ф кольца 2 • 3- Кроме того, так как любой элемент
поля 2, отличный от нуля, является делителем единицы в кольце Q(V),
мы усматриваем, что кольцо частных Q(V) для V равно Q(V).
В силу предположения индукции, существует многообразие U',
определенное над полем 2 и бирационально эквивалентное U, на ко-
тором центр V' нормирования 23 будет простым нульмерным подмно-
гообразием, и при этом ^(К) £ Q(V'). Многообразие U' можно рас-
сматривать как многообразие в аффинном пространстве, на котором
подмногообразие У'лежит на конечном расстоянии. Пусть ...т1т)—
общая точка для U'. Обозначим теперь через U* многообразие, опре-
деляемое над полем 2 общей точкой (Ех......$n, т]1, ..., т|т) (оно
находится в регулярном соответствии с соединяющим многообразием
для U и U'), а через U* — многообразие, определяемое той же общей
точкой над полем К-
Так как	.... ?„) = £ = £, то ясно, что многообразие U*
бирационально эквивалентно U. Пусть теперь V* — центр нормирова-
ния 23 на многообразии U*. Докажем, что V* есть простое подмно-
гообразие на U*, имеет размерность s и удовлетворяет соотношению
Q(V)=Q(V*). Так как многообразия V и V оба лежат на конеч-
ном расстоянии в своих пространствах, то мы имеем
.....M = 9t, 2К, .... -nJ = 91.
Следовательно,
3*=^,..... е„. ..........=
§ 7. НОРМИРОВАНИЯ РАЗМЕРНОСТИ s И РАНГА k
341
т. е. многообразие V* лежит на конечном расстоянии и определяется
идеалом *р* = 3*П₽ кольца 3*- Но так как элементы Ех..........
являются элементами кольца 3*> алгебраически независимыми по мо-
дулю ф*, то V* имеет размерность s. Далее, так как Q(V)CQ(V*),
то многообразие V* является единственным подмногообразием на со-
единяющем многообразии U* для U и U', отвечающим подмногообра-
зию V, а V* (т. е. центр нормирования 23 на U*) удовлетворяет усло-
вию Q (!<*) = Q(V')- Следовательно,
Q (Ю = Q (V) с Q (Г) = Q (Й.
Таким же образом, как мы раньше выяснили, что Q (V) = Q (V),
можно убедиться теперь в том, что
ё(й = <ж*)-
Поэтому
Q(V) = Q(V*).
Напомним, что V является простым нульмерным подмногообра-
зием на многообразии U', имеющем размерность d — s. По-
этому максимальный идеал кольца частных Q(V*) — Q(V*) — Q(V')
имеет базис, состоящий из d— s элементов. Но размерности много-
образий U* и V* равны соответственно d и s, и поэтому из сказан-
ного следует, что V* есть простое подмногообразие на U*. Таким
образом, U* есть бирациональный образ многообразия U, на котором
центр V* нормирования 23 является простым s-мерным подмногообра-
зием, удовлетворяющим условию Q(V) с Q(V*). Следовательно, из
предположения, что ЛТУ имеет место для нульмерных нормирований
ранга k, следует справедливость ЛТУ для нормирований ранга k вообще,
независимо от их размерности.
Для окончания доказательства теоремы остается лишь показать,
что если ЛТУ верна для нормирований ранга k и любой размерности,
то она верна и для нульмерных нормирований ранга k 1. Рассмо-
трим d-мерное многообразие U и нульмерное нормирование 23 ранга
k 1 поля функций для U. При этом можно считать неоднородные
координаты выбранными так, чтобы центр V нормирования 23 лежал
на конечном расстоянии. Общую точку многообразия U обозначим
через ..., Q.
Так как нормирование 23 имеет ранг А-|~1, то его можно соста-
вить из A-мерного нормирования 23' поля	.... £„) и неко-
торого нормирования ЗВХ ранга 1 для поля вычетов нормирования 23'.
Ввиду того, что 23 имеет размерность нуль, 23х также должно иметь
размерность нуль. С другой стороны, размерность s нормирования 23'
больше нуля, так как нормирование 23х нетривиально. Поэтому поле
также имеет положительную размерность над К. Обозначим через W
центр нормирования 23' на многообразии U. Если Wимеет размерность s'f
342
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
то 0 s' <1 s. Ввиду того, что V с W и многообразие V лежит на
конечном расстоянии, W также должно лежать на конечном рас-
стоянии.
По предположению индукции, существует бирациональный образ U'
многообразия U, на котором центр W' нормирования 23' является
простым s-мерным подмногообразием, удовлетворяющим условию
Q(W)<^Q(W'). Так как нормирование SB составлено из 33' и еще
некоторого нормирования, то центр V' нормирования 23 на многооб-
разии U' содержится в W . Мы выберем неоднородные координаты
так, чтобы многообразие V', а значит и W, лежало на конечном
расстоянии, и обозначим через (-Щр ..., т|т) общую точку для U'.
Наконец, многообразие в (n -J- «)-мерном пространстве, имеющее
общую точку (Sj....in, Th.....7|m), обозначим через U*.
Пусть 91 — кольцо нормирования 23, а р — максимальный идеал
этого кольца. Тогда, ввиду того, что V и V лежат на конечном рас-
стоянии,
3 = *К.......U = «, 3' = КК..........Tjm] с 9J,
и поэтому
3’ = /к......Tip .... T]m]cgt.
Следовательно, центр V* нормирования 23 на многообразии U* лежит
на конечном расстоянии и определяется идеалом Sp* = 3* П ₽ кольца 3*-
Если W* — центр нормирования 23' на U*, то V* с w*, и поэтому
многообразие W* также должно лежать на конечном расстоянии.
В таком случае, как мы уже видели, соотношение Q (W) с Q (W')
и тот факт, что кольцо 3* является объединением колец 3 и 3'i
влекут за собой равенство Q(W') = Q(W*). Поэтому W* является
простым s-мерным подмногообразием на U*. Далее, так как много-
образия V и V' определяются идеалами ^ = ЗПри$Р' = 3/Пр колец 3
и 3'> т0
$ = ЗПР = ЗЛЗ’ПР=ЗЛ$*. 3^3*.
а отсюда можно заключить, что 3>в — 3^*> т. е. что Q(V)cQ(V*).
Из сказанного следует, что если мы сможем доказать теорему
для многообразия U*, то ее можно доказать и для U. Другими сло-
вами, нам остается доказать теорему в предположении, что центр W
нормирования 23' на многообразии U является s-мерным простым под-
многообразием на U. Следующим нашим шагом будет доказательство
того, что задачу можно еще упростить, добавив к уже установленным
ограничениям то, что многообразие U является гиперповерхностью.
Предположим, что многообразие W есть простое s-мерное под-
многообразие на U, определяемое простым идеалом кольца
3 = ЛК, .... Е„]. Без существенного ограничения общности можно
предполагать координатную систему выбранной так, чтобы выпол-
нялись следующие условия:
§ 7. НОРМИРОВАНИЯ РАЗМЕРНОСТИ S И РАНГА k
343
(1)	Пересечение многообразия U с подпространством U„_s, опре-
деляемым уравнениями
 ... хв == О,
является (d — $)-мерным многообразием, и каждая компонента пере-
сечения Пп_8 с многообразием W, состоящего из нульмерных много-
образий .......Ft, будет простым подмногообразием как на W,
так и на U. Ввиду того, что будут простыми подмногообразиями U,
в кольце 3 можно выбрать униформизирующие параметры т|8+1....
в окрестности IV таким образом, чтобы система Sj, .. ., 58, т|8+1.7]d
была системой униформизирующих параметров в окрестности Ft.
Более того (гл. XVI, § 3), можно выбрать элементы т|8+1, ..., 7]d и
элемент С из 3 таким образом, чтобы имели место следующие
свойства:
(II)	элементы ..., ;8, т]8+1....nqd алгебраически независимы
над полем К\
(III)	2 = ^.......и =	.....е8, т]8+1....7]d, С);
(IV)	элементы из 3 являются целыми над кольцом ...............$8,
^+1......'У;
(V)	если /(хг...jc8, уа+1, yd, г) — многочлен, неприводи-
мый над полем К и такой, что
Ж........v»..... ъ. 0=о,
то уравнение
/(О......О, 0, .... О, z) = О
имеет лишь простые корни.
Пусть U'— многообразие в пространстве Ad+1, имеющее общую
точку ($р .... Е8, т]8+1....nqd, С), и пусть S' =	.....$8,
т]8+1, .... 7]d, О- Так как 3'^3. то центром нормирования 33' на
многообразии U' будет многообразие W', определяемое идеалом
ф' = 3' Л кольца 3'. Докажем прежде всего, что многообразие W
имеет размерность $. Любой элемент из 3 является целым над коль-
цом .... Es, т]8+1, ..., 7]dJ, а значит, и целым над кольцом
/([$!, • • •> У по модулю Spg. Но так как многообразие W имеет раз-
мерность $, то элементы ..., $8 алгебраически независимы по мо-
дулю ф8, а значит, и по модулю ф8. Поэтому размерность много-
образия W' не меньше $. Но ввиду того, что W' является центром
s-мерного нормирования, отсюда следует, что эта размерность точно
равна s.
Покажем теперь, что многообразие W' является простым подмно-
гообразием на U'. Из приведенного выше условия (V) следует, что
^0 »
Но так как
df& т), С)
дС	>
344
ГЛ. XVIII БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
то отсюда вытекает, что
° Ф 0 ($),
и поэтому W есть простое подмногообразие на U'.
Наконец, по построению, элементы кольца 3 — целые над коль-
цом 3'- Поэтому соображения, использованные в § 4, стр. 291, пока-
зывают, что Q (У) с Q(!/')• Следовательно, если мы сможем дока-
зать ЛТУ для многообразия U' и нормирования 23, то отсюда будет
следовать справедливость теоремы для U. Но многообразие U' является
гиперповерхностью в пространстве Ad+1, определяемой уравнением
7(*1.....................х8,	у8+1....yd, 2) = 0.
Таким образом, осталось доказать нашу теорему в случае, когда
U — гиперповерхность, а многообразие W, служащее центром норми-
рования 23' на гиперповерхности U, — простое s-мерное подмногооб-
разие. Полезно сформулировать явно наши предположения относи-
тельно U и 23. U есть гиперповерхность в пространстве Ad+1, опре-
деляемая уравнением
/(Лр •••> X'd+i) — О,
или общей точкой (£р .... $d+1). 23 — нульмерное нормирование поля
.., $d+1), имеющее ранг &-J-1 и составленное из s-мерного
нормирования 23' ранга k поля S и некоторого нульмерного нормирова-
ния ранга 1 для поля вычетов нормирования 23'. Центры V и W нор-
мирований 23 и 23' находятся на конечном расстоянии, причем W имеет
размерность s и является простым подмногообразием на U. Элементы
68+1....6d служат униформизирующими параметрами для гиперпо-
верхности U и в окрестности W. Если 3 = ^Ui> •••> -d+J и —
простой идеал многообразия W в кольце 3, то
<*•>
и элементы .......алгебраически независимы по модулю 2fls.
Перейдем от кольца 3 к кольцу вычетов З/Фв и обозначим через
элементы, соответствующие элементам ;; при таком переходе. Тогда
U= =4d=o.
С другой стороны, элементы $р	алгебраически независимы
над К. Так как
.....I. О......о, U1) = о,
то элемент 6d+1 алгебраически зависит от ..., Вв, и поэтому суще-
ствует единственное неприводимое соотношение
^(^i> •••> ^в>	= 0>
§ 7. НОРМИРОВАНИЯ РАЗМЕРНОСТИ 8 И РАНГА й
345
связывающее элементы ...... £d+1 (гл. III, § 3, теорема VI). Но
написанное соотношение эквивалентно сравнению
...,^d+1)±=0 (ф8).
В таком случае
/(Хр . . ., х8, 0..О, xd+1) =
= g-(Xp ..., Х8, Xd|1)<p(Xp .... xs, xd+1),
где <p(xp .... xs, xdM) — некоторый многочлен над полем К- Следо-
вательно,
/(xt, ..., xd+1) = g(Xp ..., х„, xd+1)®(xp ..., х8, xd+1) +
(I
+ .2 A(X1> •••> xd+t')xi-
i —- J -f-1
Из равенства
d
+ s -ш,.................................
"xd + l	"xd+l oxd + l	OXd+t
1 = 8 + 1
мы заключаем, что
df& ;._
d?<j+i
(ФД
Но так как, по предположению,
s*° <«
то <?(!;)=£ О (Ф8), или, что то же самое, v' [<p(!j)] = O.
Вернемся к гомоморфному отображению кольца 3 на 3/Ф«- Так
как ф8 есть идеал кольца 3, соответствующий центру нормирования 2?',
то кольцо З/Фв изоморфно некоторой области целостности, содержа-
щейся в поле вычетов нормирования S3'. Но 3/Ф« есть область цело-
стности многообразия W. Следовательно, поле функций Е многообра-
зия W изоморфно подполю поля вычетов нормирования 23' и может
быть отождествлено с этим подполем. Нормирование 23р определяющее
вместе с 23' нормирование 23, индуцирует в поле Е некоторое норми-
рование, которое мы обозначим через 23.
W является многообразием в пространстве As+V определяемом
уравнениями х8+1 = ... = xd = 0, и имеет общую точку (1Р . . .
  • • V Ъ+1)> а Ф — нормирование поля функций для W, имеющее
ранг 1 и размерность нуль. Следовательно, в силу теоремы I § 6,
существует кремоново преобразование вида
xi = ^»(Л’   > Ук> Уа+г) (« = С • • • >	1)>
346
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
где Pi — многочлены над полем К, переводящее W в гиперповерх-
ность W, на которой центр нормирования $8 будет простым подмного-
образием. Пусть мы имеем
g(*) = G(.Vi.....Л. Л»+1) Ф (Л........Л. Лй-1)>
где О (у) = 0 — неприводимое уравнение гиперповерхности W'. Без
ограничения общности мы будем предполагать, что производная
дО/дул+1 не обращается в нуль в центре нормирования 23. Нам нужно
показать, что многочлен <р(у) не обращается в нуль на W'.
Рассмотрим однозначно определенное s-мерное нормирование 23*
поля ..........уа, yd+1) (размерность этого поля равна d-pl), имею-
щее своим центром в пространстве (yt......уа, yd+1) многообразие W'
(гл. XVII, § 5, теорема VII). Это нормирование дискретно, причем
г/* (.У) ] > 0- Так как многочлен О (у) неприводим, то отсюда сле-
дует, что если группу значений нормализовать, то будет v* [G (у) ] — 1.
В бирациональном соответствии между пространствами (ур .. • .y8,y<i+i)
и (хр ..., х8, xd+1) многообразие W' не может быть фундаменталь-
ным, так как размерность любого фундаментального многообразия
меньше s (§ 2, теорема IV). Поэтому в пространстве (хх.....хь, xd+1)
имеется единственное многообразие W*, отвечающее W, причем W*
является центром нормирования 23* в пространстве х. Если теперь
(-»]1, ..., 7|g, T|d+1) — общая точка многообразия W' и если положить
=	•••> V ,»)d+i)	0 = 1......<*+1)>
то точка ($!.....I8, $d+1) будет общей точкой для IV*. Но, в силу
свойств кремоновых преобразований, точка (^........I8, $d+1) должна
быть общей точкой для W. Следовательно, W = W*, и поэтому много-
образие W* имеет размерность s. Но в таком случае, ввиду неприво-
димости многочлена g(x) и ввиду того, что он обращается в нуль
на W, мы усматриваем, как и выше, что v* [g(x) ] = 1. Теперь из
того, что
ц* [g(x) ] = v* [О (у) ] 4- v* [<]» (у) ]
и
Hg(x)] = 1 =‘f*[O(y)J,
очевидно, что
‘»*14’(у)]*=о,
т. е.
ф (ц) =/= 0.
Определим элементы т1р .... 7|g, ?]d+1 равенствами
В< = ^<('П1...»!«.	%ц) (i = l..........s, d4-l).
§ 7. НОРМИРОВАНИЯ РАЗМЕРНОСТИ 4 И РАНГА *
347
В таком случае элементы можно рассматривать как вычеты соот-
ветствующих элементов *1Г]4 в нормировании 23'. Так как
И ф (nq) ф О, ТО
v' 1ф(т])] =0.
Центром нормирования 23 на многообразии W' является подмного-
образие с общей точкой (tj*.........т]*, tj* ), где т|* — вычеты эле-
ментов в нормировании $8, т. е. вычеты элементов в нормирова-
нии 23. То обстоятельство, что производная dG/dyd+1 не обращается
в нуль в центре нормирования 23, можно теперь выразить так:
Вернемся теперь к многообразию U в (d -ф-1 )-мерном аффинном
пространстве (х,.....xd+i)- Произведем преобразование
*1 = РЛУ1> •••• Jd+I) 0=1.............
где
Л(Л.......Уа+1) = Р*(У1.......Л- Лш) 0=1> s> rf+O
И
Pi (Л.....Л+1) = ЛФ(.У)х(.У)	0 = «+1........d),
а
7. 00 = <? (*i> • • •. х3, xd+1) = <р [Pj (у).Р8 (у), Pd+t (у) ].
Это преобразование, очевидно, является кремоновым. Обозначим
через (-»]т...'Hd+i) образ точки ........Bd+1)	и заметим, что эле-
менты Tip ..., -т]в, 7|d+1 совпадают с элементами т|р ..., i]g, 7|d+1 из
поля Е, рассматривавшимися в связи с (s-f- 1)-мерным пространством
(yt.....у8, yd+1). В таком случае, ввиду того, что ?(х) не обра-
щается в нуль на W, должно быть v' [® ($) ] = У [у(т]) ] = 0. Но так как
= ''кФ Сп) У. О'])	0 = 5 4-1,  • , d)
и
с'(?Э>о	(; = s+i,.... d),
то
0 < v' ($4) = v' (Т|4) 4- Vr [ф (1)) ] 4- v' [% (тр ] = V' (Т|4).
Рассмотрим образ U' многообразия U при кремоновом преобразо-
вании, а также центр нормирования 23 на многообразии U'. Мы имеем
d
/(-») = «(-»)?(-»)+ 2 Л(*1. •••• ха+1)Х( =
4=8+1
d
==-0(у)ф(у)у(у)4- 2 В1(у)у^(уУ/(у),
4=8+1
348
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
где Bi(y) = А^х). Положим
а
H(y) = G(y) + 2 В^У)У,.
i = a + l
Так как значения ф (т|) и (т|) отличны от нуля, то из равенства /($) — О
следует, что //(?)) = 0. Поэтому уравнение
Я(Л.......Ж1) = °
удовлетворяется точками многообразия U'. Но так как многочлен G (у)
неприводим и не зависит от _ys+1, .... у$, то Н(у) может быть при-
водимым лишь в том случае, если он имеет множитель вида
d+1
П^)=1+ 2 С{(У)У<-
{-8+1 
Многочлен Т(у) не может обращаться в нуль на многообразии U'.
Действительно, центр нормирования 23х на многообразии U' находится
на конечном расстоянии, так как т>'(т]$)^>0 (i = 1, ...,	и
имеет общую точку (тг)*........^+1)>	где — вычеты элементов
в нормировании $8'. Так как
v' (»!*) > 0 (г = s 4-1	'
то
Т14 = о (t = s 4-1, . . ., d).
Ясно, что эти значения не удовлетворяют уравнению 7'(_у)=;0, .и
поэтому Т(у) не обращается в нуль на U', так как он отличен от
нуля в точке т| этого многообразия. Отсюда легко получается, что
неприводимое уравнение для U' имеет вид
d
н' (J) = 0(^)4- s в; (у) л-
i а 4" 1
Чтобы найти центр нормирования 23 на многообразии U', возьмем
вычеты элементов т|4 в этом нормировании. В таком случае точка
будет общей точкой центра нормирования 23. Так как нормирование 23
составлено из 23х и еще некоторого нормирования, то из неравенств
цх О’!*) (z = s 1 > •  • > d) следует, что т;'* = 0 (7 = $ -]- 1, . .., d).
Остальные уже были определены в связи с центром нормирова-
ния 23 на многообразии W'. Мы имеем теперь
дн' = д° _|_ у dB'i(y)
дУа+i дУа+1 + ^d+i У*'
« = 8+1
Следовательно,
дН'	dG	п
. *	--- л «	#=	V,	ч
^d+l	^d+1
§ 8. РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ
349
т. е. производная дН'1дул+1 не обращается в нуль на центре норми-
рования 23. Таким образом, этот центр является простым подмного-
образием на U'.
Итак, мы получили образ многообразия U, на котором центр V'
нормирования 23 является простым подмногообразием. Так как при
этом -АС!?!, .... 6d+1] £ КИц, • •Tlfi+i], т0 мы можем заключить, как
обычно, что Q(V)£Q(V")- Это — последний частный случай теоремы
о локальной униформизации, который нужно было рассмотреть. Таким
образом, теорема для всех случаев доказана.
Пользуясь теперь теоремами III §§ 5 и 6 гл. XVI, можно заметить,
что если U* — производное проективно нормальное многообразие
для U', то на U* имеется единственное подмногообразие V*, имеющее
размерность s и отвечающее подмногообразию V'. При этом Q(V') —
= Q(V*). Следовательно, V* является простым подмногообразием
на U* и одновременно центром нормирования 23 на этом многообразии.
Таким образом, в формулировке локальной теоремы об униформизации
можно требовать, чтобы бирациональный образ многообразия U, на
котором центр нормирования $8 является простым подмногообразием,
был проективно нормальным многообразием.
§ 8. Разрешающие системы
Локальная теорема об униформизации очень полезна при изучении
отдельно взятого нормирования поля функций S алгебраического
многообразия U. Но во многих задачах алгебраической геометрии
приходится рассматривать не одно нормирование, а некоторую сово-
купность их. Например, может оказаться необходимым рассмотреть
совокупность всех нормирований поля S, центры которых на много-
образии U лежат на заданном подмногообразии V многообразия U.
Такая необходимость возникает, в частности, при исследовании струк-
туры особого подмногообразия V на U. Очевидно, что было бы очень
выгодно построить бирациональный образ многообразия U, на котором
центр любого нормирования из рассматриваемой совокупности был бы
простым подмногообразием. Идеальным было бы построение такого
бирационального образа U' для U, на котором центр любого норми-
рования поля S является простым подмногообразием. Ввиду того, что
центром нормирования поля S может быть любое неприводимое под-
многообразие на U', ясно, что описанное построение эквивалентно
построению бирационального образа многообразия U, вообще не имею-
щего особых точек. Как мы уже указывали, существование такого
бирационального образа до сих пор доказано лишь в том случае,
если размерность многообразия U не превышает трех. Однако частный
результат, который может быть доказан для многообразий любой
размерности и представляет известный интерес, содержится в следую-
щей теореме:
350
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Теорема I. Для, любого алгебраического многообразия U
с полем функций X существует конечная система многообразий
1Д, Uk, бирационально эквивалентных многообразию U и
обладающих тем свойством, что центр любого нормирования 23
поля X является простым подмногообразием хотя бы на одном
из U{.
Система многообразий, обладающих указанным в теореме свой-
ством, называется конечной разрешающей системой поля X. Любая
система многообразий {Ua}, конечная или бесконечная, называется
разрешающей системой поля X, если каждое из многообразий Ua
бирационально эквивалентно U и если центр любого нормирования
поля X будет простым подмногообразием хотя бы на одном из Ua.
Локальная теорема об униформизации показывает, что для поля функ-
ций любого алгебраического многообразия U разрешающая система
существует. В частности, совокупность всех бирациональных образов
многообразия U будет такой системой. Для доказательства теоремы 1
нужно лишь показать, что из существования разрешающей системы
следует существование такой системы из конечного числа многооб-
разий.
Одно возможное упрощение доказательства последнего факта не-
посредственно очевидно. Действительно, нужно лишь доказать суще-
ствование конечной разрешающей системы для нульмерных нормирова-
ний поля X, т. е. существование такой системы многообразий
.......Uk, что каждое из Ut имеет поле X своим полем функ-
ций и для любого нульмерного нормирования $8 поля X найдется
хотя бы одно Ut (1	k), на котором центр нормирования 23
является простым подмнбгообразием. В самом деле, предположим,
что система многообразий Uv ..., Uk является разрешающей систе-
мой для нульмерных нормирований поля X. Пусть 23 — любое норми-
рование для X, имеющее размерность, большую нуля. Тогда из нор-
мирования 23 и некоторого нормирования его поля вычетов можно
составить нормирование 23О поля X, имеющее размерность нуль
(гл. XVII, § 5, теоремы VIII и IX). Пусть —многообразие из
нашей разрешающей системы, на котором центр Vt нормирования 23о
является простым подмногообразием, и пусть — центр нормирова-
ния 23 на этом многообразии. Так как нормирование 23о составлено из 23
и некоторого нормирования его поля вычетов, то Vt с U^. В силу
того, что Vi есть простое подмногообразие на Uit не все точки
многообразия Wt будут на Ut особыми точками, так что Wt— про-
стое подмногообразие на Таким образом, система ...............Uk
является разрешающей системой для всех нормирований поля X, и
мы можем ограничиться рассмотрением только нульмерных нормиро-
ваний. Поэтому во всем дальнейшем изложении в этом параграфе
предполагается, что рассматриваемые нормирования нульмерны.
Первым шагом к доказательству теоремы I является доказательство
следующей леммы:
§ 8. РАЗРЕШАЮЩИЕ СИСТЕМЫ
351
Лемма I. Пусть U — неприводимое алгебраическое. многообра-
зие, a {Уя}—любая система его подмногообразий. Если система
{Уд} обладает тем свойством, что любое конечное число входя-
щих в нее подмногообразий Уя,, Уял имеет непустое пересе-
чение, то существует хотя бы одна точка, принадлежащая всем
многообразиям системы {Уя}.
Предположим, что лемма неверна, и рассмотрим любое многооб-
разие Уя, из системы {Уя|. Оно не может быть пустым, так как
в противном случае пересечение любой конечной подсистемы много-
образий {Уд}, содержащей Уя,, было бы также пустым, вопреки
условию. С другой стороны, не все многообразия системы {У„{ со-
держат Уя, в качестве подмногообразия, так как в противном случае
любая точка многообразия Уя, принадлежала бы всем многооб-
разиям Уд, а мы предположили, что пересечение всех многообразий Va
пусто. Поэтому существует многообразие УЯз из системы {Va}, не
содержащее Уя,. Следовательно,
УЯ1 = Уд, П Уа,-
Повторяя это рассуждение, можно показать, что пересечение Уд, П УЯа не
пусто и не может содержаться во всех многообразиях системы {Уд}.
Поэтому существует многообразие У„3 из системы {Уя}, для которого
Уд, о Ув,ПУвг=>У«1ПУ«,П
Дальнейшее продолжение этого рассуждения показывает, что наше
предположение об отсутствии точки пересечения всех многообразий
системы {Уд} приводит к построению бесконечной строго убывающей
последовательности подмногообразий многообразия U. Но мы знаем,
что любая строго убывающая последовательность подмногообразий
конечна (гл. X, § 1), и поэтому наше первоначальное предположение
неверно. Тем самым лемма доказана.
В дальнейшем будет удобно обозначать пересечение системы {7ИХ}
подмножеств данного множества М символом Д Л4к, а пересечение
ft
подмножеств конечной подсистемы ЛД,......7Uxfc через ЦАЦ. До-
к
казанную лемму можно сформулировать так: если Ц Уя 4= 0 для
i=l *
любой конечной системы (sq....afc), тоЦУя#=0.
а
Рассмотрим теперь любое алгебраическое многообразие U и его
поле функций S. Обозначим через {{/,} совокупность всех алгебраи-
ческих многообразий, бирационально эквивалентных многообразию U.
352
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Многообразия Ua обычно называются проективными моделями поля Е.
Индекс а может пробегать некоторое множество индексов, причем
для дальнейшего нам нужно, чтобы множество индексов определяло
некоторое полное упорядрчение проективных моделей. Пусть М — мно-
жество всех нульмерных нормирований поля S. Подмножество М'
из М называется алгебраическим семейством, если существует проек-
тивная модель U поля 2 и на ней подмногообразие V, обладающие
тем свойством, что нормирование 2? принадлежит М' в том и только
в том случае, если его центр на U содержится в V.
Лемма II. Пересечение любых двух (а значит, и любого ко-
нечного числа) алгебраических семейств из М либо пусто, либо
является алгебраическим семейством.
Пусть М' и М" — алгебраические семейства, a U’ и U" — две
проективные модели поля Е, такие, что М' и М" являются соответ-
ственно совокупностями нульмерных нормирований поля Е, центры
которых на U' или на U" содержатся в подмногообразиях V' и V"
этих многообразий. Обозначим через U соединяющее многообразие
для U' и U", а через Vr и V.2 полные образы многообразий V и V"
на соединяющем многообразии. По определению, Vl является геоме-
трическим местом на многообразии U, состоящим из центров норми-
рований поля S, центры которых на U' содержатся в многообразии V'.
Мы знаем, что Vj—-алгебраическое многообразие. Из сказанного
следует, что центр на U для любого нормирования из М' содержится
в Vj. С другой стороны, так как U является соединяющим много-
образием для U' и U", то каждому подмногообразию на U отвечает
единственное подмногообразие на U'. Рассмотрим любое нульмерное
нормирование 23 поля Е, имеющее центр W, содержащийся в Vr
Так как W с Vp то должно существовать некоторое нормирова-
ние 23' поля S, содержащееся в множестве М' и имеющее под-
многообразие W своим центром на U. Центр нормирования 23' на
многообразии U' содержится в V. Следовательно, существует под-
многообразие W, содержащееся в V' и отвечающее подмного-
образию W. При этом W' есть единственное подмногообразие
на U', отвечающее W. Отсюда вытекает, что оно будет и цен-
тром нормирования 23 на многообразии U'. Так как W содержится
в V', то нормирование 23 принадлежит семейству М'. Таким обра-
зом, М' может быть определено как совокупность нульмерных нор-
мирований, центры которых на многообразии U содержатся в Vv
Аналогично, М" является совокупностью нормирований, центры кото-
рых на многообразии U содержатся в алгебраическом многообразии V2.
Поэтому пересечение семейств М' и М" будет совокупностью нор-
мирований поля S, центры которых на многообразий U содержатся
в Vi П V2. Следовательно, это пересечение либо пусто, либо является
алгебраическим семейством.
Лемма III. Если —любое множество алгебраических
семейств нормирований, обладающее тем свойством, что Пересе-
§ 8. РАЗРЕШАЮЩИЕ системы
353
к
чение JJ 0 для любой, конечной системы индексов (Ар ..Ак),
4=1	*
то JJ 7ИХ ф 0.
Пусть 67к —любая проективная модель поля S, a V*— геометри-
ческое место центров нормирований из Л4Х на многообразии Ua. Л4Х
является Совокупностью нормирований, центры которых на некоторой
проективной модели U? содержатся в заданном подмногообразии Vp.
Поэтому геометрическое место v\ центров нормирований из Л4Х на
многообразии является полным образом подмногообразия Vg на
многообразии Ua. Следовательно, это геометрическое место является
алгебраическим многообразием. Нужно заметить, однако, что могут
существовать нормирования поля S, центры которых на 67а содер-
жатся в Уд, а сами эти нормирования не принадлежат Л4Х. В самом
деле, если W — нульмерное подмногообразие на Va, являющееся фун-
даментальным подмногообразием в бирациональном соответствии между
и т0 на Щ может существовать нульмерное подмногообра-
зие W', отвечающее W, не содержащееся в V^. В таком случае нуль-
мерное нормирование поля S, центром которого на многообразии 67а
служит IV, а центром на многообразии Up--W', не принадлежит
семейству Л1х> и в то же время его центр на t7a содержится в V« .
Докажем прежде всего, что Д Va¥=0. Пусть Ар ...,Afc— любая
к
конечная система индексов. По условию, пересечение Д 7И>=^0. По-
4 = 1	’
этому существует нормирование 23, принадлежащее всем семействам
ЛЦ......Его центр на многообразии 67а будет принадлежать
всем подмногообразиям Va1, .... Vafc, а значит, пересечение этих
к
подмногообразий не пусто, т. е. Д Vx<^=0. Из леммы I мы заклю-
4=1
a
чаем теперь, что Д Vх =# 0.
Мы предположили выше, что множество {67к} проективных моде-
лей вполне упорядочено. Пусть Wt — некоторое неприводимое нуль-
мерное многообразие, содержащееся в Д Vх. Начиная с W1, мы по-
строим с помощью трансфинитной индукции неприводимые нульмерные
подмногообразия IVa многообразий (7а для всех а. При этом много-
образия IVa должны обладать следующими свойствами:
(I) lVa содержится в Д V„;
X
(II) если задана любая конечная система at, ..., ак индексов a
и любая конечная система Ар .. ., /.г индексов А, то существует
23 Зак. 1831. В. Ходж и Д. Пидо
354
ГЛ. XV1II. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
нормирование 93, содержащееся во всех семействах 7Их,> •. и та-
кое, что его центрами на многообразиях будут (i = 1, .. ., k).
Предположим, что многообразия 1Гв построены для всех а, удо-
влетворяющих неравенству а < р. Покажем, как можно построить W^.
Пусть it* а —алгебраическое подмногообразие на U&, образован-
ное центрами нормирований из 7ИХ, центрами которых на являются
(<— 1.........k).	Ясно, что it* Ур- Подмногообразие опре-
делено для любой системы индексов it* а , подчиненной условию
at < р. По предположению индукции, не только само it* . не
*<	„ для лю-
.....*к
является пустым, но не пусто также пересечение Tf it
i=l
бой конечной системы индексов .........лг. Поэтому, в силу леммы I,
пересечение .....eft =	...=£ 0, причем ив1.......«fc с Д Ур .
Рассмотрим теперь любую конечную систему многообразий и«„....aft>
подчиненных лишь тому условию, что каждый из индексов а4 для
любого из этих многообразий предшествует р. Если обозначить че-
рез ft....совокупность всех использованных при этом индексов,
то ясно, что irVt..т с тгв1..aft, и поэтому пересечение рассматри-
ваемых itSi..................ак не пусто. Отсюда, опять-таки в силу леммы I, сле-
дует, что пересечение IT ita a , в котором индексы a,,...,
«*.....................“л к
пробегают все конечные системы из элементов а, предшествующих р,
не будет пустым. Если 1Ур — любое нульмерное многообразие, содер-
жащееся вЦ"и,,... а/е, то из сказанного следует, что многообразия
1Га, а -С Р> удовлетворяют условиям (I) и (II). Следовательно, можно
построить многообразия lFa, удовлетворяющие указанным условиям,
для всех индексов а.
Рассмотрим кольца частных многообразий Wa. Все они содержатся
в поле функций S. Обозначим через 9? объединение этих колец, т. е.
совокупность элементов поля Е, которые можно представить в виде
$«, + ••• + 4’ ГДе	Если $ =	И 7] = ^+
+ . ..-f-TlPg, гДе Ц	И	— любые элементы
из 9t, то ясно, что	Покажем теперь, что произведение Ь]
также принадлежит SR. Пусть . U-({.—соединяющее многообразие для
(7а< и t/р.. Так как существует нормирование поля S, центрами ко-
торого на многообразиях Щ и Ua( являются соответственно подмного-
образия WJ(. и W^, то подмногообразия Wf и отвечают друг
другу в естественном бирациональном соответствии между и U«( .
Но так как U? . есть соединяющее многообразие для U- и Щ , на
Чу	•	3
$ 8. РАЗРЕШАЮЩИЙ СИСТЕМЫ
355
67а существует лишь одно многообразие, отвечающее . Отсюда
вытекает, что Q(WaJ —	(§ Ь СТР’ 251). Аналогично/(?(Грр с
с^(^). Следовательно, Цт)₽^ £ Ф(ГТ_), и поэтому произведение
$7] = SS т]р принадлежит 9t. Таким образом, 9? есть кольцо.
1=1j=i * 3
Очевидно, что 91 является областью целостности, полем частных ко-
торой служит S. Мы докажем, что если элемент <оа принадлежит
кольцу Q(W^) и не является в нем делителем единицы, то он не
будет делителем единицы и в 81.
Допустим, что о>а является делителем единицы в 91. Тогда
».-, = Е..+ --+Ч’
где 5в< — элементы из Q(Wa). Пусть Uy— соединяющее многообразие
для Ua, Uai, ..., Uak. Тогда, в силу основного свойства многообра-
зий Га, существует нормирование 23, центрами которого на много-
образиях Ua, Ua< (1 = 1.....k), Щ будут соответственно много-
образия Wa, Waf.............k), Wy. Так как Uy — соединяющее
многообразие для Ua, Ua,....i7«fc, то отсюда следует, что много-
образия Wa, W^.............. W^k являются единственными подмногообра-
зиями, отвечающими Wy, и что
Q (Га) <= Q(Г₽), Q(Га<) с Q(Wy).
Отсюда вытекает, что элементы <ов и w"1 принадлежат кольцу Q (Гр),
так что <i>a является в этом кольце делителем единицы. Поэтому
норма элемента о>а в нормировании 23 равна нулю. Многообразие Га
является центром нормирования 23 на многообразии Ua. Поэтому из
того, что <oa6Q(re) и v (<wa) = 0, следует, что a>a есть делитель
единицы в кольце С(Га). Полученное противоречие показывает, что
о>« не может быть делителем единицы в 91.
Частным следствием этого результата является то, что 9t есть соб-
ственное подкольцо поля S. Пусть теперь С — любой отличный от
нуля элемент из S, а Ua — любая нормальная проективная модель
этого поля. Выберем неоднородные координаты в пространстве, со-
держащем Ua, так, чтобы многообразие Га не лежало в гиперпло-
скости jc0 = 0. Тогда, если (1, ...;п)— общая точка для Ua, то
....$п1£С(Гв).
Пусть теперь Uy — проективная модель поля S, имеющая общую
точку (1,	С), а 23 — нормирование, центрами которого на
многообразиях U* и Uy служат подмногообразия Га и Wy. В таком
случае ц(^)> 0. Если	тО мы будем иметь	..., Еп, С] с
с Ф(Гр), а значит, СС2(Го). Если же v (С) < 0, то	*,
...,	£ Q(Wy), и поэтому С-1 € Q(r?). Таким образом, если С —
любой отличный от нуля элемент поля S, то один из элементов С или С-1
23*
356
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
обязательно принадлежит 94. Поэтому 91 есть кольцо некоторого нор-
мирования (гл. XVII, § 2, теорема III).
Пусть 23 — нормирование поля S, кольцом которого является 9?.
Это нормирование нетривиально, так как 9? не совпадает с Е. Пред-
положим, что размерность s нормирования 23 положительна. Тогда
должна существовать проективная модель Ua поля Е, на которой
центр V нормирования 23 будет иметь размерность $. Так как
Q	с 9?, то должно быть	с V (гл. XVII, § 5, теорема IV).
Так как многообразие Wa имеет размерность нуль, а многообразие
V — размерность >0, то в кольце	имеются элементы, не
являющиеся в нем делителями единицы и становящиеся делителями
единицы в Q(V). Но любой делитель единицы в кольце Q(V) является
также делителем единицы в 9? (гл. XVII, § 5, теорема IV). Отсюда
вытекает, что в кольце Q(Wa) имеются элементы, не являющиеся
делителями единицы и становящиеся делителями единицы в 9?, а это
противоречит ранее доказанному свойству кольца 91. Следовательно,
наше предположение о том, что нормирование 23 имеет размерность,
большую нуля, неверно.
Докажем, наконец, что нормирование 23 принадлежит всем семей-
ствам 7ИХ. Пусть Ua— проективная модель поля S, на которой суще-
ствует подмногообразие Иа, обладающее тем свойством, что 44^
является множеством всех нульмерных нормирований поля S, центры
которых на многообразии Ua содержатся в Ув. Многообразие 47а
существует, так как Л4,— алгебраическое семейство нормирований.
В таком случае с Va. Так как Q(lVa)£9i, то многообразие
содержится в центре нормирования 23 на Ua. Но так как нормиро-
вание 23 — нульмерное, то Wa должно совпадать с его центром.
Ввиду того, что центр нормирования 23 на многообразии Ua содер-
жится в Va, само $8 должно принадлежать семейству Л4к. Так как
доказанное относится ко всем А, то 1,1	¥= 0, и доказательство
леммы закончено.
Доказательство теоремы I легко получается из леммы III. Пусть
снова { Ua} — множество всех проективных моделей поля Е. Обо-
значим через Л4а семейство всех нульмерных нормирований поля Е,
центры которых являются особыми подмногообразиями на 47а. Дока-
жем, что ЦЛ4а = 0. Если бы это было не так, то существовало бы
а
нормирование Q3, содержащееся во всех семействах Л4Я. Поэтому
центр нормирования 23 был бы особым подмногообразием на каждой
проективной модели поля S. Но это противоречит локальной теореме
об униформизации, утверждающей существование проективной модели
поля S, на которой центр нормирования 23 будет простым подмного-
образием. Следовательно, должно быть П«. = о.
§ 9. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
357
Но теперь из леммы III следует существование конечной системы
к
индексов av ак, для которых 711^ = 0. Рассмотрим соответ-
ствующие этим индексам проективные модели Uai........I7aft. Пусть
33 — любое нульмерное нормирование поля Е. Его центр будет про-
стым подмногообразием хотя бы на одном многообразии Ua., так
как в противном случае было бы ®£ Ма. (1 = 1, .... А), а значит,
к
д #= 0. Таким образом, многообразия I7ai, .... I7aft составляют
конечную разрешающую систему для поля 5, и теорема I доказана.
§ 9. Редукция особенностей алгебраического многообразия
Мы уже указывали, что задача о нахождении бирационального
образа некоторого алгебраического многообразия U, который не
содержал бы вообще особых точек, совпадает с задачей нахождения
разрешающей системы для поля функций многообразия U, состоящей
лишь из одного многообразия. В случае, когда размерность много-
образия U равна единице, существование такой разрешающей системы
было доказано: любое производное нормальное многообразие для U
будет проективной моделью его поля функций, не содержащей осо-
бых точек (гл. XVI, § 6, теорема V). Если размерность многообра-
зия U больше единицы, то проективно нормальные многообразия,
эквивалентные U, могут иметь особые точки и поэтому существова-
ние свободной от особенностей проективной модели должно доказы-
ваться другими методами. Очевидным подходом к этому доказатель-
ству является рассмотрение конечной разрешающей системы Uv ..., Uk
для поля функций многообразия U и попытка при k > 1 заменить эту
систему разрешающей системой, состоящей из k — 1 многообразий.
Повторение этой операции могло бы привести к построению разре-
шающей системы, состоящей из одного многообразия.
В этом параграфе мы покажем, как такой переход может быть
сделан в случае, если размерность многообразия U равна двум.
Читателю будет видно, что условие d = 2 действительно исполь-
зуется в нескольких местах рассуждения, так что очень трудно
распространить это доказательство на случай многообразий, размер-
ность которых больше двух. Мы можем (и будем) предполагать, что
многообразия Ux......Uk, входящие в разрешающую систему, про-
ективно нормальны (§ 7, стр. 349). Поэтому в рассматриваемом случае,
когда d = 2, особыми подмногообразиями на многообразиях U1...Uk
могут быть лишь многообразия размерности нуль, так как проективно
нормальные многообразия не содержат особых подмногообразий раз-
мерности d — 1.
358
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Нашей задачей будет нахождение такого многообразия Uk_v при
котором система 671, .... Uk_z, Uk будет разрешающей системой
поля S. Соображения, позволяющие доказать существование много-
образия U'kl с указанным свойством, связаны только с многообра-
зиями ик_± и Uk. Пусть N—множество нульмерных нормирований
поля S, центры которых являются простыми подмногообразиями хотя бы
на одном из многообразий Uk_x или Uk. Тогда многообразия ик_± и
Uk составляют разрешающую систему для множества N нормирова-
ний. Если мы построим многообразие на котором любое нор-
мирование из множества W имеет своим центром простое подмного-
образие, то многообразия Uv ..., Uk_2, Uk_1 будут составлять
разрешающую систему поля S. Действительно, пусть 93 — любое
нульмерное нормирование поля S. Тогда возможны два случая: (I) нор-
мирование 23 принадлежит множеству W и поэтому имеет своим цент-
ром простое подмногообразие на (II) 23 не принадлежит N,
так что его центрами на обоих многообразиях Uk_r и Uk будут
особые подмногообразия этих многообразий; но в таком случае центр
этого нормирования на одном из многообразий U±......Uk_2 должен
быть простым подмногообразием. Таким образом, наша задача сво-
дится к доказательству того, что если многообразия U и U' образуют
разрешающую систему для некоторого множества N нульмерных
нормирований, то для множества N существует разрешающая система,
состоящая лишь из одного многообразия.
В процессе доказательства последнего утверждения нам придется
выполнять ряд бирациональных преобразований многообразий U и W.
Многие из этих преобразований будут состоять из некоторого моно-
идного преобразования с нульмерным базисом, за которым следует
операция построения производного нормального многообразия. Для
краткости мы будем называть такие комбинированные преобразования
квадратичными. Докажем прежде всего ряд лемм о квадратичных
преобразованиях.
Пусть Vj, Vg, У3, ... — бесконечная последовательность бира-
ционально эквивалентных многообразий размерности 2, такая, что
каждое Vi+1 получается из Vi квадратичным преобразованием, бази-
сом которого служит некоторое подмногообразие	Будем
предполагать, кроме того, что подмногообразия WL и Wi+1 отвечают
друг другу в бирациональном соответствии между Vi и У^+1. Опре-
деленная таким образом последовательность (V1( W\), (V2, UZ2), .. .
пар многообразий называется нормальной последовательностью.
Приводимые ниже леммы относятся именно к таким последователь-
ностям .
Напомним, что в соответствии между многообразиями и Vi+1
подмногообразие является фундаментальным и что на многообра-
§ 9. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
359
зии Vi+1 вообще нет фундаментальных подмногообразий. Отсюда
следует, что
и поэтому
QtWJcQtWJc ... ,
так как подмногообразия Wt и Wi+1 отвечают друг другу. Будем
•обозначать через максимальные идеалы колец
Кольца Q(Wi) имеют одно и то же поле частных — поле функ-
ций 2 многообразий Vv V2, .... Пусть а и р — два элемента из Е,
такие, что	и	при некоторых i и j. Если
A = max [г, /], то а и р содержатся в кольце Q(iWk), и поэтому
в кольце Q(Wk) содержатся также элементы а-|-Р и ор. Отсюда
следует, что совокупность элементов поля S, каждый из которых
содержится хотя бы в одном из колец Q(W\), является некоторым
кольцом 2. Обычно мы будем писать, что 2= lim Q(’UZ<). Поле S,
4->оо
очевидно, является полем частных для 2, причем любой отличный
от нуля элемент основного поля К будет делителем единицы в кольце 2.
Лемма I. Пусть SB — любое одномерное нормирование поля S.
Если кольцо 9? нормирования SB содержит 2, то существует
натуральное число k, такое, что при любом i^k центр норми-
рования SB на многообразии будет одномерным подмногообразием.
Заметим прежде всего, что если мы сможем вообще найти k
таким образом, чтобы центр нормирования SB на многообразии Vk
был одномерным подмногообразием, то утверждение леммы отсюда
будет следовать. Действительно, если центр W нормирования SB на
многообразии Vf имеет размерность 1, то W не может быть фунда-
ментальным подмногообразием в соответствии между Vt и yi+1. Следо-
вательно, многообразию W отвечает единственное подмногообразие
W на Vi+1. Но так как на Vi+f вообще нет фундаментальных под-
многообразий, то отсюда вытекает, что W' имеет размерность 1.
Ввиду того, что многообразие W' необходимо является центром нор-
мирования SB на многообразии Vi+1, нужный результат получается
очевидной индукцией.
С другой стороны, если центром нормирования SB на многообра-
зии Vt служит некоторое нульмерное подмногообразие, то этот центр
должен совпадать с W{. В самом деле, имеет место включение
Q(Wi) £ 2 с SR, а поэтому Wt содержится в центре нормирования SB
на многообразии Но так как центр нормирования имеет размер-
ность нуль и является неприводимым подмногообразием, то он должен
совпадать с
Если центр нормирования SB на многообразии Vt имеет размер-
ность 1, то нечего доказывать. Поэтому предположим, что размер-
ность центра нормирования SB на Уг равна нулю. Ввиду того, что
нормирование SB имеет размерность 1, в кольце SR этого нормирования
360
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
существует некоторый элемент а, вычет которого в нормировании 23
трансцендентен над полем К- Мы можем написать, что а ==
где элементы и принадлежат кольцу Q (UZj). Ввиду того, что
Wr есть центр нормирования 23, вычет любого элемента кольца
получается заменой координат общей точки многообразия V1 коор-
динатами общей точки для Wv и поэтому вычет любого элемента
кольца Q(lTj) будет алгебраическим над полем К. Ввиду трансцен-
дентности вычета элемента а, мы должны иметь = 0 (фг). Но так
как вычет элемента а отличен от нуля, то элемент является
также элементом кольца 9?, имеющим трансцендентный вычет, и мы
получим, что = 0 (Ф1).
Рассмотрим теперь квадратичное преобразование, связывающее Vj
и V2. Напомним, что мы вводим (см. § 3) систему форм ^(х), . ..,
^(х) одной и той же степени и таких, что элементы .....
^(Е) составляют базис идеала $РГ Затем рассматриваем многообра-
зие V', общей точкой которого является точка (См, .... Сги), где
Многообразие У2 получается из V' построением произ-
водного нормального многообразия. Из последнего следует, что под-
многообразию 1Г2 отвечает однозначно определенное подмногообразие W'
на V'. Мы можем предполагать, что г[0 не обращается в нуль на W'
В таком случае будем иметь
Q(W1)cQ(W;)CQ(^,
W) 0'=1...........г).
*0
Если С*— любой элемент из то
(*< € <?ТО).
i=0
где С2— элемент кольца Q(1F2). Обозначим через 23' любое норми-
рование, центрами которого на многообразиях Уг и У2 являются
соответственно подмногообразия IF и W2. Так как <L(1> = 0
то v' > 0, а значит, ^<о1) = О (ф2).
Рассмотрим теперь центр нормирования 23 на многообразии У2.
Если он имеет размерность 1, то нужное значение k найдено. Если
его размерность равна нулю, то центром нормирования 23 будет IF2
и поэтому v (•$>) > 0, так как «рР) = 0 (ф2). В таком случае, в силу
сделанного выше замечания,
и
“ = Ъ/’Ч*
S 9. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
361
где
^ = 0 С₽а), т)2 = 0 (фа),
так как вычет элемента а в нормировании 23 трансцендентен над К.
Нормирование S3 имеет размерность 1, а поле Е — размерность 2.
Поэтому нормирование 33 дискретно. Возьмем в качестве его группы
значений аддитивную группу целых чисел. Тогда из неравенства
ц (<|^)) > 0 следует, что
причем из сравнения ti2 = 0 (ф2) вытекает неравенство v (т|2) > 0.
Это рассуждение можно повторять до тех пор, пока мы не дой-
дем до многообразия Vk, на котором центр нормирования S3 будет
одномерным подмногообразием. Если на l-м этапе мы еще не достигли
такого положения, то будут иметь место соотношения
+	1. ®(т1<)>0.
Но значение v (7)t) является фиксированным целым числом. Поэтому
наш процесс не может продолжаться неограниченно, т. е. мы в конце
концов дойдем до многообразия Ук, на котором центр нормирования 23
будет одномерным. Тем самым лемма I доказана.
Лемма II. Если ^ — нормирование размерности 1, кольцо 9?t
которого содержит 2, то существует кольцо 9?0 некоторого нуль-
мерного нормирования, удовлетворяющее условиям 8^ Э 3?0 э 2.
Так как кольцо 9^ содержит 2, то из леммы I следует, что
найдется такое натуральное число k, что при i^-k центр норми-
рования 23х на многообразии V, будет одномерным подмногообразием.
Определим теперь при значениях I k идеалы р4 как пересечения
колец с максимальным идеалом кольца [если мы перейдем
от кольца Q(Wf) к области целостности многообразия Vit то
идеал 5» П Р» будет простым идеалом центра нормирования на УД
Кольцо Q(Wi) целозамкнуто, и в нем имеет место теорема о базисе.
Поэтому к идеалам кольца QlW^ можно применять мультипликатив-
ную теорию идеалов (гл. XV, § 8, теорема III). Кроме того, идеал р4
имеет размерность 1, а поэтому является минимальным простым идеалом и
своим собственным приведенным идеалом (гл. XV, § 7, теорема VI).
Пусть а — любой элемент поля S, норма которого в норми-
ровании 23х равна нулю. Мы можем записать элемент а в виде
а = £/т|, где I и т| — элементы из Q(IT4). Но из мультипликативной
теории идеалов следует, что можно записать $ = $jC“, т| == 7|jCb, где
С = 0 (рД Ех¥=0 (рД ¥= 0 (рД Так как v(a) = 0, t»(C)>0, то
а = Ь, а значит, а =	(ср. гл. XVII, § 5, теор. VII). Поэтому
вычет элемента а в нормировании 23t является отношением образов
элементов Ej и в кольце С(1УДр4. Следовательно, поле выче-
тов S* нормирования 23х служит полем частных кольца Q(IF4)/pf,
являющегося полем функций для центра С4 нормирования 23х на
362
гл. xvnt. бирациональные Преобразований
многообразии Vt. Поле £* можно представить как поле частных не-
которой конечной области целостности 3*> т- е. области целостности,
получаемой присоединением к полю К конечного числа элементов,
одновременно представив кольцо	кольцом частных этой
области целостности. Действительно, кольцо	является коль-
цом частных для рассматриваемого как подмногообразие на С{.
Всегда существует хотя бы одно нормирование поля £*, центром
которого на многообразии будет причем число таких норми-
рований конечно и кольцо любого из них содержит	в качестве
подкольца. Так как
Q№) с= Q(Wi+j, = Q(Wi) П »(+1.
то кольцо	можно рассматривать как подкольцо кольца
Q(W^<+i)/pU1, и любое кольцо нормирования поля £*, содержащее
Q(VT<+1)/p<+1, будет содержать и <2(№^)/р4. Но так как кольцо нор-
мирования, содержащее	существует при любом мы
заключаем отсюда, что существует нормирование 93* поля кольцо
которого содержит все кольца	Обозначим теперь через 93О
нормирование поля Е, составленное из нормирований 23t и 23*. Раз-
мерность этого нормирования равна нулю, а его кольцо 9?0 содер-
жится в кольце Кроме того, так как кольца Q(Wi)/pi содержатся
в кольце нормирования 23*, то для всех i будет Q(U^)c920. Следо-
вательно, 2 с !Н0, и нормирование 23О удовлетворяет всем требованиям
леммы.
Лемма III. Кольцо 2= lim Q(U^) является кольцом нульмер-
<->00
ного нормирования.
Так как каждое многообразие Vt нормально, то все кольца Q(IFj)
целозамкнуты. Отсюда следует, что целозамкнуто и кольцо 2. По-
этому 2 является пересечением содержащих его колец нормирования
поля S (гл. XVII, § 2, теорема VI). В силу леммы II, мы можем,
кроме того, утверждать, что 2 является пересечением содержащих
его колец нульмерных нормирований. Поэтому для доказательства
леммы достаточно показать, что не может существовать двух раз-
личных нульмерных нормирований 23' и 23", кольца которых со-
держат 2-
Допустим, что такие нормирования 23' и 23" существуют. Так как
эти нормирования различны, то различны и кольца нормирований
23' и 23", причем в этих кольцах можно найти элемент С, являю-
щийся делителем единицы в одном из них и не являющийся дели-
телем единицы в другом. Если (1, .......Q — общая точка много-
образия Vv то многообразие V* в пространстве Sra+1, определяемое
общей точкой (1, ?т, ..., En, С), будет бирационально эквивалентно
многообразиям Уа..........Нормирования 23' и 23" имеют на много-
образии V* различные центры С' и С", так как v' (С) = 0 и v" (С) > О
йли же v' (С) > 0 и о" (С) = 0.
§ 9. Дедукция осоёенностёй	363
Так как размерность нормирования S' равна нулю, а кольцо этого
нормирования содержит Q(^), то подмногообразие Wt будет центром
нормирования S' на Vt. Аналогично, будет и центром нормиро-
вания 23". Отсюда следует, что в бирациональном соответствии между
многообразиями V* и Vi оба подмногообразия С' и С" отвечают
Поэтому является фундаментальным подмногообразием в этом
соответствии, а значит, на многообразии V* существует кривая Г4,
отвечающая W{. Обозначим через Г4+1 одну из неприводимых компо-
нент кривой Г^. Существует одномерное нормирование 23х поля 2,
центрами которого на многообразиях V* и Vi+1 являются соответ-
ственно Г4+1 и Wi+1. Но так как Q(UZ4) a Q(l^+1), то подмного-
образие ]Vi есть единственное подмногообразие на У4, отвечаю-
щее и поэтому центром нормирования 23t на Vt будет
Таким образом, должно быть Г4+1 с Г4. Ввиду того, что Г4 суще-
ствует для каждого значения I, на многообразии V* имеется непри-
водимое подмногообразие Г размерности 1, являющееся центром не-
которого нормирования 23 поля 2, центром которого на У4 будет WP
Если 91 — кольцо нормирования 23, то должно быть Q(U^4)c9l
(z = 1, 2, ...), и поэтому 2 с 9L Отсюда, в силу леммы I, следует,
что найдется значение к, при котором центр нормирования 23 на
многообразии Vk будет подмногообразием размерности 1. Но это
противоречит тому, что центром нормирования 23 на многообразии У4
служит W*. Таким образом, наше предположение, что 23' #= 23", не-
верно, и лемма доказана.
Лемма IV. Пусть 23 — (однозначно определенное) нормирова-
ние поля X, кольцом которого является 2. Если W — центр
нормирования 23 на некоторой проективной модели V' поля 2,
то существует такое значение k, при котором включение
Q('W)cQ(Wi) имеет место для всех
Так как Q(W{) <=. Q(Wi+1), то любой элемент из Q(W{), не являю-
щийся в этом кольце делителем единицы, имеет в нормировании 23
положительную норму и поэтому принадлежит идеалу фг+1- Следова-
тельно, справедливо соотношение ф; с ф1+1, из которого вытекает,
что
Пусть С—любой элемент поля 2, принадлежащий (^(^")Пф4
при некотором значении i. Так как С лежит в ф(, т0 его норма
в нормировании 23 положительна. Следовательно, элемент С должен
принадлежать максимальному идеалу ф' кольца Q(W'). С другой
стороны, если С — любой элемент из ф', то г»(С)>0, а значит, С, не
будет делителем единицы в кольце 2. Отсюда вытекает, что при
некотором значении I элемент С принадлежит кольцу Q(Wt) и не
является в этом кольце делителем единицы, т. е. лежит в ф4. Но
так как С лежит в ф', то он содержится и в Q(W'), а значит, и
364
ГЛ. XVIII. ВИРАЦЙОНАЛЬЙЫЁ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
в пересечении Q(W") П ф< при некотором значении I. Из двух дока-
занных результатов следует, что
lim <?(ППФ, = Ф'.
<-»оо
Ввиду того, что Q(W') является кольцом частных некоторого
алгебраического подмногообразия на V', в этом кольце справедлива
теорема о базисе. Но
Q(W) п Фх S QW) П Фа С Q(Wr) п ф8 <= ... .
Так как возрастающая последовательность идеалов должна оборваться,
то существует такое k, для которого
Q(W') Л ф4 = Q(W') Л Ф»+1 = Q(W') Л ф*+а = ... ,
а значит,
нт еог)пф<=(?аппфй.
<->оо
Следовательно,
<20ППф* = Ф',
и поэтому
Ф' = Фа-
Рассмотрим теперь любое нульмерное нормирование 93О поля S,
центром которого на многообразии Vk служит Wk. Так как ф' с ф4,
то отсюда следует, что центром этого нормирования на V' необхо-
димо будет W. Поэтому W должно быть единственным подмного-
образием на V, отвечающим подмногообразию Wk с. Vk. Следова-
тельно, Wk не является фундаментальным подмногообразием в соот-
ветствии между Vk и V, а значит, Q(W') с Q(Wk).
С помощью доказанных лемм мы в состоянии теперь доказать
следующую теорему:
Теорема 1. Если многообразия U и U' составляют разре-
шающую систему для некоторого множества N нульмерных
нормирований поля S, имеющего степень трансцендёнтности 2,
то существует проективная модель U* поля S, на которой центр
любого нормирования из N будет простым подмногообразием.
Многообразия U и U' можно считать нормальными поверхностями.
Поэтому их особые подмногообразия необходимо нульмерны. Уста-
новленное между U и U' бирациональное соответствие, может обла-
дать фундаментальными элементами, но эти элементы также нульмерны,
и поэтому их число конечно. Допустим, что фундаментальные эле-
менты имеются на поверхности U. Взяв один из них, например W,
в качестве базиса, произведем квадратичное преобразование, обра-
щающее U в некоторую поверхность Uv Так как ^квадратичное
преобразование не меняет колец частных подмногооб(ийЙ1Г на U, от-
личных от W, то фундаментальными подмногообразиями в соответствии
S 9. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
365
между ZJj и U' будут те из подмногообразий на Uv которые полу-
чаются из фундаментальных подмногообразий на U, отличных от W,
л также, может быть, нульмерные подмногообразия образа 1Г на U1.
Если на многообразии иг фундаментальные подмногообразия имеются,
то мы можем повторить процесс й повторяем его до тех пор, пока не
получим многообразия U, находящегося в бирациональном соответ-
ствии с U' и не содержащего подмногообразий, являющихся фунда-
ментальными в указанном соответствии. Нужно доказать, что такое
многообразие U необходимо получится через конечное число шагов.
Ясно, что если это не так, то на U существует подмногообразие W,
для которого можно построить нормальную последовательность
(U, W), (Ult ^), (t/2, Га)......
где подмногообразия будут фундаментальными в соответствиях
между Uf и U'. Пусть 2= lim	и пусть S3 — нульмерное
<~>оо
нормирование поля S, кольцом которого служит 2 (лемма III).
Если W' — центр нормирования S3 на U', то из леммы IV мы усма-
триваем, что найдется целое число k, для которого Q(W') с Q(Wk).
Но отсюда следует, что подмногообразие Wk не является фундамен-
тальным в соответствии между Uk и U', вопреки построению. Следо-
вательно, через конечное число шагов мы необходимо получим
многообразие U.
Квадратичное преобразование с нульмерным базисом переводит
любое простое подмногообразие (безразлично, фундаментальное или
нет) в многообразие, каждая точка которого проста. Отсюда выте-
кает, что если 23 — любое нормирование, центр которого является
простым подмногообразием на U, то центр этого нормирования на U
также будет простым. Таким образом, многообразия U и U' соста-
вляют разрешающую систему для множества N.
Будем теперь поступать с U' таким же образом, как мы это
делали с U, но ограничиваясь лишь теми подмногообразиями на W,
которые просты на U' и являются фундаментальными в соответ-
ствии между U’ и U. Конечным числом квадратичных преобразований
можно перевести U' в некоторое многообразие U', на котором не
будет простых фундаментальных подмногообразий в соответствии
между U' и U. Следует, однако, отметить, что в этом соответствии
могут появиться фундаментальные подмногообразия на U. Построим
теперь соединяющее многообразие U* для U и U'.
Докажем, что центр любого нульмерного нормирования 23, при-
надлежащего множеству N, будет простым подмногообразием на U*.
Пусть центрами этого нормирования на многообразиях U, U", U, U*
являются соответственно подмногообразия W, W', W', W*. Нужно
рассмотреть три возможных случая.
366
ГЛ. XVIII. БИРАЦИОНАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
(I)	Допустим, что W — особое подмногообразие на U'. Так как
многообразия U и U’ составляют разрешающую систему для мно-
жества N, то центр нормирования 33 на U, т. е. многообразие W,
должен быть простым подмногообразием. Ввиду того, что на U нет
фундаментальных подмногообразий в соответствии между U и U',
должно быть
Q(W')cQ(W).
Но так как W'— особое подмногообразие на U', его кольцо частных
не изменяется при переходе от U' к U'. Следовательно,
Q(iT) = Q(^')cQ(r).
Отсюда, в силу свойств соединяющего многообразия, вытекает, что
Q(W*) = Q(W).
Так как W—простое подмногообразие, то максимальный идеал
кольца Q(W) [а значит, и кольца Q (W7*)] имеет базис, состоящий
из двух элементов. Таким образом, W* — простое подмногообразие
на U*.
(II)	Предположим, что W' — простое подмногообразие, но не являю-
щееся фундаментальным в соответствии между U' и U'. Тогда ввиду
того, что W также не является фундаментальным, мы имеем
Q(W)=^Q(W').
Но так как W' не является фундаментальным подмногообразием,
оно, не может быть базисом ни для одного квадратичного преобра-
зования, использованного при переходе от U' к U'. Следовательно,
Q(W) = Q(W') = Q(W').
Переходя теперь к соединяющему многообразию, мы получаем
Q(W*) = Q(W') = Q(W').
Простота подмногообразия W* следует теперь из простоты W.
(III)	Предположим, что подмногообразие W' простое и что оно
является фундаментальным в соответствии между U' и U. Тогда,
в силу свойства квадратичных преобразований, любое подмного-
образие на U', отвечающее простому подмногообразию на U' (в част-
ности W'), будет простым на U'. Следовательно, W' — простое под-
многообразие. Далее, W не является фундаментальным подмного-
образием в соответствии между U' и U, а следовательно,
<200 = <>(>')
§ 9. РЕДУКЦИЯ ОСОБЕННОСТЕЙ
367
Переходя теперь к соединяющему многообразию, получаем
Q(W*) = Q(W').
Следовательно, подмногообразие W* является простым.
Этим мы исчерпали для многообразия W' все возможные случаи,
и поэтому можно утверждать, что центр любого нормирования из
множества N на многообразии U* будет простым подмногообразием.
Выше уже указывалось, как можно воспользоваться теоремой I
для замены любой конечной разрешающей системы поля S, состоя-
щей из k проективных моделей этого поля, системой, состоящей из
k—1 моделей. Так как повторное применение этого процесса дока-
зывает существование разрешающей системы, состоящей из одной
проективной модели, то сказанное позволяет сформулировать следую-
щую теорему:
Теорема II. Для любой неприводимой алгебраической поверх-
ности U существует бирациональный образ, не содержащий
особых точек.
В заключение мы сформулируем без доказательства результат
Зарисского:
Теорема III. Для любого неприводимого трехмерного алге-
браического многообразия существует бирациональный образ, не
содержащий особых точек.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Глава XV. Материал этой главы излагается во многих монографиях по
современной алгебре, таких, как книги Алберта [1], Крулля [2] и ван-дер-
Вардена [7]. Наиболее полный обзор принадлежит Круллю и содержит указа-
ния на первоисточники. Избранное нами изложение имеет своей целью
введение в теорию идеалов, достаточное для целей этого тома, и не претен-
дует ни на полноту, ни на оригинальность.
Глава XVI. Изложение этой главы следует работам Зарисского, но
ограничивается случаем основного поля без характеристики. Многие из
содержащихся здесь идей рассмотрены с иной точки зрения и без ограни-
чении на основное поле у Вейля [9]. Основные результаты главы можно
найти у Зарисского [10, 11] и у Му ли [5]. В работе [12] Зарисский детально
изучил понятие простой точки многообразия над произвольным основным
полем.
Глава XVII. Обзор общей теории нормирований, содержащийся в этой
главе, рассчитан для целей геометрии. Поэтому не делается ссылок на другие
ветви этой теории, в частности на применения в теории чисел. Наш обзор
основывается главным образом на работе Крулля [3], но многие из более
ранних результатов можно найти также в работе Крулля [2], в которой
содержатся и ссылки на оригинальные источники. Параграф о центре норми-
рования основывается главным образом на работе Зарисского [13]. В этой
работе можно найти доказательство теоремы XI § 5. Свойства нульмерных
нормирований ранга 1, указанные на стр. 228, можно найти в работе
Мак-Лейна и Шиллинга [4].
Глава XVIII. Первые трн параграфа базируются на работе Зарис-
ского [13]. Теорема, упомянутая на стр. 266, является основной теоремой
этой работы. В работе [14] Зарисский дал упрощенное доказательство той же
теоремы. Третье доказательство, основанное на результатах Вейля [9] и не
использующее теорию нормирований, дано Норткоттом [6]. Изложение дока-
зательства локальной теоремы об униформизации, занимающее §§ 5—7, тесно
примыкает к доказательству Зарисского [15], единственному известному до сих
пор доказательству этой теоремы. Доказательство существования конечной
разрешающей системы базируется на работе Зарисского [16]. Доказательство
Зарисского, основанное на топологических рассмотрениях, изложено здесь
в чисто алгебраических терминах. При этом вместо бикомпактности исполь-
зуется гильбертова теорема о базисе. Доказательство возможности редукции
особенностей алгебраической поверхности по существу совпадает с «упро-
щенным доказательством’ Зарисского [17]. Однако для полноты мы при-
водим некоторые леммы из его первоначального арифметического доказа-
тельства [18]. История этой теоремы — долгая и запутанная. Исторические
указания можно найти в первой главе книги Зарисского [19]. Существует
еще лишь одно доказательство этой теоремы (в случае, когда основным
полем является поле комплексных чисел), полностью выдерживающее кри-
тику,—это доказательство Уокера [8]. Доказательство возможности редукции
особенностей для трехмерного алгебраического многообразия содержится
в работе Зарисского [20].
БИБЛИОГРАФИЯ
369
БИБЛИОГРАФИЯ
1.	Albert A. A., Modern Higher Algebra, Cambridge, 1938.
2.	Krull W., Idealtheorie, Ergebnlsse der Mathematik, IV, 3, Berlin, 1935.
3.	Krull W., Journal fiir die reine und angewandte Math., 167 (1932), 160.
4.	Mac Lan c S., Schilling O. F. G., Annals of Math., 40 (1939). 507.
5.	Muhly H. T., Annals of Math., 42 (1941), 921.
6.	Northcott D. G., Proc, of London Math. Soc. (3), 1 (1951), 129.
7.	Ван-дер-Варден, Современная алгебра, тт. I и II, М,—Л., 1947.
8.	W alker R. J., Annals of Math., 36 (1935), 336.
9.	Weil A., Foundations of Algebraic Geometry, New York, 1948.
10.	Zariski 0., American Journal of Math., 61 (1939), 249.
11.	Zariski O., American Journal of Math., 62 (1940), 187.
12.	Zariski O., Trans, of American Math. Soc., 62 (1947), 1.
13.	Zariski O., Trans, of American Math. Soc., 53 (1943), 490.
14.	Zariski O., Proc, of National Acad, of Sci., U. S. A., 34 (1948), 62.
15.	Zariski O., Annals of Math., 41 (1940), 852.
16.	Zariski O., Bull, of American Math. Soc., 50 (1944), 683.
17.	Z a r i s к i O., Annals of Math., 43 (1942), 583.
18.	Zariski O., Annals of Math., 40 (1939), 639.
19.	Zariski O., Algebraic Surfaces, Ergebnisse der Mathematik, III, 5,
Berlin, 1935.
20.	Zariski O., Annals of Math., 45 (1944), 472.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебраическое замыкание (поля) 137
— семейство нормирований 362
Алгоритм Перрона 296—297
Архимедовское упорядочение группы
182
Аффинно нормальное многообразие
155
Аффинное пространство 94
Базис идеала’ 12
—	модуля 64
—	моноидного образа 273
Бирациональная геометрия 9
Бирациональное преобразование 247
--- регулярное 261
—	соответствие 247
Верхний класс 195
Вложенная компонента идеала 30
Вычет в,точке 148
—	элемента 211
Группа значений нормирования 192
--------дискретная 211
—	упорядоченная абелева 180
Дискретная группа значений 211
Допустимое преобразование (в аф-
финном пространстве) 95
Достаточно общая система коорди-
нат 101
—	общее преобразование 101
Идеал главный 12
—	дробный 66
—	единичный 10
Идеал кратный 18
—	максимальный (в кольце) 16
—	неприводимый 25
—	несобственный 10
—	нормирования 194
—	нулевой 10
— порожденный элементами 12
— приводимый 25
—	примерный 20
—	р-примарный 22
—	простой 19
— простой, принадлежащий при-
мерному 21
—	расширения 50
—	сжатия 50
—	собственный 10
—	целый 66
Идеала базис 12
—	вложенная компонента 30
—	делитель 18
—	изолированная компонента 30
—	индекс (примарного идеала) 24
—	радикал (примарного идеала) 21
—	размерность 106
—	символическая степень (простого
идеала) 31
—	устранимая примарная компо-
нента 27
Изолированная подгруппа 186
Иррегулярное многообразие (в би-
рациональном соответствии) 260
Квадратичное преобразование 358
Квазиделитель 69
Квазикратное 69
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
371
Квазиравенство (дробных идеалов)
67
Кольцо вычетов 37
—	главных идеалов 12
—	нормирования 194
—	частных 53
---подмногообразия 111
Комплекс фундаментальный (бирац.
соответствия) 269
Компонента идеала примарная 30
---устранимая 27
Кремоново преобразование 292
Локальная теорема об униформи-
зации 290
Локальное свойство многообразия
175
Многообразие аффинно нормальное
155
—	иррегулярное 260
—	неприводимое (в аффинном про-
странстве) 96
—	проективно нормальное 165
—	производное нормальное 171
—	регулярное 260
—	соединяющее 248
—	фундаментальное 260
Многообразия проекция 175
Многочлен моновалентный 307
Модуль 62
Модуля базис 64
Моновалентный многочлен 307
Моноидного образа базис 273
Моноидного образа степень 273
Моноидный образ 273
Неприводимое многообразие (в аф-
финном пространстве) 96
Несократимое представление идеала
27
Норма нуля 193
—	элемента 192
Нормализованная группа 185
Нормальная пг-сисгема 308
— последовательность 358
Нормальное многообразие (аффинно
нормальное) 155
24*
Нормальное многообразие (проектив-
но нормальное) 165
Нормирование 189
— индуцированное 205
—	составленное (из других) 216
—	тривиальное 190
Нормирования группа значений 192
—	идеал 194
—	кольцо 194
—	поле вычетов 211
—	продолжение 205
—	размерность 220
—	центр 231
Область целостности многообразия
109
Образ T{V} подмногообразия 257
Образ Т{К) многообразия полный 256
Обратный идеал 67
Общая точка 97
Однородный элемент (поля) 164
Пересечение дробных идеалов 65
Перрона алгоритм 296, 297
Поле вычетов нормирования 211
—	разложения 136
—	функций многообразия 97
Полная система сечений гиперпло-
скостями 175
Полный образ T{V} многообразия
256
Преобразование бирациональное 247
— допустимое (в аффинном про-
странстве) 95
—	квадратичное 358
— с помощью гиперповерхностей
173
Приведенный дробный идеал 68
Примарная компонента 30
---устранимая 27
Продолжение нормирования 205
Проективная модель поля функций
293
Проекция многообразия 175
Произведение дробных идеалов 65
Производное нормальное многообра-
зие 171
372
АЛФАВИТНЫЙ указатель
Пространство аффинное 94
Размерность
—	идеала 106
—	нормирования 220
Разрешающая система 293, 350
Ранг группы 189
Рационально зависимая система 225
Рационально независимая система
225
Рациональные ранг 225
Регулярное бирациональное соответ-
ствие 261
—	многообразие 260
Символическая степень идеала 31
Система разрешающая 293, 350
Собственная специализация (в аф-
финном пространстве) 97
Соединяющее многообразие 248
Соответствие бирациональное 247
Степень идеала символическая 31
Степень моноидного образа 273
Теорема об униформизации локаль-
ная 290
Точка общая 97
Униформизирующие параметры 125,
155
Упорядоченные группы 180
Устранимая примарная компонента
27
Фактор-группа 187
Фундаментальное многообразие (би-
рационального соответствия) 260
Фундаментальный комплекс 269
Характер однородности 167
Целое замыкание кольца 83
Целозамкнутые кольца 83
Целость элемента 82
Центр нормирования 231
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Из предисловия авторов......................................... 3
ЧАСТЬ V
БИРАЦИОНАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Глава XV. ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ в коммутативных кольцах............... 9
§ 1.	Идеалы в коммутативных кольцах..................... 10
§ 2.	Простые и примарные идеалы......................... 19
§ 3.	Кольца вычетов..................................... 36
§ 4.	Подкольца и расширения колец....................... 42
§ 5.	Кольца частных..................................... 51
§ 6.	Модули............................................. 62
§ 7.	Мультипликативная теория идеалов................... 66
§ 8.	Целые элементы..................................... 82
Глава XVI. арифметическая теория многообразий................. 94
§ 1.	Алгебраические многообразия в аффинном пространстве .	94
§ 2.	Идеалы и многообразия в аффинном пространстве ....	103
§ 3.	Простые точки..................................... 118
§ 4.	Неприводимые подмногообразия многообразия Уд.....	136
§ 5.	Нормальные многообразия в аффинном пространстве ...	155
§ 6.	Проективно нормальные многообразия................ 163
Глава XVII. теория нормирований.............................. 180
§ 1.	Упорядоченные абелевы группы...................... 180
§ 2.	Нормирования поля................................. 189
§ 3.	Поля вычетов...................................... 211
§ 4.	Нормирования полей алгебраических	функций......... 219
§ 5.	Центр нормирования................................ 230
Глава XVIII. бирациональные преобразования................... 245
§ 1.	Бирациональные соответствия....................... 245
§ 2.	Бирациональные соответствия между нормальными много-
образиями ............................................  261
§ 3.	Моноидные преобразования.......................... 270
374	оглавлений
§ 4.	Редукция особенностей и локальная теорема об униформи-
зации ............................................ 289
§ 5.	Некоторые кремоновы преобразования.......... 293
§ 6.	Локальная теорема об униформизации. Основной случай .	322
§ 7.	Нормирования размерности s и ранга k........ 338
§ 8.	Разрешающие системы......................... 349
§ 9.	Редукция особенностей алгебраического многообразия . . .	357
Библиографические замечания........................... 368
Библиография.......................................... 369
Алфавитныйуказатель................................... 370
В. Ходж и Д. Пидо
МЕТОДЫ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
ТОМ III
Редактор М. С. АГРАНОВИЧ
Технический редактор М. П. Грибова
Корректоры: А. А. Смирнова и
А. Н. Окорокова
Сдано в производство 22/XI 1954 г.
Подписано к печати 15/П 1955 г.
Т-00785. Бумага 60хВ2‘/м=11,7 бум. л.
23,5 печ. л.
Уч.-издат. л. 21,8. Изд. № 1/2454.
Цена 17 р. 25 к. Зак. 1831.
Издательство иностранной литературы
Министерство культуры СССР. ,
Главное управление
полиграфической промышленности.
4-я тип. им. Евг. Соколовой.
Ленинград, Измайловский пр.. 29