/
Автор: Лебедев В.Н.
Теги: космодинамика монография космические аппараты космонавтика гравитация космическая техника теория гравитации
Год: 1968
Текст
> ДЕМ И Я НАУК СССР
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
(Я). /36
/1-33
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ДИНАМИКЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
ВЫПУСК 5
В.Н.ЛЕБЕДЕВ
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
С МАЛОЙ ТЯГОЙ
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АН СССР
МОСКВА-1968
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
В ДИНАМИКЕ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В Ы ПУСК 5
В.I [.ЛЕБЕДЕВ
РАСЧЕТ ДВИЖЕНИЯ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
С МАЛОЙ ТЯГОЙ
| БИБЛИОТЕКА
। ИН-> А
’ М икяи ?ШЕЙШНИ
| АН СССР
>4. АН СССР
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР АН СССР
MIKKBA-IWi
Ответственный редактор
член-корр. АН СССР Н. Н.МОИСЕЕВ
введение:
Развитие космической техники привело в настоящее
время к созданию межпланетных космических аппаратов.
Космический аппарат является искусственным небесным
телом, на которое, кроме ньютоновских сил взаимодейст-
вия, действует сила тяги двигателя. Движение космичес-
кого аппарата является предметом изучения новой ветви
механики - механики космического полета.
Двигатели космических аппаратов могут быть двух ти-
пов. Относящиеся к первому типу развивают тягу, превос-
ходящую ньютоновскую силу, но в течение короткого про-
межутка времени. Ко второму типу относятся двигатели
малой тяги, работающие продолжительное время.
В настоящей книге рассматривается динамика косми-
ческого аппарата с малой тягой. В ряде случаев силу тяги
можно считать малой по сравнению с ньютоновской силой
и рассматривать ее как возмущение. Это обстоятельство
позволяет использовать классические методы теории воз-
мущений небесной механики или другие асимптотические
методы. Применение их дает возможность получить при-
ближенное аналитическое решение некоторых задач, а во
многих других случаях дает наглядные физические пред-
посылки для численного решения.
В работах Г.Л.Гродзовского, Ю.Н.Иванова, В.В.Тока-
рева поставлена важная задача об отыскании оптимальных
характеристик космического аппарата с малой тягой, вы-
полняющего заданный маневр. Ими показано, что в неко-
торых случаях решение поставленной задачи можно полу-
чить, произведя предварительно расчет движения косми-
ческого аппарата.
Настоящая книга посвящена изложению методов рас-
чета движения космического аппарата с малой тягой. С
помощью предложенных методов выполнены многочислен-
ные расчеты, которые могут иметь самостоятельный инте-
рес. В последней главе рассматривается несколько приме-
ров, иллюстрирующих метод, которым можно найти опти-
- 3 -
мальные характеристики космического аппарата на основа-
нии расчета его движения.
При решении всех задач, включенных в книгу, предпо-
лагалось, что космический аппарат снабжен нерегулируе-
мым двигателем. Кроме того, всегда предполагалось,
что космический аппарат, рассматриваемый как матери-
альная точка, движется в гравитационном поле одного
тела. Возмущения вследствие несферичности планеты,
сопротивления атмосферы и т.д. не учитывались.
Основное содержание книги составили задачи, реше-
ние которых получено автором в лаборатории обшей ме-
ханики и гидродинамики Вычислительного центра АН
СССР. В тех местах, где использовались результаты
других авторов., сделаны соответствующие ссылки. Кроме
того, автор считает своим долгом отметить, что в третьей
главе использовались результаты неопубликованных работ
И.А.Вателя, И .Е.Вольфсона, А.А.Голубевой, Ф.Д .Турецкой,
Автор приносит благодарность Н.Н.Моисееву, Ю.Г.Ев-
тушенко, А.Ф.Кононенко, А.А.Петрову и С.Н.Мирошнику,
внимательно прочитавшим рукопись книги и сделавшим
ряд полезных замечаний.
Глава пер вал
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЫЕ СПОСОБЫ УПРАВЛЕНИЯ
КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ
Одной из важных задач, относящихся к проблеме уп-
равления космическим аппаратом, является отыскание и
исследование простых схем управления, позволяющих вы-
полнить тот или иной маневр. Эти способы управления не
обязательно должны быть близкими к оптимальным. Ос-
новное требование к ним - простота анализа и реализации
(по сравнению с оптимальными управлениями). В настоя-
щей главе исследуются способы управления, сохраняющие
постоянными значения оскупирующих элементов или наибо-
лее быстро изменяющие их. Эти способы, а также их
комбинации позволяют выполнять самые разнообразные ма-
невры*
§ 1. Дифференциальные соотношения для оскулирующих
элементов
Если тягу двигателя рассматривать как возмущающую
силу, то движение аппарата можно описать уравнениями
Ньютона теории возмущенного движения [1]
а? - \Г’(si"<1-1>
<1,2)
ul V г* 1+CcOSlF Т
= 11/Ёr,cos»flr + s-^^^ 0ф- f-si^ctf-яЛ; (1.3)
dt V L Г 1 + Ceos О' Ч* l+Ccosft ZJ
dQ Jp sinMcosecj л . /i дч
dt V 1 + Ccosi z 9
41 =\|L c.os“ я ; (1.5)
dt v^i+ecosfr*’
Р2
€p.(l+ecos# )2
(eNsin 5-cosd-)a + — -N a
l+Ccosu- Y
(1.6)
где U = 00+ li;
N« 2 ? совУАУ
1+«с°’% (1+есо8Й/)3
и & связано c t уравнением
* и о Q+ecosii')2
здесь е " эксцентриситет; р - параметр; оо “ угловое
расстояние перицентра от узла: Q - долгота восходящего
узла; i - наклонность орбиты; т - время прохождения
через перицентр; t - время; 4 - истинная аномалия; и -
аргумент широты; dr,a^,a2 * проекции реактивного ус-
корения (отношения силы тяги к массе аппарата) на на-
правление радиуса-вектора, на перпендикулярное к нему в
плоскости орбиты и на перпендикулярное к плоскости ор-
биты; |х = fM • произведение гравитационной
на массу притягивающего центра.
Вместо элементов е, р можно использовать
расстояние до перицентра
расстояние до апоцентра
Га'
и большую полуось
Продифференцировав выражения (1.7) - (1.9)
зуя (1.1), (1.2), получим
константы
величины:
(1.7)
(1.8)
(1.9)
и исполь-
- 6 -
3? = ("1'^F\/T[esinefl'-+(1 + ecos^fl<p]’
В системе уравнений (1.1) - (1.6) в качестве первых
двух уравнений можно взять любую пару уравнений (1.1),
(1.2), (1.10) - (1.12) [2].
§2. Простые способы управления тягой космического
аппарата
Непосредственно из системы уравнений (1.1) - (1.6)
следуют несколько простых способов управления косми-
ческим аппаратом, основанных на изменении элементов
орбиты. Так, например, из уравнения (1.2) видно, что если
вектор тяги двигателя направить в плоскости орбиты пер-
пендикулярно радиусу-вектору (по трансверсали), то пара-
метр р будет изменяться со скоростью, максимально воз-
можной при заданной величине тяги. Если же проекция тя-
ги на трансверсаль равна нулю, то параметр будет оста-
ваться постоянным. Из уравнений (1.4) и (1.5) следует,
что на положение плоскости орбиты в пространстве влияет
только нормальная к мгновенной плоскости орбиты состав-
ляющая силы тяги, причем для монотонного изменения на-
клонности орбиты необходимо изменять направление тяги
на обратное в точках, где и = ±л/2, а для монотонного
изменения долготы восходящего узла переключения долж-
ны происходить на линии узлов, где ц = 0, л. Качествен-
ный и количественный (на основе метода усреднения) ана-
лизы изменения элементов орбиты под действием нормаль-
ной к плоскости орбиты силы тяги дан в работе [3] . Для
случая круговой орбиты и постоянного реактивного ускоре-
ния в работе [4] решение задачи получено в конечном
виде.
Рассмотрим плоские маневры космического аппарата
(а 2 = 0) . Пусть а - модуль реактивного ускорения, К -
угол между радиусом-вектором аппарата и вектором силы
тяги (рис. 1). Тогда ar = acosX, = asinX, и дифферен-
циальные соотношения (1.1) - (1.3) и (1.10) - (1.12) для
элементов 6, р, оо, Тп, Та» А запишутся следующим обра-
зом:
de \ Гр . & . ecos2l> + 2 cosiJ+€' • Л I
— = а и*- sin ucosX +---------и----sinXI; (1.13)
dt V м* L 1 + ecosfr J ’ v 7
- 7 -
dp dt -2ap\j I 1 esinX; 1 + Ccosi> (1.14)
du dt .a\[P. e у o- -cos teosX+8-»Р_Дsinx" l + tfcosu _ 9 (1.15)
d?n др \i Гр 2(1— cos&)+esin2 d • ,,J ; (1.16)
dt (1+e)2 Olli SZ V-O о /V _ 1 + e co s v
\/IFsin 1Vcos Х+ 2(Uc?s^-*sttin2ftSin х] ; (1.17)
dt (i-e)2 V 1 L i + ecosi> J '
5^-“—— -P- \l — [ esindcos X+(1 + ecostl) sinX ]. (1.18)
dt (1-e2)2 ’ 1
Все полученные соотношения имеют вид
= -^-(fj(e, p, il)a>sX+f2(er p, #)sinX], (1.19)
здесь К “ любой из шести рассматриваемых элементов;
fl и f2 " известные функции С, р, 1>. Приравняв выраже-
ние (1.19) нулю, находим управление
f,(e, р, *)
tg X =--1,
f2(e,P,*)
обеспечиваю шее постоянство элемента К.
Чтобы найти управление, обеспечивающее максимальную
скорость изменения элемента К, приравняем нулю частную
производную по X функции (1.19), полагая, что ускорение
а явно не зависит от X:
= -*= l-fjCe, р, i»sinx+f2(e, р, &)cosx]- 0,
dA al у И»
(1.20)
откуда находим
sin?. ®
cosX »
f 9 Р» $) tg x = — ; Г/С.РЛ) (1.21)
f2(e, P, *) . (1.22)
t/lf/e,P,*)l2 + tf2(e,p, &)]2
Gte.P, *) , (1.23)
±/Цх(е, P, *))2 + lf2(e, P. £)12
— 8 —
Рис. 1
Подставим полученные значения sinX и cosX в выражение
для второй производной функции dK/dt по X и в значение
производной dK/dt:
^2 = ~ р» ^)cosX -f2(e, р, i>)sinx] -
ЭХ а 1 ^/рГ
-т 4= А(с’р’ J)]2 + ’
57 - ±-7=^\/[fl(е, Р, &)]2+ [f2(e, р, Л)]2 .
UL V z
Таким образом, управление
t Р* Л Р*
tgX » ---------; sinX « z — - ---------
'i(С’ Р’ v^tf/e, р, *)]2 + [f2Ce, р, S-)]2
обеспечивает максимальную скорость возрастания величины
К, а управление
fl<c,p,’W /if 1 («, P, >»12 + [f2(c, P, «)1!
соответствует максимальной скорости убывания К.
- 9 -
Из сравнения формул (1.20) и (1.21) следует, что
векторы тяги, обеспечивающие постоянство величины К и
максимальную скорость изменения ее, перпендикулярны.
Применяя изложенную процедуру к соотношениям
(1.13) - (1.18), получаем следующие способы управления
аппаратом:
1) управление, обеспечивающее постоянство эксцентри-
ситета
tgX = _li^(l±ecos^; (].24)
Ceos2 19-ч- 2cos 1J+ С
2) управление, обеспечивающее постоянство параметра
X = 0, Ххл (1.25)
(радиальная тяга);
3) управление, обеспечивающее постоянство положения
линии апсид
"-26>
4) управление, обеспечивающее постоянство расстояния
до перицентра
tcT\ = + ecosfl) . /]*27)
2(1 — cosi)) + £sin2 A
5) управление, обеспечивающее постоянство расстояния
до апоцентра
tgx = _ sinaq + eeosfl) . (Е28)
2(l+cos d) — 6sin2 A
6) управление, обеспечивающее постоянство большой
полуоси
1 + Ccos
(нормальная тяга);
7) управление, обеспечивающее максимальную скорость
изменения эксцентриситета
. . ecos2A+2cos&+ е . Z1
. л/1 &
sin v(l + Ccosth)
8) управление, обеспечивающее максимальную скорость
изменения параметра
X=±7i/2 (1.31)
(трансверсальная тяга);
- 10 -
9) управление, обеспечивающее максимальную скорость
вращения линии апсид
tgx~ -tgfl?.tecosl* ; (1.32)
1+Ccosi>
10) управление, обеспечивающее максимальную скорость
изменения расстояния до перицентра
. . _ 2(1-cos6)+esin2ii . ,, <n
tgX-'s^(i + ecosi» ’ (h33)
11) управление, обеспечивающее максимальную скорость
изменения расстояния до апоцентра
tgx = esin2fl (J >34)
sin 15(1 + Ceos iJ)
12) управление, обеспечивающее максимальную скорость
изменения большой полуоси
. л 1 + 0COS15 ,,
'=Л-Т^7Л-
(тангенциальная тяга).
Из формул (1.24) - (1.35) следует, что направление
вектора тяги зависит только от эксцентриситета и истинной
аномалии. Эти величины можно выразить через координаты
аппарата и составляющие его скорости. Если использовать
полярную систему координат, то управление будет зависеть
от расстояния между притягивающим центром и аппаратом
Г и от радиальной и трансверсальной составляющих скоро-
сти U и у. Вид этой зависимости можно найти при помощи
соотношений
е = У( г v2 - l)2 + (ruv)2;
sin£ = ;
У(Г V2- 1)2 +(ruv)2
cos*. ™2.-l
>/(rv2-i)2 + (ruv)2
Некоторые из формул (1.24) - (1.35) приведены в ра-
боте [5].
- 11 -
§3. Некоторые свойства простых управлений
Соотношения (1.24) - (1.35) определяют направление
вектора тяги. Если величина реактивного ускорения явля-
ется регулируемой, она должна быть равной максимально-
му значению, т.к. скорость изменения оскулируюших эле-
ментов пропорциональна величине реактивного ускорения.
Для случая постоянной тяги и постоянного секундного
расхода топлива реактивное ускорение является известной
функцией времени.
При выводе соотношений (1.24) - (1.35) полагалось,
что отсутствуют какие бы то ни было возмущаюшие силы.
Наличие возмущении опасно только для группы способов
управления, обеспечивающих постоянство оскулируюшего
элемента (управления (1.24) - (1.29)). Как бы ни была
мала возмущающая сила по сравнению с силой тяги, оску-
лирующий элемент не будет оставаться неизменным. 1 1рав-
да, возможно, что некоторые виды возмущений будут
давать небольшие по величине, допустимые вековые из-
менения элемента. Следует заметить, что если вектор
суммы возмущающих сил известен, то всегда можно
найти управление, обеспечивающее постоянство оскули-
руюшего элемента (предполагается, конечно, что модуль
этого вектора меньше силы тяги). Направление тяги нуж-
но выбрать таким образом, чтобы вектор, равный сумме
векторов возмущающей силы и силы тяги, составлял с
радиусом-вектором угол X, определяемый соответствую-
щим соотношением из (1.24) - (1.29).
Для второй группы способов управления, а именно для
управлений, обеспечивающих максимальную скорость изме-
нения элементов, наличие возмущающей силы не препят-
ствует достижению цели маневра. Покажем это.
Пусть Ь - отношение суммарной возмущающей силы,
зависящей в общем случае от фазовых координат аппара-
та и от времени, к массе аппарата, и - угол между ра-
диусом-вектором и направлением возмущающей силы. Тог'
да выражение (1.19) для производной какого-либо оскули-
рующего элемента по времени будет иметь вид (для
сокращения письма не будем показывать, что и за-
висят от фазовых координат)
dK 1
тг -= “тт If j (Л rosX + bcosx ) + f2 (a sin X + bsinx) ].
- 12 -
Подставим в это выражение управление (1.22), (1.23),
обеспечивающее максимальную скорость изменения эле-
мента К:
Цг = Ш [±а a/Ij+Fj + cosx+f2 sin х)]. (1.36)
Здесь знак "плюс* соответствует возрастанию, а знак
'минус* - убыванию элемента К. Нетрудно показать, что
в выражении (1.36) первый член по модулю всегда больше
второго, если а>Ь, иными словами, если возмущающая
сила меньше силы тяги, изменение элемента будет про-
исходить в нужную сторону, правда уже не с максималь-
но возможной скоростью. Чем меньше возмущающая сила,
тем ближе скорость изменения элемента к максимально
возможной.
Выполнение некоторых маневров может встретить пре-
пятствие, вызванное одним из недостатков рассматривае-
мых способов управления. Рассмотрим для иллюстрации
следующий маневр: уменьшение оскупирующего эксцентри-
ситета при постоянном расстоянии до перицентра. Подста-
вим значение тангенса управляющего угла (1.27) в выра-
жение для производной dc/dt, вытекающее из (1.13).
Получим
de _ д \/F t 4- £cos2l)+2cos$4-e^
— = U \/ — bill ЛI - + --------г--- I .
dt V I tgX 1 + CcosA J
С учетом зависимости
1+e cos J-
получим
de 2ar(i + e) .
:— = --- ---- bill Л .
dt v^p
откуда следует, что для уменьшения эксцентриситета
управляющий угол должен находиться в третьей или чет-
вертой четверти. Таким образом, угол X определяется из
соотношений
tffX ___sinaQ+e^osi» ( ] ,37)
2(1—cosll)+Csin2&
й < X < 2п . (1.38)
- 13 -
О характере зависимости управляющего угла от истинной
аномалии можно судить по рис. 2, где при построении
графика было принято, что эксцентриситет есть величина
постоянная, равная 0,5. Из рисунка видно, что при & = т„
необходимо направление тяги изменить на обратное. За-
висимость управляющего угла от времени сильно отлича-
ется от графика на рис. 2, т.к. угловая скорость враще-
ния линии апсид может иметь любой знак и быть как
угодно большой, что следует из (1.15). Эти два обстоя-
тельства, а именно, разрыв функции X = Х(й, е) и нео-
граниченность угловой скорости вращения линии апсид, и
вызывают затруднение в осуществлении рассматриваемого
маневра. Остановимся на этом подробнее.
А
Пусть ср - полярный угол, т.е. угол, отсчитываемый от
некоторой неподвижной оси в плоскости траектории против
часовой стрелки до радиуса-вектора аппарата (см. рис. 1).
Углы оо и ср связаны соотношением (пред полагается, что
углы w и ср отсчитываются от одной и той же оси)
$ ж: С|> (JU f
откуда получаем значение производной истинной аномалии
— = Л
dt dt dt9
Вычислим значение этой производной в апоцентре. I !з
(1.15) следует
JF =\/^a/ecoSx. л. 40)
at & v и
- и -
Пользуясь известными соотношениями, находим
v \Г£ (1-е)2
37 о.п"' »Р Р •
(1.41)
Подставляя (1.40) и (1.41) в (1.39), получаем
<14 _ .Л* (1-е)2
‘“L/vp р
- cosX
|х С
Изменение направления тяги в апоцентре приводит к
скачкообразному изменению производной d&/dt на величи-
ну 2а /рДс /с. Если при этом окажется, что угловая ско-
рость аппарата по модулю меньше скорости вращения
линии апсид, т.е.
<’•«>
то производная dfi/dt изменит знак. Пусть аппарат подхо-
дит к апоцентру со стороны значений истинной аномалии,
меньших л. Апоцентр перемещается навстречу аппарату,
т.к. из (1.15), (1.37) и (1.38) следует, что при tf, близких
к 7i, угловая скорость вращения линии апсид отрицательна.
Предположим, что выполняется неравенство
dto dcP
dt dt "
Аппарат приходит в апоцентр со значением управляющего
угла X = 71 (см. рис. 2). После изменения направления
тяги на обратное угловая скорость аппарата не меняется,
а угловая скорость вращения линии апсид изменяет знак,
сохраняя ту же величину. Это приводит к тому, что отно-
сительно апоцентра аппарат изменяет направление движе-
ния, т.е. значение истинной аномалии оказывается меньшим
71, и значение управляющего угла должно быть близко к п,
а не к 2 л. Таким образом, в рассматриваемом примере
после того, как аппарат оказался в апоцентре, невозможно
найти управление, обеспечивающее выполнение маневра
(уменьшение эксцентриситета при постоянном расстоянии
до перицентра). Наиболее простой выход из этого положе-
ния - выключение двигателя на некоторое время (например,
на время движения аппарата от апоцентра до перицентра.
- 15 -
Из (1.42) следует, что рассматриваемое препятствие
возникает, если в момент d = и выполняется неравенство
в/е > ,
т.е. в случаях, когда либо велика сила тяги по сравнению
с местным весом аппарата, либо мал эксцентриситет.
В заключение настоящего параграфа заметим, что, по-
видимому, в некоторых случаях рассмотренные способы
управления можно заменить более простыми. Так, если
сила тяги мала по сравнению с силой притяжения, а экс-
центриситет - величина порядка единицы, но меньше еди-
ницы, можно принять на основании уравнений (1.13) и
(1.15), что е и оо остаются постоянными за время одного
или даже нескольких оборотов. В этом случае управляю-
щий угол X будет зависеть только от полярного угла. Вид
этой зависимости нужно будет несколько изменять через
один или через несколько оборотов аппарата, определяя
новые значения е и <ю.
§4. Анализ изменения оскулирующих элементов
Для реализации способов управления (1.24) - (1.29),
обеспечивающих постоянство какого-либо оскулирующего
элемента, необходимо в каждом случае знать поведение
остальных элементов для того, чтобы нужным образом
выбрать одно из двух значений управляющего угла, удов-
летворяющих уравнениям (1.24) - (1.29). Так, в примере,
приведенном в предыдущем параграфе (уменьшение экс-
центриситета при постоянном расстоянии до перицентра),
управляющий угол определился однозначно только после
того, как был проанализирован характер изменения экс-
центриситета. Что касается способов управления (1.30) -
(1.35), соответствующих максимальной скорости изменения
элементов, то выбор направления изменения элемента (воз-
растание или убывание) позволяет однозначно определить
управляющий угол. Однако и в этом случае надо знать
поведение других оскулирующих элементов.
Соотношения (1.13) - (1.18) позволяют с качественной
точки зрения проанализировать изменения элементов на
одном обороте по истинной аномалии. Во многих случаях
оказывается, что те или иные элементы изменяются в одну
сторону при любых значениях истинной аномалии; это по-
- 16 -
зволяет сделать вывод о том, что соответствующие эле-
менты изменяются монотонно в течение всего маневра.
Рассмотрим для примера поведение оскулируюших эле-
ментов при тангенциально направленной тяге.
1. Эксцентриситет. Подставим значение тангенса уп-
равляющего угла (1.35) в выражение производной экс-
центриситета по времени (1.13):
de _ я \ И sinxl® in $ Ceos2 fl+2cosfl+C
MX- = Ц II — ЫН A. I + --------------------
dt V И* \ tgk 1 + Ccosfl
2ar(e+cosfl) .
------------ sinX
VhP
Из полученного выражения следует, что при 0<Х< л,
т.е. в случае, когда тяга направлена по скорости, экс-
центриситет возрастает на той части оборота, где
cosfl>-e. При cosfl<-e эксцентриситет убывает. Если
тяга направлена против скорости (л < Х<2л ), то эксцентри-
ситет возрастает, если cosfl<-C, и убывает, если cosd> —С.
В случае гиперболического движения (е>1) эксцентриси-
тет всегда возрастает при 0 < X < л и убывает при 71 < X < 2 л .
2. Параметр.
= 2 ar sinX.
dt V н-
При 0<Х< л параметр возрастает, при 7i<X< 271 убывает.
З.Углоеое расстояние перицентра от узла.
doo а
dt с
7 sinX
_cos fl sinfl(2 + ecos fl)
tgX 1 + Ccosfl
= 2flT^sinX
evVP
При 0<X < 7i угол oo возрастает, если 0 < fl< ~, и убыва-
ет, если 7i<fl<2'7i* При 7l<X<2?i угол оо возрастает, если
^<fl<2u, и убывает, если 0<fl<r..
4. Расстояние до перицентра.
dTn
dt
а Р 1/FsinX sin + 2(1- cosfl)+ Csin2fl
(1 + e)2 V и* _ tgX i + ecosfl
2ar(l-cosfl)\/P . _
------------ \ - sin л
(i + e)2 V h
Если 0 £ X< к , расстояние
если 7i< x < 2 n, убывает.
до перицентра возрастает,
- 17 -
5. Расстояние до апоцентра.
_ flP l/T sinx sin ft 2(1 4- cosft)--gsin2ft
dt (1-e)2 VnsinXL^x + -----J "
2ar(l+cos&) |/T •,
“ ----71--- V U.Sln X
(1-е)2 ’ и
Расстояние до апоцентра возрастает при 0<Х<пи
убывает при и^Х<2л.
6. Большая полуось.
dA = 2ДР
dt (1_е2)2
+1 + ecosft
2 fl Г [(esin ft) 2 4- (1 4- ecos ft)2] \ fp • .
\ / Sill A
(1-e2)2
При 0 < X < ti большая полуось возрастает, а при л<Х<2л
убывает.
Таким образом, если тяга направлена по скорости, то
параметр, расстояния до перицентра и апоцентра и большая
полуось монотонно возрастают. При гиперболическом дви-
жении эксцентриситет также монотонно возрастает. Если
тяга направлена против скорости, то все эти элементы
монотонно убывают.
Аналогичное исследование было проведено для всех
способов управления. Результаты анализа представлены
в табл. 1 (для эллиптического движения) и 2 (для гипер-
болического движения). Неравенства для ft в клетках
таблиц показывают области, где оскулируюшие элементы
возрастают при 0 < X < ti. Так, например, для способа по-
стоянного направления линии апсид при эллиптическом
движении большая полуось возрастает при cos ft > 0 и при
cos ft < — 2 С/(14-е2), если 0 < Х< л . Значит при — 2 е/(1 4- С2) <
< cosft <0 большая полуось убывает. Если угол X берется
в интервале от до2к, то наоборот, большая полуось
убывает, если ft удовлетворяет неравенствам cosft > 0 или
cos ft < - 2е/( 1 4- е2 ) И возрастает при —2 е/(1 4- е2) < cos ft < 0 .
Пустые клетки в таблицах означают, что соответствующие
элементы убывают при любых ft (для случая 0<X<ti).
- 18 -
Таблнпа 1
С пособ }правления о Окулирующие эл e м ент ы
е Г 'X) Гп Г а Л
ЗГ“° 0 < & < 2л 0 < 5 < то 0 < 13 < 2л 0 < ’3< 2^ 0 < 13 < 2т;
Ап-" -1 + х/1-е2 cos а > - е 0 < &< 2л 0 < 13< 13*j *2 <*<70 -13-2 < 13<-131 t -1 + v^ 13, = агсcos 1 е а _ arccos-f-2W<9-<2)(l-e2) 2 4е COS» > 7е2-з+(е-Г)У(1-е)(9_е) 1е о -1+\Л-е2 COStr < е Л ~1+\ 1-е2 cosi?> — е cos3 -e2-3+(j-e)4/(i+e)(9+e) le -l+/l-e2 co Sl> > e cosi3 < -e
dp ~ = 0 dt 0 < & < Л cos б- < 0 70 < &< 270 0 < l3 < 7[ 0 < 13 < 70
axdt , -i + x/1-е2 COS13 > е 0 < & < 70 0 < i3< 2то 0 < хЗ- < 2 то 0 <»< 2- 0 < 13< 2to
4» - о dt cos& > 0 0 < &< 2л cos& < 0 cos$ > 0 cosi3> 0 cos 13 < ~— 1 + e2
_а doo n ax dt cos»>-e2-3 + ^e-e2)(9-e2) 0 < 13 < 2л 0 < 13< то 0 < 13< 2то e e2-2e-3- (i-e)ve2-2e+9 cosi>> le 0 < 13 < 2tx
^-0 dt 0 < 5 < 2л 0 < 13< 270 0 < 13 < Л 0 < 13 < 2 to 0 < & < 2 70
n dr 1-JL.O ax dt cos»> -e2-3 + (e+l)vz(l-e)(9-e) 4С 0 < 13 < 2л 0 < 13 < Л 0 < 13< 2то 0 < 13 < 2 to 0 < 13 < 2л
= 0 7Г 0 < 13-< 2то 0 < &< 70 0 < 13< 2то 0 < 13 < 2 л
A±a_0 ax dt _е2_3+(1_е)х/(1 + е)(9+е) cosi> > — 4С 0 < Л < 2то 0 < i3-< i3j то< 13 < 2то - - е2-2е-з-(1-е)Уе2-2е+9 14 «агггпс - - — у - - 0 < 13-< 2то 0 < *< 2 0 < 13 < 2л
1 4е
_ 0 dt 0 < £< 2то 0 < 13< 5L л< 13< 2л - i3j 5 , = arccos [ | \ 1+с / 0 < 13“ < 270
П < ,3 < 2 л
a dA _ () ax dt cos А- > —е 0 <' 13< 2 л 0 < 4 < 70 (! < Я< 2" b < 3 < 2-
I Таблица 2
I _______________________________
Способ 0 окулирующие элемеНТЬ1 _________ r
управления t P ш Jn Ta A
dt 0 < i < 0 < б- < л 0 < d* < л
Ad* _ о axdt 0 < &< 2л А Л - п -f»-34.(e-i)7a<-*>^**) 0 < it< 2л
0 < d-< 2л 0 < Л < л ! * v гл cosJ>
4 = 0 dt (‘ < & < « cosil < 0 я < 2л Q < d < л 0 < A < л
A^.o dX« о < a< 2л И < £ < л 0 < 6“ < л • < 2л cos^>^ 0 < Л < 2л
du . 0 dt cos^ > 0 0 < ^ < 2л 0 is& < 0 cos^ > 0 cos £ > 0
0 < $ < 2л #! < it < 2л о e2-»2e~3 -(е-1)Уге2-2еч-9 0 < &< 2л
jt&fi « о ax at 0 < & < 2л 0 < А < л eostF >
0 < ^< 2л 0 < & <2л 0 < А < л I 0 < & < 2л 0 < 5 < 2л
= 0 ax д 0 < << 2x 0 < 2л 0 < & < л »[<«.< 2- 1 coS«>«2=a 0 < & < 2л
dr dt”° 0 < 4 < 2л 0 < S<. 2т. 0 < # < л 0k «< 2- 1 0 < it < 2 л
A^« <> —с 2-з -t (e-1) yU^eHv + e) 0 < &<2л 0 < £ < i$i л< а<2л - •$! coi>€-^- ! cos & > cos&> -C 7 e
ax dt cos»> ,fc 0 . е2- 2е-з -(е-1)/е2-2е+9 л <,
5^= arc cos
dA _ л л " ** 11 < & < 2 71 0 < 1$< 2 л 0 < £ < л 0
J- d A __ G .A JT (' < & < 2?. 0 < '$< 2л 0 < & < л 0 ! U < 2 1 0 < & < 2k i' < 5- < 2л
§5. Возможные приложения простых управлений
Из рассмотренных способов управления наиболее изу-
ченными являются следующие: тангенциальная тяга, транс-
версальная, радиальная и нормальная. Особенно много ра-
бот посвящено применению тангенциальной и трансверсаль-
ной тяги для разгона аппарата с двигателем малой тяги.
Некоторые из остальных способов могут быть использова-
ны для целей коррекции орбит. Например, скругление
эллиптической орбиты может быть осуществлено путем
применения управления, обеспечивающего максимальную
скорость уменьшения эксцентриситета. Можно при умень-
шении эксцентриситета (не с максимальной скоростью)
сохранять постоянными расстояния до перицентра или
апоцентра и т.д.
Способ управления, обеспечивающий увеличение экс-
центриситета при постоянном расстоянии до перицентра,
может быть использован для зондирования околоземного
пространства. Этот способ удобен тем, что на каждом
обороте аппарат оказывается вблизи поверхности Земли,
что удобно для передачи информации, а апоцентр с уве-
личением эксцентриситета все более удаляется от Земли.
Комбинации рассмотренных способов управления могут
найти применение при выполнении довольно сложных ма-
невров. Примером этого является решение задачи, приве-
денное в следующем разделе, о выведении аппарата на
круговую орбиту при подходе к планете.
§ 6. Задача о выведении космического аппарата
на круговую орбиту при подходе к планете
Известно, что при разгоне космического аппарата тан-
генциальная тяга близка к оптимальной с точки зрения за-
трат топлива. Естественно предположить, что торможение
аппарата также выгодно осуществлять при помощи танген-
циальной тяги.
Будем считать, что торможение аппарата начинается с
момента попадания его на сферу действия планеты. Чтобы
при торможении тангенциальной тягой достичь круговой
орбиты заданного радиуса, вектор скорости аппарата в
печальный момент должен иметь вполне определенное
значение. Решая обратную задачу, т.е. задачу о разгоне
аппарата при помощи тангенциальной тяги с заданной
- 19 -
круговой орбиты до достижения сферы действия, можно
найти этот вектор: Ц = Uo> 0 = б0 » где U - модуль век-
тора скорости; 0 - угол между перпендикуляром к ра-
диусу-вектору и вектором скорости (см. рис. 1). Если
значения Uo и 0О отличаются от величины Uq и 0о, то при
помощи тангенциальной тяги круговая орбита заданного
радиуса не может быть получена. Интересно исследовать
на конкретном примере влияние ошибок в величинах Uq и
0О на конечную орбиту, за которую можно принять эллипс
с расстоянием до перицентра, равным радиусу заданной
круговой орбиты.
Рассмотрим задачу о торможении аппарата в сфере
действия Земли (произведение гравитационной константы
на массу Земли р, = 398 600 /сек2 , радиус сферы дей-
ствия р* = 930 000 км ). Радиус круговой орбиты, на кото-
рую должен быть выведен аппарат, примем равным Т =
18 920 км. Реактивное ускорение будем считать постоян-
ным, равным 3,52 мм/сек2.
Для рассматриваемой задачи значения По и 0О равны
соответственно 2,473 км/сек и 4,383 рад.
Рис. 3 Рис. 4
На рис. 3 и 4 представлены результаты влияния значе-
ний и Jq на точность выполнения маневра. На первом
и з рисунков показана зависимость эксцентриситета конеч-
ной орбиты от Uo при 0О = 0О, на втором - от 0Q при Uo =-
i 1з рисунков видно, что ошибка в 0о на 30 м/сек или
ошибка в 0q на один градус приводит к величине эксцен-
триситета 0,2. Очевидно, что получить орбиту, близкую к
- 20 -
заданной, практически невозможно, т.к. требуется очень
высокая точность выведения аппарата к сфере действия
Земли. Однако, если после торможения тангенциальной
тягой использовать способ управления, обеспечивающий
уменьшение эксцентриситета при постоянном расстоянии
до перицентра, то заданная круговая орбита будет полу-
чена. Если же оскулирующее расстояние до перицентра,
соответствующее начальным условиям, меньше радиуса
заданной круговой орбиты, то предложенный способ уп-
равления неприменим. В этом случае можно сначала уве-
личить оскулирующее расстояние до перицентра при помо-
щи управления, обеспечивающего максимальную скорость
его возрастания, а затем
скруглить орбиту при по-
стоянном расстоянии до
перицентра.
Итак, предлагается
следующая схема управ-
ления:
1. Начальное значение
расстояния до перицентра
больше радиуса заданной
круговой орбиты. Первый
этап — торможение тан-
генциальной тягой до мо-
мента времени, когда ос-
кулирующее расстояние
до перицентра становится
равным радиусу круговой
орбиты. Второй этап —
уменьшение эксцентриси-
тета при постоянном рас-
стоянии до перицентра.
2. Начальное значение
расстояния до перицентра
меньше радиуса заданной
круговой орбиты. Первый
этап — увеличение рас-
стояния до перицентра с
максимальной скоростью
До момента времени, когда
ся равным радиусу круговой
же, как и в случае 1.
Рис. 5
это расстояние становит—
орбиты. Второй этап такой
- 21 -
При помощи ЭВМ были произведены расчеты траекто-
рий торможения по изложенной схеме для области значений
Uo и % * соответствующих траекториям, не выходящим из
сферы действия Земли. На рис. 5 приведена зависимость
от начальных условий отношения времени маневра к мини-
мальному времени, соответствующему начальным значениям
Uq = uo » 0о = %* Заштрихованная область соответствует
начальным значениям, при которых расстояние до перицен-
тра меньше радиуса заданной круговой орбиты. По оси
абсцисс отложены значения безразмерной начальной ско-
рости
о» - Ц« \^
Глава вторая
ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ ПОМОЩИ МЕТОДА
УСРЕДНЕНИЯ
В настоящей главе при прмощи метода усреднения [6]
наследуются две задачи. Первая из них (§ 1-3) - анализ
движения космического аппарата с трансверсально направ-
ленной тягой. Исследование этого движения представляет
большой интерес прежде всего потому, что трансверсаль-
ная тяга является одним из самых простых управлений, при
Помощи которых можно осуществить разгон космического
аппарата до параболической скорости [7-10]. Вторая ис-
следуемая задача (§ 4-8) - перелет между круговыми
Некомпланарными орбитами. Этот маневр можно выполнить
Н два этапа: перелет между круговыми компланарными
орбитами и поворот плоскости круговой орбиты. Однако
более выгодно с точки зрения энергозатрат одновременно
изменять радиус орбиты и уменьшать угол между плос-
костями исходной и заданной орбит.
При анализе обеих задач считается, что космический
аппарат снабжен двигателем с постоянной тягой с посто-
янным расходом рабочего вещества.
§1. Уравнения плоского движения. Параметры двигательной
установки с постоянной тягой
Предполагается, что разгон космического аппарата
происходит в гравитационном поле сферической планеты;
возмущением со стороны других планет и Солнца и сопро-
тивлением атмосферы можно пренебречь. При сделанных
предположениях движение аппарата в полярных координа-
тах описывается следующей системой уравнений:
(2.1)
- 23 -
du v2 _ 1
dt г Л
+а cosX;
(2.3)
dv UV „ , /о
jp------+asinX, (2.4)
где T и <р - полярные координаты (см. рис. 1); U и у -
радиальная и трансверсальная составляющие скорости; t -
время; а “ реактивное ускорение (отношение силы тяги к
массе аппарата); К - угол между радиусом-вектором
аппарата и вектором силы тяги. Здесь все величины без-
размерные. В отличие от первой главы размерные величи-
ны будут везде далее отмечаться звездочкой. Безразмер-
ные переменные связаны с соответствующими размерными
следующими отношениями:
r*-rr*; и’-и\Л^; v*«v\AK; t*«tr*y^-; ,
V% Vr; oVli ар2
здесь rQ - некоторое характерное расстояние (в случае
разгона аппарата с круговой орбиты г * - радиус этой ор-
биты); |х = уМ ” произведение гравитационной константы
на массу притягивающего центра.
Пусть тяга двигателя Б*и массовый расход рабочего
вещества q* в единицу времени постоянны. Тогда реак-
тивное ускорение а* зависит от времени. Эту зависимость
удобно выразить следующим образом:
Отношение силы тяги к начальной массе аппарата ГИ* есть
начальное реактивное ускорение а* . Если учесть, что F =
= q V , где V*" скорость истечения реактивной струи, то
получим зависимость ускорения а от времени и двух па-
раметров а * и V :
или в безразмерных переменных;
// dn
а-во/ 1 -у1
(2.5)
- 24 -
Предполагается, что двигатель работает без выключе-
ний, поэтому в полученную формулу входит то же время t,
чТо и в систему уравнений (2.1) “ (2.4).
С учетом соотношения (2.5) система уравнений (2.1) -
(2.4) принимает вид:
77 -и; (2.6)
at
dv UV а0 ,;„Л
at т ап
При трансверсальной тяге, направленной в сторону
движения, sinX = 1, cosX = 0.
§ 2. Применение метода усреднения
При помощи метода усреднения можно исследовать
по крайней мере начальный этап разгона космического ап-
парата с двигателем малой тяги [11-12] . В работе [13]
метод усреднения используется для анализа движения при
помощи постоянного трансверсального реактивного ускоре-
ния. Случай тангенциальной тяги исследуется в работах
I14-15].
Рассмотрим движение космического аппарата под
действием постоянной трансверсально направленной тяги.
Подставляя значения sinX = 1 и CosX = 0 в систему урав-
нений (2.6) - (2.9), получаем
d у •
dt Г ’
(2.10)
(2.И)
- 25 -
to = g (2.13
dt '
V
Примем полярный угол ср за независимую переменную.
Тогда уравнения (2.10) - (2.13) приводятся к виду
dr = dtp ur . V ’ (2J4)
du d<p v - — ; TV (2.15)
dv dtp — u + ; V1 _flJLt V (2.16)
dt = d<p r v' (2.17)
Рассмотрим обший случай старта с эллиптической ор-
биты. Перейдем к новым переменным. Вместо Г, U, V, t
введем А - отношение большой полуоси оскуллируюшего
эллипса к ее начальному значению,
f = ecosep^ ; (2.18)
f2 = esincpn (2.19)
- отношение компонент вектора Лапласа в прямоугольной
системе координат хОу (см. рис. 1) к гравитационному
параметру р. (в (2.18), (2.19) С - эксцентриситет; ср -
угловое расстояние перицентра); Т - характеристическую
скорость. Между переменными А, , f , Т и Г, U, V, t
имеют место соотношения
А--------(2.20)
2 —Г (U2 + V2)
f « rv(Vcoscp + Usin ср) — cosep ; (2.21)
f0 « rv(Usincp -Ucoscp) - sin ср, (2.22)
T« f a(x)d-t - V)n—i. (2.23)
о i-^t
V
- 26 -
При постоянном реактивном ускорении
(2.24)
Найдем теперь обратные соотношения, т.е. зависимости т ,
U,v,t от A, fx , f 2 ’ Используя (2.18), (2.19), (2.23) и
следующие соотношения:
А(1-е2)
Г ЯЛ --- -------' i
i+ecos(cp -?п)
получим
г _ А(1-е2)
1 + f coscp+f sin ср
1 *
tv
U2 + U2
А’
f\ s»n<P ~f9 cos ср
a/A(1-c2)
(2.25)
l+f1coscp+f2 sincp
V*-----1 ----
VA(i -e2)
• V.
1 — exp
Полагая, что a0 «1 и V » 1, приведем систему уравнений,
описывающих движение аппарата под действием постоян-
ной трансверсальной тяги, к стандартному виду систем с
быстро вращающейся фазой. Для этого продифференцируем
выражения (2.20) - (2.23) по ср, причем производные j£-,
• j берутся из (2.14) - (2.17), где в правые части
dcp dcp dcp
вместо и, г, V и t подставляем выражения из
Итак, имеем
(2J25).
cos ср+£3 sin ср
A2 ^-fj-fjY^coscp +f1cos2q>+f2sin<pcos<p +
(2.26)
+ )ехр i/(1 + fjCoscp + f jSia?)3;
(2^7)
ТГшво A (1—f 2—f 2)2(2sincp+f sin2cp+f sia<pcoscp +
W W X Лл X
+ ^2^ex₽V /<l + f1cos':P + f2sincp)3;
di a0^(l-f j- f22)!2 exp I
dtp
(2.28)
(2.29)
(l + f|Coscp + fsin ср)”
2
Г
После интегрирования этой системы время
из соотношения
(2J23):
t- V
flo
t можно найти
(2.30)
При постоянном реактивном ускорении
t « Т /а0 •
Полагая, что эксцентриситет начальной
единицы, произведем усреднение уравнений
(2.31)
орбиты меньше
(2.26) - (2.29):
dA “oA’o-fi-f 2>“Ру
dcp
71
2п
О 1+J ! coscp +J2sin<p
dtp
(2.32)
dcp
«г
dcp
271
2т: 2cos cp+f cos^ cp+f sincpcoscp + f
Xf ---------------------------------dcp; (2.33)
о (] + f cos cp + f2 sincp)3
floA2(1--G42)2expv
dl
При
*
2ti 2sincp+f sin^cp+f sincpcoscp +f
x f ----------2--------1-------------
0 (1 + fj coscp + f2 sin cp)
a0[A(l-f i-f22)]’/2exp^ 2k
0 (1 + fj coscp +f2sincp)2
эллиптическом движении
271
dcp
(2.35)
X
2-dq,; (2.34)
< i. (2.36)
Выполним интегрирование в (2.32) - (2.35) с учетом нера-
венства (2.36).
ВведехМ оСЗозначения
271
Л - f
о
1 + fcos cp +f2 sincp
2 71
J2- f
0
2coscp+f i cos2 cp+C sin cpcoscp+L ,
----------------;----------------A— Дер ,*
(1 + f J cos <p + f2 sin cp)3
- 28 -
271
3 “
0
2sin <р + ^2 sin 2 ср +L sin cpcoscp + J n
—7Г7--------—?з---------- *
2 71
h- f
0
dcp
(1+f jCoscp 4-f2 sincp ) 2
Интеграл Jj - табличный, его значение равно
j.-z^i-f2,-/2.
При вычислении этого и последующих интегралов мы по-
лагаем, используя условие aQ «1 и вид уравнений (2.33),
(2.34), что fj и имеют постоянные значения. Это позво-
ляет рассматривать интегралы J. (i = 1, 2, 3, 4) как функ-
ции от параметров и f .
Условие f2 + f2 < 1 одновременно является условием
возможности дифференцирования под знаком интеграла:
дЦ 2п
'’G
Тогда J4 можно записать в виде
X X
Используя вычисленное значение Jp будем иметь
_______cos Cpd Ф_________ .
(1+fj cos cp + f2 sin cp ) 2
sin cpdcp
(1+f jCOscp + f sincp)2
0
271
= -f
0
4
<'-f!-f2)‘” <i-f2-f2)‘'-
AZ 1 Z AZ az
d J d J
Для вычисления Jo найдем выражения для —и —
df
1 2
ш _2 J71 coscpdy_________ .
О (1 + fj cos Ср+ f2 sin ср)3
^4 _ _2 у71 ____sincpdcp________
<?f2 о (1 + fj cos cp + f2 sincp)3
- 29 -
Тогда J2
можно записать в виде
2 71
J2- f
о
cos ср(1 + cos у +f2 sin ср)4- cos ср 4» д
(1 +f x coscp +f2 sincp)3
+ f i +if2^+iff
af1 2dfi 'Л 2'1 afi 2'i'2af2’
Здесь было использовано соотношение
2fn №__________________y га____________________
0 (1 + fj coscp + f2 sincp)3 0 (1 + fj coscp 4-f2 sincp) 2
1 о (1+fj coscp + f2 sin cp)3 14 2 1 2 12 df%
Наконец, используя найденные значения и J4 > можно
записать
т 1 ^7tfj 27tfj
(Mf-f22),/2 2 (i-ff-f22)5/’^M^f2V4 +
, 1 f2 6nfl , 1 f f 67If2_______________3<X
2 1 (Hi2-f22)S/1 2 1 a-fj-f2)4 ’
Аналогично вычисляется J&:
Подставляя в (2.32) - (2.35) значения интегралов9 получим
следующую систему уравнений:
" .2a„AVl-f2-f2e4.i; (2.37)
^-32M2f1v/1-f1!-f^’4>|) (2.38)
4£-4‘*AV1-fHh'41 <2-39’
&- - «„ A'4 exp X . (2.40)
Оср V
- 30 -
В начальный момент времени
<р.О; А -1; f х - f 10 »' f2-f20>' Т-0. (2.41)
Система уравнений (2.37) - (2.40) позволяет сделать
некоторые выводы о характере движения.
Из (2.37) следует, что (dA/dcp) > 0, т.е. большая полу-
ось возрастает.
Деля (2.38) и (2.39) на (2.37), получаем
dfj = 3 Л • ££2 = 3 ^2
dA 4 А ’ dA ' 4 А ’
Интегрируя эти уравнения, находим
Г,-ГЮА'\ (2.42)
Г2-ГюА-Ч (2.43)
Поставим (2.42) и (2.43) в (2.25), получим
е-е0А’3/<. (2.44)
Из этого соотношения следует, что эксцентриситет умень-
шается с увеличением большой полуоси.
Наконец, из (2.42) и (2.43) следует, что
^1^2-^10^20 -C°nSt’
следовательно, положение линии апсид в среднем не из-
меняется.
Аналогичные характеристики движения для случая тан-
генциально направленной тяги получены в работах [14, 15].
Рассмотрим подробнее случай старта с круговой орби-
ты: f 10 = f = 0. Из (2.42) и (2.43) следует, что в этом
случае = f = 0, и движение описывается уравнениями
£ -2eor3expJ.; (2.45)
Оср V
^«а0Г5/’ехр-1 (2.46)
(As г при е = 0).
Деля (2.45) на (2.46), получаем уравнение
^’2г/а, (2.47)
ai
- 31 -
решение которого
есть
г - (1- Т)“2.
(2.4Я)
Подставив (2.23) в (2.48), находим зависимость Г от t :
(2.49)
При постоянном реактивном ускорении
г - (l-aot)-2.
(2.50)
Из работы [16] следует, что формулы (2.49) и (2.50)
справедливы и для случая тангенциальной тяга.
Рис. 6
Как указывалось в начале параграфа, метод осредне-
ния дает удовлетворительные результаты для начального
этапа разгона космического аппарата. Поэтому фор^мулы
(2.49), (2.50) не гарантируют удовлетворительной точности
- 32 -
на конечном этапе маневра. Для иллюстрации этого факта
приведен рис. 6, где показана точная зависимость r(t),
полученная при помощи ЭВМ для случаев тангенциальной
тяги (кривая 1) и трансверсальной тяги (кривая 2), и
приближенная зависимость (2.49) (кривая 3) при а0 = 1СГ3,
V = 1 (время достижения параболической скорости - 565).
Видно, что при подходе к точке достижения параболи-
ческой скорости соотношение (2.49) дает очень большую
погрешность.
В работе [14] делается вывод о том, что тангенциаль-
ную тягу можно использовать для перелета между круго-
выми компланарными орбитами. То же можно сказать и о
трансверсальной тяге. В самом деле, если параметры аппа-
рата; и орбит, между которыми производится перелет, та-
ковы, что выполняются условия применимости метода ус-
реднения; то при старте с круговой орбиты эксцентриситет
конечной орбиты будет порядка величины малого параме'г-
ра. Если начальная орбита эллиптическая (например, из-за
ошибок выведения аппарата на эту орбиту), то для случая
перехода на орбиту ббльшего радиуса эксцентриситет ее
будет даже меньше, чем эксцентриситет начальной орби-
ты, что следует из (2.44).
§3. Приближенные формулы для определения времени разгона
Точный расчет траектории разгона аппарата при помощи
постоянной тангенциальной или трансверсальной тяги может
быть произведен только при помощи ЭВМ. Эти расчеты
показали, как и следовало ожидать, что с качественной
стороны полученные результаты не отличаются от хорошо
изученного случая постоянного реактивного ускорения.
Современные ЭВМ позволяют при вполне приемлемых
затратах машинного времени рассчитать траекторию раз-
гона аппарата с заданными из каких-либо соображений
% и V. Однако для определения оптимальных соотноше-
ний между весовыми компонентами двигательной установ-
ки» в том числе и значений а0 и V, необходимо знать за-
висимость времени маневра от flg и V в большом диапазо-
не из значений. Для определения этой зависимости может
потребоваться от нескольких десятков до сотен часов
счета на ЭВМ. Поэтому возникает необходимость в отыс-
кании каких-либо простых формул, позволяющих приближен-
но определять время выполнения маневра.
- 33 -
В работе [9] для случая разгона с малым постоянны^
тангенциальным реактивным ускорением получена *прибли'
женная формула
l-^SOv'a’o
tk “----а2----
О
(2.51
где t - время разгона до параболической скорости. Ана**
логичная формула получена в работе [7]:
9
Ojjd+vr^e;)
откуда при а 0 « 1
(2.52)
Эти формулы отличаются только значением одного коэф-
фициента: в первом случае этот коэффициент равен 1,091,
во втором - 1,414. Время вычисленное по этим фор-
мулам, значительно отличается от истинного, что иллюстри-
руется рис. 7, где показана точная зависимость характе-
ристической скорости маневра Т= a Qt от ускорения
(кривая 1) и зависимости, соответствующие формулам
(2.51) и (2.52) (кривые 2 и 3, соответственно). Оказалось,
что если величину коэффициента в формуле (2,51) принять
равной 0,8082, то она становится очень точной в большом
диапазоне значений aQ (кривая 4 на рис. 7).
Выведем соотношение, соответствующее формулам
(2.51) и (2.52) для случая постоянной тяги.
Из уравнений (2.6) и (2.8) следует, что в момент
достижения параболической скорости, т.е. при Г (u2 + V2) =2,
выполняется дифференциальное соотношение
/dr_V
d2r = 1 _ \dt /
dt2 ’ г2 r
для случая трансверсальной тяги и
(—V
d2r = 1 _ \dtl go \/r~ dr
dt2 r2 r % V2 dt
V
для случая тангенциальной тяги.
(2.53)
(2.54)
- 34 -
Предположим, что соотношение (2.49) справедливо
на всей траектории разгона, в том числе и в окрестности
точки достижения параболической скорости. Тогда, под-
ставив в (2.53) и (2.54) г из (2.49), а также dr/dt и
d2f/dt2 » полученные из (2.49) путем дифференцирования,
будем иметь уравнение относительно искомого
где С2 = *“2; Су = -10 для случая трансверсальной тяги,
Су = - 10+>/2” для случая тангенциальной тяги.
(2.55)
Рис. 7 Рис. 8
Путем численного интегрирования системы уравнений
(2.8) - (2.9) при V>1 и а0>Ю“4 были найдены значения
коэффициентов Су и С2 » соответствующие минимальной
ошибке в величине t^, определяемой из уравнения (2.55):
Для тангенциально направленной тяги Cj - - 0,1820; С2 ==
ж 0>22, для трансверсальной тяги С у = - 0,1062; С2 ~ 0,12.
- 35 -
На рис. 8 показана относительная погрешность 6 $
1к
величине времени разгона, определенной из уравнение
(2.55) с найденными коэффициентами при V>1 (величин^
V незначительно влияет на погрешность). Как видно из
рисунка, с уменьшением начального ускорения погрешность
убывает. При а0<3’10~2 ошибка не превышает 1%, при
а0<3-10“3 становится меньше 0,1%.
Уравнение (2.55) решалось на ЭВМ путем деления
пополам интервала [0, V/fl0 ]> на котором левая часть
уравнения, рассматриваемая как функция от монотонна
и меняет знак, если 1 и V > 1.
Можно получить приближенное решение уравнения
(2.55) для случая, когда V» 1, что соответствует малому
изменению массы аппарата за время разгона. Если искать
решение в виде
tk - ti0 + -ц1 + -Ч-+ • • ”
К Ли V у2
то, ограничиваясь линейным членом, получим
♦ - ♦ _ 1
4 * 1к0 а и
оv
^(1 — ao^o^ +^а0^0
L/i2t2 ►
2 “о 40 9
где
При малых значениях ао первый член в фигурных скоб-
ках оказывается намного меньше второго, поэтому получен-
ную формулу можно упростить:
где по-прежнему С j = - 0,1820 для тангенциальной тяги и
Ci = — 0,1062 для трансверсальной тяги. Несмотря на про-
стоту, формула (2.56) достаточно точна; так, при а0< Ю“2
и V > 4 ошибка определения времени разгона не превышает
одного процента.
Итак, для определения времени разгона аппарата до
параболической скорости под действием постоянной тяги
получены следующие соотношения.
- 36 -
1. Тангенциально направленная тяга:
4,_ (1-0,8082 v'aZ)2 ~|/
tk- 1-0,80827a;--------------------J/a0;
(2.57)
(2.58)
при постоянном реактивном ускорении
1- 0,8082^0^
(2.59)
(эта формула может быть получена по результатам рабо-
ты [15]).
2. Трансверсально направленная тяга:
/ 1 \8 an
/1 - V In-i----\ - 0,1062 ------2---г- +
1 fl01 1 fl0 t
у 1
a2 / , \
+ 0,12 —,—2-----/1 - V In —i\ - 0; (2.60)
/ a \2 a
V l-22-t. \ 1-LO-t, /
\ V */ \ V V
t - П Атеег’г- d-0,7555 ^ap2 "I I . C1X
tA - 1 - 0,75557a;----------2V-- -— a0 ; (2.61)
при постоянном реактивном ускорении
1-0,7555^0;
1к “-------а~п-- ’
**0
§4. Уравнения пространственного движения.
Возможное управление для перелета между круговыми
некомпланарными орбитами
В работе [12] приводится система уравнений простран-
ственного движения, которая позволяет рассматривать
- 37 -
движение космического аппарата как результат сложения
двух движений: движения аппарата в некоторой плоскости
и движения этой плоскости вокруг центра притяжения,
причем Первое движение не зависит от второго. В без-
размерных переменных система уравнений имеет следую-
щий вид:
dA _ 2^3(1~ f / f г sin? ~ f2coacp *
dcp l+fcoscp + f^ sincp I r coscp + f2 sincp
df1 A2(i-fJ-f^)2 I .
~ ------------------------ ar sin cp +
(1 + fcoscp+fg sincp)2 \
2coscp + f j cos2cp + f 2 siny coscp^fj \ .
1 +/* cos cp +f2 sincp 1
a 2, Г 2 r 2 4 2 t
& (1 —f 1 “ f 2 ) I „
------------~—s- -flfcoscp +
(l + f [COS? +f2sin?) у
2sin? +f2 sin2? + f * sib ? cos? +f g |
*P 1 + f j cos? + f sin ? J
+ Ср
df2 =
d Ср
j, агА2 (1-f2 -Г2^2соа^+У).
d'p (l + f cos? + f sin?)3
1 *
*2 . f 2 r 2.2 . t \
dQ flz A (1~J 1 al"^'P +У) .
d? (l + fxco s ? + f2 sin ? )3 sin I
d\p 2 -f 2)2sin(cp 4- \p)ctgl
d<p (1 + fj CO scp+f2 sincp)3
Время t связано с углом ср уравнением
dl
dcp (l + f 1 cos cp +f2 sincp)2
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.67)
(2.68)
(2.69)
В уравнениях (2.63) - (2.69) A - большая полуось; f и
f 2 ~ компоненты вектора Лапласа вдоль осей Ох и Оу
(рис. 9); i - наклонность орбиты; Й - долгота восходя-
- 38 -
того угла; аг > а2 - проекции реактивного ускорения
на направление радиуса-вектора, на перпендикулярное к
нему в плоскости орбиты и на перпендикулярное к плос-
кости орбиты; ср - угол между осью Ох и радиусом-век-
тором; у - угол между линией узлов и осью Ох. В каче-
стве характерного размера взято начальное значение
большой полуоси.
Рис. 9
Специальный выбор линии отсчета угла ср приводит к
тому, что уравнения (2.63) - (2.65) по своей структуре
.совпадают с уравнениями некоторого плоского движения,
в котором угол ср выполняет роль полярного угла.
Пусть тяга двигателя постоянна и Направлена так, что
ее радиальная составляющая равна нулю. Тогда направле-
ние вектора тяги можно задать одной величиной - углом
v между перпендикуляром к радиусу-вектору в плоскости
орбиты и вектором тяги (см. рис. 9). Если использовать
соотношения (2.5) и (2.30), то составляющие реактивного
ускорения можно записать в виде
ог-0;
an cos v т
» flcosv ж —----- a0cosvexp
aosinv т
й . ж a sin v ж - — = an sin v exp —.
гту; ° * v
- 39 -
Если теперь подставить полученные значения аг, а и аг
в систему уравнений (2.63) - (2.68), то при v = const
уравнения (2.63) - (2.65) с точностью до постоянного
множителя cosv совпадут с уравнениями (2.26) - (2.28)
плоского движения, исследованного в § 2 настоящей г ла-*
вы. При помощи метода усреднения было показано, что
если эксцентриситет начальной орбиты равен нулю, то в
течение некоторого времени орбита остается близкой к
круговой, а изменение среднего радиуса ее приближенно
описывается простыми соотношениями (2.45) - (2.46) •
Как известно (это было отмечено в § 2 первой главы),
при помощи составляющей реактивного ускорения а , норг*
мальной к мгновенной плоскости орбиты, можно изменять
наклонность орбиты i. Если в точках, где ср +у = и = ± ти/ 2
(ц - аргумент широты), направление тяги изменять на
симметричное относительно плоскости орбиты, то, как
следует из уравнения (2.66), наклонность орбиты будет
монотонно изменяться. При этом составляющая реактив-
ного ускорения изменяться не будет.
Таким образом, при помощи управления
аг -0; (2.70)
вф-flocosvcxpi; (2.71)
у
az « Oosin| v| expsign cos (cp +\p) > (2.72)
I v| -const ( — 7l<V<7c)
можно осуществить перелет с круговой орбиты на орбиту,
близкую к другой заданной круговой орбите. Погрешность
в значениях параметров конечной орбиты, вызванная приме-
нением усредненных уравнений, будет тем меньше, чем
меньше тяга двигателя и чем ближе конечная орбита к
начальной.
Управление (2.70) - (2.72) обеспечивает монотонное
увеличение наклонности орбиты. Если выполнение маневра
требует уменьшения наклонности, то знак Д2 должен быть
изменен на обратный:
az - -aosin I v I exp i sign cos(cp + y) •
В дальнейшем будем считать, что перелет происходит с
увеличением наклонности.
— 40 -
§5. Усреднение уравнении пространственного движения
Подставляя значения составляющих реактивного
рения (2.70) - (2.72) в уравнения (2.63) - (2.68) и
няя уравнение (2.69) уравнением (2.29), получаем
2a0cosv-A3 (l-f2-f2)expl
dA_= ° 12V.
dcp
111 = a0cosvA2(l-f 2 —f 2 )2(2cos<p + f COS2Cp +
dcp L 1 -i J
+ f2 sincpcoscp+f*)exp ~| / (1 + ^ coscp + f2sincp)3 ;
a0cosv. A2(l-f2 -f2 )2(2sincp + f sin2cp +
dcp L 1 2
+ f, sin<pcos<p +f )expl /(1 + f cosep+f sincp)3 ;
1 v I
. aosin| v|A2 (l-f 2 -f 2)2cos(<p+ y)exp I
-г— -----------------------------—-----— sign cos(cp+у); (2.76)
ucp ' ’ r - г • Л.Ч
1 + f coscp +f2 sin<p
(1 + f * coscp + f^sincp)3
уско-
заме-
(2.73)
(2.74)
(2.75)
da flosinlv|A2(l-f 2-f2)2sin(c₽ + \)/)exp X
~ ------------i----?---------------У- sign cos(cp+>p); (2.77)
ac₽ (1+f coscp + f^ sincp) sint
d\y aosin|v|A2(l-f2-f2 )2sin(cp+vp) ctg j exp-i-
—--- = — ---------------------------------------- x
(1 + f ! coscp+f2 sincp)3
x sign cos(cp+kp); (2.78)
+ f ] c°s<₽ + f 2 sin <p ) 2
Усредненные уравнения (2.73) - (2.75), (2.79), как
показано в § 2 настоящей главы, имеют вид
-j| = 2a0cosv.A3(l-f2 -f2)expl-; (2.80)
df _________
-J| = -|a0cosV.A2f1v/l-f2-f2 exp I; (2.81)
- 41 -
4г " ~'^flocosv’expV’ (2,82
W Ср ** Z 1 £ у
-fH«Av'''e4’T' |2'!!]
При малых значениях угла i правые части уравнение
(2.77) и (2.78) могут быть как угодно велики. Поэтому}
производя усреднение этих уравнений, будем считать, как
рекомендуется в работе [12], что угол i близок к значе-
нию - /2 (это всегда можно сделать соответствующим
выбором опорной плоскости, от нормали к которой отсчи-
тывается угол i).
Выполняя усреднение уравнений (2.76) - (2.78), полу-
2 т:
f
О
J2-
sin(y + r')sign cos ( у у т<)
d у •
(1 +f1 cos у +f2 sin у)3
Вычислим интегралы (2.87) и (2.88):
j Л
о
cos(yyy)sign cos (у -ь у)
( 1 +f j cos у 4- f 9 sin у)3
cos (yyy)sign cosCy+y)
/ _ t (1 + fj cos у yf2sincp)3
2 ?
d vjz 12
cos(y4-;<)dy
(lyf cosyyf siny)3
—; — / 1 -
3 7.
-7- ?
I
cos(y у \/)dcp
M,
cos у yf ? sin у )
12 -
2[2+(f ! cosy-f2 siny)2 -^siny^cosy)2]
(1-f? )2U-(fj «""И + f2cosy)2] '
6(fj cosy-f2siny) Arclg
(l-f2-fp/2
fjCOsy-f2 sin у
3^(fjcosy —f2sin y)
(1-ff " f2 )S/2
271
J2- г
0
sin(cp + y)sign cos (cp + \p) _
ZL —
2 f sin(cp + \|/)dcp
(1+fjCOSCp +f2sincp)3
2
~ - V
j. sin(cp + y)dy
n (1+fj coscp+f>siny)
- 2(f1cosy-uf2siny)(f1 siny+f2cosy)[ M^cosy -f2siny) 2 -
—5(fjSiny+f2cos\|>)2]!(l —f2 -f2 У [1 - (fj simp+f2 cosy)2]2 I 1 -
6(f siny+f cos y)
—1---------2------Arctg
fj cosy-f2 sin у
3-(fj siny+f9cosy)
(1-ff-f2)"
Подставим вычисленные значения интегралов в уравнения
(2.84) - (2.86):
di flOsinlvl А2ехРу
dcp ti
[2HfjCosy-f simp)2 -
- 2 (f 1 sin у + f2 cos у )2 ][ 1 -(f! sin у +f9 cos y)2 ] “1
3( f\ cosy ~f2sin 4*)
Vm; -i22
З71 (fj cosy — f siny)
Arctg---------------—
cosy-f2 sin Y
(2.Я9)
2 _ f2
1 ~ 2
- 43 -
a0sin|v|A2eXpT
dy Ttsini
(fj cos у - f2 sin у) (f । sin у +
+ f2cosy)[5 —г^созу-^япу)2 - 5(f1 siny + f2cosy)2] x
3(fj sin у cos у)
x[ 1—(/j siny+ f2cosy)2] 1
2 -f2
1_____2
x Arctg
f1 cosy-f2 sin у
aosin|v|A2ctgiexpI
dq 71
37l(f1sin't' + f, cos y)
(f cos y-f siny)(f sin у +
+ f2cos y) [5- 2(f j cos у -f2 siny)2 - 5(f} siny+ f2cosy)2] x
3(fi siny + f9 cos y)
---±-------±------- x
x[l-(fjSinY+f2cosY)2] 1
v'l-f 2 -f2
1 2
3 u( f J sin у + f2 cos \p)
(2.91
/l-f2 -f2
X Arctg 1 J2_________________________
^cosy-^siny 2^/1-f2 -f2
Здесь значение угла Arctg У1—f 2 -f^2 /( f cos у - f
bx&ixyw брать в интервале от 0 до п.
Полученные уравнения вместе с уравнениями (2.80) -
(2.83) представляют собой систему усредненных уравнений,
описывающую движение космического аппарата под дейст-
вием рассматриваемого управления.
Если начальная орбита круговая, то, как было показано
в § 2 настоящей главы, f = f 2 = 0, т.е. орбита все время
остается круговой. В этом случае уравнения (2.89) - (2.91)
принимают простой вид:
j-—=Г2a0sin 1vIг2ехр т]/71; г^=0: j~“°*
а у L и VJZ ау ау>
Из последних двух уравнений следует, что положение ли-
нии узлов не изменяется, положение оси Ol относительно
(2.91
sin y)
- 44 -
линии узлов В плоскости орбиты также остается постоян-
ным. Таким образом, в случае, когда эксцентриситет ной орбиты равен нулю, имеем началь-
— ж 2а0 cosvr3exp-^- ; dcp v (2.92)
Г,-0; (2.93)
f2-0; (2.94)
di 2aosiP|vlr2expI- (2.95)
dt ~ 71
Q ж const; (2.96)
\p ж const; (2.97)
(2.98)
§6. Исследование усредненных уравнений
Исключая из уравнений (2.92), (2.95) и (2.98) угол
ср, получаем
^=2rVTcosv; (2.99)
di
41 = 2 vTsinlvI. (2.100)
dT 71 11
Если v = 0, то
Г « 1/(1—Т)2 , i « const
(радиус начальной орбиты равен единице), т.е. плоскость
орбиты не изменяется, радиус орбиты возрастает. При
v = и радиус уменьшается:
Г 1/(1 + Т)2, I « const.
Если тяга двигателя направлена по нормали к мгновенной
плоскости орбиты, т.е. | v | = и/2, то наклонность орбиты
увеличивается, радиус остается без изменения:
г = 1, i - i + - Т.
71
- 45 -
Из уравнений (2.99), (2.100) следует, что
dt = Iv I _i .
dr 71 г
Если считать, что 1=0 при Г = 1, то решение этого урав>
нения есть
tg I v I
I - In Г. (2.101)
Пусть требуется перейти с орбиты единичного радиус^
на орбиту радиуса Т, плоскость которой составляет q
плоскостью исходной орбиты угол Из соотношения
(2.101) следует, что этот маневр можно осуществить,
если
| v| ж arctg---— . (2.102)
1пЧ
Это соотношение определяет управление, с помощью ко-
торого можно осуществить перелет между двумя круго-
выми некомпланарными орбитами.
Из решения системы уравнений (2.99), (2.100):
г -------1------г ; (2.1оз)
(1 — Т cos V )
2 tg I v ! i
i ж ———L In------1-----, (2.104)
71 1 — T COSV
можно определить характеристическую скорость маневра
1- —
ИЛИ
/ пгк
1 —exp I-------
т . * 2 Iv
“ COS V
В частном случае, когда Т = 1, имеем | v | = и/2
i--T; (2.107
71 ’
Tii,
Т - . (2.108
А 2
- 46 -
s7. Вариационная задача о перелете между круговыми
s ’ некомпланарными орбитами, описываемом
усредненными уравнениями
При усреднении уравнений (2.73) - (2.78) предполага-
лось, что модуль угла v - величина постоянная. Однако
полученные усредненные уравнений
4Г= 2Г VTcos ч;
dT
di
dT
sin I V I
71 v 1 ।
справедливы и в том случае, если | у | - медленно меняю-
щаяся функция угла ср. Среди этих функций можно попыта-
ться найти такие, которые позволяют осуществить рассмат-
риваемый маневр с меньшим, чем в случае |vl = const»
расходом топлива.
Найдем управление, обеспечивающее переход из точки
Г = 1, i = 0 в точку Т = Т^9 i = i с минимальным значе-
нием характеристической скорости Т^.
Отыскание оптимального управления сводится к реше-
нию краевой задачи:
dr 2 тгр Г 2 у/Т’
У1+712 Р2Г 2
di = 2 yT~ .
AT 71 -J 1 +7I2p2 Г 2
dp___Згср2 ryr 1
\/1+Т12р2 Г 2 71 \fT y/l+Tt2 р2Г 2
(2.109)
(2.110)
(2.111)
r « 1, i - 0 при T « 0,
r-rA, j.i* при T=7r
Здесь p - множитель Лагранжа.
После решения краевой задачи оптимальное управление
можно найти из соотношения
tg | V I = 1/прг .
- 47 -
Система уравнений (2.109) - (2.111) решается анали-
тически. Решение краевой задачи имеет вид
(2.113)
Зависимость модуля угла v от Т выражается соотношением
(2.114)
Характеристическая скорость маневра
(2.115)
Из выражения (2.112) следует, что зависимость Г от
Т может быть немонотонной. В случае, когда радиус ко-
нечной орбиты больше радиуса начальной, эта зависимость
будет немонотонной, если параметры конечной орбиты
удовлетворяют неравенству
Ч 1
2
При этом радиус Г сначала возрастает, достигая макси-
мума при
т
- 48 -
затем убывает до заданного значения г лл
значение радиуса Тк ' Максимальное
увеличивается с ростом 1^, стремясь к бесконечности при
ik + 2. Поэтому, если угол между орбитами близок к двум
радианам, метод усреднения будет давать большую погре-
шность, и параметры конечной орбиты будут сильно отли-
чаться от заданных.
При перелете на орбиту меньшего радиуса зависимость
Г от Т будет немонотонной, если
/—
Рис. 10
- 49 -
В случае, когда радиусы начальной и конечной орби^
одинаковы, при любых значениях угла между плоскостям^
этих орбит радиус возрастает до момента времени, когд$
Т / 2 » затем убывает до начального значения. За счет
этого достигается выигрыш в значении характеристической
скорости по сравнению с маневром поворота плоскости
орбиты при помощи тяги, нормальной к мгновенной плос-
кости орбиты. Например, при = л/2 максимальное зна-
чение радиуса более чем в девять раз превышает началь-
ный радиус. В этом случае выигрыш составляет 23%.
На рис. 10 показаны зависимости характеристической
скорости маневра и максимального радиуса от и i
для случая Т>1. Область, ограниченная сверху штрихо-
вой линией, соответствует маневрам с монотонным увели-
чением радиуса.
§ 8. Приложение результатов к задаче о перелете
на орбиту суточного спутника
Рассмотрим перелет с круговой орбиты радиуса 6671 км
на орбиту суточного спутника, радиус которой равен
42 240 км. Будем считать, что угол между этими орбита-
ми равен 48°.
При оптимальном управлении (2.114) безразмерная ха-
рактеристическая скорость маневра (отношение характе-
ристической скорости к скорости аппарата на начальной
круговой орбите) оказывается равной 0,98. На рис. И
показаны зависимости управляющего угла, угла j и радиу-
са Г от характеристической скорости Т. Из рисунка видно,
что в конце маневра радиус достигает максимума, несколь-
ко превышающего значение радиуса конечной орбиты.
На рис. 12 изображена зависимость времени маневра,
определенного из соотношения (2.30), от начального реак-
тивного ускорения при скорости истечения реактивной струи
100 км/сек (кривая 1) и км/сек ( кривая 2).
Характеристическая скорость маневра при постоянном
модуле управляющего угла (управление (2.101)) равна
1,05.
Представляет интерес определить характеристическую
скорость маневра, выполняемого в два этапа: перелет
между круговыми компланарными орбитами при помощи
трансверсальной тяги, затем - поворот плоскости получен-*
ной орбиты. Характеристическая скорость такого маневра
- 50 -
HI
ox OA 0.6 0.8 to 1,2 1Л 1.6 Ом/еек2
Рис. 12
— 51 —
- 52 -
укалывается равной 1>13, что на 14% превышает характе-
ристическую скорость оптимального перелета.
Для определения погре-
шности в параметрах суточ-
ной орбиты, вызванной при-
менением усредненных урав-
нений, при помощи ЭВМ ин-
тегрировалась точная систе-
ма уравнений (2.73) - (2.79)
с оптимальным управлением
(2.114). Интегрирование об-
рывалось при Т = (значе-
ние Тд. определялось из со-
отношения (2.115)). На
рис. 13-15 показаны зависи-
мости от а* и V следующих
величин: эксцентриситета по-
лученной орбиты (рис. 13),
модуля угла между плоско-
стями полученной и заданной
орбит (рис. 14) и относи-
тельной ошибки в величине
среднего радиуса (рис. 15).
Как видно из рисунков, при
ао<2 мм/сек2, Vе>10 км/сек
эксцентриситет орбиты — ме-
ньше 0,01, ошибка в наклон—
ности орбиты - меньше половины градуса, относительная
шибка в величине среднего радиуса - меньше половины
процента.
Рис. 15
Глава третья
ОПТИМАЛЬНЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОСМИЧЕСКИХ АППАРАТОВ
В настоящей главе приводится решение ряда вариациоц
них задач динамики космических аппаратов с малой тяго|
В большинстве задач минимизируется время, необходимо,
для выполнения маневра. В двух задачах (§3) минимизи-
руемым функционалОхМ является моторное время (время ра-
боты двигателя); получающиеся при этом траектории имею
пассивные участки в отличие от траекторий, оптимальны;
в смысле быстродействия. В § 9 рассмотрена вариационна;
задача о движении при помощи солнечного паруса.
Решение вариационных задач при помощи принципа мак-
симума /I.С.Понтрягина [18, 19] сводилось к решению кра-
евых задач для системы обыкновенных дифференциальны;
уравнений. При решении краевых задач использовался мо-
дифицированный метод Ньютона, описанный в § 1.
§ 1. Решение двухточечной краевой задачи для системы
обыкновенных дифференциальных уравнений методом Ньютона
Пусть требуется решить краевую задачу
(i-1,2......................................и), (3.
at 1 1 2 "
при t = tg
*m + l = О’ * т+2 = * т+2* 0 9 * * ’ 9 * п~ * п, 0 ’
при t = t
^(t,xitX2,.,.,Xn).Q;
<Р2 (1,Х1Ях2,...,Хп) =0;
- 54 -
переменных при t = tможно рассматривать
незаданных начальных значений перемен-
Значения
как * функции
ных Xj > *2 ’ ’ %т *
Xlt О' *2> 0г • • * * *т, 0 *
(3.4)
Поэтому можно записать
’ ’Xn,^ = Vj (Х1,о» Х2,0 ’ ’ ’ ’ ’ Хт, (Р
’ (j - 1, 2, , Ж),
и решение краевой задачи (3.1) ~ (3.3) сводится к отыс-
канию корней системы уравнений
'Ру (Х1,0 ’ х2,0 ’ ’ ’ ’ ’ Хт, о ) = 0 (j = 1, 2, ..., m ).
Применение метода Ньютона [20] для решения этой
системы уравнений приводит к следующему интерационно-
му процессу:
xz;o+1) “хЛо + Дхдо (j = ].2............W)- (3.4')
( с )
Приращения ДХ . J находятся путем решения системы ли-
нейных алгебраических уравнений
2 лГ-Д1Л0 = «» 1,2,...,»). (3.5)
J”1 /,0
Здесь значения функций и ее производных вычисляются
в точке Х^ .
Близость значений X<s\ к решению бу-
1>0 2*0 77ifO
дем характеризовать величиной
N = Е I ф. |. (3.6)
;=1 I
Сходимость итерационного процесса (3.4 ') - (3.5) мож-
но улучшить, уменьшая величины приращений AXQ, найден-
ные из (3.5), если окажется, что N^5+1^ > N . Заменим
соотношения (3.4 ) следующими:
Х/,о +fexAxjJ (j- l,2,...,m). (3.7)
Очевидно, что при k = 1 соотношения* (3.7) совпадают с
(3.4). Итерационной процесс будем начинать, полагая
= 1. Если окажется, что
N(s+1)>N(s), (3.8)
- 55 -
положим к = 1/2 и вновь вычислим значения r^5+1)
1»0 »
x2S,01)-"-’ Хт^П» N(s+1) по формулам (3.5), (3.7).
Если вновь имеет место соотношение (3.8) , опять умень^
шаем величину к вдвое и т.д. до тех пор, пока при неко^
тором значении k = к не получим уменьшение величины
Ki xAs+D (^1 г. 1
N: IN <N . Чтобы из-за уменьшения величины к не
вызвать замедления сходимости процесса вблизи решения,
на каждом итерационном шаге делается попытка увеличен
ния к вдвое. Так в рассмотренном случае на s + 2-м ша-
ге значения X, Л, ХПЛ >•••> X Л будут вычисляться по
1 2,и т9 о
формулам
ХЛо2) -ХА0+П +2*х дхло+1) U-1’2..........
Краевая задача считается решенной, когда величина N
становится меньше заданного числа е.
Производные ду/дХ о находились путем m-кратного ре*
шения задачи Коши (3.1), (3.2), (3.4#) с поочередным
варьированием начальных значений (3.4).
Следует заметить, что производные Эф/ЭХ0 могут вы-
числяться путем однократного интегрирования т систем
уравнений в вариациях для системы (3.1) [21].
Ниже приводится схема решения краевой задачи при
помощи модифицированного метода Ньютона.
1. Задаются: S = 0, k = 1.
2. Задаются: Xj 0» Х2 q»***» X- о (пеРвое приближение).
3. Решается задача *Коши (3.2), (3.4') и вы-
числяются значения у..
4. Вычисляется значение по формуле (3.6).
5. Сравниваются и е:
а) если N^s)< е, то задача считается решенной;
б) если N(s)> в , то переходят к п. 6.
6. Сравниваются $ и 0:
а) если S = 0, то переходят к п. 11;
б) если S /0, то переходят к п. 7.
7. Сравниваются и
а) если то переходят к п. 9;
б) если то переходят к п. 8.
8. Значение k заменяется на к/2 и переходят к п. 13.
9. Сравниваются к и 1:
а) если к = 1, то переходят к п. 11;
б) если к /1, то переходят к п. 10.
- 56 -
10. Значение k заменяется на 2k.
11. Вычисляются производные <9у/<?х0.
12. Значение s заменяется на s + 1 •
13. Вычисляются значения Х10. Х2>о ’ ’ хт,0 по Ф°Р~
мулам (3.5), (3.7), затем переходят к п. 3.
§2. Вариационная задача о минимуме времени разгона
до достижения параболической скорости [22]
Предполагается, что начальная орбита круговая, аппарат
снабжен двигателем с постоянной тягой (см. вторую главу,
9 1).
Движение аппарата описывается системой уравнений:
(3.3)
sin/, (3.12)
где Г и ср - полярные координаты аппарата (см. рис. 1);
Мир- радиальная и трансверсальная составляющие ско-
рости; t - время; X - угол между радиусом-вектором
аппарата и вектором силы тяги; aQ - начальное реактив-
ное ускорение; V - скорость истечения реактивной струи.
Все величины в уравнениях (3.9) ~ (3.12) безразмерные.
Размерные переменные, которые отмечаются, как и во
второй главе, звездочкой, можно найти при помощи сле-
дующих соотношений:
- 57 -
Здесь г* " радиус начальной круговой орбиты; р, = уМ •
произведение гравитационной постоянной на массу притяги
ваюшего тела.
Требуется найти зависимость X(t) такую, чтобы время
достижения параболической скорости при заданных а0 и
V было минимальным.
Используя принцип максимума, получаем уравнения для
импульсов р , р , р , р :
т ср и V
dpr P<fV р/ 2рц PvUV
+ (ЗЛЗ)
dp
df = 0; (3.14)
dp
Г и
dt
(3.15)
dt г
Составляем функцию
Puv2 Pu
H-pru+— +— --
dPy Р<р 2Pu^ Руц
Г + г
(3.16)
PvUV
— - sinX
°P_Pu..cosX -
1-^-t
V
функция Н должна быть максимальной по X при любых
значениях фазовых координат. Максимум Ц достигается
при значении углах, удовлетворяющем соотношениям
р р
sinX = --* ; cosX - -—. (3.17)
Л 2 п2 /Сг Д
+ Р VP +Р
и V и V
В конечный момент времени t = должно выполняться
условие достижения параболической скорости
r(u2+v2)-2. (3.18)
Кроме того, при t = фазовые координаты должны удо-
влетворять условиям трансверсальности:
Рср-°; рц-ргцг2; р„-рл2-
Из (3.6) следует, что - постоянная величина, поэ-
тому, учитывая первое из условий (3.11), находим
Pv = 0. (3.20)
- 58 -
Подставив (3.17) в (3.8) - (3.16), получаем, принимая
во внимание (3.20),
du _ V2 1 во рц
dt ~ т ,2+ а0 хГ" ₽ ьэ + ТЗ С кэ
(3.21)
(3.22)
(3.23)
V .
dt “ Г ’
dv dt ~ _u/t __ l-^o. t V Py /р2+р2 U V (3.24)
dPr v2 PyW . / Q 9 r\
dt Г2 r3 r2 \ о и)
dPu dt ~ -Pr + Pv^ • r ’ (3.26)
dpv dt _£P^ r + P£, (3.27)
Переменная ср не входит в правые части уравнений* Поэто-
му из полученной системы уравнений можно исключить
уравнение (3.22) и найти ср квадратурой после решения
краевой задачи. При численном решении задачи при помо-
щи ЭВМ целесообразно уравнение (3.22) интегрировать
вместе с остальными уравнениями.
Нетрудно видеть, что формд уравнений (3.21) - (3.27)
и условий (3.19) позволяет произвольно задать значение
одного из импульсов в начальный момент времени. Будем
считать, что pv = 1 при t = 0.
Итак, требуется найти решение системы уравнений
(3.21) - (3.27) с граничными условиями:
при t = 0
г - 1; ср» 0; и =» 0; V-1; ру-1; (3.28)
при t = tк
r(u2+v2)-2; Pu-Prur2-0; Pv-Prvr2»0. (3.29)
Одно из условий в конце траектории должно служить
для определения неизвестного времени tт.е. для обры-
ва интегрирования. Для этой цели следует использовать
- 59
условие r(u1 2 + V2 ) = 2, т.к. не исключено, что остальные
^два равенства могут неоднократно выполняться на траекто-
рии.
Анализ граничных условий позволяет сделать вывод о
том, что при t = tfc вектор тяги должен совпадать с век-
тором скорости, а производная угла у между этими век-
торами (см. рис. 1) по времени должна быть равна нулю.
Для решения краевой задачи (3.21) - (3.29) при помо-
щи метода Ньютона необходимо задать первое приближе-
ние недостающих начальных условий
чения этой задачи выразим р и р
Г о
юшие простой физический смысл.
Р и р .Для облег-
ла
о о
через величины, име-
Рис. 16 Рис. 17
Из (3.17) находим
tg^-Pv/Pu» (3.30)
и, следовательно, с учетом того, что р =1,
vo
Pu -ctgX . (3.31)
о
Продифференцировав по времени равенство (3.30) и под-
ставив в полученное выражение значения dp /dt и dp /dt
из (3.26), (3.27), получаем и v
1 + cos2X0 +
sin2Xg
(3.32)
- 60 -
Предположим, что оптимальное управление на начальном
этапе близко к трансверсальной тяге: х = . Тогда из
(3.31) и (3.32) находим р = 1, р =0. Именно эти
Г о “о
значения использовались в качестве первого приближения
при решении задачи.
На рис. 16 и 17 представлены зависимости угла у (в
рад) от времени и от числа оборотов п вокруг притягиваю-
щего центра при постоянном реактивном ускорении а0 =
- 10~* 2. Видно, что вектор тяги совершает колебательные
движения около вектора скорости. Амплитуда этих коле-
баний возрастает с течением времени, а период их при-
мерно равен времени одного оборота.
Время маневра как функция постоянного ускорения
00 показана на рис. 18.
Рис. 18
На рис. 19 построены
величин т । ^Е
(кривая 2), где J , t ia
Е
гъна, время разгона при
зависимости от постоянного aQ
(кривая 1) и т2 = (( — t )/f
t - время оптимального раз-
2
помоши тангенциальной тяги и
трансверсальной тяги. Из рисунка следует, что танген-
циальная тяга по сравнению с оптимальной дает очень не-
значительный проигрыш во времени (меньше половины
- 61 -
процента при до<5в1О 3) . Проигрыш при трансверсальной
тяге более существенен, однако при малых aQ он также
весьма мал.
Расчеты, проведенные для случая постоянной тяги,
показали, что уменьшение скорости истечения реактивной
струи V при одних и тех же значениях До вызывает умень-
шение величин т j и т2. Это означает, что на рис. 19 изо-
бражены верхние границы и т2 при разгоне с постоянной
тягой.
Проведенные расчеты показали, что при V > 1 формулы
типа (2.57) - (2.62) могут быть использованы для опре-
деления минимального времени разгона:
С несколько большей погрешностью t определяется из
простого соотношения
1-0,8209 Van -<1-0,8209 ^iT0)Z/2V
=------------------—-----------------. (3.34)
При постоянном реактивном ускорении
1-0,8209 ^О"0
(3.35)
Погрешность в определении из (3.33) - (3.35) такая
же, как для случаев тангенциальной и трансверсальной
тяги (см. рис. 8).
§ 3. Вариационная задача о минимуме времени работы двигателя
при разгоне до достижения параболической скорости
Полагается, что начальная орбита круговая; реактивное
ускорение постоянно.
Движение аппарата описывается следующими уравнени-
ями в полярной системе координат:
— 62 -
<L_ = u;
IF ’
dy _ v .
dt ~ r ’
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
(3.40)
-A1- -iui*8asini;
dt r
Здесь Г и ср - полярные координаты (см. рис. 1); U и V -
радиальная и трансверсальная составляющие скорости; t -
время; ty- время работу двигателя; \ - угол между
радиусом-вектором аппарата и вектором реактивного уско-
рения; а - величина реактивного ускорения; 6 = 1 на ак-
тивных участках и 6 = 0 на пассивных участках.
Все величины в (3.36) - (3.40) - безразмерные. Зна-
чения соответствующих размерных переменных можно
найти при помощи соотношений
где Го - радиус начальной круговой орбиты; |х -гравита-
ционный параметр притягивающего тела.
Требуется найти функции X = X(t) и 6 = б( t)» миними-
зирующие моторное время
гона .
Импульсы рг, рц> р
щей системе уравнений:
при заданном времени раз-
удовлетворяют следую-
, Р
v r у
ч V p V2 г и 2p r u _
dt T2 r2 r3
dt ’ 0;
dp -pr +
dt ~ r ’
dK 2p V _ ru M.
dt r r r ’
dhi dt 0.
p uv
-v- >
T-
(3.42)
(3.43)
(3.44)
(3.45)
- 63 -
Составляем функцию Н:
РфУ р V2 р р UV Н = Рг и + -у- + -у ~ + ба cos х + ба sinx + р Л/6-
Функция Н достигает максимума при
Р Р si n X * - • г-п« г - - (3.46)
сч а СХ + <*» а |сх 1 ) сч а сх + ** а
6 1 1 при Д > 0; 1 0 при Д < 0, (3.47)
где Д = й(\/р2 + р2 — 1) , т.е.
l-sig"(7p* +Р*-1) (3.48)
0- 2
При t = tfc должны выполняться условия достижения параболической скорости
Г (М2 + V2) = 2 (3.49)
и условия трансверсальности:
F-0; Р -pur2; р -pvr2; ри--а. ср ги Гг rv Гг ГМ (3.50)
Из (3.42), (3.45) и (3.50) следует, что р^=0, р^ = -а.
Итак, решение вариационной задачи сводится к реше-
нию следующей краевой задачи:
dr _ dt " u; (3.51)
dtp ~dt = v . T ' (3.52)
du _ V2 _ 1 Рц l-sig”(\/p2+ P* -1) ; (3.53)
dt r -w K3| H < 1 T3| P N3 + 43 <2 КЭ 1 1 N)
dy _ _uv. Py l-sign(/p2 +P2~1) . (3.54)
dt r P N3 + <2 КЭ
dtM 1 — s ig"(\/Pu + Pv -1) . (3.55)
dt 2
- 64 -
ч 9 M 2P„ P..UV
dt r r3 (3.56)
dt P V (3.57)
dp dt -V P„U r + r • (3.58)
При t = о
Г«1; ф« 0; u « 0; v-1; — 0; (3.59)
при t = tfo
r(u2 + v2) = 2; pu=prur2; p^ = p^vr2. (3.60)
Решение задачи проводилось при а = 0,01 в интервале
100 <t^<160. Оказалось, что решение краевой задачи
(3.51) - (3.60) неединственно. Так, на интервале 111 <
<t к < 125 были найдены два решения. Одно из них соот-
ветствует траектории с шестью пассивными участками,
другое - траектории с семью пассивными участками. Для
на интервале 125 < < 134 оказалось три решения
(траектории с шестью, семью и восемью пассивными
участками), для на интервале 134 < t< 151 - два
решения (траектории с семью и восемью пассивными
участками).
На рис. 20 показана зависимость моторного времени
от времени разгона
траекториям с шестью
t^. Кривая 1 — 1 соответствует
пассивными участками, кривая
1—2 - траекториям с семью пассивными участками и
кривая 1—3 - траекториям с восемью пассивными участ-
ками. С возрастанием t j. величина убывает, стремясь,
очевидно, при неограниченном возрастании к значению
tMk= =41,42 (скользящий режим: бесконечно
большое число бесконечно малых импульсов в перицентрах).
Проведенные расчеты показали, что на оптимальной
траектории на каждом обороте вокруг притягивающего
центра расположены один активный и один пассивный
участки, причем активный участок находится в области
перицентра. Это следовало ожидать, т.к. скорость воз-
растания энергии увеличивается при уменьшении расстоя-
ния между аппаратом и притягивающим центром.
На рис. 21 изображена одна из траекторий с шестью
пассивными участками. Сплошными линиями на рисунке
- 65 -
Рис. 20
Рис. 21
— 66 —
Рис. 22
одного оборота. Как и в за-
показаны активные участки траектории, штриховыми - пас-
сивные участки.
На рис. 22 представлена зависимость от времени угла
у (см. рис. 1) между вектором скорости и вектором тяги.
Штриховая линия показы-
вает зависимость значений
угла Y от t , вычисленных
на пассивных участках при
помощи формул (3.46) (1 =
= X - arctg(l>/ U ) ). Как ви-
дно из рисунка, значения
угла у колеблются около
нуля. Амплитуда колебаний
возрастает с течением вре-
мени. Период колеба-
ний равен примерно времени
даче, рассмотренной в § 2, Y = О ПРИ t = t, производная
dy/dt ПРИ t = t/с также равна нулю.
Кроме рассмотренной задачи, решалась также вариа-
ционная задача о минимуме моторного времени при разго-
не с трансверсально направленной тягой. Соответствующая
краевая задача получается из (3.51) - (3.60) заменой
уравнений (3.53) - (3.55) следующими уравнениями:
du _ у2 _ _1 .
dt Т г2’
dv _ _ UV 1~slg»>(Pt, - 1) .
dt Г 2
dty _ <Рv - 1)
dt 2
Решение этой задачи было получено для интервала
120 < 1д.< 190 (как и в предыдущей задаче, было принято
О =0,01). Здесь также была выявлена неединственность
решения краевой задачи.
На рис. 20 показана зависимость от . Кривая
2 — 1 соответствует траекториям с шестью пассивными
участками, кривая 2—2 - с семью, кривая 2—3 - с во-
семью пассивными участками.
Следует заметить, что время разгона при оптимальном
управлении без выключения двигателя при а = 0,01 равно
74,13. Таким образом, как видно из рис. 20, незначительное
увеличение общего времени хманевра приводит к тому, что
- 67 -
моторное время разгона с трансверсальной тягой становит-
ся меньше, чем время разгона с оптимальным управлением
при постоянно работающем двигателе.
ч- ।---г—। ♦ -I 1 1 1------н—♦—ч
О 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 t
>>111---1-1-1—-I-1-1-1-1 I I-*-
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 t
I |---1 1—1---1--1 1 1—1 1 1 Н--------1—1
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 t
Рис. 23
На рис. 23 показано расположение активных участков
(жирные линии) для трех разных решений при t= 140.
§ 4. Вариационная задача о торможении аппарата
при подлете к планете
В настоящем разделе приводится решение вариационной
задачи о переходе со сферы действия планеты на задан-
ную круговую орбиту за минимальное время при постоянном
реактивном ускорении.
Движение космического аппарата описывается следую-
щей системой уравнений:
£= Usine;
at
_ Цcos е .
dt * ’
do _ Ucos0 _ cosO Лэнгу
Иг г г2 U + U ’
(3.61)
(3.62)
(3.63)
(3.64)
- 68 -
Здесь Г и ср - полярные координаты; Ц - модуль вектора
скорости (см. рис. 1); 6 - угол между перпендикуляром
к радиусу-вектору и вектором скорости; t - время; а -
реактивное ускорение; у - угол между вектором скорости
и вектором тяги.
В уравнениях (3.61) - (3.64) все величины безразмер-
ные. Они связаны с соответствующими размерными значе-
ниями следующими соотношениями:
отношение
й круговой
где Г* - радиус заданной круговой орбиты (на которую
должен быть выведен аппарат) ; р, - гравитационный пара-
метр планеты.
Требуется найти управление, обеспечивающее переход за
минимальное время из точки Г = р; ср = 0; U = Uft ; 9 = 9 п
на поверхность г = 1; 11 = 1; 9 = к. Здесь ।
радиуса сферы действия к радиусу заде
орбиты.
Составляем сопряженную систему урав^
пульсов рг , , р0 :
dp р cos9 2р sin9 р Ucos9 2p0cos9
”dT= “Т2 + —^2
для им-
(3.65)
(3.66)
dpu Pcpcos 9 ресоS 9
_ = _prsin0+__------------—
РдСОв 0 р Л sin у
-5------+ ; (3.67)
r2U2 U2
dp p UsinG P COS0 P Usin0 P„sinG
J-2 = - p UcosG — —--------+ --------5-------(3.68)
dt r r r2 r r2U
Составляем функцию
Р^Цсовб p sin9
H = P Usin9---i------------+ a p cos у +
rr Г r2 “
PqUcos9 P^cosO apQsiny
+ * гЧГ + ii
- 69 -
Максимум функции Н достигается при значениях угла у,
удовлетворяющих соотношениям
Р0 PuU
sin у « ---2----; cosy - -----------.
v'p=u= +Р“
U \J и и
На правом конце траектории значение угла ср не зада-
но. Поэтому, учитывая (3.66), находим р = 0.
Итак, требуется найти решение следующей краевой за-
дачи: х
4L-=UsinO;
dt
___UcosQ .
dt г •
dU sine вРцц .
d‘ " '2
do U cos9 cosO & P 6 .
dpr 2PttsinO PqUcosO 2pQcos0
"dF = H + r2 r3U
(3.69)
(3.70)
(3.71)
(3.72)
(3.73)
dp PftcosO _Д= -р sin о - L6—_ - dt г Г 9 fl|,° (3.74) 'ги2 (М2игт* v ru r 0
dp P„cos9 —— = -р Ucose+ dt г г2 P UsinO p sinO h *-2 ; (3.75) T r2U
при t = 0
r « p; cp»O; U»U0; e»%; (3.76)
при t =
Г = 1; U = 1; 0 - 7i; p = - ] . (3.77)
и
Так как время t не задано, для окончания интегриро-
вания необходимо использовать одно из граничных усло-
вий (3.77). Осуществить это трудно, потому что в случае
многовиткового маневра переменные Г, U и 0 могут пеод-
- 70 -
нократно принимать значения (3.77). Поэтому система
уравнений интегрировалась в обратном направлении, и ин-
тегрирование обрывалось при выполнении условия т = р.
По смыслу задачи траектория аппарата не выходит из
сферы действия планеты, поэтому условие Г = р может
выполняться на траектории лишь один раз. При проведе-
нии расчетов полагалось: р. = 398 600 км3/сек 2 , р* =
= 930 000 км , . 189 200 км, а* = 3,52 мм/сек2* значения
Uo и 90 варьировались (см. вторую гцаву § 8).
На рис. 24 показана зависимость отношения времени
выполнения маневра к минимальному времени Ь . = 344,2
от величин 0О и Uo. Этот абсолютный минимум времени
торможения получается при Uo= 0,516, = 4,500.
По характеру управления маневр состоит из двух участ-
ков. Продолжительность начального участка равна прибли-
- 71 -
зительно времени одного (первого) оборота вокруг Земли
(на весь маневр требуется примерно тринадцать оборотов).
На этом участке происходит уменьшение эксцентриситета
оскулируюшей орбиты почти до нуля, характер управления
при этом сильно зависит от начального значения вектора
скорости. На втором участке, который заканчивается вы-
ходом на заданную круговую орбиту, тяга при любых на-
чальных условиях близка к тангенциальной.
§5. Перелет между круговыми компланарными орбитами [23]
В настоящем разделе рассматривается вариационная за-
дача о минимуме времени перелета с орбиты Земли на ор-
биты других планет. Все орбиты считаются круговыми.
Полагалось, что реактивное ускорение постоянно.
При решении поставленной задачи будем предполагать,
что на космический аппарат кроме реактивных сил дейст-
вует еше только сила притяжения Солнца, т.е. будем рас-
сматривать случай, когда аппарат находится вне сфер
действия планет. Задача выхода в некоторую точку сферы
действия и перелета с нее на круговую орбиту вокруг
планеты решена в предыдущем параграфе. Движение ап-
парата описывается следующими уравнениями в полярной
системе координат:
-г- = и; dt (3.78)
d4> v . dt ~ г’ (3.79)
^.^--L^cosX; dt Г r2 (3.80)
(3.81)
Здесь Г и - полярные координаты (см. рис. 1); ц и р -
радиальная и трансверсальная составляющие скорости; а -
реактивное ускорение; X - угол между радиусом-вектором
аппарата и вектором силы тяги; t - время.
Все величины в уравнениях, безразмерные. Соответст-
вующие размерные значения, отмеченные звездочкой, мож-
но получить по формулам
- 72 -
где Тд ~ радиус орбиты Земли; и = уМ - произведение
гравитационной постоянной на массу Солнца.
Требуется найти управление Х( t), обеспечивающее пере-
ход из точки
Г - 1; ср ж 0; и - 0; V - 1
на поверхность
Г - rk; и-0; v- 1/<г^
за минимальное время.
Составляем функцию И:
PrnV р V2 р р UV
Н ж р и + ------+ а р cos х —+ а р sin х.
Г Г Г r2 ги Г rv
Здесь рг , рг рц,
ме уравнений
р v - импульсы, удовлетворяющие систе-
<*РГ dt dpy dt р/ 7^ + 0; P V2 и r2 2PU PvMV. Г3 r2 (3.82) (3.83)
dp и _ dt dp rv dt ’ -pf + r V. r ’ 2p _ и r V p u V + r ’ (3.84) (3.85)
Из условия максимума Pv Sink ж — функции H наводим . p“ (3.86)
cs 3 |cx les » » cs £ CX + es з 1 3
Значение угла ср в конечный момент времени t = t не
задано, поэтому р^ = 0 при t = t . Принимая во внимание
(3.83), получаем р^^О. Уравнения (3.82) ~ (3.85) одно-
родны относительно импульсов; это позволяет, как и в
задаче, рассмотренной в § 2, положить р =71 при t = 0.
Подставляя (3.86) в уравнения (3.78) - (3.81), полу-
чаем
- 73 -
d<p v .
dt ‘ r ’
du = v2_______1_ + flPu .
dt ' ' ’
rU r V
dpr _ puv2 2pu _ PvUV
dt у 2 рЗ у 2
^U-_p +M- M
dt *r r ’ dt r + r ’
Граничные условия следующие:
t « 0; r=l; cp - 0; u = 0; V=l; p = 1;
t -t^; r=rk; u = 0; v - 1/^.
При проведении расчетов полагалось, что а - 0,1667;
это соответствует примерно размерному значению fl* =
= 1 мм/сек 2.
Рис. 25
На рис. 25 построены зависимости гелиоцентрического
радиуса от времени для перелетов на орбиты Венеры,
Марса и Юпитера. По оси абсцисс отложено относительное
- 74 -
время t = t/Ц, где tf. - время перелета, равное 2,33
Венеры, 3,25 для Марса и 9,31 для Юпитера; соответст-
вующее время в сутках - 135, 189 и 540. Угол перелета
ср^ составляет соответственно 172, 138 и 185°. Время пе-
релета в сутках на орбиты других планет равно 789 для
Сатурна, 1150 для Урана, 1480 для Нептуна, 1720 для
Плутона.
Рис. 26
На рис. 26 построены графики зависимости Ц= ^ц2 + V 2,
ср и X от времени при перелете на орбиту Венеры.
§6. Скругление эллиптической орбиты
Рассматривается вариационная задача о переводе аппа-
рата, находящегося в начальный момент на эллиптической
орбите, на круговую орбиту, радиус которой не задан. Ми-
нимизируется время выполнения маневра. Считается, что
реактивное ускорение постоянно.
Система уравнений, описывающая движение аппарата,
имеет вид
4I = u; (3.87)
dt
ЗГ=7>' (3.88)
dt г
^-= ^-4-+a cosX; (3.89)
at r r
= _»V + asinX. (3.O9S
at *
- 75 -
Здесь Г и ср - полярные координаты (см. рис. 1); U и V -
радиальная и трансверсальная составляющие скорости; t *
время; а ~ реактивное ускорение; X - угол между радиу-
сом-вектором аппарата и вектором силы тяги.
Переменные в уравнениях (3.87) - (3.90) безразмерные.
Размерные значения переменных можно найти при помощи
следующих формул:
где Гд - расстояние до апоцентра начальной эллиптической
орбиты; н - гравитационный параметр притягивающего те-
ла.
Сопряженная система уравнений для импульсов р , р имеет вид ru Г V Рг-
dp, Pf0V р v2 2Р р UV г г^р г и г и г V dt 2 3 2 ^.0; dt (3.91) (3.92)
-р dt иг г (3.93)
dPv р<₽ 2puv Руц dt г г + г (3.94)
Составляем функцию
p.v р V2 р Р UV H-pu + —_+ г —+apucasX+apvsinX .
Функция Н максимальна при
Р р
sinX = —; cosX « — “ - .
vp2+p2 7р2 +р2
и V ги r V
При t = tfc (в конечный момент времени) должно быть
ГР2 = 1, U = 0, 2р = р V, р =0. Последнее из этих ус-
r v г ср J
ловий вместе с уравнением (3.92) дает следующий ре-
зультат: р^= 0.
Итак, решение вариационной задачи сводится к реше-
нию следующей краевой задачи:
~ = U- —=V- flPg
dt - ’ dt - г ’ dt - r r2 + ’
и v
- 76 -
dv uv । ° pv dpr рцу2 2рц pvuV
dt Г TFTp5"’ dt ~ г2 г’ r2
dp p V dp 2P V p U
dt pr r ’ dt Г + Г ’
При t = 0
_ 1-eo , I i
Г = --------, cp - <p , U = \J---C„Since ;
1 + e coscp о yi-e 0 Y°
v“ yrh;(1+eooos<po); pv“1:
при t =
rv2- 1; u - 0; 2p r - p V.
Г r v
Здесь Cq “ эксцентриситет начальной орбиты. Угол ср от-
считывается от* направления на перицентр.
Условие pv = 1 задано вследствие однородности урав-
нений (3.91) - (3.94) относительно импульсов.
Расчеты, проведенные при 3»10”2< а <10 и 10“2 < ео <
< 10"1, показали, что при больших значениях реактивного
ускорения а наиболее выгодно начинать маневр вблизи
апоцентра. При уменьшении ускорения точка старта, обес-
печивающая минимум времени, сдвигается навстречу ап-
парату.
Для рассматриваемой задачи существует локально-
оптимальное управление, которое выбирается так, чтобы в
каждый момент времени скорость убывания эксцентриси-
тета была максимальной (см. первую главу) . Оказалось,
что время выполнения маневра при помощи локально-оп-
тимального управления близко к времени, найденному при
решении вариационной задачи; максимальное отличие
составляет 4,9%, т.е. оптимальное управление близко к
локально-оптимальному. Это облегчает выбор первого при-
ближения при решении краевой задачи.
§ 7. Варишдюнная задача о встрече космических аппаратов
Пусть два космических аппарата (обозначим их цифра-
ми 1 и 2) движутся по круговым компланарным орбитам
- 77 -
радиусов Fj и r2 > причем Г1<Г2- момент t =0 цент-
ральный угол между радиусами-векторами аппаратов равен
Ф. В этот момент включается двигатель аппарата 1, и че-
рез время оба аппарата встречаются на орбите радиуса
Г2, причем на величину относительной скорости аппаратов
в точке встречи не накладывается никаких ограничений.
Движение космического аппарата 1 с постоянным ре-
активным ускорением описывается следующей системой
уравнений:
^ = и; (3.95)
^- = - -i- +0COSX; (3.96)
at f r2
^=-^ + asinX; (3.97)
dtp _ v
dt r ’
(3.98)
Здесь Г и <p - полярные координаты (см. рис. 1); и н р -
радиальная и трансверсальная составляющие вектора ско-
рости; t - время; a - реактивное ускорение; X - угол
между радиусом-вектором аппарата и вектором тяги.
Все величины в (3.95) - (3.88) безразмерные. Связь
размерных и безразмерных величин дается следующими
формулами, где звездочками отмечены размерные вели-
чины:
(3.99)
Здесь - радиус начальной орбиты аппарата 1;
витационный параметр притягивающего тела.
р. - гра-
Удобно перейти к вращающейся системе координат,
связанной с аппаратом 2. Для этого сделаем замену
у * ср - со t,
(3.100)
где со - угловая скорость движения по орбите аппарата 2.
Если через R обозначить безразмерный радиус этой орби-
ты, ТО 00 = i/TF. В результате замены (3.100) уравнение
(3.98) перепишется так:
- 78 -
dw j,
jM""’ 0.101)
Граничные условия для системы (3.95) - (3.97), (3.101)
имеют вид:
при t = 0
Г - 1; и = 0; V- 1; у -0; (3.102)
при t = t k
г - R; Y « ф. (3.103)
Ставится задача: найти управление X = X(t) такое, чтобы
решение системы (3.95) - (3.97), (3.101) с граничными
условиями (3.102), (3.103) обеспечивало минимум времени
Составляем функцию п:
р V2 р р UP р V
Н = ри + —----£+ар cosX———+ар sinX+-^------Р ш. (3.104)
г Г r2 ru T V Г Y
Из условия максимальности Н по X находим оптимальное
управление:
Р Р
sin X = cosX u-------.
Ур2+р2 Ур2+р2
и V и V
Сопряженная система имеет следующий вид:
,5l= puv2 _.2jl _ pvuv,V •
dt T2 r3 r2 + r2 ’
dt Pr r '
dpv 2puv Pvu
dt r + r ’
dp
A-o.
dt
Так как и U( t^) и Vit^) не фиксированы, то
выполняться следующие два условия трансверсал
Р (t, ) «0; р (t.) - 0. (3.110)
и к rv к
Решения сопряженной системы определяются с точно-
стью до постоянного множителя, поэтому начальное зна-
чение одного из импульсов можно считать известным.
(3.105)
(3.106)
(3.107)
(3.108)
(3.109)
должны
- 79 -
Так как аз (3.100) следует, что р = const , то удобно
положить эту константу равной некоторому известному
числу. Однако вопрос о выборе знака этой константы не
является тривиальным и требует специального рассмотре-
ния.
Заметим, что существует некоторое минимальное время
пересечения аппаратом 1 орбиты аппарата 2. Это время
t£ соответствует тому случаю, когда величина угла у при
t = не задается. Тогда наряду с (3.110) получа-
ем еще одно условие трансверсальности
P/t*) - 0. (3.111)
Пусть оптимальному перелету с временем соответствует
в момент 1=0 некоторый угол Ф° между радиусами-век-
торами аппаратов. Будем обозначать углы, большие Ф°,
через Ф+, а углы, меньшие Ф°, через Ф~ . Оптимальные
времена перелетов, отвечающие этим начальным углам, бу-
дем обозначать и IT » соответственно. Очевидно* в силу
к к
определения > I® и >1^. Тогда справедливы следую-
щие неравенства:
dtk +
— > о для ;
дФ к
дЧ
—- < 0 для t, .
дФ К
Опираясь на результаты, изложенные в [18, 19], можно
показать, что
дЧ
~ = р »
дФ
(3.113)
и, следовательно, окончательно имеем
ДЛЯ ф
рт-1 ДЛЯ 7; [ (зли)
рт-« ДЛЯ
Итак, мы имеем следующую краевую задачу:
41.и; dt du _ v2 dt Г (3.115) 1 аР + “ (3.116) г2 Ур2+р2 и V
-80 -
dv__UV ° Py •
dt ~ r УрТр"
U V
(3.117)
(3.118)
dp p, V2 2p p UV ршУ
г и dt T2 _ Ц _ v + T • r3 r2 r2 (3.119)
dp p„v
—й- = -p dt r -г ; (3.120)
dPV 2PUV Ру» dt ‘ Г + Г ’ (3.121)
при t = 0 p7 Г - 1; и ж 0; V « 1; у - 0; -1 для t+k; р^--! для t“ ; (3.122)
при t = t& г - R; у-Ф; р -0; р - 0. (3.123)
В случае и V t? в (3.123) условие у = Ф нужно заменить
условием р = 0. (3.124)
Кроме того, в этом случае импульсы снова определяются
с точностью > до постоянного множителя. Рассуждения,
аналогичные вышеизложенным, показывают, что можно по-
ложить рг(О) = 1.
Чтобы найти хорошее первое приближение для решения
краевой задачи, построим ее приближенное решение, поль-
зуясь малостью реактивного ускорения а. Будем считать,
г = 1 + аг( 1) + а2 г(2) + ... ; (3.125)
и - аи(1) + а2и(2) + ... ; (3.126)
v = 1 + аи(1)+ a2 v(2) + . .. . (3.127)
Подставляя (3.125) - (3.127) в (3.115) - (3.118) и от-
брасывая члены порядка а2, получим
dr( D (п
; (3.128)
Г(1) + 2v(1) + cosX; (3.129)
at
-81 -
dyd) dt = — U + sink; (3.130)
dy dt = I - w +a(u(1) - ). (3.131)
Сопряженная система принимает следующий вид
dp'n dt = p - p(1) r У r и * (3.132)
dP„n . —pd) + p(i) • r r V (3.133)
dt
dPyU dt = -p - 2p(1). Ф и (3.134)
Здесь Ру определяется, как и ранее, из (3.114). Краевые условия для уравнений (3.128) - (3.134) в
случаях и имеют следующий вид: при t = 0 =0; и(1) =0; -0; у-0; (3.135)
при t = t. rd)_В-i • a 1 »и«ф; pd) ,0; pd) „ 0. U V (3.136)
В случае t,, когда p к при t = 0 = 0, имеем краевые условия - 0; у - 0; р(1) - 1; (3.137)
при t = th A rd) R-i• р(1)-0; р(1)-0. ги г V (3.138)
Построим решение уравнений (3.128) - (3.134) для
случая t£. Решение сопряженной системы (3.123) - (3.134)
имеет вид
р(1)
РО>
Г U
pd)
V
где X = - t ;
X(t) определяется формулой
4 sin X 4- 2 Ь (1 - cosX)— ЗХ
Ь sin X —2(1—cos X)
Подставляя X в (3.128) - (3.131) и интегрируя полученную
систему с учетом краевых условий (3.135), (3.136), имеем
« 2 sinx — b cos x — 3x + 2 b ;
« —2(1 —cos x) + bsinx;
« 4 sin X + 2 b (1 — cos x) — 3 X,
Ь - неизвестная константа.
p(l)
tgx.
g p(i)
(3.139)
(3.140)
(3.141)
Управление
(3.142)
- 82 -
окончательно два уравнения с двумя неизвестными t и Ь:
R-1 bc 1 “ С9
У = 11(1>ЛР = f .= dX; (3.143)
О VtTCj-2bc2+c3
ф~ (1 -w) tk
а
- J2(Ь, tk) =
1к
f
о
“ ЬСп + с о
.. Л.я.и_....dx
Vb2c1 -2bc2 + c3
(3.144)
где
« sin2x + 4(1 — cos x) 2;
C 9 w 6(1 — cos x)(x - sin x);
C3 « 8(1— cos x) + 3x(3x — 4sin x).
В случае tk в формулах (3.143) , (3.144) нужно поме-
нять знак на обратный перед и J . Наконец, в случае
формулы (3.142) - (3.144) принимают вид
tgX - 2ctg-j-; f v'Cjdx;
о
Хотя интегралы в (3.143), (3.144) аналитически не
вычисляются, решение этих уравнений значительно проще
решения исходной краевой задачи.
Если орбиты аппаратов близки, т.е. R незначительно
отличается от единицы, уравнение (3.144) можно прибли-
женно заменить следующим:
I - ДД 'к = tp- (3.145)
Сопоставляя (3.143) с (3.145), видим, что
Др)’ (3-146)
Решение точной краевой задачи (3.115) - (3.123) по
методу Ньютона требует подбора трех значений началь-
ных условий: р , р , п . Для случаев t* и t~ первое
rO ии0 к к
приближение этих начальных условий берется из решения
(3.143), (3.144) относительно Ь и t . Как следует из
- 83 -
(3.139) - (3.141), для случая tt оно имеет следующий
вид:
- 2 sin - b cos - 3 £4-2 b ;
» —2(1 — cos tp + b sin tк ;
== 4 sin t jr. +2 b (1 — cos tj.) — 3 tf,.
нужно поменять в этих формулах знаки для
на обратные. В случае первое приближе-
Pro
P«o
PvO
В случае
Pro’ PuO’ PvO ,
ние находится по формулам
. Sin •
2 — cos
время перелета неизвестно, при решении
для системы дифференциальных уравнений
Р
ru0
р
vO
2 (1 — cos ty.)
2 — со s t £
как
Коши
- (3.121) одно из условий на правом конце долж-
Т ак
задачи
(3.115)
но использоваться для обрыва интегрирования. Однако по-
скольку в данной задаче имелось в виду получение набора
решений для широкого диапазона углов Ф и радиусов R,
при решении краевой задачи оказалось удобнее задавать
время I и получать значения углов Ф (или радиусов R в
случае t ).
Результаты расчетов представлены на рис. 27-33.
На рис. 27 и 28 изображена зависимость Ц от R и ф.
Рис. 27 соответствует случаю, когда а = 10*“4; он получен
путем расчетов по приближенному решению. Рис. 28 соот-
ветствует случаю а = 10 ~3; штриховой линией на нем изо-
бражено приближенное решение. Отличие его от точного
наблюдается только при больших tL в окрестности кривой
ф
Область на рис. 27 и 28 находится сверху от кривой
(0, ниже этой кривой лежит область
Рис. 27 и 28 отличаются один от другого незначительно,
фактически только масштабом (для а = 10“3 он в десять
раз больше, чем для Д = 10“4). Этот факт является оче-
видным следствием формулы (3.146).
На рис. 29 изображена зависимость времени t j. от угла
Ф при а = 10“3.
Примеры • оптимальных траекторий r(t) и управлений
X(t) показаны на рис. 30 (fl = 10 “2; R = 1,07; t = 5, слу-
чай 11) и рис. 31 (а = 10“2; R = 1,05; t z =5; случай t Г).
к к к
Для случая величина r(t) сначала убывает, а затем
- 84 -
Рис. 28
Рис. 27
Рис. 29
- 85 -
Рис. 32
- 86 -
резко возрастает до Г = R. Для случая t величина Г(С)
сначала возрастает, пересекает R, а затем уменьшается.
Если реактивное ускорение достаточно велико, то мо-
жет оказаться, что для одного и того же угла Ф возмо-
жен перелет как по траектории типа так и по траек-
тории t, причем и = Фд.. На рис. 32 приведен
график зависимости для случая а = 10 1 и
R = 1. На этом рисунке есть точка Ф = 3,632 соответст-
вующая двум оптимальным траекториям, перелет по кото-
рым возможен за одинаковое время t = 6,075. На рис. 33
Рис. 33
показаны обе эти траектории. Буквами А и В обозначены
начальные положения аппаратов 1 и 2, а буквой С - точка
их встречи.
§ 8. Перелет между круговыми некомпланарными орбитами
Движение аппарата под действием постоянного реак-
тивного ускорения описывается следующими уравнениями
в сферической системе координат:
5Т = и; (3.147)
V .
dt г cos9 *
4е _ W .
dt т ’
(3.148)
(3.149)
- 87 -
(k= _ 2_+a sinx cos X;
at r r2
dv uv VWtgQ
jp = —jf- + т -ь a sin x sin X;
4w = _uw v2tge ,
dt r r +acosx.
(3.150)
(3.151)
(3.152)
Здесь Г, ср, 0 -сферические координаты аппарата (рис. 34);
U, W “ проекции вектора скорости на направления ортов
Г°, ср0, (7°; t - время; а - реактивное ускорение; к и X -
управляющие углы (рис. 35).
Рис. 35
Рис. 34
Все величины в уравнениях (3.147) - (3.152) безраз-
мерные. Переход к размерным переменным осуществляет-
ся по формулам
* о
где Гд - радиус начальной круговой орбиты; |х - гравита-
ционный параметр планеты (размерные величины отмечены
звездочкой).
Считается, что круговая орбита, на которую следует
вывести аппарат, лежит в плоскости хОу (см. рис. 34)
-88 -
(радиус этой орбиты равен Г^), угол между плоскостями
начальной и конечной орбит равен iQ, линия пересечения
плоскостей этих орбит (линия узлов) совпадает с осью
Ох, при t = 0 аппарат находится на линии узлов.
Требуется найти управление х = x(t), Х = Х( t), обес-
печивающее перелет из заданной точки круговой орбиты
единичного радиуса и наклонения i0 на круговуо орбиту
радиуса за минимальное время.
Составляем функцию Н:
.. V Pew Р„О'2 + «>2) Ри
Н ж р ц + —I-+ —2— + ------------- +ар sin xcos X -
rcosO Г Г г2
- т----z-- Т И к O1U гь 0X11 г* —
Г Г г v
PwUW Pwy2tSe
- —-----——— + а р cos х ,
Г Г
здесь Рг> р , PQ» Pu> Pv» р^ - импульсы, удовлетворяющие
сопряженной системе уравнений:
dPr P<pv Pew Pu(v2+w2) 2pu
dt r2cos0 Г2 Г 2 Г3
- Pv»v Pvvwtge _ pwiiw _ pwv2tge r2 ' r2 r2 r2 (3.153)
dt 0; (3.154)
<*Ре PjpVsin0 PvVlU PWV2 (3.155)
dt ~ Fcos^O Fcos^O Г cos^O
dt p v p W нг Г Г ’ (3.156)
dpv _ _ P? _ 2PuV + РуЦ _ PyWtSQ + 2PwVt8Q . (3.157)
dt TcosO Г Г Г Г
dPw dt pe 2рцш pvvtge pwu г г г ь г (3.158)
Находим управление, доставляющее максимум функ-
ции II:
- 89 -
x/p2 +p2
sinx « -ц -
Ур2 +p2 + p2
r U r V rU)
Pv
sinX » - - - —
yp2 + p2
v ru r V
cos x = • r _ . ; (3.159)
Ур2 +p2+p2
r и r V w
p
Cos X ж - -------- . (3.16(1;
Из уравнения (3.154) следует, что р. = const . При
Д'
t - t k величина = 0, т.к. не задано, поэтому р = Q.
Подставляя выражения для управляющих углов (3.15b )
(3.160) в систему (3.147) - (3.152) и присоединяя к ной
(3.153) - (3.158), получаем
d<p _ у .
dt Тcos 9 ’
de _ w .
dt ~ г ’
du v2+w2 _ ] + aPu
dt ’ r r2 +
U V IL
du uy + fwtge aPv
'+ ' \/p2 +P2 + P2
и v w
dw _ uw _ a Pw
dt ’ Г Г vp2+p2+p2 ’
U V w
dpr _ PeW ptt(v 2 + W 2 ) _ 2Pu _
dt r2 r2 r3 r2
P^VUJtge _ PwUW _ Pu.V2tgO
Г 2 r2 r2
^P©_ vi.
dt Tcos^O Г cos^ 0
(3.161)
(3.162)
(3.163)
(3.164)
(3.165)
(3.166)
(3.167)
(3.16Й)
- 90 -
<4 n PvV PWW .
_.=_pr + _+_,
(3.169)
dPv 2pv pvu pvwtge 2pwvtge
"dT=—~ +'r------------г ’ (ЗЛ70]
dPw Pe 2puw pvi«ge Pwu
jr=~7-------г г + r ’ U*U1)
Система уравнений (3.161) - (3.171) однородна отно-
сительно импульсов. Поэтому можно принять, что р2 +
+ «1 при t = 0. U
Таким образом, нужно найти решение системы уравне-
ний (3.161) - (3.171) при условиях:
при t = 0
г «1; ср«0; 9=0; u = 0; 1 (3J?2)
U-=cosl ‘ u>«sinl ’ pz + pz =1;
O' 0 ru r v )
при t = t £
r-r,; e = 0; u-0; v = l/V77; w-0. (3.173)
К к
Момент заранее не задается. Обрывать процесс ин-
тегрирования системы уравнений (3.161) - (3.171) в мо-
мент выполнения одного из условий (3.173) нельзя, т.к.
заранее неизвестно, есть ли среди координат г, 0, U, V, W
меняющиеся монотонно. В задаче поэтому использовался
следующий прием. К системе уравнений (3.161) - (3.171)
было добавлено уравнение
dt,
-Л=0. (3.174)
dt
При решении краевой задачи (3.161) - (3.174) требовалось
при помощи метода Ньютона подобрать такие значения
Р PQ/1» Р > Р Л и 1л.» чтобы были выполнены условия
г0 90 uo w0 А
(3.173). Интегрирование обрывалось при t =
Задача решалась при а = 0,005. При выборе первого
приближения использовались результаты решения вариа-
ционной задачи для усредненных уравнений о перелете
между круговыми некомпланарными орбитами (см. вторую
главу).
Для этого подбор величин р , р , р , р был све-
’ г0 к90 *и0 ии;0
ден к подбору при t = 0 углов а и р и производных этих
- 91 -
углов по времени, где а - угол между перпендикуляром
к мгновенной орбитальной плоскости Р и вектором ус-
корения а (рис. 36); £ - угол между радиусом-вектором
аппарата Г и проекцией а на плоскость Р.
Аналогично тому, как были выведены в § 2 настоящей
главы соотношения (3.30) ~ (3.31), найдем формулы для
вычисления р , р , р , р и р при t = 0:
rr r0 rv rw
dx о
rp + cos 1 q + cos I g cos X + sm ctgxsin X
Po = (1 + Ctgx) jp + p^cos Xctgx cos i0 cos X sin Xctg x -
— 2 sin i0 cos X — sin ig cos X ctg x;
P = cos X;
г и
P « sin X;
r v *
P - ctgx,
to
где
sinasin ₽cos jn — sin i лсоз a
sinX - 0 9 ----;
у/1— (cos i0cos a+ sin sin a sin p ) ~
л sinXcosS
cosX - --------- -----r ------ ------,
— (cos |qCOs a+sin i^ sin a sin £ )
sinasin £ sin i n +cos i ncos a
Ctg H = .... . ----
у 1- (cos ig cos a + sin ig sin a sin £ ) 2
4^ = —r— I - 4~" sin in cos a sin £ + 4^ sin a cos i n -
dt sinxLdt 0 dt 0
d£ . n . fl
- -J- sin a cos £ sin ln + — _ (—D sin l_ +
dt ° V °
w
♦ pwcos ig ) (cos a sin i 0 - sin a sin £ cos iQ )
-92-
Значение а, р, da/dt» dp/dt и tk при t =0 полагались
равными (см. вторую главу § 4“7):
В табл. 3 приведены результаты расчетов. В трех по-
следних случаях величина Г изменялась немонотонно. Сна-
чала радиус возрастал до значения, превышающего радиус
конечной орбиты, затем уменьшался до .
Таблица 3
Tk *0 ч
1,100000 0,100000 31,180
1,117000 0,122340 38,000
1,130000 0,140000 44,000
1,148000 0,178000 53,250
1,159500 0,200070 60,960
1,167250 0,225700 68,480
1,172500 0,254400 76,760
1,174005 0,279455 84,100
1,173250 0,297000 90,050
1,170500 0,318000 95,420
1,167500 0,332000 99,476
-93 -
На рис. 37 показана зависимость углов а и р от време-
ни при ~ 1,13, ig 0,14 рас) . Как и предполагалось,
радиальная составляющая тяги мала, о чем свидетельст-
вует близость угла ₽ к л/2 на всей траектории. Нормаль-
ная составляющая тяги два раза на каждом обороте меня-
ет знак. Такой же характер управления наблюдался во
всех вариантах. Это свидетельствует о близости управле-
ния, найденного в § 7 второй главы к оптимальному.
§9. Перелет между гелиоцентрическими круговыми орбитами
при помощи солнечного паруса [24]
Рассматривается вариационная задача о минимуме вре-
мени перелета с орбиты Земли на орбиты других планет.
Все орбиты полагаются круговыми.
Движение космического аппарата, снабженного плоским
идеально отражающим солнечным парусом, описывается
следующей системой уравнений:
аг г
du V2 1 a cos3 0 .
JT г р+ Г2 ’
dv UV Asin в cos2 в
Jr = --F+ ~2
(3.175)
(3.176)
(3.177)
(3.178)
Здесь г и у ” полярные координаты; U и V - радиальная
и трансверсальная составляющие скорости; t — время;
0 — угол установки паруса (рис. 39). Все переменные в
уравнениях (3.175) - (3.178) безразмерные. Безразмерная
величина Л вычисляется по формуле
а - а*г*‘/уМ,
- 94 -
где Го - радиус орбиты Земли; у ” гравитационная посто-
янная; М “ масса Солнца; а* - отношение к массе аппара-
та силы давления солнечного света при 0 = 0 на орбите
Земли (звездочкой отмечены размерные значения перемен-
ных).
Рис. 38
Размерные значения остальных переменных можно най-
ти при помощи следующих соотношений:
Сопряженная система уравнений для импульсов имеет
вид
dPr М Pup2 2PU 2apucos3e ptuv
dt r2 + г2 r3 r3 r2 +
2(jp sin 9 cosG
+ ——-----------; (3.179)
r3
dp
-^=0; (3.130)
dp p v
~dt=-Pr+^T;
dPv P4> 2puV pru ,
аГ=“Т"—+ ~-
Составляем функцию
и РФР рЛ2 Ри ер, cos3е puv ар, sin о cos2 е
Н « D U + —2— + —-__- - ---------v —-_____
Г Г г2
Г
>2
Г2
Из условия максимума функции Н находим
(3.183)
однозначно,
\/эр2 + 8р2 — Зр
tg0------~~4В -------
4PV
Из этого соотношения угол 0 определяется
т.к. сила давления света может быть направлена только
в сторону от Солнца.
Конечное значение угла ср не задается, поэтому р = 0
при t = . Из (3.180) следует, что р - постоянная^ве-
личина, поэтому р^=0.
Подставляя в уравнения (3.177) - (3.179) значение 0
из (3.183), получаем систему семи дифференциальных
уравнений.
Правые части уравнений являются однородными функ-
циями относительно импульсов. Используя это, полагаем,
что в начальный момент времени р = 1 при Г. > 1 и р
, _ •» кт
= - 1 при Г к < I.
Итак, требуется найти решение семи уравнений (3.175) -
(3.179); (3.181), (3.182) при граничных условиях:
при t = 0
1; ср = 0; U - 0; V - 1;
при t = tk
7=- ; р « ± 1.
= 2 м,м/се%^ были найдены траектории перелетов
всех планет солнечной системы. На рис. 39 и
г «г, ; и« 0; v «
к
При а
на орбиты
40 построены зависимости величин 6, Г,срд U, V от времени
для перелета к Марсу. По оси абсцирс отложено относи-
тельное время t = t*/tk , где - время перелета, равное
322 суткатл. На рис. 41 и 42 представлены те же зависи-
мости для полета к Венере, продолжительность которого
оказалась равной 164 суткам.
Время перелета в годах на орбиты других планет равно
для Меркурия 0,53, Юпитера 6,6, Сатурна 17, Урана 49,
Нептуна 96, Плутона 145.
-96 -
।
чэ
I
Рис. 39
Рис. 40
Рис. 42
Для перелета на орбиту Марса была исследована зави-
симость времени полета от ускорения:
Ускорение, лс лс/свк2 Время, сутки
1
2
3
4
5
405
322
286
264
248
Глава чет вертая
ЗАДАЧА О МАКСИМУМЕ ПОЛЕЗНОЙ НАГРУЗКИ
Предыдущие главы были посвящены исследованию тра-
екторий с простыми управлениями и с оптимальными управ-
лениями в смысле быстродействия или минимума времени
работы двигателя. Эти исследования облегчают решение
основной проблехмы оптимизации в динамике космических
аппаратов [25] - цдйти такое управление тягой и выбрать
такие значения параметров двигательной установки, кото-
рые позволяют выполнить заданный маневр за фиксирован-
ное время, обеспечивая максимум полезной нагрузки.
В настоящей главе исследуется задача о максимуме
полезной нагрузки для некоторых маневров в околопланет-
ном пространстве. Как и прежде, полагается, что аппарат
снабжен нерегулируемой двигательной установкой. Счита-
ется, что двигатель работает в течение всего времени вы-
полнения маневра.
§ 1. Формулировка основной проблемы оптимизации
Будем считать, что полный стартовый вес космического
аппарата G* складывается из следующих компонентов:
веса источника мощности G^, веса рабочего вещества G^
и веса полезной нагрузки G^:
G* = G* +G* +G*
О /V т н
(4.1)
(как и в предыдущих двух главах звездочкой отмечаются
размерные величины).
Будем считать, что вся мощность N • подводимая к
двигателю от источника, превращается в мощность реак-
тивной струи:
* *2
<4.2,
- 99 -
где q* — массовый расход рабочего вещества в единицу
времени; V - скорость истечения реактивной струи (обе
эти величины постоянны в рассматриваемом случае нере-
гулируемой двигательной системы).
Если считать, как это обычно делается, что вес ис-
точника мощности пропорционален мощности, т.е.
“ a*N*»
где постоянная а* “ удельный вес источника мощности,
то с учетом выражения (4.2) получаем
с. «*<№
GN ~ 2
силы тяжести.
Вес рабочего вещества, израсходованного за время от
t = 0 до t = t ,
где д* — ускорение
Известно, что
V*
где Р - тяга. Поэтому
г. «-pV. г. ₽’«•
----------------2---’ G----------у
Подставив GT, и G* в (4.1), получаем
/V т
Разделив обе части этого равенства на GQ, находим
g -1 + . (4.з)
П °\V* 2g* I
Здесь Gn = G^/Gq -относительная полезная нагрузка; aj =
= Р 8*/^о ” начальное реактивное ускорение.
Если считать, что для какого-либо маневра, выполняе-
мого с каким-либо определенным управлением, известна
зависимость времени выполнения маневра от параметров
двигательной установки а* и V •
- 100 -
>, <4.4)
то основная проблема оптимизации этого маневра формули-
руется следующим образом [26] : при заданном t найти
условный максимум функции (4.3) двух переменных Д* и
V при наличии связи (4.4) (коэффициент а считается
заданным).
§2. Перелет на орбиту суточного спутника
Рассмотрим следующую задачу. Требуется доставить
максимальный относительный полезный вес на орбиту эк-
ваториального суточного спутника Земли
(Г.* = 42240 км)
к
за 40 суток при старте с круговой орбиты, радиус кото-
рой rQ* = 6671 км и наклонение = 48°.
В 9 7 второй главы при помощи метода усреднения
получено аналитическое решение вариационной задачи на
быстродействие о перелете между круговыми некомпла-
нарными орбитами. В § 8 той же главы исследуется оп-
тимальная траектория для случая перелета на суточную
орбиту. Для определения характеристической скорости пе-
релета между круговыми некомпланарными орбитами в
8 7 второй главы получена следующая формула (2.115):
Подставляя это значение в соотношение (2.30)
(4.5)
получаем зависимость времени маневра от aQ и V:
Все величины в этом соотношении безразмерные. Раз-
мерные значения величины можно найти при помощи со-
отношений
- 101 -
В размерных переменных соотношение (4,6) принимает
следующий, вид:
Итак, требуется найти максимум функции (4.3)
G - 1 - в‘[Ц+
°1у* 2g
при условии, что а0 и V связаны соотношением (4.8).
В рассматриваемой задаче полагалось а* = 10 кГ/квт,
И = 0,3886 «10 6 км3/сек2.
Максимум относительного полезного веса G = 0,51
достигается при а* = 1,86 мм/сек2 и V*= 23 км/сек- При
этом относительный вес источника мощности G =0,21*
относительный вес рабочего вещества Gm= 0,28.
§ 3. Поворот плоскости орбиты
В случае, когда г,
К
ехр
*, формула (4,8) принимает вид
(4Л)
Рассмотрим задачу о максимуме относительной полез-
ной нагрузки при повороте околоземной круговой орбиты
радиуса Г* = 6671 км на угол Ь » 90° за 100 суток. Эта
0 к
задача сводится к отысканию максимума величины
G
п
(4.10)
- 102 -
при наличии связи (4.9).Как и в предыдущей задаче счи-
тается а* = 10 «Г/квж, 11 = 0,3986 406 км3/сек2 . Решение
этой задачи дало следующие результаты: Gq = 1,37 мм/сек2,
V* = 34 км/сек; = 0,23, Gm=0,35, Gn=0,42.
Следует заметить, что при повороте плоскости орбиты
радиус не остается постоянным (см. 9 7 второй главы).
Сначала радиус возрастает, достигая величины, более чем
в девять раз превышающей начальное значение, затем
у бывает.
Известно, что поворот плоскости орбиты можно осу-
ществить при помощи тяги, нормальной к мгновенной плос-
кости орбиты (радиус орбиты при этом остается постоян-
ным) . В этом случае характеристическая скорость маневра
дается формулой (2.108):
ТЛ - nik/2.
Подставляя это соотношение в (4.5) и переходя к раз-
мерным величинам по формулам (4.7), находим зависи-
мость времени поворота плоскости орбиты от а0 и V*:
Максимум полезной нагрузки (4.10) при условии (4.11)
для случая Г* = 6671 км , ijj. = 90° достигается при а* =
= 1,65 мм/сек2, V* = 31 км/сек . При этом GN = 0,26, Gm s
= 0,46, Gn = 0,28.
Таким образом, управление, исследованное в § 7 второй
главы позволяет, в более чем полтора раза увеличить по-
лезную нагрузку при повороте плоскости околоземной кру-
говой орбиты на 90° по сравнению с маневром при помощи
поперечной тяги.
§4. Выведение максимальной полезной нагрузки
на параболическую орбиту
В §3 второй главы и в,§ 2 третьей главы приведены
лриближенные формулы для определения времени разгона
космического аппарата до достижения параболической ско-
рости:
- 103 -
где с = 0,1062, с 2 = 0,12 для разгона с трансверсальной
тягой; Cj = 0,1820, С2 = 0,22 для тангенциальной тяги и
С1 = 0,2063, с 2 =0,25 для тяги, оптимальной в смысле
быстродействия. Это соотношение позволяет просто ре-
шить задачу о выводе на параболическую орбиту макси-
мального полезного веса.
При помощи формул (4.7) вместо (4.12) получаем
Задача сводится к отысканию условного максимума
(4.10) при связи (4.13), наложенной на а* и V*.
Будем считать, что г* = 6671 хм > t * = 40 суток, а* =
= 10 хГ/хвт, н = 0,3886-10 6 хм3/сек2.
В табл. 4 приводятся результаты решения.
Таблица 4
Управление fl0 ’ лл/сек2 v‘, км/оех G/V G т G п
Т рансверсальное 1,739 22,59 0,1964 0,2661 0,5375
Т ангенциальное 1,728 22,56 0,1950 0,2648 0,5402
Оптимальное 1,726 22>,56 0,1947 0,2644 0,5409
При разгоне с тангенциальной и трансверсальной тягой
величина полезной нагрузки лишь на доли процента мень-
ше, чем в случае оптимального маневра. Это еще раз
подтверждает рациональность использования трансверсаль-
ной и тангенциальной тяги для разгона аппарата до до*-
стижения параболической скорости.
- 104 -
ЛИТЕРАТУРА
1. Дубошин Г.Н. Небесная механика. М., Физматгиз, 1983.
2. Эрике К. Космический полет, т. 1. М., Физматгиз, 1963.
3. Rider L. Low thrust correction of orbital orientation. "J. Amer. Rock.
Soc. ”, 1960, 30, X7.
4. Илларионов В.Ф., Шкадов Л.М. Поворот плоскости
круговой орбиты спутника. ГПММГ, 1962, 26, Аё 1.
5. Irving J.H. Low thrust flight: variable exhaust velocity in gravita-
tional fields. " Space Techn " , 1959, 10, №4.
6. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотичес-
кие методы в теории нелинейных колебаний. М., Физматгиз, 1958.
7. Белецкий В.В., Егоров В.А. Разгон космического аппара-
та в сфере действия планеты. 'Космические исследования1", 1984,
т. II, вып. 3.
8. Tsien Н. S. Take-off from satellite orbit. "J. Amer. Rock. Soc.",
1953, 23, 4.
9. Benney D. J. Escape from a circular orbit using tangential thrust.
” Jet Propuls”, 1958, 28, №3.
10. Lawden D.J. Optimal programming of rocket thrust direction. "Astro-
naut. Acta”, 1955, 1, №1.
IL Moiseyev N.N. Methods of non—linearmechanics in the problems of
dynamics of satellites. Reports of the XIII International Congress of Astrona-
utics, Varna, 1962.
12. Кузмак Г.Е., Ко п н и н Ю.M. Новая форма уравнений дви-
жения спутника и приложения ее к исследованию движений, близких
к кеплеровым. 'Журнал вычйсл. матем. и матем. физ.', 1963, 3, № 4.
13. Lass Н., Lorell J. Low acceleration take-off from a satellite or-
bit. ” J. Amer. Rock. Soc.”, 1961, 31, .V 1 (русск. пер. "Астронавтика и раке—
тодииамика", Экспресс-информация, 1963, К 48).
14. King —Н el е D. J. The enlargement of elliptic satellite orbits by con-
tinuous miero — thrust. XIV th Congress intemat. astronaut., Paris, 1963.
15. Евтушенко Ю.Г. Влияние касательного ускорения на дви-
жение спутника. 'Прикл. матем. и мех/. 1966, т. 30, № 1.
16. Zee С.Н. Low constant tangential thrust spiral trajectories. ”AJAA",
1963, 1, № 7.
17. Охоцимский Д.Е. Исследование движения в центральном
поле под действием постоянного касательного ускорения. 'Космк=
ческие исследования', 1964, Т.П, вып. 6.
18. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В.,
Мишенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.
М., Физматгиз, 1961.
19. Болтянский В. Г. Л\атематические методы оптимального уп-
равления. М., Изд-во 'Наука', 1986.
- 105 -
20. Березин И.С., Житков Н.П. Методы вычислений, т. II .
М., Физматгиз, 1950.
21. Heinz Z. Die Berechnung der Abhangigkeit von Frei flu gbahnen bei
Rauensonden von den BrennschluPparametem.nZ. Flugwiss.”, 1962, 10, №3.
22. Лебедев B.H. Вариационная задача о взлете космического
аппарата с круговой орбиты. 'Журнал вычисл. матем. и матем. физ.',
1963 , 3, № 6.
23. Лебедев В.Н., Румянцев Б. Н. Вариационная задача о
перелете между двумя точками в центральном поле. В сб.: 'Искус-
ственные спутники Земли', вып. 16. М., Изд-во АН СССР, 1983.
24. Жуков А.Н., Лебедев В.Н. Вариационная задача о пере-
лете между гелиоцентрическими круговыми орбитами при помощи
солнечного паруса. 'Космические исследования', 1964, Т.П, вып. 1.
25. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Ме^
ханика полета с малой тягой. 'Инженерный журнал', 1963, 1964, 3,
№ 3-4; 4, № 1-2.
28. Гродзовский Г.Л., Иванов Ю.Н., Токарев В.В. Ме-
ханика космического полета с малой тягой. М., Изд-во 'Наука', 1966.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение .................................................... 3
Глава первая. Некоторые простые способы управления космиче-
ским аппаратом................................................ 5
§1. Дифференциальные соотношения для оскупирующих
элементов ............................................. 5
8 2. Простые способы управления тягой космического
аппарата .......................................... 7
8 3. Некоторые свойства простых управлений .»......... 12
8 4. Анализ изменения оскулируюших элементов ......... 16
8 5. Возможные приложения простых управлений......... 19
8 6» Задача о выведении космического аппарата на
круговую орбиту при подходе к планете ............ 19
Глава вторая. Исследование некоторых задач динамики космиче-
ского аппарата при помощи метода усреднения.................. 23
8 1. Уравнения плоского движения. Параметры двига-
тельной установки с постоянной тягой ................. 23
6 2. Применение метода усреднения ................... 25
8 3. Приближенные формулы для определения времени
разгона .................................... 33
8 4. Уравнения пространственного движения. Возмож-
ное управление для перелета между круговыми
не компланарными орбитами ............... 37
8 5. Усреднение уравнений пространственного движе-
ния .................................................. 41
8 6. Исследование усредненных уравнений ............. 45
8 7. Вариационная задача о перелете между круговыми
некомпланарными орбитами, описываемом усреднен-
ными уравнениями ............................... 47
8 8. Приложение результатов к задаче о перелете на
орбиту суточного спутника .................... 50
Глава третья. Оптимальные траектории космических аппаратов ... 54
8 1. Решение двухточечной краевой задачи для систе-
мы обыкновенных дифференциальных уравнений
методом Ньютона .................................... 54
8 2. Вариационная задача о минимуме времени разгона
до достижения параболической скорости ............... 57
g 3. Вариационная задача о минимуме времени работы
двигателя при разгоне до достижения параболи-
ческой скорости .................................. 62
6 4. Вариационная задача о торможении аппарата при
подлете к планете ............................. 68
8 5. Перелет между круговыми компланарными орбита-
ми ............................................ 72
- 107 -
Цена 41 коп.