в&к 31.
t; 6
В 12
удк 621,313.3.018.78


Рецензент И. l!. Трещев


Александр Иванович Важнов


ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В МАШИНАХ ПЕРЕМЕнноrо ТОКА


.,


Редактор Л. М. П архоменко
Художественный редактор Д. Р. СmеваНО8UЧ
Технический редактор А. r. Рябкuна
Корректор В. В. Румянцев
Оформление художника А. И. Бородина
ИБ NQ 695


Сдано в набор 22.10.79. Подписано в печать 09.01.80. М-32507.
Формат бумаrи 60х 90 1JHI' Бумаrа тип. N2 1. fарнитура литературная.
Печать высокая. Усл. печ. л. 16.0. Уч.-изд. л. 17,87. Тираж 500
. экз.
3ак. 1538. Цена 1 р. 30 к.
Ленинrрадское отделение издательства «Энерrия».
191041, Ленинrрад, Д
41, Марсово поле, 1.
Ленинrрадская типоrрафия Н2 6 Ленинrрадскоrо производственноrо
объединения «Техническая книrа» Союзполиrрафпрома
при rосударственном комитете СССР по делам издательств, полиrрафии
и книжной торrовли. 193144, Ленинrрад, C
 144, ул. Моисеен ко, 1 О


8ажнов А. и.
В 12 Переходные процессы в машинах переменноrо тока.
Л.: Энерrия. Ленинrр. отд
ние, 1980.
 256 с., ил.
В пер.: 1 р. 30 к.


в книrе приведеНbI дифференциаЛЬНbIе уравнения машин переменноrо тока
в форме А. А. ropeBa и в операторной форме Р. Парка. На их основе дано решение
некоторьух практических задач, ваЖНbIХ как для расчета машин, так и для обеспе

чения их нормальной раБОТbI в системе переменноrо тока. Рассмотреньу динами-
ческие свойства машин при маЛbIХ и значитеЛЬНbIХ возмущениях установи вше.
rося режима раБОТbI.
Книrа предназначена для инже неров и научных сотрудников, работающ их
в области электромашиностроения [ I же
полезна студентам и аспирантам в зов. I И S .'" ;! О Т Е К 1\
30307
059 J';
8"
 ·
ЭС

И




.Аl.2 1.6
В 051(Ol)
BO 126
80. 230203
 ОOlJНд. a;Ti'..:
,:bH(t.,? J
:.::
) '\ 6tt'l.l.юВl
::-.' ['.
,. А
"ЕNИ"'н:.:ir. -i-
. . 'Pf&ttI::.:.
"
'.......... ,". . .,... ........А......... t


@


"3 "tS
t7
Издательство «Э н t. р r и Я», 1980




Предисловие


Книrа рассчитана на читателя, начинающеrо осваивать теорию
переходных процессов машин переменноrо тока. Поэтому в ней
большое внимание уделено общим уравненияl'Л машин и их пре

образованиям, а также приближенным методам решения ряда
важных задач. Это поможет понять физическую сторону про

цессов и составит основу для последующеl
О знакомства с числен

ными метода1\IИ расчета сложных переходных процессов с помощью
вычислительных машин.
В книrе изложены, по существу, лишь исходные положения
теории, анализ которых облеrчит изучение мноrочисленной спе

циальной литературы. Поэтому автор отказался от применения
единой для всех случаев системы относительных единиц и coxpa

нил различные подходы, встречающиеся на практике.
Из
за оrраниченноrо объема в книrе не рассматриваются
некоторые разделы теории, такие, например, как схемы заlVlеще

ния, частотный метод определения параметров и исследования
процессов, решение задач с помощью вычислительной техники.
По этой же причине список литературы весьма оrраничен и не
включает в себя мноrих существенных работ.
При написании книrи автор пользовался l\1ноrочисленными
трудами по переходным процессам машин и вместе с тем стремился
к методическим обобщениям. Это дает возможность использовать
ее в качестве учебноrо пособия для студентов и аспирантов вузов,
специализирующихся в области электрических машин. Можно
надеяться, что книrа будет также полезной для инженеров и на-
учных работников.
Замечания и пожелания по книrе просьба направлять по
адресу: 191041, Ленинrрад, Д.41, Марсово поле, д. 1, Ленинrрад

ское отделение издательства «Энерrия».


Автор




Введение


к неустановившимся, или переходным, процессам в электрической машине I
относят любые процессы, являющиеся следствием нарушения paBHOBccHoro co

стояния машины или возникновения в ней IIOBOrO явления. Часто возникает
ситуация, коrда нарушается равновесное состояние электромаrнитных, электро

механических или тепловых процессов и параметры режима
 токи, мощности,
скорость, температура
 начинают изменяться. Переходные процессы подобноrо
рода MorYT возникать в результате аварии в системе (например, короткие замы

кания) либо являться следствием операций, требуемых эксплуатационными усло

Jзиями (например, пуск в ход, различноrо вида реrулирование, торможение
машины, быстрое изменение наrрузки).
Возможны и такие переходные процессы, которые определяются явлениями,
не связанными с основным рабочим режимом. В качестве примера укажем на
волновой процесс, обусловленный подходом к машине волны перенапряжений. )
В книrе рассматриваются лишь элеКТРОi\1аrнитные и электромеханические
переходные процессы в машинах переменноrо тока: первые характеризуют изме

нение электромаrнитных параметров рабочеrо режима при заданной частоте Bpa

щения машины; вторые являются более общими, так как отражают совместное
и взаимозависимое изменение электромаrни [ных характеристик режима машины
и ч
оты ее враUJ.ения.
fВремя протекания переходноrо процесса обычно невелико. Так, например,
процесс внезапноrо KopoTKoro замыкания синхронных reHepaTopOB на практике
длится O,1
O,3 с, некоторые переходные процессы MorYT длиться дольше
 дe

сятки секунд. Однако возможны случаи, коrда машина сколь уrодно долrо рабо

тает, по существу, в переходном процессе, как, например, при устойчивых коле

баниях (синхронныЙ двиrатель, работающиЙ с компрессором).
Несмотря на обычную оrраниченность во времени протека
ия переходноrо
процесса, последниЙ оказывает rлубокое влияние на работу машины. Во мноrих
случаях именно переходные процессы определяют значения параметров машины
при ее расчете, они оказывают тзкж.е влияние и на конструктивные соотношения
в маши
 Так, для синхронных reHepaTopoB, работающих в энерrосистеме, Tpe

бования динамической устойчивости приводят к необходимости обеспечения Haд

лежащеrо MaxoBoro момента, что, в свою очередь, определяет соотношение основ-
ных размеров reHepaTopa
 ero длины и диаметра. Возм:о)кность возникновения
переходных режимов в таких reHepaTopax в условиях несимметрии и при асин

хронизме делает неоБХОДИl\IЫЫ устройство в машине полной демпферноЙ обмотки.
Переходные режимы в ряде случаев предъявляют достаточно жесткие требования
и к возбудителям синхронных reHepaTopOB в отношении их быстродеЙствия и
максимальных напряжений возбуждения. 1Характер протекания переходноrо
процесса в электрическоЙ машине очень часто определяет поведение всей системы,
элементом которой является машина.
Переходные процессы MorYT сопровождаться появлением весьма больших
токов в цепях машины. Подобное положение возникает в первую очередь в aBa

риЙных режимах. Например, при трехфазном коротком замыкании синхронноrо
reHepaTopa ударные токи в ста [оре MorYT в 7
 1 О раз превышать номинальные
значения. При однофазном коротком замыкании эти токи MorYT еще возрасти на
20
ЗО%. Значительные токи появляются при неправильной синхронизации син

хронных reHepaTopoB, в результате самовозбуждения при работе машины на ем-
кость II в друrих случаях. В результате 3Toro отдельные части машины подвер

rаются воздействию весьма больших сил. В частности, лобовые части обмоток


6




статора синхронноrо rCHepaTopa значительной мощности MorYT испытывать уси-
лия, измеряемые сотнями килоныотонов. При коротких замыканиях reHepaTopa
через статор на фундамент передаются пульсационные моменты, в 5
6 раз пре-
вышающие номинальный электромаrнитный момент. Значительный момент скру-
чивает вал машины, особенно если маховой момент первичноrо двиrателя не очень
мал в сравнении с маховым моментом reHepaTopa. При несимметричных коротких
замыканиях и отсутствии полных демпферных обмоток на зажимах статора
синхронноrо reHepaTopa возможны значительные перенапряжения. rlаконец,
в тех переходных режимах, rде их продолжительность более или менее значи-
тельна (выпадение из синхронизма, пуск и т. п.), должна быть произведена оценка
тепловоrо действия токов.
Эти примеры можно было бы умножить, но и из Toro, что сказано, очевидно,
что только ясное понимание явлений, происходящих в электрических машинах
при переходных процессах, и возможность количественной оценки их позволяют
осуществить рациональное проектирование электрической машины, произвести
надлежащий выбор оборудования, а также обеспечить надежную ero работу.
Характер протекания переходных процессов зависит прежде Bcero от вида
электрической машины (коллекторная, бесколлекторная). Существенное значе

ние имеет также соотношение между скоростью протекания чисто механическоrо
процесса (изменение частоты вращения) и быстротой изменения электромаrнит-
Horo процесса (токи, электромаrнитный MOMeHTll Если иметь в виду бесколлектор-
ные машины переменноrо тока, то для асинхронных машин оrраниченной номи-
нальной мощности электромаrнитный переходный процесс протекает настолько
быстро, что за это время частота вращения ротора машины не успевает существенно
измениться. Это позволяет в ряде случаев не учитывать сложноrо переходноrо
электромаrнитноrо процесса в асинхронной машине, который быстро затухает, и
производить расчеты изменения частоты вращения с помощью статических xapaK

теристик. Так, процесс пуска асинхронноrо двиrателя во мноrих случаях можно
рассчитывать, исходя из статической зависимости электромаrнитноrо момента
от частоты вращения. Вместе с тем корректное определение электромаrнитных
sеличин, например электромаrнитноrо момента, требует учета ускорений машины.
\Наиболее rлубоко разработаны переходные процессы для синхронной Ma

шины, являющейся одним из rлавнейших элементов энерrосистемы, надежность
работы которой в различных режимах
 дело первостепенной важности. Вместе
с тем их исследование сопряжено со мноrими трудностями, особенно в тех задачах,
rде возникает необходимость cOBMecTHoro рассмотрения механическоrо и элек-
тромаrнитноrо процессов, коrда они измеНЯIОТСЯ со скоростями одноrо порядка.
Эти трудности имеют место даже при изучении только одноrо электромаrнитноrо
переходноrо процесса ввиду наличия мноrих контуров на роторе с различными
параметрами по продольной и поперечной осям, а также из
за усложняющеrося
влияния маrнитной асимметрии ротора (для машины ЯВНОполюсноrо типа).
Первоначально теория синхронной машины была разработана в основном
американскими и немецкими учеными
 Парком, Доrерти, Никлом, Дрейфу

сом, Нитхаммером, Бирмансом и др. В дальнейшее развитие и уrлубление этой
теории и разработку новых методов исследования значительный вклад внесли
советские ученые
 А. А. ropeB, д. А. rородский, л. н. rрузов, Е. Я. Казов-
ский, М. П. Костенко, Л. А. Ломоносова, Р. А. ЛIотер, И. М. Постников, Н. Н. Ще-
дрин и др.
Выше отмечалось мноrообразие переходных процессов, встречающихея на
практике. И хотя не существует строrой и исчерпывающей их классификации,
можно условно разделить все переходные процессы на две большие rруппы, при-
няв в качестве xapaKTepHoro признака степень отклонения частоты вращения
машины в рассматриваемом процессе от частоты вращения нормальноrо режима.
Первую rруппу переходных процессов моrли бы составить процессы, протека-
. ющие при более или менее значительном изменении частоты вращения машины.
Это процессы, возникающие при включении машины в сеть (асинхронный пуск
двиrателей и синхронных компенсаторов, самосинхронизация и повторное вклю-
чение синхронных reHepaTopOB, реверсирование асинхронных двиrателей);
процессы при асинхронном ходе синхронноЙ машины после выпадения из синхро

низма. Во всех этих режимах важным является определение электромаrнитных


7




величин
 токов статора и ротора, электромаrнитноrо момента. Нахождение
токов представляет интерес не только с точки зрения расчета механических уси

лий, действующих на обмотки, но и для оценки HarpeBa обмоток при значитель-
ной продолжительности процесса.
Важной характеристикой процесса является электромаrнитный момент, опре-
делЯЮЩИЙ, с ОДНОЙ стороны, ход процесса (например, разrон машины при асин

хронном пуске и время пуска, возможность втяrивания машины в синхронизм),
а с друrой
 механическую наrрузку на вал машины, ее фундамент и детали
крепления активной стали статора. Для синхронных машин СУl11,ественное значе

ние имеет также характер перехода от асинхронноrо режима к синхронному.
CTporoe исследование указанноЙ rруппы процессов весьма затруднительно,
поэтому иноrда рассматривается задача для ряда постоянных значений скольже-
ния (квазиустановившийся режим). В этой книrе первая rруппа процессов пред

ставлена только асинхронным пуском машин и реверсированием асинхронноrо
двиrателя.
Ко второй rруппе переходных процессов можно отнести такие процессы,
которые протекают при достаточно малых отклонениях частоты вращения машины
от нормальноrо значения. Сlода относятся процессы при внезапных набросах
и сбросах наrрузки, внезапных коротких замыканиях с последующим их отключе

еием, коммутационных переКЛlочениях в системе переменноrо тока. ИсслеД()ва

ние таких процессов проводится в двух направлениях: 1) решается задача о том,
сохраняет ли синхронная машина синхронизм с системой при данном возмущении
установившеrося режима (проверяется динамическая устойчивость); 2) находятся
токи, электромаrнитные моменты, а иноrда и напряжения на обмотках для опре-
деления механической и электрической прочности элементов самой машины.
При исследовании динамической устойчивости можно оrраничить величину
возмущения установившеrося режима и, в частности, рассмотреть случай сколь
yroAHo малых возмущений. Решение такой самостоятельной задачи имеет большое
практическое значение, ибо оно позволяет установить, возможен или нет заданный
установившийся режим работы (проверяется статическая устойчивость). Это
важно для оценки предельных наrрузок машины, нахождения рациональной
системы реrулирования, определения возможных статических режимов при
наличии емкости в статоре машины и т. д. Вопросы статической и динамиче-
ской устойчивости даны в книrе только в своей основе.
Отметим, что в книrе вообще рассмотрен только наиболее простой случай
работы машины на сеть бесконечной мощности, к которому сводится большое
число практических задач.
Итак, исс,п:едование и расчет переходноrо процесса в общем СIlТIучае проводятся
с двух позиций: надежности самой машины (прочности отдельных ее узлов)
и поведения машины как элемента электрической сети при изменении условий ее
работы. В конкретных задачах один из указанных аспектов может иметь реша-
ющее значение.
При аналитических исследованиях переходных процессов машин перемен-
Horo тока применяются такие методы, как преобразование координат, введение
комплексных величин (изображающих векторов) для MrHoBeHHblx значений пере-
менных, схемы замещения для различных режимов машины, метод малых коле-
баний, методика, использующая теорему постоянства потокосцеплений обмоток,
и некоторые друrие. Разработаны rрафоаналитические способы представления
переходных процессов. Однако для сложных задач, требующих решения нелиней-
ных дифференциальных уравнениЙ машины, аналитических решений практически
не получить и приходится обращаться к численным решениям с помощью цифро-
вых вычислительных машин.
Большими возможностями обладает метод моделирования, имеющий две
разновидности
 математическое и физическое моделирование.
Наконец, следует сказать о методе экспериментальноrо исследованця пере-
ходных процессов в реальных электрических системах.
Нетрудно предвидеть, что эффективность применения Toro или иноrо метода
при исследовании и расчете процесса зависит от условий конкретной задачи.
В предлаrаемой читателю книrе переходные процессы рассматриваются на
основе аналитических решений уравнений машин переменноrо тока.


8




1 12 .3)...
 f)' (ф l ;тS,
Il@
, '.


Общие сведения о машинах nepeMeHHoro тока
1..1. ОБЩИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Машины переменноrо тока
делят на с и н х р о н н ы е и а с 11 Н Х Р о н н ы е в заВИСII..
мости от Toro, как связана частота их вращения с частотой элек..
трической сети, к которой присоединена обмотка якоря машины.
Отличительным признаком синхронной машины является cTporoe
соответствие ее частоты вращения частоте сети. Коrда подобноrо
соответствия нет, tlашину называют асинхронной.
Общая принципиальная элеКТРО11аrнитная cxel\l1a 1'Iашин энер"
rетическоrо назначения, которые только и рассматриваются
в этой книrе, показана на рис. 1..1. В пазах сердечников статора 2
и ротора 1, являющихся симметричныrvlИ маrнитопроводами,
размещены трехфазные обмотки, присоединенные к сетям с на..
пряжеНИЯl\1И и 1 , и 2 и частотаlVIИ f1' f20 Примеl'vl для определенности,
что обмотка якоря расположена на статоре. Штриховыми линиями
схематически показаны маrнитные трубки потока взаимной ин..
дукции об1\10ТОК статора и ротора в двухполюсной маIJJине. В уста..
новившемся режиме частота токов в обмотках равна частоте соот..
ветствующей сети. Как известно, маrнитный поток, создаваемый
rармоническими токаl\tIИ трехфазной обмотки, вращается относи..
тельно этой обмотки с частотой, определяемой частотой тока f
и числом пар полюсов обмотки Рп' Частоты вращения потока
относительно обмоток статора (п 1 ) и ротора (112) соответственно
равны


fl 1 == 60fl/РП; п 2 == 60f2/РП'


Пусть частоты вращения ротора п и потока по отношению
к ротору п 2 направлены в одну сторону. Тоrда частота вращения
потока в пространстве (или относительно статора) равна п 1 ==
== п + п 2 , откуда


60
n
 п 1
 n 2 == р;; (1 1
 12)'


(I
I)


Обычно рассматривают еще один механический параметр

с к о л ь ж е н и е s, под которым понимают частоту вращения
поля в зазоре машины по отношению к ротору (п 2 ), выраженную
в ДОЛЯХ частоты вращения поля в пространстве (п 1 ):



 п2
 пl
 п
 А
s


.
nl nl f 1
9


(1..2)




Если частоты fl и {2 остаются неизменными, то по определению
машина, показанная на рис. 1
 1, является синхронноЙ. Если
при заданной частоте t 1 частота t 2 ИЗl\1еняется при ИЗl\1енении
режима rvlашины, то последняя становится асинхронной.
Заметим, что приведенные терминолоrические определеНIIЯ
l\'lашин не ЯВJIЯЮТСЯ единствеННЫ
АИ. Синхронную машину при
{2 =1= О называют также
1ашиной двойноrо питания, а асинхронную
при и 2 =1= О
 асинхронизированной синхронной :машиной или
асинхронной I\1ашиной с роторным возбуждением. Преимуществен..

 и, f:)' ное распространение среди синхронных
l\1ашин получила r\1ашпна, возбуждаемая
ПОСТОЯННЫ\1 TOKOl\1 (t2 === О). В таких
"
T Ivlашинах достаточно иметь на роторе
I
 одну обмотку возбуждения вместо трех


J
 . фазных обl'ЛОТОК, показанных на рис. 1
 1.
В классе асинхронных м:ашин наиболь..
шее применение нашли l'vIаШИIIЫ с ко..
роткозаI\1КНУТЫМ pOTOpOl\1 (и 2 == О).
В дальнейшеl\Л ПОД терl\1ИНОМ «синхрон"
ная машина» будем понимать l'vlашину,
возбуждаемую с ротора постоянным TO

и 2 ( 2 ком. Для синхронной или асинхронной
l\1ашины (Ha
. рис. 1..1) оставим общиЙ
Рис. 1
1. ЭлектромаrНlIтная терl\ЛИН «машина двойноrо питания».
схема машины переменноrо
тока


1..2. млrНИТНi\Я Cl1CTEMA у! ОБ..
МОТI{И МАШI-1Н. БудеlVI иметь в виду
нормальное исполнение синхронной машины с обl\10тками якоря,
расположенными на статоре, основное f\лаrнитиое поле в котором
создается о б м о т к о й в о з б у ж д е н и я, размещенной на
роторе. Роторы' синхронных маПIИН, как известно, иr..1еют два
различных конструктивных исполнения: я в н о п о л ю с н о е
и н е я в н о п о л ю с н о е. [
t,. /
." (

Как маrнитопровод явнополюсный ротор (рис. 1..2) имеет две
оси маI'НИТНОЙ СИl\1метрии: ось полюса, иазываеМУlО про Д о л Ь"
н о й о с ь 10 (ось d), и ос'ь, проходящую посредине межполюсноrо
пространства,
 так называемую поп е р е ч н у ю о с ь
(ось q). На рис. 1-2 показана пара осей d, q. Неявнополюсный ротор
(рис. 1..3) также имеет две оси маrнитной СИ1\1метрии
 ПРОДОЛЬ"
НУЮ d и попереЧНУIО q, однако в отличие- от явнополюсноrо ротора
здесь маrнитное сопротивление, обусловленное зазором, по осям d,
q практически одинаковое (зубчатость ротора I\1ало влияет на
части ero окружности).
Обмотка возбуждения в неявнополюсном роторе распределена
по части ОКРУ:lКНОСТИ ротора в отличие от явнополюсноrо, [де
она имеет вид сосредоточенной обмотки.
Ia явнополюсном ро..
торе, KpOl\1e обмотки возбуждения, часто размещается еще Д е м п..
Ф е р н а я о б м о т к а (ее называют иноrда демпферной !{лет..


1
 ротор; 2
 статор


10




кой). Она состоит из медных или латунных стержней, заложенных
в пазы, которые образованы в полюсных наконечниках вблизи
от их наружной поверхности, и заl\1КНУТЫХ между собой по тор..

цaM машины (рис. }..4). Если перемкнуты стержни, расположен..
ные только в пределах кзждоrо данноrо ПОЛlосноrо наконечника,
то демпферную обмотку называют частичной или неполной


..:;
ц..


Рис. 1
2. Схематический попе

речный разрез явнополюсноrо
ротора синхронноЙ машины
1
 статор; 2
 зазор; 3
 обмот

ка возбуждения (показана частич

но); 4

 вал; 5
 крепление полюса


Id






q


Рис. 1
3. СхематическиЙ попе

речный разрез неявнополюсноrо
ротора синхронноЙ машины
1
 статор; 2
 зазор; 3
 обмот-
ка возбуждения (покззана частично)


(рис. 1
4, а). Стержни, соединенные по торцам машины коротко..
замыкающими кольцами, образуют полную деI\лпферную обмотку
(рис. 1..4, б). Демпферная обмотка всеrда устанавливается на син

хронных двиrателях и компенсаторах и является пусковой об

моткой при асинхронном пуске таких машин. В синхронных
'"'reHepaTopax демпферная обмотка служит для успокоения крле..


Рис. 1
4. Демпферная обмотка в явнополюсной син-
хронноЙ машине: а
 неполная; 6
 полная
С
 стержни; КК и КС
 коротко::\амыкаlOЩИ
 кольца и
сеrмеиты


баний ротора, облеrчения втяrивания в синхронизм при синхро

низзции И асинхронных режимах с маЛЫl\i СКОJIьжением, а также
для устранения перенапря)кений в обмотках статора при несим

метричных коротких замыканиях. В некоторых явнополюсных
машинах (преимущественно двиrатели и компенсаторы) полюсы
ротора или полюсные наконечники выполняют маССИВНЫ1\1И.
Будучи соединенными по торцам короткозаrvlыкающими кольцами,
11




они иrрают роль демпферной обl\10ТКИ, так как при неСИНХРОННОIVI
вращении маrнитноrо поля и ротора в них возникают значитель

ные вихревые токи. В неявнополюсных роторах эквивалентом силь

ной демпферной обмотки являются металлические клинья и сплош

ное стальное тело ротора. В
1ашинах большой мощности в Topцe

вых зонах ротора устанавливают демпферную сиrтеl\1У, состоящую
из коротких демпферных стержней и короткозамыкающих колец.
Трехфазная синхронная машина имеет на статоре три фазные
обl\10ТКИ якоря, соединенные в большинстве случаев в звезду.
Фаз н ы е о б м о т к и представляют собой совокупности рас..
пределенных по окружности статора катушек, симметрично
размещенные в маrнитном поле, т. е. со взаимным сдвиrом 1200 эл.
Хотя обмотки статора явно
 инеявнополюсных l\lашин конструк"
ТИВI-JО MorYT несколько различаться (например, с целым и дробным
числом пазов на полюс и фазу q), однако по ОСНОВНЬПvl электро

маrнитным процессам они практически идеНТИЧНl1:J
Трехфазная машина двойноrо питания оснащена упомянутыми
трехфазными обмотками и на статоре и на роторе. Аналоrичная
обмотка размещается на статоре асинхронной машины. На роторе
такой машины применяется либо трехфазная обмотка (машины
с фазным ротором), либо короткозамкнутая клетка (машины с ко..
роткозаМКНУТЫl\l ротором). Нашли значительное применение двух..
клеточные асинхронные ДБиrатели (с двумя короткозамкнутыми
обl\10тками на роторе) и двиrатели со специальной конФиrурацией
пазов для короткозамкнутой клетки (rлубокопазные, с колба..
видным пазом). В книrе будут рассмотрены процессы в асинхрон"
ных машинах с фазным ротором. Результаты исследования можно
полностью отнести и к машинам с одной короткозамкнутой об..
1\10ТКОЙ ротора, но лишь частично и с некоторыми оrоворками

к машинам с друrими типами короткозаlVIКНУТЫХ роторов.
Сердечники статора и ротора l\1ашин двойноrо питания и асин

хронных машин :можно считать в поперечном сечении СИМl\Iетрич"
ными в любом направлении (см. рис. 1..1).


1..3. MArHvITHbIE ПОJIЯ и ИДЕАЛI/IЗАЦI<IЯ МАШИrI.
.L\1.аrнитное поле в машинах переменноrо тока, возбуждаемое
токами обl\10ТОК, весьма неоднородно вследствие сложной кон..
фиrурации rраниц ферромаrнитных сердечников, СБоеобразноrо
расположения проводников с токами и нелинейности маrнитной
характеристики маrнитопровода. Очевидно, в этих условиях
CTporoe определение поля представляет собой нелеrкую задачу.
Поэтому в зависимости от характера исследуеl'vlЫХ явлений задача
определения поля решается с раЗЛИЧНЫl\IИ исходными допуще..
ниями и более скрупулезно находится маrнитное поле в той об..
ласти, с которой связано само исследование. Изучение электроме..
ханических переходных процессов основано на анализе и реlпении
дифференциальных уравнений маШИНЬ!J При их сосtпавлении
необходима известнаЯ идеализация в определении hLа2ниtпноео
12




поЛЯ, КОfпораЯ позволила бы получиl1lЬ дОСПlапlОЧНО пpOCfпble элек..
mрома2ниmные связи при nравиЛЫiО.lИ ompa
eHии основНО20 элек

трома2ниmНО20 nроцесса в машине. Эта идеализация сводится
к следующему.
1. Маrнитная проницаемость сердечников машины f.-tc при

нимается равной бесконечности. Это предположение позволяет
не только однозначно определить картину поля от тока какой

либо обмотки, но и использовать принцип наложения при опреде

лении результирующеrо поля в зазоре при СОВОКУПНОl\1 действии
токов всех обмоток машины. Иными словами, индукция в любой
точке зазора при одновременном протекании токов во всех обмот"
ках машины может быть определена как сумма индукuий в этой же
точке, обусловленных теJ\IИ же токами, но протекающими пооче

редно в своих обмотках. В действительности Ilc является величи

ной конечной и зависящеЙ от значения маI'нитноrо потока. Для
некоторых задач разработаны методы учета насыщения маrнитной
системы машины, однако здесь они не освеlцаются. Насыщение
сердечников будет учитываться соответствующим выбором индук"
тивностей машины (<<насыщенные» и «ненасыщенные» значения).
2. Распределение полей самоиндукции трехфазных обм:оток
и взаимоиндукции обмоток статора и ротора вдоль окружности
машины считается синусоидальным с пространствеННЫl\f полупе..
риодом, равным полюсному делению. Таким образом, принимается
в расчет лишь первая (основная) rармоника указанных полей
и не учитывается влияние зубцовых полей в зазоре, обусловлен

ных зубчатостью статора и ротора, а также высших и субrармоник
поля, вызванных соответствующими rаРl\10никами м. д.
. обl'vl0ТОК
статора и pOTopa
 Основанием для подобноrо упрощения является
способность трехфазной обмотки «фильтровать» высшие rармоники
поля в зазоре: в нормально спроектированной машине удается
получить ВЫСluие rармоники э. д. с., обусловленные рядом высших
rарМQНИК поля, веСЬ!\1а малоЙ амплитуды.
Маrнитные поля тех высших rармоник трехфазных обl'vfОТОК,
которые индуктируют э. д. с. основной частоты, относят к полям
рассеяния этих обмоток. Отметим также, что рассматриваемое
допущение означает пренебрежение участием высших rармоник
в образовании электромаrнитноrо момента. Для машин энерrети"
ческоrо назначения такое пренебрежение вполне допустимо.
Указанное проявление свойств высших rарl\10НИК учитывается при
расчетах добавочных потерь в машинах. Подробные сведения
о маrнитных полях в машинах переl\1енноrо тока можно получить
из работ [19, 39
41]. .
3. Принятая идеализация в ка ртине lVlаrнитноrо поля пред-
полаrает, что маrнитопровод и обмотки машины симметричны.
Это значит, что lVlаrнитопровод имеет одинаковые очертания
На всех полюсных делениях, а в пределах полюсноrо деления
симметричен относительно осей d, q. Это также значит, что в Tpex

фазной обмотке все фазные обмотки имеют одинаковые числа вит

13




ков, активные сопротивления и взаимный сдвиr маrнитных осей
и в синхронных машинах стержни демпферной обмотки симме..
тричны относительно осей d, q, а обмотка возбуждения идентична
На всех полюсах ротора.
При исследовании переходных процессов допуспzима uдеалu..
зациЯ де./JtlпферноЙ обмотки СИflХРОННОй машины. В короткозам..
кнутых контурах демпферной обмотки нет приложенных напряже..
ний, в них Э. д. с. MorYT индуктироваться только rvlаrнитными
полями, сцеПЛЯIОЩИ:МИСЯ с демп"
f{ ферной обмоткой. Вращающееся
в общем случае относительно
этой обмотки маrнитное поле
в зазоре можно по известному
принципу заменить двумя пуль..
сирующими полями. После за..
мены внешнеrо поля двумя по

лями С неподвижными относи..
тельно демпферной обмотки ося

ми последняя будет предста..
влять собой по отношению
к каждому полю совокупность
d d короткозамкнутых контуров,
1fI 2'1 z '1 ([ 11[ 2,/ 2t[ 11{ q- маrнитная ось которых совпа..
дает с осью раССlVlатриваемоrо
поля. Целесообразно выбрать
две оси, вдоль которых ориен"
тируются упомянутые выше
поля, сдвинутые на уrол л/2 и
совмещенные с продольной (d) и
поперечной (q) осями машины
(рис. 1..5, а). При этом демпфер..
ная обмотка распадается на две системы контуров: контуры
одной системы будут иметь маrнитную ось, совпадающую с осью d
(рис. 1..5, б); маrнитной осью контуров второй системы будет ось q
(рис. 1..5, в). На этих рисунках показаны два контура (1
1 и
2
2) в ка)кдой из систем. Нетрудпо видеть, что одни и те же
стержни входят как в ПрОДJльные, так и в поперечные кон..
туры. ПринятыЙ выбор ОС
Й удобен потоrvlУ, что ме}кду двумя
системами контуров деl\1пферной обмС)тки отсутствует взаимная
индукция.
Если БЬi для различных частот пульсации внешнеrо rарl\10НИ"
чески распределенноrо поля в зазоре первая rармоника поля
Индуктированных токов в демпферных системах имела аналоrич..
ную временную заВИСИl\10СТЬ, то каждую из деl\fпферных систем
в переХОДНОl\I электромаrнитном процессе можно было бы за..
менить одним эквивалентным контуром. Это означало бы, что
реальную демпферную систеl'ЛУ достаточно характеризовать одной
постояItной времени. С физической точки зрения указанное


f{
а)


d


d


6)


в)
q


Рис. 1
5. Схема образования демпфер

ных контуров: а
 поля в зазоре с He

изменными маrнитными осями; б

продольные демпферные контуры; в

поперечные демпферные контуры


14




свойство системы короткозамкнутых демпферных контуров ка-
жется достаточно правдоподобным, поскольку на первый взrляд
представляется, что индуктироваиные токи в демпферных конту-
рах данной системы совпадают по вреl'ленной фазе. Однако де-
тальНЫЙ анализ показывает, что это не так и в принципс система
демпферных контуров характеризуется числом постоянных вре-
мени, равным числу контуров. Наибольшее приближение к идеа-
лизированному представлению получается для paBHOl\1epHO рас-
пределенной беличьей клетки с достаточно большим числом стерж-
ней на одном: полюсном делении. TeI\1 не lVlеиее опыт показывает,
что замена реальных демпферных систем ДВУl\1Я эн:вивалеНТНЫl\1И
контурами при исследовании переходных процессов в синхронной
l\1ашине вполне допустима. Поскольку продольная и поперечная
системы деl\1пферных контуров отличаются размерами и размеще-
нием во внешнем маrнитном поле входящих в них реальных кон-
туров, электрические параметры двух эквивалентных контуров
будут различными.
В дальнейшем реальная демпферная 06мотка синхронно й 'л'tа-
шины будет предсmавляться двумя эквuвалеНПlНЫМИ де..ипфеРНblми
KOHmypaAlU
 продольным и поперечным, Ma
HитHыe оси которых
совпадают соответственно с ОСЯJrtИ d, q. Уравнения синхронной
машины с детальным учеТОI\1 демпферной обмотки l\10ЖНО найти
в работах [5, 72]. Они предстаВЛЯIОТ интерес при исс.педовании
электромаrнитноrо процесса в самой демпферной обl\'Iотке.


1..4. ПОТОКОСЦЕПЛЕНуIЯ И ИНДУКТИВI10СТИ ОБМОТОК
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ. На основании прuнятой идеали-
зации при определении ма2ниmНО20 поля (см. Э 1-3, п. 1) потоко-
сцепления с любоЙ 06Jrtоткой маUlИНЫ можно вычислять в виде
CYMJrlbl потокосцепленuй самоиндукции и взаИАlНОЙ индукции со
всеми остальными обмоmКаАtИ. ОrраНИЧИl\1СЯ на первых порах
исследованием синхронной l\1ашины, которая имеет наиболее
сложную структуру l\1аrнитопровода и обмоток на роторе. Потоко-
сцепления трехфазных обмоток статора и ротора, раЗl\1ещенных
в СИМl\lетричном l\1аrнитопроводе (маlllина двойноrо питания,
асинхронная машина), рассмотрим дальше, после преобразования
трехфазной машины в двухфазную (Cl\tI.
 1-7).
Условимся для любой обl\10ТКИ обозначать: L и М
 соответ-
ственно ее индуктивность и взаимную индуктивность с друrИl\1И
обмоткаl\IИ; 1-
 активное сопротивление; i, 'ф, и
 l\1rновеиные
ток, потокосцепление и напряжение на зажимах обмотки. При-
надлежность величины к данной обмотке будем отмечать буквен

ными индексами, которые ДJIЯ различных обмоток примем следу-
ЮЩИl\1И: для фазных обмоток статора
 а, Ь, с; для об:\10ТКИ воз-
буждения
 в; для ПРОДольноrо и поперечноrо эквивалентных
демпферных контуров
 эd, эq.
Потокосцепления обмоток синхронной машины в общем виде
представляются следующими выражениями (для удобстна принята
16




упрощенная индексация взаимных индуктивностей Ivlежду деl\IП-
ферными контурами и фазными обмотками):
Фа === Laia + Mabib + Macic + MaBi B +
 Маdi эd + Маqi эq ; ]
Фь === i'vIbaia + Lbib + Mbcic + MbBi g

 Мьdi эd + МЬqi Эq ;
Фс == Мсаёа + MCbib + Lcic + MCBi B + Мсdi эd + Мсqi эq ;
'Ч'в === MBaia + MBbi b + MBCiC + LBi B + Мвэdiэd;
Фэd === Mdaia

 Mdbib + Mdcic + Мэdьi в + Lэdi эd ;


(1
3)


Фэq == Mqaia + Mqbib + Mqcic + Lэqi эq .


(1
4)
( 1
5)
( 1
6)


Поскольку I-tc === 00, то, cor ласно принципу взаимности, вза

Иl\1ные индуктивности с переставленными подстрочными индек

сами равны, т. е. МаЬ === М Ьа ; М ва === М ав ; Mad == M da И т. д.
Некоторые индуктивности в (1
3)
(1
б) не завИСЯПI от положе

нил ротора Аtашины в пространстве и поэтому имеют постоянное
значение; друё-ие
 изменяются при враlченuu pOnlopa. Постоян-
ными будут индуктивности L и взаимные индуктивности М не-
подвижных относительно друr друrа контуров, по отношению
к которым конфиrурация маrнитной системы остается неизменной
при Лlобом положении ротора. В явнополюсных машинах это
будут индуктивности всех контуров ротора и взаИl\Iная индуктив-
ность обмотки возбуждения и продольноrо деl'v1пферноrо контура.
Остальные индуктивности будут ИЗIvIеняться в зависимости от
положения ротора в пространстве. Для взаимных индуктивностей
между обмоткаl\1И статора и ротора это вполне очевидно. Индук-
тивность фазных обмоток и их взаимная индуктивность стано-
вятся функцией положения ротора вследствие 1'oro, что маrнитная
проводимость зазора для полей, создаваемых токами указанных
обмоток, из
за явнополюсности ротора зависит от ero положения.
И только в неявнополюсных машинах эти индуктивности оказы

ваются постоянными.
Будем определять положение ротора в пространстве уrлом у,
на который продольная ось d отстоит от маrнитной оси фазы а
(ррс. 1
6). Условимся, что положительная поперечная ось q
отстает на 900 эл. от положительной продольной оси. Следует
заметить, что такое взаимное положение осей d, q не является
общепринятым. Но оно удобно для синхронной машины, работа-
ющеЙ reHepaTOpOl\1. Что касается l\,Iаrнитных осей симметричных
фазных оБIv10ТОК статора а, Ь, с, ТО они сдвинуты относительно
друr друrа на 1200 эл.
Очевидно, что зависимость индуктивностей от yr ла у будет
периодической.
Индуктивности фаЗНblХ обмоток статора. Эти индуктивности
являются периодическими функциями уrла между маrнитной осью
фазы и продольной осью ротора d (уrлы Уа' УЬ И
c на рис. 1
6)
с перIJОДОl\1, paBHbIl\1 n. Действительно, маrнитная проводимость
16




зазора ДЛЯ поля, созданноrо фазным током статора, будет одина..
кова пезависимо от Toro, находится ли в данном месте полюс 1
или полюс 2 (рис. 1..6), что и соответствует изменению уrла у
на n. KpOl\1e Toro, рассматриваемые индуктивности будут четной
функцией уrла У, т. е. будут одинаковы как для положительноrо,
так и для отрицательноrо значения уrла.
На основании этих общих соображений индуктивность фазных
обмоток запишется в виде
Lx == 'о + 12 cos 2ух + 14 cos 41'х + 16 cos бух + . · ., (1..7)
rде х == а, Ь, С.
В ( 1.. 7) коэффициенты разло..
жения одинаковы для всех фаз
ввиду СИl'лметрии последних.
В работе [69] показано, что
при принятой идеализации ма..
rнитноrо поля в зазоре (Cl\f.

 1..3, п. 2) разложение (1.. 7) долж..
но содержать только первые два
члена. rармоникам индуктивности
более BbIcOKoro порядка соответст..
вуют высшие rармоники э. д. с.,
которые в идеализированной ма..
шине не рассматриваются. Поэтому
вместо (1..7) будеl\1 иметь
L,r: == [о + 12 cos 2ух. (1..8)


Рис. 1
6. К определению индуктив"
ностей обмоток статора синхрон"
ной машины


· Отм:етим, что по физической сущности Lx > О и индуктивность
максимальна при Ух == О, а минимальна при Ух == 'Л/2. Поэтому
[о > о; [2 > о.
Подставив в (1..8) значения уrлов Ух' которые соr.пасно рис. 1..6
равны: Уа == У; Уь == 1200
 у; Ус == 1200 + У, получим следу"
ющие выражения индуктивностей фазных обмоток статора:
La === 10 + 12 'Cos 21'; )
Lb === 10 + [2 cos (21' + 120°);
L с === 1 о
'I/2 cos (2 У
 120°).
На рис. 1..7 в виде иллюстрации представлена зависимость
индуктивности фазной обмотки статора l\lаIllИНЫ мощностью
35 кВ.А от пространственноrо положения ротора (уrла у). Сплош...
ная кривая построена по опытным данным, штрихами показаны
постоянная составляющая 'о, вторая и четвертая rармоники
уrла у. Амплитуда четвертой rарl\10НИКИ [4 составляет около 6%
от среднеrо значения [о, амплитуда шестоЙ (не нанесенной на ри..
сунке)
 около 0,7%. Эти данные показывают, что зависимость
индуктивности от пространственноrо положения ротора в реальной
машине близка к т'ой, которая принимается для «идеализирован..


17


.-( 1
9)




ной» маllIИНЫ. В неявнополюсных синхронных машинах 12 == О
и La == Lb == Lc == [о == const.
Взаимные индуктивности фазных обмоток статора. Эти взаим

ные индуктивности являются четной периодической функцией
уrла между осью d и линией, проведенной между маrнитными осями
рассматриваемых фаз. НаПРИlVlер, взаимная индуктивность М аЬ
фаз а и Ь будет четной функцией уrла УиЬ (рис. 1
8), так как на
основании принципа взаимности МаЬ == МЬа, а это значит, что
МаЬ не зависит от знака уrла УаЬ' Очевидно, что при повороте ро-
тора на уrол л взаиrvlная индуктивность МаЬ будет иметь такое же
значение, как и в исходном положении ротора. Аналоrично соб-
rн [,u- 10J
9


6
lo
7


\


б / , I
...'" ......./
J I
_ I I r
5 I .
 I I I


80
ffO О "О 80 120 180 200 240 о эл.


Рис. 1
 7. Зависимость индуктивности фазной обмотки
от уrла l'


ственным индуктивностям фазных обмоток общее разложение
МаЬ и остальных взаимных индуктивностей в ряд Фурье для
«идеализированной» машины должно содержать только постоян-
ную составляющую и вторую rармонику уrла:
МаЬ :== то + m 2 cos 2УаЬ,
причем коэффициенты разложения в трех выражениях одина1\ОВ
J
из
за симметрии фазных обмоток.
Взаимные индуктивности фазных обмоток отрицательны, по

скольку yr лы между
fаrнитными осями этих обмоток больше
90°. Они принимают максимальные и минимальные значения при
соответствующих значениях у. Например, МаЬ по абсолютному
значению l\'IИНИl\1альна при УаЬ == О И максимальна при УаЬ == 90°.
]::{ля принятой формы записи это означает, что то < о; т 2 > О.

\ежду амплитудаl\IИ вторых rар:моник собственных и взаимных
индуктивностей фазных обмоток статора есть простая связь,
а именно t5]: [2 == т 2 . Учитывая также, что УаЬ === 60°
 У;
1'ас == 600 + 1'; 'УЬс == 180°
 У (рис. 1
8), ПОЛУЧИl'vl окончательно:
МаЬ -== ,п о + [2 COS (21'

 120°); ]
Л1 ас
 П1о

 12 COS (21'
t
 ] 20°);
М Ьс == то + [2 COS 2у.
18


(1..10)




Внеявнополюсных синхронных машинах МаЬ == Мае == М ЬС ==
== то == const.
Взаимные индуктивности фазных обмоток статора и обмоток
ротора. Соrласно второму предположению в
 1
3, взаимные
индуктивности любоrо pOTopHoro контура и фазной обмотки CTa

тора должны изменяться при вращении ротора по rармоническому
закону, достиrая наибольшеrо значения при совпадении l\/Iаrнит

ных осей рассматриваемых обмоток. Маrнитная ось обмотки воз

буждения совпадает
 осью d (рис. 1
9). Поэтому взаимные ИНДУК

а


о
(;:::)
to


I С
I
I
Рис. 1
8. К определению взаимных
индуктивностей обмоток статора
синхронной машины


Рис. 1
9. К определению взаимных
индуктивностей обмоток статора и
ротора


тивности между обмоткой возбуждения и фазными обмотками CTa

тора имеют вид


М аВ === M aBd COS у; I
М Ьв === MaBdCOS (у
 120°); (1..11)
М СВ === .M aBd COS (у + 120°),
rде M aBd
 В 3 а и м н а я и н Д у к т и в н о с т ь о б м о т о к
при с о в п а Д е н и и и х м а r н и т н ы х о с е й.
Аналоrично MorYT быть записаны взаимные индуктивности
между демпферными контурами и фаЗНЫl\1И обмоткаl\1И CTa
ppa:
Д
1JЯ продольноrо контура
!vl ad === М аэd COS у; I
Mbd === Маэdсоs (у
 120°); (1..12)
Med === М аэd COS (у + 120°);
для поперечноrо контура
Maq === М аэq COS (у
 90°) == i\1 аэq sin у; I
M bq === М аэq sin (у
 120°); (1..13)
Ml,q== М аэq siп(1' + 120°),
rде М аэd , М аэq
 в 3 а и м н а я и н Д у к т и в н о с т ь Ф а з-
Ной обмотки статора и соответственно
19




про Д о JI Ь Н О [' О И Поп е р е ч н о r о Д е м 11 Ф е р н ы х
контуров при совпадении маrнитных осей
р о т о р н о r о к о н т у р а и о б м о т к и с т а т о р а.
}-!так, целыЙ ряд индуктивностей (1
9)
(1
13), опредеЛЯЮll\ИХ
потокосцепления обмоток, оказался периодической функцией
yr ла 'у. При вращении ротора за время dt уrол l' ИЗI\/Iе'няется на
dl' == w dt, rде (u
 мrновенная частота вращения ротора, изме

ряемая в электрических радианах в секунду. К произвольному
моменту времени t уrол У составляет
t
У
 J (() at + Уо,
о
['де 1'0
 значение l' при t == о.
Если частота вращения ротора постоянна, то У == (t)t + 1'0'
ТаКИl\1 сбра30
f, даже при постоянной частоте вращения ротора
индуктивности, зависящие от уrла 1', будут являться rармони

чеСКИI\'lИ функциями вреrvlени. Дифференциальные уравнения Ha

пряжений обl\10ТОК машины содержат э. Д. с., определяемые
производной от потокосцеплений по времени. Поскольку потоко

сцепления зависят от времени не только вследствие изменения
токов обl'vIОТОК, НО 11 за счет индуктивностей, являющихся функ

цпей времени, дифференциальные уравнения напряжений CTaHO

вятся уравнениями с переменными коэффициентами. Решение
lпаких уравнен и й весьма затруднительно, соответственно услож

няеlпся и анализ переходных процеССО8. ПоэтОhlУ возникает задача
пzaKo2o преобразованuя дифференциальных уравнений напряже

нии, которое позволило бы суи{есmвенно упростипlЬ их И, 8 част

носmИ t получить уравнения с постОЯННbl.АtИ коэффициентами.
Эта задача решается с помощью так называемых л и н е й н ы х
п р е о б раз о в а н и й. Поскольку линейные преобразования
иrрают существенную роль в теории l'vlашин переменноrо тока,
ниже дается их краткое изложение.


.


1
5. JIИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ. РаССl\10ТрИl\1 сначала
формальную сторону линейных преобразований. Предположим,
что уравнения, подлежащие решению, содержат некоторое число
переменных. Линейные преобразования уравнений СОСПlоят в том,
что исходные переменные в уравнениях заменяются НО8ЫjJ,tи пepe

менными, линейно связанными с исходными; при этОJИ число ввo

димых в раССМОtrlрение новых nеременных равно числу заjJ,tеняемых
nеременных. Так, Bl'vleCTO трех переменных
 фазных токов CTa

тора ia, i b , ic
 l\IОЖНО оперировать с НОВЫl'vlИ токами i x , iy, i z ,
связанными с исходными токами линейными зависимостями:
ix === CPxaia

 CPxbib
1
 CPxcic; )

y
 CPYa
a + CPYb
b
 CPYC
C;
1z
 qpza1a
 (Pzb1b
 qpzc1c.


(1
14)


20




Коэффициенты ер в (1
 14) называются коэффициентами линей

Horo преобразования.
После введения новых переменных решению подлежат уже
видоизмененные уравнения и искомыми становятся новые пере

менные. Практика показывает, что такая замена переменных
при удачном выборе коэффициентов линейноrо преобразования,
который зависит от условий решаемой задачи, может существенно
облеrчить исследование и решение преобразованных уравнений.
После Toro как в результате решения уравнений определены
новые переrvlенные, осуществляется обратный переход к исходным
переменным, и задача оказывается полностью решенной.
Для Toro чтобы между исходными и новыми переменными
(в нашем случае
lежду токами (р i b , ic, с одной стороны, и токами
i x , i и , i z
 с друrой) было однозначное соответствие, определи

тель
, составленный из коэффициентов линеЙноrо преобразования,
не должен быть равен нулю. Последнее требование выра)каем
соотношениеl\1 для определителя системы (1..14):


Ч\а <РхЬ
(Руа СРуЬ
CPza cpzb


(Рлс
СРус =f= О.
(pzc


Действительно, для окончательноrо решения задачи необхо

димо по найденным значениям новых переменных (у нас i x , iy,
i z ) определить исходные переменные задачи (у нас ia, i b , ic),
для чеrо система вида (1..14) д()лжна быть разрешена уже относи..
тельно исходных переменных. Но, опредеJIЯЯ любую исходную
переменную, например (р обратно через новые переменные, по..
лучим В знаменателе выражения для i u определитель системы
(1..14), который поэтому и должен быть конеЧНЫl\1. Следует под..
черкнуть, что коэффuu,uеНfпы линейносо прео6разования МО2ут
Я8ляtпься функциями времени, лuшь бы определитель систе,Л,lbL
(1..14) в любой Лlоменm времени не равнялся нулю.
Продолжая рассмотрение примера линейноrо преобразования
трех фазных токов машины ia, i b , ic и замены их новыми ТОКаМИ
i x , iy, i z , отметим, что один ИЗ новых токов, например i z , удобно
выбрать в виде 1/3 (ia + ib + ic) [т. е. положить в (1..14) CPza ==
=== CPzb == CPzc == 1/3]. Дадим этому току специальное обозначение
1 ( . + . 1' ) .
3 la Еь Т Ее === lO


и назовеl'vl н у л е в о й с о с т а в л я ю щей т о к а . Удобство
TaKoro выбора заключается в том, что часто io == О (для трехфаз

ных обмоток, соединенных в звезду с изолированной нейтральной
точкой). Но даже если io =1= О, то, как бvдет видно из дальнейшеrо,
этот ток не оказывает никакоrо влиянйя на движение ротора Ma

ШИны в переходном процессе. Поэтому в задачах, связанных с ис

слеДованием устойчивости работы машины, с определением элек

21




тромаrнитноrо момента машины можно не раССlVIатривать нулевую
составляющую тока. Вместе с тем этот ток необходимо учитывать
при опр
делении фазных токов машины.
Дадим теперь линеЙному преобразоваНИIО rеометрическую
интерпретацию. Вспомним с этой целью изобра)кение токов на BeK

торной диаrрамме. Если фазные токи ЯВЛЯIОТСЯ синусоидальными
функциями времени, то они f\forYT быть представлены на диаrрамме
тремя векторами, вращающимися BOKpyr некоторой точки (полюса)

. I С частотой вращения, равной
I , '!..

 ia уrловой частоте тока. Проек

I Линия ции векторов на линию Bpe

\
пefl l l вреl1ени l\1ени дают значения MrHO

I
 венных токов (рис. 1
10, а).
i \
.1 W а
I


Q '\ 1 '-: I .Х )
V {


 'а и
\" : Линил

 !8 д смени
{ I


Jb


}




 ia
/ш

UJ"\
ic
 \








ъ


с


Рис. 1
 1 о. Определение l\IrHOBeHHbIX
фазных токов на векторной диаrрамме:
а
 вращающиеся векторы; 6
 непо

движные векторы


Рис. i
 11 . Определение J
MrHOBeHHbIX фазных токов
с ПОМОЩЫО изображающеrо
вектора


Можно на диаrраrvrме оставить векторы неподвижными, а вращать
линию времени в противоположную сторону с той же частотой
вращения; очевидно, результат будет тем же (рис. 1
10, б).
Диаrрам!\лу 1\10ЖНО представить и иначе. С этой целью paCCMO

трим вначале частный случай, коrда токи по фазам СИIvlметричны.
Возьмеl\I вместо трех СИМlVlетричных векторов три оси (а, Ь, с),
расположенные СИМl'летрично; из центра проведем вектор f, KOTO

рый будем вращать с такой же частотой вращения, с какой ранее
вращалась на диаrрамме линия времени (рис. 1
11). Если величина
вектора 1 равна амплитуде фазных токов, то ero проекции на три
оси, очевидно, также дадут значения MrHoBeHHbIx фазных токов.
Таким образом, если вектор 1 имеет неИЗl\1енную величину и Bpa

щается с постоянноЙ частот()й, то с ero помощыо изображаются
симметричные синусоидальные токи. Конец векторя. 1 будет при
этом описывать окружность.
Однако с помощью вектора 1 можно изобразить любые три тока
ia, i b , ic, как уrодно изменяющиеся во времени, при одном только
условии, что


ia + ib

 i с === О.
22


(1
15)


/





o условие, накладываемое на токи, вытекает из принятоrо
способа изобра)кения токов как проекций HeKoToporo вектора на
три оси, сдвинутые на 120°, ибо сумма проекций как уrодно из

меняющеrося вектора на такие оси всеrда равна нулю: 1 cos а +
+ 1 cos (а
 120°) + 1 cos (а
 2400) === О. Следовательно, ка-
ким бы обраэом ни изменялись во времени токи ia, i b , i c , удовле-
творяющие (1
15), для каждоrо момента времени проекции век-
тора на осях известны и ПОЭТОIvlУ веЕТОР однозначно определен по
величине и положению относительно осеЙ. Однако конец вектора
в общем случае будет описывать сложную кривую.


а)


б)


а


Ib


\
\
\
, \
150Q.. 'i240 с
" I
1000........
d 210


ta Iа


[с


. ic Линия
IJренени


Рис. 1
 12. Определение мrиовеиных иесимметрич

иых фазных токов: а
 с помощью трех векторов;
б
 с помощью изобра:ж:ающеrо вектора


На рис. 1
12 в качестве ПРИlVIера показаны два способа изобра-
жения синусоидальных, но несимметричных фазных токов, удо-
влетворяющих УСЛОВИIО (1
15). На рис. 1
12, а представлено изо-
бражение токов тремя векторами 1 а ' / Ь , Iс, вращающимися с ча

стотой вращения, равной уrловой частоте ИЗ
1енения токов;
положение векторов на рисунке соответствует ro! == О. На
rис. 1
 12, б те же токи изображены проекциями одноrо вектор.а 1
на три оси. Вектор вращается уже с пере
ленной частотоЙ, и конец
ero описывает эллипс (на кривой рис. 1
12, 6 указаны значения ffit,
при которых конец BeI(TOpa попадает в даннуrо точку). Этот BeK

Тор называется и з о б Р а ж а 10 Щ И 1\1 В е к т о р о I'Л.
С по!vl0щыo проекций вектора на оси можно представить
Значения не только MrHoBeHHbIx токов, но и мrиовенных потоко- .
сцеплений и напр яжений . Условимся изображающие BeKTop
I
Тока, потокосцепления и напряжения обозначать соответственно 1,
'У , U . Отметим, что если в частном случае изобра)f{ающий вектор
Иl\rеет постоянный модуль, то амплитуда переменных, которые он
определяет, равна модулю этоrо вектора. Это значение переменная
приобретает в тот момент времени, коrда изображающий вектор
23




.
совпадает с осью, на которой откладывается рассматриваемая
величина. .
Вернемся к токам i x ' i y , io, которые были выбраны в качестве
новых переменных вместо действительных фазных токов. Усло

вимся эти новые токи представлять на диаrрамме с помощью
изображающеrо вектора тока 1. Поскольку этот способ, как было
показано, справедлив только при условии ia + ib + ic == 3io == О,
то из трех новых токов i x , i y , io только два ix и iy MorYT rрафически
изобрз)каться на диаrрамме, а конечный по значению ток io ука-
заННЫ1\f способом изображен быть не может. Но если нужно изо-
1 а бразить только два тока, то для этоrо
требуются Bcero две оси х, у. Естест-
венно выбрать их нормальныl'ЛИ друr
ДРуrу (рис. 1
13). В общем случае
эти ПРЯl\Iоуrольные оси на диаrрамме
вращаются. Пусть уrлы, составляе-
мые изображающим вектороl'Л тока 1
и вращаЮII
ейся осью х с неподвиж...
ной осью а, равны соответственно 8
и 8 к (рис. 1
13). Л1.0ЖНО убедиться,
что проекции изображающеrо BeK

Рис. 1-13. ИзображающиЙ BeK
 тора тока на оси х, у оказываются
тор тока и ero проекции на оси х линейно связанными с проекциями
и у Toro же вектора на оси а, Ь, с зави-
симостями типа (1-14).
Предполаrая сначала, что ia + ёь + ic == О, получим исходные
токи как проекции 1 на оси а, Ь, с в виде


с


ёи === 1 cos о; )
ёь === 1 cos (8
 120°);
ic === 1 cos (& + 1200).
Аналоrично новые токи (рис. 1
13):
ix === 1 COS (8 к
 8); iy === 1 sin (8 к
 8),


(1
16)


( 1
 1 7)


rде 8 к
 координатный уrо.л.
Выразим теперь в (1-17) токи i Х. ilJ через токи ia, i b , i c , чтобы
получить соотношения типа (1
14); п
ри ЭТОl\1 нужно исключить 8,
так как частота вращения вектора 1 неизвестна нам до решения
уравнений машины. Используя триrонометрические соотношения:
cos «\
 6)
 + [ COS 6 к cos 6 + COS (6 к
 120°) cos (6
 120°) +
+ cos (8 к + 120°) cos (8 + 120°)];
sin (6 к
 6)
 + [sin 6,{ cos 6 + sin (6 к
 120°) cos (6
 120°) +


 sin (б к + 120 С ) cos (8 + 120°)1,


24


/'




с помощью (1..16) перепишем выражения (1..17) в виде
(" === + иа COS б к + ib COS (б к
 120°) + ic COS (б к + 120°)];
(1..18)
iy === + [ia sin б к + ib sin (б к
 120°) + ic sin (б к + 120°)].
Напомним, что выражения (1..18) получены в предположении,
что io == О. Однако нетрудно убедиться в том, что они остаются
в силе и тоrдз, коrда io =!= О. В ЭТО1\1 случае можно рассмотреть
('начала BI\1tCTO токов ia, i b , ic токи
, , ,
ia === ia
 io; ib === ib
 io; ic === ic
 io. (1..19)
Поскольку i
 + i b + i
 == О, то (1..18) справедливо для этих
токов, т. е.
iх===+[i
соsбк+i
соs(бк
 120')+ i
соs(бк+ 120°];
i y == + и
 sin б к + i
 sin (б к
 120°) + i
 sin (б к + 120°)].
Подставляя Сlода токи из (1-19), можно видеть, что для токов ix
и iu снова получаются выражения вида (1..18), т. е. они оказы..
ваются справедливыми и при io ==1= О.
Сравнивая полученные для токов ix и iy выражения (1..18)
с общим выражением линейных преобразований (1..14), убеждаемся
в их полном соответствии. Коэффициенты линейноrо преобразо-
вания для ix 1I iy представляют собой в общеl\1 случае функции
времени (если б к изменяется во времени). Однако нетрудно убе..
диться, что определитель системы (1..14) не зависит от уrла б к
и является постоянной величиной. Таким образом, линейные пре..
образования Mo
yт быть принципиально осуществлены при любом
,
epeMeHHoJvl характере изменения KoopдиHamHO
O Уела б к .
Итак, исходные фазные токи ia === i
 + io; ib === ib + io;
ic == i
 + io в общем случае MorYT рассматриваться как совокуп..
. ., ., ., u
ность тока 10 и токов la, lb, lc, ЯВЛЯЮIЦИХСЯ В rеометрическои
интерпретации проекциями изображающеrо вектора тока 1... на
неподвижные оси а, Ь, с. Новая система токов есть совокvпность
тока io и токов ('О iy, являющихся проекциям:и Toro же изобража..
ЮII
еrо вектора тока на новые оси х, у, вращающиеся в общем слу..
чае с некоторой частотой U)K' Поэтому линейное преобразованuе

это, по существу, изменение системы координат, в которых про..
изводится опlсчеm величин. Эrо обстоятельство объясняет встре.. .
чающуюся в литературе терминолоrию
 «переменные В таких"то
осях» или «переход К ОСЯl\1 таким"то».
Уравнения напряжений обмоток статора машины переменноrо
тока содержат, KpOl\fe фазных токов i a , i b , i c , СООТБеТСТВУЮI1
ие
потокосцепления и напряжения. Если для фазных потокосцепле..
ний и напряжений выбрать такую же форму линейноrо преоб..
разования, как и для токов, то, соrласно изложенному, они в со..
25




вокупности С нулевыми составляющими '1'0 и и о lv10rYT из ме ряться
проекциям
 изображающих векторов потокосцепления ч! и Ha

пряжения и либо на координатные оси а, Ь, с, либо па оси х, у.
Тоrда переход Olп трех исходных осей (а, Ь, с) к двум (х, у) озна

чаеm замену трехфазной MalUUHbl двухфазной, 8 которой Jvtа
ниm..
ные оси фазных оБАtоmок сдвUНУПlЫ на 900 эл. При этом вс.педствие
одинаковоrо вида линейноrо преобразования токов ипотокосцеп..
лений нарушаются некоторые физические представления при
сравнении исходной трехфазной и эквивалентной двухфазной
машин (Cl\1. Э 1..5).
Связь между исходными переменными (в осях а, Ь, с) и новыми
переменными (в осях Х, у) будет ноказана на примере фазных
токов. НезаВИСИ:\IО от вида осей х, у к системе токов ix и iy должен
всеrда добавляться одинаковый ток i o , так как он был выбран
независимо от вида токов ix и iy. Формулы линейноrо преобразо

вания потокосцеплений 'Фа' 'Рь, 'Ре и напряжений и а , иь, и с будут
точно таКИl\IИ же, как для токов i a , i b , ie.
В современной теории электрических машин используется
ряд координатных осей, выбор которых позволяет упростить
уравнения, а в частных случаях исключить в них периодические
коэффициенты. С этой целью оси координат рекомендуется рас..
полаrать неподвижно относительно Toro элемента машины (ста..
тора или ротора), rде имеет место маrнитная или электрическая
несимметрия. Наибольшее распространение получили три системы
осеЙ х, у.
1. При анализе переходных процессов асинхронных машин,
а также несимметричных режимов синхронных машин удобно
использовать оси х, у, неподвижные в пространстве (ro к === О).
Такие оси носят название о с е й a,
. Ось а при этом совмещают
с осыо а исходной систеl\IЫ координат а, Ь, с (рис. 1..14). COOTHO

шения между исходными и новыми переменными l\forYT быть
найдены из выражений (1..18), в которых нужно положить б к ===
== 900. Они имеют вид
ia ==
 иа
 0,5 иь + i c )]; )


. ib
ie .
[в == Vз '
. 1 ( . + . + ' )
lo == 3 lа [ь [с ·


!


( 1..20)


Токи ia и if3 называют соответственно a
 и
"составляющими
тока статора. Обратные соотношения имеют вид
ia == io + ia;
ib == io
 0,5 (ia
 V 3 i
); (1..21)
ic == io
 0,5 (ia + V 3 i(3).
Если io == О, то ia == ia.


26




2. Симметричные переходные процессы в синхронной машине
uелесообразно исследовать в системе координат, вращающихся
Bl\1eCTe \: ротором (ось х при этом сов:мещаIОТ с осью полюса). Это
таК называемая с и с т е м а о с е й d, q (рис. I
14). УдоБС1ВО
системы координат, жестко свя
анных с pOTOpOl'vI, для явнополюс

ной машины заключается в том, что для наблюдателя, враща

Юlцеrося вместе с этими оснми, машина в l\1аrНИТНОl\1 отношении
оказывается симметричной незаВИСИl\10 от поло)кения ротора.
Поэтому в системе координат d, q выражения для потокосuепле

ний уже не содержат переменных индуктивностей, а дифферен



or,


!l


I


р


f3


ь с
Рис. 1
14. Координатные оси а,

и d, q


U)K
 частота вращения осей


Рис. 1
 15. К определению связи
между составляющими токов в осях
а,
 и d, q


циальные уравнения напряжений при неизменной частоте враще

ния машины имеют постоянные коэффициенты, что существенно
облеrчает исследование. П реобразование к осям d, q является
практически едИНСfnвеННЫАt, прИ8JдЯtЦll.Аt дифференциальные урав-
нениЯ синхронной JtаUlИНbl с периодическими КQэФФициенmа.Аtи
к уравнениям с постоЯнными коэффициенmами. Это делает преоб-
разование к ОСЯl'vl d, q весы'аa вал{ным, имеЮЩИl\1 фундаментальное
значение в теории синхронной машины. Для определения COOT

ношениЙ переменных в осях а, Ь, с и d, q в (1
18) нужно положить
б к == у, [де у
 уrол l'flежду осью полюса d и осью фазы а. Т6rда
i J === + иа cos l' + ib COS (1'
 120°) + ic COS (1' + 120°)1; 1
iq === + иа sin l' + ib sin (1'
 120°) + ic sin (у + 1 20°)1;
 (1
22)
I
. 1 ( . + . 1' ) I
l о :== 3
 .t а l Ь Т t с . J
Токи id И iq называют соответственно продольным и попереч-
HbIl\1 токами статора. Обратные соотношения имеют вид
ia :::::: io + id COS у + iq sin у; )
\, ib == io + idcos(y
 120°) + iqsin (у
 120°);
ic == ['о + id COS (у + 120°)
l
 iq sin (у + 120°).
27



(1
2З)




3. ПРИl\lеняются также оси х, у, вращающиеся в пространстве
с синхронной частотой (010 Эта система осей обычно используется
для асинхронных l\tашин, а также при исследовании rруппы машин.
Линейные соотношения для синхронно вращающихся осей можно
получить из предыдущеrо случая, полаrая там у == (Ol t + СРк'
Для перехода от одних координатных осей к друrим полезны
формулы, связывающие переменные в осях СХ,
 и d, q. Перемен


ные в данной системе координат суть проекции на оси изобража

ющеrо вектора или, что то же самое, сумма проекциЙ на paCCMa

триваемые оси составляющих вектора в друrой системе координат.
Определим, например, токи i d , iq через токи i a , i(3 (рис. 1
 15).
Из рисунка следует, что
id == ia COS l' + i(З sin 1'; iq == ia sin l'
 i B cos 1'. (1
24)
Обратные соотношения имеют вид
ia == id COS 'V + iq sin 1'; il3 == id sin 'V
 iq cos у.


( 1
 25 )


в преобразованиях переменных l\10ЖНО пойти дальше, а именно
рассматривать в качестве переменных не проекции изображающеrо
вектора на оси координат, а сам изображающий вектор. Оче

ВИдно, коль скоро будет определен изображающий вектор (поло

жение ero конца на диаrрамме) в функции времени, то тем самым
определятся и переменные, которые представляются ero проек

Циями на оси. Причем если вместо декартовой плоскости ввести
комплексную, то изображающий вектор будет заменен КОl\1плекс"
ной переl\1енной. Таким образом приходят к идее использования
комплексных nеременных для характеристики М2новенных токов,
напряжен и й, nотокосцеплени а.
Совместим с осью у вещественную ось комплексной плоскости
(+ 1), а с осью Х
 ось мнимых (

j). Тоrда вместо двух веществен

ных переменных, например i x , i u , можно рассматривать одну
КОl\lплексную i == iy + j(", являюiцуюся не чем иным, как изо

бражающим вектором тока (комплексным током). Здесь и в даль..
нейшем символ MrHoBeHHoro комплексноrо тока будет отмечаться
жирной точкой над буквой i. Аналоrичным образом вводятся
комплексные переменные потокосцеплений и напряжений фазных
обмоток машины.
Следует отметить, что в общеl\1 случае уравнения напряжений
содержат не только указанные выше комплексные переменные,
но и сопряженные им; поэтому необходимо рассматривать оба
Вида комплексных переменных. Пусть, например, токи ia и if)
характеризуются изображающим вектором тока (комплексным
током) i(} на комплексной плоскости, вещественная ось которой
совмещена с осью сх, а l\lнимая
 с осью
 декартовоЙ плоскости
(рис. 1
 16). Тоrда токи ia и if3 определяются в виде ia === Re i(j;
i(3
 1т io, rде Re, 1т
 знаки вещественной и l'лнимой частей
комплексной веЛИЧIIНЫ. С друrой стороны, токи ia, и i13 MorYT
28




u. u
быть определены через I{омплексныи ток t(J и сопряженныи ему
i
 с помощью диаrраммы рис. 1..16 или непосредственно из выра..
жения i(J === ia -..j
 ji
 в виде
ia
 0,5 ({а + i
); if3 == .
 0,5j (i(J
 i
).


Эти выражения показывают, что переменные ia, ir, представ..
ляются двумя вращающимися в противоположные стороны век..
торами половинной длины. Подобное представление широко при..
меняется в теории электрических машин при исследовании уста..
новившихся процессов, например при анализе пульсирующих
полей. Вводя вместо векторов i(J и i;
u



векторы половиннои длины, которые
...
б .. 1 G = t Of.,+ Jl р-
О означим t1, t 2 , получим
!.:.


Нетрудно показать, что перемен..
ные [ 1 , i 2 получаются в результате
линейноrо преобразования вида (1..14)
с комплексными коэффициентами ли..
нейноrо преобразования. Подставляя
в (1..27) выражения для токов ia и ij3 из Рис. 1
16. Замена действи

(1..20), после несложных преобразова.. тельных токов комплексными
ний получим
1 2.
 1 ( . + 2' ..i... . )
i 1 == 3 (ia + ai b + а i c ); t 2
 3 [ а а [ь I at c ,


f3 (+ j)


. *
. "t А



 u'
lа; /
/
/
f,
/
/


. . + .
lа == t 1 t 2 ;


i B ===
 j (i 1
 i 2 ). (1..26)


Обратные соотношения имеют вид


i 1 == 0,5 (ia

 j i (1 );


i 2 == 0,5 (ia
 ji(3)'
( 1
 27)


I
I
I / . If
I / "1,





( 1.. 28 )


rде комплексный коэффициент а == ej120° .
Присоединяя к этим уравнениям выражение для нулевой со..
ставляющей тока io == 1/3 (ia + ib + i c ), видим, что токи i o , [ 1 ,
i 2 записываются аналоrично симметричным составляющим тока.
Однако эта аналоrия чисто формальная. Так, система синусо..
идальных симметричных трехфазных токов по методу симметрич"
ных составляющих создает только систеl\lУ токов прямой последо..
вательности. Соrласно преобразованию (1..28), эта же совокупность
Токов обусловливает оба тока i 1 II i 2 . Если токи прямой и обратной
последовательности по методу симметричных составляющих имеlОТ
в общем случае различную амплитуду, то амплитуда токов i 1 .
И i 2 всеrда одинакова. Эти различия объясняются тем, что в ме..
тоде симметричных составляющих преобразования вида (1..28)
совершаются над комплексными токами ia, i b , i c , а здесь i a , i b ,
ic
 вещественные величины.
Итак, в теории электрических машин nрuменяется еще один
вид линейно
о nреобразованuя nеременных (1..28), дающий так на-
29




зываС.Аl,ые первую, вторую u нулевую составляющие токов i 1 , i 2 ,
. . . . . .
io, потокосцеплений '1'1, '1'2' '1'0 И напряжений И 1 , И 2 , Ио. (
Подобные сопряженные комплексные переменные MorYT быть
введены на комплексной плоскости, совмещенной с осями d, q,
вращающимися вместе с pOTOpOl\1 машины, а также с осями коорди-
нат, синхронно вращаЮЩIlМИСЯ в пространстве. Переход в ком..
плексных переменных от одних осей к друrим чрезвычайно прост.
Если, например, переменные i(J === ia + ji(3 и i
 === ia


 ji(3 от..
считываlОТСЯ на комплексной плоскости, совмещенной с осями а
и
, то переменные i sr == iq + ji d и i: r == iq
 jid С отсчетом
в осях d и q приобретают с помощью (1..24) вид
i sr == (ia sin l'
 [(3 cos 1') + j (ia COS l' + if3 sin 1') ==
. ( . + " )
 jv .
 j (,\,
90').
== J ta, 1 tf')J е == l(Je ,


( 1..29)


.. .* j (1'
9I)O)
lsr == t(Je ,


т. е. получаIОТСЯ из исходных переменных i(J (i
) умножением на
координатный множитель e
j (,\,
900) (e i ('V
900»), rде l'
 90°
 уrол
между вещественными осями отсчета.


1..6. ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ И ИНДУКТИВНОСТИ ОБМО..
ТОК СИНХРОННОЙ МАШИНЫ В РАЗЛИЧНЫХ СИСТЕ-
МАХ КООРДИНАТ. Рассмотрим сначала потокосцепления с об..
мотками синхронной маUIИНЫ. Это наиболее общий случай, по..
скольку ротор такой машины маrнитно и электрически асимме..
тричен
 по осям d и q маrнитная ПрОВОДИ1\fОСТЬ зазора и пара..
метры обмоток ротора различны.
Потокосцепления с реальными обмотками синхронной машины
в общем виде определены выражениями (1..3)
(1..6). По существу,
эти потокосцепления измеРЯIОТСЯ в системе осей, связанных с рас..
сматривае!'.1ЫМИ обмотками: потокосцепления фазных обмоток
статора
 в осях а, Ь, с; потокосцепления обмоток ротора

в осях d, q. Подставив в (1..3)
(1..6) значения индуктивностей из
(1..9)
(1..13), получим
Фа == (/0 + 12 cos 21') ia + [то + 12 COS (21'
 120°)] ib +
4
 [то + 12 COS (21' + 120°)] ic + MaBdi B COS l' +
+ М аэd i эd COS l' + J\;1 аэq i эq sin 1';
Фь == [то + 12 cos (2,,?
 120°)] ia + [/0

 12 COS (21' + 120°)] ib+
+ (то +'/2 COS 21') ie + MaBdiBcos (1'
 120°) + (1..30)
+ Маэdiэd COS (1'
 120°) + Маэqiэq sin (1'
 120°);
'Ре == [то + 12 COS (21' + 120°)] ia + (то + 12 COS 21') ib +
+ [/0 + 12 COS (21'
 120°)] ic + MQBdiu COS (1' + 120°) +
+ Ма:JdiЭd COS (1' + 120°) + Маэqiэq sin (1' + 120°); J
за




'Ч'Р,

--= /Уl ав l иа COS l'
t
 ib COS (1'
 1201)) + ic COS (у + 120r))] 4
 )

!
 L13 i B + м Бэd i эli

'Ч'эd
 ЛJаэ:l иа cos V

 ib COS (у -

 120°)

 ic COS (у -
 120°)] + I
М . + L . (1..31)
+ вэdlв

 эdlэd;
'Ч'эq === !v1 аэq [ia siп l' + ib sin (1'
 120°)
t ic sin (1' + 120 J )]


+ Lэqi эq . J
Как уже отмечалось, исходные выражения для потокосцепле-
ний обмоток машины содержат индуктивности, являющиеся
функциями времени.
Определим потокосцепления в системе осей d, q. Это значит,
что вместо реальных фазных потокосцеплений 'Pll' 'Ч'ь, 'Ре будеlVl
оперировать с преобразованными потокосцеплениями 'Ч'd, 'Ч'q, '1'0,
которые должны вырах{аться через преобразованные токи статора
i d , i q , io и токи обмоток ротора. Это также значит, что выражения
для потокосцеплений обмоток ротора должны содержать не реаль-
ные токи статора ia, i b , ic, а преобразованные токи i d , i q , io.
Сложив в (1..30) члены с одноименными токами, получим нулевую
составляющую потокосцеплений обмоток статора:
Фо == + (Фа + Фь + Фс) == Loio. (1
32)


rде Lo === 10 + 2mо.
Произведя друrие две операции над фазными потокосцепле..
ниями (1-30) в соответствии с линейными преобразованиями
Вида (1..22), после триrонометрических преобразований найдем
Фd ==

 [ФаСОSI' + Фьcos(1'
 1200) + ФсСОS(1' + 1200)] ==


== Ldid + MaBdi B + Маэdiэd; (1..33)
I 2
'фq == 3 [Фа sin l'

 'Рь sln (у
 120°) + 'Ре sin (у + 120°)] ==


.'"



 L '
 M .

 qt q I аэqlэq,


(1..34)


rде новые индуктивности Ld == 10
 то + 3/2[2; Lq == 10
 то


 3/212' Введя в (1..30) продольный и поперечный токи статора
соrласно (1..22), получим
Фв ===
 MaBji d + LBi в + Мвэdiэd; (1
35)


Фэd ===
 Маэid + Мвэdi в + Lэdi эd ;


( 1..36)


Фзq == ; Мазqi q + Lзqiэq.
З1


( 1..37)




Система уравнений (1
32)
(1
37) определяет потокосцепления /
обмоток синхронной машины в осях d, q. Отrvlетим некоторые xa

рактерные их особенности. Во
первых, они уже не содержат пере

l\1eHHbIX индуктивностей. ПОЭТОl\1У при вычислении производных
от потокосцеП..тIения по времени операция дифференцирования
будет относиться только к токам. BO
BTOpЫX, одно из преобразо
 I
ванных потокосцеПJlений, а именно '1'0' обусловлено JdacHumHbtM
полеАt, не проходяu
uм через зазор машины и, следовательно, иMe

ЮЩUАt характер полЯ рассеяния об;tlотки статора. Действительно,
это потокосцепление определяется только током статора io и не
зависит от токов обмоток ротора; равным образом уравнения по

токосцеплений обмоток ротора не содержат членов с токо:м io.
Поэтому поле, определяюп
ее '1'0' не является полеl\1 взаимной
индукции между обмотками статора и ротора. Индуктивность
обмоток статора Lo физически является индуктивностью рассея

ния от полей, создаваемых током ёо. В общем случае эта индуктив

ность не равна индуктивности рассеяния, определяемой полем
рассеяния от токов id или i q , вследствие различноrо характера
упомянутых полей рассеяния. Значение Lo достаточно мало, по

скольку 10 > О, то < о, а по абсолютному значению 10 и 2т о
отличаются мало. Заметим, что приведенные рассуждения спра

ведливы лишь для первой пространственной rармоники поля,
созданноrо током ё о , которая только и рассматривается в идеали

зированной машине. Более детальное исследование показывает,
что трубки высших rармоник поля замыкаются через ротор.
Индуктивность статора Lo может быть определена в невоз

бужденноЙ машине (ё в == О), если в обмотках статора протекает
только нулевая составляющая тока ё о , а токи id == iq == О. Это
будет иметь место при условии, что во всех фазах протекает оди

наковыЙ ток Ё, т. е. ёcl == ёь == ёс == ё. Тоrда в соответствии с (1
22)
id == iq == о. Кроме Toro, i эd == i эq == О, поскольку l\lаrнитный
поток, обусловленныЙ TOKOIvI Ё о , не проникает в ротор и не может
индуктировать э. д. с. в короткозамкнутых демпферных KOHTY

рах. ПОЭТОlVlУ для рассматриваемых физических условий
)d ==
=== 'Фq == о и С'оrласно выражениям (1
23), справеДЛИВЫl\1 как для
токов, так и для потокосцеплений, ОТНОIlIение любоrо фазноrо
потокосцепления к току этой фазы, т. е. индуктивность фазной
обмотки,


Lk == 'Pk/ik == 'Ро/ёо == Lo, k == а, Ь, с.


Итак, Lo есть индуктивность фазной обмотки при протекании
по трем обмоткаl\I нулевой составляющей тока. Поскольку индук

тивность Lo не зависит от характера изменения тока во времени,
то можно принять ero rармоничеСКИl\I. При этом ток ёо есть хорошо
известныЙ из метода симметричных составляющих ток нулевоЙ
последовательности. Таким образом, индуктивность Lo и индук

тивное СОПРОТlIвление ХО == wL o представляют собоЙ и н Д у K

32


':
I




тивность И индуктивное сопротивление
н у л е в о й п о с л е Д о в а т е л ь н о с т и.
Относительно полученных выражениЙ (1..33)
( }..37) необхо..
димо также заметить следующее. ЛинеЙное преобразование от
осей а, Ь, с к осям d, q приводит К замене неподвижных фазных
обмоток якоря двумя эквивалентными контурами, обтекаемыми
токами id и iq; маrнитные оси этих контуров направлены вдоль
осей d и q. На рис. 1..17 схематически показаны обмотки машин:
реальной (а) и прео6разованной (6) к ОСЯl\1 d, q. Эквивалентные


а)\а
iB\l

эd
iЭЛ
 а
't ia


LЭf{


Ч




Lc

С


6) \ d
iB\l
,t\Эd
iэd\ \J а
\
. ,( ad
Ld\


lэrт
.



Ч
;Z



\ ач






Рис. 1
 17. Схематическое изобраiкение обмоток реальной (а) и пре r
образованной (6) машин


обмотки якоря обозначены ad и aq. Так что по оси d синхронная
машина Иl'vlеет три элеКТРОl\fаrнитно"связанных контура, т. е.
представляет собой трехобмоточный трансформатор, а по оси q
поля создаются ДВУ}\11Я обмоткаМII и машина по этой оси является
двухобмоточным траНСфОРl\1атором.
Вместе с Tel\.1 потокосцепления продольных и поперечных
контуров Иl\леют не совсем обычное написание для маrнитно"
связанных цепей. Выражения (1..33)
( 1..37) показывают, что для
взаимных индуктивностей контуров ротора по любой из осей
и контура статора по этой же оси не выполняется правило вза..
имности, соrласно которому для маrнитно"связанных контуров 1
и 2 взаимные индуктивности Л1 12 == М 21 . НаПРИiv1ер, в выражении.
для потокосцепления продольноrо контура статора
d взаимная
индуктивность, определяющая потокосцепление от тока обмотки
возбуждения, равна M QRd , а в выражении для потокосцепления
обмотки возбуждения 'Фв потокосцепление взаимной индукции
со стороны продольноrо контура статора определяется величиной
:/2MQRdid и, следовательно, взаимная индуктивность равна
/2MaBd' Подобное различие во взаимных индуктивностях в 3/2 раза


2 л.. П. Важнов


33




можно обнаружить и для демпферных контуров, сравнивая
(1..33), (1..34) и (1..36), (1..37). Появление множителя 3/2 В выраже..
ниях для индуктивностей, определяющих взаимную индукцию
полей статора и ротора, объясняется характером линейных пре..
образований вида (1..22). Физически контуры сmапl0ра по осям d
и q не являются реальными KOHmypahtU, а лиLUЬ эквивалентными
цепями, отражающими маснитное действие трех фазных обмоток
статора на контуры ротора по осям d и q. Вместе с тем, соrласно
введенным линеЙным преобразованиям, собстве
ные максималь..
ные токи и потокосцепления этих контуров равны амплитудам
анаЛОI'ИЧНЫХ величин только одной фазной обмотки статора.
Поэтому э. д. с., индуктируемая
 в продольном контуре статора
потоком обмотки возбуждения, определяется взаимной индуктив"
ностью обмотки возбуждения и фазной обмотки статора M aBd ;
Э. д. с., индуктируемая в обмотке возбуждения продольным пото..
ком статора, определяется токами всех трех фаз, обусловлива..
ющих поле, в 3/2 раза большее, нежели создаваемое током одной
фазы или продольным током id (поскольку эти токи равны).
По тем же причинам не отвечают физическим представлениям
собственные индуктивности фазных обмоток и контуров ad, aq.
При переходе от трехфазной машины к двухфазной не должно
изменяться число витков обмоток якоря, а индуктивности этих
цепей, соответствующие полю реакции якоря, тем не менее от..
.личаются в 3/2 раза.
Приведенная запись потокосцеплений с различными взаимными
индуктивностями двух контуров в зависимости от направления
взаимной индукции используется в уравнениях Парка
rорева.
Однако последующее развитие теории синхронной машины пока..
зало, что более удобной и наrлядной формой записи потокосцеп..
лений является такая, которая полностью соответствует прин..
ципу взаимности в отношении индуктивностей маrнитно..связан"
ных контуров [72]. При этом выражения для потокосцеплений
машины по продольной и поперечной осям полностью соответ"
ствуют таковым для мноrообмоточноrо трансформатора. Исходные
выражения (1..33)
(1..37) леrко преобразуются к указанной
форме, если в них рассматривать вместо действительных токов
цепей ротора (i B , i эd , i эq ) приведенные токи, уменьшенные в 3/2 раза
( ., 2 / . ., 2 / . ., 2 / ' ) u
[ в == зlв; lэd == зlэd; lэq == зlэq, И вместо деиствительных
индуктивностей цепей ротора (MaI3d, L B , L эd , L эq , М вэ d, М аэd ,
М аэq ) увеличенные в 3/2 раза (M
Bd == 3/ 2 M aBd ; L
 == 3/ 2 L B ; L;d ==
== 3/ 2 L эd и т. д.). Поскольку уравнения синхронной машины за..
писываются в системе относительных единиц, кратко излаrаемой
в rл. 2, необходимые преобразования MorYT быть сделаны одно..
временно с введением относительных единиц.
Уравнения для потокосцеплений 'Фd, 'Ч'q содержат собственные
индуктивности продольноrо (L d ) и поперечноrо (Lq) эквивалент..
ных контуров обмоток якоря. Формально эти потокосцепления
выражены через коэффициенты собственных и взаимных и ндук"
З4


.




тивностей фазных обмоток машины в (I
34). Будем для краткости
называть эти индуктивности продольной и поперечной индуктив

ностями обмотки якоря. Они имеют простой физический смысл.
Положим, что невозбужденная машина (i,) == О) подключена
к трехфазной сети с симметричными напряжениями. Токи, про

текающие по обмоткам статора, создадут вращаlощееся :маrнитное
поле. Если ротор машины привести во вращение с частотой, paB

ной частоте вращения поля, то ротор и поле будут неподвижны
относительно друr друrа, токи демпферных контуров равны нулю
и маrнитное поле обусловлено только токами статора. При этом
амплитуда поля в зазоре l\10жет в об
 а
щеlVI случае занимать любое положени

относительно осей ротора d, q. Пусть
симметричны
 фазные токи статора оп

ределяются выражениями:


i а === 1т cos (wt + ер);
ib === 1т cos (wt + ер

 1200);
ic === lm cos (шt
'r ер + 1200).


1


4


"


Рис. 1
 18. Определение TO

ков id, iq с помощью изобра

жающеrо вектора в YCTaHO

вившемся режиме


Продольный и поперечный токи CTa

тора id и iq определяются выражениями
(1
22), в которых нужно положить
l' == wt + 1'0' так как частоты вращения ротора и поля токов
статора одинаковы. Тоrда подстановка фазных токов в (1
22) дает
id === 1т cos ("10
 ер); iq === lm sin (1'0
 ер).


Этот же результат можно видеть на рис. 1
18, rде дано rрафи-
ческое определение токов id и iq с помощью изображающеrо
вектора тока, модуль KOToporo равен амплитуде фазных токов 1т'
Вектор тока I вращается с той же частотой, что и оси d, q; поэтому
система сиhLметриЧНblХ фазных токов прямой последовательности
дает постоянные по значению токи i d , i q , определяемые аМIIЛИ-
тудой фазных токов и уrлом 1'0
 ер. Допустим, что при синхрон

ном вращении ротора и поля амплитуда последнеrо совпадает
с осью полюсов
 осью d (рис. 1
19, а). В ЭТОl\1l:лучае отсутствует
поле, направленнuе вдоль оси q, и, следовательно, потокосцепле-
иие с обмоткой якоря от TaKoro поля фq == О. Нулевая составля-
ющая потокосцепления '1'0 также равна нулю, поскольку при.
симметричных токах статора io == О. Таким образом, в рассма-
Триваемых условиях потокосцепление с обмотками статора будет
определяться только величиной 'Фd' Равенство 'pq == О соrласно
(1
34) ВОЗl'vl0ЖНО в установившемся режиме (i эq == О) только, если
iq == О. ПОЭТОl\IУ токи статора являются чисто продольными:
аМплитуда м. д. с., создаваемой токаl\lИ фазных обl\10ТОК, совпадает
с осью d. На рис. 1
18 этим условиям будут соответствовать изо-
2* 35


i




бражаюи
ие векторы тока и потокосцепления якоря, совпадаlощие
с осью d (уrол 1'0
 ер == О). ДЛЯ нашеrо сдучая (i п === о; i
d === О)
из (1..33) опредеЛИl\1
Ld == 'Pd/ido (I..ЗS)
Поскольку потокосцепление 'Ч'd равно модулю изображающеrо
вектора потокосцеплений И, следовательно, максимальному зна..
чению потокосцепления с фазной обмоткой, а ток id равен ампли-
туде фазноrо тока, то их отношение (1..38) есть индуктивность
фазной обмотки.
o следует и из аналитических зависимостей.
Пользуясь (1..23) для токов фаз и аналоrичныlIии выражениями для


а)


'"
 ......... .....
, ........ '"
....."
"
,"


,.

/",
11
11
I ,
I ,
I I
\ \
\\
\\
"
"
"
,
..... -.....
 J
...... --- ..... ... ,/


'"
\
I J
11
11
/1
//
\ . '" '"
'- ';>.1'
" ..... ""'" -- ... ..... .....,.., "
.....---
""..


Рис. 1
 19. ПРОДОЛЬНЫЙ (а) и поперечный (6) потоки об

мотки статора


потокосuеплений, учитывая, что iq == о; 'Фq ==: о; 10
 о; ,
o == о,
получим для любой из фаз, например фазы а:
'Р.? == 'Pd sin 'V == 'Pd .::=: L
ia id COS 'V id {l'


Однако нужно иметь в виду, что отношение Фа/iа дает не просто
индуктивность фазы а, а эквивалентную индуктивность, учиты..
вающую взаимную индукцию друrих фаз. Итак, Ld представляет
собой индуктивносrflЬ фазной обл,tо/пки статора при протекании
по об)
tотка;vt cma,tnopa СИ/t,-tметричных синусоидальных токов пря..
мой последовательнос/пи, вращении ротора с синхронной частопlОЙ
II ориентации поля токов статора по продольноЙ оси. Соответ"
ствующее индуктивное сопротивление Xd === roLd называется
с и н х р о н н ы м с о про т и в л е н и е м поп р о Д о л ь..
н о й о с и. Измеряя при описанных условиях фазное напря..
жение и, ток 1 и мощность на фазу Р синхронной машины, мо)кно
вычислить полное, активное и индуктивн ое соп ротивления:
zd==U/l; r==PjI 2 ; Xd== Vz

r2.
Отметим, что на практике пользуются ДРУI'ИМИ, более про-
стыми методами определения сопротивления X(f. Аналоrично
может быть определена поперечная индуктивность Lq с той лишь
36




разницей, что теперь ось поля в зазоре, созданноrо токами CTa

тора, должна совпадать с поперечной осью машины (рис. 1
19, б).
В этом случае "-Ра == о; id == О и Lq == lpq/i q
 отношение ампли

туд потокоспепления и тока фазной обмотки. Таким образом, Lq
есть индуктивность фазной об.мотки спlатора при пРОlпекании
по оБАtотка.;и статора си'!уlмеmричных синусоидальных токов nря..
мой последовательности, вращении ротора с синхронной частотой,
но при ориентации поля токов статора по поперечной оси hIGlUUHbl.
Соответствующее индуктивное сопротивление X q == шL q назы

вается с и н х р о н н ы
 с о про т и в л е н и е м поп o

пер е ч н о й о с и.
Синхронное сопротивление Xd можно представить в виде
CYl\IMbI двух составляющих
 одной, которая соответствует полю
основной rармоники, проходящему через зазор (поле реакции
якоря), Xad, И друrой, соответствующей полю рассеяния обмотки
статора Xsd' При этом предполаrается, что поле реакции якоря
ориентировано по оси d. При ориентации поля реакции якоря
по оси q, коrда фазная обмотка имеет сопротивление Xq, последнее
подобным же образом распадается на две составляющие: Xl.lq
и Xsq. ПрактичеСКII Xsd == X sq == Xs' Поэтому Xd == Xad + Xs;
X q

 X aq + Х". в неявнополюсных машинах с практически сим

метричным маrнитопроводом ротора Ld == Lq; Xd == Xq.
! Определиr\1 теперь потокосцепления обмоток статора в непо

\'-. движных осях а,
. Для этоrо выполним линейное преобразование
с фазными потокосцеплениями 'фа, 'Фь, 'Фе по формула\! вида (1..20),
используя соотношения для токов (1..20) и выражения потоко..
сцеплений (1..30). После несложных преобразований получим
Фа
 + [Фа
 0,5 (\fl):
 'Ре)] == 0,5 [L d + Lq + (L'1

 Lq) cos 2)'] ia +


+ 0,5 (Ld
 Lq) i(3 sin 2у

 Мтзdi в COS у + Ma'idi
d cos у +



r М аэq i эq sin у;


( 1..39)


Ф
 == 'Фь v:з'Фе == 0,5 (Ld
 Lq) ia sin 2у +
+ 0,5 [L{[ + Lq
 (LL[
 Lq) cos 21'] i(3 + iVl aвc !i B sin у +


,.


+ Маэdiэd sin l'
 Маэqiэq cos у;
'\:0 == + (Фа + 'Рь
+ Фс) == L"io.


(1..40)
( 1..41 )


Здесь величины 10
 то и 3/212 заменены их выражениями через
широко применяемые параметры L d , Lq
 соответственно в виде
0,5 (L d + Lq) и 0,5 (Ll!
 Lq).
Как следует из (1..39) и (1
40), в машине снесимметричным
в 1\lаrнитном отношении ротором (L d =1= Lq) появляется rвзаимная
индукция между взаимно перпендикулярными обмотками статора
37




r.J., и
. Она отсутствует в машине с симметричным ротором (L c [ ===
== Lq). Это обстоятельство хорошо известно в теоретической элек..
тротехнике.
Уравнения для потокосцеплений роторных контуров должны
теперь содержать (Х.. и
"составляющие токов статора. Необходи..
мую запись потокосцеплениЙ можно получить, заменив в (1..35)

(1..37) продольный и поперечный токи якоря их выражениями
(1..24) через токи ia и i(3. В результате будем иметь
Фв ==:
 MaBi(iu cos '\' + ir
 sin ,\,) + Lиi и + МВJdiЭd;


Фэd ==:
 М аэd иа cos '\' + if3 sin ,\,) + Миэiв + Lэdi эd ;
Фэq ==: ; М аэq иа sin '\'
 if3 cos ,\,) + Lэqi эq .


( 1..42)


( 1..43)


( 1..44)


Как видно из (1..39)
(1..44), коэффициенты, стоящие перед
токами, зависят от уrла "(, т. е., как и в системе осей а, Ь, С, яв..
ляются фУНКЦИЯl'vfИ времени.


1..7. ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ И ИНДУКТИВНОСТИ ТРЕХ..
ФАЗНЫХ ОБМОТОК МАШИНЫ С СИММЕТРИЧНЫМ РО..
ТОРОМ. Речь идет о машинах, у которых и на статоре и на ро..
торе расположены трехфазные обмотки, а сердечник ротора сим..
метричен (см. рис. 1..1). К НИl\1 можно отнести синхронные и асин..
хронные машины двойноrо питания, а также асинхронные машины
с короткозамкнутой обмоткой ротора.
Выше ОТl'vfечалась целесообразность применения линеЙных
преобразований, которые эквивалентны замене трехфазной ма..
шины машиной двухфазной с добавлениеJYI нулевых составляющих
тока, потокосцепления, напряжения. Поскольку трехфазные об..
мотки в рассматриваемых здесь машинах расположены и на ста..
торе и на роторе, можно rоворить о переходе к различным коорди"
HaTHbIl'vI осям Х, у для статора и ротора. ОбознаЧIIМ оси, жестко
связанные со статором, через CG s ,
s' а вращающиеся Bl\1eCTe с ро..
тором
 CG r ,
r (рис. 1..20), причем оси CG s , CG r совместим с l'vfаrнит..
ными осями фазы а соответственно на статоре и роторе. Для экви"
валентных фазных обl\10ТОК двухфазной машины введем обозначе..
нин as,
s (на статоре) и ar,
' (на роторе). Услови
лся, что все
величины, относящиеся к этим обмоткам, будут иметь индекс,
аналоrичныЙ обозначению самой обl\10ТКИ. Например, 'Фаs
 по..
токосцепление фазы CGs; i(3r
 ток фазы
' и т. д. Потокосцепления
обмоток статора имеют вид (рис. 1..20)


Фаs === Lssias + Mтi ar COS V + M т i(3r cos (,,? + 900);


Ф13s == Lssif)s + МпJс
r cos (1'
 900) + Mrпif)r COS "(,
З8


( 1..45)
(1..46)




rде L55
 собственная индуктивность обмоток as,
s; М т
 вза

имная индуктивность между обмотками статора и ротора при
совпадении их маrнитных осей.
Потокосцепления с обмотками ротора r:xr,
' имеют аналоrич

ный вид:


'фа, == Mmi as COS V + M m ij3s COS ()'
 900) + L"ia,;
'Ч'(3, == Mmia.s COS ()' + 900) + M m i{3s COS V + L"ij3"
rде L"
 собственная индуктивность обмоток r:xr,
r.
В приведенных выражениях OT

сутствуют потокосцепления взаим

ной индукции между взаимно пер

пендикулярными обмотками, по

скольку при симметричном маrни

топроводе подобной взаимной ин

дукции нет. Нетрудно убедиться,
что индуктивности двухфазной ма-
шины в (1
45)
(1
47) связаны с pe

альными индуктивностями обмоток
статора и ротора исходной трехфаз-
ной машины следующими соотно-
шениями:
LS5 == L S1 + 3/2 L sm; 1.Jf10 == L S2 + 3/ 2 L rm ;
М т == 3/ 2 Ms"


(1
4 7)
(1
48)


fjipr
f3r(+J}


rде для трехфазной машины L 51 ,
L 52
 индуктивности рассеяния об

моток статора и ротора; М 5 ,
 вза-
имная индуктивность фазных обмо

ток статора и ротора при совпаде

нии их маrнитных осей; L sт
 составляющая собственной ин

дуктивности фазы статора, соответствующая маrнитному потоку
взаимной индукции с ротором; L,m
 аналоrичная индуктив

ность фазы ротора, обусловленная ПОТОКОlVI взаимной инду'кции
со статором.
Для машин с симметричным маrнитопроводом и трехфазными
обмотками на статоре II роторе в отличие от маU1ИН, имеющих
различное устройство статора и ротора (синхронные машиныI,,
значительно проще оперировать не с отдельными фазными вели

чинами преобразованной двухфазной машины, а с результирую,,-
щими величинами двух фаз. Иначе rоворя, удобно рассматривать
непосредственно изображающие векторы тока, потокосцепления,
а не их проекции на оси r:xs,
s (или а"
,), которые представляют
собой MrHoBeHHbIe соответствующие величины двухфазной машины.
Дело в том, что в машине с симметричным маrнитопроводом
целесообразно рассматривать непосредственно вращаЮIЦИЙСЯ в за

зоре маrнитный поток, который определяется только токами об



З9


Рис. 1
20. Схема маrнитных
осей обмоток и координатных
осей машины с симметричным
ротором




моток и не зависит от cBoero положения относительно маrIIИТО

провода. В машинах же снесимметричным маrнитопроводом поток
в зазоре зависит не только от токов обмоток, но и от Toro, какое
положение он занимает относительно осей маrнитной симметрии d,
q. Поэтому вместо вращающеrося потока целесообразно в этих
случаях рассматривать заменяющие ero пульсирующие потоки по
осям d, q. Можно сказать, что общую теорию машин с СUМАtеmрuч

ным MaZHumoпpOBoaOM и одинаково симметрично раз.мещеННЫЛ1U
об/rtоmкамu на статоре u роторе удобно строить на основе вращаю

lцесося поля в зазоре, а для
taиJ.иH с несиммеmриЧНЫА1 ротором

на базе пульсирующих полей, ориеflfпироваНflblХ вдоль осей СИА1

меmрии.
Представим изображающие векторы комплексными перемен

ными, для чеrо совместим оси вещественную (+1) и мнимую (

j)
одной комплексной плоскости с осями cx,s,
s статора; оси + 1,

 j
друrой комплексной плоскости
 с осями сх",
r ротора (рис. 1
20).
Изображающие векторы потокосцепления 'фа == 'Ч'аs + jфl3s и тока
1а == ias + ji{3s обмоток статора на плоскости, связанной со ста..
тором, можно получить, складывая (1..45) с выражениеl\1 (1..46),
предварительно умноженным на j. В результате получим


. .
L · ....L
' 1 · JV
'фа == ssla I iY тlpe ,


( 1..49)


rде ip == i a , + ji(3,
 изображающий вектор тока обмоток ро..
тора на комплексной плоскости, связанной с ротором.
Аналоrично изображающий вектор потокосцепления обмоток
.
ротора 'фр на комплексной плоскости, связанноЙ с ротором, полу-
чим сло)кением (1..47) и умноженноrо на j уравнения (1
48):


1
' .
 11, + '11,
 М ·
 1'v , L ·
'Ур
 'Yar . J 'У{3,
 mtaIJ т rrlp'


( 1..50) I


Для синхронных машин (см.
 1..6) удобной общей координат

ной системой для обмоток статора и ротора являются лишь оси d t
q, привязанные к ротору. Для рассматриваемых в этом параrрафе
машин общие для обмоток статора и ротора оси координат сх,к'
K
MorYT вращаться с произвольной частотой (ОК' Однако для боль

шинства задач наиболее целесообразными являются либо He

подвижные, либо вращающиеся с синхронной частотой оси.
Для измерения переменных величин статора и ротора в одноЙ
системе координатных осей сх,к'
K следует, соrласно 9 1
5, изобра

жающие векторы, определяемые по отношению к осям cx,s,
3'
умножить на координатный множитель е-- jбк , а изображаЮlцие век..
торы, характеризующие переменные в осях сх",
r'
 на коорди

ватный множитель e-- j (б к -- v ). У r лами б к и У определяется поло..
жение осей сх,к и сх" относительно неподвижной оси cx,s (рис. 1
20).
Если оси а к ,
K неподвижны, то б к == о; для осей, вращающихся
40




с синхронноЙ частотой (1)1, имеем б к == (I)lt

 бо. Таким образом,
уравнения (1
49) и (I
50) в неподвижных осях принимаIОТ вид
. .
'Ра :::=:.:. LSf'zcr

 Mmi pcr ; 'Рра == Mтi cr
I
 Lrfpia, (1
51; 1
52)
[де
pa, ipcr
 изображающие векторы 'Ч;р, ip, отнесенные к He

подвижным осям.
Аналоrичные уравнения для синхронно вращающихся осей:
Фs === Lssis + Mmi,; ф, === Mтi s + L"i" (1
53; 1
54)
[де {Ps === Ф<Jе
j (U>l t + б о); ф, == фре
j (U>lt+бо
У)
 изображающие BeK

торы потокосцеплений обмоток статора и ротора в синхронно
В р а щ аю щ ихся осях' i
 i e
j (U>l t + б о). i
 i e
j «(Оlt+бо
'\')
 изо-
,s
a 'r
r
бражающие векторы токов статора и ротора в тех же осях.
't
В приведенных выражениях "? === r (U d't, rде (U
 частота
б
вращения ротора в электрических радианах в секунду.


1
8. МОЩНОСТЬ И ЭЛЕКТРОМАrнитный МОМЕНТ в РАЗ-
ЛИЧНЫХ СИСТЕМАХ КООРДИНАТ. Применение линейных
преобразований токов, потокосцеплений и напряжений обмоток
делает необходимым определение l\10ЩНОСТИ и электромаrнитноrо
момента машины в новых системах координат. ИНЬПvIИ словаl\1И,
эти величины должны быть выражены через переменные, измеряе

мые в той или иной системе координат. Рассматриваемые величины
являются инвариантными, т. е. не изменяют cBoero значения при
переходе от одной системы координат к друrой.
Мrновенная мощность р трехфазной цепи (например, Tpex

/ фазноrо reHepaTopa) с фазными напряжениями Ий, иь, и с И токами
i o , i b , ic равна


р == иаi а + Ubib + ucic.


( 1
55)


ВыраЗ
1М эту мощность, определяемую в исходных осях а,
Ь, с, через переменные в новоЙ системе координат сх,
. Для этоrо
подставим в (1
55) фазные токи и напряжения в виде линейных \
соотношений (1
21). После подстановки ПОЛУЧИivl
р == 1,5 (иа.iа + И13 i 13) + 3и о i о , (1
56)
['де и сх , llf:), ио представляют собой cx
,

 и нулевую составляющие
фазных напряжений. Этот результат можно было предвидеть. Дей

ствительно, в
 1
5 было отмечено, что переход от осей а, Ь,' с
к осям а,
 есть, по существу, замена трехфазной машины ДBYX

фазной с неизменными обмоточными данными и тем же потоком
в зазоре. При этом, если в трехфазноЙ машине ia + ib + ic ==
== 3io =1= О, то к системе токов и напряжений двухфазноЙ машины
нужно добавить независимо определяемые нулевые составляю

щие тока и напряжения. Поскольку мощность инвариантна, то
41




ввиду TOrO, что мощность двухфазной машины в 1,5 раза меньше
мощности трехфазной машины, выражение (1..56) имеет такой же
вид, как и (1..55), но с множителем 1,5. Кроме Toro, добавляется
утроенное значение нулевой состаВЛЯlощей мощности.
Мощность в осях d, q должна быть аналоrична мощности
в осях а,
, так как в обоих случаях рассматривается одна и та же
двухфазная машина:


р == 1,5 (Иdid + uqi q ) + 3аоёо,


(1..57)


rде Иd, И q
 продольная и поперечная составляющие фазных Ha

пряжений.
Выражение (1..57) нетрудно получить и формальным путем,
подставив в (1..55) фазные токи и напряжения в виде линейных
соотношений (1..23).
Для системы осей 1, 2, О с комплексными переменными мощ

ность р может быть получена в результате подстановки токов ёа,
ё в из (1..26) и аналоrичных выра}кений для напряжений И иJ , U(З
в (1..56). Она оказывается равной
р == 3 (и 1 i 2

 ll2 i l

 аоёо) == 3 [2 R е( Й 1 ё;) + Uoio], (1..58)


rде И 1 , и 2 , i 1 , i 2
 первая и вторая составляющие напряжениЙ и
токов; знак Re означает веlцественную часть комплексной вели..
чины.
Одной из важных величин, определяющих режим l\lаlllИНЫ,
является электромаrнитный момент как мера электромаrнитных
сил при вращательном движении. ЭлеКТРОlVlаI'НИТНЫЙ момент, со..
rласно третьему закону Ньютона, деЙствует на статор и ротор ма.. (
шины в противоположных направлениях, будучи одинаковым по
значению. Поэтому ero можно определять по электромаrнитным
силам взаимодействия маrнитноrо поля в зазоре с элементами
либо статора, либо ротора. Известно, что электромаrнитные силы,
действующие на контуры с током, определяются ИСКЛlQчительно
мrновенными токами и не зависят от производных токов по вре..
мени. Следовательно, общее выражение для электромаrнитных сил
и электромаrнитноrо момента мэм
 может быть найдено при иссле..
довании любоrо режима машины, в частности при рассмотрении
установившеrося симметричноrо режима работы, коrда оно будет
наиболее ПрОСТЫl\1. Полученное при этом выражение дЛЯ М ЭМ бу..
дет одинаково справедливым как для установившеrося, так и для
переходноrо режима при условии, что токи определены для дан..
Horo момента времени соответственно рассматриваемому переход"
ному процессу.
В теории электрических машин [41] получено выражение
электромаrнитноrо момента, определяемоrо как результат взаимо

действия маrнитноrо поля в зазоре машины с токовым слоем на
поверхности сердечника статора или ротора, которым заменяется
дискретное распределение по пазам ПрОБОДНИКОВ С токами MHoro..
42




фазной обмотки. Для идеализированной машины достаточно счи..
таться с первыми пространственными rармониками индукции в за..
зоре Во и линейной наrрузки мноrофазной обмотки А S, являю..
щейся линейной плотностыо TOKoBoro слоя. Заметим, что рас..
считываемая таким способом электромаrнитная сила, приложен

ная к сердечни ку в целом, полностью адекватна сумме реальных
сил, которые физически действуют на проводники обмотки И
зубцы сердечника.
Для трехфазной машины переменноrо тока, работающей в уста..
новившемся симметричном режиме, соrласно работе [41]
3
М ЭМ === 2 Рп чr т! т cos ф,


rде чr т == ФmwkОб
 максимальное потокосцепление с фазной об..
моткой; Фm
 поток через зазор на одном полюсном делении;
ш, k Об
 число последовательно соединенных витков фазной об..
мотки и ее обмоточный коэффициент по первой rармонике поля;
1Пi.
 амплитуда сразноrо тока; Ф
 фазовыЙ пространственный
уrол сдвиrа первых rармоник индукции Во и линейной наrрузки;
РП
 число пар полюсов.
Приведенное выражение можно записать и в друrом виде, если
использовать изображаЮlцие векторы потокосцепления (Ч') и
тока (/) трехфазной обмотки, модули которых соответственно
равны ч! т И lт' Известно, что Ч' совпадает на диаrрамме с векто..
ром Во, так как потокосцепление с фазной обмоткой достиrает
максимума, коrда ось поля (амплитуда на кривой индукции) сов..
падает с маrнитной осью фазной обмотки. Пространственные rap..
моники линейной наrрузки AS и м. д. с. F трехфазной обмо тки
та кж е MorYT быть представлены изображающиrv1И векторами AS
и Р. Поскольку м. д. с. определяется интеrралом от AS вдоль
полюсноrо деления машины, изображающий вектор F отстает от




вектора AS на уrол 900. Наконец, векторы тока 1 и м. д. с. F сов..
падают по фазе
 ведь максимум волны м. Д. с. трехфазной об..
мотки совпадает с маrнитной осью той фазной обмотки, в кьторой
ток принимает максимальное значение. На рис. 1
21 показано по..
ложение векторов в произвольный момент времени при заданном
фазов ом с дв иrе Ф векторов Во и AS. Обозначим уrол сд ви rа век..
торов I и 1f через а и примем ero положительным, коrда 1 отстает
по фазе относительно 11'. Из рисунка следует, что а === 900

r
 .ф,
и тоrда cos Ф === sin а. Электромаrнитный момент теперь
М
 3 1П ! .'
 3 [ /
 Hf ]
ЭМ
 2 Рп r т т SIП а
 2
 Рп 'Т,


(1..59)


т. е. он с точностыо до постоянноrо множителя определяется
векторным произведением изображаIОЩИХ векторов тока и потоко..
сцепления трехфазной-обмотки.
43




Выражение (1
59) показывает, что электромаrнитный момент
не зависит от нулевых составляющих потокосцепления (Ч:о) II
тока (i o ), ПОСКОli1ЬКУ на диаrрамме рис. 1
21 изображающие BeK

торы их не отражают. Это соответствует н физическим представле

ниям, если учесть, что НУtТIевая составляющая потока в зазоре
отсутствует (см.
 1
5).
В переходном процессе 1 If ЧJ' l\10I'YT быть сложными ФУНКЦИЯlVIИ
времени, однако при известных их значениях электромаrнитный
lVIOMeHT и в этих условиях может вычисляться по (1
59).
Обратим внимание читателя на то, что в векторном произве

дении (1
59) фиrурирует потокосцепление с фазными обмотками,
обусловленное потоком в зазоре машины
 потоком взаимной ин

дукции статора и ротора. Однако
результат не изменится, если
в (1
59) использовать результиру-
ющее потокосцепление с обмот-
кой, которое включает в себя, по-
мимо упомянутоrо потокосцепле-
I ния, еще составляющую Ч'si от по-
тока рассеяния, пропорциональ-
ную току 1. Поскольку векторы



чr si И 1 всеrда совпадают, их век-
торное произведение обращается
Рис. 1
21. Изображающие векторы
для трехфазной машины В нуль, И мы вновь приходим
К первоначальному виду фор-
мулы (1
59).
Уравнения напряжений машины содержат полные потокосцеп-
ления с обмотками. Такие потокосцепления проще рассчитывать,
поэтому в дальнейшем электРОАiQ2НUlпныu )ИОJнент будет опреде-
ляться по nОЛНЫАl (результирующим) поmокосцеnлеНИЯJН обhlоmок
маИlИНbl или их nроекциям на координатные оси, исnользуе..1Ные
в линейных nреобразованиях.
Для машин с сиl\tIметричныrvI ротором в
 1
 7 были введены
изображающие векторы (комплексные переменные) токов и потоко-
сцеплений обмоток статора и ротора. Выразим электромаrнитный
момент через эти комплексные переменные. Если, например, KO
.1-
плексы для статора, измеряемые в синхронно вращаIОЩИХСЯ осях,
представить в показательной форме
. .
. j 6 i . ·
 . j б 'Ф
Ls
 f ls/ е , Ч's
 I
)s I е ,


а


F


\


rде уrлами б i , б ф определено их по
ожение относительно веще

ственной оси, то уrол а :между is 11 'Ps равен Б Чi
 б i . Тоrда He

трудно проверить, что
I is I
IS I sin ct === 1т (i;
s)


и


М ЭМ == 1 ,5рп IПl (i; Фs).
44


( 1
60)




Аналоrичн() получается выражение для j
lэм через КОМI1лекс

вые переменные статора, отнесенные к друrим ОСЯI\1. Так, для не..
ПОДВИ2КНЫХ осеЙ (см.
 1..6)
М ЗМ === 1 ,5рп 1т (i

a). (1..61)
ЗаI\lеТИl\1, что выражения (1..60) и (1..61) справедливы и для ма..
lUИН с несиммеТРИЧНЫl\I ротором.
Совершенно идентично записываются выражения l\.1 эм для ма..
ШИН с симметричным pOTOpO
il через комплексные переменные об..
. .
мотки ротор а 'ЧJ r' i п 'ЧJра, ipa:
М ЭМ ===
 1,5рп 1т (i;ф,) ===
 1,5рп 1т (iZафра). (1..62)
В (1..62) поставлен отрицательный знак, поскольку считаеl'vl,
что момент М ЭМ , определяеrv1ЫЙ через статорные и роторные вели..
чины, приложен к одной и тоЙ )ке части машины, например к ро..
тору.
Подстановка в (1..60)
(1..62) выражений потокосцеплениЙ че..
рез токи (1..51)
(1..54) ПРИБОДИТ к еще одноЙ форме записи элек..
тромаrнитноrо момента, если учесть при этом; что произведение
двух сопряженных комплексных переменных представляет собой
вещественную величину:
М ЭМ == 1 ,5РпiИm 1т (i; i,) ===
 1 ,5PIl lИ m 1т (isi;) ==
== 1,5Рп М m 1т (i
ipa)

 1,5РпМт 1т (iai
a). (1
63)


Для машин с несимметричным ротором (синхронные машины)
в большинстве случаев предпочтительной формоЙ записи элек..
тромаrнитноrо момента оказывается не векторная (1..59) и не
комплексная (1..60), (1..61), а такая, которая содержит веществен..
ные переменные в осях а,
 и d, q. В синхронной машине за ком..
плексный ток статора ia в неподвижной системе координат при..
нимается (см.
 1..4) ток ia + ji B . Ан?лоrично определяется и
комплексное потокосцеПJIение статора 'фа == 'фа + i'ЧJв, ПодстаВIIВ
в (1..61) комплексные i
, Фа и выделив мнимую часть их произве..
дения, получим М ЭМ как ФУНКЦИIО переменных в осях а,
:.
М ЭМ === 1 ,5рп (фвiа
 'Ч'аi(3). (1..64)
При переходе в двухфазной машине от неподвижных осей а,

к вращающимся осям d, q изменяется лишь система измерения
токов и потокосцеплений статора. Поэтому инвариантность мо"
мента позволяет вместо (1..64) написать ero выражение через пере'..
менные в осях d, q в виде
М ЭМ === 1 ,5рп (Фdiq
 фqi(д. (1..65)
Этот результат можно получить и формально, подстаВIIВ в (1..64)
токи ia, ij3 из (1..25) и аналоrичные выражеНIIЯ 'фа, 'Фв через потока..
сцепления 'фd, фq'


46





 2 " ]
 ""
 """"""""" СФ " """ " 1 . "
 "
 (\ N @ .
.. ... ..... . .... ... ... l:J . ....... .... .. .. ... \) . .


. .... . ..... ...... .. .... ..... ... .0.<.0 .....".


Уравнения машин переменноrо тока
2..1. ИСХОДНЫЕ УРАВНЕНvIЯ. [(ля исследования переход"
ных процессов необходима математическая модель машины, ко..
торая отвечала бы основным закономерностям, определяющим про

цесс. При описании электромаrнитных и электромеханических
переходных процессов целесообразно электрическую машину pac

Сl\1атривать как некую электродинамичеСКУIО систему, состоящую,
rоворя абстрактно, из совокупности электрических цепей (обмо

ток) и вращающейся массы (ротора). Поэтому ее поведение в пере

ходном процессе описывается системой дифференциальных ypaB

нениЙ напряжений цепеЙ и уравнения моментов сил, действую

ЩИХ на ротор.
Уравнения напряжений фазных обмоток якоря (статора) в об

щем Биде заПИIl1ем так, чтобы активная мощность, отдаваемая
этими обмотками, была поло)кительной. Тоrда для MrHoBeHHbIx
значений будем иметь

 а а === Рt'Ч'а + ria; J

 иь .
 РtФь
 r
b; (2
1)

 и с === РtЧ'с + rLo

rде И а , Иь, а с
 фазные напряжения на зажимах обмоток якоря; .
'фа, 'Фь, Ч'с, i(J' i b , ic
 соответственно потокосцепления и токи
фазных обмоток; ,
 активное сопротивление этих обмоток; Pt

знак дифференцирования по времени t.
Для обмоток ротора, потребляюu
их активную мощность от
внешнеrо источника (обмотка возбуждения синхронной машины,
трехфазная обмотка машины с симметричным ротором в ряде pe

жимов), при УСЛОВИIl сохранения положительноrо знака у актив

ной мощности примеНИl'vf форму записи уравнениЙ, отличающуюся
от (2
 1) знаком левоЙ части. l'ак, для обмотки возБУ)l(дения син

хронноЙ машины


ив === рt'Фв + r BiB'


(2
2)


rде Ин
 наПРЯ)l(ение, приложенное к цепи возбуждения; 'PIP
i R
 потокосцепление и ток обмотки возбуждения; 'в
 актив

ное сопротивление обмотки. Для короткозамкнутых демпферных
контуров синхронноЙ машины уравнения напряжений имеют вид
Рt'Фэd + rэdiэd === о; Рt'Фэq + ,эqi эq === о, (2
3; 2
4)
rде индексами эd и эq отмечена принадлежность величин к про

дольному и поперечному контурам.
46




Дифференциальное уравнение моментов, действующих на ро-
тор машины:



 т (F i ) == J Pt Q ,


rде
 т (Р ;)
 сумма моментов внешних сил Р Ё , приложенных
к ротору; J
 момент инерции вращающихся частей; Q
 ча-
стота вращения ротора, измеряемая в радианах в секунду. Пра..
вую часть уравнения иноrда называют динамическим момеНТО!\1.
На ротор машины действуют следующие моменты сил ,п ( Р Ё )
(рис. 2..1):
1. Момент механических сил М', приложенный со стороны
вала машины. При работе маI11ИНЫ т'енератором момент М' яв..
ляется моментом первичноrо двиrателя. При работе машины
в режиме двиrателя М' пред..
ставляет собой 'момент механи.. а) 6) \
ческоЙ силы рабочеrо механиз..
ма, приводимоrо в движение
двиrателем. В режиме reHepa"
тора момент М' является дви"
жущим, а в режиме ДВИI'ате..
ля
 тормозящим. МОl'лент М'
в rраницах исследуемоrо про..
цесса часто остается постоян.. Рис. 2
1. Моменты, действующие на
ным, однако в общем случае ротор машины в режимах: а
 reHepa

он может быть некоторой функ.. тора; б
 двиrателя
цией скорости и времени.
2. Момент электромаrнитных сил М ЭМ (электромаrнитный мо"
!\1ент), обусловленный взаимодействием токов обмоток и Mar..
нитноrо поля в зазоре машины. MOlVleHT М ЭМ в reHepaTope яв..
JIяется ТОрl\fОЗЯЩIIМ, в двиrателе
 движущим.
3. Момент механических сил Л1 0 , имеющих характер трения
(трение в подшипниках, ротора об охлаждающую среду в зазоре
и т. п.), называемый MOMeHTolVI холостоrо хода. В идеализирован..
ной машине, которая здесь рассматривается, потери в стали сер..
дечников равны нулю. В реальной машине в момент Мо в
одит
составляющая, соответствующая потерям в сердечнике. Этот мо"
мент всеrда является тормозящим. Момент Мо может быть принят
постоянным, если скорость ротора изменяется в небольших пре-
делах.
В соответствии со сказанным относительно характера действия
моментов (движущий, тормозящий) и принимая элеКТРОl'.лаrнитный
момент М ЭМ и момент на ва.п:у М' положитеЛЬНЫlVlИ в режиме ра..
боты машины reHepaTopoIVl, получим дифференциальное уравне-
ние движения ротора, или просто
 уравнение моментов, в виде


М
 М ЭМ == J Pt Q ,


(2..5).


rде Л1 == М'
 1И о
 I\10MeHT механических сил.
47




Выше у)ке отмечалось (см.
 1
4), что непосредственное реПlе

IIие исходных уравнений (2
1)
(2
4) затруднительно ввиду Toro,
что они содержат переменные коэффициенты. Поэтому большое
значение имеет их линейное преобразование к виду, наиболее
удобному для исследования данноrо переходноrо процесса.


2..2. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕ
IИЙ НАПРЯЖЕНИЙ
СИНХРОНI1011 МАШИНЫ. Преобразование уравнений (2..1)
к неподвижным осям а,
 означа
т, что новые уравнения должны
содержать вместо реальных фазных величин их а.. и

составляю-
щие. ФОрI\1альная связь между исходными и новыми перемен

НЫl\1И дана для токов в выражениях (1..20) и (1..21). Аналоrичные
уравнения справедливы .для потокосцеплений и напряжений. По..
скольку коэффициенты линейноrо преобразования не зависят от
времени, преобразование одинаково для самой переменной (токи,
напряжения) и для производной (производная от потокосцепле..
ния). Производя линейные преобразования по формулам типа
(1..20) одноврем:енно всех одноименных членов (2..1), получаем

и(Y., === РtЧ'а + ria;
иB == Pt'
(3 + ri B ; (2..6; 2.. 7)


иo == Pt "'о

 rio, (2..8)


rде индексами сх,
, О отмечены а..,
.. и нулевая составляющие
фазных величин. 1\ этим уравнениям должны БыIьь добавлены
уравнения напряжений обмоток ротора (2
2)
(2
4). Во всех урав-
нениях напряжений потокосцепления ДОЛ)l{НЫ быть функциями
токов ia, i B , io, i B , i эd , i эq . Эти заВИСИ
.10СТИ даны выражениями
(1-39)
(1..44). Нетрудно видеть, что уравнения напряжениЙ в
осях а,
 являются уравнениями с переменными коэффициентами.
Преобразование исходных уравнений (2
1) к осям d, q, яв-
ЛЯЮЩИ
АСЯ осями маrнитной симметрии синхронной машины,
можно произвести с помощью формул ЛYiнейноrо преобразования
в ид а (1- 23). П одст ав и в в ОД н о из ур ав н ен и Й (2..1), н а пр 11 l'vl ер в пер-
вое, фазный ток ia, напряжение и а , потокосцеп.ление Ч:а, связан-
ные с d.., q.. и нулевой составляющими однотипными выражениями
вида первоrо уравнения в системе (1-23), и выполнив дифферен

цирование Фа' получим ряд слаrаемых слева и справа от знака
равенства. Некоторые из них не содержат уrла у, а друrие имеют
множителями rармонические функции cos у и sin ')'. Поскольку
получившееся уравнение должно удовлетворяться тождественно
при J1Iобом значении уr'ла ')', оно распадается на три отдсльных
уравнения: с члепаJ\1И, у которых общим множителем является
функция cos у; с членами, имеющими множителем sin у, и, HaKO

нец, с членаl\IИ, не содержащими уr.па ')'. Эти три уравнения, за..
писанные в указанном порядке, имеют вид

lld === Рt'Фd
r 'Фq(й + ri d ;
 U q ==
 'Ф{z(() + Pt'l'q + riq;



 и о == Рt'Фо + rio,
48


(2-9; 2
 1 О)
(2..11)




rде U) == р/у
 частота вращения ротора в электрических радиа..
нах в секунду. Индексами d, q и О отмечены d.., q.. и нулевая состав..
ляющие фазных напряжений, потокосцеплений и токов.
К этим уравнениям должны быть добавлены уравнения на..
пряжений обмоток ротора (2..2)
(2..4). Во всех уравнениях на..
пряжений потокосцепления до,пжны быть функциями токов i d ,
i q , io, i B , i эd , i эq . Эти зависимости даны выражениями (1..32)

(1..37). Нетрудно видеть, что уравнения напряжений в осях d, q
являются при переменной частоте вращения ротора уравнениями
нелинейными, но с постоянными коэффициентами.
Уравнения обмоток якоря (2..6), (2..7) в осях а,
 и (2..9), (2..10)
в осях d, q можно получить и с помощью изображающих векторов




напряжения и, потокосцепления '1' и тока / для рассматриваемых
обмоток, коrда исходная система (2..1) заменяется двумя урав..
нениями:







u === Pt'l' + r/;
иo === Рt'Фо + rio.


Предоставим возможность читателю самому сделать необходи..
мые выкладки. Указанным способом уравнения (2..9) и (2..10) по..
лучены в работе [6].
При изложении линейных преобразований (см.
 1..5) было
отмечено, что среди переменных в любой системе координат не..
изменно присутствуют их нулевые составляющие. Полученные
выше уравнения напряжений в двух системах координат также
показывают, что среди них всеrда будет однотипное уравнение для
нулевых составляющих. При этом потокосцепление 'Ч'о зависит
только от тока io (см.
 1..5) и уравнение для нулевой составляю..
щей (2..8) или (2..11) l\10жет решаться самостоятельно, независимо
от остальной системы уравнений машины. ПОЭТОlVlУ в дальнейшем
это уравнение рассматриваться не будет.
Уравнения напряжений синхронной машины в осях а,
 и
в осях d, q MorYT быть получены и друrим путем, наrлядно иллю..
стрирующим линейное преобразование координат и физический
смысл э. д. С., входящих в уравнения. Поскольку уравнение нуле..
вых составляющих может решаться самостоятельно, рассмотрим
из соображений удобства в качестве исходной не трехфазную,
а двухфазную двухполюсную синхронную машину, притом в обра..
щенном варианте
 с враIl
ающимся якорем и неподвижным по..
,ТIеl'Л (с точки зрения электромаrнитных процессов безразлично,
что вращается
 обмотка якоря или поле). На рис. 2..2 в виде.
окружности схематически изображена двухфазная обмотка кольце..
Boro якоря, выведенная на две пары контактных колец. Маrнит"
ные оси двух фазных обмоток а и
 нормальны друr к друrу и
вращаются вместе с якорем.
Потокосцепления любоrо контура 'Ч' в электрической машине
в самом общем случае, как известно, можно считать функциями
времени t и координаты а в , определяющей взаимное положение
49




поля и контура. Поэтому приращение потокосцепления с KOHTY

ром И э. д. с., индуктируеlVIая им, соответственно равны:
А
 a\jJ a'l' А .
L!ф
 дав
aB

 дt L!t,


d\jJ д '1' a\jJ

 dt ===
 дав (он
 дt === ев + е т ,


rде ЮЗ
 относительная частота вращения поля и контура.


Рис. 2
2. Схема двух-
фазной машины, Ma

rнитные оси обмоток
а,
 которой вращают

ся относительно по

люсов


Ь8 d




Ud


l1fJ
Рис. 2-3. Схема двухфазной
машины, маrнитные оси об-
моток которой совпадают с
осями d, q


Следовательно, э. д. с., индуктируемая в контуре, определяется
суммой так называемых э. д. с. вращения ев и э. д. с. трансфор

мации е т .
Коrда уравнения напряжений машины записываются в осях а,

, это значит, что э. д. с. индуктируются В обмотках якоря потоко

сцеплениями Фа, Ф
, ориентированными по осям а,
. Из рис. 2
2
нетрудно видеть, что потокосцепления Фа, 'Ф{3 не создают э. д. с.
вращения, поскольку они не перемещаются относительно якоря
((ОВ === О). Э. д. с. трансформации, возникающие в обмотках а,
,
будут создаваться только тем полем, которое по направлению COB

падает с маrнитной осью рассматриваемой обмотки; от нормально
направленноrо поля э. д. с. трансформации в обмотке равна нулю.
Поэтому на одной паре контактных колец напряжение
И а === е ат
 ria ===
 рt'Фа

 ri a ,
а на друrих контактных кольцах
и!) === ej3T
 rij3 ===
 рt'Фj3
 rij3,
что соответствует ур авнениям (2
6) и (2
 7).
50




Перейдем к ОСЯМ d, q, )кестко связанным с полюсами маrнитной
системы (РИС. 2..3). Маrнитные оси двухфазной обмотки якоря
теперь должны совпадать с осями d, q. Но вращающаяся обмотка
якоря может создать поле, неподвижное относительно полюсов,
толькО если она соединена с коллектором и щетками. Для обра..
зования полей, ориентированных вдоль осей d и q, необходимы
две пары щеток. На двух системах щеток, расположенных на
осях d, q (рис. 2..3), измеряются напряжения якоря в этих
ОСЯХ Ud, U q .
В системе осей d, q э. д. с. в якоре индуктируются потокосцеп..
лениями 'Ч'd, 'фq, обусловленными маrнитными полями, направ"



d>ot I d


о


edB


d
sb d >0 t


Рис. 2dJ Направления положительных токов id, iq и э. Д. с.
вращения в якоре двухфазной машины


ленными вдоль осей d, q. Поскольку потокосцепления (поля) Фd,
фq И обмотка якоря перемещаются относительно друr друrа
с частотой вращения якоря ((()в == ((), то уравнения напряжений
Ud, U q будут содержать как э. д. с. трансформации, так и э. д. с.
вращения И, следовательно,
Ud == edT + edB
 ".i d ; U q == e qT

 e qB
 riq.
На рис. 2..4 показаны направления токов i d , iq в обмотке
якоря, принимаеJ.\11ые за положительные (id > о; iq > О), создаю..
щие положительные потокосцепления 'Фd > О, Ч
q > О. Эти.. по..
следние обусловлены полями, направленными соответственно
вдоль положительных осей d и q. По рис. 2..4 нетрудно проверить,
что э. д. с. трансформации edT' измеряемая на щетках dd, создается
только за счет изменения потокосцепления Фd, а э. д. с. e qT на щет"
ках qq
 только за счет изменения потокосцепления 'Фq, так что
edT ===
 Рt'Фd; e qT ==
 Рt'фq.
Э. д. с. трансформации на щетках от полей, направленных нор..
мально к оси щеток, равны нулю. Нетрудно также видеть, что
э. д. с. вращения обмотки якоря, измеряемые на щетках, будут,
как в обычной машине постоянноrо тока, создаваться только по..
лями, нормально направленными к оси щеток, а от полей, совпа..
дающих с линиеЙ раЗl\1ещения щеток, Э. Д. с. вращения равна
51


#




нулю. На рис. 2
4 нанесены направлеНIIЯ Э. д. с. вращения в об

мотке якоря, найденные с помощью известноrо «правила правой
РУКИ»: э. д. с. edp., индуктированной поперечным потоком, и э. д. с.
e qB , обусловленной продольным потоком. Эти э. д. с. MorYT быть
рассчитаны по общему выражеНИIО для э. Д. с. вращения, приве

денному выше. НО l\10ЖНО воспользоваться rOTOBbIi\:1 резу.льтаТОl\1,
известныlII в теории машин постоянноrо тока: э. Д с. вращения
равна произведению частоты вращения якоря ffi (в электрических
радианах в секунду) и потокосцепления с обмоткой якоря от потока,
нормально направленноrо к линии щеток. При этом Э. д. с. враще

ния принимается положительной или отрицательноЙ в зависимости
от 1'oro, соrласно или противоположно она направлена по OTHO

llIению к ПОЛО.iкительному току в обlVIотке якоря. В нашем случае
е d в ::=::;
 'Ф q(tJ ; е q в ::=::; 1Р d(tJ ,


так как э. д. с. edB направлена противоположно току id > О,
а э. д. с. e qB и ток iq > О имеют одинаковые направления.
Подставив найденные значения э. д. с. трансформации в об

щие уравнения напряжений, получим
Ud ==
 Рt'Фd
 'Ф q ffi
 ri d ; U q ===
 Рtфq + 'Фd(tJ
 riq.


Эти уравнения совпадают с полученными ранее формально
уравнениями (2
9) и (2
10).
На основании изложенноrо можно сделать вывод о том, что
1) дифференциальные уравнения синхронной машины оказываются
справедливыми и для коллекторных машин; 2) моделью идеали

зарованной машины, электромаrнитные процессы которой иссле

дуются в осях d, q, служит коллекторная машина (см. рис. 2..3).
Следует заметить, что в такой машине пренебреrают коммутацион

ными процессами.
На модельной коллекторной машине наrлядно получаются не
только уравнения напряжений обl\10ТОК синхронной машины
в осях d, q, но и выражение для электромаrнитноrо момента. С по

мощью известноrо «праВlIла левой руки» по рис. 2..4 можно YCTa

новить, что действующие на ротор электромаrнитные силы от
взаимодействия одноименных токов и потокосцеплениЙ (потоков)
обмотки якоря (i d и Ч'd, iq И 'Ч'q) равны нулю. ЭлектромаrнитныЙ
момент возникает от взаимодеЙствия разноименных токов ипотоко"
сцеплений; при этом момент, обусловленный id и 'Pq, действует
на ротор в направлении ero вращения, а lVloMeHT, определяемый iq
и 'Ч'd, направлен противоположно.
Как известно из теории lVlашин постоянноrо тока, элеКТрОI'<1аr

нитный MOlVleH'f' в таких машинах равен произведеНИIО тока якоря
11 потокосцепления с обмоткой якоря. Примем также во внимание,
что в [енераторном режиме машины (рис. 2..4) положительный
электромаrнитный момент направлен в сторону, противополож

ную вращению якоря. Поэтому с учетом направления действия
62


...


.




u
двух составляющих электромаrнитноrо момента 13 коллекторном
модельной машине будем иметь
М ЭМ == 'Фdiq
 фqi d .
Этот момент М ЭМ относится к двухфазной двухполюсной син..
хронной машине. При переходе к трехфазной машине с произ..
вольным числом пар полюсов РП следует полученное выражение
увеличить в 1,5 Рп раза, что приводит к уже известному резуль..
тату в виде (1..65).
Возвращаясь к вопросу о преобразовании уравнений напря)ке

ний, отметим, что приведенная выше трактовка э. Д. с., индукти

руемых в какой..либо обмотке машины, как э. д. с. трансформации
и вращения, позволяет безошибочно определять вид уравнений
напряжений обмоток при применении той или иной системы
координат. Если рассматриваются оси координат, неподвижные
относительно обмотки, то уравнение напряжений этой обмотки
будет включать только трансформаторную э. д. с.; если оси коор"
динат вращаются относительно обмотки с некоторой частотой (()IP
то к трансформаторной э. д. с. должна быть добавлена э. д. с.
вращения, пропорциональная (()В'


2..3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ МА..
ШИН С ТРЕХФАЗНЫМИ ОБМОТК..
МИ И СИММЕТРИЧ..
НЫМ РОТОРОМ. Уравнения напряжений для двухфазных об

моток статора и ротора в осях, связанных с самими обмотками,
должны из э. д. с. содержать mлъко э. д. с. трансформации. Для
обl'ЛОТОК якоря В системе неподвижных осей (xs,
S уравнения
повторяют полученные выше для синхронной машины уравне..
ния (2..6) и (2..7). Для обмоток ротора в системе осей (х"
" свя"
занных с ротором, общий вид уравнений сохранится, однако со..
rласно
 2..1 у внешних напряженнЙ будет изменен знак. Ранее
было обусловлено (см.
 2..2), что уравнение нулевой COCTaB

ляющей в общей системе записываться не будет.
Итак, в рассматриваемых координатных осях:
для статора

Uas === Рt'Фаs + 'si('J..s;
иB5 === Рt'ФВs + f5 i j}S;
для ротора
иа, == Р t'Фаr + f ,ia,; ИВr == Рt'ФВr + r ,iB:'


rде u as , иB
 и иап Ив,
 фазные напряжения статора и ротора
двухфазноЙ машины; '5' r,
 активные сопротивления обмоток
статора и ротора.
Введем изображаlощие векторы (комплексные переменные) на..
пряжений обмоток, определяе!'лые в осях, связанных с обмот"
ками:


.
а о === U as

 j llBs; I1 р === а а,


 j II В, .
63




Приведенные уравнения напряжениЙ можно свести куравне...
ниям для изображающих векторов:


.. ...


Иа == РtЧ'а + '/а; Ир == РtЧ'р

 rrip, (2..12; 2..13)
rде комплексные потокосцепления и токи определены в
 1.. 7.
Для приведения этих уравнений к общей системе координат а,о

K соrласно
 1..7 нужно (2..12) умножить на координатный мно"
житель е
jбк, а (2..13)
 на е
j(бк
'V). Тоrда в неподвижной си..
стеме координат (6 к == О) уравнение (2..12) сохранит общиЙ вид
(таким образом, э. д. с., индуктируемая в обмотке статора, по..
прежнему имеет характер э. д. с. трансформации). Уравнение же
(2-13) будет содержать, кроме э. д. с. трансформации, еще э. д. с.
вращения, так как по отношению к неподвижному потоку (потоко..
сцеплению
pa) обмотка ротора вращается с частотой ш. Фор..
мально этот результат получается после умножения (2..13) на ei'V
и подстановки очевидноrо соотношения
i'V. ( . i'V ) . · i'V . ·
е Рt'фр == Р! 'фре
 Jфре PtY == (Pt
 J(I)) 'Фра.
в результате получим

Йа === Pt
a + r
ia === Р! (Lssia + Mтi pa ) + rsia;


. .
Ира == (Pt
 jш) 'Фра + r,i pa == (Pt
 jш) (Mтi a

 Lrripa) +- rripa,


(2..14)
(2..15)


· · i'V.. · i'V.. · j'V
rде Ира
 ире , 'Фра === 'Фре , [ ра == tpe
 изображающие век..
торы напря
ения, потокосцепления и тока обмоток ротора, из..
меряемые в неподвижных осях.
Для перехода к синхронно вращающимся осям (6 к == Ш1t


+ 60) используем соотношения:
Pt (
ае
jбк) === е
jбl{Рt
а
 jШ1{Рае
jБК;t
Р! [Ф e
j (бк
'V)] == e
j (бк
'\') Pt
D

 j ( Ш 1
 Ш )
De
j (бк
'V).
Р i.


Тоrда после умножения (2..12) на e
i (ш 1 t +б о ), а (2..] 3) на e
j (ш 1 t + б о
'\')
будем иметь

ils === (Pt + j( 1 ) Фs + '-sis === (Pt + j( 1 ) (Lsis + Mтi,) + rsis; (2..16)
и, == [Р! -t j (01
 0)] Фr + r,i, === [Pt + j (01
 0)} (Mтi s +
+ [jni r ) + r,i" (2..17)


r д е

 u e
j (шtt +б о ).

 u e
j (Шt f +б о
'V)
 изоб р ажаю щ ие
S
 а , r
 р
векторы напряжений обмоток статора и ротора в синхронно вра..
. .
щающихся осях; 'Фs, 11'" is, i,
 аналоrичные векторы потокосцеп..
лений и токов, определенные по (1..53) и (1..54).
Уравнения (2..16) и (2..17) содержат не только э. д. с. трансфор..
. . .
мации
Рt'фs;
РiФr' но также и э. д. с. вращения
jffi1'Фs;
64





j (01
 о)
r' определяемые скоростями перемещения обмоток
относительно маrнитноrо потока, вращающеrося с синхронной
частотой О1 (именно с такой частотой вращается координатная
система, в котороЙ измеряются Фs и
r)'


2..4. УРАВНЕНИЯ МАШИН, СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕН-
НЫЕ С ФИЗИЧЕСКОЙ РАЗМЕРНОСТЬЮ. Переходный про..
цесс в машине всеrда сопровождается изменением частоты враще..
ния ее ротора. В тех случаях, коrда изменение частоты вращения
начинает влиять на протекание процесса, возникает необходи-
мость cOBMecTHoro исследования процессов в электрических цепях
и механическоrо движения ротора. Таким образом, полная си-
стема дифференциальных уравнений машины включает в себя
уравнения напряжений обмоток и уравнение движения ротора
(уравнение моментов). Обычно рассматривается не абсолютное
движение ротора в пространстве, характеризуемое, скажем, ча-
стотоЙ ero вращения Q (о), а относительное движение по отноше-
нию к некоей координатной системе, чаще Bcero вращающейся
с постоянноЙ синхронной частотой Ql (О1)'
Дело в том, что типичным условиям работы машины перемен-
Horo тока отвечает включение ее обмотки якоря параллельно
с сетью. Лишь в сравнительно редких случаях машина работает
reHepaTopOM на автономную наrрузку. Пусть мощность сети зна-
чительно превосходит номинаЛЬНУIО мощность машины. Идеали-
зируя такую сеть, принимают ее бесконечно мощной. Очевидно,
что напря){(ение и частота сети бесконечной мощности остаются
неизменными, что бы ни происходило в исследуемой машине.
ПОЭТОl\1У изображающий вектор и напряжения сети бесконечной
мощности на диаrраммах имеет неизменный модуль и вращается
с постоянной синхронной частотой О1' Электромаrнитные харак-
теристики синхронной машины в установившемся режиме опре-
деля ютс я, как известно, взаимным положением ротора и век-
тора U. В переходном процессе оно изменяется во времени, но
именно возникающее движение ротора относите.11ЬНО вектора и
является фактором, формирующим электромаrнIiтное состояние
Машины. Последнее относится не только к синхронной, но и
к асинхронной машине, для которой указанное относительное дви-
жение ротора является основополаrающим и при описании уста-
новившихся режимов работы. Леrко представить, что и в системе
машин соизмеримоЙ мощности электромаrнитные характеристики
определяются взаимным относительным движением роторов.
Имея в дальнейшем в виду работу машины параллельно с сетыо
бесконечной мощности или случаи, приводящиеся к этим усло..
виям, будем рассматривать движение ротора машины относи..
тельно некоторой оси, вращающейся с синхронноЙ частотой. По
существу, это вращение ротора относительно результирующеrо
Маrнитноrо поля обмотки якоря. В теории машин такое относи-
66




тельное движение ротора характеризуют скольжением s, под KO

торым понимают относительную частоту вращения ротора, Bыpa

женную в долях синхронной частоты вращения:
00
 001 Q
 Ql (2 1 )
s === 001 == Q1 ·
 8
Исторически СЛожилось так, что это определение скольжения
используется обычно в теории синхронной машины, для которой
Наибо.лее важным является режим тенератора. В теории асин

хронной машины, исследуемой в основном в качестве двиrателя,
скольжение определяют так, что оно отличается от приведенноrо
в (2
18) знаком [ер. с (1..2)]. Для единообразия в уравнениях Ma

шин примем скольжение соrласно (2
18),
т. е. будем считать ero положительным
[J в режиме вращения ротора с частотой,
большей, чем синхронная частота (s>O
при Q > Q1)' Положение ротора ма..
а шины в пространстве (абсолютное дви"
жение) характеризуется уrлом l' пово

рота оси d относительно неподвижной
оси фазы а (см. рис. 1..9 $Iи 1..20). Для
Рис. 2
5. Определение уrла 8 характеристики относительноrо движе

синхронной маши»ы ния ротора введем уrол е между по

перечной.; осью машины q и изобража-
IОЩИМ вектором напряжения сети и (рис. 2..5). Примем е > О,
коrда ось q опе ре)кает U . Если сеть обладает бесконечной
мощностью, то и вращается с постоянной частотой {()1 и, как сле

дует из рисунка,
е === у
 (f)1t
 а
 л/2.
Дифференцирование этоrо соотношения и подстановка Pt1'

== ffi С учетом (2
 18) дает
Pt 8 === Pt1'
 (f)1 == (1)18. (2..19)
Интеrрируя (2"19), получим
t
в == (J)1 J S dt + во, (2
20)
о
rде Он
 нача.!Iьное (пр н t
 О) значение УI'ла е.
Соотношения (2..19) и (2..20) связывают механические пара-
метры относитеЛЬноrо движения
 уrол е и скольжение s.
Из (2..18) определим параметры абсолютноrо движения ротора
машины (f) и Pt Q через скольжение:
ffi === ffi 1 (1 + s); Р t Q == Q1PtS.
Система уравн€
ний машины, как отмечалось выше, состоит
из уравнений напряжений обмоток" и моментов, действующих на
56




ротор. Приведем системы уравнений синхронной машины в осях а,
q и машины с симметричным ротором в синхронно вращающихся
осях. Для друrих координатных осей система уравнений может
быть составлена аналоrично по данным Э 1..8, 2..1
2..3.
Система уравнений синхронной машины в осях d, q в общем
виде включает в себя уравнения (2..9), (2..10), (2..2)
(2..5), (1..66).
Подставив в них (() и Pt Q , выраженные через скольжение, получим



Ud :=::: Рt'Фа
t
 фq(U 1 (1
1
 s)

 ri J ;

Uq ===
 'Фt/(t)l (1
 t
 s) t
 Р /фq
 t
 riq;
Ив == Рt'Фв + rBi n ; РiЧ'эd + rэdiэd == о;
РtФэq + rэqi эq == о;
м == 1 ,5рп (Фdiq
 фqi d ) + JQIPtS.


(2..21)
(2
22)
(2
23; 2..24)
(2..25)
(2..26)


Уравнения синхронной машины в осях d, q были получены
независимо друr от друrа американским инженером Пар ком и со..
ветским ученым А. А. ropeBbIlvl.
Система уравнений
1ашины с симметричным ротором и трех..
фазными обмотками статора и ротора, записанная в синхронно
вращающихся осях, состоит из уравнений (2..16), (2..17), (2..5),
(1..64). Подставив в них w и Pt Q , выраженные через скольжение,
получим



lis == (Р, + j( 1 ) (L
sis + Mтi,) + ris;


U r == (Pt
 jw 1 s) (Mmi s + L,r i ,) + r,i,;


.
м

 1 ,5РнМт 1т (а,) + JQIPtS.


(2..27)
(2..28)


(2..29)


2..5. СИСТЕМА ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦ. Уравнения ма..
шины обычно записываются не в абсолютных значениях, а в от..
носительных единицах. Это значит, что все величины, входящие
в уравнения машины, выражены не в физических единицах (на..
пряжение в вольтах, ток в амперах и т. д.), а как доли некоторых
количеств, имеющих ту же физическую размерность. ПОСJlедние
носят название базисных количеств или базисных величин. От..
носительные значения величин будут, естественно, безразмер..
ными. Пусть, например, такие переменные, относящиеся к ста.. .
тору, как напряжения Ud, U q и токи i d , i q , измеряются соответ"
ственно в вольтах и амперах. Если принять в качестве базисных
величин для напряжения и тока статора [1 б и 1 б' также измеряе..
мые в вольтах и амперах, то относительные значения рассматри"
ваемых переменных определятся отношениями: (


Ud/ U б; uq/U б; id/ 1 б; iq/16-
07




Подобным образом MorYT быть представлены и любые друrие
величины.
В дальнейшем базисные величины будут записываться с ин

дексом «б», а эти же величины для роторных цепей
 с допол

нительным индексом, обозначающим рассматриваемую цепь. Ha

пример, базисное напряжение обмотки возбуждения синхронной
машины имеет обозначение и вб' При последующем изложении
до Э 2
 7 включительно все величины в относительных единицах
имеют черту снизу, а те же величины, имеющие физическую раз

мерность, обозначаются аналоrичным символом, но без черты.
Например, индуктивность, измеряемая в rенри, обозначается L,
а та же индуктивность в относительных единицах L. В остальной
части книrи, после Э 2
 7, [де преимущественно используются Be

личины в относительных единицах, они будут обозначаться сим

волом без черты, т. е. так же, как и величины с физической раз

мерностью, но использование последних будет специально oro

вариваться, чтобы не было путаницы в обозначениях.
Система относительных единиц обладает рядом положительных
свойств. Переход к систеl\1е относительных единиц упрощает
запись уравнений, освобождая их от некоторых постоянных коэф"
фициентов, облеrчает вычисления, поскольку переменные Bыpa

жаются удобными числами (долями единицы), а также делает
возможным сравнение результатов, получаемых для машин раз..
личной мощности.
Ltля Toro чтобы перейти от физических величин к их относи

тельным значениям, выраженным в долях базисных величин,
нужно прежде Bcero однозначно определить всю совокупность
базисных величин. В современной теории электрических машин
большая часть базисных величин является общепринятой, однако
некоторые из них различны у разных авторов. Общепринятыми
базисными величинами являются следующие:
1. Ток статора / б
 за базисный ток статора принимается
амплитуда номинальноrо фазноrо тока статора.
2. Напряжение статора И б
 за базисное напряжение CTa

тора принимается амплитуда номинальноrо фазноrо напряжения
статора.
3. Уrловая частота (й6
 за базисную уrловую частоту при

нимается синхронная уrловая частота О1 == 2лtн (fи
 номиналь

ная частота).
4. Потокосцепление статора чr б
 за базисное потокосцепле

ние статора принимается потокосцепление, индуктирующее в об

мотке статора при базисной уrловой частоте базисное напря..
жение: чr б == U б! Об'
5. Базисное сопротивление статора Zб == U б/ / б'
6. Мощность статора Р б
 за базисную мощность прини..
мается номинальная мощность машины Sи (в киловольт..амперах):
р б :::=.: Sи === зu н/ н == 1 ,5и 6/ б'
58


\




rде и Н' 1 н
 действующие номинальные фазные напряжение и
тОК статора.
7. Базисный момент Мб == РБРп/(f)Б' rде Рп
 число пар по..
люсов J\lашины.
8. Базисная индуктивность статора L б == Zб/ (f)б'
9. Базисное время t б
 время, соответствующее повороту ро..
тора синхронной машины при базисной уrловой частоте на 1 рад
эл. [t б == 1/(f)1 == 1/(2лfн) с). Время, выраженное в долях t б , бу..
дем в дальнеЙшем обозначать т. Соrласно определению,
т === t/t б -=== tШ 1 8


Время т называют иноrда синхронным временем.
Базисные величины для роторных цепей синхронной машины,
к сожалению, не являются общепринятыми. Это положение сло..
жилось исторически, так как по мере
развития теории синхронной машины
различные авторы использовали наи..
более удобную для исследования си..
стему базисных величин роторных це.. и1
пей. Удобство Toro или иноrо выбора
базисных величин для роторных цепей
определяется в основном числом этих
цепей. Если иметь в виду физическую Рис. 2
6. Схема замещения
Har лядность, то наиболее целесооб.. двухобмоточноrо трансфор

разной следует признать такую систему матора
базисных величин, при которой ура..
внения напряжений синхронной машины, записанные в общем
виде через потокосцепления, сохраняют форму при переходе от
физических величин к относительным, а уравнения потокосцепле..
ний 1\1аrнитно..связанных контуров, предстаВJIенные вотноситель..
ных единицах, удовлетворяют принципу взаимности. Оказывается,
что в подобной системе существует определенная связь между
отдельными базисными величинами.
Рассмотрим для примера статический двухобмоточный одно..
фазный трансформатор (рис. 2..6). Уравнения напряжениЙ пер..
вичной (1) и вторичной (2) обмоток трансформатора с физическими
величинами имеют вид


r1


М '2


r2


и2 d


L 1
 М 12


L2
/112


\


и 1 === Р! (L 1 i 1 + M 12 i 2 ) + 'l i l; }


(2..30)


и 2 == Pt (M 12 i 1 + L 2 i 2 ) + '2 i 2'


[де L 1 , L 2 , '1, '2
 индуктивности И активные сопротивления об..
моток; Л1 12
 взаимная индуктивность обмоток; и 1 , и 2 , i 1 , Ё 2

напряжения, приложенные к обмоткам, и токи в них.
Чтобы уравнения напряжений в относительных единицах со-
хранили форму уравнений, имеЮlI
ИХ физическую размерность
59




(2
30), необходимо подчинить базисные величины первичной и
вторичной обмоток следующим условиям:
U 1б :::=; Ч'16(,J 6 ; Ч'1б === L 1б l 1б ; (2..31; 2
32)
2 1б
 L 1G UJ б; и 26
 ч' 26(Uб; (2
33; 2
34)
ч' 26 == L 2б / 2б ; Z26 === L 2б (f)б; (2
35; 2
36)
Р 16 === Р 2б или и 16/ 1б === и 2Б I 2Б' (2
37)
Разделив первое уравнение (2
30) на (2
31), а второе ypaBHe

ние
 на (2
34) и имея в виду соотношения (2
32)
(2
36), полу

чим В относительных единицах:



 (L ' + М12 /26 . ) , '.
и 1
 рт; 1 1 1
 L ...
 / [2
! '1 l 1 '



 10 1б
 ...

( iV1 12 /16 . + L . ) + .
и 2 === Р1:
 L
 / [1 2 1 2 '2 l 2 ,

 26 2б







( 2
38)


rде р-с
 символ дифференцирования по времени '{.
На основании условий (2
37) в уравнениях (2
38)
/26 !1б
L 1 б / 16 L 2 б! 26 .


(2
39)


Поэтому уравнения (2
38) окончательно принимают форму урав..
нений (2
30):


и 1 === Р1: (L 1 i 1 + M 12 i 2 ) + f"li 1 ;


-
 (М ' I L . ) f .
и 2
 Р1:
12

r
2
2 I
2!..2,
rде относительное значение взаимной индуктивности
1\11'> == M L 12 ( / !2б ) ,

 ... 16 16


(2
40)


а относительные значения параметров вторичной цепи трансфор..
матора с помощью (2
39) и (2..36) MorYT быть записаны в виде
L 2 ===
 ==
 ( !26 ) 2; (2
41)

. L 2 б L 1 6 116


r 2 r 2 ( ! 26 ) 2

2 === Z2б == Zlб ! 16 ·


(2
42)


Выражения (2..40)
(2..42) имеют простой физический смысл.
Для Toro чтобы установить ero, наПОМНИl\1 операцию приведения
параметров вторичной обмотки трансформатора к первичной. Это
приведение состоит в умножении взаимной индуктивности двух
обмоток М 12 на коэффициент трансформации k 12 , а параметров
вторичной обмотки
 на ki2; при ЭТОl\1
k 12
 W 1 /W 2 == 12и/l1rР
60




rде W 1 , W 2 , 1111' /2Н
 соответственно числа ВИТI{ОЕ пе
вичной и
вторичноЙ обмоток и номинальные токи этих оБNОТОК.
Таким образом, приведенные значения парам€rров r2J Ml
1
L ;
:!. равны:
, k / .' k 2
 ; 1 ,
м 12 === М 12 12 === М 12 1 2и [ 1н , L 2 == L 2 12 ==== L2I
H I!H'
, k 2 1 2 / / 2
r2 === r2 12 ==='2 2н 1и.
Сравнивая полученные выражения с (2..40)
(2..4
), видим, Что
в последних параметры сначала приведены к первичнойцепи, аЗа-
тем отнесены к базисным величинам первичной же цепи, что дает
их относительные значения. Отметим, что если оазисная мощ-
ность первичной цепи Рlб выбрана

равной
 номинальной МОЩ'
ности SH' то


12б/I

 == 1 2H /I 1H ;
в случае произвольноrо выбора Рlб
12б/ 1 lб
f
 1 2H /I 1H ,


и это будет означать, что приведение параметров тrаНСфОРМ8ТGrа
к первичной цепи в выражениях (2..40)
(2..42) П
ОИ3ВОДИ1сrI
с коэффициентом трансформации, отличным от общепринятою
в теории трансформаторов.
Если необходимо получить уравнения напряжений в ОТНОси"
тельных единицах, сохраняющие вид уравнений с
!!зически
!И
величинами, для мноrообмоточноrо TpaHC(pOpl".1aTO
a, то СООТНО"
шения между базисными величинами (2..31 )
(2..37) ДО,1ЖНЫ Бы
ьb
распространены на все обмотки трансформатора. lаКИ\1 образо
,
для любоЙ х..й обмотки будеl'А иметь
U хб === 'I'хБU)Б; Ч'Хб == Lхбl хб ;
zхб :::=: LхБUJ Б ; р хб === и хб l хб === Р lб'


(2.43; 2,
4)
(2.45; 2,
6)


Относительные значения параметров всех оБМ010К (кроме пер"
вичной) определяются, как и в двухобмоточном тrансформатоrе,
делением приведенноrо к первичной обмотке параметра на оа..
зисную величину первичной обмотки. Например, ВJаимная ИЯ"
дуктивность второй И третьей обмоток М 2З , приведенная к Пер"
вично
 обмотке, равна
М , 1\ А k k М ( 12H ) ( 13H ) М 12611О
23 .::= 1V123 12 13 == 23

 -== 232'
lН lН l 1о


'"


rде k 12 , k 1З
 коэффициенты трансформации между первичной и
соответственно второй и третьей обмотками. Относительное
aa"
чение этоЙ индуктивности
М 2З === м;з === М 2З 1 2
I3б .
L1б L 1 б llб
61




Таким образом, относительные значения параметров для х..й об..
мотки и взаимных индуктивностей k..й и х..й обмоток равны:
Lx ::=:: Lxkix/ L 16 ; r х == r xkix/ Zlб; M kx == M kx k lll k 1x / L 1б ,


rде k 1x :::::: I лб /l 1б ; k 1k == I kб / I 1б
 коэффициенты трансформа..
ции между первичной и соответственно х..й и k..Й обмотками;
I хб , I kб
 базисные токи х..й и k..й обмоток.
Возвратимся к синхронной машине. Вдоль осей d и q она мо"
жет рассматриваться как мноrообмоточный трансформатор, при..
чем роль первичной обмотки трансформатора иrрают продольный
и поперечный контуры статора, а остальные обмотки трансформа..
тора
 это роторные контуры по осям d и q.
Если обратиться к общепринятым базисным величинам, то
можно заметить, что они удовлетворяют условиям (2..43)
(2..45).
Сложнее дело обстоит с роторными базисными величинами.
Широкое применение до сих пор имеет система базисных Be

личин, введенная ПаРКОNI. В этой системе в качестве базисных
величин тока, напряжения и потокосцепления любоrо pOTopHoro
контура выбраны такие значения, которые, существуя в данном
контуре, обусловливают на статоре в режиме холостоrо хода но..
минальное напряжение по спрямленной характеристике холостоrо
хода (напомним, что идеализированная машина имеет прямоли..
нейную характеристику холостоrо хода).
Имея в виду, что за базисное напряжение на статоре принято
ero номинальное значение, в соответствии с определением Парка
получим, например, для базисных величин обмотки возбуждения
следующие выражения:
и б === М апd fJ)l[ вб; и вб === r в 1 вб; ч' вб === LBI вб'


Ясно, что эти соотношения не подчиняются условиям (2
43)

(2..46). Следовательно, уравнения напряжений роторных KOHTY

ров И потокосцепления машины в таких относительных единицах
принимают форму, отличающуюся от обычной для индуктивно..
связанных электрических цепей. Несмотря на это, система базис..
ных величин Парка достаточно проста для машины с одним КОН..
туром на роторе
 обмоткой возбуждения. Однако уже при на..
личии в машине по одному деlVlпферному контуру в каждой из осей
(d, q) эта система становится мало удобной, сохраняя свой недоста..
ток
 физическую ненаrлядность уравнений в относительных еди..
ницах, получаемых с ее помощью.
Чтобы уравнения напряжений синхронной машины, записан..
ные в относительных единицах, сохраняли физическую ясность
при любом числе контуров на роторе, нужно выражения для по-
токосцеплений контуров машины преобразовать к виду, при ко..
тором выполняется принцип взаимности в отношении индуктив"
ностей, а затем базисные величины роторных цепей подчинить
условиям (2..43)
(2..46). Сделаем необходимые преобразования
62




для потокосцеплений прод()льных контуров машины, которые
можно рассматривать как обмотки мноrообмоточноrо трансфор..
матора. Выше, в Э 1..6, уже указывалось, что для соблю..
дения принципа взаимности необходимо токи всех цепей ротора
уменьшить в 3/2 раза, а индуктивности этих цепей увеличить
в 3/2 раза. Тоrда выражения потокосцеплений продольных конту"
ров (1..33), (1..35), (1..36) принимают вид
\jJ{t
 LdiJ + ( + M aBd ) ( + i B ) + ( + М аЭd ) ( ; i эd ); (2
47)
\jJB
(
 MaBd)id+(+LB) (fi B )+(+м вэd )( ; iЭ{t); (2
48)
\jJЭd === ( + М аэd ) id + ( + М ВЭd ) (+ i B ) + (+ L эd ) ( + i эd ) . (2
49)


Пусть для продольноrо и поперечноrо контуров статора базис..
ными током, потокосцеплением и индуктивностью будут вели..
чины / б, 'l' б' L б , соответственно для обмотки возбуждения / вб'
ЧJ'вб, L вб , а для демпферных контуров /Эб' Ч'эб' L эб . Будем счи..
тать, что эти базисные величины подчиняются соотношениям
(2..43)
(2..46). Тоrда выражения (2..47)
(2..49) в относительных
единицах принимают вид
Фd :=:::: Ldid + MaBdi B + Маэdiэd;
........ .....
.....


'Р н :=:::: M aBd.!d

 L B i B + М вэd!эd;
Ф эd === М аэ{l
d + М вэd
в + Lэdi эd ,


(2..50)


rAe в соответствии с формулами,
иоrо трансформатора:
М 3M aB d k
у I
 aBd == 2Lб св;


полученными для мноrообмоточ..


М 3Маэd k .

Qэd === 2Lб СЭ'


."


М 3Мвэd k k ·

вэd == 2Lб св СЭ'


L
 3L B 2.

B
 2Lб k CB '


L 3Lэd k 2

 эd ==:: 2Lб сэ'


коэффициенты трансформации: k CH == 2/ вб /(3/ б ); k сэ == 2/;jб/(3/ б )'
Аналоrичная запись для потокосцеплений и индуктивностей
может быть сделана для поперечных контуров машины на осно" .
вании выражений (1..34), (1..37):


'P q
 L q!q + М аэq
эq; 'Р эq === М аэq
q + L эq
эq,


(2..51)


rде


3М аэq
М а эq === 2Lб k сэ ;


3L эq
L эq === 2Lб k
э.


63




Подчинение базисныIx величин условиям (2..43)
(2..46) позво..
ляет установить связь ,между базисными величинами роторных
цепей и обмотки статора. Поскольку для синхронной машины
в (2..46)


')
Р 1б == Р б === 1 ,5и б! б === 1,5z б l б ,
то из (2..43)
(2
45) получим
U.\б == 1,5U б k л ; Ч'Хб:::=: 1,5Ч'б k х; }
l..Jхб:::=: 1,5L б k;; Zхб -===.1,5z б k;,


(2..52)


rде kx == / б/ 1."'6'
Уравнения напряжений роторных контуров в относительных
единицах на основании изложенноrо должны иметь такой же вид,
как и уравнения с физической размерностью, т. е.
Ив == Р'tФв + r BiB;


РtФэd + 'эdiэd == о;




Р tф эq +
эq
эq == о,


(2..53 )


rде


'ф[3 == 'fв/Ч' вб .:::::: 'Рвkсв/Ч' б; 'в:::=: , в/Zвб
 1 ,5, вk
в/Zб;



'фэd === Ч'эd /Ч! эб
 1Рэd kсэ/Ч' б; 'эd === 'эd / zэб == 1 ,5r э d k
э/ 2б;



Ф эq === 'Рэq/Ч' эб == 'Рэqkсэ/Ч' б; , эq ==, эq/ Zэб == 1 ,5, эqk
э/ Zб.
Все базисные величины роторных цепей (2..52) определяются
при выбранных базисных величинах статора лишь отношениями
/вб//б' /Эб//б' т. е. при известном базисном токе статора /б зави..
сят от выбора базисных токов обмотки возбуждения / вб и демп"
ферных контуров / эб' Ввиду Toro что в синхронной машине коэф"
фициент приведения обмоток ротора к статору не получается та..
ким определенным, как в трансформаторе, так как обмотка ста..
тора распределена более сло)кно, нежели обмотка трансформатора,
базисные токи роторных цепей у различных авторов оказались не..
одинаКОВЫ1\1II. Но коэффициенты приведения, или, что то же самое,
отношения базисных токов роторных цепей к базисному току ста..
тора, у различных авторов отличаются не очень сильно и близки
к тому значению, которое принимается в трансформаторах
(/ХН/ /lи === ш 1 /ш х ). Это позволяет получать все индуктивности цe

пей в относительных единицах, как и в трансформаторе, вели..
чинами одноrо порядка.
Рассмотрим наиболее важные из числа применяемых отношения базисных
токов 1 вб/ 1 б; 1 эб/ 1 б [72].
1. За базисный ток обмотки возбуждения 1 в6 принимается такой ток, при
котором поле обмотки возбуждения индуктирует в фазной обмотке статора напря

жение с амплитудой, равной XadI6. Иными словами, базисный ток возбуждения
1 вб создает в зазоре такое же поле первой rармоники, как и продольная реакция
якоря при токе 1 б, так как последняя индуктирует в статоре напряжение Х а {/' б'
64




Отношение 1 вб/ I б леrко определяется из условия равенства указанных выше
первых rармоник индукций в зазоре. Амплитуда первой rармоники поля обмотки
возбуждения при токе возбуждения 1 вб
1 вБWвllо k
ВВ1 == бk{) 81'


rде {)
 зазор; k б
 коэффициент зазора; W s
 число витков обмотки возбужде-
ния на полюс;
o
 проницаемость воздуха; k B1 == ВВ1/ Вот
 отношение ам-
плитуды первой rармоники индукции поля обмотки возбуждения к максималь-
ному ее значению.
Амплитуда первой rармоники поля реакции якоря при амплитуде тока ста-
тора 16


1,351бwkобl
o k
Ва! === V
 бk d1'
2 РП о


rде w, k о бl
 число витков и обмоточный коэффициент обмотки статора; k d1 ===
=== Bal/ Вот
 отношение амплитуды первой rармоники индукции поля реакции
якоря к максимальному ее значению.
Из условия В в t === В а1 находим
1 вб == 1,91 wk Об1 kdl
1 б 2рп w в k B1 ·


За базисный ток эквивалентных демпферных контуров 1 эб принимаем ток,
который, протекая в эквивалентном демпферном контуре, создает поле основной
rармоники, индуктирующее в статоре напряжение Хаd1б. Таким образом, получим
аналоrичное соотношение базисных токов 1 э6 и 1 б=
1 ':Jб == 1,91 wk Об1 !.!..rJ..
,
lб 2рп w д k Д1


rде Ш д
 число витков демпферноrо контура (практически Шд == 1); k Д1
 от-
ношение амплитуды первой rармоники индукции поля возбужденноrо демпфер-
Horo контура с шаrом, равным полюсному делению, к максимальному значению
индукции этоrо поля (практически k Д1
 k B1 ).
Для таких базисных токов ротора MaBd === Xad. Назовем определенную



описанным способом систему базисных токов роторных цепей «система xad»'
2. Определим базисный ток 1 вб как ток обмотки возбуждения, при котором
М. д. с. этой обмотки на полюс равна амплитуде м. д. с. реакции якоря при токе 1 б
по прямоуrольной волне (в 4/л раз меньшей амплитуды первой rармоники м. д. с.).
Пусть базисный ток деl\Iпферноrо контура определяется аналоrичным образом.
В этом случае


l в 6
16


1,5wk о бl
2рп w в


l э б
16


1,5wk o 61
2рп w д


..


Такая система базисных токов ротора называется «система м. д. С.».
3. При анализе синхронных машин с помощью схем замещения удобной
является система базисных токов, для которой взаимные индуктивности контура
статора, обмотки возбуждения и эквивалентноrо демпферноrо контура равны
между собой. При равенстве взаимных индуктивностей цепей схема замещения.
Составляется наиболее просто. Для этоrо случая соотношения токов имеют вид


l в б
lб


1,5wk о бl k Д1 .
2рп w в k до '


/эб
16


1,5wk о бl
2рп w Д


k B1
k до '


rде k до определяем аналоrично коэффициенту k дl , но полаrая, что поток первой
rармоники поля равен действительному потоку, возникаюu\ему при возбуждении
эквивалентноrо демпферноrо контура.


3 А. И. Важнов


65




13 дальнеЙlпем для синхронной машины с одним KOHTypOf\.1 на
роторе
 обмоткой возбуждения, а также для машины с сим

метричным ротором и трехфазными обмотками будет использована
система относительных единиц, принятая Парком. Для синхрон"
ной машины с д
мпферными контурами
 «система Xad»'


2..6. УРАВНЕНИЯ В ОТНОСИТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ ДЛЯ
МАШИН С ОДНОЙ ОБМОТКОЙ НА РОТОРЕ. Уравнения
синхронной машины с одной цепью на роторе
 обмоткой возбу..
ждения и машины с симметричным ротором и трехфазной обмот"
кой на нем даются в форме, предложенной А. А. ropeBbIM [21].
Синхронная машина. При наличии на роторе только обмотки
возбуждения из всех уравнений машины (2..21)
(2..26) остаются
лишь первые три уравнения напряжений и уравнение моментов.
Подставив в них выражения потокосцеплений (1..33)
(1..35), в ко..
торых токи демпферных контуров должны быть положены равными
нулю, получим

Ud === (PtLd + ') id + Lq(f)l (1 + s) iq + PtMaBdiB;

Uq ==
 L d (f)l (1 + s) id + (PtLq + ') iq
 M aBd (f)l (1 + s) i B ;
Ив === Pt. 1 ,5M aBd i d
t (PtLB
:
 r B ) i B ;
М == JQIPtS + 1,5рп [(Ldid + MaBdi B ) iq
 Lqiqi d ].


Введем в эту систему индуктивные сопротивления Ld(i)l ==
== Xd; L q UJ l === X q ; M avd UJ l == XaBd; L B UJ l == Х В ; коэффициенты,
характеризующие рассеяние энерrии в контурах, Pd === '/ Xd;
/ / u фф 3 x
Bd
Pq == r X q ; Рв == ' в Х В и некоторыи коэ ициент f.1 ==
 2 '
XdXB
смысл KOToporo будет пояснен ниже. Тоrда приведенные уравне..
ния принимают вид



Ud ::::::;: ( ...PJ... + P d ) Xdid + (1 + s) xqiq + ...PJ... XaBdiB;
Юl Ш 1


(2..54 )



Ич =:;

 (1 + s) Xdid === (
: + рч ) хчёч
 (1 + s) xaBdi B ; (2-55)


xaBd
 Pt . + ( Pt
 ) . .
ив
 II Xdld I Рв XaBdln,
Х В Юl Юl


(2..56)


MQl == JQI(i)l Pt S + 1,5 r (Xdid + XaBdiB) iq
 xqiqi d ].
Юl


(2..57)


Переведем все величины в этих уравнениях в относительные
единицы. I-1:апомним, что для обмотки возбуждения за базисный
ток 1 Rб принимается такой ток, который создает на холостом ходу
поток, индуктирующий при номинальной частоте вращения ро..
тора номинальное (базисное) напряжение в статоре, а базисное
66




напряжение и вб
 это напряжение, создающее в обмотке возбу

ждения ток ! вб' На основе этих определений получаем
U б == X aBd ! вб; U вб === 1 вб' В' (2
58)
и, следовательно, базисные напряжения находятся в соотношении
и XaBd == и XaBd == и ( 2
59 )
вб,в вб ХвРв б'


Базисное потокосцепление для обмотки возбуждения Ч' вб co

здается в режиме холостоrо хода базисным током ротора; следо

вательно,


чr вб === L B / вб' (2
60)


Отметиrvl также, что в системе относительных единиц
р б === 1 ,5и б! б === М Б U)llрп == Nl Б Q 1' (2
61)
В уравнениях (2
54)
(2
57) Pt/OO1 === d/d (too 1 ) == d/dL обозна

чает дифференцирование по синхронному (относительному) Bpe

мени L. Будем обозначать символ дифференцирования по 't бук

вой Р-с.
Разделив (2
54) и (2
55) на И б соrласно (2
58) или равную ему
величину Zб! б' уравнение (2
56)
 на СООТНОlпение (2
59) и ypaB

нение (2
57)
 на соотношение (2
61), а также введя обозначения:
е о XaBdiB JQiffil
ed == xdi d ; ':.q ==
q
q; е о == и б === и б === t B ; Н j == Рб


получим для синхронной машины без демпферной обмотки систему
уравнений в относительных единицах:


[
o!!.q ( 1 1 ) ]
м === HjpTs + +


 edeq .

 Х Х X d



q
q



(2
62)
(2..63)
(2
64)
(2
65)



Ud === (Р,; + Pd)
d

 (1 + s)
q + P-r:
o;

uq==
(l +s)
d+(Р-с+Рq)
q
(l +s)
o;
рвив ==
tp1;ed +
 (рт; + Рв) ео;





Потокосцепления в относительных единицах равны:
Ф d ===
d +
o ==:d +
B; 'Ч' q ==
q; (2
66; 2
67)

'B ===

d +
O ==

d +
B. (2..68).


Постоянная Hj называется инерционной постоянной и имеет
Простой физический смысл. Пусть ротор отсоединенной от сети
Машины разrоняется из неподвижноrо состояния (Q == о; S ===
l)
Моментом, равным базисному. Тоrда время в электрических радиа

Бах т, необходимое для достижения ротором синхронной частоты
3* 67




вращения (s == О), и будет равно инерционной постоянной. В ca

мом деле, для рассматриваемых УСЛОВИЙ уравнение (2
65) прини

мает вид 1 == HjPts. Интеrрируя ero, получим Н/ == '{. Если инер

ционная постоянная Hj измеряется в секундах, то
Hj === JQI/Рб === 2,74GD2ni.lO
6 /Р б ,


rде GD2
 маховой момент вращающихся частей, Kr. м 2 ; Р б

В киловольт
амперах; п 1
 синхронная частота вращения, об/мин.
ОТ
lетим еще раз, что в принятой системе базисных величин
для ротора относительное значение э. д. С., индуктируемой в CTa

торе полем обмотки возбуждения е о , численно равно относитель

ному значению тока возбуждения i n . Можно в качестве пере

менных рассматривать не напряже ни я ed , !!..q,!!.o (токи i d , i q ,
B)'
а потокосцепления 'Фd, 'Фq, 'Фв' Определим напряжения из (2
66)

(2..68) через потоко сц е пл е ни я машины:


ed ===
 (ФВ
 Фd)/а;
q ==== 1Р ч;
O == ( Ф В

 'Pd )/a,
rде а == 1

.
Подставив напряжения (2
69) в систе
АУ (2
62)
(2
65),
иметь


(2
69)


будеrvl




 Ud === (р,; + Р
)- Ф d + (1

 s) ф q
 Р
 ФВ ;


 Uq ===
 (1 + s) Ф d + (р,;

 pq) Ф q ;
rBU B === (р,; + p
) Фв
 f-tР
Фd;


(2
 70)
(2
 71 )


(2
 72)


м == н .ptS
t [ !q!B
 (


 )
'qФd ] ,

 J (J!d a
d
q




(2
 73)


rде Pd :::::: Pd/ a ; p
 == рв/а.
Выражение в квадратных скобках в (2
 73) представляет собой
электромаrнитныЙ момент.
Формально введенные в уравнения коэффициенты !-1 и а имеют простой физи

ческий смысл.
Нетрудно убедиться, что коэффициент
t представляет собой коэффициент
маrнитной связи продольноrо контура статора и обмотки возБУ2Кдения.
Если имеются два трансформаторно
связанных контура с индуктивностями
L 1 И L 2 И взаимной индуктивностью М 12 , то для оценки степени электромаrнитной
связи контуров обычно используются коэффициент маrнитной связи k ==
== Mi,i(L 1 L 2 ) и полный коэффициент рассеяния двух контуров а == 1
 k. При
полной связи, коrда не имеется полей рассеяния, L 1 == L 2 == М 12 И k == 1, а а == О.
ДЛЯ синхронной машины с одним контуром на роторе можно рассматривать
в трансформаторной связи два контура по продольной оси
 реальный контур
обмотки возбуждения и некоторый эквивалентный контур статора по продольной
оси. Потокосцепления этих контуров в физических величинах равны:


'Фв === LBi B + 1,5M an d i d;


'Фd == Ldid + MaBdiB'


68




Таким образом, в рассматриваемом случае индуктивности контуров равны Ld
и LB' а взаимные индуктивности, как уже отмечалось, оказываются неодинако

выии и равны 1 ,5
aBd и MaBd' Следовательно, П,? общему определению, коэф

фициент маrнитнои связи контуров в синхроннои машине равен
2 2
3 M aBd 3 X aBd
2 LBLd == 2 XBXd


т. е. представляет собой величину, ранее обозначенную f.t; коэффициент рассея

ния рассматриваемых контуров а == 1
 f.t.
Выражения коэффициентов II и а через эквивалентные пара

метры обмотки статора машины приводятся в
 3..2.
Машина с трехфазной обмоткой на симметричном роторе.
в ведеlVl в систему (2..27)
(2..29) индуктивные сопротивления
L, ' Ш 1 == X(f; L"Ю 1 === X r ; М т (!)1 === Ха; коэффициенты, характери

,,

зующие рассеяние энерrии в обмотках, Ps === rslXd; r, === r,lx r и
коэффициент маrнитноЙ связи ,"",С === X
/(XdX,). Тоrда исходная си

стема уравнений принимает вид

 Й
 === (РТ + j) (Xdis + Х(/Т)

 psxdi.');
xau,lx, -== (рт;
 js) (flcXdis


 Xa i ,) + Prxa i ,;
*
MQ1 == 1 ,5Х а 1т (tsi,) + JQiffilРт;S.
Примем ту же систему базисных величин Парка, которая была
выбрана для синхронной машины. Обозначим базисные величины
напряжения, тока, потокосцепления ротора соответственно через
U rб ' I rб , Ч',б' Для них можно повторить соотношения (2..58)

(2
61) в обозначениях, принятых для рассматриваемоrо типа Ma

шин:


U б == хаJ rб ; И rб == Irб'r;
И'б Ха =-=И б ; Ч'rб== Lr,!rб'
XrPr


(2
 74)
(2
 75; 2..76)


Разделив уравнение напряжений обмотки статора На и б со..
rласно (2.. 74) или равную ему величину Zб! б, уравнение напря

жений обмотки ротора
 на соотношение (2.. 75) и уравнение MO

ментов
 на соотношение (2
61), а также введя обозначения:
·
 .. ·
 · / и
.
e s
 xils, ео
 xaL" б
 L"


........... .........



получим систему уравнений в относительных единицах, содержа-
щую переменные в синхронно вращающихся осях:



us === (Pt + j) (ё s

 ё о )

 pse.,;
рт и , === (рт;
 js) (
ces + е о ) + rr
;


(2..77)
(2
 78)


1 .* ·
м == HjP-rs ===
 1ш (eseo).

 Xd


69


(2
79) \




Потокосцепления в относительных единицах:


. . .
'Ч's === e s + ео;





. . .
'Ч', === l1c e s + ео.





(2..80; 2..81)


Систему (2.. 77)
(2.. 79) l\10ЖНО переписать относительно пере..
. .
менных 'Ч's, 'Ч',. Выполнив операции, аналоrичные тем, которые
соверша ли сь
при подобном видоизменении уравнений синхронной I
машины, получим


. ..

 Us === (Рт: + р; + 1' )Ф s
 Р ;'Ч' r;


. ..
prUr === (р;;

 р;
 js)Фr
 P;t-tсФs;




1 * ·
м === Hjpts + 1т (фsф,),

 (JcXd


rде p
 == Ps/cr c ; р; == p,/cr c ; полныЙ коэффициент рассеяния ас ==
== 1
 11. Последнее слаrаемое в (2..84) представляет собой элек-
тромаrнитный момент машины.
Уравнения машины в системе координат (х к , ВК, вращающихся с произволь..
ной частотой ООк, можно получить из уравнений в синхронно вращающихся осях
(2..77), (2.. 78) или (2..82), (2..83). Переход от од..
них осей к друrим в отношении комплексных
переменных рассматривался в
 }..7. На рис. 2..7
показан в качестве примера изображающий
вектор (комплексная переменная) .. потокосце..
плений обмотки статора: AprYMeHT
' комплекс-
Horo потокосцепления 'ф определяется уrлом,
на который он . сдвинут относитель но вещест..
венной оси а. На рисунке также показаны
оси ct s , Bs, неподвижные в пространстве; оси
(х к ,
K' вращающиеся с произвольной часто-
той оок, наконец, оси (Х К l,
Kl' вращающиеся
с синхронной частотой 001' Изображающий век-
тор потокосцеплений статора
s В осях (х к1 ,

1
может быть представлен соrласно рис. 2..7 в виде
Фs J;:;" (ф /eT
. Этот )ке вектор фsк В осях (ХК,
K


( )
s(+f)
()(,I( + 1
rx/(f(+ 1) r; к


f3s (+j)


( 2..82)
(2
83)
(2..84 )


· · j
 · j'V 1
'Ч'-,>к == 1 'Ч' I е к == 'Фsе К,


Рис. 2
 7. К определению изо..
бражающеI
О вектора в раз
 rAe '\'Kl ==
K

 == OOlt + 60 ----- 6 к ,
личных осях Координат Итак, комплексные переменные в осях (Х К ,
K
получаются умножением комплексных перемен..
ных в синхронно вращающихся осях на координатный множитель e i 'V K1
Обозначим переменные в осях (Х К ,
K В подстрочном индексе буквой «к».
Они равны:
· · jV 1 . · jv 1 . · J V · · J '"
u .

 U е к. U и е К. '\1'\ '\1'\' кl. '\1'\ '\1'\' 'Кl
51(
 s , тк == r ,
SK == .:!.se '!!,К -== 'У,е .


Для перехода в уравнениях к переменным в осях (х к ,
K умножим (2..82)
и (2..83) на ei'\'l{l. Учитывая, что
( . i У ) j у. · jv
PI: 'Ч's е кl == е К1 РI: 'Ч'S + j (Р't'\'Кl) 'Фs е Кl;
Рт.бк == (ок ! 001 ; Рт;"(Кl == 1
 ООк!ООl === J
 сок


70




И, следовательно,


jy. .
е кl (р't 'Ф
 ) == [P't
 j (1
 <O
K)1 'Ф SК'
а также аналоrичные соотношения ддя потокосцеплений .ф, и 'Фr к, вместо (2-82)
и (2-83) получим ..
----- U SK === (P't + p
 + j O> K) 'ф SK
 р; 'Ф rк ;
Р, U ,к === [P't + p

 j (1
 (о к + S)] 'Ф ,к ----- Р;J.t с'Ф SK.


Произведение комплексных потокосцеплений, определяющее u электрома-
rнИТНЫЙ момент, остается неизменным при переходе от одних осеи к друrим:
*. * jV ·
 jV *.
'Фs'Ф r === 'ЧJ sке К1 'Ф ,ке к! =-

sк 'Ф rк'


2-7. УРАВНЕНИЯ В 01'НОСI1ТЕЛЬНЫХ ЕДИНИЦАХ для
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ С ДЕМПФЕРНОЙ ОБМОТКОЙ.
В общем случае на роторе синхронной машины, кроме обмотки
возБУiкдения, располаrается еще демпферная обмотка. Наличие
ЭТОЙ обмотки усло)княет анализ процессов в синхронной машине:
в систеl\1е дифференциальных уравнений машины дополнительно
появляются уравнения напряжений демпферных контуров по
продольной и поперечной осям. Уравнения с переменными, име..
ющими физическую размерность, составляют систему (2-21)

(2..26), (1..33)
(1..37). Следуя ранее избраННОl\1У пути, используем
систему относительных единиц и приведем уравнения к виду,
при котором 01lИ будут содержать безразмерные величины. В от..
личие от paCCl\tIOTpeHHoro случая для машины с одним контуром
на роторе, коrда была использована система относительных еди..
ниц, предложенная Парком, применим теперь друrую, достаточ"
но распространенную систему
 «систему Xad» (Сl\Л.
 2..5), как
более ясную и удобную для машины с демпферными обмотками.
НаПОl\1НИМ, что в этой системе базисные величины, относящиеся
к статору, остаются таКИl\1И же, как и в системе Парка; роторные
базисные величины связаны со статорными величинами СООТНО"
шениями вида (2..52). Разделим уравнения напряжений статорных
цепей (2-21) и (2..22) на базисное напряжение статора И б == Ч'б(д1 ==
=== Zб! б, уравнение обмотки возбуждения (2..23)
 на базисное
напряжение этой цепи и вб == 'f вб (й1 == Zвб! 136' уравнения экви"
валентных демпферных контуров (2..24) и (2..25)
 на Изб ==
=== Ч'ЭБU)1 == ZЭб! эб и, наконец, уравнение моментов (2..26)
 на
базисный момент Мб == Р б/ Q l == 1,5 И б l БРП/ 0)1 == 1 ,5Ч! б l БРП'
В результате получим систему уравнений синхронной машины'
в относительных единицах:



!!d === P -rФ d + (1 + S) ф q + !id ;

Иq ==
(l + s) 'Pd + Р'tфq + riq;
....... .............
.......
И в === Р-r ф в + !..в iп ;


P -rФ эd + Сэd
эd == о;


Р-r
эq + Сэq
эq === о;


(2..85)
(2..86)
(2..87)
(2..88; 2-89)


71




м === Hjp7:s + ( Ч' d&
 \}Jq
d);
'Ч'd === Ldid + MaBdi B

 Маэdiэd === Xdid + XaBdiB + хаэ(/i эd ;
.......... .......



 --- .-......
 .......

---
Ч' q == L q
q + М аэq iэ q ===
q
q +

иэq i э q ;
'Рв -== MaBdi d + LBi B

 МВЭdiэd ==- XaBd(l

- хвi п + хпэdiэ(z;
............



 ...................... ............
 .... .......


Ф9 d === М аэ di d + М вэ di в + Lэdi эd ==
аэdid +
пэ(l
в

Хэ{liэd;
Ч' эq == Ма эq i q + Lэqi э q ==
аэq
q + Х
q
эq'


(2
90 )
(2
91 )
(2
92)
(2
93)
(2
94 )
(2
95)


Относиrельные значения потокосцеплений и индуктивностей
определены выражениями (2
50) и (2
51). Соотношения (2
91)

(2
95) представлены двумя равноценными формами записи, так
как относительные значения индуктивностей и соответствующих
индуктивных сопротивлений равны друr друrу.
Следует подчеркнуть, что полученные уравнения в относитель-
ных единицах справедливы не только для баЗИf,
НЫХ величин
«системы Xad» , НО И для любоЙ друrой системы, если только po

торные базисные величины связаны со статорными соотношениями
(2
52). Ведь в последних ОТНОlпения базисных ТОКОН статора и
роторных цепей MorYT быть заданы не единственным способом.
Рассмотрим один частный, но чрезвычайно важный случай,
I1
[ -:t р
Рnе.Уппнmtf Пn('\fТ Р

_.....JvУ r(\n Rn
IП
l?тr

., п()rТ()c;lIlнпй П3. J
стотой. CTporo rОБОрЯ, это нереальный случай, однако для ряда
задач допустима подобная идеализация Б отношении частоты вра..
щения машины. При этом s == const, вследствие чеrо дифференци

альные уравнения напряжениЙ (2
85) и (2
86) становятся линей

ными.
Любую переменную, входящую в уравнения, можно предста

вить в общем виде суммой двух членов
 значения этой перемен-
ной в исходном установившеl\1СЯ режпме и отклонения переменной
от этоrо начальноrо значения, возникающеrо в переходном про

цессе. Например,
Ud === UdO + ДUd; Ф d ==:;: Ф dО +
 Ф (i; i.1 ==
dO + l1
d и Т. д.,


.I.



rде Ud O, 'Ч'd О,

O
 значения переменных Ud , 'Ч'd , id В исходном
установившемся режиме или начальные значения переменных при
l' == о; Д-Ud'
'Фd'
id
 отклонения переменных от исходных




значений. Последние являются функциями времени, но при L == О
Все искомые величины (изменения потокосцеплений, токов) равны
нулю. Лишь изменения «внешних сид»
 напряжений на зажимах
обмоток (по крайней мере, некоторых из них)
 при 't == О OT

личны ОТ нуля, так как они являются причиной возникновения
переходноrо процесса.
Подставив в (2
85)
(2
89) все переменные в указанной форме
и исключив величины установившеrося режима, тождественно
72




vдовлетворяК'шие уравнениям, получим уравнения
01 u
щеНИИ переменных в виде


U d
 pt
 'l'd

 (1

 s) Ll 't'q

 С

d;

 ДU q --
-


(1
r s)
 'l' q + РL
 Ф
I +.с
!q;

иB :=::: р-с L1'фв + r B дё в ;

 .....



РL
 Фэ d + с.э(l
iэ d :=-..
 о; Р1:
 'Рэ q + J'э q!1 i э q == о.


для прира-


(2.. 96)
(2..97)
(2..98)
(2
99; 2..100)


Приращения потокосцеплений и токов связаны соотношениями
вида (2..91)
(2..95).
2-8. ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ СИНХРОННОvI МА..
ШИНЫ. В современной практике широко' используются опера-
торные уравнения машин переменноrо тока. Такие уравнения
представляют интерес не только в отношении экономичной за..
писи и быстроты решения конкретных задач, но и оказываются
весьма удобными при исследованиях параметров машины, по-
строении схем замещения, а также для применения частотных ме-
тодов анализа переходных процессов.
Ниже на примере синхронной машины кратко излаrается оле-
раторный метод решения дифференциальных уравнений.
Следует заl'vlетить, что при переходе от исходной функции

ориrинала ер (1') К ero изображению ер (р) используется преобра..
зование Карсона
Хевисайда:


ео


ер (р) :=с р f e 7t ep (т) d..
о
Будем ориентироваться на такие задачи, в которых сколынсенuе
nосmоЯнно. При этом решению подлежат только уравнения на-
пряжений
 либо (2..85)
(2..89), либо (2..96)
(2-1 00). Предпочти-
TeльHee последние, так как искомые переменные в них при 't === О
обращаются в нуль и поэтому операторные уравнения получа..
юте я наиболее простым и: они должны иметь вид исходных диф-
ференциальных уравнений (2..96)
(2..100) с той лишь разницей,
Что вместо переменных (ориrиналов), являвшихся функцией вре-
мени т, будут их изображения, ЯВЛЯЮПlиеся функцией р, а знак
дифференцирования р1: должен быть заменен на символ р, который
становится обыкновенным l\1ножителем. В дальнейшем изображе..
ния переменных обозначаются так же, как и ориrиналы, но с ДО"
бавлением знака (р), показывающеrо функциональную зависи.. .
масть от р. Например, L1id (р) есть изображение тока
id'
Н ачиная с эmосо парасрафа будем для простоmы OnYCKaпlb черту
в обоэначенuях Оfпносumельных величин, поскольку в дальнейшем
преимущественно используются безразмерные величины. Приме-
НеНIIе величин с физическоЙ размерностью будем специально oro..
ВаРИВать.


7





с учетом сделанных замечании запишем операторные уравне-
ния синхронной машины в виде


Ud (Р) === Р L\Ч'd (р) + (1 + s) L\'I'q (р) + r L\i d (Р);

t1Uq (р) ==
 (1 + s) L\'I'd (р) + р L\'I'q (р) + r L\i q (Р);
L\u B (р) :=:: р
Ч'В (р) + r D L\i B (р);
Р L\'I'эd (р) + rэd L\i эd (р) ==== о;
Р d'l'эq (Р)
t r эq L\i эq (р) === о,


rде


L\'I'd (Р) == x d L\i d (Р) + XaBd !!i B (р) + Хаэd !!i эd (р);
!!ЧJq (р) === x q L\i q (Р) + Х аэq !!i эq (Р);
!! 'Рв (Р) === XaBd !!i d (р)

 Х В !!i B (р) + Хвэd !!i эd (р);
t1Фэd (р) === Хаэd Дi d (р) + Хвэd !!i B (р) + Хэd t1i эd (р);
!!'I'эq (р) == Х аэq !!i q (р) + Х эq L\i эq (р).


(2..1 01)
(2..1 02)
(2..103)
(2-104)
(2..105)


(2..106)
(2..107)
(2..108)
(2..109)
(2..11 О)


Во мноrих случаях исследование переходноrо процесса требует
лишь определения токов в обмотках статора 1\lашины, непосред-
ственно включенных в энерrосистему. Поэтому, рассматривая
синхронную машину как элемент энерrосистемы, удобно опери..
ровать только с уравнениями напряжений статорных обмоток.
При этом, конечно, токи роторных контуров, содержащие
я в вы-
ражениях для потокосцеплений якоря, должны быть исключены
с помощью уравнений роторных цепей (2..1 03)
(2..1 05).
Исключим сначала роторные токи ЕРОДОЛЬНЫХ контуров В вы..
ражении потокосцепления статора по продольной оси (2..106).
Зависимость L\'lJd(P) только от тока L\id(p) может быть получена
из уравнений (2..106) и операторных уравнений напряжений ро..
торных контуров по продольной оси (2..103), (2..104), которые после
подстановки в них изображений потокосцеплений (2..108), (2..109)
принимают вид
8и в (р) === P.XaBd 8i d (р) + (
XB + ' в ) 8i п (р) + Р
вэd 8i
(P); }
РХ аэd !1l d (р) .t РХ':э(t !1l s (Р) + (РХэd + 'эd) L\lэd (Р)
 о.
(2.. 1 1 1 )


Из указанной системы трех алrебраических уравнений нахо-
дим изображение тока
L\' ( )

'Pd (р) M 1 (р)

иB (Р)М 2 (р)
td Р
 D (р) ,


rде D (Р)
 определитель систеrvlЫ:


Xd X aBd Хаэd
D (р) :==:: PXaBd (рх п + r п) рХr;эd
РХаэd РХвэd (РХэd + rэd)
74


(2..112)




а . М 1 (р) И М 2 (р)
 миноры системы, равные:
M 1 (Р) === (РХ в + r B ) (РХэd + rэd)
 р2Х
эd;


М 2 (р) === XaRd (РХэd + 'эd)

 РХаэd XB?:d.


Из уравнения (2
 112) определяется изображение потокосцеп

ления:


L\Фd (р) === Xd (р) L\i d (р) + G (р) L\u B (р),


(2
113)


rде


D (р)
Xd (р) === М 1 (р) === Xd



р2 ( ХэdХ
вd
 2Х вэd XaBd Хаэd + ХВХ;эd)



р2 (ХэdХ в
 Х;эd) + р (-"'эd' в + Х в ' эd) + 'в' эd


( 2 + 2 )
Р '\ X aBd ' эd Хаэd' в
+ 2 ( 2 ) I ) ,
р ХэdХв
Хвзd +Р
Хэd,в+хвrэd +'в'эd


G (р) === М 2 (р) Р (ХЭdХаВd
 ХаэdХвэd) + Хавd'эd
М 1 (р)
 2 ( 2 ) ( ) .
р ХэdХв
 Х вэd + Р Хэd'в + Хв'эd + 'в'эd


Аналоrично из уравнений (2
107) и операторноrо уравнения
напря}кений поперечноrо демпферноrо контура (2
 105) после
подстановки в Hero (2..110) найдем


L1'1'q (р) ::::::: x q (р) l1iq (р),


(2..114)


rде


')
( ) РХ
эq
x q Р === x q
 + .
РХ эq 'эq


Функции оператора р: X l ! (р), X q (р) и G (р) в (2
 113) и (2..114)

называются соответственно о пер а т о р н ы м и с о про..
Тивлениями по продольной и поперечной
о с я м и о пер а т о р н о Й про в о Д и 1\1 О С Т Ь Ю. Вводя
L\'ф{f (р), {\'Фq (р), представленные уравнениями (2
113), (2
114),
в (2
 1 01), (2..102), получиl'Л оператор ные уравнения синхронной
Машины:



 t1Ud (р) === [pXd (р) + r] L\i d (р) .+ рО (р) L\u B (Р) +
+ (1 + s) x q (р) L\i q (Р);

'
Uq (р) ===
 (1 + s) Xd (р) f1id (р)
 (11
 s) G (р) L\u b (р)


/'
+ [px q (Р) + (] L\i q (р).


75




Из этих уравнений нетрудно найти изображения
d' ( )

 ud (Р) [pXq (р) + {]
t диq (р) (] + s) Xq (р)
td Р
 к (р)

ДиВ (р) G (р) f [р2 + (1 + S)2] Xq (р) + pr}
К (р)

. ( ) ===
 ДUq(Р)[РХd(р)+r]+ДUd(Р)(1 +S)Xd(P )

t q Р К (р)
ДИв (Р) G (р) , (1 + s)
К (р)
rде К (Р) == [pXd (р) + ,] [px q (р) + '] + Xd (p)x q (р) (1 + S)2.
При отсутствии реrулирования возбуждения синхронной Ma

шины
 и в == const; dU B === О и, следовательно,
и8 (р) == о



уравнения (2..115), (2..116) упрощаются:
.,
ДUd (р) [pX q (р)

 '] + ЛU q (р) (1 + s) x q (р) (2 .. 117)
I1l{[ (р) === к (Р) ;
l1iq (р) ==
 ДUq (Р) [pXd (Р) + rk 1p
Ud (р) (1 + s) XJ (р) . (2
 118)


токов:


(2..115)


(2..116)


При необходимости вычисления роторных токов последние
MorYT быть найдены по изображениям, определяемым из оператор..
ных уравнений. Так, для изображений токов продольных конту..
ров ротора из уравнений (2..111) при известном изображении

id (р) получим
л. ( )

 р2 (ХЭdХаВd
 ХаэdХвэd) + РХавdrэd л' ( ) +
L.1t п Р М 1 (р) L.1 t d Р
+ РХэd + 'эd Ди (р) ' ( 2..119)
М 1 (р) в'
Л' ( )
 р2 (ХВХаЭd
 ХавdХвэd) + РХаэdrв л' ( ' ) РХвэd'\ )
L.1t э d Р

 М 1 (Р) LJ.[d Р
 М 1 (Р) tlU B (Р .
(2..120)
Аналоrично найдем изображение тока поперечноrо демпфер

Horo контура:


Л' ( ) РХаэq л' ( )
LJ.[эq Р ===
 + LJ.[q Р .
РХ эq , эq


(2..121 )


Если в переходном процессе возбуждение машины не реrУЛII"
руется, в уравнениях (2..119) и (2.. 120} следует положить dU fj (р) ==
== О. Очевидно, общий вид операторных уравнений потокосцеп..
ленин (2..113), (2..114), а следовательно, и операторных уравнениЙ
напряжений обмотки статора сохранится при любом числе деl\lП"
ферных контуров на роторе машины, однако значения оператор"
ных сопротивлений Х(l (р), X q (р) и операторной ПрОВОДИМОСТII
G (р) будут изменяться в зависимости от числа этих контуров.
76




Так, для машины с одним контуром на роторе
 обмоткой воз..
буждения
 операторные функции Xd (р), X q (р), G (р) MorYT
быть получены, если в выражениях (2..113) и (2..114) положить
rэd === 'эq == 00, что будет соответствовать размыканию демпфер..
ных контуров. В этом случае они оказываются равными:
2 )
рх aBd I
Xd(P)===Xd
 РХв+'в ;
G (р) === XaBd ; I
РХ в + 'в
X q (р) === Xq.
Итак, для изображений приращений токов получены rOToBbIe
выражения (2..117)
(2..121). С их помощью определяем токи
обмоток статора и ротора в любом переходном процессе, который
может рассматриваться при постоянной частоте враlТJения машины.
Конкретный переходный процесс описывается прежде Bcero на..
чальнымИ условиями, из которых устанавливаются изменения
напряжений (или какоrо
нибудь из них) на зажимах обмоток
машины, являющиеся причиной возникновения переходноrо про..
цесса. По этим значениям приращений напряжений
 ориrи..
налам
 находим соответствующие изображения. ТаКИl'v1 образом,
после задания изображений tJ.Ud (р), dU q (р), t1.u s (р) изображения
токов (2..117)
(2..121) становятся определенными функциями р.
Затем по известному изображению находим ориrиналы
 токи
Дi d , t1.i q , di n , Д,i эd , t1.i эq
 как функции времени. Перейти от
изображений к ориrиналам можно либо с поrvtощью табличных
данных (при ПрОСТО\l виде изображений), либо применяя те..
оремы операторноrо исчисления. Практически для определения
токов достаточно применения хорошо известной теоремы раз..
ложения, поскольку (2..117)
(2-121) имеют общиЙ вид
ер (р) === н (p)jW (Р),


(2..122)


rде Н (р), W (р)
 полиномы от р.
Соrласно теореме разложения, ориrинал ер ('t), изображение
KOToporo ер (р) представляет собой отношение полиномов, Иl\'lеет
вид


( )
 !1 (О) I
 Н (Pi) р."
ер 't
 W (О)

1
 1..J Р i W' (Р i) е L ·
1
Здесь Pi
 корень уравнения W (р) == о; W' (Pi)
 производна

от W (р) по р, вычисленная при Р == Pi'
. Добавив к найденным изменениям токов t1.i d , l1i q , l1i B , l1i эd ,
dl · . . ( . · О
эq начальные значения токов ldO' lqo, [В9 lэdО == t эqо == при
СИНХ U ) . . . . · Н
ронном скоро
ти, получим ТОКИ ld, lq, [13' lэd, lэq' аконец,
с ПОl\10ЩЬЮ формул линейноrо преобразования (см.
 1..5) по из..
вестным токам i d , iq определим фазные токи машины i a , i b , i c ,
И задача оказывается полностью решенной.


(2..123)


77




2..9. ДИНА1\t\vlЧЕСКИЕ пАрАмЕтры ОБМОТОК МАШИН.
В
 1
6 было дано определение синхронных индуктивных сопро..
тивлениЙ (Xd, X q ) и соответствующих им индуктивностей (Ld,
Lq). Там было показано, что эти параметры являютсЯ эквивалент..
ными nараметраМll Фазной обмотки ЯкорЯ в том смысле, что они
определяются потокосцеплением не только от тока данной фазы,
но и от токов друrих фазных обмоток. Для принимаемых обычно
базисных величин индуктивностей (L б ) и сопротивлений (Zб)'
связанных соотношением Zб == L б (J)l, относительные значения ин..
дуктивностей обмоток якоря и соответствующих им индуктивных
сопротивлений равны друr друrу.
Рассмотрим электромаrнитные связи по продольной оси в СИНХ..
ронной l\1ашине без деl\1пферной обмотки. Потокосцепление якоря
по этой оси 'Фd при отсутствии тока в обмотке возбуждения опре..
деляется только продольным током якоря
 и равно
ЧJd == Ldid === Xdid'
Таким образом, сопротивление Xd l\tl0жет рассматриваться как
собственное индуктивное сопротивление якоря, соответствующее
потокосцеплеНИIО от продольноrо маrнитноrо поля.
При наличии тока в обмотке возбуждения i B потокосцепление
'Ч'd определяется уже в виде
. I
Фd ::::::: Xdld т е о ,
т. е. является функцией токов id и i B .
Если бы обмотка возбуждения синхронной машины
lмела
'ь === О и напряжение на ее зажимах не реrулировалось, то потоко..
сцепление с этоЙ обмоткоЙ 'фв в переходном процессе оставалось
бы неизменным и равным ero начальному значению 'РвО' Это свой..
ство потокосцепления 'Фв можно установить формальным путем
по уравнению напряжений цепи возбуждения (2..64). Поэтому
для указанных условий

Xdid .+ еО == 'РвО ::.::= const,
и токи i d , iu, (е О ) оказываются однозначно связанными. Подставив
последнее соотношение в выражение для 'Ч'd, получим
Ч'd === aXdid + 'РвО,


/


так как о' + I-t == 1,0.
Таким образом, потокосцепление 'Ч'd становится функцией
только тока i d , хотя и зависит от постоянной величины 'фвО' Из..

менение потокосцепления 'Фd от CBoero начальноrо значения
dO
(обозначим ero Д1Vd) будет равно

'фd == aX d
id,
rде i1id
 изменение тока id ОТ CBoero начальноrо значения lao.
Изменение потокосцепления якоря

d определяется только из..
менением тока якоря Дi d . Очевидно, что отношение Д'Фd и i1i{J
78




определяет эквивалентную собственную индуктивность или ИН

дуктивное сопротивление в относительных единицах ЯI{ОРЯ в pac

сматриваемых условиях, учитывающие потокосцепление взаим-
ной индукции со стороны обмотки возбуждения. Обозначим это
,
сопротивление Xd и назовем ero пер е х о Д н ы м и н Д у K

Т И В Н Ы м с о про т и в л е н и е м я к о р я поп р о Д о л ь

н о й о с и. По определению и полученному выше соотношению
будем иметь



фd/
id === Xd == aXd.


Поскольку собственное сопротивление якоря Xd связывает
приращения продольных потокосцеплений и тока якоря, ero
можно считать Д и н а м и ч е с к и м с о про т и в л е н и е м
о б м о т к и я к оря.
Итак, при r n == О изменение продольноrо потокосцепления
обмотки якоря может быть найдено только по приращению про

дольноrо тока якоря, если принять в качестве собственноrо ди

наl\1ическоrо сопротивления обl\IОТКИ якоря переходное сопротив

ление по продольной оси Xd. При этом автоматически учитывается
реальное воздействие на d'фd изменяющеrося тока в обмотке воз

буждения. Подчеркнем еще раз, что обмотка статора по продоль

ной оси при переходном процессе обладает динамическим сопро

тивлением Xd только в случае, если r в == О или если r в += о, но
на таком отрезке времени, на котором значение этоrо сопротив

ления еrце не сказывается на токах в переходном процессе. По

скольку о' == 1
 f.1 < 1, то Xd === (JXd < Xd. Это соотношение
параметров соответствует физической картине явлений.
Продольный поток в машине создается совместным намаrничи

вающим действием продольноrо тока якоря id и тока возбуждения
i B . Система эквивалентноrо контура якоря ad с током id И обмотки
возбуждения с током i B (см. рис. 1..17) может рассматриваться
как двухобмоточный трансформатор. Параметры Xd и Xd
 ЭТО
параметры «первичной» обмотки трансформатора, определяемые
соответственно при КОРОТI{озамкнутой и разомкнутой «вторичной»
обмотке

 обмотке возбуждения машины, так как по определению
Xd ===
Фd/
id при ё в + о;
Xd ===
 Фd/ Llid === 'iJd/id при i B == О.


На рис. 2
8 показаны состояние обмоток машины (а) и услов

ная картина маrнитноrо поля (6) при 'Р.о == О и r B == О после'
установления в статоре тока fli d , соответствующие собственному
сопротивлению обмотки якоря, равному Xd. На рис. 2..9 представ

Лены аналоrичные схемы для случая, коrда собственное сопротив

JIеНие обмотки якоря равно Xd. Таким образом, сопротивления
Xd и Xd аналоrичны индуктивным сопротивлениям трансформатора
при холостом ходе и коротком замыкании.
79




Нетрудно выразить через широко употребляемые параметры Xd
и Xd коэффициенты f.t и а. Из полученных выше соотношений най

дем
а === Xd/Xd; l-t === 1
 а === (Xd
 Xd)/Xd.
В нормальной синхронной машине обмотка возбуждения соз

.дает поток только вдоль продольной оси. Поэтому аналоrа сопро

, u
тивлению Xd по поперечнои
оси машины нет.
В машине с трехфазными
обмотками на симметричном
роторе понятие переходноrо
сопротивления при 'r == О


a)

a
:
 I

Ai d ! ?




б


t AiB


6)


Рис. 2
8. Маrнитное состояние машины, коrда обмотка якоря
обладает динамическим сопротивлением X d


сохраняется. Однако это сопротивление якоря является ди

намическим при любом положении маrнитноrо потока относи

тельно ротора. Сохраняя ero обозначение Xd, получим те же
выражения коэффициентов ас,
c через синхронное и переходное
сопротивления, что и для
синхронной машины.
В синхронной машине
с демпферной обмоткой ди

намические индуктивные co

противления обмотки якоря,
а)
ad


8


i d !


L......



Рис. 2
9. Л1аrнитное состояние машины, коrда обмотка якоря
обладает собственным сопротивлением Xr.l


определяемые при условии равенства нулю активных сопротивле

ний обмоток ротора, естественно, отличаются от сопротивления Xd.
Это объясняется Tel\f, что индуктируемые в демпферной обмотке
токи оказывают влияние на маrнитные потоки по продольной и
поперечной осям машины. В случае изменения продольноrо тока
якоря l1id при определении l1'Фd синхронную машину по продоль

ео




ной оси можно рассматривать как трехобмоточный трансформатор
(см. рис. 1
 17) с «первичной» обмоткой в виде эквивалентной обмотки
якоря (ad) и ДВУlVIЯ короткозамкнутыми «ВТОРИЧНЫМИ» обмотками,
представляющими собой продольный демпферный контур машины
(эd) и обl'v1:0ТI<У возбу)кдения (в). Последняя принимается коротко..
замкнутой ВВИДУ Toro, что при r п == О И ОТСУТСТВИИ реrулирования
возбуждения (
иB === О) изменение потокосцепления с этой об

моткой d'Pn == О.
Назовем динамическое индуктивное сопротивление якоря по
продольной оси с в е р х пер е х о Д н ы м с о про т и в л е..
н и е м поп р о Д о л ь н о й о с и и обозначим ero x'd. По
определению


x'd::::=
Фd/
id при r B == rэd == о.
а) Xs X8,9a
Xaa б)
 Xs

Y'\



" Хв
Хвэd " хsэd
Xd X
d Xd


().............


.


Рис. 2-10. Схема замещения сопротивления x'J: а
 точная; б
 приближенная


Значение этоrо сопротивления может быть определено через
параметры обмоток машины из уравнений для L1'Фd, L1'Фп и
'Фэd'
Напомним, что уравнения синхронной l\fашины с демпферной
обмоткой записаны в системе относительных единиц, отличной
от той, которая была принята для машин без демпферной обмотки.
Поэтому теперь на основании уравнений (2
91), (2..93), (2..94)
с учетом Toro, что при r в == r эd === О будет l1'Фв ==
'Фэd == О, по..
лучим


Д Фd == X d
id + XaB
 Д
B + ХаЭ(I. Д!Эd; J
О
 X aBd I1ld + Х В
lB
 Хвэd I1l эd , (2
 124)
О === Хаэd l1id + Хвэd l1i B

 Хэd l1i эd . ."
Из этой системы уравнений можно определить
id через
'Ф(i
и параметры обмоток, а затем и x'd ===
'Фd/
id.
Обычно для сопротивления Х;; строят схему замещения, отве..
чающую уравнениям (2..124). Вид ее и значения сопротивлений
схемы зависят от принимаемой системы относительных единиц..
Например, для «системы Xad)} (см.
 2..5), коrда Xad == XaHd


 Хаэd, схема имеет вид, представленный на рис. 2..10, а. Сопро..
ТИвления X n
 Хвэd; Хэii
 Хвэd являются сопротивлениями рас..
сеяния обмоток по продольной оси ротора. Часто на схеме прене..
бреrают сопротивлением Хр.эd
 Xad ВВИДУ ero малости, и она
становится такой, как показано на рис. 2
 1 О, б, rде с о про..
Т И В Л е н и я р а с с е я н и я обмоток ротора X'SB
 ХН
 Xad;
61




Хsэd
 Хэd
 Xиd И статора Xs:::::: Xd
 Xud. Заметим, что
для указанной системы относительных единиц схема замещения,
определяющая переходное сопротивление Xd, может быть полу-
чена размыканием на схеме рис. 2..10 демпферноrо контура.
Получающаяся схема приведена на рис. 2-'11.
В случае изменения поперечноrо тока якоря
iq при опреде-
лении
'Фq синхронную машину по поперечной оси можно рассма..
тривать как двухобмоточный трансформатор (см. рис. 1..17)
с «первичной» обмоткой в виде эквивалентной обмотки якоря aq
и короткозамкнутой «вторичной» обмоткой, представляющей со-
бой поперечный демп(рерный контур машины эq.


Xs


Xs





Xd


XS8


х "
'l


о.---


о


Хsэ'l


Рис. 2
 11. Схема замеще

ния сопротивления X d


Рис. 2
 12. Схема замещения
сопротивления Х;


Назовем динамическое индуктивное сопротивление якоря по
поперечной оси с в е р х пер е х о Д н ы м с о про т и в л е-
н и е м поп о пер е ч н о й о с и и обозначим ero х;. По
определению


X
 == ЛЧjq/
iq при r эq == о.


Значение этоrо сопротивления можно определить через па..
раметры обмоток машины из уравнений для
'Фq и
'Рэq == О,
записываемых на основании (2..92) и (2..95). По ним строится схема
замещения, которая для Х аэq == X aq приведена на рис. 2..12.
Сопротивление XS:Jq == Х эq
 X aq представляет собой с о п р о-
т и в л е н и е р а с с е я н и я поп е р е ч н о r о Д е м п-
Ф е р н о r о к о н т ура.
ОТl\1етим полезную при решении практических задач связь
между динамическими сопротивлениями якоря машины и числен-
ными значениями операторных сопротивлений при р == 00. Об-
ратимся к параметрам по продольной оси. Операторное сопро-
тивление Xd (р) при отсутствии реrулирования возбуждения ма-
шины (
иB == о;
UБ (р) == о) по (2-113) равно
X d (р) ====
Фd (P)/
id (р).


Оно определено при 't_ =F о; '':Jd

/= О. Если бы 'в
 'эd === О, то
d'Фр ==
'Фв (р) == о; d'Фэd ==
1рэd (р) == о. в этом случае урав-
нения (2..106), (2-108,) (2-109), по которым находится Xd (р), были
82




бы внешне идентичны уравнениям (2..124), по K01"OpbIl\1 определялся
параметр x'd ===
1pd/
id. Таким образом, должно быть равенство
Xd :!:::= Xd (р), если операторное сопротивление рассчитано при
r B === 'эd === О. Но тот же результат для операторноrо сопротивле..
ния получится, если в ero выражении положить р == 00. Действи..
тельно, разделив уравнения (2..103) и (2..104) на р и положив затем
р === 00, получим независимо от значений сопротивлений r cl и r ad
тот же результат, что и при 'в === rэd === О, а Иl'vlенно Д'Фв (р) ===
===
'Фэd (р) == о. Поэтому искомое СООТНОlпение будет иметь вид
x'd == Xd (р) 'p
oo === Xd (00).


АналоrичiIо может быть установлено соотношение для пара-
метров поперечной оси: X
 === X q (00). В синхронной машине без
демпферной обмотки Xd (00) == Xd; X q (00) === Xq.
До сих пор определялись эквивалентные сопротивления конту..
ров статора. Но аналоrично можно определить эквивалентные
индуктивные сопротивления контуров ротора, полаrая остальные
маrнитно..связанные контуры (ротора и статора) короткозамкну..
тыми. Так, эквивалентное сопротивление продольноrо демпфер..
Horo контура X;d при наличии короткозамкнутых обмоток статора
и возбуждения определяется по схеме рис. 2..10, б, если на ней
замкнуть накоротко внешние зажимы и разомкнуть контур с со..
"
противлением Х:,эd; сопротивление Хэd получается на зажимах
этоrо разомкнутоrо контура.
Эквивалентное сопротивление продольноrо демпферноrо кон..
тура X;d при наличии короткозамкнутой обмотки возбуждения,
но разомкнутой обмотке статора lVIожет быть определено по схеме
рис. 2..] О, 6, если на ней разомкнуть контур с сопротивлениеl'vl
Хsэd и измерить индуктивность на ero зажимах.
С помощью схем замещения леrко получить и друrие экви"
валентные индуктивные сопротивления контуров. Между отдель-
ными сопротивлениями существует определенная связь. Напри-
мер, можно показать, что


", '1'
Хэd/Хэd
 Xd/Xd;


X
/XB
 Xd/Xd,


rде X

 индуктивное сопротивление обмотки возбуждения при
замкнутой накоротко обмотке статора и разомкнутой демпферной
обмотке.
В заключение обзора эквивалентных СОпротивлений обмоток'
машин следует сказать о том, что относительные значения сопро-
тивлений обмотки якоря Xd, x'd, Х; не зависят от выбора базисных
Величин роторных цепей, хотя они и связаны с параметрами по-
следних. Это положение мо}кно подтвердить формальными выклад-
ками, но оно очевидно и так, посколы{у речь идет о сопротuвле..
1iUЯх обмотки якоря, определяемых для тех или иных электро-
маrнитных условий в машине.


83





....


\




Решение уравнений при синхронной
u
или почти синхроннои частотах вращения машины
3-1. УСТ АНОВИВШИЙСЯ РЕЖИМ. Синхронная машина.
По полученным дифференциальным уравнениям напряжений
в осях d, q может быть построена известная из общеrо курса элект

рических машин векторная диаrрамма синхронной машины для
установившеrося симметричноrо режима работы. Для этоrо ДOCTa

точно использовать уравнения (2
21) и (2
22) с физической размер

ностыо величин, так как для раСС1\1атриваемых условий нулевые
составляющие тока, потокосцепления и напряжения отсутствуют:
Ёо == 'Фо === ио == О.
При наличии в статоре симметричных синусоидальных токов
продольный и поперечный токи id и i q , как было показано в
 1
6,
оказываются постоянными. В установившемся симметричном pe

жиме токи в деlVlпферной обмотке отсутствуют, а ток возбуждения
i B == const. Поэтому в уравнениях (2
21) и (2
22) Рt'Фd == Рt'фq == o

а s == О, так как ротор вращается с постоянной синхронной ча

стотой, и они принимают вид



Иd === фq(()l

 rid :=::: Xqiq + I"i d ;

Uq ===
'фd(()l
t /.iq :=:::
xdid
 Ео + riq,


(3
 1 )
(3
2)


rде MaLid(OliB == XUBdiB === Ео обозначает э. д. с., индуктируемую
в обмотках статора маrнитным потоком возбуждения (большая
буква в обозначении э. д. с. ПРИl\1енена для установившеrося pe

жима).
rlaHeceM на плоскость оси: фазы а, продольную d и попереч

ную q (рис. 3
1, а). Чтобы определить положение изображающих
векторов напряжения и тока на диаrрамме, рассмотрим предвари

тельно холостой ход возбужденной синхронной машины (Ё в =F о;
id == iq == о). Потокосцепление в этом режиме, например с фа

зой а, равно


Фа === Маs(/i и COS у == 'ФdО COS У


и вектор 'ФdО направлен по оси d. Э. д. с., индуктируемая полем
обмотки возбуждения в той же фазе,
е а :::=;
РtФа == 'PdOU)l COS (у
 лj2) == Ео COS (у

 л/2),
84




.


.......:.
Н, следова'rельно, вектор Ео совпадает с положитеЛЬНЫlVI направ

лением оси q. Если при холостом ходе фазное напряжение статора u
изменяется во времени одинаково с э. д. с. от поля обмотки воз

буждения, т о при наrрузке синхронной l\1ашины э. д. с. Ео и Ha

пряжение u будут по фазе различаться.
В
 2
4 был введен в рассмотрение уrол 8
 уrол между
осью q и вектором и. Теперь можно видеть, что это уrо.л l\Iе)кду



векторами Ео и и. Будеl'Л обозначать ero в установившемся pe

жиме 80 и считать положительным, если Ео опережает u . Токи



)


Ёо/Ч
/


6)


Рис. 3-1. Векторная диаrрамма синхронной машины для установившеrося ре..
жима работы: а
 положение изображающих векторов; 6
 диаrрамма на
комплексной плоскости


i d , iq леrко определяются из (3
1) и (3
2). Пренебреrая активным
сопротивлением обмоток статора (, == О), которое rvrало влияет
на значение тока, получим
. Uq
 Е о и cos 80
 Е о .
L d :::==: == ,
Xd xd
Таким образом, знак тока id зависит от СООТНОIlIения величин
Ео и и cos 80: ток id > О при Ео < и cos 80 (режим недовоз

буждения) и id < О при Ео > и cos 80 (режим перевозбуждения).
Знак тока iq определяется знаКОl\f 80: ток iq положителен в reHe-
раторном (80 > О) и отрицателен в двиrательном (80 < О) pe

жимах. Изображающий вектор тока статора 1 определяется вы-
ражениями (3-3).
Обычно при построении диаrраммы пользуются комплексной
плоскостью. Совместим оси q, d соответственно с осями + 1, + j

омплексной плоскости. Обозначим Ё о == Ео; iq == i q ; ji li == i d ;
и ==: Ue
jeo. Умножив (3-1) на
j и (3-2) на
1 и сложив полу

ЧИВIlIиеся уравнения, получим известный результат:


. ud и s in Во
L

-
q



 x q


(3
3)


v =:= Ё о
 jxdi d
 jxqi q
 ri,
86


(




. . .
rде 1 === 1 d + 1 Q' ПО этому уравнению на рис. 3..1, б построена
векторная диаrрамма на комплексной плоскости. Отметим, что
иноrда бывает удобной l\лодификация векторной диаrраl\1МЫ, пред..
ставленная на рис. 3..2. Суть ее состоит в TOl\1, что ВВОДЯ В рассмо"
трение э. д. с. EQ' однозначно определяеrvlУЮ через параметры
машины и данные режима, синхронную I'лашину l\10ЖНО уподобить
неявнополюсной с синхронным сопротивлением, paBHbIl\1 Xq,
и Э. д. с. EQ (вместо Ео в реальной машине).
Уравнения (3..1), (3..2) и выражения для токов (3..3) останутся
такими же и для величин, выра)l{еиных в относительных едини..
цах. При этом лишь в (3..1) и (3..2) нужно положить (()1 == 1,0.
i Электромаrнитный момент
со,/ч(+I) синхронной l\1ашины был опре

// б Ф u

J'(x. "X)L делен в о щеr\1 виде ор l\.I У лои
// а!! d (}..65). Если (1..65) разделить на
базисный мо:мент Мб === Р БРП/ (iJ 1 ==
=== 1 ,5'У Б J 6РП' то получим
А1 эм === Ч'diq

iqid,


-;;Xqi


(3..4)


Рис. 3..2. Видоизмененная векторная
диаrрамма синхронной машины для
установившеrося режима работы


rде все величины. выражены
в относительных единицах.
Пренебреrая сопротивлением
" из (3..1) и (3..2) получим в от..
носительных единицах
Ч'd === llq; фq ===
и(!. (3
5)


Подставив в (3..4) потокосцепления из (3
5), rде U q == и cos 80;
Ud ==
u sin 80' а также токи, представленные выражениями
(3
3), найдем электромаrнитныЙ момент машины в установившемся
режиме:
М ЭМ === ЕоИ sin 80 + и 2 2 (


 ) sin 280' (3..6) /
Xd X q Xd .
На рис. 3..3 построены зависимости МЭ':УIХd/ и 2 от уrла 80,
рассчитанные по (3..6). Это так называемые у r л о в ы е х а р а..
к т е р и с т и к и. Максимум электромаrнитноrо момента неявно"
полюсноrо reHepaTopa (Xd == X q ) имеет место при 80 === 900, явно..
полюсноrо (Xd > X q )
 при уrле 80 < 90°, зависящем от соот..
ношений Ео/ и и Xdl Xq.
Как следует из (3..6), элеКТРОNlаrнитныЙ момент представляет
собой нечетную функцию уrла 80' Поэтому уrловая. характери

стика в двиrательном режиме (80 < О) повторяет заВИСI1f\ЛОСТЬ
МЭ
I == f (80) ДЛЯ [енератора, НО при этом МЭ:vI < О.
Машина с трехфазными обмотками на СИfdметричном роторе.
Уравнения установившеI'ОСЯ режима можно получить из диффе--
ренциальных уравнениЙ машины, полаrая в них все производные
по времени раВНЫl\fИ нулю. Произведя эту операцию с уравнени..
86




ями (2
77), (2
78) и разделив последнее на Pr' получим уравнения
установившеrося режима в виде
. .


us === jфs + rsis == (rs + jx d ) is + ji r ;
U r ===
j

, т i r ===
j
f-tcxdis + (1
 j
) i"
rде
 === s/p,.
F3 обмотке статора протекает ток основной частоты (например,
50 rп), поэтому влияние активноrо сопротивления этой цепи He



(3..7)
(3..8)


1,6 М

Xd
и 2
1'*

1,2




1,0
/
0,8
1
0,6 2
1
О,Ч
2
0,2
Во
О зо 60 90 120 1500


Рис. 3
3. Уrловые характеристики синхронной машины
xd/X q == 1 (1) и 1,5 (2)


велико и им МОХ{НО пренебречь. Подобное упрощение для цепи
ротора возможно только, коrда абсолютное значение скольжения s
не менее единицы, т. е. коrда и в цепи ротора ток имеет частоту,
не меньшую основной. При малых скольжениях в расчетах YCTa

новившеrося режима пренебреrать сопротивлениеl\1 r, нельзя.
Пусть в (3
7) rs == О. Тоrда из (3..7) и (3..8) найдем комплексные токи
статора и ротора:


·
j(; r
 {; s (l
 j
) .
t ==
S Xd (ас; + j) ,


(3
9)


. .
. . и r
 U s l-tc-;
t r === J
ac
 + j


_ Определим !{омплексные напряжения обмоток статора и ротора.
Пусть (; s === и 5' т. е. совместим l.i s с положительной вещественной


(3..10)


.:. ... ...

.t


87




осью. Положение комплексноrо напряжения О, в синхронно
вращающихся осях будем характеризовать относительно И S
уrлом ее + 90°, причем постоянная составляющая в этом уrле
(90°) введена для удобства сопоставления рассматриваемой ма..
шины в режиме при s ::::::: О С нормальной синхронной машиной.
Подстановка комплексных напряжений в (3..9) и (3..10) приводит
к следующему результату:


.
 . 1".
[,S
 t cxs1
! J tf3s1'


·
 . r"
["
 t cxr1 Т J t(3r1'


(3..11)


причем вещественные и мнимые составляющие комплексных токов
в синхронно вращающихся осях:
. и, (sin ее + O'cS cos ее) + и slle
 .
t cxs1 === xd [1 + (О'с;)2] ,
. u , (ae
 sin ее
 cos е с ) + u s (1 + ac
2) .
t()Sl == xd [1 + (а е ;)2] ,


i CX1 '1 ===
xdiasl;


Ё()Тl === u s
 x d i Bs1 '


По уравнениям (3..7) и (3
8) можно построить обычную схему
замещения l\1ашины. Однако для принятой системы относительных
единиц она будет содержать относительные параметры, отлича-
ющиеся от традиционноrо написания. Для построения схемы обыч-
Horo вида следует уравнения (3..7) и (3..8) привести к такому виду,
коrда сопротивление взаИl\IНОЙ индукции будет одинаковым в обоих
уравнениях. Один из ВОЗl\10ЖНЫХ вариантов уравнений (3..7) и
(3..8) имеет вид

(;s === [rs

 j (X d
 1)] is + j (i, + i 8 );


.
и r [
 1 J
 . 1
 Ile x d J . + . ( . + . )

lleXd ===
fleXd
I J
tcXd - [, r J t r [,S'


Этим уравнениям соответствует схема замещения, приведенная /'
на рис. 3..4.
Характеристика фазовых сдвиrов коl\tlплексных величин на..
rляднее Bcero может быть дана на векторной диаrрамме. На
рис. 3..5 построены диаrраМl\1Ы для двух режимов reHepaTopa соди..
наковыми напряжениями (U s == 1,0; и, === 1,7) и током статора
(/ is I
 1,0), но различными частотами вращения машины: s == О,

 == о (а) и
 === 1 (6). Данные режима рассчитаны по приведенным
выше уравнениям, т. е. в предположении 's == О. При этом неза..
висимо от значения параметра
 уравнение (3..7) однозначно оп

ределяет потокосцепление статора Фs' На рис. 3..5, а это уравне..
нение отражено также построением, обычным для нормальных
неявнополюсных синхронных l\1ашин. Активная составляющая
тока статора (тока i as1 ) в reHepaTOpHOM реЖИl\lе совпадает ПО фазе
С напряжением статора U s '


88








:3лектромаrнитныЙ момент может быть наЙден по общим ВЫРН-
жениям (2
79) и (2
84):
1 * · * . 1 * ·
М ЭМ ==
 1т (ese o ) == 1т (LsL,) == 1т (1Ps1P,).
Xd GcXd I
Если оrраничиться случаями, коrда можно считать 's === О,
, ТО дЛЯ определения электромаrнитноrо момента приrодны выра-


.

1,з


ir



"'s + j(Xd
 t)



1 . l
pcXa
1;, JLcXd + J ре Ха


.
U s


/1


и,..
t JLcXd


о






Рис. 3
4. Схема замrения ыашины двойноrо питания
жения для токов (3
11). Но, положив 's === О, проще применить
друrую процедуру для нахождения М ЭМ ' Действительно, относи

тельные значения электромаrнитноrо момента М ЭМ и электро-
маrнитной мощности РЭМ машины равны, так как базисные вели..


а)


б)


.
Ls


(ХКl (+ 1)


Рис. 3-5. Векторная диаrрамма машины двойноrо питания для

 === о ( а) и
 == 1 ( 6)


чины момента (Мб) и мощности (Р б ) связаны тем же соотноше-
нием, что и физические величины электромаrнитноrо момента
и l\10ЩНОСТИ. С друrой стороны, при 's == О значения электромаr-
нитной и электрической мощности на зажимах обмотки якоря
совпадают. Поэтому при t.; s == и s


..


М ЭМ == U s Re (is) :=::: U s i asl'
89




Подставив сюда ток i as1 соrласно (3..11), получим
М ЭМ '='= UsU r Sin(a
, а)+ и
 f1c

Xd V 1 + (J'c
)2 е r Xd 1 + (ae
)2 ,
тде а == arctg (ac
) и является для данной машины функцией
только ее частоты вращения (
).
Первая составляющая М эм представляет собой синхронный
MO"
мент, обусловленный возбуждением машины (Ur

 O). При 5===0 она
совпадает с электромаrнитным MOl\tleHTOM НОрfАальной неявнополюс..
ной синхроннойlмашины.
Вторая со
тавляющая МЭМ:
ид енти ч н а
:';<эл е ктр ом а r н и Т..
HOMY
.; моменту
 асинхрон"
НОЙ)' машины . с ; коротко..
замкнутым ротором (и r ==
=== О).
Синхронный режим ма..
шины двойноrо питания
может иметь место при на..
личии pOTopHoro возбу..
ждения (U r =F О), причем
различным наrрузкам ма..
шины в установившемся
режиме отвечают задан..
ная и постоянная величи..
ны параметра
 и пере..
l\1енная величина 'yr л а 8 с .
Асинхронный режим такой
l\1ашины при U r + О возни..
кает при аВтоматичеСКОlVl
изменении частоты напря..
жения и r В соответствии
с изменением частоты вра..
щения машины (
==var).
При Ur===O машина стано"
Рис. 3
6. Уrловые характеристики синхрон
 вится обычной асинхрон"
ной машины ДБойноrо питания ной машиной с коротко..
замкнутым ротором.
На рис. 3..6 представлены уrловые характеристики синхронной
машины двойноrо питания при U,/U s == 1,5 и ас == 0,2 ДЛЯ раз..
личных значений параметров
. Из рисунка видно, что за _счет
асинхронноrо момента машина может иметь rенераторный режим
(М эм > О) при ее < О, а двиrательныи (М эМ < О)
 при 8с > О
в отличие от нормальноi"'I синхронной маП1ИНЫ, которая работает
rеиератором только при е > О, а двиrателем
 при е < о.
Этот рисунок также показывает, что наибольшие электромаrнит

ные моменты при заданном напряжении ротора развиваются в [е..(
нераторном режиме при
 > О, а в двиrательном
 при
< о.
90



4 и
пэнХd




2р


1>6


0,5


о

o,5


2,0



2,4


/


(3..12)




в рассrvlатриваемой машине действует еще одна составляющая
электромаrнитноrо момента, пропорциональная
 и поэтому не
вошедшая в выр ажение (3
 12), полученное в предположении r s ==
== О. Она представляет собой электромаrнитный момент такой
асинхронной машины, у которой статор короткозамкнут (U s ==
== О), а обмоткой якоря служит обмотка ротора с напряжением и,.
Для определения этой составляющей электромаrнитноrо момента
по общим формулам необходимо предварительно найти токи
машины с учетом '5' Однако с достаточной точностью она может
быть получена с помощью схемы замещения (см. рис. 3..4). Из
общей теории установившихея режимов машин переменноrо тока
известно, что электромаrнитная мощность (а следовательно, и
электромаrнитный момент в относительных единицах) машины
с КОРОlпкозаJ.ЛК1-lуmой 06моtпкой равна потерям в активном сопро..
тивлении Toro контура схемы замещения, который представляет
эту обмотку. Соrласно этому положению, при U s == о
М ЭМ ==-) is)2 's'
причем ток is, как уже отмечалось, можно вычислять, полаrая
's == О, т. е. по формуле (3
11), в которой следует считать U s == о.
в результате получим третью составляющую момента машины
М эМr В виде


2
U,'s
М === .
эмт- x
 [ 1 + (а с 6 )2]


Оценим максимальное значение этой составляющей (при s == о;

 == О). При и , == 1,5; Xd == 1,0; 's == 0,02 имеем М эмr == 0,045.
Этот пример показывает, что заметноrо значения М эмr достиrнет
ТОЛЬКО при больших значениях сопротивления 's' т. е. в машинах
сравнительно небольшой мощности.


3..2. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ МАШИНЫ. Система уравнений машины (см.
 2-6 и 2-7) coдep

жит нелинсйные дифференциальные уравнения, причем нелинейность возникает
при изменении частоты вращения машины как в уравнениях напряжений (про

изведения искомых токов и скольжения), так и в уравнении моментов, в к.ртором
электромаrнитный момент определяется произведением токов. Последняя нели

нейность остается и при заданной частоте вращения, однако в этом случае ypaB

нение моментов решать не ну)кно. Нелинейность уравнений не позволяет решить
их аналитически в общем виде. К тому же следует иметь в виду, что в общем слу..
чае исследуются переходные процессы в нескольких машинах, электрически

связанных между собой (в электрических системах), с реrулируемым возбужде

нием, с учетом переходных процессов в реrуляторах, осуществляющих необхо

Димое изменение напряжения цепи возбуждения машин. В подобных задачах He

обходимо решать несколько систем уравнений машин, уравнений их связей и pery

ляторов. Поэтому для самых сложных задач расчета и исследования переходных
режимов при значительном изменении частоты вращения машин, коrда необ

ХОДимо совместное решение всех уравнений системы, применяются аппарат
Численных методов (ЦВМ), математическое (аналоrовые вычислительные машины)
и физическое моделирование.
При неизвестном характере изменения частоты вращения ротора можно
получить приближенное решение нелинейных уравнений, если изменение частоты


91




вращения достаточно мало. Приближенность решения связана с необходимостью
некоторых упрощениЙ, например снеучетом активноrо сопротивления цепи воз

буждения машины или при ero учете с оrраничением изменения уrла наrрузки е
во время переходноrо процесса. К. задачам с указанными условиями может быть
отнесено исследование динаJ\IическоЙ устоЙчивости машины, т. е. поведения Ma

шины, работающеЙ параллельно с сетью, при изменении «внешних сил».
Решение системы уравнений существенно облеrчается при исследовании
переходных процессов с заданным характером движения ротора машины. В этом
случае скольжение s будет заданноЙ функциеЙ времени и решению подлежат лишь
уравнения напря:ш:ениЙ, которые становятся линеЙными. Для подобных задач
электромаrнитныЙ момент машины без особоrо труда определяется после решения
уравнениЙ напря)кениЙ, т. е. после нахождения токов в обмотках машины.
В этом классе задач наиболее простыми являются те, которые MorYT рассматри

ваться при постоянноЙ частоте вращения машины (5 == const), так как они опи-
сываются линейными дифференциаЛЬНbl.;ии уравнениями с постоянными коэффu-
цuентаJllU. К. упомянутому классу задач с заданноЙ частотоЙ вращения ротора
машины относятся исследования асинхронных режимов с постоянным скольже-
нием, режима малых rармонических колебаниЙ, процессов самовозбуждения,
KopoTKoro замыкания обмотки якоря и некоторые друrие.
Решение линеЙных дифференциальных уравнениЙ с постоянными коэффи-
циентами формально отыскивпется в виде суммы общеrо решения однородной
системы уравнениЙ (с внешними напряжениями, равными нулю) и частноrо
решения полных уравнениЙ, т. е. уравнениЙ с внешними напряжениями. С физи-
ческой точки зрения частное решение дает значения переменных в режиме, опре-
деJIяемом внешними напряжениями (<<вынужденныЙ» режим). ТакоЙ режим при
постоянных или периодических напряжениях является установившимся, и им
заканчивается переходный процесс. Решение однородноЙ системы уравнений
показывает, что токи и потокосцепления обмоток машины непрерывны во времени
и не MorYT изменяться скачком. Токи и потокосцепления, полученные при реше

нии однородноЙ системы уравнений напряжениЙ, называются с в о б о д н ы м и
или у р а в н и т е л ь н ы м и. Их появление есть результат скачкообразноrо
изменения структуры цепи какоЙ-либо обмотки машины (изменение внешнеrо
напряжения, параметров цепи) или, как rоворят, результат коммутации цепи.
Очевидно, что временная зависимость свободных токов и потокосцеплениЙ никак
не связана по виду с аналоrичной функциональноЙ зависимостью внеПIНИХ на-
пряжениЙ обмоток, поскольку первые находятся при отсутствии этих напряже-
ний. Характер изменения свободных токов и потокосцеплений определяется
структуроЙ однородных дифференциальных уравнениЙ напряжениЙ, а также
параметрами обмоток и частотоЙ вращения 1Vlашины, т. е. данными, которые обу-
словливают значения коэффициентов уравнений. Рассмотрим ero более подробно.


3-3. СВОБОДНЫЕ ТОКИ В ПРОСТЕЙШИХ ЦЕПЯХ. Для лучшеrо пони-
мания физическоЙ стороны явлениЙ, связанных с возникновением свободных
токов и потокосцеплениЙ при коммутации цепеЙ машины, обратимся сначала
к простеЙшим задачам. В уединенноЙ цепи свободный ток может появиться лишь
при изменении ее параметров или напряжения на ее зажимах, словом
 при
изменении электромаrнитноrо состояния цепи. Рассмотрим в качестве примера
цепь, состоящую из последовательно соединенных индуктивности L и аКТИВНОI
О
сопротивления " находящуюся под деЙствием постоянноrо напряжения и о
(рис. 3-7). Определим ток в цепи i после внезапноrо изменения значения напря

жения с и о на и. Дифференциальное уравнение напряжениЙ для HOBoro состоя

ния цепи
и == (, + PtL) i. (3
13)
Ток i представляет собоЙ сумму свободноrо тока ic (общее решение OДHOpOД

Horo уравнения) и установившеrося тока iy (частное решение полноrо уравнения):
i == i с + iy.
Очевидно, что iy == и/, == const, а ic == icoe
t/T, rде Т == L/r, а
l/T ==
==
r/ L
 корень характеристическоrо уравнения r + pL == О.
92


f





Начальное значение свободноrо тока ico находится из начальных условий
задачи. Пусть при 't == О (до изменения напряжения цепи) ток в цепи JraBeH io.
т оrда в соответствии с найденным решением получаем уравнение для определе.
ния ico:


io == ico + i y ,


откуда


Окончательно


ico == io
 iy.


. ( . . )
т;/T + .
1 == lo
 ly е ly.


При переходе цепи от исходноrо режима к новому установившемуся со.
стоянию ток не может измениться скачком, ero непрерывность во времени обес

печивается возникающим в цепи свободным током, за

тухающим до нуля по экспоненциальному закону с по

стоянной времени Т, определяемой параметрами цепи.
На рис. 3-8 приведены rрафики i == f ('т) при
И > и о и И < и о . Штриховкой отмечен свобод

ный ток.
Рассмотрим теперь свободные токи в маrнитно.
связанных цепях. Определим ток i 1 в цепи 1, име

ющей маrнитную связь с короткозамкнутым KOHTY

ром 2 (рис. 3
9), при внезапном изменении постоян

Horo внешнеrо напряжения с и]о ДО И 1 . Короткозам

кнутыЙ контур примем идеальным (ero активное сопротивление равно
нулю). Дифференциальные уравнения цепей 1 и 2:
И 1 == (r1 + pLL 1 ) i 1 + MpLi 2 ; о == MpLi 1 + L 2 PLi 2 ,


l'


ио,и


il


L


о


I"V'\..



Рис. 3
7. Схема про

стой цепи


rде собственные индуктивности контуров
L 1 == L 51 +М; L 2 == L 52 +М.


i




....:)




',...::)


1


2




.....::1


о


'L


Рис. 3.8. Временная зависи

мость тока после внезапноrо из

менения Rнешнеrо напряжения
цепи
1
 при и > U о ; 2
 при И < U о


Рис. 3
9. Схема двух
маrнитно-связанных
цепей


..


Подставив pLi 2 из BToporo уравнения в первое, получим
И 1 == (r 1 + Рт;L 1э ) i 1 ,
rде L 1э == L 1 a 1 ; а 1 == 1
 M2/(LIL2)'
Это уравнение идентично (3.13) и отличается лишь тем, что вместо собствен-
ной индуктивности контура L 1 содержит эквивалентную L 1э < L 1 . Свободный
rOK в цепи


. .
т;/T э
tC1 == t c 10 С ,


rде Т э == I
lэI, == Т 1 а 1 , а Т 1 == L 1 /r 1 .
Следовательно, если рассматриваемая цепь маrнитно-связана с короткозам.
Кнутым идеальным контуром, то при определении свободноrо тока в ЦЕЛИ можно


93




рассматривать
e уединенной, но обладающей эквивалентной индуктивностью,
которая отличается от действительной в (J раз, rде (J
 коэффициент рассеяния
контуров. Свободный ток в такой цепи будет затухать быстрее, чем в цепи, не
имеющей маrнитной связи с короткозамкнутым контуром, так как эквивалентная
постоянная времени цепи Т lЭ == L 1 J т 1 == 0'1 L 1 / Т1 меньше собственной постоянной
Т 1 == L 1 /T1'
Рассмотрим еще одну задачу: определим токи в двух маrнитно
связанных
цепях при внезапном изменении внешнеrо постоянноrо напряжения на зажимах
одной из них, причем обе цепи имеют взаимную индукцию с идеальным KOpOTKO

замкнутым контуром. Схема цепей показана на рис. 3
 1 О. Примем взаимную
индуктивность между всеми цепями одинаковой и равной М. Пусть изменяется
исходное напряжение и 2о цепи 2 до зна

чения и 2 . Из уравнения напряжений
короткозамкнутоrо контура 3




rf i 1 .
 i 2 r2 0
CD м 1 4 Qs LSJ I и 20 Д2
Lst L S 2









Рис. 3
 1 О. Схема трех маrнитно

связанных цепей


и ,


Мр" (i 1 + i 2 ) + L з РrJз == О,


в котором L з == М + L 5з , определим


. М ( . + ' )
Рт;lз ==-

 1 Р" t 1 t2'
..з


Подстановка р"i з в уравнения напряжений цепей 1 и 2 позволяет исключить
ток i з и записать их для HOBoro состояния цепей в виде


и 1
 (r1 +.Р't L 1 Э ) i 1 + Мэ
't
2; }
и 2 == М э Рт; t l + ('2 + Рr. L 2Э) t 2 ,


(3
14)


rде эквивалентные индуктивности цепей 1 и 2 равны L]э == (JI L 1; L 2э == (J2L2;
собственные индуктивности цепей L 1 === М + L 51 ; L 2 == М + L S2 ; коэффициенты
рассеяния цепей и короткозамкнутоrо контура 0'1 == 1
 М2/(L 1 L з ); 0'2 == 1


 М2/(L 2 L з ); эквивалентная взаимная индуктивность М э == М (1
 М/ L з ).
Таким образом, задача для трех маI'нитно
связанных цепей, из которых одна
представляет собой идеальный короткозамкнутый контур, пр иводится К задаче
для двух связанных цепей с эквивалентными собственными и взаимной индук

тивностями. Токи В цепях 1 и 2 представляют собой суммы свободных и YCTaHO

вившихся токов. Последние очевидны: i 1y == И]/Т1; i 2y == И 2 /'2' ДЛЯ определения
свободных токов составляем характеристическое уравнение, соответствующее
(3.14). После несложных преобрззований получим ero в виде
р2 + Р (Рl + Р2) + (JэРiР2 == О,
rде Рl == 'l/(О'э L 1Э); р; == '2/(О' э L 2э ); (Jэ == 1
 М2/(L 1э L 2э ).
Корни характеристическоrо уравнения:
Рl,
 ===
o, 5 (р! + Р2) [1 + V 1
 4О' э рiР2/(Рi + Р2)2 ].


Эти корни вещественны при любых значениях параметров цепей, так как
всеrда О'э < 1,0. Два корня указывают на то, что свободные токи состоят ИЗ двух
составляющих, и общее решение будет
,
 't' / T . 1 "
" / T .
.. l + . l2 + .
11 === t 1co e t 1co e lly;
,
 't' / T . 1 "
 't / T .
.. l + . l2 I .
l2 === l2co e t2cO e i t 2y '


rде Til' T i2
 постоянные времени затухания составляющих свободных токов.
Формально они определяются обратными величинами корней, взятыми с отри-
цательным знаFОМ: Til ==
1/Pl; T i2 ==
I/P2' Подкоренное выражение в ypaB

94




itевиИ PJ,2 Зависит 01' отношения параметров p
/p; == а 2 Т 2 /(а 1 1\), rДе 'f 1 , Т 2

собственные постоянные времени уединенных контуров 1 и 2. Если это отношение
мало отличается от единицы (Т 1 и Т 2
 одноrо порядка), то корни Рl, Р2' а сле

довательно, и каждая из постоянных T i1 , Ti2 сложным образом зависят от обеих
постоянных Т 1 и Т 2 . Если же p
 и p
 сильно различаются, то соотношени
 между
постоянными времени затухания свободных токов и постоянными цепеи упро

щаются. Пусть p
 »р! (или p
 » р;
 общее выражение корней симметрично
относительно p
 ир;), что равносильно Т 2 « т l' Т оrда получим


Pl

 (p
 + р;)

 р; ==
'2/( G э L 2э );
, , ( ' ' ) , /
Р2

аэР1Р2/ Р1 + Р2

GэРl ==
rl L 1э .


Следовательно, T i2 == L 1 :/'1 == Т]Э, т. е. одна постоянная времени затухания
тока равна эквивалентной постоянной времени той цепи, которая обладает наи-
большей собственной постоянной (TJ). При этом Т 1э определяется эквивалентной
индуктивностью L 1э рассматриваемой цепи с учетом влияния идеальноrо коротко-
замкнутоrо контура.
Для определения второй постоянной посмотрим, что представляет собой
G э L 2э . Превратим в схеме рис. 3
 1 О цепь 1 в идеальный короткозамкнутый контур,
т. е. положим U 1 === о; '1 === о. Тоrда, определив значение P-r:il из первоrо ypaBHe

ния (3
 14) и подставив ero во второе, получим
и 2 == ('2 + Р"L 2э ) i 2 ,


rде L 2э === о' эL2э'
Та КИ.'.1 образом, индуктивность G э L 2э есть эквивалентная индуктивность
цепи 2 при наличии ее маrнитной связи с двумя идеальными короткозамкнутыми
контурами. Соответственно искомая постоянная времени T i1 == а э L 2Э /'2 ==
== L 2э /'2 == Т 2э , т. е. вторая постоянная времени затухания тока равна экви-
валентной постоянной времени той цепи, которая обладает наименьшей собствен-
ной постоянной (Т2)' При этом Т 2э определяется эквивалентной индуктивностью
L 2э указанной цепи в условиях, коrда последняя маrнитно.связана с двумя
идеальными короткозамкнутыми контурами. Не будем доводить решение этой
задачи до конца, а оrраничимся определением постоянных времени затухания
свободных токов. Заметим только, что в маrнитно
связанных цепях уравнитель-
ные токи возникают не только в коммутируемой цепи, но и в остальных цепях,
параметры и структура которых остаются неизменными.


3-4. СВОБОДНЫЕ ТОКИ И ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ В МА-
ШИНЕ С ТРЕХФАЗНОvl ОБМОТКОЙ НА СИММЕТРИЧНОМ
РОТОРЕ. Однородные уравнения для l\1ашины с трехфазной
обмоткой на симметричном роторе получаются, если в (2-77),
(2-78) или в (2-82), (2-83) заменить левые части нулями. Например,
однородные уравнения для потокосцеплений имеют вид
(Рт; + p
 + j) фs
 P;
r == о; }
(3-15)

Р;l-tсФs + (Р-с + Р;
 js)
r === о.


Решение однородных линейных уравнений с постоянными
коэффициентами
 это сумма экспонент вида AieP(r:, rде A i

начальное (при l' == О) значение i-й составляющей, а Pi
 один
ИЗ корней характеристическоrо уравнения, соответствующеrо
системе однородных дифференциальных уравнений. В свою оче-
редь, характеристическое уравнение есть приравненный нулю
96




uпределитель, составленныЙ из коэффициентов дифференциальных
уравнений. Для системы (3..15) получаем характеристическое урав..
нение
р2 + р [p
 + р; + j (1
 5)J

 o'cp
p; + 8 + j (р;
 sp
) === О. (3..16)
Характеристическое уравнение для однородной системы на
основе (2..77) и (2..78), содержащей в качестве переменных напря..
. .
жения e s , е о (или токи is, i,), будет таким же, как (3..16), хотя по..
стоянные A i в решении станут уже друrими, нежели в предыдущем
случае. Это соответствует обычным физическим представлениям
об одинаковом законе изменения во времени отдельных составля..
ющих свободных токов и потокосцеплений.
Два комплексных корня уравнения (3..16) имеют достаточно
rромоздкие выражения:
Рl ===
 (p
 + р;) К 1 + j [0,5 (1
 В/К) (1 + s)
 1];
Р2 ===
 (p
 + р;) К 2 + j [0,5 (1 + В/К) (1 + 5)
 1],
rде
В == (p

 p;)/(p
 -+ р;); к 1 == 0,5 (1 + К); К 2 == 0 ,5 (1
 К);
К == 1/0,5 {А + [А2+ 4В2( p
 t

 /]l/}
А==: 1
 [4acp
p; + (1 + 5)2] (p
 + p;)
2.
Для частноrо случая p
 == р; при (1

 S)2 > (p
 + р;)2


 4acp
p; будет В == К == О и мнимые части корней должны
вычисляться по выражению
0,5 [1 + S + V (1 + 8)2
 (p
 + р;)2
t 4acp
p;]
 1.
Каждый из корней Рl, Р2 характеризует изменение во времени
пары составляющих в свободных токах
 одной составляющей
в обмотках статора и друrой, с ней связанной, в обмотках ротора.
В предыдущем параrрафе уже отмечалось, что свободные токи
возникают в обеих маrнитно"связанных цепях, даже если комму..
тация схемы происходит только в одной из них. Таким образом,
«связанная» пара составляющих свободных токов в статоре и
роторе имеет одинаковый закон изменения во времени. В маrнит"
ном потоке в зазоре машины будут также два свободных потока;
изменение Ба времени одноrо из них определяется KopHe
[ Рl,
друrоrо
 корнем Р2'
Затухание свободных токов и потокосцеплений во времени
характеризуется вещественными чаСТЯlVIИ корней, значение кото..
рых зависит от коэффициентов К 1 и К 2 . Из рис. 3..11 можно видеть,
как изменяются эти коэффициенты при увеличении параметра
(1 + s) (p
 + p;)
l, пропорциональноrо частоте вращения ма..
шины. В неподвижной машине (8 ==
1)
К 1 ' , ( , + ' )
2 1 К ' , ( , + ' )
2
1

 acpsp, Ps р,
; 2
 acpsp, Ps р, ;
Re (Pl)

 (p
 + р;); Re (Р2)

acp;p; (p
 + p;)
l.
96




в машине, вращающейся с синхронной частотой (s === О),
Re (Рl)

p;; Re (Р2)

p;, если p
 > р;. При обратном
соотношении р; < р; вещественные части корней Рl и Р2 меняются
местами. Коэффициенты К 1 и К 2 , вычисленные для синхронной
частоты вращения машины, отмечены на рис. 3-11 штриховыми
прямыми. Как следует из этоrо рисунка и выражения корней,
, ,
вещественные их части можно принять равными
ps и
Pr В зна-
чительном диапазоне частот вращения машины, практически при


0,6


0,4


0,2


К " К 2
1,0


2


0,8


1


J
4




---
 3


К 2


--- ------

 ---
 2


о


1,2



---

1
145
р;+р;
2,0 2,4 2,8


0,4


О,В


1,6


Рис. 3
11. Коэффициенты, определяющие вещественную
часть корнеЙ характеристическоrо уравнения, при
p
/p; === 0,2 и 5 (1); 0,5 и 2 (2); 0,8 и 1,25 (3); 1 (4)


относительном значении частоты 1 + s
 2 (p
 + р;). При 1 +
+ s < 1,5 (p
 + р;) вещественные части корней сильно зависят
от частоты вращения машины.
В асинхронных машинах параметры p
 и р; MorYT быть при-
мерно равными. При p
 === р; == р' для частот вращения 1 +
+ s > 2р' f.1c вещественные части корней становятся одинаКО
рIМИ
,
и равными
p .
Мнимая часть корнеЙ (3-16) представляет собой частоту вра-
Il
ения свободных потоков (потокосцеплений) или системы трех-
фазных свободных токов (м. д. с.) по отношению к той системе
Координат, в которой рассматриваются искомые переменные

Токи и потокосцепления. Напомним, что переменные в (3-15).
определены в синхронно вращающихся осях (Ш к == 1). В
 2-6
показано, что для перехода к комплексным переменным, измеря-
емым в осях, вращающихся с произвольной частотой (й К , следует
исходную комплексную переменную в синхронных осях умножить
На u j ( l
cu ) 1: П
координатныи множитель е h. оэтому для перехода
к неподвижным осям и к осям, вращающимся вместе с ротором,
Нужно пользоваться соответственно координатными множителями


4 А. И. Важнов


97




! I .<,
.
e/ t и e
/s't. Следовательно, частота вращеlIИЯ свободных токов
и потокосцеплений относительно обмоток статора
; равна мнимоЙ
части корней (3
16), увеличенной на единицу; аналоrичная ча

стота относительно обмоток ротора р; определяется суммой мни

мой части корней (3
 16) и величины
s.
На рис. 3
12 два свободных потока в машине условно представ

лены двумя маrнитами 1 и 2, вращающимися с различными ча

стотами. Частоты вращения маrнитов 1 и 2 в зазоре (т. е. относи

тельно статора и ero обмоток) равны:



{s === 1т (Pl) + 1 == 0,5 (1
 В/К) (1 + s);

2s == 11n (Р2) + 1 == 0,5 (1 + В/К) (1 +
 s).


Частота вращения маrнитов относительно ротора и ero об

моток:



1: === 1т (Рl)
 s ==



s;



2r === 1 т (Р2)
 s ==

ls'


в верхней части рис. 3
13 показана зависимость мнимых ча

стен корней от частоты вращения машины 1 + s для диапазона
1 + s === О +0,5, характерная для асинхронных машин (Р; и
р; достаточно большие и близкие по значению). В нижней части
рисунка представлены частоты враще

ния двух свободных потоков
 одноrо
относительно обмотки статора (
ls) и
друrоrо относительно обмотки ротора
(
2r), причем
ls ==

2r. Сплошные
, ,
линии относятся к случаю Ps == Pr,
штриховые
 к P
 === 0,8р;. Для послед

Hero случая приведена зависимость
лишь при одном значении параметров:
р; + р; == 0,2.
Можно видеть, что внеподвижной
машине свободные потоки «привязаны»
к обмоткам. Однако во вращающеЙся
машине они вращаются относительно
б П ' , ,
о моток. ри Ps == Pr === Р В диапа"
зоне примерно 1 + s == (О +2)р' свобод"
ные потоки вращаются в зазоре соди..
наковой частотой, равной половине частоты вращения машины
(мнимые части корней одинаковы). С этой же частотой один поток
перемещается относительно обмотки статора, друrой
 относи..
тельно обмотки ротора, но в противоположном направлении.
При большей частоте вращения машины свободные потоки на..
чинают вращаться с различными частотами (мнимые части KOp

ней неодинаковы). При этом их частоты вращения относительно
обмоток
ls ==

2r становятся меньше. При синхронной частоте
вращения машины один из свободных потоков практически He

подвижен, т. е. «привязан» к обмотке статора; друrой
 практи



Рис. 3-12. Условная схема
свободных потоков (1; 2) в за..
зоре машины
С
 статор; Р
 ротор


98


,




чески враlцается вместе с ротором, т. е. неподвижен относительно
обмотки ротора. Это состояние потоков возникает и при частотах
вращения машины, отличающихся от синхронной. Чем :меньше
значения параметров р; и р;, тем меньше частота 1 + 5, при которой
можно считать потоки «привязаННЫl\IИ» К СВОИl\1 обмоткам. Напри

мер,
is ===

2r
 0,01 получается в l\1ашине с р; === p
 ==0,2 только
начиная с 1 + s == 0,6, тоrда как для р; == р; == О, 1
 уже
при 1 + 5 == 0,2.



зт(Р1) ;

Зtп(Р2) р/
1". fS
1,0


0,8


1
2
:5


0,6
I
I
I
02'
J



1



4


1+S
qs


о


Рис. 3
13. Частоты вращения свободных по

токов в различных системах координат
2р' == 0,1 (1); 0,2 (2) и 0,3 (3)


При несильно различающихся P
 и Р; мнимые части корней
Рl и Р2 сохраняют в общем ту же зависимость от 1 + s
(рис. 3..13), но при Р; > Р; и Р; < Р; меняются местами.
Для машины типа синхронной характерны значительная
, ,
разница в параметрах Ps И Pr И меньшие их значения, если иметь
В виду машины средней и большой мощности.
При различии параметров Р; и Р; не менее чем в 5
6 раз.оСВО-
бодные потоки, как показывает анализ, практически неподвижны
относительно своих обмоток при любой частоте вращения ма-
шины (1 + 5 == 071).
Независимо от соотношения параметров р; и Р; свободный по

ток, практически неподвижный относительно обмотки статора,
затухает с постоянной времени, определяемой той же веществен-.
Ной частью корней (см. рис. 3
11), которая при 1 + s :> 2 (р; +
+ р;) стрем:ится к
p
. Обозначим «предельную» постоянную
ВреМени т а; она равна l/р;. С друrой стороны, свободный поток,
Практически неподвижный относительно обмотки ротора, затухает
с ПОСтоянной времени, определяемой той вещественной частью
корней, которая при 1 + 5
 2 (р; + р;) стремится к
p;.
«Предельная» постоянная времени (обозначим ее т;,) равна l/р;.


4*


99




Подведем краткий итоr. В общем случае свободные потоки и
токи трехqJазных обмоток машины не являются просто апериоди..
ческими затухающими функциями времени, как это имеет место
в статических цепях: потоки и изображающие векторы тока враща

ются относительно обмоток. В машинах с параметрами, характер..
ными для синхронных машин, практически один из свободных по-
токов неподвижен относительно обмотки статора (
is
 О); с ним
связан апериодический свободный ток в этой обмотке. Поскольку
рассматриваемый поток вращается с частотой
lr относительно
обмотки ротора (при 1 + s + О), в последней имеется rармониче-
ская составляющая свободноrо тока частоты
ir (при s === О зна..
чение
lr
 1). Указанные составляющие свободных токов вза..
имосвязаны и определяют значение свободноrо потока. Все они
затухают во времени с постоянной Та' определяемой эквивалент

ной индуктивностью и активным сопротивлением обмотки статора,
т. е. той цепи, в которой протекает апериодический свободный ток.
Понятие эквивалентная означает, что индуктивность находится
с учетом маrнитной связи обмотки статора с короткозамкнутой
идеальной обмоткой ротора. Второй свободный маrнитный по't.ок
практически неподвижен относительно обмотки ротора (
2r
 О);
он обусловлен взаимосвязанной системой составляющих свободных
токов: апериодическоrо в обмотке ротора и rармоническоrо ча..
стоты
2s в обмотке статора, поскольку рассматриваемый поток
вращается относительно статора с частотой
2s (при s === О значе

иие
2s
 1). И поток, и соответствующие ему токи затухают
БО времени с постоянной T d , определяемой эквивалентной индук"
тивностью И активным сопротивлением обмотки ротора, т. е. той
цепи, в которой протекает апериодический ток. Эквивалентная
индуктивность рассчитывается для обмотки ротора, маrнитно..
связанной с короткозамкнутой идеальной обмоткой статора.
В асинхронных машинах (параметры Р; и Р; MorYT достиrать
значений о, 1
0,3) картина получается более сложной: свободные
потоки MorYT вращаться относительно обмоток с заметной частотой;
каждая из постоянных времени затухания потоков и токов зависит
от параметров и статора и ротора, а также от частоты вращения
машины, если 1 + s < 2 (р; + р;).


3..5. СВОБОДНЫЕ ТОКИ И ПОТОКОСЦЕПЛЕНИЯ В СИН..
ХРОННОЙ МАШИНЕ. Рассмотрим только машину без демпфер..
ной обмотки. Однородные уравнения для такой машины полу

чаются, если в (2..62)
(2..64) или в (2.. 70)
(2-72) заменить левые
части нулями. Пусть машина вращается с синхронной частотой.
Тоrда однородные уравнения, например для потокосцеплениЙ,
имеют вид


(P't + Pd) Фd + фq
 Рdфв == о; )

Фd + (рт: + pq) 'i'q :=:: о;

flР;Фd + (Рт: + p
) 'Рв == О.
100


(3..17)


t




Характеристическое уравнение, соответствующее (3..17), имеет
вид
р3
+ р2 (Pd

 pq

 p
)

 Р[ 1

 Pdpq

 P
 (apd + pq)] +
+ r
 (1 + apdPq) === О. (3..18)


Любое из свободных потокосцеплений в (3..17) (или свободных
токов машины в осях d, q) представляется суммой трех экспонен..
циальных функций:


А 1 е Р1 Ь + А 2 е Р2 Ь + АзеРз't,


(3..19) ,


rде Рl, Р2, Рз
 корни уравнения (3..18); А 1 , А 2 , Аз
 начальные
значения отдельных составляющих, определяемые из начальных
условий конкретной задачи.
Синхронная машина даже при отсутствии демпферной обмотки
из..за несимметрии ротора имеет систему дифференциальных урав..
нениЙ TpeTbero порядка, т. е. более BblcoKoro порядка, чем машина
с трехфазной обмоткой на симметричном роторе. Соответственно
этому получаем три корня характеристическоrо уравнения вместо
двух для машины, рассмотренной в
 3..4. Вместе с тем можно
допустить, что для синхронноЙ машины снесимметричным рото..
ром корни характеристическоrо уравнения будут зависеть от
активных сопротивлениЙ либо обмотки статора, либо обмотки БОЗ"
буждения, как это было показано в
 3..4 для машины с симметрич"
ным ротором. Полаrая в :(3..18) p
 == О, получим корни:
Рl, 2 ==
O,5 (Pd + pq) + i [1
 {- (Pd
 р;')2 ]



O,5 (Pd + pq) + j; Рз == О.


Если принять активное сопротивление статора равным нулю
(Pd == Pq == О), то корни
Pt,2 == + j;


...; ,
Рз ===
PB'


Итак, окончательные выражения для корней:


..


Рl,2 ===
O,5 (Pd + pq) + j;


... ,
Рз ===
PB'


Решение (3..19) относится к осям d, q, связанным с ротором
машины. Найденные корни показывают, что в машине образуются
Три свободных потока: два вращаются относительно ротора ссин..
Хронной частотой в противоположных направлениях (они соот.. .
ветствуют корням Рl,2 С мнимой частью --+-- 1), третий
 неподвижен
ОТНосительно обмотки возбуждения (соответствует корню Рз),
ЕСLТ1И рассматривать движение этих потоков относительно обмотки
Статора (т. е. в неподвижно
л пространстве), то нетрудно устано..
ВИТь, что lIЗ первых двух потоков один неподвижен, а друrой вра-
Щается с двойной синхронной частотой в сторону вращения
РОТора. Поток, неподвижный относительно ротора, вращается
101




в пространстве с синхронной частотой. Он затухает с постоянной
времени Td === l/p
, а первые два потока
 с постоянной времени
т а == 2/(Pd + pq). Указанные потоки обусловлены COOTBeTCTBY

ющими составляющими свободных токов Б обмотках: апериоди

ческим током в обмотке возбуждения и rармоническим током oc

новной частоты в обмотке статора, затухающим с постоянной Bpe

мени T d ; апериодическим током и rармоническим током удвоенной
частоты в обмотке статора, а TaK}I{e rармоническим током основной
частоты в обмотке возбуждения, затуха10ЩИМИ с одной и той же
постоянной времени Ти'
Несимметрия на одной из сторон машины (в данном случае на
роторе) явилась причиной появления в обмотке на друrой стороне
свободносо тока в виде сар.монuческой составляющей удвоенной
частоты. В rл. 5 будет показано, что несимметрия и на статоре
и на роторе приводит к образованию бесконечноrо ряда rармони-
ческих свободных токов в обl\10тках машины.


3..6. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ. Частное решение
уравнений при СUНХРОННОЙ часто,те вращенuя машины и неизмен-
ных напряжениях определяет установившийся режим, которым
заканчивается переходный процесс, и оно может быть получено
в аналитической форме. Однако в большинстве переходных про-
цессов частота вращения машины не остается постоянной. При
весьма малом скольжении частное решение уравнений соответ-
ствует вынужденному режиму синхронной машины, определяемому
заданными напряжениями на зажимах ее обмоток. При незначи-
тельном скольжении уравнения напряжений остаются практи-
чески линейными, однако «внешние» продольное и поперечное на..
пряжения статора, являющиеся функцией уrла наrрузки 8,
MorYT существенно изменяться: ведь несмотря на малость сколь..
жения, уrол е в переходном процессе может претерпевать значи..
тельные изменения. И в том и в друrом случае токи обмотки ста..
тора, соответствующие частному решению уравнений, либо явля-
ются rармоническими функциями времени основноЙ частоты, либо
близки к ним [см. линейные преобразования токов (1..23)]. По-
этому токи и потокосцепления обмотки статора в частном решении
должны в малой степени зависеть от активноrо сопротивления этой
обмотки. Найдем частное решение уравнений напряжений обмотки
статора, полаrая, что на ее зажимах действует постоянное по MO

дулю напряжение и в течение Bcero переходноrо процесса. Будем
считать сначала r === О, тоrда решению подлежат уравнения (2..85)
и (2
86):

Ud === P't'l'd + (1 + s) \f'q;
Uq ===
 (1 + s) 'l'd + p-r'l'q,
rде Ud ==
u ,sin 8; u q == и cos 8. Частное решение уравнений


Фd ==== и cos 8; 'pq == и sin 8.
102


(3-20)




в ЭТОМ нетрудно убедиться, подставляя решения в уравнения
и принимая во внимание, что рт:8 === s.
Как уже отмечалось, не следует ожидать заметной зависимости
'Фd и 'Фq от активноrо сопротивления обмотки статора. Уточнение
в этих величинах, связанное с учетом сопротивления " f\ЛОЖНО
сделать, приближенно определяя токи id и iq. Не учитывая влия"
ния демпферной обмотки и полаrая обмотку возбуждения идеаль..
ной (r B === О), будем иметь
id === ('I'd
 'фвО)/Хd, iq == фq/Х q ,
[де 'ФвО
 постоянное потокосцепление обмотки возбуждения,
равное ero начальному значению при 't === О. Тоrда уравнения
принимают вид

Ud + Рd'фвО == (Р,; + Pd) 'фd + (1
!
 s) фq;

Uq ===
 (1 + s) Ч'd + (рт: + pq) 'Pq.
IlYCTb теперь с учетом r
'l'd === и cos 8 + ad + b d sin 8;


'l'q === U sin 8 + a q + b q cos 8,


rде а, Ь
 неизвестные константы. Подстановка предлаrаемых
выражений 'Ч'd и 'Ч'q в уравнения и сравнение коэффициентов при
одноименных функциях, а также пренебрежение величинами вто"
poro порядка малости (малыми первоrо порядка являются Pd,
Pq, s) ПОЗВОЛЯЮТ получить окончательные выражения:
Чid === и cos 8 + pqU sin 8; фq === и sin 8 + Pd (фВf)
 и cos 8). (3..21)
Действительные значения 'Ч'd и 'Ч'q представляют собой суммы
общеrо и частноrо решений. В
 3..5 было показано, что cTporoe
общее решение содержит для машины без демпферной обмотки
три экспоненциальные функции. Однако ввиду незначительноrо
влияния активноrо сопротивления обмотки статора на началь..
ные значения свободных потокосцеплений 'Фd и 'Фq достаточно ис..
пользовать приближенное общее решение однородных уравнений.
Оно сводится к тому, что сначала составляющие свободных потоко-
сцеплений определяются в предположении '"=== О, а затем сопро-
тивление r учитывается в затухании найденных свободных потоко-
сцеплений.
При r === О однородные уравнения при s « 1,0 принимают вид
P-rЧ'd + 1JJq == о; Р'tфq
 Ч'd === о.
Решения этих уравнений:
'l'd === A 1 e j -r + A 2 e-- j 't; 'фq ==
 j A 1 e j 't + j A 2 e-- j 't.
Если сравнить эти решения при r === О со строrим решением
(3..19), то мо)кно видеть, что здесь отсутствует экспоненциальная
,
функция е
f3в-r. При малом r следует ожидать в выражениях
,
'Pd и 'Ч'q весьма малых слаrаемых, имеющих множитель e--Рв't.
103




Действительно, эти апериодические экспоненциальные составля..
ющие соответствуют периодическим состаВЛЯIОЩИМ в фазных
потокосцеплениях. Производные )ке от последних равны падениям
напряжения в сопротивлении r от периодических токов, пропор..
,
циональных e
PB't, и при малом r сами незначительны. Как
показывает (3..19), найденные здесь составляющие в потокосцепле..
ниях должны быть скорректированы умножением их на e
't/T а

множитель, который определяет затухание при r =f== О. Таким об..


а)
d


6)


и


Рис. 3
14. Диаrрамма потокосцеплений якоря: а
 при 't ==
== о; б
 при 't > О


разом, окончательно приближенные значения свободных потока..
сцеплений равны:


Фd == (В COS 't' + с sin 1") e
't/T а;
фq == (
c COS 1"
+ в sin 1") e
't/T а,
rде произвольные постоянные В == А 1 + А 2 и С == j (А 1
 А 2 )
нужно определить из начальных условий.
Итак, полные потокосцепления :
'Фd === и cos е + (В cos 't' + с sin 1") e
т:/T а;
фq == и sin е

 (
 с cos l' + В sin 1") e
т:/T а.
Пусть в исходном режиме ('! == О) пот ок осцеп.пения якоря
характеризуются изображающим вектором Ч' нч' расположенным
под уrлом 8 нч к оси d, а вектор напряжения статора и в начальный
момент времени после коммутации цепи якоря сдвинут относи..
тельно оси q на уrол 80 (рис. 3
 14, а). Начальные значения про..
дольноrо (ФdО) И поперечноrо (фqо) потокосцеплений:
Ч-idО === Ч' нч cos 8 нч ; фqо == чr нч sin 8 нчt


rде Ч'нч
 модуль вектора чr нч'
104




Полаrая 't === О В полученных выражениях для 'ФdО И 'Фqо' найдем
В == ФdО
 U cos 80; С ==
фqо + U sin 80'
Подстановка этих постоянных и начальных значений 'Ч'dО
и 'Ч'qо в выражения 'Ч'd и 'фq приводит К следующим результатам:
Фd === U cos 8 + [Ч'нчсоs (,; + 8 нч )
 U cos (1' + 80)] e
L/Ta;
\
jq == U sin 8
t- [Ч'нч sin (1' + 8 нч )
 U sin (т + 80)] e
t/T а.


Эти выражения можно представить и иначе. Введем векторы
потокосцеплений якоря: 'ф
 в переходном процессе после KOMMY

тации цепи якоря; 'фу
 «вынужденных» потоко сц еплений, обус

ловленных на пряжением U (при r == О вектор jJy опережает на
900 вектор и, а их модули равны: чr у == И); 'Ф

 «свободных»
потокосцеплений. 11з изложенноrо выше следует векторное ypaB

нение


ф == фу

 фс,
а составляющие векторов по осям d, q:
1I'd == U cos 8 + чr с cos (,; + llc) e
L/T а; )
фq:=:: U si n 8 + 'Ус sin (1' + llc) e
'tITa,
rде Ч"с == V Ф
со + Ф;сО
 начальное значение модуля вектора
«свободных» потокосцеплений; 'Фdсо == Ч' нч cos 8 нч
 Ucos 80 и
'Фqсо == чr нч sin 8 нч
 и sin 80
 начальные значения продоль

ной и поперечной составляющих «свободных» потокосцеплений;
llc
 начальный уrол ме)кду вектором 'Ч' с и осью d, так что
ФdсО == ч' с cos llc; фqсО == Ч' с sin llc
и, следовательно, llc == arctg ('фqсо/'ФdСО)'
Приведенные соотношения иллюстрируются диаrраl\лмами на
рис. 3-14. Кстати, из диаrраммы для ,; == о модуль Ч'с можно
..
определить в виде


(3..22)


ч" с == V Ч"
 + Ч";ч
 2Ч" у ч" ич cos (8 ич
 80).
Выражения (3..22) справедливы и для машины с демпферной
обмоткой: нужно лишь подставить Та для такой машины (см.

 6..2).
Итак, коммутация цепи якоря, при которой потокосцепления
обмотки якоря должны измениться с Ч' НЧ дО HOBoro установивше-
rося значения чr у === и, сопровождается появлением свободноrо
потокосцепления, начальное значение KOToporo равно 'Ус'
Простота определения свободноrо потокосцепления с обмоткой
якоря при ее коммутации объясняется тем, что обмотка возбуж-
109




u
дения может при этом рассматриваться короткозамкнутои, а все
роторные обмотки
 идеальными, так как свободный поток CTa

тора индуктирует в них переменный ток основной частоты, а
к заЖИl\1ам обмотки возбуждения прило)кено постоянное напря..
жение. Но тоrда обмотку статора можно представить уединенной
и обладаlощей эквивалентной индуктивностью, которая учитывает
маrнитную связь с идеальными короткозамкнутыми обмотками
ротора.
При нахождении свободноrо потокосцепления с обмоткой воз-
буждения последнюю рассматривать уединенной уже нельзя,
поскольку апериодический поток возбуждения обусловливает
в обмотке статора переменный ток основной частоты, а к зажимам
этой обмотки приложено напряжение этой же частоты, от KOToporo
также будет зависеть значение тока. Поэтому определить потоко"
сцепление 'Фg, по которо:м:у вместе с (3..22) можно найти токи ма..
шины, удается лишь в одном частном случае
 при и == о. Дей..
ствительно, решение уравнения (2.. 72) при и в == const практи-
чески имеет вид
т' ( , ) r
't/T
Фв==ФвGе
'С/ d+UBa 1
е
Т:/Тd +р

чrсlе aSin(17+11c)



't


 е:'t!Т d sln '11 с ] + P
1J..U е
't/Td f e't/Td cos е d't,
о


(3..23)


rде 'Ч'вО
 начальное (при 't == О) значение потокосцепления 'Рв;
Td == l/p
. .
Выражение
'(3..23) может быть вычислено только при известной
зависимости e
 == t (т), а для любоrо вида этой функции
 при
и == о. Для оценки влияния изменения а на 'Фв воспользуемся
тем, что во мноrих переходных процессах уrол а претерпевает
почти rармонические колебания. Если допустить, что уrол а ==
== ау +
a, rде
e ==

8т cos h't, т. е. изменяется по rapMo,,


ническому закону с относительной частотой колебаний, равной h,
а Ву
 среднее значение уrла на периоде колебаний (или
установившееся значение 8, если иметь в виду, что
a затухает
воlвремени), то при некоторых оrраничениях


't
P
1J..U e
't/Td J e't/Td cos е d't
 1J..U J о (дет) cos е у (1
 e
't/Td) 1
О


rде J o (
efп)
 функция Бесселя нулевоrо порядка.
Приведенное соотношение справедливо при
eт
 507600;
p
/h
 0,170,15; 8у
 50760°. Тоrда, пренебреrая в (3..23)
малым по значению третьим слаrаемым, пропорциональным

,
с учетом соотношения 'ф80
 Ива
 !lЧ'нч cos 8 нч == О будем
иметь


Фв
 Фво
 1J..l lf нч cos 9 нч
 UJ o (дет)
СОS е у ] (1
 e
't/Td). (3
24)
106




При отмеченных оrраничениях изменение потокосцепления

B в течение каждоrо полупериода колебаний уrла в происходит
по экспоненциальному закону с постоянной времени Td. Если

eт
 250, то J o (L18 т )
 1 и этот закон из!\ленения '1'13 будет иметь
место на протяжении Bcero переходноrо процесса.
Следует подчеркнуть, что указанный характер изменения 'Фв
получается для принятой зависимости е === f ('t). При наличии
экспоненциальной составляющей в этой функции постоянная
времени в (3..24) будет отличаться от Td (см. rл. 9).
При коммутации обмотки якоря в машине с демпферной об..
моткой потокосцепления 'Фd и 'Ч'q в переходном процессе определя

ются выражениями (3..22). Однако теперь необходимо решать ypaB

нения (2..87)
(2..89) для трех обмоток на роторе. При определенных
оrраничениях можно получить лишь приближенные их решения.
Для этой цели удобно в (2..91)
(2
95) выразить все токи через пото-
косцепления обмоток. Подставив соответствующие токи в (2..87)

(2..89), получим уравнения, которые будут содержать только пото..
косцепления либо по продольной, либо по поперечной оси. Затем
для каждоrо из уравнений можно написать решение в общем виде.
Например, решение уравнения (2..88)
" " ( J " J ,, )

Pd't "
Pd'C Pd't Pd L
'фэd ===- 'фэdое
 + Pd e gэdв 01: 'фве d. + gэdа 01: Ч'dе d.,
rде 'Ч'эdО
 начальное значение 'Ч'эd; Pd === rэd/
d; X;d
 индук"
тивное сопротивление продольноrо демпферноrо контура при ко..
роткозамкнутых обмотках возбуждения и якоря;


t



-'




ХdХвэd
 ХаэdХавd .
g эdв == Х' Х '
d в


ХвХаэd
 ХавdХвэd
g эdа == Х' Х ·
d в


.
 Интеrралы в решении для 'Фэd можно приближенно определить,
если


p
 « Pd;


HjPd 2 > 20 + 30;


Sm <. O,2Pd,


rде Sm
 максимальное скольжение в переходном процессе. При
этих условиях уrол 8, а вместе с ним cos 8, входящий в выражение

d, а также потокосцепление
B изменяются во времени значи

"
тельно медленнее, чем подынтеrральная функция ePd't. Тоrда,
как показывает анализ, при определении первоrо интеrрала в вы..
ражении 'Ч'эd достаточно первоrо приближения, а при вычислении
BToporo интеrрала
 BToporo приближения, и, пренебреrая функ

цией, пропорциональной малому параметру Pd, окончательно по..
пучим
Фэd
 g
dв'ф8 + gэdа (и cos е
I.. 1[' с cos 'tjce
1:/Td + UT'ds sin в). (3-25)
rде T'd === l/Pd
 постоянная времени продольноrо демпферноrо
контура.


107




Аналоrично решается уравнение (2..89), если Sm < o,2p
;
Н ,,2 20 30 " I "" б u
jpq > -+- , rде pq == r эq Х эq , а Х эq представляет со ои индук-
тивное сопротивление поперечноrо демпферноrо контура при ко..
роткозамкнутой обмотке якоря. Вводя постоянную времени по..
перечноrо демпферноrо контура T
 == l/p
, получим
1\Jэq
 x;;q (и sin В + Ч' с sin 'Y)ce
't/T;
 ur;s cos е ) . (3
26)
В (3..26) пренебреrли функцией, пропорциональной малому
"
пара метру pq.
Уравнение (2..87) для цепи возбуждения машины после подста

новки в Hero тока i B , выраженноrо через потокосцепления 'Ч'JН
'Ч'd, 'Фэd, принимает вид


+ ' ,1, + ' XaBd + ," ( )
P-rЧ'в РВ'Ув == ИВ Рв Xd фd РвСР 17 ,


( 3..27)


rде p
 == 'в/Х;; Х;
 индуктивное сопротивление обмотки B03

буждения при короткозамкнутой обмотке якоря и идеальном про-
дольном демпферном контуре (rэd == О); ер ('t)
 известная функ-
ция 1', содержащая rармонические составляющие основной час

таты с амплитудами, затухающими по закону e
 't/T а, И апериоди..
т"
ческие составляющие, пропорциональные e--'t/ d.
Уравнение (3..27) отличается от аналоrичноrо уравнения для
машины без демпферной обмотки (в принятой здесь системе ОТНО"
сительных единиц) лишь слаrаемым р;ср ('t). Поэтому решение этоrо
уравнения будет отличаться от решения аналоrичноrо уравнения
для машины без демпферной обмотки членом


't'
p;e=P
'; J (j)('t)eP
't d't,
о


которым при малой величине р; (менее 0,01) и P;/Pd (менее 0,1)
можно пренебречь. В мощных машинах указанные оrраничения
" "
в параметрах Рв, Pd выполняются.
Таким образом, независимо от Toro, имеется в машине демп"
ферная обмотка или нет, уравнение цепи возбуждения прибли-
женно может записываться как для машины без демпферноit
обмотки. И далее, либо оно решается численными методами, либ6
используется приближенное решение вида (3-24). В последнем
случае в системе относительных единиц, принятых для машины
с демпферной обмоткой, будем иметь I
'фв
 'РвО
 X;;d (Ч' нч cos В нч
 U J о (LlB m ) cos Ву) (1
 e
't/Td ) . (3
28)


Полученные приближенные решения для потокосцеплений по..
казывают, что в машине с демпферной обмоткой в перехадном про-
108




цессе образуются три свободных потока: один
 неподвижныи
в пространстве и два
 «привязанные» К осям d и q ротора. Пер..
вый затухает с постоянной времени Та; второй, направленный
вдоль оси d, имеет две составляющие, пропорциональные
, "
e
1:/T d и e
1:/T d; третий, проходящий вдоль оси q, затухает с по-
стоянной времени T
. rармонические составляющие основной
частоты в роторных потокосцеплениях, обусловленные свободным
потоком, неподвижным в пространстве, и затухающие в связи
с этим с постоянноЙ времени Та, весьма малы, и поэтому отсут-
ствуют в (3..25), (3..26), (3..28). В потокосцеплении обмотки возбуж..
дения, обладающей значительной постоянной времени, практи"
чески отсутствует апериодическая составляющая, пропорциональ..
"
ная e
't/T d. Все свободные потокосцепления обязаны своим появ-
ле ни ем изменению потокосцепления с обмоткой якоря I 'Фнч


 'Фу I == 'Ус, происходящему вследствие коммутации обмотки
статора.
По известным потокосцеплениям (3..22), (3..25), (3..26) и пота..
косцеплению 'Фв можно из (2..91)
(2..95) найти приближенные зна-
чения токов. Приведем здесь без вывода лишь выражения для
токов id И iq статора:


ld



,
и cos 8 Ed 'I'с
't/T ( )


 X ' +
 x " е acos 't + 'tlc

x d d d


( 1 1 \ (ч /
't/Td + UТ " . 8) '

 x'd
 X d } с cos чс е d S Sln ,


(3..
9)


. и sin е 'l'c
't/T . )
Lq
 Х

 "7 е а Sln (1' + 11c

q q


( 1 1 ) ( 'Tr.
't/T" UТ " 8)




 r с Sln 'У]се Q
 qS cos ,
x q X q


( 3..30)


.-


rде Ed === 'ФНХURd/Хв
 так называемая э. д. с. 3 а про Д о л ь..
н ы м пер е х о Д н ы м с о про т и в л е н и е м. В качест-
Ве приближенноrо значения 'Рв в (3
29) можно использовать (3..28).
По приближенным выражениям токов ипотокосцеплений опре..
Делим электромаrнитный момент машины M::'I\O который в общем
ВИде cor ласно (2..90) записывается как


Мам =-== Фdiq
 фqi d -


(3..31)


Подставив сюда (3..22), (3..29) и (3..30), получим


М ЭМ === Маме + М ЭМТ ,
109




{"де первое и второе слаrаемые предстаВЛЯIОТ собой соответственно
медленно и быстро ИЗl'.1еняющиеся Ба времени составляющие мо"
мента:


,
М эме ==

d sin 8
 O,5U2A
q sin.28 + (D d sin 2 е + Dq СОБ 2 е) s; (3
32)
d
М И Нf f 'i . 8
't/Td 'i' е
 T,jT" )
ЭМ't == Т с \ /\'dr> COS Ylc SlП е
 /\'qp Sln 'Ylc COS е q +
+ 'fce
'tfТa {r U (A qp
 Лdq) cos е +
; + 'fсЛdр cos 'lce
't/Td +
+ UAdpT'ds sin е] sin ('t + 'l']c)
 [и (Лdр + Adq) sin е +
+ 'f CAqp sin 'l']ce
't/T

 UЛqрТ;s cos е] cos ('t + Yjc)}

2" 2't/T

 0,5чr сЛdqе
 а sin 2 (
 + 'tl c ), (3..33)


rде


1 1
Лdр == 7
 7 ;
d d


Л q ' р ==


.
Х" Х'
q q


л'



.
dq
 Х' х'
d q


Лdq ===


 ;
X d x q


Dd == U2ЛdРТ'd;


D
 U 2 л Т"
q
 qp q'


Коrда переходный процесс вызван не коммутацией в цепи якоря
('Ус == О), а изменением механическоrо момента на валу машины,
составляющая М Э l\4't == О, а электромаrнитный момент определя..
ется выражением (3..32). При этом первые два слаrаемые в (3..32)
обусловлены обмоткой возбуждения и полем реакции якоря,
а третье
 демпферной обl'vIОТКОЙ машины. Эту составляющую
в М ЭМ поэтому называют Д е м п Ф е р н ы м 1\1 О М е н т о м.
Величина Dd sin 2 e + Dq cos 2 e == 0,5 [D d + Dq + (D d
 Dq) Х
х cos 28] и при обычных значениях параметров машины может
быть приближенно принята постоянной и равной D
 0,5 (D d +
+ Dq). Тоrда
,
М ЭМ == U
d sin 8
 0, 5U2Л dq sin 28
t
 Ds. (3..34) /
X d


Рассматриваемый электромаrнитный момент на оrраниченном
отрезке времени, коrда потокосцепление с обмоткой возбуждения
и, следовательно, Э. д. с. Ed остаются практически неизменными,
является функцией параметров механическоrо движения
 уrла е
и скольжения s. При пренебрежении демпфеРНЬПVl моментом Мэl
представляет собой явную функцию уrла 8. При этом уrловая
характеристика М ЭМ === f (8) в переходном процессе весьма зна..
чительно отличается от аналоrичной характеристики для YCTaHO

11 О




вившихся режимов. На рис. 3
15 приведены уrловые характери-
стики для установившеrося режима при постоянной Э. Д. с. Ео ==
== 1,0 и в переходном режиме при постоянстве Ed == 1,0. В обоих
случаях принято: и == 1,0; Xd == 1,0; x q == 0,6; Xd == 0,3.
Коrда переходный процесс вызван коммутацией в цепи якоря
('Ус + о), электромаrнитный момент будет содержать быстро из-
меняющуюся во вреl\лени составляющую Мэм,t" в которой есть бы-
стро затухающие апериодические составляющие с малыми постоян-
ными времени демпферных контуров T'd, Т;, первая и вторая вре-
MeHHbre rармоники (частоты 50 и 100 [ц), затухание амплитуд ко-
торых определяется постоянными 4-
времени Т/Л Т':! и T
. I1 Э !1
Полаrая в полученных выра- 3
жениях и == о, получим электро-
маrнитный момент машины при 2
внезапном трехфазном коротком
замыкании якоря машины. 1
Приближенные решения урав- {J
нений для потокосцеплений, токов а :10 fiO 90 120 150 1800
И электромаrнитноrо момента, по-
лученные при некоторых оrрани- Рис. 3
15. Электромаrнитный MO

чениях, налаrаемых на параметры мент в функции уrла в
синхронной машины и величины 1
 при Ба == const; 2
 при Ed ===
изменения yr ла Harp узки и сколь- :=: constj

 t:1
)кения в переходном процессе, еще
не являются полными: они представляют собой функцию не
только вреl\'lени '"с, но И уrла 8, а также скольжения s == pt8.
Для окончательноrо приближенноrо решения задачи необходимо
еще решить уравнение моментов машины. В тех случаях,
коrда приближенное определение потокосцепления обмотки воз-
буждения 'Фв (E d ) оказывается недостаточным, приходится решать
и дифференциальное уравнение напряжений цепи возбуждения
машины. При этом для большоrо Kpyra задач можно использовать
приближенное решение уравнений демпферных контуров, предста-
вленное в ЭТОlVl параrрафе, а уравнение цепи возбуждения соста-
влять без учета влияния демпсрерной обмотки, если такова'я име-
ется. В этом, более общем случае MorYT быть использованы при-
ближенные решения, приведенные выше, являющиеся функциями
E d , 8, pt8 и Т, после решения следующей системы уравнений:


Е , L ' Е ' XaBd + '
P't d
r
 Рв d == Ив' Рвl.t'Ч'd;
Х В


(3..35)


м ...::=: HjPt S + м эм ;


Pt8 === s.


(3..36; 3..37)


Уравнение (3-35) представляет собой уравнение цепи возбуж-
дения и получено умножением (3-27) на XaBd/XB при cp('t) == о.
в уравнение MO
leHTOB (3-36) следует подставить (3-32) и (3..33).
111




После решения этой системы для исследуемоrо переходноrо
процесса, т. е. определения функциональной зависимости пара

метров режима Ed, 8, s от времени 't', находятся потокосцепления
и токи цепей машины, и задача оказывается решенной полностью.
Конечно, система (3
35)
(3
37) с учетом полноrо выражения элек

тромаrнитноrо момента получается достаточно сложной, и для
получения простоrо решения необходимы упрощения. Следует
отметить, что эта система уравнений справедлива и при наличии
реrулирования возбуждения (ин изменяется в переходном процессе).
Потокосцепление 'Ч'в (E d ) и в этих условиях изменяется во времени
достаточно медленно. Поэтому приближенное решение для 'Ч'эd
(3
25) и вся остальная схема решения задачи остаются прежними.


.. 11.;2.з)4 .
. (б)1

.Il@
. ,


Внезапное симметричное короткое замыкание
синхронной машины без демпферной обмотки


4
 1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Наиболее распространенной аварией в энерrо

системах является внезапное короткое замыкание на линиях электропередачи
или даже на шинах станций, сопровождающееся появлением весьма больших
токов KopoTKoro замыкания. Протекание этоrо явления во MHoroM опреде
ТIяется
характером процесса в синхронных reHepaTopax, работающих в энерrосистемах.
Длительность процесса KopoTKoro замыкания синхронноrо reHepaTopa прак

тически оrраничена временем, равным О, 1
0,3 с, так как при большей продол

жительности процесса reHepaTop в большинстве случаев не сможет работать син

хронно с системой после отключения KopoTKoro замыкания. Несмотря на KpaTKO

временность процесса, определение токов KopoTKoro замыкания в цепях машины
имеет важное значение. Ток в цепях статора reHepaTopa определяет силу, дей

ствующую на лобовые части обмотки статора, и поэтому служит основой для
расчета их крепления. Знание значения этоrо тока необходимо для обеспечения
надежной работы выключателей, отключающих короткое замыкание, а также
трансформаторов тока, питаIОЩИХ цепи измерения и защиты. Наконец, значение
и характер изменения тока в цепях статора в линии передачи при коротком
замыкании определяют условия работы реле защиты.
Вычисление токов в цепи возбуждения синхронноrо reHepaTopa для pac

сматриваемых условий позволяет оценить надежность работы возбудитель

ной системы.
В процессе KopoTKoro замыкания токи достиrают максимальных значений
весьма быстро, практически через один полупериод переменноrо тока (0,01 с).
Эти максимальные значения представляют собой так называемые у Д а р н ы е
т о к и к о р о т к о r о з а м ы к а н и я. Следует отметить, что в современны,х
синхронных reHepaTopax применяется автоматическое реrулирование возбужд
-
ния, предусматривающее резкое увеличение напряжения возбудителя при корот-
ком замыкании (форсирование возбуждения). При значительной кратности напря-
жения возбудителя в режиме форсирования по сравнению с ero номинальным.
значением и большой скорости нарастания этоrо напряжения во времени ТОКII


112




KopoTKoro замыкания перед ero отключением MorYT превзойти ударный ток в са..
мом начале процесса. Однако чаще Bcero в J{paTKoBpeMeHHoM процессе KopoTKoro
замыкания влияние реrулирования возбуждения на значения токов машины
невелико.
Ниже будут определены токи и электромаrнитный момент машины без демп"
ферной обмотки в случае внезапноrо KOpOTKOI'O замыкания при некоторых упро..
щающих предположениях, которые состоят в следующем.
1. ВнеllIНЯЯ цепь якоря до точки симметричноrо трехфазноrо KopoTKoro
замыкания может быть замещена последова rельно соединенными активным (, вн)
и индуктивным (Х ВН ) сопротивлениями (рис. 4
1). Это условие позволяет оrрани"
читься рассмотрением KopoTKoro замыкания непосредственно на зажимах машины,
параметры обмотки статора которой YBe

личены на r вн и Х вн ,
2. В процессе KopoTKoro замыкания
частота враlцения машины не изменяется
и остается равной синхронной (s == О).
Поскольку машина при трехфазном KOpOT

ком замыкании не связана с сетью (и == О),
это предположение достаточно хорошо OT

ражает условия опреде.п:ения токов и
электромаrнитноrо момента, так как
обычно s« 1,0 (см.
 З
6).
З. Возбуждение маllIИНЫ в процессе
KopoTKoro замыкания не реrулируется. Рис. 4
 1. Цепь статора синхронной
4. Сопротивление дуrи в месте KO

машины при симметричном корот..
pOTKoro замыкания не учитывается. ком замыкании
Таким образом, рассматривается в из

вестной мере идеализированное короткое
замыкание. Однако такое рассмотрение позволяет выяснить основные черты
процесса и является первой ступенью к изучению более сложных случаев.
Современная теория синхронной машины широко использует теорему о по

стоянстве потокосцеплений контуров машины не только для описания физиче..
ской картины отдельных процессов, в частности внезапноrо KopoTKoro замыкания,
но и для аналитическоrо исследования и расчетов. Методика определения токов
машины при коротком замыкании для нормальных значений активных сопротив"
лений цепей, основанная на постоянстве потокосцеплений контуров в первые
моменты KopoTKoro замыкания, является весьма плодотворной и используется
как при трехфазном симметричном, так и несимметричном коротких замыка

ниях. Уточнения, которые MorYT быть сделаны путем cTpororo решения уравне..
ний, в большинстве случаев не имеют практическоrо значения.
Результаты решения задачи об определении токов и электромаrнитноrо
момента при трехфазном коротком замыкании в рамках принятых допущений
одинаково приrодны для машины, работаюшей как reHepaTopoM, так и дви"
rателем. .-


4..2. ОБЩИЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. Короткое
замыкание фазных обмоток синхронной машины обусловливает
скачкообразное изменение напряжения статора до нуля, вслед..
ствие чеrо в машине возникают свободные маrнитные потоки.
Один из них практически неподвижен относительно фазных обмо".
ток статора, друrой
 относительно обмотки возбуждения (см.
Э 3..5). Характер изменения и значения токов в начале процесса
KopoTKoro замыкания можно леrко определить, полаrая активные
сопротивления цепей машины равными нулю, т. е. рассматривая
контуры машины идеальными. В этом случае при внезаПНQМ изме..
Нении состояния цепей в них должны протекать такие токи, при
Которых потокосцепления со всеми короткозамкнутыми контурами
11 З




машины постоянны. Обмотка якоря по условиям рассматриваемоrо
режима становится короткозамкнутой. Обмотка возбуждения с по-
стоянным приложенным напряжением также MO}l{eT рассматри

ваться короткозамкнутой, так как ее внешнее напряжение не
определяет индуктированных, И3l\1еняющихся во времени токов
в цепи возбуждения.
Постоянство потокосцеплений с контурами машины обуслов-
ливается прежде Bcero появлением постоянных составляющих в то-
ках контуров (свободные токи), так как именно такие составляю-
щие токов II :MorYT сохранить потокосцепление неизменным.


б)


i 2


о


I
1(/2


1't


'r
I I

311/2 2я


Рис. 4
2. К определению тока статора, обеспечивающеrо постоянство
потокосцепления с фазной обмоткоЙ: а
 поле при l' == о; б
 поле
при l' == 900; в
 маrнитная проводимость в функции l' и ток в функ

дии времени


Однако маrнитная или электрическая аСИМl\1етрия ротора (яв-
нополюсный сердечник, обмотка возбуждения по оси d) должна
вызвать дополнительные колебания постоянной составляющей
тока обмоток статора, относительно которых перемещается несим..
метричный ротор. Эти колебания происходят с удвоенной часто-
той, так как маrнитная проводимость для неподвижноrо потока
статора изменяется периодически с двойной частотой, а при любом
положении ротора потокосцеП.Тlение с обl\10ткаl\1И статора должно
оставаться неизменным. На рис. 4-2, а, б изображен явнополюс..
ный ротор машины в двух положениях относительно неподвижноrо
постоянноrо маrнитноrо потока Ф. Вследствие наличия заlVIКНУТОЙ
через возбудитель обlYlОТКИ возбуждения маrнитная проводимость
А для потока Ф будет наименьшеЙ (А 1 ) дЛЯ положения ротора
при у == о и наибольшей (Л 2 ) при у == 90°. 1\1ежду этими крайними
значениями проводимость А изменяется по rаРl'лоническому за-
кону. В соответствии с этим составляющая тока в статоре, обеспе

чивающая постоянство потокосцепления 'Ф с фазной обмоткqй,
оказывается наибольшей (i 1 ) при У == О и наименьшей (i 2 ) при
У == 90°. Таким образом, постоянство 'Ф при различной по осям
d и q проводимости Л обеспечивается совокупностью постоянной
составляющей и второй rармонической тока (рис. 4-2, в).
114




Взаимное перемещение контуров статора Но' ротора приВодиrr
К возникновению еще одной составляющей в токах обl'vIОТОК

rармоническоrо тока основноЙ частоты, так как короткозамкнутые
контуры статора переl\1ещаются в постоянном поле ротора и Ha

оборот.
На рис. 4
3 схематически показаны составляющие токов, воз

никающих в цепях статора и ротора при трехфазном коротком
замыкании, обеспечивающие постоянство свободных потоков CTa

тора и ротора. В качестве исходных приняты постоянные соста..
вляющие (f == О). Свободные постоянные
потоки индуктируют токи основной часто

ты (f == f1)' Такие токи в трехфазной об..
мотке якоря создают вращающееся поле, а)
неподвижное относительно ротора. Таким
образом, значение свободноrо потока po

тора определяют постоянный ток обмотки
возбуждения и rармонический ток частоты
11 в статоре. Эти токи образуют замкнутую б)
систему, являясь взаимосвязанными
(рис. 4
3, б). Ток частоты f1 в роторе соз

дает пульсирующее с такой же частотой
поле. Оно эквивалентно ДВУfvi полям, Bpa

щающимся в противоположных напра..
влениях с синхронной частотой относи

тельно ротора. Одно из них будет непо

движным относительно свободноrо по

тока статора, друrое индуктирует в KO

роткозамкнутой обмотке статора токи
удвоенной частоты (f == 2f1)' Следова..
тельно, образуется вторая замкнутая си..
стема токов, определяющая свободный поток статора: постоян

НЫЙ ток И rармонический ток удвоенной частоты в обмотке ста..
тора, rармонический ток основной частоты в обмотке возбуждения
(рис 4..3, а).
Амплитуды дополнительных составляющих тока, возни
ших
в результате внезапноrо KopoTKoro замыкания, не остаются неиз..
менными. Под влиянием конечных по значению активных сопро..
Тивлений контуров происходит затухание токов. С этой точки зре

Ния более правильно rоворить не о постоянных составляющих
ТОКа в цепях машины, а об апериодических составляющих или
Токах постоянноrо направления. Апериодические составляющие.
Таков затухают с некоторой постоянной времени, которая практи

Чески определяется активным сопротивлением тоro контура, в ко..
Тором затухает апериодический ток, и индуктивностью этоrо кон..
тура с учетом влияния друrих короткозамкнутых контуров.
С такой же скоростыо вместе с апериодической составляющей зату-
Хают составляющие токов в друrих контурах, связанные с рассма..
ТРИваемым затухающим апериодическим током (рис. 4
3).
115


r; т u'7J :. , fJ


[J0fl70P


Рис. 4
3. Схема связей
свободных составляющих
тока, возникающих в об..
мотках статора и ротора
при постоянстве потока..
сцеплениЙ в статоре (а)
и в роторе (6)




В синхронной машине с одним контуром на роторе имеются
две постоянные времени затухания апериодических токов: в ро-
торе Td и статоре Та. Апериодические токи в статоре затухают до
нуля, так как в статоре нет источников напряжений постоянноrо
знака, которые поддерживали бы эти токи. Следовательно, вторая
rармоническая тока в статоре и основная rармоническая тока в ро-
торе также затухаlОТ до нуля. Апериодическая составляющая тока
в роторе затухает до значения, которое определяется напряжением
возбудителя; при отсутствии реrулирования возбуждения в про..
цессе KopoTKoro замыкания апериодический ток затухает до пер..
воначальноrо значения постоянноrо тока. Поэтому в статоре основ..
ная rармоническая тока затухает до HeKoToporo установившеrося
значения.
Отметим, что более cTporoe рассмотрение процесса HopOTKoro
замыкания несколько отличается от приведенноrо выше. Однако
при практически встречающихся активных сопротивлениях кон..
туров машины это отличие несущественно.


4..3. ТОКИ В ЦЕПЯХ МАШИНЫ. При трехфаЗНО11 корот-
ком замыкании линейные напряжения в точке KopOTKoro замыка..
ния равны нулю, фазные напряжения также равны нулю и, следо..
вательно, Ud === U q === и о === о. Таким образом, решению подлежит
система уравнений (2..62)
(2..64), в которой кроме указанных
напряжений будет равным нулю и скольжение машины s:


(Рт

 Pd) ed

 e q + PteO === о; I


ed + (Рт
t
 pq) e q
 е о === о;

tp'ted + (Рт + Рв) е о === рвив,


(4..1)


Формальное решение системы (4..1) относительно любой пере..
менной e j или тока i j , выражаемоrо через напряжение е], имеет вид


i j === AIJeplt
-rч A2jep2L + АЗjеРзt + A 4j ,


j === d, q, в,


(4..2)


rде первые три члена соответствуют общему решению однородных
уравнений в (4..1), а четвертый член
 частному решению полной
системы (4-1).
Поскольку U r } === const, то A4j
 константа (в частном случае

нуль). Коэффициенты Рl, Р2, Рз
 корни характеристическоrо урав..
нения системы (4..1), имеющеrо третью степень. Они в принципе
MorYT быть либо все вещественными, либо два из них
 комплекс-
ные и обязательно сопряженные, а третий
 вещественный. Для
синхронной машины возможен только второй вариант, так как
любой из ее токов имеет rармонические составляющие. Корми
характеристическоrо уравнения уже определялись аналитически
в
 3-5:


Рl. 2 ==
l/Ta + j;
116


Рз ===
 l/Td,






причем Та И Td, характеризующие затухание токов, должны ПО
смыслу обращаться в бесконечность, если активные сопротивления
цепей равны нулю (токи не затухают).
Для указанных значений корней выражение (4..2) получает вид
,
. .
't/T I А
't/T d + А
l . === l . v e а ---+----- 3 .е 1 .
] ] I ]
] '
rде rармоническая составляющая
i jv === (А 11 + A 2J ) cos 't + j (A 1j

. A 2j ) sin т.


(4
3)


Выше отмечалось, что ток в начальной фазе процесса можно
определять, пренебреrая активными сопротивлениями цепей, что
указывает на практическую независимость от них i jv и A3j В (4..3).
Обозначая токи, найденные при этих условиях, дополнительным
штрихом, из (4..3), в котором следует считать Т а === Td == 00, по..
лучим


., ., .,
lj === ljv
 [/а,


(4
4)


rде ijv == i jv ; ija A3j + A-l j
 апериодическая составляющая
тока.
В установившеl\1СЯ режиме i j === i jy' и из (4..3) при 't == 00 по..
лучаем i jy == A4j' С учеТОl\1 этоrо и с помощью (4
4) находим окон..
чательное решение (4..3) в виде


,
. .
l'
't/T L ( ., . )
't/T d
l j == l jy '
 l/ve а
I 1 ja
 l jy е .


(4..5)


Таким образом, для определения ij нужно наЙти ij (4..4) при
равенстве нулю всех активных сопротивлений и установившееся
значение тока ijy. При равенстве нулю активных сопротивлений
цепей (Pd === Pq == Рв == О) систеl\1а (4..1) упрощается. Вводя в нее
э. д. с. за продольным переходным сопротивлением Ed, которая
в принятой системе относительных единиц равна Ed === 'Ч'в ==
== Iled + ео и при Рп == О остается неизменной и равной исходному
значению EdO, получим
, + ' О ' L ' Е ,
а P'ted e q ===;
aed
I P'teq == dO,
rде а == Xd/Xd.
Если любое из этих уравнений продифференцировать, то вместе
с друrим оно образует систему, из которой исключается одна пере..
мен на я, а для оставшейся переменной получается уравнение BTO

poro порядка. Решение имеет вид
ed ===
EdO/a + 81 cos 't + 82 sin т;
e
 ==
ap'ted === а (81 sin 't
 82 COS т).


.'"


Произвольные постоянные 81 и 82 находим из начальных усло..
ВИй. Пусть В предшествовавшем короткому замыканию режиме
МаШИна работала при напряжении на якоре, равном и, и с уrлом
Ifаrрузки 80' Токи якоря в этом режиме i do и i qo определяются
117




соrласно (3
3). Тоrда, приравнивая полученные переменные
е;' и е; при т == О начальным их значениям XdidO и xqi qo , найдем
аВ! :=::: E do + XdidO; аВ 2 ===

xqiq).
Но при EdO == I:txdido + Ео и с учетом (3
3)
аВ} == и cos Ао; aBz ===
u sin 80'


Подстановка этих постоянных дает окончательные выражения
для e:Z и е;. Из них получаем токи i:Z и i; при нулевых активных
сопротивлениях. Учитывая, что э. Д. с. EdO с помощью (3
3) BЫ

числяется в виде E do == I:tXdidO + Бо == аБо + I:tU cos 80, получим
е'
id ==
 == .
 Ео
 (


 ) U cos 80


 cos (,; + 80); (4
6)
Xd Xd X d Xd X d
е'
., q U. ( + е )
lq === .............J ==
 SlП 't О .
Xq Xq
При определении i
 используем выражение для э. д. с. E d ,
которая сохраняет свое начальное значение Ed,). Тоrда с учетом
(4-6)
i
 == ео == E do
 fled == Ео +
 и [cos 80
 cos (1' + 80)]. (4
8)
а
Найдем теперь установившиеся значения токов idy, i qy , i By .
Из (3
3) при и == о получим
i dy ===
EO/Xd; i qy == О. (4
9)
При отсутствии реrулирования возбуждения ток lBY будет
равен исходному (начальному) ero значению i[',o.
Окончательное выражение для токов найдем соrласно (4-5),
в котором напряжения можно заменить пропорциональными им
токами. Так, например, продольный ток якоря (j == d)
,
id ==
 == i dy + (i da
 i dy ) e
'C/T d
 idve
'C/T а,
xd
rде idv и ida
 переменная (rарМQническая) и постоянная со..
., u
ставляющие тока ld', наиденноrо при равенстве нулю активных
сопротивлений; i dy
 устаНОВИВIllееся значение тока (1' Подrта

вив указанные составляющие тока из (4
6) и (4
9), получим
. Ео ( 1 1 ) и е
1;ITd + и
'tIT (
J е )
ld ==





 cos ое
 е а COS l'
I
 о.
Xd Х d Xd Х d
( 4-1 О)


(4
7)


Поступая анаЛОI'ИЧНО, для остальных токов находим
. eq и
'C/T . ( L е )
t q == ............... ==
 е а S lП 't
r
 о;
Xq x q
Х х' , ]
. . d
 d и[ 8
т,IТd --'t/T е
t B == ео == l вО
 Xd
cos ое
!
 е J COS (т + о) ,
rде i BO == Ь" о .


( 4
 11 )
/
(4
 12)


,18




Теперь остается найти фазные токи l\1ашины. Для этоrо исполь
зуем обратное линейное преобразование (1..23). Для фазы а, на..
пример, при помощи (4..1 О) и (4..11) получим
Ёа === id COS У + iq sin V ===
 Ео COS (1' + 1'0)

xd

 ( J,

 ) u COS 80e
't/Td cos (1' + 1'0) +
X d Xd
+ О,5и [(

r
 ) cos (1'0
 80) i

X d Xq


 (


 ) cos (2't + 1'0 + 80) ] e
't/Ta. (4..13)
X d Xq


Токи в фазах Ь и с находятся из (4..13) заменой уrла 1'0 на
1'0
 1200 и 1'0 .+
 120°.
Если короткое замыкание происходит на холостом ходу ма..
шины, то в (4-12) и (4..13) следует положить 80 == о; Ео == О.
l8 а)
:5 f
2 "
1
О

1
--2


'1:,


б)


с;:а
It)
.



о


2
 4'Х


8



t::) [
CIQ

N "t'






12



Рис. 4
4. Ток возбуждения синхронной машины
без демпферной обмотки при трехфазном коротком
замыкании: а
 составляющие тока; б
 полный
ток


.-


На рис. 4-4, а по выражению (4-12) построены кривые отдель..
Ных состав.п:ЯIОЩИХ тока i B в функции времени 1:': апериодическая
составляющая (1), затухающая с постоянной времени обмотки
возбуждения (при КОРОТКОЗ8МКНУТОМ статоре) T d ; rарl\Iоника ос..
Новной частоты (4), затухающая с постоянной времени статора Та
(на рисунке показана так)ке оrибаЮЩ8Я 3 этой rарl'vIОНИКИ), и, на..
Конец, постоянныЙ ток i BO (2), значение KOToporo определяется
напряжением возбудителя. Обычно Td в несколько раз превы-
Шает Та; поэтому rармоническая составляющая тока i n затухает
119




l
ораздо быстрее, чем апериодический ТОК. На рис. 4
4, б произ..
ведено сложение отдельных состаВЛЯIОЩИХ тока возбуждения и
представлен полный ток i и в функции времени. Расчетные дан..
ные: и == Ео == 1,0; 80 == о; Xd == 1,0; Xd == 0,3; X q == 0,6; Td ==
== 0,2 с; Т а == 0,02 с.
На рис. 4
5, а показаны отдельные составляющие фазноrо тока
статора в функции времени в соответствии с уравнением (4..13)
для одноrо частно['о случая, а именно при 80 === 1'0 == О, т. е.
предположении, что короткое замыкание происходит на холо



ia


2


1






ia
5
"
3
2
1
О
--1

2


't


Рис. 4
5. Фазный ток статора синхронной машины без
демпферной обмотки при трехфазном коротком замыка

нии: а
 составляющие тока; б
 полный ток


стом ходу и В такой момент вреrvlени, коrда потокосцепление с фа-
зой а максимально. Расчетные данные приняты теми же, что и
при определении тока i13 (см. рис. 4..4). Апериодическая составляю-
щая тока (1) и rарrvIоника двойной частоты (3) затухают с по-
стоянной времени Та; rармоника основной частоты представлена
составляющей (2), затухающей с постоянной времени Td, и уста-
новивтимся током (4). Штрихами показаны оrибающие rармоник,
которые затухают во времени. Кривые рис. 4..4 и 4..5 соответствуют
случаю, коrда машина имеет малые значения постоянных вре-
мени Та И Td (машина небольшой мощности); поэтому токи за..
тухают весьма быстро.
Решим в отношении токов еще одну частную задачу: найдем
их максимально возможные значения, которые носят название
у Д а р н ы х т о к о в.
Из рис. 4..4 и 4..5 следует, что токи достиrают максимальных
значений весьма быстро, примерно через 0,01 с ('!
 л) после воз-
fIикновения KopOTKoro замыкания. Имея в виду машины значи"
120




тельноЙ мощности (T d
 1 с; Та
 0,1 с), можно, вычисляя макси

мальные токи, пренебречь затуханием 'тока, т. е. считать в (4..12)
и (4-13) экспоненциальные множители равныrvlИ единице. При
этом упрощении элементарный анализ показывает, что токи дo

стиrают максимума ко времени '( === л
 80' Тоrда из (4..12) по..
лучаем уравнение для максимальноrо тока возбуждения i B . макс
в виде


,
. . Xd
Xd
[в. макс == [вО + х' U (1 + cos 80)'
d


(4..14)


Ток i k3 . макс получается наибольшим при работе машины вис..
ходном режиме снекоторой наrрузкой, так как при 80 =1= О ток i BO
обычно больше, чем в режиме холостоrо хода.
Если короткое замыкание происходит на холостом ходу ма..
, шины (80 === о; i BO === Ео == И), то
( Xd
Xd )
i B . макс == i BO 1 + 2 , ·
X d
/


Отметим, что максимальный ток (как, впрочем, и ток i B ) не
зависит от уrла 1'0, т. е. от Toro, какое положение ротор занимает
в момент KopoTKoro замыкания. Фазный ток, напротив, зависит
от 1'0' Наибольшеrо максимума (максимум максиморум) фазный
ток достиrнет при возникновении в процессе KopoTKoro замыка

ния наибольшеrо возможноrо апериодическоrо тока, т. е. при
1'0
 80 === О, как это следует из (4-13). Физически это означает,
что короткое замыкание происходит в такой момент времени, коrда
потокосцепление с рассматриваемой фазной обмоткой имеет макси

мальное значение. :VITaK, полаrая в (4..13) 1'0
 80 == О и '( === л


 во, найдем ударный ток в статоре:
i кз === i do +
 (1 + cos 80), (4..15)
X d


I
де начальное значение продольноrо тока якоря
i do === (Ео
 U COS 8 0 )/x d .


."


Рассмотрим пример.
Пусть трехфазное короткое замыкание происходит на зажимах машины,
имеющей следующие параметры: Xd === 1,0; xd === 0,3.
Будем считать, что перед коротким замыканием машина работала на хол{)-
Стом ходу С номинальным напряж
нием на зажимах. В этом случае во === о; i Bo

==== Ео == и == 1,0.
Максимальное значение тока в обмотке возбуждения при коротком замыка..
нии, если пренебречь затуханием, равно
/

. макс ='= 1 (1 + 2 1

,3 ) "'" 5,7,


т. е. примерно в 5
 раза превышает ток установившеrося режима.
121


/




Максимальный ток в фазе при пренебрежении затуханием
i кз == 2
 == 2 0 1 з ::::::, 6,7,
xd '


Т. е. в 6,7 раза превышает аМП,,1JИТУДУ номинальноrо тока статора.
В заключение этоrо параrрафа отметим, что на основе постоян-
ства потокосцеплений с контурами машины можно весьма просто
определить токи с помощью изображающеrо вектора потокосцеп

ления якоря [5].
В тех случаях, коrда значение активноrо сопротивления в цепи
статора до точки KopoTKoro замыкания оказывается заметным,
полученные уравнения для токов должны быть уточнены. По при..
нятой здесь методике определения токов необходимые уточнения
можно найти в работе [5].


4-4. ПОСТОЯННЫЕ ВРЕМЕНИ. Постоянные времени фор-
мально находятся в результате решения характеристическоrо
уравнения исследуемой системы дифференциальных уравнений:
они равны обратной величине вещественной части корней харак-
теристическоrо уравнения, взятой с отрицательным знаком (см.

 3
3). Для
1ашины без демпферной обмотки постоянные времени
были получены решением уравнения (3
 18).
Укажем теперь друrой метод определения--
постоянных Bpe

мени, основанный на общих физических представлениях и яв"
ляющийся полезным для приближенных решений задач по He

симметричным коротким замыканиям [63].
Пусть имеется короткозамкнутый контур, в котором проис

ходит затухание постоянноrо тока. Будем полаrать, что друrих
короткозамкнутых контуров, неподвижных по отношению к pac

сматриваемому, нет, но имеются контуры, вращающиеся относи..
тельно рассматриваемоrо. Если в таком контуре затухает ток по-
стоянноrо направления, не поддерживаеl\1ЫЙ внешним источником
напряжения, то уравнение напряжений относительно этой состав..
ляющей тока будет Иl'леть вид
РТЧ'П + ri п == О,
rде 'Фп
 свободное потокосцепление с контуром, изменяющееся
вместе с затухающим током постоянноrо направления i п ; r
 ак"
тивное сопротивление. контура. Потокосцепление 'Фп создается не
только током i п , протекающим в рассматриваемом контуре, но и
соотвеТСТВУЮЩИ?vlИ составляющими токов друrих контуров. Оно
может быть в общем виде представлено соотношением
Фп === Li п ,
в котором индуктивность L должна определяться с учетом взаим-
ноЙ индукции от токов друrих контуров, которые, как и ток i п ,
причастны к созданию П.Jтокосцепления 'Ч'п' Следовательно, это
некоторая эквивалентная индуктивность контура. .1
122




В соответствии с приведенными уравнениями ток i п будет за-
тухать экспоненциально с постоянной времени Т == L/r. Экви-
валентная индуктивность контура L может быть определена как
L === фп/iп.


По этому выражению кажется, что пока мы не продвинулись
в определении L. Но если учесть, что оно справедливо для любоrо
момента времени в переходном процессе, то, применив ero для
caMoro начала процесса ('t == О), получим необходимый результат.
Дело в том, что при 't
 О любой короткозамкнутый контур можно
рассматривать как идеальный, хотя ero активное сопротивление
и не равно нулю. Но тоrда в начале переходноrо процесса ero по-
токосцепление не должно изменяться, и следовательно, 'Фп равно
начальному значению потокосцепления с контуром, т. е. .потоко-
сцеплению в момент возникновения переходноrо процесса. При
этом свободный постоянный ток i п также долл(ен быть определен
для момента времени 't == О. Такой ток найти нетрудно, так как
.. он :может вычисляться при равенстве нулю активных сопротивле-
ний цепей машины.
Итак, эквивалентная индуктивность L определяется в виде


L === фо/i по ,


( 4-16)


rде 'Фо и i по
 начальные значения потокосцепления с контуром
и постоянной составляющей тока в контуре в переходном про-
цессе.
Физическая концепция, лежащая в основе подобноrо опреде-
ления постоянной времени затухания свободных тока и потоко-
сцепления контура, сводится к тому, что затухание происходит
под влиянием активноrо сопротивления Toro контура, в K
OpOM
протекает свободный ток. Энерrия маrнитноrо поля контура,
запасенная в момент возникновения переходноrо процесса, по-
степенно переходит в тепловую энерrию, выделяющуюся в об-
мотке. Потери, связанные с возникающими переменными токами
в контурах, вращающихся относительно рассматриваемоrо-, по-
крываются за счет электромаrнитноrо момента машины. 1 акая
концепция справедлива для характеристики затухания свобод-
Horo тока, если нет друrих контуров, неподвижных относительно
рассматриваемоrо.
Определим описанным методом найденные ранее постоянные
вреl\lени Та И Td. Соrласно (4-16) эквивалентная индуктивность
для апериодических токов в статоре L
 == 'Фао/iапо, rде 'Фао

потокосцепление с фазой а в MOl\leHT KopoTKoro замыкания; i апо ...........
Постоянная составляющая тока фазы а в первый момент KopoTKoro
замыкания. С помощью линейноrо преобразования и соотношений
в установившемся ре}киме найдем
'фаО === ,!jdO COS '\'0 + 'фqо sin '\'0 == и cos (1'0
 ео)..
123








Начальное значение апериодической составляющей тока
фазы а соrласно (4
13) равно
i апо == О,5и (
 +
 ) cos (1'0
 80)'
X d Xq
Таким образом,
La ' :

 'Р . 00 2x d X q
=== == Х2;
lапо x d + X q
что и было получено ранее формальным путем. Отметим, что
символом Х 2 обозначается индуктивное сопротивление обратной
последовательности. Соотношение L
 == Х 2 показывает, что индук-
тивность статора при протекании по обмоткам постоянноrо тока
такая же, как и для токов обратной последовательности.
Определим теперь постоянную времени Td. Эквивалентная ин-
дуктивность для апериодическоrо тока обмотки возбуждения при
коротком замыкании l\13ШИНЫ по (4-16) равна
I

 == \
во/iвпо,


т а == L
/r == X2/ r ,


rде Ч\о
 потокосцепление с обмоткой возбуждения непосред-
ственно перед коротким замыканием; i впо
 начальное значение
апериодической составляющей тока i B при коротком замыкании.
Из (4
8) или (4
12) следует i ьпо == Ео + IlИ cos во/а. Потокосцеп-
ление 'ФвО == EdO == аЕ о + IlU cos 80. Тоrда индуктивность L

в относительных единицах равна а, а в rенри L
 == аL вб ==
== aL B ::::::: LBXd/Xd, так как базисная индуктивность L вб цепи воз

буждения равна собственной индуктивности этой цепи L B . Иско

мая постоянная времени Td == TdOXd/Xd, rде Tdo === LB/r B
 соб-
ственная постоянная времени обмотки возбуждения. Этот же ре-
зультат был получен ранее формальным путем.
В мощных машинах постоянная времени T'd достиrает 1
3 с;
Т dO === 5 + 1 О с; Т а == О, 1 + 0,4 с.
4..5. ЭЛЕКТРОМАrнитный МОМЕНТ ПРИ КОРОТКОМ ЗА

МЫКАНИИ. Электромаrнитный момент, развиваемый маши-
ной при внезапном симметричном коротком замыкании, значи

тельно превосходит номинальное значение. Поэтому ero необхо-
димо учитывать при расчетах механической прочности отдельных
узлов и крепления машины, а также при уточненных исследова-
ниях динамической устойчивости rеиераторов.
При трехфазном коротком замыкании результирующее потоко

сцепление с якорем м:ожно найти с помощью уравнения (3..22),
в котором нужно положить U == О, а Ч'с заменить напряжением
исходноrо режима и о , поскольку при пренебрежении влиянием
активноrо сопротивления статора 'Фу == О, а Ч'с == Ч'нч === И о .
Из (3
22) с учетом Toro, что llc ::::::: 8 нч == 80, получаем
Фd == U oe
'tIT а COS ('t + 80); фq == U oe
't/T а sin ('t + 80)' (4
 17)
124




Для полученных значений 'Фd и 'фq потокосцепление с фазой а
Фа == Фd COS ('t + 1'0) + фq sin ('t + '\(0) === и oe
Т;/T а COS ('\'о
 80)' (4-18)


Этот результат указывает на то, что полные потокосцепления
с фазными обмотками создаются неподвижным в пространстве
свободным маrнитным потоком, затухающим во времени по экспо"
ненциальному закону.
Напомним, что взаимодействие свободных потоков в зазоре
машины с током статора создаст такой же электромаrнитный мо"
мент, что и взаимодействие полных потокосцеплений якоря с ero
током (см.
 1..8), проявляющееся между неподвижным потоком и
первой и второй rармониками тока KopoTKoro замыкания в ста..
торе. Поэтому электромаrнитный момент должен представлять со..
бой CYMl\1Y первой и второй BpelVleHHblx rармоник.
Формальное выражение для электромаrнитноrо момента при
трехфазном KOpOTKOl\1 замыкании М кз получим, подставив в (3..4)
токи id и iq из (4..1 О) и (4..11), а потокосцепления 'Фd и /фq В виде
(4..17). Опуская в последнем индекс О у символа напряжения, бу-
дем иметь
М кз === Ие
Т;/Та [ Ео + U cos 80 ( .J,

'1 e
1:/Td J sin ('t + 80)

Xd Xd Xd J

 о,5и 2 (


 ) e
2Т;/Ta sin 2 (,; + 80)' (4..19)
Xd X q


Если короткое замыкание происходит при работе машины на
холостом ходу, то при вычислении М кз в (4..19) следует считать
80 == О.
Аналитическое выражение для М кз можно было бы написать
на основе полученной ранее общей формулы (3..33) для машины
с демпферной обмоткой.
На рис. 4..6 сплошной линией показан rрафик
== f (т) для типовых значений параметров машины:
Xd/Xq == 1,6. Принято также 80 ==: о; Ео/и == 1,3;
(31,4 рад); T:Z == 1 с (314 рад). Штриховой кривой
первая rармоника момента.
Максимальноrо значения М кз макс момент при коротком замы..
кании достиrает ко времени, несколько большему 't == л/2
 е.о
(около 0,005 с). Поэтому при ero определении можно не считаться
с затуханием, характеризуеl\ЛЫМ постоянной Td, и приближенно
учесть влияние постоянной Та' Тоrда


М кз Х d/ и 2 ==
Xd/ Xd == 3,0;
Та == 0,1 с
изобра
ена


и 2
М кз макс ===
 k M ,
X d


( 4.. 20)




rДе k M
 максимальное значение функции
r Е' ' ]
e
Т:/T а
O sin (.. + 90)
 o,5e
,/T а (1
 :: ) sin 2 (.. + 90) .
125








Несложный анализ показывает, что эта ФУНКЦИЯ достиrает
максимума в моме нт врем ени Тм' определяемый из условия
cos ('t M + во)

 е
 1/ е 2 + 0,5. При этом
{ Е' r
1:MITa J}
k M "=' e
'CM/T а
O sin ('t M + 80) . 1
 е 4е COS ('t M + 80) ,


rде Е == E dO /[4U (1
 Xd/Xq)].
Для типовых значений Xd/Xq == 0,5; 8 == 0,5 величина k M ==
== 1,1.


/1/(з Xd
у2


1,0


0,5


Рис. 4
6. Электромаrнитный момент синхронной машины
в процессе трехфазноrо.
 KopOTKoro замыкания


При определении М кз не учитывались малые составляющие
токов и потокосцеплений, пропорциональные активным сопро-
тивлениям цепей машины. Их учет дает возможность оценить со-
ставляющие момента, не меняющие знака. Возникновение таких
апериодических составляющих объясняется следующим образом.
Свободны
 маrнитные поля, затухая во времени, остаlОТСЯ практи-
чески неподвижными относительно обмоток статора и ротора. При
вращении ротора свободное апериодическое поле ротора пересе-
кает короткозамкнутую обмотку статора, и наоборот
 в свобод-
ном апериодическом поле статора вращается ротор с обмоткой воз..
буждения. Если активные сопротивления не равны нулю, то при
этом возникают асинхронные моменты, не изменяющие знака, но
убывающие по значению, поскольку свободные поля затухают во
времени.
Составляющая момента постоянноrо знака, обусловленная
активным сопротивлением статора M
a, определяется как электро-
маrнитный момент в асинхронной машине; при этом роль вторич-
ной короткозамкнутой обмотки иrрает здесь короткозамкнутый
статор синхронной машины. Известно, что электромаrнитная мощ"
ность в асинхронной машине Р ЭМ определяется в виде Р ЭМ == P2/S,
126


'---




u , -
i
де Р2
 потери во вторичнои оомотке от токов, появляющихся
В результате наведения э. д. с. маrнитным полем зазора; s
 сколь

жение, определяющее относительное вращение вторичной обмотки
и маrнитноrо поля в зазоре. В нашем случае s == 1,0, так как апе

риодическое поле ротора вращается с синхронной частотой OTHO

сительно неподвижноrо статора. Поскольку в относительных еди

ницах электромаrнитные мощность и момент численно равны, иско

мая составляющая момента равна потерям в обмотке статора син

хронной машины от основной rармоники тока.
Используя (4
13), будем иметь
[ Е ( 1 1 ) ] 2 ( E'dO ) 2
M
a ===
 + ..,---

 u cos 80 , ==
 ,.
Xd X d Xd X d


(4
21 )


Определение апериодической составляющей электромаrнит-
Horo момента M
a
 асинхронноrо момента, обусловленноrо aK

тивным сопротивлением обмотки возбуждения, значительно слож-
нее. Это объясняется тем, что ротор машины имеет неодинаковые
параметры по ОСЯ1f d и q, и поэтому задача сводится к определению
момента асинхронной машины с несимметричным ротором. При..
ведем без доказательства выражение этой составляющей [51]:
" 2 ( 1 1 )
2-r:jТ
М ка == О,5и ""'f2 +
 е а ( р , (4..22)
X d x q I


rде эквивалентное активное сопротивление ротора 'р' учитываю..
щее потери в сердечнике ротора, а также изменение активноrо со..
противления цепи возбуждения от частоты, находится через сопро..
тивление обратной последовательности '2:
с\ ( ) k
 55
'р == L. '2
, k ·

 100


( 4..23)


Здесь коэффициентами k
 учитывается увеличение активноrо со.
противления при частоте 50 и 100 [ц по сравнению с сопротивле.
нием при f === О. Таким обраЗОl\1, отношением k
50/ k
100 рото.рное
сопротивление, определенное по сопротивлению обратной после-
, u
довательности, которое измеряется при частоте в :роторе, равнои
100 rц, приводится к частоте 50 [ц. Эта частота имеет место в ро.
торе синхронной машины при образовании момента M
a' Экспо-
ненциальный множитель в (4..22) учитывает затухание rармониче-
CKoro тока в роторе, происходящее с постоянной вреl\1ени Та.


4-6. ЭЛЕКТРОМАrнитный МОМЕН'Т ПОСЛЕ ОТКЛЮЧЕ..

II1Я KOPOTI(OrO ЗАМЫКАНИЯ. При отключении трехфаз..
Horo KopoTKoro замыкания и восстановлении св
зи reHepaTopa
с электрической сетью происходит новая КОМl\1утация цепи якоря,
Которая сопровождается образованием свободных потоков в ма..
ШИне. При внезапном KOpOTKOl\f замыкании напряжени{\ якоря
127




изменяется от исходноrо до нуля и начальное значение свободноrо
потокосцепления с якорем Ч!С равно U. 1< моменту отключения
KopoTKoro замыкания ('! ==: 't I {) оно уменьшается до значения
и е
1:K/ т а .
Предположим, что при отключении KopoTKoro замыкания на..
пряжение на якоре становится прежним, т. е. равным напряже..
нию сети U. Отсчитывая время 't от этоrо момента, будем иметь
начальное потокосцепление якоря 'У нч в новом переходном про..
цессе, равное Uе
1:к/Та. В отличие от режима KopoTKoro замыка..
ния теперь в машине возникнет «вынужденный» поток (потоко..
сцепление 'Ч'у), обусловленный внешним напряжением и, причем
'Р'у === U. Тоrда свободное потокосцепление якоря в момент воз..
никновения HOBoro переходноrо процесса 'Ус соrласно (3..22) будет
равно


чr с == и t/ 1 + e
21:K/T а
 2e
1:K/T а cos (8 нч
 80)'


Значение ero существенно зависит от начальных фазовых
уrлов 8 нч и 80' При 8 нч
 80 == л, например, 'Ус == и (1 +
+ е: 1к / Та ), что в 1,6
1,8 раза больше начальноrо свободноrо
потокосцепления якоря в процессе внезапноrо KopoTKoro замы..
кания.
Таким образом, после отключения KopoTKoro замыкания элек..
тромаrнитный момент машины определяется двумя составляю-
щими: одна обязана своим появлением свободному потокосце..
плению, друrая
 вынужденному. Эта последняя в переходном
процессе может значительно превышать электромаrнитный мо"
мент в установившемся режиме при тех же уrлах наrрузки е.
При неблаrоприятных условиях (8 нч
 80 == л) свободное
потокосцепление 'Ус > и и соответствующая составляющая элек..
тромаrнитноrо момента также получается весьма существенной.
Поэтому электромаrнитный l\tl0MeHT, развиваемый машиной после
отключения KopoTKoro замыкания, оказывается большим, чем при
коротком замыкании [32].
Электромаrнитный MOl\1eHT машины без демпферной обмотки
удобно определять через потокосцепления. Подставив в общее
выражение (3..4) токи из (2..69): id == ('Pli
 'Фв)/ Xd; iq === 'Pq/ Xq,
получим


м == 'Р q'P в ...... (

 ....!... ) i
эм Xd X d Xq Фd'Ч:q'


(4..24)


Потокосцепления 'Ч'd и 'Ч'q найдем по выраженияl\tl, приведенным
в Э 3..6. Для определения начальноrо уrла YJc в (3..22) обратимся
к рис. 4..7. Цектор результирующеrо потокосцепления якоря

'Ч'к В процессе KopOTKoro замыкания остается на диаrрамме непо"
движным и сдвинут относительно продольной оси d 1 В момент
возникновения замыкания на уrол 8 0и , являющийся уrлом на..
128




rРУЗI<И в ИСХОДНОМ установившемся ре жи ме. К lVlOMeHTY отключе..
ния замыкания потокосцепление якоря 'Ч'к уменьшится до значения
Ч'нч' которое представляет собоЙ начальное потокосцепление
якоря в послеДУЮIцем переходном процессе. За время KopoTKoro
замыкания Тк ось d, вообще rоворя, поворачивается на уrол, не
равныЙ т к , так как в процессе KopoTKoro замыкания частота вра..
щения машины отличается от синхронной. Характер движения
ротора при трехфазном коротком за:мыкании reHepaTopa будет
рассмотрен в rл. 6, а пока примем, что ось d, совершив некоторое
число оборотов, оказывается к 1\10MeHTY отключения KopoTKoro за-






а


Рис. 4
 7. К определению потокосцеплений якоря
при отключении KopOTKoro замыкания


мыкания повернутой относительно 'I'нч на уrол 8 ич (ось d 2 на
рис. 4..7). Уrол 80 зависит от MrHoBeHHbIx восстановленных фазных
напряжений или, что то же самое, от положения вектора и отно"
сительно оси d 2 . По известным уrлам 8 нч , 80 и потокосцеплениям
Ч'нч' '1' У находим Ч'с и tlc, как это показано в
 3..6. Оrраничимся
рассмотрением случаев, коrда при заданном Т К начальное свобод"
Ное потокосцепление якоря имеет минимальное и максимальное
значения. Это будет при разности 8 нч
 80' равной соответственно
О и л, коrда Ч'с == ски, а С к == 1 + e
'tK/Ta. На рис. 4..8 пред..
ставлены диаrраммы потокосцеплений для рассматриваемых усло..
ВИЙ, из которых следует, что в обоих случаях уrол tlc == 80 + л.
Тоrда потокосцепления якоря после отключения KopoTKoro за-
мыкания соrласно (3..22) будут равны:
Фd == и [cos 8
 Cke--'t/Т а cos (Т i
 80)]; }
( 4-25)
'фq === U [sin 8
 CKe
't/T а sin (Т + 80)].


Заметим, что в (4..25) rармонические члены основной частоты
записаны при пренебрежении скольжением машины.
В переходном процессе, возникающем после отключения корот-
I\oro замыкания, уrол 8 будет медленно изменяться вследствие
Toro, что s =1== О. Поставим оrраниченную задачу определения мак-
СИмально возможноrо электромаrнитноrо момента в рассматривае..
5 А. И. ВаЖНОIi 129




мом процессе. MOl\1eHT достиrает cBoero маКСИМУl'.1а весьма быстро

за время Ты после отключения KopoTKoro замыкания, равное при

мерно л радиан (0,01 с). За такой промежуток времени уrол 8
незначительно изменится по сравнению со своим исходным зна

чением 80' Практически не ИЗl\1енится потокосцепление 'фа, И ПО..
этому в (4..24) можно оперировать с постоянным потокосцеплением
'Ч'в == 'РвО == E do , равным в относительных единицах э. д. с. за
ПрОДОЛЬНЫl\f переходным сопротивле..
ннем.
Подставим в (4
24) 'Pd и 'Pq из
(4..25), rде можно заl\fенить уrол е
На 80' а 'Ч'в на EdO. В результате по

лучим


а)
d 1JIy ! 'f'" с
8 0 ==8 н ч
lJ!нч


1JIНЧ "1'
;"с


и 2
М ЭМ == 7 Кт:о,
d


( 4
26)


rде
Е' {
Kr:o==
o sin Oo
CKe
t/T as1n (.+OO)


 8
 [s1n 200
2CKe
t/Ta sin (. +200)+
+ c
e
2t/Ta sin 2 (. + 00] };


обозначение в
 см.
 4..5.
Составляющая в М ЭМ , зависящая
от С к , обусловлена свободным Mar-
нитным потоком статора; она вклю"
чает в себя первую и вторую rapMO"
ники основной частоты и периодически изменяет свой знак.
При более CTporoM рассмотрении должен учитываться также асин"
хронный момент M
a, обязанный своим появлением свободному
потоку статора и пропорциональный r Р' ОН может вычисляться
по (4..22), rде необходимо добавить множителем величину C
, так
как начальное значение свободноrо потокосцепления теперь
равно ски. Друrая составляющая в М ЭМ обусловлена нормальным
результирующим потоком машины; на малом отрезке времени она
принята постоянной, а вообще зависит от уrла 8 и медленно изме..
няется вместе с ним.
При заданном уrле 80 функция Кто, а вместе с ней и М ЭМ до.
стиrнут максимума в некоторый момент времени. Однако макси-
мально возможный момент М ЭМ . макс возникает не при произволь..
ном, а вполне определенном значении 80. Поэтому при определении
«максимума максиморума» момента следует рассматривать ero
как функцию двух переменных 80 и Т. Скрупулезное нахождение
экстремума Кт.о приводит к rромоздким выражениям. Однако, каК
показывает анализ. достаточно воспользоваться приближенными


Рис. 4
8. Диаrрамма потокосце-
плений якоря в момент отклю

чения замыкания: a
 при Онч==
== 00; б
 при 8 нч == 80 + n


130




условиями, которые при нормальных значениях параметров ма-
шины обеспечивают вычисление M.jJ\f. макс с поrрешностью, не пре-
Бышающей 3 % .
Можно принять, что максимально возможный электромаrнит-
ный момент получается при 80 == 2л/3 и т == л независимо от ве-
личин C 1 <. И е и, следовательно, равен
и 2
М ЭМ . макс == 7 k MO ,
d


[де соrласно (4-26)
Е'
k Mo """, 0,9
O [1 +
e + Ске
Л/Т а (1 + ;е + ;е Ске
Л/Т а ) ] ·
Величина k MO зависит от коэффициента С К и дЛЯ С К == О-+- 1,6
практически линейна. Следовательно, максимально возможный
электромаrнитный момент возникает при 8 нч
 80 == Л, коrда
С к == 1 + e
1:K/T а, и при наименьшей продолжительности корот-
Koro замыкания. В этом случае после отключения KopoTKoro з
.;'
мыкания появляется наибольший свободный поток статора и элек-
тромаrнитный момент в переходном процессе достиrает большоrо
значения. Так, для тех же параметров е == 0,5; xdlxq == 0,5, по
которым в
 4..5 вычислялся коэффициент k M в (4..20), определяю-
щий максимальный электромаrнитный момент при трехфазном
коротком замыкании, и при Та == 0,1 с коэффициент k Mo
 3,2
и 3,5 соответственно при С к == 1,4 и 1,6. Таким образом, дЛЯ С К ==
== 1,4 -+- 1,6 будем иметь
М ЭМ . максlМкз макс == kMOlk M
 2,9 + 3,2.
Для мощных [енераторов, обладающих постоянной времени
Та === 0,1+0,2 с, при МИНИ1\1альном времени отключения карот-
Koro замыкания 0,1 с, коэффициент С К
 1,4 + 1,6.






Внезапные несимметричные короткие замыкания
синхронной машины без демпферной обмотки


5-1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Наиболее частым видом корот..
Koro замыкания является несимметричное короткое замыкание
 однофазное,
двухфазное, двухфазное на нейтраль (рис. 5
 1).
Если с точки зрения динамической устойчивости системы наиболее тяжелым
Является трехфазное короткое замыкание (правда, из
за малой вероятности оно
Не Является определяющим в расчетах динамической устойчивости), то несим-
5* 131




мстричные короткие замыкания неприятны lIоявлением больших знакоперемен

ных моментов и значительных перенапряжениЙ на свободной фазе при отсутствии
поперечной демпферной обмотки. Кроме 1'oro, при несимметричных коротких
З3J\iыканиях появляется полный спектр rармоник в токах, которые при наличии
соответствующей емкости в цепи статора MorYT значительно усилиться. Подобные
резонансные явления возможны, например, при работе reHepaTopoB через линию
передачи заметной протяженности. Наконец, следует отметить, что при однофаз

НОМ коротком замыкании ударный ток в статоре превышает аналоrичный ток при
трехфазном коротком замыкании.
Анализ несимметричных коротких замыканий будет произведен для случая,
коrда внешняя цепь до точки KopoTKoro замыкания замещается последовательно
соединенными сопротивлениями 'вн и Х вн . Этим условиям, В частности, удовлетво

ряет и случай, коrда между точкой KopoTKoro замыкания и зажимами машины


а б) а '8) а


Ь с Ь с 7J с


Рис. 5
 1. Схемы несимметричных КОРОТI{ИХ замыканий: а

однофазное; б
 двухфазное; в
 двухфазное на нейтраль


включен трансформатор. Оrраничимся рассмотрением только однофазноrо и ДBYX

фазноrо коротких замыканий, возникающих при работе reHepaTopa в режиме
холостоrо хода, коrда он не имеет связи с электрической сетью.


5-2. ОБЩИЕ ФуIЗИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ. При однофазном и ДBYX

фазном коротких замыканиях физическая картина явления одна и та же. Объяс

няется это тем, что в обоих случаях на статоре образуется однофазный KOpOTKO

замкнутый контур, создающий пульсирующее маrнитное поле, если по нему про

текает переменный ток. Используя теорему постоянства потокосцеплений, можно
нарисовать следующую картину на приыере ОДIlофазноrо KopoTKoro замыкания.
При возникновении KopoTKoro замыкания в цепи якоря reHepaTopa (при
коммутации цепи якоря) в машине образуются свободные маrнитные потоки,
один из которых практически неподвижен относительно короткозамкнутоrо KOH

тура на статоре, друrой
 относительно обмотки возбуждения. Если активные
сопротивления контуров равны нулю, то эти потоки остаются неизменными по
значению. Постоянство потокосцепленпй с однофазной обмоткой на статоре
обеспечивается в первую очередь постоянным током; поэтому в обмотке статора

оявляется такой уравнительный ток. НеПОДВ}l)КНЫЙ в пространстве свободный
поток статора индуктирует э. д. с. основноЙ частоты в обмотке ротора, враща

ющеrося с синхронной частотой. Поскольку обмотка ротора замкнута через
возбудитель, в неЙ возникает ток основной частоты, обусловливающиЙ 'пульси-
рующее поле. Это поле оказывает, в свою очередь, электромаrнитное воздействие
на статор, определить которое можно проще Bcero, заменив однофазное пульси

РУlощее поле двумя вращающимися полями.
fзвестно, что однофазное пульсИ

РУlощее поле обмотки можно разложить на прямо
 и обратновращающиеся поля,
причем частота их вращения относительно обмотки равна уr
lIОВОЙ частоте пуль

сирующеrо потока. Поэтому прямовращающееся поле обмотки возбуждения,
движущееся относительно ротора в направлении ero вращения, индуктирует
в статоре вторую rармонику э. д. с., в результа1 е чеrо в статоре образуется вторая
rармоника тока; обратновращающееся поле остается в пространстве неподвиЖ-
ным и, таким образом, участвует в создании свободноrо потока статора. Вторая
rармоника тока в однофазной обмотке статора создает свое маrнитное поле,
пульсирующее с двойной частотой. Это поле, ЯБЛЯЯСЬ полем взаимной индукции
обмоток статора и ротора, будет оказывать электромаrнитное действие на об-


132




мотку возбуждения. 3амение это пульсирующее поле прямо
 и обраТНОВР(iща

ЮIЦИl\1ИСЯ полями, которые перемсщаются относительно оБМОТf{И статора с двой

НОЙ синхронной частотой, найдем, что первое из них неподвижно относительно
прямовращающеrося поля обмотки возбуждения, а второе индуктирует в роторе
э. д. с. утроенноЙ частоты. Таким образом, в обмотке возбуждения появляется
третья rармоника тока. Продолжая последовательное рассмотрение прямо

и обратновращающихся полей, заменяющих однофазные пульсирующие поля,
создаваемые rармониками тока в обмотках, придем к выводу, что как в обмотке
статора, так и в обмотке ротора образуются новые rармоники тока, более BbIcoKoro
порядка. При этом ток статора будет содержать rармоники четноrо, а ток po

тора
 нечетноrо порядка.
На рис. 5
2, а схеJ\l[3тически"'показаны взаимные связи rармоник тока в об

мотках статора и ротора, устанавливающиеся при постоянстве потокосцепления


Ротор


б)
Статор


Рис. 5
2. Схема связей rармоник тока в обмотках статора и po

тора, возникающих при постоянстве потокосцеплений в CTa

торе (а) и в роторе (6)


обмотки статора. Уравнительный постоянный ток ({ == О) статора и показанные
на рисунке уравнительные rармоникп тока статора и ротора образуют замкнутую
систему. При конечном активном сопротивлении обмотки статора свободный поток
статора будет затухать до нуля с постоянной времени, опреде.ТIяемой этим сопро

тивлением. Вместе с ним будут затухать с той же постоянной времени свободный
постоянный ток статора и вся замкнутая система токов, обусловленная им.
Аналоrичные рассуждения, основанные на постоянстве потокосцеплений
с обмоткой ротора при равенстве нулю ее активноrо сопротивления, приведут
к выводу, что в роторе появятся уравнительные составляющие тока постоянноrо
направления (f == О) и четные rармоники, а в статоре
 маrнитно
связанные
с ними нечетные rармоники (рис. 5
2, 6). Вся эта замкнутая систеыа токов рудет
затухать до установившеrося значения, поскольку свободный поток ротора в конце
переходноrо процесса достиrнет установившеrося значения потока возбуждения.
Постоянная времени затухания указанной системы токов должна определяться
активным сопротивлением обмотки возбуждения, в которой протекает ток по

Стоянноrо направления. .
Итак, при несимметричном коротком замыкании в однофазных контурах
статора и ротора возникают постоянные составляющие токов и полные спектры
rармоник, затухающие с двумя различными постоянными времени.
Теоретически бесконечный ряд rармоник тока обусловлен характером KOpOT

Козамкнутых контуров статора и ротора: однофазные контуры создают физи

Чески пульсирующие, а не вращающиеся маrнитные поля.
Отметим, что следствием общности физических процессов при однофазном
и двухфазном коротких замыканиях является подобие аналитическоrо их иссле

ДОвания: уравнения однофазноrо KopoTKoro замыкания MorYT быть получены
из уравнений двухфазноrо замыкания увеличением параметров машины на Be

Личину J равную OJ5xo.


1ЭЗ




5..3. ТОКИ ПРИ ДВУХФАЗНОМ I,OPOTKOM ЗАМЫКАНИИ.
CTporoe решение дифференциальных уравнений напряжений при
несимметричных КОрОТКИХ замыканиях весьма сложно, так как
при ЭТОl\1 приходится иметь дело с уравнениями, содержащими пе-
риодические коэффициенты, а не постоянные, как это было в слу

чае симметричноrо KopoTKoro замыкания. Приближенное решение
может быть найдено с помощью теоремы постоянства потокосцеп-
лений контуров, т. е. по методике, уже использованной в задаче
о трехфазном коротко:м замыкании. Соrласно этой методике, сна-
чала находим токи, ПОJlаrая r === r B === о; затем определяем уста-
новившиеся токи KopoTKoro замыкания, также считая r == о;
после этоrо составляем общее выражение для тока, имея в виду,
что разности между найденными токами затухают по экспонен-
циальному закону до нуля. Сравнение приближенноrо и CTpororo
решений задачи о токах несимметричноrо KopoTKoro замыкания
показывает, что при обычных значениях активных сопротивлений
цепей машины они весьма мало отличаются друr от друrа. При
определении токов более удобными являются координаты а,
.
Найдем токи при двухфазном коротком замыкании, происхо

дящем на холостом ходу reHepaTopa, т. е. при начальных условиях
i B == i BO ; iao == i bO == ieo == О или, что то же самое,


ioo === iao === i(3o === О.


(5
1)


Примем, что в процессе KopoTKoro замыкания скольжение
машины s === О и напряжение возбуждения не реrулируется.
При двухфазном коротком замыкании короткозамкнутый KOH

тур на статоре образован фазами Ь и с. Постоянство потокосцепле-
ния с этим контуром может быть выражено условием

'b
 'Ре == Фьо
 Фео === const или ф() === ФВО == const, (5..2)
так как 'Ч'ь
'Фе == V 3 'Фв,
Постоянство потокосцепления с обмоткой возбуждения харак"
теризуется соотношением
'Ч'в === 'РвО == const. (5..3)


Потокосцепления
)a, "Рс), 'Рв В относительных единицах можно \
получить из (1..39), (1
40), (1..42). Поскольку рассматривается ма..
шина без демпферной обмотки, в указанных выражениях следует
положить равными нулю токи демпферных контуров. Затем (1..39)
и (1..40) нужно отнести к базисному потокосцеплению якоря чr(),
определяемому через друrие базисные величины якоря или базис..
ные ве"ТIИЧИНЫ обмотки возбуждения на основе (2-58) в виде
ч' б
 L б ! б === и б/ Ш l == M aI3l1 ! вб'
Уравнение (1..42) для перевода в относительные единицы сле-
дует разделить на базисное потокосцепление обмотки возбужде..
ния Ч'ВО' которое на основании (2..58), (2..60) и соотношения базис..
134




ных величин якоря может быть представлено несколькими равно..
значными выражеНИЯ
IИ:
чr Бб == L B ! вб == Lии б/Хавd == ! БLБLБ/ M UBd '


в результате указанной операции получим потокосцепления
в относительных единицах:
Фа == (Sx + Rx COS 2у) ia + Rxi
 sin 21' + i B COS 1';
ФВ === Rxia sin 21' + (8 х
 Rx cos 2,\,) i(3 + i B sin '\';
'i'B == (Xd
 Xd) (Ёа COS l' + i13 sin 1') + Ё в ,


(5..4)
(5..5)
(5..6)
rде 8х == 0,5 (L d + Lq) == 0,5 (Xd + Xq); Rx == 0,5 (L d
 Lq) ==
== 0,5 (Xd
 X q ), причем индуктивности и индуктивные сопро..
тивления выражены в относительных еди.. Ос!; поля фк
ницах. C(,=
+OGO
При двухфазном коротком замыка..
нии (р и с. 5..1, б) i а == о, i о == 1/ з (Ё а +
+ Ёь + Ёс) == О. Поэтому сх"составляющая
тока якоря ia == ia
 io == о.
Отметим токи, определяеIvlые при ра..
венстве нулю активных сопротивлений це..
пей машины, штрихами в верхней части
символа. Подставив в (5..2) и (5..3) пото..
косцепления в виде (5..5) и (5..6), в кото..
рых нужно положить ia == О, и приняв во
внимание начальное условие (5..1), будем
иметь


а


Рис. 5-3. Взаимное поло-
жение координатных осей
и оси маrнитноrо поля
статора при двухфазном
коротком замыкании


(Sx
 Rx COS 21') i
 + i
 sin l' == i БО sin 1'0;
(Xd
 Xd) i
 sin l' + i
 == i БJ ,
rде 1'0
 значение уrла l' при 't == О.
ДЛЯ Toro чтобы в дальнейшем наиболее просто рассмотреть
случай однофазноrо KopoTKoro замыкания, введем в полученную
систему вместо уrла l' == 't + 1'0 новый уrол сх == 't + сх о , который
будет составлен осью d с осью поля, создаваемоrо токами двух
Короткозамкнутых фаз (рис. 5-3). Принимая за положительное
направление тока KopoTKoro замыкания i S2 направление тока
ib в фазе Ь, получаем ось поля ФК от токов двух фаз, располаrаю..
щуюся норма.IIЬНО к оси фазы а. Из рис. 5..3 следует, что l' == л/2 +
+ сх; 1'0 == л/2 + сх о , поэтому .


sin 1'0 == cos схо; sin у == cos сх; cos 21' ===
cos 2а.
Подстановка этих соотношении в полученные уравнения дает
(Sx +
x
OS 2а) i
 :
 i
 C
S а == i BO COS аО; }
(Xd
 Xd) Lf3 COS сх т [в === [вО.
136


(5-7)




Из этих уравнениЙ находим оба тока:
., 2i BO (cOs а о
 cos а)
(в == I ( I )
X q + Xd
 Х ц
 X d cos 2а


(5
8)


.,
 . 2 . ( , ) (cos а О
 cos а) cos а
t B
 (вО
 (вО Xd
 Xd , ( , ) ·
X q + X d
 X q
 X d cos 2а


(5
9)


ТОК KopOTKoro замыкания в статоре i S2 == i/;;.
Из схемы рис. 5..1, б следует, что ic ==
ib' Поэтому
i{3 === (ib
 ic)/V 3 == 2i s2 /VЗ и i;2 == v з i
/2.
Токи i;2 и i
 являются периодическими четными функциями
уrла CG, поэтому разложение их в ряд Фурье должно содержать
только косинусные члены. Эти разложения имеют вид
., v 3 Е о cos а о 2
ls2 == ,........ (1 + 2Ь cos 2а + 2Ь cos 4а + · · .)

2 V xdx q
VЗЕ

 10 (соsа.+ЬсоsЗа+Ь 2 соs5а+ ...); (5
lO)
х э
i
 === iso + iso (Xd
 Xd) (1 + Ь) [ x
 ( 1
 Ь + COS 2а
 Ь COS 4а +


 Ь 2 cos ба + · · .)
 CO
 (cos а

 Ь cos За + Ь 2 cos Ба + · · · ) J '
V XdXq
(5
 11 )


rде


v Х q
 v x d .
Ь===
 /
 ,

I x q + V xd


V


" , .
Х Э == Xd + XdXq; Ео == LBO.


Эти выражения показывают, что отношение амплитуд любых
двух соседних rармоник тока большеrо и меньшеrо порядка оди..
наково и равно Ь. Значения постоянной составляющей и четных
rармоник, связанных с ней, в токе статора зависят от уrла 1'о(а. о ),
т. е. от Toro, какое положение занимает ротор в момент KOpOTKOI'O
замыкания. Они максимальны при а о ::=: О, коrда начальное пото..
косцепление с короткозамкнутым контуром статора максимально
(рис. 5.3).
Определим теперь токи в режиме установившеrося KopoTKoro
замыкания. Этот режим можно характеризовать соотношениями:
ф{3у
 о; Р'tФву
 о. (5
 12; 5
 1 Э)


Действительно, уравнение напряжений короткозамкнутоrо коп->,f.
тура на статоре имеет вид j

1


 i


Р1; (ФЬу
 Фсу) + r (i hy
 icy) == О или Р1;Ч'13у

 ri
y == о.
136


{ ,




Ввиду малости r имеем Р't'ФВу
 О, и так как постоянноrо по

токосцепления в установившемся режиме с цепями статора нет,
то получаем выражение (5
 12).
Для цепи возбуждения в устаНОВИВlllеl\IСЯ режиме KopoTKoro за-
мыкания уравнение напряжений принимает вид
Р,", 'ф п У + r R i n '" == о,
rде iB

 переменная составляющая установившеrося тока iByo
Ввиду малости r в можно считать r Bi B .....,
 О, что и дает ypaBHe

иие (5
lЗ).
Постоянная составляющая и четные rармоники тока в статоре,
а также связанные с ними нечетные rармоники тока в роторе за-
тухают до нуля; поэтому установившиеся токи:
i s2y
 v: ifJy

 [A S2k
1 sin (2k
 1) а + AC2k
1 cos (2k
 1) а]; 1
k===l


00
i By == i BO +
 (B s2k sin 2ka + B C2k cos 2ka).
k===l


(5
14)
Определить амплитуды токов в (5..14) можно следующим обра..
зом. В уравнени я (5..12) и (5..13) следует подставить общие выра..
жени я потокосцеплений (5..5) и (5..6), в которых нужно положить
ia == о; if3 === i
y; i H == ii'Y И установившиеся токи заменить их
разложениями (5..14). После выполнения операции дифференциро"
вания в (5..13) приравниваются нулю коэффициенты, стоящие при
синусах и косинусах в (5..12) и (5..13). В результате получается бес..
конечная система алrебраических уравнений, содержащих неиз..
вестные амплитуды rармоник токов. Решение этой системы и под..
становка а
JПЛИТУД rармоник токов в общие выражения (5..14)
приводят последние к виду
i s2y

 Vз Ео (cos а + ь cos За + Ь 2 cos 5а + . . . );
Х Э



.-


. . . (xd
 X
) (1 + Ь)
L By === [вО + L BO хэ (С052а + Ь СО5 4(Х + Ь 2 COS 6а + · о .),


rде Х Э
 Xd
+ V XdXqo
Отметим, что по методу симметричных составляющих ток уста...
НОВившеrося двухфазноrо KopoTKoro замыкания (основная rapMO"
ника) определяется по формуле
1
 Vз Ео
s2y
 xd + Х2 '


rДе Х 2
 сопротивление обратной последовательности. Сравнение
Этой формулы с полученной выше для тока i s2y показывает, что
137




при определении тока 1 s2y необходимо в качестве Х 2 дЛЯ машины
без демпферной обмотки принимать сопротивление x
2) == V X
Xq .
Амплитуда основной rармоники тока i;2 определяется аналоrично
установившемуся току, только сопротивление Xd нужно заменить
,
динамическим параметром Xd.
Вернемся к определению токов в процессе KopOTKoro замыка..
иия. Под влиянием активных сопротивлений обмоток ротора и
., .,
статора разности ме}кду составляющими токов ls2, t B И установив..
шихся токов затухают до нуля по экспоненциальному закону
(см.
 5..2). Поэтому общие выражения для токов будут иметь вид
i S2 === i s2y
 Vз Ей
::э
 x
) [ ?
 b(k
l) cos (2k
 1) а ] e
,!:jТd2 +
+ V 3 2 :!2c)osa o [1 + 2 j; b k COS2ka] e
'!:/Ta2; (5
15)


f l +t xd
x
 [1
I
 (Xd
X
)(1

b) }: ОО b (k
l) Х
:в == .ву 'вО , 1"
Х х э

э k
l
] j T (xd
 x
 ) (1 -1
 Ь) cos а о [ }: ОО (k
 1)
Х cos 2ka e
't d2
 i BO (2) Ь
 х
Х!)
k ::::: 1
Х cos (2k
 1) а ] e
'!:/T а2, (5
 16)
rде Td2 и Т а2
 постоянные времени роторноЙ и статорной це..
пей при двухфазном коротком замыкании, определение которых
дается в 9 5
5.
При практических расчетах токов не приходится иметь дела
с рядами Фурье столь внушительноrо вида, какими они предста..
влены в выражениях (5..15) и (5..16). В кривых токов i S2 И i B из
высших rармоник имеют заметную амплитуду лишь вторая,
третья и четвертая, так как при среднем отношении X
/Xd
 2
коэффициент Ь == 0,17 и степени ero с увеличением показателя
быстро уменьшаются (Ь 2
 0,03; Ь 3
 0,005 и т. д.).
Можно отметить также, что если машина будет Иl\'Iеть си!\лме..
тричный ротор В двух осях, т. е. Xd == X q (Ь == О), то высшие rap..
моники в кривых тока будут отсутствовать, кроме второй rapMO"
ники в роторе аналоrично второй rармонике в статоре при трех..
фазном коротком замыкании.
На рис. 5..4 и 5..5 представлены в функции времени токи i s2 И
i 1H рассчитанные по (5
 15) и (5
 16) для машины со следующими
параметрами: Xd == 1,0; X q :=:: 0,6; Xd == 0,3; Т а 2 == 0,02 с; T d2 ==
:.;:::: 0,1 с; Ео == i BO == 1,0. Здесь приняты очень малые значения
138


,.




постоянных 'Времени, чтобы наrляДНО показать затухание На не-
большОМ отрезке времени. Предполаrается, что короткое замы-
кание ПрОИСХОДИТ при наличии максимальноrо потокосцепления
с KOHTypOlVl статора (ап === О).
Оценим теперь в оБIцем виде те максимальные значения токов,
которые вообще MorYT ожидаться при двухфазном коротком замы-
i S2
'"


J


?


о


2
 4
 б
 8
 '
 '




'tt


1


Рис. 5-4. ТОК статора при двухфазном коротком
замыкании


кании. Наибольшие значения токов получаются, если а о === О,
т. е. в случае, коrда потокосцепление с контуром статора в MOl\leHT
KopoTKoro замыкания максимально. Их можно определять, не
учитывая затухания, так как максимальных значений токи дости-
rают через 0,01 с (т == п) после начала процесса KopOTKoro замы-
i8
4


3


wl


2
1


(:::>
Q:)
. ,..;)


'r
......


..


'-


а 2л 411: б7С 8
 101( 125( 14х
Рис. 5
5. Ток возбуждения при двухфазном коротком
замыкании


кания, а это время значительно меньше постоянных времени
Т;12 и Т а2 . Таким образом, ударные токи KopOTKoro замыкания
i K2 и i B . макс МОЖНО найти из (5..8) 11 (5
9). Эти токи при а о == О
Достиrают CBOerO
1аксимума при а === 't' + а о == L == л. Учиты-
вая, что ток i
2 == 0,5
/ 3 iiз и i BO == Ео, получим


V:З Ео
i K2 == ,
xd


,
( Х d

 Х d )
i п . макс === i BO 1 + 2 , ·
X d


(5-17; 5..18)


\,
"


139




Таким образом, максимальные токи при сделанных допуще-
ниях не зависят от несимметрии ротора по осям d и q (Xd 4= Xq) и
u ,
определяются лишь параметрами по продольнои оси Xd И Xd.


Для оценки значений максимальных токов при двухфазном коротком замы-
кании рассчитаем их для машины с параметрами X d === 1,0; xd == 0,3 при усло

вии, что замыкание произошло при номинальном напряжении иво == Ео == 1,0).
Соrласно (5-17) и (5-18) i I (2
 5,8; iR.Ma!(C
 5,7.


5-4. ТОКИ ПРИ ОДНОФАЗНОМ I(OPOTKOM ЗАМЫКАНИИ.
Будем считать, что короткое замыкание произошло на холостом
ходу rеиератора, т. е. при начальных условиях: i B == ir,o; ioo ==
== iao == i{3o === О. Определим сначала токи при пренебрежении
активными сопротивлениями цепей. Применяя теорему постоян-
ства потокосцеплений к короткозамкутой фазе а (см. рис. 5
 1, а)
и обмотке возбуждения, получаем


'фа ===== ФаО == const; 'Рв == 'РвО === const.


(5-19; 5
20)


в процессе KopoTKoro замыкания ib == ic === о, ПОЭТОI\,fУ if3 == о;
io == 1/3 i a, а ia == ia
 io == 2/3 i a. Потокосцепление фазы а соrласно
линейному преобразованию равно


Фа :=:: '1-)0 + Фа === xoio + 'I-'a === O,5x o i a + Ч'а'


Подставив сюда 'Фа из (5..4), rде нужно положить if3 == О, в СООТ"
ветствии с условием (5..19) получим


* * * *
0,5 [Xd + x q + (Xd
 Xq) cos 21'] i
 + i
 cos У ==:: iBo COS 1'0,


* *
rде Xd == Xd + О,5х о ; x q === x q + О, 5х о.
Уравнение (5..20) с помощью (5..6), в котором теперь i l3 == О,
приводим К виду


* *
(Xd
 Xd) i
 cos У + i
 == i BO ,


*" * *, ,
rде Xd == Xd + 0,5х о , а Xd
 Xd == Xd
 Xd.
Два полученных уравнения полностью идентичны соответствую-
щим уравнениям при двухфазном кор ОТ KOl\tI заl\'Iыкании (5
7) ,
.,
с тем лишь отличием, что вместо тока la И уrла у ранее стояли
ток i
 и уrол а, а параl\1етры не имели знака *. Поэтому МОЖНО вос-
пользоваться выражениями (5-1 О) и (5..11), чтобы по аналоrии за..
писать токи при однофазном коротком замыкании. Обозначим ток
KopOTKoro замыкания в статоре через i s1 . Имея в виду, что i S2 ===
140




==== 0,5 V 3 i B , а i S1 == ia == 1,5i a , т. е. в последнем выражении по-
стоянный множитель в V r 3 раз больше, будем иметь
., 3Ео cos 1'0 ( 1
 t 2Ь cos 21\,
l
 2Ь 2 COS 4
, + . . . )

[ 5 1 === ,r*,* (, r
2 V XdXq


3Е * *


 (COS'V + Ь cos 3'V + Ь 2 cos 5'V + · · .); (5
21)
х э


i
 === iвO + i BO (;d
 ;d) (1 + Ь) r
 ( 1 *
t- cos 2'V +

 х э 1 + ь
* * ) cos ct
+bCOS4y+b 2 coS6y+...
 1/ *': (cosy+
V XdXq
+ Ь cos 31' + Ь 2 cos 51' + ...)], (5
22)


rде


*
Ь===


Y


:1: *,
Xq
 VXd .
1 r* , r;-; ,
V Xq + V Xd


Y

*, *, *,*
Х Э === Xd + XdXq.


Установившиеся токи i 51y И i By находятся из УСЛОВИЙ 'Фау


 о; Рt'Фву
 О, аналоrичных (5-12) и (5
13) при двухфазном замы-
кании, и подобным же методом. Поэтому получается сходный ре-
зультат:


i s1y ==
 3;0 (cos l' + ь cos 31' + Ь 2 cos 51' + · · .);
Х Э
. . . (; d

d) (1 + Ь) * *
L By == t BO

 t BO * (cos 2)'
I
 ь cos 41' + Ь 2 cos 61'

 · · .),
хэ


...............
* * lr* *
rде Х Э === Xd + V XdXq.
Определяемый методом симметричных составляющих YCTaHO

Вившийся ток при однофазном коротком замыкаНИИ,как известно,
равен


1
 3Ео
sly
 xd + Х2 + ХО ·
. Сравнение этоrо тока с амплитудой первой rармоники в токе'
L s1y показывает, что при определении тока 1 sly необходимо счи

тать сопротивлением обратной последовательности синхронной
машины без демпферной обмотки в режиме однофазноrо KopOTKoro
замыкания x
l) величину


x
1) == V (Xd + О,5хо) (X q + О,5хо)
 О, 5х о.
141




Учитывая затухание токов, можно, соrласно описанной выше
методике, представить токи в виде


. .
[Б1
 [61у



( * * ) CQ
3Е Х
 х' * ,
о *,
 d [ L b(k
1)cos(2k
 l)у ] e
L/Tdl +
ХэХ э 1,:==:1
+ 3Ео C
 [ 1 + 2
 b k cos 2k Y ] e
'(/T а1;
2 у xdx q k
l


(5
2:-З)


.
. l'
 d

d [ 1 L (; d

d) (1 + Ь) i-, Ь * ( k

 1 ) Х
L в
 [в У ""l
 [вО * ,
I * .l.J
Х Э Х Э k==l
Х cos 2ky ] e
1:/T;l1


 i BO (
d

d) (
b) cos 1'0 [
 b(k
l) cos (2k
 1) У ] e
1:/T аl, (5
24)
YXdXq k
l


rде T d1 И Tal
 постоянные времени роторной и статорной цепей
при однофазном коротком замыкании, определяемые далее в 9 5
5.
*
Коэффициент Ь, характеризующий уменьшение амплитуд BЫC

тих rармоник при однофазном замыкании, для нормальноrо COOT

ношения параметров (Xd < Xq) меньше аналоrичноrо коэффициента
Ь при двухфазном замыкании. Поэтому, как и раньше, в токах
i S1 и i B наибольшие значения среди высших rармоник имеют лишь
вторая, третья и четвертая.
Оценить ударные токи при однофаЗНОlVI замыкании i E . 1 и i B . макс'
которые, как и раньше, получаются при наличии максимальной
постоянной составляющей в токе статора ('\'о == О), можно с по..
мощью (5..17) и (5
18). В этих выражениях нужно лишь заменить
V 3 на 3 и параметры Xd, Xd на
d,
d' Таким образом, при пре

небрежении затуханием ударные токи в раССIvlатриваемом случае
равны:


. 3Ео 3Ео .
ЕКl ==
, == Xd + о,5х о '
d


( * *,' ,
. . Xd
Xd. Xd
Xd
[В, макс =:: [во 1 + 2 ) == [вО ( 1 + 2 ,
 о 5 ) ,

, Х d
 ) Ха
, d


Как видим, эти токи не зависят от степени несимметрии цепей
рОТора по ОСЯlVl d и q (Xd -+ X q ), однако на их значения влияет
сопротивление нулевой последовательности.
142


""




Определим ударные токи для lVIашины, имеющей параметры:
Xd === 1,0; Xd == 0,3; ХО == 0,1, полаrая, что короткое замыкание
произошло при номинальном напряжении (Ео == iuo == 1,0). Co

rласнО приведенным формулам i K1
 8,6; i B . макс
 5,0.
Отметим, что при расчете токов KopoTKoro замыкания в случае,
коrда l\lежду точкой KopoTKoro замыкания и обмоткой статора Ma

шины с изолированной нейтралью включен трансформатор с за

земленной нейтральной точкой, можно пользоваться приведенными
выше формулами. При этом вместо сопротивлений статора машины
следует подставлять их сумму с сопротивлениеl\f KopoTKoro замы

кания трансформатора, а вместо сопротивления нулевой последо

вательности машины
 аналоrичное сопротивление трансформа

тора. Кроме Toro, в (5
15) и (5
16) необходимо заменить уrол (х
на 1', а в (5
23) и (5
24)
 уrол 'v на 'V + 'Л/2. Очевидно, что в этом
случае будут вычислены не токи статора машины, а токи в TpaHC

форматоре. ТОКИ статора 1\1ашины можно найти из соотношений:


. .. .
t as == tj3T; t(3s:::=:
taT'
rде ias, i(3s и i(J"т, i(3T
 (X
 И

составляющие соответственно токов
статора машины и трансформатора.


5-5. ПОСТОЯННЫЕ ВРЕМЕНИ. Определим постоянные вре-
мени затухания токов методом, указанным в
 4
4 и сводящимся
к нахождению эквивалентной индуктивности контуров при KO

ротком замыкании.
Постоянные времени ротора. Соrласно определениям, данным
в
 4
4:


T d2 == L
2/rB и TdI
 L
l/rB'
[де L
2 и L
l
 эквивалентные ИНДУКТИВНОСТИ обмотки возбуж

дения соответственно при двухфазном и однофазном коротких
замыканиях. Но


L
2 == 'l'во/i
п2,
[де '1'130
 начальное значение потокосцепления с обмоткой воз

буждения, равное LBiBo; i
п2
 постоянная составляющая '.тока
в первый момент KopoTKoro замыкания. Соrласно (5
11)


х
x'
., . + . d d
lвп2 == [вО [вО ,
Х Э


. х э
== l в О ........., ·
Х Э


Таким образом,


v' х'
L
2 == L B :'''э ; Td2 === Т dO
 .
Х Э ХЭ


По аналоrии


*
х'
Tdl == TdO+'
х э


143




Постоянные времени статора. По общему правилу
т а2 == L
2/(2/"); Т al === La1/r,
rде L
2 и L
l
 эквивалентные ИНДУI{ТИВНОСТИ короткозамкну..
тых цепей статора соответственно при двухфазном и однофазном
коротких замыканиях. В знаменателе Т:12 стоит активное сопро..
тивление короткозамкнутоrо контура двух фаз. Индуктивности:
L ' / ., L ' / .,
а2 == 'Ч-')s20 lsп2; al:::::= 'фs10 lsпl,


rде 'Фs2IЭ и 'ФSI0
 начальные потокосцепления с контурами ста..
., .,
тора; lsп2 И lsпl
 постоянные составляющие токов статора в пер..
вый момент двухфазноrо и однофазноrо коротких замыканий.
Но




 r

'Ч's 20 === 'фьо
 'Ч'со === V 3 ЧJво == J; 3 i 80 cos СХО; '1'510 === 'РаО == i 80 COS 1'0'


Подставив в выражения индуктивностей указанные потоко..
сцепления и значения токов из (5..1 О) и (5..21), получим



 2 У * * 2X 2 (1) +Хо
L ' () V 'J'
 2 (2). L '



а2 ==
 XdXq
 Х2, al
 3 XdXq
 3
Таким образом, постоянные времени:
x
2) . 2x
1) + Х
Т Т
 о
а2 ===
 ' аl
 3, ·


'.. 1 : .
 ..1. . 'l)'
 . Al
. 5 . .. .,. , . ............ Ff! . . R . ..
 O . ( . . .
o. . ll .... @ . .
 .
. . , '\. '.
 ,
).I J. "\.'. . .
. '.' ..
 /:

/ ,
)' l j .
. . iJ. () . ...... .....


Внезапное короткое замыкание синхронной \\1ашины
с демпферной обмоткой


6-1. ТОКИ ТРЕХФАзноrо KOPOTKOrO ЗАМЫКАНИЯ.
в качестве примера решения операторных уравнений синхронной
машины рассмотрим задачу наХОiкдения токов в обмотке статора и
обмотке возбуждения машины при внезапном трехфазном коротком
замыкании якоря. Будем считать, что короткое замыкание про..
исходит на зажимах машины, несущей некоторую наrрузку,
которая характеризуется начальными значениями токов i do ,
i qo , i FO . Поскольку В установившемся режиме токов в демпферных
контурах нет, начальные значения этих токов iэ(!о, i эqо равны нулю.
Ток любоrо контура машины равен сумме начальноrо значения
и той величины, которая явится решением операторных уравнениЙ
144




э 2..8. Положим, что в процессе KopoTKoro замыкания возбуждение
машины не реrулируется (
иB === О). Поскольку в установившемся
режиме перед коротким замыканием ротор машины вращается
с синхронной частотой, то будем считать скольжение ротора во
время KopoTKoro замыкания равным нулю (s === О).
Дадим приближенное решение задачи, используя те же приемы,
которые применялись для машины без демпферных контуров
(см. rл. 4). Сначала определим токи, принимая активные сопротив

ления цепей равными нулю и учитывая конечные сопротивления
лишь в затухании токов. Затем найдем установившиеся токи
в обмотке якоря, полаrая ее активное сопротивление равным нулю,
так как обычно влияние этоrо сопротивления ничтожно. По этим
данным можно записать общие выражения для токов как функций
времени.
Поскольку при трехфазном коротком замыкании напряжения
Ud === U q === О, то ориrиналы
Ud == Ud
 UdO ===
UdO И
Uq ==
== U q
 U qO ==
UqO определяются начальными значениями про..
дольноrо и поперечноrо напряжений якоря и потому постоянны.
Операционное изображение I1Ud и
Uq как постоянных величин
i1Ud (р) ===
UdO; i1u q (р) ===
Uqo'
Таким образом, изображения статорных токов (2
 117)
(2..119)
при сделанных исходных допущениях принимают вид


i1i ( )
 Urlo [pXq (Р) + ']
 UqOXq (Р)
d Р
 [pXd (Р) + '] [px q (р) + '] + Xd (Р) Xq (Р)
L1i ( ) === UqO [pXd еР) + '] + Udox.t (Р)
q Р [pXd (Р) + '] [pX q (р) + r] + xd (р) x q (р)


А' ( ) ::::=
 р2 (ХЭdХаВd
 ХаэdХвЭd) + dХавdrэd А' ( )
u.t B Р М 1 (р) LJ.td Р .


1. ТОКИ при пренсбрежении активными сопротивлениями цепеit.
Положим в изображениях токов все активные сопротивления
равными нулю. При этом операторные сопротивления становятся
равными сверхпереходным сопротивлениям х;! и x
 (см. Э 2..9).
Применяя в обозначенпи искомых токов ДОПО,ТIнительный индекс
в виде двойноrо штриха, будем иметь


А'" ( ) UdoP
 Uqo . А'" ( ) UqOP + Udo
u. t d Р -== (Р 2 + 1) x'd ' u. t q Р === (р2 + 1) X



l1i; (р) ===
A i1i'd (р); А == ХэdХавd
 ХаэgХВЭd ,
ХвХэd
 Х вэd


rде А :=;: const.


140




Ориrиналы, соответствующие этим изображениям, можно найти
в таблицах [46]:



id === и:? sin 't

?,o (1
 cos т);
d d

i" == llqO sin 't + udo ( 1
 co s Т ) .
q х" Х" ,
q q
А ." А Ud о. + А u q о. ( 1 )

lB ====

 Sln 17
 Sln 17
 cos't .
Xd X d


Прибавив к этим токам начальные значения i do , l
qO' i FO , опре

." ." ."
делиl'Л полные токи ld, lq, [в, совпадающие с реальными в начале
процесса, пока не сказывается их затухание. Токи i dO и i qo , выра..
женные через параметры исходноrо установившеrося режима,
представлены в (3..3). Имея в виду, что UdO ==
u sin во и u qo ==
и cos Во, получим
." Е о ( 1 1 ) и 8 + и ( I О )
l d ==



 -

 cos О ------т-- cos т
 U O ·
xd x'd Xd Х d l'
i
 ===
 ( x

 :q ) и sin8 0 +
 sin(-r + 80);
i; == iBo -+ А
 cos 80
 А
 cos (17
t 80)'
Xd Xd


(6..1)


(6
2)


(6..3)


Сравнение токов i'd и i
 с аналоrичными токами для машины без
демпферной обмотки в (4..6) и (4..7) показывает идентичность их
формул; разница лишь, во..первых, в параметрах статорной об..
мотки: вместо индуктивных сопротивлений Xd и X q в (6..1) и (6..2)
фиrурируют Xd их;, т. е. динамические сопротивления, соответ..
ствующие новым маrнитным связям контуров статора и ротора,
rде теперь имеется демпферная обмотка. Второе отличие состоит
в появлении постоянной составляющей в токе i
 и объясняется
наличием поперечноrо демпферн:оrо контура, для KOToporo в пер..
выЙ момент KopoTKoro замыкания должно обеспечиваться постоян..
ство потокосцепления.
2. ТОКИ установившеrося KopOTKoro замыкания. Эти токи
будут такими же, как в машине без демпферной обмотки [см.
(4..9)], поскольку в симметричном установившемся режиме токи
в демпферных контурах отсутствуют.
Таким образом,
i dy ==
EO/Xd; i qy ==== о; i By == i BO '
3. Затухание ТОКОВ KopOTKoro замыкания. Учтеl'.1 теперь за..
тухание токов. Картина здесь в общем случае несколько сложнее,
нежели в машине без демпферной обмотки. В первые моменты
KopoTKoro замыкания, коrда обмотки машины можно рассматри"
вать как идеальные контуры, характер токов в них определяется
условием постоянства потокосцеплений с контурами. Во всех
146




контурах возникают: 1) постоянная (апериодическая) составляю..
щая тока, обеспечивающая постоянство начальноrо потокосцепле..
ния; 2) rармоника основной частоты, которая появляется в резуль..
тате вращения контура в поле апериодической составляющей тока
друrоrо контура, перемещающеrося относительно первоrо. Кроме
Toro, в фазах статора, относительно KOToporo перемещается несим..
метричный ротор, возникает вторая rармоника тока. Так что физи..
ческая картина для первоrо момента KopoTKoro замыкания не
отличается от той, которая была дана для машины без демпферной
обмотки (см. Э 4..2).
Апериодическая составляющая и вторая rармоника тока ста..
тора соответствуют rармоникам токов i d , iq И взаимосвязаны с rap..
мониками токов роторных контуров. Все они затухают до нуля
с постоянной времени, определяемой эквивалентной индуктив"
ностью обмоток статора и их активным сопротивлением (Та)'
Затухание апериодической составляющей тока в поперечном демп"
ферном контуре, а вместе с ней и апериодической составляющей
тока iq до нуля обусловливается активным сопротивлением этоrо
контура и происходит с постоянной времени контура T
. Подобное
определение постоянных времени затухания токов было рассмот"
рено для машины без демпферной обмотки, подтверждено формаль..
НЫl\tIИ выкладками (см. Э 4..4) и является справедливым для затуха..
ния апериодическоrо тока в TaKOl\1 контуре, который имеет маrнит"
ную связь только С вращающимися относительно Hero контурами.
В машине с демпферной обмоткой это положение применимо
к поперечному демпферному контуру и к обмотке статора.
Что касается контуров на роторе по продольной оси, то здесь
имеются два самостоятельных контура
 обмотка возбуждения и
продольный демпферный контур, маrнитно"связанные друr с дру"
rOM и неподвижные один относительно друrоrо. Поэтому затухание
апериодических токов, возникающих для поддержания постоя н..
ства потокосцепления с этими контурами в начальный момент
KopoTKoro заl'vlыкания, будет происходить более сложно, и в общем
случае постоянные вреl\1ени затухания уже не MorYT определяться
указанным простым способом. ..
Вместе с тем можно утверждать, что на процесс затухания
апериодических токов в цепях ротора практически не влияет
активное сопротивление обмотки статора (Cl\1. Э 3..4) и при рассмотре..
нии этоrо процесса ero можно считать равным нулю. Таким обра..
зом, задача сводится к исследованию затухания апериодических
свободных токов в трех маrнитно"связанных контурах, один ив
которых
 продольный контур CTaTopa
' может считаться иде..
альным. Эта задача рассмотрена в Э 3..3, rде показано, что каждый
из апериодических токов содержит две составляющие, затухающие
с различными постоянными времени, и что последние совпадают
с Постоянными времени двух контуров, если они сильно отличаются
друr от друrа по значению. Такое положение имеет и простое
Физическое толкование. в явнополюсных машинах продольный
147




демпферный контур обычно имеет активное сопротивление, в де..
сятки раз большее, нежели у обмотки возбуждения, так что 'эd>;>
»'13' При таком соотношении параметров быстрое затухание
апериодическоrо тока в демпферном контуре можно рассматривать
как обусловленное только активным сопротивлением этоrо контура
'эd И считать при этом сопротивление 'в == О.
Поскольку потокосцепление с обмоткой возбуждения при 'в == О
должно сохраняться неизменным, при быстром уменьшении тока
. iBa; В демпферном контуре с

эdа такоЙ же скоростью будет
нарастать апериодический
ток в обмотке возбужде..
ния. Очевидно, что поста..
янную времени T'd этой
быстро изменяющейся апе..
риодической составляющей
тока в продольных конту..
рах ротора, а также в токе
id при сделанных допуще..
ниях можно определять
прежним методом, как от..
ношениеэквивалентной ин..
дуктивности демпферноrо
контура (при 'н == , === О)
к ero активному сопроти"
влению. На рис. 6..1, rде
представлено изменение
апериодических токов про..
дольных контуров ротора
в процессе KopoTKoro замыкания, эта первая описанная фаза
процесса занимает отрезок времени от нуля до 't == "(].
Дальнейшее изменение токов происходит под влиянием конеч..
Horo сопротивления 'в' Ввиду ero малости токи продольных
контуров будут содержать медленно ИЗl\lеняющиеся составляющие.
Такая составляющая тока в демпфеРНО
I контуре очень мала, так
как э. д. с., индуктируемая в этом контуре, мала вследствие мед..
ленноrо изменения потокосцепления, а активное сопротивление
относительно велико. Пренебрежение этой составляющей тока
равносильно размыканию демпфер Horo контура. ПоэтоrvlУ медленно
изменяющаяся составляющая в апериодическом токе обмотки
возбуждения и в токе i{l затухает с постоянной времени Td, равной
постоянной времени обмотки возбу}кдения при короткозаl\IКНУТОМ
статоре. Эта постоянная по общему правилу определяется от ноше..
нием эквивалентной индуктивности обмотки возбуждения (при
, == О) к сопротивлению 'в.
Если собственные постоянные времени обмотки возбуждения и
продольноrо демпферноrо контура различаlОТСЯ не очень сильво,
то каждая из двух постоянных времени затухания зависит оТ


. ,
2, еа


."

эdа


."
L8a




'()
.



о


"rt


Рис. 6..1. Апериодические токи при трехфаз..
ном коротком замыкании
1
 в обмотке возбуждения при разомкнутом дем-
пферном контуре; 2
 в обмотке возбуждения;
3
 в продольном демпферном контуре


148


1:'




постоянных времени обоих контуров. Подобные условия встреча..
ются в неявнополюсных синхронных машинах, имеющих мощные
скрытые демпферные контуры в теле ротора.
ПО окончании процесса затухания апериодические токи в про..
дольных контурах машины достиrают установившихся значений.
Итак, при коротком замыкании апериодические токи в обмотке
возбуждения, продольном демпферном контуре и продольном
контуре статора представляют собой сумму трех составляющих:
одна из них, называемая пер е х о Д н о й, затухает с постоянной
времени Td, друrая
 так называемая с в е р х пер е х о д

н а я
 затухает с постоянной времени T'd, третья дает установив..
шееся значение апериодическоrо тока:
, "
.
. + 1 ,
т, / Т d + 1 "
т, / Т d' d d
tja

tjY jп е jп е , J==B, Э, ,


(6..4)


rде /jп и ljп
 начальные значения переходной и сверхпереходной
составляющих токов; i jy
 установившееся значение тока.
Отметим, что установившееся значение апериодическоrо тока
в обмотке возбуждения равно постоянному току i Bo В этой цепи до .
KopoTKoro замыкания, так как принято, что возбуждение синхрон"
ной машины не реrулируется, а установившийся апериодический
ток в демпфеРНО
1 контуре равен нулю.
Оrраничимся случаем r"jd » r В' коrда затухание апериодиче..
ских токов в продольных контурах статора и ротора определяется
постоянными времени Td и T'd, равными постоянным времени
отдельных контуров ротора. Последнее обстоятельство позволяет
леrко найти начальные значения переходной и сверхпереходной
составляющих И, следовательно, получить выражение для аперио..
дическоrо тока в целом. Покажем это на примере апериодическоrо
тока продольноrо контура статора, описываемоrо в общем виде
уравнением (6..4).
Если постоянная вре
Iени T'd равна постоянной времени демп"
ферноrо контура, то, полаrая rэd == 00 и T'd l == О, что будет соот..
ветствовать раЗl\лыканию демпферноrо контура, из (6..4) при 't ==

 о получим

i da === idy + I dп ,
., u u t.f
rде lda
 апериодическии продольныи ток якоря В начальныи
Момент KopoTKoro замыкания. Определив этот ток в предположе..
нии, что демпферный контур отсутствует, и зная установившееся
значение апериодическоrо тока, найдем
! ' ., .

 dп -== tda
 ldy.
Кроме Toro, для 't == О уравнение (6..4) принимает вид
i'da -== i dy

 I dп + I'dn,
rДе i;la
 апериодический ток для начальноrо момента KopoTKoro
заМыкания при наличии обоих продольных контуров на роторе.
149




Нетрудно видеть, что


1 " ." . ,
dп == lda
 lda.


Аналоrичные выражения MorYT быть написаны ДЛЯ токов др у..
rих продольных контуров. Таким образом, начальные значения
переходной и сверх пер еход ной составляющих тока определяются
значениями апериодическоrо тока при

 о для двух случаев:
при разомкнутом демпферном контуре и при наличии обоих конту..
ров на роторе, а также значением установившеrося постоянноrо
тока в контуре.
Например, апериодический продольный ток статора при 't == О
исходя из (4..6) и (6..1) равен
., Ео ( 1 1 ) и 8
lda ===





 cos о
Xd Х d Xd '


коrда продольный демпферный контур разомкнут, и
." Ео ( 1 1 \ и 8
[da ===


 ......."

) cos о
xd Х d xd I '


коrда по продольной оси И
lеются два короткозамкнутых контура

демпферный и обмотка возбуждения.
Ток i dy ===
Eo/ Xd'
Начальные значения переходной и сверхпереходной составляю-
щих:
I dп ==
 ( J,

 ) и cos 80; !dп ==
 (

 J, ) u cos 80.
Х d Xd Х d Х d


Апериодический ток возбуждения i;a в начальный момент ко..
pOTKoro замыкания машины с демпферной обмоткой соrласно
(6-3) равен


." . + А и 8
Iва === [во
 ....." COS О.
Xd


Аналоrичный ток i
a в машине без демпферноЙ обмотки, для
которой А === XaBd!X B (в общем выражении А нужно положить
Хаэd === Хвэd == О), равен
., . + xaBd и ' 8
Iва == [вО

 cos О.
х в Xd


По токам i;a, i
a и i By == i BJ найдем начальные значения пере-
ходной (!
п) и сверхпереходной (z;п) составляющих:
! ' ., . xaBd и 8 .
вп === [ва
 [ВУ :==

 cos О,
х в Xd


1 " ." ., ( А
вп === [ва
 [ва:::::::


X d


XaBd ) и е
XBXd COS о.


160


\


, I


,




4. ТОКИ в процессе KopOTKoro замыкания. С учетом затухания
на основе (6..1), (6..2) и (6..4) продольный и поперечный токи статора
равны:
. Ео ( 1 1 ) и О
1:/T d
td ===





 cos ое

Xd Xd xd


( 1 1 ) "U

 Х"
""7 и cos 80e
1:/T d + х" e--'t/Ta cos ('t + 80);
d d d
. ( 1 1 ) и . е
1: /Т" + и --1:/Т . ( + е )
t q ===
 х"
 х Sln ое q х" е а Sln 't о .
q q q


Эти выражения совпадают с (3..29) и (3..30), если в последних
положить и === о, s === О и заменить Ч'с на напряжение якоря перед
коротким замыканием, а 'l1c на 80'
Ток KopoTKoro замыкания в фазах статора, например в фазе а,
равен
[а === id COS ('t + 1'0) + iq sin ('t + 1'0) ===
 { Ео 4-.
xd
+ и е [ ( 1 1 )
1: / Т d I ( 1 1 )
 1: / T'd ] ) ( + )
cos о


 е ""1"


 е } cos 't 1'0


 X d Xd X d Xd J
( 1 1 ) и . 8
1:/T" . ( I ) + и [( 1 +




 SlП ое q SlЛ 't

 1'0
 2

x q x q xd
+
 ) cos (1'0
 (0) + ( :;t


 ) cos (2" + 1'0 + (0)] e
T/T а.' (6
5)


Токи в фазах Ь и с можно получить подстановкой в (6..5) вместо
уrла 1'0 значений 1'0
 1200 и 1'0

 1200.
Уравнение для тока возбуждения [ в на основании (6..3) и (6..4)
с учетом затухания принимает вид


,
i == i + XaBd и cos 8 e
1:/T d I
в во Х х' о т
в d
+ (


 XaB
 ' ) и COS eoe
1:/Td
 А X
 d ' e
1:/T а cos('t + 80)'
X d XBXd


.-


(6..6)


Если короткое замыкание происходит на холостом ходу ма..
Шины, то при определении токов в (6..5) и (6..6) нужно положить
00 === О. .
Приведенный результат качественно не отличается от Toro,
ЧТО был получен для машины без демпферной обмотки. Ток статора
По-прежнему содержит основную rармонику (правда, не только
J{осинусоидадьную, но и синусоидальную), апериодическую состав..
tТIяющую И rармонику удвоенной частоты. В токе возбуждения со..
f<Ржатся апериодическая составляющая и основная rармоника.
ак и раньше, ток [ в не зависит от уrла 1'0' На рис. 6..2 представ-
1 О1




лена кривая тока KopoTKoro замыкания в статоре, рассчитанноrо
по (6
5) для следующих данных: И == Ео == 1,0; 00 === о; Х{l === 1,0;
Xd == 0,3; x'd == х; === 0,2; Td === 2 с; T'd == 0,02 с; Т u == 0,2 с.
Предположено, что короткое замыкание происходит при 1'0 == О,
. т. е. коrда с рассматриваемой

 фазной обмоткой потокосцепле

8 ние максимально. Штрихами по

казана апериодическая COCTa

вляющая тока.
На рис. 6..3 изображена кри

вая тока возбуждения, вычис"
ленноrо по (6-6) для указанных
выше данных исходноrо режима
и параметров машины.
Отметим, что начальные зна

чения составляющих, затуха

Рис. 6
2. Фазный ток при трехфаз
 ющих С постоянными времени
ном коротком замыкании Td и T'd, зависят от соотношения
сопротивлений рассеяния про-
дольноrо демпферноrо контура (Хsэd) и обмотки возбуждения
(X SR )' так как коэффициент А в (6
6) в первом приближении оп..
ределяется отношением


"


"с


2


о


21r


47r


б1t


81L


101l


А
 хsэd 1
хsэd + X SB 1 + X
B/ Хsэd ·
Кривая тока на рис. 6
3 рассчитана при ХSР/ХSЭd === 3 (А === 0,25).
Для отношения XsH/XsJd == 1 (А === 0,5) и тех же остальных пара-
i8


УстаНООlltJшшlся
режим
I I I I I

i
J ';
о 2!r 41!" 8.1(' 8:;'( 10
 12.7r {"
 7а1'!' lfJr 201r


Рис. 6
3. ТОК возбуждения при трехфазном корот..
ком замыкании машины с демпферной обмоткой, об-
ладающеЙ малым рассеянием


метров зависимость ip, == f (1') представлена на рис. 6
4. На этих
рисунках штриховыми кривыми показаны апериодические состав-
ляющие тока i B .
5. Ударные токи. Определение максимально возможных токов
при коротком замыкании для машины с демпферной обмоткой ока..
зывается в общем виде более сложным, чем для машины без такоЙ
обмотки. Ввиду малых значений постоянных времени Td и т; уже
152




нельзя препебреrать затуханиеl'.f соответствующих составляющих

TJTd
TJT"
токов, так как значения е и е q начинают заметно отли"
чаться от единицы даже для моментов времени, равных л (0,01 с).
Вместе с тем можно считать, что максимально возможный ток
в статоре будет иметь место, если при коротком замыкании возни..
кает наибольшая по значению апериодическая составляющая.
Оrраничимся случаем, коrда короткое замыкание происходит на
холостом ходу
fаlIIИНЫ. ТОf'да, полаrая в (6
5) 80 ::=:: О JI Ео ==: и,


4

J
2


I
О 27(' t;.
 6'
 8



v
УС In(JНО8/16ШI1UСR
режим
I I I I I I .
f

101'( 127t f41t 18ft 187l 20'Jt


Рис. 6
4. Ток возбуждения при трехфазном коротком за

мыкании машины с демпферной обмоткой, обладающей
большим рассеянием


найдем, что максимум тока i кз будет при 1'0 === О и в момент времени
. . ,
т === л. При этом можно считать e
пJTd
 1,0 и
.
 и r
пJTd I
'ЛJТ а + X'd ( 1
пJTd )J

l к3
.........." е т е

 е ·
X d x q


Для средних значении параметров мощных машин, а именно
T'd == 0,0270,04 с; Т а == 0,170,2 с; x'd/ Х;
 0,7, величина Bыpa

жения, стоящеrо в l{вадратных скобках, изменяется в пределах
1,75
1,90. Обычно принято считать этот коэффициент равным
1,8, и тоrда ударный ток в статоре i кз == 1,8U/x'd. ."
Поскольку x'd < Xd, ударный ток статора в машине с демпфер..
ной обмоткой больше, чем в машине без такой обмотки.
Ударный ток возбуждения в машине с демпферной обмоткой при
прочих равных условиях меньше, чем в машине с одной обмоткой
возбуждения на роторе: демпферная обмотка в известной степени
экранирует обмотку возбуждения. При этом различие в ударных'
Токах определ яется в основном значенияrvlИ параметров А, Т а, T'd.


6-2. ПОСТОЯННЫЕ ВРЕМЕНИ ЗАТУХАНИЯ ТОКОВ. Фор..
маЛьное определение постоянных времени затухания различных
Составляющих токов связано, как это следует из (2..123), с нахожде..
Нием корней характеристическоrо уравнения W (р) === О, [де
153




w (р)
 полином р, являющийся знаменателем изображения
тока. Постоянная времени равна обратной величине вещественной
части корня (или вещественноrо корня), взятой с противополож-
ным знаком (см.
 З
З). При определении постоянной времени зату-
хания апериодическоrо тока в статоре Та, как уже отмечалось
ранее, можно пренебречь активными сопротивлениями цепей
ротора. В этом случае Xd (р) == Xd; X q (р) === X
, и характеристи-
ческое уравнение получается в виде
(px'd + r) (рх;, + r) + x'd X ; == о.


Ero корни равны


х', + х"
, d q .
Рl ==

 + J
I 2 2 х" х"
,
d q
причем в мнимой части корней отброшено слаrаемое, зависящее от
параметров машины и имеющее ничтожную величину при нормаль-
ных сопротивлениях r.
Постоянная вре
lени Та == x 2 /r, rде Х 2 === 2x'dx;/(x'd + x
)

сопротивление обратной последовательности машины с демпферной
обмоткой.
Сравнивая этот результат с тем, который был получен для
машины без демпферной обмотки (см.
 4..4), можно видеть их
полную идентичность. При этом, конечно, нужно учитывать, что
в рассматриваемом случае наличие демпферных контуров в про..
дольной и поперечной осях машины приводит к изменению дина-
мических сопротивлений статора (x'd и X
 вместо Xd и X q для машины
без демпферных обмоток).
При определении постоянных времени затухания апериодиче-
ских токов в роторных цепях можно пренебречь активным сопро..
тивлением статора. При этом знаменатель изображения тока
Д,i d (р) имеет вид (р2 + 1) Xd (р), И на основании (2
113) получим
характеристическое уравнение
(р2 + 1) D (р) == О.
Два корня Рl,2 == ::!:: j соответствуют в выражении д.i'd незату-
хаlОЩИМ (при r === О) периодическим составляющим тока. Вычисле-
ние корней уравнения D (р) == о позволяет определить искомые
постоянные времени. Приближенное решение этоrо уравнения дает
u
следующие значения корнеи:
1 Td + T
d
Рз ==
 Td

 T
d Р4 ==
 СпТdТ
d '
rде Td == (Xd/Xd) Т dO
 постоянная времени обмотки возбуждения
при короткозамкнутом статоре и разомкнутой демпферной обмотке;
T
d == Х
d/rэd; T;d === Х;d/rэd
 постоянные времени продольноrо
демпферноrо контура при короткозамкнутом статоре и соответ-
ственно разомкнутой и замкнутой обмотке возбуждения; X;d ====
? I " , " / ' И
== Хэd
 Хаэd Xd; Хэd == ХзdХd Xd .......... эквивалентные индуктивност
164




продольноrо демпферноrо контура для этих же условий; Сп ==
::::=: (JвdХэd/Х;d; (JBd == 1
 Х
эd/(ХвХэd)
 коэффициент общеrо рас-
сеяния обмотки возбуждения и продольноrо демпферноrо контура;
(JfjdХэd
 эквивалентная индуктивность продольноrо демпферноrо
контура при короткозамкнутой обмотке возбуждения и разомкну..
той обмотке статора.
Таким образом, одна постоянная времени затухания равна
Td + T;d, друrая
 СпТdТ;d/(Т d + T;d).
Если rэd » ' в , то Td » T;d и постоянные времени практически
равны Td и T'd == СпТ;d (причем обычно Сп близко к 1,0), т. е.
постоянным времени обмотки возбуждения и демпферноrо контура
при наличии соответствующих короткозамкнутых контуров.
Аналоrично находится постоянная времени затухания апериоди..
ческоrо тока в поперечном контуре T
. Знаменатель изображения
тока
iq (р) имеет вид (р2 +
 1) x q (р).
Уравнение для определения T
 с учетом (2..114)
р (ХэqХ q
 х 2 аэq ) + хqr эq === о.
Отсюда т; == Х;qlr эq , rде X;q === Х эq
 Х
эqlХq
 эквивалентная
индуктивность поперечноrо демпферноrо контура при коротко-
замкнутом статоре.
Отметим, что нахождение постоянных времени отдельных кон..
туров, основанное на общих физических соображениях (см.
Э 4..4), дает те же результаты, что и формальное их определение,
изложенное выше.


6
3. ТОКИ ДВУХФАзноrо И ОДI10ФАзноrо КОРОТКИХ ЗАЛ
ЫКА

НИЙ. При рассмотрении несимметричных коротких замыканий машины с демп

ферной обмоткой оrраничимся определением токов статора при двухфазном и
однофазном коротких замыканиях, полаrая, что последние, как это было принято
и для машины без демпферной обмотки, происходят на холостом ходу машины.
Для приближенноrо решения задачи воспользуемся теми положениями, которые
составляли основу методики определения токов KopoTKoro замыкания в уже pac

смотренных случаях. Эти положения сводятся к следующему:
1. Определение токов KopoTKoro замыкания для первых моментов времени
производится в предположении, что активные сопротивления контуров машины
равны нулю. Это положение позволяет воспользоваться rотовыми решениями
при несимметричных коротких замыканиях машины без демпфер ной обм"отки
[см. выражения (5
10) и (5-21)], заменив в них параметры Xd и X q на х':! и X
,
соответствующие эквивалентным динамическим индуктивностям статор а по осям
d, q при наличии на роторе машины демпферной обмотки.
2. Постоянные времени затухания апериодических составляющих токов
статора и ротора равны постоянным времени отдельных обмоток: Т а (статора),
Td (обмотки возбуждения), Т':! (демпферной обмотки). Допустимость TaKoro опре

деления Td и T'd была рассмотрена в
 6
 1, п. З. При этом отдельные затуха
 .
ЮЩие составляющие апериодическоrо тока ida (а следовате...1ЬНО, и основной rapMo

НИки фазноrо тока статора) вычисляются в соответствии с уравнениями
 6
 1, п. З.
З. Затухание основной и высших rармоник тока происходит экспонен

циально с постоянной времени той апериодической составляющей тока, с которой
маrнитно
связаны рассматриваемые rармоники (см.
 5
2).
4. Для определения амплитуд основных rармоник тока статора как при
ОТсутствии активных сопротивлений, так и в режиме установившеrося KopoTKoro
заМыкания можно пользоваться формулами метода симметричных составляющих.
155




в СООТFетствии с указанными положениями токи статора при двухфазном
(i s2 ) и однофазном ин) коротких замыканиях равны:
i S2 ==
 Vз Ео [ ( " 1 (2)
 , 1 (2) ) ] е
't'/Td2 +
X d + Х 2 Xd + Х2
+ ( 1
 1 ) е --Т:/Тd2 + 1 J
 Х
X
 + x
2) x d + x
2) x d + x
2)
Х
 b(k
1)cOS(2k
I)a.+ V32:!2
osa.O e
't/Ta2(1+2 ?; bkCOS2ka.}


i S1 ==
3Eo r ( 1
X
 + x
l) + Ха

 \
+ ( x
 + x
l) + ХО


1 ) e
't/Tdl +
x
 + X
!) + ХО
1 ) e
't/TdI +
xd + x
l) + Хо


со


+ x d +x
l) +хо ]



 b(k
l) cos (2k
 1) У +
k==l


+ 3Ео cos 1'0 е
't/T аl ( 1 + 2
 ii C OS2k'\' ) ,
2X
1) + хо

k==l


rде
Ь == V

v
 . * y

 y

V x; +V x;L ' b
 V
; +V ;d '


* (, " + О 5 * " " + О 5
Х d == Х d 'Ха; Х q == Х q , Хо;


( 2 ) 1 r....".....-;;
Х 2 == V XdX q ;


(1 ) 1 r ( 11 ) ( 11 ) r.:
Х 2 == V xd + 0,5х о X q + 0,5х о
 О,DХ о



 сопротивления обратной последовательности маП1ИНЫ с демпферной обмоткой
при двухфазном и однофазном замыканиях.
Постоянные времени T d2 , T d1 , Т а2' т аl MorYT быть получены из уравнений
соответствующих постоянных для машины без демпферной обмотки (см.
 5
5)
заменой в выражениях индуктивных сопротивлений x
l), x
2) параметров X
,
n "
Xq на Xd' Xq'
Постоянные времени затухания сверхпереходных составляющих T d1 и T d2
леrко получаются из выражения для аналоrИЧНОlI постоянной при трехфазном
коротком замыкании, которая равна
Т " Т ' " / '
d
 эdХd Xd,


r де T
d
 постоянная времени демпферноrо контура по продольной оси при
короткозамкнутом статоре и разомкнутой обмотке возбуждения.
Из приложений метода симметричных составляющих известно, что основные
rармоники токов несимметричных коротких замыканий можно находить по фор-
мулам, аналоrичным для трехфазноrо KopoTKoro замыкания при условии, ЧТО
к индуктивностям, определяющим эти токи, будет прибавлена некоторая доба-
вочная индуктивность (правило Ваrнера
Эванса). Для двухфазноrо KOpOTKor o
11)6




замыкания эта добавочная индуктивность равна x
2), а для однофазноrо X
 t) + ХО
[63]. Поэтому постоянные времени 'Тd2 и ldl MorYT быть получены из приведен

Т " " , б
Horo выражения для d' если к индуктивным сопротивлениям Xd и xd при авить
добавочные сопротивления. Таким образом, постоянные времени затухания
сверхпереходных составляющих тока при двухфазном и однофазном коротких
замыканиях равны:
"+ (2) х" + х(1) + Х
т I Т'

 х d Х 2 · Т"

 Т' d 2 О
d
 == эd x
 + x
2) , dl
 эd x
 + X
l) + Ха ·


в заключение этоrо параrрафа отметим, что на практике MorYT
встретиться случаи более сложноrо развития процесса внезапноrо
KopoTKoro замыкания, коrда несимметричное (например, двух..
фазное) замыкание перерастает в симметричное трехфазное. По..
вторная коммутация цепи статора машины в переходном процессе,
связанная с возникновением свободных токов, может привести
к некоторым особенностям протекания процесса [20].


6..4. ЭЛЕКТРОМАrtiI1ТНЫЙ МОМЕНТ ПР
/I ТРЕХФАЗНОМ
КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИI1. Ура8нения потокосцеплениЙ якоря
при коротком замыкании имеют такой }ке вид, как и у машины без
демпферной обмотки [см. (4..17)]. Токи id И iq при коротком замы-
кании определены в
 6
 1, п. 4.
Момент М кз при трехфазном коротком замыкании найдем по
общему выражению для электромаrнитноrо момента. Опустив
индекс О у напряжения в (4
17), получим


М . . и
 Т/Т I
 I { Ео
к3 == '-!:d[q
 'фq[d == е а Xd


+ и cos 00 [(

 J, ) e
T/Td + ( J,

 ) e
T/Td ]} 'Sin('t + 00)

Xd Xd Xd Xd

 и sin 80 ( x


q ) e
1;/1'; cos (т + 80) 11


 О,5И 2 (


 ) e
2T/T а sin 2 (т + 80)' (6..7)
, Xd x q


Это выражение можно было бы написать на основе полученной
ранее общей формулы (3..33) и приближенноrо значения э. д. с.
E d , определяемоrо из (3..28) умножением последнеrо на XaBd/XI"
Пусть при 't' === 'Т м электромаrнитный момент достиrает макси..
мальноrо значения M K3 .\1aI>.c' При определении времени 'Т м можно
Не считаться с затуханием токов, и тоrда


и 2
М кз макс === Jf k мд .
""d


(6..8)


При обычных значениях параметров коэффициент k мд , опреде..
Ляемый как для машины без демпферной обмотки (см. rл. 4), не
Превышает 1, 1.


157




Асинхронные моменты при коротком замыкании, пропор-
циональные активным сопротивлениям статора и ротора, опреде-
ляются так же, как и в машине без демпферной обмотки (см.

 4..5). Момент M
a, равный потерям в обмотке статора от первой
rармоники тока, находим в виде, аналоrичном (4..21):


М ,
 ( '2 + '2 )
ка === tda t qa "


rде i da И iq:J

 апериодические состаВ.пяющие токов id и i q , при..
веденных в
 6..1, п. 4. Эти составляющие образуют косинусоидаль-
ную и синусоидальную первые rармоники фазноrо тока.
Момент M
a, пропорциональный роторному сопротивлению f р'
вычисляется по (4..22), если в последнее подставить динамические
" "
сопротивления Xd и X q :
М " О 5и 2 ( 1 1 ) --2't/T
ка ==,
 +
 е ar p '
X d X q


Этот момент может быть также рассчитан, как момент машины
с несимметричным ротором в асинхронном режиме (см.
 7..2).
Оценим момент машины с демпферной обмоткой при трехфазном
коротком заl\1ыкании, происходящем на холостом ходу (80 == О)
с номинальным напряжением на якоре (и == Ео == E do == 1,0).
Параметры reHepaTopa: Xd == 1,0; Xd == 0,3; x'd == 0,2; x q == 0,7;
X
 == 0,25; r == 0,006; '2 == 0,02; Td == 2 с; T'd == 0,06 с; Т а ==
== 0,2 с; k;50/k6100 == 0,7. Определим по (6..8) наибольшее значение
знакопеременноrо момента: 1'м == 1,75 (0,0056 с); kMТf, == 0,96;
MK
MaKC == 4,8. Напомним, что момент выражен в долях базисноrо
момента Мб' который связан с номинальным моментом соотноше..
нием Мб == MH/cos СРч, rде cos СРн
 номинальный коэффициент
мощности машины. Поскольку, как правило, cos (Р < 1, крат..
ность момента по отношению к номинальному значению будет
еще больше.
Рассчитаем асинхронные моменты. Токи: ida==
1
2,33e
o,0016't


 1,67e
o,o53L; iqq == О; начальные значения тока i d :1 ==
5 и
момента М;(э == 0,15. К моменту времени l' == 3T'd, коrда сверх..
переходная составляющая тока idd практически затухнет до нуля,
i da ==
3, 12 и M
a
 0,06.
Сопротивление,р по (4..23) равно 0,02. Момент M
a == 0,4e
o,032't.
Этот пример показывает, что из асинхронных моментов при
нормальном активном сопротивлении статора заметное значение
может иметь лишь тот, который зависит от активноrо сопротивле..
ния обратной последовательности.


6..5. ДВИЖЕНИЕ РОТОРА МАШИНЫ ПРИ ТРЕХФАЗНОМ
КОРОТКОМ ЗАМЫКАНИИ. Для расчета динаl\1ической устоЙ..
чивости энерrетических систем важное значение имеет характер
движения ротора синхронной машины в процессе KopoTKoro замЫ"
кания, в частности при трехфазном замыкании. Для определениЯ
158


\ '-




изменения скольжения и уrла наrрузки машины воспользуемся
уравнением моментов


м
 М ЭМ == Hjp'ts.


Интеrрируя ero во времени и принимая начальное скольжение
равным нулю, получим


't'
S ==
. J (М
 Мэм)d't.
J о


Поскольку s == Р1;8, то


't 1;
8
 80 == + J [J (М
 М ЭМ ) d't ] d't,
I о О


rде 80
 начальное значение 8.
Составляющие в скольжении и изменении уrла наrрузки,
обусловленные действием момента М внешней механической силы,
при постоянстве последнеrо на основе полученных выражений
равны:


Мт
5 1 ===
;
Н.
j


Мт 2
(8
 80)1 == 21/. ·
J


При известном электромаrнитном моменте как функции времени
не составляет труда определить соответствующие составляющие
в s и 8
 80' В
 6..4 приведены выражения знакопеременноrо
электромаrнитноrо момента М кз и асинхронных моментов, обя..
занных своим появлением потерям в статоре (M
a) и роторе (M
a)'
При коротком замыкании reHepaTopa момент М (момент турбины)
создает положительное ускорение, и под ero влиянием частота
вращения ротора увеличивается, т. е. возникает и растет скольже..
иие. Вследствие этоrо начинает увеличиваться и уrол 8. Знако-
переменный момент М кз то ускоряет, то замедляет движение pQ]opa
и поскольку частота ero изменения достаточно высока (для основ..
ной rармоники
 50 [Ц, для второй
 100 [ц), может создаться
впечатление, что он не образует знакопостоянноrо скольжения.
Однако это не так: интеrрал от М кз содержит указанную состав..
ляющую скольжения, которая имеет отрицательный знак. Она
Появляется вследствие Toro, что в первые моменты после возникно.. .
Вения KopoTKoro замыкания повышение энерrии маrнитноrо поля
происходит за счет кинетической энерrии вращающеrося ротора.
Это и приводит К уменьшению средней частоты вращения ротора
Машины.
Асинхронные моменты М;{а и M;
a оказывают тормозящее
деЙСтвие на ротор, поэтому они вызывают отрицательное знако..
ПОстоянное скольжение и ПрИБОДЯТ к уменьшению изменения
159




уrла О. Обычно более ЗIIачитеЛЬНLIМ оказывается влияние момента
M
a, который определяется (см. Э 6
4) в виде
t1 1f"
 М "
2TJT а
iVIKa
 као е ,


rде M
aO
 начальное значение момента.
Изменения скольжения S2 и уrла (8
 80)2, обусловленные
моментом M
a, равны:
,

 Л1
аuТ а (
 '2't/Tи ) .
82

 2Н . 1

 е ,
J


( M
aO 1 )
(О
 80)2 ===
0,5Ta н. т т 52 ·
J
Подробное аналитическое определение s и 8
 80 в процессе
трехфазноrо KopoTKoro замыкания можно найти в работах [8 и 31 ].
На рис. 6
5 показана временная зависимость указанных вели

чии, рассчитанная ДЛЯ явнополюсноrо reHepaTopa с демпферной
обмоткой. Параметры reHepaTopa: Xd == 1,0; x q == 0,7; Xd == 0,3;
Xd == X
 == 0,2; r == 0,005; r р == 0,015; Td == 2 с; T'd == т; ==
== 0,05 с; Т а == 0,2 с; Н j == 6 с. Короткое замыкание происходит
в режиме номинальной наrрузки rеиератора (М == 0,8; и == 1,0;
Ео == 1,67; е о == 22,70).
6..6. ЭЛЕКТРОМАrнитный МОМЕНТ ПРИ ОТКЛЮЧЕНИИ
ТРЕХФАзноrо KOPOTKOrO ЗАlvlЫКА
IИЯ. Физическая
картина образования электромаrнитноrо момента для TaKoro
переходноrо процесса рассматривалась в Э 4
6. Она справедлива и
для машины с демпферной обмоткой. Электромаrнитный момент
можно рассчитать по общему выражению (3..33), полученному для
условий коммутации в цепи статора машины. В нашем случае
начальное потокосцепление статора 'I'нч равно Ue
'tK/T а, rде 'Т к

продолжительность KopoTKoro замыкания.
Оrраничимся определением максимальноrо момента, возникаю

щеrо в начале процесса после отключения KopoTKoro замыкания
при llc == 80 + л, коrда С К === 1р'с/ и == 1 + e
'tKIT а имеет наиболь

шее для заданноrо тк значение. Не учитывая асинхронноrо момента
от «вынужденноrо» маrнитноrо потока, пропорциональноrо 5,
принимая э. д. с. Ed и уrол е неизмеННЫfvlИ на оrраниченном
отрезке времени, т. е. полаrая Ed == E do и 8 === 80, rде 80
 уrол
между вектором и и осью q машины в момент отключения KOpOT

Koro замыкания, и считая для упрощения задачи х':! == х; и Т':! ::::=
== т; == Т", по (3
32) и (3..33) получим
ИЕ'
М ЭМ == x,dO [sine o
 CKe
't/Ta sin (1' + е о )1

d

 0,5U2}.
q siп 280
 u 2 с к (1
 CKe
1:/T") e
't/T ах
Х [Лdр COS 80 sin ('t + е о )
 Л qр sin 80 cos ('t + 80)]
160




........

\. 11 /
"" , \7 I /L()

 (.) /
""

 \1 7 /
с:;)..



 /
'" '"
... l' 7 /



 C::::J ... I 1/


'"
.. 111

 fJ

 \: J
.
 ,7

..
J

 c::::i /
I
..


о о

















c.t::;)






I


с;::)














с::::>



с;;


6 А. И. ВаЖНО8






с;:;) ...


C'-.I


с::::>
<::r




<::::)
t:)
<::::)"


с::::>




с;:)

..
1




(::)
t:;:) ...




с:::>

"
t


161


QQ
I




I


&t')


.
о
(:l.

t:=.&

 }
:
;


G'

..........

Ф@




::a

 ::g



Q)Ct)

O



Q) о



Q) Е-<
::Е о
Ct)o..

 о
:s:

о



..........0
Q)::t:
:s:C"J
::t:

Q)..в.




o..

E--
О

C)
U

(1)
I.i,):::r

 r.Ь


(::)... u
1

р,.




I


о I
=:

=: ::1::
Q) cr1
f9 Q)
.. Q)

 s"
Q) s2
fЗ

о р.
О :s:
u Е-о
.а
с]) /:;
:а

= (t)
= Q)
(1) р.

 !

о =
t:::
 =
u с])

 ...


 СО(1)
o

Q.

 с])
.. х::

 == Q)
s' со =:

,



 ;::S :r
J;

 C'I:)

 ::(
g;::s
() ..
1<
I.L",) :s:


со

 Е-о
=



о
.... :м




I








Отметим, что это выражение не учитывает асинхронноrо мо"
мента, образуемоrо свободным потоком и пропорциональноrо r Р'
Рассматривая, как в Э 4..6, момент М ЭМ в качестве функции двух

 переменных 80 и 'Т' найдем приближенные значения 8 0м и 'Т м ,
соответствующие максимум у момен та, из выражений:
cos в ом == 8
 V 82 + 0,5; ТМ === Зл/2
 вом,


Расчеты максимальноrо момента М ЭМ. макс для 't' === 'Т м И 80 ==

 8 0м показывают, что он больше максимальноrо момента в про..
цессе трехфазноrо KopoTKoro замыкания. Например, при E dO ==
=== И; X q == 2Xd; Xd == 1,5xd; Т" == 0,05 с; Т а === 0,2 с указанная
кратность моментов составл яет 1,5 и 1,7 соответственно при С К ==
=== 1,4 и 1,6. Вместе с тем эта кратность моментов значительно
меньше, чем у машины без демпферной обмотки, поскольку состав..
ляющая момента М эм , обусловленная «вынужденным» маrнитным
потоком, не зависит от наличия в машине демпферной обмотки,
а момент при коротком замыкании больше у машины с демпферной
обмоткой.


"


. ,.,
II 12 3)
 s) @ 7
.
 Il@


Процессы при несинхронной частоте вращения машины


7..1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. При работе синхронной машины
параллельно с сетью возможны асинхронные режимы, коrда уrол
8, характеризующий положение ротора машины относительно
синхронно вращающейся оси, во времени неоrраниченно возра..
стает.
Асинхронные режимы синхронноrо reHepaTopa имеют место
при включении машины в сеть по методу самосинхронизации,
коrда частота вращения ротора может отличаться от синхронной
на 2
3
6 и да)ке более, при повторных включениях reHepaTopa
сразу же после ero отключения из..за возникшей в сети аварии.
Они возникают при выпадении машины из синхронизма, например
при потере reHepaTopoM возбуждения. В последнем случае неявно-
полюсные reHepaTopbI способны развивать значительные электро"
маrнитные моменты при весьма малых скольжениях, измер яемыХ
десятыми долями процента.
Для синхронных двиrателей и компенсаторов важное значение
u u
имеет асинхронныи режим, возникающии при асинхронном пуске
машины. Такой пуск, как известно, осуществляется путем включе..
162




ния обмоток статора либо непосредственно на шины переменноrо
тока, либо через устройство, позволяющее уменьшить пусковые
токи в статоре (реактор, автотрансформатор). По достижении
ротором частоты вращения, близкой к синхронной, цепь возбуж

дениЯ включается на возбудитель и машина синхронизируется.
В процессе пуска скольжение машины изменяется от 1 до О.
. . Режимы, в которых скольжение изменяется в широких пре

делах, характерны для асинхронных двиrателей; это
- пуск,
реверсирование, ударная механическая наrрузка.
В этой rлаве рассматриваются переходные процессы асинхрон

ных двиrателей, вызванные коммутацией в цепи якоря (пуск,
реверсирование).
Асинхронные режимы синхронных машин представлены лишь
асинхронным пуском, анализируемым упрощенно, без учета YCKO

рения ротора. Это позволяет приближенно вычислять электро

маrнитный момент для MrHoBeHHoro скольжения в преДПОЛО)I{ении,
что оно постоянно и существует длительно. Таким образом, задача
сводится к рассмотрению установившеrося асинхронноrо режима
с постоянным скольжением. Задаваясь различными значениями
скольжения 8 и определяя для них момент М ЭfIIf ' получаем стати

ческую механическую характеристику М ЭМ === f (8). С ее помощью
может быть рассчитана продолжительность пуска, так как пульса

ции момента, возникающие в начале процесса, влияют на частоту
вращения машины. Максимальные }ке моменты в этой стадии пуска
MorYT быть приближенно оценены по выражениям, полученным для
асинхронных двиrателей.


7..2. АСИНХРОННЫЙ РЕЖИМ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ
ПРИ ПОСТОЯННОМ СКОЛЬЖЕНИИ. При рассмотрении
асинхронных режимов будем считать, как это принято в теории
асинхронных машин, скольжение s положительным при частоте
вращения машины о, меньшей синхронной частоты О1' Тоrда при
постоянном значении (U 4= Шl уrол между осью q машины и BeKTO

ром напряжения статора и будет увеличиваться пропорционально
времени, так как


1:
О ===
 J s d't ===
s't + 00'
й
Продольное и поперечное напряжения якоря в этих условиях:


,-


Ud ==
u sin 8 == и sin (s't
 80); }
u q == и cos 8 == и cos (
'!
 80)'


(7-1)


Т. е. являются rармоническими функциями частоты скольжения.
Пренебрежем при определении токов машины активным сопро

Тивлением статора, а также переходным процессом при установле

нии асинхронноrо режима с заданным постоянным скольжением.
6* 1 63




Рассматривая таким образом установившийся режим, нетрудно
определить характер токов в цепях машины. Пусть сначала Ив ==
== О, т. е. обмотка возбуждения замкнута накоротко. В этом слу-
чае внешними напряжениями uепей машины являются напряже-
ния Ud и U q , изменяющиеся во времени по rармоническому закону
с относительной частотой, равной S. Следовательно, продольный и
поперечный токи и потокосцепления якоря, а также токи в обмот-
ках ротора должны быть rармоническими функциями той же ча-
стоты, равной S. При отсутствии коммутации в цепи якоря и r === О
потокосцепления якоря определяются соrласно (3-22) в виде
'фd ==== и cos 8 :::= и cos (ST
 80); }
фq
 и sin В ==
u sin (ST
 во). (7
2)
Поскольку все переменные в осях d, q являются rармоническими
функциями времени, удобно воспользоваться комплексным мето-
дом, для чеrо представим их вещественными частями соответствую-
щих комплексных величин. При этом, как следует из (7-1) и (7-2',
Чr d ==== U q === Uei (s't
eo) ===
jЧrq; }
.. . (7 -3)
Ч'q ===
Ud == jUe J (s't
eo) === jЧ!d'
Связь между потокосцеплением и током якоря по какой-либо
из осей d, q устанавливается с помощью общеrо выражения для
потокосцепления по данной оси и уравнений напряжений обмоток
ротора, расположенных по этой же оси. Например, соотношение
между 'Фd и id определяется с помощью уравнений (2-87), (2-88) и
(2-91). Поскольку пока принято Ив == О, будем иметь
Xdid + XaBdiB + Хаэdiэd === Фd;
P't (XaBdid + xBi B + Хвэdiэd) + r BiB == о;
рт: (Хаэdid + ХвЭdiв + Хэdiэd) + rэdiэd == о.
Для перехода к уравнениям в комплексной форме следует
MrHoBeHHbIe значения переменных заменить комплексными вели-
чинами и положить рт: === js. Умножая затем для удобства первое
уравнение на j и деля два друrих на s, получим


. . . .
jXd1d + jXaBdIB + jХаэd1эd === jЧ!d;
jXaBdid + (rB/s + jx B ) i B + jХВЭdiЭd == о;
.. .
jХаэd! d + jХвэd! в + (rэd/ S + jХэd) 1 эd === о.


(7..4)


Из этих уравнений нетрудно найти коэффициент пропорцио-
нальности между J'\f! d И j d; это будет комплексная величина,
которую обозначим Zds == rds + jXds' Таким образом,
. .
jЧ' d == Zds I d' (7 -5)
164




Отметим попутно, что связь между 'Ф' d И id можно установить
и с помощью операторных изображений 'Фd (р) ::::: Xd (р) (/ (р).
Переходя к комплексным переменным, будем иметь
Ф' d == Хсl (js) I
.


Более наrлядно представить сопротивление Zds схемой замеще

ния. Система (7
4) состоит из уравнений напряжений трех непод

вижных маrнитно
связанных контуров, из которых два
 KOpOTKO

замкнутЫ. Как и в теории асинхронных машин, различная ско"
рость перемещения маrнитноrо поля в зазоре относительно обмо



а)


б)


J.Xs


J'xs


rэd
s


"'э f/
s


.
Zd3 J Xad


.
J ХSЭfJ
.
J Хау


llJs


Рис. 7
1. Схемы замещения сопротивлений синхронной
машины: а
 продольная ось; б
 поперечная ось


ток статора и ротора находит отражение в значении активных
сопротивлений эквивалентных неподвижных контуров: они в 1/5
раз больше действительных сопротивлений.
В
 2
9 была построена схема замещения для сверхпереходноrо
сопротивления x'd по уравнениям, структура которых аналоrична
(7
4) при s == 00. Если в схеме дЛЯ Х;; (см. рис. 2
10) включить
в ветви, обтекаемые токами обмотки возбуждения и демпферноrо
контура, сопротивления r B/S и r эd/S' то получится схема замещения
сопротивления Zds, которая представлена на рис. 7
 1, а.
Аналоrично определяется сопротивление lqs == r qs + jx qS
в соотношении ."


jЧr q ::== zqsiq.
Исходными комплексными уравнениями здесь будут


(7
6)


. . .
jXqI q + jхаэqI эq == jЧ! q;
jхаэqi q + (rэq/s + jх эq ) i Jq == О.


Схема замещения для сопротивления lqs отличается от схемы
для сверхпереходноrо сопротивления X
 (см. рис. 2
 12) наличием
аКтивноrо сопротивления r эq/S; она изображена на рис. 7
 1, б.
1бf>




Подставив (7
5) и (7
6) в (7
3), найдем
/ .

(;d
 Ud
j(fJd
' и j ( 's't
e
(fJ d) '
d



e
J
e о ,
Zds zds zds
[ .

Uq
 {;q
j(fJ
 и j (s't
e "(fJ )
q




e q


e о q,
Zqs Zqs Zqs


[де


Zтs == V r
lS

 X
s; (Рт == arctg (Xms/r ms ), т ===: d, q.


Вещественные части комплексных токов j d И i q представляют
собой MrHoBeHHbIe значения токов id И iq. Таким образом,
id ==

 sin (51'
 80
 CPd); iq:::::::

 COS (51'
 80
 (Pq)'
Z d s Zqs


Учтем теперь наличие постоянноrо напряжения ив на зажимах
обмотки возбуждения. Оно обусловит постоянный ток i Bo В этой
обмотке. С друrой стороны, потокосцепления якоря (7
2) в YCTa

новившемся режиме не зависят от характера токов в цепях машины
и не содержат постоянной составляющей. В демпферной обмотке
постоянной составляющей тока не может быть, так как в этой
цепи нет источника постоянноrо напряжения. Поэтому в COOTBeT

ствии с выражением для 'Ч'd должна возникнуть постоянная состав-
ляющая в продольном токе якоря i dл , которая определится из
условия


Хdidп + XaBdiBO -=== О,


откуда


i dп ==
iBOXaBd/Xd ===
EO/Xd'


Таким образом, при наличии напряжения ив продольный ток
якоря


. U. ( 8 ) Ео
ld ==

 SlП 51'
 о
 CPd

 ,
Zds Xd


а поперечный ток iq остается таким же, как и при ив == о.
Фазные токи машины MorYT быть найдены по токам i J и i Q
с помощью линейноrо преобразования. Они содержат, помимо
основной, еще rармоники с относительной частотой, равной 1
 2s
и 1
 s. Первые две определяются напряжением и, третья
'
возбуждением машины (Ео).
Электромаrнитный момент машины вычисляется по общему
выражению (3
31). Примем для удобства момент положительным
в режиме двиrателя, а не reHepaTopa, как это было ранее. Тоrда
в выражении (3
31) нужно изменить знаки на противоположные.
Подстановка в Hero потокосцеплений (7-2) и токов i d , iq дает


М::'М === М ЭМ . а + М ЭМ . с + М ЭМ . р'
166


(7
7)




rде


м == и2 ( cos CPd + cos cpq ) .
ЭМ. 8 2 Zds Zqs'
М == UI [ COS (28
 cpq)
 cos (28
 <J>d ) ] .
ЭМ. Р 2 Zqs Zds'
M
 M С == иЕ о sin е.

 · Xd


Составляющая М ЭМ . а представляет собой средний асинхрон-
ный момент, сообщающий ротору машины при s > О положитель-
ное ускорение. Полученное выражение дЛЯ М ЭМ . а преобразуется
к виду


М и2 ( rds + rqS ) О 5 (1 2
' + 1 2 )
эм. а f ,2
 2 ==, d'ds qrQS .
. , Zds ZQs


Таким образом, средний асинхронный момент определяется,
как и в асинхронной машине, потерями в роторных цепях.
Моменты М ЭМ . РИМЭМ.
 являются знакопеременными, причем
частота изменения первоrо из них равна 28f, а BToporo
 sf,
rде f
 частота электрической сети. Момент М ЭМ . Р' пропорцио..
нальный и 2 , фактически идентичен так называемому р е а к т и в..
u
Н О М У м о м е н т у синхроннои машины, возникающему при
синхронном вращении в случае неравенства синхронных сопро..
тивлений Xd и X q И определяемому в виде
О,5и 2 (l/X q
 l/xd) sin 28.
При асинхронном вращении в обмотках ротора появляются
переменные токи, поэтому М ЭМ . р определяется уже не синхрон"
ными сопротивлениями Zds и Zqs' Однако по
прежнему этот момент
образуется тяжением маrнитных трубок, возникающим за счет
различных результирующих проводимостеи для поля по осям

d, q. Обычно, если исключить некоторую область малых скольже..
ний, уrлы CPd и CPq близки к 900, а Zds
 Xd.s; ZqS
 X qs , и тоrда
М ЭМ . р
 О,5и 2 (1/x'1

 l/xds) sin 28.
Для машины с симметричным по осям d и q ротором, коrда
Zds === Zq;:, И CPd == CPq' момент М эм. р == О.
Момент М эм. С' обусловленный потоком возбуждения, имеет
при r == О такой же ВИД, как и в режиме синхронноrо вращения'
Машины, с той лишь разницей, что уrол е при асинхронной частоте
вращения непрерывно увеличивается.
Знакопеременные моменты М ЭМ . РИМЭМ. С не оказывают
сколько"нибудь заметноrо влияния на изменение частоты вращения
машины, пока скольжение велико, так как их среднее значение
Даже за небольшой проме)куток времени в этом случае равно нулю.
В области )ке малых скольжений, коrда эти моменты изменяются
Во времени медленно, их влияние на частоту вращения машины
167




становится значительным. Поэтому такие моменты иrрают суще-
ственную роль, например, при вхождении машины в синхронизм,
u u
если исходным ее режим
 асинхронным.


7
3. ВЛИЯНИЕ Активноrо СОПРОТИВЛЕНИЯ СТАТОРА НА АСИН

ХРОННЫЙ РЕЖИМ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ. Учтем теперь влияние
активноrо сопротивления цепи статора машины r на ее электромаrнитный момент.
Известно, что при несимметричном роторе асинхронной машины возникает элек

тромаrнитный момент) обусловленный обратным полем ротора и пропорциональ

ный сопротивлению r [39]. При скольжениях 1,O
s>0,5 этот момент яв

ляется движущим, в области 0,5 > s > О
 тормозящим, а при s === О и 0,5
он равен нулю. Значение ero при заданном r определяется степенью несимметрни
ротора и оБЫ9НО неве ли ко. Поэтому
при обычных значениях сопротнвле

ния r моменты М ЭМ .
 и М ЭМ . р, про

порциональные U 2 и не зависящие от
Ео, можно рассчитывать, как и при
r == О.
Вместе с тем наличие этоrо сопро

тивления требует более cTpororo опре-
деления постоя нных составляющих
токов id и iq. Решение этой задачи
'
S показывает [6], что под влиянием "
S во
первых, изменяется амплитуда
М ЭМ . с для скольжений s> 0,80+0,85
и, BO
BTOpЫX, образуется новый асин-
хронный момент М ЭМ. К, пропорцио

нальный Еб:


Н ЭН


о



8 0,6
0,2 ----....... О, "


Рис. 7
2. Асинхронные моменты син-
хронной машины
1
 М ЭМ . а; 2
 М ЭМ . К


м Е5 [x
+r2/(l
s)2] ,
ЭМ. к==
 [XdXq+ ,2/( l
s)2]2 1
 s ·


Момент М ЭМ . К представляет собой асинхронный момент, образованный
вследствие движения потока возбуждения относительно обмотки статора. По-
скольку относительная частота э. д. с. и токов в статоре, обусловленных этим
потоком, равна 1
 s, т. е. не совпадает (при s =1= О) с частотой напряжения сети,
обмотка статора может рассматриваться короткозамкнутой по отношению к ука-
занным токам. Поэтому, если у машины Xd == Xq, то момент М ЭМ . к определяется,
как в обычной асинхронной машине, с той лишь разницей, что вторичной KOpOT

козамкнутой обмоткой в рассматриваемом случае является обмотка статора,
а скольжение поля в зазоре относительно вторичной обмотки равно 1
 s. Асин-
хронный момент М ЭМ . к < О, следовательно, он обусловливает отрицательное
ускорение ротора машины.
На рис. 7
2 показана зависимость асинхронных моментов от скольжения
l\1ашины. Штриховой кривой изображен момент М ЭМ . а при r === о.


7..4. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ
ПРИ ПЕРЕМЕННОМ СКОЛЬЖЕНИИ. Процессы в асинхрон-
ной машине с короткозамкнутым ротором, протекающие при пере-
менном скольжении, описываются дифференциальными уравне-
ниями (2-77)
(2-84); в них нужно лишь положить U r == О. ДЛЯ
переходных процессов, оканчивающихся режимом работы с часто-
той вращения, близкой к синхронной, предпочтительнее опери-
ровать с уравнениями (2-82)
(2
84), содержащими потокосцепле-
ния, а не токи обмоток машины. Полаrая, как и в 97-2, положителъ.
168




ныии скольжение при ro < <дl' а момент на валу
 в двиrательном
режиме, получим систему уравнений в виде


(P't + р; + j)
s
 P

r ==
Us;
(P't + р; + jS) фr
 llсР;Ф; === о;
1 · *

 1т (Ф
Фr) + HjP-сS == М.
X d


(7
8)
(7..9)
(7
 1 о)


Система (7..8)
(7..1 о) нелинейна и не имеет точноrо аналити"
ческоrо решения; лишь в предположении постоянства ускорения
машины решение может быть получено с помощью интеrралов
Френеля для комплексноrо aprYMeHTa [31]. Однако действительное
ускорение ротора в переходном процессе может сильно изменяться.
В связи с этим неясно, как установить среднее постоянное ero
значение до решения задачи и насколько получаемый на этой
основе результат Отличается от истинноrо в течение Bcero переход

Horo процесса. Друrой путь состоит в применении численных мето..
дов, реализуемых на вычислительных машинах [36, 37].
Приближенное решение можно получить следующим путем.
Из (7
8) и (7..9) будем иметь дифференциальные уравнения для
каждоrо из потокосцеплений:
D (р'Т;)
's ===
 (р; + js) i1s; }
D (p
)

, ==


cp;us,


(7..11 )


rде дифференциальный оператор
D (p
) == pi + [p
 + р; + j (1 + s)] P't

 (p
 + j) (р; + js)

cP
P;'


При постоянном скольжении линейные уравнения (7
11)
становятся уравнениями с постоянными коэффициентами и имеют
точное решение, представляемое суммой общеrо решения однород..
Horo уравнения и частноrо решения неоднородноrо уравнения.
При s == var уравнения имеют переменные коэффициенты, но
по..прежнему решение является суммой двух решений указанноrо

ипа. Попробуем искать решение однородноrо уравнения... для
'фs В таком же виде, в каком оно записывается для дифференциаль..
Horo уравнения с постоянными коэффициентами, т. е. в виде суммы
двух экспоненциальных функций, но в показателях которых вместо
Постоянных корней характеристическоrо уравнения фиrурирует
среднее за время
 значение корней


( + j Pi dT) Т == j Pi dT,


rде Pi
 корень характеристическоrо уравнения D (Р) === О, явля

Ющийся теперь функцией времени.
169




В качестве решения н.еоднородноrо уравнения для
s примем
«вынужденное» значение 'Ч'sv, определяемое из дифференциальноrо
уравнения при Р1: == pi == '0, т. е. для условий установившеrося
режима с постоянным скольжением s. Тоrда


1: '(
. . . J'" р 1 d-т: . j' Р2 d,;
11'\
 I А о L А о
'Ys
 фsу i
 sl e
I S2 e


(7..12)


I
де Рl И Р2
 корни уравнения D (р) == о, а A s1 и A S2
 произ..
вольные постоянные, определяемые начальными условиями задачи.
«Вынужденное» потокосцепление ,pSY соrласно сделанному пред..
положению получается равным


. ( ' ) .
·
иs Р, + js
 U s
11'\


'У sv
 ( , + . ) ( , + . ) , , /
 ( ) , + . ,
. Ps J Р, J8
 l-tсРsРr а S Ps J


(7..13)


rде а (s) == (О'ср;2 + S2)j(p;2 + S2).
Функция а (s) изменяется в пределах от 1 (при s »р;) до ас
(при s « р;), и ввиду малоrо значения параl'летра p
 потокосцепле..
.
ние 'Фs у практически от скольжения не зависит. Производные от
. .
'Фs у весьма малы, поэтому и правомерно искать решение для 'Ч'sу
в указанной выше форме.
Подстановка решения (7..12) в исходное уравнение (7..11)
показывает, что оно cTporo удовлетворяется лишь при условии


't 1:
. S P1 d 't . S P2 d 't
A S1 eO (Р1:Рl) + A S2 e O (Р1:Р2) === о,


которое в общем случае не выполняется. Это значит, что в (7..12)
корни Рl И Р2 должны содержать поправки, являющиеся функцией
времени. Оценка максимальных значений этих поправок показы.. ,
вает незначительное изменение подынтеrральных функций в урав..
нении (7..12), и ero с достаточной точностью можно принять в каче-


стве приближенноrо решения дЛЯ 'ФS.
Подобноrо решения для ф, из (7..11) не удается получить,
поскольку частное решение неоднородноrо уравнения в значи-
тельной степени зависит от s, несмотря на простейший вид правой
части (7..11). Потокосцепление
, можно найти, решая уравнение.
7..9) :


.
 i (p;+jS) d1: [ , J 1:. [(p;+js) d1: . ]
ф, == е
.P, фsе d1: + '1',0 ,
о


(7..14)


. .
rде 'Ф,о
 начальное значение 'Ф,.
170




Определим ПОСТО51нные в (7..12) при известных начаJIhных эна"
чениях потокосцепления ,j'so и ero производной (p'{,j,s)o. Они
находятся соrласно (7..12) из уравнений:
Ф50 === .Фsу + A Sl + A s2 ; (Р'tФs)о == Рl0 А Sl + P20 A S2'


rде РI0 И Р20
 начальные значения корней Рl и Р2' Из этих уравне-
ний получаем


А 8
 Р20 ('rSy
 ,pso) + (p't
s)o .
81
 ,
РI0
 Р20
A S2 ==
 РI0 (,Фsу
 ,j,so) + (p,;,ps)o
РI0
 Р20


(7..15)


Корни Рl И Р2 уже определялись в Э 3..4 при решении характе..
ристическоrо уравнения (3..17). Следует только иметь в виду, что
в настоящей rлаве скольжение принято противоположноrо знака
по сравнению с тем, которое фиrурирует в исходных уравнениях.
На рис. 3..11 и 3..13 можно видеть, как изменяются вещественные и
мнимые части корней Рl и Р2 В зависимости от частоты вращения
машины ю. Заметим, что для ю < О (например, при реверсе двиrа..
теля) аналоrичные зависимости будут зеркальным отображением
кривых, показанных на рис. 3..11 относительно оси ординат, так
как параметры, определяющие вещественные части Рl и Р2, зависят
от квадрата частоты вращения ю.
Если переходный процесс, протекающий при значительном
изменении скольжения, обусловлен не коммутацией в цепи якоря,
а изменением механическоrо момента на валу, то потокосцепление
.
'Ч's практически не содержит свободных составляющих. В этом
случае (рт,р5)О == о; ,j,SY ==
so == ju s , если пренебречь влиянием
. 8
активноrо сопротивления статора при определении 'Фs в устано..
вившемся режиме, и соrласно (7..15) A 8 s1 == А 52 === о. Таким обра..
зом, в подобных условиях не требуется расчета
S'
Если переходный процесс вызывается коммутацией в nепи
якоря, то вычисление потокосцепления
s как функции времени
по (7..12) сводится к расчету свободных ero составляющих, а по .
существу
 интеrралов от корней Рl и Р2' Временная зависимость
последних неизвестна, но их изменение со скольжением s определя..
ется формулами Э 3..4 и rрафиками на рис. 3..11 и 3..13. Примем
упрощенную аппроксимацию для мнимых частей корней Рl и Р2:.
1т (Рl) ===
s; 1т (Р2) ==
 1,


полаrая р; < р;. С физической точки зрения это означает, что
один из свободных потоков машины неподвижен относительно
обмотки статора, друrой
 относительно обмотки ротора. Такая
аппроксимация будет давать тем меньшую поrрешность, чем
171




меньше активные сопротивления обмоток. При значительных
, ,
параметрах Ps И Pr на оrраниченном отрезке времени поворот
свободных потоков относительно обмоток сравнительно невелик,
а при более длительном процессе, коrда указанным эффектом пре

небреrать уже нельзя, сами свободные ПОТОКИ становятся весьма
малыми.
Итак, в общем виде
J Pl d1:. ==
 ( Рlэ1: + i J S d1: ) ; J Р2 d1: ==
 (Р2Э + j) 1:,
О \ О О


rде
Рlэ И
Р2э
 средние за время 't значения вещественных
частей корней Рl и Р2 (см.
 3
4):



Рlэ == (p
 + р;)

 J к 1 do; Р2э == (p
 + р;) + J К2 dT.
О о
Теперь (7
 12) получает более конкретную форму:
1i
 == 1i
 ..L А e
 [Рlэ t + j <Р (
)] + А e
 (Р2э+ j ) 't ( 7
 16 )
't' s 't' sy I sl S2'


rде СР ('t') == J s d-r.
о
Судя по (7
 14) и (7
 16) решение задачи зависит в основном от
интеrральной функции ер ('t). Это положение позволяет оценить
решение, получаемое при условии постоянства ускорения машины.
Расчеты показывают, что в этом случае даже удачный подбор
ускорения не обеспечивает истинных значений ер ('t) на всем
исследуемом интервале времени.
В переходных процессах при пуске и реверсах асинхронноrо
двиrателя ускорение, испытываемое ротором машины, претерпе

вает во времени весьма значительные колебания. Частота враще

ния двиrателя изменяется более монотонно, а ер (1') представляет
собой rладкую ФУНКЦИЮ времени. Это дает возможность исполь

зовать простую аппроксимацию ер (т) отрезками прямых и вычис

. .
лять 'Фs' 'Ч'r ПО участкам.
Пусть qJ ('t) заменена совокупностью отрезков прямых СРа (1'),
так что начиная с HeKoToporo момента времени 'ti
l и до 't'i

. .
t
J s d't' """" S i (Ti
 т: ц),
'Ci
l


rде Si
 некоторое постоянное скольжение, определяющее изме

нение интеrрала на рассматриваемом участке времени (рис. 7
3).
Очевидно, что

i
l i
l
J s do """" СРа ('t' i
l) ==
 Srn (т: т
 't' т
l);
О m==l


ер ('t)
 СРа ('t') === (Ра ('t'i
l) + Si ('t
 'ti
l) при 't -<: 'ti'
172




Тоrда потокосцепление статора на участке 'ti
l
 't i


,ii == 1jj
I А . e
 (Pl'"-1+j5 i )
't' + А . e
 (Р2э+ j )
1:
'Ys 'У5У I 51, ,
1 s2, ,
1 ,


rде


(7
 1 7)


.
А . == А e
 [Рlэ't'i
l+jСРа ('t'i
I)]'
51, ,
1 sl ,


А 8 А 8
 ( Р 2 э+j ) '(О 1 8 А
2 . 1 == 2 е L
, L1 't == Т
 1". 1 8
S . t
 S '



Потокосцепление ротора на участке 'ti
l
 't i определяется
(7
14), rде все интеrралы вычисляются в пределах не от нуля, а от
.
't'i
l до 't' И потокосцеплени.е 'ФrО 'Ра ('r)
должно б?IТЬ заменено на 'Фr, [
1'
т. е. на Фr В конце предыдущеrо
участка времени (т == 'ti
l)' Под

ставив (7..17) в (7
 14) и выпол нив
операцию интеrрирования в YKa

занных пределах (пренебреrая
при этом на оrраниченном OT

резке времени производными РТ;Рlэ О Ti
1 'Li 'ri+! Т
И РТ;Р2э)' получим на этом уча.. Рис. 7..3. Аппроксимированный ин.
стке теrрал ОТ скольжения


фri === !lcP; [ фsу



 (P;+jSi)
't
l
e
р; + jSi


,

Pl d't
P, d't

 А 8 е Э ,
 е e
 j S i d l' +

I sl,i
l
Pr
 Рlэ


8
 (Р2э+ j )
't'
 (P;+jSi)
't J 8 ( , . )
+ А е
 е + ,Ii
 Р ,+ J S i
 't'
52, i
l р;
 Р2э
 j (1
 si) 'у" ё
1e 8


(7 -18)


Вычисляя ,q,s И
, по участкам, можно затем определит
 токи
is и i, из (2..80) и (2..81) и электр-омаrнитный момент:


1 · *
М ЭМ -==
. 1т (Фs'Рr)'
Xd


Общая схема численноrо определения

 и "', такова. По
8 8 8 8
исходным данным рассчитываем 'Ч'sу, А sl, А s2' 'Р,О' Затем, прини..
мая на первом участке (!' == 1) скольжение 81 равным скольжению
исходноrо режима Sнч' определяем для задаваемых моментов
времени Ll't по (7- 17) и (7..18) потокосцепления
s И 'Фr' При прибли-
женном учете затухания в качестве
Рlэ И
Р2э можно принять
ДЛЯ nepBoro участка значения вещественных частей корней Рl и Р2,
соответствующих SНЧ'


173




Параллельно с расчетом
s,
, == f (
t') при 51 == const опре..
деляем М ЭМ ' скольжение s из уравнения моментов (7..10)


't'
S===Sнч

. J (МЗМ
 M)dT
J О
1:
И функцию qJ (т) === J s dT.
О
Коrда ер ('t) и 8 1 't начнут отличаться на некоторую задаваемую
величину, расчет при 81 == const прерываем и задаемся новым
ш=О


Рис. 7
4. Оси потоков, возникающих при ВКЛIочении
в сеть асинхронноrо двиtателя
в
 «ВbIнуждеННbIЙ» поток; С 1 , С 2
 неподвижныlI
 и Bpa

щающийся своБОДНbIе потоки


значением 82' принимаемым на следующем интервале времени
постоянным. Для этоrо HOBoro значения скольжения указанная
процедура расчетов повторяется, причем в качестве
Рlэ И
Р2э
можно взять вещественные части корней Рl и Р2, соответствующие
скольжению 82'
Численный расчет по такой схеме отличается от обычноrо
расчета «шаr за шаrом» тем, что обычно достаточно пяти
семи
значений 8 i == const, чтобы рассчитать весь переходный процесс
при большом числе координат времени.
7-5. ПУСК Аси:нхронноrо двиrАТЕЛЯ. Процесс пуска аСИНХрОНIIоrо
двиrателя, будь то прямое включение машины в сеть или через токооrраничива

ющее устройство, начинается с подачи напряжения на обмотку статора
 ком-
мутации этой цепи. В машине возникают не только rармонические токи и потоко-
сцепления, соответствующие приложенному к статору наПРЯ)I{ению, но и свобод

ные составляющие. При некотором упрощении, принятом в предыдущем пара-
rрафе, можно считать, что в процессе пуска один из свободных потоков все время
неподвижен, а друrой вращается вместе с ротором; иными словами: один из
свободных потоков практически неподвижен относительно обмотки статора, дру-
rой
 относительно обмотки ротора. «Вынужденный» поток вращается в зазоре
с синхронной частотой. При этом, как следует из (7
18), потокосцепление ротора,
обусловленное вращающимся свободным потоком, сложным образом затухает
,

Pr't'
Рlэ 't'
во времени, так как содержит составляющие, пропорциональные е и е .
На рис. 7-4 показаны оси потоков, создающих потокосцепления с обмотками ста-


174




тора и ротора, и их частоты вращения в пространстве (относительно статора)
и относительно ротора (представлена величиной, заКЛIоченной в скоб]{и).
Электромаrнитный момент определяется взаимодействием всех потоков и по
характеру временной зависимости состоит из следующих составляющих: 1) мо-
мента «установившеrося» режима при заданном скольжении (взаимодействие «вы-
нужденных» потокосцеплений); 2) апериодическоrо момента, затухающеrо по
сложному закону (взаимодействие неподвижных в пространстве свободных
потокосцеплений между собой, а также вращающихся свободных потокосцепле-
ний); 3) затухаlощей rармоники основной частоты (взаимодействие «вынужден-
Horo» и неподвижноrо свободноrо потокосцеплений); 4) затухающей rармоники
частоты 8 (взаимодействие «вынужденноrо» И вращающеrося свободноrо потоко-
сцеплений); 5) затухающей rармоники частоты 1
 8 (взаимодействие неподвиж

Horo и вращающеrося свободных потокосцеплений).
Сложная картина образования электромаrнитноrо момента находит отраже

ние в rромоздкости ero расчетноrо выражения в общем виде. Потокосцепления
обмоток в процессе пуска определяются по уравнениям (7-17) и (7
 18). В качестве
«выну)кденноrо» потокосцепления можно cor ласно (7
 13) принять ,pSY




s/(p; + j), считая, что при любом скольжении а (s) === 1,0. Найдем далее
. .
постоянные A S1 и A S2 по (7
 15). Очевидно, что начальные потокосцепления в ма-
. .
ШИfIе отсутствуют, т. е. 'Ч'sо === 'Ч'rо == О, а из (7
8) для этих условий следует
, ,
... , ,. а сР sP r
(P't"'s)o ==
us. Кроме Toro, Р 1 0 ==
(Ps + Pr + 1); Р 20 ==
 ( '+ ') + . , так
Ps Р, I
что с небольшой поrрешностью


A S1 ==



. ,
'Ф syP s
Р; + р; ,


A S2 ==



. ,
'Ч'sуР r
p
 + Р; .


Уравнения (7
17) и (7
18) при пуске двиrателя приобретают вид
"" === :" [ 1
 P

РIЭ't
jФа ('t) Р;
 (Р2э+ j ) -с ] .
'YS 'У'У Р; + Р; е е
 Р; + Р; е ,


. . [
'Ч'ri == J.tcP
 'Ф sy


1
 е
 (P;+jSl) d't
р; + j 8 l


,
,
Рlэ
,;
P,
,;
Ps
Рlэ't'i
l е
 е
Р ' + ' е ,
S Р, Р,
 Рl э
р; .
 (Р2э+i) d1:
 (P;+jSi) d'( J


 (Р2Э+/) 'ti
l е
 е + ..-
P
 + р; е (Р;
 Р2э)
 j (1
 8 i)
·
 (p;+jsi) d't
+ 'Ф" l
1
 .
. .
При расчете 'Фs, 'ф, и М ЭМ по изложенной в
 7-4 методике на первом отрезке
времени 8[ === 81 == 1, а все последующие значения 8i < 1.
Если принять, что скольжение двиrателя при пуске уменьшается во времени
в среднем линейно, то параметры РIЭ И Р2Э можно представить в виде



 j Ф а ('t)
е



Рlэ == (p
 + р;) к lэ; Р2э == (p
 + р;) К 2э ,


rде эквивалентные коэффициенты К 1Э и К 2Э рассчитываются по известной зави-
симости К 1 , К 2 === f (8). На рис. 7
5 сплошными линиями показана их зависимость
от параметра (1
 s)/(p;

 р;) при р; == р; (кривая 2) и р; == О,5р; (кривая 1).
175




Штриховыми линиями отмечены коэффициенты К 1 и К 2 . Соrласно этому рисунку
коэффициент затухания РIЭ неСКОЛЬКf> уменьшается в процессе пуска, тоrда как
Р2Э УВ
JIичивается в 10
15 раз по сравнению с Р20 при S == 1 н затухание, обус

ловленное этим коэффициентом, значительно усиливается при увеличении ча

cToTы вращения двиrателя.


КfЭ, К2Э
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2


1


1
2


о


0,'1


Ц3


-1 ?
1, ""-


1
/,0


2
... --1
1
'
s
й' +о' .
rs rr.
2,8
2


2,4


Рис. 7
5. Зависимость коэффициентов К 1Э и К 2Э от ча

стоты вращения машины


На рис. 7-6 и 7
7 представлены результаты расчета пуска двиrателя при
М == О. Параметры машины: Xd == 0,32; flc == 0,81; p
 == 0,3; р; === 0,45; Н; ==
== 40 рад. На рис. 7
8 и 7
9 показаны аналоrичные характеристики двиrателя,


tp (Т S

20 1,0 2


J


0,0'" 0,05 0,08
 10


Рис. 7
6. Пусковые характеристики асинхронноrо двиrателя
1
 М ЭМ == f ('t); 2
 s == f ('t); 3
 ер ('t)


у KOToporo Xd == 0,27; flc == 0,92; p
 == 0,12; р; == 0,13; Н j == 157 рад. Кривые
М ЭМ == f (1') В некотором масштабе характеризуют ускорение ротора, поскольку
М == О.
Приведенные rрафики иллюстрируют отмеченную ранее временную зави

симость ускорения, скольжения 11 ero интеrрала ер (t).


176




Пульсации момента длятся до тех пор, пока частота вращения двиrателя
не достиrнет значений, при которых начинает энерrично затухать свободный по

ток (см. изменение коэффициента К 2Э на рис. 7-5). Следовательно, продолжитель

ность этой стадии процесса зависит от инерционной постоянной машины и Mexa

ническоrо момента на валу. Характер изменения частоты вращения двиrателя
при подходе к СИНХрQНИЗМУ зависит от Toro, успеет ли закончиться к этому Bpe

мени электромаrнитный перехоДНЫЙ процесс. Если электромаrнитный момент
не будет отличаться от значений, определяе

мых статической характеристикой М ЭМ


 t (5), М ЭМ
ТО подход К частоте вращения установившеrося
режима будет апериодическим; в противном 2
случае он будет колебательным.
Как следует из рис. 7
7 и 7-9, продолжи

тельность пуска можно в большинстве случаев
рассчитывать, исходя из статической xapaKTe

ристики М ЭМ === f (s).
Максимальный электромаrнитный момент. f
Электромаrнитный момент ДОСТиrает CBoero Ma

ксимальноrо значения в начальной стадии про

цесса, пока не успевают существенно затухнуть
свободные потокосцепления машины. На этом
отрезке времени скольжение двиrателя может
заметнО измениться по сравнению со своим Ha

чальным значением, равным единице. Однако
интеrрал от s, как показывает ero оценка, с по
 О
rрешностью, не превышающей 2
3Ij'o, может
быть принят равным 't, т. е. вычисляться при
s === 1 === const. Таким образом, потокосцепле

ния обмоток от начала пуска до времени дo

стижения электромаrнитным моментом макси

мальноrо значения определяются выражениям!!:


. · [ 1
'Ч's === 'Ч'sу 1
 p
 + Р;


1


....
2


0,2 0,4 D,б 0,8 1
s
Рис. 7
7. Механические xa

рактеристики асинхронноrо
двиrателя


1
 динамическая при
2
 статическая


пуске;


(
P "с
P Т ) . ]
p
e lЭ + р;е 2Э e
Jt;


. . f 1
 е
 (p;+j) 1:
'Ф r === l1сР
'Ч'sу 1 р; + j


1 [ p
 (е
Рlэ't
 е
p;'t)
p
 + р; р;
 Рlэ +


, (е
Р2э1:
 е
P;1:) ] }
+ Pr
 '1:
, е J .
Pr
 Р2э


..
На рассматриваемом отр
зке времени можно
 принять (см. рис. 7
5) РIЭ


 P
 + Р;; Р2э
 О. Тоrда электромаrнитный момент


м 1 · *
ЭМ == 7 IП1 ('Фs'Р r ) ==
d
{ 1 [ ( ' ' ) ] ' }
,
 Ps+Pr 1:
P '"
===М П 1 + , + I pse + р; е r
AccosT
As sin 't ,
Ps Pr



 '
flc 'ФsуР r
rде М п == , ( '2 )
 момент
X d 1 + Pr
ющийся пусковым моментом при


(7
 19)


в установившемся режиме при s == 1, явля



неучете переходноrо процесса; Ас и As
 aM



177




плитуды rармоник, Экспоненциально изменяющиеся во времени. Приближенные
их выражения:


, , + '
 (p
+P;) 1:
А

Pr1: + Pr pse
с
 е
p
 + p



1
 (p
+P;) 1:

e
A S ==
P
 + Р;


При упрощеННО
1 рассмотрении переходноrо процесса, коrда активное co

противление статора 's учитывается только в затухании свободных токов и пото

косцеплений, а при определении их начальных значений принимается 's == О,


СР(Т) s I1эн
200 1,0 2



100 0,5 1


J


о


0,4



5
б (},7


. t
с



1r


Рис. 7
8. I1ycKoBbIe характеристики асинхронноrо двиrателя
1
 М ЭМ == f (1:); 2
 s == f (1:); 3
 ер (1:)


потокосцепления имеют не две, а только одну свободную составляющую. При та..
ких потокосцеплени
х электромаrнитный момент


( ' ' )

 Ps+Pr 't .
М ЭМ ==: М п (1 + е
 Ас cos l'
 As Sln 1'),


(7 -20)


rде


, ,
Ас == е
p
't + е
p;'t; As == 1: PsP; (е
P;'t
 е
p;'t).
Pr
 Ps


П ' ,
ри Ps == Pr раС:чет по (7
19) и (7
20) дает близкие результаты.
Нахождение маl\симальноrо электромаrнитноrо момента при пуске Ммакс. J1,
связано прежде Bcero с определением времени 1'м, при котором М эм достиrаеТ
искомоrо максимума. Оно, а следовательно, и Ммакс. Д не зависят от значениЯ
механическоrо момеНта при пуске и определяются лишь параметрами двиrатеЛ5I.
Приближенное ypaBI-Iение для 1'м имеет общий вид


tg'tM==f(p
, р;, 't M ).
178




При заданных л?раметрах p
 и р; уравнение ймее1' ряд решений, отвечающИХ
характеру зависимости М ЭМ == f (17). Соrласно (7-19) на апериодическую COCTaB

ляющую накладывается колебательная составляющая момента, так что каждому
максимуму 11 минимуму момента соответствует свое значение 17м. Интересующие
нас максимумы момента наступают примерно через 2л радиан, начиная с 'tM1


 4,174,4 рад. Для реальных параметров p
 и р; указанная функция в OKpeCT

ностях 't M1 находится в пределах 1 ,4
3,3. Однако при таком существенном изме

нении TaHreHca ero aprYMeHT изменяется в достаточно узком диапазоне. После

дующие экстремальные значения 17м лежат в еще более узких областях, соответ-
, ,
ствующих различным параметрам Ps И Pr.
С достаточной для практики точностью в Ka
 I1 Э /1
честве расчетных при любых значениях па
 2
, ,
раыетров Ps И Pr можно принять время
'tM1 === 4,3 рад, а послеДУЮlцие 'tM
 отлича

ющимися на 2л и кратными 2л.
Подставив в (7
19) 17 === 4,3 рад, получим
первый во времени максимум электромаrнит

Horo момента М макс. Д В виде некоторой
функции параметров Р; и р;. Выразим ero 1
в долях максимальноrо момента Ммакс. с
статической характеристики М ЭМ == f (s).
Для этоrо воспользуемся соотношением


М п
Ммакс.с


2р;(р:+ У! +р:" )


(l+p:2)(I+p
2)


о


0,2


О/!


0,6


'
s

8 1,0


Умножив на HeI'o величину, стоящую BHY

три фиrурных скобок в (7
 19) и рассчитан

ную д.;rIЯ 17 == 4,3 рад, получим кратность
Л1макс.дIМмакс.с. На рис. 7
10 показана
построенная на основе (7
 19) зависимость
Ммакс. дl Ммакс. с от параметра Р; в виде за
 Рис. 7-9. Механические xapaK

штрихованной области' 1, верхняя rраница теристики асинхронноrо двиrа

и, тел я
которои соответствует Ps == О, а нижняя

p
 == р;. Этот rрафик позволяет сделать BЫ

ВОД о малом влиянии сопротивления r s на
кратность максимальноrо момента при
Пуске.
Выше отмечалось , что первый максимум момента не обязательно является
наибольшим. Анализ экстремальной задачи показывает, что решающее значение
в ней имеет параметр р;. На рис. 7
10 кривая 4 показывает зависимость от Р;
ОТНошения i-ro и первоrо максимальных моментов Ммакс. Дi/ Ммакс. д, причем
практически i == 273. При P
 > 0,25 первый максимум момента является и наи

большим; для двиrателей, имеющих р; < 0,2, максимум максиморум Ммакс. дt.
ДОстиrается лишь после нескольких колебаний момента. Таким образом, увели

,
чеНие параметра pr приводит К возрастанию кратности максимальноrо момента
в переходном процессе. При пуске двиrателя с фазным ротором в началь

Ной стадии процесса обычно Р; == 1,0. При этом Ммакс. д/ Ммакс. с
 2'372,4.


"'1


1
 оrибающая динамической при
пуске; 2
 статическая; 3
 сред-
няя динамическая


."


7-6
 РЕВЕРСИРОВАНИЕ АсинхРонноrо двиrАТЕЛЯ. Рассматривае-
МЫИ процесс состоит из двух этапов: на первом
 двиrатель отключается от сети;
Ф На Втором
 на двиrатель подается напряжение с обратным порядком следования
аз ПО сравнению с исходным.


179




в ОТКЛlоченном от сети двиrателе is == О, но i, =/= о и cor ласно (2-80) и (2
81)
. . .
'Ч's

 'Фr === i,. Потокосцепление 'Фr описывается уравнением (7
9), которое
теперь принимает вид


(P't
t-- р, + js)
, === О,


rде Р, === <1 с Р;. Ero решение


· ·
 [Pr't+jcp ('t)]
'Р, === 'ф, нч е


.
содержит начальное потокосцепление ротора 'Ф,нч, определяемое по данным
исходноrо установившеrося реЖИ1\1а.
Поскольку в отключенном двиrателе М ЭМ == О, то из уравнения моментов
(7
10) следует при М === const


s == Sнч + Mt:/ Hj,


rде Sнч
 скольжение исходноrо режима. Тоrда интеrральная функция


ер (-r) == Sнч't + 0,5M-r 2 / Н j'


Таким образом, для
адан
ой продолжительности перерыва в питании дви-
rателя рассчитываются 'Ч', == 'ЧJs, являющиеся начальными потокосцеплениями
Чr ,о == Чr so для BToporo этап а в пере-
ходном процессе. Расчет ero произво-
дится так же, как и процесса пуска
двиrателя. Новыми будут лишь исход-
ные данные: начальное скольжение
80, потокосцепления Чr то == Чr 50' Опре-
делим постоянные А s1 и А. 52 по (7
 15)
для рассматриваемой задачи. Из (7
8)
с учетом равенства 'Ф' ,о === Чr 50 найдем
(P't'Ps)o ==
ils
 j
so' Начальные зна-
чения корней:


1,0


4


РI0

(p; + iso); Р20

 (p
 + i).
Тоrда по (7
 15)


2,5 и
ПНQкс. д i.
I1 нахс Д J
;t,
2,0 I10КС./}
М 110кс . С


1,5


0,50


Р;


, .
А

 Ps'Pso .
51
 (p

 p
) + i (50
 ])


0.1 0,2 0,3 0,4
Рис. 7
 1 О. КраТН<1СТИ максимальноrо
электромаrнитноrо момента асинхрон

Horo двиrателя
1; 4
 при пуске; 2; 3
 при реверсе
rде
sy

Us/(p
 + j).
Параметры РIЭ И Р2Э при линейном изменении частоты вращения во времени
рассчитываются так же, как и для процесса пуска двиrателя. Их изменение
с частотой вращения можно видеть на рис. 7
 11, rде штриховкой отмечена область
, , , О 5 '
для случая Р 5 == Р т ' а сплошные кривые относятся к соотношению Ps === , Pr'
В обоих случаях кривые 1 и 2 соответствуют Р; + р; == 0,2 и 0,4. Эти rрафики
показывают, что от начала процесса реверса и почти до остановки двиrателя
можно принять Рlэ
 Р; И Р2э
 р;. Таким образом, в этой части процесса зату-
хание свободных потокосцеплений машины происходит с постоянными времени
цепей ротора и статора.


.
A S2


Р; + i (80
 1 )
, 1
 50

 sy,
(Р;
 Ps) + j (so
 )


180




Определим максимальный электромаrнитный момент при реверсе сначала
в предполо)кении, что 50===2,0 и 'Pro == 'Фsо == О, т. е. что частота вращения дви

rателя мало изменилась за время перерыва ero питания, но переходный эле

ктромаrнитный процесс за это время успел закончиться. Как и при пуске,
можно считать, что до времени достижения моментом максимума интеrрал
от скольжения практически изменяется пропорционально 't и теперь равен 2't.
При этих начальных условиях по (7
14) и (7
I6) получим
ФS ==
SY [1
 е
 (P;+i) 't]; Фr == f1 c P; ;PSY [ р;
 j2

е
 (p;+i) 't (p
 + j) е
 (p;+i 2 ) 't ]

 р;
 P
 + j + (р; + j2) (р;
 р; + i) ·


1,0


Р,э . Рzэ
p
 ' р;


O'
2.o
1,8
1,2
o.8
o.'!


о


o.
 0.8 1,2 1,8 20



 } f;э
2 о'
2 rs
'
s


fJs+fJ,.


Рис. 7
11. Зависимость эквивалентных параметров РIЭ И Р2Э:ПРИ
реверсе от частоты вращения двиrателя


Момент М ЭМ в начальной стадии процесса без труда вычисляется по приведен-
ным выражениям для потокосцеплений . В общем виде он получается достаточно
rромоздким. Поэтому напишем приближенное er'o выражение для случая р;
 р;:


[ , , (
, 2

 2 р s 1:
p S 't
Мэм
(l +Р , )м п О,5+е
e 1,5 +
, ) ' ]

p 't
p 't
+ О,5е r cos't + О,5е r cos 2't .


.-


Максимальным момент становится при 't
 п. Вычислив величину, стоящую
в выражении М эм в квадратных скобках, для 't
 п и умножив ее на М п / Ммакс. с
(см.
 7
5), получим кратность максимальноrо момента Ммакс. д/ Ммакс. с.
На рис. 7
 1 О она представлена в функции р; кривой 3. Отметим, что зависимость
кратности максимальноrо момента при реверсе от активноrо сопротивления 's
существенна; при уменьшении 's кратность растет. Кроме Toro, при р;
 р;
и принятых нулевыми начальных потокосцеплениях она значительно меньше,
чем при пуске двиrателя. Это результат быстроrо затухания свободноrо потока
статора под влИЯНием r s в процессе реверсирования да}ке на малом отрезке Bpe

мени, равном п. При пуске же двиrателя один из свободных потоков в н
чальной
стадии процесса практически не изменяется.
Однако при ненулевых начальных потокосцеплениях кратность максималь

Horo момента в начале реверса может оказаться большей, чем при пуске двиrа

теля, всеrда определяемом при нулевых начальных потокосцеплениях машины.
Приближенно оценим этот случай, учитывая активные сопротивления об

Моток лишь в затухании потокосцеплений. Тоrда A S1
 о; A S2
 'Фsо

sy,


181




НапряжеlIйе На АвиtаТеJ1Ь 110даеТСЯ в проиgВОJIЬный МОМенТ вреМ
НЙ. I10ЭТОМУ
.
установившийся поток 'Ф5У может быть сдвинут относительно исходноrо свобод

.. u ..
jy
Horo потока ч!,о == '1'50 на некоторыи уrол "(r, так что 'Ч'50 == ч! 50е '. Потоко

сцепления в установившемся режиме с различной наrрузкой, т. е. с различным
соотношением токов статора и ротора, как видно из уравнений (2
80) и (2
81),
8 .
связаны выражением 'ФSУ
 'Фrу/J.lс. Допустим, что перерыв в питании двиrателя
был незначительным и потокосцепление Чr 1'0 осталось таким же, каким было
.
в исходном режиме наrрузки ('Фrнч), Если реверс осуществляется при том же
механическом моменте на валу, который был в исходном режиме, то в новом
установившемся режиме .ф'У == Чr,о == -q.r 50' Таким образом, при указанных усло

. .
виях 'Фsу
 ч! so/f.lc, а потокосцепление статора


"Ii

 "Ii
 + А 8
 (p
+j) ,;
 Чr sO r 1 + (
jvr 1 )
 (p
+j) ,; ]
't's
 't'sy S2 e

 f.tc e
 е .
f.tc


. ,
Приближенное значение 'Ф r определяется по (7
 14), в котором Р, сохраняется
только в экспоненциальной функции:


· · --jv
 (p;+js ) 1:
'Ф,
 '1' ,ое I е о.


По потокосцеплениям обмоток вычисляется момент, который при so
 2
равен
2 {
P;1:
М ЭМ == Ммакс. с е cos (2't + "(т) +
+ е
 (Р;+Р;) 'f [ftc sin 't
 sin ('t + 'I'r)] }.


rде Ммакс. с
 О,5J.tс'Ф
у/Хd == 0,5Ч';о/(J.t с Х d ),
Рассматривая М ЭМ как функцию двух переменных 't и "(" нетрудно решить
задачу на экстремум и найти их значения 'LM и "(,М, соответствующие наибольшему
возможному моменту Ммакс. Д И равные: "(,М == л; '{м == 2л/3. Этому уrлу "(rM
. .
отвечает максимальный свободный поток статора ('Фsо
'Фsу) после подачи на дви

rатель напряжения. Подставив приведенные значения '{м и утм в выражение М ЭМ ,
найдем


[ '
 ( ' ' )]

 --2, Ip,. --2,1 Ps+Pr
Ммакс. д/ MMCiKC8 с == V 3 е + (1 + f.tc) е 8


..
При пренебрежении затуханием и J..1c
 1,0


Ммакс. д/ Ммакс. с
 5,2.


Однако с учетом затухания кратность максимальноrо момента заметно сни

жается. Так, при р; == р; == 0,1 она составляет уже 3,6. При больших сопротив

лениях на рис. 7
10 она представлена кривой 2, рассчитанной при р; == р;.
Отметим, что в этом приближенном анализе не учтены апериодические асин

хронные моменты от свободных потоков, пересекающих короткозамкнутые об

мотки с конечными активными сопротивлениями.
Продолжительность пульсаций момента в процессе реверса определяется
параметрами р;, р; и не зависит от момента на валу и инерционной постоянной
двиrателя. Практически ко времени 't
 (3+4)/р', rде р'
 меньший из параме

тров p
 и р;, динамическая характеристика М ЭМ == f (s) совпадает со статической.


182




Jl!2З)
 5) (0)18
 Il@


Режим малых колебаний


8...1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Допустим, что синхронная Ma

Iнина работает reHepaTopoM, будучи включенной в сеть бесконечной
мощности с напряжением U. Если одна из «внешних СИЛ», опре..
деляющих режим reHepaTopa, изменится, в нем начнется переход..
ный процесс. Примем для определенности, что такая ситуация
возникает при увеличении на
M момента внешней механической
силы, который затем остается неизменным и равным Мо. Очевидно,
что непосредственно после изменения механическоrо момента
(МО > М ЭМ ) ротор reHepaTopa начнет испытывать ускорение,
частота вращения ротора будет увеличиваться, а уrол 8
 расти
от cBoero начальноrо значения 8 нч . Вместе с ним будет увеличи

ваться и электромаrнитный момент М ЭМ reHepaTopa, так что при
некотором уrле 80 > 8 htJ наступит равновесие моментов и, следова

тельно, ускорение ротора обратится в нуль. Однако, поскольку
ротор в это время вращается с частотой, превышающей синхрон

ную, уrол наrрузки 8 будет продолжать увеличиваться (рис. 8..1).
При 8 > 80 момент М ЭМ > Мо и ротор под влиянием отрицатель-
Horo ускорения начнет замедляться. При прохождении частоты
вращения через синхронную уrол 8 достиrнет максимальноrо
значения 8 т , а затем будет уменьшаться. Если reHepaTop не имеет
демпферной обмотки, а ero обмотка возбуждения обладает весьма
малым активным сопротивлением (положим для простоты 'в == О),
то уrловая характеристика машины М ЭМ == f (8) будет однознач-
ной функцией уrла 8. В этом случае в рассматриваемом переходном
процессе уrол 8 будет уменьшаться до значения 8 нч , а затем снова
увеличиваться потому, что при 8 == 8 нч момент Мо > М ЭМ И
ротор испытывает положительное ускорение. Таким образом,
будут происходить незатухающие колебания уrла 8 между 8 ич
и 8 т относительно среднеrо (при достаточно малом значении
M)
значения 80-
Механические колебания ротора относительно ero вращения
с синхронной частотой сопровождаются колебаниями электро-
маrнитных величин
 токов в цепях, электромаrнитноrо момента
и мощности, отдаваемой reHepaTopoM в сеть. Нетрудно представить
с общих физических позиций, что при наличии демпферной об-
мотки, а также при 'в =F О дополнительная механическая энерrия,
связанная с колебаниями и преобразованная в электромаrнитную
энерrию, будет постепенно рассеиваться, переходя в тепло, выде-
ляющееся в обмотках ротора. В описанных условиях колебатель-
188




ный процесс окажется затухающим и параметры режима reHepa

тора будут стремиться к значениям, определяемым новым значе

нием механическоrо момента Мо. Следует сразу же оrовориться,
что в некоторых специфических условиях электромаrнитный
момент машины при колебаниях получает такой характер, что
колебания во времени не затухают, а, напротив, увеличиваются.
Но об этом речь пойдет позже.
Рассмотренный переходный процесс обусловлен однократным
изменением одной из «внешних сил». При этом в машине возникают
собственные колебания, частота которых должна определяться
параметрами машины и исходноrо режима.
Возможны также колебания вследствие
периодическоrо изменения «внешних сил»,
например меканическоrо момента на валу
машины. У становившиеся в этих случаях
колебания заданной частоты имеют BЫ

нужденный характер.
Режим колебаний как реакция на из

менение «внешних сил» характерен не
D только для обычной синх р онной маши

О. 8 н ,! 9 п От IJ
ны, но И вообще для машин переменноrо
Рис. 8
 1. К определению тока. Особый интерес представл яют уста-
уrлов наrрузки в пере
 новившиеся rармонические колебания,
ходном процессе синхрон
 так как они , во
пе р вых , вст р ечаются
ной машины
В практических условиях, а BO
BTOpЫX,
MorYT служить основой для оценки статической устойчивости
установившихся режимов машины (см. rл. 9).


МЭН





 q


11




8..2. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ ПРI1
ПРЕНЕБРЕЖЕНИИ АКТИВНЫМИ СОПРОТИВЛЕНИЯМИ.
Обратимся к формальному анализу. Рассмотрим сначала простей

ший случай
 собственные колебания reHepaTopa без демпферной
обмотки при пренебрежении активными сопротивлениями обмоток
якоря и возбуждения. В этой задаче оrраничимся лишь установле

нием зависимости е == f ('t). Изменение уrла наrрузки е в пере

ходном процессе (
e) можно определять по отношению к постоян-
ным ero значениям: либо 8 нч , либо 80' Очевидно, что оба представ-
ления справедливы и отличаются лишь начальными условиями
для уrла
8. Примем


8 == 80 +
8,


(8
1)


rде 80
 уrол наrрузки, соответствующий электромаrНИТНО}dУ
моменту М эмО , равному новому значению механическоrо момента
Мо. Соответственно и электромаrнитный момент, являющийся
функцией уrла 8, можно представить в общем виде суммой
М ЭМ === М ЭМО + .1 М ЭМ , (8
2)
в которой
МЭМ обусловлен уrлом
e.
184




После увеличения механическоrо момента до значения Мо,
остающеrося в дальнейшем неизменным, уравнение моментов
reHepaTopa принимает вид
Мо
 М ЭМ === Hjpt S
или с учетом Toro, что МО == м эмо ; S == pt8, а также соотношений
(8..1) и (8..2)


HjP
 Ll8 + dМ ЭМ === о.


(8..3)


При принятых допущениях М ЭМ является функцией лишь
одной переменной
 уrла 8, и поэтому формально изменение ero

МЭМ === Ms d8, (8..4)


причем


м s === ( дМэм ) .
де 8==80


(8..5)


Величина Ms называется к о э Ф Ф и ц и е н т о м с и н х р О..
Н И З и р у ю Щ е r о м о м е н т а.
Подстановка
МЭМ в уравнение моментов (8..3) приводит по..
следнее к уравнению с одной неизвестной:
(p
 + h 2 )
8 == О,


в котором обозначено


h == V MsIHj'
Решение этоrо уравнения
А 8
 А jht + А
jht
L.l
 1 е 2 е ,


(8..6)


rде А} и А 2
 произвольные постоянные, определяемые из началь..
ных условиЙ задачи (т == О).
При't == О уrол 8 == 8 нч И В соответствии с (8..})
8 == 8 нч

 80'
Кроме Toro, начальное скольжение равно нулю, т. е. при." т == О
имеем pt8 == pt
8 === О.
Полаrая в найденном решении для
8 и производной pT
8
время 't === О И заменяя сами функции их начальными значениями,
получим два уравнения для определения произвольных постоян..
ных:


Аl + А 2 == 8 ич
 80; Аl
 А 2 === О,
из которых следует А 1 == ,А2 ==
0,5 (80
 8 нч ).
Таким образом, окончательно


d8 ==
 (е о
 8 нч ) COS h't; е == 80 +
8 == 80
 (80
 8 нч ) cos h't.
На рис. 8..2 представлен rрафик е == f (hT).
186




Полученный результат показывает, что увеличение механи

ческоrо момента приводит к возникновению незатухающих колеба

ний уrла наrрузки синхронной машины. Параметр h представляет
собой относительную частоту колебаний. Действительно, aprYMeHT
косинусоидальной функции h't == h(j)lt можно заменить величиной
(j)Kt, rде (j)r<
 уrловая частота изменения функции (уrловая
частота колебаний). Из равенства aprYMeHToB найдем h == ЮК/Ю1 ==
== 'K/fl' rде 'К и 11
 частоты колебаний и сети в rерцах.
Амплитуда колебаний уrла 80
 8 нч определяется с помощью
(8
4), если учесть, что уrлу
e == 80
 8 нч соответствует момент

M эм, равный изменению механиче.
f) CKoro момента
M. Поэтому
80
 8 нч ===
M/Ms'




Q::)


Относительная частота собствен-
НЫХ колебаний h вычисляется по
(8
6) и зависит от инерционной по

стоянной и коэффициента синхрони"
зирующеrо момента машины.








о лj2 1[ 31(/2 21r л т


8..3. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИН

Рис. 8
2. Изменение уrла 8
re
 ХРОННОЙ МАШИНЫ С УЧЕТОМ
нератора при внезапном увели
 АКТИВНЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ
чении механическоrо момента А
РОТОР . Произведем теперь анализ
аналоrичноrо переходноrо процесса
в reHepaTope С демпферной обмоткой, принимая во внимание актив..
ные сопротивления обмоток ротора машины. Уравнение моментов
в общем виде (8..3) справедливо и для этоrо случая. Однако измене-
ние электромаrнитноrо момента
МЭМ должно быть теперь опреде

лено с учетом указанных"НОВЫХ факторов. С этой целью представим
все переменные в виде суммы двух слаrаемых, из КОТОРЫХ одно
соответствует постоянному уrлу, а друrое
 приращение перемен

ной
 изменяющемуся во времени малому уrлу
8. Очевидно,
что последняя составляющая достаточно мала, если мал уrол
8.
Условимся составляющие, определяемые уrлом 80' обозначать
индексом О, а приращение переменных
 знаком
. Тоrда, пре..
небреrая произведениями приращений переменных, будем иметь


М ЭМ == 'Ч'diq
 'Ч'qi d == М ЭМО + LlМ эм ,


причем


М ЭМО == Фdоiqо
 фqоi dо ;

МЭМ ::;:: i qo
Фd
 'Ч'qо
id + ФdО
iq
 i do
фq, (8
7)


Пренебреrая, как и раньше, активным сопротивлением якоря,
получаем возможность воспользоваться приближенными уравне-
186




пиями напряжений якоря (3..20), в которых ввиду малости d8
примем cos Ll8
 1; sin
8
 d8:
Ч'd == Ч'dО

 dФd == и cos (80 + d8)
 и cos 9()
 и sin 80 d8;
Ч;q == фqо

 dфq == и sin (80 +
8)
 и sin 80 + и cos 80 L\8.
Из этих уравнений находим
dФd ==
u sin 80 d8; dфq == и cos 80 d8. (8..8)


Для определения L\M эм по (8.. 7) остается найти изменяющиеся
токи L\i d и Lliq.
.
Сделаем одно допущение, которое впоследствии можно будет
оценить: положим, что уrол де, а следовательно, и все переменные,
обусловленные им, изменяются во времени по rармоническому
закону с некоторой частотой h, как это имело место при равных
нулю активных сопротивлениях обмоток reHepaTopa. Тоrда для
определения приращения переменных мо}кно воспользоваться
методом комплексных переменных, широко используемым в элек..
тротехнике. Как известно, по этому методу вместо rармонической
функции времени вводится в рассмотрение комплексная перемен..
ная; например, вместо переменной di d ==
I dm cos h't оперируют
с комплексной переменной di d == d/ dnlejht, так что действительная
часть ее di d равна исходной функции did' Операция дифференци"
рования комплексной переменной заменяется умножением диф..
ференцируемой комплексной переменной на jh, как, например,
PL
id == jh
I dтejh-r; == jhdi d . Иными словами, символ дифферен"
цирования заменяется множителем jh. С друrой стороны, опера-
торные уравнения машины, из которых определяются изображения
приращений переменных, имеют вид дифференциальных уравнений
машины для функций..ориrиналов и отличаются лишь тем, что
вместо символа дифференцирования содержат алrебраический
множитель р. Следовательно, для определения комплексных пере..
менных можно использовать операторные выражения с заменой
в них операторных функций..изображений комплексными перемен..
ными, а символа Р
 на jh. Так, используя операторное соотноше..
ние (2..113) для машины с нереrулируемым возбуждением Aid {р) ==
.

 L\'Фd (р)/ Xd (р), получим для комплексных переменных
id и
'Фd:

 .
di d :::::: dФd/Хd (jh).


(8..9) .


Аналоrично



iq == dфq/х q r (jh).


(8..1 О)


Принимая во внимание, что приращение любой переменной
представляет собой вещественную часть вводимой в рассмотрение
комплексной переменной, перепишем (8..7) с учетом (8..9) и (8..10)
в виде
L\М эм == Re {[i qO


qo/xd(jh)]


d
 Ii do
 Фdо/Хq(jh)] Афq}.
187




Подставив сюда постоянные значения 'ФdО == и cos8 o ; 'Фqо == и sin 80;
i dO === (
Eo + и cos 80)/ Xd; i qo == и sin 80/ Xq, а также комплекс

ные приращения потокосцеплений, которые соrласно (8
8) равны
. .. .

'I'd ==
-u sin eo
e;
'Фq == и cos e o L\8, получим
А М
 R { Еои cos 80 + и 2 ( 1 1 ) 28 I
L1
 е


 СО8 О '

эм Xd Xq Xd I
+ и 2 sin 2 80 [ Xd
ih)
 :d ] + и 2 cos 2 80 [ X q
ih)
 ;q ]}
ё.
Обозначим комплексную величину, стоящую в фиrурных скоб..
ках, через А и запишем ее в алrебраической форме:
А ==== Ms + jhM d ,


так что величины Ms и hMd представляют собой соответственно
вещественную и мнимую части А.
ДЛЯ предположенноrо характера изменения уrла
e во времени

8 ===
Oт cos (h't'
 ер); Рт: 118 ===
881пh sin (h

 ер);
l1ё ===
Oтej (h't
fP) ===
Oт [С08 (h't'
 ер) + j sin (h1:
 ер)].

eт
 амплитуда изменения уrла
O, а ер
 начальная


Здесь
фаза.
Взяв вещественную часть от А
ё, найдем
I1М эм === М s ле + MdP't
e,


rде


.
Ms == Re А == Mso + м sд ;
Mso:== Еои СО8 80 + и 2 (


 ) cos 280;
Xd X q Xd
М sд == и 2 Re ([ Xd
ih)
 :d ] sin 2 8 0 + [ Xq
ih)
 ;q ] cos 2 во};
] · и2 { [ 1 1 J . 2
M d == T ImA == T Im Xd(jh)
 х;; Sln 00+
+ [
.h)

 ] С08280\.
Xq 1 Xq J


(8
 11)


(8
 12)
(8
 13)


(8
 14)



8
 15)


Выражение (8..11 ) показывает, что при учете активноrо сопро

тивления обмоток ротора момент
MSM' обусловленный малымИ
rармоническими колебаниями уrла
e, им
ет кроме составляющей,
пропорциональной уrлу отклонения
e, еще одну составляющую,
пропорциональную скорости изменения уrла
e, т. е. скольжению
s. Они называются соответственно с и н х р о н и з и р у ю Щ и м
и Д е м п Ф е р н ы м м о м е н т а м и и характеризуются так
называемыми к о э Ф Ф и ц и е н т а м и с и н х р о н и з и.
р у ю Щ е r о (Ms) и д е м п Ф е р н о r о (M d ) М О М е н т о В.
188




в предыдущем параrрафе коэффициент Ms был определен при OT

сутствии активноrо сопротивления обмотки возбуждения l\1ашины.
Подстановка (8
 11) в (8
3) приводит к дифференциальному
уравнению, содержащему лишь одну переменную
e,
(p

 2
P,;

 h 2 )
e == о
с коэффициентами, определяемыми из вы ражен ий:

 ===
Mdl(2Hj); h == V MsIHj.


(8
 16)


К орни х арактеристическоrо уравнения:
 z: jh K , причем hк. ==
== Vh 2

2. Таким образом, решение дифференциальноrо урав-
нения в двух возможных формах имеет вид

8 == (A 1 e jh K 't + A 2 e-- jh к 't) el3't ==
8тel3't cos (h K l'
 ер), (8
 17)
[де Аl, А2 или
8m' <р
 произвольные постоянные, определяе

мые из начальных условий.
Вторая форма (8
 17) указывает на характер изменения yr ла

8 БО времени: это
 rармонические колебания с относительной
частотой h K и экспоненциально изменяющейся амплитудой.
Для определения начальной амплитуды колебаний
8m и уrла
фазовоrо сдвиrа ер с помощью начальных условий недостаточно
только уравнения (8
17): более детальный анализ (см.
 9
1) по-
казывает, что уrол L18 содержит, кроме приведенной колебатель-
ной составляющей, еще экспоненциальную вида
eтae(X'; и началь

ные условия нужно раССlVlатривать применительно к функции
д8 == Д8 та е(Х" + Д8теt}'tСОS(hк'L
 ер). (8-18)
Поэтому удовлетворимся пока общим характером временной зави

симости для составляющей уrла
8, определяемой (8
17). Частота
колебаний уrла h}( отличается от частоты h соrласно (8
16),
которая имеет l\1eCTO при пренебрежении активными сопротивле-
ниями обмоток ротора машины; теперь она зависит еще от коэффи-
циента Md' Кроме Toro, под влиянием указанных сопротивлений
амплитуда колебаний изменяется по закону экспоненты, а не
остается неизменной, как это было получено в Э 8
2 и принято
В настоящем анализе. Комплексный метод определения прираще

НИЙ переменных, изменяющихся rармонически с частотой h, ПО3

валяет, как это отмечалось выше, заменять знак дифференцирова

Ния р" на jh. Нетрудно проверить, что при комплексном представ
лении функции вида (8
 17) знак Pt должен быть заменен множите

JIej\1 jh K +
. Поэтому, cTporo rоворя, коэффициенты Ms и Md для
реальной зависимости
в =:; f (т) соrласно (8
17) следует опреде

Лять по (8
12)
 (8
15), в которых вместо Xd (jh) и X q (jh) нужно
подставлять Xd (jh x +
) и x q (jhJ{, +
). Более Toro, если коэффи

Цненты Ms и Md вычислять указанным способом, то при изменении
уrла
8 в соответствии с (8
17) коэффициентом синхронизирую

щеrо момента, как показывает формальный анализ, становится
189




величина Ms


Md' тоrда как коэффициентом демпферноrо мо"
мента по..прежнему остается Mdo Однако для мощных машин h K
 h,
а коэффициенты синхронизирующеrо и демпферноrо моментов
можно вычислять, полаrая
 == О. Как правило, поrрешность при
этом не превосходит 5 % .
В зависимости 01 знака коэффициента
 уrол
8, как это сле..
дует из (8..17), будет иметь либо убывающую (
 < О), либо нара..
стающую (
> О) амплитуду. Но, судя по соотношению (8..16),
характер изменения амплитуды уrла определяется в конечном
счете знаком коэффициента деl'лпферноrо MO
1eHTa: положительный
d()


D


"'\
I \
1 \
I \
/ \
I \
I \
I
I
I








Е:
Q:)
'с1


I
/
I
I
\ I
\ I
\ I
\.1


h 1( "t'


Рис. 8
3. Развитие колебательноrо процесса во времени


Md указывает на затухание колебаний, отрицательный Md rOBo"
рит об увеличении амплитуды колебаниЙ. На рис. 8..3 построены
rрафики д.8 === f (hKL) при Md > О (сплошная кривая) и Md < О
(штриховая кривая), рассчитанные по (8..17) для J
 I === 0,04.
На рис. 8..4 приведена зависимость L\М эм === f (д.8) соrласно
(8..11). Прямая 1
3 представляет собой синхронизирующий мо"
мент, пропорциональный уrлу д.8. Очевидно, что TaHreHc уrла
наклона этой прямой к оси абсцисс характеризует коэффициент
синхронизирующеrо момента Ms. Демпферный
10l\leHT выражается
ординатами, заключенными между кривой 1
2
3
4 и прямой
1
3. При незатухающих rаРlVI0нических колебаниях максимумы
уrла д.8 и ero производной сдвинуты на четверть периода колеба-
ний. Поэтому в точках 1 и 3 на рис. 8
4, а, соответствующих мак-
симуму уrла д.8 == д.8 m , рт;д.8 == О и демпферный момент равен
нулю. В аналоrичных точках на рис. 8..4, б, относящемся к случаю
затухающих колебаний (
 < О), р'tд.8 === О, но д.8 =1= д.8 т е(3't, так
как амплитуды уrла д.8 и производной р'tд.8 сдвинуты во времени
более чем на четверть периода колебаний. В точках 1 и 3 д.Л1 ЭМ
представляет собой только синхронизирующий момент, а в точкаХ
2 и 4 (д.8 === О)
 только демпферный. На рис. 8..4 положитель-"
190




ному значеНИIО уrла
8т соответствует
мэм > о; следовательно,
считается, что Ms > О. Знак Md определяет направление движе-
ния по характеристике ДМ JМ == f (L\8) при изменении уrла. Так,
если Md > о, то при увеличении уrла L\8, коrда pr:L\8 > О (окрест-
ность точки 2 на рис. 8
4), демпферный момент положителен и
дМ эм откладывается на rрафике над прямой 1
3 (участок кривой
1
2
3). При уменьшении
8, коrда p1:
8 < О (окрестность
точки 4), демпферный момент отрицателен и ДМ эм определяется
кривой 3
4
1 (или 1'). Поэтому при Md > О движение по кривой
1
2
3
4 будет происходить по часовой стрелке. Аналоrично,


а)


4/1 эм


2


--A(}тl О
I
I
I
1


б)



l1эн


J


Рис. 8
4. Изменение электромаrнитноrо момента, обусловленное
колебаниями в машине: а
 при
 == о; б
 при
 < о


если Md < о, движение по кривой совершается
.против вращения
часовой стрелки.
Отметим, что обычно максимум демпферноrо момента Состав-
ляет не более 7
10% от максимума синхронизирующеrо момента,
поэтому петля 1
2
3
4 на рис. 8-4 в действительности более
узка, чем это изображено.
Уrловая характеристика машины М ЭМ ==rf (8) для рассматри

BaeMoro переходноrо процесса имеет сложный вид. Действительно,
при внезапном изменении механическоrо момента до значения .Мо
уrол 80, соответствующий равенству Мо == М эм О, В начале про

цесса практически определяется по уrловой характеристике, pac

считываемой из условия 'в == О или Ed == const (см. рис. 8
1).
Вместе с тем в 1IОВО1\1 установившемся режиме моменту Мо будет
Соответствовать друrое значение уrла 80, так как М ЭМ о должен
определяться в этом случае по статической уrловой характеристике
(Е о == const). Это изменение уrла 80 отражается апериодической
Составляющей yr ла L\ 8, которая представлена в (8
 18) первым сла

raeMbIM. Рассматривая незатухающие rармонические колебания
Около среднеrо уrла 80, определяемоrо статической уrловой ха-
Рактеристикой, получим зависимость М ЭМ == f (8) наложением на
nос.тоянный момент М эмо дополнительноrо момента L\М эм , обус

JIОВленноrо колебаниями (рис. 8
5). На этом рисунке кривая 1
191




представляет собой статическую уrловую характеристику, а кри

вая 2
 мвисимость М ЭМ =-= f (8) при rармонических колебаниях.
Начало координат О на рис. 8
4, а помещено на рис. 8
5 в точку
с координатами М ЭМО , 80'


8..4. КОЭФФИЦИЕНТЫ СИНХРОНИЗИРУЮЩЕrо И ДЕМП

ФЕРноrо МОМЕНТОВ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ. Из об

щих выражений (8
12)
(8
15) следует, что коэффициенты M
 и Md
зависят от вида комплексных сопротивлений Xd (jh); X q (jh), т. е.
от Toro, какие контуры имеет машина
на роторе. Отметим, что коэффициент
синхронизирующеrо момента содержит
так называеl\1УЮ о с н о в н у ю с o

с т а в л я ю Щ у ю Mso, которая не за..
висит от вида роторных контуров и фи

зически определяет момент ДМ эм , коrда
изменение уrла
8 происходит бесконечно
lVlедленно. В этом случае h ----+ О и, сле..
довательно, Xd (jh) ----+ Xd И x q (jh) ----+ Xq,
а потому М sд ----+ О И hMd
 О. По смыслу
составляющая Mso должна быть равна
производной ОТ электромаrнитноrо мо-
О мента по уrлу 8, взятой при Ео == const,
т. е. пропорциональна TaHreHCY уrла на-
Рис. 8
5. Уrловая xapaK
 клона касательной к Сlпатuческой уzловой
теристика машины при характеристике М ЭМ == t (8) при 8 == 80.
устойчивых колебаниях Нетрудно убедиться, что формально най..
денная производная совпадает с (8
 13).
Для машины без демпферной обмотки соrласно выражению
(2-122) комплексные сопротивления равны:
"h 2
( " h ' J XaBd ( . h)
Xd J ) == Xd
 + 'h ; X q J == Xqe
'в J Х В
Сопротивление Xd (jh) нетрудно выразить через обычно исполь-
зуемые параметры в виде
. jhT dO (Xd
X
)
X d (Jh) === Xd
 1 + jhT do '
rде T dO == xB/r B , а Xd == Xd
 X
Bd/XB'
Подставив значения сопротивлений Xd (jh) И X q (jh) в выраже

ния (8-14) и (8-15), после несложных преобразований получим
Ms
 === и 2 sin 2 80 (


 ) h2T/ '2 ;
Xd Xd 1 + h т d
М и 2' 2 е ( 1 1 ) T

d === Sln о


 2 ''2 '
X d Xd 1 + h т d
rде Td == Т dOXd/ Xd.


Н ЭН


МЭНО


+40т


00


(8
 19)


( 8- 2 О)


192




При hTd > 4+5, что характерно для мощных машин, значение
М sд соrласно (8
19) :мало отличается от вычисленноrо при Td == 00
(r u === О). Поэтому для таких машин практически
М sд == и 2 sin 2 80 ( J,

 )
X d Xd


и


,
L
 Е dO U 2 ( 1 1 )
М s == ./1.150 I М sд
 , cos 80
 и ...........,.-

 cos 280,
X d X d Х Ч
I


что совпадает с производной по уrлу от электромаrнитноrо мо-
мента, определяемой при постоянстве э. д. с. за продольным пере-
ходным сопротивлением (E do === const). Такой же результат был
получен в выражении (8-5).
Если на роторе машины кроме обмотки возбуждения имеется
демпферная обмотка, но только по поперечной оси, то сопротивле-
ние X q (jh) имеет вид, аналоrичный Xd (jh), при наличии по про-
дольной оси одной обмотки возбуждения. В это:м случае соrласно
выражениям (8
14) и (8..15) к уже найденным значениям М sд и Md
добавятся члены, пропорциональные cos 2 80 и имеющие такое же
строение, как найденные в (8-19) и (8-20), т. е. коэффициенты М sд
и Md будут равны:
2 '2
М
 и 2'2 8( 1 1 ) hTd +
sд
 Sln о


 2 '2
X d Xd 1 + h т d
( 1 1 ) h 2 т"2
+U 2 cos 2 8 0



 i "п ; (8-21)
х Xq 1 -+.. h т k
q I q
,
М
 и 2 . 2 8 ( 1 1 ) Т d
d
 Sln о ....,.....

 2 '2 +
\ Xd Xd 1 + h т d

I
 и2 cos 2 во (


 ) Ti "2 ' (8-22)
.. Х q Xq 1 + h т q ..


rде T
 == ТэqХ
/Хq и Т эq
 постоянные времени поперечноrо демп

ферноrо контура.
При наличии демпферной обмотки по обеим осям выражение
для сопротивления Xd (jh) получается более rромоздким, чем в pac

смотренном выше случае, и ПОЭТОl\1У выражения для Ms и Md здесь
Не при водятся. Их можно найти, например, в работе [48].
Удобным является расчет коэффициентов М sд и Md С помощью
схемы замещения синхронной машины [56].
vIллюстрациями характера изменения коэффициента синхро"
низирующеrо и демпферноrо моментов в зависимости от наrрузки
машины служат рис. 8
6 и 8
 7. На рис. 8
6 представлена зависи-
мость основной (Mso) и добавочной (М sд ) составляющих коэффи-


7 А. И. Важнов


198




циента синхронизирующеrо момента от среднеrо значения уrла 80'
Кривые построены по БыражеНИЯlVl (8
13), (8..19), (8..21) для Ma

шины, имеющей слеДУlощие параметры: Xd::::::: 1,0; X q ::::::: 0,6;
Xd ::::::: 0,3; X
 ::::::: 0,25; Td ::::::: 1 с; T
 ::::::: 0,5 с. Кривая:1 на рис. 8..6
изображает М sд для машины без демпферной обмотки (X
::::::: X q ),
кривая 2 соответствует случаю, коrда на роторе имеется, кроме
обмотки возбуждения, еще поперечный демпферный контур. На
рис. 8..7 представлена зависимость коэффициента демпферноrо MO

мента Md от уrла 80 для машины с теми же параметрами, рассчи

танная по (8
20) Ii (8..22). Из рисунка видно, что при отсутствии на


Рис. 8
6. Зависимость
коэффициента синхро

низирующеrо MOMeH

та от уrла наrрузки


Рис. 8
 7. Зависимость коэффи

циента демпфер Horo момента от
уrла наrрузки


роторе машины демпферной обмотки (кривая 1) коэффициент Md ==
::::::: О при 80 === О и сравнительно мал при небольших значениях уrла
80' Напротив, наличие поперечной демпферной обмотки обуслов

ливает высокие значения Md (кривая 2) в области обычных уrлов
80' При расчете M
o возбуждение машины принималось одинако",
вым при различных уrлах 80 (Ео === 1,0). Относительная частота
колебаний h принималась постоянной и равной 0,03. Напряжение
шин и равно единице.
Коэффициенты Ms и Md являются не только функциями уrла
наrрузки 80' но зависят от частоты колебаний h, которая, в свою
очередь, определяется через коэффициент синхронизирующеrо
момента. Поэтому при нахо)кдении частоты h величина Ms рассчи...
тывается при некотором задаваеi\'lОМ значении h, а затем расчеты
последовательно корректируются. Можно поступить и так: по..
строить в функции h rрафики М,; === H j h 2 И l\Л s === f (h) по (8
12) и
(8
I4); точка их пересечения определит значения Ms и h.
Необходимо еще раз ОТ!\.1етить, что выражения коэффициентов
синхронизирующеrо и демпферноrо моментов (8..12)
(8..15) по

лучены в предполо)кении равенства нулю активноrо сопротивле-
ния обмотки статора '. В отдельных случаях БJIИЯ иие этоrо со..
194




противления может оказаться существенным, особенно на демп

ферный момент машины.
При учете сопротивления r в коэффициентах синхронизирую

щеrо и деr-лпферноrо rvl0rvleHToB появляются дополнительные co

ставляющие ДМ s и ДМ d . Аналитические выражения для них
даны в работах [5, 31 1. Оrраничимся здесь иллюстрацией xapaK

тера изменения ДМ s и
Md в зависимости от уrла наrрузки 80
(рис. 8..8) дЛЯ СIIНХРОННОЙ машины без демпферной обrvIОТКИ со еле..
I дующиrvlИ параметрами: Xd == 1,0; x q == 0,6; Xd == 0,3; T d == 1 с; r ==
== 0,02. При расчете rрафиков принято:
 ,и == 1,0; h == 0,03.
Сравнение кривых рис. 8..8
с cootbeTCTBYI-ОЩИМИ кривыми
рис. 8..6 и 8.. 7 показывает, во..
первых, что при не слишком
больших СОПDотивлениях об..
J.
l\.10ТКИ статора r дополнитель..
ная состаВJ1яющая
 М s мало
изменяет полный коэффициент
Ms и, BO
BTOpЫX, что для Ma

шины без демпферной обмотки
в зоне небольших уrлов 80 за
счет дополнительной составля

ющей ДМ d коэффициент демп

ферноrо момента может стать
отрицатеЛЬНЬПr1.
Дем:пферная обмотка, име..
ющая поперечные контуры, соз..
дает большие положительные Рис. 8
8. Дополнительные составля

демпферные M01'v1eHTbI, превос" ющие коэффициентов синхронизиру"
ходящие обычно отрицатель
 ющеrо и демпферноrо моментов
ные моменты, обусловленные Сплошные кривые соответствуют Ео :::::
б ::::: 1,0; штриховые
 Ео == 1,5
активным сопротивлением о

мотки статора.
Аналитическое выражение для
Md показывает, что увеличе-
нию отрицательноrо коэффициента демпферноrо момента способ

ствует увеличение активноrо сопротивления обмотки статора r
и возбуждения
лашины (Ео). Из рис. 8..8 видно, что при pa

боте машины в двиrательном режиме получаются большие отри..
цательные значения коэффициента ДЛ1 d , нежели в режиме reHe..
ратора.
При принятом rармоническом характере изменения уrла
8 во
времени коэффициенты СИНХРОНИЗИРУlощеrо и демпферноrо MO

!vIeHToB l\10rYT быть определены и в случае реrулируе:моrо возбужде

Ния машины (l1и Б =+ о). СоотвеТСТВУlощие общие выражения для
i\1 s и Md можно найти в работе [5]. В связи с этим заметим, что
неправильный выбор коэффициентов реrулирования возбуждения
Машины мо)кет явиться причиной образования отрицательных
коэффициентов деl'.1пферноrо момента даже при r == О.
7* 195


А Hs;dMd


0,3


0)2
Двuеитель . 0,1


..




8
5. С
IНХРОННАЯ МАШvlliЛ IIP
I ПУЛЬСIIРУЮЩЕМ МЕХЛ
IИЧЕ

СКОМ MOMEtITE. I1YCTb момент механических сил на валу машины представ

ляет собой СУММУ постоянной составля!ощеЙ Л1 0 и ряда rармоник IIорядка v (v ==
=-
 1; 2; 3 ...), так что


м == Мо +
 А1,'т cos (vhB't + fPv)'
'v


( 8-23)


т. е. выражается Заданной периодической функцией времени с периодом, равным
l/h B . Подобный характер механическоrо момента встречается, например, в KOM

прессорных установках, работающих с синхронными двиrателями.
Не рассматривая переходноrо процесса, вызванноrо приложением к валу
машины указанноrо механическоrо момента, обратимся к режиму установив

шихся колебаний. Очевидно, что под влиянием периодически изменяющеrося
механическоrо момента ротор машины будет совершать вынужденные периоди

ческие колебания относительно системы координат, вращающейся с синхронной
частотоЙ. Следовательно, такие же колебания будут испытывать уrол е, а вместе
с ним токи, электромаrнитныЙ момент и мощность машины.
Определим пу.пьсации электромаrнитноrо момента и токов статора при задан

ном механическом MOMeHTe
 вида 1 (8
23). Будем считать, что колебания имеют
оrраниченную веЛIIЧИНУ и для них справедлива линеЙная постановка задачи,
примененная в
 8
3. Напомним, что в этом случае изменение электромаrнитноrо
момента
МЭМ' обусловленное изменением уrла
e, линейно относительно изме

нений продольных и поперечных токов и потокосцеплений статора, а последние
пропорциональпы
e.
Периодически изменяющиЙся уrол
e представим рядом Фурье:

e ==

ev ===

evm cos (vhB't +
y).
'\' V


Очевидно, что рядами Фурье выра}КaIОТСЯ потокосцепления
'Фd,
'Фq, токи

id,
iq и, следовательно, электромаrнитный момент

МЭМ ===

Мэмv,
v


Поэтому уравнение моментов
М
 М ЭМ === Н jPLS == Н jP

e


распадается на самостоятельные 'уравнения:
Мо
 М ЭМО === о;
н jP
 L
ev +

Мэмv === L M vm COS (vh B l' + Cj)v)
v v v


(8
24 )


или


н jP

ev +
МЭМV === М,,'m cos ('\'h B 't + CPv)' v === 1; 2; 3 ...


(8
25)


Поскольку
ey и
МЭМV представляют собой временные rарl\lОНИКИ v
r()
порядка, можно использовать комплексное представление переменных, а TaI{}KC
полученный в
 8-3 результат Д.ня ДМ ЭМ ' Определяя по
пре)кнему комплексные
переменные так, чтобы их вещественная часть была равна MrHoBeHHoMY значению
переменной, и выражая измснение электромаrнитноrо Jчомента суммой синхрони

зирующеrо и демпферноrо моментов, будем иметь
Л е .
 Л е j (V:IB't+
V)

 Л е е jVJIB't.
ay
ay

ay
'



МЭМV == (Ms + jvhBMd) Д8 у ,
" Л е е А Q eibv
r}1,e комплексная амплитуда v
и rармоники уrла Ll vm === ilVvm .


196




Заменим в уравнении моментов (8
25) MfHoBeHHbIe значения функций COOTBeT

.. . ( h )
ствующими 1<0:\Iплексными величинами
ev;
мэмv; Mvme J v в 't+<Pv. Деля
jV 1 , 1" 2 · 2 ·
затем уравнение на Hje в и учитывая, что P't
ev ==
('\'hB)
ev' получим
· iч> /
[h 2
 ('\'h B )2
 j2
vl!B]
Bvт =--
 Mvme v H j' (8
26)
Здесь, как и в (8
16), обозначено:

 == Л1d/(2Нj); h == V М5/ Hj'
В
 8
4 было показано, что коэффициенты М s и Md зависят от частоты коле

баний; поэтому в рассматриваемой задаче они должны рассчитываться для ча

стоты vh B . Параметр h представляет собой частоту собственных колебаний Ma

шины, но с оrоворкой относительно определения коэффициента Ms, зависящеrо
от частоты ВЫНУЖДСННЫХ (vh B ), а не собственных (h) колебаний.
Представив левую часть (8-26) комплексной величиной в показательной
форме, найдем из сравнения левой и правой частей уравнения:

e"m == ky L\8"mo; (8
27)
r
 +
 2
vhB

"
 {р" arctg h 2 [1
 (vh B /h)2] ,


(8 -28)


rде


Д8 vто == Mvт/M so ;


ky == 1\1 S0
Ms V[l
 (vh B /h)2]2 + (2
vhB/h2)2 ·


Уrол
8vtnO имеет простое физическое толкование: он представляет собоЙ
изменение утла наrрузки под влиянием момента на валу Mvm в статических усло

виях, т. е. в соответствии с уrловоЙ характеристикой для установившихея режи

мов. Действительно, в этих условиях демпферный момент отсутствует и изменение
элеКТрОl\lаrнитноrо момента определяется только синхронизирующим моментом;
при этом коэффициент Л1 s становится равным основной ero составляющей М so.
Тоrда из равенства электромаrнитноrо и !\iеханическоrо моментов следует приве

денное выше выра)кение для L\8 vmo . Коэффициент ky характеризует увеличение
уrла за счет динамики процесса. В частности он указывает на возможное значи

тельное увеличение амплитуды ко.пебания уrла наrрузки при vh B == h. Это

известное состояние резонанса, возникающее при равенстве частот собственных
и вынужденных колебаний. При отсутствии демпфирующеrо действия обмоток
ротора (
== О) коэффициент ky в условиях резонанса становится бесконечно
болыпим.
На рис. 8-9 показана зависимость коэффициента kyiVI sl М so от безразмерноrо
параl\IIетра vhB/h при различном демпфировании колебаний (
/h).
У!так, по формула
1 (8
27) и (8
28) для заданных M vm и ер" рассчитываются
амплитуда и нача.пьная фаза v
й rармоники уrла
8,,; суммируя rармоники, пб

лучаем уrол
8. Средний yro.7J 80 находим из (8
24). По известным значениям L\8 v
определяем rармоники электромаrнитноrо момента:
L\М эмv ==- Re (L\Л1 Jмv ) === Ms Re (L\8".) -
 vhBMd IП1 (дё v ) == 1'\15 Л8 v + MdPL
8y,


СУЫl\ПIРУЯ которые, IIолучаем
M эм

 f ('т).
Схема опреЛ,е.n:ения токов статора такова.
1. rармоники продольноrо и поперечноrо токов якоря на основании (8
8)

(8
 1 О):


Д' R
. ) R
,pdv U в R
ё"

d" === е ( t([v == е xd (jvh B ) ==
 sin о е xd (jvh B ) ,


· Д
qv R дё"

iqv == Re (
tqv) === Re == и cos во е (/ h ) ·
Xq (jvh з ) x q v в
197




2. l-'Iзменения продольноrо и IIоперечноrо токов якоря:


l1id ==
 l1idv;
v


l1iq ==
 l1iqv'
v


3. Ilродольный И поперечный токи якоря:


id === ido + l1id; iq == i qo + l1i q ,


I'де токи ido и i qo рассчитываются по формулам установившеrося режима для
среднеrо уrла наrрузки 80'
4. Фазные токи якоря определяются по формулам линейноrо пrсобразова-
ния для найдснных токов id и iq.


J
ky l1 s/ i1 so


1


I


2


о


0,5


1,5


v l! б /12


Рис. 8
9. Зависимость коэффициента усиления колебаний
от соотношения частот собственных и вынужденных коле-
баниЙ


Пример. Приводной синхронный двиrатель компрессора имеет номиналь-
ные данные: SH == 4650 кВ. А; COS СРН == 0,9 (ре:ж:им перевозбуждения); Ин ==
== 6 кВ; nl == 125 об/мин; мощность на валу 4000 кВт. Параметры двиrателя:
Xd == 0,92; x q == 0,58; xd == 0,26; X
 == 0,18; Td == 200 рад; т; == 3 рад; Hj ==
=== 2300 рад (при наличии на валу маховика с GD2 == 540 т, м 2 и собственном GD2 -==
== 260 т, м 2 ). Параметры номинальноrо ре,кима (принимаем в двиrательном
рех{име механический момент II уrол наrрузки положительными): и == 1,0;
J == 1,0; Ео == 1,6; 80 == 230; амплитуды rармоник механическоrо момента j\11m ==
== 0,29; М 2т ==- 0,29; М Зп1 == 0,16; М 4т == 0,42 при Л1 0 == 0,9 и h B
 0,042.
Оrраничимся расчетом амплитуд уrлов д8 vm .
Основная составляющая коэффициента син
rонизирующеrо момента по
(8-13)


1,6 _ ( 1 - 1 )
Mso == 0,92 '0,92 + 0,58
 0,92 0,69 == 2,.04.
198




Для v == 1 дополнительная СОСТflВЛЯIОlцая коэффициента СИНХРОIIизирующеrо
момента по (8
21)

 2 (

 1 ) (0,042.200)2
М SД
 0,39 0,26 0,92 1 + (0,042.200)2 +
+ 0,922 ( 0,\8
 0,
8 )


(0,042.3)2
1 + (0,042.3)2 == 0,46;


коэффициент демпферноrо момента по (8
22)


2 ( 1 1 ) 200
Md ::=; 0,39 , 0,26
 0,92 1
I--- (0,042.200) 2 +
+ 0,922 ( 0,\8
 0,
8 )


з
2
 10,8.
1
t-- (0,04 .3)2


Полный коэффициент синхронизирующеrо момента по (8
 12)


Ms ::=; 2,04 + 0,46 == 2,5.


Частота собственных колебаний


h ::=: V Ms/ 11 j == V 2,5/2300. == 0,033.
Параметр
2
/IL == Md/(Hjh) == 10,8 : (2300.0,033) == 0)142. Коэффициент
в (8
27)
k == 2,04 == 1,27.
у 2,5 V[1
 (0,042 : 0,033)2]2 + {О, 142.0,042 : 0,033)2
Уrлы по (8
27):

elтo
М1тjМ sо ===0,29: 2,04
0,142 рад (8,1°);
elm == 1,27.8,1
 10,3°.


Аналоrично определяются и друrие rаРМОllИКИ. Результаты расчета для
четырех rармоник сведены в таблицу, в которой приведены также данные для
компрессорной установки с Hj::=; 1680 рад при облеrченном маховике, имеющем
GD2 == 320 т, м 2 .


Таблица


н j == 2300 рад Н j == 1680 рад
v Ms Md
6v !пО'
6v т'
6v т'
о ky ky
. . . h h
о о
. . . . . .
r
1 2,5 10,8 8,1 0,033 1,27 10,3 0,038 2,94 24
2 2,51 9,4 8,0 . 0,033 0,147 1,2 jO,038 0,22 1,8
3 2,58 8,б 4,5 0,033 0,058 0,3 0,039 0,084 0,4
4 3,10 7,9 12 0,037 0,034 0,4 0,043 0,046 0,6


Выполненные расчеты показывают, что высшие rармоники момента механи-
ческих сил, даже значительные по величине: обусловливают малые изменения
уrла наrрузки машины. РеШaIощее значение с этой точки зрения имеет соотно-
шение частот собственных и ВЫнужденных колебаний. В paccMoTpeHHOТ\I примере
уменьшение инерционной постоянной arperaTa ПрИБОДИТ к недопустимым J(оле

баниям уrла е за счет первой rармоники.


199




8..6. КОЭФФИЦИЕНТЫ СИНХРОНИЗI/IРУЮЩЕrо и ДЕМП

ФЕРноrо N\OMEHTOB МАIIIИНЫ С ТРЕХФАЗНОЙ ОБ

МОТКОЙ НА СИММЕТРИЧНОМ РОТОРЕ. Электромаrнит-
ный момент синхронной машины двойноrо питания cor ласно (2-79)
или (2
84)


1 се · 1 * ·
м эМ ===
 1т (ese o ) :=:: ....., 1т (ФsФ,),
Xd X d


rде аналоrично обозначениям для синхронной машины принято
(JcXd == Xd, хотя при симметричной обмотке ротора индекс, обо

значающий продольную ось d, у параметров является IIЗ"ТIИШНИМ.
На основе приведенноrо выражения можно в общем виде полу-
чить ИЗJ\lIенение электромаrнитноrо момента dM jM , обусловленное
малыми колебаниями в машине. Выберем вторую форму записи
М ЭМ ' Пренебреrая произведением малых изменений потокосцеп

. *
лений
ф,
Фs' будем иметь
1 * · · *
L\М эм === .....,. 1т (Фsо L\ф, + ф,о L\фs). (8
29)
Xd


Здесь и далее индексом О отмечаются постоянные величины, отно"
сительно которых происходит изменение соответствующих пара..
lVleTpoB режима.
. *
Малые изменения
Фr И
Фs необходимо определить из диффе

ренциальных уравнений напряжений обмоток машины (2-82) и
(2
83). Оrраничимся случаем, коrда обмотка статора машины вклю

.
чена в сеть бесконечной мощности и, следовательно, L\u s === О,
а влияние активноrо сопротивления этой обl\10ТКИ незначительно.
Полаrая 's === О, получим из (2-82) и (2-83) уравнения для малых
изменений величин:


(Pt

 j) L\
s == о;
(p-r;


 р;
 jso) L\
r
 P;Jlc L\фs === Pr L\u r + j
rO L\s.


( 8
30)
(8
31 )


Из (8
30) следует, что L\фs == О, так как начальное значение
этой переменной равно нулю. Для определения L\ф, из (8
31) необ

ходимо сначала найти изменение напряжения ротора L\u, веин..
хронно вращающихся осях. Напомним с этой целью, что взаимное
. .
положение комплексных напряжений u s и и, было определено
(см.
 3-1) уrлом ее + л/2, так что
il r и, j(В с +л/2)



e .
·
 U S
И S


Принимая, как и раньше, t.l, === Ив, получим комплексное на..
пряжение ротора


Й , == и ,e i (B
 +31/2).
200




Поскольку при колебаниях машины и, == const, то
· · · · ( i 6.е ) . ·
Ди , ::::.:: [[,
 llro === и,о е с
 1
 I и,о LlO c '


rде


й О === и e i (8со +3"(/2).
, ,


Уrол
8c, от KOToporo зависит
Й,' и скольжение
S в (8..31)
взаимосвязаны. Образование уrла
ec при неизменных частотах
11 и {2 обусловлено лишь изменением частоты вращения ротора
Дш, так что


Pt
8c ===
ш или
U)/(Ul ===
s == p-r Д8 с .
Последнее соотношение можно установить и формально, со по..
ставляя отношение Ur/U S по данным
 2..3 с приведенным выше.
Подставив в (8
31) полученные выражения для
и, И дs,
.
а также
'Ps == О, получим дифференциальное уравнение относи..
тельно
1Pr И Д8 с :
. ..
(Р,; + Р;
 jSO) L\ф, == j (PrU,O + 1jJrOP-с) Д8 с .


Очевидно, что установившимся rармоническим колебаниям
уrла L\8 c с заданной частотой h отвечает аналоrичная временная
зависимость
ф,. Поэтому если применить, как это делалось ранее,
комплексные переменные во времени, то символ дифференцирова"
ния p't становится множителем jh. Однако в приведенном уравне..
.
нии уже фиrурирует просmрансmвеННQЯ комплексная величина L\ф,.
Для Toro чтобы избежать смешения BpeMeHHbIX и пространствен..
ных комплексных величин, оставим пока уравнение без изменения,
но будем считать в Hel\1 Рт простым алrебраическим множителем,
имея в виду известную временную зависимость
'ф,. Тоrда
А "i"! -== .. fJrU,o + P't,p,o
L\ 'У, J '. .
Р-с + Р r
 J 50


(8-32)


. Теперь остается выразить постоянную комплексную величину
'Р,о через напряжения обмоток. Из уравнений (2..82) и (2..83) для
установившеrося режима (p-r: == О) при 's == О следует
"i,
 u ro + jU sfLc/ ас
'YrO
 р, '. .
 · (8
33)
Р,
 J 5 0


. *
Момент L\М эм при 's == О, коrда L\фs == L\фs == О, соrласно
(
..29) равен


U s ·

МЭМ ===

 Re (L\ф,),
X d


поскольку в установившемся режиме ФsО == jU s == jU s '
201




Итак, подставив (8..33) в (8..32) и выделив вещественную часть
у


r' найдеl\1 момент L1М ЭМ : он будет пропорционален
ec. в об..
щем виде


ДМ эм === f (р,) d8 c ,


rде f (рт;)
 некоторая функция Рт;, 8 со , 50'
Вводя временные комплексные величины вместо мrиовениых
значений перемепных, будем иметь



МЭМ == f (jh)
8c.


По аналоrии с установившимися rармоническими колебаниями
u
синхронном машины


. .

МЭМ == (Ms + jTtM d )
8c.


Следовательно, коэффициенты синхронизирующеrо и демпфер..
Horo моментов синхронной машины двойноrо питания опреде"
ляются выражениями:
Ms === Re [, Uh)]; Md === + 1т [f (jh)].


Приведем для них rOToBble фОр
v1улы:


Ms === Mso
!
 M
д;


(8..34 )


М U sU, cos Осо

o sin 8 с () .

o === ,
Xd 1 + t,2 .
....а


(8..35)


/ 1 1 ) х? (1
 3

 + х 2 ) .
М sд == и; (


 x


\ Х d d F (;0" х) ,


(8..36)


2 ( 1 1 ) , 1 + х 2 (1 -+ ;
)



Md==U s .......,

 Td
x d Xd F (;0' х)


(8-37)


rде
a == So/p; == 5 0 T d; х == hT d ; Td == l/р;
 постоянная времени
обмотки ротора при короткозамкнутой обмотке статора (см.
 3-4);
F (
a, х) == (1 +

) [(1 +


 )(2)2 + 4х 2 ].
Основная составляющая коэффициента синхронизирующеrо
момента Mso, как и в обычной синхронной машине (см.
 8-4),
представляет собой Ms при h === О и является производной по
уrлу ее от той составляющей электромаrнитноrо момента в усло..
виях установившеrося режима, которая обусловлена совместным
действием напряжений U s и и, [первое слаrаемое в (3..12)].
202




Коэффициенты Ms и Md зависят от С1{ОJ!ьжения So 13 усrановИЙ

шемся режиме и при 80 == О совпадают со значениями для
:обычной
синхронной машины, имеющей на роторе одну симметричную по
осям d и q обмотку.
На рис. 8
lO показана зависимость от параметра
a == SoTd
относительноrо значения коэффициента Mso, выраженноrо в долях
этоrо коэффициента при 50 == О. На рис. 8
 11 представлена анало

rичная зависимость для относительноrо значения коэффициента


0,8


0,8


'Об
,


0,4


O,'t
0,2
О


02
,


о


I
1\ 2
 J

й
'" 8c
 =JO°
Всо=ЧS О .


-- 0,2


Рис. 8
 1 О. Относительное зна

чение основной составляющей
коэффициента синхронизиру

ющеrо момента машины ДВОЙ

Horo питания


Рис. 8
 11. Относительное значе

ние дополнительной составля

ющей коэффициента синхрони

зирующеrо момента машины
двойноrо питания


М sд , выраженноrо в ДОЛЯХ этоrо коэффициента при 80 == о. По
этим рисункам видно, что начиная с некоторых скольжений 80
коэффициент Ms становится отрицательным. Это rоворит о том, что
при нарушении режима м ашины двойноrо питания колебательный
режим с частотой h == }/ MsIHj не возникнет. Кс тати, М sд обра-:
Щается в нуль соrласно (8
36) при
ao == + 0,58 V 1 + х,2. Для Ma

ШИН небольшой мощности (х
 0,5)
ao
 + 0,6 и практически
Не зависит от х; для машин большой l'vl0ЩНОСТИ (х
 2,5)
ao


 + 0,58% или 50
 + 0,58h.
На рис. 8
12 приведена зависимость от параметра
a относи.
тельноrо значения М{!, выраженноrо в ДОЛЯХ этоrо же коэфф и-
циента пр и 80 == О. Соrласно (8
37) Md < О при
 Vl + х,2 >
> Sa >
/ 1 + х 2 . Следовательно, Md становится отрицательным
в машинах небольшой мощности практически при
l/Td > 80 >
> l/T d , а в машинах большой мощности
 при
h > 80 > h.
Напомним, что отрицательный коэффициент Md означает HapaCTa

ине амплитуды колебаний БО времени.
203




Весь предыдущий анализ колебаний рассматриваемоrо типа
машин был произведен при 's ::=: О. Коэффициенты синхронизи

т рующеrо и деrvfпферноrо моментов
1,5 /1d/ lf d(So==O)



 машины двойноrо питания с уче

том активноrо сопротивления об

1.0 мотки статора рассмотрены в рабо

те t 7].
0.5 Коэффициенты синхронизирую

щеrо и демпферноrо моментов для
асинхронной машины с KOpOTKO

замкнутым ротором можно было бы
получить из приведенных выражений
для машины двойноrо питания, по

лаrая в них и, === О. Однако из
за
значительноrо коэффициента затуха

ния
 в асинхронных машинах коэф

Рис. 8-12. Относительное 3Ha
 фициенты Ms и Md' определенные
чение коэффициента демпфер
 б ( R О)
Horo момента машины двойноrо таким о разом при fJ

 ,сущест

питания венно отличались бы от истинных
(при
 =i
 О). Например, поrрешность
в частоте колебаний h, рассчитанной по коэффициенту Ms, най

денному при
 == О, достиrает для двиrателеи небольшой rУ10Щ

ности (единицы киловатт) 20
25%.


J112]
5)@J'
 9 Jl@


Динамические свойства машин
при малых возмущениях режима


9..1. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕ

НИЯХ УСТАНОВИВШЕrося РЕЖИМА. При малых ИЗlVIе

нениях «внешних сил», определяющих режим работы машины:
момента механической силы на валу или напряжений на зажимах
обмоток, возникающий переходный процесс описывается .пинеари

зованными дифференциальными уравнениями машины. Решение
этих уравнений будет определять истинное значение всех перемен

ных, пока последние остаются достаточно малыми.
Представим каждую переlVlенную Yi в виде суммы постоянноrо
ее значения YiO, соответствующеrо установнвшемуся реЖИlVIУ, и
отклонения I1Yi в течение переходноrо процесса:
Yi == YiO + I1Yi' (9
1)
204




Заl'ЛСIIJIВ n нслинейных уравнениях все перемеНIIые указанными
суммами, исключим соотношения, удовлеТВОРЯlощие установив..
шеlVlУСЯ реЖИl\lУ, и пренебрежем произведениями малых отклоне..
ний I1Yi и степенями I1Yi, начиная со второй. В результате полу"
чим линеаризованные уравнения машины
 линейные уравнения
с постоянными коэффициентаl\1И. В зависимости от характера ис..
следуемой задачи основой получения линеаризованных уравнений
может служить либо полная, либо прибл
женная система исходных
уравнений машины. Так, при определении движения ротора ма..
шины после малоrо возмущения режима можно использовать при..
бли}кенные уравнения напряжениЙ обмотки статора машины, не
1, учитывающие свободных потокосцеплений .
Синхронная машина. Указанные уравнения для маIlIИНЫ без
демпферной обмотки получаются из системы (2.. 70)
(2.. 73), если
первые два уравнения в ней заменить на (3..22) и положить Ч'с == О.
Тоrда будем иметь

Ud ==== и siп е ==== tpq; U q -== и cos u ==== Чid;
рвав =-= (Р-с + p
) Фв
 P
ll1Pd;
М ==== Hjpi8 + [фqФв/Хd
 (l/xd
 l/xd) ФdФ q ].


3аl'летим, что приведенная система уравнений достаточно точна,
если переходный процесс возникает при отсутствии коммутации
в цепи статора, коrда чУ с === О. Пренебрежение свободным потоко..
сцеплениеlVI статора при 'Ус =!= О исключает, как это следует из (3..33),
эффект воздействия быстро изменяющеrося электромаrнитноrо
момента М ЗМ -с на дви}кение ротора машины.
После заlVIены в исходной системе уравнений всех переменных
суммаlVIИ вида (9..1) и выполнения указанных выше операций, по..
лучим линеаризованные уравнения:


ди siп 80 === д фq
 и cos 80 Д8;
8и cos 80 ==== 8'1'([ + и sin 80 88;
Рв 8и в == (р-с + p
) 8фв
 Р
1-18Ф(I;
8М ==== Hjp

e
 Л
l7фqО
Ч'd
 (Л
qФdО
 'PBO/X
)
фq +
+ (ФqО/ X
) IJ.фв' J


)


}


(9..2)
...


Если в качестве установившеrося режима, характеризуемоrо
постоянными '1'(10, 'Ч'qО, ФвО' 80, выбрать исходный режим до воз..
мущения, то начальные значения искомых переменных i\-Фd, i\
'q,
8-Фr1' !J.8 будут равны нулю. Однако можно рассr..1атривать вели..
чины ФdО, 'фqо, Фт о, 80 относящимися К HOBorvry установившемуся
режиму после окончания переходноrо процесса, если такой режим
возможен. В этом случае при постоянных значениях ди, 8и в ,
ДМ линеаризованная система уравнений становится однородной
(левые части уравнений равны нулю), но искомые переменные ПрlI
205




l' === о не равныI нулю. Действительно, для указанных УСЛОВИЙ
«внешние силы» В переходном процессе постоянны, и поскольку
они cooTBeTcTBYIOT HOBOl\1Y установившемуся режиму, то их при

ращения в линеаризованных уравнениях должны отсутствовать,
что и делает уравнения однородными. Вместе с Tel\1 из (9
 1) при
't === О следует, что начальное значение любой искомой переменной
(ДуJо отлично от нуля и равно разности значений Yi в исходном И
новом установившихся ре)}{ИJYlах.
Однородную систему (9
2) l\10ЖНО переписать и в друrом виде,
подставив
'Фd и
фq из первых двух уравнениЙ В остальные. Имея
в виду, что ФdО === и cos 80; фqо == U sin 80; Фво
 E do (э. д. с. за
продольным переходным сопротивлением), получим
(Pt + р
)8фв + Р
l-tU sin 8088 == о; }
(и sin OO/Xd) д.1/Jв + M
 д.О + Hjpi д.о о==: о, (9
3)
rде м; === EdoU cos eOIXd
 U2 Лdq cos 280
 коэффициент син

хронизирующеrо момента, вычисленный при Ed == E do == const
(см.
 8
4).
Решение однородных линейных уравнений с постоянными
коэффициентаJ\ilИ представляет собой CYMl\IY экспоненциальных
функций:


п

1 Р 't
8Yi === "-J Aike k ,
k==l


(9..4)


rде Aik
 произвольная постоянная, а Pk
 один из корнеЙ ха..
рактеристическоrо уравнения п
й степени.
Для системы (9
3) характеристическое уравнение есть прираБ

ненный нулю ее определитель:
р + P
 P
llU sin 80
U sin eO/Xd M
 + Hjp2 === о.
Раскрывая определитель по степеня:м р и деля уравнение на Hj'
получим


3 + 2! ; О (9 5)
пор а 1 р т а-.:.р I аз == ,

rде а о == 1; аl == p
; а2 == М;I Hj; аз == р
Л1s01 H j ; M
o === Л1



 I-tU 2 sin 2 8 0 lxd
 коэффициент синхронизпрующеI'О момента,
вычисляемый по статической уrловой характеристике, т. е. при
Ео == const [см. выражение (8
13)].
В предеЛЬНОl\1 случае, коrда p
 === О, один корень уравнения
(9
5) равен нулю, два друrие
 rУ1нимые:
Pl == о; Р2, з == + j t/ M;IH j .
Обычно параметр p
 мал. Поэтоl'ЛУ при p
 =f
 О следует ожидать
малоrо изменения полученных корней:
Рl === а; Р2,3 == В + jh.
206




Поскольку коэффициенты аl и а 2 одноrо порядка и не менее чем
на два порядка l\leHblUe коэффициента ао, то с достаточной точностыо
корень рl определяется из уравнения
a 2 Pl + аз === О,
откуда Рl === а


азlа2 ===

p;Mso/ М;.
Соrласно теореме Виета, дающей связь между корнями урав-
нения и ero коэффициентами, имеем
Pl +
 Р2

 Рз ==
 + 2(3 ===
al ===
p
;
РIР2РЗ === а (
2 + h 2 ) ==
аз ==
p
Mso!Hj'


1)0


....


.0,8


0,6


0,4


. 0,2


о


10


20


40


50


60


700 fJ IJ


Рис. 9
 1. Относительные значения апериодическоЙ
и rармонической составляющих уrла наrрузки
при малом возмущении режима синхронной машины
1
 А 1 /
eo; 2
 А 2 /
eo


Из этих уравнений находим
р


O,5 (аl
 аз/а2) ==
O,5p
 (1
 Mso/ M
); h
 V а 2 === V M
/Hj'
Таким образом, изменение любоЙ переменной, например уrла 8,
равно




8
== A 1 e(X't + (А2 cos h't
+ Аз sin h't) е(31:,


(9..6)


rде A i
 ПРОIIзвольные постоянные.
При 't


 О имеем
e ==
eo; (P't
O)o =:
 О И (pi
e)o



 t!/vl/H j


Mso
e/Hj' Используя
начальные условия для:
уравнения (9..6) и ero первой и второй производных, получим
Al -=== (1
 Mso/ M
) t!Oo; А 2 == (Mso/ M
) L180;
Аз ===
 [3
Mso/(M
h)]
eo.
Соотношение отдельных составляющих в (9
6), как видим, зави

СИТ от Mso/M
. На рис. 9
l приведены rрафИКII Al,2/
eo в функци

уrла наrрузки 00: сплошные кривые относятся к явнополюснои
207




машине
(xdlxd == 2,5; XdlXq:=::: 1,5; EolU === 1,5), штриховые

к неявнополюсной (Xd/Xd === 5; Xd === X q ; Ео! и ==:: 2). Составляю

щая Аз!
80 при p
/h
 0,2 мала Ба всем рабочем диапазоне уrлов
80' Кривые 2 одновременно выражают относительный параметр
{j










Q:>


о


2


"


5


8


10 fв' 'r


Рис. 9
2. Уrол наrрузки в переходном процессе СИН-
хронной машины при небольших во
1
 без демпферной обмотки; 2
 с демпферной обмоткой



cx/p
. Рис. 9..1 показывает, что в переходном процессе при неболь-
ших уrлах 80 изменение уrла наrрузки происходит в основном
в виде колебаний; при значительных 80
 апериодически. Это
иллюстрируется рис. 9-2 и 9..3, на которых показан уrол наrрузки
8 синхронноrо reHepaTopa, работающеrо параллельно с сетью бес-
fJ







;:,. I

I
I
I




о 2 'f б д fr/T
Рис. 9
3. Уrол наrрузки в переходном процессе син

хронноЙ машины при значительных 00


конечной мощности, во время перехода к новому установившемуся
режиму. Штриховыми линиями 'На рисунках представлены слабо
выраженные составляющие уrла
8, который рассчитывался по
(9-6) с помощью данных рис. 9..1 при p
/h == 0,2.
Отметим, что постоянная времени затухания апериодических
составляющих БО всех переменных, например в
'фн, равна
l/a
206




и практически совпадает с постоянной обмотки ротора Td == l/p

только в области сравнительно небольших уrлов 80- При больших
yr лах 80 она может в несколько раз превосходить постоянную Td.
Начиная с HeKoToporo значения 80 коэффициент затухания а ста..
новится отрицательным (кривые 2 на рис. 9..1 пересекают ось абс..
цисс). При таких уrлах наrрузки переходный процесс сопровож"
дается монотонным увеличением
80'
В rл. 3 приведена приближенная система уравнений (3..35)

(3..37) синхронной машины с демпферной обмоткой. Если ее лине..
аризовать и учитывать в моменте только медленно изменяющуюся
составляющую (3..32), то при отсутствии демпферной обмотки
(D d == Dq == О) однородные уравнения полностью совпадут с (9..3),
так как в принятой здесь системе относительных единиц Ed == 'фв.
Поэтому для машины с демпферной обмоткой (Dd =1= о; Dq =1= О)
в (9..3) изменится лишь второе уравнение (уравнение моментов),
которое примет вид
(и sin 8 0 /Xd) f1Ed

 (M
 + DOPt + Hjpi) f18 === О,
rде Do === Dd sin 2 80 + Dq cos 2 80, а Dd и Dq определены в (3..33).
Нетрудно проверить, что для машины с демпферной обмоткой
характеристическое уравнение остается в виде (9..5) с коэффи"
циентами:
ао === 1; аl == p
 + Do/Hj; а2 == (м; + p
Do)/Hj; аз == p
i\IIso/Hj'
Таким образом, наличие демпферной обмотки привdдит к неко"
торому изменению коэффициентов йl и й2 характеристическоrо
уравнения, и ero корни теперь определяются величинами:
ct

р
Л1s0IМ;; Р ==
O,5 [p
 (1
 Mso/ M
) + DoIHj];
h == V(M;/H J )
 0,25 (Do/Hj)2,
так как обычно p
Do « M
.
Сопоставляя а,
 и h с полученными ранее значениями, l\10ЖНО
заключить, что демпферная обмотка не имеет никакоrо отношения
к коэффициенту затухания а апериодических составляющих пере..'"
менных, мало влияет на частоту колебаний h, но весьма сущест..
венно увеличивает коэффициент затухания р периодических со..
ставляющих переменных (см. кривую 2 на рис. 9..2,построенную
для Dol Hj == 1 ,5p
).
Асинхронная маUJина с короткозамкнутым ротором. Прибли..
женная система уравнений для рассматриваемых машин отли"
чается от точной (7..8)
(7..10) только первым уравнением, которое
при пренебрежении активным сопротивлениеl\1 обмотки статора и
свободным потокосцеплением с этой обмоткой принимает вид


. .

Us == jфs.


(9..7)


Это уравнение при отсутствии КОl\1мутации в цепи статора доста..
точно точно.


2О9




Рассматривая, как и ранее, отклонения переменных Б переход

ном процессе относительно величин HOBoro установившеrося pe

жима (если таковой возмо)кен) и считая изменение «внешних сил»
(u s ' М) постоянным, получим линеаризованные уравнения OДHO

родными:


. . * ,
(р" + р; + jSy) L\Фr + jЧ'rу Д-s == о; U s 1т (j L\Фr) + xdHjPr: д-s == О.
Параметры установившеrося режима отмечены индексом «у».
В последнем уравнении учтено, что соrласно (9-7)
L1фs === О и фsу == ju s == jU s .
Заменяя уравнение с комплексными переменными двумя Бе

щественными уравнениями, будем окончательно иметь
(Рт. + р;) L1 'l'ar
 Sy L1 'l'Br
 'l't3ry д-s == о;
Sy L1 Фаr + (Pr: +. Р;) L1 'I'
, + фаrу дs == о;
U s Дlpаr + XdHjPt L1s == О,
rде индексами а и
 обозначены соответственно вещественная и
мнимая части комплексных переменных L\
r и
ry' .
Потокосцепление ротора в установившемся режиме 'Ч'rу опре

деляется по (2
83), rде нужно положить и , == о; pt == о; Фs == jU s
и ИЗl\lенить знак у скольжения. В результате получаеl'Л
11,
 f.tc U s
(J' · f.tc U S · t / '
'j'ary
 1 +

' 'фtJrу == 1 +

'
a == Sy Pr.


Характеристическое уравнение системы аналоrично (9-5)
с коэффициентами:
ао == 1; аl === 2р;; а2 == У)с + р;2 + s;; аз:=::: llc (р;2
 s
)/p;,


f.t c U ;
rде Ylc == (1 + ;
) xdH. ·
/ ,
Корни характеристическоrо уравнения при Sy == О и Sy == р,
имеют точное выражение, а для скольжений О < Sy < р;
 при

ближенное. Они определяются формулами:
Рl == сх:=:::
P; (1

a); Р2,з ===
 .: jh;
 ==
O,5p; (1 +
a);


'2 2
V l1с

 2р, Sy
11 == 'il
 + 2s

 0,25р;2(1 +
a)2;
a == 2
.
'rJ c + 2s y Р,
Таким образом, любая из определяемых переменных, в част

ности дs, имеет общее выражение, аналоrичное (9
6):
Лs == A 1e <X't + (А2 cos h't + Аз sin h't) eB't. (9
8)
210




Пусть переходный процесс вызван из:менением .момента меХа"
нической силы на валу, которыЙ становится равным Му' Тоrда Ha

чальное ускорение cor ласно уравнению моментов равно
(Рт: Д5)0 ==
 (л,1 эм . нч
 М ЭМ . у)/Н j,
т. е. ПРОПОРЦIIонально разности элеКТРОl'.1аrнитных моментов в ис

ходном (.iV1 эм . нч) и HOBOiVf (М эм . у) установившихся режимах,
так как М ЭМ . у -== Му' При оrраниченном ИЗl\lенении скольже

ния


М ЭМ . НЧ
 М ЭМ . У == k ДSО,
[де ДSО == Sнч
 Sy
 начальное значение
S;
2 ' ''> 2
k === dМ эм == J.tc U sPr Pr....
 Sy .
ds x
 (p
2 + s
)2
Окончательно (pr: Lls)o ==
 (k/ H j ) Lls o '
Для определения произвольных постоянных в (9
8) необходимо
еще знать начальное значение ускорения (pi
s)o, которое соrласно
линеаризованному уравнению моментов пропорционально
(РТ L1-Фаr)О' 11:0 очевидно, что в первый момент времени потокосцеп

ление ротора сохраняется постоянным и (р-с
-Фаr)О == О. Следо

вательно, (pi L1s)o == о.


1
м.

SO


2


h'L'


о


5


10


/5 рад


Рис. 9
4. СКОЛЬ2кение в переходном процессе асин

ХрОIIНОЙ машины при нсбольшом Sy
1
 при х === 1; 2
 при х == 2


Используя начальные условия для уравнения (9
8), а также для
ero первоЙ и второЙ производных, вычисли:rvl произвольные по

стоянные А i' Общее их выражение для интервала скольжений
О < Sy < Р; достаточно rро:моздко. Поэтому приведем приближен

ные значения постоянных для скольжений sY' не превосходящих
номинальноrо 5 и :

А 1
 о; А 2
 Лs о ; Аз

 (fL/p;) дsо ===
x Дsо.
При 50

 Р; имеем Al

so; А2 ---+ о; Аз

 О.


/


211




"!'аким образом, изменение сколыкения в переходпом процессе
при Sy
 SH носит колебательный характер, при Sy ----+ р;
 апе

риодический, экспоненциальный. На рис. 9
4 даны rрафики для
1

s/Дsо== (sнч
s)/(sнч
 Sy), построенные по (9
8) при Sy
StI'
Параметр % == 1 характерен для машин небольшой НОlVIиналь

ной мощности (единицы киловатт); х == 2 соответствует машинам
большой мощности (тысячи киловатт). Обращает на себя внимание
интенсивное затухание колебаний: даже в машинах большой l\10Щ

ности переходный процесс сводится практически к ДВУlVI колеба

ниям скольжения. Частота колебаний в двиrателях с номиналь-
ной мощностыо порядка единиц киловатт достиrает 15 rц; десят

ков киловатт

 8
10 rц; тысяч киловатт
 2,5
3 rц.
Отметим, что Sy == р; представляет собой сколь}кение, при KO

тором асинхронная машина развивает в установивше
1СЯ режиме
максимальный электромаrнитный момент. Приведенные данные
rоворят о том, что переходный процесс при скольжениях, близких
к указанному, характеризуется экспоненциальным изменениеl\1
переменных. Например, в этих условиях
А А а" А а"
o.S
 lе
 o.soe ·


При этом коэффициент затухания а
 О при Sy ----+ р;. Если раз

ность Sy
 р; сколь уrодно мала, но положительна, то
a > 1,
а > О и
S начнет неоrраниченно возрастать.
Выполненный анализ позволяет сделать общее заключение о xa

рактере переходных процессов как в синхронных, так и в асин

хронных машинах. В реЖluиах с электрома2ниmными момента,А;tи,
значительно меньшими ,А;lаКСИЛlаЛЬН020, возникаЮtций переходный
процесс имеет колебательный характер. КО2да в уста1-l0вuвшемся
режuме Аtолtент БЛllЗОК к максимальному, параметры возмущеННО20
реЖUАlа изменяюtпся во вре.Аtени монотонно, экспоненциально.


9..2. СТА 1'ИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. ОБЩИЙ МЕТОД.
В предыдущем параrрафе было дано аналитическое определение
переходноrо процесса в машинах, возникающеrо при малых воз

lVlущениях установившеrося режима. Можно поставить и более
оrраниченную задачу: не рассчитывая caMoro процесса, определить
ero общий характер, тенденцию ero развития. Для этоrо ДOCTa

точно считать, что ВОЗl\lущение режима сколь уrодно мало. [Iepe

ходный процесс при этом может развиваться двоя ко: либо он за

канчивается переходом к новому установившемуся режиму с па

раметрами, близкими к параметрам исходноrо режима, либо такой
переход невозможен. В связи с этим вводят понятие с т а т и ч e

с к о й у с т о й ч и в о с т и режима и rоворят, что в первом СЛУ

чае исходный режим статически устойчив, во втором
 стати

чески неустойчив. При статической устойчивости возмущения
достаточно малы, поэтому устойчивость или неустоЙчивость Ma

шины однозначно определяется параметрами исходноrо режима.
Реlпение указанноЙ оrраниченноЙ задачи имеет БОЛЫlIое практиче

212




ское значение, так как позволяет определить, возможен ли вооБLце
в данных условиях длительный установившийся режим или
неизбежные при эксплуатации сколь уrодно малые изменения
«внешних сил» приведут к ero существенному нарушению. Во.
просы статической устойчивости синхронных машин, работающих
в системе переменноrо тока, иrрают весьма важную роль в оценке
свойств машины и системы в целом, а иноrда они становятся опре.
деляющими.
Завершением большоrо историческоrо этапа в развитии теории
устойчивости явилась ставшая классической работа академика
А. М. Ляпунова «Общая задача об устойчивости движения».
В этой работе Ляпунов прежде Bcero cTporo доказал, что устойчи.
вость движения в малом (статическая устойчивость), описываемоrо
системой нелинейных дифференциальных уравнений, в подавля

ющем числе случаев определяется устойчивостью соответствующей
линеаризованной системы, т. е. по первому приближению. ИНЬПvlИ
словами, для определения статической устойчивости вместо рас.
сматриваемых нелинейных дифференциальных уравнении доста.
точно исследовать эти уравнения в линеаризованном виде.
Сущность линеаризации уравнении была изложена в преды.
дущем параrрафе. Там ОТl\1ечалось также, что любая переl'.1енная
д.Уi, ЯВЛЯlощаяся решением линейных уравнений с постоянными
коэффициентами, имеет вид (9..4).
Движение устойчиво, если переменные ДУi будут оставаться
во времени сколь уrодно малыми, а это ВОЗlYIОЖНО, если все вещест.
венные корни и вещественные части комплексных корней будут
отрицательными (<<левые» корни на комплексной плоскости). В этом
случае соrласно (9
4) при т
 ею переменные ДУi
 О. Если
хотя бы один вещественный корень или вещественная часть ком.
плексноrо корня положительны (<<правые» корни на КОl\1плексной
плоскости), то при т
 00 переlYlенные ДУi
 ею, И дви}кение
становится неустойчивым.
Итак, для исследования статиttеской устойчивости некоей си..
стемы, опиСblваемой 1iеЛИ1iейНblА1,И дифференциаЛЬНblМИ . уравне..
нuями, нео6ходИJvLО последние лuнеаризовать, составить по нuм...
характеристическое уравнение и исследовать С20 корни. J!словиеht
сп1атичеСКОLl устойчивОСtпи является отсутствие «правых»
корней. Для проверки указанноrо условия нет нужды определять
самые корни, а достаточно исследовать их знаки. Существуют ме.
тоды, которые позволяют установить отсутствие «правых» корней,
не производя их вычисления. Одним из них является l\1етод, пред"
ложенный А. rурвицем и основанный на том, что при определен..
ных соотношениях между коэффициентами алrебраическоrо урав..
нения все ero корни будут «левыми». Как показал rурвиц, для
этоrо необходимо и достаточно, чтобы определители, составлен..
ные специальным способом из коэффицпентов уравнения, так на..
зываемые о п р е Д е JI и т е л и r у р в и Ц а, были положи..
тельны.


213


/




IIycTb имеется уравнение п
й степени
n + n
1 + n--2 + '
аор a1P й2Р · · · + ап === U,
в котором а о > О.
Определители rурвица порядка п составляются следующим
образом. Определитель n
ro порядка
п заполняется коэффициен

тами уравнения так, что по ero диаrонали сверху вниз, слева Ha

право размещаются подряд коэффициенты с йl по а п . В строках
определителя слева от диаrонаJIИ записываются коэффициенты
с увеличивающейся нумерацией, а справа от нее
 с уменьшаю

щейся. За коэффициентами с предельной нуrvIерациеЙ а о и а п CBO

бодные места в строках заполняются НУЛЯlVIИ. T'aKHl\f образом,
определитель rурвица п
ro порядка и
деет вид
а 1 а о О О
О


аз а 2 аl
fj,,! === а 5 а 4 аз
О О


aп
2


о f1 n
Последующие определители получаются из предыдущих за

черкиванием крайнеrо правоrо столбца и нижней строки. Послед

ний определитель д'1 == а 1 .
Таким образом, условием отсутствия «правых» корней является
выполнение неравенств
д'n >0;
п
l>O; ...; L\1 :>0,
называеlVIЫХ к р и т е р и я м и r у р в и Ц а.
Отметим, что поскольку
n === а п Д,п
l И L\п

l > О, то крите

рий
п > О заменяется неравеНСТБОМ а п > О. Так, если имеется
уравнение третьей степени
аорЗ + a1P2

 а'1.Р + аз === О,
то критериями rурвица будут
аз '> о; аl а 2
 а о а з > о; аl

 О.
РаСС1\10ТРИl'vI простейший ПРИ1'Iер исследования статическоЙ
устойчивости по изложенной методике
 устойчивости нереrули..
руемой синхронной машины без де.м:пферной обмотки. Часть необ

ходимых операций была выполнена в предыдущем: параrрафе,
в результате чеrо найдено характеристическое уравнение (9
5).
Рассl'ЛОТРИМ теперь критерии rурвица. Последний из них
а 1 == p
 > о выполняется всеrда. Второй критерий также
выполняется, так как alQ2
 аоа з == p
 (M

 Mso)/H j ==
== р
l-tU2 sin 2 80/(HjXd) > О для любоrо уrла наrРУЗI{И 80'
Первый критерий аз > О удовлетворяется не для всех режимов.
Поэтому он и определяет зону статической устойчивости машинЫ.
214




Предельный уrол ОП, при котором машина находится на rранице
устойчивости, определяется, следовательно, из условия аз === О
или


Mso == (и EO/Xd) cos 8 п + и 2 (l/x q
 l/xd):cos 20 п === O.


При О > 8 п (Mso < О или аз < О) режим машины статически
неустойчив. Характер возникающей при этом неустойчивости
MOl-I{НО установить, обращаясь к выражению (9
6). Коrда Mso < О,
коэффициент а > О и уrол наrрузки Иl\lеют тенденцию к
MOHOTOH-
ному И неоrраниченному !
увеличению. При этом !!Д

вблизи а == О скорость 1,5 tJ
ero изменения р,;
O


 аАlе(Х'; Becb1vla мала.
Такой тип неустойчивости
называют с п о л з a

[ ]
O
н и е м 21. rраница
устойчивости этоrо рода
имеет простой физический
Сl'лысл: она отвечает Ta

кому значению уrла е == 0]5
=== ОП, при котором стати

ческое приращение MO

мента
МЗl'.i' вызванное
изменениеl'Л уrла
8, paB

о
но нулю и, следовательно,
статическоrо равновесия
моментов М +
M и М ЭМ
при новом значении yr ла Рис. 9
5. Статические уrловые характери..
80 +
 О не наступает. стики явнополюсной синхронной машины
Иными словами, сползание
появляется в том случае, коrда производная момента М ЭМ по уrлу
(по статической уrловой характеристике) обращается в нуль. Эта
производная и равна основной :составляющей коэффициента син
 .

хронизирующеrо момента Mso.
На рис. 9
5 приведены статические уrловые характеристики
ЯВНОПОЛIОСНОЙ синхронной машины, имеющей Xd/ X q == 1 ,5. Штри

ховая кривая, проходящая через максимумы хар.актеристик, rде
Mso == dМ эм /d8 == О, определяет совокупность значений ОП при
различных возбуждениях l\1ашины (Ео).
Для неявнополюсной машины при r === О уrол 8п === 900 неза...
висимо от значения Ео.
Исследование статической устойчивости машины с учетом ак'"
тивноrо сопротивления статора по полным дифференциальным
уравнениям показывает, что в уrле
O появляется rармоническая
составляющая с частотой, практически равной частоте сети [21].
Физически это объясняется действием знакопеременноrо электро

маrнитноrо момента основной частоты, не учитываемоrо при r === О.


30


I
J

.


215




С математической точки зрения учет сопротивления r и переход

Horo процесса в цепях статора приводит к тому, что степень xapaK

теристическоrо уравнения системы увеличивается на две единицы

получается уравнение пятой степени. При этом будет добавляться
пара сопряженных комплексных корней, что и обусловливает по

явление в уrле
8 дополнительноrо колебания основной частоты.
Это колебание оказывается всеrда затухающим, поскольку апе

риодические переходные токи в обl\1I0тке статора будут под влия

нием r затухать до нуля. Нетрудно представить, что ввиду большой
механической инерции ротора !\lашины указанные колебания
должны иметь ничтожно малую амплитуду.
При r =f= О может возникнуть еще один вид неустойчивости

с а м о р а с к а ч и в а н и е, характеризуеl\10е увеличением
амплитуды колебательной составляющей в
8 (см.
 8
3 и 8
4).
Для асинхронной машины с короткозамкнутым ротором xapaK

теристическое уравнение совпадает с уравнением (9
5), получен

ным для синхронной Jvlашины. Предоставляе!\1 читателю возмож

ность самому произвести необходимые выкладки и убедиться, что
определяющим устойчивость критерием rурвица является Hepa

венство Sy < р;. В предыдущем параrрафе был показан характер
возникающей при Sy > р; неустойчивости.


9..3. СТАТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ. .Д.НАЛИЗ КОЭФФИ

ЦИЕНТОВ СИНХРОНИЗИРУЮЩЕrо И ДЕМПФЕРноrо
МОМЕНТОВ. При сколь уrодно малых возмущениях YCTaHO

вившеrося режима отклонения переrvlенных определяются линей

ными дифференциальными уравнениями и представляют собой
экспоненциальные функции времени вида (9
4). Отклонение
электромаrнитноrо момента ДЛ1 эм в линеаризованном уравнении
моментов

M

Мэм === HJP

8 (9-9)
также имеет вид (9
4), поскольку
МЭ'J линейно ОТНОСIIтельно
приращений токов и потокосцеплений. Поэтому каждой составляю

щей в
8 соответствует аналоrичная составляющая в
Мэм' Иными
словами, при определении ДМ эм правомерно ПРИl\1енение принципа
наложения: функция ДМ ЭМ === t (т) есть совокупность частных зна

чений, соответствующих отдельным составляющим уrла наrрузки
d8.
Комплексным корням характеристическоrо уравнения вида
р ==
 + jh отвечает rармоническое колебание частоты h с экспо

ненциально изменяющейся амплитудой, пропорциональной e t1 't.
В
 8
3 отмечалось, что при такой временной зависимости уrла
8
момент



мэм === Ms (
) d8 + Md (
) Р,;
8,


а в комплексном представлении

МЭМ === [Ms (
) + ({3 + jll) Md (В)]
f),
216




rде коэффициенты синхронизирующеrо и демпферноrо моментов
Ms (
) и Md (
) определяются с учетом
 =1= О.
Из однородноrо уравнения моментов в КОl\1плексной форме


[H j (
 + jl't)2 + Ms (
) + ((3 + jh) Л1 d (
)] i1ё === о
2р ===
M{l (
)/ Н 1; h 2 ::=:: [M s (
) + PM{l (
)]/ Hj


2.
Вблизи rраницы устойчивости по самораскачиванию (
 весьма
мало)
Ms(f)
Ms; M(l(P)
NI(l,
т. е. коэффициенты СИНХРОНИЗИРУlощеrо и демпферноrо моментов
опредеЛЯIОТСЯ, как при
 == о (при устойчивых rармонических
колебаниях с неизменной aM
 2
плитудой) . Следовательно, знак р'(48
коэффициента
, от KOToporo б)


найдем


p
lt{)
а)
D


о


9


')
L


Рис. 9-6. Изменение монотонной составл'S{ющей ускорения машины:
а
 при Mso > о; 6
 прИ- Mso < О



 зависит, устойчив (
< О) или неустойчив (
> О) режим, опре-
деляется знаком коэффициента демпферноrо l'II0l\1eHTa Md' Условие
Md > О при любых значениях частоты является условием отсут"
ствия самораскачивания.
Второй возможный тип корней характеристическоrо уравне..
ния машины
 это вещественный корень р === а. Вблизи rраницы
устойчивости по сползанию (а весьма мало) скорость изменения
составляющей уrла i18, определяемой корнем а, р,;
8 ,......., ae rп
весьма мала. При этом изменение момента
M-:1M определяется ста..
тической yr ловой характеристикой и равно
llМ эм === Mso
8.
Монотонное изменение уrла
8 во вреrvlени означает и моно..
тонное изменение ускорения машины pi
8 r-...., a 2 e a 't. Из (9..9)

 ускорение
pi де == (
M
 MsO Д8)/Н j .
· По ЭТО
1У выражеНИIО на рис. 9
6 построены rрафики Mso
e ==
== f (8) (штриховая линия) и pi L\8 == f (8). Возмущение исход..
Horo режима при 8 == 8 нч происходит под действием положитель..
Horo (1) или отрицательноrо (2) механическоrо момента
M. От
217




CBoero начальноrо значения ускорение I р'4;
в I в зависимости от
знака Mso либо монотонно уменьшается с изменением уrла
f) (Mso > О), либо увеЛIIчивается (M
o < О). В первом случае
исходный режим устойчив, во втором
 неустойчив.
Итак, условиями устойчивости являются неравенства:
./\-1 50
> о; М(l > О.
Устойчивость или неустойчивость режима определяются по
знакам коэффициентов синхронизирующеrо момента при h==O
и демпферноrо момента при любых значениях h (практически эmо
частота собственных колебаниЙ u частота сети). Приведенные


пс


.<-
()


и


Рис. 9
7. Принципиальная схема реrулирования
возБУ1Кдения синхронноrо reHepaTopa


условия устойчивости формально есть не что иное, как частотный
критерий на основе амплитудно..фазовой моментной характери..
стики машины. Эти условия являются выражением Toro, что именно
электромаrнитный момент, действующий на ротор машины, опре..
деляет характер движения ero в переходно:м процессе. Поэтому
друrие возмо)кные вещественные корни характеристическоrо урав..
нения машины, помимо корня, определяющеrо явление сползания
ротора, должны быть обязательно отрицательными.
9-4. СТАТИЧЕСК

Я УСТОЙЧИВОСТЬ РЕrУЛИРУЕМОЙ МАШИНЫ. Не..
прерывное автоматическое реrулирование возБУ1Кдения машины позволяет не
только поддерживать неизменными определенные качественные показатели
режима (напряжение на заЖИ
llах [енератора, требуемый коэффициент мощности
двиrателя и т. п.). Оно дает также возможность расширить зону устойчивой
работы машины. Ilринципиальная схема реrулирования возбуждения синхрон

IIoro reHepaTopa представлена на рис. 9
 7. [енератор cr работает через линию
передачи ЛЭП на приеыную систему пс. На вход измерительноrо элемента pery..
лятора ИЭ подается напряжение, пропорциональное одному из параметров
режима
 току 1, напря)кению статора U r , уrлу наrрузки е. На измерительный
элемент реrулятора может воздействовать также комбинация указанных величин
или их производных. В измерительном элементе реrулятора производится cpaBIIe

вие измеряемой величины с некоторым эталонным значением ее, и поэтому на
выходе этоrо элемента появляется напряжение, как только измеряемая реrуля

тором величина начинает изменяться. Маломощный импульс на выходе 11 Э
усиливается, и с помощью СIIловоrо элемента сэ производится соответствующее
воздействие на возбудитель В СИlIхронноrо reHepaTopa.
Применение реrуляторов без зоны нечувствительности, работающих, сколь бы
малым ни было отклонение измеряемоrо параметра, позволяет расширить область


218




статической устойчивости машины, т. е. увеличить значения предельных yrJIOB 9 п ,
соотвеТСТВУЮIДИХ rранице устойчивости. Деиствите.пьно, при отсутствии pery-
JIнрования коэффициент Л1 80 , опредеЛЯЮIЦИЙ rраницу устойчивости) вычисляется
при постоянстве э. Д. с. Ео (тока возбу}кдения). Напrимер, для неЯВIIОПОЛЮСНОЙ
машины
lVlso == dМ эм /d8 === (UEo/Xd) COS 80'
При наличии указанноrо реrулирования э. д. с. Ео является функцией уrла е
и изменяется, сколь бы М3.710 ни отклонился уrол от IIeKoToporo фиксированноrо
значения. Поэтому в данных условиях
и ( дЕо . f) 8 )
Mso === Xd
 SIn u + Ео cos о .


М ЭI1


1


а'
\
\ ,
\ Еа:: '
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\


2


о


30




50


80


120


1500


a-



Рис. 9-8. Уrловые характеристики неявнополюсной
синхронной ыашины


'-


,
xd/Xd == 2,5; напряжение приемной системы и === 1


..


}
Очевидно, что во втором случае l\tl su обращается в нуль при больших уrлах 8 п ,
чем в первом, если дЕ о /д8 > О. Дополнительные значения уrлов 8, при которых
машинз оказывается статически устойчивой за счет автоматическоrо реrулиро

вания возбуждения, обр азуют так называемую о б л а с т ь и с !{ У с с т в е H

н о Й у с т о й ч и в о с т и.
Допустим, что реrулирование позволяет при возмущениях режима обеспе

чить постоянство Э. Д. с. за переходным сопротивлением (Ed == const). На рис. 9
8
ПОl{ззаны уrловые характеристики неявнополюсной машины (r === О) при различ

ных значениях э. д. с. Ео (сплошные линии) и постоянной Ed (штриховая линия).
Из рисунка видно, что 1\lаксимальный электромаrнитный момент (и COOTBeT

ственно М sO == О) при Ed == const (точка а) достиrается при значительно большем
уrле 80' нежели в условиях постоянства э. Д. с. Ео (точка Ь). Если при предпола

raeMoM реrулировании (Ed == const) не наступит самораскачивания машины,
ТО она сможет устойчиво работать до 8 п
 115°, тоrда как при Ео == const уrол
21
_




оп == 900. Зона yr лоu 90

 115() в ЭТОМ СJIучае и составит область искусственной
устойчивости. .
Наличие у реrУJIЯТОРОВ хотя бы небольшоЙ зоны нечувствительности приводит
в области искусственной устойчивости к непрерывным колебаниям ротора, а сле

дователыI,, тока и мощности reHepaTopa, что делает невозмо)кной работу машины
в этой зоне yr лов е. /
Рассмотрим условия статической устойчивости синхронноrо reHepaTopa
без демпферноЙ обмотки, включевноrо по схеме рис. 9
7. Будем считать, что
имеет место безынерционное реrулирование, т. с. что изменение напряжения pe

rулируемоrо возбудителя происходит без запаздывания по ОТЕошению к величине,
подаваемой на вход реrулятора, а сам реrулятор не И;'vlеет зоны нечувствитель



ko


2,5


2,0


I
I
= !11


 11 9" 00
О 30 80 90 120 150 180 о
Рис. 9
9. Предельные значения КО-
эффициента реrулирования


КО'


6


5 O;Jt т 8 =о,Вс
4 ls=O,t5c \'
T


 /
:l/(o",uN /К IJ нин
L. То=О '\ .3

iтттmптrmnтtrтrl i"Тii',"i\.
1 1\1'1'1

11111 1\\
11 ' !1i1 \ Во
1

1!.ш.


"t....
..L




О ,'11 ,1'1 0 ".f П I'! ....f']., -/"/','" 41 0 J
.:J и .' и /!Ц t:' П i L Ц I \", II i
!.


Рис. 9-10. Предельные значения
коэффициента реrулирования с
учетом инерции возбудителя
насти. Пусть реrулирование производится, например, по уrлу 8 и ero производ

ной. При сделанных допущ ниях изменение напряжения возбудителя
Див == (.1l e + k
P1J де,
rде k e и k e
 коэффициенты реrулирования. Тоrда линеаризованная система на
основе приближенных уравнений машины будет отличаться от (9
3) лишь первым
уравнением напряжений цепи возбуждения. В ero правой части, соrласно третьему
уравнению в (9-2), теперь появится член Рв Див, и оно примет окончательныЙ вид
(Р-С + p
) d'P B + (p

U sin 80
 PBk e
 PBk
p1:) L\8 == О.
Характеристическое уравнение получается в виде (9
5) со следующими
коэффициентами:


а о
 1; a 1 == P
; а 2 == (M
 + PB/1?
U sin 8 o /Xd)/Hj;
аз == p
 (Mso
1
 keU sin 8 o /xd)/ Hj.


Рассмотрим критерии rурвица. Неравенство аl > О выполняется всеrда.
Второе и третье условия:
а 1 а 2
 аоа з == (p
/ H j ) [М:
 Mso + (p
k

 ke) U sin 8 0 /xd] > о;
аз == (p
/ н j ) (м so + keU sin 80/ Х d) > О.


Последнее условие опреде"lяет мини:vrальное значение коэффициента k8 мин:
ke МИН >
 MsoXd/ (и sin 80)'
220




Второе условие urраничиваст Ilf:j сверху, и маКСИМ8JII)1I0 возмо)кный коэффи-
циент, равный


k e М8ке -:;;;; и (Xd/ x

 1) sin 80 -1
 p
k
,



ависит не только от режима (уrла 80), но и от значения коэффициента реrулиро.
вания k e .
На рис. 9
9 представлены зависимости ke макс и ko мин от уrла наrрузки
 е о .
Расчет коэффициентов производился при U == 1; xdl xd == 2,5, а коэффициента
ke мин
 еще в предположении, что машина неявнополюсноrо типа и э. д. с.
Ed == 1 при любом уrле 80' Штриховыми кривыми отмечена область устойчивости.
Нетрудно проверить, что при k e == о предельный уrол 8 п , достиrаемый, если
k e == k e == k e ' соответств у ет условию M s ' == О и, следовательно, макси

макс мин
муму электромаrнитноrо момента на уrловой характеристике при Ed == const
(точка а на рис. 9-8). Из рис. 9-9 видно, что при k e > о реrулирование по произ-
водной уrла наrрузки несколько расширяет зону искусственной устойчивости,
однако это связано с заданием больших коэффициентов реrулирования k э , так
как мерой влияния служит величина p
ke, а p
 мало.
В Э 9
 1 коэффициенты затухания а и В были определены через коэффицпенты
характеристическоrо уравнения аl, 02, аз. Сравнивая эти выражения для а и

со Вторым и третьим критериями rурвица, из которых находились коэффициенты
реrулирования ke МИН и ke М81<С, можно установить, что за нижней rраницей
ke мин === f (80) на рис. 9-9 нарушение устойчивости будет происходить в виде
сползания, а за верхней rраницей ke макс === f (80)
 в виде самораскачивания.
Если учитывать электромаrнитную инерцию возбудителя, то к уже paCCMO

тренным уравнениям машины нужно добавить линейное дифференциальное урав-
нение цепи возбуждения возбудителя, обладающей не равной нулю постоянной
времени Т в, и произвести анализ критериев rурвица для HOBoro характеристи-
ческоrо уравнения. При реrулировании по уrлу е он показывает [5, 21], что
максимально допустимые коэффициенты ke МаКС В случае, коrда Т в =F о, в LIlИРО-
ком диапазоне уrлов е о значительно БОЛblпе, чем у безынерционноrо возбудителя
(Т в == О). Однако вблизи предельноrо по устойчивости уrла е п коэффициенты
keMaKC при ТВ === О и при тв =F О отличаются мало. На рис. 9
10 показаны keMayC
для различных значениЙ постоянной Т в и коэффициент ke мин, не зависящий от Тв.
Точки пересечения кривых kfJ макс и ke мин определяют предельныit уrол наrрузки.
Из рисунка видно, что уменьшение 8 п за счет электромаrнитнои инерции воз

будителя невелико.
Статическая устоЙчивость при реrулировании возбуждения машины по лю

бому из параметров режима может быть исследована также на основе анализа
коэффициентов синхронизирующеrо и демпферноrо моментов [5]. ,.
в заключение этоrо параrрафа рассмотрим устойчивость асинхронноrо
reHepaTopa с роторным возбуждением, включенноrо по схеме рис. 9-7. Напря)ке

вие возбуждения TaKoro reHepaTopa при несинхронной частоте вращения должно
быть rармонической функцией времени и частоты сколыкения машины. При этом
вектор Ur В синхронно вращающихся осях будет неизменным, если только не
будет реrу.пироваться амплитуда напряжения возбуждения. Поскольку у pac

сматриваемоrо reHepaTopa ДUr == О, то ero линеаризованные уравнения будут
такими же, как и у асинхронной машины с короткозамкнутым ротором (см.

 9-1). Наличи
 pOTopHoro возбуждения скажется лишь на значении потокосцеп-
ления ротора 'Фrу в установившемся ре)киме. Из уравнения (2
83), rде нужно
. .
положить Рт, === о; 'Фs == j U s, изменить знак у скольжения и принять Ur ==
== Ure i (е с +л/2) (см. Э 3
1), найдем
'Ч'аrу == [l!cUs6a + acU r (
crcos8c
 sin 8 с )]/(l +

);
'Ч'tJrу== [J1c U s +O'cUr(cose c +'0 sin 8 c )]!(1 +

).
221




Из трех критериев rурвица для характсрисrическоrо ураПIIСНИН вида (9
5)
опредеЛЯЮil
ИМИ устойчивость будут два:
a 1 a 2
 аз
2Hjx
p;2 (1 +

) + u s (
tcUs + GcU r COS е с ) > о;
аз
 (1

 6
) (f-tс U s

 аси r cos е с )

 2a e U r 6 a SiIl ее > о.


На рис. 9
 11 показаны rраницы устойчивости, определенные для таких и r == .
== f (ее,
o), которые в уста
rовившемся ре}ки:че обеспечив3!{)т постоянство Ha

пряжения на за)i(имах статора reHepaTopa U r == 1. Штриховкой на rраницах
отмечена область устоЙчивости. Максимальный электромаrНIIТНЫЙ момент асин

xpoHHoro reHepaTopa имеет место при синхронной частоте вращения (;0 == О)
и предеЛЬНО
1 уr.п:е ее == 8 п . Он получается таКИl\1 же,
как у синхронноrо reHepaTopa, имеющсrо те же пара

метры, что и асинхронныЙ, с автоматическим реrули

,
рованием возбуждения, обеспечиваЮlЦИМ Е d =-= COl1S t.


9-5. САМОВОЗБУЖДЕНИЕ СИНХРОННОЙ MA

ШИНЫ. Работа синхронной машины в системе элек

тропередачи происходит в таких условиях, при KOTO

рых В цепи ее статора оказывается включенной eM

кость. Линия электропередачи об
1адает прежде Bcero
естественной распределенноЙ емкостыо между фазны

ми проводами, а также относительно земли. Кроме
Toro, в ряде линий электропередачи используется
компенсация индуктивности линии посредством спе

циально включа
мой емкости (продольная компенса

ция). I
звестны случаи непосредственноrо включения
емкости последовательно с машиноЙ. Так, при нали

чии толчкообразной наrрузки для предотвращения
колебаний напря}кения в системе применяются син

хронные компенсаторы с последовательно включен

ноЙ емкостью.
При наличии емкости в опреде.7iенных условиях
мол{ет начаться самопроизвольное нарастание тока син

хронной машины
 явление, получившее название
с а 1\1 о в О з б У )к Д е н и я. Если исследовать не весь процесс самовозбу}кдепия
во времени, а только условия ero возникновения (rраница самовозбуждения),
то постановка задачи аналоrична той, которая принималась при анализе CTaTII

ческой устойчивости. Поскольку небольшое изменение частоты враlценпя ма-
шины не оказывает сколько
нибудь заметноrо влияния на условия самовозбужде

ния, последнее можно рассматривать как электромаrнитную неустойчивость
в отличие от электромеханической неус'Тойчивости, связанной с xapaKTepOl\I дви

жения ротора машины.
Тказанная задача обычно решается двумя способами:
1) исследованием характеристическоrо уравнения, составляемоrо по дпфферен

циальным уравнениям напряжений цепеЙ объекта; 2) анализом комплексных
схем замещения, леrко получаемых вследствие Toro, что rраница самовозбу;,кдения
соответствует некоторому установившемуся режиму работы объекта. Эти методы
исследования в настоящее время достаточно хорошо разработаны, и с их помощью
изучены условия самовозбуждения синхронных машин в самых СЛОЖhЫХ схемах,
обладающих несимметрией, содер)i(ащих распределенные параl\Iетры и '1'. Д.
ПО своей природе самовозбуждение связано с rенерациеЙ энерrии, т. е.
с образованием в машине электромаrнитноrо момента за счет ПОЯВЛЯЮIЦИХСЯ
свободных токов в обмотках машины. Самовозбуждение машины будет Х2рактери

зоваться протеканием токов неизменной амплитуды, если электромаrнитная МОЩ

насть, созданная свободными токами, окажется равной потерям в аКТИВНОl\1 со-
противлении цепи статора. Такой установившийся процесс соответствует rранице
самовозбуждения. Если потери в активном сопротивлении от возникающих
при саыовозбуждении токов окажутся больше электромаrнитной мощности,
обусловленной этими токами, процесс самовозбуждения должен затухнуть.


$6


1,5


1,0 "


0,5


о



075


Рис. 9
 11. rраницы yc

тойчивости асинхрон

Horo reHepaTopa с po

торным возбуждением


ОС


222




При обраТIIОМ СООТIiОШСНIIИ процесс начнст развиваться, и нарастание токов
моrло бы происходить неоrраниченно, если lIараметры цепеl[ машины были бы
постоянны. Однако практически самовозбуждение развивается лишь до определен

ных пределов, обусловленных нелинейностью в маLпине (насыщение).
Для первоначальноrо появления свободных токов достаточно иметь в цепи
статора машины небольшое напряжение, например напряжение от остаточноrо
маrнитноrо поля. Условия возникновения этих токов опредеЛЯIОТСЯ единственно
соотношением параметров схемы и не зависят ОТ внешних напряжений, прило

)кенных к цепям машины. Это значит, что при нахождении условий самовоз

буждения можно считать внешние напряжения равными нулю.
Виды самовозбуждения. Колебания тока при самовозбуждении происходят
с вполне определенной частотой, зависящей от соотношения параметров машины
и емкости в цепи ее статора. Трехфазные токи самовозбуждения в статоре обра

зуют вращающееся маrнитное поле. При этом возмо)кны два случая: либо маrнит



J J
 I


П f




Рис. 9
12. ТОК статора при синхронном
самовозбуждении машины


.


J 1,

, j
 \

 'r







Рис. 9-13. Ток статора при асинхрон

ном самовозбуждении машины с неСИ\I

метричным ротором


ное поле в зазоре вращается с синхронной частотой, т. е. остается неподви)кным
относительно ротора, либо оно перемещается относительно ротора с нскоторой
скоростью. В первом случае при саI\Iовозбуждении может возникнуть только
синхронный реактивный электромаrНlIТНЫИ момент, если параметры машины
по осям d и q неодинаковы. Во втором случае образуется лишь асинхронный
момент. В соответствип с этим различают два вида самовозбуждения: с и H

Х Р О Н Н О е и а с и н х р о н н о е.
Неравенство параметров по осям d и q может быть обусловлено не только
маrнитной (Xd =1= X q ), но и электрической (Xd ==1= Хц) асимметрией ротора. При зам-
кнутой через возбудитель идеа.7IЬНОЙ обмотке возбуждения (r B == О) машина без
демпф
рной обмотки обладает по продольной оси сопротивлением Xd' Но и при
r ь =1= о динамическим сопротивлением по оси d будет практически параметр Xd,
если только продольное маrнитное поле машины изменяется во времени, а He

остается постоянным.
Поскольку при синхронном самовозбуждении маrнитное поле токов статора
вращается с синхронной частотой, в статоре MorYT протекать токи только OCHOB

ной частоты (рис. 9
 12).
При асинхронном самовозбуждении в обмотках ротора индуктируются
э. д. с. частоты скольжения Sffil и возникают токи той же частоты. Если обмотки
ротора несимметричны по ося;..! d и q, то маrнитное поле от токов ротора можно

представить двумя вращающимися в противоположные стороны полями. При этоМ
частота вращения этих полей относительно ротора равна :tSffil, а в пространстве,
т. е. относительно статора, (йl (1 + s). Следовательно, при асинхронном самовоз

бу)кдении в обмотках статора должны в общем случае протекать токи двух ча

стот: (йl (1 + s) и (йl (1
 s). Наложение этих токов обусловливает биение тока
статора (рис. 9
13).
Уместно отметить, что rенерирование мощности при асинхронном самовоз

БУ)i(дении возмо)кно лишь В том случае, коrда ротор машины вращается с чаСfО

той, большей частоты вращения поля (асинхронный rеиератор).
223




rраницы самовозбуждения. CTporoe аналитическое определение rраниц

самовозбу)кдепия можно найти в ряде работ [5, 18, 21, 25, 45, 65]. Здесь же
используем упрощенный подход и приведем некоторые соображения общеrо xa

рактера. -
rранице синхронноrо саl\Iовозбуждения соответствует установившийся pe

жим с синусоидальными свободными токами статора основной частоты и неиз

менно.й амплитуды. Токи id и iq должны быть при этом постоянными. Уравнения
напряжениЙ для рассматриваеыоrо режима отличаются от уравнений для нормаль

Horo установившеrося режима лишь тем, что не содержат внешних напряжениlr
ll{f) Uq И имеют вместо обычных параметров Xd и Xq сопро

тив.ления xd
 ХС И X q
 ХС' учитывающие емкостное сопро

тивление ХС' включенное последоват
льно с якорем машины.
т аким образом, для свободных токов cor
aCHO (3
 1) и (3
2)
будем имсть


Х,,"I


Xd


ХС!


Xd


3


rid + (X q
 Хс) iq === о;
 (X d
 Хс) id + 'i q === О.
в соответствии с этими уравнениями токи id и iq полу-
чаются отличными от нуля только, если


,2 + (X d
 Хс) (X q
 Хс) === о.


Это уравнение и определяет rраницу синхронноrо ca

мовозбуждения. Ero целесообразно привести к виду
[Хс
0,5 (X d + Xq)]2 +,2 === 0,52 (X d
 Xq)2,


преДстаВЛЯlощему в координатах ХС' , окружность радиуса
0,5 (X d
 X q ) с центром, расположенным в точке ХС ===
=== 0,5 (x d

 X q ) и , === О. На рис. 9
14 показана половина
l' этой окружности, соответствующая положительному актив

О ному сопротивлению; зона 1 внутри нее определяет COBO

Рис. 9
 14. rpa- купность параметров Хс и , t отвечающих нараСТaIощему во
ница самовозбу- времени процессу самовозбуждения (зона неустойчивости).
Если предположить, что 'в == О, то зона 2 са1\lовозбу

ждения машины ждения получается по тем же уравнениям, что и зона 1,
при условии, что сопротивление Xd будет заменено
на xd" Поэтому rраница зоны 2 самовозбуждения представляет собой полу

окружность радиуса 0,5 (X q
 Xd) с центром, расположенным в точке Хс ===
=== 0,5 (xd + Xq) и , == о (рис. 9-14).
При реальных сопротивлениях 'в rраница зоны 2 самовозбуждения следует
по части представленной на рис. 9-14 окружности, а затем при Хс< Xd плавно
устремляется в начало координат. Зона 3, соответствующая Хс < Xd' появляется
только при 'в ==1= о и характеризует асинхронное самовозбуждение. В случае
Xd < Хс < X q при, в 4== о возможно как синхронное, так и асинхронное самовоз

буждение.
Зона асинхронноrо самовозбуждения при Хс< Xd у машины с демпферной
обмоткой rораздо шире, чем у машины без такой обмотки. Влияние де
пферной
обмотки на зону самовозбуждения при Xd < Хс < X q невелико, а при X q <
< Хс< X d отсутствует. Дело в том, что демпферная обмотка может влиять на
процесс самовозбуждения только при асинхронном ero характере. Зона Xd <
< ХС < X q характеризуется малыми скольжениями, а при малых частотах токов
в роторе асинхронный момент создается в основном об

IОТКОЙ С малым активным
сопротивлением, т. е. обмоткой возбуждения. В зоне ХС < Xd частота токов в po

торе увеличивается, и тоrда асинхронный момент демпферноЙ обмотки становится
реUlающим в процессе самовозБУiкдения.


IL


224




. ]1 ... :

'\ ,)) /(J I?\ ([; t=jj(!J) (0111 0
.. Ь
)
. (;)) \Q) 1/ (Q) 'j)



Динамические свойства машин
при значительных возмущениях режима


10..1. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ. Термин «значительное возмуще..
ние режима» подразумевает такую ситуацию, коrда переходный
процесс уже не может рассчитываться по линеаризованным диф..
ференциальным уравнениям машины, а должен определяться на
основе решения исходных нелинейных уравнений. Линеаризация
нелинейных уравнений (см. rл. 9) предполаrает, что все отбрасы..
ваемые в нелинейных членах компоненты, кроме линейных, имеют
достаточно малую величину. Так, поперечное напряжение якоря
синхронной машины, являющееся одной из «внешних сил», при
постоянном напряжении сети и можно представить в виде
U q ::::::: и cos () :== и cos (80 + i18) ::::::: и (cos 80 cos i18
 sin 80 sin i18),


rде
8
 отклонение уrла наrрузки 8 от HeKoToporo постоянноrо
значения.
Линеаризованная нелинейная функция (cos 8)л ;::::::} cos 80



8 sin 80 незначительно отличается от истинноrо ее значения
cos 8, если
8 оrраничено настолько, что с технической точностью
cos
8 ;::::::} 1 и sin
8

8. Пусть, например, 80 === 60°. Тоrда для

8, соответственно равных + 15;
15;
зо;
45;
600, отноше..
ние (cos 8)л/соs 8 принимает значения: 1,05; 1,ОЗ; 1,10; 1,22; 1,41.
Если 80 == 15°, то для
8 ==
15; +15; +зо; +45; +60° соответ"
ствующие отношения (cos 8)л/соs 8 равны: 1,07; I,ОЗ; 1,17; 1,52;
2,66. Этот пример, как и следовало ожидать, показывает, что 110
мере увеличения
8 растет поrрешность представления cos е ли..
нейным компонентом и при заданном I
8 I поrрешность неодинако"
ва при различных 80' Очевидно, что со значительной поrрешностью
будет определяться также продольное напряжение якоря Ud ==
==
u sin 8 с помощью линеаризованной функции (sin 8)л


 sin 80 +
8 cos 80' если i18 в переходном процессе достиrнет
больших значений.
Трудно сказать, с какой поrрешностью будут определяться из
линеаризованных уравнений синхронной машины сами перемен..
ные
 токи, уrол 8, но очевидно, что поrрешность будет зависеть
от уrла 80 и степени изменения уrла 8 в переходном процессе:
чем больше последняя, тем существеннее должны отличаться ре..
шения линеаризованных и исходных нелинейных уравнений.


8 А. И. Важнов


225




Аналоrичная картина имеет место и в асинхронных маIllинах.
Уравнение напряжений ротора таких машин содержит нелиней..
ный член вида sФr' Если изменение скольжения
s или изменение
.
потокосцепления обмотки ротора
'фr становятся в переходном
процессе соизмеримыми с постоянными значениями 50 и 'Ч'rО, то не..
линейным компонентом Д5
Фr уже нельзя пренебреrать при опре:
.
делении члена sФr'
В общем случае трудно провести четкую rраницу области при..
менимости линеаризованных дифференциальных уравнений ма..
шин для исследования переходных процессов. Но для крайних
по величине возмущений режима (сколь уrодно малых и значитель..
ных, приводящих к радикаЛЬНОi\1У изменению режима) не возникает
сомнений по поводу Toro, какими уравнениями следует пользо..
ваться для описания процесса с достаточной технической точ"
ностью.
При исследовании переходноrо процесса, определяемоrо нели..
нейными уравнениями, наиболее общая задача возникает при необ..
ходимости расчета переменных в виде непрерывной функции вре..
мени. Эта задача является и самой сложной, так как она требует ре..
шения нелинейных уравнений. В качестве примера можно ука..
зать на расчет пуска асинхронноrо двиrателя с учетом ero ускоре..
ния.
Важное значение имеет и постановка оrраниченной задачи

исследования характера движения ротора машины в переходном
процессе. Цель подобноrо исследования состоит в том, чтобы уста..
новить, закончится ли переходный процесс, возникающий в ре..
зультате возмущения исходноrо режима, новым установившимся
режимом или нет. Это
 проблема устойчивости режимов, кото..
рая рассматривалась в rл. 9 при сколь уrодно малых возмущениях
(с т а т и ч е с к а я у с т о й ч и в о с т ь, или у с т о й ч И..
в о с т ь в м а л о м). При значительных возмущениях rоворят
о Д и н а м и ч е с к о й у с т о й ч и в о с т и, или у с т о й..
ч и в о с т и в б о л ь ш о м. Таким образом, динаrvlическая
устойчивость определяет поведение машин при конечных измене..
ниях параметров системы.
Простейшее возмущение
 это однократное внезапное изме..
нение какоrо..либо параметра, остающеrося в дальнейшем неиз..
менным. Так, например, внезапный наброс постоянной наrрузки
на двиrатель приводит к изменению l\10MeHTa механических сил на
валу на постоянную величину
M; друrой пример
 отключение
участка линии передачи между reHepaTopoM и приемной системой
обусловливает скачкообразное изменение индуктивности цепи
статора от одноrо постоянноrо значения до друrоrо.
Скачкообразное изменение параметра может быть и MHoro-
кратным. НаПРИl\Iер, при внезапном короткоl'Л замыкании на ли..
нии передачи, через которую работает [енератор, наступает пер"
вое изменение параметров цепи статора машины; при последую"
226




щем отключении поврежденноrо участка линии передачи парамет-
ры цепи снова изменяются скачком, принимая новые значения,
отличные от тех, которые были в исходном режиме, и определяю-
щие новый нормальный режим, если таковой возможен.
В практике встречается возмущение в виде одноrо или ряда
импульсов (кратковременная наrрузка двиrателя). В общем слу-
чае возмущение может иметь сложный характер во времени. Так
в упомянутом выше процессе KopoTKoro замыкания reHepaTopa
может появиться еще одно возмущение, действующее на протяже

нии Bcero переходноrо реЖИf\ла,
 это непрерывное реrулирова

ние возбуждения машины.
Динамическая устойчивость связана со значительными воз

мущениями, поэтому она зависит не только от параметров исход-
Horo режима, но и от величины и характера возмущения. Задача
о динамической устойчивости требует либо решения нелинейных
дифференциальных уравнений, либо качественноrо их исследова

ния. Интеrрирование нелинейных уравнений производится MeTO

дами последовательных интервалов и итераций вручную или с по-
мощью вычислительных машин. Качественный анализ можно вы-
полнить построением функций Ляпунова и применением «фазовой
плоскости» (<<фазовые траектор ии»).
Одним из важных методов исследования переходных процессов
в машинах при значительных возмущениях, и в частности исследо-
вания динамической устойчивости, является электродинамиче

ское моделирование.


10..2. ДИНАМИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ СИНХРОННЫХ
rEHEP А ТОРОВ. МЕТО Д ПЛОЩАДЕЙ. Исследование динами

ческой устойчивости синхронной машины состоит не только в про

верке сохранения машиной синхронизма для заданноrо динамиче

CKoro нарушения, но также в определении предельно допустимоrо
возмущения, соответствующеrо rранице динамической УСТОЙЧИ

БОСТИ. ЭТО дает возможность оценить запас по динамической устой

чивости при данном виде возмущения.
Наиболее простым методом ис.следования динамической устой-
чивости является метод площадей, который, по существу, сводится
к применению «фазовой плоскости» для рассматриваемой задачи.
Для Toro чтобы понять ero сущность, обратимся к уравнению
моментов сихронной машины. Из этоrо уравнения прежде Bcero
,определим ускорение ротора:


PLS === (М
 Мэм)/Н j ,


( 1 0-1 )


Производную от скольжения по времени можно представить
'13 виде


8*


ds d8 ds
p-r;s === d8 d,; === S d8 ·
227




Интеrрируя уравнение моментов по уrлу 8, используя приве

деннсе Dыражение д
я p"s и полаrая скольжение исходноrо pe

жима раЕIIЫМ нулю, IIОЛУЧИ11


в
2 / d9 ) 2 2 J '
s

 d. == Hj (М
 М эм )d8.
8 нч


(1 O
2)


Рассмотрим особенности движения ротора с помощью ypaB

нений (10
1) и (10
2). ПреДПОЛОЖИl\1, что нам известна уrловая xa

рактеристика М ЭМ == t (8) после динамическоrо нарушения режима
МЭН


4


2
I
I
I
I
I
,
I


8


1


11=11911. Н'!


(J"ч


Рис. 1 o
 1. rрафическая интерпретация правила пло

щадей. Исходный режим динамически устойчив


работы машины. Тоrда с помощью (10
2) можно установить, coxpa

няет машина устойчивость или нет. Покажем это на примере син..
xpoHHoro [енератора, работающеrо через двухцепную линию пере

дачи на приемную систему бесконечной мощности (см. рис. 9
 7).
Пусть исходный режим [енератора характеризуется уrлом Ha

rрузки 8 ич и моментом М ЭМ . нч' Л1.0мент механических сил на
валу reHepaTopa М в установившемся режиме равен электромаrнит

ному моменту МЭ\Iо НЧО
Предположим, что динамическим нарушением этоrо режима
является отключение одной параллельной цепи линии передачи и
что уrловая характеристика [енератора в переходном процессе
представляется кривой 2
7, изображенной на рис. 1 o
 1. Допу

стим также, что в течение рассматриваемоrо процесса момент М
остается постоянным (первичный двиrатель reHepaTopa не реrули

руется). В первый момент после возмущения режима М ЭМ YMeHЬ

шается (точка 2), так как после отключения одной параллельной
цепи линии передачи индуктивное сопротивление последней скач-
ком возрастает в Два раза и индуктивные сопротивления цепи
якоря [енератора (до точки присоединения к системе бесконечной
228




мощности) увеличиваются. Разность М
 М ЭМ (избыточный мо"
мент), выражаемая отрезком 1
2, сообщает ротору машины уско"
рение, которое определяется уравнением (10..1). Ротор начинает
вращаться с частотой, превышающей синхронную, и уrол 8 воз..
растает от cBoero начальноrо значения 8 нч . В точке 3, rде имеет
место равенство моментов л1 == Л1 эм , ускорение становится рав"
ным нулю, НО ротор вращается с частотой, большей синхронной,
и уrол 8 будет увеличиваться дальше.
На участке кривоЙ 2
3 избыточный момент положителен и со..
вершает работу, идущую на увеличение кинетической энерrии
ротора. После Toro как оказывается пройденной точка 3, избыточ"
ный момент становится отрицательным и соответствующая работа
совершается уже за счет кинетическоЙ энерrии ротора, накоплен-
ной на участке 2
3. На участке 3
4 кривой Мэм===f (8) ротор испы-
тывает замедление (ускорение отрицательно), и коrда кинетиче-
ская энерrия, приобретенная ранее на участке 2
3, будет пол..
ностью израсходована, относительная частота вращения s

 p't8
станет равной нулю.
Работа, совершаемая избыточным моментом при изменении
уrла 8, определяется интеrралом в уравнении (10..2). rрафически
же этот интеrрал представляет собой площадь между кривой
М ЭМ == f (8) и прямоЙ М в пределах уrла от 8 ич до 8. При движе..
нии от точки 2 к точке 3, как видно из рис. 10..1, указанная пло..
щадь возрастает; она максимальна при уrле 8, соответствующем
точке 3 (скольжение s максимально), а затем уменьшается, по..
скольку площадь на участке 3
4 отрицательна. Поэтому точка 4,
rде s == О, находится из условия, что площади между кривой м эм ==
== f (8) и прямой механическоrо момента М на участках 2
3
(М
 М ЭМ > О) И 3
4 (М
 М ЭМ < О) равны. Эти площади на..
зываются соответственно п л о Щ а Д я м и у с к о р е н и я и
т о р м о ж е н и я. Они изображены на рис. 10..1 заштрихован..
ными равновеликими фиrурами 1
2
3 и 3
4
8.
Далее происходит уменьшение уrла 8, так как в точке 4 уrло..
вой характеристики избыточный момент отрицателен и ротор ис..
пытывает замедление. При движении от точки 4 к точке б скольже..
ние p't8 становится отрицательным. На участке 4
5
б процесс
совершается аналоrично описанному выше: в точке 5 (М == М ЭМ )
скольжение Иl\1еет максимальное отрицательное значение; в точке б
s === О. Положение точки б определяется из условия равенства
площадей между уrловой характеристикоЙ и прямой М на участ"
ках 4
5 и 5
б.
После нескольких колебаний ротора, затухающих под воз..
действием демпферноrо момента, llереходный процесс завершается
установлением HOBoro нормальноrо режима в точке 7
 точке
пересечения прямой М и статической уrловой характеристики
машины для новых условий (одна цепь линии передачи отключена).
На рис. 10
 1 показана лишь часть этой характеристики (кри"
Вая аб).


229




Характер изменения уrла 8 во времени в переходном процессе,
вызванном динамичеСКИ
1 нарушением режима, показан на
рис. 10
2, а (ер. с рис. 10
1). На рис. 10
3, а представлена фазовая
траектория
 зависимость рт:8 от уrла наrрузки 8.
Исходный режим работы [енератора при рассмотренном виде
возмущения оказался динамически устойчивым.


8 а)


8 б)






о


т


Ву
От,


::J-


'i
О


Рис. ] O
2. Изменение уrла е при возмущении режима. Исход

вый режим: а
 динамически устойчив; 6
 динамически
неустойчив


Характер процесса существенно изменится, если предполо-
жить, что reHepaTop имеет уrловую характеристику после возмуще-
ния режима в виде кривой 2
5, представленной на рис. 10
4.
Из этоrо рисунка видно, что площадь ускорения 1
2
3 больше
площади торможения 3
4. Следовательно, в точке 4 кинетическая
энерrия, приобретенная ротором на участке разrона 2
3, не
израсходована полностью и скольжение в соответствии с уравне..


а) S


б) s


о


Рис. 1 O
3. Фазовая траектория при динамическом
нарушении режима. Исходный режим: а
 динами-
чески устоЙчив; 6
 динамически неустойчив


нием (10..2) остается в этой точке больше нуля. Поэтому уrол е
будет продолжать увеличиваться. Однако за точкой 4 избыточный
момент снова становится положительным, ротор опять начнет
ускоряться, и это вызовет проrрессирующее увеличение уrла 8,
т. е. потерю машиной синхронизма. На рис. 10..2, 6 и 10..3, 6 по

казаны зависимости е == t (t) и s == t (8) для этоrо случая. На
рис. 10..3, 6 обращает на себя внимание то обстоятельство, что рт: 8
ни при каких значениях уrла е не обращается в нуль (кроме,
естественно, начальноrо yr ла 8 нч ),
230




Итак, теперь ИСХОДНЫЙ режим работы reHepaTopa оказался ди-
намически неустойчивым.
Можно полаrать, что если в результате постоянноrо возмуще..
ния уrол е возрастает от начальноrо значения оrраниченно, т. е.
если в первом колебании машина оказывается динамически устой..
чивой, то последующие колебания не ПРИВОДЯТ к потере устойчи"
вости. Иными словами, при постоянном возмущении динамическая
устойчивость практически может оцениваться только по первому
колебанию. Однако при этом нужно иметь в виду следующее.
Уrловая характеристика l'лашины М ЭМ == f (8) при динамиче..
ских нарушениях режима существенно отличается от статической
характеристики в установившемся
режиме работы за счет наведенных М Э /1
токов В цепях машины. Основное зна- fvl
чение здесь имеет апериодическая со..
ставляющая в токе возбуждения син..
хронной машины, затухание которой
означает переход машины на статиче-
скую уrловую характеристику. Поэ..
тому может оказаться, что до зату"
хания апериодических токов в цепи
возбуждения синхронной машины
колебания ротора будут происхо..
дить С оrраниченным размахом и
машина сохранит синхронизм с сетью,
а после затухания этих токов, если
наrрузка превосходит предел статической устойчивости по
«сползанию», машина становится неустойчивой.
Таким образом, исходный режим оказывается динамически
неустоичивым, но это обстоятельство определяется единственно
. тем, что в новом установившемся режиме, к которому стремится
машина, не обеспечивается статическая устойчивость. Так, если
в случае, представленном на рис. 10..1, статическая уrловая харак-
теристика машины изображается кривой а' б', то рассмотренные
выше колебания по динамической характеристике закончатся 11з
этой кривой, и поскольку на ней везде М > М Э
Р ротор получит
ускорение (неизменноrо знака) и машина потеряет синхронизм.
Характер изменений уrла 8 === f (т) И скольжения s == f (8) для
этоrо случая представлен на рис. 10-5 и 10..6.
Из приведенных рассуждений можно сделать два вывода. Во-
первых, при динамических процессах кратковременно, пока не
затухли апериодические токи в цепи возбуждения синхронной ма-
шины, последняя может выдерживать значительные наrрузки,
часто превосходящие предел ее статической устойчивости по пара-
метрам после динамическоrо возмущения режима. Во"вторых,
машина будет динамически устойчивой при постоянном возмуще-
нии, если не только динамически устойчиво первое колебание ро..
тора, но также обеспечена статическая устойчивость в новом уста-


f


2


ОНII
 о
Рис. 1 O
4. rрафическая интер

претация правила площадей.
Исходный режим динамически
неустойчив


231




iIОВИВlllемся режиме. Таким образом, рассмотрение динамической
устойчивости по первому колебаНИIО должно быть дополнено про

веркой статическоЙ устойчивости в новом установившемся режиме.
Вышеприведенные рассу)кдения основывались на том, что уrло

вая характеристика машины после динамическоrо нарушения pe

жима известна. Однако точное ее определение представляет весьма
большие трудности. Дело в том, что даже при пренебрежении aK

тивным сопротивлением цепей статора и переходным процессом
в этих цепях электромаrнитный момент зависит от двух перемен

ных: продольной переходной э. д. с. Ed и уrла в [С1\1. (3
34)].
s


:>




о


f}


Рис. 1 O
5. Изменение уrла е при
динамическом переходе к стати

чески неустойчивому режиму


Рис. lO
6. Фазовая Tpa

ектория при динамиче

ском переходе к стати

чески неустойчивому ре-
жиму


При этом Э. д. с. Ed сама является функцией в и поэтому может
быть точно определена только в результате решения всей системы
дифференциальных уравнений машины (3
35)
(3
37).
Вместе с тем, если оrраничиться исследованием динам:ическои
устойчивости по первому колебанию, то соответствующая часть
уrловой характеристики в первом приближении определяется дo

статочно просто. Поскольку время достижения уrлом е cBoero
первоrо максимума (e ml на рис. 10
2, а) обычно невелико (не пре

восходит O,3
O,4 с), в этой части процесса можно не считаться с из

менением потокосцепления с обмоткой возбуждения и принять
'Ч'в === const (E d == const). Тоrда уrловая характеристика в первом
колебании определяется выражением (3
34), в котором нужно
считать Е;! == E dJ == const.
Итак, сосласно методу площадей режим диналtически устойчив,
если площади ускорения u торможения на срафике условой xapaKme

ристики равновелики. Если же площадь торможения оказывается
меньше площади ускорения, то режим динамически неУСfпойчив.
Оценка динамической устоЙчивости машины по первому коле

банию может производиться и при мноrократных возмущениях, но
возмущение при последующих качаниях не должно изменяться.
Рис. 10
7 иллюстрирует применение метода площадей для
оценки динамической устойчивости reHepaTopa при следующих
условиях. ИсходныЙ режим работы reHepaTopa через линию пере..
дачи определяется уrлом 8 нч и моментом Л1:JМ. нч == М (кривая
232




аб
 статическая уrловая характеристика для исходных усло

вий). Первичный двиrатель не реrулируется, т. е. М == сопst. На
линии происходит неСИМlVlетричное короткое замыкание (первое
возмущение), в процессе KOToporo характеристика М ЭМ
 t (8)
имеет вид кривой а"6".
Под влиянием избыточных моментов м
мэм ротор ускоряется
на участке 2
3 и уrол 6 возрастает от 6 нч до 8 к . В этот момент
короткое замыкание отключается (второе возмущение), после чеrо
yr ловая динамическая характеристика принимает вид кривой а' 6'.
На участке 5
б ротор ис- Мэн
пытывает замедление. lV1a

ксимальный уrол 8 m1 в пер

вом колебании определяется
точкой б, причем площадь
торможения 4
5
б
7 paB

на площади ускорения 1
 I1:-N.9 МоН1r 1
2
3
4. Из рисунка сле

дует, что динамическая yc

тойчивость по перВО!\1У коле

банию сохраняется.
Отметим, что метод пло..
щадей распространяется TaK

же на случай работы двух
синхронных машин соизме..
римой мощности, НО этим Рис. 10
7. rрафическая интерпретация
правила площадей при двукратном ВОЗ

числом машин исчерпывается мущении
область ero применеНlIЯ.
При использовании метода площадей можно оперировать не
I с площадями ускорения и торможения, а с отдельными интеrра..
лами от MOI\1eHTOB в (1 o
 2).
Примем Ed === Ed'l == const, а D == О. к учету демпферноrо мо-
. мента мы вернемся в
 10
4, а пока заметим, что уменьшение Ed
и наличие демпферноrо момента оказывают противоположное влия-
ние на уrловую характеристику машины.
Обозначая постоянную амплитуду первой rармоники электр,Р"
маrнитноrо момента М эм l == UEdOlXd; О,5 Л dq Х d U / Е dО == m эм 2, по

лучим при М == const уравнение (10
2) в виде
O,5H j s2 === М (6
 6 ич )
 Мэм1F (8),


б


,3
I
I
I
I


8H


9;


б"


--...
IJ


(1 O
3)


rде F (8) === cos 8 нч
 cos 6
 О,5m ЭМ2 (cos 28 нч
 cos 28).
Построив rрафики функций правой части (1 O
3), получим БОЗ"
можность судить О значении скольжения s: точка пересечения rpa-
фиков соответствует s == О.
Пример. В исходно:'.! режиме reHepaTop работает через двухцепную линию
передачи на сеть бесконечноЙ мощности. Параметры reHepaTopa: Xd == 0,5; x q ==
=== 0,8 (сопротивления цепи якоря до приемной сети); Н j == 1900 рад. Данные
исходноrо режима:
1
 0,9; U
 1,0; E dO == 1,22; е ич
 300. Первое ВОЗМУlце

ние режима
 трехфазное короткое замыкание на линии вблизи rCHepaTopa,
233




в течение KOToporo принимаем М эм === О, пренебреrая знакопеременной и асин-
хронными состаВЛЯЮlUИМИ электромаrнитноrо момента. По данным
 6
6 опреде-
ляем изменение уrла в процессе KopoTKoro замыкания: 8 к
 8 нч === o,5MT
/ н j'
Для длительности замыкания 't K === 0,15; 0,20; 0,25 с (47; 63 и 78,5 рад) уrол
наrрузки 8 к в MO
leHT отключения KopoTKoro замыкания составит соответственно
60; 84,5; 113°. Примем, что вслед за вторым возмущением
 отключением замы-
кания вместе с поврежденным участком линии передачи
 сопротивления при-
нимаr-GТ значения X d ' == 0,6; X q == 0,9, так что М 1 === 2,04 и т 2 === 0,14.
эм эм
На рис. 10-8 построены rрафики F (8) (штриховые кривые) и М эм1 F (8)
(сплошные кривые) для '{к == 0,15 (1); 0,20 (2); 0,25 с (3). Прямая 4 представляет


11(8
 8 нч );
f (8);
l1 аМ I F(f))

5


1,0


0,5


о


20 40


8
100 120 1чО 16 О 180 CI


Рис. 1 0
8. К определению динамической устой-
ЧИВОСТИ по видоизмененному правилу пло-
щадей


собой М (8
 8 нч ). Из рисунка следует, что при '{к == 0,15 и 0,20 с исходный
режим динамически устоЙчив, причем уrол 8 достиrает максимальных значений,
соответственно равных 89 и 127°. При '{к == 0,25 с режим оказывается динами-
чески неустойчивым (кривые 3 и 4 не пересекаются , скольжение не обращается
в нуль).


10-3. ПОВЫШЕНИЕ ДI1
IАj\;\ИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ
РЕrУЛИРОВАНИЕМ ВОЗБУЖДЕНИЯ 2v\АШИНЫ. В 9 9
4 по

казано, что непрерывное автоматическое реrулирование воз

буждения синхронных машин существенно увеличивает области
статической устойчивости. Столь же блаrотворным является pery

лирование возбуждения и в отношении динамической устойчи

вости машин. Оно позволяет при прочих равных условиях YMeHb

шить величину первоrо вылета уrла Вт! И ускорить затухание
колебаний ротора, возникающих в результате динамических воз

мущений, т. е. увеличить запас динамической устойчивости Ma

шины.
Однако требования, которые предъявляются к системе реrули

pyeMoro возбуждения, обеспечивающей повышение динамической
234




устойчивости, отличаются от тех, которые диктуются условиями
увеличения статической устойчивости.
Оrраничение yr ла в в первом колебании после динамическоrо
нарушения режима по методу площадей будет тем значительнее,
чем сильнее удается сократить площадь ускорения и увеличить
возможную площадь торможения на диаrрамме уrловых характе..
ристик. Это можно видеть из рис. 10..9, rде дано определение мак..
симальноrо yr ла в первом колебании В т1 по методу площадей
для двух случаев, различающихся

.!19H
лишь уrловыми характеристиками ма.. \
шины в переходном режиме. Дина..
мическое нарушение здесь принято
двукратным, при этом второе возму"
щение наступает в обоих случаях при f1
одном и том же значении уrла в к .
На рисунке кривые представляют
собой уrловые характеристики: аб

" б "
в исходном режиме, а
 после пер..
Boro возмущения, а'б'
 после BToporo
возмущения. В одном случае площади
ускорения и тормо)кения представлены
заштрихованными фиrурами 1
2
3
4
и 4
5
6
7. Их равенство опреде..
ляет максимальный вылет уrла в т1 . Во
втором случае равные площади ускоре..
иия и торможения обозначены 1
2

3'
4 и 4
5'
6'
7' . Максимальный
уrол равен 8
1, и он
1еньше уrла в т1 .
Очевидно, что уменьшение уrла в т1 может быть достиrнуто
увеличением электромаrнитноrо момента М ЭV1 дЛЯ данноrо уrла
е в условиях переходноrо режима.
Из выражения для I
Ol'vleHTa (3..34) следует, что при заданных
параметрах и уrле 8 rv10MeHT М ЭМ можно увеличить только за счет
увеличения потокосцепления обlV10ТКИ возбуждения 'Рв'
Определим изменение этоrо потокосцепления
'PB из ypaB
e..
ния напряжения цепи возбуждения синхронной машины (2..98).
Пренебреrая падениеrvf напряжения в сопротивлении 'в и интеrри..
руя уравнение, получим


8 нч


..
в


Рис. 1 0
9. rрафическая ин..
терпретзция правила площа..
дей для машины с реrулируе..
мым возбуждением


't

 'i'n === J
иn d't.
о
Таким образом, в конечном итоrе М ЭМ определяется интеrраль..
.... ным значением изменения напряжения возбуждения за время '{.
Для обеспечения надлежащих значений
Фll при сильных ди..
,намических нарушениях режима напряжение возбуждения син"
хронной машины резко увеличивают. Возбуждение форсируется
путем воздействия на цепь возбуждения возбудителя синхронной
машины. Поскольку возбудитель обладает электромаrнитной
235


'"




инерцией, то напряжение
ИВ нарастает До максимально возмож"
Horo значения
 потолочноrо напряжения И вт
 С определенной
конечной скоростью.
На рис. 10..10 показан характер изменения напряжения Ив во
времени при форсировании возбуждения применительно к возбу..
дителям, обеспечивающим различную скорость нарастания напря..
жения. Кривая 3, показывающая почти MrHoBeHHoe достижение
напряжением cBoero потолочноrо значения, характерна для ион..
Horo возбудителя; кривые 1 и 2 соответствуют различным cxeMa
1
электромашинноrо возбуждения.
Интеrрал, определяющий изменение потокосцепления
Фrр
rрафически выражает площадь на rрафике и[! == f (Т), которая
показана штриховкой на рис. 10..10.
Очевидно, что эта площадь к задан..
ному моменту времени То будет тем
больше, чем выше потолочное напряже..
ние И вт по отношению к исходному ИвО И
чем больше скорость нарастания на..
пряжения.
Таким образом, система возбужде..
ния, существенно повышающая динами..
т' ческую устойчивость синхронной ма..
ШИНЫ, должна быть быстродейству..
Рис. 10
10. Напряжение B03
 ющей И обладать значительным пото..
буждения синхронной маши

ны при ero форсировании лочнЫм напряжением.
Отметим, что после форсирования
возбуждения, оrраничивающеrо вылет
уrла 8 в перво.М колебании, должно осуществляться непрерыв"
ное автоматическое реrулирование возбуждения для успокоения
последующих колебаний ротора. Не рассматривая здесь этоrо
вопроса, укажем, что при этом возникает тем больше трудностей,
чем значительнее форсирование возбуждения.
Реrулирование возбуждения синхронных машин является не
единственным среДСТВО).1 повышения устойчивости. Для этой цели
может быть использовано кратковременное торможение ротора
машины путем включения в цепь статора наrрузочноrо сопротив"
ления (электрическое торможение).


Ив


J








<::)
со




о


7'0


10..4. синхронныtI двиr А ТЕЛЬ ПРИ СI-IЛЬНО :VIЗМЕНЯ..
ЮЩЕЙСЯ НАrРУЗКЕ. в некоторых установках с синхрон"
ным двиrателем механический момент на ero валу претерпевает
значительные и быстрые изменения. С подобными условиями встре"
чаются, например, при ударной наrрузке, т. е. при внезапном при..
ложении постоянноrо момента (рис. 10-11, а), а также при периоди"
чески изменяющейся наrрузке (рис. 10-11, б, в). Если пауза 1'2
Ivlежду следующими друr за друrом постоянными МОlYlентами
(рис. 10..11, в) достаточна для затухания переходноrо процесса, ТО
такая наrрузка может рассматриваться как одиночный импульс.
236




Расчет режима двиrателя при периодическом изменении MeXa

ническоrо момента с оrраниченным отклонением уrла наrрузки от
среднеrо значения рассматривался в
 8
5. Относительно неболь

шое изменение УI'ла наrрузки
8 позволяет использовать для aHa

лиза линеаризованные дифференциальные уравtIения машины.
Однако с ростом
8 возникает неуверенность в результатах, полу

чаемых на основе линейной постановки задачи. В дальнейшем из

ложении примем уrол наrрузки 8
положительным для двиrательноrо М
реЖИ
lа машины. а)
Периодические нелинейные ко-
лебания. При таких колебаниях
уrол 8 содержит постоянную и
rармонические составляющие. По

\
\


о


).
'('


м
6)


м
8)


r1 1'2


о


:.
'r


о


'r


Рис. 1 o
 11. r-IекоторbIе типы механической наrрузки двиrателя: а
 ударная;
6, в
 периодические


добную временную зависимость имеют также продольные и по

перечные потокосцепления и токи якоря. Электромаrнитный MO

мент определяется произведениями этих потокосцеплений и токов,
поэтому ero постоянная составляющая есть результат взаимодей

ствия не только постоянных составляющих, но и rармоник оди

HaKoBoro порядка токов и потокосцеплений. Точно так же основная
rармоника момента обусловлена взаимодействием двоякоrо рода:
1) постоянных и rармонических составляющих потокосцеплений
и токов; 2) rармоник тока и rармоник потокосцеплений соседнеrо
порядка. Вместе с указанными составляющими в моменте обра

зуются и rармоники более BblcoKoro ПОрЯДка. Из полных ypaBHe

ний машины можно показать, что дополнительные сл:аrаеl\fые в MO

менте, появляющиеся только при нелинейности, зависят от раз

ницы в параметрах по осям d и q. В этой сложной картине есть
одно обнаде)кивающее для анализа обстоятельство: высшие rap

моники момента вызывают достаточно малые аналоrичные rapMo

ники в уrле 8. Поэтому изrv1енение уrла
8 можно рассматривать
в виде rармоническоrо колебания частоты h. Формальный анализ
случая, коrда
8 представляет собой совокупность трех rармоник,
показывает, что если амПлитуда каждой из двух rармоник не пре

вышает 1 o
 15?1o амплитуды третьей, то поrрешность от пренебре

жения rармониками малой амплитуды незначительна. Указанный
237




Порядок СООТНОlпения rармоник уrла
8 характерен для большоrо
числа задач.
Для получения инженерной методики расчета введем еще два
оrраничения. Во
первых, будем считать, что аl\1плитуда rарl\tl0НИКИ
уrла d8 т не прllевышает 60
700. При d8 т == 900, например, раз

ложение функции sin
8 в ряд должно содержать еще один член,
кроме принятоrо в настоящем анализе, иначе поrрешность разло

жения ДОХОДИТ до 15
20%. Но увеличение числа членов в раз

ложении усложняет методику. Вместе с тем в редких практических
случаях приходится встречаться с
8т > 700. BO
BTOpЫX, будем
основывать анализ на уравнениях (3
34)
(3
4 7) синхронной Ivla

шины, приближенно описывающих влияние демпферной обмотки.
Формально анализ показывает, что использование более полных
дифференциальных уравнений дает незначительные уточнения
в решении.
Итак, пусть


е =-== 80 +
8 == 80

8m cos h't.


(1 O
4)


Электромаrнитный момент, обусловленный обмоткой возбужде-
ния, равен
и E
 . 2 ( 1 1 ' )
М ЭМ === , sln е
 О,5и
,
.
 х sin 28.
Xd Xd q /


( 1 O
5)


в rармонических функциях


sin 8 === sin 00 cos i18
+- cos 80 sin
e;
sin 28 == sin 280 (cos 2
O

 sin 2
O) + cos 280 2 sin
O cos i18


функции уrла
8 можно представить рядом Неймана [31]. При

чем если
em
 60+700, то с небольшой поrрешностью достаточно
иметь аппроксимацию в виде
cos i18
 10
 212 cos 2h't; sin
e

2Jl cos II't,


rде J o , Jl, J2
 функции Бесселя соответственно нулевоrо, пер

Boro и BToporo порядков первоrо рода, в которых aprYMeHToM слу

жит амплитуда
8т в радианах. При
8fn
 10+150 cos
8
 1
и sin
8

8.
Подставив аппроксимации sin
8, cos
8 в функции SiIl 8,
sin 28 и опустив высшие по сравнению с основной частотой h Bpe

менные rармоники, получим


sin О ==== J о sin 80
 2J 1 cos 80 cos h't;
sin 28 ==== [J6
 2 (Ji
 J
)] sin 280

 4J 1 (J o
 J 2 ) cos 280 cos h't.
238




Для уrла 8, изменяющеrося во времени соrласно (10..4), урав..
нение цепи ВОЗ9уждения машины (3-35) имеет аналитическое ре..
шение [ср. с (3..28)]:


, , ,
Ed == Е da +
Ed,"",'


(10-6)


rде


, , (
't /Т d )
E da """ E dO
 f.tU (cos он'!

 J o cos (0) 1
 е ';
I1Ed
 === 2f.tU J 1 sin 00 /, )2 (hTd sin hT + cos hT);
1 + hT d
E dO
 начальное значение E d , соответствующее начальному уrлу
8 нч . В выражениях E da и i1E d ,-..., не учтены незначительные по ве..
личине слаrаемые соответственно апериодическоrо вида и rapMo"
ника частоты 2h. Для установившихся колебаний
E da === E dy === E do


и (cos 8 нч
 J о cos (0)'
с помощью представленных выражений для E d , sin 8, sin 28
и (10..4) элеКТРОl\fаrнитный момент (с учетом лишь основной rapMo"
ники колебаний частоты h) приводится к виду
М ЭМ === М ЭМО + Ms i18 + MdPt i18,


I'де


,
и Е dy . r 2 (J 2 2 ) ] 2 ( 1 1 ) .
Мэмо==J о , slnBo
O,5 Jo

2 1
J2 U

x Slп28 о ;
X d Xd q
/
r и E
y ( 1 1 )
М s
 К 1 , cos 80
 J ои 2


 cos 280

X d X d X q


 (J o
 J'l.) и 2 ( .J,

 ) sin200 /, )2 J
; (IO
7)
Xd Xd 1 + hT d
Md == M dB + D; (10..8)
коэффициент демпферноrо момента, обусловленный действием
обмотки возбуждения: ,-
M dn == К 1 (J o
+ J 2 ) и 2 ( X l d '

 X l d ) sin200 1 ·
! + (hT
)2 '
К 1 == 2Jl/
8т,
При малой амплитуде колебаний (
em
 15°) значения
Кl
 1; J о
 1; J 2
 О И приведенные выражения переходят в по..
лученные ранее на основе линейной теории (см. rл. 8).
Уrол 80 определяется из условия равновесия постоянной состав-
ляющей механическоrо момента и М ЭМО ' При колебаниях со зна-
чительной амплитудой этот уrол MO)l{eT заметно отличаться от ана..
JIоrичноrо уrла 8 0л , соответствующеrо равновесию моментов цо
289




уrловой характеристике машины, причем разница между ними
при заданной амплитуде колебаний тем значительнее, чем больше
уrол 80'
Коэффициент синхронизирующеrо момента Ms для большин..
ства машин rvlожет рассчитываться без учета последнеrо слаrаемоrо,
содержащеrо (hTd)2. Влияние амплитуды колебаний на значение
Ms оценим, полаrая E dy === и и задавая типичное соотношение
параметров Xd/Xq === 0,5. Для этих условий отношение частот соб..
ственных колебаний h == V M
/Hj при нелинейных (h и ) и линей..
ных (h л ) колебаниях равно
hн/h л === V К 1 (С05 80
 0,5J о cos 28 0 )/(С05 80
 0,5 С05 280)'
Отношение коэффициентов демпферноrо момента MdJj в нели..
нейной (M duH ) и линейной (М dвл ) задачах равно
Мdвн/Мdвл === К 1 (J o + J 2 ).
На рис. 10..12 приведены в зависимости от амплитуды уrла
8т
относительные изменения частот собственных колебаний и коэф-
фициентов демпферноrо момента M dB
в рассмотренной задаче по сравне-
нию с их значениями при линейных
колебаниях. Из рисунка видно, что
частота собственных колебаний при
80 < 450 изменяется мало даже при
значительной амплитуде
8т. Коэф..
фициент демпферноrо момента M dB
с увеличением
8т уменьшается.
Уrлы 80 и
8m при нелинейных
колебаниях определяются последо-
вательными приближениями, так как
и мо!<лент М эмо и коэффициенты Ms,
Md являются функциями обоих yr-
лов.
Предел динамической устойчи..
вости двиrателя при импульсной
наrрузке. Если механическая на..
2
 5
 rрузка иl\tlеет характер одиночноrо
и:мпульса, то предел динамической
устойчивости нереrулируемоrо дви-
rателя уменьшается вместе с увеличением продолжительности
импульса Тl вследствие затухания переходных токов в обмотке
возбуждения, приводящеrо к уменьшению э. д. с. и соответст-
венно момента М эм' На рис. 10..13 представлена зависимость
предельной наrрузки М п от Тl для мощноrо синхронноrо дви-
rателя. Участки кривых, лежащие слева от абсциссы, примерно
равной (0,7+0,8) Тс, rде Те
 период колебаний, определяются
устойчивостью первоrо колебания. Как видно из рисунка, даже
при Тl
 4Те предельная наrрузка нереrулируемоrо двиrателя
240


0,3 llл
Jzн .
NЛ '
Мd8Л
 Md8H
#dвл

2


0,1


о


Рис. lO
12. Относительные изме

нения Л1 dВ и h в нелинейной и
линейной задачах
I
 (Md вл
 Md BH)/M d вл;
( h л
 17 н) / h л




отличается от предельной по устойчивости первоrо колебания
при Т1
 0,8Т с Bcero на 7
10%. И лишь при весьма значительном
Т1 предел динамической устойчивости приближается к пределу
статической переrружаемости. Отметим, что при Т1 > 0,8Т с фор..
сирование возбуждения может увеличить предельную наrрузку
М п лишь до предельной по устойчивости первоrо колебания. Та..
кой предел в первом приближении может быть найден в предполо..
жении D === О и ДЕ d === о по уравнению (10..3). Изменение э. д. с.


3,5 I1 п
3,0
2,5
2,°1
I
I
О 0,5 Те 1,0


2
1


2


1
2
J


1


'i'f
1,5 2,0 С


о


2


Lf


7do
б с


Рис. 10
13. Предельная по устой

чивости импульсная наrрузка
1
 нереrулируемый двиrатель;
2
 возбуждение форсируется


Рис. 1 o
 14. Дополнительная
предельная по устойчивости
механическая наrрузка дви

rателя
8 нч == О') (1). 150 (2) и 300 (3)


Ed в переходном процессе связано, с одной стороны, с постоянной
времени Td (Т dO), а с друrой
 с реrулированием возбуждения,
если оно применяется .
На рис. 10..14 показано, как растет дополнительная предельная
по устойчивости первоrо колебания наrрузка Д/И П дЛЯ двиrателя,
работающеrо с начальной наrрузкой М нч , при увеличении по..
стоянной Т do' Можно видеть, что предел устойчивости мало зави..
сит от постоянной T do , если она больше 2
2,5 с, но при T dO <
< 1,5+2 с он существенно снижается с уменьшением TdO' Влияние.
постоянной T do на предел устойчивости ДБиrателя при наиболее
эффективном реrулировании
 форсировании ero возбуждения

можно видеть из рис. 10..15: при значительной постоянной T do ре..
rулирование мало сказывается на пределе устойчивости по пер..
вому колебанию.
Влияние демпферной обмотки. Она создает демпферный мо"
мент Ds, и ero учет в электромаrнитном моменте машины приводит
к появлению в функции F (8) уравнения (10..3) дополнительноrо
слаrаемоrо


др (8) ==


D
М ЭМ1


8
J s d8 ==
8 нч


't
D J
2 d't.
М ЭМ ]
О


241




После приложения к валу двиrателя постоянноrо механиче

CKoro момента yro.lI в до достижения им максимальноrо значения
в т1 в первом колебании изменяется практически в соотвеТСТВIIИ
С (10
4), при этом s === p-r:8 == h
вт sin h17. Подставив это значе-
ние s в д.р (8), найдем
д.р (8) === O,5Dh 2 ДO
 [т
 sin 2/
Tj(2h)]1 М эм1 '


Для уrла в :=::: B ml значение т == О,5Т с и
I1Р (8 т1 ) === лD (Опн
 8 нч )2 J1./(8М эм1 ) === Jt2D (8 т1

 8нч)2j(4МЭМIТС)'
так как Те === 2л/h и



8т == 0,5 (8 т1
 8 нч ).
Учет в (lO
4) реальноrо затуха

ния колебательной составляющей
уrла в на отрезке времени О,5Т с
практически не отражается на полу-
ченном результате.
Расчеты показывают, что в зоне
уrлов 8, отличающихся на + 15%
от 8 т1 , функция i1F (8) разнится от
i1F (8 т1 ) Bcero на 1
1 ,5%. Поэтому
дополнительное приращение предель

ной по устойчивости первоrо колеба-
ния наrрузки
МПД, обусловленное
демпферной обмоткой, равно
i1М пд === L\F (8 п ) М эм1 /(8 п
 8 нч )


 2,4D (8 п
 Онч)./Т с ,


I,J и
/F 1пф
М п


1,2


1,1


1,00


Tdo
с


1


2


.J


Рис. lO
15. Кратность пrедель

Horo механическоrо момента
(Мпф) ДВtirателя с форсируемым
возбуждением по отношению к
аналоrичному моменту (М п ) He

реrулируемоrо двиrателя
ивт!иво == 2


rде 8 п
 уrол 8 т1 , соответствующий
пределу устойчивости по первому
колебанию.
IIредельные уrлы ОП для различных Двиrателей при 8 нч == О
обычно находятся в диапазоне 120
1300. Коэффициент D зависит
rлавным образом от параметров демпферной обмотки, которые вы-
бираются из условий обеспечения асинхронноrо пуска двиrателя,
а период колебаний Те для различных машин изменяется в OCHOB

ном из
за неодинаковых значений инерционной постоянной. При
обычно встречающихся параметрах двиrателей для режимов
С 8 ич == О демпферная обмотка повышает предел динамической
устойчивости на 3
12%.
Переходный процесс при ударной наrрузке. ЭТОТ вид наrрузки
характеризуется rрафиком на рис. lO
 11, а. Зависимость 8 ::=:
== f (т), а с ней и друrие параметры процесса MorYT быть прибли-
женно рассчитаны последовательными приближениями на основе
результатов, полученных выше для нелинейных периодических
колебаний. Исходной предпосылкой является задание общеrо
вида функции 8 == f (т) или ее кусочно
линейной аппроксима-
ции [13].


242




l1усть, как и при малых постоянных ВОЗl'vlущениях, после при..
ложения значительноrо неизменноrо механическоrо момента М
(-) ::::= 8у
t
8aea't +
е/nе13,; cos h't, (1 O
9)
rде 8у
 установившееся значение 8;
8a и
8т
 начальные
значения апериодической и колебательной составляющих.
Коэффициент затухания а можно взять таКИl\1 же, как в случае
линейных колебаний; коэффициент
 и частота h изменяются в про..
цессе колебаний. Определим уrлы
8a и
8rrl' полаrая а,
 и h
известными. В начале переходноrо процесса уrол О, увеличиваясь
от начальноrо значения 8 нч , станет равным 801, коrда М ЗМ уравно"
весит М. Пусть это случится ко времени т == То. Тоrда из (10
9)
для 't == О И 1'0 будем иметь
8 нч === 8у + L\8 a + L\8 т ; 801::::= 8у + b CG L\ 8 a + bf3
8т,
r де Ь а ::::= e aLO ; Ь(3::::= e BLO cos h't о'
Отсюда найдем

ea ===
 [8у (1
 bf))
 801 + Ь в 8 нч ]/(Ь а
 brJ;
L\8 m ::::=
 [801
 Ь а 8 нч
 8у (1
 Ьа)]/(Ь а
 bf))'


(10..10)
( 1 0..11 )


Уrлу 801 соответствует равенство М ЭМ == М, т. е. p'tS == О при
't == 't o . Дифференцируя дважды (10
10), заl'v1еняя в полученном ре..
зультате't на То И приравнивая ero нулю, получаем еще одно урав..
нение для определения произвольных постоянных. Несложный
анализ показывает, что при практически встречающихся параме..
трах двиrателей это уравнение имеет вид
cos I
'to

2
11
. (10..12)
Таким образом при известных а,
 и '
 определяются 'То, Ь а и
bf). Остается найти уrол 801, поскольку расчет 8у по заданному мо"
. менту М не составляет большоrо труда. Соrласно (10..12) '{ о не
превышает Тс/4, и на таком малом отрезке времени э. д. с. Ed изме..
няется совсем незначительно. Поэтому уrол 801 можно вычислить ..
по уравнению МЭ
f == М, в котором М ЭМ представляется выраже..
нием (10..5) с постоянной Э. д. с. Ed == EdO. Наконец, по (10..1 О) и
(10
11) находится
8a и
8т'
Расчет yr ла 8 по (10..9) всдется на каждом полупериоде коле..
" баний (h't == л) последовательными приближениями для найден..
ных значений 8 у , 801 и а. "
Покажем схему расчета на приrлере.
Пример. К двиrателю прикладывается постоянный механический момент
М === 1,9. Параметры двиrателя: Xd === 0,844; x q === 0,574; xd === 0,304; xd==
=== 0,218; х; == 0,276; Т dO === 4 с; 7,:! === 0,0067 с; т; == О,ОI06 с; Hj == 8,22 с.
Данные исходноrо режима: и === 1,0; Ео === 1,5; E dO == 1,18; 8 пч === О. Предвари-
тельные расчеты даIОТ: 8у === 71 о; 801 === 430 30'. По данным
 9
 1 для е у === 710
значение а ==
0,00022. Коэффициент демпфеРНОI'О момента D в (3
34) рассчи-
тывается по приведеННЫJ\1 параметрам двиrат
ля и равен 4,3.


243




Первое полуколеt>ание.
Первое приближение: Ь а === 1; bf:) == О.
1. Ilo (1 o
 1 О)
8a ===
270 зо'. 2. По (10-11) l1 8 т == 430 30'. 3. Апериодиче

ская составляющая уrла 80 == 8у + д8 а == 430 30'. 4. Функции Бесселя для
д8 т === 43030': J o == 0,85; J 1 === 0,36; J 2 === 0,07.5. По (10-7) (последнее слаrае

мое учитыват ь не н ужно; вместо E dy следует подставить E dO ) М s == 2,62. 6. Ча

стота h == VMs/H j
 0,032. 7. По (10
8) MdB == 1,9; Md == 6,2. 8. Коэффициент

 ==
0,5Md/flj ==
OJOOI2. 9. Коэффициенты Ь а и bf;i: а) по (10
12) cos h't o ==
=== 0,075 и То
 47 рад; б) Ь а
 0,99; Ь р
 0,07.
Второе приближение: Ь а == 0,99; ЬВ == 0,07.
1.
8a ==
240 30'. 2. д8 т ==
460 ЗО'. 3. 80 == 460 30'. 4. J о === 0,84;
J 1 == 0,375; J 2 == 0,07. 5. Ms === 2,49. 6. h
 0,031. 7. MdB == 2,14; Md == 6,44.
8.
 ==
0,00125. 9. cos h'to === 0,081; То === 48 рад; Ь а === 0,99; Ьjз == 0,076.


8
800


60


0,8 40


20


о


0,2


O,'



0,5


D,B


1,0


'r'
С


Рис. 10-16. J'rол наrрузки двиrателя (1) и потоко-
сцепление ero обмотки возбуждения (2) в начале
процесса ударной наrрузки при Т do == 4 с


в третьем приближении практически дальнейшеrо уточнения нет. Таким
образом, на первом полуколебании 8 =:: 71
 24,5e
O.00022,",
 46,5e
0.00125,", Х
Х cos (0,031't). Первый максимум уrла ('t === 101 рад) 8 т1 == 870 30'.
В расчетах последующих полуколебаний отпадает определение уrлов А8а
и l18 m , но требуются приближения при нахождении э. д. с. Ed и фактической
амплитуды колебаний уrла д8 mш , от котороЙ зависят значения функций Бесселя.
Второе полуколебание. .
Первое приБЛИ'Jкение. 1.
8mш == 0,5 (8 т1
 8т2)' rде 8т2
 уrол 8, вычис

ляемый по предыдущему полуколебанию для 't == Т с; 8т2 == 11 о 24' и д8 т ф ==

 38 0 2 Q Q + А 8 а . О · 7 5Т е 2 / 8 о'

 . . Vo ==.: Vy lJ. ае , - rде Те == Л h; о == 47 30. 3. Функции
Бесселя для д8 mш : J о == 0,89; J 1 == 0,33; J 2 == 0,05. 4. Для расчета М s нахоДИМ
среднее значение' Ed === E da по (10-6) для 't == о, 75Т е: E da == 1,09. 5. М s ==
== 2,53. 6. h
 0,031. 7. MdB == 2,45; Md == 6,75. 8.
 ==
0,0013.
Второе приближение практически дает те же результаты. Таким образом,
на втором полуколебании 8 == 71
 24,5e
o,00022,",
46,5e
o,0013L cos (0,031't). Ми

нимальное значение уrла 8т2 при 't == 202 рад равно 10048'.
Аналоrично рассчитываются последующие колебания уrла 8. При 8
 8у
частота h изменяется мало в сравнении с начальными значениями, а
 увеличи

вается до
0,00164.


244




с помощью (10..6) МОЖНО рассчитать Ed ('Рв) === f (т); на основе
найденноrо значения в == f (т) по (3..29) и (3
30)
 токи машины,
по (3..34)
 электромаrнитный момент.
На рис. 10..16 приведены заВИСИlYI0СТИ 8, 'Рв === t (т) для процесса,
paccMoTpeHHoro в примере. Сплошные кривые построены по дан"
ным решения уравнений на аналоrовой вычислительной машине;
штриховые
 расчетные по изложенной методике. Аналоrичные
зависимости на рис. 10..17 относятся к тому же двиrателю, но
с уменьшенноЙ постоянной T do === 0,7 с и для случая, коrда М ===
== 1,8. Эти данные свиде..
тельствуют о том, что рас.. t, e

смотренный метод расчета (6 80
дает хорошие результаты
и в условиях значитель..
Horo изменения э. д. с. Ed.
Отметим, что он также
приrоден для машин с фор.. а,8 40
сируемым возбуждением.
Предел устойчивости
при периодической удар-
ной наrрузке. При такой
наrрузке (рис. 10..11, в)
возможны резонансные ко..
лебания. Они возникают,
коrда тl и Т2 равны нечет..
ному числу полупериодов
собственных колебаний
двиrате.пя Т с /2. Очевидно,
что если бы колебания yr ла в не затухали на протяжении тl и Т2, то
при указанных резонансных соотношениях двиrатель быстро вы..
падал бы из синхронизма. В действительности колебания уrла в
заrl'ухают, и поэтому резонансные явления будут проявляться тем
сильнее, чем меныпе Тl и Т2, удовлетворяющие условиям резонанса.
Кроме Toro, по rvlepe увеличения амплитуды колебаний уrла 8
период колебаний Тс изменяется и при неизменном периоде внеш..
Hero воздействия Т1 + Т2 условия резонанса нарушаются. Это об..
стоятельство оказывает существенное влияние на развитие коле..
баний двиrателя при периодической ударной наrрузке.
Процесс колебаний при нерезонансных условиях устанавли..
вается, начиная с TpeTbero или четвертоrо циклов изменения на..
rрузки. Значения максимальных уrлов вт в этих циклах для нере..
rулируеМОI'О двиrателя обычно несколько выше, чем в первом
цикле. Предельная наrрузка М п лежит между пределом статиче..
ской переrружаеrvlОСТИ (при 1'2 ----+- О) И пределом динамической
устойчивости при импульсной наrрузке с той же продолжитель..
ностью, что и при периодической наrрузке. ПоследниЙ достиrается,
если Т2

3/
. llри резонансных условиях предельная наrрузка
Мп зависит не только от значений тl и Т2: резонансные явления



 60


20


о


0,"



8


1,2



6


1('
2,0 с


Рис. 10
17. Уrо.п наrрузки двиrателя (1) и по

токосцепление ero обмотки возбуждения (2)
в начале процесса ударной наrрузки при
т do == 0,7 с


24е>




в нереrулируемом двиrателе при прочих равных условиях выра..
жены более резко в машине с большими постоянными T r10 и Hj и
с меньшим коэtрфициент()м Md'
На рис. 10..18 показана предельная пи устойчивости наl'рузка
в зависимости от '[2/'[1 для двиrателя, параметры KOToporo приве..
дены выше в примере. Отрезками ПрЯl\IЫХ отмечены значения М п
при импульсной наrрузке для указанных значений '[1. [рафики
построены по результатам расчета процесса на AB
\.


J
I1 п


1


I
1
I
)
5 -
j
'4

2
4
]


1"2/[1
I
О 1 2 J 4 5
Рис. 1 o
 18. Предельная наrрузка двиrателя при периодиче

ском ее характере (сплошные кривые
 для резонансных
условий; штриховые
 для нерезонансных условий)
Т 1 /ТС =-::: 0,5 (1); 1,0 (2); 1,5 (3); 2,0 (4); 3,5 (5)
Применение форсирования возбуждения в течение времени '[1
позволяет при нерезонансных условиях и '[1 > О,8Т с повысить М iI
до предела устойчивости по перВОlVlУ колебаНИIО для любых СООТ"
НОIIlений '[2/'[1' При наличии резонансных УСЛОВИЙ указанное pe

rулирование эффективно лишь для значительных отрезков Bpe

мени '[1 и '[2. При умеренных значениях '[1 и Т2 форсирование воз

буждения неспособно ослабить резонансные колебания.


10..5. АСИНХРОННЫЙ ДВvlr А ТЕЛЬ ПРИ УДАРНОЙ I
IA

rРУЗКЕ. Для асинхронноrо двиrателя с нормальными парамет

рами процесс при ударной наrрузке во мноrих случаях может
рассматриваться по уравнениям установившеrося реЖИ1tlа работы.
Однако в начальноЙ стадии процесса, пока скольжение двиrателя
мало, действительные (динамические) характеристики, в частно

сти зависимости потокосцеплений ротора Ч'аr И '1)(3r от скольжения
s, заметно отличаются от статических. Это является причиной по

rрешности в определении динамических свойств асинхронноrо
двиrателя с помощью статических характеристик.
При ударной мех
нической наrрузке цепь статора двиrателя
не претерпевает никаких измененпй, поэтоrvlУ уравнение напряже

246




ний этой цепи становится весьма простым, если пренебречь влия"
ннем ее активноrо сопротивления:
jU
 ==
is'
Здесь в качестве комплексной переменной U s принята веществен..
ная величина U s . Тоrда система уравнений (7..8)
(7..10), записан..
.
ная для вещественных переменных, с учетом Toro, что Фr == 'фаr +

f
 jФвn принимает вид
(р" + р;) 'ffЗr + sФаr == l1cP;U s; (р" + р;) Фаr
 S

Br == о;
Us'VarlXd + HjP"S == М.
Эта система может приближенно решаться способом, изложен..
ным в
 7..4. Qднако для рассматриваемоrо процесса функция
" .
(Р (т)
 J S d't менее rладкая, чем, например, для процесса пуска
о
двиrателя. Поэтому ее кусочно"линейная аппроксимация потре..
бует большоrо числа BpeMeHHblx отрезков с постоянным скольже..
нием.
При ударной наrрузке нмпульсноrо типа ее предельные пара..
метры
 lVlеханический момент М п и продолжительность действия
'Тl
 зависят от допускаемоrо l\tlаксимальноrо скольжения Sп дви"
rателя. В тех случаях, коrда М п больше максимальноrо электро"
маrнитноrо момента Ммакс. с на статической характеристике
М ЭМ == f (s), установившийся режим с таким значением механиче..
cKoro момента невозможен. Для подобных условий оказывается
совершенно неПрИI'ОДНЫМ решение линеаризованных уравнений
машины (см.
 9
 1), которое l'rfO}KHO было бы использовать для
ориентировочноrо представления переходноrо процесса. Поэтому
изберем здесь друrой путь: будем искать приближенное выраже..
ние заВИСИIv10стей Фап ФВr == f (s), которые вместе с уравнением
моментов машины позволят определить параметры режима в виде
функций времени.

Для оценки приближенноrо решения используем метод после..
довательных прибли}кений. Вводя в уравнения переменную
a ==
== s/p; === sT d , найдем из них п
e приближение для потокосцепле..
ний:


(фаr)п
 ФаlУ



( d'Фаr ) ( d'Фt3r )
d
cr п
l +
O' d
cr п
l Т , ( t ) .
1 + s
 d Р"":,а п
1,


(Ф(3r)п == Ч'Вrу



( d'ФВr ) ( d'Фаr )
d
a n
1

a d
(] n
1 Т' ( t ) .
1 + 1;
 d рт:д n
1,


T
 r US('Фаr)п
l ]
(РТ:Sа)п
l == Н! М
 x d '
247




rде установившиеся для данноrо значени я s (
a) потокосцепления:
Ч'аrу ==
cUs
(1/(l + G
); \fBry:== l-tс U s/(l + G
)'
Ввиду зависимости каждой из переменных -Фаr И
'Br от произ..
водных обеих переменных последовательность приближений при
малых значениях
(1 сходится медленно. Поэтому данный метод
мало удобен для практическоrо расчета зависимостей Фаr' ФВr ==
== t (
o) в этой зоне значений
o, а также при значительных ве..
личинах т;/ / Hj и М. Однако он позволяет оценить, при каких
значениях
(1 решение си..
стемы нелинейных уравне..
ний мало отличается от
решения уравнений ус..
тановившеrося режима.
С этой целью приближе..
ния (Фаr)п И (ФВr)1l можно
представить в виде раз..
ложений по степеням па..
раметра т;// Hj с коэффи"
циентами в виде опреде..
ленных функций
(1 и про..
l;6=sTd порциональных избыточ"
ным !vlOTvIeHTalVI М
 М Э}у:'
Рис. 1 o
 19. Потокосцепления ротора в Функ
 Анализ этих разложе-
ции параметра
(1 ний показывает, что при
1
 'Ф rv r ; 2
 'Ф А r ' РасчеТНbIе данные: U s == 1; Td /Н
 О 1 О 4 И уме
v\.; JJ ,2 J .
 ,
 , ..
, '2
Xd === 0,18; J-tc === 0,947; Т d /Hj == 0,1; М === 3 ренных значениях избы-
точноrо момента (не бо-
лее двух"трех единиц) динамические характеристики 'Par'
фf3r == f (
(1) (решение дифференциальных уравнений) мало отли"
чаются от статических (решение уравнений установившеrося ре..
жима) при
()
 0,6+1,0. На рис. 10..19 и 10..20 приведены для
сравнения динамические (сплошные кривые) и статические (штри"
ховые кривые) характеристики при различных значениях пара..
метра T'c//H j . Первые из них определены решением дифферен-
циальных уравнений на аналоrовой вычислительной машине.
Кружками отмечены расчетные значения по методу последов а..
тельных приближений. Указанные характеристики различаются
в своей начальной части тем сильнее, чеrvl больше параметр т;/ I н i'
В области 1\1алыХ значений ;(1 приближенное решение для 'ф
r
И ФВr может быть получено в виде степенных рядов. Преобразуем с
этой целью приведенную выше систему уравнений двиrателя к виду
d'ФВr
А п (В П
 Фаr) dt + ФВr +
(1Фаr :=:: l-tсUs;

a
d'Фаr
А п (В п
 'фаr) d
<1

(J'фВr + 'фаr == О,
rде А" == UsT;?/(HjXd); В п == MXd/U s .
248


CPcxr; Р/3,..
1,0




,
,
,
,
,
\;:


/
/
/
/ -R
//
о


0,5


1


2




и
Примем i3 качестве исходноrо режима Двиrателя ХОЛОСТОИ хоД
со скольжением, равным нулю (
ao === О). Тоrда начальные значе

иия потокосцеплений: ФаrО == о; 'фВJО === flc U s .
Представим 'фаr И 'ф(3r рядами:
2 3
Ч
а'
 al
a

 a2Ga

 аз
а + · . . ;
ФВ-r == Ь О
t- Ь 1
a + b2


t
 ьз

 + . . . .
Подстановка рядов в уравнения двиrателя и сравнение коэффи.
циентов при одинаковых степенях
a даIОТ следующие значения
постоянных:


Ь О .
а 1 === о; а 2 == 2А п В п
n
2

 aп
l + bп
2 + А п L (kakaп
k)
k==2
nАпВ п


Ь 2 .
аз === 3А п В п


а ===
п


Ь о ==
tcU s; Ь 1 === Ь 2 :=;::: Ь з === о;


ь
a2 . Ь аз + ь 4 . Ь
4:=::= 4А п В п ' 5 ===
 5А п В п ' п ===



n
2
aп
2 + bп
l
 А п
 (kaп
kbk)
k==4
пАпВ п


Решение для 'фаr И фв, в виде рядов справедливо при
a < 1. '
На рис. 10
19 и 10
20 расчетные значения ОТlVlечены крестиками.
Предельная импульс..
ная наrрузка. Выше OTMe

(X,.;tfpr
чалось, что предельная 1,0
наrрузка М п при задан

ноЙ продолжительности '"сl
не является однозначной,
а зависит от допускаемоrо
lVlаксимальноrо ско.пьже
 0,5
ния SП В момент снятия ее
с двиrателя. Связь между
М п , '"сl И
оп == Sй Td YCTa

навливается с помощью
соотношения, получаемоrо
интеrрированием ypaBHe

ния моментов двиrателя:


0,5


1,0



a==ST d


о



()"
Hj f d
a
't'l ===
 ,
T
 J\.1 п
 М ЗМ

ao
причем М ЭМ == UsФаr/Хd'
Статическая характеристика момента выражается
М ЭМ == 2М макс . c
a/ (1 +
;),


Рис. 1 O
20. Потокосцепления ротора в функ

ции параметра
a
1
 'ф а,; 2
 'ф 13,. РасчеТНbIе данные: U s == 1 ;
f '?
xd ==-- 0,18; Jlc == 0,894; Td
/Hi ==0,25; м ==3,3


уравнением
( 1 o
 13)


rде максимальный MOl'vIeHT Ммакс. с === 0,5
c и
/ Xd.
249




Обозначив J M == MM3Kc.cT l T d /H j ; т == M r /MM3KC.C' получим
расчетное соотношение в виде
So
J
 J d
 a (1 O
14)
м
 т
МЭМ/ММ3КС. с ·
600


Расчет J м' коrда М 5М определяется уравнением (1 o
 13), не
встречает трудностей, так как интеrрал в (lO
14) имеет аналитиче

ское выражение. На рис. 10
21 СПЛОIIJНЫМИ линиями представлены
rрафики т == f (J м) для различных значений пара метра
(JП, pac



т


1,5


f,O



 == q7
бл
D,/J
0,5 I
о,ч


0,50


2,5


5,0


7,5


10,0


J,.,


Рис. 1 O
21. Относительная импульсная механиче

ская наrрузка в функции параметра J М


считанные по (10
14) при
oo == О. Эти rрафики позволяют оценить
возможное значение наrрузки (т) при заданных ее продолжитель-
ности Tl и
оп' Уточнение (1 o
 13) при учете активноrо сопротив"
ления статора двиrателя 's вносит соответствующее уточнение
в расчет J м' Анализ поrрешности в определении J м при 's == О
показывает, что она зависит rлавным образом от параметра m.
При т
 2 поrрешность обычно не превосходит 4
5 % .
Параметр J
p вычисленный соrласно (lO
14) с поrvIОЩЬЮ дина..
мической характеристики M JM == f (
(1), отличается от приведен..
Horo на рис. 10
21. Там штриховыми линиями отмечены rраницы,
на которых действительный параметр J M получается на 10%
lVIеньше рассчитанноrо по статическим характеристикаrvI. Слева от
этих rраниц (заштрихованная область для одной из rраниц) по..
rрешность значительно возрастает, справа
 быстро уменьшается,
не превосходя обычно + 3%. rраницы 10
ь
ной поrрешности опре..
делены с помощью аналоrовой вычислительной машины для
т;/ / Hj == 0,1 (кривые 1) и 0,25 (кривые 2).
При пользовании кривыми рпс. 10
21 следует также иметь
в виду, что режимы с т
 0,9+ 1 , О MorYT оказаться неустойчи"
260




выми. При больших значениях J м (порядка 20
25) в этих случаях
возможен переход к параметрам
(JП, большим тех, которые полу..
чены по статическим характеристикам.
При включении в цепь ротора двиrателя дополнительноrо
активноrо сопротивления ,д постоянная Td уменьшается, и по..


JJ,


fO




п=J
.2
1
J ....
 ...
2'" ... ... ...

 dп:= ,............

1


20


о


2


к.,.


Рис. 1 O
22. Параметр J
 при различных актив

ных сопротивлениях ротора
СПЛОШНbIе кривые
 т == 1,05; ШТРИХОВbIе

т == 1,25


этому при различных ,д параметр J M не определяет однозначно
время Т1. В это:rvI случае удобнее рассматривать параметры J
 и


п, соответствующие постоянной Td при ,д === О. На рис. 10
22
приведены зависимости J
f === t (k r ), rде k r === ('r + 'д)/'r' Из Hero
8:1:
 .:az


видно, что при значительных наrруз.. 7.5
ках (т
 1,5) влияние сопротивле.. ) l1 п
ния ,д на ВОЗJ\10ЖНУЮ продолжитель..
ность действия наrрузки Т1 при за..
данном sп (

п) весьма мало. При
5,0
уменьшении наrрузки влияние ,д
начинает возрастать: для заданноrо
значения sп параметр J
 имеет ма..
ксимум при определенном значе.. 2
6
нии k r . Вместе с тем при заданном
времени Т1 изменением коэффициен

та k r можно уменьшить наибольшее
скольжение двиrателя, которое полу

чается в момент снятия наrрузки.
До сих пор речь шла об асин

хронном двиrателе с короткозамк..
нутой обмоткой ротора. Однако по

лученные выше результаты можно
распространить и на асинхронный двиrатель с роторным воз..
буждением. Уравнения напряжений цепи ротора для такой
машины приводятся к аналоrичным уравнениям для машины с ко..
роткозамкнутой обмоткой ротора изменением начальных значений
потокосцеплений ротора. Поэтому рассмотренные методы расчета
характеристик "'ar' "'f}r == t (
(1) остаются справедливыми для ма..
251


2


1


1:,
О 0,4 0,0 1,2 с
Рис. 1 O
23. Предельная импульс

ная наrрузка двиrателя с KO

роткозамкнутым ротором (1) и
при наличии pOTopHoro возбу

ждения (2)




шины с роторным возбуждением. Что касается предельных им

пульсных наrрузок машины с роторным возбуждением, то следует
иметь в виду, что ее электромаrнитный момент соrласно
 3
l
определяется при 8с == О в виде
flcU;
ane
М ===
эм x
 (1 +

)


2М макс . с ;а 1l е
1 ,t 2 '
Т I;,a


rде п е
 1 + (JcU,/(llcUs); и,
 напряжение ротора. Поэтому при
расчете параметров т и J м следует в рассматриваемом случае
вместо Ммакс. с нодставлять Ммакс. спе'
Можно видеть, что роторное возбуждение асинхронноrо дви

rателя (п е > 1) позволяет улучшить ero динамические свойства
при ударной наrрузке: при заданном sп возбуждение в роторе
позволяет увеличить наrрузку М п .
На рис. 10
23 приведены для сравнения rрафики М п

 f (С1)
при SП

 0,15, относящиеся к двиrателю с короткозамкнутым po

тором и с роторным возбуждением при и, == 2,5. Параметры Ma

шины указаны в подписи к рис. 10
20.


Список литературы


1. Алябьев М. И. Параметры и переходные процессы синхронных машин.

Л.: Изд
во ВМАКВ им. А. Н. Крылова, 1953.
2. Алябьев М. И. Общая теория судовых электрических :машин.
 Л.:
Судостроение, 1965. I
3. Анормальные режимы работы крупных синхронных машин/Е. Я. Ка-
зовский, Я. Б. Данилевич, Э. [. Кашарекий, [. В. Рубисов.
 Л.: Наука, 1969.
4. Ботвинник М. М. ..L\синхронизированная синхронная машина.
 М.:
rосэнерrоиздат, 1960.
5. Важнов А. И. Основы теории переходных процессов синхронной ма-
шины.
 Л.: rосэнерrоиздат, 1960.
6. Важнов А. И. Электрические машины.
 Л.: Энерrия, 1969.
7. Важнов А. И. Самораскачивание машины двойноrо питания.
 Труды
лпи им. М. и. Калинина, 1953, NQ 3.
8. Важнов А. И. Движение ротора синхронноrо reHepaTopa при внезапном
коротком замыкании.
 Труды ЛПИ им. М. 11. Калинина, 1958, NQ 195.
9. Важнов А. И. Статическая устойчивость асинхронной машины с воз-
буждением в цепи ротора.
 Электромеханика, 1959, NQ 12.
10. Важнов А. И., Попов В. В. Динамическая устойчивость асинхронноrо
reHepaTopa с возбуждением в цепи ротора.
 Электромеханика, 1960, NQ 11.
11. Важнов А. И. Динамическая устойчивость синхронноrо двиrателя при
ударной наrрузке.
 Изв. АН СССР. Энерrетика и автоматика, 1962, NQ 3.
12. Важнов А. И. Динамическая устоЙчивость асинхронноrо двиrателя
при ударной наrрузке.
 Изв. АН СССР. Энерrетика и автоматика, 1962, NQ 4.
13. Важнов А. И. Метод расчета движения ротора синхронноrо двиrателя
при больших колебаниях.
 Изв. АН СССР. Энерrетика и автоматика, 1962, NQ 5.
14. Важнов А. И., Чернышев Н. Н. Развитие метода скольжения для опре

деления параметров синхронной машины.
 Труды ЛПИ им. М. И. Калинина,
1969, NQ 301.


252




15. Важнов А. И. К вопросу о расчете переходноrо процесса аСИIIхронноrо
двиrателя при ударной наrрузке.
 Труды ЛПИ ИМ. М. И. Калинина, 1964,
NQ 241.
16. Веников В. А., Иванов
Смоленский А. В. Физическое моделирование
электрических систем.
 М.; tlТ"I.: rосэнер rоиздат, 1956.
17. Веников В. А. Электроыеханические переходные процессы в электриче

ских системах.
 М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1958.
18. Веников В. А. Самовозбуждение и самораскачивание электрических
машин.
 М.: Высшая школа, 1964.
19. 80льдек Л. И. Электрические машины.
 Л.: Энерrия, 1974.
20. rордон И. А. Трехфазное короткое замыкание синхронноrо reHepaTopa
при неодновременном замыкании фаз.
 Изв. tIИIIПТ, 1962, NQ 9.
21. rOpeB А. А. Переходные процессы синхронноi'i машины.
 Л.: rосэнер

rоиздат, 1950.
22. rлебов И. А. Системы возбуждения синхронных reHepaTopoB с управ

ляемыми преобразователями.
 М.; Л.: Изд
во АН СССР, 1960.
23. rрузов Л. Н. J\;1етоды математическоrо исследования электрических
машин.
 Л.: rосэнерrоиздат, 1953.
24. Данилевич Я. Б. 7 Домбровский В. В., Казовский Е. Я. Параметры элек

трических машин переменноrо тока.
 Л.: Наука, 1965.
25. Долrинов А. И. Резонанс в электрических цепях и системах.
 М.:
rосэнерrоиздат, 1957.
26. Иванов
Смоленский А. В. Электромаrнитные поля и процессы в электри

ческих машинах и их физическое моделирование.
 М.: Энерrия, 1969.
27. Иосифьян А. r. о линейных преобразованиях токов электрических
машин.
 Бюл. ВЭИ, 1940, NQ 8.
28. Казовский Е. Я. Исследование нелинейных колебаний синхронной
машины при набросе наrрузки.
 В кн.: Электросила, 1950, NQ 7.
29. Казовский Е. Я. Некоторые вопросы переходных процессов в машинах
переменноrо тока.
 М.; Л.: rосэнер rоиздат, 1953.
30. Казовский Е. Я., Костенко М. П. Современные методы рассмотрения
переходных процессов в электрических маlпинах переменноrо тока.
 Энерrе

тика и автоматика, 1959, NQ 4.
31. Казовский Е. Я. Переходные процессы в электрических машинах пере

MeHHoro тока.
 М.; Л.: Изд
во АН СССР, 1962.
32. Казовский Е. Я., Насибов В. А., Рубисов r. В. Переходные процессы
при отключении кратковременных коротких замыканий синхронных машин.

Изв. АН СССР. Энерrетика и транспорт, 1972, N2 5.
33. Кимбарк Э. Синхронные машины и устойчивость электрических си

стем.
 М.; Jl.: rосэнерrоиздат, 1960.
34. Ковач К. П., Рац И. Переходные процессы в машинах переменноrо TOKa.

М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1963.
35. Конкордиа Ч. Синхронные машины.
 М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1959....
36. Кононер.ко Е. В., Сипайлов r. А., Хорьков К. А. Электрические ыa

шины.
 М.: Высшая школа, 1975.
37. Копылов И. П., Мамедов Ф. А., Беспалов В. Я. Математическое модели

рование асинхронных машин.
 М.: Энерrия, 1969.
38. Копылов И. П., Щедрин О. П. Расчет на l
Bj\;\ характеристик асинхрон

ных машин.
 М.: Энерrия, 1973.
39. Костенко 1\\. П. Электрические машины. Специальная часть.
 Л.;
М.: rосэнерrоиздат, 1949.
40. Костенко М. П., Коник Б. Е. Определение основной и третьей rармоник
поля якоря и поля полюсов ЯВНОПО.тJюсной синхронной машины.
 Электри

чество, 1951, NQ 3.
41. Костенко М. П., Пиотровский Л. М. Электрические машины.
 Л.:
Энерrия, 1973. Ч. 1 и 2.
42. Куцевалов В. М. Вопросы теории и расчета асинхронных машин с Mac

сивными роторами.
 М.; Л.: Энерrия, 1966.
43. Лайбль Т. Теория синхронной машины при переходных процессах.

М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1957.


263




44. Лайон В. Д.нализ переходных процессов в электрических машинах пере

MeHHoro тока.
 М.; Л.: rосэнер rоиздат, 1958.
45. Левинштейн М. Л. Явление параметрнческоrо резонанса при работе
синхронной ;\lаlПИНЫ на еiVJКОСТНУЮ наI'РУЗКУ.
 Труды лпи им. М. И. Кали

нина, 1948, М2 3.
46. Левипштейи М. Л. Опер.зционное исчисление и ero приложения к зада

чам электротехники.
 Л.: Энерrия, 1964.
47. Лютер Р. А. Теория переходных режимов синхронных маllIИН с приме

нением операторноrо анализа.
 Л.: 1939.
48. Лютер Р. А. О моментах вращения синхронной машины при периоди

ческих ее качаниях.
 Электричество, 1940, NQ 2.
49. Лютер Р. А. Методика расчета ТО1\:ОВ KopoTKoro замыкания синхронной
машины с использованием теоремы о постоянстве потокосцеплений для CBepx

проводящих контуров.
 В кн.: Электросила, 1947, NQ 4.
50. Лютер Р. А. Моменты вращения синхронной машины в асинхронном
режиме.
 Вестник электропромышленности, 1948, NQ 10.
51. Лютер Р. А. Расчет моментов вращения синхронных машин при KOpOT

ких замыканиях.
 В кн.: Электросила, 1950, NQ 7.
52. Лютер Р. А. ПриближенныЙ способ проверки устойчивости работы син

хронной машины по уrловым характеристикам синхронизирующеrо момента
вращения.
 В кв.: Электросила, 1951, NQ 8.
53. Лютер Р. А. Параметры синхронной маПIИНЫ с учетом насыщения.

В кн.: Электросила, 1951, NQ 10.
54. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения.
 М.; Л.:
ОНТИ, 1935.
55. Мамиконянц Л. r. о переходных процессах в синхронных машинах
с успокоительными контурами на роторе.
 Электричество, 1954, N2 7.
56. Постников И. М., Важиов А. и. Электромаrнитный 1\10MeHT синхрон

ной машины при rлалых качаниях.
 Электричество, 1951, NQ 8.
57. Постников И. М. Обобщенная теория и переходные процессы электри

ческих машин.
 М.: Высшая ПIкола, 1975.
58. Рюденберr Р. Переходные процессы в электроэнерrетических систеl\13Х.

М.: Изд
во иностр. лит., 1955.
59. Страхов С. В. Переходные процессы в электрических цепях, содержа

щих маlUИНЫ переменноrо тока.
 М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1960.
60. Трещев И. И. Методы исследования электромаI'НИТНЫХ процессов в Ma

шинах перемеНllоrо тока.
 Л.: Энерrия, 1969.
61. Турбоrенераторы/В. В: Титов, [. М. Хуторецкий, r. А. Заrородная
и др.
 Л.: Энерrия, 1967.
62. Урусов И. Д. Линейная теория колебаниЙ синхронноЙ машины.
 М.;
Л.: Изд
во АН СССР, 1960.
63. Щедрин Н. Н. Токи KopoTKoro замыкания высоковольтных систем.

Л.; М.: ОНТИ, 1935.
64. Щедрин Н. Н. Простейшее истолкование явления параметрическоrо
самораскачивания синхронной машины, соединенной с шинами постоянноrо
напряжения и постоянной частоты.
 Труды ЛПИ им. М. И. Калинина, 1948, NQ 3.
65. Щедрин Н. Н. Некоторые методы расчета rраниц самовозбуждения
асинхронных и синхронных машин. К вопросу о емкостном самовозбуждении
синхронных и асинхронных машин.
 Труды ин
та энерrетики и автоматики
АН УзССР, 1958, вып. 11.
66. Электродинамическое моделирование энерrетических систеы: [Сб. статей]/
Под ред. М. Костенко.
 М.; Л.: Изд
во АН СССР, 1959.
67. Янко
Триницкий А. А. Новый метод анализа работы синхронных дви

rателей при резкопеременных наrрузках.
 М.; Л.: rосэнерrоиздат, 1958.
68. Яико..Триницкий А. А. Электромеханическпе переходные процессы
в синхронных машинах.
 Электричество, 1957, NQ 8.
69. Doherty R. and Nickle С. Synchronous machines.
 AIEE Trans.
Parts 1 and 2. Ап extension of Blondel' s t\VO reaction theory. Steady state
po\yer angle characteristics, 1926.


264




Part 3. Torque-angle characteristics llI1der transient cOl1ditions, 1927.
Part 4. Synchronous machines, single phase short circuit, 1928.
Part 5. Three
phase short circuit sуnсhrопоus machines, 1930.
70. Кrоп G. Generalized Theory of Electrical Масhiпеrу.
 AIEE Trans., 1930.
71. Park R. а) Definitioll оУ ап ideal synchronous rnachine and formula for
the armature flux linkage.
 GER, 1928; Ь) Т ,\ o
reaction theory of synchronous
mасhiпеs
gепеrа1izеd method of analysis.
AIEE Trans. Part 1, 1929; Part 2, 1933.
72. Rankin А. а) The equations of ап idea1ized synchronous machine.
 GER,
1944; Ь) Pe[
unit impedal1ces of sYIlchronous machines.
 AIEE Trans., 1945.
Parts 1 and 2; с) ТЬе direct
 and quadrature
axis equivalent circuits of the syn

chronous rnachine.
 AIEE Trans., 1945.


Оrлавление


Предисловие
Введение


1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
О МАШИНАХ ПЕРЕМЕнноrо TOI(A


5
6


1
 1. Общие определени я .' . . . . . . . . . .. . . . . . . 9
1-2. Маrнитная система и обмотки машин .......... 1 О
1
3. Маrнитные поля и идеализация машин . . . . . . . . . . . . . . 12
1-4. Потокосцепления и индуктивности обмоток синхронной маШины . . . .. 15
1-5. Линейные преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . .'. . . .. 20
1- 6. Потокосцепления и индуктивности обмоток синхронной машины в различных
системах КООРДинат . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30
1- 7. Потокосцепления и индуктивности трехфазных обмоток машины с симметрич

НЫМ ротором ............................. 38
1-8. Мощность и электромаrнитный момент в различных системах КООРДинат 41
2. УРАВНЕНИЯ МАШИН ,LПЕРЕМЕнноrо ТОКА


2
 1.
2
2.
2-3.
2-4.
2
5.
2-6.
2
7.
2
8.
2-9.


Исходные уравнения .........................
Преобразование уравнений напряжений синхронной машины ......
Преобразование уравнений напряжений машин с трехфазными обмотками и
симметрич ным ротором ........................
Уравнения машин, содержащие переменные с физической размерностью
Система относительных единиц ....................
Уравнения в относительных единицах для машин с одной обмоткой на роторе
Уравнения в относительных единицах для синхронной машины с демпферной
обмоткой
операторныle . ура
нен
я' син'хро
ной' М'aI.llи
ы' . . . .
Динамические параметры обмоток машин . . .


3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ПРИ СИНХРОННОЙ
ИЛИ ПОЧТИ СИНХРОННОЙ ЧАСТОТАХ ВРАЩЕНИЯ МАШИНЫ


у становившийся режим . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Общая характеристика системы дифференциальных уравнений машины
Свободные токи в простейших цепях . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Свободные токи и потокосцепления в машине с трехфазной обмоткой на
симметричном роторе .........................
Свободные токи и потокосцепления в синхронной машине . . . . . . . .
Приближенное решение дифференциальных уравнений синхронной машины
4. ВНЕЗАПНОЕ СИММЕТРИЧНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ БЕЗ ДЕМПФЕРНОЙ ОБМОТКИ
4
1. Общие замечания . . . . . . . . . .
4-2. Общие физические представления . . . .
4-3. Токи в цепях машины ..... . . . .
4
4. Постоянные времени ....... ......
4-5. Электромаrнитный момент при коротком замыкании . ....
4
6. Электромаrнитный момент после ОТI{лючения KopoTKoro замыкания


3
 1.
3-2.
3-3.
3
4.
3-5.
3
6.


265


46
48
53
55
57
66
71
73
78
,-


84
91
92
95
100
102


112
113
116
122
124
127




5.
ВНЕЗАПНЫЕ
СИНХРОННОЙ
НЕСИММЕТРИЧНЬfЕ КОРОТКИЕ ЗАМЫКАНИЯ
МАШИНЫ БЕЗ ДЕМПФЕРНОЙ ОБМОТКИ
51. Предварительные замечания . . .
5-2. Общие физические представления ....
53. Токи при двухфазном коротком замыкании
5-4. Токи при однофазном коротком заМbIкании . . . . . . .
5.5. Постоянные времени ...........
131
132
134
140
143
6. ВНЕЗАПНОЕ КОРОТКОЕ ЗАМЫКАНИЕ
СИНХРОННОЙ МАШИНЫ С ДЕМПФЕРНОЙ ОБМОТКОЙ
6-1. Токи трехфазноrо KopoTKoro замыкания ............ 144
6-2. Постоянные времени затухания токов. . . . . . . . . . . . . 153
6-3. Токи двухфазноrо и однофазноrо коротких замыканий ......... 155
6-4. ЭлектромаrНИТНbIЙ момент при трехфазном коротком замыкании 157
65. Движение ротора маШИНbI при трехфазном коротком заМbIкании . . . .. 158
6-6. Электромаrнитный момент при отключении трехфазноrо KOpOTKOr-О замыка-
ния ..... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 160
7.
ПРОЦЕССЫ ПРИ НЕСИНХРОННОЙ
ЧАСТОТЕ ВРАЩЕНИЯ МАШИНЫ
7-1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 162
7 -2. АСИНХРОННblЙ режим синхронной маШИНbI при постоянном скольжении 163
73. Влияние активноrо сопротивления статора на асинхронный режим синхрон
ной маш и ны. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 168
7 -4. Решение уравнений асинхронной машины при переменном скольжении 168
7 5. Пуск асинхронноrо двиrателя .... . . . . 174
7-6. Реверсирование асинхронноrо двиrателя ................ 179
8.
РЕЖИМ МАЛЫХ КОЛЕБАНИЙ
8-1. Общие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 183
8-2. Малые колебания синхронной маШИНbI при пренебрежении активными
сопротивлениями ........................... 184
8-3. Малые колебания синхронной маШИНbI с учетом активных сопротивлений
р оТо р а . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1 86
8-4. КоэффициеНТbI синхронизирующеrо и демпферноrо моментов синхронной
маШИНbI ............................... 192
8-5. Синхронная машина при пульсирующем механическом моменте. . . . .. 195
86. КоэффициеНТbI синхронизирующеrо и демпферноrо моментов машины с трех-
фазной обмоткой на симметричном роторе. . . . . . . . . . . . . . .. 200
9. ДИНАМИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МАШИН
ПРИ МАЛЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ РЕЖИМА
9-1. Переходные процессы при маЛblХ возмущениях установившеrося режима 204
9-2. Статическая устойчивость. Общий метод ................ 212
9-3. Статическая устойчивость. Анализ коэффициентов синхронизирующеrо и
демпферноrо моментов. . . . . . . . . . . . . . . 216
9-4. Статическая устойчивость реrулируемой машины 218
9 -5. Самовозбуждение синхронной маши ны .......... 222
10. ДИНАМИ ЧЕСКИ Е СВОЙСТВА МАUJИН
ПРИ ЗНАЧИТЕЛЬНЫХ ВОЗМУЩЕНИЯХ РЕЖИМА
101.
10-2.
10-3.
10-4.
10-5.
Общие замечания ..........................
Динамическая устойчивость СИНХРОННblХ reHepaTopoB. Метод площадей
Повышение динамической устойчивости реrулированием возбуждения
машины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Синхронный двиrатель при сильно изменяющейся наrрузке
Асинхронный двиrатель при ударной наrрузке
Список литературы ....... ...........
225
227
234
236
246
252