АКАДЕМИЯ НАУК СССР

ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ
ГОСУДАРСТВЕННОГО КОМИТЕТА СОВЕТА МИНИСТРОВ СССР
ПО АВТОМАТИЗАЦИИ И МАШИНОСТРОЕНИЮ

Е. Я . КАЗОВСКИЙ

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ

В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ МАШИНАХ

ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

ЛАУК
СССР

ИЗДАТЕЛЬСТВО АКАДЕМИИНАУК СССР
МОСКВА • ЛЕНИНГРАД

6	2

1

9
АННОТАЦИЯ

В книге обобщен многолетний опыт по расчету переходных
процессов в электрических машинах переменного тока, проектируе-
мых и изготовляемых на заводе „Электросила" им. С. М. Кирова.
Рассмотрен широкий круг вопросов: внезапные короткие замыка-
ния, включение в сеть, наброс нагрузки и торможение, качания и
другие явления в синхронных и асинхронных машинах, в том числе
вопросы, получившие недостаточное освещение в печати. Большин-
ство рассмотренных вопросов доведено до практического решения и
иллюстрируется численными примерами. В книге освещены также
современные заводские методы расчета параметров машин переменного
трка и новые весьма эффективные методы опытного определения
параметров. Математический аппарат анализа не требует специальной
математической подготовки, выходящей за пределы курса элек-
тротехнических вузов. Некоторые дополнительные математические
сведения, необходимые для рассмотрения сложных вопросов, пред-
ставлены в книге.

Издание рассчитано на широкий круг инженеров-электриков
энергосистем, специалистов по электроприводу, по системам авто-
матики и управления, научных работников, аспирантов и студентов
старших курсов электротехнических вузов.

Ответственный редактор
академик М. П. КОСТЕНКО

ЕФИМ ЯКОВЛЕВИЧ КАЗОВСКИЙ

Переходные процессы в электрических машинах переменного тока

Утверждено к печати Институтом электромеханики Государственного комитета Совета
Министров СССР по автоматизации и машиностроению

Художник Д. С. Данилов

Редактор Издательства И. В. Барковский.

Технический редактор Н. Ф. Виноградова. Корректоры Н. В. Лихарева, Г. А. Мирошниченко и
Т. Г. Рывкина

Сдано в набор 21/Ш 1961 г. Подписано к печати 21/Ш 1962 г. РИСО АН СССР № 65—74В. формат
бумаги 70Х108’16. Бум. л. 19х/2« Печ. л. 39 = 53.43 усл. печ. л.-4-1 вкл. Уч.-изд. л. 58.11 4-1 вкл.
(0,12 уч.-издат. л.). Изд. № 1474. Тип зак. № 351.М-37066. Тираж 6500. Цена 3 р. 50 к.

Ленинградское отделение Издательства Академии наук СССР. Ленинград, В-164, Менделеевская лин., д. 1

1-я тип. Издательства Академии наук СССР. Ленинград, В-34, 9 линия, д. 12
ПРЕДИСЛОВИЕ

Переходные процессы в электрических машинах переменного тока
являются одним из важнейших факторов, определяющих рациональное
проектирование и эксплуатацию энергосистем, устройств автоматизиро-
ванного электропривода, а также рациональное проектирование самих
электрических машин.

Переходные процессы в машинах переменного тока, несмотря на
большое число работ, посвященных их рассмотрению, остаются одним
Ш наименее разработанных разделов науки об электрических машинах
g науки о переходных процессах в энергосистемах. Объясняется это
сравнительной сложностью дифференциальных уравнений, описываю-
щих поведение машины в таких режимах.

Между тем,требования к точности и глубине анализа переходных
процессов, имеющих место в электросистемах как в аварийных, так и
в эксплуатационных режимах, по мере повышения качества проектиро-
вания и по мере повышения использования оборудования непрерывно
возрастают. Поэтому все более важно для широкого круга специали-
стов ясное понимание физических процессов в машинах переменного
тока и овладение современной методикой рассмотрения этих процессов.

За последние годы были разработаны новые методы анализа пере-
ходных процессов, позволившие решить ряд задач, которые ранее ка-
зались слишком сложными для получения общего решения.

Разработаны графические методы представления некоторых важней-
ших переходных процессов, произведена с помощью операторного ана-
лиза „алгебраизация" задач, связанных с решением дифференциальных
уравнений, описывающих поведение машины в переходных режимах.
Особенно эффективным для анализа переходных процессов в машинах
йеременного тока оказалось использование современных частотных ме-
тодов, разработанных первоначально в радиотехнике и теории автома*
тического регулирования.

Рассмотрение ряда задач, связанных с переходными процессами
в машинах переменного тока, существенно облегчается использованием
аппарата специальных функций (Бесселя, Френеля, эллиптических и др.),
вначения которых сведены в таблицы.

В настоящей книге изложена методика рассмотрения переходных
процессов в бесколлекторных машинах переменного тока, которая была
выработана автором на протяжении ряда лет практической деятель-
ности в этой области. На базе изложенной методики рассмотрен об-
ширный круг задач, существенных для практики и важных для пони-
мания явлений, имеющих место в машине.

В книгу включены далеко не все задачи, связанные с рассмотре-
нием переходных процессов в бесколлекторных машинах переменного
тока, по соображениям объема и по характеру работ, которые изуча-
лись автором в этой области. В основном книга содержит оригиналь-
ный материал по методике рассмотрения переходных процессов и по
полученным результатам в конкретных задачах.

Основное отличие изложенной в настоящей книге методики рас-
смотрения переходных процессов в машинах переменного тока от из-
вестны^ из литературы — это возможность расчета по реальным пара-
метрам машины с учетом весьма существенного для практических за-
дач влияния вытеснения тока на параметры машины при протекании
переменного тока. Кроме того, рассмотрение переходных процессов
получает наглядную графическую интерпретацию, облегчающую пони-
мание физической сущности явлений. Указанная методика устанавли-
вает также простые связи, позволяющие широко использовать суще-
ствующие частотные методы теории автоматического регулирования
при рассмотрении переходных процессов в машинах переменного тока.

По некоторым вопросам, как например несимметричные короткие
замыкания машины, отключенной от сети, в книге представлены изве-
стные из литературы результаты, с соответствующими библиографиче-
скими ссылками.

Книга, помимо 18 глав, содержит 12 приложений, в которых пред-
ставлены методики расчетов, примеры численных расчетов, углублен-
ное рассмотрение отдельных вопросов и т. д. В некоторых приложе-
ниях изложены справочные данные, необходимые при рассмотрении
перехо дных процессов в машинах переменного тока.

При использовании заводских материалов даны соответствующие
ссылки.

В конце книги дана библиография с ориентировочной разбивкой по
главам.

Нумерация рисунков, формул и таблиц дается в виде двух цифр:
первая цифра — номер главы, вторая — порядковый номер рисунка, фор-
мулы или таблицы данной главы. В приложениях даны те же обозна-
чения с добавлением буквы „п“.

Разработка теории и экспериментальные исследования, изложенные
в настоящей книге, производились в основном на заводе „Электросила"
им. С. М. Кирова и в Институте электромеханики АН СССР.

Автор выражает благодарность академику М. П. Костенко ид-ру
техн, наук Р< А. Лютеру за ценные советы, полученные в процессе
работы по рассматриваемым вопросам.

Автор выражает также признательность чл.-корр. АН СССР,
д-ру техн.наукД. А. Завалишину ид-ру техн, наук Л. П. Гнедину за
просмотр рукописи и инж. А. М. Волкову за помощь при чтении кор-
ректуры книги.
ГЛАВА /

ВВЕДЕНИЕ

1.	ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ, ИМЕЮЩИЕ МЕСТО В ЭКСПЛУАТАЦИИ

Переходные процессы, имеющие место в эксплуатации, могут быть
классифицированы по характеру процессов и по типу машин.

Под переходным процессом мы понимаем кратковременный режим
в машине, возникающий после внезапного изменения какого-либо из
параметров системы: внешнего сопротивления, нагрузки, скорости вра-
щения и т. д. Переходные процессы могут быть аварийными, как на-
пример внезапное короткое замыкание, и могут быть вызваны нормаль-
ными эксплуатационными режимами, например пуском асинхронного
двигателя. Эти процессы в синхронных и асинхронных машинах имеют
одну и ту же физическую основу, тем не менее характер протекания
их во времени оказывается в большинстве случаев различным. Объяс-
няется это различным соотношением параметров в синхронных и асин-
хронных машинах и тем, что асинхронная машина работает при разных
скоростях вращения, в то время как синхронная машина должна рабо-
тать при скорости, равной синхронной.

Конструктивные особенности синхронной машины: сравнительно
большой воздушный зазор, электрическая асимметрия ротора, наличие
выступающих полюсов (в явнополюсных машинах), относительно малое
омическое сопротивление ротора — оказывают существенное влияние,
приводя к различию переходных процессов в синхронных и асинхрон-
ных машинах. В ряде случаев, кроме того, существенное влияние ока-
зывает наличие постороннего питания со стороны ротора в синхронной
машине.

Основные переходные процессы в асинхронных машинах — это
внезапное изменение рабочего режима: пуск, торможение, изменение
приложенной нагрузки, короткие замыкания, изменение напряжения,
изменение частоты питания, самовозбуждение машины при работе
с емкостью.

Каждая асинхронная машина при пуске из неподвижного состояния
от полного напряжения при отсутствии добавочного сопротивления
в цепи ротора по существу выдерживает внезапное трехфазное корот-
кое замыкание. Процесс этот является переходным. Скорость затуха-
ния электромагнитных процессов в обычной асинхронной машине имеет
порядок сотой доли секунды, в то время как изменение скорости вра-
щения характеризуется секундами или десятыми долями секунды. По-
этому для расчета пуска обычно пользуются статическими характери-
стиками. Тем не менее знание максимальных действующих вращающих
моментов и максимальных токов и в этом случае весьма важно. На
рис. 1-1 представлена типичная осциллограмма тока статора при* пуске
асинхронного двигателя без добавочного сопротивления в цепи ротора.

При обычном торможении асинхронной машины свободные электро-
магнитные процессы также успевают затухать раньше, чем существенно
изменится скорость вращения, что видно на рис. 1-2. Это позволило

Ркс. 1-1. Осциллограмма пуска асинхрон-
ного двигателя.

в существующих методиках рас-
чета торможения пользоваться
статическими характеристиками.

Все вышесказанное приводило
к тому, что переходными процес-
сами в асинхронны^ машинах за-
нимались сравнительно мало, уде-
ляя основное внимание переход-
ным процессам в синхронных ма-

шинах.

Все большее применение асин-
хронных двигателей для электро-

приводов с регулированием скорости, необходимость создания двигателей
с весьма малыми механическими постоянными времени, необходимость

в ряде случаев точного расчета времени торможения и пуска, создание
весьма крупных асинхронных электродвигателей для привода компрес-
соров, вентиляторов и реверсивных прокатных станов, работа асин-
хронных двигателей от станций ограниченной мощности, все большее



Рис. 1-2. Осциллограмма торможения асинхронного двигателя противовключе-
нием.

использование статических конденсаторов для улучшения coscp и т. д. —
все это заставило уточнить наши представления о поведении асинхрон-
ной машины в переходных режимах, разработать методику расчета
максимальных и пульсирующих вращающих моментов, методику расчета
падений напряжения в сети при включении крупных двигателей, уста-
новить уточненные условия самовозбуждения при работе с емкостью
и т. д.
Переходные процессы в синхронных машинах были подвергнуты
значительно более тщательному анализу и исследованию, вследствие
того что надежная работа электрической системы в первую очередь
зависит от поведения синхронных генераторов в переходном режиме.

Были исследованы симметричные и несимметричные короткие замы-

Рис. 1-3. Осциллограмма внезапного трехфазного
короткого замыкания синхронной машины.

кания синхронных машин, вызывающие чрезмерные токи, перенапряже-
ния и большие вращающие моменты. На рис. 1-3 и 1-4 представлены
типичные осциллограммы симметричного и несимметричного^ коротких
замыканий синхронной маши-
ны. Короткие замыкания яв-
ляются частным случаем вне-
запного изменения парамет-
ров, которое может заклю-
чаться во внезапном измене-
нии нагрузки, изменении
возбуждения (например, ре-
гулирование напряжения, га-
шение поля) и т. д.

Значительная часть пере-
ходных процессов в синхрон-
ных машинах связана с
вопросами параллельной ра-
боты. Сюда относятся такие
процессы, как втягивание в
синхронизм, качания при па-

раллельной работе, наброс нагрузки, работа при выпадении из синхро-
низма и др. На рис. 1-5, а, б представлены типичные кривые для син-
хронной машины при набросе нагрузки с сохранением синхронизма и

с выпадением из синхронизма.

Без знания поведения синхронной машины в указанных режимах
невозможно ни рациональное проектирование их, ни правильный выбор
защиты, ни надлежащая эксплуатация машин. Поэтому исследованию
переходных процессов в синхронных машинах посвящено большое ко-

Напряж на сбоб (разе

Ток бозбужд

Рис. 1-4. Осциллограмма установившегося двух-
фазного короткого замыкания синхронной машины.

личество теоретических и
экспериментальных работ. Во
многих случаях характер
протекания переходных про-
цессов синхронной машины
связан со свойствами пер-
вичного двигателя или при-
водного механизма: инерцией
его вращающихся масс, уп-
ругостью соединяющего ва-
ла, характеристиками регу-

лирования скорости первичного двигателя, неравномерностью вра-
щающего момента первичного двигателя и т. д. Синхронная машина
при параллельной работе является колебательной системой. Помимо
колебаний тока, мощности, скорости вращения, могут иметь место
крутильные колебания вала машины, представляющие значительную
опасность в случае резонанса частот вынужденных и свободных
колебаний.

В практике электромашиностроения установлен ряд правил в от-
ношении допустимых пределов колебаний токов, мощности, в части
соотношения собственных и вынужденных частот, точности и скорости ре-
гулирования напряжения, запаса мощности по устойчивости работы машины
и т. д. Несоблюдение этих правил приводит к нарушению нормальной
эксплуатации как в аварийных режимах — выпадение из синхронизма,
чрезмерные токи короткого замыкания, перенапряжения, так и в нор-
мальных режимах — дефектное освещение при работе на световую на-

Рис. 1-5. Зависимость вращающего момента Ме и рабочего
угла S от времени при набросе нагрузки.

а — случай сохранения синхронизма; б — случай выпадения из синхронизма.

грузку вследствие колебаний напряжения, повышенные крутильные ко-
лебания, быстро выводящие машину из строя, и т. д., см. приложение 11.

При определенных условиях работы с емкостью синхронная ма-
шина, так же как и асинхронная, способна к самовозбуждению.

Если ротор синхронной машины питать переменным током, то по-
лучается машина двойного питания^ которая по конструкции обычно
похожа на асинхронную машину с фазным ротором, а по принципу ра-
боты— ближе к синхронной машине.

Машина двойного питания применяется обычно в каскадах с целью
регулирования скорости. За последние годы сильно расширилось при-
менение этих машин для электроприводов переменного тока с регули-
рованием скорости.
Переходные процессы в машинах двойного питания до последнего
времени были исследованы сравнительно слабо. Необходимость реше-
ния вопросов точного регулирования скорости вращения при примене-
нии машин двойного питания заставила разработать уточненную мето-
дику расчета переходных процессов и для этих машин.

Теория переходных процессов машин переменного тока является
также базой для расчета режимов сельсинов, ряда следящих систем
в автоматике и др.

Наряду с исследованием поведения одной машины в переходном
режиме практика выдвигает ряд задач, связанных с исследованием
системы машин — синхронных, асинхронных, работающих на общую
сеть либо связанных валом.

Проблемы статической и динамической устойчивости энергосистем,
вопросы регулирования напряжения и частоты в сети неразрывно
связаны с рассмотрением переходных процессов во вращающихся ма-
шинах.

2.	ДЕЙСТВИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ТОКОВ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТРЕБОВАНИЯ,
ПРЕДЪЯВЛЯЕМЫЕ К МАШИНЕ ДЛЯ ОБЕСПЕЧЕНИЯ ЕЕ РАБОТЫ

В ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМАХ

а)	Предельные величины переходных токов

Ударные токи короткого замыкания в машинах переменного тока
могут достигать (с учетом асимметричной составляющей) 15-кратного
значения от номинального и выше. Максимальная кратность ударного
тока трехфазного короткого замыкания может быть грубо оценена как
1.8

—ту, где xd — так называемая сверхпереходная реактивность в отно-
xd

сительных единицах, имеющая порядок 0.12—0.3.

п	1

В асинхронных машинах —77- близка по величине к кратности пу-
xd

скового тока в долях номинального, определяемой по круговой диа-
грамме для скольжения, равного единице. Кратность пускового тока
короткозамкнутого асинхронного двигателя равна обычно 5—7. По-
этому кратность ударного тока трехфазного короткого замыкания по
отношению к номинальному имеет порядок 9—13.

В синхронных машинах величина x'd в первую очередь зависит от
наличия демпферной обмотки на роторе. Чем мощней демпферная си-
стема на роторе, тем лучше она выносит несимметричные режимы и
тем меньше изменение напряжения в сети, питаемой синхронным гене-
ратором при внезапном изменении нагрузки. Вместе с тем установка
демпферной системы приводит к уменьшению х* и, следовательно, к уве-
личению ударных токов короткого замыкания. В турбогенераторах сам
массив стали ротора является мощной демпферной системой, по-
этому максимальные токи короткого замыкания в турбогенераторах
Достигают 18—19-кратной величины от номинальной. Гидрогенераторы
в ряде случаев выполняются без демпферной системы. Кратность удар-
ного тока короткого замыкания в этом случае составляет 5—8.

При однофазных коротких замыканиях кратность ударного тока
короткого замыкания может быть больше, чем при трехфазном корот-
ком замыкании, на величину до 30—40%*
Максимальные кратности токов при двухфазных коротких замыка-
ниях, как правило, бывают несколько меньше, однако такие замыкания
являются в ряде случаев наиболее опасными, так как создают наи-
большие вращающие моменты и значительные перенапряжения на сво-
бодной фазе.

Особенно большие кратности токов имеют место при неправильной
синхронизации машины в момент включения синхронной машины в сеть.
В этом случае токи могут быть вдвое больше по величине, чем при
коротких замыканиях, т. е. кратность ударного тока может доходить
до 30 от номинального.

Аналогичные явления наблюдаются при весьма быстром переключе-
нии фаз асинхронной машины в целях торможения.

При выпадении из синхронизма токи в синхронной машине даже
при выключенном возбуждении могут превышать номинальные. Этот
режим, однако, в первую очередь может быть опасен вследствие зна-
чительных потерь, обусловленных скольжением ротора.

Ряд опытов, проведенных за последние годы, показал, что для мно-
гих турбогенераторов с массивным ротором сравнительно длительная
работа после выпадения из синхронизма при отсутствии возбуждения
не представляет опасности, так как турбогенератор в этом случае на-
чинает работать как асинхронный генератор с малым скольжением
[1А-43]. Средний ток статора турбогенератора будет несколько больше
— в долях номинального, где xd *— так называемая синхронная реак-
xd

г>	1

тивность машины. Величина — соответствует кратности тока холо-
xd

стого хода невозбужденного синхронного двигателя в долях номиналь-
ного и имеет порядок 0.7—1.4.

Значительные анормальные токи могут иметь место при самовозбу-
ждении асинхронной или синхронной машины. Эти токи имеют частоту,
отличающуюся от частоты сети, и кратность до 5 от номинального тока.

б)	Тепловое действие переходных токов

Увеличенные токи в машине опасны с точки зрения их теплового
и механического действия. Поскольку протекание повышенных токов
обычно кратковременно, при практических расчетах теплового действия
этих токов обычно пользуются весьма простым методом расчета на-
грева по адиабате, т. е. без учета отвода тепла, считая, что все тепло
поглощается медью обмотки. В этом случае дополнительный нагрев
обмотки составит:

(1,1)

где △ и Ао — мгновенная и начальная плотности тока в а/мм2,
— дополнительный нагрев меди в град./сек.

Таким образом, если, например, нормальная плотность тока состав-
ляет 3.0 а/мм2, а средняя кратность переходного тока —10, то скорость
нарастания температуры обмотки

(100—1)9	,

-———2—^5.1 град./сек.

Д2-Д2

= —175— град./сек.,
Если же кратность тока доходит до 15, то будет равен
11.5 град./сек.

Поскольку продолжительность переходного процесса, за исключе-
нием случаев пуска, выпадения из синхронизма и самовозбуждения,
обычно невелика и исчисляется десятыми или сотыми долями секунды,
тепловой эффект токов при внезапных коротких замыканиях, внезап-
ных изменениях режимов и т. д. обычно не опасен и не превышает
10—20° С, будучи при этом весьма кратковременным.

Выпадение из синхронизма, самовозбуждение, пуск являются такими
процессами, для которых оценка теплового действия повышенных то-
ков весьма существенна.

Быстрый дополнительный нагрев обмотки может иметь ряд опасных
последствий независимо от вредного теплового воздействия на изоля-
цию. Это объясняется в первую очередь разными коэффициентами рас-
ширения меди, изоляции и стали, вредным действием тепловых расши-
рений на пайки обмотки, опасностью деформации меди обмотки ротора,
тепловому расширению которой препятствуют центробежные силы,
сжимающие обмотку при вращении, и т. д. В статорных обмотках повы-
шение температуры, вызванное увеличенными токами, может привести
к размягчению в отдельных местах компаунда, которым пропитана об-
мотка. Это нежелательно, так как при повышенных токах вследствие
возникающих значительных электродинамических усилий от обмотки
требуется увеличенная механическая прочность.

Тепловые расширения обмотки приводят также к перетиранию изо-
ляции и в ряде случаев к появлению в ней трещин. В дальнейшем на-
личие трещин при засорении или увлажнении изоляции может при-
вести к электрическому пробою изоляции.

в)	Механическое действие переходных токов

Переходные токи создают значительные усилия в лобовых частях
обмотки. Магнитные поля в переходном режиме могут вызвать значи-
тельную вибрацию. Особенно опасны с этой точки зрения асимметрич-
ные режимы в машинах, не имеющих поперечной демпферной системы.
Наконец, переходный процесс может быть связан с быстрым возраста-
нием скорости вращения, опасным для машины. Сюда относятся такие
режимы, как внезапный сброс нагрузки.

Максимальные вращающие моменты при коротких замыканиях прак-
1.3

тически имеют порядок —уг в долях базового вращающего момента,
соответствующего номинальным ква машины при синхронной скорости
вращения. При #"=0.2 будем иметь максимальный вращающий момент
порядка 7-кратного от базового. Поскольку номинальный вращающий
момент в долях базового численно равен коэффициенту мощности,
кратность максимального момента в долях номинального будет еще выше.

Этот максимальный момент будет передаваться через статор на фун-
даментные болты и фундамент. На закручивание вала ротора, если
пренебрегать усилением, вызванным упругими колебаниями вала, будет
действовать только часть вращающего момента, определяемая отно-
шением

GD2np-GD9; ’
где GDnp — маховой момент присоединенного механизма (турбины, ди-
зеля, вентилятора и т. д.);

GDs — маховой момент электрической машины.

Остальная часть вращающего момента пойдет на ускорение (либо
замедление) ротора электрической машины.

При переходном процессе в машине действуют дополнительные за-
тухающие вращающие моменты одного знака либо пульсирующие.
Пульсирующие моменты в синхронных машинах обычно имеют частоту
первой и второй гармонических от номинальной частоты либо частоту,
близкую к нулю. При наличии скольжения ротора появляются состав-
ляющие переходного вращающего момента, имеющие частоту, близкую
к частоте скольжения, которая может оказаться близкой к собственной
частоте крутильных колебаний вала. В этом случае может иметь место
заметное усиление пульсирующего момента, действующего на валу.

Значительные электродинамические усилия наблюдаются при повы-
шенных токах в лобовых частях. Для приближенных расчетов можно
пользоваться формулой

2Zz2

Л 10-8,	(1,2)

где А — действующее усилие в кг;

I — длина токоведущего провода в см;

i — сила тока в а;

d—расстояние между проводами в см.

Пусть, например, в крупной трехфазной машине с током в провод-
нике 2500 а, длиной лобовой части 1.5 м и расстоянием от меди до меди
в лобовой части 3.0 см имеет место короткое замыкание с 15-кратным
максимальным током. Усилие, действующее на лобовую часть, с учетом
действия соседних проводников в этом случае может достигать

(2 -г- 4) 2 • 150.(2500 V2 )2152

3.0-1000	10 — 5*6 — 11.2 т.

Как видим, при коротких замыканиях лобовые части обмотки испы-
тывают огромные механические усилия. Удельные усилия на 1 см длины
достигают 75 кг/см.

Помимо значительных механических усилий в лобовых частях, токи
и связанные с нимй магнитные поля при несимметричных коротких за-
мыканиях могут вызывать значительные вибрации, опасные тем, что
они имеют частоту порядка 100 гц и выше, создавая значительные
ускорения даже при малой амплитуде вибрации. По этой причине
в ряде случаев приходится сильно ограничивать допустимую несимме-
трию токов. Это в первую очередь относится к крупным гидрогенера-
торам сварной конструкции.

г) Перенапряжения

Переходные процессы могут сопровождаться значительными пере-
напряжениями, опасными в отдельных случаях для машин. Основными
причинами их появления могут быть:

1)	атмосферные перенапряжения;
2)	коммутационные перенапряжения;

3)	перенапряжения, вызванные несимметрией ротора, резонансом
с емкостью и самовозбуждением.

Первая группа перенапряжений характеризуется большой крутизной
фронта волны напряжения и представляет опасность как для корпус-
ной, так и для витковой изоляции обмоток. Путем установки специаль-
ных разрядников, ограничивающих амплитуду проникающих перенапря-
жений, и установки защитной емкости, сглаживающей фронт волны
напряжения, входящей в машину, влияние атмосферных перенапряже-
ний удается существенно ограничить.

Вторая группа перенапряжений связана с переключениями в элек-
трической цепи, пробоями кабеля, колебательными процессами в элек-
трической дуге и т. д. Величина коммутационных перенапряжений при
наличии колебательных процессов может достигать 3—5-кратных зна-
чений от номинального. Частота колебательного процесса при этом мо-
жет быть настолько велика, что следует уже считаться с крутизной
фронта соответствующей электромагнитной волны.

Третья группа перенапряжений связана в первую очередь с резо-
нансными явлениями, вызванными наличием емкости и несимметрией
ротора. Кратность перенапряжения на свободной фазе при двухфазном
коротком замыкании синхронной машины может достигать величины
Л-£[2—7? 1) в долях от номинального. Здесь Е — кратность тока
2	\ xd /

возбуждения в долях тока, соответствующего номинальному напряже-
нию статора при холостом ходе; х" и x"d—сверхпереходные реактив-
ности по поперечной и продольной осям соответственно.

Если, например, синхронная маЩина, не имеющая на роторе демп-
ферной системы, имеет параметры х" = хд = 0.65, х"=0.25, а крат-
ность тока возбуждения £=1.0, то максимальная кратность перена-
пряжения на свободной фазе по отношению к номинальному фазовому
напряжению составит при двухфазном коротком замыкании машины,
ранее работавшей в режиме холостого хода с номинальным напря-
жением,

3	/	0.65	\

Т-Ч2-

Если машина включена на линию передачи, обладающую значитель-
ной емкостью, то могут получиться еще большие перенапряжения
вследствие явления резонанса с емкостью на одной из гармоник кри-
вой напряжения.

Величина напряжения при этом будет ограничена в основном вели-
чиной активного сопротивления в цепи статора с учетом потерь на
коронирование в высоковольтной линии.

Резонанс бывает тогда, когда отношение ——равно квадрату це-
V xNdxq

лого числа 1, 2, 3 и т. д. Практически опасность представляет резо-
нанс на 3-й, 5-й и 7-й гармониках, т. е. когда отношение - - *с =- близко

к 9, 25 и 49. Здесь хе— реактивное сопротивление емкости.
3.	ОБЩАЯ МЕТОДОЛОГИЯ РАССМОТРЕНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
В МАШИНАХ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

В исходном виде уравнения, описывающие поведение машины пере-
менного тока в эксплуатации, настолько сложны, что не может быть
и речи об их аналитическом решении без существенного упрощения,
допустимость которого проверена экспериментально.

Работающая машина переменного тока является сложной совокуп-
ностью трехмерных электрических и магнитных полей в среде, содер-
жащей тесно переплетенные участки с разными магнитными и диэлек-
трическими постоянными. Явления вытеснения тока, переменная маг-
нитная проницаемость стальных частей в функции протекающих токов,
сложное распределение магнитных полей в пазах статора и ротора,
в воздушном зазоре машины, в активной стали, изменяющиеся во вре-
мени при вращении машины, делают точное математическое представ-
ление картины электромагнитного поля в машине по уравнениям Макс-
велла в дифференциальном виде практически бесполезным.

На практике пользуются упрощенной кдртиной магнитных и элек-
трических полей в машине, приближенно учитывая влияния насыщения,
вытеснения тока и др. Несмотря на эти приближения, современная
теория машин переменного тока» тем не менее с достаточной точ-
ностью предопределяет поведение машины в нормальных и анормаль-
ных режимах, если только надлежащим образом вычислены либо изме-
рены параметры машины. Это проверено многолетним опытом. Описа-
ние машины совокупностью параметров становится при этом важнейшей
составной частью теории переходных процессов в машинах переменного
тока.

Разработка вопросов теории переходных процессов в машинах пере-
менного тока методологически сводится к следующему:

1)	упрощение исходных уравнений выделением главных явлений,
определяющих поведение машины в эксплуатации, и пренебрежением
остальными;

2)	математические преобразования полученных аналитических урав-
нений с учетом имеющих место, как правило, условий симметрии в
машине;

3)	выявление физической картины наиболее важных на практике
режимов работы и установление начальных условий, подставляемых
в общие уравнения;

4)	разработка методов расчетного и экспериментального определения
совокупности параметров, характеризующих работу машины.

Асинхронная и синхронная машины представляют собой совокуп-
ность магнитно связанных электрических цепей. Отличие от обычного
трансформатора заключается в наличии периодически изменяющейся
части в коэффициентах взаимоиндукции и самоиндукции обмоток.

Как показал опыт, пренебрежение определенными высшими гармо-
никами магнитных полей и магнитодвижущих сил в ряде случаев до-
пустимо или по крайней мере их влияние может £ыть исследовано
особо. Это относится в первую очередь к синхронной машине.

Уравнения синхронной машины Парка—Горева- [3-57, 1А-12], опуб-
ликованные в 1929 г., учитывают только первую гармонику перемен-
ного коэффициента взаимоиндукции между обмотками статора и ротора
и вторую гармонику коэффициента самоийдукции статорных обмоток,
вызванную магнитной асимметрией ротора.
Сравнения с опытными данными показали, что, несмотря на вводи-
мые упрощения, уравнения типа Парка—Горева дают хорошие резуль-
таты при определении поведения машины в переходных и установив-
шихся режимах работы машины, как например внезапное и установив-
шееся короткое замыкание, ряд вопросов статической и динамической
устойчивости машины и др.

Упрощение дифференциальных уравнений, применяемое в совре-
менной теории машин переменного тока, заключается в таком преоб-
разовании переменных, чтобы коэффициенты системы, имеющие перио-
дическую часть, после преобразования стали постоянными величинами
или относительно медленно изменяющимися.

Физическим основанием возможности подобного преобразования при
переменной скорости вращения является относительно большая меха-
ническая инерция ротора машины, вследствие чего изменение скорости
вращения происходит по сравнению со скоростью протекания переход-
ных электрических процессов относительно медленно.

Если пользоваться механическими и геометрическими аналогиями,
то преобразования переменных, применяемые с целью упрощения коэф-
фициентов системы уравнений, можно рассматривать как преобразова-
ния координатных осей, которые либо вращаются вместе с ротором
или с независимой скоростью, либо связаны с неподвижным статором.

Применяемая в настоящей книге комплексная форма операторных
уравнений позволяет рассматривать переход от одной системы коорди-
нат, вращающейся с заданной скоростью, к другой системе координат*
вращающейся с другой скоростью, как использование простой теоремы
смещения Хивисайда вместо применяемого Кроном [1А-30] преобразо-
вания матриц, в ряде случаев практически громоздкого. Наряду с этим,
комплексная форма позволяет обычно снизить в два раза количество
уравнений падений напряжения, входящих в рассматриваемую систему*
что существенно упрощает исследование вопроса.

Аналитическое решение полученных уравнений часто сводится к на-
хождению быстро сходящихся рядов, содержащих специальные функ-
ции, которые позволяют практически использовать богатство современ-
ного математического анализа и представляют большие возможности
для решения ряда задач, которые до сих пор исследуются в теории
переходных режимов электрических машин недостаточно точными или
численными методами для данной конкретной машины, что не дает воз-
можности делать обобщения.

Общий метод анализа переходных режимов в настоящей работе сле-
дующий.

1)	Вводится система относительных единиц для токов, напряжений,
потокосцеплрний, скоростей вращения, частот, вращающих моментов,
мощностей, активных и реактивных сопротивлений, что значительно
упрощает вид уравнений.

2)	Трехфазная система обмоток статора и ротора приводится к двух-
фазной системе. Это упрощает связи между обмотками. При симмет-
ричном роторе система напряжений прямой последовательности, подве-
денная к статору, вызовет только прямо бегущую волну м. д. с. При
магнитной асимметрии ротора прямая последовательность напряжений
может вызвать, кроме того, обратно бегущую волну. При несимметрич-
ной системе напряжений, подводимых к трем фазам, наряду с прямо
бегущей волной всегда появится обратно бегущая волна м. д. с. Для
каждой из этих волн машина будет иметь соответствующие параметры.
Если, например, для прямо бегущей волны статорной м. д. с. скольже-
ние ротора равно $, то для обратно бегущей волны оно равно 2—$. Вра-
щающий момент создается взаимодействием всех потокосцеплений ста-
тора или ротора соответственно со всеми токами статора или ротора.

3)	Системы уравнений для продольной и поперечной осей статора
и ротора сводятся в систему, имеющую половинное (не считая сопря-
женных) число уравнений, которые содержат комплексные коэффи-
циенты и комплексные переменные.

4)	Производится преобразование переменных к соответствующей
системе координатных осей — либо неподвижной, либо вращающейся
со скоростью ротора <ог, либо вращающейся с синхронной скоростью —
в зависимости от рассматриваемой задачи.

5)	Определяются токи, потокосцепления, скорости вращения, вра-
щающие моменты и их приращения в том или ином заданном устано-
вившемся или переходном режиме.

При учете изменений скорости в систему уравнений входят уравнения
механического равновесия движения ротора.

6)	Устанавливаются связи между токовыми характеристиками ма-
шины в установившихся асинхронных режимах при питании статора
номинальным напряжением (частотными характеристиками) и переход-
ными процессами в машине при внезапных коротких замыканиях, па-
дениях напряжения и др.

Предлагаются на основе установленной связи между частотными
характеристиками и переходными процессами в машине новые методы
опытного определения параметров машины.

В ряде случаев дальнейшее уточнение в исследовании вопросов
удается получить, используя аппарат специальных функций — эллипти-
ческих [1Г-6], бесселевых [1В-8, 1Г-7], Френеля [1Г-5] и др., как это
показано при рассмотрении соответствующих задач в настоящей книге.

4.	ОСНОВНЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, ИМЕЮЩИЕ МЕСТО

ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ МАШИНАХ В УСТАНОВИВШИХСЯ РЕЖИМАХ

а)	Вращающиеся поля м.д.с. и потокосцеплений
в машинах переменного тока

Токи, протекающие в каждой фазовой обмотке статора синхронной
тили асинхронной машины, создают, как известно, ступенчатую кривую
распределенной в пространстве м. д. с. с амплитудой, которая пульси-
рует во времени с частотой протекающего тока.

Эта ступенчатая кривая, являющаяся интегральной кривой распре-
деления токов, может быть разложена на пространственные гармоники
с первой гармоникой, имеющей длину волны, равную двойному полюс-
ному делению.

Аналогичные волны м.д.с., распределенных в пространстве со сдви-
гом на 120 и 240 электрических градусов, создают токи, протекающие
в двух других фазовых обмотках. Пульсация во времени этих про-
странственных волн м. д. с. будет зависеть от характера протекающих
по фазовым обмоткам токов.

Если, например, в трех фазовых обмотках протекают токи нулевой
последовательности, т. е. если переменный синусоидальный ток во всех
трех фазах одновременно достигает одинакового максимума, то первые
гармоники м.д. с., создаваемые тремя фазами при сложении в про-
странстве, дадут нуль и останутся только высшие гармонические.

Если питать фазовые обмотки токами прямой последовательности,
т. е. синусоидальный ток в фазовой обмотке Ь будет отставать во вре-
мени от тока в фазовой обмотке а на угол и опережать ток в фа-
„ .	2^

эовой обмотке сна у, то первые гармоники фазовых м. д. с., скла-
дываясь, создадут вращающуюся в пространстве синусоидальную волну
3

м.д. с. с постоянной амплитудой, равной -у от амплитуды м. д. с., со-

здаваемой одной фазовой обмоткой. Амплитуда этой синусоидально
распределенной и вращающейся в пространстве м. д. с. совпадает с осью
фазовой обмотки в тот момент, когда м.д. с., образуемая током в дан-
ной фазовой обмотке, достигает максимума. Скорость вращения ука-
занной м.д.с. будет в долях синхронной скорости равна единице.

Абсолютная скорость вращения будет равна

60/	- ,

— об./мин.,

где f— ча-

стота тока, обычно равная 50 гц; р — число пар полюсов. Если питать
фазовые обмотки токами обратной последовательности, т. е. если по-
дать ток, питающий обмотку с, в фазу 6, а ток, питающий обмотку 6,

в фазу с, то первые гармоники м. д. с. создадут при сложении в про-
странстве синусоидально распределенную м.д. с., вращающуюся в обрат-
ную сторону с той же скоростью, что и при питании токами прямой
последовательности.

Магнитная индукция в воздушном зазоре машины пропорциональна
м.д.с. в данном месте зазора и примерно, если не учитывать 15—
20% ампервитков, идущих на создание индукции в активной стали,
пропорциональна магнитной проводимости воздушного зазора. Послед-
няя обратно пропорциональна величине воздушного зазора. Поэтому

в машинах с равномерным зазором кривая распределения индукции
В зазоре имеет тот же характер, что и кривая м. д. с. В машинах
с неравномерным зазором кривая распределения индукции будет иметь
провалы в междуполюсном пространстве.

Потокосцепления фазовых обмоток определяются интегралом от
кривой магнитной индукции, умноженным на постоянные для данной
машины коэффициенты, учитывающие сокращение шага обмотки, ха-
рактер суммирования и т. д. Поэтому потокосцепления можно также
характеризовать пространственной волной, сдвинутой по фазе относи-
тельно волны магнитной индукции. Если выделить первую гармонику
Волны магнитной индукции, то первая гармоника волны потокосцепле-
ний будет сдвинута в пространстве по отношению к волне магнитной
индукции и, следовательно, по отношению к волне м. д. с. на 90 элек-
трических градусов. Учитывая, что кривая м. д. с. является интеграль-
ной кривой распределения токов, нетрудно видеть, что первые гармо-
ники распределения потокосцеплений и распределения токов совпадают
Во фазе (при соответствующем выборе знаков для пространственных
полуволн токов и потокосцеплений).

Помимо потокосцеплений, создаваемых токами в фазовых обмотках
статора, в машине имеется вращающийся магнитный поток, создавае-
мый токами в роторе. Кривая распределения магнитной индукции,
создаваемой роторными токами, может быть по своей форме далека
0т синусоиды, однако наводимые вращающимся магнитным потоком э. д. с.
в обмотках статора по своей форме близки к синусоиде. Это дости-
гается соответствующим сокращением шага обмотки и соответствующим
соединением секций обмотки. Э. д. с., наводимая в фазовых обмотках,
определяется как первая производная потокосцеплений, связанных
с обмоткой, и, следовательно, можно считать, что вследствие специ-
фического распределения фазовых обмоток в пространстве потоко-
сцепления взаимоиндукции от роторных цепей являются синусоидаль-
ными, т. е. полагать, что роторные обмотки создают синусоидально
распределенные в пространстве волны потокосцеплений со статорными
обмотками.

Ступенчатый характер кривой м. д. с., образуемой статорными то-
ками, приводит к наличию высших гармонических в кривой распреде-
ления потокосцеплений. Эти высшие гармонические создают поля, вра-
1

щающиеся со скоростями — относительно статора, где п — порядок
гармонической. Наводимые этими полями э. д. с. считают электродви-
жущими силами рассеяния и относят к так называемому дифферен-
циальному рассеянию. Это значит, что обычно пренебрегают вращаю-
щими моментами, создаваемыми этими гармоническими, вычисляя электро-
магнитный вращающий момент только по взаимодействию первых
гармонических.

б)	Круговая диаграмма асинхронной машины

Мы уже установили, что токи, протекающие в фазовых обмотках
статора, при отсутствии токов ротора образуют, если говорить о первых
гармониках, вращающиеся потокосцепления, распределение которых
в пространстве соответствует распределению создающих их фазовых
токов. В дальнейшем мы будем говорить только о первых гармониках
кривых пространственного распределения токов и потокосцеплений.
Это позволит воспользоваться векторным представлением соответствую-
щих величин. Величина вектора будет характеризовать амплитуду волны,
а направление — угол, под которым находится амплитуда волны по от-
ношению к условно выбранной оси, например оси фазы а.

В таком случае волны распределения тока и потокосцеплений в про-
странстве могут быть представлены двумя векторами, совпадающими
по фазе при отсутствии взаимоиндукции с цепями ротора и наличии
равномерного зазора. Эти векторы при питании статора токами прямой
последовательности будут вращаться по отношению к оси фазы а
со скоростью, равной единице, в положительном направлении, т. е.
против часовой стрелки.

Пусть машина питается от сети со стороны статора, а обмотка ротора
разомкнута. Если пренебречь омическим падением напряжения в обмот-
ках статора, то все подводимое к обмоткам статора напряжение рас-
ходуется на преодоление э. д. с., создаваемой вращающимися потоко-
сцеплениями. Эта волна э. д. с. будет отставать от волны потокосцеп-
лений на 90 электрических градусов, и, следовательно, можно считать,
что волна потокосцеплений будет отставать на 90 электрических гра-
дусов от волны напряжения, соответствующей напряжению сети, иду-
щему на преодоление э. д. с. индукции. В результате получаем векторную
диаграмму, представленную на рис. 1-6, а и соответствующую случаю
разомкнутой обмотки -ротора.

Коэффициент пропорциональности между током и потокосцеплениями
статора х будет определяться магнитной проводимостью воздушного
зазора. Учитывая, что векторы тока и потокосцеплений вращаются по
отношению к статору и в общем случае могут вращаться по отношению
кротору, этот коэффициент пропорциональности х может быть при наличии
выступающих полюсов переменной величиной.

Пусть теперь в роторе имеется короткозамкнутая обмотка. Если эта
обмотка имеет активное сопротивление, равное нулю, то она будет
пропускать только небольшой магнитный поток, создавая токи в роторе,,
определяемые рассеянием и являющиеся соответствующим отражением’
токов статора. Влияние этих токов можно учесть, приняв магнитную»
проводимость ротора близкой к нулю. Это значит, что в то время как:
при разомкнутой обмотке ротора коэффициент пропорциональности х
определялся магнитным сопротивлением воздушного зазора при не-
большом магнитном сопротивлении активного железа статора и ротора,

^0



Рис. 1-6. Векторная диаграмма для потокосцеплений и
тока статора.

а — при ражомккутой обмотке ротора; б — при жамкнутой накоротке
обмотке ротора, при активных сопротивлениях в цепи ротора,
равных нулю.

теперь потокосцепления статора в основном должны замыкаться по
путям рассеяния. Соответствующий коэффициент пропорциональности
между током и потокосцеплениями статора х' будет значительно меньше,
чем х. Поскольку величина потокосцеплений при заданном напряжении
и незначительном омическом сопротивлении обмотки статора останется
неизменной, величина тока значительно увеличится (рис. 1-6, б).

Остается рассмотреть, что же будет в промежуточном случае,
когда в роторе имеется активное сопротивление. Будем рассматривать
установившийся режим. При этом следует различать два случая: когда
ротор вращается синхронно с вращающимся полем и когда имеет место
скольжение ротора по отношению к вращающемуся полю, создаваемому
питанием со стороны статора [1А-28, 1А-40, 1А-41].

В первом случае в установившемся режиме ток ротора будет равен
нулю и, следовательно, ток статора будет равен току холостого хода 4,
представленному на рис. 1-6, б. Во втором случае в роторе будет на-
водиться э.д. с., пропорциональная величине скольжения. Эта э. д. с.
будет расходоваться на преодоление омического падения напряжения
и преодоление э. д. с. индукции роторных контуров. Ток ротора в уста-
новившемся режиме будет сдвинут по фазе по отношению к создаю-
щему его напряжению.

Можно показать, что геометрическим Местом концов векторов токов
ротора при различных активных сопротивлениях в цепи ротора (при
наличии одной системы обмоток в роторе) будет окружность. Соответ-
ственно будет изменяться ток статора, в котором появится составляю-
щая, компенсирующая ампервитки, создаваемые током ротора. Таким
образом, в роторе при наличии скольжения появится волна м. д. с.,
вращающаяся в пространстве синхронно с м. д. с., создаваемой токами
статора,, и со скоростью скольжения по отношению к вращающемуся
ротору. Эта волна м. д. с. будет являться интегральной по отношению
к соответствующей пространственной волне роторного тока.

Статорный и роторный токи могут быть представлены с помощью
круговой диаграммы, построенной на диаметре, равном разности— Zo
(рис. 1-7). Приведенный ток ротора, взятый с обратным знаком,
представляется вектором —i'r. Ток статора будет равен геометриче-
ской сумме токов Zo и —i'r.

Если активное сопротивление в цепи ротора оставить постоянным,

а менять скольжение ротора, то геометрическим местом токов ротора

Рис. 1-7. Круговая диаграмма асинхронной ма-
шины при незначительном активном сопротивле-
нии в цепи статора.

и статора останется та же
окружность, так как наводи-
мое напряжение и реактив-
ность обмотки ротора про-
порциональны скольжению.
Процесс будет в этом слу-
чае происходить, как в цепи,
к которой приложено неиз-
менное напряжение, имею-
щее номинальную частоту,
а омическое сопротивление
гг

равно —, где гг — активное
сопротивление обмотки ро-
тора и s — скольжение.

Потери, выделяемые в
этом эквивалентном сопро-
тивлении Г , будут при
пренебрежении влиянием ак-

тивного сопротивления статора и потерями в стали статора пропор-
циональны активной составляющей тока статора Zecos<p. Потери эти
достигают максимума при определенном скольжении $к, называемом
критическим.

Синхронная машина работает в режиме $ = 0, соответствующем
точке А (рис. 1-7). Асинхронная машина работает при скольжении $н,
меньшем, чем $к, и соответствующем на рис. 1-7 точке С. Точка С
характеризуется примерным соотношением	при котором cos ср

машины имеет наибольшее значение. Мощность, подводимая к машине,
расходуется при пренебрежении влиянием омического сопротивления
статора г9 и потерями в стали на механическую работу, совершаемую
электромагнитным вращающим моментом, и на джоулевы потери в ро-
торе ZVr. Мощность, передаваемая на вал машины, будет равна

21-/2	(i_s)z.2_2

S г г 4	' r S

(1,3)

Скорость ротора в долях синхронной скорости будет равна 1 — $,
и, следовательно, вращающий момент, создаваемый взаимодействием
статорных и роторных токов, будет пропорционален Z$-j- . Таким обра-
вом, вертикальная проекция тока на круговой диаграмме пропорцио-

нальна создаваемому электромагнитному вращающему моменту.

Отношение

отрезков

О'Р

FC

(рис. 1-7) характеризует перегружаемое™

асинхронного двигателя, т. е. запас в отношении развиваемого вра-
щающего момента. Это отношение имеет обычно порядок величины
1.5—2.5.

Для определения скольжения достаточно нанести равномерную
шкалу на отрезке KL, проходящем через точку $ = 1.0, как представ-
лено на рис. 1-7, и найти точку, в которой вектор — ir пересекает

шкалу.

Нижняя половина круга будет соответствовать отрицательным зна-
чениям скольжения. Вращающий момент в этом случае будет отрица-
тельным, т. е. машина будет работать в режиме асинхронного гене-
ратора.

Представленная круговая диаграмма может быть уточнена для учета
влияния активного сопротивления в цепи статора и учета потерь в стали.
Соответствующие уточненные построения изложены во всех курсах,
Посвященных теории асинхронных машин. Мы не будем подробно оста-
навливаться на рассмотрении уточненных диаграмм, так как для изу-
чения переходных процессов достаточно сначала пользоваться упро-
щенной круговой диаграммой.

в)	Эквивалентная схема асинхронной машины

Принимая в качестве параметров цепи ротора неизменное индук-
Гг
тивное сопротивление хг и активное сопротивление, равное —, мы
можем составить для асинхронной машины с одной системой обмоток

в роторе эквивалентную схему, ана-
логичную таковой для статического
двухобмоточного трансформатора.
В схеме, представленной на рис. 1-8,
г9 — активное сопротивление в цепи
статора, xt — реактивное сопротив-
ление рассеяния обмотки статора,
х8Г—~ реактивное сопротивление вза-
имоиндукции обмоток статора и ро-
тора, Хаг = хг — xsr — реактивное со-
противление рассеяния обмотки ро-
тора. При $ = 0 величина -у- стре-

rs Jxt	Гг/ъ

Рис. 1-8. Эквивалентная схема асин-
хронной машины с одной системой об-
моток в роторе для установившегося
режима.

Мится к бесконечности и результи-
рующее реактивное сопротивление
статора становится равным х9 = Xi~*-x9r. Это реактивное сопротивление,
являющееся реактивностью самоиндукции обмотки статора, характе-
ризует ток холостого хода и называется синхронной реактивностью.

При $, стремящемся к бесконечности, величина стремится к нулю.
В этом случае результирующее реактивное сопротивление статора ста-
новится равным

х2

=	=	=	(I.4)
где хг = Хаг-4-xsr — реактивность самоиндукции обмотки ротора;

теризует ток короткого замыкания

*	№ А В

а = 1----—---коэффициент рассеяния;

Х^ЛГг
знак || — параллельное соединение сопротивлений.

Величина х' называется переходной реактивностью статора и харак-
машины. Поскольку величина гг
обычно мала по сравнению с хаг,
ток статора при s = 1 в основном
определяется величиной х^ т. е.

пусковой ток близок к идеаль-
ному току короткого замыкания.
Если на роторе имеется не-
сколько систем обмоток с разными
параметрами, то эквивалентная
схема машины усложняется. Счи-
тая, что взаимоиндукция статора
со всеми роторными обмотками,
---определяемая в основном величи-

ной воздушного зазора, одина-
Рис. 1-9. Эквивалентная схема асинхрон- кова, получаем эквивалентную
ной машины при наличии нескольких систем сх представленную на рис. 1-9.

Соответствующая векторная диа-
грамма уже не будет круговой.
При наличии двух систем обмоток на роторе векторная диаграмма
имеет вид, представленный на рис. 1-10.

Обычно одну из обмоток ротора асинхронной машины выбирают
из условий получения хорошей пусковой характеристики, а вторую —
из условия хороших эксплуатационных данных. Если в роторе имеются
массивные части, то это равносильно наличию большого количества

Рис. 1-10. Векторная („круговая") диаграмма
асинхронной машины при наличии двух
короткозамкнутых клеток в роторе.

Рис. 1-11. Векторная диаграмма
для тока статора асинхронного
двигателя с массивным ротором.

короткозамкнутых контуров. Ток статора определится взаимодействием
со всеми короткозамкнутыми контурами. Картина усложняется суще-
ственной зависимостью распределения токов в короткозамкнутых кон-
турах ротора от частоты токов и насыщения. Аналитический расчет
в этом случае является сложным. Существуют приближенные методы
расчета характеристик с учетом указанных зависимостей.
При наличии массивного ротора активное и реактивное сопротив-
ления ротора изменяются таким образом, что геометрическим местом
токов становится линия, близкая к прямой, как это представлено на
рис. 141.

Рассеяние %; содержит в себе реактивность от высших гармони-
ческих полей статора. Эти высшие гармонические наводят в роторе
токи, соответствующие скольжению, численно значительно большему,
чем единица, так как если для каждой из этих гармонических строить
свою векторную диаграмму, то ток будет соответствовать скольжению
|s|^> 1. Вращающий момент, создаваемый этими гармоническими, будет
поэтому мал, и влиянием активного сопротивления ротора при учете
этих высших гармонических можно пренебречь. Влияние рассеяния
ротора и реактивности взаимоиндукции в определенной мере, однако,
войдет в величину хг в виде составляющих дифференциального рас-
сеяния.

г)	Относительные единицы

В практике расчета режимов в электрических машинах широкое
распространение нашло выражение основных величин в относительных
единицах, что существенно упрощает вид уравнений, освобождая их от
громоздких коэффициентов, и облегчает установление обобщенных зави-
симостей.

Ток выражается в долях номинального тока статора; амплитудное
значение волны тока — в долях амплитуды, соответствующей номиналь-
ному току, амплитуда волны потокосцеплений — в долях амплитуды
волны потокосцеплений, соответствующей потокосцеплениям в режиме,
принятом за „номинальный", и т. д. Таким образом, вместо величин
в амперах, вольтах и т. д. мы будем рассматривать кратности соот-
ветствующих величин в долях величин, принятых за „базовые". В ка-
честве базовых величин принимаются номинальные фазовые: ток, потреб-
ляемый из сети, и напряжение статора — для токов и напряжений;
номинальная потребляемая из сети кажущаяся мощность машины в ква —
для мощности; номинальная частота (обычно 50 гц) — для частоты;
номинальная угловая скорость вращения в электрических радианах —
для угловой скорости вращения, и т. д. В качестве базовой единицы
сопротивления принимают сопротивление, равное

Q __ базовое напряжение
н	базовый ток

Все активные и реактивные сопротивления выражаются в долях
базового сопротивления.

Величины реактивностей, выраженные в относительных единицах
при номинальной частоте тока, численна равны выраженным в отно-
сительных единицах коэффициентам самоиндукции, так как номиналь-
ная угловая скорость о) = 2^/ в относительных единицах равна еди-
нице. За единицу вращающего момента принимается вращающий момент,
соответствующий потребляемой из сети мощности, равной номиналь-
ным ква при номинальной скорости вращения, и действующий в сто-
рону ускорения ротора. Время при пользовании относительными еди-
ницами выражается в электрических радианах, равных сек. при
частоте 50 гц. При пользовании такой единицей времени в тригоно-
метрических выражениях исчезает множитель <*> при t.
В качестве базовой единицы для тока возбуждения пользуются
обычно током ротора, соответствующим номинальному напряжению
статора при холостом ходе (без учета насыщения). Ток возбуждения
в этих единицах при синхронной скорости вращения численно равен,
если пренебречь насыщением, кратности напряжения статора при холо-
стом ходе в долях номинального. Для скольжения ротора принимаем
s > 0 при < 0.

Пользование относительными единицами удобно и для круговой
диаграммы токов.

По вертикали откладываем единичный комплекс напряжения
(рис. 1-12). Под этим комплексом можно понимать как временной ком-

Рис. 1-12. Круговая диаграмма асинхронной
машины в относительных единицах.

мыкания i8]c —

плекс фазового напряжения,
так и комплекс, характеризую-
щий пространственную волну
напряжения.

С отставанием на 90° нане-
сем единичный горизонтальный
комплекс, характеризующий по-
ifx токосцепления статора Ток
4/)	.

™ холостого хода 18о — — будет
совпадать по фазе с комплек-
сом а по величине будет
меньше, так как реактивное
сопротивление х8 в относитель-
ных единицах имеет для асин-
хронных машин порядок вели-
чины 3, а для синхронных —
порядок единицы.

Идеальный ток короткого за-

представится комплексом, совпадающим по направле-

нию с комплексом фв, но значительно превышающйм его по модулю, так
как в относительных единицах величина х' имеет порядок 0.2—0.3.
Проводя окружность через концы комплексов ZSK и получаем кру-
говую диаграмму. Для определения Сточки круговой диаграммы, соот-
ветствующей номинальному току, проводим из центра О окружность
радиусом, равным единице, и получаем на круговой диаграмме точкуN,

соответствующую номинальному режиму.

Угол <р между током и напряжением будет характеризовать как
отставание во времени между фазовым током и напряжением, так и
отставание в пространстве между соответствующими пространственными

волнами.

Нетрудно видеть из диаграммы, что номинальный момент вращения
в относительных единицах получается равным cos<p.

д)	Проектирование комплексов, характеризующих
вращающиеся поля, на разные оси

Мы представили синхронно вращающиеся волны напряжения, потоко-
сцеплений и тока статора неподйижными векторами на круговой диа-
грамме, на которой при гст = 0 горизонтальная ось совпадает по направ-
лению с вектором потокосцеплений, а вертикальная ось — с вектором,
Характеризующим волну подведенного к статору напряжения. Обе оси
можно рассматривать как реальную и мнимую оси в комплексной плос-
кости. В этом случае векторы представятся как соответственные ком-

плексы.

Таким образом, круговая диаграмма асинхронной машины характе-

ризует пространственные вращающиеся волны напряжения, тока и

потокосцеплений в осях, вращаю-
щихся синхронно с этими вол4
нами, т. е. в „синхронных" осях.

Можно характеризовать эти
волны и проекциями в других
осях, в частности в осях, связан-
ных со статором. Примем за ре-
альную ось а ось фазы а, за мни-
мую ось р — ось, повернутую от-
носительно оси а на 90 электри-
ческих градусов в положительном
направлении (рис. 1-13). Поскольку
исходная система осей вращалась
по отношению к статору с поло-
жительной скоростью, равной
единице, оси аир будут вра-
щаться на круговой диаграмме с

осей на круговой диаграмме и определение
из круговой диаграммы мгновенных значе-
ний фазовых токов.

отрицательной единичной скоростью,

т. е. по часовой стрелке.

Вместо осей а и £ можно пользоваться косоугольной системой
осей а, 6, с, совпадающих с осями фаз а, Ь, с (рис. 1-13). Проекции
комплексов напряжения, потокосцеплений и токов на эти оси дадут

Рис 1-14. Расположение собственных осей q на
круговой диаграмме. Определение продольной и
поперечной составляющих тока

мгновенные значения соот-
ветствующих величин в фа-
зовых обмотках статора.

Начальные значения в
момент t = 0 характеризуют-
ся углом у0. В частности,
напряжение в фазе а будет
равно еа = ет cos (f-ч-у0), где
ет — амплитуда напряжения
в относительных единицах.

Напряжение в фазах b и
с определяются как

/	2ги \

еь = ет cos If -+- 7о — ~3/
и	/	4к \

ес = ет cos If -+- 70 — —q-) .

Напряжения, токи и потокосцепления можно характеризовать и
проекциями на оси dug, вращающиеся вместе с ротором (рис. 1-14).
Это особенно удобно, если ротор имеет выступающие полюса, так как
для „продольной" и „поперечной" составляющих будут иметь место раз-
ные магнитные проводимости. Если ротор вращается со скольжением s
относительно синхронно вращающихся осей, то оси d и q вращаются
на диаграмме со скоростью s по часовой стрелке. Проекции id и iq
тока 4 на вращающиеся оси d и q будут иметь частоту, равную $.
е)	Комплексные выражения потокосцеплений и токов
асинхронной машины в установившемся режиме

Ток статора i8 может быть представлен в виде is = id~*~jiq* При
таком представлении ток будет иметь частоту скольжения. Этот же
ток в неподвижных по отношению к статору осях а, р будет иметь
вид = ji где za и i— проекции тока статора на оси а и р.
В неподвижных осях а, р частота тока статора будет равна единице.

Связь между выражениями тока в разных системах осей доста-
точно проста. Если угол между осью фазовой обмотки а и продольной
осью ротора d равен 6, то 4==/ве—А Аналогично ев = еое—и фв =
= Пусть, например, напряжение в фазе а равно:

еа = ет cos (Z ч- *[о)«

В таком случае

Если ротор вращается равномерно со скоростью —s и началь-
ный угол между продольной осью ротора d и осью фазы а равен 60,
то напряжение е8 будет равно:

е8 =	(^+То-9о)==	,	(1, 5)

где ро = то — 0О — начальный угол между осью d и комплексом напря-
жения ев, характеризующий начальные значения напряжения и eff
по осям d и q.

Вращающий момент, равный векторному произведению тока на
потокосцепления, т. е. произведению амплитуд векторов на синус угла
между ними, в комплексной форме выразится как

где Re означает реальную часть комплекса, а звездочка (*) — сопря-
женную величину.

Потокосцепления и ток в формуле (1,6) могут быть выражены и в другой
системе осей, например системе осей а, 0 — фа, /0, поскольку при умно-
жении ф на /* коэффициенты преобразования при перемножении дают
коэффициент, равный единице.

ж)	Вращающиеся поля синхронной машины при
возбуждении со стороны ротора

Если в роторе имеется ток возбуждения от постороннего источника
напряжения, то круговую диаграмму нетрудно дополнить вектором,
совпадающим по направлению с продольной осью ротора и соответ-
ствующим току возбуждения. Потокосцепления статора, вызванные этим
током возбуждения, представятся вектором, совпадающим по направ-
лению с током возбуждения. Если ток возбуждения в долях тока воз-
буждения, соответствующего номинальному напряжению статора при
холостом ходе, равен Е, то потокосцепления статора, вызванные воз-
буждением со стороны ротора, будут также в относительных единицах
численно равны Е.
Наводимое этими вращающимися потокосцеплениями напряжение
будет пропорционально величине Е и скорости вращения ротора <ог.
Это напряжение будет характеризоваться вектором, опережающим на
90 электрических градусов вектор создающих его потокосцеплений.
На рис. 1-15 представлен случай, когда <ог = 1, т. е. машина вращается
с синхронной скоростью. При разомкнутом статоре напряжение на
статоре, вызванное током возбуждения, будет определяться комплек-
сом j®rE* При включении генератора в сеть в статоре появятся токи,

которые по методу наложения можно рассматривать как сумму токов,
вызванных питанием со стороны статора и со стороны ротора. Будем

рассматривать только уста-
новившийся режим, имеющий
место после затухания пере-
ходных составляющих. Ток,
вызванный питанием со сто-
роны статора, определится
—jes
комплексом-----как ток хо-

х8

лостого хода машины. Здесь
х, — синхронная реактив-
ность машины ($ = 0).

Включение в мощную сеть
с точки зрения токов, вы-
званных возбуждением со
стороны ротора, равносиль-
но короткому замыканию.
Короткое замыкание можно
рассматривать как внезапное
приложение напряжения,
равного и противоположного
по знаку тому, которое было

а

Рис. 1-15. Круговая диаграмма синхронной ма-
шины в установившемся режиме при наличии воз-
буждения со стороны ротора.

перед замыканием в точке короткого замыкания. Это значит, что ток

статора, вызванный возбуждением со стороны ротора, после затухания

Переходного процесса будет при <ог =^= 0 равен ~j~~~ — — ~~~ • Резуль-
тирующий ток статора потребляемый из сети, будет равен геометри-
—Е	—jea

ческой сумме комплексов--- и -----.

J	х8	X,

Ток, посылаемый в сеть, ig будет равен току i9 с обратным знаком,
как представлено на рис. 1-15.

Потокосцепления статора в установившемся режиме будут равны —je„

так как потокосцепления статора, вызванные возбуждением со стороны
ротора, будут в установившемся режиме при включении в сеть равны

нулю, как при коротком замыкании.

Вращающий момент определится как векторное произведение век-
тора тока L на вектор потокосцеплений ф». Поскольку составляющая
—ie8
тока ---, вызванная питанием со стороны статора, совпадает по

*8

направлению с потокосцеплениями вращающий момент будет создаваться
только составляющей тока----, вызванной питанием со стороны ротора.

Х8

Еев
Вращающий момент, как видно из диаграммы, будет равен —~ sin 8.

^8

В представленном на рис. 1-15 случае электромагнитный вращающий
момент, характеризующийся вертикальной проекцией тока----— , будет

отрицательным, так как представленная векторная диаграмма соответ-
ствует случаю генератора, т. е. случаю, когда электромагнитный вра-
щающий момент стремится замедлить вращение ротора.

Ток возбуждения может быть и не постоянным, а переменным,
имеющим частоту скольжения. В этом случае будем иметь машину
двойного питания, питаемую со стороны статора и ротора от электри-
ческих систем с разными частотами. Оси d и q будут вращаться на
диаграмме по часовой стрелке со скоростью $. Токи, создаваемые
питанием с обеих сторон, будут тем не менее в пространстве непо-
движны относительно друг друга, так как машина двойного питания
в нормальных режимах работает с синхронно вращающимися полями.

з)	Векторная диаграмма и угловая характеристика
синхронной машины

Электромагнитный вращающий момент синхронной машины в уста-
новившемся режиме при равномерном воздушном зазоре равен:

(1>7>

Ее

Ме —-----sin

Xd

Рис. 1-16. Векторная диаграмма синхронной машины (s = 0)
при асимметрии ротора.

где 8 — так называемый рабочий угол машины, определяемый разностью
фаз комплексов jE и е. Такое выражение будет иметь место только
для машины с равномерным воздушным зазором, у которой при любых
положениях ротора синхронная реактивность xs — xd. Если же
векторная диаграмма синхронной машины несколько видоизменяется,
как это видно из рис. 1-16. Ток Ze0, вызванный питанием со стороны
Рис. 1-17. Статическая угловая ха-
рактеристика синхронной машины.

статора, в зависимости от угла	будет меняться по кругу,

построенному на концах комплексов и . Для нахождения тока zs0
достаточно повернуть радиус-вектор круга по часовой стрелке, как
представлено на рис. 1-16, на угол 2р0. Соответствующая точка круга
определит комплекс %. Дополнительный вращающий момент (называе-
мый обычно реактивным), вызванный несовпадением по фазе и %,
будет пропорционален вертикальной
проекции комплекса isQ.

Общий статический вращающий мо-
мент будет равен:

Ее	е2 / 1	1 \

--sin В-ь-5-  —------)sin2B. (1,8)

Xd	2 \Xq	Xd /	V '

Зависимость вращающего момента
Ме от угла 8, называемая угловой ха-
(рис. 1-17), дает макси-
мальное значение для электромагнит-

ного вращающего момента при некотором значении 8, меньшем 90°.
При больших значениях 8 работа машины при отсутствии автома-
тического регулирования возбуждения становится неустойчивой и
Машина выпадает из синхронизма. Угол 8 устанавливается таким обра-
зом, чтобы внешний приложенный момент вращения Ml был равен
электромагнитному вращающему моменту Ме.

Возникает вопрос о влиянии насыщения на угловую характеристику
машины и ее максимальный электромагнитный вращающий момент.

Рис. 1-18. Влияние насыщения на предел статической
устойчивости неявнополюсной синхронной машины.

Характеристика холостого хода машины с учетом насыщения пред-
ставлена на рис. 1-18. Как показывают опыт и расчеты, отклонение
арактеристики от прямолинейной при номинальном напряжении состав-
ляет 10—15% по току ротора. Под влиянием насыщения увеличивается
ротора, уменьшается синхронная реактивность xd9 что сказывается
ев характеристике вращающего момента в функции рабочего угла 8,
шюбенно если учесть, что увеличение тока ротора определяется срав-
иггельно большим насыщением, соответствующим внутренней э. д. с.
ewropa за реактивностью Потье.
и принимаем величину
надлежащим углом ср,
грузки, откладываем

Рис. 1-19. Векторная диаграмма
напряжений синхронной ма-
шины при работе на пределе
статической устойчивости.

Расчет угловой характеристики и максимального вращающего мо-
мента без учета насыщения обычно приводит к недопустимым ошибкам.
Для учета насыщения при определении предела статической устой-
чивости практически достаточно подставить вместо величины Е в фор-
муле (1,8) кратность действительного тока возбуждения, взятого с уче-
том насыщения, а значения xd и xq взять без учета насыщения.

Рассмотрим для наглядности случай неявнополюсной машины. Опре-
делим, какой ток возбуждения нужен для номинальной нагрузки. Поль-
зуясь известным построением, находим ток возбуждения, соответствующий
номинальному напряжению статора по прямолинейной характеристике,
о тока за единицу тока ротора. Затем под
тветствующим коэффициенту мощности на-
чину ненасыщенной синхронной реактив-
ности xd в относительных единицах и полу-
чаем полную величину тока ротора без
учета насыщения.

Для учета насыщения требуется отло-
жить под соответствующим углом ср
(рис. 1-18) падение напряжения, численно
равное при номинальном токе реактивности
Потье хр в относительных единицах, найти
внутреннее напряжение ер за реактивно-
стью Потье, по фактической характери-
стике холостого хода найти для этого вну-
треннего напряжения соответствующий ток
ротора. Насыщение в этой точке увеличи-
вает ток возбуждения на величину а по
сравнению с током по прямолинейной ха-
рактеристике.

Прибавляя к току возбуждения, полученному без учета насыщения,
величину а, получаем полный ток возбуждения с учетом насыщения.
Если машина с номинальным током возбуждения перейдет в режим,
близкий к пределу статической устойчивости, рабочий угол неявнопо-
люсной машины 8 должен стать близким к 90°. Это значит, что от
треугольника токов возбуждения в номинальном режиме нужно перейти
к новому треугольнику, в котором комплекс полного тока Е займет
вертикальное положение. При этом угол <р станет отрицательным, а ток
статора i увеличится.

Построив для нового угла <pz и нового внутреннего падения напря-
жения xpZ вектор внутреннего напряжения за реактивностью Потье ер>
увидим, что новое значение внутреннего напряжения ер меньше номи-
нального напряжения, следовательно, фактическое насыщение в машине
при работе в режиме, близком к пределу устойчивости, весьма неве-
лико из-за изменившегося влияния реакции якоря и соответственно
дополнительный ток ротора, вызванный насыщением, уменьшается с ве-
личины а до величины а!. Ток в роторе при этом остается номиналь-
ным, рассчитанным с учетом насыщения в номинальном режиме, а ве-
личину синхронной реактивности xd можно брать без учета насыщения.

На рис. 1-19 представлена векторная диаграмма напряжений неявно-
полюсной синхронной машины при работе на пределе статической устой-
чивости. В этом случае рабочий угол 8 близок к 90°. Напряжение е',
характеризующее потокосцепления обмотки возбуждения, при этом ока-
вивается меньше напряжения сети е, несмотря на то что внутренняя
э.д. с. £, определяющаяся возбуждением ротора, может быть значи-
тельно больше е.

Таким образом, при достижении предела устойчивости в машине
имеет место обычно низкое насыщение. Вот почему в формуле для
электромагнитного вращающего момента Ме=—sin 8 при исследовании
ХсЬ

статической устойчивости работы машины величину Е обычно опреде-
ляют с учетом, а величину xd—без учета насыщения. Явнополюсность
машины несколько усложняет соответствующее рассмотрение, однако
суть дела не меняется.

и)	Качания синхронной машины

Если синхронная машина оказывается в асинхронном режиме, то ток
статора Ло, определяемый питанием со стороны статора, уже не будет
током холостого хода, а будет определяться по круговой диаграмме
ддя заданного скольжения, как и для любой асинхронной машины.

Рис. 1-20. Зависимость электромагнитного вращающего момента
синхронной машины от рабочего угла Ь.

а — при затухающих качаниях рабочего угла: 1—Af<=/(3) при изменении
режима; 2—статическая характеристика, б — при установившихся качаниях
рабочего угла: 1 —	при установившемся режиме; 2—статическая

характеристика.

Соответственно изменяется вертикальная составляющая тока /«о. На
угловой характеристике машины это скажется появлением дополнитель-
ного вращающего момента, зависящего от скольжения, т. е. от произ-
ВОДНОЙ -тт.
at

Если ротор синхронной машины имеет затухающие колебания сколь-
жения, то угловая характеристика будет иметь вид спирали (рис. 1-20, а).
При установившихся колебаниях скорости, вызванных, например, коле-
баниями приложенного вращающего момента, характеристика будет
иметь вид замкнутой фигуры, похожей на эллипс с центром в соответ-
ствующей точке статической характеристики (рис. 1-20, б).

Если качания имеют большую амплитуду, то, помимо дополнитель-
ного „демпферного" момента, вызванного наличием скольжения, ме-
няется и сама угловая характеристика, характеризующая так называемый
„синхронизирующий" момент, определяемый углом 8. Объясняется такая
вависимость физически тем, что средние потокосцепления статора по
осям d и q при значительной амплитуде качаний начинают зависеть от
этой амплитуды (см. главу 13).
Дифференциальное уравнение, определяющее скорость
ротора в переходном режиме, выражается уравнениями

движения

ds

dt —s>

(1,9)



Здесь H—механическая постоянная машины, равная в электриче-

ских радианах:

GD2

0.862GD2n2
kVA

(1, Ю)

\60 / —

где f—частота сети в гц;

GD2 — маховой момент ротора в тм2;

£1Л4— номинальная мощность машины в ква;

п — синхронная скорость вращения ротора в об./мин.;

$ — скольжение ротора.

М	а	6

Рис. 1-21. Применение „закона площадей" для определения пре-
дельных углов колебания при качаниях синхронной машины.

а — закон „равенства площадей"; б — изменение угла при внезапном набросе на-
грузки от нуля до при заданной характеристике влектромагнитного вращающего
момента Л/в=/(3).

Из этого уравнения следует известное правило, облегчающее рас-
смотрение переходных процессов с учетом изменения скорости, — так
называемый закон площадей для угловых характеристик (рис. 1-21).

Например, машина работает в режиме холостого хода при 8 = 0 и
внезапно набрасывается нагрузка, равная ML. Пусть характеристика
электромагнитного вращающего момента в функции 8 имеет вид, пред-
ставленный на рис. 1-21, Вследствие наличия разности ML — Ме ротор
машины начнет изменять свою скорость. При этом, когда угол 8 до-
стигнет такого значения, что Ме станет равным ML> скорость ротора
не будет синхронной и 8 будет продолжать увеличиваться до тех пор,
пока площадь ОАВ не станет равной площади ACD. После достижения
угла угол начнет уменьшаться. Колебания угла в пределах 0 — 82
продолжались бы бесконечно, если бы не имел места демпферный
момент, зависящий от скольжения. Вследствие наличия этой состав*
ляющей вращающего момента пределы колебания угла будут все время
уменьшаться, а кривая вращающего момента в функции угла опишет
спираль типа, представленного на рис. 1-22, а.	_____

Если набрасываемая нагрузка настолько велика, что площадь ОАВ
оказывается больше, чем ACED, то угол 8, дойдя до значения ое,
будет продолжать увеличиваться дальше и скорость, не достигнув
синхронной, начнет с момента достижения угла 8С вновь быстро от-
клоняться от синхронной, т. е. машина выпадет из синхронизма
(ряс. 1-22, б). Нагрузку, при которой площади О АВ и ACED на
рис. 1-21, б равны, называют пределом динамической устойчивости.

Пределом статической устойчивости называют максимальный элек-
тромагнитный вращающий момент в статическом режиме. Если бы
угловая характеристика не зависела дт скорости процесса, то предел
динамической устойчивости был бы всегда меньше предела статической
устойчивости^ В действительности при внезапных изменениях режимов
угловая характеристика весьма значительно отличается от статической
из-за наличия переходных токов, поэтому кратковременно машина может,
с точки зрения устойчивости, выдерживать перегрузки, пока не затухли
переходные токи.

На рис. 1-22 представлены угловые характеристики синхронной
машины — зависимости Мв=/(8) при внезапных набросах нагрузки для
случаев сохранения и выпадения из синхронизма. Качания происходят
около изменяющегося среднего угла. Представленные на рисунке зави-
симости Мв=/(8) соответствуют кривым в функции времени (рис. 1-5, а
И 1-5, б).

Динамическая устойчивость играет большую роль при внезапных
набросах и сбросах нагрузки, при коротких замыканиях и т. д.
[1А-9, 1А-12, 1А-14, 1А-26, 1А-34, 1А-42 и др.].

Пусть, например, произошло короткое замыкание генератора, при
котором ротор начинает ускоряться под влиянием вращающего момента
Мд. Если короткое замыкание было ликвидировано до того, как угол 8
достиг значения 8, при котором заштрихованные на рис. 1-23 площади
равны, то машина останется в синхронизме. На рис. 1-23 сравнение
площадей проведено по статической угловой характеристике. Строго
говоря, нужно строить для периода времени после ликвидации корот-
кого замыкания динамическую характеристику, учитывающую переход-
ные токи и представленную на рис. 1-23 пунктиром приближенно, без
учета пульсирующих составляющих. Пользование статической характе-
ристикой дает в этом случае значительный запас.

Собственная угловая частота качаний угла 8 может быть прибли-
женно найдена из уравнения

(1, П)

откуда

Ее л

<№ Xd д? —

где

(1,12)

(1.13)

Собственная частота качаний имеет порядок величины одного кача-
ния в секунду для большинства синхронных машин.

Для нормальной работы электрических машин, соединенных с пер-
вичным двигателем — дизелем либо с рабочим механизмом — компрес-
сором, которые создают неравномерный вращающий момент, требуется
обеспечение отсутствия резонанса между собственной частотой качаний
жектрической машины и частотой пульсаций приложенного к валу
a

Рис. 1-22. Качания синхронной машины при набросе нагрузки.
а — случай сохранения синхронизма; б — случай выпадения из синхронизма»
1 — опытная кривая; 2— точки кривой М = /(3), полученные расчетом; 3 — статиче-
ская ха; акт ери стика; 4 — точка $1 по расчету.
•лектрической машины момента вращения, а также возникает вопрос
об ограничении амплитуд колебаний тока, мощности и рабочего угла.

В этом случае формула (1,12) для определения собственной частоты
качаний может оказаться недостаточно точной.

Для машины, включенной в бесконечно мощную сеть, более точное
дифференциальное уравнение для определения размаха качаний, соб-
ственной частоты и затухания качаний будет при малых амплитудах
качаний иметь вид
d

Н	+ md-^M + тМ ==	(1,14)

где т9 и md— коэффициенты синхронизирующего
мента, равные (см. главу 10):

Ее * Л 1 о о* .

= — cos б0	— — ) е2 cos2 б0 -ь

ц	\ 2	/

е2

w = — ('jr’cos2 8°	'<«»•’sin2 8°)’

и демпферного мо-

(1,15)

— пульсация внешнего приложенного момента с частотой v.

Величины iqg^ и iqr^ определяются по токовой диаграмме для асин-

хронного двигателя с параметрами оси q и соответствуют значениям

реактивной (горизонтальной) и актив-
ной (вертикальной) составляющих тока
статора для скольжения, равного ча-
стоте качаний v. Аналогично опреде-
ляются соответствующие величины с
индексами d по токовой диаграмме для
машины с параметрами оси d(рис. 10-1).

Собственная угловая частота кача-
ний определится формулой

Рис. 1-23. Качания синхронной ма-
шины при кратковременном трехфаз-
ном коротком замыкании.

1 —динамическая характеристика; 2— стати-
ческая характеристика.

< / mt md

Затухание свободных качаний будет
вроисходить по закону где аа =

2Н ’

Если полученная по формуле
Щ 16) собственная частота качаний

иачительно отличается от частоты пульсаций приложенного вращаю-
щего момента, то величины ms и md при расчете собственной частоты
 Мтухания качаний должны быть уточнены путем пересчета на собствен-
но частоту v0 вместо v.

Средний угол 8, при котором имеют место качания, определяется
нв формуле
.	iXq COS Ф

б = arc tg-’---.	(1, 17)

е ixq sin ср

Величина т8 увеличивается с увеличением частоты качаний и имеет

прядок нескольких единиц. Величина md обычно уменьшается с увели-
чением частоты качаний и имеет порядок величины от нескольких едя-
ниц до нескольких десятков. При этом демпферный момент тА—^ со-
ставляет, как правило, меньше 10% от синхронизирующего момента
вследствие относительно малой частоты качаний.

В ряде случаев требуется учесть влияние активного сопротивления
статора на уменьшение демпферного момента. Это влияние может быть
приближенно учтено вычитанием из md величины

е'2л>
mdr '2 .	2

(1.18)

или несколько более точно

(2е sin
--------G
уха dr?



(1.19)

где ег — напряжение за переходной реактивностью (рис. 1-19);

§0 — угол, около которого происходят качания.

Более точное рассмотрение представлено в главе 10.

Величина mdr обычно не превышает единицы и составляет в боль-
шинстве практических случаев не более 15% от основной величины mAt
так как активное сопротивление в цепи статора г8 не превышает
обычно 0.05. Физически образование отрицательного демпферного мо-
мента, связанного с наличием активного сопротивления в цепи статора,
объясняется тем, что при качаниях цепь статора является по отноше-
нию к полю ротора короткозамкнутым контуром со скольжением, рав-
ным единице. Наклон кривой — вращающий момент в функции сколь-
жения— для этой системы при скольжении, равном единице, таков, что
колебания скорости вращения усиливаются этим вращающим моментом,
т. е. соответствующий демпферный момент является отрицательным.
Аналогичное явление имеет место в большинстве асинхронных машин
при скольжении, превышающем критическое, когда вращающий момент
увеличивается с уменьшением скольжения.
ГЛАВА 2

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СТАТИЧЕСКОГО ТРАНСФОРМАТОРА
И ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

1. ДВУХОБМОТОЧНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР

Связь между токами и напряжениями в двухобмоточном трансфор-
маторе определяется следующей системой линейных дифференциальных

уравнений:

• т dil м di*

Г	„ dll

Г212 Ь2 H- M -£ — И2,

(2,1)

где индексы 1 и 2 относятся к первичной и вторичной обмоткам транс-
форматора; L и М—коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции;

и и2 — напряжения на зажимах обмоток (приведенные к одному числу
витков).

В установившемся режиме имеем различные решения в зависимости
от частоты подведенного напряжения. В частности, при постоянном
токе u1 = r1z1, и2 = г2/2. При переменном синусоидальном токе, как из-
вестно, решение для установившихся токов можно получить алгебраи-
d

чески, если заменить символ дифференцирования комплексом /<о, где
©□±2*/—угловая частота переменного тока, а синусоидальные напря-
жения — соответствующими комплексами, реальной частью которых
являются приложенные напряжения. В этом случае исходные диффе-
ренциальные уравнения превращаются в алгебраические комплексные
уравнения

г	г 77	7	*22^1—*12^2

*114*12'2 = ^l!	4 =	2	»

Z11*22	*12

г т 77 т '

*21'1	*22'2 === ^2»	'2=	2	’

*11*22	*12

W

*11 = Г1 -ь	z22 = Г2 -Ь jx22; z12 = z21 =

хц = ш£1;	x22 = wZ2;	хт = шМ.

Прописными буквами обозначены в настоящем случае комплексы
ипряжений и токов с постоянной фазой, характеризующие соответ-
втвующие действительные ток и напряжение по амплитуде и фазе.

При f72 = 0 токи равны:

f — U1  J —	— г

h~	h--------22Z1-

Z11	*22

(2,3)
При Г2 = 0

/1 =



(2,4)

. • »

х2
г _ т _________

где х11 = х11-----=охи — реактивность короткого замыкания транс-

•^22

форматора;

о = 1----------коэффициент рассеяния.

Потокосцепления первичной обмотки равны

=	(2,5)

При t/2 = 0

<2’б>
\	^22 /

При г2 = 0

(2.7)
Рис. 2-1. Эквивалентная схема двухобмо-

точного трансформатора.	В соответствии с уравнениями

(2,1) и (2, 2) трансформатор может
быть характеризован эквивалентной схемой, представленной на рис. 24.
Геометрическим местом для векторов токов трансформатора при разных
вторичных активных сопротивлениях г2 и при £72 = 0 будет окружность,
так же как и для асинхронной машины. Точка г2 = оо будет соответ-
ствовать холостому ходу трансформатора, а точка г2 = 0— короткому

замыканию его.

2. ОПЕРАТОРНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВУХОБМОТОЧНОГО
ТРАНСФОРМАТОРА

Для определения переходного процесса в трансформаторе при вклю-
чении в сеть или при коротком замыкании будем пользоваться опера-
торным методом. Этот метод удобен тем, что „алгебраизирует" реше-
ние соответствующей системы линейных дифференциальных уравнений
с постоянными коэффициентами.

Принимаем, что включение в сеть или короткое замыкание проис-
ходят в момент f = 0 и что токи в цепях при равны нулю.

Операторный метод решения системы дифференциальных уравне-
ний (2,1) заключается в замене символа дифференцирования мно-
жителем р—„оператором". Затем полученные алгебраические уравнения
решаются относительно токов и раскрываются в функции времени по
определенным правилам, которые обычно сведены в таблицы оператор-
ных „изображений". В этих таблицах каждому операторному выраже-
нию, содержащему оператор р, соответствует определенная функция
времени, что обозначается знаком соответствия (===) [1А43].

Так, например —™ Н® в-**;	д (1—и т. д.
Операторные уравнения для двухобмоточного трансформатора
в упрощенной записи, когда функции времени и их изображения обо-
значаются одними и теми же символами, имеют следующий вид:

*11 (р) *1-+- *12 (р)*2 = «11; |	(2 ф

*21 (р) *1	*22 (р) *2 == «21» J

где

*11 (р) = П + P^i; *22 (р) = Г2 •+• Р^2; *12 (р) = *21 (р) = рМ	(2, 9)

и множитель 1 — так называемая „единичная функция", равная нулю
при и единице при £^>0, указывает на то, что найряжение вклю-
чается в момент t = 0.

Токи и /2 будут в операторном виде равны

*22 (Р) «11 — *12 (Р-) «21	.	*11 (Р) «21 — *21 (Р) «11	/о

‘1=---------dW)--------; '2 -----------wj----------•	(2’10)

где

о (р) = zn (р) z22 (р) — (р).	(2,11)

Если напряжение их равно постоянной величине, а к2 равно нулю,
то решения для и z2 имеют вид

h = *ю *п •+• *12;

*2 = *21 + *22»

где /10

___ ^22 (0)

— £>(0)

«1 = —---установившийся ток в первичной обмотке.

._________(**2	Р1^2) «1_____ pxt •	(а2 ~+~ Pl)

111 “ (£1А2 — Л/2) Р1 (Р1 — р2) е “ аАР1(Р1 —Р2) 8

•	(g2	Р2) «1

'12г“ QL1p2 (р2 ~ pj

=-(*10-ь*11)^=0

(2,12)

/21 и /22 — переходные токи во вторичной обмотке, связанные с кор-
нями Pi и р2 соответственно;

П	Г2

ai=7"; а2 = 7т;
М	Ь.2

Pi и Р2— корни уравнения D (р) = 0.

Характеристическое уравнение Z)(p) = O имеет вид

(ri	(r2 н- рЛ?) —	= aLiL2 [р2 •+ (а1 “2) Р +• ’“Л] = °«

где

г	Г1	°1	'	г2 __ 02

а1	aLi	л	’ а2	а/,2	° ’

(2,13)

(2,14)

(2,15)

Если активные сопротивления в цепях трансформатора малы, то
корни характеристического уравнения с достаточной точностью равны:

Р1 — —	-+-Т2'	р2~ — (а1	а2^

где

^1^1

/1 = “ и т% = — •
“1	“2

Если при ЭТОМ а'2, ТО

Р15» “1!	Рг5^—а2-

(2,16)

(2,17)
В случае, когда первичная обмотка включается на синусоидальное
напряжение ит • cos (о)/-ч-у0), проще всего рассматривать это напряжение
как реальную часть комплекса ит •	Взяв от полученного для

тока решения реальную часть, получим действительные токи.

В операторном анализе существует теорема смещения, устанав-
ливающая в символической записи (см. примечание на стр. 54) соотно-
шение:

/(р) F (t) ев< . 1 =	[/ (р -ь a) F (?) 1].

На этом основании в упрощенной символической записи

*(р)

1 = Ите^М+Т.)

(2,18)

В правой части полученного равенства напряжение +То) является
множителем, на который надо умножить выражение в квадратных скоб-
ках после его раскрытия в функции времени по правилам операторного
метода.

Применяя теорему смещения, мы сводим решение для переменного
тока к решению, совершенно аналогичному для постоянного тока,
с заменой z (р) на z(p-+-j<d). Токи трансформатора при включении его
на напряжение	при п2 = 0 в операторном виде будут

равны:

/ 2Г22(РН-»	1	.	*12 <Р).

'1=иЧ	(2Д9)

После раскрытия в функции времени получаем

*1 — z’10 -+- Ill -1- *12l	*2 = *20 •+• *21	*22»

где

*22 О‘ш) .	Д2 -4-	(Pl— Mt

40 “ £>(» U1'	111a£i (Pl — jw) (pi — p2)	Ub

. __	g2-<-P2 —

42	°£1 (P2 — » (P2 — Pl)

£(Л-/<О)?И1 = _(l-10 Zu)/=oeA^

(2, 20)

(2, 21)

так как корни уравнения D (р + /«>) = 0 равны р±—/со и р2—/<*>. Токи
*2о> 41 и *22 вычисляются аналогично. 1

Для получения действительных значений токов нужно взять реаль-

ные части полученных комплексов.

Как видим, операторный метод дает простое решение как для слу-
чая включения на постоянное напряжение, так и для случая включения
„	, < х D(p)

на синусоидальное напряжение. Величина zn (р) = -^ является экви-
валентным операторным сопротивлением первичной обмотки с учетом
влияния короткозамкнутой вторичной обмотки. Ток z‘i в операторном

виде равен:

•_____И11_

11	*11 (р) ’

(2,22)

Операторное эквивалентное сопротивление равно:

гп (р) — zn (р)

z12 ^Р)

*22 (Р)

(2,23)

Н-р^Л

рЛР ~1

*2 -+- Р^2 J '
Если пользоваться принятыми нами относительными единицами, то, по-
скольку в них о> = 1, коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции
£, М численно равны соответствующим реактивностям <о£, <оМ. Полу-
чаем следующее выражение для эквивалентного операторного сопро-
тивления первичной обмотки:

4i (р) = ri “* Pxi (р)’

(2,24)

где *i(p) — операторная реактивность первичной обмотки

Р-4п

х1(р)=х1—(2.25)

При г2 = 0 либо при р—> оо операторная реактивность х1(р) равна
реактивности короткого замыкания
г	х^т

Х1 = Xi — — =	(2, 26)

При г2 —> со либо при р = 0 операторная реактивность х(р) равна
реактивности холостого хода х1в

Как известно из операторного анализа, начальное значение вели-
чины тока в функции времени получают подстановкой в операторное
изображение этой величины значения р = оо; конечное значение при
востоянном напряжении — подстановкой р = 0. Таким образом, опера-
торная реактивность в первый момент переходного процесса равна
реактивности короткого замыкания х', а после затухания переходного
процесса операторная реактивность первичной обмотки х± (р) становится
равной реактивности холостого хода первичной обмотки хР

При включении переменного тока аналогично выражению (2, 22)

( 1

и = И1 {

где

Гц (р -+-» = q -+- (р -ь » (р -+- » = r-L -4- (р -+- »

(2, 27)

(2, 28)

Г2 -ь (р +» *2

Подстановка р = 0, соответствующая установившемуся режиму, дает
1 этом случае

,	^хт

*и О) = ri J^i О); *i О) =*1 -	•	(2,29)

Подстановка р=оо, соответствующая моменту f = 0, дает

хт

4i=ri j<*xi> 4=*1 — 77=c*i.	(2* 3°)

3.	ТРЕХОБМОТОЧНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР

Поскольку в роторе электрической машины часто бывает две и более
вистем обмоток, представляет практический интерес переходный про-
цесс в многообмоточном трансформаторе, в частности в трехобмоточном.

Уравнения трехобмоточного трансформатора в операторном виде при
питании со стороны первичной обмотки и короткозамкнутых вторичных
обмоток имеют вид:
(п ч- pxn) Z1 ч- px12z2 Ч- рх13*3 = И11; '

P*2i*i (''г	Р*22> h Р*23*3 = 0;

P*3i*i +	+ (r3 ч- рх33) 13 = 0. •

(2, 31)

Решение этой системы уравнений требует определения корней соот-
ветствующего характеристического кубического уравнения, получаемого

из определителя

1г ч- рхп рх12 рх13

Р*21 Г2 Ч- рх22 Р*23

Р*31 Р*32 Г3 Ч- рх33

= 0.

(2, 32)

Решение это в общем виде слишком громоздко для практического
применения, поэтому используют обычно условие относительной ма-
лости активных сопротивлений и принимают равными величины взаимо-
индукций между обмотками.

В этом случае можно считать, что потокосцепления первичной
обмотки будут определяться уравнением рФ1 = «1 и, следовательно,

t

Ф1=
о

Ф1 = *11*1 -+~ *12*2 ’+’ *13*3»

о = Р*12*1	(г2 Ч- рх22) i2 -4- рх23*’з;

о = Р*13*1 -Ь Р*23*2	(г3 Ч- рх33) i3.

(2, 33)

(2, 34)

Исключив токи i2 и i3 из уравнения, получим в символической
записи

Ф1=*1(р)-Ч,	(2,35)

где Xi (р) — операторная реактивность первичной обмотки, равная

D' (р)

п(р) = *ц-Щ^ •	(2,36)

Здесь D(p) определитель:

D(p) = h^^3 II,	(2,37)

II Р*23 Г3 Ч- рх33 У

a D' (р) получается из D(p) заменой реактивностей холостого хода
вторичных обмоток х22, х33, х23 на реактивности короткого замыкания
при замкнутой первичной обмотке:

х2

f	*12 г	х13 г	*12*13

х22 — х22	Х11	» *33 — *33	Х11 > *23	*23	Х11	>

Р-*23 г3 Рх33 И

Коэффициенты затухания переходных токов а2 и а3 определятся
из уравнения D (р) = 0, т. е. могут быть получены, как для двухобмо-
точного трансформатора, при условии замены параметров х22, х23, х^
на х'2, х'3, х33, соответствующие короткому замыканию первичной
обмотки.
где *h = [*i(p)]

Если г2<^г3, то, в соответствии с полученным для двухобмоточного
трансформатора решением, один из корней а2 будет близок по вели-
чине к где х22— реактивность второй обмотки при замкнутой пер-
*22

яичной и разомкнутой третьей обмотке, а второй из корней будет
близок к величине «Яг, где ^3 = о2зх'зз — реактивность третьей обмотки
*зз

при замкнутых первичной и второй.

В синхронной машине по соотношению параметров второй обмоткой
является обмотка возбуждения, а третьей — демпферная обмотка.

Коэффициент затухания связанный с наличием активного со-
противления ri в первичной обмотке, может быть найден по прибли-
женному значению х± (р)
при г2~0 и г3 = 0:	Г1 Р(хтГхт,)

п ,
Х11

Г2, Г3=О
,2

„ *22л33	*23

= жи--------_ =

*22*33	*23

= °12°13*11	„

Рис. '2-2. Эквивалентная схема трехобмоточного

И где С12 И О13 — КОЭф-	трансформатора,

фициенты рассеяния об-
моток 1—2 и 1—3 соот-
ветственно, аналогичные рассмотренным на стр. 38. При равенстве
всех взаимоиндукций имеем эквивалентную схему трехобмоточного
трансформатора, представленную на рис. 2-2. Величину Xi(p) и соот-
ветствующий коэффициент затухания можно получить, исходя из схемы
при замкнутых рубильниках 2 и 3; коэффициент затухания а2 — из схемы
при замкнутом рубильнике 1; коэффициент затухания а3 — из схемы
при замкнутых рубильниках 2 и 3.

Для практических расчетов переходных процессов, в том числе
токов короткого замыкания, весьма удобным является метод, при ко-
тором амплитуды токов определяют, пренебрегая влиянием активных
сопротивлений в цепях, затем вводят экспоненциальные коэффициенты
затухания типа е—**, учитывающие влияние активного сопротивления на
затухание свободных составляющих.

В частности, для трехобмоточного трансформатора, при питании
его со стороны первичной обмотки, пренебрегая влиянием активных
сопротивлений, получаем уравнения

Ф1 = xnh -+ *12*2	*13*з; '

О = *12*1	*22*2	*23*3;

О = *13*1 “Ь *23*2	*33*3-

(2, 40)

Вместо системы операторных уравнений получаем в этом случае

систему алгебраических уравнений, откуда
Ф1

11 = —,

*и

где Хи = [х2 (р)]г=Н) определяется по формуле (2,39).
Установившийся ток в первичной цепи при = const должен быть
равен

Ф1
110

(2,42)

Потокосцепления ф1 в начальный момент времени равны нулю и
оставались бы равными нулю, если бы не влияние активного сопро-
тивления в первичной обмотке. С учетом влияния этого сопротивле-
ния при = 1

ф1 = 1 —	(2,43}

Учитывая затухания свободных составляющих во вторичных цепях,
имеем

Здесь х'п — реактивность короткого замыкания первичной обмотки
при разомкнутой третьей и замкнутой второй обмотках.

4.	МНОГООБМОТОЧНЫЙ ТРАНСФОРМАТОР И ОПЕРАТОРНЫЕ РЕАКТИВНОСТИ

Машина переменного тока может быть представлена эквивалентными
схемами многообмоточных трансформаторов, соответствующих параме-
трам машины по продольной и поперечной осям полюсов ротора [1А-20].
В этих эквивалентных схемах обмотка статора представлена обычно
как первичная обмотка трансформатора, обмотки ротора — как вторич-
ные обмотки, причем одной из вторичных обмоток является обмотка
возбуждения, если идет речь о синхронной машине, либо машине двой-
ного питания.

Так же как и в случае двухобмоточного трансформатора, при рас-
смотрении многообмоточного трансформатора удобнб исключать из
рассмотрения короткозамкнутые обмотки, вводя в рассмотрение поня-
тие операторных реактивностей.

В соответствии с дальнейшим применением, вторичные обмотки
многообмоточного трансформатора будем при рассмотрении называть
обмотками ротора, первичную обмотку — обмоткой статора.

а) Общее выражение операторной реактивности

Результирующая операторная реактивность представляет собой
коэффициент пропорциональности между током данной обмотки и ее
потокосцеплениями, с учетом магнитосвязанных обмоток.

Придавая различным обмоткам ротора в данной оси индексы 1, 2, 3 . • •
к, получаем систему уравнений:

— pxdid -+- pxa\ii -+- pxdtfz

О = pxidid	(гц рхп) z’i px12*2 -*-•••

0 = px^did	+• (r22 + PX22) *2 -*"•••

(2, 45)

Вводим обозначения:

прм m =/= n

Pxdn = zdn'
rmm "+" Pxmm	> ,

Pxmn = zmn‘

(л, m = l, 2, ..., k)

(2, 46)
Система уравнений (2, 45) будет иметь вид:
/с

Р<Ь* = pxdid -ь 2 zrfn'":

Л—1
fc
0 = Zmdid-i- 2
n—1	I

Решая систему уравнений (2, 47) относительно ia, получаем

II тп Ч

li ~ 0pXi Zdn
И 'md 2тПл

(2.47)

(2, 48)

Xd (р) ’

откуда получаем выражение для операторной реактивности
статора:

обмотки

где

pXd Zdn

II Zmd zmn 11
x* (р)="Тй7—F= Xd

(m, ri = 1,2, ...» k).

(2, 49)

z ~z
тп 1

тп И	Н тп И

xdn xmd

------—-----Р» (п,
л д

m^l, 2.k).

(2, 50)

Сопротивление zmn аналогично z
роченной за реактивностью рассеяния
щую операторную реактивность ко-
торой, при замкнутых других, мы
ищем). Такое закорачивание, с точки
зрения величины zmn, равносильно
присоединению реактивности рассея-
ния обмотки статора xz параллель-
но реактивности взаимоиндукции
(рис. 2-3).

Если, например, взаимоиндукция
между всеми обмотками ротора и ста-
торной обмоткой одинакова и равна
хю то, согласно формуле (рис. 2,49),
4 (р)
xd(p)=xd^^j .	(2,51)

где zr (р) — результирующее опера-
торное сопротивление обмоток рото-
ра для напряжения, приложенного
к зажимам ff при разомкнутой об-
мотке статора (рис. 2-3), a z'r(p) по-
лучается из zr (р) заменой взаи-

mn^ но при обмотке статора зако-

(т. е. той обмотке, результирую-

Рис. 2-3. Эквивалентная схема синхрон-
ной машины по продольной оси.

моиндукции хм на

ХМ = Хт

ХМХ1	Х[

Xl х^-+-	“ хм Xd

(2, 52)

б) Случай одной обмотки в роторе

При наличии в роторе одной обмотки с
основании формулы (2, 49):

/	л*2 \

I м I

Xd (р) = Xd ----—-	---- = Xd

индексом f получаем на

T’dp+\

TfP+1 ’

(2, 53)
где Т'4— постоянная цепи возбуждения при замкнутой за реактив-
ностью рассеяния обмотке статора;

Т/ — постоянная цепи возбуждения при разомкнутой обмотке ста-
тора.

в)	Случай двух обмоток в роторе по продольной оси

При наличии двух обмоток в роторе с индексами /, с (по продоль-
ной оси)

"г-11 = ГСУ Xх	(2, 54)

II xcfP гс XJ> II

где о/,. — коэффициент рассеяния между обмотками ротора /, с при
разомкнутой обмотке статора

xfc

’/.=1-777 •	<2’55)

J с

Коэффициент Ofe для двухобмоточного трансформатора есть отно-
шение двух электромагнитных постоянных времени, из которых одна
является собственной Постоянной времени обмотки, а другая полу-
чается из первой при параллельном соединении к реактивности взаимо-
индукции реактивности рассеяния второй обмотки, т. е. по обозначе-
нию рис. 2-3:

Ко	И*/, _ V/+W/.

’/« = Т ~—г -+-г-----------77------- ’	(2> 5°)

°	хс xfc	xcxf

где T'dQ — постоянная времени демпферной обмотки при замкнутой
обмотке возбуждения и разомкнутой обмотке статора.

Учитывая соотношение (2,56), получаем:

II Zmn || = [77	н- (Г, -ь тв) р 1] rfc. (m,n=f,c)	(2, 57)

Аналогично:

||4J|=|r^x>^p 1=

II xcfP rc^~XoP^

= [°fcKT'P3 -ь (г; Ч- т’е)р н- 1] rfre, (m, n=f,c)	(2, 58)

где х^, х^с, х' получаются заменой в формулах взаимоиндукции xmn
на х'тп — хтп‘^> согласно формуле (2,52).

В частности:

(2, 59)

Г	I

Xfc = xfc'^~ .

<•

Значения коэффициента рассеяния роторных обмоток и постоянных
времени аналогичны случаю разомкнутых обмоток статора:
r2	f	г

,	Xfc	'	, xf , хс

"л-1-??-'	<2'«»
Имеем также аналогично формуле (2, 56):

л с

(2, 61)

не г; — постоянная времени демпферной обмотки с при разомкнутой
обмотке возбуждения, при замкнутой обмотке статора;

Т”— постоянная времени обмотки с при замкнутых накоротко*
обмотке возбуждения (г/ = 0) и обмотке статора (гст = 0).
Получаем на основании формул (2,58), (2,54) и (2,49) для случая
двух роторных обмоток в продольной оси

WdKp*+(T'f + T’)P + l

Xd (р) — Xd а/сТ/Тср2 -^(Т^т^р-^Х —

KT'dP^(T'd^-T'e)p^X

XiT^TfP^(T^Tc)P^-\-

(2, 62>

г)	Случай произвольного числа цепей в роторе

Для случая произвольного числа роторных цепей воспользуемся
корней векового определителя.

Определитель:

|'-|=Г“ Х71'’	„.d

есть частный случай векового определителя. На основании свойств
последнего определитель ||zwn|| может быть представлен в виде

Ьтв|| = 1|С-ь7’я.вр||Я(г),	(2,63)

8я —дельта Кронекера

=1 при m = n\

__п , I	(2, 64}

=0 при m ф n I	\	/

П (г) = Гц • г22 • гзз • • • rkk	(2, 65)

н „постоянные времени"

<2’66>
rmm

Аналогично:

ЮНКХ-1- w|=K + Т'тпР\\П(г) (т,п = 1,2, .... к), (2,67)
же

Т'тп =	.	(m, n = 1, 2...к).	(2, 68)

гтт

Подставляя полученные выражения в формулу для хДр), получаема

(	II TmnP II	,	Q.

*<*(₽) — ** 1TZ—----------г---Г’ (т, п = 1, 2, ..., £)	(2,69)
д) Случай отсутствия омического сопротивления в роторных
цепях

Важным частным случаем является отсутствие омического сопро-
тивления в роторных цепях (или допустимость пренебрежения влиянием
омического сопротивления). В этом случае:

xd (р) = х^ = xd I ,	(m, n = l, 2, .... k)	(2,70)

где

'	_ xdn *

лтп Лтп '------------ .

В частности, для случая £ = 1 и роторной обмотки с индексом /

ъхд

х ’/	Х/ ~ ХД

xd~^=xd—Tf—=^/

(2, 71)

Для случая к = 2 и роторных обмоток с индексами /, с имеем:

xd

fc

(2, 72)

Подставляя выражения хе и xfc в формулу (2,72), легко убе-
диться, что она дает тот же результат, что и обычные формулы (на-
пример, см. [3. 68]).

е) Случай установившегося режима

При синусоидальном изменении токов и напряжений по продольной

или поперечной осям, вместо р можно, как известно, подставлять ком-

плексную величину js, где s — частота (в относительных
В этом случае

II -+ JSXT»n I II	II

II	тп т	>	тп I || т	•> тп ц

Xd (js) = й------—---;-----1 = Xd “iry---7~^----if	•

||	mn m	J	mn | || m	* mn ||

единицах).

(2, 73)

Часто представляет интерес реальная и комплексная составляющая
1	м	1

величины —т-гу > имеющей модуль — и аргумент — <р .
xd Vs'	Zd9

Если, например, на xd(p) воздействует синусоидальная величина, то
е sin st е z	, ч	_

77й7)sin ★ Ъь - Чд^	(2,74)

Для случая одной обмотки в роторе тп, n = f имеем:
1	p-*-s2^r/ . . Tf-T'd\ „

хдцз) Хд i-bjsr;
Нередко удобнее пользоваться выражением через модуль и аргу-
вит

=arct« (sTf); тл=arct« (sTД

±_1

zd, Xd

1

(2, 76)

согласно обычным правилам алгебры комплексных чисел.

Аналогично для случая двух обмоток в роторе /, с имеем:

1____

х* (js) xd [(1 - S2T'T") - is (T'f -4- T'ey

J_ = 11 /	(2 78)

Xd, Xd У (1 _ s2T'dTd)2 »2(Tj H- Tc')2

.(Г/Ч-П)	,

frf. = arctgi_s27—тг ;	(2,79)

J WQ	w Uf

В общем случае произвольного числа роторных обмоток имеем:

, Г	II zmn II |

^ = arctg|_Re|j^TJ = arctg

<t'd, = arct2

(2, 80)

= arctg

(2, 81)

В формулах (2,80) и (2,81) под z*mn понимается величина, сопря-
женная с zmn.

Произведение ||^mnl|||^e|| дает квадрат модуля комплексной величины,
представляемой определителем |(zww||. Реальная часть комплексной ве-
личины обозначена символом Re, мнимая /1т.

ж) Случай малых омических сопротивлений обмоток ротора

При относительно малых омических сопротивлениях формулы для
^установившихся реактивностей скольжения" целесообразно упростить:

2	Vrmm || хр ||»»»»] -Ь || хтпр}

1		 1 т

^~~d * 2[^тк>пти1]-*-|4яР||’
т

(2, 82)

где 1хр|ГШ — алгебраическое дополнение члена хттр в определителе

|| ,|| xrpf*m — алгебраическое дополнение члена хттр в определи-
««|<вр j.
Пользуясь соотношением	1 —а при малых а имеем

	|4,1"

где x™ для одной обмотки по оси ротора равен x'd, для двух
равен х* и т. д;

Для случая одной обмотки в роторе имеем:
1________________________Li • Tf~Td

ха&) x'd L	' Td J ’

(2, 83)

обмоток

(2. 84)

Для двух обмоток в роторе /, с имеем

// хи

:fc ХСС

lkF=*„;

для ||х'тя|| выражения аналогичны и, следовательно:

1_________1^

Xd (1s)	x'd

1 . . 1 . T^f-TjXd + T’dT^r/-T'eTfri

"	]	.2 //2

k- _	ov _	*r*'"rrr""

(2, 85)

Во многих случаях, например, когда рассеяние демпферной системы
значительно меньше рассеяния обмотки возбуждения, можно считать,

что
//

Т' 7’ Х
1 с 1 о
xd

и тогда
{*пг' *r" ’i	(	/	" \ ч

.	____if ( LiV !

* J ч*" гр," ( — п ] 1 J I Л f I -,п [
d J xd ’	\ xd I Td8)

(2,86)

(2,87)

5, УЧЕТ ПИТАНИЯ ВТОРИЧНЫХ ОБМОТОК

Исключая из системы уравнений многообмоточного трансформатора
короткозамкнутые обмотки, имеем систему уравнений эквивалентного
двухобмоточного трансформатора:

е» = r8is -+- рх9 (р) it -+- pxgr (р) ir;

er = rTir -ь рхг (р) ir -ь pxr8 (р)
где хв(р)> х»г(р)> хЛр) и ХгЛр) — операторные реактивности, выраже-
вгия крторых зависят от числа короткозамкнутых контуров.

Решив эту систему, получим (см. приложение 1):

— Р&Г (р) er = rsi8 рх8 (р) г8; |

/ \	. .	/ \ . Г	(А о”)

вг — pgr* (р) е8 = rrir ч- pxr (р) Zr. J

Здесь х8 (р) — операторная реактивность первичной обмотки, выраже-
ние для которой см. формулу (2,49).

Операторная реактивность главной вторичной обмотки равна:

хг (р) =

(m, n = s, 2, 3, ...» к)

(2, 90)

т. е. хг(р) определяется по формуле, получаемой из (2,49) переста-
новкой индексов г и 5.

Можно показать (см. приложение 1), что проводимость g8r(p)
равна:

 U. m = r, 2. 3...t)	<2-91>

где определитель || zln || получается из определителя || zmn || заменой строки
zn на строку z,n.

Аналогично имеем:

IIz.JI /	l = r, 2, 3, .... Л\

^(₽)=га?’ и,п=.,2,з..............J

где определитель || zln [] получается из определителя || zmn || заменой строки
х|Я на zrn.

При отсутствии короткозамкнутых обмоток получаем:

g8r (р) Гг рХг ;

Sr% (р) =

ХТ9
г8-+-рх8 ’

(2,93)

6.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИММЕТРИРОВАНИЯ — МЕТОД СИММЕТРИЧНЫХ
СОСТАВЛЯЮЩИХ

Переходные режимы в машине, вызванные симметричными или
асимметричными внезапными короткими замыканиями, внезапными из-
менениями параметров и т. д., можно рассматривать вследствие линей-
йости уравнений падения напряжения как изменения напряжений, под-
веденных к статору или к ротору.

Как известно, метод симметричных составляющих позволяет раз-
ложить трехфазную систему подведенных синусоидальных напряжений,
выраженных комплексом Еа, ЕЪу Ес с неизменной фазой, на совокуп-
ность трех симметричных систем — систему прямой (выражаемой ком-
плексом с неизменной фазой Z\), обратной (выражаемой комплексом
с неизменной фазой Е2) и нулевой последовательности (выражаемой
комплексом с неизменной фазой EQ), по известным формулам метода

симметричных составляющих Еа = Eq Е± -+- Е2;			Ео =	-^(Ea-t	ь-Еь +	Ее)-,		
Еъ = Ей-1		+ aE^i	 Е1 =	-^{Еа-<	н аЕь -	*-а2Ее);	►	(2,94)
Ec = Eq-i	- aEi^	н а*Е2;	е2=		иа^Еъ	-Ь aEt).		

Здесь а = е/120 — оператор поворота комплекса на 120°*
Токи и потокосцепления в установившихся режимах также можно
преобразовать по методу симметричных составляющих. В переходных
режимах это в общем случае недопустимо, так как зависимость токов
и потокосцеплений от времени в общем случае не является синусо-
идальной.

По этой причине в нашей работе мы пользуемся в случае необхо-
димости методом симметричных составляющих при рассмотрении пере-
ходных процессов только для подведенных напряжений, разбивая тем
самым линейную систему уравнений падения напряжения в обмотках
трехфазной машины на три линейных системы уравнений.

Следует учесть, что пользование методом симметричных составляю-
щих, позволяет разбивать систему трех уравнений с тремя неизвестными
на систему из трех уравнений с одним неизвестным в каждом уравне-
нии только в том случае, если совокупность коэффициентов в исходной
системе уравнений удовлетворяет определенным условиям симметрии,
т. е., говоря языком электротехники, сопротивления в трех фазах рас-
сматриваемой электрической системы удовлетворяют этим условиям
симметрии.

В ряде задач такая симметрия отсутствует и поэтому применение
метода симметричных составляющих особых преимуществ не имеет.
Соответствующие задачи рассмотрены в главе 7.

7.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРЕХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ В ДВУХФАЗНУЮ

Система трех напряжений, подведенных к трем фазовым обмоткам
статора трехфазной машины, создает систему трех магнитодвижущих
сил. Принимаем, что распределение этих м. д. с. в пространстве является
синусоидальным. Допустимость такого приближения для ряда практи-
ческих расчетов неоднократно исследовалась и подтверждалась в ли-
тературе.

М.д. с. в каждой точке расточки статора является суммой м. д. с.
отдельных фаз. Фазные м. д. с., имея синусоидальное распределение
в пространстве, могут иметь произвольные изменения амплитуды во
времени.

Сила тока, и амплитуда м. д. с., создаваемой током фазы в относитель-
ных единицах, численно равны, если за единицу амплитуды м. д. с. принять
м. д. с., соответствующую номинальному фазному току. Если выбрать за
единицу м. д. с. амплитуду результирующей м. д. с от токов трех фаз
в номинальном режиме (когда в фазах л, Ь и с протекают одинаковые
токи, сдвинутые по фазе на ± у тс), то относительные величины состав-
ляющих мгновенных значений результирующей м. д. с. по двум перпен-
дикулярным осям выразятся следующим образом:

1
ia —

2 (\ 1	1

*3~~3\ 2 1Ь~ 2 1 с) ~ V3 1Ь ~ у/3 'с'

(2, 95)

где ось а совпадает с осью фазы а, ось Р перпендикулярна к оси а и
расположена ^между осями фаз а и Ь [1А-55].

Напряжения и потокосцеплеция, входящие в систему уравнений па-
дения напряжения в трех фазах, мы можем также преобразовать по
юрмулам (2,95); при этом система уравнений падений напряжения
юлучит новые значения коэффициентов. Новые коэффициенты могут
иггь определены или подстановкой в уравнения выражений старых
временных через новые, или по правилам преобразования матриц, или
кпосредственно из физических соображений.

Имеем систему уравнений для мгновенных значений напряжений и
токов двухфазной системы:

*« == Пгчрфа; |

(2, 96)

Нетрудно видеть, что новая двухфазная система учитывает только
токи, вызванные напряжениями прямой и обратной последовательности,
Шк как напряжения нулевой последовательности при преобразовании
гипа (2,95) исключаются. Таким образом, полученная система должна
быть дополнена уравнением

е0 = з" еъ ее) = r8iQ -ь рфо,

(2, 97)

Me е0, z0 = y(ze-+-zft-bZc) и ф0 =	нн фс) —это мгновенные значения

соответствующих величин, изменяющихся во времени. Если напряжения
ев, еь и ес синусоидальны, то уравнение (2, 97) может быть представ-
Лено как уравнение для комплексов нулевой последовательности

^0 ==	ЕЬ	==: rsIq +”

Как известно, при принятых приближениях можно считать, что на-
йряжения нулевой последовательности вызовут токи и потокосцепления,
равные и совпадающие по фазе друг с другом во всех фазных обмот-
ках (если пренебречь влиянием гармоник), т. е. результирующую м. д. с.
к потокосцепления в зазоре, создаваемом нулевой системой напряжений,
можно считать равными нулю как в установившемся, так и в переход-
ном режимах.

Для тп-фазной системы имеем (аналогично формулам (2,95) для
трехфазной системы) формулы приведения к двухфазной системе:

2тсп

cos-----

т

(2, 98)

2 X? 2лп

п—1

8.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПАДЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ
ДВУХФАЗНОЙ СИСТЕМЫ К КОМПЛЕКСНОЙ ФОРМЕ

Умножив второе из уравнений (2,96) на j= V—1 и сложив оба
уравнения, получаем:

еа /*р == г (la ;73) + р (фа -Ь /фр).

Вводя обозначения

еа /*8 =	ia -Ь /ц = 1а;	фа -Ь /Ф^ = Фа,

(2, 99)
имеем:



(2, 101)

Нетрудно проверить, что если исходные напряжения еа, е6, ее сину-
соидальны, то

ee = ei -+- е2,	(2,102)

где ех и е2 напряжения прямой и обратной последовательности в комп-
лексной форме с учетом переменной фазы, определяемые по формулам

ei =	; е2 =	,

(2, 103)

где elw, e2m— модули соответствующих комплексов; (о,— угловая ско-
рость, соответствующая частоте питающей сети; ах, а2 — начальные фа-
зовые углы комплексов.

Пользование комплексной формой уравнений обычно ограничивается
в современной литературе по теории электрических машин установив-
шимися режимами [3-57] или простейшими случаями переходных режи-
мов [3-37, 1А-60], когда решения этих уравнений становятся особенно
простыми.

В настоящей книге рассмотрены переходные процессы машин с ис-
пользованием комплексной формы в общем виде, показаны преимуще-
ства этого метода и приведен ряд полученных результатов.

9.	ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КОМПЛЕКСНОГО УРАВНЕНИЯ ПАДЕНИЯ
НАПРЯЖЕНИЯ К ВРАЩАЮЩИМСЯ ОСЯМ

Умножив уравнение (2,102) на комплекс е-"-70, получаем в упрощен-
ной записи

-Ь e-y0p<k,	(2, 104)

где	t

8 = 600-1-]
о
и шд. — скорость вращения осей (при шл = const имеем 0 = (ofcf-+-Ooo).
По теореме смещения при а = const*

•rf[/toF(f)]=/(p-«) *atF(t).

В случае, когда f(p)—p, теорема {обобщается и имеет вид при
=—76:

e->e [pF (?)] = (р + J<ok) (f),	(2, 105)

где (ол=/?6 и 6 — произвольная функция времени.

Вводим обозначения:

e-^eo = e,;	=	»-'вфв = ф,;	(2,106)

е8 = r8i8 (р -+	Ф».	(2, 107)

Комплексный вектор напряжения е9 до умножения на „координат-
ный" комплекс е—>0 вращался с угловой скоростью а после преоб-

* Применена упрощенная форма записи, например вместо saiL {f(p)	[^(01)

записываем е®* [f (р) F (f)]. При знакомстве с операторным методом это не вызывает
недоразумений.
разования (умножения на комплекс е—J0) он будет вращаться со ско-
ростью

s = wj — со^.	(2,108)

В частности, при одинаковой скорости вращения вектора напряже-
ния е9 и выбранного координатного комплекса е—*?• новый вектор на-
ряжения е9 станет неподвижным, отличающимся от исходного вектора
напряжения только постоянной фазой.

Таким образом, умножение уравнения падения напряжения (2,101)
па вращающийся координатный комплекс e“"J0 соответствует преобразо-
ванию „координат" для переменных е, i и ф; при этом коэффициенты,
Связывающие потокосцепления с токами в разных системах координат
будут разными.

Указанное преобразование к вращающимся осям в ряде случаев
упрощает решение дифференциальных уравнений, так как при соответ-
ствующем выборе скорости вращения координатного комплекса
коэффициенты системы уравнений, связывающие потокосцепления и
токи, можно сделать величинами, не имеющими периодического изме-
нения во времени (см. приложение 1). В частности, при наличии маг-
нитной асимметрии ротора целесообразно в ряде задач принять Ско-
рость вращения комплекса е равной скорости вращения машины.
В этом случае мы получим для синхронной машины уравнения Парка—
Горева [1А-12; 3-57]. Крон при исследовании машины двойного питания
в симметричным ротором [3-37] пользуется координатным комплексом,
вращающимся по отношению к статору с синхронной скоростью; по от-
ношению к ротору координатный комплекс имеет в этом случае ско-
рость скольжения.
ГЛАВА 3

ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАШИНЫ
(всеобщего трансформатора)

1.	ЗАДАННЫЕ УСЛОВИЯ И ПРИНЯТЫЕ ДОПУЩЕНИЯ

А. Рассматриваем электрическую машину переменного тока, имею-
щую следующие характеристики и данные.

1)	Машина имеет произвольное число фаз на статоре и на роторе,
питаемых внешними напряжениями.

2)	Все фазовые обмотки статора и ротора расположены симмет-
рично; фазовые обмотки статора обладают одинаковыми параметрами;
рассматриваются только определенные виды несимметрии фазовых об-
моток на роторе.

3)	Ротор имеет, помимо фазовых обмоток, короткозамкнутые (демп-
ферные) обмотки, которые можно привести к двум системам коротко-
замкнутых обмоток, с перпендикулярными (в электрических градусах)
осями.

4)	Демпферные контуры на статоре не учитываются. По принятой
методике они могут быть учтены аналогично роторным демпферным
контурам.

5)	К фазам статора и ротора в общем случае подводится несим-
метричная система синусоидальных напряжений. Несинусоидальность
подведенных напряжений не меняет принятого метода рассмотрения,
однако усложняет вид формул при их развертывании.

6)	К ротору приложен внешний вращающий момент, являющийся
заданной функцией времени и скорости вращения; вращающий момент
считается положительным, когда он стремится увеличить скорость
ротора.

7)	Машина соединена с бесконечно мощными сетями через задан-
ные омические и индуктивные сопротивления, симметричные во всех
фазах статора.

8)	Емкостные сопротивления в контурах не учитываются.

Б. При рассмотрении приняты следующие приближения (анало-
гично приближениям, принятым в [3-55, 3-57]).

1)	Насыщение учитывается только выбором насыщенных значений
параметров.

2)	Коэффициенты взаимоиндукции между ротором и статором ме-
няются при равномерном вращении ротора по синусоидальному
закону.

3)	Коэффициенты самоиндукции и взаимоиндукции статорной об-
мотки имеют постоянную часть и вторую гармонику, вызванную маг-
нитной асимметрией ротора.
4)	Как результат принятых приближений, напряжения нулевой
последовательности образуют изолированную систему токов нулевой
последовательности, не участвующую при пренебрежении влиянием
высших гармонических в передаче мощности через зазор как в уста-
новившемся, так и в переходных режимах.

2, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Если в двухобмоточном трансформаторе одна обмотка вращается
по отношению к другой, то определение переходных режимов в общем
случае становится сложной задачей вследствие того, что коэффи-
циент взаимной индукции обмоток в этом случае является периодиче-
ской величиной, переменной во времени. Вместо системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, см.
уравнения (2, 1), при вращении второй обмотки приходится рассмат-
ривать соответствующую систему линейных дифференциальных урав-
нений с периодическими коэффициентами. Для такой системы уравне-
ний в исходном виде указанные выше операторные методы решения
непригодны.

На практике сравнительно редко приходится сталкиваться с маши-
нами переменного тока, имеющими одну обмотку на статоре и одну —
на роторе.

Асинхронные машины, как правило, имеют три фазовые обмотки
на статоре и три фазовые обмотки либо многофазную систему корот-
козамкнутых стержней — в роторе. Синхронные машины имеют обычно
три фазовые обмотки на статоре и одну обмотку возбуждения на ро-
торе. Кроме обмотки возбуждения, на роторе синхронной машины
имеется в ряде случаев также демпферная система, состоящая из
короткозамкнутых стержней, либо из массива стали ротора.

Благодаря симметрии пространственного расположения фазовых
обмоток систему дифференциальных уравнений для токов трехфазной
машины оказывается проще решить, чем для машины с однофазным
ротором и статором.

В исходном виде дифференциальные уравнения трехфазной машины
также содержат переменные коэффициенты взаимоиндукции, однако
путем преобразования переменных систему уравнений удается привести
к системе линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами.

Покажем это на примере асинхронной машины, имеющей по три
симметричных фазовых обмотки в статоре и в роторе [1А-20, 3-17,
3-30].

Дифференциальные уравнения для мгновенных значений потоко-
сцеплейий и токов в фазе а статора и в фазе А ротора будут иметь-
вид:

d i
еа — га1а	т«>

d ,

° Гл*л dt	. (з, 1)

Фв =	mabib ч- mabif ч- таЛcos t>aAiA ч- maAcos 0аВгв ч- m^cos

= LAiA ч- mABiB ч- mABic ч- таА cos 0^ ia ч- таА cos 0аС ib ч- таЛ cos
Здесь а, 6, с — индексы фазовых обмоток статора;

Л, В, С—индексы фазовых обмоток ротора;

L и т — постоянные коэффициенты самоиндукции и взаимоин-
дукции;

e<U=Wr#-1-0o; 9oB=0,4_,-|L; 6^=0^-»-^

— углы между осями фаз а, 6, с статора и осью фазы
А ротора, соответственно;

шг — скорость вращения ротора.

Аналогичные уравнения имеем для остальных фазовых обмоток.

Введем новые комплексные переменные:

еа = у (еа ч- аеъ ч- а2е#);	ф<, = у (фа ч- аф$ ч- а2фс);

2

i9 = у (ia -+- aib ч- a2ft);

2	2

фг = 3-(флаф н-а2фр); ir= з-(чч-аг'в-+-а2'с),

(3,2)

где

, 4х	1

° —6-----2 ~} 2 •

Учитывая, что cosO =----2----, получаем, умножая уравнения типа

(3,1)	для фаз b и В на а и уравнения для фаз с и С на а2, затем
2

складывая и умножая на у :

= r8i9 ч- у~ фа;	фа = L8ia ч- тт^1

d	_ .б

О = rrir ч- фг; фг = Lrir ч- ттг 3 i9,

(3,3)

где re = ra; ra = rA; Lg = La — mab-, Lr — LA — mA^

mm = у таЛ; 0 — 0аЛ = a)rt ч- 0о.

Мы существенно упростили исходную систему уравнений, однако
в полученных дифференциальных уравнениях (3,3) остался переменный
коэффициент езВ. Для освобождения от него произведем еще одно пре-
образование переменных, а именно введем

е8 = еае~~зВ; ф» = фве~^; i8 i9 •	(3, 4)

Умножая первые уравнения (3,3) на £~70, получаем после элемен-
тарных преобразований вместо системы уравнений (3,1) систему диф-
ференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

es = r8i8 -+- -7Г фв -+- ;<огф,; ф» = L8i8 -+- mmir;

(3, 5)
d ,	f

О = rrir -4- фг;	фг — Lrir ч-	t
В операторном виде эти уравнения будут иметь вид:

е8 = r8i8 -+- (р -+- jtor) ф»; ф» = L8i8 -4-	|

О = rrir -+- рфг>	фг === Lfir "+ nimir» f

Исключив из уравнений ток ir и потокосцепления фг обмотки ротора,
получим аналогично случаю статического двухобмоточного трансфор-
матора:

фа = L8 (р) i8,	(3, 6)

где L8(p) — операторный коэффициент самоиндукции обмотки статора,
равный

_ 2
Ртт

При пользовании относительными единицами коэффициенты само-
индукции и взаимоиндукции численно равны соответствующим реактив-
ным сопротивлениям, поэтому, на основании (3,6) и (3,7), имеем:

фа =	(р) • i8i	(3, 6')

где х8(р) — операторная реактивность обмотки статора, равная

Рхт

7^7-	(З’7')

Здесь реактивность хт соответствует взаимоиндукции	синхрон-

ная реактивность х8 — самоиндукции статора L9 и реактивность ротора

—самоиндукции Lr.

3.	АСИНХРОННАЯ МАШИНА С СИММЕТРИЧНЫМ МНОГОФАЗНЫМ
РОТОРОМ

Если ротор машины является многофазным, с числом фаз Д, В,
С, •.. N, равным п 2 (оставаясь симметричным), то единственное
отличие от предыдущего рассмотрения будет заключаться в другом
Преобразовании токов и потокосцеплений ротора. В этом случае

2

0*2 "+’ ап*В ~+" ап*С	ап ^n)')

о

Фг = (Фд «А «пФс а^Фу),

(3,8)

где

У 7
«я — ®

Дифференциальные
а теми же значениями
вместо тт, равным

уравнения будут иметь тот же вид, что и (3, 5),
коэффициентов L8 и Lr и с коэффициентом ттп



ттп 2

(3,9)

Очевидно, что при п = 3 коэффициент пгт3 = тт.

2

Коэффициент преобразования -j=-
v3n

в ь(3,8) выбран из условия ра-

венства коэффициентов взаимоиндукции в выражениях для ф, и фг.
4.	СВЯЗЬ КОМПЛЕКСОВ НАПРЯЖЕНИЙ, ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЙ
И ТОКОВ С ФАЗОВЫМИ ВЕЛИЧИНАМИ

Если подведенные напряжения еа, еь и образуют систему прямой
последовательности

/	2и \	. (	4тс \

= cos (£ ч-7о); еь = ет cos It у0—-у I ; ес — ет cos (t -+- 70— -у) , (3,10)

то простой подстановкой получаем:

е, = ет^**Ъ\	е, =	= еаъ~>\	(3, 11)

где

S = 1 — tor И Ро “ То — 90-

Таким образом, напряжение еа в фазе а равно в этом случае ре-
альной составляющей ел комплекса напряжения e9 — e*-+-je$

еа = еа = Re [е J = Re [е,г/0].	(3,12)

Знак Re означает реальную составляющую.

Напряжения в фазах b и с определятся соответственно как

еъ— Re [еае ' УJ ; ее = Re	(3, 13)

Аналогичную связь имеем для статорных токов и потокосцеплений:?

ia = Re[iJ;	ij = Re[\’a£ 3J;	ic = Re[joe 3J;

r	г _.*r|	(3,14)

фа = Ие[фв];	4>» = Не1_Фве ?3J; Фс = Re |_ф3е 3 J .

Если подведенные установившиеся синусоидальные напряжения в фа-
зах несимметричны, то комплекс напряжения eff, определенный по (3,2),
будет содержать прямую и обратную составляющие eff = effl-4-eff2- Связи
ea = e,e-78 и связи (3,12), (3,13), (3,14) сохранятся. При этом получен-
ные фазовые напряжения, токи и потокосцепления не будут содержать
„нулевых" составляющих:

111

= у (еа -+ еь -+- ес)\ *0 = у (<л ib i‘c); Фо = у (Ф« Фд -+- фс)»

которые должны быть соответственно прибавлены к полученным по
формулам (3,12), (3,13), (3,14) фазовым величинам в случае их нали-
чия. Нулевые составляющие при обычно принятых приближениях пред-»
ставляют при равномерном зазоре и скорости вращения ротора a>r,
значительно отличающейся от значения у, изолированную систему,,
практически не зависящую от параметров ротора, удовлетворяющую
уравнениям e0 = z0(p)Z0; ф0 = х010, где 2г0(р) и х0 — соответствующие
параметры (см. главу 7).

Указанные здесь нулевые составляющие соответствуют мгновенным
значениям величин * и не должны быть смешаны с „нулевыми" состав-
ляющими метода симметричных составляющих, которые являются комп-
лексами с неизменными фазами.

* Применение индекса 0 для обозначения нулевых составляющих в дальнейшем
всегда оговаривается.
5.	ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Формулы (3,2) для преобразования напряжений, потокосцеплений
и токов статора соответствуют сложению в пространстве синусоидально
распределенных волн, образуемых каждой из фазовых обмоток. Если,
например, токи ia, ib и ie являются установившимися токами прямой
последовательности, то каждый из этих токов создает пульсирующую
во времени, синусоидально распределенную в пространстве волну м. д. с.
Оси этих неподвижных по отношению к статору волн совпадают
с осями обмоток а, 6, с. Если принять ось фазы а за исходную, то
суммарная м. д. с. в любой точке окружности будет характеризоваться
Током	где коэффициенты а и а2 определяют

пространственный поворот осей фаз Ь и с по отношению к оси фазы а,
2

а коэффициент у выбран для того, чтобы в нормальном режиме амп-
литуда комплекса была равна в относительных единицах амплитуде
токов в фазах.

Комплексы еа и фа харахтеризуют аналогичные волны потокосцепле-
ний и напряжения, так же как в ранее рассмотренном случае устано-
вившегося режима.

Волны eff, фа и ia вращаются по отношению к статору, причем в об-
щем случае скорость вращения и амплитуды волн фа и ia будут зави-
сеть от характера переходного процесса. В установившемся нормальном
режиме при питании системой напряжений прямой последовательности
все эти волны будут иметь по отношению к статору синхронную ско-
рость вращения и постоянные амплитуды.

Второе преобразование переменных, см. формулу (3,4) — умножение
яа е—-*0 — соответствует замене оси отсчета для угла комплекса — оси
фазовой обмотки а статора, на другую ось отсчета — ось фазовой об-
мотки А ротора. Поскольку ротор вращается, по отношению к статору
со скоростью (ог, величины ee, i8 и ф, будут уже характеризоваться
скоростью относительно ротора.

При питании статора напряжениями прямой последовательности ско-
рость вращения волны напряжения, характеризуемой комплексом е8,
относительно ротора будет равна s = 1 — <ог.

6.	ОДНООСНЫЙ РОТОР

Синхронная машина имеет обмотку возбуждения только по одной
оси и, следовательно, система обмоток ротора в этом случае перестает
быть симметричной.

Если воспользоваться в соответствии с выражением (3, 8) для слу-
чая л = 1 преобразованием

2	2

ir~ Фг =^*1'1,	(3,15)

то получим после преобразования уравнений типа (3,1), аналогично (3,3)

ео = rtitt -+-	фо; фв = £^вч-тет1еЛ’г;

О — rrir +	фг; фг = Lrir -+- тт1 (e~j9ir -+- *j6i*), .
где Lt = La, так как тлв в этом случае равно нулю, а

V3

mmi — 2 таА •

(3, 17)

При преобразовании уравнений (3,16) к вращающимся осям, т. е»
при умножении на е-"^9, получаем в операторной форме аналогично (3, 5'):

е9 = rai9 -ь (р -+- jcor) фв;

О = гЛ-* *-рфг:

Ф* — Lgig -+- nimiir»

Фг = АЛ* mml (*« *«)•

(3, 18)

Как видим, уравнения для потокосцеплений фв и фг в этом случае
уже не будут симметричны.

7.	СПЕЦИАЛЬНЫЕ ЕДИНИЦЫ ДЛЯ ТОКА И ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЙ РОТОРА

Поскольку при наличии одноосной обмотки возбуждения уравнения
для потокосцеплений после преобразования к вращающимся осям (3,18)
уже не являются строго аналогичными уравнениями для статического
трансформатора, выбор преобразования (3,15) типа (3, 8) не имеет уже
особых преимуществ.

В практике часто пользуются другим преобразованием, а именно:

Гг = таА{л'’

(3, 19)

В этом случае уравнения (3,18) преобразуются к виду *:

= г& -Ь (р -ь >г) ф«;

0 = /гч-рГг^г;

ф« —	-+

(3, 20)

где

mad — 2 т°А' — La— mab;

Lr	3

Tr = ~^ h =

3
*=2^.

Учитывая, что в относительных единицах коэффициенты самоин-
дукции и взаимоиндукции численно равны соответствующим реактивно-
стям, приведенным к одному числу эквивалентных витков (с учетом
того, что взаимоиндукция имеет место только по первым гармоническим
пространственного распределения), получим:



0 = /гч-р7’гФг;

е* = г sir -^(рЧг far) ф>;

(3,20')

2

* В ряде работ пользуются также преобразованием ir — ~§ G» Фг = Фд* В этом
случае ф, = Ldi*	фг = Lrtr -ь
9	ad

где хл = хл------переходная реактивность обмотки статора по про-

дольной оси (оси обмотки возбуждения) и

id — реальная, составляющая тока статора ia = id~+-ji9
(в осях, связанных с ротором).

Исключая из выражения для ф, ток /г, получим:

Фв = х» (р)	(р) Ci	(3* 21>

где х9(р) и ув(р) в рассматриваемом случае равномерного зазора и
одной обмотки на роторе равны:

х* (р) =

xd(P^xd

2

У» (р) =

xdW~xd
2

xd^==xd

Pxad
г г +• pxr *

(3, 22)

8.	ВЛИЯНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ СО СТОРОНЫ РОТОРА

Рассмотрим случай питания одноосной обмотки возбуждения ротора
еинхронной машины от источника напряжения. Здесь вместо уравне-
ний (3,20) имеем:

е,=rj, (р	=xd Л; |

£=/г ч-РГДг;	= /г ч- (*а - х')	/	(3> 23)

где

Потокосцепления ф, могут быть в этом случае представлены как
сумма потокосцеплений, имеющих место при Е=0 по формуле (3,23),
 дополнительных потокосцеплений, вызванных наличием возбуждения
ротора Е при 4 = 0:

Ф, = х, (Р) 4 + У» (Р) С G (Р) Е.	(3, 24)

где для случая одной обмотки на роторе

G(p) = 14-TrP ’

9.	ВЛИЯНИЕ МАГНИТНОЙ НЕСИММЕТРИИ РОТОРА

Наличие в ряде случаев неравномерного зазора нарушает симметрию
равнений (3,3). Тогда

А» = ч- Z,e2 cos 29вд ч- La^ cos 40^ +•••

mO» = ma0-b'na2cos2V<U4-'6'>)-*-m<rtcos4\ea4-*-‘6_)H*-"

m« = mM maZ cos 2 (0o4 —	"* m«4 cos 4 (6<U —	‘ •

(3, 25)

Нечетные гармоники в выражении (3,25) отсутствуют вследствие

вдетрии в форме полюсов. Дополнительный угол учитывает то
обстоятельство, что максимальная взаимоиндукция между фазами а и 6,
а и С имеет место при углах 0, равных —30 и -ч-30° соответственно.

Формулы для коэффициентов самоиндукции и. взаимоиндукции фаз
Ь и с получаем из выражения (3, 25) заменой на Оы и 6са соответ-
ственно. Если произвести преобразование (3, 2), то получим:

*7 = ГЛ -|”^Г ео = r8io “Ь Фо;

Фа = £(Дю — т<*о)	— тав} 8-/66 -+- -Ь j е/69 -ь

н- (^ - та12) е-Л2е ч- -ь 6Л2# + ч-

• [(^ - -м.)	* (v - ч	-

-ь -ь е-Лое ч- н- [(£о2 ч- та2) е’Лб ч-

-4- (Lal"+" nia4) б/46 -4- (Lag -+• таз) 8”/80 "+" (AnO“*~maio) "+~ • - •] *о тт^~~^^г]

4о = £ (Zao	2/Пао) +	— та^ cos 66 -+- ("J— "+ cos 120 J z0 -4-

[(£a2 +" maz) e^2® "+~ (£a4 — mai) e”/46 -+- (Zag — mas) • ч. 4

-4- “J- [(£«2 '+’ ma2) e-"/2® -+• (Za4 — ma<) e>^9 "+" (Zag — ma%) S-/86 -4- ...] Z*j

0 = rrir -+- фг; фг = Lrir -t- mm^Bia.

(3,26)

Здесь z0, ф0, e0 — нулевые составляющие.

Ток z0 при соединении обмоток статора звездой без нулевого про-
вода равен нулю. При соединении треугольником он может протекать
по замкнутому контуру обмоток, создавая при неравномерно^ зазоре
гармоники потокосцеплений статора.

Коэффициентами 6-й, 12-й, 18-й и т. д. гармоник в выражении для
ф0 обычно пренебрегают и получают L9 = LaQ — maQ, как и в случае
равномерного зазора. Коэффициенты La4, ZTZa4, £ц8, maS и т. д. в состав-
ляющей выражения фа, связанной с Г, соответствуют в установившемся
режиме генерируемым напряжениям 5-й, 7-й, 11-й, 13-й и т. д. гармоник.

Если мы выделим в выражении фа только те составляющие, которые
-связаны в установившемся режиме с первой гармоникой потокосцепле-
ний фа и напряжения ев, то получим

фв^£Лч-£/29;;,	(3,27)

тде

Zg = Zao — maQl Ly = « — та2»

Произведя второе преобразование (3,4), т. е. переходя к вращаю-
щимся осям, получим дифференциальные уравнения с постоянными
коэффициентами, аналогично (3, 5):
С1	*

е8 = r8i8 -+- м-	Фе = L8i8 -+- Lyi8 -+- xmir;

d ,
О = гнг-<--^- фг;

(3,28)

фг — xrir ”+“ Xmi8*

Пользуясь
самоиндукции
получаем:

операторными изображениями и заменяя коэффициенты
и взаимоиндукции соответствующими реактивностями,

ев — г8i8 “+ рф« -+- 7<огфв;

О = rrir -ь рфг;

Ф$ — L8i8 + Lyi*s -4- Xmir\
фг = xrir -+- xmi8\

(3, 28')

где реактивности	хт связаны с £e, Ly и тт соответственно.

10.	ПРОДОЛЬНАЯ И ПОПЕРЕЧНАЯ СОСТАВЛЯЮЩИЕ

Комплексы фв; /в; ir можно разбить на реальную и мнимую части:

(3, 29)

Фе = Ф^ -+- ;ф?; i8 = id -+- ]iq\ ir = ird -+- jirq;

фй = Xdid •+ Xmdird J tyq = Xqiq -4- Xmqirq;

где

Xd -+-Xq	Xd — Xq

Xd = x8-+- y8; Xq = x8 — y8; x8 =-—" » У» ~ 2 *

Из выражений (3,27), (3,29) следует, что реактивность xd, назы-
ваемая обычно продольной синхронной реактивностью, соответствует

самоиндукции LaQ — maQ -4-	---та2; а реактивность xff, называемая

поперечной синхронной реактивностью, соответствует самоиндукции
L»a2 в
аО 7ИЛ0	" та2*

Следует отметить, что коэффициенты взаимоиндукции maQ и та2
являются отрицательными величинами, так как оси фазовых обмоток
расположены под углами в 120°. Для качественной оценки величин maQ
и та2 можно воспользоваться следующими соображениями.

При питании фазовых обмоток статора токами нулевой последова-
тельности результирующая м. д. с. в зазоре, вызванная токами в фазах b
и с равна и противоположна по знаку м. д. с. в зазоре, вызванной током
в фазе а. Эти м. д. с. полностью компенсируют друг друга (если пре-
небречь высшими гармоническими) и, следовательно, результирующая
м. д. с. в зазоре машины при питании фазовых обмоток статора оди-
йаковыми токами равна нулю.

Отсюда следует, что при ia = ib = ic = i и ir = 0 потокосцепления
^a—Laia-^mabib-^macic-^-mmir не должны зависеть от положения
ротора.

В таком случае на основании выражения (3,25) имеем для второй •
Пространственной гармонической потокосцеплений фа в функции угла 6

cos 20д1 -+- ma2 cos 2 (0аЛ ч-

те \	/ те \“]

~6~)->-та2 cos2^al —-gj Ji=°,

откуда

= —L,a2-
Аналогично — для четвертой и шестой пространственных гармониче-
ских потокосцеплений

Ай cos 4вал + т<А cos 4 (вал -у) -+- rnai cos 4 (oel — -£-) = 0;

Ав cos 6ваА -+- та№ cos б (боА -+-	-+- тм cos б	j = 0,

откуда mai — Lai; maB = ^-u т. д.

Для определения соотношений между средней самоиндукцией фазы £а0
и средней взаимоиндукцией фаз maQ рассмотрим случай, когда обмотка
статора питается симметричной системой токов прямой последователь-
ности. В этом случае основная гармоника м. д. с. в зазоре, создавае-
мой токами в фазах 6, с, совпадает по расположению в пространстве
с основной гармоникой м. д. с., создаваемой током в фазе а, причем
амплитуда м. д. с., создаваемой токами 4, 4, равна половине ампли-
туды м. д. с., создаваемой током ia.

Поэтому средние потокосцепления фазы а в рассматриваемом случае
должны быть равны

ФлО = [°а£а0	(1 — °а) Дю] ia "+* та&Ь ”+- та&с =	“Tj- (1 — °а) £ao^j ia*

Здесь еа— коэффициент рассеяния для средней самоиндукции фазовой
обмотки статора.

Учитывая, что	——ia, получаем

(1 — °а)£ао

Шао = —	2	•

Найденные соотношения между амплитудами пространственных гар-
монических реактивностей самоиндукции и взаимоиндукции фазовых
обмоток статора с учетом выражения (3, 26) позволяют сделать следую-
щие выводы:

1)	Синхронная реактивность машины по продольной оси ротора соот-
ветствует самоиндукции saLaQ -+-	[(1—<за) £я0чн£а2].

2)	Синхронная реактивность машины по поперечной оси ротора соот-
з

ветствует самоиндукции ав£а0 -ь -у [(1 — аа) LaQ — Lfl0].

3)	Реактивность нулевого следования фаз соответствует самоиндук-
ции °aLa0.

4)	Коэффициент (La2-i- та2), связывающий при о>г = 1 первую гармо-
нику потокосцеплений фа с током i0 и первую гармоническую потоко-
сцеплений ф0 с током 4, может быть принят равным нулю.

5)	Третья временная гармоническая потокосцеплений фа связана при
<ог=1 с током /0 реактивностью, соответствующей самоиндукции Ла4
и не зависит от тока /0.

6)	Третья временная гармоническая потокосцеплений ф< при о>г = 1
равна нулю.

7)	Пятая временная гармоническая потокосцеплений фа связана с то-
ком i9 и с током /0 реактивностью, соответствующей при о>г = 1 само-
индукции £а4.

8)	Пятая временная гармоническая потокосцеплений ф0 при <ог = 1
равна нулю и т. д.
Используя разложение м. д. с., вызванных токами z*a и z*0 на основ-
ную и высшие гармонические (см. главу 12), можно получить по фор-
муле (3,26) связи между всеми временными гармониками потокосцепле-
ний и всеми пространственными гармониками м. д. с., аналогично пред-
ставленному рассмотрению для первых гармонических м. д. с. Некото-
рая часть потокосцеплений, вызванных высшими гармоническими м. д. с.,
будет иметь основную частоту. Ее относят к дифференциальному рас-
сеянию.

Уравнения (3,26) даны для случая симметричной системы обмоток
на роторе. Если в роторе имеется одноосная обмотка, то в выражении
для фв (3,26) член	будет равен &~J4r. Соответственно в фор-

мулах (3,28), (3,29) члены xmir и x^z^ будут равны /г, a irq будет
равно нулю.

Пользуясь преобразованием к вращающимся координатам, имеем
аналогично уравнению (3,5'), полученному для статора, комплексное
уравнение для двухфазной системы в роторе:

ег = rrir (р -+-JWfcr) фг.

где аналогично статорной системе

er = erd •+• jerq; ir = ird jirq*

(3,30)

(3,31)

% — скорость вращения выбранного координатного вектора. Индекс d
относится к продольной оси ротора, индекс q— к поперечной оси.

Для обычной синхронной машины ег = ега, так как ег? = 0 и
выбирают равйым нулю. Для машины двойного питания ег, аналогично еЛ,
есть сумма напряжений прямой и обратной последовательности, подве-
денных к ротору и приведенных к координатам, которые вращаются
со скоростью (Dfcr.

11.	ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ

В двухфазной системе уравнения, связывающие потокосцепления
двух фаз статора — а, {3 с токами статора и ротора (в неподвижных
координатных осях) напишутся:

Фа	хлгд^г^	xarplrQ'

Ф3 = храг*а +* *33*3 x$rd*r&	x$rpirq*

(3,32)

где х — коэффициенты само- и взаимоиндукции в относительных еди-
ницах.

Взаимоиндукция между статорными обмотками « и р, определяемая
коэффициентом взаимоиндукции хИр = ХрЖ, имеет место только при нали-
чии магнитной асимметрии ротора.

При вращении ротора коэффициенты самоиндукции и взаимоиндук-
ции обмоток статора в общем случае имеют постоянную и периодиче-
скую часть, а коэффициенты взаимоиндукции между статорными и ро-
торными обмотками являются периодически меняющимися величинами.

Оба уравнения (3,32) можно объединить в одно комплексное урав-
нение:

’P«=V«-,-V*-*-jrorI'r-,-y,r«Z5	(3.33)
где

хал
==	2	’	^а==	2	/х^л»

Xard -t-Xfird	Xftrd — Xard	Xarq —	Xarq +• X^rq

x<jr =	2 J 2	’	=	2 F J 2

Фа = Фа	;Фр; ч=ч -+-	*г = w	вг?-

(3,34)

Если в качестве оси реальных величин при выборе координатного
комплекса принять ось магнитной симметрии ротора, то коэффициенты
взаимоиндукции между величинами продольной и поперечной оси после

преобразования исчезнут; оставшиеся коэффициенты самоиндукции пре-
вратятся в соответствующие коэффициенты для трансформаторов
(см. приложения 1, 2).

Таким образом, после умножения уравнения (3,33) на комплекс

t

где 0 = 6ОО	— угол между осью d м. д. с. ротора, создаваемой

о

питанием со стороны ротора (рис. 3—1) и осью фазы а статора, имеем
для реальной и мнимой части комплексного вектора потокосцеплений
статорной обмотки:

Ф*£ = х8д18й -+-xsrdird't 1	zq qc\

I	.	. I	VS ээ)

YS?— X8gl8q +" Xgrqlrq» )

Аналогично потокосцепления роторной обмотки по продольной и
поперечной оси могут быть выражены как

фгй = Xrdird -+- Xsrdisdl
Фгд = Xrqirq +" Xsrqigq*

(3,36)

Уравнения (3,35) и (3,36) определяют связь между потокосцепле-
ниями и токами в системе координат, неподвижной по отношению к ро-
тору, и представляют собой уравнения потокосцеплений двух обычных
трансформаторов.
Связь между коэффициентами системы — реактивностями, до преоб-
разования и после преобразования, получена рядом авторов, напри-
мер [3-57, 1А-60]. Новые коэффициенты — продольные и поперечные
реактивности — имеют определенный физический смысл и были иссле-
дованы еще Арнольдом [1А-52].

Уравнения (3, 35) и (3, 36) при наличии короткозамкнутых обмоток,
исключаемых из уравнений, могут быть представлены (см. прилрже-
ние 1) в операторном виде:

= x8d (р) i8d -ь g8rd (р) erd;
фа? = X8q (р) i8q -+- gerq (р) erq.

(3,37)

Умножая второе из уравнений (3,37) на j и складывая с первым,
получаем комплексное уравнение:

Здесь:

Фа = ха (р) *8 -1- У в (р) < а Фаг.

(3,38)

фа = Фел	is = i8d -+ Р*а?; фаг = ф^ -+- ./фвг?;

х8 (р) =

*8d (Р) *sq (р)

*8d (р)~Х8д (р) .

(3,39)

; у8 (р) =

ф|г — потокосцепления разомкнутых статорных обмоток, вызванные на-
пряжениями, подведенными к обмотке ротора. Составляющие ф,г по
осям d и q равны:

фанг — g8rd (р) erd; фагд — gsrq (р) Crq', фаг — grx (р) вг -+• gry (р) ег, (3, 40)

где

gard garq	gard — gsrq

grx =	2	’ » %ТУ —	2	’

er = erd Jerq-

(3,41)

Имеем также для роторных потокосцеплений, на основании формул,
данных в приложениях 1, 2:

Фг = ^г(Р* ?r)z’r-*-Pr(P> «О^-^Фга;
фга = фг^ -+- jtyrq

(3, 42)

(3,43)

и т. д., аналогично уравнениям для статора.

фгв = фг^-ь- jtyrsq — потокосцепления разомкнутых главных роторных об-
моток (имеющих индексы rd и гД вызванные напряжениями которые
подведены к статору. Здесь

Фга^ = grad (Р» wr) e8d', tyraq = graq (p, wr) e8q*
фга = gsx^a -+- gayeBi

(3,44)

(3,45)

где

gax =

grad (Pt ^r) graq (p, <*>r)

g8y =

2

grad (Рэ tor) — grsqip, tor)

(3,46)

При определении xr(p, <or), gr8(P> Ч-) нужно иметь в виду, что пер-
вое уравнение падения напряжений нашего многообмоточного трансфор-
матора— уравнение для цепи s — содержит р-У-]^г вместо р. Таким
образом, при определении хг(р, <ог) и gr8(p, ^г) нужно в сопротивле-
ниях z99 и z8n, входящих в определители, подставить вместо р вели-
чину	(скорость выбранного координатного комплекса в рас-

сматриваемом случае равна скорости вращения ротора wr). Аналогично,
если бы мы привели систему к координатам, вращающимся со скоро-
стью по отношению к ротору,* то в операторные величины х8 (р),
g8r(p) вошла бы величина о)^, так как в этом случае в сопротивле-
ниях (при тп, п = г, 2, 3..., к) вместо р нужно подставить p-*-/<Dfcr.

При отсутствии демпферных контуров имеем, например, для случая
вращения координатного вектора, со скоростью ротора:

Xrd (Р, wr) = Xrd(р •+- jWr) = *rd

1-Ь(р-*-/Ч) r8d

l + (l+j№

(3,47)

gr.d (P. ®r) — gr»d(p H- >r) = rt Ц {p ;.Wr)	•

12.	ТОКИ

Подставляя комплексные значения потокосцеплений из выраже-
ния (3, 37) в формулу (3, 5') для падения напряжений е8 имеем в коор-
динатах, вращающихся синхронно с ротором:

е, = ГЛ (р -*• >г) [х» (р)у» (р) '* -* ф«г]•	(3. 48)

Введя новые обозначения:

Ztx = r9-i-(p Х9 (р);	=: (р + jcor) У8 (р).

получаем:

е8Г = *8 ~ (Р >г)	==	Z8y4*

(3,49)

(3,50)

Для решения полученного комплексного уравнения падения напря-
жения (3, 50) составляем сопряженное уравнение и исключаем из урав-
нений сопряженный тОк; получаем:

. Z8xe8r Z8ye8T
l9 = -----s---------5~

Z8XZ8X Z8yZ8y

где

Z8X =r8^{P—	X8 (P)^ Z8y = (P — J4) У8 (P)'

(3,51)

(3, 52)

Знаменатель в формуле (3, 5) равен:

*м*м> — г»Ху = (р2 “г) *•*(р) х‘ч(р) _ь г» [Г» 2рх>(р)]-

Для определения токов в роторе имеем аналогичное комплексное
уравнение:

er = rrir ч- р [хг (р, <0Г) 1Г ч- Уг (р, G)r) I* ч- Фг J,	(3, 53)

от куда

zrxzrx zryzry
где
Zrx = г г Ч- рхг (р, <ог); *гу = РРг(р, «г) и еГ8 = ег—‘ Р^Г8‘

* Что допустимо с точки зрения отсутствия периодической части в коэффициентах
только при симметрии ротора.
Обозначения выбраны в полной аналогии с формулой для тока
статора.

Следует отметить, что при неодинаковых активных сопротивлениях
в роторных обмотках по продольной и поперечной оси:

	Zrx = ГХ ч- pxr (р, со); Zry = Гу ч- руг(р, со),	(3,55)
где	ГГд Ч- Ггд	Г rd — Ггд  гх —	2	’	1У —	2	•

Формулы для тока статора упрощаются, когда влиянием активного
сопротивления статора можно пренебречь.

В этом случае вместо формулы (3,48) получаем:

откуда	е« — (р + >г) [*» (р)	(р) С Ф.г],	(3« 57)  • х‘(р)ГР-«->г ч] *<ЛР-^  l‘~	^Р)-у^Р)		(3,58)

Напряжение статора е8 состоит из прямой и обратной составляющих,
Отнесенных к координатному комплексу, который вращается вместе
с ротором:

е8 = е81 еъ =	ч-	(3, 59)

где E,i и Е,2 — комплексы, не имеющие переменной фазы.

Прй отсутствии статорных напряжений обратной последовательности,
при синхронной скорости вращения ротора получим на основании вы-
ражения (3, 58):

» <*> [ 7^7 -	.	о, а,,

х28 (р) — у2 (р)

13.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ

Можно доказать [IA-12, 3-57], что мощность, подводимая со сто-
роны статора*

Р» = (евг’л ebib ecic) = e8disd ч- e8qi8q 4- 2e0f0,

ft мощность, подводимая co стороны ротора:

Pг — erdird 4- erqirq*

(3,62)

Мощность может быть положительной и отрицательной; положитель-
ное значение мощности соответствует случаю, когда мощность подво-
дится к машине, отрицательное — когда мощность отводится от машины.
Таким образом, за режим с положительным электромагнитным момен-
том мы принимаем режим двигателя.

* Если пренебречь влиянием высших гармонических, то нулевые составляющие
<0, не участвуют в образовании электромагнитного вращающего момента, см. гл.
Вместо (3,61) и (3,62) можно написать:

р8 = Re	+ 2ео%	(3» 63)

Pr = Re(erQ.	(3,64)

Подставляя выражение (3.20') для е8 в формулы (3,48) и (3,63),
получаем:

Р8 = гз'зЧ Re {(/4в) Q "* Re {/vMe}-*- 2ео*о.	(3, 65)

Здесь первый член характеризует мощность, затрачиваемую на потери
в меди статора, второй — мощность, затрачиваемую на изменение
запасенной электромагнитной энергии статора, третий — мощность,
затрачиваемую в машине при вращении ротора и пропорциональную
скорости вращения ротора.

Таким образом, мощность, связанная с вращением, равна:

Л» = Re b’vhZh	(3» 66)

или

= ыгМе,

где Ме— электромагнитный вращающий момент, равный:

M =	(3,67)

Можно доказать, преобразуя роторные величины к координатам,
неподвижным по отношению к статору, что при отсутствии магнитной
асимметрии электромагнитный вращающий момент машины, не имеющей
демпферных контуров, можно также представить в виде:

jH. = Re[-;Vr]-	(3.68)

Вопросы, связанные с изменением скорости вращения машины, ре-
шаются рассмотрением системы уравнений для электрических величин,
совместно с уравнением механического равновесия:

М, = ML (t,	(3, 69)

где ML(t, <or) — внешний момент, приложенный к ротору (в общем слу-
чае являющийся функцией времени и скорости вра-
щения),

— тормозной момент вращения, определяемый моментом
инерции ротора,

Н—механическая постоянная машины, равная в электриче-
ских радианах:

GD2 / п \2

Я=2*3Лм(бо)’	<3’70>

где f— частота сети статора в гц; GD2 — маховой момент ротора в тм2;
kVA — номинальная мощность машины в ква;

п — синхронная скорость вращения ротора в об./мин.

При наличии переменной скорости вращения ротора мы вынуждены
выбрать в качестве координатного комплекса вектор, вращающийся
синхронно с ротором, во избежание переменных коэффициентов в си-
стеме дифференциальных уравнений машины.

Статорное напряжение^ приведенное к такой системе координатных
осей, имеет при переменной скорости вращения машины переменную
фазу. Комплекс с переменной фазой при воздействии на операторное
выражение создает сложные функции времени, определение которых
представляет значительные затруднения. Таким образом, наличие пере-
менной скорости вращения вызывает в общем случае серьезные за-
труднения в решении системы уравнений. Частный случай решения
такой задачи рассмотрен в главе 4 [1А-23, 4-12].

Уравнение (3, 69) является нелинейным, так как Ме — функция
произведения потокосцеплений на ток. Поэтому вопросы, связанные
с изменением скорости, в общем случае обычно решаются либо мето-
дом последовательных приближений, либо методом последовательных
интервалов.

14.	О НЕТОЧНОСТЯХ ПРИНЯТОЙ МЕТОДИКИ РАССМОТРЕНИЯ ВСЕОБЩЕГО
ТРАНСФОРМАТОРА

Исходные дифференциальные уравнения (3, 1). всеобщего трансфор-
матора составлены на основании положения, что коэффициенты само-
индукции и взаимоиндукции, в том числе коэффициенты с учетом
гармонических, см. формулу (3, 25), не зависят от величины и харак-
тера распределения токов при наличии неравномерного зазора.
В действительности это далеко не строго, даже если полностью пре-
небречь влиянием насыщения.

Прежде всего в электрической машине, помимо первых гармоник
синусоидально распределенных в пространстве м. д. с., имеются выс-
шие пространственные гармоники м. д. с., создающие падение напря-
жения основной частоты, рассматриваемое обычно как падение на-
пряжения дифференциального рассеяния. Для этих пространственных
гармонических м. д. с. зависимость магнитной проводимости воздуш-
ного зазора от угла 6 будет существенно отличаться от зависимости
выражения (3, 25), полученной для первой пространственной гармо-
ники м. д. с., чем мы пренебрегаем. Отличие объясняется разной
'Кривизной и направлением силовых линий в зазоре. Больше того,
даже для первых пространственных гармонических м. д. с. коэффи-
циенты разложения выражения (3,25), строго говоря, зависят от ам-
плитуды и положения м. д. с. по отношению к оси полюсов ротора
из-за изменения расположения силовых линий в зазоре.

. Многочисленные экспериментальные, графические и аналитические
исследования, однако, показали, что для первых гармоник, синусои-
дально распределенных в пространстве м. д. с., можно пользоваться
зависимостью магнитной проводимости от угла 6 в выражении (3, 25)
без учета влияния их амплитуды и положения относительно оси по-
люсов ротора [3-38].

Для высших пространственных гармонических м. д. с. указанное
отклонение от зависимости (3,25) значительно, однако влияние выс-
ших пространственных гармонических сказывается только на величине
дифференциального рассеяния машины. Эта составляющая обычно
невелика, поэтому неточность, вводимая приближенным учетом высших
Пространственных гармонических м. д. с. невелика.
Другое приближение, которым мы пользуемся без специальной ого-
ворки при расчете пространственного распределения м. д. с., — это
замена токов, реально протекающих по большому объему паза токами,
сосредоточенными на поверхности внутренней расточки статора. При
этом мы пренебрегаем влиянием глубины паза на распределение
м. д. с. в зазоре, считаем практически пазовые токи сосредоточен-
ными в точках и пренебрегаем при анализе распределения индукции
в зазоре влиянием падения магнитного потенциала в активной стали
статора и ротора. Хотя на первый взгляд эти приближения кажутся
грубыми, опыт и детальные построения полей показывают, что
ошибка, связанная с принятием указанных приближений, также на-
столько невелика в подавляющем большинстве практических случаев,
что делает их вполне допустимыми.

15.	СРАВНЕНИЕ СТАТИЧЕСКОГО ТРАНСФОРМАТОРА С ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
МАШИНОЙ

Как видно из представленного рассмотрения, если выразить ком-
плексы потокосцеплений и тока статора вращающейся машины в осях,
вращающихся с ротором, то при симметричном роторе фл = х<(р)/„

рх2

где в случае одной системы обмоток в роторе х8(р) = х9-----------—

операторная реактивность обмотки статора, выражение для которой
совершенно аналогично операторной реактивности первичной обмотки
статического двухобмоточного трансформатора.

Потокосцепления фв связаны с напряжением е8 уравнением

г th -ь (р -+- >г)	= eet

(3,71)

вместо уравнения для трансформатора г/н-рф = е.

Таким образом, основная разница между вращающейся машиной,
имеющей равномерный воздушный зазор, и статическим трансформато-
ром, с точки зрения дифференциального уравнения переходного про-
цесса, заключается в том, что множитель р при ф нужно заменить на
(р-+-усог).* При этом токи и потокосцепления машины выражаются не
в неподвижных осях, а в „собственных" осях с/, q9 связанных с рото-
ром, ибо только в этом случае потокосцепления и ток будут связаны
обычной операторной реактивностью трансформаторной связи ^t—xAp)l f
При этом вместо обычного уравнения падения напряжения для машины
в неподвижных осях	= е9 имеет место дифференциальное

уравнение (3, 71).

Другим отличием задачи включения вращающейся машины от за-
дачи включения в сеть статического трансформатора в представлен-
ном рассмотрении является то обстоятельство, что для статического
трансформатора рассмотрение токов, напряжений и потокосцеплений
как комплексов носит условный характер, допустимо только при рас-
смотрении установившихся режимов и используется для удобного
представления реальных составляющих с учетом фазы.

Комплексные выражения токов и потокосцеплений в электрической
машине характеризуют соответствующие пространственные волны,
причем реальная и мдимая составляющие комплексной величины пред-
ставляют собой проекции волны на взаимно перпендикулярные про-

* Величина соответствует э. д. с. вращения в теории электрических машин.
странственные оси двух фаз. В этом случае комплексный характер
токов, потокосцеплений и напряжений связан не с переходом к уста-
новившемуся режиму, а отражает наличие двух систем взаимно пер-
пендикулярных в пространстве обмоток, поэтому комплексный
характер величин остается и при рассмотрении переходных ре-
жимов.

При решении задач установившихся режимов статического транс-
форматора переменную составляющую фазы комплексов можно при
рассмотрении отбросить, так как она одинакова у всех токов, потоко-
сцеплений и напряжений в установившемся режиме и не сказывается
яа взаимном сдвиге фаз токов, напряжений и потокосцеплений.

Во вращающейся машине при рассмотрении переходных режимов
такое сокращение в общем случае недопустимо. Частоты напряжений,
токов и потокосцеплений в переходном режиме могут не совпадать
друг с другом. Несовпадение определяется наличием активных сопро-
тивлений в статоре й роторе и наличием вращения ротора.

Применение комплексных операторных уравнений вместо широко
распространенных до последних лет уравнений по двум осям d и q
Значительно упрощает рассмотрение переходных процессов в маши-
нах и позволяет широко пользоваться графическими методами пред-
ставления переходных процессов, как показано в главах 4, 5, 6, 11
й др. Комплексные операторные уравнения являются прямым обоб-
щением обычных символических методов решения электрических
систем, как представлено в табл. 9-1 главы 9.

При пользовании этими уравнениями сравнительно просто решаются
многие вопросы устойчивости работы машины и систем с помощью
графических методов, аналогичных современным методам теории авто-
матического регулирования. Отличие от обычных методов определяется
я рассматриваемом случае наличием комплексных коэффициентов в ха-
рактеристическом уравнении системы и тем обстоятельством, что вра-
щающаяся машина переменного тока в общем случае должна харак-
теризоваться тремя частотными характеристиками из-за несимметрии
ротора и наличия возбуждения.
ГЛАВА 4

ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ, КОРОТКИЕ ЗАМЫКАНИЯ И ТОРМОЖЕНИЕ
ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

С СИММЕТРИЧНЫМ РОТОРОМ

1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Расчет токов и электромагнитных вращающих моментов асинхрон-
ной машины в переходных режимах при включениях, коротких замы-
каниях, повторных включениях, переключениях со звезды на треуголь-
ник, падениях напряжения в сети представляет большой практический
интерес. Этот интерес возрос в связи с расширившимся за последние
годы использованием асинхронных режимов синхронных машин и при-
менением переменного тока для крупных электроприводов с регулиро-
ванием скорости.

В 1912 г. Дрейфусу [3-40] удалось получить общие уравнения за-
тухающих токов при включении асинхронной машины, вращающейся
с заданной скоростью, и найти корни полученного уравнения четвер-
того порядка, которое распадается на два комплексных сопряженных
уравнения второго порядка. Дрейфус пользуется уравнениями типа
полученных Парком, проводя рассмотрение в координатах, вращаю-
щихся вместе с ротором.

Бирмане [1А-6], излагая работу Дрейфуса, составляет восемь урав-
нений с восмью неизвестными для определения свободных затухающих
токов в рассматриваемом случае.

Уравнения получаются весьма сложными и Бирмане решает их
приближенно для случая весьма малых активных сопротивлений в ро-
торе и статоре, получая громоздкие результаты и допуская при рас-
смотрении неточности. Вращающий момент в переходных режимах
Бирмане и Дрейфус не рассматривают.

В 1941 г. в США появилась работа Гильфиллена и Каплана
[4-28], посвященная переходным вращающим моментам короткозамкну-
того асинхронного двигателя. Авторы, пользуясь уравнениями Стен-
лея [4-41], т. е. ведя рассмотрение в координатных осях, связанных
со статором, получают систему четырех линейных дифференциальных
уравнений с четырьмя неизвестными для продольных и поперечных
токов и потокосцеплений в статоре и роторе и находят весьма гро-
моздкие выражения для вращающих моментов. Так же, как Дрейфус
и Бирмане, авторы рассматривают случай, когда в роторе имеется
одна система обмоток и когда скорость вращения мащины неиз-
менна.
Для вычисления токов авторы вводят, помимо основных парамет-
ров, свыше 50 сложно вычисляемых коэффициентов, а для вычисления
вращающих моментов еще десять сложных выражений. Авторы при
этом произвели решение полученной системы уравнений с помощью
интегратора для ряда численных случаев работы машины в режиме
асинхронного тормоза, по-видимому, учитывая не возможность практиче-
ского пользования полученными формулами другим образом.

Конкордиа в 1944 г. в дискуссии к статье Маджиниса и Шульца
(4-34] рассматривает качественную картину собственных частот зату-
хающих токов при включении асинхронного двигателя, приводя кри-
вые для численного примера, соответствующего случаю равных по-
стоянных времени статора и ротора. Конкордиа, Крэри, Крон [3-37]
пользуются комплексной формой записи для объединения выражений
токов и напряжений по продольной и поперечной осям в комплексные
выражения. Это объединение является у авторов, однако, главным
образом символическим. Авторы, рассматривая малые качания ма-
шин, вводят в отличие от пространственных комплексов, связанных
с символом j = ^—1 , временные с символом к = \]—1 • Для пре-
образования координатных осей они продолжают пользоваться пре-
образованием матриц, не используя возможностей комплексной формы.
Авторами определяется ток короткого замыкания асинхронной ма-
шины с одной системой обмоток в роторе по операторному уравне-
нию для тока при включении. Полученное общее уравнение решается
для частных случаев, когда активное сопротивление в цепи статора,
либо в цепи ротора, равно нулю.

Ценную работу по рассмотрению электромагнитных процессов
9 асинхронных машинах с использованием комплексных выражений
опубликовала в 1935 г. Р. М. Кантор [3-17].

За последние годы большие работы по экспериментальному и тео-
ретическому исследованию токов и вращающих моментов при вклю-
чении в сеть машин переменного тока, имеющих заданное скольжение,
провели И. А. Сыромятников [1А-45], Л. Г. Мамиконянц [4-11] и
другие специалисты, в связи с исследованиями возможности непо-
средственного включения в сеть крупных машин. Полученными резуль-
татами подтверждается правильность предлагаемой методики рассмот-
рения, опубликованной в [1А-20, 1А-23, 4-6, 6-6 и др.]. Дальнейшее
развитие получила оценка возможных максимальных вращающих
электромагнитных моментов при включении машины в сеть. Учитывая,
что при включении в сеть начальные потокосцепления равны нулю,
доказано, что в ряде случаев для практического соотношения пара-
метров крупных машин при включении крупной синхронной машины
е малым скольжением в сеть, максимальный электромагнитный вра-
щающий момент значительно меньше, чем при внезапном коротком
вамыкании [4-11].

В настоящей главе на основе комплексных операторных уравнений,
изложенных в главе 3, получены выражения для токов, потокосцеп-
лений и вращающих моментов, позволяющие практически рассчитать
режимы включения и короткого замыкания в асинхронных машинах.
Дан метод определения переходных токов, потокосцеплений и враща-
ющих моментов непосредственно из „круговой" диаграммы асинхрон-
ной машины. Влияние насыщения учитывается только выбором соот-
ветствующих параметров.
2.	ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ
С НЕИЗМЕННЫМ СКОЛЬЖЕНИЕМ, ПРИ МАЛОМ АКТИВНОМ СОПРОТИВЛЕНИИ

В ЦЕПИ СТАТОРА

а) Случай одной системы обмоток на роторе

Пусть требуется определить переходный процесс при включении
в мощную сеть асинхронной машины с симметричным одноклеточным
ротором. Круговая диаграмма такого двигателя показана на рис. 4-1.
Машина вращается с неизменным скольжением $.

Влияние небольшого активного сопротивления в цепи статора на
амплитуды токов и потокосцеплений относительно мало. Влияние же его

(jtff= 1 ~(jJq
(U2 = S+OJC

Рис. 4-1. Векторная диаграмма асинхрон-
ного двигателя для переходного про-
цесса, имеющего место при включении

на фазы токов и потокосцеплений
оказывается значительным, так как
небольшое изменение скорости вра-
щения векторов приводит с тече-
нием времени к большому измене-
нию фазы.

Можно поэтому в первом при-
ближении пренебречь влиянием ак-
тивного сопротивления в цепи ста-
тора на амплитуды токов и потоко-
сцеплений, учитывая только изме-
нение скоростей вращения комп-
лексов и вводя соответствующие ко-
эффициенты затухания. Машина вра-
щается с неизменным скольжением
$. Если влиянием активного сопро-

в сеть.	тивления в цепи статора можно пре-

небречь, то потокосцепления ф ста-
тора связаны с напряжением в „синхронной" системе координат,
вращающейся вместе с вращающимся полем, операторным уравнением
(Р“4-у)ф = е, откуда в функции времени и в символической записи

Q

Ф = у (1 —	= ф0 -+- ф! = х9 ( рч- js) i.

(4,1)

Здесь индекс 0, в отличие от индекса в параграфе 4 главы 3, означает
установившуюся составляющую.

По отношению к потокосцеплениям фх ротор вращается со ско-
ростью <ог, поэтому наличие их связано с током определяемым по
круговой диаграмме для скольжения = — <ог. Поскольку потоко-
сцепления фх в первый момент времени равны и противоположны по
знаку потокосцеплениям ф0, ток, определенный по круговой диаграмме
для скольжения $г = —<ог, нужно взять с обратным знаком. Вектор i\
характеризует волну тока, неподвижную по отношению к фх, поэтому
этот вектор будет так же, как и фп вращаться на круговой диаграмме
по часовой стрелке, затухая по амплитуде с коэффициентом затуха-
ния аа, определяющимся активным сопротивлением статора.

Коэффициенты, связывающие ф0 с током Zo и ф1 с током 4, будут
определяться значениями операторной реактивности

хв(р)=х,--^2!_

г г	рхг
для случаев, когда p—js и р^—j&r, соответственно. Таким образом,

. Фо ._______________________Ф1

10 х8 (js) ’	11 Хв( — >г) •

(4.2)

Операторное реактивное сопротивление статора х8(р) при одной
системе обмоток на роторе

,Р + а'г

(4.3)

где х8 — переходное реактивное сопротивление статора;

в' и а,— обратные величины постоянных времени ротора Т'г и Тг при
замкнутой и разомкнутой обмотке статора.

Ток статора при включении машины в сеть в упрощенной символи-
ческой записи равен:

. ________et______Г_________1________еа p-bjs-4-gr Л__

*8 (р) Ч. (р J) х8 (р -+ js) Jд/ [ (р -+- j) (jp -ь js -t-a'r) J

e8 e8 . e8 Г 1	11 ___a' /	.

----_—J-	--____l£ V £—jst.

3X88	ix8<*	3 *euJ

(4» 4)

Здесь xgg и х*ш — статорные реактивные сопротивления соответственно
при p=js и р = —j(or.

Полученные выражения для потокосцеплений ф, и тока i8 позволяют
получить удобную физическую интерпретацию явлений при включении
вращающейся машины в сеть.

При включении машины в сеть мгновенно появляются потокосцеп-
ления ф,0, равные в относительных единицах по амплитуде величине
напряжения сети и отстающие по фазе от приложенного напряжения
тс
ва угол у.

Напряжение ев, если производить рассмотрение в координатных
осях, вращающихся вместе с ротором, имеет частоту, равную скольже-
нию $. Потокосцепления ф80 в этих координатах тоже будут вращаться
по отношению к ротору со скоростью s, а по отношению к статору
с синхронной скоростью, равной единице.

Потокосцепления в статорной обмотке не могут появиться мгно-
венно, поэтому, кроме синхронно вращающихся потокосцеплений фв0,
появляются мгновенно потокосцепления фвЬ равные и противоположные
в момент t = 0 потокосцеплениям ф*0 и связанные неподвижно со ста-
тором. Эти потокосцепления можно выразить формулой

=	(4,5)

Связь между токами и потокосцеплениями определяется оператор-
ным реактивным сопротивлением х8(р).

Установившиеся потокосцепления вращаются по отношению к ротору
ср скоростью s и вызовут установившийся ток статора Ло, равный:

•	Ф*°	(Л

1>о=х,О«) •	(4,6)
Потокосцепления фн, неподвижно связанные со статором, вращаются
по отношению к ротору со скоростью —и вызовут ток статора i81)
равный:

Фл	,Л

1,1 = *«(->,) • (4>7)

Общий ток статора i8 в первый момент, когда £ = 0, должен рав-
няться нулю и, следовательно, появляется еще дополнительная состав-
ляющая zg2 тока статора, обеспечивающая условие /в = 0 в момент
1 = 0. Эта составляющая тока, как и остальные, будет иметь отраже-
ние в роторе. Вместе со своим отражением она будет двигаться таким
образом, чтобы не наводить э. д. с. вращения в роторе, т. е. вместе
с ротором, поскольку составляющая эта не поддерживается внешним
приложенным напряжением.

Затухание ее будет зависеть от затухания соответствующего отра-
жения в роторе и будет определяться постоянной времени обмотки
ротора при замкнутой обмотке статора.

Коэффициент затухания потокосцеплений Ф1 будет равен частному
от деления омического сопротивления фазовой обмотки статора г на
эквивалентную реактивность х8 (—j^r).

Получаем комплексную величину:

(4,8)

и, следовательно, с учетом влияния омического сопротивления в цепи
статора

ф»1 = — j	(4, 9)

где

(Oj = 1 ------ (Ос.

(4,10)

Величины и проще всего определить графически непосред-
ственно из круговой диаграммы. Поскольку ф0 равно единице, радиус-

вектор точки круговой диаграммы при скольжении = —(ог определяет
величину х* (—jw ) * ОТС1°Да следует, что горизонтальная проекция этого

вектора равна у, а вертикальная ------, как показано на рис. 4-1.

Зная величину г, нетрудно определить аа и а>с.

При одной системе обмоток в роторе составляющая тока статора i81

увлекается ротором и начинает двигаться по отношению к статору,
как это видно из формул приложения 3, с небольшой скоростью

(1 — а) ага8

(ОС у-----7^2--2~ • (Or!	(4, 11)

-*-“г
г
Х8
здесь о — коэффициент рассеяния, равный —,
Х8

а'=аав — обратная величина постоянной времени обмотки статора Т8
при замкнутой обмотке ротора.

Составляющая /в1 при этом затухает с коэффициентом затухания аа,
обусловленным активным сопротивлением статора:
Составляющая тока статора 42 при наличии активного сопротивле-
ния в статоре и при симметрии ротора, наоборот, несколько тормозится
неподвижными полями и начинает двигаться со скоростью % по отно-
шению к ротору, отставая от него и затухая с коэффициентом затуха-
ния а2, определяемым активным сопротивлением ротора:

(4, 13)

Общий ток статора в первый момент времени должен быть равен
нулю, поэтому переходная составляющая тока iS2 определяется условием

Из этого условия следует, что
для определения начального значе-
ния тока zg2 достаточно определить
из векторной диаграммы ток
— (4o-+-4i)f=o при f = 0, т. е. до-
етаточно соединить концы векто-
ров токов на „круговой" диаграмме
(рис. 4-1). Физически ток is2 свя-
зан с наличием переходных пото-
Косцеплений в обмотке ротора,
появляющихся, поскольку устано-
вившиеся потокосцепления не мо-
гут Возникнуть в роторе мгновен-
80. Поэтому волна тока i82 будет
ввязана с ротором и будет зату-
хать с коэффициентом затухания,

Рис. 4-2. Определение коэффициентов зату-
хания и собственной частоты по круговой
диаграмме.

определяемым активным сопротивле-

нием ротора. Коэффициент затухания а$ близок по величине к

г Гг Гг
ar" х ~~ °Хг *
лг

Для графического определения а' достаточно определить на ди-
аграмме критическое скольжение sk </. Величина sk определяется по
щкале скольжения АС для тока, соответствующего максимуму вращаю-
щего момента (рис. 4-2). Влияние активного сопротивления статора
скажется несколько на величине коэффициента затухания и на том,
что волна тока is2 будет двигаться с небольшим скольжением по
отношению к ротору. Это значит, что ток is2 равен

где о>2 = а-4-а)с. Комплекс is2 будет вращаться на круговой диаграмме
со скоростью о)2 — по часовой стрелке, затухая с коэффициентом
затухания, равным

Получается, что благодаря наличию активного сопротивления в цепи
статора потокосцепления фи и ток isi как $ы немного увлекаются ротором
И начинают двигаться по отношению к статору со скоростью а ток is2
несколько тормозится статором и движется по отношению к ротору
с небольшой скоростью против направления вращающегося поля.
Рассмотрим как зависит амплитуда тока статора при включении
машины от скорости вращения. При этом пренебрежем влиянием
активного сопротивления статора.

Амплитуда установившейся составляющей тока статора

(4, U)

Амплитуда составляющей z8i, связанной со статором

(4» 15)

Составляющая /82> связанная с ротором, в момент времени f = 0
равна по амплитуде абсолютной величине геометрической суммы ком-
плексов

При s = 0	esm .	/A  Uqw — v » l8im	r •	(4, 10)  л8	x  Л8
При s = l		e8tn  t J	r •	(4, 17)  X8	X8

При критическом скольжении s = sk

• е8т • в8т

l8Qm о Г ; isim Г
^хв	Х8

(4, 18)

б)	Сравнение со случаем включения в сеть статического
трансформатора

Для сравнения рассматриваемой задачи со случаем включения ста-
тического трансформатора рассмотрим потокосцепления и токи в пер-
вичной обмотке при включении его. Если статический трансформатор,
имеющий активное сопротивление первичной обмотки, равное нулю,
включается на напряжение е8 — е8т sin sZ, то потокосцепления первичной
обмотки в упрощенной символической записи

фз = ~ 1 е8т (1 — cos sZ).	(4, 19)

Ток первичной обмотки

0-20)

Если трансформатор
обмотку с индексом г, то

имеет одну вторичную короткозамкнутую
в упрощенной символической записи

^8Ш 1

Р-^аг
-----; (1 — cos sf) 1

Р-ь«г

18 = —г

X

—а /
е г

s2 -+- а'аг	а'г — аг

—------cos st-ь-s —---------sin st

s" -t-ar	s + ar
Сравнивая выражения потокосцеплений в обоих случаях по фор-
мулам (4,1), (4,19), нетрудно видеть, что при определении потоко-
сцеплений вращающейся машины задачу можно рассматривать при
rt=0 аналогично тому, как для обычного статического трансформа-
тора, у которого при включении в сеть появляются установившиеся
потокосцепления фв0, имеющие величину и частоту, соответствующие
приложенному напряжению, и свободные потокосцепления фв1, затуха-
ние которых определяется активным сопротивлением статора.

При рассмотрении тока статора вращающейся машины картина
аналогична, но несколько усложнена. В статическом трансформаторе,
питаемом переменным током, наличие второй короткозамкнутой об-
мотки можно рассматривать в установившемся режиме как наличие
комплексной магнитной проводимости, величина которой будет опре-
деляться как параметрами системы, так и частотой приложенного на-
пряжения. При частоте тока, равной нулю, комплекс магнитной
проводимости в статическом трансформаторе становится реальным
коэффициентом пропорциональности между потокосцеплениями и
током.

Во вращающейся машине комплексность коэффициента пропорцио-
и&льности между потокосцеплениями и током определится не частотой
токов в статоре (при гв = 0), а частотой токов в роторе, поскольку
комплексность магнитной проводимости определяется потерями во вто-
ричной обмотке.

Потокосцепления фв0 и фв1 во вращающейся машине движутся со
скоростями а и —по отношению к ротору и, следовательно, связаны
различными комплексными магнитными проводимостями, соответствую-
щими частотам пересечения этих потокосцеплений ротором.

Наличие разных токов, соответствующих равным потокосцеплениям
и момент ^ = 0, вызовет появление дополнительного свободного
тока zg2> имеющего частоту, соответствующую скорости вращения
ротора.

В системе с неподвижными обмотками эта составляющая также
имеется, но в отличие от вращающейся машины ее частота равна
кулю.

в)	Электромагнитный вращающий момент

Токи, потокосцепления и электромагнитный вращающий момент
асинхронной машины в переходном режиме при включении в сеть
вращающейся машины можно, пренебрегая влиянием активного сопро-
гашления в цепи статора, определить непосредственно из „круговой"
диаграммы машины в соответствии с представленным рассмотрев
кием.

На рис, 4-3 представлена „круговая" диаграмма машины, в которой
векторами показаны токи и потокосцепления в машине в момент

В последующие моменты времени комплекс тока i81 и комплекс
иэтокосцеплений фв1 будут на диаграмме вращаться по часовой
втрелке почти с синхронной скоростью, вектор тока /в2 будет вра-
щаться по часовой стрелке со скоростью, близкой к а.

Затухание составляющих фв1, i81 будет зависеть от наличия актив-
вото сопротивления в цепи статора, затухание составляющей i8%
К₽дет определяться активным сопротивлением в цепи ротора.
Электромагнитный вращающий момент

М= Re [j-ф,i*] = Re [j (Ф8О -ь Фв1) (^+4+ 4)].	(4, 22)

Если рассматривать комплексы как векторы, то электромагнитный
вращающий момент можно представить как сумму векторных произве-
дений составляющих тока на составляющие потокосцеплений. Эти
произведения будут равны произведениям амплитуд векторов на синусы
углов между векторами.

Произведение /в0 на Фео даст установившийся вращающий момент,
численно равный величине вертикальной проекции вектора zg0 при

Рис. 4-3. Токи и потокосцепления при включении вращаю-
щейся асинхронной машины.

номинальном подведенном напряжении, когда амплитуда вектора
равна единице.

Произведение i81 на ф81 даст также постоянный вращающий момент,
поскольку оба вектора вращаются на диаграмме синхронно со ско-
ростью, близкой к единице. Практически наличие активного сопро-
тивления в цепи статора вызовет затухание этой составляющей
вращающего момента с удвоенным коэффициентом затухания по срав-
нению с коэффициентом для составляющих 81) Остальные вектор-
ные произведения дадут пульсирующие составляющие вращающего
момента, поскольку токи и потокосцепления, входящие в векторное
произведение, будут иметь разные скорости вращения. Произведе-
ния i'8q на фв1 и i81 на фв0 создадут пульсирующие составляющие
момента с частотой, близкой к единице, и с коэффициентом затухания,
определяющимся величиной активного сопротивления статора.

Произведение is2 на фв0 создаст пульсирующую составляющую мо-
мента с частотой, близкой к $, и с затуханием, определяющимся вели-
чиной активного сопротивления ротора.

Произведение z\2 на даст пульсирующую составляющую момента
с частотой, близкой к <ог, и с затуханием, зависящим от наличия актив-
ных сопротивлений в роторе и статоре.

Электромагнитный вращающий момент определится как сумма век-
торных произведений составляющих тока на составляющие потокосцеп-
лений. При одной системе обмоток в роторе электромагнитный вращаю-
щий момент будет иметь 9 составляющих, из которых 6 будут пульси-
рующими с частотами = 1—(d2 = s-4-q)c и о)3 = о)г — 2о>с, с коэф-
фициентами затухания %, а$ и a3 = aa-i-a'2. Из трех непульсирующих
составляющих, создающих средний вращающий момент, о^на будет
установившейся, а две другие затухают с коэффициентами затухания
2% и 2^.

Максимальный вращающий моментов установившемся режиме имеет

порядок величины esmi8Qm —г , так как в этом случае амплитуда век-
&Х о

Рис. 4-4. Сравнение расчет-
ной кривой переходного
электромагнитного вращаю-
щего момента асинхронной
машины, работающей в ре-
жиме асинхронного тормоза
при отрицательной синхрон-
ной скорости вращения,
с кривой, полученной с по-
мощью интегратора.

Параметры машины: а8 = 0.0098;
= 0.0049; « = 0.0778; a'g = 0.12.6;

</, = 0.053.

Данные режпжа: u>r = —1; s = 2;

(oc =—0.00729; w, = 1.00729; w2 =
=1.99271; w3=—0.98542. aa=0.1265;

«2 = 0.0627; a3 = 0.1892.

M =1 4- 2.018s-0,253/ 4-

4- 0.0038s-0,1254 * — 1.83s-0,1265f
cos (1.00729/ 4-2°50') 4- 1.02£—c,0627f
cos (1.99271/4-9°10') 4-

+ 1.13e—0,1892*cos (0.98542/ —

—8° 46').	7—по расчету; 2—no

интегратору.

Рис. 4-5. Сравнение расчетной кривой переход-
ного электромагнитного вращающего момента
асинхронной машины, работающей в режиме асин-
хронного тормоза при отрицательной синхронной
скорости вращения, с кривой, полученной с по-
мощью интегратора.

Параметры машины: ag = 0.00307; ar =0.00614; « = 0.0301-

ag = 0.102; ar == 0.2 7.

Данные режима: <or = —1- $ = 2; <ос = —0.0199; со, = 1.0199;
w2 = 1.9801; <о3 =—0.9602. aa = 0.0997; a2 = 0.2053; a3 = 0.3050.

M = 1 + 2.082s—°-1992/ + 0.011s —0.4106/ — 309s—0.0997/

cos (1.0199/—2°31') 4- 1.08е~°-2053* cos (1.9801/—8°16') —

—1.027s— °-305£ cos (—0.9602/ + 6°50').	7 — по расчету;

2 — no интегратору.

В переходном режиме имеются две со-
ставляющие потокосцеплений статора с амп-
литудами, равными eg7n, и три составляю-
щие тока статора, причем амплитуды двух
из этих составляющих при некоторых ско-
ростях вращения имеют порядок величины

. Таким образом, в общем случае, учи-

х*

тывая пульсирующие составляющие, вращающий момент в переходных
режимах может достигать значений, существенно превосходящих макси-
мальный статический вращающий момент Значительное влияние на
максимальную величину вращающего момента в переходном режиме
при этом окажут коэффициенты затухания.

Максимальный возможный вращающий момент при включении в сеть
асинхронного двигателя, имеющего произвольное скольжение, принци-
пиально может иметь порядок, характеризуемый двумя диаметрами круга,
т. е. порядок 4 Мь где Mk— максимальный статический вращающий
Рис. 4-6. Сравнение расчетной
кривой переходного электромаг-
нитного вращающего момента
асинхронной машины, работающей
в режиме асинхронного тормоза
при отрицательной синхронной
скорости вращения, с кривой, по-
лученной с помощью интегратора.
Параметры машины: ag = аг = 0.0098;

a = 0.0778; as = ar = 0.126.

Данные режима	= —1; s = 2;

= = —0.0147;	= 1.0147; <о2 = 1.985;

<о3 ==—0.9706. «i = a2 = 0.126; а3 = 0.252.

М = 1 -+- 4.14г—°-25^ + 0.008г~0-252* __

— 3.05s—°-126* cos (1.015* 4- 1°14') 4-

4- s—°-126* cos (1.985* 4- 3°32') —

— 1.08s”~0-2^2^ cos (—0.9706* — 3°27').
1 — по расчету; 2 — по интегратору.

Рис. 4-7. Сравнение расчетной кри-
вой переходного электромагнитного
вращающего момента асинхронной
машины, работающей в режиме асин-
хронного тормоза при отрицательной
синхронной скорости вращения, с кри-
вой, полученной с помощью интегра-
тора.

Параметры машины: ae =	= 0.04036; а —

= 0.118 ;	= аг = 0.34.

Данные режима: <сг=—1; s = 2; <ое = —0.102;
«>! = 1.102; <02 = 1.898; <о3 = —0.796; аа = а2 —
= 0.34; а3 = 0.68.

М = 1 4- 2.48з—°-68# 4- 0.107s—°-68f —

— 3.53s-О-34^ cos (1.102* 4- 3°28') 4-

4- 1.46s—°-34* cos (1.898* 4- 8°25') —
- 1.75s—°-68* cos (—0.796* — 7°20').

1 — по расчету; 2 — по интегратору.

Рис. 4-8. Сравнение расчетно
кривой переходного электромаг-
нитного вращения момента асин-
хронной машины, работающей
в машине асинхронного тормоза
при отрицательной синхронной
скорости вращения, с кривой, по-
лученной с помощью интегратора.

Параметры машины: as = 0.04036; ar —
= 0.02017; <т = 0.188; a8 =0.34; ar = 0.17

Ддпиые режима» a>r = 1; $ = 2; и)е = —0.0496;	= 1.0496;	— 1.9504; ш3— 0.9008. ал — 0.348;

а2 = 0.1617; а3 = 0.5097.

м _ ! + 2Л9а-0.693< + 0.0362в-°-324' — 3.15s-0-348* cos (1.0496/ + 9°42') -1.2fe-°1617' cos (1.9504/ +
4- 28°08') — 1.20s—°-5097# cos (—0.9008* — 26°30'). 7 — по расчету; 2 — по интегратору.
момент, характеризуемый радиусом круга. При некоторых скольжениях,
в частности при $ = 0, $ = 1, максимальный возможный вращающий
момент в переходном режиме при включении в сеть оказывается мень-
ше, будучи порядка 4МпуСк., где Мпуск. — статический вращающий мо-
мент при $ = 1, вследствие определенного соотношения скоростей вра-
щения разных составляющих тока.

На основании представленных формул было проведено численное
определение электромагнитного вращающего момента при включении
асинхронной машины для ряда соотношений параметров при вращении
мдшины с отрицательной скоростью. Результаты были сравнены с дан-
ными, полученными с помощью интегратора [4-28]. Сравнение пред-
ставлено на рис. 4-4, 4-5, 4-6, 4-7, 4-8 и, как видим, расчет по
предлагаемой методике дает вполне удовлетворительное совпадение
с результатами, полученными на интеграторе.

г) Влияние второй системы обмоток на роторе на переходные
процессы в асинхронной машине

Короткозамкнутые асинхронные двигатели в большом числе слу-
чаев имеют две системы обмоток на роторе. В этом случае опера-
торная реактивность х8 (р) будет иметь вид:

н- (г; н- Тр р -ы 7-уу -ь (7$ тр Р -ы

х> (Р) - ХА УсТ/ГсР* (7/ -к Те) Р -Ь1 -	-ь (Те - Т,) Р Ч-1Ха'	( ’ }

Здесь f и с — индексы первой и второй обмоток ротора;

— коэффициент рассеяния Блонделя между обмотками f и
с при разомкнутой обмотке статора;

—то же ПРИ замкнутой накоротко обмотке статора;

Г/, Тс — постоянные времени обмоток f и с при разомкнутых
других обмотках;

Т'р Т'с — то же при замкнутой обмотке статора;

Т’— постоянная времени обмотки с при замкнутых обмотках
s— статора и f—ротора;

Т"^ — постоянная времени обмотки с при разомкнутой обмотке
s— статора и замкнутой обмотке f—ротора.

Величину х8 (р) можно также представить в виде:

, Р (% af)P-*-acaf

х> (Р) — xd • 2	/ " I " \	"	>

Р -+-(асо + а/о)Р-*-аСОа/

где

„1,1	„1	1	„ 1 К

т„ ; а,- , ; **~т" : »/- Т/ : af~T’ ' Т"е

С	J	OU	J	с

(4, 24)

„_______1_ Тс

а/о — Тг ‘ т" ‘

•'	' сО

Применяя разложение на простые дроби, имеем:

1	_ 1 Ji |	_	°2 1

Х1 (р) — Xj Г Р — Pi Р — P2f
где

*2	/ "	" \	”

___Pl (дсО	Д/0/ Pl	ДсОД/ .

~	Pl — Р2	’

___Р% ~l~ (ДсО	Д/0/ Р2	дсОд/ е

(4, 26)

Pi, Ръ — корни уравнения p2-t-(a"-i-a^p-i-a"a^ = 0

(4, 27)

(4, 28)

Обычно Tc<^Tf,
1
г ау;

1 f

поэтому часто принимают р± и р2 равными р±~
1 „ D 1

----тг — —%• В этом случае величину —т-г можно

представить в виде:

(4, 29)

Потокосцепления статора, так же как и в случае одной обмотки

на роторе, примерно равны:

% = _je, (1 -	= <р80 ч- .	(4,30)

Здесь аа и <о2 определяются, как в случае одной обмотки на роторе,
по „круговой" диаграмме машины.

Ток статора в символической записи равен:

х9 (р)



(4» 31)

Электромагнитный момент вращения в символической записи равен:

М, = (а> - Я/) Re к (1 -

вЯ , (1 —
PH-az

-b«-<o)Re{e.(l-



Mef + Мес^

где Mef — составляющая момента, вызванная токами в обмотке /;

Мес — составляющая момента, вызванная токами в обмотке с.

Таким образом, две обмотки ротора создают две составляющих
электромагнитного вращающего мемента, каждая из которых опреде-
ляетс^я почти исключительно параметрами одной обмотки, так же как
и в случае одной обмотки на роторе.

Исходя из изложенного, становится ясной методика расчета тока,
потокосцеплений и вращающего момента при наличии двух обмоток на
роторе. Необходимо приближенно оценить комплексный коэффициент
затухания свободной составляющей потокосцеплений почти непо-
движной по отношению к статору. Коэффициенты аа и 0^ = 1 — а)с оп-
ределяются аналогично случаю одной обмотки на роторе по „круговой"
диаграмме машины, имеющей в рассматриваемом случае вид биквад-
ратной кривой.

Оценив аа и и определив можно приближенно рассчитать
токи и составляющие вращающего момента от каждой обмотки неза-

Рис. 4-9. Определение переходных токов и вращающих моментов,
имеющих место при включении в сеть асинхронного двигателя
с двухклеточным ротором.

висимо друг от друга по формулам, представленным выше, аналогична
случаю одной системы обмоток на роторе, либо более точно, поль-
зуясь разложением токов на экспоненциальные составляющие, как это
представлено в главе 11.

д)	Влияние большого числа цепей в роторе

Наличие большого числа цепей в роторе почти не меняет нашего
рассмотрения. В этом случае вместо „круговой" диаграммы нужно вос-
пользоваться соответствующей токовой диаграммой, которая уже не
будет окружностью. На рис. 4-9 представлена такая диаграмма для
двигателя с двойной клеткой в роторе. На диаграмме нужно опреде-
лить точку, соответствующую имеющему место скольжению $, и точку,
соответствующую скольжению = — шг. Остальное построение такое
же, как и в случае одноклеточного ротора. С таким же успехом пере-
ходные токи могут быть найдены для двигателя с массивным ротором.
Нужно только знать токовую диаграмму для тока статора в установив-
шихся асинхронных режимах при различных скольжениях ротора. На
рис. 4-9 представлены составляющие вращающего момента через неко-
торый короткий промежуток времени после включения в сеть двига-
теля, вращающегося с постоянным скольжением.

Для правильного расчета изменения во времени токов и электро-
магнитных вращающих моментов в переходном процессе при наличии
большого числа контуров в роторе нужно знать разбивку периодиче-
ского переходного тока на составляющие, имеющие разные коэффи-
циенты затухания. Это может быть сделано при помощи анализа токо-
вой диаграммы и, в частности, с помощью амплитудно-логарифмиче-
ских частотных характеристик, как изложено в главе 11 и приложе-
ниях 4 и 9, а также [11-5; 11-7].

е)	Определение фазовых величин

Для определения фазовых величин достаточно найти проекции век-
торов на три оси, расположенные под углом 120°, так же как и в слу-
чае установившегося режима. Начальный угол оси времени фазы а
определяется по отношению к вертикали начальным значением напря-
жения в фазе а. Если напряжение в фазе равно еа — ет cos (£-+-Т0), то
угол этот равен т0, как представлено на рис. 1-13. Оси времени для
трех фаз вращаются на круговой диаграмме со скоростью, равной еди-
нице, по часовой стрелке.

При наличии нулевых составляющих е0, iQ и ф0 (стр. 53, 64), послед-
ние должны быть прибавлены к полученным из диаграммы фазовым
величинам соответственно, для получения полных фазовых напряжений,
токов и потокосцеплений.

ж)	Уточненный учет активного сопротивления в цепи статора

Если необходим уточненный учет влияния активного сопротивления
в цепи статора, то амплитуды токов статора при включении машины
в сеть могут быть определены по токовой характеристике i8 =  —т—г
с учетом влияния активного сопротивления в цепи статора, аналогично
тому, как они определялись по характеристике 4 =	без учета

активного сопротивления в цепи статора.

Установившийся ток isQ определяется для заданного скольжения s
ротора. Начальное значение апериодической составляющей (—41) соот-
ветствует току по характеристике при скольжении = —(1—$). На-
чальное значение периодической составляющей переходного тока /в2
определяется из условия

(*80 +" *81 ~+“ *82)/=0 ~ б.

В приложении 3 представлено рассмотрение включения асинхронного
двигателя в сеть с учетом влияния активного сопротивления в цепи
статора для частного случая одной системы обмоток в роторе.

3.	ВНЕЗАПНОЕ ТРЕХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ АСИНХРОННОЙ
МАШИНЫ, ИМЕЮЩЕЙ НЕИЗМЕННОЕ СКОЛЬЖЕНИЕ S

Внезапное трехфазное короткое замыкание можно представить как
наложение на режим, имевшийся до короткого замыкания, переходного
режима, вызванного включением на напряжение, равное и противопо-
ложное тому, которое было до короткого замыкания. В результате на-
ложения обоих режимов результирующие потокосцепления = фа1 в пер*-
вый момент будут определяться единичным горизонтальным вектором,
равным по величине потокосцеплениям до короткого замыкания фв0. Этот
вектор будет затем вращаться по часовой стрелке со скоростью
®i = l —	уменьшаясь по амплитуде с коэффициентом затухания

(рис. 4-10).

Токи i81 ifigz определяют при трехфазном коротком замыкании так же,
как и при пуске, но берут с обратным знаком, учитывая знак включае-
мого эквивалентного напряжения (рис. 4-10). Результирующий устано-
вившийся ток будет равен нулю. Токи isl и zg2 будут вращаться по
„круговой" диаграмме по часовой стрелке со скоростями 1 — <ос и s -ь о)с,

Рис. 4-10. Векторная диаграмма асинхронного двигателя при
внезапном трехфазном коротком замыкании.

затухая по амплитуде с коэффициентами затухания % и а'2 аналогично
Случаю включения в сеть. Величины аа, и определяются из „кру-
говой" диаграммы таким же образом, как и для случая включения
в сеть.

Для определения коэффициентов затухания тока zg2 при наличии не-
скольких контуров в роторе нужно разбить ток zs2 на составляющие
с разными коэффициентами затухания, как это представлено в главе 11
и в приложениях 4 и 8.

Ток и потокосцепления статора при трехфазном коротком замыка-
нии машины с одной системой обмоток на роторе (при малом активном
сопротивлении в цепи статора)

Электромагнитный момент вращения при трехфазном коротком замы-

Мл= <.-=* - «1 -

находится в пределах

Мзй С

ЗШг
При

s = l, (or = O М%к < 2Л/&;
при

s — 0, (ог = 1 М$к -+- Mqq.

Здесь Mq8 — статический пусковой момент вращения при скольжении s;
Мош — то же при скольжении —= о>г;

Мк— максимальный статический момент вращения лри скольже-
1 ,

нии sk, равном критическому sk^^~; а3 = аа-На2; а)3 =

(s — а)г) аг

— «V — 2wc; <p2 = arctg —.
аг +

В главе 11 и приложении 9 рассмотрение распространено на случай
неограниченного числа обмоток в роторе, что скажется на коэффици-
ентах затухания а.

В приложении 4 приведен численный расчет токов и электромаг-
нитного вращающего момента при включении в сеть и внезапном трех-
фазном коротком замыкании турбогенератора мощностью 150 Мвт.

4.	ВНЕЗАПНОЕ ДВУХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ АСИНХРОННОЙ
МАШИНЫ, ВКЛЮЧЕННОЙ НЕПОСРЕДСТВЕННО В МОЩНУЮ СЕТЬ

Пусть асинхронная машина с симметричным ротором, включенная
в мощную сеть и работающая с неизменным скольжением, подвергается
внезапному двухфазному короткому замыканию на выводах фаз в—с.

а) Токи и потокосцепления

Двухфазное короткое замыкание можно рассматривать как наложе-
ние на установившийся режим переходного режима, вызванного вклю-
чением —ер, где ев — напряжение по поперечной оси статора.

Если в момент короткого замыкания напряжение в фазе было
равно:

еа = ет cos (£ ч- 90),	(4,33)

то напряжение —может быть представлено в виде:

—е3 = —ет sin (£ -+- 0о).	(4, 34)

Соответствующее комплексное напряжение статора, отнесенное
к координатам, связанным с неподвижным статором, будет равно
(см. стр. 58):

г	•	еУ(7+%) L-£-Л*+0о)

6о) = ~------2-------•	(4, 35}

Здесь (') при еа указывает, что это напряжение режима* налагающегося
на основной режим.

Если умножить напряжение е'9 на комплекс

е—У(ШГ^+30)>

то получим напряжение е', равное:

е' — е'£-Я<М+₽о)
8 С

ет

£Л^+0О—0о) —	во—Зо)

(4, 36)

2

— e9i -+-
где угол р0 — произвольный угол между фазой а и осью d, связан-
ной с ротором, в момент / = 0;

s — скорость вращения волны напряжения прямой последо-
вательности фаз относительно ротора;

^2 = —(2 — $) — скорость вращения волны напряжения обратной после-
довательности фаз относительно ротора;

egl — напряжение прямой последовательности фаз;

eg2— напряжение обратной последовательности фаз.

е81 =	s><eZ+9»-₽“’; es2 = -еА =	е№*-9<г-Д>).	(4> 37)

Прямая и обратная составляющие напряжения eel, eg2 имеют ам-
плитуды, равные половине амплитуды фазного напряжения до короткого
замыкания.

Каждая из составляющих напряжения е8 — прямая и обратная, вы-
зовут свои составляющие токов и потокосцеплений.

Пренебрегая влиянием активного сопротивления статора на ампли-
туду токов и потокосцеплений, имеем для обратной составляющей токов
и потокосцеплений следующие выражения:



(4, 38)



Здесь xg2 — операторная реактивность х8(р) при p = js£

Pi2 и Р22 — корни комплексного операторного уравнения

г8 -+- (р — ]) х8 (р -+- js2) = 0.

(*, 39)

(4, 40)

Отрицательный знак перед j в формулах (4,38), (4, 39), (4, 40) свя-
зан с тем обстоятельством, что в отличие от случая питания машины
напряжением прямой последовательности, когда о>г-4-$ = 1, при питании
машины напряжениями обратной последовательности

(ОГ -F S2 = Wr -4- [-------(2 --- s)] = -----1.

Для прямой составляющей токов и потокосцеплений с учетом зна-
чений, имевших место до короткого замыкания, имеем:

41 — 4ю 41

Msi j

е*1
J

1	/ J_

Х81 Х8<Л \ 41

(4, 41)

Ф.1 = Ф.10 - Фн = -	- у- (1 - *Ра*)  ------71- (1	(4, 42)

Здесь хв1 — операторная реактивность х8(р) при p — js;

Р11 и p2i — корни комплексного операторного уравнения
Для определения корней рп, р21 при одной системе обмоток в ро-
торе можно воспользоваться приближенным выражением (см. прило-
жение 3)

[(“г О J (1 + »)] ± [(< - О - J“r]	(1 - °) “Л

Р1,2	-------------------------------------.	(4, 44)

2	аг~ ач~ ]шг

Для определения корней р12 и р22 можно пользоваться формулами
(4,43), (4,44), но заменив —«на —s2 = t2— s и j на —j.

Это нетрудно видеть, если учесть, что o)r-i-s2 = —1 и, следова-
тельно,
е«2	< f	1	1

' »2 ~ гв -+- (р -+- jo>r) Хв (р) ~ е«2 ( г» -ь (р — j) х, (р -+- js2) / •	(4. 45)

Мы вводим для коэффициентов и собственных частот дополнитель-
ные индексы 1 и 2, соответствующие составляющим от прямой после-
довательности фаз (индекс 1) и от обратной последовательности фаз
(индекс 2).

б) Электромагнитный вращающий момент

Вращающий момент М можно разбить в этом случае на следующие
три составляющих:

М = Л/ц -+- Л/22 -ь Afj2,	(4, 46}

где Мп — вращающий момент, вызванный взаимодействием токов и
потокосцеплений, создаваемых напряжениями прямой по-
следовательности;

М22 — вращающий момент, вызванный взаимодействием токов и
потокосцеплений, создаваемых напряжениями обратной по-
следовательности;

М]2 — вращающий момент, вызванный взаимодействием токов и
потокосцеплений, создаваемых напряжениями разных после-
довательностей.

Имеем для Мц:

2	р-

__ е т I ,	-	—a t

4х, I и

—М	—«Л	~|

COS (Оп^ -4- s COS (021? -+- £ й COS (1)3? J —

I —2аа£	—а /	——ао^

-- ^SU> L£ ~Ь Е ' COS --------------- £ COS W21/--------- £	6 COS «3^

— (ав1 — азш) L—е	а s*n ш11^	£	2 sin (021f — е 3*sin(O3?J|,	(4,47}

где коэффициенты а81> Ь81, а8Ш, Ь8ш и частоты <ош а>21, <о3 опреде-
ляются как

<a,4-s2	, ar-ar ]

—	,2	2 ;	—	,2 О S»’ I

ar -4-s	a -t-s2 I

,	2	,	48>

______ г 8_____r	j-----
а80>--------------------- ,2 О ;	°8Ш - /2	9 Wr’

-4-	ar -F <»;

шп = 1 —<ое; ш21 = я-ые; а>3 = wf — 2и>в; а3 = аа-+-а'.	(4,49)
В выражении (4,47) для частот о>2 и коэффициентов а8, Ь8 вве-
ден дополнительный индекс 1 с целью отличия этих величин от соот-
ветствующих частот и коэффициентов, связанных с наличием напряже-
ний обратной последовательности фаз. Коэффициенты затухания а3 и
частоты о)3 оказываются для случаев питания напряжениями прямой
и обратной последовательности одинаковыми.

Вращающий момент, вызванный токами обратной последовательности,,
равен:

ет (	—О	—«о#	— a~t

^22 — —"Т ' 1 —О«2 1 — £ cos w12^ — Е * €OS «22^ е C°S W3f I -4-

—2a t -at	——a^t

e a — £ a cos _|_ £	* cos — £ j cos wyj —

tv—a t	—a^tf	—aQ/	”11

e a sin co12f e sin a>22£e 3 sin <o3f J J .	(4, 50)

Эта формула может быть получена по аналогии с формулой (4,47),
если в ней заменить о>г н& —о>г, $ на —$2 = 2— s и взять выражение
с обратным знаком. Коэффициенты а82 и 6g2 определяются по форму-
лам (4.48) с заменой s на $2.

Вращающий момент, вызванный взаимодействием токов и потоко-
сцеплений разных последовательностей, Mj2 может быть представлен
как сумма:

Л/12 “ -ЛАго + ^121	Л/122 -ь Л/123*	(4» 51)

При равенстве амплитуд прямой и обратной составляющей напряже-
ния e1OT = e2w, что имеет место в нашем случае, получаем для состав-
ляющих этой части вращающего момента следующие выражения:

Ml20 ==	{(&S1	6*2) [ — cos2 (/ + во)] -+- («S2 — a*l) sin 2 (t -+- 0о) —

4xt

-26ewe“2a^ cos2e0);

^121 =	{(&sl — b8(£)) cos (a)nz -+- 20o) (a«l — sin 26o) —

— (6«2 — b8(3y) COS (ш12 -+- 20o) -4- (a82 — a8lb) sin (a)12f -ь 260)} e“*aa/;,

^122 = ГТ {—(b81 -4- b8^) cos (a>22f — 20q) +• («51 — а8<л) sin (w22Z — 260) -+-

—a2^

+ (b/12-f- Ьвш) COS (<«>21# 4- 2в0) — (a*2 -l* a«<u) sin (“21^200)} S ;

e*m

M123 =	{(6«1 -*• 6«o>) cos (“3*	20fl)	(a,! — aS(D) sin (<o3f -b 20o) -+-

4^

-+- (&«2 -+- cos (“3f — 20fl) -+- (°s2 — «»«>) sin (“3? — 20o)}	,

Здесь

= (Oy — co^.

(4, 52)

(4, 53)

(4, 54)

(4, 55)

(4, 56)

Угловые скорости <0i2 и о>22» связанные с наличием обратной последо-
вательности фаз, равны:

о>12 = 1-1- <«>с;

о>22 ~ s2 “«•
Как видно из представленных выражений, вращающий момент в слу-
чае двухфазного короткого замыкания в большой степени зависит от
фазы напряжения в момент включения. Выражения для составляющих
электромагнитного вращающего момента получены по методу наложе-
ния с учетом токов и потокосцеплений, имевших место до внезапного
короткого замыкания.

Аналогично может быть рассмотрено однофазное короткое замыка-
ние и др. Более подробно, см. главу 7.

5. ВКЛЮЧЕНИЕ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ В СЕТЬ С УЧЕТОМ
ИЗМЕНЕНИЯ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Пуск и торможение асинхронных двигателей нередко связаны с на-

столько значительными ускорениями ротора, что последними уже нельзя
пренебречь при расчете переходного режима. В этом случае уравне-
ние е8 (р ч- j&r) уже неудобно для определения потокосцеплений

фв, так как величина <пг является
быстро меняющейся величиной. По-
этому методы расчета переходных
режимов с постоянной скоростью
либо при малых колебаниях скоро-
сти вращения здесь неприемлемы.

Рис. 4-12. Электромагнитный вращаю-
щий момент асинхронной машины при
быстром замедлении; sq = O.O1, 2а =
1	t

= 12й; s==0 01‘+'12ii-

7 —зависимость М = f («>); 2—статическая ха-
рактеристика.

об/мин

Рис. 4-11. Осциллограмма пуска асинхрон-
ной машины, обладающей малой механиче-
ской инерцией.

Типичная осциллограмма пуска асинхронного двигателя с быстрым
изменением скорости представлена на рис. 4-11.

На рис. 4-12 показано сравнение статического вращающего момента
с вращающим моментом, имеющим место при быстром торможении ро-
тора с изменением скорости по линейному закону. На рис. 4-13 пред-
ставлен рассчитанный методом последовательных интервалов пуск асин-
хронного двигателя с относительно малой постоянной инерции. Данные
заимствованы из работы Лайбла [1А-32].

Практически можно судить о необходимости учета влияния ускоре-

ния при пуске асинхронного двигателя, сравнивая величину механиче-
ской постоянной времени машины Н с величиной T'd — электромагнит-

ной постоянной времени

,11

а2 sk

(4. 58)

где sk— критическое скольжение, при котором статический вращающий
момент асинхронной машины достигает максимума Мк-
Если, например, sfe = 10%, то

т' 1 ш	10

Лг = бД=1° Радиан = эй сек

Для машин, у которых постоянная времени Н имеет порядок меньше
(2-г 3)7^, ускорение при пуске следует учитывать.

Если торможение или другой переходный режим связан с токами
и вращающими моментами, не превышающими по своему порядку
пусковые, то это же условие допустимости пренебрежения влиянием
ускорений имеет место и для таких переходных режимов. Физическим

Рис. 4-13. Электромагнитный вращающий момент и ско-
рость вращения ротора асинхронного двигателя при быстром
пуске.

1 — зависимость Мв =	2 — статическая характеристика; 3 — кри-

вая (D = / (/).

основанием указанного условия является быстрое затухание электро-
магнитных процессов, до того как значительно изменится скорость
вращения, при малом T'd или большом //.

Для аналитического расчета ускорений можно воспользоваться, при
условии пренебрежения влиянием активного сопротивления в цепи ста-
тора, приведением уравнения падения напряжения	Ф» — е»

к системе осей, вращающихся с синхронной скоростью. В этом случае
(р-ьу) =

1*де ’ем = еое“’^/, а еа — комплекс, характеризующий напряжение статора
в неподвижных осях. Таким образом,

=	(4.59)

Если остается неизменным, а изменяется только скорость враще-
ния, то

—Ф«о — j •

Потокосцепления ф„ выраженные в собственных осях, т. е. в осях,
связанных с ротором, будут равны:

ф. = фие>₽,	(4,60)
где

t

₽ = j*
О

Зная ем, нетрудно определить (если известен характер изменения
s во времени).

Ток статора выраженный в собственных осях, будет равен в опе-
раторном виде:

•

19 х9 (р) •

Если задаться характером изменения скольжения, то решение урав-

Рис. 4-14. Торможение нагрузкой асинхронной машины,
включенной в сеть; sq —0.01; s==$o-t-2a£. Сравнение ре-
зультатов расчета с данными, полученными с помощью
интегратора. Зависимость электромагнитного вращающего
момента Мв от скорости вращения ротора 1 — s.

Параметры машины: xs = лгг = 3.07; rg = rr = 0.01; а = 0.0514; 2а =

12тс 5 “г
гратору»

= 0.0634.1 — расчет по изложенной методике; 2 — по инте-
3 — расчет по формуле Хока; 4 — статическая характери-

стика.

решение в сильной степени зависит от характера изменения угла р
во времени. В большинстве случаев получающиеся интегралы не выра-
жаются через известные функции, сведенные в таблицы, поэтому при-
ходится пользоваться приближенными методами численного расчета или
рядами. В частности, при линейном изменении скорости ток i8 выра-
жается через так называемый интеграл Френеля для комплексного
аргумента [4-7, 4-21].

Интегралы Френеля для комплексного переменного в настоящее время
вычислены и сведены в таблицы; По рекомендации автора такие таб-
лицы с успехом использовал для исследования рассматриваемых задач
Л. Г. Мамиконянц [4-12]. Можно, однако, пользоваться для расчета и
быстросходящимися рядами. Кривые вращающего момента при замед-
лении ротора, представленные на рис. 4-14, вычислены таким образом.
Расчет сверен с результатами, полученными на интеграторе.

Влияние ускорения ротора на электромагнитный вращающий момент
за последние годы привлекает все большее внимание специалистов по
электрическим машинам [4-4, 4-12, 4-20, 4-22 и др.].

Ускорение ротора может вызвать значительные вращающие моменты,
заставляющие обычную асинхронную машину на время переходить даже
за синхронизм. Известно, например, что некоторые синхронные двига-
тели и синхронные компенсаторы, выпавшие из синхронизма из-за по-
тери возбуждения, при восстановлении возбуждения в синхронизм не
втягиваются, однако, если машину отключить от сети и снова включить,
дав возбуждение, то машина, при одинаковых прочих условиях, втяги-
вается в синхронизм.

Во многих режимах (пуск, изменение скорости при посадке
напряжения и др.) можно в первом приближении принять закон изме-
нения скольжения в сравнительно большой части процесса прямолиней-
ным (по крайней мере, для некоторого отрезка времени). В этом
случае

$ = s0 -+- 2 at

И	(4, 61)

__

Электромагнитный вращающий момент может быть определен по его
операторному выражению А(р)&$, где оператор А (р) определяется
операторными реактивностями машины.

Оператор А (р) представляет собой выражение, которое можно раз-
ложить на простые дроби

Л(Р) = со-*-^у1-ь^72-ь...	(4.62)

и, следовательно, решение для А (р)	сводится к нахождению

функций времени, соответствующих выражениям
t

К(а) - —е/(’о'+«<2) = j	= Кс{а) -+-	(4, 63)

о

Пусть, например, требуется определить вращающий электромагнит-
ный момент обычной асинхронной машины с симметричным ротором
С одной системой обмоток на роторе, имеющей начальное скольжение $0
И отрицательное ускорение, равное 2а, включаемой в момент времени
f=0 со стороны статора на систему напряжений прямой последова-
тельности.

Потокосцепления статора в этом случае при приближенном учете
активного сопротивления равны:

ф, = -у- (1 —	_ е-М£/0ш),	(4, 64)

где

t	t

Р = J sdt и = j (s — (Oj) dt.	(4, 65)

о	о

Ток статора равен:

f,=и - «^4	(4.66)

X8 (p) xt \ p-t- ar / J
или

е,т (аг ~ аг)
К

ix8

(МЦ



где

t

К (а.) =	J Wdt;

0

t

(“) = 7T7 “ s-e/ J f^dt.

0

(4,68}

В тех случаях, когда скорость вращения изменяется по линейному
закону а = const, s = sQ-+-2at; р = sQtat2;

= V 27 е-а/-Ло [С (у) -<-jS (S)],	(4,69)

где

(s — fa)2	s — fa

..4а ;	То=(^=о; yQ=(y)i=v (4.70)

С (у) и S(y) — интегралы типа интегралов Френеля для комплексного
аргумента у:

у	v	t \

С (у) = J cos \ ~2 dx; S (у) J sin утц- x^jdx.	(4,71)

Уо	Уо

При 2а <^.\Js2-+-O'2

( 1 / 1 \2 / 1 \3 )

=	-1.3.5(w) н-...}-

е-®*- (	1	/ 1 \2	/ 1 \3	)

-^7V*^-*-b3(W) -1.3.5(^~) ...}	(4,72)

При 2а>> \/$2-ь-а2



221	(2j7)^

1 • 3+1 • 3 • 5

(2п)з

1 • 3 • 5 • 7





2)7о	(2;тп)2	(2йо)3

1 • 3— 1 -3 • 5	1 • 3 • 5 • 7"*'

(4,73)

Кщ (а) получается из К (а) заменой Р на Рв и s на s — «>1. Электро-
магнитный вращающий момент равен:

М =	« - ar) Re {/(в-у3 - е-^е-»»О	- а.)]} • (4,74)

Указанный метод может быть применен не только при s = s,0-F-2af,
но и при s — произвольной функции времени.
В этом случае в интеграле К(<*) вместо аргумента =
будет p =
о

Определение s в функции времени следует сделать приближенно,
пользуясь статической характеристикой и, в случае надобности, про-
извести уточнение по приближенной динамической характеристике.

Скольжение в функции времени определяется формулой, получен-
ной из уравнения механического равновесия

г Hds

J ML-M, ’

(4,75)

где в качестве Ме принимаем сначала Ме по статической характеристике
и затем, в случае надобности уточнения, по приближенной динамиче-
ской характеристике.

Выражение для t по формуле (4,75) при Ml~0 и пользование
статической характеристикой дано в ряде работ (см., например, [1А-40]).

Момент нагрузки в общем случае может быть функцией скорости
ротора.

Асинхронная динамическая устойчивость определяется максималь-
ным электромагнитным вращающим моментом, полученным вышеуказан-
ным образом.

6. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ НАПРЯЖЕНИЯ
С ИЗМЕНЯЮЩЕЙСЯ ЧАСТОТОЙ

Рассматриваемая задача представляет интерес не только в теории
влектрических машин. В 1948 г. была опубликована работа Хока [4-30],
вводящаяся по существу к той же математической проблеме. Автор
работы поставил перед собой задачу определения тока в электриче-
ской системе с сосредоточенными параметрами в переходном режиме
при наличии приложенного напряжения, имеющего частоту, изменяю-
щуюся во времени по линейному закону.

Хок приходит к тем же выводам, что и в наших работах в отно-
шении эффективности использования в рассматриваемой задаче инте-
гралов Френеля с комплексным аргументом, однако сравнение резуль-
татов нашего рассмотрения с указанным показало явное расхождение
яри практическом пользовании разными формулами.

Более тщательный анализ работы Хока показал, что в ней имеются
ошибки как в отношении составления начальных условий при пользо-
вании операторным преобразованием Лапласа, так и при разложении
интеграла Френеля для комплексного аргумента в асимптотический ряд
при больших значениях аргумента. Из этих двух ошибок вторая была
вамечена- Беннетом (Калифорнийский технологический институт). Хок
в июльском номере журнала „Journal of Appl. Physics" за 1948 г. опуб-
ликовал поправку, дав правильное разложение в асимптотический ряд.

Первая из названных (основная ошибка) и на этот раз обнаружена
ие была. Автор берет в качестве нижнего предела интегрирования при
пользовании преобразованием Лапласа время t = —со, а не f = 0. 9to
исключает из рассмотрения все свободно затухающие переходные токи
в системе. Такая методика допустима при исследовании поведения си-
стемы, в которую включена периодическая э. д. с. в том случае, когда
требуется определить установившийся режим. В рассматриваемом слу-
чае частота не может быть меньше нуля, поэтому время не может
быть меньше	где $0 — начальная угловая частота, а 2а—

ускорение (s = $0 -+- 2 at). Таким образом, определение установившегося
режима в общем случае становится бессмысленным. Только в том ча-
стном случае (не оговоренном автором), когда9— весьма велико, можно
еще говорить о каком-то приближенном рассмотрении токов в системе
без учета свободных составляющих. В начале своей статьи Хок огова-
ривает, что рассмотрение будет касаться случаев, когда потери в си-
стеме малы и, следовательно, затухание будет малым. В этом случае
пренебрежение свободными составляющими тем более ошибочно.

Учет свободных составляющих в рассматриваемой задаче между тем
не представляет особого труда, как это видно из нашего сообщения,
опубликованного в журнале „Электричество", № 10, 1948 г.

Следует отметить, что при рассмотрении переходных процессов
в системе, питаемой напряжением переменной частоты, могут иметь
место два разных физических процесса: а) включение в момент f = 0
напряжения, имеющего переменную частоту; б) изменение частоты
включенного напряжения с момента £ = 0.

Первый процесс был рассмотрен в нашей работе в журнале „Элект-
ричество", № 10, 1948 г. и соответствует случаю включения машины
в сеть, второй процесс был рассмотрен в нашей работе [1А-23] и со-
ответствует случаю торможения машины нагрузкой. Уравнения, состав-
ленные Хоком, не соответствуют ни тому, ни другому физическому
процессу ввиду неправильного выбора начальных условий.

Аналогичная задача — определение переходной реакции системы на
действие силы, имеющей частоту, изменяющуюся по линейному за-
кону,— рассматривалась Льюисом в механике при исследовании вибра-
ции вала вблизи критической скорости вращения [4-32]. Ознакомление
с этой работой показало, что Льюису не удалось найти практического
решения задачи, несмотря на большой математический аппарат, исполь-
зованный для исследования вопроса, и большое количество проведен-
ных численных расчетов для вспомогательных коэффициентов.

Более успешно разрешил задачу, поставленную Льюисом, А. М. Кац
[4-8].

Автор независимо от нас рассмотрел вынужденные колебания в си-
стеме, соответствующей линейному дифференциальному уравнению вто-
рой степени, при наличии возмущающей силы, имеющей линейно изме-
няющуюся частоту. Автору удалось дать сравнительно простые выра-
жения для оценки интегралов Френеля от комплексного переменного
в том интервале переменных, в котором вычисление с помощью обыч-
ных рядов является громоздким.

Нам довелось ознакомиться с двумя другими работами, посвящен-
ными аналогичной задаче. Одна из них — работа Мейсера и Вейбеля
[4-36]. В ней излагаются результаты исследования дифференциального
уравнения второго порядка для функции x=f(t) с добавочным чле-
ном, пропорциональным х3, при наличии члена в правой части, имею-
щего частоту, равную нулю при f = 0 и нарастающую в функции вре-
мени по линейному закону. Авторы ограничиваются приведением кри-
вых, полученных с помощью механического анализатора, не пытаясь
найти аналитическое решение, хотя бы для случая линейной системы.
Другая работа — это исследование Массара [4-35]; оно представ-
ляет собой изложение диссертации, посвященной исследованию пере-
ходных процессов асинхронной машины с учетом изменения скорости
вращения. Автор, делая ряд недостаточно обоснованных упрощений,
приходит к дифференциальному уравнению несколько более сложному,
чем полученное нами. Он указывает, что уравнение это можно решить
только с помощью рядов и от решения составленного дифференциаль-
ного уравнения отказывается, считая такую задачу практически нераз-
решимой. Вместо такого решения автор вводит ряд дальнейших упро-
щений, в частности, отказывается от учета ускорения, ограничивает
изменение частоты весьма узкой областью и, в конечном счете, при-
ходит к необоснованным практическим выводам. На основании своей
работы автор неправильно рассчитывает минимальный маховой момент,
необходимый при пуске асинхронной машины для того, чтобы электро-
магнитный вращающий момент с учетом переходных токов при крити-
ческом скольжении отличался не больше чем на 2% от опрокидываю-
щего момента, определенного по статической характеристике.

Как видно из приведенного краткого обзора, в ряде областей тех-
ники— теории электрических машин, вопросах электропривода, радио-
технике, механике — за последние годы выявилась необходимость
в установлении переходных процессов в системе, к которой приложено
напряжение с частотой, изменяющейся по линейному закону. Работы,
опубликованные в этой области, показывают, что многим авторам не
удалось найти практического решения задачи, несмотря на большой
затраченный труд по исследованию вопроса.

В связи с этим представляет интерес методика решения подобных
задач, проверенная опытом в течение нескольких лет пользования.
Результаты, полученные с помощью введенных нами функций К, были
сравнены с результатами, полученными с помощью интегратора [4-34],
и совпадение оказалось вполне удовлетворительным.

Приводим краткую методику решения подобных задач.

а)	Включение напряжения в момент t = 0

Пусть напряжение, представляемое комплексом e = em&(8Qt+at2+^ =
= и имеющее частоту s = s04-2otf и начальную фазу Роо, включается

_1	1	. Л (р)

в систему, имеющую операторную проводимость	? (со) D (p) *

Операторное изображение тока после включения выразится в виде:

т

pL {е} pL {е} у? А (р„) L {е} р
=	Z - VdD(p)~\’	(4’7б)

Я=1 (р-р„)

гдеpL {е} — операторное изображение величины e=f(t)

ОО
pL{e} = p\e
о

D(p)— полином тп-ой степени с неравными корнями

р„(п = 1, 2, . .т);

Л(р)— полином степени меньшей, чем пг.
Ток в функции времени выразится в виде:

t

т	Г*

, _ г-1 { L Ф р 1___— + \ р «Л. _______А (?п--еР«( I .-"'Л-Цй —

| z(p) г(оо) ^emS	Г dD (p) 1	J

”—l	L dp Jp=P„ 0

m

= z(co)	Г dD(p)\ K”'	(4,77)

”=1 L dp

где функциями Кя обозначены интегралы

t

к„ = tpnt |	dr.	(4,78)

0

L"1—символ преобразования операторного изображения в функцию
времени, см. гл. 11.

Функции Кп можно выразить в виде:

где

Уп =

Ул

еРп*г—Лп0 J

Уяо

(4,79)

S Н- jpn

V2aTC

УпО (#я)/==о»

(4,80)





2	(ln)t=Q*

Функция о) = е^а при комплексном z является аналитической функ-
цией. В области конечных z функция не имеет особых точек, поэтому
интегрирование по z в интересующей нас области не зависит от пути
интегрирования.

Учитывая зависимости (4,79), (4,80), имеем

= V	{С (у„) - С (Уя0) Н- j [S (у„) - s (»«o)]},	(4, 81)

где С (у) и S(y)— интегралы Френеля от комплексного аргумента у.
Функцию Кп можно представить в виде ряда:

кп — 2a I1

2Лк

1 • 3

(2Лп)2
1-3-5

(2/т„)з

1 - 3 • 5 - 7

-V^zpni^{x~

2jT„o (2fy„n)2

1 • 3	• 3 • 5

(2/Tno)3

1 • 3 • 5 • 7

(4,82)

При больших 7„, Т«о>-1 функция Кп может быть представлена
асимптотическим разложением

Кп~ Л-Рп 11-Ь 2Л„

1-3	1-3-5 1-3-5-7

(2/7в)2	(2Л„)«	(2Л.)4



7®0 Рп I

1	1-3	1-3.5	|

2Ло	(2Ло)2	(2йо)3 4" - J

(4,83)
Так как и тя0 могут иметь разный порядок, то функцию Кп удобно
представить как разность Кп—К'п — К", где

[С (»») -ь jS (»,)] =	{ 1 - -ь -тЙ" -•••}; (4,84)

Кп = Vi [С (Уя0) ч-/5 (»я0)1 =

(- 2]Чпв . (2jT»o)2	1	/Л orv

= tFn ffnQ р — -ь “ТУГ — •••}•	<4’ 85>

При больших	имеет место асимптотическое разложение

К’ - 1/-Е	(Т""т) . f , . _1_ . ЪЭ . I ,4 86ч

к”~ V 4а	р-р» U 2/7я * (2ЙЯ)2	• (4’86)

При больших Ти0 >* 1 имеет место асимптотическое разложение

V 4а	Ло-Р»!1 2й»о (2Л»о)2 -*-•••}• (4’87)

При малом начальном $0 и значительном возрастании s с течением
времени К1 удобней вычислять по формуле (4,86), а К”— по фор-
муле (4,85).

В большинстве практических случаев представленные ряды схо-
дятся быстро и вычисление функции К не представляет особого труда.

В ряде случаев для вычисления функции К в определенном интер-
вале удобно пользоваться приближенными формулами, предложенными
А. М. Кацом [4-8].

Функции К сравнительно просто выражаются через функцию Крампа
(интеграл вероятности) для комплексного аргумента [4-7, 4-21].

Если рассмотрение относится к обычной системе (не к машинам
с вращающимся полем), то действительное мгновенное значение напря-
жения равно e/ = Re(e) — реальной части комплекса е, а мгновенное
значение тока z* = Re(z)— реальной части комплекса тока.

б)	Изменение частоты подведенного напряжения,
начиная с момента t = 0

В этом случае при е = е0 =
при t 0 е =

г <0 - £- { J (р)' } - «Z.-1 { ,(piAo) } ' TiM '	<4' ®>

Как видим, этот случай отличается от предыдущего тем, что по-
являются дополнительные свободные затухающие токи, соответствующие
включению в момент f = 0 напряжения, равного — е0.

Численный пример. В качестве численного примера рассмотрим следующий
случай.
Пусть ет = 1; 0оо = О;
t	t*	1

s = 0.01ч- 12л ; p4 = 0.01 t-t- 24к ; 2a= 12я .

Синхронные реактивные сопротивления обмоток статора и ротора х8 = хг = 3.07.
Реактивное сопротивление взаимоиндуктивности xw = 2.99. Активное сопротивление
обмотки ротора гг = 0.01. Влиянием активного сопротивления в цепи статора пренеб-
регаем.

1_____6.34 (рч-0.0032) _ 6.34 /	0.0602 \

z (р)	j' (р -+• 0.0634)	j \ рч- 0.0634 / *

рп = — 0.0634.

Функция

К= s-°-063« j Е0.0634т Д°-О1Т+МГJ dx
о

д0 = (0.01 — /0.0634) • V12 = (0.03464 — /0.2196);

s2___^2

7о = -"-j--” -+- j = (1 — 40.20) • 10-418.85 - /6.34-10-437.70 =

= (—7.389— /2.390)-10-2; 7 = ^-у2;

К=К' — К"-, К" = £-°-0вз4<

(0.486 — /2.333);

(2/7)3	1

4- 1 о с — . . . >.

При |2й| >3

%,  —0.0634/ /Д ana . ;е 6Я7\	Г1 -+-	-J-	$ .	"1

К — е (4.909 ч- J5.687) ч- 0 0634 Js | 1 ч- )2 ч- (2^)3 ч- ... J .

В этом случае операторное изображение тока:

6.34 Л	0.0602 \	,

pL{i}— .	^1 — р	о 0634/ PL \е }

Ток статора и функции времени:
6.34 ( -а

i = -J— I — 0.0602

6.34
j

0.0602

jO.Ol ч- 0.0634

е—0.0634/

0.0634 ч-/0.01

pL {e-0-0®3«}_

Электромагнитный вращающий момент машины без учета влияния затухающей
составляющей потокосцеплений статора:

М= Re {e*z} = 6.34 [0.0602 (Кс sin 0 — Кв cos 0) ч-

ч- е-°-0634/ (0.146 cos $ — 0.925 sin р)].	(4. 90)

Здесь Ac = Re {К} —реальная часть функции К\
jKg = Im [AT] — мнимая часть функции К.

Результаты вычисления момента по формуле (4,90) и сравнение
с результатами, полученными с помощью интегратора [4-34], приве-
дены на рис. 4-14. Как видим, совпадение получается хорошим. Вычис-
ление по формулам Хока дает неправильный результат.

Действительное значение тока ia в фазе а обмотки статора в долях
номинального тока

fa = Re{iey</~3+‘Poe)},
где Tot — фазовый угол напряжения еа в фазе а обмотки статора
в момент / = 0.

Действительные значения токов в фазах Ь и с

7. ТОКИ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ ПРИ
ВНЕЗАПНОМ ТОРМОЖЕНИИ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКОЙ

Пусть асинхронная машина с одной системой обмоток на роторе,
включенная в мощную сеть, подвергается торможению так, что сколь-
жение ротора машины становится некоторой функцией времени.

Рис. 4-15. Электромагнитный вращающий момент
асинхронной машины при замедлении ротора, имею-
щего начальное скольжение $о = О.О1.

Кривая 1 — статическая характеристика. Кривые 2—4 (сплош-
ные) получены на интеграторе и совпадают с вычисленными по
предлагаемым расчетным формулам; кривая 5 вычислена для
того же случая, что и кривая 4, но при внезапном включении
двигателя в сеть (без учета влияния затухающей составляющей
потокосцеплений).

Потокосцепления при пренебрежении влиянием затухающей со-
ставляющей в этом случае равны:

е
е8 vsm

Ф» = у =-------j--.	(4,91)

где
t

Р == j sdt и s =
о

Ток статора i9 равен:

1 / аг ~ аг \

it = — 1 ------------- (е, - е,0) 1	U0,	(4* 92)

]х9 \ р — ьг /
где

е«0	„’о /

*100 === -, е.л === СЛМ, eJ80l

]Х98о ’ «о «шЕ

или

где

*«20

1	/ г 	— а1

Jx9 \ Р-*-аг

*«20»

е8т аг — аг 

—_ . — -----е

ix8 “r+iso

(4,93)

(4,94)

Первое слагаемое в правой части (4, 93) представляет ток при вклю-
чении машины в сеть, сопровождающемся торможением. Ток Zi2o —это
составляющая переходного тока, имеющего место при включении напря-
жения ев0 при постоянном скольжении а0. Этот переходный ток
с рассматриваемой точностью неподвижен по отношению к ротору и
затухает с коэффициентом затухания а'.

Вращающий момент М равен:

_Re {jz~^K~“Jе r Re 17 ~^~h~I  (4,95)
Х8	Х8	I Г JS0 )

На рис. 4-15 представлены кривые вращающего момента в функции
скольжения при набросе нагрузки, рассчитанные по формуле (4,95)
для различных ускорений ротора и практически совпадающие с дан-
ными, полученными с помощью интегратора [4-34].

Как видим, несмотря на приближенность учета активного сопро-
тивления статора, совпадение получается хорошим.
ГЛАВА 5

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В АСИНХРОННЫХ МАШИНАХ
С УЧЕТОМ АСИММЕТРИИ РОТОРА

1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

На практике часто требуется рассчитать режим синхронной машины
при асинхронной скорости вращения, пуск синхронных двигателей
с пусковой клеткой и др. Такой расчет требует рассмотрения влияния
магнитной и электрической несимметрии ротора. [5-1; 5-4; 5-5; 5-9 и др.].

На основе проведенного рассмотрения предлагается для практиче-
ского пользования полярная векторная диаграмма, аналогичная обыч-
ной „круговой" диаграмме асинхронной машины с симметричным рото-
ром, позволяющая с хорошим для практики приближением оценивать
в переходных режимах токи, потокосцепления и электромагнитный вра-
щающий момент асинхронной машины, имеющей в общем случае асим-
метрию ротора.

Принимаем, что:

1)	машина со стороны статора питается системой напряжений пря-
мой последовательности от бесконечно мощной сети;

2)	обмотки ротора замкнуты накоротко, либо на сопротивление;

3)	скорость вращения в тех случаях, когда нет специальных огово-
рок, принимается постоянной.

Из уравнения (3, 51) можно определить ток статора i8 в функции
напряжения е8 в операторном виде. При отсутствии питания со сто-
роны ротора e8r = eg и ток i8 равен:

ZBXZ9X ZiyZ9y

Потокосцепления статора в операторном виде в рассматриваемом
случае равны [5-5]:

,	['‘Л (Р)(Р —	(Р)] е8-+-(р) е*

ф» =------------------;------s--------------.	(5,2)

ZByZ9y

Электромагнитный вращающий момент Мв = Re [/ФХ] (см* стр. 72).
Величины ф, и i9 в этой формуле должны быть выражены как функции
времени.
2.	ВКЛЮЧЕНИЕ МАШИНЫ, ВРАЩАЮЩЕЙСЯ С НЕИЗМЕННЫМ
СКОЛЬЖЕНИЕМ S В СЕТЬ

а) Случай отсутствия демпферной системы на роторе

Характеристическое уравнение дифференциального уравнения (5,1^
уже для случая одной обмотки на роторе по продольной оси оказы-
вается кубическим.

В этом случае

f Р-^аг
xd (р) = xd ; хч (р)=х<ь

где xd — переходная реактивность по продольной оси;

и а!— коэффициенты затухания обмотки ротора при разомкнутой и
закороченной обмотке статора соответственно;

— синхронная реактивность по поперечной оси»

Ток статора i8 в операторном виде равен:

.	2г, (р ч- аг) ч- (р - >г) [(р -н аг) хл + (р + аг) _

1‘ ~	2xdx<P (Р)

-- ,5-3>
где

D' (р) = р3 -ь «	О Р2	-4- adar -4- <x^g) р +

-ь (о)2< adaqar) = (р - Р1) (р — р2) (р — р3);	(5, 4)

aq — — ; a'd = -^-; ръ р3 — корни уравнения (5,4).

Xq	xd

Приближенное решение уравнения Dr (р) = 0 дано в приложении 3
[5-5].

Если напряжение в фазе а статора выражается в функции времени
в виде eewcos (£-4~т0), а угол между продольной осью ротора и осью
фазы а статора в момент времени £ = 0 равен 0о, то напряжение е*
при неизменном скольжении $ можно выразить в функции времени
в виде:

где р0 = у0 — 0О; s = l—<ог; е8т— амплитуда напряжения е8.

Применяя в уравнении (5,3) теорему смещения, (2, 105), получаем
в упрощенной символической записи:

2r« (р Js -*• аг) (Р —	-t-js)[(p-+- js ч- ar) Xd + (p + js ч- ar) x J

2x'dx<iD' <P +- J‘s)

(P jo>r — }‘s) [(p — J's ar) xd — (P — /»	ar) * J

2xdxvD'(P ~ Js)
Корни уравнения iy(p-+-js) равны рг—js) р2—Js; р3 — Js.

Ток I, может быть разбит на следующие составляющие:

= *30$ + △*«() + "Ь Alfl •+	+ ^82	*«3$ +

где iew-t-AisQ — 4о — установившийся ток;

— hn — переходные составляющие, имеющие затухания,
связанные с корнями рп (п = 1, 2, 3).

Знаком △ обозначаем дополнительную составляющую, связанную
с е* и вызванную асимметрией ротора.

Токи i8Q3. и А/в0 в функции времени могут быть получены непо-
средственно по формулам (5,1), (3, 49), (3, 52) подстановкой p = ±js
в составляющие, связанные с е8 и е* соответственно, и равны:

._______________[*> — ] (сог — з) Х8 (js)]_____

г,вх — (o>r — s) xd (js) xq г, [г, -+- 2jsx, (j.)] е,;

..__________________—j (<Qr — s) ffs (~js)___________ »

Uo ~ («V — s) xa (—js) xq -4- r, [r, — 2jsx, (—js)] e«’

(5, 6)

Переходные токи i,nx и AZ,„ (n = l, 2, 3) в функции времени могут
быть выражены на основании теоремы разложения [1А-13] в виде:

===

xdxq

. , е8т
=----------

xdxq

[г* -*-(Рп~ }<•>>) хг (р„)] (р„ -4- яг) Рв< + /30
Г rfO' (р) 1	,	. ,

L dp Jp=p„ ^Рп	JS^

(5,7)

(Рп jo>r) ffs (Ри) (Рп °г)
I dD'(p) -|

(Р”	'* L dp Jj>=Pn

zPn‘~УЗо

где

xs (Рп) = [х» (p)]p=p>i ’	(P«) l^s

Потокосцепления статора в операторном виде:

[(2р - 2К -Ь я9) (р -ь <) + ad (Р -f- Яг)] е, + [я, (р + я'г) - a'd (р -ь яг)] е*

'!’•=	2D' (р)

Пользуясь теоремой смещения, получаем:

| (2р — 2j<0r -4- js -4- а9) (р -4- js -4- аг) -4- ad (р -4- js -4- Яг)
ф» = е» I	2D' (рч-js)

. ( (р — js gr) — a'd (р — Js М -
2D'(p-js)

(5,9)

Рассматривая ф, как сумму

з

ф, == фзод» -I- Афао 2 △Фел)»
п—1
где индексы приняты по аналогии с индексами для токов, получаем
в функции времени:

(js) — j (<% — s) xd (js) xg

= (<or _ s) xd (js) x -t- r, [r, _f_ 2jsxs (Js)] e*’
....	(5.10)

_____________r,y, (—Js)e,________

'f'.o — (o>r — s) xd (—js) xg -4- r, [r, — 2jsx, (—js)] •

Составляющие потокосцеплений ф,яг и (п = 1, 2, 3) в функции
времени

[г, -ь (2ри - 2j'«>r -4- %) xd (рв)] (р„ ч- «,)

2xd	, _ . J dD' (р) I

” s L dP	(5 U)

Средний установившийся вращающий момент

eL (юг - *) s (“г -•) [x'a« - «г)

M«>= Zwi ‘	2	“

где знаменатель A (s) равен:

л (s) = (wr — s)2 xfcd [a* -4- s2) — r, (o>r — s) xfc'd2s* (a' — ar) -4-

-4-	r2 [24^' (<ar -4- s2) -4- ,2 «2 -b s2) x* -4-

-4-	s2x2 (a2 -4- s2)] -4- 2r*x's2 (a'r - ar) -4- rj (a2 -4- s2).	(5,13)

Пульсирующий установившийся электромагнитный вращающий момент
равен:

~	<5. и;

Аналогично можно вычислить и затухающие составляющие электро-
магнитного вращающего момента [5-5].

Установившаяся пульсирующая составляющая будет иметь частоту 2s9
так как е^ =	(2«*-t-20o).

8 8т

Электромагнитный вращающий момент в переходном режиме в рас-
сматриваемом случае состоит из большого количества составляющих,
имеющих разные частоты. Составляющие будут иметь 9 разных коэф-
фициентов затухания.
I)	Случай неограниченного числа цепей в роторе при приближенном
учете активного сопротивления в цепи статора

Если учитывать приближенно активное сопротивление в цепи ста-
тора г, вместо точного учета, как это было сделано выше, то задача
сильно упрощается (см. стр. 78—80). В этом случае

;	(5,15)

вдесь

-“а - >1  ---- Г, С х,(2>г) = % -	'5, 16)

В частном случае при отсутствии демпферной обмотки

•	______2r9 (ar — jcor)__ ф

~ x'd « - >г) ч- xq (аг - j<or) ’

“г (X'dar Хчаг) "г (X'd Xq)	(5’ 17)

аа (x»x^—r(x'd-x1Ji Г*’

Xd (аг - аг) Юг

<->. = 2г. -Т-,-------rh-------Y2- •	(5,18)

(xdar^x1ar) шг (xd^xq)

При произвольном числе цепей в роторе ток статора определится
из операторного уравнения

*.(р)Ф.~ У»(Р)Ф^	1 f ф. ф, Ф*

Xd (Р> XS (Р)	~ 2 I Xd № Xq (Р> Xd (Р)

(5,19)

Подставляя вместо ф, его значение (5,15) и пользуясь теоремой
смещения, получаем в символической записи:

1
хл(р



1	1	1	_	1

xq (р + js) J 2j ( xd (p — js) ~ Xq(p— js)

en

~ 2j

1 1

xd(P~ l"r)

<5'“’

1

ХЯ (P-l“r)

где при выражении в функции времени

е81 =	.

(5,21)

Выражение (5,20) раскрывается в функции времени по теореме
разложения аналогично формулам (5,6), (5,7). При пользовании теоремой
смещения мы пренебрегли влиянием активного сопротивления г8 в цепи
статора на величину операторных реактивностей.
3. ПОЛЬЗОВАНИЕ ДИАГРАММОЙ УСТАНОВИВШИХСЯ ТОКОВ СТАТОРА ПРИ
РАЗНЫХ СКОЛЬЖЕНИЯХ РОТОРА („КРУГОВОЙ" ДИАГРАММОЙ)

а)	Установившийся режим включенной в мощную сеть асинхронной
машины, имеющей скольжение s

Учитывая выражение (5,20), получаем простой метод определения

токов статора в установившемся режиме по векторной диаграмме при
наличии асимметрии ротора [5-5].

Нужно построить токовые диаграммы х и	для случаев

параметров по оси q ротора (рис. 5-1).

параметров по оси

%

О

d и для случая

Рис. 5-1. Токовая диаграмма машины с асимме-
тричным ротором, работающей в установившемся
асинхронном режиме.

Геометрическим местом ус-
тановившегося тока будет
окружность, построенная на
разности установившихся то-
ков, определенных по этим
двум векторным диаграммам
(рис. 5-1). При наличии сколь-
жения s радиус-вектор уста-
новившегося тока z\0 будет
скользить по этой окружно-
сти со скоростью 2s по часо-
вой стрелке. Для определе-
ния начального значения то-
ка z\0 в момент t = 0 нужно
провести вертикаль из точки
А пересечения малой окруж-
ности тока i8() с кривой, со-
ответствующей параметрам
по оси q, до точки В пере-
сечения вертикали с малой

____,	окружностью тока z\0.

Радиус-вектор О'В нужно повернуть на угол 2Р0 по часовой стрелке.
Полученная точка С и дает начальное положение тока z*e0 на окруж-
ности. Угол Ро характеризует начальное положение продольной оси d
по отношению к напряжению ев. Если начальный угол между осью
ротора d и осью фазовой обмотки а равен 60, а начальная фаза напря-
жения в фазовой обмотке равна у0, то р0 = То —

б)	Определение токов при включении машины в сеть по
„круговой" диаграмме

Пользуясь приближенным учетом гв, ток i8 при включении вращаю-
щейся машины можно найти по обычной упрощенной круговой диа-
грамме асинхронной машины, построенной для установившихся режимов.
Ток (4)^=0 на основании выражения [5,20] в функции времени равен:

... (Г 1	1 1

('.^=0-2; (js) Xq (js)

2j s E

—<“«)/—₽<J

-2^(»i+W Г---1--- _-----1---

[ Xq (—js)	xd (—Js)

f 1	1	\

I Xd (->,) XS (~>r) / *"
где 40 — установившийся ток, a igl — составляющая, затухающая с коэф-
фициентом затухания аа.

Пусть „круговые" диаграммы, соответствующие асинхронным маши-
нам с операторными реактивностями xd(p) и х9(р), работающим в уста-
новившихся режимах, имеют вид, представленный на рис. 5-2. Для
определения установившегося тока Ze0 находим установившийся ток
для машины с реактивностью хДр), работающей при заданном сколь-
жении s, и установившийся ток для машины с реактивностью xf(p),
работающей со скольжением s.

Рис. 5-2. Определение токов ig& ftl; i82 и потокосцеплений и фц в мо-
мент времени £ = 0.

Соединив концы векторов тока, делим разность векторов пополам и
из полученного центра описываем окружность через концы векторов
и Zt0?. Полученная окружность будет геометрическим местом, кото-
рое описывает конец вектора установившегося тока ze0, двигаясь по ней
по часовой стрелке со скоростью 2s.

Для определения тока i8Q в момент / = 0 нужно провести из конца
вектора i8Qq вертикаль до пересечения с малой окружностью (рис. 5-2).
Полученный вектор (УВ, как это видно из формулы (5,22), нужно
повернуть на угол 2р0 по часовой стрелке. Этот радиус-вектор после
поворота определит точку окружности, соответствующую в момент
f = 0. Угол определен выше.

Таким же образом находится переходный ток ftl, затухающий с коэф-
фициентом затухания %. В этом случае на круговых диаграммах, соот-
ветствующих установившимся режимам, определяется соответствующий
ток при скольжении, численно равном (—<ог), совершенно аналогично
определению тока /в0. Этот ток равен (—4i)#ss0. Полный ток i9 может
быть представлен в виде суммы i9 — i9Q-+-i9i-*-i9fr Составляющей Z,3
при приближенном учете г8 можно пренебречь. В момент Z = 0 ток
/в = 0. Зная i9q и /в1 в момент / = 0, нетрудно определить ток (Ze2)/==0
в момент t = 0, как показано на (рис. 5-2). Ток itl вращается по часо-
вой стрелке со скоростью 1 — о>в вместе со своим маленьким кругом,
по которому одновременно движется конец вектора Zfl, скользя по этому
последнему со скоростью 2(о>г — о>с) против часовой стрелки. При этом
масштабы всей круговой диаграммы для тока i91 уменьшаются пропор-
ционально (рис. 5-4). Коэффициент затухания аа и частота % опре-
деляются из круговой диаграммы как координаты центра малого круга
для ZH при Z = 0 (рис. 5-2, см. также главу 11). Ток Ze2 представляет



Рис. 5-3. Токи при отсутствии в роторе замкнутых кон-
туров по поперечной оси.

собой сумму токов, количество которых определяется числом цепей
в роторе. Все эти токи представятся на векторной диаграмме рис. 5-2
векторами, сумма которых в момент / = 0 равна (Ze2)/==(). Векторы эти
при асимметричном роторе движутся на диаграмме по часовой стрелке
с одинаковой скоростью о>2 = $. Затухание комплексов составляющих
Ze2 в общем случае будет разным и определяется соотношением омиче-
ских сопротивлений и индуктивностей в отдельных цепях.

При отсутствии демпферной системы вектор Ze2 затухает по ампли-
туде с коэффициентом затухания	(рис. 5-3). При наличии демп-

ферной системы ток Ze2 нужно разложить на составляющие по продоль-
ной и поперечной осям Ze2rf и Ze2?, как это представлено на рис. 5-4.
Определение коэффициентов затухания для этих составляющих пред-
ставлено в приложении 9.

Переходные потокосцепления фв1 в момент t — О равны и противо-
положны по знаку установившимся потокосцеплениям фв0. В дальнейшем
вектор фв1 вращается на круговой диаграмме по расовой стрелке со
скоростью <02 = 1 — а)с, затухая при этом с коэффициентом затухания аа>
Электромагнитный вращающий момент определяется как векторное
произведение вектора тока на вектор потокосцеплений

М— [i • ф,] =	12) Cho-*-
Для определения составляющих электромагнитного вращающего мо-
мента от данных составляющих тока и потокосцеплений достаточно
определить величину перпендикуляра, опущенного из конца вектора

Рис. 5-4. Изменение токов статора во времени после включения в сеть машины,
вращающейся со скольжением s = 0.25. Маупина имеет обмотку возбуждения и
демпферную систему по продольной оси и демпферную систему по поперечной. Пара-
метры машины представлены на эквивалентных схемах, соответствующих устано-
т.	2тс

вишемуся режиму s=l. Векторы токов найдены через s==-g- радиан (3.33 • 10~3 сек.).

данной составляющей тока на направление данной составляющей потоко-
сцеплений, и умножить эту величину на величину составляющей потоко-
сцеплений.
в)	Фазовые напряжения, токи и потокосцепления

Фазовые токи za, z’fc, ic и потокосцепления фа, ф6, фс в фазах а, 6, с
определяются при отсутствии нулевых составляющих (см. стр. 60) как
'.-r.L.'H'Q r< L Д;

фя = Ra [фа*3®]; Фа = Re 'аг.'1'- 3 )J; 4'a = Ra Ск'^' 3 U>
где

0 = O)rZ -+- 60.

Нетрудно видеть, что если в формулах для е„ и ф, заменить
аргументы, прибавляя к ним величину 0, либо 0 — -g-тг, либо 6 —

то получаются соответственные выражения комплексов фазовых напря-
жений, токов и потокосцеплений в фазовых обмотках а, b и с. Так,

например, для определения мгновенных значений токов в фазе а нужно
заменить в выражении i8Q аргумент	на	= f-ь-у0, в вы-
ражении аргумент st—	на st—	=	в выра-
жении z\2 аргумент Ро на	= (Ог*"+“То и найти реальные составляю-

щие полученных комплексов. Отсюда следует, что если на „круговой"

диаграмме по вертикали откладывать в качестве исходного вектора не
е8У а еа> „круговая" диаграмма, построенная для токов z’£, будет,, круговой"

диаграммой для комплексов, соответствующих токам в фазе а.

Для определения мгновенных значений напряжений тсков и потоко-
сцеплений в фазах а, 6, с достаточно нанести на „круговой" диаграмме
три оси времени Оа, Оъ и О6 (рис. 5-2), вращающиеся по часовой

стрелке со скоростью, равной единице, и расположенные под углами

в . В момент t = 0 ось Оа должна

Рис. 5-5. Круговая диаграмма машины
с несимметричным ротором при отсутствии
возбуждения ротора, при^синхронной ско-
рости вращения ротора.

быть расположена по отношению
к вертикали под углом у0, соответ-
ствующим начальной фазе напря-
жения в фазовой обмотке а.
Мгновенные значения токов, на-
пряжений и потокосцеплений в
фазах а, 6, с определяются как
проекции соответствующих векто-
ров диаграммы на оси Ол, Оь и
Ос соответственно.

Таким образом, полученные из
„круговой" диаграммы значения
потокосцеплений фв и токов /, для
переходного режима могут быть
непосредственно использованы
для определения мгновенных зна-
чений токов и потокосцеплений в
фазовых обмотках.

г)	Процессы при синхронной
скорости вращения ротора

При синхронной скорости

*й(Л) = Xi', x,(Js) = xq. Фор-
мулы (5, 5) для токов статора, (5,8) для потокосцеплений статора со-

ответственно существенно упрощаются.
При пренебрежении влиянием активного сопротивления г8 в цепи
статора круговая диаграмма в этом случае будет иметь вид, представ-
аенный на рис. 5-5.

В установившемся режиме геометрическое место установившегося
тока z<0 представляется малым кругом, построенным по изложенной
етодике. Ввиду того что $ = 0, ток /в0 будет занимать постоянное по-
ложение, не скользя по малому кругу. Положение радиуса-вектора i8$
определится его вертикальной проекцией, числецно равной при номи-
к&льном напряжении электромагнитному вращающему моменту.

Рис. 5-6. Переходные токи при включении в сеть
асинхронной машины с несимметричным ротором. Ротор
машины вращается синхронно (s = 0).

В установившемся режиме при s — 0

Г8—]Х8

1 «Оа? ^1*0 —	2 е*

Xd* Xq Г8

]У8	* ГЬ — ]Х8

2 в —	2

XdXq-*~rB	xdXq-+~r8

Ток

в фазе а

ЗУ»	— 128.

--------2е«е °
dX3-*-r,

г 8 — ]х8

л v . „2 е®

Re

2Е1----е„ . е-/2Э.

2 е® е______

(5,23)

(5,24)

где

2

Xd~Xq

=—2

Как видим из векторной диаграммы, реактивный момент определяется
рглом 2Р0 и пропорционален sin 2(3О. В рассматриваемом случае электро-
магнитный вращающий момент равен:



2^

е2

r8^8 ’ е*т
\XdXq+^

[2х8 cos 2£о — r8 sin 2Ро].

(5, 25)
Знак минус при реактивном вращающем моменте получился вслед-
ствие того, что этот вращающий момент при положительном р0 соот-
ветствует случаю генератора, в то время как нами за положительный
вращающий момент принят электромагнитный вращающий момент дви-
гателя, т. е. случай, когда ось d отстает от оси фазы а при То = О на
угол больше у.

Переходные токи и вращающие моменты при s = 0 определяются по
„круговой" диаграмме так же, как и в общем случае. Соответствующая
диаграмма представлена на рис. 5-6.

д)	Трехфазные короткие замыкания и внезапное падение
напряжения при неизменной скорости вращения ротора

Потокосцепления и токи при внезапном коротком замыкании и па-
дении напряжения при неизменной скорости вращения можно опреде-
лять, пользуясь принципом наложения. Внезапное трехфазное короткое
замыкание представится в этом случае как результат наложения двух
режимов: 1) установившегося режима, имевшего место до короткого
замыкания; 2) внезапного включения машины в сеть на напряжение,
равное и противоположное напряжению сети, имевшему место в момент
короткого замыкания. Для каждого из этих режимов потокосцепления
и токи находятся независимо. Результирующий электромагнитный мо-
мент определится взаимодействием токов со всеми потокосцеплениями
статора по формуле:

=	(Sz*)}.

Аналогично рассчитывается переходный режим при падениях напря-
жения и при несимметричных коротких замыканиях машины, включен-
ной в мощную сеть. В последнем случае — при несимметричных корот-
ких замыканиях, пользуясь методом наложения, приходится рассматри-
вать включение машины в сеть, имеющую несимметричные напряжения.
Эти напряжения нужно разбить на три системы симметричных напря-
жений по методу симметричных составляющих, как это представлено
в работах [1А-23; 4-6], определяя для каждой системы напряжений
отдельно токи и потокосцепления (см. главу 7).

Зная векторную диаграмму для установившегося режима и для пе-
реходного режима при включении в сеть, нетрудно построить вектор-
ную диаграмму для переходного режима при трехфазном коротком за-
мыкании. Для определения i81 и /s2 в момент времени / = 0 построе-
ние производится так же, как в случае включения машины в сеть, но
величины берутся с обратным знаком. Установившийся ток zf0 в этом
случае равен нулю.

Общие потокосцепления статора при трехфазном коротком замыкании
будут равны фв1 и представятся в момент t = 0 единичным горизонталь-
ным вектором. В дальнейшем этот вектор будет на векторной диаграмме
вращаться по часовой стрелке со скоростью (% = 1—«><., затухая с коэф-
фициентом затухания аа.

е)	Переменная скорость вращения

С помощью токовой диаграммы могут быть также рассмотрены пере-
ходные режимы при переменной скорости вращения. Если скольжение
переменно, то для случая относительно малых ускорений, что соответ-
a

1.0

Рис. 5-7. „Установившаяся" составляющая тока статора i9
при разгоне двигателя, имеющего асимметрию ротора. Время
разгона до синхронной скорости вращения ротора равно
5 тс электрических радиан — 0.05 сек.; s = 1.00—"5^" •
(Время разгона рассматриваемой машины под действием но-
минального вращающего момента порядка 25 сек.).
ствует большинству практических задач, можно пользоваться теми же
методами и формулами, что и для случая постоянной скорости. В этом
случае s и становятся переменными параметрами. „Установившийся"
ток i9Q определится как конец вектора, скользящий по деформирую-
щейся кривой. Разбивая изменение скольжения на ряд малых участков,
строим для каждого скольжения свою окружность и определяем пово-
рот радиуса-вектора по окружности, учитывая его скорость вращения,
равную 2s (рис. 5-7).

Переходный режим, связанный с внезапным изменением скорости,
либо с внезапным изменением приложенного вращающего момента (что
равносильно изменению скорости по некоторому закону), можно также
рассматривать с помощью „круговой" диаграммы. При переходном ре-
жиме, вызванном изменением скорости, будрт иметь место при малом
активном сопротивлении в цепи статора только переходный ток Зна-
чения установившегося тока i9Q при разных скольжениях известны и
определение начального переходного тока, равного разности началь-
ного и конечного установившихся токов для взятой разности скольже-
ния, не вызывает затруднений.

Переходный ток i92 должен быть разложен на свои составляющие
по продольной и поперечной осям. Составляющие по каждой оси
в свою очередь должны быть разбиты на части, число которых равно
числу контуров по данной оси ротора. Все эти составляющие затухают
с разными в общем случае коэффициентами затухания и вращаются
на векторной диаграмме при практически имеющих место соотноше-
ниях с одинаковой скоростью, равной $, оставаясь неподвижными по
отношению к осям d и q.

Как видим, переходные режимы асинхронной машины с асимметрич-
ным ротором при приближенном учете активного сопротивления в цепи
статора могут быть наглядно представлены с помощью векторной диа-
граммы, аналогичной „круговой" диаграмме асинхронной машины для
установившихся процессов. Из этой диаграммы, зная активное сопро-
тивление статора, определяются также коэффициенты затухания и соб-
ственные частоты переходных процессов.

Мгновенные величины в фазовых обмотках статора определяются
как проекции полученных комплексов на три вращающиеся оси, распо-
ложенные под углами в 120°.

Представленные методы рассмотрения пригодны как для случая
неизменной скорости вращения, так и для большинства переходных
процессов, сопровождающихся изменением скорости, так как механи-
ческая инерция машины, как правило, значительно больше ее электро-
магнитной инерции при замкнутых обмотках.

4.	ВЛИЯНИЕ АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЦЕПИ СТАТОРА
НА ОДНООСНЫЙ ЭФФЕКТ

При скольжении s, близком к половине, величина ®г — а близка
к нулю и соизмерима с величиной активного сопротивления в цепи ста-
тора г9 даже при весьма малом г9. Это сказывается в первую очередь
на величине установившегося тока =	как это видно из

формул (5,6).
Если величина г, мала, то установившиеся токи

Me

е,

~ хг (js) -+- 2jsr'e х* (js) ’

Xi (—js) ’

(5,26)

—i!fs (—js)

X, (—js) — 2jsr't

Установившиеся потокосцепления

,	r’,~ Jx,(js)

---—-----——  et\
X, (js) -+ 2jsr,

r', 9, (—js)	ф e*

80	x,(—js) — 2jsr’a	X, ( js)

(5,27)

Установившийся момент вращения

Re [j (<U -ь Дфл)	- Ч’о)] =	4- Mop, (5, 28)

где и AMoe— составляющие среднего установившегося момента,
равные:

Re	J sm	Г8~	jx,(js)	2 Re [	1 -	1. 1	
	X, (js) -+- 2jsr'g			jxs (js) .		(5,29)
= Re [ j Д^0Д;*0] = -	-е2 г  csm‘ 8		  X, (js)-+	- 2jsr,	ffs (js) ‘ x,(js)	2  »	

а М^р—пульсирующая составляющая момента вращения. Прямыми тон-
кими скобками здесь обозначены модули комплексов.

Как видно из выражения (5,29), &MQC— становится отрицательным
При s<^r.

При очень большом r8(s^^r)

ДЛГо<~О.

(5,30)

Если x,(js)=—5—-
то при любом г9

(замкнутые контуры в роторе отсутствуют),

Mqc = Mqcx -I-	= г

(5,31)

где

xd~xq

У*~~	2

Часто требуется оценить величину скольжения sa, при котором
имеет место минимум вращающего момента в районе о)г = 0.5 и вели-


чину минимального вращающего момента при этом скольжении. Сколь-
жение S4 определяется на основании выражений (5,29) условием

--- (Од	Г8

2sa х9 (jSa) ‘

Приближенно

= 2(1-<) : ‘а ~

(5,32}

где

п п
xd^~xq

2

(Од = 1 — sa.

вращающего момента Мосаг, как видно из

Составляющая среднего вращающего момента Мосаг, как видно из
выражений (5,29), (5,30), мало зависит от асимметрии ротора. Состав-

0^ sa

-±) мк

ляющая ^MqC определяется этой асим-
метрией и характеризует одноосный
эффект.

Максимальный дополнительный
момент АМос, вызванный одноосным
эффектом, будет иметь место при

скольжении

з~1.0

00

„ и будет равен приближенно

*d + xq

2

I ^4-
2x8(]sa) I х8 (]Sa) I

Рис. 5-8. Электромагнитный вращаю-
щий момент асинхронной машины с уче-
том одноосного эффекта в районе s = 0.5.
Дополнительный максимальный момент
,	" _ "х 2

(5,33) вместо x"d и х" подставл

(п __ "х 2

Ц—-«),	(5,33)

Xd^Xq)

где Мк— максимальный статический
электромагнитный вращающий мо-
мент.

При желательности более точного
расчета нужно в формулы (5,32),
ь более точные значения реактив-

ностей, соответствующие скольжению sa~0.5. Приближенные значения
этих реактивностей можно без труда найти по упрощенным „круговым*
диаграммам. Они приближенно равны обратным значениям величин
токов статора при скольжении s»0.5 в относительных единицах. На
рис. 5-8 представлена зависимость электромагнитного вращающего

момента от скольжения для асинхронной машины с учетом одноосного
эффекта.

М

%

2

5.	ПРИБЛИЖЕННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ
И КОЭФФИЦИЕНТОВ ЗАТУХАНИЯ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА

а)	О решении характеристического уравнения D'(p) = O

В формуле (5,4) при г8 = 0 выражение Df (p)(rg==0) = Dq (р) распа-
дается на множители (случай отсутствия демпферной системы)

Ч <р) =	(р2 ш2).	(5» 34)
Для получения уточненных корней рп, р21 и Рз1 при гв=7^0 применим
метод итерации Ньютона.

Уточненные значения корней выражаются через рХо, р2о и Рзо ПРИ“
ближенно в виде:

где

dD'(p)
dp

D' (Рпо)

Рп1 — РпО

' dD' (p)	
dp	P^Pno

г

(п = 1, 2, 3),

(5,35)

Если требуется второе уточнение, то

D' (Рт)

Рп2 — Pnl

' dP' (p) rfP	

(п = 1, 2, 3) и т. д.

Пользуясь этим правилом, получаем первое приближение в
.	,	ad(ar —

виде:

(5,36)

Корни рп и р31 можно представить в виде:

Р11 = —аа1 — j (шг — we)l	Р31 = —®ai + j (<°r — wc)«

Нетрудно видеть,' что За^-ч-а^^а^-ч-^-ч-а^, откуда

(5,37)

aai==

Cy~>~gd~-g21

2

(5,38)



Имеем также

4 — “c)2] = “r“r adaqar->

й, следовательно,

<*>С =

1

аХаг~Яа1а21
2а'оЛ

wr.

(5,39)

При произвольном числе цепей в роторе характеристическое
даение может быть представлено в виде:

урав-

(p2-+-“r)^<i (р)*4(р)

,	«2

« 2rJ[px, (р) =

1

1

— xd (р) xq (р)

xd (p) xt (p) r‘p

xd (р) хг (р)

= 0.

(5,40)

Таким образом, характеристическое уравнение может быть
ставлено в виде:

пред-

,2

1

1

2\	*

гг(р)х?(р) 4
xd(p)=0;

г,р 1хй<р) \(р)
\(р)=°-

= 0,

(5,41)
Применяя метод Ньютона, имеем в этом случае:

dD. (р)

D'o (р) = Р2 Н- <о2; —-= 2р;	Р1О = —i<^r;	Рзо=)"г1

где

Аналогично

РН =	2^7

хе	•

(5,42)

(5, 43)

(5,44)



Корень Рп будет характеризовать затухание и собственную частоту
переходных составляющих, почти неподвижных по отношению к ста-
тору, часто называемых „апериодическими" или асимметричными в тео-
рии короткого замыкания синхронной машины. Корень рзх характери-
зует затухание и собственную частоту весьма малых переходных
составляющих, вызванных асимметрией ротора. Вместо корня р2х,
определяемого формулой (5,36), имеем в общем случае несколько кор-
ней, связанных в основном с условиями xd(p) = 0 и хд(р)=0. Число
их соответствует числу обмоток в роторе. Приближенный расчет их
рассмотрен в приложении Зив главе 11.

Приближенным выражением корня рп =—можно, как
правило, пользоваться при скорости вращения	При меньших

скоростях вращения может оказаться, что корни рхх и рзх имеют дру-
гую мнимую часть (см. приложение 3).

При наличии одной обмотки в роторе по продольной оси и отсут-
ствии обмотки ротора по поперечной оси критерием возможности от-
сутствия вращения затухающих потокосцеплений, энергетически связан-
ных со статором, является условие

(“г ad) ag - (2 — 3ed) adar
3

(5,45)

где

а

В рассматриваемом случае при наличии асимметрии ротора зату-
хающие потокосцепления и ток статора — фв2 и энергетически свя-
занные с ротором, имеют затухание, определяемое реальным коэффи-
циентом р20 по уравнению (5, 34) и, следовательно, неподвижны по отно-
шению к ротору. Как известно, при симметричном роторе эти переходные
составляющие как бы увлекаются неподвижным статором и медленно
движутся по отношению к вращающемуся ротору, отставая от него
[4-6, 4-5]. Отставание прекращается при определенной степени несим-
метрии (см. приложение 3).

Исследование соответствующего уравнения четвертой степени пока-
зывает, что при практических соотношениях параметров при наличии
несимметрии ротора эти составляющие фв2 и 4г будут, как правило,
неподвижны по отношению к ротору, т. е. действие асимметрии ока-
зывается сильнее тормозящего действия, вызванного наличием актив-
ного сопротивления в цепи статора.

6)	Приближенный расчет коэффициентов затухания и собственной
частоты <ое

Коэффициент затухания % для составляющих и /в1, соответ-
ствующих волнам потокосцеплений и м. д. с., почти неподвижным по
отношению к статору, определяется при малых г8 в виде =

где а = —-—;—г-
8Ш х8

и г — омическое сопротивление фазовой обмотки

статора.

Скорость <ос, с которой комплексы фвХ и i81 вращаются по отноше-
нию к неподвижному статору, равна по величине коэффициенту при
мнимой части комплекса

Составляющие аа и комплекса легко находятся из векторной
диаграммы (рис. 5-2). Для этого достаточно определить координаты
центра круга, построенного без учета г8 для определения i81 в момент
f = 0. Если подведенное напряжение в относительных единицах равно
единице, то абсцисса центра круга будет равна -у-, а ордината —
величине -у-. Таким образом, достаточно умножить величины указан-
ных координатных отрезков, взятых в таком масштабе, при котором
| е, | = 1 на г, чтобы получить значения % и для любой скорости
вращения ротора (см. приложение 3).

Коэффициенты а'2а и определяются из условий х^(р) = 0 и
х?(р) = 0. При отсутствии демпферной системы в роторе для тока i82d
по продольной оси коэффициент = где Т’а— постоянная об-
Л*

мотки возбуждения при замкнутой обмотке статора. Ток i82q в этом
случае равен нулю.

При наличии демпферной обмотки может существовать несколько
корней уравнений xd (р) = 0 и xq (р) = 0. Эти корни определяются из
уравнений ||^d|| = 0 и |4s|| = 0, где \]z’2d\\ и 12^ || — определители,
составленные из операторных сопротивлений обмоток ротора по про-
дольной и поперечной осям, вычисленных при замкнутой накоротко
обмотке ротора (стр. 47).

Пусть, например, ротор имеет по продольной оси к обмоток. Тогда
собственные операторные сопротивления обмоток ротора по продоль-
ной оси при разомкнутой обмотке статора zmm = rmtn-{-pxmm(m = l,
2, ..., к) и операторные сопротивления взаимоиндукции обмоток ротора
по продольной оси zmn = pxmn (ттг, п = 1, 2, . . ., к). Соответствующие
операторные сопротивления при замкнутой обмотке статора будут:

г	Xdn • Xmd f	ч _

=	—-------------Р (m, n = l, 2.

тП	JCd '	'	’	T

*),

где xin и х„£ — реактивности взаимоиндукции обмотки статора и обмо-
ток пит ротора соответственно по продольной оси.
Ток i92d по продольной оси равен:

*«2* ~ (l’*2d)/=0

I xd A I	1

I *d (P) J	xd

(5,46)

где — сверхпереходная реактивность обмотки статора по продоль-
ной оси, равная xd для случая двух обмоток в роторе по
продольной оси.

В общем случае операторная реактивность (см. стр. 47)

,. II4-II

(5,47)

При наличии одной продольной и одной поперечной демпферных
обмоток и при обычных соотношениях приближенно:

КП \	ff	rf	г \

xd | — «24Г*	Xd —o^d* I •"	•'	/к ло\

1 — 'Is	? — i*2d -+- it2d,	(5, 48)

xd I	xd	'

где

„________1_ , 1______________________________1_

a2d	’ a2d nr>t , 7»'	7»r ’

1 d	1 f~*~ 1 c 1 d

T”d— сверхпереходная постоянная времени и T'd— переходная постоян-
ная времени, хорошо известные как постоянные времени затухания
симметричной составляющей тока статора при коротком замыкании син-
хронной машины. Постоянная Г'« Td -^тг (см. стр. 39, 88, 89).

xd

Разложение тока is2d на составляющие if'2d и i's2d нетрудно произ-
вести графически, пользуясь „круговой" диаграммой.

Соответствующее рассмотрение дано в главе 11, в частности
с помощью представления токовой характеристики в логарифмическом
масштабе.
ГЛАВА 6

ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ И ВНЕЗАПНЫЕ КОРОТКИЕ ЗАМЫКАНИЯ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

1.	ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ ВОЗБУЖДЕННОЙ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
И РАБОТА В АСИНХРОННОМ РЕЖИМЕ

а)	Постановка задачи

Часто требуется рассчитать поведение синхронной машины в пере-
ходном асинхронном режиме, например, пуск синхронных двигателей
е пусковой обмоткой на роторе при наличии возбуждения ротора, пе-
реходный процесс после снятия перегрузки, которая привела к выпа-
дению из синхронизма, переходные процессы после восстановления
напряжения в сети, после отключения кратковременных коротких замы-
каний и др. Все эти режимы связаны с исследованием поведения воз-
бужденной синхронной машины в асинхронном режиме. Такое иссле-
дование требует рассмотрения влияния внешнего возбуждения ротора,
а также влияния магнитной и электрической несимметрии ротора.

Токи синхронной машины при произвольной (в общем случае асин-
хронной) скорости вращения можно разбить на две части — одну, вы-
званную постоянным внешним возбуждением со стороны ротора, другую,
которая имела бы место при отсутствии возбуждения. Расчет второй
изложен в главе 5. В настоящей главе дано распространение методики,
изложенной в главах 4, 5, на случай наличия внешнего питания ро-
тора машины.

Токи и потокосцепления, вызванные возбуждением со стороны ро-
тора и питанием со Стороны статора, при пренебрежении влиянием
насыщения и при отсутствии зависимости питающих напряжений друг
от друга, можно рассчитывать независимо, пользуясь наложением,
вследствие линейности уравнений. Электромагнитный вращающий мо-
мент будет определяться взаимодействием всех токов со всеми пото-
косцеплениями. На основе проведенного рассмотрения предлагается для
практического пользования векторная диаграмма, позволяющая с хоро-
шим для практики приближением оценивать в переходных режимах
токи, потокосцепления и электромагнитный вращающий момент синхрон-
ной машины, имеющей в общем случае асимметрию ротора, а также
машины двойного питания.

Токи, вызванные возбуждением ротора, рассчитываются как токи
короткого замыкания одиночной синхронной машины, причем частота
установившегося тока короткого замыкания соответствует скорости
вращения машины.
б)	Условия рассмотрения

1)	Со стороны статора машина питается системой напряжений пря-
мой последовательности от бесконечно мощной сети. Со стороны ро-
тора машина питается постоянным напряжением, либо симметричной
системой переменного напряжения.

2)	Скорость вращения в тех случаях, когда нет специальных огово-
рок, принимается постоянной.

в)	Общие уравнения

Для напряжений, потокосцеплений и токов статора по продольной
и поперечной осям, связанным с ротором, комплексные уравнения пред-
ставлены на стр. 70.

Согласно выражению (3, 51), ток i8 в функции напряжения е8 равен

Z9*e8r Zsyesr

Zf ==--*-------57“ ,	(6, 1)

Z8#8X Z8yZ*y

где

efr = e8 — (p -b >r)	; Z8x = r8 -ь (p -+- ja)r) x8 (p);	|

z8y = (P >r) У8 (p).	J	(6, 2)

Знаменатель в формуле (6,1):

e (р2	xi г« 2рх» (₽)]•

Потокосцепления статора равны:

(р)-ь(р — i^r)xd(p) X	e*t

Ф» =------------------5-------i---------------- •	(6. 3)

Z8O?8X Z8yZ8y

При пользовании методом наложения принимаем ф>г = 0 и eer = es,
рассматривая действие возбуждения со стороны ротора независимо.

г)	Токи и потокосцепления при включении в сеть возбужденной
синхронной машины и при работе в асинхронном режиме

Токи и потокосцепления статора, вызванные питанием со стороны
статора, определяются по выражениям (5,1) и (5,2), как указано
в главе 5.

Будем обозначать токи и потокосцепления, вызванные наличием
возбуждения со стороны ротора, индексами в скобках.

При включении машины в сеть токи, вызванные наличием возбу-
ждения в роторе, можно вычислить как токи короткого замыкания
синхронной машины. Пусть в обмотку ротора включено напряжение,
выражаемое комплексом e(r) = e(rrf)-+-ye(rff), в общем случае являющееся
некоторой функцией времени. Для обычной синхронной машины в(Г2) = 0
и комплекс в(г) равен реальной величине e(rdy.

Потокосцепления статора, вызванные возбуждением со стороны
ротора, определяются при разомкнутой обмотке статора при включении
e(r) = e(rrf) в виде:

<ко) = §8rd (р) • е(г).	(6,4)
Общие выражения для операторов g(p) представлены в приложении 1.
При отсутствии демпферной системы оператор

, ч x9rd
gtrd(p) = Т".'	’

Гг -4- pxrd

где xwi — реактивность взаимоиндукции между обмотками статора и
ротора по продольной оси;

тТ— активное сопротивление обмотки ротора.

Если нас интересует установившийся режим возбуждения, то

to =	• e(r) = Е,	(6, 5)

W

x^rd

Е=—~ е(г)

(6, 6)

При разомкнутой цепи статора напряжение на статоре равно

е(0)=(р-Ь>г)ф(0).

В установившемся режиме

е(о) = >гф(о) = №гЕ.

Короткое замыкание и включение в бесконечно мощную сеть со
стороны статора равносильны внезапному приложению напряжения
₽(,)=—е(0) при рассмотрении токов, вызванных возбуждением со стороны
ротора.

Ток статора /(,), вызванный возбуждением со стороны ротора, опре-
делится по формуле (6, 1), если подставить вместо е9Г величину в(в).
При установившемся режиме возбуждения

_	_ —У

е(в) = —е(0) = — j^rE = ыгЕ • е

Полученный результат есть частный случай общего рассмотрения,
представленного в [1А-23].

При определении потокосцеплений статора Ф(#), вызванных возбуж-
дением со стороны ротора после включения в сеть, нужно учесть потоко-
сцепления ф(0), имевшие место до включения в сеть. Поэтому при
отсутствии демпферной обмотки и постоянном напряжении возбужде-
ния ротора общие потокосцепления статора, вызванные возбуждением
Со стороны ротора, будут

,	. _( 1	— jtor)xd(p)]xq(p) |

4(#)=}ЫгЕ -------------* _г z-----------1}•	<6’7>

( J	Z9zzsx Z9yZ9y	J

При малых r9

to - to) *	(б, 8)

Выражения для ав и представлены на стр. 113, 126.

Таким образом, при включении машины на бесконечно мощную
сеть потокосцепления статора, вызванные возбуждением со стороны
ротора, после включения затухают с коэффициентом затухания % и
В установившемся режиме почти равны нулю. Переходные потоко-
сцепления ф(,1) почти неподвижны по отношению к статору.
В общем случае при переменном возбуждении с началом изменения
за время т до включения — потокосцепления статора

\г9Х8 (р) -4- (р — j(Dr) Xd (р) Xq О)] (р -4- ]ЩГ) — Г8у8 (?) (? — far)

* *

Z8XZ8X Z8yZ8y

Xg8Td(p)e(r) • 1.	(6,9)

Ток статора
. .. ...

i(e) = —----------«-------5--------gftrde(r) • 1.	(6, 10)

Z8xZ8a; Z8yz8y

При малом r8 в случае постоянного возбуждения ротора

\ Xd (р)

£—аа*£Л«>г—<»c)t } Ф

(6, И)

Пренебрегая влиянием г8 на величину операторных реактивностей и
учитывая, что /(в) = 0 при £ = 0 получаем в этом случае:

1(e) = z'(eo) г'(е1) +• *(*2)»

(6,12)

где

Е
г(«о)— — Xd »

/7£—а<Хе~<°сХ Гр |

/(л) =	2	I Lxd(->r)

где

е/2 (<0,—wc)< Г----1--------------1-----1 I .

(jwr) Xq (far) J ) ’

/(s2) = —(l(so) "+ *(*l))tf=os	2

Связь рассматриваемых комплексов с соответствующими мгновен-
ными фазовыми величинами показана на стр. 118. Для получения
мгновенной фазовой величины нужно повернуть комплекс на соответ-
ствующий данной фазе угол, взять от полученного комплекса реаль-
ную часть и прибавить в случае наличия нулевую составляющую.

д) Использование „круговой* диаграммы для определения токов
и электромагнитного вращающего момента при включении в сеть
возбужденной синхронной машины

Рассмотрим „круговую" диаграмму машины с учетом токов и потоко-
сцеплений, вызванных возбуждением Е со стороны ротора.

1) Диаграмма при синхронной скорости вращения ($ = 0) в уста-
новившемся режиме (рис. 6-1). Установившийся ток Z(e0) представится
вектором, расположенным под углом те — (30 по отношению к вертикаль-

*6) =


йой оси, и равен по величине —. Угол Ро определяет положение

Волны напряжения, характеризуемой комплексом е8 по отношению
К оси d в момент t = 0. В синхронном режиме ($ = 0) это положение
t

веизменно и угол Р =	1- Ро равен начальному углу Ро.

о

Если напряжение в фазе а статора выражается в функции времени
в виде • cos(Z-+-Y0), а угс
фазы а статора в момент в
можно при неизменном сколь-
жении s выразить в функции
Времени в виде:

== е.т&
^•8 ет	*

Где

Ро==ТО — S = 1 — (Оу.

При Ро < у имеет место
генераторный режим, угол
80=р0 — -j отрицателен и
электромагнитный вращаю-
щий момент, вызванный воз-
буждением, в установившем-
ся режиме, отрицателен (слу-
чай генератора). Напряжение
при разомкнутом статоре
будет направлено
во оси q (рис. 6-1).

При Ро <-j,-реактивный момент, вызванный питанием со стороны
статора, будет также отрицателен, т. е. будет стремиться затормо-
зить ротор.

Общий ток, потребляемый из сети в установившемся режиме,
будет равен геометрической сумме токов i9Q-*-i(9$, как представлено
йа рис. 6-1; здесь Zi0 — ток, вызванный питанием со стороны статора
ври отсутствии возбуждения. Ток, посылаемый в сеть, zf0 =—
Общие потокосцепления в установившемся режиме	=—je9*

Мгновенные фазовые напряжения, ток и потокосцепления пред-

между продольной осью ротора и осью
мени f = 0 равен 60, то напряжение е9

Рис.1 6-1. Векторная диаграмма возбужденной син-
хронной машины в установившемся генераторном
режиме при s = 0.

ставятся проекциями соответствующих векторов на вращающиеся с еди-
ничной скоростью оси — линии времени, расположенные под углами
120° (рис. 6-1, 6-3).

В случае работы машины синхронным двигателем угол
векторная диаграмма будет иметь вид, представленный на рис. 6-2.
Потокосцепления статора фв0 =—je9. Общий ток статора
Электромагнитный вращающий момент при номинальном напряжении
будет численно равен сумме вертикальных проекций токов z\0 и Z(e0)«

Реактивный вращающий момент в случае, когда р положителен.

При $ = 0 все векторы, соответствующие установившемуся режиму,
на диаграмме неподвижны.
2) Диаграмма в переходном режиме при $=^=0. При s=£Q ком-
плексы, связанные с возбуждением со стороны ротора, будут на век-
торной диаграмме при установившемся режиме вращаться против
часовой стрелки с угловой скоростью $. В переходном режиме появятся

затухающие переходные токи.

Для случая малого активного сопротивления в цепи статора, когда
коэффициент затухания аа<^1, имеем для токов и потокосцеплений,

с учетом вызванных возбуждением со
диаграмму, представленную на рис. 6-3,

Рис. 6-2. Векторная диаграмма возбужденной син-
хронной машины в установившемся двигательном
режиме при s = 0.

стороны ротора, векторную
которая дает положение век-
торов в момент / = 0.

Для определения токов,
вызванных возбуждением со
стороны ротора, строится
обычная векторная диаграм-
ма [7-3] для напряжения ста-
тора, равного амплитуде
в(в) = —ju>rE к отстающего
по фазе от комплекса на-
пряжения сети е8 на угол
y-+-? = ₽o-+-fs^-»-y > что
о
соответствует отставанию
по фазе от комплекса ел на-
пряжения на фазе а на
угол У-+" у.

Токи и потокосцепления,
вызванные возбуждением со

стороны ротора, при малом
г8 и при отсутствиии демп-
ферной системы, могут быть

представлены в виде:

Е
etm

Xd	*

Е

2е,т

. е<е-аа<е-Л<“1<+Зо) х

-----1----------------1-----"1 .j. е>2(шг—а>е)< Г---------
Xd (—j^r) Xq (—jur) J	L Xd (j<»r)

<p41 = — •
6 gm

где а)]. =1 —

Ток Z(a2) при отсутствии демпферной системы

z'(s2) — 1У(вО)

7ПИ-] }  13>

(б, 14)

. 1	—а'2^

1(»1)]<=08

Скорость вращения вектора z,2 равна s при малом г, несмотря на
асимметрию ротора.

При наличии демпферно^й системы ток Z(f2) разбивается на две
составляющие и *(*2) = *(«2Ю'+"/’(в2г) по осям d и q. При наличии
нескольких обмоток в роторе по данной оси эти токи в свою очередь
должны быть разбиты на соответствующее число составляющих, зату-
хающих с разными коэффициентами затухания, по методике аналогично
Сш>ж=-шг

г шъ«а. "
)/ 2(a)f ~ uic), аа

10 а

и)2

ho

ls2q

$

Л
$

?"*а «и;



\'}2(ыг-шс)

\С^о^ж---шг

&

tO 'c

d

Рис. 6-3. Векторная диаграмма возбужденной машины при включении в сеть
при s 0.

Рис. 6-4. Векторная диаграмма возбужденной машины, не имеющей демпферной
обмотки. Включение в сеть при s 0;	= 1 — сос; о)2 = $.
изложенной в главе 11 и приложении 9. Токи i\9^y и z‘(,2ffJ могут быть
определены из „круговой“ диаграммы как проекции комплекса /(<2) на
оси d и q. Полученные формулы позволяют установить сдвиг фаз
между вектором в(ж) и векторами z*(e0), z’(tl) и z’(,2) в любой момент времени.

Соответствующие диаграммы представлены на рис. 6-3 и 6-4. На
этих диаграммах вектор-zf0, представляющий ток, вызванный питанием
со стороны статора, будет неподвижен, вектор z’(e0) вращается по
часовой стрелке со скоростью $, векторы i91 и z(fl) будут вращаться
по часовой стрелке со скоростью, равной <*>1 = 1—<ов. При этом концы

векторов z’,0, z‘tl и Z(tl) одновременно скользят по своим малым окруж-
ностями со скоростями 2s и 2

Рис. 6-5. Электромагнитный вращающий
момент йашины в асинхронном режиме
при наличии и отсутствии возбуждения
со стороны ротора.

1 — среджий вращающий момент при наличии
возбуждения ротора; 2—максимальный момент
при возбужденном роторе; 3 — минимальный вра-
щающий момент при возбужденном роторе; 4 —
средний вращающий момент при невозбужденном
роторе; 5 — максимальный вращающий момент
при иевозбужденном роторе; 6 — минимальны й
вращающий момент при иевозбужденном роторе;

7 — пульсация вращающего момента при воз бу-
ждежжом роторе; 8 — пульсации вращающего мо-
мента при иевозбужденном реторе.

-<°съ соответственно, по часовой и
против часовой стрелки. Токи i91 и
Л«1) будут затухать с коэффициен-
том затухания ав. Начальные токи
z’,2 и *(«2) определяются из условий
z\ = 0 и Z(f) = 0 при f = 0.

Комплекс потокосцеплений ф(и)>
вызванных роторным возбуждением,
в момент t — G расположен под уг-
лом Ро, отсчитываемым по часовой
стрелке по отношению к вектору
напряжения ев. В дальнейшем комп-
лекс ф(в]) вращается по часовой
стрелке со скоростью = 1 — и
затухает с коэффициентом затуха-
ния аа.

е) Электромагнитный вращающий
момент возбужденной синхронной
машины при включении в сеть и
при работе в асинхронном режиме

Электромагнитный вращающий
момент

Л/= Re {j [ф, -ь Ф(е)] р;} (б, 15)

и определяется суммой векторных
произведений векторов тока на век-
торы потокосцеплений. Для опреде-
ления этой суммы нужно опустить
из конца каждого вектора тока пер-
пендикуляр на направление каждого
вектора потокосцеплений, умножить
величину каждого перпендикуляра
на величину соответствующих пото-
косцеплений и суммировать все по-
лученные выражения.

Средний электромагнитный вра-
щающий момент, вызванный питанием

со стороны ротора, проще всего определить в асинхронном режиме по
потерям в статоре от наличия возбуждения, как r9 i\8) i*(9y. Эти потери
могут быть сравнительно значительны, несмотря на малую величину
активного сопротивления обмотки статора. Поэтому в ряде случаев
при наличии возбуждения со стороны ротора передаваемая со стороны
ротора на покрытие потерь в статоре мощность может оказаться больше,
чем мощность, передаваемая со стороны статора в ротор на покрытие
потерь в роторе и ускорение ротора. В результате, средний электро-
магнитный вращающий момент при наличии возбуждения со стороны
ротора может изменить свой знак, как это представлено для случая
установившихся асинхронных режимов на рис. 6-5, заимствованном из
американских работ [1А-26].

При наличии возбуждения в роторе синхронной машины, имеющей
асинхронную скорость вращения, число составляющих электромагнит-
ного вращающего момента при включении в сеть даже в установив-
шемся режиме работы настолько велико, что нет смысла давать ана-
литические выражения .для всех составляющих. Проще всего опреде-
лять пульсирующие составляющие вращающего момента из „круговой"
диаграммы машины, а средние составляющие, в том числе и затухаю-
щие в переходном режиме, по соответствующим потерям в статоре и
в роторе.

2.	ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ МАШИНЫ ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ

Представленное рассмотрение может быть распространено на слу-

чай машины двойного питания, когда обмотка ротора питается пере-
менным током. В этом случае, как правило, ротор симметричен, т. е.
xA(p) = xq(p) = x9 (р); y,(p) = Q и демпферная система отсутствует.
Напряжение, подведенное к ротору, может быть представлено в виде
€r = erwie^r, где егт— амплитуда напряжения, подведенного к ротору,
|)г=$г/-1-Рг0 и sr — частота сети, питающей ротор. Потокосцепления

статора при разомкнутой обмотке статора ф(0)

Xtr^(r}
r(r)-t-pxr *

В установив-

шемся режиме ф(0) = -	e(r)« Напряжение в(0) при разомкнутой

обмотке статора в(0)=(р-4-/<ог)ф(о). В установившемся режиме

jtofXtr
г г •+• }^гХг

е(0) =

е(г) = ]<*ГЕГ<

где Ег =

г Г -4- JSrXr * '

(6,16)

Рассматривая включение машины двойного питания в сеть со сто-
роны статора аналогично включению в сеть возбужденной асинхрон-
ной машины, получаем следующие операторные выражения для тока
и потокосцеплений статора, вызванных возбуждением со стороны ротора
t этом режиме,
._____________________________________е(з)______

r8-+-(p-+- jur) х8 (р) ’

где

е(8) = — е(о) = —j(»rEr,

ИЛИ

•(.) = -hrEr	ESr) (р __ ;sr)} = '(.о) - <(.1) - »•(«);	(6. 17)

,	. „ ( 1 х, (р -ь jsr) 1 1	.
При малых гв, с учетом затухания, вызванного активным сопротив-
лением статора,

4<»1) = „	£^а^-Л®г-<->е)*	(6, 19)

<0r -t- sr

Фс.о) = (1 — ш <Х, )Ег,	(6, 20)

где и % определяются из условия

aa-^ = x,(-j^-	<6’21)

В большинстве практических случаев sr = s = (l — <ог).

Тогда

ф(в0) = sEr; ф(,1) = и>гЕге~***(6, 22)

Амплитуда эквивалентного напряжения, используемая для установ-
ления масштаба круговой диаграммы токов, вызванных возбуждением
со стороны ротора, равна

Xgr

На векторной диаграмме установившиеся напряжение ток
и потокосцепления представляются векторами, вращающимися по
часовой стрелке со скоростью s— sr. Установившийся ток опреде-
ляется по круговой диаграмме для скольжения, численно равного sr.
Начальное значение тока определяется по круговой диаграмме для
скольжения, численно равного — <ог.

3.	ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИНХРОННОЙ МАШИНЕ ПРИ ВНЕЗАПНОМ
ТРЕХФАЗНОМ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ И ВНЕЗАПНОМ ПАДЕНИИ

НАПРЯЖЕНИЯ

а)	Упрощенное рассмотрение внезапного трехфазного короткого
замыкания в синхронной машине

Типичная осциллограмма внезапного трехфазного короткого замы-
кания синхронной машины представлена на рис. 1-3. В. токах статора
можно выделить апериодическую затухающую составляющую — так на-
зываемую асимметричную, и периодическую составляющую — так назы-
ваемую симметричную, переходящую после затухания переходной части
в установившуюся составляющую.

Если огибающую симметричной составляющей нанести на полулога-
рифмической бумаге, то можно обычно увидеть две или более наклон-
ных прямых, т. е. огибающая затухающей части симметричной состав-
ляющей представляет собой сумму двух или более экспоненциальных
кривых.

Симметричная составляющая соответствует волне тока, вращаю-
щейся синхронно, т. е. вместе с ротором; асимметричная составляющая
соответствует волне, почти неподвижной по отношению к статору.

Для симметричной составляющей эквивалентная реактивность ста-
тора, с учетом короткозамкнутых контуров в роторе, равна вначале
х"=х", затем, после затухания токов в демпферной системе, эта
эквивалентная реактивность становится равной х11 = х^ совершенно
аналогично процессу в трехобмоточном трансформаторе (стр. 41—44).

С учетом затухания симметричный ток будет на основании выраже-
ния (2,44) при напряжении, равном единице, определяться в собствен-
ных осях, вращающихся с ротором, выражением:

1 \	—«2^	1

хJ £ "Х^

(6, 23)

представляющим собой огибающую симметричной составляющей фазо-
вого тока.

Параметры x'J, х'^, х^, а", а$ имеют тот же смысл, что и для трех-
обмоточного трансформатора, при этом индекс dв обозначении реактивно-
стей соответствует первичной обмотке — обмотке статора. Величины а" и

1	1

а'2 часто характеризуют их обратными величинами T”d= — и 7^ = —.

а2	а2

При этом а" соответствует а3 в рассмотренном трехобмоточном трансфор-
маторе, а соответствует а2. Постоянная Td связана с постоянной
t

обмотки возбуждения TdQ соотношением Td Т^.

Типичные величины параметров представлены в главе 18.

Отражение симметричной составляющей тока статора в обмотке
возбуждения имеет апериодический вид и определяется на основании
формулы (3, 23):

xd ~~ xd е~«2*

xd

Ток ротора при этом выражается в долях тока ротора при холостом
ходе и номинальном напряжении статора.

Апериодическая составляющая фазового тока статора соответствует
току, вызванному затухающими потокосцеплениями статора, почти не-
подвижными по отношению к статору. Величина этого тока опреде-
ляется средней эквивалентной реактивностью статора при различных
положениях ротора.

При совпадении оси затухающих потокосцеплений с продольной
осью ротора d эта реактивность равна x'J, при совпадении оси потоко-
сцеплений с поперечной осью ротора q реактивность равна х". Вели-
чина х" вычисляется совершенно аналогично x"d по эквивалентной схеме
типа, представленного на рис. 2-2, с учетом магнитной проводимости
взаимоиндукции xaq по оси q и влияния демпферных контуров ротора
по оси q. При отсутствии контуров по оси q реактивность х^ = х
где х? — реактивность самоиндукции обмотки статора по оси q.

Средняя эквивалентная реактивность для неподвижных потокосцеп-
лений будет близка по величине к реактивности обратного следования
фаз

~ x”d + x"g
Х2
Максимальное значение апериодической составляющей будет
при ев = 1 равно —77. Затухание ее, определяемое активным сопротив-
xd
лением цепи статора, будет происходить по экспоненциальному закону
где

1 г_
*а~ Та^х2 

Для фазовой обмотки, имеющей в момент короткого замыкания на-
пряжение, равное cos 70, апериодическая составляющая будет примерно
равна:

Г/ => Ла .
xd

Отражением апериодической составляющей в обмотке возбуждения
xd — xd

ротора будет синусоидальный ток с амплитудой ------- в долях тока

xd

возбуждения при холостом ходе и номинальном напряжении на статоре,
с частотой, соответствующей скорости вращения ротора.

Если короткое замыкание происходит через сопротивление, то это
сопротивление должно быть прибавлено к соответствующим параметрам
машины: активное — к активному, реактивное — к реактивному. Соот-
ветственно изменятся и коэффициенты затухания.

Восстановление напряжения после ликвидации короткого замыка-
ния (см. стр. 318).

б)	Использование „круговой* диаграммы для определения токов и
потокосцеплений, имеющих место при внезапном трехфазном
коротком замыкании и внезапных падениях напряжения

на синхронной машине

Так же как и в случае отсутствия возбуждения, потокосцепления
и токи при внезапном коротком замыкании и падении напряжения при
неизменной скорости вращения можно определять, пользуясь принципом
наложения. Внезапное трехфазное короткое замыкание представится
в этом случае как результат наложения двух режимов: установившегося
режима, имевшего место до короткого замыкания, и внезапного вклю-
чения машины в сеть на напряжение, равное и противоположное на-
пряжению сети, имевшему место в момент до короткого замыкания.

Для каждого из этих режимов потокосцепления и токи находятся
независимо. Результирующий электромагнитный момент определяется
взаимодействием токов статора со всеми потокосцеплениями статора
по формуле Ме = Re { j (^Ф) (2* *)).

Аналогично рассчитывается переходный режим при падениях напря-
жения и при несимметричных коротких замыканиях. В этом случае,
при несимметричных коротких замыканиях, приходится рассматривать
включение машины в сеть, имеющую несимметричные напряжения. Эти
напряжения нужно разбить на три системы симметричных напряжений
по методу симметричных составляющих, определяя для каждой системы
напряжений отдельно токи и потокосцепления.

На рис. 6-6 в качестве примера представлена векторная диаграмма
для внезапного трехфазного короткого замыкания синхронной машины
-05

Е=1

0.5

0.75

-005

~tQ -075

002

05 075

075

0005

005

О 0042*] 0 093

d

j1W

О0058*] 0.24

0.1 *j0.0835

-075

0.081*jO0625

4

025

005

•i =	= 0-50*> "O-oee

1 1-00075 f

-10

-0 75

-05

(5 = 1)	а2(Г00172	агдГ1Л7^

n.nt. -ллл. Хи=0300	x”d-0.152

0.0012+]0 093	°-	л

-0.5

= 5.6

аХ=00235



оог

0.25
005

025

001

,=0.3076

JO-81

^ = 0151, а"у = 0555

Рис. 6-6. Векторная диаграмма возбужденной синхронной машины при внезапном трехфазном коротком замыкании.
с демпферной системой по продольной и поперечной оси. До корот-
кого замыкания машина работала в режиме двигателя с рабочим углом
4 = Р0—у. Вращающий момент при этом был Z(e0) • sin S, если не счи-
тать небольшого реактивного момента. Эта величина на векторной
диаграмме рис. 6-6 представится вертикальной составляющей ком-
плекса Z(,o).

Для определения i9\ и /<2 в момент / = 0 построение производится
так же, как и в случае включения машины в сеть, но токи берутся
с обратным знаком. Установившийся ток, с учетом наложения всех
составляющих, до короткого замыкания был равен Z(>0)—»—Za0, а после
короткого замыкания будет Z(,o). С помощью векторной диаграммы
рис. 6-6 определены величины % = 0.0235 и <ос = 0.0076. Ток Zt2 раз-
лагается на две составляющие Zt2d и Ze2?, каждая из них затухает со
своими коэффициентами затухания.

Ток Zt2rf, в свою очередь, нужно разложить на две составляющие:
/. х / 1 xd 1 “~a2d*

= [li2d)t=o 1-г I ®	, затухающую с коэффициентом затухания

\ *d J

—	=1-476, и составляющую z'2i = (z,2Д=о ' s 2<**> затухаю-

1	d	xd

щую с коэффициентом затухания =—7 = 0.0172. Расчет коэффи-
Т d

циентов затухания представлен в приложении Зив главе 11.

Ток isl вращается на векторной диаграмме со скоростью а>х = 1 — о>с
по часовой стрелке. Токи Ze2, как правило, неподвижны по Направле-
нию на векторной диаграмме. Как видно из рис. 6-6, за время / = 0.504,
за которое среднее направление тока Ze2 изменилось на угол 0.5 ра-
диана, токи Zi2 практически не изменили своего направления на век-
торной диаграмме, хотя составляющие i'2d и i'2q успели уже значительно
уменьшиться по амплитуде.

Общие потокосцепления статора при коротком замыкании, незави-
симо от наличия внешнего возбуждения ротора, будут равны и
представятся в момент / = 0 единичным горизонтальным вектором.
В дальнейшем этот вектор будет на векторной диаграмме вращаться по
часовой стрелке со скоростью = 1 — сос, затухая с коэффициентом
затухания aa. Отсутствие влияния внешнего возбуждения ротора на
потокосцепления статора при коротком замыкании связано с предполо-
жением о том, что активное сопротивление в цепи статора достаточно
мало. Общие потокосцепления статора в этом случае равные в про-
цессе короткого замыкания затухают, и электромагнитный вращающий
момент в установившемся режиме будет равен нулю, что и следовало
ожидать, учитывая то обстоятельство, что мы пренебрегли потерями
в обмотках статора. Учет этих потерь дан на стр. 143 (см. также
главу 8 и приложение 9).

Как видно из векторной диаграммы, процесс короткого замыкания
синхронной машины, включенной в мощную сеть, не зависит от внеш-
него возбуждения ротора и мало зависит от нагрузки машины. Послед-
няя зависимость связана с положением составляющей Z>0 на малом
круге, зависящем от угла 2р0 = ^-+-28. Такой характер зависимости
Процесса короткого замыкания от возбуждения ротора хорошо известен
Рис. 6-7. Диаграм-
ма напряжений не-
явнополюсной син-
хронной машины.

из элементарной теории синхронной машины. При пользовании пред-
лагаемыми диаграммами указанные зависимости получают новое нагляд-
ное освещение.

Дальнейшее углубленное рассмотрение дано в главе 11 в связи
с рассмотрением частотных характеристик и в приложениях 4, 8.

Если короткому замыканию синхронной машины предшествовал ре-
жим нагрузки, то ток, имевший место до короткого замыкания, может
быть по принципу наложения просто прибавлен к току короткого замы-
кания, рассчитанному для случая, когда предшест-
вующий режим является режимом холостого хода.

Часто пользуются и другим методом учета предше-
ствующей нагрузки, заменяя в расчетах периодиче-
ской составляющей тока короткого замыкания напря-
жение на зажимах статора так называемым напря-
жением за переходной реактивностью ег или е".

Величина е' определяется из векторной диаграм-
мы, как представлено на рис. 6-7.

Для расчета сверхпереходного симметричного тока
Г пользуются величиной е" (рис. 6-7), определяемой
с учетом падения напряжения х"/, имевшего место
до короткого замыкания, а для расчета переходной
составляющей соответствующей напряжению ег.

Апериодическая составляющая при этом пропор-
циональна напряжению е, а не е".

Такое представление удобно для ориентировочных расчетов при
пренебрежении влиянием активных сопротивлений в контурах статора
и ротора.

в} Токи статора при коротком замыкании из режима нагрузки

Токи статора по продольной и поперечной осям id и iq при внезап-
ном трехфазном коротком замыкании из режима нагрузки с напряже-
нием на статоре e=jewe~^, рабочим углом 8 и внутренней э. д. с.
jE приближенно равны (в генераторном режиме; s = 0):

(6, 24)

t

/1	i \ ~7	1 - —

iq=\—7,----^esinB — —77 e T° sin (£ -+- &).

\xg	Xq)	Xq	I

Фазовые токи /а, ib и iG опредёляются по величине ig = id-*-jiq = ijsr~^
по формулам (3,14). В установившемся режиме трехфазного короткого
замыкания при синхронной скорости вращения ротора (ог = 1)

rs sin b -4- Xq cos В
id = —-------~2-----------Е\

Гг XdXq

. r& cos b — xd sin S _
== — ---------------------

Гг 4- XdXq

(6, 25)
Пользуясь формулами (3,14), получаем для фазовых токов, например
для тока в фазе а, в этом случае выражение

£ Г	Z л	xd Н- Xq ,	> л ч

la = — “2------ ~r* sin (* 0O ~ $) +----Q  cos (f M —

r8^-XdXq L	*

— COS (f 4-S-+-e0)l ; B + e0 = 70“4'

(6, 26)

г) Электромагнитный вращающий момент при коротком
замыкании из режима нагрузки

Электромагнитный вращающий момент синхронной машины при вне-
запном трехфазном коротком замыкании из режима нагрузки с номи-
нальным напряжением статора е — 1 и внутренней э. д. с. £, при сог = 1,
в первом приближении равен (более подробно см. главу 8):

М9 ( i82x — — cos S) e *ai sin t -4- ieirs *e* +*
\ Xd J

_г/. E	E •

—TJCOSSl 4-lla2r — — sin

I \	Л	J	\	JL fl.

s)2] r, •+ (l,2r M.o) 8-“»' cos t

e-2«e/

sin 2t.

(6, 27)

Здесь и ls2r — горизонтальная и вертикальная составляющие тока
на „круговой" диаграмме, с учетом затухания во времени; i82 — i82»~*~
+jig2r', hiv и hir — то же для тока i81.

Так, например, для машины с симметричным ротором, с двумя си-
стемами обмоток на роторе:

Ток i81 определяется по „круговой" диаграмме как полусумма токов
по оси d и по оси q для скольжения $ = —1 и затухает с постоянной
времени статора Та

1,1	2 (js)	xq (js)l(8=— 1) е	’	<6,

— электромагнитный вращающий момент машины до короткого
Аамыкания по формуле (1, 8) с обратным знаком (в генераторном режиме
отрицателен).

4. НЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОРОТКИЕ ЗАМЫКАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ,
ОТКЛЮЧЕННОЙ ОТ СЕТИ (УПРОЩЕННОЕ РАССМОТРЕНИЕ)

При наличии несимметрии в роторе, которая в принципе всегда
имеет место в синхронной машине вследствие наличия одноосной
обмотки возбуждения, и при несимметрии в статоре, вызванной несим-
метричным коротким замыканием, дифференциальные уравнения пере-
ходного процесса в машине имеют периодические коэффициенты, от
которых не удается избавиться какими-либо преобразованиями пере-
менных. Поэтому приходится искать приближенные решения задачи.
При пренебрежении влиянием активного сопротивления на ампли-
туды токов можно приближенно определить амплитудные значения
токов при несимметричных коротких замыканиях отключенной от сети
машины. Коэффициенты затухания получают на основании физических
соображений — по расходованию запасенной в машине электромагнит-
ной энергии на выделение потерь в контурах машины.

Определению токов, напряжений и электромагнитного вращающего
момента при несимметричных коротких замыканиях отключенной от
сети синхронной машины посвящено большое количество работ [1А-26;
1А-28; 1А-32; 1А-33; 1А-46; 1А-49; 3-39; 6-4; 6-8; 6-25 и др.].

Ниже даем краткое изложение известных результатов, а в даль-
нейшем более подробный анализ и сравнение с другими, мало иссле-
дованными до сих пор случаями, когда синхронная машина до корот-
кого замыкания была включена в сеть.

При двухфазном коротком замыкании отключенной от сети ма-
шины, работавшей в режиме холостого хода с напряжением, равным
единице, установившийся ток короткого замыкания статора равен по
амцлитуде / = —— — . Соответственно начальная амплитуда симметрич-
ной составляющей тока внезапного короткого замыкания получится, если
заменить х. на х" т. е.
a	at

хл-*-х2

После затухания токов в демпферной системе симметричная состав-
ляющая переходного тока будет равна по амплитуде

Уз
^•+•^2

Постоянные времени периодической составляющей будут равны:

^d2 —

*d

-*-x2

^dOi —

xd

Xd-*~*2

Апериодическая составляющая тока статора в этом случае, как это
принято в упрощенном рассмотрении, может иметь максимальную ампли-

У з 1

туду, равную —-----. Постоянная времени Та2~Та. Начальное значе-

ние апериодической составляющей будет пропорционально sin 90, где
60 — угол между осью d и осью свободной фазы в момент короткого
замыкания.

При однофазном коротком замыкании отключенной от сети машины
имеем соответственно:

/=-----...............

^-Fx2“bxo	xd-*-x2-*-xQ

Здесь х0 — реактивность нулевого следования фаз, соответствующая
протеканию одинаковых синусоидальных токов, имеющих одинаковую
фазу во всех трех обмотках статора.
Постоянные времени в этом случае будут равны:

/d-t-x2-bXo	х'Л^„	2х8н-хо

xrfH-x2-i-xo	г1+х2+х0	Х"Т*' Л~ г

5.	ДВУХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ,
ОТКЛЮЧЕННОЙ ОТ СЕТИ

а) Заданные условия и общие уравнения

Имеем после внезапного короткого замыкания фаз в—с условия

еъ — ес = 0;

ib + ic = 0;

ia = 0.

(6, 30)

Учитывая выражения (6,30), (2,95) и (2,97) и пренебрегая влия-
нием активного сопротивления в цепи статора, имеем условия для со-
ставляющих по осям а, р:

es = °;	=	4 = 0; 4 = 0,	(6,30a)

где ф₽о = -^=(Фбо — Фео) — начальное значение потокосцеплений фр в мо-
мент времени t = Q.

Потокосцепления и ток статора, выраженные в осях <7, д, связаны
операторной зависимостью [3, 38], где для рассматриваемого случая

фвг = £*;

Фа = Фа-ь;Фз = ФеЕУ9 и z0 = zfe^9.

Имеем следующую операторную связь между выраженными в системе
осей а, р потокосцеплениями и током статора в упрощенной символи-
ческой записи

= х, (р) i'	(Р) С Ч-	(б, 31)

где
, ч (₽) "*	(?)	' ч *rf(p) — Xq(p)

хв (р) ==----2------;	=-------2----- •

Угол 0 в рассматриваемом случае синхронной скорости вращения ро-
тора равен О = 0о~t-t. Угол 0О — у0—Р = 2’ ° = 0 (см. стр. 60).

Уравнение (6,31) носит условный характер, так как решение такого
операторного уравнения с учетом коэффициента являющегося
функцией времени, весьма сложно.

Однако, если пренебречь влиянием активного сопротивления в це-
пях ротора на величину токов и считать роторные контуры сверхпро-
водниками, то

.	* tt Хл "+ XQ	it X d — X

x8(p)^xs =-----—, aye(p)->0s=------—.

В этом случае операторное уравнение (6,31) превращается в про-

стое уравнение



(6, 32)
Беря реальную и мнимую составляющие от уравнения (6, 32), имеем:

фа = [ х"9 -+- у" cos 20] га -ь у' sin 2Qiy -+- Е cos 6;

фр == у" sin 201ж -+ (х9 — у' cos 20) fp -ь Е sin 0.

б) Токи и потокосцепления статора

Учитывая условия (6,30а), получаем:

фрб — Е sin 6

0	х"9 — у'соз 20

(6, 33)

(6, 34)

Так как машина работала до к. з. в режиме холостого хода, то в мо-
мент времени / = 0 ток должен быть равен нулю и, следовательно,

фр0 = Е sin 0О;

. ___Е (sin 0о — sin 0)

$	х"8 — у” cos 20

(6, 35)

(6, 36)

Потокосцепления фа будут равны;

у"9 sin 20

х” — 99 cos 20

Е (sin 0q — sin 0 ) Е cos 0.

(6, 37)

Токи в фазах Ь и с на основании выражения (2,95).

V 3	V 3 Е (sin 0о — sin 0)

/4=~ie=~^=v;h-x';-(x"-x';)coS26

(6, 38)

Как видим из выражения (6, 38), максимальный ток короткого замы-
кания при двухфазном коротком замыкании отключенной от сети ма-
<3	.

шины составляет примерно —х- от тока при трехфазном коротком замы-
&

кании.

в) Напряжения на свободной фазе и короткозамкнутых фазах

Определим напряжение на свободной фазе а при коротком замыка-
нии. Потокосцепления Ф<у = фа‘ч“7ФР0‘ Потокосцепления фа, согласно
формуле (3,14), при отсутствии потокосцеплений нулевой последова-
тельности равны:

<|>a = Re [фа] =фа.

(6, 39)

Напряжение на свободной фазе еа равно:

dtya п [2 (sin 0Q — sin 0) cos 20 -ь sin 26’cos 0

*=л

2y9 (sin 0O — sin 0)sin2 20

— E sin 0,

(6, 40)
где

*92 “ х8 — #ecos 20-	(6» 41)

Максимальное значение напряжения еа имеет место при 0о =—"2 •

В этом случае (то = О, см. стр. 60):

eomax=f( 2^-1 ).	(6,42)

\ )

Потокосцепления фаз статора Ь и с:

1	/3

Ф* = --2

Напряжения на фазах b и с равны:

^ = ев = “4 е«-	«5,

Если место короткого замыкания заземлено, то наибольшее напря-
жение в машине по отношению к земле равно еа — еъ = еа — ес.

Учитывая выражения (6,42) и (6,44), максимально возможное на-
пряжение в машине по отношению к земле равно еа — еь = еа — ее

етя^=^(2-^-1} Е.	(6,45)

Х"1

Если, например, „ =1.4, то максимальное напряжение ещах может
ха

достигать величины 2.7 от номинального.

Если машина включена на линию передачи, то следует учитывать
возможный резонанс для отдельных гармоник за счет емкостных токов
в линий. В этом случае перенапряжения могут быть значительно выше.
Ограничение перенапряжений обычно связано с наличием потерь на
коронирование в линии передачи.

г)	Разложение на гармонические составляющие

Для определения гармонических составляющих тока и напряжения
при двухфазном коротком замыкании можно воспользоваться следую-
щими известными разложениями в ряд [1Г-15]:

__________sin 6________

(xd Ч) ~(x'i— х'я) cos 20 ~~

= —----(sin 0 — 6 sin30 62 sin 50 — 63 sin 70 -t- ...);	(б, 46)

x'd •+• V xdxq

__________cos 6________

(x'd +Xq) — (xd ~Xi) C0S 20
= —-------===- (cos 0 — Ь cos 30 -ь b2 cos 50 — 63 cos 70 •+• ...);	(6, 47)

xq •+• V xdxq

7~Vt--"л—ПГ7'----s —75Г5Г	— $ cos cos40 — .•.)» (6, 48)

(*d ч- хя) - (xd - xt) cos 20 у XdXi

где

(б, 49)

Пользуясь этими разложениями, получаем:

VT Е sin 0л
ib = —ic = -==- (0.5 — b cos 20 -+- b2 cos 40 — 63 cos 60	...) —

Vxdx,

у/ 3 E

—-----------M1  (sin 0 — b sin 30 -+• b2 sin 50 — 63 sin 70 -t- ...).

" . ч/ " "
xd V xdxq

Напряжение на свободной фазе

еа = —Е (1-4-6) (sin 0 — 36 sin 30 -+- 562 sin 50 — ...) —
— 4bEsin 0о (cos 20 — 26 cos 40 -ь 662 cos 60 — ...).

(6, 50)

(6, 51)

Составляющие тока и напряжения, связанные с начальными потоко-
сцеплениями фр0 и пропорциональные величине sin 60, должны со вре-
менем затухать вследствие выделения потерь в обмотке статора.

Первая гармоническая токов статора ib и ic будет равна по ампли-
туде
у/3 е

(i6)(i) = ( М(1) = — /-тгт, •	(6» 52)

xd V xdxq

По мере затухания переходных токов сверхпереходная реактив-
ность x'd превращается в конечном счете в синхронную реактивность xd.
Величину Vx"dx" можно считать равной реактивности обратного следо-
вания фаз х2. Поэтому первую гармоническую токов 4, ic можно запи-
сать в виде:	_

у/3 е

<Ц1) = (—'<0(1) = xjH-xj ’	<6’ 53)

где Xi — реактивность прямого следования фаз, равная в начале пере-
ходного процесса величине xd, а по окончании переходного процесса
величине xd.

Из выражения (6,53) следует, что установившийся ток при двух-
фазном коротком замыкании, отключенной от сети машины, может
быть почти в \/3 раз больше, чем при трехфазном коротком замыкании.

Первая гармоника напряжения на свободной фазе

<еА1)	(б’54)

Коэффициент Ь можно выразить через реактивности х" и х2

b =	н •

хъ + х*
д)	Учет затухания переходных токов и потокосцеплений

Постоянные времени затухания соответствующих переходных состав-
ляющих токов и напряжений можно принять равными:

(6, 55)

где г* — г— омическое сопротивление фазовой обмотки статора.

Переходные токи в фазах бис можно в первом приближении пред-
ставить в виде:

ib = —ic	° s [0.5^12 — b cos 20 -+~ 62 cos 40 — . . .] —

л*2

X [sin 0 — b sin 30	& sin 50 —...],	(6» 56)

где

[уда •	№ S’)

Коэффициент £12 учитывает, что для стоящего поля (s=l) пара-
метры машины могут существенно отличаться от величин x"d и х",
соответствующих бесконечно большому скольжению ротора. В осталь-
ные члены выражения (6, 56) эту поправку можно не вводить, так как
©ни связаны со скольжением ротора s^>2, либо сравнительно малы.

Для турбогенераторов коэффициент

1

V2

для машин с шихтован-

ным ротором он близок к единице.

е)	Переходный ток в обмотке возбуждения, составляющие
тока и потокосцеплений статора по осям d9 q

Дополнительный ток в обмотке возбуждения, вызванный коротким
вамыканием равен:

== (ха — xd) id,

где ток id равен

'2	2

М = "3 Ra cos 0 +• h cos (0 — 120°) •+ ic cos (0	120°)] = ib sin 0 = i^ sin 0.	(6, 58)

Амплитуда первой гармонической от id равна:



(6, 59)
Составляющие тока статора в осях rf, q и комплекс тока i9 = id~^jiq
равны:

Е (^2 sin ®	sin 9о) sin в

I = i sin 0 = —-------7----7------—----;

d Р	х,— cos 20

.	Е (^2 sin ®	sin 0О) cos О

i = i cos О = —-------7,---7,——-------- ;

* р	х8 — cos 20

.	2 .Q . Е sin во —ааг Г» — 79	, / /9	— узО\	(6» 60)

_ J2 (е/3» и- Е-Л») _ ...] _	X

X [(! _ е-/20) _ b (е/20 _ е-У49)	62 (е/49 _ е-уб9) _

где

*2 == (1 - V*2 -ь (— - Xd—— \ Г**** -+-	2-	(6, 61)

\	ХЛ-+-Х2/	\xd~^x2 Xd~*~xb)	xd~*~xl

Потокосцепления статора в осях d, q равны:

Ф*	xd1 d = hE^ xd*di

^q^xqlqi

^8 = k2E4rXdiq-^]Xqiq,

(6, 62)

ж) Электромагнитный вращающий момент

Электромагнитный вращающий момент при принятых приближениях
равен:

л# D Г-1 г • I • ЕЪкъЬ Га Sin 6

Ч = [уф,г J = <^zg - ^id ------------------------тг

х0

/	\2

у"8Е Та sin ©0 — &2 sin 0 j sin 20

//2

*9

(6, 63)

Из выражения (6, 63) легко получить выражение для гармонических
составляющих электромагнитного вращающего момента при внезапном
двухфазном коротком замыкании отключенной от сети синхронной ма-
шины
2Е^	(

Мер = ~~7г-- S&2S— aa,t sin fy) [^12 cos 0 — 36 cos 30 -+• 562 cos 50 —

xd + xz I

xz

sin2fl0 — ^2

[sin 20 — 2b sin 40 -+- 352 sin 60 — ...]

(6, 64)

Поскольку мы при расчете токов и потокосцеплений пренебрегли
влиянием активного сопротивления в цепях, то получили только пуль-
сирующие составляющие электромагнитного вращающего момента.
К ним должны быть прибавлены дополнительные составляющие
вызванные наличием активных сопротивлений в статоре и в роторе.
Потери в обмотке статора равны:



(6, 65)

В нашем случае, учитывая, что для разных гармонических активное
сопротивление статора будет разным, соответствующая составляющая
электромагнитного вращающего момента будет равна:

2Е2 sin2 dtf-2***

ст == —--------7Г~Г>-----(62г*2 + 64г«4	-+- ...) —

Xd*q

$E2k2

И—2)2

(rai 62г>3 -ь 6*г>5

(6, 66)

Здесь r,i — активное сопротивление обмотки статора с учетом вытес-
нения тока для номинальной частоты; rf2 — то же для двойной частоты
и т. д. В выражение (6,66) не включены потери в статоре, связанные
С наличием апериодической составляющей в токе статора, так как эти
потери покрываются за счет расходования электромагнитной энергии,
накопленной в контурах статора (см. главу 8).

Каждая из гармоник м. д. с., вызванных токами в фазах Ь — с,
создает прямо и обратно вращающиеся по отношению к ротору поля,
которые тормозят либо ускоряют ротор, создавая асинхронные моменты,
определяемые наличием активного сопротивления в цепи ротора. Так,
например, апериодическая составляющая фазных токов ib и 4, равная
^3£<?1П 0О f	м.

———s~вызывает тормозящий момент

=	(6.671

х2

где Ri—эквивалентное сопротивление ротора для скольжения s = l

*пуск.

(6, 68)

Л/пуск. — электромагнитный вращающий момент при пуске невозбужден-
ной машины от номинального напряжения при $=1;

/пуск — соответствующий пусковой ток;

г2— эквивалентное активное сопротивление машины для обратного
следования фаз;

Jtji—коэффициент, учитывающий уменьшение эквивалентного актив-

ного сопротивления ротора при изменении частоты токов
в роторе с двойной на номинальную. Для машин с массивным
ротором коэффициент kF1 часто принимают равным у=.

V 2/

Если известны из „круговой" диаграммы соответствующие эквива-
лентные сопротивления ротора /?ъ Т?2, 7?3. .. для различных частот

с учетом вытеснения тока, то, учитывая, что составляющие вращаю-
щего момента численно равны при о)г=1 соответствующим потерям,
имеем:

д	1

= у & = у (i*Rd
откуда

дч₽„ =

Z?2 sin2 во

2
Х2

е-2вв,(1~ б2)(^А-.-^з-*-дЧ* •••)-

£2^

(*^XJ

(1 — 62) (/?2 -Ь Ь2/?4 Н- b*Re -+-



(б, 70)

Здесь /?1, /?2,	эквивалентные сопротивления ротора для частот

тока в роторе — номинальный, двойной, тройной и т. д., с учетом вы-
теснения тока, приведенных к контуру статора. Так, например, актив-
ное сопротивление /?2 = 2(г2—g). Обычно ограничиваются расчетом

составляющих вращающего момента для первых двух гармонических
[6-15, 6-50].

Если известны по „круговым" диаграммам машины комплексы
itd — —тт-г и i9q — —тгт> соответствующие токам для данного скольже-
xd Us)	* х9 \JS)

ния а, то эквивалентное активное сопротивление ротора для данного

скольжения а равно:

s ^4j

l»d 1 td

*9d*td

. •* "

4g~~ l»q

(6, 71)

В формулу (6, 70) введены величины а не у (|а| > 1), так как
с вала покрываются все соответствующие потери в роторе.

Результирующий электромагнитный вращающий момент равен

Ч = ^-Ь^ст.-ЬД^роТ..

Максимальный возможный электромагнитный вращающий момент
при внезапном двухфазном коротком замыкании синхронной машины,
отключенной от сети, можно приближенно считать с учетом пульси-
рующих составляющих по формуле Килгора и Стоуна [6-15]

М& шах

2.6£2
ха-^х2

(14-1762).

(6, 72)

Для турбогенераторов, учитывая вытеснение тока в массиве ротора,
Киршбаум [6-50] предложил следующую приближенную формулу для
расчета электромагнитного вращающего момента при внезапном двух-
фазном коротком замыкании отключенной от сети машцны

[2£2Л2 cos -ь 0О) — kf cos 2 (f -ь 60)] -t-

/	X1-8	/ уГГеаЛ1-8	/ Ek2 V

ч-2(—------) W — rt)-+-vW —--------j (r2”r») + 2[/+jr ) 4» 1(6»73)

\x4-¥-x2J	\xd~^x2/	\xd^x2 J

где
A2 = sin	(6t 74)
6.	ОДНОФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ,
ОТКЛЮЧЕННОЙ ОТ СЕТИ

а) Заданные условия и общие уравнения

Имеем после внезапного короткого замыкания фазы условия

еа = 0; ij = zc —О

в, следовательно, при г, яаО

Фа “ Фео = фа Фо = Фйо cos во = Е cos в0;

2 . .	1 . . л	(

*«— з га> *о— з —о«
где

Фо = У (Фа Ф» Фе) = *0*0-

Здесь фо и z0 — нулевые составляющие. Угол % = То — х (см. стр. 60).

Пренебрегая влиянием активного сопротивления в цепи ротора,,
вмеем:

Фа Фо = Е C0S 0О = (Х» +•COS 20) ’а х0*0 Е cos 0?

„	(6, 76)

фр == g9 sin 20za -+• Е sin 0.

б) Токи и потокосцепления статора

На основании уравнения (6,76) ток ia в фазе а статора, потокосцеп-
ления фр, ф0 и ф« равны:

ЗЕ (cos 6р — cos 6)

(xi-*-xg)-^(xa-x3)cos
2g"(cos 0O — cos 0) sin 20

ЗЕ (cos Op — cos 6) ж

Фо =

Ф.=

2*91	*0

хрЕ (cos Ор — cos 0) 9

2*01 -+ *0

2xq Е cos 0О -+- х^ Е со

+- Z?sin 0;

(6. 77)



о

где

н п и п

п ** + Х Xd-Xq	ff

Х61= —2--------2--cos = х9 У» cos

Формулы даны без вывода их, совершенно аналогичного случаю
двухфазного короткого замыкания.

Как видно из сравнения формул для токов короткого замыкания при
различных видах короткого замыкания [см. выражения (6,38), (6,77)]
максимальный ток короткого замыкания при внезапном однофазном
коротком замыкании отключенной от сети машины может быть почти
в ^3 раз больше чем при внезапном двухфазном коротком замыкании
3

к почти в v раза больше чем при внезапном трехфазном коротком за*
&

мыкании, поскольку величина х0 часто весьма мала.
в) Напряжения на свободных ф^зах

Напряжения на свободных фазах бис равны:

1 \У	3 V3

еь =*== Re [а2ео] ч~ е0 = — у ел “у е0 = у е0 "У вр»

о г т	1 V3	3 V3

&с — Re + eg — eft	-i— ®o 2	2 ^3*

(6,78)

поскольку в рассматриваемом случае ee = ee-t-eo = O и, следовательно,

Напряжения и е0 равны:

^Фа » (cos 80 — cos 8) cos 28 ч- sin 26 sin 6

e? = л = 2y‘E i------------гТТТ-----------------

I	^xei xo

4#* (cos 80 — cos 6) sin2 26)

2------7-y,-----------1 E cos 0;

(2*01ч-хо/	)

J(po f -*osin 0

e^^.dt==E\	2x1 ч-х

V	XQ

хл E cos 8ft — xn E cos 8 u )

40	и и	" . rtfl I

------r -------------- У‘ Sln 20	•

(2x0i 4- Xq)	)

г)	Разложение на гармонические составляющие

Разложение выражения для тока ia (6, 77) на гармонические
ляющие дает

(6, 79)

состав-

ЗЕ cos 60

-•------------------------!£.

le---	------------т- ....

1/1 и *0 1 / ‘

ЗЕ

//	*0

2

(cos О^ь cos 36 ч- 62 cos 56 -+•...),

(6, 80)

где

2

<1 /	//	^0

V 2

х0
2

*о
2

(6, 81)

Первая гармоническая тока статора ia будет равна по амплитуде

ЗЕ	ЗЕ

(6, 82)

где
Если считать, что х0 значительно меньше, чем остальные реактив-
ности, то, пользуясь приближенными вычислениями, имеем

'«(1)

44” 2

(6, 84)

Коэффициент Ьг может быть сравнительно просто выражен через х21

(6, 85)

д)	Учет затухания переходных токов и потокосцеплений

Коэффициент затухания находим приближенно, исходя из следующих
соображений.

Коэффициент затухания апериодической Составляющей равен сумме
омических сопротивлений обмотки статора г<== и заземляющего устрой-
ства га, деленной на соответствующую реактивность для апериодической
составляющей тока, равную	(хв“‘|—~2~)* Учитывая, что

омическое сопротивление нулевого следования фаз =	имеем:

Постоянные времени затухания периодических составляющих опре-

деляются по аналогии со случаем двухфазного короткого замыкания

приближ енными ф ормулами

Ли — "
adl

xd

xd

d Х21-+" Х0

,	1	„ Xd

Т dl— ' —
adl

xd

(6, 87)

1

~ 2 dO '





d

О

Xd xd "* Х21

О

С учетом затухания ток в фазе а может быть приближенно пред-

ставлен в виде:

3Ekj
^d-^x2^xo

(cos 0 -+- cos 30 -+- 6$ cos 50 -+...),

(6, 88)

и ^12, [см* (6,57)].
е)	Переходный ток в обмотке возбуждения, составляющие тока
и потокосцеплений статора по осям d и в

Составляющие тока статора по осям d и q равны:

г'а = ТС08 0; '« = “ Т *’« sin 8

(6,90)

и, следовательно, дополнительный ток в обмотке возбуждения равен:

Gcos9-

(6, 91)

Комплекс тока статора в осях а, р равен:

£ .

3

(6, 92)

а в осях <7, q

(6, 93)

Потокосцепления статора по осям d и q равны:

Фа Мло x’d'd=kiE -+-
Ф9^хд1^
^»^k1E^-xdid^jx\ir

(6, 94)

ж) Электромагнитный вращающий момент

Пульсирующая составляющая электромагнитного вращающего мо-
мента равна:

М.р^

2£2(

х^х^-ь-х*

. Xq
'х^ + ~2~

xd-^x21-^xQ

e—2aai^

4 —*21

*0

Х21Ч- 2

«X [sin-26 -+- 26x sin 46 +• 35$ sin 60 -ь ...] —

— ^e""**1* cos 0O (fcu sin 0 -+ 36x sin 30 -+- 56$ sin 50 -ь ..	.	(6, 95)

Коэффициент kn для машин с массивным ротором близок к »
для машин с шихтованным ротором он близок к единице.
Дополнительный электромагнитный момент, связанный с потерями
8 статоре, будет равен:

х [(^ - 3rJ -ь bl (r,s н- Зг,3) -Ь 6* (г,5 -ь Зг,5)	(б, 96)

Здесь гя1, гз2, — активные сопротивления заземления в нейтрали
С учетом вытеснения тока для номинальной, двойной, тройной и т. д.
частот (см. стр. 151 и главу 8).

Дополнительный электромагнитный асинхронный момент, связанный
с потерями в роторе, равен:

*Чро^

//	*0 \ ( ч ^0 \

х* 2 / h + 2 /

E2kl

(1 - bl) (kl.R, -ь blR3 н- b*Rs + ...)-

(l-bDCR^blR^biR,-^...).

(б, 97)

Результирующий электромагнитный вращающий момент равен

4 =

Для турбогенераторов, с учетом вытеснения тока, Киршбаум [6-50]
предложил следующую приближенную формулу для расчета электро-
магнитного вращающего момента при внезапном однофазном коротком
замыкании отключенной от сети машины

где

Е*

krE

1.8

[2к1А1 sin (t —i— 60) — £2 sin 2 (t -+- (Q] •+-

Х*+ХП

Аг = cos 60e“”a«1#.

У2ЯЛ1
4“l“-r214“^o

(6, 98)

(6, 99)

—

7.	ДВУХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ,
ОТКЛЮЧЕННОЙ ОТ СЕТИ, НА СВОЮ НЕЙТРАЛЬ

а)	Заданные условия и общие уравнения

Рассматриваем случай внезапного короткого замыкания на нейтраль
машины фаз бис.

Условия после короткого замыкания

еь = ее = 0;	= 0.	(6,100)
При пренебрежении влиянием активного сопротивления в цепи ста*
тора

Фд=Фйо; ф<?=фсо;

2

вв = 2ео=з- еа; ер=0;	=	(б Ж)

Фа — 2ф0 = фа0 = Е COS 0О;

Фр = Ф₽0 = Я81п 60«

Связь между потокосцеплениями и токами в осях а, р имеет вид
[см. формулы (6, 33)]:

Фа — 2Ф0 = Е cos 0о == ч- #"cos 26) ч- 2x0]fa -+- у"sin 26zp ч- Еcos 0;

фр = Е sin 0О = у"8 sin 26zа ч- (x"g — у* cos 26) z’p ч- Е sin 6.

(6,102)

б)	Токи статора

Токи 1Л и Z на основании выражений (6,102) после некоторых пре*
образований равны:

х" cos 90 — х" cos 0 — у" cos (26 — %)

’« = —10= 2£------------2------------------,

^2°	,	(б. 103)

. _	(х"» + 2*0) sin 0о — (х« 2xo) sin 0 — sin (20 — 0о) .

где

п2о = x"d (хя 2хо) хя (xd +• 2*о) ~ lxd (xq + 2хо) — x"q (xd 2хо)] cos 20 =

= 2 [2х0х" -+- xl - 2х0у" cos 29].	(6,104)

Разложение на гармонические может быть произведено на основании
формул типа (6,46)—(6,48) с коэффициентом 62о равным:

V хя (xd	2*о) — V4 (хя	2хо)

Vх“ (х'й -+- 2х0) н- Ух’а (х" -ь 2х0)

Мы не приводим это разложение ввиду громоздкости соответствую*
щих формул и простоты их вывода.

Первые гармонические токов Za и равны:

2Е cos 6

2Е sin 6
Апериодические составляющие токов равны

Уx"dx"q (xd ч- 2х0) (x"q ч- 2х0) — х^х"

==--------- - • .. .	•	... г.- ..— Е cos 0q:

2*0 Vxdxg (xd +• 2x0) (xg	2*o)

E sin 0o«

(6,107)

При симметричном роторе x"d — х"^ = x2

E cos 6q
'“= = x2 4-2r0 ’

E sin @o
l3==~^~

(6,108)

Составляющие постоянного тока id_, i по осям d, q, соответ-
ствующие первым гармоническим токов статора, равны:

• _ 1 Г *«(1)	*Р(1) 1 .	. —о.

i= 2 . cos0	sin 0 J ’	,?—

(б, 109)

в) Учет затухания переходных токов

Коэффициенты затухания апериодических составляющих тока статора
по осям а и р в рассматриваемом случае будут разные, см. [1А-26]

г»= -*-2г0
~ *20а -+- 2*о ’

(б. НО)

где

2*о V xdxq (xd ч- 2х0) (х" ч- 2х0)
V*Х (xd 2*о) (*«	2*о) — x'dx'g

(6,111)

а_ —------

3	*200

Коэффициенты затухания периодических составляющих, связанных
с затуханием токов в роторе, равны:

где

„	„ xd xd-^x<d>	
ad.—ad ' •	"	;	
e	
r	, xd xd^XeO	
* r	«  Л Xj	v , -4— jr  ®	xd xe0	
_	*20*0	.	_ *20a  *°	*20 4-*o ’	20 ~	“*~X20₽ 2

(6,112)
Приближенные выражения для токов статора ie с учетом затуха-

ния имеют вид:

'» = '^7 { IX C0S 0 ~ (ХЯ	2хо) Sin 0] *20 —

— 4 [(4 “* Xl) COS 0О — (Xd — Х1) Cos f20 — 9о)1 6-*а*

[(х<1 хя	4^о) sin 0о~<4 - xq)sin(20 — 0о)»“V) ;

Zr	/

if e {Xcos 0	sin 0 Jk*> ~~

— 4 xt) c°s °_ (x"<i ~ xt) c°s (2e - Mi

H-4x0)Sin6o — (x"d — x")sin (29 — 0O)]s“ep4 ?

25	J

(б, 114)

(6,115)

г)	Напряжение на свободной фазе

Напряжение на свободной фазе определяется как
d .

ea=~dt *•’

(б, 116)

где

Ф, = Ф« Фо = Ф« -+- хо'о = Ф« ~ ха>. =
= (х" — х0 н- g" cos 26) ia -+- у" sin 26/р ч- Е cos 9.	(б, 117)

д)	Дополнительный ток в обмотке возбуждения,
составляющие тока статора по осям d, q

Дополнительный ток в обмотке возбуждения равен:
д//=(ха — хл)'ч>
где

fd = Re [('« *" i'p) 6~У®] ='« cos 0 г‘з<!in 0-

Для расчета апериодической составляющей тока в роторе можно вос-
пользоваться выражением (6,109) с учетом формулы (6,106).

Токи статора id и /г по продольной и поперечной осям d и q с уче-
том затухания равны:

1< ~ [x»s-ae/ cos 90 — У»е-вя< cos (2® — 9о) — cos 9] cos 9

-+	[(«” +' 2дг0) «““р1 sin90 — sin (26 — 60) — (х"ч- 2х0) *r2osin0] sin 9!

ig = —i. sin 6 ч- cos 6 —	[*^20 cos 0 ~	cos 60 ч-	^6’ 118>

4- y’e—•* cos (26 — 60)] sin 6 —	[(x" 4- 2x0) i20 sin 0 —

— (x" 4- 2x0) e-У sin 60 -ь gjT*»* sin (26 — 6j] cos 6.
е) Электромагнитный вращающий момент

Пульсирующая составляющая электромагнитного вращающего момента
приближенно равна:

М>Р ** Ч [V - « - *-)' «]•	(б. 119)

где id и iq определяются по выражениям (6,118). Выражение для
развернутое по f, мы не приводим ввиду громоздкости.

В первом приближении для машины с неявнополюснЫм ротором

= с точностью до первых двух гармонических, пульсирующая
составляющая электромагнитного вращающего момента равна:

£2

Мвр	[*2ое~а0/ sin 0о cos (* М ~ °-5*20 sin 2 (f -ь во)1 ““

~lAo6"-*®* COS % sin “* М — °-5*20 sin 2 (* -*- 9о)]“

(6,120)

Дополнительные составляющие электромагнитного вращающего
момента, вызванные наличием активного сопротивления с той же
степенью точности

ДЧ>ст.	"2/ "	9 Y2 L2 (*/ Х0 XdXo) Г8

xd \xd *хо)

7 cos 0(Л2 / sin 0О \2

\	Z-^2jr	)	I	V'	)

\	Xd^£X0	/	\	xd	/

(б, 121)

Результирующий электромагнитный вращающий момент равен:

мв^мер + швсТ+швроТ'.

Для расчета электромагнитного вращающего момента в турбогене-
раторах, с учетом вытеснения тока, при внезапных двухфазных корот-
ких замыканиях на нейтраль отключенной от сети машины Кирш-
баум [6-50] предложил приближенную формулу

М, = 77-----“х2*0~\ С2Л^20 COS *” М ~ 2Ла^20 Sin (f -F 60) —

\	*2-+-*0/

V2 ЕАЛ ’
//	*2*0

_ Xd X2 -b Xq ,

(r2 — ra) — 2

V2

ft X2Xq

Xd '**’ х2 -ь XQ

Е^20 У *2*0 x0

xdx2 + x^o -+- xoXd
где

Г х2 cos Ор ~1	»й+«2+4*о

Л« —|_2(л-2-ьх0) Je

2re__

Г 2*о)sin е°~| я'а+х2

L 2(х2 + х0) _]е

(6.123)

Активное сопротивление заземления га Киршбаум, очевидно, считал
равным нулю.

8. ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ РАСЧЕТА ВРАЩАЮЩИХ МОМЕНТОВ
ПРИ НЕСИММЕТРИЧНЫХ КОРОТКИХ ЗАМЫКАНИЯХ,
ОТКЛЮЧЕННОЙ ОТ СЕТИ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Приводим несколько численных примеров приближенного расчета
вращающих моментов при разных видах внезапных коротких замыканий
отключенной от сети синхронной машины, для ориентировочной оценки
порядка величин составляющих.

а)	Явнополюсная синхронная машина с демпферной обмоткой [6-16]

Параметры машины и данные режима:

xrf = 0.8; х£ = 0.55;	x'rf = 0.3; ^ = 0.20; х" = 0.26; х0 = 0.1;

х2==0.23; re== = 0.007;	г2 = 0.02; Г^о==24ОО; 7^ = 900;	2%' = 125;

Т'2 = 1250;	7^ = 1350;	7’"2 = 155;	Т'^160; Та = 33; Та1 = 25; Е=1.

Электромагнитный вращающий момент равен:

При двухфазном коротком замыкании (®о—

Ме2 —(О.97е“°-оз/ ч- О.94е“°-ози ч- 0.44£“°-О37/) 2.05sin t ч- (0.43 ч- О.87е“°-ооо8/ ч-

ч-	О.41£~о-о()6/ ч— О.39£~о-007* ч- О.41£“0-001в* ч- 0.09£"“°в013/ ч- O.37£~°-o6/) sin 2t — 0.6;

max ^7.2.
max

При однофазном коротком замыкании (0о = О):

МЛ —(0.88s-0-044 ч- O.7s--00414 ч- 0.3s-°’0464) 2.05 sin t ч- (0.46 ч- 0.73s-0-00074 ч-

ч-	0.31s-0-0084 -+- 0.24s-0-0074 ч- 0.29s-0-00144 -+- О.О5е-0-01254 н- О.37е-0-064) sin It — 0.6;

Ч1тах^5.45.

Для сравнения приведем приближенное выражение для вращающего
момента при внезапном трехфазном коротком замыкании

M.z —(1.25s-0-034 -ь 2.08s-0-0314	1.66s-0-0384) sin t ч- 0.58s-0-064 sin t — 0.5;

Чзтах^5-0-

Как видим, наибольший вращающий момент имеет место при двух-
фазном коротком замыкании.
б)	Неявнополюсная синхронная машина
с демпферной обмоткой [IA-26]

xJ==x" = x2==0.10; x'rf = 0.14;	xrf=1.25; хо=±О.Ю;

r^O.002; r2 = 0.03; r0 = 0.003;	^ = 0.04; 7^0=18;	7^ = 2500; E=l.

Двухфазное короткое замыкание =	:

___t_	2i

—10Лгое 50 sin t ч- 5£2 sin 2t — 1.5£? — 4s 50

где
________________________________t~	___t__
k2 = 0.167s 15 -4- 0.685e 445 ч- 0.148;

Однофазное короткое замыкание (% = 0):

__t_	2t

—6.67^6 43 sin t ч- 3.33&2 sin t - 0.7^ — 1.78s 49 ,

где
________________________________i_	___/
*i==0.118t 16	0.675s 586 -4-0.207.

Двухфазное короткое замыкание на нейтраль (0о = -^ :

______________i_	_
Чго —1о*2ое 50 sin f 3.33^0 sin 2t — O.77^o — 4s 60 »

где
t	___t

*2о== 0.210s 14 ч-0.675s 366 ч-0.115.

Трехфазное короткое замыкание*
_____________________________t_	21
Мв3 —10*38	50 Sin t — 0.2^з — 4s 50 •

где
______________________________t_	___i

*3 = 0.286s 13 — 0.634s 280 4-0.080.

в)	Турбогенератор [646]

Параметры машины и данные режима:

xa = xq = lA; х^ = 0.20; x^==xq = x2 = 0,12; хо = О.О6; Г^ = 500;

Tj = 60; Та = 60;	7^ = 50; гв= = 0.002; г2 = 0.025; Т^ = 800;

Tfdl = 500;	Td2 = 75;	Т= 80; Е = 1.

Электромагнитный вращающий момент при расчете по формулам
Киршбаума [6-50]:
При двухфазном коротком замыкании

~2 (О.66е”~о,о17/ ч- 2.45е-°-018* ч- ЬМе^0-03*) sin Лч-

Ч- 4.2 (0.16 -+- 0.578-~°-0013/ Ч- 0.25е-°’°Ш) sin 2t — 3; Л^тах 13.5.

При однофазном коротком замыкании (0о = О):

Мв1 —2 (0.63е”°-017/ ч- 2е-^°-017/ ч— О.7е“°-030 sin t ч-

ч- 3.3 (0.19 ч- О.6е~°-оош ч- О.21г-ол)13/) sin 2/ ~ 1.8;	М91 ш„ 9.&

При трехфазном коротком замыкании:

Л43	—(О.71е-°-оШ ч- 4.38-°-ош ч- З.Зе~°-034/) sin t — 2.1;	Л/«3тах 10.1.

9.	НЕСИММЕТРИЧНЫЕ КОРОТКИЕ ЗАМЫКАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ»
ВКЛЮЧЕННОЙ НЕПОСРЕДСТВЕННО В МОЩНУЮ СЕТЬ

Несимметричные короткие замыкания машины, включенной в беско-
нечно мощную сеть, можно рассматривать как наложение на суще-
ствующий режим процесса, вызванного включением на напряжение,
равное и противоположное тому, которое было до короткого замыкания.

Комплекс напряжения статора, выраженный в системе осей, связан-
ных со статором, может быть представлен в виде

2

= "$ (еа •+- аеь ч- а2ес) = ел ч- je^

/2тс'
где ел, еъ и ее— мгновенные значения фазовых напряжений, а = е 3
и

еъ ~~ 2	““ £<?)•	(6, .124)

Однофазное короткое замыкание фазы а на нейтраль в сети равно-
сильно наложению процесса включения машины на напряжение — еа;
двухфазное короткое замыкание фаз b—с — наложению процесса вклю-
чения машины на напряжение — (еь— еб).

Если напряжения еа, еь и ес составляли до короткого замыкания
систему прямой последовательности, то —&ел=	=

При ea = eOTcos (/-*-у0) имеем

-	| ет cos (f -+- То) = ‘У’ [еЛ*+7о) ч- е~^/+Т°)];	(6, 125)

_ Лез=7Г Ccos (г То ~ Т")_ cos 0 70 “ х)]=

= ет sin (£ ч- т0) == — j	— е“Я*+То)]в	12g)

Таким образом, требуется рассмотреть процесс включения машины
на систему напряжений прямой последовательности ез1 и обратной
последовательности еа2, характеризуемых комплексами:

в , _ _ 12. еЛ*+То) _	/О+То).

ев1-------3 е ~ 3

Е-/«+То) _	-Х,+То).

3 е ~ 3 8

То = То 71

(б, 127)
для случая однофазного короткого замыкания на нейтраль в Сети и

в , _ _-£2. е/«+то)_ Jz.

еа1-----2	— 2

, ,ч 7б = То=’'

-	о _ -f2. ,-Л^+То)_«2. e-A<+W;

е,2— 2 8	—	2

(6.128)

для случая двухфазного короткого замыкания.

Потокосцепления фв1 и фв2, связанные с системами напряжений
прямой и обратной последовательности, выраженные в собственной
системе осей, будут при пренебрежении влиянием г9 равны в опера-

торном виде:

Фя =

Ф«2==

Здесь

еП .

p-t-jur 5
е*2
p-t-j^r ;

281 = е01 • е Л

е«2 == еа2 ‘

(6,129)

t

0 = J birdt -ь Оо;
О

в0 — начальный угол между осью фазы а и продольной осью

ротора d.

В функции
ротора шг = 1,

времени при неизменной синхронной скорости вращения

Ф«1 == j1 (1 —е =фею Фш;

в «о

Ф«2 = — “J” (1 — е<7*) = Ф«20 + Ф«21,

(6,130)

поскольку в ©том случае е91 имеет частоту, равную нулю, a ef2 — ча-
стоту, равную 2.

Пользуясь операторным уравнением, ф, = хв(р)/„ связывающим
потокосцепления с током в собственных осях, нетрудно найти вели-
чины токов, связанных с потокосцеплениями фн и фв2, как в случае
однофазного короткого замыкания на нейтраль в сети, так и в случае
двухфазного короткого замыкания. Вместо аналитического решения
можно воспользоваться графическим построением, которое следует
произвести аналогично представленному ранее для напряжений прямой
и обратной последовательности, независимо друг от друга.

На рис. 6-8 представлена векторная диаграмма для случая внезап-
ного двухфазного короткого замыкания синхронной машины с сим-
метричным ротором, включенной в бесконечно мощную сеть. На диа-
грамме показаны величины eel, ef2 в неподвижной системе осей,
связанной со статором.

В этом случае напряжение —ед изобразится пульсирующим по
величине горизонтальным вектором, равным по величине —ер, который
раскладывается на два вращающихся в противоположных направлениях
вектора еа1 = е91е^ и ео2 = е,2е”^, имеющие половинные амплитуды.

Токи Zel0, i911 и /,12 переходного процесса, вызванного включением
напряжения прямой последовательности е919 определяем, как было
изложено ранее, по „круговой" диаграмме, затем поворачиваем по
часовой стрелке на угол =	в соответствии с фазой век-

тора
Токи /,20, z«2i и /,22, связанные с включением напряжения обратной
последовательности е,2, определяются из той же круговой диаграммы,
причем установившийся ток /,20 определяется для скольжения $2 = —2,
а переходный ток /,21— для скольжения $21 =—1.

Затем эти токи поворачиваются на угол у'а по часовой стрелке
в соответствии с фазой напряжения е,2.

Геометрическим местом результирующего установившегося тока
(с учетом имевшего место до короткого замыкания) /в0 = /,10-4- /в2о будет
эллипс.

Рис. 6-8. Векторная диаграмма для случая двухфазного короткого замыкания син-
хронной машины с симметричным ротором, включенной в бесконечно мощную сеть.

*зо» *«ю» *«20» Ч»П, *6о» *со — установившиеся значения токов; i,n, i8n, i82U z,22 — свободные затухающие
токи (представлены в момент t = 0, без поворота на угол 7а); а21 = ац, а>с2 =	= а>с а22	Л12^'ат1

а — коэффициенты затухания; <ос — собственная частота, Та =Та + я.

Коэффициент затухания аа1 для составляющих /#11 и ф,п определится
абсциссой точки $1 = —1, как показано на рис. 6-8.

Коэффициент затухания аа2 для составляющих /,21 и ф,21 опреде-
ляется аналогично абсциссой точки $1 = —1 и, следовательно, аа2 = ал1«
Составляющие эти будут почти неподвижными по отношению к ста-
тору. Их небольшие скорости вращения а)с1 и а)с2 определяются
из диаграммы так же, как и в случае включения в сеть. Как видим,
в рассматриваемом случае <ос2 = шс1. Переходные составляющие /,12,
/«22 будут вращаться на диаграмме со скоростью, близкой к ско-
рости вращения ротора <ог=1 по часовой стрелке, затухая с коэф фи-
циентами затухания а'21= а22 аг’ близкими к </. Величина а'г также
определяется из „круговой" диаграммы, как представлено на рис. 6-8.

Фазовые величины могут быть определены из диаграммы как проек-
2тс
ции векторов на три неподвижные оси, расположенные под углом -у ,
причем ось фазы а располагается вертикально.

Вращающий момент определяется взаимодействием всех составляю-
щих потокосцеплений фв10, фш, фв20, Фш со всеми составляющими токов
«10»	^«12» ^«20> ^«21, ^«22*

Рис. 6-9. Векторная диаграмма для случая установившегося двухфазного короткого
замыкания синхронной машины с асимметричным ротором без демпферной системы,
включенной в бесконечно мощную сеть.

Следует при этом учесть, что фа10 отстает от е81 на угол у, а фв20
тс

опережает es2 на угол -х-.

На рис. 6-9 представлена векторная диаграмма для случая устано-
вившегося двухфазного короткого замыкания синхронной машины
с асимметричным ротором без демпферной системы. Учет асимметрии
производится совершенно аналогично изложенному для случая вклю-
чения в сеть. На рис. 6-9 показано расположение векторов тока через
определенные промежутки времени.

Если машина не была включена в сеть до короткого замыкания,
а работала перед коротким замыканием в режиме холостого хода, то
процесс внезапного несимметричного короткого замыкания будет про-
исходить существенно иначе, как это видно из изложенного. Физиче-
ское объяснение заключается в том, что при несимметричном коротком
замыкании из режима холостого хода меняются параметры системы.
Аналогично рассмотренному случаю внезапного двухфазного корот-
кого замыкания включенной в сеть машины, с помощью токовых диа-
грамм могут быть определены токи и электромагнитные вращающие
моменты при внезапном однофазном коротком замыкании на нейтраль
в сети машины, включенной в мощную сеть, и других видах коротких
замыканий.

В ряде случаев эти задачи проще решать аналитически, особенно
в том случае, когда после короткого замыкания имеется асимметрия
параметров фазовых контуров статора. Соответствующее рассмотрение
представлено в главе 7.

10.	ВТЯГИВАНИЕ В СИНХРОНИЗМ

Если ротор развернуть до скорости, близкой к синхронной, вклю-
чить в сеть и дать возбуждение, то синхронная машина, как правило,

втянется в синхронизм, т. е. ротор ее начнет вращаться со скоростью,

Рис. 6-10. Зависимость вращающего момента
от рабочего угла при втягивании машины
в синхронизм.

щающий момент ML (рис. 6-10). Пусть

соответствующей частоте сети.

Если не учитывать измене-
ния демпферного момента при
изменении скольжения, то воз-
буждение создает пульсирую-
щий вращающий момент кото-
рый сам по себе не может
быть причиной обязательного
втягивания машины в синхро-
низм.

Пусть машина вращается
с некоторым скольжением, при
котором асинхронный (демп-
ферный) вращающий момент Md
покрывает приложенный вра-
возбуждение включается в та-

кой неблагоприятный момент времени, когда оно создает тормозя-
щий вращающий момент. Машина начнет тормозиться. При этом демп-
ферный момент будет увеличиваться, а синхронизирующий момент будет
изменяться таким образом, что угловая характеристика получит вид,
представленный на рис. 6-10. Вследствие наличия скольжения угол бу-
дет изменяться. Когда вертикально заштрихованные площади будут
равны, скольжение станет равно начальному. Если горизонтально за-

штрихованная площадь достаточна для компенсации отстающего сколь-
жения, то машина останется в синхронизме.

Математически этот критерий выразить точно довольно трудно.
Нужно учесть, что так как ток возбуждения нарастает не сразу, угло-
вая характеристика синхронизирующего момента будет отличаться от
статической.

На практике пользуются полуэмпирическим критерием для макси-
мального скольжения, при котором обеспечено втягивание в синхронизм
с учетом номинальной нагрузки [1Б-52]:

з < 1,05

1 Г Мт — 0,6 COS <?

V н

(6,131)

где Мт и Н определяются по выражениям (1,13) и (1,10).
Физически критерий, выражаемый формулой (6,131), соответствует
условию, при котором наибольшее возрастание скольжения при включе-
нии возбуждения в неблагоприятный момент времени не было меньше
двойного начального скольжения.

П. НЕСИНХРОННОЕ ВКЛЮЧЕНИЕ В СЕТЬ ВОЗБУЖДЕННОЙ СИНХРОННОЙ
МАШИНЫ ПРИ СИНХРОНИЗАЦИИ С СЕТЬЮ

а)	Постановка задачи и принятые приближения

При обычной синхронизации синхронной машины с сетью напряже-
ние машины доводят до напряжения сети, разность фаз напряжений
генератора и сети доводят до минил ума и включают машину в сеть
с небольшим толчком тока и вращающего момента.

Однако бывают случаи ошибочной синхронизации, когда вследствие
неправильной работы аппаратуры машину включают в сеть с большой
разностью фаз, с большим скольжением, либо при неравенстве напря-
жений машины и сети.

Ниже рассмотрен случай включения явнополюсной синхронной ма-
шины, имеющей внутреннюю э. д. с. Е, в мощную сеть, имеющую на-
пряжение е.

Пусть напряжение машины Е в момент включения опережает на-
пряжение сети на угол 80, т. е. ротор машины в момент включения
находится в положении, соответствующем генераторному режиму с ра-
бочим углом 80, а скольжение ротора машины равно

Принимаем следующие приближения:

1)	Влиянием активного сопротивления в цепи статора г, на ампли-
туды и фазы токов пренебрегаем. Учет влияния активного сопротив-
ления г9 производится только введением коэффициента затухания
апериодических составляющих токов и потокосцеплений.

2)	Скорость вращения ротора неизменна и равна <or = 1 — $, где s
скольжение ротора. Величина s принята положительной для случая,
когда скорость вращения ротора меньше синхронной. Угол расхожде-
ния фаз напряжений машины в сети в переходном процессе будет
равен

В = Bq - St.

3)	Рассмотрение производится с учетом неограниченного числа
контуров в роторе и с учетом несимметрии ротора. При этом влиянием
пульсаций апериодической составляющей тока статора, вызванных
асимметрией ротора, пренебрегаем. Эта пульсация создает небольшие
быстро затухающие высшие гармонические электромагнитного вращаю-
щего момента, влиянием которых можно пренебречь.

б)	Напряжения и потокосцепления

Ведем рассмотрение в системе синхронных осей, в которой обычно
представлены „круговые" диаграммы машины.

В этой системе напряжение сети

e3=je.	(6,132)

Потокосцепления статора от напряжения сети при включении в сеть
равны

Ф, = е (1 - *1£-/) = ф,0 -ь фп,	(6.133)
где кг— коэффициент, учитывающий затухания апериодической состав-
ляющей, равный

*i =	(6,134)

и

(S'1351

Влиянием мнимой составляющей в выражении (б, 135), учитывающей
небольшую скорость вращения апериодической составляющей по отно-
шению к ротору, пренебрегаем, см. формулы (5,16), (5,42).

В приближенных расчетах аа = —, где х2— реактивность обратного
*2
следования фаз; г = гв=.
Потокосцепления статора, вызванные возбуждением со
ротора Ф(и, равны:
ф(в) = шг^1е-ЛеА
в) Токи статора

Ток статора, вызванный питанием со стороны статора,
ia = iaQ *si +-
где 40 — установившийся ток;
i81 — апериодическая составляющая тока;
/а2— периодическая составляющая тока.
Для определения 40 учтем, что

Фл>6-у8 =	у, ('*<№)•

где
Xd Xq	Xd — Xq

x9 = 2 ’’	= 2— ’

Из выражения (6,138) следует:

Хз —
XdXq е‘

Ток i81 равен:

Zsi = -1 (^Т=/<М * х?(Лм)
где ilm— начальная амплитуда тока i81 при е = 1, а угол
?i = <Рю

стороны

(6,136)

i9 равен:

(6,137)

(6,138)

(6,139)

(6,140)

равен:
(6,141)

Угол (—<Pi0) — начальный угол комплекса (—itl) — принят отрица-
тельным, как это обычно имеет место на „круговой" диаграмме.

Величину ilm в первом приближении часто принимают равной
1/1 1 \
~9 I —  77 | •
1 \ Xd	Xq)

Ток /,2 имеет начальное значение

(i«2)<=o = '2me

(6,142)

В дальнейшем ток /12 вращается на диаграмме против часовой
стрелки со скоростью $ и затухает с коэффициентами затухания,
зависящими от соотношения параметров в контурах ротора. Однако
затухание по продольной и поперечной осям различно, поэтому нужно
разбить ток ze2 на продольную и поперечную составляющие.

Пусть затухание по оси d характеризуется коэффициентом
а затухание по оси q — коэффициентом k2q. В таком случае, по ана-
логии с выражением (6,138),

= \k2di2m cos (о -Ь <р2) — sin (S -+- <р2)]	(6, 143)

откуда

in = (k2xi2me~^ ч- k^Si2m^) е.	(б, 144)

Здесь i2m — начальная амплитуда тока i,2 при е = 1. Эту величину
часто в первом приближении принимают для случая симметричного
ротора равной:

Угол <р2 равен:

?2 = ?2о stt	(6,145)

где (—<р20) — начальный угол комплекса ie2— принят отрицательным,
как это обычно имеет место на „круговой" диаграмме.

Коэффициенты, учитывающие затухание,

—

&2q

2

7 ____ k2d — k2q

*2У — О

(6,146)

Для определения коэффициентов, учитывающих затухание тока ie2
по продольной и поперечной осям, принимаем, что продольная состав-
ляющая тока is2 состоит из п составляющих, затухающих с коэффи-

циентами затухания ald, a^, a^, .. ., awtZ, а поперечная состоит из т
составляющих, затухающих с коэффициентами затухания а1?, а2?,

В таком случае





j

k2d =

к2ц —



i%m

(6,147)



Начальные значения коэффициентов k2d и k2q равны единице.

Составляющие Ы • • •	Л?, z\ • • • imq> а также соответствую-

щие коэффициенты затухания могут быть найдены из „круговых"
диаграмм машины, как это изложено в главе 11.

В приближенных расчетах часто принимают

(6,148)

Ток статора, вызванный возбуждением со стороны ротора, равен:





k i S	:	^2d -*_ £ i eJ(28 + TmZ)

Klllmd*	K2yl2md&
Ток z’lmd® равен

-Л.Л e-yZ
11яи,е =

т. е. определяется по параметрам для осей d и q.

Угол <plrf равен:
== ?ldo

(6, 150)

(6, 151)

где (—<plrf0) соответствующий начальный угол.

Ток	также определяется параметрами осей <7, q и равен:

i%mdt ^2d =

/ 1

\х« (“"-О

(6, 152)

Угол <р2^ равен



(6> 153)

где (—<р^0)— соответствующий начальный угол.

г) Электромагнитный вращающий момент

Электромагнитный вращающий момент при несинхронном включении
в сеть возбужденной машины будет равен без учета составляющей,
связанной с потерями в статоре,

M, = Re {/	о-;-«•«)} =

= Re {j [е (1 -	-+- EzJt%z	(г* ч- i*})) .

(б, 154)

Определим сначала электромагнитный вращающий момент M«(fco),
имеющий место при отсутствии возбуждения со стороны ротора, т. е.
когда Е = 0 и /(,) = 0.

^e(fco) — е2 1 2

[— sin 2b -+- sin (t -+- 2b)] —	/~-

xdf	* \xd

+ hmki [sin (/ -+- <p10) — &i sin cp10] — i2mk2x [&i sin (urt — <p2o) *+sin ?2o)] -+-
i2mk2y [sin (2b -+- <p2) — kr sin (2b -+- cp2 *)] I •	(6, 155)

В грубом приближении составляющую М»(&=о) принимают равной нулю.
Таким упрощением в ряде работ пользуются [6-50], хотя оно
в принципе недопустимо.

Составляющая электромагнитного вращающего момента, вызванная
наличием возбуждения со стороны ротора, равна:

(6, 156)

где

= Re {j (1 - k^) e . ,•;,)} ;

АЙМ, = К.	.
Эти составляющие после раскрытия соответствующих произведений
комплексов равны:

= кгЕе	“) sin (Z — В) у (— — —) sin (£ 2В — Во) -+-

I * \Xd Xq )	* \Xd Xq /

Ш Sin (Bo -+- <p10) к^Ят sin (<M ~~	“ ?2o) -+"

~b ktyizm sin (<M Bo -+- <p2o)J >	(6» 158)

—-----sin $	--- sin (*"*”$) —

xd	Xd

- Ee {Мы [sin (' - 60 ?Wo) -b sin (60 - ф1<го)] -

- Мы Н kisin (“/	“ W sin (sf - 8o W] “

- [Sln (3B0 +’ ?2rf0 ~ st) ~ kl sin (3B0 Ъао ~b “/)] };	(6’ 159)

W == -*1£2 1	S,n TldO Мы sin (“/ - W

k2^ Si“ (' * 2B0 * M } •	<6’ 16°)

Кроме полученных составляющих вращающего момента, следует
учесть еще одну &ГМ, связанную с потерями в активном сопротивлении
статора г8 при наличии возбуждения ротора. Эта составляющая, тор-
мозящая ротор, при больших токах в статоре может играть сравнительно
существенную роль.

Учитывая, что единственная составляющая потокосцеплений статора,
пропорциональная г9 (с точностью до гя в первой степени), равна r
имеем

ЬГМ. Ъ -г, Re {i(,0) [ i*w н- rrt]} = ДГ1Ч н- Дг2л/,.	(6, 161)

После раскрытия комплексных произведений получаем

△Г1М = — —- s — — k^md COS (corf -+- <р1€г0) -+-

-+~ i%md \к%в COS ^2<?0 "* cos (2$0	?2<?о) { *

(6, 162)

Аг2^ = —	~	“ -+- к^хт cos (В -+- <рх) — k^dibm COS (Во -+- ср201 ? • (6,163)

•*а <	>*«	)

Составляющая ^Ме имеет постоянную и затухающие составляющие
неизменного знака и, кроме того, пульсирующие составляющие, по-
скольку углы <р и 8 являются в общем случае функциями времени.
При симметричном роторе, пренебрежении влиянием потерь в роторе
на &гМе, 8 = 0 и синхронной скорости вращения

= -

г8 Е* / £2 ~ *1 COS t ! 1 — ^2 \ .

Xd \	Xd )’

(6, 164)

Дг2^е ==:

rsEe / k% — ki cos t
\ xd

, 1~*2\
xd /

(6, 165)

Результирующий электромагнитный вращающий момент М8 равен:

Afe —	-+- &E1Me +•	“*	.

(6, 166)

В опубликованной литературе [6-15, 6-50] рассмотренную задачу
решают обычно только для случая симметрии ротора, отсутствия зату-
хания (коэффициенты к равны единице), отсутствия потерь в роторе
и статоре (<р10 = <р20 = 0, ДгЛ/е = 0), синхронной скорости вращения ро-
тора ($ = 0) и случая равенства амплитуд напряжений Е = е.

Нетрудно для этого частного случая получить из представленных
формул (6,155)—(6,166):

Ее	Е

М8 ~	—sin & (1 — cos t) -+- — (ecos Ь — E) sin t =

xd	xd

Ее	Г	ST E(E—e)

= — —7Г sin b l-i- cos t tg -7Г sin t —-7,—sin t,	(6, 167)

xd	L-	2 J xd

При E=e получаем широко распространенную формулу для случая,
когда 8 соответствует генераторному режиму [6-15, 6-50]. Если машина
включается в сеть через реактивность xf, то к реактивности x"d должна
быть прибавлена реактивность хе.

Несмотря на распространенность упрощенной формулы (6,167),
ею нужно пользоваться с большой осторожностью. Это ясно, напри-
мер, из того обстоятельства, что с той же точностью Me(#=o) = O, в то
время как в действительности при включении в сеть невозбужденной
вращающейся машины могут иметь место значительные переходные и
установившиеся вращающие моменты, что известно из обширной прак-
тики эксплуатации асинхронных и синхронных машин.

Представленные формулы дают возможность с достаточной точ-
ностью определить токи и вращающие моменты при включении в сеть
возбужденной синхронной машины, с учетом влияния начального сколь-
жения, угла рассогласования напряжений, асинхронных вращающих
моментов, вызванных наличием потерь в роторе, влияния затухания
из-за наличия активных сопротивлений в статоре и роторе и др.

д) Электромагнитный вращающий момент при включении
в сеть на две фазы

Бывают в практике эксплуатации случаи, когда при включении ма-
шины в сеть она вначале включается только на две фазы ввиду неод-
новременного замыкания контактов выключателя.
Пусть напряжения машины и сети по амплитуде равны Е = е. На-
пряжение в сети на фазе а равно:

еа = е cos -+-То)«

(6,168)

Напряжение машины опережает напряжение сети на угол 5.

Принимаем, что машина включается на фазы Ь — с, фаза а остается
невключенной.

Для сравнения с формулой (6,167) принимаем те же приближения,
т. е. машина имеет симметричный ротор, потери в роторе отсутствуют,
затуханием токов и потокосцеплений можно пренебречь, скорость вра-
щения ротора синхронна.

В таком случае [6-50]

е2 sin b Г	S

~»----------- 1 — 2 cos 2 (? -+- то) — tg у sin 2 (Z ч- т0) —

Х^-4-Х2

2 sin (то — у)

------------------ sin (? + То) ,

О
cos —

2	J

(6, 169)

где х2— реактивность обратного следования фаз.

Если машина включается через внешнее сопротивление то к ре-
активностям x"d и х2 должны быть прибавлены величины хе.

Вращающие моменты при неправильной синхронизации достигают
наибольших возможных в эксплуатации значений. Токи при неправиль-
ной синхронизации могут достигать удвоенных (и выше за счет насы-
щения) по сравнению с токами при внезапном трехфазном коротком
замыкании.

Имели место случаи тяжелых разрушений машины при неправиль-
ной синхронизации, либо срезание болтов муфты, соединяющей вал
турбины с ротором генератора.

Из формулы (6,167) видно, что при несинхронном включении трех
фаз машины в сеть максимальный вращающий момент будет больше
при отрицательном 8, т. е. когда ось полюсов ротора отстает от оси
поля, образуемого питанием со стороны статора. Это значит, что при
включении машины в сеть с углом 8 желательно, чтобы этот угол 8
был опережающим, а не отстающим.

При включении двух фаз, как видно из выражения (6,169), зависи-
мость максимального вращающего момента от знака угла 8 более сложна
и связана со значением величины у0 — начальной фазы напряжения
сети во времени.
ГЛАВА 7

РАБОТА ТРЕХФАЗНОЙ МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
С АСИММЕТРИЕЙ В ОБМОТКЕ СТАТОРА

В практике проектирования и эксплуатации трехфазных машин пе-
ременного тока часто возникают вопросы о допустимости тех или иных
режимов, связанных с наличием асимметрии в фазовых обмотках ста-
тора, и расчете таких режимов. Асимметрия возникает при несимме-
тричных коротких замыканиях машины, включенной в сеть через Сопро-
тивление, при наличии несимметрично вырезанных в фазовых обмотках
статора витков, соединении катушек, вызывающем отклонение углов
между осями фазных обмоток от 120°, и в других случаях.

В настоящей главе даны общие уравнения трехфазной машины пере-
менного тока для переходных и установившихся режимов (являющиеся
обобщением обычных уравнений в пространственных комплексах) для
машины с асимметрией в обмотке статора.

Уравнения учитывают неограниченное число цепей в роторе, сколь-
жение ротора, возбуждение со стороны ротора и величину нагрузки.
Насыщение учитывается выбором соответствующих значений пара-
метров.

Выражения даются в обычных относительных единицах. Решения
уравнений даны в виде формул для расчета токов, фазных напряжений
и электромагнитного вращающего момента в ряде режимов, связанных
с асимметрией фазных обмоток статора.

Рассматривается работа асинхронной и синхронной машин в устано-
вившемся и переходном режимах при несимметричной нагрузке фаз,
в том числе несимметричные короткие замыкания машины, включенной
в сеть через сопротивление, а также работа асинхронной и синхронной
машин в установившемся режиме при разных числах витков в фазных
обмотках статора и угловой несимметрии расположения обмоток
статора.

Мгновенные значения синусоидальных величин и характеризующие
их комплексы с постоянной фазой связаны зависимостью вида

Фа = "J (ФаеУ< -** Фае“У0 = Re (Фае>< •

Комплексы с постоянной фазой вида фа, характеризующие синусо-
идальные переменные токи, напряжения и потокосцепления, снабжены
сверху чертой. Остальные комплексы обозначены соответствующими
буквами, так же как и действительные величины. Амплитуды комплек-
сов характеризуются дополнительным индексом т.
Перечень дополнительных обозначений, принятых в настоящей главе
приведен в конце главы. Комплексы с постоянной фазой, характеризую
щие токи, напряжения и потокосцепления, для простоты текста назы
ваются соответственными токами, напряжениями и потокосцеплениями.

1.	ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СЛУЧАЯ АСИММЕТРИИ В ОБМОТКЕ СТАТОРА

Для трехфазной машины переменного тока справедливы следующие
основные уравнения (если принять самоиндукцию фазной обмотки про-
порциональной к2 и пренебречь высшими гармоническими):

Уравнения фазных напряжений

еа = 1гА’Ь^в; еЬ=г,{Ь-^Р^Ь’ ес = rjc + rtc-	(7>1)

Уравнения фазных потокосцеплений

= ка Re [^(9e+aa) (AZr н- £)] -ь ка (kaxaaia ч- kbxaiib ч- V«A);
Фь ~ къ Re [е^ i+ (^Zr ч- £)] ч- kb (kaxbaia -ь kbxbbib ч- kjc^t^
% = ke Re	(4	£)] и- к( (kxeaia ч- kbxebib ч- kexceie).

(7, 2)

Уравнение дополнительных токов ротора

г,-+- г»

Мг = [хй (р)]	2

—	(7.3)

где

- kbaz-^ib ч- keah~^ic). (7,4)

Средняя потребляемая со сто-
роны статора мощность в уста-
новившемся режиме

ре = т 6V* +- ёь‘ь -+- <?/*)• (7. 5)

Принимается, что ток, актив-
ная и реактивная мощности, по-
требляемые из сети, и вращаю-
щий момент, направленный на
увеличение скорости машины,
имеют положительный знак.

Рис. 7-1. Векторная диаграмма напряжений
и токовая диаграмма асинхронной машины
с анормальным числом витков.

При наличии симметрии обмотки статора углы & в формулах
(7,1)—(7,4) (рис. 7-1) равны нулю; коэффициенты к равны единице.
В этом случае реактивные сопротивления самоиндукции и взаимоиндук-
ции фазных обмоток статора при неявнополюсном роторе равны (см.
главу 3):

(7,6)

(7,7)
При наличии пространственной несимметрии осей фазных обмоток
статора при неявнополюсном роторе

(7, 8)

с точностью до первых гармоник.

Для решения уравнений (7,1)—(7, 4) необходимо иметь еще три до-
полнительные связи, определяемые конкретными условиями задачи.

Для установившихся режимов можно, пренебрегая влиянием актив-
ного сопротивления статора r9i для большого числа практических

случаев считать ф

и исключить из рассмотрения уравнения (7,1).

2. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ТОКОВ ПРИ СИММЕТРИИ ОБМОТОК СТАТОРА
И НЕСИММЕТРИИ ВНЕШНИХ РЕАКТИВНОСТЕЙ В ЦЕПЯХ СТАТОРА

Операторные уравнения (7,2), связывающие фазные потокосцепле-
ния с фазными токами, будут иметь в случае симметрии фазных об-

моток вид:

= Re {е'в [x, (р) +• у, (р) i* -+- £]} -ь xoio;

4'j=Re	-*-Vo;

<pc = Re (ае-’® [х, (р)	(р) i, н- £]} -+-xoio,

(7, 9)

где



Соответствующие комплексы с постоянной фазой, характеризующие
фазные потокосцепления в установившемся режиме, будут равны:

Ф. = ХЛТи1 Х*2Ти2 Vo Е^ = Х^ Х*1ГЬ + ХМ2Тс Е^

Ф» = Х»1Г«1а2	Х,2Ти2а	Vo	Х#Ъ	xHlJc

Фе = х.1Г«1а	х>2?«2а2	Vo	aEiJt = xUl'a. Х№?Ъ	V	aEs Л

где
1 1

XL = У (x,l -+- х,2	хо) ХМ1 = У (хЛа хв2а* Хо);

ХИ2 = У (^1“2 Х,2а Хо),

(7, Ю)

— комплексные реактивности само- и взаимоиндукции фазных обмоток
с учетом влияния короткозамкнутых обмоток ротора в установившемся
режиме при симметрии статора. Если машина включена в мощную сеть,
имеющую фазные напряжения иа, и0 и ис, через реактивности самоин-
дукции хТаа, хтьь и хТсе со взаимоиндукциями хТаЬ = хТЬа, хТас = хТеау

&
ХТЬс ХТсЪ>

г, = 0

то система уравнений для определения токов имеет вид при

7~ = (х L хТаа) та-*- (ХМ1 xTab) ТЬ (X1I2 хТае) Тс1
J- = (ХМ2 -+~ хТЬа) Та +- (XL ХТЫ>) 1 Ъ (ХМ1 ХТЬе) ‘е ;

= (*ЛЛ хТса) Та-,-(х хТсъ) ть -+- (XL +• хТсс) ‘е.

(7, 11)

3. ВНЕЗАПНОЕ ОДНОФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ МАШИНЫ,
ВКЛЮЧЕННОЙ В МОЩНУЮ С ЛЬ ЧЕРЕЗ РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
(ТРАНСФОРМАТОР)

а) Однофазное короткое замыкание фазы а на нейтраль
машины

Схема замыкания представлена на рис. 7-2. Рассматриваем короткое за-
мыкание фазной обмотки а на нейтраль в машине с равномерным зазором*

Добавочные токи, вызванные коротким замыканием фазной обмотки
а на нейтраль машины, определяются наложением на существовавшие

Рис. 7-2. Однофазное короткое замыкание машины, включенной в мощную
сеть через трансформатор, на свою нейтраль.

а — схема короткого замыкания; б — схема для расчета номинальных токов, протекающих
до и после короткого замыкания (в случае асинхронной машины без возбуждения э. д. с.,
соответствующие кружкам внутри обмоток машины, равны нулю); в — схема для расчета
по методу наложения добавочных токов, вызванных коротким замыканием.

до замыкания токи токов, определяемых из общих уравнений (7,1) —
(7,4), дополненных следующими:

ДФа = -Фао •	Д(Р4 = -Фв0 • 1 - 2xTi6 -

Ч, =	. 1 - XTib — 2х^с.

-	eN

Фа0~—;	Д£=0;

где е^==ев0— напряжение на фазе перед коротким замыканием.
Если = у, то, пренебрегая влиянием активного сопротивления
в цепи статора, фа0 = 1. Если eaQ = ewcos То), то

т ет^°

таО — j

Решая основные уравнения (7,1)—(7, 4) с учетом (7,10) для случая
установившегося режима при однофазном коротком замыкании на ней-

траль в машине, получаем следующие значения комплексов, характери-
зующих добавочные токи в фазных обмотках статора:

1ч- 2хТ(т1	г2) -+- Зх^тгт2

= ---------------------------------

1— хг(ш2-ьа2Г1)

Д'4-----фа0‘	Z>io	;

1 — хт (а% -+- ai-j)

д1е_ —4>в0.	D10

(7, 13)

где

^10 х0 ‘+“ ХТ [2 + Xq + Т2)] + ХТ (Г1 ~1- *2	V Л)•

(7,14)

Результирующий ток получается добавлением тока, протекавшего
до короткого замыкания^ Если до замыкания машина работала в но-
минальном режиме, то фа0 = 1 и результирующие токи в фазных об-
мотках равны:

Гл =	-+- TN;	-ь a2TN; Тв =	-+- аТ^

где

TN = sin ср -+- j cos <р.

Для синхронной машины с равномерным зазором в установившемся
1 _	1

режиме ?i = —; z2^—, поэтому

ха	Х2

.	т	lXdX2 “+" 2хТ (xd “Ь Хъ)

Д/ = —ф л . -----------□------------- ;

а та0	аю	’

д. = . (7>15)

6	та0	аю	’

д_ =

1С	‘ а0	с1ю	’

где

<0 = хохЛ ХТ (xoxd ч- хйх2. ч- 2Va) ч- x2T (xQ -+- xd -+- х2).	(7,16)

При наличии асимметрии ротора можно в первом приближении поль-
зоваться формулами (7,13)—(7,15), подставив вместо xd среднее зна-
чение синхронной реактивности

При хт->оо, т. е. когда фазы b и с отключены от сети, получаем
для генератора, работающего в режиме холостого хода, известную
формулу для установившегося тока короткого замыкания в фазе а:

^а = ~-	; AF» = O; Дгв = О.	(7,17)

xd х2 Х0
При хг = 0, т. е., когда машина включена непосредственно в мощ-

ную сеть,

A?a =	с = •—

Ф«о
*0

(7, 18)

Результирующие фазные токи для машины, работавшей до короткого
,замыкания в номинальном режиме, будут:

. _ 1-2_1 _ _ 1

'4=а2^-7Г; 1е==а^-^-

Результирующие фазные токи в сети будут

__	_2_. -	_ 2-	—	__ .	1

*а сети	хо ’	** сети а TN Х() » *с сети aTN Xq

Ток в месте короткого замыкания будет равен:

3

TjC XQ *

Если напряжение на фазеа до короткого замыкания характеризо-
валось комплексом eN = j, то фа0 = 1. Поскольку в синхронной машине

1	1

h = —, a z2» —,токбу-
xd	х2

дет на векторной диаграм-
ме опережать комплекс
eN=j на угол -у. Геоме-
трическое сложение нор-
мальных токов zA, a2lN и
alN в фазных обмотках с
дополнительными токами
Д/а, Az6 и вызванными
однофазным коротким за-
мыканием на нейтраль ма-

Рис. 7-3. Векторная диагрмма токов в трех фазах
обмотки статора при установившемся однофазном
коротком замыкании фазы а синхронной машины,
работающей через трансформатор на мощную сеть.

шины, для невозбужденного синхронного электродвигателя представ-
лено нй рис. 7-3. Для ясности рисунка масштабы разных составляющих

несколько искажены по сравнению с нормальными соотношениями.

Пусть, например, х^ = 1.25; х2 = 0.125; хо = О.О6; хг = 0.07 и
^0 = 1; Ь = 0.8 и z2 = 8.

Добавочные токи в фазах на основании (7,13) будут

4	2.326

△Га = ~ 0 280 =~7 8-300’

Дц>=*=

7	8.8 \ V3

^ч-0.07 —) — /-у (8.0 — 0.8) 0.07

0.280

4.667 ч-/1.557;

Дгс =—4.667— /1.557.

Представленный на рис. 7-3 ток iN будет, строго говоря, отличаться
от того, который имел место до короткого замыкания. В синхронной
машине это будет вызвано изменением угла 8 до нового значения,
определяемого в установившемся режиме равенством приложенного
к валу внешнего вращающего момента электромагнитному моменту,
развиваемому машиной в этом режиме. Аналогично в асинхронной
машине ток Zy изменится вследствие изменения скольжения. Поскольку,
однако, ток невелик по сравнению с добавочным током короткого
замыкания, эту поправку следует вводить только в уточненных расчетах.

б) Однофазное короткое замыкание фазы а
на нейтраль в сети

Аналогично случаю замыкания на нейтраль машины, добавочные
токи, вызванные коротким замыканием фазы а на нейтраль в сети,
определяются наложением следующих связей:

ДФа — ДФС = “'Рао • 1 ХТ (Ч “

ДФа — Ч = -Фео • 1 -1- ХТ (Ч — Ч);
га -ь ib -+- ic = 0.

(7,19)

Случай замыкания на нейтраль в сети нетрудно рассмотреть и по
обычной методике, так как в этом случае имеет место симметрия
сопротивлений в фазных обмотках. Дополнительные пульсирующие
потокосцепления, появляющиеся при коротком замыкании, расклады-
ваются на потокосцепления прямой и обратной последовательности
половинной амплитуды. Если до короткого замыкания напряжение на
фазной обмотке a ea = emcos(f-b-T0), то дополнительные потокосцеп-
ления по методу наложения (см. § 9, гл. 6)

Д^ = -фо0 = - р (<+То) _	(<+То)],	(7,20)

а дополнительные фазные токи в установившемся режиме

Если

	
3j	(ri -+- r2);
eme/T"	
д,4 — 3j.	(«4 -+- ar2);
	
Дтс—	3.	(all -+- a2r2).

/

еа = cos (t -Ь ’ т* е* ёа = ^т],

(7,21)

то

у(Г1-ЬГ2).

(7,22)

В частности, для синхронной машины с явнополюсным ротором
дополнительный ток в „больной" фазе будет

Дг“-----3 L\ 2xd 2xt х2 J 2 \ xd xi/ J

(7,23)
Результирующие
кания, будут равны
ния в номинальном

токи, с учетом протекавших до короткого замы-
для машины, работавшей до короткого замыка-
режиме с напряжением на фазе а, равным еа =

1

“ з" (2?i	*2)

1	Ее-'8

ДГб = -q- (2a2?i — аГ2) — —— а2;
°	ха

ДГ« = у (2а — а2Г2)

Е^ъ

Фактические токи, протекающие в фазных обмотках, представятся
реальными частями соответствующих комплексов.

в) Переходные токи
/

Для расчета переходного процесса при внезапном коротком замы-
кании фазной обмотки а на нейтраль машины можно пользоваться
формулами (7,13) с соответствующей подстановкой значения гг.

Если до короткого замыкания напряжение на фазной обмотке а
было равно

еу==со$ То)»

то

—Re

____t__

е/(^ + То) __ £Лое 7'ai
1

= ДфаО-*-ДФа1-

(7,24)

Потокосцепления Афа0 создают периодическую составляющую ста-
торного тока короткого замыкания, потокосцепления Афд1 — апериоди-
ческую составляющую. Постоянную времени затухания апериодической
составляющей Та1 находим из физических соображений по фор-
муле (7,29). Апериодическая составляющая в действительности будет
в общем случае затухать с тремя постоянными времени, определение
которых не представляет особого труда. Величина Та1 является средней
постоянной времени.

Результирующее мгновенное значение тока внезапного короткого
замыкания в фазе а синхронной машины будет:

___£_ _____________£_

Т’,/	fr	I е/(^+То)

Re (дг:-дг;)8 ^(Дг;-Дгв)в *н-дгв —J—

f„ «Ло-------—

(7,25)

Здесь Az" получается по формулам (7,13) и (7,14) при подстановке

Г1 7Г И фао = 1;
xd
Af* получается по формулам (7,13) и (7,14) при подстановке

и фв0=1;
xd

&ia получается по формулам (7,13)

и (7,14) при подстановке

ч = — и Фао = 1-
xd

Таким образом, например, в соответствии с формулами (7,15) и (7,16)

(7, 26)

Аналогично вычисляются токи в фазах бис, см. выражение (7, 36)
для случая двухфазного короткого замыкания.

Постоянные времени периодических составляющих определяем при-
ближенно по среднему арифметическому току в фазах:

Х^ X?	х\

—	(7,27)

xd Х1	xd 1и

где

[•*<^*2 -+ xi (хоха хох2 2*ах2) хт (хо xd *2)]

X10 — ------------------------- .. --	—...	г." ; (7, 28)

xdx% ^x!r(xd "+' х%)	^хт~*~ V xdx% xTxd XTX2^ ^(xd X2^XT

Tdn T’d — хорошо известные постоянные времени затухания сверх-
переходной и переходной периодических составляющих тока внезапного
трехфазного короткого замыкания синхронной машины.

Величину х" получаем заменой в формуле (7, 28) величины xd на х"

Величину х[ получаем заменой в формуле (7, 28) величины xd на xd.

Постоянная времени затухания апериодической составляющей тока
короткого замыкания может быть определена по формуле

Tai

Xai
г

(7, 29)

где ха1 получаем по формуле (7, 28) после замены xd на х2; г — омиче-
ское сопротивление фазной обмотки статора.

Как видим из представленных формул, при рассматриваемом виде
короткого замыкания — замыкании фазной обмотки на нейтраль машины
при непосредственной работе машины на мощную сеть — ток во всех
трех фазах может достигать в установившихся режимах кратности —
хо
номинального, а в переходных режимах с учетом апериодической со-
«	1*8

ставляющеи примерно до ----, т. е. в ряде случаев порядка 30-крат-

ного номинального.

Пусть, например, турбогенератор имеет параметры х" =х2 = 0.125;
хо = О.О6 и включен в мощную сеть через трансформатор с реактив-
ностью прямого, обратного и нулевого следования фаз ху = 0.07. Пери-
одическая составляющая тока в фазе а при внезапном однофазном
коротком замыкании в ней по схеме рис. 7-2 будет по величине равна:

1-ь2 • 0.07(8-ь8)ч-3 • 0.072.82

0.06 -4- 0.07 [2 -4— 0.06 (8 -ь 8)] 4- 0.072 (8 4-8 4- 0.06 -8-8) ~ 11Л7’

Максимальный ударный ток короткого замыкания на фазе в этом
случае может достигать примерно 1.8 • 11.47 ~ 21-кратного значения
номинального.

Аналогично вычисляют переходные токи при однофазном замыкании
на нейтраль в сети, пользуясь формулой (.7, 25), но подставляя значе-
ния тока Аг по выражению (7,21).

При внезапном однофазном коротком замыкании на свою нейтраль
машины, включенной непосредственно в мощную сеть, максимальная
величина периодической составляющей дополнительного тока короткого
замыкания (к ранее существовавшему току нагрузки) в рассматривае-
мом численном примере составит:

в машине — = ^ = 16.7;

в сети 2А?" = 33.4;

в точке короткого замыкания 3Az" = 50.1.

При внезапном однофазном коротком замыкании на свою нейтраль
машины, работавшей вхолостую (отключенной от сети), максималь-
ная величина периодической составляющей тока короткого замыкания
в фазной обмотке а машины составит:

л "	3	3	11 7

1а~~	ч-х ““ 0.125 4-0.125 4-0.06 “П,7в

При внезапном коротком замыкании на нейтраль в сети для ма-
шины, работавшей непосредственно на мощную сеть, максимальная
величина периодической составляющей дополнительного тока короткого
замыкания составит:

1/_£ 1 \ 1/1 1 \

3 \x"d~*~ *2	3 \0.125~1" 0.125/ — 4 5-3-

Как видим, наименее опасным по величине токов является внезапное
однофазное короткое замыкание на нейтраль в сети. Более опасным яв-
ляется внезапное однофазное короткое замыкание на нейтраль в отклю-
ченной машине, работавшей в режиме холостого хода.

Значительно более опасным для машины по величине токов является
внезапное однофазное короткое замыкание на свою нейтраль машины,
непосредственно включенной в мощную сеть. Это замыкание является
наиболее опасным и потому, что амплитуда тока зависит в этом слу-
чае только от реактивности нулевой последовательности и, следова-
тельно, затухание периодической составляющей во времени не имеет
места.

4. ВНЕЗАПНОЕ ДВУХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ НА ВЫВОДАХ
МАШИНЫ, ВКЛЮЧЕННОЙ В МОЩНУЮ СЕТЬ ЧЕРЕЗ РЕАКТИВНОЕ

СОПРОТИВЛЕНИЕ (ТРАНСФОРМАТОР)

Схема и место замыкания представлены на рис. 7-4, а. Пользуясь
методом наложения, рассматриваем короткое замыкание как появление
в добавление к нормальным токам (рис. 7-4, б) добавочных токов, вы-
званных включением э. д. с. (а2— а)^, представленной на рис. 7-4, в.
а)	Установившиеся токи

Решая соответствующие уравнения, имеем для машины с равномер-
ным зазором, как в рассмотренном выше случае однофазного короткого
замыкания, следующие значения комплексов, характеризующих доба-
вочные токи в фазных обмотках статора:

ДГ»--Ф«О 24-4(4 + 12) :

a2F — аТ2-ъ- (а2 — a) хтТ^Т2

= -фа0 2 4-^(4-ы2)

аТ1 — а2Т2 — (а2 — а) Xq’TjT^
йТв = “Фв0 2 4-(Гх 4-г 2)

(7, 30)

Ряс. 7-4. Двухфазное короткое замыкание машины, включенной в мощную
сеть через трансформатор.

а — схема короткого замыкания; б — схема для расчета нормальных токов, протекающих д*
и после короткого замыкания (в случае асинхронной машины без возбуждения э.д.с., соотьет-
ствующие кружкам внутри обмоток машины, равны нулю); в — схема для расчета по методу
наложения добавочных токов, вызванных коротким замыканием.

где =	-----комплекс, характеризующий потокосцепления в фаз-

ной обмотке а. Если напряжение на фазе а до короткого замыкания было
равно еа = cos у) и характеризовалось комплексом £v=y, то фа0 = 1.
Для синхронной машины с равномерным зазором в установившемся
1	_ 1

режиме /1 = — и г2 — > поэтому
л*.	г2
При Ху—> ооу т. е. когда фаза а отключена, получаем по выраже-
ниям (7,31) для синхронной машины хорошо известные соотношения:

т jV3

Дг6 = —Дгс = фа0 . 	;	Дга == 0.

xd Л2

(7, 32)

При хг = 0, т. е. когда машина включена непосредственно в мощ-
ную сеть, дополнительные токи короткого замыкания равны:

△*а =

Дг6 =

Ф&0 /_	_ X

—	01— f2);

Ф<»0 / 2-	- ч

— ~2~ (aZ/i — az2);

(7. 33)

л- Ф«Р / - о- \
Д1С==— (az! — a2z2).

Результирующие, установившиеся токи после короткого замыкания,
если напряжение на фазной обмотке а до короткого замыкания состав-
ляло <?* = £«» cos (£—I—То), будут равны (см. § 9, гл. 6):

ет , ч	] е^°

Нетрудно построить векторную диаграмму для геометрического сло-
жения токов Zy, a*lN и alN, протекавших до момента короткого замыка-
ния, с добавочными токами Д?а, &1Ь и Дгс аналогично тому, как это
представлено для случая однофазного короткого замыкания на рис. 7-3.

б)	Переходные токи

Для расчета внезапного двухфазного короткого замыкания на за-
жимах машины, включенной в мощную сеть через трансформатор, можно
пользоваться формулами (7, 30), как и для установившегося замыкания
с соответствующей подстановкой значения Zi.

Если до короткого замыкания напряжение на фазной обмотке а
синхронной машины было равно ea0 = e^ = cos (£~>~Т0), то мгновенное
значение результирующего тока внезапного короткого замыкания в фазе
а будет:

ia = Re

____t__		£_
т"	Т'

(Д?а - Д?а) е 2 +- (Д?а “ Д?О) е 2 ДГ.

— Re

еЛ*+То)

1
Здесь Az" получается по формулам (7,30) при подстановке Zj«—и
xd

Фло — 1 9

Az' получается по формулам (7,30) при подстановке	и фд0 = 1;

ха

Az* получается по формулам (7,30) при подстановке ?i =— и $a0 = l*

Таким образом, например, в соответствии с формулами (7,31)

(7,35)

Аналогично, мгновенное значение результирующего тока в фазе Ь

синхронной машины

ib = Re

(Дг" — Д^) е

где

еЛ*+То)

1

t	 t—

т"	т'

2	-+- (Дгб~ Дг4) е	2

(7, 36)

(7,37)

Формулы для токов в фазе с получаем, поменяв местами комплексы
а и а2 в выражениях (7,37).

Постоянные времени затухания в рассматриваемом случае двухфаз-
ного короткого замыкания аналогично выражениям (7, 27) равны:

T^Td-r
xd

(7, 38)

где

*20 =

2xdX2~^XT (Xd-*~X^

{Xd Хг)2 3 {Xd Х2 "* 2хт)2 -Ь \/(xd	*2)2

(7, 39)

Величины х",
личины ха на х^,

х2 и ха2 получаем по формуле (7,39) заменой ве-
xd и х2 соответственно.

Х4

*20 ’

~ Ха*
* г
5.	РАБОТА МАШИНЫ С ВЫКЛЮЧЕННЫМИ В ФАЗНОЙ ОБМОТКЕ ВИТКАМИ
НА МОЩНУЮ СЕТЬ

а)	Постановка задачи и принятые приближения

Пусть требуется определить фазные токи, потокосцепления и на-
пряжения трехфазной машины переменного тока, статорная обмотка
которой, соединенная в звезду, питается от мощной сети с симметрич-
ными линейными напряжениями (рис. 7-5).

Рис. 7-5. Питание машины переменного тока с выклю-
ченными в фазе а витками и векторная диаграмма
линейных напряжений.

/з у/г\

ёаЬ —	4- j j = ёа — ebc = J (а2 — а) =

/	—	( 3	V3“\

= J (—j V^3 ) — ёЬ —	ёеа = J (а — 1) = /Д— 2 + j~2~) ==ёс~~

Фазная обмотка а статора имеет всего к • 100% нормального числа
эффективных витков.

Коэффициент к в общем случае учитывает не только количество и
распределение витков, но и сокращение шага. В первом приближении,
если фазная обмотка не имеет параллельных ветвей, величину к можно

просто считать равной доле остав-
шихся в „больной" фазе витков.

Коэффициент к можно опреде-
лить из опыта как отношение на-
пряжения, наводимого в „больной"
фазной обмотке а, к напряжению,
наводимому в „здоровой" фазе b
или с, при питании фазной обмотки
с или соответственно Ь током номи-
нальной частоты при неподвижном
роторе. Точнее взять среднее из
двух значений при питании фаз b
и с.

В нормальном режиме при к=Л

Рис. 7-6. Векторная диаграмма то-
ков машины, питаемой со стороны
статора.

и номинальном напряжении фазные

напряжения и токи статора характеризуются комплексами (рис. 7-5

и 7-6):

TaO~TN'’ =	TcO = aTN, J

где
lN — нормальный ток машины при £ = 1« При номинальном напряжении
сети еж0 = j и номинальном возбуждении со стороны ротора

TN = sin fp j cos <p;

— ток соответствующей нормальной (£ = 1) асинхронной машины, не
имеющей возбуждения со стороны ротора при заданном скольжении
ротора $, питаемой номинальным напряжением со стороны статора

б/r L

Рис. 7-7. Векторная диаграмма токов и напряже-
ний статора, с учетом скольжения ротора.





еа0 = j (рис. 7-7). Для син-
хронной машины s = 0 и ток
?! равен току холостого хода
соответствующей асинхрон-
ной машины.

Мгновенные значения
фазных напряжений и токов
статора определяются как
соответствующие реальные
составляющие. Например:

H

е«о = Re { ёа^* } ;

Z60=Re { TbtfS* }
Т. Д.

б)	Формулы для расчета режима

При наличии в фазе а всего k • 100% витков, учитывая заданные
соотношения

ёа — ёь = ](1 — а1 2); ёь— ёс=] (а2—а);

Та	—0

(7,43)

и пренебрегая влияниями сдвига пространственных осей фазных обмо-
ток и активного сопротивления в цепи статора, имеем для машины
с неявнополюсным ротором следующие выражения:

1) Фазные токи:

/	1 —£  1а— ^1-ь2 l +	^п1  / „	1 — k\  Гь — {а*	9<>ч- 3(1 -*)(Г1Ч-Т2-27,)		(7, 44)
			
	(°	1-fe \- l + 2i/'“2’	
Здесь  0 = 9—12 (1- = (1 +	^а2 -  -*) + 2£)2	1 — k \  ’ 1ч-2ЛГя2;  .[4-ьх0(71-Ы2)](1-*)2 =  -Hi-£)2xo(h4-r2);	(7, 45)

Г2 — ток асинхронной машины при £ = 1, номинальном напряже-
нии eaQ =j и скольжении s2 = 2 — s;

и Гм2 — результирующие токи прямой и обратной последовательностей:

1	97у-ь(1-£) (ЗГ1-12?л)-»-(1-^)2[(4-ьхоГ2)гла-271]

?«1 = (Ja -+- cab -ь а2Тс) =---------------->

1	(1_^)Г(1н-2*)-(1-^)хГл.1	(7’4б)

2" 2= 3 (7д"+'	+ ale) =	yj	?2*
2)	Фазные напряжения (рис. 7-8):

«О = з (ёа-t-ej-t- ёс) — j

ацач-г^-а-*)^]
h—i ’ в	»’

ёЬ=ёа — j (1 — а2); ёс = ёа — j (1 — а).

(7,47>

3)	Ток ротора:

, аг f (х,Г1-1)[(1ч-24)(2-ь*)-ь(1-*)Зх0Г2]
1Г = а.1г +£, — —------------------------------ s 17 •

_	(хс7;-1)Г(1ч-2Л)-(!-*)%«;]

D	е

Здесь
= $0 —	$2 = $о + (2 — «)

le— начальный угол сдвига, равный для синхронной машины рабочему
углу $, а для асинхронной машины — нулю.

4)	Средний электромагнитный вращающий момент:

м pl . (2-ь^)[(1~^)Г1-ь(1-ь2^)Гл<]н-(1-^(1-ьдгЛ)Г2|

Jwe=Re 1 —j -------------------гч--------------------- [ . (7, 49}

в)	Опытная проверка

Рис. 7—8. Векторная диа-
грамма напряжений машины
при наличии выключенных
в фазе а витков.

Результаты расчета по представленным формулам на ряде асинхрон-
ных машин показали хорошее совпадение опыта с расчетом. При этом
оказалось, что при расчете тока в „больной0 фазе для большинства
случаев можно не учитывать комплексного
характера токов li и Z2> подставляя в фор-
мулы значения соответствующих амплитуд.

Ток z2m, соответствующий скольжению
ротора $2 = 2 — s, весьма близок по вели-
чине к пусковому току асинхронной маши-
ны, выраженному в долях номинального.

Ток /1от при номинальном скольжении
равен единице, при неподвижном роторе —
пусковому току, при s = 0 — току холостого
хода и т. д.

На рис. 7-9 и 7-10 представлены расчет-
ные и опытные зависимости тока 1а от ве-
личины к для одного из испытанных асин-
хронных короткозамкнутых электродвигате-
лей при неподвижном роторе ($ = 1) и в
режиме холостого хода ($ = 0). (Испытания
проведены доц. М. Л. Брицыным).

Сравнение расчетных кривых с опытными дает хорошее совпадение.
В формулы, по которым построены кривые, входят всего только три
параметра: ток холостого хода, ток короткого замыкания и реактив-
ность нулевого следования фаз. Для расчета использованы амплитуды
комплексов и Z2 вместо самих комплексов, в целях упрощения расчета.
При k = 0, т. е. при отключенной фазе а, при неподвижном роторе ток
достигает 3-кратного значения Номинального тока короткого замыкания
или порядка 15-кратного номинального, а в режиме холостого хода
($ = 0) ток снижается до 10-кратного номинального.

На рис. 7-11 и 7-12 представлена зависимость фазного напряжения
ел в функции от к в режимах короткого замыкания ($ = 1) и холостого
хода ($ = 0) для того же асинхронного электродвигателя. Как видно

из рис. 7-11, в режиме короткого
замыкания, несмотря на одинаковый
характер опытной и расчетной кри-
вых, опытные значения фазного на-

Рис. 7-10. Зависимость тока в фазе а
обмотки статора асинхронной машины
от числа выключенных в этой фазе
витков в режиме холостого хода
(сравнение результатов расчета
с опытом).

s = 0; ii — i% = 0.28; z2 =	= 4.8; x0 = 0.2.

7 — расчет; 2 — опыт.

Рис. 7-9. Зависимость тока в фазе а
обмотки статора асинхронной машины
от числа включенных в этой фазе
витков в режиме короткого замыка-
ния (сравнение результатов расчета
с опытом).

s = 1.0;	= z*2 = 4.8; лг0 = 0*2.	1 — расчет;

2 — опыт.

пряжения существенно отличаются от расчетных в области малых зна-
чений. Такое расхождение объясняется, по-видимому, тем, что приня-
тое определение величины к как доли оставшихся в фазе а витков,
а также принятые приближенные зависимости самоиндукции и взаимо-
индукции обмоток от величины к без учета угла сдвига осей обмоток
и конкретного расположения катушек недостаточно точны в районе
малых величин к, в котором фазное напряжение получается как малая
разность больших величин.

Было произведено также сравнение результатов расчета по предла-
гаемой методике с опытными данными, опубликованными в английской
печати в 1953 г. [7-7], для случая перевернутой фазы в обмотке ста-
тора асинхронного электродвигателя.
Наши формулы для тока и напряжения в перевернутой фазе имеют
в этом случае (к =—1) вид:

3 (Гг 2/2)
1-*-4xoUi-*-*2) ;

Га =

-	3 (1 -*-2*0/!)

6а^ 1 -+- 4х0 (?1 -4-/2)

Опубликованные в английской статье опытные значения параметров
(с учетом представленных кривых мощности) равны:

s = 0

3

0.13/10°	2.17/42°

/2 = 2.84/25°	2.77/25°

х0 = 0.295	0.296

Рис. 7-11. Зависимость фазного на-
пряжения на обмотке а статора асин-
хронной машины от числа включенных
в этой фазе витков в режиме корот-
кого затыкания (сравнение результа-
тов расчета с опытом).

s = 1.0; i*i = = 4.8; х0 = 0.2. 1 — расчет;

2 — опыт.

2.50Z360	2.59/ 22.8°

2.68Z280 2.59Z22.80

0.56	0.323

Рис. 7-12. Зависимость фазного на-
пряжения на обмотке а статора асин-
хронной машины от числа включенных
в этой фазе витков в режиме холо-
стого хода (сравнение результатов
расчета с опытом).

s = 0; 1*1 = 0.28; i2 = 4.8; х0 = 0.2. 1 — расчет;
2 — опыт.

Подставляя в приведенные формулы опытные значения комплексов
и Z2, а также х0, получаем для фазных токов и напряжений значе-
ния в функции скольжения, нанесенные на рис. 7-13 крестиками.
Точками на рис. 7-13 отмечены опытные данные, а сплошные кривые
представляют результаты расчета, произведенного английскими авто-
рами по сумме симметричных составляющих, полученных из опыта.

Как видим, предлагаемые формулы дают для рассматриваемого слу-
чая хорошее совпадение с опытом.

Следует отметить выявленную опытом значительную зависимость
реактивности нулевого следования фаз х0 от скорости вращения ма-
шины. Вопрос этот еще раньше исследовал И. М. Камень [7-5]. Оче-
видно, что для случаев повышенных скольжений в предлагаемые фор-
мулы надлежит подставлять, соответственно, увеличенные значения
реактивности х0.

Установление общей зависимости реактивности х0 от величины
2

скольжения ротора особенно в районе $ = -3 нуждается в дальнейшем
опытном и расчетном исследованиях.
В американской работе [1А-51] приведены формулы для расчета
фазных токов, напряжений и вращающего момента в установившемся
режиме для случая ненормального числа витков в одной из фаз обмотки
статора асинхронного электродвигателя (без учета влияния несиммет-
ричного расположения осей статорных обмоток и неравномерности за-
зора)» Наши формулы дают для этого частного случая точное совпаде-
ние с представленными в книге.

Об/мин.	Об/мин.

I— ,	1 о о о о 2 хЗ

Рис. 7-13. Зависимость фазных токов, и напряжений асинхронного
двигателя от скорости вращения при вывернутой фазной обмотке а
статора. Сравнение опыта по данным, опубликованным в [7-7], с ре-
зультатами расчета по предлагаемой методике.

а — фазные токи в функции скорости вращения ротора при соединении обмотки
статора звездой в »метлу“; б — фазные напряжения в функции скорости вращения
ротора при соединении обмотки статора звездой в «метлу". 1 — расчет по мето-
дике [7—7]; 2—опыт; 3— расчет по нашей методике.

г)	Практические соотношения

На практике часто возникает вопрос: сколько витков можно выре-
зать в фазной обмотке после аварии (виткового или пробоя на корпус)
для быстрейшего включения машины в эксплуатацию без замены по-
врежденной части обмотки.

Принимая для оценки порядка величины тока в „больной" фазе
Zi-W2^6, получаем

9-+-12(1 — £)

% (1	2Л)2 -+- 6х0 (1 — *)2 •	(7.50)

Величина х0 для машин колеблется в больших пределах. Для асин-
хронных машин можно ориентировочно считать	. В этом случае

9-*-12(1 — k)	9ч-12(1 —£)

2-t-2k-t-5k2 — 9— 12(1 — Л)н-5(1 — Л)2 ’
,	1 о

Для крупных синхронных машин ориентировочно х0 В этом
случае при нормальном возбуждении

64-8(1 —£)	9-»-12(1 — fc)

roSS 1 н-2fe-t-3*2	9—12(1 —£)н-4.5(1—*)2 '

Для ориентировочных расчетов при малом числе вырезанных витков
можно считать

1 = 14-2.7 (1-£),

т. е. каждый процент вырезанных витков дает около 3% дополнитель-
ного тока в „больной" фазе.

Необходимо, однако, учесть, что несимметрии числа витков вызы-
вает обратное магнитное поле и соответствующий дополнительный на-
грев ротора. Ток обратной последовательности при малом числе выре-
занных витков ориентировочно равен 1„2^2(1 —А), т. е. каждый Процент
вырезанных витков дает примерно 2% дополнительного тока обратной
последовательности. Поэтому допустимый процент вырезанных витков
в одной фазной обмотке статора должен быть ограничен при надлежа-
щем снижении номинальной нагрузки с учетом реальных соотношений
реактивностей и тепловых запасов в роторе:

Для турбогенераторов с насаженными на ро-
тор бандажами................................... не	более 2—3%

Для турбогенераторов с отставленными банда-
жами ........................................... ,,	„	3—4

Для гидрогенераторов и других синхронных
машин с явновыраженными полюсами ...	„	„	6—7

Для асинхронных электродвигателей ....	„	„	7—9

Ограничение по нагреву статора числа вырезанных витков относится
в основном к асинхронным и недовозбужденным синхронным машинам,
потребляющим индуктивный ток из сети. Что касается перевозбужден-
ных синхронных машин, то они потребляют из сети емкостный ток и
поэтому дополнительный индуктивный ток, вызванный отсутствием
части витков в „больной" фазе, приведет к уменьшению общего тока
в „больной" фазе и некоторому уменьшению общего тока в остальных
фазах.

При практическом решении вопроса о целесообразности вырезания
витков в обмотке статора нужно также учесть возможность симметри-
рования обмотки путем вырезания катушек в двух других неповрежден-
ных фазах. Например, если в фазе повреждено 5% витков, то выклю-
чение их потребует снижения номинального тока статора на 12—15%.
При этом появится составляющая обратной последовательности по-
рядка 10% номинальной, которая может вызвать значительные местные
перегревы ротора.

Между тем, если вырезать симметрично в здоровых фазах по 5%
витков и переключить выводы трансформатора так, чтобы на генера-
торе было несколько пониженное напряжение, то потери мощности
составят не более 5%.

Исключение витков в других фазах обычно позволяет лучше исполь-
зовать поврежденный генератор, но зато увеличивает объем ремонта
при восстановлении обмотки.

Аналогичный вопрос возникает при наличии параллельных ветвей
в фазных обмотках статора. Отсутствие вырезанных витков в одной из
параллельных ветвей вызывает дополнительный уравнительный ток
между параллельными ветвями [7-2]. Выключение в аналогичных па-
раллельных ветвях остальных фазных обмоток одинакового количества
витков благоприятно сказывается на нагреве генератора и позволяет
меньше снижать допустимую нагрузку машины, так как в этом случае
ликвидируются обратные поля, а уравнительный ток между ветвями
при их пространственном разъединении определяется в синхронной
машине сравнительно большой синхронной реактивностью и поэтому
относительно мал.

д)	Учет несимметрии ротора

Если синхронная машина имеет несимметричный ротор, то в первом
приближении можно пользоваться представленными выше формулами,
беря средние значения токов гг и z2 по продольной и поперечной осям

1 1/1 1 \

11 = 1^4-	;	ТСгЛ 2" (

®	\ d q /

Ток iN может быть определен либо из обычной векторной диаграммы
синхронной машины, либо по формуле

При номинальных возбуждении и напряжении в сети

= sin <р -+- j cos <р.

Пользуясь полученными выражениями для токов Z2, можно
рассчитывать режимы работы при несимметрии статорной обмотки ана-
логично случаю симметричного ротора по формулам (7,44)—(7, 49).

Следует отметить, что при наличии несимметрии на статоре и ро-
торе могут в отдельных случаях иметь место значительные высшие
гармонические, которые в нашем приближенном расчете не учиты-
ваются*

е)	Соединение обмоток статора асинхронной машины
в треугольник

При соединении фазных обмоток статора в треугольник вместо
условий (7,43) для случая соединения обмоток в звезду имеем:

eb=ja2; =	(7» 52)

Соответственно токи статора при		наличии (1 -	100%	вырезан-
ных в фазе а витков равны:				
TN	1—Ar			
ia— k н-		b	<2);		
	1 — к , 3—(To	-+- aTi	a1 2F2);		(7,53)
	1-fc			
	з ('°	1- a22i -+- ai2),		

где

1

---ток нУлево$ последовательности.
6.	ВЛИЯНИЕ АСИММЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПОЛОЖЕНИЯ ОСЕЙ
ФАЗНЫХ ОБМОТОК ДЛЯ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Если углы аа = ®=И=0> а аь и а« равны нулю (рис. 7-1), то фазные
токи статора при наличии (1—к) • 100% вырезанных в фазе а витков
будут равны:

3 [(2 ч- k^ja) Fx ч- (1 —	Т2 ч- j2kxo sin aFiF2]

7a==	D	’

3*1*2	[(^£,;a — g) *1 — (ke~fa — g2) F2 — j2kxp sin aFiF2] Tg

tb	j (Z1 4- z2)

—3FiF2 4- [(fce^ — a2) Fi —	— g2) F2 — j2kxp sin gFxF2] Ta

te	ИЗ (й-^»2)

Здесь

D = (1 -+• 2k cos a)2 + x0 (1 -+-£2 — 2k cos a ч- 4k sin2 a) (Fj -4- *2) — 4x2^2 sin2aF1F2.

Результирующие токи прямой и обратной последовательностей
равны:

3F2 ч- [(1 ч- 2k cos a) — j2kxQ sin aF2] Fa

Tvi =	3(h-bi2)	?i:

3Fi ч- [(1 ч- 2k cos a) -4- j2kxQ sin aFi] Ta

?«2 = —	3(Г!-»-Г2)	?2-

Ток ротора

^(i-.-а
1	<2

Напряжение на „больной" фазе

__ . 3 (2Т1 -4- F2) — [(1 -4- 2k cos а) — л-р (1 — cos «) (FT -4- F2)] Tg.

(7. 54)

(7, 55)
будут

(7, 56)

(7, 57)

(7» 58)

Для большинства практических случаев влиянием угла а можно пре-
небречь и пользоваться формулами без учета пространственной асим-
метрии» осей. В предельном случае при обычных обмотках угол а может
достигать 30°. Такое изменение пространственного расположения оси
фазной обмотки сказывается главным образом на изменении соотноше-
ния токов ib, ic и сравнительно мало — на величине наибольшего тока
ia в фазе а.

Например, если к = 1 и a = 30°, то для асинхронного электродви-
гателя с током холостого хода, равным 0.312 номинального, и пяти-
кратным пусковым током 4^z2~5, имеем при х0 = 0.2 и $ = 1

ёа* 1.03.

Результирующие токи прямой и обратной последовательностей равны
^- = 0.955-/0.167 и -^- = 0.045-1-/0.167.

1к	1-к

Ток ротора при пуске будет в долях номинального пускового тока
равен:

*r = cos t ч- (0,334 -4- j 0,91) sin t*
Максимальное значение тока ротора будет порядка 1.15 от нормаль-
ного пускового. Эффективный ток ротора при пуске будет близок
к нормальному пусковому току ротора. Сдвиг оси фазы а в стороны
оси фазы с на 30% сдвигает вниз нулевую точку диаграммы напряже-
ния на 6% от номинального фазного напряжения. Токи статора при
этом создают м. д. с. обратной последовательности с амплитудой по-
рядка 17% от нормальной при пуске.

7.	УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТРЕХФАЗНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ СИНХРОННОЙ
МАШИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ВЫКЛЮЧЕННЫХ В ФАЗЕ а ВИТКОВ

Налагая дополнительные условия

фа = <рб = <|/с = О,

имеем в установившемся режиме для синхронной машины при Неявно-
полюсном роторе и с обмоткой статора, соединенной в звезду, ток
в „больной" фазе а:

3(1+2*)^	_______3(1ч-2*)х2£_________

“---- D -----------(l-b2i)2x^2-b(l-^x0(xdH-x2)-

В частном случае при соединении „метлой" (k — —1)

Га %----.	(7 go)

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ В ГЛАВЕ СЕДЬМОЙ

D — знаменатели выражений для токов;

ё— комплекс с постоянной фазой, связанный с величиной е зави-
симостью е =	-+-е

При

еа = ет cos (Z То) ва = ет^то.

В номинальном режиме:

ёа = Г, ёь = а2/;	— <ц;

е0= у (еа-+-е6-+-ес)— напряжение нулевой последовательности.

^о=	— комплекс с постоянной фазой, характеризующий

напряжение нулевой последовательности.

h— соответствующие комплексы фазных токов ста-
тора с постоянной фазой, связанные с токами /в,
ic зависимостью вида

При симметрии обмоток статора:

1а = Re { za } -+- i0; ib = Re { a2Z0} -t- iq; ic = Re { ai9}
/y = cos(/4~Y0 — ср)— номинальный ток статора;

=sin <?-+-/cos <? — комплекс с постоянной фазой, характеризующий
номинальный ток статора; соответствует напря-
жению на фазной обмотке

еа = cos

ёа~К

ijc — пусковой ток асинхронного электродвигателя;

.	у/ * _____

—	—пространственный комплекс тока статора в непо-

движных по отношению к статору осях координат.

При симметрии фазных обмоток статора:

2

= з" (z<* “ьaib а2'<0;

— комплексы с постоянной фазой, характеризующие ток статора
в синхронных осях координат.

При симметрии фазных обмоток:

*«i = | G'e4- аТъ а2гс);

^«2 = у (Га-«-а2Га-#-аГе).

В общем случае:

г«1 = *3	-+- акь^—^ЬТь a2ke^^c^c)\

Tti2 = у (kat~J*aTa -+-	ъ -+- akc^^Tc)*

ii—комплекс с постоянной фазой, характеризующий ток статора соот-
ветствующего асинхронного двигателя при рабочем скольжении и но-
минальном напряжении eK = ea—j-, определяется по обычной токовой

диаграмме.

Для асинхронной машины с симметричным ротором без возбуждения
со стороны ротора Г1 = — =

Для синхронной машины, имеющей возбуждение со стороны ротора,

ri—?у-*" х »
а

1

?2= —

Xt2

комплекс с постоянной фазой, характеризую-
щий ток статора соответствующего асинхрон-
ного двигателя при скольжении s2 — 2 — s и но-
минальном напряжении eN = ёа = у; определяется
по обычной токовой диаграмме; приближенно

1

Г2^

/0 =-----ток нулевой последовательности;

z*o> *<?о> ?ао> 1ъ&	—фазные токи до короткого замыкания й соот-

ветствующие комплексы с постоянной фазой.
Если
/
ea = cos I t -+-’2'J J ea = J,

TO

/_	£V5 \

Га0—\'1— x )— ‘Я*,
\	a /

Tfeo = aZ^ao; 1CO = aiao*

^4> ^4>	^4 — дополнительные фазные токи, вызванные

коротким замыканием, и соответствующие
комплексы с постоянной фазой;

Az" — сверхпереходная составляющая дополни-
тельного тока короткого замыкания;

1Г = (&1г-л-Е) — пространственный комплекс тока ротора
в собственных осях координат с учетом вза-
имоиндукции статорных обмоток; в тех же
единицах что и Е.

А1Г — пространственный комплекс в собственных
осях составляющей тока ротора, вызван-
ной взаимоиндукцией статорных обмоток;
связан с пространственным комплексом
тока статора формулой (7.3);

к — коэффициент, характеризующий процент
витков, оставшихся в фазной обмотке
статора; ка, кь, кс — коэффициенты для
соответствующих фазных обмоток;

Л4 — средний электромагнитный вращающий мо-
мент машины в установившемся режиме;
имеет положительный знак для случая
двигателя;

Ре — средняя потребляемая со стороны мощ-
ность; имеет положительный знак для слу-
чая двигателя;

s2 = 2 — s— скольжение для полей обратной последо-
вательности;

Г* и — соответствующие постоянные времени за-
тухания периодической составляющей тока
статора при однофазном коротком замы-
кании на нейтраль машины;

7*2 и ^2 —то же ПРИ двухфазном коротком замыка-
нии на выводах машины;

Та1 — постоянная времени затухания апериоди-
ческой составляющей тока статора при
однофазном коротком замыкании на ней-
траль машины, включенной в сеть;

хаа, хы» хсс — реактивности самоиндукции соответствую-
щих фазных обмоток статора;

хаЪ> хас> хьс — реактивности взаимоиндукции соответ-
ствующих фазных обмоток статора;

Xd^Xq
х9 = —л-------средняя синхронная реактивность машины;
хт—фазная реактивность между сетью и ма-
шиной; принята в примерах одинаковой
для систем напряжений прямой, обратной
и нулевой последовательности;

х10, Хр х" — эквивалентные — „синхронная", переходная

и сверхпереходная реактивности машины
при однофазном коротком замыкании на
нейтраль машины, включенной в сеть,
см. формулу (7,28);

х20, х', х"— то же при двухфазном коротком замыка-

нии на выводах машины;

ха1 — эквивалентная реактивность статора для
расчета затухания апериодической состав-
ляющей при однофазном коротком замы-
кании на нейтраль машины, включенной

в сеть;

ха2 — то же при двухфазном коротком замыкании
на выводах машины, включенной в сеть;

Х,1 = ХЛР)р=}в И ^2 = ^(/’)Р=Д2-») —
комплексные реактивности при скольже-
ниях = $ и $2 = &—s соответственно;

ХL 'З* (Х81 ""1“ Хв2	Хо)

хж=у(хв1а'ч“х82а2"4”хо) —комплексные реактивности, связывающие
фазные потокосцепления и токи в машине
^и9=ъ-Гхя1а2-4-х>9а-ч-хл) с симметричным статором;

а — угол отклонения оси фазной обмотки ста-
тора от нормального положения, измерен-
ный по часовой стрелке (от фазной об-
мотки а к фазной обмотке сит. д.);

%, ai, — соответствующие углы для фазных обмо-
ток статора;

То—фаза напряжения на фазной обмотке а
в момент времени f = 0;

8 —рабочий угол машины — угол между ком-
плексами напряжения сети и внутренней
э. д. с., равной j(l—S)E. В синхронной
машине в установившемся режиме угол &
неизменен и равен начальному углу 80;

81 = 8О — st— угол между поперечной осью ротора и
пространственным комплексом напряжения
статора, вращающимся с положительной
синхронной скоростью;

82 = 80-4-(2 — s)t— угол между поперечной осью ротора и
пространственным комплексом напряжения
статора, вращающимся с обратной син-
хронной скоростью;

0 = u)rf-i-0o — угол между продольной осью ротора и
осью фазной обмотки а статора; =
o4=6-t-^-; ес=е-н^;
0О— угол 6 в момент времени f = 0;

фй = Не[фйед*]; Фа = Re[?68^]; фо = ^е[фс8^] — потокосцепления фазных
обмоток статора;

фй, Ф$> Фо — соответствующие комплексы с постоянной
фазой.

Фазные потокосцепления и токи связаны в общем случае зависи-
мостью (7,2). При симметрии фазных обмоток статора для машины
с симметричным ротором без возбуждения со стороны ротора
фв = х9 (р) • i9 и в установившемся режиме

ф« =	Фа = ф«еА

Фазные потокосцепления определяются в этом случае зависимостями:

фв=Ке {фа} -4-фо; фд = Ие {а2фа} -4-ф0;

фс = Ке {афа} -ьф0;

фа = X91ivl н- Хе2О/2 Фо? Фб =	«1 •+* а*«2г«2 Фо;

фс = ад-81Гм1 а2х82'«2 Фо?

ф0 =-i-(фд-н ф6-4-фс) — потокосцепления нулевой последовательности;

ф0 = -|- (фа-*-ф&-1-фс) — комплекс с постоянной фазой, характеризую-
щий потокосцепления нулевой последователь-
ности;

фао, Фбо> Фео, фао> Ф*о> Ф«о— потокосцепления фазных обмоток до корот-
кого замыкания и соответствующие комплексы
с постоянной фазой.

Если ea = emcos (f-4~Y0), то, пренебрегая влиянием активного со-
противления в цепи статора, получим:

g/To	£*^То	е/То

фао= em~j ;	Ф&0 = ет ~j а2? фсо =

При То=У И ₽т = 1

фао = 1; Фм> = а2; ф.о = а.
ГЛАВА 8

ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ ПРИ ВНЕЗАПНОМ КОРОТКОМ
ЗАМЫКАНИИ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Широко распространенная методика расчета среднего скольжения
по среднему вращающему моменту машины без учета пульсирующих
составляющих вращающего момента (графически — по закону площадей,
либо численно — последовательными интервалами) приводит к существен-
ным ошибкам вследствие неучета влияния периодических составляющих
вращающего момента на изменение среднего скольжения.

Большое влияние на среднее скольжение при кратковременных ко-
ротких замыканиях оказывает также переходный вращающий момент
от потерь в роторе, вызванных апериодической составляющей потоко-
сцеплений статора.

Ниже даны формулы для расчета и приближенной оценки электро-
магнитного вращающего момента, скольжения ротора и изменения ра-
бочего угла при внезапных симметричных и несимметричных коротких
замыканиях трехфазной синхронной машины, с графической интерпре-
тацией.

1. СИНХРОННАЯ МАШИНА С СИММЕТРИЧНЫМ РОТОРОМ БЕЗ ВОЗБУЖДЕНИЯ
И БЕЗ ПОТЕРЬ

Для ясности физических представлений рассмотрим сначала синхрон-
ную машину с симметричным ротором и статором с одной системой
обмоток на роторе, работающую в режиме s = 0 без потерь, с пита-
нием только со стороны статора. Активные сопротивления статора и
ротора равны нудю.

а)	Ток, потокосцепления и электромагнитный вращающий момент

Ток и потокосцепления статора до короткого замыкания опреде-
ляются из обычной круговой диаграммы (рис. 8-1). Если подведенное
напряжение представить в относительных единицах комплексом ee=j,
то в этих единицах потокосцепления ф,0 = 1, а ток статора z*«o = ~~ •
Вращающий момент Ме будет равен нулю.

После короткого замыкания потокосцепления ф, представятся вра-
щающимся комплексом Имевший место до короткого замыкания
ток статора /в0 = — распадается в момент короткого замыкания
%d

на

два тока:

/ 1

iei =—— и *«2 = — ( ~
xd	\

_1_\
xd)'

в начальный момент времени противоположно направленных.

В рассматриваемом случае после короткого замыкания электро-
магнитный вращающий момент в относительных единицах

Ме = Re

рФ.С] = Re j (cos t — j sin t)

1 — a
----f— sin t

(8,1>

б)	Скольжение и рабочий угол

Уравнение механического равновесия машины
ds

(8,2>

где Н—механическая постоянная времени,
ских радианах (l эл. рад. =	;

выраженная в электриче-

Рис. 8-1. Круговая диаграмма
асинхронной машины.

Рис. 8-2. Электромагнитный вращающий
момент и скольжение ротора синхронной
машины, работающей без возбуждения со
стороны ротора и без потерь, после внезап*
ного трехфазного короткого замыкания.

До короткого замыкания $ = 0, -^- = 0, Me = 0, ML = 0. После
короткого замыкания
t

1 - Of ,	1 - G

rr f sin T~ , (1 — COS t).	(8,3)

Hxd 0J	Hxd

На рис. 8-2 представлена зависимость s от времени после корот-
кого замыкания. Положительное значение скольжения s соответствует
скорости вращения ротора, меньше синхронной. Как видим, среднее
скольжение

1 — а

Sm~ НхЛ •

(8,4)
Угол 8 между осью d ротора и осью поля, создаваемого питанием
со стороны статора,
t

Г	1 — о

& = &0 ~ J sdt = So — —, (t — sin f).	(8, 5)

о

Положительным принят угол, соответствующий генераторному режиму.

Для рассматриваемого случая зависимость угла 8 от времени при
внезапном трехфазном коротком замыкании представлена на рис. 8-3.

в) Изменение кинетической энергии, запасенной ротором,
и энергии поля

Наличие периодической составляющей вращающего момента приво-

дит к образованию, помимо пульсации скольжения, среднего скольже-
1 — а

—соответствую-

НИЯ sw

щего уменьшению средней ки-
нетической энергии ротора,
выраженной в относительных

единицах, со значения до.

Рис. 8-3. Изменение во времени рабочего
угла синхронной машины, работающей без
возбуждения и без потерь, после внезапного
трехфазного короткого замыкания.

Я(1-з™)2

2

Разница кинетических энергий
переходит в первую четверть
периода короткого замыкания
в дополнительную энергию маг-

нитного ПОЛЯ.

До короткого замыкания энергия магнитного поля рассматривае-
мой синхронной машины в относительных единицах

4 1

A0 — xd 2 — 2xd-

(8,6)

После короткого замыкания токи статора id и ротора ir будут:

= = Л“1);

(8,7)

Xad * .

— Дч.

тде ХаЛ — реактивность взаимоиндукции роторных и статорных обмоток;
хг — реактивность самоиндукции роторных обмоток.

Энергия магнитного поля в относительных единицах

А = -----ь 1 , - (1 — cos t) = Aq -+- 2 —- (1 — cos t) Aq.	(8,8)

2*d xd

Среднее приращение магнитной энергии

l — o	(8,9)

△тД — 2 0 До*
Среднее скольжение sm можно определить из уравнения

Отсюда

2 о	2ДтЛ

sm m-4~ уу —0.

sm^ TF~ •

(8, 10)

Численный пример. Синхронная машина имеет следующие параметры:
^ = ^=0.50; xd ~xq =0.14; механическая постоянная времени 77=16 сек =
= 16 • 314 эл. рад. Номинальная кажущаяся мощность 100 000 ква; о = 0.28.

Запасенная до короткого замыкания магнитная энергия

л 1	100000

Ло = 2х& * —314—= 0*819 * Ю3 квт * сек*

Запасенная ротором кинетическая энергия

_ Н 100000	16-314 100000 л

-«ЛО ~~2~ ’ —314—---2-----314 ==800 • 103 квт • сек.

Среднее приращение магнитной энергии после короткого замыкания

___	ч_л 28

ДтЛ = 2 —— Ло = 2 —JT55— 0.319 • 103 = 1.73 • 103 квт • сек.

Среднее скольжение

ДтЛ 1 —о 1—0.28

Sm~~ Н ~~	“ 0.14 • 16 • 314

= 1.08 • 10“3,

т. е. порядка 0.11%.

Среднее приращение магнитной энергии &тА соответствует торможению при
cos ср = 0.8, обусловленному номинальным вращающим моментом, действующим в те-
чение промежутка времени

Рис. 8-4. Механиче-
ская аналогия, объяс-
няющая уменьшение
средней кинетической
энергии ротора, обус-
ловленное периодиче-
ской составляющей
вращающего момента.

Д»>г— 0.8 • 1С0 103 —0.0217 сек.

Таким образом, поглощаемая средним приращением маг-
нитной энергии кинетическая энергия ротора превышает
энергию торможения, создаваемую номинальным электромаг-
нитным вращающим моментом за один период переменного
тока (0.02 сек.).

г) Механическая аналогия

Из изложенного ясно, что периодический вра-
щающий момент (рис. 8-2) создает колебания сколь-
жения со средним скольжением, не равным нулю,
несмотря на то, что среднее значение вращаю-
щего момента равно нулю. Значение среднего сколь-
жения определяется при этом начальной фазой
пульсирующего момента.

Изложенное физическое явление хорошо иллю-

стрируется следующим примером из механики.

Пусть на торце вращающегося вала сидит маховая масса, к кото-
рой внезапно прикрепляется пружина, как показано на рис. 8-4. Если
в начальный момент времени пружина была не растянута, то средняя
кинетическая энергия маховой массы после прикрепления пружины
уменьшится за счет перехода в среднюю потенциальную энергию пру-
жины, не равную нулю, при вращении маховой массы. Вращающий
момент, создаваемый натяжением пружины, будет переменным со сред-
ним значением, равным нулю.

2.	СИНХРОННАЯ МАШИНА БЕЗ ВОЗБУЖДЕНИЯ И БЕЗ ПОТЕРЬ
ПРИ АСИММЕТРИИ РОТОРА

Диаграмма машины без возбуждения со стороны ротора и бев
потерь представлена на рис. 8-5.

а)	Токи и электромагнитный вращающий момент

Без учета затухания ток статора i9 после внезапного трехфазного
коррткого замыкания будет [6-6] (см. пар. 3 главы 6):

где

— 2 ( „ н- „	2 ( "	" — Md + jbiq. (8,12)

\ xd xq /	\ xd xq /	xd

(8, П)



Ток ротора

•	Xad a .	. xaq л •

Ir= =
xrd	x-rq

= bird +* jbirq*	(8, 13)

Средняя магнитная энергия маши-
ны после короткого замыкания

. ___ *d .2

Ат — 2 г*°

(8,14)

Рис. 8-5. Токовые диаграммы асин-
хронной машины с асимметричным
ротором.

где и — реактивности взаимо-
индукции обмоток ро-
тора с обмотками ста-
тора по продольной и
поперечной осям соот-
ветственно.

xr(f и хГ£— реактивности самоиндукции обмоток ротора по про-
дольной и поперечной осям соответственно.

В рассматриваемом случае при внезапном трехфазном коротком
замыкании среднее приращение магнитной энергии (см. стр. 219)

 З-б^-^

3 —	-+

где

^£.2	J^.2	_

2 d 2 9 “ 2 *° ~

^d

(8,15)



Xd ’

1

Гл0” Xd
Электромагнитный вращающий момент в этом случае периодический,
ео средним значением, равным нулю, и с двумя гармоническими со-
ставляющими— первой и второй гармониками:

„	1 / 1	1 \ о

Ме = ~К\ ~~7Г— ~7Г I sin

2 \ xd хд /

1 — а
---п— sin t.

xd

(8,16)

Колебания скорости имеют, помимо первой гармонической, вторую,
а угол нарастает, совершая колебания около среднего нарастающего
угла с первой и второй гармоническими.

б)	Среднее скольжение

Формулы для определения пульсирующих вращающих моментов машины
известны и для случая несимметричных коротких замыканий, поэтому
нетрудно рассчитать средние скольжения, вызванные пульсирующими
вращающими моментами при кратковременных несимметричных корот-
ких замыканиях (см. главу 6).

Пульсирующие вращающие моменты быстро затухают, однако это
почти не сказывается на среднем скольжении. Затухание их сказы-
вается на уменьшении пульсации скольжения вокруг среднего скольже-
ния, но эти пульсации уменьшаются вокруг примерно того же перво-
начального среднего значения. Таким образом, затухание пульсирующих
составляющих сказывается сравнительно мало на величине среднего
скольжения (8,18).

Имеем следующие приближенные значения для среднего скольжения
$т от пульсирующих составляющих электромагнитного вращающего
момента при разных видах внезапных коротких замыканий:

1)	при внезапном трехфазном коротком замыкании из
холостого хода

2)	при внезапном двухфазном коротком замыкании фаз
режима холостого хода отключенной от сети машины

реж има

(8,17)

Ь — с из

—-2

H(x'd-*-xz)

sin Ьо [— sin So ч- 62 sin 3&0 — sin 5&0 -+• sin 7$0 — ...] ч-

sin2S0 ) [— cos 2oQ ч- 62 cos 4oQ — 62 cos 6$0 ч- . •.][ ; (8,18)

3)	при внезапном однофазном коротком замыкании фазы а из
режима холостого хода отключенной от сети машины

______2______

Я(^ч-х2-ьх0)



cos [cos Ьо ч- cos ч- cos 5$о ч- ...] ч-

1

xd ~~~ х%

X[cos 2$0 ч- Ъг cos 4&0 ч- 6Х cos 6&0 ч- ... ]

(8,19)
Здесь 80 — начальный угол между осью q ротора и осью фазы а
статора в момент короткого замыкания

,	x2 — x”d	, х2 — xd

bi = Tf	;	62 —	тг ;

xd-*-xi-*-xb	x^~^~xd

x2 и x0 — реактивности обратной и нулевой последовательности фаз.

За положительное в этих формулах принято скольжение, соответ-
ствующее скорости вращения ротора меньше синхронной.

Из приведенных выражений видно, что влияние пульсирующих
вращающих моментов на среднее скольжение при несимметричных
коротких замыканиях меньше, чем при трехфазном коротком замыкании.

Для гидрогенератора Волжской ГЭС с номинальной мощностью
115 Мвт на 68.2 об./мин., непосредственно включенного в мощную
сеть, влияние пульсирующего вращающего момента на изменение
среднего скольжения при трехфазном коротком замыкании примерно
равно эффекту дополнительной нагрузки, равной нормальной мощности,
действующей в течение одного периода переменного тока (0.02 сек.).

в)	Влияние длительности короткого замыкания

Возникает вопрос: будет ли возвращена обратно магнитная энергия,
которая была затрачена на изменение кинетической энергии ротора
при внезапном коротком замыкании, при обратном включении машины
в сеть после кратковременного короткого замыкания.

Пусть произошло внезапное короткое замыкание. При этом резко
возросла энергия магнитных полей в машине 34 счет кинетической
энергии ротора, что привело к его замедлению. Через 0.15 сек.
машина вновь включается в сеть.

При этих условиях в крупных генераторах при включении в сеть
после кратковременного короткого замыкания может быть обратно
переведено из магнитной энергии в кинетическую примерно от
одной трети до половины той энергии, которая была получена
с ротора при внезапном коротком замыкании. Такая сравнительно
небольшая величина обратно возвращенной энергии получается потому,
что постоянная времени обмотки статора невелика, имея тот же поря-
док, что и время короткого замыкания, т. е. 0.15 сек. В результате
значительная часть дополнительной магнитной энергии за короткое
время протекания токов короткого замыкания успевает израсходоваться
на джоулевы потери.

3.	ВЛИЯНИЕ ВОЗБУЖДЕНИЯ СО СТОРОНЫ РОТОРА И РАБОЧЕГО УГЛА
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ И УЧЕТ ЗАТУХАНИЯ ПЕРЕХОДНЫХ ТОКОВ

При параллельной работе машины на мощную сеть в генераторном
режиме с рабочим углом 8 и внутренней э. д. с. Е без учета потерь
в статоре имеем диаграмму статорных токов до короткого замыкания,
показанную на рис. 8-6. Диаграмма токов* после внезапного трехфаз-
ного короткого замыкания представлена на том же рисунке.

В системе осей «7, q ток статора до короткого замыкания
При этом ток ротора

Е
lrQ~~Xad •	(8,21)

После короткого замыкания ток статора

Е .	.	(8,22)

ie = — „ -+- *ei “+“ *«2*

Рис. 8-6. Токи статора при внезапном коротком замы-
кании синхронной машины с асимметричным ротором,
работавшей на мощную сеть с нагрузкой и с возбужде-
нием со стороны ротора.

где с учетом влияния активных сопротивлений на затухание переход-
ных токов (см. стр. 218)

1,1 = {[fdld cos (£ ч- &) — idiq sin (£ ч- 5)] — j [iqld cos (t ч- b) -+- iqlq sin (£ ч- &)]} k9;	(8, 23)



M —

krd COS S — idiqkrq sin В J —

— J ^Jgid^rd COS S 4-	—

(8, 24)

где k8, krd и krg — коэффициенты, учитывающие затухание. Обозначения
токов даны на рис. 8-6.

Коэффициенты затухания при двух системах обмоток на роторе равны:

t
k8=e Та;

kri~ 1 -

____t
f

T

krq = S' q

(8, 25)

Среднее изменение магнитной энергии в начале внезапного корот-
кого замыкания (см. стр. 219) равно [8-2]:

= Gd (cos $ — Е) (iqiq sin S — idld cos b) — aq sin S (z’^1? cos & ч- iqid sin b) ч-

[j’dld *“ z?lg *“ 2~ 0'did	zglg) cos — ^dld^qlq sin

" /	.2	.2	\

XQ io 9	zdl<7 Iqld	I

4- 2 \zdlg zglrf	2 C0S 2$ “l“ *dlqlqld sin 2$ j »	(8, 26)
где

Приближенно при х"^х"^х" и угле <рх, . см. рис. 8-6:

ДШЛ = -Дг — idQ cos (26 -+- epi) -+- z20 sin (26 -+- ?i).	(8, 27)

X8

Если, кроме того, xrf»xg, среднее приращение магнитной энергии

1 + а£ cos (26 -4- У1) — a cos (6 -ь yQ
—	//	,	(о, Zo)

Х8

где

1	1/1	1 \	_ x'd+Xq

^^x'd" хдГ	х<^х* '

cos<?i — средний коэффициент мощности при пуске невозбужденной
машины из неподвижного состояния.

4.	ВРАЩАЮЩИЕ МОМЕНТЫ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ АКТИВНЫХ
СОПРОТИВЛЕНИЙ СТАТОРА И РОТОРА ПРИ ВНЕЗАПНОМ ТРЕХФАЗНОМ
КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Наличие активных сопротивлений приводит при коротком замыка-
нии к появлению дополнительных тормозящих моментов и к постепен-
ному затуханию пульсаций вращающего момента и скольжения.

При внезапном трехфазном коротком замыкании ток i81 и потоко-
сцепления	будут затухать с коэффициентом а"=-?г-, в основ-

ном определяющимся активным сопротивлением цепи статора; ток i82
* » 1 1,1
будет затухать с коэффициентами &rd = и &rd = —f-; а = -у- э

Ч	* d	*д

определяющимися в основном активными сопротивлениями в цепях
ротора.

С учетом влияния активных сопротивлений при внезапном трехфаз-
ном коротком замыкании будем иметь нижеперечисленные основные
составляющие электромагнитного вращающего момента.

1) Периодический вращающий момент Mi2, рассмотренный ранее,
вызывающий единовременное уменьшение средней кинетической энер-
гии ротора. Эта составляющая вращающего момента в начальный
момент времени затухает с коэффициентом а"-4-а", затем после зату-
хания токов в демпферной системе с коэффициентом	Величины

а" и характеризуют средние коэффициенты затухания токов по
продольной и поперечной осям. Более строго, рассматриваемая составляю-
щая электромагнитного вращающего момента будет состоять из не-
скольких составляющих, затухающих с разными постоянными времени,
как это показано в главе 11 и в приложении 8.

Пульсации скольжения будут уменьшаться соответственно затуханию
токов, причем затухание не окажет существенного влияния на началь-
ное значение среднего скольжения, вызванного наличием рассматри-
ваемой периодической составляющей вращающего момента [см. фор-
мулу (8, 34)]. Дополнительная магнитная энергия, накопленная в начале
короткого замыкания, будет постепенно расходоваться на потери,
связанные с протеканием апериодических составляющих токов в роторе
и статоре



—-----— £ k 7 sin(£— <р12).

Х8

(8, 29)

Здесь угол <Р12 определяется соотношением

1 — а	1	sin ср!

----7,— sin <р12 = “V sin т. е. sin <р12 = -------------------

X.	X.	1   а

тде% = сра — угол для среднего пускового коэффициента мощности cos<pe
соответствующего неподвижного асинхронного двигателя

а =----

х8

2) Наличие активного сопротивления в цепи статора вызывает потери

от протекания периодической составляющей тока статора /в2, равные

40

20

О

-20

-4.0

-60

16	24	32	40	48	56 64

эл рад.

il2rg, гДе величину активного
сопротивления статора г8 нужно
брать с учетом добавочных по-
терь, которые составляют до
40%, а в отдельных случаях
до 100% омических потерь в
статоре. Эти потери покры-
ваются с вала и создают соот-
ветствующий тормозящий мо-
мент. Наличие этого момента
связано с тем, что имеется не-
большая составляющая потоко-
сцеплений фв2, пропорциональ-
ная г89 которую мы ранее на

круговой диаграмме не пред-
ставляли ввиду малости актив-

Рис. 8-7. Зависимость электромагнитного вра-
щающего момента синхронной машины от вре-
мени при внезапном трехфазном коротком за-
мыкании.

ного сопротивления статора г8.
Рассматриваемая тормозящая
составляющая момента М22 бу-
дет затухать с удвоенным коэф-
фициентом затухания ротора

(8,30)

3)Наличие активного сопротивления в цепи статора вызовет несов-
падение фаз тока i81 и потокосцеплений фв1, как это представлено на
рис. 8-6. В результате получится тормозящий момент Ми, равный вначале
пусковому моменту и затухающий затем с удвоенным коэффициентом
затухания статора 2а*.
Наличие магнитной асимметрии ротора вызовет небольшую пульса-
цию вращающего момента. С учетом этой пульсации

Мц = -

1/1	1 \

Мц + n I п — п I sin 2 (5
\	xd /

.	—2а о/

О *

(8, 31)

где Ma—средний пусковой вращающий момент соответствующего не-
подвижного асинхронного двигателя.

Е

4) Взаимодействие тока статора—, вызванного возбуждением со
стороны ротора, с затухающими потокосцеплениями статора создаст
периодический вращающий момент с начальной амплитудой, равной
номинальному вращающему (тормозящему) моменту, и затухающий
с коэффициентом затухания статора а". Кроме того, будет также дей-
ствовать постоянный тормозящий момент, определяемый потерями
в статоре от составляющей тока, вызванной возбуждением со стороны

ротора.

Обозначим сумму этих двух составляющих вращающего момента
через МБ, тогда

МЕ =

Е -a't .	. Е

— ~8 sm (5	г*-

Xd	Х“г

(8,32)

На рис. 8-7 представлена сумма указанных основных составляющих
Ме = М12-А-М22-У-М11-л-МЕ электромагнитного вращающего момента для
синхронной машины с параметрами, указанными в численном примере,
представленном ниже. Помимо этих составляющих, будут иметь место
дополнительные небольшие составляющие переходного вращающего
момента, связанные с наличием несимметрии ротора и высшими гармо-
ническими. Кроме того, наличие активного сопротивления ротора опре-
деляет комплексный характер коэффициента затухания статора а" (а при
определенных соотношениях — комплексный характер коэффициента
затухания ротора а"), поэтому частоты периодических составляющих
несколько разнятся между собой. Этими явлениями, учет значительной
части которых принципиально несложен, мы в целях упрощения пре-
небрегаем. Аналитическое рассмотрение влияния потерь см. также
пар. 11 главы б.

Аналогично по известным формулам определяются вращающие мо-
менты при несимметричных коротких замыканиях, см. главу 6.

5. Скольжение ротора и рабочий угол при внезапном трехфазном
коротком замыкании синхронной машины с учетом влияния
активного сопротивления в контурах статора и ротора

а) Скольжение

Составляющие скольжения $, вызванные наличием соответствующих
составляющих вращающего момента, с учетом влияния внешнего при-
ложенного вращающего момента ML> где

Е	1/1	1\

— ML — sin b0 -+- у — — sin 2Ь0 = Мп = cos <ря,

xd	£ \xq	а/

будут:

s----sL -+- s12

S22 -+“ S11 ”+“
где

(8, 33)

йли с учетом постоянства подведенной мощности при малом скольжении

*£----2 ’

1 -- °	1	(	fl! U\ .

s12 pjxf! • Г| ! / // t а"\2~| (C0S ^12 (ae “1" ar) sin <Р12 ““

/ ,z ff\

— е * [cos(z— ?12)-+-(«"-ь a") sin (? — ср12)]};

sin /	—2а''/ \	1	/ 1	1 \	1

S11 = 2НхХ V ~ Е > * 4Я - х J (1 _ ф X

{cos 26 н- sin 280—е	* {cos 2 (6 -+• t)	% sin 2 (8 -+- Z)J];

£2 E 1	,	.	„	.

•"—lcos8o+% sin % -•
A	d I a.

— e X [cos (b -+-1) -+- d'9 sin (b -ь £)]).

(8, 34)

(8, 35)

(8, 36)

(8» 37)

Численный пример расчета скольжения. Параметры синхронной машины:
xd=0.55; xg = 0.37;	= л-" = х'' = 0.14; Я=16 сек. = 5030 эл. рад.; rg = 0.00353;

"__ 0.00353 _ посо " ЛгА gy,g

а8— 0 14 —0.0252; аг^ 2

0.075 ч- 0.057

=0.066;

sin ^ = 0.0848; Е =1.34; —ML = cos <ря = 0.85; &0 = 15°;

2 • 0.14

°	0.55 -ь 0.37 — 0 304-

Угол ¥12 определяется из соотношения

0.0848
sin <Р12 — ! _ о 304 — 0.122.

Электромагнитный вращающий момент (рис. 8-7)

Af, = —0.2Г —0.0873е

— 0.606&

— 4.98е~(М)9Ш sin (f ~ 7°:

_	^2,

si—— н *’

2

— 2.435s~°’0252/sin (8 н- ?).

Среднее скольжение

sm «= —1.65 • 10“*/ -4- 14.6 • 10~4 -+-1.32 • 10~4 (1 - е-°132<) -V

-+- 23.9 ♦ 10-4 (1 — е-0 0304? >♦

Периодическая составляющая скольжения

sp 9.87 • 1о-4е-°-9Ш cos t — 4.82 • Ю“4е“Ч)-0252< cos (f 12°50')>

Для скольжения в функции времени получаем кривую (рис. 8-8).
Как видим, в первые 3 периода (0.06 сек.) после внезапного короткого
замыкания, несмотря на ускоряющее действие внешнего приложенного
вращающего момента, среднее скольжение положительно, машина тор-
мозится. Объясняется это, как видно из численного примера, в основ-
ном двумя факторами.

1)	Переходом части кинетической энергии ротора в момент внезап-
ного короткого замыкания в дополнительную энергию магнитного поля.
Эта энергия в дальнейшем расходуется на электрические потери в ма-
шине.

2)	Наличием в машине сравнительно большого активного сопротив-
ления обратного следования фаз г2> что приводит к относительно боль-
шому тормозящему вращающему моменту, создаваемому затухающим
стоящим полем и затухающей стоящей волной тока статора (апериоди-
ческой составляющей тока статора). Основные потери, связанные
с этой составляющей вращающего момента, выделяются в роторе.

Остальные факторы, как это видно из численного примера, мало
влияют на торможение машины при внезапном коротком замыкании.
Установившийся постоянно действующий тормозящий вращающий
момент, связанный с наличием возбуждения со стороны ротора, в рас-

0.0417	СО/

сматриваемом примере составляет всего -j-gg- luU^2.5/0 от приложен-
ного внешнего вращающего момента и, следовательно, мало влияет на
характер процесса.

В малых и средних машинах, а также при неполных коротких за-
мыканиях существенную роль могут играть потери, определяемые актив-
ным сопротивлением статора.

б) Рабочий угол

Средний рабочий угол после внезапного трехфазного короткого за-
мыкания

t

“ $0 ~~ j sc^ == So ч- -ь Swl2 ч- $22 ч- ч-	(8, 38)

о

где
ML о

(8,39)

1 _ 0 cos — (а" ч- а") sin <рх

$т12 ~ г. ч	-	/ ч »\2

» I	—2а"i \

(1 — а)2 % I 1 — е г

22 H< ‘2<V~	2< J 5

sin <pi
2ЯхХ

£2	Е (cos % ч- sin $0)

ЪтЕ * ~ ~2Н^	~

(8, 40)

(8, 41)

(8, 42)

(8, 43)

Здесь угол выражен в электрически^ радианах.
Пульсацию, рабочего угла с частотой 50 и 100 гц нетрудно опреде-
лить, интегрируя по времени соответствующие выражения для сколь-

жения.

Аналогично определяются по известным формулам для электромаг-
нитного вращающего момента изменения скольжения и рабочего угла

при внезапном несимметричном коротком замыкании, с учетом влияния

Рис. 8-8. Скольжение ротора синхронной ма-
шины в зависимости от времени в начальный
период после внезапного трехфазного корот-
кого замыкания.

активных сопротивлений в це-
пях статора и ротора.

Численный пример расчета уг-
ла. В рассматриваемом численном
примере при изменении среднего
скольжения* представленном на
рис. 8-8, средний угол

вт 15° — 0.23# н- 47.3 • 10-4#2 —

- 580 • 10-4 (1 — е“°Л32/) —

— 2.72 • 10-4 (1 — е-0504*).

Амплитуда пульсаций с частотой
50 гц рабочего угла будет находиться
в пределах

«
Т

15 • 57.3 • 10—4 J cos tdt^z 0.086°,
о

так как максимальная пульсация
скольжения не превышает 15 • 10~4.

Для рассматриваемого примера
на рис. 8-9 представлена зависимость
рабочего угла от времени после
внезапного трехфазного короткого за-
мыкания. Угол Ът примерно через
три периода после начала короткого
замыкания достигает минимума, со-
ответствующего уменьшению рабочего
угла на величину порядка 1°. Затем
угол увеличивается, достигая через
5-^- периодов начального значения,

равного 15°. Быстро после этого возрастая, через 10 периодов после начала короткого
замыкания, угол уже составляет свыш е 20° и продолжает нарастать примерно по
закону квадратичной параболы.

Угловая характеристика Me=f(§) дана на рис. 8-10.

в)	Динамическая устойчивость

Из рассмотренного примера и кривых рис. 8-8 и 8-9 ясно, что при
современных временах отключения короткого замыкания порядка
0.1.« -0.15 сек. рабочий угол машины к моменту отключения короткого
замыкания сравнительно мало меняется.

Решающее влияние на сохранение динамической устойчивости после
Отключения короткого замыкания окажет: а) значение скольжения ро-
тора к моменту отключения короткого замыкания, т. е. величина >
характеризующая изменение кинетической энергии ротора, и б) дина-
мическая характеристика электромагнитного вращающего момента
Мв=/(В) после отключения короткого замыкания. Последняя опреде-
ляется схемой включения машины в сеть после отключения короткого

Рис. 8-9. Изменение рабочего угла синхронной ма-
шины при внезапном трехфазном коротком замыкании.

замыкания и системой регулирования возбуждения. Кроме того, суще*
ственное значение может иметь изменение внешнего вращающего мо-
мента ML, вызванное регулированием первичного двигателя.

Рис. 8-10. Угловая характеристика Ме f (§) синхронной машины в началь-
ный период времени после внезапного трехфазного короткого замыкания.

7 — огибающая с учетом периодической составляющей. Мет — среднее значение электромагнит-
ного вращающего момента.

Отключение участка линии, на котором произошло трехфазное
короткое замыкание, можно рассматривать по методу наложения как
включение машины на некоторое напряжение. При этом вновь будет
иметь место единовременное увеличение магнитной энергии машины за
счет уменьшения кинетической энергии ротора и дополнительное тор-
можение ротора вновь образующейся апериодической составляющей
потокосцеплений статора,

г)	Неполные короткие замыкания

При неполном коротком замыкании картина принципиально не ме-
няется. Токи и вращающие моменты можно определить аналогично
предыдущему. Для этого требуется наложить на режим, имевший место
до короткого замыкания, переходный процесс, вызванный включением
машины с соответствующим участком в цепи статора на напряжение,
равное и противоположное по знаку, имевшему место в точке корот-
кого замыкания до момента короткого замыкания, как это рассмотрено
в главе 7.

д)	О „законе площадей^

Из рассмотренного видно, что закон площадей по среднему вращаю-
щему моменту не характеризует полностью среднего скольжения,
а следовательно, характера нарастания рабочего угла во времени при
внезапном коротком замыкании. Следует пользоваться законом площа-
дей, строя в функции угла 8 кривую полного вращающего момента,
включая периодические составляющие, либо определить среднее сколь-
жение по закону площадей для среднего момента вращения (без учета
периодических составляющих), добавляя среднее скольжение, вызванное
увеличением магнитной энергии машины в начальный момент короткого
замыкания и связанное с наличием периодических составляющих
в электромагнитном вращающем моменте.

е)	Вывод формулы для расчета изменения магнитной энергии
синхронной машины с возбуждением со стороны ротора
и с асимметричным ротором, работающей на мощную сеть
с нагрузкой

Потокосцепления статора по продольной и поперечной осям после
короткого замыкания

= c°s (5z); 1

,	\ Л м	(8.44)

---k9 Sin (о -4— £). J

Приращение тока статора при коротком замыкании

А«, = {‘did [*, cos а -ь 8) — krd cos b] — id \kt sin (f -+- b) — kri sin b] —	(1 — ^)| —

’	d	J

— j {'гМ	Cos	S) “ krd Cos B] -*• 'г1г \.k, sin (' 8) “ krq Si“ 5] ~	0 ~ krq)} =

= 4 +	(8,45)

где laid. itid, itig, hiq показаны на рис. 8-6.

Добавочный ток ротора

Ai = — ^ Д/. — j Д/ = Д i. -+- jAi ,	(8, 46)

Г Xrd d Xrq i rd J w
где xad, xaq — реактивности взаимоиндукции статора и ротора по осям d
и </, соответственно;

xrq — реактивности самоиндукции цепей ротора по осям d и <?,
соответственно.

Магнитная энергия, запасенная машиной до короткого замыкания

1 (cos2S sin2 5
ao==2]~1—*‘Т~
Z I Xd Xq

1

d

После короткого замыкания магнитная энергия машины

Л Л " . А .	"• А •	» А .2	9 А -2

Л ^Q^xdldO^ld	-|“ 2	2

(8, 47)

(8, 48)

В начале процесса коэффициенты k8, krd, krq можно считать равными
единице. Подставляя в выражение (8, 48) соответствующие выражения
для токов статора и отбрасывая периодические члены, имеющие частоту
50 гц и выше, получаем для начального среднего приращения магнит-
ной энергии машины после внезапного трехфазного короткого замыка-
ния выражение (8, 26).
ГЛАВА 9

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ,
СОДЕРЖАЩИХ ВРАЩАЮЩИЕСЯ МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

За последние десятилетия теория переходных процессов в бескол-
лекторных машинах переменного тока обогатилась рядом научных работ,
позволивших аналитически исследовать многие сложные физические
явления.

Особенно плодотворно оказалось преобразование переменных
в основных дифференциальных уравнениях синхронной и асинхронной
машин к вращающимся осям, в частности к осям, вращающимся вместе
с ротором. При таком преобразовании переменных дифференциальные
уравнения с периодическими коэффициентами для многих режимов
становятся линейными дифференциальными уравнениями с постоянными
коэффициентами. На этой же основе могут быть разработаны анали-
тические методы исследования системы машин, вращающихся с разными
скоростями, и машин, работающих с изолированной нагрузкой в общем
случае. Очевидно, что и в этом случае для устранения, когда это
возможно, периодических коэффициентов в уравнениях следует прео-
бразовать дифференциальные уравнения к вращающимся осям.

В разработке простой методики рассмотрения элементов электри-
ческой системы, содержащей машины, во вращающихся осях уже давно
назрела острая необходимость. Отсутствие такой методики приводило
к необходимости для каждой конкретной электрической системы заново
составлять соответствующие дифференциальные уравнения с учетом
переходных процессов в машинах.

В настоящей главе излагается метод расчета переходных процессов
в системе, состоящей из вращающихся машин и нагрузки, с помощью
комплексных операторных уравнений, имеющих наглядную физическую
интерпретацию и позволяющих пользоваться простыми эквивалентными
схемами. Представлены примеры применения предлагаемого метода,
в частности рассмотрен процесс включения асинхронной машины в сеть,
питаемую генератором соизмеримой мощности, показана связь опера-
торных эквивалентных схем асинхронных машин с обычной эквива-
лентной схемой и представлен пример графического исследования усло-
вий самовозбуждения асинхронной машины, включенной в мощную сеть
через емкость [9-2].

1.	ДОПУЩЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ

а) Допущения

1)	Электродвижущие силы, создаваемые в системе вращающимися
роторными обмотками, образуют в установившемся режиме при незави-
симом возбуждении систему напряжений прямой последовательности.
2)	Внешние э. д. с., действующие в роторных цепях, при отсутствии
специальной оговорки принимаются постоянными.

3)	Скорость вращения роторов в тех случаях, когда это специально
не оговаривается, принимается постоянной.

4)	Статические элементы системы создают симметричную нагрузку.
Это значит, что все соответственные активные и реактивные сопро-
тивления в фазах а, 6, с являются одинаковыми, влияние друг на
друга элементов, расположенных в разных фазах, одинаково.

Остальные допущения те же, что и в главе 3.

б)	Общие замечания

1)	При записи операторных уравнений обозначения для операторных
эквивалентов токов, напряжений и потокосцеплений не отличаются от
обозначений оригиналов, являющихся функциями времени, как это при-
нято в упрощенной символической записи операторных выражений.
Несмотря на известную нестрогость подобной записи, применение ее
целесообразно, так как она существенно упрощает вид уравнений,
а возможность ошибки, связанной с такой записью, практически исклю-
чена.

2)	При преобразовании операторных уравнений к различным систе-
мам вращающихся осей в символически записанных уравнениях могут
появиться коэффициенты, являющиеся функцией времени.

Такие символические операторные уравнения, несмотря на ограни-
ченный смысл их с точки зрения непосредственного раскрытия в функ-
ции времени, дают удобную запись и в ряде случаев могут быть ре-
шены путем преобразования переменных благодаря определенным
условиям симметрии в машине.

3)	Для удобства пользования символической записью дифференци-
альных уравнений начальные условия рассматриваемого процесса всегда
принимаются нулевыми. Учет начальных условий производится методом
наложения.

4)	Короткие замыкания могут быть рассчитаны по предлагаемой
методике при пользовании принципом наложения для случаев, когда
параметры статических элементов одинаковы во всех фазах. Несим-
метричные короткие замыкания также могут быть рассчитаны, рас-
сматривая точку короткого замыкания как генератор напряжений пря-
мой, обратной и нулевой последовательности. При этом раскрытие
операторных выражений может быть в общем случае представлено
в функции времени только в виде сходящегося ряда.

5)	Система напряжений нулевой последовательности создает токи,
не зависящие от роторных параметров машины и от скорости враще-
ния, так как при принятых допущениях м. д. с. нулевой последователь-
ности в воздушном зазоре машин всегда равна нулю.

в)	Некоторые определения и обозначения

1)	Статические элементы системы, создающие симметричную нагрузку,
и вращающиеся элементы с симметричным ротором называются сим-
метричными элементами.

2)	Система осей, в которой одна из осей совпадает с продольной
осью ротора J, а вторая с поперечной осью ротора <7, называется
собственной системой осей машины.
3)	Система осей, вращающихся с положительной скоростью, равной
единице, называется синхронной системой осей.

4)	Величины в собственной системе осей характеризуются индексом s,
в неподвижной системе осей — индексом а, в синхронной системе осей —
индексом и (иногда в других главах — $).

5)	Реальная и мнимая оси в собственных осях характеризуются ин-
дексами d и q, в неподвижных прямоугольных осях — индексами аир.

6)	При отсутствии специального указания под системой осей пони-
мается система прямоугольных осей.

7)	Под операторным изображением f(p) функции F(f) подразуме-
вается изображение, соответствующее преобразованию

со

О

В этом случае при нулевых начальных условиях операторное изо-
бражение линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-
фициентами можно получить подстановкой -&=Р*

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1)	Токи, потокосцепления и напряжения электрической машины,
соответствующие вращающимся синусоидально распределенным в про*
странстве волнам м. д. с., можно характеризовать комплексами, которые
связаны комплексными дифференциальными уравнениями.

Комплексы эти могут быть определены своими проекциями на реаль-
ную и мнимую оси, которые образуют систему пространственных осей,
вращающихся с выбранной произвольной скоростью.

2)	Решение дифференциальных уравнений, связывающих токи и на-
пряжения в машине, существенно упрощается, если ввести понятие
комплексных операторных сопротивлений.

При пользовании операторными комплексными сопротивлениями
электрические системы, содержащие вращающиеся машины перемен-
ного тока, могут быть представлены эквивалентными схемами, изобра-
женными на рис. 9-1 и 9-2.

В этих схемах операторные сопротивления являются, как правило,
комплексными величинами и получаются преобразованием исходных
комплексных операторных уравнений к единой системе вращающихся
осей, как указано ниже.

Предлагаемый метод является обобщением символических методов,
принятых в электротехнике, как показано в табл. 9-1.

3)	Для преобразования операторных сопротивлений симметричных
элементов к вращающимся осям достаточно заменить операторное вы-
ражение z(p) на z(p-i-/sv), где — скорость вращения выбранной
системы осей по отношению к рассматриваемому элементу.

Для статических элементов при синхронно вращающейся системе
осей sv = l. Для вращающихся элементов, обладающих симметричным
ротором, вращающимся со скоростью «V, при синхронно вращающейся
системе осей sv = (l—<ог).

4)	Операторные выражения z (р) для статических элементов системы
в неподвижных осях составляются по обычным правилам операторного
анализа.
Таблица 9-1

Символические методы расчета электрических систем

Характер процесса	Тип эквивалент- ной системы	Род элементов в эквивалентной системе	Эквивалентные выражения тока, напряжения и потокосцеплений
У становившиеся	Реальная электри-	2г = г;	Реальные устано-
процессы при по-	ческая система	Ее — tri.	вившиеся	по-
стоянном напря- жении.	с омическими со- противлениями.		стоянные значе- ния.
У становившиеся	Эквивалентная	z (» — г н- J<o£ Н- .шс;	Комплексные вы-
процессы при	электрическая		ражения с посто-
синусоидальном напряжении.	система с кажу- щимися сопро- тивлениями.	co — частота тока; Se = tzi.	янным модулем и с постоянной либо равномерно изме няющейся фазой. Реальные токи,	потоко-  сцепления и на- пряжения соот- ветствуют реаль- ной составля- ющей комплек- сов с равно- мерно изменя- ющейся фазой.
Переходные про-	Эквивалентная	~	\. т ~	.	Операторные вы-
цессы в стати- ческой электри-	электрическая система с опера-	z \Р)	г Lp -4-	,	ражения токов, раскрываемые в
ческой системе	торными сопро-	* а	функции вре-
при включении напряжения в момент t = 0 при нулевых началь- ных условиях. Учет начальных условий произво- дится по методу наложения.	тивлениями.	I- -и- ! »• ^|й. W	мени по прави- лам операторного анализа.
Переходные про-	Эквивалентная	г(р + /«) = г-+-	Комплексные опе-
цессы в симмет-	электрическая	H-£(pH-js) н-	раторные выра-
ричных много-	система с ком-		жения токов, по-
фазных систе-	плексными опе-	1	токосцеплений и
мах, содержа- щих машины, при включении напряжений пря- мой и обратной последователь- ности.  Процессы, свя- занные с вклю- чением напряже- ния нулевой по- следователь- ности, образуют изолированную систему, не свя- занную с пара- метрами роторов машин.	раторными со- противлениями .	C(pH-js) ’  s — скорость вращения выбранной системы осей относительно рас- сматриваемого	эле-  мента.  Ее = tzi	напряжений, от- несенных к вра- щающимся осям. Реальные токи получаются как проекции полу- ченных токов, потокосцеплений и напряжений на соответствующие вращающиеся оси.
Продолжение табл. 9-1

Характер процесса	Тип вквивалент- ной системы	Род влементов в эквивалентной системе	Эквивалентные выражения тока, напряжения и потокосцеплений
Переходные про- цессы в много- фазных электри- ческих систе- мах, содержа- щ$х вращающи- еся	машины,  обладающие асимметрией ро- тора, при вклю- чении напряже- ний прямой и об- ратной последо- вательности.	Эквивалентная электрическая система с ком- плексными опе- раторными и их сопряженными величинами.	Zx (р) — среднее опера- торное сопротивление;  zy (р) — полуразность  операторных сопротив- лений, вызванная асим- метрией ротора, явля- ется функцией времени во всех системах осей, кроме	собственной,  неподвижной по отно- шению к ротору.	То же.

Пример. Ротор имеет одну с^тему обмоток. Операторное сопротивление обмотки
статора при одной системе обмоток в симметричном роторе

г р -+- а

Xs (/>) = г S	(р М X -------------- = rs (р -Ь >r) Xs (р).

р-*-аг

Обозначения даны в главах 3 и 4.

Пример. Емкость С соответствует операторному сопротивлению , индуктив-
ность х соответствует хр; индуктивность в трехфазной системе с собственной индук-

тивностью фаз xL и индуктивностью взаимоиндукции между фазами хт соответствует
(XL~ х,п)Р и т- А.

В синхронно вращающихся осях имеем соответственно:

1

C(p-t-j) ;

х(р

(XL — Xm)

и т. д.

5)	Операторные реактивности х (р) симметричных вращающихся
элементов в собственных осях имеют тот же вид, что и операторные
реактивности соответствующих статических трансформаторов, выражен-
ные в собственной для трансформатора неподвижной системе осей.
Соответствующие операторные сопротивления имефт для вращающихся
элементов вид z9 (р) = г 9 -4- (р /а>г) х9 (р) вместо z (р) = г -ъ-рх (р) для
трансформаторов.

Операторные реактивности вращающейся машины в любой другой
системе осей являются комплексными величинами.

6)	При преобразовании операторных реактивностей вращающейся
машины, обладающей в общем случае асимметрией ротора, к системе
осей, имеющих скорость вращения %, отличающуюся от скорости вра-
щения ротора машины <ог, имеют место следующие соотношения:

а) средняя операторная реактивность

Хй(р)-*-Х (р)

х. (₽) =---77------
преобразуется в комплексную величину путем замены р на p-t-js,» где
— (ог — скорость выбранных осей относительно ротора

х^(р)=х6 (p+jsj;

б)	полуразность операторных реактивностей у8 (р) = vtx^(p)—ха(р)]

*

становится в символической записи переменной во времени комплексной
величиной

th (р) = е~2.А^-М ув (р — jsv),

где

t	t

== J -4- 6vo; — | tordt -+- 0ro,

0	0

2

'xd (Р +	~ Хд{Р Ю

-

% — скорость вращения выбранной системы осей;

<ог — скорость вращения ротора машины;

0vO, ®го — соответствующие начальные углы;

6г0— начальный угол между продольной осью ротора d и осью ста-
торной обмотки а.

Пример* В неподвижных осях (<ov = 0) операторные реактивности вращающейся
машины, обладающей асимметричным ротором, выразятся в виде

Ха (?)='

7)	Преобразования операторных сопротивлений при параллельном
и последовательном соединении эквивалентных схем, представленных
на рис. 9-1, 9-2, производится совершенно аналогично как для обычных
электрических цепей: при последовательном соединении сопротивления
складываются, при параллельном соединении складываются обратные
величины сопротивлений.

8)	Переходный процесс в системе, содержащей к машин, опреде-
ляется следующей системой уравнений падений напряжения в осях,
вращающихся вместе с роторами машин,

=	(р -4- ju„)tyen + Izen(p -+-	(zi = l, 2, ... k).

тде i8n, фвя — комплексные напряжения, ток и потокосцепления ста-
тора машины с индексом л:

еedn	*8П ^dn ~1- jiqn*	^dn №qn*

Индексы d и q соответствуют величинам, рассматриваемым по про-
дольной и поперечной осям ротора;

г8П— активное сопротивление в фазной обмотке статора машины
с индексом л, не изменяющееся при преобразовании к вра-
щающимся осям;

^ея(р) — операторное сопротивление статического элемента, включен-
ного последовательно с машиной, имеющей индекс л, рассмат-
риваемое в неподвижной системе осей; zen(p-b-j<&n) получается
заменой р на p^-j^n при приведении величины zen(p) к соб-
ственной системе осей машины с индексом л;
— скорость вращения ротора машины с индексом л.

Пример. Машина, ротор которой вращается со скоростью сог, включается в бес-
конечно мощную сеть через трансформатор, имеющий операторное сопротивление

, P + at
Мр) =ri-*- PXi • У-4-^ ’

и емкость С, приключенную параллельно трансформатору

В неподвижной системе осей результирующее внешнее сопротивление
2/(р)ге(р)
г'(р)=Мрй^Г(р)'

В „собственных" осях, вращающихся со скоростью <ог, внешнее операторное со-
противление будет иметь вид:

'Р ]Шг' Zt (р j“r) -* (р -Ь j"r) ‘

Уравнение падения напряжения выразится следующим образом:

= rBi8 ч- (р Ч- j(or) фв Ч- ze (р Ч- j<or);

здесь ев — напряжение бесконечно мощной сети.

Численный пример. Асинхронный двигатель включается в бесконечно мощную
сеть через емкостное сопротивление хе. Параметры двигателя: xd = х$ = 0.75; х& =
= х^ = 0.3; критическое скольжение s/c = 0.1. Влиянием омического сопротивления в цепи
статора двигателя пренебрегаем. Скорость вращения ротора двигателя <ог = 0.95.
Емкостное сопротивление хс = 0.45. Ток статора

Здесь

Подставляя значения параметров, получаем:

is =

где

D (р) = 0.3 [рЗ ч- (0.1 ч- /2.05) р2 ч- (0.4 ч- /0.2) р ч- (—0.04 ч- /0.025)].

Напряжение е9 равно:

е, = е<теЛ,+Т»)Е-Я<»г«+1Г.) = е,т^\

где esm— амплитуда напряжения сети;

Ча — начальная фаза реального напряжения еа в фазовой обмотке а.
Определение i* производится по обычным правилам операторного анализа.
Реальные фазовые токи z’a, ib> ic определяются как:

_ Re	- Re ("''"•-Я] ; ,, = R.

Численное решение для рассматриваемого примера представлено в главе 17.

Условия устойчивости системы могут быть определены без решения
уравнения D(p)=O анализом коэффициентов полинома по известным
правилам, а также из рассмотрения частотной характеристики системы
(см. стр. 234).

9) Коэффициенты затухания и собственные частоты определяются
решением характеристического уравнения соответствующей системы
уравнений падения напряжений, либо приближенно с помощью анализа
частотных характеристик (см. главу 11).

Пример. Синхронная машина, вращающаяся со скоростью, равной единице, и
имеющая в собственных осях операторные реактивности по прямой и поперечной
осям х$ (р) и xq (р), включена через промежуточное операторное сопротивление ze\ (р)=*
= г«1-ь p*el (р) на асинхронный двигатель, имеющий операторное сопротивление

(р >*2) **2 (р).

Здесь промежуточное операторное сопротивление ze± (р) выражено в системе не-
подвижных осей. Операторное сопротивление асинхронной машины ze% (р) выражено
в осях, вращающихся вместе с ротором асинхронной машины.

Уравнение падения напряжения будет иметь вид:

О = г,is ч- (р ч- j) ч- [zel (р Ч- J)] й [г«2 (р -+- А«2)]

где 8*2 — скольжение асинхронной машины;

г8 — активное сопротивление статора синхронной машины;

(p)]z\	(р)] i8 -+-	— потокосцепления статора синхронной машины;

i8 и i8 — ток статора и его сопряженная величина, соответ-
ственно;

фзг = [£в (р)] ег — потокосцепления статора синхронной машины, со-
зданные независимым возбуждением со стороны
ротора от напряжения ег.

Коэффициенты затухания и собственные частоты определяются как реальные и
мнимые части корней уравнения

z>(p)=zX—гХ=0’
где

ZX = г ч- (р ч- j) [х« (р) ч- хе1 (р ч- j) ч- хе2 (р ч- jse2)] ,

*y = (p-*-j)»» (р).

г = г9 -+- rei ч- Ге2 — сумма активных сопротивлений в статорной цепи.

Это же уравнение D (р) определяет условия самовозбуждения на основании из-
вестных критериев, устанавливающих наличие положительной вещественной части
в корнях уравнения.

Численный пример представлен в приложении 6.

10) Эквивалентная схема синхронной машины, включенной в беско-
нечно мощную сеть, при рассмотрении в собственных осях будет иметь
вид, представленный на рис. 9-1. В этой схеме: z8X— среднее опера-
торное сопротивление машины; z8y— полуразность операторных сопро-
тивлений, вызванная асимметрией ротора; — э. д. с. машины, вызван-
ная возбуждением, со стороны ротора. В собственных осях ер =
=—(р+уЧЖ; е8 — напряжение сети бесконечной мощности.

При отсутствии асимметрии схема имеет простой вид, представлен-
ный на рис. 9-1, а.
Наличие магнитной асимметрии ротора приводит к необходимости

введения в схему дополнительных элементов, связанных с протеканием
сопряженного тока, как это видно на рис. 9-1,^, на котором показана
добавочная э. д. с. Де = 2jy8(p) id, необходимая для наличия представ-
ленной симметрии протекающих токов.

В вычислении ее, однако, нет необходимости, так как связь сопря-
женных комплексных величин с исходными дает необходимые доба-

вочные условия для решения соответствующей системы уравнений.
Это характеризуется на схеме рис. 9-1,6 тем, что для определения

Рис. 9-1. Эквивалентная схема синхронной машины, вклю-
ченной в бесконечно мощную сеть.

а — при симметричном роторе: е8 == ed 4- jeg;	4- i8 = id 4- Jiqi

«8 — r8i8 + (P + J) Фа — z8 <P) *8 + ep; e8 = (p 4- J) ty8r = (p 4- j) g (p) er.

— при асимметричном роторе: фа = xs (р) i8 + у9 (p)i8 4- <pgr; x8 (p) »

__ xd(p) + xq (p)

xd(p) — xq (p)

У8 (p) =--------2------

e8 = Z8X (p) *8 + z8y<P) f8 +

4- ep; z8x (p) = r8 4- (p 4- /) x8 (p); z8y (p) = (p + J) y8 (p).

токов достаточно составить уравнения для падения напряжения в двух
наружных контурах.

При переходе к другой системе осей схема не меняется. Меняются

Только выражения для соответствующих параметров и переменных.
11) Ток статора при включении машины в мощную сеть будет:

Z8XZ8X Z8yZ8y

(9. 1)

Потокосцепления статора ф, соответствуют падению напряжения
(рпредставленному на рис. 9*1.

Электромагнитный вращающий момент синхронной машины

4=Re

(9,2)

где выражения для ф, и i9 предварительно раскрыты в функции вре-
мени*
Электромагнитный вращающий момент определяет скорость враще-
ния машины в соответствии с уравнением

da)t
dt

L,

где Н—механическая постоянная времени машины;

ML — внешний вращающий момент.

Точное раскрытие операторного уравнения для определения тока
в функции времени при переменной скорости вращения может быть
произведено только при определенных условиях, например: медленное

Синхр генератор

Стагпич. сопр. Асинхр. дбиеат.

Рис. 9-2. Эквивалентная схема синхронной машины,
работающей на изолированную нагрузку, состоящую
из статического сопротивления и асинхронной машины.

изменение скорости вращения по сравнению со скоростью электромаг-
нитного процесса, незначительное активное сопротивление в цепи ста-
тора и симметричный ротор и т. д.

Пользование операторной записью позволяет представить электри-
ческие системы, содержащие вращающиеся машины, простыми эквива-
лентными схемами с использованием обычных законов электрической
цепи и с использованием графических методов расчета (рис. 9-2).

Ряд задач, даже при наличии переменных коэффициентов в исход-
ных дифференциальных уравнениях, при этой записи имеют простое
решение.

Если, например, ea = [ze3.(p—jo))]z'a-+-[e^z^(p-+-»]/*, где О —
функция времени и ток известен в функции времени, то нетрудно опре-
делить еа в функции времени из такого символического операторного
уравнения. Порядок определения в этом случае следующий: определяют
операторное выражение тока, умножают его на операторное сопротив-
ление, находят соответствующую функцию времени и в случае нали-
чия экспоненциального коэффициента умножают полученную функцию
времени на этот коэффициент.
3. СВЯЗЬ ОПЕРАТОРНЫХ ЭКВИВАЛЕНТНЫХ СХЕМ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
С ОБЫЧНОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СХЕМОЙ И ПРИМЕР ГРАФИЧЕСКОГО
ИССЛЕДОВАНИЯ УСЛОВИЙ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ СИСТЕМЫ

Пусть имеется короткозамкнутая асинхронная машина с одной си-
стемой обмоток в роторе, обычная эквивалентная схема которой для
установившегося режима представлена на рис. 9-3. Этой эквивалентной
схеме при гв«0 соответствует круговая диаграмма, представленная

на рис. 9-4.

На этой диаграмме х8 = xSff-+-
-ьхвг — синхронная реактивность
обмотки статора, соответствующая
результирующей реактивности по
эквивалентной схеме при $->0;

Рис. 9-4. Круговая диаграмма
асинхронной машины при г8 = 0.

Рис. 9-3. Эквивалентная схема
асинхронной машины, работающей
в установившемся режиме.

х' = x8(s -f-	= ах8 — Переходная реактивность обмотки статора,

соответствующая результирующей реактивности
по эквивалентной с^еме при $->оо;

1Л зг
— ~х^х---коэффициент рассеяния;

хг = хвг->-хГа—полная реактивность обмотки ротора.

Эквивалентная схема, представленная на рис. 9-3, может быть для
определения тока статора i заменена эквивалентной схемой рис. 9-5, а,
где эквивалентная комплексная реактивность обмотки статора для
установившегося режима х8 (js) определяется в соответствии со схемой
рис. 9-5, б и равна:

Гг f ГГ ГГ

где аг=—- и аг = — — — — коэффициенты затухания обмотки ротора
при разомкнутой и замкнутой обмотке статора соответственно.

В установившемся режиме ток статора, соответствующий круговой
диаграмме рис. 9-4, будет:

е

е

е
г8-*-]х8 (js)

г8 (js -4- >г) х8 (js)

г8 -+• jx8 (j — j<»r) ’

(9, 4)

где <or — скорость вращения ротора в относительных единицах.
Как известно, комплексное выражение для установившегося тока
в цепи, характеризуемой операторным сопротивлением z(p), получают
при наличии приложенного синусоидального напряжения с угловой
частотой о), подстановкой в выражении z (р) величины /ю вместо р.

Если в операторном виде ток i был равен = где е<3 = ет •	—

комплекс, реальной частью которого является приложенное напряже-
ние еа = ет • cos (о)/-+-у0), то комплексное выражение установившегося

тока будет равно /ауст

. Мгновенное значение установившегося

тока будет равно реальной составляющей
ного выражения для тока *ауст<.

Если подведенное к асинхронному двига-
телю напряжение имеет частоту, равную еди-
нице, и под е мы понимаем комплекс ед =
—соответствующий реальным прило-
женным напряжениям прямой последователь-
ности с мгновенным значением напряжения в
фазе а, равным еа = ет cos (f-v-y0), то, зная
комплексное выражение для установившегося
*гока /стуст. можно перейти к общему выражению
для тока статора в переходном режиме, произ-
ведя обратную замену на р. Ток статора
при включении машины в сеть, выраженный в
неподвижных осях, связанных со статором,
будет в операторном виде в упрощенной сим-
волической записи равен:

g$	g^

l° ~ re-i- рхг (р — J<»r) ~ г, -+- рх, (р) ’	5)

полученного комплекс-

Рис. 9-5. Эквивалентная
схема асинхронной машины,
работающей в установив-
шемся режиме.

где

х, (р) = х, (р — jo>r) = X,

р — jg>r -+- аг

Р — ]<*>г -Ь «г ’

(9, 6)

Если рассматривать напряжение е в собственных осях вращающихся
вместе с ротором, то напряжение e = es, где е8 = еа •	=

и, следовательно, в этом случае е имеет частоту скольжения $. В таком
случае подставляя вместо js оператор р, имеем в собственных осях:

где

е8________

(Р -ь >г) Х8 (р)	’

p-t-a

(9, 7)

(9, 8)

Наконец, если рассматривать представленное на круговой диаграмме
напряжение е, как напряжение ен = еа • е-= ет, выраженное в син-
хронных осях, т. е. имеющее частоту, равную нулю, то комплексное
выражение установившегося тока (9,4) можно рассматривать как ре-
зультат подстановки р = 0 в выражение переходного тока, представ-
ленного в синхронных осях,

__________в и__________ ей

r,-t-(p-i-j)x,(p-t-js)~ r,-b(p-+-j)x»(p) ’

(9, 9)
где

, p-+-js + ar
х« (р) = х» (р •+ /*) = х, p+js + ar

(9, Ю)

Из сравнения формул (9,3) и (9,8) видно, что операторная реак-
тивность обмотки статора хв (р), выраженная в собственных осях,
получается из комплексной реактивности, для установившегося режима
x8(js) простой заменой js на р.

При представлении операторной реактивности в неподвижных осях
нужно заменить, как это видно из выражения (9,6), в комплексной
реактивности для установившегося режима xs(js) величину js на р—j^r.
При представлении операторной реактивности обмотки статора в син-

г. 1.(РЧ”г)ъ1Р/
Q v 	,

Л 1,(РЧШР*№

О И г.... м'А1 _ '

rs

В

Рис. 9-6. Эквивалентные схемы операторного сопротивления и операторной
реактивности обмотки статора.

а — в собственных осях z8 (р) = г8 4- (р 4- J(or) х8 (р); б—в синхронных осях zu (р) = г8 4
4- (р + j) хи (р); в — в неподвижных осях za (р) =5 г8 4- рха (р).

хронных осях нужно, как это видно из выражения (9,10), заменить
в выражении x8(Js) величину js на p-+-js.

Так как е и Z, представленные- на круговой диаграмме для устано-
вившегося режима, имеФт одинаковую частоту, то их относительное
положение на круговой диаграмме не будет изменяться в зависимости
от того, в какой системе осей эти величины выражены.

Мгновенные значения фазных токов и напряжений статора опреде-
ляются как проекции соответствующих комплексов на три оси а, 6, с,
расположенные под углами в 120°. Характер выбранной системы осей
скажется только на скорости вращения этих осей. При представлении
е и i в системе синхронных осей фазные оси а, Ьг с будут на „кру-
говой" диаграмме вращаться по часовой стрелке со скоростью, равной
единице. При представлении е и i в собственных осях эти фазные
оси будут вращаться на круговой диаграмме со скоростью по часо-
вой стрелке. При представлении е и i в неподвижных осях фазные оси
на круговой диаграмме будут неподвижны.

На основании полученных соотношений между комплексной реак-
тивностью обмотки статора для установившегося режима x8(Js) и опе-
раторными реактивностями обмотки статора, выраженными в разных
осях х8(р); х0(р); хи(р)— нетрудно составить эквивалентные схемы
для расчета переходных режимов при представлении напряжения е и
тока i в выбранной системе осей. Такие эквивалентные схемы пред-
ставлены на рис. 9-6.

Если асинхронная машина включена в сеть через последовательна
1

включенное емкостное сопротивление хс=-^9 то эквивалентная схема

хс
(P*jb>r)

ь.

rs (P+jur)zss (p+jcor)xra

Шкала скольжения s~1-wr

Рис. 9-7. Графическое исследование условий устойчивости работы асинхронного дви-

гателя, включенного через емкость на сеть.

а—вквивалентная схема в собственных осях; б—амплитудно-фазовая характеристика. Параметры:
в = 0.1; <ог .=0.9; х8 =- 0 4; х8 — 0.2. х = 0.6,	=0.5; z8 (р) = г8 4- (р 4- >г) х8 (р) 4- -7--”у; -г- ;

(Р 4- J^r)

Т8 (jw) = гй 4- j (ю 4- wr) (jw) — j —	.

-f

такой системы в собственных осях будет иметь вид, представленный на
рис. 9-7, а.

На рис. 9-7, б представлен пример использования такой эквивалент-
ной схемы для графического исследования условий самовозбуждения
системы с точным учетом основных параметров, включая г8. В каче-
стве исходной кривой А берется окружность обычной круговой диа-

граммы асинхронной машины при напряжении, равном единице, по-
строенной без учета активного сопротивления в цепи статора г8. Ток
статора, представленный такой „круговой" диаграммой, будет равен
Д (р)' Величина jx8 (j<o) представится обратной кривой В, причем ве-
личину s на ней заменяем на поскольку $ = 1—является в рас-
сматриваемом елучар постоянной величиной, а нас интересует измене-
ние величины jxe(/o)) при изменении частоты о) от —со до -t-со для
построения амплитудно-фазовой (частотной) характеристики.

Умножая	на величину о)-+-о)г, получаем кривую С. Вычтя

Хс

затем величину j —ш ш— и сдвинув вниз начало координат на вели-
чину гв, как представлено на рис. 9-7, получаем кривую D изменения
результирующего кажущегося сопротивления рассматриваемой системы
ze(jo)) = re-i-7(a)-t-a)r)xe(/a))-i—.	, при изменении частоты

подведенного напряжения от —со до ->-оо.

Заштриховав кривую D справа по ходу возрастания частоты <о,
получаем область неустойчивой работы — заштрихованную (содержа-
щую начало координат 0) и область устойчивой работы — незаштри-
хованную. Как видим, при заданных параметрах система может рабо-
тать устойчиво т8\лько при г8^>г8 крит. = 1.70.

Если увеличить хс, то кривая D будет сдвигаться вправо и крити-
ческое значение активного сопротивления в цепи статора г9 крит. будет
уменьшаться.
ГЛАВА 10

МАЛЫЕ КАЧАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ И ВЛИЯНИЕ
АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЦЕПИ СТАТОРА НА
САМОРАСКАЧИВАНИЕ МАШИНЫ

1.	ПОСТАНОВКА ЗАДАЧА

Как известно, синхронная машина, включенная в мощную сеть, ве-
дет себя как колебательная система. Колебания вращающего момента,
вызванные присоединенным механизмом (например, дизелем или ком-
прессором), могут при известных условиях значительно усиливаться
синхронной машиной и приводить к недопустимым колебаниям тока
в сети. Практикой установлены определенные допустимые пределы
колебаний тока и рабочего угла при качаниях. Так, например, при
проектировании синхронных двигателей для поршневых компрессоров
параметры машины выбирают таким образом, чтобы размах колебаний
эффективного значения тока статора не превышал 60% от номиналь-
ного значения.

Наличие больших колебаний тока приводит к увеличению средне-
квадратичного значения тока, к повышению потерь, к колебанию на-
пряжения сети, связанному с нежелательными колебаниями яркости
освещения, и т. д.

При определенных условиях в синхронной машине могут появляться
значительные колебания тока и вращающего момента даже без всякой
внешней причины. Однако на основе практического опыта установлено
следующее:

1)	склонность к колебаниям значительно выше у двигателей, чем
у генераторов;

2)	чем выше активное сопротивление в цепи статора и чем больше
возбуждение машины, тем больше склонность машины к качаниям;

3)	склонность машины к качаниям сильно зависит от параметров
демпферной системы на роторе машины (особенно поперечной демп-
ферной системы) и от рабочего угла машины.

До последних лет не было предложено сколько-нибудь удовлетво-
рительной формулы, охватывающей количественно указанные выше
факторы. Опубликованные формулы оказывались либо грубо прибли-
женными, основанными на ограниченном опытном материале [10-5;
1В-31], либо чрезмерно громоздкими и при этом не дающими все же
ответа для практически имеющих место в машинах соотношений [1А-12].

Делались попытки определить влияние активного сопротивления
в цепи статора на раскачивание машины непосредственно из общи?:
уравнений синхронной машины по двум осям, определяя разность вра-
щающих моментов при качаниях, вычисленных с учетом и без учета
активного сопротивления в цепи статора [1Б-47]. Этот метод, однако,
пригоден только для численных проверок при относительно больших
активных сопротивлениях в цепи статора и практически не пригоден
при обычных соотношениях в машине, при которых он приводит к не-
обходимости вычисления малой разности двух больших величин.

Ниже предлагаются формулы, позволяющие с достаточной точ-
ностью определять электромагнитный вращающий момент синхронной
машины при установившихся малых качаниях [10-1]. Эти формулы пол-
ностью объясняют установленные опытом физические зависимости при
качаниях, указанные выше. Формулы выведены на основе комплексных
операторных уравнений синхронной машины, представленных в главе,3
[1А-23].

2.	МАЛЫЕ КАЧАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

а) Уравнения качаний

Малые качания синхронной машины, включенной в мощную сеть,
соответствуют следующему линейному уравнению механического равно-
весия:

</2(ДВ)

H-^ + bMe = bMLr	(10,1)

где Н—механическая постоянная машины;

Д8 — отклонение рабочего угла от среднего значения;

&Ме— отклонение электромагнитного вращающего момента от сред-
него значения;

— отклонение приложенного внешнего вращающего момента от
среднего значения.

При малых качаниях отклонение электромагнитного вращающего
момента &Ме от среднего значения может быть представлено как
сумма

d (Д5)

Ше = Md + &М8 = md •	-ь т8 • (Д8),	(10, 2)

где Md и — демпферный момент и приращение синхронизирующего
момента;

md и т8 — соответствующие коэффициенты.

Если качания имеют место с частотой h и скольжение s = —уг~ =
at

= smsinAf, то качания угла определяются в функции времени выраже-
нием

Д6 = - cos ht.	(10,3)

б) Вращающий момент при гв = 0

Электромагнитный вращающий момент равен:

4=Re [жС]-

При г9 = 0

М, = Re [е, i*] = ed id -t-	(10, 4)
где символы d и q означают проекции соответствующих величин на
оси d и q.

Пусть e8=je8mzJ\ где 8— рабочий угол машины. Потокосцепления ф8
в таком случае равны:

ed ==. —е8т sin b = —фд; eq = е8т cos & — ф^.	(10, 5)

При принятом обозначении напряжения е8 случай положительного
угла соответствует работе машины в качестве двигателя. Токи по
осям d и q определяются из операторных уравнений

= ^8га -ь xd (р) id\ = xq (р) iq.

(Ю, 6)

где раскрытие операторных коэффициентов хДр) и xq(p) производится
в зависимости от характера функций ф во времени. Здесь ty8rd — потоко-
сцепления, вызванные питанием со стороны ротора. При постоянном
возбуждении ^ard = E и, следовательно,

Е е8т cos &	, е8т sin &

Xd~*~ Xd(p) 9	xq(p)

U0. 7)

Вращающий момент в таком случае будет равен в операторном
виде в упрощенной символической записи

Ееат	2 Г cos&“l 2	- Г sin 5

Ме = __ sln 5 _ ввт sin S [_ J _ е>т cos 0 |_— J .	(10, 8)

Формула (10,8) носит условный характер. Произведения относятся
только к раскрытым в функции времени выражениям.

Раскрытие операторных выражений в квадратных скобках будет за-
висеть от характера изменения угла 8 в функции времени. Это значит,
что нужно сначала задаться приближенным характером изменения угла 8,
определить приближенно электромагнитный вращающий момент по урав-
нению (10,8), уточнить зависимость 8 от времени и т. д. При малых
изменениях 8 удобно представить 8 как сумму

8 = 8О-+-Д8.

В этом случае sin 8 » cos 8ОД8 ч- sin 80; cos 8 » cos 80 — sin 8ОД8.

Если Д8 имеет характер внезапного изменения, то операторные реак-
тивности при раскрытии членов, содержащих Д8, будут равны x'd и х'д
или xd и хд, в зависимости от отсутствия или наличия демпферной си-
стемы на роторе. Если Д8 имеет вид Д8=—-^-sinAf, где h — угловая
частота качаний, то эквивалентные реактивности будут соответствовать
этой частоте качаний. В этом случае операторное уравнение (10,8)
имеет вид:

__ Ее8т	2 sin S cos $0	2 cosdsinfy) 2	_ Г ”1

м. = —— sin 8 - е,т---------ч- е,т---------ч- е,т sin 0 sin 80	J ч-

-+- cos 8 cos Бо [	] •	(10, 9)
Угол Д8—------— е Jht) и> следовательно, в первом приближении

относительно Д8:

2

м.=-^2-sin60н-_ И sin 28 Г.^соз^ _
xd	2 \xq Xd J и L Xd

e*
8m

COS2 Sp

I Xd

Д8 — e*
am

’»> Г . 2. ( *->'м
да r8oUw

e~^ \
xd (—M)/

' &jht

<Xq (Jh)

Q-Jht \ "I
^TWJ *

(10,10)

-+- cos2 So

Рис. 10-1. Частотные характеристики син-
хронной машины по продольной и поперечной
осям при наличии двух обмоток в роторе по
продольной оси и одной обмотки по попереч-
ной оси.

Пусть в соответствии с
„круговыми" диаграммами ма-
шины
1
xd(jh)

Xq<jh) —Wx+iW'- (10.11)

В таком случае на основа-
нии выражения (10,10)

Мв=Ее,т-. sin 80 -4-
Xd

4- —д— (idhr sin2 So -4- iqlir COS2 &0)	'

(10, 12)

Коэффициенты демпферного и синхронизирующего моментов тп$ и т»
при отсутствии активного сопротивления в цепи статора (гв = 0) на осно-
вании выражения (10,12) равны:

Mdd sin2 Во -4- Mdq cos2 So	1QX

mrfo=----------д----------’

me0 = ~~~ cos $0 -+	sin2 50	cos2 $0 J e2sm .	(1°’ I4)



Здесь Mdd и Mdq — электромагнитные
машин с параметрами по осям d и
тора, равном частоте качаний А.

вращающие моменты асинхронных
q при rs — 0 при скольжении ро-

Mdd esm*dhr’ ^dq e8m*qht-

(Ю, 15)

Вращающие моменты Mdd и Mdq легко определить из „круговых диа-
грамм соответствующих асинхронных машин при напряжении на статоре,
равном номинальному (рис. 10-1), по вертикальным составляющим токов
^dkr И

Е—ток возбуждения в долях тока возбуждения при холостом
ходе и номинальном напряжении на статоре;

е9т—амплитуда фазового напряжения на статоре в относитель-
ных единицах;

30—	средний рабочий угол, около которого происходят качания;
khx и iqhx — горизонтальные составляющие токов статора в асинхронных
машинах с параметрами по осям d и q при Е = 0 и г9 = 0
(рис. 10-1).

Поскольку частота качаний h всегда рассматривается как положи-
тельная величина, коэффициент демпферного момента mdQ при гв = 0
всегда является положительной величиной. Это значит, что случайно
возникшие качания всегда будут затухать. Чем больше диаметры кругов,
т. е. чем меньше переходные и сверхпереходные реактивности х'а, х^
х^, х", тем больше коэффициенты синхронизирующего и демпферного
моментов. При этом при малых углах 80 основную роль играют пере-
ходные реактивности по оси 7, т. е. поперечная демпферная система,
а при больших углах 80 (при больших нагрузках) начинают играть зна-
чительную роль переходные реактивности по продольной оси полюсов
машины.

3. ВЛИЯНИЕ МАЛОГО АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЦЕПИ СТАТОРА

а)	Влияние г9 на демпферный момент

Наличие активного сопротивления г9 в цепи статора сказывается на
появлении добавочного демпферного момента с коэффициентом &rmd,
определяемым при пренебрежении членами, содержащими г* и выше,
по формуле

.	^8е»т ( 2 sin Г Е—е9т cos Sg , е9т cos ф ~|

Дгпы = -	| —д	|_	--------idhr Ч- -----Wr J -

— е,т (sin280i|Ar -+- cos280^Ar )} — j _?Лг еЛ-	(Ю. 16)

Здесь idhx> idhr, iqhr, iqhx— горизонтальные и вертикальные составляющие
токов асинхронных машин с параметрами по осям d и q при скольже-
нии h и номинальном напряжении (рис. 10-1).

ел = eL	sin 8«]	е‘“ cos йо] • (10.17)

Напряжение eqh нетрудно найти графическим построением, как ука-
зано в приложении 7. В ориентировочных расчетах можно пользоваться
формулой

Дг/Пй % -	MQidhr -	,	(10, 18)

где MQ » sin — статический синхронизирующий момент при 8	80.

За положительный угол 80 принят угол, имеющий место при работе
двигателем.
Общий демпферный момент Md будет равен:

Md = (mdo -ь &rmd) •	(10, 19)

Формула (10,16) для приращения демпферного момента ^rmd была
проверена Р. А. Лютером непосредственным выводом из уравнений по
двум осям. Несмотря на исключительную громоздкость выкладок при
пользовании уравнениями по двум осям Р. А. Лютеру удалось получить
выражение, полностью совпадающее с формулой (10,16), [10-2].

б)	Влияние г8 на синхронизирующий момент

Дополнительный синхронизирующий момент, вызванный наличием
«активного сопротивления в цепи статора, определится коэффициентом

д	2г9 ( Ее8т	1 —Л2\

Лгт, = -	| sin 80 (ш* -

-Ь e«m^n280 /iqhx_ _	_ h _Ее^п_ cos _

2	\ Xq Xd /	Xd

— he\m	idhr sin2 So -+- (iq),x ~	iqAr cos2 .	(10, 20)

Для ориентировочных расчетов можно пользоваться формулой

ДгШ# —2r9Moidhx»	(Ю, 21)

Общий синхронизирующий момент М9 при качаниях будет равен:
М9 = Mq ч- ДМ, = MQ -+- (m9Q ч— Дгтв) Д&.	(10, 22)

Как видим^ наличие сопротивления г8 приводит к уменьшению демп-
ферного и синхронизирующего моментов, т. е. приводит к увеличению
размаха качаний и ослаблению затухания качаний.

При ^rmd9 численно равном mrf0, затухания вообще не получится и,
следовательно, при больших г8 будет иметь место раскачивание ма-
шины.

4. ВЛИЯНИЕ ПОВЫШЕННОГО АКТИВНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЦЕПИ СТАТОРА

Если активное сопротивление в цепи статора имеет настолько боль-
шое значение, что величиной уже нельзя пренебрегать ^примерно
-у-^0.01^, то следует учесть дополнительные члены в коэффициентах
демпферного и синхронизирующего моментов, пропорциональные г*.
При этом

md mdo &rmd Arzmd,	(10, 23)

т9 т9о + Дут> -4- Дг^а-	(10,24)

Приближение с точностью до г* в подавляющем большинстве слу-
чаев является совершенно достаточным.
а)	Дополнительный демпферный момент

Можно показать, что

А 2Гай

△r2mrf““r«L Л

(10. 25)

где

at= —  „j - [вщп sin2 80i<f»r -+- (etm cos 80 — E) cos 801глг] •+•
XdXq

e»m sin2 80 e,m cos 80 — E
------------_|_-------------------cos

xq

e*
gm

Xd

idqr —

(1 —A2)2

[sin2 ^Qiddqr -4- COS2 Mdggr];

(10, 26)

,	2eSm	f,

ba----xdXq{l-h^ Veem

4- (2e^n cos bp — E) sin boz^ |

>0

/ 1	1	\

’ \	— %ldhx J

\ Xq	Xd	/

(e9m cos b0 — E) ш

Xd

Iddx *—

2e«m Г

* (1 — A2)2 [_'

2___Д2 [ sin $0

e9m sin bp cos bg

— 2

(10, 27)

1

— 1 —Д2

(egm COS b0 — E)2 .
----------------idhr -+

xd

2	• 2s>

e*m sln 8<
'I

>0 . I 1

'«W — (1 — A2)2

(e8m COS bp — ff)2 egm sin2 b0

.2

.2
S'

2	. 2%

egm sin oo
(idhr "+“ iqhr) — 2	~~ i-ddr

cos $o — £*) e8m COS bp e

Xd

2	• 2* .	2	2 * .	\

qqr 4” eem.sin QLdddr	eemcos $Olggqrj ’

(10, 28)

Здесь приняты следующие обозначения:

. sin (vdh ~+~
ld^r Xdhm * Xqhm

» iddr—

4Qr —

idqqr —

Sin 2^qh
к2 ’
*-qhm

sin (<?db	2^л)

^dhm^qhm

sin 3<fQh

iddqr —

; idddr =

.3	’

qhm

1

Xdhm — •
idhm

sin 2y>dh
jr2 ;
xdhm

sin (2vdt -+- <f>qj,)

2 *
dhm qhm

Sin 3<?dh
3	»

xdhm

1

r2 , z-2	* xQhm

dhx 1 dhr

(10,29)

2	.2«

qhx ~+" lqhr

,	I cl hr	, iqhr

<fdk = arctg -r— ; <?qh = arctg y— .

Idhx	Iqhx



1

Все указанные величины имеют весьма простую интерпретацию на
„круговых" диаграммах соответствующих асинхронных машин с пара-
метрами по осям d и q (рис. 10-1). Обычно частота качаний h весьма
мала, и можно с достаточной точностью пользоваться приближенным

выражением

г?аа
h

(10,30)

△г2 W

где ad определяется формулой (10,26).

Для аналитического определения величин iddqr и idqqrt входящих
в формулу (10,26) для ad> можно пользоваться следующими формулами;

Idqr — ldhxlqhr + Iqhxldkrl
.	_р.	.	.	.2	_ .	.2

lddqr	£lqhxldhxldhrldhxlqhr	lqhrldhri

_______л.	,	,	«2	«	.	«2
ldqqr	^ldhxl qhx1 qhr	lqhxldhr	ldhrlqhr •

(10,31)

б)	Дополнительный синхронизирующий момент

Аналогично вычисляется дополнительный член коэффициента син-
хронизирующего момента &г2тл при расчете с точностью до г*

дг2«, = ~г* [“, * V - С«А2],	(Ю, 32)

где

а8 = —	~ Рет sin2 -+• 2 (eiw cos oo — E) cos — (iqw sin	cos &0)]

JLnX ft

+

Cam
(1 — A2)2

[2 (Moo cos $0	M00 sin M 'dqx ~ esm (sin2 bQiddqx cos2 So

(10, 33)

A«—1—A2

Eesm sin $o e	.

+ xdxq	idfffl6*™ Sln ®0z^r —

— *gOOee»* COS ^Qiqqr*

(10, 34)

C9 — — (1 _ A2)2	^2) M00	l’2oo] ldhx [4o	(2 — A?) lg00] iqhj9 —

- 2e»m (^юо Sin ^ddx	‘>00 COS	(siA^dds сД‘да)| ‘ <10‘ 35>

Здесь приняты следующие обозначения:

7 еят cos Ьо — E ф e&m sin Sq
moo =	73	; z goo =	~	;

COS (ydh 4- <Рдд) . COS 2cp^A
ldq% — xx ’ ldd% —	2	>

'^dhm'^qhm	xdhm

cos2?2*	COS -ь

Zggo?—	2	»	tddqv—	2

xqhm	xdhmxqhm

COS (ср^Л •+• 2yqh)
idqqx— ~	;

x dhmx qhm

COs3cprf*	COs3<fyA

'dddx—	„3	> IqtW— 3

"*dh>m	xqhm

(10, 36)

Все указанные величины, аналогично выражениям (10,29), имеют
простую интерпретацию на круговых диаграммах как горизонтальные
составляющие соответствующих комплексов токов.
При малой частоте качаний h величина Дг2/пв с достаточной точ-
ностью равна:

(10,37)

Для аналитического выражения коэффициентов (10,33), (10,34),
(10,35) через idh и iqh можно пользоваться следующими формулами:

irfg® == idhxiqhx — idhriqhr',
________ .2	__ .2	.	.2	_ .2 .

lddx ldha	lqhr’	lqqx	lqhx	lqhrf

*ddqx	*dhx*qhr	%*qhx* qhr1dhr*,

*dqqx tqhx*dhx	^qhx^dhr	dhx*qhr*dhr\

*dddx = *dhx (*dhx ^ldhr)i

(10,38)

^qqqx lqhx

(‘•к-з&Д

5. ТОКИ И ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ

Колебания токов и потокосцеплений синхронной машины при малых
синусоидальных качаниях угла определяются (при отсутствии регулиро-
вания возбуждения ротора) системой операторных уравнений [1А-23]:

д«* jfaA« — ъЫ* -ь (р j) Аф,;

4, = *, (р) ^а + Ув (р)

(Ю, 39)

где

Aet = jef0A&,

У Po+yl
е«0 = ed0	JeSO = Х = esm (—sin В0 -4- j COS Во)

— есть комплекс напряжения статора при работе в статическом ре-
жиме с углом 80;

Ф.0 = Фйо = х.гЙй ff/,0 -^Е==

(r.x.	е,-*-гле*

0(0)

— есть потокосцепления статора при работе в статическом режиме
С углом 80;

* ♦
zxe80 zyegQ fa .fa
— Чо-*-Р<го—	Xq

— есть ток статора при работе в статическом режиме с углом %;

za? = re-bjxt;

z9 = jff8;

Х8 =

xd-*-Xq
2



, v Xd(v}-*~Xq(p}
xt (р) =-------2------

(Ю, 40)

Z у Xd (р) — Xq (р)

У8 (р) =--------2-----------;

D (0) ==	— zjz* = xdx9 -ь r29.
Решая уравнения (10,39), получаем выражения для приращений то-
ков и потокосцеплений:

j \r8x8 (р) — jxa (р) х (р)] (е$од$ Ф*од«)	(ево^ Ф«оД®)

;	(10,41)

j4(p)(e,oA8-*-Ms)	(р)(е*0А8н-ф*0Д8)

д“=----------Щр)------------------Щй-----------<В * 10’ 42>

где

D (р) = ** (р) г* (р) —	(р) z‘ (р) = (р2 -+- 1) xd (р) хд (р) -+- 2prfxf (р) + г’; (10, 43)

Zz (р) = r8-i- jx, (р); zy (p)=jp»(p).	(10,44)

Приращение вращающего момента равно:

АЛ/. = Re {j (1’0А<р4 — ф‘0Д^)) =

- (гЛо - V^o)[(%S (Р) - xd Ы (Р)) (е.оД8 -* 'KoAs> -

_ 1 pj	— гвР«(р)(е»оД8ч-Ф*о4»)]

0(0)	О(р)

[(r,s >-У8) 4 fa, (Р) (е»оД8 Ms) izy <р) fap48 to4s) ]
Г> (р)

.(10,45)

В этой формуле раскрытие операторных выражений должно быть
произведено до определения реальной части выражения. Определение
ДМе по формуле (10,45) в общем виде сложно, поэтому целесообразно
производить рассмотрение качаний по формулам с точностью до гг либо
до г*. Если выделить члены, пропорциональные г8 и г^, по обычным
правилам приближенных вычислений, то получим:

Ф« — Ф«оо +“ Агфво"+- Аггфэд ~|_ △лоФ® "+ Адгфв +- Алггфв»	(Ю, 46)

— *«00 +" Дн«0 Дг2?><0	"+" △лг^’в + Алг2г*в«	(10,47)

В выражениях (10,46) и (10,47) приняты следующие обозначения:

f	в*0 Ai	г» .

Y«00= j	i ^r’f80~— j г«оо;

△ггфво —

«•1(^0-Я .

JXdXq

*«оо = *doo + J*goo

Ogm cos $о — Е о esm
--------------1-------------

Xd	J Xq

(Ю, 48)

Аг*зо =

г8 (eSQ — ]Е)
XqX^

(10, 49)

л .	«	.

^r2*«0 — — r r *«0 —

r8 Г esm COS bp — E . esm sin So ~|
XrfXj L Xd	хя J : ,
е8т cos $o — Е	е#т sin bp

^00 =	Td ; х*00 = Tq ;

е«р == e«rn (—sin b0 -4— j cos b0); Длрфв = et0Ab;

* , . zeo^s -+- Алог« • гв'воо г.д ,П1М

Даг<Ь “ —» —-----------=== у__-дГ D Дз -+ Л2ДЧ

Гце&п&т (sinbp	,

- л (1 — Л2) t [*sin <А#	'cos -

•+•\г8?° lcos+-?»л)— ihsin (А* Тг*Л (:
qnm	*"	J

(10,50)

. , . Дн«од» -+- длн» .	( е«о — jE , . .	,__, ,х

W> - ~r>--------------- -1 Xd^ (1 _ Д2) sm (-] sin ht -4- h cos ht)

a sOT	( —'goo [sin (ht -4-	-4- jh cos (ht -4-	_

~r> j(l-A2)2 I	xdkm

—tc°s № * _ jA sin *
e^w?sinbp

--2—(sin -+- 2ад) -F jAcos (ht -F 2ад)] -F
xdhm

-+-[cos (Az* ??*)— #sin (ht * Vik-+- Tg*)]J —

— r« (1-!”a2)2 { 7^7 [,in -+- Тгл) "+ ik cos (Az -|--Ts*)] “

- "й- [cos {kt ТгА) ~jA sin {ht ?}Л)] _£Si[cos {ht ”w ?«ft) ~

—jh sin (ht -+-	4- угл)] — e*m°os °. [sjn (Д/	2у?л) -+- jh cos (ht ч-2?гл)] j ;	(10, 51)

xqhm	f

дло'« = e*m • -г- Г'\П;° cos(л#+• <рл) — i ^*S. ° cos(ht-+-<f3h)"I ;	(10, 52)

** L_ 'Xdnm	•^qhm

A e . Re {Ддг<М	, r9 ( sin (А/ч-ад)

*’'*  xd(p)	Xq(p)  l-h^Sm\ l«°° xdkm

idwh c°s (ht 4- <f>dh) egmsin^Q

-----------------------------51п(Л?ч-2^л)

^dhm

e8m cos	|

&Ъг&9 =

. r8sm ( irfOQ Sin (А^ч-ад)

J 1 — A2 j Xqhm

zg00 A cos (Af-F ад) ,
Xqhm

e,OTsin&0 cos (ht -4- <fdh -+- <f4h) etm cos &0 .	„ J /1n eaA

*" 7^.й. ------------h--------------2-----sm <Az 2?г*) f i <10’ 53>

•*dnm^Qnm	fl	jr ,	)

^qhm

2

_ r*Swt	f sin B0Ae>m cos (ht -f ад) -f (e8m cos ftp — E) sin (ht -F ад) 1 _

XdXq (1 — A2) (	Xdhm	i

r*sm
(1—A2)2

—ggopA cos (ht -f 2ад) -f zrfppA2 sin (ht ч- 2ад)

Jr2
xdhm

+

Cem sm Sp
y-3
xdhm

A cos (ht -F З^д)

e8m COS bp
xdhmxqhm

sin (ht -4- 2<?db -4- <№)
Moo sin (ht 4-	4- <pgft)

•MAmX’gAm
egm sin Bo

+ T“2--------cos (ht -+- 2<p^a ч- ?g*)

hxdhmxqhm

iqooh cos (ht -f- Ч- <pg&)

XdhmXqhm

e8m cos &o '

------2--sm (ht 4- ЗД -4- 2<pga) —
xdhmxqhm

• 2

XdXq (1 — ^2)

__ jr8Sm
(1 — A2)2

e#m Sih &o
r2 r
xdhmrqhm

sin ftp sin (ht ч- yg&) -4- h (e8m cos Bo — E) cos (ht ч- yg&)

Xqhm

/ zgOp sin (ht -4- ydh 4- <pgfr) ч- id^h cos (ht -4- ydh -+- ?gft) )

1	XdhmXqhm	)

.	л	ч esm COS $0

sm (ht -4- 2<f>rfA ?gA) ~ 7---------2— cos (h*	2?g*	?rf*)

№ dhwF qhm

idooh COS (ht -4- 2yqh) ч- zgppA2 sin (ht ч- 2?g&) e8m sin ftp

.2
qhm

2

xdhmxqhm

sin (ht ч- ydh ч- 2<pg*) —

e8m cos &o

---3-----Acos

xqhm

(10, 54)

6. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ

Несмотря на большую громоздкость выражений для тока i8 и по-
токосцеплений с учетом членов, содержащих г2, г2Л, г2Л2 и т. д.,
выражения для электромагнитного вращающего момента получаются
сравнительно простыми.

Формулы для расчета коэффициентов синхронизирующего и демпфер-
ного моментов, включая члены, содержащие г8 и г2, были даны выше.

Приводим исходные выражения для приращения полного электро-
магнитного вращающего момента

Ш9 = АЛ£,0 -4- hrM9 -4- ДггМм	(Ю> 55)

где

дЧо = mdoAs m«odS:	(10, 5б)

Л	Г. .2 л 2r,e.mSm ( , r-fdOO • COsS0 .	.

ДгМ, — — 1_Л2«МХ)»»Д*',_Л(1_А2){А[	(Az тг*)

'?oosin8o . /r. J [WinSe r . v	W°s 6or .	.11 .

Sin ЛЬ — j L’A2	(—2- Л Sin (Ai

a q	V xdhm

4- sin (ht 4- 2TjA)1;	(10.57)

xqhm	1

Г* ( 1 1 \ *

ArSjM. =	(?joo sin 80 4- idw cos 60) Д8 — 2	idW)ijW	- —j д« +

/2^ 14m sin2 5o cos (Л/ 4- <fdh) С08 80(е)))всо8 80—£)	hf + . J

A W	хЙАи	xthm
2g»m C'rfQO C0S 80 'W Si" 8o) C0S (fo	fy)

~	(1 — №pxatx.

'	* anm qnm

e*,m	Г sin2 BQ cos (fe + 2?d>| + y	cos2 80 . cos (hi <?dh -4- 2ygj>)

) I	xdhmxqhm	xdhmxqhm

rk, ( . . si" _gl"

1 — A2 (2Wff00 .	*4*я,	халт

£erBsin80 .	%	fWmsinVin(fe + 2^)

TT7----S,n (fe Vqh) ----------2------------

t dXqhm	[_	xdhm

'j00emcos80siD(feH-2^*)
xqhm

rlsmh

(1 — Л2)2

COS (fe

Xdhm

srn

w^V08^-*-2?^)

xdhm

Fd00cos80
---2-----cos

'sin2 &0 cos (ht-*-3<fdh)
xdhm

cos2 &0 cos (ht -и 3??A)

*"qhm

(10,58)

Здесь z^00m = ^no-+-/^ — квадрат амплитуды тока zt00.

Демпферный и синхронизирующий моменты получаются путем рас-
крытия тригонометрических выражений в (10. 55) с учетом, что

As = sm sin Az,

cos ht.

(10, 59)

В приложении 7 изложены графические методы расчета составляю-
щей демпферного момента синхронной машины, вызванной влиянием
активного сопротивления в цепи статора, при установившихся малых
гармонических колебаниях скорости вращения машины и представлен
численный пример расчета демпферного и синхронизирующего моментов
синхронной машины при малых качаниях.

7. ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Полученные с помощью приближенных вычислений с точностью до
г9 и г* формулы для расчета влияния активного сопротивления в цепи
статора г8 на величины тока и потокосцеплений статора и величины
демпферного и синхронизирующего моментов синхронной машины,
включенной в мощную сеть, при малых качаниях скорости вращения
машины позволяют с достаточной точностью количественно учесть
влияние режима работы машины (двигательный, генераторный), влияние
величины возбуждения, величины рабочего угла, а также влияние па-
раметров цепей ротора, в частности демпферной системы.

Параметры цепей ротора в предлагаемом методе могут быть учтены
как угодно точно, так как входящие в формулы параметры опреде-
ляются из „круговых" диаграмм (частотных характеристик) соответ-
ствующих асинхронных двигателей, имеющих параметры оси d и оси
q рассматриваемой синхронной машины.

Токовые диаграммы (частотные характеристики) могут быть по-
строены с учетом влияния массива ротора, вытеснения тока в провод-
никах, сложной взаимоиндукции цепей и т. д. Частотную характери-
стику машины можно построить по кривой переходного процесса в ма-
шине— тока в функции времени, как это представлено в главе 12.

Учет насыщения производится выбором соответствующих значений
параметров.

Полученные формулы показывают, что наличие активного сопро-
тивления в цепи статора приводит к образованию дополнительной от-
рицательной составляющей демпферного момента при работе машины
в режиме двигателя с любой нагрузкой и при работе машины в ре-
жиме генератора с малой нагрузкой.

Эта отрицательная составляющая демпферного момента может иг-
рать существенную роль, если машина не имеет поперечной демпфер-
ной обмотки, так как у такой машины основная составляющая демп-
ферного момента (не зависящая от гв) при малых нагрузках близка
к нулю.
ГЛАВА 11

СВЯЗЬ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В МАШИНАХ ПЕРЕМЕННОГО
ТОКА С ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

1.	НЕОБХОДИМОСТЬ УЧЕТА БОЛЬШОГО ЧИСЛА КОНТУРОВ И МАССИВНЫХ
ЧАСТЕЙ В РОТОРЕ

Развитие энергосистем, дальних линий передачи, развитие сложных
схем электропривода, устройств автоматики и других устройств тре-
бует дальнейшего углубленного изучения переходных процессов, имею-
щих место в машинах переменного тока при включениях, коротких
замыканиях, изменении нагрузок, параметров и т. д., при синхронной
и несинхронной скорости вращения ротора. Практика требует все боль-
шего повышения точности расчетов, особенно с точки зрения расхода
энергии в переходном процессе, в частности уточненного расчета по-
терь за короткий промежуток времени короткого замыкания. В про-
тивном случае расчеты устойчивости системы при изменении режима
оказываются недостаточно точными. Нужно правильно учесть, как из-
меняются токи за короткий период, порядка, например, 0.15 сек. —
время срабатывания выключателя — и какие при этом выделяются по-
тери в различных контурах электрической системы.

Как показывает опыт, на переходные процессы в машине большое
влияние оказывают факторы, ранее не учитывавшиеся или недостаточно
учитывавшиеся в теории, а именно:

а)	наличие большого числа замкнутых контуров и массивных частей
в роторе машины с широким диапазоном соотношений активных и
реактивных сопротивлений в этих контурах;

б)	влияние насыщения.

Первый из факторов, оказывая большое влияние на протекание
процесса, вместе с тем не требует выхода за рамки теории линейных
дифференциальных уравнений, если рассматривать процессы при не-
изменной скорости вращения ротора. Классические методы решения
линейных дифференциальных уравнений остаются пригодными и при
учете неограниченного числа контуров в роторе, и при учете наличия
массивных частей в роторе.

Второй из указанных факторов — учет влияния насыщения — требует
выхода за рамки линейной теории и поэтому учет насыщения может
быть произведен в общем случае только приближенно. Характеристики
намагничивания отдельных частей машины настолько различны, что
вряд ли имеет смысл стремиться к точному учету конкретных характе-
ристик насыщения каждой машины. В большинстве случаев при реше-
нии практических задач для учета насыщения можно пользоваться
той же теорией, что и без учета насыщения, но с поправками на из-
менение параметров.

Теория Парка—Горева в том виде, как ее обычно широко приме-
няют в настоящее время, ограничивается лишь случаем наличия двух
контуров по продольной оси ротора и одного — по поперечной оси ро-
тора. Предполагается обычно, что по продольной оси ротора имеется
один демпферный контур и контур обмотки возбуждения; по попереч-
ной оси имеется один демпферный контур. При этом предполагается,
что затухающая периодическая составляющая тока статора при вне-
запном трехфазном коротком замыкании имеет не более двух электро-
магнитных постоянных времени. В действительности, если посмотреть
реальные характеристики тока короткого замыкания, то можно насчи-

Рис. 11-1. Огибающая перио-
дической составляющей тока
статора при внезапном трех-
фазном коротком замыкании
гидрогенератора в полулогариф-
мическом масштабе.

Рис. 11-2. Апериодические состав-
ляющие токов статора при внезапном
трехфазном коротком замыкании
гидрогенератора в трехфазных обмот-
ках статора (а, 6, с).

Точки — получерные из осциллограмм
опытные данные; кривые — средние
значения для каждой из фаз.

тать значительно больше чем две экспоненциальных составляющих
в затухающем переменном токе короткого замыкания, даже в гидроге-
нераторах (рис. 11-1).

В 1958 г. группа работников Института электромеханики под руко-
водством Г. В. Карпова провела в большом объеме исследования
крупных гидрогенераторов, установленных на Горьковской ГЭС. По-
строенные в полулогарифмическом масштабе кривые огибающих перио-
дических составляющих тока статора при внезапных трехфазных ко-
ротких замыканиях показали полную несостоятельность предположения,
что такие кривые, построенные в полулогарифмическом масштабе,
можно представить двумя наклонными прямыми, как это имело бы
место, если бы можно было ограничиться обычно принятым рассмотре-
нием.

Следует также отметить, что если попытаться построить в полуло-
гарифмическом масштабе апериодические составляющие тока трехфаз-
ного короткого замыкания в трех фазах, то оказывается, что средний
наклон кривых тока в трех фазах существенно различен. Кроме того,
Затухание апериодической составляющей тока короткого замыкания
весьма затруднительно представить одной наклонной прямой (рис. 11-2).
Все это указывает на необходимость уточнения широко распространен-
ных упрощенных методов расчета переходных процессов в машинах
переменного тока.
Современная математика дает возможность сравнительно просто
аналитически и графоаналитически рассмотреть ряд переходных про-
цессов в машинах переменного тока с учетом многих контуров в ро-
торе, с учетом массива и с приближенным учетом насыщения с по-
мощью так называемого частотного метода, основанного на свойствах
интеграла Фурье и преобразования Лапласа.

За последние годы частотные методы, разработанные современной
теорией регулирования, получили широкое развитие. Найден ряд соот-
ношений, позволяющих сравнительно просто анализировать сложные
линейные системы. Разработаны особо эффективные методы оценки
свойств системы по упрощенным частотным характеристикам, в част-
ности логарифмическим. Установлено, что для большинства физических
систем имеются определенные соотношения между амплитудной и фа-
зовой частотными характеристиками. Установлено, что амплитудную и
фазовую характеристики можно довольно быстро оценить, зная корни
характеристического уравнения исходной системы дифференциальных
уравнений, и наоборот — по логарифмической амплитудной характери-
стике легко определить приближенно значения корней характеристиче-
ского уравнения. Все это позволяет сравнительно просто оценивать
поведение электрической машины, характеризуемой сложной эквива-
лентной схемой, с помощью современных частотных методов.

Ниже изложены методы расчета переходных процессов в машинах
переменного тока при синхронной и асинхронной скорости вращения
по их частотным характеристикам, т. е. по установившимся токовым
характеристикам при разных скольжениях ротора, а на основании из-
ложенных в настоящей главе соотношений, в главе 12 рассмотрены
методы определения частотных характеристик машины по переходным
процессам в ней. Зная частотную характеристику машины, т. е. ее
установившиеся асинхронные режимы, можно определить переходный
процесс при включении машины в сеть или при коротком замыкании
и, наоборот, по амплитудам и затуханию переходного процесса в ма-
шине можно определить ее частотную характеристику.

В настоящей главе рассматриваются переходные процессы в ма-
шине при неизменной скорости вращения. Случай, когда требуется
при рассмотрении электромагнитных процессов в машине учитывать
изменение скорости вращения машины, требует отдельного рассмо-
трения.

Для анализа переходных процессов в машине может быть исполь-
зована не только частотная характеристика, соответствующая устано-
вившимся асинхронным режимам работы машины при питании статора
напряжением номинальной частоты и разных скольжениях ротора, как
принято в настоящей работе, но и другая частотная характеристика,
а именно — полученная при питании статора машины напряжениями
переменной частоты. Снятие такой характеристики требует специаль-
ного испытательного оборудования, с широким диапазоном частот.
Использование этих характеристик для расчета переходных процессов
во вращающихся машинах связано с известными трудностями из-за на-
личия активного сопротивления статора, сильно возрастающего при
больших частотах, в то время как используемые в настоящем рассмо-
трении частотные характеристики сравнительно хорошо изучены в тео-
рии асинхронных машин, относительно просто определяются из опыта
и имеют простую связь с переходными процессами во вращающейся
машине.
Одна из попыток применения частотных характеристик, полученных
питанием статора напряжением переменной частоты [11-29]. Эта ра-
бота содержит существенные ошибки.

2.	ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ СХЕМЫ МАШИН С УЧЕТОМ БОЛЬШОГО ЧИСЛА
КОНТУРОВ И ВЫТЕСНЕНИЯ ТОКА В КОНТУРАХ РОТОРА

xl	rf/]s xf6

Рис. 11-3. Эквивалентная схема явнополюсной ма-
шины по продольной оси ротора для случая четырех
демпферных контуров и одного контура возбужде-
ния по продольной оси.

Одна из отраслей теории электрических машин — расчет пусковых
характеристик синхронных двигателей — уже давно выяснила возмож-
ность учета массива и большого числа контуров в роторе. Для уточ-
ненного расчета пусковой
характеристики синхрон-
ного двигателя можно
пользоваться специаль-
ными эквивалентными схе-
мами, как например схема
явнополюсного синхрон-
ного двигателя, представ-
ленная на рис. 11-3. Ре-
зультирующее кажущееся
сопротивление такой эк-
вивалентной схемы опре-
деляет операторную реак-
тивность статора машины.
Схема типа представ-
ленной на рис. 11-3 была
предложена Ренкиным
[3-62] и является наибо-
лее полной из предложен-
ных для явнополюсной
машины.

В статорной цепи (первичной) имеется сопротивление рассеяния xh
а к сопротивлению взаимоиндукции xad подключено большое число
различных контуров демпферной системы и контура обмотки возбу-
ждения.

Активные сопротивления машины г представлены в эквивалентной
схеме емкостными сопротивлениями ~, а индуктивные сопротивления
/х — омическими сопротивлениями х.

В схеме с помощью трансформаторов с коэффициентами трансфор-
мации 1 : 1 учтена сложная дифференциальная взаимоиндуктивная связь
между демпферными контурами и контуром обмотки возбуждения.

На рис. 11-3 дана схема с четырьмя демпферными контурами и
одним контуром возбуждения по продольной оси. Ренкин предложил
свои формулы для вычисления каждого из параметров схемы (без
учета влияния вытеснения тока).

Как показывают непосредственные измерения и расчеты, параметры
цепей ротора сильно зависят от частоты скольжения, в первую оче-
редь из-за явления вытеснения тока в обмотке возбуждения и демп-
ферных стержнях. Так, например, активное сопротивление цепи воз-
буждения крупного гидрогенератора при частоте 50 гц, т. е. при
скольжении s = l, во много десятков раз больше, чем при постоянном
токе, т. е. при $ = 0. Таким образом, параметры эквивалентной схемы
в общем случае приходится рассматривать как сложные функции сколь-
жения.

В турбогенераторах имеется мощный массив ротора со сложной
картиной проникновения магнитного потока в массив стали ротора,
в пазовые клинья ротора и, следовательно, эквивалентная схема ма-
шины по существу соответствует схеме с распределенными постоян-
ными. Эквивалентные параметры машины сильно зависят от скольже-
ния. В ряде расчетов активное сопротивление роторных контуров при-
нимают пропорциональным Vs, а индуктивное сопротивление рассеяния
обратно пропорциональным V$. В этом случае отношение остается
почти постоянным при изменении скольжения.

rs/j xss xsm

-w—ИЛЛ—]—«тппп-

rf(S)/js xf5f xf6m

1

xfZ/Vs
rkiDs

Kf»

W

1-1

XFf3/VS	f

Хтг/Vs	7.7

Мллл-^in-J kRT1/jVS

RFl/j^ Xff№ LxJ}/Vs r1



£

Рис. 11-4. Эквивалентная схема неявнополюсной синхронной
машины (турбогенератора) по продольной оси. Массив ротора
и дюралюминиевые пазовые клинья приближенно представ-
лены тремя демпферными контурами.

На рис. 11-4 представлена эквивалентйая схема турбогенератора.

Рассеяние в цепи статора состоит из двух частей: х99 — пазового,
дифференциального и части лобового рассеяния и х8т — части лобового
рассеяния, связанного взаимоиндукцией с роторными бандажами. Ро-
торные бандажи создают контур, параллельный индуктивности рассея-
ния статора со сложной зависимостью параметров контура от сколь-
жения ротора вследствие массивности бандажей.

Демпферная система в турбогенераторе состоит из массива бочки
ротора и дюралюминиевых пазовых клиньев. На эквивалентной схеме
эти контуры условно представлены тремя демпферными контурами.
Активные сопротивления дюралюминиевых клиньев равны	, —L

В общем случае rfcl, гкъ rk3 являются некоторыми функциями скольже-
ния. Реактивности рассеяния дюралюминиевых клиньев можно принять
равными нулю. Параллельно сопротивлениям гкъ rk2, гкз включаются
контуры, характеризующие активное ерпротивление рассеяния для то-
ков, протекающих по массивной части ротора вдоль бочки ротора.
Последовательно с этими сопротивлениями включены сопротивления
RT Хф
типа —7==.-*-	> где RT

j vs v9	£

и ХТ в общем случае являются функциями

скольжения ротора для тока, замыкающегося по торцам бочки ротора.
Так же как и для случая явнополюсной машины, имеется дифферен-

циальная взаимоиндукция между демпферными контурами и контуром
обмотки возбуждения, характеризуемая реактивностями типа . Коэф-
Vs

фициент учитывает влияние массива

Контур обмотки возбуждения содержит: активное сопротивление
r7(s)

-А—, где г/ является некоторой функцией скольжения, вследствие
js

влияния вытеснения тока в проводниках обмотки возбуждения; х^т—
пазовое, дифференциальное и часть лобового рассеяния обмотки воз-

буждения; — часть лобового рассеяния обмотки возбуждения, свя-
занную взаимоиндукцией с массивом бандажей ротора, что характери-
RfK Х/л т.

зуется приключением параллельно х^т контура -. Все пара-
метры R и X в общем случае являются некоторыми функциями сколь-

жения ротора.

В контур цепи возбуждения включены обмотки трансформаторов
с коэффициентами трансформации 1:1, обеспечивающие взаимоирдук-
тивную связь обмотки возбуждения с демпферными контурами ротора.

Методика расчета параметров представленной эквивалентной схемы
сложна и требует своего уточнения. Для этого в первую очередь
требуется накопление опытных данных по частотным характеристикам
построенных машин. На заводе „Электросила* под руководством
Р. А. Лютера ведется работа по уточнению эквивалентных схем турбо-

генераторов.

Для стального массива часто можно пользоваться, согласно иссле-
дованиям Л. Р. Неймана [1А-39], соотношением

^0,6.

3.	НЕТОЧНОСТИ И ОШИБКИ СУЩЕСТВУЮЩИХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ

Можно отметить ряд существенных неточностей и ошибок в широко
распространенном представлении переходных процессов в машинах пе-
ременного тока, вследствие недостаточно углубленного их рассмотрения.
Приведем примеры.

Первый пример. Пусть, например, имеет место внезапное короткое
замыкание синхронно вращающейся явнополюсной машины, работавшей
до короткого замыкания в режиме холостого хода, с номинальным на-
пряжением. Как известно, по распространенным представлениям ток
короткого замыкания в этом случае будет определяться исключительно
параметрами продольной оси ротора. Рассмотрим случай, когда все
контуры в роторе по продольной оси содержат настолько большие
сопротивления, что их можно считать разомкнутыми 7^ = 0). По
обычным представлениям в этом случае периодическая составляющая
переходного тока статора будет равна нулю и периодическая состав-
ляющая тока короткого замыкания сразу станет равной своему уста-
новившемуся значению —.

Xd

В действительности периодическая составляющая переходного тока
короткого замыкания во вращающейся машине будет сильно зависеть
от параметров машины по поперечной оси 7, как это показано на
стр. 274 настоящей главы. При определенном активном сопротивлении
в роторной цепи по оси q затухающая периодическая составляющая

1 / 1 1 \ м
тока статора может достигнуть величины — —) при синхронной

£ \ xq Х2 /

/ 1 1 \ „
скорости вращения ротора и значения (—г-------) при половинной ско-

рости вращения ротора и будет затухать с постоянной времени Tq*
Физически это связано с наличием апериодической составляющей тока
статора во вращающейся машине. Следует отметить, что в некоторых
работах последних лет, в частности в [4-11] этот воцрос рассмотрен
более точно.

Второй пример. Как известно, постоянная времени затухания апе-
риодической составляющей тока статора при внезапном трехфазном
2хх
Г	st ХЪ	£xaxq

а принимается равной где х2 ——т,--------

Г	Xd+Xq

X"d + Xq	2Х'йХ<1 ~

«—5—-— при наличии демпферных контуров на роторе; х2 =----------

г *	Xq~^Xd

X'd + Xq

»----2~^ — при отсутствии демпферных контуров на роторе и г — оми-

ческое сопротивление фазовой обмотки статора. Амплитуда апериоди-
ческой составляющей обычно принимается равной -Дг — при наличии
xd

демпферных контуров на роторе и —;----при отсутствии демпферных

xd

контуров.

Это, однако, приближенно правильно только при синхронной ско-
рости вращения ротора (при отсутствии массива в роторе).

Пусть, например, машина с симметричным ротором, с одной систе-
мой обмоток на роторе, вращается с малой скоростью, т. е. со сколь-
жением, близким к единице. При внезапном трехфазном коротком
замыкании в этом случае апериодическая составляющая будет затухать
х.

с постоянной времени Та = — Чг-Т^9 где 7^0 — электромагнитная по-
стоянная цепи ротора при разомкнутой цепи статора. Действительная
величина Тау таким образом, в этом случае во много раз отличается
от обычно принятой ~ .

Амплитуда апериодической составляющей тока короткого замыкания
в рассматриваемом случае будет близка к величине т. е. значи-
Xd

тельно меньше чем обычно принимается.

Третий пример. В литературе широко распространена формула,
предложенная в свое время американскими авторами, для расчета
электромагнитной постоянной времени затухания периодической состав-
ляющей тока трехфазного короткого замыкания, с учетом активного
сопротивления в цепи статора

Тд — ^dO ’

2 . „ /
г8 xdxd

В немецкой печати в ноябре 1958 г. специалист фирмы Сименс—
Джейн [11-25] изложил заимствованный из литературы вывод этой
формулы и ей подобных, не сомневаясь в ее правильности.’ Формула
эта и вывод ее, в части учета влияния активного сопротивления в цепи
статора, ошибочны, несмотря на то, что приведены в таких авторитет-
ных руководствах, как например [1А-26].

Физически ошибка связана с недопустимостью предположения
постоянства потокосцеплений по продольной и поперечной осям во
вращающейся машине при малом активном сопротивлении цепи статора.
Соответствующий анализ дан на стр. 270. В действительности

Все это указывает на необходимость более углубленного и вместе
с тем наглядного рассмотрения переходных процессов в машине без
использования в ряде случаев громоздких формул.

4.	ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СВЯЗИ

Переходный процесс, характеризуемый некоторой функцией вре-
мени /(/)> может быть в операторном виде характеризован функцией
=£=/(/), которая связана с функцией f{t) — операторным преобра-
зованием
со

= PL {/ (0) = Р f f Ю	(11, 1)

о

Обратное преобразование имеет вид:

J	'"'2|

ст—/со

где о — величина, при которой интеграл (11, 2) имеет абсолютную схо-
димость. Для интересующих нас задач можно принять а = 0.

Существует аналогичная связь, устанавливаемая интегралом Фурье,
между совокупностью установившихся процессов при разных частотах
и переходным процессом в системе [1А-47; 11-15; 11-16 и др.].

Пусть имеется частотная характеристика для установившегося тока
системы (характеризуемой эквивалентной схемой для операторной
реактивности	в функции частоты s питающего напряжения не-

изменной единичной амплитуды

1

X (js) •
Тогда ток i (t) в системе при включении ее на единичное постоянное
напряжение будет равен:

+ 00	. .

1	f

'•(')= Ы	(“’З)

—00

Обратная зависимость имеет вид:

ОО

(11,4)

О

Сравнивая выражения (11,1), (11,2) и (11,3), (11,4), нетрудно
видеть, что, заменяя в выражениях (11,1), (11,2) величину р на js,
можно получить выражение (11,3), (11,4).

5.	СВЯЗЬ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ С ЧАСТОТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Эквивалентные схемы для установившегося режима имеют непосред-
ственную связь с эквивалентными схемами для операторных реактив-
ностей синхронной машины. Соответственно имеют простую связь опе-
раторные выражения для переходных токов машины переменного тока
и комплексные выражения для токов в установившихся режимах при
разных скольжениях ротора.

Рассмотрим эти связи, постепенно усложняя рассмотрение для учета
различных факторов усложняющих задачу.

а) Машина с симметричным ротором с одной системой обмоток на
роторе, питание только со стороны статора, активное
сопротивление в цепи статора г8 = 0. Ротор машины вращается
с заданным скольжением

Эквивалентная схема машины для установившегося режима при
разных скольжениях представлена на рис. 11-5, а. Если напряжение
на статоре представить комплексом /, то установившийся ток статора,
выраженный в синхронных осях, равен:

г‘во =

1_______1_

Xd(j«) ~ x'd

js -4- ar
js -+- ar

(11, 5)

Обозначения см. в главах 3 и 4.

Токи в фазовых обмотках статора определяются как проекции ком-
плекса 40 на вращающиеся оси а, 6, с, см. стр. 60.

Если величину постоянной времени T'd выразить в электрических
1

радианах, то величина —г~аг равна критическому скольжению sk ма-
Td

шины, т. е. скольжению, при котором активная составляющая тока
статора равна максимуму.

Существует известное построение для получения шкалы скольжения
на круговой диаграмме по величине критического скольжения sk.
Построив масштаб скольжения, как это представлено на рис. 11-5, б,
нетрудно найти ток статора для любого скольжения.

Для скольжения, равного единице, получим ток, проходящий через
точку масштабной шкалы скольжения $ = 1 и т. д.
Если рассматривать переходные процессы в представленной экви-
валентной схеме рис. 11-5, а при включении схемы на единичное
постоянное напряжение со стороны первичной обмотки, то эквивалент-
ная схема для переходного процесса представится в виде рис. 11-6, а.
Эта схема получается заменой комплекса js в схеме рис. 11-5, а на
оператор дифференцирования Эквивалентное операторное сопро-
тивление для такой схемы будет равно:

Рис. 11-5. Эквивалентная схема и токовая диаграмма асинхронного двигателя
«	л гт,	1	1 js -+- аг

с одной системы обмоток на роторе при = 0. Ток статора	--------? .

xd U8) x^js-¥~a

а — вквквалежтжяя схема г9 =

J
r9+Jx(Js)

б — токовая диаграмма при раввмх скольжениях.

Раскрывая операторное выражение для тока	—ГТ

xdW

в функции вре-

мени, имеем:

(11» 7)

где

Ток i (7) будет затухать с максимального значения —г до установивше-
хл

гося значения — с коэффициентом затухания %.
xd

Величину i (7) называют часто переходной функцией или переходной

проводимостью системы, характеризуемой операторной реактивностью
Xd(p).

Если включить в мощную сеть асинхронную машину, характеризуе-
мую операторной реактивностью хДр), в случае, когда ротор машины
вращается с неизменным скольжением $ = 1 — <ог, то ток статора
в операторном виде при г« = 0 будет равен:

. _____________________________1______________________

(11, 9)
Раскрывая операторное выражение (11,9) для случая, когда xd(p) —
, р + \

~х + > имеем в синхронных осях:

1	_	1	аг

l*	xd (—№<)	~>~(a>r4~jar)(a'r~t'js) t,1S

= uo "*	*«2»	(11» 19)

I

где <Dr = l—s— скорость вращения ротора машины. Ток трехфазного
короткого замыкания нетрудно получить по методу наложения, рассмат-
ривая короткое замыкание как включение машины на напряжение,
имевшее место на зажимах машины до короткого замыкания, с обрат-
ным знаком.

Рис. 11-6. Эквивалентная схема рис. 11-5 для расчета переходного
процесса при включении единичного постоянного напряжения в первич-
ную цепь схемы и изменение тока первичной цепи во времени.
а —- эквивалентная схема; б — изменение тока первичной цепи во времени •

В таком случае для невозбужденной со стороны ротора машины ток
статора при внезапном трехфазном коротком замыкании в синхронных

осях равен:

f3* xd(-ja>r)

(П. И)

1



Как видим, зная частотную характеристику машины (определяемую
в рассматриваемом частном случае параметрами х x'd и можно
определить переходную функцию эквивалентной схемы, характеризуемую

• 1 • /1 1 \ А

токами itQ = — и <п = ( ------) и коэффициентом затухания пере-

\ xd Xd /

ходного тока ar — sk.

Переходные токи при включении вращающейся машины в сеть и
при коротком замыкании также непосредственно связаны, как это
видно из выражений (11,10) й (11,11), с параметрами частотной ха-
рактеристики и переходной функцией эквивалентной схемы. Особенно
существенно, что периодическая составляющая тока статора при вклю-
чении вращающейся машины в сеть —i82 связана с переходным током /д
переходной функции соотношением

дг	— i

182 (wr + X) (a'r -* is)

(П, 12)

Такая связь позволяет по частотной характеристике 4о=—р-х

опре-

делять переходную функцию эквивалентной схемы	а по

составляющим переходной функции i (t) определять соответствующие

экспоненциальные составляющие переходного тока, имеющего место во
вращающейся машине.

б) Машина с симметричным ротором с многими обмотками на
роторе. Питание только со стороны статора, активное
сопротивление rs в цепи статора равно нулю. Ротор машины
вращается с заданным скольжением s

Рис. 11-7. Обычная эквивалентная схема син-
хронной машины по продольной оси.

Если на роторе имеется несколько обмоток, то эквивалентная схема
соответственно усложняется. Ток статора в установившемся режиме
при разных скольжениях s при напряжении на статоре, равном j для
случая, когда эквивалентная
схема машины имеет п кон-
туров, выражается в виде:

.1 L v

( js «1) (js -4- a2) .,. (js -Ь a„) _

x 0s 4)0* 4) • • • 0* 4)

1 DW

= x(®) * Df (js) •	(11» 13)

Здесь — сверхпереходная
реактивность.

Коэффициенты затухания а и а' являются корнями соответствующих
уравнений D(js) = 0 и £)'(/$) = 0.

Так, например, если в роторе имеется две системы обмоток и
взаимоиндукция всех контуров одинакова (рис. 11-7), то уравнения
роторных цепей будут иметь вид:

D (js) = (js)* -+- (arl^ar2) (is) +	—(is -* ai) (is “2);

D' (js) = (js)2 -4- (	—— 'j (js) -+- -^M-2 — (is -+- <4) (js a'2).

\	°12	/	°12

(11, 14)

Здесь arl =	> ar2 —	= ~~ — коэффициенты затухания ротор-

ных контуров при разомкнутой обмотке статора; хг1 = хг19-+-хт* хг2 =
— хг29-+-хт— полные реактивности роторных контуров при разомкнутой
обмотке статора; <з12 = 1— коэффициент рассеяния роторных
контуров при разомкнутой обмотке статора.
Величины со штрихом соответствуют аналогичным параметрам, но

при замкнутой накоротко за реактивностью

а =

рассеяния обмотке статора

1

Т'

Г1

1 гг2

“г2	J1'	х'

1 г2	хг2

°12— 1

/2
т

л,
т I

г 1^2

т

хг— рассеяние в цепи статора.

Корни уравнения D'(js) = Q равны:

а1,2

аП аг2
2°12

1±

1

4°'12“г1“г2

(И. 15)

Q2 J ’

При малой
с единицей,

величине о12 и коэффициентов затухания по
можно пользоваться приближенным решением

сравнению

1

а.

grl°r2

аг2^%

г2

(11. 16)

а2

а12

Заменяя

в выражении
. d

(11,13) величину js на символ

дифферен-

цирования р > получаем

операторное выражение для переходного

тока при включении эквивалентной схемы на единичное напряжение
постоянного тока

_______1 ... -Р(р)
x(p)“x(n) D'(p)

1 (р °i) (р «г) ... (р ч- д„) .

Корни ар а2, ... и а', а', ... для интересующих нас задач можно счи-

тать практически всегда разными, поэтому в рассматриваемом
переходная проводимость i (t) равна:

случае

1 WТ(р) 1/0 itl& 1

п‘

(11,18)

где	Qp) J —синхронная реактивность машины, а

1
lim ~„(я)

В (Рт)

(т = 1, 2,

(11.19)

\р=Рт

так как пользуясь разложением на элементарные дроби

1

*(р)

I Д(р)__ 1____.

г(") D'(p) ~ х(0)~*

•Q (Pm)

__________Р---,
I р-ЬРт

1р=1>т

(11, 20)
где рт'—корни характеристического уравнения £У(р) = 0, равные —а'5
f	г

1	а2> • • •>

Таким образом,

1 Я 6-0

it» == —у---------£----, (m = 1, 2...............п) (11, 21)

Ха (-<) П

fc=l; k^=m

где И — знак произведения.

Используя аналогичное разложение выражения (11,13) для устано-
вившегося тока статора на элементарные дроби имеем:

1	js # js	. js

*«о= х ( js\ ~ Ио Hi . , г "* И2 . . г + • • • + ъ ~ г" .	(11»22)

XUS>	Js аг	]s4-a2	]s + an

При включении рассматриваемой машины в сеть на напряжение,
характеризуемое в синхронных осйх комплексом /, ток статора при
вращении ротора машины со скольжением $ будет в операторном виде
в синхронных осях при гв = 0 равен:

. =______________I__________1==

**	лг(я)(р-*-j) X (p-+-js)

(p-+-ai~+-js) (p-*-a2-+-js) . . . (p -4-aw-4-js) i
X(n) (p -4— j) (p -4- 4 js)(p -4- a^js) . . . (p -4- % -4-js)

(11, 23)

Характеристическое уравнение для операторного выражения (11,23)
равно (p-*~j)iy(p -+-/$) = 0 и, следовательно, корни равны (—у);
(—а'1~ JS)’> (—®2~

Первый корень (—у) относится к апериодической составляющей
тока включения вращающейся машины. Остальные корни определяют
затухания и частоту периодической составляющей переходного тока
статора при включении вращающейся машины в сеть. Реальные части
этих корней, т. е. коэффициенты затухания соответствующих экспо-

ненциальных составляющих те же,

что и у переходной функции



г Это обстоятельство устанавливает простую связь между

периодической составляющей тока статора при включении в сеть пере-

менного тока машины с вращающимся ротором и переходным током



имеющим место при включении , эквивалентной схемы,

соответствующей операторной реактивности х(р), на постоянное еди-

ничное напряжение.

Раскрывая операторное выражение (11,23) для тока статора машины
при включении ее в сеть, получаем в синхронных осях

п	г

it = iso й1 -+- isi — х — х (—fa) Z~J* 2 '*2me ”	’	(11’

m=l

где

in™ — /	. r \ / f . \ iimt	(wi — 1» 2, . . n)	(И» 25)
юг = 1 — z\m(m = lt 2, ..., п) — начальное значение экспоненциаль-
ных составляющих переходной функции по (11,19).

Сравнивая выражения (11,24) и (11,18), видно, что при пренебре-
жений влиянием активного сопротивления г9 в цепи статора коэффи-
циенты затухания периодической составляющей тока включения машины
в сеть не зависят от скорости вращения ротора.

в) Построение частотной характеристики

функции z (/)=--1-р

1 -

по переходно*

1

x(js)

Из полученной аналогии выражений для частотной характеристики
[см. выражение (11,22)] и переходной функции	сле-

дует весьма важное правило построения частотной характеристики

** x(js)

по результатам

осциллографирования пере-

ходного процесса,
ляемого переходной
ностью х (р), т.
виду переходной
z(t)= -4т.

v 7 X (р)

опреде-
реактив-
е. по

функции

Пусть из осциллограмм^

известны

_ 1

х(0) ’

величины

Чъ Чь • • •

---

itn и

коэффициенты затухания а',
• • •> Для их определе-
ния строим на полулогариф-
мической бумаге кривую за-
тухания тока и разбиваем
приближенно на соответст-

вие. 11-8. Затухание переходной функции
i (t) -= "х при наличии нескольких вторичных
контуров в эквивалентной схеме, представленное
в полулогарифмическом масштабе.

вующие прямые участки. Предполагаем, конечно, что все коэффи-
циенты затухания разные (что не уменьшает общности рассмотрения
задачи).

Определяем времена, при которых экспоненциальные составляющие
переходного тока достигают значения, равного 0.368 от первоначального.
Полученные постоянные времени являются обратными величинами
коэффициентов затухания	% (рис. 11-8).

Для определения тока i8 = х (рис. 11-9) делаем следующее гра-
фическое построение:

1)	строим на отрезках	• • •> Чт KSLK на горизонтальных диа-

метрах, окружности, проходящие через начало координат (У;

2)	определяем масштабы скольжения для каждой окружности по
критическим скольжениям sk = a'm;

3)	строим для данного скольжения а векторы токов по всем окруж-
ностям;

4)	определяем геометрическую сумму токов для данного скольжения s;
5)	строим геометрическое место полученной суммы токов для разных
скольжений;

6)	переносим начало координат влево на расстояние = —.
! ______________________________________________ Хл

Комплекс i, = —туг , выраженный вектором О А, будет характери-
зовать величину и фазу установившегося тока при заданном скольжении
ротора, при питании системы со стороны статора номинальным напря-
жением номинальной частоты. Напряжение на диаграмме характери-
зуется вертикальным комплексом j.

1

Изложенный метод определения частотной характеристики /в0 =—

Рис. 11-9. Построение частотной характеристики по данным переходной функ-
ции при нескольких контурах в роторе.

переходной функции i (t) =J= *-наклонными прямыми особенно удобен
при анализе переходных процессов в машинах переменного тока вслед-
ствие обычного соотношения параметров машин переменного тока.
Однако этот метод не является единственным. За последние годы
разработаны весьма эффективные графоаналитические методы опреде-
ления частотных характеристик по заданной переходной функции, см.
например, [11-2, 11-3, 11-4, 11-9, 11-16, 11-18]1

На стр. 282 изложен метод приближенного графоаналитического
определения переходной функции по частотной характеристике с по-
мощью функции интегрального синуса. Этот метод за последние годы
также получил большое развитие [11-16].

г)	Приближенное графическое определение переходной функции
по частотной характеристике

С помощью амплитудной частотной характеристики, построенной
в логарифмическом масштабе, можно приближенно определить экспо-
ненциальные составляющие периодической части тока статора /в2 ПРИ
включении вращающейся мащины в сеть. Тот же ток с обратным
знаком будет иметь место при внезапном трехфазном коротком замы-
кании машины из режима холостого хода с номинальным возбуждением.

Метод основан на приближенном определении составляющих и
коэффициентов a'(Z = l, 2, . .., п) переходной функции i(t) = ив
логарифмической амплитудной частотной характеристики и определении
составляющих it2i (/ = 1, 2, . . п) периодической части переходного
тока вращающейся машины по формуле (11,25). J

Строим в логарифмическом масштабе зависимость амплитуды тока
статора zi0 от скольжения $ (рис. 11-10).

Приближаем полученную зависимость log /в0 = f (log s) ломаной

кривой, состоящей из наклонных и горизонтальных отрезков прямых

с наклонными участками, соответствующими равенству приращений

логарифма тока и логарифма скольжения. В
1 D (js)

ЧТО ltQ = —, скольжения, при которых
X Л	\J /

этом случае, учитывая,
горизонтальные участки

кривой переходят в наклонные, приблизительно равны корням уравне-
ния £>(р) = 0, т. е. «!, а2,.. ., а сколь-

жений, при которых наклонные участки
кривой переходят в горизонтальные,
численно приблизительно равны кор-
ням уравнения Df (р), т. е. коэффи-
циентам затухания а'р	Горизон-

тальные участки кривой определяют
амплитуды экспоненциальных состав-
ляющих тока i (t) = —.

Логарифмическая амплитудная ха-
рактеристика позволяет определить до-
статочно точно экспоненциальные со-
ставляющие при существенно разных
коэффициентах затухания. Это, как

Рис. 11-10. Приближение логарифми-
ческой амплитуды частотной Характе-
ристики ступенчатой кривой.

правило, имеет место при анализе

переходных процессов в машинах. Однако вовсе нет необходимо-

сти точно угадать разложение кривой на исходные экспоненциаль-
ные составляющие. Если исходная логарифмическая характеристика и
ступенчатое приближение близки между собой, то можно получить
достаточно хорошее приближение реальной кривой переходной функции
i (t) =Ф= Т(р) полУченными экспоненциальными составляющими. Соответ-
ственно, токи по исходной частотной характеристике достаточно близко
приближаются к суммам токов, найденным для данных скольжений s
по круговым диаграммам, где каждая круговая диаграмма, как было
изложено и как это следует из разложения на элементарные дроби,
соответствует своей экспоненциальной составляющей в токе 7(7).

Зная itl и a';(Z = l, 2, . . ., п), определяем ток /g2 (в осях неподвиж-
ных по отношению к ротору)

У	е-а?

(7 = 1,2......п) (11,26)

За последние годы метод приближенного определения переходной
функции по логарифмическим частотным характеристикам получил
широкое развитие. Найдены соотношения между исходной логарифми-
ческой кривой и асимптотическим ступенчатым приближением, облег-
чающие по^'ор такого приближения, см. например, [11-3, 11-9, 11-18].
Мы рассмотрели наиболее важный для нашей задачи случай, когда
передаточная функция г,0 = V(J7j" содержит только реальные корни
и полюса aj. Однако в общем случае встречаются задачи, когда

часть корней и полюсов выражения i9Q комплексны и попарно со-
пряжены. В этом случае множители передаточной функции будут

иметь вид: (/s)2-*-2a;/s-+-(a2-4-(D^.

Комплексные корни и полюса передаточных функций в этом случае

также легко определяются из ступенчатого приближения соответствую-
щего участка логарифмической кривой. Можно показать, что скольже-
ние sl в месте пересечения асимптотических линий log i — const и

log (△/) = 2 log (As) равно sl

Для определения можно

воспользоваться специальными графиками [11-3], шаблонами [11-9], либо

построением функции log

7)2 I

— , которая в точке s = si

S

[11-3].

д)	Учет активного сопротивления в цепи статора

До сих пор рассматривались случаи, когда влиянием активного
сопротивления г8 в цепи статора можно пренебречь. Однако при реаль-
ных соотношениях параметров в машине активное сопротивление rt,
сравнительно мало влияя на начальные амплитуды составляющих пере-
ходного тока машины, существенно влияет на коэффициенты затухания
переходного процесса.

При симметричном роторе (вращающемся со скольжением $) ток
включения в сеть машины в операторном виде при напряжении статора,
характеризуемом комплексом /, в синхронных осях равен:

 «и.

Если х (р) =	, то характеристическое уравнение для опера-

торного выражения (11,27) имеет вид:

• D (р ч- js) ч- (р ч- j) D' (р ч- js) = 0.	(11,28)

Представляем это характеристическое уравнение в виде:

(рч-уч-ааЧ-У^Хрч-^ч-УзХрч-^^р) • • -=0.	(И» 29)

Пользуясь методом итерации, определяем приближенные значения
корней — коэффициентов затухания и собственных частот. Коэффициент
затухания aa и собственную частоту апериодической составляющей
легко определить непосредственно из частотной характеристики
1

/<0 = ^ЛЙ)’ а именно:

“а —/Ч = x,[-j(l-s)J •
Коэффициенты затухания экспонент периодической составляющей
тока статора, с приближенным учетом влияния активного сопротивления
в цепи статора, равны:

г 1Н ’

"* ialr, у2 2 ’ (Z = l, 2, . . *,п)
СЕ» ~т- (О

(И, 30)

т. е., помимо Небольшого изменения коэффициента затухания с а' на
г ( 1 .	4iai \	~	М

), имеет место небольшое изменение частоты каждой
\	*+ (0r J

экспоненциальной составляющей* Вместо $ она будет равна:

<ога'

s# = з -+- r*iu —72-2“ .	(/ = 1, 2, ...» п)	(П,31)

af -+- 0)^

Следует учесть, что пользование представленными поправками на
влияние активного сопротивления в цепи статора допустимо только
тогда, когда они малы. Это, как правило, имеет место при относительно
большой скорости вращения ротора и относительно малых активных
сопротивлениях в обмотках.

Для случаев, когда весьма мало или активные сопротивления
в обмотках относительно велики, нужно пользоваться точными реше-
ниями характеристического уравнения, как это представлено на стр. 270,
несмотря на трудоемкость такого точного решения, либо пользоваться
методами приближенного решения, дающими необходимую точность.

Задача учета влияния активного сопротивления в цепи статора
принципиально близка к установлению связи между корнями и полюсами
выражений, характеризующих замкнутую и разомкнутую системы в тео-
рии автоматического регулирования. В самом деле, ток статора вра-
щающейся машины в переходном процессе при включении в сеть,
с учетом влияния активного сопротивления в цепи статора, характери-
зуется операторным выражением

Гв-+-(р-4->г)

или

re[l-bGi(p)-G2(p)] ’

где

Gi (p) = p-*-J“r,
а

2W г, D(p) •

(11, 32)

(11, 33)

(11,34)

В теории автоматического регулирования и радиотехнике проведено
много исследований по определению корней и полюсов выражения
l-4~Gi(p) • G2(p), где Gi(p) и G2(p) — дробные полиномы с известными
значениями корней и полюсов, см, например, [11-1, 11-3, 11-6, 11-9,
11-18 и др.].

Созданы номограммы, позволяющие легко определять соответствую-
щие корни и полюсы выражения для замкнутой системы. За последние
годы разработан также метод корневого годографа [11-3, 11-21],
дающий большие возможности для определения корней и полюсов
замкнутой системы.

К сожалению, в интересующей нас задаче один из полиномов
Gi(p)=p-i“j(Dr имеет одиночный комплексный корень, в отличие от
обычных задач теории автоматического регулирования. Требуется рас-

приближенного анализа корней

пространение существующих методов

Рис. 11-11. Построение частотной характеристики
igQ— х по частотной характеристике
j

и полюсов замкнутой си-
стемы на случай, когда
дифференциальные урав-
нения такой системы со-
держат комплексные коэф-
фициенты. Весьма пер-
спективен с этой точки
зрения метод корневого
годографа. Вопрос тре-
бует дальнейшей разра-
ботки.

При дальнейшем уточ-
нении придется также
учесть то обстоятельство,
что в общем случае ак-

дивное сопротивление в цепи статора г9 является, с учетом влияния
вихревых токов и добавочных потерь, некоторой функцией от р, что
усложняет рассмотрение.

Как видно из представленного рассмотрения, для определения пере-
ходного тока во вращающейся машине, с учетом влияния активного
сопротивления в цепи статора, можно пользоваться переходной функ-
цией f (f) =?=, т. е. частотной характеристикой машины Z<0 — x"(Js) ’
без учета активного сопротивления в цепи статора, вводя соответствую-
щие поправочные коэффициенты на влияние активного сопротивления
в цепи статора.

Из опыта часто известна действительная частотная характеристика

]

машины Z.

(js)

, которая зависит от активного сопротивления

в цепи статора. Для определения же переходной функции i (Z) == ~^'(р)
нужна частотная характеристика 4о = —•

х \JS)

Можно предложить простой графический способ перехода от частот-
c.	.	i	«	1

ной характеристики i8 =	к частотной характеристике T(js)

и наоборот (рис. 11-11).

Для этого:

1)	откладываем вниз по вертикали от точки А характеристики
Л =	т—\ , соответствующей скольжению s, потери в меди статора

РГ ст = Гг|Л|2 в относительных единицах, получаем точку В;

2)	проводим радиусную линию ОВ?
3)	радиусом О А определяем на линии О В точку С;

4)	из точки С восстанавливаем перпендикуляр и находим на линии
ОА точку Д*	___

5)	из точки Д проводим дугу радиусом ОД до пересечения с ли-
нией ОВ, получаем точку Е, которая и является искомой точкой ча-
стотной характеристики i9Q = т для данного скольжения.

X {JS)

Обратное построение частотной характеристики i9 = г* н j* по ча-

стотной характеристике i9Q = с
х и®;

случае потери в меди статора pQr

производится аналогично, но в этом

кали вверх. Остальное построение
аналогично (рис. 11-12).

Изложенные простые построения
позволяют распространить связь
между переходной проводимостью
переходного процесса i (t) == х(р)
и частотной характеристикой /в0 =
= х7/«) на СЛучай наличия сущест-
венного активного сопротивления г9
в цепи статора, как показано в при-
ложении 8.

Если нужно определить коэф-

ст = г* | /в0 |2 откладываются по верти-

Рис. 11-12. Построение частотной харак-
]
теристики i9 =----——з—г. ; по частот-

Г8 ]Х \)S)

ной характеристике z«o —

X (js)

фициент затухания и собственные

частоты переходного процесса с учетом влияния существенного актив-
ного сопротивления в цепи статора, то по частотной характеристике

j	.	1

=	\ определяем частотную характеристику i9Q =	. , исклю-

Fs JX \]S)	X \JS)

чая влияние активного сопротивления ra; по частотной характеристике
1

= ~	< определяем переходную проводимость

.74	•	““М	""М

l(0 = «iO + «le	-+- ^2£	-и...,

затем, вводя указанные выше поправочные коэффициенты, учитываю-
щие скорость вращения машины <ог и активное сопротивление г9 в цепи
статора, получаем начальные значения экспонент и коэффициенты за-
тухания периодической составляющей тока статора при включении вра-
щающейся машины в сеть.

Аналитическая связь между i8Q и i9 имеет вид:

• ___

— jiaor.

(П, 35)

е) Определение коэффициентов затухания и собственных
частот при больших активных сопротивлениях в обмотках

Пусть, например, включается в сеть машина с одной системой об-
моток на симметричном роторе, скольжение ротора равно нулю. Ток
включения в операторном виде равен:

jl	, Р Яг

г.-ь/х,(р) ;	=
В таком случае характеристическое уравнение имеет вид:

% (Р °г) (р -+- J) (р -+- <) = Р2 р 0	%) +- X = о, (11, 36)

где

а = —7- .

Х9

Корни уравнения равны:

Р1,2 — — ----f---- V (j -+- а', — “г)2	4 (1 — а) а,а'г ,	(11, 37)

а *•
где <з=2 — .

•*>

Разделяя реальную и мнимую часть полученных корней, имеем:

Pi, 2 —2	~~ 2j 2	j"b|— 2~\~2)r	2 J’ (Ч’38)

где

a = l-«-<)2-4aa'X;	6 = 2 (<-<).	(11,39)

Знак плюс при дроби ^=t -|) берется, когда величина Ь > 0; знак
минус — когда 6<^0. В частном случае, когда г, = 0, имеем:

Р1==—/;	Р2 = —“г-

В случае, когда а'а — а'г = а.'

Р1 = — а' — у [1 -+- V1 - 4 (1 — с) а'2];
р2 = -а' _	[1 - V1 —4(1— я) а'2].

(11,40)

Полученные результаты существенно отличны от обычно принятого
соотношения

2 а ,	(11,41)

r9^~xd

которое в нашей записи будет иметь вид:

а2а2 । 1

~Re М = <4 = < —2.....Т •	(И. 42)

ба 1

Пусть, например, о — 0.3; а' = </ = 1.0.

Тогда по формуле (11,40)

Р2 = —1.0 — у [1 — ^1 —(1 — 0.3)] Sb —1.0 — j 0.Y1S.

По формуле (11,42)

«;=о,4

0.09-ь1
0Л-ь1

= 0.84.
Как видим, в том случае, когда активное сопротивление в статор-
ной цепи велико и оказывает существенное влияние на постоянную
времени роторной обмотки T'd, широко распространенная формула
(11,41), предназначенная именно для учета повышенного активного
сопротивления в цепи статора, дает неправильный результат.

Если рассматриваемая машина с одной системой обмоток на симме-
тричном роторе вращается с несинхронной скоростью, то ток статора,
выраженный в осях, вращающихся с ротором, имеет операторный вид:

г Д

• Г8 -4- (р -+- jtor) Х8 (?) ’

(11,43)

и, следовательно, корни plj2 в рассматриваемом случае могут быть
также определены по формуле (11,38), где величины а и Ъ с учетом
несинхронной скорости вращения ротора <ог = 1—$ будут равны:

а =	— 4ва^

Ь=2шг(а'г— <).

(11.44>

Как видно из представленного рассмотрения, даже для случая од-
ной системы обмоток на роторе точный учет влияния активного сопро-
тивления в цепи статора связан с решением квадратного уравнения
с комплексными коэффициентами. Рассмотрение случая двух и более
систем обмоток на роторе требует решения кубического уравнения и
уравнений более высоких степеней с комплексными коэффициентами
соответственно, что в алгебраической форме весьма громоздко. Прак-
тически в сомнительных случаях, когда метод итерации применять не-
желательно, требуется численное решение соответствующих алгебраи-^
ческих уравнений, либо применение доработанных на случай комплекс-
ных коэффициентов методов, указанных на стр. 268(11—9,11—3,11—21]

ж) Учет несимметрии ротора при отсутствии активного
сопротивления в цепи статора (г, = 0)

Если в осях, связанных с ротором, напряжение равно е8 =
и ротор машины вращается со скольжением, то ток статора в опера-
торном виде имеет вид:

где

е'8	2(p+j)

1

(11,45)

^(Р-+-Д)

(p+js)

(П,46)

Cb . Г 1	_	1	]

• 2(р — J)	js) Xq (р — js)J 1*

8 =	—рабочий угол машины;

, ч xd(p)-+-xq(p)	Xd(p)—X (р)

х8 (р) =----------- ; у, (р) =--------------

(11,47)
Раскрывая токи и г*6 в функции времени, получаем?

4/— I/O */1 "Ь */25

Чъ =	*Ь1	42?

4 4о ”+" 41	42,

где

4о===г/о"н4(ь	41= */1	415	42=г/2"ь42«

Установившиеся токи /у0 и z*0 равны:

.	1 Г 1	1 1 уз. •*	1 Г 1	_	1

1/0	2 |_х<г (Js) xt е ’	2 L xd xi (~js)

„Апериодические" составляющие и г*х равны:

i _=1Г_______1__________1___

zl~ 2 к(--Ч) М--Ч)?

f- - г......1...- - 1 1

lbl~ * LM'“r) хЛ“г) J

Результирующие токи zso и i,i равны:

•	1 Г 1	1 1 /8 1 Г 1	1	1

1,0 2 LX<Z xt ^®>] 6	2 L xd xg (~is)

(11,48)

(11, 49)

(11, 50)

(U, 51)

(11, 52)

(11, 53)

(11, 54)

В выражении (11,54) для „апериодической" составляющей введен
множитель е г« для учета затухания апериодической составляющей,
вызванного наличием небольшого активного сопротивления в цепи
статора.

Периодические составляющие iи i*b2 определяются из операторных
уравнений

2Df(p) I(Р — 1	21®)] [xd)D’d (Р -+ 7»)Dg (Р /®)

н- x^D'q (Р ч- js) Dd (р ч- JS)],	(11, 55)

где

Df (р) = (р ч-j) (р - j ч- 2js) X^x^D'd (р +js) D'q (р ч- js),	(11, 56)

И

"^8 2Db (р) Кр J — 2А)1 [x(d)Dd (Р — J's) Ds (Р — J®) —

- x(qm)Dq (р - js) Dd (p - js)],	(11,57)

где

Db (p) = (p - j) (.P + j- 2js) x^x^D'd (p - js) D'q (p - js),	(11, 58)
как экспоненциальные составляющие, соответствующие корням

W (* = 1, 2, ..., п)

<f; (Z = l, 2..m)

уравнения

Токи периодической составляющей

*•2“

где z/2, ГЬ2 в осях, вращающихся с ротором, равны:

X1 а'и*',г*(~J> а<ге/8°е lqi .

1/2 = 2 2 («м - >г) {<iti ч- j»)‘tdt 2 2 (a'lt - >г) («;г -+- js) г^1;

£1 2 (“W *" ju>r) (a'li - j's) ‘Ul 2 (“J, •+ J“r) (% - j’s) 'tql'

(11, 59)

(11, 60)

(11,61)

Здесь iM и itqi — соответствующие экспоненциальные составляющие
переходных функций

11 (11’62)

Для оси с/, например,

1 D& ( ®<?/)

--------П--------------•	(Z==l, 2, ... п) (11,63)

d	(~~adl) II (~~adl adk)

k—1

Аналогичное выражение имеем для iiq[. (Z = l, 2, •.п).

Экспоненциальные составляющие периодической части z‘f2 по про-
дольной и поперечной осям равны:

я	т

й> = г*2Д = । isiil j У,	(11,64)

1=1	1=1

где

ЬаД” ,z " ,а----------2т-[(“г_•)амс088о-,-(а'м	“r»)sin\];	(И.65)

(а1Л ч- <ог) (аи ч- s )
(1«1, 2..........................................л)

W = , ,2 М<4\/ ’2-----2Г	“r«) cos 8о (®r — s) “if sin 80].	(11, 66)

(%"* ^гД^4" ® )

(Z = l, 2....т)

Следует отметить, что периодическая часть тока статора при вклю-
чении в сеть (равная периодической части тока статора при трехфаз-
ном коротком замыкании с обратным знаком) при наличии существен-
ных активных сопротивлений в ррторных контурах, в отличие от ши-
роко распространенных представлений, заметно зависит от параметров
по оси q.

Пусть, например, обмотки ротора по продольной оси разомкнуты.
В таком случае zZfl7 = 0 (Z = l, 2, . . ., ri) и ток ze2 целиком определяется
параметрами оси q. В частном случае, при <or = l, cosS0 = 0, периоди-
ческая часть тока трехфазного короткого замыкания из режима холо-
стого хода (—z’e2) равна:

(—7«г) “ —j

Г=1

(П, 67)

Если, например, имеем а' =1, то экспоненциальная составляющая
1 . 1 / 1 1 \
тока может достигать значения -^-z/(7/, т. е. порядка —-----) .

xq /
Интересные соотношения для тока при включении машины в сеть
и тока трехфазного короткого замыкания получаются в функции сколь-
жения ротора.

Если, например, ротор вращается с половинной скоростью (cr = s =
= 0.5, то в собственных осях машины

и “м*
aldz	-	. *

-------------I, sin 0ft
'2 . л ^2 tdl

Id

т a' e-V
а т £	1

—-------cos оо.

а'Дн-0.52 t3‘

(11, 68)

При разомкнутых по оси d роторных обмотках и &о = О экспонен-
циальные составляющие при а' =0.5 могут достигать значений itl,
/	1	1 \	7

т. е. величины I —-----), не завися от параметров по оси а.

При неподвижном роторе

(—cos So ч- sin b()).

Как видим, и при неподвижном роторе npi| питании статора напря-
жением по оси d (угол Во = О) возникают токи в статоре по оси q при
наличии активных сопротивлений в роторе в контурах по оси q.

Физически появление токов по поперечной оси при питании машины
напряжениями по продольной оси объясняется наличием „апериодиче-
ской" составляющей в токе статора, которая имеет фазу по отношению
к напряжению статора, не равную 90° из-за наличия потерь в роторе.
Поэтому обычное рассмотрение случая, когда г^ = 0 с помощью двух
независимых эквивалентных схем по осям d и 7, при строгом рассмо-
трении физически неверно и допустимо только в случае пренебрежения
влиянием активных сопротивлений в роторных цепях на амплитуды
токов, что далеко не всегда допустимо, особенно учитывая режимы
гашенця поля, влияние демпферных токов и др.
Периодическая составляющая тока статора при включении вращаю-
щейся машины в сеть может быть также выражена в виде:

it2 = У	cos	. у ^\q4qi^lqt cos e0^?gQ (П 69)

S'	S'

где
'2
ald ™rs

? =arctg7----г-;-; (Z = 1, 2, . . п)	(11,70)

<pfl = arctg• (/ = 1,2.......m)	(11, 71)

В главе 5 и приложении 8 показано, как определить комплекс на-
чального значения периодической составляющей тока статора (4а)/в=0
по частотным характеристикам машины

М= r*+jXd(js) и У -+Jxg (js) •	(11» 72)

С помощью частотных характеристик можно определить и разложе-
ние периодического тока zs2 на экспоненциальные составляющие.

Раскладываем комплекс (42)/=0 на свои проекции по осям d и q;
i82d И i82q. Дальнейшее разложение периодических составляющих is2d и
i82q делается, как и в случае симметричного ротора. Строятся в лога-
рифмическом масштабе зависимости —ут-?=/($) и —— =/(s). Опре-
xd	Xq V8'

деляются соответствующие ступенчатые приближения. Определяются
коэффициенты затухания a'w a'2d, . . ., и a'p a'2, .. .

Определяются токи , iid2, ... и z/gl, itq2y . ..

где

—•«1 *
zs2? = z’?l£

“irf* • a2d*
^2e

(11, 73)

. ____________ald_______

(“r4-Jaw)(aM-*-is)

le2d0 .

—j hdr

ldV

1s2q$ .

------ i

(/-1»2..... )

(Z = l, 2..m)

(11, 74)

r a'lt f

(“r4- ja'ls)(al9 + js)

Здесь z^o и z«2?o — амплитуды начальных значений, составляющих
z^ и ig2q соответственно

tuq;

zds и z?L — геометрические суммы составляющих idl и iqJ (Z = l,2, •••)»
найденных из амплитудно-логарифмических характеристик.
з) Учет несимметрии ротора при наличии активного
сопротивления г9 в цепи статора

Уравнение для тока статора. При наличии несимметрии ротора
ток включения в сеть невозбужденной со стороны ротора вращающейся
машины в осях, вращающихся с ротором, равен при неизменном сколь-
жении ротора в операторном виде (см. главу 5):

(11,75)

(11,76)

(11,77)

. (11,78)

I»	.

- *у*у

где
е#ч=;е/с^о).

2» == г> ч- (р >г) х9 (р); zy = (р -ь J«r) У 9 (р)

Ток статора может быть определен в виде:

Ч *9/
где
. _ Г ____________________[г» (р — У 2js) Xt (р -4- js)] 1_______________

'«/ в» г2 (р js) х, (р js) (р -ь j)(p _ j -ь 2js) Xd (р js) Xg (р н- js)

__________________[(р j — 2js) у, (р — js)] 1______________
г* -+- 2г, (р — js) х, (р — js) ч- (р -ь j — 2js) (р — j) Xd (р — js) Xg (p — js)

Апериодическая составляющая. Вместо одного корня pi = —®а =
=—J-’ определяющего затухание апериодической составляющей в слу-
* а
чае симметричного ротора, в рассматриваемом случае имеем в общем
случае четыре корня характеристического уравнения для апериодиче-
ской составляющей, а именно: для тока 4/, выраженного в синхронных
осях, корни и р12 равны:

__ •	г Г 1	1 1

₽11 “ 3	2 L М ~>г) * Х3 ( ->r) J “

= —j —• г [Ga (—>г) -+- jitr	= —аа — j (1 — й>е),	(11, 79)

где г8Я. и i9r — реальная и мнимая составляющая среднего тока статора
по частотной характеристике, построенной без учета активного сопро-
тивления ra; величины аа и <ос определяются из частотной характери-
стики (см. главу 5 и приложение 8).

ла^= ri8a (far);	= risr (far).

Корень Pi2 равен:

P12 = j (1 — 2s) — r [G> (~j<*>r) -+- j’Gr (—Jtor)] = —-4- j (1 — 2s -4- toe). (11, 80)

Для тока выраженного в синхронных осях, корни Pi3 и ₽ц равны:

Р13 = j — г [г,а (>г) -4- Р8Г (>,)] == — -ь j (1 — сос);	(11, 81)

«» -J (1 - 2s) - г [Ga (->г) -F jitr	- j (1 - 2s - toe). (11, 82)
Апериодическая составляющая i91 может быть представлена в син-
хронных осях в виде:

41 = ifi -+• 4ь	С11» 83)

где

е9 (Г 1	1	1 pnt _______r£Pl>*_____)

V1=«— 2j	hr)	xq( —Г»г)]е	~ "гх<0Ч)хг(>“г)

*

Л * е»
41^~—2/

1

(11.85)

Составляющая, соответствующая корню Рп, в первом приближении
равна нулю.

Составляющая, соответствующая корню ри, вращается по отноше-
нию к статору с небольшой скоростью <4. Составляющая, связанная
с корнем р12, имеет амплитуду, пропорциональную г, и вращается по
отношению к статору со скоростью 2<4~1-<4.

Составляющая, связанная с корнем Р13, определяется несимметрией
ротора и вращается по отношению к статору со скоростью 2«>г — о>с.

Составляющая, связанная с корнем р14, очень мала, но принципи-

ально существует и вращается по отношению к статору со скоростью
2s-+-<4.

Периодические составляющие. Операторные реактивности xd(p) и
xf (р) равны:

•-(P)-x< Drf(p)~x- (Р-«л)(Р-ь«<2)...(Р-“^) :



(11.86)

(p)=4m)

o;(P)

(p) -

(m) (P * %l) (P	' (P “?m)

(11.87)

Периодическая составляющая zt2 может быть разбита на две части

42 — z’/2	42*

(11. 88)

Развернем операторное выражение для токов i9f и z*6, выраженных
в синхронных осях, учитывая выражения (11,86) и (11,87):

1/2	2D,(p)

(2r, + (p-j + 2js)	(p-+- js) Df (p-+- js)

x^D* (p 4- js) Dd (p ч- js)]} ,

(11,89)

где характеристический полином Df(p) равен в первом приближении
по отношению к членам, содержащим г,:

Dz (р) % г, (р ч- js) [x^Dg (р js) D3 (р ч- js) ч- x(sm)D' (p ч- js) Dg (p -+- js)] -+-

-b(p-+-j)(p-j-b2js)4”^’n’D; (p + js)D’t(p+js).	(11,90)

*

1 »2	2D* (p) { (p *" j	2^s) [х(/)£>4 (p — i3) Dt (p — J*) —

-x^D3 (p—js) Dd (p - js)]}.,	(11, 91)
где характеристический полином Db(p) в первом приближении по от-
ношению к членам, содержащим гв, равен:

(р) = г, (р — js)	(р — js) Dg (р — js) ч- x(qm)Dq (p — js) Dd (p — js)] -+-

ч- (p ~ j) (p + j - 2js)	(p - js) D'q (p -js).	(11, 92)

Представляем характеристические полиномы Dj(p) и Db(p) в виде:

п	т

Dj (р) — (р -+- Ри) (р + Pia) П (р	₽/<**) ТТ (р

к—1	1=1

п	т

Ob (р) = (р ч- Ри) (р ч- р14) IJ (р Ч- Ри»:) П (р Ч- р. р,
к=1	1—1

(И, 93)

гДе П — знак произведения.

Корни (£ = 1, 2, . .п) в первом приближении по методу итера-
ции равны:

'8

$Jdk“ adk га '2 . ' 2 *tdk ~ ~JS a2dk ’	(& — 1, 2, . . л) (11, 94)

adk

где

1	d (~adk )

itdk= (И) • 7	' \ тпг / ~f \	(^ = 1, 2, ...» n) (11,95)

i=l

соответствующая составляющая переходной функции i (t) ===	>

см. формулу (11,21) и

r	t I	adk I

аш-^1 + ^ХГ~ h (^ = 1, 2...............n).	(11,96)

Аналогично

== ~~~JS aql ra r2 2 *iql is a2ql > (Z = 1, 2, . . m) (11, 97)
ql “*• wr

где
=	—------- </-l. 2........™>	(11.98)

• (-yn
fc=l
k*l

и

Корни характеристического уравнения для периодической состав-
ляющей равны ₽WJt (к = 1, 2, . .и) и ₽4?/. (1 = 1, 2, ...» т)
Пользуясь методом итерации, получаем в

первом приближении:

, г ♦

Т 1 tdk ~ vfdk »

fibdk — Js ~ adk ~ rt

$bql—jS~aql

„'2
adk

«Х-ь o>;

aq 1

aQl

'2

aql <*

2 4ql—

(£ = 1, 2, . . и)

(Z= 1, 2 m)

(11,100)

(11.101)

Как видим, в случае несимметрии ротора при обычном соотношении
параметров, когда г8 мало, периодические составляющие тока статора
имеют по отношению к ротору только нулевую частоту, т. е. по отно-
шению к статору частоту, равную <ог.

Периодические составляющие и переходного, тока ze2 равны:

1/2 = X */2*;	[/ = 1, 2 ...» (n + m)]

4 = Х4р Н = 2 .... (и-ьт)]

(11, Ю2)

где во втором приближении в отношении членов, содержащих г9
в начальных амплитудах, и в первом приближении в отношении членов,
содержащих г8 в коэффициентах затухания, экспоненциальные состав-
ляющие периодической части переходного тока статора равны:

е~>“2Л*еЛ,

ifZl = j г dDf(p) I	{2r>	(~аЫ1 ~ }Шг) xd Dd (~a2dl) Dq(~a2dl) "+‘

2L~dr~

- X^Dq	D’a (a^)};	(/ = 1.2.....n)	(11,103)

W+n) = j r dD/(p} I	{2r« 4"	— l“r) x''diDd (~a2ql) Ds (~a2ql) "*

2L dp

-ь x™ D'q (-a'2ql) D'd	(I = 1. 2.....m) (11,104)

Аналогично

£-~	£— / (W +So)

lb& = ] Г dDb (p) I	*	{(?2dl	[x(d ^Dd (~~a2dl)	(-^a2dl)

2L dp

- D'q (~a'2dl) D'd (-a2dl)-]}; (I = 1, 2...n)	(11,105)

£“ /a2? Ii £~ Л2ао*-Но)

'‘б2(/+я) = 1 Г dDb(p) I T"
2L dp

{(a2ji "* J“r) E*? Dd (~a2tl) Dq

-	(~a2Si) D'd HUH • a = 1. 2. .... m)	(11.106)

Установившийся ток. Установившийся ток машины, включенной
в сеть, напряжение которой выражается в осях, вращающихся с рото-
ром, комплексом е8 =	равен:

Чо — г/о 4of

(11, Ю7)
где

г® н- 2r,jsx, (js) -+- (1 — 2s) Xg (js) xq (js) '

f	_____________j(l-2s)!f,(-js)_______________

*°	r} — 2rt jsx, (—js) H- (1 — 2s) Xg (—js) xt (—js)

(11,108)

В приложении 8 изложена методика определения составляющих
установившегося и переходного тока статора при включении в сеть
машины, имеющей асимметрию ротора с учетом наличия активного
сопротивления г9 в цепи статора.

и) Учет возбуждения со стороны ротора

Учет возбуждения со стороны ротора при расчете тока статора,
при пренебрежении влиянием насыщения, можно производить незави-
симо от тока, вызванного питанием со стороны статора.

Дополнительный ток статора, вызванный питанием со стороны
ротора, равен в операторном виде:

гдё

Че—

вр ф (р -+ М С (р)Е.

(11, Ю9)

(11, ПО)

Соответствующие обозначения даны в главах 3 и 6.

Если ток возбуждения Е изменяется по сложному закону, то рас-
крытие выражения (11,110) в функции времени в общем случае может
быть затруднительно. При наличии системы автоматического регули-
рования возбуждения вводятся дополнительные уравнения обратной
связи, определяющие величину Е,

При внезапных трехфазных коротких замыканиях машины, вклю-
ченной в мощную сеть, ток itE не меняется и его можно рассматри-

вать как, неизменный установившийся ток, наложенный на ток статора,
вызванный коротким замыканием.

В установившемся режиме

*огЕ
' 1

— igE —

(11, 111)

При скольжении ротора s ток статора машины, включенной в сеть,
в установившемся режиме, при пренебрежении влиянием активного
сопротивления в цепи статора и при Е = const

где

= о — st •

На векторной диаграмме (рис. 11-13) ток — будет вращаться по
* &

часовой стрелке со скоростью $. Соответственно ток статора предста-
вится комплексом, конец которого движется по большой окружности
(рие. 11-13).
Наличие увеличенного тока в статоре приведет к дополнительным
потерям в обмотке статора. Эти потери должны покрываться со сто-
роны ротора.

Если подводимая или потребляемая с вала мощность неизменна, то
потери должны покрываться со стороны сети, питающей статор, и

Рис. 11-13. Векторная диаграмма возбужденной син-
хронной машины с симметричным ротором в асинхрон-
ном режиме.

поэтому наличие возбуждения приведет к изменению скольжения
машины. Если дополнительные потери относительно велики, то изме-
нение скольжения может быть существенным.

Влияние ударного возбуждения и переменного возбуждения на
переходный процесс в машине можно рассматривать по той же мето-
дике, что и переходные процессы при отсутствии возбуждения со сто-

Рже. 11-14. Частотные характеристики синхронном ма-
шины с симметричным ротором, соответствующие токам

1	п	G (js)

И  Величнна опРедеАЯет ток статора,
вызванный переменным возбуждением со стороны ротора.

роны ротора. Необходимо только иметь частотную характеристику для
операторной проводимости G (р). Частотная характеристика - будет
иметь вид, представленный на рис. 11-14. Здесь $ — это частота под-
веденного к ротору напряжения. Величина G (js) может быть опре-
делена непосредственными измерениями, питая обмотку возбуждения
ротора напряжениями разной частоты. Однако возможно, и это часто
более просто, определение характеристики G (js) для частот $ в пре-
делах ± оо из осциллограммы затухания постоянного тока в роторе
аналогично тому, как определяется частотная характеристика
(см. главу 12).

6. МЕТОД ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК (ИНТЕГРАЛА ФУРЬЕ)

Пусть требуется найти решение операторной задачи

ф, (р)

u W = “^jy- i.	(11,113)

Обычно заданная функция времени, соответствующая ф(р), пред-
ставляет собой совокупность экспоненциальных функций. Пусть, на-
пример, ф (р) ==

В таком случае

где А”1 — символ обратного операторного преобразования Хивисайда.

Для установившегося режима, соответствующего t = оо, как известно,
можно принять р = 0 и

Uoo = х (}«У = zJ8t (is) Гг (js)].

(11,115)

где	и ir(js) — реальная и мнимая части комплекса —тг-г соот-

Л (JS)

ветственно.

По результатам опыта нетрудно построить опытную частотную
кривую тока.

Z (js) = ix (js) ч- jir (js) =	•	(11, 116)

Для определения zt(f) в первую очередь требуется определение функ-
ции времени F (t) соответствующей операторной функции /^(0 = х(р)" ,
воспользовавшись совокупностью значений iSQ = х при разных зна-
чениях s, т. е. воспользовавшись частотной характеристикой. Это
можно сделать аналитически или пользуясь графическими методами
с помощью интеграла Фурье.

Как известно, F (0 и связаны зависимостями

00

(11,117)
О
и
с+/оо

г. ,	___1 f

2itj J px (p) •
c—J co
если интеграл J е <*F\t)dt = А имеет абсолютную сходимость. Здесь
о

с — соответствующим образом выбранная постоянная величина.

Для наших задач, как правило, условие абсолютной сходимости
интеграла А соблюдается при величине с, стремящейся к нулю, по-
этому можно пользоваться зависимостью

v 7	2ъ] J рх (р)	v 1

--JCD

Вводя вместо р новую переменную $, связанную с р зависимостью
р = js, получаем:

1 V

F(t) = -~	---ТГ-Т-.	(11,119)

v 1	J sx (js)	v 1

— 00

Таким образом, зная частотную характеристику машины в пре-
делах от $ =—оо до $ = -+-оо, можно найти переходную функ-
цию F(t), определяющую переходный режим, пользуясь интегралом
(11,119).

Если частотная характеристика симметрична относительно реаль-
ной оси, т. е. 4(j«) = 4(—Л), a ir (js) = —ir (—js), то

1 f

F (t) = — Re I -----------FTT ds .

k те J jsx (js)

о

(11,120)

(11,121)

Пусть, например,

1 Js -+- gr 1

Нетрудно показать, что интеграл (11,120) дает известный результат

1 \ 1

— । £ -+ —.
xd /

(11, 122)

где

(11,123)

Можно показать, что, учитывая свойства преобразования Фурье
[11-15] и связь y^y = 4(js)-+-/4(js),

00	00

„	1	2 f z ч cossf ,	2 f z. sinaf _	.

’>0»)—7—л.	(11.124)

0	0

т. e. для определения функции F (t) достаточно знание либо реальной,
либо мнимой составляющей тока по частотной характеристике машины.
7. ПРИБЛИЖЕННОЕ ГРАФИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ
ПО ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ
ИНТЕГРАЛЬНОГО СИНУСА

Для приближенного графического решения рассматривают

f*=£^(js)	(11,125)

и получают

Г(,)= £/7(г),	(11,126)

1=1

где

со

F, (О = IJ i.i О'») Л.	(И, 127)

О

Берем, например, следующую трапецеидальную зависимость тока
от скольжения $:

i»l = IQI при 0 < s <

«о —«	/

ta>l==iQl _ _ ПРИ sd<s< «о;
»0

i*l = 0 при «о

В таком случае

F Ю = "\Г I S1	«л —«J tS1 ~ si

* I	s0 sd

- 7^7	7--'•'']}•	<«•“>

Здесь si (st) — интегральный синус от аргумента st, определяемый по
соответствующим известным таблицам.

В. В. Солодовников и его соавторы [11-16] дали таблицы функции

2 (	1 Г	cos t — cos kt И)

hk (0=^| si (kt) “fZZJ [_si (0 “ si (kt) "*-1--J f ’	129>

где k — — , для случая fol = 1 и s0 = 1.

s0

Учитывая, что

F (4)=4 f *Wns)	ds •	(11, i30)

0

таблицы функции h(k) значительно облегчают расчет величины F(t)
при произвольной функции i,(js).

Порядок расчета следующий:	t

1) разбиваем графически функцию {^—/(s) на трапеции таким
образом, что сумма трапеций наиболее просто, наименьшим числом
трапеций и наилучшим образом представляла зависимость /*=/($); 2

2) определяем £ = —;
Определение переходной функции с помощью функций интегральною синуса 285

3)	определяем x =

4)	определяем Afc(x) по таблицам;

5)	определяем Г^(О = ^А(Т)-

В ряде случаев удобно пользоваться другими способами приближе-
ний. Так, например, если пользоваться приближением с помощью
прямоугольников, то к = 1 и (т) =~ si (т). Если пользоваться при-
ближением с помощью треугольников [11-2], то k = Q и

со = V LS1W “------*----J •

Во многих случаях удобно частотную характеристику представлять
как совокупность прямолинейных участков [1А-47]:

ixn (js) = Mn •+ Nn& (sn <5 > С	(11, 131)

В таком случае

2 X?	Nn

F (f) = — [si — si (s^)]	— [cos (snt) — cos (sn+iOJ- (П, 132)

f»=t

Если часть частотной характеристики удобно апроксимировать квадра-
тичной кривой вида:

ixi (js) = Ps* -+-Q34-R,	(11,133)

то соответственно имеем [1А-47]:

2 (	Q

Pxi (О = ~ | R [si («л-в-зХ) — si («„?)] -ь — [cos (snt) — cos (s»+X)]

P	1

— [sin (sn+iO — sin (s„t) —	cos («я-ц/) (s„t) cos ($»/)] | . (11,134)

В теории электрических машин обычно требуется определение
функции F(0> соответствующей операторной проводимости - j ,
где $0 — заданное скольжение ротора или, в общей теории, частота
вынужденных колебаний системы. В этом случае

ч-оо	-1-00

2тс J sx | j (s0 -ь s) | 2-гс J s
—оо	—00

X [i, I j (s so) I -+- Hr I j (so -+- s) I ] Л.	(11.1S5)

Разбиваем ток i| j(s-+-s0)[ = ~^|j (S\.So) । на сумму токов

S '>» I i (• -+ *0) I.

m==l

аналогично вышеизложенной разбивке тока.

Каждая составляющая im |j(s-v-s0) |, соответствующая интервалу
s sm+i> позволяет выразить интеграл вида (11,127) через извест-
ные функции — обычно интегральные синус и косинус.
п

Функция F(t) определяется как сумма

т=1

При таком приближенном определении функции F(t) нужно только
учитывать, что аргумент величины im | j (s-ь-s0) ] отличается от пере-
менной величины а на постоянную величину $0, соответствующую
скольжению ротора или, если говорить более обобщенно, частоте
вынужденных колебаний в переходном процессе.

8.	ЯВЛЕНИЯ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

Частотные характеристики, построенные по операторным выраже-
1

ниям	где s0 — заданная величина, определяемая скоростью

вращения машины, работающей в системе, и полученные подстановкой
p=js, где s изменяется в пределах от —оо до -ьоо, позволяют
быстро оценивать возможность самовозбуждения в сложных электри-
ческих системах, содержащих вращающиеся электрические машины
и статические сопротивления. Для этого в большинстве случаев доста-
точно найти условия, при которых результирующая частотная харак-
теристика системы охватывает начало координат. Более подробно при-
менение этого метода для определения условий самовозбуждения
электрической системы, содержащей вращающиеся машины, представ-
лено в главах 9 и 17. Дан пример определения условий самовозбу-
ждения асинхронной машины, работающей с последовательно вклю-
ченной емкостью.

9.	ПРИБЛИЖЕННЫЙ УЧЕТ НАСЫЩЕНИЯ ПРИ ПОЛЬЗОВАНИИ ЧАСТОТНЫМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Точный учет переменного насыщения требует решения соответст-
вующих нелинейных дифференциальных уравнений. Однако применение
частотных характеристик позволяет значительно повысить точность учета
насыщения. При рассматриваемых методах расчета переходных про-
цессов нет необходимости сохранения определенного вида частотной
характеристики, поэтому можно пользоваться частотными характери-
стиками, которые учитывают реальное насыщение, поскольку насыще-
ние является функцией тока при данном напряжении на статоре. Насы-
щение в разных элементах машины различно, поэтому может идти
речь лишь о приближенном интегральном учете насыщения.

Для расчетов с учетом насыщения может быть использовано се-
мейство частотных характеристик, соответствующих разным значениям
насыщения. Результирующая частотная характеристика составляется из
точек совокупности частотных характеристик, соответствующих различ-
ным неизменным насыщениям магнитной цепи машины.

Пусть, например, зависимости xd и x'd от величины тока статора
в асинхронной машине с одной системой обмоток в роторе при номи-
нальном напряжении на статоре имеют вид, представленный на
рис. 11-15.

Строим для каждого значения тока is свою окружность — частотную
характеристику, — поданным xd, xd (рис. 11-16). Проводя окружности
радиусом, соответствующим различным значениям тока до пересе-
чения со своей частотной характеристикой, получаем токи частотной
характеристики при номинальном напряжении на статоре с учетом на-
сыщения. Аналогично строится частотная характеристика при сложной
зависимости i8 от скольжения $.

Однако для расчета переходных процессов с достаточно полным
учетом влияния насыщения одной частотной характеристики, учиты-
вающей насыщение при номинальном напряжении на статоре, недо-
статочно. В переходном процессе потокосцепления обмотки изменяются^

Рис. 11-15. Зависимость
параметров машины от тока
статора.

Рис. 11-16. Определение частотной ха-
рактеристики машины с учетом влияния
изменения насыщения при изменении
тока статора.

например, от единицы до нуля при внезапном трехфазном коротком
замыкании машины. При включении невозбужденной машины в сеть
потокосцепления обмотки статора в переходном процессе пульсируют

в начале процесса около среднего значения, равного единице, начиная
с нуля и достигая максимального значения, близкого к двум.

Это значит, что для анализа переходных процессов с помощью
частотных характеристик, с учетом влияния насыщения, требуется
иметь семейство частотных

характеристик типа пред-
ставленных на рис. 11-17.

Каждая из характери-
стик такого семейства
соответствует своему оп-
ределенному напряжению
на статоре.

Принимаем приближен-
но, что активное сопро-
тивление в цепи статора
сравнительно мало и что
потокосцепления статора
практически не зависят
в переходном процессе от
величины тока статора.

При внезапном трех-
фазном коротком замыка-
нии

Рис. 11-17. Семейство частотных характеристик
машины при разных значениях потокосцеплений ста-
тора, взятых в качестве параметра.

(шс—0Jr)\

(11,136)

При включении невозбужденной машины в сеть



(И, 137)

Семейство частотных характеристик строится для разных значений
напряжений на статоре в качестве параметра семейства. Принимаем,
что в установившемся режиме напряжение на статоре численно равно
потокосцеплениям статора в относительных единицах.

Ниже изложена методика определения переходных процессов,
с учетом влияния насыщения, по семейству частотных характеристик
для машин с симметричным ротором и машин, имеющих асимметрию
ротора. В качестве примеров рассматриваются внезапное трехфазное
короткое замыкание машины и включение невозбужденной машины
в сеть.

Наличие возбуждения со стороны ротора сказывается в настоящей
методике на величине соответствующего значения потокосцеплений
статора за реактивностью Потье хр

== /(1 -г- ixp sin f -+- {ixr cos f ;a >	(11,138)

где i — ток статора;

cos'?— коэффициент мощности нагрузки.

Величина определяет уровень насыщения в машине при анализе
по семейству частотных характеристик в настоящем методе так же,
как это принято при расчетном определении тока возбуждения синхрон-
ной машины. Как показал многолетний опыт, несмотря на некоторую
условность учета изменения насыщения, вызванного наличием возбу-
ждения, путем выбора соответствующего значения реактивности
Потье такое приближение дает достаточную для практики точность.

а) Машина с симметричным ротором

1.	Пусть совокупность частотных характеристик машины пере-
менного тока с симметричным ротором при разных условиях насыще-
ния магнитной системы имеет вид, представленный на рис. 11-17.

Рис. 11-18. Семейство логарифмических амплитудных характе-
ристик по рис. 11-17 и их ступенчатые приближения.

Характеристики сняты при разных значениях напряжения на ста-

торе от нуля до двух.

2)	Строим логарифмические амплитудные характеристики семейства
кривых рис. 11-17 (рис. 11-18).
3)	Находим асимптотические приближения кривых рис. 11-18 и
определяем

4lV)	Чгы • • •’ 4lm и а/2? • • •’ а1тч (^=1» 2, . . п)

где дополнительные индексы 1, 2... т соответствуют разным уровням
насыщения.

4)	Строим зависимости

^=4^
azo

z«o

7=1, 2,...» n\

/х. = 1, 2, . . т)

в функции величины потокосцеплений ф статора. Величины /^0 и а'о
соответствуют ненасыщенным значениям* Получаем зависимости

kil =f (Ф) и kj =/(ф),
(7 = 1, 2, . • и) (7 = 1. 2....п)

где ф изменяется в пределах от нуля до двух (рис. 11-19).

5)	Величина ф имеет зависимость от времени:

ф = е”аа!? — при внезапном трехфазном коротком замы-
кании из режима холостого хода с номи-
нальным напряжением;

ф да 1 — Q—°-at cos (1 — о)с) t — при включении невозбужденной машины
в мощную сеть.

Здесь аа и — коэффициенты затухания и собственная частота апе-
риодической составляющей.

Начальные значения аа и соответствуют уровням насыщения:
Ф^_0> = 1 — для случая внезапного трехфазного короткого замыкания
из режима холостого хода;

ф(/==0) = 0 — для случая включения невозбужденной машины в сеть.

6)	Строим кривые зависимости каа = -^ и кшС = -^~ в функции ве-
личины ф по точкам, соответствующим семейству частотных харак-
теристик (рис. 11-17). Получаем зависимости, представленные
на рис. 11-20 (ая0 и <ос0 соответствуют ф = 0).

7)	Определяем зависимость коэффициентов кла и кше от времени,
пользуясь зависимостями (11,136), (11,137).

В большом числе практических случаев нет особой необходимости
в определении зависимостей aa=/(f) и =/(£), а можно ограничиться
средними или даже начальными значениями величин и <ос, получен-
ными непосредственно из семейства частотных характеристик
(рис. 11-17).

8)	Переходная функция /(^)Ф—।—г с учетом насыщения будет равна:
X j р |

1 ОС— t
=	(11,139)

где

%=	41= killW lt2= ^2Zf2o* • • И	щ 140)

а1 = ^аЛо» а2 == ^а2а20 • • • • '
Здесь Z,oo, Zno, Zm...; а'0У а'о.соответствующие амплитуды и коэф-
фициенты затухания составляющих переходной функции без учета
насыщения.

9)	Определяем коэффициенты ki2. . . и клЪ кл2. . . в функции
времени по кривым рис. 11-19, учитывая зависимость ф от времени
по п, 5. Если учитывается зависимость величин % и о)с от времени
по кривым рис. 11-20, то нужно в выражении ф =/(/) подставлять
соответствующие величины аа и <&с в функции времени, как указано
в пп. 6 и 7.

10)	Производим определение периодического переходного тока при
внезапном коротком замыкании при включении вращающейся машины

Рис. 11-19. Зависимость коэффициентов кц
и кац учитывающих влияние насыщения,
от величины потокосцеплений статора ф.

Рис. 11-20. Зависимость коэффициен-
тов каа и кюс, учитывающих влия-
ние насыщения, от величины потоко-
сцеплений статора ф.

в сеть по тем же формулам, связывающим переходные токи вращаю-
щейся машины с переходной проводимостью Z (/) ~	> что и при от"

сутствии учета насыщения.

При пользовании этими формулами следует только учитывать, что
величины Z/o, itv и a',	в рассматриваемом случае

с учетом насыщения являются функциями времени.

В случае переходного процесса внезапного трехфазного короткого
замыкания эта зависимость монотонна и сравнительно невелика. Вели-
чины токов и коэффициентов затухания при увеличении времени t
стремятся к своему ненасыщенному значению (рис. 11-21).

В случае переходного процесса при включении машины в сеть,
потокосцепления статора изменяются почти с номинальной частотой
от нуля до значения, близкого к двойному от номинальных, затухая
с постоянной времени аа. Это значит, что отклонения амплитуд itt и
коэффициентов затухания от ненасыщенных значений будут, в случае
включения машины в сеть, по своей максимальной величине значи-
тельно больше, чем при внезапном трехфазном коротком замыкании.
Кроме того, в случае включения в сеть добавочные составляющие,
уменьшаясь в соответствии с затуханием апериодической составляющей
потокосцеплений фв1, одновременно пульсируют около своего предель-
ного значения, соответствующего Ф^оо)^!» с частотой 1 — Пуль-
сация эта имеет несимметричный характер относительно установивше-
гося значения (£->со), учитывая, что кривые зависимости коэффициен-
тов kf и кл от потокосцеплений несимметричны относительно значения
потокосцеплений Ф(^оо)=1 (рис. 11-22).

11)	Определяем начальные значения токов статора z\0, /а1, и
по точкам s-l = —<ог частотной характеристики i8 = —I . для насы-

Г8 J* )

щения, соответствующего:

ф = 1 — при внезапном коротком замыкании из режима холостого хода
с номинальным напряжением;

ф = 0— при включении в сеть невозбужденной машины.

12)	Дальнейшее изменение апериодической составляющей тока ста-
тора, в случае короткого замыкания можно считать по закону

Рис. 11-21. Зависимость коэф-
фициентов ki и ka, учитываю-
щих насыщение, от времени
при внезапном трехфазном ко-
ротком замыкании машины.

Рис. 11-22. Зависимость коэффи-
циентов ki и учитывающих
насыщение, при включении ма-
шины в сеть.

z\i (*=о) е“. При включении в сеть вследствие пульсации резуль-
тирующих потокосцеплений статора по закону фв = 1 — ©—/«a* cos (1 — %) t
изменение апериодической составляющей тока статора из-за насыще-
ния может быть значительным.

Пусть максимальное значение апериодической составляющей тока
статора равно

zel max = г’вЮ + △wiVei»	(11, 141)

где zel0 соответствует насыщению при фв^1.

Величина zeimax может быть найдена из частотной характеристики,
соответствующей потокосцеплениям статора

Фе max 1 + £ аао\

(П, 142)

Пусть минимальное значение апериодической составляющей равно:

г*в1 min — *«10 —	(11, 143)

Величина zel m<n определяется из частотной характеристики, соответ-
ствующей фв~0.

В таком случае в первом приближении при включении в сеть

+-	(1 _ cos (1 _ Ше) #] | е-«а	(11,144)

I
13)	Установившийся ток i9Q также изменяется во времени с измене-
нием насыщения, хотя и меньше, чем переходные составляющие.

Пусть установившийся ток	соответствующий потокосцепле-

ниям ф8^0, равен:

min = *а0 — A»n2»«(h	(И* 145)

а установившийся ток 40тах, соответствующий потокосцеплениям
равен ia0 mai==/,0-i-Amlz,0.

Здесь z,0 = i «о («->•<») — установившийся ток статора после окончания
переходного процесса включения машины в сеть.

В таком случае при внезапном коротком замыкании возбужден-
ной машины установившийся ток статора изменяется по закону

So (О So (<=0) - (Am2So) (1-В—9.	<П’ 14б>

При включении невозбужденной машины в сеть „установившийся*
ток статора изменяется в первом приближении по закону

So & l’.o - (Aml,'8o) ^ (W<o) cos (1 - v>c)t 8-“^.	(11,147)

14)	Электромагнитный вращающий момент, как и в случае отсут-
ствия влияния насыщения, равен:

Ме = Re[^X],	(11,148)

где в случае короткого замыкания, пренебрегая влиянием активного
сопротивления г8 на амплитуду потокосцеплений,

<J/8 = e-aa^e/(<»c-<«>r)^

а в случае включения невозбужденной машины в сеть

== е/(«Жо)__е—°>г)^

Ток статора i8 равен /a = 4o~1“zsi'_|"“ze2*

б) Машина с несимметричным ротором

В этом случае имеем два семейства частотных характеристик
по осям d и <7.

1

1)	Производим определение переходных функций /Д7) =-----------ГТ

Xd \ Р )

и zg (0 х по соответствующим семействам частотных характе-
ристик, так же как и в случае симметричного ротора.

2)	Определяем начальные значения токов Zeo(*=o), 6i(*=o), z«2(/=o)
по частотным характеристикам для соответствующего насыщения,
так же как это делалось без учета насыщения при наличии несим-

метрии ротора.

Для переходного процесса, соответствующего короткому замыканию
из режима холостого хода, для определения начального значения токов
используются частотные характеристики, соответствующие ф, = 1. При
коротком замыкании из режима нагрузки начальное насыщение соот-
ветствует по формуле (11,138).
Для переходного процесса, соответствующего включению невозбу-
жденной машины в сеть, для определения начальных значений исполь-
зуем частотные характеристики, соответствующие фв = 0.

3)	Полученные начальные значения токов /во^=о), М(*=о) и 4,2 (*=о)
раскладываем на свои составляющие по осям d и q.

В дальнейшем изменение токов во времени с учетом насыщения
может рассматриваться отдельно для составляющих по осям d и </,
в соответствии со своими семействами частотных характеристик, как
это было изложено для случая симметрии ротора.

4)	Электромагнитный вращающий момент вычисляем по той же фор-
муле (11,148), что и при симметрии ротора, считая, что потокосцепле-
ния статора изменяются по закону (11,136), (11,137).

Представленная методика учета насыщения сравнительно сложна,
особенно для случая асимметрии ротора. Однако эта методика:

1)	правильно отражает физическую сущность явлений в переходных
процессах, связанных с переменным насыщением;

2)	позволяет наглядно графически и графоаналитически решать
сложные задачи, связанные с влиянием насыщения на переходные про-
цессы в машине.

По мере накопления опытного материала в предлагаемую методику
можно будет ввести ряд упрощений за счет введения соответствующих
опытных коэффициентов.

Предлагаемая методика рассмотрения нелинейных задач с помощью
частотных методов пригодна, конечно, только в тех случаях, когда
зависимость параметров системы от искажающего линейность фак-
тора находится в умеренных пределах. Это как раз тот случай, с ко-
торым приходится иметь дело при учете влияния насыщения на пере-
ходные процессы в машинах переменного тока.
ГЛАВА 12

НОВЫЕ МЕТОДЫ ОПЫТНОГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ПАРАМЕТРОВ МАШИН

Непосредственное снятие частотных характеристик путем питания
вращающейся машины со стороны статора напряжением номинальной
частоты при закороченной обмотке возбуждения, при разных сколь-
жениях ротора наряду с преимуществами имеет существенные не-
достатки, а именно: затруднительно разделение параметров по осям
d и q в машине с несимметричным ротором; результаты измерений
при испытании пониженным напряжением искажаются остаточным
напряжением на статоре, имеющим частоту (1—$); затруднительно
поддержание неизменного малого скольжения из-за обычных качаний
первичного двигателя, что может исказить результаты при весьма ма-
лых скольжениях.

Установленные связи между частотными характеристиками и пере-
ходными процессами в машине позволяют применить новые методы
для опытного определения электромагнитных параметров машины
с учетом большого числа контуров в роторе, насыщения и др,

Дискуссия, имевшая место в середине 1959 г. между специалистами
ведущих американских фирм по вопросу о методах измерения электро-
магнитных параметров крупных машин переменного тока [11-24], по-
казывает важность и своевременность работ по усовершенствованию
методов измерения параметров машин. Американские специалисты, как
это видно из [11-24], пошли по пути усовершенствования за счет при-
менения быстродействующих счетно-решающих устройств при обра-
ботке результатов осциллографирования. Однако при этом рассмотре-
нии они базируются на работах в области теории переходных процес-
сов в машинах переменного тока тридцатилетней давности, поэтому
авторы [11-24] —ведущие специалисты фирмы ДЖИИ, — отмечая на-
личие ряда сложных закономерностей в опытных данных, не находят
надлежащего физического и аналитического объяснения этих законо-
мерностей, а указывают только на особую сложность проблемы. При-
нявшие участие в дискуссии [11-24] специалисты фирмы Вестингауз
выступили с замечаниями по работам фирмы ДЖИИ в области изме-
рения параметров. При этом также указано на особую важность раз-
работки усовершенствованной методики измерения параметров, но
практически ничего по усовершенствованию существовавших методов
не предложено.

Тем большее значение приобретают изложенные в настоящей
главе но&ые эффективные методы измерения параметров машин пе-
ременного тока, основанные на выявленных в настоящей работе свя-
зях между переходными процессами в машинах и их частотными ха-
рактеристиками.

1.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ОДНОЙ
ОСЦИЛЛОГРАММЕ ИЗМЕНЕНИЯ ТОКА В СТАТОРНОМ КОНТУРЕ
ПРИ НЕПОДВИЖНОМ РОТОРЕ

а) Обоснование метода и аналитические связи

Пусть по статорному контуру, соединенному по схеме рис. 12-1, про-
текает постоянный ток. Ротор машины неподвижен.

Снимаем осциллограмму затухания постоянного тока в статорном
контуре при замкнутой накоротко обмотке возбуждения (рис. 12-2).

Затухание тока будет происходить по закону

(12,1)

• 1 I

1^>—Г r-t-px(p)'

Рис. 12-2. Кривая затухания
постоянного тока в статоре.

Рис. 12-1. Схема питания трех фаз обмотки
статора постоянным током при неподвижном
роторе.

где r = rs_— омическое сопротивление фазовой обмотки статора, выра-
женное в относительных единицах.

Если имеется внешнее омическое сопротивление Аг в контуре ста-
2 л
тора, то величина г равна г = re=-i--^- Аг.

Величина тока /(£) приведена к номинальному напряжению и выра-
жена в долях номинального тока.

Затухающий ток i (t) в функции времени может быть представлен
в виде:

f (,) = _L _	. J =	.	(12, 2)

или в операторном виде:

’’ W• • •] !•

(12, 3)

где

ill -+- itz

(12, 4)
Из выражений (12,2)—(12,4) * следует, что

j
г ч- jsx (js)

(12,5)

откуда следует построение, изложенное в приложении 9.

В ряде случаев удобней непосредственно строить характеристику

у-Н* (Л)

Для этого воспользуемся выражением производной

~~ r-^px(p) ~	—	—•••	(12, б)

и, следовательно,

г -ьрх (р) =?	itih р_£к1 -+- ii2 • *2	*••• (12’7)

Заменяя р на js, имеем:

JS	______j____	. ]s . JS	__

iss r-*-jsx(js) г .	z^1js->-X1‘F'z/2^2js-bX2’i” •••

—-+-JX (js)

L£1^1

(12, 8)

^2^2

Выражение (12,8) показывает, что геометрическое место величины
ztt =---------- можно определить в функции скольжения $, либонепо-

— h-jx(js)
средственно, либо как сумму токов по окружностям, проходящим через
нулевую точку с диаметрами	• • • и с критическим скольже-

нием Х2,... соответственно.

Переход от величины —-— -------- к величине "xjjsy можно произвести

—-4-JX (JS)

либо графическим построением, либо аналитически»
Если

in =    -------= а jb,	(12,9)

— H-jr(js)

то

«•«о=ДЯ = —Н-----------(« -	- •	<12’ 10>

7 -~(a^-jb)	1 —

где величины а и Ь в функции скольжения могут быть определены no-
выражению (12,8).
При пользовании графическим методом нужно определить для дан-
ного скольжения в относительных единицах величину Prfs и отложить
ее по вертикали, пользуясь масштабом для тока (а не для квадрата
тока!), произведя затем построение, изложенное в приложении 9.

б)	Сверхпереходная реактивность

Сверхпереходная реактивность может быть непосредственно опре-
делена из соотношения

7Г =	*W-2 •+•••= Г 1 »	(12, 11}

xd	•— at Jf=o

если ось полюсов ротора совпадает с осью намагничивания статора.
Выражение (12,11) соответствует соотношению x"d = r7\ где Т—
время затухания тока до нуля по начальной касательной, поскольку

Т ==	»	(12,12)

см. приложение 9.

Аналогично определяется сверхпереходная реактивность х" в слу-
чае, когда ось полюсов статора расположена перпендикулярно к оси
намагничивания статора.

в)	Синхронная реактивность

В районе s—>0 выражение (12,10) становится трудно графически
определить по Поэтому удобно знать величину —, к которой стре-

1 Xd
мится величина •	< при

X (js) r

Величина синхронной реактивности xd для случая, когда ось полю-
сов ротора совпадает с осью намагничивания статора, может быть
определена непосредственно из выражения

Jifl

Xd=r V7

Z/2
^2

(12,13)

поскольку потокосцепления контура статора по первой гармонической
3.3.

до затухания равны — <р0 = xdi0, где z0 — постоянный ток в статоре

3

до затухания, а омическое сопротивление контура статора равно -тг г.
&

Имеем уравнение затухания потокосцеплений статора г/н- -^- = 0 и,

00

следовательно, =	= откуда

о

со

Xd=rJ idt,	(12,14)

о

где затухающий ток i выражен в долях начального [3-64; 12-20], см.
приложение 9.
Из выражения (12,14) получаем выражение (12,13) для случая,
когда ток i(t) является суммой экспоненциальных составляющих.

Аналогично определяется синхронная реактивность хд для случая,
когда ось полюсов ротора расположена перпендикулярно к оси намагни-
чивания статора.

г)	Определение экспоненциальных составляющих

Для определения составляющих itl9 и коэффициентов затуха-
ния Х2 нужно разложить достаточно точно опытную кривую /(/) на
экспоненциальные составляющие.

Для этого:

1)	строим опытную кривую i(t) в полулогарифмическом масштабе;

2)	проводим касательную в конце кривой, определяем величину

3)	проводим из ординаты, соответствующей е = 2.71, линию, парал-
лельную касательной, и получаем на оси абсцисс величину наибольшей
постоянной времени -Д-:

Ai

4)	строим в полулогарифмическом масштабе разность

i (О — W

5)	снова проводим касательную в конце полученной кривой, полу-
чаем it2 и Х2;

6)	строим в полулогарифмическом масштабе вторую разность i(t) —
— z^2e“x^, проводим третью касательную и т. дЛ

7)	после разложения кривой на составляющие проверяем, насколько
точно сумма полученных составляющих совпадает с исходной кривой.

Ток статора для данного скольжения ротора s с учетом влияния
активного сопротивления в цепи статора г8 может быть определен
непосредственно по i89 = ——----- без графического построения, изло-

— (js)
женного в приложении 9, как

(12,15)

.или

J

(12,16)

Существуют и другие способы, позволяющие определить частотную
характеристику i88 по кривой i(t) затухания постоянного тока в ста-
торе с любой заданной точностью при соответствующей точности ис-
ходной кривой i (f), см. приложение 9, [11-3; 11-4; 11-9; 11-26, 12-9
л др.].

д)	Опыт питания двух фаз

Осциллографирование скачка тока можно также производить, про-
пуская постоянный ток в статоре не по схеме рис. 12-1, а пропуская
ток по двум фазовым обмоткам статора последовательно (отключая
одну из параллельно включенных фаз в схеме рис. 12-1).
Обработка осциллограммы скачка тока для определения частотной
характеристики остается без изменения. Следует только при наличии
внешнего омического сопротивления Аг считать величину омического со-
противления г, равной г = г8=-а—где г8 = — омическое сопротив-
ление одной фазовой обмотки статора. Параметры по оси d получим при
пропускании тока по двум фазовым обмоткам статора, ставя ротор
в положение наибольшей магнитной связи с осью намагничивания ста-
тора и параметры по оси q — при установке ротора в положение наи-
меньшей магнитной связи.

Опыт двухфазного питания постоянным током теоретически дает
несколько менее точные результаты, чем опыт питания трех фаз по
схеме рис. 12-1, вследствие разного учета дифференциального рассея-
ния в обоих опытах. Более подробно о неточностях, имеющих место
при определении параметров предлагаемым методом осциллографирова-
ния изменения постоянного тока в статоре при неподвижном роторе,
см. стр. 300.

е)	Опыты без поворота ротора

Если поворот ротора в надлежащее положение почему-либо затруд-
нителен, то можно обойтись без него, снимая характеристики по трем
осям намагничивания статора, расположенным под углом 120°, при про-

извольном неизменном положении ротора.

В приложении 9 изложена соответствующая методика определения
1	1 т-г

частотных характеристик i8d — и z8g = jT[js) 9 Представлены фор-

мулы и графические методы, облегчающие обработку результатов.

Аналогично определяются токи	И г -t-jxq (js)' 1X0 тРем

соответствующим токам для данного скольжения

ж)	Учет влияния насыщения

Для учета влияния насыщения можно пропускать повышенный по-
стоянный ток в статоре и роторе. При этом величина скачка тока для
осциллографирования может быть сравнительно небольшой. Необходимо
только при питании обмоток статора и ротора постоянным током обес-
печить отсутствие влияния переходных токов на э. д. с. источников
питания. Такое влияние, например, может иметь место при использо-
вании в качестве источника постоянного тока машины постоянного тока
с самовозбуждением. Даже при наличии независимого возбуждения
в машинах постоянного тока имеет место некоторая продольная реак-
ция якоря из-за явлений насыщения, коммутационных токов и др.

Номинальные потокосцепления холостого хода в машине по первой
гармонической будут иметь место при напряжении постоянного тока,
приложенного к обмотке статора, равном -у V2 £7Ф. н. — при опыте пита-
ния трех фаз по схеме (рис. 12-1) и	— при опыте двухфазного

питания, где {7Ф. н. — эффективное значение номинального фазового
напряжения машины.

Насыщение, однако, определяется не только первой гармонической
потокосцеплений, а и-максимальной магнитной индукцией в зазоре (насы-
щение обычно рассчитывают для условной магнитной силовой линии, по
суммарному эффекту насыщения в элементах машин). Поскольку в статиче-
ском опыте питания постоянным током пространственные гармонические

не гасятся отражениями токов в роторе, как это имеет место в синхронно

вращающейся машине, то максимальная м. д. с. в зазоре при статическом
4

опыте с питанием трех фаз постоянным током примерно в у раз больше,

а при

2

двухфазном питании примерно в раз больше, чем во вращаю-

щейся машине, — при одинаковых потокосцеплениях по первой гармо-
нической. Из этого следует, что номинальные условия насыщения
в статическом опыте питания постоянным током трех либо двух фаз
статора будут иметь место при напряжении на статоре порядка у \2 £7Ф.н,.

Если нужно создать условия насыщения, соответствующие режиму
нагрузки с током i и заданным cos ср, то вместо U$. н. нужно подстав-
лять величину \/(1 -ч- ixp sin ср2) -ч- (ixp cos ср2) U%. ж., где хр — реактивность-
Потье.

з)	Неточности предлагаемого метода

Одно из основных отличий в параметрах вращающейся машины и
параметрах, полученных из опыта осциллографирования изменения
постоянного тока статора при неподвижном роторе, связано с влия-
нием высших пространственных гармонических.

Как известно, кривая распределения м. д. с., создаваемой фазовой
обмоткой статора в зазоре машины, имеет нечетные пространственные
гармонические. При определении совместного действия м. д. с. всех
трех фаз обмотки статора при питании фаз токами прямой последова-
тельности, помимо основной пространственной гармонической вращаю-
щегося поля, образуются вращающиеся пространственные гармониче-
ские:

5-я — со скоростью вращения (--по отношению к статору;

*7	I 1 \

7-я — со скоростью вращения 1+у) по отношению £ статору и т. д.

Протекание токов от этих Пространственных гармонических м. д. с.
вызывает в статоре реактивное падение напряжения номинальной ча-
стоты, которое обычно относят к дифференциальному рассеянию.

Для рассматриваемых пространственных гармонических синхронно
вращающийся ротор движется с весьма большим скольжением. Так,
для 5-й и 7-й пространственных гармонических скольжение ротора
равно 6; для 11-й и 13-й — равно 12 и т. д. Соответственно в роторе
появляются отраженные токи, имеющие характер 6-й временной, 5-й
и 7-й пространственных гармоник; 12-й временной, 11-й и 13-й простран-
ственных гармоник и т. д. Частотные характеристики для разных
гармоник — пространственных и временных — в принципе различны.

Результирующая реактивность статора для вращающихся простран-
ственных гармонических, очевидно, близка к „сверхпереходной", а не
к „синхронной". Только при очень низких скоростях вращения ротора,
например, при скорости вращения 1/7, скорость 7-й пространственной
гармонической будет совпадать со скоростью вращения ротора и, сле-
довательно, ротор будет пропускать магнитные силовые линии, созда-
ваемые этой гармонической, в результате чего соответствующая реа-
ктивность резко возрастает.

Указанные пространственные гармонические создают потери в об-
мотках статора и ротора, которые можно характеризовать дополни-
тельными активными сопротивлениями, являющимися функцией ско-
рости вращения ротора. Эти пространственные гармонические, кроме того,
создают при асимметрии ротора в напряжении статора временные
гармонические, определяемые отношением разности реактивностей
статора по двум осям к их сумме. Так 5-я пространственная гармони-
ческая м. д. с. создает в статоре 11-ю временную гармоническую на-
пряжения; 7-я пространственная создает 13-ю временную и т. д.

Указанные вращающиеся с несинхронной скоростью пространствен-
ные гармонические м. д. с. отсутствуют при статическом опыте питания
постоянным током. В последнем случае пространственные гармони-
ческие м. д. с. вращаются как бы синхронно с основной гармонической
м. д. с. Особенно значительная абсолютная ошибка получается при
определении синхронных реактивностей xd, х?, поскольку простран-
ственные гармонические м. д. с. при синхронной скорости вращения
ротора во вращающейся машине движутся по отношению к ротору
с большими скольжениями, а в нашем статическом опыте это не от-
ражено. Однако, поскольку рассматриваемые составляющие диффе-
ренциального рассеяния невелики по сравнению с синхронной
реактивностью, указанной неточностью обычно можно пренебречь.
Наибольшей эта неточность принципиально может быть для асинхрон-
ных машин и.крупных явнополюсных синхронных машин с относительно
большим дифференциальным рассеянием и малой синхронной реактив-
ностью, что нужно иметь в виду при дальнейших исследованиях (см.
главу 18).

Для реактивностей при скольжениях ротора, отличных от нуля,
особенно при больших скольжениях, абсолютная разница между
реактивностями, измеренными на вращающейся машине и предлагаемым
статическим методом, становится малой. Ошибки, вызванные разным
состоянием насыщения элементов машин, обычно настолько сущест-
венны, что указанная разница в величине дифференциального рас-
сеяния не имеет большого значения при определении частотных ха-
рактеристик предлагаемым статическим методом.

Опыт питания двух фаз постоянным током принципиально дает
несколько отличные результаты от опыта питания трех фаз по схеме
рис. 12-1. Объясняется это разным дифференциальным рассеянием
в обеих схемах, вследствие наличия пространственных гармонических
в м. д. с.

Пусть пространственная волна м. д. с. в зазоре, создаваемом фазо-
вой обмоткой а статора при питании переменным током, выражается
в виде:

= (cos х ч- аз cos Зх ч- cos 5х -4- ...) cos ?,	(12, 17)

где х отсчитывается от оси фазы а.

В таком случае при питании обмотки статора установившимися
токами прямой последовательности и при вращении ротора машины
результирующая м. д. с. в зазоре равна:

3

А^ = ~2 [&i cos (х — t) ч— k$a§ cos (5x ч- f) ч- kya^ cos (7x — ?) 4- ... ]•	(12,18)
Коэффициенты учитывает влияние отраженных токов в замкну-
тых контурах ротора.

При синхронной скорости вращения ротора в установившемся режиме
Коэффициенты к$у kq для высших гармонических к^~к^^

Н П

1	Xd^Xq	-

»ku...»---------- вследствие большого скольжения ротора по отно-

xd xq

шению к высшим пространственным гармоническим статора. В пере-
ходных режимах, в частности при расчете сверхпереходных режимов,
коэффициенты к для всех гармонических, в том числе и первой, близки
между собой. Результирующая реактивность определяется суммой паде-
ний напряжений, вызываемых всеми пространственными гармониче-
скими м. д. с.

При питании статора постоянным током м. д. с., создаваемая током
в фазе а, будет равна:

Лд_ = COS X -+- <25 COS 5х -+- Oq COS lx -4- ....	(12,19)

При питании трех фаз по схеме рис. 12-1 результирующая м, д» с.
трех фаз будет равна:

3
Л3_ — ~2 [cos х а5 cos 5х -+- «7 cos 1х ч- ...],	(12>20)

в то время как при двухфазном питании

3

Л2_ = ~2 [cos X — «5 COS Sx — Oq COS lx 4- «11 COS llx 4- «13 cos 13x — ...],	(12, 21)

т. e. пространственные гармонические 5-я, 7-я, 17-я, 19-я имеют при
двухфазном питании обратный знак.

Поэтому опыт питания трех фаз постоянным током по схеме
рис. 12-1 должен в теории дать параметры несколько более близкие к пара-
метрам вращающейся машины, питаемой переменным током, чем опыт
питания двух фаз, хотя при определении синхронной реактивности и
в этом случае имеется принципиальная неточность в учете дифферен-
циального рассеяния вследствие разного отражения токов в роторе.

Помимо неточностей, связанных с разным дифференциальным рас-
сеянием при статическом опыте и во вращающейся машине, имеется
и ряд других неточностей, в частности разные потери в активном
железе и массивных частях статора, разные потери в меди статора за
счет вытеснения тока и др. Разница в потерях в меди статора по пред-
лагаемой методике учитывается только приближенно. Все эти неточ-
ности находятся в пределах допустимого с точки зрения измеряемых
параметров для подавляющего большинства встречающихся на практике
задач.

Зависимость активного сопротивления статора от частоты питающего
напряжения приводит при строгом рассмотрении к зависимости тока
статора от частоты питающего напряжения и, вида

= г, -ijx, 	(i2,22)

Известно, что активное сопротивление г8 при весьма больших часто-
тах сильно возрастает, стремясь в пределе к бесконечности, поэтому
непосредственное снятие частотной характеристики i8 при отсутствии
данных о зависимости re=/(o)) не дает при больших частотах пред-
ставления о частотной характеристике 40 — ^(Js) ’ котоРая особенно
существенна для анализа переходных процессов во вращающихся маши-
нах. С такой трудностью встретились авторы [11-29].

При использовании кривой Затухания постоянного тока в статоре
для определения характеристики i8Q = —т^-, как это сделано в НаСТОЯ-
^в US)

щей работе, мы сначала определяем не величину	*

а частотную характеристику 4Д= г	.

(А)

Величина при возрастании s стремится к нулю, поэтому влия-
ние зависимости активного сопротивления обмотки статора от частоты
тока статора по мере увеличения частоты не увеличивается, а сво-
дится к нулю.

Наибольшая ошибка при нашем методе определения может быть
в районе $ = 1. Однако при номинальной частоте само активное со-
противление г8 еще сравнительно мало и влияние изменения активного
сопротивления в функции частоты сказывается мало.

В Институте электромеханики при испытании одной синхронной
машины малой мощности с относительно большим активным сопротив-
лением в цепи статора было произведено сравнение точек частотной
характеристики при $ = 1, полученных из опытов затухания постоянного
тока и из опыта двухфазного питания переменным током при непод-
вижном роторе. Оба опыта дали близко совпадающие результаты
(рис. 12-3, 12-4, табл. 12-1, стр. 308).

В крупных машинах переменного тока — современных турбогенера-
торах и гидрогенераторах — влияние активного сопротивления в цепи
статора на частотную характеристику машины при номинальной ча-
стоте тока в статоре очень мало и, следовательно, указанная неточ-
ность при определении частотной характеристики по затуханию по-
стоянного тока в статоре не имеет практического значения.

и) Результаты экспериментальной проверки
на синхронных машинах

В Институте электромеханики был произведен ряд эксперименталь-
ных проверок предлагаемого метода. Одна из проверок производилась
на синхронной явнополюсной машине типа ГС-1406-6 производства
завода „Электросила" им. С. М. Кирова, с магнитными клиньями на
статоре. Номинальные данные машины 320 квт, 400 в, 578 а,
1000 об./мин. [12-2]. Опыт производился по схеме рис. 12-1.

Кривая затухания тока статора при измерении параметров по оси
d приведена на рис. 12-5.

Разложение кривой затухания на экспоненциальные составляющие
изображено на рис. 12-6.

Полученные частотные характеристики по осям d и q имеют вид,
представленный на рис. 12-7.

По полученным частотным характеристикам имеем, например: сверх-
переходная реактивность по продольной оси х^в=оо) = 0.221; по опыту
Рис. 12-3. Частотная характе-
ристика синхронной машины
типа СГТ-12.5/6 по оси d, по-
лученная из опыта затухания
постоянного тока в статоре.

7 — точка характеристики s = 1, по-
лученная непосредственно из опыта
двухфазного питания статора пере-
менным током при неподвижном ро-
торе; 2—точки характеристики, по-
лученные из ступенчатого приближе-
ния логарифмической амплитудной
частотной характеристики.
Рис 12 4 Частотная характе-
ристика синхронной машины
типа СГТ—12,5/6 по оси /у,
полученная из опыта затухания
постоянного тока в статоре

1 — точка характеристики при а = 1,
полученная непосредственно из опыта
двухразного питания статора пере-
менным током при неподвижном роторе
питания двух фаз переменным током при неподвижном роторе х^в=1) =
= 0.231. Сверхпереходная реактивность по поперечной оси — соответ-
ственно х"(а==00 =0.279 и

х;(,=1) = 0.294.

Синхронная реактив-
ность, вычисленная по
предлагаемому методу,
оказалась равной xd —
= 1.800, а из характери-
стик холостого хода и ко-
роткого замыкания xd—
=1.750.

Рис. 12-6. Разложение кривой рис. 12-5 иа экспо-
ненциальные составляющие.

Рис. 12-5. Затухание тока ста-
тора по оси d синхронной ма-
шины типа ГС-1406-6.

Для дальнейшей проверки правильности полученной частотной ха-
рактеристики было произведено сравнение расчетной величины перио-

Рис. 12-7. Частотные характеристики синхронной машины типа
ГС-1406-6 по осям d и q.

дической составляющей внезапного тока трехфазного короткого замы
кания синхронно вращающейся машины с опытными данными. Для
этого была построена амплитудная частотная характеристика по оси d
в логарифмическом масштабе (рис. 12-8); по этой кривой определены
коэффициенты затухания и амплитуды экспоненциальных составляющих
и сравнены с полученными из опыта внезапного трехфазного короткого
замыкания. Кривые затухания периодической составляющей тока при
внезапном трехфазном коротком замыкании синхронно вращающейся
машины, полученные из опыта и расчетом по частотной характеристике,
практически совпали (рис. 12-9).

Была также произведена экспериментальная проверка предлагаемой

методики определения параметров машин переменного тока на син-
хронной явнополюсной машине трехфазного тока типа СГТ-12.5/6,
мощностью 12.5 ква, 10квт,
230в, 1000 об./мин.,50 гц,
соединение обмотки ста-
тора в звезду; машина
отличается малым насы-
щением магнитной цепи в
номинальном режиме.

Ниже приводим сводку
сравнительных результа-
тов, измерения параметров
машины, полученных обыч-
ными методами и новыми
методами (табл., 12-1).

Полученные по осцил-

лограммам затухания по-

стоянного тока в статоре
частотные характеристики
по осям d и </, с учетом
и без учета активного со-
противления, представле-
ны на рис. 12-3, 12-4.

Точки частотной ха-
рактеристики при $ = 1,
полученные непосред-
ственным измерением при

Рис. 12-8. Логарифмическая амплитудная характе-
ристика по оси d синхронной машины типа ГС-1406-6.

<х — 0.70 — 0.57 = 0.13; «х = 0.28 • 10~2; Тх = 1.14 сек. i2 =
= 1.00 — 0.70 = 0.30г	«2 =	0.63 .	10~2;	Г2 = 0.505	сек.	13 =

= 2.00 — 1.00 = 1.00;	аз =	1.80.	10—’;	Т3 =0.177	сек.	14 =

= 3.00 — 2.00 = 1.00;	«4 =	4.50 •	Ю~2;	74 = 0.071	сек.	/5 =

= 4.40 — 3.00 = 1.40;	«5 =	13.2 •	10-2;	Т5 = 0.024	сек.	i’e =

= 4.60 — 4.40 = 0.20; а6 = 0.34; Tq = 0.009 сек.

питании двух фаз статора переменным током номинальной частоты и

при неподвижном роторе отмечена на рис. цифрой
Логарифмическая амплитудная характеристика

1.

1

*d (js)

логарифми-

В

ческом представлении имеет вид, представленный на рис. 12-10. Если
приблизить полученную кривую ступенчатой кривой (рис. 12-10), то

величина х может быть приближенно выражена в виде:

1	1	(0.15	(0.007 + js)

(Р) " 0.194 * (0.25 -ь js) (0.066 js) *

На рис. 12-3 обозначены точки частотной характеристики ---р-р ,

xd Us)
полученные по ступенчатому приближению логарифмической амплитуд-
ной характеристики.

На рис. 12-11а представлено определение начальных значений то-
ков Z<10 и /в20, на рис. 12-116' представлено определение коэффициента
затухания % и собственной частоты апериодической составляющей
при внезапном трехфазном коротком замыкании рассматриваемой ма-

шины. Величина /#ю определяется по частотным характеристикам типа
> величины аа и <ой по частотным характеристикам типа •

Таблица 12-1

Параметры машины типа СГТ-12,5/6

Метод определения		Параметры				Примечание
		xd	хч	xd	ft  хч	
По характеристике холостого хода и короткого замыкания		3.14	—	—	—	
Из осцилло- граммы вне- запного трех-	По апериоди- ческой состав- ляющей . . .	—	—	xd(s = l) 0.191	—.	
фазного ко- роткого замы- кания  По методу мало	По периоди- ческой состав- ляющей . . . го скольжения	3.01	2.84	0.199	—	1
По статическому методу при питании двух фаз обмотки статора переменным током при неподвижном роторе . .  По новому методу — при пита- нии трех фаз обмотки ста- тора постоянный током и не- подвижном роторе, с поворо- том ротора в положение на- ибольшей и наименьшей маг- нитной связи с осью нама- гничивания статора 			3.13	2.96	XJ(S = 1) 0.198  0.194	X ?(* = !) 0.199  0.198	1=0.16 4-1.05 от номиналь- ного	тока  статора.  i я= 0.184 от ам- плитуды но- минального тока статора.
По новому методу — при пита- нии трех фаз обмотки ста- тора постоянным током, при неподвижном роторе без по- ворота ротора 			3.015	2.805	0.195	0.203	i = 0.184 от ам- плитуды но- минального тока статора.

На рис. 12-12 изображено затухание апериодической составляющей i8i
в полулогарифмическом масштабе. Даны кривые, полученные непосред-
ственно из опыта ^внезапного трехфазного короткого замыкания, и кри-
вая, полученная расчетом по частотной характеристике. Как видим, со-
впадение результатов расчета с опытом вполне удовлетворительное.
Для определения затухания апериодической составляющей из опыта
внезапного трехфазного короткого замыкания применялись три метода:
Рис. 12-9. Периодическая составляющая
тока статора при внезапном трехфазном
коротком замыкании синхронной ма-
шины типа ГС-1406-6. (Сравнение ре-
зультатов расчета по частотной характе-
ристике с опытными данными, получен-
ными непосредственно из опыта внезап-
ного короткого замыкания).

7 — расчетца* крква*; 2— оштная.
Рис.
тока

1240.
1

Логарифмическая амплитудная характеристика
синхронной машины типа С ГТ-12.5/6 и ее сту-
пенчатое приближение.

б

Рис. 12-11. Определение апе-
риодической составляющей то-
ка статора при внезапном трех-
фазном г коротком замыкании
и включении в сеть по частот-
ным характеристикам машины
типа СГТ-12.5/6 при з=0.

а — определение начальных значений
токов статора i9l и 1 — точки

характеристики f,?=

2 — точки характеристики =
1

Г Я + Jxd (Js) *
б — определение коэффициента зату-
хания ав и собственной частоты
апериодической составляющей тока
статора: 7 — точки характеристики
, I
ha = —ттх » 2 — ъачкл характери-
* (js)

етики

2
1

07

08

^2.______ оч

'06

и08 0.1

0.6
^07
08**

0.9,

2
\20

2

-ол

-озУ

-о?./

-008 -0.1	~2^->

-02

3

4

-1

-0.8

-20

~05 ad=ristf=0.031-4.73~01468

-0.3	~01>	Uc=ris1r~0.0311M0322

Та ^^Шэл-рад^йОг^сек
1) графический; 2) расчет по формуле специалистов фирмы ДЖИИ —
Харрингтона и Уитлесси [11-24]:

Рис. 12-12. Затухание апериодической составляющей тока
статора синхронной машины типа СГТ-12.5/6 при внезапном
трехфазном коротком замыкании, представленное в полулога-
рифмическом масштабе. (Сравнение результатов расчета
с опытом.),

(12, 24)

1	— кривая затухания апериодической составляющей тока короткого замы-
кания статора из опыта внезапного трехфазного короткого замыкания но
формуле	"j/" 1 -+-	; 2— кривая затухания апериодической со-

ставляющей тока короткого замыкания статора из опыта внезапного трех-
фазного короткого замыкания по графическому методу; 3 — кривая зату-
хания апериодической составляющей тока короткого замыкания статора из
опыта внезапного трехфазного короткого замыкания uq формуле (12,24);

4	—- расчетная кривая апериодической составляющей по частотным харак-
теристикам.

где ia, 4, ic — наибольший, средний и наименьший апериодические токи
в фазах статора в данный момент времени; и 3) расчет по более простой
формуле, предложенной нами,

(12,25)

где <1, z2, /3— наибольший, средний и наименьший апериодические токи
в фазах статора в данный момент времени.

Все три метода дали близко совпадающий результат. Формула
(12, 25), несмотря на свою простоту, дает не менее точный результат,
чем формула (12, 24), предложенная в 1959 г.

На рис. 12-13 изображено затухание апериодических составляющих
токов статора в фазовых обмотках а, 6, с при внезапном трехфазном
коротком замыкании. Как видим, кривые, полученные непосредственно
из опыта внезапного короткого замыкания, близки к кривым, получен-
ным расчетом по частотным характеристикам.
Периодическая составляющая тока статора, найденная из опыта
внезапного трехфазного короткого замыкания, может быть представ-
лена аналитическим выражением (в собственных осях)

Zf2 = 2.77£“О.О664/ -4- 1.92е"0-2<^,

(12,26)

где время t выражено в секундах.

Та же составляющая, рассчитанная по ступенчатому приближению
логарифмической амплитудной частотной характеристики (рис. 12’9), равна

it2 = 2.63е~о-^	1.93е^25/.	(12, 27)

На рис. 12-14 представлено срав-
нение затухания периодической со-
ставляющей тока статора при внезап-
ном трехфазном коротком замыкании,
полученного непосредственно из опыта
короткого замыкания и полученного
расчетом по частотной характеристике.
Как видим, совпадение в этом случае
получается хорошим.

В испытанной машине начальное
значение периодической составляющей
тока внезапного трехфазного короткого
замыкания из режима холостого хода
/,2о> как видно из рис. 12-11, находи-
лось практически по оси d (угол
был близок нулю). Поэтому при рас-
чете периодической составляющей пе-
реходного тока короткого замыкания
не было надобности учитывать затуха-
ние составляющей /в2 по оси q.

к) Экспериментальная проверка на
асинхронной машине

i (сек)

Рис. 12*13. Затухание апериодиче-
ских составляющих тока в фазовых
обмотках статора синхронной ма-
шины типа СГТ 12.5/6, при внезап-
ном трехфазном коротком замыкании»
представленное в полулогарифмиче-
ском масштабе. (Сравнение резуль-
татов расчета с опытом).

7 — опыт; 2— расчет.

Аналогичные опытные исследо-
вания были произведены на асин-
хронной машине типа А-52-4 мощ-
ностью 7 квт, 380 в, 14.2 а,
1460 об./мин. Испытания производились при пониженном напряжении.
Определялась опытная частотная характеристика машины непосред-
ственными измерениями на переменном токе при вращении ротора
с разными скоростями и частотная характеристика по затуханию по-
стоянного тока в роторе при неподвижном роторе, при начальном
значении тока статора, равном 0.245 от амплитуды номинального (см.
приложение 9, п. 3).

Из опыта затухания постоянного тока в статоре при неподвижном
роторе были получены следующие экспоненциальные составляющие
в относительных единицах:

Чх^П.1;
z/2 = 3*6»
13.9;

Л1 = 0.00522;

а2 = О.О558;

а3 = 0.314.
По этим данным определяем величину тока равную

j . js . js . js
—— = ^1	jsH-a2 + W3 Js + a3 .

— ^-]X (js)

B~ рассматриваемом случае, при весьма малом скольжении ротора s,
потери в активном железе статора составляют существенную часть
мощности, потребляемой машиной, что приводит к необходимости надлежа-
щего учета короткозамкнутых контуров в стали статора. Наличие кон-
тура потерь в активном железе статора можно рассматривать как на-

Рис. 12-14. Затухание периодической составляющей тока статора
синхронной машины типа СГТ-12.5/6 при внезапном трехфазном
коротком замыкании. (Сравнение результатов расчета по частот-
ной характеристике с опытом).

1 — периодическая составляющая внезапного трехфазного короткого замыкания
пе опыту короткого замыкания; 2 — периодическая составляющего тока внезап-
ного трехфазного короткого замыкания по частотным характеристикам.

личие в эквивалентной схеме вращающейся машины дополнительной
цепи с параметрами	и xFo. Эта цепь приключается параллельно

цепи взаимоиндукции хт (см. приложение 9, рис< 9п 5). Определение
zt0 = -- с учетом влияния потерь в активном железе статора по кри-
вой затухания постоянного тока в статоре производим следующим об-
разом:

1)	Находим из опытной величины тока i99=f(s) ток равный



Iss

1 ji*9 s

2)	Строим кривую зависимости i9F=f(s) в логарифмическом мае*
штабе — амплитудно-логарифмическую характеристику.

3)	Делаем ступенчатое приближение полученной амплитудно-логариф-
мической характеристики. Из ступенчатого приближения получаем
в рассматриваемом примере три составляющих, в том числе одну со-
ставляющую i19 с малой амплитудой, соответствующую большой вели-
чине коэффициента затухания 51=Х1,

/1 = 0.12;

4^1.4;

i3 = 2.435;

Х1 = 1Л;

Х2 = О.З;

Х3 = 0.1.

Пренебрежение влиянием потерь в активном железе статора равно-
сильно пренебрежению составляющей iu с коэффициентом затухания Хх.

4)	Ток i9F по ступенчатому приближению равен

._____1 jsii	]si2	jsi3

lgF~ xd js -4- ki Js -+- X2 Js •+• X3 ’

5)	Tok bo = ^'(^j > c учетом того обстоятельства, что при вращении
машины один из контуров — контур потерь в железе — остается непод-
вижным, равен

1	]1г jsi2 jsi3 л	jO.12 jsl.4 js2.435

r*°“ xd	”* js + \2 ”* js-bk3 — °-365“*- j-f-1.5 *4'js-i-O.34’js4-O.l •

Составляющую, соответствующую потерям в железе статора, легко
выделить, так как она мала и коэффициент затухания ее Хх велик
ввиду того, что обычно rF<j > xF<j,

Изложенное уточнение, связанное с учетом влияния потерь в актив-
ном железе статора, в большинстве случаев не представляется необхо-
димым— небольшой составляющий iu с большим коэффициентом зату-
хания Хх пренебрегают и в этом случае i9p — i9^.

Полученная из опыта Затухания постоянного тока в статоре при
неподвижном роторе частотная характеристика для испытанной асин-
хронной машины удовлетворительно совпадает с частотной характери-
стикой, полученной непосредственными измерениями на переменном
токе при вращающейся машине (см. приложение 9).

Для проверки правильности принятой методики определения пере-
ходных токов короткого замыкания вращающейся машины по частот-
ной характеристике на указанной асинхронной машине был произведен
опыт внезапного трехфазного короткого замыкания при синхронной
скорости вращения ротора.

Из опыта короткого замыкания переходные токи оказались равны

f (^период. 2.868-0.116/ н- 1.458-0.304/;

i (0апериод.^ 4.55е-0.175/е-/0.04/ш

Расчет этих же составляющих по частотной характеристике дает
следующий результат:

f (/)период = 2.75e^0-108e“(0.101+/0.0108)/	135e-/0.086e~(0.304+j0.015/);

* Фапериод. = (4-48 cos 0.0198/ — 0.18 sin 0.0198/) 8-0.145/.

Частота апериодической составляющей, найденная по точке «1 = —1
частотной характеристики, оказалась равной <»6 — г • i91Г = 0.0198, до-
стигая около 2% синхронной скорости вращения.
Если построить для разных моментов времени векторы апериодиче-
ской составляющей тока статора по апериодическим токам короткого
замыкания в фазах статора, найденным из осциллограмм токов при вне-
запном трехфазном коротком замыкании, то по изменению положения
результирующего вектора апериодической составляющей тока статора
во времени можно судить о величине непосредственно из результа-
тов опыта внезапного короткого замыкания. Такое построение было
сделано (см. приложение 9, рис. 9п 10). Оказалось, что среднее значе-
ние получается порядка 0.04, причем величина изменяется во вре-
мени. Вероятно, в рассматриваемой машине с относительно большими
потерями в активном железе статора и очень быстрым затуханием апе-
риодической составляющей, имеют место существенные экстратоки и
соответствующие потери в активном железе статора от изменения апе-
риодической составляющей тока статора, что приводит к эквивалентному
увеличению активного сопротивления статора г, которым нужно поль-
зоваться при определении величины ^c = ri81r по частотной характе-
ристике.

Изменение во времени величины сое, возможно, связано также
с влиянием изменяющегося насыщения.

Как видно из проведенных экспериментальных исследований, пред-
лагаемая методика определения электромагнитных параметров машины,
несмотря на свою простоту, позволяет получать частотные характе-
ристики синхронных и асинхронных машин с вполне достаточной для
практики точностью.

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ УПРОЩЕННОЙ ЭКВИВАЛЕНТНОЙ
СХЕМЫ ПО ОСЦИЛЛОГРАММАМ ИЗМЕНЕНИЯ ТОКА В СТАТОРЕ
И РОТОРЕ, СНЯТЫМ ПРИ НЕПОДВИЖНОМ РОТОРЕ

В ряде случаев желательно для приближенного рассмотрения оце-
нить параметры эквивалентной схемы, принятой в обычном приближе-
нии. Нормальная методика электрического расчета машины перемен-
схемы, новые методики элект-
рических расчетов еще недо-
статочно отработаны для тогог
чтобы полностью заменить
обычно принятую.

На рис. 12-15 приводится
обычная эквивалентная схема
по продольной оси ротора ма-
шины, с двумя контурами в ро-
торе.

Для определения парамет-
ров этой схемы ставим ротор

неподвижно в положение совпадения оси полюсов d с осью намагничива-
ния статора. Производим следующие опыты:

1) Создаем толчок тока в статоре при замкнутой обмотке возбуж-
дения. По начальному наклону кривой определяем ток

// //

—ai t	—а2^	"	/. ч . и	\

i = zie ч- i2e ч- . . xd = г -ч- ч- ..

/ h	h _х_	\

Х& = Г ( —7Г -Ь “	* I .

\ а1	а2	/

Здесь токи ib /2, • • • выражены в долях начального.



ного тока до сих пор исходит из

Рис. 12-15. Эквивалентная схема при наличии
в роторе двух контуров по продольной оси.
2)	Производим толчок тока в статоре при разомкнутой обмотке воз-
буждения. По первоначальному наклону кривой определяем x'dQ = гТ''^
коэффициент а"0 = —. Из построения на полулогарифмической бумаге
Ло

кривой затухания переходного тока определяем коэффициенты затуха-

ния и а"2.

3)	Производим толчок тока ротора при разомкнутой обмотке ста-
тора. По первоначальному наклону кривой определяем х^0 = г/7’у0 (ве~
личина г/ должна быть выражена в относительных единицах). Этот
опыт является контрольным, поскольку все реактивности могут быть
определены из результатов первых двух опытов. Опыт может быть
использован для определения сопротивления г/ в относительных еди-
ницах.

По полученным результатам могут быть определены

н п	п

а01	а02	а«0

X(kd —— Г И И
а01 ’ а02

* //

Х1=ХЛ — Xag =	2 d0 — Y 1/xd0 (4лу0 — 3xj0) — xd (4х"/0 — 2х"м — x"d) ;

(x"d-xi)(xdo-xi) „

xf<3 —	"	••	—x/0	xdb XV

xd0 xd

(xdO~ xl)xad
xca —	tt

xd^xdQ

(12, 29)

(12,30)

Аналогично определяем параметры по осй q. Определяем по началь-
ному наклону кривой изменения Статорного тока величины а''о и х"0 = xq.
По кривой затухания тока, построенной в полулогарифмическом мас-
штабе, определяем коэффициенты затухания а"01, а"02.

Величина xaq равна

Величина xcq равна

П	и	//

%01	%02	%0

Xaq — Г	ff ~t

а$01 ’ ав02

(12, 31)

(12, 32)

Как было показано на стр. 300, при определении параметров ма-
шины по изменению постоянного тока в статоре при неподвижном ро-
торе имеет место принципиальная неточность в величине дифферен-
циального рассеяния, вызванного пространственными гармоническими
м. д. с. статора. Особенно это относится к величинам синхронных реак-
тивностей xd и хд. Поскольку предлагаемая методика построена на вы-
числении малых разностей сравнительно больших величин, применение
этой методики вычисления параметров контуров ротора и статора
для эквивалентной схемы вида рис. 12-15 требует осторожности
впредь до накопления достаточного опытного материала. Величину
синхронной реактивности желательно для контроля определять из дру-
того опыта. Например, величину xd — из опыта холостого хода и уста-
новившегося трехфазного короткого замыкания — при синхронно вра-
щающемся роторе.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ОСЦИЛЛОГРАММАМ,
СНЯТЫМ ПРИ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ МАШИНЕ

Осциллографирование процессов затухания или нарастания токов и
напряжений во вращающейся машине также дает возможность опреде-
ления параметров эквивалентной схемы и частотной характеристики
машины. Так, например, по относительной величине напряжения на
статоре после отключения трехфазного тока короткого замыкания
xd

можно приближенно определить величину —. Коэффициенты затухания
Xd

в кривой нарастания напряжения определяют величину

(?) = (Р а1) (р-ь«2)-ап)

в выражении операторной реактивности

X (р)=хт

Р'(р) _ (ра1)(раг)-• -(р%) #
D(p) (р-ь “i) (р-«-“г)--.(р-ь “»)

По амплитудам экспоненциальных составляющих кривой нарастания
напряжения можно также приближенно определить коэффициенты
ар а2» • • • > a следовательно, приближенно определить операторное
выражение D'(p\

Пусть, например, машина с синхронно вращающимся ротором, имею-
щая возбуждение Е со стороны ротора, работает в режиме установив-
шегося трехфазного короткого замыкания.

Ток статора 40 в синхронных осях будет равен:

*«0 =

Xq -4- jr8

(12,33}

Токи и потокосцепления статора по осям d и q равны:

					2	
		Xq	.!.			Г8	
Чо =	2		» Ttf o —	2		
	r8J	^XdXq		Г8-	*~xdxq	
• 			r8	J7,				-Xqr8	E1
tqO —	2		&» TffO —	2		
	Г8‘	^XdXq		r9 	^xdxs	

(12,34)

После отключения трехфазного короткого замыкания потокосцепле-
ния статора будут равны:



r*-l-xqxd (р)

Е- 1;

। t	/ ч • 1 Ч W -Ч р ,

Фг = Фго — xq (р) i10i = г, --Е • 1.

Г8 XdXq
В первый момент бремени после отключения потокосцепления ста-
тора по осям d и q будут равны:

2 .	"	/

_ Г'(хд-Хд)

.2 + х„х Et	Е*

8xd*q	rt-r- Ллхд

(12,36)

Потокосцепления статора фа = фл ч- jtyq в первый момент времени
после отключения будут равны по амплитуде

(12.37)

Потокосцепления ф_? в относительных единицах численно рйвны на-
пряжению статора после отключения короткого замыкания, поэтому фор-
мула (12,37) дает начальное значение напряжения на статоре | и, |/=0 =
= | ф51/=0 после отключения короткого замыкания.

Потокосцепления и в дальнейшем будут нарастать со своими
коэффициентами ald, а^, ... и а151 а^, ... являющимися корнями характе-
ристических уравнений

Д*(р) = О и Dg(p)==0.

Если можно пренебречь влиянием активного сопротивления rt, то
численно н,«ф^ и, следовательно,

. xd(p) ,Е-1—	р Л	,19

а^— Е — (12’38)

Строя кривую восстановления напряжения н, (/) в логарифмическом
масштабе, можно определить коэффициенты a1<f> и экспоненциальные
составляющие н/0, ип, • • •

a (О = П<0 н-	н-	(12) 39)

Если число составляющих не велико, то можно из полученных
алгебраических уравнений определить и коэффициенты затухания а'^
a2<p ’ • •

Пусть, например, имеются только две экспоненциальные составляю-
щие. В таком случае

_	_ x"d (~ald a\d) (-“irf a2rf)

xd л; U<1 xd	ald (—ald H-

Xd(~a2d-,-ald)(-a2d^-4d) „

B<2	&2d (~“2d + ald)

(12, 40)

Составляем уравнения для определения корней a'ld и <x'd:

Id “ ald) (a2d ~ ald) — ” ald (a2d ald) £ J

(al<i “ a2d) (a2d a2d) —

— “~7F a2(f {a^d ~ ald) •

(12,41)
Решая полученные уравнения, имеем:

Г f a2d — ald
ald a2rf “=	" p

xda

[xd (aiduti ** a2rfu^) “*" Xd (aid 4“ a2d)

a2d“ald j	z	лоч

---1T~ X*	“IT	xdald J •	U2*

Выражая через a'd и подставляя в одно из уравнений (12,41),
получаем значения a'ld и а^.

Представленный метод определения коэффициентов затухания a'w
и a'rf основан на вычислении малых разностей величин и поэтому дол-
жен применяться с осторожностью.

При разложении на экспоненциальные составляющие полученной из
опыта кривой нарастания напряжения нужно иметь в виду, что часть
экспоненциальных составляющих может иметь обратный знак.

Для определения операторной реактивности можно также исполь-
зовать кривую затухания периодической составляющей внезапного трех-
фазного короткого замыкания машины. Это целесообразно главным
образом для крупных машин, в которых поправка на влияние активного
сопротивления в цепи статора на протекание периодической составляю-
щей тока короткого замыкания мала и поэтому введение приближенного
значения поправки при обычном соотношении параметров в контурах
ротора допустимо.

Связь параметров частотной характеристики и периодической со-
ставляющей тока внезапного трехфазного короткого замыкания дана
в главе 11 и в приложении 8.

Для случая симметричного ротора определение частотной характе-
ристики 4 = -" по периодической составляющей тока вклю-
чения в сеть (или тока при внезапном трехфазном коротком замыка-
нии) производится сравнительно просто. Периодическая составляющая i&
в этом случае равна:

i.2 = 2	- 2	(12,43)

1=1	/=1

где

________а2<

W = V1	iti = kiiti; (I = 1» 2,..., n) (12, 44)

,	’	al

a2i==ai~*~r. 2 ini (? ==1* 2,,.., я)	(12,45)

Шг-ьа,

л, — корни характеристического уравнения D' (р) — 0 из выражения
переходной функции

1	1 D (р)

Коэффициент kt равен:

=	(7=1, 2....п),

(12,47)
где
г

= arctg-7—ч-arctg —— ;	(Z.= l, 2, . . n)	(12,48)

®2i	“r

a2Z
*1Z 2	>24 •	=	2....<12’49)

V (a2Z-t-	a2J

Пусть известна огибающая периодической составляющей тока ста
тора с симметричным ротором при внезапном трехфазном коротком за-
мыкании. Строим в полулогарифмическом масштабе соответствующую
кривую.

Определяем из полулогарифмической кривой коэффициенты затуха-
ния &'2/ (Z = 1» 2, .. п) и экспоненциальные составляющие /х, z2,. . *,
Определяем углы и коэффициенты кт1 (1 = 1, 2, .. ., п) по форму-
лам (12,48) и (12,49).

Огибающая тока ze2 равна:

Пусть наименьший коэффициент затухания равен а^, тогда

____________g21____________ .

(12, 51)

откуда легко определить составляющую

Составляющая it2 определяется из соотношения

I <«21	<«22 1 = Afcni cos <Р1 +	^2 cos Т2)2 + it\ sin -Ь km2 z^2sin<p2)2’ (12, 52)

В этом выражении все величины известны, кроме величины ii2, которую
таким образом нетрудно определить из квадратного уравнения для z^2.
Аналогично определяются последовательно из соответствующих
квадратных уравнений Z/3, Z^4, . . ., itn.

Коэффициенты затухания переходной функции а'р а$, . . ., а* опре-

деляются по формуле (12,45).

Если активные сопротивления в роторных цепях малы и, следова-
тельно, a^<^l (Z = l, 2, . . ., п), то при <ог, близком к единице, можно

определить составляющие переходной функции i(t)

1
==—т-г как
Xd (р)

•	 I I (1 1 о	\

• ('=!. 2........«)

(12, 53)

Следует учесть, что в представленном методе определения состав-
ляющих переходной функции Z(/)== —у-у по затуханию периодической^
части is2 переходного тока статора вращающейся машины имеется не-
большая неточность, связанная с разными частотами составляющих Zs2/>
Дело в том, что при симметричном роторе, при г9=^=0 строго го-
воря, не только фазы, но и частоты разных составляющих затухаю-
щей периодической части переходного тока статора имеют немного
различающиеся частоты, что видно из комплексного характера коэф-
фициентов затухания экспоненциальных составляющих периодической
части переходного тока статора при симметричном роторе (см. главы 4 и 11).
Это несколько исказит характер затухания тока iв2. Влияние активных
сопротивлений на расхождение частот обычно настолько мало, что
в большинстве случаев этим различием частот можно пренебречь.

Определение переходной функции и частотных характеристик по
результатам обработки осциллограмм тока статора при включении
вращающейся машины в сеть или при внезапном трехфазном коротком
замыкании в случае несимметричного ротора несколько сложней.
Только при малых активных сопротивлениях в роторных контурах
можно приближенно считать, что если переходный процесс имеет
место при рабочем угле 8о=О, то все составляющие переходного тока
определяются параметрами по оси J. Для определения параметров
машины с несимметричным ротором могут быть использованы осцил-
лограммы затухания тока в обмотке возбуждения и, в частности, при
разных активных сопротивлениях в обмотке возбуждения.

Методика определения частотных характеристик по осциллограм-
мам, снятым при вращающейся машине с учетом влияния асимметрии
ротора, требует дальнейшей практической доработки, хотя принци-
пиальные возможности такого определения даже при значительных
активных сопротивлениях в цепи статора « ротора не вызывают со-
мнений.

4. ПЕРСПЕКТИВЫ ДАЛЬНЕЙШЕГО РАЗВИТИЯ НОВЫХ МЕТОДОВ

Установленные связи между частотными характеристиками непод-
вижной и вращающейся машины предоставляют большие возможности
дальнейшего развития новых методов определения частотных характе-
ристик машины. В частности, можно применить вместо толчка постоян-
ного тока в обмотке статора толчок переменного тока (однофазного
или трехфазного), с использованием апериодических составляющих
переходного процесса. Характеристики по обеим осям машины
можно определять, создавая толчки тока в обмотке ротора при замкну-
той и разомкнутой обмотке статора. Частотные характеристики непод-
вижной машины можно также определять по спектру дискретных зна-
чений, питая обмотки машины установившимися напряжениями различ-
ной формы и т. п.

Применение элементов современных счетно-решающих устройств
позволяет получить частотные характеристики вращающейся машины
непосредственно из измерений на неподвижной либо вращающейся
машине, без трудоемких ручных расчетов.
ГЛАВА 13

УСТОЙЧИВОСТЬ РАБОТЫ И КАЧАНИЯ МАШИНЫ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

1.	ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ ПО УСТОЙЧИВОСТИ РАБОТЫ МАШИНЫ

Машина двойного питания, частными случаями которой являются
синхронные и асинхронные машины, при питании от бесконечно мощ-
ных сетей со стороны статора и со стороны ротора имеет четыре типа
устойчивости: два типа статической устойчивости, характеризующих
максимальную возможную нагрузку, и два типа динамической устойчи-
вости, характеризующих максимальный допустимый переход от одних
условий работы к другим (изменение нагрузки, подведенных напряже-
ний и др.).

Обычную синхронную машину, возбуждаемую постоянным током,
можем также рассматривать как машину двойного питания, считая
питание цепи возбуждения питанием от сети переменного тока нулевой
частоты.

а)	Статическая устойчивость

Статическая устойчивость может иметь место:

1)	В синхронном режиме, когда частота сети питающей ротор,
совпадает со средним скольжением ротора по отношению к синхронной
скорости, соответствующей частоте статорной сети, и средний синхро-
низирующий момент* определяемый рабочим углом — углом между м. д. с.
статора и ротора, не равен нулю. Такую устойчивость будем называть
синхронной статической устойчивостью.

2)	В асинхронном режиме, когда машина работает с переменным
углом внутреннего сдвига, но не потеряла способности нести нагрузку;
небольшое изменение нагрузки сопровождается небольшим изменением
скорости вращения ротора. Статическую устойчивость такого режима
будем называть асинхронной статической устойчивостью.

Если машина работала синхронно, выпала из синхронизма, но со-
хранила асинхронную устойчивость, то она может нести нагрузку со
скольжением ротора. Так, например, если синхронный двигатель из-за
временной перегрузки выпал из синхронизма и начал нести нагрузку
как асинхронный, то предел нагрузки определяется так называемым
критическим скольжением машины; при переходе за критическое сколь-
жение машина затормозится.*

* За исключением специальных случаев крутой зависимости вращающего момента
нагрузки от скорости вращения.
Для генератора предел асинхронной устойчивости будет соответ-
ствовать предельной нагрузке, при которой после выпадения из синхро-
низма не последует разгона машины.

Для сохранения синхронной статической устойчивости требуется,
чтобы приращения рабочего угла, характеризующие синхронную работу
при малых изменениях напряжений, нагрузки и параметров были и
оставались малыми.

Как известно, для решения вопроса, будет ли режим устойчивым
или неустойчивым, не всегда требуется решать систему уравнений.
Так, если при малых возмущениях синхронного режима система урав-
нений является линейной и имеет постоянные коэффициенты, то устой-
чивость системы определяется отсутствием положительной части в кор-
нях характеристического уравнения системы. Для решения этого вопроса
пользуются критериями Гурвица, Михайлова, Неймарка и др. [1Г-12].
Таким путем решена, например, Картером и Конкордиа задача опре-
деления предела статической синхронной устойчивости синхронной
машины при питании статора напряжениями прямой последовательности,
с учетом активного сопротивления обмоток статора [10-3].

В Советском Союзе вопросам статической синхронной устойчивости
параллельной работы синхронных машин было посвящено большое
число опубликованных работ.

Весьма плодотворными оказались работы С. А. Лебедева и П. С. Жда-
нова [1А-34] и П. С. Жданова [1А-14], А. А. Горева [1А-11], Д. А. Го-
родского [1Б-9] И. М. Марковича [1Б-25], Л. В. Цукерника [1Б-37] и
других, исследовавших статическую устойчивость, влияние регулиро-
вания возбуждения, явления искусственной статической устойчивости,
т. е. устойчивой работы на спадающей части угловой характеристики
при наличии регулирования возбуждения и т< д.

За последние годы А. А. Янко-Триницким [1Г-24] были разработаны
новые эффективные методы исследования синхронной статиче-
ской устойчивости параллельной работы синхронной машины на основе
методов Ляпунова [1Г-1] для исследования нелинейный систем.

Исследования устойчивости показали ряд преимуществ машины двой-
ного питания с питанием обмотки ротора системой напряжений весьма
низкой (до нуля) частоты скольжения. В этом случае рабочий угол
машины может автоматически поддерживаться в заданных пределах.
На основании проведенных разработок (Ботвинник, Герасимова и др.)
в настоящее время построена Иовская гидроэлектростанция с гидро-
генераторами такого типа.

Для машины двойного питания, питаемой напряжениями прямой
последовательности, уравнения малых возмущений для синхронного
режима при магнитной симметрии ротора были даны в комплексной
форме Кроном и др. [3-37].

В асинхронном режиме машины двойного питания при питании
ротора напряжением создаются следующие дополнительные вращающие
моменты:

1)	пульсирующий момент вращения со средним значением, равным
нулю; этот момент вызывает колебания скольжения ротора;

2)	демпферный (асинхронный) момент, связанный с наличием в цепи
статора активного сопротивления;

3)	изменение среднего асинхронного (демпферного) вращающего
момента, вызываемого питанием со стороны статора, вследствие коле-
бания скольжения ротора от наличия указанного выше пульсирующего
момента вращения и нелинейной зависимости асинхронного вращающего
момента от скольжения.

При синхронной работе машины двойного питания могут иметь
место те же вращающие моменты, но среднее значение пульсирующего
момента не будет равно нулю и м.д.с., создаваемые роторным и ста-
торным напряжениями, будут находиться под углом, изменяющимся
в ограниченных пределах.

Питание статора машины двойного питания несимметричной системой
напряжений, т. е. наличие напряжений обратной последовательности,
вызывает аналогичную картину пульсации вращающего момента и сколь-
жения ротора, при этом синхронная работа будет характеризоваться
тем, что среднее скольжение ротора будет численно равно частоте сети,
питающей ротор.

Если исследование синхронной устойчивости машины переменного
тока связано с нахождением условий неограниченного возрастания
рабочего угла, то исследование асинхронной устойчивости связано
с изучением случаев неограниченного возрастания абсолютной величины
логарифма скорости вращения ротора (скорость вращения стремится
к нулю или к бесконечности).

Малые приращения скорости вращения ротора (допустимые при
устойчивой асинхронной работе) вызовут через определенное время
значительное (какое угодно большое) изменение рабочего угла по срав-
нению с исходным режимом. Поэтому изменения составляющих напря-
жения и тока статора в системе координат, вращающихся вместе
с ротором, перестают быть малыми при малом приращении скорости
вращения ротора. Такое изменение скорости вращения ротора вызовет
медленную пульсацию соответствующих статорных величин в пределах
полной амплитуды.

Аналогично в координатных осях, вращающихся синхронно с час-
тотой статорной сети, изменения составляющих напряжения ротора
станут при малом приращении скорости вращения ротора величинами,
пульсирующими с полной амплитудой.

Таким образом, задача асинхронной статической устойчивости
для машины переменного тока не может быть решена в общем случае
аналогично задаче синхронной статической устойчивости с помощью
системы уравнений для малых приращений токов и напряжений. Только
для некоторых частных случаев, при наличии магнитной симметрии
ротора (например отсутствие питания со стороны ротора или заданная
связь между напряжениями статора и ротора), можно получить урав-
нения малых отклонений в асинхронном режиме, поскольку скорость
вращения координатного комплекса в этом случае можно выбрать не-
зависимо от скорости вращения ротора.

Вследствие вышесказанного в настоящей главе мы исследуем стати-
ческую асинхронную устойчивость машинах переменного тока, решая
систему уравнений для установившихся режимов. В общем случае,
а именно при наличии несимметричной системы напряжений со стороны
статора и ротора, при наличии магнитной асимметрии и учете конечной
величины момента инерции машины, задача получается весьма сложной
и в настоящее время может быть решена только приближенно.

Ряд практических задач, связанных с асинхронной устойчивостью,
представляет собой частные случаи рассматриваемой нами общей системы
уравнений, и критерий асинхронной статической устойчивости полу-
чается для этих задач сравнительно простым.
б)	Динамическая устойчивость

Динамическая устойчивость также может быть синхронной и асин-
хронной.

Синхронная динамическая устойчивость соответствует предельному
переходу, при котором рабочий угол машины изменяется в ограничен-
ных пределах.

Аналитическая задача синхронной динамической устойчивости ре-
шается для малых переходов с помощью тригонометрических функций;
для больших переходов приближенно — с помощью более сложных —
специальных функций — эллиптических, бесселевых.

В тех случаях, когда вращающий электромагнитный момент не имеет
быстро пульсирующих составляющих, весьма удобно пользоваться изве-
стным критерием площадей.

Асинхронная динамическая устойчивость, (связанная с изменением
скорости вращения ротора в ограниченных пределах) несмотря на то,
что она в ряде случаев представляет существенный практический ин-
терес, до последних лет была сравнительно мало исследована; особен-
ный практический интерес этот вид устойчивости представляет для
определения поведения асинхронных двигателей при посадках напря-
жения, кратковременной перегрузке, при пуске и др.

Наличие современных быстродействующих регуляторов напряжения
и регуляторов первичных двигателей может в ряде случаев оказать
существенное влияние на статическую и динамическую устойчивость
работы машины. Учет влияния регуляторов производится расширением
системы уравнений работы машины уравнениями работы регуляторов.

В настоящей главе на основе полученных комплексных опе-
раторных уравнений рассматриваются некоторые задачи синхронной
и асинхронной статической устойчивости машины двойного питания и
малые качания машины двойного питания. Статическая устойчивость
работы и малые качания синхронных и асинхронных машин являются
частными случаями представленого общего рассмотрения.

Вопросы динамической устойчивости и больших качаний синхронной
машины рассмотрены в главах 14 и 15.

Динамическая устойчивость асинхронных машин связана с рассмо-
трением электромагнитного вращающего момента асинхронной машины
с учетом влияния изменения скорости вращения ротора, представлен-
ным в главе 5 и приложении 5.

2.	МАЛЫЕ ИЗМЕНЕНИЯ РЕЖИМОВ РАБОТЫ МАШИНЫ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

а)	Общие уравнения

Для синхронной работы, когда угол между м. д. с., создаваемыми
питанием со стороны статора и со стороны ротора, меняется в огра-
ниченных пределах, можно составить систему уравнений для малых
изменений из установившегося режима, которая будет линейной с по-
стоянными или с переменными коэффициентами.

На основании формулы (3,23) имеем:

(ев0 ч- Де,) = r8 (i8q +• ди) + [р -*• J (WQ △<>)] (Ф*о ДФ*)»	(13» 1)
отсюда

Аев = гвЫз ч- pbtys ч- /ф«оЛ<*>*	(13, 2)

Уравнение механического равновесия будет иметь вид:

—Яр (юо ч- Ао>) ч- (Мо ч- АМ,) = М£о -+- ДМ£,	(13, 3)

откуда

—ЯрДсо -+- ДМ, = ДМд.	(13,4)

б)	Малые изменения напряжения и скорости
вращения ротора

Изменение напряжения е8 при нарушении установившегося режима
определяется изменением приложенного к машине напряжения и изме-
нением скорости вращения ротора.

Напряжение в установившемся режиме

=	(13,5)

t

где ро = роо~>~|(1 — о>0)Л— угол между напряжением прямой последо-
о

вательности в синхронных координатах и
осью d ротора; ₽0 = 80 4"

t

— угол между осью фазы а статора и осью d
о

ротора;

<о0 — скорость вращения ротора в установив-
шемся режиме;

₽оо—фазовый угол в установившемся режиме,
определяющий величину Ро при / = 0.

При малом изменении режима

^ = (^^АМе/(“9о+ДЗ)’	(13,6)

где Аеа — изменение приложенного напряжения в неподвижных коор-
динатах;

△Р — изменение угла р между напряжением статора и осью d
(△р = — де).

Пренебрегая членами второго порядка малости, имеем:

Дев = — е«о == }ев0Др ч- Дев0,	(13, 7)

где

Де80 = Деае-А	(13, 8)

— изменение подведенного к статору напряжения, отнесенное к вра-
щающимся с „невозмущенной" скоростью % координатам.

Изменение скорости вращения ротора равно:

Аш = — -	= -Де,	(13,9)

где s = 1 — а) — скольжение ротора.
Изменение потокосцеплений статорной обмотки на основании выра-
жения (3, 38) равно:

Д<К =*« (р) Ч -1- У8 (р)	Иг-

(13,10}

Получаем из выражений (13, 2), (13,10) с учетом (3,49):	
Де«0 — РДФ»г = —j (Ф«оР	е»о) Д? *«Д'» +	(13,11}
Изменение электромагнитного вращающего момента	
Ш, = Re {j [%)Дг‘ - Дф/о] } •	(13,12}
или	
ДЧ~ДЧт = ^Х^^Х>	(13,13}
где	
D Г”* Al 1	 D . **0ДФ*г г\оД(Кг  Д^вя» —	и1«0ДФ«г1 — Re j	2	(13,14)

— изменение электромагнитного вращающего момента, вызванное изме-
нением напряжения, подведенного к ротору, а

Y,

. Ко —	(р) — 4)Р* (р)

I	о

(13,15)

Учитывая выражения (13, 4), имеем для уравнения механического
равновесия:

ДЛ4 - Ш9т=Яр2др -ь У>\ -ь УХ-	(13,16)

Уравнения (13,11) и (13,16) составляют систему, позволяющую
найти решение для ДР и Д/в, т. е. определить поведение машины при
нарушении установившегося режима.

В обычной асинхронной машине Дфвг и &М8т равны нулю.

В синхронной машине и в машине двойного питания, при неизмен-
ном возбуждении со стороны ротора, Дфвг и &М8т также равны нулю.

В машинах с магнитной симметрией ротора у8(р) = 0 и, следова-
тельно, zey = 0.

Составляя для уравнения (13,2) сопряженное уравнение и исклю-
чая Д/*, получаем выражение для изменения тока:

где

ДГв==

— г»уда»

(13,17)

Z8XZ8X Z8yZ8y

Див = Де*) — рДфвг -+- j (ф«оР	*«о) ДР-

(13,18)

Формулы (13,17) и (13,18) дают возможность определить изменение
токов и изменение вращающих моментов в тех. случаях, когда коле-
бание угла является заданной функцией времени.

Аналогичные формулы можем написать для изменения тока ротора

гтаДиг —«г/“г

Д*г ==	2	2

(13, 19)
(13, 23)

(13, 24)

(13,25)

(13, 26)

(13, 27)

где (см. стр. 69)

Aur = Аег -ь рАфгл -+- j (фгоР -ь «го) △₽;	(13, 20)

дфг=хг (р»<°) Дг‘г у г (р»<°) ДС дФг«;	(13* 21>

Дег0 — ДФ™ = —J (W -Ь его) Д? -1" zr^t zry^f	<13’ 22>

При отсутствии демпферных контуров на роторе и отсутствии
магнитной асимметрии:

Ш9 - Шгт = Y*Mr -ь УГД/;,
где

Ч™ = Re [—Я^Дф„];

. 4r0 — 'г(|*г (Р> м) — СйЗг (Р* ш)
Гг ——J	2

Формулы очевидны вследствие полной симметрии уравнений для
статора и ротора. Разница имеется только в знаке в выражениях
электромагнитного момента (13,24), (13,14) и в операторных импе-
дансах, а именно, для статора имеем:

Zsx = r8-+-(p -t-jv) х8 (р);

z8V 4= (р -ь jo>) у8 (р),
и для ротора

ZTX = Гг -Ь рхг (р, со);

Zry = pyr(p, со).

Для частного случая, когда магнитная асимметрия отсутствует,
подведенные к машине напряжения неизменны и, следовательно
(Де«о — 0; дф8г = 0) и колебание угла является синусоидальной функцией
с постоянной амплитудой и с постоянной частотой, можно подобрать
простую эквивалентную схему для определения изменения тока и вра-
щающего момента, как это сделал Крон [1А-58]. Эквивалентные схемы
Крона позволяют определять пульсацию токов, а следовательно, и
пульсацию электромагнитного момента непосредственными измерениями
амперметром, вольтметром и ваттметром.

в)	Частоты пульсаций тока статора при колебаниях
скорости вращения асинхронной машины

Если неизменная по амплитуде пульсация угла происходит с часто-
той Л, т. е.скорость вращения ротора имеет пульсацию с частотой А,
то, согласно формуле (13,7), добавочная э. д. с., связанная с нали-
чием пульсаций угла, содержит члены вида	В общем случае

при питании статора несимметричной системой напряжений величины
и e8Q являются комплексами, имеющими переменную фазу с частотами
$0, —2~*-$0, а угол

__ ^ht

Др = sin ht =-q-----

является разностью
няется с частотой

двух комплексов, имеющих фазу, которая изме-
±Л. При синусоидальности величины ево
(имеющей частоту s0 для прямой последовательности и —2-+-$0 для
обратной последовательности) воздействие оператора (ф80р ч-ев0) на
дает комплексы с частотами, равными сумме исходных частот и их
разности.

Таким образом, при симметричном роторе при питании статора нерав-
номерной системой синусоидальных напряжений пульсация тока будет
иметь члены с четырьмя частотами:

$о +" ht $о — А; —2 -+- sq -+- Л; —2 -+- «о —' ht

где s0 = l—% — невозмущенное скольжение ротора.

При отсутствии обратной последовательности в напряжении ста-
тора, выражения ев0 и фв0 будут иметь только частоту $0 и, следова-
тельно, выражение для Дг\ будет содержать вместо вышеуказанных
частот только члены с двумя частотами: $0-4-Л и s0— А.

г)	Электромагнитный вращающий момент при колебаниях
скорости вращения ротора асинхронной машины

На основании полученных общих соотношений можно получить
выражение для малых изменений токов и электромагнитного вращаю-
щего момента при малых изменениях угла или малых периодических
изменениях скорости вращения ротора для ряда частных случаев,
например для асинхронной машины с симметричным ротором, питаемой
от системы номинальных напряжений прямой последовательности и
работающей со средним скольжением $0.

Пусть вследствие переменной нагрузки на валу машины скольжение
ротора машины имеет периодическое колебание по закону

A$ = A8sinA£; s = sq-4-As;

_	п	лп	(13,28)

Д[3 =— -j~ cos ht\	р =	Др. j

Рассмотрим сначала для простоты случай, когда влиянием активного
сопротивления в цепи статора г8 можно пренебречь (гв ~ 0), а затем
произведем рассмотрение с учетом влияния г9.

1)	При г8 = 0. Средние значения напряжения, потокосцеплений и
тока статора равны:

(13’29)

Колебания напряжения статора Аев равны:

Де, = /е,0Д? =	+	(13,30)

Колебания равны:	тока статора	в символической операторной записи  л-	^es	(13 ЧП

где шо—средняя скорость вращения ротора.
Раскрывая выражение (13,31) в функции времени, имеем:
Г	е/(*о—*)# 1

Дг‘8 = ~2jh Lx, и (so-Ь А) I * X, |j (so - А) |J •	(13’32)

Колебания потокосцеплений статора в символической оператор-
ной записи равны

Дфв==лг,(р)Дг,.	(13,33)

Раскрывая выражение (13,33) в функции времени, имеем

Дф„ = -|р- рО'о**’* -+-	А)/].	(13,34)

Дополнительный электромагнитный вращающий момент, вызванный
колебаниями скорости вращения ротора, равен:

Ше = Re [;ф,0 (Дг,)’] -ь Re [j (Дф,)	= ^М, н- Д^.	(13, 35)

Введем следующие определения, пользуясь „круговой" диаграммой
машины, аналогично рассмотрению малых качаний синхронной машины
(см. главу 10).

х8 (jso) =	== **0® "* JisQr *

1_________. у

х8 I j («0 -Ь h) I l81mz 81 Ч1Я "*• J* sir >

____ .	__— *	1 | 7j

х8 \] («о — h) ]	l«2* J s2r •

Раскрывая выражения (13, 35), получаем для дополнительного элек-
тромагнитного вращающего момента, вызванного колебаниями скорости
вращения ротора, при гв = 0, выражение

— 2Д [_(^1г	182г)	(2г’в0« — *81Х ~~ z’s2®) h dt

— (Дт5) Д& -ь (Дт^)	,

где

Дтв— 2Д (z«ir г«2г)»

(13,36)

&md 2А2	z«i® Ze2®) •

Для того чтобы машина не раскачивалась, необходимо, коэффи-
циентам т8 и md в уравнении механического равновесия

</Д$

dM6Q
ds

dML . V	<Ms 4

“5Г"	д®=md ~зг п,«д®=°!

т, — Н-+- кт,;
а	а1

dMe0 dML
та = —з— — —з— -+- Д/п,
8 ds ds	*

(13, 37)

иметь один знак» Как правило, коэффициент md положителен, поэтому
коэффициент т8 тоже должен быть положителен.
Коэффициент Дтпа^>0 при условии 4ir^>42r*

Если асинхронный двигатель работает при скольжении s0 меньше
критического sk и при малой частоте качаний Л<^$0, то коэффициент Дти*.
будет всегда положителен, так как в этом случае i8ir^>h2r*

При работе за критическим скольжением	либо при большой

частоте качаний h коэффициент Дтп8 может стать отрицательным и
машина будет увеличивать амплитуду качаний скорости вращения до
тех пор, пока нелинейность уравнений, неучтенная нами при состав-
лении уравнений малых колебаний, не ограничит дальнейшего роста
амплитуды колебаний.

Коэффициент &md будет положительным, когда 2z802? > i81x -ь i8zx.
При работе со скольжением s0 < sk и при малой частоте колебаний
скольжения h это условие может не соблюдаться, но обычно

2)	При г8=т«£=0. Средние значения напряжения, потокосцеплений и
тока статора в этом случае равны:

ee0	0 > Чо г8 -+- jx (js) х (js)

(13,38)

Ф»о = е/’О< k>0‘

Дополнительные составляющие электромагнитного вращающего
момента и равны:

Д1М =	[sin н- ?д.о _ %1) -ь hk,Om sin (<pel — <Ffci)] +•

-+-	д'” [sin (^2 -+- Ш — Т»2) — sin (?,2 — ?и)] | As —

к8$т ( k8xmis\m г	ч	, ,	,	ч,

— "2Д~ | г у д [cos (<?sl -+- <pfe0 — П1)	hk8Qm cos (<pei — <Pfci)l -+-

-+ —[cos (<?f2 ?fco ~ <m) — hkSQm cos (<p,2 — №s)] } у ;	<13’ 39^

A2Me = 2Д r'eom | i , д [sin (?«o — ?fci) + hk8$m sin (<?so -+-	-+-

tsin (?«o — Ш ?fc2) hk8Qm sin (<ps0 -+- Tfc2)l} А»

"* ^°izz { tcos *" ?Jkl) hk^m ZQ3

-+ yzj; [cos (?«o — Ш -+- m) — hk8Qm cos (<pe0	ш)] I у •	(13t 4°)

Наличие активного сопротивления в цепи статора, как правило,
уменьшает значения коэффициентов.электромагнитного момента md и me,
так как коэффициенты ^80т, к81т, к82т всегда меньше единицы. В от-
дельных случаях при существенном активном сопротивлении г8 в цепи
статора наличие этого сопротивления может привести при прочих
равных условиях к изменению знаков коэффициентов электромагнит-
ного вращающего момента — md или тп8, что видно из выражений (13,39),
(13,40) и (13, 43), где ksQ — коэффициент, учитывающий влияние актив-
ного сопротивления г9 в цепи статора, равен:

г/ =	(»•«)

j* *(j»o)

Колебания тока статора Az’, на основании выражения (13, 31) равны:

(1ч-АА,э)Д,е^(*'>+й’<	(1 — A£,ft) Д,

d'» ~ 2jh (1 -ь Л) х, Jj (s0 -ь Л) |	* 2jh (1 - Л) х, | j (s0 - А) | *‘2’

(13, 42)

где k81 и ks2—коэффициенты, учитывающие влияние г8, равные

j (1 н- Л) X, I j (so ч- А) | ’ь 1 х1 *“ 1 -+- A '«J

,	____________1____________ _____________1_____________Ь е_^*2

*82~	= у	—	Г	*82п1

J (1 —A)x/|j(s0 —А)| 4-1 V “ь T=hr г’42г) ★

Колебания потокосцеплений статора Аф8 в этом случае равны:

Дф8==

Г 1-ьА^о
2jh L 1 h

1 — hkSQ

1 —A

(13, 44)



Дополнительный электромагнитный вращающий момент в этом слу-
чае равен:

ЬМе = ^Ме ч- Д2Мц	(13,45)

где &1Ме и А2Ме определяются по формулам (13,39), (13,40).

д) Частный случай. Асинхронная машина имеет одну
систему обмоток на роторе; г8 = 0.

Машина питается от сети с номинальным напряжением. Ток ста-
тора в функции скольжения в этом случае равен:

1_______1 js-*-ar_______1 1 ч- jsTr

x(js) — х'8 js + a'r ~~ х8 1-\-jsT*r •

(13, 46)

Электромагнитный вращающий момент при отсутствии качаний

равен:	(13,47)  Xg(l 4-s0 Tr )

Дополнительный электромагнитный вращающий момент при кача-
ниях скольжения ротора по закону

равен:	s = $0 Д$ == $o -t- Д8 sin ht  AM,--- 	D	As-i-  M,o^(3s^H-A2r3-l)rf(M - s - 	D	dt ’	(!3. 48)
где

D = [1 (,0 + Л)2 Т?] [1 -ь (,0 - Л2) г;2].	(13, 49)

Формула (13, 48) позволяет произвести и приближенное исследование
демпферного момента при качаниях машины двойного питания, пре*
небрегая влиянием активного сопротивления статора и питающей его
сети, так как при пренебрежении влиянием г8 можно пренебречь влия-
нием роторного напряжения на демпферный момент машины двойного
питания при качаниях.

Формулы, опубликованные в работах [1В-ЗО, 3-37], где рассмотрены
качания машины двойного питания для случая симметричного ротора,
симметричных питающих напряжений и отсутствия демпферных конту-
ров на роторе, дают при соответствующих преобразованиях и при пре-
небрежении активным сопротивлением статора тот же результат.

3. ПРЕДЕЛ СИНХРОННОЙ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МАШИНЫ
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

а) Общее рассмотрение

Для определения предела синхронной статической устойчивости
нужно составить дифференциальные уравнения для малых изменений
угла ₽, исключив остальные зависимые переменные. Выпадение из
синхронизма характеризуется неограниченным возрастанием величины Др.
Для невозможности такого возрастания необходимо, чтобы коэффи-
циенты полученного линейного дифференциального уравнения были
положительны. Предел синхронной статической устойчивости соответ-
ствует условию, когда при чрезвычайно медленном изменении угла Р,
т. е. при условии, когда производные и стремятся к нулю, коэф-
фициент дифференциального уравнения при Др снизится до значения,
равного нулю.

Возьмем, например, известное выражение для электромагнитного
вращающего момента неявнополюсной синхронной машины в статиче-
ском режиме Ме = — sin 8, где 8 = р —.

ха	Л

Дифференциальное уравнение для малых изменений 8 будет иметь
в этом случае вид в операторном представлении:

Ее	\

Нр* -+- — cos So 1 ДВ = ДЛ/jr .
а	/

Так как мы рассматриваем случай бесконечно медленного изменения
угла 8, то член Нр2&> стремится к нулю. Предел синхронной статиче-
ской устойчивости будет соответствовать условию

Ее

COS Oq О»
Xd

т. е. условию о0 = ~, что хорошо известно из элементарной теории
синхронной машины.

Составим теперь линейное дифференциальное уравнение с постоян-
ными коэффициентами для изменения угла р = 57-+-8 с учетом переход-
£
ных процессов, имеющих место в машине. Воспользуемся уравнением
(13,16), в котором &ML— изменение внешнего приложенного вращаю-
щего момента и &М8т— изменение электромагнитного вращающего
момента, вызванное изменением возбуждения ротора. В общем случае
величина &ML является обычно функцией первой производной от Др,
т. е. функцией изменения скорости вращения ротора. Величина &М8т
также часто является некоторой функцией от Др и производных Др по
времени в соответствии с действием принятой системы автоматического
регулирования возбуждения в функции рабочего угла машины и его
производных по времени. Если такие зависимости существуют, то
нужно заменить в дифференциальном уравнении (13,16) соответствую-
щие выражения на операторные функции от р.

Изменения тока Д/в являются функциями нескольких переменных —
изменения угла Др, изменения подведенного напряжения Дев0 и изме-
нения возбуждения ротора Дф8г.

Подставляя выражения для изменения тока статора (13,17) в урав-
нение механического равновесия (13,16), получаем уравнение для изме-
нения угла

(Яр2 -ь < (Ф,ор -ь ee0) - К, (^оР + «:<,)}	-Щт- ЬМ,Е,

где

. Y'z^-Yz,,
Kg =*= ]	*	* t

zgxzs^ zsyzgy

И

2 Re (j<(Де40 - рДфвг)} •

Если отсутствуют обратные связи регулирования тока возбуждения
ротора или внешнего приложенного вращающего момента ML по вели-
чине Др и производным величины Др по времени, то в соответствии
с изложенным условие, соответствующее пределу синхронной статиче-
ской устойчивости, имеет вид:

Re«e,0]-»O.	(13,53)

Условие (13, 53) соответствует строго статической характеристике,
когда наложено ограничение, что изменения рабочего угла происходят
бесконечно медленно. Однако в действительности угловая характери-
стика машины Ме = /(Р) не может оставаться идеально статической.
Всегда возможны малые колебания угла р при синхронной работе,
вызванные переменными составляющими в приложенном вращающем
моменте и другими причинами.

Поэтому условие (13,53) должно быть дополнено условием, чтобы
коэффициент уравнения (13, 50) при (т. е. при рДР) был не меньше
нуля

Re [<Фво] > °-	54>

Нетрудно видеть, что при г8 = 0, когда фв0= условие (13,54) всегда
соблюдается при соблюдении условия (13,53). Наличие активного со-
противления в цепи статора может снизить предел статической син-
хронной устойчивости при малых колебаниях рабочего угла машины по

(13, 50)

(13, 51)

(13, 52)
сравнению с пределом, определяемым по условию (13,53), как это
было показано в главе 1Q.

Если учесть обратные связи, например регулирование возбуждения
по току статора, который в свою очередь является некоторой функцией
рабочего угла, то критерий синхронной статической устойчивости видо-
изменяется в зависимости от характера регулирования, однако принцип
определения предела статической устойчивости остается тот же.

Нужно приравнять нулю коэффициенты получающегося дифферен-

AD	тя	«

циального уравнения при Др и при . Из полученных уравнений опре-
деляют углы р0, при которых указанные коэффициенты становятся
равными нулю. Меньший из полученных углов Ро соответствует пределу
статической синхронной устойчивости.

При учете обратных связей имеем дело с „искусственной" стати-
ческой устойчивостью. Наличие регулирования возбуждения позволяет,
например, устойчиво работать до некоторого определенного предела
и на спадающей части статической угловой характеристики машины
Л4=/(р) (см. § 8, гл. 15).

Исследование предела синхронной статической устойчивости по урав-
нению (13, 50) либо аналогичному, дополненному учетом обратных связей
(влияние регулирования возбуждения и скорости вращения), может быть
произведено и многими другими известными в настоящее время мето-
дами. Строится, например, частотная характеристика, соответствующая
изменению величины Др, по синусоидальному закону с частотами о>
в пределах ± со. Полученная замкнутая кривая не должна охватывать
начало координат, если ищут условия устойчивой работы системы.
За последние годы разработано большое число методик качественного
анализа такого типа уравнений, которыми можно воспользоваться [1Г-1,
1Г-2, 1Г-12, 1Г-13, 6-26, 11-1, 11-3, 11-4, 11-18].

При пользовании критериями (13,53), (13, 54) нужно раскрыть К8 как-
операторное выражение по формулам (13,51), (13,15), учитывая сопря-
женность, т. е. раскрыть К8 и заменить j на—j (но не р на—р!).

Раскрытое выражение К8е*ъ в общем виде мы не приводим ввиду
его громоздкости.

Уравнение (13,50) имеет постоянные коэффициенты только в том
случае, если so = O, либо отсутствует асимметрия ротора. Кроме того,
напряжение е«о не должно иметь напряжений обратной последователь-
ности. В противном случае уравнение (13,50) имеет периодические
коэффициенты и задача определения предела статической синхронной
устойчивости осложняется. Методы Ляпунова [1Г-1, 1Г-2, 1Г-11, 6-26]
и другие качественные методы [1Г-10, 1Г-14] дают возможность и в этом
случае находить необходимые критерии. Эти задачи требуют специаль-
ного дополнительного рассмотрения. Соответствующий анализ здесь не
производим.

Нетрудно получить критерий, аналогичный критерию (13, 51), исходя
из вращающего момента, выраженного через роторные токи и потоко-
сцепления (для случая отсутствия асимметрии ротора и отсутствия
демпферных контуров на роторе):

Re [ЛГ*ег0] 0,	(13, 55)

где ЛГ* составлено аналогично выражению К*.
6) Частный случай — машина двойного питания с симметричным
ротором

Пусть машина двойного питания обладает следующими данными:
1) напряжение обратной последовательности ев02 = 0; 2) демпферные
контуры на роторе отсутствуют; 3) ротор обладает магнитной симмет-
рией.

В этом случае критерий синхронной статической устойчивости (13, 53)

принимает вид:

Р ( [ф**0 — i*80*s (jsp)] е$о
I rs ч- jx9 (js0)

Учитывая, что

е«0 = r8i8Q = [/*8 -ь (ро)] **0

.	f.	хтего

tyro — gsr (jso) его — Гг (1 -ь jSQTr) ;

х8 (js) = х8

1 jsoTr ’

(13, 56)

(13, 57)

где хт — реактивность взаимоиндукции между роторными и статорными
обмотками, получаем следующий критерий предела синхронной стати-
ческой устойчивости при гв = 0 (анализ при г,=^=0, см. стр. 344):

Re {[ - М, (1 н- J.oT’r)	О-	(13, 58)

Если угол между напряжениями статора ев0 и ротора ег0 равен а,
причем напряжение статора опережает напряжение ротора, то критерий
предела устойчивости сводится к виду:

*-^±7'	(13.59)

где

%, = агс	•	(13. 6°)

Г

При пренебрежении влиянием активного сопротивления цепи статора
критерий предела устойчивости имеет также вид:

а+сру->О;тс	(13,61)

где

= arc tg sor'.	(13, 62)

В критерии (13,54), как было показано, при гв = 0 нет надобности.

В случае, когда гв = 0, угол а -<- = р00— угол между напряжением
статора и м. д. с. ротора, создаваемой питанием со стороны ротора
(т. е. угол между напряжением статора и осью d).

Учитывая, что

5 = (а -+-	™ ,	(13, 63)

где —угол между поперечной осью q и напряжением статора e8Q
(причем напряжение статора опережает ось <?), получаем, что критерием
предела устойчивости является условие,

%	*	(13, 64)

^±7 •
При скольжении, равном нулю, <f'r -> 0 и, следовательно, а->]3,

те

(13, 65)

В этом случае наш критерий (13, 61) превращается в общеизвестный
критерий для обычной неявнополюсной синхронной машины.

4. ОПЕРАТОРНЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ТОКОВ И ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЙ
ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ ПРИ ЗАДАННОМ
ИЗМЕНЕНИИ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА

Пусть к статору и ротору машины двойного питания подведены
напряжения прямой и обратной последовательности, равные

С* —	^el +“ е$т2

er = ermi	Сгт2 Рг2»

причем углы Р в общем случае непостоянны.

Найдем выражения для токов и потокосцеплений статора и ротора
в упрощенной символической записи.

Для фаз напряжений статора имеем:

(13, 66)

где <0^ = 1—sjc — скорость вращения координатного комплекса.

Принимая координатный комплекс вращающимся синхронно с рото-
ром, имеем:

<*>£ = CorJ S]c = S.

Соответственно для фаз напряжений ротора имеем при координат-
ном комплексе, вращающемся вместе с ротором:

₽г1 = ^н-рг1о: |	(13,68)

Рг2----₽г20- J

При постоянной скорости ротора <or = const, s = s0;

= $0* ?*io;	= —(2 — so) t + ^20*	(13, 69)

Если скорость и скольжение ротора имеют пульсирующие состав-
ля ющие

s =ч= «о 2 Snc cos 2 Sng sin	(13, 70)

n	n

TO

p*l — SO* + PslO sin 2 COS	= *0? P*1®

n	n

-+- 2 ?”•sin Ля* 2 $«»cos	ci3»71)

n	n

Аналогично, для фазы напряжения статора обратной последователь-
ности имеем:

Р«2 = ?«20 — (2 “• «о) f	2 s*n У» cos	(13, 72)

п	»
Обобщенная машина двойного питания

339

За ось, по отношению к которой определяются фазы приложенных
напряжений, принята ось магнитной симметрии ротора, совпадающая
с осью м. д. с. ротора, созданной со стороны ротора.

Подставляя выражения (13,66) для приложенных напряжений в вы-
ражение (3,51) для токов, получаем в символической записи

it =

Z8X (^81	^2®

Z8O^8X Z8yZ8y

zsx?8x zsyzey

(?8Х&8X	Z8ySgy) ^rl	(Z8X&8y	Z8yS8x)

P	*	♦

Z8O?8X Z8yZ8y

\Z8X^8X	Z8ySsy) Ef% ‘+~ \Z8X&8y	Z8y&8x) ^rl

- —

Z8X?8X Z8yZ8y

= [Al (p) - (p - 2j)] / (p) -

o	-[B.i(p)-By2/A2(p-b2j)]e

Здесь

Eri = ermi£yPr,° = ег^'8^

Er2 = erm2^rao = er2^8^;

Eei = etmi^8U = «81®	;

Es2 = еатг6*7^820 = e82e 'P )

(13, 73)

(13, 74)

— комплексные амплитуды пульсирующих напряжений.

Д(р), В(р) — выражения, ясные из сравнения двух видов формулы для
тока (13,73), а именно:

л ( \	z8a^81	1

Ai (р) =-------*-----—;

Z8O?8X Z8yZ8y

a.W —----------;

Z8XZ8X Z8yZ8y

Л ( \	Z8y^8Z

-^«2 (р) = —	*	~ ;

(13>75)

в,1(р)=—
Z80^8X Z8yZ8y

л z ч	CZ8X^8Х Z8yS8у) ^Г1 (г8х£8у Z8yS8х) ^г2

Аг (р) = —р----------------5-------s--------------;

Z8!^8X Z8yZ8y

_	(?8Х&8Х	Z8y^8y) ^r2~^~(^Z8X^8y	Х8у^8х)^г1

Br (р) = р----------------5-------5-------------- .

Z»8^8X Z8yZty

Вводя обозначения

А. (р) = An (р) -	(р - 2j); 1

В, (р) = В.! (р) - е	An (р + 2j), I
получаем окончательную формулу для тока статора:

it = Ar{p)z^>rt— Br(p)z~^*"'t-i-At(p)z (?)_ в, (р)»“'(?).	(1з, 77)

Аналогично, учитывая, что Ф. = ——т--------г. —— , можно написать

’ J	’ т* p-t-jwr	+

для потокосцеплений:

Ф. = 4 (р)	- B'r (р) z~^f -ь Л, (Р) z (?) - в’, (р) Г* (?),	(13, 78)

где

, En — rsA, (р) .
Л‘(Р)= рн-'TTl-s) ’

д" , . _	ч- г,В, (р) ,

*Р	—»)	’	(13,79)

4 (Р) = ~ рЧ./(1_в) Аг (р);

5г(Р) = -рн_Д1_8)5г(Р)-

Порядок развертывания комплексного выражения для тока и потоко-
сцеплений следующий:

1)	Подставляем в операторные коэффициенты А (р), В(р) оператор-
ные выражения импедансов и проводимостей z8a?, z8y, g8y, g8x.

В сопряженных операторных импедансах z*^, z* величина j заме-
няется на —j (но не р на —р !).

2)	Раскрываем полученные операторные выражения. Раскрытие
операторных выражений производится в зависимости от функции, на
которую они воздействуют. При этом операторные выражения воздей-
ствуют только на функцию, которая стоит множителем справа от опе-
ратора»

5. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ
ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ В ОПЕРАТОРНОМ ВИДЕ ПРИ ЗАДАННОМ ИЗМЕНЕНИИ
СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА

Подставляя в формулу для электромагнитного вращающего момента
(3, 67) операторные выражения (13, 77) и (13, 78), получаем в символи-
ческой записи

М,= Re {/’[л'е^ — B *z~i*ri-ь- Л' (р) z (?) — В'8(р) *-/(?)]х

(13, 80)

где Лг, 2?г, А';, Вг получаются подстановкой вместо р выражения jsr
согласно правилам пользования оператором Хивисайда. Знаком * обо-
значены сопряженные величины.

Перемножение выражений в формуле (13,80) допустимо только
после надлежащего раскрытия всех операторных выражений в функции
времени. Операторные выражения относятся только к стоящему непо-
средственно справа множителю — функции времени.
Полученный вращающий момент (13,80) можно разбить на три со-

ставляющих:

Me = Ms “Ь Мг -+- Мг9\
здесь

М, = Re {/[л; (р) г Ы - в; (р) z~3 Ь) л, (р) z Ь) _ в, (р) e~J t)] ) •

(13,81>

(13, 82)

Mr = Re {j[A'yrt —	[А*е~'*'* — Вге^г/]};	(13, 83)

М„ = Re {/- в;\-^] [л, (р) z t) _ В, (р) t~J t)] -ь

-+- [л>-^ - л; (р) z И - в; (р) е“У Ы]} .	(13, 84)

Составляющие Мг, МГ9 определяются взаимодействием м. д. с.,
вызванных напряжениями, которые подводятся соответственно со сто-
роны статора, со стороны ротора и со стороны статора и ротора.

В общем случае электромагнитный вращающий момент будет состоять
из среднего момента и совокупности пульсирующих моментов.

Для определения вращающего момента требуется раскрыть опера-
торные выражения вида А (р) е 'р ' и, следовательно, требуется знать
скольжение и угол как функции времени. В свою очередь само сколь-
жение определяется вращающим моментом. Таким образом, в общем
случае, если не задано специальных ограничивающих условий, которые
могут облегчить решение, остается либо приближенный метод решения,
либо обобщенное аналитическое исследование уравнений, как это
сделано, например, для одного частного случая Н. П. Власовым [1В-2].
Ниже мы останавливаемся на определенном практическом методе при-
ближенного решения системы для установившихся режимов; рассмот-
рение переходных режимов можно произвести, обобщая задачу уста-
новившегося режима.

В установившемся режиме скольжение и угол являются периодиче-
скими функциями времени с определенным средним значением, в общем
случае не равным нулю.

При практически имеющих место соотношениях момент инерции
машины относительно велик, и колебания скольжения и угла сдвига
в установившемся режиме сравнительно малы. Это позволяет пользо-
ваться следующим приближенным методом рассмотрения.

1)	Пренебрегаем пульсацией угла и скорости вращения и раскры-
ваем операторные выражения типа А{р}& подставляем в Л(р)
вместо оператора р выражения типа js, как это допустимо при воздей-
ствии на операторную величину выражений типа

2)	Находим статическую характеристику машины — зависимость
среднего электромагнитного вращающего момента от среднего сколь-
жения и угла сдвига в установившемся режиме.

3)	Определяем пульсации вращающегося момента, подставляем в вы-
ражения тока и потокосцеплений вместо угла сдвига и скольжения
ротора их средние значения.

4)	Определяем пульсации скольжений и угла, подставляем значение
пульсирующих моментов в уравнение механического равновесия и при-
равниваем нулю совокупность членов с одинаковыми частотами.
Ниже мы рассматриваем некоторые практически важные случаи
установившихся режимов, позволяющие получить критерий для преде-
лов асинхронной статической устойчивости.

6. УСТАНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ РАБОТЫ ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ ДВОЙНОГО
ПИТАНИЯ ПРИ ВЕСЬМА БОЛЬШОЙ ИНЕРЦИИ РОТОРА

а) Общее рассмотрение

При весьма большой инерции potopa Н колебания скольжения и
скорости можно считать равными нулю.

В этом случае е	операторные выражения Д(р)е пре-

вращаются в комплексные A {js) eJ8t. В результате имеем следующее
решение для вращающего момента:

М, = Re {j [A'r^ - В”^8'* -ь A8^9t - By~j8t~\ X

X [A*^9*4 — B^9*4 -+- A*8z'j9t — B8sj8t]},	(13, 85)

где A8, A8, B8, B8 — комплексы, полученные подстановкой в оператор-

ные выражения js вместо оператора р.

Среднее значение электромагнитного вращающего момента равно:

М&о — MgQ -Ь 2ИгО "Ь AferO»

где

4o = R« {;[Л'Х-ьВХ]};

4o = R® {/[44+А]|;

MrtQ = О При 4= *1

Мгл = Re {j [A’rA; -ь В';В, -ь А'Л -Ь в;вг] }
при «Г = S.

(13, 86)

(13, 87)

Вращающие момент Мв0 в асинхронном режиме (sr=^=s) будет равен:

= мгй Чо = Re {j [А'Л + 44 + В"ВГ -ь	};	(13.88)

в синхронном режиме (sr = s) имеем:

= Мг. -	-Ь М„о = Re {j [X -ь A',) (A* + А1) н-

-^(в;^в;)(вг^в,)]}.

(13, 89)

Полученные выражения среднего вращающего момента содержат
еще пульсирующие члены (составляющие Мер), вследствие наличия их
из-за действия операторных выражений А(р) и В(р) [формулы (13,76),
13,79)].

Выражая Д', Bf через комплексы А и В и отбрасывая пульсирую-
щие члены, получаем:

Чо=т=?^(лХ-^;

(13,90)

— Re (А81Ел	A82E8.j) — г8 {А81А81 В81В81 — А82А82 -ч- В82В8^\ (13, 91)
Mr9Q — О

в асинхронном режиме ($r=H=s);

Ч.о = Re {[ЛХ1] - 2г, (АЛА* - ВХ)	(13.92)

в синхронном режиме (sr = s).

Таким образом, в общем случае средний электромагнитный вращаю*
щий момент без пульсирующих составляющих равен:

Чо ~	(А91Е91 А92Е92) г9 [(Л ж1Л#1 — В91В91) -+*

1 s -ь СА9%А92 ^«2^2)] J	(13»93)

в синхронном режиме получаем:

М<0«Не{[(Л,1^Лг)Я;1-Л,2£;2] -Г, [(Л^Л^Л^фЛ^

-	(В91 Br) (/£ н- В*г) - (Л92А*92 - в92в;2)].	(13, 94)

В выражениях (13,93) и (13,94) комплексы А91 и В9± получаются
подстановкой вместо оператора р величины /$, комплексы А9% и В9%—
подстановкой вместо оператора р величины —/(2— $) в формулах
(13,75).

При раскрытии подставленных операторных выражений нужно учи-
тывать, что знак сопряженности в комплексных операторных импедан-
сах z* относится, как уже указывалось, только к /, но не к р.

При отсутствии несимметрии ротора и демпферных контуров можно
вместо формулы М9 = Re (УФ/7) пользоваться выражением М9 = Re (—
и получить аналогичные выражения вращающего момента через ротор-
ные операторные импедансы.

Пульсирующий электромагнитный вращающий момент равен:

Мер = М9р -+- Мгр +" Мгер*	(13, 95)

где М9р, Мгр> МГ9р создаются питанием со стороны статора, со стороны
ротора и со стороны статора и ротора.

мгр=Re {i RX - 4А]еУМ);	(is, 96)

Mtp = Re {j [Afi\ - A'^] J™} 4- Re ((ВЙЕЙ - 2^rt)	.	(13, 97)

Третья составляющая M,rp в асинхронном режиме равна:

М„р = Re {j [ЛХ - АгА'; - В'ГВ\ ч- ВХ‘]	* -

-	[лх -+ лгв; - в;л, - вг л;] J <*+•)<};	аз, 98)

в синхронном режиме:

^ = Ке(ВХ2^29-Ке{[Л^,ч-ЛХ-ЛА-ВЛ)] еу2,/}. (13,99)
В представленных выражениях на основании формул (13,75) и
(13,79) имеем:

А.~Аа-^В^	;

В'г g^-ыА.

В. = ВЛ-^А^

В' = — F7TlJ"-а Вг.

Г j(\ + sr — s) "

(13,100)

Лл, B8U А82, В82 определяются по формуле (13,75) подстановкой js
вместо р в формулах для A8i и В81 и—j (2 — s) вместо р — в формулах
ДЛЯ А829 В82»

б) Частный случай симметричного ротора без демпферных
контуров в роторе

Синхронная работа машины двойного питания с симметричным рото-
ром и без короткозамкнутых обмоток обеспечивается питанием напря-
жениями прямой последовательности, причем вектор напряжения ста-
тора опережает вектор напряжения ротора на угол а.

В этом случае электромагнитный вращающий момент равен:

М. =	{s (Tr - T'r) e*m - e,mErm	=os (а ч- <)} -

{C-^mVZl-bs2^Sin(aH-?r)}.

Здесь

D = г2 (1 -ь S2T2) -ь х29 (1 -ь S2T'2);

= arctg sTr• <pr = arctg sT'r;

(13,10I>

(13,102)

(13,103}

Brm —— егт,гдехт—реактивность взаимоиндукции статорной и ро-
торной обмоток;

Индексом т обозначены абсолютные значения амплитуд (модули}
подведенных напряжений.

Из выражения (13,101) как частные случаи получаем выражения
для обычной асинхронной машины и для обычной синхронной машины
с симметричным ротором.

В частности, для асинхронной машины с одной системой обмоток
на роторе

SX,(Tr-T'r)e2lm	sE*m

' ~ г2 (1 ч- s2r2) ч- х2 (1 -ь s2r;2) ~ (1 ч- Т2) (1 ч- s*T?r)r г '	(13’104>

где Т8 = -^-— постоянная времени статорной обмотки при разом-
кнутой роторной;
V1 + Л2

У 1ч-7^

постоянная времени роторной обмотки при замкну-

той статорной, при частоте, равной единице
г» ____ Хт

И ----- г* &9т9

У синхронной машины с симметричным ротором <рг = 0, <?г = 0, s = 0r

поэтому для нее

М,

х9 {esmErm COS a}

2 ,	2

2 .	2 (^rm etm ^rm s*n a)

r9 x9

(13, 105)*

В этом случае a — угол между осью d и напряжением статора,
а потому (13, 99) можно написать в виде:

(13,106)

где 8 = а------угол между напряжением статора и осью q для слу-

чая, когда напряжение статора опережает ось q.

Парк ввел для роторного напряжения единицу, которая отличается
в — раз от статорной» В этом случае получается упрощенная формула
Хт

для синхронной машины, что видно из полученной формулы (13,106).

Для машины двойного питания при r9 — Q получаем:

1- s(Tr Тг)е9т	( ХтвГт |	,

Мв = i+;2r;2------е'т (г Vi-ГТт^ Jsin ’	13’107

где 8=a->-(pr'—~ угол между напряжением статора и поперечной
осью q (за ось d принимается ось м. д. с., вызванной питанием со
стороны ротора и отстающей при г = 0 на угол от направления век*
тора напряжения ротора).

7. КРИТЕРИЙ АСИНХРОННОЙ СТАТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ ДВОЙНОГО ПИТАНИЯ ПРИ ВЕСЬМА БОЛЬШОЙ
ИНЕРЦИИ РОТОРА

Беря производную от среднего электромагнитного вращающего мо-
мента машины (13, 93) по среднему скольжению ее ротора и приравни-
вая эту производную нулю, получаем критерий для асинхронной ста-
тической устойчивости машины:

^=0,	(13,108)

соответствующий случаю бесконечно медленного изменения скольже-
ния, когда можно пользоваться статической зависимостью вращающего
момента от скольжения.
Скольжение соответствующее этому пределу, называется обычно
критическим. При сложной зависимости Me0=/(s) машина может иметь
ряд пределов статической асинхронной устойчивости, т. е. может устой-
чиво работать на ряде скоростей и иметь несколько критических сколь-
жений.

Для обычной асинхронной машины, питаемой со стороны статора
напряжениями прямой последовательности, средний электромагнитный
вращающий момент равен:

4 m

Re {jx8(js)}>

(13,109)

где

4 = г* Х9 (js) х9 (—js)

(13, 110)

— квадрат модуля импеданса z9 = rt-^-jx (Js).

Критерий асинхронной статической устойчивости в этом случае опре-
деляется выражением

T=052~i[Re<^<^]-[Re<J-C«^S»]_£L = 0- J <13’U1)

При незначительном активном сопротивлении обмотки статора (rt = 0)
получаем:

(13Д12)

Если здмеем:	на роторе отсутствуют демпферные обмотки, то при г, = 0  .	»(ТГ-Т'Г)  (13.113)

и критерий асинхронной статической устойчивости приобретает вид:

(13,114)

1

т. е. sk=—r — результат,

•* г

асинхронной машины*

хорошо известный из элементарной теории

4. УСТАНОВИВШИЕСЯ КАЧАНИЯ ОБОБЩЕННОЙ МАШИНЫ ДВОЙНОГО
ПИТАНИЯ С УЧЕТОМ ИНЕРЦИИ РОТОРА

Наличие конечной инерции ротора вызовет пульсации скольжения,
связанные с пульсацией вращающего момента.

Для определения пульсаций скольжения пользуемся уравнением
механического равновесия:

Hps + M,p = MLp,

(13,115)

где

ps = р (s — so) = Р cos ~ 2 Swe sin

(13, 116)

*г;=1.
— пульсирующая часть внешнего момента нагрузки;

М*р— электромагнитный пульсирующий момент вращения, равный:

т	т

Мвр = MeQp -+• 2 Мпс COS hnt — 2 ^п8 sin hnt.
я—1	п =1

(13,117)

Пульсирующий момент Ме$р представляет собой пульсирующую часть
среднего момента, определяемого по выражениям (13,87), (13,88), при
наличии пульсирующей составляющей в скольжении s.

Электромагнитные пульсирующие моменты вращения Мпе и Мп9 в
формуле (13,117) определяются приближенно по выражениям (13,93) —
(13,99).

Уравнение (13,117) распадается на тп уравнений, где т— число
частот пульсирующих моментов.

В общем случае скольжение будет иметь, помимо средней вели-
чины $0, составляющие, которые пульсируют с частотами hu Л2, •••, Ат,
равными 2s, s-4~sr, s— sr и т. д.

Рабочий угол также будет содержать пульсации с частотами А*

т	т

~h~ sin hnt -+-	cos h„t = ₽о

я = 1	п — 1

(13,118)

где

т	т

₽o = so/-+-₽»io; A?=2^sinA”#-*' S^cosA”f’ (13,119)
я—1 П	п=1 п

т. е. р, будет состоять из постоянной части, пропорциональной сред-
нему скольжению, и пульсаций с частотами Ль Л2,. .., hm.

Для определения уточненных выражений токов, потокосцеплений
и вращающего момента с учетом переменного скольжения по форму-
лам (13,77), (13,78) в этом случае требуется решение операторных
выражений вида:

А (р)	= А (р) £^(Ро+дЗ),	(13,120)

где является периодической функцией времени.

В тех случаях, когда амплитуда периодической части мала, можно
воспользоваться приближенным выражением:

т

1 -ь ;Д(3 = 1 ч- 2 (Сп1^
Я=1

(13,121)

где, согласно обозначениям (13,71)

С«1 =	2

$пс

Ь«2=	2

(13,122)

Пользуясь этим приближением, получаем:

А (Р)	IA (jso) ч- 2 С^ЬЧа I j (,0 ч- h„) | ч-

I	Я=1

2 С^-^*А | j (s0 - Ъ) ||-
Я=1	)

(13,123)
Эта формула дает возможность определить токи, потокосцепления
и среднее значение электромагнитного вращающего момента с учетом

влияния пульсации скольжения.

При больших колебаниях скольжения формула (13,121) становится
неточной. В этом случае целесообразно воспользоваться разложе-
нием Гансена.*

С... = 7о (а) -ь 2 2 c°s vx,
№1

e/asin® _	(а)	2	cos v (у ~ х) ’

v=l

(13,124)

где — Бесселева функция первого рода порядка v.

Для практически возможных колебаний скольжения ряды (13,124)
быстро сходятся, и поэтому разложение дает возможность сравни-
тельно простого решения задачи.

Необходимо отметить, что это же разложение позволило развить
в радиотехнике теорию модуляции частоты — задачу, математически
весьма близкую к рассматриваемой нами. Применение разложения
в ряды (13,124) к большим качаниям синхронной машины изложено
в главе 14.

При пользовании разложением Гансена мы получаем решение опе-
раторного выражения А (р) в виде:

где

А (Р)	= ^А(Р + js0) (Fo -+- Fp),

т

^0 = П Л	Л »

я=1

(13,125)

(13,126)

Fp — периодическая функция времени.

Если при определении Fp пренебречь произведениями Бесселевых
функций первого порядка и Бесселевыми функциями высшего порядка,
то

, __(Ряс)	2/p/i (Ряс)

2а j/o(W
Я—1	я=1

sin hnt.

(13,127)

9. ВЛИЯНИЕ БОЛЬШИХ КОЛЕБАНИЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ РОТОРА,
ЧАСТОТЫ И АМПЛИТУДЫ НАПРЯЖЕНИЯ НА РАБОТУ СИНХРОННОЙ И
АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

а)	Образование гармоник при качаниях скорости вращения
ротора возбужденной синхронной машины

При модуляции скорости вращения ротора машины имеет место
модуляция частоты э. д. с., наводимых в статоре.

Напряжения с модулированной частотой можно представить в виде
совокупности гармонических, амплитуды которых определяются Бессе-

* См., например: Г. Полна и Г. Сеге. Задачи и теоремы из анализа. ОНТИ ,
1937, ч. I, стр. 105.
левыми функциями первого рода разных порядков Jn (△<*>), где и = 0,1,
2, 3,... с аргументом, равным величине модуляции △<*>, а именно:

U — Uq sin (f Ч- Део sin ht) = Uq {Jo (Дсо) sin t -+- J1 (Дю) [sin (1 -+- A) t — sin (1 — h) f]

/2 (△“>) [sin (1	2A) t sin (1 — 2A) f] ч-

-4-	J3 (Aco) [sin (1 -4-ЗА) t — sin (1 — ЗА) f] -4- ...},	(13,128)

Каждая из гармонических будет создавать фазовые токи соответ-
ствующей частоты и поля м. д. с., вращающиеся пространственно
в машине с соответствующей несинхронной скоростью. Поля эти будут
отражаться в роторе и будут взаимодействовать со всеми м. д. с. ро-
тора, создавая средние и пульсирующие составляющие электромагнит-
ного вращающего момента с различными частотами.

При модуляции возбуждения по закону Е = (EQ-+-&Esin ht) наводи-
мое в статоре напряжение равно:

Д£	Д£

U = Ео sin t ч- (1 — A) cos (1 — A) t — -у (1 ч- A) cos'd A) t, (13,129)

т. е. получаем три пространственно вращающихся поля с угловыми
скоростями 1,1-—h и 1-1-Л, взаимодействие которых создает, помимо
средних вращающих моментов, составляющие электромагнитного вра-
щающего момента с частотами, по крайней мере h и 2/ь

б)	Влияние модуляции тока и напряжения на величину
статического кажущегося сопротивления

Следует отметить, что при модуляции тока индуктивное сопротивле-
ние ведет себя по-иному, чем при обычном синусоидальном изменении.
Так, при амплитудной модуляции тока по закону i = (im^+&micoshf)
т di
индуктивное падение напряжения L равно при частоте тока о>:

di	( тс \

L = xim cos (tot ч- I ч- Rkmi cos tot,	(13, 130)

где

х = toL и R — hL cos [ht ч- ’	(13,131)

При наличии модуляции напряжения и тока по частоте, по фазе,
либо по амплитуде кажущееся сопротивление ведет себя по-разному.
Изменяется как величина, так и коэффициент мощности результирую-
щего статического кажущегося сопротивления. Эти изменения могут
оказывать довольно существенное влияние на устойчивость системы.

в)	Работа машины переменного тока при модуляции подведенного
напряжения или скорости вращения ротора

Как было показано в главе 10 и в настоящей главе,. наличие коле-
баний в скорости вращения ротора либо в амплитуде питающего напря-
жения синхронной машины сильно влияет на электромагнитный вра-
щающий момент синхронной машины. Например, при наличии колебания
рабочего угла 8 с малой амплитудой коэффициент синхронизирующего
момента синхронной машины может существенно увеличиться и угло-
вые характеристики машины при разных углах So будут иметь вид,
представленный короткими отрезками на рис. 13-1. Если учесть еще
влияние демпферного момента, то угловая характеристика при малых
качаниях угла будет иметь вид, представленный на рис. 13-2. Это
значит, что синхронная машина при наличии малых качаний может

Рис. 13-1. Статическая угловая характе-
ристика синхронной машины Me=f(b) и
динамические характеристики при малых
колебаниях рабочего угла.

Рис. 13-2. Статическая угловая характе-
ристика синхронной машины Afe=/(%) и
динамическая характеристика при малых
колебаниях рабочего угла, с учетом влия-
ния демпферного момента.

устойчиво работать и на той части статической угловой характеристики
Мю=/($0), которая имеет отрицательный наклон.

Аналогичная задача изучена в механике — колебания маятника при

качании точки подвеса, и в теории электромагнитных ускорителей —
синхрофазотронов — создание модуляции магнитного поля для обеспе-

Рис. 13-3. Статическая характеристика
Me = f(so) асинхронной машины и динами-
ческие характеристики при малых колеба-
ниях скольжения.

чения устойчивости движения
пучка ускоряемых частиц.

Пусть, например, имеется обыч-
ный подвесной маятник, постав-
ленный в неустойчивое вертикаль-
ное или наклонное положение.
Оказывается, это положение
можно сделать устойчивым, если
точке подвеса маятника сообщить
определенные качания. При оп-
ределенных частотах качаний
точки подвеса существуют опре-
деленные зоны устойчивого поло-
жения работы маятника, которые
при отсутствии качания точки под-
веса являются заведомо неустой-
чивыми.

питаю-

ведут себя также по-дру-

Асинхронные машины при наличии модуляции напряжения,
щего машину, или скорости вращения ротора,

тому, чем при отсутствии модуляции.

На рис. 13-3 представлена обычная статическая зависимость вра-
щающего момента от скольжения для асинхронной машины при питании

синусоидальным напряжением и динамические зависимости, имеющие
место при малых колебаниях скольжения ротора. Если в какой-то мо-
мент времени асинхронная машина, работающая без качаний, попала
в режим соответствующей части характеристики	в которой

скольжение больше критического скольжения $£, то, как известно,
машина работает неустойчиво, снижает свою скорость до нуля, если
только не повысить напряжение настолько, что машина сможет начать
ускоряться и перейдет за критическое скольжение sk.

Между тем, создавая модуляцию амплитуды, либо частоты подве-
денного напряжения с необходимой фазой, либо модуляцию скорости
вращения ротора машины, можно обеспечивать устойчивую работу
асинхронного двигателя в любой точке характеристики М=/($), т. е.
при любых скольжениях в том числе при скольжениях, больше кри-
тического (рис. 13-3).

г)	Большие установившиеся колебания скорости вращения
ротора в асинхронной машине

Пусть скольжение обычной асинхронной машины с симметричным
ротором изменяется по закону

$ = $0-+- Д $==$0-4- ^mS cos ht.	(13,132)

Рассматриваем для получения менее громоздких выражений случай,
когда влиянием активного сопротивления г8 в цепи статора можно пре-
небречь. В таком случае, при наличии на двигателе номинального на-
/, тс \
пряжения с напряжением на фазе а, равным еа = coslr -+- у I, имеем
следующие выражения для фазовых токов статора:

{/4тс	\	( j2it \

е 8	k	te = Re is 3 i«sy< k	(13,133>

где

= Re in -+- j Im iu = е-Л HnM

Jo(*)

•V* (Jso)

е/2яА/	e—J2nht

r* | j (s0-ь 2пЛ) | x. \ j (sq — 2nh) \ Xj -4»+l & X
n=0

x9 I j («0 2nA A) | x9 | j ($Q — 2nh Л) I

(13,134>

Здесь Jn(k) — Бесселева функция первого рода, n-го порядка

△ж®
“ А *

а

= ix (js) -4- jir (js),

(13,135)

(13,136)

— ток статора по токовой характеристике для скольжения
Электромагнитный вращающий момент при установившихся качаниях
скорости вращения ротора с амплитудой Ams в этом случае равен:

М. — [cos Дв • ir (js0) — sin ДО •	(jso)] Jo (&) + 2	(*) X

=1

X {[cos (2nht — ДО) ir | j (sq -+- 2nh) | -+- sin (2nht — ДО) i9 | j (sq -+- 2nh) |] -+-

•+• [cos (2nht +• ДО) ir | j (so — 2nh) | — sin (2nAf -4- ДО) ix | j (sq — 2nh) |]} -+•

-ь 2 Л*+1 (^) {tcos (%nht ht — ДО) ir | j (so -+- 2nh A) +- sin (2nht -i- ht -+• ДО) X
=0

X 1» I j (so + 2nA A) |] — [cos (2nht -+- ht -+- ДО) ir | j (s0 — 2nh — A) | —

— sin (2nht ht-t- ДО) i9 | j (sq — 2nh — A) |]}.

Здесь
ал t t hms .	_

ДО = k sin ht =	~ sm ht.

В первом приближении

/о(*)^1; Ji(k)^-,

Jn(k) = O; (n=2, 3,...).

(13,137)

(13,138)

(13,139)

Получаем для электромагнитного вращающего момента при качаниях
скорости вращения ротора с амплитудой &ms в перврм приближении
выражение

Де	1

М9 = Mq -+- [i’r | ] (sq А) I — ir | j (sq — A) I] -*- 2A2 t2^ (Ao) —

— ix I j (sq -+- A) | — i9 | j (sq — A) |]	,

at

(13,140)

т. e. тот же результат, который был получен при рассмотрении кача-
ний скорости вращения с малой амплитудой, см. (13,35).

Здесь Mq = ir (js0) — электромагнитный вращающий момент при
скольжении $0 при отсутствии качаний.

Как видно из выражений (13, 137) и (13,140), помимо дополни-
тельного электромагнитного вращающего момента при качаниях сколь-
жения, пропорционального изменению скольжения As, появляется допол-
нительный вращающий демпферный момент, пропорциональный скорости
изменения скольжения . Этот демпферный момент может быть поло-
жительным либо отрицательным в зависимости от того, на каком сред-
нем скольжении возникают качания и каковы амплитуда и частота
качаний. При определенных условиях может иметь место раскачивание
машины до пределов, определяемых нелинейными характеристиками
машины.

д) Влияние модуляции подведенного напряжения на работу
асинхронного двигателя

Аналогичные соотношения имеют место при наличии модуляции
частоты напряжения, подведенного к двигателю, вращающемуся с не-
изменной скоростью.
При наличии модуляции амплитуды подведенного напряжения
имеется как бы одновременное питание двигателя напряжениями трех
частот 1,1-4-Л и 1—Л.

Если напряжение в фазе а выражается в виде:

еа — (1 ч- Дт е cos ht) cos	ч- = (1 ч- Де) cos yf ч-

(13,141)

(13,142)

.	(13,143)

и модуляция амплитуды напряжения во всех трех фазах статора про-
исходит одновременно, то фазовые токи статора могут быть выра-
жены в виде:

{/4тс Ч	( У2тс 1

£ 3	i’c = Re|£ 3 zaf,

где

1 Дт е [•

х9 (js) 2 [ (1“ьЛ)ха|/(«“ьА)|	(1 - А) х, | j (s — А) |



Электромагнитный вращающий момент при этом будет равен:

Д»м е

М, = Мо-+-	— Д2)' <sin ht [(1 ~ IJ (« -*- Л) | — (1 ч- А) ix | j (sQ — А) I ч-

2hix (js)] ч- cos ht [(1 - A) ir | j (s 4- A) | 4- (1 ч- A) ir \j(s-h)\ + 2ir (js)]}.	(13, 144)

где MQ = ir (js) — нормальный электромагнитный вращающий момент
при отсутствии модуляции напряжения.

В первом приближении при малом h и малом е имеем:

Д е

= Мо ч- -J- [zr I j (s ч- A)J ч- ir | j (s — A) f ч- 2ir (js)] ч-

1 <7Де

2А ST 17 (« — А) | — ix | j (S ч- А) |].	(13,145)

Как видим, и в этом случае, помимо дополнительного момента, про-
порционального модуляции напряжения Де, появляется демпферный
момент, пропорциональный скорости изменения амплитуды напряже-
те
ния

10. РАССМОТРЕНИЕ БОЛЬШИХ УСТАНОВИВШИХСЯ КАЧАНИЙ СИНХРОННОЙ
МАШИНЫ С ПОМОЩЬЮ ФУНКЦИЙ БЕССЕЛЯ

Использование функций Бесселя позволяет выявить также особен-
ности изменения характера качаний рабочего угла синхронной машины
при увеличении их амплитуды.

Ниже рассмотрен режим синхронной машины с установившимися
большими качайиями рабочего угла 8.

Для выявления основных закономерностей рассматриваем случай
отсутствия регулирования возбуждения = 0 при весьма малом актив-
ном сопротивлении в цепи статора (г,»0).

3 этом случае уравнение для электромагнитного вращающего
момента машины, включенной на мощную сеть, имеет в упрощенной
символической записи для установившегося режима вид:



(13,146)
Электромагнитные величины е, ф, i при переменном угле, являю-
щемся функцией времени, состоят из постоянной части е0, ф0 и /0 и
части, являющейся функцией времени: Де, Дф и Д/ (величину этой
части мы не ограничиваем).

В общем случае имеем:



(13,147)

При воздействии таких величин на операторные реактивности
получаем соотношения:

_______2d___________________________ A grf (О

Пхч (Р), Xj (р)] - /[^ (0), хв (0)] ‘•/to (р), xs (р)]

_______edp	A (t)

“ f(xd, Xq) ^~f[xd (p), Xq (p)]

(13,148)

rri	edQ	edQ

и т. д. Так, например,	.

Во всех дальнейших уравнениях величины е, ф, i состоят из по-
стоянной и переменной частей, для каждой из которых операторная
реактивность, связанная с рассматриваемым выражением, принимает
свой вид.

Формуле (13,146) электромагнитного момента можно придать не-
сколько иной вид, учитывая, что

е?°	___ %0	% I edb

xd (р) J xd ’	|_Х?(р) J Xq

и, следовательно,

Используя эти соотношения, получаем вместо (13,146)

Ее ъ e2sin25 /1	1\ л Г/ 1	1\	.	. ~1

М—------sin & -+----q---(---—----) -4- е2 cos 5 (-7~v —---1 (sin 5 — sin 5л) —

2 \Xq Xd)	L\X<z(p) xq!	j

— e2 sin 5	~ “) (cos 5 — cos 50)^j .	(13,149)

В таком виде формулу электромагнитного момента дал Парк [3-57].

Формула (13,146) дает выражение электромагнитного момента для
установившихся режимов при установившихся колебаниях угла 8.

В общем случае, если 8 = 80-ь-А8 (7) • 1,

ed = е sin 5 = е sin (50 -+- AS) == е (sin 50 • cos Д5 -ь cos 50 • sin Д5);
eq = е cos 5 = е cos ($о ч- Д5) = е (cos $о cos А5 — sin 5q • sin Д5).

Если Д8 = Д0 sin st (случай установившихся качаний с амплитудой До),
то возникает необходимость решения операторного уравнения электро-
магнитного момента (13,146) при наличии в нем выражений типа
sin (Aosin st).

(13,150)
Обычно авторы ограничиваются рассмотрением случая, когда АЗ
малая величина. В этом случае в первом приближении имеем;

е& = е [sin -+- (cos So) Д&];
eq = е [cos &о — (sin М △$]»

(13,151)

и необходимость рассмотрения функции типа sin (Aosin st) отпадает.

При установившихся синусоидальных качаниях с большой ампли-
тудой угол 8 равен %-+-Aosin st. В этом случае для определения
электромагнитного момента требуется рассмотрение функций вида
sin (Ао sin st).

Функции вида

sin (До sin s/) и cos (До sin s/>)

могут быть разложены в быстро сходящийся ряд Неймана с Бесселе-
выми функциями первого рода:

sin (До sin s/) = sin £До cos ^s/ —	= 2/i (До) sin st-+-2Jz (До) sin 3s/ -+- ...;

cos (До Sin s/) = cos [До cos ^s/ — J = /0 (до) -*• 2/г(до) cos 2s/ -+-

2J< (До) cos 4s/ -ь ...

Графики функций вида sin(A0cossf) и cos (Ao cos s/) представлены
на рис. 13-4.

Подставляя ряд (13,152) в формулу (13,146) для электромагнитного
момента и пользуясь выражениями операторных реактивностей, [см.
формулу (2,49)], получаем выражение электромагнитного момента для
случая большой амплитуды качаний [см. выражение (13,153)].

На рис. 13-5 представлены расчетные кривые электромагнитных
моментов в функции от угла 8 при угле равновесия, равном нулю,
и амплитудах качаний Ао в 30, 60, 90, 120, 150 и 180°, построенные
по полученной формуле для машины, имеющей две обмотки на роторе.
Рис. 13-5. Зависимость элек-
тромагнитного вращающего мо-
мента от рабочего угла S при
установившихся качаниях при
среднем рабочем угле 5о = О и
при разных амплитудах качаний
△о для синхронной машины со
следующими данными: Е = 1.56;
*£=0.5; xq =0.32; xd = 0.16;
xq = 0Л0;s = 0.05; Td0 = 1010;
Гг0=30; T'a= 335; Т'я = 9.5.
c — статическая угловая характери-
стика.
На рис. 13-6 даны такие же кривые для 8о = ЗО°, для двух значений
△0-30 и 60°.

Как видим, при малых качаниях кривая вращающего момента
в функции угла 8 описывает фигуры, похожие на эллипсы. Площади
этих эллипсов определяется демпферным моментом и характеризует
работу, затрачиваемую при качаниях и переходящую в джоулевы по-
тери в роторе. При увеличении амплитуды колебаний эллипсы превра-
щаются в фигуры сложной формы.

Важно отметить, что коэффициент синхронизирующего момента су-
щественно зависит от амплитуды качаний. Динамическая характеристика,
обычно принимаемая как имеющая больший наклон, чем статическая,
в действительности может иметь при больших амплитудах качания ра-

Рис. 13-6. Зависимость вращающего мрмеита от рабочего угла 3
при установившихся качаниях при среднем рабочем угле &о —30° и раз-
ных амплитудах качаний для синхронной машины с теми же данными,
что на рис. 13-5.

бочего угла меньший наклон, чем статическая, особенно для машин
без демпферной обмотки в поперечной оси. Так, например, как видно
из рис. 13-5, синхронизирующий момент в представленном численном
примере при 8а = 0 при амплитуде качаний Д0<90° оказывается больше,
чем по статической характеристике. При До = 12О, 150, 180° синхрони-
зирующий момент (представленный на рис. пунктирной линией) стано-
вится меньше, чем по статической характеристике, и уменьшается но
мере увеличения амплитуды колебаний угла До.

На рис. 13-6 показано, что при 80 = 30° и До = ЗО° наклон кривой
синхронизирующего момента в функции угла 8 больше, чем при ста-
тической характеристике, а при 8о = ЗО° и Ао=6О° наклон кривой
синхронизирующего момента в функции угла 8 существенно умень-
шается (см. пунктирные линии).

Подставляя соотношения (13,152) в уравнение для электромагнит-
ного вращающего момента при установившихся качаниях угла (13,149),
получаем при гв«0:

к	« г /л ч Г cosbsin&o sin&cos&0“]

Mr = —sin&H-e2Jo (Ao) -----—----—------7"----

L. Xq	x& _J

. n „ f „	* Г 71 (До) sin st Js (До) sin 3st 1

l	“ L Xq (js)	Xq (j3s)	J

» Г 71 (До) sin sf Js (Др) Sin 3s# “I ]

-+- sin 0 COS Op I -7Г7--+- ----4------4- . . .	? 4-

0 L xd (js)	xd №>)	J J

„ „ f . . » Г 7г (до) cos 2sf	/4 (Др) cos 4s#

I	“ L Xq (]2s)	Xq (j4s)	J

• s x Г 7г (до) cos 2s#	/4 (До) cos 4s#	~] )

— sin 8 cos bp L Xd(j2s)	xj(j4s) "'J J* (13,153)
При весьма большой частоте качаний получаем синхронизирующий
момент:

1

' Xd

1

Xd

sin 2Ь ч- е2 ) ( ~~jt —	\ cos & [sin & — Jq ( До) sin &0] —

I \ xq Xq )

-7-^ sin 8 [cos 8 — Jo (До) cos 80] I.	(13,154)

j	j

Известная формула Парка для электромагнитного момента при
большой частоте качаний отличается от выведенной тем, что
в ней принято равным единице, т. е. принято весьма малое значение
амплитуды колебания До.

При больших амплитудах качаний неучет /0(Д0) может привести
к большим ошибкам.

Так, например, при 8о=О имеем по формуле Парка:

Для машины мощностью 30 Мва с параметрами:

х* ==0,215; х"== 0,217; xd = l,49 при £=1 и е = 1:

По формуле Парка при sin 8 = 1 имеем: М* = 4,65,
По формуле (13,154) при разных Ао имеем:

До = О	30°	60°	90°	120°	150°	180°

М = 4.65	4.38	3.63	2.55	1.35	0.26	—0.54

Практически остальными членами, кроме выписанных, в выражении
(13,154) при расчете вращающего момента можно пренебречь. В слу-
чае, когда До близко к «, можно учитывать еще 5-ю гармонику, дости-
гающую в этом случае по амплитуде 0.052, т. е. порядка 5% от
амплитуды члена sin Д8.

Приводим для наглядности таблицу значений Бесселевых функций
различных порядков для отдельных значений До.

Таблица 13-1

Значения Бесселевых функций

Градусы	Д0 радиан	7о(Д)	Л (А)	J,(A)	Л (А)	Л (А)	Л (А)
0	0.000	1.000	0.000	0.000	0.000	0.000	0.000
30	0.523	0.932	0.253	0.034	0.003	0.000	0.000
60	1.047	0.744	0.454	0.125	0.022	0.003	0.000
90	1.571	0.472	0.567	0.250	0.067	0.014	0.002
120	2.094	0.170	0.569	0.373	0.143	0.040	0.008
150	2.615	—0.104	0.467	0.460	0.237	0.086	0.024
180	3.142	—0.304	0.285	0.485	0.332	0.151	0.052
Выразим x(js) x(j’2s)... Как комплексные величины. Находим
модуль и угол соответствующих комплексных импедансов. Подставляя
их значения в формулу (13,153), получаем:

,, Ее	. /cos 5 sin bn sin Seos b0 \

M. 4- — sin В ч- e2/0 (Ao) (-----------~~------------) 4-

xd	X X<L	xd /

„ of »	„ Гг /. x sin(s#-«-?e«)	, ZA , Sin (st 4- <рг,з) 1

 2e21 cos 8 cos 80 [yi (До)-----—---------н- J3 (До)------—-----------ь ... J -Ь

 X  X Г г /л i sin (st-b?rfsJ)	sin (st ч-^з) II

ч- sin 8 sin 801_Л (До)-----—-----------+- J3 (До) —	* — J J *

cos b sin So [/2 (Ao)

cos (sf <pgg2)

-AW с°^т'и1 и-...]-



• X X Г 1	\ cos (st -+-	cos (st ч-<prft4)	II

sin 8 cos 80 J2 (Ao)----------—-------------+ Ji (Ao)--------—----------•+.. • f • (13, 155)

L.	га«2	—1 )

Здесь принято, что

1	tJVdns

Xd(jns) ~ Zdn> ’

1

Хд (,•„;/ = —------•	(« = 1.2,3...)	(13,156)

XQ \Jns)	zqn»

Для случаев, когда п$7^'>>1, влиянием омического сопротивления
ротора можно пренебречь. В этом случае xd (jns) превращается в xd.

Эллипсы, характеризующие электромагнитный вращающий момент
в функции угла при установившихся качаниях малой амплитуды, как
видим, по мере увеличения амплитуды качаний превращаются в фигуры
сложной формы с уменьшающимся средним наклоном. Средняя точка
колебания в общем случае не лежит на статической характеристике.

Несовпадение средней точки колебания момента в функции угла 8
со статической характеристикой имеет следующую простую физиче-
скую интерпретацию.

Если мы имеем (см. векторную диаграмму рис. 13-7) средний рабо-
чий угол между вектором приложенного напряжения е и осью <?, рав-
ный 8Х, то при качаниях вектор напряжения описывает дугу. При этом,
поскольку колебания принимаются синусоидальными, вектор напряже-
ния будет занимать через равные промежутки времени положения,
представленные на рисунке. Проекция вектора напряжения на верти-
кальную ось — eq определяет потокосцепления статора по продольной ф^.
Для оценки средних потокосцеплений нам нужно найти среднее
арифметическое для этих проекций, взятых через равные промежутки
времени. Эта средняя величина e?0 = ^0 (для которой в отличие от
гармоник колебания величины проекции &eq = операторная реактив-
ность равна синхронной реактивности) как раз и будет определяться
Бесселевой функцией нулевого порядка от аргумента, равного ампли-
туде качаний угла Ао. Средняя точка кривой колебаний электромагнит-
ного момента в функции угла 8 определяется средними потокосцепле-
ниями по продольной и поперечной осям.

Как видно из рис. 13-7, средние потокосцепления статора равны:

Ф«/о ~ е$о = Jo 0о) esi= Jo (Ао)е cos &i;

~Фдо ~ edb = Jo (до) edi = Jo (до) е sin $1-

Очевидно, что уменьшение средних потокосцеплений статора при-
водит к снижению среднего электромагнитного вращающего момента.
По этой причине положение средней точки угловой характеристики
зависимости Ме — /(8) при больших качаниях зависит от амплитуды
колебания угла. В этом физический смысл влияния амплитуды кача-
ний рабочего угла машины на величину среднего электромагнитного
вращающего момента при качаниях.

При определенной амплитуде качаний среднее значение проекции
= вообще может равняться нулю, и в этом случае электро-
магнитный момент будет определяться главным образом переходными
реактивностями (рис. 13-8).

Рис. 13-7. Векторная диаграмма синхронной машины
при установившихся больших качаниях рабочего угла 8
по закону 8==8о — Ag cos st. Амплитуда качаний Дд =
гс „ / гс\
= 4-: /о (4) =0.852.

Влияние роторных токов, наведенных при качаниях рабочего угла
по закону 8 = 8О — A0coss£ около среднего рабочего угла 8Х на измене-
ние среднего электромагнитного вращающего момента будет равно:
от роторных токов по продольной оси
е% (	1 \

да = - т v*. - 77)[1 - 7о (4°)] sin 25ь	(13*157)

где [см. формулу (13,156)]

; nf. 1	-СО8?Д«

ldsz — Ke / • ч —	,	(13, 158)

xd \JS) zds

от роторных токов по поперечной оси

Д А=у	- 77) t1 “ л (До)18in *1»	(13’159)

где

1	COS

(13,160)

Численный пример. Приводим численный пример расчета электромагнитного
вращающего момента синхронной машины при больших качаниях рабочего угла для
случая одной обмотки возбуждения по продольной оси и одной демпферной цепи по-
поперечной оси.

Имеем следующие параметры:

Е=1.56;	л^ = 0.5;	хд = 0.32;	« = 0.05	Гйо = Ю1О;	7^ = 335;

Г? = 30;	x'd = 0.16;	x'g = 0.10;	Т'=9.5;	е = 1.0.

Рис. 13-8. Векторные диаграммы синхронной машины при установившихся боль-
ших качаниях рабочего угла В по закону S = $о — △о cos с разными амплитудами
качаний угла.

а — До = 60°; Jo (До) = 0.744; б — До = 90°; Jo (Ао) = 0.472; в — До = 137.8°; Jo (До) = 0.

Определяем необходимые коэффициенты по формулам:

1 , 1-1/ 1н-п2»2Г^0	1 1/ 1-ь (50.5п)2	1	1

~ xi V 1-biVr^2 “0.5 V 1 н- (16,75л)2	0.16- x’d ’

sTdQ = 0.05 • 1010 = 50.5; sT 'd = 16.75.

Как видим, в представленном численном примере эффект омиче-
ского сопротивления в обмотке возбуждения на модуль операторного
реактанса меньше точности нашего расчета. Углы

агс *8 (55.5n) — arc tg (16.75п);

<РЙЛ = 89° — 86°ЗО' = 2.5°;	?й(12 = 89°30' — 88° = 1°30';
Угол не превышает 2.5°. Для простоты расчета небольшим влия-
нием мнимой части xd(js) пренебрегаем. Таким образом, электромаг-
нитный вращающий момент, связанный с параметрами по продольной
оси, можно определять по формуле для больших частот качаний
(13,154).

Для поперечной оси имеем:

1 1

Zq»n xq

1-ь(1.5п)2

1 -+- (0.475п)2 *

Получаем следующие значения zq9nz

п= 1	2	3	4 со

zj,„ = 0.197 0.147 0.121 0.113 =Д-
Х1

,7	.	1.025п

Угол = arctg YV0.715n-

При разных значениях п имеем:

п= 1	2	3	4	со

0.599 0.531 0.414 0.330 0.00

<tq9n	31°	28°	23°	18°	0°

Подставляя соответствующие численные значения в формулу (13,155)
для вращающего момента, получаем:

М9 = [3.12 -+• 4.25 Jo (Ао) cos 50] sin & — 3.13 sin 25 -ь 3.13 Jo (До) sin cos $

{cos 50 [10.3 Jx (До) sin (st -ь 31°) -ь 16.5 J3 (До) sin (3sZ -+- 23°) -ь

-+- sin 50 [13.6 J2 (До) cos (2sZ -ь 28°) -+-17.7 J4 (До) cos (4tf -+• 18°)} cos 5.
ГЛАВА 14

АНАЛИЗ БОЛЬШИХ КАЧАНИЙ И ДИНАМИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ С ПОМОЩЬЮ

ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1.	СИНХРОННЫЕ РЕЖИМЫ И СИНХРОННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

Вращающий момент Мв в переходном режиме выражается форму-
лой (13,80). Если изменяются подаваемые напряжения, то в оператор-
ных коэффициентах А и В появляются добавочные части АД и А/?,
связанные с добавочными напряжениями. Наличие конечной инерции
ротора скажется в переходном режиме на изменении скольжения As
и на изменении угла АЗ. Вводим 8 = р-----для сходства формул

с обычными формулами, полученными в теории синхронных машин.
Принимаем в настоящей главе, что угол 8 положителен в случае работы
машины в качестве двигателя.

Основное затруднение в решении операторного уравнения (13,80)
для вращающего момента Ме заключается в необходимости учесть пе-
ременное скольжение в переходном режиме, что связано с затрудне-
ниями в этом случае в решении операторного выражения вида
Д (р) еУ( р ).

Приближенный путь решения можно принять следующий.

1)	Принимая $ равным его установившемуся значению $0, получаем
выражение для среднего вращающего момента Ме = М (р, 8).

Подстановка р = 0 дает в функции рабочего угла 8 статическую ха-
рактеристику вращающего момента машины, а подстановка р = со дает
сверхпереходную динамическую характеристику вращающего момента
мащины. Действительная характеристика будет лежать между этими
предельными.

2)	Уравнение механического равновесия может быть представлено
в виде:

8

Н 	= f	- Ч)	(14.1)

«о

Если принять за Ме его приближенное значение по статической или
сверхпереходной динамической характеристике, то Мв не зависит от
s = ~& и, следовательно, интеграл в правой части выражения (14,1)
можно определить графическим или аналитическим (по крайней мере,
приближенным) путем.
Из выражения (14,1) находим:

где

$

J ад)’
оо

г

Я(8) = тИ
«о

(14,2)

(14,3)

Решая приближенно интеграл (14,2), получаем зависимость 8 =/(£).
Функция эта будет периодической или апериодической в зависимо-
сти от корней (действительных или мнимых при 8 > 80) уравне-
ния

Я(&)=0.

По абсолютной величине добавочное

(14» 4}

скольжение As равно:

oft d$
dt — dt

= vW),

(14 »5>

и, следовательно, требование отсутствия добавочного скольжения со-
ответствует требованию наличия действительных корней уравнения
/?(8) = 0. Графически это соответствует известному правилу равенства
площадей.

3)	Зная 8 =/(£), находим (по крайней мере приближенно) выраже-
ние вращающего момента с учетом изменения скорости в переходном
режиме М'в по формуле (13,80) и последующим формулам,

4)	Составляем новое выражение

6

8.

Дальнейшее уточнение может быть произведено повторением ука-
занных операций. Этот метод может быть применен к рассмотрению
одного качания или ко всему переходному процессу в зависимости от
поставленной задачи и от желаемой степени точности результата.

Таким образом, синхронная динамическая устойчивость определяется
наличием действительных корней в уравнении 7? (8) = 0 (в интервале
8 > $о)> что является аналитическим выражением известного закона
площадей.

Учет влияния затухания токов в переходном режиме может произ-
водиться методом последовательного приближения, как указано выше.

Рассмотрение задач динамической устойчивости важно преимуще-
ственно для кратковременных нарушений режимов, так как при долго-
временном изменении режима разница между рассмотрением по стати-
ческим и динамическим характеристикам сравнительно невелика. Так,
например, если статическая характеристика выражается зависимостью
Afe = MosinS, то максимальный, допустимый с точки зрения динамиче-
ской устойчивости наброс нагрузки ML — MLQ при начальном угле

определяется уравнениями

з2

/? (8) = J (ML - Ме) Л = ML (82 - 80) -ь мо cos (82 - 8J = 0;

$0

ML==MQsin\u

Откуда (1В-11)

ML max = I0’725 °’311 sin В0 ~ °*05 sin2 $0 °‘0U sin3 М Mq.

(14, 6)

(14.7)

При 8о = О получаем 32 = 2.329, т. е. 133°27', ML = 0.725 MQ.

Если наброс кратковремен, то при учете экстратоков в роторе
предельный наброс нагрузки может быть значительно больше. По
мере затухания экстратоков допустимый предел наброса нагрузки ста-
новится меньше, и наибольшим возможным пределом после затухания
экстратоков, очевидно, с учетом влияния переходный токов, оказы-
вается MQ — статическая перегружаемость.

Пусть известны приближенные в общем случае нелинейные зави-
симости электромагнитного вращающего момента синхронной машины
и приложенного внешнего вращающего момента от ее рабочего угла
при внезапном набросе нагрузки, по крайней мере, на протяжении
полупериода колебания. Зависимость рабочего угла от времени опре-
делится решением уравнения механического колебания ротора син-
хронной машины (14, 8).

При исследовании этого уравнения мы встречаемся с интегралами,
которые не выражаются через известные нам функции, т. е. через
функции, вычисленные и сведенные в таблицы. Пытаясь найти при-
ближенное решение, мы видим, что если на участке в полпериода
колебания заменить выражение для накопленной кинетической энергии,
соответствующей скольжению, полиномом третьей степени, то угол на
этом участке можно выразить через эллиптические функции Якоби,
частным случаем которых являются обычные синусоидальные функции.

Вследствие относительно большой энергии ротора и наличия инер-
ции магнитного поля кривая изменения кинетической энергии, соот-
ветствующей скольжению, имеет сравнительно плавный характер (по
крайней мере на протяжении полупериода колебаний). Кроме того,
рабочий угол, выраженный в функции времени, определяется интегра-
лом, в который входит корень квадратный из величины, которую мы заме-
няем полиномом третьей степени. Поэтому результаты такого прибли-
жения оказываются в большинстве случаев достаточно точными.

Полученное выражение рабочего угла через эллиптические функции
позволяет рассмотреть более полно физическую картину колебаний
ротора синхронной машины при большой амплитуде колебаний. При
малых колебаниях получаем синусоидальный характер колебания угла.
При увеличении амплитуды колебаний кривая искажается. При этом
уменьшается главным образом частота основной гармонической крле-
баний. Высшие гармоники колебаний имеют место, но они сравни-
тельно невелики по своей амплитуде. Только вблизи предела динами-
ческой устойчивости высшие гармоники колебания угла начинают
резко возрастать и кривая изменения угла колебания в функции времени
начинает резко растягиваться, превращаясь в пределе из синусоидаль-
ной кривой в кривую гиперболического тангенса. Если нагрузка пре-
вышает предел динамической устойчивости синхронной машины, то
рабочий угол стремится к бесконечности. Соответствующие выражения
мы получаем при исследовании с помощью эллиптических функций.

Исследование в эллиптических функциях зависимости рабочего
угла от времени приводит к выводу о допустимости пользования
синусоидальной зависимостью угла от времени для определения элект-
ромагнитного вращающего момента синхронной машины при больших
колебаниях, имеющих нелинейный характер. Этот результат подтвер-
ждается также экспериментальной проверкой, результаты которой
приведены в главе 15.

Принятая в основу рассмотрения зависимость электромагнитного
вращающего момента от угла колебания учитывает приближенно рас-
считанный характер изменения этого угла во времени (например, за-
кон экспоненциально затухающей синусоиды). Эта зависимость может
быть неоднозначной для данного угла в разные моменты времени.
В частности, составляющая электромагнитного вращающего момента,
зависящая от скорости изменения угла во времени и называемая
обычно демпферным моментом, имеет разные знаки при увеличении
и при уменьшении угла.

При исследовании характера зависимости угла от времени мы
ограничиваемся поэтому рассмотрением полупериода колебания? в те-
чение которого полный электромагнитный вращающий момент синхрон-
ной машины можно считать однозначной функцией рабочего угла.

2.	ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ КАЧАНИЙ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Уравнение механического колебания ротора синхронной машины
имеет вид:

Н • Z//2 Ч

(14.8)

Скольжение

ротора равно:

или

где

$

2 Г

^) = яИ~ЧИ

Зо

(14,9)

(14,10)

(14, П)

db ,

Величина ^-/7у//-7?0) представляет собой условную „ки-
нетическую энергию" движения ротора по отношению к синхронно вра-
щающемуся электромагнитному полю.
Так же как и при обычном колебательном движении, условная „ки-
нетическая энергия получается за счет расходования „по-
тенциальной энергии" и равна заштрихованной на рис. 14-1 пло-
щади ABD.

Полная кинетическая энергия ротора при колебаниях изменяется на

величину

2	21 Я Г

2 [“o — " ]— 2 L2“° dt ~\Л/ J ’

<73

(14,12)

где o>0 — синхронная скорость вращения, а о = cd0----скорость вра-

щения ротора в момент времени t.
энергии	к реальной ки-

нетической энергии, накапливаемой
и расходуемой ротором при кача-
емо — (О

ниях, равно	9 т. е* равно от-

ношению среднего за время кача-
ния скольжения к средней за время
качания скорости вращения ротора.
Указанное отношение физически
объясняется тем, что энергия, пере-
даваемая через вал машины, равна
интегралу

Отношение условной кинетической

Рис. 14-1. Закон площадей при внезап-
ном изменении нагрузки.

Условмя: Q2 + Qt = Qi 4- Q«. 1 — Qa + Q9 <

2 — Qa + Q» = Qi; 3 — Qt -+	> Qi.

по времени £, в то время как услов-
ная „потенциальная энергия", рас-
сматриваемая при движении ротора

относительно синхронного вращаю-

j* MLtodt



щегося электромагнитного поля, определяется интегралом j (ML —
по углу 8.

При начальном угле 80 (рис. 14-1) разность между приложенным
вращающим моментом ML и электромагнитным вращающим моментом
яд	d^	п

Мв равна максимуму, а скольжение равно нулю. Воспользуемся ме-
ханической аналогией с грузом, подвешенным на пружине; пусть в мо-
мент / = 0 груз, подвешенный на пружине, отклонен от равновесного
.положения; тогда деформация пружины равна максимуму, а скорость
движения груза равна нулю. Под влиянием неуравновешенных сил —
веса груза и силы упругости пружины — груз начинает двигаться, при-
обретая скорость. В тот момент, когда сила упругости пружины будет
равна весу груза, скорость груза будет максимальной, и груз приобре-
тает максимальную кинетическую энергию. В синхронной машине этот
момент времени соответствует такому, когда ML=-Me и 8 = 8Х (рис. 14-1).
При дальнейшем движении груза скорость его будет уменьшаться,
дойдя до нуля в тот момент, когда вся накопленная грузом кинетиче-
ская энергия будет израсходована. В нашем случае это соответствует
моменту времени, когда заштрихованные вертикально площади на
рис. 14-1 будут равны (площадь ABD = площади DEF) и угол 8 = 82.
Этот момент времени соответствует окончанию полупериода колебания.
В механической аналогии груз начинает двигаться обратно. В нашем
случае угол 8, достигнув значения 82, при сохранении синхронизма
начнет уменьшаться.

Отметим, что зависимость электромагнитного момента вращения от
угла 8 нелинейна. В механической аналогии этому соответствует слу-
чай, когда сила упругости пружины имеет нелинейную зависимость от
деформации пружины.

Отличие синхронной машины от обычной механической аналогии
состоит в том, что электромагнитный момент вращения машины в пе-
реходном режиме зависит не только от угла 3, но и от времени и про-
изводных угла 8 по времени, так как в переходном режиме в роторе
и статоре машины наводятся переходные токи. Эти токи связаны
с наличием скольжения и затухают с определенными постоянными
времени.

Очевидно, что при некотором значении большем, чем на
рис. 14-1, площадь ABD может оказаться больше площади DEC.
Тогда недостающая ротору энергия не успеет накопиться к моменту
достижения ротором угла 82 и угол 8 будет продолжать увеличиваться;
при этом вновь получится превышение ML над Ме и движение ротора
получит дальнейшее замедление. Благодаря этому угол 8 будет про-
должать нарастать и машина выйдет из синхронизма.

При внезапном набросе нагрузки, не приводящей к выпадению
-синхронной машины из синхронизма, электромагнитный вращающий
момент синхронной машины будет описывать петли, представленные
в главе 15. Точный аналитический расчет этих петель сложен, так как
связан в решением системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Мы можем, однако, исследовать движение ротора синхронной ма-
шины по крайней мере на протяжении полупериода колебания, поль-
зуясь приближенной нелинейной зависимостью Ме=/(8), полученной
хотя бы из условия синусоидального колебания угла 8. Затем, на осно-
вании такого исследования, использующего описанный выше закон
площадей, мы можем уточнить зависимость угла 8 от времени и про-
верить, насколько принятая при расчете кривая Me=f$) отличается
от более точной, учитывающей уточненную зависимость угла от вре-

мени.

При исследовании наброса нагрузки в зоне сохранения динамиче-
ской устойчивости имеем следующие данные для оценки величины
7? (8):

при S = So Г ($) = 0;

при S = S2 R (S) = 0;

при $ = ?>!	/?($)== max; Me = ML*

(14,13)

Здесь 80 — начальный рабочий угол;

8j — угол, соответствующий по переходной угловой характе-
ристике синхронной машины приложенному внешнему
вращающему моменту М£;

82 — максимальный угол при колебании.

Все три угла относятся к одному полупериоду колебания. На рис. 14-1
представлено расположение углов 80, 8Ь 82. Заштрихованные площади
равны (площадь ABD — площади DEF).

Величина R (8) имеет и другие корни, помимо 80 и 82, в частности 8,.
Эти корни при ML = const определяются из уравнения:

8

Л4(8-8о)-	°-

80

(14,14)

§

Если интеграл j\Mee78 известен в функции от 8, то корни Выраже-
но

ния (14,14) определяются пересечением прямой ML (8 — 80) с кривой
з

изменения интеграла j Med\ построенной в функции от 80 (рис. 14-2).

Зо

Если прямая МЬ(Ъ — 80) пе-
ресекает кривую изменения ин-
теграла j Medc только в точ-
ке, соответствующей углу 80
(рис. 14-2, прямая 7), то это
соответствует выпадению из
синхронизма, так как в этом
случае не существует другого
угла 82, при котором скольжение
= ^R (8)равнялось бы нулю.
Предел динамической устой-
чивости, как нетрудно видеть,
соответствует случаю, когда
прямая Ml (8 — М является ка-
сательной к кривой, представ-
з
ляющей интеграл j MecR> (рис.
14-2, прямая 2). В этом случае
82 = 8С.

Таким образом, соотношения

Рис.
при

14-2. Условия сохранения синхронизма
внезапном изменении нагрузки с MLQ
до ML. Предельная нагрузка соот-
ветствует прямой 2.

между углами 80, 82 и указывают на

степень устойчивости рассматриваемого режима синхронной машины.

Поставим вопрос, нельзя ли заменить действительное выражение
R (8) (14,11) приближенным, имеющим те же корни 80, 82 и 8С и имею-
щим при угле 8Т максимум той же величины, что и действительное
выражение /?(8). Такое приближенное выражение для 7? (8) будет со-
ответствовать случаю замены действительной кривой электромагнитного
момента Ме в функции от 8 полиномом, совпадающим в точке 8 = 8Х
с действительной кривой электромагнитного момента и образующим на
рис. 14-1 с линией приложенного внешнего вращающего момента
Ml — const равновеликие площади ABD и DEF.

Таким образом,

принимаем:

R (В) = С(В - Во) (В - В2) (В- Вс),

(14,15)

где коэффициент с определяется из условия равенства приближенного
выражения (14,14) и действительного (14,11) при угле 8 = 81в
При В = скольжение равно:

/ аъ \

(14,16)

где $0 — заданная величина, характеризующая максимальное скольже-
ние и имеющая физический смысл угловой частоты колебаний при ко-
лебаниях с малой амплитудой [см. формулу (14.9)].

Рис. 14-3. График значений функции
эллиптического синуса sn и при трех
различных значениях параметра т : т =
= £2 = 0 (синусоида); т = £2=="л и
т = ^=1.

Рис. 14-4. График значений функции
эллиптического косинуса cn и при трех
зиачениях параметра т : т = £2 = 0
(косинусоида); т== k2=== и m==k2==l.

В таком случае на основании уравнений (14,10), (14,15) и (14,16)
можно написать:

А ^1 Ьо

с = ®° (««-81) (8.-М •	(14’17)

Подставляя выражение (14,15) в (14,2), получаем связь между уг-
лом и временем:

* — J ------ft \ (%-xTTx-’	(1^* 1®)

J yc (6 — 60) (6 — d2) (6 — be)

Интегралы вида (14,18) соответствуют зависимости угла & от вре-
мени, выражающейся в эллиптических функциях. Последние представ-

ческой функции dn и при трех значе-
ниях параметра m:m = £2 = 0 (прямая
dnu = l); m = £2==1/2 и m = £2 = l.

ляют собой обширный класс функ-
ций, включающих в себя синусо-
идальные функции и обладающих
рядом важных соотношений. Таким
образом, замена R (8) полиномом
третьей степени позволяет выразить
угол 8 в функции времени через
хорошо изученные функций, вычис-
ленные и сведенные в таблицы,
рис. 14-3, 14-4, 14-5.

Угол 8С, являющийся третьим
корнем выражения (14,15), находится

за пределами исследуемого участка кривой, имеющего Пределы 80 и 82.

Воспользоваться приближенным выражением электромагнитного мо-
мента, найденным для участка 80— 82, с целью определения точки пере-
8

сечения прямой Ml (8 — 80) с интегралом j Med<> за пределами угла 82
«о

нежелательно. Мы можем, однако, вместо нахождения точки пересече-
ния воспользоваться условием, что при 8 = 8Х скольжение = ^R (8)
на основании выражения (14,13) имеет максимум, и, следовательно,
вторая производная при о = Oi равна нулю. Ьеря вторую производ-
на	а *

ную -^2* и приравнивая ее нулю при q = Qi, получаем условие:
1 1 1
8q	&2 — $1 $0 — $1

Используя это условие, получаем для третьего корня 8в полинома
(14,15) при работе в зоне динамической устойчивости выражение:

§2 -4- $о —

(14,19)

3.	ВЫРАЖЕНИЕ РАБОЧЕГО УГЛА В ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ ЧЕРЕЗ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЯКОБИ

При устойчивой работе имеем для решения интеграла (14,18) ус-
ловия (14,13). Угол 8в определяется по формуле (14,19).

При пределе динамической устойчивости корни 82 и 8е совпадают.

При выпадении из синхронизма единственным реальным корнем
уравнения R (3) = 0 явится угол 80. Два других корня будут комплекс-
ными. Мы можем их найти из тех же соображений, что и в случае
сохранения динамической устойчивости, а именно:

при &==$0
при Ь — &2

при & = &!

Л(Ь) = 0;

R (&) = min (но не равно нулю, как в случае
сохранения синхронизма);

R (&) = max; М9 = ML,

(14, 20)

Ниже рассмотрены все три случая, причем второй случай — предел
динамической устойчивости — является предельным для первого слу-
чая— сохранения синхронизма и третьего — выпадения из синхронизма.
Представлены соответствующие выражения для зависимости рабочего
угла от времени через эллиптические функции Якоби.

Следует отметить, что последние два условия (14, 20)

R (&) = min при b = &2»

R (&) == max при & = Ме =

возможны только в том случае, если нагрузка ML после наброса не
превышает максимума электромагнитного вращающего момента в пере-
ходном режиме Мяпах по динамической характеристике для рассматри-
ваемого полупериода колебаний рабочего угла 8. Обычно этот макси-
мум в переходном режиме очень высок (рис. 15-3), поэтому мы рас-
сматриваем здесь случай, когда Мь^Метлх.

В том случае, когда приложенная нагрузка больше максимальной
по динамической характеристике, скольжение уже. не имеет ни мак-
симума, ни минимума, и последние два условия (14, 20) могут быть
заменены условием равенства нулю третьей производной угла по вре-
мени при достижении максимального электромагнитного вращающего
момента. В качестве дополнительного условия может быть задана ве-
личина первой производной угла по времени, пропорциональная раз-
ности приложенного и электромагнитного вращающих моментов, при
определенном угле 8, например при 8 = 8О. Представленное рассмот-
рение при этом принципиально не меняется, получаются только другие
параметры соответствующих эллиптических функций.

а)	Зависимость рабочего угла 8 от времени при набросе
нагрузки с сохранением синхронизма

При набросе нагрузки с сохранением синхронизма после наброса
нагрузки зависимость рабочего угла 8 от времени, как показано в при-
ложении 10, имеет следующий вид:

$ = $0	($2 — М

(14,21)

где 80 — начальный угол колебания, соответствующий нагрузке до вне-
запного ее изменения;

8Х— угол, соответствующий приложенной нагрузке по переходной
характеристике Me = ML;

82 — максимальный угол колебания;

($0 -4— В2) — 2$i	’



2

(bi - Во) (5С - М
02— М (Вв-Л)

(14, 22)

«о(8х — 80) — скольжение ротора при 8 = 8Х;

к? = т — параметр эллиптической функции Якоби
и где sn~— символ эллиптического синуса от аргумента т.

Время полуколебания, т. е. время достижения значения 8 = 82 ха-
рактеризуется величиной которая может быть определена по таб-
лицам полных эллиптических интегралов первого рода [1Г-15, 1Г-22,
1Г-23] (см. табл. 14-1).

Таблица 14-1

Значение полного эллиптического интеграла первого рода К
для различных значений 6 (k = sin 6)

а	0	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
к	0	0.1737	0.3420	0.5000	6428	0.7660	0.8660	0.9337	0.9848	1.000
В2 — Во	0	0.0300	0.1170	0.2500	4136	0.587	0.745	0.884	0.970	1.000
т 8с-8о										
К	1.5708	1.5828	1.6200	1.6858	7868	1.9356	2.1565	2.5046	3.1534	со

Из условия т2=2Х’ получаем время полупериода колебания

,	4/Г1/(В2-М (8,-М

'2~ «О г	•

(14,23)
1 /^2 — ^0
У &С-&0

Если характеризовать параметр к =

как sin0, то для раз-

личных значений 0 имеем значения К, представленные в табл. 14-1.

Зависимость величины 2К от размаха колебаний на основании тео-

рии эллиптических функций может быть выражена следующим рядом:

(14,24)

По мере увеличения набрасываемой нагрузки параметр к увеличи-
вается, достигая единицы при пределе устойчивости. Из выражения
(14,23) следует, что по мере увеличения набрасываемой нагрузки время
полупериода колебания увеличивается, т. е. с увеличением размаха
колебаний результирующая частота колебаний уменьшается.

При малых колебаниях угол значительно больше угла 82> поэтому
при малых колебаниях тп»0 и	» Эллиптическая функция snx

при m = 0 превращается в синусоидальную sin^ и, следовательно,
в этом случае вместо выражения (14,21) получим:

Ь = &о + 02 — М sin2

Если учесть, что в этом случае^ — % = 82— = — - *°, то получим
&

В = $! — (Ьх — 80) cos 2т.

Формула (14,22) дает в этом случае для т значение	и, сле-

довательно, для случая малых колебаний выражение (14,21) прини-
мает вид:

& = — (&! — &0) cos sq t.	(14, 25)

Это обстоятельство позволило нам характеризовать величину $0
в выражении (14,16) ^ак частоту колебаний при колебаниях с малой
амплитудой.

Для упрощения вычислений введем величину

-	51 ~ 50

7-62-V

(14, 26)

Величина у, так же как и ттг, характеризует в определенной сте-
пени отклонение колебания от синусоидального, заданного зависи-
мостью (14, 21).

Параметр т связан с величиной у следующим соотношением:

1 —72

« = 72=^7-	(14’27>

Связь между т и t сравнительно просто выражается через у:

c = -^-V7 (2-7) =-T-J/-^L=-^-v'1-72.	(14,28)

При малых т (малые качания):
При тг близком к единице (большие качания, близкие к пределу
устойчивости), получаем:

т = 4^- V(1-T«)V27.	(14,30)

б)	Зависимость рабочего угла 8 от времени при иабросе
нагрузки, соответствующей пределу динамической
устойчивости

При пределе динамической устойчивости параметр т = 1. В этом
случае эллиптический синус становится равным гиперболическому тан-
генсу. Величина у в этом случае становится равной половине. В ре-
зультате получаем выражение:

а = а0 -ь (&2 — а0) до х,	(14,31)

где 80— начальный угол колебания;

&1 — угол, соответствующий приложенной нагрузке по переходной
характеристике Me = ML*,

82— угол, соответствующий приложенной нагрузке по спадающей
части статической характеристики;

vT
т	(14,32)

Как видим из зависимости (14,31), в предельном случае полупериод
колебания — время перехода от 80 к 82— теоретически продолжается
бесконечно долго и, следовательно, все переходные процессы должны
успеть затухнуть до того, как угол 8 достигнет значения 82.

Таким образом, при исследовании предела динамической устойчи-
вости нужно пользоваться кривой электромагнитного момента, которая
Отличается от статической угловой характеристики вследствие наличия
в синхронной машине переходных процессов, но эта кривая начинается
на статической угловой характеристике в точке 8 = 8О и кончается на
ней в точке 8 = 82. На участке 804-8х зависимость (14,31) может быть
с достаточным приближением представлена синусоидальной кривой,
проходящей через точки 80 и 8Х и имеющей производные в точках 80
и 8Ъ равные полученным для угла 8 из зависимости (14,31). Это си-
нусоидальное приближение будет иметь вид (14,25).

Если Me = MQsin^ И 8о = О, то условие для предела динамической
устойчивости Y —у ^аст предельную нагрузку, соответствующую пре-
делу динамической устойчивости ML = = 0.707 Мо. Точное опреде-
ление по правилу площадей даст в данном случае ML~0.725MQ
[см. уравнение (14,7)]. Как видим, разница составляет всего 2.5%.
При 80^=О эта разница становится еще меньше.

в) Зависимость рабочего угла 8 от времени при иабросе
нагрузки выше предельной (выпадение из синхронизма)

Для приближения R (8) полиномом третьей степени в случае наброса
нагрузки, превышающей предел динамической устойчивости, используем
условия (14,20).
Коэффициент с при полиноме (14,15) мы можем выбрать из того же
условия, что и при устойчивой работе, а именно, задавая максималь-
ное скольжение	ПРИ угле 8 = 8i. Как показано

в приложении 10, в этом случае мы получаем следующую зависимость
рабочего угля 8 от времени через функцию эллиптического коси-
нуса сп 2*:

•“•.-«.-feSs.	<»-33>

где 80— начальный угол колебания;

81	— угол, соответствующий приложенной нагрузке по переходной
характеристике Me = ML\

82	— угол, соответствующий первому минимуму скольжения за уг-
лом 8j;

_  1 __________2Я0_________12 (1 7) 7,	qд 24)
T“ 2 У 3(б2-М-ь2(В1-М ~ 2 V (Зн-27)2 9 k '

Но = V3(b2-b0) (Bi-M = (B2 - M V^3(l 4-7)7	(K. 35)

и, как в случае устойчивого режима

Нетрудно проверить, что при T = -j (когда 82=8в и когда прибли-
жающий полином третьей степени соответствует пределу устойчивости)
формулы (14,21) и (14,33) дают тот же результат, что и для случая
сохранения синхронизма. При этом нужно учесть, что при т = 1
имеем:
7 О	1

сп2т = ап2г = й^?.

При пределе динамической устойчивости получаем:

Но = В2 — Bq.

В отличие от случая сохранения синхронизма в рассматриваемом
случае угол 8 на основании формулы (14,33) стремится к бесконеч-
ности, так как при 2ъ — 2К имеем сп2^ = —1 и знаменатель в выра-
жении (14, 2) станет равным нулю.

При пределе динамической устойчивости величина К равна беско-
нечности; поэтому чем дальше отстоит процесс выпадения из синхро-
низма от предела устойчивости, тем меньше будет величина К и тем
скорее будет происходить нарастание скольжения. Это ясно и из фи-
зических соображений.

Представленные выражения угла 8 в функции времени соответ-
ствуют случаю, когда скольжение имеет при угле § = 8} максимум,
т. е. когда приложенный внешний момент ML меньше максимального
электромагнитного момента. В предельном случае, когда приложенный
внешний момент равен максимальному электромагнитному моменту Мо,
имеем 82 = и у=оо. Выражение угла 8 в функции времени при зна-
чениях ML^>MQ мы не выводим, однако получение соответствующего
выражения не представляет особого труда (см. стр. 371, 372).

При т=оо имеем по выражению (14,36):

1 у'Г
т = “2 -ь”4“ = 0.933.

Этому значению т соответствует величина К, равная 2.768, кото-
рая и является в данном случае минимальной.

Время, характеризующееся условием 2^ = 2К, не может служить
строгим критерием для скорости нарастания скольжения, так как наше
приближение выражения R (8) полиномом третьей степени действительно
только в пределах 2ъ<^2К. Величина 2К, однако, в определенной сте-
пени характеризует скорость нарастания скольжения.

4. ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫРАЖЕНЙЕ РАБОЧЕГО УГЛА S ЧЕРЕЗ
СИНУСОИДАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ УГЛА
С БОЛЬШОЙ АМПЛИТУДОЙ

Приводим приближенное выражение угла 8 через синусоидальные
функции при устойчивой работе с колебаниями, имеющими большую
амплитуду.

Воспользуемся для этого разложением квадрата эллиптического си-
нуса в ряд Фурье. Имеем [1Г-20] следующее выражение:

К — Е	2те2 nqn cos 2nx

sn т = тК ~	1 —д2« •	(14’ 37)

п—1

Здесь К и Е— полные эллиптические интегралы первого и второго
рода для параметра т — к2
те	те в /1 — у2

Х==~2К т = ~ЬК У s°?;	(14,

q = е " К ,	(14, 39)

где Кг — полный эллиптический интеграл для параметра тг =1 — т.
Величины Ку Е и q в функции от т представлены в табл. 14-2. Ве-
личина 2К может быть представлена рядом (14,24).

Таблица 14-2
Величины Ку Е и q в зависимости от параметра m =

т == 0.0	од	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.000
К = 1.5708	1.6124	1.6596	1.7139	1.7715	1.8541	1.9496	2.07536	2.2572	3.6956	ОО
£= 1.5708	1.5308	1.4890	1.4454	1.3994	1.3506	1.2984	1.2417	1.1785	1.0160	1.000
<7 = 0.000	0.0066	0.0139	0.0223	0.0319	0.0432	0.0570	0.0747	0.0993	0.2621	1.000

Величина Е может быть представлена в функции от т следующим

рядом:

те J ГЦ2	/ ЬЗ \2 m2

Е~ 2 11 — \2) т~ \2-4/ 3 ~ -’
При произвольных значениях т можно воспользоваться разложе-
нием [1Г-16, 1Г20]:

К—Е —

q —	-+- 9g9 — ...

1 — 2g-f-2g* — 2g9-*- ... •

(14, 41)

Отсюда для малых значений т имеем:

К— Ex^-nv,
1 К 1
ч~ 4 Я2л2 т~1б т‘

(14, 42)

Если в разложении (14,37) принять cos 2х = cosт за первую гар-
монику, то отношение амплитуды л-й гармоники к амплитуде первой
выразится величиной:
ng* 1 — g2	1 — g2

b» = T^2S •	= п<7"-1	.	(14, 43)

Величина Ь„ может быть также представлена в виде:

Ь„%«<?»-!	•	(14,44)

При малых т величина q мала, и в этом случае

(14,45)

Величина q при увеличении т возрастает (см. табл. 14-2) очень
медленно. Так, например, при тп = 0.5 имеем 9 = 0.0432 и, следова-
тельно, вторая гармоника в этом случае имеет амплитуду (в долях
амплитуды первой гармоники) 62 = 0.0862, а третья гармоника —
2тс

Ь3 = 0.0056. При этом угловая частота первой гармоники ^ = О.746$о;

К= 1.6858 и на основании выражения (14,28) x = O.4soZ.

При приближении к пределу устойчивости, когда т стремится к еди-
нице, величина q начинает быстро возрастать и в этом случае относи-
тельная величина гармоник быстро возрастает, стремясь к единице.
Однако в этом случае стремится к нулю, согласно выражению (14, 38),
частота основной гармоники, поэтому разложение (14, 37) теряет смысл.

При тп = 0.9, т. е. в случае, весьма близком к пределу динамиче-
ской устойчивости, имеем относительную величину амплитуды второй
гармоники Ь2 — 0.275 и относительную величину амплитуды третьей
гармоники Ь3 = 0.058. При этом угловая частота первой гармоники
составит О.543$о. Угол 8, с учетом выражения (14, 37), выразится
тс

в функции от х = 2к т следующим рядом:

8 =	— ($2 — М

К — Е 2тс2	nqn cos 2пх

~т№~тК2	1 —д2*

я=1

(14, 46)

или

г	2тс2 g

&== — ($2	&0)	122 ^2 <cos 2х *2 cos 4х -+- b3 cos 6х -ь ...} .	(14, 47)
Здесь
ir р

<!♦.«>

При малых т

=51*

Учитывая, что q является малой величиной почти до самого пре-
дела устойчивости, можно, сохраняя достаточную степень точности,
ограничиться первыми членами разложение (14,41). Получаем для 8'
выражение:

.	2^2 а

\* 1—-г? ~

Как видим, сравнивая выражения (14,47) и (14,49), амплитуда пер-
вой гармоники колебаний с достаточной точностью равна (8'—80) *
почти до самого предела устойчивости и, следовательно,

&	— (В* — b0)	^2 (cos 2х -ь 62 cos 4х -*- ...).	(14,50)

Рассмотрим в качестве примера случай колебаний, близких к пре-
делу устойчивости, когда /72 = 0.9.

В этом случае /С = 2.578; </= 0.1402; 2x = O.543sof;

8' — 80 = 0.6345(82 — 80). Имеем в соответствии с (14,50) и (14,49):

S — Ьо = 0.6435 (Ь2 — 80) — 0.4717 (&2 — М {cos 0.543*</ -ь 0.275 cos 1.О86*о* -ь

ч- 0.058 cos 1.629so*	(14, 51)

Если принять за основу гармонику cos0.543s0f, то угол на участке
$2 So может быть представлен в функции времени рядом Фурье, в ко-
тором амплитуда второй гармоники составляет 27.5%, а амплитуда
третьей гармоники только 5.8% от амплитуды первой гармоники, не-
смотря на то, что мы рассмотрели случай, весьма близкий к пределу
устойчивости.

Разложение по Бесселевым функциям функций типа sin 8, где 8 вы-
ражается в функции времени формулой (14,50), мало зависит в инте-
ресующем нас интервале от высших гармоник, если их амплитуды имеют
порядок, как в выражении (14,51). Таким образом, вполне допустимо
определение электромагнитного момента в случае больших колебаний
в предположении синусоидального характера изменения угла [1Г-7].
Соответствующее рассмотрение представлено в главе 15.

На участке 80-4-81 угол 8, определяемый в функции времени зависи-
мостью (14, 21), может быть достаточно точно выражен в функции вре-
мени простой зависимостью:

$	— (&1 — $о)cos «о*-	(14. 52)

Для сравнения с точной зависимостью (14,21) и с точным прибли-
жением по формуле (14,50) возьмем рассмотренный нами случай /72 = 0.9,
когда процесс близок к пределу устойчивости [при малых колебаниях,
как мы знаем, формула (14, 52) является точной].
□79

На основании определения у и формулы (14,27) имеем при тп = 0.9
соотношение:

=	“ М = 0.3545 (Ч - 80).	(14,53)

Угол соответствует по формуле (14,52) условию sof = ~.

Посмотрим, с какой точностью формула (14,52) определяет время
достижения угла 8Ь при котором скольжение достигает максимума.

Если подставить значение sQt — у в приближенное выражение (14,50),
то имеем для этого случая:

5 — Во = 0.6435 (В2 — Во) {1 — 0.734 [cos 48.9° 0.275 cos 97.8° -+-

+* 0.058 cos 146.6°	0.373 (В2 — Во).	(14, 54)

Вычисление по точной формуле (14,21) по таблицам эллиптических
функций при подстановке = у дает

& — Во = 0.370 (В2 — М.	(14, 55)

Оба выражения (14,54) и (14, 55) дают значение угла 8 npHSof = y,
очень близкое к значению по соотношению (14,53), при котором
будем иметь максимум скольжения ротора. Это значит, что если в фор-
мулу (14,52) подставить правильное значение угла 8Ъ то она даст с хо-
рошим приближением закон изменения угла 8 во времени на участке
Даже при больших качаниях, когда процесс близок к пределу
динамической устойчйвости. Производная в точке 8 = 8! одинакова
при определении по формулам (14,21) и (14,52). Таким образом, при-
ближение зависимости угла в функции времени на участке 804-81 про-
стой формулой (14, 52) является достаточно точным практически до са-
мого предела устойчивости.

5. УТОЧНЕННОЕ ВЫРАЖЕНИЕ РАБОЧЕГО УГЛА ЧЕРЕЗ ЭЛЛИПТИЧЕСКУЮ
ФУНКЦИЮ ВЕЙЕРШТРАССА

Выражение функции Вейерштрасса, см. приложение 10. Величину
з
/ JB \2	2 f

*(5 * * 8) = Ы

можно приблизить полиномом четвертой степени

R (В) = с (В - Во) (В — В2) (В — В.) (В - Bd),	(14, 56)

где 80 — начальный угол колебания;

$2=И=$о— угол, при котором -^-=0, либо минимуму.

Углы 8, и 8* находятся ив условий

/ J2B \	г d 1	2

L-5T *<8>_U = ТГ (^-Ч)8=! =	(14.57)
Коэффициент с определяется из условия

[vf^]8=8i=(Si-s0) «о.

(14,58)

где §1 — угол, при котором ML = Me\ s0 — см. стр. 370.
Для определения Зс и 3rf получаем следующие два уравнения, кото-
рые приводят к квадратному уравнению с корнями 3, и 3rf.

1 1 1 1
$1 — *0	— $2	$1 —	$1 — Srf ’

(62-М (82-М__________т2 (82 - Si)	(14,59)

,2 (»2 _ бо) (81 _ у '

Коэффициент с равен:
_ 2________________________________(S1 — М________	п. ™

c“so

Угол 3=/(0 может быть выражен в этом случае в виде:

.	-	X	I	X f I

о = 8о-^“4 то j 1? (z; gz, ^з) — ~2^ т0 j »

(14,61)

где



и 7? (z\ §ъ>	— эллиптическая функция Вейерштрасса. Связь между g2,

g3 и параметрами полинома 7?(3) [1Г16, 1Г-20]. Если полином равен
а4344а383-ь 6а232-+-4аг3-+-а0, то g2 = a0a4— 4aia3-+-3a^; ^3 = а0а2«4“Ь
-ь2а1а2а3 —	— а±а[— а^. Связь между *z и f, см. приложение 10.

При этом а4 = 4.

6.	ОЦЕНКА ДОПУСТИМОЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ПЕРЕГРУЗКИ МАШИНЫ
БЕЗ ВЫПАДЕНИЯ ИЗ СИНХРОНИЗМА С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ

Рассмотрим как длительно можно без выпадения из синхронизма
набросить нагрузку, приводящую при достаточной ее длительности
к выпадению из синхронизма. Пусть, например, начальная нагрузка
равна нулю и набрасывается нагрузка ML, равная максимальному элек-
тромагнитному вращающему моменту Л/о, имеющему место в статиче-
ском режиме. Цусть эта нагрузка ML через некоторое время снимается.
Определим предельное время tk, в течение которого наброшенная
нагрузка ML может быть оставлена на машине без выпадения ее из
синхронизма. Время tk будет соответствовать моменту достижения
угла при котором площади, заштрихованные на рис. 14-6, равны.
Если, например, M«=Mosin8 и 30 = 0, то tk можно определить из ус-
ловия:

СП 2т =----7- = 0.1523; 2т = 2.191.	(14,63)

v^+4
Величина $0 в этом случае равна:

s0 =

(14, 64)

где Н—инерционная постоянная машины.

Учитывая выражения (14, 63) и (14, 64), получаем время достижения
угла	__

tic

(14,65 )

Численный пример. При //=2000 и Mq = 2 получим zfc = 77.6 радиан (0.246 сек.),
т. е. примерно 12.3 периода).

Таким образом, при синусоидальной угловой характеристике Afe = A/psin&, & = 0
и принятых значениях Mq и Н любая нагрузка ML < MQ может быть наброшена на

М Qe°2'-Q3

9i

Ъ-Г&г s*=2

Рис. 14-6. Определение макси-
мального угла допустимого при
кратковременном набросе нагрузки

ML = MQ при Ме = MQsinb.

Угол определяет допустимое
время наброса нагрузки без выпа-
дения из синхронизма.

М

время t, меньшее, чем ^. = 3.3 периода,
без опасности выпадения машины из син-
хронизма.

ML

S,

°2

^L0
° 8n

Рис. 14-7. Определение макси-
мального угла при внезапном
кратковременном изменении на-
грузки с MLq до Ml<Mq для
случая, когда М? = Л/о sin $. Угол
определяет допустимое время
наброса нагрузки без выпадения
из синхронизма.

Если в момент снять наброшенную нагрузку ML = Мо, то ма-
шина останется в синхронизме, если же снять нагрузку позже, то ма-
шина выйдет из синхронизма.

Расчет допустимого времени наброса нагрузки ML— MLq нетрудно
произвести и для других случаев, в частности при $о=И=О, т. е. при
переходе с одной нагрузки на другую. Угол в этом случае соответ-
ствует равенству заштрихованных площадей на рис. 14-7.

При синусоидальной угловой характеристике М„ = Мй sin 8 и Мъ
минимум скольжения при выпадении из синхронизма имеет место при
32 = п — Зр

Зная ML = Мй sin 8Х и ML(} = Mosin 80, нетрудно определить вели-
чину у

^1 — ftp — 6p

7 — g2 —	_ 2fcx •

Условия для определения угла будут иметь вид:

(14, 66)

тс—8(

J (sin Sj — sin 8) «Z8 = J sin 8 • <Z8,

откуда

«с

(14, 67)

(14,68)

Н ’







8fc

_ cos Ео
5*~2” sinSj
Получаем:

Hq sin St — 2 COS Sq
СП	Hq sin $1 4- 2 COS Sq ’

(14, 69)

Величины HQ и m определяются по формулам (14,27) и (14,35) для
определяемого зависимостью (14, 66).

Зная сп2ть нужно определить по таблицам величину Время
достижения угла 8Ь допустимое для кратковременного наброса нагрузки
ML — с точки зрения сохранения машины в синхронизме, опреде-
лится на основании выражения (14,34). Любая нагрузка ML^MQ—
может быть наброшена сверх постоянной нагрузки Л/Хо на время, не пре-
вышающее величины 4.

При учете переходных токов нужно будет пользоваться приближен-
ным выражением электромагнитного момента (см. главы 10, 13, 15).

В ряде случаев представляет интерес определить время t2 достижения
угла 82, при котором скольжение имеет минимум, и время достиже-
ния угла 8Х. Время /2 характеризует момент времени, после которого
скольжение ротора начнет быстро увеличиваться и машина находится
под угрозой выпадения из синхронизма.

На основании формулы (14,33) /2 может быть получено с учетом
выражения (14, 34) из соотношения:

H0-(S2-S0)	У3(14-Т)7 — (1ч-7)

СПЛ2- Яо_ь(82_ 8о) -	+ (1 + Т) •

(14, 70}

Время достижения угла может быть определено с учетом вы-
ражения (14,34) из соотношения

о	УЗ (14-7)7 -Г

СП T1 7/q4- (&! — Sq) Уз (1 Ч-7) 7 4-7

(14, 71)

В том случае, когда приложенный вращающий момент ML равен
максимальному электромагнитному вращающему моменту, то у -> со и
время достижения 82 = 81 определяется формулой

УЗ — 1
сп 2т = —-----

Уз 4-1

= 0.268.

(14, 72)

Величина 2т2 при этом связана с t2 зависимостью:

2т2 = sq£2V3 = 1.316sq£2.

(14,73)

Находя по сп2^2 значение 2т2 по таблицам эллиптических функций для
т = 0.933, получаем:

2т2 = 1.841; s0f2 = 1.400.	(14,74)

Для случая наброса нагрузки ML = MQ при Af« = Afosin8 и $о = О
время достижения угла 82 = 8Х составляет:

Ъ = 2.057 j/^.	(14,75)

Если, например, //=2000 радиан (6.37 сек.), а Л7О = 2, то f2 = 65
радиан (0.207 сек., т. е. примерно десять периодов при частоте в 50 гц).
Сравнивая величины /2 и 4 для взятых примеров, можно видеть,
что время наброса нагрузки, допустимое с точки зрения сохранения
синхронизма может в ряде случаев значительно превышать /2—время
достижения угла 82, при котором скольжение ротора имеет первый ми-
нимум.

Представленная методика может быть использована для определе-
ления допустимой длительности коротких замыканий и других аварий-
ных нарушений режимов работы синхронной машины.

7.	ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АППАРАТА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ

Предлагаемый метод позволяет оценить динамическую устойчивость
машины в ряде режимов. Рассмотрение производится с учетом нели-
нейности колебаний с помощью эллиптических функций Якоби — эллипти-
ческого синуса и эллиптического косинуса.

Зависимость электромагнитного вращающего момента М< от рабочего
угла 8 на протяжении полупериода колебания, как правило, однозначна
и имеет плавный характер вследствие наличия „электромагнитной инер-
ции" машины. Это позволяет при анализе зависимости 8 =/(f) заменить
реальную кривую электромагнитного момента М, в функции 8 прибли-
женной. Поскольку при рассмотрении зависимости §=/(£) приближен-
ное выражение М9 входит под корнем и под двумя знаками интеграла,
неточность приближения при надлежащем выборе приближенного вы-
ражения мало сказывается на зависимости 8 = f(t).

Для выражения зависимости 8=/(f) на протяжении полупериода
с помощью эллиптических функций Якоби оказалось достаточным иметь
только следующие точные или приближенные данные о характере зави-
симости Л/«=/(8): 1) начальный угол колебания 80; 2) угол 8Ь при ко-
тором электромагнитный вращающий момент Ме равен приложенному
вращающему моменту 3) угол 82=/=80, при котором скольжение равно
нулю либо минимуму; 4) максимальное скольжение при 8 = 81в

Эти характерные параметры колебания могут быть определены при-
ближенно на основании формул, приведенных в предыдущих главах.

В отдельных случаях после определения зависимости 8 = /(/) может
понадобиться уточнение значения угла 82 из-за некоторого изменения
затухания переходных токов, вызванного увеличением длительности
полупериода колебаний, вследствие нелинейности этих колебаний. Такое
уточнение не представляет особого труда. Зная уточнение 82, можно
уточнить и зависимость 8 =/(/).

Отклонение зависимости 8=/(/) от синусоидальной в представлен-
ном рассмотрении характеризуется только одним параметром

1- 62-8, •

При работе в зоне динамической устойчивости при значениях у,
близких к единице, колебания близки к синусоидальным. При уменьше-
нии у колебания остаются близкими к синусоидальным почти до пре-
дела динамической устойчивости. При этом увеличивается период ко-
лебания.
При 7 порядка -у машина оказывается в режиме, близком к пре-
&

делу динамической устойчивости. Полупериод колебания при этом
стремится к бесконечности.

В дальнейшем, при увеличении набрасываемой нагрузки, машина
оказывается в режиме выпадения из синхронизма. При этом у воз-
растает, а время, необходимое для достижения угла 82, умень-
шается.

Значение у —>оо соответствует случаю, когда приложенный вращаю-
щий момент ML равен максимальному электромагнитному вращающему
моменту.

Представленные формулы позволяют рассчитать допустимое время
наброса чрезмерной нагрузки без выпадения из синхронизма. При
этом набрасываемая нагрузка не обязательно должна быть постоян-
ной. Характер ее скажется на значениях углов 8Х и 82, а также на вели-
чине максимального скольжения, входящих как параметры в выра-
жение 8 =/(/). Примеры таких расчетов приведены на стр. 380.

Те же формулы могут быть использованы для расчета допустимой
длительности короткого замыкании машины и других аварийных нару-
шений с точки зрения сохранения синхронизма.

Предлагаемый метод может быть использован при рассмотрении
многих задач, связанных с нелинейными колебаниями в том случае,
когда сила упругости, говоря языком механики, оказывается сложной
функцией деформации, времени и производных деформаций по вре-
мени, а приложенная внешняя сила является функцией времени.

Этот же метод пригоден для решения ряда задач электротехники
с нелинейными сопротивлениями и др.

В большинстве практических задач благодаря инерции системы ре-
зультирующая зависимость силы упругости от деформации предста-
вится на протяжении полупериода колебания однозначной плавной
кривой с кривизной одного знака на большей части кривой.

Влияние членов, зависящих от времени и производных деформации
по времени, на характер указанной кривой может быть оценено на
основании приближенной (например, синусоидальной) зависимости де-
формации от времени.

Уточненная зависимость деформации от времени выражается через
эллиптические функции Якоби. Для оценки характера этой зависи-
мости и полупериода колебаний достаточно знать степень нелиней-
ности системы, характеризующуюся одним параметром "f.

Предлагаемый метод использует выражение для накопленной кине-
тической энергии колебания в виде полинома третьей степени. В этом
случае зависимость 8=/(f) выражается через функции Якоби весьма
просто.

В тех случаях, когда зависимость накапливаемой кинетической
энергии от угла 8 носит менее плавный характер, можно приблизить
эту зависимость полиномом четвертой степени, как это представлено
на стр. 379, 380, что повысит точность рассмотрения. Угол b=f(t)
в этом случае может быть выражен через эллиптические функции
Вейерштрасса. Существует простой способ преобразования полинома
четвертой степени в полином третьей степени путем элементарной за-
мены переменных [1Г-16, 1Г-20]. Поэтому такое уточнение не встре-
чает принципиальных затруднений.
Следует отметить, что далеко не всегда есть практическая необ-
ходимость в таком уточнении зависимости 8 — f(t), так как характе-
ристика Ме —/($) с учетом влияния переходных токов (т. е. с учетом
экспоненциально затухающих членов и с учетом влияния производных
угла 8 по времени) в общем случае может быть задана только прибли-
женно.

Предлагаемая методика есть прямое обобщение теории линейных
колебаний на случай системы, характеризуемой одним либо двумя не-
зависимыми (см. приложение 10) параметрами нелинейности.
ГЛАВА 15

ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРИ НАБРОСЕ НАГРУЗКИ

1.	ВВЕДЕНИЕ

В настоящей главе получены зависимости электромагнитного вра-
щающего момента синхронной машины от рабочего угла при набросе
нагрузки. Зависимость рабочего угла от времени при этом считается
приближенно известной.

Представленные формулы зависимости электромагнитного вращаю-
щего момента от рабочего угла, в сочетании с полученными форму-
лами, позволяющими оценивать зависимость рабочего угла от времени
при заданном в функции угла электромагнитном вращающем моменте,
позволяют с достаточной для практики точностью оценивать поведе-
ние синхронной машины при набросе нагрузки. Расчет при этом ве-
дется по полупериодам колебания угла с последовательными прибли-
жениями, в зависимости от требуемой точности расчета.

2.	ПРИНЯТЫЕ ДОПУЩЕНИЯ

При выводе формул для расчета электромагнитного вращающего
момента в функции угла 8 принимаем следующие допущения с целью
выявления основных закономерностей в зависимости электромагнитного
вращающего момента от угла 8; 1) сеть принимается бесконечно мощ-
ной; 2) влияние активного сопротивления в цепи статора не учиты-
вается; 3) приложенное к обмотке возбуждения внешнее напряже-
ние принимается постоянным; 4) изменение насыщения в переходном
процессе не учитывается; 5) зависимость рабочего угла 8 от времени
после наброса нагрузки считается известной; принято, что угол
совершает колебания с заданной медленно затухающей амплитудой
около заданного медленно изменяющегося среднего угла; 6) элек-
тромагйитный вращающий момент рассчитывается с учетом влия-
ния первой гармонической в выражении угла как функции времени
на протяжении полупериода колебания угла; принимается, что выс-
шие гармонические в выражении угла как функции времени на про-
тяжении полупериода колебания угла оказывают незначительное влия-
ние на характер электромагнитного вращающего момента; 7) частота
качаний мала по сравнению с номинальной частотой, поэтому пото-
косцепления статора, выраженные в синхронных осях, можно считать
неизменными.
Допущения относительно малого влияния высших гармоник коле-
бания угла на электромагнитный момент и относительной неизмен-
ности потокосцеплений статора требуют рассмотрения, представлен-
ного ниже.

3.	ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ СТАТОРА ПРИ ВОЗНИКНОВЕНИИ
КАЧАНИЙ РАБОЧЕГО УГЛА §

Номинальное напряжение статора es, выраженное в собственных
осях машины, будет равно при качаниях угла 8:

е ‘	(15,1)

где угол 8 принят положительным для режима в качестве двигателя.

Потокосцепления статора при переменном угле 8 будут равны
при гв = 0 в упрощенной символической записи:

(IS. 2)

Пусть угол 8 изменяется во времени по закону

а = — До cos ht.	(15,3)

где —угловая частота колебаний — малая из-за большой механи-
ческой инерции машины.

Скольжение ротора равно:

db

= Д0Л sin ht.	(15,4)

со средним значением, равным нулю.

Скорость вращения ротора будет равна:

о)г = 1 — A0AsinA^,	(15,5)

со средним значением, равным единице, и с весьма малой амплитудой
колебаний около среднего значения.

Раскрывая операторное выражение (15,2) для потокосцеплений

пользуясь разложением (13,124), получаем:

. _ Л^о) /] (Др) Г	8-^ 1

£ ( <ог	2 j	L h (*>г — h J

Л (до) Г	“1	1

2j L^r-+-2A '4_u)r — 2h J

__	f —/ (До) /	1	1	_ _2_

j	|	2	\ (Dr h ”l” (Or --- h (0r

Л (^o)

“*	2

1
a>r — 2h

(15, 6)

Как видим, потокосцепления статора состоят из „периодической"
части, имеющей среднюю синхронную скорость, и „апериодической"
части, неподвижной по отношению к статору. Нетрудно видеть из вы-
ражения (15,6), что при Л<<<ог „апериодическая" составляющая ф, в пер-
вом приближении относительно величины h равна нулю, так как

1
wr -+- nh

1

— nh

Коэффициент затухания е~аа* в „апериодической" части введен в фор-
муле (15,6) для учета затухания, вызванного наличием активного со-
противления в цепи статора, как это делалось при рассмотрении корот-
кого замыкания и как это ясно из физических соображений.

„Периодическая" составляющая ф„ имеющая среднюю скорость, рав-
ную синхронной, с учетом того, что Л<С1 и среднее значение сог = 1
может быть с достаточным приближением принята равной

фз ;

ф^ = сь8&; <p? = sinB.

(15,7)

4.	ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ ПРИ КАЧАНИЯХ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПОСЛЕ НАБРОСА НАГРУЗКИ

а)	Дифференциальное уравнение для определения
электромагнитного вращающего момента при больших качаниях,
связанных с набросом нагрузки

Дифференциальное уравнение электромагнитного вращающего мо-
мента при качаниях рабочего угла 8, при пренебрежении влиянием
активного сопротивления в цепи статора, учитывая выражения (15,7),
можно написать в виде [см. формулу (13,146)]:

Ее . л	Г cos S ~|	л Г sin Ь “1

Мв =---sin & — е2 sin $ -7—7 -+- е2 cos $ -( ; ~	.	(15, 8)

Xd	L Xd (р) J	L Xq (р) J	V '

В выражении (15,8) перемножение можно производить только после
раскрытия операторных выражений в квадратных скобках как функций
времени.

Для раскрытия выражений в квадратных скобках требуется выра-
зить операторные реактивности xd (р), хд (р) в функции параметров ма-
шины и величин cos 8 и sin 8 как функций времени.

Зависимость угла 8 от времени в свою очередь выражается диф-
ференциальным уравнением механического равновесия (14,8). Прини-
маем в первом приближении, на основе анализа, проведенного в главе 14;
что на протяжении полупериода колебания угла при набросе нагрузки
с сохранением синхронизма угол 8 изменяется во времени по закону
(15,3)

В = &! — До cos ht.

В переходном режиме, связанном с изменением нагрузки, средний
угол 8Х и амплитуда колебаний являются переменными величинами.
Эти величины вследствие относительно большой инерции ротора изме-
няются во времени медленно, что дает возможность приближенного
определения электромагнитного вращающего момента при набросе на-
грузки в функции угла 8Ь не ограничивая амплитуды колебаний рабо-
чего угла.
Для ©того воспользуемся разложением в ряд Фурье по формуле
(13,124) функций вида	считая процесс „квазистационарным",

т. е. пренебрегая влиянием конечной скорости изменения параметров —
среднего угла и амплитуды колебания 'Ао— на величину электро-
магнитного вращающего момента при набросе нагрузки. Разложение
(13,124), являясь в рассматриваемом диапазоне амплитуд колебаний
быстро сходящимся, позволяет сравнительно просто выявить влияние
амплитуды колебаний угла Ао на величину электромагнитного вращаю-
щего момента.

Средний угол определяется при набросе нагрузки равенством
электромагнитного момента вращения Ме приложенному внешнему
моменту ML. За один период качания существуют два угла, удовле-
творяющие этому условию — угол и угол 83 (см. рис. 1-22, а), вслед-
ствие наличия демпферного момента и вследствие изменения „синхро-
низирующего" момента во времени. Поэтому принятое определение
8 = — Ао cos ht имеет смысл только для половины периода. Средний
угол колебания, таким образом, как бы меняется скачком при пере-
ходе от первой половину периода ко второй. По мере затухания пере-
ходных токов значение угла через период изменяется до значения 8Г>
(cNtf. рис. 1-22, а), через два периода до значения % и т. д., в то
время как угол 83 через период заменяется углом 87 и т. д. Соответ-
ственно от полупериода к полупериоду изменяется амплитуда коле-
бания угла Ао.

б)	Раскрытие операторных выражений, связанных
с операторными реактивностями машины

При рассмотрении переходного процесса, связанного с возникно-
вением качаний, следует с осторожностью раскрывать выражения вида
cos S sin &	о\

и в операторном уравнении (15, о), чтобы правильно учесть

начальные условия.

Учет начальных условий возникновения качаний при набросе на-
грузки даст

cos &	COS $0	cos В — cos Bo	
*d{p} ~	Xd	Xd (p)	
sin &	sin	sin 8 — sin 8q	(15,9)
Xq (р) ~	*<7	Xq (p)	-	

времени,

как

в ФУнквии

было показано в главе 11, имеет следующий вид:

Раскрытие операторного выражения

1	1 (p+«rfl)(P + M) ... (р+^я) !

x'd (р «'di) (р a'dz) •(Р-^ a'dn)

~а<П*  f —“<*2* .	..

41е	-+-	“Ь...-ы^ие — „ ,

Xi	xd

(15,10)

где коэффициенты 1Л,	• • • idn определяются по теореме разложения

Хивисайда либо могут быть, как и коэффициенты затухания а^2, .. .
a’dn, найдены приближенно из амплитудной логарифмической частот-
ной характеристики (см. главу 11) и где

=	-+- ...+W “'<*»*-ь-У.	(15,11)

L	ла -

При t = 0 коэффициент (^)*=о равен единице; при t стремящемся
ч

к бесконечности коэффициент (^)^оо стремится к величине . Ана-
логично для поперечной оси

1	1	лд)* , •	^2^ .	 :	__	/1С -ох

~	х„ Zffl£ “Ь	"*• . ..-bljmS	——7Г ' (15,12)

Л<1 \г) лд	y

Q
где

kt =х' [,г1 ч- ig2ra^ ч- ... ч- i!mra«mt ч- -1] .	(15, 13)

Коэффициент kq при £ = 0 равен единице и при f->oo стремится
//

Xq
к величине —— .
Xq

Операторные выражения вида -----------г-— раскрываются в функции

xd \ Р +" Js)

времени как

1______1	 е-Л/	““dl*

xd (р -+- js) ’ Xd (js)	а -4- js lai

ad2	—a^2^

—-------—*db*

ad2 Js

(15,14)

где

- a'dl j*

—adl*

ad2 . , ~ad2*

+-—-----—'dz*

ad2 Js

adn	-o.’ t

dn^T&

(15,15)

Коэффициент kd8 при f = 0 равен
xdz
к величине —•
x<r(]s)

Реальная часть коэффициента kd8

единице, а при t -> co стремится

равна:

cd,=^kd.=xd

л'2

,'2 , 2 ldle

'2	f

'2 .2

ad2 "+"s

adn
adn-^

x"d Od,* cos s/ — id,r sin «O’

(15. 16)

2 idn^

— ^dn^

где ijgx и idtr — соответствующие составляющие тока
1

ld»x +“ Jldsr.

Xd (js)
Аналогичные выражения имеем для поперечной оси

1	kg,

Xq (Р -+- js)	х"

(15,18)

где

___^2____
a«2-*-/s

lqzz

CL™
q т

-+-JS

— a t
iqmt Чт -+

(15,19)

Xq W

Коэффициент k„, при f = 0 равен единице, а при £->со стремится
и 4

к величине ---

Xq (JS)

Реальная часть коэффициента kq9 равна:

с =Re£ о~х
qs	qs q

a

'2'
q2



„2	г

Ят . aqm*

'2	2 lQm&

aqm s

cos st — i sin st) ,

(15, 20)

где iq99 и iqar — соответствующие составляющие тока

1

Xq(js)

(15, 21)

в) Общее выражение для электромагнитного вращающего момента

Используя разложение по функциям Бесселя

sin (До cos ht) == 2 [Ji (До) cos ht — J3 (До) cos 3ht J5 (До) cos 5ht — ..
cos (До cos ht) = Jo (Ao) — 2 {h (до) cos ^ht — (До) cos4Af -+-
-ь/б(до) cos 6A/-+- ...]

(15, 22)

и полученные выражения операторных функций вида(рч-js) »
получаем следующее развернутое выражение для электромагнитного
вращающего момента в функции угла 8 при набросе нагрузки:

Ее

Ме = ~
xd

кл 1 \ R • *	( k" 1 \ • X »

“77 —---- I COS Оо Sin о- j —— — -- ) sm Oq COS 0

xd Xd /	\ xq *q )

cqih

//

— e2/0 (До)

cos	sin В — —%- sin Bi cos В

xq

— 2e2Ji (До) sinBjsinB

cos cos 8 4- 2e2/2 (^o) cos 8X sin 8

1 sin cos 6 I -+•

X4	J

4-2eV3(A0)

''aan . s; - ss

---77“ Sin Oj sin 0

_ Xd

Cq3h R Я

--7Г~ COS 01 cos В

хя

— ie^Ji (До) Гcos 8j sin 8
L * * x*

cq4h
Здесь

cdlh = (С£в)в=л;

cQlh == (cge)e=*;

Cd2h= (c^)e=2«. • • I
cq2h == (сдв)«=2Л» • • •	$

(15,24)

т. e. коэффициенты cdlh, cd2h, • • cqlh, cq2h • • • получаются подстановкой
в формулы (15,16) и (15,20) значений s=h, 2h и т. д.

г) Синхронизирующий и демпферный вращающие моменты
машины при больших качаниях после наброса нагрузки

Выражение для электромагнитного вращающего момента (13,23)
можно раскрыть, разбив вращающий момент на синхронизирующий и
демпферный

Me = Me8-t-Md.	(15,25)

Синхронизирующий вращающий момент Ме8 будет равен:

Здесь

Ее

Ме8 = ms! sin 5 -ь т82 cos S -+- 5т8 AS.	(15, 26)

AS =i S — Sj = —Ao cos ht;

(15, 27)

xd ) cos B° " xd h (Д°) ““ (До)

^duJl (До) — • • • cos Sx — 2 (до) — id%hJs (Ao) -b ...] sin Sx, (15, 28)

cdkk

где =	2\..) — затухающая часть коэффициента x"

равная

,,	adl

ldkh~ ^(khf Z

'2	' ,

ad2	ad2t

a'd^(khf

~adi*

'2
adn

(* = 1, 2 ...)

(15, 29)

m82 = — e2

1 \ Г k

-)sin8o- 44(Ao)-2/^2(Ao) +

+ HqlhJb (до) “ • • • sin &! -F 2 [/l (Ao) iqlh J3 (Ao) iff3A I cos Si, (15, 30)

где /\.А(^ = 1, 2 •..) — затухающая часть коэффициента -ф----вычис-

лял	„

ляется аналогично выражению (15, 29) для параметров по оси q.

2е2 z	г

^т9 =	{[(1виЛ (До) ~ гвЗо;Л (До) Т’з 4- »••)-*-

( ^у2х^2 (До) ?2	^4 ~ ’ • •)] C0S (Д$) ~

“ (До) ?! ~(До) гз -+-•••) *”
^(~W2(Ao)^-b М.Л(до)^> • • •)] cosG^M},
где i9lca} (k = l, 2,...) — реальная составляющая среднего установив-
шегося тока машины для скольжения s = kh по частотной харак-
теристике

<15.32)

и — соответствующая разность

(15,33)

Коэффициенты T'k(k = X, 2,...) равны:



Т]с (cos ht)
cos ht

(15,34)

7^(х) — полиномы Чебышева первого рода £-го порядка от аргу-
мента х.

На основании свойств полиномов Чебышева [1Г-15] полиномы
Tf (х) равны:

т;(х) = 1; Т’2(х) = 2x2 71;	т;(х) = 4х3-3;

Т\ (х) = 8 —~	;	Г' = 1бх4 - 20х2 -+- 5 и т. д.

Полиномы Т'к(х) никогда не превышают по абсолютной величине
значения, равного единице,

(-1)<Г (х)<(-Ы),

так как cosAf не может быть больше единицы.

Демпферный момент Md равен:

Mz = rnd ,	(15,36)

где коэффициент демпферного момента md может быть выражен в виде

- «нгЛ (д0)	• .)]cos (Д8) - (До) -

- (До)	- (~W2 (До) - UA (До) • •)] cos (8 - \)}- (15, 37)

Здесь islCr (А = 1, 2,...) величина средней вертикальной составляющей
тока статора по частотной характеристике для скольжения s = kh>

равная

iskr —

id»r igur

2

)(в=вд’

(15, 38)

^vicr (A = l, 2,. . .) — соответствующая разность

ldsr igsr

2

(e=fcA)‘
Величина e2Zsfrr(^ = l, 2,...) — это средний асинхронный вращающий
момент машины при скольжении s = kh, а величина e2iykr— это пульса-
ция асинхронного вращающего момента машины при скольжении s = kh,
вызванная несимметрией ротора.

Коэффициенты U'k (£ = 1, 2,...) равны:

/ AS \

	.	(15,40)

*	sin ht	«. /	/ До \2 ’

p-k)

U* (x) — полиномы Чебышева второго рода кто порядка от аргумента х.

На основании свойств полиномов Чебышева [1Г-15] полиномы U'k(x)
равны:

U'(x) = l; U'(x)=2x\ U'(x) = № — 1;	]

(15, 41)

U± (х) = 8х3 — 4х;	(х) = 16х4 — 12х2 -ь 1 и т. д, )

Полиномы Uk (х) = Uk (х) V1—х2 никогда не превышают по абсо-
лютной величине значения, равного единице.

Анализируя полученные выражения синхронизирующего и демпфер-
ного моментов и учитывая быстрое уменьшение функций Jk (До) по меРе
увеличения порядка к можно с достаточной для практики точностью
ограничиться в расчетах учетом составляющих с точностью до /1(А0).
В этом случае получаем:

Ес Г / кй 1 \	кя

V" -	™ b0 - J9 (до) ««\	(д0) sin \ ; (15, 42)

m82 = —е2

Дп?а = е2

2/1 (Др)

△о

^4(доНп\*ЧМ(до) cos\

[ina? cos (b — bx) — inx cos (b -+- bx)];

в2 2/(Др)
md~ h До

[felr cos (b — bi) — z’yir cos (b bi)] =

2/i (Др)
АДр

[Mah cos (b — bi) — e2z^ir cos (b -4- bj],

(15,43)

(15, 44)

(15,45)

где Mah — средний асинхронный вращающий момент машины при сколь-
жении ротора, равном Л, определяемый по частотной характеристике
машины

Mah = e^i81r.	(15,46)

При затухании переходных токов в роторе величина стремится
xd

1	кд	1	*п

к — ,	— к — , переходные токи idlh и iqlh стремятся к нулю и, сле-

довательно,

Ее— Jo (До) cos 8]

(m*l)/->co в	т,	:	(15> 47'

,	, Jo (до) sin 8t
Величины Ат, и md не зависят от затухания переходных токов в ро-
торе.

Если амплитуда колебаний Ао мала, то

△о
/о (До) I; /1 (До) =	; cos (В - во 1;

cos (В -+- Вх) cos 2ВХ — sin (2ВХ) ДВ.

В этом случае (Ао<^1)

Дт« е2 {г%\х — iyix cos 2ВХ);

_	g2 . ox _

h — h tyircoszox—	(15,48)

e2	_	no. \

= д (z'air iyir cos 2BX).

д) Случай симметричного ротора

Если ротор машины симметричен, то формула (15,23) упрощается
а имеет вид:

Мв

1 \	е2

— ) sin (В — Во) — —7г [/о (До) kd — (До) cd2h
xd /	хл

2А (До) с^4Л — ..Sin (В — Вх)

2е2

//

xd

[/1 (До) cdlh — /з (До) сбМЗ -+-

/б (До) cd5h — ...] cos (В — ВО.

(15, 49)

Синхронизирующий вращающий момент в этом случае в первом
приближении равен:

Ее

Mes =-----Sin В -+- е2

•^d

1 \	к%

— I Sin (8 — 80)— ~'ir Jo (до) sin (Д8) —

/	xd



-+-	cos (ДВ) ДВ.

△о

(15, 50)

Демпферный вращающий момент в этом случае в первом приближе-

нии равен:

„	г2.	2Л(Д0) JB

Md==^h lftlr —д^—со^ (~dt ’

е) Электромагнитный вращающий момент машины,
не имеющей демпферных контуров в роторе

Для машины без демпферных контуров по продольной и поперечной
осям ротора имеем:

__t__

^=(1 —а)£ d -4-g;
cdt~

__t_
т

(1 —о)е ‘

a) cos — sTd (1 — a) sin st
1-ы%2

Продолже-
ние (15,51)





Cqg  COS St,

xd

где а= — .

xd

Учитывая
машины, не

выражения (15. 51), электромагнитный вращающий момент
имеющей демпферных контуров в роторе, будет равен:

. * e2

Me = Sin Ь Ч-
xd

___

е2	т'

—г~ (1 — а) е а cos Ьо sin b —



t	\

t' 1 I	e2

-ь —г- I cos bi sin b — 2 —r- Ji (До) X

Xd /	xd

___t_
т’

(l-c)s d

!) cos ht — hTd (1 — a) sin ht
-2—72-----------------sin bi sin b

2е2

-ь —/2(Д0)

___

(1  a) e	+ 4Л2Т^2) cos 2ht — 2hTd (1 — a) sin 2ht



2е2

X COS bi sin b	—— Js (До)

xd

____t_
т

(1 - о) S ‘

!) cos 3ht — 3hT& (1 — o) sin 3ht

1 -i- 9Л2Т^2

X sin sin 6 — . .

(15, 52)

Если частота качаний настолько велика, что hTd^>\ (величина Td
имеет порядок нескольких сот радиан), то коэффициенты

kds^^St^ Cd8^ cos st.

(15. 53)

В этом случае электромагнитный вращающий момент при отсутствии
демпферных контуров в роторе будет равен:

—

xd

1 1

d

____t__	____t_

T	(	T

8 d COS b0 -+- I 1 — 8 d

Jo (до) cos bi sinb —

sin 2b.

(15, 54)

Вращающий момент Ме8, вычисленный по выражению (15, 54), можно
назвать „синхронизирующим" моментом, так как он зависит только от
угла 8.
Дополнительный электромагнитный момент, учитывающий частоту
качаний и включающий в себя демпферный момент, в этом случае
равен с точностью до Бесселевых функций первого порядка

ДМ = Mah (До) sin

sin ht -t-

cos ht — e

hT'd

sin B,

(15,55)

где Mah — асинхронный электромагнитный вращающий момент машины
в установившемся режиме при скольжении, равном А,

е2Л (1 - a) T'd
Mah~X'd^h^) •

(15, 56)

Вращающий момент &Ме вместо (15, 55) может быть также записан

в виде:

ЛЛ# 2/1 (До) Mah . х
ьм*=—д^---7Г sin *

JB
dt

Вг — $ — Д^е й
т7*

sin 8.

(15, 57)

Как видим, результирующий электромагнитный вращающий момент
Me = Me8-+-&Me является сложной функцией угла 8, производной
а также непосредственно зависит от времени и от амплитуды колеба-
ний Ао.

После затухания переходных токов имеем при установившихся кача-
ниях с частотой h следующее выражение для электромагнитного вра-
щающего момента:

М =

Ее

Xd

е2

т

1 \ /1

— ) sin 2В -+- e2Jo (Др) ( —

Xd /	\ xd

_1_\
Xd)

2/i (Др) Mah Г^(ДВ) _

Др h dt

sin sin В.

(15, 58)

COS sin В -+-

При малых установившихся качаниях величины /0(Д0) и - -д —
стремятся к единице. Электромагнитный вращающий момент машины,
не имеющей демпферных контуров в роторе, в этом случае будет
равен:

Ее	е2	/	1	1	\	/1	1\

Ме =--sin В -ь -5— ( -— —г 1 sin 2В -+- е2 I —т —- )	cos	sin	В	-+-

1 \ Xi xd /	\xd Xd )

Mah (dto Д8 \

—Д-f—-p-J sin Sj sin 6,	(15,59)

или, пренебрегая величиной —r, получаем формулу для расчета элек-
т d

тромагнитного вращающего момента при установившихся малых кача-
ниях

Ее	е2 / 1	1 \	/1	1 \

Ме = —- sin В -+- -5- I — ) sin 2В' — е2 I ~-— sin В (cos В — cos В2) -+-

xd	z \xq xd /	xd)

Mah d(^) .

—д------—sln 5isln

(15,60)
Мы получим зависимость демпферного момента

Med ~ ~h~ sln 51 Sin 5 —~dt~

md ~ ~~~h— sin 61 sin °

(15,61>

от скорости изменения при малых установившихся качаниях рабочего
угла, несколько отличающуюся от обычно принятой.

В главах 1 и 10 мы пользовались формулами (1,15) и (10,13) для
расчета электромагнитного вращающего момента при установившихся
малых качаниях рабочего угла. Для рассматриваемого случая отсут-
ствия демпферных контуров в роторе имеем по выражению (10,13)

Mah . ЛЬ
s,n

md==~h~ Sin 51’

(15, 62)

Результат по формуле (15,62) получился вследствие того, что величина
принимается малой и в этом случае при рассмотрении в гл. 10,
в соответствии с правилами приближенных вычислений, принято, что
sin OjSino-—^- » sm .

Однако формула (15,61) в отдельных частных случаях учитывает
явления, которыми нельзя пренебрегать. Действительно, при малых
значениях среднего угла 8Т коэффициент демпферного момента md при
вычислении по формуле (15,61) может быть временами отрицательным,
в то время как по формуле (15,62) он постоянен и положителен. Оче-
видно, что результирующее демпфирование колебаний, вычисленное по
формуле (15,61), может быть при малых углах существенно меньше,
чем по формуле (15,62). Если учесть, что при отсутствии демпферных
контуров в роторе машины и при малых средних углах 8г коэффициент
демпфирующего момента md вообще мал и машина склонна к качаниям,
то указанное уточнение формулы (15, 62) для рассматриваемого случая
оказывается существенным.

Среднее значение демпферного момента Med за полупериод колеба-
ния равно:

по формуле (15,61)

тс

M»d сред. = sin 51 "7 f sin (81 “ Cos ht>> Sin htdt =
о

— Mah sin2 8, 2^0 — sin 251 • -A°- ;	(15, 63)

— h 1 тсЛ h 2 2kA

по формуле (15,62)

К/сред. = — Sln28l-^T.

(15,64)

Очевидно, что при малом 8Ь имеющем тот же порядок величин,
что и До, поправка по формуле (15,63) по сравнению с (15,64) может
быть относительно весьма существенна.

Если, например, 8х = -у-, то по формуле (15,63) получаем Mtd сред.^

’ т* е' в два Раза меньше> чем по формуле (15,64).
Это обстоятельство, видимо, является дополнительной причиной
повышенной склонности к раскачиванию при малых рабочих углах
у синхронных машин, усиливая раскачивающее влияние активного
сопротивления в цепи статора в машинах, не имеющих демпферной
обмотки по поперечной оси.

Наличие демпферной обмотки по поперечной оси создает дополни-
тельный демпферный момент, пропорциональный cos Cos 8 и препят-
ствующий раскачиванию машины при малых рабочих углах.

ж)	Электромагнитный вращающий момент машины, имеющей по
одному демпферному контуру в роторе по продольной и поперечной
осям при сравнительно большой частоте качаний

Если машина имеет по одному демпферному контуру по продольной
и поперечной осям, но частота качаний достаточно велика, так что
и лг;>1, то

kdt	Cqs COS

В этом случае синхронизирующий электромагнитный вращающий

момент равен:

или

sin 2b -4-е2

sin Bq cos b

-е2/о(До)

£ -1

---7,-sin Si cos b

“* eVo (до)

cos Si sin b —

(15, 66)

t

//

T

q sin bo cos b

cos bx sin Ь —

(15, 67)

Нетрудно определить соответствующий демпферный момент, поль-
зуясь формулами (15, 37) и (15, 45).
з)	О допустимости пренебрежения влиянием высших
гармонических в колебании угла при расчете
электромагнитного вращающего момента

Как было показано в главе 14, колебания угла 8 даже при боль-
ших колебаниях, соответствующих условиям, близким к выпадению из
синхронизма, имеют на половине периода колебания характер, близ-
кий к гармоническим колебаниям, с весьма малыми высшими гармо-
ническими, несмотря на большую нелинейность зависимости электро-
магнитного вращающего момента от угла 8. Нелинейность сказывается
в первую очередь на изменении периода колебания (см. главу 14).

Другое обстоятельство, позволяющее учитывать при рассмотрении
электромагнитного момента только первую гармонику колебания угла,
заключается в следующем. На синхронизирующий момент при кача-
ниях существенное влияние окажет разделение потокосцеплений на
средние потокосцепления, для которых операторные реактивности бу-
дут величинами, равными синхронной реактивности, и переменные
потокосцепления. Для всех членов разложения в ряд Фурье, кроме нуле-
вого, т. е. для первой, второй и т. д. гармоник, операторная реак-
тивность будет величиной более близкой к переходной реактивности,
поэтому в первую очередь требуется оценить, как повлияет наличие
второй гармоники качаний на среднее значение величины sin 8 или
cos 8 за период колебания.

Оказывается, что это влияние невелико. Так, например,
если колебание- имеет амплитуду первой гармоники в 60° и, кроме того,
имеет вторую гармонику с амплитудой колебаний в 20° (т. е. -у от
амплитуды первой гармоники), то средняя величина потокосцеплений
по продольной оси будет равна:

/о (60°) Jo (20°) cos 6i = 0.747X0.970 cos

т. е. изменится всего на 3°/0 по сравнению со случаем отсутствия
второй гармоники. Это же обстоятельство нетрудно видеть из вектор-
ных диаграмм, представленных на рис. 13-7, 13-8. Отсюда следует, что
имеющие место гармоники в колебании угла, даже если бы они были
значительны, оказывают несущественное влияние на средний синхро-
низирующий момент.

Может возникнуть вопрос, как будет влиять наличие второй гар-
моники в колебании угла на величину демпферного момента. Нетрудно
показать, что вторая гармоника в колебании угла 8 может создать
только вторую и более высокие гармоники демпферного момента. Эти
гармоники практически почти никакого влияния на предельный угол
колебания и на характер колебания не окажут, так как на протяже-
нии одного полупериода колебаний они будут создавать ускорение и
торможение, почти компенсирующие друг друга.

Таким образом, электромагнитный вращающий момент до опреде-
ленного периода мало зависит от наличия в кривой 8=/(f) высших
гармонических.

Наличие медленного изменения угла и медленного затухания ампли-
туды качаний Ао не препятствует пользованию формулами для электро-
магнитного вращающего момента, полученными при условиях 8r = const
и Ао = const, если эти изменения происходят достаточно медленно. При
этом можно считать и Ао неизменными для каждого полупериода
колебания, изменяя их значения скачком при переходе к следующему
полупериоду.

Проведенные численные расчеты электромагнитного вращающего
момента для случаев наброса нагрузки, близкой к пределу статической
устойчивости, и большей, чем предел статической устойчивости, по
представленным формулам (см. приложение 12) показали хорошее сов-
падение результатов расчета с опытом. В численных расчетах исполь-
зовались найденные из опыта предельные и средний углы колебания,
а также частота колебания для каждого полупериода.

При пренебрежении факторами, учитывающими искажение электро-
магнитного вращающего момента, которое вызвано большой амплиту-
дой качаний и затуханием переходных токов, результаты расчета
электромагнитного момента получаются значительно отличающимися
от опытных.

5. ОПИСАНИЕ ПРОИЗВЕДЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

И СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТА С ОПЫТНЫМИ ДАННЫМИ

С целью проверки полученных формул для расчета вращающего
момента в функции рабочего угла при набросе нагрузки было постав-
лено экспериментальное исследование на синхронной машине типа
С-126-7 завода „Электросила" им. С. М. Кирова, номинальной мощ-
ностью 120 квт, cos = 0.8, 500в, 750 об./мин. Машина не имела
демпферной системы на роторе. Исследование проводилось в режиме
синхронного двигателя, при сочленении муфтой с генератором по-
стоянного тока.

Наброс нагрузки осуществлялся замыканием цепи генератора по-
стоянного тока на реостат, при независимом возбуждении генератора.
Включение в сеть осуществлялось запуском агрегата со стороны по-
стоянного тока и включением синхронной машины в сеть после син-
хронизации.

Машина постоянного тока типа В-6-130-175 завода „Электросила"
имела номинальную мощность 130 квт и номинальную скорость враще-
ния 375 об./мин.

Возбуждение синхронной машины осуществлялось от насаженного
на общий вал возбудителя типа ВС-21/10 мощностью 4.7 квт, 750 об./мин.

Исследованная машина имела следующие параметры:

xd = 1.89;	xff = 1.07; x'd = 0.21;	Td0 = 377;	2% = 59.7; GD* = 0.333.

При набросе нагрузки осциллографировалась мощность, потребляе-
мая нагрузкой постоянного тока, ток статора, ток возбуждения, на-
пряжение синхронной машины и показания контактного приспособле-
ния на валу для определений угла 8.

Для осциллографирования мощности синхронной машины были
использованы два шлейфа мощности, включенные по схеме Арона.

Шлейф мощности записывает величину, равную

im sin (art — ) em sin art =	cos  CQS	— y) = EI cos <p — EI cos (2art — ?)»

2	2

где em и im — амплитуды напряжения и тока;

Е и I—их эффективные значения.
Таким образом, шлейф записывает кривую двойной частоты со
средней ординатой, пропорциональной мощности, и с амплитудой ко-
лебания, пропорциональной кажущейся мощности.

Выделяя асимметричные составляющие кривых, полученйых от обоих
шлейфов мощности, включенных по схеме Арона, и складывая их ал-
гебраически, получим общую мощность трехфазного переменного тока.
Масштаб кривых определяется в установившемся режиме с помощью
ваттметров, также включенных по схеме Арона.

Для измерения угла 8 было применено следующее устройство: на
муфте исследуемого агрегата были сделаны две прорези и поставлена
изолированная неподвижная щетка. К валу и щетке было подведено
напряжение сети через активное сопротивление. При вращении вала
наличие прорезей создавало обрыв контакта между валом и щеткой,
с фазовым углом, определяемым углом 8.

Принимая ширину полупериода за 180°, можно было оценить изме-
нение угла 8 на основании измерения расстояния от начала полупе-
риода до начала обрыва контакта. Для контроля служили измерения
расстояния до начала обрыва на втором контакте. Прорези были сде-
ланы на муфте под углом примерно в 180°, т. е. под электрическим
углом примерно в 720°.

Результаты измерений обрабатывались для обрывов от каждой
прорези отдельно и потом определялось среднее арифметическое из
полученных результатов. Начальный угол обрыва контакта при при-
нятом методе роли не играет, так как определялось только изме-
нение угла по отношению к начальному. Начальный угол 8 нетрудно
было определить по статической характеристике для мощности, соот-
ветствующей холостому ходу машины постоянного тока.

Эксперименты проводились при двух значениях тока возбуждения
Е = 0.427 и Е = 1.19.

Осциллографирование наброса нагрузки при малом токе возбужде-
ния, при Е = 0.427 производилось по следующим соображениям:
1) при малом токе возбуждения значительно уменьшается раскачи-
вающее действие активного сопротивления статора; 2) при малом токе воз-
буждения уменьшается статическая устойчивость, большие качания имеют
место при меньших токах, нелинейность характеристик имеет место
при меньших нагрузках и падение напряжения в сети при вклю-
чении нагрузки становится незначительным.

Набрасываемая нагрузка имела величину, близкую к пределу ста-
тической устойчивости. При небольшом повышении набрасываемой
нагрузки машина через 15—20 сек. после наброса нагрузки выпадала
из синхронизма в результате нарушения статической устойчивости.

Электромагнитный вращающий момент определялся из опытных
данных по мощности, потребляемой машиной, за вычетом потерь
в статоре, с учетом изменяющегося в переходном режиме тока статора.

На приведенном рис. 1-22, а представлена сплошной линией опыт-
ная кривая зависимости электромагнитного вращающего момента от
угла 8 при набросе нагрузки.

Кривая, полученная расчетом (см. приложение 12), нанесена на
рис. 1-22, а пунктиром. Точки, полученные расчетом и использован-
ные для построения пунктирной кривой, обведены кружками. Расчет
производился по полупериодам, с использованием опытных значений
предельных и средних углов при колебаниях угла после наброса на-
грузки, а также опытных значений частот колебаний.
Как видим, совпадение опытной кривой с расчетными данными
является удовлетворительным.

На рис. 1-5, а представлены опытные зависимости потребляемой
мощности электромагнитного вращающего момента и угла 8 в функции
времени, соответствующие кривой, представленной на рис. 1-22, а.
Нагрузка после наброса была
я# 50.1
^=Т20 0 8 = 0-334; £ = 0-427.

На рис. 15-1 представлены результаты осциллографирования про*
цесса наброса нагрузки при повышенном возбуждении £'=1.19 и при
Ml = 0.819 (что соответствует

78 квт). Соответствующая уг-
ловая характеристика представ-
лена на рис. 15-2.

На рис. 1-5, б представлены
результаты осциллографирова-

180

120

40

20

160

140

^100

60

о ю го зо чо 50 во
16 периодах

Рис. 15-1. Кривые изменения во
времени электромагнитного вра-
щающего момента Ме и рабочего
угла S синхронной машины мощ-
ностью 120 квт, cos = 0.8 при
набросе нагрузки 78 квт из ре-
жима холостого хода (данные
опыта).

Рис. 15-2. Угловая характеристика М9 =
==/(&) синхронной машины мощностью
120 квт, cos<p = 0.8 при набросе нагрузки
78 квт из режима холостого хода.

1 — опыт; 2—расчет; 3—статическая характери-
стика.

ния процесса наброса нагрузки с выпадением из синхронизма при
Ml = 0.44 (66 квт) и £ = 0.427. Соответствующая угловая характери-
стика представлена на рис. 1-22, б.

Как видим, и в этих случаях расчет электромагнитного вращаю-
щего момента, выполненный по полученным формулам, дает вполне
удовлетворительные результаты.

6.	МЕТОДИКА РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПРИ НАБРОСЕ НАГРУЗКИ

Вычисление полученных выражений, для электромагнитного вра-
щающего момента Ме требует знания предельных углов и частоты
колебания рабочего угла, а определение зависимости угла от времени
требует в свою очередь знания выражения для электромагнитного вра-
щающего момента в функции от рабочего угла машины.

M(tim)

800

720

640

560

460

320

240

160

80

О

					/			
					/ /	\ \		
				1	/	\\		
				1	/ i	\	i	
				1 ‘ II		5	1 u	
				ii / ;			'll  •д	
				1  /			V	
			/	i				
			/	i			•1 II	
			/ //				II ft	
			Ii				i	
			Ii					
			II f					ft
			1 i					ft
		/'	2					1
		II /;						4
		/						ii
		/						
	fj //							i'
Mt	Zjg	^4		5 /				1
1		I						
	1	I  I						

120

^40^	80

Рис. 15-3. Сравнение сверхпереходных дина-
мических угловых характеристик электромаг-
нитного вращающего момента синхронной ма-
шины типа С-126-7 с реальной угловой на-
грузкой при набросе нагрузки и статической
угловой .характеристикой.

1 — свехпереходная динамическая характеристика, про-
ходящая черев начальный угол Зо? 2—сверхпереходиая
динамическая характеристика, проходящая черев пре-
дельный угол 32; 3 — реальная угловая характеристика
при набросе вагрувки, бливкой к пределу статической
устойчивости; 4 — синхровивирующий момент в первый
полупериод колебания после наброса вагрувки; 5 — ста-
тическая угловая характеристика.

Поэтому обычно для рас-
чета переходного процесса
пользуются методом последова-
тельных интервалов. Ввиду
большой громоздкости вычис-
лений задачу сильно упрощают,
пренебрегая рядом величин для
упрощения вычислений. Этот
метод расчета, имея свои пре-
имущества, имеет и ряд недо-
статков, присущих методу по-
следовательных интервалов.
Основной недостаток связан с
отсутствием при пользовании
этим методом аналитических
выражений, позволяющих оце-
нивать влияние того или иного
параметра машины на характер
протекания переходного про-
цесса в целом. Каждый раз
задачу нужно решать численно
в полном объеме, варьируя тот
или иной параметр и только
после этого для данной кон-
кретной машины можно сделать
тот или иной вывод.

Аналитические выражения
зависимости	и 8 =

= /(/), полученные в настоя-
щей главе и главе 14, позво-
ляют подойти к задаче по дру-
гому, используя метод после-
довательного приближения на
больших интервалах в целый
период или в полпериода ко-
лебания угла. Так как колеба-
ния угла из-за большой меха-
нической инерции ротора проис-
ходят сравнительно медленно
и переходный процесс длится
обычно не больше одного-трех
периодов колебаний, то исполь-
зование полученных аналити-
ческих выражений представ-
ляет большие возможности.

Порядок расчета переход-
ного процесса при набросе на-

грузки при этом следующий:

1)	Задана нагрузка до наброса Mlo и после наброса Ml. На-

грузка Mlq соответствует по статической угловой характеристике началь-
ному углу 80.
2)	Определяем первое приближение угла 8Х (при котором

= равное 8П, по сверхпереходной динамической характеристике
(рис. 15-3) из условия:

Me = ML =

COS $0

sin 8n 2

-7r)sin28n-
xd J

— e2(—7Г— ) sin 80 cos 8ц.	(15,68)

\ xq Xt )

3)	Определяем первое приближение частоты ко/.ебаний h, равное hA
по формуле

2 ML Г	sin 8g	Л/zo cos 80 — cos 8n 1

Я Sn-SoL	sin 8X1	ML ~	(&Ц-М J’

полученной из условия нарастания вращающего момента М9 на участке
Зд-т-Зх по закону синуса

А/«	- Ml (sin 8 — sin 8 ) ч- Л/£о

sin ох Х	’

либо по более простой формуле (при нагрузках, сравнительно далеких
от предела динамической устойчивости)

Я(8Ц-8О)



(15,70)

Формула (15,70) соответствует прямолинейной зависимости М9 от
угла 3 на участке 80-^-81,

4)	Находим второе приближение угла Зь равное 312, пользуясь
выражением

*12 m>2 COS *12 Дт. (*12 ~ *о) *“ тЛ (*12 - *о)’	<15’ 71>

где т91, т ,2, ^т9 и md определяются по формулам (15,42)-г (15,45).

Время fn, необходимое для расчета затухания при вычислении 312г
равно:

^«=-2^.	(15,72}

5)	Определяем второе приближение частоты колебаний Л, равное
Л2, по формуле (15, 69).

6)	Определяем предельный угол колебания в первом полупериоде 3^.
равный в первом приближении 321, из условия

8г

J (ML — M')db = Q.

$0

(15,73}

Раскрывая выражения (15,73), имеем:

ML (*2 ~ *о) “** а<1 (C0S *2 ~ COS *о)	а>2 (Sin *0 Sin М Д% [СОЯ (*1	а<>) ~

— cos (8Х ч- 82) — (82 — 8J sin (8Х ч- 82) — (8Х — 80) sin (81 ч- 80)] —

— adx [sin (82 — 8Х) ч- sin (8Х — 80)] — adv [sin (82 ч- 8Х) — sin (8Х ч- 80)] = 0. (15, 74)
Здесь

Ее — е2/о (До) cos ог ь г /д ч „ л ,
ап =------------е2 [cos 00 — /0 (Да) cos Si] ldl —

ла

— 2e2/i (До) sin 8jZrfA1;

(15,75)

Idl — среднее значение тока -пт-— — за первый полупериод коле-
х* xd

бания угла

/,1 = 4

.Ц171—(1_е““а*2т

adl \	1 ad2 \

(15,76)

1dhi — среднее значение тока i”dlh за первый полупериод колебания

угла

4*1

____А_Г Ч1а<и.

, г
ld2ad2

1-Г‘^

(15,77)

<*«2 = —^°—J"'--- — e2 [sin b0 — Jq (До) sin Iql — 2е2/1 (До) Iqhi- (15, 78)

D	Г	Г	1

Величины /21 и lqhl — средние значения токов-пг--и zglA — рас-

xq Xq

крываются по формулам, аналогичным (15,76) и (15,77), для парамет-
ров по оси д;

A	2 271 (До) .

= 4/х (Др) Mah = 4Л (До) е2?>1г

adx тсД0 h тсДр h ’

______4/1 (Др) е2*у1г

ady	-гсДр h

(15, 79)

(15,80)

(15, 81)

С небольшой ошибкой уравнение (15, 74) может быть также пред-
ставлено в несколько более простом виде:

ML ($2 — $о)	а81 (cos &2 — COS Ьо) -+- а92 (sin bp — sin Ь2) -+-

-+• 2 (Да>у) sin 2ЬХ (sin Др — До cos Др) — 2ads sin Др — 2adg cos 2bx sin Др = 0. (15, 82)

7)	Если наброс нагрузки настолько велик, что не существует угла 82,
удовлетворяющего уравнению (15, 74), то угол 82 определяем из усло-
вия, чтобы выражение (15,74) имело при 8 = 82 свой минимум. В этом
случае мы имеем дело с качаниями за пределом динамической устой-
чивости.

8)	Дальнейшее уточнение зависимостей M—f(^ t) и 8=/(f) про-
изводим с помощью аппарата эллиптических функций.

В случае наброса нагрузки до предела динамической устойчивости
[уравнение (15,74) имеет реальное решение для 32] определяется пре-
дельный угол 8С, параметр эллиптической функции т, полупериод ко-
лебания К, амплитуда и средний угол первой гармонической 8^ и
колебания и частота первой гармонической колебания угла, как это
указано в главе 14.
В случае наброса нагрузки за пределом динамической устойчивости
определяются параметры эллиптических функций /70, т и устанавли-
вается зависимость §=/(/) через функцию эллиптического косинуса,
как указано в главе 14.

9)	В зависимости от требуемой точности рассмотрения уточняем
зависимбсть М=/(о), пользуясь полученными новыми значениями ам-
плитуды и частоты колебаний, либо переходим к расчету 8=/(f) для
второго полупериода колебания угла.

10)	Во втором полупериоде при расчете зависимости 8(/) опреде-
ляем средний угол 83 и предельный угол 84, пользуясь выражением
Мв=/(8, /), полученным для первого полупериода.

Угол 83 находим из условия

/	Зк \

Мв = ML упри S = S3 и t =	.

Угол 84 находим из условия, аналогичного (15,74) и (15,82), в ко-
тором угол 80 заменен на 82, угол 8Х — на 83, угол 82 —на 84:

ML ($4 — $2) + (cos $4 — cos $2) (sin $2 — sin $4) [cos (S3 -+- 62) —
— cos (S3 -4- S4) — (S4 — S3) sin (S3 -+- S4) — (S3 — S2) sin (S3 -+- S2)] —

— adx [sin (S4 — S3) -+- sin ($3 — S2)] — ady [sin (S4 -+- S3) — sin (S3 -4- S2)] = 0.	(15, 83)

В этом случае

Qfl = —---e C0S -4- e2 [cos a2 _ у0 (До) cos &3] Id2 — 2e^Jx (До) sin S3 Idb!it.

xd

kd 1

где Id2 — среднее значение тока — — за второй полупериод коле-
Xd xd

бания

Лл2 — среднее значение тока i"dlh за второй полупериод колебания
r h Г idlad\ ( “~adl Т ~ad пг\ zd2ad2 / ~ad2^

' 2tc

— e	... ;	(15,85)

ee = е2Л>(Л<>)51п5з _ e2 [sin 53 _ /0 (До) sin 83] I _ (До) (15, 86)

где /ff2 и Дл2 вычисляются аналогично Л?2 и Idh2 Для параметров по оси 7.

Коэффициенты Aaey, adx и ady не меняют вида. Сравнивая выраже-
ние (15,83) с выражением (15,74), легко видеть, что влияние Дтп, и
демпферного момента Med в первый и второй полупериоды качания
в „законе площадей" будет разным, причем влияние А/п, сказывается
только за счет несимметрии ротора. Демпферный момент Med в первой
половине колебания угла складывается с синхронизирующим моментом,
а во второй вычитается, что хорошо известно из элементарной теории
и нашло свое отражение в выражениях (15,83) и (15,74).
11)	Уточняем зависимость 8 =/(£), пользуясь аппаратом эллиптиче-
ских функций аналогично изложенному в п. 8.

12)	Зная амплитуду колебания угла А01 для первого полупериода н
△о2 для второго полупериода, можно приближенно принять амплитуду
колебания для третьего полупериода

л (До2)2

Доз = -д^-«

найти аналогично изложенному зависимости	t) для третьего

полупериода, определить предельные углы и т. д.

Указанная методика, несмотря на свою сравнительную громоздкость,
требует значительно меньше вычислений, чем метод последовательных
интервалов, и позволяет учесть ряд существенных факторов, которыми
обычно пренебрегают при расчете методом последовательных интер-
валов.

В ряде случаев необходимо учесть влияние регулирования возбу-
ждения при набросе нагрузки. В этом случае величина Е становится
функцией времени, причем вследствие большой электромагнитной инер-
ции машины при любом законе регулирования возбуждения величина
Е меняется медленно. Зная закон регулирования величины Е в функ-
ции от времени и от угла 8 можно ввести соответствующие члены
в выражение электромагнитного вращающего момента. Методика
расчета зависимостей M9=f($y t) в 8=/(f) при этом остается в прин-
ципе неизменной.

7.	ВОЗМОЖНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПРЕДСТАВЛЕННОЙ МЕТОДИКИ РАСЧЕТА

переходного Процесса в синхронной машине, включенной

В МОЩНУЮ сеть, при набросе нагрузки

Представленная методика может быть использована для расчетов,
связанных с изменением приложенного к машине внешнего вращаю-
щего момента на валу. Это относится как к случаю работы двигателем,
так и к случаю работы машины в качестве генератора.

Другая возможность использования представленной методики — это
расчет работы машины после ликвидации кратковременного падения
напряжения, либо короткого замыкания машины. В этом случае при
расчете по представленным формулам предполагается, что машина
успела сохранить потокосцепления статора вследствие кратковремен-
ности падения напряжения или короткого замыкания, либо за счет
соответствующего регулирования возбуждения. Влиянием разности
апериодических составляющих потокосцеплений при этом пренебре-
гаем. Первая апериодическая составляющая потокосцеплений статора
возникает при внезапном падении напряжения или коротком замыка-
нии. Вторая апериодическая составляющая потокосцеплений статора,
имеющая обратный знак по сравнению с первой, возникает при вне-
запном восстановлении напряжения или ликвидации короткого замы-
кания. Разница между обеими апериодическими составляющими свя-
зана с частичным затуханием первой апериодической составляющей
к моменту образования второй и с наличием разности в фазе за счет
изменения угла 8 за время падения напряжения или короткого замыка-
ния.

Обычно изменение угла & за время короткого замыкания невелико,
и разницей в затухании можно пренебречь, если оно медленно. Если же
затухание апериодической составляющей потокосцеплений происходит
весьма быстро, то влияние апериодической составляющей потокосцепле-
ний статора на изменение рабочего угла машины во времени надлежит
учесть, как это изложено в главе 8.

При расчете переходного процесса, имеющего место после ликви-
дации падения напряжения или короткого замыкания необходимо учесть
начальное скольжение ротора, имеющее место к началу рассматри-
ваемого переходного процесса. Пусть начальное скольжение ротора
(•“£-)*_0 равно $0. В таком случае движение ротора определяется по

уравнению	s

8/о
где	«

R (В) = .2 н- [ (ML - Mt) Л.	(15, 88)

Соответственно изменятся корни уравнения R (8) = 0, равные 80, 82 и 8в.
В случае выпадения из синхронизма 32, так же как и при $о = О, опре-
деляется из условия минимума . Таким образом, наличие начального
скольжения не меняет представленного в главе 14 и в настоящей главе
рассмотрения. Необходимо только найти соответствующие предельные
углы с учетом влияния начального скольжения $0.

8.	НАБРОС НАГРУЗКИ В ИЗОЛИРОВАННОМ СИНХРОННОМ ГЕНЕРАТОРЕ

Рассматриваем случай включения изолированной синхронной машины,
работавшей вхолостую на нагрузку, состоящую из активного сопро-
тивления г, и индуктивного х9. Регулирование возбуждения отсутствует.
Учет влияния регулирования возбуждения рассмотрен в главе 16. Будем
считать сопротивления г9 и х9 включенными в соответствующие сопро-
тивления машины, т. е.

г,/ = Г4ГЧ“Ге; xdt^==Xd^^Xe xj/(p) = x/p)“bxa (15,89)
и т. д., где дополнительным индексом t обозначены сопротивления
самой машины плюс внешнее сопротивление.

Пусть напряжение на машине до включения нагрузки было равно jE.
Считаем, что машина работает при неизменной синхронной скорости
вращения ротора. Нагрузка симметрична.

а)	Ток статора и напряжение на зажимах статора

Пользуясь законом наложения, имеем уравнение для определения
тока i9 после наброса нагрузки

—j£l = r,'i, ч- (р ч- j) [x,f (р) i, ч- у, (р) ж*],	(15, 90)

откуда ток статора согласно выражению (5,1) равен:

+	- xqt (p)-j [гн ч- pxit (р)] _

—	jj	( №)—	в	E, (15,91)

где

D — (p* 4-1) xdt (p) xjt (p) 4- p	(p) 4- xe/ (p)] r,t 4- r*t. (15, 92)
Напряжение на зажимах машины е„ определяем из уравнения

[г# -+- (р -+- j) х#] i9 = 0	(15.93)

и, следовательно, напряжение на зажимах машины е„ в операторном
виде равно:

[г, -+- (р ч- j) xj [г,; ч- pxdt (р) — jXqt (р)]

ем—	&	]Е =

xqt (₽) (г, Р^е) — х, [»•,< Pxdt (Р)] „

= ed. 3еt' =------------------D-----------------Е

. (г. [ги Pxdt Ср)] x»xgt р	м.

-+-J	jj

При 7 = 0 реактивность xd(p) = X£ xff(p) = x"; р->со и, следовательно,
начальное напряжение на зажимах машины равно:

х9

jE= ^тт]Е.

(15,95)

После затухания переходных токов в демпферной системе и зату-
хания апериодической составляющей, когда еще сохранился переходный
ток в обмотке возбуждения, можно считать в первом приближении
xd(p)^x’d, xq(p)^xt, р->00.

В этот момент времени в грубом приближении

— jE.

Xqt J

(15,96)

В установившемся режиме

’$<(/—>оо)	е>0

.2

}Е

er9t)^-J(XeXqt

XdtXqi

Е.

(15, 97)

Амплитуда напряжения
равна:

на генераторе в установившемся

режиме

et0m

'«о —

tr9t) \XeXqt
xdtxqt r9t

Е.

(15.98)

Отношение начального напряжения к установившемуся равно

(15,99)

Учитывая весьма быстрое затухание апериодической составляющей
и быстрое затухание токов в демпферной системе, можно в первом
приближении для момента времени, когда еще сохранился переходный
ток в обмотке возбуждения, определить X', заменив
x'f. Но x'»xf и, следовательно,

xqt (xdtxqt rst)

Х. \l(Xqtre “ V^)2 -* (XeXqt V^)2 ’

x"d на xd и x" на

(15,100)

Величина как правило, относительно мала. Пренебрегая ее влия-

нием, имеем:

XdtXqt +

Xqt_______XdtXqt re________

*• V7vv -i-r2)2 .	22 *

r \xexqt re) x^e

(15,101)

Пусть, например, турбогенератор включается на номинальную на-
грузку с cos <р = 0.85. В таком случае

г, = 0.85 Xe = Vzl — 0.852 = 0.527.

Машина имеет следующие параметры:

xg = 1.6; х = 1.5; х" = 0.14 г,^0.

Получаем:

jrrf/ = 2.127; xqi = 2.027;	= 0.667.

0.667	2.127 - 2.027-4-0.852	_ л,

X* = -тт-ётгг ~г--- - -	Г	=1.77; X' = 0.58.

0.527 >/(0.527 • 2.027 -ь0.852)2•+-1.52.0.852

Напряжения в долях внутренней э. д. с. равны-’

eeow^0.45E; е^^0.79Е; e^ = 0.26F.

Как видим, при внезапном включении номинальной нагрузки напря-
жение на зажимах машины сначала будет выше установившегося, за-
тем может снизиться почти до половины установившегося и потом
дойдет до установившегося значения, равного примерно половине внут-
ренней з. д. с. машины.

В действительности, обычно будет оказывать свое влияние регулиро-
вание возбуждения, учет которого представлен в главе 16.

Ток статора в установившемся режиме нагрузки будет равен:

xqt — ir,t

lt0 —	e 2

xdtxqt rst

Е.

(15,102)

б)	Расчет переходных составляющих с помощью
амплитудно-логарифмических частотных характеристик

Коэффициенты затухания переходных токов при набросе изолиро-
ванной нагрузки определяются из уравнения того же вида, что и при
внезапном трехфазном коротком замыкании и включении в мощную сеть

В (р) = (р2 -4- 1) xd (р) Xq (р) -4- р [xd (р) -4- Xq (р)] Г9 г} = 0.	(15, 103)
Однако в рассматриваемом случае активное сопротивление нагрузки
может быть весьма большим, поэтому пользоваться приближенными
выражениями, полученными при определении коэффициентов затухания
токов внезапного трехфазного короткого замыкания или включения
в сеть нужно с осторожностью. Можно, однако, использовать для при-
ближенного определения экспоненциальных составляющих тока статора
и коэффициентов затухания этих составляющих метод логарифмических
амплитудных характеристик, примененных в главе 11, а именно:

1)	Определить частотные характеристики id—f{s) и =/($), полу-
ченные подстановкой р = /$, в выражения

• _	** (Р} р  _

‘d~~ D (р) Е; \ —

r.t4~Pxdt^ е

Щр) Е

(15,104}

2)	Построить амплитудно-логарифмические характеристики, как из-
ложено в главе 11.

3)	Найти ступенчатые приближения для полученных амплитудно-
логарифмических характеристик, из которых определить все амплитуды
переходных экспоненциальных составляющих и коэффициенты зату-
хания.

Следует учесть, что коэффициенты затухания для рассматриваемой
задачи могут иметь большие мнимые части, поэтому нужно определять
экспоненциальные составляющие с учетом такой возможности. В этом
случае, как показано в главе 11, на стр. 266, множители передаточной
функции будут иметь вид

(js) 2a{js •+• (a-i «+•

Правила для определения величин % в таких случаях изложены
на той же странице [11-3].

4)	Зная экспоненциальные затухающие составляющие тока Zt, можно
определить напряжение на зажимах машины в функции времени

(	• А *	dtil

езе = — (гв -+ ]хе) is — хв	,

(15,105)

где



Напряжения ede и eqe — составляющие напряжения е8в по осям d и
q — в функции времени могут быть найдены и непосредственно, поль-
зуясь соответствующими амплитудными логарифмическими частотными
характеристиками, построенными, согласно выражениям (15,94), с под-
становкой р = js.

Фазовые токи и напряжения определяются, как известно, по фор-

мулам

[	/	2тс \~[

е»«® Т° 3 J;

= Re

(15,106)

fe==Re	ib as Re	3	;

ic e Re

(15,107)
где угол То определяется из начального условия

ea(<=o) = ^cosT0.

(15,108)

При наличии в роторе по продольной оси п контуров, а по попереч-
ной оси т контуров общее число экспоненциальных составляющих
с разными коэффициентами затухания в токах id и iq будет равно
п-+-тп-4-2, как видно из выражения (15,92). При этом в принципе
коэффициенты затухания и число составляющих в выражениях id и i9
будут равны, хотя амплитуды составляющих будут разные. Практи-
чески некоторые составляющие по своей амплитуде будут весьма малы,
поэтому при определении экспоненциальных составляющих по ампли-
тудно-логарифмическим характеристикам могут получиться составляю-
щие с разными коэффициентами затухания. При этом общее число
разных коэффициентов затухания в обоих выражениях для id и для i9
не может превышать числа п -+- т -f- 2.

в)	Электромагнитный вращающий момент

Электромагнитный вращающий момент определяется после опре-
деления тока i9 в функции времени как



(15,109)

где

Вращающий момент, соответствующий отдаваемой в сеть мощности,
равен:

(15,110)

г)	Частный случай симметричного ротора с одной
системой обмоток на роторе

Представляет интерес исследование коэффициентов затухания тока
статора хотя бы для частных случаев при наличии большого активного
сопротивления в цепи статора.

Рассмотрим случай симметричного ротора с одной системой обмоток
на роторе.

Ток статора при симметричном роторе равен:

.____ЧЕ

При одной обмотке в роторе

___________(p-*-°r) (-/£)__________
x'd [(р н- j) (р Ч- ч- а, (р Ч- аг)] ’

(15,111)

(15,112)

где

Корни характеристического уравнения

(р -Ь J) (р	(р — Р2 Р 0 “г -+ «Э “X X = 0
равны:
.	' Г

] -+- % •+- ag 1	.-------------------------

Pv Рг = —------2-------— "2 и О' + “г “V — 4“Л- —J'ar- (15,113)

При малом <^1 получаем приближенно:

7*Ч-а'-+-а'	1	Г	Га„а'Ч-/а') 1

Pv Р2	2	±	+ аг +	“2 (. a J2 J * (15* 114)

Коэффициент затухания апериодической составляющей % и соб-
ственная частота апериодической составляющей (в осях, связанных
со статором) равны:

аг~аг г

1 Ч-а,

(15,115)

Как видим, при больших г9 коэффициент затухания близок
к . Собственная частота <ьс при весьма большом г9 стремится к нулю.
xd
Коэффициент затухания периодической составляющей равен:

аг.

(15,116)

При больших г9 коэффициент а' стремится к величине аг = -=——
7	1 <?0

коэффициенту затухания переходных токов в обмотке возбуждения при
разомкнутой обмотке статора.
ГЛАВА 16

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ НАПРЯЖЕНИЯ
ВОЗБУЖДЕНИЯ В СИНХРОННОЙ МАШИНЕ

1.	ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ
ОТСУТСТВИИ ДЕМПФЕРНЫХ КОНТУРОВ В РОТОРЕ

С целью повышения устойчивости и поддержания напряжения на
практике широко пользуются так называемой форсировкой возбужде-
ния, т. е. быстрым увеличением приложенного напряжения возбужде-
ния Е. Эта форсировка подается автоматически и продолжается обычно
меньше минуты.

Если машина, включенная в бесконечно мощную сеть, оказалась
в режиме короткого замыкания, то напряжение статора после отклю-
чения короткозамкнутой сети окажется в первый момент, если не учиты-
вать быстро протекающие явления в демпферной системе, равным xdi^
где i9— ток статора в момент отключения короткого замыкания. Если
поддержать ток статора равным ——, за счет форсировки возбужде-
xd

ния, то напряжение при отключении короткого замыкания сразу ока-
жется равным номинальному. В противном случае оно будет восста-
гг>г	xd

навливаться с постоянной времени Тd от значения, близкого к — , до
xd

единицы. Соответствующий анализ представлен в пар. 3 главы 12,
стр. 318.

а)	Тока статора и ротора

Рассмотрим влияние форсировки возбуждения на изменения токов
статора и ротора при отсутствии демпферных контуров в роторе.
Имеем следующие уравнения для определения дополнительных токов
при форсировке возбуждения в синхронно вращающейся машине, вклю-
ченной в мощную сеть, при отсутствии демпферных контуров в роторе:

Де( = 0 = г,Дг, + (р + j) (х,Ы, ч- у,М* ч- xodAir);
Ч = (г.ч-рхг) Дгг ч-ХааМл,

(16,1)

Вводя величины

„ ad
Е=--------е
получаем из выражения (16,1) следующие три уравнения для опреде-
ления токов статора и ротора:

х2

Д£1 = (1ч-Р^0)Д/гч-Р^Д^;
”	(16,3)

о = рД/. ч- (г9 ч- рх*) - xqiq;

О = Д/г ч- xdMd ч- (г9 ч- pxq) Д£д,
откуда дополнительный ток ротора, вызванный форсировкой △£*,
Д£
«'“ТТЛЙ1'	М’4>

где

т ( \_Т (r’4-px^(r‘^-Px<i)^x'dxi	п, ,,

^(Р)-^О {r^pXa){r^pXq)^x<iXs 	(16.5)

Дополнительный ток статора может быть выражен в виде:

(р2ч-1)х^Ч-(рЧ-/)г*

Дг = Д/ -¥-jM =	, 2	<|\	. 2	(16, 6)

q \р + 4xqxd-+-2prtx8-*-rl

учитывая, что г9Ы9-ъ-(р-ъ- j) [*,△/,-+-у9Ы*	А7^] = 0.

б)	Действие регулятора возбуждения при внезапном
трехфазном коротком замыкании машины

Рассмотрим действие регулятора возбуждения на ток статора при
трехфазном коротком замыкании.

Согласно* уравнению (16,6), при г, = 0

Д/г

(16,7)
хл

т.	е. дополнительный ток статора, вызванный изменением напряжения
возбуждения, пропорционален соответствующему изменению тока
ротора. Физически это понятно, так как работа на мощную сеть и
трехфазное короткое замыкание с точки зрения токов, вызванных воз-
буждением со стороны ротора, равнозначны — сопротивление беско-
нечно мощной сети равно нулю.

Постоянная времени TF(p) при г, = 0 и <ог = 1 равна:

Т’р=Т*ГГ = Т'л.	(16,8)

d

На основании выражений (16,4), (16,7) имеем для тока статора,
посылаемого в сеть Ыд — —с учетом изменения возбуждения, диф-
ференциальное уравнение
Периодическая составляющая тока короткого замыкания из режима
холостого хода, не связанная с регулированием возбуждения, равна:

t

(16,10)

Нетрудно проверить, что /^о) удовлетворяет уравнению

'ХО) -* Т'л

dt хц

Складывая уравнения (16,9) и

. d . Е

(16.12)

где

I (16,13)
Е = Е0-+-Д£. I

Существует простой графиче-
ский метод определения тока ig
с учетом характера изменения Е
в функции времени с помощью
построения касательных к кривой
г7=/(0 (рис- 16-1).

Пусть изменение Е в функ-
ции времени t задано кривой.
Строим со сдвигом во времени

(16, И)

(16,11), получаем:

Рис. 16-1. Графическое определение тока
статора синхронной машины i9 == f (t) при
регулировании напряжения возбуждения
в функции времени по заданному закону.

оче-

на величину 7^ кривую . Начальное значение производной,
d

видно, на основании уравнения (16, 9) равно:

(16,14)

Отсюда ясно построение тока iff в функции времени.

2.	ВЛИЯНИЕ ИЗМЕНЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ
НАЛИЧИИ ДВУХ ДЕМПФЕРНЫХ КОНТУРОВ В РОТОРЕ

Общие выражения для расчета токов в функции напряжения воз-
буждения были даны в главах 2, 3 и приложении 1. Рассмотрим слу-
чай, когда имеется по одной демпферной обмотке в продольной и
поперечной осях ротора.

а)	Токи статора и ротора

Присвоим обмотке возбуждения индекс / и демпферной обмотке
по продольной оси индекс с.

Составим уравнения падения напряжения в контурах f и с для
случая, когда активное сопротивление в цепи статора га = 0.

Дег = (rf P*f) if -+ Pxfeie:
0 = Pxfe if	ie-

(16, 15)
Штрихи при реактивностях указывают на учет влияния короткой
замыкания обмотки статора, так, например,

Вводя,
чаем:

Здесь

аналогично выражениям (16,2), величины Е и /у, полу

————;г-7-7,
'	l^p^T^-^p^T^

(16, и;

(16,18)

— коэффициент рассеяния между обмотками f и с при замкнутой
накоротко обмотке статора.

С учетом влияния небольшого активного сопротивления в цепи ста-
тора ток ротора может быть приближенно представлен в виде:

1 -+- рТ'

=------------Н-----т,--т	(16,19)

[1 -ьрТур)] [1-bprjp)]

где Tf(p) определяется формулой (16,5), а постоянная времени Т'е(р)
по аналогии с выражением (16, 5), равна:

т"( \==т” рх^ рх"^ X"dX'q
° ₽ Ло {ч + Рх'^{г,-*-Рх^ + х<1х<1

(16, 20)

Здесь, в соответствии с общепринятыми обозначениями, T"do— постоян-
ная времени демпферной обмотки по продольной оси при разомкнутой
обмотке статора и замкнутой обмотке возбуждения.

Ток статора &is может быть определен из уравнения

° = Г.Ч (Р -ь /) к <Р) д	у. W д Ч + G (р)Д£1 ],	(16,21)

где операторный коэффициент G(p) в рассматриваемом случае, согласно
выражению (2, 91), равен:

G (р) = 1 -4- Р (Гс -+- Т/) 2 p^fcTjTc •	(1б> 22>

Здесь

*7»
ге

ХС<3 Хе	хyd

m	Xf m Хс

Tf=Ti0 = --, Те = —

1

Gfc — 1 — --- .

J	XjXc
Решая уравнение (16, 21), получаем:

При г, = 0

Л- —	(p2-t-l)xg(p)4-(p-t-j)r,

△ze—	/ 2	t х	t X n / X . 2 W (p)

(p -ь 1) xd (p)	(p) -+- 2prax9 (p) -+- r8

А. G (р) ДЕ
xd (р)

Учитывая, что

получаем:

При г8 = 0

1-ьрТСо________ДЕ

_______1 -ь,рГе,______ ДЕ
[1ч-рТ^(р^[1ч-рГ"(р)3 хл

TF(p)^rd- т''(Р)^т;

и, следовательно,

xd

(16, 24)

(16, 25)

(16, 26)

(16, 27)

(16, 28)

(16, 29)

Д/, =



i



Рассеяние демпферной обмотки xc<s весьма мало, поэтому в практи-
ческих расчетах в ряде случаев пренебрегают влиянием ТСа. Считая
ГСа = 0, можно на основании (16,27) при г, = 0 написать дифферен-
циальное уравнение для определения Aiff

dMg

TJ-dF + T<

d^ig &E

d dt*

(16, 30)

d

6)	Действие регулятора возбуждения при внезапном
трехфазном коротком замыкании

Периодический ток статора при трехфазном коротком замыкании
при отсутствии регулирования возбуждения определяется дифферен-
циальным уравнением, аналогичным (16. 30)

Мо) -+• d -* Тс)

digft}
dt

d dt*

xd

(16, 31)

и, следовательно, общий ток ig— периодическая составляющая тока
трехфазного короткого замыкания при произвольном законе изменения
возбуждения E = EQ~+-&E=f(t) — может быть определен из диффе-
ренциального уравнения

g

diB	Т" d^ig  Е

dt d di%	х,

а

(16, 32)

Ток ig, так же как и при отсутствии демпферной системы,,может быть
найден графическим построением (рис. 16-1). Для этого, уравнение (16, 32)
рассматривают как
порядка, например:

систему, состоящую из двух уравнений первого

.	—d\ Е

}^Td~dt==^.~,9'
а

, diff

(16. 33)

Начальное значение величины К равно:

[ 1	1 1

TdTdxd T"dx'\

(16, 34)

Метод графического интегрирования системы уравнений (16, 33) анало-
гичен изложенному методу графического интегрирования уравне-
ния (16, 9) и представлен в соответствующих математических справоч-
ных руководствах ([1Г-9]).

Уравнение (16,32) дает приближенное значение ig без учета влия-
ния постоянной времени ТС9, определяемой рассеянием демпферной
системы. Более точно:

Ч=ч =bi9 ДЛ

(16, 35)

Если, например, △£* = const, то

(16, 36)

В этом случае

ТС96Е.

(16.37)

В соответствии с характером зависимости A£*=/(^) получим разные
значения поправки &cig. Влияние рассеяния демпферной системы при-

водит к отставанию в изменении тока статора при изменении напря-
жения возбуждения.

Ток статора и ток в обмотке возбуждения, как видно из выраже-
ний (16,19) и (16,27), связаны при наличии демпферной системы в ро-
торе при г, = 0 зависимостью

1-ьрПо А//

(16, 38)

Поскольку постоянная Т'с больше, чем ТС9, то из сравнения выра-
жений (16, 19) и (16, 27) следует, что при положительном и г, = 0
возбуждение нарастает медленней, чем ток статора, хотя замедление,
вызванное наличием постоянных времени ТС9 и Т'с вообще сравнительно
мало. В действительности, влияние активного сопротивления г8 в цепи
статора может несколько исказить полученный результат, тем не менее,
поскольку постоянная времени Та	, как правило, значительно
больше, чем постоянная времени, Т'е~ —1——— и Теа — — получен-
ные зависимости — и выводы остаются действительными при практиче-
ских соотношениях параметров.

Анализ влияния замедления в изменении токов i8 и 7/, вызванного
рассеянием демпферной системы, существен при сравнении различных
быстродействующих систем возбуждения, когда оценивается влияние
скорости нарастания напряжения возбуждения Д£* при больших значе-
ниях этих скоростей, т. е. когда время нарастания &Е соизмеримо
с временами ТС(Г и Г'.

3.	РАССМОТРЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ, ИМЕЮЩИХ МЕСТО ПРИ
ИЗМЕНЕНИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ, С ПОМОЩЬЮ ЧАСТОТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК,
С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ НЕОГРАНИЧЕННОГО ЧИСЛА ДЕМПФЕРНЫХ
КОНТУРОВ В МАШИНЕ

Для правильного анализа явлений, связанных с быстродействующим
возбуждением, по существу единственным правильным методом является
использование реальной зависимости G (р), с учетом сложной связи
контуров в роторе, так же как мы это сделали, перейдя к использо-
ванию операторных реактивностей xd(p) и xff(p), соответствующих
частотным характеристикам — зависимостям тока статора машины

в асинхронном режиме от скольжения ротора.

Частотная характеристика G {js) будет соответствовать напряжениям,
наведенным в разомкнутой обмотке статора при питании обмотки воз-
буждения синхронно вращающейся машины напряжением Е —
где s изменяется от нуля до бесконечности.

Как и при определении частотных характеристик 'хц^ и 'х >
нет необходимости в проведении опыта питания обмотки возбуждения
напряжениями разных частот. Можно при неподвижном роторе дать
толчок напряжения возбуждения и осциллографировать кривую затуха-
ния напряжения в фазовых обмотках статора. Определение из кривой
затухания напряжения на статоре — частотной характеристики G (js) —
1 1
производится совершенно аналогично определению —7^\ И —7TS по
xd Vs' Xq "S'
кривой затухания постоянного тока в статоре при неподвижном роторе,
как это изложено в главе 12.

Ток в

статоре при г, = 0 равен:
дг*=~ОЬ£1,

(16, 39)

однако с учетом влияния г8 эта зависимость более сложна. С учетом
влияния активного сопротивления в цепи статора г8 ток статора Д/ж
равен:

Д/в== — G8(p) ДЕ1,	(16,40)

где операторный коэффициент G8(p) можно выразить в виде?

<Р /) 1л Pxd (р) - >хд <Р>] G (?)

8 Р (р2 +• !) Xd (р) Хд (р) 2р (р) х9 (р)] Г, Ч- Г* *

(16, 41)
Частотную характеристику G8 {js) нетрудно определить, осциллогра-
фируя затухание тока статора при замкнутой накоротко обмотке ста-
тора при неподвижном роторе — при толчке напряжения возбуждения
на роторе.

Аналогично для тока возбуждения при замкнутой обмотке статора

Д/у = Gf (р) ДЕ,	(16,42)

и, следовательно, частотную характеристику G/(p) можно определить,
осциллографируя ток обмотки возбуждения при замкнутой накоротко
обмотке статора при неподвижном роторе и при толчке напряжения
возбуждения.

При заданном изменении напряжения ДЕ либо при соответствующей
обратной связи, требуется определить функцию времени

F(t)=^G(p)E(p)l.

Операторное выражение Е{р) обычно известно из закона регулирова-
ния, либо в результате решения соответствующей системы уравнений
обратной связи.

Для определения функции времени F{t) строим амплитудно-логариф-
мическую частотную характеристику G {js) Е {js) и определяем все
экспоненциальные составляющие функции F{t) по амплитудам и коэф-
фициентам затухания, как это было изложено в главе 11.

4.	УЧЕТ ВЛИЯНИЯ НАСЫЩЕНИЯ ПРИ РАСЧЕТАХ, СВЯЗАННЫХ
С ИЗМЕНЕНИЕМ ВОЗБУЖДЕНИЯ

Рассмотрим влияние насыщения на переходные процессы, связанные
с изменением возбуждения. Так как изменение возбуждения происхо-
дит сравнительно медленно, то пренебрегаем в первом приближении
влиянием демпферных контуров в роторе [1А-63].

Потокосцепления обмотки возбуждения без учета насыщения равны:

(1б»43)

Потокосцепления взаимоиндукции обмотки возбуждения с обмоткой
статора без учета насыщения равны:

~ Фг = 4 -+• (xd — x'd) id-	Пб. 44)

С учетом влияния насыщения потокосцепления <[>fr равны:

Ф«г = 4 - <5 * (xd - x'd) id,	(16, 45)

где «S'—переменная величина, учитывающая реальное насыщение
в машине (рис. 16-2).

Уровень насыщения магнитной цепи машины соответствует напря-
жению за реактивностью Потье (хр), Поэтому находится по характе-
ристике холостого хода для точки, соответствующей напряжению за
реактивностью Потье, как отношение ампервитков, расходуемых на
создание магнитного потока в стали к ампервиткам, требуемым на
создание магнитного потока в воздушном зазоре машины при напряже-
нии холостого хода (рис. 16-2) (единица тока для Ir = xadir равна току
возбуждения в режиме холостого хода при е = е^ без учета насыщения).
Если машина включена в мощную сеть с напряжением е и йесет
нагрузку, соответствующую току /, с определенным коэффициентом
мощности, то напряжение за реактивностью Потье равно:

ер = *}/(е -+- хр i sin ?)2 -4- хрi2 cos2?,	(16, 46)

Если машина работает на изолированную нагрузку re, xei либо
в режиме короткого замыкания (хв = 0, ге = 0) с током /, то

ep~i '/(Хр -+-л>)2-+- (гв 4-г«)2.

(16, 47)

Составляющая по оси d э- д- с. статора за переходной реактив-
ностью x'd равна в установившемся режиме трехфазного короткого замы-
кания без учета влияния насыщения

jEd = № -*} (xd — xd) — Жг, (1б' 48)
а с учетом насыщения

]Е'Л = j(E — S) -t-j (xd — x'd) i, —

= Жг,	(16, 49)

где

£==^ег = х^;==/г	(16,50)

в установившемся режиме. Состав-
ляющая э. д. с. статора Е* чис-

ленно равна потокосцеплениям взаи-

моиндукции статора и обмотки возбуждения с учетом влияния насы-
щения (прие = О).

Рассмотрим теперь переходный режим, связанный с изменением
возбуждения. Пусть машина работает на бесконечно мощную сеть,
либо находится в режиме трехфазного короткого замыкания. Пренебре-
гая влиянием г8 и влиянием быстро затухающих токов в демпферных
контурах ротора, имеем в этом случае на основании формул (16,4),
(16,7) и (16,45) с учетом влияния насыщения

Дфи- = а (Д/г - Д5) = а	~	1,	(16, 51)

x'd Т*

где	— — коэффициент рассеяния.

Xd 1 do

Аналогично, э. д. с. за переходной реактивностью x'd при изме-
нении возбуждения равна:

, (АЕ — &S}

j^Ed=ja\-----(16,52)

1 Р1 d *

Получаем дифференциальное уравнение для определения изменения &E’d
при произвольном характере изменения &Е в функции времени

( , 'МЕ'Д

j ЛЕа ч- Td	) = ja (ДЕ - ДЕ).	(16, 53)
Множитель j в уравнении (16,53) можно отбросить.

Зная величину E'd = E'dQ-t-&E'd, нетрудно определить ток статора и
cos<p нагрузки в различных режимах, связанных с регулированием воз-
буждения.

5.	РАБОТА СИНХРОННОЙ МАШИНЫ, ВКЛЮЧЕННОЙ В МОЩНУЮ СЕТЬ
ПРИ РЕГУЛИРОВАНИИ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПО ЗАДАННОМУ ЗАКОНУ

Пусть машина с симметричным ротором работает с заданной
активной мощностью

Ра = ei cos <р = const	(16, 54)

на мощную сеть, имеющую напряжение е. Заданы е, Za = zcos<p, xd*
x'dt) E—f(t) и начальные значения искомых величин. Требуется опре-
делить режим работы машины при регулировании возбуждения, т. е.
величину тока коэффициент мощности cos ср, рабочий угол машины 8
и реактивную мощность

Pb = ei sin <р = ez’j,	(16, 55)

где

ib = i sin <p,

в функции времени с учетом влияния изменения насыщения.

Порядок расчета режима в этом случае следующий:

1)	Определяем напряжение E’d в момент времени f = пользуясь
уравнением (16, 53) и пользуясь начальным значением коэффициента
насыщения S.

2)	Находим реактивную составляющую тока статора ib = i sin ср в мо-
мент t—Q из уравнения четвертой степени

[(е xd4T-*• (ха‘а)2~[ = (е + xd‘bT(е хач/ xdxdfa +

3) Определяем

xdx'd‘a (е х^ь) (е хлЧ)-

(16, 56)

(16, 57)



4)	Коэффициент мощности равен:

Р
c°s<p = -^-.	(16,58)

5)	Реактивная мощность равна:

Pb = eib.	(16,59)

6)	Рабочий угол 8 определяем из уравнения

=	» •	06, 6°)

е ХаЬ

7)	Напряжение за реактивностью Потье

ер = >!(е -+- xpi sin <р)2 -+- z2 cos2 <р = ]/(е -ь xpi$ -+- z^,	(16, 61)

8)	Определяем новое значение коэффициента насыщения 6* по
характеристике холостого* хода, пользуясь полученным значением ер.
9)	Определяем значение E'd по формуле (16,53) для следующего
момента времени и т. д. При строгом расчете для каждого момента
времени при определении E’d используется своя постоянная времени
учитывающая соответствующее насыщение.

Если известны начальное и конечное насыщения, причем разница
между ними не очень велика, то можно в расчете пользоваться сред-
ним значением величины 6*, сразу определив зависимость E'd=f(t) по
формуле (16, 53) и тогда расчет существенно упрощается.

рав- Рис. 16-3. Векторная диаграмма явнополюсной
синхронной машины в установившемся режиме
чет- и определение составляющей Ed<t с помощью
ОП- которой удобно учитывать изменение насыще-
ния при регулировании возбуждения.

ivibi привели уравнение (16, 56) без раскрытия скобок для уменьше-
ния громоздкости формулы. Решение этого уравнения в численном
виде аналитически или графически не представляет особых затруд-
нений.

Если машина имеет несимметрию ротора, то рассматриваемая
задача мало меняется. Поскольку в этом случае

Xqia	cos

tg $ == е -+- Xgib е -ь Xqi sin у ’

(16, 63)

то необходимо только подставить в уравнение (16,56) вместо вели-
чины xd величину xq и определять угол 3 по формуле (16, 63). Осталь-
ные формулы для расчета режима останутся без изменения.

На рис. 16-3 представлена векторная диаграмма машины при нали-
чии несимметрии ротора,

Если машина работает на мощную сеть с напряжением е через индук-
тивное сопротивление х9, то порядок расчета несколько видоизме-

няется:

1)	При расчете величины &Ed по
значения Т\ и о.

Td = TdQ	

Xd Хе

формуле (16,53) используются

(16, 64)

Xd -+- хв

2)	Определяем ток ib — i sin <р0 из уравнения (16,56), в котором все
реактивности заменены на их значения с добавлением х„ т. е. вместо х9
должно быть xqi — xq-+-xe и т. д.
3)	Ток / определяем по формуле (16,57).

4)	Угол <f>0 определяем из условия

i ь

(16,65)

5)	Напряжение на клеммах машины равно:

et = V(e0 -+- хв i sin у0)2 -+- (хе i cos у0)2 •

6)	Дополнительный угол определяем из условия
tg ЛТ— -ref COS Уо

е0-4-z sin уо

7)	Коэффициент мощности машины равен:
cos у = cos (Уо +• Ау) •

8)	Реактивная мощность машины равна:

Рь = ei sin у.

(16, 66)

(16, 67>

(16, 68)

(16, 69)

9)	Внутренний рабочий уг(>л машины определяем из соотношения

tg $

Xq i COS у
et -4- Xq i sin у *

(16, 70)

10)	Рабочий угол машины по отношению к напряжению сети равен:

tgfc0 = —X^zcosyo
во -ь Xqt i sin Уо

(16, 71)

6. ВЛИЯНИЕ РЕГУЛИРОВАНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ ПО ЗАДАННОМУ ЗАКОНУ
НА НАПРЯЖЕНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ, НЕСУЩЕЙ ИЗОЛИРОВАННУЮ
НАГРУЗКУ

Другая практическая задача возникает при регулировании возбуж;
дения машины, работающей на изолированную нагрузку с парамет-
рами гв, хе. В этом случае известен коэффициент мощности

ге
cos у = —-====..
/г.2—:

Пусть генератор работает в режиме с заданной активной нагрузкой
Р= ei cos у.

Требуется определить в функции регулируемого возбуждения напря-
жение на зажимах машины с учетом влияния изменения насыщения.
Практически рассматриваемая задача возникает, когда изолирован-
ная синхронная машина (либо группа машин) включается на боль-
шую нагрузку, соизмеримую с мощностью машины. Как было по-
казано в главе 15, через некоторое короткое время после внезапного
включения нагрузки, к моменту, когда затухнут токи в демпферной
системе и апериодические составляющие тока статора, напряжение
на машине может снизиться до опасного минимума, при котором
станут останавливаться включенные в качестве нагрузки асинхрон-
ные и синхронные двигатели. Особенно опасно снижение напря-
жения сети для асинхронных двигателей, у которых электромагнит-
ный вращающий момент пропорционален квадрату напряжения сети.

При уменьшении электромагнитного вращающего момента асин-
хронного двигателя его скольжение увеличивается, эквивалентное
индуктивное сопротивление машины быстро уменьшается и напряжение
на зажимах генератора быстро падает. При отсутствии регулирования
возбуждения такой процесс может привести к образованию „лавины
падения напряжения" — тяжелой аварии рассматриваемой электриче-
ской системы.

а) Определение постоянной времени T'd

Для расчета &E’d пользуемся уравнением (16,53), однако в pac-
k’d г™
сматриваемом случае °—и ld имеют другие значения, чем в слу-
чае работы машины на мощную сеть или при трехфаэных коротких

замыканиях из-за наличия внешних
При работе на чисто индуктивную

сопротивлений в цепи статора,
нагрузку

^=^0

(16, 72)

Xd + Хв

При работе на смешанную нагрузку ге, хе при симметричном роторе,
как было показано в главе 15, стр. 414

Td^Tdt

(16, 73)

Если активная нагрузка велика, то	и

T'd TdQ

(16, 74)

Соответственно вычисляется а = -=Д- .

/do

Обращаем внимание на то, что полученная формула отличается
от общепринятой, введенной в американских руководствах

Т'х‘^

Л d0 (Xd -+- Хе) (xd ~Ь Хе) -ь (rt -+• г»)2

(16, 75)

Мы уже указывали в главе 11 на ошибочность формулы (16,75)
при значениях соизмеримых с -Q, что, как правило, и имеет место
при работе машины на изолированную нагрузку.

Для случая несимметричного ротора мы не получили простой фор-
мулы, аналогичной (16,74), так как в этом случае характеристическое
уравнение переходного процесса является кубическим, и алгебраические
приближенные решения применять опасно, учитывая широкий диапазон
изменения г8.

В американских руководствах используется широко распространен-
ная формула

^ = ^0

(Г« г»)2

{xd ч- Хе) (xq Хе) -+- {гв Ч- Г*)*

(16,76)

Формула (16,76) получается из формулы (16,5) подстановкой р = 0.
Такая подстановка, как мы уже убедились на примере симметричного
ротора, необоснованна и приводит к ошибочным результатам.

В главе 15 при исследовании наброса нагрузки был рассмотрен
метод определения коэффициентов затухания переходных составляю-
щих при набросе изолированной нагрузки с помощью амплитудно-
логарифмических частотных характеристик. Коэффициенты затухания

определяются только параметрами машины и не зависят от того вы-
зван ли переходный процесс в машине включением напряжения со сто-
роны статора или со стороны ротора. Поэтому мы будем считать вели-
чины 1 d и а = у—- численно известными и в случае несимметричного
ротора. В общем случае несимметричного ротора уравнение (16,53)

придется заменить уравнением второго или даже третьего порядка
с двумя значениями постоянных T'dd и Г* и двумя значениями коэф-
фициента рассеяния о. Ограничимся первым приближением, когда
дифференциальное уравнение (16,53) является уравнением первого
порядка.

Для упрощения рассмотрения введем обозначения

xd^xe^xdV

Xd^Xe^XdV

(16, 77)

Г9 + Г^ГИ

и т. д., т. е. обозначаем сумму внутреннего и внешнего сопротивления,
так же как соответствующее внутреннее сопротивление, с прибавле-
нием индекса t.

б) Методы расчета режима работы машины при регулировании
напряжения возбуждения

Ток статора в рассматриваемой
диаграммы (рис. 16-3) равен:

задаче, как видно из

векторной

(16,78)

Напряжение за реактивностью Потье равно:





V Y I
xdtxtt rit

(16*79)
Учитывая, что при отсутствии регулирования возбуждения

в'(0)“

(^0-^

rfef(0) „

dt —Oi

(16,80)

£ = £0 + Д£;

5 = 50-ьД5,

получаем из дифференциального уравнения (16,5) дифференциальное
уравнение для определения напряжения ер

•' *	5? -*, ft - -v.)	<“-«>•

где

р	xdtxqt^r»t

. УК.-ОК-*'У

=й------;--—g------ ;

XdtXqt rst

T'd

a = «г— .

(16, 81)

(16, 82)

Если в первом приближении считать о для учета изменения воз-
буждения и изменения насыщения в виде [1А-63]:

xdtxqt rit

XdtXqt r*t

то получаем дифференциальное уравнение для определения ер

S является функцией от
ление величины ер, как
Начальное значение

(16.83)

ер, что делает удобным графическое опреде-
представлено на рис. 16-4*

величины E'd равно при е0 = 1

1 (x’d -+ xq) l‘osin f0 * v'n'o	.......

tf0

или

ЕМ = % cos 80 •+- xdi0 sin (80 -+- ?0),	(16, 84')

где 80 определяется по выражению (16,63).

Начальное значение напряжения за реактивностью Потье

Порядок графического определения ep=f(t) при заданных функ-
циях E—f(t) и S=f(ep) следующий (рис. 16-4):

1)	Строим график функции kpE=f(t) со сдвигом во времени
на величину 7^.

2)	Строим на ординате, как на абсциссе, кривую S=f(ep).
3)	Разбиваем время на промежутки Af.

4)	Откладываем по оси ординат начальное значение ег0.

5)	Определяем для начального значения epQ коэффициент насыще-
ния лУх.

6)	Откладываем вниз от ординаты крЕ$ по кривой kpE=f(t) для
момента времени у величину kpS^ получаем точку 1.

7)	Соединяем ординату epQ с точкой 1 и на месте пересечения
с ординатой, соответствующей времени Af, получаем ординату, рав-
ную ер1.

Рис. 16-4. Определение напряжения на зажимах машины

1/

et = I/ ~~2-----2~еР ПРИ регулировании напряжения воз-

'	х pt	r st

буждения Е по заданному закону в функции времени. На-
пряжение ер за реактивностью Потье определяется графи-

чески с учетом влияния изменения насыщения в машине.

8)	Определяем для ер —	новое значение kpS1.

9)	Откладываем вниз от ординаты крЕ% по, кривой крЕ — f(t) для
момента времени	величину kpSu получаем точку 2.

10)	Проводим прямую, соединяющую ер1 с точкой 2 и получаем для
t = 2^t значение ер = ер2 и т. д.

Напряжение на зажимах статора равно:

еР

(16, 85}

и, следовательно, полученная кривая ep=f(t) в измененном масштабе
есть кривая напряжения на зажимах машины, несущей изолированную
нагрузку при произвольном характере изменения напряжения возбу-
ждения в функции времени.

При более строгом расчете, когда необходимо учитывать изменение
постоянной времени Td в функции насыщения, строят вместо одной
кривой kpE=f(t) семейство кривых kpE=f(t), сдвинутых во времени
на небольшие промежутки времени. По мере изменения Td пользуются
той кривбй из семейства, для которой T'd ближе к имеющему место
при данном насыщении.

При этом необходимо, конечно, знать зависимость постоянной вре-
мени Td от насыщения, т. е. иметь зависимость T'd=f(e^.

Изменение Td в функции ер сравнительно невелико, не превышая
при обычных напряжениях порядка 12 4“ 20%, так как это изменение
связано с насыщением по путям рассеяния. Однако при больших потол-
ках регулирования напряжения возбуждения и большой длительности
воздействия значительного напряжения возбуждения, когда ток воз-
буждения сильно возрастает, приходится считаться с существенным
уменьшением постоянной времени T'd по мере увеличения ер.

в) Расчет напряжения на зажимах машины при разных законах
изменения напряжения возбуждения во времени, когда насыщение
мало изменяется

Рассмотрим случай, когда изменения напряжения ер еще достаточно
невелики, чтобы можно было пользоваться одним средним постоянным
значением коэффициента насыщения S.

В этом случае имеем дифференциальное уравнение для определения
напряжения на зажимах машины (без учета влияния демпферных кон-
туров)

где



(16, 86)

dt

qt

2
it

(16, 87)

X

2
е



2

•+ Г

Пусть, например, вследствие открытия сеток на выпрямителях ионного
возбудителя внезапно прикладывается дополнительное напряжение воз-
буждения ДЕ1.

В таком случае в первом приближении (без уче.а влияния демпфер-
ных контуров, рассмотренного на стр. 418)

A et = I 1 — е у k't<3 (AS — AS),

где

/	2.2

J,'   I / _-____-___

Kt — I/ '	2 »

' XdtXqt r8t

Если такое изменение возбуждения
межуток времени th по сравнению с

(16, 88)

(16, 89)

T'd

произошло с задержкой на про-
моментом времени включения

нагрузки, то результирующее напряжение будет равно сумме
(полученного без учета по формулам, приведенным в главе 15
на стр. 410 и Де/ по формуле (16, 88).

К моменту времени когда е/(0) достигнет минимума, общее напря-
жение на зажимах будет равно:

et ef(0) min

ч-ll —е Т<г 1^а(ДЯ — Д5).

(16, 90)
При этом мы считаем величину AS постоянной. Если учитывать
переменный характер величины AS, то приходится пользоваться гра-
фическим или численным методом последовательных интервалов.

Обычно изменение напряжения на кольцах нарастает с некоторой
постоянной времени Тъ* В этом случае



(16, 91)

Будем в первом приближении считать, что изменение насыщения AS

происходит по тому же закону

Д5 = Дт5(

(16,92)

В таком случае изменение напряжения на зажимах машины, вызван-
ное изменением напряжения возбуждения с учетом изменяющегося
насыщения, будет в первом приближении равно:

(1 + РГ<)(1 + РТь) -

(16,93)

Напряжение на зажимах генератора при внезапном
грузки будет в момент времени, когда e*(0) = min равно:

включении на-

et eKo)min

---Ti---Е Ть

tv-t*

-Ъ—.
К-Т,

-+-1 ^(М-Дл5). (16,94)

При этом считаем, что начало изменения возбуждения запаздывает на
время th от момента времени, когда включается нагрузка, и что мини-
мум напряжения е*(0) имеет место при t = t\.

В ряде практических расчетов пользуются законом изменения &Е

REn

№ =	(16,95)

где Еп— номинальное напряжение возбуждения.

В этом случае коэффициент 7? соответствует принятому в стандартах
на электрические машины определению скорости нарастания напряже-
ния возбуждения.

Принимаем закон изменения насыщения в первом приближении

Д5 = -^2-(/-?л),	(16,96)

где Sn— коэффициент насыщения в номинальном режиме, соответствую-
щий напряжению за реактивностью Потье в номинальном режиме.

В таком случае изменение напряжения на зажимах статора Де* равно:

Де* =Ф=

t-th

2„(^РГ-)------J]*,»-----------------------2-----

(16,97)
Наибольшее падение напряжение, 6 %

Наброс нагрузкой % (при полном напряжении)

Рис. 16-5. Графики для определения наибольшего падения напряжения в функции
величины нагрузки при включении изолированной синхронной машины из режима

холостого хода на смешанную нагрузку хе. с коэффициентом мощности cos <? =

РЁ0
2

= 0.35 при регулировании напряжения возбуждения по закону АЕ =

(t — th).

где th = 0.05 сек.

Параметры машины: х . = 1.2; х0 = 0.75.
а	*
Хардер и Чик [6-47, 1А-63] опубликовали ценные для практики
кривые, по которым можно определять наибольшее падение напряже-
ния при включении нагрузки хе на изолированную синхронную
машину при регулировании напряжения возбуждения по закону (16, 95).

Кривые построены для наибольшего падения напряжения в функции
от нагрузки в ква, отнесенной к номинальному напряжению, т. е. по
существу от тока нагрузки в долях номинального в установившемся
режиме при номинальном напряжении.

На рис. 16-5, заимствованном из [6-47], представлено семейство
соответствующих кривых при разных значениях параметров x'd, TdQ(= TdQ}
и коэффициента 7?.

Расчет кривых производился для следующих условий:

1)	Машина до наброса нагрузки работала вхолостую.

2)	Набрасываемая нагрузка имеет cos'f = 0.35 (типичный коэффи-
циент мощности для включаемых в сеть асинхронных двигателей;
принято, что коэффициент мощности не меняется в рассматриваемом
переходном процессе из-за сравнительно медленного разворота асин-
хронных двигателей).

3)	Параметры синхронной машины приняты равными xd = 1.2;
xg = 0.75. Коэффициент насыщения при напряжении холостого хода
5,= 0.2. Указанные в качестве переменного параметра значения x'd со-
ответствуют насыщенным значениям.

4)	Время запаздывания регулятора возбуждения принято
th = 0.05 сек.

Кривыми рис. 16-5 удобно пользоваться для ориентировочных
расчетов при параметрах генератора, близких к принятым при состав-
лении кривых рис. 16-5.

г) Работа машины на мощную сеть через индуктивное
сопротивление, с приключенной к зажимам машины смешанной
нагрузкой

Если машина приключена к мощной сети через индуктивное сопро-

тивление xl и к зажимам машины приключена нагрузка с параметрами
Га, ха (рис. 16-6), ТО резуЛЬТИруЮ-

Рис. 16-6. Схема работы синхронной ма-
шины на шины бесконечной мощности

щее- внешнее
шины равно:

х& по оси d
х^ по оси (f

сопротивление ма-

с промежуточной реактивностью и с при-
соединенной к зажимам машины смешанной
нагрузкой га; Ха*

В остальном расчет изменения
напряжения Де/ на зажимах ма-
шины при изменении напряжения
возбуждения &Е остается без из-

менения, т. е. так же при расчете Де/ для случая работы машины на

изолированную нагрузку с параметрами гв, х,*
Результирующее напряжение на клеммах машины будет равно:

et = е<(о) -ь bet,	(16, 99)

где et <0) определяется без учета регулирования напряжения.

В общем случае в/(0) является переменной величиной, например при
внезапном приключении нагрузки га, ха, и определяется методами, из-
ложенными в главе 15 для случая Е = const (см. стр. 410).

Величина &Е в практических задачах часто является функцией от
в/, У, 3 и производных этих величин по времени. Изложенная методика
расчета режимов машины, связанных с изменением напряжения возбу-
ждения Д/Г, при этом сохраняется неизменной, однако кривую E=f(t)
приходится строить в общем случае методом последовательных интер-
валов.

Если задача решается с помощью быстродействующего счетно-
решающего устройства либо соответствующего моделирующего устрой-
ства, то, вводя заданные начальные условия, вышеуказанные зависи-
мости и дополнительные условия регулирования величины &Е в функ-
,	. * det di d§

ции от г, г, о,	и т. д., получаем необходимое реше-

ние задачи для рассматриваемого численного случая.

7. ГАШЕНИЕ ПОЛЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ

Гашение поля синхронной машины обычно осуществляется замыка-
нием обмотки возбуждения на гасительное сопротивление, с отключением
питания возбуждения. В ряде случаев используется вместо гасительного
сопротивления специальное гасительное устройство конструкции завода
«Электросила» им. С. М. Кирова, использующее принцип поглощения
освобождающейся магнитной энергии в дуге гасительного устройства.
Мы рассматриваем здесь только схему гашения поля на гасительное
сопротивление, причем основной интерес представляет определение
напряжения на кольцах при гашении поля, которое может достигать
высоких значений.

Роторная обмотка возбуждения по этой схеме включается на омиче-
ское сопротивление т — кратное по отношению к омическому сопротив-
лению обмотки возбуждения, а питание возбуждения отключается.

Рассмотрение ведем, пользуясь методом наложения, т. е. рассчиты-
ваем дополнительный ток, вызванный внезапным приложением напря-
жения, равного и противоположного напряжению на кольцах до момента
гашения поля.

Кратность т гасительного сопротивления обычно выбирают порядка
3—5, для обеспечения быстрейшего уменьшения магнитного потока
в машине при внутренней аварии, во избежание тяжелых повреждений,
вызванных протеканием токов в активном железе статора, при повре-
ждении обмотки статора и др.

Скорость уменьшения магнитного потока в машине при гашении
поля включением гасительного сопротивления в обмотку возбуждения
приходится ограничивать, так как возникают перенапряжения на коль-
цах ротора при включении слишком больших гасительных сопротив-
лений.

Учет насыщения при настоящем рассмотрении производится только
выбором соответствующих параметров.

Предполагаем, что машина имеет по одной демпферной обмотке
в продольной и поперечной осях ротора.
а) Гашение поля в режиме холостого хода
(машина отключена от сети)

До гашения поля в обмотке возбуждения протекал ток 7/0 = EQ.

Дополнительный ток в обмотке возбуждения, вызванный гашением
поля, будет с учетом влияния демпферной системы, [см. формулу (16,19)],
равен:

1-*-Тср

- a/eTmTep^ -+- (Tm + Ге)Р + 1	(16,100)

где

Tm=-^r	(16,101)

m -+- 1

м m—кратность гасительного сопротивления.
Результирующий ток ротора будет равен:

rf — z/o д//о —	Z- (Тт Тс)р + 1 £о1 •	(16, 102)

Напряжение на кольцах Еь будет равно:

Р _ «ГО -1" А//о) „_____(sf'TтТср Тт) рт

//0	(^сТтГсР^^Тт^ТсУр-^Х	(16,103)

Максимальное значение напряжения на кольцах Еь будет иметь
место в момент времени f = 0 и будет равно:

Еь^тЕь.	(16,104)

В действительности, если учесть некоторое время гашения дуги,
ток в обмотке к концу гашения дуги будет несколько меньше началь-
ного и Еь будет несколько меньше, чем тЕ$. Для оценки скорости за-
тухания переходных токов нужно решить операторное уравнение (16,102),
причем корни характеристического уравнения нельзя в рассматриваемом
случае находить с обычными приближениями, так как с учетом гаси-
тельного сопротивления величина Тт соизмерима с Тс,

Решая уравнение (16,102), получаем:

{/	t 1

1-t-(1 — Tm)v —7—	1— (1 — v	|

-----------------~2-----е ---------2----- ™ J ^о»	(16,105)
где

Тт - Tf t"*-1): "-V(lV.ro)2-4a/eTm ’
„	(16,106)

, х2/с

Qfc — 1 r
ХлХс i с

Постоянные времени 7*wi и 7^2 равны:

2а	2afCv

т- <«• 1го>

Напряжение на кольцах Еь будет равно:

Е, = „,/,= {	Г = н-	>- ."£) „Е„ (16, М)
Постоянные времени 7^1 и Тт2 равны при $/<.<^1

Тт1 (1 -+- тт) Тт'з	1. т Те*

(16, 109)

Ток в демпферной системе будет равен:

т *е

1с = ~Т“ T»»v
Хс

____t ________t_ \
е ттг __ е 2m? I

(16, ПО)

Считая в формуле (16,110) величину	получаем, что потоко-

сцепления взаимоиндукции с обмоткой статора и, соответственно,
наводимая в статоре внутренняя э. д. с. Е8 при синхронной скорости
вращения ротора равны:

= Ir = 10 -+- Д70 Ic = у- =*= Е» ~ G (р) Ео 1 =5=

_________________t
l-b(l-*-tm)v Tml
2 е

l-(l-f-tm)v

-+~	о

е Г,л2 £0.

(16,111)

Если протекание дуги длится время Af, то максимальное напряже-
ние на кольцах, будет равно:

М	hi

14-(1~X’)V 	 MmF,. (16,112)

V	&	J

Время протекания дуги &t составляет обычно порядка одного-четы-
рех периодов переменного тока, т. е. порядка 0.02 4-0.08 сек.

Величина At увеличивается с увеличением кратности разрываемого
тока.

В первом приближении постоянные времени Тт1 и Тт2 равны.

Тт1 ^Тт + Тс; Тт2	(16, ИЗ)

Амплитуды экспоненциальных составляющих тока /у в первом при-
ближении равны:

,	1-ь(1 — Tm)v _ Ео

1ml—	2	*0^ 1 + Х,„ ;

2	1 .	л°-

Затуханием первой составляющей за время протекания дуги при
гашении поля из режима холостого хода можно пренебречь. Вторая
составляющая может существенно уменьшиться за время протекания
дуги Af, поэтому максимальное напряжение на кольцах равно:

Ejctokl %: (1 ртз)~1 T~~Z ,
1 *+- “m

(16,115)

где

А/

□ —. Tm!l

?m2=e
Постоянная времени Тс приближенно равна:

m	xd xd~xd

Tc^Td-7r • ~---7,	(16, 117)

xd xd - xd

и, следовательно, величина приближенно равна:

Т d xd xd xd

'em — • — • —------7, (m +- 1).	(16, 118)

Tf xd xd~xd

Для турбогенераторов можно в первом приближении считать

у^гкО.З;	(16,119)

В крупных явнополюсных машинах типа гидрогенераторов с демп-
ферной системой на роторе

Тс 1	m +-1

Tf 30 ; Tw 30	’	(16,12°)

Величина колеблется в пределах 0.04	0.08 для турбогенерато-

ров и 0.10-г0.14 для явнополюсных машин. В первом приближении



(16,121)

Учитывая реальные соотношения параметров, имеем:
для турбогенераторов

^Jtmax

1

1+-0.3 (m+1)

Л t [1+0.3( m +1)1  0,3 (т -+ 1)	Td0	т£о;
*+" 1-+0.3 (т-+1) £	J	

(16,122)

для гидрогенераторов

	30	__ Д/Г30+(т+1)] ’  .	т~*~1	£	3orrfo	
t'fcmax	[зо н- (т 1) Н	Н 30 н-(т-1-1)	J	

(16,123)

Численные примеры. 1) Определим кратность максимального напряжения на коль-
цах при гашении поля турбогенератора, работающего в режиме холостого хода и от?
ключенного от сети.

Параметры турбогенератора:

xrf = 1.6; x'd = 0.21;	4 = 0.12; Td0 = 5.5ceK.; T"d = 0.06 сек.;

f

Т'а=0Л22 сек.; Т"м = T"d = 0.105 сек.

xd

Кратность гасительного сопротивления т = 3.

Напряжение на кольцах в долях номинального

£*о	2 54	= 0.453£л. ,
Время протекания дуги △? = 0.04 сек.

7?fcmax
^0

1	0.04(1+0.3(3+1)] ]

_________ ________ . U O	о.105	о _

1 +- 0.3 (3 +-1)	1 +- 0.3 (3 + 1) е	I 5 ~

= (0.455 +- 0.545 • 0.434) 3 = 0.691 • 3 = 2.07.

Как видим, влияние вытеснения тока в демпферную систему снизило примерно
на (1—0.691) 100% 31% максимальное напряжение на кольцах при гашении поля
турбогенератора в режиме холостого хода.

Кратность максимального напряжения на кольцах в долях номинального напряже-
Екгаъх. п
ния на кольцах —F— = 0.94.

2) Определим кратность максимального напряжения на кольцах при гашении поля
явнополюсной синхронной машины, работающей в режиме холостого хода и отключен-
ной от сети.

Параметры машины:

xd = 0.85; х^ = 0.28; х^ = 0.20; Т=7.0 сек.; 7^ = 0.02 сек.;

Т'Л = 2.31 сек.; T"d0 = T"d ~ = 0.028 сек.
xd

Кратность гасительного
Время протекания дуги
Напряжение на кольцах

сопротивления m = 4.

— 0.03 сек.

в долях напряжения на кольцах при номинальном режиме

Eq 1 Еп— 0.596.

Eft max

Eq ~

30	(4-+1)

30н-(4-+-1) Ч"30н-(4-ь1)

0.03[30+(4+1)] '

30 • 0.028

= (0.857 +- 0.143 • 0.287) • 4 = 0.898 • 4 = 3.592.

Как видим, в случае явнополюсной машины, работавшей в режиме холостого хода,
влияние демпферной системы сказалось на снижении максимального напряжения на
кольцах при гашении поля всего на (1 — 0.898) 100%	10%.

Максимальное напряжение на кольцах в долях напряжения на кольцах при номи-
нальном режиме работы машины

E]cmax
Еп

2.14.

б)	Гашение поля в режиме нагрузки, когда машина
включена в мощную сеть

Если до гашения поля напряжение на кольцах было равно Е, то
после гашения поля, по аналогии с предыдущим рассмотрением, считая
гж = °,

_ _	_ m cP m _______________________

_____t

1 - (1 - О у е <2

2
Напряжение на кольцах будет равно:

Ек = т1/ =

— ’«)	6	Г'««1	1 —(1 —

2	2

тЕ. (16,125)

Штрихи при тт, v , Tmi9 Тт2 указывают на то, что в соответствующих
формулах реактивность взаимоиндукции х/0^х^ заменяется на

Таким образом,

xfc Х1 ’

(16,126)

Та

Т'< ‘

(16,127)

Ток в демпферной системе будет равен:

Потокосцепления взаимоиндукции со статором, вызванные питанием
со стороны ротора, и, соответственно, внутренняя э. д. с. при син-
хронной скорости вращения будут равны:

(16,129)

Величина Ге в первом приближении равна:

Т^—Т

Постоянная времени Т'? равна:

т',= т,—

поэтому

It
xd—*d

(тч-1).

(16,130)

(16,131)

(16, 132)

т

1 d

т

rt

Отношение имеет обычно порядок 0.6 -Н 0.7 для турбогенераторов
xd

и 0.7 ”7“ 0.75 для крупных явнополюсных машин типа гидрогенераторов,
поэтому не очень сильно отличается от
Для турбогенераторов можно в первом приближении принять

+	(16, 133)

Для крупных явнополюсных машин типа гидрогенераторов

(16’134)

Коэффициент рассеяния между обмоткой возбуждения и демпферной
системой при работе машины на мощную сеть (rt = 0)

(16,135)

Нетрудно видеть по формуле (16,135), что при замкнутой на мощ-
ную сеть обмотке статора рассеяние роторных контуров по отношению
друг к другу резко увеличивается, что понятно и по физическим со-
ображениям.

Постоянные времени Т'т1 и т'т2 могут быть выражены в виде:

<16'1эд

Максимальное напряжение на кольцах в первом приближении, по
аналогии с выражением (16,115), равно:

^fcmax	ТтРт2) (j t ’	(!$’ 1^)

где

А/

'	__ ^т1

₽ml = 8

н

Рт2 =

А/

Тт2

(16, 138)

Учитывая реальные соотношения параметров, имеем:
для турбогенераторов'.

_______Д/(тЧ-1)
Td [14-0.2(wi -1-1)]

1-4-0.2 (zn + 1)

A/[l-4-0.2(m-f-l)]
и

0.2 (m + 1) t

1ч-0.2 (m + 1)

(16,139)

для гидрогенераторов'.

A/40(m-f-l)

лл ТД4°-»-( m+1)l

40е	®

40-ь(тч-1)

(щ+1)£

Af[40-4-(m-H)]
40^

40-4-(m-4-1)

тЕ.

(16,140)

+

Численные примеры. 1) Определить кратность максимального напряжения на
кольцах при гашении поля турбогенератора, работающего в режиме номинальной на-
грузки.

Параметры генератора те же, что и в Спиленном примере гашения поля в режиме
холостого хода. Кратность гасительного сопротивления т = 3. Время протекания дуги
△г = 0.04 сек.

Е — Еп-

"________0.04(3-4-1)	_ 0.04(1-4-0.2(3-4-1)3 '

Ffcmax е 0.722(1+0.2(3+1)]	0.2 (3 Ч-1) В	0-06

Еп ~|_ 1ч-0.2(Зч-1)	1ч-0.2(Зч-1)	]3~

0.884	0.8 • 0.301 1

! 8 ч------j-g---J 3 = (0.492 ч-0.137) 3 = 0.629 • 3 = 1.89.
Как видим, при гашении поля в режиме номинальной нагрузки влияние демпфер-
ной системы на снижение максимального напряжения на кольцах оказалось еще силь-
ней, чем в режиме холостого хода, составляя (1 — 0.629) • 100%	37%, т. е. на 6%

больше, чем в режиме холостого хода.

Мы приняли для обоих численных примеров — режима холостого хода и режима
номинальной нагрузки — одно и то же время гашения дуги Д^ = 0.04. В действитель-
ности, время гашения дуги в режиме холостого хода будет несколько меньше, чем
в режиме номинальной нагрузки, так как зависимость времени Д£ от разрываемого
тока i имеет примерный вид ^t = a-¥-b^i . Введение этой поправки несколько повысит
полученное значение максимального напряжения на кольцах при гашёнии поля в ре-
жиме холостого хода.

2)	Определить кратность номинального напряжения на кольцах при гашении поля
явнополюсной синхронной машины, работающей в режиме номинальной нагрузки.

Параметры машины те же, что и в численном примере гашения поля в режиме
холостого хода. Кратность гасительного сопротивления т = 3. Время протекания дуги
Д? принимаем 0.03 сек., Е=ЕП.

0.03 - 40(4-1-1)	0.03[40-h(4-M)] "

Гктах 408 2-31[«+O+l)J	(4 Ч-1)8	°-02 ' 40

Е„ ~ L 40-ь (4-ь1)	40-ь (4-4-1) J 4 —

= (у • 0.944 ч- у 0.185 ) 4 = (0.840 ч- 0.021) 4 = 0.861 • 4 = 3.44.

Влияние демпферной системы на снижение максимального напряжения на кольцах
в режиме номинальной нагрузки привело в рассматриваемом численном примере к сни-
жению максимального напряжения на кольцах примерно на 14%, в то время как в ре-
жиме холостого хода это снижение было порядка 10% (если учесть уменьшение вели-
чины Д£ в режиме холостого хода, то вместо 10% будет несколько большая цифра).

в)	Гашение поля при внезапном трехфазном коротком
замыкании машины, включенной в мощную сеть

Если гашение поля имеет место в момент времени, когда в роторе
еще не затухли переходные токи короткого замыкания, то к току
7у0-4-А//0, полученному по формуле (16,124), нужно прибавить еще пе-
реходный ток в обмотке возбуждения вызванный коротким замы-
канием.

Соответственно к напряжению Ек, вычисленному по формуле (16,125),
нужно прибавить еще величину mkyjj и, следовательно^ при трехфаз-
ном коротком замыкании

Ек = т (I,»ч- Д//о + W/)-	(16, 141)

Величину тока ЬуД/ можно определить из системы уравнений

1 (1б 142)

0 ~ Xad	Xad^ld (rc ?Xc) (A3fcZc)- J

Учитывая, что If = xadij, получаем:

Л T __ pT*n (xd ~~~ xd) (1 Р^сс)	n u

Дз»//----p^cTeTm -4- P (Те ч- Tm) 4-1 Д'<«-	(16’143)

Обозначения в формуле (16,143) ясны из предыдущего рассмотрения.
Величина Те* равна:

Х„ — х **

Т « —-------— == — .	(16,144)

еа	Гс	Гс
Ток A7rf при внезапном трехфазном коротком замыкании при гв = 0
в операторном виде равен:

л-

1<г  *rf(p)

р sin & ч- cos б

(16,145)

где В — рабочий угол машины в момент короткого замыкания;

е — напряжение на зажимах статора в момент короткого замы-
кания. Знак единичной функции 1 опускаем.

Учитывая затухание апериодической составляющей, вызванное на-
личием активного сопротивления г8 в цепи статора, потокосцепления
Аф^ равны:

cos В 11 — е

t \	___t_ -

Т<* cos#) -+- sin Be la sin t e

(16, 146)

и, следовательно, в упрощенной

символической записи

cos В	1	( — «г-	)

Аг, =Ф= —---у—г е ------т—т < е а cos (# -ь В) > е.

d xd (Р) xd I	J

(16, 147)

'(Под выражением в фигурных скобках нужно понимать при такой
форме записи, как мы неоднократно указывали, соответствующее опе-
раторное изображение).

Второй член выражения (16,147) соответствует апериодической со-
ставляющей тока статора и периодической составляющей в токе воз-
буждения.

Если гашение поля происходит одновременно с внезапным коротким
замыканием, то в формуле (16,145) нужно подставить вместо xd(p)
операторную реактивность xdm (р), учитывая, что после замыкания об-
мотки возбуждения на гасительное сопротивление все постоянные вре-
мени обмотки возбуждения уменьшаются в (m-t-l) раз.

Апериодический переходный ток в обмотке возбуждения, вызванный
коротким замыканием в цепи статора, в операторном виде, с уче-
том выражений (16,143) и (16,147), будет равен:

_________р(1-ьр7-са)	Тт

~ ^ттУ^-(т'т^т'е)Р^1] x''d ecos

р(1-4-рГса)

е cos

(16,148)

Раскрывая А3а/у в функции времени, имеем:

____________________t	____t
(Т'т1-Т.,)Т'т^ Тт1-(т'т2-тса)т'т^ xd
xdxd

е cos

(16,149)

Соответственно дополнительное напряжение на кольцах

____t	___#

. _ (т’т1-тса)т'т2е Тт1 -(Т'т2-Те,)Т'т^
(Tml-Tm2)T"d

*d

—тг те cos б.
xdxd


К сожалению, обычно эквивалентная схема роторных цепей слож-
ней, чем принято в настоящем рассмотрении, и рассеяния этих конту-
ров трудно определимы. Поэтому обычно приходится пользоваться из-
вестным приближением, считая, что

„ *

ЙЬ Х*~Х* £ Tdmе cos 8,
xd

(16,151}

где



, xd Ч
т xd ”~(m-*-l) *

(16,152)

Действительное распределение тока между обмоткой возбуждения
и демпферной системой при больших значениях тп, при одном демп-
ферном контуре по продольной оси ротора, правильно описывается
выражением (16,149), поэтому если достаточно известна по опыту или
расчету эквивалентная схема машины, то желательно для расчета до-
полнительного напряжения на кольцах пользоваться формулой (16,150).
Если же такой уверенности в параметрах контуров ротора нет, то
можно пользоваться приближенной формулой



е Tdm е т cos В.

(16, 153)

При е — 1 дополнительное максимальное напряжение на кольцах, вы-
званное апериодической составляющей переходного тока в обмотке
возбуждения, будет приближенно равно:

h

_ (ч — cos В
---------------е d s d т,	(16,154)

xd
_
т'

где коэффициент е а введен для учета запаздывания начала гашения
поля;

tQ— время от начала короткого замыкания до момента начала гашения
поля;

— время гашения дуги.

Время. /0 можно принимать в приближенных расчетах порядка
0.2 сек.

__^0
Td

Коэффициент е составляет обычно порядка 0.7-+-0.9 для трех-
фазного короткого замыкания. Большие значения относятся к генера-
торам большей мощности.

Наличие периодической составляющей в переходном токе, имеющем
место в обмотке возбуждения при коротком замыкании на зажимах
статора, лучше всего учесть дополнительным коэффициентом, так как
реальное распределение периодической составляющей тока ротора в ро-
торных контурах будет сильно зависеть от вытеснения тока в этих
контурах при переменном токе, имеющем частоту 50 гц.

С учетом периодической составляющей переходный ток в обмотке
возбуждения до начала гашения поля приближенно равен:

___

— л/J cos а Г _-L	"1 у'

△зл// ----------7------ L1 — V Та cos t J 6

xd

(16,155)

Для первого полупериода, т. е. до f = 0.01 сек, коэффициент £а = 1,
а в дальнейшем коэффициент кЛ становится меньше единицы. Для тур-
богенераторов коэффициент ка да 0.4 4“ 0.6. Для явнополюсных машин
этот коэффициент близок к единице, однако за промежуток времени /0
между началом короткого замыкания и началом гашения поля коэффи-

циент е а достигает значения порядка 0.01 ~ 0.4, большие значения
относятся к машинам большей мощности.

К моменту времени f0, когда начинается гашение поля, величина Аде//
может поэтому достигать значения

Д3^ (1.04-1.35)

£ Td •

(16,156)

d “ xd) cos 5
x'd

Дополнительное напряжение на кольцах, с учетом выражения (16,156),

будет равно:	f  (xd — xd) COS &	у'	у'  ^Ек = с3)с-		dm т,	(16,157)  xd

где сзк коэффициент, учитывающий влияние периодической составляю-
щей в переходном токе цепи возбуждения при трехфазном коротком
замыкании.

с3к 1.0 4- 1.35.

(16,158)

Большие значения сзк относятся к явнополюсным машинам сравни-
тельно малой мощности.

Учытывая реальные соотношения параметров [см. выражения (16,139),
я (16, 140)], имеем следующие выражения для расчета максимального
возможного напряжения на кольцах при гашении поля из режима вне-
запного трехфазного короткого замыкания.

Для турбогенераторов*.

Д/ (ш + 1)

Trf[l+0.2(m+l)J
1-+-0.2 (m-t-1)

Ек шах

__ Д£[1+0.2(m+1)]
т'г

0.2 (m ч-1) е d

1 + 0.2(т + 1)

mE0-t-

,	__	Ч-l)

ч xd — xd	т'

-+- 1.1 -----~f-е	т • cos?).

xd
Для гидрогенераторов^

Е]с max —

A/40(m 4-1)

40е ^[40+(w+1)]

40-b(m-f-l)

А/[404-4-1)]

m£o

(m -+-1) е

-+-1.35

/04-Л/(зд41)

т'

т cos В.

(16,160>

Численные примеры. 1) Для турбогенератора, кратность напряжения которого
на кольцах определена при гашении поля в режиме холостого хода и номинальной
нагрузки, при гашении поля через /о = О.2 сек. после начала внезапного трехфазного>
короткого замыкания имеем:

Xq = 1.55, cos ф = 0.8;	£'„ = 2.54.

Xq COS ф
tg В =  --------7-— = 0.643; cos a = 0.843.

6	1 -+- Xq Sin ф

Кратность гасительного сопротивления m = 3. Время гашения дуги Д£ принимаем
0.04 сек.

Дополнительное максимальное напряжение на кольцах, вызванное коротким замы»
канием, будет в долях напряжения на кольцах в номинальном режиме равно:

л р	1 А П 91	- (°-2+0Л)4	+ n ЯЛ Q

__- -1»6 0.21	0.722	0«843	__

Еп	0.21 е	2.54

7.58
=	• 0.608 • 0.843 • 3 = 1.53.3 = 4.59.

Результирующая кратность максимального напряжения на кольцах ротора при гаше»
нии поля в этом случае будет равна:

= (0.629 + 1.53) 3 = 2.16 • 3 = 6.39.

В действительности, эта величина будет несколько снижена за счет увеличения
длительности протекания дуги At при таких больших токах. Однако, даже если сни-
жение и будет иметь место, то оно составит не больше порядка 10%. Таким образом,
при гашении поля из режима внезапного трехфазного короткого замыкания имеем при-
мерно шестикратное напряжение на кольцах при трехкратном гасительном сопротивле-
нии даже с учетом запаздывания начала гашения поля по сравнению с началом корот-
кого замыкания, с учетом уменьшающего перенапряжение на кольцах влияния демп-
ферной системы и влияния длительности протекания дуги At, Этим объясняются
известные из эксплуатации частые пробои обмотки рртора при гашении поля после
аварии в статорной цепи машины.

2) Для явнополюсной синхронной машины, кратность напряжения на кольцах кото-
рой определена при гашении поля в режиме холостого хода и номинальной нагрузки,
при гашении поля через /о = ^*25 сек. после начала внезапного трехфазного короткого
замыкания имеем:

хд = 0.62; cos,<p = 0.85;	£'„=1.93;

Xq COS ф

tg8 = T+x7smV = °’396;	cos8 = 0-930-

Кратность гасительного сопротивления т = 4.
Время гашения дуги принимаем 0.03 сек.
Дополнительное максимальное напряжение на кольцах, вызванное внезапным трех-
фазным коротким замыканием, будет в долях напряжения на кольцах в номинальном
режиме равно:

Asfrfffc _1 or 0-85 — 0.28

Еп —0.28

[0.25 + 0.03 (4 + 1)]
2.31	л____

1.93

2.75 • 0.841 • 0.93

1.93

• 4 = 1.115 • 4 = 4.46.

Результирующая кратность максимального напряжения на кольцах
нии поля в этом случае будет равна:

ротора при гаше-

Efr max

En

= (0.898 -+- 1.115) • 4 = 2.013 • 4 = 8.026,

т. е. так же как и в случае трехфазного короткого замыкания турбогенератора,

порядка

Eft max

Еп

^2т.

(16,161)

г) Гашение поля при внезапных несимметричных коротких

замыканиях в цепи статора

При рассмотрении несимметричных коротких замыканий необходимо
различать случаи, когда машина включена в мощную сеть и когда
короткое замыкание имеет место из режима холостого хода машины,
отключенной от сети. Кроме того, замыкание может иметь место
внутри обмотки, когда коротким замыканием охвачена только часть
витков обмотки статора.

В случаях, когда машина включена в мощную сеть, методика рас-
чета максимального напряжения на кольцах ротора остается та же,
что и при расчете этого напряжения для случая внезапного трехфаз-
ного короткого замыкания. Необходимо только подставить соответ-
ствующее значение тока A/d к моменту начала гашения поля в фор-
мулу (16,157) вместо

_______ ip
cos b__Т,

= c3k x'd s	(16* 162)

для случая трехфазного короткого замыкания.

В частности, при однофазном коротком замыкании машины, вклю-
ченной в мощную сеть на свою нейтраль, токи в статоре образуют
систему нулевой последовательности и, следовательно, в этом случае
можно пренебречь величиной А^Е*, определяя максимальное напряже-
ние на кольцах так же, как и при гашении поля в режиме номиналь-
ной нагрузки.

В остальных случаях несимметричных коротких замыканий машины,
работающей на мощную сеть, нужно пользоваться для расчета допол-
нительной кратности напряжения на кольцах формулой

__ А/
т'Лт

...................= Ck Xх d — Xd)--2---e m*	(I6* I63)
где токи короткого замыкания А/в рассчитываются по соответствующим
формулам, представленным 9 главе 7. При этом величины А/в опреде-
ляются без учета апериодической составляющей (которая приближенно
учитывается коэффициентом скя& 1.0-у-1.35) для переходного режима,
когда xd(p)^xd.

При несимметричных коротких замыканиях машины, отключенной
от сети, величины которые должны быть подставлены в фор-
мулу (16,157) для расчета дополнительного напряжения на кольцах,
вызванного коротким замыканием, равны:

при однофазном коротком замыкании

£^id = ck	;	(16,164)

при двухфазном коротком замыкании

__ ip

е. Т</2

^id = сь	;	(16,165)

Xd^X2

при двухфазном коротком замыкании на нейтраль машины

_____
«20

Д20Ч — ск----------------

// х2х0
хИ + —;----

Л *2 + *0

(16, 166)

Коэффициент с* «1.14-1.6 учитывает влияние переменной состав-
ляющей к моменту начала гашения поля.

Постоянные времени Tdl> T'd2, как было показано в главе 6,

т	®	V

6?1	</0 xd д -2 -ь х0 *

т’ —Т
1dZ—1dQXd^X2 »

,	X^Xq

__т	XQ

d3 — JdO	X2XQ	.

xd -+---Г-'—

а	*2-*-*0j

(16,167)

Соответственно изменяются и постоянные времени цепи возбужде-
Т

ния после гашения поля по закону Тт = у •

Сложней обстоит дело с расчетом перенапряжения, вызванного
самим переключением в цепи возбуждения, при наличии несимметрич-
ного короткого замыкания машины отключенной от сети. В этом слу-
чае в цепь возбуждения в момент гашения поля включено в транс-
форматорной связи переменное индуктивное сопротивление статора,
изменяющееся с большой амплитудой с номинальной частотой. Реше-
ние этой задачи, представляя теоретический интерес, однако практи-
чески редко требуется, так как гашение поля в режимах такого
несимметричного короткого замыкания на зажимах машины происходит
сравнительно редко и, если имеет место, то при наличии внутренних
замыканий, когда картина еще более усложняется. Поэтому мы на
рассмотрении такой задачи не останавливаемся. Для приближенных
расчетов максимального напряжения на кольцах при гашении поля из
режима несимметричных коротких замыканий отключенной от сети
машины можно ориентировочно пользоваться той же методикой, что
и при внезапных трехфазных коротких замыканиях, используя соот-
ветствующие значения и постоянных времени.

Как показывает опыт эксплуатации синхронных машин, максималь-
ная кратность напряжения на кольцах при гашении поля из режима
любого короткого замыкания в цепи статора редко превышает вели-
чину 2тп.

8. ВЛИЯНИЕ РЕГУЛИРОВАНИЯ ВОЗБУЖДЕНИЯ НА СТАТИЧЕСКУЮ
УСТОЙЧИВОСТЬ РАБОТЫ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ, ВКЛЮЧЕННОЙ

В МОЩНУЮ СЕТЬ ЧЕРЕЗ РЕАКТИВНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Рассмотрим влияние на статическую устойчивость работы синхрон-
ной машины автоматического регулирования возбуждения при простей-
ших законах регулирования по методике, предложенной Румпелем
[14-22].

Электромагнитный вращающий момент синхронной машины равен:

Ей	и2 / 1	1 \

мв = — sin Ь -ь	(— - — sin 2Ь,	(16,168)

где

хл— внешняя реактивность, включенная между машиною и мощной
сетью;

8 — угол между внутренней э. д. с. Е и напряжением сети н.

а)	Связи регулирования

Вводим регулирование возбуждения в функции от амплитуды напря-
жения на клеммах статора машины е, от амплитуды тока статора i и
от угла 8и между внутренней э. д. с. Е и напряжением е на клеммах
машины.

Пренебрегая инерционностью звеньев регулирования и длительностью
электромагнитных переходных процессов в машине при рассмотрении
явлений, связанных с изменением рабочего угла машины (поскольку
механическая инерция машины относительно велика), имеем следующие
приближенные соотношения для связей регулирования:

1)	при регулировании возбуждения по амплитуде напряжения на
клеммах машины

dE	de

(16,169)

2) при регулировании по внутреннему углу машины

dE

-db=k^.,
3)	при регулировании по напряжению на клеммах машины и току
статора

±k_

(16.171)

Здесь ek— амплитуда эквивалентного напряжения, учитывающего нали-
чие регулирования по амплитуде тока статора;

к, и кь— соответствующие коэффициенты усиления регуляторов.

б)	Связь напряжения на клеммах машины, тока статора
и внутреннего угла машины с рабочим углом

Амплитуда напряжения на клеммах машины равна

е

.2

= (1—М Vu2[(l-A/)2 cos2 5-i-(1—Xg)2 sin2S]	(1—Xd)£« cos	(1—\j)2£2, (16,172)

где



^= —;

* Xq* ’

(16,173)

= -— Ud-t
Xqt

eq---

XdUq -b XeE .

Xdt ’

(16,174)

и* = и sin В;

Uq = U COS Ь.

(16,175)

При дополнительном регулировании по амплитуде тока статора
вводим эквивалентное напряжение на клеммах, равное по амплитуде

ek — Vedk -+" etfc —

<l-^)^[(l_Xdi)%oS^H-(l-XJfc)%in2q4-2kdHl-WucoS64-k^(l-^)2E2, (16,176)

где



Xde

Xqe

(16,177)

Xq — ki	(xa — ki) Uq -+- (xe -+-ki)E w

= x^.......Ud' eqk===	Ы	’

(16,178)

edk *+• Jeqk = ed “** Jeq +"	(*d +" Ptf)?

(16,179)

. eq — Uq . Ud — ed ,
l*— xe ;	xe

(16,180)

kj — соответствующий коэффициент связи в системе регулирования.

Зависимость внутреннего угла машины 8М от рабочего угла 8 имеет
вид:

1 —Xg

u <dn 5 ed

(16,181)

tgbj


Производные и на основании выражений (16,172) и (16,181),

равны:

de (1 — Хд)2

^d

1 —

Ей sin 5 -ь

dE г р *11

</б [ (1 — xd)2 £ i — и cos 6Jp

rf5M i — xg

e2

tdE

(1 — и2 -4- IrfEu cos b — Х^ы sin &

(16,182)

(16,183)

е

Заменяя в формуле (16.182) величины Xd и X на XrfJfc и X ь получаем
выражение для •

в)	Критерий статической устойчивости при регулировании
возбуждения

Если пренебречь инерционностью электромагнитных процессов
в машине при рассмотрении сравнительно медленно протекающих про-
цессов выпадения из синхронизма (связанных с большой механической
инерцией машины), то условие сохранения статической устойчивости
можно записать в первом приближении в виде

dM,

-db>°-

(16, 184)

Подставляя выражения (16,182), (16,183) в условие (16,184), по-
лучаем следующие условия обеспечения искусственной статической
устойчивости:

1)	при регулировании возбуждения по амплитуде напряжения е на
клеммах машины

„	* Xd— Xq

Е cos о — и----cos 2о -+-

^.26 [1-(n^)2]“2cos84-r^£n

-+- sin2 5------—---------------- > 0.

е . . р . __к_ X

Ml —М2 (1	i — xd aeos 5

(16, 185)

2)	при регулировании возбуждения по внутреннему углу машины

_	_ Xd — Xff	_ (1 — Xrf) И2 -4- \jEll cos $	-	-

Е cos Ь -ь и--- cos 2& ч- sin В--5---------------> 0.	(16. 186)

*7(i-хг) +^"B’

3)	при регулировании по напряжению и току статора величины е,
Xd и Х? заменяются в уравнении (16,185) на е&, Х^ и Х?ь в соответ-
ствии с формулами (16,176)—(16,180).

г) Случаи „идеального" регулирования

Для частных случаев „идеального" регулирования, когда регулятор
обеспечивает при изменении нагрузки неизменную величину на выходе
регулятора, имеем для неявнополюсной машины (xrf = x?) следующие
критерии для пределов „искусственной" статической устойчивости:
1)	При „идеальном" регулировании возбуждения по напряжению на
клеммах статора машины (е~ const; Ав->оо)

1	=--г- Е cos Ь = 0;

7*	(16,187)

cos & ч-	0-

Здесь второе ограничивающее условие соответствует пределу, при ко-
тором связь между напряжениями е и Е имеет знак, соответствующий
устойчивому регулированию. При нарушении этого условия напряже-
ние возбуждения стремится к бесконечности.

2)	При „идеальном" регулировании возбуждения по внутреннему
углу машины (8м = const; £8->оо)

1ч-2 г	Ecos& = 0;

1 —	’	(16, 188)

sin b > 0.

Здесь второе ограничивающее условие соответствует требованию со-
хранения направления передаваемой энергии.

На базе полученных критериев могут быть построены кривые пре-
дельных значений E=f(ty и Мв = /{8), соответствующие критериям ста-
тической устойчивости, полученным при различных законах регулиро-
вания (по напряжению, по углу, по току статора) [1Д-22].

Практически на пределы статической устойчивости, соответствую-
щие критериям (16,187) или (16,188), накладываются дополнительные
условия, ограничивающие эффективность принятого закона регулиро-
вания. В частности, приходится исключать из реальных рабочих ре-
жимов такие, при которых напряжение на клеммах машины выше или
ниже допустимого. Это особенно существенно ограничивает эффектив-
ность регулирования возбуждения по внутреннему углу 8< при наличии
Относительно большой внешней реактивности хв, включенной между
машиной и мощной сетью.

Одновременное регулирование по внутреннему углу и напряжению
на клеммах статора обычно имеет мало смысла, так как влияние
одного регулятора будет противодействовать влиянию другого.

За последние годы широкое распространение получили методы
так называемого сильного регулирования возбуждения. При таком
регулировании на возбуждение действуют не только напряжение ста-
тора, угол или ток статора машины, но и производные от изменения
этих величин во времени. Выбирая надлежащие коэффициены усиле-
ния для различных составляющих, действующих на возбуждение,
удается получить весьма эффективные результаты. Большую работу
по созданию такого рода регуляторов выполнил Г. Р. Герценберг,
С участием работников Института электромеханики, ЭНИН, ВЭИ и
других организаций [1В-4, [1Д-4].
ГЛАВА 77

САМОВОЗБУЖДЕНИЕ МАШИНЫ ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
ПРИ НАЛИЧИИ ЕМКОСТИ В ЦЕПИ СТАТОРА

1.	УСЛОВИЯ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ ПРИ РАБОТЕ С ЕМКОСТЬЮ

Как известно, при работе машины переменного тока, в статорную
цепь которой включено емкостное сопротивление, может иметь место
самовозбуждение машины с протеканием недопустимых токов. Предел
самовозбуждению обычно кладет изменение реактивностей машины
вследствие насыщения. Известно, что чем больше активное сопротив-
ление в цепи статора, тем меньше диапазон емкостных сопротивлений!
при которых имеет место самовозбуждение машины. Начиная с опре-
деленного активного сопротивления в цепи статора, самовозбуждение
вообще невозможно.

При рассмотрении вопросов самовозбуждения машины переменногр
тока при работе с емкостью следует различать случаи:

1)	последовательного соединения с емкостью при работе машины
на мощную сеть; машина может быть синхронной или асинхронной^

2)	параллельного соединения с емкостью; машина может быть
синхронной или асинхронной;

3)	последовательного соединения с емкостью синхронной машины,
работающей на изолированную нагрузку;

4)	параллельного соединения с емкостью синхронной машины, ра-
ботающей на изолированную нагрузку.

Случай работы изолированной машины на емкость (например, ли-
нию передачи) в режиме холостого хода может быть рассмотрен как
частный случай работы машины на изолированную нагрузку.

Общая методика рассмотрения задачи следующая:

Пользуемся дифференциальными уравнениями для определения тока
статора:

при последовательном соединении с емкостью

/е.те->8 —(р	(р	-*-(р iwr)y, (р)	<17> 1)

при параллельном соединении с емкостью

= [г, (р /Ч)х» (p)]f,	(р -+- J“r) У, (р) i»;

W-'8 =	l‘x =
Здесь:

Для синхронной машины:

В — рабочий угол машины в режиме генератора;

Е — внутренняя э. д. с.;

“r=h ,8

е9=— напряжение на клеммах машины с амплитудой elw;

е ч (р)(р) t х (р) —	(р)

xa (p) =----2------; ya w =-------2----:

xc — емкостное сопротивление.

Для асинхронной машины:

Е = 0; 9s (p)=zQ;

<«г	1;

& = —Srt;	е9 = jesm^	:

sr = (1 — o>r) — скольжение ротора.

В случае работы синхронной машины на изолированную нагрузку
г„ хв, включенную за емкостью надлежит подставить:

при последовательном соединении с емкостью в уравнение (17,1)

е9 = jesme—= - [г, ч-(р + j) _re] г,;	(17, 3)

при параллельном соединении с емкостью в первое из уравнений
(17,2) (см. стр. 465)

е9 =je8mt~^ == — и [г, (р J) *•]} If.	(17, 4)

Знак | означает параллельное соединение

При наличии внешних сопротивлений до параллельно присоединен-
ной емкости, они могут быть включены в параметры машины.

Для установления условий самовозбуждения определяется в опера-
торном виде результирующее сопротивление = в случае последо-
вательного соединения с емкостью и результирующий ток —
в случае параллельного соединения с емкостью*

Операторный числитель выражения для zL — при последователь-
ном соединении с емкостью и iL — при параллельном соединении
с емкостью, равный Z)£(p), является характеристическим полиномом
Системы.

Самовозбуждение возможно в случае, когда реальная часть хотя бы
одного из корней ръ р2>* • • Рп характеристического уравнения £>£(р) = 0
равна нулю, либо положительна. Если реальные части всех корней
pi, Ръ • • • Рп отрицательны, самовозбуждение невозможно. Определе-
ние корней характеристического уравнения DL (р) в ряде практических
случаев весьма сложно.

Существует ряд других методов выяснения Возможности самовоз-
буждения, если известно операторное выражение
Один из самых простых и удобных на практике методов — построить
частотную характеристику zL (js) для последовательного соединения
и iL = f(js) — для случая параллельного соединения с емкостью, где
оператор р заменен на комплекс js при—оо<$<Ч-оо,

Если при обходе построенной частотной характеристики против
часовой стрелки начало координат попадает на частотную кривую
либо внутрь замкнутой области, расположенной слева по направлению
обхода частотной характеристики, то система самовозбуждается. Для
облегчения запоминания правил обхода частотной характеристики
специалисту, знакомому с теорией электрических машин, удобно ис-
ходить из обычной круговой диаграммы асинхронной машины, которая
работает заведомо без самовозбуждения, с соответствующим положе-
нием начала координат вне круговой диаграммы.

Вопрос об учете влияния насыщения на изменение реактивностей
машины при самовозбуждении требует конкретного рассмотрения в за-
висимости от поставленной задачи, в частности от того — присоеди-
нена ли машина к сети с заданным напряжением или нет.

2.	САМОВОЗБУЖДЕНИЕ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
ПРИ РАБОТЕ С ЕМКОСТЬЮ

Случай последовательного соединения асинхронной машины с ем-
костью при работе на мощную сеть рассмотрен в главе 9. Численный
пример дан в конце настоящей главы.

а) Критерий самовозбуждения при параллельной работе
с емкостью

Найдем критерий самовозбуждения при работе асинхронной ма-
шины, включенной параллельно с емкостью.

Уравнение (17,2) в рассматриваемом случае имеет вид:

= [г* (р -ь >г) х8 (р)] i8 = 	. ie.	(17, 6)

г* ’ J

Токи в упрощенной символической записи равны:				
	jesmtJ'r*	 ж			
-г- _	.  г 8  Р~Н	(p-¥-ju>r)xa (р) ’  о>г	. -  L •	вЛ t			(17, 7)
Соответствующие частотные  • (, ,, 		je8m	•  характеристики  J	1	имеют вид:	
i	j,(a>r-t-s)x,(js) ' 4- j(0r)	(йг -+- S			(17, 8)
	XC *			

Условие iL(js) = i9(js)-t-i'(js) = O равносильно условию

(“г -+- S) X, (js) — jrt « —	.	(17, 9)
Частотная характеристика сопротивления машины может быть пред*

ставлена	в виде:  х» (js) — (js) — Xsx (s) -+- jxnr (s) — xanfi	(17, 10)
Если	z'*0 — Xs (js) — ^x jisr —	* ,	(17, 11}
то	X»9— .2 J xtr—— .2	•	(17, 12)  lem

(17, 13)

Сопротивление хв (Js) как было показано в главе 2, при п конту-
рах в роторе имеет вид в функции от $:

gl) О* Я2) • • • 0» %) ,
х» 0s) х» (js -Ь aj (js + а2) ... (Js -+- а„)

где величину х^ обычно обозначают x"d9

Величины х9а. и х9г равны:

х8х = xim COS	x8r = —Х9т Sin ft,

где

f	3	3

ft = arctg -V ; ft = arctg — ;

a,	1

(17, 14)

(17, 15}

?2 = arctg A ; <p2 = arctg ;

И T. Д.

На основании выражения (17,9) получаем следующие условия для
пределов самовозбуждения:

х8 = (сог -+- s)2 х9х («);

= (<*>гs) x*r (s).

Для покрытия потерь в цепи статора при самовозбуждении асин-
хронная машина должна работать в режиме генератора и, следова-
тельно, величина s должна быть отрицательна. При отрицательном s
значения xsr как видно из формул (17,11), (17,12), всегда положи-
тельны и, следовательно, величина s не может быть численно больше,
чем <ог.

При rg, стремящемся к нулю (гв = 0), величина $ может быть равна
либо $ = 0, либо $ =—<ог.

В первом случае ($ = 0)

ХЛ=^ТХЛ'

Во втором случае (s =—<•>})

*«2 = 0,
Мы получили для случая г, = 0 пределы для емкостного сопротив-
ления хе, при котором возможно самовозбуждение

О < х9 < х&,

(17, 16)

Если гж=7^=0, то предельные значения хе при заданном значении г8 и

заданной частотной характеристике z‘so~x могут быть найдены

графически весьма просто, а именно:

1)	строим частотную характеристику

х* (js) = т-- = х9Х ($)	jxtr (s);

2)	строим в функции от s кривые зависимости x8r=f(s) и —~— —
=/(*);

3)	Точки пересечения обеих кривых, построенных в функции от
дадут значения собственных частот sx, s2 • • • sn> соответствующих пре-
делам самовозбуждения (все значения s<0);

4)	определяем предельные значения емкостных сопротивлений
хсХ, Хсг • • • хсп> соответствующие собственным частотам sx, s2 • • •
подстановкой этих значений в первое из уравнений (17,15):

Xci = (<ОГ Si)2 xgx (sx);	1

ХС2 =	"+" ®2)2	(®2)> I	Цу, YJ)'

Хсп = (tor -Ь Sn)2X3x (sn).	)

В общем случае, при сложной частотной характеристике Z,o = -
могут иметь место несколько диапазонов значения хс, ограничиваемых
предельными значениями хе19 хс2 • •. хсп, при которых возможно само-
возбуждение машины.

При предельных значениях емкостных сопротивлений хсХ, хс2, ... хсп
возможен установившийся режим самовозбуждения с частотами то-
ков в статоре (меньшими чем wr)

toX = $i -+- tor;

to2 = s2 -+- tor;

(17, 18)

to„ = snH-tor. j

Если задана величина xe и требуется установить значение при
котором самовозбуждение уже невозможно, то строятся в функции

от а зависимости х^. =/($); ^-^-^-^ ==/($) и определяются собственные

частоты $, при которых кривые пересекаются. Для этих частот опре-
деляются по второму уравнению (17,15) предельные значения вели-
чины г9. При большем, чем наибольшее из полученных по усло-
виям (17,15), самовозбуждение невозможно.

Самовозбуждение заведомо невозможно при

> torX«r max,	(17, 19)

т. е* при значениях , больших, чем максимальное значение верти-
кальной составляющей частотной характеристики хД/s). Действитель-
ное значение критического активного сопротивления на статоре r,fc,
выше которого самовозбуждение невозможно, будет, очевидно, меньше,
чем по (17,19). Величина rgk должна определяться в зависимости от
заданной частотной характеристики x9(js) по уравнениям (17, 15).

б) Случай машины с одной обмоткой на роторе

Рассмотрим случай асинхронной машины с одной обмоткой на ро-

торе.

Имеем:

Х'Ы=Х<1Г^--

t s2 as|

, SS/c (1 — о)

X*r(s) Xi s2h-02s2 •

(17, 20)

Здесь ° = “ j	— критическое скольжение по круговой диаграмме

асинхронной машины без учета активного сопротивления в цепи ста-
тора.

На основании условий (17,15) получаем следующее квадратное
уравнение для определения величин $2:

Здесь

[а' а' (1 — a)] s2	(1 — а) $	а'а2с£2 = 0.

•	г9

а ==—г; a

9	х ’	*

(17, 21)

(17, 22)

Уравнение (17,21) имеет реальные значения корней при условии

a)2fl£2 (1 — °)2 > 4a'a2a'2 [a' -+- a 'r (1 — a)].

(17, 23)

Из выражения (17, 23) получаем предельно возможное положитель-
ное значение а'

,	% (1 — a)

a9k =	2

O2<2

(17, 24)

На основании выражения (17, 24) значение критического активного

сопротивления г,* в рассматриваемом случае равно:

' sk (1 — о)	с*)2

или

x<f(l— °)
r*fc== 2

(17, 25)

В первом приближении при значениях	(что обычно имеет

место при работе асинхронной машины)

(1 — a) xd
2

2<*Г — аа>
2ш®
Для ориентировочных расчетов при обычных значениях <ог, близ-
ких к единице, и можно пользоваться формулой

xd~xd

(17, 27)

При значениях больших, чем rfb самовозбуждение машины, не-
зависимо от величины приключенной параллельно емкости, невозможно.

Собственные частоты s2 при заданном г9 на основании уравне-
ния (17,21) будут равны:

—(0гаг (1 — °) — С1 “ °)2 ~ 4ав°2а г [%	4	°)]

2 [%+ <(!-«)]

(17, 28)

Учитывая, что, как правило, а'; а'; а<^1, имеем при а>г^а', т. е.
при нормальных условиях работы и при обычных соотношениях пара-
метров,

<(1-0

xdsk С1 ““ °)

r*-*-x'ds* С1 —О

(17,29)

CDr (1 — О)

<*rxd (! — °)

Соответствующие предельные значения емкостных сопротивлений
х«х, будут равны:

“У/ (1 - °)2 + ’ I?, x’d*k (1 - °)]2

Хс2~

<i*sk rs 1 g3>~!	о>2 (1 —

- «г (1 - а) хИ О3Г2 _ ш2 (1 _ О)2^2а

(17,30)

Самовозбуждение машины возможно при емкостных сопротивлениях
хе9 находящихся в пределах

Xci <х6^ Хс2,

(17, 31)

где х91 и хе2 определяются по формулам (17, 30).

Численный пример. Определим предельные значения емкостных сопротивлений
-П?1, хС2, при которых возможно самовозбуждение асинхронной машины с одной обмот-
кой на роторе, работающей параллельно с емкостью при следующих параметрах
машины:

Имеем:

xd = 3.0; л4=0.18; sfc=0.08; шг = 0.97; га = 0.02.

9 и.и^
а*“0.18

0.02

xd

= 0.111; 0 =------= 0.06.

хл

По формулам (17, 29):

«1 — —0.97

0.08 (1 — 0.06)

0.111-+-0.08 (1—0.06)“

0.08 • 0.062 • 0.111	.........

п = — 0.97 (1 _ 0 06) = —0.35 • 10- .
По формулам (17, 20):

0.3922 ч-0.06 • 0.082

Хзх1 — 0.18 0 3922 ч- 0.062 • 0.082	018	х*>

__	0.352.10-8-4-0.06 - 0.082

*•«2 — 0-18 0 35 . Ю-8-4-0.062 • 0.082 ^З.О^х^

По формулам (17,15):

Хе1 = (0.97 — 0.392)2.0.18 = 0.060;

хе2^0.972 -3.0 = 2.820;

0.060 < хс < 2.820.

Частота токов в статоре при xc = xci

о>1 = 0.97 — 0.392 = 0.578
и при Xc = Xf2

(02^? 0.97.

Критическое активное сопротивление rS]c в цепи статора по выражению (17, 25}

3.0 (1 — 0.06) г /____________________1

гвк =-----1 [V0.972 ч- (0.06 • 0.08)2 _ 0.06 • 0.08]

3.0(1 — 0.06)

2

0.97 = 1.368.

в) Влияние насыщения магнитной цепи машины

При значениях хс, находящихся в диапазоне, соответствующем само-
возбуждению, токи будут увеличиваться до тех пор, пока насыщение
в машине не изменит сопротивления машины так, чтобы начало коор-
динат попало на частотную характеристику iL=f(s).

Для учета насыщения необходимо иметь семейство частотных харак-
теристик i,=f(s) с внутренним напряжением, соответствующим магнит-
ному потоку в машине, в качестве параметра. При заданном хе необ-
ходимо найти ту из частотных характеристик имеющегося семейства,
для которой начало координат попадает на частотную характеристику

=/($). Это значит, что нужно взять из имеющегося семейства ча-
стотных характеристик ту, для которой

Х8х (®)иасыщ. = (шг Ч- s)2 •

х {SX	=—ГЛ—	(17,33)

Лвг '''насыщ. <ог Ч- s *

Для определения установившегося режима самовозбуждения строим
в функции от s семейство характеристик x99(s)=f(s) и xgr(s)=f(s)
с показателем насыщения в качестве параметра. Построив в функции

Хс	г9

s кривые	и "(о" ч- s 1 находим значение параметра насыщения,

при котором условия (17,32), (17,33) одновременно соблюдаются.

В качестве параметра, характеризующего насыщение в машине,
должно быть выбрано „напряжение за реактивностью Потье". Реактив-
ность Потье хр д\я асинхронной машины в первом приближении равна
x"d поэтому напряжение за реактивностью Потье равно с учетом ча-
стоты токов в статоре при самовозбуждении:

ер =	е,т	’«т [— ("г -+- ») x'd sin <f r, C°S <р] } 2 Н-

'«т [("г s) xd cos ? r, sin f]2’	(17> 34)

Здесь e^n — амплитуда напряжения на клеммах машины;

4m — амплитуда тока в машине.

На пределе самовозбуждения

ir = 1Я -+- z’ = 0; z’_ = —z*
h в С ’ t	с

и, следовательно,

(17,35)

Поэтому	___________________________

ef = V[e«m — »,m (“г s) xd]2 '2mr!-	<17> Зб)

Учитывая, что

f*m = fem =	(->г	»),	(17, 37)

имеем для машины, включенной на емкость.

(17,38)

Зная из пересечения частотных характеристик величины ер и $, опре-
деляем напряжение е9т по формуле (17,38) и ток i8m по формуле (17, 37).
Если параллельно емкости приключена нагрузка с параметрами гв, хе,

«	хс

то порядок расчета сохраняется с заменой величины ---------------

на,

хс

| [ —]’гв	(<ог -+- $) жв]. Соответственно меняются формулы (17, 32)—

(17,38). Если асинхронный двигатель с параллельно включенной ем-
костью включен на сеть соизмеримой мощностью с параметрами гв, х8

то напряжение питания мало влияет на уровень насыщения при само-
возбуждении. Может потребоваться учет изменения скольжения ротора
от увеличения нагрузки и уменьшения реактивностей машины (путем
последовательных приближений). Если сеть бесконечно мощная, то са-
мовозбуждение при параллельно включенной емкости невозможно.

3.	САМОВОЗБУЖДЕНИЕ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРИ РАБОТЕ С ЕМКОСТЬЮ
а) Параллельное соединение машины с емкостью,

(общий случай)

При параллельном соединении синхронной машины, работающей на
последовательно включенное сопротивление гв, х€, с емкостью, при
рабочем угле машины 8 и внутренней э. д. с., равной уравнение
(17,2) будет иметь вид:

1	(e>me“yl -£,) = [г, + (р + ]) *8 (р)] i8 -+-(₽-*- ;) У 9 (р) С	(17,39)

Ток i9 будет равен:

[г, -+- (р — j) х9 (р)] [е9т sin Ъч-j (евт cos 8 — Е)] — (р j) у, (р) X

. X [g>m sin ь — j (е9т cos b — Е)]., (17, 40>
где (параметры внешнего сопротивления включены в параметры машины)
D = (р2 ч-1) Xd (р) xq (р) + р (р) ч- xt (р)] г, ч- г2,.	(17, 41)

Ток ie будет равен:

~ e^~Jt •	(17,42)

Подставляя p—js и приравнивая реальную и мнимую части результи-
рующего тока Zx = ft-w*e нулю, получаем предельные условия для

самовозбуждения

(г. Чг - Sitr) sin 5	- sidX)

Е \ cos ч-sin §Dr
cos о — ---) =-------------------

k	Ctm!	xc

(14-s);

cos §Dr — sin Шд.

— si । sin о =---------------------

xc

(17, 43}



(1-bs).

Здесь

1 ..1

xd (JS) “ ]ldr', Xq (js) ~	I'**

D (js) = Dx-+-jDr.

Величины Dx и D„ согласно (17,41), равны:

Dx П s) (*dx*qx *driqr) S(jdr \r) ra r«5

(17,44)

(17, 45)

Уравнения (17,43) в общем случае нужно решить относительно соб-
ственной частоты $ и предельного емкостного сопротивления хе.

Ввиду того что величины idr, iqr, idx, iqx являются функциями от s,
уравнениям (17,43) в общем случае удовлетворяет совокупнрсть дис-
кретных частот, каждая из которых соответствует предельному случаю
самовозбуждения машины.

Для исключения величины хе из системы уравнений (17,43) проще
всего разделить одно уравнение на другое.

Получаем уравнение для определения величины $:

F (s) = Qr, ч— iir — Sfgr) sin 8 ч- (iqx — sidlc) (cos 8 —	J (cos 80, — sin 80,) -

~ [(r« Z«r “ sidr) ( cos 8 ~	- (*^~ siiX) sin 8 ] (cos 8D. sin 8Dr) = °* <17’ 46>

Построив зависимость F(s) в функции от s, находим соответствую-
щие значения корней /7(s) = 0, равные ... sn.

Предельные значения емкостных сопротивлений хе19 . х<я по-
лучаем подстановкой полученных значений s в любое из уравне-
ний (17,43).

Рассмотрим, например, случай, когда синхронная машина работает
вхолостую, т. е. угол 8 = 0.

В этом случае
/	Е \ D»

к1 -	С1 - *):

(	Е \ Dr	\	>

(«-. \г ~	(1 -	<Х -*-*>•
Из выражений (17,47) имеем уравнение для определения

откуда

F (s) = [(1 - s2) (idxiqX - idriqr) - s (idr -i- iqr) rt 4- r2] (fjr - sidx) -

~ s C’d. Q (r«	*’,r - Sidr) = °-	<17’ 49>

Уравнение (17,49) может быть решено относительно а графически,
если заданы параметры. Значения $i, s2, .. • sn получаются как корни
уравнения F(s) — Q.

Зная s2 • • •	— собственные частоты колебаний, определяем пре-

дельные значения емкостного сопротивления хе, равные

Хсп ==

% fl

(П, 50}

Е

При — = 1 и хс -> со i9 = 0 и ie — 0. В этом случае условие iL — 0, из
которого получено выражение (17,41), соблюдается без самовозбу-
ждения.

Величина критического сопротивления r9lc, при котором невозможно
самовозбуждение, определяется из условия нахождения предельных
значений коэффициентов уравнения (17,49), при которых еще имеется
один реальный корень в выражении 77’(s) = 0.

Для определения критического сопротивления г91е в общем случае,
когда F(s) задано уравнением (17,49), строим семейство кривых F(s)
в функции от s при различных значениях г9 в качестве параметра. Па-
раметр кривой F(s), которая касается оси абсцисс в одной точке, будет
равен величине г9%.

Если величина хе задана и требуется рассмотреть самовозбуждение
с учетом насыщения, то нужно иметь семейство частотных характе-
ристик в функции внутреннего напряжения машины, соответствующего
магнитному потоку внутри машинь! ix = if-+-Ze =/(«),
где при

U = { г, [£ sin В -4- j (евт — E cos В)] — [xrf (js) — sxq (js)]	-4- (1 — s) x, ( js) etm •+•

-4- (1 s) y8 (js) etme’728 }/D (js),

(17,51)

----

Xc

(17, 52)

Величина D(js) определяется по формулам (17,44), (17,45). Самовоз-
буждение перейдет в установившийся режим, когда в- соответствии
с возрастающим в машине напряжением за реактивностью Потье над-
лежащая частотная характеристика из имеющегося семейства iL ~f (s)
пройдет через начало координат.

Напряжение за реактивностью Потье равно:

ер = \/{е,т f»m [—(o>r-*-s) Xf sin <?-br cos ?]) 2 Н- f2OT [(ю,Ч- s)xpCOS<f> — rsinf]2 ’ (17, 53)
Если имеется нагрузка, приключенная параллельно емкости, либо
машина работает на сеть соизмеримой мощности, то формула (17,42)
заменяется аналогично случаю параллельного соединения асинхронной
машины с емкостью. При работе на сеть рабочий угол уточняется
последовательными приближениями.

б) Работа синхронной машины на мощную сеть через
последовательно включенную емкость

При последовательном соединении синхронной машины с мощной
сетью через емкость уравнение (17,1) имеет вид:

j (e,me~JS — £) = [/, -*- pX^.j (р Л х, (р)J	(р -* Л У* (р) С, ♦ <17» 54)

Ток i, в этом случае равен:

{[хв г, ( р — j) -+- (р — /)2 хв (р) ] (eame~у8

(р2 1) У» (p)(eems^s—Е)} (1 ~ь jp)j*	(yj, 55j

где

А (р) — (ztxz*tx —	(р — j);

zts (р) = Хе Г, (р -ьj) -+- (р -+- j)2 Хв (р);	(17,56)

w (р) = (р2 + 1) У« (р)-

Знаменатель А (р) в развернутом виде равен:

<4 (р) = (р2	1)2*<г (р) хя (р) -+- 2р [хс -+- (р2 -+- 1)х,(р)] rt -+- (р2 -+-1) г2 -+- х2 = 0. (17,57)

Частотная характеристика zL (Js) при et=Jetm е_ 8 будет равна:

(1 — s2)2 Xd (js) х (js) ч- 2js [x ч- (1 — s2) x (js) ] r 4- (1 —s2) r24-x2
zL(js)----------2-p-5----------—------------?---; , - -g ,------ . (17,58)

(1—s) j[x« — (1 — s)2Xe (js) — j (1 — s) r,] (1 — -— ey8 I -+-
V.	\ csm /

-t- (1 — s2) g, (js) (e/28 —	s'8)} .

Находя условия, при которых частотная характеристика zL(js) будет
проходить через начало координат, получаем предельные значения х„
соответствующие самовозбуждению, и собственные частоты (включая
$ = 0) при самовозбуждении. Определяя условия, при которых име-
ется только одна предельная собственная частота самовозбуждения,
находим критическое активное сопротивление в цепи статора гл, при
котором еще возможно самовозбуждение. При активном сопротивлении
в цепи статора r9^>rtk самовозбуждение уже невозможно независимо
от величины включенного емкостного сопротивления х9.

Насыщение учитываем так же, как и в рассмотренных ранее слу-
чаях. Строится семейство характеристик zL(js) с напряжением за реак-
тивностью Потье ер, характеризующим насыщение, в качестве пара-
метра. Токи при самовозбуждении при заданном х9 будут изменяться
до тех пор, пока напряжение ер не изменится настолько, что х9 будет
соответствовать предельному значению по частотной характеристике,
имеющей своим параметром указанное значение величины ер.
в) Работа изолированной синхронной машины, несущей нагрузку
при наличии емкости в цепи статора

Наиболее просто могут быть рассмотрены случаи работы изолирован-
ной синхронной машины на емкость.

Если, например, емкость присоединена параллельно нагрузке ге, хе,
то имеем уравнение:

(17, 59)

Строя частотную характеристику для

zL(]s)=~—
* L

(17, 60)

и находя условия прохождения этой характеристики через начало
координат (аналитически или графически), получаем искомые пре-
дельные значения соответствующие самовозбуждению, и соб-
ственные частоты $. Величина критического сопротивления rgfc, как и
в предыдущих рассмотрениях, определяется условием, чтобы уравне-
нию zL(js) = 0 удовлетворяла только одна предельная частота.

Учет насыщения, как и в других случаях соединения с емкостью,
производится путем использования соответствующего семейства частот-
ных характеристик с величиной ер в качестве параметра.

При последовательном соединении с емкостью изолированной син-
хронной машины, несущей нагрузку гв, хе, можно использовать урав-
нение (17,54) подставив е8т = 0 и включив параметры ге и хе в пара-
метры машину, вместо рассмотрения, представленного на стр. 461—463.

Величина zL(js) в этом случае, по аналогии с (17,58) будет равна:

(1 — $2)2 xdt (js) xgf (js) -ь 2js [x, -4— (1 — s)2 xit (js)] r8t -+-

^0’)-	(1-s)[xe-Д1-s)rj •	(17,61)

Дополнительные индексы t при обозначении сопротивлений в уравне-
нии (17,61) указывают на включение в сопротивление машины соот-
ветствующего внешнего сопротивления

г . = г г • х,. (js) = х, (js) -+-х	(17, 62)

st з е> at ' a ' e	'

И T. Д.

Предельные условия самовозбуждения определяются из условия
zl(Js) = 0. Методы расчета те же, что и в рассмотренных выше слу-
чаях.

Как видим из изложенного, применение методов рассмотрения
электрической системы, содержащей вращающиеся машины, представ-
ленных в главе 9, позволяет сравнительно просто решать весьма слож-
ные вопросы работы машины переменного тока на емкость.
4. РАСЧЕТ ФАЗОВЫХ ТОКОВ В СТАТОРЕ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ В СЕТЬ ЧЕРЕЗ ЕМКОСТЬ (ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР)

Параметры электрической системы и расчетные формулы представлены в главе 9,
стр, 226.

Включение в сеть производится в момент, когда напряжение в фазе а* соответ-
ствует углу 7ао = 2О°,

еа = cos (t ч- 20°),

i _в	JO OS н-0.040) |

i» —e.|	D(p)	lj,	e, — s

D (p) * 0.3 {P3 H- (0.1 -t- j2.O5) p2 4- (0.4 -i- j0.2) p -+- (—0.04 н-j0.025)}.

Определяем корни уравнения D (р) = 0. Для определения первого корня пользуемся
методом последовательного приближения Ньютона. Задаемся приближенным значе*

статора асинхронной машины, включаемой
в сеть через емкость.

xd = xq = 0.75; xd = 0.3; хс = 0.45;	=

= 0.1; <ог = 0.95.

нием pi о корня pi, определяем уточнен-
ное значение по формуле

D fpio)

Ри ~ Рю — Г<7Р(р)-|	и т. д.

L dp

Примем за первое приближение коэф-
фициент при р2 с обратным знаком

Рао = —0.1 — j'2.05,

dD(p)
dp

= 0.3 [Зр2 ч- (0.2 -ь /4.Ю) р ч-

ч-0.4 ч-7’0.2];

Ри —0.1 — j‘2.05 —

—(0.4 ч. 70.2МОЛ ч- 7*2.05) ч^

-+-(—0.04 ч-7*0.025)

3 (ОД ч 72.05)2 - (0.2 ч- 7*4.10)
X (0.1 ч- 7'2.05) ч- 0.4 ч /0.2

X ~

= —0.1 — 7*2.05 —

0.330—Ю.815

— —3.793 4-7'0.61 =0.0185—7*2.246.

Находя вышеизложенным методом
следующие приближения, получим:

рх^—0.016 —7’2.22.

Для проверки правильности получен-
ного решения воспользуемся связью кор-
ней с коэффициентами полинома

откуда

—(pi -+- Ра Рз) = 0-1 -* /2.05,

Р2 ч- рз = —0.084 ч- 7*0.17,

(Р2 ч- Рз> Р! ч- Р2РЗ = 0.4 ч- 7*0.2,

Р1Р2РЗ = —(—0.04 ч- 7’0.025).

Разделив D (р) на р — pj=»p — [—0.016—7*2.22J, найдем квадратное уравнение
для определения р2 и р$:

р2 ч- (0.084 — 7*0.176) р ч- (0.007 ч- 7*ОЛ16) = 0.
Получаем следующие приближенные выражения корней р2 и Рз'

р2 0.041 — /0.06; рз —0.125 -+- /0.23.

Производим проверку получившихся коэффициентов полинома D (р)

—(pi -+- Р2	рз)=0Л + /2.05;

Р1Р2 Р2РЗ	РЗР1 — 0.3842	/0.2007 вместо 0.4 + /0.2;

—Р1Р2Р3=== 0.0374 — /0.0195 вместо 0.04 — /0.025.

Полученная точность для практических целей достаточна.

Зная корни, нетрудно определить составляющие комплекса тока ie в функции вре-
мени, пользуясь теоремой разложения

.  ./0.08/ f _______1________1 

“° — 6	\ Ad(jO.Q5) - jxj ~

_ .70.05/1______________j0.05-b0.04______________j	/(0.05/—0.116).

— e	j jO.3(/Q.O5 +- 0.1) - j0.45 (/0.05	0.04) J ~

e/0.08< Г (Pl J-) H- j0.05 4- 0.04)	]

181 - 0.3 L Pi [(Pi — P2) (Pi — Рз)1 J~

= 0 750e^°-05/e~0-016/+^(1-518—2.22/).

е/0.05/ Г	jO 05 -4- 0 04) E?2* 1 Л 07л /0.05/ 0.041/4-/(1.882—0.©6/).

If2== 0.3 L P2[(P2-P3)(P2-P1)J	J ’

+ Zai 4-	===

Для определения фазных токов умножаем полученные комплексы токов на коэф-
фициенты	== £/(0.95/4-0.349) и отделяем реальные части.

Получаем следующие выражения для составляющих тока в фазе а:

i«o =₽® 4.525 cos (г -4-13°20'),

/Л1 = О.75О£-°-0Ш cos (107°00' — 1.22г),

f«2 = 4.879е°’04П cos (127°51' -ь 0.94г),

гяз = —5.731е”сл25 cos (78°10' -ь 1.23г).

Соответствующие кривые токов в функции времени изображены на рис. 17-1.

Как видим, одна из составляющих ia2 со временем нарастает, а не затухает.
Это значит, что система самовозбуждается с частотой 0.94 от номинальной. Предел
нарастанию тока будет положен изменением параметров вследствие магнитного насы-
щения и влиянием омического сопротивления в цепи статора, которым мы прене-
брегли. Кроме того, при самовозбуждении в силу изменения потерь может измениться
скорость вращения двигателя.
ГЛАВА 18

РАСЧЕТ ПАРАМЕТРОВ МАШИН ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
И ОСОБЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ КРУПНЫХ СИНХРОННЫХ
МАШИН

1. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАСЧЕТА ПАРАМЕТРОВ МАШИН
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА

а) Общие замечания

Приводим без вывода важнейшие формулы для расчета параметров

машины переменного тока.

Формулы выражены через отношение

AS
В,

(где AS—линейная на-

грузка машины и — максимальная индукция по первой гармони-
ческой в зазоре машины), поскольку AS и В5 характеризуют исполь-

зование материалов в машине и примерно известны для каждого типа

машин.

Формулы получены соответствующей переработкой формул для
расчета параметров, принятых в практике проектирования электри-
ческих машин, в первую очередь в практике завода „Электросила"
им. С. М. Кирова.

Формулы соответствуют следующим условиям:

1)	число фаз в статоре —3;

2)	обмотка статора — двухслойная, корзиночного типа;

3)	номинальная частота токов в статоре — 50 пер./сек.;

4)	формулы относяФся к машинам средней и большой мощности;

5)	все параметры выражены в относительных единицах.

б)	Связь параметров машины с использованием материалов
в машине

Использование материалов в машине характеризуется постоянной С
в уравнении

P =	(18,1)

где Р—номинальная кажущаяся мощность машины в Мва (тыся-
чах ква);

D — диаметр расточки статора в м;

L — длина статора в м;

п — об./мин.
Постоянная использования С равна:

С—\3 lOO^zAv 1000 1000 ~1,1 100 10000 •	(18, 2)

Здесь /=50— номинальная частота в пер./сек.;

^1.11—коэффициент формы синусоидального поля;

kw — обмоточный коэффициент обмотки статора.

При числе пазов статора на полюс и фазу д, равном целому числу,
обмоточный коэффициент равен:

{	7U\	1	3

*„= (sin? 2-)------ V	(18, 3)

где Р — сокращение шага обмотки статора, выраженное в долях полюс-
ного деления т;

Kp = sinp-^--обмоточный коэффициент сокращения шага.

При числе пазов статора на полюс и фазу </, равном дробному
числу,

<7 = 6-ь^;	(18,4)

обмоточный коэффициент kw равен:

ка = (sin Р у)--Ц;— .	(18, 5)

2’rfsin6^rf

Линейная нагрузка AS в ампервитках на см равна

AS =

6^гф
kD • 100

(18, 6)

где w — число последовательно соединенных витков в фазовой обмотке
статора;

— номинальный фазовый ток статора в а;

D — диаметр расточки статора в м.

Максимальная индукция в зазоре по первой гармонической потоко-
сцеплений в гауссах равна:
р
где Фх — первая гармоническая потокосцеплений статора в максвел-
лах
_	108	0.45 • 106

Ф1“4 •/кf/wkau^ wk„ °Ф;	<18’$

т — полюсное деление в см
itD • 100
2Р

т =

(18,9)
р— число пар полюсов;

Пф — номинальное фазовое напряжение статора в вольтах;

Zf = L*100 — полная длина активного железа статора, включая венти-
ляционные каналы, в см.

Базовое сопротивление машины 2Н в омах равно:

О _	_1 до (^_\Ъ к Т 2L_—

гф —1Л2 \100j	1000 AS —

__ 4.244 ( w \2 , Въ	4.05 t ( w \« „ Въ

р (.100 J kwLAS	р Л3\100/ L AS'	(18.10)

где коэффициент 4.244=

L — полная активная длина железа статора, включая вентиляционные
каналы, в м.

Величины параметров г, х в относительных единицах получаются
делением значения этих параметров в омах на величину 2*.

в) Параметры асинхронных машин в относительных единицах
(ненасыщенные значения)

1) Реактивность взаимоиндукции обмоток статора и ротора хт
асинхронной машины равна:

.AS
хт *== 0.564&W	V »

(18,11)

где -ц — отношение „идеальной" длины активного железа статора
к полной. Идеальная длина активного железа /,• несколько
больше „чистой" длины активного железа (равной полной
длине lf за вычетом общей ширины радиальных вентиляцион-
ных каналов) за счет краевого выпучивания магнитных сило-
вых линий в зазоре на краях вентиляционных каналов.

Обычно 0.98 зС -jy < 1.0.

S'— эффективный междужелезный зазор в см, с учетом увеличе-
ния зазора вследствие зубчатости статора и ротора

(18,12)

где для асинхронных машин

бч-ЮП fr + lOB .
t9 — bg -fr- ЮЬ tr br Юб *

(18,13)

t9 — ширина зубцового деления статора в см;

Ь8 — ширина паза статора в см;

Ьг — то же для ротора.

Коэффициент 0.564 =

4

5 V2


2) Реактивность рассеяния обмотки статора равна:

	1.86 1, AS	/ 1 V	₽ —5/в  х‘~ krf lt Въ \ »ч-М','л»Лз.8<7/	75	~  __ 1-95 AS	0JOT	Р-5/6	...  ~ qk? " ВЪ (Х«	Хт 75	'	(18,14)

Здесь — эквивалентная проводимось для потокосцеплений рассеяния
в пазах статора. При 2/3 р 1

	0
где	Wie)

h =

i

*о

(А) — объем тока в пазу на высоте h (отсчитываемой от дна
паза) в долях всего объема тока в пазу;

Ао— общая высота паза;

bk— ширина паза, являющаяся в общем случае функцией пере-
менной величины А.

38-1-1

Коэффициент — учитывает сдвиг фаз токов двух стержней,
уложенных в паз, при сокращении шага обмотки, равном р.

Если, например, jh = const = 1 и AA = const = A, то

Г

J Ь ~ Ъ *
о

= 6л = 6).

(18,17)

Если уА=Д- и Ай == const = 6

Л®

Г .2 dh Лр .

Р* 6*	36 '

то

(18,18)

/ h ,	,\

V*=AP 6л = 6)

и т. д.

Результаты вычисления при различных формах паза и различном
распределении токов в пазу изложены во многих руководствах, на-
пример, [1А-28]. В заводской практике пользуются формулами для
расчета (рис. 184 и 18-2).

— эквивалентная проводимость для потокосцеплений рассеяния в ло-
бовых частях статора

\ 1.15

(33-1)дт	„(Зр-1) дг

4	4

(18,19)

«— отношение „чистой" длины активного железа статора 18 (с уче-
том краевого выпучивания магнитных силовых линий потоко-
сцеплений пазового рассеяния в радиальные вентиляционные
каналы) к полной длине включая ширину радиальных кана-
лов.
а)	двухслойная обмотка

. Г (Нх Л3-4-А4-4-А.Д3^1 нх Л21
П“1\26,Л Ьп ) 4 -b66w“t’46j;

3(3 ч-1 Л,ч-2.5(Л4-4-Л<)

~ 4	1.92 + Ьп

б)	однослойная обмотка

ГН Л3н-А4-<-Л,-1	Л^н-2.5 (Л4н-лв)

L36»"*' b„ J— 1.92-ь6в г

а)	двухслойная обмотка

_Г7^1	А3 2А4	6«\3{3-ь1	Нг А2 ~|

1_\26»	Ьп	Ь„ -+- 6,	bJ 4	ЬЪп ‘+‘ 46в J

3(3-ь 1 Л.-+-4.25 (А4ч-Л,)

4	1.926,

б)	однослойная обмотка

Г Н	А3 2А4	Лл-| А.-ь4.25(А4н-А,)

” “ 1_36,	Ь„	Ьп -+- b,	b, J %	1.926,

а)	двухслойная обмотка

1	_ Г А1  ________Л2 . v

L 6 (а -ь 6)	6 (6 н- rf)	4 А

/ А, А» \“| 38 -+-1
х(ет*Й^°-785).Ь 4 ><

Г 2Я Л, П

б)	однослойная обмотка (//=^14-^2)

Х» = ГГ	°-7851

L3(aHHtf)	ba	J

4 Овальный паз

а)	двухслойная обмотка
л Г	Л1

x»=L°-05-,-6i6^
у(-	Ч_/Д,

Х \6н-^2	6.

Г 2Н

Л2

dx) ^(b-t-dz'T 4

-+- 0.785)] ^3-^Х

А» „ „Я

б)	однослойная обмотка

, Г 2Н ha п П
Х"~ [з (<4 rf2) “* Ьа °-84 J

Рис. 18-1. Формулы для расчета проводимости потока рассеяния в пазах различ-
ной формы при двухслойной и однослойной обмотках.
1 Паз с параллельными
стенками

2 Круглый паз

Хя = (о.бб ч—

Примечание. Формула поз. 2 применяется также и для вычис-
ления проводимости Xnd круглого паза верхней клетки ротора
с двумя клетками

3 Овальный паз

1 (п “ 2h h>\
(о.бб ч-3 (rfi Ч-

4

ПАЗЫ НИЖНЕЙ КЛЕТКИ РОТОРА С ДВУМЯ КЛЕТКАМИ

а)	нормальное расположение пазов

Прямоугольный паз

б)	шахматное расположение пазов

, ________________(hp h0 ^«\

b0^b"J

5 Круглый паз

6 Овальный паз

а) нормальное расположение пазов

Хяе=(о.6б Ч--^)
б) шахматное расположение пазов
л / Ло h9 \
^-(о-ббч-бдЧ-^)

а) нормальное расположение пазов

/	2h ho\

К0-66 + 3 (del ч- de2) bj
б) шахматное расположение пазов

/	2Л Ло А«

К, — ^0.66 ч- з	б0

Рис. 18-2. Формулы для расчета проводимости потока рассеяния в пазах коротко-
замкнутого ротора машины, имеющих шлицы.
Обычно

l8 h + lt
h 2lt

^0.99 4-1.00.

(18, 20)

Третий член формулы (18,14), обратно пропорциональный <?2,
является составляющей дифференциального рассеяния по головкам
зубцов.

Последний член формулы (18,14) относится к дифференциальному
рассеянию, которое вызвано несинусоидальностью распределения м. д. с.
статорной обмотки вследствие наличия фазовых зон и сокращения
шага обмотки.

Формула (18,14) может быть представлена в виде:

X, «=

1.86 I,
kwq Ц



AS

В, '

(18,21)

у/о

Коэффициент 1.86 = 0.8я2 “ .

3)	Реактивность рассеяния обмотки ротора равна:
при фазном роторе с контактными кольцами:

Xr<j

1.86

O.467tgr"l АУ

Ir Jfig

__( 1.86 [ ka \1г Г 0.4б7тдг~|

— Xk^Xkvr jit LV‘*‘ Ir J
и T Г/ 1 \2	“11 AS

ч-056Ои77¥[(щ-) 4-0.0022^^;

(18,22)

при короткозамкнутом роторе:

= 11.Щ, ц %

«г ПАУ 1t2 Zr р2

lOn/rpJ Bs +Xm 3 * It '22 —

T Zr”l T AS
"*"16^4 7J4"1,86 kuhfy*

(18, 23)

Здесь lr — длина ротора, аналогичная Ц и почти равная пол-
ной длине ротора, включая ширину радиальных
вентиляционных каналов в роторе;

zr — число пазов ротора;
л

— эквивалентная проводимость пазового рассеяния

= {ll.l^-[\r

ротора — вычисляется по геометрическим размерам
и распределению токов в пазу ротора, аналогично
пазу статора (рис. 18-2).

Для двухслойной обмотки ротора с диаметральным шагом и корот-
козамкнутого ротора в формулу для нужно подставлять значение
₽=1.
kwr— обмоточный коэффициент обмотки фазного ротора;

qr — число пазов обмотки ротора на полюс и фазу.

4)	Омическое сопротивление обмотки статора (при 75° С и но-
минальной частоте 50 гц, определяющей базовое сопротивление) равно:

(18, 24)

6р AS Г______длина полувитка в см____

r*c kwlt В$ LnoAHoe сечение меди статора в см1 2

5)	Омическое сопротивление обмотки ротора (при 75° С и номи-
нальной частоте 50 гц) равно:

при фазном роторе с контактными кольцами:

6 / kw \ р AS Г____длина полувитка в см____

Гг kwr \kwr) h В$ L полное сечение меди ротора в см2

при короткозамкнутом роторе:
_______________________________длина стержня в см______
ст. сечение стержней на один полюс в см2

т 0*314 диаметр кольца в см
к Р X (сечение кольца в см2)

(18,25)

(18, 26)

где Сет. и Ск — кратности удельного сопротивления стержней и колец

по отношению к удельному сопротивлению меди.

В ряде случаев короткозамкнутый ротор асинхронной машины имеет
две короткозамкнутых клетки. В этом случае надлежит определять
реактивности рассеяния обеих клеток и реактивность взаимоиндукции
между клетками. Соответствующие формулы для реактивностей, выра-

женные в омах, приведены но многих руководствах по проектированию
электрических машин. Пользуясь формулой (18,10), устанавливающей
AS

связь между базовым сопротивлением 2Н и отношением , нетрудно

получить соответствующие реактивности в относительных единицах,
AS

выраженные через отношение

г) Параметры синхронных машин в относительных единицах
(ненасыщенные значения)

1) Реактивность взаимоиндукции обмотки статора и обмотки
возбуждения по продольной оси ротора явнополюсной машины равна:



(18, 27)

где хт определяется выражением

Здесь

л	л	ASaix .

—0.564£«, ц в* 2 у «О.885&* в*

ЗЦ+1Г

(18, 28)

(18, 29)

где 1Г — длина полюсного башмака.
Отношение , как правило, близко к единице.
— коэффициент „идеальной" полюсной дуги

at =	0.65 4- 0.75; -у- 1.02 — 1.17,	(18, 30>

тс
где Ър — ширина полюсной дуги в см;

кл — коэффициент, учитывающий реальное распределение магнитных
силовых линий, проходящих из полюса В зазор, и изменение
коэффициента формы поля к;; [см. формулу (18,2)].

Значения коэффициента кл в функции от	и -у- даны

в табл. 18-1.

Таблица 18-1

Коэффициент потока полюсной дуги ка для расчета величины xaj

'х. вmiD			0.01	0.02	0.03	0.04	0.05
							
	я	1	1.0	1.058	1.088	1.109	1.122	1.132
0.75	° max	J	2.0	1.050	1.071	1.087	1.098	1.100
	bmin	(	3.0	1.039	1.058	1.071	1.073	1.074
	X	1	1.0	1.070	1.105	1.132	1.137	1.160
0.70	° max	I	2.0	1.060	1.090	1.111	1.122	1.127
		3.0	1.051	1.075	1.093	1.098	1.100
	X	1	1.0	1.083	1.125	1.155	1.165	1.190
0.65	°max	1	2.0	1.075	1.111	1.133	1.149	1.155
	Smin	(	3.0	1.063	1.093	1.117	1.122	1.127
	X	1	1.0	1.100	1.145	1.191	1.194	1.218
0.60	° max	J	2.0	1.090	1.130	1.170	1.176	1.185
	bmin	[	3.0	1.078	1.115	1.150	1.151	1.154
	X	(	1.0	1.117	1.170	1.213	1.229	1.253
0.55	° max	J	2.0	1.109	1.152	1.190	1.211	1.218
	$min	[	3.0	1.095	1.140	1.171	1.185	1.188

Коэффициент cd — отношение первых гармонических м. д. с. статора
и обмотки возбуждения с учетом влияния неравномерности междуже-
лезного зазора.

В явнополюсных машинах с отношением а полюсной дуги Ьр к по-
люсному делению т

“ =	(18,31)

коэффициент Q приближенно равен:
при равномерном зазоре под полюсной дугой:

arc ч- sin (arc) .

Cd^ [ 7С\ ’

4sin la тг|

(18, 32)

при зазоре под полюсной дугой, изменяющемся по закону:

cos
где 3$ — зазор по оси полюса

ати -+- sin (сггс)

(18, 34)

В труде акад. М. П. Костенко [1А-28] опубликованы графики для
уточненного определения величины cd (обозначаемой там к^) в функ-
8 пип	Ь ш1п

пии от а т— и —— *
$тах т

В заводской практике величину cd в функции от принимают рав-
ной:

-^=0.5	0.55 0.6	0.65 0.70 0.75 0.80

Са — 0.910 0.897 0.855 0.841 0.826 0.816 0.809

Эквивалентный междужелезный зазор в явнополюсной синхронной
машине рассчитывается по формуле



(18,35)

где расчетный зазор 8, обычно равен:

— $min "+ $ ($max —

(18, 36)

$min — зазор по оси полюса в см;

$тах — зазор на краю полюсного башмака в см.

Коэффициент кС9 учитывающий увеличение эквивалентного воздуш-
ного зазора за счет зубчатости статора и ротора, вычисляется для
явнополюсной синхронной машины по формулам

кл = ке1-кс2‘ксз;

(18, 37)

ке1=я Z1 —бх-blobg ;

^2 +" Ю

т	~4~ 1°

(18, 38)

Коэффициент ке1 учитывает наличие пазов в статоре; коэффи-
циент kc2— наличие радиальных вентиляционных каналов; коэффи-
циент кс3— наличие пазов демпферной системы в роторе. Обозначения
ясны из строения формул (18,38), аналогичных (18,13).

Коэффициент 0.885 для расчета хт в (18, 28) получается как -Д=~- .

5 v2

2) Реактивность взаимоиндукции обмотки статора и роторных
контуров по поперечной оси ротора явнополюсной машины равна:

, (1 -+- Ъ)

Xaq =	--2---хт,	(18, 39)

где хт определяется по выражению (18,28), ке — по выражению (18,37).

Коэффициент с'9 приближенно равен:
при равномерном зазоре под полюсной дугой:

2

9 ЗЯ — sm (arc) -+- -g- cos

4sm la*n

(18, 40>

при зазоре, изменяющемся под полюсной дугой ио закону (18,33);

,	4 З1пз(ау)н-|со8«(«у

Cff 3	arc -+- sin (aw)

(18, 41)

В заводской практике пользуются специальными графиками для
~ » fe (рис. 18-3).
и	и	и min

Од
определения отношения в функции
cd

от

Рис. 18-3. Графики для определения отношения

D	zr

Величина cd при обычных
соотношениях параметров
находится впределах0.5Ч-0.9
со средним значением поряд-
ка 0.6.

3) Реактивность взаи-
моиндукции обмоток ста-
тора и ротора турбогене-
ратора.

а. По продольной оси:

(18, 42)

Для турбогенератора ре-
активность хт с учетом от-
носительно большой вели-
чины междужелезного зазо-
ра 8 равна:

хт = 0.885&J

Ц AS

w It 8'

(18, 43)

где Ц « (Ц 28)—[часть
ширины радиальных вентиля-
ционных каналов]. (18,44)
Отношение

Ц

It

1.0;

(18, 45)







/	8 \

‘^V-'TOOD) (1 — 0.5т).

(18, 46)

Коэффициент в турбогенераторах учитывает уменьшение среднего
сечения для магнитного потока в зазоре по отношению к сечению на
поверхности расточки статора [в формуле (18,46) 8 — в см, диаметр
расточки статора D — в м] и среднее сокращение шага обмотки ротора*
Величина т равна:

7 = -%- = 0.70 Ч- 0.80,
*2

(18, 47)

где z2— число
z\ — число

пазов ротора;

зубцовых делений ротора.

Коэффициент Q для турбогенераторов равен:

тс

(18, 48)

где kwf — обмоточный коэффициент обмотки
ратора

возбуждения турбогене-

2psin

(18, 49)

*2*1П

Эффективный междужелезный зазор 8' в

турбогенераторах равен:

Ь'==М,

(18, 50)

где

кв = кс\ кв% ксз кс±.

(18, 51)

Коэффициент ке1 учитывает наличие пазов
делении и ширине паза Ьг

в статоре. При зубцовом

(5^bQ

*1 (5& + 6J — b\

(18, 52)

Коэффициент учитывает наличие радиальных каналов в статоре.
По той же структуре формулы (18,52)





/2(58-ь62)~6| *

(18, 53)

Коэффициент к& учитывает рифление поверхности бочки ротора
кольцевыми канавками с шагом /3 и шириной канавки 63.



(18, 54)

*з(5$-*-&3)

*з ($$ М

Коэффициент к^ учитывает ступенчатость крайних пакетов актив-

ного железа статора	.	1-- 0 5  Лс4 = 1-+- -	,  V4p.	(18, 55)
где	1 2	•	(18, 56)
1г — длина бочки в см.  б. По поперечной оси:	xaq cqxm\	(18, 57)
где хт определяется по формуле (18,43)

(0.92^0.91) с^

(18, 58)

4)	Реактивность рассеяния статорной обмотки явнополюсной
синхронной машины.

Реактивность рассеяния в пазах статора и в лобовых частях обмотки
статора рассчитывается как для асинхронных машин [см. формулу (18,21)].
Реактивность дифференциального рассеяния по головкам зубцов
в явнополюсной синхронной машине, учитывая относительно большой
междужелезный зазор, равна:

при целом числе пазов на полюс и фазу q;

5

xdt 72

(18, 59)

при дробном числе пазов на полюс и фазу:

__10

xdt — 72

ХаЛ /JA2
cd

0.1046fc«, q )	.

(18, 60)

Реактивность дифференциального рассеяния, вызванного несину-
соидальностью распределения м. д.с. в зазоре, равна:

3	Ц cw AS

xdb=Т х«А=°-66Ч 7Г	В7 •	<18’ 61>

Коэффициент къ учитывает суммарное влияние 5-й, 7-й, 11-й, 13-й
и т. д. гармонических в м. д. с.

Значения коэффициента къ в функции от сокращения шага Р и
числа пазов на полюс и фазу q представлены в табл. 18-2. (Таблица
заимствована из книги М. Лившица „Электрические машины", т. III).

Таблица 18-2

Значения коэффициента fcb=/(₽, q) для расчета дифференциального
рассеяния обмотки статора

\ <7	2	3	4	5	X. я  3 x.	б	7	8	9	10	co
1.0	0.0265	0.0129	0.0082	0.0059	1.0	0.047	0.004	0.0035	0.0032	0.0030	o.qo2o
0.835	0.0205	0.0103	0.0066	0.0050	0.8	0.0025	0.0018	0.0015	0.0012	0.0010	O.obO2
0.66	0.0199	0.009	0.0055	0.0038	0.6	0.0034	0.0030	0.0026	0.0023	0.0022	0.0015

Результирующая реактивность рассеяния обмотки статора х( равна:

при целом, q:
г л	1

1.86 I,	/Зр1\ Г ,2 dh	/3ft — 1\	qx	AS

Xl kuq It	\ 4	/ J J* 6л "	\ 4 /	ls	Bi4"'

L o	J



(18, 62)
или

1,86 Ц
kwq It

h aiT Г f 1 \2	3	“Il AS

^0.0513	- J O.665^J} в;;

(18, 62')

при дробном q

1.86 I8

Xl~~ kwq It

/3g-*-l\ f .2 dh /Зр —1\ <rl AS
\ 4 )] ^ bh^\ 4 )1ЛЬ I, Ba

(18, 63)

или

XI =

1.86 Zt
к«я It

, h Г /1 \8	11 AS

~*~kw It V L0,1046 \q) -bO-665c^Jj 2^" •

(18, 63')

Как видно из представленных выражений, дифференциальное рас-
сеяние, связанное с несинусоидальностью м. д.с. статора и характери-
зуемое коэффициентом £fc<C0.05, в синхронных машинах весьма мало
и в нормальной заводской методике расчета синхронных машин этим
рассеянием пренебрегают.

В асинхронных машинах эта составляющая, как видно из фор-
мулы (18, 21), равна:

_ р-»/6
db~xm qs

При нормальных значениях £ величина xdb также сравнительно
₽-5/б
мала, составляя порядка , однако, как правило, учитывается при
расчете машины.

5)	Реактивность рассеяния статорной обмотки турбогенератора.

Реактивностью дифференциального рассеяния в турбогенераторах
пренебрегают вследствие наличия большого равномерного междужелез-
ного зазора и наличия массива ротора, гасящего поля высших гармо-
нических.

При немагнитных роторных бандажах:

г	Л	т

186 18 /Зр-ь1\г 2dh /Зр —1\	AS

x‘=J^~h \~4~Л	В?-

L	о	□

При магнитных роторных бандажах:

гл	Т

1.86 I, /З3-ь1\ г ,2 dh /Зр —AS
Х‘— k„q If \ 4 /J	4 J1-65 I, Bs'

(18, 64)

(18, 65)
Длину 18 в турбогенераторах принимают равной

tобщая ширина радиальн. вентиляц. каналов”]
$-------------------------------------------J .	(18. 66)

6)	Реактивность рассеяния обмотки возбуждения явнополюсной

машины равна:

аД

4

u Cd

3.2У С

(18, 67)

Здесь кф — коэффициент, учитывающий несинусоидальность
(рис. 18-4). Коэффициент кф близок к единице.

Отношение -р примерно равно:
lr 2(lr + lt)
Ц lr + 3lt ’

поля

(18, 68)

где 1Г — длина полюсного башмака;

Л — проводимость зазора между полюсами для потокосцеплений
рассеяния обмотки возбуждения по заводской методике расчета
равна:

Л 1	2^1	^тЬ	/1 О гп\

А 1,53 2,65 ’	<18’ 69)

где

= ——

— Ьт

0.55

-(J) (Л»-ь2А,н-28)

Хт» = 0.37-^- .

1 т

(18, 70)

(18, 71)

(18, 72)

Здесь ср — расстояние между краями полюсных башмаков, измеренное
по основаниям башмаков в см;

hm — высота полюса без башмака в см;

Ьт — Ширина полюса в см;

Ьр — ширина полюсного башмака в см;

dt— расстояние от ребра основания башмака на крае башмака
до расточки статора, измеренное параллельно оси полюса
в см;

dt == hp ч- а — 0.025 -д-;	(18,73)

hp — высота башмака по реи полюса в см;

8—	междужелезный зазор в см;

D — диаметр расточки статора в м;

ар—ширина выступающей на одну сторону части башмака в см

Ър — Ьщ
ар== 2

, 2ndf

Ср — ъ — Ьр — 2р ;

(18, 74)

(18,75)
/^ — эффективная длина полюса в см, с учетом торцевого выпучива-
ния магнитных силовых линий

(18,76)
т т J1	'	7

где Zw— длина полюса (без торцевых щек) в см;

I/ — толщина щеки полюса в см.

Рис. 18-4. Графики для определения коэффи-
циента формы поля к(р = В X В'#

7)	Реактивность рассеяния обмотки возбуждения турбогенера-
тора равна:

(	2b' 1Г \

— (0.02 -+-	а. т \nf туj xad.	(18, 77)

Здесь q/ — число полюсных катушек возбуждения на один полюс;

z2

qf~ 4р ’

(18, 78)

где z2 — число пазов ротора;

kwf— обмоточный коэффициент распределения обмотки
возбуждения, определяемый по формуле (18,49);
5' — эффективный зазор, определяется по формуле (18, 50);
di— коэффициент эквивалентной полюсной дуги, опреде-
ляется по формуле (18,46);

1Г — длина бочки ротора;

/^ = /*-4-28 — эквивалентная длина для магнитного потока в зазоре
машины;

•V __, hf\ -+- ЗА/2

Knftt—	----пазовая проводимость ротора.

8)	Реактивность рассеяния демпферной системы явнопол^осной
синхронной машины при круглых демпферных стержнях.

По продольной оси:

= 2.83Г1.7 ч-2.8н-4--77-"]-4-,	(18,79)

Яс L	о9% 2ъ It J	'

где q0 — число демпферных стержней на полюс;

Лв2— высота шлица паза демпферной системы;

6g2— ширина шлица паза демпферной системы.

Если пазы демпферной системы закрыты и высота

Лв2<^0.1 см, то эквивалентная ширина шлица равна:

6,2 = 0.76-10-4AS V-,

перемы чки

(18, 80)

где отношение ------есть отношение зубцового шага по пазам демп-

f8

ферной системы к зубцовому шагу по пазам статора.

По поперечной оси: при короткозамкнутых кольцах демпферной
системы

х^О.75^;	(18,81)

при разомкнутой между полюсами демпферной системе
кнуты сегментами)

Xcq

9)	Реактивность рассеяния демпферной
тора.

По продольной оси:

*cd 0.025.

(стержни зам-

(18, 82)

(18, 83)

системы турбогенера*

Обычно величина xcd для турбогенераторов не вычисляется, а не-
посредственно определяется сверхпереходная реактивность

0.025.	(18,84)

По поперечной оси:

Установленной методики расчета величины х", проверенной опы-
том, в заводских расчетах нет. Обычно принимают

Xcq (14-1.5) Xcd-

(18, 85)

Величина х2.принимается в расчетах равной порядка 1.22х"; x"«(l-rl .3) х*.

Реактивности рассеяния демпферных контуров ротора связаны
с влиянием вытеснения тока в массивных частях, которое в свою
очередь зависит от степенй насыщения, поэтому при желательности
уточненных расчетов приходится пользоваться по существу полуэмпи-
рическими зависимостями результирующего кажущегося сопротивле-
ния роторных контуров от скольжения ротора, магнитного потока
в машине и величины токов.

10)	Омическое сопротивление статорной обмотки синхронной
машины определяется так же, как для асинхронной машины [см. фор-
мулу (18,24)].

6р AS Г длина полувитка в см

Г*с kwlt В* L полное сечение меди в см2

(18,86)

11)	Омическое сопротивление обмотки возбуждения. Коэффи-
циент приведения сопротивления обмотки возбуждения к числу витков
статорной обмотки, учитывая одноосность обмотки, равен при трех-
фазной обмотке в статоре:

,	_ 3 / wkw 4

*пр. d 2\Wf то

ет2

2 ^пр. d'

(18, 87)

Здесь множитель введен вследствие преобразования системы диф-
ференциальных уравнения трехфазной машины [см. главу 3, выраже-
ние (3, 20)].

Величина — cd характеризует отношение амплитуд токов в обмотке
статора и в обмотке возбуждения при одинаковых числах эквивалент-
ных витков, учитывая, что потокосцепления взаимоиндукции имеют
место только по первой гармонической распределения индукции
в зазоре машины. Если, например, вся обмотка ротора расположена
4
с шагом т и междужелезный зазор равномерен, то коэффициент ~ cd
равен 1.

В турбогенераторах коэффициент учитывая равномерный зазор,
как следует из формулы (18,48), равен:

4	1

то Cd kwf ’

(18, 88)

где kwf — обмоточный коэффициент обмотки ротора, определяемый по
формуле (18,49).

Значения коэффициента cd для явнополюсной машины представлены
на стр. 477.

Омическое сопротивление обмотки возбуждения в относительных
единицах с учетом выражения (18,87) при 75° С равно:

3pkw / 4	\2 AS Г длина полувитка в см

It \ к С& J B$ L полное сечение меди в см2

(18, 89)

так как в формуле (18,86) полное сечение меди статора относится
к трем фазам, а если взять сечение меди статора на одну фазу, то
вместо множителя 6 в формуле (18,86) должен быть множитель 2.

12)	Омическое сопротивление демпферной системы явнополюсной
синхронной машины по продольной оси полюсов определяется по
формуле аналогично выражению (18, 26), но с учетом неравномерного
распределения потока

kw AS	длина стержня в см

rei==s li LUcT* сечение стержней на один полюс в см2



0,2 X диаметр расточки статора в см
р X (сечение кольца в см2)

(18, 90)

Здесь Сет. и Ск — удельные сопротивления материала стержней и
кольца в долях удельного сопротивления меди.

Если стержни выполнены из материала с разными удельными
сопротивлениями Сст. 1 и Сст.2, то нужно заменить величину С<т. на

^от. (Л1 Лг)

1

7Z1	Т12

* Сст,2

где п -4-П2 И п -и п2----относительные числа стержней в демпфер-

ной системе.

Величины Свт.	равны для разных материалов:				
материал	медь	латунь	фосфористая бронза	сплав БАЖМ	сталь
с =	1.0	4.0	8.0	10.5	8.0

13)	Омическое сопротивление демпферной системы явнополюсной
синхронной машины по поперечной оси полюсов.

При наличии короткозамыкающих колец:

k„ AS

длина стержня в см

It Pt LCT- сечение стержней на один полюс в см2

0.4 X (диаметр расточки статора в см)
Р X (сечение кольца в см2)

(18, 91)

Для демпферных обмоток, замкнутых сегментами (разомкнутых
между полюсами):

AS _______________длина стержней в см________

Ц Въ L ст* сечение стержней на один полюс в см8

@ 0.1 X (диаметр расточки статора в см)

*	X (сечение кольца в см2)

(18, 92)

14)	Омическое сопротивление демпферной системы турбогенера-
тора.

По заводской методике это сопротивление обычно не определяется.
Величину Т* принимают в заводских расчетах равной



(18, 93)

Анализ соотношений сопротивлений и постоянных времени в ротор-
ных контурах синхронных машин, в том числе турбогенераторов, дан
в главе 16 при рассмотрении явлений, связанных с гашением поля.

15)	Реактивность Потье синхронных машин.

Для явнополюсных машин:

хр st xt 0.63 (x'd - xt) st 0.&4	(18,94)

Для турбогенераторов:
при немагнитных бандажах

при магнитных бандажах

xP^x"d>

" 1

Xp = Xd-*-

(18, 95)

(18, 96)

Здесь х/л — составляющая реактивности рассеяния обмотки статора,
вызванная рассеянием в лобовых частях обмотки статора.

Как видно из выражения (18,65), при магнитных бандажах

1.86	/ Зр — 1

Х/л kwq It \	4

(18, 97)

16)	Коэффициенты приведения сопротивлений роторных конту-
ров к параметрам статора в синхронной машине.

Коэффициент приведения сопротивлений роторных контуров к пара-
метрам статора в общем случае, при заданной зависимости между-
железного зазора от угла 0 (отсчитываемого от оси полюса), при
относительном сокращении шага роторной обмотки, равном ай = —9
где уе — шаг обмотки, при числе витков обмотки, равном и при
трехфазной обмотке в статоре равен для продольной оси:

^пр. d 2

wkw 4

Wc ТС

(18, 98)

Здесь 80 — междужелезный зазор по оси полюса;

— величина м. д. с., вызванной единичными ампервитками
в роторной обмотке, расположенной по оси полюсов, в точке
зазора, соответствующего углу 0.

Так, для обмотки возбуждения явнополюсной машины^ охватываю-
щей полюсную дугу =

= 1 при

A<d W = Afd(V)

a/it
“2"
С учетом условий (18,99) коэффициент приведения для обмотки
возбуждения явнополюсной синхронной машины равен:

те	"“2

2

f $0

J ~y~cos9<y6
о

Если, например, о^ = 1, т. е. обмотка возбуждения охватывает
все полюсное деление и зазор равномерен, то коэффициент приведения

В турбогенераторах зазор равномерен, но обмотка возбуждения
распределена по периферии ротора, что учитывается обмоточным
коэффициентом kwf.

Для обмотки возбуждения турбогенератора

и

4

(0) = ~ kwf;
►

к	з г w	з г ** ~12

*пр. d	2 L «7 kWf J ; cnp. d 2 L kWf J • )

(18,101)

Для единичного демпферного контура, охватывающего дугу Ье = ъ9ъ
величина ДсД0) равна:

= 1 при

АН9)

0 < 0 <	;

~2~

(18,102)

1“;

аС^

7С — ~2"~ < 0 < те.

Коэффициенты приведения для единичного (на пару полюсов) демп-
ферного контура по продольной оси равны*.

2

, 4

WKw

2

J Y~cos2erf0
о

те
в*Т

J cos 0cZ0
о

cde

(18,103)

2

Г $0

J cos2 0</0

о

[ C0S 8°^

о
При равномерном зазоре под полюсом

^пр. d 2р

тс	”12

Т

JS0

-Л COS2M0

8е

о	_

(18,104)

Если в роторе имеется несколько демпферных контуров, соединен-
ных параллельно, то для определения коэффициента приведения па-
раметров системы к контуру статора нужно знать распределение по
окружности ротора м. д. с. А (6), вызванной токами в демферной си-
стеме. Это распределение можно найти, составив полную эквивалент-
ную схему типа предложенной Ранкиным [3-62], с учетом наличия
взаимоиндукции между всеми демпферными контурами. Часто решение
задачи упрощают, задаваясь приближенным характером распределения
токов в демпферной системе. Это распределение находят, исходя из
закона постоянства потокосцеплений, считая, что токи в демпферной
системе распределяются таким образом, чтобы не пропустить потоко-
сцеплений, созданных синусоидально распределенной м.д.с. статора.
Как следует из такого рассмотрения и как подтверждено опытом, токи
в крайних стержнях демпферной системы получаются значительно
больше, чем в остальных. Токи во всех стержнях демпферной системы,
кроме крайних, отличаются друг от друга не очень значительно. В ряде
расчетов эти токи в первом приближении считают равными.

Если учесть влияние активного сопротивления стержней демпфер-
ной системы, то токи в крайних стержнях демпферной системы пере-
распределятся и будут разными. Методика расчета распределения то-
ков в демпферной системе изложена в ряде работ, см., например,
[14-7, 1Д-13, 3-60 и др.].

Коэффициент приведения knp d для роторных контуров асинхронной
з

машины отличается отсутствием множителя у ПРИ трехфнзной обмотке
Sq 1

ротора и условием ~- = 1.

В этом случае

/ wkw V	/ ka у

^пр. d — \ Wrkwr / ’ ПР- d \ kwr /	(	’ 105)

Коэффициент приведения роторных контуров по поперечной оси

равен:

^Lk
to
Wc

4

7С

2 г So
— sin 0 sin 0</0

7С J 0g
О
тс

2 Г So

v J «7 -^«s(e)sin0£i?0
о

w	4	\2

--~С„А .

Wc	71 0е/

^пр« 2	2
Здесь ДДб) — величина м. д. с. в точке зазора, соответствующей
углу 6, если м. д. с. вызвана единичными ампервитками в роторной
обмотке, ось которой совпадает с поперечной осью q ротора.

Для демпферного контура, охватывающего дугу bcq = (l—ас)т,

при 0 < 6 < ~~2~ ’

(18, 107)

д<?тс

2

Коэффициенты приведения для единичного (на пару полюсов) демп-
ферного контура по поперечной оси равны*.

2

I -Iosina е«/в
J 00
о
те
т
f sin ем

п 3

= W%C	= 75—

°р- S 2р

±с у
ТС СЧс) •

(18,108)

Если, например, зазор под полюсом равномерен, то

к = —

°Р2 2р

cos

wkw

(18,109)

Отношение синхронных реактивностей взаимоиндукции равно:

А

г [ cos2 0J0

Xaq   Cq	0	___________

Xgd	cd	JL

2

f —sin2 OJO

0 *8

(18,110)

17)	Реактивные сопротивления рассеяния и омические сопротив-
ления отдельных роторных демпферных контуров.

а.	Для отдельных роторных одновитковых (на пару полюсов) конту-
ров, расположенных по продольной оси ротора и имеющих индекс
i (/ = 1, 2, . . ., п), сопротивления, приведенные к статорным параме-
трам, в относительных единицах с учетом выражения (18,10) равны:

235 ЮЗр AS	513kwW AS 2 _	11П

Zid~~ ltkw	B8 c^d^id— lt	в8 c*<rid'	(18,111)

где Zid — соответствующее сопротивление роторного одновиткового кон-
тура по продольной оси на пару полюсов (омическое R или реактив-
ность рассеяния, выраженные в омах). Если, например, определяется R
для полюсной шайбы, то берется удвоенное сечение шайбы.
б.	Для отдельных роторных одновитковых контуров по поперечной
оси ротора (на пару полюсов), имеющих индекс /(/ = 1,2... тп),

235 103р AS	SlZkwW AS 2 7

Ziq— Itkw Bs GwiZi<r lt	cicZiV

(18,112)

где Ziq— соответствующее сопротивление роторного одновиткового
контура на пару полюсов (омическое R или реактивное рассеяние Л),
выраженное в омах. Коэффициент 573-103 =	’ Ю6. Коэффициент cqe

определяется по формуле (18,108).

Следует учесть, что демпферные стержни относительно массивны,
поэтому их активные сопротивления и реактивности рассеяния для боль-
шинства практических задач нужно рассчитывать с учетом глубины
проникновения магнитного потока, т. е. с учетом влияния вытеснения
тока при данной частоте, как это изложено ниже.

2. ВЛИЯНИЕ ВЫТЕСНЕНИЯ ТОКА НА ПАРАМЕТРЫ МАШИНЫ

Вытеснение тока при протекании по обмотке переменного тока при-
водит к увеличению активного сопротивления обмотки по сравнению
с омическим.

Отношение активного сопротивления обмотки статора к омическому
за счет влияния вытеснения тока определяется коэффициентом Фильда кр.
Коэффициент кр различен для пазовой и лобовой части обмотки. Ре-
зультирующий коэффициент Фильда равен:

К ч X (длина лобовой части) -+- kFn X (длина пазовой части)

 '"?	'	'' --  к . ,	।.и ।	'' ..    '	(18^ 113)

F	(длина лобовой части) (длина пазовой части)	’

где кРк ч—коэффициент Фильда для лобовой части;

kFa— тоже для пазовой части обмотки.

Коэффициент Фильда в лобовых частях примерно равен при частоте
тока 50 пер./сек:

Для машин, имеющих т<^40 см,

1.05-1.10;

для машин, у которых 80^>т^>40 см,

Ъ’л. ч. ^Fn. •

Коэффициент Фильда в пазовой части обмотки для данного слоя
обмотки в пазу равен:

*Гп = ?(?)-*- [(v)2 ITcos	<18-114)

где /ж — ток в данном слое обмотки;

it — объем тока в слоях обмотки, расположенных между рассматри-
ваемым слоем и дном паза;

sh 25-*-sin 25

= * ch 25 — cos 2? ;

ф(5) = 25

sh 5 — sin 5

ch 5 -*- cos 5
£ — приведенная высота слоя обмотки;

/ ширина меди в пазу /

g = ah; а = 2к1/ ---------10-5;	(18, 116)

’	г ширина паза р	v г

h — высота слоя меди в пазу в см;

f — частота в пер./сек.;

Р —удельное сопротивление в 2 мм2/м, равное для меди

1 235 -+- tQC
р“~ 57 235-ь 15 ’

где f°C — температура обмотки в °C.

При частоте 50 пер./сек. при 75° С величина а для меди равна
ш / ширина меди в пазу

а = 0.95 1/  -------~ 0.9.	(18,117)

у ширина паза	' *	7

Суммируя вытеснение тока для разных сдоев меди в пазу можно
получить:

для двухслойной обмотки

kFn = ? (5)	m2~1 ф (g);	(18, 118)

для однослойной обмотки

(5) -ь	Ф (5),	(18,119)

где т — число элементарных проводников по высоте паза, обтекаемых
одинаковыми токами, и величина £ равна

£ = «Аэ;	(18,120)

— высота элементарного проводника, на которые подразделена об-
мотка, в см.

Если £^1, то

?(Е)%1 +	ф(О^-у?4-	(18,121)

На практике в крупных машинах в целях достижения одинаковых
токов в элементарных проводниках применяют транспозицию проводни-
ков по длине стержня, транспозицию в лобовой части обмотки и дру-
гие мероприятия. При выполнении сечения витков из нескольких эле-
ментарных проводников без полной транспозиции необходимо учитывать
добавочные потери от циркуляционных токов между параллельными
проводниками одного витка.

В заводской практике пользуются следующими формулами для расчета
коэффициента Фильда в статорных обмотках при 50 пер./сек.:

а.	В обмотках с однорядными витками или при полной транспози-
ции элементарных проводников

^=1-*-0.107m2

ширина меди в пазу \2
ширина паза /
б.	В двухслойных обмотках с многорядными витками

kF — 1 -+- cFa cFb,

(18,123)

где коэффициент cFa, учитывающий потери от циркуляционных токов,
равен:

для плетеных стержней и полностью транспонированных катушеч-
ных обмоток

сРа = Ъ	(18,124)

для катушечных обмоток без скрутки при sn<^m
0.019 2 (/ ширина меди в пазу \2
С^а о2 £ |\ ширина паза /
п

X (общая высота меди в пазу в см)41 ,	(18,125)

где

It — (V2 обфей ширины радиальн. вентил. каналов)
е =------------------------------------------- ;	(18,126)

длина полувитка	*	\	/

sn— число эффективных проводников в пазу,
обмотки

бы а

равное для трехфазной

(18,127)

а — число параллельных ветвей;

w — число последовательно соединенных витков в фазе;
z — число пазов в статоре.

Для катушечных обмоток со скруткой в лобовых частях в величину
коэффициента, cFa по формуле (18,125), вводится множитель меньше
единицы, составляющий при нормальном сокращении шага: порядка 0.5
при большом числе витков в катушке (10 и более) и снижающийся до
0.1 4“ 0.2 при числе витков в катушке порядка 3-г4.

Коэффициент cFb равен:

cFb = 0.107em2

ширина меди в пазу
ширина паза

(18,128)

в.	В турбогенераторах при плетенных стержнях

^=1

0.107m2	В П-азу-Г .

\ ширина паза / э

(18,129)

Следует учесть, что в машинах с высоким использованием материа-
лов величина активного сопротивления в цепи статора г8 не может
быть определена простым умножением омического сопротивления в цепи
статора гв= на коэффициент Фильда для статорной обмотки. В действи-
тельности, из-за значительных добавочных потерь в статоре, связанных
г8~ -
с протеканием статорных токов, отношение ------будет значительно

гв=

больше, чем коэффициент Фильда.

Расчет отношения активного сопротивления в статоре к омическому
связан с необходимостью расчета соответствующих составляющих до-
бавочных потерь.
В крупных машинах величина г, весьма мала и почти не сказывается
на частотной характеристике машины. При расчетах тормозящего влия-
ния потерь в активном сопротивлении г, при кратковременных корот-
ких замыканиях машины нужно пользоваться достаточно точными зна-
чениями величины rg, особенно если определяется предельная допусти-
мая длительность коротких замыканий для расчета динамической
устойчивости работы машины. В этом случае нужно пользоваться зна-
чением г8 с учетом добавочных потерь короткого замыкания.

Расчет добавочных потерь короткого замыкания изложен в ряде
руководств по электрическим машинам [1А-28 и др.].

Для расчета эффективной высоты проводника в пазу беличьей
клетки ротора с учетом влияния вытеснения тока при расчете актив-
ного сопротивления роторного контура пользуются формулой

hB

=	(18,130)

где hs — реальная высота проводника в см;

hr — глубина проникновения в см, для расчета активного сопротив-
ления;

ср (В) — определяется по формуле (18,115).

Эффективная высота проводника в пазу ротора hx в см, для рас-
чета реактивного сопротивления роторного контура

h9

где

3 sh 2£ — sin 26

? (5) = ch 25 — cos 2$ •	(18,132)

Приведенная высота 5 определяется по формуле (18,116) для вы-
соты Лэ.

Для	медных стержней	(18,133)
		
Для	алюминиевой заливки	
	5 = 0.67	(18,134)
При	Л8	А»	
	Л®^1,5—•	(18,135)
Для	медных s стержней при Лв^>2	
	Л, = 1.1; Л® = 1.65.	(18,136)
Для	алюминиевой заливки при Лв 3	
	Л, = 1.5; Л® = 2.2.	(18,137)

Активные сопротивления роторных стержней рассчитываются как
для стержней, имеющих высоту hr (и соответствующе^ сечение) в пазу
на длине активного железа, и высоту h9 за пределами паза на длине,
равной длине стержня за вычетом длины активного железа.
3. ВЛИЯНИЕ НАСЫЩЕНИЯ НА ПАРАМЕТРЫ МАШИНЫ

1)	Реактивность взаимоиндукции.

а.	Влияние насыщения на реактивность взаимоиндукции по продоль-
ной оси xad учитывается коэффициентом насыщения k^d

Xad иасыщ. ^^dXad ненасыщ.,	(18, 138)

где коэффициент насыщения определяется по характеристике холостого
хода машины как отношение

=	(18,139)

1	ib

Для синхронной машины: ib — ток возбуждения машины при заданном
напряжении, для которого мы определяем
коэффициент насыщения;

— ток возбуждения при том же напряжении
по прямолинейной характеристике холо-
стого хода.

Для асинхронной машины токи ib и /60 — соответствующие токи ста-
тора в режиме холостого хода.

Для определения влияния насыщения на величину xa(i в режиме
нагрузки синхронного генератора нужно брать токи ib и 40 по харак-
теристике холостого хода для напряжения за реактивностью Потье

---------------—-----—	i2x2 cos2

ер = V (е + ixp sin ?)2 i х\ cos ? % е -ь ixp sin ?	2 (е-ь f^siny) ’ (18’ 140)

где е — напряжение на зажимах машины;

i — ток статора в рассматриваемом режиме;

cos ср — коэффициент мощности.

Для асинхронного двигателя под нагрузкой

ер = )/(е — ixp sin ?)2 •+• Лг2 cos2«p.	(18, 141)

Коэффициент насыщения k^d для реактивности х^ составляет в син-
хронных машинах в рабочем режиме порядка 0.8-40.88, в асинхрон-
ных— порядка 0.754-0.85.

Имеем, например, по данным заводских расчетов коэффициенты на-
сыщения для расчета насыщенного значения хт в асинхронных двига-
телях с короткозамкнутым ротором на 6000 в завода „Электросила"
им. С. М. Кирова при номинальной мощности от 250 квт и более при
скорости вращения п об./мин.

п =	1000	750	600	500	375	300

£„=0.73 4-0.85 0.714-0.86 0.714-0.79; 0.76 4-0.88 0.78 4-0.85 0.77 4-0.88
г*

Разброс в значениях коэффициента насыщения вызван стремлением
к максимальной унификации элементов конструкции, что приводит к не-
одинаковому использованию магнитной цепи машины. Как общая тен-
денция— с увеличением номинальной мощности машины коэффициент
насыщения для хт несколько увеличивается, становясь ближе к еди-
нице.
Для асинхронных двигателей с фазным ротором на 6 кв завода
„Электросила“ коэффициент насыщения для расчета насыщенного зна-
чения xm=0.74-0.87, со средним значением порядка 0.8.

б.	Влияние насыщения на реактивность xaq учитывается коэффи-
циентом k^q

•*аднасыщ. ^д^адненасыщ.	(18, 141)

Коэффициент насыщения k^q для турбогенераторов равен (0.75-7-1*0)^,
имея низкие значения для высокоиспользованных машин из-за на-
сыщения зубцов ротора. В явнополюсных синхронных машинах
коэффициент	k?d (учитывая значительно больший экви-

валентный междужелезный зазор по поперечной оси) и близок к зна-
чению £и^ь1. Однако в отдельных случаях насыщение краев полюс-
ных башмаков может несколько снизить значение коэффициента k^q.
В этом случае величина k^q должна определяться в зависимости от ин-
дивидуальной конструкции машины.

2)	Синхронные реактивности xd и xq. Коэффициенты насыщения
для расчета насыщенных значений синхронных реактивностей xd и xq
примерно равны коэффициентам для расчета х^, xaq, так как реактив-
ность рассеяния X/ мала по сравнению с реактивностью взаимоиндукции
в синхронном режиме.

3)	Реактивность рассеяния обмоток. Влияние насыщения на реак-
тивность рассеяния обмоток приходится в случае необходимости рассчи-
тывать индивидуально для каждой конструкции по распределению маг-
нитных полей рассеяния в машине.

4)	Сверхпереходная реактивность xd и переходная реактив-
ность xd по продольной оси полюсов. Насыщенное значение сверхпер^-
Ходной реактивности -^^насыЩе равно:

xd насыщ. k\bdxd ненасыщ.	(18, 142)

Для асинхронных машин коэффициент к"^ имеет значения:

для двигателей с глубоким пазом в роторе

*"^0.77 4-0.83;

для двигателей с двойной клеткой в роторе на 1500 и 1000 об./мин.

*"^0.77 4-0.83;
и*

для двигателей* с двойной клеткой в роторе на 750 и 600 об./мин.

*"^0.80 4-0.87;

для двигателей с закрытым пазом ротора

*"^0.744-0.77.
г

Для синхронных машин значения коэффициента насыщения c"d для
расчета насыщенного значения x"d в долях значения х^(1) при номи-
нальном токе в статоре по данным американской практики [1А-63] при-
ведены в табл. 18-3. Значения с" d даны в функции от величины —г— ,
Таблица 18-3

Значение коэффициента c^d для учета влияния насыщения на величину
сверхпереходной реактивности x"d (при различных кратностях переходного
тока короткого замыкания)

е	0	1	2	3	4	5	6	7
Двухполюсные турбогенера- торы 	.	1.12	1.0	0.91-	0.86	0.82	0.79	0.77	0.75
Четырехполюсные Турбогене- раторы 		1.13	1.0	0.95	0.90	0.89	0.88			
Явнополюсные машины без демпферной системы на ро-. торе		1.05	1.0	0.97	0.94	0.92				।	
Явнополюсные машины с демп- ферной системой на роторе	1.0	1.0	1.0	1.0	1.0	—	—	—

где е — напряжение на зажимах машины, a —переходная реактив-
ность по продольной оси, с учетом небольшого насыщения при номи-
нальном токе в статоре. В этом случае

^насыщ. CpdXd(l)l

(18,143)

где — значение сверхпереходной реактивности, с учетом некото-
рого насыщения при номинальном токе в статоре.

Насыщенное значение переходной реактивности по продольной оси
х^насыщ. может быть определено как

"^/насыщ. c^dxd (!)•	(IS, 144)

Значения коэффициента с'd в функции от кратности переходной со-
ставляющей тока трехфазного короткого замыкания за внешней реак-
тивностью хе по данным американской практики [1А-63] представлены
в табл. 18-4. Кратность переходного тока при коротком замыкании за
е
реактивностью хе равна —------♦

Таблица 18-4

Значение коэффи иента c^d для учета влияния насыщения на величину
переходной реактивности xd (при номинальном напряжении и коротком
замыкании через реактор)

,	Х<1 + хе  СМ			0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Турбогенераторы	  Явнополюсные синхронные ге-	0.95	0.92	0.90	0.88	0.87	0.86	0.85	0.85	0.85	0.85	0.85
нераторы и двигатели . . .  Явнополюсные	синхронные	0.97	0.92	0.90	0.89	0.88	0.87	—	—	—	—	—
компенсаторы		0.95	0.90	0.86	0.84	0.83	—	—	—	—	—	—
5)	Сверхпереходная реактивность х” по поперечной оси полюсов.
Насыщенное значение сверхпереходной реактивности х”насытд равно:

^насыщ.	ненасыщ.	И5)

Для турбогенераторов k" f&k'^d.

Для явнополюсных машин обычно коэффициент к" ближе к еди-
нице, чем k^d. Однако в отдельных случаях вследствие насыщения
краев полюсных башмаков при больших магнитных потоках коэффи-
циент к" может быть существенно меньше единицы. В этих случаях
коэффициент к" должен рассчитываться индивидуально для данной
конструкции машины.

6)	Реактивность рассеяния стальных массивных частей в ро-
торе xFa. В приближенных расчетах рассчитывается как xFa ~ 0.6гГ(П
где rFa — соответствующее активное сопротивление.

rFa рассчитывается по глубине проникновения hFa для разных сколь-
жений

,	/445“

hFa у 5000s ’	146>

4. ОСОБЕННОСТИ ПАРАМЕТРОВ КРУПНЫХ СИНХРОННЫХ МАШИН

Типичные значения параметров машин переменного тока, фикси-
руемые обычно в той или иной форме в технических условиях на
поставку машин, представлены в табл. 18-5. Эти параметры в совре-
менных условиях не могут полностью характеризовать поведение ма-
шины в эксплуатации в переходных режимах, однако дают для мно-
гих случаев достаточное представление о частотных характеристиках
машины и переходных процессах в машине.

Развитие производства и передачи электроэнергии за последние
десятилетия выдвинуло ряд новых требований к машинам переменного
тока, особенно к синхронным генераторам. В прошлом, генераторы,
работавшие в параллель, приключались к общим шинам, без передачи
энергии на большие расстояния. Машины и линии передачи не исполь-
зовались до своего электромагнитного предела. Генераторы изготов-
ляли часто с возможно большим рассеянием для уменьшения токов
при внезапных коротких замыканиях и соответствующего уменьшения
требований к выключателям, уменьшения динамических усилий в ло-
бовых частях обмотки и т. д. Для явнополюсных генераторов, приво-
димых во вращение первичными двигателями, имеющими переменную
составляющую вращающего момента, выбирался надлежащий маховой
момент ротора и ставилась слабая демпферная система на роторе во
избежание качаний при параллельной работе и мигания света при пи-
тании световой нагрузки. Генераторы работали со сравнительно низ-
ким коэффициентом мощности 0.7 4-0.8.

Использование материалов в машинах, характеризуемое лийейной
нагрузкой и максимальной индукцией в зазоре (по первой гар-
монической), было весьма умеренно вследствие затруднений с отводом
тепла от выделяющихся в машине потерь.

С коренным усовершенствованием вентиляции в крупных машинах
переменного тока (применение непосредственного газового и жид-
костного охлаждения) сильно повысились линейные нагрузки ДЗ' в ма-
шинах, при сравнительно малом повышении индукции В резуль-

тате все реактивности машины, при сохранении основных геометри-
AS

ческих размеров, выросли пропорционально отношению-^-. Кроме того,

повышение мощности в единице объема машины снизило механи-
ческую постоянную крупных электрических машин. Это в первую-
очередь относится к крупным турбогенераторам. Диаметр и длина
турбогенератора ограничены соображениями механической прочности,

мощность повышается интенсификацией вентиляции, мощность на
единицу объема увеличивается. В результате, крупные турбогенераторы
мощностью 200—300 Мвт на 300 об./мин. имеют механическую по-
стоянную времени — всего порядка 2—3 сек.

В табл. 18-6 представлены типичные параметры крупных турбоге-
нераторов и гидрогенераторов производства завода „Электросила*
им. С. М. Кирова.

Наряду с изменением соотношений в машинах

развитие энерго-

систем выдвигает для крупных электрических машин новые
требования в отношении запасов по статической и динамической
устойчивости параллельной работы. Их удовлетворяют увеличением
междужелезного зазора в машине, применением быстродействующего
регулирования возбуждения, выбором надлежащих параметров машины,

в том числе электромагнитных постоянных времени и др.

Динамическая устойчивость параллельной работы машины в боль-
шой степени определяется ее переходной реактивностью x'd и электро-

магнитными постоянными времени.

Переходная реактивность x'd в значительной степени определяется
рассеянием роторной обмотки возбуждения. Поэтому в современных
крупных гидрогенераторах по возможности уменьшают высоту ротор-
ных полюсов. В отдельных случаях уменьшают рассеяние полюсов,
ставя на краях полюсных башмаков демпферные полосы, образующие
контуры с надлежащей постоянной времени, порядка нескольких де-
сятых секунды.

В табл. 18-7 представлены типичные значения реактивностей со-
временных явнополюсных синхронных машин по данным европейской
фирмы Элин. Для крупных гидрогенераторов мощностью 50—60 Мва,
работающих на дальние линии передачи, фирма выбирает переходную
реактивность x'd порядка 224-23%.

Электромагнитная постоянная времени Td — в большой степени
определяет целесообразность быстродействия регулирования возбуж-
дения. В гидрогенераторах электромагнитная постоянная времени Td —
порядка 0.05 сек.; в турбогенераторах — 0.15 сек. Если быстродей-
ствующее регулирование возбуждения имеет постоянную времени
значительно меньше, чем величина 7% то дальнейшее уменьшение
постоянной времени регулирования возбуждения не дает особого эффекта
и мало влияет на скорость изменения магнитного потока в зазоре машины.

Величина постоянной T'd, наряду с постоянной обмотки статора 7%
сильно влияет на скорость затухания пульсирующих составляющих
вращающего момента и интенсивность выделения джоулевых потерь
при кратковременных коротких замыканиях, оказывая тем самым боль-
шое влияние на динамическую устойчивость работы машины при кратко-
Типовые значения параметров

Параметры	Синхронные	
	двухполюсные турбогенераторы	четырехполюсные тj рбогенераторы
Xd		
	1.6	1.2
(ненасыщенные значения)		0.9 4-2.0	0.9 4-1.5
Xq		
(при номинальном токе)		1.35	1.5
	0.85 4-1.90	0.85 4- 1.45
x'd		
(при номинальном напряжении)		0.24	0.24
	0.144-0.34	0.20 4-0.28
н  Xd		
(при номинальном напряжении)		0.15	0.15
	0.10 4-0.24	0.12 4-0.17
хо^(О.14-О.7)х"	0.014-0.08	0.015 4-0.14
н  хч		x"d	—
х2		^1.22 xd	^1.22xJ
	5.5	6.2
Л/0 сек		3.0 4-12.0	4.0 4-9.2
Тd сек		0.7	1.1
	0.44-1.6	0.9 4-1.6
	0.06	0.04
Т^сек. 		  .	0.03 4-0.18	0.02 4-0.08
	0.32	0.20
Та сек		0.044-0.50	0.15 4-0.35
г2 		0.0254-0.04	0.03 4-0.045
	6	6
Н сек.	7.6 4-2	7.64-5

—	21AGD* I п

Примечания: постоянная Н = —^уд— I 	 I в сек., где GD2 — маховой момент машины в та

Для перевода в эл. радианы величину Н, выраженную в сек., нужно умножить на 2тс/=314.

Постоянная Н для турбогенераторов с учетом махового момента турбины составляет при отсутствии
8 -ь 6 сек. для теплофикационных паротурбоагрегатов на 3000 об./мин.,
14-*- 7 сек. для паротурбоагрегатов на 3000 об./мин. с конденсаторами,
17 -4- 13 сек. для паротурбоагрегатов на 1500 об. мин.

Постоянная Н для гидрогенераторов о учетом махового момента турбины составляет:

3 + 9 при скорости вращения выше 300 об./мин.; (3	7 при скорости вращения ниже 300 об./мин.).

Величины Н указаны в порядке возрастания мощности.
синхронных и асинхронных машин

Таблица 18-5

машины			Асинхронные двигатели
е выступающими полю- сами с де*пферньми обмотками	с выступающими полю- сами без демпферных обмоток	синхронные компенсаторы	
1.2	1.2	1.8	3.5
,0.7 4- 1.6	0.9 4-1.6	1.5 4-2.2	2.8 4-5
0.75	0.75	1.1	
045 4- 1.0	0.45 -41.0	0.9 4-1.4	Xd
0.37	0.35	0.40	0.25
0.20 4-0.50	0.20 4-045	0.30 4-0.60	0.20 4-0.40
0.22	0.30	0.25	0.20
0.13 4-0.30	0.18 4- 0.40	0.18 4-0.38	0.16 4-0.30
0.02 4-0.20	0.044-0.25	0.02 4-0.25	0.024-0.20
(1.0 4-1.1)	_ _ //  ~ 2-3 xd	г/	н xd
^1.05х"	(1.44-1.6)4	п ^Xd	ft xd
5.6	5-6	8.0	0.8
2.04-9.0	2.0 4-9.0	5.0 4-14.0	0.4 4-2.0
1.3	1.3	1.5	0.04
0.8 4-2.5	0.8 4-2.5	1.0 4-2.8	0.02 4-0.1
0.03	—	0.03	0.02
0.014-0.08	—	0.02 4-0.08	0.014-0.08
0.15	0.30	0.17	0.04
0.03 4-0.35	0.10 4- 0.50	0.10 4-0.30	0.02 4-0.1
0.012 4-0.020  (для генераторов)	0.03 4-0.045	0.025 4-0.07	В зависимости от по- требного пускового момента.
4	4	2	0.4
0.5 4-8	14-8	14-3	0.05 4-1.5

ж kVA — базовая мощность машины в ква.

««посредственного охлаждения обмоток:
временных внезапных коротких замыканиях. Постоянная времени T'd
в крупных турбогенераторах составляет порядка 1 сек. и в крупных
гидрогенераторах величину порядка 1.5 4" 3 сек. В синхронных ком-
пенсаторах эта постоянная обычно несколько меньше.

Величины T'd и Td определяют и критические скольжения, соот-
ветствующие максимальным вращающим моментам в асинхронном режиме
после выпадения из синхронизма, тем самым определяя интенсивность
выделения тепла в роторе в асинхронном режиме. Если T'd и Td
выражены в секундах, то критические скольжения примерно равны
Skl 3,147^ /°’ Sk2^ 3,147^ ^°‘

Максимальные вращающие асинхронные моменты при этих сколь-
жениях ориентировочно равны (в долях базисного вращающего момента,
соответствующего номинальным киловольтамперам машины):

Мм^(1^-1.5)

2

Г1 _ x’l'

1 xd/ xd

- ?xd

1 - xdlxd
4x'd

Величина постоянной Td в большой степени зависит от величины
электромагнитной постоянной времени обмотки возбуждения Tdo- Эта
постоянная Tdo довольно велика в турбогенераторах и сравнительно

Таблица 18-6

Параметры современных крупных турбо- и гидрогенераторов
(производства завода „Электросила* им. С. М. Кирова)

Турбогенераторы

Тип	TB2-1502	ТВФ-100	ТВФ-200	TBB 165	TBB-200	TBB-300
Мвт	150	100	200	165	200	300
Мва	166.5	117.5	235.3	194	235.3	353
об./мин.	3000	3000	3000	3000	3000	3000
В§	8.1	8.2	8.34	8.12	8.50	8.475
1000						
AS  100	7.66	10.95	11.6	14.25	13.35	13.80
Xd	1.487	1.78	1.875	1.880	1.840	1.700
xd	0.180	0.282	0.250	0.330	0.273	0.257
п	ft  Xd^Xq	0.122	0.183	0.165	0.230	0.190	0.172
Xq	0.97 xd	0.9 xd	0.9 xd	0.9 xd	0.9 xd	0.9 xd
	1.22 xd	^1.22x"	^1.22x"	^A.22x"d	^1.22x"	^1.224
Та сек	0.422	0.417	0.513	0.400	0.327	0.367
т'  * d сек	1.44	0.970	0.920	0.920	0.935	0.900
т"  * d сек	0.18	0.12	0.115	0.115	0.117	0.114
//сек	4.41	2.71	2.74	2.24	2.19	2.07
Продолжение табл. 18-6

Гидрогенераторы

Электро- станция	Рыбинск	Днепр	Г орький	Куйбышев	Братск	Красноярск
						Проект
Тип		rR И60  СВ 180 '72	св 4^--	1500 Rs  “200“ ‘88		1690 сл СВ 175
Мвт	55	72	57.2	105	225	500
Мва	68.75	90	71.5	123.5	264.7	590
об./мин.	62.5	83.3	62.5	68.2	125	93.8
	7.95					
		8.8	8.3	9.5	9.21	10.7
1000						
AS	5.45					
100		5.3	5.04	4.35	7.08	12.3
Xd	0.73	0.80	0.633	0.505	1.073	1.6
x'd	0.274	0.310	0.284	0.190	0.353	0.43
x"d	—	0.240	0.207	0.143	0.243	0.30
хя	0.554	0.534	0.448	0.322	0.727	0.90
П xq	—	0.260	0.216	0.152	0.247	0.32
Та сек	0.286	0.252	0.144	0.132	0.380	0.184
л d сек	2.12	2.92	1.94	2.00	3.12	1.42
г" d сек	—	0.07	0.051	0.05	0.085	0.06
Нсек	7.8	8.2	7.0	12.5	8.35	7.6

Примечания:	— максимальная индукция в зазоре по первой гармонике, см. формулу (18, 7) .

Турбогенераторы типа ТВ2 имеют косвенное водородное охлаждение обмоток статора и ротнра;
типа ТВФ — косвенное водородное охлаждение обмотки статора, непосредственное водородное охлажде-
ние обмотки ротора; типа ТВВ — непосредственное водяное охлаждение обмотки статора и непосред-
ственное водородное охлаждение обмотки ротора.

Таблица 18-7

Типичные значения реактивностей явнополюсных синхронных машин
(по данным фирмы Элин, см. Elin № 2, 1959)

Число	2р=2	4	6	8	12	24	48	60	72	88	96
полюсов  Вз	8.5	8.8	9.2	9.6	10	9.9	9.8	9.7	9.6	9.5	9.5
1000  AS											
100	7.0	6.2	5.9	5.8	5.7	5.6	5.4	5.3	5.2	5.1	5.0
Xd	0.6	0.8	0.8	0.9	1.0	1.0	1.1	1.1	1.2	1.3	1.3
xd	0.24	0.25	0.26	0.27	0.28	0.28	0.29	0.30	0.31	0.32	0.33
it  Xd	0.14	0.14	! 0.15	0.16	0.17	0.17	0.175	0.18	0.19	0.20	0.21

невелика в гидрогенераторах. В турбогенераторах величина Tdo дохо-
дит до 10—11 сек.; в гидрогенераторах величина Тао— обычно по-
рядка 5—6 сек.; в синхронных компенсаторах величина Tdo доходит
до 14 сек. Наличие большой постоянной ротора Tdo ослабляет влияние
быстродействующего возбуждения. Снижая перегружаемость для уде-
шевления машины и усиливая быстродействие возбуждения, необхо-
димо учитывать возрастающую магнитную инерцию машины.

Иногда требуется большой запас по возбуждению. Вследствие этого
в ротор закладывается значительное количество меди для обеспечения
допустимого нагрева ротора, что соответственно уменьшает омическое
сопротивление ротора. При этом неизбежно значительно увеличивается
величина TdQ и снижается (при прочих равных условиях) эффект быстро-
действующего возбуждения и большого потолка возбуждения.
ПРИЛОЖЕНИЕ 7

(к главе 3)

ОПЕРАТОРНЫЕ РЕАКТИВНОСТИ ГЛАВНЫХ ОБМОТОК МАШИНЫ
ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ КООРДИНАТАХ

Система уравнений падений напряжения для многообмоточного трансформатора^
имеющего две главных обмотки с индексами а и р и к — 1 короткозамкнутых обмо-
ток с индексами 2, 3, . . . х имеет вид:

		У i to оо я	(1п, 1)
	»		
где			
	== Г|Л	при p = v;	
	== P-^fJLV	при р =/= у;	
	Фр-у = 2 х^у*	( i, v = а, р, 2, 3, ... х)	

Учитывая, что 6^ = 0 при р = 2, 3 . . . х и исключая из уравнения (In, 1) Токи
с индексами v = р, 2, 3. . . х, имеем при обмотках, неподвижных относительно друг
Друга,

е. = [гв -+- рха (р)] i„ ч- р^ор (р) ер,

где по формулам (2. 49), (2. 50)



(Щ v=p, 2, З...Х)



'Х = о, 2, 3, .. .х \
р, v = р, 2, 3, .. .х/

(1П, 2)

(1п, 3)*

Меняя местами индексы р и*з, получаем аналогичные формулы для второй главной
обмотки с индексом р.

Если обмотки имеют относительное вращение, то преобразованием к вращаю-
щимся координатам можно получить, при определенных условиях симметрии, урав-
нение для эквивалентного трансформатора с относительно неподвижными обмотками.

Пусть обмотки с индексами р, 2, З...х вращаются по отношению к обмоткам
с индексом а со скоростью а)г.

В этом случае реактивности взаимоиндукции между относительно вращающимися
обмотками будут периодическими величинами, которые можно считать в первом при-
ближении синусоидальными, имеющими частоту, соответствующую относительному
вращению.
t‘

Умножая уравнение (1п, 2) для е0 на	где 08 = 0<§оч- j uk8dt и урав-

0
t

яение (In, 1) для е{Л(р.==р, 2, 3...%) на е““^9г, где 6Г = Ого ”+ J <&krdt, получаем на
0

^основании теоремы смещения Хивисайда в упрощенной символической записи:

= Г, Оа^9») -t- (р ч-(фве-^9»);

('рл_’’вг) + (?+jM ('V_j9r);	(I*=?> 2, 3> • • -х)

= хаа (!ае-~Л) ч- 2 [хетг_-/(9в-9»’)]	? (v = р, 2, 3, .. ,х)

+ 2	• (f1. v = Р, 2,3, .. .х)

(In, 4)

Вводим новые обозначения:

e« = eae •/9«;	er = epe ^r;	ek = exe. y9r;
i« = zee—•/9*;		«Л == i^~j9r
ф, = ф,е-А;	фг=фр£->9<-;	
=== X<S(3 >	xrr = -Грр! xk]c	= x„; r, = r„-.

Хв~х	Хъ. — Х е/(0в-М;

хвг-—хар6	* х9к— хах£	’

Хгз — хра еу (9r~9s); Хг» = хрх,

(In, 5)

где % и k — индексы короткозамкнутых
После „преобразования координат" имеем:

обмоток до преобразования и после него.

е8 = rsi8 + (р ч- juk8) ф8;

ew — Tmim +“ (р + j Ф?п,
фт = Хтп^п*
п

(т = г, 2, 3, .. .k)

(m, n = s, г, 2, 3, ...к)

(In, 6)

Система уравнений (In, 6) отличается от системы уравнений трансформатора
с неподвижными обмотками тем, что в первом уравнении р заменено на р ч- ]ык8
а в остальных — на р-А-]ь)кГу если только новые реактивности хтп будут постоянными
величинами. Условия для постоянства коэффициентов хтп рассмотрены в приложении 2.

Исключая из полученных уравнений токи короткозамкнутых обмоток, имеем:

е8=[г8ч-(рч-/солв)х8(р, <о)] i8 ч- (р ч- ]шк8) g8r (р, <о)ег;

ег~ [гг ч- (рч- jukr)xr (р, со)] ir ч- (р 4-jw^r) gr8 (р, со) е8,
где

iRmwII	_

х8 (р, со) = х8 -й---й- ;	(m, n = г,	2, 3, .. .к)

||zz«ll	( l = s,	2, 3, ...М

^,(Р, <>)- фтйГ	\т, п = г,	2,3...к )

Здесь

Zmn ==: Рхв8*

Zmn = гт Ч- (р -}- jcofcr) Хтт^

Zmn Рх8п>

Zmn = (р Ч- J(0fcr) Хтп>

при т = п = s;

„ т — п = г, 2, 3, ,, ,k;

„ т = з; п = г, 2, 3, .. ,k;

„ m = rt 2, 3...k; 7i = s,	2, 3, ., ,k;

Zmn zmn

Zsn Zme
pxs

(m, n = r, 2, 3, .. ,k).

(In, 7)

(In, 8)

(In, 9)
В частном случае, когда <о^г==0, нетрудно видеть, что х8 (р, (о) = х8 (р), т. е.
не зависит от скорости вращения координатного комплекса для статорных величин.
Аналогичные формулы получаем для главной обмотки ротора, имеющей индекс г:

||zmw|l

, . Ы1
gr8(p. «))— p||zww|| .

(тп, n = s, 2, 3, ... k)

/Z = r, 2, 3, ...k	1

\m, n = s, 2, 3, .. .k,

(In, 10)

-Здесь

Zmn = pXrr'y

Zmn = r8 (p + jwfr«) X88y

Zmn == rm (p "+ Jwfcr) Xmny

Zmn == PXm-t

Zmn = (P	foks) Xmny

Zmn == (p	fokr) Xmny

i	Zrn Zmr

Zmn pXr

при	m = n — r;

„	m — n — s;

„	m = n — 2,	3,	..	.k;

„	m = r; n —	s,	2,	3,	.. .k\

„	m = s; n —	Гу	2,	3,	.. .k\

„	m = n = r,	2.. .k}

(m, n = s, 2, 3.. .k).

(In, 11)

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

(к главе 3)

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВУХФАЗНОЙ МАШИНЫ
К ВРАЩАЮЩИМСЯ КООРДИНАТНЫМ ОСЯМ

Пусть в статоре машины имеются две перпендикулярно расположенные обмотки
с индексами а и Р, а в роторе — перпендикулярно расположенные группы обмоток
с индексами и Vq, где \ = р, 2, 3...%. Ось обмоток с индексом d совпадает
с осью наибольшей магнитной проводимости, ось обмоток с индексом q совпадает
С осью наименьшей магнитной проводимости.

Для потокосцеплений статорных обмоток имеем следующие уравнения (пренебре-
гая высшими гармониками):

(т: \

0 —

(2п, 1)

Здесь 6 — угол между осями обмоток с индексами а и d. При наличии магнит-

ной симметрии статора можно считать, что

•**() — х?о —	2

__ _____ ______

a®	Ха$	2

(2п, 2)

xavd x$vd xavd>

xavq Xfivq Xs'iq *
Умножая второе уравнение (2п, 1) на j и складывая с первым, имеем:

Ф. _	V ..А, -ч 2	««. 3)

V	V

где

Фа = Фа	Лр-	(2п» 4)

Умножив уравнение (2п, 1) на координатный комплекс е"-^9, получим:

,	Xd^Xq . Xd~Xq .* V •	• V

Ф«	2	г8 "+	2	г9~*~ Z> > X9vd lvd~*~ J ^^X9vqlvq*

где

ф =(р н-]ф =ф£~^6; i = i	ji ==i e"“^9; ]

*« ~td J'9q Ta ’ 9 9d J 9q a * I

xsvd X9'»d3	X9vq*	J

Если ввести комплексные токи и для обмотки ротора
== ”+"

(2п, 5)

(2п, 6)

(2и,7)

то формулу (2п, 5) можно представить в виде:

xsvd X9vd

(v = р, 2, 3 ... х)

(2п, 8)

Разбивая полученное уравнение (2п, 8) на реальную и мнимую части, имеем!

Ф<с? xd*9d S »

(v = p, 2, 3.. .x)

*9q Xql8q 2jX*'*qlvq*

(2n,9)

Если xd — xq и x9>id = т. e. статор и ротор обладают магнитной симметрией, то»
сопряженные токи ia и z\ в формуле (2п, 8) исчезают. В этом случае можно выби-
рать скорость вращения координатного вектора Ъ = е”"^9Л произвольной — уравнение*
при этом сохранит постоянные коэффициенты. В противном случае, т. е. при наличии
магнитной несимметрии ротора, для получения постоянных коэффициентов в уравне-
ниях и возможности пользования представленными выражениями операторных реак-
тивностей надлежит выбирать а>д.в = юг— скорости вращения ротора и (*)£Г = 0, т. е.
е,=0,

Уравнения падения напряжения для роторных обмоток до преобразования коор-
динатных осей при пренебрежении высшиМи гармониками в операторном виде в упро-
щенной символической записи имеют вид:

еМ =	-*-р24 x^d\d -* Pxv.da cos 0Z‘«

(p, v = p, 2, 3, ...X)	(2n, 10)

-+ px^a cos 4- ~2j ia -+- рхИ{(3 cos dip.
Умножая второе уравнение (2п, 10) на j и складывая с первым, получаем:

еи—	2

гу.д

2

Х^а	X|irfa	+ Xy.qa .

-4- р---------cos	р-----------cos	— ^р------------sjn

-4-JP—sin Ог*.	(Рч v = p, 2, 3, ...%)	(2п, 11)

°

При магнитной симметрии статора имеем:

= xy.d$ = x$.d* ХМ* = *14? = ХМ'

Учитывая, что za = fe£^9, имеем:

Xp-d xp.q , x^d xy.q *
+ Р-------2------18 -4- р------2------г**

(р., V = p, 2, 3, ...%)	(2п, 12)

Для составляющих по продольной и поперечной осям ротора находим:

ey.d r^dl^.d ~|“

Pxv.td*id*'

р	7*	7

14	14 м

Хф.уд*чд ~+” Pxy.sqlsq'
v

(р., v = р, 2, 3, ...%)	(2п, 13)

т. е. уравнения двух многообмоточных трансформаторов с постоянными параметрами.

При отсутствии асимметрии ротора уравнение (2п, 12) можно умножить на ком-
плексный коэффициент с произвольной фазой	и заменить переменные е^,

переменными ет = е^&~~^г и im =	При этом коэффициенты системы уравне-

ний останутся постоянными. Такое преобразование соответствует приведению роторных
величин к координатным осям, вращающимся по отношению к ротору.

ПРИЛОЖЕНИЕ 3
(к главе 4)

ТОКИ, ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ МОМЕНТ
ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ В СЕТЬ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ, ИМЕЮЩЕЙ ОДНУ
СИСТЕМУ ОБМОТОК НА РОТОРЕ ПРИ НЕИЗМЕННОЙ СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ
РОТОРА

!• Корни характеристического уравнения и коэффициенты
затухания при неизменной скорости вращения ротора

Пусть машина, обладающая постоянным скольжением s, включается в сеть на
систему симметричных напряжений с амплитудой е8т. Пользуясь теоремой смещения
Хивисайда и учитывая выражение для операторной реактивности (4,3), можно пре-
образовать выражение (4, 4) в упрощенной символической записи к виду:

_________1__________1 _ ег [ р ч- ar 4- js j
r«4-(p-bj)xe(p-4-js) J xrt 1 (р —Pi)(P —Р2) 1
где pi и Р2 — комплексные корни уравнения

(р -+- аг -+- Js) + (р -ь j) (р -+- “г js) = о.	(Зп, 2)

Потокосцепления статора равны:

f p-+-ar-+-js	|

= е* ( (Р-Р!)(Р-Р2) 1 / •	(ЗП’ 3>

Решая уравнение (Зп, 2), получаем следующее выражение для корней р± и p%t

— [(я'г -+- a,) -t-j (1 -4- ,)] =!= V — as) — joj2 -+- 4 (1 — a) a'ra's

Pi, 2 =	2-------------------*---------. (Зп, 4)

где

x8 xr

В общем случае, если вынести величину (аг—ag — jwr)2 за знак радикала,
в формуле (Зп, 4), получаем:

-2[«-b<)-bj(l-bs)]

Pl, 2 =----------4-----------—

[К	- j К - d,

± '------------------4------------------1,	(Зп, 5)

где

dl = 2 [(<V -+- aj)2 — 4aa\'s — o>2];	d2 = 4o>r (a'r — a').	(3n, 6)

Выделяя реальиую я мнимую составляющие корней, обозначим
= ~“1 — /"Ii Р2 = —“2 — J“2l	____________

2 « -ь %) - К \Zdl + dl -4- d1
01 =-------------4-------------;

2 (аг %) •+• \/dl -ь d2 •+ dl
a2=--------------4-------------;

2(1+S) + /У^ч-rf2

ИХ Д]., <Z2» wlt ^2»

(3n, 7)

2(1 -ь«)-К\Z4-t-dl -dx

Для исследования полученных корней целесообразно рассмотреть два случаям
когда постоянные времени статорной и роторной обмоток равны и когда они не равны.

а)	Постоянные времени статорной и роторной обмоток равны

Этот случай как наиболее простой был рассмотрен подробно как Дрейфусом и
Бирмансом [1А-6] в немецких работах, так и Конкордиа [6-36] в американских,
работах.

Принимая	получаем:

—[2a' j (1 -ь,)]± -|/4(1— я) я'2— о>2

Pi, 2—	2	•	(Зп> 8)
Как видим, до определенной величины скорости вращения подкоренное выражение (Зп, 8)
является положительным и, следовательно, корни pi и р% отличаются только разными
реальными составляющими, т. е. разными коэффициентами затухания, имея общую

( 14-H

мнимую составляющую, равную I — —J ПРИ пользовании синхронно вращающимися
/ wr \

координатами, либо I — j при пользовании координатами, вращающимися вместе
(О)г \

~2~ I — при пользовании координатами связанными со статором.

При скорости вращения

<ог = 2(А —о )а'	(Зп, 9)

получаем равенство обоих корней.

При дальнейшем увеличении скорости вращения корни рг и р2 будут иметь оди-
наковую реальную часть и разные мнимые части, т. е. коэффициент затухания будет
общим, а соответственные частоты колебаний будут разными.

Нетрудно получить по представленным формулам кривые, опубликованные Конкор-
диа [6-36] для случая, когда

= Хг = 3.08; xw = 3.00;

г8 = гг*= 0.01; а = 0.0513.

При юг = 0 корни равны:

Pi = —(1-*-'/1 ——— 7 = —y — j;

Р2 = ~ (2 — у) а' — j = —(2/ — у) — i-

(Зп, 10)

Подставляя численные значения для взятого примера, имеем:
001

Р1 —	2 • 3.08	0.00165 — у;

0.01	0.01	.	.

Р2 —	2 0 0513 . з 08 -ь 2 . з.О8 — 7 — “0.125 — у,

В критической точке, соответствующей равенству корней, имеем скорость вращения:

,---------—	0.01

“г — 2 ^(1 — 0.0513) о 051з . з 18 = о.12.

При шг = 1 корни равны:

—[2а' -+ j] zt j >/1 — 4(1 — о) а'2
Р1,2=	2	’

Для взятого численного примера имеем:

Pi ~ —а' — j’0.0036;	Р2 = а' — J (1 — 0.0036).

б)	Постоянные времени обмоток статора и ротора неравны

(Зп, 11)

а'г^=

Учитывая, что электромагнитные постоянные времени являются относительно

большими величинами, можно формулу для корней (Зп, 4) представить приближенно

в виде:

—Г(аг-»-л1-*«)]-[(аг-«Э-Ki	,п

Р1, 2 ==------------- ± ~	-— (Зп, 12)
Выражение (Зп, 12) тем точнее, чем больше разница между постоянными времени и

чем больше скорость вращения о)г.

Введя обозначение

s (l~q)gZ

(Зп, 13)

получаем для корней выражение:

рх = —а9 — j -ь &;	р2 = —аг — js — В,	(Зп, 14)

или, выделяя реальную и мнимую части, имеем:

Р1 = ~	— J = —gi —	Р2 =- “Чсп — Р = ~g2 —

где
аг — а8—ja>r f	f

(Зп, 15)

(Зп, 16)

°™ = 7—77ZTT “г = “г	=“г 8;

% -	-+- JCOr

(Зп, 17)

о>1 — 1 — (ос;

(“,-вг)(^~Вг)-«-"г ,

(02 = з -+- сос;

®е =

(1 — а) агав

(“г

Величина В может быть также представлена в виде:

а'а' -Ь ]шс.

(Зп, 18)

(Зп, 19)

(Зп, 20)

(Зп, 21)

(Зп, 22)

'\2 .	2

& =

(1 —°) (<< — «')

При весьма малом активном сопротивлении в статоре или в роторе формулы
(Зп, 16), (Зп, 17) дают выражения, имеющие удобную физическую интерпретацию.

При весьма малом активном сопротивлении в цепи статора	величина agat

равна активному сопротивлению в цепи статора, деленному на величину операторной
реактивности обмотки статора при неизменном скольжении, равном (—шг), т. е. при
р = —]ыг.

Аналогично при малом активном сопротивлении в цепи ротора (ar <<: ag) величина аГ(Л
равна активному сопротивлению обмотки ротора, деленному на операторную реактив-
ность обмотки ротора при неизменном скольжении wr, т. е. при р = ]шг.

При о)г = 0 целесообразно вычислять корни pit 2 по формуле:

— [(’г	(аг — а',)2 +4 (1 - °) “Z]

Р1, 2=	]•

(Зп, 23)
2» Токи и потокосцепления при включении машины в мощную
сеть (<or = const)

а) Токи и потокосцепления статора

На основе теоремы разложения Хнвисайда получаем следующие выражения для
статорных токов и потокосцеплений:

е» Г ar-+-js ।	_ p^-t-ar-t-js

Xt I Р1Р2 Pl (Pl — Pl)	Pl (Pl — P2)

I	t Pi-«-°r-»-j» pit p2-l-a.'r-+-]s

e*l P1P2 P1(P1 —P2) 6	P2(P1 —P2)

(3n, 24)

(3n, 25)

Подставляя значения корней pi, p% по формулам (Зп, 14) для случая приближенного
решения, когда аг Ф а„ либо шг =/= 0, получаем следующие выражения для токов и
потокосцеплений:

. = е, _ е, f —	—-/Ч)6*1*	(arm — “г)j.

'* “ х, I (а'ш -+- j) «, -	- X) «, -+- Js) «, -	- >r) / ’

. е,	(	м

~ Xs»— I / '	'	\ -ь	(Зп, 26)

г"	I - ]) (“rm -	- )шг)

(°гш ~ аг) еР1< I

(“га, -Ь js) «а, — а,ш — jb>r) I

Здесь величины zgg и xgg равны:

zgg — операторное сопротивление z8 (р) = г«+ (р ч- jo)r) х9 (р) при р = js,

zt9==r9 jx8(js)

и х89 — операторная реактивность х8 (р) при р = jst

Х99 = *8 (js).

(Зп*27>

(Зпф28)

При а8 << аг имеем следующие приближенные выражения для токов и потоко*
сцеплений:

где ze(O — операторное сопротивление, равное



(Зп, 31)

и х8ш — операторная реактивность xg (р) прж р = —jwr
б) Токи ротора

Ток ротора ir в координатах z/, g, связанных с ротором, будет иметь вид:

(Зп.ЗЗ)

L	_J

Обозначая фазы ротора индексами u, т>, w, имеем выражение для мгновенного
значения тока ротора в фазе и

itl = Reir^,	(Зп, 34)

где угол срог определяется начальными условиями.

Учитывая выражение (Зп, 33), получаем для тока ротора в координатах d, qt

(1 —°) Г j‘s pi-*-is p.t— Pz-^-js .1

lr	axm e* I P1P2 Pl (Pl — P2) E P2 (Pl — P2) E J '	( П’ )

Ток в фазе и ротора может быть представлен в виде суммы трех составляющих

Zu = iuQ “+ z’uj -+- Z«2«

Здесь z’uo — установившаяся составляющая, равная

е«т

luQ = ~ —------COS (Sf -Ь CpOr — срм0)

ъп о

где

^Хт

*'<> = S(l —а)

(Зп, 36)

(Зп, 37)

(Зп, 38)

Фог — начальная фаза напряжения ем, равная начальной фазе напряжения в фазовой
обмотке а статора, за вычетом угла 0оо между осями а статора и и ротора в момент
/ = 0.

$Р0г — ?0s — $00 г

(Зп, 39)

сэ2 тс

?ио = arctg — ч- arctg — -	.

(Зп. 40)

Составляющая iui затухает с коэффициентом затухания и имеет частоту, близкую
численно к скорости вращения ротора, выраженной в относительных единицах

iui = — е а,< cos [(, _ Ш1) t ч- <pQr — ?«i],
г«1

(Зп, 41)

где

*Хт

Z«1 = 1 — а

4 =	а)3 = а>г-2сос;

(Зп, 42)



С0г	$ -- (Oj

<РМ1 = arctg — -ь arctg —— -ь

(о2 __ W1
arctg ------— .

а2 — «1
Составляющая i«2 затухает с коэффициентом затухания а.% и имеет частоту, близкую
к нулю.

'«2 =	£ *** cos [(s — “2) t + Tor — ?«г];

z«2

(Зп, 44)

°Хт

Z«2	1 — О

(Зп, 45)

С02	3 — w2	^2 — Ш1

<f> == arctg — -+- arctg —- -+- arctg —--------------—-

т«2	®2	а2	а2 — а1

(Зп, 46)

в)	Расчет фазовых углов

При расчете углов <р по значению их тангенсов могут быть два решения, из
которых надо выбрать правильное.

При выборе правильного решения целесообразно придерживаться следующего
правила:

arctg = —arctg у ;

(Зп, 47)

а	а

arctg ~ те — arctg ;

—а	а

arctg TZJ’ = те ч- arctg ;

(Зп, 49)

Токи в фазовых обмотках v и w отличаются от тока в фазовой обмотке и началь-
ным фазовым углом, т. е. имеют начальные фазы <?ог —120° и «рог— 240° вместо
фазы <р.

г)	Оценка величины переходных токов

Для оценки величины переходных токов выразим их амплитуды в долях амплитуд
установившихся составляющих:

1	1 	”1	Z^-b^[(ar-ai)2-b(s_W1)2]
1'ао 1 F	
1 'а2 |	1	
1 iao 1 у	
1 1	
1 *wo 1	-» V
J_jw2j_		11/ (°^<4)[°m*-«2)2]
11’«0 1	« V

—

«2 5

(Зп, 50)

(Зп, 51)

(Зп, 52)

^«11
д)	Частный случай — скорость вращения мала, <^а3 = агч-*а#

В этом случае

«1 = 1 — а)с;

ШЗ = <ог — 2а)с,

а8	аг

o)i 1 — о)г: 0)о	1 —-------а)г:

а3	а3

аг~а9

0)3=	- О)Г;

а.

а3

а а

г 9	2

аз

(Зп, 54)

а2 = а3““

а3 — а1 а2»

з

аг

o)i — s =--------о>г;

а3

а

0)2 — $ =	а)|

аг

а3

агаг

Х«2 1 — ^«1 1 — 2~

а3

(Зп, 55)

w а

«1



Как видим, при включении машины, имеющей скорость вращения, близкую к нулю,
переходный ток статора будет состоять практически из одной составляющей га2»
имеющей в этом случае амплитуду того же порядка, что и установившаяся состав-

ляющая
близким

z’aQ. Эта составляющая ia% будет затухать с коэффициентом затухания а2,

в этом случае к сумме коэффициентов затухания а3 =

и будет иметь

частоту,

а»
равную <ог, т. е.

при обычном соотношении

параметров около половины

от скорости вращения.

Для переходных токов в
при малой скорости вращения.

роторе имеем аналогичные

приближенные соотношения

где

где

ХМ1 Х^ц; Xtt2 Ха2*

е) Частный случай — скорость вращения ротора

В этом случае «1 = 1; <o2 = l; 0)3 = О;

aaraj

ai— a3

Токи в статоре равны:

(Зп, 56)

равна нулю» юг = 0

co j — s = 0;	co2 — ® == 0» ®2 == a3 — ®1’

IflO —

1

cos (Z <po« — Teo)

1

«рад = arctg —

1

arct*17~ arct?v:

—

€зт ar — 

—“1 У1

=- cos (?о. — fei)

1 те

Tai = arctg—^-2-;

(Зп, 57)

(Зп, 58)

(Зп, 59)

(Зп, 60)

’«1—

1

. =	—== cos (?Оз ~ ?a2)

Xg <X2 — «1 У1ч-а|
где		
	2  <pe2 = arctg —.	(Зп, 62)
Токи 1	в роторе при <я)г = 0 равны:	
	.		е8т (1 — а)	 .	ч	(Зп, 63)
	г«0	/ z	оч		о'“ cos \sr тОг -*" т«0/»  сХт 1/(1-0(1 н-а*)	
где	1	1 тс	F1  т«о= агс Ъ V arcts V - 2 ~arc tg	:  “1	(1 — о) eame~*lt	(Зп, 64)  (Зп, 65)
	’«	ojj-aj ахт у1^.а2 COS(?or Тв1)’	
	1	it  ?«1 = ?al = arctg — %	;	(Зп, 66)
	•	а2	П — °) е8Ш^	(	.	(Зп, 67)
	<«2 ~	CL.	а У	' /	“5 C°S V?or — ?«2h  ®2 ai	QXn^ yi-ьа^	
где		
	1  ?«2 = fo2= arctg — .  ^2	(Зп, 68)

Как видим, составляющая zMj, затухающая с малым коэффициентом а1э в этом
случае весьма мала, а составляющая затухающая с коэффициентом затухания а2»
имеет тот же порядок величины, что и установившаяся составляющая

Коэффициент затухания «1 равен при = 0 обратной величине суммы постоянных
времени обмоток статора и ротора и Тг'-

«1^

(Зп, 69)

Коэффициент затухания а2 имеет величину, близкую к сумме коэффициентов за
, , 1 1

тухавия «3 = ^-4-^ =-7--+-—г
8	1 Г

*2 = а3 — «!•	(Зп,

ж) Частный случай — скорость вращения ротора велика» <ог^>«з

(в3 = 1 — сое;	©2 = s -+- о)с; со3 = й>г — 2<*>е;

(1~о) «X

' Г >2	2 Wr>

(“г~О

(аг —%)(аг~	шг ,	(% — аг)(а* — “г)+>г .

Я‘;

В большом количестве случаев можно считать

а1	%»	я2 = V

Ток при скольжении s можно принимать примерно равным установившемуся току z’ao,
рассчитанному для скольжения, численно равного —<*)г = —(1—$) и взятому с обрат-
ным знаком. Ток определится из условия (*ао г'а1	*а2)/—о ~	т. е* из равен-

ства нулю суммы трех токов в момент / = 0.

Ток ztti в роторе при скольжении s также можно считать примерно равным току
ii*O при скольжении, численно равном —юг = —(1 — s) и взятому с обратным знаком.

Ток z’u2 определится из соотношения:

(*«0 "+ г*«1	о ~

т. е. из равенства нулю суммы трех составляющих в момент / = 0.

з) Частный случай — ротор вращается с синхронной скоростью, s = 0

где

В этом случае

. е8т «г cos у08 — срдр)

(01	й>2

?а0= arc tg — -ь arc tg — .

(Зп, 71)

(Зп, 72)

При малых активных сопротивлениях в статоре и роторе

яг 1;

а, а

1	4

аг

а.

(gr — %)2 — (! — a) gX •+ 1
(<-g?-l

(i—°)

Ток z*ai, затухающий с коэффициентом затухания alt равен:

«1 = 1 — (0С

где

е»т

*а1 =----~

е в1/cos [сос^-+-<ро> — <pai],

0)2 — (01
«2 ““ а1

(01

<Ра1=arc tg —	arc tg

arctg

(01

ar — <zi

(Зп, 73)

(Зп, 74)

При малых активных сопротивлениях в статоре и роторе

а9 1 и ar 1

- _ е*т “V / .	ч

~ s cos ((ос/ -ь <?о« — ?а1)«
х.

(Зп, 75)

В упрощенной теории синхронных машин величину (ов принимают равной нулю и
пользуются выражением

• ~ в8т “М /	\

8	cos (<ро« — Tai) •

(Зп, 76)

, 1

В теории синхронных машин величину а9 обозначают как -~г. Составляющую z’ai
* а

называют апериодической или асимметричной составляющей.

Ток z*e2> затухающий с коэффициентом затухания равен:

• е*т

(аг-а2)2-ьМ2
(4- "Ж2* “1)

е-”3' COS (<»if Ч- fo» —

(Зп, 77)
где

о)2	<^2 — (Oj

f <2= arc tg — -ь arc tg -----— -+- arc tg ~---—

«2	а2 — а1	аг — а2

(Зп, 78)

Ток га2 является более точным выражением периодической или симметричной со-
ставляющей переходного тока в упрощенной теории синхронных машин. При этом
обычно в теории синх онной машины принимают:

При активном сопротивлении в статоре, равном нулю, at = 0

«1==0;	6^ = 1; a2 = ar; (o2 = s.

В нашем частном случае $ = 0, поэтому

.   еет (1 — о)	—at

'°2---УГТХ costf-bfo.-^).

где

1

?<2==~arc tg — .
аг

(Зп, 79)

(Зп, 80)

В упрощенной теории синхронных машин принимают ia% равным:

.	esm ... ч	.

*а2 = ~	(1 ~ а) е г cos (t Ч-cpoe ~ Тай)»

(Зп, 81

пренебрегая величиной по сравнению с единицей.

Если в цепь ротора включено большое активное сопротивление, то, как видим,
такое упрощение недопустимо.

Ток ротора zMo при s = 0 равен нулю.

Ток iui равен:

'«1 = — 0	, ,2	2 е"“* cos [—<»!? ч- <рог — %д],	(Зп, 82)

V а3 *" “з

где

ш3

?я1=---arctg в1_а1

Принимая	toc^O, имеем:

1 — ° egm ________- f

<«1	---,2 ® 1 cos (—t ч- TOr — ?«i),	(Зп, 84)

где

?wi = —arc tg — .	(3n, 85)

Tok z’«2 равен:
где

<Р«2 = —arc tg

*»>з
а2 — «1

Принимая af^0 и со#^:0, имеем:

l’w2

1 — a е»?п

QXm Vl-t-a'^

«“*’* cos (for — ?иа).

где

1

<P«2 arc tg ~7“
а-

(Зп, 87)

(Зп, 88)

(Зп, 89)

3. Электромагнитный вращающий момент при включении
в мощную сеть при неизменной скорости вращения ротора

Электромагнитный момент вращения в долях номинальной мощности машины
равен:

М = Mq9 -+- МС1 Mcz -•*” -Л/pi ин Мр^ + Mpfr	(Зп, 90)

где

„	e»m (ar ~ аг) »___________а!т(аг~аг)8

“ ~ -э н [(<% - •/ - « - чл  '  ’

мп =	W, — а  я				-ш22	е—2ах/ .
		аз-<	2  н О>3	6	1 ;
	(i)o ——	а?-*	- СО?	
ме2=	ЪЛ	2	1	Ш1	—2а,£ ,
	—^0*	s	»'2_, а3 Н	,	2  Н О)3	е	,

(Зп, 92)

Mpi = / ,^°* 2\ Re {—]Pz (Pl — Рг) (pi *“ J2s) &P,t} =
s (а3 -ь ш3)

Мр2 —

Чаз2

MQSCp^

Mqs

е sin (coj/ — ?jpi);

Re {jpj (р* — р'2) (рц -+- j2s) ел'} =

(Зп, 93)

=.	sin (<а^ _ ?J(2);	(Зп, 94)

s (а3 -4-

Afp3= / '2 .	2\ Re (7P2A1 ( а3 7wr) е	J

s (а3 и>3у v

=.	t-”' Sin (W3f - ^3).	(Зп. 95)

s (а3 -+- Ю3)

Здесь

а3 ==	— а.2> w3 ==	— *^2’ а3 == а1 а2 == аг	($п» ^)
Коэффициенты:

Ср1 = |/ [а‘1 -+-	— 2s)2J (<*2 -4- ш2) (а32 -4— W2) ;

С^2 = 1/[а2	(ш2	2s)2J (а2 -4- o)2j (а32 -4- (о3) ;

Cj>3 = V(аз “г) (“1	ш1) (а2 + шг) •

(3n, 97>

Углы:

со2	W1 — 0)2	Ш1 — 2s

©Р1 = arc tg------4- arc tg ---------4- arc tg---------

w	& a2	& a2 — ах	& ax

o>l	U)i — 0)2	o>2 — 2s

to = arc ЧГ -+ arc tg а2_а1 tg —~

.	"2	. (	“1 \	.	»>r

= arc tg — -ь arc tg I — —) -+- arc tg — .

a2	\	«1 /	aq

В частном случае при неподвижном роторе о)г = 0 и

М= Мм {1 ч-' к-	.In (< -

e 2 sin

где

(3n, 98)

= M)0

a2 — “i

sin (t — <fpl) -+- е~“г/ sin (Z -t- <p^2)

(3n, 99)

. al ~ «2

= ^3 = —?j>2 = arc tg j	;

Л/00 — статический пусковой момент вращения.

При пренебрежении влиянием активного сопротивления в цепи статора формулы
для расчета токов, потокосцеплений и вращающего момента существенно упрощаются.
В этом случае имеем (см. главу 4):

t.—Гт-Ь-Ьт'1---"»-

(Зп, 100)

(Зп, 101)

Здесь и х9Ш — статорные реактивности х9 (р), соответственно при р = js и
р =

г «Г -+- js ш fa'r — j(0r

Х9» х» ar-+- js »	*•<» “ х* ar — ju)r ’

Ток разбивается на три составляющие: i9 = igQ -ь iSi -+- гДе

е« s—ji _ Jil. .

is2 —

j xi

(3n, 102)
Значения составляющих токов и потокосцеплений, соответствующие формулам
(Зп, 100), (Зп, 102), а также составляющие вращающего момента, легко получить из
обычной упрощенной круговой диаграммы асинхронной машины, представленной на
рис. 4-1. Пользование круговой диаграммой изложено в главе 4.

Вращающий момент в частном случае, когда влияние активного сопротивления
в цепи статора мало и его можно учитывать приближенно, может быть записан
в виде:

М= мо, -	cos - ?1) -

1 / ^0г^0<о Г ___- 4	„4	1

— у —Is 2 cos (a>2t ч- <р2) — е 3‘ cos( a3t — <p2)J, (Зп, 103)
где

е2 з(Т-Т')	е2 шг(Тг—Т'г)

-д	8m \ г г/	8m г \ г г/

1 . 2Г'2 I М0<»	~~ 1 .	2Т'2

X g	X I S 1	х? X I СО * г

T'r	(s-<°r)Tr

?! = arc tg I-----?2 ;	?2 = arc tg ——-----.

1   S0)rTr	1 -+- S(DrTr

При s = 0 вращающий момент может быть представлен в виде:

М = -Mw {е-2*** - 1/1 н- т;2 [«—** cos (<*it - ?1) -

— е—*** cos (<u2# ч- уг) ч- е а,/ cos (o>3f — <р2)]} >	(Зп, 104)

где $1 = —Фз = arc cos —===== и Мпп — статический

V1 ч- тг2

электромагнитный момент вра-

щения при пуске неподвижной машины.

При s = 1 момент вращения в функции времени может быть выражен формулой

М = Mqq {1 ч- — V1 ч- Г'2 [е-М cos (f — ?1) Ч- е-"3' cos (t ч- ?2)]} =

= Мж {1 ч- 8-в«‘ — (в-®** ч- е-’3') cos# - Г _ е-«^) sin t}.

(Зп, 105)

Углы <pi и <Р2 определяются из выражения

1

<Р1 = ?2 = arc cos —===== .

V 1 -ь Гг2

ПРИЛОЖЕНИЕ 4
(к главам 4 и 11)

ПЕРЕХОДНЫЕ ТОКИ И ВРАЩАЮЩИЕ МОМЕНТЫ ТУРБОГЕНЕРАТОРА
МОЩНОСТЬЮ 150 МВТ ПРИ ВНЕЗАПНОМ ТРЕХФАЗНОМ КОРОТКОМ
ЗАМЫКАНИИ И ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ В СЕТЬ НЕВОЗБУЖДЕННОЙ МАШИНЫ

1« Данные и параметры генератора

Номинальное линейное напряжение 18 кв, номинальный фазовый ток статора 535 а,
соединение обмоток статора в звезду, скорость вращения 3000 об./мин.

xd = x?=1.49;	/^ = 0.18;	4 = 0.12; х" = 0.15;

7\j0=12 сек;	7^ = 1.45 сек.
Активное сопротивление в цепи статора =0.0023 (с учетом добавочных по-
терь при частоте 50 пер./сек.). Омическое сопротивление в цепи статора на постоян-
ном токе. г<= = 0.00093. Значения параметров даны в относительных единицах.

Рис. 4п-1. Частотная характеристика турбогенератора мощностью 150 мгвт (для
среднего тока статора).

Частотная характеристика по средним значениям токов в асинхронном режиме
без возбуждения при разных скольжениях ротора представлена на рис. 4п-1. Харак-
теристика получена непосредственными измерениями, произведенными на месте уста-
новки работниками ВНИИЭ под руководством Л. Г. Мамиконянца и Л. С. Линдорфа.

2.	Ток статора при включении в сеть невозбужденного
генератора, имеющего синхронную скорость вращения

Z, = ZfO -ь Zfi Гв2»
где

м = 0.671еузш;

_ t____	t

Itl = -(5.98-/1.79) е °.571 еУ°.49/ _0 79e 0.571 еД2-0.00157)31«.

Г ________t	___t	t	t

i« = L0.472e ч- 1.535е 319 -ь 1.203e °-3®2	(1.535 —j 0.113) e 0 053 -+-

4-	(1.182 — j 1.10) e-0 0051 4- (0.162 —/ 0.58) e—0-°°13J е>зш

и t — время, выраженное в секундах.

Частота „апериодической" составляющей равна:

0.49 -100 л , л,
(Ос =-------- ^0.16% от номинальной.

Фазовые токи определяются как проекции комплекса тока на оси фаз а, 6, в.

Пусть в момент включения ? = 0 напряжения на фазовых обмотках статора равны:

иь = cos

r тс	2тс \

,~2	~ Т) ’

Uc = cos

f тс	4тс

J2 7«о — Т
В таком случае

(	1	_ I ^|Тло—V	_ I Л Yao— -о

z'w = Re < it£^ao > ;	15 = Re ] z’fe '	' | ; z« = Re | z’ee '

ставляющих фазных токов статора при	*

внезапном трехфазном коротком замыка-	— - - - |

Р Ф НИИ.	И- 0.58 8 0 0013 J sin (314?-ь7в0).

Токи выражены в долях номинального тока статора. На рис. 4п-2 представлено зату-

хание „апериодической" составляющей переходного тока в фазах а, 6, с с учетом

Рис. 4п-3. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика и ее
ступенчатое приближение

= 1.1 — 0.67 = 0.43; «1 = 2.2 • 10-*; Тг = 14.4 сек.; i2 = 2.5 — 1.1 = 1.40; *2 = 1.10-»;

Т2 = 3.19 сек.; г, = 3.6 — 2.5 = 1.1; а3 = 8.8 • 10-’; Г3 = 0.362 сек.; и = 5.0 — 3.6 =х 1.4;

«4 = 5.5 • 10—2; Г4 =0.058 сек.; г5 = 6.5 — 5.0 =1.5; а5 = 0.63; Г5 = 0.00505 сек.; Г6 = 7.5 —

— 6.5 = 1.0; «6 = 2-4; Г6 = 0.00188.

влияния вращения этой составляющей. Амплитуда, коэффициент затухания и скорость
вращения „апериодической" составляющей i31 определяются непосредственно из ча-
стотной характеристики с учетом влияния активного сопротивления обмотки статора
r=r9_ на постоянном токе.

Начальная амплитуда периодической составляющей тока статора z'<2 определяется
по частотной характеристике из условия (z\o -+- hi	~ О»

Для разбивки тока z>2 на составляющие, имеющие разные коэффициенты затуха-
ния, частотная характеристика перестраивается в логарифмическом масштабе» По по-
лученной кривой строится лестничное приближение, позволяющее найти необходимые
составляющие и коэффициенты затухания, (рис. 4п-3).

Значения токов получены без учета влияния насыщения, которое увеличит мак-
симальное значение токов, см. п. 9 главы 11.

3.	Ток статора при внезапном трехфазном коротком
замыкании генератора, работающего в режиме холостого
хода с номинальным напряжением

Если ток включения h невозбужденной Машины в сеть определен для случая
з = 0, то ток статора при внезапном трехфазном коротком замыкании равен:

= —h-

Фазовые токи определяются так же, как и в случае включения в сеть, т. е. равны
фазовым токам при включении в сеть с обратным знаком, если начальные значения
фазовых напряжений в обоих случаях совпадают по величине и фазе. С учетом влия-
ния насыщения, см. п. 9 глава 11, |*з£тах> |<| гжтах. (•

4.	Электромагнитный вращающий момент при внезапном
трехфазном коротком замыкании генератора, работавшего
в режиме холостого хода с номинальным напряжением

Электромагнитный вращающий момент равен:

4=Re {ж«-;},
где ф, — потокосцепления статорной обмотки и знаком * обозначена сопряженная не*
личина.

При внезапном трехфазном коротком замыкании

Установившийся электромагнитный момент, вызванный наличием активного сопротив-
ления в цепи статора, равен:

-—5-= 0.0009.

При внезапном трехфазном коротком замыкании

М№ = Re | j tv0-4We-	i*k j ч- 0.0009 = 0.0009 — 1.79 s~	—

___£_Г	____f	___i	___t	___t_

— e 0571 [0.472 e 144 ч- 1.535e 319 ч-1.203e 0362 -*-1.535e °-058 +-

____L_ __L_ I

ч- 1.182 e 0 0051 ч- 0.162 e 0 0013 ч- 0.671 J sin (1 — 0.00157) 314# ч-
___t г _ t	_ t	_ t ~1

-+-s 9-571 L0.113s °-058 -+-1.10 е 0 0051 -ь 0.58 е 0 0013 J cos (1 — 0.00157) 3141 -
it

— 0.79 е 0 571 sin 2 (1 — 0.00157) • 3147.

Электромагнитный вращающий момент выражен в долях вращающего момента,,
соответствующего номинальным ква машины при синхронной скорости вращения.

5.	Электромагнитный вращающий момент при включении
невозбужденного генератора в мощную сеть при синхронной
скорости вращения ротора

Учитывая наличие установившихся потокосцеплений в случае включения в сеть,
электромагнитный момент равен:

Ч = Re > где Ф, =8>зш — Фз*: ’» —

Раскрывая выражение для электромагнитного момента, имеем:
_____________________________________________t	_____t	_____t

М =М'.„ — Re №31iti*ak! =	— 0.113 s °-058 — 1.1 s °-0051 — 0.58 s °-0013 -+-

0	(	о л j	oK

t

-»- s 0 571 [1.79 cos (1 — 0.00157) 3141 -+- 5.98 sin (1 — 0.00157) 3141 -+-
_ 2t	___t	t

-+-0.79 sin (1 — 0.00157) 314 7] =0.0009 — 1.79s 0571 —0.113e °-058 — 1.! s~ °-0051 —
_ f _ * Г	— *	— *	— * ~l

— 0.58s °-0013-+-e 0.571 |_1 790.113s 0058 H-l.le °-0051 -+-0.58 s 0 0013Jx

t r	___t	___t	t

x COS (1—0.00157) 314 7 ч- e-0-571 Le.l— 0.472 s 14 4 — 1.535 s 319 — 1.209s °-362 —
_ * — * _ * ~]

— 1.535s °-058 —1.182s °-0051 —0.162s 00013 J sin (1 —0.00157) 3147 ч-
___________t	2t

0.79 £ 0 571 sin (1 — 0.00157) 3141 — 0.79 e 0 571 sin 2 (1 — 0.00157) 3141.

ПРИЛОЖЕНИЕ 5

(к главе 4)

ВКЛЮЧЕНИЕ АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ С ОДНОЙ СИСТЕМОЙ ОБМОТОК
НА РОТОРЕ В МОЩНУЮ СЕТЬ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ПЕРЕМЕННОЙ
СКОРОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Решение дифференциальных уравнений для рассматриваемого случая, как известно,
не может быть получено с помощью элементарных функций. За последние годы опу-
бликованы таблицы интегралов Френеля [4-7; 4-21] для комплексного переменного, ко-
торыми можно пользоваться при рассмотрении указанной задачи.

Однако не менее удобно в большом числе практических случаев пользоваться реше-
нием с помощью быстро сходящихся рядов, поскольку для практически требуемой
точности обычно достаточно ограничиваться вычислением одного-двух первых членов
ряда.

Ниже представлено рассмотрение с помощью быстро сходящихся рядов [4-5; 4-6].
1. Общее рассмотрение

Потокосцепления статора в координатных осях J, q можно с достаточной точно-
стью принять равными:

I P^ar-*-Js

= в, I	_ pJ (p _ p2)



—

Pi (Pi — Рг)

Р2

Рг (Pi — Рг) _

(5п, 1>



где pi = — ах — jc*>i и р% =—а2 — Jw2 — корни операторного уравнения:

/)(р

js)= О,

(5п, 2)

в которое скольжение входит в качестве переменного параметра.

Допустимость такого приближенного решения при малом активном сопротивлении
в цепи статора (а8 <^. 1) очевидна, так как при с£->0 стремится к величине
. е» <
т•	р I j * * независимо от характера изменения скорости вращения во времени.

Ток статора i8 в координатных осях q равен:

<b> _![!_ ar~ a<
Xd(p) x, \ р-ьа'

(5п,3)

Ток статора в фазе а равен, аналогично случаю постоянной скорости вращения

ротора, величине:

*a==Re [i’Xe*] =Refff.

(5п, 4)

Раскрывая операторное выражение для тока статора i8 в координатных осях q*
получаем:

г	esm (ar

в	;

Р1Р2

Pi (Pi — Рг) 2*=о

Здесь

_ £—a2^

<(«)=*=

Рг (pi — Рг) j /=о

(5п, 5)

6-«# j ;

0
t

=-£-a< je^e^A;

0
t

(5п, б)

(5п, 7)

/С(а)

1
p + a



— £-
a

t

о
t

(5п, 8)

~ Зс = J ($ — W2) dt.
0

(5п, 9)
Ток ротора ir равен:

(1 — 0) е,таг^ — °) f	„

, = —----------ф -+--------------<---------X

г	<*Хт	*Хт ( Р1Р2

или

Pl (Pl — Р2) J /=о Кш ^“г	е

р2 -4“ -Ь JS |	* ,	1

Р2(Р1-Р2) Ь=(Л ~ “4 (5п'10)

(1-0)
ОХт е‘т

Р1Р2 L г k r/J



Pi -4- i -4- js	n	~	.

P2-*-ar+is

P2 (Px — P2)

/=o [£ j9‘ ~	~ “2^} '

(5n, 11)

С учетом переменной скорости вращения ротора, потокосцепления статора
в координатных осях d, q равны:

ф1=в/ ^2±_е/з	6^_е-^	У-? £-/зс

* I Р1Р2	Р1(Р1 — Р2)	Р2(Р1~Р2) J

Потокосцепления статора в координатных осях а, р равны:



е-/₽о-

Р1Р2	|_ Р1(Р1 — Pi) J/=o

Р21	_,р(

-------------— £
Р2 VP1 — Р2) /=0

Произведения и с^» строго говоря, нужно понимать как интегралы j aidt
о

(5п, 12)

(5п, 13)
t

J а2Л.

О

В тех случаях, когда ар и мало меняются при изменении скорости вращения

ротора, эти интегралы превращаются в произведения aTt и a2t. Это имеет место в тех
случаях, когда <ог^>0.

Ток статора ia в координатных осях dt д равен:

евт

— a'r (1 — о) К ч- е а‘*

P1(P1~P2) J/—о

X [еу?“ - < (1 - о) к* « - aj)] -

Р2 (Р1 — Р2) J /==о

X [e-/fe - < (1 - О ) к; « - а2)]

Ток статора в координатных осях а, р равен:

•л,{—гС,У‘ -(1—

(5п, 14)

(1 _ а) ai)] -

'P^~pJ , Je“yP“ ~ ~ 0)	« - “а)]} •	<5п, 15)
При неизменной скорости вращения функции К (а) имеют вид:

(5п, 16)

Подставляя указанные величины функций К (а) в формулы для ir и ia, получаем
совпадение с формулами, данными для случая постоянной скорости.

Так, например:

(1-°)

'r==~ oxm е'”Ч Р1Р2

а.

Л- , г (е/р-е
аг •+

Pl (Pl — Р2)

Р2 (Р1 — Р2>

1 — а

<*хт

— V— е/3	_Р1_±± -Ж> _ .-М P2^Js -ypj

Р1Р2	Pl (Pl — Р2/	Р2 (Pl — Р2)	)

(5п,17)

При изменении скольжения ротора в функции t по линейному закону (s == $0 -+- 2at
функции К (а) выражаются через интегралы Френеля для комплексного переменного.

Ток ia может быть представлен в виде:

19 = z’ctO “+" z’ffl U2 -Ь A«z а,

где

(5п, 18)

*°	X,	Р1Р2

iel =	Г

O1	X.	L Р1 (Р1 — Рг) _к=0

(5п, 19)

Г Р2±^±±.“| е-УЙ<о

Хя	L Р2 (Pl — Р2) J^=o

составляющие тока статора zff, имеющие тот же вид, что и при постоянной скорости
вращения ротора.

Изменение скорости вращения ротора учитывается в этих составляющих тем, что
умножение на время t заменяется интегрированием по /, и скорость учитывается как
переменный параметр.

Кроме этих составляющих, появляется еще дополнительная составляющая △а*(7'
равная при постоянной скорости вращения нулю:

V. -7?	<1 - "> < {	' - (°,	*

е~

Р10 (Р10 — Р20)

[6Л _ (р10 Ч- а; н- 750) Ел< (а’г _ ах)] _

— (р р ) [6 У₽ш — (Р2о-*-аг-»-7*о)еЛ/ ₽)*з(аг	(5п, 20)

Р20 (Р10 — Р20)	Р	'
Здесь дополнительные нулевые индексы при р и s указывают, что значения р и s
относятся к моменту t = 0.
Ток ротора ir также может быть представлен аналогично в виде:

ir = iro *ri*r2 “fr"	(5п, 21)

где
(1 — °) JS ур.	,,

*го = ——“Z“T~ z 9	(5п, 22)

Р1Р2

Гр.(рГ-\> L,Л”;	,5"' 231

ir!“ *	1	1 - и) !-• ‘_Л’’	<5п' 241

Дагг = — ~з----- е а I----Г— (а js) К f«l)l -+-

а г ахт 8т r I Р1Р2L	J \ r/J

D (D ..~ (Р1°	~

Р10 (Рю — Р20)
е-«2*	г	а ,

- Р20(Р10- Р2^	“ (Р2<> *	~ “2)1-	(5П’ й)

Составляющие Да1а и &air при обычных ускорениях, когда машина развертывается
или ускоряется за время свыше 15 периодов (0.3 сек.), весьма невелики, так как по-
стоянные времени асинхронной машины обычно малы.

Так, например, если критическое скольжение sK аг равно 0.3, то электромагнит-
ная постоянная времени ротора Тг имеет порядок 0.01 сек.

Большие ускорения, чем указанные выше, в асинхронной машине имеют место
в редких случаях, когда приложенный момент вращения во много раз превышает но-
минальный.

Таким образом, в большинстве случаев, если ускорения не слишком велики
2а < доф t можно пользоваться следующей методикой расчета токов при переменной
скорости вращения ротора:

1.	Установившуюся составляющую рассчитывать, как при постоянной скорости,
подставляя для каждого момента времени действительную скорость вращения ротора
в качестве переменного параметра.

2.	Амплитуду составляющей i’i, затухающей с коэффициентом затухания ах, рас-
считывать по значению скорости в момент t = 0.	/

Вместо выражения определяющего затухание, пользоваться интегралом j*
о
где аг — функция скорости, а следовательно, функция времени по представленным
формулам.

Вместо выражений si, o)rt, определяющих фазу, пользоваться соответствующими
интегралами по i.

3.	Амплитуду составляющей ?2, связанной с коэффициентом затухания «2» опре-
делить для значения скорости вращения при t=0.

Затухание н фазу определять интегралами по t, учитывая их переменность во
времени при изменении скорости, аналогично i±.

Фазовые токи в роторе и статоре рассчитываются в соответствии с указанной
методикой и определяются как реальные части соответствующих комплексов.
2.	Расчет токов статора и ротора при малых ускорениях,
когда 2a<^]/a^.2 + s2 , и добавочными составляющими,

	вызванными наличием ускорения, можно пренебречь

Установившийся ток статора

	'аО -1- _ А cos (? ч- «рое — ?ао).	(5п, 26)  ^<*0
где	za0 xt I/	I 2	>	(“п, 27)  Г	ar-bs  <рао 5= arctg -^7- ч- arc tg	— arc tg •	(5п, 28)  ь*!	u<2
Для	каждого момента времени определяется скорость вращения и соответствую-

щие величины aj, <01, а2, <о2 по формулам для случая постоянной скорости,
Переходная составляющая Тока статора ia\ равна:

	*«1— _ е а‘ cos [в, ч-<р08 — ро1],	(5п, 29)
где	«1 = | «1Л.	(5п, 30)  0

При малых начальных скоростях <ог = <о0 — 2at = а$~*~ аг

	оа А	“Л ( ,	„	4«2f2 \  “1	' а3 f	дЗ ' ^“0	2U/a>04- ’ 3 jt _  г /  “А г	(“о — “г)2-|  _ «3 LG-b 4 * За| J-	(5п,31)

При больших начальных скоростях <ог = coq —	> а3,

ai “«G	(5п. 32)

zai и fai определяются по формуле (5п, 19) для случая постоянной скорости,
равной <i)q, см. приложение 3.

Переходная составляющая тока статора za2 равна:

где	«а2 — _ „ е “’COS [р — Ре Ч- р0, — ?о2],	(5п, 33)  а2 = J a%dt.	(5п, 34)

О

Величины za2 и <ра2 определяются по формуле (5п, 19) для случая постоянной ско-
рости.

Установившийся ток в роторе iuq равен:

	i«o = — ~~ cos (р ч- «рда. — ?я0),	(5п, 35)
где zwo и ^#0 определяются по формуле (5п, 22) для скорости вращения в данный

момент времени;

•	в9т —-at	fQ	X

1«1 = — —- е	1 cos -ь <рог — ?«1).

(5п, 36)

где и определяются по формуле (5п, 23) для скорости вращения ротора coq,

имеющей место в момент времени t = 0;

f«2

Zu2

e*^ cos (—pe -+- «Рог — фаз)»

(5n, 37)

где z«2 и определяются по формуле (5n, 24) для скорости вращения <оо» имеющей
место в момент времени t = 0.

3.	Добавочные составляющие токов статора и ротора,
вызванные ускорением ротора

а) Случай малых ускорений

При малых ускорениях 2а	а? -+- s2 , $ = -ь 2at

Л 1	1,3	1-3-5

*(a)~ ' +js l1-*- 2Й (2n)2 -*• (2j7)8

—a t

8 Г

ar~Hs0

1	1 • 3

2j‘7o	(2j7o)2 ”*" * * *

(5n, 38)

где

0

4a

To = (T)/=o,

(5n, 39)

Соответственно

e/3a>

a

1	1-3	1

2j'7e> * (2Лш)2 •4*---J-

_	“1?	,	1	1-3

(“r — ai) J (s0 “ “io) *	2j7m0

(5n, 40)

где

Fs— wj— j («,--«1)12

7<i>=	4a	> Two (lai)/=o;	(5n, 41)

e->₽o C 1	1*3	1

2/73 * (2jV *”4-

,	e~(ar-e2)<	1	1.3

	1 *2Л”<2jf'	(S”421

[s — ®e — j (a — a»)! 2

----Нт--------l₽o=(^=o	F^43)
Подставляя значения функций К (а) в формулу (5п, 20) для составляющей Да/9,
связанной с ускорением ротора, имеем:

△Л

(1 _ Q)afr

Г 1	1 • 3

Р1Р2 L 2п	(2л)2

_ ar — ai-*-j(SQ— ^lo) /	1___

P10 (P10 “ P2o) L ar~ («— “1)	'

P20 (P10 P2o)

a^]s a!^is (i^-J-4-...U______i____ГХ

P1P2 r ^°\ 2j7o /	Pio(Pio— P20)

1

P20 (pio P2o)

Ток Даг9 может быть разбит на 4 составляющие:



(5п, 44)

(5п, 45)

где Aai9o — дополнительная составляющая установившегося тока, равная

еат (1 — °) аг , Г 1	1-3	1

х>1Р2 Е L2j7 (2Л)2

(1 — °) «г Г 1	1-3

М ar н-js |_ 2Й (2и)2

. (1 — °) аг Г 4а _ 1 • 3 (4а)2
“«••+• У® _ 2} (s —	4 (s — ja^

Пренебрегая членами, содержащими

1

73

(5п, 46)

и т. д., получаем выражение для

расчета дополнительного установившегося тока статора при наличии ускорения 2а

(скольжение s = so"+"2a/):

(1 —°)аг
Aoto0 = 2a	,	• '42*о0*

(®-Jar)(®- Jar)

(5п, 47)

Соответствующая дополнительная составляющая установившегося тока в фазе а
статора йа1аО равна:

(5п, 48)

или

Aai«e = 2а (1 — о) ar cos (f Н- ?0, — ?4в0);

(5п, 49)

«ДоО = Х» (»2 “г ) V(а1 -*• °1) (“2 “D = «<Ю («2 ar) Var «2;	(5п« 5°)

Ю1	ш2 л аг

?ДвО = arc tg — -ь arc tg — — 2arg tg —

(5п, 51)

А«*ао — Re (AaZao)*
Вторая дополнительная составляющая тока статора Aazel равна:

е (₽с+?ов)е—
вт

х,Рю (рю Р20)



(1 — °) “г

J (s — so — о>1 -Ь <о10)

'al (1 — ’) ar

—---------->------------------------------------------X

E®r — ar -+- j (s0 — <o10)] [(ar — aj -b j (s — wj]

(5n, 52)

1

№

Пренебрегая членами, содержащими

и т. д., получаем следующее при-

ближенное выражение для составляющей △aicri:

д .	.	___________С1	~ в) аг__________I } (<02 — <02о)

“'’I	101	[(“г - “1) J (s0 -	“io)j I	(a'r - al) -b J (s ~ "1)

(X- —gl)-*-J 6o— “io) |
[(»-<-,)-J (<-«i)]3 /’

Аналогично

П — °)“r f j(<0oo — <”c)	(A--tt2)-j4o	|

* [(a, - a2) - JX] I (O; - a2) -	* 2a - j - a2)]3 J ‘

(5n, 53)

(5n, 54)

Формула (5n, 54) для Aaza2, действительна только в том случае, когда
2a	V <о3 ч- (аг — а2)2.

Дополнительные токи в фазе а статора равны соответственно

^aiai = Re ^«41» ^а^а2 — Re

При наличии ускорения ротора в токе статора, как видно из формул (5п, 44) и
(5п, 45), появляется еще одна дополнительная составляющая Aafa3, имеющая коэффи-
циент затухания ar:

ДЛз = т2 (1 -»)	Г1 _ 1

х,	I (ar-*-Jso)PlP2 L'

1 П 1

Рю (рю — Рго) L

1 г1ч 1

Р20 (Р10 — Р2») [ З-Лро "*
Пренебрегая членами, содержащими

и т. д.,

имеем:

Д01-а3 =	(1 - а)

J’so)P1P2

1

Р10Р20

__________ ______________________1_____________________

J*o) Р1Р2 (s0 — X)2	Р10 (Р10 ~ Р2о) |> — <*>1 - J («Г ~ а1)]2

___________________1____________________

Р20 (рю Р20) [ J (аг аг)]2

Формула (5п, 57) для Дд^з действительна только при

2а

Соответствующая составляющая тока в фазе а равна:

Дд*43 = &е △а1аЗ«

(5п, 57)

(5п, 58)

Практически при малых ускорениях можно ограничиться только учетом дополни-
тельной установившейся составляющей Дд^о и соответственно Дд/до. Затухание осталь-
ных составляющих происходит в этом случае настолько быстро по сравнению с изме-
нением скорости, что в определении величин Да1а1, Дд1а2 и ДдЧз нет надобности.

Подставляя значения функций К (а) в формулу (5п, 25) для составляющей Дд1г
тока ротора, связанной с ускорением, имеем:

(1—g) , J Г 1	1 • 3	~| _

~ ах* are,m ( Р1Р2 L 2й	(гл)*-4- •' • J ~ рю (рю — Р2о) Х

Р10-*-аг-Н»0 1 Г 1	1 • 3

1 Р1	JI/4’ 2лш (2лю)2

Р20 (рю — Р2о)

‘	P2O-,-ar-+-JsoJ Г 1	1-3

Х .	р2-ьа>л ] [14- 2л3 — (2,^)* — ”

"г4- Js /	1	\	1	/!	1

(аг -+- JSqJ Р1Р2 '	2j7o	)	Р10 (рю	Р20) X	2j7(oq

Р20 (рю — Р20) 2j~ipQ

Составляющая Да1г может быть разбита на 4 части

Дд*г = Да*гО + Дд^’п -+- Дд1г2	Ддг’гЗ»

где Дд/го — часть не имеющая затухания;

△a*ri — часть, связанная с коэффициентом затухания

Дд/г2 — часть, связанная с коэффициентом затухания а2;

Дд*гЗ — часть, связанная с коэффициентом затухания аг.

Соответствующие составляющие тока в фазе и определяются в виде:

Да1«о = Re (Догг0е^‘*’0г);

Adiel = Re(Aeine/Ter);

Aei«2 = Re (Ла1г2в^?ог);

Дя1мз = Re (ДаО-з^ 'For ) •

(5п, 59)

(5п, 60)
При малых ускорениях основной интерес представляет величина дополнительной
установившейся составляющей AafrQ, так как остальные составляющие затухают
настолько быстро, что на них наличие ускорения не успевает сильно сказаться.

Ток Aairo равен:

1 - б Г еци /И 1	1-3 “I . аг Г 1	1-3

йв1г° _ ar е |_ 2Л (2Л)2 -ь ... J = -1г0	[_ 2Л н- (2^)2

< Г 4а

J» [2j(s-j<)2

1 • 3 (4g)2
4(s-j<)4

(5n, 62)

1 1
«у2 ♦ «уЗ

Пренебрегая членами* содержащими

и т. д., получаем

выражение для

дополнительного установившегося тока ротора при наличии ускорения

аг

Aaz’ro = 2а “~7 Г7Г *го»

(5п, 63)

Соответствующая дополнительная составляющая установившегося тока в фазе и
ротора Aafuo равна:

Де?U0 = Re (дв1го^<рог ) = 2а —	cos -ь ?Ог — ?4u0),	(5п, 64)

где

•«=;<&)	*<’);	<s».6S>

г	Г

?AuO = arct2 —-barctg-^- — у — 2arc tg-y- = ?w0 — 2arc tg (5п, 66)

Переходные составляющие Аа/М1,	вычисляются так же* как и соответ*

ствующие составляющие для тока статора. В вычислении их при малых ускорениях*
как правило, нет надобности.

б) Случай больших ускорений

При больших ускорениях 2a а, -ь s2; s ~ s0 2at;

s — ja*>

е'Ч 1

2jT (2/7)2

1 •3"*"1 -3- 5

(2j7)3

»o — К
2a

2j7o (2j'7o)2

— 1 • 3	• 3 • 5

(5n, 67)



1

Соответственно

(5n, 68)
Подставляя значения функций К (а) в формулу (5п, 20) для составляющей Да:\^

имеем:

^ = -22.^

х.

(1-о)а, ----- 1ч-—--------(1

’ Г(Р1Р2	2а \

2jy (2й)Д

1 •3’*"1 -3 • 5

1 Ч- j (р10	js0) (рг ч- 4 Ч- js) /

"Ь РЮ (Р10 — Рго)	2а	\	1 • 3

Г1 ч- j (pw ч- а' -ь js0) (р2 -ь а' -4- js) / _ 2j?p

Р20(Р10— Р2о) I	2а	\	1.3*-,

_ j8	Г (g;-4-js)« ч-jsp) / 2j7o

2а	Р1Р2 \	1-3

(P10-^ar-^-J»)

Ч~Р1о(Р1О — Рго) X

2j'Ta>0

1 • 3

_ (Рго4-^-*-/^)2 / _ 2Йро

Р20 (Р10 — Р2о) \	1’3

(5п, 70)

При весьма больших ускорениях 2а—> со дополнительный ток Дд/0 равен:

а«- - [de?.* ,^+jJ <i - ->< <5»- 71>
(1 — 0) ,

т. е. не может превосходить величины ---(iaQ -+- ial 4-ia2). Таким образом, общий*

ток ig при наличии ускорения ротора не может превосходить величины ia <	(z9)2a_Оэ

где (f0)2a==0 — ток ia при отсутствии ускорения.

Действительный ток Дд19 может быть разбит, как и в предыдущем рассмотрении,
на 4 составляющих

△аЦ = Да*в0 -+"	’+’ &aia2 -+• Да*9з,	(5п, 72)

где ДЛ19о — часть не имеющая затухания;

△af9l — часть, связанная с коэффициентом затухания с^;

Д«г92— часть, связанная с коэффициентом затухания а2;

Д«?93 — часть, связанная с коэффициентом затухания аг;

Установившийся ток Да/ао равен:

.	(1 - °) < ( j «J’)2 Г 2jy

Дв19о— ar-t-js	2а L1 I’S-*"

Пренебрегая членами, содержащими 7, ?2, у3 и т. д., получаем:

4 .	^С1-0) а,

ДаМ3» а_-4_;.

2а

С той же точностью

Да*91

*<,1(1-

рю -ь аг -

Да192

(Р1О

2а

М (1 — с) аг

Р20 -+“ «г -Ь JSQ

“ггеЛ/Х—З+То») f (ar	Js)|(gr J*o) t

I Р1Р2

(5n, 73)

(5n, 74)

(5n, 75)

(5n, 76)



>2

(рю-^г-МУ8

Pio (Pio — P20)

(Р2О-*-аг-*-Ро)В

P20 (P10 — P20)
Дополнительный ток Aafa в фазе а равен:

Да/а = Re (Aaz’e) = Д«1ао Aaz’ai -+- Aaza2 △а1’аЗ»	(5п, 78)

тде

Aaz’ao = Re (Aaz9o);

Aaz«i = Re (Aaz’91);

л . d /л • \ I	(5n, 79)

A«Za2 = Re (Aaz92);

△ai’a3 “ Re (△«Чз)*

Предельное значение дополнительного установившегося тока Aaz’ao имеет место при
j = 0 и равно:

л •	f1-0) •

&diaQ 0	*«()•

Общий установившийся ток в фазе а имеет при s = 0 предельное значение:

iao <С "у(*ао)а=О*

тде (z’ao)a=o — значение установившегося тока iaQ при отсутствии ускорения.

При конечном скольжении амплитуда дополнительного установившегося тока Aafa0
не может превосходить величины

(1 — а) аг

I г’а0 I ------о I f«0 1а=0»

V^-1-S2

•где [ z’ao |а=о — амплитуда установившегося тока при отсутствии ускорения.

Как видим, при всяком скольжении, численно большем, чем критическое $к аг
(при котором имеет место максимальный статический момент вращения), дополнитель-
ный установившийся ток в фазе, вызванный наличием весьма большого ускорения, не
может превосходить по своей амплитуде установившегося тока, рассчитанного без
учета ускорения.

Оценим предельные амплитуды переходных токов при весьма больших уско-
рениях.

Поскольку величина рю -+- аг jsq = (аг — аг) -+ j (со — сос) при пуске («о = 1) весьма
мала, составляющая Aafal (и, следовательно, Аага1) при больших ускорениях может
достигать того же порядка величины, что и Aaz’9o при з = 0, т. е.

Aaz’ol < — (^al)a=o.

При скольжениях меньше чем 1 — $к ток Aaz’ffl имеет тот же порядок, либо меньше,
«чем ток z’ai.

Величина Р20 ar -ч- ]sq = (ar — a^) foe-

Коэффициент «2 при практических соотношениях параметров может находиться
в пределах

“r<a2<(ar-+-%)-

Поэтому ток Aez’a2 (и, следовательно, Aaza2) по своей амплитуде имеет порядок
основного тока (z’92)a=o» рассчитанного без учета ускорения.

Ток Aaz’ff3 (и, следовательно, Aaza3) при больших ускорениях стремится к нулю.

Если учесть, что при s.^0 ток (z9o)a=O имеет амплитуду порядка , а при
^8

•ток (z’ai)a=o имеет амплитуду того же порядка, то мы приходим к весьма важному
выводу, что ни одна составляющая Aaz’9o, Аа*0Ь Да*02 тока статора при любом
ускорении не может превосходить максимального значения —~ , т. е. установив-

шегося тока короткого замыкания или, иначе говоря, максимального тока по кру-
говой диаграмме.

Ток ia в фазе а является реальной частью тока z’a, поэтому сказанное относи-
тельно амплитуд составляющих Aaz’a относится также к амплитудам составляющих Aaz’a.

Установившийся дополнительный ток в фазе а, связанный с ускорением, A^Zao
равен:

AaiaO = -- A g) ЯГ — C°S С - Ъ. ~ ?Дао).

(5п, 80)

где

гДаО

2	2

____________

(2а — 2sa'r^2 -+ (а

(5п, 81)

<01	<о2

?ДаО = агс	агс	аГС

'2	2

а — s

2а — 2а s

(5п, 82)

2\2 г®0»

Аналогично могут быть представлены составляющие Аага1, Aaza2, Aaza3 как реаль-
ные части соответствующих комплексов.

Сравнивая формулу (5п, 20) для Aaz’a с формулой (5п, 25) для составляющих Aaz’r
тока ротора, имеем:

Дв,(

Хщ

(5п, 83)

и, следовательно,

^air

взт ... 'I

— (1 — °) 1--------

r I Р1Р2

i‘)‘

Зн- ..

е—МеАо

РЮ (Р10 — Р20)

,	.(PlO4-“r-+-Jso)(Pl

1Ч^--------------

J’s)

J 2а

а2/£_уЗс

Р20 (Р10 — Р20)

’2

1-3

(Р10 аг

Р10 (РЮ

~аг*

е

— j 2а

>2л 2^Ш0

к1 1-3

Jy)(ar
Р1Р2

Р20 аг

Р20 (Р10 —

'I

’1 • З4-

I2 (	2^₽о

V1 — 1 • з •

(5п, 84)

Ток A«z’r, аналогично току Aaz*o, может быть разбит на 4 части:

Aaz’r = AazVo Aaz’ri *+ ^air2

При весьма больших ускорениях 2а —> со дополнительный ток в роторе равен:

in

z’r2

(5п, 85)

Дополнительный установившийся ток в первом приближении равен:

л • ~ ?г0 1
Aalro^-JJ-a,

-А)2
2а
С той же точностью

«п J. . (PlO4-ar-*-/«o)(Pl-*-er*Js)'
Дв1г1% L	-------------J*

. . in Г Г. . (P2O-'-ar-»-Jso)(P2-,-ar4-Js)
△л*г2	п  ;e ar 1 “+• J	*П.	>

Р20 -Ь js r L

. . j em , ~<V Г (“г ч- is) (аг ч- /»0)	(Рю ч- < -ь js0)2

A«"-3^2a«m(l-’)are	[ Р1Р2 * Р10(Р19-Р20) “

_ (Р2рЧ-агЧ-р0)2

Р20 (РЮ ~ Р20)

(5п, 87)

(5п, 88)

(5п, 89)

Дополнительный ток в фазе и ротора Aaiu равен:

Да£м = Re [△e*r®y?or] = АдМ М«1	М«2 А^з,	(5п, 90)

где

△Ло = Re (&airQ&Jf?or);

ДЛ1 = Re (Aefrle^^);
z \	(5n> 91)

Да'«2 = Ке

Дв'иЗ = Ке (Д^гзе^’’»•).

Установившийся дополнительный ток &aiuQ в фазе и ротора равен:

ДЛо = - 27^ cos (Р ч- ?ог - Тд«о),	(5п, 92)

где

,/ (•?*»?)Ц)	.	.....

“ 1 -“ у [2а — 2„'Jч-(,[ -- v'(2.-2«.;),-b«‘-.’)! '» ( ' ’
'2	2

(Oj	<02	®г ®

?ДМо = arct8T ~ -+- arctg — — arctg 2а_2а'g '	(5п, 94)

В тех случаях, когда ускорение ротора весьма велико,
гося тока Ад(„о стремится к величине

I Да'мО I

e,m (1 — °) аг

ахт ^Ч-^)^-»-^)

амплитуда установившее

(5п, 95)

При а = 0 установившийся ток холостого хода при 2а -» со стремится к току корот-
кого замыкания, а ток ротора, являющийся соответствующим отражением тока ста-
тора, вместо нулевого значения при s = 0, становится равным диаметру круга круго-
вой диаграммы асинхронной машины.

Дополнительные переходные токи в роторе являются отражением соответствующих
переходных токов в статоре и их нетрудно оценить на основании формулы (5п, 83).

4. Частный случай, когда активное сопротивление в дени
статора г9 весьма мало

В этом случае	так как =

а8 0; рг = —j; р2 = —а' — js; сов = 0; ft. = 0;	(5п, 96)

I, ==	[У3 — ar (1 — а) К (с£)] -ь	— а' (1 — а) ЛГ* (а' — aj], (5п, 97)
где

(а'г — Я1) = е~ (“'"“Л* j ^““1)' ,Лю<а;	(5п, 98)

О

t	t

Рсо = - f “гЛ; ₽ = J «л.	(5п, 99)

О	о

Ток статора i9 в координатных осях а, равен:

Ь	[е^ — (1 — о)	(%)] *+

-+- 8-«1* [1 — (1 — а)	(а' - aj].	(5п, 100)

Ток ротора ir в координатных осях J, q равен:

•- [" - 'Ж *	« (4 - -Л-	<5=.-101 >

При постоянной скорости вращения ротора функции К (а) имеют вид:

*(0=

(5п, 102)

е/Р — е

Подставляя указанные значения функций К (а) в выражение для токов и пре-
небрегая величиной ах по сравнению с ar, получаем совпадение с формулами, дан-
ными для случая постоянной скорости вращения ротора.

= 1™. е/(/-HP»,)	J™. .-«.«.Л, _	( J-

•'Х“	Iх,1 \Хи

X » “Г*	= ia0 -+- ioi -+- ie2,

где

, a 'r-*-is

•	, ar — j<°r

=x, (-]<»,)=x, ar_>r

(5n, 103)

(5n, 104)

Аналогично ток ротора при постоянной скорости вращения ротора при га = 0
равен:

ir

1—a'

I . ~шг	t-«l< e-/M

ar — jar



= z’r0 z*rl

(5n, 105)

При переменной скорости вращения ротора ток статора i9 в координатных оёях а,
$ равен:

— *а0 *al “*“ *о2

(5п, 106)
где

1™. ,/(<+*.).

41 =

6 gm

Е—«!< еЛо» t

7=0

(1	°) aretm	* £—ЛРш-Нро,),

*'.(ar-*-J»o)(er —J“o)

Л.,-. - =? .* (!-.)<	."-’ЖЛ

При малых ускорениях

~△aIal ~^«42*

△«4о 2a

△«41 2a

(1 — а) аг
(д-Х»(»-Х)2

(1 — °) “г

>0 —К)(— "о— Ю2 ,’1’

△«42	-2a	(1 - а)	Х

]х»

1____________1

Jso)(sO — X)2 Or — j“o) (-“о — КУ

При f = 0 Дв1в = 0, что может служить проверкой при расчете величины

При больших ускорениях 2a 0 дополнительный ток ДдЦ равен:

где

△«4	△«4о	△«41	△«42»

.	(1 ~ Д) <

△«40^ ar-^js

(1 — ’) аг Г

^’al^ О, —;шо I 1“H

, . (“>*)’1

I-bJ 2а

4о»

— >o)Or — >г) ] .

2a

M>2= — (Va0-+- ДвЧ1)/=Ое Г#е Й-

Для рассматриваемого случая нетрудно получить ток в фазе а статора it
Ток ротора ir при переменной скорости определяется как

ir = i*ro	1’г2	△л<г«

Zro

1 — a segm jat
’Xm 0r-*->)

iri

(1—o)(-<O0)	yw<.

, '	.4 eifflS	»

»Xm (<xr —J“o)

(5n, 107)

(5n, 108)

(5n, 109)

(5n, 110)

(5n, 111)

(5n, 112)

(5n, 113)

(5n, 114)

Да^а2*

(5n, 115)

(5n, 116)

(5n, 117)

(5n, 118)
t — Rc ig»

(5n, 119)

(5n, 120)

(5n, 121)
1 —а____________%_________ -Vf

1г2~ аХт	—>0) е4”*е

(5п, 122)

Догг = — ~ е-Л<-₽+?»») Дв1-а.	(5п, 123)

Из представленных формул следует важный вывод:

Симметрия выражений i8$ и i81, ir$ и zri имеет место не только при постоян-
ной скорости, но и при переменной с учетом составляющих &аг. Для получения
формул, определяющих i8± и ir^, достаточно в формулах длк i8Q и irQ заменить в
на (~"г) и ввести затухание, определяемое коэффициентом

Токи в фазах Ь и с статора и в фазах v, zu ротора определяются во всех случаях

как

(5п, 124}

т. е. во всех случаях для определения с учетом ускорения токов в фазовых обмотках,
отличных от обмоток а и и, достаточно найти реальную часть комплекса, имеющего
4тс

сдвиг фазы на и

5. Электромагнитный вращающий момент

Электромагнитный вращающий момент асинхронной машины при наличии постоян-

ного (положительного или отрицательного) ускорения ротора определяется формулой

(см. главу 4):

е2
jHe==^(l-o)

ATc«)sin₽— ^«(ar)cos?	(sin ?“*" s0^r cos P)

L Гг	1-*-^

(5n, 125)

где Kc (ar) и	(ar) — определяются формулой (4, 63) и а —	— коэффициент рас-

сеяния.

б» Численный пример

Для численного примера воспользуемся машиной с параметрами: х8 = хг == 3.07;
Хш = 2.89; г« = гг = 0.01, для которой электромагнитный вращающий момент в пере-
ходных режимах определялся с помощью интегратора работниками американской фирмы
Дженерал Электрик [4-34].

Рассмотрим режим замедления при начальном скольжении	и скорости

замедления, которая соответствует полной остановке с номинальной скорости враще-
ния за 6 периодов —2а =	•

Принимаем е8т=1> Имеем:

2 992	1

а = 1-з:07'-3:б7 = 5.14-10—2; ^=^ = 307; < =	= 6.34 • 10~2;

t	t

Kt = s-0 0634< J e0 0631< cos K, = e~° 0834< J e0-»634* sin ? = 0.01Г -	.

0	0
1
12ъ

Таблица 5п-1.

Расчет функций К9 в Ко при 2а=

8	‘	  t К ------	0.01  0.00	0.05  0.48	0.1  1j08	0.15  1.68	0.20  2.28	0.25  2.88	0.30  3.48	0^5  4.08	0.40  4.68	0.45  5.28
₽ 		0.00	2.59	10.7	24.2	43.1	67.4	97.09	132.19	172.69	218.59
sin р		0.00	0.045	0.186	0.411	0.683	0.923	0.992	0.741	0.127	-0.624
cosP		1.00	0.999	0.983	0.912	0.730	0.384	-0.123	-0.671	-0.992	--0.798
a'r*	  !	0.00	0.0956	0.215	0.3345	0.454	0.574	0.693	0.813	0.932	1.05
a t е r		  t	1.00	1.100	1.240	1.397	1.575	1.776	2.00	2.254	2.539	2.858
t-V	;		1.00	0.9088	0.812	0.716	0.635	0.563	0.500	0.444	0.394	0.345
•ar*sinp		0.00	0.0496	0.230	0.576	1.074	1.640	1.984	1.666	0.324	-1.78
•V cos 0		1.00	1.099	1.218	1.272	1.149	0.683	-0.257	—1.518	-2.518	-2.28
[(»“/’ sin pa — e V» sin px) (Z2 — ^)]. . . .	0.00	0.0372	0.263	0.76	1.553	2.56	3.41	3.44	1.88	—1.78
J esin				0.00	0.037	0.300	1.06	2.61	5.17	8.58	12.02	13.90	12.53
0  [eV1 cos P2 — V1 cos Pr] (f2 — *i) . . .	0.00	1.58	2.18	2.35	2.28	1.73	0.402	-1.67	—3.80	-4.52
t .  f a f  J e r cos p dt		0.00	1.53	3.76	6.11	8.39	10.12	10.52	8.85	5.05	0.53
0  K.		0.00	0.034	0.243	0.76	1.59	2.91	4.28	5.33	5.48	4.40
Kt		0.00	1.435	3.05	438	5.83	5.71	5.28	9.32	1.99	0.185
Скольжение и угол Р:

—. n So(s~So) .

« —0.01ч- 12тс , Р — 2а *"

(s —S0)2 S4-Sq
4а —	2	*'

к

. s —so
так как t = —•

Задаемся значениями сколь-
жения, определяем время £, угол Р»,
экспоненциальные Функции, интег-

/	t t

ралы J е r sin fidt и J e г* cos $dt
о	о

по правилу трапеций и затем нахо-
дим величины Кв и Кс.

Результаты численного расче-
та * величин К9 и Кв для несколь-
ких значений s сведены в табл.
5п-1.

При вычислении большого
участка кривой Me=f(s) работа
по вычислению интегралов К9 и
Ко может быть значительно сокра-
щена выбором таких точек кривой,
при которых sin р и cos р приобре-
тают определенные значения —р==

ТС ТС

» у и т. д.

Пользуясь величинами К9 и
К9% определяем электромагнитный
вращающий момент для разных
скольжений.

В табл. 5п-2 приведены ход и
результаты численного расчета
электромагнитного вращающего
момента для рассматриваемого
случая

М,=6.34 {0.0602 (К, sin р —
—К, cos Р) ч- е-ч*-°*м/(0.14б cos рч-
ч-0.925 sin Р)},

1
где -р- = 6.34; аг — % = 0.0602.

9

Результаты расчета и сравне-
ние с данными, полученными с
помощью интегратора для рассма-
триваемого случая, приведены на
рис. 4-15.

1Г>

об
И

S

об
н
ПРИЛОЖЕНИЕ 6

(к главе 9)

ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР РАСЧЕТА ТОКОВ ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ АСИНХРОННОГО
ДВИГАТЕЛЯ НА ГЕНЕРАТОР СОИЗМЕРИМОЙ МОЩНОСТИ ЧЕРЕЗ

ТРАНСФОРМАТОР

Ток в цепи статора при включении определяется операторным уравнением

. Z9XC9 Z9yG9
lg —	*	»	«

Z9XZSX Z9yZiy

Здесь

Z>t = r + (/> + j) x (p); xey = (pj) 9 (p)>
где

X (p) = Xt (p) 4- (p j)	Xtz (p 4- jst2); 9 (p) = 9» (p).

Остальные обозначения даны в главе 9, на стр. 227.

Пусть система имеет следующие параметры:

Генератор — мощность 500 ква; xd = 1.0; xd = 0.2; xq = xq = 0.65; ard = 0.005
(т. e. 7^ = 200); ard = 0.001 (t. e. 7^ = 1000); r4 = 0.01; E=l.

Трансформатор — мощность 250 ква; реактивность — 6%.

Двигатель — мощность 100 ква; лл==3.0; ха = 0.3; аа==0.1; аа = 0.01; га = 0.04.

Двигатель имеет скольжение «в2 =—1.00. Приведя параметры системы к единой
мощности 500 ква, имеем:

Г	рч- 0.005	р — j -4-0.1 "I

X (Р) = |_0.325 -к0.1 ^001 н-0.12-н 1.5	=

Г	0.0004	0.135	1.

— 2.045	р 10 001 -ь р _ j 0 01 J,

Г	0.0004 "1

У (р) = |_—0.225 -+- р	q^ooi J ! г °-21-

Знаменатель в уравнении для тока

л (р) = х,^ — xtvx*y = г2-4-г{р[х(р)-ьх*(р)]-ь;[х(р)—х*(р)]}н-

Н-(р2-ь1)[х(р)х‘(р)-р2(р)1,

», х оплс .	0.0004	0.135

где х* (р) = 2.045 -ь ——————- .

р ч- 0.001 р -4- J ч- 0.01

Уравнение Д(р)=0 содержат 3 пары комплексных корней. Эти корни можно
определить сначала приближенно из условий:

р2 1 == 0 и х (р) = 0; х* (р) = 0 или 2.045р2 ч-

ч-	(0.157895 j 2.045) р ч- (1.5945 j 24.45) 10~* = 0.

Имеем первые приближения для корней;

Рю == ~J; Рзо = •+•/; Р20 = 0.001195 — j 1.425 • 10“5;

Р40 = Р20» Рбо5=5 0-0780 j р20; рв0 = р50.

Если требуется точное решение, то уточняют значения всех шести корней, поль-
зуясь методом Ньютона. Затем, пользуясь теоремой разложения, получают соответ-
Расчет токов при включении асинхронного двигателя

547

ствующее выражение для тока в функции времени. Очевидно, что выражение полу-
чится весьма громоздким и расчет трудоемким. Для упрощения расчета сравним
рассматриваемую задачу со случаем отсутствия асимметрии ротора. В этом случае
мы имели первые приближения для корней plt из условия (р ч- j)=0 и р% из условия
X (р) = 0.

Из этого следует, что составляющие тока^ связанные с остальными корнями,
вызваны только асимметрией ротора и относительно малы. Исходя из изложенного,
допустимо принять следующий порядок расчета:

1)	определяем уточненные значения корней р± и р%;

2)	определяем установившийся ток z«q, соответствующий условию р = 0, и первую
составляющую свободного тока z'<i, связанную с корнем ри

3)	определяем вторую составляющую тока пользуясь соотношением (<>о ч- /ц
*“ z«2)/=o “ 0;

4)	определяем фазные токи.

Перейдем к расчету численного примера.

Определение pi. Пренебрегая влиянием г2, имеем:

= —}

у2 (-Л

P10 =

dA (—j)	}

2.045-4-

0.0004

—j-4-0.001	—2;-ь0.01

0.21_________

0.135	(°225

0.0004

-J-+-0.001 I
0.0004

-j-ь 0.001 -4'13-5



2

откуда pi	—j — 0.1029 ч- j 0.00347 = —j — ч- jwe; ах = 0.1029;	= 0.00347.

г
Величина аъ как видим, весьма близка к значению , где ^х представляет
2л х

собой сумму приведенных переходных реактивностей сопротивления генератора, дви-
гателя и трансформатора:

0.2-ь0.65

2 х1 =-----$-----ч- 0.12 ч- 1.5 = 2.045.

Это объясняется тем, что величина 04 связана со свободной составляющей тока,
почти неподвижной в пространстве и, следовательно, Создающей токи относительна
большой частоты в роторах вращающихся машин.

Определение ръ» Определяем Р20 из условия

х(р) х* (р)— р2(р)=0.

Для первого приближения Р20 пренебрегаем в выражениях х (р) и х* (р) комплекс-

0.135
ной частью -—у—да.

вызванной потерями в роторе асинхронного двигателя. Это

значит, что в первом приближении мы учитываем асинхронный двигатель как чисто

реактивное сопротивление.

Условие х (р) х* (р) — р2 (р) = 0 может быть записано в виде:

/	0.0008 \

(2.045 — 0.225 ч- —гТГпт ) (2-045 ч- 0.225) ч-
\	р ч- u.uuj./ '	z

9<9П1.^ 0 0004 1 0.135 (Р-4-0.01)	0.1352

2 ^•W«-4-pH_0.00i;[(p-b 0.01)2 -bl] ’’[(р 4-0.01)2-bl] — °-
Пренебрегая указанной комплексной частью в х (р) и х* (р), отбрасываем второй
и третий члены составленного уравнения. Получаем:

0.0008 н- (2.045 — 0.225) 0.001

Р20 ——	2.045 — 0.225	——0.001439.

Пользуясь методом Ньютона, определяем уточненное значение корня р% с учетом
отброшенных при первом приближении двух членов

(2.045Р20 0.002445) 0.27 (р20 -ь 0.01) ч- 0.1352 (р20 0.001)

Р21 — Р20~	(2.045	0.225) (2.045 — 0.225) [(р20-+-0.01)3-ч-l]	= —0.001437.

Нетрудно видеть, что влияние отброшенной вначале комплексной части в х (р) и
Xе (р) незначительно Й неучет ее привел к ошибке только порядка 0.15%.

Определение тока 1а$:
.___________________________k — jx* (0)] е« — jy (0) е* ______

1,0 — х (0) х* (0) — у2 (0) +	+ jr [х (0) — х* (0)] *

Подставляя в х (р) и у (р) величину р = 0, получаем:

х (о)___Ь5945—/24Л5_	4 _	уо.0552.

х w ~ 0.001 (—j	0,01) w ~

у (0) = 0.175; х (0) х* (0) — у* (0) = 5.9722
и, следовательно,

[0.21 — j 2.45е“' ° 0552] е, — j 0.175е*
f,0==	5.9722 +- 0.212 — 0.21 • 2.45 • 0.11	=

= (0.0109 — j 0.411) е, — j 0.0294е’ = 0.411е,е~> 4-544e — j 0.0294е*.

Определение токов i8i и гв2. Пренебрегая влиянием активного сопротивления г
и несимметрии ротора на амплитуду тока, имеем:

._______________—2jx* (—j) e,sp'f

1,1	~ -](-2J)[x(-) .x‘(-j)] •

Подставляя численные значения, получаем:

= (0.0165 -4- /0.4898) е,е-0.102>/-Д1-0.00347)/ = 0 Л90в<£-0.1029/-/(1-0.00347)/^1.5624.

Определяем ток ze2:

= — (iSQ +- f,i)<=0 • А* = —(0.02762 jO.0788) e^-0'001437* — jO.O294e*e-°-ool437<

re2 = _e-0-0M«7* {o.O841ete>1-2390 — jO.O294e’}.

Начальные условия включения. Пусть в момент включения напряжение на фазе а
=® cos (f -+- 7а) было равно cos 40°. В таком случае 7а = 40° (0.698 радиан) и
во==ЕЛ<+о.в9?); (е, ==_;).

Фазные токи. Ток в фазе а равен

й = Ке[-^-вЛ/+о-’88>];

аналогично

ib = Re

i, У (/+0.698-у)

--~ 8

—J

= Re

у (/+0,698— у)
Подставляя численные значения, получаем следующие значения составляющих
токов в фазе а;

1*ао == 0.382 cos (1 — 0.8450);

1Я1 = 0.490г-0'1029* COS (0.00347; -+- 2.2602);

i„2 = —0.1105s-0'0014371 cos (; -+- 2.0223).

Токи lao и ia2 являются суммами двух членов, имеющих одинаковую частоту.
Если бы машина, имеющая асимметрию ротора, вращалась несинхронно, то частоты
этих членов были бы разные.

ПРИЛОЖЕНИЕ 7
(к главе 10)

ГРАФИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ К РАСЧЕТУ ВЛИЯНИЯ АКТИВНОГО
СОПРОТИВЛЕНИЯ В ЦЕПИ СТАТОРА НА ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЙ ВРАЩАЮЩИЙ
МОМЕНТ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРИ КАЧАНИЯХ И ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР

РАСЧЕТА

1.	Графическое определение еА по векторной диаграмме

Для графического определения ед из векторной диаграммы выполняем следующие
Построения:

1)	строим векторную диаграмму синхронной машины для работы в установив-
шемся режиме с углом Ьо, без учета г9 (рис. 7 п-1);

2)	наносим на отрезке АВ =	точку С, делящую этот отрезок в отнопгэ-

ДС	1	isQQm

нии	, где Qqh = -----» АС = --------- и точку 17, делящую этот отрезок

* ДВ	IqhxXd	Iqhx

AD	1	—

в отношении	, где	---— , AD =

АВ	lihxxd

idhx ’	__

3)	проводим из точки С линию параллельно ОВ до
точки L — пересечения с отрезком ОД, характеризую-
щим вектор напряжения е,о;

4)	из точки L проводим параллельно ОЕ линию до
пересечения с вертикалью CF\

5)	из точки F опускаем перпендикуляр на направ-
ление вектора ОЕ, характеризующего возбуждение
ротора (внутреннюю э. д. с.);

6)	из точки D опускаем перпендикуляр DG на на-
правление ОЕ;

7)	проводим из точки С линию параллельно AG
до пересечения в точке Н с линией DG ,

8)	проводим из точки Н линию параллельно ОЕ
перпендикулярной ОЕ*

Отрезок ОК определяет величину напряжения е^
2.	Графическое определение составляющих

Из представленных формул (10,16) и (10, 17) вытекают простые методы графи-
ческого определения составляющих выражения (рис. 7п-2 и 7п-3).

Рис. 7п-2. Векторная диаграмма для графического определе-
ния величины iqhx^h (к определению составляющей демпфер-
ного момента Дгт^, вызванной наличием активного сопро-
тивления в статорной цепи).

а) Определение величины iqhx^h

Для определения величины iqhxeh производим следующие построения:

1) строим „круговые" диаграммы для параметров по осям d
скольжения А токи i * и их горизонтальные и вертикальные

Рис. 7п-3. Векторная диаграмма для гра-
фического определения величины
sin2 &0 ijhr -+- cos2 \ighr (к ойределению со-
ставляющей демпферного момента
вызванной наличием активного сопротив-
ления в статорной цепи).

и q и определяем для
составляющие
qhx' *dhr* *qhr*

2)	проводим из точки С (рис. 7п-2)
линию CD, перпендикулярную вектору
ОЕ, характеризующему возбуждение;

3)	опускаем из точки F перпендику-
ляр на линию CD; откладываем на ли-
нии CD от точки D отрезок, равный
Е

, и получаем точку Л;

4)	проводим из точки В линию
ВН, параллельную CD, и опускаем
на нее нз точки С перпендикуляр СН;
отрезок НК будет равен iqKx^h (при
= 1).

б)	Определение величины sin 2&0*|Аг -4- cos2B0i2Ar

Нетрудно также графически определить и другую составляющую коэффициента

Дгпм (рис. 7п-3):	___ _________________________________

1)	Проводим из точки М горизонталь МН до пересечения с вертикалью BL,
2)	проводим из точки Н линию, перпендикулярную направлению ОЕ}

3)	проводим из точки L линию LK, параллельную направлению ОЕ\

4)	квадрат величины отрезка ВК равен:

(sin2Vk-bc°s2^r).

Указанные графические построения пригодны независимо от того, являются ли
геометрические места токов соответствующих асинхронных машин при разных сколь-
жениях окружностями или кривыми более высокого порядка.

3. Численный пример расчета электромагнитного вращающего
момента при качаниях

Данные машины и режима следующие (рис. 7 п-4):

х, = 0.971;
л	*

x'd = 0.339;

rr<f = 0.022;

г, = 0.02; А =0.1;

xq = 0.635;

xq = 0.185;

rrq == 0.078;

6^=1;	£ = 1.6 И 1.0.

Расчет производим следующим образом:

1) Строим круговые диаграммы и определяем и iqh (рис. 7п-5).

2) Определяем idhr и i’ •
4	п 11К ПЗП1	П11К ППЛ

где

<'=^=ОО5И;

xd

^ = — = 0.349;
d

Рис. 7п-4. Эквивалентные схемы для расчета
электромагнитного вращающего момента при ка-
чаниях синхронной машины (численный пример).

xrd = 0.301 -ь 0.855 = 1.156;

j*r — Mdq —	'

Я

где

Л2н-а'Д

= 0.814,

= -—- = 0.447; о = 0.291;

GqXrq	’	9 Xq	’

xrq = 0.08 -ь 0.619 = 0.599.

3)	Определяем по круговым диаграммам 1^ = 2.502 и i =1.75.

ldhm

— = 2.630;
ahm

1

=1.935.

Критическое скольжение по продольной оси sw^ard меньше А, поэтому взято
большее из двух возможных значений по круговой диаграмме:

?dk = 17°50'; V = 25°;

ldh = ldbv "* Jldhr’* lqh = lqh* ^qhr*
4)	Определяем следующие величины:
л cos 2<р-+- f sin 2ср

2?= 35°40'; г... = ЙА =--------------------------—=i., -+-	= 5.62 -+- j4.03:

‘ал	ааЛ ап	л	аах J W	J Г

xdhm

2?гл=50°; ^A = ifA = ^, + ^ = 2.41+72.875;

fdh fqh = 42°50'; irf?A = idAijA = idia + jidir = 3.73 + 73.46;

2?<гл Тг» = 6°O40': г'<Игл = &1',* =	+ J’dtfjr = 6.55-+ JI1.68;

fyb "* 2?{* = 67°50'; 'rfy?A = 'rf*1 J* = *dqqe	j‘dqqr ~ 3,7*5 + J9.13;

3?<г* = 53°36': ’dddh = 'd* = г’лм„	j’dddr —10-82	J 14.62;

5)	Определяем средний ток статора:

esm cos b0 — E ,etwsin&o	#

=------------------4- j---------= 1.03 (cos oo — E) -+- j 1.575 sm o0^

z«oo z<too"+‘ J\oo

6)	Основная составляющая коэффициента демпферного момента, независящая
от г«,

mrfo = 8.05 sin2&0 -+- 8.14 cos2 8Л.

7)	Составляющая коэффициента демпферного момента, пропорциональная гвг
равна:

0.02 (2sin	2)

Armrf == — j-2Z QQi {“оГ1 [(£ ~ cos 5o) 1-03 • 0.805 -ь 1.575 • 0.814 ► cos b0] — 0.81 | —

0.02

Г-aoi[(0-927 sin b°)2 *’ (1-03E *" °*72 cos 5°)21=

= 0.013 — (0.335E-F- 0.182.COS Bo) sin &0 — 0.0202 (1.03£-ь 0.72 cos 30)2 — 0.017 sin2B0r

8)	Составляющая коэффициента демпферного момента, пропорциональная г2, равна:

△г2^ = 0.0004 (10oj -+-	-+- O.lc^
где

аА = —2 .. 1.03 • 1.575 [0.805 sin280 (cos 8Q — Е) cos 8Q • 0.814] -+-

~*~ ц2_^0 01)2 t1,575 si“2 8° **1,03 (cos 8° — cos 8o1 — (1 — 0.01)2 X

X (11.68 sin2 8g 9.13 cos2 60) = —3.35 —1.30 cos2 80 — 4.66E cos 8g;

bd = - 2 ’i^oi575 «cos 8° ~sin 8°(K575 ~ 103 ~ 2'2,5041

2

-	I- (2 cos 8g — £) sin 8g ' 1.75} — j, q qi {sin 8g (cos 8g 1.03 • 5.62 —-
— sin 8g cos 8g 1.575 • 2.41} = —0.48 sin 28g	2.89£sin 80;

Cj = — -i—тТлТ" {(cos 8g - £)21.032 • 0.805 -+- sin2 80 • 1.5752 • 0.814} —

®	1 — U.UJL

-	(1 _0 01)2 tf(cos 8° “ £)2 ‘ 1,032 sln2 8° 1,57521 (0,805 0,814)1 ~

—	2sin2 8g . 1.575 • 4.03 — 2 (cos 80 — E) cos 80 • 1.03 • 2.875

ч- sin2 80 • 14.62 -+- cos2 80 • 7.00 = —8.11 -+- 4.40 cos2 80 —

—	0.83£cos80 —2.61E2;

Ar2W = 0.0004 (—34.3 — 12.7 cos2 80 -+- 0.5 sin 28O — 46.7£ cos 80 -t-

-	+- 2.9£sin 80 — 0.3£2) = —0.014 — 0.005 cos2 80 —

—	0.019 E cos 8g 0.001£ sin 8g.

9)	При F=1.6 составляющие коэффициента демпферного момента, зависящие
от г<» равны:

Д^ = —0.052 — 0.091 sin 2&0 — 0.048 cos &0 — 0.007 sin2 — 0.546 sin &0;

△r2mrf = —0.014 — 0.005 coS2 — 0.030 cos &0 -+- 0.002 sin &0.

10)	При £=1.6 и разных значениях &0 имеем следующую таблицу вычисления
составляющих коэффициента демпферного момента, зависящих от Гз (табл. 7п-1).

Т а б лица 7п-1

Расчет коэффициента демпферного момента mg при Е=1.6

6°  	0		-60	—40	—20	0	20	40	60	90
sin $о . . .	—0.867	—0.643	—0.342	0	0.342	0.643	0.867	1.0
COS $0 . . .	0.500	0.766	0.940	1.000	0.940	0.766	0.500	0
—0.546 sinfy) . . .	0.474	0.351	0.187	0	—0.187	—0.351	—0.474	—0.546-
—0.007 sin2 &o	. .	—0.005	—0.003	—0.001	0	—0.001	—0.003	—0.005	—0.007
—0.048 cos	—0.024	—0.037	—0.045	-0.048	—0.045	—0.037	—0.024	0
—0.091 sin 2&o . .	—0.079	—0.090	-0.059	0	—0.059	—0.090	—0.079	0
.	0.472	0.348	0.148	0.100	—0.344	-0.533	—0.635	—0.605
0.002 sin So . . .	—0.002	—0.001	—0.001	0	0.001	0.001	0.002	—0.002
—0.030 cos $o . . .	—0.015	—0.023	—0.028	—0.030	—0.028	—0.023	—0.015	0.000
—0.005 cos2 &o . .	—0.001	—0.003	—0.004	—0.005	—0.004	—0.003	—0.001	0.000
&r2md • •	—0.032	—0.040	—0.047	—0.049	—0.045	—0.039	—0.028	—0.012
△rW -t-	• •	0.440	0.308	0.101	—0.149	—0.389	—0.572	—0.663	—0.617.
	5.4%	3.8%	1.2%	-1.8%	—4.8%	—7.1%	-8.20/0	—7.6%
Т а б л и ц*а 7п-2

Расчет коэффициента демпферного момента та при 12 = 1

О  <$в	—60	—40	—20	0	20	40	60	90
—0.335 sin Sq . . .	0.290	0.217	0.114	0	—0.114	—0.217	—0.290	—0.335
—0.007 sin2 So	. .	—0.005	—0.003	—0.001	0	—0.001	—0.003	—0.005	-0.007
	0.030 COS Sq . . .	—0.015	—0.023	—0.028	—0.030	—0.028	—0.023	—0.015	0.000
—0.091 sin 2S0 . .	0.079	0.090	0.059	0	—0.059	—0.090	—0.079	0
Armrf . . .	0,330	0.262	0.125	—0.049	—0.221	—0.352	—0.408	—0.361
0.001 sin Sq . . .	—0.001	—0.001	0.000	0.000	0.000	0.001	0.001	0.001
—0.019 cos So . . .	—0.010	—0.015	—0.018	—0.019	—0.018	—0.015	—0.010	0.000
—0.005 cos2 Sq „ .	—0.001	—0.003	-0.004	—0.005	—0.004	—0.003	—0.001	0.000
△r2W . .	—0.026	—0.033	—0.036	—0.038	—0.036	—0.031	-0.024	—0.013
	0.304	0.229	0.089	—0.087	-0.257	—0.383	—0.432	—0.374
m^o	3.5%	2.8%	1.1%	-1.1%	-3.20/q	—4,7%	-5.30/0	—4.6%

Соответствующая зависимость представлена на рис. 7п-6.

11)	при 2Г = 1 соответствующие коэффициенты демпферного момента, зависящие
от г>, равны:

&гта = —0.019 — 0.091 sin 2S0 — 0.030 cos Sq — 0.007 sin2 Sq — 0.335 sin Bq;

△r2m^ = —0.014 — 0.005 cos2 Sq — 0.019 cos Sq -+- 0.001 sin Sq.



Рис. 7п-6. Зависимость дополнительной
составляющей демпферного момента ма-
япины от рабочего угла S при разных
.значениях возбуждения Е со стороны
ротора.

12)	При Е =1.0 и разных значениях Sq
имеем таблицу вычисления составляющих
коэффициента демпферного момента, зави-
сящих от гs (табл. 7п-2).

Соответствующая зависимость представ-
лена на рис. 7п-6.

13)	Аналогично вычисляем составляю-
щие коэффициента синхронизирующего мо-
мента. Основная составляющая коэффи-
циента синхронизирующего момента, не за-
висящая от

mSo = 1.032? cos Sq ч- 0.927 sin2 So -ь

-4— 0.72 COS2 Sq.

14)	Составляющая коэффициента син-
хронизирующего момента, пропорциональ-
ная гз, равна:

2 • 0.02 f	Г 1.575	“1

Дгтв = —	|1.03£sin So [2.502 — -у- (1 — 0.01) J н-

-|_s-™250 (1 75 . 1.575 _ 2.502 • 1.03) — ОЛЯ 1.03 • 0.814 cos 80

— 0.1 (0.927 • 0.805 sin2 80 ч- 0.72 • 0.814 cos2 80] [ == —0.0592Я sin 80 — 0.0032 sin 28О ч-

ч- 0.0034Я cos 80 ч— 0.0030 sin2 60 ч- 0.0024 coS2 80.
15)	Составляющая коэффициента синхронизирующего момента, пропорциональ-
ная г$, равна:

дг2т^ = —0.0004 (ав ч- 0Д6л ч- 0.01с«),
где

аа = —1.03 • 1.575 [2sin2 So ♦ 2.502 ч- 2 (cos So — Е) cos So - 1.75 —1.575 sin2 So —

— 1.03 (cos $о — Е) cos So]

+* ц____0 01)2 (% П*03 (cos $0 Е) cos Sq ч-

ч-1.575 sin2 50] 3.73 — (sin2 So . 6.55 ч- cos2 So • 3.715)} =

= —0.13 — 0.40 sin2 So — 3.51E cos So;

2

b9 =	[2 • 1.03 • 1.575 (cos So — E) sin So (0.814 — 0.805) -+-

ч-1.03 • 1.575 • 0.8142? sin So ч-1.03.4.03 (cos So — E) sin So —

— 1.575 • 2.875 sin So cos So] = —6.ЗОЕ sin So — 0.09 sin 2S0;

c, = — (j_ 0 01)2 {[(2 — °-01)1-032 (cos 8o — E)* ч-1.5752 sin2 80] 2.502 ч-

-4- [1.032 (cos 80 — E)2 ч- (2 — 0.01) 1.5752 sin2 80] 1.75 —

— 2 [1.57,5 • 5.62 sin2 80 -+-1.03 • 2.41 cos 80 (cos 80 — £)] ч-

ч- (10.82 sin2 80 ч- 1.875 coS2 80)} = —4.14 — 3.90 sin2 80 ч- 2.9LE cos 80;

—0.0004 (—0.13 — 0.40 sin2 fy) — 3.51E cos So — 0.63E sin Sq)

J^O.0002 sin2S0 ч- 0.0014E cos So -+- 0.0003E sin So.

16)	При E=1.6 составляющие коэффициента синхронизирующего момента равны:
= 1.65 cos So ч- 0.207 sin2 $о -+- 0.72;

&rmt	—0.0948 sin fy) -+- 0.0054 cos So — 0.0032 sin 2S0 ч- 0.0006 sin2 So ч- 0.0024;

— 0.0002 sin2 fy) ч- 0.0022 cos Sq ч- 0.0005 sin Sq.

Таблица 7n-3

Расчет коэффициента синхронизирующего момента ms при JE = 1.6

6° 0	—60	—40	—20	0	20	40	60	90
—0.0948 sin oo . .	0.0821	0.0609	0.0324	0	—0.0324	—0.0609	—0.0821	—0.0948
0.0054 cos Sq . •	0.0027	0.0041	0.0051	0.0054	0.0051	0.0041	0.0027	0.0000
0.0032 sin 2S0 . .	—0.0028	—0.0032	—0.0021	0.0000	0.0021	0.0032	0.0028	0.0000
0.0006 sin2 So . .	0.0005	0.0003	0.0001	0	0.0001	0.0003	0.0005	0.0006
&rm8 . .	0.0849	0.0645	0.0379	0.0078	—0.0227	—0.0509	—0.0737	—0.0918
0.0005 sin Sq . .	—0.0004	—0.0003	—0.0002	0.0000	0.0002	0.0003	0.0004	0.0005
0.0022 cos	.	0.0011	0.0017	0.0021	0.0022	0.0021	0.0017	0.0011	0.0000
0.0022 sin2 So . .	0.0002	0.0001	0.0000	0.0000	0.0000	0.0001	0.0002	0.0002
• •	0.0009	0.0015	0.0019	0.0022	0.0023	0.0021	0.0017	0.0007
&rma 4- ДГ2^« . .	0.0858	0.0660	0.0398	0.0100	—0.0204	—0.0488	—0.0720	—0.0911
1.65 cos So . .	0.825	1.264	1.551	1.650	1.551	1.264	0,825	0
0.207 sin2 So . .	0.156	0.086	0.024	0	0.024	0.086	0.156	0.207
msQ ....	1.701	2.070	2.295	2.370	2.295	2.070	1.701	0.927
	5%	3.2O/o	1.7%	0.4%	-0.9%	-2.4%	—4.2%	-9.8%
17)	При разных значениях & при £'=1.6 имеем данные, представленные в табл. 7п-3.

Как видим, поправка на учет влияния активного сопротивления статора увеличи-
вает общий демпферный и синхронизирующий моменты в режиме генератора
(при | $ | > 10°). Поправка увеличивается с увеличением нагрузки, достигая для
машины с принятыми параметрами при S = —60° порядка 5%. В режиме двигателя
поправка уменьшает общий демпферный и синхронизирующий моменты. В этом режиме
поправка также возрастает по абсолютной величине с увеличением нагрузки, оставаясь
для машины с рассматриваемыми параметрами в пределах 8—10%.

В режиме холостого хода (S?=0) активное сопротивление статора, как видим
из примера, уменьшает общий демпферный момент, причем это уменьшение тем зна-
чительней, чем больше возбуждение ротора.

Если бы машина не имела дополнительной обмотки на роторе по поперечной оси,
то в соответствии с выражением (10, 4) коэффициент демпферного момента при
был бы равен нулю. Очевидно, что при этом даже небольшой отрицательный демпфер-
ный момент, вызванный влиянием активного сопротивления в цепи статора, может
привести к недопустимым качаниям. Отсюда ясно, что у синхронной машины, работаю-
щей в параллель с мощной сетью в режиме малой нагрузки (fc^sO), могут иметь
место значительные качания, особенно если машина не имеет успокоительной обмотки
на роторе по поперечной оси. Очевидно также, что явление это усиливается в дви-
гательном режиме. Это одна из причин того, что синхронные двигатели, как правило,
не исполняются без круговых замыкающих колец успокоительной обмотки.

4.	Приближенное аналитическое определение составляющих
токовой диаграммы асинхронной машины

При одной системе обмоток в роторе имеем:

1	1 .. 1-bs2r^ , i . a(rd-K) n n

’ i-t-jsTg	i-t-s2?’;2	Xi • i +	s (7n,1)

1	• <Td-T'd)	i

; xd‘ i + sx2 ’	(7n’^

а при двух системах обмоток в роторе:

1 _ 1 Л Л , 1
( x'd ) l-t-jsTd xa l-t-jsTj

Соответственно получаем:

1 /	<0	1 *(Td-Td)

l-4-S277 ’
(7n, 4)

1/	x"A^-T'’.T"d	1 1+ЭД

4 V J 1*s2^2’ i-»%2 •

Постоянные времени Td и Т"л в общем случае могут быть функциями скольже-
ния s и функциями степени насыщения магнитной цепи.

Величины xd и xd являются также функциями насыщения магнитной цепи.

Насыщенные значения реактивностей могут отливаться от ненасыщенных значе-
ний на 12—15% и более. Чем больше насыщение, тем меньше величина реактивности.
При наличии массивных частей в роторе зависимость эквивалентных постоянных
времени Td и Тд от скольжения особенно велика. В этом случае часто активное со-
противление ротора пропорционально з”, где показатель степени п близок к половине

и, следовательно^ соответствующее активное сопротивление, приведенное к частоте
синхронного поля, пропорционально s”"""1. Часть реактивности рассеяния при наличии

массивных частей в роторе примерно пропорциональна з ”.

Проще всего в этом случае определять величины i^hx и i^hr как реальную и мни-

1

xd O's)

мую части деличины

непосредственно по эквивалентной схеме типа, пред-

ставленного на рис. 7п-4. В этой схеме сопротивления во вторичных цепях будут
при наличии массивных частей функциями дробных степеней от з. Определение ве-
1

личины ---тт-: = iqhV ч- jiqhr ничем не отличается принципиально от определения вели-

\J3 4 S)

чины

---тут . Эквивалентная схема по оси q обычно несколько проще ввиду отсут-
xd

ствия обмотки возбуждения по поперечной оси.

В главе 11 рассмотрены операторные реактивности машины с учетом влияния
неограниченного числа контуров и наличия массивных частей в роторе. Влияние
насыщения на параметры машины, см. главу 18.

ПРИЛОЖЕНИЕ 8
(к главе 11)

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОКА СТАТОРА ПРИ ВКЛЮЧЕНИИ МАШИНЫ В СЕТЬ
И ТОКА СТАТОРА ПРИ ВНЕЗАПНОМ ТРЕХФАЗНОМ КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ
ПО ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ

1.	Ток включения. Активное сопротивление в цепи статора мало,
ротор симметричен

„ • 1

Имеем частотную характеристику isq = ( js)

(рис. 8п-1). Ток включения равен:

is — iso *+’ г*«1 •+•

(8п, 1)

1)	Определяем установившийся ток 1$о» соответствующий скольжению ротора з по
характеристике z#o = "х (•

2)	Определяем апериодическую составляющую переходного тока zfl в момент
f = 0 по точке характеристики

si = -(l-s).

3) Коэффициент затухания апериодической составляющей тока статора аа==г~ равен
•* а

aa = ri91x (рис. 8п-1), где г = г#=— омическое сопротивление фазовой обмотки ста-
тора на постоянном токе.

4) Частота апериодической составляющей относительно статора со# = ггл1г (рис. 8п-1).

5) На диаграмме апериодическая составляющая вращается по часовой стрелке
с угловой скоростью, равной 1 — затухая с коэффициентом аа, описывая на диа-
грамме соответствующую спираль.
6)	Периодическая составляющая тока статора в момент времени / = 0 равна
<«2О=о) = — (м *«1)О=о) (Рис- 8п-1).

7)	Периодическая составляющая z'#2 распадается на ряд составляющих, имеющих
разные коэффициенты затухания, и в общем случае немного различающиеся частоты»

Рис. 8п-1. Определение начальных значений переходных то-
ков статора асинхронной машины с симметричным ротором
при включении в сеть.

близкие (в синхронных координатах) к частоте скольжения s (из-за влияния актив-
ного сопротивления в цепи статора).

В осях вращающихся с ротором

Рис. 8п-2. Логарифмическая амплитудная ха-
рактеристика и ее ступенчатое приближение.

—а3Г

(8п, 2)

8)	Для определения составляю-
щих 1«21» 1«22» • • • z’s2« строим частот-

1

ную характеристику z’fo “ 'х в
логарифмическом масштабе log|z’$ol=
= /(logs), так называемую „ампли-
тудно-логарифмическую характери-
стику" (рис. 8п-2).

9)	По построенной кривой строим
ступенчатую кривую (log Д/ = log Дж)
(рис. 8п-2).

10)	По полученным ступеням оп-
ределяем значения коэффициентов

11)	Составляющие z*#21, i\22» • • *г’*2я Равны:

затухания а1э а2, аз» •••» ап и с0"
ставляющие in, z*^2» • • •



t

где

ki =

ini = ki im (Z == 1, 2t ... n),

(Z=l, 2... n);

(8n, 3)

(8n,4)
12)	Геометрическая сумма z’e2S==z*f21 ~*~*822	z’#2n Должна быть равна началь-

ному значению z'f2o по рис. 8п-1.

Если вследствие неточности построения i,2 s ф *в20, вводим при расчете состав-

ляющих z«2/ (Z = 1» 2 ... п) поправочный коэффициент , где z\2o — начальное зна-

*«22

чение составляющей

13)	Фазовые токи получаем как проекции комплексов z’>o» *$1, <«2 на вращающиеся
с синхронной скоростью 1 по часовой стрелке оси а, 6, с, расположенные под углами
120°. Угол (рис. 8п-1) характеризует напряжение на фазовой обмотке а в момент
времени f = 0, равное

иа = cos

2.	Ток включения. Уточненный учет активного сопротивления
в цепи статора, ротор симметричен

Имеем частотную характеристику z’*q =

Ток включения равен: z’4 =

=* *«о **“	z’e2«

1)	Определяем установившийся ток статора z\o = „	/_• V для

•i "* J-*

место в момент включения скольжения ротора $ (рис. 8п-3).

определяем ток, соответствующий

имеющего

2)	По характеристике

скольжению

«1 = — (1 — s). Это будет начальное значение „апериодической" составляющей тока

статора (—z*^)^..^ с обратным
знаком, с учетом влияния ак-
тивного сопротивления гв в це-
пи статора.

3)	Коэффициент затухания,
как и при малом г, примерно
равен аа = ielx • г; частота
апериодической составляющей

<*с = Qir • г.

4)	Периодическую состав-
ляющую в начальный момент
времени определяем как

1«2(<=0) = — ('<0

С учетом затухания периоди-
ческая составляющая z*#2 равна:
i«2 = *«21£	+ *«22е~^ ч- ...

(8п, 5)

Рис. 8п-3. Определение начальных значений пере-
ходных токов статора асинхронной машины с сим-
метричным ротором при включении в сеть, с учетом
влияния активного сопротивления в цепи статора.

5)	Для определения составляющих z’,2i, ie22 и коэффициентов затухания строим

в логарифмическом масштабе кривую

1

X (js)

=f (s). Заменяем ее, как указано на рис. 8п-2,

соответствующей ступенчатой кривой. Определяем токи z’/j,	... itn и коэффициенты

«1» а2» аз • • •

it2l

а1'4l

(Ч-*-	-ь;«)

*320

*«22

(Z = l, 2 ... n)

(8п, 6)
где z«20 — начальная амплитуда составляющей 1,2» Коэффициенты затухания £1, ?2 • • •

. . . равны:

(7 = 1, 2 ... п)

(8п, 7)

т. е. помимо небольшого изменения
частота каждой составляющей. Вместо

коэффициента затухания немного изменяется
s она будет равна:

= s -+- r9iu

(7 = 1, 2 ... п)

(8п, 8)

3.	Ток включения. Активное сопротивление в цепи статора мало,
ротор несимметричен

1)	Имеем частотные характеристики по осям d и q и начальный рабочий угол
машины &0 (угол &о положителен в двигательном режиме) — отсчитывается от оси q
(рис. 8п-4).

Рис. 8п-4. Определение начальных значений переходных токов ста-
тора асинхронной машины при включении в сеть, с учетом влияния
асимметрии ротора.

2)	Строим окружность на концах векторов —и —туг . Определяем радиус-
\JS) xj 'J3'

вектор АВ, соответствующий току —тту на малой окружности. Находим на малой
_____________________	xd W _______

окружности вектор АС, сопряженный вектору АВ» Определяем на малой окружности

точку D, проведя радиус AD под углом 2&о по часовой стрелке по отношению к ра-
диус-вектору АС (рис. 8п-4). Точка D определяет вектор в момент ^ = 0.
В дальнейшем вектор z’eg изменяется по своей малой окружности, двигаясь со
скоростью 2s.

3)	Строим окружность на концах векторов х	и х ) • По концу ком-

плекса

чиваем
стрелке
чальное

х ___r~~j определяем вектор EG и сопряженный ему вектор ЕН. Повора-

вектор ЕН по полученной малой окружности на угол 2&о по часовой
(рис. 8п-4) и получаем на малой окружности точку /, определяющую на-
значение тока —гл(/=0) — апериодической составляющей с учетом несимме-

трин ротора. В дальнейшем конец вектора (—zel) будет обегать по полученной малой
окружности со скоростью 2 (<ог — <ос) по часовой стрелке, одновременно затухая
с коэффициентом затухания аа и вращаясь на диаграмме со скоростью 1 — <ое
по часовой стрелке (при рассмотрении в синхронных осях).

4)	Соединяем концы комплексов ze0^_0) и —г’^—^получаем комплекс ie2( *=())• ^ас"
кладываем комплекс z’g2 (/=о)на составляющие по осям dnqz iS2d и z*2?« Дальнейшее разло-
жение периодических составляющих iS2d и г«2? делается, каки в случае симметричного

ротора. Строим в логарифмическом масштабе зависимости	=f(s) и

Определяем соответствующие ступенчатые приближения, коэффициенты

затухания

a2ff*** и Т0КИ ltld'	и Ч1£» lt2q***

.	~aid*

z«2d = zdl£

. -°У
l82q — zgi£

(8n, 9)

где

_______________________z*2rf0 .

idl /	• ' \ f '	• \ » z^

1аи){аЦ-^-Js)

._______________aig__________ г'»2?о .

Iql ,	. r x , r . \	• li

(u>r4- ;%)(%-*- js) M

(1=1, 2...)

(Z=l, 2...)

(8n, 10)

Здесь is2do и z’^o — амплитуды начальных значений, составляющих iS2d и i^q соот-

ветственно

(8п, 11)

a2rf’ * * ’ и

—

и zgs— геометрические суммы составляющих idl и i г (7=1,2...), найденных
из амплитудно-логарифмических характеристик.

4.	Ток включения. Учет активного сопротивления в цепи статора
при наличии несимметрии ротора

В случае сравнительно большого активного сопротивления в цепи статора могут
быть введены следующие поправки на влияние активного сопротивления г8 в цепи
статора.

1)	Среднее значение тока i8Q и средние значения токов —z'si, —iS2 определяем с по-
правкой на влияние активного сопротивления г8 в цепи статора, как это было изло-
жено на стр. 559. Начальное значение тока z'S2> как и ранее, определяем замыканием
треугольника векторов из условия

(zeO -ь Ui -ь zs2)/=0 = 0.
2)	Вводим поправку на коэффициент затухания периодических составляющих

где



(8n, 12)

— ald

ltldald

$lq~alq

lilqalq

9	. 2

alq *" wr

(Z = l, 2, ...,)

(Z=l, 2....)

(8n, 13)

При наличии несимметрии ротора коэффициенты и $iq (Z=l, 2, ...,) не имеют
мнимых частей, т. е. все периодические составляющие имеют частоту, равную s, и
вращаются на векторной диаграмме со скоростью, равной s, по часовой стрелке.

Уточненный учет влияния активного сопротивления в цепи статора г9 на начальные
величины аа и сос сложен. При практических соотношениях параметров лучше всего
для расчета аа и сос пользоваться средним значением тока z’ela?—jz*elr, полученным по
частотным характеристикам, не учитывающим г$, см. рис. 12—11.

Перенеся малую окружность изменения апериодической составляющей с началь-
ным вектором EJ (рис. 8п-4) так, чтобы центр этой окружности совпадал с концом нового
вектора среднего тока апериодической составляющей, получаем новое значение тока
(—. Новое значение тока *e2(f=o) определяем, как и ранее, из условия -+- z'gl -+-
“+" z'«2)/=o О*

Мгновенные значения фазовых токов определяем, как и ранее, проектированием
векторов на вращающиеся оси а, 6, с (рис. 8п-1).

5.	Ток статора при внезапном трехфазном коротком замыкании

1)	Ток статора при внезапном трехфазном коротком замыкании без учета влияния
переменного насыщения равен:

z3fe = —z81 — zf2-	(8п, 14)

2)	Если идет речь о синхронной машине, работающей с внутренней э. д. с. Е и
с рабочим углом $ в генераторном режиме, то ток статора при внезапном трехфазном
коротком замыкании равен:

Е

— — —- •	— isl — ie2-	(8п, 15)

xd

ПРИЛОЖЕНИЕ 9
(к главе 12)
МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПО ОДНОЙ
ОСЦИЛЛОГРАММЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПОСТОЯННОГО ТОКА В СТАТОРЕ ПРИ
НЕПОДВИЖНОМ РОТОРЕ

1.	Методика определения частотной характеристики по
экспоненциальным составляющим переходного процесса

1)	Производим осциллографирование скачка тока статора по схеме рис. 12-1
включением постоянной э. д. с. (рубильник Л), либо замыканием накоротко (рубиль-
ник Б). Опыт можно также производить при отключении одной из параллельно вклю-
ченных фаз по схеме двухфазного питания. Необходимое насыщение создается про-
пусканием соответствующих токов zCT. и if. Ротор должен находиться в положении сов-
падения магнитной оси полюсов с осью м. д. с. статора. Это может быть проверен о
по максимуму наводимого в роторе напряжения при толчках тока в статоре или про-
пускании переменного тока в статоре.

Опыт можно производить при любом подведенном напряжении. Условия насыще-
9 —

ния будут примерно соответствовать нормальным условиям, когда и — ^2ир , гд е

Up — эффективное значение напряжения статора за реактивностью Потье.

2)	Строим кривую изменения тока с начального установившегося значения до
нуля (рис. 12-2).

3)	Перестраиваем кривую i — f (t) в полулогарифмическом масштабе (рис. 9п-1). Про-
изводим приближение полученной кривой наклонными прямыми, определяем состав-
ляющие z’i, z*2 в долях начального и
коэффициенты затухания Xlt как
это изображено на рис. 9п-1. Вели*

1

Рис. 9п-1. Затухание постоянного тока в ста-
торе, представленное в полулогарифмическом
масштабе.

чина -j- — это постоянная времени,
которая определяется временем спа-
дания составляющей тока до значе-
ния, равного 0.368 от начального
(рис. 9п-1).

Во избежание неточности при-
ближения кривой наклонными прямы-
ми нужно сначала приблизить конец
кривой соответствующей прямой с
наименьшим наклоном, вычесть орди-
наты по этой прямой из ординат по

исходной кривой, построить новую кривую, снова найти приближение конца полу-
ченной кривой, соответствующей наклонной прямой, и т. д. (В случае необходимости
разложение производится аналитически с заданной точностью приближения, см. [12-9]).

4)	Откладываем по оси ординат ток — ~ , равный О А (рис. 9п-2) .

сл п	И h *3	1

5)	Строим окружности диаметрами — , — , у, ... в конце вектора ~ , причем
все окружности проходят через конец вектора.

6)	Строим шкалы скольжения для каждой окружности, считая критическое сколь-
жение для каждого круга равным соответствующему коэффициенту затухания X. По-
строение шкалы скольжения для круга по величине критического скольжения дано
на рис. 9п-3.

7)	Определяем векторы токов по полученным окружностям для скольжения s.

8)	Определяем геометрическую сумму полученных векторов тока, равную

r4-jL(js) — г С1-1’! jsi-ki ~'’2 js + h	(9п,1)

9)	Умножаем полученные комплексы на величину s. Получаем новую кривую
комплекса

=	------ •	(9п, 2)

10)	Исключаем величину активного сопротивления — (рис. 9п-2), как это

11	1

изложено в главе 11, получаем геометрическое место тока 1*0 = —тг-т.
11)	Величины х^ и х# удобно определять заранее из той же осциллограммы для
повышения точности построения кривой тока, пользуясь следующими соотношениями:
для сверхпереходной реактивности

(9п,3)

Рис. 9п-2. Графическое построение частотной характери-

стики

1

м=' х (/7) по кривой

затухания постоянного тока

в статоре при неподвижном роторе.

или непосредственно из кривой рис. 12-2 по начальному наклону кривой тока
х^ гТ, где Т — время достижения установившегося значения тока, определенное

Рис. 9п-3. Построение шкалы скольжения
в круговой диаграмме асинхронной машины
с одной системой обмоток на роторе.

по начальному наклону кривой тока;

для синхронной реактивности [3-64]

= г J idt, (9п, 4)

О

где i— ток по осциллограмме, выражен-
ный в долях начального;

t — время в электрических радианах.

Учитывая, что ток состоит из экспо-
ненциальных составляющих, имеем:

(9п,5)

12) Предварительное знание величин х^ и х$ облегчает получение геометриче-

1

ского места 1*3 = —тут, но, вообще говоря, не обязательно для построения этого
х \JS)

геометрического места.
13)	Геометрическое место тока --

1

тока = х (js) по изложенному ранее

14)	Учитывая, что обычно величина

J

, jx строим по геометрическому месту
методу (см. главу 11), стр. 268.

1 1

— весьма велика, можно отложить — в умень-

шенном в k раз масштабе и получить

амплитудно-логарифмическую характеристику

в уменьшенном в k раз масштабе. Полученные токи

г-bjsr (js)

1
умножаем в этом

случае не на $, а на ks для получения геометрического места тока

]

г“~ г
— -+- А (й)

Если при опыте активное сопротивление в цепи статора было увеличено на вели-
чину Дг за счет внешних сопротивлений, то при обработке результатов опыта вместо

2 А

величины г = г8~ нужно пользоваться величиной г = г9— -4- Дг при опыте по схеме

Дг

рис. 12-1 и г = rs= -4-при опыте питания двух фаз.

Величину i88 =	--------- можно определить графически или аналитически не-

у +к(/«)

посредственно, так как

'»«= —	-	= — js X -ь «2*2 js х2	(9п, 6)

— -+- jx(js)

Для графического определения i88*.

1\ Г*	*2^2

1)	Строим окружность с горизонтальными диаметрами, равными 	~—

проходящими через начало координат.

2)	Критические скольжения для каждой окружности равны соответственно
. . .

Строим шкалы скольжения для каждой из окружностей.

3)	Определяем векторы, соответствующие данному скольжению на каждой из
окружностей.

4)	Величина i88 для скольжения s равна геометрической сумме построенных век-
торов.

В ряде случаев более удобно пользоваться аналитическими методами расчета ве-
1	. j

личин z,o = Ту?) и 18 “г8 jx (js) ’ ПОЛЬЗУЯСЬ формулами

—

где

1ч(\	1яч

. 1 )S	]S

= JS4_X1 -+-»2^2 js_|_x2

(9n, 7)

(9n, 8)

а величины ij, i2... и Xj, X2... определяются, как уже было сказано, из осцилло-
граммы изменения тока в статоре, методом построения кривой изменения тока в полу-
логарифмическом масштабе.
2. Методика определения частотных характеристик
по приближению кривой переходного процесса прямыми отрезками

В ряде случаев может оказаться удобным следующий метод определения частот»
ной характеристики машины



по кривой нарастания тока в цепи статора при включении постоянной э. д. с. i (/) ===

или по кривой затухания тока в цепи статора при закорачивании ста-

1_____

р-г(р)

Юг

t





I

торной цепи i (t)

1

1

У — r-t-px (р) (При неподвии!ном

роторе с короткозамкнутой обмоткой возбуждения).

Пусть нарастание тока в статоре происходит как

представлено на рис. 9п-4, а.

Приближаем кривую i (t) -

1

отрезками

б

Г°Гг%ГгЛгКЛ’

L&0 I

i '
_____________L
0 t1

Рис. 9п-4. Представление
кривой переходного про-
цесса отрезками прямых для
определения частотной ха-
рактеристики по кривой пе-
реходного процесса.

а — кривая нарастания тока; б —
кривая затухания тока.



прямых. Пусть начальный угол наклона кривой i=f(t)
равен 7 . При / = t = t%, t = отрезки прямой
образуют соответственно углы 71, 72, 73...

На рис. 9п-4, а углы 71э 72, 7з имеют отрицатель-
ные значения.

В таком случае можно показать, что

isg —

j



s



—j»tn

1

(9n, 9)

где

U = tg 7,=

(Z = 0. 1, 2, ...» n). (9n, 10)

и ординаты ai выражаются в долях начального тока,
1

равного — .

Величины Z2» •••*» выбираются таким образом,
чтобы достаточно приблизить кривую i (t) ломаной,
состоящей из отрезков прямых.

Если используется кривая затухания тока (рис. 9п-4, б) вместо кривой нараста-
ния тока, то пользуемся теми же формулами (9п, 9) и (9п, 10), но углы 7 в этом слу-
чае должны быть взяты с обратным знаком, как это следует из сравнения рис. 9п-4,а
и 9п-4, б.

Предельные значения тока равны:

(z’«4

1	«’о



(9n, 11)



2

(9n, 12)

Сумма

z’o -4- 1*1 -ы’2	• • • in — 0.

(9п, 13)
1

Частотные характеристики z‘o-x(jS) "
стотной характеристики iSs графически или
стр. 565.

Сверхпереходная реактивность х(”) равна:

._____________j

'• г + jx (js)

определяются из ча-

аналитически, как было изложено на

х(п)

(9п, 14)

Если время /j выбрано достаточно малым, то

(9п, 15)
19

Синхронная реактивность х (jO) равна:

r2	r (Mi "+*

X (;0) = -J- (i/i -+-ч- • • •	‘А) = ~2~ (j1#1 н- гу2 н- . . . Н- intn) ' <9п’ 16)

Для того чтобы избежать больших углов st%, • . . stn, на которые нужно по-
ворачивать комплексы 1$, • • • <я при вычислении i99 по формуле (9п, 9), можно
пользоваться соответствующим масштабом для времени t. Если, например, выражать
время t в минутах и учесть, что переходный процесс i (t) затухает в течение долей
секунды, то величины	... tn будут численно значительно меньше единицы.

Обычно для графического построения величины i99 достаточно знать значения i99
при частоте s в пределах до s порядка 2. Это значит, что максимальные интересую-
щие нас фазы будут при выражении времени t в минутах весьма малыми значе-
ниями, а это позволяет пользоваться приближенным определением величин £*"<?**,
а именно:

- cos _ j sin 1 _ -fo)2- _ }st
если s/ 1.

При условии $6г<^0.1 для вычисления i9S можно пользоваться приближенной фор-
мулой

1	2 /	f2	t2	t2	\

I	s2 / а1	Г1	г2	Тп	)

x(jty 2 \	^2 ““	°2 ^3— *2 "*” * * * *"*'*я-И—*п /

(	^1	^2	\	1

“Js V1 “2	’	(9п’17)

Метод определения частотной характеристики по приближению кривой переходного
процесса отрезками прямых может оказаться весьма удобным вследствие своей уни-
версальности и возможности какого угодно точного приближения при сложном харак-
тере кривой переходного процесса.

3. Учет влияния потерь в железе статора

В отдельных случаях требуется уточненный учет влияния потерь в Железе ста-
тора на переходные и установившиеся процессы в машине.

Это относится в первую очередь к асинхронным машинам малой и средней мощ-
ности.

Так, например, в синхронной машине мощностью в несколько квт потери в железе
в режиме холостого хода с нормальным напряжением значительно больше, чем джоу-
левы потери в меди статора при токе холостого хода.

Эквивалентная схема при расчете переходных процессов в асинхронной машине
с симметричным ротором с учетом влияния потерь в железе статора при одной системе
обмоток в роторе имеет вид, представленный на рис. 9п-5.
шины с учетом влияния потерь в активном же-
лезе машины.

Влияние железа статора сказывается на появлении цепи, параллельной сопротив-
лению взаимоиндукции хт. Эта цепь содержит сопротивление рассеяния контуров в же-
rF
— •	, связанное с наличием

р -+- jwr
потерь в железе. Та же схема
может быть использована для рас-
смотрения установившихся режи-
мов при замене оператора р на js.

Таким образом, для расчета
переходных процессов учет конту-
ров в железе сказывается на за-
мене величины хт на
хм (р) =

_	гг-*-(Р~*-]шг)хп,

—*т rf+(p + jwr) -+- хт) '

(9п, 18)
а для расчета установившихся режимов

Рис. 9п-6. Затухание постоянного тока в статоре при неподвижном ро-
торе.

1	9 4	1

• 28.6 = 11.1;	= gjjyr = 0.0052; 1/2 =	. 28.6 = 3.6; «2 = 5^ =

= 0.0558; it3 =	 28.6 = 13.9; «3 =	= 0.314.

Реальные соотношения параметров таковы, что xFq х^, поэтому величина х#
имеет порядок величины

xd Х1 xr<s-	(9п, 2°)
При осциллографировании затухания постоянного тока в статоре мы получаем ток

г (?) = — -----------rv ,	(9п, 21)

г r-t-pxaF(p')

W	х,р (р) = xt -+ xM (p) j] Xr,) *	(9n, 22)

Рис. 9п-7. Частотная характеристика z§o = f (s) без учета влияния активного сопро-
тивления статора rs.

. 1

/ — характеристика lsF~—, .	» определенная по затуханию постоянного тока в статоре при непод-

z,	Х	.	1 л jb.Vl Js • 1.4 Js + 2.735

вижном роторе; 2—характеристика ig0 = ;	= 0*365 4-  --------:--тг——I :, найденная

xs (js)	j+1.5 js 4- 0.3	js-4-0.1

по ступенчатому приближению логари рмической амплитудой частотной харак теристики^
«д = rg— 1^1^=0.00331 • 4.396 = 0.1455; u>c = г я— lslr = 0.0331 • 0.602 = 0 01985; 3 — точки характ еристики
1

---. у , полученные по измерениям на переменном токе.

Знаком || обозначено параллельное соединение. При наличии нескольких систем об-
моток на роторе включаются, согласно эквивалентной схеме, соответствующие кон-

туры.

Производим построение геометрического места тока igF
женному на стр. 563—566.

Величина iaF равняется

согласно

изло-

.	1	1	Js	js	js

l*F=x,t(is)=^	•	(9п-23)
lSF	1

J Г7 ГУ« гл
xfs

lxad
!

Рис. 9п-8. Эквивалентная схема для тока igV.

Приложенное напряжение и = 1ч-
Js

Один из членов разложения тока связан с контурами железа статора.

Пусть это будет член с индексом 1.	(

В таком случае

1	1	. J . Р	. Js ,о

la0== x,(js) = Xd	2	+ Ъ •	(9п,24)

Это значит, что для определения тока нужно брать на окружности диаметром
комплекс, соответствующий скольжению s = 1, а на остальных окружностях — комплексы,
соответствующие данному скольжению s. Определяя геометрическую сумму полученных
для скольжения s комплексов, получаем, как это было изложено в главе 11, резуль-
тирующий ток i8q для данного скольжения $.•

Контур, соответствующий железу статора, обычно резко отличается по своим
параметрам от остальных контуров. Величина fi относительно мала и Xj обычно больше
единицы, поэтому не представляет
труда выделить из членов разложе-
ния тот, в котором величина js
должна быть заменена на j.

В Институте электромеха-
ники было произведено опыт-
ное исследование асинхронной ма-
шины с одноклеточным симметрич-
ным ротором мощностью 7 квт,
показавшее правильность принятой
эквивалентной схемы и достаточ-
ную точность предлагаемого ме-
тода определения электромагнит-

ных параметров машины по осциллограмме затухания постоянного тока в статоре
асинхронной машины.

На рис. 9п-6 представлена построенная в полулогарифмическом масштабе кривая
затухания постоянного тока в статоре для этого двигателя при неподвижном роторе
и при начальном значении тока статора, равном 0.245 от амплитуды номинального
тока статора. Из кривой имеем:

iti = 11.1 д/е аг =0.00522;

^2= 3.6 д/е	а2 = 0.0558;

0$ = 13.9 д/е	а3 = 0.314.

По этим данным, пользуясь комплексом
j	js	js	js

= 7-----------=	7,4-ax	W js 7 a3 • (9n, 25)

(js)

получаем характеристику ztj =--------~« представленную на рис. 9п-7.

1 +

Частотная характеристика iap = f(s) соответствует схеме рис. 9п-8 (без rife).
В этой схеме и — параметры короткозамкнутых контуров статора. Действи-
тельная эквивалентная схема машины при скольжении ротора, равном $, дана на
рис. 9п-5. Неподвижность контуров в стали статора сказывается на том, что вместо
величины—^- в статоре имеем . Эквивалентная схема, представленная на рис. 9п-5,
Js	j

1
дает значение тока i*Q = —туг- с физически правильным учетом потерь в стали ста-
XS \]S)
тора при любом скольжении ротора.
На рис. 9п-9 по функции ' х построены амплитудно-логарифмическая ха-
рактеристика и ее ступенчатое приближение. Из ступенчатого приближения получаем

Рис. 9п-9. Амплитудно-логарифмическая частотная ха-
рактеристика.

три экспоненциальных составляющих, в том числе одну составляющую с малой ампли-
тудой, имеющую большой коэффициент затухания X 1.

По полученным из ступенчатого приближения экспоненциальным составляющим
и соответствующим им коэффициентам затухания получаем выражение для тока !«•,

соответствующего эквивалентной схе-
ме рис. 9п-5, а именно:

1 1

г*° — fl (js) ~ Xd '

jil jsi2

j	js +• ^-2

j'0.12 jsLA

J-+-1.5	js-4-0.3 **

js2.735

js-»-0.1

Геометрическое место для тока
i80 в функции скольжения изображено
на рис. 9п-7.

Для сравнения частотной харак-
теристики, найденной по затуханию

(9n, 26)

Рис. 9п-10. Графическое определение макси-
мальной возможной величины апериодической
составляющей тока внезапного трехфазноге
короткого замыкания из опыта.

постоянного тока в статоре, с частотной характеристикой, полученной непосредствен-
ным измерением на переменном токе при вращении ротора, на рис. 9п-7 нанесены
точки, соответствующие данным, полученным измерением на переменном токе (обоз-
начены крестиками в кружках).

Как видно из сравнения, метод определения частотной характеристики машины
переменного тока по затуханию постоянного тока при неподвижном роторе обеспечи-

вает хорошее совпадение с результатами непосредственного измерения переменным
током при вращении ротора с разными скольжениями. При этом надлежащий учет
влияния потерь в активном железе статора позволяет повысить точность совпадения»
особенно в районе s 0.

Из частотной характеристики iso~f(x) (рис. 9п-7) по точке sj = —1 определяем соб-
ственную частоту апериодической составляющей ыс~г • islr = 0.01985.

На самом деле, как показал опыт внезапного трехфазного короткого замыкания
рассматриваемой машины, величина а>с несколько изменяется (рис. 9п-10 и 9п-11)»
а средняя величина больше расчетной.

Рис. 9п-11. Собственная частота апериодической составляющей
тока внезапного трехфазного короткого замыкания при s = 0 по опыту
короткого замыкания и по частотной характеристике.

Очевидно, быстрое затухание апериодической составляющей в асинхронной машине
приводит к некоторому эквивалентному увеличению активного сопротивления статора
вследствие появления экстратоков и соответствующих потерь в контурах статора, свя-
занных с контуром обмотки статора взаимоиндуктивной связью.

Определение частотной характеристики машины по опытным
данным затухания постоянного тока в статоре
без поворота ротора

а) Заданные условия и принятые обозначения

В ряде случаев желательно определить частотную характеристику машины не по-
ворачивая ротора, т. е. при произвольном положении осей фазовых обмоток статора.
по отношению к оси полюсов ротора. Принимаем, что ось фазы а ротора расположена
п	2к

под углом » к оси полюсов ротора, ось фазы b находится под углом 0 -f-	; ось

фазы с — под углом 0 — -g— .

Измеряя частотные характеристики по осям трех фаз, имеем три частотные ха-
рактеристики:

ха (js) = хаз^~^а8=хазх —jxasr;

хь (js) = xbe~J'^ = xisx— jx^;

Xc (js) = XC8^~~J f?C8 = XCSx ~jxcsr. ‘
Если производятся опыты питания двух фаз, то имеем соответственно вместо
ха (js), хь(js) и xc(js) частотные характеристики ха_ь (js), хъ_с (js), xc_a(js). В этом
тп

олучае угол 0 заменяется на 0 -+- В остальном рассмотрение не меняется»

11

Требуется определить частотные характеристики	и * и, следова-

тельно, комплексы

Xd (js) — Xd6S~j,fi‘ — Xdex — jxdtr-, |	28)

Xq (js) =	= хявх — jxqar- J

Как и в формулах (9п, 27), в формуле (9п, 28) амплитуда комплекса при частоте s обо-
значена дополнительным индексом s, реальная составляющая комплекса — дополни-
тельным индексом х, мнимая — дополнительным индексом г.

Вводим для удобства рассмотрения величины

Xd (js) -+ Xq (js)	_f

хв (js) =------------2--------= T = xsev — jxetr;

, . . Xd (js) — Xq (js)	_

Ув (js) =------------2-------- ~	V ~	— JSssr-

(9n, 29)

б) Уравнения для определения Xd (js), xq (js) и методика их решения

Как известно (см. главу 3), потокосцепления статора ф4 = фй -+-/ф
ком статора ig = ji$ зависимостью

связаны с то-

(9п, 30)

y,(js')i*s-

Если ток статора is при определенном положении ротора равен

=	(9п,31)

где i9m — амплитуда тока то

Ф,9 = [*, 0» - Я, (j°) е-/2в]	(9". 32)

и, следовательно, для оси статора, расположенной под углом 0 к оси полюсов, ком-
плексная реактивность xQ (js) равна:

(р л

*9 (}s)= ТГ = Хв (}s) Ss s~j29-	(9п, 33)

На основании формулы (9п, 33) имеем уравнения для определения реактивностей
xtf (js) и х^ (js) по известным из опытов значениям комплексов xa(js), х^ (js), х$ (js),
а именно:

Ха (js) = X, (js) ч- у в (js) е—у2в;

-/2

ХЪ (js) = xt (js) н- у, (js) е

('"’fl.

(9п, 34)

хс (Js) = Xg (js) -+- у8 (js) е

Из выражения (9п, 34) имеем:

, . ч ха (js) -ь хь (js) хс (js)
Xs (js) = --------------2---------------- =	5

(9п, 35)

1 /-----------------------:--------------------------- .

Х88 — $ V (хавх	Xbsx Xcsx)^	(ха»г +" x^r Хсвг)^ >

, Ха&г	ХЬзг	Xcgr

Фае = arc tg-----------------------

Хо9Я	ХЬвх	Хсвх
Амплитуда комплекса у8 (js), равная у88, может быть определена по формуле

(9п, 37)

Для определения фазы комплекса у8 (js) нужно предварительно определить вели-
чину 0, имевшую место в рассматриваемых опытах. Для этого пользуемся данными
x*(js); Xb(js) и xc(js) при s = 0 и при со. В этом случае

(?«»),=о=О;	(^«)<=о=°; )

(?»®)«=со =0;	(?»»)«=co =0- j

При $ = о

Us)(e=o) —	—	2	*

Xd — xq
ffe(is\a=0) = s»0 = —2----- •

Комплексные реактивности из опытов равны:
ха (А)(в=0) = xa0z	Jxafir = *ло '+“

ЖЬ ( Js)(«=0) = Хцр-ГПо =	= Хм	Ув0 е

Хс (js)(«=0) = x^-^™ =	— jxcOr = xs0 деОг

Отсюда
ха0& + ХЬ(№	Хсох ,

X8Q==	$	>

/ 2 '	2	2

% / ха0 ”+“ ХЬ0 x-c0 _ v2

У 80 = у ‘	$	Xs0*

Синхронные реактивности xd и х^ равны:
xd = х9§ ч- ув0; )
Xq = Хв0 — У80^ )

Угол 0 может быть определен как

(9п, 38)

(9п, 39)

(9п, 40)

(9п, 41)

(9п, 42)

Аналогично

При s = со

n 1	. 2xaor 1	2ха0х (xd

• — -q arc sm-= -Q- arc cos-----=

Z	Xd Xq £	Xd Xq

1	2xaor

=?"ге,1^Я^)-

2it 1	_	2хьог

Q = "o’ arc tg 9	__ zr

5 Z	^Xbov	\ d

2^	1	2xc0r

T = "2 arc ** 2x,ft — (x.h-x )

CO# \ d q)

(9n, 43)

(9n, 44)
Фазовые комплексные реактивности, полученные из опытов, для значения s = со
равны:

ха (Js)t

• е «7?ЛОО  ' । v	j y*  

aoo	Ласох 1Ласог



ХЬ (js)e->oo	xbco£	Xbcox Jxbcor хз У8Z

xcco& ^co° Xccox jxccor	#se

Отсюда

Хдсах хЬсох -^соог .

3

Уз =

(9п, 46)

(9п, 47)

Сверхпереходные реактивности ха и xq равны:

Xq = X8~ Уз-

Угол 0 определяется из данных, соответствующих sсо, как

(9п, 48)

1	2xamr	1	%хасох

0=7)- arc sm —р,-уг = -« arc cos-

Z	Xd~Xq	Z	Л

'Я

i	:

асох

2хдсог

(9п, 49)

Аналогично

2тс

О -ь “д' = arc tg

2^

9 —	= arc tg

_______2xbcpr

^хЪсох

_______2хссог

2хссох (xd

(9п, 50)

Для повышения точности определения 6 целесообразно принять за

величину О*

среднее арифметическое из значений, полученных для случаев s = 0 и s = со.
Фаза комплекса у (js) = y88^~J(f>^8 для любого s может быть определена как

, Ха8г — х88г _п , ХЪзг — Х88г _

— arc tg--------:----— 29 = arc tg-------------- — 2

Xasx — x88x	Xbsx — Xssx

, Хс8Г---- Х88г л /л 2ТС

__ arc	_ 216 —

Хсвх --Х88Х \	3 ,

2^
"Г

(9п, 51)

Зная фазу «Руе =/(«), определяем реальную и мнимую составляющие комплекса
У9 (js) ~ У sex — jyssr*

Уззх — у88 C9S

У88г У88 sin

(9п, 52)

Комплексные реактивности х& (js) и х$

(js) равны:



*	— ix

qsx J qsrf

(9п, 53)

Я

где

ХЛзх Х88х "+“ У88X9

Xq8X = Х88х  у88X9

Xd8r Х88г ЧН У 88г 9

Xqsr = Х88Г — У88Г-

(9п, 54)
.1.1

Частотные характеристики — ~~ и г* = *.
обратные найденным реактивностям xd (js) и х$ (js).

определяем как величины,

Уравнения (9п, 34) позволяют пользоваться удобной геометрической интерпрета-

цией, а именно, концы комплексов ха (js), хь (js), хс (js) при данном скольжении s
должны лежать на окружности, центр которой определяется комплексом х8 (js), кото-
рый равен среднему арифметическому из комплексов фазовых реактивностей. Указан-
ная окружность имеет радиус, равный у88 (рис. 9п-12). Если соединить центр окруж
ности с точками на окружности, соответствующими концам комплексов xa(js), Xb(js),

Рис. 9п-12. Частотные характеристики комплексных
реактивностей фаз статора — Ха (js); хь (js) и xc(js)
в момент времени, когда ось фазы а статора распо-
ложена под углом б к оси полюсов ротора.

2тс

Хс (js), то построенные радиусы должны находиться под углами в , а хорды, со-
единяющие эти точки, образуют вписанный в окружность равносторонний треугольник.

Концы комплексов реактивностей ха_ь (js), Xb-c(js) и xC-a(js), найденные из

опытов двухфазного питания постоянным током, лежат на той же окружности, причем
соответствующие точки являются вершинами равностороннего треугольника. Радиус

окружности, соответствующий ха_b (js),
ствующему точке для xa(js) и т. д.

находится под углом тс к радиусу, соответ-

1
комплексов фазовых токов ia (js) = х ,
должны быть расположены на окружности,

Концы обратных комплексов, т. е.

= также

которая получается обратным преобразованием из окружности для реактивностей.

При обработке результатов опытов затухания постоянного тока в статоре при на-
личии некоторого произвольного угла б между осью фазы и осью полюса, нужно учи-
тывать, что измеряемая реактивность является комплексной величиной при s = 0
тс

и 5=оо, если угол б не равен 0 или -у , что видно из уравнения (9п, 34).

Значения реактивностей для s = 0 и s = оо удобно определять непосредственно
по формулам (9п, 5) и (9п, 3). Пользуясь этими формулами для случая, когда ось
фазы а находится под углом б к оси полюсов, мы получим амплитуды соответствую-
щих комплексных реактивностей, равные, согласно уравнению (9п, 34),
при s = 0

хао= i VK С1 cos 29а)	G -cos 2еа)]2	(хч - Х,У sin2 2ва;

i Vh С1 +cos Ч) ч-	0 -cos 2W	(xd ~ xq)2 sin2 26 ь;

x«o= J vV<* G "*cos 2e«)	C1 “cos 29»)]2	(xd ~ xq)2 sin2 26o-

при s== co

xam = у ]/ [/; (1 H- cos 26e) + x" (1 - cos 2fla)]2 I- (xd - x") sin2 20o;

xioo = ~ V [V; (1 cos 204) -+- x’' (1 - cos 20*)] 2 -+- (xd - x”) sin2204;

Хсю = у V [4 (1 4- cos 20,) -+- x"q (1 - cos 20,)]2 -ь (xd - xq) sin2 26,. ,
Здесь
л 2~ л л 2тс
6Л = в» 6б = 0 -+-	=== ® з *

(9п, 55)

(9п, 56)

(9п, 57)

Для амплитуд комплексных реактивностей ха_ъ (js)9 хь_в (js), хС—а (js)> получен-

ных из опытов питания двух фаз, получаем
20 на 26 тс.

Зная указанные амплитуды, нетруд-
но подобрать искомые окружности для
концов комплексов при s—О и s=oo,
учитывая, что соответствующие точки
окружности образуют вписанный в ок-
ружность равносторонний треугольник.

Для определения искомой окружно-
сти:

1)	Проводим из начала координат
три окружности радиусами, равными ам-
плитудам фазовых реактивностей (при
s = 0 — ха0,	хс0; при $ = со — хат,

*воо) (рис. 9п-13).

2)	Из точки А окружности с радиу-
сом xaQ (для случая s = 0) с помощью
треугольника с углом 60° проводим два
луча под углом 60° до пересечения с
окружностями, имеющими радиусы хь$
и -Гео, причем ставим треугольник таким
образом, чтобы отрезки АС и АВ были
равны друг другу. При правильных ре-
зультатах измерений отрезок ВС будет

аналогичные формулы при замене угла

Рис. 9п-13. Графическое определение ком-
плексов фазовых реактивностей.

равен по длине отрезкам АС и АВ.

3)	Находим центр окружности, в которую вписывается равносторонний треуголь-
ник АВС3 получаем точку О1а

4)	Проводя окружность радиусом OOi до пересечения с осью абсцисс, получаем
центр искомой окружности Оз.

5)	Проводим радиусом О]А окружность из центра О8 и получаем точки А8, В8 и
Св, являющиеся концами комплексов xa(j0); хъ (j0); xc(j0).
Радиус-вектор О8В8 для фазы Ъ должен быть повернут против часовой стрелки по
----------------------------	2*гс

отношению к радиус-вектору О8А8 для фазы а на угол -у , что позволяет правильно
выбрать точки В8 и С8 из двух возможных вариантов (рис. 9п-13).

6)	Величина синхронной реактивности ха соответствует отрезку ODy величина
синхронной реактивности xq — отрезку OQ. Радиус-вектор O&D образует с радиус-
вектором Оь‘А8 угол 29, причем угол измеряется от радиус-вектора O8D по часовой
стрелке. Угол 9 соответствует углу, под которым расположена ось фазы а по отно-
шению к оси полюсов.

Аналогичное построение производится для случая s = оо по известным амплитудам
^лсо» *^6оо» Хс<х>*

Таким образом, производя определение частотных характеристик машины при про-
извольном положении ротора по отношению к осям фаз статора, можно использовать
формулы (9п, 3) и (9п, 5), облегчающие нахождение значений синхронных и сверхпе-
реходных реактивностей по осям d и д.

в)	Частный случай, когда разность реактивностей по продольной
и поперечной осям ротора мала

В случае, когда	частотные характеристики токов в статоре ia (js),

ib(js)> ic(js), найденные из опытов затухания постоянного тока при неподвижном

роторе, равны:

ia (js) = iso •+• Az’e cos 29;

/ 2rc '

ib (js) = i8o -ь &ie cos 2 ( 9 -b ~y

(9n, 58)

ic (js) = i8o -+- &is cos 2

где токи /«о (js) и Д/в (js) в первом приближении равны:

1 1	Г 1	1	~	
Z SO ~ у	1(js) \ w	
1  Az8^ 2	1 _ 1 ~ (js) Xj (js)	
Средний ток i8Q равен:		

ia (js) ib (js) -+- ic (js)
—	Q

(9п, 59)

(9п, 60)

Амплитуда биения тока Az’e равна:

(9п, 61)

где z’aw, ibn?9 icm — амплитуды токов ia (js), ib(js), ic(js), полученные из опытов.

Если фазы комплексных токов id (js) и i^ (js) близки друг к другу, то
xd (js) ~ (‘‘ат	£‘7<Рт’

('«0m — Дт!,) ЕЛо-

(9п, 62)

Приближенными выражениями [9п, 62) можно пользоваться главным образом при
больших значениях скольжения s, так как при малых скольжениях наличие обмотки
возбуждения по продольной оси может привести к существенной разнице в фазах
комплексов irf(js) и iq (js).
г)	Влияние внешнего сопротивления Дг в опыте питания трех фаз
при произвольном положении ротора

В опыте питания fpex фаз постоянным током при произвольном положении ротора
на характер затухания токов статора может влиять то обстоятельство, что активные
сопротивления в контурах разных фаз различны за счет дополнительного активного
сопротивления Аг в контуре питания постоянным током.

Составим уравнения для статорных контуров без учета взаимоиндукции с ротор-
ными контурами для выяснения влияния Аг. Учет роторных контуров, не меняя в прин-
ципе рассмотрения, делает это рассмотрение только более громоздким.

Рассматривая закорачивание" статорной цепи как включение напряжения обрат-
ного знака по методу наложения, имеем следующие операторные уравнения для
дополнительных токов в фазовых обмотках а, 6, с статора:

=	(9п, 63)

[('".о Аг) Рхаа] Ч РхаЬ^а ~ РхаЬ^ Ч ~

3

- (Г,с * Pxbb) Ч	РхЬс^с - РХас^с = - Y ;	(9п’ б4)

“ Че * РХЫ>) Ч	РхЬс^с (г,е -** Рхоо) Ч -

- РхсЬ^Ь	Р (хаЬ ~ хас) Ч = °-	(9п, 65)

Здесь г8С — омическое сопротивление фазовой обмотки статора.

Реактивности самоиндукции и взаимоиндукции фазовых обмоток статора при поло-
жении оси полюсов ротора под углом 6 к оси фазовой обмотки а можно принять
в первом приближении равными

xaa=i[x.+y.cos 29]-*-Jr:

2 Г	„Л,	2u\-| x0

хьъ=tL**-^* cos2v0-b_3_;J-*-_3“:

=т [\ -*- y,cos 2 (6	v)]+ir;

u	(9n, 66)

х<л = хьа==~з К 2v>cos 2e] ~ IT :

1 Г „	„ Л 2я \~| XO

хьс ^Хсь = -з lA cos 2 V “з/ J :
*вв=*вв=т[*,*ЧС082(в*44]~1^’ 1

где xo — реактивность нулевого следования фаз.

Исключая из системы уравнений (9п, 63)—(9п, 65) токи Az& и Az’e и учитывая
выражения (9п, 66), имеем:

д'«= —

rft Р (х, — У, cos 2в)
D~a

(9п, 67)

где знаменатель

Da = Pixdxi Р С2г»Л Т Аг Ч - У» cos 20)] ** г«с (г««	f Аг) ’ (9п' 68)

Результирующий ток ia с учетом начального тока z’o= -------2-- равен (в долях

rse ЗГ Дг
начального тока z’o):
ia . Ыа PxdXg4-r,AXg~*-y^^^)	м

1$= 1 "77=р----------------О~а----------•	(9п’ 69)

2к

Аналогичные выражения имеем для токов в фазе Ь, заменяя 0 на 0 + -д— , и
4 тс

в фазе с, заменяя 0 на 6+ ~• Получаем соответственно Db,	и

_	ia

Для определения синхронной реактивности возьмем интеграл тока — по t и найдем
*0

предел этого интеграла при t оо.

В операторном виде получаем:

х9 + У» cos 20

(9п, 70)

2
где г = г8с -+- ’з' Дг.

Аналогично

Х, “* У 8 COS

Х8	&8 C°S 2 V

(9п, 71)

Из формулы (9п, 70) и (9п, 71) получаем формулы для определения синхронных
реактивностей по осям фаз а, Ь, с

со

xaO = xa(j°) = x,-*-y,cos 2fl = rJ
о

со ,

/ 2я \ с

ХЫ> = ХЪ М°) ==Х»~*'У1 cos 2	-§-) = Г j -^df,

о

(9nr 72)

co

(4к \ г ic

0	~3~) = rJ 7^ dt'

о

Синхронные реактивности по осям d и q определяются на основании фор-
мулы (9п, 72) из соотношений

(9п, 73)

Для определения сверхпереходных реактивностей найдем значение производных
токов Д/д, Д/б и Д?с в момент t = 0.

На основании формулы (9пэ 67) в операторном виде имеем

,,	х, — И, cos 29

~1а = [РДг аЬ->со= ~~	" "

[I®-+-Iycos2fl] •

(9п, 74)
где

Аналогичне

(9п, 75)

(9п, 76)

Производная тока Ага в момент времени t = 0 равна:

'а —[РД'аЪ>->со— гГ ’

(9п, 77)

где — время снижения тока от начального значения до нуля по начальной каса-
тельной.

Аналогично
fe-4-.	(Эп, 78)

6 rTW ’ 'о rT(c)

На основании формул (9п, 73) и (9п, 75) определяем i"* я

(9п, 79)

_	п	и  Сверхпереходные реактивности хЛ и х^ определяются как
хЛ =	1	; х" = ./ .« 	(9п, 80)
ly	q	1х 1у

Если ток может быть выражен в виде суммы экспоненциальных составляющих
*0

	

•	—апа*

(9п, 81)

zlae ^г2ае

то

~ гТг ч = Л^1а “* а2а*2г “*“•••"*“ апа*па*	82)

Л (л)

Аналогично определяются величины и — по соответствующим экспонен-

h h
циальным составляющим для токов и ~ •

Таким образом, сверхпереходные реактивности x"d и х^ могут быть определены
цо тем же формулам (полученным из разложения кривых затухания на экспонен-
циальные составляющие), что и при рассмотрении, не учитывающем несимметрию
контуров, вызванную наличием внешнего сопротивления.

Как видим из полученных соотношений, синхронные реактивности машины х& и xq
и сверхпереходные реактивности x'd и х^ определяются из опыта питания трех фаз
обмотки статора постоянным током при произвольном положении ротора пр сравни-
тельно простым формулам (9п, 73), (9п, 80), независимо от величины дополнительного
сопротивления Аг.

Определение точек частотных характеристик по осям d и q для скольжений
ротора, не равных нулю или бесконечности, в рассматриваемом случае (при произ-
вольном положении ротора) несколько более сложно ввиду того, что, как видно из
формул (9п, 67)—(9п, 69), знаменатели Z)a, Db и Dc выражений для фазовых токов
не равны между собой при наличии дополнительного сопротивления Дг и при 0	0

те
или ~2 •

Однако, зная угол 0 из результатов обработки осциллограмм при определении
синхронных и сверхпереходных реактивностей и заменяя р на js, нетрудно опреде-
лить величины х (js) и yg (js) из полученных алгебраических комплексных уравнений.

Для построения частотных характеристик при s #= 0 и s=£co, строго говоря,
нужно пользоваться системой уравнений (9п, 63)—(9п, 65), дополненной уравнениями
для роторных контуров по осям dug. Уравнения (9п, 64), (9п, 65) должны быть при
этом дополнены членами, учитывающими взаимоиндукцию с роторными контурами.
Мы не приводим соответствующих уравнений вследствие их громоздкости. Состав-
ление их и решение по изложенной методике не представляет принципиальных затруд-
нений.

При пользовании схемой питания двух фаз обмотки статора постоянным током
при произвольном положении ротора, затруднений, связанных с учетом несимметрии
сопротивлений в статорных контурах (вследствие наличия внешнего сопротивления Дг)
не возникает.

5. Учет непостоянства приложенного напряжения

При определении частотной характеристики по затуханию постоянного тока в ста-
торе при неподвижном роторе в ряде случаев возникают практические затруднения
с об еспечением отсутствия влияния источника питания на затухающий ток статора
вследствие наличия некоторого сопротивления в месте закорачивания и соизмери-
мости этого сопротивления с омическим сопротивлением обмотки статора.

Этого затруднения можно избежать, если измерять напряжение на зажимах
обмотки статора в момент опыта. Опыт можно производить как при закорачивании
обмоток статора на какое-либо сопротивление, так и при включении обмотки статора
(по вышеизложенным схемам питания трех или двух фаз) на источник постоянного
тока ограниченной мощности. Можно также осциллографировать ток статора и напря-
жение на зажимах статора при закорачивании последовательно соединенного сопро-
тивлений, при изменении напряжения источника питания и т. д. Во всех случаях
необходимо иметь запись Тока статора и напряжения на обмотке статора.

Пусть ток статора в функции времени равен ie (t), а напряжение на обмотке
статора выражается опытной зависимостью е (t).

Операторное изображение тока i8e (р) =Ф= ie (t) может быть представлено в виде:

= <9п’83)

где е9 (р) =ь= е (t) — операторное изображение функции времени е (t).

Соответствующие частотные характеристики связаны зависимостью

= r.Jj'Xs) = [е* (W] ’ [г'“ (/s)]	(9п’ 84)

и, следовательно,

1"0»)=•	(9п’85)
Зная zet(js), определяем =	и i8 = rs_^_ jx (js)

выше.

по методике, изложенной

Из формулы (9п, 85) видно, что требуется найти частотные характеристики
i8e(js) и е8 (js) по опытным кривым в функции времени ie (t) и е (t).

Разделив модуль комплекса i88 (js) на модуль комплекса е8 (js) и вычтя из аргу-
мента комплекса j8e (js) аргумент комплекса е8 (js), получим модуль и аргумент ком-
плекса i88(js).

Определение частотных характеристик i88 (js) и е8 (js) по кривым ig (t) и е (t)
может быть произведено либо с помощью разложения на экспоненты (см. стр. 563),
либо методом отрезков (см. стр. 566), либо другим способом, наиболее подходящим
для рассматриваемой конкретной задачи.

В [11-9] изложен сравнительно трудоемкий, но довольно точный метод определе-
ния частотных характеристик по опытным кривым переходного процесса. Кривая^
переходного процесса разбивается на участки, каждый из которых приближается
полиномом третьей степени. Там же рассмотрен другой метод с использованием
шаблонов. В [12-9] дан аналитический метод разложение кривой на экспоненциальные
составляющие с любой заданной точностью приближения к исходной кривой.

ПРИЛОЖЕНИЕ 10

(к главе 14)

ИССЛЕДОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ РОТОРА СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
В ПЕРЕХОДНОМ ПРОЦЕССЕ С ПОМОЩЬЮ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

1. Некоторые данные по эллиптическим функциям

Интегралы вида

______________________

vc (в—м (6—б2) (6—бс)

(10п, 1)

могут быть выражены через эллиптическую функцию Вейерштрасса (и), которой
соответствует так называемый нормальный эллиптический интеграл Вейерштрасса:

dz

и __ . ——_	—

J V4z3 —£-2г —
2

г= Ч? (и).

(10п, 2)

Здесь ^2» SZ — коэффициенты многочлена.

Корни многочлена 4z3 — g%z — g$ обозначаются через ej, е^, 63. Если дискри-
минант △ = g$ — 27g$ больше нуля, то корни многочлена являются вещественными.
При этом обычно принимают в1> е%> е$.

Функция Вейерштрасса в этом случае может быть выражена следующим образом:

е1 — ез

W = е3 -	----V .

sn2 \и \е1 — ез)

(10п, 3)

Символом sn и обозначена эллиптическая функция Якоби, называемая эллипти-
ческим синусом. Функция sn и, помимо и, зависит от параметра т = £2. Величину к
обычно называют модулем эллиптической функции.
Функция sn и может быть представлена следующим рядом Фурье:

1

X1 q 2	(2п-*-1)гсы

sn u~k К 1 — о2”"*"1	2К

п=0 v

(Юп, 3)

Здесь К — полный эллиптический интеграл первого рода, являющийся функцией
параметра т, равный

1

, f	dx

и

К'
— 71 “77"

q = &

где К' — полный эллиптический интеграл первого рода для параметра т' = 1 — т.

Величины К и q для различных значений параметра вычислены и сведены в таб-
лицы [1Г-16, 1Г-15, 1Г-20] (см. табл. 14-2).

При т==0 имеем snn = sinn. При увеличении параметра т функция sn и уве-
личивает свой период, равный 4ЛГ. При т = 1 величина К достигает бесконечности,
и эллиптический синус превращается в гиперболический тангенс. На рис. 14-3 пред-
ставлены кривые эллиптического синуса при различных значениях параметра ш.

Параметр т в формуле (10п, 4) равен:

е2 ~ е3
т --------

ei —е3

(Юп, 5)

Если дискриминант △ подкоренного многочлена в выражении (Юп, 2) меньше
нуля, то два корня многочлена являются комплексными. Если обозначить

e^e^je.^
е^ = —2ег-,
e3 = er~jef

(Юп, 6)

где j = V—1, то функция Вейерштрасса (и) в этом случае (Д <Ю) может быть
представлена в виде:

л/ \ w 1 н-СП (2u v7/0)

№(“) = е2 -+- Но —------, лттл- •	(10п< 7>

1 — сп \2и

Символом сп и обозначается эллиптическая функция Якоби, называемая эллипти-
ческим косинусом.

Функция спи, аналогично sn и, зависит, помимо м, от параметра т = № и
может быть разложена в следующий ряд Фурье:

ОО	п + —

2т: X? Я 2	(2п •+• 1) ъи

СП и = 2а 1 н- 92«+1 cos ------------2К----- •	(10п’ 8)

«=0

Величина в формуле (Юп, 8) равна:*

Я0==1/9е^-*-е}.

(Юп, 9)

* Мы вынуждены ввести обозначение вместо Н ввиду того, что буквой Н мы
обозначаем инерционную постоянную машины.
Параметр этом случае равен:

1 Зе2	(10п, 10)

т~ 2 Но '

Эллиптический косинус спи при т = 0 превращается в тригонометрический
косинус cos и.

При увеличении параметра т период функции спи, равный 4АГ, увеличивается,
доходя до бесконечности при т = 1. При т = 1 спи превращается в обратную вели-

чину гиперболического косинуса	• На рис. 14-4 представлены кривые эллип-

тического косинуса при различных значениях параметра т.

Функции sn и и сп и связаны зависимостью

sn2 и -+- сп2 и = 1.	(10п, 11)

Помимо функций sn и и спи, Якоби ввел еще функцию dn и, связанную с функ-
цией sn и зависимостью

dn2 и-ь £2 sn2 u = 1.	(10п, 12)

Функция dn и при т = 0 равна единице, а при т = 1 равна "ch'~ • Кривые функ-
ции dn и при различных значениях, представлены на рис. 14-5.

Эллиптические функции обладают рядом замечательных свойств. Мы остановимся
только на тех свойствах, которые в дальнейшем рассмотрении нам нужны.

Если рассматривать аргумент и как комплексную величину, то эллиптические
функции являются двоякопериодическими, причем один период является реальной
величиной, а другой — мнимой.

Нулями для функции sn и служат аргументы:

и = 2П1К-*- ]2п2К\	(10п, 13)

где Л1 и п2— произвольные целые числа.

Нулями для функции сп и служат аргументы:

и = (2п — 1) АГч- ]2п2К'.	(10п, 14)

Ряд формул для эллиптических функций Якоби имеет сходство с соответствую-
щими формулами для тригонометрических функций.

Так, например,

1 — сп 2и

sn2 “ = 1-t-dn 2а •	(10п’ Ь)

Приведем некоторые необходимые сведения о функции Вейерштрасса.

Функция 1? (и) может быть представлена рядом

1 и2 и±	иб З^^

ЧР =	20'ч--?з'28’	1200	6160 и& ’	^10п’

Основными полупериодами для фундции 7Р (и) служат:

АГ	K'j

;	<о3 = -	;	(10п, 17)

Vei — е3	Vei —е3

е1 = 1Р(0)1); б2= 1Р («1-ь W2); e3 = lP(w3);	(10п, 18)

чл / ч	(е3 —	(е3 — е2)

ТР (и -ь й>з) = е3 -ь-ф (ц) _ ез--- .	(10п, 19)

1) При Д^>0:
в этом случае
2) При Д<0

K—K'j
“ 2v7^ ;

в этом случае

ei = l?(w'); е2 = 1? (<о2); е3 = 1Р(ш'")»

где

(О2 = со' ч- со"'.

Аналогично (10п, 19) имеем:

(е2 — ез) (е2 — ^1)

7? («) — «2

Первая производная функция 7Р (и) по и равна:

7Р' («) = УЧдЗ — ^r2Z — g3 = \/41Р3 (и) — g2’S) («) — #3*

Вторая производная функция ^Р •(«) по и равна

а2

7Р"(п) = б7р2(и)_^ .

(10п, 20)

(10п, 21)

(10п, 22)

(10п, 23)

(10п, 24)

(10п, 25)

1Р (и ч- о>2) — е2 -+-

Функция Вейерштрасса используется нами только для вывода полученных фор-
мул. При расчете колебаний приходится вычислять либо sn и, либо сп и. Таблицы
для определения sn и и сп и в функции и и тп имеются в [1Г-15, 1Г-22].

При т, близком к единице, функции sn и и сп и претерпевают быстрое измене-
ние при небольшом изменении т, поэтому пользование таблицами sn ti = f (и, ш) и
сп и = f (u, т) требует осторожной интерполяции. Более точные значения sn и и спи
можно получить, пользуясь полной таблицей эллиптических интегралов первого рода.
Такая таблица имеется, например, в книге Ю. С. Сикорского [1Г-16].

Определение функции sn и по таблице, если заданы и и m = £2, производится
следующим образом: 1) определяют так называемый модулярный угол 0 = arc sin k'
2) по столбцу F(0) находят в таблице величину, равную и; 3) по горизонтали нахо-
дят угол <р, соответствующий и; 4) вычисляют snu = sin<p.

Если заданы величины sn и и тп = к2 и требуется определить и, то определяют
угол ср = arc sin [sn и] и 0 = arc sin k.

Функцию сп и вычисляют, пользуясь соотношением

сп и = V1 — sn2 и •

2. Вывод формул, выражающих рабочий угол в функции времени
через эллиптические функции

а)	Случай устойчивой работы
/ db \2

Пусть величина (приобретает значения, равные нулю, при углах Во, В2 и $с.

На основании выражения (14, 18) имеем:

__	3

Vc	Г	d§

2 f ~’ J V4 (6 — 60) (8 — 82) (8 — Sc) ’	(10п« 26)

оо

Введем новую переменную

Z==B —Вй	(10п,27)

где

Вл + Вп -4- Вс

---j------ .	(10п, 28)
Полином (В— Во) (& — В2) (В — $с) можно представить в виде:

(В - Во) (В - В2) (В - Вс) = (z - б1) (z - е2) (z - е3),	(Юп, 29)

где

е1 = Вс — Вх; е2 = В2— Bt-; е3 = В0— В/.	(Юп, 30)

Вещественные корни полинома (Юп, 29)	е2, е3 связаны соотношениями

е1 "+ е2 е3 = е1 > е2 > е3*

(Юп, 31)

Пользуясь определением функций Вейерштрасса 7Р и учитывая, что

__	Я	ОО

Vc Г	dz	Г _______________dz________________

2 J V4 (z — еН {z — е2) (z — е3) J V^4 (z — ej {z — e2) {z — e3)
®3	z

Г ______________dz______________

j V4 (z — ej (z — e2) (z — e3)
e3

(Юп, 32)

имеем:

/с	f _______________dz_______________

2	*-*-*0) J

я

(Юп, 33)

и, следовательно,

z — TP

(Юп, 34)

где tQ определяется формулой:

___________dz __________

V4(z — ej (z — e2) (z — e3)

(Юп, 35)

На основании теории эллиптических функций, согласно формуле (Юп, 35), вели-
те

чина 2"' Л) является полупериодом функции и может быть выражена следующим
образом:

х/с"	i&'

—г0=<-3=	•	<10п- 36>

При вещественных корнях е1э е2, е3 полинома (Юп, 29) функция Вейерштрасса
выражается через эллиптический синус в виде:

z= ТР

v'c (—Г —Го) ]

2	J^®3

е1 — е3

_____________е1 — е3_____________

Г   \/ Q ___________

sn2 —-------- t 'Jex — e3-i-jKr

(Юп, 37)

Модуль эллиптического синуса в этом случае равен:
Учитывая, что [1Г-16], [1Г-20]

sn (и -ь ]К') =	,	(Юп, 39)

получаем для z выражение

Г ___________ "I

z = е3 — (ех — е3) k2 sn2 ~~2~ е1 — е3 1==

Г у/с _________ "1

= е3 —- (е2 — е3) sn2	g- V в! — е3 11 .	(10п, 40)

Соответственно для угла & получаем:

Г у/с ________ 1

& = z -+- = &о ($2 — $о) sn2 2~ е1 — ез 11 •	(Юп, 41)

Вводя обозначение

_ Jo£_ 1/ (8< — So) (Si — &о)

т— 2 И (8,- 8Х) (82- 8Х) ’	(Юп, 42)

получаем окончательное выражение:

3 = Ьо (&2 “ М sn2 т,	(Юп, 43)

где параметр т = £2, характеризующий эллиптическую функцию sn т

Во ——

- =	(Юп, 44)

б)	Случай выпадения из синхронизма

В случае чрезмерной нагрузки, когда машина выпадает из синхронизма, сколь -
жение равно нулю при b = &0. Для того чтобы приблизить выражение под корнем
в выражении (Юп, 1) полиномом третьей степени, можно пользоваться условиями
(14, 20).

Полином Л (б) в этом случае может быть представлен в виде:

R (В) = с (г — М (&2 — 2ВЪ -ь D),	(Юп, 45)

где коэффициенты В и D определяются условиями (14,20) и D—В2>0, так как
выражение R (5) имеет только один реальный корень, равный bg.

Коэффициент с определяется из условия:

7?(8i)= so(8i—8о)2-	(10П.46)

Аналогично предыдущему рассмотрению, вво’дим новую переменную

* = & —	(Юп, 47)

где

В таком случае полином R (Ь) можно представить в виде:

Я (&) = с (z — ej (z — е2) (z — е3) = с (z — е2) (г — 26z •+- J), (Юп, 49)
где

ei-ь е2 ч-е3 = 0; d—62>0.	(Юп, 50)

Из трех корней е1э е2 и е3 полинома (Юп, 49) один должен быть реальным, два
других — сопряженными комплексными величинами. Мы принимаем, что реальным
корнем является е2 = $о —
Пусть

е3 = er — jej,

(10п, 51)

— ег •+• jey;

где ег и ej — величины реальной и мнимой частей.
Тогда

6=er;	rf=e2-+-e2; е2 = — 2Ъ;	\=26-+-80.	(10п, 52)

На основании выражения (12п, 49)
я	00

Ус Г__________________dz__________ Г ______________dz___________

~2~t= J V4 (z — e2) (z2 —26z-i-Jp =	V4 (z —e2) (z2 — 26z-t-rf) ~

«2	«2

f _________dz_____________

J ^4(z—e2) (г2 — 2bz -+- d)

(lOn, 53)

Пользуясь определением функции Вейерштрасса (10п, 2) имеем:

Г \/с	1

z =	(/ -ь f0)J ,	(10п, 54)

где fp определяется формулой:

/—	00

Ус fp	Г	dz

2 J V4 (z— е2) (z2— 2bz -+-</)	(	’	)

*2

Vc~
Величина	является полупериодом эллиптической функции и может быть

выражена следующим образом:
vr к
-К-/О = й>2 = —=-,	(10п, 56)

v^fp

где К — полный эллиптический интеграл первого рода для модуля:
1	3 е2

*2=2-4-й7	<10п>57)

и

На = V862 н- d.

(10п, 58)

При комплексных корнях е^ и е3 функция Вейерштрасса выражается через эллип-
тический косинус в виде:

Vc (t ч- /0)]

1 = е2

1 -4- сп |Vc (-If -ь fp) V77q]

1 — сп [>/с (—t -+- f0) V/fp]

Из теории эллиптических функций известно, что

ЧР (и ч- <о2) = е2

(е2 — е3) (е2 — et)

*+' ЧР (“) — «г

и, следовательно, учитывая, что

(е2 ез) (е2	е1) =

получаем

„ 1 -~сп (v^cZ/p/)
z в2 ° 1 -+- СП (v^cZ/pf)

(10п, 59)

(10п, 60)

(10п, 61)

(10п, 62)

z=l?
Соответственно для угла В имеем:

X — S! Т-Г 1—СП (vW/pf)
°	° 1 -+- сп^с/Ур?)

(Юп, 63)

Остается установить зависимость
углов ад ад ад

Скольжение достигает максимума

коэффициентов с и Нц от заданных значений

и минимума при 5 = и b = b2. Функция

/ с	\

z=7? (“2“ t -+- <о21 связана с углом В простым соотношением (Юп, 27) и, следовательно,
условия максимума и минимума скольжения при В = и S = В2 равносильны условию
равенства нулю второй производной функции Вейерштрасса по t при соответствующих
значениях z.

Как известно, в случае, когда вторая производная функции 7Р (и) по м равна
нулю —7?" (ы) ~ 0, имеет место следующее соотношение:

, ч е1е2-*“ е2е3-4- езе1

7Р2 (м) == —------------$---------

(Юп, 64)

В нашем случае это равносильно условиям

(&2-М2 =

2	2	г»

ег	е J	^ere2	— d

(Юп, 65)

з

з

462 — d

(Юп, 66)

поскольку $1 и Ь2 — заданные углы, соответствующие условию



Учитывая выражения (Юп, 52), получаем:

$2 —	“ $♦’ —

(Юп, 67)

откуда

Ь2
6 = ~

8,-—	2

(Юп, 68)

в] — 2Ь0 е

4

Коэффициент Hq может быть определен
ний (Юп, 52) и (Юп, 68)

нз условия (Юп, 65) с учетом выраже-

462 — d

($2-2б-ад2 =—з—

(10п, 69)

или

з ($2 _ ад2 _ 126 (62 — ад -+- 862 — d = 0.

(Юп, 70)

Учитывая выражение (Юп, 58), получаем:

откуда

//02 = Ш(82-у-3(52-50)2,

(Юп, 71)

= V3 (02 — ад ($i — ад*

(Юп, 72)

Из формулы (Юп, 69) можно также найти выражение для коэффициента d через
углы ад ад ад

<7=(&1-ад (&2-ад

(82-8,)2 Н* (82-8,)2

2

3

2
Модуль k2 с учетом выражений (Юп, 68) и (Юп, 72) выразится в виде:

1	^3 В2 -4-	— 2?>о	.

2	8 V(д2 — $о) ($1 — &о)

Коэффициент с определится из соотношения

®о (zi ег)2 “ е (zi ез) (zi 26zx -+
где

Вл — Bi

Z1 = Bi — Bi = Bi — 26 — во = — -^-у-1 •

Коэффициент с равен:

2^

с Зо2 — Bj — 2б0

Введя обозначение:

v'cT/q »«# / 2Hn	s0#-./12(1-*-7) 7

2	2 У 3(82-81)-+-2(61 — 80)~ 2 V (3-*-27)2 ’

8) — 80
где 7 = b^zni

, получаем окончательное выражение

для рабочего угла В в функции

времени для случая выпадения из синхронизма:

1 — сп 2т

(Юп, 74)

(Юп, 75)

(Юп, 76)

(Юп, 77)

(Юп, 78)

(Юп, 79)

ПРИЛОЖЕНИЕ 77

(к главам 13 и 15)

КАЧАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРИ НАЛИЧИИ ПУЛЬСАЦИИ
ПРИЛОЖЕННОГО ВРАЩАЮЩЕГО МОМЕНТА

В случаях, когда синхронный генератор приводится во вращение поршневым
двигателем, либо когда синхронный двигатель вращает поршневой компрессор, имеют
место значительные колебания приложенного вращающего момента. Аналогичные
колебания имеют место в ряде случаев при вращении генератора от гидротурбины.

Необходимо, чтобы собственная частота электрических колебаний генератора

(11п, 1)

(где т8 — коэффициент синхронизирующего момента и Н—механическая постоянная
машины) достаточно отличалась от частоты вынужденных колебаний вращающего
момента.

Желательно, чтобы это отличие от частоты вынужденных колебаний составляло не
менее чем 2Оэ/о.

Пусть основная частота вынужденных колебаний равна:

Ломин.

fk =-----’	(Пп,2)

где р — число пар полюсов, т. е. период колебания приложенного вращающего мо-
мента равен длительности одного оборота машины.
В таком случае коэффициент усиления для малых колебаний рабочего угла машины

будет равен:

где к/с — равно отношению

(Пп, 3)

(Пи, 4)

и — коэффициент демпферного момента.

Для высших гармонических колебания приложенного вращающего момента по-
рядка v имеем коэффициент усиления малых колебаний угла &, равный

(Пп, 5)

Это значит, что амплитуда колебаний рабочего угла Ау&, вызванная пульсацией вра-
щающего момента АуЛ/^, имеющей частоту уД, будет равна:

=	(у = 1, 2...)	(11п,6)

Коэффициент усиления для колебаний электрической мощности из-за пульсаций
вращающего момента с частотой уД равен:

(Пп, 7)

Пульсация электрической мощности AVP, вызванная пульсацией вращающего
момента А^Л/£, будет равна:

Ро ~(mlo с

(Пп, 8)

где Pq — средняя электрическая мощность;

MLq — средний приложенный вращающий момент.

Рекомендуется по заводским данным выбирать маховой момент агрегата GDZ
таким образом, чтобы относительная амплитуда результирующей пульсации мощности
была в пределах !/з» т* е- чтобы

----к------ «V-	(Пп, 9)

При рассмотрении качаний дизельгенераторов следует учесть, что для четырех-
w	r	fномин.

тактных дизелей основной частотой вынужденных колебании будет Д = —9-, т. е.

2р

П	. Jномин.

-9- периодов в минуту, а для двухтактных Д =--•

z	р

Для обеспечения колебания электрической мощности дизельгенераторов в допусти-
мых пределах в заводской практике пользуются следующим критерием для выбора
минимального значения махового момента агрегата в тм2 (при номинальной частоте
50 пер./сек.):

GD2>SC^> (11п,10)

ЧОО/
где коэффициент с^2 имеет примерные значения, указанные в табл.	в зависи-

мости от конструкции дизеля; п —об./мин.

Таблица 11п-1

Зависимость коэффициентов kg , сщл с^2 от типа дизеля

хд sin у)3 -4- х3 cos2 у (1 Хд sin у)

xdxi(l-*-2x1sia‘f-+-xl)

(11п, 11)

где Рн — номинальная кажущаяся мощность машины в ква;

cos ф — коэффициент мощности в номинальном режиме.

В ряде случаев рекомендуется ограничивать амплитуду колебаний рабочего
угла 5 значением порядка трех электрических градусов, что менее обосновано и
далеко не всегда удается выдержать на практике.

Для синхронных генераторов, работающих на изолированную нагрузку, суще-
ственно также ограничение колебаний частоты генерируемого тока. В зависимости от
частоты колебаний, скорости вращения генератора устанавливаются различные допу-
стимые амплитуды этих колебаний.

Амплитуду колебаний скорости вращения машины в долях номинальной скорости
вращения часто называют коэффициентом неравномерности и обозначают 3.

При смешанной нагрузке генератора по заводским данным считается допустимым

8<	(Ип, 12)

Если генератор работает на световую нагрузку, то требуется обеспечить отсутствие
мигания света, вызванного колебаниями частоты питания.

Соответствующие требования по ограничению величины В зависят от частоты
колебаний. Наиболее сильное влияние имеют колебания с частотой порядка
500 пер./мин.

Допустимые значения величины & в зависимости от частоты колебаний приложен-
ного вращающего момента по заводским данным примерно равны:

число колебаний в минуту = 100	300	500	700	1000

5 <1/125 1/175 1/225 1/175 1/125

Частота колебаний приложенного вращающего момента в минуту для дизелей
равна:

/g = kgn,	(11п, 13)

где п — об./мин., a kg определяется по табл. 11п-1, в зависимости от конструкции
дизеля.
Величина допустимого махового момента для обеспечения заданного значения &

примерно равна в тм2:

22Р
GD2=	сд,

(ioo) 5

(11п, 14)

где Рж — номинальная мощность машины в МВт;

cdl—коэффициент, зависящий от-конструкции дизеля.

Коэффициент имеет примерные значения, указанные в табл. 11п-1.

При составлении настоящего приложения использованы материалы, системати-
зированные на заводе „Электросила** им. С. М. Кирова.

ПРИЛОЖЕНИЕ 12
(к главе 15)

ЧИСЛЕННЫЙ ПРИМЕР РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ВРАЩАЮЩЕГО
МОМЕНТА ПРИ ЗАДАННОМ ИЗМЕНЕНИИ УГЛА В ФУНКЦИИ ВРЕМЕНИ
ПОСЛЕ НАБРОСА НАГРУЗКИ, БЛИЗКОЙ К ПРЕДЕЛУ СТАТИЧЕСКОЙ
УСТОЙЧИВОСТИ

Исхрдные данные: Р = 150 ква; п = 750 об./мин.

Параметры машины: хй = 1.89; х? = 1.07; х^ = 0.21; х" = х^; Т^ = 59.7; //агрег,==

GD2 / и \2

= 8 62 ~MVA (100) = 108°-

Машина не имеет демпферных контуров в роторе.

50.1

Данные режима: 2?=0.427; е=0.966; jl/io = O.O24; ML — g =0.334.

1.	Электромагнитный вращающий момент в первый полупериод
качания

Имеем следующие опытные данные по изменению угла во времени в первом
полупериоде качания:

Ьо = 2°2О'; &! = 28°; &2 = 46°; h ^0.033.

Времена достижения углов в эл. радианах: ^i = 56.5; t% — 106.5.

Амплитуда колебания: Aq=(28° — 2°20')	^0.448.

Бесселевы функции Jo (0.448) = 0.95; Ji (0.448) = 0.216.

Асинхронный вращающий момент при частоте h по формуле (15, 56)

0.9662 • 0.033 (377 — 59)

Mah 1.89 (1	0.332 • 59.72)	1в05,

Электромагнитный вращающий момент М9 по формулам (15, 54), (15, 55):

при $ = $i; ^1 = 56.5

0.427 • 0.966	_ л / 1

^«(8=8,)—	189 Sln28 — °-9662(о.21

56.5

S97cos

0.95 cos 28° sin 28°

-ь 1.05 • 2 • 0.216 sin 28°

it
siny

0.9662 / 1
““ 2 ДО.21

fbjsin (2-28°)-ь

sin 28° = 0.37;
при В == В2; £2 = Ю6.5

М, (8=з2) = 0.218 sin 46° ч- 3.95 [0.17 • 1 ч- 0.83 • 0.95 • 0.833] sin 46° —

Г cos тс — 0.17 “1

—1.78 sin 92° ч—1.05 • 2 • 0.216 • 0.47 | sin к ч------J sin 46° =0.746.

Аналогично вычисляем вращающие моменты при 5 = 20° (t = 43.9); 34° (£ = 62.8);
40° (£ = 84.2); 44° (£ = 89.2).

Величины £ здесь взяты из опытной кривой $=/(£).

Так, например, при В = 20°

—а 28° — 20°
cos Л£ = ъ___s — 9Я° __ 9°9(Т =0.312;

sin ht = V^l — 0.0974 = 0.95;

Ме (20) = 2.18 • 0.342 ч- 3.95 [0.4286 •! + (!- 0.4286) • 0.95 • 0.883] 0.342 —

— 1.78 • 0.6428 -+-1.05 • 2 • 0.216 • 0.469 ^0.95

0.312 — 0.42861

-----pgfy-----J 0.342 = 0.221.

Аналогично М. (34) =0.527; М. (44) = 0.791.

В районе углов, близких к &2 целесообразно для расчета величины cos ht пользо-
ваться формулой

а2 — а

cos ht	— 1,

б2 —

или

cos ht т--------5— — 1,

§2 — б3

— а

вместо с os ht = -5-г-

61 — б0

чтобы получить правильное значение cos ht = —1 при 5 = 62.

В противном случае, вследствие того, что 62 не удовлетворяет при больших качаниях
уравнению 6	— (Sj — 60) cos А£, мы можем снизить точность расчета.

2.	Электромагнитный вращающий момент во втором полупериоде
качания

Опытные данные:

»з = 39°;

#3 = 144.3;

84 = 24°; Л % 0.033.
tt = 188.7.

Для упрощения расчетов пренебрегаем изменением амплитуды колебаний во вто-
ром полупериоде на величину Бесселевых функций Jq (До) и /1 (До)- Электромагнит-
ный вращающий момент будет равен:

при 8 — 83; ta = 144.3

Mt {8=гз) = 0.218 • 0.63 -+- 3.95 [0.089 • 1 — (1 — 0.089) 0.95 • 0.883] 0.63 —

—1.78 • 0.978 -ь 1.05 • 2 • 0.216 • 0.47

sin ~2 тс

cos ~2 тс — 0.089

L97

0.63 = 0.376;

при 8 = 84; #4 = 188.7

= 0.218 sin 24° -+- 3.95 [0.0426 • 1 -ь (1 — 0.0426) 0.95 • 0.883] sin 24° —

Г 1 — 0 04261

—1.78sin48° -+-1.05 • 2 • 0.216 • 0.47 0—1-5=----- sin 24° = 0.168.
Аналогично вычисляем вращающие моменты при & = 43° (f== 135.6) и & = 35°
(£==149.4). Времена t здесь также взяты из опытной кривой &=/(£).

Так, при &==43° имеем:

&2~S „	46 — 43	,_________

cos = 52_'5з — 1 = 46 — 39 — 1 = —0.571; sin ht = — v'l — 0.5712 = —0.821;

М(43) =0.216 • 0.682 н- 3.95 [0.1034 -+- (1 — 0.1034) 0.95 • 0.883] 0.682 —

Г	—0.714 —0.189 "1

—1.78 • 0.9976 -+- 0.2131—0.821 -+--------------J 0.6947 = 0.791.

Знак величины cos ht в первой и второй четверти периода колебания положителен,
во второй и четвертой — отрицателен.

Знак величины sin ht в первой и второй четверти колебания положителен,
в третьей и четвертой четверти колебания — отрицателен.

При & = 35°; Ме (35) = 0.505.

3.	Электромагнитный вращающий момент во втором
и последующих периодах колебания угла

Для второго периода колебания угла имеем следующие опытные данные:
$4 = 24°;	£4 = 188.4;	&5 = 32°;	£5 = ?51.2; Ь6 = 39°; £в = 288.1;

&7 = 35°24';	£7 = 335.3;	&8 = 32°;	£8 = 396; h ^0.033.

Амплитуду колебаний Aq во втором периоде принимаем равной

До = &5 — &4 = (32° — 24°)	= 0.1362.

/о (0.1362) = 0.995; Ji (0.1362) = 0.07.

Электромагнитный вращающий момент равен:
при b = &5

М, (й==8б) = 0.218 • 0.53 ч- 3.95 [0.015 • 0.914 ч- (1 — 0.015) 0.995 • 0.848] 0.53 —

— 1.78 • 0.899 ч— 1.05 * 2 • 0.07 • 0.53

5
sin ~2 те

cos ~2 те — 0.015

59/7	"

0.53 = 0.327;

при & =

Л^(8=8в) = 0.218 • 0.629 ч— 3.95 [0.008 ч- (1 — 0.008) 0.995 • 0.848] 0.629 —

Г —1 — 0.008“]

- 1.78 • 0.978 ч—1.05 • 2 • 0.07 • 0.53 |_0 +--------J 0.629 = 0.762;

при В = $7

Д,(8=8 ) = 0.218 • 0.5793 ч- 3.95 [0.00363 • 0.914 ч- (1 — 0.00363) 0.995 • 0.848] X

Г о — 0.00363 "1

X 0.5793 — 1.78 • 0.944 — 0.0781^—1 ч--------------J 0.5793 = 0.333;

при & = Sg

Afe(8=8e) = 0.218 • 0.53 ч- 3.95 [0.00135 • 0.914 ч- (1 — 0.00135) 0.995 • 0.848] X
Г 1 — 0.00135 “1

X 0.53 —1.78 • 0.899 ч-1.05 • 2 • 0.07 • 0.53 I 0 —--^91-----J 0.53 = 0.300.
Аналогично определяем электромагнитный вращающий момент при углах b = 27°
(/ = 226) и В = 36° (/ = 270) в третьем полупериоде и углах & = 34° (/ = 353);
$ = 33° (/==368) в четвертом полупериоде. Значения времени / взяты из опытной
зависимости &=/(/). Так, например, при 5 = 27° в третьем полупериоде в первой
четверти второго периода колебания

5 В 32° — 27°
cos ht	“ 32°___24° = 0-625; sin ht = 0.78;

М(27) = 0.218 • 0.454 ч- 3.95 [0.0227 • 0.914 ч- 0.9792 • 0.995 • 0.848] 0.454 —

Г 0.625 — 0.0227 И

— 1.78 • 0.809 ч-0.078 [_0.78 ч--------------J 0.454 = 0.217.

При $ = 34° в четвертом полупериоде колебания в третьей четверти второго
периода колебания

S S	39 — 34	,________

cos ht =	_в? — 1 = зд____35 4 = 0*3$’ sin ht = — V1 — 0.152 = —0.92;

Me (34) = 0.218 • 0.559 — 3.95 [0.00275 • 0.914 — 0.99725 • 0.995 - 0.848] 0.559 —

Г	0.39 — 0.00275 1

—1.78 • 0.927 ч- 0.078 [_—0.92 ч-------------J 0.559 = 0.30Э.

При угле & = 33° (/ = 368)

Мв (33) = 0.291.

Электромагнитный вращающий момент в последующие периоды рассчитывается
так же, как в первые два. Абсолютную величину cos ht определяют в окрестностях
углов Ья(п = 1, 3. . .), как

и в окрестностях углов &я(п = 2, 4...) как

cos ht = 1 — z-£----.

Абсолютную величину sin ht определяют как

sin ht = V7! — cos2 А/.

Величина cos А/, как указывалось, положительна в первой и четвертой четверти
периода колебания, величина sin А/— в первой и второй четверти периода колебания.

Результаты расчета зависимости Me = f$) при заданном изменении угла в функ-
ции времени после наброса нагрузки представлены на рис. 1-22, а. Результаты ра-
счета хорошо совпадают с опытными данными.
ЛИТЕРАТУРА

(дана с ориентировочной разбивкой по главам)

1А (Общие работы)

1А-1. Алексеев А. Е. и Костенко М. П. Турбогенераторы. ОНТИ, 1937.

1А-2. Апаров В. П. Машины переменного тока, ч. I. Асинхронные машины.
ОНТИ, 1936.

1А-3. Бергер А. Я. Синхронные машины. ОНТИ, 1938.

1А-4. Бергер А. Я., Грузов Л. Н., Коган А. С.,НесговороваЕ. Д. Асин-
хронный двигатель в анормальных режимах. ОНТИ, 1938.

1А-5. Берге р А. Я., Сысоев В. И., Васильев В. А. Основные элементы
новейшей теории синхронной машины. ОНТИ, 1936.

1А-6. Бирмане И. Сверхтоки в установках высокого напряжения. (Перевод с нем.).
ОНТИ, 1932.

1А-7. Вандер Поль Б. и БреммерХ. Операционное исчисление на основе
двухстороннего преобразования Лапласа. (Перевод с англ.). ИЛ, 1952.

1А-8. Веников В. А. Электромеханические переходные процессы в электрических
системах. ГЭИ, 1958.

1А-9. Веников В. А. и Жуков Л. А. Переходные процессы в электрических
системах. ГЭИ, 1953.

1A-1CL Веников В. А., Иванов-Смоленский А. В. Физическое моделиро-
вание электрических систем. ГЭИ, 1956.

1А-11. Горев А. А. Введение в теорию устойчивости параллельной работы электри-
ческих станций. КУБУЧ, Л., 1935.

1А-12. Горев А. А. Переходные процессы синхронной машины. ГЭИ, 1950.

1А-13. Диткин В. А. и Кузнецов П. И. Справочник по операционному исчис-
лению. ГТТИ, 1951.

1А-14. Жданов П. С. Устойчивость электрических систем. ГЭИ, 1948.

1А-15. Завалишин Д. А. Синхронные машины. ГЭИ, 1951.

1А-16. Иосифьян А. Г. Научные проблемы отечественного электромашинострое-
ния. „Электричество", № 7, 1955.

1А-17. Иосифьян А. Г., Коган Б. М. Основы следящего привода. ГЭИ, 1954.

1А-18. Казовский Е. Я. Вращающие моменты синхронных машин при больших
качаниях. Сб. „Электросила", Xs 1, 1945.

1А-19. Казовский Е. Я., Костенко М. П., Лютер Р. А. Вопросы развития
современной теории синхронной машины. „Вести, электропром.", Xs 2, 1952.

1А-20. Казовский Е. Я. Некоторые вопросы переходных режимов в машинах пе-
ременного тока. ГЭИ, 1953.

1А-21. Казовский Е. Я. Некоторые вопросы работы машин переменного тока.
Информационно-технический сборник ЦБТИ электропромышленности, Xs 10(139),
1958.

1А-22. Казовский Е. Я. Некоторые переходные процессы и режимы в машинах
переменного тока, работающих в энергосистемах. Доклад на конференции по
дальним передачам, 24 мая 1956 г. Тр. межвузовской научно-технической конфе-
ренции по дальним электропередачам, секция III, изд. ЛПИ, 1957.

1А-23. Казовский Е. Я. Обобщенное рассмотрение переходных режимов в асин-
хронных и синхронных машинах. Сб. „Электросила", Х$ 2—3, 1945.

1А-24. Казовский Е. Я. Теоретические вопросы современного электромашино-
строения. „Электричество", Xs 7, 1945.

1А-25. Касьянов В. Т. Расчет явнополюсных синхронных машин. Изд. ВМА
им. Крылова, 1951.
1А-26. Конкордиа Ч. Синхронные машины. Переходные и установившиеся про-
цессы. (Перевод с англ.). ГЭИ, 1959.

1А-27. Конторович М. Операционное исчисление и нестационарные явления
в электрических цепях. Изд. ВКАС, 1947.

1А-28. Костенко М. П. Электрические машины, ч. I, ГЭИ, 1944; Специальная
часть. ГЭИ, 1949.

1А-29. Круг К. А. Переходные процессы в линейных электрических цепях. ГЭИ,
1948.

1А-30. Крон Г. Применение тензорного анализа в электротехнике. (Перевод с англ.).
ГЭИ, 1955.

1А-31. Крылов Н. Н. Электрические процессы в нелинейных элементах радио-
приемников. Связьиздат, 1949.

1А-32. Лай б ль Г. Теория синхронной машины при переходных процессах. (Пере-
вод с нем.). ГЭИ, 1957.

1А-33. Лайон В. Анализ переходных процессов в машинах переменного тока. (Пере-
вод с англ.). ГЭИ, 1958.

1А-34. Лебедев С. А. и Жданов П. С. Устойчивость параллельной работы
электрических систем. ОНТИ, 1933.

1А-35. Лурье А. И. Операционное исчисление в приложениях к задачам механики.
ОНТИ, 1938.

1А-36. Лютер Р. А. Теория переходных режимов синхронной машины с примене-
нием опер аторного анализа. Изд. Ленинградского института усовершенствования
ИТР, 1939.

1А-37. Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложение функций Матье. (Перевод
с англ.). ИЛ, 1953.

1А-38. Машкиллейсон Л. Е. Переходные процессы и перенапряжения в электри-
ческих цепях. ОНТИ, 1938.

1А-39. Нейман Л. Р. Поверхностный эффект в ферромагнитных телах. ГЭИ, 1949.

1А-40. Петров Г. Н. Электрические машины, ч. I. ГЭИ, 1940.

1А-41. Пиотровский Л. М. Электрические машины. ГЭИ, 1950.

1А-42. Рюденберг Р. Переходные процессы я электроэнергетических системах.
(Перевод с* англ.). ИЛ, 1955.

1А-43. Сыромятников И. А. Вопросы эксплоатации синхронных генераторов.
ГЭИ, 1948.

1А-44. Сыромятников И. А. Режимы работы асинхронных двигателей. ГЭИ, 1950.

1А-45. Сыромятников И. А. Режимы работы синхронных генераторов. ГЭИ,
1952.

1А-46. Тафт В. А. Электрические цепи с периодически изменяющимися парамет-
рами и переходные процессы в синхронных машинах. Изд. АН СССР, 1958.

1А-47. Т е у м и н И. И. Справочник по переходным электрическим процессам. Связь-
издат, 1951.

1А-48. Ульянов С. А. Короткие замыкания в электрических системах. ГЭИ, 1952.

1А-49. Щедрин Н. Н. Токи короткого замыкания высоковольтных систем. ОНТИ,
1935.

1А-50. Эфрос А. М. и Данилевский А. М. Операционное исчисление и кон-
турные интегралы. ОНТИ, 1937.

1А-51. A Ige rP. L. The Nature of Polyphase Induction Machines. Ed. General Elec-
tric Co, 1951.

1A-52. Arnold E. Die Wechselstromtechnik, Bd. IV. 2 Aufl. Berlin, 1913.

1A-53. Carson T. R. Theory of the Transient Oscillations of Electrical Networks
and Transmission Systems. Proc. AIEE, 1919, стр. 407.

LA-54. Churchill R. V. Modern Operational .Mathematics in Engineering. New
York, 1944.

1A-55. Clark E. Circuit Analysis of A. C. Power Systems, v. 1, 2. New York,
1943, 1952.

1A-56. Coulthaed W. B. Transients in Electric Circuits. London, 1953.

1A-57. Kron G. Tensor Analysis of Networks. New York, 1939.

1A-58. Kron G. The Application of Tensors to the Analysis of Rotating Electrical
Machinery. Schenactady, 1942.

1A-59. Mortlock J. R., Davies M. W. H. Power System Analysis. New York, 1952.

1A-60. Peterson H. A. Transients in Power Systems. Ed. General Electric Co, 1951.

1A-61. Skilling H. H. Transient Electric Currents. New York, 1937.

1A-62. Steinmetz С. P. Theory and Calculation of Transient Electric Phenomena
and Oscillations. New York, 1920.

1A-63. W estinghouse Electric Corp. Electrical Transmission and Distribution
Reference Book. East Pittsburgh, 1944.
1Б (Качания и устойчивость работы)

1Б-1. Анисимов С. И. Качания синхронных машин. Тр. ЛПИ, № 3, 1948.

1Б-2. АпаровБ. П. и ЛокшинА. Критерий устойчивости синхронных двигате-
лей при толчках нагрузки. „Электричество", № 2, 1941.

1Б-3. Ботвинник М. М. О влиянии колебаний напряжения возбуждения на малые
колебания ротора синхронной машины. „Электричество", № 6, 1938.

1Б-4. Брук И. С. Об определении статической устойчивости синхронной машины.
„Электричество", № 11, 1937.

1Б-5. Веников В. А. и Жуков Л. А. Влияние демпферного момента и демпфер-
ных обмоток на динамическую устойчивость электрических передач. „Электри-
чество", № 4, 1952.

1Б-6. Глушко А. И. Механизм втягивания генератора в синхронизм при самосин-
хронизации. „Электричество", № 4, 1955.

1Б-7. Гольдфарб Л. С. Выбор момента подачи возбуждения синхронному элек-
тродвигателю. „Электричество", № 23, 1936.

1Б-8. Горев А. А. и Анисимов С. И. Вычисление движения ротора синхронной
машины при переходе ее от одного установившегося режима работы к другому и
экспериментальная проверка результатов. Тр. ЛИИ, № 5, 1936.

1Б-9. Городский Д. А. Правило площадей и устойчивость синхронных генерато-
ров. „Электричество", № 4, 1940.

1Б-10. Енько В. В. и Земляной М. И. Коэффициенты демпфирования синхрон-
ных машин. „Электричество", № 17, 1934.

1Б-11. Еремеев А. С. Маховой момент агрегата — синхронный электродвигатель
и компрессор. „Электричество", № 21, 1935.

1Б-12. Жданов П. С. Демпферный момент синхронной машины, работающей через
внешнюю сеть параллельно с системой большой мощности. Бюлл. ВЭИ, № 9, 1935.

1Б-13. Жданов П. С. Синхронизация машин при нарушениях устойчивости. „Элек-
тричество", № 6, 1934.

1Б-14. ЖежеринР. И. О влиянии момента инерции на устойчивость одиночного
синхронного генератора. „Электричество", № 1, 1947.

1Б-15. Иносов В. Л. и Крутикова В. Е. Исследование процесса синхронизации
двигателей смешанного возбуждения. „Электричество", № 2, 1958.

1Б-16. Казовский Е. Я. Пульсирующий вращающий момент и втягивание машин
переменного тока в синхронизм. Информационно-технический сборник ЦБТИ элек-
тропромышленности, № 5 (134), 1958.

1Б-17. Касьянов В. Т. Определение изменений напряжения синхронного генера-
тора. „Электричество", № 10, 1947.

1Б-18. К о д к и н д И. И. Анализ работы компаундированного синхронного генератора.
„Электричество", № 4, 1946.

1Б-19. Костенко М. П. Моделирование электромашинного оборудования при изуче-
нии устойчивости параллельной работы энергосистем, связанных с большими ли-
ниями электропередачи. Изв. АН СССР, ОТН, № 12, 1953.

1Б-20. Кулебакин В. С. Кинетика возбуждения синхронных машин. ОНТИ, 1934.

1Б-21. Лебедев С. А. Анализ искусственной устойчивости генератора. „Электри-
чество", № 4, 1938.

1Б-22. Лебедев С. А., Жданов П. С., Городский Д. А., Кантор Р. М.
Устойчивость электрических систем и динамические перенапряжения. ГЭИ, 1940.

1Б-23. Лютер Р. А. Приближенный способ проверки устойчивости работы синхронной
машины по угловым характеристикам синхронизирующего момента вращения. Сб.
„Электросила", № 8, 1951.

1Б-24. Мажуга В. Перенапряжения и пусковые токи при прямом пуске синхронных
двигателей. „Электричество", № 8, 1936.

1Б-25. Маркович И. М. Токи короткого замыкания и устойчивость параллельной
работы электрических систем. ГЭИ, 1947.

1Б-26. Матюхин В. М. Динамическая устойчивость синхронных двигателей.
„Вести, элек тропром.", № 7, 1939.

1Б-27. Михневич Г. В., ГорушкинВ. И. Об устойчивости синхронного гене-
ратора при регулировании его возбуждения по току статора. Изв. АН СССР,
ОТН, № 12, 1951.

1Б-28. Петров Г. Н. Влияние насыщения на угловые характеристики синхронных
машин. „Электричество", № 4, 1945.

1Б-29. Постников И. И. и Важное А. И. Электромагнитный момент синхрон-
ной машины при малых качаниях. „Электричество", № 8, 1951.
1Б-30. Постников И. М. и Лиденко А. И. О расчете характеристик и пере-
гружаемое™ компаундированных синхронных двигателей. „Электричество", №7, 1959.

1Б-31. Постников И. М. К вопросу о перегрузочной способности синхронного
двигателя при толчкообразных нагрузках. Тр. ЛИИ, № 2, 1938.

1Б-32. Рогачев И. С. Динамическая устойчивость 'синхронный двигателей.
„Электричество", № 7, 1910.

1Б-33. Смирнов В. С. Изменения напряжения синхронных генераторов с само-
возбуждением при внезапных включениях нагрузки „Электричество", № 3, 1959.

1Б-34. Смирнов К. Устойчивость компаундированного генератора при работе на
шины бесконечной мощности. „Электричество", № 9, 1945.

1Б-35. Тер-Газярян Г. Н. О влиянии форсировки возбуждения синхронных ге-
нераторов на устойчивость асинхронных двигателей. „Электричество", № 3, 1945.

1Б-36. Цукерник Л. В. Переходные процессы в системе синхронная машина — воз-
будитель. „Электричество", № 10, 1954.

1Б-37. Цукерник Л. В. Установившийся режим и условия устойчивости ком-
паундированного синхронного генератора. „Вести, электропром.", № 9, 1943.

1Б-38. Цукерник Л. В. и Смирнов И. А. Основы расчета компаундирован-
ных генераторов. „Электричество", № 3, 1944.

1Б-39. ШенкманЛ. 3. Влияние насыщения магнитной системы возбудителя на.
переходный процесс синхронной машины. ^Электричество", № 1, 1957.

1Б-40. Эпштейн Я. П. Влияние демпферной клетки на величину тока и колеба^
ния напряжения сети при ударной нагрузке. „Вести. ХЭМЗа", № 4—5, 1940.

1Б-41. Adams С. G., Me С lure Т. В. Underexcited Operation of Turbogene-
rators. Trans. AIEE, v. 67, 1948, стр. 521.

1Б-42. Adkins B. The Analysis of Hunting by Means of Vector Diagramms. Journ.
IEE, v. 93, part II, 1946, стр. 541.

1Б-43. Anderson H. C. Jr. Voltage Variation of Suddenly Loaded Generators.
GER, № 8, 1945.

1Б-44. В a г г у J. G. Some Effects (of Variable Excitation on Synchronous Motor
Oscillation. Journ. Frankl. Inst., v. 229, 1940, стр. 491.

1Б-45. Bohm O. Uber das Intrittwerfen asynchron anlaufender Synchronmaschinen.
ETZ, 1922, стр. 426.

1Б-46. Byrd H.,Pritchard S. Solution of the Two Machine Stability Problem.
GER, 1933, стр. 81.

1Б-47. Concordia C. Synchronous Machine Damping and Synchronising Torques.
Trans. AIEE, v. 70, part I, 1951, стр. 731.

1Б-48. Crary S. Power System Stability, v. 1—3. New York, 1947.

1Б-49. Dahl O. G. C. Stability of the general 2 Machine Problem. Trans. AIEE,.
v. 54, 1935, стр. 185.

1Б-50. Drehmann A. Der Intrittfallvorgang bei unter Last anlaufended Synchron-
motoren. E u M, Bd 61, № 11, 1943.

1Б-51. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous Machines. II — Steady State
Power Angle Characteristics. Trans. AIEE, v. 45, 1926, стр. 927. Ill — Torque-
Angle Characteristics Under Transient Conditions. Trans. AIEE, v. 46, 1927,
стр. 1.

1Б-52. E d g e r t о n H. E., F о u r m a r i e r P. The Pulling into Step of a Salient
Pole Synchronous Motor. Trans. AIEE, 1931, стр. 769.

1Б-53. E m d e F. Die Starke der Dampfung bei parallel geschalteten Drehstrom-
maschinen. E u M, 1909, стр. 1073.

1Б-54. Evans R. D., Gul liksen F. H., Myhre С. B. Synchronizing Transients
and Synchronizers for Large Machines. Trans. AIEE, v. 59, 1940, стр. 965.

1Б-55. Fraenkel A. Der Synchronisierungsvorgang bei unter Last anlaufenden
Synchronmachinen. E u M, 1923, стр. 377.

1Б-56. G u e г у F. Determination des caracteristiques d’ordre electrique des machines
synchrones couplees en parallele. Rev. gen. elec., v. 50, 1941, стр. 301.

1Б-57. Gorges H. Uber das Verhalten parallel geschalteten Wechselstrommachi-
nen. ETZ, 1900, стр. 188.

1Б-58. H e 1 1 e r F. La stabilite des phenomenes transitoirCs de caractere electro-
medanique dans le fonctionnement en parallele des machines synchrones. Rev.
gen. elec., v. 42, 1937, стр. 163.

1Б-59. Henriett P. Notes on Running out of Step. CIGRE, 1946, № 335.

1Б-60. Horsley W. D. The Stability Characteristics of Alternators and of Large
Interconnected Systems, Journ. IEE, v. 77, 1935, стр. 577.

1Б-61. Kimbark E. W. Power System Stability, v. 1—3. New York, 1948.

1Б-62. Lavanchy C. Die Stabilitat von Synchronen Generatoren. Brown Bovefi
Mitteilungen, № 7—8, 1949.
1Б-63. Liwschitz М. Uber das synchronisierende Moment der Synchronmaschine.
Wiss.. Veroffentl. Siemens-Konzern, v. 12, № 2, 1933, стр. 15.

1Б-64. Longley F. R. The Calculation of Alternator Swing Curves. Trans. AIEE,
v. 49, 1930, стр. 1133.

1Б-65. Magnuson P. C. The Transient—Energy Method of Calculating Stability.
Trans. AIEE, v. 66, 1947, стр. 747.

1Б-66. Mandi A. Das Verhalten der Synchronmaschine bei veranderlischer Span-
nung, Frequenz und Belastung. E u M, 1928, стр. 671.

1Б-67. Marchena M. Etude sur la marche en parallele des alternateurs. Rev. gen.
elec., v. 5, 1919, стр. 405.

1Б-68, Niethammer F. Mechanische Wellenschwingungen elektrischer Maschinen,
besonders von Synchronmaschinen bei plotzlichem Kurzschluss. E u M, 1916,
стр. 509.

1Б-69. Pitman H. V. Synchronising Power in Synchronous Machines. Journ. AIEE,
v. 64, 1926, стр. 1229.

1Б-70. Rud enb er g R. Die synchronisierende Leistung grosser Wechselstrom-
maschinen. Wiss. Voroffentl. Siemens-Konzern, v. 10, № 3, 1931, стр. 41.

1Б-71. Riidenberg R. Synchronisierleistung und Querfelddampfung beim Paral-
lelbetrieb von Turbogeneratoren. Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, v. 12, № 2,
1933, стр. 1.

1Б-72. S u m e c J. Spannungsabfall von Drehstromgeneratoren. ETZ, v. 32, 1911,
стр. 77.

1Б-73. Taylor H. W. Voltage Control of Large Alternators. Journ. AIEE, v. 68,
1930, стр. 317.

IB (Вопросы динамической устойчивости)

IB-1. Веников В. А. и Литкенс И. В. О влиянии регулирования возбуждения
на пропускную способность дальних электропередач. „Электричество", № 11, 1955.

1В-2. В л а с о в Н. П. Автоколебания синхронного мотора. ЖТФ, вып. 10, 1939,
стр. 890.

1В-3. Власов Н. П. К вопросу об устойчивой работе машины двойного питания.
ЖТФ, вып. 15, 1940, стр. 1289.

1В-4. Горушкин В. И. Влияние форсировки и регулировки возбуждения на дина-
мическую устойчивость дальних передач. Сб. Проблемы энергетики, Академ-
издат, 1959.

1В-5. Горушкин В. И. Применение механического интегратора для исследования
динамической устойчивости синхронного двигателя. „Электричество", № 4, 1941.

1В-6. Жуков Л. А. О методах оценки динамической устойчивости электрических
систем. Тр. МЭИ, вып. XX, 1956.

1В-7. И в а н о в В. И. Расширение области применения критерия, выведенного
А. А. Горевым, для суждения об устойчивости параллельной работы синхронных
машин. Тр. ЛИИ, № 5, 1937, стр. 117.

1В-8. Казовский Е. Я. Вращающие моменты синхронных машин при больших
качаниях. Сб. „Электросила", № 1, 1945.

1В-9. Казовский Е. Я. Новые пути повышения устойчивости машин переменного
тока, работающих в энергосистемах. Информационно-технический сб. ЦБТИ
электропромышленности, № 1 (130), 1958.

1В-10. Константинов Е. Л. К вопросу о приближенном аналитическом решении
уравнений качаний синхронной машины. „Электричество", № 5, 1958.

1В-11. Крылов Н. М., Боголюбов. Н. Н. О колебаниях синхронных машин.
ОНТВУ, 1932.

1В-12. Лейкин В. С. Методы расчетов изменения напряжения судовых синхрон-
ных генераторов. Судпромгиз, 1958.

1В-13. Лютер Р. А. О моментах вращения синхронной машины при периодических
ее качаниях. „Электричество", № 2, 1940.

1В-14. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. ОНТИ, 1935.

1В-15. Матюхин В. М. Влияние закона регулирования возбуждения на демпфиро-
вание колебаний синхронной машины. „Электричество", № 5, 1958.

1В-16. Матюхин В. М. Уравнение и структурная схема синхронного генератора
при автоматическом регулировании возбуждения. Изв. АН СССР, ОТН, № 9,
1952.

1В-17. Моносзон Н. А. Асинхронно-синхронный каскад для привода мощных вен-
тиляторов с широкой регулировкой скорости. Сб. „Электросила", № 2, 1945.

1В-18. НемыцкийВ. В. Качественное интегрирование системы дифференциаль-
ных уравнений. Математ. сб., нов. сер., 16/58, вып. 3, 1945.
1В-19. Постников И. М. Метод расчета режимов компаундированных синхронных
двигателей. „Электричество" № 3, 1958.

1В-20. Суханов Л. А. и Урусов И. Д. Исследование движения ротора синхрон-
ного явнополюсного генератора при внезапном коротком замыкании. Изв. АН
СССР, ОТН, № 4, 1957.

1В-21. Сыромятников И. А. Об устойчивости энергетических систем. „Элек-
тричество", № 1, 1957.

1В-22. Урусов И. Д. Анализ тока статора при гармонически пульсирующем мо-
менте синхронной машины. „Электричество", № 2, 1953.

1В-23. Урусов И. Д. Анализ колебательного процесса синхронной машины с уче-
том регулирования возбуждения. Изв. АН СССР, ОТН, № 10, 1956.

1В-24. Урусов И. Д. Об одном критерии устойчивости синхронной машины.
„Электричество", № 12, 1958.

1В-25. В а г b i 1 I о n L. Le fonctionnement еп regime transitoire des usines generat-
• rices fonctionnant seules ou interconnectees. Rev. gen. elec., v. 30, 1931, стр. 943.

IB-26. В a r b i 1 1 о n L. Le probleme des oscillations des groupes electriques apres
rupture de court circuit. Rev. gen. elec., v. 33, 1933, стр. 511.

IB-27. Concordia C., Temoshok M. Resynchronizing of Generators. Trans.
AIEE, v. 66, 1947, стр. 1512.

IB-28. Heller F. Etude des phenomenes consecutifs aux variations de la charge
dans le fonctionnement en paralleles des machines synchronous. Rev. gen. elec.,
v. 41, 1937, стр. 67.

IB-29. Kron G. Equivalent Circuits for the Hunting of Electrical Machinery. Trans.
AIEE, v. 61, 1942, стр. 290.

IB-30. Liwschitz M. M., Kilgore L. A. A Study of the Modifiel Kramer or
Asynchronous Synchronous Caskade Variable Speed Drive, Trans. AIEE, v. 61,
1942, стр. 255.

IB-31. Liwschitz M. M. Positive and Negative Damping in Synchronous Machines.
Trans. AIEE, v. 60, 1941, стр. 210.

IB-32. Ollendorf F. Beitrag zur Pendeltheorie der Synchronmaschinen. E u*M,
1933, стр. 541, 559.

IB-33. Ollendorf F., Peters W. Schwingungsstabilitat parallel arbeitenden
Synchronmachinen. Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, v. 5, № 1, 1926, стр. 7.

IB-34. Park R. M., Bancker E. M. System Stability as a Design Problem.
Trans. AIEE, v. 49, 1929, стр. 170.

IB-35. Rosenberg E. Die Wirkung des Dampfers bei parallel arbeitenden Wech-
selstrommaschinen. ETZ, 1903, стр. 857.

IB-36. Timascheff A. V. Anfachung von Schwingungen bei Synchronmaschinen
durch Labilitat der Erregermaschine. Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, v. 17,
№ 3, 1938, стр. 1.

IB-37. Timascheff A. Stabilitat elektrischer Drehstrom-Kraftubertragungen. Ber-
lin, 1940.

IB-38. Wan ger W. Beitrag zur Berechnung der dynamischen Stabilitat von Syn-
chronmaschinen. Bull. ASE, v. 28, 1937, стр. 41.

1Г (Вопросы теории колебаний)

1Г-1. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. Гос-
физматиздат, 1959.

1Г-2. Булгаков Б. В. Колебания. ГТТИ, 1954.

1Г-3. В а н-д е р-П о л ь Б. Нелинейная теория электрических колебаний. Связьтехиздат,
1935.

1Г-4. Гончаров В. Л. Теория интерполирования и приближения функций. ГТТИ,
1934.

1Г-5. Казовский Е. Я. Переходные процессы при включении напряжения с из-
меняющейся частотой. „Электричество", № 11, 1949.

1Г-6. Казовский Е. Я. Исследование нелинейных колебаний синхронной машины
при набросе нагрузки (с помощью применения эллиптических функций). Сб. „Элек-
тросила", № 7, 1950.

1Г-7. Казовский Е. Я. Электромагнитный вращающий момент синхронной машины
при набросе нагрузки. Сб. „Электросила", № 5, 1948.

1Г-8. Кайчинский И. М. Методы теории колебаний в радиотехнике. ГЭИ, 1954.

1Г-9. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. (Пе-
ревод с нем.). ИЛ, 1950.

1Г-10. Крылов Н. М., Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную механику.
Изд. АН УССР, 1937.
1Г-11. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. ГТТИ, 1956-
1Г-12. Неймар к Ю. И. Устойчивость линеаризированных систем. ЛКВВИА, 1949-
1Г-13. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциаль-
ных уравнений. ГТТИ, 1^49.

1Г-14. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.
(Перевод с франц.). ГТТИ, 1947.

1Г-15. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. ГТТИ, 1948.

1Г-16. Сикорский Ю. С. Элементы теории эллиптических функций с приложе-
ниями к механике ОНТИ, 1937.

1Г-17. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. III. ГТТИ, 1939.

1Г-18. Стокер Д. Нелинейные колебания в механических и электрических систе-
мах. (Перевод с англ.). ИЛ. 1952.

1Г-19. Тихиро Хаяси. Вынужденные колебания в нелинейных системах. (Пере-
вод с англ.). ИЛ, 1957.

1Г-20. Уиттекер Е. Т. и Ватсон Г. Н. Курс современного анализа, ч. II.
Трансцендентные функции. (Перевод с англ.). ГТТИ, 1934.

1Г-21. Фельдбаум А. А. Введение в теорию нелинейных цепей. ГЭИ, 1948.

1Г-22. Шпильрейн Я. Н. Таблицы специальных функций, ч. II. ГТТИ, 1933.

1Г-23. ЯнкеЕ. иЭмде Ф. Таблицы функций. (Перевод с нем.). ГТТИ, 1948.

1Г-24. Янко-Триницкий А. А. Новый метод анализа работы синхронных дви-
гателей при резкопеременных нагрузках. ГЭИ, 1958.

1Д (Дополнительная литература)

1Д-1. Адкине Б. Общая теория электрических машин. (Перевод с англ.). ГЭИ,
1960.

1Д-2.^Важ нов А. И. Основы теории переходных процессов синхронной машины.

1Д-3. важ нов А. И. Движение ротора синхронной машины при внезапном корот-
ком замыкании. Тр. ЛПИ, № 195, 1958.

1Д-4. Г ерценберг Г. Р., Штрафуй Я. Н. Автоматический регулятор
возбуждения гидрогенераторов Куйбышевской гидроэлектростанции. „Вести,
электропром.", № 5, 1955.

1Д-5. Глебов И. А. Системы возбуждения синхронных генераторов с управляемыми
преобразователями. Изд. АН СССР, 1960.

1Д-6. Глебов И. А., Каштелян В. Е., Сирый Н. С. Влияние парамет-
ров гидрогенераторов на устойчивость электропередач. Иэв. АН СССР, ОТН,
№ 5, 1960.

1Д-7. Данилевич Я. Б. Методика и результаты исследований распределения то-
ков в демпферной обмотке синхронной явнополюсной машины в асинхронном ре-
жиме. Изв. АН СССР, ОТН, № 4, 1959.

1Д-8. Д о м б р о в с к и й В. В., Пинский Г. Б. Расчетные материалы к вы-
бору основных размеров и определению параметров гидрогенераторов. Сб. „Электро-
сила", № 19, 1960.

1Д-9. Ипатов. П. М., Хуторецкий Г. М. Параметры гидрогенераторов.
Сб. „Электросила", № 14, 1956.

1Д-10. Казовский Е. Я., Костенко М. П., Пань Ц з и, Се Г о-л ян.
Экспериментальное исследование параметров синхронной машины новыми мето-
дами. Изв. АН СССР, ОТН, № 4, 1960.

1Д-11. Казовский Е. Я., Костенко М. П., Се Го-лян. Эксперимен-
тальное исследование электромагнитных параметров синхронной машины с пита-
нием двух фаз обмотки статора постоянным током. Изв. АН СССР, ОТН, № 5,
1960.

1Д-12. Казовский Е. Я., Костенко М. П., Пань Цзи. Экспериментальное
исследование параметров асинхронной машины новыми методами. Изв. АН СССР,
ОТН, № 6, 1960.

1Д-13. Кулик Ю. В. Токи успокоительной обмотки трехфазной синхронной ма-
шины. „Вести, электропром.", № 6, 1958.

1Д-14. Поляк Н. А. Инженерный метод расчета зоны асинхронного самовозбуж-
дения электрической машины. „Электричество", № 11, 1956.

1Д-15. Розовский Ю. А., Марченко Е. А., Андреюк В. А. О само-
раскачивании и самовозбуждении компенсированных синхронных компенсато-
ров. „Электричество", № 11, 1956,

1Д-16. Страхов. С. В. Переходные процессы в электрических цепях, содержащих
машины переменного тока. ГЭИ, 1960.
1Д-17. Трофименко Д. Е. Об эффективности регулирования возбуждения в по-
вышении динамической устойчивости. Тр. межвузовской научно-технической кон-
ференции по дальним электропередачам, секция II, изд. ЛПИ, 1957.

1Д-18. Урусов И. Д. Анализ колебательного процесса синхронной машины
с учетом регулирования возбуждения. Изв. АН СССР, ОТН, № 10, 1956.

1Д-19. Федоров Д. А. Условия самовозбуждения явнополюсной синхронной ма-
шины, имеющей продольно-поперечную успокоительную обмотку. Тр. МЭИ,
вып. XX, 1956.

1Д-20. Электродинамические модели энергетических систем. Сб. под
ред. М. П. Костенко. Изд. АН СССР, 1959.

1Д-21 Lewis W. A. A basic Analysis of Synchronous Machines, pt. I. Power
Apparatus a. Systems, v. 77, N 37, 1958, стр. 436.

1Д-22. Rumpel D. Stationare Betrachtungen zur Stabilitat von Synchronmaschinen
mit Spannung- und Winkelregeliing im Verbundbetrieb, ETZ-A, Bd. 82, H. 5, 1961.

2

*2-1. Ломоносова Л. А. К вопросу теоретического исследования индуктивных
сопротивлений трехфазной синхронной машины. Тр. ЛИИ, № 5, 1936.

2-2. Лютер Р. А. Операторные реактансы синхронных машин. „Электричество",
№ 17, 1934.

2-3. Сорокер Т. Г. О переходных процессах в цепйх с массивными сердечни-
ками. „Электричество", № 5, 1941.

2-4. Янко-Триницкий А. А. О скорости затухания переходных процессов
в магнитосвязанных контурах. „Электричество", № 1, 1955.

2-5. Concordia С. Relations among Tranformations Used in Electrical Engineering
Problems, GER, № 7, 1938.

2-6. Dreyfus L. Freie magnetische Energie zwischen verkettefen Mehrphasensyste-
men. E u M, 1911, стр. 891.

2-7. Linke W. Uber Schaltvorgange bei elektrischen Maschinen und Apparaten.
Arch, fur Elektrotechn., v. 1, 1912, стр. 69.

2-8. Moa D. I. A General Reactance Theory for Electrical, Mechanical and Acousti-
cal Systems. Proc. IRE, v. 31, № 7, 1943.

2-9. Wagner K. W. Ober die Wirkungsweise von Dampferwicklungeft auf Gleich-
strommagneten. E u M, 1909, стр. 804.

3

3-1. Алябьев M. И. Обобщенные векторы, реактивности и потокосцепления син-
хронной машины. „Электричество", № 1, 1953.

3-2. Алябьев М. И. Операторные уравнения для напряжения, токов и потокосцеп-
лений синхронной машины при ненулевых начальных условиях. „Электричество",
№ 3, 1953.

3-3. Алябьев М. И. Параметры и переходные режимы синхронных машин, ч. I.
Изд. ВМА им. А. Н. Крылова, 1953.

3-4. Брук И. С. К расчету демпферных (пусковых) обмоток в синхронных ма-
шинах с выступающими полюсами. „Вести, электротехн.", № 6, 1930.

3-5. Горев А. А. Основные уравнения переходных процессов синхронной машины.
„Электричество", № 2, 1938.

3-6. Горев А. А. К вопросу об устойчивости параллельной работы системы
синхронных машин. Сб. ЛЭМИ, вып. 2/IV, 1934.

3-7. Г о р е в А. А. Основные уравнения неустановившегося режима синхронной
машины. Тр. ЛИИ, № 5, 1936.

3-8. Горев А. А. Явнополюсная синхронная машина с успокоительными обмотками
в переходном режиме. Тр. ЛПИ, № 2, 1947.

3-9. Городский Д. А. Асинхронный ход синхронной машины. „Электричество",
№ 1-2, 1944.

3-10. Городский Д. А. Переходный реактанц синхронного генератора. „Электри-
чество", № 19, 1934.

3-11. Городский Д. А. Теория электрических процессов в синхронных машинах.
„Вести, электропром.", № 6, 1942.

3-12. Грузов Л. Н. Методы математического исследования электрических машин.
ГЭИ, 1953.

3-13. Грузов Л. Н. Преобразование координат как метод исследования электри-
ческих машин и каскадных установок. Тр. ВКАС, 17, 1947, стр. 121.

3-14. Данилевский А. М. О переходных режимах многофазных машин пере-
менного тока. Вести. ХЭТЗ, № 1, 1937.
3-15. Иосифьян А. Г. О линейных преобразованиях токов электрических ма-
шин. Бюлл. ВЭИ, № 8, 1940.

3-16. Иосифьян А. Г. Теория преобразований дифференциальных уравнений
синхронных машин. Докл. АН АрмССР, т. V, № 3, 1947.

3-17. Кантор Р. М. Анализ переходных процессов в электрических машинах.
Бюлл. ВЭИ, № 2, 1935.

3-18. Касьянов В. Т. Машины двойного питания. „Электричество", № 17, 1934.

3-19. Костенко-М. П. и Коник Б. Е. Определение основной и третьей гармо-
ник поля якоря и поля полюсов явнополюсной синхронной машины. „Электри-
чество", № 3, 1951.

3-20. Ломоносова Л. А. Учет непостоянства индуктивного сопротивления нуле-
вой последовательности в случае несимметричных установившихся коротких
замыканий. Тр. ЛИИ, № 14, 1936.

3-21. Ломоносова Л. А. Метод симметричных координат в исследовании индук-
тивных сопротивлений трехфазных синхронных машшк „Электричество", № 20»
1932.

3-22. Ломоносова Л. А. Индуктивные сопротивления трехфазцой синхронной
машины. Сб. ЛЭМИ, № 2, 1933.

3-23. Мамиконянц Л. Г. О переходных процессах в синхронных машинах
с успокоительными обмотками на роторе. „Электричество", № 7, 1954.

3-24. Марголин Н. Ф. Гашение поля синхронных машин. Тр. МЭИ, вып. II, 1938.

3-25. Матюхин В. М. К теории неполной демпферной клетки. „Вести, электро-
техн.", № 4, 1930.

3-26. Паль Е. А. К вопросу учета влияния высших гармонических от непостоян-
ства обратно-синхронного поля в основных методах опытного определения пара-
метров синхронной машины. Тр. ЛПИ, № 2, 1947.

3-27. Садовский И. Неустановившиеся режимы асинхронных двигателей при
переменной частоте. „Вести, электропром", № 3, 1937.

3-28. Свириденко П. А. К теории переходных процессов асинхронных машин.
Изв. АН СССР, ОТН, № 3, 1944.

3-29. Тр еще в И. И. Применение принципа наложения при исследованиях машин
переменного тока. „Электричество", № 9, 1959.

3-30. Янко-Триницкий А. А. Уравнения переходных процессов асинхронного
двигателя и их решение. „Электричество", № 3, 1951.

3-31. Blondel A. Complements a la theorie des alternateurs a deux reactions. Rev.
gen. elec,, t. 12, 1922, стр. 203, 235.

3-32. Blondel A. Application de la methode de deux reactions a Г etude des phe-
nomenes oscillatoires des alternateurs couples. Rev. gen. elec., t. 13, Febr. —
Mar., 1923, стр. 235, 275, 331, 387, 515.

3-33. Blondel A. Sur 1’etude directe des systemes triphases desequilibres au
moyen d’impedances et admittances mutuelles de phases dans les problemes de
chutes de tension et de mise en court-circuit. Rev. gen. elec., t. 29, 1931, стр. 3.

3-34. Boucherot P. Amortissenent et amortisseurs des alternateurs. Lumiere
elec., v. 24, 1913, стр. 166.

3-35. Boucherot P. La theorie des alternateurs accouples. Lumiere elec., v. 45»
1892, стр. 201.

3-36. Concordia C., Magginis F. T. Inherent Errors in the Determination
of Synchronous Machine Reactances by Test. Trans. AIEE, v. 64, 1945, стр. 288.

3-37. Concordia C., Crary S., Kron G. The doubly Fed Machine.
Trans. AIEE, v. 61, 1942, стр. 286.

3-38. Doherty R. E., Shirley О. E. Reactance of Synchronous Machines and
its Application. Trans. AIEE, v. 37, part 2, 1918, стр. 1209.

3-39. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous Machines — I. An Extention
of Blondel’s Two-Reaction Theory of Synchronous Machines. Trans. AIEE, v. 45,
1926, стр. 912.

3-40. Dreyfus L. Ausgleichvorgange in der symmetrischen Mehrphasenmaschine.
E u M, 1912, стр. 25.

3-41. Dreyfus L. Einfiihrung in die Theorie des selbsterregten Schwingungen
synchroner Maschinen. E u M, 1911, стр. 323, 345.

3-42. Haberland F. Theorie und experimentale Untersuchung des magnetischen
Wechselfieldes im Luftspalt von massiven Eisen. Arch, fiir Elektrotehn., v. 28,
1934, стр. 234, 246.

3-43. Hess H. Dampfung und Schnellentregung grosser Generatoren. VDE-Fachbe-
richte» 1929, стр. 88.

3-44. Hill N. B. The Damping Effect of Solid Rotors. Electrician, v. 42, 1924,
стр. 511.
3-45. Kilgore L. A. Calculation of Synchronous Machine Constants, Reactances
and Time Constants, Affecting Transient Characteristics. Trans. AIEE, v. 50,
1931, стр. 1201.

3-46. Kingsley C. Saturated Synchronous Reactances. Trans. AIEE, v. 54, 1935,
стр. 300.

3-47. Kron G. Generalized Theory of Electrical Machinery. Trans. AIEE, v. 49,
1930, стр. 666.

3-48. Кт on G. Equivalent Circuit of the Salient Pole Synchronous Machine. GER,
v. 44, 1941, стр, 679.

3-49. Kron G. Equivalent Circuit of the Primitive Rotating Machine with Asymmet-
rical Stator and Rotor. Trans. AIEE, v. 66, 1947, стр. 17.

3-50. Kron G. Steady-State Equivalent Circuits of Synchronous and Induction
Machines. Trans. AIEE, v. 67, 1948, стр. 175.

3-51. Laible Th. Moderne Methoden zur Behandlung nichtstationarer Vorgange in
elektrischen Maschinen. Bull. ASE, v. 41, 1950, стр. 525.

3-52. Lyon W. V. Transient Conditions in Electric Machinery. Trans. AIEE, v. 42,
1923, стр. 157.

3-53. Lyon W. V. Transient Conditions for Electric Machinery. Journ. IEE, v. 22,
1923, стр. 388.

3-54. Miller A. R., Weil W. S. Jr. Operational Solution of A-C. Machines. El.
Engg. v. 55, № 11, 1937.

3-55. Park R. H. Definition of an Ideal Synchronous Machines and Formula for the
Armature Flux Linkages. GER № 31, 1928.

3-56. Park R. H., Robertson B. L. Reactances of Synchronous Machines.
Trans. AIEE, v. 47, 1928, стр. 514.

3-57. Park. R. H. Two-reaction Theory of Synchronous Machines. Trans AIEE, part 1,
v. 48, 1929, стр. 716; part II, v. 52, 1933, стр. 352.

3-58. Pohl R. Schnellentregung von Generatoren. VDE-Fachberichte, 1927,
стр. 108.

3-59. Punga F. Das Vektordiagramm fur transiente elektrische Erscheinungen.
E u M, 1915, стр. 386.

3-60. Rankin A. W. Asynchronous and Single-Phase Operation of Synchronous
Machines. Trans. AIEE, v. 65, 1946, стр. 1092.

3-61. Rankin A. W. Per-Unit Impedances of Synchronous Machines. Trans. AIEE,
v. 64, 1945, p. I, стр. 569; p. II, стр. 839.

3-62. Rankin A. W. The Direct and Quadrature-Axis Equivalent Circuits of the
Synchronous Machines. Trans. Д1ЕЕ, v. 64, 1945, стр. 861.

3-63. Robertson D. A Mode of Studying Damped Oscillations by the Aid of
Shrinking Vektors. Journ. IEE, v. 54, 1915, стр. 24.

3-64. Robertson B. L. Synchronous Machine Reactance Measuruments. GER, v. 35,
№ 2, 1932.

3-65. Riidenberg R. Damper circuits and Rotor Leakage in the Transient Perfor-
mance of Saturated Synchronous Machines. Journ. Frankl. Inst., v. 234, 1942,
стр. 39.

3-66. Riidenberg R. Saturated Synchronous Machines under Transient Conditions
in the Pole Axis. Trans. AIEE, v. 61, 1942, стр. 297.

3-67. Wagner C. F. Transient in Magnetic Systems. Trans. AIEE, v. 53, 1934,
стр. 418.

3-68. Waring M. L., Crary S. B. Operational Impedances of Synchronous
Machines. GER, № 11, 1932.

3-69. Weber E. Field Transient in Magnetic Systems Partially Laminated, Partially
Solid. Trans. AIEE, v. 50, 1931, стр. 1234.

3-70. Wolman W., Ka den H. Uber die Wirbelstromverzogerung magnetischer
schaltvorgange. Zs. tech. Physik, 1932, стр. 330.

4

4-1. Арапов Б. П. К вопросу нестационарных процессов в асинхронных машинах.
„Электричество", № 20, 1934.

4-2. Г е й л е р Л. Б. Асинхронные двигатели в электроприводах с переменной на-
грузкой. „Вести, электропром.", № 4, 1939.

4-3. Гейлер Л. Б. О переходном режиме асинхронного двигателя при внезапном
изменении нагрузки на валу. „Электричество", № 8, 1937.

4-4. Иванов-Смоленский А. В. Влияние скорости изменения скольжения на
момент асинхронной машины. „Электричество", № 6, 1950.

4-5. К а з онекий Е. Я. Переходные процессы в асинхронных машинах при включении
и набросе нагрузки. „Вести, электропром.", № 2, 1949.

4-6. Казовский Е. Я. Переходные режимы в асинхронных машинах при включе-
ниях и коротких замыканиях. „Электричество", № 6, 1947.

4-7. Карпов К. А. Таблицы функции w (z) = е J е* dx в комплексной области.

0

Изд. АН СССР, 1954.

4-8. Кац А. М. Вынужденные колебания при прохождении через резонанс. Инже-
нерный сборник Инет, механики АН СССР, т. III, вып. 2, 1947.

4-9. Мамиконянц Л. Г. Включение синхронных машин на параллельную работу
способом самосинхронизации. ГЭИ, 1954.

4-10. Мамиконянц Л. Г. Определение реактивной мощности синхронной машины
йри асинхронном режиме. „Электричество", № 3, 1958.

4-11. Мамиконянц Л. Г. Токи и моменты вращения, возникающие в синхронной .
машине при включении ее способом самосинхронизации. Тр. ЦНИЭЛ, вып. IV,

4-12. Мамиконянц Л. Г. Токи и моменты асинхронных и синхронных машин при
изменении скорости их вращения. „Электричество", № 8, 1958.

4-13. Мамиконянц Л. Г. Электромагнитные моменты вращения синхронных машин
при включении их в сеть способом самосинхронизации. „Электричество", № 8, 1954.

4-14. Матюхин В. М. Основные соотношения при асинхронном пуске синхронных
двигателей. „Вести, электротехн.", № 9—10, 1930.

4-15. Меклер Я. Приближенные формулы для расчета нестационарных процессов
асинхронного двигателя. „Вести, электропром.", № 6, 1939.

4-16. Пинчук И. С. Переходные процессы в асинхронных двигателях при периоди-
ческой нагрузке. „Электричество", № 9, 1957.

4-17. Сазонов Н. А. Переходные явления при пуске коротко-замкнутых двигателей.
„Электричество", № 12, 1949.

4-18. Столов Л. И. Влияние переходных электромагнитных процессов на динамику
пуска короткозамкнутого двигателя. „Электричество", № 6, 1948.

4-19. Столов Л. И. Продолжительность пуска короткозамкнутого двигателя. „Элек-
тричество", № 3, 1945.

4-20. Т р е щ е в И. И. Исследования машин переменного тока при переменной ско-
рости вращения. „Электричество", № 2, 1957.

4-21. Фадеева В. Н. и Терентьев Н. М. Таблицы значений функции

w (z) = £

2i г 3 I

е* dt I от комплексного аргумента. Гостехиздат, 1954.

\	0	/

4-22. ШубенкоВ. А. и Пинчук И. С. Графический метод расчета переходных
процессов в асинхронном двигателе. „Электричество", № 2, 1950.

4-23. Эсибян М. А. Переходные процессы при торможении противотоком асинхрон-
ных двигателей. „Электричество", № 1, 1941.

4-24. Ager R, W. Transient Over-Speeding of Induction Motors. Trans. AIEE, v. 60,
1931, стр. 1030.

4-25. Doherty R. E., Williamson E. T. Short-Circuit Current of Induction
Motors and Generators Trans. AIEE, v. 40, 1921, стр. 509.

4-26. Fickert W. Die Ausgleichvorgange beim Einschalten von Asynchronmotoren.
E u M, 1943, стр. 133. ..

4-27. Fleischmann L. Uber Stromstbsse beim Einschalten von Induk^ionsmotoren
bei synchron laufendem Rotor. E u M, 1908, стр. 145.

4-28. Gilfillan E. S., Kaplan E. L. Transient Torques in Squirrelcage Induction
Motors, with Special Reference to Plugging. Trans. AIEE, v. 60, 1941, стр. 1200.

4-29. H e 1 1 m u n d R. E. Transient Conditions in Asynchronous Induction Machines
and. Their Relation to Control Problems. Proc. AIEE, 1917, стр. 205.

4-30. H о k G. Response of Linear Resonant Systems to Exitation of a Frequency Va-
rying Linearly with Time. Journ. Appl. Phys., v. 19, 1948, стр. 242.

4-31. Levin S. I. An Analysis of the Induction Motor. Trans. AIEE, v. 54, 1935,
стр. 526.

4-32. Lewis E. M. Vibration during Accelaration Through a Critical Speed. Trans.
ASME, APM-54-24, 1932, стр. 253.

4-33. Liwschitz M. Der Anlauf- und Bremsvorgang bei Asynchronmotoren mit Wir-
belstromlaufer. Wiss. Veroffentl. Siemens-Konzern, v. 4, № 1, 1952, стр. 167.

4-34. MaginnissF. J., Schultz N. R. Performance of Induction Motors. Trans.
AIEE, v. 63, 1944, стр. 64.
4-35. Mass ar E. Ausgleichvorgange bei Mehrphasen-Inductionsmaschinen und ihre
Drehmomente. Arch, fur Elektrotechn., v. 36, 1942, стр. 265.

4-36. M euser R. B., Wei bei E. E. Vibration of a Nonlinear System during
Acceleration Through Resonance. Journ. Appl. Mechanics, v. 15, № 1, 1948.

4-37. Moldenhauer F. Das directe Einschalten von grossen Motoren und die Ruc-
kwirkung auf die Netze. E u M, v. 61. 1943, стр. 337.

4-38. Riidenberg R. Der Anlaufvorgang bei Asynchronmotoren mit Kurzschlussan-
ker. E u M, 1919, стр. 497.

4-39. Riidenberg R. Uberspannungen beim Abschalten von Asynchronmotoren. ETZ,
1915, стр. 169.

4-40. Schuisky W. Starting Losses in Winding of Double Squirrelcage Motors.
Journ. IEE, v. 95, part II, 1948, стр. 325.

4-41. Stanley H. C. An Analysis of the Induction Machine. Trans. AIEE, v. 57,
1938, стр. 751.

4-42. Wahl A. M., Kilgore L. A. Transient Starting Torques in Induction Motors.
Trans. AIEE, v. 59, 1940, стр. 603.

4-43. Weygandt G. N., C h a r p. S. Electromechanical Transient Performance of
Induction Motors. Trans. AIEE, v. 65, 19464 стр. 1000.

5

5-1. Брук И. С. Асинхронный пуск синхронных двигателей. „Электричество**,
№ 16, 1934.

5-2. Брук И. С. Асинхронный ход невозбужденного турбогенератора. ДАН СССР,
т. 7, № 3, 1947.

5-3. Брук И. С. О колебаниях синхронной машины. ДАН СССР, т. 57, 1947, № 1.

5-4. Городский Д. А. Асинхронный ход синхронной машины в системе. „Электри-
чество**, № 3, 1945.

5-5. Казовский Е. Я. Переходные процессы в асинхронных машинах с учетом
асимметрии ротора. „Электричество**, № 4, 1950.

5-6. Мажуга В. Асинхронный пуск синхронных машин при разомкнутой обмотке
возбуждения. „Вести, электропром.**, № 4, 1941.

5-7. Матюхин В. М. Пуск синхронных двигателей с приключенным возбудителем.
„Вести, электропром.**, № 1, 1937.

5-8. Розенман Е. А. О переходных процессах при автозапуске синхронных двига-
телей. „Вести, электропром.**, № 2, 1948.

5-9. Сыромятников И. А. Асинхронный режим турбогенераторов с цилиндри-
ческим ротором после потери возбуждения. „Электрич. станции**, № 4, 1948.

5-10. Урусов И. Д. Асинхронные характеристики синхронных машин. „Вести,
электропром.**, № 8, 1957.

5-11. Lyon W. V., Kingsley С. Analisis of Unsymmetrical Machines. Trans.
AIEE, v. 55, 1936, стр. 471.

6

6-1. Брук И. С. Схема замещения электрических цепей с периодическими парамет-
рами. ДАН СССР, № 3, 1946.

6-2. Городский Д. А. Расчет установившихся значений динамических перенапря-
жений. „Электричество**, № 9, 1945.

6-3. Долгинов А. И. К теории параметрического самовозбуждения электрических
машин. „Электричество**, № 12, 1955.

6-4. Долгинов А. И. Резонанс в электрических цепях и системах. ГЭИ, 1957.

6-5. Жданов П. С. иВеников В. А. Динамические перенапряжения в линиях
электропередачи при несимметричных коротких замыканиях. „Электричество**,
№ 10, 1948.

6-6. Казовский Е. Я. Переходные процессы в машинах переменного тока двой-
ного питания и их рассмотрение с помощью круговой диаграммы. „Электричество**,
№ 8, 1950.

6-7. Кантор Р. М. Некоторые вопросы из теории динамических перенапряжений.
„Электричество**, № 5, 1951.

6-8. Кантор Р. М. О процессах установления при асинхронном самовозбуждении
синхронных генераторов. „Электричество**, № 7, 1957.

6-9. Костенко М. П. Внезапное короткое замыкание трехфазной синхронной ма-
шины. Тр. ЛИИ, № 5, 1936.

6-10. Крит А. Т. и МамиконянцА. Г. Включение синхронных генераторов на
параллельную работу по методу самосинхронизации. Сб. статей, ГЭИ, 1954.

6-11. Левинштейн М. Л. Явление параметрического резонанса при работе син-
хронной машины на емкостную нагрузку. Тр. ЛПИ, № 3, 1948.
6-12. Лернер А. Я. и Розенман Е. А. Ресинхронизация синхронных двигателей.
„Вести, электропром/*, № 9, 1945.

6-13. Ломоносова Л. А., Паль Е. А. Опытное определение параметров синхрон-
ных машин. Изд. ЛПИ, 1941.

6-14. Лютер Р. А. Методика расчета токов короткого замыкания синхронной ма-
шины с использованием теории о постоянстве потокосцеплений для сверхпрово-
дящих контуров. Сб. „Электросила", № 4, 1947.

6-15. Лютер Р. А. Моменты вращения синхронной машины в асинхронном режиме.
„Вести, электропром.", № 10, 1948.

6-16. Лютер Р. А. Расчет моментов синхронных машин при коротких замыканиях.
Сб. „Электросила", № 7, 1950.

6-17. Мамиконянц Л. Г. и Сыромятников И. А. Включение синхронных
генераторов на параллельную работу по методу самосинхронизации. „Электрич.
станции", № 9, 1949.

6-18. Мамиконянц Л. Г. Использование асинхронных режимов генераторов для
повышения надежности электроснабжения. „Электричество", № 8, 1955.

6-19. Медведев Б. П. Упрощенный расчет переходных процессов в синхронной
машине. „Электричество", №’6, 1955.

6-20. Носков И. А. К определению величины моментов при несинхронном включе-
нии турбогенераторов. „Электричество", № 6, 1958.

6-21. Поляк Н. А. Короткие замыкания, асинхронный хоД и ресинхронизация турбо-
генераторов. „Электричество", № 11, 1958.

6-22. Федоров Д. А. Условия самовозбуждения явнополюсной синхронной ма-
шины, имеющей продольно-поперечную успокоительную обмотку. Тр. МЭИ,
вып. XX, 1956.

6-23. Хачатуров А. А. Ударные токи и моменты при несинхронном включении
генераторов. „Электричество", № 2, 1956.

6-24. Чаки Ф. Исследования некоторых режимов работы синхронных генераторов
в Венгрии. „Электричество", № 12, 1957.

6-25. Щедрин Н. Н. Бесконечные цепные схемы несимметричных замыканий пи-
таемых генераторов с одноосной обмоткой ротора. Тр. ЛДИ, № 5, 1947.

6-26. Янко-Триницкий А. А. Эхектрические переходные процессы в синхрон-
ных машинах. „Электричество", № 8, 1957.

6-27. Ваггёпе М. Calcul de la courbe de courant de court-circuit triphase d’alter-
nateur en fonction du temps. Rev. gen. elec., v. 30, 1931^ стр. 628.

6-28. Bathchelor I. W., Whitehead D. L., Williams I. S. Transient Shaft
Torques in Turbine Generators Produced by Transmission-Line Reclosing. Trans.
AIEE, v. 67, 1948, стр. 159.

6-29. Bekku S. Calculation of Short-Circuit Ground Currents on Three-Phase
Power Networks, using the Method of Symmetrical Coordinates. GER, 1925,
стр. 472.

6-30. Biermans I. Der plotzliche einphasige Kurzschluss der Drehstrommaschinen.
Arch, fiir Elektrotechn., v. 4, 1915, стр. 354.

6-31. Boucherot P. Les phenomenes electromagnetiques, qui resultent de la raise
en court circuit brusque d’un alternateur. Congr. intern, elec., Turin, 1911.

6-32. Briiderlink R. Das Drehmoment beim Plotzlichen einphasigen Kurzschluss
von Synchronmaschinen mit Dampferwindung. Arch, fiir Elektrotechn., v. 30, 1936,
стр. 819.

6-33. Butler J. W. Calculation of Generator Overvoltage. El. Engg, № 1, 1932.

6-34. Clarke E., Weygandt C. N., Concordia C. Overvoltages Caused by
Unbalanced Short-Circuits, Effect of Amortisseur Windings. Trans. AIEE, v. 57,
1938, стр. 453.

6-35. Concordia C., P or it sky H. Synchronous Machines with Solid Cylindrical
Rotor. El. Engg. v. 56, № 1, 1937.

6-36. Concordia C. Rotating Electrical Machine Time Constants at Low Speeds.
Trans. AIEE, v. 65, 1946, стр. 882.

6-37. Concordia C. Synchronous Machine with Solid Cilindrical Rotor—II. Power
Apparatus a. Systems, № 46, 1960 стр.1650.

6-38. D i a m a n t N. S. Calculation of Sudden Short-Circuit Phenomena of Alternators.
Proc. AIEE, 1915, стр. 2043.

6-39. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous Machines-IV, Single-Phase Short
Circuits. Trans. AIEE, v. 47, 1928, сто. 457.

6-40. Doherty R. E., Nickle C. A. Synchronous Machines-V, Three-Phase Skort
Circuits. Trans. A1FE, v. 49, 1930, стр. 700.

6-41. Dreyfus L. Ausgleichvorgange beim plotzlichen Kurzschluss von Synchronge-
neratoren. Arch, fiir Elektrotechn., v. 5, 1916, стр. 103.
6-42. Durgin W. A., Whitehead R. H. The Transient Reactions of Alternators.
Proc. AIEE, 1912, стр. 897.

6-43. F a 1 1 о u J. La marche asynchrone et la reprise spontanee du synchronisme dans
les reseaux interconnectes. Rev. gen. elec., v. 41, № 15, 1937.

6-44. Field A. B. Operating Characteristics of Large Turbogenerators. Proc. AIEE,
1912, стр. 968.

6-45. Franklin R. E. Short-Circuit Currents of Synchronous Machines. Journ.
AIEE, 1925, стр. 863.

6-46. Galbraith R. A. Short Circuits in Synchronous Machines Armatures. Trans.
AIEE, v. 60, 1941, стр. 1024.

6-47. Harder E. L., Cheek R. C. Regulation oh A-C Generators With Suddenly
Applied Loads. Trans. AIEE, v. 63, 1944, стр. 310.

6-48. Kade F. Der Einfluss der Dampferwicklung auf einachsig kurzgeschlossene
Synchronmaschinen. Arch, fur Elektrotechn., v. 12, 1923, стр. 345.

6-49. Karapetoff V. Initial and sustained short-circuits in synchronous machines-
Journ. AIEE, 1925, стр. 855.

6-50. Kirschbaum H. S. Transient Electrical Torques of Turbine Generators Du-
ring Short-Circuits and Synchronising. Trans. AIEE, v. 64, 1945, стр. 65.

6-51. Kuyper W. W. Analysis of Short-Circuit Oscillogramms. Trans. AIEE, v. 60,
1941, стр. 151.

6-52. Laffoon С. M. Short-circuits of alternating-current generators. Journ. AIEE,
1924, стр. 736.

6-53. Mandi A. Der KurzschluBstrom eines Wechselstromgenerators. E u M, 1923,
стр. 609.

6-54. Mandi A. Short-circuit characteristics and load performance of inductor type
alternators. Journ. IEE, v. 94, part II, 1947, стр. 102.

6-55. Miller A. R., Weil W. S. Alternator Short-Circuit Currents Under Unsym-
metrical Terminal Conditions. Trans. AIEE, v. 56, 1937, стр. 1268.

6-56. Penney G. W. Short-Circuit Torque in Synchronous Machines Without Damper
Windings. Trans. AIEE, v. 48, 1929, стр. 1230.

6-57. Pohl R. Vorgange beim Kurzchluss einer Synchronmaschine, ETZ, v. 54,
1933, стр. 127.

6-58. P u n g a F. Der plotzliche Kurzschluss von Drehstromdynamos. ETZ, 1906,
стр. 827.

6-59. Punga F. Zur Geschichte des Stosskurzschlussstromes. E u M, v. 56, 1938,
стр. 273, 533.

6-60. Roznicek I. Alternateur synchrone theoretique pour le calcu] de Courants
de sourt-circuit. Rev. gen. elec., v. 43. 1938, стр. 579.

6-61. Rikli H. Experimentale Untersuchung fiber den plotlichen Kurzschluss von
Wechselstromgeneratoren. Schweiz. Bull., 1925, стр. 217.

6-62. Rogowski W. Der Kurzschlussstrom eines Wechselstromgenerators. Arch, fur
Elektrotechn., v. 11, 1922, стр. 147.

6-63. Riidenberg R. StosskurzschluBstrome von Schenkelpolgeneratoren mit Dam-
pferwiklung. E u M, 1930, стр. 609.

6-64. Smith I. B., Weygandt C. N. Double-Line-to-Neutral Short-Circuit of an
Alternator. Trans. AIEE, v. 59, 1937, стр. 1149.

6-65. Ikeda Y., Mori M. Einphasiger Kurzschluss der Synchronmaschine. Zs. angew.
Math. Meeh., 1931, стр. 244.

6-66. Wagner C. F. Unsymmetrical Short-Circuits on Waterwheel Generators Under
Capacitive Loading. Trans. AIEE, v. 56, 1937, стр. 1355.

6-67. Walker M. Short-Circuiting of Large Electric Generators and the resulting
forces on armature windings. Journ. IEE, v. 45, 1910, стр. 295.

6-68. Wennerberg I. Sudden Short-Circuit of Synchronous Machines. Journ.
AIEE, 1927, стр. 109.

7

7-1. Брицын M. Л., Лютер Р. А., Самойлович. Н. Я. Влияние отключения
катушек статорной обмотки на фазные токи трехфазного асинхронного коротко-
замкнутого двигателя. Сб. „Электросила", № 16, 1959.

7-2. Иванов-Смоленский А. В. Исследование и расчет асинхронной много-
фазной машины с несимметричной обмоткой на статоре. Тр. МЭИ, вып. VII,

7-3. Ипатов П. М. Несимметрия в катушечных обмотках гидрогенераторов.
„Электрич. станции", № 5, 1954/

7-4. Казовский Е. Я. Работа трехфазной машины переменного тока с асиммет-
рией в обмотке статора. „Вести, электропром.", № 4, 1956.
7-5. Камень И. М. Работа синхронного двигателя при несимметричных схемах
и сопротивление нулевой последовательности. „Электричество", № 10, 1949.

7-6. Меркин Г. Б. Работа асинхронного двигателя при несимметрии в статоре.
„Электричество", № 11, 1940.

7-7. Brown I. Е., Butler I. General Method of Analysis of Three-Phase Induction
Motors with Asymmetrical Primary Connections. Proc. IEE, v. 100, № 73, 1953.

7-8. Schmidt R. A. Calculation of Fault Currents for Internal Faults in A.C. Motors.
Power Appar. a. Systems, № 26, 1956, стр. 818.

8

8-1. Казовский E. Я. Влияние пульсирующих составляющих вращающего момента
на динамическую устойчивость работы машин переменного тока, работающих
в энергосистемах. Информационно-технический сборник ЦБТИ электропромыш-
ленности, № 5 (134), 1958.

8-2. Казовский Е. Я. Энергетические соотношения при внезапном коротком
замыкании синхронной машины. „Электричество", № 7, 1954.

9

9-1. Кадымов Я. Б., Расулов М. М. Коэффициент соизмеримости при питании
асинхронного электродвигателя от синхронного генератора. „Электричество",
№ 11, 1958.

9-2. Казовский Е. Я. Переходные процессы в электрических системах, содержа-
щих вращающиеся машины переменного тока. „Электричество", № 2, 1951.

9-3. Казовский Е. Я. Применение асинхронных машин с фазным ротором в каче-
стве генератора. Сб. Ленингр. отд. ВНЙТОЭ, вып. 3—4, 1946.

9-4. КаплянскийА. Е. Самовозбуждающаяся синхронная машина. „Электричество",
№ 14, 1935.

9-5. Лютер Р. А. Приближенный расчет режимов работы синхронной машины,
включенной на цепи с емкостью. Сб. „Электросила", № 9, 1951.

9-6. Меерович Э. А., Тафт В. А. Расчет неустановившихся режимов сложных
электрических систем с вращающимися машинами на расчетном столе переменного
тока. ДАН СССР, т. 26, № 7, 1951.

9-7. Страхов С. В. Уравнения переходных электромеханических процессов в си-
стеме двух синхронных машин, связанных линией передачи. Тр. МЭИ, вып. XIV,
1953.

9-8. Щедрин Н. Н. Простейшее истолкование явления параметрического само-
раскачивания синхронной машины. Тр. ЛПИ, № 3, 1948.

9-9. Berhenod I. Auto-amorcage des machines a rotor cylindrique associees a des
condensateurs. Rev. gen. elec., v. 14, 1923, стр. 307.

9-10. Concordia C. Two-reaction Theory of Synchronous Machines With Any
Balanced Terminal Impedance, Trans. AIEE, v. 56, 1937, стр. 1124.

9-11. C s a k i. Influence of Series Capacitors on the Operation of Synchronous Machi-
nes. Acta technica, Budapest, № 1—2, 1955.

9-12. Hanna W. M. Uses of Synchronous Machines Quantities in System Studies.
GER, № 3, 1933.

9-13. Johnson W. C. Starting Induction-Type Motors from Systems of Limited
Capacity. GER, № 12, 1930.

9-14. Kilgore C. L. Exitatien Problems in Hydroelectric Generators Supplying
Long Transmission Lines. Trans. AIEE, ft, 66, 1947, стр. 1277.

9-15. Leonhard A. Selbsterregererscheinungen bei Betrieb von Asynchronmaschinen
uber lange Leitungen. Arch, fur Elektrotechn., v. 35, 1941, стр. 731.

9-16. Lund H. Uberspannungen durch Selbsterregung von Asynchrongeneratoren.
ETZ, 1922, стр. 1362.

9-17. Srinivasan A., Thomas M. AIO Dynamic Braking by Self Excitation of
Squirrelcage Motors. Trans. AIEE, v. 66, 1947, стр. 145.

9-18. Wagner C. F. Self-Excitation of Induction Motors With Series Capacitors.
Trans. AIEE, v. 60, 1941, стр. 1241.

10

10-1. Казовский E. Я. Влияние активного сопротивления в цепи статора син-
хронной машины на ее качания. Сб. „Электросила", № 13, 1955.

10-2. Лютер Р. А. Расчет коэффициента демпфирующего момента синхронной
машины с учетом влияния сопротивления статорной обмотки. „Вести, электропром/,
№ 5, 1953.
10-3. Concordia С., Carter G. К. Negative Damping of Electrical Machinery,
Trans. AIEE, v. 60, 1941, стр. 116.

10-4. Concordia C., Crary S. B., Lyons F. M. Stability Characteristics of
Turbine Generators. Trans. AIEE, v. 57, 1938, стр. 732.

10-5. Kilgore L. A., WhitnheyE. C. Spring and Damping Coefficients of Syn-
chronous Machines and Their Application. Trans. AIEE, v. 69, 1950, part I, стр. 226.

10-6. Nickle C. A., Pierce C. A. Stability of Synchronous Machines. Effect of
Armature Circuit Resistance. Trans. AIEE, v. 49, 1930, стр. 338.

11

11-1. Боде Г. Теория цепей и проектирование усилителей с обратной связью. (Пере-
вод с англ.). ИЛ, 1948.

11-2. Воронов А. А. К приближенному построению кривой переходного процесса
по вещественной частотной характеристике. „Автоматика и телемеханика", №6,1952.

11-3. Джон Траске л# Синтез систем автоматического регулирования. (Перевод
с англ.). Машиздат, 1959.

11-4. Дудников Е. Г. Основы автоматического регулирования тепловых процес-
сов. ГЭИ, 1956.

11-5. Казовский Е. Я. Переходные процессы и частотные характеристики машин
переменного тока. Acta Technica, № 2, Изд. Чехословацкой АН, 1960.

11-6. Казовский Е. Я. и Костенко М. П. Современные методы рассмотрения
Жкодных процессов в электрических машинах переменного тока. Изв. АН СССР,
, № 4, 1959.

11-7. Казовский Е. Я. Определение переходных процессов в машинах перемен-
ного тока с помощью частотных характеристик. „Электричество", № 4, 1960.

11-8. Казовский Е. Я. Частотные характеристики машин переменного тока.
Информационно-технический сборник ЦБТИ электропромышленности, N® 9 (136), 1958.

11-9. Кузовков Н. Г. Теория автоматического регулирования, основанная на
частотных методах. Гособорониздат, 1960.

11-10. Лютер Р. А. Влияние насыщения на параметры синхронных машин.
Сб. „Электросила", № 10, 1951.

11-11. Мамиконянц Л. Г., Совалов С. А., Хачатуров А. А. Асинхронный
режим, несинхронное включение и ресинхронизация генераторов Куйбышевской
ГЭС. „Электричество", № 11, 1957.

11-12. Мамиконянц Л. Г. Об уточнении параметров синхронных генераторов.
„Электрич. станции", № 11, 1949.

11-13. Постников И. М., Киричер Г. М. Схема замещения многофазной
симметричной машины с массивным ротором. „Электричество", № 11, 1959.

11-14. Следнев М. С. Испытание турбогенераторов при работе в асинхронных
режимах. „Электрич. станции", № 1, 1954.

11-15. Снеддон И. Преобразование Фурье. (Перевод с англ.). ИЛ, 1955.

11-16. Солодовников В. В., Топчеев Ю. И», Крутикова Г. В. Частотный
метод построения переходных процессов. ГТТИ, 1958.

11-17. Титмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. (Перевод с англ.).
Гостехиздат, 1948.

11-18. Честнат Г. и Майер Р. Проектирование и расчет следящих систем и
систем регулирования, ч. I и III. (Перевод с англ.). ГЭИ, 1959.

11-19. Щедрин Н. Н. Некоторые методы расчета границ самовозбуждения асин-
хронных и синхронных машин. Тр. Инет, энергетики и автоматики АН УзбССР,
выд. 11, 1958.

11-20. Arnold Е. Die Wechselstromtechnik. Berlin, 1913.

11-21. Evans W. R. Graphical Analysis of Control Systems. Trans. AIEE, v. 67,
1958, стр. 547.

11-22. Guillem in E. A. A Note on the Ladder Development of R-C Networks.
Proc. IRE, 1952, стр. 482.

11-23. G u i 1 1 e m i n E. A. Synthesis of R-C Networks. Journ. Math. a. Phys., v. 28,
№ 1, 1949, стр. 22.

11-24. Harrington D., Whittlesey J. I. An Analysis of Sudden-Short-Circuit
Oscillogramms of Steam-Turbine Generators. Power Appar. and Systems, № 43,
1959, стр. 551.

11-25. Jain G. Ch. Die Definition, Berechnung und experimentelle Emuttlung der
verschiedenen Zeitkoustanten einer Synchronmachine mit ausgepraten Polen. E u M,
v. 75, N 22, 1958.

11-26. Malti M. G., Hun Hsuan Sun. Synthesis of Transfer Functions Poles
Restricted to the Negative. Real Axes into Two Parallel R-C Ladders and on
Ideal Transformer. Trans. AIEE, v. 75, part I, 1956, стр. 165.
11-27. Orchard М. J. Syntesis of R-C Network to Have Prescribed Transfer
Functions. Proc. IRE, 1951, стр. 428.

11-28. Ordnung P. F., Axelby G. S.-, Kraus H. L., Yetter W. P. Synthe-
sis of Paralleled 3-Treminal R-C Networks to Provide Complex Zeros in the Trans-
fer Function. Trans AIEE, v. 70, part II, 1952, стр. 1861.

11-29. Sen S. K., Adkins B. The Application of the Prequency-Response Method
to Electrical Machines. Proc. IEE, Part C, v. 103, № 4, 1956, стр. 378.

11-30. Weinberg L. Synthesis of Transfer Function with Poles Restricted to the
Negative Real Axes. Journ. Appl. Phys., v. 24, № 2, 1953.

12

12-1. Горохов H. В., Зимин В. и Петрова Л. М. Опытное определение пара-
метров синхронных машин. „Электричество", № 11, 1940.

12-2. Данилевич Я. Б., Казовский Е. Я., Костенко М. П. Эксперимен-
тальное исследование новых методов определения параметров машин переменного
тока. „Электричество", № 6, 1960.

12-3. Жигарев В. и Земляной М. Н. Определение активного сопротивления
обратной последовательности по однополюсному к. з. „Электричество", № 9—10,
1937.

12-4. Жигарев В. и Земляной М. Н. О методах определения реактанцев и син-
хронных машин. „Электричество", № 3, 1936.

12-5. Земляной М. Н. Определение реактанцев генераторов при переходных режи-
мах. Бюлл. ВЭИ, № 2. 1941.

12-6. Земляной М. Н. Экспериментальное определение реактанцев всех трех
последовательностей синхронного генератора. „Электричество", № 13, 1937;
Бюлл. ВЭИ, № 11, 1935.

12-7. Иванов В. И. Опытное определение параметров синхронных гидрогенерато-
ров на месте их установки. Сб. Гидроэнергопроекта (Ленингр. отд.), ОНТИ,

12-8. Казовский Е. Я. Экспериментальные исследования новых методов опреде-
ления параметров машин переменного тока. Сб. работ по вопросам электромеха-
ники, вып. 6, 1961.

12-9. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. (Перевод с англ.).
Госфизматиздат, 1961.

12-10. Ломоносова Л. А. Трехфазная синхронная машина в режиме асинхрон-
ного тормоза. Тр. ЛИИ, № 1, 1936.

12-11. Ломоносова Л. А. иПаль Е. А. Опытное определение индуктивного
сопротивления обратной последовательности трехфазной синхронной машины
Тр. ЛИИ, № 5, 1937.

12-12. Ломоносова Л. А. и ПальЕ. А. Опытное определение индуктивного
сопротивления нулевой последовательности трехфазной синхронной машины.
Тр. ЛИИ, № 2, 1938.

12-13. Мажуга В. Определение реактанцев синхронных машин с помощью постоян-
ного трка. „Электричество", № 3, 1936.

12-14. Мамиконянц Л. Г. Об измерении сверхпереходных реактивных сопротив-
лений синхронных машин стационарными методами. „Электричество", № 2, 1956.

12-15. Мамиконянц Л. Г. Определение сверхпереходных реактансов синхронных
машин стационарным методом без поворота ротора. „Электрич. станции", №5, 1948.

12-16. Матюхин В. М. Экспериментальное определение синхронного поперечного
реактанца. „Электричество", № 6, 1938.

12-17. Меркин Г. Б. К определению активного сопротивления обратной последо-
вательности в синхронных машинах. „Электричество", № 11, 1946.

12-18. Соколов Н. И. Приближенный графоаналитический метод определения
амплитудно-фазовых характеристик по переходным функциям. Сб. „Некоторые
методы расчета систем автоматического регулирования и их элементов", Суд-
промгиз, 1959.

12-19. Сыромятников И. А. Новый метод определения сопротивления обратной
последовательности синхронных генераторов.. „Электричество", № 1, 1941.

12-20. KoVacs К. Р. Messung der gesattigten Werte der synchronen Langs- und
Querreaktanzen im Stillstand. E u M, № 21, 1957.

12-21. Kovacs К. P, Raes I. Transiente Vdrgange in Wechselstrom maschinen.
Band I, II. Budapest, 1959.

12-22. Tracy G. F., Tice W. F. Measurument of the Subtransient Impedance of
Synchronous Machines. Trans. AIEE, v. 64, 1945, стр. 70.

12-23. Wright S. H. Determination of Synchronous Machines Constants by Tefct.
Trans. AIEE, v. 50, 1931, стр. 1331.
ОГЛАВЛЕНИЕ

Стр.

Предисловие .......................................................... 3

Г лава 7. Введение......................................*............. 5

1.	Переходные процессы, имеющие место в эксплуатации............... 5

2.	Действие переходных токов и дополнительные требования, предъявляе-

мые к машине для обеспечения ее работы в переходных режимах ...	9

а) Предельные величины переходных токов (9).—б) Тепловое дей-
ствие переходных токов (10). — в) Механическое действие пере-
ходных токов (11). — г) Перенапряжения (12).

3.	Общая методология рассмотрения переходных процессов в машинах пере-
менного тока......................................................... 14

4.	Основные физические процессы, имеющие место во вращающихся ма-
шинах в установившихся режимах......................................  16

а)Вращающиеся поля м. д. с. и потокосцеплений в машинах пере-
менного тока (16). — б) Круговая диаграмма асинхронной машины
(18). — в) Эквивалентная схема асинхронной машины (21). —
г) Относительные единицы (23).—д) Проектирование комплексов,
характеризующих вращающиеся поля, на разные оси (24).— е) Комп-
лексные выражения потокосцеплений и токов асинхронной машины
в установившемся режиме (26). — ж) Вращающиеся поля синхрон-
ной машины при возбуждении со стороны ротора (26).—з) Век-
торная диаграмма и угловая характеристика синхронной машины
(28). —и) Качания синхронной машины (31).

Глава 2. Операторные уравнения статического трансформатора и пре-
образования переменных................................................... 37

1.	Двухобмоточный трансформатор.............................................. 37

2.	Операторное решение уравнения	двухобмоточного трансформатора ...	38

3.	Трехобмоточный трансформатор.............................................. 41

4.	Многообмоточный трансформатор	и	операторные реактивности. 44

а) Общее выражение операторной реактивности (44). — б) Случай
одной обмотки в роторе (45). — в) Случай двух обмоток в роторе
по продольной оси (46). — г) Случай произвольного числа цепей
в роторе (47).—д) Случай отсутствия омического сопротивления
в роторных цепях (48). — е) Случай установившегося режима
(48). — ж) Случай малых омических сопротивлений обмоток ротора
(49).

5.	Учет питания вторичных обмоток.................................   50

6.	Преобразование симметрирования»— метод симметричных составляющих .	51

7.	Преобразование трехфазной системы в двухфазную................... 52

8.	Преобразование системы уравнений падения напряжения двухфазной
системы к комплексной форме ......................................... 53

9.	Преобразование комплексного уравнения падения напряжения к вращаю-
щимся осям.......................................................     54

Глава 3. Операторные уравнения вращающейся машины (всеобщего
трансформатора).......................................................... 56

1.	Заданные условия и принятые допущения.......................     56

2.	Дифференциальные уравнения асинхронной машины................... 57

3.	Асинхронная машина с симметричным многофазным ротором ......	59
4.	Связь комплексов напряжений, потокосцеплений и токов с фазовыми
величинами...............	. . . ...................................   60

5.	Физический смысл преобразования переменных........................ 61

6.	Одноосный ротор . ................................................ 61

7.	Специальные единицы для тока и потокосцеплений ротора............. 62

8.	Влияние возбуждения со стороны ротора............................. 63

9.	Влияние магнитной несимметрии ротора.............................. 63

10.	Продольная и поперечная составляющие.............................. 65

11.	Потокосцепления.................................................   67

12.	Токи.............................................................. 70

13.	Электромагнитный вращающий момент................................  71

14.	О неточностях принятой методики рассмотрения всеобщего трансфор-
матора ............................................................... 73

15.	Сравнение статического трансформатора с	вращающейся машиной ...	74

Гл ава 4. Включение в сеть, короткие замыкания и торможение внеш-
ней нагрузкой асинхронной машины с симметричным ротором ...	76

1.	Постановка задачи.................................................. 76

2.	Включение в сеть асинхронной машины, вращающейся с неизменным
скольжением, при малом активном сопротивлении в цепи статора ....	78

а) Случай одной системы обмоток на роторе (78).—б) Сравнение
со случаем включения в сеть статического трансформатора (82). —
в) Электромагнитный вращающий момент (83). — г) Влияние вто-
рой системы обмоток на роторе на переходные процессы в асин-
хронной машине (87).—д) Влияние большого числа цепей в роторе
(89). — е) Определение фазовых величин (90).—ж) Уточненный
учет активного сопротивления в цепи статора (90).

3.	Внезапное трехфазное короткое замыкание асинхронной машины, имею-
щей неизменное скольжением............................................. 90

4.	Внезапное двухфазное короткое замыкание асинхронной машины, вклю-
ченной непосредственно в мощную сеть................................... 92

а) Токи и потокосцепления (92). — б) Электромагнитный вращающий
момент (94).

5.	Включение асинхронной машины в сеть с учетом изменения скорости
вращения.............•................................................  96

6.	Переходные процессы при включении напряжения с изменяющейся ча-
стотой .............................................................   101

а) Включение напряжения в момент £ = 0 (103). — б) Изменение
частоты подведенного ^напряжения, начиная с момента Z = 0

(105).

7.	Токи и электромагнитный вращающий момент при внезапном торможении
асинхронной машины	внешней нагрузкой...........................    107

Глава 5. Переходные процессы в асинхронных машинах с учетом асим-
метрии ротора............................................................ 109

1.	Постановка задачи................................................. 109

2.	Включение машины,	вращающейся с	неизменным скольжением S в сеть 110

а)	Случай отсутствия демпферной системы на роторе (110). —

б)	Случай неограниченного числа цепей в роторе при приближенном
учете активного сопротивления в цепи статора (113).	113

3.	Пользование диаграммой установившихся токов статора прн разных
скольжениях ротора („круговой" диаграммой)............................ 114

а) Установившийся режим включенной в мощную сеть асинхронной
машины, имеющей скольжение s (114). — б) Определение токов при
включении машины в сеть по „круговой" диаграмме (114). —
в) Фазовые напряжения, токи и потокосцепления (118). — г) Про-
цессы при синхронной скорости вращения ротора (118).—д) Трех-
фазные короткие замыкания и внезапное падение напряжения при
неизменной скорости вращения ротора (120). — е) Переменная ско-
рость вращения (120).

4.	Влияние активного сопротивления в цепи статора на одноосный эффект 122

5.	Приближенное определение собственных частот и коэффициентов затуха-
ния переходного процесса................................................ 124

а)	О решении характеристического уравнения Z)'(p) = O (124).—
б)	Приближенный расчет коэффициентов затухания и собственной
частоты <*)с (127).	127

Глава 6. Включение в сеть и внезапные короткие замыкания синхрон-
ной машины.......................................*....................... 129

1.	Включение в сеть возбужденной синхронной машины и работа в асин-
хронном режиме........................................................ 129

а) Постановка задачи (129). — б) Условия рассмотрения (130). —

в) Общие уравнения (130). — г) Токи и потокосцепления при вклю-
чении в сеть возбужденной синхронной машины и при работе
в асинхронном режиме (130).—д) Использование „круговой" диа-
граммы для определения токов и электромагнитного вращающего
момента при включении в сеть возбужденной синхронной машины
(132). — е) Электромагнитный вращающиц момент возбужденной
синхронной машины при включении в сеть и при работе в асинхрон-
ном режиме (136).

2.	Включение в сеть машины двойного питания........................... 137

3.	Переходные процессы в синхронной машине при внезапном трехфазном
коротком замыкании и внезапном падении напряжения..................... 138

а) Упрощенное рассмотрение внезапного трехфазного короткого
замыкания в синхронной машине (138). — б) Использование „кру-
говой" диаграммы для определения токов и потокосцеплений, имею-
щих место при внезапном трехфазном коротком замыкании и вне-
запных падениях напряжения на синхронной машине (140). — в) Токи
статора при коротком замыкании из режима нагрузки (142). —
г) Электромагнитный вращающий момент при коротком замыкании
из режима нагрузки (143).

4.	Несимметричные короткие замыкания синхронной машины, отключенной
от сети (упрощенное рассмотрение)...................................   143

5,	Двухфазное короткое замыкание синхронной машины, отключенной от сети 145
а) Заданные условия и общие уравнения (145). — б) Токи и по-
токосцепления статора (146). — в) Напряжение на свободной фазе
и короткозамкнутых фазах (146). — г) Разложение на гармонические
составляющие (147).—д) Учет затухания переходных токов и по-
токосцеплений (149). — е) Переходный ток в обмотке возбуждения,
составляющие тока и потокосцеплений статора по осям </, q (149).—
ж) Электромагнитный вращающий момент (150).

6.	Однофазное короткое замыкание синхронной машины, отключенной от сети 153
а) Заданные условия и общие уравнения (153). — б) Токи и потоко-
сцепления статора (153). — в) Напряжения на свободных фазах
(154). — г) Разложение на гармонические составляющие (154). —
д) Учет затухания переходных токов и потокосцеплений (155). —
е) Переходный ток в обмотке возбуждения, составляющие тока и
потоксцеплений статора по осям d и q (156).—ж) Электромагнит-
ный вращающий момент (156).............................*............

7.	Двухфазное короткое замыкание синхронной машины, отключенной от
сети, на свою нейтраль................................................ 157

а) Заданные условия и общие уравнения (157). — б) Токи статора
(158). — в) Учет затухания переходных токов (159). — г) Напряже-
ние на свободной фазе (160).—д) Дополнительный ток в обмотке
возбуждения, составляющие тока статора по осям J, q (160). —
е) Электромагнитный вращающий момент (161).

8.	Численные примеры расчета вращающих моментов при несимметричных
коротких замыканиях, отключенной от сети синхронной машины............ 162

а) Явнополюсная синхронная машина с демпферной обмоткой (162). —
б) Неявнополюсная синхронная машина с демпферной обмоткой
[IA-26] (163). — в) Турбогенератор [6-16] (163).

9.	Несимметричные короткие замыкания синхронной машины, включенной
непосредственно в мощную сеть ......................................   164

10.	Втягивание в синхронизм ........................................  168

11.	Несинхронное включение в сеть возбужденной синхронной машины
при синхронизации с сетью............................................. 169

а)	Постановка задачи и принятые приближения (169). —
б)	Напряжения и потокосцепления (169). — в) Токи статора
(170). — г) Электромагнитный вращающий момент (172). —д) Элек-
тромагнитный вращающий момент при включении в сеть на две
фазы (174).

Глава 7. Работа трехфазной машины переменного тока с асимметрией
в обмотке статора........................................................ 176

1.	Общие уравнения для асимметрии в обмотке статора.................. 177

2.	Уравнения для токов при симметрии обмоток статора и несимметрии внеш-
них реактивностей в цепях статора..................................... 178

3.	Внезапное однофазное короткое замыкание машины, включенной в мощную
сеть через реактивное сопротивление (трансформатор)................... 179

а) Однофазное короткое замыкание фазы а на нейтраль машины
(179). — б) Однофазное короткое замыкание фазы а на нейтраль
в сети (182).—в) Переходные токи (183).

4.	Внезапное двухфазное короткое замыкание на выводах машины, включен-
ной в мощную сеть через реактивное сопротивление (трансформатор) . ,	185

а) Установившиеся токи (186). — б) Переходные токи (187).

5.	Работа машины с выключенными в фазной обмотке витками на мощную
сеть ............................................................. .	189

а) Постановка задачи и принятые приближения (189).—б) Формулы
для расчета режима (190). — в) Опытная проверка (191). — г) Прак-
тические соотношения (194).—д) Учет несимметрии ротора (1 ?6).

— е) Соединение обмоток статора асинхронной машины в треуголь-

ник (196).	196

6.	Влияние асимметрии пространственного расположения осей фазных обмо-
ток д\я асинхронной машины............................................ 197

7.	Установившееся трехфазное короткое замыкание синхронной машины при
наличии выключенных в фазе	а витков............................. 198

Дополнительные обозначения в главе 7 (198)

Глава 8. Энергетические соотношения при внезапном коротком замыкании
синхронной машины........................................................ 203

1.	Синхронная машина с симметричным ротором без возбуждения и без
потерь..............................................................   203

а) Ток, потокосцепления и электромагнитный вращающий момент
(203). — б) Скольжение и рабочий угол (204). — в) Изменение-
кинетической энергии, запасенной ротором, и энергия поля (205). —
г) Механическая аналогия (206).

2.	Синхронная машина без возбуждения и без потерь при асимметрии ро-
тора ................................................................. 207

а) Токи и электромагнитный вращающий момент (207). — б) Среднее
скольжение (208). — Влияние длительности короткого замыкания (209).

3.	Влияние возбуждения со стороны ротора и рабочего угла синхронной ма-
шины и учет затухания переходных токов..............................   209

4	Вращающие моменты с учетом влияния активных сопротивлений
статора и ротора при внезапном трехфазном коротком замыкании синхрон-
ной машины..........................................................   211

5.	Скольжение ротора и рабочий угол при внезапном трехфазном коротком
замыкании с'инхронной машины с учетом влияния активного сопротивле-
ния в контурах статора и ротора ..................................... 213

а) Скольжение (213).—б) Рабочий угол (215). — в) Динамическая
устойчивость (216). — г) Неполные короткие замыкания (218). —
д) О „законе площадей" (218). — е) Вывод формулы для расчета изме-
нения магнитной энергии синхронной машины с возбуждением со
стороны ротора и с асимметричным ротором, работающим на мощ-
ную сеть с нагрузкой (218).

Г лава 9. Переходные процессы в электрических системах, содержащих
вращающиеся машины переменного тока................................... 220

1.	Допущения и замечания.........................................   220

а) Допущения (220). — б) Общие замечания (221).—в) Некоторые
определения и обозначения (221).
2.	Основные положения...............................................   222

3.	Связь операторных эквивалентных схем асинхронной машины с обычной
эквивалентной схемой и пример графического исследования условий само-
возбуждения системы.................................................. 230

Г лава 10, Малые качания синхронной машины и влияние активного
сопротивления в цепи статора на самораскачивание машины 235

1.	Постановка задачи . ............................................... 235

2.	Малые качания синхронной машины.................................... 236

а) Уравнения качаний (236). — б) Вращающий момент при Гз=0(236).

3.	Влияние малого активного сопротивления в цепи статора.............. 239

а) Влияние г8 на демпферный момент (239). — б) Влияние г8 на син-
хронизирующий момент (240).

4.	Влияние повышенного активного сопротивления в цепи статора......... 240

а) Дополнительный демпферный момент (241). — б) Дополнительный
синхронизирующий момент (242).

5.	Токи и потокосцепления............................................. 243

6	Электромагнитный вращающий момент.................................. 246

7.	Возможности использования полученных результатов................... 247

Глава 77. Связь переходных процессов в машинах переменного тока
с частотными характеристиками............................................ 249

1.	Необходимость учета большого числа контуров и массивных частей в ро-
торе ................................................................ 249

2.	Эквивалентные схемы машин с учетом большого числа контуров и вытесне-
ния тока в контурах ротора........................................... 252

3.	Неточности и ошибки существующих представлений переходных процес-
сов ................................................................... 254

4.	Основные математические связи...................................... 256

5.	Связь переходных процессов с частотными характеристиками........... 257

а) Машина с симметричным ротором с одной системой обмоток на
роторе, питание только со стороны статора, активное сопро-
тивление в цепи статора г8 = 0. Ротор машины вращается
с заданным скольжением (257). — б) Машина с симметричным рото-
ром с многими обмотками на роторе. Питание только со стороны
статора, активное сопротивление г8 в цепи статора равно нулю. Ро-
тор машины вращается с заданным скольжением з (260). — в) По-
строение частотной характеристики —- по переходной

функции -у-—уу (263). — г) Приближенное графическое оп-
деление переходной функции по частотной характеристике (264).—
д) Учет активного сопротивления в цепи статора (266). — е) Опре-
деление коэффициентов затухания и собственных частот при боль-
ших активных сопротивлениях в обмотках (269). — ж) Учет несим-
метрии ротора при отсутствии активного сопротивления в цепи
статора (гв = 0) (271). — з) Учет несимметрии ротора при наличии
активного сопротивления г8 в цепи статора (276). — и) Учет возбуж-
дения со стороны ротора (280).

6.	Метод частотных характеристик (интеграла Фурье).................... 282

7.	Приближенное графическое определение переходной функции по частот-
ным характеристикам с помощью	функции интегрального синуса ....	284

8.	Явление рамовозбуждения............................................ 286

9.	Приближенный учет насыщения при пользовании частотными характери-
стиками .............................................................. 286

а) Машина с симметричным ротором (288). — б) Машина с несимме-
тричным ротором (292).

Г лава 12, Новые методы опытного определения параметров машин. .	294

1.	Определение частотной характеристики по одной осциллограмме измене-
ния постоянного тока в статорном контуре при неподвижном роторе . . .	295
а) Обоснование метода и аналитические связи (295). — б) Сверх-
переходная реактивность (297).—в) Синхронная реактивность (297). —-
г) Определение экспоненциальных составляющих (298).—д) Опыт
питания двух фаз (298). — е) Опыты без поворота ротора (299). —
ж) Учет влияния насыщения (299). — з) Неточности предлагаемого
метода (300). — и) Результаты экспериментальной проверки на син-
хронных машинах (303). — к) Экспериментальная проверка на асин-
хронной машине (313).

2.	Определение параметров упрощенной эквивалентной схемы по осцилло-
граммам изменения токов в статоре и роторе, снятым при неподвиж-

ном роторе.......................................................... 314

3.	Определение частотной характеристики по осциллограммам, снятым прм
вращающейся машине..................................................... 318

4.	Перспективы дальнейшего	развития новых методов.................... 322

Г лава 13. Устойчивость работы и качания машины переменного тока 323

1.	Общие замечания по устойчивости работы машины ... *................ 323

а) Статическая устойчивость (323). — б) Динамическая устойчивость
(326).

2.	Малые изменения режимов работы машины переменного тока .....	326

а) Общие уравнения (326). — б) Малые изменения напряжения я
скорости вращения ротора (327). — в) Частоты пульсаций тока ста-

тора при колебаниях скорости вращения асинхронной машины (329). —
г) Электромагнитный вращающий момент при колебаниях скорости
вращения ротора асинхронной машины (330).—д) Частный случай.
Асинхронная машина имеет одну систему обмоток на роторе; г» = 0
(333).

3.	Предел синхронной статической устойчивости машины переменного тока 334
а) Общее рассмотрение (334). — б) Частный случай — машина двой-
ного питания с симметричным ротором (337).

4.	Операторные выражения для токов и потокосцеплений обобщенной ма-
шины двойного питания при заданном изменении скорости вращения ро-
тора .............................................................     338

5.	Электромагнитный вращающий момент обобщенной машины- двойного
питания в операторном виде при заданном изменении скорости вращения
ротора..............................................................   340

6.	Установившийся режим работы обобщенной машины двойного питания
при весьма большой инерции ротора...................................   342

а) Общее рассмотрение (342). — б) Частный случай симметричного
ротора без демпферных контуров в роторе (344).

7.	Критерий асинхронной статической устойчивости обобщенной машины

двойного питания при весьма большой инерции ротора................. 345

8.	Установившиеся качания обобщенной машины двойного питания с учетом
инерции ротора........................................................ 346

9.	Влияние больших колебаний скорости вращения ротора, частоты и ампли-
туды напряжения на работу синхронной и асинхронной машины ....	348

а) Образование гармоник при качаниях скорости вращения ротора
возбужденной синхронной машины (348). — б) Влияние модуляции
тока и напряжения на величину статического кажущегося сопро-
тивления (349). — в) Работа машины переменного тока при моду-
ляции подведенного напряжения или скорости вращения ротора (349).—
г) Большие установившиеся колебания скорости вращения ро-
тора в асинхронной машине (351). — д) Влияние модуляции подве-

денного напряжения на работу асинхронного двигателя (352).

10.	Рассмотрение больших установившихся качаний синхронной машины
с помощью функций Бесселя..........................................    353

Г лава 14. Анализ больших качаний и динамической устойчивости син-
хронной машины с помощью эллиптических функций ....	363

1.	Синхронные режимы и синхронная динамическая устойчивость.......... 363

2.	Приближенное решение уравнения качаний синхронной машины с помощью
эллиптических функций................................................. 366

3.	Выражение рабочего угла в функции времени через эллиптические функ-
ции Якоби............................................................. 371
а) Зависимость рабочего угла $ от времени при набросе нагрузки
с сохранением синхронизма (372). — б) Зависимость рабочего угла В
от времени при набросе нагрузки, соответствующей пределу дина-
мической устойчивости (374). — в) Зависимость рабочего угла S
от времени при набросе нагрузки выше предельной (выпадение из
синхронизма)' (374).

4.	Приближенное выражение рабочего угла S через синусоидальные функции
при колебаниях угла с большой амплитудой............................... 376

5.	Уточненное выражение рабочего угла через эллиптическую функцию
Вейерштрасса .......................................................... 379

6.	Оценка допустимой длительности перегрузки машины без выпадения из
синхронизма с помощью эллиптических функций............................ 380

7.	Возможность использования аппарата эллиптических функций............ 383

Г лава 15. Электромагнитный вращающий момент синхронной машины-
при иабросе нагрузки .................................................   386

1.	Введение.......................................................... 386

2.	Принятые допущения................................................ 386

3.	Потокосцепления статора	при возникновении качаний рабочего угла $	387

4.	Электромагнитный вращающий момент при качаниях синхронной машины

после наброса нагрузки............................................ 388

а) Дифференциальное уравнение для определения электромагнит-
ного вращающего момента при больших качаниях, связанных с на-
бросом нагрузки (388). — б) Раскрытие операторных выражений,
связанных с операторными реактивностями машины (389). — в) Об-
щее выражение для электромагнитного вращающего момента (391). —
г) Синхронизирующий и демпферный вращающий моменты машины
при больших качаниях после наброса нагрузки (392). — д) Случай
симметричного ротора (395). — е) Электромагнитный вращающий
момент машины, не имеющей демпферных контуров в роторе (395). —
ж) Электромагнитный вращающий момент машины, имеющей по
одному демпферному контуру в роторе по продольной и поперечной
осям при сравнительно большой частоте качаний (399). — з) О до-
пустимости, пренебрежения влиянием высших гармонических в ко-
лебаниях угла при расчете электромагнитного вращающего момента
(400).

5.	Описание произведенных экспериментов и сравнение результатов рас-
чета с опытными данными............................................. 401

6.	Методика расчета переходного процесса при набросе нагрузки ....... 403

7,	Возможности использования представленной методики расчета переход-
ного процесса в синхронной машине, включенной в мощную сеть, при на-
бросе нагрузки...................................................... 408

8.	Наброс нагрузки в изолированном синхронном генераторе............. 409

а) Ток статора и напряжение на зажимах статора (409).—б) Расчет
переходных составляющих с помощью амплитудно-логарифмических
частотных характеристик (411). — в) Электромагнитный вращающий
момент (413). — г) Частный случай симметричного ротора с одной
системой обмоток на роторе (413).

Г лава 16. Переходные процессы прн изменении напряжения возбуждения
в синхронной машине..................................................... 415

1.	Влияние изменения напряжения возбуждения при отсутствии демпферных
контуров в роторе...................................................... 415

а) Токи статора и ротора (415). — б) Действие регулятора возбуж-
дения при внезапном трехфазном коротком замыкании машины
(416).

2.	Влияние изменения напряжения возбуждения при наличии двух демп-
ферных контуров в роторе............................................... 417

а) Токи статора и ротора (417). — б) Действие регулятора возбуж-
дения при внезапном трехфазном коротком замыкании (419).

3.	Рассмотрение переходных процессов, имеющих место при изменении
возбуждения, с помощью частотных характеристик, с учетом влияния
неограниченного числа демпферных контуров в машине..................... 421
4.	Учет влияния насыщения при расчетах, связанных с изменением воз-
буждения ........................................................

5.	Работа синхронной машины, включенной в мощную сеть при регулиро-
вании возбуждения по заданному закону.............................

6.	Влияние регулирования возбуждения по заданному закону на напряже-
ние синхронной машины, несущей изолированную нагрузку............

а) Определение постоянной времени Td (427). — б) Методы рас-
чета режима работы машины при регулировании напряжения* воз-
буждения (428).—в) Расчет напряжения на зажимах машины при
разных законах изменения напряжения возбуждения во времени,
когда насыщение мало изменяется (431). — г) Работа машины на
мощную сеть через индуктивное сопротивление, с приключенной
к зажимам машины смешанной нагрузкой (434).

7.	Гашение поля синхронной машины..................................

а) Гашение поля в режиме холостого хода (машина отключена от
сети) (436). — б) Гашение поля в режиме нагрузки, когда машина
включена в мощную сеть (439).—в) Гашение поля при внезап-
ном трехфазном коротком замыкании машины, включенной в мощ-
ную сеть (442). — г) Гашение поля при внезапных несимметричных
коротких замыканиях в цепи статора (447).

8.	Влияние регулирования возбуждения на статическую устойчивость ра-
боты синхронной машины, включенной в мощную сеть через реактивное
сопротивление ...................................................

а) Связи регулирования (449).—б) Связь напряжения на клеммах
машины, тока статора и внутреннего угла машины с рабочим
углом (450). — в) Критерий статической устойчивости при регули-
ровании возбуждения (451). — г) Случай „идеального" регулиро-
вания (451).

Глава 17. Самовозбуждение машины переменного тока при наличии
емкости в цепи статора...............................................

1.	Условия самовозбуждения при работе с емкостью...........

2.	Самовозбуждение асинхронной машины при работе с емкостью.......

а) Критерий самовозбуждения при параллельной работе с ем-
костью (455). — б) Случай машины с одной обмоткой на роторе
(458). — в) Влияние насыщения магнитной цепи машины (460).

3.	Самовозбуждение синхронной машины при работе с емкостью........

а) Параллельное соединение машины с емкостью (общий случай)
(461). — б) Работа синхронной машины на мощную сеть через
последовательно включенную емкость (464). — в) Работа изолирован-
ной синхронной машины, несущей нагрузку при наличии емкости
в цепи статора (465).

4.	Расчет фазовых токов в статоре при включении асинхронного двигателя
в сеть через емкость (численный пример)..........................

Гл а в а 18. Расчет параметров машин переменного тока и особенности
параметров крупных синхронных машин..................................

1.	Формулы для расчета параметров машин переменного тока ......

а) Общие замечания (468). — б) Связь параметров машины с ис-
пользованием материалов в машине (468). — в) Параметры асин-
хронных машин в относительных единицах (ненасыщенные значе-
ния) (470). — г) Параметры синхронных машин в относительных
единицах (ненасыщенные значения) (475).

2.	Влияние вытеснения тока на параметры машины....................

3.	Влияние насыщения на параметры машины..........................

4.	Особенности параметров крупных синхронных машин................

Приложение! (к главе 3). Операторные реактивности главных обмо-
ток машины во вращающихся координатах ..............

Приложение 2 (к главе 3). Преобразование уравнений двухфазной ма-
шины к вращающимся координатным осям ..............

422

424

426

435

449

453

453

455

461

466*

468

468

491

495

498

505
Првложение 3 (к главе 4). Токи, потокосцепления и электромагнит-
ный вращающий момент при включении в сеть асинхронной машины,
имеющей одну систему обмоток на роторе при неизменной скорости
вращения ротора ...................................'............

1.	Корни характеристического уравнения и коэффициенты затухания при
неизменной скорости вращения ротора .........................

а) Постоянные времени статорной и роторной обмоток равны
(510). — б) Постоянные времени обмоток статора и ротора неравны
<4 * а; (sn).

2.	Токи и потокосцепления при включении машины в мощную сеть
(шг = const).................................................

а) Токи и потокосцепления статора (513). — б) Токи ротора (514).—
в) Расчет фазовых углов (515). — г) Оценка величины переходных
токов (515). — д) Частный случай — скорость вращения мала,
<ог а3 = аг-ь as(516).—е) Частный случай — скорость вращения
ротора равна нулю, wr = 0. (516). — ж) Частный случай — скорость
вращения ротора велика а3, (517). — з) Частный случай —
ротор вращается с синхронной скоростью, s = 0 (518).

3.	Электромагнитный вращающий момент при включении в мощную сеть
при неизменной скорости вращения ротора......................

Приложение 4 (яг главам 4 и 77). Переходные токи и вращающие мо-
менты турбогенератора мощностью 150 Мет, при внезапном трехфаз-
ном коротком замыкании и при включении в сеть невозбужденной ма-
шины ............................................................

1.	Данные и параметры генератора..............................

2.	Ток статора при включении в сеть невозбужденного генератора, имею-
щего синхронную скорость вращения.............................

3.	Ток статора при внезапном трехфазном коротком замыкании генера-
тора, работающего в режиме холостого хода с номинальным напряже-
нием ........................................................

4.	Электромагнитный вращающий момент при внезапном трехфазном ко-
ротком замыкании генератора, работавшего в режиме холостого хода
с номинальным напряжением.....................................

5.	Электромагнитный вращающий момент при включении невозбужденного
генератора в мощную сеть при синхронной скорости вращения ро-
тора ........................................................

Приложение 5 (к главе 4). Включение асинхронного двигателя с одной
системой обмоток на роторе в мощную сеть с учетом влияния пере,
менной скорости вращения.........................................

1.	Общее рассмотрение..........................................

2.	Расчет токов статора и ротора при малых ускорениях, когда
2a << V°? -ь s2 и добавочными составляющими, вызванными наличием
ускорения, можно пренебречь ..................................

3.	Добавочные составляющие токов статора и ротора, вызванные ускоре-
нием ротора .................................................

а) Случай малых ускорений (532). — б) Случай больших ускоре-
ний (536).

4.	Частный случай, когда активное сопротивление в цепи статора г* весьма
мало.....................................................  .

5.	Электромагнитный вращающий момент..........................

6.	Численный пример...........................................

Приложение 6 (к главе 9). Численный пример расчета токов при вклю-
чении асинхронного двигателя на генератор соизмеримой мощности
через трансформатор ........................ .

Приложение 7 (к главе 10). Графические построения к расчету влияния
активного сопротивления в цепи статора на электромагнитный враща-
ющий момент синхронной машины при качаниях и численный пример
расчета .................... . . ... . ..........................

509

509

513

520

522

522

523

525

525

526

526
527

531

532

540
543
543

546
1.	Графическое определение ед по векторной диаграмме ................  549

2.	Графическое определение составляющих 5гтя.......................... 550

а) Определение величины iqhsen (550). — б) Определение величины
sin2Mrf*r + cos2 МуЛг (550).

3.	Численный пример расчета электромагнитного вращающего момента при
качаниях.............................................................. 551

4.	Приближенное аналитическое определение составляющих токовой диа-
граммы асинхронной машины........................к.................... 556

Приложение 8 (к главе 77). Определение тока статора при включении
машины в сеть и тока статора при внезапном трехфазном коротком
замыкании по частотной характеристике............................ 557

1.	Ток включения. Активное сопротивление в цепи статора мало, ротор
симметричен..................................................... 557

2.	Ток включения. Уточненный учет активного сопротивления в цепи ста-
тора, ротор симметричен......................................... 559

3.	Ток включения. Активное сопротивление в цепи статора мало, ротор
несимметричен...................................................	560

4.	Ток включения. Учет активного сопротивления в цепи статора при на-
личии несимметрии ротора........................................ 561

5.	Ток статора при внезапном трехфазном коротком замыкании....... 562

Приложение 9 (к главе 12). Методика определения частотной характе-
ристики по одной осциллограмме изменения постоянного тока в ста-
торе при неподвижном роторе...................................... 562

1.	Методика определения частотной характеристики по экспоненциальным
составляющим переходного процесса............................... 562

2.	Методика определения частотных характеристик по приближению кри-
вой переходного процесса’прямыми отрезками...................... 566

3.	Учет влияния потерь в железе статора.......................... 567

4.	Определение частотной характеристики машины по опытным данным
затухания постоянного тока в статоре без поворота ротора........ 572

а) Заданные условия и принятые обозначения (572). — б) Уравне-
ния для определения xd(j9), Xqfji) и методика их решения (573). —
в) Частный случай, когда разность реактивностей по продольной
и поперечной осям ротора мала (578). — г) Влияние внешнего со-
противления Аг в опыте питания трех фаз при произвольном поло-
жении ротора (579).
5. Учет непостоянства приложенного напряжения ................... 582

Приложение 10 (к главе 14). Исследование движения ротора синхрон-
ной машины в переходном процессе с помощью эллиптических функций 583
1. Некоторые данные по эллиптическим функциям.................... 583

2.	Вывод формул, выражающих рабочий угол в функции времени через
эллиптические функции .......................................... 586

а) Случай устойчивой работы (586).—б) Случай выпадения из
синхронизма (588)......................................

Приложение 11 (к главам 13 и 15). Качания синхронной машины при
наличии пульсации приложенного вращающего момента................ 591

Приложение 12 (к главе 15). Численный пример расчета электромаг-
нитного вращающего момента при заданном изменении угла в функции
времени после наброса нагрузки, близкой к пределу статической устой-
чивости ............................................................ 594

1.	Электромагнитный вращающий момент в первый полупериод качания . .	594

2.	Электромагнитный вращающий момент во втором полупериоде качания .	595

3.	Электромагнитный вращающий момент во втором и последующих пе-
риодах колебания угла . *.....................................   596

Литература.......................................................... 598
ИСПРАВЛЕНИЯ И ОПЕЧАТКИ

Стра- ница	Строка	Напечатано	Должно быть
		Fe	Ее
33	8 снизу	Xd	Xd
43	17 „	2 и 3	2 и 1
4.6	17	xc^xfc xf.	ХС<з	Xfc || -гу3
	*»	П		
		xc~*~xfc	
49	10 „	*	*
			% тп
54	3 „	[F(/)] }	f(p)L\F (t)\]
149	7 сверху		
		Г8	
150	12 и 13 снизу	rr	н
152	6 сверху		хе2
		приведенных	приведенные
159	7 снизу	-W	х203
159	8 „		
		-^20a	х20а
169	2 сверху	при котором	чтобы
204	12 „	1	1
		314	314 сек'
299	4 „		
		rs =	г«=
343	15 снизу	M, = Re (—Ял)	
381  400	11 сверху  6 снизу	^ = 3.3	^ = 12.3
431	4 „	периода	предела
437	*	99  13 „	на стр. 410 и	на стр. 410) и
		равны.	равны:
497	Табл. 18-4,		Q
	графа 1	xd~*~xe	
			xd~*~xe
499	11 сверху	300 об./мин.	3000 об./мин.
567	6 снизу	в синхронной	в асинхронной
593	Табл. 11п-1,		Кд
	графа 1