ДИАЛЕКТИКА
МНОЖЕСТВЕННОГО
И ЕДИНОГО
ИЗЦЕХМИСТРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МЫСЛЬ*
ДИАЛЕКТИКА
МНОЖЕСТВЕННОГО И ЕДИНОГО
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА МИРА КАК НЕДЕЛИМОГО ЦЕЛОГО
ИЗ.ЦЕХМИСТРО
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МЫСЛЬ>
Москва. 1972
Ц55 5
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1-5-1
62—72
ВВЕДЕНИЕ
Предметом настоящей работы является изучение той стороны физической реальности, о которой стало возможным говорить только после создания квантовой механики и более или менее ясного осознания следствий вызванной ею революции в понимании природы. Правда, и сегодня еще по наиболее важным, принципиальным вопросам квантовой механики существуют разногласия, и, может быть, как об этом говорит Р. Фейнман \ мы все еще не понимаем самого главного в ней. Но если это так, то по крайней мере следует попытаться понять, почему это так. Оказывается, что представление о мире как о безграничном многообразии объектов, событий, явлений и т. п. более не. может считаться надежной основой для исчерпывающего его описания. Еще в большей мере это касается ряда специальных понятий, которые существенным образом опираются на это представление о мире.
То, что внешний мир есть нечто множественное прежде всего, а сама эта множественность бытия рассматривается в качестве дальше неанализируемой и само собой разумеющейся черты реальности — и общепринято, и очевидно. Однако, будучи множественным, мир в то же время является и единым. «Действительное единство мира, — писал Ф. Энгельс, — состоит в его материальности, а эта последняя доказывается не парой фокуснических фраз, а длинным и трудным развитием философии и естествознания»1 2. Это материальное единство мира проявляется на всех уровнях строения материи как равно и в каждом отдельном ее объекте. «Уразумение того, что вся совокупность процессов природы, — говорит Ф. Энгельс, — находится в систематической связи, побуждает науку выявлять эту систематическую связь повсюду, как в частностях, так и в целом»3.
1 См. Р. Фейнман. Характер физических законов. М., 1968, стр. 139.
2 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 43.
3 Там же, стр. 35—36.
3
Разнообразны формы отражения в науке выявляемого ею материального единства мира. Так, В. И. Ленин замечает, что уже «понятие закона есть одна из ступеней познания человеком единства и связи, взаимозависимости и цельности мирового процесса» L А Энгельс в подготовительных материалах к «Анти-Дюрингу» выдвигает в качестве цели познания достижение понимания мира как «связного целого»1 2.
Эти идеи основоположников марксизма имеют программный характер для развития учения о единстве мира в философии, и в этом отношении достигнуты значительные успехи. Однако нельзя не отметить остающийся пока что существенным пробел в исследовании единства мира, связанный с отсутствием работ, посвященных изучению того нового, что вносит в эту проблему квантовая физика. Между тем Энгельс прямо указывал на то, что обоснование материального единства мира в каждую новую эпоху должно быть найдено на путях развития философии и естествознания. Настоящая работа представляет собой попытку восполнить в какой-то мере этот наметившийся пробел.
Общей методологической основой, на которой выполнено исследование, является диалектическое учение Энгельса и Ленина о материальном единстве мира и ленинское понимание материи как объективной реальности3. Ключом к постановке и решению вопросов является диалектика понятий множественного и единого, которая, согласно ленинскому требованию, должна быть доведена до осознания их как «противоречивых, взаимоисключающих, противоположных»4 друг по отношению к другу понятий.
С этой точки зрения в работе рассматривается лишь один очень узкий, но поддающийся точному исследованию аспект материального единства мира, связанный с раскрытием единства и противоположности двух его взаимодополнительных сторон: мира как многообразия (как многого) и мира как неделимого целого (одного).
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 135.
2 См. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 630.
3 В настоящей работе материя рассматривается как объект диалектико-материалистического и естественнонаучного познания. Поэтому наряду с этим понятием в работе употребляется термин «физическая реальность» в значении, тождественном материи как объект)/ естественнонаучного познания.
4 См. В. И. Ленин. Поли, собр. соч., т. 29, стр. 317,
4
При этом автор не касается других аспектов проявления материального единства мира. Понятия многого и единого берутся как полярные диалектические категории, доведенные до отношения взаимного исключения и полной противоположности. Одновременно эти категории оказываются и взаимопроникающими. В. И. Ленин указывал: «Раздвоение единого и познание противоречивых частей его... есть суть... диалектики»1. Диалектика требует также изучить «переходы каждого определения, качества, черты, стороны, свойства в к а ж д о е другое [в свою противоположность?]» 1 2. В свете этих замечаний В. И. Ленина единое рассматривается в работе как диалектическая противоположность множественного.
Известно, что в истории за исключением учения Упанишад и блестящей школы элеатов в древности это представление едва ли доводилось когда-либо до понимания мира как такого, который есть одно, единое и неделимое и чуждое всякой множественности в конечном счете (так что множественность в природе оказывалась лишь одной из дополнительных сторон и, можно сказать, «внешней» стороной бытия).
Между тем Д. Бом, не ссылаясь ни на тексты Упанишад, ни на учения Парменида и Зенона, а исходя единственно из квантовой механики, в своей «Квантовой теории» 3 приходит к выводу, согласно которому в субквантовом уровне весь мир существует как «неделимая единица».
В последние годы в советской и зарубежной литературе появилось много работ, в которых с большой тщательностью и с самых различных сторон исследуются проблема пространства и времени, проблема измерения, причинность, природа статистических закономерностей в описании физической реальности и само понимание физической реальности 4. Высказано много гипотез и инте-
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 316.
2 Там же, стр. 203.
3 См. Д. Бом. Квантовая теория. М., 1965.
4 О том, сколь интенсивными являются исследования в этой области, свидетельствуют работы Б. М. Кедрова, М. Э. Омельяновско-ю. Ю. В. Сачкова, Г. А. Свечникова, А. Н. Вяльцева, Э. 'Кольмана, С. Т. Мелюхина, Э. М. Чудинова, П. С. Дышлевого, Ю. М. Ломсад-зе, Б. Я Пахомова, Ю. Б Молчанова, И. А. Акчурина, И С. Алексеева, Р. А. Аронова, А. М. Мостепаненко, Б. Н. Фролова и других авторов.
5
ресных предположений, предпринимаются развернутые попытки построения отдельных концепций: гипотеза о макроскопической природе пространства-времени, дискретность пространства-времени и предельный характер пространственно-временного континуума, различные гипотезы о возможных изменениях топологических свойств пространства-времени при переходе от одного уровня в строении материи к другому и т. д. Однако именно богатство направлений и идей, порожденных стремлением найти решение наиболее важных философских проблем современного естествознания, свидетельствует о том, что час решающей гипотезы еще не пробил и потому, по-видимому, сейчас не следует чрезмерно увлекаться той или другой конкретной гипотезой, а гораздо важнее осмыслить общую обстановку.
Дело в том, что над нашими усилиями в решении конкретных вопросов, связанных, например, с проблемой пространства-времени, всегда неявным образом довлеет представление о наиболее существенном свойстве пространства-времени, отражаемом в исходном и наиболее простом по отношению к нему понятии протяжения (протяженности). Это понятие может полностью отсутствовать в используемом математическом языке, но уже интерпретация полученных результатов, а также желание в изучении, скажем, микромира продвинуться «дальше», «глубже» предполагает неявное обращение к нему. Между тем содержательный физический смысл этого понятия, границы и условия разумного пользования им остаются не выясненными.
Еще в большей мере это справедливо по отношению к такому общему понятию, как понятие многообразия, которое всегда лежало в основе понимания физического мира и сама мысль о возможном недоверии к которому крайне озадачивает поначалу. Вместе с тем несомненно, что в ряде случаев некритическое пользование этим понятием для представления состояний физической реальности приводит к тяжелым парадоксам в квантовой механике.
Понятие протяженности и представление о мире как о многообразии объектов, событий и явлений (обычно бесконечном, безграничном и т. п.) тесно связаны между собой и лежат в основе множественной концепции физической реальности, согласно которой мир есть нечто множественное по самой природе своей. Однако насколько 6
соответствует такой традиционный взгляд на природу современным представлениям о ее свойствах, в особенности о квантовых ее свойствах? Этот вопрос также предстоит выяснить.
Таким образом, предлагаемая работа представляет собой исследование, посвященное анализу традиционной множественной концепции физической реальности и выявлению диалектики множественного и единого в понимании мира. В качестве средства осуществления этой задачи избрано систематическое исследование физического смысла, границ и условий содержательной применимости в описании физической реальности простейших, чрезвычайно широких и вместе с тем чрезвычайно важных и органически связанных с множественной концепцией природы понятий, таких, как понятие протяженности и многообразия
С той стороны, по отношению к которой эти понятия утрачивают свой смысл, мир предстает как нечто физически неделимое и неразложимое, как целое. Но целое не в смысле целостной и законченной совокупности элементов, объединенных какой-либо физической связью, общим признаком или свойством, а как отрицание совокупности и состояния множественности:
В некотором смысле в самом глубоком своем фундаменте мир не есть столь привычное многое, а есть нечто одно, напоминающее по своим свойствам «неделимую и неразложимую единицу»1 2. Д. Бом в своей «Квантовой теории» широко пользуется этим образом для передачи свойств квантовой целостности и неразложимости в микропроцессах. Здесь следует особо подчеркнуть, что свойство мира как неделимого целого и чуж
1 Понятие континуума также не может быть обойдено в данном исследовании. Однако найденное П. Коэном «неконструктивное» решение континуум-гипотезы в сопоставлении с ранее полученными в этой области результатами К. Геделя показывает, что гипотеза исключительно множественного по своей природе и «составленного» (например, из «точек») континуума Г. Кантора является односторонней. Во всяком случае непрерывность континуума требует скорее отказа от элементов множественности: образов «точек» и их совокупностей, чем постулирования их трансфинитной актуальной мощности для «представления» этого свойства (см. об этом разд. 18).
Возможно, таким образом, математическое понятие континуума содержит в себе еще одну форму проявления дилеммы множественного и единого.
2 Д. Бом. Квантовая теория, стр. 196 и др.
7
дого всякой множественности на известном уровне проявляется лишь как основание ряда порой весьма тонких (как, например, в парадоксе Эйнштейна — Розена — Подольского) корреляций или крайне характерных особенностей структуры законов природы (их вариационность), коренящихся в конечном счете в физической неделимости и неразложимости мира в субквантовом уровне 1.
Но раскрыть это свойство можно лишь путем восхождения от эмпирического и чувственно-конкретного к абстрактнологическому. Как указывает В. И. Ленин, создаваемые наукой «логические понятия субъективны, пока остаются „абстрактными", в своей абстрактной форме, но в то же время выражают и вещи в себе. Природа и конкретна и абстрактна, и явление и суть, и мгновение и отношение»1 2. Поэтому сразу оговоримся, что в используемом в данной работе представлении о мире как неделимом целом речь идет не о непосредственно чувственной стороне реальности, а о свойстве конечной неразложимости в элементарных процессах множественного мира. Путь к пониманию этой стороны мира может быть найден через преодоление традиционной множественной концепции реальности, и прежде всего через исследование физического смысла и границ применимости в его описании понятий протяженности и самого многообразия (множества).
На таком пути оказывается одновременно возможным и более глубокое проникновение в давно уже поставленную проблему единства прерывности и непрерывности в понимании пространства-времени, материи и движения. Фактически (как это будет ясно из последующего) о мире нельзя утверждать ни того, что он представляет собой только совокупность всевозможных объектов, т. е. существует только как множественное, ни того, что он есть только единое и одно и может быть рассматриваем в отрыве от многого и всякой множественности вообще. Его множественная структура несомненна на макроуровне, однако по мере продвижения в глубь микромира «элементы», составляющие его, все более обнаруживают относительность своей выделенности и самостоятельности, пока в конце концов подразделение мира на составляющие его элементы и вовсе не утрачи
1 См. разд. 16 и 17 настоящей работы.
2 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 190.-
8
вает всякий смысл для субквантового уровня. Здесь обнаруживается прямо противоположная и дополнительная сторона мира как «неделимого целого», мира как одного, чуждого всякой множественности. В связи с этим можно сказать, что известные представления о единстве прерывного и непрерывного явились лишь первой апрок-симацией диалектики множественного и единого в понимании мира, ибо в обычных представлениях о единстве прерывного и непрерывного не порывают с множественностью, и непрерывность интерпретируется именно как непрерывность некоторого многообразия, «среды», множественной по своей природе и обладающей протяжением и т. п.
Между тем проблема, поставленная квантовой механикой, заключается в обнаружении физической неделимости мира в конечном счете и в связанной с этим ограниченности и недостаточности понятия многообразия (или множества) вообще и понятия протяженности в частности. Возможно, принятие конечной физической неделимости мира проливает свет также и на подлинный источник непрерывности, обнаруживаемой уже в рамках многообразия.
Вместе с тем понятие протяженности и понятие многообразия (в смысле многого) исторически являются древнейшими и одними из самых первых понятий, созданных человеком в его стремлении понять окружающий мир. Генетически они являются исходными для всей классической чисто континуалистской (или множественной) концепции реальности. Поэтому представляется разумным начать именно с них.
Таковы истоки замысла книги. В длительной работе над его осуществлением автор использовал критические замечания академика АН ЭССР Г. И. Наана, академика АН УССР А. И. Ахиезера, академика АН ЧССР Э. Коль-мана, профессора В. И. Свидерского (Ленинград), профессора М. Б. Вильницкого (Киев), профессора П. С. Дыш-левого (Киев), доцента Г. В. Чефранова (Таганрог) и профессора Герберта Герца (Берлин, ГДР).
В обсуждении рукописи в секторе логики развития науки Института истории естествознания и техники АН СССР приняли участие старшие научные сотрудники Н. И. Родный, А. Н. Вяльцев, В. П. Визгин, А. А. Пе-ченкин.
Рукопись прочли и высказали много ценных замеча
9
ний профессор Б. Я. Пахомов (Воронеж), профессор С. Т. Мелюхин, доцент А. М. Мостепаненко (Ленинград).
Книгу рецензировали профессор Э. М. Чудинов и старший научный сотрудник Института философии АН СССР И. А. Акчурин.
Автор приносит искреннюю благодарность всем названным лицам, разносторонняя и основательная критика которых как в ходе работы над рукописью, так и при подготовке ее к изданию сыграла исключительно важную роль.	$
ГЛАВА 1
ДИЛЕММА МНОЖЕСТВЕННОГО И ЕДИНОГО1
Парменид и Зенон. Не следует думать, что представление о мире как о неразложимой и неделимой единице, столь очевидным образом противоречащее нашим обыденным представлениям о нем, может рассматриваться в качестве исключительного приобретения нашего времени. Можно было бы указать уже на гимны Ригведы — древнейшего памятника духовной культуры человечества. В их текстах встречаются высказывания, согласно которым «едино то, что стало -всем (этим)». Еще в большей мере это присуще учениям Упанищад, в которых отрицалась «множественность элементов мира». 1 * * * * * * В
1 Можно выделить не менее шести-семи различных способов истолкования термина «единый». Например, в Философской энциклопедии (т. 2. М., 1962) понятие «единство» разъясняется как взаимосвязь предметов в целостной системе, единое как одно и то же в
разных предметах, одинаковость субстратно-вещественного состава
в строении материальных тел, свойство непрерывности в вещах, абстрактное тождество (или одинаковость) предметов, единое как всеобщее и т. п. Далее, в русском языке слово «единство» имеет значение общности, полного сходства, неразрывности, взаимосвязи, цельности, отсутствия дробления, неделимости и т. д. (см. С. И. Ожегов. Словарь русского языка. М., 1970; «Толковый словарь русского
языка». Под ред. Ушакова, т. I. М., 1935).
Как видно, в большинстве случаев при истолковании термина
«единство» не порывают с множественностью, а, наоборот, единство рассматривается в качестве некоторого предиката, присущего эле-
ментам многообразия или самому многообразию
В настоящей работе термин «единый» берется в весьма специальном, узком и очень точном значении: единое как исключающее всякую множественность, единое как полная противоположность множественности, единое как одно, которое ни в каком смысле не является многим и чуждо всего, что свойственно множественности. Этим же определяется и отбор привлекаемого в первой главе материала.
11
Однако мы начнем с греков. Универсальная одаренность и деятельность народа, который стоял у колыбели современной цивилизации и на место которого, по выражению Энгельса \ не может претендовать ни один другой народ, оставила глубокий след в решении этой проблемы. И может быть, именно в связи с дилеммой множественного и единого взгляды древнегреческих философов заслуживают особенно тщательного изучения, ибо в отличие от древнеиндийских мыслителей они сумели сделать особенно прозрачной логическую сущность дилеммы множественного и единого в понимании мира. Достаточно обратить внимание на характер употребления ими понятий «многого» и «одного», «непрерывности» и «неделимости», «множественного» и «единого» и в особенности на замечательные апории, обнаруженные ими, чтобы увидеть, что ими были предвосхищены многие вопросы, возникающие в современной науке. Наиболее интересны в этом отношении учения элеатов Парменида и Зенона.
Древнейшие философы, представители милетской школы, по-видимому, никогда не сомневались в том, что мир существует как нечто множественное, потому что уже их «начала», на поиски которых было направлено все их внимание, были чем-то множественным по своей природе, например вода Фалеса или воздух Анаксимена. Тем не менее именно у милетцев мы встречаем первую формулировку подлинно философской проблемы — проблемы всеобщего и первую попытку найти ее решение, которая по необходимости должна была затронуть соотношение единого и многого. Первым философом, поднявшимся до абстрактного мышления, был Анаксимандр (610—546 до н. э.), впервые высказавший мнение о существовании чего-то неизменного, лежащего в основе всех преходящих вещей и явлений. Таким вечным и непреходящим первоначалом всего должна быть, по его мысли, некая единая и неопределенная материя — «апейрон», которую нельзя определить ни как воздух, ни как воду, ни как что-либо иное в этом роде. Согласно свидетельству Диогена Лаэрция, Анаксимандр учил также, что части изменяются, целое же остается неизменным 2. Это утверждение хорошо согласуется с единст- 1 2
1 См. К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр. 369.
2 См. А. Маковельский. Досократики, ч. I. Казань, 1914, стр. 35.
12
венным дошедшим до нас подлинным высказыванием Анаксимандра: «А из чего возникают все вещи, в то же самое они и разрешаются согласно необходимости. Ибо они за свою нечестивость несут наказание и получают возмездие друг от друга в установленное время» L Вместе с тем Анаксимандр учил о множественности миров, порождаемых «алейроном», и, так сказать, в физической интерпретации своего «алейрона», по-видимому, был да: лек от того, чтобы исключить множественность и из его собственной природы.
Но первым, кто вполне определенно высказался против множественной природы бытия, был Ксенофан (580— 488 до н. э.) — основатель элейской школы, столь прославленной впоследствии Парменидом и Зеноном. Ксенофан был близок первоначально к милетцам, своим соотечественникам. Однако постоянно наблюдаемое движение и изменение в тех материальных началах, о которых учили милетцы, породило в нем сомнения в верности их учения: «Куда ни обращу взор, все разрешается и сливается в одно»1 2. Это привело его к учению о едином. По-видимому, он был очень глубоким мыслителем, во всяком случае свидетельство Симплиция о нем не может не поражать: «...Ксенофан Колофонский, учитель Парменида, считал начало единым или бытие все-единым (и притом ни ограниченным, ни бесконечным, ни движущимся, ни покоящимся)»3. Как видно, Ксенофан настаивал именно на одновременном отказе от этих понятий по отношению к бытию всеединого. Приведем по этому поводу следующее разъяснение А. Маковельского: «Некоторые неправильно понимают это место, полагая, будто здесь говорится, что Ксенофан не высказался ни в том, ни в другом смысле. Между тем здесь говорится, что Ксенофан прямо отрицал у сущего как конечность, так и бесконечность, как движение, так и покой»4.
Чем же могло быть в таком случае сущее? Только единым, единым, исключающим всякую множественность, а вместе с нею конечность и бесконечность, движение и покой, которые могут иметь смысл только в мире мно
1 См. «Античные философы (Свидетельства, фрагменты и тексты)». Киев, 1955, стр. 11—12.
2 См. «Пропилеи». Сборник статей по классической древности. Кн. 3. М„ 1853, стр. 134.
3 См. А. Маковельский. Досократики, ч. 1, стр. 101—102.
4 Там же, стр. 102 (Примечание).
13
жественного. Но «нет множественности и движения. В мире нет пустоты и нет пространственно разделенных частей, нет никакого движения и изменения. Есть лишь единое, наполняющее все пространство бытие, полное мышления и ощущения» Г
Такая точка зрения на мир позволила Ксенофану высмеять представления древних о богах, в особенности похождения богов, описанные Гомером в «Одиссее» и «Илиаде», и вообще выступить против политеизма. Для него бог есть только один — это космос, и этот бог Ксенофана «сросся со всем» в мире.
Таким образом, школа элеатов в лице ее основателя Ксенофана начинает с провозглашения тезиса о бытии единого. Развитие натурфилософских идей милетских философов также приводит в конечном счете к монизму, нашедшему выражение в учении Гераклита (544— 484 до н. э.). Причем если в элейской школе, особенно в учении Парменида, множественная сторона бытия была принесена в жертву единому, то в учении Гераклита, единственного из древних, оказалась строго выдержанной диалектика множественного и единого. Для него многое и единое есть только моменты — равнозначные и равноценные моменты всеобщего процесса становления. Отсюда и его тезис: «Из всего одно и из одного все». В отличие от элеатов единое Гераклита не есть лишь простое и чуждое множественности одно, но внутренне противоречивое и как бы сотканное из противоположностей всеобщее. Потому, как говорит Платон в «Софисте», у Гераклита сущее всегда и множественное и единое одновременно.
Вместе с тем всеобщее Гераклита еще не есть единое элейцев. И хотя он постоянно обращается к всеобщему логосу, который правит всем, в его учении остается неясным источник и основание этой всеобщей закономерности. Всеобщий процесс становления, не сохраняющий ничего в бытии, в конечном счете подрывает и основу собственного своего бытия, как это особенно ясно проявилось у релятивистов, например у Кратила, наиболее известного ученика Гераклита. Закономерность фактически лишена какой-либо собственной естественной почвы в учении Гераклита: она господствует над мировым процессом как чуждая и извне довлеющая над ним и потому
1 А. Маковельский. Досократики, ч. I, стр. 91.
14
непостижимая сила. Он просто постулирует ее, никак не объясняя.
Этот недостаток гераклитовской философии послужил отправным пунктом для Парменида. Правда, Парменид впал в противоположную крайность, полностью порвав с чувственной наглядностью. Учение Парменида является первым подлинно логическим учением. Ему принадлежит сыгравшее большую роль в развитии научной мысли положение ex nilo nil (ничто не возникает из ничего). Он также первым открыл и, по-видимому, широко пользовался так называемым методом доказательства от противного в математике. Многие историки математики— сошлемся, например, на «Очерки по истории математики» Н. Бурбаки — отмечают значительную роль эле-атов в становлении математической науки. Пармениду также приписывают открытие логических законов исключенного третьего, тождества и непротиворечия, во всяком случае он пользовался ими в обосновании и развитии своих взглядов !.
В учении Парменида мы подходим к центральному вопросу, который был поставлен древними в области онтологии. Это вопрос о том, есть ли мир в конце концов нечто единое и неразложимое, одно или только множественное, каким он непосредственно предстает в сфере чувственного опыта человека?
Аристотель сознавал всю важность проблемы, обнаженной в столкновении этих противоположных точек зрения. Вот что он писал по этому поводу: «Сюда примыкает и наиболее трудный и особенно настоятельно требующий рассмотрения вопрос... Если ничего не существует помимо отдельных вещей, а таких вещей беспредельное множество, — тогда как возможно... достичь знания о том, что беспредельно? Ведь мы познаем все вещи постольку, поскольку они некоторым образом представ-
1 Если греческие философы в VII и VI вв. до н. э. еще только утверждают или прорицают, то, «начиная с Парменида и особенно Зенона, они уже аргументируют, пытаясь выделить общие положения, чтобы положить их в основу своей диалектики; именно у Парменида мы впервые находим формулировку принципа исключенного третьего, а доказательства Зенона Элейского путем приведения к абсурду знамениты и сейчас»—Н. Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963, стр. 11). В обстоятельной работе Л. К. Науменко элеаты справедливо названы «первооткрывателями логики» (см. Л- К. Науменко. Монизм как принцип диалектической логики. Алма-Ата, 1968, стр. 57).
15
ляют одно и то же и поскольку существует что-нибудь всеобщее... Если помимо единичных вещей ничего не существует, тогда, можно сказать, нет ничего, что постигалось бы умом, а все подлежит восприятию через чувства, и нет науки ни о чем, если только не называть наукой чувственное восприятие. Далее (в таком случае), ничего нет ни вечного, ни неподвижного (ибо все чувственное преходит и находится в движении)» !.
Но допустить существование чего-либо помимо отдельных вещей и наряду с ними также представляется Аристотелю невозможным, ибо в этом случае «то, что отлично от сущего, не существует, и потому в результате должно — согласно с учением Парменида — оказаться, что все вещи образуют одно, и что этим одним является сущее» 1 2, а многое не существует вовсе. И как понимать в таком случае это парменидовское одно? В «Физике» Аристотель обсуждает этот вопрос следующим образом: «Единым называют и непрерывное, и неделимое, и вещи, у которых понятие сути бытия одно и то же, например, хмельной напиток и вино. Если поэтому единое’непрерывно, оно будет многим, так как непрерывное делимо до бесконечности... Но если брать единое как неделимое, оно не будет ни качеством, ни количеством, и сущее не будет ни бесконечным, как утверждает Мелисс, ни конечным, как говорит Парменид, ибо неделимой является граница, а не ограниченное» 3.
Возможно, что в последнем замечании о едином, которое как неделимое не может быть ни качеством, ни количеством, ни конечным, ни бесконечным, а является некоторым тотальным свойством конечной неразложимости мира, мы имеем существенное разъяснение взглядов Парменида. Во всяком случае приведенные рассуждения Аристотеля помогают понять подлинный смысл учения Парменида о бытии как одном.
Учение Парменида и Зенона можно свести к парадоксальным утверждениям. В то же время нельзя исключать также вполне сознательного стремления их к изложению учения в парадоксальной форме, которая обеспечивала ему большую популярность и обескураживала противников. Но дело не .в этом. Как и все древне
1 Аристотель. Метафизика. М—Л , 1934, стр 50—51.
2 Там же, стр. 54.
3 Аристотель. Физика. М., 1937, стр. Ю
16
греческие философы, Парменид стремится найти самую глубокую основу всего существующего. Очень скоро он замечает, что ничто из непосредственно данного в чувственном опыте не может удовлетворить его в этом отношении в силу своего заведомо преходящего и конечного характера:
Все вещи, в чем смертные видят
Истину, веря в нее, все это — лишь имя пустое:
Быть, да и также не быть, рождаться, а также и гибнуть, Место на место менять, обменивать цвет и окраску L
Парменид в сильных и ярких выражениях отвергает чувственно воспринимаемые вещи и явления как нечто недостойное вовсе внимания философа из-за «неистинно-сти» их существования, т. е. из-за их преходящей, подверженной изменениям и превращениям, тленной природы. Его интересует то, что остается непреходящим в вечном потоке всеобщего изменения. От непосредственной данности бытия как множественного Парменид идет к признанию существования единого, совершенно справедливо полагая, что без существования мира как одного, не было бы и чувственно данной множественности его.
Однако в дальнейшем он сосредоточивает свое внимание в основном на открывшейся ему стороне единого в бытии. Абсолютный, нетленный и непреходящий характер бытия единого затмевает в его глазах множественное и чувственное. Теперь бытием он называет только единое и неподвижное, а множественное и чувственное — небытием, в полной противоположности с обычным мнением людей. Отсюда все парадоксы его учения.
Как же понимает Парменид сторону единого в бытии? Прежде всего в силу указанного отрыва единого от множественного единое Парменида выступает не как сторона бытия, а как само бытие: множественное объявляется просто не существующим. Этот разрыв многого и единого и последовавшая за ним гипертрофия единого в ущерб и за счет многого чреват был далеко идущими последствиями, позже действительно проявившимися, в частности, в учении неоплатоников ивОй^истианском монотеизме. Однако сам Парменид^л™^	сохра-
няет материалистическое в #елом толков&йц своего единого, которое представляется ему в ф&рнё
1 «Античные философы», стр. 51..
17
...вполне совершенного шара
С правильным центром внутри. Чуть больше иль меньше немного
Здесь вот не может его скорее, чем там, оказаться.
Небытия вовсе нет, что цельность его нарушало б.
Нет также и бытия, что было б в одном месте большим, Меньшим в другом. Бытие, как целое, неуязвимо.
Равное со всех сторон, оно пребывает в границах L
Использование чувственного образа — шара — для иллюстрации мира как единого целого да еще в устах такого поборника логического познания, как Парменид, поначалу удивляет. Всеединое Ксенофана также «шарообразно». Однако здесь необходимо вспомнить то содержание, которое древние вкладывали в этот образ.
Для них шар есть самое первое, самое прекрасное и самое совершенное из всех тел, одновременно конечное и безграничное, движущееся и неподвижное. Шар мыслился древними как тело, замкнутое в самом себе, самодовлеющее и носящее в самом себе свою определенность, а не определяемое внешними условиями 1 2. .Поэтому он казался им наиболее подходящим образом для иллюстрации той стороны реальности, с которой она предстает как основание самой себя, чужда движения и изменения, вечна, ни от чего независима и непреходяща. В совершенстве шара они видели образ совершенства бытия.
Важно подчеркнуть также, что в этих стихах определение единого Парменид получает через отрицание всего множественного, различий, дифференцированности. Понимание единого вместе с тем носит у него местами субстанциональный характер, что свидетельствует о его непоследовательности. Вместе с тем ему не чужды и мысли о всеобщей закономерности в природе:
Одним и тем же, все там, само по себе пребывает, Не изменяясь, оно. Могучая необходимость Держит в оковах его, пределом вокруг ограничив. Так бытие должно быть, необходимо, конечным: Нет ему нужды ни в чем, иначе во всем бы нуждалось. Одно и то же есть мысль и то, о чем мысль существует. ...Не возникает оно и не подчиняется смерти
Цельное все, без конца, не движется и однородно.
Не было в прошлом оно, не будет, но все — в настоящем, Без перерыва, одно. Ему ли разыщешь начало?
Как и откуда расти в. Невыразимо оно3.
1 «Античные философы», стр. 51—52
2 См. А. Маковельский. Досократики, ч. I, стр. 92.
3 «Античные философы», стр. 5L
18
Сосредоточив все внимание на едином, к которому можно прийти только последовательно логическим путем, он смог увидеть затем, что источником разумности в природе могут быть именно свойства единого, которое уже у Ксенофана «без усилий силой ума... всем правит». Поэтому в поэме «О природе» Парменид высказал мысль о необходимости дополнить чувственное познание абстрактнологическим.
Весьма показательно, что, в то время как в учении элеатов наблюдаемая в природе закономерность и необходимость коренится в самом ее свойстве быть единой, их противники вынуждены как бы удваивать мир. Ибо как только в качестве первоначала принимается нечто исключительно множественное по своей природе и, следовательно, лишенное имманентной закономерности и единства, так с неизбежностью приходится дополнительно постулировать наличие закономерности в мире, проистекающей из внешнего по отношению к нему и чаще всего необъяснимого источника.
Это мы можем наблюдать уже у Анаксагора (500— 428 до н. э.), учившего о существовании бесчисленного множества первичных материальных частичек, названных им гомеомериями, вечных и неизменных. Сами по себе гомеомерии лишены способности к движению и были приведены в движение внешней силой — мировым разумом («нусом»), благодаря чему смогли образоваться вещи и возник мир. При этом разум остается чистым и несмешанным с множественным субстратом бытия началом жизни и движения, пронизывающим собой все существующее.
Этот весьма характерный недостаток, свойственный всем множественным концепциям бытия, был отмечен Аристотелем следующим образом: «Анаксагор пользуется Разумом, как каким-то deus ex machina для объяснения возникновения мира; кроме того, когда он затрудняется найти причину для происходящего по естественной необходимости, он притягивает за волосы Разум...» 1
В учении Эмпедокла (ок. 490—430 до н. э.) существуют четыре первичных элемента: земля, вода, воздух и огонь, каждый из которых, впрочем, возник из еще более Древних «элементов элементов». Его первичные элементы бесконечно делимы. Деятельное начало — источник дви
1 «Античные философы», стр. 64
19
жения и закономерности в природе — у него, как и у Анаксагора, отделено от материальной основы и несводимо к ней.
Односторонность представлений о мире лишь как о многом (Анаксагор, Эмпедокл) или едином (элеаты) попытались преодолеть древние атомисты, однако с позиций признания множественной основы бытия. Ими был избран компромиссный путь, поскольку в своей бесчисленной совокупности предположенные ими атомы образуют множественный мир, но каждый из атомов суть неделимое. Любопытно, что Демокриту, точно так же как и его предшественникам Анаксагору и Эмпедоклу, в силу признания множественной основы бытия пришлось также лишь постулировать наличие в природе естественной закономерности, приписав ее свойственной самому движению атомов. Допустив в качестве условия движения атомов пустоту, Демокрит пытается в ней же, как объемлющей собой множественный мир атомов, увидеть и источник единства материального мира. Условия единства и многообразия мира лежат у него,-таким образом, не в одном и том же, а лишь сосуществуют рядом друг с другом. Принцип монизма оказывается невыдержанным !.
Противоречивость и непоследовательность множественной концепции бытия глубоко вскрыл Зенон (490— 430 до н. э.).
Если Парменид учил о бытии как о едином, которое есть одно, целое и неделимое и исключает множественность, то Зенон — его ученик и приемный сын — доказывал несуществование многого, как бы подтверждая учение своего учителя с противоположной стороны. Об аргументах Зенона, непосредственно направленных против учения о существовании многого, можно получить представление из следующих его апорий.
Если допустить существование мира как множественного по своей природе, то оказывается, что отдельные вещи, составляющие его, или (тезис) вовсе не имеют величины, или (антитезис) каждая из них бесконечно велика. Таким образом, абсолютизация представления о множественной основе бытия ведет к серьезным затруд
1 См. И. Н. Бродский. Категория небытия в древнегреческой философии. — «Вестник ЛГУ». Серия экономики, философии и права, вып. 2, 1959, Я? И, стр. 63.
20
нениям, в чем и обнаруживается, по мнению Зенона, его несостоятельность.
Согласно реконструкции этой апории по П. Таннери h Зенон стремился указать на следующую дилемму. Если допустить возможность бесконечного деления (дихотомического), что является вполне естественным для множественной концепции бытия, то легко установить, что деление любой вещи будет давать все более мелкие части ее, так что процессу ее уменьшения не будет предела. А потому если и есть конечный элемент в процессе дихотомического деления, то он не имеет абсолютно никакой величины; в противном случае он не был бы конечным (завершающим собой процесс деления). Это подтверждается еще и тем, что только в таком случае последующее деление становится невозможным, так как конечный элемент уже не состоит из каких-либо частей. Процесс деления окончательно приведет к не имеющей величины точке. Сложение таких элементов, сколько бы ни было их получено в результате дробления вещи, может дать также только неимеющую величины сумму. Итак, вещь оказывается вовсе не имеющей величины — это тезис.
Однако (вторая часть дилеммы) если принять, что в бесконечном процессе деления мы будем постоянно находить части, имеющие некоторую величину, а потому и вновь делимые, то, так как деление бесконечно и бесконечно число этих элементов, делимая вещь должна быть бесконечно велика — антитезис.
Конечно, представление о сходимости возникающего в подобном дихотомическом делении ряда устраняет эту апорию с точки зрения современной математики. Но дело не только в том, что Зенон не имел представления о сходящихся рядах.
В любом сходящемся ряде члены его существуют как потенциальные, а не как актуально заданные сразу и во всей неограниченной совокупности своей. Между тем то, против чего выступает здесь Зенон, есть именно актуальная множественность бытия. Потому едва ли можно считать, что представление о сходимости окончательно устраняет обнаруженную здесь Зеноном трудность. «Одним из наиболее замечательных возражений против множественности» названа эта апория и в новейшем труде
1 См. А. Маковельский. Досократики, ч. 2. Казань, 1915, стр. 53—54.
21
по истории математики, где ей дается следующее истолкование: «Пусть отрезок есть бесконечное множество «неделимых» частей; если величина отдельных «неделимых» равна нулю (т. е. «неделимые» — это точки), то и величина всего отрезка есть нуль; 2) если же каждое «неделимое» имеет некоторую величину (неявно предполагается, что эта величина для всех «неделимых» одинакова), то величина отрезка будет бесконечной»1.
Подобными апориями Зенону удалось существенным образом подорвать одностороннюю, но общепринятую абсолютизацию множественной стороны бытия. В этом могут убедить и другие апории Зенона.
Так, по свидетельству Симплиция и Филопона 1 2, Зенон стремился доказать, что сущее не может быть множественным также вследствие того, что в сущем вовсе нет единицы; множественное же есть только совокупность единиц. Этот вывод Зенон извлекает из следующей апории.
Если бытие множественно, то эта множественность всегда завершена, поскольку она дана вместе с бытием актуально. С другой стороны, между отдельными из многих всегда найдутся другие многие вещи, а между этими — опять многие другие. Таким образом, сущее всегда незавершено и невыразимо актуальной множественностью, значит, оно и не существует в форме множественного.
Сталкивая, таким образом, представление об актуально данной и завершенной множественности бытия (хотя бы и бесконечной) с весьма очевидной потенциальной возможностью всякого многого быть еще большим, Зенон делает вывод о непригодности в целом понятий многого и единицы для отображения природы истинно сущего. Через неразрешимость возникающей апории Зенон показывает, что истинное бытие не существует вовсе как многое, ибо в этом случае как актуально существующее оно должно было бы быть завершенным в своей данности. Но как можно допустить мысль о его завершенности, если, приняв его природу за самую множественность, его всегда можно рассматривать как большее и снова большее?
1 «История математики с древнейших времен до начала нового времени», т. I. М., 1970, стр. 90.
2 См. «Античные философы», стр. 55—56.
22
В этой апории в зародыше содержатся все последующие коллизии актуального и потенциального бесконечного, которые прослеживаются в истории науки вплоть до теоретико-множественной концепции бесконечного. Однако и в отношении последней, как это будет показано в дальнейшем, едва ли можно допустить реальную осуществимость, тем более физическую.
Этим апориям Зенона можно придать геометрическое истолкование. Тогда, согласно первой антиномии, сущее не имеет вовсе пространственного протяжения и в то же время бесконечно велико по протяжению, а во второй утверждалось бы, что сущее обладает одновременно и конечным и бесконечным протяжением. Все аргументы Зенона, как аргументы против понятий пространства, времени и движения, так и аргументы против чувственного восприятия, содержат в себе опровержение множественной концепции бытия.
Особенно прославился Зенон четырьмя апориями, касающимися отображения движения в понятиях протяжения и длительности. Это апории: «Ахиллес и черепаха», «Дихотомия», «Стрела» и «Стадион». Мы познакомимся с ними детально в главе III, разделе 11 в связи с обсуждением вопроса об универсальности понятия протяженности.
О том впечатлении, которое производили в древности аргументы элейцев и поставленная ими проблема, можно судить по следующим словам римлянина Сенеки: «Парменид утверждает, что' из кажущихся явлений вообще ничего не существует; элеец Зенон разрушил все дотла; он утверждает, что нет ничего... Если (поверить) Пармениду, то нет ничего, кроме одного; если Зенону, то не существует даже (этого) одного» У По словам Гегеля, «зеноновская диалектика материи еще и поныне не опровергнута»1 2, а о том, что его апории не всегда удается решить и методами современной математики, можно получить представление из статьи С. А. Яновской «Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апории Зенона»?»3.
Как мы видели, в учении Парменида и Зенона была убедительно вскрыта логическая неудовлетворитель-
1 А. Маковельский Досократики, ч. 2, стр. 80.
2 Гегель. Соч., т. IX Л., 1932, стр. 233.
3 См. С. А. Яновская. Методологические проблемы науки. М , 1972, стр. 214.
23
ность представления о мире как лишь о многом. Одним из следствий этого открытия оказался пышным цветом распустившийся на живом древе живого человеческого познания паразитирующий монотеизм. В учении Плотина (ок. 203—270 гг.) мы находим монизм Парменида перенесенным уже в мистическую сферу1. Отрыв единого от многого и последующая мистификация единого в монотеизме являются, таким образом, одной из иллюстраций того, как метафизическая «прямолинейность и односторонность» мышления ведут «в болото, в поповщину...»1 2.	*
Однако та узурпация, которой подвергся ясный и простой монизм древних в мистическом учении неоплатоников, для последних не обошлась безнаказанно. Центральным вопросом философии Плотина и его последователей оказался вопрос, «как из единого произошло многое»,— вопрос, которого не существует в диалектике Парменида и Зенона, но о который обломало себе зубы учение Плотина именно в силу допущенного мистицизма в понимании «одного» как абсолютной производящей силы в природе. Впрочем, уже Платон — признанный духовный отец неоплатонизма — был терзаем этим вопросом. «Как могут многие прекрасные вещи быть причаст-
1 Б. Рассел отмечает влияние Парменида на учение Плотина и следующим образом оценивает историческое место последнего: «Философия Плотина одновременно и конец и начало: конец того, что касается греков, и начало того, что касается христианства» (Б. Рассел. История западной философии. М., 1959, стр. 313).
Разумеется, и учение Платона о едином, с одной стороны, было бы невозможным без парменидовского единого, а с другой — вело к его мистификации уже хотя бы потому, что явилось основой неоплатонизма. Однако дилемма множественного и единого затушевана в учении Платона двойной множественностью мира: сначала как чувственного, а затем как мира идей. К тому же у Платона понимание единого теряет непосредственность парменидовского одного и приобретает форму некоего идеального первопринципа, беспредпосы-лочного начала всего материального и идеального, их абстрактного тождества. Поэтому мы опустим здесь рассмотрение взглядов Платона. Не исключено также, что Платон не вполне понимал Парменида (или понял его по-своему): «Парменид всегда казался мне и достопочтенным и опасным, говоря словами Гомера . В его речах замечается необыкновенная глубина... Я боюсь, что мы не понимаем его слов и еще меньше понимаем его мысли» (цит. по: А. Фуллье. История философии М., 1899, стр. 65) Что же касается мистификации парменидовского монизма, то она наиболее полно представлена именно в учении неоплатоников, и прежде всего самого Плотина.
2 В. И. Ленин. Поли, собр соч., т. 29, стр. 322
24
пыми единой красоте, без того чтобы эта последняя не была рассечена, расщеплена? — этот вопрос никогда не переставал беспокоить великого человека» \ — пишет Т. Гомперц о Платоне. Поэтому философия неоплатоников уже содержит в себе большую тайну всякого монотеизма, а именно вопрос о том, каким образом «единое» породило природу со всем ее многообразием? В христианском монотеизме необходимость дать ответ на этот вопрос привела к семи дням творения и прочим чудесам, но и эманация чувственного мира многого из духовной сущности единого у неоплатоников выглядит ничуть не убедительнее.
1 Т. Гомперц. Греческие мыслители, т. 2. СПб., 1913, стр. 133.
ГЛАВА 11
ПОНЯТИЕ ПРОТЯЖЕННОСТИ
Итак, древние оставили величайшую загадку. В учении Парменида о едином, подкрепленном блестящими апориями Зенона, чисто умозрительным путем была вскрыта своеобразная недостаточность и односторонность такого естественного и, казалось бы, совершенно незыблемого представления о мире, как о многом. Как мы видели, бытие истинной реальности, по мнению Парменида, чуждо множественности и есть одно. Но что означает это одно и как следует его понимать? В ходе дальнейшего развития науки эта проблема не получила достаточно ясного решения. Этому есть две причины.
Во-первых, присущее древним живое и целостное восприятие мира по необходимости должно было уступить место детальному аналитическому исследованию отдельных объектов, без чего был бы невозможен тот прогресс в науках, который продолжается и в наши дни. Как отмечал Энгельс, основным условием развития естествознания в новое время явился метод разложения природы на ее отдельные области, разделение различных процессов и предметов природы на определенные классы, исследование деталей внутреннего строения отдельных тел и т. д. 1
Во-вторых, монизм элеатов был в значительной степени дискредитирован позднейшей мистификацией его в идеалистических учениях Платона и неоплатоников. А с появлением монистических религий, узурпировавших лучшие достижения древних философов и усвоивших их язык, все, что касалось мира как единого, больше не относилось к области науки. Это обстоятельство усугублялось открытым противопоставлением монотеизма научному познанию мира.
1 См. К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч , т. 20, стр. 20.
26
Между тем идеалом научного знания стало точное знание, существенным образом опирающееся на предположение о континуальном характере процессов в природе, допускающем сколь угодно точные приближения в ее описании. Два понятия — метрическая бесконечность и протяженность — явились первым основанием этого взгляда на природу. Материя мыслилась как наделенная протяжением 1 в любых состояниях, бесконечно делимая в малом и бесконечная в большом. Пространство и время— формы существования материи — точно так же должны были иметь главным своим свойством протяжение, бесконечное в большом и малом. В мире классической физики множественная концепция бытия приобрела рафинированный характер.
Дело в том, что в качестве основы бытия теперь все чаще принималась единая субстанция — материя, однако единая не в смысле одного, исключающего многое, т. е. не в смысле наличия в ней свойств конечной целостности и неразложимости, а единая как всеобъемлющая и одна и та же всюду, но бесконечно делимая и протяженная, т. е. множественная по своей природе. Эта множественность приобрела особо утонченный характер, когда изобретение дифференциального и интегрального исчислений привело к распространению представления о том, что и физические процессы в природе совершаются подобным же образом путем бесконечно малых изменений. Но именно этот взгляд на природу был поставлен под сомнение с возникновением квантовой теории.
Однако для того, чтобы иметь возможность подвергнуть его систематическому анализу, необходимо начать с генетически исходного по отношению к нему понятия протяженности, понятия настолько общего и в равной мере фундаментального как в философии, так и в естествознании, что за малым исключением оно почти не удостаивалось специального исследования в ходе развития современной науки.
Создается впечатление, что подавляющее большинство научных проблем не выходит за рамки определенности этого понятия, почему вопрос о его содержании редко возникает. В их решении или по крайней мере в исход
1 Термины «протяженность» и «протяжение» употребляются в работе в одном и том же значении Обращение в ряде случаев ко второму из них диктуется чисто стилистическими соображениями.
27
ных посылках протяженность обыкновенно используется в качестве фундаментальной, дальше неанализируемой и самоочевидной черты реальности. Причем физик, астроном или любой другой естествоиспытатель в ответ на вопрос о протяженности скорее всего укажет именно на фундаментальный характер этого понятия, добавив, что протяженность не только дальше неразложима и неана-лизируема, но что реальность в естествознании вообще представима лишь постольку, поскольку она является чем-то протяженным.
Философ, возможно, вспомнит при этом, что ему известны прямо противоположные точки зрения. Например, для Декарта все то, что мы можем приписать реальности, есть только различные модусы протяженности. Значит, протяженность не только всеобщая черта реальности, но есть по существу все. С точки же зрения Канта, протяженность есть не более как врожденная способность человеческого разума располагать явления чувственного опыта в определенном порядке и последовательности и вряд ли имеет какое-либо иное отношение к внешнему миру, поскольку он вообще существует (разумеется, как вещь в себе).
Почти все научные понятия, подобные понятию протяженности, такие, как «мир», «вселенная» !, «пространство» и «время», «движение» и «покой», «причина» и «следствие» и т. п., родились как слова задолго до появления научного языка и самой науки. И так же давно эти слова в своем обычном употреблении приобрели некоторую бесспорную и очевидную для всех интуитивную ясность, до поры до времени вполне удовлетворяющую всех, кто ими пользуется. Обычно подобные слова имеют чрезвычайно емкое и многозначное, определяемое контекстом и характером употребления содержание.
Процесс возведения их в ранг научных понятий заключается в возможно более строгом — поскольку это вообще возможно по отношению к таким общим понятиям— рафинировании их содержания, по крайней мере в
1 В работе проведено различие между двумя смыслами термина «вселенная». В данном случае «вселенная» употребляется в смысле, близком понятиям «материя», «природа», «реальность». В тех случаях, когда «Вселенная» пишется с заглавной буквы, речь идет об определенной астрономической структуре, изучаемой астрономией и космологией, — наблюдаемой Вселенной.
28
рамках той или другой развиваемой научной концепции. При этом обнаруживается, что их первоначальная ясность и простота в дальнейшем оказывается источником многих трудностей и неясностей.
Понятие протяженности имеет еще ту особенность, что в нем усматривают иногда выражение некоего атрибута реальных объектов, смысл которого остается неизменным (или нам кажется, что он остается неизменным) и в его употреблении в обыденном языке, и при переходе к анализу употребления его в науке. Простота и самоочевидность понятия протяженности, а также доступность и легкость его трансформации из обыденного языка в научный, по-видимому, объясняют, почему специальному исследованию этого понятия уделяется мало внимания. Между тем новейшее развитие представлений о пространстве и времени в релятивистской и квантовой физике вызвало острый кризис традиционных представлений о Вселенной, пространстве и времени и их бесконечности. Центральным вопросом в совокупности всех проблем, порожденных этим кризисом, является вопрос о том, что такое протяженность в природе и как она может быть бесконечной, если она действительно бесконечна, ибо с помощью понятия протяженности мы в равной мере описываем и Вселенную, и пространство, и время (протяженность времени есть его длительность).
Известно, что многие из мировоззренческих вопросов получают если не решение, то по крайней мере иное освещение в результате анализа тех наиболее простых и «самоочевидных» допущений о мире, которые неявно и без всякой критики переносятся нами из обыденного языка в научный. К числу таких допущений принадлежит предположение об универсальном и всеобщем характере протяженности в природе, о такой же всеобщности понятий структуры, системы, многообразия, о существовании абсолютной физической разделенности между наблюдателем и реальностью и многие другие столь же простые и вроде бы даже бесспорные на первый взгляд представления, оказывающиеся тем не менее далеко не простыми и отнюдь не бесспорными при более детальном исследовании. Подобные неявные предположения, перенесенные в науку из обыденных представлений о мире, нередко оказываются источником различного рода парадоксов и затруднений в ней, поскольку «...всякое слово или всякое понятие, каким бы ясным оно нам ни каза
29
лось, имеет все-таки только ограниченную область применения»
Более разумно поэтому, на наш взгляд, усомниться в целесообразности использования этих понятий в критических областях и задаться выяснением условий и границ их содержательной применимости в описании физической реальности, чем следовать общепринятой экстраполяции их в любом направлении и на неограниченные области. Именно такого рода задача в отношении понятий протяженности и многообразия ставится здесь. Следует подчеркнуть, что мы по необходимости должны обратиться к исследованию понятий протяженности и многообразия, ибо они являются наипростейшими, первейшими, генетически и исторически исходными по отношению ко всем представлениям и понятиям, используемым в множественной картине мира.
1. Грассмановское учение о протяженности в математике
История понятия протяженности в науке есть главным образом история его в философии1 2: в силу чрезвычайной общности и широты этого понятия им прежде всего должны были заинтересоваться философы. В конкретных естественных науках, наоборот, почти на протяжении двух тысячелетий (вплоть до появления теории относительности и квантовой физики) отсутствуют непосредственные побудительные мотивы для анализа этого понятия, хотя в естествознании оно играет не менее, а возможно и более фундаментальную роль, чем в философии. Достаточно вспомнить в связи с этим, что начало собственному и независимому существованию математики как науки было положено именно тогда, когда в учении Пифагора и Платона была осознана и отчетливо выражена мысль о господстве числа и протяженности в природе. С тех пор и до настоящего времени математика по природе своей есть учение о протяженности, если понимать под отношениями протяженности все структуры
1 В. Гейзенберг. Физика и философия. М, 1963, стр. 99.
2 См. В. И. Свидерский. Пространство и время. М., 1958; его же. Философское значение пространственно-временных представлений в физике. Л., 1956
30
отношений 1 на множествах, изучаемые современной математикой. И даже в тех случаях, когда обнаруживаются фундаментальные трудности в основаниях математики, универсальность понятия протяженности кажется не затронутой и довлеет над способом их преодоления.
Например, когда математики впервые столкнулись с фактом неразложимости континуума1 2, проявившейся в открытии несоизмеримых отрезков, трудность была обойдена ими с помощью образов недостижимых иррациональных точек, которые оказалось возможным «вырастить» на этом свойстве неразложимости в совокупностях любой мощности и даже выше счетной, благодаря чему удалось также объяснить и непрерывность континуума. Таким путем была вскрыта возможность построения иррационального протяжения.
Кантор, предприняв героическую попытку избавить математиков от всех трудностей, связанных с бесконечностью, также не порывает с образом протяженности, а строит целый мир трансфинитного протяжения, заселенного алефами 3, в результате чего проблема континуума сводится к задаче истолкования его в рамках расширенного понятия протяженности: требовалось указать место мощности его на трансфинитной шкале алефов.
Следует вообще подчеркнуть, что естествоиспытатель во все времена сознательно стремится ограничить круг своих проблем тем, что может быть наблюдаемо и что поддается измерению и вычислению, т. е. тем, что заведомо принадлежит к сфере протяженности.
Для классического представления о мире характерна близкая к картезианской точка зрения, согласно которой протяжение и есть, собственно, все в природе. Какой-либо анализ этой убежденности, как правило, отсутствует. Либо это представление принимается как само собой разумеющееся и очевидное, либо его обоснование передоверяют философам.
Но, несмотря на то что философы больше занимались
1 Имеется в виду возможность истолковать отношения протяженности как метрические отношения, отношения порядка и топологические отношения на множествах (см. разд. 4 настоящей работы).
2 См. об этом подробнее в разд. 18.
3 Первой буквой финикийского алфавита Г. Кантор обозначил Мощности бесконечных множеств. Например, мощность счетно-бесконечного множества есть — алеф-нуль. Здесь и далее буква алеф будет обозначаться буквой Д .
31
проблемой протяженности и многие из них оставили целый ряд весьма любопытных представлений о протяженности, для того чтобы выяснить, что же такое, собственно, протяжение, необходимо обратиться к трудам естествоиспытателей, и прежде всего математиков.
Тот недостаток философских учений, который нас теперь заставляет обратиться к математике, а именно чисто интуитивный характер представлений о протяженности, долгое время, впрочем, остается свойственным и самой математике. Трудно уловить какое-либо существенное различие в понимании протяженности между философами и математиками в древности, да и в более поздние времена вплоть до XIX в. Однако работы математиков позволяют понять более точно, что, собственно, подразумевалось под протяженностью в ту или иную эпоху.
Так, если мы обратимся к Евклиду, то обнаружим, что у древних существовал большой разрыв между понятием числа и понятием отношения. Они, по-видимому, еще не расширяли понятие числа за счет понятия отношения Число рассматривалось в духе, близком пифагорейскому учению, в качестве некоторой самодовлеющей духовной сущности, а понятие отношения было не разработанным и как бы оставалось в тени за числами. С современной точки зрения число есть только точное выражение определенного количественного отношения и целиком определяется этим отношением. Всякое конечное число у древних есть дискретное количество. Как сообщает Аристотель, «то или другое количество есть множество, если его можно счесть», и «величина, если его можно измерить»1 2. Поскольку протяжение определяется путем измерения, то оно выступает прежде всего как величина.
Отсюда можно понять, что для древних протяжение есть просто величина или количество, дискретное, если речь идет о протяженности отдельных предметов. Любопытно отметить, что это представление о протяжении как о величине оказалось господствующим в естествознании вплоть до середины XIX в., когда Риманом впервые было четко проведено различие между количествен-
1 См. Н. Г. Алимов. Величина и отношение у Евклида. — «Историко-математические исследования», вып. VIII М, 1955.
2 Аристотель. Метафизика, стр. 93
32
ними (метрическими) отношениями и собственно протяжением как выражением отношений порядка в сосуществовании. Даже Г. Грассман первое издание «Учения о протяженности» (1844 г.) назвал наукой об экстенсивных величинах Г А Б. Больцано, который является одним из зачинателей теории множеств и в работах которого наряду с первыми теоретико-множественными идеями проскальзывает понимание протяжения как выражения отношений взаимного расположения, в «Парадоксах бесконечного», впервые изданных в Лейпциге в 1851 г., отдает дань традиционным взглядам на протяжение. «Не подлежит сомнению, — пишет он, — что всякое протяжение имеет величину» 1 2. Этимология слова «протяженность», которое в большинстве европейских языков происходит от латинского extensio, также указывает, что оно прежде всего выражает рост некоторой количественной определенности.
Но более глубокие представления по вопросу о содержании понятия протяженности в XIX в. можно найти у Г. Грассмана, основной труд которого был упомянут выше. Главная идея его книги заключается в таком построении математических действий, которое приложимо непосредственно к геометрическим величинам без использования координат. При этом Грассман развертывает различные линейные системы высших комплексных чисел; результат любой операции выражается в них линейно в основных единицах, число которых может быть любым. Реальное трехмерное пространство у Грассмана является одним из частных случаев протяженной величины. В геометрическом отношении его учение представляет собой первое систематическое построение многомерного пространства (евклидового).
В качестве отправной точки грассмановского учения о протяженности можно рассматривать представление, найденное Мебиусом в его работе по барицентрическому исчислению3, которое послужило основой для введения так называемых барицентрических координат — простейшего вида однородных координат. Любое число точек
А2, А3, . . . Ап с коэффициентами соответственно m2, т3, . . . тп (которые можно рассматривать как
1 Н. Grasstnan. Die Wissenschaft der extensiven Grosse oder die iineale Ausdehnungslehre. Leipzig, 1844.
2 Б. Больцано. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911, стр. 74.
3 A. F. Mobius. Der baryzentrische Kalcul. Leipzig, 1827.
2
Зак. 25
33
значения масс, сосредоточенных в этих точках) имеет такую единственную точку А, для которой можно указать следующее свойство. Если через точки Аь А2, А3, . . . Ап провести в любом направлении параллельные линии до пересечения с некоторой произвольной плоскостью в соответствующих точках А'ь Д'2, А'3, . . . А'п , то имеет место равенство mi Ai A'i + m2A2Az2 + т3 А3 А'3 + . . . + Ап А'п = т А А\ где m = mi + m2 + m3 + . . . + mn . Такая точка А представляет собой центр тяжести всех точек Аь Д2, А3, . . . Ап (а ее коэффициент т можно рассматривать как сумму масс, сосредоточенных в этих точках). Задача нахождения геометрического положения этой точки решается путем установления отношения чисел ть т2, т3, . . . тп к одному из них, а сами эти числа можно рассматривать как координаты точки А, имеющей массу т.
Барицентрические координаты Мебиуса сыграли определенную роль в возникновении векторного исчисления и, по-видимому, способствовали развитию Грассманом учения о протяженности.
Грассман получает точку А, исходя из складывания отрезков. Так как параллельное самому себе перемещение отрезка не изменяет его (а все учение Грассмана лежит целиком в сфере евклидовой геометрии), то два отрезка, которые совпадают по величине, направлению и содержанию, но не по положению, Грассман называет равными или тождественными. Если несколько отрезков приложены друг к другу таким образом, что конечная точка каждого из них совпадает с начальной точкой следующего, то последний замыкающий отрезок (независимо от начала и последовательности суммирования отрезков) остается тем же самым, или эквиполлентным, как говорит Грассман. Поэтому его можно принять в качестве геометрической суммы всех складываемых отрезков. Грассман рассматривает ряд точек A, Bf С, ... с коэффициентами а, р, у. Совершенно произвольным образом выбирается некоторая точка /?, из которой строятся отрезки aR А, р/? В, yR С и т. д. Складывание этих отрезков производится таким образом, чтобы точка R всегда служила начальной точкой отрезка, взятого первым, а следовательно, и замыкающего отрезка, представляющего собой сумму этих отрезков (или равнодействующую, если отрезки представляют некоторые силы)'. Тогда независимо от выбора произвольной точки R су-
34
ществует неизменная точка S, через которую всегда будет проходить суммирующий отрезок. Это и есть та точка — центр тяжести всех взятых точек, которую нашел Мебиус. Для этой точки всегда будет иметь место выражение	+	+	. = о Я аналогич-
ное такому же выражению у Мебиуса; в нем точно так же коэффициент при замыкающем отрезке равен сумме коэффициентов при точках А,В,С\ о = ос 4- р 4- у 4- . . . Выражение oRS было названо Грассманом суммой отрезков.
Исследование подобных линейных отношений в суммировании отрезков и привело Грассмана к установлению общей идеи протяженности. Оставляя в стороне все значительные, собственно математические достоинства развитого Грассманом учения, попытаемся выяснить, что понимает Грассман под протяженностью.
Согласно второму изданию «Учения о протяженности» (1862), элемент протяженной величины в общем случае определяется комплексным числом а\ е\ -г
4- а3е3 4- . . . ап еп, где ... ап —арифметические числа, а е\, е% ... еп — независимые единицы. Число этих независимых единиц может быть любым, и такой элемент протяженности соответственно может иметь любую размерность.
Во Введении к «Учению о протяженности» 1 Грассман обсуждает вопрос о месте идеи протяженности в чистой математике, которую он определяет как «учение о формах», понимая под последними отношения в их чистом виде, отвлеченном от реального содержания. Чтобы подчеркнуть отвлеченный характер математики, Грассман иногда употребляет также для наименования ее объектов выражение «формы мысли».
Заметим, что в отношении понимания природы математики и математических понятий Грассман стоит на материалистических позициях. Грассмановское понимание познания как «согласования мышления с бытием и согласование процессов мысли друг с другом» было оценено В. И. Лениным как «чисто материалистическое»2.
Формы, исследуемые математикой, рассматриваются им как текучие и подразделяются на дискретные по своей природе и непрерывные. «Все, становящееся благода
1 См «Новые идеи в математике», сб. № 1 СПб. 1913 См В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 18. стр. 177
2*
35
ря мышлению, может становиться двояким образом, или путем простого акта порождения, или путем двойного акта полагания и связывания. Становящееся первым образом есть непрерывная форма или величина в узком смысле слова; становящееся вторым образом есть дискретная форма или форма связывания» L
Дискретная форма, далее, может представлять собой «соединение того, что положено, как равное», например любое число можно понимать как соединение единиц одного рода. Дискретная форма может также представлять собой сочетание, образованное «соединением того, что положено как различное».
По своему характеру исследуемые математикой формы подразделяются на интенсивные и экстенсивные, т. е. на такие, которые:
а)	выражают степень развития того, что стало через порождение одним актом мысли и что отражает мощность соединения элементов, данных как равные, — это интенсивная величина, число;
б)	становятся через порождение различного и выражают собой сочетательно-непрерывную форму, или экстенсивную величину, — протяженность.
Отсюда видно, что с самого начала Грассман понимает протяжение как выражение отношений в сфере различного. В числе выступает соединение, а в сочетании — обособление того, что связывается в мышлении. Таким же точно образом в интенсивной величине выступает соединение элементов, каждый из которых можно мыслить обособленным, но которые образуют в своем существенном равенстве друг другу интенсивную величину. Наоборот, в экстенсивной величине выступает обособление элементов, которые — поскольку они образуют одну величину — соединены между собой, но которые составляют величину именно лишь в их отдалении друг от друга. Таким образом, интенсивная величина является как бы ставшим текучим числом, а экстенсивная величина — ставшим текучим сочетанием. Последней свойственна по существу обособленность (Auseinandertreten) элементов и их существование друг вне друга. Порождающий элемент является здесь чем-то изменяющимся, т. е. проходящим через различные состояния, и совокупность этих различных состояний и образует именно об
1 «Новые идеи в математике», сб № 1, стр. 68.
36
ласть протяженной величины. В случае же интенсивной величины, наоборот, порождение ее дает непрерывный ряд равных самим себе состояний, количество которых и есть интенсивная величина. В качестве примера экстенсивной величины можно взять ограниченную линию (отрезок), элементы которой по существу обособлены друг от друга и благодаря этому составляют линию как протяженность. Примером же интенсивной величины может служить хотя бы точка, источник определенной силы: здесь элементы не находятся друг вне друга; они представляются здесь в виде потенцированного ряда усиления (Steigerung), образуя, таким образом, ступени этого ряда Г
Следовательно, понятие протяженности, по Грассману, выражает отношения сочетания элементов некоторого многообразия. Причем Грассман акцентирует внимание на состоянии дифференцированности, выражающемся в обособленности элементов, существующих друг вне друга или наряду друг с другом. Процесс порождения протяжения заключается в последовательном сочетании этих элементов путем перехода от одного элемента к другому.
Но тут же Грассман специально оговаривает относительность различия между экстенсивными и интенсивными величинами. Всякую реальную величину можно рассматривать двояко: и как интенсивную, и как экстенсивную величину. Например, линия рассматривается как интенсивная величина, когда абстрагируются от рядопо-ложенности ее элементов и принимают во внимание только количество элементов. Таким же точно образом сила может быть рассматриваема как экстенсивная величина, когда представляют ее в форме линии1 2.
Отсюда следует, что понятие протяженности может быть обобщено и на случай интенсивных величин. Нет никакой принципиальной разницы между отображением С помощью понятия протяженности реального пространства и каких-либо физических сил, наполняющих его. Последние также могут быть представлены в дополнительных измерениях в виде протяженных величин. Таким образом, всякая величина вообще — и экстенсивная и интенсивная — может быть отображена с помощью поня
1 См «Новые идеи в математике», сб. № 1, стр. 72—73.
2 См. там же, стр. 73.
37
тия протяженности. И это оказывается возможным не благодаря совпадению понятий величины и протяженно-сти, но наоборот, само это совпадение существует благодаря более глубоким основаниям, объединяющим оба этих понятия. Понятие величины (числа) и понятие протяженности есть только различные способы выражения отношений в многообразии, поддающихся в первом случае метрическому выражению.
Приведем дальнейшие разъяснения Грассманом понятия протяженности: «...протяженная форма — это совокупность всех элементов, в которые переходит при непрерывном изменении порождающий элемент... Чтобы результат был определенным, различное (т. е. многообразие или многое. — И. Ц.) должно развиваться по некоторому закону. В случае простой формы этот закон должен быть одним и тем же для всех моментов становления. Таким образом, простая протяженная форма — это форма, которая возникает благодаря происходящему по одному и тому же закону изменению порождающего элемента. Совокупность всех порождаемых по одному и тому же закону элементов мы называем системой или областью» Г
Введение новых независимых законов изменения порождающего элемента позволяет увеличить число измерений протяжения (или, как говорит Грассман, число ступеней системы) до бесконечности. Наконец, могут быть изучены взаимные переходы различных систем друг в друга, соответствующие поворотным движениям в пространстве.
Но независимо от числа измерений и законов их порождения основным признаком протяженности, согласно Грассману, считается следующий: если из некоторого элемента А вытекает путем определенного акта изменения другой элемент В той же природы, то из В путем того же акта изменения можно получить точно такой же по своей природе элемент С, затем D и т. д.1 2 Отсюда видно, что протяженность, по Грассману, не выражает ничего иного, кроме простейших отношений следования элементов в их многообразии.
Как понятие, выражающее отношения элементов в многообразии, протяженность лишена какой-либо собст
1 «Новые идеи в математике», сб № 1, стр. /4—75
2 См4 там же, стр. 75—76.
38
венной субстанциональной природы й независима также от конкретной природы элементов данного многообразия. Именно благодаря этому Грассман находит возможным успешное применение понятия протяженности для конструирования абстрактных математических пространств.
Хотя таким образом Грассман придал понятию протяженности чрезвычайно общий смысл и по существу вывел это понятие за узкие рамки только метрических отношений, тем не менее полное осознание различия между отношениями протяженности и метрическими отношениями принадлежит Риману.
В знаменитой и часто цитируемой теперь лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии», прочитанной 10 июня 1854 г., Б. Риман прежде всего отмечает, что вывод любых геометрических понятий, в том числе и понятия величины, возможен лишь постольку, поскольку ему «предпослано некоторое общее понятие, связанное с допущением ряда различных состояний» Г Тем самым, говоря современным языком, он указывает н< фундаментальную роль понятия многообразия, которое лежит в основании всех математических построений, ибо математическое знание есть знание об отношениях, формах и структурах на многообразиях (множествах).
Содержание протяженности Б. Риман объясняет следующим образом: «Предположим, что некоторому понятию сопоставлено непрерывное множество состояний, причем от одного состояния определенным способом можно переходить ко всякому другому; тогда все эти состояния образуют просто протяженное или однократно протяженное многообразие, отличительным признаком которого служит возможность непрерывного смещения на каждом данном этапе лишь в две стороны — вперед и назад»1 2. Очевидно, что такое понимание протяженности полностью совпадает с грассмановским и представляет собой только иное его изложение.
Полученное одномерное многообразие в свою очередь может быть переведено в другое, вполне отличное от первого многообразия, притом так, что каждая точка первого многообразия переходит в определенную точку второго. Все состояния, которые могут быть получены
1 «Об основаниях геометрии». ЛА , 1956, стр. 310.
2 Там же, стр. 312.
39
при подобного рода операциях, образуют дважды протяженное многообразие. И дальше Риман объясняет, как может быть продолжено такое построение до составления «изменяемости п + 1 измерений из одной изменяемости п измерений и одной изменяемости одного измерения»1. Таким путем подобно Грассману он приходит к многомерным пространствам.
После этого он задается вопросом о метрических отношениях в многообразиях и выясняет, что метрические отношения зависят от меры и характера кривизны пространства, что в конечном счете влечет за собой важный вывод о необходимости отделения отношений протяженности (или отношений взаимного расположения) от метрических отношений в многообразии, поскольку «при одних и тех же отношениях протяженности мыслимы различные метрические отношения»1 2.
Между отношениями протяженности и метрическими отношениями с этой точки зрения имеется существенное различие: «Поскольку для отношений протяженности возможно лишь дискретное множество различных случаев, результаты опытной проверки не могут не быть вполне точными (хотя, с другой стороны, не могут быть вполне достоверными), тогда как для метрических отношений множество возможных случаев непрерывно, и потому результаты опытной проверки неизбежно неточные, какова бы ни была вероятность того, что они приближенно точны. Это обстоятельство имеет большое значение, когда речь идет о распространении эмпирического опыта за пределы непосредственно наблюдаемого — в направлении неизмеримо большого или неизмеримо малого: за пределами непосредственно наблюдаемого метрические отношения становятся все менее точными, чего нельзя сказать об отношениях протяженности»3.
Проведение такого различия между отношениями протяженности и метрическими отношениями дало Риману возможность впервые в истории науки отделить свойства неограниченности от бесконечности, которые до него обыкновенно мыслились совпадающими: «При распространении пространственных построений в направлении неизмеримо большого следует различать свойства неогра
1 «Об основаниях геометрии», стр. 312.
2 Там же, стр. 322.
3 Там же.
40
ниченности и бесконечности: первое из них есть свойство протяженности, второе — метрическое свойство. То, что пространство есть неограниченное трижды протяженное многообразие, является допущением, принимаемым в любой концепции внешнего мира; в полном согласии с этим допущением область внешних восприятий постоянно расширяется, производятся геометрические построения в поисках тех или иных объектов, и допущение неограниченности ни разу не было опровергнуто. Поэтому неограниченности пространства свойственна гораздо большая эмпирическая достоверность, чем какому бы то ни было другому продукту внешнего восприятия. Но отсюда никоим образом не следует бесконечность пространства; напротив, если допустим независимость тел от места их нахождения, т. е. припишем пространству постоянную меру кривизны, то придется допустить конечность пространства, как бы мала ни была мера кривизны, лишь бы она была положительной. Если бы мы продолжили кратчайшие линии, начальные направления которых лежат в некотором плоскостном элементе, то получили бы неограниченную поверхность с постоянной положительной мерой кривизны, т. е. такую поверхность, которая в плоском трижды протяженном многообразии приняла бы вид сферы и, следовательно, является конечной» L
Обращаясь к области бесконечно малого, Риман с еще большей настоятельностью требует отделения метрических отношений от отношений протяжения, указывая на то, что эмпирические понятия, на которых основывается установление метрических отношений, — понятия твердого тела и светового луча, — по-видимому, теряют всякую определенность в бесконечно малом. Он намечает две программные линии в объяснении возникновения метрических отношений: «Вопрос о том, справедливы ли допущения геометрии в бесконечно малом, тесно связан с вопросом о внутренней причине возникновения метрических отношений в пространстве. Этот вопрос, конечно, также относится к области учения о пространстве, и при рассмотрении его следует принять во внимание сделанное выше замечание о том, что в случае дискретного многообразия принцип метрических отношений содержится уже в самом понятии этого многообразия, тогда как в
1	«Об основаниях геометрии», стр. 322.
41
случае непрерывного многообразия его следует искать где-то в другом месте. Отсюда следует, что или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических отношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день»
Эйнштейн первым переступил этот порог, когда в 1916 г. пришел к истолкованию метрических свойств пространства как проявления полей тяготения, и в созданной им общей теории относительности исчерпывающим образом реализовал вторую из отмеченных Риманом возможностей. Поля тяготения играют, однако, крайне незначительную роль в микромире, поэтому вопрос о природе и свойствах пространственных отношений в неизмеримо малом остается открытым.
Начиная с 30-х годов, со времени появления гипотезы Д. Д. Иваненко и В. А. Амбарцумяна 1 2 о существовании своеобразного кванта длины, идея дискретного характера пространства-времени в микромире утвердилась в последние десятилетия как весьма вероятная. По-видимому, и первая из отмеченных Риманом возможностей в объяснении возникновения метрических отношений близка к своему воплощению в физических теориях.
2.	Операциональный смысл понятия протяженности
Если, согласно грассмановскому учению о протяженности, под последней следует понимать выражение простейших отношений следования элементов в некоторой их совокупности, то необходимо особо подчеркнуть операциональный смысл понятия протяженности, который отвечает генетической природе этого понятия и наиболее удачно выражает саму суть его.
Действительно, возникновение понятия протяженности имеет своей предпосылкой выполнение простейших измерительных операций, оценку расстояний, сравнение размеров и числа предметов и тому подобное. Эмпирические качества предметов из ближайшего окружения че
1 «Об основаниях геометрии», стр. 323—324
2 «Zeitschrift fur Physik», Bd. 64, 1930, S. 563—567.
42
ловека, и прежде всего поверхность твердого тела и пря^ молинейность луча света, лежат в основе наших представлений о протяженности. Все наши инструменты, говорит А. Пуанкаре, как те, которыми ребенок обязан природе, так и те, которыми ученый обязан своему гению, имеют в качестве основных элементов твердое тело и световой луч1. Гельмгольц также называет в качестве эмпирических оснований наших представлений о пространстве понятия светового луча и твердого тела.
Представление о протяжении развилось под влиянием фактического прослеживания отношений в телах природы с помощью последовательно пробегающего по ним светового луча (при обозрении) или путем приведения в соприкосновение одного твердого тела с другим (при различных видах деятельности).
Пренебрежение операциональной стороной геометрических понятий сопряжено с риском упустить в них самое существенное. Если мыслить протяжение в качестве однажды данного и готового и далее не анализируемого понятия, трудно понять его сущность; в природе точно так же нельзя понять реального протяжения, если рассматривать его в качестве абсолютной и изначальной черты реальности. Поэтому Грассман, разъясняя смысл понятия протяженности, акцентирует внимание на порождении протяженности в результате последовательного пробегания элементом протяжения некоторой области значений или же истолковывает протяженность как результат последовательного перехода от одного заданного элемента к другому, справедливо подчеркивая тем самым операциональный смысл этого понятия.
Любое определенное протяжение в природе есть по существу ставшее таким в результате движения материи и существует лишь постольку, поскольку сохраняются физические связи материальных объектов, его обусловливающие. Последние, разумеется, не вечны и в свою очередь подвержены движению и изменению, чем и объясняется в целом преходящий, относительный характер конкретного проявления протяженности как выражения определенной совокупности отношений, фиксированных определенными физическими связями в данный исторический момент развития Вселенной. Уже отсюда видно, ЧТО говорить о бесконечности протяжения — это значит
1 См. «Новые идеи в математике», сб. № 2. СПб., 1913, стр. 78.
43
говорить о бесконечном существовании физических связей бесконечного числа элементов, но и то и другое едва ли вероятно.
Также едва ли допустимо актуальное существование бесконечного протяжения даже в абстракции, например в математике. Согласно операциональному истолкованию протяженности, такая бесконечность реализуется благодаря актуальному характеру отношений в бесконечном ряду элементов А, В, С, D, ... и т. д., каждый из которых может быть получен в результате последовательного применения одной и той же операции, если дан первый. Понимаемая таким образом протяженность легко может быть иллюстрирована .натуральным рядом чисел, ибо для протяженности ничего более не требуется, кроме возможности последовательного определения одного ее члена вслед за другим. Однако представление об актуальном существовании такой бесконечной последовательности существенным образом опирается на принцип полной индукции. Но полная индукция дает достоверные выводы лишь в тех случаях, когда можно рассмотреть все однородные факты, которых она касается, т. е. лишь в случаях конечного числа ее объектов. Поскольку же бесконечная протяженность требует выхода к бесконечному синтезу элементов протяжения, то надежность самого представления о бесконечном протяжении оказывается существенно подорванной. Ибо если число однородных элементов неограниченно (а для бесконечной протяженности это предполагается именно так), то полная индукция уже не может быть проведена с достоверностью. В этом случае оказывается неизбежным petitio principii в силу неявного использования в доказательстве положения, которое требуется доказать Ч
3.	Взаимосвязь понятий протяженности, пространства и множества
Как очевидно, понятие протяженности и понятие пространства находятся в тесной связи. Во многих языках эта связь легко прослеживается в этимологии слов, их обозначающих. В общем случае пространство и есть не что иное, как определенная система протяжений. Столь
1 См. «Новые идеи в математике», сб. № 10. Пг., 1915, стр. 7—8.
44
же очевидна и тесная взаимосвязь понятия многообразия с понятиями протяженности и пространства. «Пространство п измерений, — говорит Гельмгольц, — есть n-кратно протяженное многообразие» Г
Однако понятие пространства в современной науке приобрело столь широкий смысл и используется для обозначения столь обширного класса подобных пространству систем отношений, что почти всегда к слову «пространство» необходимы дополнительные определения, уточняющие, о каком, собственно, пространстве идет речь. Разумеется, все эти разнообразные математические конструкции в конечном счете представляют собой отражение отношений реальных объектов материального мира, иногда только специальной стороны в них. Но при этом построение большинства из них достигнуто за счет столь сильной идеализации, что подчас они представляются продуктом свободного творчества и непосредственное истолкование их как отвлеченного отражения объективных свойств в отношениях реальных объектов часто весьма затруднительно, а то и вовсе невозможно. Тем не менее при достаточном внимании к этому вопросу всегда можно установить, что их основные элементы и сопоставляемые им исходные операции в генетическом отношении все же представляют собой в конечном счете идеализированные обобщения тех свойств в отношениях, которым можно найти некоторый аналог в реальном физическом пространстве. Главнейшим из них является именно свойство протяжения, без которого пространство вообще немыслимо. Есть такие виды математических пространств, в которые невозможно ввести метрику и в которых не выполняется аксиома Архимеда или теряют смысл геометрические образы прямой, угла и т. п. Однако протяжение как выражение возможности перехода от одного элемента данного многообразия к другому (что бы они собой ни представляли и какого бы рода операции для этого ни потребовались) оказывается одинаково необходимым.
В простейшем случае метрического пространства отношения протяжения совпадают с метрическими отношениями и последними пользуются для их выражения. В этом случае операция перехода от одного элемента множества к другому (которую, согласно Грассману, сле
1 «Об основаниях геометрии», стр. 368.
45
дует рассматривать как порождающую протяжение) должна удовлетворять аксиомам, согласно которым каждой паре элементов А и В сопоставляется число р (Л, В) ^0, называемое расстоянием. Это число должно:
а)	быть равным нулю в том, и только в том случае, когда элементы А и В совпадают (Л = В);
б)	оставаться неизменным при нахождении В из А и, наоборот, А из В — условие симметричности:
р(л,В)-р(в,Л);
в)	удовлетворять аксиоме треугольника, согласно которой
р(Д,5) + р(5,С)>р(Д,С).
Обобщением такого метрического евклидового пространства на бесконечномерный случай является гильбертово пространство, в котором протяжение (совпадающее с «расстоянием» в данном случае) задается выражением
р(д,5)=1/ f (ЧЛ)- ЧВ))2 *	/2=1
с соблюдением условия сходимости суммы под корнем. Физическое приложение такого бесконечномерного пространства состоит в применении его к описанию системы функций, каждая из которых может быть задана лишь бесконечной последовательностью некоторых чисел, играющих роль ее компонент (например, последовательность ее коэффициентов Фурье).
В случае римановых пространств содержание понятия протяженности остается тем же. Предполагается, что в бесконечно малых областях риманова пространства имеет место евклидова геометрия, хотя в целом пространство является неевклидовым. Метрическое мероопределение в таком пространстве заключается в измерении длины гладких дуг как кратчайших расстояний. Столь же тесная взаимосвязь прослеживается и между понятиями многообразия и протяженности.
Под многообразием в математике понимают обобщение на любое число измерений понятий линии или поверхности, не содержащих особенностей, т. е. краевых (концевых) точек, точек самопересечения и т. п. В качестве примеров, разъясняющих смысл этого понятия, мож
46
но указать на окружность, эллипс, прямую, параболу — одномерные многообразия, каждое из которых может быть взаимно однозначным и взаимно непрерывным * 1 образом отражено на интервале, т. е. на внутренней части отрезка прямой, концевые точки которого исключаются из рассмотрения. Некоторое топологическое пространство X называется n-мерным топологическим многообразием, если оно может быть покрыто конечным или счетным числом множеств, гомеоморфных п-мерному евклидову открытому шару.
Отличительной чертой всякого многообразия является наличие у каждого его элемента окрестности, под которой понимается любое открытое множество, содержащее данный элемент. Например, окрестность точки а в пространстве действительных чисел есть любой открытый интервал вида (а — б, а + 6), содержащий точку а. Иными словами, окрестностью точки а является множество всех точек х, удовлетворяющих (для некоторого положительного числа б) условию |х—а|<б. Отрезок поэтому и не является многообразием, что концы его не имеют окрестностей указанного вида. Многообразия делятся на замкнутые и открытые; замкнутое многообразие гомеоморфно окружности, открытое — прямой. Отсюда видно, что существенное свойство многообразия в общем случае тождественно свойству неограниченности протяжения, и понятие протяженности столь же тесно связано с ним, как и с понятием пространства.
В более широком смысле понятие многообразия употребляется иногда (обыкновенно в философии) в качестве эквивалента понятия множества, совокупности, класса. Хорошо известно, что это — предельно широкие и потому трудно определимые понятия, в отношении которых математики определениям предпочитают разъяснения на примерах. Как отмечает Н. Н. Лузин, не следует доискиваться ответа на вопрос, что такое «множество», потому что понятие множества является столь первоначальным, что затруднительно определить его при
1 Под взаимной однозначностью понимают соответствие каждой точке одной из фигур одной, и только одной, точки другой фи-
1 урь(, а взаимная непрерывность означает, что бесконечно близким точкам одной фигуры соответствуют бесконечно близкие точки другой фигуры. Взаимно однозначные и взаимно непрерывные преобра-юЖ1ния называются гомеоморфными, или гопотогическими, преобразованиями.
47
помощи более простых понятий Когда некоторое понятие Р определяется при помощи более простого понятия D, то само это понятие D также нуждается в определении посредством еще более простого понятия В и т. д. В конце концов таким путем можно достигнуть первоначального понятия Д, которое уже не поддается определению с помощью более простых понятий, и все, что можно здесь сделать, это только разъяснить его на ряде примеров. Понимая под множеством совокупность, составленную из каких-либо предметов, это понятие обычно иллюстрируют совокупностью букв на данной странице, множеством книг в шкафу, множеством всех корней данного уравнения, множеством всех положительных чисел и т. п.
Иногда высказывается мнение, что понятие множества (совокупности, класса, ансамбля и т. п.) исчерпывающим образом объемлет все возможное знание и приложимо ко всем областям знания1 2. Но это не совсем так.
Действительно, понятие множества нельзя определить путем подведения его под какое-либо более широкое понятие, как, впрочем, и любое предельно общее понятие. Однако с такого рода понятиями мы уже входим в сферу всеобщего, где действуют иного рода взаимосвязи сторон и существуют иные возможности для их определения. Определенность в сфере всеобщего (т. е. определенность различных сторон и моментов всеобщего) по природе своей не может быть получена на путях восхождения от меньшей степени общности к большей именно в силу присущей ему предельной общности. Однако она может быть достигнута путем соотношения полярных сторон всеобщего через отрицание в силу внутренней противоречивости всеобщего. Как известно, все противоположные по содержанию предельно общие понятия образуют диалектические пары категорий. При этом каждое из них в отдельности выступает в качестве момента некоторой полярной связи, ядром которой оказывается отношение взаимоотрицания с противоположным ему понятием.
Это отношение взаимного отрицания одновременно
1 См. Н. Н. Лузин. Теория функций действительного переменного М , 1948, с гр 7
2 См. В. А. Успенский. Предисловие к книге Ю. А. Шиханови-ча «Введение в современную математику». М., 1965, стр. 14.
48
связывает, определяет и разделяет два взаимоисключающих и противоположных друг другу понятия в сфере всеобщего. Determinatio est negatio — таков единственно возможный источник определений в сфере всеобщего, в которых выражается его противоречивая сущность. Материя и сознание, сущность и явление, необходимость и случайность, возможность и действительность, дифференцируемость и неразложимость, множественное и единое — определенность каждого из этих понятий получена лишь в результате их взаимного сопоставления через отрицание. Каждое из этих понятий указывает на себе противоположное, отрицает и вместе с тем предполагает его. Ни одного из них нельзя постигнуть в отдельности, но только во взаимном отношении. И хотя сущность одного из них есть отрицание другого, а другое есть отрицание первого, каждое из них в равной мере взаимно полагает другое.
Поэтому, хотя обычным путем и нельзя получить определение понятия множества, сущность его тем не менее может быть объяснена через указание на противоположное ему понятие. Нетрудно заметить, что понятия множества и его элементов предполагают свойство множественности, дифференцированности и, очевидно, теряют всякий смысл там, где обнаруживаются свойства целостности и неразложимости. Причем в философии, как уже отмечалось, еще элеатами была поставлена проблема множественного и единого или многого и одного (одного не как отдельного элемента множества, но как отрицания множественности вообще). В последующее время в той или иной форме эта проблема воспроизводится в учениях многих философов.
Другое дело, что при этом развитие естествознания в целом шло лишь в русле одного из двух взаимосвязанных аспектов в понимании мира, а именно в русле концепции мира как множественного. Математика же вообще по природе своей знает и изучает только множественное и дифференцировавшееся. А некоторые специфические свойства неразложимости и неделимости, обнаруженные при исследовании биологических объектов и психической деятельности человека, не вызвали сколько-нибудь значительного резонанса в понимании мира, в котором чаще всего довольствуются обыденным представлением о мире как о множественном. Только появление квантовой теории создает в естествознании решающие предпосылки
49
для осознания односторонности такого понимания. Однако этот процесс и сегодня еще далек от своего завершения.
Между тем уже Кант в учении о категориях рассудка не ограничивается констатацией единичного и множественного как совокупности единичных, но завершает их рассмотрение категорией цельности, которая выступает одновременно и как синтез единичного и множественного, и как отрицание их основания — дифференцированности.
Таким образом, разъяснение понятия множества может быть достигнуто не только путем иллюстрации его на примерах собраний каких-либо объектов, но и через указание ему противоположного понятия, отражающего состояние своеобразной целостности и неразложимости. В действительности во всех областях знания, исключая разве что математику, мы постоянно вынуждены прибегать к исследованию такого рода сторон в явлениях, которые едва ли исчерпываются аспектом множественности (если вообще бывают затронуты этим понятием).
Например, всем известен литературный феномен, носящий имя Шекспира (не человек по имени Шекспир, но Шекспир как литературное явление). Однако как можем мы себе составить представление об этом явлении? Исчерпывающий перечень произведений Шекспира с тщательным перечислением их достоинств и недостатков еще не дает нам понимания Шекспира как поэта, если мы при этом не сможем уловить момент некоторой органической целостности во всей совокупности созданных им художественных ценностей. Шекспир как художник не отражен в полной мере ни в одном из своих произведений, но и простая их совокупность также еще не дает полного представления о нем. Здесь мы сталкиваемся со своеобразной зависимостью и взаимоопределяемостью целого и множественного, того, что есть и существует лишь как целостное во множественном, и того, что представляет собой множественные частные проявления целого.
Еще в большей мере это справедливо в отношении духовной жизни человека, которая характеризуется поразительной дополнительностью свойств целого и множественного и их взаимоопределяемостью. Никто не согласится с тем, что его духовная жизнь исчерпывается простым перечнем разнообразных переживаний, когда-50
либо им испытанных, и между тем каждый будет в затруднении ответить на вопрос, что же еще в ней остается помимо этих переживаний. Каждый, наверное, найдет необходимым заявить о существовании своего «я», которое всегда выступает как субъект этих переживаний, любит, страдает, радуется и огорчается. Но между тем нельзя отделить человеческое «я» от всей совокупности его переживаний, и существует оно в них лишь как момент своеобразной целостности и неразложимости, являясь и основанием и результатом их одновременно. Причем эта взаимная дополнительность понятий многого и одного благодаря своему фундаментальному характеру сказывается даже в математике как источник неустранимых парадоксов в ее основаниях, возникающих всегда там, где математики по-своему пытаются отобразить всеобщее, опираясь лишь на понятие множества, например, в парадоксах типа «множества всех множеств» и ему подобных.
Говоря о взаимосвязи понятий множества и протяженности, следует отметить, что в той мере, в какой, начиная с конца прошлого столетия, понятие множества входит в математику, понятие протяженности исчезает в ней. Б. Риман был последним из великих математиков, уделивших внимание специальному рассмотрению этого понятия. Оно встречается еще у Гельмгольца, Пуанкаре и ряда других математиков конца XIX и начала XX в. Однако в XX в. математики переходят на язык теории множеств и понятие протяженности как математическое понятие перестает существовать. В настоящее время его употребление в математических работах крайне редко, а если и встречается, то лишь в качестве вспомогательного понятия, служащего некоторым интуитивным подспорьем, например, в геометрии.
Но это, разумеется, вовсе не означает, что содержание этого понятия перестало быть предметом исследования математики. Скорее наоборот. Если вслед за Грассманом понимать под протяженностью выражение отношений в совокупностях каких-либо объектов, то в современной математике по вопросу о совокупностях и возможных в них отношениях добыто несравненно больше знания по сравнению с эпохой Грассмана. Понятие множества, оказавшееся более фундаментальным, ассимилировало в своем содержании математический смысл термина протяженность, и различные типы отображений на
51
множествах исчерпывают все возможные виды отношений протяжения. Это видно из следующего:
1. Под протяженностью можно понимать только метрические отношения элементов в множестве, определяемые совершенно строгим образом с помощью уже упоминавшихся аксиом тождества, симметрии и аксиомы треугольника. Такое понимание протяженности совпадает с исторической традицией истолкования протяженности в качестве величины, но его неудовлетворительность состоит в неточности, побудившей Римана провести различие между метрическими отношениями и отношениями собственно протяжения. Отношения элементов произвольного множества не всегда являются метрическими и далеко не исчерпываются метрикой даже и в том случае, если последняя имеет место. Наконец, такое понимание протяженности противоречит той общности понятий протяженности, которая была придана ему Грассманом и является ничем не оправданным сужением его содержания.
2. Под протяженностью можно было бы понимать отношения порядка элементов в множестве. В этом случае также возможно вполне строгое определение протяженности. Отношения порядка элементов множества X устанавливаются правилами следования его элементов. Например, элемент х1 предшествует элементу х2 (или, что одно и то же, х!<х2, х2>х\ х2 следует за х1). При этом отношения следования элементов должны быть подчинены следующим требованиям:
1)	никакой элемент множества не предшествует самому себе;
2)	в любой паре различных элементов данного множества один предшествует другому (т. е. или х1 < х2, или х2 < х1);
3)	если х1 < х2, а х2 < х3, то х1 < х3 — условие транзитивности.
Множество, для которого установлены эти правила, называется упорядоченным множеством.
Очень велик соблазн связать содержание понятия протяженности именно с отношениями порядка в множестве. Действительно, грассмановский образ протяженности: переход от элемента А к В, от В к С, от С к D и т. д. — легко может быть истолкован в качестве средства установления отношений упорядоченности в множестве.
52
3. Однако в современной математике существует третья — и на этот раз предельно широкая — возможность истолкования протяженности на основе изучения топологических свойств пространства, т. е. таких, которые остаются неизменными при взаимно однозначных и взаимно непрерывных отображениях одного множества в другое.
Как стало совершенно отчетливым в современной математике, то, что представляет собой множество, определяется характером отношений элементов в нем и возможными способами его отображений на других множествах; собственная же природа его элементов может быть любой. Такое множество объектов любой природы может быть превращено в топологическое пространство, если тем или иным способом в нем будут определены предельные соотношения. Смысл установления предельных соотношений состоит в определении для каждого подмножества А данного множества Р его замыкания, т. е. в установлении такого множества Л, которое состоит из всех элементов множества Л и из предельных точек этого множества. Если каждому подмножеству Л данного множества Р ставится в однозначное соответствие некоторое подмножество Л, также принадлежащее к Р, то говорится, что в множестве Р определена общая топологическая структура и Р называют топологическим пространством. Некоторой интуитивной иллюстрацией предельных отношений элементов и подмножеств в множестве может быть представление об отношении «бесконечной близости» их или состояния «прикосновения», когда каждая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества Л, для которого она определена как предельная.
Очевидно, что такая качественная структура топологического пространства отличается чрезвычайной общностью, причем настолько широкой, что прибегают к ограничению ее специальными условиями, налагаемыми на предельное соотношение. Такие условия называются аксиомами топологического пространства. В качестве примера можно привести аксиомы Куратовского, налагаемые на операцию замыкания:
1)	замыкание суммы двух множеств есть сумма замыканий этих множеств:
53
2)	каждое множество содержится в своем замыкании: А^А;
3)	замыкание замыкания любого множества А совпадает с замыканием множества Л, т. е. А^А;
4)	замыкание пустого множества пусто: 0 = 0.
Если, кроме того, выполняется еще следующая ак-сиома:__
5)	р = р — замыкание элемента (точки) р равно элементу (точке) р для любой точки р, которая является элементом множества Р, то говорят, что пространство является топологическим в сильном смысле в противоположность общим топологическим пространствам, определенным с помощью аксиом 1—4. Существуют и другие способы определения топологического пространства, в которых в качестве исходного понятия выбираются понятия замкнутого или открытого множества.
Примеры одномерной топологической протяженности— числовая прямая, многообразие моментов времени, многообразие всевозможных температур и т. п. На них естественным образом могут быть определены отношения бесконечной близости: два числа близки, если абсолютная величина их разности достаточно мала. Все эти многообразия гомеоморфны интервалу — множеству всех внутренних точек прямолинейного отрезка. То же можно повторить в отношении многообразий, гомеоморфных множеству всех точек плоскости или гомеоморфных внутренности шара п измерений. Геометрическая фигура или геометрическая протяженность в общем смысле этого слова есть понятие гораздо более широкое, чем понятие элементарно-геометрической фигуры. Геометрическая протяженность, рассматриваемая сама по себе как некоторое пространство, может быть построена из элементов самой различной природы, рассматриваемых как точки данного пространства. Однако пространство не является только множеством своих точек; это последнее, чтобы стать пространством, должно быть как-то организовано, должно быть чем-то объединено; между его элементами должны быть установлены некоторые соотношения. От природы этих соотношений зависит, какой именно отдел геометрии мы имеем. Соотношения, лежащие в основе топологии, суть соотношения близости или соседства. Устанавливаются они на основе понятия окрестности. В тех примерах многообразий, которые мы имели только
54
что, у каждой точки многообразия имеются окрестности, которые взаимно однозначно отображаются на обыкно-венную окрестность точки евклидова пространства Г
Здесь, по-видимому, может быть достигнуто предельное обобщение понятия протяженности на теоретико-множественной основе. Более детальное знакомство со свойствами топологических пространств является излишним для целей настоящего исследования. Существенно то, что грассмановское понимание протяженности может быть распространено на все виды отношений элементов в множестве, включая и топологические. В топологии переход от элемента А к В уже нельзя задать таким образом, чтобы его можно было выразить определенным числом. Понятие протяженности тем не менее полностью сохраняет свой смысл, поскольку и в этом случае мы имеем совокупность элементов и некоторый (неметризу-емый) способ перехода от одного из них к другому.
Действительно, Грассман отнюдь не связывает порождение протяжения путем перехода от элемента А к В, от В к С и т. д. с каким-либо определенным способом его осуществления, а, наоборот, подчеркивает, что он может быть любым. В том числе переход от элемента А к В, от В к С и т. д. может быть задан с помощью некоторого предельного процесса. Хотя определенные метрические отношения в этом случае невозможны, тем не менее понятие протяжения целиком сохраняет свой смысл. Отношения «бесконечной близости» элементов в множестве или отношения их «соприкосновения», остающиеся неизменными при взаимно однозначных и взаимно непрерывных преобразованиях и устанавливаемые с помощью предельных процессов, представляют собой вид топологической протяженности.
Таким образом, в целом в математике можно говорить о протяженности в трех различных случаях, подразумевая под нею метрические отношения, отношения порядка в множестве и, наконец, топологические отношения. Эти три класса отношений едины в том смысле, что представляют собой только различную степень обобщения отношений следования элементов в множестве. Топологическая протяженность как предельно общая является наиболее фундаментальной по сравнению с отношениями порядка и метрическими.
1 См П. С. Александров, В. А. Ефремович. О простейших понятиях современной топологии М.—Л., 1935. стр 27.
55
Отсюда следует, что предельно общее и одновременно вполне строгое понимание протяженности может быть связано с топологическими отношениями элементов в множестве. Однако в дальнейшем у нас фактически не будет необходимости строго придерживаться какого-либо одного из трех различных способов истолкования протяженности. Целям настоящего исследования больше соответствует сознательное стремление к некоторому дальнейшему обобщению, согласно которому с протяженностью будет связываться возможность установления любого вида отношений в многообразии от метрических до топологических включительно. При этом задача исследования содержательной применимости понятия протяженности в описании физической реальности может быть сведена к выяснению условий и границ разумной интерпретации ее состояний в рамках понятия многообразия (или множества).
Протяженность и размерность. Как уже отмечалось, протяженность есть существенная и неотъемлемая черта пространства и последнее без протяженности вообще немыслимо. Однако полное отождествление протяженности с пространством было бы ошибочным. Понятие пространства как определенной системы отношений протяжения имеет гораздо более широкий смысл, чем понятие протяженности, которое только указывает на характер этих отношений, но еще не определяет свойств их системы: числа измерений, той или иной метрики, характера связности, ориентируемости и т. п.
Обычное понимание размерности, связанное с установлением меры объектов в обыденном опыте (например, линий, площадей, объемов), лежит в основе так называемого параметрического определения ее, когда под размерностью понимают число независимых переменных, необходимых для исчерпывающего задания состояния элементов данного многообразия. В соответствии с этим мы говорим о трехмерности реального пространства, поскольку для исчерпывающего задания положения его элемента — точки — достаточно трех независимых величин.
Развитие теории множеств в конце XIX в. привело к установлению неточности параметрического определения размерности пространства. Г. Кантор показал, что между точками линии и точками плоскости можно установить взаимно однозначное соответствие. Тем самым выясни
56
лось, что двумерная плоскость нисколько не богаче точками, чем одномерная линия, и при взаимно однозначных отображениях размерность, по-видимому, не играет существенной роли. Немного позже Дж. Пеано открыл возможность непрерывного отображения отрезка на весь квадрат, благодаря чему точка, определяемая на отрезке с помощью одного параметра (расстояния от начала или конца отрезка), может быть переведена в состояние, в котором для ее полного задания потребуется уже два параметра. Таким образом, выяснилось, что размерность, понимаемая как наименьшее число параметров, требуемых для описания пространства, не сохраняется при непрерывных отображениях и может возрастать, как в приведенном примере.
В связи с этими открытиями возник вопрос: возможны ли взаимно однозначные и одновременно взаимно непрерывные отображения между пространствами различной размерности? В 1911 г. голландским математиком Л. Брауэром было показано, что между n-мерным евклидовым пространством и m-мерным евклидовым пространством (/г Ф т) нельзя установить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие Тем самым возникло первое представление о топологической инвариантности размерности, которая была окончательно сформулирована Брауэром в 1913 г.
Основы современного учения о размерности изложены в трудах советского математика П. С. Урысона. Согласно его учению, существует точное определение размерности, сущность которого может быть понята исходя из следующих требований:
а)	пустое множество имеет размерность, равную —1;
б)	размерность пространства есть наименьшее целое число п — такое, что каждая точка пространства имеет произвольно малые окрестности, границы которых имеют размерность, меньшую чем п.
Существенным в этой форме определения размерно-
1 Р. Дедекинд еще раньше, познакомившись с упомянутым результатом Г. Кантора, понял причину его видимой парадоксальности и сообщил Г. Кантору в письме, что, должно быть, можно доказать невозможность взаимно однозначного и взаимно непрерывного соответствия между и R п, если т ф п (см. Н. Бурбаки. Общая топология. Числа и связанные с ними группы и пространства. М., 1959, стр. 165). Таким образом, Р. Дедекинд предвосхитил результат Брауэра.
57
сти является приписывание пустому множеству размерности, равной —1, благодаря чему становится возможным индуктивное определение размерности всех последующих видов множеств. Так, дискретное множество нульмерно, поскольку элементы его обладают пустой границей, по определению имеющей размерность, равную — 1; прямая обладает размерностью 1, так как окрестности ее точек содержат хотя бы по одной точке и, следовательно, нульмерны; плоскость двумерна, так как окрестности ее точек содержат линейный континуум точек и, следовательно, обладают границей с размерностью 1, и т. д.
В отношении интересующего нас вопроса о сущности протяженности отсюда вытекает следующее интересное следствие. Оказывается, что в самом понятии протяженности не содержится никакой информации о размерности вопреки нашему обычному представлению о ней. Больше того, если мыслить прямую, составленной дискретным множеством нульмерных точек, то в этом случае протяжение как выражение линейных отношений в таком дискретном множестве само по себе всегда нульмерно и источник размерности пространства следует искать где-то глубже, может быть, в свойствах континуума и в способе проявления его в данном многообразии. Действительно, протяженность остается нульмерной и тогда, когда число образующих ее элементов становится счетно бесконечным, и приобретает размерность, равную единице, только в том случае, когда вся совокупность элементов ее наделяется свойствами линейного континуума, благодаря чему в любой окрестности образующих ее точек оказывается хотя бы по одной точке.
Отсюда следует необходимость проводить различие между понятием протяженности и понятием континуума, которые обычно представляются совпадающими L Кроме того, можно предположить, что здесь содержится своего рода намек на возможную роль континуума в порождении размерности. Эта мысль содержится и в определении размерности, принадлежащем Лебегу: размерность некоторого пространства есть наименьшее целое число/г, обладающее тем свойством, что пространство может быть разложено на произвольно малые области, не больше чем п + 1 из которых пересекаются (имеют хотя бы
1 См. об этом подробнее разд. 18.
58
одну общую точку). Прямая может быть разбита на совокупность отрезков, которые нигде не сходятся более чем по два, так что каждые два соседних отрезка будут иметь одну общую точку. Следовательно, размерность прямой равна единице, исходя из п + 1 = 2. Плоскость может быть разбита таким образом, что произвольно малые области ее нигде не сходятся более чем по три, поэтому ее размерность равна двум и т. д. И в случае топологической протяженности размерность должна быть задана какими-то дополнительными условиями, поскольку в самом понятии протяженности не содержится ничего указывающего на ее размерность. То, что элементы топологической протяженности находятся в состоянии «бесконечной близости» или «прикосновения», еще ничего не говорит о размерности границы произвольно малой окрестности любого из них.
Может поэтому создаться впечатление, что, грубо говоря, размерность пространства зависит от того, сколько раз и как в системе отношений его представлен континуум и важнейшее свойство континуума — непрерывность. Дискретное множество элементов полностью лишено свойств непрерывности и потому нульмерно, но, будучи упорядоченным и наделенным свойствами линейного континуума, оно превращается в одномерную линию с непустой окрестностью любой своей точки; плоскость двумерна, поскольку свойствами линейного континуума обладает уже произвольная окрестность любой ее точки и т. д.
Однако нельзя переоценивать возможность такого предположения. П. С. Урысоном была доказана формула dim (A J В) dim А + dim В + 1, согласно которой размерность суммы множеств А и В меньше или равна сумме размерностей множества А плюс множества В плюс единица. С этой точки зрения можно ожидать, что существует некоторое 1-мерное множество, которое может быть представлено как сумма конечного числа нульмерных множеств, и континуум в таком его представлении не играет никакой видимой роли. Действительно, основываясь на этой формуле, П. С. Урысон нашел пример п-мерного множества, не содержащего никакого континуума I Таким образом, если нет оснований
1 См. В, Гуревич, Г. Волмэн,. Теория размерности. М, 1948, стр. Ю.
59
видеть источник размерности в собственных свойствах протяжения, то вряд ли можно вывести его из свойств континуума путем различных комбинаций протяжения и континуума. Остается поэтому предположить, что размерность пространства задается размерностью порождающего его элемента.
В связи с этим заметим в заключение, что в проблеме размерности существует большой вопрос, которого мы здесь касаться не будем, а именно вопрос о том, почему реальное физическое пространство-время обладает размерностью 3 + 1, а не какой-либо иной Ч
В этом отношении в настоящем исследовании мы можем довольствоваться следующим. Очевидно, что свойство пространства быть /г-мерным, или быть п-мерным в точке р, топологически инвариантно1 2. Поэтому мы должны просто принять к сведению четырехмерный характер элементарного физического события в микромире в качестве источника размерности реального пространства-времени. Тем более что принятая в настоящей работе задача исследования границ и условий содержательной применимости понятия протяженности в описании физической реальности обладает известной независимостью от проблемы размерности как более общая.
4. Определение понятия протяженности. Физическая содержательность его
Содержание предыдущих параграфов позволяет, наконец, составить представление о смысле, который может быть вкладываем в понятие протяженности в современной науке.
Как очевидно, понятие протяженности выражает простейшие отношения следования элементов в любой их совокупности. Собственная природа элементов представляется не существенной и может быть совершенно произвольной. Точно так же полностью абстрагируются и от возможного способа прослеживания этих отношений (способа перехода от одного элемента к другому в их
1 См А. М. Мостепаненко, М. В. Мостепаненко. Четырехмерность пространства и времени. М.—Л., 1966
2 См. В. Гуревич, Г. Волмэн. Теория размерности, стр. 31.
60
многообразии), важна лишь его принципиальная осуществимость.
Отношения протяжения могут быть детализируемы как: а) метрические отношения; б) отношения упорядочения и в) топологические отношения в множестве. Каждый вид этих отношений может быть четко определен соответствующими группами аксиом.
Из такого понимания протяженности следует, что о ее применимости к описанию физической реальности можно говорить не раньше, чем установлен факт дифференцированного, множественного состояния ее и указана возможность физической верификации хотя бы одного из вышеотмеченных трех видов простейших отношений в этом ее состоянии. В таком случае можно ожидать, что протяженность окажется неуниверсальной лишь при условии неуниверсальности аспекта множественности в природе. Но разве природа не представляет собой нечто заведомо множественное? Оказывается, нет.
Прежде чем будут выяснены детально эти обстоятельства, необходимо познакомиться с тем физическим смыслом понятия протяженности, который придан ему в теории относительности.
Как математическое понятие протяженность представляет собой нечто бескачественное. Единственным качеством протяженности (если говорить о собственном качестве протяжения) можно было бы считать свойство, выражаемое известной аксиомой Эвдокса-Архимеда: каковы бы ни были отрезки А и В, всегда найдется такое число п, что А, будучи деленным на п, будет меньше В. Однако и это качество протяжения не является достаточно общей его чертой, как об этом свидетельствует появление неархимедовых геометрий. Так, согласно Веронезе \ последовательный ряд бесконечно малых, взятых как актуальные, может быть упорядочен по порядку бесконечно малой величины. Легко видеть, что в таком ряде аксиома Эвдокса-Архимеда не выполняется, тем не менее понятие протяжения и здесь сохраняет свой смысл, поскольку и в таком неархимедовом числовом множестве можно задать способ перехода от одного его элемента к другому.
Обычно приведенная аксиома Эвдокса-Архимеда расценивается в качестве утверждения непрерывного харак
1 G. Veronese. Grundziige der Geometric. Berlin, 1894.
61
тера протяженности. Однако, если отвлечься от метрического смысла этой аксиомы и рассматривать ее просто как утверждение возможности неограниченного порождения все (новых элементов протяжения, ее можно истолковать как выражение неограниченности протяженности. Неограниченность протяженности отмечается Грассманом и Риманом в качестве самой сути ее. При этом Риман отделяет отношения протяжения от метрических отношений и от непрерывности, свойственной им.
С древнейших времен в понимании протяженности четко определились два взаимоисключающих взгляда, согласно которым протяженность или дискретна, или непрерывна. Но каждый из этих подходов в отдельности страдает односторонностью, что было обнаружено уже благодаря апориям Зенона. Единство прерывного и непрерывного — такова диалектическая точка зрения на природу протяженности Г
Следует рассмотреть вопрос об объективных основаниях единства прерывного и непрерывного в свойствах протяжения. В современной физике все очевиднее становится дискретная структура пространства в микромире, как об этом, в частности, свидетельствует книга А. Н. Вяльцева 1 2. Возможно, что наши представления о непрерывности протяжения есть лишь следствие усреднения колоссального числа микрособытий в макроскопических масштабах.
Заметим, что Риман также вначале отмечает возможность дискретного или непрерывного вида многообразий в зависимости от того, существует или не существует непрерывный переход от одного элемента многообразия к другому3. Но тут же, обращаясь к объяснению опытного происхождения и характера употребления этих понятий, специально замечает, что дискретные множества встречаются гораздо более часто, чем непрерывные многообразия4. И наконец, в целях достижения возможно более четкого разделения понятий неограниченности и метрической бесконечности Риман в дальнейшем выбирает следующую, как нам кажется, полностью отвечающую эмпирическому генезису понятия протяженности позицию:
1 См. В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 231; Гегель. Соч., т IX, стр. 238 241.
2 См. А. Н. Вяльцев. Дискретное пространство-время. М., 1965.
3 См. «Об основаниях геометрии», стр. 311.
4 См. там же.
62
«...для отношений протяженности возможно лишь дисд кретное множество различных случаев...» 1 В дальнейшем мы будем следовать этим взглядам Римана на природу протяженности. По-видимому, сама постановка вопроса об истолковании протяженности на эмпирическом, физическом материале неизбежно сопряжена с выбором дискретного аспекта ее. Такая более четкая позиция способствует, как это будет видно из последующего, выяснению того обстоятельства, что непрерывность имеет своим источником в математике 'свойства континуума (понятия, как мы говорили, отнюдь не тождественного с протяжением), а в физике — квантовые свойства материи, проявляющиеся в физической неделимости мира.
Однако старый философский вопрос о характере всеобщности протяжения в природе не может быть решен рассмотрением свойств протяженности в математике. Столь же мало удовлетворительной будет здесь и ссылка на известную универсальность понятия протяженности в математике.
Решение этого вопроса следует искать в конечном счете в обращении к опытному исследованию природы и в рассмотрении свойств физической реальности с точки зрения возможности исчерпывающего описания ее с помощью понятия протяженности. Но такому исследованию должна предшествовать физически содержательная интерпретация понятия протяженности.
В классической физике трехмерное пространственное протяжение принимается в качестве абсолютной арены физических событий и является совершенно независимым от материальных процессов. В то же время протяженность материальных тел выражает устойчивость физических связей и процессов, благодаря которым существуют эти тела. Так, например, стол, стержень, шоссе и т. п. протяженны, поскольку сохраняется устойчивость физических связей, обеспечивающих существование этих предметов. Можно поэтому сказать, что в классической физике протяженность носит в значительной мере субстанциальный характер и близка в этом отношении к картезианскому ее пониманию. Этим, в частности, объясняется довольно упорное, хотя и безуспешное стремление многих физиков на рубеже XIX и XX вв. дать субстанциальное истолкование релятивистским эффектам,
1 «Об основаниях геометрии», стр. 322.
63
обнаруженным в опытах Майкельсона и Морли и других. Одной из таких попыток является известная гипотеза Лоренца — Фицджеральда, согласно которой релятивистское сокращение длин вызвано реальными субстанциальными изменениями в телах (своего рода «уплотнением» их). Предпочтение субстанциальной трактовки протяженности в классической физике находило косвенную поддержку также и в том, что в ней длины предметов играют роль физических инвариантов. Однако именно субстанциальная по преимуществу трактовка протяженности в классической физике обедняет содержание этого понятия в ней.
В современной физике протяжение в значительной мере лишено собственной субстанциальной природы. Если понятие протяженности выражает отношения элементов в многообразии, которые могут быть: (а) метрическими, (б) отношениями упорядоченности и (в) топологическими, то для придания понятию протяженности физической содержательности необходимо указать на те физические ограничения, которыми сопровождается эмпирическое прослеживание соответствующих отношений протяжения в природе. Ясно, разумеется, что в этом отношении речь может идти в дальнейшем главным образом о метрической протяженности.
Напомним прежде всего основной результат теории относительности, который состоит в отрицании пространства и времени как некоторых самодовлеющих сущностей. С точки зрения теории относительности пространство и время есть только система отношений, складывающихся в движении и взаимодействии материальных тел и конкретизируемых в той или иной экспериментальной ситуации, выбранной системой отсчета, и ничего больше.
Теория относительности, объяснив «кинематику» пространственно-временных отношений, показала, как может ускоряться или замедляться течение времени и как могут укорачиваться или растягиваться расстояния. Если в соответствии с четырехмерным инвариантом теории относительности исходить из понятия физического протяжения, в котором были бы объединены и пространственное протяжение, и временная длительность, то можно сказать, что теория относительности дает исчерпывающее объяснение характера или способа следования элементов протяжения друг за другом в зависимости от кон-
64
кретпой физической ситуации: изменение темпа течения времени, укорачивание или растяжение длин, искривление траекторий и т. п.
Но отличие теории относительности от ньютоновских представлений о пространстве и времени состоит не только в том, что она релятивировала жесткое простирание и абсолютный бег времени, сделав их «эластичными». Поскольку эта теория отказалась от абсолютного пространства и времени, то она тем самьш отказалась и от некоторой безусловной и абсолютной основы, на которой, пусть быстрее или медленнее, сокращающиеся или растягивающиеся могут перечисляться единицы протяжения.
Само протяжение (а не только характер его) лишено в теории относительности абсолютного значения. То, что протяженность, будучи бескачественной (как и всякое математическое понятие, она выражает чистые отношения), лишена также в значительной мере и собственной субстанциальности, ясно видно из относительности длин предметов в теории Эйнштейна. Один и тот же предмет может иметь сколько угодно самых различных длин в зависимости от того, в каких системах отсчета (а значит, и в каких конкретных отношениях) он рассматривается. Длина тела, или в более общем случае протяженность, есть выражение отношений в мире сосуществующих вещей и явлений. Выбранная система отсчета лишь позволяет конкретизировать эти отношения, фиксируя определенное их сечение. С этим характером протяжения связана также принципиальная невозможность визуального наблюдения лоренцова сокращения.
Вместе с тем изменения длины предмета ограничены верхним пределом, соответствующим значению этой величины в системе отсчета, связанной с телом. Изменения временного отрезка имеют нижний предел, связанный с длительностью, разделяющей два события, происшедшие с одним и тем же телом и отсчитанные но часам, движущимся вместе с этим телом. Это так называемое собственное время. Таким образом, хотя релятивистские эффекты в мире протяжения и носят чисто кинематический характер и поэтому подтверждают несубстанциальный характер протяжения в целом, все же для любого данного тела существует некоторый верхний предел этих изменений, а именно отношения протяжения, фиксирован-3 Зак 25	65
ные устойчивыми и сохраняющимися в системе отсчета данного тела физическими связями, благодаря которым предмет существует как целый. Это и есть собственная длина предмета. Поэтому в отличие от явно несубстанциального протяжения абстрактных математических пространств протяжение реального физического пространства, имея в значительной мере также чисто кинематическую природу, все же полностью ею не объясняется. Остается еще великая тайна существования масс покоя в природе и тесной связи поля тяготения и метрики пространства. Может быть, только будущая теория элементарных частиц, которая, как надеются, позволит объяснить наблюдаемый спектр масс частиц в природе, вместе с тем объяснит и связанные с этими массами собственные размеры частиц. В связи с этим можно надеяться на объяснение природы собственной длины предметов, образованных этими элементарными частицами. Поэтому полное «растворение» длины предмета в кинематических релятивистских отношениях недопустимо.
Однако если протяжение само по себе лишено какой-либо собственной субстанциальной природы и есть лишь выражение определенного характера отношений в связях и последовательности всей совокупности предметов и явлений, то необходимо отметить, что с точки зрения общей теории относительности организация и порядок сосуществующих материальных объектов — протяжение — физически осуществляется в природе через посредство общего всем им гравитационного взаимодействия. Идея эквивалентности гравитационной и инертной массы привела к установлению своеобразного единства и неразделимое™ физического — поля тяготения — и геометрического — пространства. Согласно общей теории относительности, пространствонемыслимо без полей тяготения, и с этой точки зрения экранировать поле тяготения в пространстве, как это можно сделать, например, с электромагнитным полем, невозможно.
Это обстоятельство было специально отмечено Эйнштейном: «Если мы будем с точки зрения гипотезы о существовании эфира рассматривать поле тяготения и электромагнитное поле, то мы заметим между ними замечательную принципиальную разницу. Не может быть пространства, а также и части пространства без потенциалов тяготения, последние сообщают ему размерные (метрические) свойства, без них оно вообще немыслимо.
66
Существование поля тяготения непосредственно связано с существованием пространства. Напротив, очень легко представить себе любую часть пространства без электромагнитного поля, в противоположность полю тяготения электромагнитное поле некоторым образом только вторично связано с эфиром, причем внешняя природа электромагнитного поля совершенно не определяется природой поля тяготения» Г Этим теоретическим соображениям можно найти также некоторые экспериментальные подтверждения. Н. П. Грушинский и М. У. Сагитов на основании проведенных во время солнечного затмения наблюдений также высказывают сомнения в возможности экранизации силы тяжести 1 2.
Если стать на последовательно релятивистскую точку зрения3, согласно которой гравитация отождествляется с кривизной пространства, то очевидно, что вопрос об экранизации поля тяготения не имеет смысла, поскольку нельзя ведь говорить о каком-либо удалении геометрии из самой геометрии, пространства из самого пространства и т. п. По-видимому, гравитация и геометрия или поле тяготения и пространство не только тесно связаны и переплетены между собой, но в некотором смысле есть одно и то же, тождественны друг другу или во всяком случае имеют общий источник.
Г. Вейль в своем комментарии к работе Римана 4 отмечает, что с точки зрения общих идей Римана реальность не должна входить в метрическое пространство как наниматель в готовую квартиру, но физические процессы сами творят пространственное многообразие и устанавливают его метрику, что и было доказано Эйнштейном в общей теории относительности. Решающую роль играет здесь идея о том, что тело при движении «уносит» с собой возбуждаемое им метрическое поле, благодаря чему становится возможным перемещение тела в произвольном римановом многообразии без изме
1 А. Эйнштейн. Эфир и принцип относительности Пг, 1922, стр. 24—25; см. его же. Собрание научных трудов, т I. М, 1965, стр 688.
2 См Н. П. Грушинский, М. У. Сагитов. О наблюдении силы тяжести во время полного солнечного затмения. — «Вестник ЛАГУ». Серия Ш Физика, астрономия, 1962, № 5, стр. 51—53.
3 На таком подходе особенно настаивают Л. Инфельд (Польша) и профессор М. Ф. Широков (Москва).
4 См «Об основаниях геометрии», стр. 341.
3’
67
нения его (тела) внутренних метрических отношений. В противном случае (в случае, если бы было возможно оторвать силовое поле от массы) тело должно было бы деформироваться под влиянием перемещения, оставляющего неизменным метрическое поле пространства. Но экранировать поле тяготения — это и означает именно оторвать от массы ее силовое метрическое поле. Однако это невозможно в силу единства гравитационной и инертной масс. Тело, лишенное гравитационной массы, одновременно должно быть лишено и инертной массы, которая, согласно принципу Маха, выражает отношение тела ко всей совокупности других тел астрономической Вселенной в их гравитационных связях.
В соответствии с основными идеями общей теории относительности геометрические свойства пространства определяются распределением тяготеющих масс, но движение последних целиком определяется геометрией пространства. Наличие тяготеющих масс создает пространство, которое есть только совокупность отношений, складывающихся в их взаимодействии; полем тяготения определяется также характер и степень кривизны его. Но искривление пространства в свою очередь задает распределение и движение масс в поле тяготения. Это обстоятельство находит свое выражение в том, что уравнения тяготения Эйнштейна представляют собой одновременно и уравнения гравитационного поля и уравнения движения. Все пространственно-временные понятия «дальше — ближе», «раньше — позже» и т. п., таким образом, даже с формальной стороны имеют смысл лишь постольку, поскольку им ставятся в соответствие определенные потенциалы поля тяготения, и, наоборот, последние могут быть геометрически интерпретированы с помощью этих понятий.
Таким образом, существует своеобразная взаимозависимость и взаимоопределенность, замкнутый круг взаимодействия: массы определяют геометрию и геометрия определяет движение масс. Уже одного этого обстоятельства — свойства замкнутости во взаимодействии гравитационных масс и геометрии пространства-времени — достаточно для того, чтобы понять, что реальное пространство-время едва ли может быть бесконечным в метрическом отношении: ведь метрическая бесконечность пространства-времени с необходимостью влечет за собой бесконечные массы.
68
В то же время пространство без гравитации — чистая фикция. Массы не могут вырваться из круга своего взаимодействия, но, оставаясь и продолжая движение в пределах созданного и обусловленного ими пространства-времени, они сохраняют это пространство собственного движения, покинуть которое не дает им именно то, что делает возможным их движение. Но в таком случае конечные гравитационные массы могут находиться только в рамках конечного пространства-времени, образованного их замыкающимися полями тяготения.
Выход к бесконечному состоит не в постулировании геометрического или пространственного отдельно и дальше этого замкнутого круга взаимодействия. За пределами влияния полей тяготения такое чистое пространство неизбежно превращается в фикцию. (Именно в силу допущения его самостоятельного существования в отрыве от материи и без полей тяготения.) Бесконечное не может быть найдено также и в предположении все новых и новых гравитационных масс за пределами данной пространственно-временной структуры, их объединяющей, ибо определенность и того и другого непосредственно указывает на их принадлежность к данному конечному в метрическом отношении миру. Геометрическое, или пространственное, немыслимо без полей тяготения; в то же время поле тяготения неразрывно связано с пространством. Они существуют лишь в единстве и неразделимы.
Выход к бесконечному, вернее к иному в бесконечном, состоит в одновременном отказе от определенности и того и другого. Другими словами, если хотят как-то выйти за пределы замкнутого мира взаимодействия и взаимо-определяемости пространства-времени и гравитационных масс, то должны одновременно отказаться и от геометрического, и от гравитационного (что в известном смысле есть одно и то же). В современной физике такого рода задача возникает, когда переходят к материи физического вакуума или фоновой материи, которая не обладает ни массой, ни энергией (действительной, а не виртуальной) и на которую также не могут быть распространены представления о ее собственной пространств венно-временной определенности, геометрической форме и т. п., т. е. она выпадает из определенности геометрического и не может быть как-либо охарактеризована с помощью представления о ее собственном протяжении.
69
Она не может быть представлена в качестве покоящейся или движущейся в пространстве-времени. Но вместе с тем вакуум нельзя мыслить в качестве некоторого физического нечто, т. е. он не является физическим объектом в привычном понимании этого термина, а скорее должен быть интерпретирован как особое свойство всей совокупности физических объектов в мире, а именно свойство физической неделимости и неразложимости мира в конечном счете. Поэтому в его описании оказывается необходимым использование представления о виртуальных частицах и полях и потенциальных возможностях, их представляющих.
Следующий важный факт состоит в том, что если протяжение есть выражение отношений в связях и последовательности сосуществующих вещей и явлений (событий), то о реальном, физическом протяжении можно говорить только тогда, когда представляется возможным проследить какие-либо имеющие физический смысл пространственно-временные отношения между теми или другими физическими объектами. Но физически проследить— это значит проследить с помощью определенного физического процесса, например луча света, используемого для посылки сигнала от одного объекта к другому. Такого рода верификация отношений протяжения существенным образом опирается на возможность выделения в состоянии физической реальности ее элементов (объектов) с конечной массой покоя. Уже возможность простейшего отсчета тесно связана с наличием масс покоя в природе и полей тяготения, исходящих от них и связывающих их. А ведь отсчет, перечисление — это и есть элементарное прослеживание отношений протяжения.
Таким образом, о реальном физическом протяжении можно говорить только тогда, когда математическому понятию протяженности можно придать физический смысл через сопоставление идеальному математическому многообразию реального физического многообразия, элементами которого выступали бы некоторые реальные физические объекты с ненулевой массой покоя. Только в этом случае, во-первых, эти объекты могут быть верифицированы как элементы некоторого физического многообразия, а во-вторых, между ними могут быть установлены имеющие реальный физический смысл пространственно-временные отношения.
70
Отсюда ясно, что понятие протяженности сохраняет свой непосредственный смысл там, где оказывается возможным проведение детализации состояния физической реальности в рамках понятия многообразия путем выделения ее элементов и установления между ними простейших отношений следования. Проблема протяженности перевоплощается, таким образом, в вопрос о том, является ли физический мир миром только множественным.
ГЛАВА III
ПАРАДОКСЫ БЕСКОНЕЧНОЙ ПРОТЯЖЕННОСТИ
Трудно назвать более распространенное представление о Вселенной, чем то, что она обладает бесконечной протяженностью1. А между тем, в любую историческую эпоху в прошлом это представление не было единственным и, что более важно, никогда не было свободным от внутренних противоречий.
5. Космологические парадоксы
В XIX в., хотя это и был век безраздельного господства ньютоновских представлений о пространстве, в так называемых космологических парадоксах было обнаружено, что естественнонаучные представления о физических свойствах Вселенной приходят в противоречие с представлением о ее бесконечной протяженности.
Фотометрический парадокс. В 1744 г. швейцарский астроном и физик Ж.-Ф. Шезо и в 1826 г. немецкий врач и астроном-любитель В. Ольберс (который среди немецких астрономов считался первоклассным специалистом) высказали мысль, что если бы Вселенная была бесконечно протяженной и заключала в себе бесчисленное множество звезд, равномерно распределенных в пространстве, то светимость любого участка звездного неба была бы столь же яркой, как и светимость поверхности солнца, чего, однако, не наблюдается. И первый вывод, который отсюда следует, состоит в том, что число звезд во Вселенной, хотя и поистине астрономическое, но вовсе не бесконечно, а конечно. Справедливость требует отме
1 В этой главе под протяженностью мы будем понимать метрическую протяженность, а под бесконечностью — количественную бесконечность
72
тить, что Гегель еще до Ольберса показал1, что бесконечное число звезд на небесной сфере было бы невыносимым не только из-за сверкающей днем и ночью поверхности небесного свода, но уже из-за скуки, свойственной дурной бесконечности.
В современной трактовке фотометрический парадокс Ольберса изложен Р. Я. Штейнманом 1 2 следующим образом: поскольку освещенность любой площадки обратно пропорциональна квадрату расстояния от светящегося источника (звезды), а число источников (звезд) при возрастании объема пространства растет пропорционально кубу расстояния, то это ведет к тому, что ночное небо должно иметь бесконечную яркость. Это заключение верно при любой плотности звезд, отличной от нуля, если только мировое пространство не поглощает света.
Было сделано немало попыток избежать этого парадокса при сохранении при этом представлений о бесконечной протяженности Вселенной. Строились различного рода иерархические модели Вселенной, часто весьма искусственные, ибо преодолеть это затруднение можно лишь в схеме иерархии, специально подобранной таким образом, чтобы общее поглощение света в каждой из систем было меньшим в крайнем случае — равно, поглощению света в системе предшествующего порядка. Например, поглощение света в Метагалактике не должно превышать поглощение его в Галактике и т. д. Но сомнительно, чтобы в бесконечно протяженной Вселенной всюду осуществлялся один и тот же принцип иерархии структур, притом весьма строгий, как это видно на примере предположений, высказанных В. Г. Фесенковым3.
Предполагалось также существование особой космической материи для поглощения света звезд. Однако это предположение серьезным образом усугубляло следующий, гравитационный парадокс. Кроме того, оказалось, что реальные условия взаимодействия света с рассеянной космической материей таковы, что последняя не столько поглощает, сколько рассеивает свет и играет, таким образом, роль своего рода аккумулятора лучистой
1 Имеется в вицу гегелевская критика дурной бесконечности (im /’ Гегель. Наука логики. М, 1970, т. 1, сгр. 307—309).
2 См Р. V. Штейнман. Пространство и время М , 1962, стр. 155.
3 См В Г. Фесенков Бесконечная Вселенная и светимость ночного неба. — «Доклады АН СССР», новая серия, т. XV, 1937. № 3
73
энергии, усиливая, а не ослабляя фотометрический парадокс.
Наконец, в наше время было высказано мнение о старении излучения по мере его странствования в космическом пространстве и переходе части излучения в невидимую область спектра. Искусственность и этого предположения очевидна: мало вероятен механизм старения, в равной мере захватывающий все частоты излучения1.
Ни одно из этих предположений, таким образом, не было признано достаточно убедительным для снятия фотометрического парадокса. Поэтому фотометрический парадокс уже в рамках классической физики явился одним из свидетельств конечного числа звезд и галактик во Вселенной, а также и в целом конечного характера ее протяженности.
Гравитационный парадокс, выдвинутый в 1877 г. К. Нейманом и в 1894 г. Г. Зеелигером, состоит в том, что при наличии во Вселенной бесконечного числа звезд и других космических тел силы тяготения, действующие на любое тело, должны быть бесконечно большими и тела под их действием должны приобретать бесконечно большие ускорения, что опять-таки противоречит опытным наблюдениям. Этот парадокс также представляет собой своеобразное свидетельство конечного числа масс, а с ними и конечной протяженности в природе. Для устранения гравитационного парадокса предлагались различные гипотезы: масса всех тел в мире конечна; средняя плотность материи в мировом пространстве даже при бесконечном числе масс должна стремиться к нулю; закон Ньютона неточен и должен быть изменен.
Любопытно проследить историю первого предположения. До XX в. оно отвергалось на том основании, что под действием сил тяготения все тела Вселенной должны были бы собраться вместе и образовать одну-единст-венную во всей бесконечной Вселенной систему. Это заключение верно лишь при статическом рассмотрении модели. При достаточно большой начальной энергии движения этих тел, наоборот, они должны были бы разлететься и затеряться в бесконечных просторах Вселенной. Любопытным является здесь то, что и тот и другой
1 См. Я. Б. Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А. Фридманом. — «Успехи физических наук», т. 80, 1963, вып 3, стр 374—376.
74
случаи возможны лишь с точки зрения ньютоновского бесконечного пространства-вместилища, независимого от тел. Поэтому небесные тела не оказывают никакого влияния на свойства бесконечного пространства и могут или собраться в одну крайне ограниченную область такого пространства-вместилища, или, наоборот, рассеяться и затеряться в бесконечных просторах его. В XX в. вернулись к этому допущению для устранения гравитационного парадокса с тем, однако, существенным дополнением, что теперь пространство уже не рассматривается независимым и самостоятельным по отношению к телам, его наполняющим, а напротив, их движением определяется и творится.
Как показал А. Л. Зельманов \ гравитационный парадокс не возникает в эйнштейновской теории тяготения. Источником гравитационного парадокса в ньютоновской теории тяготения А. Л. Зельманов считает игнорирование классической теорией конечной скорости распространения физических взаимодействий и неаддитивности поля тяготения (т. е. зависимости гравитационного поля системы от энергии взаимодействия ее частей: гравитационное действие системы тел, связанных физическим взаимодействием, не равно сумме соответствующих действий отдельных тел, образующих эту систему).
Так как зависимость поля системы от энергии взаимодействия ее частей находится в соответствии с релятивистским соотношением между массой и энергией, в котором важную роль играет предельная скорость распространения взаимодействий С (скорость света в вакууме), то оба источника гравитационного парадокса, указанные А. Л. Зельмановым, физически связаны друг с другом.
Можно поэтому сказать, что источником гравитационного парадокса ньютоновской теории тяготения явилось именно допущение бесконечной протяженности Вселенной, заполненной бесчисленными массами, для связи которых вводилось мгновенное дальнодействие. Введение же конечной скорости взаимодействия, которую А. Л. Зельманов положил в основу своего анализа, разом отсекает все эти бесконечности как бессодержа
1 См А. Л. Зельманов. Нерелятивистский гравитационный парадокс п общая теория относительности. — «Научные доклады выс-Ыей школы». Физико-математические науки, 1958, № 2.
75
тельные и устраняет гравитационный парадокс: бесконечно удаленные массы требуют для своего физического проявления в данной области пространства бесконечно большого времени ввиду конечной скорости распространения взаимодействий, что бессмысленно. Введение конечной скорости взаимодействий, таким образом, лишает бесконечное протяжение какой-либо физической содержательности.
Гравитационный парадокс был устранен А. Л. Зельмановым тем единственным путем, на который он давно указывал, а именно путем отказа от бесконечностей. Это удалось сделать благодаря введению в анализ константы С, заменившей собой мгновенное дальнодействие классической физики, необходимое для связи в бесконечном пространстве бесконечного числа масс. В теории, содержащей конечную скорость распространения взаимодействий, фактически мы всегда имеем дело только с конечным миром.
Для окончательного решения проблемы, поставленной гравитационным парадоксом, которая, как видим, есть проблема конечной или бесконечной протяженности Вселенной, предпринимаются попытки оценить действительную плотность массы-энергии во Вселенной.
Как известно, в общей теории относительности метрические свойства пространства целиком определяются плотностью массы-энергии в мировом пространстве. Решения уравнений тяготения Эйнштейна позволяют предсказать, что при плотности массы-энергии во Вселен-ной, большей некоторого критического значения (порядка 10~29 г/см3), пространство Вселенной должно обладать положительной кривизной, а значит, должно быть замкнутым и конечным, оставаясь в то же время неограниченным. При значениях плотности массы-энергии, меньших указанного, следует ожидать отрицательной кривизны пространства. В этом случае мир будет обладать свойствами гиперболической модели, в которой наряду с безграничностью пространство должно характеризоваться и метрической бесконечностью Г
1 Это не противоречит фактической конечности мира для нашего опыта в силу конечности скорости передачи взаимодействий. Как показал Э. М. Чудинов, во всех космологических моделях с бесконечным пространством бесконечность не доказывается и не открывается, а просто постулируется, т. е. вводится аксиоматически че-
76
Интересным поэтому является изучение реальной плотности массы-энергии во Вселенной. Согласно данным, приведенным Дж. Уилером, известны и более или менее точно оценены следующие источники плотности массы-энергии во Вселенной: вещество, сосредоточенное в галактиках, дает плотность порядка 10-30 г/сж3 (по данным Оорта1 — 5-Ю"31 г/сж3); космическое излучение — 10-36— 10-34 г/см3, магнитные поля — 10~36 — 10-35 г/сж3, электромагнитное излучение — 10-36 — 10-34 г/сж3, термоядерное нейтрино — 10-36— 10' 34 г/сж3. Общая плотность массы-энергии от перечисленных источников находится ниже критического значения.
Однако остается еще целый ряд источников, в настоящее время слабо изученных и неоцененных. Это равномерно распределенные куски обычного вещества; нейтральный Н2\ нейтральный Н\ нейтрино, за исключением термоядерного происхождения, антинейтрино, гравитационное излучение. В отношении нейтрино и антинейтрино можно указать только верхний предел плотности: 10"24 г/см3 и 10-26 г/сж3 соответственно, а для нейтрального Н—10-28 г/сж3. В отношении гравитационного излучения, кусков обычного вещества и нейтрального Н2 ничего нельзя сказать. В итоге Дж. Уилер отказывается от какого-либо определенного решения: «Невозможно сказать, имеется ли какое-либо противоречие между фактами и предсказаниями общей теории относительности Эйнштейна»* 1 2 3. В целом экспериментаторы склонны принимать 2ХЮ~29 г/см3 в качестве наиболее вероятной общей плотности массы-энергии во Вселенной3.
Но если при этом учесть и возможные значения плотности нейтрино, антинейтрино и нейтрального //, то плотность массы-энергии во Вселенной поднимается к уровню 10-24 г/сж3, что уже позволяет говорить о закрытой модели Вселенной. Разумеется, учет гравитационного излучения, кусков обычного вещества, равномерно рассеянного в пространстве, и нейтрального Н2, о которых сейчас ничего нельзя сказать, может повлиять
рез так называемые неявные определения (см. разд. 19 настоящей работы).
1 «La structure et revolution de 1’universes», 11 Conseil de physique Solvay. Brussells, 1958.
2 Дж. Уилер. Гравитация, нейтрино и Вселенная. М., 1962, стр. 188.
3 «Problems of Extra-Galactic Research». New York, 1962, p. 359.
77
только в направлении увеличения значения плотности. Таким образом, можно надеяться, что продолжение исследований в этом направлении подтвердит соображения в пользу замкнутой модели Вселенной.
Хотелось бы здесь же отметить, что, исходя из общего стремления к единству физического знания, замкнутая модель пространства имеет дополнительные существенные преимущества перед открытой, так как только она одна может быть согласована с квантовой теорией поля. На это впервые обратил внимание Л. Инфельд \ Об этом говорит также Г. Ю. Тредер 1 2. Имеется в виду тот факт, что испускание и поглощение частиц с нулевой массой покоя не может быть согласовано с их существованием в плоском пространстве, в котором каждая из частиц (ее волна) должна была бы занимать все бесконечное протяжение и в то же время участвовать в конечных во времени реакциях поглощения и излучения.
Я. Б. Зельдович также отмечает неизбежность кривизны пространства с точки зрения квантовой теории поля. Энергия кванта, движущегося в гравитационном поле, будет неизбежно меняться, и поскольку его энергия равна E = hv, то ее изменение будет означать изменение частоты, что должно интерпретироваться как изменение темпа течения времени. Но в силу существующей связи между пространством и временем это обстоятельство уже в рамках специальной теории относитель ности указывает на необходимость обращения к представлению об искривленном пространстве-времени3.
Еще более важно то, что, вообще говоря, с точки зрения общей постановки вопроса о характере протяженности в природе отмеченные особенности различных космологических моделей Вселенной не существенны. Не имеет решающего значения также и вопрос о фактическом значении плотности массы-энергии во Вселенной и проблема выбора соответствующей модели Вселенной. Дело в том, что модели плоского, замкнутого или открытого пространства отрицательной кривизны в значи
1 L. Infeld. Uber die iStruktur des Weltalls. — «Albert Einstein als Philosoph und Naturforscher». Stuttgart, 1955, S. 343.
2 H.-J. Treder. Die Eigenschaften physikalischer Prozesse und die geometrische Struktur von Raum und Zeit. — «Deutsche Zeitschrift fiir Philosophic», 1966, N 5, S. 565.
3 См. Я. Б. Зельдович. Проблемы современной физики и астрономии. — «Успехи физических наук», т. 78, 1962, вып. 4, стр. 572.
78
тельной мере условны 1 и зависят от выбора времени при их построении. Лишь пользование собственным временем сопутствующей движению частицы системы координат приводит к тому, что при плотности массы-энергии во Вселенной, равной критическому значению, пространство будет евклидовым, а при меньших значениях ее пространство обладает отрицательной кривизной. Если же мы перейдем к некоторому общему «лабораторному» времени, то соответствующее (ортогональное) ему трехмерное пространство останется искривленным и при критическом значении плотности массы-энергии; характер кривизны его не изменится также и при меньших значениях плотности.
Таким образом, отмеченные особенности моделей зависят от того, как при их построении «расщепляется» единое пространство-время на пространство и время отдельно. Правда, собственное время сопутствующей системы координат имеет непосредственный физический смысл, тогда как общему «лабораторному» времени Вселенной трудно подыскать какое-либо физическое истолкование. Но в целом в этих трудностях следует видеть еще одно напоминание о фундаментальном характере связи пространства и времени в теории относительности.
Действительно, поскольку целью настоящего исследования является выяснение условий и границ содержательной применимости понятия протяженности в описании физической реальности, то мы будем более последовательны, если будем помнить, что фактически мир обладает четырехмерным протяжением и совершенно несущественно, каким образом наблюдатель вводит необходимое ему относительное расщепление мира на пространство и время отдельно.
Вопрос же о четырехмерной кривизне пространства-времени и характере четырехмерной протяженности решается в релятивистской космологии вполне однозначно: в отличие от неинвариантной кривизны трехмерного пространства четырехмерная кривизна безусловна и равна нулю только в случае равенства нулю плотности массы-энергии во Вселенной. Это означает, что четырехмерный мир замкнут, а четырехмерное протяжение является за
1 См. Я. Б. Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А Фридманом — «Успехи физических наук», т 80, 1963, вып 3, стр. 374.
79
ведомо конечным при любой отличной от нуля плотности массы-энергии Мы, разумеется, стоим здесь на той точке зрения, согласно которой пространственно-временное многообразие всех «мест» и «времен» существует лишь постольку, поскольку оно творится соответствующим многообразием физических событий. Поэтому, если четырехмерная совокупность физических событий оказывается замкнутой и конечной, то не следует задаваться вопросом о том, что есть «дальше» или «вне» ее. Вне данного пространственно-временного многообразия (замкнутого и конечного) не существует физически никакого «дальше» или «вне», «позже» или «раньше», а сами эти понятия выражают лишь отношения дифференцированности, складывающиеся «внутри» данного многообразия.
Термодинамический парадокс. В числе обстоятельств, ставящих под сомнение метрическую бесконечность в природе, необходимо упомянуть еще термодинамический парадокс. Согласно закону возрастания энтропии, в астрономической Вселенной неуклонно совершается обесценение энергии за счет перехода всех видов энергии в тепловую и равномерного распределения и рассеяния последней во Вселенной. В настоящее время вывод о необратимом характере процессов в реальной Вселенной пополнился рядом новых данных наблюдения. В частности, надежно установлен факт необратимой эволюции вещества с потерей части массы покоя его на излучение. Хотя, как замечает Д. А. Франк-Каменецкий, «с одной стороны, гравитирующая система не может находиться в термодинамическом равновесии, с другой стороны, и это еще гораздо важнее, в реальной области Вселенной, окружающей нас, мы фактически наблюдаем необратимое протекание ядерных процессов. Основным из этих процессов является необратимое превращение водорода в гелий, сопряженное с необратимым переходом определенной доли энергии покоя в энергию излучения. Мы не можем в настоящее время указать реального места, где бы протекал обратный процесс перехода гелия в водород и трансформации энергии излучения в энергию покоя. Таким образом, факты неопровержимо
1 Вполне категорический характер это утверждение приобретает лишь в случае предположения односвязности четырехмерного пространства-времени (А. А Фридман) У пас и на самом деле пока нет оснований ставить под сомнение это предположение,
80
свидетельствуют о необратимом характере ядерных процессов в реальной Вселенной. Обратимые термодинамические схемы описывают Вселенную, которая могла бы существовать, но не ту, которая существует на самом деле»
Итак, необратимая эволюция Вселенной является эмпирическим фактом. А известная критика Энгельсом теории тепловой смерти Вселенной касается не отрицания самого факта обесценения энергии и его весьма вероятного конечного результата для замкнутой системы, а идеалистических спекуляций вокруг этого факта. Энгельс лишь показал, что так называемая тепловая смерть Вселенной не есть абсолютная смерть и что тепловая форма движения отнюдь не имеет каких-либо преимуществ перед другими формами движения материи и поэтому сама тоже «смертна», преходяща. Следовательно, рано или поздно вся энергия нашей Вселенной, перешедшая в тепловую форму существования, должна будет покинуть и эту свою форму и возродиться для новой жизни в новых условиях и в новых формах 1 2.
Можно поэтому сказать, что в целом термодинамический парадокс указывает лишь на конечное существование определенной астрономической структуры, ибо из того факта, что мир явно еще не достиг состояния термодинамического равновесия, должен вытекать вывод, что наблюдаемая структура Вселенной существует конечное время. Но исчерпывающе ли представлены в тепловых формах движения все возможные виды состояний физической реальности? В каком смысле, например, можно применить представление о тепловом движении к нулевому состоянию физических полей? Поле виртуальных частиц кажется совершенно «равнодушным» к протеканию тепловых процессов. При соответствующих затратах энергии оно, правда, способно к порождению реальных частиц и квантов, но никоим образом не может быть исчерпано таким путем.
Здесь необходимо особо подчеркнуть, что тепловая форма движения представляет собой беспорядочное движение физических частиц: молекул, атомов, электронов, фотонов и т. п. — и представление о ней может оказать
1 «Труды шестого совещания по вопросам космогонии». М., 1959, стр/ 240—241.
2 См. К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч,. ч. 20, стр 360—363
8)
ся неприменимым там, где теряют смысл понятие индивидуальной частицы, разложение мира на совокупность частиц и сами понятия пространства-времени и пространственно-временной кинематики. А с этим связан и относительный характер изолированности физических систем. Не существует и, видимо, принципиально не может быть найдено никаких средств экранизации физического вакуума. Поэтому выводы из термодинамического парадокса правомерны лишь применительно к уровню протяженных структур в состояниях физической реальности, к числу которых принадлежит и наблюдаемая астрономическая Вселенная, и вряд ли могут быть уместными дальше (или глубже) реального состояния действительной дифференцированности материи.
Нужно отметить, что в целом понимание термодинамического парадокса в рамках современной физической картины мира существенно изменилось по сравнению с эпохой Энгельса. Здесь имеются следующие два важных обстоятельства. Термодинамический парадокс в его, так сказать, классическом варианте был сформулирован без учета влияния сил тяготения на поведение статистических физических систем. В статистической физике в качестве наиболее вероятного состояния принимается изотермическое и равномерное и однородное в пространстве распределение частиц. Однако при переходе к астрономическим масштабам, когда растет число частиц, уже нельзя игнорировать того, что фактически равномерно распределенные в пространстве частицы находятся в состоянии гравитационного взаимодействия. Но учет гравитации приводит к тому, что такое однородное и изотермическое распределение частиц вовсе не является состоянием с максимумом энтропии. Оказывается, что образование сгустков вещества (скажем, звезд и галактик) из равномерно распределенного вещества (которое может идти под влиянием сил гравитационного взаимодействия его) есть процесс, протекающий с дальнейшим ростом энтропии, поскольку в выражение вероятности состояния наряду с вероятностью, характеризующей пространственное распределение частиц, входит также и вероятность распределения частиц по скоростям и энергиям Этот процесс образования сгустков вещества од-
1 См. Я. Б. Зельдович, И, Д. Новиков. Релятивистская астрофизика М., 1967, стр. 638—640.
82
повременно сопровождается выделением гравитационной энергии и повышением температуры вещества в сгустках (их разогревом). Поэтому, вообще говоря, термодинамическое равновесие недостижимо в принципе для тех физических систем, в которых тяготение играет существенную роль.
Но, как было отмечено, термодинамическая необратимость нашла свое дополнительное подтверждение в характере ядерных процессов во Вселенной. В связи с этим возникает интригующий вопрос об исторической судьбе в целом известных в настоящее время элементарных частиц. Не может ли, в частности, наблюдаемая эволюция вещества во Вселенной завершиться полным его выгоранием и переходом в излучение? Конечно, такая постановка вопроса противоречит закону сохране ния барионов и с этой точки зрения является, если не неверной, то по крайней мере преждевременной. Вместе с тем изучение гравитационного коллапса привело Дж. Уилера 1 и его сотрудников к выводу о том, что вещество должно обладать некоторой новой формой радиоактивности, в которой барионы должны распадаться. Я. Б. Зельдович и И. Д. Новиков категорически возражают против подобного допущения1 2. Слабая изученность конечных стадий эволюции вещества во Вселенной не позволяет дать окончательный ответ на эти вопросы. Однако знаменательно, что черты известной необратимости присущи также и элементарным процессам в веществе Вселенной. Поэтому, хотя учет гравитации и снимает предположение о неизбежном состоянии равновесия в конечной стадии эволюции вещества, остается, однако, еще проблема общей необратимости во Вселенной.
Обычно термодинамический парадокс рассматривается в качестве свидетельства конечного характера времени-порядка наблюдаемой Вселенной. В нем также содержится указание и на конечный характер протяженности данной структуры. Хорошо известно, что для системы из бесконечного числа частиц вероятность, а следовательно, и энтропию определить невозможно. Это означает, что для бесконечно протяженного мира, состоящего из бесконечного числа частиц, вопрос о характере его
1 См. Дж. Уилер, Б. Гаррисон, М. Вакано, Д. Торн. Теория гравитации и гравитационный коллапс. М, 1967, стр. 12, 31 и др.
2 См. Я. Б. Зельдович, И. Д. Новиков. Релятивистская астрофизика, стр. 289.
83
Энтропии не имеет смысла. Однако определенный ха» рактер энтропии и ее изменения в реальной Вселенной есть физический факт. И этот факт, следовательно, может быть расценен как еще одно указание на фиктивный характер обычных представлений о бесконечной протяженности и бесконечном числе частиц в реальной Вселенной.
Еще один аргумент в пользу конечного характера времени-порядка астрономической Вселенной состоит в том, что невозможно увязать наличие радиоактивных самораспадающихся элементов с существованием данной астрономической структуры как вечной. Трудно представить, что вся астрономическая Вселенная есть нечто вечное и застывшее и в ней лишь постоянно возникают и гибнут бессвязным и случайным образом различные ее элементы — звезды, планеты, системы планет и галактик и т. д. Сама собой приходит мысль, что история развития всех этих конечных элементов ее неизбежно должна повлечь за собой и историческое развитие всей грандиозной системы, объемлющей их, — астрономической Вселенной.
Экспансионный парадокс. Помимо рассмотренных парадоксов, вызывающих сомнение в бесконечной протяженности мира уже в рамках классической физики, необходимо сказать о сравнительно новом, открытом уже в XX в., экспансионном парадоксе, суть которого состоит в установлении факта разбегания галактик.
В 1912 г. В. М. Слайфер открыл смещение спектральных линий излучения внегалактических туманностей к красному концу спектра — так называемое красное смещение, которое было затем истолковано как проявление эффекта Доплера, согласно которому изменение частоты излучения свидетельствует о движении источника света по отношению к наблюдателю. В частности, красное смещение говорит об удалении источника излучения. Спустя некоторое время (в 1929 г.) Эдвин Хаббл установил закон, согласно которому, чем дальше от наблюдателя находится туманность, тем больше величина красного смещения, тем больше скорость, с которой она удаляется от него. Так что на достаточно больших расстояниях скорости галактик достигают гигантских значений.
Были предприняты попытки избежать этого парадокса с помощью упоминавшейся уже гипотезы о «старе
84
нии» квантов, возникающем якобы в результате их взаимодействия с гравитационными полями и межгалактической диффузной материей. Но, как отмечает Я. Б. Зельдович \ существует по меньшей мере три веских довода против такой гипотезы.
Во-первых, старение кванта за счет отдачи им части энергии межгалактическому веществу необходимо должно сопровождаться соответствующими изменениями его импульса, т. е. изменением направления его движения. А это означает, что изображение звезды, пославшей излучение, должно расплываться. Далекая звезда была бы скорее диском, а не светящейся точкой, чего не наблюдается.
Во-вторых, предположение о распаде квантов с порождением новых частиц (которые, согласно требованиям законов сохранения, должны иметь нулевую массу покоя и двигаться в направлении движения первичных квантов) при неизбежно статистическом характере процесса должно вести к увеличению ширины спектральных линий, что также не наблюдается на опыте.
Наконец, в-третьих, исследование зависимости вероятности предполагаемого распада кванта от его частоты ведет к выводу, согласно которому наиболее эффективным распад должен быть в области радиоволн. Но ничего подобного не наблюдается: радиоизлучение далеких источников достигает Земли столь же хорошо, как и видимый свет. Больше того, проведенные измерения показывают, что «красное смещение» одинаково в различных частях спектра, включая и радиоизлучение. Все это позволяет Я. Б. Зельдовичу отвергнуть все «более или менее туманные идеи о старении квантов» как несостоятельные.
В настоящее время явление «красного смещения» — общепризнанный экспериментальный факт, свидетельствующий о том, что удаленные галактики «разлетаются» со скоростями, примерно пропорциональными расстоянию до них. У самых дальних скорости достигают колоссальных значений— 120—180 тыс. км1сек. В последнее время появились сообщения об обнаружении еще более далеких объектов, скорости движения
1 См Я. Б, Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной созданная А. А. Фридманом. — «Успехи физических наук», т. 80, 1963, вып 3, стр. 374—376.
85
которых достигают 70—80% скорости света. Если допустить существование гораздо более далеких туманностей, то они должны удаляться от нас со скоростями, превышающими скорость света, что, однако, невозможно. Согласно теории относительности, любой объект с ненулевой массой покоя при достижении скорости света должен приобретать бесконечное прибавление массы. Этот физически абсурдный результат делает возможным движение со скоростью света лишь для частиц, лишенных массы покоя.
Следовательно, уже открытая Хабблом зависимость скоростей галактик от расстояний до них ограничивает экстраполяцию в область бесконечно большого наблюдаемой структуры Вселенной, и прежде всего ее протяжения. Иногда, особенно в популярной литературе, встречаются замечания о том, что нельзя непосредственно интерпретировать «красное смещение» как процесс разбегания галактик в буквальном смысле, что «красное смещение» — это результат «расширения самого пространства». Скорость такого расширения якобы может как угодно превышать скорость света, и ее поэтому нужно отделять от собственной скорости галактик. Приведем в связи с этим некоторые разъяснения.
Во-первых, выражение «расширение самого пространства» означает только то, что повсеместно во Вселенной происходит увеличение расстояний между удаленными объектами и ничего больше. Никакого пространства самого по себе как особой физической сущности, разумеется, нет. С релятивистской точки зрения понятие пространства выражает только совокупность отношений, складывающихся в движении и взаимодействии реальных физических объектов. И расширение такого пространства есть именно «растягивание» этой системы отношений взаимно (т. е. друг по отношению к другу) удаляющимися телами, на которых как бы «сидят» реперы этого пространства отношений.
Во-вторых, указанное представление о сколь угодно больших скоростях расширения пространства метагалактики (т. е. возрастания R(t) с течением времени) имеет своей предпосылкой проведение физического различия между двумя видами скоростей галактик: пекулиарной скоростью галактики, которую иногда называют ее скоростью «по отношению к пространству», и ее скоростью по отношению к удаленной галактике, которая якобы в
86
отличие от пекулиарной скорости не является ее собственной скоростью, а есть как бы следствие «увлечения» галактики расширяющимся пространством. Однако понимание пекулиарной скорости галактики как ее скорости «по отношению к пространству» некорректно в рамках релятивистской концепции пространства-времени. Под ней следует понимать случайную скорость галактики по отношению к объектам ее ближайшего окружения, участвующим вместе с ней в общем расширении пространства.
Далее, переходя от одного объекта к другому, близкому по отношению к нему, мы нигде не обнаруживаем во Вселенной больших скоростей, но, «перебравшись» в итоге на удаленную галактику и сопоставив ее движение с другой удаленной галактикой, приходится констатировать огромную скорость их взаимного разбегания, которую можно понимать как эффект «накопления» малых скоростей за счет большого расстояния, разделяющего эти галактики. Только в этом смысле эта скорость не есть «собственная» скорость галактики и как бы порождена общим расширением пространства. Однако в собственной системе далекой галактики скорость другой галактики будет выглядеть именно как ее собственная скорость. В релятивистской концепции пространства как системы отношений понятие собственной скорости объекта, очевидно, относительно, и никакого принципиального различия между пекулиарной скоростью галактики как ее скоростью по отношению к объектам ближайшего окружения и ее метагалактической скоростью как скоростью по отношению к удаленной галактике не существует.
В-третьих, источник возникших представлений о сколь угодно больших скоростях расширения пространства Метагалактики состоит в пользовании нерелятивистской формулой расчета скорости галактики по про^ дольному эффекту Доплера v = C- —. Поэтому «ско-рость» (которую А. Л. Зельманов берет в кавычки) и может быть сколь угодно большой Между тем обращение к более точным релятивистским формулам указывает на недопустимость v = C: и частоты, и длины, и са-
1 См. А. Л. Зельманов. Красное смещение. — Физический энциклопедический словарь, т. 2. М., 1962, стр. 511.
*	*7
мо восприятие излучения в этом случае теряют свой смысл Г
Представление о неограниченных скоростях расширения пространства Метагалактики является следствием также слишком непосредственной интерпретации математической записи зависимости R от R (т. е. скорости £ расширения от радиуса Метагалактики): Н=~ (здесь И — постоянная Хаббла). Очевидно, что, устремив R к оо, мы получим R, возрастающую до бесконечности, но еще более очевидно то, что, «двигаясь» назад во времени, мы обязательно столкнемся с тем обстоятельством, что раньше, чем Т станет равным нулю, a R — равной бесконечности (что соответствует началу расширения), и сам радиус, и скорость изменения его, и пространство потеряют всякий смысл, достигнув каких-то конечных значений. Поэтому и самые удаленные галактики удаляются только с конечными скоростями.
Как указывает В. Л. Гинзбург1 2, из трех фундаментальных физических констант: постоянной тяготения у, величины, обратной скорости света и постоянной Планка h— может быть построена критическая плотность р, равная 1093-94 г!см\ Учитывая предельный характер величин, использованных для получения этой плотности, можно предположить, что это предельная плотность вещества в природе, превышение которой не может иметь никакого разумного физического смысла. С этим тем более легко согласиться, что, уже начиная с плотности порядка 1018 г!см\ едва ли сохраняются какие-либо упорядоченные структуры вещества (кристаллы, молекулы, атомы и т. п.), на свойствах которых основано введение метрических отношений протяжения. Отказ от метрического пространства, также и по мнению А. Л. Зельманова, неизбежен при переходе к этим состояниям материи в ранней истории Метагалактики.
Одновременно с метрическим пространством теряют смысл также и представления о плотности, поскольку
1 Согласно релятивистской формуле, пишет Т. А. Агекян, «какие бы большие смещения спектров ни наблюдались, скоросзь удаления меньше скорости света» (7\ А. Агекян Звезды, галактики, Метагалактика М, 1970, стр. 200).
2 См. В. Л. Гинзбург. Проблемы физики и астрофизики. — «Успехи физических наук», т. 103. 1971 вып. 1, стр ПО
88
между этими понятиями существует тесная связь. Возможно, что существование критической, «последней» плотности обусловлено именно конечностью метрического пространства в соответствующих условиях.
Это означает, что и радиус Метагалактики /? теряет свой смысл в далеком прошлом, начиная, может быть, и с малых, но все же конечных значений его. Ввиду этого
R скорость расширения R в формуле Н = — не может
быть бесконечной: и в большом R всегда конечно.
Можно ли все-таки предположить, что достаточно далекие галактики удаляются со скоростями, если не беспредельными, то все же равными и даже большими С?
Для тех, кто пожелает настаивать на этом, укажем на следующее: можно в конце концов предположить наличие таких галактик, удаляющихся со скоростями, большими С, и потому всегда остающихся за горизонтом наблюдения. Но мы еще с большим основанием можем их просто не принимать во внимание, поскольку все галактики со скоростями > С никак не проявятся в нашем мире физически и поэтому остаются чистым предположением. Поскольку в рамках настоящей работы наличие физической содержательности и возможность физической верификации рассматриваемых представлений приняты в качестве критериев самой правомерности вынесения их на обсуждение, мы не можем поступить иначе. Поэтому следует все же признать, что уже открытая Хабблом зависимость скоростей галактик от расстояний до них ставит под вопрос бесконечную протяженность наблюдаемой структуры Вселенной.
Поскольку параметры расширения поддаются измерению и выражаются в конечных величинах, отсюда вытекает тот знаменательный вывод, что расширение галактики имело свое начало и что около 10 млрд, лет назад все известные ныне галактики с массой 2,14 • 1055 г были собраны в «одном месте». Причем это «одно место» скорее всего вовсе не было местом в нашем обычном представлении, а праматерия, из которой развился наш мир, находилась в сверхплотных состояниях. Так родилось представление об «особой точке» и о «взрыве» в этой «точке», в результате которого возник наш мир.
Экспансионный парадокс есть непосредственная причина того, что стационарные модели Вселенной оставлены космологами и в настоящее время разрабатываются
*	89
Исключительно динамические модели Вселенной, учитывающие факт разбегания галактик. Благодаря работам советского математика А. А. Фридмана выяснилось к тому же, что решения уравнений общей теории относительности содержат принципиальную нестационарность, т. е. отображают эволюционирующий во времени мир. Известные попытки Эйнштейна построить стационарную модель Вселенной в настоящее время рассматриваются как дань традиционным представлениям о неизменном существовании Вселенной в вечности. Заслуживает внимания тот факт, что стационарная модель Эйнштейна, построенная на основе специального допущения ю космологическом Л-члене, благодаря которому в каждой точке пространства вводилось некоторое дополнительное отрицательное давление, призванное уравновесить обычные силы тяготения и тем самым обеспечить стационарность модели, оказалась неустойчивой относительно малых возмущений Таким образом, не только наблюдаемые факты, но и собственное содержание теории относительности несовместимо со стационарностью.
Наряду с наблюдаемым расширением Вселенной существует также теоретическая возможность сжимающейся Вселенной или даже пульсирующей Вселенной, в которой конечная в пространстве, но бесконечная во времени Вселенная попеременно то расширяется, то сжимается, колеблясь между некоторыми критическими объемами ее. Окончательный выбор модели Вселенной следует связывать с более или менее достоверным определением плотности массы-энергии во Вселенной, ибо оказывается, что и вопрос о том, сменится ли наблюдаемое расширение Вселенной сжатием или будет продолжаться неограниченно, должен быть решен в зависимости от фактической плотности. Если фактическая плотность массы-энергии во Вселенной меньше критической, то тяготение не сможет остановить расширение; оно может замедлиться, но никогда не сменится на сжатие. Если же фактическая плотность больше критической, то расширение будет протекать не беспредельно и по достижении Вселенной некоторого максимального объема сменится сжатием 1 2.
Разбегание галактик, сопровождающееся расшире
1 См. А. С. Эддингтон. Теория относительности. М.—Л., 1934, стр. 463.
2 См. V. Б. Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, соз
90
нием мирового пространства, в случае замкнутой модели мира естественным образом ведет к представлению о конечной протяженности Вселенной и о конечности ее времени-порядка. Однако, если даже ввести произвольное предположение о существовании бесконечного пространства, в которое «открывается» расширяющийся мир отрицательной кривизны, то все равно фактически имеющий место процесс ведет к наличию своеобразного горизонта наблюдения, соответствующего предельным расстояниям, доступным для распространения света за время, прошедшее с начала расширения, — 10 млрд, световых лет Г
Дальше горизонта наблюдения существование пространства остается чистым предположением, в принципе недоступным какой-либо физической верификации. Разумеется, с течением времени горизонт наблюдения соответственно расширяется, но всегда остается конечным. Для той концепции пространства, согласно которой пространство есть система отношений, складывающихся в движении и взаимодействии материальных объектов, представление о протяженности за горизонтом наблюдения и, следовательно, вне пределов возможной физической верификации его беспредметно.
Своим существованием горизонт наблюдения обязан как самому факту разбегания галактик, так и в особенности конечной скорости распространения физических сигналов, ограниченных предельной скоростью света в вакууме. Последняя, однако, имеет еще и большое самостоятельное значение для критики бесконечной протяженности.
6.	Скорость света и бесконечная протяженность
Специальная теория относительности, как известно, была создана путем обобщения ряда отрицательных результатов, полученных в экспериментах по обнаружению абсолютного движения относительно эфира. Главнейшим из этих результатов следует считать факт постоянства скорости света, доказанный опытами Майкельсона
данная А. А. Фридманом. — А. А. Фридман, Избранные труды. М., 1966, стр 405—406.
1 См. Я. Б Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А. Фридманом. — «Успехи физических наук», т. 80, 1963, йып. 3, стр. 367—368.
91
и Морли в 1880 г. Выяснилось, далее, что скорость света является не только постоянной (в вакууме), но и, что еще более важно, предельной. В природе не существует физических процессов, которые могли бы протекать с большей скоростью, чем скорость света. Это положение теории относительности в настоящее время подтверждено многочисленными точными экспериментами, логически безупречно, и поэтому не следует ожидать отказа от него в будущем L
Даже в такой, казалось бы, очень далекой от теории относительности области знания, как биология, также содержатся весьма своеобразные свидетельства в пользу мнения о фундаментальной роли скорости света в строении нашего мира и об абсолютном значении ее как предела возможных скоростей. Почти девяносто процентов всех впечатлений, получаемых человеком от внешнего мира, есть зрительные впечатления. Жизнь, развившаяся в физических условиях нашего мира, будучи, с одной стороны, его порождением, а с другой — его отражением, необходимо должна была выявить, освоить и закрепить в процессе длительной эволюции самый быстрый, обладающий максимальной скоростью распространения, физический процесс в качестве источника информации об окружающем мире, средства ориентировки и общения. Таким физическим процессом явился процесс распространения электромагнитных волн, а зрение — его своеобразной утилизацией, оказавшейся столь важной и во многих отношениях решающей для развития всего органического мира. Ни одно живое существо не знает более эффективного, чем зрение, способа получения информации об окружающем мире. Если это не зрение в обычном смысле слова, то это все равно «зрение» с помощью другого диапазона электромагнитных волн, скорость распространения которых во всех случаях максимальна.
Одно несомненно: если бы в природе существовал какой-либо другой физический процесс, скорость протекания которого превышала бы скорость распространения света, то наше зрение было бы «зрением» через посредство этого другого процесса. Длительная и разносторонняя эволюция органического мира, полностью от
1 См. М. Борн. Физика в жизни моего поколения М., 1963. стр. 417.
92
разившая в себе особенности неорганического мира в ближайшем окружении живых существ, не могла бы не обнаружить такой процесс, а обнаружив, не усвоить и не закрепить его ввиду тех колоссальных преимуществ в развитии и борьбе за существование, которые открывались бы с его использованием.
Установление такой фундаментальной константы, какой является скорость света, повлекло за собой кардинальные изменения в научной картине мира. Оказывается, концепция бесконечно протяженного мира органически связана с допущением мгновенного actio in distanz, ибо только в этом случае бесконечно протяженный мир может представлять собой нечто связное и единое. В то же время невозможно сохранить представление о бесконечной протяженности мира, если мы отказываемся от концепции мгновенного дальнодействия.
В самом деле, переход к принципу близкодействия непосредственно ведет к тому, что в бесконечном мире должны существовать объекты, которые не только в настоящий момент времени не состоят в каких-либо связях с данным объектом, но которые вообще никогда, принципиально никогда, не могут вступить с ним в какое-либо физическое взаимодействие. Любой объект существует конечное время, поэтому во всем окружающем его бесконечно протяженном мире должно существовать бесчисленное множество других объектов, воздействия которых не успевают дойти до него за время его жизни в силу конечной скорости распространения физических взаимодействий. Так как все существующие в природе объекты конечны, то получается, что каждый из существующих или когда-либо существовавших объектов оставляет после себя бесконечное число себе подобных, с которыми он никогда не мог вступить в какие-либо физические взаимодействия.
С другой стороны, бесконечность пространства понимается так же, как его бесконечная делимость или так называемая бесконечность вглубь, поэтому протекание какого-либо процесса от точки А к точке В не может завершиться без того, чтобы в дело не оказалась вовлеченной целая бесконечность промежуточных событий или объектов. Трудно понять, как могут существовать в таком мире законы сохранения и какие-либо закономерности и как может он быть вообще разумным. Ибо в этом
93
случае мы приходим к такому нелепому представлению о мире, в котором не то что невозможны какие-либо закономерности, но и невозможно само движение, как это было показано Зеноном еще в древности.
Таким образом, фактически имеющая место конечная скорость распространения физических взаимодействий непосредственно ведет к отказу от концепции метрической бесконечности Вселенной. Та идея специальной теории относительности, согласно которой как отражение свойств пространства и времени выступает закон распространения света, получает в общей теории относительности дальнейшее развитие. Сам свет, обладая энергией, обладает тем самым и массой и, таким образом, подвержен влиянию поля тяготения. Это обстоятельство должно сказаться на законе распространения света, а значит, и на общих законах установления пространственно-временных отношений. Иначе говоря, наличие поля тяготения должно оказывать определенное влияние на свойства пространства и времени, что и имеет место в действительности
Было установлено, что поле тяготения через подвластный его влиянию характер распространения света определяет геометрию пространства. Это обстоятельство также ставит под сомнение бесконечное протяжение, ибо современное поколение естествоиспытателей не может удовлетвориться ньютоновским чистым и безотносительным к чему-либо бесконечным протяжением. Они по крайней мере хотели бы видеть в таком протяжении странствующий луч света. Но благодаря тому, что луч света подвержен влиянию поля тяготения, он не может «вырваться» за пределы определенного и конечного протяжения, порожденного определенной совокупностью физических процессов. Луч света по природе своей принадлежит миру протяжения, творимому всей совокупностью физических процессов, и, будучи сам порождением этого мира, в известной мере определяет его пространственно-временную структуру.
С помощью луча света устанавливается место «здесь» и «там», но именно подчиненность луча света влиянию поля тяготения определяет конечность и замкнутость всей совокупности «мест» — пространства. Вне
1 См. В, И. Свидерский. Философское значение пространственно-временных представлений в физике. Л., 1956, стр. 207.
94
возможной области распространения луна света с физической точки зрения бессмысленно ставить вопрос о протяжении. И сам характер распространения света ввиду его подверженности влиянию поля тяготения позволяет говорить только о конечном и замкнутом пространстве. Там, куда нас не может вывести и луч света, у нас нет никаких оснований предполагать существование ньютоновского бесконечного пространства-вместилища.
Сказанным, однако, не исчерпываются все проблемы, связанные с появлением константы С в научной картине мира. Даже в случае пространственно замкнутого и конечного мира возникают весьма специфические трудности в интерпретации его как протяженного целого. В содержательном (операциональном) смысле о протяжении всей Вселенной можно говорить только в том случае, когда представляется возможным допустить, что хотя бы луч света как наиболее быстрый процесс в природе пробежал последовательно всю совокупность элементов ее по «диаметру» от одного полюса к другому и, так сказать, реализовал или сверил ее протяжение Но при этом оказывается, что время, протекшее с момента бесконечной плотности (т. е. с момента, предшествовавшего рождению данной астрономической структуры) до настоящего момента, меньше времени, необходимого для распространения луча света от одного ее полюса к другому1 2. Таким образом, любая физическая верификация отношений протяженности для замкнутой и нестационарной Вселенной заведомо потребует больше времени, чем время существования самой этой системы. Этот в высшей степени своеобразный результат говорит о том, что вся астрономическая Вселенная представляет собой некоторую предельную систему3, наглядные представле-
1 Напомним в связи с этим, что в теории относительности любые пространственно-временные отношения, и прежде всего сама протяженность, имеют.смысл лишь постольку, поскольку представляется возможной их физическая верификация с помощью часов, линеек, световых сигналов и т. п.
2 См. Я. Б. Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А. Фридманом. — «Успехи физических наук», т. 80, 1963, вып. 3, стр. 368.
3 Это обстоятельство было специально подчеркнуто А. Л. Зельмановым в его докладе на симпозиуме по проблеме бесконечности в современной космологии (Институт философии АН СССР. Москва, май 1965 г.) (см. А. Л. Зельманов. Многообразие материального мира и проблема бесконечности Вселенной. — «Бесконечность и Вселенная». М., 1969, стр. 287).
95
ния о протяженности которой тем не менее становятся бессмысленными.
Мы можем говорить о протяженности и длительности совершенно строгим образом постольку, поскольку в этих понятиях находят отражение реальные пространственно-временные отношения космических объектов, складывающиеся, так сказать, внутри данного дифференцированного состояния материи и благодаря ему. Но как только мы попытаемся с помощью таких эмпирически выведенных из этого состояния понятий подняться к полному описанию всей космической системы, так сразу же обнаруживается их своеобразная недостаточность и неприменимость. Отношения протяженности и длительности как определенные физические отношения, которые могут быть определенным образом верифицированы при помощи обмена световыми сигналами, имеют смысл только «внутри» разбегающейся Вселенной и не имеют никакого физического смысла ни вне ее (нет самого этого «вне»), ни по отношению к ней как целому, ибо как протяженное целое (взятая целиком и сразу во всем ее протяжении) она не существует и ничтожно малого времени. Здесь мы приходим к поразительному парадоксу, причина которого состоит в том, что понятия пространства и времени по отношению к этой предельной астрономической структуре теряют свой смысл.
Понятие протяженности и длительности в этом отношении не имеют каких-либо преимуществ перед понятиями массы, энергии, заряда, также выражающими достаточно общие свойства физической реальности и «свертывающимися» к нулю для пространственно замкнутого мира. Как отмечает Я. Б. Зельдович в случае замкнутого мира гравитационный дефект, соответствующий взаимодействию всех звезд и частиц, составляющих мир, в точности равен сумме масс всех звезд и частиц, взятых в отдельности, поэтому масса замкнутого мира тождественно равна нулю. Равны нулю его энергия и все компоненты импульса. Такой мир должен быть также электрически нейтральным, ибо в замкнутом мире силовые линии, выйдя из одного заряда, должны входить в другой заряд противоположного знака и, таким обра
1 Я. Б. Зельдович. Теория расширяющейся Вселенной, созданная А. А. Фридманом. — «Успехи физических наук», т 80, 1963, вып 3, стр 381.
96
зом, заряды разных знаков должны неизбежно компенсировать друг друга.
Напомним еще раз, что в отношении единого четырехмерного протяжения (пространство + время) наш мир всегда замкнут, поскольку плотность массы-энергии в любом объеме его заведомо больше нуля. Можно еще оспаривать замкнутость трехмерного мира частиц, надеясь на то, что плотность массы-энергии может оказаться меньше 10-29 г!см\ но мир «событий» всегда замкнут при любой плотности массы-энергии, большей нуля. Однако ведь четырехмерное «событие» кажется более фундаментальным «элементом» реальности, чем трехмерная «частица».
7.	Пустота и бесконечная протяженность
К числу парадоксов бесконечной протяженности относится старая проблема пустоты, которая в современной физике получила вполне определенное решение. Если протяженность признается в качестве всеобщей и бесконечной определенности материи, как это обычно принимается, то вместе с тем нужно признать реальной или возможной также и пустоту — отвлечение протяжения. Причем вопрос заключается не в том, достижима или недос!ижима пустота технически со стороны физического эксперимента, ибо признающие протяженность в качестве всеобщей и бесконечной определенности материи всегда могут сказать, что в любом достигнутом вакууме все еще остаются тончайшие материальные частички, коль скоро протяженность бесконечно делима, которые в данном случае не удалось удалить. С этой точки зрения, таким образом, пустота также недостижима. При этом нельзя отрицать, что если протяженность признается в качестве всеобщей и бесконечной определенности материи, а все протяженное в принципе может быть удалено из занимаемого им места, то тем самым признается и пустота, достижимая хотя бы в принципе.
Однако, как умели показать уже древние диалектики, нет ни абсолютного бытия, ни ничто — его противоположности, а есть становление \ процесс, сущностью
1 «Простую мысль о чистом бытии как об абсолютном и как единственную истину высказали впервые элеаты, преимущественно Парменид, и последний в сохранившихся после него фрагментах,
4 Зак. 25	97
которого оказывается прехождение любой конкретной качественной определенности бытия и потому всеобщее по природе своей чуждо каким-либо конкретным определениям. Именно опираясь на диалектику всеобщего, В. И. Свидерский первым в советской философской литературе разъяснил, что уже с точки зрения общих диалектических положений следует предположить своеобразную неуниверсальность понятий протяженности и длительности 1.
Интересно отметить, что на протяжении всей истории философии понятия пустоты и бесконечной протяженности идут рядом, взаимно дополняя друг друга, а отрицание бесконечности и всеобщности протяжения обычно сочетается с отрицанием пустоты. Если Демокрит в основу своей картины мира положил бесчисленные атомы в бесконечной пустоте, то Аристотель пришел к заключению о конечности мирового пространства. Но вместе с тем Аристотель выступил против учения древних атомистов о пустоте. Он следующим образом опровергает существование пустоты: тела падают в воде медленнее, чем в воздухе, вследствие, очевидно, различия сопротивлений, оказываемых водой и воздухом. Чем меньше плотность окружающей среды, тем быстрее падают тела. Отсюда следует, что в пустом пространстве тела падали бы с бесконечной скоростью, но это абсурдно. Следовательно, пустоты не существует. Эти представления наивны, но замечательно, что бесконечная скорость признавалась абсурдной, а существование пространства мыслилось в неразрывной связи с материей, его «заполняющей».
высказал ее с чистым воодушевлением мышления, в первый раз постигшего себя в своей абсолютной абстрактности: лишь бытие есть, а небытия вовсе нет. — В восточных системах, главным образом в буддизме, ничто, пустота, является, как известно, абсолютным принципом. — Глубокомысленный Гераклит выдвинул в противоположность вышеуказанной простой и односторонней абстракции более высокое, целостное понятие становления и сказал: бытие столь же мало есть, как и небытие, или, выражая эту мысль также и иначе, говорил: «все течет», т. е. все есть становление. — Популярные, в особенности восточные, изречения, гласящие, что все, что есть, носит зародыш своего уничтожения в самом своем рождении, а смерть есть, наоборот, вступление в новую жизнь, выражают в сущности то же самое единение бытия и ничто» (Гегель. Соч., т. V М., 1937, стр. 68—69).
1 См. В. И. Свидерский. Философское значение пространственно-временных представлений в физике; его же. Пространство и время.
98
Особенно интересен в этом отношении Дж. Толанд, который раскрывает сущность понятия пустоты как абстракции от чистой протяженности, а понятие протяженности связывает с пассивностью материи и известной устойчивостью ее структур: «...Многие из наиболее ученых философов признают пустоту, а это понятие, по-видимому, предполагает мертвенность или бездеятельность материи... Одни из этих философов принимают (вместе с эпикурейцами), что пустота не имеет субстанциального протяжения и что она есть ничто, а другие считают ее протяженной субстанцией, которая не есть ни дух, ни тело... Понятие пустоты есть одно из бесчисленных ошибочных следствий из определения материи через одно лишь протяжение, из утверждения, что материя по своей природе бездеятельна, из мысли, что она разделена на реальные части, вполне независимые друг от друга. При таких предпосылках немыслимо, чтобы не существовала пустота; но столь же немыслимо, чтобы отсюда не вытекало тысячи нелепостей» !. Ясно, конечно, что бесчисленные ошибочные следствия из определения материи через одно лишь протяжение указывают на ошибочность самого этого одностороннего определения.
Г. Лейбниц также считает существование пустоты невозможным, как равно и пространство, по его мнению, должно быть конечным: «Если пространство представляет собой свойство или атрибут, то оно должно быть свойством какой-нибудь субстанции. Но свойством или проявлением какой же субстанции будет пустота, ограниченное пространство, существующее, по мнению его защитников, между двумя телами?» 1 2.
Интересный ответ на этот вопрос Лейбница содержится в книге Г. Н. Льюиса, по мнению которого пустота есть лишь мысленный образ, употребляемый нами Для выражения сохранения, постоянства связей и отношений одних предметов с другими: «...Мы имеем такое огромное число предметов в такой сложной сети взаимных связей в трехмерном пространстве, что нам бывает выгодно, при перемещении нескольких предметов, сохранить возможно большее количество связей и соот
1 Дж. Толанд. Избранные сочинения. М.—Л., 1927, стр 99—100.
2 «Полемика Г. Лейбница и С. Кларка по вопросам философии и естествознания (1715—1716 гг.)». Л., 1960. стр. 54.
4*	99
ношений нетронутыми, и это мы можем сделать лучше всего, сказав, что пространство в некоторой области осталось пустым»1.
Здесь вполне отчетливо вскрывается происхождение нашего представления о пустоте, которая оказывается только известным отвлечением, абстракцией от свойств протяженных объектов и потому в качестве реального объекта, онтологически не существует, как и бесконечная
протяженность.
Таким образом, и самого краткого экскурса в историю философии достаточно для того, чтобы понять, что концепция бесконечной протяженности самым тесным образом связана с признанием пустоты. И наоборот, отрицание бесконечности протяжения, как правило, связано с отрицанием реальности пустоты. Но окончательный итог этим, имеющим тысячелетнюю историю, пред
ставлениям подводит современная физика.
Выяснилось, что так называемая пустота обладает не только чисто геометрическими свойствами (которые,
кстати, не являются ее «собственными», а определяются движением и распределением тяготеющих масс), но и в некотором роде представляет самостоятельную физическую сущность, независимую от вещества и более глубо-
кую по сравнению с веществом и полями. В квантовой электродинамике существует вывод, который весьма наглядным образом говорит о том, что поскольку энергию можно «выбирать» только порциями, кратными Av, а энергия осциллятора записывается в виде Е = (n + —)hv,
то ее в принципе нельзя исчерпать всю до нуля. Действительно, энергия нулевого осциллятора не равна 0, а равна Ео= -^-/iv. Поскольку во всем физическом мире
вся реальная энергия, которая может быть излучена или поглощена и, следовательно, «выбрана», кратна не а целому Л, то пустота принципиально недостижима. Всегда остаются так называемые нулевые колебания вакуума. Соответствующий вывод прослеживается для всех других физических полей. (Скорее всего этот вывод указывает на фиктивный характер представлений об абсолютной разложимости физического мира на отдельные (в абсолютном смысле) элементы-индивидуумы, чем
1 Г. Н. Льюис. Анатомия науки. М.—Л., 1929, стр. 30—31.
100
на реальное существование какого-то физического объекта с энергией, кратной V2/i, что невозможно.) Во всяком случае пустота принципиально недостижима. Экспериментальные подтверждения этих обстоятельств позволяют говорить о так называемой материи физического вакуума, которая в некотором роде представляет собой самостоятельную физическую сущность, независимую от вещества и, можно сказать, более глубокую, чем вещество и поля.
Следует отметить, что помимо квантовой физики, окончательно устранившей пустоту из научной картины мира, теория относительности логически непримирима с представлением о пустом пространстве. Сам факт конечной скорости распространения взаимодействий указывает на то, что в пространстве между двумя взаимодействующими телами всегда имеется некий третий вид реальности, являющийся носителем возбуждения в тот момент, когда энергия взаимодействия уже покинула первое тело и еще не достигла второго.
В теории относительности пространство и время потеряли статус самостоятельных сущностей, какими они были у Ньютона, и представляют собой выражения материального движения определенных материальных объектов, неотделимы от материальных объектов и их движения, и потому представление о каком-то пустом пространстве, которое к тому же обладает собственными размерами и существует независимо от материальных тел, недопустимо.
В следующем параграфе мы рассмотрим вопрос, в каком смысле можно говорить о протяженности поля — новой физической сущности, заменившей собой классический эфир в современной картине мира.
8.	Метрическая протяженность и материя физического поля
Возникновение сомнений в метрической бесконечности пространства в современной науке обычно связывают с опубликованием Эйнштейном общей теории относительности и известных космологических следствий из нее. Это так. Но некоторые указания на неуниверсальный характер метрической протяженности содержатся Уже в специальной теории относительности, правда, в
101
неявном виде. И потому не общая, а уже специальная теория относительности ставит вопрос о возможной не-универсальности протяжения в природе. Дело в том, что специальная теория относительности предполагает объективное существование такой физической сущности, которая не поддается мероопределению с помощью какой-либо системы отсчета, но в реальности существования которой тем не менее усомниться нельзя.
Из второго постулата специальной теории относительности следует вывод о необходимости исключить из физики представление об эфире как об универсальной неподвижной среде. Если бы такая среда существовала, то скорость света могла бы и не зависеть от движения источника, но обязательно зависела бы от движения наблюдателя. Состояние последнего всегда имело бы определенный физический смысл по отношению к покоящейся универсальной среде, а следовательно, сказывалось бы и на определении скорости электромагнитных процессов в такой среде. Однако существование такой среды исключается. Что же остается вместо эфира? Ничто? Но такой вывод был бы не только поспешным, но и неправильным.
Как было отмечено в предыдущем разделе, эмпирический факт конечной скорости распространения взаимодействия между телами свидетельствует о том, что энергия взаимодействия, которая уже покинула данное тело и которая еще не достигла второго взаимодействующего тела, находится между ними в пустом пространстве, в чистом ничто. Ее, энергии, уже нет там и она еще не прибыла сюда, она находится между телами в пространстве.
Но энергия сама по себе без материи ни существовать, ни передаваться не может, должен быть ее носитель, хотя бы этот носитель и был столь своеобразен, что бессмысленно было бы спрашивать о его месте в пространстве и времени.
Физики назвали такое реальное нечто полем и доказали его самостоятельное и независимое от вещества (или, если угодно, до вещества) существование. Другими словами, нельзя сказать, что это нечто существует, лишь поскольку существуют тела, и существует лишь для того, чтобы передавать взаимодействия между телами. Нет, не только взаимодействия между телами, но и сами тела могут исчезнуть, однако этот новый вид 102
реальности, нечто физическое, обладающее своей энергией нулевых колебаний и способное воспринимать и передавать энергию извне, останется.
Итак, эфир как абсолютно покоящаяся среда оказался излишним в современной картине мира. Однако взамен его получено не ничто, а нечто, притом нечто, в физической реальности которого сомневаться не приходится. Для физика поле столь же реально, как и стул, на котором он сидит, говорил Эйнштейн.
Что можно сказать о пространственно-временной определенности данного нечто? «...В предлагаемой теории, — писал Эйнштейн, — не вводится ни «абсолютно покоящееся пространство», наделенное особыми свойствами, а также ни одной точке пустого пространства, в котором протекают электромагнитные процессы, не приписывается какой-нибудь вектор скорости» Эйнштейн в период создания специальной теории относительности должен был говорить о пустом пространстве. Это была наиболее радикальная форма отрицания классического эфира. Но уже в последующие годы Эйнштейн указывал на невозможность пустоты и на необходимость допустить существование нового эфира, лишенного механических свойств: специальная теория относительности запрещает считать эфир состоящим из частиц, поведение которых можно наблюдать в пространстве и времени; но гипотеза о существовании эфира не противоречит специальной теории относительности, нельзя только эфиру приписывать состояние движения или покоя в пространстве1 2.
Итак, не пустота, но некоторая реальность, однако не движущаяся и не покоящаяся! А что представляет собой реальность, в отношении которой нужно одновременно утверждать, что она не есть ни движущаяся и ни покоящаяся в смысле механического движения, но тем не менее реально существующая и обладающая реальными физическими свойствами? Очевидно, такую реальность, в которой не может быть прослежено ее собственное мероопределение. Поэтому с нею и не может быть связана какая-либо система отсчета. Это в конечном счете указывает на неприменимость к данному состоянию реальности метрической протяженности. Положение таково, что мы либо должны согласиться со сделанным
1 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 1, стр. 8.
2 См. там же, стр. 686.
103
здесь выводом, либо отвергнуть основания специальной теории относительности и фундаментальный факт конечной скорости распространения физических взаимодействий.
А. Эддингтон в свое время обратил внимание на эти обстоятельства, заметив, что, с одной стороны, нельзя отрицать существование эфира, а с другой стороны, если бы эфир обладал собственной пространственно-временной определенностью, он, так сказать, овеществлял бы некоторое абсолютное разделение четырехмерного мира на пространство и время, чего, однако, не наблюдается и что противоречит основаниям специальной теории относительности
Но если мы здесь находим, что материя физического поля (рассматриваемого без масс покоя) не обладает какой-либо собственной метрической определенностью, почему с нею и не может быть связана какая-либо система отсчета, то означает ли это, что поле не обладает протяженностью? Ведь произведение С • AZ дает, очевидно, точное указание на протяженность поля, образованного неким его источником за время АЛ Действительно, если есть система отсчета, с помощью которой может быть определен в пространстве-времени источник излучения, то всегда можно определить и поле, образованное им. Но означает ли это, что в такой физической ситуации, в которой имеется в наличии только излучение (без объектов с конечной массой покоя), наблюдатель в состоянии ввести какое-либо мероопределение, пользуясь системой отсчета, связанной с ним?
Здесь следует отметить важное различие физического статуса системы отсчета в теории относительности по сравнению с ньютоновской концепцией пространства-времени.
Если есть наблюдатель, то есть и система отсчета, связанная с ним, та система отсчета, в которой наблюдатель покоится. Это кажется совершенно бесспорным. Однако бесспорно это лишь для классической концепции пространства-времени. Ньютон исходил из постулата об абсолютном пространстве, Эйнштейн вовсе от него отказался. Поэтому система отсчета, связанная с наблюдателем, у Ньютона уже имеет определенный физиче-
1 См. А. Эддингтон. Пространство, время и тяготение. Одесса, 1923, стр. 39—41.
104
ский смысл: она есть или покоящаяся, или движущаяся система по отношению к абсолютному пространству в зависимости от состояния наблюдателя. Иначе говоря, если есть только наблюдатель, то у Ньютона он есть или движущийся, или покоящийся наблюдатель. И потому в ньютоновской концепции пространства-времени система отсчета, связанная с наблюдателем, имеет определенный физический смысл еще до введения в рассмотрение каких-либо других объектов. Эйнштейн, если мы ограничимся рассмотрением одного наблюдателя, взятого изолированно, вне каких-либо конкретных физических отношений, вообще откажется обсуждать подобные вопросы, так как для него нет пространства без отношений. Если мы имеем только одного наблюдателя, то мы еще не имеем права говорить о какой-либо системе отсчета, связанной с ним. Релятивистский наблюдатель сам по себе, безотносительно к чему-либо, не движется и не покоится в пространстве и не пребывает во времени— вообще не представляет собой чего-либо стоящего внимания в этом смысле, так что, собственно, с одним только релятивистским наблюдателем мы еще не имеем возможности связать какую-либо определенную систему отсчета. О ней нельзя говорить до появления какого-то другого объекта, с которым можно было бы соотнести, а следовательно, и определить состояние наблюдателя.
Таково принципиальное различие двух концепций пространства: пространства-вместилища Ньютона и пространства отношений! Эйнштейна.
Пространство теории относительности творится отношениями материальных объектов и вне их немыслимо. Поэтому, если в космическое пространство, которое еще неизвестно, можно ли назвать пространством, если в нем есть лишь один наблюдатель, мы поместим какое-нибудь тело, скажем, спичечный коробок, то в таком случае мы можем ожидать от наблюдателя сообщения о фиксации им определенных пространственно-временных отношений, а именно он может говорить о системе отсчета, в которой он покоится, но в которой движется спичечный коробок, или, наоборот, о системе отсчета, связанной со спичечным коробком, в которой движется он, а коробок покоится; он может теперь говорить о расстояниях, направлениях и т. п.
Очевидно, что если бы удалось вместо спичечного коробка подставить другой столь же реальный материаль
105
ный объект, но при этом наблюдатель по-прежнему оставался бы в совершенно неопределенном состоянии в отношении своего пространственно-временного бытия, то в этом случае можно было бы предположить, что этот новый объект лишен непосредственной пространственно-временной определенности и потому наблюдатель не может определить его в пространстве и времени или соотнести с ним свое состояние. И разумеется, картезианский тезис о протяженности как всеобщем атрибуте материи оказался бы здесь подорванным в корне. Остается найти такой объект, лишенный определенности протяженного, и провести с ним опыт.
Таким объектом может быть поле нулевых колебаний, которое столь же реально, как и вещество, и в известном смысле более фундаментально, чем вещество, поскольку вещество удается представить в качестве состояния поля. И хотя в этом случае имеется уже два материальных объекта: наблюдатель и поле нулевых колебаний (фоновая материя, или материя физического вакуума), тем не менее о каких-либо пространственно-временных отношениях, о длительности и протяженности говорить еще не приходится, ибо в противном случае это означало бы возможность установить выделенную систему отсчета, что противоречит основаниям теории относительности.
Продолжим, однако, опыт с наблюдателем и спичечным коробком. Вообразим небольшую космическую катастрофу: спички в коробке внезапно вспыхивают и через некоторое At спичечный коробок полностью исчезает, оставив после себя распространяющуюся со скоростью С световую волну1. Образовавшаяся световая волна не менее реальна, чем спичечный коробок, и теперь задача сводится к установлению пространственно-временных отношений между наблюдателем и фронтом световой волны.
Ясно, конечно, что в конце концов задача сводится к тому, можно ли связать какую-либо систему отсчета с полем электромагнитных колебаний, без чего в данном случае наблюдатель лишается всякой возможности уста
1 Вместо спичечного коробка можно взять позитроний — связанное состояние электрона и позитрона, аналогичное атому водорода, в котором протон заменен позитроном, — в этом случае анни* гиляция будет иметь буквальный смысл.
106
новить свою систему отсчета. Посмотрим, что может быть найдено в этом случае.
Система отсчета, связанная с вектором распространения фронта световой волны, не имеет смысла, поскольку фотон не может быть представлен в качестве покоящегося.
Остается бесконечная совокупность лоренцовых систем отсчета, в которых распространение света будет протекать совершенно тождественным образом и потому наблюдатель не в состоянии определить (установить) свою систему отсчета по отношению к световой волне ни как движущуюся, ни как покоящуюся.
Учет Доплер-эффекта не приведет к какому-либо однозначному решению вопроса. Возможна бесконечная совокупность различных вариантов разбегания или сближения наблюдателя и фронта волны. Но, строго говоря, наблюдатель в данном случае вообще не может говорить о Доплер-эффекте, поскольку ему неизвестна частота колебаний в системе координат, связанной со спичечным коробком.
Таким образом, с полем электромагнитных колебаний не может быть связана какая-либо система отсчета; этот вывод известен уже с 1905 г. Любые материальные явления или объекты не могут быть определены по отношению к полю ни как движущиеся, ни как покоящиеся, но лишь потому, что само поле есть не движущийся и не покоящийся (в смысле механического движения) объект и лишено непосредственной пространственно-временной определенности.
Поэтому, несмотря на то что в этой ситуации мы имеем уже три материальных объекта или три явления (наблюдатель, световая волна и материя физического вакуума), мы тем не менее не можем говорить о каких-либо пространственно-временных отношениях между ними и не можем ввести представления о протяжении и Длительности. В такой ситуации нет расстояний и временных интервалов, релятивистское «расстояние» — инвариант теории относительности — также не может быть введено. Нетрудно видеть, что если представление о расстоянии между наблюдателем и спичечным коробком имело физический смысл, то о расстоянии между наблюдателем и световой волной, образовавшейся на месте взорвавшегося коробка, говорить уже не приходится. Во всех случаях, когда световая волна испущена в сто
107
рону наблюдателя, расстояние между наблюдателем и световой волной всегда равно нулю, поскольку наблюдатель не располагает каким-либо более быстрым процессом, чем скорость света, с помощью которого можно было бы зафиксировать фронт световой волны в какой-либо точке пространства до него. В том случае, когда световая волна испущена в сторону от наблюдателя, он точно так же лишен какой-либо возможности обнаружить ее где-либо в пространстве и расстояние между ними в этом случае всегда равно бесконечности.
Нуль и бесконечность — пара математических символов, достаточно красноречивых для того, чтобы вообще прекратить всякий разговор о метрических отношениях в подобной ситуации.
Вместо одного спичечного коробка можно взять дюжину их или вообще сколько угодно. Важно то, что между наблюдателем и фотонами, образовавшимися на месте взорвавшихся коробков, не могут быть установлены операциональным путем какие-либо пространственно-временные отношения. Более того, можно вообще убрать наблюдателя и говорить о той совокупности пространственно-временных отношений, которой характеризуется множество спичечных коробков, движущихся произвольным образом друг относительно друга. Однако если их опять заменить фотонами, то уже ни о каких пространственно-временных отношениях между ними говорить не приходится.
Таким образом, современная физика позволяет представить такую физическую ситуацию, в которой «вокруг» наблюдателя имеется целый мир: материя физического вакуума и возбужденные состояния ее, не обладающие массой покоя. Однако какие-либо пространственно-временные представления в этой ситуации принципиально не могут быть введены: здесь нет расстояний и нет самого места, нет «дальше», «ближе», «раньше», «позже», нет выделенных точек-мест, нет центра и периферии, какого-либо вообще положения и его окрестностей, нет, следовательно, самого «вокруг».
Для того чтобы яснее представить себе характер специфических трудностей, связанных с попыткой введения метрического мероопределения в поле, лишенном объектов с конечной массой покоя, обратимся еще к одному примеру.
Надежно установленный факт необратимой эволю
108
ции вещества за счет потери массы покоя путем перехода ее в излучение в ядерных реакциях в недрах звезд позволяет допустить в качестве предельного космологического случая полное «выгорание» масс покоя в природе. В этом случае мы вновь получим такую картину, в которой будет только материя нулевого поля или физического вакуума и возбужденные состояния ее, не обладающие массой покоя, например фотоны, нейтрино и т. п. Такую предельную космологическую ситуацию нельзя считать слишком произвольной ввиду общей необратимости процессов во Вселенной, отмеченной в разд. 5.
Вместе с тем следует заметить, что такое предельное фотонное состояние Вселенной представляется крайне неустойчивым: фотоны большой энергии при взаимных столкновениях способны к порождению пар, состоящих из электрона и позитрона. Взаимодействие слабых фотонов, энергии которых недостаточно для образования пары, также требует обращения к представлению о рождении виртуальных частиц в вакууме, на которых и идет их рассеяние.
Возникающие частицы вещества при достаточном их количестве, когда становятся существенными гравитационные эффекты, в свою очередь неустойчивы относительно термодинамического равновесия, как это было уже отмечено нами. Может быть, именно крайняя неустойчивость подобного предельного состояния Вселенной является лучшим аргументом против теории тепловой смерти Вселенной.
В конце концов для последующих соображений совершенно неважно, насколько неизбежна такая предельная ситуация для действительного мира. Мы можем допустить ее в качестве своего рода мысленного эксперимента, с тем чтобы иметь возможность последовательно обсудить вопрос о применимости метрического мероопределения и связанного с ним операционального понятия протяженности к полевой материи в отвлечении от объектов с конечной массой покоя. Несомненно, что поле является самостоятельной, независимой и более глубокой по сравнению с веществом физической сущностью. Уже это позволяет рассматривать его, отвлекаясь от вещественного уровня в строении материи или от тех состояний ее, в которых она характеризуется наличием масс покоя.
109
Мы тем более можем рассматривать поле в качестве самостоятельной физической сущности, что программа построения единой теории материи в современной физике как раз и состоит в нахождении способа получения элементарных частиц (прежде всего их масс) из поля, в котором они первоначально отсутствуют и появляются лишь впоследствии.
Остается, впрочем, невыясненным: насколько разумной является такая постановка задачи вообще и не рождена ли она крайней идеализацией возможного исходного состояния? Может быть, реальность всегда двойственна и в соответствии с законом сохранения нуклонов при любом состоянии ее существуют поле и вещество. Интересно тем не менее рассмотреть чисто полевой аспект материи, отвлекшись от объектов с конечной массой покоя.
Итак, если, основываясь на «выгорании» масс, вновь допустить ситуацию, в которой помимо материи поля (или материи физического вакуума) и возбужденных состояний ее — фотонов — нет больше ничего, то спрашивается, какой физический смысл может быть придан понятию протяженности в этих условиях? Фотоны, лишенные массы покоя, не могут установить никакого взаимного силового воздействия между собой через расстояния, так как они движутся с предельно возможными в природе скоростями и поскольку здесь вообще нет физически верифицируемых расстояний. От фотона, не обладающего массой покоя, нет какого-либо физического, имеющего характер силового перехода к следующему фотону, также лишенному массы покоя, и с их помощью, следовательно, не может быть построен ряд 1 + 4-1 + 1+... (тот же образ протяженности, что и последовательный переход от элемента А к В, от В к С, от С к D и т. д. у Грассмана). Фотоны поэтому не могут образовать ни одну из осей отсчета, как и с каждым из них в отдельности не может быть связана какая-либо система отсчета. В совокупности фотонов, следовательно, не может быть осуществлен грассмановский закон протяжения.
Неприменимость понятия протяженности к полю, лишенному частиц с конечной массой покоя, объясняет, в частности, известные затруднения в космологических моделях Вселенной, согласно которым ни одна из сопутствующих систем отсчета не может быть реализована в
ПО
тех областях релятивистских моделей, которые заполнены одним лишь излучением Ч
Все это становится совершенно ясным, если вспомнить, что, согласно теории относительности, пространственно-временные отношения могут быть введены при наличии не менее двух объектов, обладающих массой покоя. Поле, не обладающее массой покоя, правда, служит посредником, устанавливающим эти отношения между массами, но само оно через инвариантный характер процессов, протекающих в нем, как бы выделено из определенности пространственно-временного и не обладает собственной протяженностью.
Но могут сказать, что мы вообще очень мало знаем о той физической сущности, называемой полем нулевых колебаний, которая может быть названа материей физического вакуума и которой мы здесь отказываем в непосредственной пространственно-временной определенности. Мы действительно знаем о ней очень мало, быть может, именно потому, что сталкиваемся с совсем особым видом физической реальности, принципиально отличным от всех до сих пор известных физических состояний.
Сегодня этот новый эфир, который введен в картину мира вместо отвергнутого теорией относительности механического эфира, представляется весьма и весьма сложным. В него входит: и дираковский вакуум, плотно забитый электронами с отрицательной массой, и набор осцилляторов электромагнитного поля. Он включает также протоны с отрицательной массой и такие же нейтроны, мю-мезоны и даже антинейтрино. Он может оказаться и еще более сложным, и в конце концов, как отмечает Г. Месси1 2, именно в силу этой сложности существующая сегодня концепция его будет отвергнута. Вполне возможно, что это будет именно так. Однако очевидно, что, с одной стороны, возврат к прошлому, мы скажем, протяженному эфиру, невозможен, а с другой — пустоту взамен его также нельзя постулировать.
Поэтому в отношении современного эфира, что бы он ни представлял собой в действительности — фон виртуальных частиц, электронно-позитронный, электромагнитный и т. д. фон или нечто совсем другое, — мы твердо знаем только одно: на него не может быть распростра
1 См. А. Л, Зельманов. Метагалактика и Вселенная. — «Наука и 1!'\1овечество». М., 1962. стр. 400
2 См Г, Mecca. Новая эра в физике. М., 1963, стр 124.
Ш
нено представление о непосредственной пространственно-временной определенности; он не есть ни движущийся, ни покоящийся эфир, в нем нельзя выделить «там» и «здесь», «раньше», «позже»; он не может служить системой отсчета, точно так же как не имеет никакого смысла и пространственное перемещение (или движение) любых объектов по отношению к нему. И дело заключается отнюдь не в том, что эта пространственно-временная неопределенность его связана с нашими чрезвычайно бедными знаниями о нем. Нет. Это заключение принципиального характера, вытекающее из основ теории относительности. Что бы мы ни рассчитывали узнать в будущем о физическом вакууме, из этих надежд мы должны навсегда исключить возможность получить какое-либо однозначное определение его в пространстве и времени, ибо это означало бы возврат к представлениям о механическом, пространственном эфире.
Новый, немеханический эфир по условиям теории относительности исключает распространение на него представлений о собственном протяжении его, выделенных точках и линиях в нем и выпадает из рамок пространственно-временной определенности. В этом смысле он принципиально не наблюдаем. Он проявляется в пространстве и времени ровно настолько, насколько это необходимо для того, чтобы вообще знать о его существовании — как причина неустранимой, всегда сохраняющейся и отличной от нуля вероятности флуктуаций энергии. Но пространственно-временная определенность его при этом принципиально не может быть получена. Дальше (в IV главе) будет детально показано, что фактически любые представления о физическом вакууме как некоем «эфире», «среде», «нулевом поле», «субстанции», «материи» и т. п. в значительной мере условны, поскольку в конечном счете вакуум не есть ни вещественный объект, ни субстанциальная среда, а квантовое свойство конечной физической неделимости вещественного, или субстанциального мира.
9.	Проблема геометризации физики и бесконечная протяженность
В связи с проблемой неуниверсальности протяженности в природе большой интерес представляет рассмотрение попыток геометризации физики.
112
Одним из пионеров геометризации физики, в работах которого содержится немало идей, нашедших позже свое воплощение в теории относительности, является английский математик* Вильям Клиффорд. В своем идейном развитии Клиффорд испытал большое влияние работ Римана и Грассмана (он перевел диссертацию Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» на английский язык, а в 1878 г. одним из первых заявил о своем глубоком восхищении «Учением о протяженности» Грассмана, назвав его из ряда вон выходящим трудом) Г
В докладе, прочитанном в 1870 г. в Кембриджском философском обществе на тему о пространственно-геометрической теории материи, Клиффорд наметил программу геометризации материи. Он исходил из того, что пространство может обладать кривизной, меняющейся при переходе от точки к точке и с течением времени. Тогда, по его мысли, можно представить, что то, что мы называем физическими изменениями, в действительности является геометрическими изменениями. В конце концов все явления во Вселенной — тепловые, световые, электромагнитные и т. д. — могут оказаться только изменениями кривизны пространства, и в физическом мире не остается места ни для чего другого, помимо этих геометрических изменений. Будущему физику, говорил Клиффорд, придется выстроить мир из двух вещей: пространства и его кривизны, поскольку расстояние или величина могут быть выражены в терминах положения (в широком смысле этого термина в analysis situs), а теория кривизны пространства даст ему возможность представить материю и движение в терминах одной лишь протяженности 1 2. Как показало последующее развитие физики, в отношении гравитации эти предсказания блестяще оправдались.
Успех общей теории относительности, в которой Эйнштейну удалось полностью геометризовать поле тяготения и тем самым частично реализовать идеи Клиффорда (физическое проявление поля тяготения находит исчерпывающее отображение в кривизне пространства-времени), побудил многих физиков к поискам дальнейших
1 См. А. Р. Кулишер. Вильям Клиффорд и грассмановы линейные алгебры. — «Труды Второго Всесоюзного математического съезда», т II. Секционные доклады М.—Л , 1936, стр 453.
2 См. там же, стр. 452,
ИЗ
возможностей в интерпретации физических явлений с помощью геометрии. Наибольший интерес вызывало, естественно, электромагнитное поле, включение которого в общую схему теории относительности означало бы существенный шаг на пути к единой картине мира. Уже в 1918 г. Г. Вейль предпринял попытку ввести электромагнитное поле в геометрическую схему мира, допустив изменение длины вектора при параллельном переносе его вдоль замкнутого контура. Такое новое свойство геометрии мира он нашел возможным описывать с помощью представления о пределе отношения изменения длины вектора к площади, охватываемой контуром, благодаря чему в теории появлялось четыре новых геометрических величины по сравнению с общей теорией относительности, которые Вейль и отождествил с электромагнитными потенциалами.^
Были предприняты и другие попытки геометризации электромагнитного поля. Калуца, Клейн, Эйнштейн и ряд других ученых предложили несколько вариантов пятимерных теорий, в которых, однако, пятое измерение пространства не имеет непосредственного физического смысла. Чаще всего его можно было истолковать в смысле конфигурационного пространства; предполагалось, что введение пятого измерения будет способствовать включению электромагнетизма в единую картину мира. Позже Ю. Б. Румер предложил такой вариант пятимерной теории, в котором пятому измерению приписывался физический смысл действия.
Однако все эти попытки натолкнулись на большие трудности и не только математического, но и главным образом принципиального характера, которые в конце концов привели многих физиков к размышлениям над глубокими проблемами, поставленными геометризацией физики. Дух увлечения, первоначально охвативший физиков, можно понять из следующего высказывания Эйнштейна: «Сейчас нам начинает казаться, что первичную роль играет пространство... так сказать, на следующем этапе. Пространство поглощает материю. Мы всегда рассматривали материю первичной, а пространство вторичным. Пространство, образно говоря, берет сейчас «реванш» и «съедает» материю» L
1 А. Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. II. М, 1966, стр. 243. Впрочем, подобные идеи высказывались и много раньше Например, 114
Легко видеть, что выдвижение такой программы является своего рода возвратом к картезианской точке зрения на сущность материи. Поэтому фактически первым геометризатором физики был уже Декарт. В основу своих представлений Декарт положил принцип, согласно которому все явления в природе можно объяснить, сведя их в конечном счете к движению и покою мелких частей на основе кинематического, чисто геометрического описания действительности. «Дайте мне материю (протяженное) и движение, и я вам построю миры» * 1 — так резюмирует философию Декарта Гегель. Гегель называет Декарта героем, еще раз «предпринявшим дело философствования» совершенно заново, с самого начала, и создавшим ту основу, на которой покоится начало эпохи точных наук. Что же касается полного описания действительности, или, как говорит Гегель, построения миров, то сегодня точные науки естествознания находятся еще дальше от этой цели, чем во времена Декарта, именно в силу осознания недостаточности любых механических и математических концепций материи. Посмотрим, однако, каковы перспективы геометризации физики в современной науке.
Анализ программы геометризации физики вскрывает следующие две взаимопротивоположные точки зрения на сущность физики. Согласно первой, геометрический континуум представляет собой лишь арену для проявления полей и частиц. Сами по себе физические сущности чужды геометрии, их следует добавить к геометрии для того, чтобы вообще можно было говорить о какой-либо физике.
Согласно второй концепции, в мире нет ничего, кроме пустого искривленного пространства. Материя, заряд, электромагнитное и другие физические поля являются лишь проявлениями искривления пространства. Физика есть геометрия. Все физические понятия должны быть представлены с помощью пустого, различным образом
приведенным словам Эйнштейна можно найти следующий аналог в Древнейших текстах Упанишад (IX—VI в. до н э.): «Каков источник этого мира? — Пространство... поистине, все эти существа выходят из пространства и возвращаются в пространство, ибо пространство больше их, пространство — последнее прибежище» («Чхан-Догья Упанишада» Перевод с санскрита А Я Сыркина. М, 1965,
1 Гегель Соч , т. XI. М., 1935, стр 277.
115
искривленного пространства, без каких-либо добавлений к нему
Сторонники первой концепции утверждают, что пространство и время представляют собой особые, независимые и несводимые к материи самостоятельные сущности, нечто вроде ньютоновского безграничного ящика-вместилища, в котором и происходит вся жизнь и движение материи. Нет нужды говорить здесь о том, насколько малоприемлемой может быть такая точка зрения на пространство и время сегодня, ибо пространство и время отнюдь не являются независимой от материи ареной физических явлений, а суть порождения материи, неотделимые от нее, суть выражения отношений, складывающихся в процессе движения материи. Согласно этой же точке зрения в мире есть две самостоятельные сущности: безграничное и бесконечное пространство-время и материя, или геометрическое и физическое, и притом не сводимые друг к другу. Но именно такая ситуация и представляется всего менее вероятной.
Однако и вторая точка зрения (физика есть геометрия, т. е. все физическое так или иначе может быть сведено к геометрическому) представляет собой крайне одностороннюю попытку обнять всю реальность с помощью одной лишь геометрии, попытку, на успех которой можно рассчитывать лишь в том случае, если протяженность действительно есть всеобщая и бесконечная определенность материи.
Таким образом, тот интерес, который у нас вызывает геометризация физики, проистекает из следующего соображения: если протяженность представляет собой всеобщую определенность материи, то физику действительно можно свести к геометрии. Если же этого не удается достигнуть, то единственной причиной неудачи следует признать наличие таких свойств в физической реальности, к отображению которых понятие протяженности неприменимо и которые не могут быть так или иначе ис
1 Например, электромагнитное поле может быть описано как «максвелловский квадратный корень» от свернутой кривизны; неквантованный заряд может быть представлен с помощью максвелловского поля без источников в многосвязном пространстве; неквантованная масса сопоставляется энергии электромагнитного поля, удерживаемого как одно целое его собственным гравитационным притяжением, и т. д. (см. Дж. Уилер. Гравитация, нейтрино и Вселенная, стр. 217).
116
толкованья с помощью каких-либо геометрических образов.
Ч. Мизнер и Дж. Уилер подробно показывают, что по существу вся классическая физика может быть описана с помощью одной только геометрии пустого и искривленного пространства. Чисто геометрический характер классической физики проявляется в возможности измерения кривизны пространства в от2, электромагнитных напряженностей в см~\ зарядов в см и масс в см. Масса Солнца, например, может быть определена путем измерения отклонения луча света, проходящего на расстоянии г от него. Для каких-либо единиц, кроме единиц длины, не остается места. Время, согласно теории относительности, также не есть новое и независимое понятие, а по существу есть длина — C-t. Наконец, гравитационные объекты, обладающие массой, могут быть построены из сингулярностей метрики пространства, что достигается в так называемых геонах (гравитационноэлектромагнитных объектах).
Под геоном понимается классический объект, который в принципе может быть сконструирован из электромагнитного излучения, удерживаемого в локальной области пространства своим собственным гравитационным притяжением в течение весьма длительного периода времени Его структура и устойчивость могут рассматриваться только в рамках классической геометродинамики (теории, объединяющей гравитацию и электромагнетизм) при условии, что принимаемый при этом рассмотрении размер его достаточно велик, чтобы квантовые эффекты еще не проявлялись. На больших расстояниях такие объекты не отличаются по своим гра-
1 Дж. Уилер пользуется при этом следующими соображениями. Гравитационное ускорение, необходимое для удержания излучения с2 на круговой орбите радиуса г, по порядку величины составляет — •
Ускорение, имеющее место вследствие гравитационного притяжения
в сгустке лучистой энергии с массой М, по порядку величины рав-М
НО q
-2
,где ньютоновская
константа тяготения. Оба
этих уско-
рения совпадают по порядку
М
величины, когда радиус r~q- — ' с2
При соблюдении этих условий можно получить сгусток излучения, которое удерживает само себя собственным гравитационным притяжением (см Дж. Уилер. Гравитация, нейтрино и Вселенная, стр. 64—66).
117
витационным свойствам от любой другой массы. Более того, они движутся в пространстве как единое целое и испытывают отклонения под действием медленно меняющихся силовых полей точно так же, как это происходит с любой другой массой. И все же, замечает Дж. Уилер, внутри такого геона нельзя указать места, где сосредоточена масса в обычном смысле этого слова. Геон обязан своим существованием локализованному (но всюду регулярному) искривлению пространства-времени и ничему более. Иначе говоря, геон описывает массу без массы.
Таким образом, на примере геона, в котором получена масса за счет одного лишь искривления пространства, можно понять, как может быть использован пространственно-временной континуум для конструирования физических объектов. Пространственно-временной континуум, геометрическое положены здесь в основу существования физических объектов. Сторонники полной геометризации физики предполагают, что мы можем достигнуть такой картины мира, в которой ничего не будет, кроме длин.
Однако реализовать эти идеи удается только для мира, определенного рамками классической физики. И по-видимому, не случайно, ибо вся классическая физика есть физика дифференцировавшихся состояний материи, поддающихся описанию с помощью однозначно определенных элементов такого всецело классического множественного состояния ее. Сомнительно, однако, чтобы единица длины одержала столь же блестящую победу и в физике микромира, в которой существенную роль играют свойства квантовой целостности и неразложимости в элементарных процессах и где применимость геометрических образов и самого понятия протяжения весьма проблематична.
Даже Дж. Уилер, возлагающий большие надежды на построение картины мира под любопытным лозунгом: ничего кроме длин!, в статье «О природе квайтовой геометродинамики» вынужден поставить весьма знаменательный вопрос: «Является ли такое представление, как континуум, совершенно несовместимым с миром физики элементарных частиц?» 1 Он вынужден констатировать, что, хотя вся классическая физика может быть описана с помощью только геометрии пустого и искривленного
1 Дж, Уилер, Гравитация, нейтрино и Вселенная, стр. 342.
118
пространства и одного метрического протяжения достаточно для того, чтобы построить все классические объекты, геометродинамика все же ничего не дает для понимания физики микромира. Из одного лишь протяжения нельзя получить ни одного из явлений микромира: спина, барионного, лептонного и других зарядов, фундаментальной для микромира дискретности и т. п. В конце* концов стало более или менее очевидным, что путь, на* который указывали Клиффорд и Эйнштейн и по которому долгое время шел Дж. Уилер, а именно поиски такого классического (неквантованного) развития теории рима-нового пространства, которое дало бы в качестве своих естественных следствий основные результаты микрофизики, является бесперспективным.
В последнее время Дж. Уилер, оставаясь верным идеям геометризации физики, выдвинул новую программу их реализации — теорию суперпространства или квантоводинамической топологии, преследующей цель распространения идей геометродинамики на микромир Элементом суперпространства является 3-геометрия, под которой Уилер понимает эквивалентный класс положительно определенных 3X3 метрик, переходящих друг в друга посредством преобразования. Каждая* 3-геометрия является пространственно-подобным разрезом 4-геометрии пространства-времени. Существенное значение в новой геометродинамике Уилера приобретает квантовый вероятностный принцип, который, однако, просто принимается в качестве важнейшего постулата. Каждой конфигурации 3-геометрии, т. е. «точке» суперпространства, сопоставляется собственная амплитуда вероятности. При этом метрика и топология пространства непрерывно флуктуируют, возникают и вновь исчезают различные геометрические объекты с отлично?! от евклидовой топологией, оснащенные ручками, гребнями, разрывами и т. п. Масштаб этих флуктуаций — субмикроскопический, порядка планковской длины (10-33сж). Их совокупность образует многосвязный пенообразный «ковер» пространства в микромире. «Слабо изменяющаяся поверхность этого пенного ковра соответствует классической детерминистской геометродинамике. Беспрерывные микроскопические изменения внутри пенного ковра, где все время исчезают ячейки пены и возникают
! См. Дж, Уилер. Предвидение Эйнштейна М., 1970.
119
новые, символизируют квантовые флуктуации геометрии» \
Неевклидовая топология пространства позволяет представить электрический заряд как чисто геометрическое явление, основываясь на захвате силовых линий топологическими ручками. Правда, этот заряд не имеет никакого отношения к заряду элементарной частицы, и Уилер лишь высказывает надежду на то, что, идя таким путем, можно будет построить элементарную частицу как некое коллективное возбуждение геометрического континуума, «резонирующее» между двумя элементарными возбуждениями.
Подобная вероятностная трактовка природы геометрии является настолько значительным отходом от первоначальной программы геометризации физики, что трудности, связанные с нею, в конечном счете обращаются сомнением по отношению к исходному положению этого направления в физике, выраженного в словах «все есть геометрия». Действительно ли все есть геометрия, если квантовый принцип по-прежнему остается чуждым этой концепции и соотношение неопределенностей кладется в основу построения вероятностной картины микрогеометрии без разъяснения его оснований и какой-либо связи с геометрической концепцией материи? Действительно ли все есть геометрия, если предположение об изменениях геометрии в субмикромире ведет к чудовищным плотностям энергии вакуумных флуктуаций (порядка 1095 г/см3, что в 1081 (!) раз превосходит плотность ядерной материи (1014 г/сл3))? Действительно ли все есть геометрия, если сам Уилер, обсуждая вопрос о субординации между метрической геометрией и различными предшествующими ей топологиями или даже пред-топологиями, указывает на следующую «последовательность творения»: «не геометрия, а затем квантовый принцип, а наоборот, сначала квантовый принцип, а уже затем геометрия!» 1 2. Где конец этому регрессу в бесконечность от геометрии к предгеометрии и т. д.? Каковы критерии физической реальности суперпространства и не является ли оно лишь идеальным образом, сотканным из элементарной флуктуации, мысленно повторенной бесконечное число раз? Где тот физический каркас
1 Дж. Уилер. Предвидение Эйнштейна, стр. 54.
2 Там же, стр. 95.
120
(и каков oiP), который обусловливает существование «основы» безбрежного моря флуктуирующей геометрии?
Вопросов рой, и в связи с ними напрашивается еще один: не правильнее ли признать конечную физическую неделимость мира как очевидную, вытекающую из факта существования кванта действия1. Она позволяет естественным образом объяснить и вероятностный квантовый постулат как следствие принципиально неполной любой детализации в микромире, и проявление чудовищных и превосходящих все разумные границы физических величин (при попытках мыслить эту детализацию неограниченной) как фиктивных — те же плотности энергии вакуумных флуктуаций порядка 1095 г/см? и т. п. В этом случае не было бы необходимости в обращении к мистическому (по собственному признанию Дж. Уилера) механизму компенсации элементарных флуктуаций 1 2.
Кроме того, принятие конечной физической неделимости мира может быть оправдано уже одной возможностью объяснить на этом основании природу вариационных принципов, существование законов сохранения и других закономерностей в физике, основания которых никогда не были вполне ясными и которые едва ли можно понять в рамках множественной картины мира.
Вместе с тем свойство конечной физической неделимости мира по самой своей природе чуждо всякой геометрии и не может быть представлено как-либо непосредственно в рамках многообразия (или множества), и оно, таким образом, по-своему свидетельствует о своеобразной неуниверсальности геометрического в природе. В связи с этим, по-видимому, существуют непреодолимые трудности в использовании геометрических понятий в описании микромира. Это обстоятельство отмечается многими физиками и философами. «Медленный прогресс единой теории поля, — пишет Пиаджио, — кажется, показывает, что настоящий материал (т. е. существующие геометрические теории. — И. Ц.) не ко всему приложим» 3.
В. Гейзенберг особо обращает внимание на то, что геометрическое потеряло видимость первичного и суверенность абсолютного в природе, столь характерную для
1 См. подробнее в IV главе.
2 См. Дж. Уилер. Предвидение Эйнштейна, стр. 59.
, 3 Н.Т. Н. Piaggio. Evolution of Ideas of Space. — «Nature», 1934, Vo1- 134, p. 611.
121
Него в классической физике. Геометрическое есть одно из свойств физического мира и в качестве такового оно есть нечто производное, ставшее, как и все прочие свойства и состояния. Сравнивая атомизм древних с современными воззрениями, он пишет: «Согласно Демокриту, атомы были лишены качеств, подобных цвету, вкусу и т. д. Они обладали лишь свойством заполнять пространство. Геометрические же высказывания относительно атомов рассматривались как вполне допустимые и не требовали какого-либо дальнейшего анализа. В современной физике атомы теряют и это последнее свойство, они обладают геометрическими качествами не в большей степени, чем остальными — цветом, вкусом и т. д.». Отмечая глубоко диалектическую сущность современной физики, Гейзенберг продолжает: «В современной физике ...все качества являются производными». Но если нет абсолютных и неизменных качеств материи, то, значит, нет и абсолютной и неизменной протяженности ее. «Это развитие кажется нам последовательным во всех отношениях. Прежде всего оно восстанавливает равновесие между различными свойствами материи, которое было утеряно в старой атомистической теории; геометрические свойства не имеют теперь преимущества перед другими свойствами» Г
И эти обстоятельства, и тот факт, что геометризация при полном успехе ее в классической физике не нашла до сих пор никакого применения в квантовой физике, наверное, можно рассматривать в качестве еще одного источника сомнений во всеобщности протяженного, или геометрического, в природе.
10. Проблема ограниченной применимости понятия протяженности в микромире
Эти сомнения возрастают при более близком знакомстве с проблемой протяженности в микромире.
Напомним, что в настоящей главе речь идет о метрической протяженности. Именно как выражение метрических отношений протяженность представляет собой одно из фундаментальных понятий и широко используется в математике, физике, астрономии и других науках.
1 В. Гейзенберг. Философские проблемы атомной физики. М., 1953, стр. 31—32.
122
Представление о всеобщем и универсальном характере протяженности в природе, составляющее душу классического естествознания, выражается в таком понимании ее бесконечности, когда считается одинаково возможным как неограниченное продолжение прямой в большом (пространственному протяжению приписывается бесконечное число километров, парсек, мегапарсек и т. п.), так и ничем не ограниченное деление отрезка прямой на все более мелкие части вплоть до точки, которая достижима лишь при условии бесконечного продолжения операции дробления.
Для классической концепции бесконечного протяжения в природе одинаково необходимым оказывается, таким образом, актуальное понимание геометрического образа точки в малом и бесконечно протяженной линии в большом. Бесконечная протяженность и точка, лишенная протяжения, — два антипода, неразрывно связанные друг с другом и взаимно полагающие друг друга. Их определенность получена через обоюдное отрицание, ибо точка определяется как лишенный измерений, а значит, и протяжения элемент протяженности, а любой отрезок протяженности предполагается образованным более чем счетно-бесконечной совокупностью таких точек !. Только метрическая бесконечность протяженности обеспечивает реальность точки, которая выступает в качестве актуально существующего предела ничем не ограниченного бесконечного процесса дробления любого отрезка протяженности. Точно так же реальное существование точки есть свидетельство актуальной бесконечности протяжения как в малом, так и в большом. Отказ от реального истолкования одного из этих образов по необходимости влечет за собой отказ от реального истолкования и другого.
1 Вообще говоря, предположение о том, что протяженная линия образована актуальной совокупностью точек более чем счетной мощности, оказалось неверным в свете достигнутого решения контину-ум-гипотезы (см. об этом разд. 18) и представляет собой лишь некоторую идеализацию. Точка и бесконечная протяженность, построенная из точек, есть абстракции, полученные в результате весьма сильных предположений о свойствах реальности и в результате весьма существенных отвлечений. Взаимное отношение понятий точки и протяженности противоречиво, и вместе с тем одних этих образов недостаточно для воспроизведения всех свойств реальности; об этом говорит и проблема континуума и проблема иррациональных чисел. Аналогичное убеждение складывается и при прослеживании возможного физического смысла этих понятий
123
Между тем уже в современной элементарной геометрии точка скорее представляет собой абстракцию бесконечно малой пространственной области, чем актуально существующий предел ее стягивания. Тем в большей мере это касается понимания точки в физике, в которой всякая величина (импульс, потенциал и др.) в опыте дана как функция области и лишь в процессе последующей абстрагирующей деятельности человеческого сознания идеализируется как действующая в точке: в физике функции области даются первоначально, и лишь идеальным предельным процессом вводятся функции точкиГ
Вся классическая физика покоится на предположении сколь угодно точной — точечной — локализации физических событий в пространстве и времени. И в классической физике было замечено, разумеется, что такого рода допущение представляет собой очень сильную идеализацию поведения реальных объектов. Однако эта идеализация казалась вполне естественной, а главное — не вступала в противоречие с основными принципами классических представлений о мире. Напротив, она вытекала из причинной концепции классической физики (классический детерминизм) и ее математического аппарата (дифференциальные уравнения).
В современной физике микромира понятия точки и протяженности вызывают еще большие трудности. Первоначально появление квантовой теории и установление соотношения неопределенностей Гейзенберга, казалось, затрагивало лишь одновременное эмпирическое определение точечной координаты и импульса частицы, которые традиционно мыслились реально существующими в виде абсолютно точных. Появились даже попытки трактовать соотношение неопределенностей Гейзенберга как «соотношение неточностей», возникающих якобы лишь в результате особенностей измерения в квантовой механике.
В соответствии с этим представлением предполагалось, что микрочастице можно приписать точечную координату и абсолютно точный импульс, но нельзя точно измерить эти величины в одном опыте вследствие принципиальной неконтролируемости взаимодействия между частицей и прибором: предельно точное измерение коор
1 См. Н. Н. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного М.—Л , 1933, стр. 15.
124
динаты уничтожает возможность одновременного с ним измерения импульса и, наоборот, точное определение импульса устраняет возможность локализации частицы. Еще в 1930 г. Гейзенберг придерживается той точки зрения, согласно которой ничто не мешает нам предположить, что у движущегося электрона до измерения могут одновременно существовать определенный импульс и определенная координата Вскоре, однако, выяснилось, что если под определенным импульсом и координатой понимать их абсолютно точные, «точечные» значения, то это предположение нужно оставить.
Оказалось, что каждый раз точность локализации электрона в пределах атома зависит от физических свойств агента, с которым электрон взаимодействует и с помощью которого эта локализация производится. Если атомарный электрон сталкивается с так называемым «мягким» фотоном (малой энергии и соответствующей частоты), то электрон не может быть где-либо указан в определенной части атома уже потому, что большая длина волны, присущая «мягкому» фотону, исключает возможность точной локализации взаимодействия между ним и электроном. Если же атом зондируется быстрыми внешними электронами или жесткими фотонами (большой энергии), то область локализации атомарного электрона будет зависеть от возможного разброса импульсов зондирующих частиц. Из соотношения неопределенностей Др •	видно, что при стяги-
вании области локализации электрона в точку (т. е. Дд->0) импульс его растет неопределенно: Др~ ——>оо. Эта зависимость непосредственно указывает на то, что минимальная область локализации электрона в атоме может быть определена зондирующими частицами с максимальным импульсом. В пределе это означает, что обнаружить электрон в какой-либо точке пространства атома можно только путем обстрела атома пучком частиц с бесконечно большими импульсами (и соответственно бесконечно большой энергией), что, однако, не имеет физического смысла.
Итак, поскольку в природе не существует агентов с бесконечно большой энергией, из указанных выше сооб
1 См. В. Гейзенберг Физические принципы квантовой теории М.-Л, 1932, стр. 21.
125
ражений следует, что абсолютно точные измерения координат, т. е. нахождение пространственной точки, физически невозможны. Одновременно это означает, что точечное событие объективно не существует в природе, поскольку оно требует для своей реализации бесконечной энергии.
Нетрудно видеть, что соотношение неопределенностей делает невозможным и другие способы придания физического смысла точке. Например, напряженность поля является тем более точной, чем к большей области пространства она относится, а представление о «точечной напряженности» неизбежно связано с появлением фиктивных бесконечностей. Фактически невозможно реализовать ни точечную координату, ни точечный момент времени и потому в действительности мы всегда имеем дело только с малой, но конечной областью пространства и времени На пути к достижению точки природа воздвигает своеобразную преграду, смысл которой сводится к тому, что в физическом мире нет ничего такого, что соответствовало бы точке.
В целом все эти обстоятельства, связанные с фиктивным характером точки, приводят к так называемой проблеме расходимостей — возникновению бесконечных значений заряда, массы, энергии и некоторых других физических величин и вероятностей процессов там, где в вычисления так или иначе входят приближения к некоторому точечному пределу. Это прежде всего касается вычисления собственной массы и энергии частиц. Иллюстрацией одного из источников расходимостей в современной квантовой теории может быть представление о точечном заряде электрона, приводившее, впрочем, к расходимостям еще в классической электронной теории Лоренца.
При вычислении энергии электромагнитного поля, создаваемого электроном, обнаруживается, что по мере приближения к центру электрона энергия поля непрерывно возрастает, становясь для точечного электрона бесконечной. В квантовой электродинамике эта трудность проявляется по-новому. Электрон непрерывно обменивается с полем виртуальными фотонами, энергия которых зависит от времени их жизни: чем меньше время существования кванта и, следовательно, меньше рас
1 См. Р. Я. Штейнман. Пространство и время, стр. 197.
126
стояние, на которое он успевает удалиться от электрона^ 1ем больше его энергия. При стремлении расстояния и времени жизни виртуального фотона .к нулю его энергия, а значит, и порождающего его электрона будет стремиться к бесконечности, что не имеет смысла.
Но раз нет точки как предела уменьшения протяженности, то само собой напрашивается мысль о введении некоторого последнего элемента протяженности в качестве предельного и далее неделимого. Такая гипотеза была впервые высказана В. А. Амбарцумяном и Д. Д. Иваненко, которые показали, что бесконечная энергия самодействия электрона может быть сведена к конечной, если предположить, что пространство микромира имеет дискретную структуру и состоит из элементарных ячеек, которые должны совпадать с размерами самих элементарных частиц Уменьшение же пространственных масштабов при расчете энергии частиц излишне, поскольку принимается, что кванты пространства характеризуют минимально возможные размеры пространства, в которых могут происходить какие-либо физические изменения. Тогда собственная энергия электрона уже не может расти неограниченно, а должна принять конечное значение. Определяемой из опыта массе электрона соответствует такая энергия его, которую он должен был бы иметь при пространственных размерах порядка 10-13 см.
Это значение элементарной пространственной ячейки совпадает с такими величинами, как классический ра-г= —-=2,8-10~13 смЛ	длина деброй-
левской волны для нуклона с энергией связи 7—8 млн. эв (^=— = 2-10-13^), определяемый из опыта радиус \ Р	)
протона (гр = 7-10~14f3f) . Это значение является также близким характерной области ряда других процессов: области соударения быстрых нуклонов, комптоновской длине волны для мезона и нуклона, длине волны света в эффекте рождения фотонами мезонов и т. п.1 2
1 V. Ambarzumian, D. Iwanenko. Zur Frage nach Vermeidung der unendlichen Selbstriickwirkung des Elektrons. — «Zeitschrift fiir physik». B. 64, 1930, S. 563.
2 См. С. T. Мелюхин. К философской оценке современных представлений о свойствах пространства и времени в микромире —«Философские проблемы физики элементарных частица. М, 196'3, стр. 141.
127
Весьма показательно, что нельзя получить произвольное уменьшение длины волны света ввиду множественного рождения пар по достижении ею некоторого характерного размера, близкого 10~13 см.
Таким образом, возможные размеры /о — элементарной, или фундаментальной длины — близки к 10-13 см. Существование кванта длины влечет за собой существование кванта времени, который будет характеризовать то минимальное время, в котором в элементарной частице, соответствующей минимальному пространственному расстоянию, могут произойти какие-либо физические изменения. Поскольку предельная скорость распространения физических взаимодействий равна С, то квант времени должен иметь размеры порядка
Т__	--10-24
т— -^7'—Лм сек.»
Интересно, что /о и то могут быть связаны с квантом действия. Если построить некий «шаровой» объем, отвечающий элементарной пространственно-временной ячейке, и «заполнить» его затем ядерной плотностью материи, то мы получим постулированный Планком квант действия Это совпадение, по-видимому, не является случайным. В размерность постоянной Планка входит масса, длина и время (в системе MKS:—г см ). Отсюда сек
более или менее очевидно, что гипотеза минимального действия должна была повлечь за собой аналогичное предположение о минимальных порциях пространства, времени и массы, поскольку их определенность необходимым образом входит в размерность кванта действия. Собственно в кванте действия уже была дана в зародыше конечность в малом протяжения, длительности и тяготеющей материи. Последующее развитие физики с 1900 г.1 2 пошло именно в направлении раскрытия этих обстоятельств.
В настоящее время идея существования фундаментальной длины, дальше которой вопрос о делимости протяжения теряет всякий смысл, рассматривается как не-
1 См С. Т. Мелюхин. К философской оценке современных представлений о свойствах пространства и времени в микромире. — «Философские проблемы физики элементарных частиц», стр. 142.
2 Гипотеза существования кванта действия введена Планком в 1900 г.
128
избежная для будущей теории элементарных частиц. О значительности обстоятельств, требующих введения элементарной длины и устанавливающих степень ее необходимости, убедительно свидетельствует книга А. Н. Вяльцева «Дискретное пространство-время» L
Итак, точка в микромире никоим образом не является пределом бесконечного процесса уменьшения. И единственное, что можно предположить в качестве абсолютного предела уменьшения протяженности (и следовательно, абсолютного предела точности измерения координат, длин и т. п.), — это некоторую минимальную протяженность, фундаментальную, или элементарную длину /о, меньше которой протяженность, по-видимому, лишена всякого смысла.
Но этим не исчерпывается драматизм положения с точкой и бесконечной протяженностью в физике микромира. Отмеченные выше обстоятельства указывают на то, что точка физически лишена смысла и ни о каких точечных объектах и точечных событиях не может быть речи. Следовательно, микрообъекты должны быть признаны в известной мере структурными, объемными в пространстве, что доказано для нуклонов. Более того, вполне очевидна необходимость признать существование некоторого фундаментального отрезка протяженности — наименьшего из возможных метрических масштабов.
Но положение чрезвычайно усложняется тем, что микрообъекты нельзя представить и в качестве протяженных объектов, даже если бы их протяженность совпадала по величине с указанной элементарной длиной. Понятия точки и протяженности лежат в основе центрального противоречия современной квантовой теории — противоречия между требованием релятивистской инвариантности ее представления и нелокальным характером взаимодействий. Это противоречие проистекает из того, что пространственно-временное описание в любой современной теории должно быть релятивистским, а теория относительности существенным образом опирается на использование понятий точки и точечного события (это, можно сказать, единственное, что осталось в ней от классической концепции пространства). Поэтому, поскольку уравнения квантовой теории строятся на базе теории относительности, в них и предпола-
1 А. Н. Вяльцев. Дискретное пространство-время.
5 Зак. 25	129
гается точечность частиц. Но при точечности частиц из этих уравнений вытекает бесконечное значение для энергии и массы частицы.
Если же считать частицу протяженной, то не выполняется требование релятивистской инвариантности: нужно предположить протяженную частицу абсолютно жесткой и допустить сверхсветовые скорости распространения сигналов, если не бесконечные. Только абсолютно жесткая частица, в пределах протяженности которой физический сигнал распространяется с бесконечной скоростью, т. е. мгновенно, будет обладать одним и тем же (инвариантным) размером в разных системах отсчета. Это величайшее противоречие, выход из которого может быть найден лишь на путях дальнейшего отказа от сохранившихся остатков классических представлений, и прежде всего от понятий точки и протяженности применительно к внутренним областям этих элементарных объемов. Оказывается, таким образом, недостаточно отказать микрообъектам в точечности и признать существование некоторого наименьшего отрезка протяженности /0. Требование релятивистской инвариантности применительно к элементарному отрезку протяженности остро ставит вопрос о его интерьере, в котором, согласно этому требованию, не должно быть вовсе... протяжения.
Отмеченные противоречия непосредственно указывают на то, что, ограничив протяжение в микромире элементарной длиной, мы должны пойти еще дальше и «изъять» всякую пространственность из «внутренней» области этой элементарной длины. Необходимо, таким образом, согласиться, что элементарный отрезок протяженности и сама микрочастица, занимающая некоторый объем в пространстве, — оба есть извне протяженное без того, чтобы внутри них было что-либо протяженное или хотя бы «пустое пространство». Элементарная длина есть последняя длина, и «внутри» нее вовсе нет никаких длин или расстояний, имеющих физический смысл. То же самое относится и к микрочастице. Она сама как бы пространственна, точечно нелокализуема, «размазана» в пространстве, но вряд ли есть смысл предполагать наличие пространства «внутри» этой области «размазанности». Она «пустая», но не в обычном смысле пустая как лишенная чего-либо ее наполняющего, а лишена самой способности быть наполненной, лишена самой пространственности «изнутри». Не существует физических
130
понятий, которые можно было бы распространить на области «внутри» этих элементарных объемов, и нет прежде всего оснований для употребления самого термина «внутри».
Соотношение неопределенностей для потенциала поля и координаты частицы приводит к тому, что в пределах пространственно-временной области с линейными размерами порядка фундаментальной длины неопределенность потенциала поля оказывается порядка самого значения потенциала. Точно так же в этих масштабах теряют смысл понятия фазы и частоты волны и т. п. В предложенном Гейзенбергом варианте единой теории материи содержится вывод об отрицательной вероятности процессов в областях порядка элементарной длины. Единственный смысл, который может быть приписан этим выводам, состоит, по-видимому, в том, что отрицается сама вероятность процессов в этих областях, что вполне понятно, если допустить, что в этих областях представление о пространстве и времени, а значит, и о каких-либо событиях теряет всякий смысл.
Нельзя допустить также, что элементарная частица состоит из каких-либо более мелких частиц. Это хорошо видно на примере старого вопроса: почему электрон не разлетается на части? Согласно представлениям обычной электродинамики, электрон должен был бы «распылиться», ибо одноименно заряженные части электрона должны отталкиваться одна от другой. Однако этого не случается. Что же удерживает электрон в целости и сохранности? Масса электрона мала и силы тяготения играют в нем ничтожную роль. Следовательно, гравитационные силы здесь ничего не объясняют. Представить электрон в виде материальной точки, лишенной протяженности, но несущей заряд, как было отмечено раньше, нельзя. Остается поэтому признать, что электрон есть последнее протяженное образование, лишенное каких' либо частей как реальных и пространство должно быть полностью исключено из его «внутренней» области.
1 В квантовой теории содержится принципиальное положение о том, что свободный электрон не может ни поглощать, ни излучать свет и может только рассеивать его (см Д. И Блохинцев. Основы квантовой механики. М., 1963, стр. 17). Этот вывод непосредственно оказывает на то, что электрон лишен какой-либо «внутренней» структуры в обычном смысле этого слова и не состоит из каких-либо более мелких частей, на перестройку связей которых мог бы быть затрачеы поглощенный квант энергии.
5*	131
Если определенный знак спина электрона указывает на некоторую пространственную ориентированность его как целого, то «внутри» занимаемого им объема уже нет никаких опорных физических объектов или процессов для разделения его «внутреннего пространства» на части. Это означает, что хотя мы и можем вообразить себе «внутреннее пространство» частицы и делить его в классическом духе бесконечно долго, однако этой делимости уже больше ничто не соответствует из реальных физических процессов.
После такой основательной «чистки» элементарной пространственно-временной ячейки вряд ли остаются какие-либо основания для сохранения представления о протяженности в ее пределах. Может быть, вообще об элементарной частице как корпускуле можно говорить лишь постольку, поскольку имеется в виду определенный вид взаимодействия. Отсюда и ее «нелокальность», т. е. пространственность ее экстерьера, и «непространствен-ность» ее интерьера как выражение невозможности проникнуть «внутрь» этой области нелокального взаимодействия средствами данного класса взаимодействий.
Если бы удалось построить такую физическую теорию, в которой метрическая протяженность явилась бы не исходным понятием, а следствием, то тем самым, быть может, удалось бы устранить указанное фундаментальное противоречие и добиться гармонического слияния теории относительности и квантовой механики. Может быть, для этого необходимо найти возможность представления физических теорий независимо от какого-либо понятия расстояния и даже получить расстояние как некоторую функцию от величин взаимодействия 1.
По мнению известного американского физика Дж. Чью, в основу теории элементарных частиц должен быть положен импульсно-энергетический континуум, поскольку принципы теории относительности и квантовой механики запрещают пространственно-временное описание элементарных частиц1 2.
Теория, в которой геометрия была бы вторичной по отношению к электродинамике и квантовой механике,
1 D. Van-Dantzig. Uber den Verhaltnis von Geometrie und Phy-sik. — «Comptes rendus du V-me Congres international des mathemati-ciens», t. II. Oslo, 1936, p. 314.
2 G. F. Chew. What is the Nucleon. — «Nucleon Structure». Stanford, 1964; G. F. Chew. The dubious role of space-time continuum in microscopic Physics. — «Sciense Progress», vol. 51, N 204, 1963.
132
очевидно, позволила бы создать гораздо более законченную картину мира по сравнению с современной.
Необходимость отказа от протяженности в пределах интерьера элементарных частиц приводит к весьма своеобразной трактовке их движения. Согласно гипотезе я. И. Френкеля \ движение элементарных частиц не является простым перемещением себе тождественной частицы из одного места в другое, как мы можем это представить, опираясь на опыт непрерывного движения тел в макромире. Он предположил, что движение элементарной частицы выражается в периодическом исчезновении ее в одной элементарной клетке пространства и возникновении в другой. В основе предположения о регенерационном характере движения элементарных частиц лежит представление о непрерывном процессе взаимодействия реальной частицы с физическим вакуумом. Реальная частица вызывает поляризацию вакуума, выражающуюся в порождении виртуальной пары вблизи нее, вследствие чего в следующий момент она исчезает за счет аннигиляции со своей античастицей из виртуально возникшей пары. Но именно благодаря этому виртуальная частица — этого требуют законы сохранения — становится реальной в следующей ячейке пространства и т. д. Таким образом, в этой гипотезе движение частицы объясняется как регенерационный процесс, состоящий в ее постоянном возникновении и последующем исчезновении в виртуальных переходах. Основные свойства частиц оказываются в таком случае статистически средними во времени.
Подобный регенерационный процесс позволяет отличить один элементарный интервал времени от следующего за ним, он позволяет также отличить одну пространственную ячейку от другой. Но при этом мы не можем отличить при помощи такой скачкообразно движущейся по ячейкам пространства частицы правую половину пространственной ячейки от левой. Мы не находим такой частицы, которая двигалась бы из правой половины пространственной ячейки в левую, и в этом-то и нужно видеть проявление свойств элементарности последних ячеек пространства, как далее неделимых. Такое физическое объяснение квантования пространства и време
1 См Я. И. Френкель. Понятие движения в релятивистской кван-509°Й теоРии' — «Доклады АН СССР», т 64, 1949, № 4, стр. 507—
133
ни предлагает Б. Г. Кузнецов \ основываясь на идее регенерационного движения Я. И. Френкеля.
К указанной выше невозможности отличить правую сторону пространственной ячейки от левой следует добавить, что мы не можем также отличить первую половину временного интервала порядка 10-24 сек от второй его половины, ибо нет самих этих половин: физически в пределах элементарных интервалов пространства и времени ничто не движется и не изменяется. Одним словом, делает вывод Б. Г. Кузнецов, существуют четырехмерные пространственно-временные клетки мира, внутри которых нет мировых линий1 2. Состояние материи, «заполняющее» эти ячейки или производящее, образующее их, есть именно такое, в отношении которого теряет смысл понятие механического движения и на которое не может быть распространена определенность протяженного. К этому нужно добавить, что в нарисованной картине в целях большей наглядности дается крайне упрощенное изложение возможного процесса. Ясно, что пространственно-временные элементарные ячейки не существуют сами по себе, подобно ячейкам пчелиных сот, как ни в коем случае нельзя представлять себе, что уже потом по таким готовым ячейкам, перескакивая из одной в другую, движется элементарная частица, хотя бы переход ее из ячейки в ячейку и осуществлялся через исчезновение в «небытие» и последующее рождение ее из «ничего».
Конечно, дело обстоит гораздо сложнее, и сама частица и занимаемая ею ячейка суть единое пространственно-временное образование, возникающее «в» том, что лишено определенности протяженного. Вакуум выражает конечную физическую неделимость мира, которая ответственна за всегда существующую возможность рождения реальных квантов и частиц.
В этом случае реальное пространство-время носит в целом статистический характер и «вырастает» из подобных трансмутаций как суммарный результат статистического усреднения огромного числа элементарных событий. Привычная тотальность пространственно-временной
1 См. Б. Г. Кузнецов. Эволюция картины мира. М, 1961, стр 341—342
2 Мировая линия — это непрерывная последовательность мировых точек в пространстве-времени, каждая из которых отображает мгновенное положение объекта в данной точке пространства и в данный момент времени.
134
рамы бытия есть лишь следствие массивности объектов макромира» тела человека и его органов чувств, превосходящей всякое сравнение с элементарными объектами и исключающей чувственное восприятие статистической природы мирового пространства.
Нужно хорошо осознать, что элементарные события в микромире протяженны лишь со своей внешней формы, в смысле внешнего проявления своего. Невозможность дальнейшего расчленения конечного четырехмерного объема связана с отсутствием реальных физических процессов, позволяющих отличить одну часть субстанции, «заполняющей» этот объем, от другой ее части. Об этом особом состоянии материи, «наполняющем» элементарные объемы, можно лишь сказать, что в нем совершенно отсутствуют какие-либо выделенные точки-элементы или особенности, что оно характеризуется полнейшей нерас-членимостью. Именно это особое состояние неразложимости материи кладет предел распространению пространственно-временных представлений в микромире.
В заключение необходимо отметить, что представление об ограниченной применимости понятия протяженности отнюдь не обязательно связывать с областью порядка 1013—10-14 см. Вокруг 10-13 см накопилось достаточно много обстоятельств, указывающих на принципиальную конечность протяжения в микромире. Но при этом нужно иметь в виду, что, вообще говоря, различного рода взаимодействия в микромире могут характеризоваться и различного рода предельным минимумом расстояний в них и в этом смысле не существует «последней» длины L
Возможно, например, что для гравитационных взаимодействий величина элементарной длины будет порядка «радиуса» гипотетических гравитонов; она может быть также определена исходя из постоянной гравитации у:	— =4-10~33 см?. А гравитационные * В.
1 По мнению В. Л Гинзбурга, «этот предел, быть может, отодвигается до примерно 10 20 см», но во всяком случае фундаментальная длина не меньше гравитационной длины ~ 10-33 см (см.
В. Л. Гинзбург. Проблемы физики и астрофизики. — «Успехи физических наук», т. 103, 1971, вып. 1, стр. 102).
2 W. Heisenberg. Uber die in der Theorie der Elementarteilchen auftretende universelie Lange. — «Annalen der Physik» (5). Bd. 32, 1938, S. 26.
135
радиусы элементарных частиц дают и вовсе ничтожные величины для электрона r^ = 6,75* 10-56 см, для протона— гр = 1,24 • 10~52 см. Возможно, впрочем, что характер этих величин лишь указывает на ничтожную роль сил гравитации в мире элементарных частиц.
Наконец, не следует забывать и о том, что численное выражение фундаментальной длины, конечно, относительно или условно. К тому же в нестационарной Вселенной минимальная длина может быть подверженной изменениям. Высказывались предположения о связи между радиусом Вселенной и радиусом электрона (Эддингтон). В этом случае расширение Вселенной должно как-то проявляться в соответствующих изменениях радиуса электрона, хотя эти изменения могут быть и ненаблюдаемы в силу одновременного изменения всех масштабов во Вселенной. Известны также предположения о том, что мировые константы могут меняться не только со временем, но и от места к месту.
Безразмерные константы, выражающие отношения фундаментальных постоянных в их различных комбинациях, в этом смысле заслуживают большего внимания, поскольку в них могут найти выражение фундаментальные черты структуры мира.
При всех этих обстоятельствах несомненно одно — протяженность в принципе не может быть бесконечной, а вопрос о конкретных пределах применимости представления о ней в тех или иных случаях должна решать физика.
Для нас важен общий итог анализа применимости понятия протяженности в микромире, который, очевидно, состоит в том, что ни ограничение делимости протяженности в микромире, ни тем более принятие бесконечной делимости ее, рассматриваемые в отдельности или совместно, еще не дают возможности избежать фундаментальных трудностей, связанных с проблемой расходимостей и релятивистской инвариантностью. Диалектическое положение о свойствах протяженности, состоящее в одновременном утверждении бесконечной делимости ее и неделимости, содержит в себе указание на необходимость выйти вообще за рамки определенности протяжения.
Для диалектического материализма эта проблема не представляет собой чего-то исключительно нового. Наряду с указанной формулой единства делимости и неде
136
лимости протяжения, в диалектическом материализме содержится также учение о диалектике множественного и единого.
Если обратиться к истории философии, то можно увидеть, что на связь диалектики прерывного и непрерывного и диалектики множественного и единого обращали внимание еще философк древности I Именно этим, возможно, объясняется сохраняющийся и в наше время большой интерес к апориям Зенона.
11. Апории Зенона
Апории Зенона вот уже на протяжении двух с половиной тысячелетий проходят через всю историю философии как труднейшие загадки древности, десятки раз подвергавшиеся различным истолкованиям и каждый раз остававшиеся непреодоленными и нерешенными.
Мы рассмотрим здесь четыре апории, в которых Зенон обсуждает вопрос о том, можно ли понять движение, не выходя за рамки понятий протяженности и длительности. Эти апории, взятые вместе, живо воспроизводят логическую структуру затруднений современной физики, вызванных фундаментальной проблемой расходимостей в квантовой теории поля, с одной стороны, и требованием релятивистской инвариантности ее — с другой, о чем шла речь выше.
Как отмечает В И. Ленин, «Зенон и не думал отрицать движение как «чувственную достоверность»». «...Вопрос не о том, есть ли движение, а о том, как его выразить в логике понятий»1 2.
В проблеме отображения движения в понятиях оспариваемая Зеноном множественность бытия находит выражение в представлении о бесконечности протяжения и длительности. Зенон задается вопросом о том, можно ли совместить движение с бесконечным и всеобщим характером протяженности в природе. Точнее говоря, он ставит вопрос, бесконечна ли делимость протяженности, а также длительности, и как далеко вообще мы можем провести наше представление о протяжении в природе.
1 А. Грюнбаум отмечает тождественность апорий протяжения с апориями множественности у Зенона (A. Grunbaum. Modern Science and Zeno's Paradoxes. London, 1968).
2 В. И, Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 230.
137
Но, как было показано в предыдущем разделе, сегодня это острейший вопрос физики микромира, связанный с проблемой расходимостей, уйти от которых удается, лишь допустив некоторую элементарную или фундаментальную длину /о, далее неделимую, т. е. ограничив представление о протяженности в микромире этим последним элементом протяжения.
В апории «Ахиллес и черепаха» Зенон показывает, что если допустить бесконечную делимость протяженности, то быстроногий Ахиллес не только не обгонит, но и не догонит черепаху, которая в момент старта находится на некотором расстоянии впереди от него. Ход доказательства очень прост. Ахиллес и черепаха начинают движение одновременно. Прежде чем догнать черепаху, Ахиллес должен будет достигнуть места ее исходного положения. Черепаха за это время удалится на некоторое расстояние от своего прежнего положения. Дальше Ахиллес снова должен пробежать расстояние, разделяющее их, черепаха за это время снова отодвинется хотя бы на ничтожное расстояние и т. д. и т. д. Поскольку предполагается, что протяженность можно делить бесконечно, и мы при этом будем получать хотя и сколь угодно малые, но все же обладающие протяженностью и, следовательно, делимые и дальше ее элементы (тут сохраняется представление о бесконечности протяженности вглубь), постольку Ахиллес именно в силу бесконечной делимости протяжения не может догнать черепаху.
Больше того, даже если черепаха прослушает выстрел стартового пистолета и, находясь на некотором расстоянии впереди Ахиллеса, вовсе не сдвинется со своего исходного положения, Ахиллес все равно не догонит ее, поскольку ему нужно будет пройти сначала половину расстояния, разделяющего их, но прежде — половину половины, и так далее до бесконечности. Здесь мы подходим ко второй апории Зенона, известной под названием «Дихотомия». Эту апорию нередко истолковывают как свидетельство того, что Зенон не располагал еще математическим понятием «предел», т. е. не знал, 1 । 1 . 1
что ряд —Т— +... есть сходящийся ряд, и в силу 2	4	8	г
этого делал вывод, что сумма бесконечно большого (неограниченного) числа любых, хотя бы и чрезвычайно малых протяженных величин обязательно должна быть бесконечно большой.
138
Но нельзя Думать, что эта апория может быть решена 1 с помощью понятия о пределе. Хотя сходящийся ряд и имеет предел, к которому он сходится, однако он есть лишь сходящийся и никогда не бывает пришедшим к пределу, т. е. в таком ряде всегда сохраняется характер незавершенного действия или действия, которое никогда не может быть завершено.
Может показаться, что апории Зенона можно считать разрешимыми на основании аксиомы Эвдокса1 2. Действительно, еслц апории «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» истолковать в плане постановки вопроса об определении величин, то аксиома Эвдокса приобретает здесь решающее значение. Причем можно взять аксиому Эвдокса в форме, которая является как бы непосредственным ответом Зенону: если отнять половину или больше половины какой-нибудь величины и если повторять эту операцию достаточное число раз, то можно в конце концов получить величину, меньшую любой заданной величины того же вида 3.
Таким образом, в этой аксиоме, послужившей основанием для разработки метода исчерпывания в древнегреческой математике, представление об актуальной бесконечно малой величине заменяется представлением о процессе перехода к некоторому пределу, так что не существует наименьших величин, но всегда они могут быть взяты меньшими и еще меньшими. Поскольку, однако, ясно указан предел, к которому устремляется этот процесс, то с этой точки зрения создается впечатление, что апории Зенона «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» легко устраняются указанием на предел вводимых в рассмотрение Зеноном сумм.
Аксиома Эвдокса в рамках разработанной им теории отношений послужила инструментом для преодоления кризиса, вызванного открытием несоизмеримых отрез
1 См. С. А. Яновская. Методологические проблемы науки, стр 223.
2 См. Г. Г. Цейтен. История математики в древности и в средние века. М—Л., 1938, стр. 54—58, 115. Впрочем, Г. Цейтен нигде не показывает, как можно решить апории Зенона на основании аксиомы Эвдокса. Он лишь замечает, что разработанный Эвдоксом метод исчерпывания позволял избежать пользования бесконечно малыми величинами, к чему древние побуждались, в частности, и критикой Зенона. (Аксиома Эвдокса — то же самое, что аксиома Архимеда).
3 См там же, стр. 115.
139
ков. На ее основе была разработана концепция строгого определения числа, предвосхищающая идеи дедекиндов-ских сечений. Н. Бурбаки указывают на то, что эта аксиома с самого начала выступает в качестве ключа к строгому построению аксиоматической теории вещественных чисел \ и в этом состоит прежде всего ее огромное значение. Однако мы нигде не находим у Н. Бурбаки указания на возможность решения апорий Зенона на основании этой аксиомы.
Г. Вейль также высоко оценивает аксиому Эвдокса в связи с содержащимися в ней возможностями строгого обоснования понятия числа. На ее основе можно развить концепцию континуума, в котором «...не существует ни актуально бесконечно большого, ни актуально бесконечно малого (ибо я называю отрезок а бесконечно малым по сравнению с отрезком в, если любая сумма отрезков а, сколько бы их я ни взял, всегда остается меньше в)»1 2. Как и Н. Бурбаки, Г. Вейль особо подчеркивает важность аксиомы Эвдокса в обосновании понятия предела 3.
Можно ли, однако, считать, что апории Зенона могут быть устранены с помощью представления о пределе сходящегося ряда? Вот что пишет по этому поводу Г. Вейль: «Невозможность толкования непрерывного как некоего застывшего бытия наилучшим образом сформулирована в известном парадоксе Зенона о состязании в беге между Ахиллесом и черепахой. Разумеется, то указание (при помощи которого, как теперь полагают, разрешается этот парадокс), что последовательные частные
1 . 1 t 1 .1 суммы ряда — + — + —	именно 1----— не увели-
чиваются сверх всяких границ, а стремятся к 1, представляет собой важное, относящееся к данному вопросу и разъясняющее его замечание. Однако, если отрезок длины 1 действительно состоит из бесконечно многих как бы < 111 «отрубленных» целых отрезков длины — ,	т0 Ут“
верждение, что Ахиллес может в конце концов пробежать все их, противоречит сущности бесконечного, «незавер-
1 См. И. Бурбаки. Общая топология, стр. 92; их же. Очерки по истории математики, стр. 156, 168, 169.
2 Г. Вейль. О философии математики. М.—Л., 1934, стр. 11.
3 См. там же, стр. 11 —12, 71 и др.
140
шаемого». И если допустить такую возможность, то непонятно, почему какая-нибудь машина не могла бы совершить в конечное время бесконечное множество актов решения, давая, скажем, первый результат через Уг минуты, второй через V4 минуты после первого, третий через Ve минуты после второго и т. д. В этом случае, если бы наш рассуждающий мозг функционировал аналогичным образом, было бы возможно осуществить пересмотр всех натуральных чисел и дать уверенный положительный или отрицательный ответ на все относящиеся к ним проблемы существования!»
Таким образом, Г. Вейль отнюдь не считает, что представление о пределе полностью устраняет подмеченную Зеноном трудность 1 2. Резюмируя возможности, связанные с аксиомой Эвдокса, мы должны сказать, что она (или построенное на ее основе понятие предела) позволяет понять результат движения, но еще не само движение. Для объяснения завершенного результата движения в аксиоме Эвдокса корректным в математическом отношении путем постулируется потенциальная возможность неограниченного дробления отрезка протяжения, между тем как обращение к самому процессу движения в реальном пространстве и времени требует придания этому представлению актуального характера, что вновь возвращает нас к первоначальным трудностям.
Кроме того, как показывает С. А. Яновская, апории Зенона «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» можно истолковать как измерение некоторого отрезка протяжения изменяющимся масштабом, скажем, сокращающимся наполовину после каждого его откладывания. При определенном условии (длина измеряемого отрезка АВ должна быть большей или равной двум «жестким» или неизменяющимся масштабам) процесс измерения никогда не может быть закончен и точка В в этом процессе
1 Г. Вейль. О философии математики, стр. 68—69.
2 Такой точки зрения придерживаются и авторы новейшего фундаментального исследования по истории математики. В этой работе основательно рассмотрены и апории Зенона, и учение Эвдокса, однако нигде нет указания на то, что апории Зенона можно считать преодоленными уже на основании аксиомы Эвдокса. Наоборот, авторы отмечают проблематичность пользования в математике понятием актуальной бесконечности и указывают на наличие связи между апориями Зенона и парадоксами теории множеств в современной математике (см. «История математики с древнейших времен до начала нового времени», т. 1, стр 87—93).
141
будет недостижимой, «бесконечно удаленной» точкой. Следовательно, трудности сохраняются.
Апориям Зенона посвящена огромная литература, как философская, так и математическая, к их рассмотрению обращаются многие из современных математиков и логиков: Б. Рассел, А. Грюнбаум, К- Айдукевич, С. Шираиши и др. И тем не менее, как отмечает С. А. Яновская, «...трудности, нашедшие отражение в апориях Зенона, и в наши дни нельзя считать преодоленными» Об этом же свидетельствует и тесная связь проблематики апорий Зенона с современным состоянием оснований математики. «В ходе дискуссий, длившихся на протяжении последних десятилетий, становилось все более очевидным, что теперешние трудности теснейшим образом связаны с теми, что уже дважды казались преодоленными, а именно с загадками пифагорейцев и элеатов и затруднениями, с которыми столкнулись французская и германская школы теории функций. Характер рас-суждений теперь, конечно, изменился, но трудности, как и прежде, возникли в связи с пропастью между дискретным и непрерывным — этим неизменным камнем преткновения, играющим в то же время чрезвычайно важную роль в математике, философии и даже физике»1 2.
Вся история предпринятых в науке попыток решить апории Зенона показывает, что даже самые тонкие формальнологические и математические способы их преодоления оставляют нас неудовлетворенными3. При этом исследователь не может не заметить, что своей резкой оппозицией обыденному представлению о движении, пространстве и времени апории Зенона указывают на выход к новому знанию, которое эмпирически стало возможным только в современной физике. В этом их непреходящая ценность и с этой точки зрения мы продолжим их рассмотрение здесь.
Непосредственным содержанием апории «Дихотомия» является утверждение, что Ахиллес вообще не может передвинуться с одного места на другое, поскольку, начав деление протяженности с половины расстояния,
1 С. Л. Яновская. Методологические проблемы науки, стр. 218.
2 А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств. М., 1966, стр. 241—242.
3 См. И. 3. Цехмистро. Апории Зенона глазами XX века. — «Вопросы философии», 1966, № 3.
142
разделяющего его и черепаху, он не в состоянии его завершить в силу бесконечности протяжения вглубь и приходит ко все меньшим и меньшим отрезкам протяженности, в каждом из которых тем не менее сохраняется нетронутой определенность протяжения, каждый из которых ничем ни отличается от предыдущего и предполагает бесконечную делимость протяжения и дальше. Отсюда и знаменитый вывод из апорий Зенона: Ахиллес не в состоянии сдвинуться с места, движение невозможно.
В действительности нам не составляет большого труда перейти из одного угла комнаты в другой, а быстроногие ахиллесы легко обгоняют черепах. Движение есть факт. Но оно, видимо, несовместимо с представлением о бесконечной протяженности и бесконечной длительности и их бесконечной делимости. Такой вывод с необходимостью следует из рассмотренных апорий Зенона.
Представление о движении в рамках бесконечного пространства и времени не имеет смысла в теории Эйнштейна. Движение в бесконечном пространстве и времени вне всякого сомнения есть абсолютное движение. Но именно абсолютное движение, как равно и абсолютный покой, отрицаются в теории относительности. Таким образом, в действительности Зенон, по-видимому, отрицал не движение, а возможность совместить представление о движении с бесконечностью протяжения и длительности.
Отсюда ясно: если бесконечная делимость протяжения и длительности находится в столь удивительном противоречии с эмпирическим фактом движения, то первый и решающий шаг в преодолении рассмотренных апорий Зенона должен состоять в отказе от бесконечности протяжения и длительности и в допущении некоторого последнего и далее неделимого отрезка протяжения, подобного тому, который мы сегодня находим в выводах современной физики о квантованности пространства в микромире. Проблема расходимостей в современной физике и рассмотренные апории Зенона находятся в очевидном и тесном логическом родстве и проистекают из одной основы — из ложного представления о бесконечности протяжения вглубь.
Зенон, прозванный своими современниками «двуязычным», умел поставить своего собеседника снова в т¥пик, едва только тот принимал вывод, естественным
143
образом вытекавший из существа его первых двух апорий. Дело в том, что две другие апории Зенона — «Летящая стрела» и «Стадион» — противоположны рассмотренным здесь в том смысле, что если последние показывают логическую недопустимость бесконечного деления пространства и времени и его несовместимость с представлением о движении, то апории «Летящая стрела» и «Стадион» показывают, что и существование таких далее неделимых, статических элементов протяжения и длительности, в пределах которых или внутри которых представление о протяжении сохраняет свою силу, также отрицает возможность всякого движения. Одним словом, ни бесконечная делимость протяжения и длительности, ни существование конечных и далее неделимых отрезков протяжения и длительности еще не могут вывести нас из тупика, поскольку мы ни в том, ни в другом случае не выходим за рамки определенности протяженного и длящегося, т. е. не выходим за пределы представления о движении лишь как о движении протяженных объектов и в рамках протяжения.
Современная физика, получив в некотором смысле минимальные и далее неделимые кванты протяжения и длительности, испытывает серьезнейшие трудности в связи с теми обстоятельствами, что такого рода минимальные кванты пространства и времени, с одной стороны, должны быть такими (проблема расходимостей), а с другой — вовсе не должны быть такими, т. е. не должны быть именно чем-то протяженным и длящимся (требование релятивистской инвариантности и проблема сверхсветовых сигналов «внутри» этих квантов пространства и времени). В современной физике мы приходим, таким образом, к осознанию необходимости выйти вообще за пределы понятия протяженности, допустив минимальные кванты протяжения и длительности.
Рассмотрим подробнее апории «Стадион» и «Летящая стрела».
Если апории «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» вынуждают нас признать наличие некоторой границы деления протяжения и утверждают существование последнего, далее неделимого отрезка протяжения, то в апориях «Стадион» и «Летящая стрела» Зенон как бы идет дальше и показывает, что представление о протяжении за пределами этого элементарного отрезка про-
144
тяже ни я или «внутри» него приводит к непреодолимым противоречиям.
В апории «Стадион» он рассматривает три параллельных колонны участников спортивных игр. Средняя, или 2-я, колонна остается неподвижной, а 1-я и 3-я движутся по отношению к ней в противоположных направлениях. Поскольку из апорий «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» ранее был сделан вывод о существовании последних и далее неделимых отрезков протяжения, которые якобы интегрируются в движении, то ясно, что для объяснения движения этих трех колонн мы должны проследить их взаимное движение на уровне элементарных и даже неделимых отрезков протяжения. В этом случае с очевидностью обнаруживается следующее противоречие. Если 1-я и 3-я колонны, двигаясь во взаимно противоположных направлениях, в элементарный квант длительности смещаются на элементарный и далее неделимый отрезок протяжения каждая по отношению к средней, остающейся неподвижной, то, рассматривая их движение по отношению друг к другу, мы обнаруживаем, что такой неделимый отрезок длительности оказывается делим и далее, ибо по его истечении 1-я и 3-я колонны взаимно смещаются на два элементарных отрезка протяжения. Но, разделив длительность, мы можем теперь, основываясь на этом, подвергнуть дальнейшему делению и элементарный отрезок протяжения, он также оказывается делимым и далее.
Тем самым апория «Стддион» противоречит выводам из апорий «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия».
Но разве это не та же ситуация, что сложилась в современной физике микромира, где, с одной стороны, мы вынуждены признать существование некоторого предельно малого и дальше неделимого элемента протяжения, а с другой — согласно требованиям релятивистской инвариантности, он должен «растягиваться» и «сокращаться», т. е. должен быть делим и далее? Если апории «Ахиллес и черепаха» и «Дихотомия» указывают на необходимость допустить некоторый элементарный и Далее неделимый отрезок протяжения, то апория «Стадион» отнюдь не противоречит этому допущению, а, наоборот, углубляет и развивает его дальше, показывая, ито элементарный или последний отрезок протяжения не может быть в то же время таким; противоречия сохраняются, если он и далее, т. е. «внутри» себя, предпола-
145
гается чем-то протяженным и длящимся. Здесь мы непосредственно сталкиваемся с необходимостью вообще выйти за рамки протяжения.
Это особенно ясно становится в следующей апории Зенона — «Летящая стрела». Содержание ее также по видимости противоречит выводам из первых двух апорий, ибо если признается существование последних и далее неделимых квантов протяжения и длительности, то это означает, что движение летящей стрелы должно состоять из суммы моментов покоя ее в каждой из таких элементарных ячеек пространства и времени. Но сколь угодно большая сумма моментов покоя не даст и самого незначительного движения, и, таким образом, апория «Летящая стрела» прямо отрицает ранее предположенные элементы протяжения и длительности как готовые и неизменные статические элементы протяжения и длительности и только. Таковыми они как раз и не могут быть, ибо и в этом случае мы не получаем движения.
Прекрасным способом преодоления этих трудностей сегодня являются упомянутые в предыдущем разделе представления о регенерационном движении элементарных частиц, согласно которым элементарная частица движется в пространстве, исчезая в одной пространственной ячейке и возрождаясь в следующей. Притом, это исчезновение и последующее возрождение частицы объясняется ее взаимодействием с лишенным всякой геометрической природы физическим вакуумом через посредство порождаемых им виртуальных пар. Тем самым движение элементарной частицы объясняется через трансмутационные связи ее с такой физической сущностью, которая лишена геометрической природы. Это позволяет избежать всех трудностей в апориях Зенона, отказавшись от представлений о протяженном, или геометрическом вообще, дальше элементарного кванта протяжения и длительности и признав, что пространство и время как бы «вырезаны» изнутри этих внешне последних пространственно-временных ячеек.
Таким образом, суммируя и то и другое в апориях Зенона, мы приходим к выводу, что Зенон показал невозможность понять и объяснить движение ни с позиций признания бесконечной делимости протяжения и длительности, ни с позиций далее неделимой их дискретности. Логика апорий Зенона неизбежно ведет к выводу о том, что для объяснения сущности движения и покоя 146
нужно начинать с чего-то третьего, с не Движущегося и не покоящегося1 и лишенного какой-либо геометрической природы. А делимость и дискретность, прерывность и непрерывность протяжения точно так же не могут быть объяснены из самого протяжения, свойствами которого является и то и другое. Поле как особый вид материи лишено какой-либо геометрической формы, но именно оно ответственно за исчезновение и последующее вое-' произведение элементарной частицы в так называемом регенерационном движении ее в пространстве и времени. Именно материя поля, не обладая определенностью какой-либо геометрической формы, постоянно уничтожает и вновь воспроизводит «из себя» элементарные кванты протяжения и длительности и этим объясняется движение элементарных частиц в пространстве и времени. Отсюда видно, сколь прав был Энгельс, заметив, что в греческой философии уже имеются в зародыше почти все позднейшие типы мировоззрений и потому и философия и теоретическое естествознание все чаще обращаются к грекам 1 2.
Сомнения в бесконечности и всеобщности протяжения и длительности, вообще геометрического в природе, и во времена Зенона, и много веков спустя могли привести только к признанию бога как некоторой идеальной духовной сущности, якобы являющейся носителем и источником движения, или в лучшем случае к парменидов-ской внепространственной и вневременной высшей реальности. Современный, поставленный на индустриальную базу физический эксперимент позволяет материалистически истолковать проблему неуниверсальности геометрического в связи с обнаружением новой физической сущности, которой не знали греки, полевой материи или, скажем, материи физического вакуума. Эта физическая сущность становится средоточием всех динамических свойств известных нам состояний материи, лежит в основе возбужденных состояний полей и может быть пред
1 Известно, что новый эфир, или фоновая материя (или, еще иначе, материя физического вакуума), реальность которой следует из квантовой теории и подтверждена экспериментально в 1947 г. ь опыте Лэмба—Ризерфорда, есть именно не движущаяся и не покоящаяся в любой системе отсчета (в смысле механического движения) полевая материя. В противном случае с ней могла бы быть связана выделенная система координат, что недопустимо с точки зрения теории относительности (см. разд. 8).
2 См Д. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 369.
147
ставлена как основа, из которой «соткано» вещество, не будучи в то же время протяженной или вообще имеющей какую-либо геометрическую форму материей. В. Уотсон в работе, посвященной обсуждению главнейших результатов современной физики \ указывает па исключительно важную роль физического вакуума в переосмыслении современной картины мира. Он даже сравнивает его открытие с великими географическими открытиями прошлого. По его мнению, идея непрерывного существования микрообъектов лишена логических оснований в современной квантовой механике, а корпускулярно-волновой дуализм имеет своим источником скачкообразное движение частиц, вызванное их трансмутациями в реакциях с вакуумом.
Заметим, что известный советский физик К. Д. Синельников еще в 1954 г. в докладе на совещании по философским вопросам физики настоятельно обращал внимание философов на открытие физического вакуума. «Открытие свойств физического вакуума не явилось сенсационным, оно происходило постепенно и незаметно в течение двух десятков лет; может быть, эта постепенность и сугубая математичность всех изложений этой новой области физики привели к тому, что наши философы не обратили достаточного внимания на то, что именно эта область с ее совершенно новыми представлениями имеет глубокое философское значение, изменяя наше физическое представление о пространстве, времени и материи. Нам неизвестна ни одна работа советского философа, в которой разбирался бы вопрос об этих кардинальных изменениях наших представлений о пространстве»1 2. В настоящее время физический вакуум является объектом пристального внимания советских физиков и философов.
1 W. Н. Watson, Understanding Physics Today. Cambridge, 1963.
2 «Философские вопросы современной физики». Киев, 1956, стр. 21.
ГЛАВА IV
МИР КАК МНОГООБРАЗИЕ И КАК НЕДЕЛИМОЕ ЦЕЛОЕ
Трудности, рассмотренные в предыдущей главе, касаются главным образом метрической протяженности. Но как было выяснено ранее (см. гл. II), понятие протяженности отнюдь не исчерпывается метрическими отношениями. Поэтому даже в тех случаях, когда становится более или менее очевидной неуниверсальность метрической протяженности, остается еще открытым вопрос о протяженности, понимаемой несколько более широко: в смысле неметризуемых топологических отношений элементов в многообразии.
Отдельное и независимое рассмотрение метрической и топологической протяженности преследует лишь цели удобства исследования и должно сопровождаться оговоркой о том, что, вообще говоря, не существует топологических отношений в «чистом» виде, полностью оторванных от метрических. Исторически понятие топологического пространства явилось высшим обобщением понятия геометрической фигуры, взятой в данном случае в качестве объекта гомеоморфных преобразований. Всякая геометрическая фигура обладает как топологическими, так и метрическими свойствами. При гомеоморфных преобразованиях ее метрика не сохраняется в том смысле, что теряется соответствие между метрикой исходного и отраженного объекта. Поэтому в общем случае топологическое пространство нельзя характеризовать какой-то определенной метрикой. Однако отрывать метрические отношения от топологических и противопоставлять их Друг другу в абсолютном смысле, очевидно, не следует. В тех физических условиях, в которых может потерять смысл метрическое пространство, неметрические пространства могут обладать различными метриками одновременно без преимущественной метрики, и физика
149
может стать полиметрической, замечает А. Л. Зельманов. Таковы, по-видимому, условия, связываемые с плотностями материи 1018—1093-94 г/сж3, предшествовавшие образованию наблюдаемой Метагалактики L
Исследование условий и границ применимости этого более глубокого аспекта протяженности представляет значительные трудности, поскольку все опытное знание о природе в современном естествознании почти целиком должно быть отнесено к уровню метрических отношений (возможно, иным оно и не может быть). Неясно также, какой непосредственный физический смысл может быть придан понятию топологической протяженности и какие физические критерии отношений, например, «бесконечной близости» или «прикосновения» элементов могут быть установлены, без чего ни о каком опирающемся на опыт исследовании вопроса об условиях и границах содержательной применимости этих понятий в описании природы не может быть и речи.
Однако эти трудности могут быть обойдены, если мы воспользуемся очевидной связью между понятием протяженности и понятием множества. В современной математике понятие отображения на множестве кажется более фундаментальным, чем понятие множества. Оно как бы начинает играть первую скрипку, задавая характер множества и его элементов и тем самым определяя само множество. Однако ясно, что генетически понятие множества является исходным, ибо о любых отношениях и любых возможных отображениях можно говорить лишь постольку, поскольку предполагается существующей некоторая совокупность элементов, реализующих эти отношения. Применительно к интересующему нас вопросу это означает, что о протяженности — метрической или топологической — речь может идти лишь постольку, поскольку реально существует аспект множественности, дифференцированности природы. Ясно, что если бы удалось показать неуниверсальность этого аспекта множественности в самой природе, а также соответствующую неуниверсальность понятия множества в ее описании, то отпала бы необходимость в специальном исследовании условий и границ содержательной применимости понятия протяженности в описании физической реальности.
1 См. А. Л. Зельманов. Многообразие материального мира и проблема бесконечности Вселенной. — «Бесконечность и Вселенная», стр. 302, 322, 323.
150
Неуниверсальность аспекта множественности с соответствующей ей неуниверсальностью понятия множества влекут за собой заведомую неуниверсальность понятия протяженности, ибо отношения протяженности в любом их виде не могут быть реализованы вне многообразия.
Эти обстоятельства позволяют сформулировать вопрос об условиях применимости понятия протяженности в описании физической реальности следующим образом: является ли физическая реальность лишь некоторым образом дифференцировавшейся реальностью и является ли в связи с этим понятие множества универсальным, всеобщим и достаточным для се исчерпывающего описания?
Очевидно, что если аспект множественности является универсальным и природа действительно существует лишь как множественное, то весь мир, поскольку он существует, должен представлять собой некоторую уникальную и единственную в своем роде, всеобъемлющую совокупность всех совокупностей элементов, частиц, структур и т. п. Причем эта всеобъемлющая совокупность всех совокупностей обыкновенно мыслится бесконечной в каждом из своих элементов и, следовательно, сама не только бесконечна, но и должна обладать мощностью выше счетной.
Нечего и говорить о том, насколько простым и естественным в настоящее время кажется такое представление о мире, а между тем именно такого рода модель Вселенной едва ли вероятна уже из чисто логических соображений.
12. О чем свидетельствуют парадоксы теории множеств
На первый взгляд кажется, что математика весьма Далека от вопроса о характере всеобщего и способе его существования. Однако исключительная емкость ее абстрактных построений и чрезвычайно общий характер ес идеальных методов и конструкций невольно заставляют задуматься над тем, нет ли среди наиболее фундаментальных математических проблем некоторого аналога, или некоторой идеальной модели, или какого-либо другого отражения интересующего нас вопроса?
В самом деле, вопрос о существовании мира как некоторой унциальной и всеобъемлющей совокупности всех
151
совокупностей, поскольку материя мыслится лишь в состоянии дифференцированности и вне ее нет ничего, может быть сформулирован на языке математики как вопрос о возможности существования такой теоретикомножественной конструкции, которую кратко можно назвать множеством всех множеств и определенность которой должна быть выведена из нее, поскольку она все включает в себя и вне аспекта множественности ничего более не существует по определению (ведь эта конструкция должна быть моделью всеобщего именно как совокупность всех совокупностей, если природа есть только множественное).
Такой вопрос действительно существует в математике, и с ним мы сразу же входим в интереснейшую область современных исследований по основаниям математики. При этом оказывается, что именно этот вопрос в различных его вариациях является источником разнообразных парадоксов и антиномий в основаниях математики. Сами основания математики в силу своеобразной неразрешимости этого вопроса никогда в прошлом, как и сейчас, не принимали завершенного и окончательного вида, а вся их история есть история кризисов, следующих один за другим и вызываемых тем, что вслед за каждой радикальной перестройкой математики выявляются в самом фундаменте ее некоторые вопросы, не поддающиеся решению в рамках данной системы математических понятий. Существо их сводится в конечном счете к проблеме достижения завершенности и полноты теории путем включения в нее некоторой конструкции, воспроизводящей всеобщее, без чего теория кажется неполной и незамкнутой.
Чтобы убедиться в этом, обратимся к содержанию хорошо известных парадоксов теории множеств. Уже исторически первый парадокс, обнаруженный Кантором в 1895 г., а спустя два года независимо от него найденный и опубликованный Бурали-Форти, ставит под сомнение достижение такого построения, которое, будучи непротиворечивым, являлось бы одновременно воспроизведением некоторой полной и завершенной всеобщей совокупности (включающей в себя все используемые при ее построении объекты и посылки).
Бурали-Форти указал на то обстоятельство, что вполне упорядоченное множество всех порядковых чисел должно характеризоваться порядковым числом, 152
большим любого порядкового числа, а следовательно, большим самого себя < Эта антиномия непосредственно влечет за собой осознание противоречивости понятия «множество всех множеств». Вслед за нею вскоре появилось большое число других антиномий, и к 1905 г. стало ясно, что они затрагивают не некоторые периферийные области математики, а касаются наиболее важных ее понятий, таких, как само понятие множества* 2 (и прежде всего определимости понятия множества).
Особый интерес для нас представляет простая и одновременно, пожалуй, наиболее фундаментальная из них — антиномия Кантора, известная ему еще в 1899 г., но опубликованная только в 1932 г. Эта антиномия сформулирована относительно множества всех множеств и является, таким образом, прямым ответом на интересующий нас вопрос.
Согласно известной теореме Кантора3, множество всех подмножеств любого данного множества имеет мощность, большую мощности данного множества. Так, если М — множество мощности п, то Т — множество всех подмножеств данного множества М — имеет мощность, равную 1 +	... Спп^-2п. При этом
2п > п.
Рассмотрим теперь вопрос о множестве всех множеств. Оказывается, что, с одной стороны, по своему определению множество всех множеств должно обладать максимальной мощностью как включающее в себя все множества, а с другой — оно не включает в себя все множества и не обладает максимальной мощностью, поскольку его существование ведет к существованию множества его подмножеств, обладающего, согласно выше отмеченной теореме, мощностью, большей мощности исходного множества всех множеств. Причем парадокс возникает сразу же и автоматически, как только допускается существование множества всех множеств.
Сущность этого парадокса состоит в указании на внутреннюю противоречивость допущенной конструкции. Напомним, что, согласно Гильберту, существующим в
ст 20М Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств,
2 См. С. К. Клини. Введение в математику. М.,	1957,
СТР 39—63.
См И. П. Натансон. Теория функций вещественной перемен-Нои-М, 1957, стр. 31-32.
153
математике может быть признано все то, что непротиворечиво. Для Пуанкаре слово «существовать» в математике также может иметь только один смысл: оно должно означать именно отсутствие противоречия \
Сложилась, таким образом, чрезвычайно любопытная ситуация: в то время как обыденный рассудок никогда не сомневался в существовании реального мира в качестве некоторой универсальной и всеобъемлющей совокупности всех совокупностей самых различных объектов, выяснилось, что даже в логике, даже в чистом поле математических построений и даже с точки зрения столь расширенной и отвлеченной концепции реальности, в которой существование эквивалентно непротиворечивости, такая конструкция едва ли возможна.
Смысл антиномии множества всех множеств, антиномии Бурали-Форти и ряда других антиномий в том и состоит прежде всего, что не существует такого «объекта», как множество всех множеств.
В этих антиномиях, таким образом, по-своему поставлена под сомнение универсальность самого понятия множества, а именно его применимость к отображению или какому-либо теоретико-множественному воспроизведению или моделированию всеобщего. Первоначально казалось, что эти парадоксы представляют собой проявление каких-то временных трудностей, которые в будущем будут преодолены. Но развитие последующих исследований по основаниям математики вскрыло полную беспочвенность подобных надежд.
Проблема антиномий и парадоксов в математической логике и теории множеств приводит в конечном счете к осознанию неизбежно противоречивого характера всех математических, логических или семантических построений, так или иначе моделирующих всеобщее и воспроизводящих существенную для него самоопредели-мость и самоотносимость. «Все антиномии, как логические, так и семантические, имеют общее свойство, которое... можно определить как самоприменимость (или самоотносимость) (self-reference). В любой из этих антиномий та сущность, о которой в ней идет речь, определяется, или характеризуется, посредством некоторой совокупности, к которой она сама принадлежит»1 2.
1 См. «Новые идеи в математике», сб. № 10, стр. 6.
2 А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств, стр. 24.
154
Всеобщее, поскольку оно всеобщее, например такая модель его, как множество всех множеств, по природе своей не может обладать какой-либо определенностью, вносимой в него извне, так как в этом случае оно не было бы всеобщим (в этом случае нужно было бы допустить нечто, существующее вне его, что служило бы внешним источником его определенности). Это обстоятельство находит проявление в существенной для любых моделей всеобщего необходимости определить его через самого же него, что и ведет к парадоксам.
Более детальное объяснение парадоксов теории множеств может быть достигнуто на основе принципа порочного круга Рассела: никакая совокупность не может содержать элементов, определимых только в терминах этой совокупности, а также элементов, включающих в себя или предполагающих эту совокупность. Иначе говоря, не существует такой однозначно определимой (непротиворечивой) совокупности, которая состояла бы лишь из элементов, описываемых только в терминах этой совокупности, включающих в себя эту совокупность или предполагающих ее.
Но применительно к нашему вопросу это означает, что представление о существовании мира в качестве лишь множественного недопустимо даже в сфере чистой мысли, поскольку в этом случае надо признать реализовавшимся множество всех множеств, вне которого в онтологии не существует ничего и которое, следовательно, должно состоять из элементов, предполагающих его и в то же время определяющих его. Невозможность построения такого множества хорошо иллюстрируется антиномией Рассела, открытой им в 1902 г.
Существуют множества, которые являются собственными элементами. Например, множество идей само может выражать некоторую идею и поэтому представляет собой собственный элемент. Но есть такие множества, которые не выступают как собственные элементы, например множество книг в шкафу. Множество книг, конечно, не образует книгу и поэтому не играет роли собственного элемента. Если теперь поставить вопрос ° множестве всех множеств, не являющихся собственными элементами, то обнаружится, что такое множество существует лишь постольку, поскольку оно входит в себя как свой собственный элемент (без чего оно не было бы множеством всех множеств^ не выступающих собст
155
венными элементами) и поскольку оно, следовательно, не является искомым множеством и не существует как таковое, что парадоксально.
С особенной яркостью суть этой антиномии вскрывается в следующем популярном варианте ее, рассмотренном Расселом: деревенский парикмахер бреет всех тех, и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами, бреет ли он себя? Как парикмахер, который бреет всех тех, и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами, он не может брить себя. Но если он не бреет себя, то, следовательно, он принадлежит к числу тех жителей деревни, которые не бреются сами и которых он должен брить по условию. Значит, он должен брить самого себя. Итак, и брить и не брить— задача принципиально неразрешима.
Ее неразрешимость возникает следующим образом. То, что представляют собой элементы некоторой совокупности (их определенность), и то, через что они определяются как таковые (их отрицательное или их другое, т. е. то, через что получена данная их определенность), неделимым образом соединены в одном и том же элементе, без включения которого данная совокупность элементов не была бы замкнутой в себе совокупностью. В данном примере в одном жителе деревни неделимым образом соединены парикмахер, который бреет всех тех, и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами, и житель деревни, который должен быть побрит парикмахером, если он не бреется сам.
Без такого неделимого единства определенности и ее отрицания не было бы замкнутости в определениях совокупности через самое себя или свои элементы. Но замкнутость неизбежно сопряжена с антиномичностью, поскольку достигается путем слияния в одном и том же элементе совокупности и данной определенности ее и ее отрицания, через которое получена эта определенность.
Что же вытекает из этого парадокса? Только то, что такого парикмахера вообще не может существовать. А это означает также, что принципиально не может быть найдена никакая однозначная и непротиворечивая определенность для совокупности, содержащей элементы, определимые только в терминах этой совокупности, а также элементы, включающие в себя или предполагающие эту совокупность. Применительно к интересующему нас вопросу это означает следующее. Поскольку
156
реальность мыслится в форме такой предельной совокупности, которая содержит элементы, определяемые в терминах этой совокупности, включающие ее в себя или предполагающие ее, то какая-либо однозначная определенность ее принципиально недостижима. Значит, проблематично и само существование постулируемой формы бытия реальности, а именно всеобщей совокупности всех совокупностей и всеобщей дифференцированности, исчерпывающей собой бытие.
Используя эту антиномию применительно к вопросу о существовании некоторой определенности материи, можно непосредственно показать, что материи нельзя дать онтологического определения. Если материя — всеобщее всего существующего как нечто — имеет какую-либо определенность в онтологическом плане, то она и сама существует как нечто. Но материя не может существовать как нечто, ибо в этом случае она была бы лишь одним из многих нечто и не была бы их всеобщим. Как указывает В. И. Ленин, бессмысленно искать материю как некую последнюю сущность наряду с другими физическими сущностями или предшествующую им Ч Материя есть понятие, гносеологическая категория, используемая для обозначения объективной реальности, и единственно возможное определение ее есть гносеологическое определение1 2.
Интересно отметить, что объяснение парадоксов теории множеств с помощью представления о непредикативных определениях, предложенное А. Пуанкаре, делает еще более прозрачной иллюзорность надежд на получение какого-либо однозначного определения материи в онтологическом плане с помощью понятия множества. Если множество М и объект т определены таким образом, что, с одной стороны, т является элементом 7И, а с другой стороны, определение т зависит от М, то в таком случае определение т (или определение М) является непредикативным. Сущностью непредикативно-сти оказывается невозможность получить определение элементов множества из самого их множества и не выходя за его пределы. Пуанкаре считал, что причина парадоксов теории множеств лежит именно в этих непре-Дикативных определениях. Действительно, для каждого
1 См В И. Ленин. Поли собр соч, т 18, стр 276—278
2 См. там же, стр 131
157
из приведенных парадоксов легко можно установить наличие подобной непредикативности в определениях, вызывающих антиномичность.
В. И. Ленин там, где он говорит о том, что понятие материи как предельно общее уже не может быть как-либо определено путем подведения его под другое, более общее понятие \ по существу указывает именно на непредикативность понятия материи. Действительно, с точки зрения материалистической диалектики, дать однозначное онтологическое определение всеобщего, каким является материя, невозможно уже хотя бы потому, что какая-либо определенность в сфере всеобщего может быть порождена только внутренним отрицанием и возникает во взаимном отношении и взаимном определении через отрицание различных сторон всеобщего путем раздвоения его.
Известный из глубокой древности парадокс лжеца («все, сказанное мною, есть ложь») неразрешим, если помимо этого высказывания нет никакого другого, с которым его можно было бы соотнести и если его также нельзя разделить на два независимых суждения. Таким образом, любая модель всеобщего, которая по необходимости должна содержать замыкание и непредикативность, неизбежно противоречива. Здесь всеобщее рождается как неизбежно противоречивое в силу непредикативной определенности его, и эта внутренняя противоречивость может быть иначе выражена с помощью принципа порочного круга Рассела.
Появление парадоксов теории множеств в начале XX в. знаменовало собой начало новой эры в исследованиях по основаниям математики. Как вскоре выяснилось, эти парадоксы очень легко могут быть переформулированы в логические антиномии, выраженные в терминах самых основных логических понятий. Поэтому разразившийся в 1900—1930 гг. «великий кризис» оснований математики на этот раз вышел за рамки собственно математики и в равной мере касается наиболее фундаментальных понятий двух самых «точных» наук — логики и математики. По своей глубине и значимости этот кризис оснований не имеет прецедента в прошлом и в полной мере может быть рассматриваем как кризис оснований всего формальнологического способа мыш-
1 См В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т 18, стр. 149
158
ления. Ибо на этот раз в самом сердце Математики И логики, в первоисточнике и колыбели формальнологического способа мышления обнаружилась его собственная недостаточность. Причем своеобразие этой недостаточности заключается именно в том, что формальнологический способ мышления при всех тех блестящих результатах, которые несет с собой его применение в частных и специальных проблемах, обнаруживает свою полную непригодность, как только его пытаются применить прямо или косвенно к отображению всеобщего. Всеобщее оказывается неизбежно противоречивым и в силу этой противоречивости неизменно ускользает из сферы действия формальнологических законов.
Интенсивные исследования по основаниям математики в первые десятилетия нашего столетия получили в 1931 г. своеобразное завершение в знаменитых теоремах Геделя о неполноте. Философское значение теорем Геделя «О формально неразрешимых предложениях Prin-cipia mathematica и родственных систем» трудно переоценить, так как в них содержится косвенное свидетельство неизбежно противоречивого характера всеобщего в научном знании, а также любых, в том числе самых простых, арифметических моделей его.
Появлению теорем Геделя предшествовали тщетные попытки Гильберта, Аккермана и Неймана найти доказательства непротиворечивости отдельных математических дисциплин, не выходя за пределы этих дисциплин (с философской точки зрения это означало бы получить некоторую модель всеобщего, замкнутого в себе, ни с чем не соотносящегося и независимого от чего-либо).
Эти попытки неизменно оканчивались полной неудачей. Принципиальный характер затруднений в формализации отдельных областей математики стал ясным после того, как Гедель опубликовал доказательство следующих двух теорем, касающихся формализации наиболее простой ветви математики — арифметики.
Теорема I. Если арифметическая формальная система непротиворечива, то она неполна.
Теорема II. Если арифметическая формальная система непротиворечива, то не существует доказательства ее непротиворечивости, проведенного средствами, формализуемыми в этой системе1.
1 См. С. К» Клини. Введение в метаматематику, стр. 188, 1JJO.
159
В этих теоремах Геделю удалось показать, что построение замкнутой формализованной системы, в которой все доказуемые в ней истинные предложения должны представлять формальные следствия из аксиом внутри самого исчисления этой системы (именно это означало бы достижение некоторой модели всеобщего, замкнутого в себе, ни с чем не соотносимого и ни от чего не зависимого), неразрывно связано с появлением предложений, и утверждение, и отрицание которых в равной степени формально выводимо в этой системе: некоторое предложение А доказуемо тогда, и только тогда, когда доказуемо и его формальное отрицание не-Д. Такая замкнутая формализованная система будет внутренне противоречивой. Если же она непротиворечива, то формула (или предложение) А в ней является неразрешимой, и сама эта система, следовательно, уже не является полной и не может представлять для нас некоторую модель всеобщего. Формула А может быть истинной, однако ее истинность доказуема уже не в рамках этой системы, а в некоторой метаобласти (по отношению к ней). Добавление этой формулы в систему в качестве новой аксиомы влечет за собой принципиальную «разомкнутость» построения, которое уже нельзя рассматривать в качестве некоторой модели всеобщего.
Иными словами, если исходить из принятия непротиворечивости данной формализованной системы арифметики, то эта непротиворечивость неизбежно влечет за собой появление в системе неразрешимых формул (или предложений). Непротиворечивость, следовательно, необходимым образом связана с известным ограничением поддающегося формализации объема системы, причем таким ограничением, которое уже не позволяет говорить об осуществлении формализации всей арифметики.
Первая теорема непосредственно указывает на то, что исключение противоречивости достигается за счет отказа от полноты теории. И даже если этот отказ выражается в неразрешимости одной-единственной формулы, или предложения, то все же его истинной ценой оказывается невозможность получить непротиворечивую картину, или модель, всеобщего. В сущности в любом научном описании действительности противоречивость не устраняется и не исключается, а лишь определенным образом локализуется и как бы отодвигается в дальний угол метатеории или метанауки.
160
Вторая теорема непосредственно показывает, что непротиворечивость любой формализованной системы не может быть доказана в ней самой и требует для своего доказательства обращения к средствам, не поддающимся формализации в ее рамках. Эти последние в свою очередь могут быть формализованы лишь в другой, более мощной формальной системе и так далее до бесконечности. По мнению академика А. Д. Александрова, «...совершенно строгое и окончательное доказательство непротиворечивости аксиом арифметики представляет вообще неразрешимую задачу. Оно есть процесс в принципе бесконечный» L Вместе с тем это означает, что для такой полной формализованной системы, которая включала бы в себя все используемые при ее построении посылки — ив этом смысле представляла бы собой некоторую модель всеобщего, — заведомо нельзя получить доказательства ее непротиворечивости. И с этой точки зрения, следовательно, всеобщее включает в себя противоречивость как свой необходимый момент. Но это — важнейшее положение диалектико-материалистической философии. Таким образом, наиболее общие результаты исследований по основаниям математики дают подтверждения справедливости диалектического воззрения на мир.
В математике взращен идеал точного, строгого и совершенно однозначного знания. Но точность и однозначность достигаются лишь ценой заведомого отказа от полноты знания, неразрывно связанной с неизбежной противоречивостью его. Это указывает на диалектическую природу оснований математики, о чем свидетельствует история их развития, начиная с эпохи открытия несоизмеримых отрезков в школе Пифагора вплоть до наших дней.
В плане настоящего исследования парадоксы теории множеств с достоверностью свидетельствуют об одном: всеобщее не может быть воспроизведено ни в логике, ни в математике на основе какой-либо теоретико-множественной модели его. Основная трудность проистекает при этом из своеобразной недостаточности самого понятия множества для отображения свойств всеобщего.
Первый вывод, который напрашивается в связи с
1 Л. Д Александров. Раз уж заговорили о науке. —«Новый мир», 1970, № 10, стр 214.
6 Зак. 25	161
этим, состоит в том, что всеобщее, по-видимому, не существует как нечто множественное. И хотя мир действительно представляет собой некоторое множество объектов, однако в конечном счете мир вовсе не существует как некоторая совокупность всех совокупностей или множество всех множеств самых разнообразных объектов и только. Наряду с очевидной стороной мира как множественного нужно ожидать проявления и таких его свойств, в отношении которых понятие множества полностью неприменимо или которые по природе своей отрицают всякую множественность.
13. Квант действия
Как мы видели, некоторые из важнейших результатов исследований по основаниям математики указывают на неизбежность диалектического воззрения на мир. Диалектико-материалистический взгляд на мир подтверждается развитием и современной физики.
Квант действия, введенный М. Планком в 1900 г. для удовлетворительного объяснения спектра излучения абсолютно черного тела, в течение последующих двух десятилетий вызвал полную революцию в представлениях о физической реальности. К 1926 г. эта революция завершилась созданием квантовой механики — теории движения физических объектов атомных и субатомных масштабов. Последующее развитие квантовой механики потребовало полного пересмотра всех представлений о мире в естествознании.
Основной посылкой классического естествознания является убежденность в том, что материя существует как нечто множественное по самой природе своей и обусловленная этим произвольная степень дифференцируемости ее составляет самое ее сущность. Поэтому в принципе в любом опыте и на любом его уровне возможна сколь угодно точная детализация состояний и структур материи. В физике эта убежденность подкреплялась успешным применением дифференциальных уравнений, одним своим видом, казалось бы, подтверждавших справедливость всеобщей уверенности в том, что все происходящие в природе физические изменения совершаются с накоплением или убыванием сколь угодно малых порций вещества или энергии.
Разумеется, существовали идеи атомизма, берущие
162
свое начало еще в учениях древних. Однако атомизм, казалось, был призван сделать еще более четким взгляд на природу как на нечто множественное и только. В представлении о бесконечной совокупности физически неделимых мельчайших частичек материи, заполняющих всю Вселенную и составляющих все существующее, множественность вводилась в саму основу бытия как фундаментальнейшая его черта, и ее просто нужно было принять без какого-либо дальнейшего анализа и даже без всяких попыток понять, почему это так.
Атомы классической физики могли быть трудно уловимыми, неразличимыми и даже целиком тождественными друг другу по своим свойствам, однако они мыслились в виде абсолютных индивидуальностей, взаимно исключающих друг друга, физически отделимых один от другого и от среды своего существования также абсолютным образом. Мир мыслился существующим только как множественное по своей природе, и бесконечная делимость его, если не физическая (применительно к внутренним областям этих мельчайших атомов), то во всяком случае геометрическая, считалась безусловной. Именно убежденность в бесконечной делимости и полной разложимости реальности делала естественным представление о принципиальной возможности сколь угодно точных приближений в определении геометрических размеров атомов и лежала в основе в целом континуалист-ского взгляда на природу в классической физике.
Правда, к концу XIX в. были замечены трудности при объяснении теплоемкости тел в области низких температур. В классической физике теплоемкость идеального газа считается постоянной и не зависит от температуры. Однако опыт показывал резкое падение теплоемкости тел с переходом к низким температурам, что приводило к так называемому вымораживанию степеней свободы в них. Это явление не поддавалось какому-либо разумному объяснению с точки зрения непрерывности процессов обмена энергией. Вместе с тем в силу сложности эта проблема не позволяла увидеть и необходимость в отказе от таких представлений.
Но исследование другой проблемы — спектрального распределения равновесного излучения—позволило выявить достаточно четко источник этих затруднений
1 См. Б. И, Спасский. История физики. М, 1964, ч II, гл. 19.
163
Тепловое движение частиц вещества приводит к колебанию электрических зарядов в нем, поскольку эти частицы обладают электрическим зарядом. Колебание зарядов в свою очередь генерирует электромагнитное излучение. Поэтому тепловое движение частиц вещества является источником его лучеиспускательной способности.
В то же время вещество способно не только излучать электромагнитные волны за счет энергии теплового движения, но и поглощать их, вновь расходуя их энергию на возбуждение теплового движения своих частиц. Как в первом, так и во втором случае трансформация энергии проходит через промежуточную стадию колебания электрических зарядов в теле.
Из опыта известно, что в замкнутой полости при сохранении постоянной температуры ее стенок устанавливается так называемое равновесное состояние излучения, при котором для каждой определенной частоты колебаний энергия излучения, испускаемого стенками полости, в точности равна энергии излучения той же частоты, поглощаемого стенками за это же время. При этом было установлено, что количество энергии равновесного излучения не зависит ни от материала, из которого сделаны стенки полости, ни от конструкции и геометрической формы их, а зависит лишь от температуры.
Если в такой замкнутой полости сделать небольшое отверстие, то луч света, извне попадающий в нее через это отверстие, в результате многократных отражений от стенок полости в конце концов будет полностью поглощен ими. Поэтому такое отверстие в полости представляет собой почти идеальную модель абсолютно черного тела, которое полностью поглощает все падающие на него лучи и излучение которого носит только тепловой характер (т. е. в нем отсутствует отраженная часть падающего излучения). Следовательно, черное излучение достигается в результате установления равновесия между осцилляторами поля и вещества, когда интенсивность излучения волн определенной частоты в точности соответствует интенсивности поглощения волн этой же частоты.
Возникает вопрос, как может быть описано достижение равновесного состояния излучения с точки зрения классических представлений о полной разложимости реальности на сколь угодно малые (в пределе бесконечно 164
малые) элементы, т. е. с точки зрения представлений, допускающих бесконечную делимость излучения, вещества и движения? Выяснилось, что никак. Более того, при таком исключительно континуалистском взгляде на природу состояние равновесия между излучением в полости и ее стенками оказывается недостижимым.
В самом деле, классические представления о непрерывности вещества и движения предполагают актуальное существование сколь угодно малых элементов вещества и излучения. Это, в частности, означает, что если рассматривать излучение, находящееся в замкнутой полости, как совокупность стоячих волн, то тогда при любой температуре стенок оно должно включать в себя волны сколь угодно малой длины (и сколь угодно большой частоты соответственно). В силу классической природы осцилляторов вещества и излучения состояние их может изменяться также сколь угодно малыми шагами, в пределе — бесконечно малыми приростами частоты и энергии. Именно в этом в данном случае находит свое конкретное выражение допущение классической физики о полной и исчерпывающей разложимости реальности с произвольной (любой желаемой) степенью точности.
Но в таком случае достижение состояния равновесия становится едва ли возможным, так как энергия возбуждения должна последовательно расходоваться бесконечно малыми порциями на возбуждение колебаний все более высоких частот. (Во всяком случае не видно, как может быть ограничен этот процесс.)
Действительно, как было показано в работе английского физика Рэлея \ согласие с эмпирически установленным спектральным распределением может быть достигнуто только для малых частот и полностью утрачивается по мере перехода в область высоких частот. Если попытаться оценить на основании результата Рэлея ту Долю излучения, которая падает на колебания данной частоты, то оказывается, что она растет неограниченно при переходе ко все более высоким частотам.
Расчеты показывали, что термодинамическое равновесие между стенками полости и излучением будет достигнуто не раньше, чем вся энергия излучения перейдет в ультрафиолетовую часть спектра. Причем для насыщения этой части спектра излучения, находящегося даже
1 «Philosophical Magazine», vol. 49, 1900, р. 539.
165
в самой маленькой полости и при весьма обычных температурах, не хватило бы энергии, имеющейся во всем мире. Общая энергия излучения, заключенного в полости, также оказывается бесконечно большой. Такова цена неограниченного роста спектральной плотности энергии по мере роста частоты колебаний, и вот что требуется для физического оправдания представлений о бесконечной дробимости и соответствующей ей непрерывности физических процессов! Этот теоретический результат получил образное название «ультрафиолетовой катастрофы».
Нельзя думать, однако, что этот абсурдный результат обязан своим возникновением каким-то погрешностям или ошибкам, допущенным при рассмотрении данного явления. Наоборот, он является логически неизбежным и совершенно точным следствием классического подхода к анализу равновесного излучения, опирающегося на предположение о непрерывности излучения и поглощения энергии. Это было настолько очевидно, что другой английский физик, Джинс, готов был скорее усомниться в возможности достижения состояния равновесия, чем в правильности результатов Рэлея. Он высказал предположение, что о термодинамическом равновесии между излучением и стенками полости можно говорить лишь по истечении бесконечного времени, и оно, таким образом, никогда не устанавливается1.
Однако расхождение теоретических результатов Рэлея с опытом было разительным. Представление об этом расхождении дает сравнение распределения энергии излучения по частотам при некоторой постоянной температуре. В то время как, согласно теоретическому расчету, вклад энергии от каждой следующей частоты становится все более ощутимым и растет неограниченно по мере роста частот, опытные данные указывают на то, что имеется некоторая определенная частота, на которую падает максимум излучения при данной температуре. Согласно опыту, вклад энергии более высоких частот становится все менее ощутимым и для некоторой, достаточно высокой, частоты полностью исчезает.
Изменение температуры не меняет характера этой картины и ведет лишь к изменению частоты, на которую падает максимальная доля излучения. Расхождение
1 «Philosophical Magazine», vol. 10, 1905, р. 91.
166
теоретической и эмпирической картины спектрального распределения было настолько поразительным, что многие физики стремились различными полуэмпирическими методами подобрать более или менее удовлетворительные формулы распределения энергии в спектре равновесного излучения. Именно таким, вначале полуэмпири-ческим, путем Планку удалось найти в 1900 г. удачную формулу для распределения энергии черного излучения, которая хорошо согласовывалась с опытом не только в области малых частот, но и разумным образом ограничивала рост спектральной плотности энергии для больших частот.
При этом Планк пользовался следующей моделью! равновесного излучения: в пространстве, ограниченном зеркальными стенками, он рассматривал совокупность независимых гармонических осцилляторов, колеблющихся со всевозможными собственными частотами. В конце концов в результате непрерывного обмена энергией между осцилляторами и излучением должно установиться термодинамическое равновесие. Может быть, именно выбор этой модели подтолкнул Планка к использованию статистических представлений Больцмана для установления связи вероятности определенного распределения энергии между осцилляторами данной частоты и того числа комбинаций, с помощью которых эта энергия может быть распределена по данному числу осцилляторов. Планк допустил, что они равны, подобно тому как, согласно Больцману, равна вероятность какого-либо макроскопического состояния идеального газа числу микросостояний, реализующих это макросостояние.
Однако такое применение статистических представлений к анализу равновесного излучения могло иметь смысл только в том случае, если допустить, что обмен энергией между осцилляторами и излучением всегда совершается некоторыми, своими для каждой частоты, порциями. Волей пли неволей Планк должен был сделать это допущение, ибо к нему он вынуждался самой сущностью своего статистического подхода L
1 Между прочим, уже отсюда видно, сколь безнадежны попыт-Ки «изгнать» статистику из квантовой теории, ибо это возможно только в случае отказа от исходной гипотезы Планка. Если предполагают возможным динамическое описание микрообъектов, то необходимо прежде возвратиться к исходной задаче Планка и попы-ГсКься решить ее без обращения к статистическим представлениям
167
Это допущение и повлекло за собой появление новой универсальной постоянной, которая возникла в качестве коэффициента пропорциональности между величиной элементарной порции энергии излучения и его частотой. Ее размерность оказалась равной действию, поэтому новая постоянная была названа квантом действия.
Но действие есть важная физическая величина, которая играет большую роль в различных отделах физики: механике, электродинамике и термодинамике обратимых процессов, а ее размерность — произведение количества дьижения на перемещение или энергии на время — говорит о высокой степени общности этого понятия, кото-г рое фактически всегда приложимо там, где имеет место какое-либо физическое изменение или процесс и является своего рода универсальной характеристикой всех совершающихся в природе изменений. Допущение кванта действия было равнозначно утверждению, что изме-1 нение этой величины носит дискретный характер и что эта величина всегда кратна h. Вместе с тем атомизм действия влечет за собой и атомизм энергии, и в особенности атомизм процессов передачи энергии. Однако что означает факт существования наименьшей из возможных в природе порций действия, равной Л?
Если вдуматься в физический смысл этой величины, то с необходимостью напрашивается вывод, что допущение в теорию постоянной h равносильно признанию физической неделимости мира в конечном счете, вернее, равносильно признанию того, что такая делимость имеет смысл не глубже того уровня, где эта величина является существенной. Можно сказать и иначе, физическая разложимость мира на некоторые составляющие его элементы может иметь смысл не дальше того уровня, где для этого потребуется обращение к действиям, сравнимым с /г, и не может иметь никакого смысла для более тонкой детализации состояний физической реальности, требующей уже долей h в силу невозможности в природе меньшего по величине действия.
Ведь по своему физическому содержанию порядок величины действия, поскольку действие есть произведение энергии на время или количества движения на перемещение, и выражает в известном смысле достигнутую в данном опыте степень детализации в состояниях физической реальности.
Классическое допущение сколь угодно малых, бес
168
конечно малых приращений действия вместе с размерностью действия содержит в себе по существу неявно принимаемую, но очень важную посылку о всеобщей, исчерпывающей и могущей быть продолженной сколь угодно далеко разложимости реальности путем вычленения некоторых ее элементов, обладающих массой и находящихся в допускающих неограниченную детализацию пространственно-временных отношениях. Именно на до* пущении о сколь угодно малых приращениях действия покоится представление о всеобъемлющем характере пространственно-временной формы бытия, и наоборот, континуальность пространства, времени и движения находит свое логическое завершение в континуальном характере действия. Введение же наименьшего кванта действия разом отсекает эту посылку, хотя это еще не вполне осознано и сегодня, спустя 70 лет после появления планковского кванта действия.
Квант действия в скрытом виде содержит существенно иную посылку о конечной неделимости мира в последнем счете, поскольку кладет предел произвольному уменьшению произведения г • см/сек • см, а значит, и каждого из входящих в него членов L Именно в направлении развития новых представлений о мире, таящихся1 в этой посылке и выросших из этого, можно сказать, нечаянно оброненного Планком зерна, и пошло последующее развитие физики.
Вслед за допущением кванта действия Планк был вынужден в конце концов признать наряду с квантован-ностью осцилляторов вещества также и квантованность излучения. Затем появились идеи о квантованности энергии, массы, пространства и времени вплоть до более или менее четкого осознания физической неделимости мира в субквантовомеханическом уровне в современной квантовой теории.
Таким образом, допущение h было фактически равносильно утверждению, что природа в конечном счете неразложима и существует как нечто единое целое, есть только одно на известном уровне, а вовсе не исключительно множественное, как это обычно принимается. Но есть ли что-либо более чуждое и даже прямо противопо
1 Отсюда можно легко вывести соотношение неопределенностей а ейзенберга, которое также указывает на конечную физическую неделимость мира.
169*
ложное твердо устоявшимся классическим взглядам на природу по сравнению с этим?
Но именно с этого первого шага Планка «все и началось». Под давлением логики вещей, сам того не сознавая, Планк фактически отказался от посылки о всеобщей и полной и сколь угодно глубокой детализации состояний физической реальности, но из-за неявного характера этого отказа всеми силами стремился найти объяснение кванту действия с классических позиций. Однако попытки эти (и не только его одного) были тщетными.
Между тем использование представлений о квантованное™ осцилляторов вещества и излучения и о дискретном характере процессов обмена энергией между ними позволило устранить бессодержательные выводы классической теории излучения и обеспечило идеальное согласие новой теории излучения с опытом. Оказалось, что любое излучение, которое может быть испущено или поглощено, должно обладать энергией кратной hv, причем элементарные порции энергии излучения данной частоты тем больше, чем больше его частота. В таком случае для перевода в возбужденное состояние каждого осциллятора все более высокой частоты излучения требуются соответственно все большие порции энергии, а это означает, что такие переходы случаются все реже и реже и становятся все менее и менее возможными по мере движения в область высоких частот. Это естественным образом снимает «ультрафиолетовую катастрофу».
Общая энергия излучения в полости, имитирующей абсолютно черное тело, также должна иметь теперь конечное значение, поскольку и максимальное значение спектральной плотности излучения, и интервал частот возбужденных осцилляторов в полости приобрели конечный характер.
Формально это выразилось в том, что в полученном Планком выражении для спектральной плотности излучения
8к№/г р'=
экспонента «снимает» в области больших частот рост плотности энергии и даже в конце концов понижает его
170
до нуля. (Здесь pv —спектральная плотность излучения; С\ — скорость света; k — постоянная Больцмана; Т — абсолютная температура; v — частота).
Нужно заметить, что принятый в данном случае характер изложения обстоятельств, связанных с введением кванта действия, а также анализ содержания гипотезы о кванте по своему существу стали возможными только после создания квантовой теории и более или менее ясного осознания совершенного ею переворота. Еще на протяжении целых десятилетий Планк не оставляет попыток раскрыть «внутренний механизм» квантовых переходов с точки зрения классических представлений о непрерывности процессов, пока в конце концов постигшие его на этом пути неудачи не вынудили к следующему признанию: «Либо элементарное количество действия есть величина фиктивная, и в таком случае весь вывод закона излучения принципиально иллюзорен и является лишь бессодержательной игрой формулами, либо же в основании вывода закона лежит конкретная физическая идея, и тогда он вносит совершенно новую, неизвестную до того мысль. Этой мысли суждено совершенно преобразовать все наше физическое мышление, которое с тех пор, как исчисление бесконечно малых было установлено Ньютоном и Лейбницем, целиком основано на предположении о непрерывности всякого причинного соответствия»1. Так оно и оказалось впоследствии.
Вскоре гипотеза о квантовом характере процессов передачи энергии нашла блестящее подтверждение в объяснении вырывания электронов с поверхности металла падающим излучением. Здесь ее применение повлекло за собой представление о том, что электроны в металлах могут находиться только в дискретных энергетических состояниях. Если бы это было не так, то энергия электронов в металле должна была бы изменяться непрерывно и можно было бы ожидать обнаружения на опыте таких электронов, для высвобождения которых достаточно энергии, равной лишь части кванта. Однако опыт не подтвердил такие ожидания; выяснилось также, что число выбитых электронов зависит не от интенсивности света, как это можно было ожидать, исходя из классических представлений, а от его частоты, т. е. от энергии издающего кванта, а не от числа их, что также подтвер
1 М. Планк. Физические очерки. М., 1925, стр 127.
171
ждает дискретный характер возможных значений энергии электронов в атоме.
Вслед за тем идеи о квантованности энергетических состояний были успешно применены к объяснению строения атомов и многих разнообразных процессов, затрагивающих микроструктуру вещества и излучения.
С созданием квантовой механики и успешным применением ее к решению большого числа практических задач на гипотезу Планка перестали смотреть как на гипотезу, и в настоящее время в реальности постоянной Планка не приходится сомневаться. Это означает, что дискретность представляет собой одну из существенных! и фундаментальнейших черт в природе. Причем наряду с логической неизбежностью допущения постоянной Планка ее существование подтверждено также эмпирической проверкой существования в природе квантов как целых и физически неделимых порций энергий.
Так, в очень тонком эксперименте американские физики Луаренс и Бимс 1 пытались разбить квант света на две порции. В поставленном ими опыте специальный конденсатор, служивший своего рода электрическим затвором для пропускания света, открывался на время не более 10“9 сек., а пропускаемый свет обладал настолько слабой интенсивностью, что для прохождения между пластинами конденсатора одного кванта энергии, требовалось время заведомо большее, чем 10-9 сек. Однако ими не было обнаружено ни одного разбитого кванта. С точки зрения квантовомеханических представлений о фотоне, отвечающих духу так называемой копенгагенской интерпретации квантовой механики, попытка разбить квант света на две части вообще не может иметь смысла.
Таким образом, коль скоро факт существования кванта действия надежно установлен, остается только признать то, о чем он говорит: Вселенная обладает свойствами физической неделимости в самой последней инстанции; ни произвольная степень детализации физических процессов, ни абсолютно точное отделение одного объекта от другого (их абсолютная локализация) в принципе недостижимы. О чем же еще говорит существование! минимально возможной величины для произведения
1 Цит. по: А. Е. Ruark, Н, С. Urey. Atoms, Molecules and Quanta. New York, 1930, p. 83.
172
количества движения на перемещение или энергии на время? Если мы в первом случае (mv-s = h) пространственное перемещение устремим к нулю (т. е. потребуем детализации движения буквально по точечным «интервалам»), то это окажется неосуществимым ввиду того, что количество движения становится неопределенным (устремляется к бесконечности). Если же во втором случае (Е • t = h) мы попытаемся получить столь же максимально детализированную картину движения во времени, то и она оказывается недостижимой, поскольку при этом энергия движения должна устремиться к бесконечности. И наоборот, минимальные порции массы и энергии также не могут быть сколь угодно малыми, ибо сопряженные с ними величины — пространственное расстояние и время — должны оказаться бесконечными-Фотон как «частица», лишенная массы покоя, принципиально нелокализуем ни в пространстве, ни во времени.
Любопытно, что в многочисленных и разнообразных попытках «улучшить» квантовую механику таким образом, чтобы исключить или хотя бы «объяснить» ее статистический характер (сохраняя при этом строго детерминистский взгляд на природу), как правило, никогда не проводится анализ тех простых предположений, которые связаны с гипотезой о кванте действия и которые едва ли оставляют место для надежд на строго динамическое описание природы.
Как было выше отмечено, сам подход М. Планка к решению проблемы равновесного излучения был в сущности статистическим, естественным следствием чего и явилось появление h. Поэтому, если вообще возможно вернуться к теориям классического типа и построить динамическое описание микрообъектов — если это вообще возможно, — то для этого необходимо прежде возвра титься к исходной задаче Планка и попытаться решить ее без обращения к статистическим представлениям. Однако вряд ли это когда-нибудь случится. В дальнейшем изложении мы убедимся в том, что первым проявлением свойств физической неделимости мира является именно принципиально вероятностный характер поведения микрообъектов.
14. Проявление свойств физической неделимости мира
Природа статистики в квантовой механике. Если во время появления гипотезы о кванте действия и первых шагов в ее использовании при объяснении фотоэффекта и структуры атома едва ли можно было ожидать осознания той качественно новой посылки, которая содержалась в этой гипотезе в неявном виде, то с созданием квантовой механики, в особенности в ходе дискуссий по принципиальным вопросам, становилась все более отчетливой необходимость нового взгляда на мир. Встал вопрос прежде всего о природе квантовой статистики.
Уже наиболее общий взгляд на квантовую механику вынуждает отметить глубокое качественное различие в происхождении и характере ее статистических закономерностей по сравнению со статистикой в классической физике.
В классической физике использование статистических методов имеет своим основанием сознательное стремление к пренебрежению большим числом разнообразных динамических факторов, оказывающих влияние на поведение исследуемой системы, которые не представляется возможным учесть в последовательном динамическом описании именно в силу их массового характера. Квантовой же механике статистика навязана самой природой, ибо здесь строгое динамическое описание в принципе невозможно в связи с отсутствием полной однозначности в любом опыте в силу особой целостности квантовомеханических процессов, обусловленной конечной неразложимостью физических систем на строго определенные и однозначные элементы их состояний. Как отмечает Н. Бор, обращение за помощью к вероятностным законам в квантовой механике существенно отлично по цели от привычных приложений статистических соображений в качестве практического средства расчета поведения механических систем большой структурной сложности. Фактически в квантовой физике мы имеем налицо не усложнения такого рода, а неспособность системы' понятий классической физики охватить своеобразные особенности неделимости, характеризующие элементарные процессы Означает ли это, что где-то мы должны
1 См. Н. Бор. Дискуссии с А. Эйнштейном о теоретико-познавательных проблемах в атомной физике. — «Философские вопросы современной физики». М., 1959, стр. 180.
174
будем полностью отказаться от представления о мире как о таком, который является по своей природе исключительно множественным и на любом своем уровне состоит из различных объектов, событий, процессов и т. п.? Оказалось, что да. Тем самым универсальный и всеобщий характер понятия многообразия был поставлен под сомнение.
Напомним в связи с этим, что о реальном физическом многообразии (а затем и о протяжении) уместно говорить только тогда, когда математическому понятию множества можно придать физический смысл, сопоставив его элементы с некоторыми реальными физическими объектами с ненулевой массой покоя. Только в этом случае, во-первых, эти объекты могут быть физически верифицированы как элементы некоторого многообразия, а во-вторых, между ними могут быть прослежены имеющие реальный физический смысл пространственно-временные отношения.
По-видимому, проведение детализации состояний физических систем в рамках понятия многообразия имеет в связи с этим строгий и однозначный смысл лишь на макроуровне и не может быть продолжено глубже уровня элементарных частиц с отличной от нуля массой покоя.
При этом следует иметь в виду, что совокупность элементарных частиц с отличной от нуля массой покоя лишь ценой большого упрощения может быть интерпретируема как многообразие. Квантовый характер перехода микросистем из одного состояния в другое существенным образом ограничивает применимость к ним этого простого образа. И по определению своему, и по существу квантовый переход не может быть как-либо непосредственно описан в пространстве и времени или в рамках более общего понятия многообразия вообще, поскольку он носит дискретный характер и неразложим: по отношению к нему в принципе не могут быть установлены какие-либо детали процесса. Физически это означает, например, что система или излучает сразу всю порцию энергии, равную кванту, или не излучает ничего. Но никогда нельзя надеяться обнаружить испущенной только часть кванта, в то время как другая его часть ецхе принадлежит исходной системе. Точно так же и переход электрона с одного уровня в атоме на другой но--ит исключительно скачкообразный характер, в котором
175
электрон находится на одном или в следующий момент на другом уровне, но никогда не бывает где-либо между ними. Такого рода скачкообразный характер изменения состояний микросистем, связанный с отсутствием физической возможности для дальнейшей его детализации, вводит статистику в самый фундамент материи.
Не будучи детализируемым в рамках понятия многообразия, квантовый переход в то же время не может быть также рассматриваем и в качестве отдельного и самостоятельного элемента (хотя бы и неделимого и «последнего»), который входит в некоторое многообразие, образованное физическими объектами. Его существование не может быть понято на уровне индивидуализируемых вещественных объектов и отношений между ними, так как он не является объектом в узком смысле слова, а есть очень специфическое и своеобразное свойство физически неделимого, скачкообразного перехода квантовых систем из одного энергетического состояния в другое. В качестве такого своеобразного свойства в поведении физических систем квантовый переход по природе своей поддается описанию в пространстве и времени только в форме вычисления вероятностей его. А поскольку квантовый скачок составляет существенную черту процессов взаимодействия в микромире и характерен для физического влияния процесса измерения на наблюдаемый объект, постольку статистика становится неустранимой чертой реальности и входит в самое сущность вещей.
Таким образом, вначале физическая неделимость мира, объективно существовавшая в проблеме равновесного излучения, потребовала введения гипотезы о квантованности действия и квантовом характере испускания и поглощения света. Затем обусловленный ею квантовый характер переходов микросистем из одного энергетического состояния в другое явился непосредственной причиной присущей им статистики. Тот факт, что мир в конечном счете обладает физической неделимостью, сразу же (и в той мере, в какой это нами осознано) указывает на односторонность и известную ограниченность чисто динамического подхода к описанию природы. Динамическая концепция становится, можно сказать, беспочвенной и как бы «повисает в воздухе» там, где оказывается проблематичным, а то и вовсе невозможным физическое выделение отдельных объектов-ин
176
дивидуумов, необходимых для сохранения ее смысла и самой возможности ее применения.
Позже мы увидим, что фактически любой микрообъект не может быть физически отделен от своего окружения и представление о нем как об отдельном физическом индивидууме является результатом весьма сильной идеализации, накладываемой на микромир нашим способом его рассмотрения. В микромире неприменимость образов отдельного объекта и физического индивидуума, а также их совокупности — физического многообразия — делает невозможным использование здесь динамических закономерностей. А неполная разложимость реальности на четко определенные элементы ее состояний (всегда зависящая от уровня энергии данных взаимодействий) вынуждает нас переосмыслить понимание «реального», которое в связи с этой неполной детализируемостью состояний физической реальности всегда содержит в себе и потенциально возможное — набор виртуальных свойств и состояний, которые могут оказаться осуществившимися при соответствующих затратах энергии. Причем реализация этих потенциальных возможностей, переход из виртуального состояния в реальное, всегда осуществляется скачкообразно в форме квантового перехода.
Квантовый переход, будучи связанным с потенциальными возможностями системы, может быть отражен в рамках пространства и времени лишь опосредованно, через описание распределения вероятностей его. И только изменение вероятностей этого перехода носит теперь непрерывный характер и может быть описано в рамках протяжения как некоторый волнообразный процесс.
Вакуум как свойство физической неделимости мира. Понятие реального физического многообразия, или множества, как и понятие протяженности, неприменимо к субквантовому уровню материи. Распространение понятия многообразия (или понятия протяженности в принятом здесь смысле) на субквантово-механический уровень ведет к противоречию с известным фактом релятивистской инвариантности физического вакуума, ибо если бы материю физического вакуума можно было интерпретировать как некоторое реальное физическое многообразие, то это означало бы, что с нею можно было бы связать выделенную систему отсчета (хотя бы в принципе). Но при таком допущении мы приходим к серьез-HBiM противоречиям с наиболее важными положениями
177
теории относительности. Поэтому, строго говоря, существование физического вакуума также не может быть рассматриваемо на уровне вещественных объектов и отношений между ними. В этом случае физический вакуум приводил бы к абсолютному расщеплению единого пространства-времени. Но физический вакуум не может быть уподоблен какой-либо тончайшей классической среде, «вложенной» в пространство и существующей между объектами вещественного мира и наряду с ними; он должен рассматриваться как свойство неразложимости материального мира; свойство физически неделимого единства его в субквантовомеханическом уровне.
Действительно, энергия нулевого осциллятора записывается в виде— hv и в этой записи заведомо не имеет
непосредственного физического смысла. Это обстоятельство скорее указывает на фиктивный характер представлений об абсолютной разложимости физического мира на отдельные (в абсолютном смысле) элементы-индиви-
дуумы, чем на реальное существование какого-то физического объекта с энергией, равной (или кратной) —/iv.
В физическом мире вся реальная энергия, которая может быть излучена или поглощена и, следовательно, «сосчитана», кратна не-^-ftv, а целому hv.
Физический вакуум поэтому представляет собой не вещественный объект, а свойство вещественных объек
тов, лишь виртуальные состояния реальности, что хорошо согласуется с его заведомой ненаблюдаемостью (непосредственной) .
Но поскольку это свойство вещественного мира не фиктивно, а реально, постольку в мире вещества оно косвенно наблюдаемо. Как такое в высшей степени своеобразное свойство физический вакуум непосредственно непредставим в рамках понятия протяженности. Д. Бом в «Квантовой теории» полностью отказывает понятию многообразия в какой-либо применимости его к субквантовомеханическому уровню материи, полагая, что с этой стороны Вселенная представляет собой не только нечто единое и неразделимое, но и обладает свойствами неделимой единицы Следует отметить, что
1 См Д. Бом. Квантовая теория, стр. 196
178
неприменимость понятия многообразия к субквантовомеханическому уровню материи уже нашла косвенное выражение в развитии представлений о виртуальных, а не реальных частицах и процессах в этом «уровне», поскольку трудно рассматривать виртуальные частицы и процессы в1 качестве реальных элементов состояния физической реальности. Обращение к ним представляет собой средство отображения потенциальных возможностей системы, коренящихся в ее связях с физическим вакуумом.
«Существование» виртуальных частиц определяется исключительно и полностью характером соответствующего вида взаимодействия реальных частиц и не может мыслиться вне этого взаимодействия, оставаясь в то же время чисто условным, своего рода модельным элементом его. Виртуальные частицы и переходы выступают в качестве способа описания взаимодействия реальных частиц, осуществляемого через посредство вакуума, в привычных образах частиц. На наш взгляд, подлинное содержание понятия виртуальных частиц и переходов состоит в том, что в их наборе находят отражение потенциальные возможности реальной частицы в данном ее состоянии, обусловленные ее связью с вакуумом. Однако для перехода виртуальной частицы в реальную всегда потребуется затрата энергии не меньше той, которая связана с ее массой покоя.
Упрощенное понимание виртуальных частиц и попьт ка сблизить их с реальными частицами иногда проявляется в стремлении трактовать их существование по аналогии со связанными частицами. Как известно, состояние связанных частиц характеризуется наличием дефекта массы, и чем сильнее их связь, тем больше дефект массы. Однако если виртуальные частицы уподобить связанным частицам, то для них дефект должен быть равным — ни много ни мало — их собственной массе покоя. Т. е. виртуальная частица вовсе не существует как реальная, а есть лишь потенциально возможная.
Наконец, тот факт, что в вакууме «содержатся» виртуальные частицы всех реальных частиц и все элементарные частицы «входят» в «структуру» друг друга через виртуальные состояния, также, по-видимому, говорит 0 едва ли допустимом проведении аналогии между элементарной частицей и вакуумом, с одной стороны, и
179
элементом-индивидуумом 1 и многообразием элементов-^ с другой. То обстоятельство, что благодаря виртуальным связям за каждой частицей как бы проглядывает весь мир, становится более понятным, если исходить из физической неделимости мира в конечном счете, а не из классических представлений об исчерпывающей разложимости его на совокупность элементов-индивидуумов, взаимоисключающих друг друга и абсолютным образом отделимых один от другого. В этом случае виртуальные связи оказываются непосредственным олицетворением физической неразложимости мира в конечном счете.
Существование соотношения неопределенностей Гейзенберга L±x-L±p~h также указывает на неразложимость мира в конечном счете, ибо абсолютно строгое отделение одного объекта от другого или хотя бы точное определение их границ и отделение их от среды их существования потребовало бы действия физических агентов с бесконечными импульсами, что недостижимо.
О невозможности абсолютной и полной разложимости реальности на четко определенные составляющие элементы ее говорит также фиктивный характер таких величин, как «собственная» масса или «собственный» заряд «голой» частицы. То, что наблюдается в опыте, всегда есть полная масса и полный заряд частиц, и только наша исключительная привязанность к классическим представлениям заставляет подразделять наблюдаемое на часть, обусловленную взаимодействием с полем, и на так называемую «первичную» массу и заряд «голой» частицы. Точно так же ненаблюдаемы и фиктивны собственная энергия (и масса) вакуума, которая к тому же и бесконечна, как и собственная энергия частицы, обусловленная ее взаимодействием с вакуумом.
Единственным источником этих не имеющих смысла в теории и не наблюдаемых в опыте величин является некритическое использование при анализе свойств вакуума классических представлений о моделях его, предполагающих осуществимость разумной интерпретации его как некоторого реального физического многообразия, будь то в виде бесконечного набора уровней отрицательной энергии, «дырок», заполненных частицами в нена
1 Элемент-индивидуум — это такой отдельный объект, совокупность которых образует множество и каждый из которых мыслится вполне самостоятельным и обособленным.
180
блюдаемом состоянии, или бесконечно протяженного поля.
Заслуживает внимания в связи с этим характер взаимодействия атомной системы с вакуумом. Оказывается, нулевые колебания вакуума воздействуют на электрон в атоме только в определенном направлении, а именно инициируя переход его в состояние с более низким уровнем энергии L Сдвиг уровней, происходящий под влиянием физического вакуума, в сторону увеличения энергии связи электронов в атоме, также свидетельствует о том, что вакуум не представляет собой какого-либо самостоятельного и внешнего по отношению к атомной системе поля. Если бы была справедлива концепция полной и абсолютной разложимости мира на составляющие его элементы, то вакуум в любом случае должен был бы быть отдельным физическим объектом наряду с атомами и частицами, его составляющими, а это означает, что его влияние должно быть прямо противоположным по своему характеру. Вакуум как свойство физической неделимости систем в конечном счете рано или поздно вызывает спонтанный переход возбужденной системы в стабильное состояние с одновременным испусканием кванта света. Считается, что этот процесс возможен благодаря переходу виртуального вакуумного фотона в реальный за счет высвобождаемой энергии возбужденного состояния атома.
Поляризация вакуума также есть только проявление свойств физической неделимости мира в конечном счете, ибо она выражается в некотором противодействии, смазывании, сокращении — в своего рода тенденции к уменьшению достигнутой в опыте степени дифференцированности реальности. Согласно Дираку2, внешнее электромагнитное поле, даже не вызывая реального порождения электронно-позитронных пар в вакууме, все же приводит к такому их перераспределению в виртуальном состоянии, благодаря которому в вакууме индуцируется некоторая плотность заряда-тока, накладывающаяся на первоначальную и компенсирующая исходный заряд, породивший внешнее поле. Поэтому вследствие поляризации вакуума исходный заряд по своему абсолютному
1 См. В. Вейскопф. Проблемы новой квантовой теории электро-На — «Успехи физических наук», т. XVI, 1936, вып. 3, стр. 302
См П. Дирак. Теория позитрона. — «Атомное ядро». М.—Л., 1934, стр. 142.
181
значению уменьшается именно на величину, равную индуцированному им заряду в вакууме.
Обращает на себя внимание роль вакуума в явлениях, связанных с ускоренным движением частиц. В соответствии с основными идеями теории относительности равномерное движение является только относительным и не связано с проявлением каких-либо сопутствующих ему физических явлений в движущемся теле, которые позволили бы говорить о пребывании тела в состоянии движения или покоя в абсолютном смысле. Но всякое изменение скорости движения тела, т. е. всякое ускорение, имеет абсолютное значение. С этим связано, в частности, то, что ускорение наэлектризованного тела сопровождается испусканием электромагнитных волн. Это явление, по-видимому, также обусловлено наличием вакуума как свойства физической неделимости мира в конечном счете.
При равномерном и относительном движении электрона его взаимодействие с вакуумом, выражающееся в поляризации вакуума и в частичном экранировании вакуумом его заряда, и по своему характеру, и по количественному выражению остается неизменным и всюду (по пути его движения) постоянным, будучи связанным с одним и тем же видом распределения индуцированного заряда в вакууме.
Но ускоренное движение связано с качественным изменением пространственно-временных отношений, отражающих то или иное состояние дифференцированности материи. Ускорению может быть сопоставлено введение эквивалентного поля тяготения или соответствующего искривления пространства. Ускоренное движение, следовательно, ведет к замене одного состояния дифференцированности другим. Однако в силу наличия квантовых свойств физической неделимости мира вакуум как бы оказывает «сопротивление» ускорению, выражающееся в увеличении индуцированного заряда в вакууме, что в свою очередь приводит к генерации световых волн через посредство аннигиляции пар, возникающих за счет энергии ускоренного движения частиц.
Важная и злободневная проблема экспериментального обнаружения кварков есть в некотором отношении проблема достижения большей степени расщепления реальности. Во всяком случае ее решение упирается в повышение мощности ускорителей, ибо если, как пред-182
полагают, масса кварков в 5—10 раз превосходит массу нуклона, то мощность существующих ускорителей явно недостаточна для образования их в ускорителях. Можно поэтому предположить, что современные средства экспериментирования в области микромира недостаточны для выявления тех свойств физической реальности, которые соответствуют гипотетическим кваркам.
В микромире проблема достижения большей степени расщепления реальности есть одновременно проблема перехода к экспериментированию со все более высокими энергиями: выделение все более мелких пространственных масштабов, соответствующих, например, более коротким длинам волн, одновременно означает переход ко все более высоким частотам излучения, т. е. предполагает затрату все более высоких энергий. Этот факт по-своему говорит о том, что пространство и время не существуют сами по себе, а творятся движением материи и в известном смысле могут быть созданы в эксперименте.
Известно также, что на уровне элементарных частиц чем больше усилий мы будем прикладывать для их деления, тем большее число частиц того же сорта мы получим, которые своим массовым рождением косвенно подтверждают физическую неразложимость мира.
Именно физическая неделимость мира в субквантовом уровне ведет к тому, что усиление локализации частицы также вызывает множественное рождение подобных ей частиц, так что в конце концов число их становится неопределенным. Например, попытка достаточно определенной локализации электромагнитного поля завершается резким возрастанием числа фотонов, ему соответствующих, и последующим рождением пар других частиц. В то же время возбуждение поля, соответствующее единичному фотону, не является локализованным и занимает все пространство, так что понимание фотона как некоторого физического индивидуума становится в связи с этим весьма условным.
Точно так же ведут себя и частицы с конечной массой покоя, и их нелокализуемость, собственно, и послужила источником представлений о поляризации вакуума. Степень локализованности частицы определяется шири-нои ее волнового пакета. Но тот факт, что для свободно?! частицы волновой пакет довольно быстро расползается но всему пространству и по прошествии достаточного
183
времени ее можно обнаружить с равной степенью вероятности в любой точке пространства, ни о чем другом и не говорит, по-видимому, кроме того, что за этим образом свободной частицы с ее удивительным «вездесущием» скрывается не реальная частица, а лишь возможность выявления ее в довольно широкой области пространства при подходящих условиях расщепления изучаемой системы в эксперименте.
Далее, сама множественность элементарных частиц, и в особенности их резонансных состояний, также свидетельствует о том, что идея выделения элементарных частиц как некоторых обособленных физических индивидуумов, как последних «кирпичиков» утратила всякий смысл.
Действительно, если мы приходим к выводу о физической неразложимости мира в конечном счете и о неизбежной дополнительности в связи с этим свойств мира как многообразия и мира как неделимого целого, то ясно, что сама постановка задачи найти некоторые последние, фундаментальные, или элементарные, частицы оказывается и односторонней, и некорректной. В связи с конечной неразложимостью мира эта задача скорее всего попросту не имеет смысла в вышеприведенной ее формулировке, и за всем богатством элементарных частиц и их резонансов следует видеть неисчерпаемую мощь мира как неразложимого целого.
Наконец, физический вакуум и все связанные с ним обстоятельства имеют непреложный и неизбежный, но по своей логической сути один и тот же характер для всех видов квантовых полей: электромагнитного, электроннопозитронного, мезонных и т. д. Это обстоятельство лишний раз свидетельствует о том, что за свойствами физического вакуума скрывается не какой-то особый вид вещества или поля, очень тонкий по своей структуре, но все же субстанциальный и существующий наряду с реальными полями и частицами, а именно объективное свойство физической неделимости мира. Мы можем выбрать любой аспект членения реальности, любые конкретные частицы и поля, но наличие у них квантовых свойств неизменно приводит к соответствующему вакууму с одними и теми же его логическими свойствами, отвечающими в конкретном проявлении тому или другому способу «членения» реальности: электромагнитному полю соответствует электромагнитный вакуум, электрон-184
цо-нозитронному полю — электронно-позитронный вакуум, мезонному — соответственно мезонный и т. д.
Редукция волновой функции. Необходимо особо подчеркнуть роль вакуума как свойства физической неделимости микросистем в качестве реального основания онтологического характера потенциальных возможностей, с которыми приходится оперировать в квантовой механике.
Как уже говорилось, классическая физика зиждется на представлении об абсолютной и полной разложимости реальности на совокупность четко определенных элементов и структур. Категории «вероятности» и «возможности» используются в ней лишь как отражение, так сказать, субъективной меры незнания состояния систем во всех деталях или же нашей неспособности охватить огромное (а иногда и неограниченное) число различных динамических факторов, влияющих на поведение системы. В классической физике эти категории, таким образом, лишены какого-либо онтологического основания.
В квантовой физике, наоборот, даже демон Лапласа \ и даже имей он дело только с единичным явлением и в единичном опыте, должен был бы по необходимости обратиться к представлению о вероятностях именно в силу физической неделимости мира в конечном счете, делающей заведомо недостижимой строгую однозначность в любом опыте.
Вероятности и потенциальные возможности оказываются, таким образом, принципиально неустранимыми из квантовой картины мира и играют в изучении микросистем тем большую роль, чем труднее становится на достигнутой ступени их описания игнорировать соотношение неопределенностей и неделимый характер квантового перехода, т. е. чем в большей мере затрагиваются в этом описании свойства мира как физически неделимого. Если энергии нулевого осциллятора, как это было отмечено ранее, не может быть найдено никакого непосредственного истолкования и она лишь указывает на всегда существующую и принципиально неустранимую возмож-
1 Лаплас предположил, что если бы существовал разум, способный учесть мгновенное положение и импульсы всех частиц во Вселенной, то, пользуясь законами классической механики, он мог бы точно предвидеть любое последующее состояние Вселенной, точно так же и прошлое не представляло бы для него тайны.
7 Зак. 25	J85
ность рождения реальных частиц и квантов, то, с одной стороны, это возможно лишь в силу физической недели-мости мира в конечном счете, а с другой — в этом заключается еще одно проявление последней.
Поэтому, когда говорят о фоновой материи, или материи физического вакуума, то эти высказывания нужно понимать лишь как указание на объективную и принципиально неустранимую возможность проявления свойств реальной материи в так называемой пустоте. Именно поэтому столь большое значение в физической интерпретации вакуума приобрело представление о виртуальных взаимодействиях, частицах и процессах. И поскольку неразложимость мира имеет действительный физический характер, то и потенциальные возможности, связанные с нею, имеют объективную онтологическую природу и потому не могут быть истолкованы в духе иррационализма, агностицизма или субъективного идеализма, которые за возможностью не видят ее объективного основания.
Вместе с тем онтологический статус потенциальных возможностей и трудность отображения его в языке приводит к «непостижимости» квантового скачка, ибо переход из потенциально возможного в реальное по природе своей не может быть изображен как непрерывный процесс ввиду отношения противоположности между реальным и потенциальным. Поэтому существенной чертой квантовых процессов, которые связывают потенциально возможное и действительное, является дискретность: потенциальное становится реальным только с нарушением непрерывности в результате скачкообразного перехода.
Если в соответствии с этими представлениями мы ограничим традиционный взгляд на природу как на актуальную множественность самых разнообразных объектов и признаем физическую неделимость мира, т. е. признаем, что в конечном счете мир не является чем-то многим, а существует как неделимая единица, причем множественная его сторона полностью исчерпывается субстанциальным аспектом, тогда как свойство физической неразложимости его не является субстанциальным и обнаруживается косвенным путем (множественное рождение частиц при попытках их «дробления» или локализации, влияние физического вакуума на уровни электронов в атоме и т. п.), то для нас откроются новые 186
возможности в понимании корпускулярно-волнового дуализма частиц.
На уровне элементарных частиц свойство физической неразложимости мира явно превалирует над свойствами мира как многого, поэтому образ элементарной частицы как физического индивидуума носит в значительной мере эфемерный характер. Большую часть времени своего существования частица находится в виртуальных состояниях, участвуя в непрерывных реакциях с вакуумом и другими частицами. Понимание элементарной частицы как физического индивидуума, даже в случае свободного ее состояния, содержит двусмысленность по крайней мере до тех пор, пока микрочастица действительно не обнаружит себя в реальном взаимодействии, вызвав, например, почернение определенной точки экрана. До такого обнаружения частицы в реальном взаимодействии ее существование может быть описано лишь с помощью определенного распределения вероятностей подобного ее обнаружения. Отсюда волны вероятности не являются ни субстанциальными волнами, ни «волнами нашего знания». Они отражают объективно-сущест-вующие и имеющие онтологический статус в силу конечной неразложимости мира потенциальные возможности системы.
Все дело в том, что теперь реальное не есть только реальное, как его понимают с точки зрения здравого смысла, например реальный стул в моей комнате. В конечном счете деление физической реальности на составляющие ее элементы где-то полностью теряет свой смысл. Поэтому в качестве «последних элементов» реальности следует признать множественный, корпускулярный, или субстанциальный аспект ее (содержащий в себе свойство физической неразложимости мира), и в равной мере свойство физической неделимости мира (содержащее в себе виртуально, в виде потенциальных возможностей множественность и субстанциальность реальности). Все Дело теперь в диалектике этих взаимно противоположных «последних» черт реальности. Бессмысленно ставить вопрос о том, какая из этих сторон является более «глубокой» онтологически, но необходимо постоянно иметь в ввду обе и помнить о их неразрывности.
Физическая неделимость мира в конечном счете ведет к проявлению таких свойств и особенностей в поведении икрообъектов, которые крайне озадачивают поначалу. 7*
187
Скажем, такое простое и совершенно разумное требование, которое налагается на квантовую систему условием нормировки ее волновой функции, так что полная вероятность найти изолированную систему в каком-либо из возможных ее состояний равна единице и такой остается всегда, что бы с ней ни происходило, имеет свое глубокое основание также в физической неделимости квантовых систем и в существовании всей Вселенной как неделимой в конечном счете единицы. Это требование ведет к весьма характерному способу редукции волновой функции частицы в случае осуществления одного из возможных ее состояний.
Волновая функция, как известно, всегда может быть представлена как суперпозиция ее частных состояний, являющихся собственными функциями определенных значений интересующих нас переменных, представленных в общем состоянии соответствующими коэффициентами таким образом, что сохраняется условие нормировки.
Вся трудность проблемы заключается, однако, в том, что до реального измерения, устанавливающего значение переменной частицы равным какому-то одному из первоначального ряда возможных ее состояний, представленных суперпозицией, каждое из этих частных состояний системы, участвующих в суперпозиции, является не менее и не более реальным, чем какое-либо другое, хотя вероятность осуществления каждого из этих частных состояний различна. Реальный характер всего набора вероятностей, присущих данному состоянию частицы, подтверждается различными интерференционными явлениями. Поэтому после того, как наблюдатель, проведя измерение, зачеркивает исходную волновую функцию и взамен ее записывает новую, отвечающую полученному результату измерения, так, что исходная Т (х) «стягивается» к фЛх): Чг(х)=с1ф1 (х) + с2ф2	(х) -»
—> Фл (х), возникает трудный вопрос, какой объективный процесс отвечает этому «стягиванию» первоначальной Т (х) к ф„(х), т. е. что объективно соответствует этому изменению сведений о системе. И если этот процесс перехода системы из состояния^ (х) в состояние (х) имеет физический характер, то как это возможно, ибо он должен совершаться мгновенным образом, т. е. с бесконечной скоростью?
Это затруднение приобретает особенно большую ост
188
роту, если исходная Т (х) покрывает все бесконечное пространство. Ведь в этом случае мгновенное изменение должно проявиться уже во всем бесконечном пространстве. На этой трудности Эйнштейн построил один из многочисленных своих парадоксов, которые, по его мнению, должны были свидетельствовать о неполноте квантовой механики.
Трудность, однако, исчезает, если мы будем постоянно иметь в виду фактическую неразложимость мира, обеспечивающую существование объективной неопределенности в любом состоянии физической системы и выражающуюся в объективном онтологическом статусе ее потенциальных возможностей, дополняющих собой это ее не вполне определенное состояние. (Ведь реальность в квантовой физике вовсе не есть реальность в обыденном понимании, но, как было ранее отмечено, эта реальность включает в себя на равных правах и действительное и потенциальное, т. е. и субстанциальное — множественный аспект природы, и свойство конечной неделимости в субстанциальном — источник и основание потенциальных возможностей в нем.) Полный набор потенциальных возможностей системы представлен в исходной волновой функции суперпозицией ее частных состояний. Причем корреляция между этими потенциальными возможностями системы и сама возможность их разумной нормировки обеспечены также конечной неразложимостью ее состояния. И вот теперь в случае, когда выполняется акт измерения над системой, который по необходимости носит физический характер, даже одного кванта энергии может оказаться достаточно для скачкообразного перехода системы из состояния ^(х) в состояние с большей степенью определенности, скажем (х). При этом свойство физической неделимости мира в конечном счете, которое ответственно за корреляцию по-, тенциальных возможностей системы, мгновенным и несиловым образом свертывает потенциальные возможности исходного состояния, перераспределяя их в новый набор, отвечающий осуществившемуся состоянию. Важно подчеркнуть, что эта «игра» потенциальных возможностей системы, сопровождающая ее переход в результате измерения из одного состояния в другое, носит объективный характер и нисколько не зависит от того, зарегистрирует наблюдатель результаты измерения или Нет- Объективно они «регистрируются» через свойство
189
целого в состояниях микросистем путем перераспределения потенциальных возможностей для ожидаемых результатов будущих измерений в связи с осуществившимся — ив этом все дело. Речь, разумеется, может и вовсе не идти о каких-то измерениях; вместо них можно говорить о реакциях столкновения и рассеяния частиц и т. п., происходящих без участия наблюдателя. Однако свойство физической неделимости мира и в этом случае будет точно таким же образом «управлять» перераспределением потенциальных возможностей частиц от одного события к другому. Поэтому квантовая механика управляла событиями в природе и в эпоху динозавров, когда еще не была изобретена ф-функция и не было самого наблюдателя.
Все это становится совершенно очевидным, едва только в картину природы мы введем имеющие объективный онтологический статус потенциальные возможности системы за счет фактического отсутствия полной детализации ее состояний в любом опыте и признаем физическую неделимость мира в конечном счете. В этом случае квантовые свойства мира как неразложимого целого обеспечивают несиловую (иной она и не может быть) корреляцию потенциальных возможностей системы и управляют их перераспределением от одного события (измерения) к другому в зависимости от фактически реализующихся состояний. Такое представление является неизбежным завершением нового взгляда на природу.
Новое понимание физической реальности, которое дает нам квантовая механика и в котором в качестве существенной его черты должно найти место потенциально возможное (за счет неполной разложимости реальности в любом опыте в силу физической неделимости мира в конечном счете), является в сущности основной причиной всех дискуссий вокруг квантовой механики. Так, В. А. Фок в замечаниях к статье Н. Бора «Дискуссии с Эйнштейном о проблемах теории познания в атомной физике» следующим образом резюмирует позицию Эйнштейна: «...если ввести противостоящие друг другу понятия «потенциально возможное» и «действительное» (осуществившееся), то мы вправе отрицать, что понятие «квантовое состояние» относится к действительному, как это думал Эйнштейн. Иначе говоря, ошибка Эйнштейна состоит не в том, что он признавал понятие кван-190
тового состояния объективным (оно и в самом деле объективно), а в том, что он не делал различия между потенциально возможным и действительным и фактически относил понятие квантового состояния к действительному» т. е. существенно обеднял квантовое состояние, трактуя его чисто классически.
Наконец, нельзя не отметить и такой любопытный факт: сама возможность взаимодействия между физическими объектами непостижима, если в соответствии с классической абсолютизацией протяжения допустить реальное существование сколь угодно малых пространственных масштабов и соответствующее им актуальное существование безграничной совокупности все более мелких физических объектов, снова допускающих на любой достигнутой ступени уменьшения дальнейшее и неограниченное дробление, постулируемое классической убежденностью во всеобщности протяжения и всеобщей и полной разложимости природы на безграничную совокупность составляющих ее элементов. При рассмотрении передачи энергии воздействия от одного тела к другому в этом случае неизбежны трудности, по своей логической структуре напоминающие апории Зенона, в частности «Дихотомию». Введение представления о сходимости не устраняет трудности, ибо сходимость указывает только на конечный результат процесса и ничего не говорит о том, каким образом он может быть достигнут. Ведь перечисление членов сходящегося ряда — задача, которая никогда не может быть завершена, а между тем в случае универсального-характера протяжения и соответствующей этому представлению исключительно множественной картины мира для передачи воздействия от одного тела к другому потребуется нечто вроде перечисления членов сходящегося ряда во все более мелких, но неограниченно дробящихся вновь масштабах пространства, разделяющего эти тела.
Трудно понять, как вообще мог бы быть «разумным» в этом случае мир. Ведь очевидно, что сигнал, посланный от одного тела к другому, не только не мог бы достигнуть последнего, но и, бесконечно распыляясь в каждой области пространства, не мог бы вообще сохраниться, полностью исчезнув уже в ближайшем окружении своего источника. Но и здесь на выручку приходит —--------
1 «Успехи физических наук», т. 66, 1958, вып. 4, стр. 591.
191
вакуум как свойство физической неделимости мира в конечном счете. Во-первых, физическая неделимость мира естественным образом снимает все эти трудности, поскольку служащая источником их бесконечная дро-бимость материи, пространства и времени должна быть признана принципиально недопустимой. Во Вселенной всегда существуют только конечные масштабы пространства и времени, выражающие конечную степень относительной дифференцированности материи. Они порождены отношениями относительно независимых и самостоятельных в конечной совокупности физических объектов, обладающих конечной массой покоя и благодаря этому поддающихся истолкованию в качестве реальных элементов некоторого реального физического многообразия.
Во-вторых, выясняется, что только благодаря наличию физического вакуума как свойства универсальной связи всех полей и частиц в мире, свойства, источник которого нужно видеть в физической неделимости мира в субквантовом уровне и физической невозможности отделить частицу от ее окружения, только благодаря этому возможен перенос взаимодействия через посредство виртуальных частиц и процессов. Так, например, в квантовой электродинамике перенос взаимодействия осуществляется с помощью квантованного электромагнитного поля, т. е. с помощью виртуальных фотонов. Но основанием для существования такого поля виртуальных частиц, окружающих реальную частицу и представляющих собой своего рода резервуар, необходимый для проявления различных каналов ее взаимодействия с другими частицами, является вакуум.
15. Проблема интерпретации квантовой механики
Как известно, наиболее уязвимым местом в копенгагенской интерпретации квантовой механики1 является так называемое противоречие между «корпускулярны
1 Позитивистское истолкование копенгагенской интерпретации квантовой механики подвергнуто убедительной критике в работах В. А. Фока, Д. И. Блохинцева, Ю. М. Ломсадзе, М. Э. Омельянов-ского, Г. А. Свечникова, Б. Я. Пахомова, С. Г. Суворова и других авторов. Важно подчеркнуть, что позитивизм в копенгагенской школе выступает именно как чисто философское наслоение, не имеющее связи с существом взглядов этой школы в физике. Это будет совершенно ясно из последующего изложения.
192
ми» и «волновыми» свойствами микрообъектов, а так-же — поскольку волна ненаблюдаема — субъективистское истолкование волны некоторыми учеными. Однако принятие физической неделимости мира в субквантовом уровне и здесь способствует уяснению действительного положения вещей.
Коль скоро в конечном счете мир обладает свойствами физической неразложимости, это означает, что его исчерпывающее описание не может быть получено путем выделения каких-либо элементов-индивидуумов, его образующих (например, тех же частиц с полным и четко определенным набором параметров). Наоборот, по мере продвижения в микромир образ элемента-индивидуума становится все менее адекватным действительной природе его феноменов и его все менее точные и расплывающиеся контуры должны быть дополнены теперь набором потенциальных возможностей, которые имеют объективный онтологический статус и в которых в отличие от классической концепции мира теперь представлена новая, а именно объективно-вероятностная сторона физической реальности.
Основанием этих имеющих объективную, онтологическую природу потенциальных возможностей является свойство физической неделимости мира, поскольку оно
непосредственно указывает на то, что не существует и не может быть найдено эксперимента, который позволил бы нам получить полностью изолированную, «голую» и точно определенную по всем ее свойствам частицу. Образ такого строго определенного физического элемента
становится теперь фикцией, а вместе с ним и вся концепция механистического детерминизма.
Поводом для возникновения представлений о волнах послужили известные интерференционные явления, например распределение пятен от частиц на экране, помещенном позади диафрагмы с двумя отверстиями.
Никаких прямых наблюдений волн материи или света не было и, по-видимому, не может быть получено. Опрашивается, является ли волна единственным понятием, позволяющим нам объяснить известную корреляцию в распределении темных и светлых полос на экране, возникающих в том случае, когда открыты обе щели?
Как показывает опыт, эти полосы создаются попеременным чередованием более скученных или разрежен-совокупностей пятнышек — следов от попадающих
193
частиц, так что каждая «волна» в момент взаимодействия ее с экраном локализуется в какой-то определенной точке его.
Прежде всего возникает вопрос о том, нет ли какой-либо изначальной, зависящей от источника и условий излучения корреляции частиц уже в самом их рое, движущемся к экрану через две щели в диафрагме? На этот вопрос следует ответить отрицательно. Во-первых, частицы испускаются со статистически неопределенными импульсами в разных актах испускания и из разных точек излучателя, а для объяснения интерференционных явлений, как показывает Д. Бом, нужно было бы приписать всем частицам одинаковый начальный импульс, с тем чтобы связать с каждым из них одинаковую волну1. Во-вторых, получение роя частиц от одного и того же элементарного излучателя также не обеспечивает интерференционную картину, так как и здесь будет иметь место статистический разброс импульсов частиц от одного акта испускания к другому. Для наблюдения устойчивой интерференционной картины необходимо попадание на экран когерентных волн, т. е. таких, которые имеют вполне определенное и устойчивое соотношение по фазам. Эти волны могут быть получены лишь тогда, когда через обе щели диафрагмы пройдет одна и та же волна, рожденная элементарным излучателем в единичном акте испускания, т. е. волна, соответствующая одной частице. В какой бы фазе она ни подошла к диафрагме, вызванные ею за диафрагмой две новые волны всегда будут иметь одно и то же (в каждой определенной точке экрана) соотношение фаз, и именно это обстоятельство обеспечивает устойчивую интерференционную картину. Таким образом, мы вынуждены связывать волновую картину с поведением отдельной частицы1 2 и, следовательно, в свойствах отдельной частицы необходимо искать объяснение волновых явлений.
Ранее было отмечено, что понимание отдельной частицы в квантовой механике необходимо связано с определенным набором потенциальных возможностей, как бы дополняющих всегда неточный образ ее, а ее перемеще
1 См Д. Бом. Квантовая теория, стр 145
2 Тот факт, что никакое взаимодействие между электронами не может объяснить интерференционные явления, подтверждается также опытами Г А. Бибермана, Н. Г. Сушкина и В. А. Фабриканта (см. «Доклады АН СССР», т. 66, 1949, стр. 185).
194
ние в пространстве — с трансмутациями, в которых происходит периодическое воплощение ее из виртуального состояния в реальное, а из реального — снова в виртуальное и т. д.
По мнению В. Уотсона, такое скачкообразное движение частицы, которое протекает как определенный периодический процесс, может быть источником волновой картины движения микрообъектов При этом он показывает, что с трансмутациями может быть связано получение фазовой скорости и волнового числа, необходимых для построения волновой картины. В этом случае волна не только ненаблюдаема, но и вообще носит только модельный характер, благодаря чему проблема ее физического истолкования отпадает. Любой периодический процесс, который по своей природе может быть весьма далек от каких-либо волн, математически всегда может быть представлен в виде некоторого волнового процесса. В этом случае не следует задаваться вопросом о «природе» получаемых волн, поскольку они носят чисто математический, модельный характер.
На щелях дифрагирует не субстанциальная волна, а виртуальное состояние частицы, иными словами, дифракции и интерференции (с последующим взаимным усилением или гашением) подвергаются сами потенциальные возможности частицы, необходимо связанные с ее движением, его обусловливающие и имеющие реальный онтологический статус, с которым теперь необходимо считаться. Любопытно при этом, что именно конечная физическая неделимость состояния микрочастицы, подвергшегося «разбиению» на щелях на два пучка потенциальных возможностей, распространяющихся за щелями в виде некоторого возмущения поля, во-первых, обеспечивает их когерентность, а во-вторых, в случае перехода частицы в реальное состояние соответствующим образом свертывает потенциальные возможности обоих пучков к реализовавшемуся состоянию.
Тот факт, что интерференция имеет место между потенциальными возможностями, принадлежащими одной и той же частице, легко подтверждается известными опытами с полупрозрачным зеркалом. Интерференционные полосы возникают на экране только тогда, когда Разность хода между отраженным и пропущенным лу-"——------
1 W. Н. Watson. Understanding Physics Today.
195
чами не превышает длины волны в месте их совместного попадания на экран. Только в этом случае, взаимно усиливаясь или погашая друг друга, потенциальные возможности частицы обеспечивают в одном месте экрана большую вероятность локализации частицы, а в другом полностью исключают ее. Если же разность хода лучей превышает длину волны, то на экран одновременно падают лучи, принадлежащие разным частицам. Между ними, естественно, нет никакого «взаимодействия», и в результате вместо интерференционной картины на экране возникает чисто статистическая картина. Это отсутствие какой-либо интерференции между волнами, принадлежащими разным частицам, лишний раз подтверждает несубстанциальный характер волны: в квантовой механике волна частицы есть только модельное математическое представление, используемое для описания распределения ее потенциальных возможностей и отражения взаимной согласованности их между собой. Эта взаимная согласованность потенциальных возможностей, принадлежащих одной частице, проявляется в интерференционных явлениях. Однако, своим действительным источником она имеет конечную физическую неделимость исходного состояния микрочастицы.
Разумеется, лучшим и математически наиболее изящным способом описания движения частицы было и остается построение модельной и весьма наглядной волновой картины. Однако уяснение всех этих обстоятельств позволяет понять полную беспочвенность как субъективистского истолкования волны, так и столь же неудачного стремления к ее непосредственному физическому истолкованию.
Копенгагенская интерпретация квантовой механики вместе с принципом наблюдаемости Гейзенберга и не-наблюдаемостью волны допускает, таким образом, вполне материалистическое истолкование в случае принятия физической неделимости мира в конечном счете. В прекрасной статье «Основания квантовой теории и дополнительность» Л. Розенфельд сетует на то, что молодые физики подвергают сомнениям корректность основных идей квантовой механики, пытаясь улучшить их1. Однако существование кванта действия есть непреложный физический факт и он вносит совершенно новый элемент
1 См «Новые проблемы физики». М., 1965, стр 39.
196
в понимание природы, связанный с конечной неделимостью элементарных процессов. И мы можем сказать теперь, что неизбежная дополнительность в описании природы коренится в самом ее свойстве быть одновременно и множественной (на макроуровне), и чуждой всякой множественности и физически неделимой (в субквантовом уровне).
16. Несиловая корреляция в поведении микросистем
Квантовый переход как фундаментальное свойство материи и как важнейшая черта в ее описании, содержащая в себе новую посылку о физической неделимости мира в конечном счете, позволяет осознать удивительное проявление свойств мира как неделимого целого в так называемом несиловом, или фоновом, «взаимодействии» микросистем, ранее составлявших единую систему или находившихся в каком-либо взаимодействии между собой. Существование этого «взаимодействия» может быть обнаружено и тогда, когда физическая связь между системами заведомо отсутствует, однако необходимо, чтобы ранее она имела место. Всегда, когда между микросистемами происходит какое-либо физцческое взаимодействие, в котором участвует хотя бы один квант энергии, в квантовомеханической области элементарный квантовый обмен двух систем связывает обе взаимодействующие системы неделимым образом. В квантовом переходе квант энергии, с одной стороны, одновременно принадлежит обеим обменивающимся системам, а с другой — не может быть представлен как нечто третье между ними ни в один момент времени и своей неделимостью (при одновременной принадлежности обеим) связывает их в одно.
Благодаря свойству целостности, возникающему в момент взаимодействия двух систем и связывающему их в единое целое, между этими системами устанавливается особая корреляция, сохраняющаяся и тогда, когда физическое взаимодействие «выключается» и системы оказываются на значительном пространственном удалений одна от другой: теперь они уже никогда не могут быть отделены одна от другой в абсолютном смысле именно в силу физической неделимости в субквантовом уровне их исходного состояния, рожденного квантовым взаимодействием. Природу этой корреляции исчерпывающим
197
образом разъяснил Н. Бор, исходивший из квантовомеханической неразложимости микропроцессов. Именно наличие этой корреляции и ее неклассический характер явились источником известной дискуссии о неполноте квантовой теории
Это свойство квантовых систем, свойство физически неделимого единства их в субквантовомеханическом уровне, а с ним и сам субквантовомеханический уровень материи (который, собственно, ничего иного и не означает, помимо этой неразложимости мира в конечном счете) непредставимы как-либо непосредственно в рамках понятия протяженности или более общего понятия многообразия вообще, поскольку состоянию материи, порождающему это свойство, чужда всякая множественность. Но именно благодаря тому, что в субквантовом уровне Вселенная может быть уподоблена неразложимому и неделимому целому, оказывается возможным существование мира как протяженного и множественного. Это связано с тем, что квантовые свойства неразложимости материи наряду с обусловленной ими корреляцией в поведении микросистем обеспечивают и вырастающую из нее для макро- и мегамира устойчивость и сохраняемость, а вместе с тем и всю «разумность» природы: наличие в ней законов сохранения, различных видов симметрии и того важного обстоятельства, что ничто из ничего не возникает и ничто не исчезает бесследно.
Однако содержательное осмысление свойств физической неделимости мира в субквантовомеханическом уровне оказывается весьма затруднительным в силу макроскопических по своей природе представлений о мире, присущих обыденному сознанию. Попытаемся все же более детально проследить роль и значение квантовых свойств мира как целого на следующем примере1 2, который одновременно служит и лучшим подтверждением справедливости представлений о физической неделимости мира в конечном счете.
Пусть имеется квантовая система, состоящая из двух подсистем (например, молекула, состоящая из двух атомов) в состоянии, для которого полный спин равен нулю,
1 См. В. Фок, А. Эйнштейн, Б. Подольский, Н. Розен, Н. Бор. Можно ли считать, что квантово-механическое описание физической реальности является полным? — «Успехи физических наук», т. XVI, 1936, вып. 4.
2 См. Д. Бом. Квантовая теория, стр. 702.
198
и пусть спин каждого атома равен у- . Очевидно, это означает, что спин каждой частицы направлен прямо противоположно спину другой частицы. Предположим, далее, что молекула распалась на атомы (причем в результате такого процесса, который не меняет полного момента количества движения) и атомы разошлись на столь большие расстояния, что между ними исключается всякое физическое взаимодействие. Теория предсказывает, а опыт подтверждает, что если мы будем теперь производить измерительные операции над одним из атомов (измерять одну из компонент X, У или Z его спина), то мы будем автоматически получать совершенно точные сведения для соответствующей компоненты спина второй частицы. Если бы спин являлся классической переменной, то сохранение такого коррелированного начальным состоянием соотношения каждой пары компонент спиновых переменных не представляло бы ничего удивительного, поскольку эта корреляция, очевидно, поддерживалась бы динамическими уравнениями движения для отдельных векторов спина в предположении протекания процесса в пустоте, в изоляции от какого-либо внешнего воздействия и в силу существования законов сохранения. При этом естественной была бы та точка зрения, согласно которой в любой момент оба вектора спина обладают совершенно точными и одновременными значениями всех трех своих компонент.
Очевидно, что такая картина зиждется на представлении об имевшем место абсолютном и полном расщеплении первоначального состояния молекулы на четко определенные и совершенно однозначные элементы последующего состояния двух атомов, также обособившихся друг от друга абсолютным образом и существующих реально в каждый момент времени.
Несмотря на то что такое представление покоится на чрезвычайно сильной и фактически лишенной реального смысла идеализации, оно тем не менее кажется совершенно естественным в силу привычного характера используемых здесь классических представлений о всеобщей и полной разложимости материи на составляющие ее элементы с произвольной степенью точности. Однако если мы перейдем теперь к квантовомеханическому описанию, то здесь картина будет другая. Во-первых, в си-соотношения неопределенностей мы не можем допу-
199
стить одновременного существования всех трех компонент спина второго атома как вполне определенных, хотя, переориентировывая измерительную аппаратуру над первым атомом, мы можем предсказать совершенно точное значение любой из них по желанию, как если бы они существовали совместно и как строго определенные.
Во-вторых, мы не можем также допустить одновре^ менного существования как вполне определенных, хотя бы одной пары компонент спинов обеих частиц до измерения, поскольку первоначальное состояние с определенным значением полного спинового момента всей системы несовместимо с существующими одновременно с ним п также точными значениями спинов атомов, составляющих эту полную систему.
Тем не менее, производя измерения над первой частицей, мы всегда в состоянии дать совершенно точные предсказания для соответствующей компоненты спина второй частицы, как если бы последняя определялась в процессе измерительной операции над первой частицей. Следовательно, в квантовой механике, производя измерение над одной из частиц, после того, когда они уже разлетелись и между ними нет никакого физического взаимодействия, мы определенным образом «влияем» и на вторую частицу. Причем, если мы по-прежнему будем придерживаться классических представлений об абсолютной разложимости реальности на составляющие ее элементы и будем мыслить эти элементы в образах абсолютно индивидуализировавшихся объектов, эта взаимозависимость будет неизбежно приобретать оттенок чего-то мистического, телепатического, по выражению Эйнштейна, да еще и совершающегося с бесконечной скоростью.
Однако решающим фактором является здесь то, что ранее между двумя атомами состоялся обмен хотя бы одним квантом энергии (без чего они не составляли бы исходную молекулу). Это имевшее место квантовое взаимодействие связало оба атома в неразложимую в конечном счете систему, а физическая неделимость мира в субквантовом уровне обеспечивает сохранение квантовой целостности системы всегда, независимо от того, что происходит в дальнейшем с ее подсистемами. Достигнутое в квантовом взаимодействии объединение частиц в неразложимую систему довлеет теперь над поведением каждой отдельно взятой подсистемы и обеспечивает из-200
вестную взаимосогласованность их даже после того, когда система распалась, поскольку ни последующий распад, ни какое-либо иное взаимодействие не распространяются глубже квантового уровня и не могут привести к дальнейшему расщеплению исходной системы в субквантовом уровне, где не только эта система, но и весь мир есть одно.
Поэтому оказывается возможной иная, более естественная точка зрения. Мы отказываемся от представления об абсолютной и полной разложимости реальности на составляющие ее элементы и в области квантовомеханического опыта должны постоянно иметь в виду теоретически обнаруженный и экспериментально подтвержденный факт физической неделимости мира в субквантовом уровне. Это означает, что хотя в рассматриваемом примере исходная система распалась на две подсистемы, однако разложение это не абсолютное и благодаря фактически имеющей место неразложимости исходной системы в конечном счете потенциальные возможности двух родившихся из нее подсистем всегда оказываются замечательным образом согласованными между собой, причем именно таким образом, что определение спиновой компоненты первого атома мгновенным образом «вырезает» из спектра возможных состояний спина второй частицы только такую компоненту ее спина, которая обеспечивает при этом соответствие с их целым.
Таким образом, если в случае полной и абсолютной разложимости материи на бесчисленное множество всевозможных ее элементов порядок и закономерность возможны только благодаря законам сохранения, извне Довлеющим над хаосом многих самостоятельных сущностей, то с точки зрения основных идей квантовой механики сами законы сохранения возможны (и впервые получают свое естественное объяснение) благодаря существованию физической неделимости мира в конечном счете, и в них нужно видеть только проявление квантовых свойств мира как одного и ничего больше.
В данном конкретном случае физическая неделимость исходной квантовой системы обеспечивает сохранение ее полного спина уже после того, когда исходная система распалась, и независимо от того, что происхо-ит с ее отдельными подсистемами, причем таким обра-что состояния ее подсистем всегда оказываются
20!
взаимно скоррелированными, благодаря чему полный спин сохраняется. Приведенный пример и в особенности характер прослеживаемой в нем корреляции в поведении подсистем, сохраняющейся и после распада исходной системы, нельзя понять, если придерживаться классического взгляда на мир как на безграничную совокупность самодовлеющих элементов-индивидуумов, некоторых самостоятельных сущностей и только. Наоборот, всюду в квантовой области необходим последовательный отказ от классических образов элементов-индивидуумов, и соответствующей им картины мира как мира многообразия и столь же последовательный учет физической целостности и неразложимости микропроцессов вплоть до осознания квантовых свойств мира как неделимого целого там, где те черты реальности, которые могут быть схвачены с помощью образов элементов-индивидуумов, становятся все менее определенными и лишь эпизодически наполняются реальным содержанием (скажем, в момент измерения). Здесь на первое место выступает свойство неразложимости мира, исключающее всякую множественность и даже противоположное ей по своей сути.
Уже при первом взгляде на свойства квантовых систем становится очевидной недостаточность неограниченного набора различных элементов-индивидуумов для интерпретации квантовых систем. Например, тот факт, что система, состоящая из двух электронов, обладает определенным «суммарным» импульсом, а волновую функцию ее при этом невозможно разбить так, чтобы каждому из электронов в отдельности можно было приписать определенный импульс даже в том случае, когда они не взаимодействуют, может быть понят, только если мы поступимся привычными представлениями и, памятуя о свойствах целостности и конечной неразложимости квантовых систем, не будем стремиться к буквальному пониманию выражения «состоит из двух электронов».
Наше представление о том, что квантовая система и ранее состояла из подсистем, если ее удается расщепить на них позже, а эти «составные» части ее должны были быть не менее определенными в исходном состоянии, чем вся она в целом, есть лишь дань привычным представлениям о мире, в котором нет ничего, кроме элементов и их множества, системы и ее частей, структур и под
202
структур и т. п. Если же принять во внимание физическую неделимость мира в конечном счете, то говорить о том, что квантовая система «состоит из двух электронов», следует скорее в условном, чем в прямом смысле, подразумевая при этом наличие некоторой объективной возможности получения экспериментатором дальнейшей информации при необходимом физическом воздействии и при уничтожении исходного состояния в полном соответствии с требованием соотношения неопределенностей. Из данного состояния квантовой системы, «состоящей из двух электронов», можно получить то, что называется одним и другим электроном. Правда, при этом ни данного «состояния» электронов, ни самой их системы не сохраняется. Если последовательное развитие квантовых представлений приводит к выводу, согласно которому, оказывается, что даже весь мир в конечном счете не состоит из чего-либо и есть одно, то тем более естественной является мысль о конечной физической неделимости микросистем.
Своеобразная лабильность поведения квантовой системы в эксперименте в зависимости от выбора для измерения импульсно-энергетических или пространственно-временных характеристик ее также возможна только благодаря физической неразложимости ее состояния в конечном счете и отсутствия в ней в связи с этим однозначного набора четко определенных «составляющих» ее элементов. Так, если волновая функция системы двух частиц имеет вид
р+ос—Р(*1—*2+Д)
xE(Xi,x2)= I eh	=	— х2 + #)>
— 0°
то первоначальная информация, заключенная в ней, состоит в том, что разность координат частиц, составляющих систему х2 — Xi = а, а суммарный импульс системы Двух частиц вдоль х равен нулю: рх + р2 = 0. Однако считать, что за этими сведениями о системе в целом скрывается какое-то вполне определенное, но пока что нам не известное пространственное и импульсное, или Даже отдельно только пространственное или только импульсное состояние ее подсистем, было бы неверно именно в силу фактического отсутствия полной разложимости исходной микросистемы на какие-либо составляющие ее элементы.
203
Мы не можем поэтому сказать, что в начальный момент в состоянии системы, описываемом указанной волновой функцией, уже существует определенная корреляция ее подсистем по импульсам или по координатам. Ни координаты, ни импульсы (ни сами подсистемы) еще не существуют как вполне определенные. В начальном состоянии благодаря квантовому свойству целостности и конечной неразложимости исходной системы существуют только потенциальные возможности проявления отдельных ее подсистем и принципиально неустранимый источник корреляции этих потенциальных возможностей по всем параметрам исходной системы — свойство конечной физической неделимости ее. Но о каких из этия параметров следует говорить в дальнейшем как о реальных, зависит от того, будет ли измерена на следующем этапе опыта координата или импульс одной из подсистем. При этом важно осознать, что до каких-либо измерительных операций над первой частицей не существует ни Xi, ни pi у первой частицы и ни х2, ни р2 У второй частицы как точно определенных. И только физический акт по измерению Xi или р\ у первой частицы благодаря квантовому свойству целостности исходной системы автоматически переводит вторую частицу в состояние с определенными х2 или р2 соответственно, мгновенно и без какого-либо физического влияния на нее, просто за счет перераспределения потенциальных возможностей обеих подсистем, связанных воедино физической неделимостью их исходного состояния. Математически это выражается в том, что и после распада исходной системы каждая из обособившихся частиц не обладает (до измерения) отдельной волновой функцией, и ее состояние поэтому будет определяться заданием средневозможных значений всех ее динамических переменных, исходя из разложения волновой функции исходной системы на произведение индивидуальных волновых функций. Другими словами, ее состояние остается зависимым от общей волновой функции, несмотря на то что исходная система больше не существует. В силу условия нормировки коэффициентов разложения исходной волновой функции состояния обеих подсистем должны быть строго коррелированными между собой, благодаря чему измерение над какой-либо из подсистем дает одновременно информацию и о второй.
Как бы ни казалось это странным и даже непости-
204
ясимым с точки зрения обыденных представлений о материи, все это, однако, становится совершенно тривиальным, если исходить из конечной неделимости мира на составляющие его элементы. В конечной физической неделимости исходной системы следует видеть естественное основание неизбежности найти х2 и Xi такими, чтобы разность их всегда оставалась равной а, или Р\ и р2 такими, чтобы суммарный импульс вдоль оси х оставался равным нулю в соответствии с исходной волновой функцией системы. Естественным основанием нормировки к единице всех коэффициентов разложения исходной волновой функции может быть именно свойство физической неделимости мира в конечном счете.
Заметим здесь же, что совершенно невозможно как-либо обойти эти обстоятельства или игнорировать их. И дело заключается не только в том, что указанная корреляция в поведении микросистем вытекает из математического аппарата квантовой теории и кажется совершенно естественной в рамках последовательной интерпретации квантовой теории. Известный экспериментатор By Цзян-су поставила опыт, в котором изучалось взаимное соответствие поляризационных свойств двух фотонов, возникающих при распаде пи-ноль-мезона. Этот опыт по своему содержанию полностью аналогичен ранее рассмотренному примеру взаимной корреляции спинов двух частиц, разлетевшихся на большое расстояние после распада исходной системы. Требование исключения возможности какого-либо силового взаимодействия между разлетающимися частицами было соблюдено в опыте By с абсолютной строгостью, поскольку фотоны взаимно удалялись с предельно возможными в природе скоростями. Опыт полностью подтвердил наличие взаимной корреляции в ориентированности спинов каждой пары фотонов, рождающихся при распаде пи-ноль-мезонов
Вместе с тем допустить наличие какой-либо силовой связи между фотонами не представляется возможным. Поэтому опыт By следует рассматривать как решающее экспериментальное доказательство справедливости позиции Н. Бора в знаменитой дискуссии его с А. Эйнштейном в начале тридцатых годов. Мы склонны видеть
1 С. S. Wu and /. Shaknov. The Angular Correlation of Scattered Annihilation Radiation. — «Physical Review», vol. 77, N 1, 1950, p. 136.
205
в нем также решающее экспериментальное подтверждение принятой здесь концепции физической неделимости мира в субквантовом уровне.
Трактовка субквантовомеханического уровня материи, так или иначе допускающая возможность распространения на него понятий протяжения и многообразия, неизбежно столкнется здесь с непреодолимыми трудностями, ибо для объяснения результатов этого опыта потребуется введение представления о физических процессах, протекающих в этом уровне не только со скоростями, большими скорости света, но бесконечными, что бессмысленно.
В. Бюхель, подвергнув тщательному анализу особенности взаимодействия электрона и фотона в ситуации, соответствующей парадоксу Эйнштейна—Розена— Подольского, также приходит к выводу о том, что представление о пространственном положении частиц и временной последовательности событий в этом случае лишено смысла. По его мнению, пространственное положение частицы в микромире становится ее виртуальным свойством и может быть выявлено только статистически. Поэтому оно не имеет смысла для отдельной частицы L
Всюду, где возникает проблема квантовомеханических парадоксов, Бор подчеркивает, что их разрешение следует искать в отказе от классических представлений о всеобщей и полной разложимости реальности и в осознании неразложимости, присущей квантовым процессам. Притом он указывает, что человеческое познание сталкивается здесь не с временным затруднением, вызванным невозможностью дальнейшей детализации процессов на современном уровне знания, а с объективным свойством природы и навязанным нам ею отказе от самой постановки вопроса о такой детализации. Бор говорит: «...в квантовой механике мы имеем дело не с произвольным отказом от детального анализа атомных явлений, но с признанием того, что такой анализ принципиально исключается. Свойственная квантовым эффектам неделимость ставит нас, в отношении понимания результатов опыта, проведенного в точно определенных условиях, перед новой ситуацией, не предусмотренной классической физикой и несовместимой с обычными
1 W. Bilchel. Philosophische Probleme der Physik. Freiburg, 1965.
206
представлениями, приспособленными для того, чтобы разбираться в опытах обычного типа»1.
Только признание физической неделимости мира в конечном счете позволяет понять источник той по существу логической, а не физической связи между подсистемами ранее единой квантовой системы, которая столь ярко проявляется в парадоксе Эйнштейна—Розена—Подольского и подтверждена в опыте By. В связи с этим парадоксом В. А. Фок говорит следующее: «С нашей теперешней точки зрения разъяснение парадокса Эйнштейна состоит просто в том, что всякое новое измерение (и связанное с ним воздействие) меняет потенциальные возможности и отображающие их прогнозы, причем это изменение прогноза не есть физический процесс. Рассматриваемые Эйнштейном две подсистемы, конечно, не связаны механически, но относящиеся к ним потенциальные возможности и прогнозы связаны логически, и новый факт (например, измерение р2 или меняющий прогноз для второй подсистемы, автоматически меняет прогноз и для первой подсистемы. Такого рода логическую связь между потенциальными возможностями для двух подсистем можно было бы назвать «не-си-ловым взаимодействием» между ними»2. Основанием этой логической связи подсистем, как равно и их несилового «взаимодействия», в свете вышеизложенного может быть только свойство конечной неделимости мира.
Может возникнуть вопрос о правомерности употребления определения «логический» к характеристике данного вида связи. Следует прежде всего подчеркнуть, что в данном случае речь идет именно об объективной связи и взаимозависимости микросистем и поэтому любые позитивистские или субъективистские трактовки данного явления заведомо неверны.
Но в то же время не менее важно и то, что в данном случае нет какого-либо физического взаимодействия между микросистемами, на что и обращает внимание В. А. Фок. Квантовое свойство системы как неделимой единицы обусловливает взаимную согласованность по-
1 Я. Бор. Дискуссии с Эйнштейном о проблемах теории познания в атомной физике. — «Успехи физических наук», т. 66, 1958, Вьш 4, стр 594—595.
В. А. Фок. Примечание к статье Н. Бора «Дискуссии с Эйн-у^Те^Н°м 0 пР°блемах теории познания в атомной физике».—«Успе-’ и физических наук», т. 66, 1958, вып. 4, стр. 592
207
тенциальных возможностей ее подсистем не только при жизни системы, но и после ее распада, поскольку этот распад не может затронуть субквантовый уровень и субквантовая целостность исходного состояния всегда сохраняется. Одновременно объективное физическое изменение потенциальных возможностей одной из выделившихся подсистем (например, в результате измерения) с необходимостью отражается на потенциальных возможностях, описывающих состояние второй подсистемы, в силу конечной физической неделимости их исходного состояния и нормированного к этому состоянию всего набора потенциальных возможностей, присущих обеим подсистемам и как бы уносимых ими после распада исходной системы. Именно эти обстоятельства обусловливают не силовой, а импликативный, объективно-логический характер рассматриваемой связи. Такой характер взаимозависимости состояний подсистем и взаимной согласованности их потенциальных возможностей и побуждает В. А. Фока к использованию термина «логический» в характеристике этого вида связи.
Характер этой несиловой связи квантовых систем, ранее составлявших единую систему, можно понять на следующем примере, также принадлежащем В. А. Фоку. Отношения, выражаемые словами «отец», «сын», «мать», «дочь», вырастают из того единого, каким является' семья как социальная ячейка, и этим определяются. Без принятия семьи в качестве целостной социальной ячейки все эти понятия и соответствующие им отношения, очевидно, потеряли бы смысл. Хотя любые примеры и наглядные иллюстрации, почерпнутые из обыденного опыта, имеют весьма относительную ценность применительно к квантовой механике, тем не менее в той именно мере, в какой члены семьи объединены ею как целым, они оказываются взаимозависимыми и «состояние» одного из них «влияет» на «состояние» другого. Если сын находится во Владивостоке, а отец в Ленинграде и при этом отец умирает в такой-то день и час, то сын становится сиротой не по мере поступления во Владивосток печальной телеграммы (даже если ее несет предельно быстрый в природе электромагнитный сигнал) и не в силу поступления этого сигнала, а мгновенно и несиловым образом в момент смерти отца и в связи с тем существенным изменением системы «семья» как целого, которое вызывает в ней это событие:
208
И несомненно, что это изменение имеет совершенно объективный характер точно так же, как и в случае несилового взаимодействия квантовых систем. Разница состоит только в том, что в приведенном примере это несиловое взаимодействие касается таких тонких и трудно определимых количественно элементов в состоянии человека, как «иметь отца» или «быть сиротой», а в квантовой механике — в силу физической неделимости микросистем и потому неполной детализации состояний «составляющих» их элементов — механических величин. И если основой взаимной зависимости «состояний» членов семьи является известное единство семьи как целого, что обусловливает имплицитный характер соответствующих связей и отношений, то основой несиловой связи микросистем являются свойства мира как неделимой единицы в субквантовом уровне. Тем самым снимается всякая проблема поисков сигналов или других физических агентов, якобы передающих это «взаимодействие». Можно представить себе, что один атом распавшейся молекулы оставлен в Москве, а другой (без возмущения его состояния) увезен в Токио. При этом если над первым атомом в Москве будет произведена измерительная операция, то мгновенным и несиловым образом второй атом, находящийся в Токио, также будет переведен в состояние, определяемое исходным состоянием молекулы и произведенным измерением над первым атомом.
Что является основой этого эффекта? Свойство физической неделимости мира в субквантовом уровне, для которого нет различия между Москвой и Токио, как и пет вообще расстояний и течения времени L
Если весь мир (включая, конечно, и всех наблюдателей, как выражается Д. Бом2) образует единое, неделимое целое в субквантовом уровне, то это, разумеется, касается и рассматриваемой в примере исходной молекулы, которая именно поэтому, распавшись на два атома (пусть даже увезенные в Москву и Токио), распадается все же не в абсолютном смысле, а лишь до определенной глубины и в субквантовом уровне остается физически неделимой, что и обусловливает рассматриваемый эффект. Объединив единицы в сумму 1 + 1+ 1 + 1=4, мы
8ич 1 См- 3. Цехмистро. Понятие протяженности и описание финской реальности. — «Вопросы философии», 1968, № 11.
См. Д. Бом. Квантовая теория, стр. 669.
20S
тем самым создаем некоторую общую основу, имплицитно содержащую в себе взаимную зависимость всех членов данного объединения и все частные случаи ее проявления: 4—2 = 2 или 4—1=3 и т. п.
Нечто подобное имеет место и в самой природе в силу объективной физической неделимости ее в конечном счете. Правда, в отличие от тонкой, едва уловимой и кажущейся субъективной импликации, создаваемой человеческим сознанием, импликативная связь, вырастающая из свойств конечной физической неделимости мира, имеет совершенно неотвратимый характер и самым необходимым образом довлеет над поведением квантовых систем. Она есть основа «разумности» природы, т. е. закономерного и гармоничного строения мироздания,
В истории науки можно проследить ожесточенную борьбу по вопросу о соотношении логического и физического. Причем если идеализм постулировал первичность духовного, никак не объясняя ее и не будучи в состоянии также объяснить переход от духовного к физическому (отсюда миф о творении природы богом, непостижимый переход идеи в свое инобытие и т. п.), то и метафизический материализм был не в состоянии указать на естественную основу закономерности в природе. Закономерность, а вместе с нею и известная «разумность» природы просто приписывались ей в метафизической картине мира без каких-либо дальнейших объяснений того, почему природа на самом деле оказывается «разумной». Например, в ней остается совершенно непостижимым сам факт существования законов сохранения в природе, законов движения и т. д. Эти вопросы могут быть раскрыты только с позиций диалектического материализма, в частности исходя из диалектики множественного и единого.
17. Физическая неделимость мира и проблема сохранения 1
Идея сохранения. Всеобщая изменяемость есть очевидный факт: в одну и ту же реку нельзя войти дважды и нельзя дважды застигнуть смертную природу в одном и том же состоянии. Эта гераклитовская идея составляет
1 Детальное исследование проблемы сохранения проведено в работе Н. Ф. Овчинникова «Принципы сохранения». М., 1966.
210
важный элемент диалектического воззрения на мир. По словам Гегеля, в учении Гераклита нет ни одного положения, которое он (Гегель) не взял бы в свою логику. Важнейшим из них является идея становления: нет ни бытия, ни ничто, а есть лишь промежуточное состояние, вечный переход из одного в другое, так что ничто из вещей и ни одно из их качеств не сохраняется в абсолютном смысле, но все оказывается тленным и преходящим, и мир существует как процесс.
Однако если движение и изменение безусловно, то можно ли во взглядах на мир ограничиться одним признанием всеобщности движения как только движения, только прехождения, только изменения? Движение без моментов сохранения и покоя в нем не оставляет места ничему сохраняющемуся. В этом случае нельзя высказать ничего достоверного не только о непрерывно меняющихся вещах, но и о самом движении.
Подобная крайность имела место во взглядах Кра-тила (V в. до н. э.)—ученика и наиболее известного последователя Гераклита. Полагая вслед за Гераклитом, что движение всеобще и повсеместно и перед ним ничто не может устоять, Кратил в конце концов усомнился в том, как вообще можно высказать что-либо достоверное о какой-либо вещи: ведь за время, которое для этого потребуется, она несомненно изменится. Поэтому, по его мнению, следует вообще не говорить, а только указывать пальцами.
Если у Гераклита наряду с всеобщностью движения и изменения сохраняется все же некоторая субстанциональная основа мирового процесса — огонь, хотя и крайне подвижная и изменчивая, то у Кратила все исчезает и остается только движение. Но, что еще более важно, вечно меняющийся, но одновременно и сохраняющийся огонь Гераклита подчинен великому Логосу, который обнаруживает свою сущность в мировом про-Цессе как его закономерность: «Этот космос, один и тот* Же Для всего существующего, не создал никакой бог и никакой человек, но всегда он был, есть и будет вечно ^ивым огнем, мерами загорающимся и мерами потуха-н Гераклита, таким образом, имеет место объектив-^^_£зкономерность, правда, привлекаемая со стороны
«Античные философы», стр. 22.
211
или просто постулируемая; у Кратила же — чистый релятивизм. Для него весь мир иллюзия, и так как все течет и ничто не сохраняется, то не может быть ни истины, ни лжи, ни естественной закономерности, ни ее знания. Но это означает, что не может существовать и сам носитель движения.
Эти крайности были устранены лишь в разработанной на научной основе марксистской диалектике. С точки зрения диалектического материализма, движение и покой представляют собой полярные категории. Они немыслимы одна без другой, каждая из них предполагает другую и определенность их достигается путем взаимного соотнесения их через диалектическое отрицание. Подобное «тождество противоположностей», указывает В. И. Ленин, ведет к открытию «противоречивых, взаимоисключающих, противоположных тенденций во всех явлениях и процессах природы...»1. Значит, признание всеобщности движения и изменения не только не исключает идеи сохранения, но необходимо нуждается в ней.
Идея сохранения имеет большое значение как средство выяснения причин, благодаря которым вещи и явления, будучи изменяющимися, в то же время существуют как данные, и благодаря которым весь мир, будучи подвержен непрестанному изменению, все же существует как устойчивый. Именно явление сохранения в природе делает возможным ее познание, а конкретные законы сохранения обладают большой эвристической ценностью в специальных областях. Поэтому человеческий разум не может удовлетвориться поверхностной констатацией вечного движения и изменения и ему свойственно стремление отыскать за всеобщим потоком изменения нечто сохраняющееся, хотя бы относительно.
Сохранение, таким образом, не только делает возможным, но и стимулирует познание, и сохраняющееся прежде всего становится достоянием разума. По мнению известного физика-теоретика Е. Вигнера1 2, существуют три* уровня знания, имеющие фундаментальный характер для физических наук. Первый из них — события или опытные факты, которые служат сырьем для установле
1 В. И. Ленин. Поли. собр. соч., т. 29, стр. 317.
2 См. Е. Вигнер. События, законы природы и принципы инварп антности. — «Успехи физических наук», т. 85, 1965, вып 4, стр 72^ 736.
212
ния законов природы — второго уровня знания. В законах природы находит выражение определенная зависимость событий или фактов. Следующим уровнем физического знания являются принципы инвариантности, которые можно вывести, опираясь уже на знание законов природы.
Однако между инвариантностью, симметрией и сохранением имеется тесная связь, в сущности ими обозначается одно и то же. В каждом отдельном случае (если только соответствующие законы имеют вариационную структуру) всегда можно назвать либо симметрию, либо связанный с нею закон сохранения1.
Действительно, согласно предложенному Вейлем определению симметрии, под симметричным объектом следует понимать такой объект, который, будучи подверженным определенным операциям, в результате оказывается тем же, с которого и начинали, т. е. сохраняется 2. Если понятию симметрии желают дать более строгое определение, его отождествляют с совокупностью таких взаимооднозначных преобразований множества всех состояний системы, которые переводят в себя то или иное подмножество физических состояний системы3. Таким образом, и в этом случае свойство симметрии выражает свойство сохранения: симметричное есть то, что сохраняется в преобразованиях. Именно инвариантное и сохраняющееся, по Вигнеру, составляет высший результат познания в физических науках.
Но что представляет собой идея сохранения в самом общем случае? В физике любой конкретный закон сохранения указывает на то, что для изолированной системы значение некоторой величины (например, заряда или энергии) не меняется со временем. Система может претерпевать в своем состоянии различные качественные изменения, что может повлечь за собой переход этой величины из одной конкретной формы в другую. Однако Все конкретные формы существования сохраняющейся иеличины оказываются связанными строгими количест-
д - 1 Ем. М. Гелл-Манн, А. Розенфельд, Дж. Чу. Сильно взаимо-выпТ4УЮ1ЦИ6е9 ЧастИЦЫ' — <<^спехи Физических наук», т. 83, 1964,
3 См Г. Вейль. Симметрия. М., 1968, стр. 159—160
с 3	~"м П- Визгин. Развитие взаимосвязи принципов симметрии
d онами сохранения в классической физике М , 1967, стр 3.
213
венными соотношениями, так что всегда имеется возможность путем соответствующего пересчета получить и качественно и количественно исходное выражение ее.
Анализируя закон сохранения энергии, А. Пуанкаре1 указывает на его несомненно эмпирические истоки, которые можно проследить, начиная с учений Г. Лейбница и Р. Майера. Опыт показал, что все виды движения способны превращаться один в другой в строго определенных количественных соотношениях. Именно взаимопре-вращаемость всех форм движения потребовала введения некоторой общей всем им меры движения — энергии. На основе взаимных превращений конкретных форм движения — механической, тепловой, электромагнитной, ядерной и т. д. — следует признать наличие момента сохранения: есть нечто, что всегда остается постоянным, независимо от того, имеем ли мы дело в настоящий момент с тепловой, химической, ядерной или еще какой-либо иной формой движения1 2. Как замечает А. Пуанкаре, в этой форме, основывающейся на опыте, принцип сохранения энергии становится неуязвимым со стороны какого бы то ни было опыта и не может быть им опровергнут никогда, поскольку он в конце концов сводится к своего рода тавтологии 3. Сколько бы ни казалось это неприятным, это действительно так. В сущности все до сих пор известные гипотезы о нарушении закона сохранения энергии или более или менее туманные намеки на возможность этого, как правило, были связаны с открытием какого-то нового, еще неизвестного вида движения или частицы. И как только это обстоятельство выяснялось, все становилось на свои места, и закон сохранения энергии оставался незыблемым. Лучшим подтверждением тому является история открытия нейтрино4.
Открытие несохранения четности с последующим
1 См А. Пуанкаре. Наука и гипотеза. СПб., 1906, стр 126.
2 То же самое отмечает и Р. Фейнман (см. «Фейнмановские лекции по физике», вып. 1. М., 1965, стр. 71—73).
3 См. А. Пуанкаре. Наука и гипотеза, стр. 135—136.
4 Известные трудности, связанные с законом сохранения энергии в общей теории относительности, качественно отличаются от трудностей, иллюстрируемых этим примером, и их нельзя рассматривать как указание на возможность прямого нарушения закона сохранения энергии. Скорее в них идет речь о принципиальных затруднениях в формулировке закона сохранения энергии и физической трактовки энергии (в особенности такого ее вида, как гравитационная) в общей теории относительности.
214
установлением комбинированной четности также указывает, по-видимому, на то, что в слабых взаимодействиях не столько нарушается пространственная инверсия^ сколько расширяется представление о сохранении. Миру нет никакого дела до того, как человек расщепляет единое пространство-время на пространство и время и какие виды преобразований и сохранения вызывают у него наибольшее доверие. Нарушение всякого конкретного вида сохранения одновременно означает установление некоторой более общей формы сохранения, которая буквально навязывается природой человеку, даже если, например, мы не только не понимаем связи между зарядовым сопряжением и пространственной инверсией, но и не знаем того, что такое заряд, как это имеет место в случае комбинированной четности. Впрочем, в последнее время появились факты, указывающие на нарушение и комбинированной четности.
Классический закон сохранения массы, с одной стороны, и закон сохранения энергии — с другой, в конце концов объединены в единый закон сохранения массы-энергии в теории относительности. Далее, релятивистская трактовка энергии и импульса как компонент единого четырехмерного тензора энергии-импульса привела к объединению этих законов в едином законе сохранения энергии-импульса. Налицо, таким образом, тенденция к переходу ко все более общим законам сохранения. Все это позволяет говорить, что в основе сохранения в природе лежит некоторый всеобщий принцип или свойство ее. В случае обнаружения несохранения конкретного качества следует ожидать открытие нового, более общего конкретного закона сохранения, объединяющего данные несохраняющиеся качества на основе некоторого более широкого качества. Но что представляет собой это свойство природы, обеспечивающее существование явления сохранения в ней?
Что может быть источником явления сохранения в пРироде? Сколько-нибудь отчетливое понимание сохранения в природе невозможно без выяснения связи между Различными видами инвариантности. Е. Вигнер 1 разлю ^т ДВа типа инвариантности — геометрическую и дина-
(Ьи^т, ^М’ Е' Вигнер. Симметрия и законы сохранения. — «Успехи ^изических наук», т. 83, 1964, вып. 4.
215
Геометрическая Инвариантность является непосредственным отражением сохраняющейся корреляции между событиями природы. Пространственно-временные отношения, складывающиеся в совокупности событий, влияют на форму и структуру законов природы, однако последние не зависят от выбора начала и ориентации координат, используемых для описания этих событий.
Геометрическая инвариантность допускает следую-1 щие операции симметрии: перенос в пространстве, трансляции во времени, повороты, движения по прямой с постоянной скоростью (преобразования Лоренца), обращение времени и отражение пространства Г Поэтому геометрическая инвариантность, которая прослеживается в самих событиях природы, может быть непосредственно истолкована как следствие идеальных свойств чистого пространства-времени.
Однако инвариантность, присущая корреляции событий в природе, представляет собой, по-видимому, только первый и низший1 2 тип инвариантности.
В последнее время в физике элементарных частиц все большее значение приобретают новые динамические принципы инвариантности, которые формулируются уже
1 К геометрической инвариантности может быть также отнесен общий принцип относительности, допускающий произвольные точечные преобразования к любой криволинейной системе координат в силу отсутствия в природе каких-либо избранных систем. Однако в этом случае затрагивается вопрос о физической природе гравитационного поля. С одной стороны, преобразования, соответствующие общему принципу относительности, ведут к порождению или уничтожению гравитационного поля, что скорее соответствует динамическому виду симметрии. Но с другой — согласно принципу эквивалентности гравитационной и инертной масс и отождествлению поля тяготения с искривлением пространства, физический смысл тяготения, казалось бы, только в том и состоит, что им задается определенная метрика пространства. Вопрос о природе гравитационного поля еще нельзя считать окончательно решенным. Д. А. Франк-Ка" менецкий, например, считает, что общий принцип относительности не имеет прямого отношения к свойствам пространства-времени и представляет собой проявление динамической инвариантности (cm-д. А. Франк-Каменецкий. Методы современной теоретической физики. — «Материалистическая диалектика и методы естественных наук». М., 1968, стр. 410).
2 Если принять, что геометрическое творится физическим. Те же элементарные физические события, которые лежат в основе геометрического, порождаются различными видами физических взаимоДей." ствий со свойственными им типами внутренних (или динамических/ симметрий.
216
не относительно событий, но относительно законов, управляющих ими, и характеризуют собой не корреляции между событиями, а определенные виды физических взаимодействий, порождающих события вместе с их
время известны четыре основных вида
корреляцией < В настоящее
взаимодействий:	гравитационное, электромагнитное,
сильное (ядерное) и слабое. Каждому из этих видов
взаимодействия присущи свои виды симметрии, которые, хотя и не могут быть непосредственно истолкованы с помощью определенных групп пространственно-временных преобразований, все же обладают в некотором роде подобной группой симметрии. Весьма характерно, что при переходе к микросистемам роль динамической симметрий возрастает, а в рамках динамической симметрии переход к более сильным взаимодействиям сопровождается повышением степени симметрии объектов и со
стояний, что выражается в увеличении числа сохраняю-
щихся величин.
При этом геометрическая симметрия, за которую в известном смысле могут быть ответственными свойства пространства-времени, будучи основанием точных законов сохранения, пронизывающих все четыре вида взаимодействия (такими законами являются закон сохранения энергии, закон сохранения импульса, закон сохранения момента импульса и закон сохранения движения центра масс), в то же время кажется чем-то сравнительно более простым по сравнению с динамической инвариантностью. Иногда пространственно-временную геометрическую инвариантность называют еще «внешней» симметрией процессов в отличие от «внутренней», т. е. динамической, симметрии взаимодействий.
Между динамической и геометрической симметриями, на первый взгляд, нет какой-либо связи. Вместе с тем в последнее время большую популярность приобрела идея, согласно которой объединение «внешней» и «внутренней» симметрий может послужить ключом к объяснению спектра масс элементарных частиц. Однако на этом пути истретились большие трудности, которые пока что оста-
См. Е. Вигнер. События, законы природы и принципы инвариантности. — «Успехи физических наук», т. 85, 1965, вып. 4, стр. 732; о же. Симметрия и законы сохранения. — «Успехи физических на-т. 83, 1964, вып. 4, стр. 731.
8 Зак. 25	21 7
1отся непреодоленными и, может быть, вообще не могу1 быть преодолены. Так, Дж. Колеман в работе под ироническим названием «История одной иллюзии, или о попытках повенчать внутренние и пространственно-временные симметрии» показывает, что предположение о том, что группа внутренних симметрий для сильно взаимодействующих частиц и группа релятивистских пространственно-временных преобразований являются подгруппами общей группы, не разбивающейся на прямое их произведение, ведет к физически неудовлетворительным следствиям, а именно спектр масс получается непрерывным, либо содержит только одно дискретное значение L
По вопросу об источнике геометрической инвариантности в природе можно сказать следующее.
В физике известна важная теорема, носящая имя Э. Нетер. Ее содержание состоит в том, что для любой физической системы, уравнения движения которой имеют дифференциальную форму и могут быть получены из вариационного принципа, каждому однопараметрическому непрерывному преобразованию, оставляющему неизменным вариационный функционал, может быть сопоставлен соответствующий закон сохранения. Так, инвариантность действия для (полевой или механической)' системы по отношению к сдвигам во времени влечет за собой сохранение энергии. Как очевидно, это возможно только благодаря однородности времени. Поэтому в известном смысле однородность физического времени выступает как основание явления сохранения энергии. Точно так же однородность пространства, т. е. инвариантность действия системы по отношению к пространственным сдвигам, обеспечивает сохранение импульса, а изотропность пространства, т. е. равноценность всех направлений в нем, обусловливает сохранение момента количества движения. Очевидно, что подобное объяснение законов сохранения неявно опирается на допущение самостоятельного существования чистого и пустого пространства-времени как всеобщего вместилища всего существующего в природе.
В общей форме теорема Нетер гласит, что если свойства системы, выражаемые неким вариационным функ-
1 «Symmetry Principles and Fundamental Particles». San Francisco, 1967.
218
ционалом, не меняются от некоторого преобразования ее переменных, то этому всегда соответствует закон сохранения. В этой форме теорема Нетер служит универсальным средством отыскания законов сохранения в физике. Можно сказать, что в теореме Нетер идеальные свойства чистого пространства, соответствующего данному виду преобразований, превращены в источник существования соответствующих законов сохранения в природе. Так, может быть, в конечном счете именно в свойствах пространства и времени и следует искать основание явления сохранения в природе?
Но это не так. В современной картине мира теорема Нетер не может иметь того большого значения, которое она могла бы иметь в классической картине, где существование пространства со своими собственными «чистыми», или идеальными, свойствами предшествует существованию тел. Ее содержание в сущности сводится к своего рода тавтологии: всякому сохранению как инвариантности в некоторых преобразованиях системы соответствует свой закон сохранения; причем источником существования закона сохранения оказываются свойства пространства данного вида преобразований, пространства... которое по своей природе и есть только чистый образ этих преобразований, только выражение их возможности, фиксирующее в себе свойства этих преобразований и их симметричность в том числе. К тому же в современной релятивистской физике чистое пространство лишено самостоятельного существования без материи.
Это особенно важно в отношении реального физического пространства-времени и соответствующих законов сохранения (энергии, импульса, момента импульса и Движения центра масс). Трудно согласиться с тем, что определенные свойства пространства-времени обусловливают сохранение этих величин в природе, тогда как на самом деле само пространство-время целиком и полностью в своем существовании зависимо от движения материи и есть только выражение известных отношений, складывающихся в движении материи и творимых им. Именно поэтому определенные виды сохранения в физических процессах обусловливают однородность и изотропность пространства и т. д., а не наоборот. Пространство со всеми присущими ему свойствами вторично по °тпошению к состоянию дифференцированности материи
и порождено им. И его существование, и его свойства полностью определяются движением и распределением материальных тел. На бессодержательность представления о каком-то внешнем по отношению к материальной Вселенной пространстве указывают затруднения с формулировкой закона сохранения энергии (в общей теории относительности).
Эйнштейн геометризировал поле тяготения, отправляясь от эквивалентности инертной и гравитационной масс. При этом физический смысл поля тяготения сводится к искривлению пространства и в связи с этим задача экранизации поля тяготения становится бессмысленной. Отсюда невозможность сформулировать закон сохранения энергии в общей теории относительности таким образом, чтобы некоторая выделяемая им непрерывная группа преобразований могла иметь самостоятельный и естественный смысл, подобно тому как в специальной теории относительности сохранение энергии-импульса связано с однородностью пространства-времени. По мнению Д. А. Франк-Каменецкого, в общей теории относительности достигнута столь высокая степень инвариантности, что она уже выходит за рамки геометрической, поскольку не оставляет каких-либо абсолютных геометрических величин, связанных с пространством и временем
Для мира, описываемого общей теорией относительности, теряет смысл представление о его погруженности в некий пространственно-временной фон, становятся также бессодержательными понятия «вне его», «дальше его», «за ним» и т. п., что в конечном счете подрывает представление о геометрической инвариантности как основе законов сохранения. К тому же, согласно релятивистской концепции, геометрическое творится физическим и, следовательно, объяснение существования законов сохранения, как равно и самой геометрической инвариантности, нужно искать в конечном счете в свойствах физической реальности. Тем более что в квантовой механике, в которой существует значительно больше законов сохранения, чем в классической, ряд законов сохранения вообще не имеют никакого отношения к ре-
1 См. Д. А. Франк-Каменецкий. Методы современной теоретической физики — «Материалистическая диалектика и методы естественных наук», стр. 412.
220
альному пространству-времени и едва ли могут быть увязаны как-либо с его свойствами. Таковы прежде всего все виды динамической инвариантности, например закон сохранения изотопического спина. Хотя изотопическая инвариантность означает наличие особой симметрии в сильных взаимодействиях, однако она никак не связана с общими свойствами пространства и времени.
Важным обстоятельством в связи с этим является известная неуниверсальность понятия протяженности, а с ним и пространства и времени, в особенности явная неприменимость этих понятий к субквантовомеханическому уровню.
Вместе с тем именно отказ от распространения представления о мире как о множественном на субквантовый уровень материи и введение представления о физической неделимости его в конечном счете позволяют естественным образом объяснить наличие сохранения в природе.
Если бы мир состоял из актуально бесчисленного множества различных самостоятельных сущностей самых разных уровней, каждая из которых в свою очередь допускала бы безграничную дробимость на составные самостоятельные части свои, также существующие актуально и т. д. и т. д., то в такой картине мира было бы неизбежным появление расходимостей при описании каждого процесса. Примером этого и являются ранее рассмотренные «ультрафиолетовая катастрофа», бесконечная масса и энергия частиц, бесконечная масса и энергия нулевого поля и другие фиктивные бесконечности в чисто множественной концепции мира. Больше того, как показывают исследования по кибернетике, актуальное существование такого бесконечного разнообразия материальных структур и их состояний несовместимо с наличием в природе инвариантов, сохраняющихся величин, а значит, и самих законов природы 1.
Единственным источником сохранения в такой картине может быть только постулирование законов сохранения. Но поскольку безграничная делимость множественного по своей сути мира предполагает всеобщность пространства-времени, выражающего отношения, складывающиеся в таком множественном мире, то в этом случае
1 См. У. Р. Эшби. Введение в кибернетику. М., 1959, стр. 185.
221
представляется целесообразным предположить источник сохранения в свойствах пространства-времени, этих чистых формах бытия, что и было сделано в теореме Нетер.
Если же принять концепцию реальности, вытекающую из квантовой теории, т. е. признать физическую неделимость материи в конечном счете, то открываются новые возможности и для понимания законов сохранения. Лишь благодаря тому, что столь хорошо известный нам из обыденного опыта облик мира как множественного становится все менее четким по мере продвижения в глубь микромира, а элементы-индивиды, образующие его, все более теряют свою индивидуальность и физическую обособленность и в субквантовом уровне представление о мире как о множественном становится полностью неадекватным и, наоборот, приходится говорить о нем как о неделимом целом, только благодаря этому становится понятной наблюдаемая в природе сохраняемость, устойчивость, коррелированность и другие «разумные» свойства ее.
Лучше всего это видно на тех примерах, которые были рассмотрены в предыдущем разделе в связи с анализом парадокса Эйнштейна, Розена и Подольского. Квантовые свойства мира как неделимого целого обеспечивают сохранение суммарного импульса, суммарного спина и других характеристик сложной квантовой системы и после того, когда она распалась на подсистемы, именно в силу физической неразложимости мира в субквантовом уровне в каком бы то ни было опыте и в каком бы то ни было спонтанном распаде сложной системы.
Результат любого опыта по разложению сложной квантовой системы на составляющие ее подсистемы, или спонтанного распада ее, может быть выражен только в терминах вероятности. Однако вероятности, которые могут быть приписываемы отдельным состояниям ставших теперь самостоятельными ее подсистем, с необходимостью должны быть взаимосогласованными, что диктуется конечной неделимостью исходного состояния в целом. Сохранение целостности исходного квантового состояния, обусловленное неделимостью мира в субквантовом уровне, влечет за собой в дальнейшем так называемое несиловое взаимодействие обособившихся подсистем, проявляющееся в каждом новом перераспределении вероятностей в зависимости от того, что конкретно происходит в опыте с первой или второй подсистемой в отдельности.
222
Это перераспределение вероятностей вызвано сохранением соответствия суммы новых состояний обособившихся подсистем с исходным состоянием их общей системы. Само же сохранение этого соответствия может быть объяснено только физической неделимостью мира в конечном счете, проявляющейся и в вероятностном поведении квантовых систем, и в относительной физической обособленности их.
Но в какой степени физическая неделимость мира может пролить свет на существование динамической инвариантности? Только через допущение существования различных ступеней расщепления состояний реальности в микромире с присущими им уровнями энергии и соответствующей этим энергиям физической картиной состояний Однако, чем определяются сами уровни гравитационного, слабого, электромагнитного и сильного взаимодействий и почему между ними имеет место одно вполне определенное соотношение по силам, а нс другое? И что произойдет, если будет существенно повышена мощность ускорителей? Не станут ли реальностью ныне гипотетические кварки? 1 Не проявятся ли сверхсильные взаимодействия? Трудно дать ответ на эти вопросы. Заметим, однако, что повышение энергии взаимодействия открывает новые возможности в понимании сохранения и, в частности, отпадает надобность в привлечении к этой проблеме внешних обстоятельств, скажем той же ссылки на свойства чистого пространства-времени.
В гипотезе «зашнуровки» каждая сильно взаимодействующая частица участвует в создании всех других сильно взаимодействующих частиц. Вместе с тем сама она как бы «сплетена» из различных каналов сильного взаимодействия и существует только как своего рода «узел» в них. И вот если эта гипотеза верна (а она подтвердилась некоторыми вытекающими из нее предсказаниями) и если система сильно взаимодействующих частиц действительно самоопределяется собственным механизмом
1 Эти надежды остаются весьма неопределенными. Отправляясь от линейной зависимости между спином и массой частиц в так называемых реджеевских семействах элементарных частиц, С. Ман-дельстам высказал идею, согласно которой эта закономерность обусловлена бесконечным числом степеней свободы «внутренних» состояний элементарных частиц. Если это так, то элементарные частицы не могут состоять из нескольких более фундаментальных частиц наподобие того, как ядро атома состоит из нуклонов («Comments on Nuclear and Particle Physics», vol. 3, 3, 1969).
223
взаимодействия, то известные симметрии сильного взаимодействия не налагаются на реальность, так сказать, извне и не довлеют необъяснимым образом над физическим миром, как это было характерно для классической физики, например, в случае геометрической инвариантности, а оказываются порожденными этой собственной самосо-гласованностью частиц во взаимодействиях, которая одновременно делает возможным и само их существование L
В общем случае у нас имеется, таким образом, совсем немного возможностей для объяснения причин сохранения в природе. Во-первых, действительно можно признать реальной пустоту, и тогда чистое, однородное изотропное пустое пространство, в которое как бы погружено все, должно обеспечить сохранение (при условии вариационности законов движения). Однако эта классическая по своей сути точка зрения явно неудовлетворительна сегодня в силу невозможности допустить существование пустоты. В современной физике допущение пустого пространства, предшествующего в своем существовании материальным объектам, беспредметно.
Необходимо поэтому исследовать свойства той реальности, которая заняла место пустоты в современной картине мира, и попытаться понять, как и благодаря чему так называемая материя физического вакуума, несмотря на реальность своего существования в природе и несмотря на те очевидные бессмыслицы, к которым она ведет в теории (а именно расходимости), все же не только сосуществует с сохранением в природе, но и, по-видимому, обусловливает его.
В интерпретации вакуума в отдельных случаях можно было бы последовать хитроумному приему Дирака. Как известно, вакуум электромагнитного поля, по Дираку, представляет собой набор уровней отрицательной энергии, плотно «заселенных» электронами в ненаблюдаемом состоянии (поскольку они обладают в этом состоянии отрицательной энергией). Пользуясь принципом запрета Паули, Дирак показал, что ввиду отсутствия «вакансий» в вакууме какая-либо «утечка» электронов из наблюдаемого состояния в ненаблюдаемое невозможна.
1 См. М. Гелл-Манн, А. Розенфельд, Дж. Чу. Сильно взаимодействующие частицы. — «Успехи физических наук», т. 83, 1964, вып. 4, стр. 723.
224
Смысл этой «хитрости» очевиден: обеспечить сохранение электрического заряда и энергии электромагнитного поля. При затрате, однако, достаточного количества энергии электрон может быть «выброшен» из ненаблюдаемого состояния в наблюдаемое. В результате в вакууме образуется «дырка» — положительно заряженный позитрон, так что общий заряд и энергия сохраняются. И наоборот, электрон может попасть в «дырку» и перейти в ненаблюдаемое состояние, высвободив при этом энергию, равную 2 • т0С2.
Однако вакуум бозонов уже не может быть интерпретирован подобным образом, здесь возникает ситуация, в некотором роде противоположная вышеописанной. Вероятность перехода бозонов в конечное состояние тем больше, чем больше степень заселенности его. Поэтому подобная дираковская модель вакуума бозонов (например, мезонов) грозила бы буквально катастрофическими последствиями: ни одна из частиц, подчиняющихся статистике Бозе, не могла бы находиться сколько-нибудь долго в наблюдаемом состоянии. Впрочем, мезоны действительно отличаются небольшими временами жизни.
Если же принять более простое предположение о физической неразложимости мира в субквантовомеханическом уровне, то в этом случае мы получим универсальное по отношению ко всем известным видам частиц и полей средство интерпретации их вакуума.
Только фактическая физическая неразложимость мира в конечном счете может обеспечить наблюдаемую сохраняемость в природе, ибо всякая реальная множественность в состояниях вакуума, тем более актуально бесконечная дифференцированность его на некоторые субквантовые элементы и т. п., «гасила» бы все величины в любой реакции и ничто не сохранялось бы. Вакуум поэтому следует понимать как свойство физической неделимости мира в конечном счете, При этом возникновение частицы из вакуума означает повышение степени дифференцированности реальности за счет выделения частицы из вакуумного состояния соответственно затраченной энергии. Этот процесс, по-видимому, всегда носит вынужденный характер и требует определенной затраты энергии, обратный же процесс — «заполнение дырки» — спонтанный, в чем, быть может, также косвенно проявляется природа вакуума как свойства конечной неразложимости мира.
Если картина мира как безграничной совокупности самых разнообразных физических объектов является односторонней и такое представление о нем должно быть дополнено признанием свойств физической неделимости его в конечном счете (причем это свойство физической неделимости мира является источником ряда эффектов, которые носят не столько физическую, сколько логическую природу), то эта дополнительность между логическим и физическим в природе должна также как-то проявиться и в проблеме сохранения. Между существованием сохранения в природе и конечной неразложимостью мира существует несомненная связь. Строгие законы сохранения, поддающиеся интерпретации в рамках геометрической инвариантности, обладают наиболее прозрачной связью со свойством конечной неразложимости мира, ибо каждый раз кажущиеся нарушения их связаны с выделением какого-то нового элемента-индивида множественного мира (тот же пример с открытием нейтрино). Но поскольку все же в конечном счете мир неделим и в самом глубоком фундаменте его полностью теряет смысл понятие элементов-индивидуумов и их совокупностей, то любая достигнутая степень детализации в состояниях мира не может привести к нарушению тех строгих законов сохранения, которые в сущности имеют тавтологическую природу, как, например^ закон сохранения энергии.
Возможно, что углубление детализации физических состояний влечет за собой лишь расширение и обогащение содержания законов сохранения, связанных с геометрической инвариантностью. Так, одновременное изменение знака всех координат системы в классической механике не ведет к какому-либо конкретному закону сохранения. В квантовой механике это преобразование уже позволяет установить закон сохранения четности, нарушение которого в слабых взаимодействиях привело в дальнейшем к объединению пространственной инверсии с одновременной заменой знаков зарядов частиц на противоположные в так называемой комбинированной четности. В свою очередь нарушение комбинированной четности в распадах нейтральных К-мезонов, возможно, означает, что не учтены некоторые новые свойства нейтральных К-мезонов или П-мезонов.
Несколько иначе, по-видимому, обстоит дело с динамическими законами сохранения. Здесь существуют сим-226
метрии, свойственные тому или иному виду взаимодействия и общие для всех ныне известных видов взаимодействий. Но на какой бы широкий класс явлений они не распространились, всегда существует опасность их нарушения. В этой связи возникает вопрос, почему природа почти симметрична, а не абсолютно симметрична? 1
По-видимому, полная и абсолютная симметрия реализуется лишь на уровне свойств мира как одного. Действительно, физический вакуум — субквантовый уровень материи, ответственный за физическую неделимость мира в конечном счете, — отличается совершеннейшей симметрией. Но она недостижима для физического мира многого. По-видимому, нельзя надеяться на то, что, подымаясь по ступеням все более совершенных видов динамической симметрии, можно избежать вместе с тем нарушения любой достигнутой симметрии, поскольку она установлена в отношении определенной физики данного уровня энергий и всегда имеется вероятность ее нарушения при переходе к другим уровням энергии взаимодействий. Всеобщая и совершеннейшая симметрия мира как одного является дополнительной к физической симметрии и онтологически составляет ее основание, но она остается недостижимой в мире множественности, который, возможно, лишь асимптотически устремляется к ней в этом своем свойстве.
Принцип наименьшего действия. Обратимся теперь к рассмотрению вариационной структуры основных законов движения как второго (наряду с симметрией) необходимого условия существования законов сохранения, согласно теореме Нетер.
В механике известны принципы, позволяющие предсказать истинное движение системы в заданных условиях, выделив его из всех других, кинематически возможных для этих условий, движений. Эти принципы выражаются с помощью равенств, содержащих вариации координат, скоростей или ускорений точек системы, и потому называются вариационными принципами. Устанавливаемые ими свойства истинного движения системы сводятся к тому, что для истинного движения некоторая функция кинематических и динамических характеристик системы имеет максимум или минимум.
1 См «Фейнмановские лекции по физике», вып 4. ЛА., 1965,
227
По своей математической форме вариационные принципы подразделяются на дифференциальные, позволяющие отличить истинное движение системы от всех других кинематически возможных движений ее в каждый момент процесса, и интегральные, позволяющие указать истинную траекторию движения системы среди всех других, взятых в завершенном виде для данного конечного интервала времени к отображающих переход системы из одного фиксированного состояния в другое.
Хотя дифференциальные принципы отличаются большей общностью, чем интегральные, их применимость ограничена рамками классической механики, поскольку их выражение всегда связано с определенной системой координат и неинвариантно относительно преобразования этих координат. Поэтому в дальнейшем мы сосредоточим внимание исключительно на интегральных принципах, которые сохраняют свое значение и для релятивистской и квантовой механики, тем более что дифференциальные и интегральные принципы являются в известном смысле эквивалентными Это обстоятельство является довольно очевидным: путь, на котором в целом действие имеет минимум, должен и в каждой бесконечно малой части своей характеризоваться минимальным значением этой величины по сравнению с соответствующими участками близлежащих путей.
В основу построения механики может быть положен какой-либо из дифференциальных вариационных принципов, и тогда из него могут быть выведены дифференциальные уравнения механики и все основные законы ее, в том числе законы сохранения и интегральные вариационные принципы. И наоборот, отправляясь от интегрального вариационного принципа, можно получить все остальные принципы и уравнения движения. Есть еще одно обстоятельство, которое заставляет отдать предпочтение интегральным вариационным принципам. В случае полной вариации (включающей наряду с координатами и скоростями также и варьирование по времени) они приложимы только к консервативным системам, т. е. к таким, в которых действуют только внутренние силы, например притяжение и отталкивание составляющих систему частиц-
1 См А. Т. Григорьян Из истории интегральных вариационных принципов механики. — «Вопросы истории естествознания и техники» М , 1956, вып 1, стр. 24.
228
Для этих систем имеет место сохранение суммы потенциальной и кинетической энергии. Вселенная в целом, по-ррдимому, представляет собой именно консервативную систему, во всяком случае при переходе к фундаментальным явлениям микромира неконсервативные силы исчезают (такие, как трение, например), так же как они, по-видимому, играют незначительную роль и в области мегамира. Поэтому, стремясь к выяснению тех свойств природы, которые делают возможным существование и применение вариационных принципов, кажется оправданным остановиться именно на интегральных вариационных принципах.
Интегральные вариационные принципы представляют собой различные формулировки собственно одного принципа, а именно принципа наименьшего действия1. Впервые принцип наименьшего действия был сформулирован Мопертюи в 1744 г. в работе, в которой он рассматривал главным образом распространение света. При этом под действием Мопертюи понимал произведение скорости на путь (позже, имея в виду также и движение тел, он определяет действие как «произведение массы тел на их скорость и на пространство, которое они проходят»1 2). В этой работе Мопертюи показал, что для заданных условий распространение света или движение тел совершается по такой траектории, на которой действие будет минимальным.
Человек с блестящим образованием и склонный к широким обобщениям — он одним из первых оценил ньютоновское учение и активно способствовал его распространению во Франции, — Мопертюи сразу увидел возможность свести все учение механики к этому принципу. К сожалению, в своих обобщениях Мопертюи не ограничился этим и, находясь под сильным впечатлением от очевидной «разумности» и «целесообразности» открытого им принципа, пришел в итоге к доказательству существования бога.
Согласно принципу наименьшего действия, шарик, находящийся в состоянии равновесия на вершине горы с неравными скатами, будучи выведенным из состояния
1 Таково исторически сложившееся название этого принципа. Как будет видно из последующего, принцип Мопертюи может быть также назван принципом стационарности действия, что точнее.
2 Цит. по: Л. С. Полак. Вариационные принципы механики, их Развитие и применения в физике. М., 1960, стр. 25.
229
равновесия, обязательно скатится по наиболее короткому скату, ибо именно на этом пути, единственном из всех возможных, он достигнет цели — основания горы — в кратчайший срок и с минимальной величиной действия.
При этом возникает вопрос: каким образом уже в первый момент движения шарик «знает» об открывающихся перед ним возможностях и не только «знает», но и всегда успевает «выбрать» именно тот путь, который характеризуется указанным свойством. Мопертюи увидел в этом вопросе указание на промысел божий в делах природы и придал открытому им принципу телеологическую трактовку, согласно которой природа в своих действиях подобна человеку и стремится к достижению целей с наименьшими затратами.
Вскоре вокруг принципа наименьшего действия вспыхнула большая дискуссия, в которой приняли участие не только математики, но и философы и которая, как свидетельствуют современники, по накалу страстей напоминала ожесточенные религиозные диспуты.
К дискуссии по существу принципа наименьшего действия примешалась еще проблема приоритета в его открытии. Было обнаружено письмо Лейбница, в котором содержались рассуждения, напоминающие собой вновь открытый Мопертюи принцип. (Одной из особенностей Лейбница было то, что почти все выдающиеся открытия его были сделаны и рассеяны им с величайшей небрежностью в его письмах.) На основании найденного письма 1 Лейбница были высказаны предположения, что первенство в открытии принципа наименьшего действия должно быть признано за Лейбницем. Поскольку дело касалось таких вещей, как доказательство существования бога на основании принципа наименьшего действия, в спор вмешался великий насмешник Вольтер, который, сочинив памфлет на Мопертюи, высмеял его честолюбие и теологические спекуляции.
В ходе этой дискуссии принципу наименьшего действия была придана более точная формулировка, в част
1 В нем Лейбниц писал о действии следующее: «Я заметил, что в изменениях движений оно остается обычно максимумом или минимумом. Отсюда можно вывести различные предложения...» (цит. по: Л. С. Полак,. Вариационные принципы механики, их развитие и применения в физике, стр. 22).
230
ности, Л. Эйлером, который поддерживал дружеские отношения с Мопертюи и принял его сторону в возникшем споре. Но уже в этой дискуссии было обнаружено, что принцип наименьшего действия, строго говоря, не всегда является принципом именно наименьшего действия. Об этом свидетельствует письмо1 одного из сторонников Мопертюи к Эйлеру, в котором в конфиденциальном порядке сообщалось о таком примере, который требует не минимума, в соответствии с принципом Мопертюи, а максимума действия. А именно: если в окружности луч света должен достичь некоторой точки, предварительно отразившись от касательной, то этот путь будет не минимальным, а максимальным, наибольшим из всех возможных в силу равенства углов падения и отражения. Любой другой путь был бы короче, однако в действительности свет будет двигаться по пути с максимумом действия.
В дальнейшем было выяснено, что успешное использование принципов действия в механике зиждется, конечно, не на телеологической бережливости матери-природы й даже не на особом пристрастии ее к крайностям— максимуму или минимуму, а на таком свойстве истинного движения системы, которое требует равенства нулю вариации действия. При этом является не существенным, будет величина действия иметь для реального движения минимум или максимум. Важно то, что она отличается известной стационарностью по отношению к незначительным отклонениям траектории движения в ту или другую сторону от истинного пути. Это основное свойство экстремума всякой функции вообще: в области экстремума отклонения аргумента функции первого порядка малости ведут к изменениям величины функции лишь во втором порядке, тогда как в любой другой области изменений (помимо экстремальной) они одинаковы по порядку. Этот факт и находит свое выражение в требовании приравнять нулю вариацию действия для истинного движения. Это требование оказывается более общим, чем требование минимума или максимума. Ибо за равенством нулю вариации действия может скрываться как минимум, так и максимум и даже не минимум и не максимум, но при этом отличительным свойством ре
1 См. Л. С. Полак. Леонард Эйлер и принцип наименьшего действия. — «Труды Института истории естествознания и техники». М, 1^57. т. 17, стр. 324.
231
ального движения механических систем всегда остается стационарность действия.
Тот факт, что истинное движение системы не всегда совершается с минимумом действия, но имеются случаи максимума этой величины, конечно, в корне подрывает телеологическое истолкование принципа наименьшего действия. Однако от этого экстремальный характер действия в истинных движениях не становится менее загадочным, а основания этой экстремальности в поведении физических систем остаются столь же непонятными и сегодня. Несмотря на всю исключительность принципа наименьшего действия в физике, в настоящее время не существует никаких теоретических разъяснений поразительной успешности и плодотворности его применения. Им пользуются просто потому, что реальное движение в физических системах всегда подчиняется ему, а почему— еще неизвестно1. Неизбежен, таким образом, вопрос о причинах экстремального поведения физических систем. Одновременно выяснение этого обстоятельства имеет большое значение для понимания природы законов сохранения. В теореме Нетер в основу связи между законами сохранения и симметрией пространства и времени положена вариационность законов движения. Однако неясно, почему законы движения могут (или должны!) обладать вариационной структурой и что скрывается за этим требованием. Известно лишь, что вариационносгь законов движения вытекает из подчинения их принципу наименьшего действия.
В понимании принципа наименьшего действия (равно как и всех других интегральных принципов и законов, в том числе и законов сохранения) содержится весьма своеобразная гносеологическая трудность, которая, по-видимому, рождена нашим исключительно континуалист-ским взглядом на природу. Мы привыкли к тому, что объяснить процесс — это значит проследить его в мельчайших деталях вплоть до определения всех производных функций, описывающих данный процесс в каждой его
1 «Мы не знаем еще, почему из известных нам физических явлений природы значительная часть укладывается в вариационную схему, почему значительная часть физической науки может с математической точки зрения рассматриваться как класс задач вариационного начисления» (Л. С Полак. Лагранж и вариационные принципы в механике и физике - «Жозеф Лец Лагранж» М—Л, 1937, стр 140).
232
стадии. Как только достигнута или представляется возможной такая степень исчерпывающей детализации, так все считается ясным само собой и наш разум чувствует себя удовлетворенным, даже если подобный анализ может и не иметь видимого предела. Поэтому дифференциальные принципы механики считаются само собой разумеющимися: в каждый момент движущаяся частица испытывает ускорение и ведет себя в этот момент в соответствии с испытываемым ускорением. Но, как замечает Р. Фейнман1, «все наши инстинкты причин и следствий встают на дыбы», как только мы переходим к интегральным принципам и обнаруживаем, что уже в момент, непосредственно предшествовавший движению, частица каким-то образом взвешивает все возможные пути движения и выбирает тот из них, на котором движение совершается с минимумом действия.
Такой характер поведения частицы оказывается совершенно непостижимым для нашего разума, точно так же как остается малопонятным и действие законов сохранения с чисто континуалистских позиций. Все упирается в неосознанно принимаемую посылку, согласно которой мир понимается как нечто исключительно множественное по своей природе и которая допускает в описании его произвольную степень детализации процессов и состояний. Абсолютизация одной лишь дифференцированности в состояниях природы и вера в актуально существующую полную дифференцированность состояний Вселенной делает невозможным естественное объяснение интегральных принципов, а также законов сохранения. С этой точки зрения они могут быть только чудом в природе. И они оставались таким чудом вплоть до появления квантовой механики.
Действительно, ситуация в этих парадоксах в значительной мере аналогична кваитовомеханпческим парадоксам. И те и другие парадоксы не носят физического характера. Они возникают для нашего мышления исключительно по причине нашей особой привязанности1 2 к чисто континуалистскому взгляду на мир. И те и другие парадоксы исчезают, как только мы осознаем однородность такого взгляда на мир и оказываемся в состоянии
1 См. «Фейнмановские лекции по физикех вып. 6, стр 109
2 Эта привязанность является естественным следствием повседневного опыта человека, протекающего в условиях макроскопической множественности бытия.
принять во внимание и те свойства его, которые чужды и даже противоположны всякой множественности.
Любопытно, однако, что в самом возникновении квантовой механики принцип наименьшего действия сыграл выдающуюся роль. Аналогия между вариационными принципами и оптическим принципом Ферма, согласно которому действительное распространение света от одной точки к другой происходит по пути, на котором вариация времени этого процесса равна нулю, послужила одной из отправных точек в формулировке волновой механики Э. Шредингером. Причем «чудо», состоящее в том, что свет, распространяясь в неоднородной среде, всегда находит кратчайший путь к цели, обходя самым «разумным» образом слои с повышенной плотностью, перестает быть чудом с волновой точки зрения, где такой характер движения его является тривиальным следствием изменения скорости движения фронта волны в различных участках ее при пересечении плоскости раздела сред с неодинаковой плотностью L \
В 1942 г. Р. Фейнман непосредственно использовал принцип наименьшего действия в построении квантовой механики путем анализа суммы вероятностей для всех возможных траекторий движения частицы. Принтом тот факт, что действительное движение частицы идет по пути с минимальным действием, также перестает быть чудом, поскольку волны вероятности, распространяющиеся по всем другим путям, значительно отличающимся от истинного и потому резко варьирующих величину действия, взаимно гасятся в точке прибытия. В результате максимальная вероятность падает на узкий пучок траекторий вокруг истинного пути, для которого вариация действия равна нулю, и потому волны, приходящие по этим путям, находятся почти в одной фазе и, взаимно усиливаясь, рождают значительный эффект в месте прибытия.
Если мы теперь вспомним, что за всеми квантовомеханическими явлениями скрывается физическая неделимость мира в конечном счете, и для того, чтобы понять природу принципа наименьшего действия, постараемся судить о нем не с точки зрения обычных взглядов на природу, в которых она мыслится как нечто исключительно и безгранично множественное по своей сути, а будем
1 См. В. Гейзенберг, Э. Шредингер, П. Дирак. Современная квантовая механика. М.—Л., 1934, стр. 41—60,
234
судить о нем, исходя из свойств мира как неделимого и неразложимого целого, то мы увидим, что при этом принцип наименьшего действия лишается последних покровов таинственности и становится чем-то само собой разумеющимся, вполне естественным и даже совершенно тривиальным. Телеологическая концепция принципа наименьшего действия может «объяснить» только требования минимума, вытекающие из этого принципа, и, следовательно, ограничена. Представления же о квантовых свойствах мира как неделимого целого хорошо согласовываются с требованием приравнять нулю вариацию действия, т. е. со стационарностью действия — более глубокой и подлинной основой всех принципов действия. В то же время квантовые свойства мира как неделимого целого трудно было бы согласовать с тем или другим видом экстремума раздельно.
Действительно, в множественной концепции природы, в которой мир представляет собой безграничную совокупность абсолютным образом обособившихся одна от другой многих самостоятельных сущностей, каждая из которых отличается полной самостоятельностью и независимостью от других, а связь и объединение между ними могут быть осуществлены только силовым образом — в такой концепции любая частица должна рассматриваться в качестве одной из подобных самостоятельных сущностей. И если она при этом в своем поведении подчиняется интегральным принципам действия, то к ее кажущейся свободе выбора, порождаемой абсолютизацией ее как отдельного объекта-индивидуума, по необходимости должна быть примыслена также и способность к разумному выбору. Таковы неизбежные следствия чрезмерной индивидуализации элементов множественного аспекта природы и его абсолютизации.
Если же мы с самого начала признаем относительный характер множественной стороны природы и будем исходить из признания физической неделимости мира в конечном счете, то тогда рассматриваемая нами частица будет обладать лишь относительной самостоятельностью и на характере ее поведения должно сказываться проявление свойств неразложимости мира. Не обладая фактически абсолютной самостоятельностью и полной физической обособленностью, частица лишается кажущейся свободы выбора любого из кинематически возможных путей движения, сама совокупность и равноправие ко
235
торых с этой точки зрения порождены лишь нашим ио ключительно континуалистским взглядом на природу. Для тех физических условий, которые заданы определенной конфигурацией системы, проявление свойств неразложимости мира состоит в исключении из естественного движения ее всякой возможности неограниченной детализации ее состояний, что достигается на траекториях, исключающих резкую вариацию физических величин. Это обстоятельство и находит свое выражение в равенстве нулю вариации действия на истинной траектории естественного движения частицы. Требование физической неразложимости природы в конечном счете не могло бы быть соблюдено на любой другой траектории, для которой незначительные колебания порождали бы резкую вариацию действия и, следовательно, вели бы к физической индивидуализации близлежащих траекторий, открывая возможность сколь угодно точной детализации всей их неограниченной совокупности. Поэтому в своем движении частицы никогда не оказываются на таких траекториях.
Принцип стационарности действия является, таким образом, косвенным указанием уже в рамках классической механики на фактическую физическую неделимость мира, ибо только это предположение может объяснить его успешное применение. В самом деле, требование приравнять нулю вариацию действия равносильно ограничению произвольной степени детализации близких (к истинной) траекторий, детализации, которая должна была бы иметь реальный физический смысл в случае справедливости классического предположения о полной и исчерпывающей разложимости реальности. И если движение физических систем всегда совершается таким образом, что действие отличается стационарностью по отношению к варьированию траекторий, то это говорит только о том, что в таком характере движения уже в рамках классической механики присутствует косвенное проявление физической неразложимости мира через совокупность утративших физический смысл и неразличимых между собой, но всегда занимающих некоторую конечную область траекторий, окружающих истинную. Возможно, только благодаря этому в природе вообще существуют законы, управляющие ее движением.
Фактически постоянная Планка и требование приравнять нулю вариацию действия говорят об одном и том
236
же — об отказе от неограниченной детализации состояний физической реальности. Ведь если в природе существует некоторая конечная и наименьшая из возможных величина действия (как об этом говорит основное утверждение квантовой механики), то, даже не зная о ее существовании, мы все равно должны были бы столкнуться с ее проявлением там, где для придания реального физического смысла варьируемым траекториям потребовались бы ее доли, что, однако, невозможно, и потому, действительно, это варьирование теряет свой смысл, начиная с известной области.
Таким образом, тот вопрос, который произвел столь сильное впечатление на Мопертюи, а именно вопрос о том, каким образом частица «наперед знает» истинный путь своего будущего движения, фактически не должен возникать, если исходить из основной посылки квантовой механики о физической неделимости мира в конечном счете.
Частица с необходимостью движется по единственно 1 реальному пути, существование которого и движение по которому согласовываются с фактом конечной физической неразложимости мира. Других путей и других возможностей просто нет, хотя чисто континуалистский взгляд на природу и рисует неограниченную совокупность таких кинематически равноправных с реальным путей. Следовательно, вопрос о том, каким образом частица «выбирает» истинный путь движения, рожден нашим исключительно континуалистским взглядом на природу и представлением о частице как о суверенной самости, некотором выделенном индивидууме, перед которым — как в случае шарика на вершине горы — открывается якобы неограниченная совокупность якобы совершенно равноправных путей, что и создает иллюзию свободы выбора траектории.
Современная физика позволяет естественным образом снять это затруднение, поскольку квантовый принцип физической неделимости мира в конечном счете вскрывает основания стационарности действия в природе. Исходя из принципа стационарности действия, можно получить не только законы сохранения, но и основопола
1 Нет объективно иных траекторий, помимо единственной, отвечающей принципу стационарности действия, поскольку остальные, как варьирующие величину действия, несовместимы со свойством конечной неделимости мира и, следовательно, фиктивны
237
гающие в механике законы Ньютона Ч В нем содержится вся механика, и если в качестве основания механики «избрать принцип стационарного действия, то нет необходимости принимать какие-либо дополнительные условия, так как из этого принципа фактически вытекает вся совокупность уравнений механики»1 2.
Устойчивость физических систем. Уяснение всех этих обстоятельств, по-видимому, и в самом деле может пролить свет на вопрос о том, почему природа столь разумно устроена. Как уже неоднократно отмечалось, в этом направлении открываются некоторые новые возможности, едва только мы переходим от обычных представлений о мире как о многом к пониманию его как физически неделимого в конечном счете в соответствии с квантовой природой микрообъектов.
Как это ни парадоксально, но фактически наши обычные представления о произвольной степени разложимости реальности, о полной и исчерпывающей (да еще бесконечной, как обычно говорят) делимости материальных структур находятся в удивительном противоречии с самим фактОхМ существования этих структур как устойчивых (хотя бы и относительно устойчивых). Действительно, если мы будем мыслить мир в виде безбрежного моря некоторых элементов-песчинок, все более мелких и мелких на каждом последующем уровне его и допускающих безграничную степень детализации, так что в принципе исчезает какая-либо граница этой всеобщей делимости, то становится совершенно непонятным, как может устойчиво существовать какая-либо материальная структура, сохраняться движение, различные физические величины и т. п.?
Например, устойчивость атомных систем с точки зрения классических представлений о всеобщей и полной дифференцированности явлений природы представляется совершенно непостижимой. Но ведь с нарушением устойчивости микросистем рушится устойчивость всего макромира. Для классической физики, таким образом, сам факт устойчивого существования ее объектов представляет собой неразрешимую загадку, но только потому, что классическая физика ничего не знает помимо множественного аспекта природы.
1 См. «Фейнмановские лекции по физике», вып. 6, стр. 96, 97, 104
2 «Вариационные принципы механики». М., 1959, стр. 466.
238
Атом как система, состоящая из положительно заряженного ядра и отрицательно заряженных электронов, с точки зрения классических представлений, не может быть устойчивым ни в статическом, ни в динамическом состояниях.
В статическом состоянии необходимым условием устойчивости является минимум потенциальной энергии системы. Однако для электрона, который обладает отрицательным электрическим зарядом, минимум потенциальной энергии может быть достигнут лишь тогда, когда расстояние между ним и положительно заряженным ядром сократится до нуля, т. е. когда электрон упадет на ядро. Обладай электрон положительным электрическим зарядом — случай позитрона, — он должен был бы удалиться от ядра на бесконечность. И в том, и в другом случае атом как система положительно и отрицательно заряженных частиц не может существовать.
Однако и динамическое состояние атома не может быть устойчивым: двигаясь по круговой (или какой-либо иной замкнутой) траектории вокруг ядра атома, электрон под влиянием ускорения будет непрерывно излучать электромагнитные волны и, израсходовав весь запас энергии, должен в конце концов упасть на ядро.
Первоначально Бор объяснил устойчивость атома, сделав странное для того времени предположение, что, хотя электрон и движется по орбите вокруг ядра, он, однако, не излучает энергию. Излучение энергии носит квантовый характер и связано лишь с переходом электрона с одной орбиты на другую. В этой теории формально устойчивость атома в основном состоянии может быть объяснена следующим образом. Радиус первой воровской орбиты электрона в атоме равен
nh ’ h rx = — ^ — . mv mv
Как очевидно, г не может уменьшиться до нуля, ибо скорость электрона, а также масса его, которая в релятивистском случае зависима от скорости, не могут быть устремлены к бесконечности. С общефизической точки зрения это кажется понятным. Но на самом деле никаких орбит электронов в атоме нет, и нужно быть вообще очень осторожным в трактовке атома в привычных образах системы, составленной из двух, трех и т. д. более простых элементов,
234
Для системы, подобной атому водорода, которая состоит из одного положительно заряженного протона и отрицательно заряженного электрона, вероятность обнаружить электрон в данной точке пространства не зависит от его угловых координат (центром угловых координат, естественно, является ядро атома). Таким образом, считается, что система из двух элементов протон — электрон обладает сферической симметрией. Это непостижимо, если прочно держаться ранее принятых представлений об ее элементах-частицах как четко обособленных физиче^ ских индивидуумах. По-видимому, наличие сферической симметрии у атома по-своему указывает на проявление квантовых свойств целостности его, которые стирают образы физических элементов-индивидуумов и механической составной системы, построенной из них.
Атом обладает известными свойствами целостности и в возбужденном состоянии. Вместе с тем он подвержен непрерывному периодическому процессу, в котором принимает участие вакуум. Все составляющие атом элементы участвуют в виртуальных реакциях с вакуумом. Поэтому то, что в боровской модели атома называлось орбитой электрона, скорее представляет собой сферическую поверхность максимума вероятности проявления в соответствующем опыте некоторого феномена, которому приписываются свойства индивидуальной частицы — электрона.
Вакуум как свойство физической неразложимости мира в конечном счете, по-видимому, причастен также и к спонтанному переходу атома из возбужденного состояния в основное с испусканием соответствующего кванта энергии. В первоначальной теории Бора причины этого явления оставались невыясненными. Но в квантовой электродинамике, в которой число частиц не является сохраняющимся, рассматривается взаимодействие электронов не только с реальными частицами, но и с населяющими вакуум виртуальными частицами, Это взаимодействие может привести к порождению реальных частиц из вакуума за счет энергии электронов в атоме, что приводит к таким изменениям в состояниях атома, в результате которых в конечном счете атом достигает состояния с минимумом энергии. Таким образом, здесь проявляется консолидирующая роль вакуума как свойства физической неделимости и особой целостности микросистем. Классическим аналогом воздействия физического вакуума на
2-Ю
электрон является сила лучистого трения, создаваемого собственным электромагнитным полем ускоренно движущегося электрона.
Возможно, подобные представления о роли вакуума как свойства физической неделимости мира в конечном счете позволяют понять, почему всякая физическая система стремится к состоянию с минимумом потенциальной энергии. Этот очень общий закон указывает на направление развития событий в системе и, обладая большой эвристической ценностью, часто служит в физике путеводной питью там, где не хватает экспериментальных данных1.
♦ ♦ ♦
Если теперь попытаться суммировать содержание настоящего раздела, то нужно отметить, что мировоззренческий аспект законов сохранения, а также лежащих в их основании принципов действия не только хорошо согласовывается с отказом от чисто континуалистского взгляда на природу, но только благодаря этому отказу и становится вполне понятным и лишенным телеологического оттенка. Следует, по-видимому, согласиться, что то представление о мире, к которому ведет квантовая механика и зародыш которого можно проследить еще в учении элеатов Парменида и Зенона, а именно представление о мире как о физически неделимом в конечном счете вопреки столь очевидной множественности его действительно открывает новые возможности в понимании естественных оснований «разумности» природы, которая как раз и оставалась непостижимой для классической физики.
Трудно судить о последствиях понимания мира, вытекающего из современной физики. Очевидно, однако, что изменения коснутся наиболее глубоких понятий и представлений. В частности, становится более понятным объективное основание концепции о причинной обусловленности явлений.
1 См. Л. С. Полак. Вариационные принципы механики. — «Вариационные принципы механики», стр. 865. Здесь же Л. С. Полак указывает на то, что принцип Гамильтона нельзя рассматривать как чисто механический принцип. Он приложим и к немеханическим системам: атом Бора, второе начало термодинамики особенно в его вероятностной трактовке и т. п.
241
Кажется совершенно очевидным, что всякое событий и всякое изменение бывает вызвано своей причиной, сколь бы ни была она скрытой и незаметной. Но неясна здесь та безусловная обязательность сцепления причин и следствий, которая лежит в основании этого представления и которая вынудила в свое время Канта поместить эти понятия в разряд априорных форм мышления. Нужно глубоко осмыслить необходимый характер этой закономерности и ее объективные основания в самой природе.
Как было показано, свойства мира как неделимого целого обеспечивают для состояния с максимально возможной степенью детализации взаимосогласованность и коррелированность элементов микросистемы даже и в том случае, когда она оказывается претерпевшей спонтанный распад и между ее элементами нет уже больше никакого физического взаимодействия. Эта несиловая корреляция элементов распавшейся системы может сохраняться сколь угодно долго и таким образом, что только внешнее вмешательство, называемое причиной, в состоянии разрушить ее. Поэтому свойства мира как неделимого целого, обеспечивающие взаимную коррелированность элементов в поведении любой системы на стадии максимально возможной детализации ее состояния, служат тем самым глубоким фоном, благодаря которому становится возможной разумная интерпретация каких-либо изменений в состояниях системы как причинно обусловленных. Следовательно, и в этой проблеме свойства мира как неразложимого целого выступают как естественное основание наблюдаемой в нем закономерности.
Рассмотренный в этой главе конкретный материал позволяет, по-видимому, принять предположение о конечной физической неделимости мира. Этот материал дает представление об исключительном богатстве конкретного содержания диалектики множественного и единого в свойствах природы.
Если теперь вновь возвратиться к абстрактным проблемам в основаниях математики и в особенности проанализировать континуум-гипотезу, то мы убедимся, что выявленная дилемма множественного и единого хорошо согласовывается и с абстрактно-логическим пониманием континуума как неразложимого и чуждого всякой множественности в конечном счете, согласно найденному в математике «неконструктивному» решению континуум-ги-потезы. 'Об этом речь пойдет далее.
242
18. Неразложимость в математике (Протяженность и понятие континуума)
В первом разделе настоящей главы была отмечена своеобразная недостаточность понятия множества, обнаруживающаяся всякий раз, едва только на его основании мы попытаемся построить некоторую модель всеобщего. Парадоксы и антиномии теории множеств по-своему свидетельствуют о неуниверсальности множественного аспекта природы, которая на этот раз проявилась в высшей степени абстрактных проблемах математики.
Любопытно в связи с этим проследить концепцию непрерывности в математике и посмотреть, не таится ли в исходных посылках к ней некоторое явно или неявно принимаемое допущение о свойствах неразложимости континуума.
Если протяженность не выражает ничего, кроме простейших отношений следования элементов в многообразии и, следовательно, представление о ней уместно постольку, поскольку сохраняется аспект множественности в состоянии реальности и все объекты исследования мыслятся образованными из совокупностей некоторых элементов и т. д., то вопрос, который нас теперь интересует, состоит в следующем: исчерпывается ли континуум образами элементов-индивидуумов (точек, например), взятыми в совокупностях хотя бы и выше счетной мощности, или же непрерывность его обеспечена такими его свойствами, по отношению к которым теряет смысл сама операция разложения его на составляющие элементы с последующим прослеживанием между ними тех или иных отношений? С точки зрения теоретико-множественных представлений современной математики это очень странный вопрос. Однако это очень старый вопрос, который возник задолго до появления теории множеств и который и сегодня отражается в трудностях теории множеств.
Существует старинная легенда о древнем мудреце, который выдал людям тайну ]/2, указав на иррациональность этого выражения. Разгневанные боги наказали его, подняв бурю на море и потопив корабль, на бор-ту которого находился этот мудрец
1 По-видимому, легенда повествует о Гиппасе из Месапонта (VI—V вв. до н. э.), который погиб во время кораблекрушения и которому приписывают открытие иррациональности у/" 2 (см. Э. Кольман. История математики в древности. М., 1961, стр. 84).
243
У 2 действительно содержит в себе некоторую тайну, смысл которой состоит в указании на невозможность исчерпывающего описания реальности путем прослеживания в ней отношений, поддающихся точному выражению, и потому для мистически настроенных умов имеет некоторое отношение к богам. С его открытием связано установление древними существования несоизмеримых отрезков в знаменитых задачах древности о квадратуре круга, удвоении куба и трисекции угла. Согласно другой легенде, людям, желающим избежать бедствий, оракул советовал увеличить вдвое кубический жертвенник, не меняя его формы. Остается неизвестным, сознавал ли сам прорицатель весь масштаб иронии, кроющейся в подобном совете.
Эти открытия повлекли за собой крушение философской концепции пифагорейцев, исходивших из предположения о возможности исчерпывающего отображения действительности в числах. И хотя вскоре греки изобрели немало остроумных способов для нахождения приближенного решения этих задач, а в «Началах» Евклида уже содержится полная теория несоизмеримых отрезков, тем не менее впечатление от открытия несоизмеримых отрезков было огромным. Это был исторически первый кризис оснований математики, проявившийся в особенно острой форме, поскольку греки не знали иррациональных чисел да и не могли их знать до возникновения подобного кризиса.
Эти задачи и в новое время привлекали внимание многих ученых, пытавшихся найти их точное решение. В 1637 г. Декарт первым высказал мнение, что удвоение куба с помощью циркуля и линейки невозможно, т. е. что кубический корень из некубического рационального числа есть иррациональность, не приводящая к конечному числу действий по извлечению корня. В том же году такого же рода замечание было сделано Декартом и по поводу трисекции угла, а начиная с 1775 г. Парижская академия наук, а вслед за нею другие академии стали отказываться от работ, посвященных решению этих задач Полное научное обоснование этого отказа было дано лишь во второй половине XIX в., когда была создана строгая теория иррациональных чисел.
Обнаружение принципиально несоизмеримых геометрических отрезков даже с точки зрения интуитивных представлений о протяженности вызывает сомнения в
244
бесконечной делимости ее — этом мнимом основании ее всеобщности в природе. С точки зрения идеальных требований математики бесконечная делимость любого отрезка является само собой разумеющимся свойством его. Но в таком случае неясно, почему в бесконечном процессе дробления двух несоизмеримых отрезков нельзя в конце концов выделить такие их элементы, которые уложились бы целое число раз на обоих сравниваемых отрезках. Возможно, что существование принципиальной несоизмеримости отрезков указывает на неизменный характер отношения соответствующих элементов этих отрезков. Тем самым неявно отрицается бесконечная делимость протяженности, ибо неясно, почему при бесконечном делении двух отрезков нельзя в конце концов найти их общую меру. Великий атомист древности Демокрит, по-видимому, не преминул воспользоваться этим обстоятельством для доказательства существования атомов, и приходится только сожалеть, что его «Две книги об иррациональных линиях и плотных вещах» 1 не дошли до нас.
Философским следствием первого кризиса оснований математики явилось обнаружение своеобразной недостаточности и односторонности всеобщего убеждения древних математиков в возможности исчерпывающего описания реальности путем разложения ее на строго определенные элементы с последующим установлением между ними точных отношений. Если, согласно предельному характеру геометрических представлений, под такими элементами реальности понимать точки, а линии рассматривать как совокупности точек, то появление задач, принципиально неразрешимых с помощью циркуля и линейки, очевидно, означает обнаружение таких ситуаций в геометрических построениях, в которых принципиально не могут быть найдены точки, необходимые для решения этих задач, а также не могут быть построены линии, составляющие геометрическое место этих точек и оконтурива-ющие искомые фигуры, например тот же вдвое увеличенный кубический жертвенник. Можно сказать, что в этих задачах впервые терпят фиаско образы точки и линии, а с ними и протяженность, с помощью которой еще и
1 Об этих книгах упоминает Диоген Лаэрций (ок 240 г. до и э.) в своем перечне работ Демокрита (см М. Е. Ващенко-Захарченко. История математики. Киев, 1883, т. 1, стр. 22).
245
сегодня многие считают возможным получить исчерпывающее описание реальности.
Более отчетливое представление о существе этой проблемы можно получить, обратившись к учению об иррациональных числах. Оказалось возможным провести аналогию между рациональными числами и точками прямой.
Как замечает Р. Дедекинд, эта аналогия становится действительной зависимостью, когда на прямой выбирают определенную начальную или нулевую точку 0 и определенную единицу длины для измерения отрезков. При помощи последней можно для каждого рационального числа а построить соответствующую длину, и если нанести ее на прямую от точки 0 вправо или влево в зависимости от того, положительное или отрицательное число а, то получим определенную конечную точку Р, которая может быть принята за точку, соответствующую числу а. Рациональному числу 0 соответствует точка 0. Таким образом, каждому рациональному числу а, т. е. индивидууму в R (числовом корпусе), соответствует одна, и только одна точка Р, т. е. один индивидуум на L (на прямой линии) L
Казалось бы, таким образом можно исчерпать всю прямую действительными точками на ней. Полный корпус рациональных чисел представляет собой бесконечный ряд, что как будто вполне соответствует бесконечной совокупности точек на прямой. Однако Р. Дедекинд тут же показывает, что это не так, что на прямой L есть бесконечно много точек, которым не соответствует никакое рациональное число: прямая L бесконечно более богата индивидуумами-точками, чем область R рациональных чисел индивидуумами-числами.
Но то бесконечное множество точек на прямой, которым не соответствуют какие-либо рациональные числа и которые Р. Дедекинд, исходя из интуитивно принимаемой непрерывности прямой, называет индивидуумами-точками наравне с рациональными точками, в действительности не является таким. Это совершенно очевидно, впрочем, и на уровне интуитивных представлений о точке.
1 См. Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923, стр. 14—15.
246
В самом деле, если, согласно Евклиду, «концы же линии — точки» и «точка есть то, что не имеет частей», то, строго говоря, никакому иррациональному числу не соответствует ни одна точка на прямой. Ибо, с одной стороны, отрезок прямой, соответствующий иррациональному числу, нельзя оконечить, а с другой — иррациональное число потому и иррационально, что в нем возможно бесконечное перечисление его десятых, сотых, тысячных и т. д. частей.
По этой причине иррациональные числа как недостижимые существенно отличны от рациональных, которые даны актуально в конечном и строго определенном виде. Евклид вообще отказывается видеть в них числа: несоизмеримые величины не могут относиться между собой как числа 1 — и называет их в отличие от чисел просто величинами. Для пифагорейцев они также не числа, а источник диссонанса в «гармонии чисел». Индусы и арабы окрестили их «недействительными», «ненастоящими», «неправильными» и даже «глухими числами». Даже Г. Кантор в сравнительно недавнее время писал: «Что ...касается иррациональных чисел, то в чистой математике им подобает лишь формальное значение. Они являются как бы своего рода счетными марками, служащими для того, чтобы закрепить и описать простым единым образом свойства групп целых чисел» 1 2.
Но начиная с XVI—XVII вв. арифметизация геометрии зашла столь далеко, а реальность существования в геометрии несоизмеримых отрезков стала столь очевидной, что их решаются, наконец, признать действительными числами наряду с рациональными. Однако интуитивная очевидность возможности графически указать на прямой точку, отвечающую иррациональному числу, еще не является подтверждением действительного существования такой точки.
И хотя в конце концов иррациональные числа перестали называть фиктивными числами, вопрос о полной разложимости прямой на индивидуумы-точки3 вовсе не был решен. Поэтому в иррациональном числе следует
1 См. Евклид. Начала. М.—Л., 1949, кн. X, 7 (стр. 109).
2 Г. Кантор. Основы общего учения о многообразиях. — «Новые идеи в математике», сб. № 6. СПб., 1914, стр. 16.
3 Здесь, как и всюду, под понятием индивидуума мы понимаем элемент многообразия. Помимо приведенных мест из работы Деде-
247
видеть скорее символ непрерывности, чем действительное число1. Это становится совершенно очевидным, если перейти от геометрических, чисто графических представлений о точке к более строгому математическому представлению о ней с помощью так называемых дедекиндов-ских сечений. Р. Дедекинд подробно показывает, что точку в общем случае можно представить себе как такое число а, которое, разделяя числовую ось на две области А] и А о, удовлетворяет следующему требованию: оно должно быть наибольшим числом среди чисел класса Ai или наименьшим в классе Л2, смотря по тому, куда оно будет отнесено: если система всех вещественных чисел распадается на два класса Ai и А2 такого рода, что каждое число а\ класса Ai меньше каждого числа а2 класса Л2, то существует одно, и только одно число а, производящее это разделение* 1 2. Это число и олицетворяет собой точку, обозначаемую рациональным числом.
Но, оказывается, можно обнаружить такие сечения, в которых нет соответственно ни наименьшего числа в классе А2, ни наибольшего в классе А}. Это, конечно, прежде всего означает, что нельзя в них выделить точку-индивидуум и что представление о ней теряет всякий смысл уже в известных областях метрических отношений. Получив иррациональное число, мы выходим за пределы той области действительности, которая доступна описанию с помощью конечных математических методов. Например, достигнуть конечного определения иррацио
кинда, где он пользуется понятиями «индивидуума-точки» и «индивидуума-числа», сошлемся на Ф. Клейна. Он прямо говорит, что наглядный образ точки более всего уместен для пространства трех измерений, но для многообразия произвольного числа измерений удобнее пользоваться более общим образом индивидуума (см. сб. «Об основаниях геометрии», стр. 430). Наконец, Н.' Бор в связи с проблемой пространства-времени в микромире также замечает: «...основание пространственно-временного описания следует искать в абстрактном образе свободных индивидуумов» (см. Н. Бор-Квантовый постулат и новое развитие атомистики. — «Успехи физических наук», т. VIII', 1928, вып. 3, стр. 330).
1 «...Под именем несоизмеримого числа г-н Дедекинд понимает лишь простой символ, т. е. нечто совершенно отличное от той идеи, какую связывают обыкновенно с количеством, понимаемым как нечто измеримое и почти что осязаемое» (А. Пуанкаре. Наука и гипотеза, стр. 30).
2 См. Р. Дедекинд. Непрерывность и иррациональные числа, стр. 19.
248
нального числа мы не в состоянии принципиально, перейти от него к следующему «за» ним рациональному числу также не представляется возможным. Какие-либо конечные математические операции с иррациональными числами: суммирование, умножение, деление и т. п. также не имеют здесь строгого смысла и не могут вывести из области иррациональности принципиально. Сумму двух иррациональных чисел нельзя определить ни как совокупность, в которой содержится столько единиц и аликвотных 1 частей единицы, сколько их в двух слагаемых, вместе взятых, ни индуктивно, как это делал Грассман для целых чисел, ибо ни то, ни другое определение не имеет здесь смысла. Если две касающиеся линии всегда имеют одну общую точку, то на кривой, образованной совокупностью иррациональных «точек» (скажем, построенной радиусом равным л), невозможно найти точку, общую с прямой касательной к этой кривой. Иными словами, к окружности радиуса л нельзя построить касательную, поскольку на ней вообще нельзя указать актуально существующую точку-индивидуум.
О том, что в области иррациональных чисел теряет смысл также простейшая математическая операция — перечисление 1, 2, 3... и т. д., можно сделать вывод уже из того, что эта операция предполагает возможность выделения только что рассмотренной точки-индивидуума с помощью сечения Дедекинда. Но возможность такого выделения точек-индивидуумов и отрицается в области иррациональных чисел, для которых нельзя ведь указать какое-то число а, которое было бы наибольшим в первом классе или наименьшим во втором классе чисел. Множество десятичных знаков иррационального числа не имеет собственного замыкания. Пределом иррациональных чисел выступают рациональные числа, к которым они могут приближаться сколь угодно близко, всегда оставаясь отличными от них. Именно поэтому рациональные числа являются строго определенными индивидуумами числовой оси и единственными в качестве таковых. Вместе с тем очевидно, что там, где теряют смысл образы точек-индивидуумов, теряют смысл также и более общие понятия элементов многообразия и их множества.
Здесь, следовательно, в самой математике мы подхо
1 Аликвотная часть единицы есть такая ее часть, на которую она разделится без остатка.
9 Зак 25
249
дим к большому философскому вопросу, содержание которого сводится к следующему: есть ли действительность, только некоторым образом дифференцировавшаяся действительность или наше знание о ней должно быть дополнено представлением о свойствах неразложимости, свойствах целостности ее, по отношению к которым теряют смысл понятия элементов-индивидуумов, их многообразия и операция разложения на них?
Этот вопрос составляет также внутренний смысл проблемы континуума. Известны различные взгляды на природу континуума. Левкипп, Демокрит, Эпикур и Лукреций, а также Пифагор и Платон находили континуум составленным из неделимых. Другие, например Аристотель и Аверроэс, рассматривали его также как нечто составное, однако из частей неограниченно делимых. Но существовала и третья точка зрения, согласно которой состав-ность континуума из неограниченного числа неделимых или из бесконечно делимых частей считалась одинаково недопустимой. Этой концепции — она близка взглядам Парменида и Зенона — придерживался ряд средневековых математиков и философов (Томас Брадвардин, Фома Аквинский и др.).
В новое время эта точка зрения на континуум как на «чистую непрерывность», «чистое поле становления» математических объектов была преобладающей 1 вплоть до конца XIX в., пока Кантор не сделал решающего шага в истолковании континуума как составного, но включающего в себя совокупность элементов так называемой континуальной мощности. Тем самым, казалось бы, открылась возможность для окончательного утверждения концепции составного континуума. В действительности же, однако, начиная с этого момента проблема континуума только перевоплотилась в форму фундаментальной математической проблемы.
Уже при обсуждении исходной теоремы Кантора, согласно которой континуум обладает мощностью выше счетной, А. Пуанкаре усомнился в том, имеет ли он во
1 «...До появления работ Кантора, с которого начинается перевод всех основных понятий математики на язык множеств, большинство математиков, чтобы не сказать все, именно и мыслили континуум как чистую бесточечную протяженность» (Н. Н. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного. М.—Л., 1933, стр. 32).
250
обще какую-либо мощность1, т. е. разложим ли он вообще на элементы хотя и выше счетной мощности. В этой теореме Кантор показал, что мощность континуума эквивалентна мощности множества действительных чисел. Однако множество действительных чисел включает в себя множество рациональных чисел, мощность которого не более чем счетно-бесконечна, и множество иррациональных чисел, несчетность которого и придает свойства континуума всему множеству действительных чисел. Но существуют ли актуально элементы-точки прямой, отвечающие иррациональным числам, или же в области иррациональных чисел обнаруживается свойство неразложимости континуума, которое, будучи противоположным состоянию дифференцированности, потому и требует для своего отображения совокупностей выше счетной мощности, поскольку в действительности является отрицанием образов точек и их множества и самого состояния дифференцированности?
Этот вопрос, как мы только что видели, так и остался открытым в теории иррациональных чисел. Более того, как отмечает Ф. Клейн, существует явный круг в стремлении видеть в иррациональных числах доказательство непрерывности прямой, ибо исторически иррациональные числа были введены в арифметику впервые именно для того, чтобы отразить геометрическую непрерывность, относительно существования которой тогда не сомневались1 2.
Таким образом, первоначально иррациональные числа были введены в теорию чисел как средство отображения «очевидно» существующих (помимо рациональных) точек прямой, а в конце XIX в. в теории множеств, опираясь на существование иррациональных чисел, доказывают полную разложимость континуума на точки вплоть до иррациональных, не смущаясь получаемой при этом мощностью, превосходящей всякое понимание. Причем всегда, когда мы строго определяем рациональные точки, иррациональные числа вводятся лишь благодаря интуитивным представлениям, некоторой «наглядной» непрерывности и т. п. Так, Ф. Хармон и Д. Дюпре, анализируя ос
1 См. Н. Н. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного, стр. 32.
2 См. Отзыв Ф. Клейна о работе С. Ли «Теория групп преобразований». — «Об основаниях геометрии», стр. 445—446.
9*
251
новные понятия современной математики, отмечают, что, в то время как целые числа вводятся аксиоматически, а рациональные — как упорядоченные пары целых, иррациональные числа вводятся без строгого обоснования, просто как «остальные точки на прямой» L Но вопрос в том именно и состоит: существуют ли в действительности эти «остальные точки на прямой»?
Даже представление о том, что каждому рациональному числу соответствует одна точка на прямой линии, кажется Ф. Клейну «совершенно аксиоматичным, так как рациональные числа с достаточно большим знаменателем не могут быть эмпирически намечены»1 2 на ней.
Еще большая степень аксиоматичности содержится в представлении о полной разложимости континуума вплоть до иррациональных точек, существование которых задается бесконечным процессом. Однако этот процесс по природе своей всегда остается незавершенным, а точка, таким образом, не достигнутой.
Следуя Кантору, бесконечный натуральный ряд чисел 1, 2, 3...V может быть вполне упорядочен, если мы постулируем актуальное существование бесконечности в завершенном виде, а именно вообразим некоторое новое число со, существование которого является выражением того, что нам дана, согласно своему закону, вся последовательность натурального ряда чисел3. Число со, таким образом, больше любого из чисел ряда: 1,2, 3, ...v. Его логическая функция состоит в полагании всей совокупности натурального ряда чисел как данной в завершенном виде. Это будет, по Кантору, вторым принципом порождения чисел в отличие от первого, сущность которого состоит в последовательном прибавлении единицы (таким путем строится, например, натуральный ряд чисел) 4.
Тогда соответственно различным способам упорядо
1 F. L. Harmon, D. Е. Dupree. Fundamental Concepts of Mathematics. Prentice-Hall. New York, 1964, ch. 3.
2 «Об основаниях геометрии», стр. 445.
3 См. «Новые идеи в математике», сб. № 6, стр. 54.
4 Сущность второго принципа порождения трансфинитных чисел Кантор определяет следующим образом: «Если дана какая-нибудь определенная последовательность определенных целых реальных чисел, среди которых нет наибольшего числа, то... создается новое число, которое мыслят как предел этих чисел, т е. которое определяют как первое большее всех их число» (там же, стр. 55).
252
чения этого первоначального ряда открывается возможность получения совершенно новых порядковых чисел, отличных от конечных, а именно со, со +1, со + 2, со + 3, ... co + v и т. д., с которыми тем не менее можно производить известные операции, ибо, как замечает Г. Кантор, если конечное число предшествует бесконечному, то оно «растворяется» и «исчезает» в бесконечном, если же оно «скромно займет свое место позади бесконечного», то не только сохраняется, но и, соединяясь с ним, образует новое трансфинитное число
Таким образом, возникает целый ряд трансфинитных порядковых чисел, каждое из которых является обозначением определенного типа упорядочения счетного множества натуральных чисел — и это будет следствием применения первого принципа порождения чисел уже в области трансфинитного. Однако если мы теперь и этому ряду припишем актуальную завершенность, то, пользуясь вторым принципом порождения трансфинитных чисел, получим новое трансфинитное число 2со, которое будет больше любого из трансфинитных чисел этого ряда и одновременно задает всю их совокупность в завершенном виде. Таким путем, попеременно обращаясь то к первому, то ко второму принципу порождения чисел, Кантор строит I класс трансфинитных чисел, отличительной особенностью которых является счетно-бесконечная мощность каждого из них. Однако вся их совокупность (ее мы вновь берем в завершенном виде с помощью нового трансфинитного числа Q, которое как большее любого числа I класса трансфинитных чисел уже не принадлежит к ряду этих чисел и в то же время как бы задает в завершенном виде всю их совокупность) обладает мощностью, больше счетной; ее обозначают Л\ — алеф-один. Так Кантор получает первое трансфинитное кардинальное число.
Эти превосходящие всякое воображение построения могут быть продолжены до получения чисел II, III, IV и т. д. трансфинитных классов. Причем члены каждого предшествующего класса перечислимы с помощью чисел последующего класса.
Таким путем Кантор строит целый мир алефов, самым маленьким из которых является число, обозначающее счетную мощность бесконечного ряда натуральных чи-
1 См «Новые идеи в математике», сб № 6, стр. 24.
253
сел, а именно Л о. При этом Кантор не сомневается в «составное™» континуума и верит в существование вполне определенной мощности составляющих его точек (что позволило ему высказать континуум-гипотезу): «Я утверждаю строгую пространственную точечность или непротя-женность последних элементов, как это развивал вслед за Лейбницем и патер Боскович...» 1
Придерживаясь, таким образом, идеи актуальной множественности континуума в самой сильной форме вплоть до признания актуальной дробимости его до лишенных протяжения точек, Кантор вместе с тем отрицает актуальное существование бесконечно малых величин. И если в учении о трансфинитных числах Кантор дает поразительной силы изложение концепции актуальной бесконечности в области бесконечно большого, то неизбежным дополнением этого оказываются его взгляды на бесконечно малое как лишь на потенциальное: «Факт существования актуально бесконечно больших чисел не только не является основанием для существования актуально бесконечно малых величин, но, наоборот, только благодаря первым и доказывается невозможность последних»1 2. В доказательстве этого положения Кантору впервые удается вскрыть наглядным образом неразрывную связь актуального бесконечного и потенциального бесконечного, в отношении существования которой философы давно уже высказали догадки.
Однако утверждение актуальной множественности континуума и его дробимости вплоть до существования лишенных протяжения точек не приводит Кантора к дискретной концепции континуума. В качестве основы для определения континуума Кантор берет некоторое п-мер-ное арифметическое пространство, т. е. совокупность всех систем значений Xi, Х^ Х3,...Хп, в котором каждое X может независимо от прочих получать все вещественные числовые значения от —оо до -j-oo. Затем он показывает, что все такие пространства столь же мощны, каки линейный континуум, как, следовательно, скажем, совокупность всех вещественных чисел интервала (0... 1).Тем самым вопрос о мощности n-мерного арифметического пространства сводится к вопросу о мощности интервала '(0...1).
1 «Новые и’хеи в математике» сб № 6. стр 84
2 Там же, стр. 129
254
После этого Кантор показывает, что в континууме со* держатся, во-первых, счетные множества, т. е. такие, в отношении которых процесс получения из них произвольного множества может привести к 0 (т. е. к полному их исчезновению). Во-вторых, помимо счетного множества, которое можно себе представить изъятым из континуума, в нем остается еще такое множество, в отношении которого процесс получения из него произвольного множества нисколько не меняет его. Такие множества Кантор называет совершенными точечными множествами, т. е. такими, которые содержат в себе все свои предельные точки и не имеют изолированных точек. Эти множества никогда не обладают мощностью первого числового класса (счетного) и всегда более чем счетны.
Однако определить континуум через посредство совершенного точечного множества оказывается невозможным, поскольку, если выбросить счетную часть, такой континуум не будет, как говорит Кантор, всюду плотным. Поэтому необходимо еще одно понятие, чтобы в соединении с понятием совершенного множества можно было определить континуум, а именно понятие связного точечного множества. Под связным точечным множеством Кантор понимает такое точечное множество, которое нельзя разбить на два непересекающихся и непустых открытых в пространстве множества. В итоге Кантор приходит к выводу, что под континуумом следует понимать совершенное и одновременно связное точечное образование.
Интересно отметить, что таким путем Кантор затушевывает извечную противоречивость1 понятия континуума, которая дает о себе теперь знать разве что через отношение взаимопротивоположных понятий счетности и несчетности, искусно соединенных им в континууме. Однако действительно ли континуум состоит из актуальной со-вокупности точек, хотя бы и выше счетной мощности? Или же Кантор только показал, что континуум не исчерпывается аспектом множественности, и именно поэтому ему пришлось вообразить мощности выше счетной, да еще наделенные особым свойством связности, которое и в этом представлении континуума напоминает о наибо-
1 О единстве прерывного и непрерывного в континууме см : В. И Ленин. Поли, собр соч, т. 29, стр 106, 231—233, а также Г. В. Гегель. Наука логики, т. 1, стр. 270—271.
255
лее глубоких свойствах его как неразложимого? Этот вопрос остаемся невыясненным и здесь.
Впрочем, этот вопрос не был особо насущным для математиков, поскольку он больше касается философии математики, но, как показали последующие события, о нем нельзя было и забыть, ибо вскоре выяснилось, что даже препарированный таким образом континуум все же остается источником затруднений в математике. Коль скоро континуум удалось представить в качестве актуально разложимого вплоть до точек, а учение о трансфинитных числах как будто содержало возможность сравнения мощностей выше счетных, то, казалось бы, тем самым открывалась возможность раз и навсегда решить проблему континуума, определив его мощность на трансфинитной шкале алефов и тем самым окончательно подтвердив его актуальную составность из лишенных протяжения точек. Однако вскоре выяснилось, что установление места мощности континуума в ряду алефов не достигается с помощью теоремы о «вполне упорядочении», хотя введение представления о вполне упорядоченных множествах главной целью имело именно установление места мощности континуума Поэтому к началу XX в. большинство математиков склоняются к мысли о том, что континуум вообще не может быть упорядочен и, следовательно, его мощность не является определенной и не представляет собой какого-либо из канторовских алефов.
Г. Кантор, однако, по-прежнему продолжал верить в то, что мощность континуума есть алеф и что однажды ему удастся убедить в этом всех математиков. Эти надежды как будто бы вновь обрели реальную почву, когда в 1904 г. на Третьем международном конгрессе математиков Цермело указал на возможность упорядочения всякого произвольного множества, в том числе и континуума, с помощью аксиомы произвольного выбора: в совокупности множеств, не имеющих общих элементов и не пустых, можно сразу выбрать по одному элементу из каждого множества. Продолжая операцию выбора таким путем, можно добиться упорядочения этих множеств. Принятие этой аксиомы Цермело, получившей название аксиомы выбора, непосредственно вело к тому, что мощность континуума есть алеф, хотя вопрос о том, какой
1 См. А, Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств, стр. 100.
256
именно, по-прежнему представлялся безнадежно трудным. Венгерскому математику Кенигу удалось лишь показать, что алеф, соответствующий мощности континуума, должен иметь конечный индекс. Мощность континуума, которая является алефом, но неизвестно каким Лх , не может быть алефом с х^О1.
Появление аксиомы Цермело вызвало бурную дискуссию среди математиков в связи с вновь проявившейся настоятельной необходимостью делать различие между «тем, что есть на самом деле», и «тем, что может быть доказуемо для человеческого интеллекта»1 2. Оставалось невыясненным и с помощью аксиомы выбора, является ли континуум актуальным точечным множеством мощности алеф «на самом деле» или же такого рода представление не более чем facon de parler.
Для одних, получивших название «идеалистов», континуум есть алеф и имеет реальное место на шкале алефов, независимо от того, знаем мы это или нет и узнаем ли вообще. «Мало ли вещей на свете, о которых мы не знаем и о которых мы никогда не узнаем, — спрашивает Ж. Адамар. — Вот, например, капля воды, число молекул конечно, — но какое оно? Я не знаю и никогда не узнаю — но это еще не резон уничтожать кинетическую теорию материи...»3
Не менее красноречивыми были и «реалисты». «Необходимо избегать жонглирования с символами, которые не соответствуют ничему, — писал Э. Борель. — Истинная наука никогда не будет сборищем пустых слов и чисто логических понятий без концепций. Наука не есть лого-махия. За словами всегда должна скрываться сама реальность. Рассуждение Цермело — только греза, так как каждый из идеалистов, говоря о выборах, выбирает и грезит по-своему, и нет не только возможности сообщить своему собеседнику о проделанных в бесконечном количестве выборах, но и быть согласным даже с самим собой. Построение, которое нельзя описать, рассуждение, не могущее быть выполненным во всех его шагах до конца,— все это находится вне науки. Победы и горести в мире призраков не окажут никогда никакого эффекта — ни за
1 См. И. Жегалкин. Трансфинитные числа. М., 1907, стр. 337.
2 Н. И. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного, стр. 24
3 Цит. по: там же.
257
держивающего, ни ускоряющего — на ход науки, занятой открытием конечных соотношений между вещами мира чувств или мира концепций» Ч
Н. Н. Лузин, который сочувственно цитирует «реалистов» и склоняется к отрицанию актуальной разложимости континуума, обращает внимание на то, что уже в самом понятии точки содержатся принципиальные затруднения. Согласно его воззрениям, введение точек в рассмотрение всегда происходит не непосредственным образом, а путем предельного процесса. Поэтому геометрическая точка на прямой есть не что иное, как бесконечная последовательность стягивающихся интервалов. Это значит, что ее просто нет актуально. Тем более что в области бесконечно малого, как это было нами ранее отмечено, Кантор сам настаивает на потенциальном характере бесконечности. Отсюда ясно, продолжает Н. Н. Лузин, с какой осторожностью приходится оперировать с точками, дабы не попасть в положение, в котором мы будем вынуждены применять принцип исключенного третьего к бесконечной последовательности, остающейся всегда незавершенной. Но такое незаконное применение необходимо будет иметь место, если мы будем настаивать на концепции континуума как множества точек. Следовательно, необходимо отказаться от этой концепции. Континуум не есть множество точек: это есть «чистая протяженность», в которую мы можем помещать точки, стягивая интервалы, но которая не состоит из точек. По мнению Г. Вейля, «континуум—это есть среда свободного становления»1 2.
В ходе этой дискуссии проблема континуума по Kpafi ней мере приобрела четкую математическую формулировку. Требовалось установить, является ли мощность континуума (которая заведомо выше счетной) следующей за счетной, т. е. алеф-один.
Шкала алефов была утверждена в работах Г. Кантора в качестве реально существующей3, и в определении ме
1 Цит. по; Я. Я. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного, стр. 24—25
2 Там же, стр. 27.
3 Впрочем, и в этом вопросе есть трудности, которые позволили А. Пуанкаре высказать сомнения в существовании уже алеф-одного: «Рассуждение, с помощью которого Кантор пытается установить существование этого числа, мне кажется совершенно сходным с рассуждением Вуралп-Фоптп Я поэтому не уверен, что алеф-
258
ста мощности континуума на ней было бы тем самым найдено окончательное подтверждение концепции континуума как точечного множества, существующего актуально. В то же время всякое определение, как известно, предполагает одну аксиому, 1а именно аксиому, утверждающую существование определяемого предмета. Поэтому определение мощности континуума было бы хорошим доказательством в пользу актуального существования самой этой мощности. Но этого-то как раз и не случилось; и, как это стало ясно в последние годы, нс могло случиться.
Первую попытку решить проблему континуума предпринял в 1925 г. Д. Гильберт, который даже сообщил1, что ему удалось найти доказательства того, что мощность континуума есть следующая за счетной. Выяснилось, однако, что в работах Гильберта содержалось лишь доказательство непротиворечивости совпадения мощности континуума с алеф-один.
Первый существенный результат был получен К- Геделем* 1 2 в 1938 г., который показал, что предположение о том, что мощность континуума является следующей за счетной, не может быть приведено к противоречию без привлечения допущений или способов логического вывода, существенно отличающихся от современных теоретико-множественных методов. Таким образом, Гедель показал лишь, что континуум-гипотеза совместима с системой аксиом современной теории множеств. Но в этом результате не содержалось еще утверждения ее необходимости. Оставался еще нерешенным вопрос о том, не является ли совместимым с аксиомами теории множеств также и отрицание континуум-гипотезы. В этом случае взгляд на мощность континуума как на актуальную, очевидно, потерял бы всякий смысл, нельзя было бы больше говорить также о каком-либо определенном месте мощ
один существует» (Л. Пуанкаре. Математика и логика — «Новые идеи в математике», сб. № 10, стр. 135).
Парадокс Бурали-Форти состоит в том, что вполне упорядоченное множество всех порядковых чисел имеет порядковое число, большее любого порядкового числа, что противоречиво.
1 D. Hilbert. Uber das Unendliche. — «Math. Annalen», 95, 1925, S. 161—190.
2 См. M Гедель. Совместимость аксиомы выбора и обобщенной континуум-гипотезы с аксиомами теории множеств. — «Успехи математических наук», т. 3, 1948, вып. 1, стр. 96—149.
259
ности континуума на шкале алефов. Спустя четверть века П. Коэн 1 показал, что дело обстоит именно таким образом.
Ему удалось доказать, что мощность континуума может совпадать не с первым 1рансфинитным алефом, как это предположил Г. Кантор, а со вторым. Возможно также, что и мощность первого класса трансфинитных чисел также равна второму алефу (т. е. мощность континуума С = 2Л0 = Л2, возможно, что и 2Л1 = Л2), При этом, что является весьма характерным в концепции континуума, развитой П. Коэном, первое из трансфинитных чисел Кантора, а именно Ль становится как бы излишним, ибо у Коэна не существует каких-либо промежуточных мощностей между счетной мощностью Ло и мощностью континуума и в то же время мощность континуума равна не Л 1, а Л 2.
Однако если считать шкалу алефов существующей в смысле Кантора, то на ней мощность континуума не есть следующая за счетной, а падает на второй алеф, и тогда (применительно к пониманию шкалы алефов, как твердо установленной) получается, что между счетной мощностью Л о и мощностью континуума (равной теперь Л 2) существует промежуточная мощность, которой хотя ничто и не отвечает в системе Коэна, но которая была установлена ранее вместе со шкалой алефов. Таким образом, можно, по-видимому, говорить о свободном перемещении мощности континуума с алеф-один (Гедель) на алеф-два (Коэн) без какого-либо опасения войти в противоречие с основными аксиомами теории множеств. Результат Коэна получен вследствие добавления к основным аксиомам теории множеств аксиомы, согласно которой для множества, обладающего мощностью континуума, не существует никакого «вполне упорядочения».
Если же эту аксиому заменить аксиомой о том, что в континууме имеется бесконечное подмножество, неэквивалентное никакой своей правильной части, то в этом случае можно получить и вывод о том, что для континуума не существует никакого «вполне упорядочения»1 2, и наличие бесконечно многих множеств промежуточной междуЛо и Л1 мощности. Хотя в этом случае за мощ
1 См. П. Коэн. Независимость континуум-гипотезы. — «Математика» 9:4 (1965), стр. 142—155.
2 См. А. Френкель, И. Бар-Хиллел. Основания теории множеств, стр. 72—73.
260
ность континуума можно принять первый алеф, она не является следующей за счетной, так как между нею и счетной мощностью имеется бесконечное множество промежуточных мощностей.
В результате окончательно выяснилось, что предположение о том, что мощность континуума есть следующая за счетной и равна первому трансфинитному числу, хотя и не противоречит аксиомам теории множеств (Гедель), но не может быть выведено из них, включая и аксиому выбора (Коэн), и носит, следовательно, характер свободной аксиомы. Вспомним, однако, что «мощность континуума, если только мыслить его, как множество точек, есть единая некая реальность и она должна находиться на алефической шкале там, где она на ней есть» Г И если теперь окончательно выяснилось, что континуум не обладает определенным местом на шкале алефов и, следовательно, не имеет какой-то одной и определенной мощности, то это говорит только о том, что континуум в конечном счете не следует мыслить как актуальное множество точек. Свойство неразложимости континуума вновь проявилось и через теоретико-множественную основу современной математики.
Поскольку аспект множественности не является исчерпывающим и универсальным и вне его остается еще некоторое противоположное ему и не охватываемое им свойство неразложимости континуума, то аксиомы теории множеств в этом смысле не содержат полного описания реальности. Это, конечно, не означает, что идеи Кантора были всего лишь «болезненным бредом».
Роль теории множеств в современной математике огромна. А независимость континуум-гипотезы, быть может, повлечет за собой открытия такого же масштаба, какие последовали в геометрии в связи с осознанием независимости постулата о параллельных и принятием различных вариантов его.
Но если выяснится, что свободное перемещение мощности континуума на шкале алефов не влечет за собой никаких следствий для математики, то и в этом случае мы будем иметь только лучшее свидетельство отсутствия какого-либо особого содержания в представлении об актуальной составности континуума и соответствующей ей
1 Н. Н. Лузин. Современное состояние теории функций действительного переменного, стр. 30.
261
мощности. В конце концов математика занимается изучением отношений 1 на множествах. А неопределимость понятий многого и единого (как отрицания самой возможности разложения на многое) относится уже к области оснований этой науки.
Заслуживает внимания также то обстоятельство, что строгое понимание континуума, каким мы его находим в современной топологии, исключает отождествление его с множеством всех действительных чисел. В топологии континуум определяют как связное замкнутое ограниченное множество. В этом смысле примером континуума являются отрезки числовой оси вида	но не вся
числовая ось. В подчеркнутой, таким образом, связности и замкнутости континуума вновь выступает тайна его как неразложимого в конечном счете.
На неисчерпаемость континуума образами элементов и их совокупностей в любой мощности еще в 1934 г. указывал А. А. Холшевников в докладе на втором Всесоюзном математическом съезде1 2. Он упрекал Кантора за «сведение континуума к множеству» и отмечал, что повсюду плотное множество рациональных чисел никогда не может быть завершено в своем развитии — в этом состоит количественная неисчерпаемость континуума дискретными элементами. Континуум также не может быть исчерпан путем качественного расширения объема числового множества за счет перехода к числам алгебраическим, иррациональным, трансфинитным ит. д., и в этом заключается его качественная неисчерпаемость.
Подведем некоторые итоги. Обладая свойством конечной неразложимости, континуум представляет собой такое поле деятельности, на котором математики могут «выращивать» любые, в том числе и «сверхбесконечные», системы чисел, нисколько не рискуя исчерпать его и даже вообще не затрагивая его как целого и неделимого в конечном счете. Точно так же и понятие протяженности, как выражение отношений следования элементов в любой их совокупности, не в большей мере затрагивает собственную природу континуума, чем сам аспект множественности его. Если вспомнить грассмановский закон порождения
1 Или структур, задаваемых отношениями, как говорят Бурбаки (Я. Бурбаки. Очерки по истории математики, стр. 251—252).
2 См. «Труды второго Всесоюзного математического съезда», т. II, стр. 427—428.
262
протяжения, с помощью которого он объясняет сущность этого понятия, а именно переход от элемента Л к В, от В к С, от С к Д и т. д., то очевидно, что сравнение протяжения с континуумом должно завершиться выводом о том, что протяженность исчерпывается с установлением отношений между счетными (или приводимыми, по ранней терминологии Кантора) элементами множества.
Следовательно, мощность множества элементов, схваченных или описанных с помощью понятия протяженности, всегда либо конечна, либо бесконечна, но счетна, тогда как мощность континуума выше счетной, хотя и не является вполне определенной на трансфинитной шкале алефов. Подобно тому как в физике квантовая природа мира как неделимого целого обеспечивает свойства непрерывности, в математике непрерывность имеет своим источником неразложимость континуума.
Если в первой главе была отмечена общелогическая неизбежность дилеммы множественного и единого, согласно которой мир есть одно уже потому, что он есть многое, а во второй и третьей главах была подвергнута критике множественная концепция реальности путем исследования понятия протяженности и условий и границ содержательной применимости его в описании физической реальности, то в настоящей главе была предпринята попытка рассмотреть отдельные проявления свойства мира как неделимого целого. Как было показано, свойства физической неделимости мира лежат в основании закономерности и сохранения в природе, что особенно явственно обнаруживается в основаниях принципа наименьшего действия, а также в известной корреляции и устойчивости в поведении микросистем. Диалектика множественного и единого обладает универсальным характером как в природе, так и в человеческом познании, что видно из произведенного анализа континуум-гипотезы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ФИЗИЧЕСКАЯ НЕДЕЛИМОСТЬ МИРА И ПРОБЛЕМА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Если мир в конечном счете не есть столь привычное многое, а нечто одно, и понятие многообразия в связи с этим утрачивает свою универсальность, то как могут быть сохранены обычные представления о его бесконечности? Ведь понимание бесконечности неразрывно связано с понятием многого, и в том именно и состоит, что многому приписывается превосходящая всякие конечные пределы его мощность.
Ясно, что развитие квантовых представлений о свойствах материи затрагивает сами основания множественной концепции бесконечности, а между тем, казалось бы, все, что мы знаем о бесконечном, так или иначе в рамках конкретных наук сводится к бесконечному многообразию, потенциальному или актуальному.
19. Множественная концепция бесконечности
История дискуссий по вопросу о сущности бесконечного насчитывает тысячелетия, но в ней едва ли можно найти сомнения в множественной интерпретации его. В особенности это справедливо по отношению к математике, которую иногда определяют как науку о бесконечном 1 и которая во всяком случае является учением о структурах на множествах и немыслима без понятия множества или другого эквивалентного ему представления множественной основы ее.
Между тем непосредственное и проводимое без какого-либо предварительного исследования распространение любого из математических типов бесконечности на физи
1 См. Г. Вейль. О философии математики, стр 9, 90; А. Гейтинг. Интуиционизм. М, 1965, стр. 9.
264
ческий мир недопустимо ввиду их явно идеализированной природы. В исследовании этого вопроса большое методологическое значение имеет известное положение Энгельса о том, что идеальную потребность математики нельзя рассматривать в качестве принудительного закона для реального мира L Это прежде всего касается геометрического образа неограниченно простирающейся бесконечной прямой и бесконечного числового ряда, представление о которых вызвано, можно сказать, чисто технической потребностью в них в геометрии и арифметике, но непосредственное физическое истолкование которых едва ли возможно.
Поскольку обнаружилось, что представление о мире как о многообразии является всего лишь идеализацией и рождено в отвлечении от квантовых свойств целостности и неразложимости его в конечном счете, любая попытка непосредственного истолкования математического бесконечного в духе реальной бесконечности неизбежно наталкивается на трудности, связанные с неуни-версальностью множественного аспекта природы.
Различные идеализированные типы множественного бесконечного. Понятие бесконечности широко обсуждалось в советской философской литературе. Одним из результатов недавней дискуссии явилось достижение известной систематизации представлений о бесконечном. Г. И. Наан1 2 выделяет следующие типы бесконечности. Практическая бесконечность, которую он называет исторически первым и логически наипростейшим представлением о бесконечности. Под нею понимается просто «достаточно большое» или «достаточно далекое», но конечное в строгом смысле. Следующей по степени абстракции является бесконечность как безграничность, отражающая сторону бесконечности как процесса, способного выйти за любой указанный предел. Метрическая бесконечность — еще более строгое чисто количественное понимание бесконечности как актуально существующего бесконечного числа километров, масс и т. п. Топологическая бесконечность, которую Г. И. Наан отождествляет со свойствами открытого множества, подчеркивая тем самым экстенсивный характер бесконечности, и, наконец, теоретико
1 См. К. Маркс и Ф. Энгельс, Соч , т. 20, стр. 51.
2 См. Г. И. Наан. Типы бесконечного. — «Эйнштейновский сборник». М., 1967; его же. Понятие бесконечности в математике, физике н астрономии. М., 1965.
265
множественная бесконечность, в которой мы находим иллюзию «положительного определения» бесконечности. Бесконечным множеством является множество, эквивалентное некоторому своему истинному подмножеству. Однако, как справедливо замечает Э. М. Чудинов1, Дедекинд в этой формулировке не дает вывода бесконечного, а лишь его определение, которое является не хуже и не лучше других бесчисленных определений бесконечного, принимаемых постулативно.
Реальность бесконечного множества, равномощного одному из своих подмножеств, тесно связана, как мы стремились показать, с существованием канторовского ряда трансфинитных кардинальных чисел, в частности с существованием числа алеф-один, которым обозначается мощность всех частей счетно-бесконечного множества. Помимо известных сомнений А. Пуанкаре в существовании этого числа и острой критики канторовской концепции бесконечного со стороны интуиционистов достигнутое в последнее время решение континуум-гипотезы вскрывает чисто аксиоматическую природу алеф-одного и всех последующих трансфинитных чисел. Мы можем поэтому, идя теперь в обратном направлении, вслед за алеф-один поставить под сомнение и реальное существование алеф-ноль. Ведь во всяком случае сомнения в реальности множества всех частей некоторого множества неизбежно влекут за собой сомнения в реальности самого этого исходного множества. Поэтому становится сомнительным также и счетно-бесконечное множество, и Э. М. Чудинов совершенно прав, говоря о том, что оно нигде не получено в математике в форме вывода, а лишь постулировано 1 2. Нужно ли говорить, что физическое истолкование этих чисел невозможно.
Перечисленными типами бесконечности отнюдь не ис
1 См. Э. М, Чудинов, Логические основания проблемы бесконечности в релятивистской космологии. — «Эйнштейновский сборник» М., 1968, стр. 77—78.
2 Аксиоматический характер бесконечности особенно ясен в свете теоремы Лёвенгейма-Сколема, вскрывающей момент релятивизма в основаниях теории множеств: некоторое множество несчетное в своей системе аксиом может одновременно оказаться счетным в рамках метатеории. Удивительно, что этот «релятивизм» затрагивает также и конечные множества, так что противопоставление конечного бесконечному относительно и зависит от степени богатства отображений, «заложенных» в систему, в которой рассматривается данное множество (см. А. Френкель, И. Бар-Хиллел, Основания теории множеств, стр. 134—139).
266
черпывается все богатство сторон множественного бесконечного. В частности, понятия экстенсивной и интенсивной, актуальной и потенциальной бесконечности, будучи приложенными в отдельности к каждому из перечисленных типов бесконечности, в состоянии увеличить их общее число до двух десятков. К этому их числу нужно добавить еще такие «специальные» виды бесконечности, как афинная и проективная, о которых также упоминает Г. И. Наан.
Аксиоматический характер бесконечности в множественной картине мира. В каждом из названных выше видов бесконечности речь идет о каком-то многообразии (множестве, совокупности): потенциальном или актуальном экстенсивном или интенсивном, метрическом или топологическом, и ни в одном из них нет выхода за рамки понятия многого. Это и понятно. Ведь бесконечное — прежде всего сверхмногое. И коль скоро, это так, то в целом вся множественная концепция бесконечности, объемлющая перечисленные ее типы, должна разделить общую судьбу понятий многого, многообразия, множества, а именно их неуниверсальность.
Можно сказать, что все перечисленные типы бесконечного не в состоянии дать того, что называют реальной бесконечностью и что должно было бы представлять в научном языке подлинную бесконечность природы. Каждый из этих типов бесконечности есть лишь известная идеализация, фикция своего рода, удобная и даже необходимая при решении определенного круга проблем, но теряющая свой смысл за его пределами. Об этом, в частности, убедительно свидетельствует история бесконечности в математике, поочередное обращение то к одному виду ее, то к другому.
Мы будем поэтому в дальнейшем говорить даже не о типах бесконечности, а лишь об образах ее1 2. Может быть, вообще не следует надеяться непосредственно получить
1 Детальный анализ потенциальной и актуальной бесконечности см.: Г. И. Рузавин. О природе математического знания. М., 1968.
2 «Когда в теории пределов рассматриваются бесконечные пределы lim аЛ= оо или в теории множеств—бесконечные мощности t/Z 1 то это не приводит к внутренним формальным противоречиям в указанных теориях лишь потому, что эти различные специальные виды математической бесконечности являются лишь крайне упрощенными, схематизированными образами различных сторон бесконечности действительного мира» (Д. Н. Колмогоров. Бесконечность.— БСЭ, изд. II, т. 5, стр. 5).
267
«подлинное» бесконечное или как-либо иначе непосредственно познать его. По-видимому, бесконечность точно так же, как и материя, недоступна непосредственному онтологическому определению и может быть понята лишь с помощью образов, раскрывающих и иллюстрирующих ее природу. Ведь определить — это значит ограничить, выделить, оконечить. Но как это может быть сделано по отношению к бесконечному? Невозможно, на наш взгляд, получить такое определение бесконечности, которое давало бы полное и исчерпывающее знание его в онтологическом плане, чем, собственно, исчерпалась бы и сама проблема познания бесконечного. Но тогда различные образы бесконечного есть единственное, что мы можем знать о бесконечном, а их построение — единственный путь его постижения.
При этом следует помнить, что различные виды математического бесконечного суть абстракции, и потому поиски их непосредственного физического истолкования неправомерны. Как справедливо замечает Ф. Энгельс, «вся так называемая чистая математика занимается абстракциями... все ее величины суть, строго говоря, воображаемые величины...» Ч
В отрицании реального смысла множественной концепции актуального бесконечного с этим замечанием Энгельса перекликаются высказывания многих выдающихся математиков. Так, для К- Гаусса бесконечное есть только способ выражения, к которому прибегают математики, когда хотят указать на неограниченный рост переменной величины1 2. По мнению Пуанкаре, «нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречия»3. Размышления над трудностями в основаниях математики и обращение к естествознанию в поисках физических прообразов бесконечного привели Д. Гильберта к твердому убеждению в том, что «бесконечное нигде не реализуется. Его нет в природе, и оно недопустимо как основа нашего разумного мышления»4. Если под бесконечным понимать любой из образов множественного бесконечного, а Гильберт имел в виду именно такое бесконечное, то его вывод бесспорен ввиду неуниверсального и конечного характера множественного
1 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т 20, стр. 586.
2 С. Gauss. Werke, Bd. VIII. Gottingen — Leipzig, 1900, S. 216.
3 А. Пуанкаре. Наука и метод. Одесса, 1910, стр. 255.
4 Д. Гильберт. Основания геометрии. М.—Л., 1948, стр. 364.
268
аспекта природы. Точно так же X. Карри — автор известных работ по математической логике замечает: «В нашем окружении нет ничего соответствующего идее бесконечности»
Э. Кольман уже на протяжении длительного времени придерживается финитистской концепции. Он считает, что бесконечность играет в математике роль необходимого, но вспомогательного идеального средства, некоторой ничем не ограниченной абстрактной экстраполяции, выросшей из понятий «громадно большое (или малое) неопределенное». Однако он ограничил свое понимание бесконечности простым формальнологическим отрицанием конечности 1 2 и, не будучи в состоянии порвать с чисто множественной концепцией бесконечного, считает проблему конечности или бесконечности вселенной принципиально неразрешимой3.
Э. М. Чудинов, исследуя логические основания этого представления, пришел к выводу, что оно носит исключительно постулативный характер. «Любой вывод о бесконечности пространства Вселенной опирается на постулирование более сильных или по крайней мере эквивалентных определений бесконечности, которые относятся к числу так называемых неявных определений»4. По мнению Чудинова, в релятивистской космологии, например, допущение однородности пространства является совершенно необходимым для того, чтобы на основе римановой кривизны в наблюдаемой области сделать вывод о конечности или бесконечности пространства в целом. Однако что означает это допущение? Как показывает Э. М. Чудинов, постулирование однородности пространства в сочетании с эмпирически определенными локальными значениями кривизны и есть постулирование конечности или бесконечности пространства в зависимости от принятого
1 Н. В. Curry. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1951, p. 3.
2 «.. Как я считаю, «бесконечность» является, собственно, просто формальнологическим отрицанием «конечности», отношение между ними контрадикторно» (Э. Кольман. Кибернетические аспекты кос* мологии в свете философии. — «Вопросы философии», 1969, № 7, стр. 101).
3 См. там же, стр. 102; его же. Современная физика в поисках дальнейшей фундаментальной теории. — «Вопросы философии», 1965, № 2, стр. 119.
4 Э. М. Чудинов. Логические основания проблемы бесконечности в релятивистской космологии. — «Эйнштейновский сборник». М , 1968, стр. 59.
269
знака кривизны. Поэтому в модели, построенной на основе этих допущений, мы находим то решение вопроса, которое неявно было заложено в принятых постулатах к ней.
Сам по себе факт обнаружения аксиоматической природы утверждений о бесконечности вселенной в рамках множественной концепции ее примечателен. Мы теперь можем указать и на онтологические основания этого явления. Дело в том, что ввиду фактической неуниверсаль-ности множественного аспекта природы любое утверждение о ее бесконечности, не выходящее за пределы множественной концепции бесконечного, недоказуемо в принципе и носит характер свободного допущения, в котором просто абсолютизируется множественная сторона бытия в качестве единственной и исчерпывающей.
Назовем для большей определенности это множественное бесконечное количественным бесконечным, подразумевая здесь под количеством не только метрические отношения, но и отношения меры в теоретико-множественном смысле. Количественные отношения в отличие от качественных характеризуются лишь своим безразличным отношением к конкретной природе тех предметов, которые они связывают. Можно сказать, что количественные отношения суть чистые отношения, сохраняющие от конкретной действительности, с которой они сняты, только то, что предусмотрено в их определении, т. е. сам вид отношений, их структуру и форму. Эти общие свойства количественных отношений легко объясняют основные особенности математики как науки о такого рода отношениях. Ясно, что в указанном широком понимании изучаемые математикой отношения всегда являются количественными L Трактуя понятие количества расширенным образом, мы можем сохранить его применимость всюду, где остается уместным понятие множества.
Односторонность чисто множественного, или количественного, бесконечного может быть преодолена в диалектико-материалистической концепции бесконечности.
20. Диалектико-материалистическая концепция бесконечности
Диалектико-материалистическая концепция качественной бесконечности состоит в отрицании чисто количест-
1 См. А. Н. Колмогоров. Математика. — БСЭ, изд. II. т. 26, стр. 476.
270
венного истолкования ее. Ф. Энгельс об этом пишет так: «Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное (подчеркнуто нами.— И. Ц.) различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизмеримыми» Г На это обращают внимание и математики.
В философии одним из решительных противников множественной бесконечности был Гегель. Его знаменитая критика так называемой дурной бесконечности и язвительные замечания в адрес астрономов, похваляющихся бесконечным, которое они якобы изучают в своей науке, широко известны и часто цитируются1 2.
Гегель приводит следующее определение бесконечности: бесконечное есть то, что может быть соотнесено лишь с самим собой. (Заметим, что существующее в современной математике определение бесконечности как множества, равномощного своему истинному подмножеству, перекликается с этим гегелевским определением бесконечности.) «Истинно бесконечное... — пишет он, — состоит... в том, что оно в своем другом пребывает у самого себя или, выражая то же самое как процесс, состоит в том, что оно в своем другом приходит к самому себе»3. В другом месте он указывает на бесконечность как на возвращен-ность к себе и соотношение с самим собой4.
По Гегелю, бесконечное нельзя найти и указать непосредственно, ибо в сферу нашего познания попадают лишь конечные предметы и явления. Но зато в мире конечных величин и предметов есть нечто, что может послужить образом истинно бесконечного, объяснить и проиллюстрировать его природу. Такими образами бесконечного могут быть окружность — замкнутая линия, «внутрь себя загибающаяся», сама к себе возвращающаяся, — а также любое отношение взаимоопределяющихся величин, например-3 или-^- и т. д., в котором один член от
1 К Маркс и Ф. Энгельс, Соч., т. 20, стр 574.
2 См., например, изложение гегелевской критики дурной бесконечности в кн.: В. И. Свидерский. Пространство и вррмя.
3 Гегель. Соч., т. I. М.—Л., 1929, стр. 161
4 См Гегель Соч., т V, стр. 276
271
ношения есть указание на другой, а последний — определенность первого Г
Нетрудно видеть, что замкнутая окружность и отношение вроде-у- имеют то общее, что оба одинаковым образом иллюстрируют замкнутость и взаимную определя-емость через отрицание в бесконечном. Как окружность невозможно прорвать где-либо и выйти из нее и невозможно найти в ней начало и конец, так и в бесконечной реальности мы всюду находим только материальное, которое и в своем другом (например, в сознании) пребывает у себя и возвращается к себе. Сознание в конечном счете также оказывается лишь особым, крайне специфичным проявлением свойства отражения материи. Невозможно где-либо прорвать этот круг материальности, который замкнут сам в себе, и выйти к чему-либо, что не было бы материальным. Точно так же, как члены от-2
ношения—, все отдельное и конкретное в этом мире материальности определяется одно другим. Одно существует через другое, через взаимное отрицание или отношение, их разделяющее и в то же время объединяющее в одном, каким является бесконечность, которая исключает что-либо наряду с собой в бытии как всеобъемлющая, и начало и конец в которой совпадают. Это впервые подметил Гераклит1 2 и блестяще использовал Гегель. Приведенные Гегелем образы иллюстрируют замкнутость в бесконечном, за пределы которого невозможно выйти, которое всюду и везде в своих разнообразных многих — одно, и многие которого суть одно и то же.
Пример того, как могут быть материалистически истолкованы эти образы бесконечности и как следует ими пользоваться, дает Ф. Энгельс. Одновременно он подчеркивает гносеологический характер этих образов бесконечности: «Существует также бесконечное познание: «ту бесконечность, которую вещи не имеют в прогрессе, они имеют в кругообращении». Так, закон о смене форм движения является бесконечным, замыкающимся в себе. Но подобные бесконечности заражены в свою очередь конечностью, проявляются лишь по частям»3. Таким образом, существо диалектики бесконечного заключается в том,
1 См. Гегель. Соч., т. V, стр. 281—282.
2 «Общи начало и конец у периферии круга» («Античные философы», стр 26).
3 К. Маркс и Ф. Энгельс. Соч., т. 20, стр. 552.
272
что нет бесконечного без отношения, что бесконечное невозможно понять и объяснить без обращения к отношению. И конечное, и бесконечное вне их отношения, вне их взаимной определяемое™ через обоюдное отрицание суть ничто, не существуют сами по себе. Точно так же и члены dx 2	3
отношения— ,	имеют смысл лишь в своем ОТНОШУ ’	7’4
шении. Вне этого отношения dx, dy суть буквально ничто, чистые нули, а 2, 7, 3, 4, взятые раздельно и вне их отношения, приобретают каждое самостоятельный и совсем другой смысл.
Но как конечное указывает на бесконечное, как на причину и основание своего бытия, а бесконечное живет лишь через свои конечные и в них, так и члены любого отношения, те же и -^-взаимно определяют и обусловливают друг друга и содержательны лишь в своем отношении, им и в нем определены и едины. Иными словами, нет седьмых частей, вернее, нет самого понятия «седьмых» или «седьмого» без тех частей, которые перечисляются или указываются в числителе. Но ведь именно таково взаимоотношение конечного и бесконечного, и в этом смысле нет более удачного образа бесконечного, чем любое отношение, те же — ,— и т. д.
7	4
Таким образом, бесконечность состоит не в неограниченном прогрессе протяженности или неограниченном росте любой другой конкретной качественной определенности. Такое понимание бесконечности было бы слишком односторонним. Согласно диалектико-материалистической концепции бесконечности, разработанной советскими учеными бесконечность состоит в выходе каждый раз при нарушении границ меры к новой качественной определенности, каждая из которых представляет собой конкретную форму проявления существования материи. В каждом из своих конкретных состояний абсолютная и бесконечная материя возвращается к себе и повторяет себя, нигде и ни в чем не переходя в что-либо другое, отличное от материального. В этом состоит замкнутость качественной бесконечности материи.
1 См. работы В. И. Свидерского, С. Т. Мелюхина, А. С. Кармина и других ученых. В частности, в работах В., И. Свидерского детально рассмотрено содержание диалектического принципа: ничто конкретное и определенное не может быть бесконечным (см. В. И, Свидерский. Пространство и время, стр. 133—135 и др.).
273
Теперь мы можем, наконец, ответить на вопрос, поставленный в начале этой главы: как следует понимать бесконечность мира в связи с неуниверсальностью множественного аспекта его.
Чисто количественное, множественное бесконечное есть, безусловно, абстракция, однако необходимая в математике ввиду идеальной потребности ее в подобном образе. Больше того, можно сказать, что полный отказ от понятия бесконечности или представляющей ее абстракции потенциальной осуществимости парализовал бы математику.
Но бесконечному числу, бесконечному множеству или какому-либо другому виду множественного математического бесконечного не может быть найдено никакого разумного физического истолкования. И тем не менее реальный мир отличается бесконечностью, однако бесконечностью совсем иного рода. С точки зрения развитых здесь представлений о свойствах физической реальности мир бесконечен не потому, что можно сколь угодно далеко и неограниченно применять по отношению к нему ряд 1 +1 +1 + ... и т. д., независимо от того, перечисляем ли в нем сантиметры и километры, массы, элементарные частицы или вообще какие-либо элементы, на которые он может быть разложен. Мир бесконечен потому, что с помощью такого ряда мы не можем получить его исчерпывающее и полное описание. Мы можем описать и изучить области, поддающиеся определению в сантиметрах и километрах, часах и секундах и т. д., можем изучить и исчислить число элементарных частиц во Вселенной и других разнообразных ее элементов и структур. Но бесконечность материи ни на йоту не окажется затронутой этими конкретными и конечными по своей сути операциями и предстает перед нами далее в дополнительной стороне мира как целого, по отношению к которой теряет всякий смысл ряд 1 + 1 + 1 + ... и само понятие множества, но которая может быть источником неограниченного числа все новых и новых элементов множественного аспекта реальности (рождение частиц из вакуума и т. п.).
Обычно дискутируется вопрос о конечности или бесконечности нашего мира в пространстве и времени. Мы здесь ставим вопрос так: бесконечны ли протяженность и длительность в природе и как далеко мы можем продолжить наше представление о них, а также о понятии многообразия, па которое они опираются? При этом мы па-
274
ходим, что многообразие и континуальность оказываются лишь поверхностью и «видимостью» реальности, а глубже и в действительности мир существует как единое и неделимое. Там, где обнаруживаются эти качества физической неразложимости мира, там, естественно, теряют смысл категории протяжения и длительности, многообразия и континуальности в общем случае. По замечанию В. И. Ленина, «диалектика вообще состоит в отрицании первого положения, в смене его вторым (в переходе первого во второе, в указании связи первого с вторым etc.). Второе может быть сделано предикатом первого —
— «например, конечное есть бесконечное, одно есть многое, единичное есть всеобщее»...»1.
Эта диалектика бесконечного как отношения обнаруживается в современной физике и космологии. Бесконечность материи состоит в отношении и взаимоопределяемо-сти свойств мира как многообразия и как единого и неделимого целого. Причем подобно тому как элементарная частица неотделима от своего поля, так и множественная сторона реальности неразрывно связана со стороной мира как неделимого целого. Их необходимо постоянно иметь в виду обе, лишь временно отвлекаясь от той или другой. Это, конечно, не означает, что существуют жесткие границы множественной стороны реальности. Этого не может быть хотя бы потому, что образы элементов-индивидуумов и их совокупностей становятся все менее определенными по мере продвижения в глубь микромира. Но множественность как сторона природы является принципиально неуниверсальной и конечной, хотя и может быть, по-видимому, развиваема и обогащаема за счет достижения большего расщепления состояний физической реальности в эксперименте, скажем, путем усиления мощности ускорителей. Однако при этом всегда остается дополнительная сторона реальности — сторона мира как неделимого целого, которая с повышением уровня энергии взаимодействий проявляется все более явственно в свойствах и характере поведения этих вновь получаемых частиц — новых элементов множественной стороны природы на более глубоком уровне ее.
1 В. И. Ленин, Поли. собр. соч., т. 29, стр. 208
275
содержание
Введение ................................................. 3
Глава I. Дилемма множественного	и единого............11
Глава II. Понятие протяженности	..................... 26
1.	Грассмановское учение о протяженности в математике 30
2.	Операциональный смысл понятия протяженности . . 42
3.	Взаимосвязь понятий протяженности, пространства и множества1 .........................................44
4.	Определение понятия протяженности. Физическая содержательность его..................................60
Глава III. Парадоксы бесконечной протяженности ... 72
5.	Космологические парадоксы........................—
6.	Скорость света и бесконечная протяженность ... 91
7.	Пустота и бесконечная протяженность.............97
8.	Метрическая протяженность и материя физического поля................................................101
9.	Проблема геометризации физики и бесконечная протяженность ........................................112
10.	Проблема ограниченной применимости понятия протяженности в микромире ............................122
11.	Апории Зенона..................................137
Глава IV. Мир как многообразие и как неделимое целое . 149
12.	О чем свидетельствуют парадоксы теории множеств 151
13.	Квант действия ................................162
14.	Проявление свойств физической неделимости мира . 174
15.	Проблема интерпретации квантовой механики . . . 192
16.	Несиловая корреляция в поведении микросистем . . 197
17.	Физическая неделимость мира и проблема1 сохранения 210
18.	Неразложимость в математике (Протяженность и понятие континуума)...............243
Заключение. Физическая неделимость мира и проблема бесконечности ..................................... 264
19.	Множественная концепция	бесконечности...........—
20.	Диалектико-материалистическая концепция бесконечности ...........................................  270
Цехмистро И. 3.
Ц55 Диалектика множественного и единого. Квантовые свойства мира как неделимого целого. М., «Мысль», 1972.
276 с.
В работе исследуется философский аспект квантовомеханической картины мира, исходящей из конечной физической неразложимости элементарных процессов в микромире. Автор анализирует конкретное проявление диалектики множественного и единого в свойствах природы и приходит к выводу, что представление о мире как о многообразии должно быть дополнено представлением о нем как о неделимом и неразложимом целом в субквантовом уровне
Опираясь на диалектику множественного и единого, автор дает материалистическую интерпретацию ряда гносеологических проблем, поставленных современным естествознанием В книге поднимаются дискуссионные вопросы, требующие дальнейшей разработки
1—5—1
62—72
5 + 1М
Цехмистро, Иван Захарович
ДИАЛЕКТИКА / МНОЖЕСТВЕННОГО И ЕДИНОГО.
КВАНТОВЫЕ СВОЙСТВА МИРА
Как неделимого целого
Редактор В. Е. Викторова
Младший редактор Т. А. Поспелова Оформление художника А. Е. Безрученкова Художественный редактор А. А. Брантман Технический редактор К. С. Чистякова Корректоры Г. М. Ефимова, А. И, Зотова
Сдано в набор 4 января 1972 г. Подписано в печать 13 апреля 1972 г. Формат бумаги 84Х|1081/з2, № 2. Усл. печатных листов 14,7. Учетно-издательских листов 15,38. Тираж 7500 экз. А04553.	Заказ № 25.	Цена 1 р. 08 к.
Издательство «Мысль». 117071. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 8 Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР, Хохловский пер., 7.
В 1972 г. ИЗДАТЕЛЬСТВО «МЫСЛЬ» ВЫПУСТИТ СЛЕДУЮЩИЕ книги ПО МАРКСИСТСКО-ЛЕНИНСКОЙ ФИЛОСОФИИ:
Мысливченко А. Г. Человек как предмет философского познания. 10 л., 70 коп.
Работа посвящена комплексному исследованию философского аспекта проблемы человека. 'В ней анализируются недостаточно изученные в современной науке узловые философские проблемы человека: диалектика сущности и существования человека, соотношение в нем социального и биологического, проблема свободы, целеполагание и осуществимость замыслов, смысл жизни и др. Наряду с позитивным марксистским решением этих проблем большое место в книге занимает критический анализ современных буржуазных концепций человека в экзистенциализме, философской антропологии, фрейдизме и других философских течениях.
Налчаджян А. А. Некоторые психологические и философские проблемы интуитивного познания. 15 л., 1 р. 10 к.
В предлагаемой работе автор рассказывает об исследовании проблемы интуиции, излагает ряд гипотетических положений о психологических механизмах интуитивного мышления. В книге доказывается, что интуитивное мышление является одним из основных этапов творческого процесса и вполне доступно научному исследованию. Для обоснования своей точки зрения автор приводит интересные данные из области психологии, физиологии и других наук. Излагая историю проблемы, автор критически рассматривает различные мистические и иррациональные теории интуиции.
Поршнев Б. Ф. О начале человеческой истории. 27 л., 1 р. 90 к.
Новая монография крупного советского историка посвящена проблеме, имеющей большое мировоззренческое значение, — проблеме становления человечества. Это итог многолетних исследований автора. Работа построена на широкой естественнонаучной, философской, психологической базе и затрагивает многие стороны науки о человеке. В монографии детально рассматриваются вопросы о возникновении человека, человеческой речи. По ряду назревших вопросов автор предлагает свои решения.
Яновская С. А. Методологические проблемы науки. 15 л., 1 р. 10 к.
Предлагаемая читателю книга включает основные работы по философским и методологическим проблемам науки известного советского математика и философа. Проблематика статей сборника весьма разнообразна. Читателя, интересующегося философскими и методологическими проблемами науки, привлекут статьи «Математические рукописи К. Маркса», «Из истории аксиоматики», «О математической строгости». Занимающихся вопросами логики и методологии науки заинтересуют статьи «О так называемых определениях через абстракцию», «О философских вопросах математической логики», «Преодолены ли в современной науке трудности, известные под названием «апорий Зенона»» и др. В сборник включены также работы, связанные с анализом методологических вопросов кибернетики и критикой буржуазной философии.