INTRODUCTION
1. On développe dans ce travail quelques méthodes de résolution des
problèmes aux limites pour les équations aux dérivées partielles non linéaires.
Les méthodes étudiées ici (et qui ne sont nullement exhaustives) sont
introduites à partir et à propos d'exemples concrets et notamment :
1° des problèmes aux limites non linéaires classiques intervenant en
Mécanique ou en Physique : équations de Navier-Stokes, équations non linéaires
des plaques vibrantes, équations intervenant en mécanique quantique, etc. ;
2° des problèmes aux limites non linéaires correspondant à des problèmes
de calcul des variations avec contraintes : problèmes « d'inéquations variation-
nelles » intervenant en Mécanique (plasticité, liaisons unilatérales, etc.) ou
problèmes de Contrôle Optimal.
Les étapes de base dans la résolution de ces problèmes sont :
a) l'obtention d'estimations a priori ;
b) l'utilisation de ces estimations.
2. Il n'y a, pour l'instant, aucune méthode générale d'obtention
d'estimations a priori (faute, en particulier, de pouvoir utiliser la transformation
de Fourier dans les problèmes non linéaires).
Len> estimations a priori les plus simples proviennent de l'origine physique
des problèmes. On les retrouve généralement en multipliant les équations à
résoudre par des combinaisons linéaires des inconnues et par des intégrations
par parties convenables.
Pour des estimations a priori « supplémentaires » on peut multiplier les
équations par des expressions non linéaires en les inconnues : cf. par exemple
les équations de Korteweg et de Vries, Chapitre 3, nro 4.
On peut également obtenir des estimations a priori assez fines par la méthode
de décomposition (inspirée de l'Analyse Numérique) : cf. les équations de
Carleman, Chapitre 4, nro 2.
De façon générale, il y a une profonde différence du point de vue des
estimations a priori (ou, ce qui revient à peu près au même, du choix de l'espace
fonctionnel où Ton va essayer de résoudre le problème) entre les problèmes aux
limites linéaires et non linéaires. Alors que dans les premiers, il y a dans i'im-

VI
INTRODUCTION
mense majorité des cas connus une infinité d'estimations a priori (*), on trouve
en général « très peu » d'estimations a priori dans les problèmes non linéaires (2).
Cette difficulté est également liée à celle de la régularité : lorsqu'on a pu
démontrer que l'on a affaire à un problème (non linéaire) bien posé dans une
certaine classe fonctionnelle, il est en général faux que si les données sont très
régulières, il en est de même de la solution.
Le choix du cadre fonctionnel où Von essaie de résoudre le problème est donc
absolument crucial (3).
3. Une fois choisi le cadre fonctionnel, il faut utiliser les estimations pour la
résolution du problème.
Nous distinguerons les méthodes suivantes :
(i) méthode de compacité,
(ii) méthode de monotonie,
(iii) méthode de régularisation,
(iv) méthode de pénalisation,
(v) méthodes itératives d'approximation,
et naturellement, l'utilisation simultanée dans un problème, de plusieurs de ces
méthodes.
Méthode (i) (Chap. 1).
La méthode dite « de compacité » est utilisée de façon aussi directe que
possible :
1) On construit des «solutions approchées» (ou du moins ce qu'on espère
être des solutions approchées) par « réduction à la dimension finie », par exemple
par la méthode de Galerkin (cas stationnaire) ou de Faedo-Galerkin (cas
d'évolution) ; on obtient alors l'existence des « solutions approchées » par
utilisation :
• dans le cas stationnaire, d'un théorème de point fixe,
• dans le cas d'évolution, d'un théorème d'existence de solution d'un système
d'équations différentielles ordinaires ;
2) On passe ensuite à la limite sur la dimension, en ayant ici à surmonter
une difficulté essentielle : les opérateurs non linéaires rencontrés ne sont pas
en général « faiblement continus » et il faut donc (en général ; cf. sur ce point
0) D'ailleurs, essentiellement, la théorie de l'interpolation des espaces vectoriels
topologiques fournit, dans les problèmes linéaires, une infinité d'estimations à partir de deux
estimations.
(2) On ne peut pour l'instant appliquer l'interpolation à des problèmes non linéaires que
dans des cas assez particuliers. Peut-être faudrait-il développer une théorie non linéaire de
l'interpolation entre classes fonctionnelles non linéaires.
(3) Naturellement il n'y a aucune raison de se placer dans un espace vectoriel; on verra
quelques exemples (Chap. 1, nro 12 pChap. 2, nro 3.2 ; Chap. 4, nro 1.3) où l'on travaille en
effet dans une classe fonctionnelle non linéaire.

INTRODUCTION
VII
la méthode (ii)) démontrer que la famille des solutions approchées est (grâce
aux estimations a priori) « compacte » dans une topologie « forte » convenable
(pour laquelle l'opérateur est continu). Les outils sont donc ici les théorèmes de
compacité de l'injection d'un espace de Sobolev d'ordre a dans un espace de
Sobolev d'ordre < a, et des résultats du même type plus élaborés donnés au
Chapitre I, nro 5 et nro 12.2.
Méthode (ii) (Chap. 2).
Lorsque {"opérateur a des propriétés de monotonie (du type de la propriété
des différentielles des fonctions dilïérentiables convexes sur un espace de
Banach) on peut passer à la limite sur la dimension avec des estimations a priori
« moins fortes » que celles nécessaires dans la méthode de compacité.
La méthode de monotonie, lorsqu'elle est applicable, est d'utilisation plus
facile que la méthode de compacité.
Par ailleurs, c'est dans le cadre de cette méthode que l'on peut étudier les
« inéquations variationnelles» (cf. 1. 2°) auxquelles on peut étendre (de façon
peut-être un peu surprenante) un grand nombre de propriétés établies pour les
« équations ».
Méthode (iii) (Chap. 3).
Dans les méthodes (i) et (ii), on obtient de la même manière les solutions
approchées (essentiellement par la méthode de Galerkin) puis l'on passe à la
limite soit par compacité, soit par monotonie (ou par « mélange » des deux
méthodes, cf. par ex. Chap. 2, nro 5).
Dans les méthodes (iii) (iv) et (v) on change la méthode d'approximation, en
utilisant ensuite compacité ou (et) monotonie pour le passage à la limite.
Dans la méthode (iii), on « régularise » les équations, en les « approchant »
par des équations « meilleures » déjà résolues.
Entrent dans ce cadre les méthodes de viscosité, de régularisation elliptique,
de régularisation parabolique.
Evidemment, on rencontre ici une autre difficulté essentielle des problèmes
non linéaires : leur extrême tendance à l'instabilité ; des termes jugés « petits »
peuvent radicalement changer la situation... 11 faut donc prendre garde à
bien choisir les termes de régularisation : des exemples assez généraux sont
donnés au Chapitre 3.
Méthode (iv) (Chap. 3).
La méthode de pénalisation (issue du Calcul des Variations et d'ailleurs liée
à la méthode de régularisation) consiste à approcher les inéquations
variationnelles par des équations (non linéaires) de caractère plus classique et déjà
résolues par d'autres méthodes. Cette méthode est également utile dans la
résolution de problèmes d'évolution dans des ouverts non cylindriques.

VIII
INTRODUCTION
Méthode (v) (Chap. 4).
Les méthodes itératives d'approximation sont surtout celles issues de
l'Analyse Numérique (*)• Citons :
1) la méthode des approximations successives, la méthode de Newton — le
choix des espaces étant ici encore absolument fondamental ;
2) les méthodes de discrétisation (différences finies) ;
3) les méthodes de décomposition.
Des exemples sont donnés où ces méthodes permettent de résoudre des
problèmes qui ne semblent pas susceptibles d'être résolus par les Méthodes
antérieures.
4. Il faut bien noter que les méthodes d'approximation ne sont pas
équivalentes entre elles.
En effet les estimations a priori sont établies sur les équations données et il
faut choisir un procédé d'approximation permettant d'obtenir, sur les solutions
des équations approchées, au moins autant (2) d'estimations a priori (3) que sur
le problème initial.
En résumé, pour la résolution d'un problème donné, la démarche suivie est :
1) choix du cadre fonctionnel,
2) choix de la méthode d'approximation,
3) passage à la limite.
5. Les méthodes indiquées jusqu'ici sont susceptibles de fournir r existence
de solutions. L'unicité (éventuelle) de la solution relève de techniques assez
spéciales, dont plusieurs exemples sont donnés.
Dans les cas favorables où l'on arrive à un problème bien posé, de
nombreuses questions se posent encore, et notamment celle de la régularité : lorsque
la « régularité » des données augmente, en est-il de même de la « régularité »
de la solution ?
Comme on a déjà signalé il n'est généralement pas vrai que la régularité C"°
des données entraîne la régularité C°° de la solution (mais l'on trouvera dans
le texte quelques exemples où cela est vrai). Toutefois, dans de nombreux cas,
le problème non linéaire étant résolu dans une classe fonctionnelle X pour les
données dans une classe fonctionnelle 7, il existe une famille Xsy Ys de «classes
voisines » telles que le problème soit bien posé dans Xs pour les données dans Ys.
On peut à cet effet, dans des circonstances il est vrai particulières, utiliser la
théorie de l'interpolation. Peut-être peut-on aller beaucoup plus loin dans ce
sens.
Pour les équations d'évolution, des propriétés particulières de régularité
peuvent être établies par utilisation de la théorie des semi-groupes non linéaires.
(0 Sans qu'une étude systématique de ce sujet soit entreprise ici.
(2) On peut dans certains cas (cf. Méthode de Décomposition, Chap. 4, nro 2) obtenir
davantage d'estimations à partir du système approché.
(-*) D'ailleurs cela conduit à des artifices particuliers, même à l'intérieur d'une méthode
donnée ; cf. par exemple les « bases spéciales )> dans la Méthode de Faedo-Galerkin (Chap. 1).

INTRODUCTION
IX
Parmi les problèmes qualitatifs relatifs aux équations d'évolution on traite
notamment :
• la recherche de solutions périodiques du temps (Chap. 2, nro 7.4 ; Chap. 4,
nro 6 et 7) ;
• la recherche de solutions bornées sur l'axe du temps (Chap. 4, nro 8),
question d'ailleurs liée à la recherche de solutions presque périodiques (renvoyant
pour cette théorie, au livre d'AMERio-PROUSE [l]).
6. Naturellement de nombreux aspects de cet immense sujet ne sont pas
étudiés mais seulement mentionnés dans les Commentaires, pour les situer par
rapport aux points traités dans le livre.
Signalons en particulier :
• l'étude fine des problèmes du Calcul du Variations et la théorie classique
selon Leray et Schauder des équations elliptiques dans les espaces de Holder
(consulter les ouvrages Ladyzenskaya et Ouraltseva [1], C. Miranda [1],
C. B. Morrey [I] et la bibliographie de ces livres),
• les équations hyperboliques non linéaires et la théorie des chocs (cf.
Rozdetsvenskh et Yanenko [1] et la bibliographie de ce travail),
• l'utilisation de « l'Analyse Globale » en particulier pour les problèmes de
valeurs propres non linéaires (cf. Browder [9]),
• les questions de stabilité sur lesquelles (en attendant probablement une
attaque massive par des méthodes topologiques) on n'a encore que des résultats
fragmentaires.
Nous n'avons pas considéré (sauf en quelques occasions très particulières) les
applications multivoques. Nous renvoyons pour cela à Browder [7].
Des remarques très brèves sont consacrées (Chap. 4, nro 9) aux problèmes
non linéaires du contrôle optimal.
7. Les applications (Mécaniques des fluides, des solides, Contrôle Optimal,
etc.) constituent une mine de problèmes qui paraît pour l'instant inépuisable
et semble en outre s'élargir (depuis, en particulier, l'utilisation possible des
calculateurs qui permettent d'aborder des modèles de plus en plus élaborés), et
les problèmes non résolus sont encore extrêmement nombreux : nous en
mentionnons un certain nombre, à la fin de chacun des Chapitres.
Devant la diversité des applications, la grande variété des problèmes ainsi
rencontrés et devant l'instabilité des problèmes par rapport à de « petits »
changements, une classification par « types » d'équations semble illusoire ; c'est
pourquoi nous avons suivi une classification par méthodes.
Nous avons ajouté, à la fin du sommaire, un tableau indiquant les divers
passages du livre où l'on étudie, par des méthodes différentes, un type donné
d'équation.
8. Ce travail développe le cours de 3e cycle fait à la Faculté des Sciences de
Paris durant l'année scolaire 1968-1969. Je remercie vivement C. Bardos,

x
INTRODUCTION
H. Brezis, P. A. Raviart, L. Tartar et R. Temam qui m'ont permis d'améliorer
plusieurs points, dans le fond et dans la forme.
Je remercie également F. Boutang et F. Murât qui ont rédigé la version
orale du cours et je tiens aussi à remercier l'auditoire qui par l'intérêt manifesté
au cours m'a encouragé à poursuivre la rédaction.
M. P. Lelong a bien voulu accueillir ce travail dans la collection qu'il dirige,
ce dont je le remercie tout particulièrement.
Je remercie très vivement le Secrétariat du Département de Mathématiques
de l'Institut H. Poincaré et les Editions Dunod pour leur travail remarquable.
9. Nous donnons ci-après le plan détaillé, un Index des notations
principales et le tableau par type d'équation.
Chaque Chapitre débute par quelques indications sur l'orientation, les
parties pouvant éventuellement être passées en première lecture, etc.
Les références bibliographiques sont données, en règle générale, dans les
Commentaires qui terminent chaque Chapitre.

TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE 1
MÉTHODES DE COMPACITÉ
1. Une équation hyperbolique non linéaire intervenant en Mécanique Quantique Rcla-
tivistc 4
1.1 Position du problème 4
1.2 Espaces fonctionnels 5
1.3 Premier théorème d'existence 8
I . 4 Démonstration du Théorème 1.1 9
1.5 Un théorème d'unicité 14
1.6 Un résultat de régularité 16
1.7 Un autre résultat de régularité. Bases spéciales 20
1.8 Inégalité et égalité de l'énergie 22
1.9 Remarques diverses 27
2. Exemples et contre-exemples dans le cas où il n'y a pas d'estimations globales
a priori 28
2.1 Equation hyperbolique sans estimation a priori globale 28
2.2 L'ensemble HT 29
2.3 Théorème de stabilité 32
2.4 Un théorème de non-existence 34
2.5 Remarque 37
3. Un autre exemple d'équation hyperbolique non linéaire 38
3.1 Position du problème 38
3.2 Un théorème d'existence et d'unicité 38
4. Problèmes de vibrations non linéaires 43
4.1 Les équations d'évolution 43
4.2 Equations d'évolution modifiées 50
4.3 Le cas stationnaire 53
4.4 Cas stationnaire ; régularité 56
5. Lemmes de compacité 57
5.1 Orientation 57
5.2 Lemmes de compacité 57
5.3 Application du Théorème 5.1 62
6. Equations de Navier-Stokcs (cas d'évolution) 64
6.1 Position du problème 64
6.2 Le cas de la dimension d'espace 2. Unicité 70
6.3 Base spéciale 72
6.4 Démonstration du Théorème d'existence 6.1; première méthode 75
6.5 Démonstration du Théorème d'existence 6.1 ; deuxième méthode 77

XII
TABLE DES MATIERES
6.6 Un théorème de régularité 79
6.7 Un théorème d'existence globale de solution forte 82
6.8 Un théorème d'unicité 84
6.9 Dépendance en la viscosité 86
7. Equations de Navier-Stokes (cas stationnaire) 98
7.1 Le problème homogène 98
7.2 Le problème non homogène 101
8. Un exemple d'équation parabolique fortement non linéaire 106
8.1 Position du problème 106
8.2 Estimations a priori. Généralités 107
8.3 Utilisation des estimations 110
8.4 Enoncé du Théorème 111
8.5 Démonstration du Lemme 8.1 112
8.6 Démonstration de l'existence dans le Théorème 8.1 115
8.7 Démonstration de l'unicité dans le Théorème 8.1 119
9. Problèmes de transmission et problèmes couplés 120
9.1 Un problème de transmission parabolique-hyperbolique 120
9.2 Equations couplées 129
10. Equation non linéaire du type Schrœdinger 131
10.1 Position du problème 131
10.2 Théorème d'existence et unicité 131
11. Equations non linéaires sur des variétés sans ou avec bord 134
11.1 Position des problèmes 134
11.2 Formulation sur la variété r 135
11.3 Résultats 136
11.4 Cas avec bord 139
12. Equations d'évolution non linéaires dégénérées 140
12.1 Position du problème 140
12.2 Un résultat supplémentaire de compacité 141
12.3 Résolution du problème 144
13. Problèmes 147
14. Commentaires 148
CHAPITRE 2
MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ
1. Equations paraboliques monotones 155
1.1 Exemples. Le cas p > 2 155
1.2 Démonstration de l'existence 157
1.3 Démonstration de l'unicité 162
1.4 Un résultat général 162
1.5 Applications des résultats généraux 164
1.6 Résultats de régularité 16*7
1 .7 Somme d'opérateurs monotones 168

TABLE DES MATIÈRES
XIII
2. Problèmes stationnaires 171
2.1 Premier résultat général 171
2.2 Un théorème d'unicité. Applications de dualité 173
2.3 Exemples 177
2.4 Les opérateurs pseudo-monotones 179
2.5 Les opérateurs du Calcul des Variations. Etude axiomatique 180
2.6 Les opérateurs du Calcul des Variations. Exemples 182
3. Changement d'espace pivot. Applications 190
3.1 Généralités 190
3.2 Exemple. Problème non linéaire de la diffusion 191
3.3 Problèmes à frontière libre 196
4. Problèmes non linéaires d'évolution sur une variété 204
4.1 Position du problème 204
4.2 Opérateur se 204
4.3 Problème équivalent sur r 207
5. Variante des problèmes de Navier-Stokes — Méthode de monotonie et
compacité 207
5.1 Généralités. Position des problèmes 207
5.2 Un théorème d'existence relatif au Problème 5.1 209
5.3 Un théorème d'unicité 216
5.4 Etude du Problème 5.3 217
6. Méthode de monotonie et opérateurs hyperboliques non linéaires 221
6.1 Position du Problème. Un théorème d'existence et d'unicité 221
6.2 Démonstration de l'existence 223
6.3 Démonstration de l'unicité 227
7. Méthode d'approximation d'opérateurs d'évolution par des opérateurs stationnaires. . 227
7.1 Généralités 227
7.2 Un théorème d'existence pour « équations d'évolution abstraites » 228
7.3 Applications (I). Equations paraboliques 235
7.4 Applications (II). Problèmes périodiques 236
7.5 Applications (III) 237
7.6 Applications (IV) 238
7.7 Remarques diverses 240
8. Inéquations variationnelles elliptiques 241
8.1 Exemples et orientation 241
8.2 Théorèmes d'existence pour les inéquations variationnelles elliptiques 245
8.3 Ensemble des solutions 248
8.4 Applications 249
8.5 Variantes 250
8.6 Interprétation des inéquations variationnelles avec les sous-différentielles .. 253
8.7 Régularité 255
8.8 Théorèmes de comparaison 263
8.9 Un autre type d'exemples 265
9. Inéquations d'évolution paraboliques 266
9.1 Position des problèmes 266
9.2 Hypothèses de compatibilité. Exemples 269

XIV
TABLE DES MATIERES
9.3 Théorème d'existence d'une solution « faible » 271
9.4 Théorème d'unicité de solution « faible » 276
9.5 Applications 277
9.6 Théorèmes de régularité 286
9.7 Remarques diverses 294
10. Compléments divers 298
10.1 Equations d'évolution 298
10.2 Inéquations d'évolution 301
11. Problèmes 301
12. Commentaires 3 05
CHAPITRE 3
MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION
1. Régularisation elliptique et équations d'évolution 311
1.1 Orientation 311
1.2 Lemmes de maximalisé 313
1.3 Premier théorème d'existence par la régularisation elliptique 316
1.4 Deuxième théorème d'existence par la régularisation elliptique 319
2. Applications 321
2.1 Problèmes paraboliques généraux 321
2.2 Problèmes paraboliques généraux. Solutions périodiques 328
2.3 Systèmes hyperboliques non linéaires du 1er ordre 329
2.4 Equations hyperboliques non linéaires du 1er ordre et équations de transport
non linéaires 331
2.5 Problèmes non linéaires de Schrœdinger 333
2.6 Une équation non linéaire changeant de type 337
2.7 Problèmes paraboliques non linéaires dans des ouverts non cylindriques ... 343
2.8 Problèmes non linéaires de type mêlé 345
3. Régularisation parabolique et inéquations variationnelles hyperboliques 346
3.1 Position des problèmes 346
3.2 Un résultat général 346
3.3 Applications 354
4. Régularisation parabolique et équation de Korteweg et de Vries 361
4.1 Position du problème. Intégrales d'énergie 361
4.2 Un théorème d'existence. Régularisation parabolique 363
4.3 Remarques diverses 368
5. Pénalisation et inéquations variationnelles elliptiques 368
5.1 Orientation 368
5.2 Opérateur de pénalisation 370
5.3 Application de la pénalisation 371
5.4 Exemples 374
5.5 Résultats de régularité 378
5.6 Remarques diverses 380

TABLE DES MATIÈRES XV
6. Pénalisation et inéquations variationnelles d'évolution paraboliques 381
6.1 Méthode générale 381
6.2 Exemples et applications à la régularité 385
6.3 Données initiales non nulles 390
6.4 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-
Stokes (I) 394
6.5 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-
Stokes (II) 398
7. Pénalisation et inéquations variationnelles d'évolution hyperboliques 402
7.1 Opérateurs linéaires 402
7.2 Exemples 407
7.3 Exemples d'inéquations pour opérateurs linéaires hyperboliques 409
8. Pénalisation et problèmes non linéaires dans des ouverts non cylindriques 413
8.1 Un exemple hyperbolique 413
8.2 Remarques diverses 417
9. Autres types d'approximation 417
9.1 Approximation d'inéquations elliptiques par des inéquations paraboliques .. 417
9.2 Nouveaux problèmes unilatéraux 420
10. Approximation par régularisation d'opérateurs multivoques 422
10.1 Equations multivoques hyperboliques 422
10.2 Inéquations multivoques hyperboliques 425
11. Problèmes 425
12. Commentaires 426
CHAPITRE 4
MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES
1. Approximation par les méthodes de différences finies 431
1.1 Orientation 431
1.2 Semi-discrétisation et inéquations variationnelles 432
1.3 Semi-discrétisation spatiale ; application à une équation parabolique non
linéaire dégénérée 437
2. Approximation par décomposition 446
2.1 Un problème de T. Carleman. Enoncé du Théorème 446
2.2 Démonstration de l'unicité 448
2.3 Méthode de décomposition 449
2.4 Estimations a priori 451
2.5 Passage à la limite. Démonstration du Théorème d'existence 456
3. Approximation par troncature 459
3.1 Position du Problème. Enoncé du résultat 459
3.2 Méthode de troncature 460
3.3 Démonstration du Théorème 3.1 461
3.4 Un exemple d'inéquation 462

XVI
TABLE DES MATIÈRES
4. Approximation par des systèmes du type de Cauchy-Kowaleska 465
4.1 Orientation 465
4.2 Equation de Navier-Stokes 466
4.3 Equations sur une variété 471
5. Approximations successives 474
5.1 Généralités 474
5.2 L'équation — — Au — ul+a =0 475
8t
5.3 Une équation intégro-différentielle non linéaire dans un espace du type de
Gevrey 478
6. Solutions périodiques. Cas paraboliques 482
6.1 Orientation 482
6.2 Solutions périodiques des équations de Navier-Stokes 483
6.3 Remarques sur les problèmes unilatéraux 486
7. Solutions périodiques. Cas hyperboliques 489
7.1 Orientation 489
7.2 Résolution du problème (7.7) (7.8) par régularisation elliptique 491
7.3 Solutions périodiques d'inéquations hyperboliques 498
8. Comportement à l'infini en / 505
8.1 Orientation 505
8.2 Solutions bornées sur R« d'équations d'évolution paraboliques monotones . 505
8.3 Le cas des inéquations paraboliques 511
8.4 Remarques diverses 515
9. Quelques exemples d'équations aux dérivées partielles non linéaires liées à la théorie
du contrôle optimal 515
9.1 Orientation 515
9.2 Problèmes de contrôle sans contraintes 516
9.3 Approximation par un problème d'évolution artificiel 517
9.4 Découplage du problème d'évolution artificiel 518
9.5 Découplage du problème de contrôle initial 520
9.6 Exemples 520
9.7 Remarques diverses 522
10. Problèmes 525
11. Commentaires 527
Bibliographie 531

TABLEAU PAR TYPES D'ÉQUATIONS
Equations stationnaires.
Equations de Navier Stokes-stationnaires, Chap. 1, N° 7.
Equations de type <( monotone », Chap. 2, N° 2.
Inéquations variationneiies elliptiques :
par « monotonie » : Chap. 2, N° 8.
par « pénalisation » : Chap. 3, N° 5.
Un exemple particulier : Chap. 4, N° 3.
Equations paraboliques.
Equations de Navier-Stokes :
Chap. I, N° 6 ;
variantes des équations de Navier-Stokes : Chap. 2, N° 5 ;
inéquations : Chap. 3, N° 6.4, 6.5;
approximation par des systèmes du type de Cauchy-Kowaleska : Chap. 4, N°4 ;
solutions périodiques, Chap. 4, N° 6.
Equations de type « monotone » :
Chap. 2, N° 1, N° 7.3, 7.4:
par compacité : Chap. 1, N° 8 ;
par régularisation elliptique : Chap. 3, N° 1 et N° 2.1 ;
solutions périodiques : Chap. 3, N° 2.2;
dans des ouverts non cylindriques : Chap. 3, N° 2.7 ;
problème mêlé : Chap. 3, N° 2.8 ;
solutions bornées sur R^ : Chap. 4, N° 8.2.
Equations a dégénérées » :
ï-,U('«''-â--'
par monotonie : Chap. 1, N° 3.2;
par compacité : Chap. 1, N° 12.
Autre type d'équation dégénérée :
Chap. 4, N° 1.3.
Problème du type Stefan :
Chap. 1, N° 3.3.
Equations sur des variétés :
Chap. 1, N» 10; Chap. 2, N° 4.
Equations à plusieurs variables de temps : Chap. 2, N° 7.6.
Inéquations d'évolution :
Chap. 2, N° 9 et 10 ;
par pénalisation : Chap. 3, N° 6 ;
par semi-discrétisation : Chap. 4, N° 1.2 ;
solutions périodiques : Chap. 4, N° 6.2;
solutions bornées : Chap. 4, N° 8.3.

XVIII TABLEAU PAR TYPES D'ÉQUATIONS
Equations hyperboliques.
Equation u" — Au + \u \p u — f.
Chap. 1, N° 1.
Dans ouvert non cylindrique : Chap. 3, N° 8.
Equation : u" — Au -f | u' \p u' = /.
Chap. 1, N° 3, N° 5.3 (par compacité) ;
Chap. 2, N° 6 (par monotonie) ;
variante multivoque : Chap. 3, N° 10 ;
solutions périodiques : Chap. 4, N° 7.
Vibrations non linéaires.
Chap. 1, N° 4.
Systèmes hyperboliques non linéaires du premier ordre.
Chap. 3, N° 2.3 et 2.4.
Equations de Carleman : Chap. 4, N° 2.
Inéquations variationnelles.
Chap. 3, N° 3 ;
par pénalisation : Chap. 3, N° 7 ;
solutions périodiques : Chap. 4, N° 7.
Equations sans estimations à priori.
Chap. 1, N° 2.
Equations couplées
Chap. 1, N° 9.
Equations de Schrœdinger.
Chap. 1, N° 10; Chap. 3, N° 2.5.
Equations non linéaires d'évolution changeant de type.
Chap. 3, N° 2.6.
Equations de Kortewcg-dc Vries.
Chap. 3, N° 4.
Equations liées au contrôle optimal.
Chap. 4, N° 9.

PRINCIPALES NOTATIONS
Notions géométriques
Q : ouvert de R" ; point générique x = { xlt .... xn} ;
en général Q est supposé de frontière « régulière ».
r : frontière de Q, dF = mesure de surface sur F.
Q = Q x ]0, T[9 i e ]0, T[ (i = temps).
I = r x ]0, F[,dl = dFd/.
Espaces fonctionnels « abstraits »
Les espaces considérés sont très généralement réels.
V (resp. 'V) espace de Banach séparable réflexif.
//(resp. Jrif) espace de Hilbert.
V c H (resp. 'V c j»f ), dense, injection continue.
// (resp. jf) est identifié à son dua! ; alors K c // c T, f c / c f.
Dans quelques points on ne suppose pas Kc//oiif cjf.
En général V, //, V (resp. t^", Jf, 'V') sont des espaces fonctionnels sur Q
(resp g).
Espaces fonctionnels « concrets »
@(Q), @(Q),... = espace des fonctions indéfiniment différentiables et à
support compact dans Q, Q,..., muni de la topologie de limite inductive de
L. SCHWARTZ [I].
®'(Q\ ^'(2), ••• = dual de 9(Q), 9{Q),... = espace des distributions sur £,
G,... ;
LP(Q) = espace des fonctions de puissance p-ième sommable sur Q pour
la mesure dx = dxt ... dx„; ||/||LP(n) = M \f(x) \pdxj (*);
Wm>p(Q) = { v | Dave LP(Q\ | a | < m } ;
na, + ••• + «„
Da = — , a = { a,, ..., a„ } , | a | = at + - + a„;
axï' ...dxa„n
0) Modification habituelle si p = co : ||/||i.oo(n) = sup ess | f(x) \ .
x en

XX
PRINCIPALES NOTATIONS
l'espace de Sobolev Wm,p(Q) est complet pour la norme
( I \\D'v\\"LHÇ))\11-.
\\a\^m I
W™'P(Q) = adhérence de ®(Q) dans Wm'p(Q).
W-m'p'(Q) = dual de W^P{Q) .
Hm(Q) = Wm'2(Q) .
H'SiQ) = w?\a).
H~m(Q) = (HZ(Q))' = W-m'\Q) .
ZF(iQ) = espace de Sobolev d'ordre non entier s .
/T(F) = espace analogue sur /-.
Cfc(iQ) = fonctions /c fois continûment différentiables dans Q .
®(Q) = C*(Q).
Si X est un espace de Banach,
/mesurable de [0, T] -> X ,
//>
L'(0, T ; X) = /
(jjl/WHSdr)1
< oo si 1 < p < oo ,
sup ess ||/(0 \\x < °° S1 p = oo
fe(O.T)
0(]O, F[ ; jf) = fonctions C°° de ]0, T[-> I et à support compact dans
]0, T[.
C*([0, T]; X) = fonctions k fois continûment différentiables de [0, T] -> X.
£?(X; 7) = espace des applications linéaires continues de X dans 7^ et 7
espaces vectoriels topologiques).
0'(]O, T[ ; *) = J$?(0(]O, T[) ; X) = espace des distributions sur ]0, T[
à valeurs dans X.

CHAPITRE 1
MÉTHODES DE COMPACITÉ

ORIENTATION
1) On utilise constamment dans ce Chapitre (et d'ailleurs dans les suivants
également) les espaces de Sobolev.
L'essentiel de ce qu'il faut savoir relativement à ces espaces est rappelé au
fur et à mesure.
Un outil important est celui des espaces de Sobolev d'ordre non entier,
surtout dans le cas Hilbertien. On utilise pour cela les résultats donnés dans
Lions-Magenes [1], Chapitre 1 et les résultats de plongement de Peetre [1].
Le lecteur non au fait de cette théorie pourra passer tous les résultats de ce
Chapitre utilisant les espaces de Sobolev d'ordre non entier.
2) Les résultats de compacité fondamentaux sont :
(i) le résultat classique de compacité de Vinjection de l'espace de Sobolev
d'ordre 1 sur un ouvert borné dans l'espace L2 ; ce résultat suffit pour les
exemples donnés aux nros 1, 2, 3, 4 ;
(ii) des résultats de compacité plus élaborés, donnés au nro 5 et qui sont
utilisés dans tous les exemples suivants.
3) Toute la théorie consiste à obtenir un certain nombre d'inégalités a priori
et à « s'en servir ». Il n'y a pas de méthode systématique pour obtenir des
estimations a priori, faute de pouvoir utiliser la transformation de Fourier.
On donne donc des exemples d'inégalité a priori, obtenus par la méthode
d'énergie, appliquée en « multipliant » par des fonctionnelles variées.
Pour utiliser les inégalités a priori, il y a, grosso modo, deux possibilités :
(i) on raisonne directement sur les équations données, i.e. en dimension
infinie, et on tâche d'utiliser un théorème de point fixe (on verra aux
Chapitres suivants des exemples d'une telle situation ; nous renvoyons aussi à
Browder [7]) ;
(ii) on approche les équations données par des équations « plus simples » —
ce qui est fait dans ce Chapitre par la méthode de Faedo-Galerkin ; il s'agit
alors d'obtenir pour les équations approchées les estimations « analogues »
à celles obtenues en dimension infinie (*), ce qui peut nécessiter l'usage de
bases spéciales dont on trouvera dans ce Chapitre de nombreux exemples.
On passe ensuite la limite en utilisant les théorèmes de compacité (2).
4) Les théorèmes d'unicité peuvent être lus indépendamment du reste ; ils
relèvent de techniques assez différentes.
5) Le nro 6.9 (méthode de viscosité) relève également de techniques
légèrement différentes.
(! ) C'est d'ailleurs aussi cela l'un des problèmes de base de l'Analyse Numérique.
i1) On verra d'autres méthodes aux Chapitres suivants.

4
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
6) Seule la lecture des nro1 1 et 3 est indispensable pour la lecture du
Chapitre 2, ainsi que celle du début du nro 8 (auquel on pourra retourner après la
lecture du Chap. 2).
1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE
INTERVENANT EN MÉCANIQUE QUANTIQUE RELATIVISTE
1.1 Position du problème
Les notations qui suivent seront utilisées dans tout le cours de ce Livre.
On désigne par Q un ouvert de R", de point générique x = { xu ..., xn}.
Soit r la frontière de Q. On supposera toujours que F est « assez régulière »,
les hypothèses étant précisées lorsque besoin est.
On désigne par Q le cylindre de R" x Rt :
Q = Q x ]0, T[, Tfini
et par I la frontière latérale de Q :
I = fx]0J[.
Le premier exemple d'équation aux dérivées partielles non linéaires que nous
allons considérer est le suivant (qui intervient en Mécanique Quantique Rela-
tiviste — cf. L. I. Schiff [1], K. Jôrgens [1], I. E. Segal [1] [2]) : on cherche
une fonction u = u(xy t), x e Q, t e ]0, T[ à valeurs réelles, solution de
„.„ $-.~,.r .-/.»-.,.M
OÙ
A V d U
Aw = > —- ,
i-i dxl
p > 0 donné (on pourrait supposer seulement p > — 1) ,
/ donnée dans Q x ]0, T[ ;
la fonction u cherchée doit vérifier en outre les conditions aux limites et les
conditions initiales :
(1.2) w = 0 sur I,
w(x, 0) = u0(x), x e Q ,
du . -. , ^_
— (x, 0) = wj(x), xeQ ,
où les fonctions uQ et ul sont données, g (l).
(1.3)
(') ïx symbole | indique la fin d'une « unité logique ».

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE
5
Le problème est non linéaire à cause de la présence du facteur \u\p u.
Afin de poser plus précisément le problème ci-dessus — et, d'ailleurs, pour
avoir les outils pour le résoudre — il faut introduire quelques espaces
fonctionnels, qui seront utilisés dans tout le cours du Livre.
1.2 Espaces fonctionnels
On utilisera constamment les espaces usuels LP(Q), 1 ^ p ^ oo ; les
fonctions considérées seront à valeurs réelles sauf mention très explicite du contraire.
On désigne par (/, g) le produit scalaire dans L2(Q), i. e.
(1.4) (/,g)= I" f(x)g(x)dx9
et également le produit scalaire entre/e <3'(Q) (espace des distributions sur Q,
L. Schwartz [1]) et ge@(Q) (espace des fonctions C00 sur Q et à support
compact dans Q). Lorsqu'aucune ambiguïté n'est à craindre, on posera
(1-5) 1/!-(/,/)
'Mj/^r
et on utilisera la notation Il/Hj^n) en cas d'ambiguïté possible (ainsi que de
façon générale H/H* pour désigner la norme de/dans un espace de Banach X). |
On fera constamment usage des espaces de Sobolev (cf. Sobolev [1]). On
pose :
(1.6) Hl(Q)= j
muni de la norme
(m2+ i
Hl{Q) est un espace de Hilbert.
On introduit ensuite :
vel}(Q), P-eL\Q), i = 1,,
ÔX;
» |2\1/2
- I = IMI//i<fl).
dv^112
dx
(1.7) Hl0(Q) = adhérence de ®(Q) dans H\Q)
= sous-espace de H1^) des fonctions « nulles » sur F.
Puisque (par définition) Q>(Q) est dense dans Ho(Q)t on peut identifier le dual
H~l(Û) de Hq(Q) à un espace de distributions sur Q :
n . iH-\Q) = {Hl(Q))' O,
K } \ Hl(Q) œ L2(Q) - H'\Q) œ 9\Q) .
(') De façon générale, X' désigne le dual de X.

6
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
Les éléments de // l(Q) sont sommes de dérivées du lor ordre de fonctions
de L\Q).
On rappellera, au fur et à mesure des besoins, les propriétés principales des
espaces de Sobolev ci-dessus, ainsi que celles d'autres espaces du môme type
introduits ultérieurement. Pour une étude systématique des espaces H%Q),
cf. Lions-Magenes [1], Chapitre 1. |
Dans l'étude du problème (1.1) (1.2) (1.3) il faut introduire l'espace
(1.9) V = Hl0(Q) n LP(Q),
où
(1.10) p=p + 2.
L'espace Kest muni de la norme
li vWnhiQ) + IM.LP(fl)
qui en fait un espace de Banach,
En fait, d'après le théorème de plongement de Sobolev (Sobolev [1]),
on a
( Hl0(Q) c L\Q) ,
(1.11) <1 1 1 .
v /- = --- si n^3,
[q 2 n
de sorte que
V = Hl0(Q) si p ^ —i^ .
On utilisera le résultat suivant :
Lemme 1.1. — Vespace V défini en (1.9) est séparable (i. e. admet un
ensemble dénombrable dense).
Démonstration.
En effet l'espace V s'identifie, par l'application v -» { y, dvjdxl9 ..., dvjdx„ } ,
à un sous-espace vectoriel fermé de l'espace LP(Q) x L2(Q) x •■• x L2(Q),
qui est séparable et uniformément convexe, de sorte que l'on peut projeter un
ensemble dénombrable dense sur le sous-espace. |
Il faut maintenant introduire des espaces de fonctions en x et t. Si
.v, / -► (p(x, t) est une fonction définie dans Q, on posera
(p(t) = « .v -* <p(.Y, /) » ,
et (p sera alors considérée comme fonction (ou distribution) en t à valeurs dans
un espace des fonctions (ou distributions) en x.

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 7
De façon générale, tétant un espace de Banach, on désigne par Lp(0, T; X)
l'espace des (classes de) fonctions / -*/(/) de ]0, T[-» X qui sont mesurables
à valeurs dans X et telles que
d-12) (jj|/(')|Mr) =||/||Wo.r,«<«>;
si p = oo, on remplace la norme (1.12) par
(1-13) supess||/(0||x = li/llL»(o,r:«;
.6]0,TI
ainsi norme l'espace Lp(0, F; X) est complet (cf. Bourbaki [1]).
Naturellement, on a :
Lp(0, T;LP(Q)) = U(Q). |
On va chercher (et trouver) u solution du problème (1.1) (1.2) (1.3) dans
l'espace L°°(0, T; V). On a alors besoin de la dérivée dujdt dans cet espace.
Voici comment on définit, un peu plus généralement, ôffdt pour/e Lp(0, T; X).
On désigne par ^'(0, T ; X) l'espace des distributions sur ]0, T[ à valeurs
dans X, défini par (cf. L. Schwartz [2]) :
(1.14) ®'(09T;X) = &(®(]09T[);X) (').
Sife ^'(0, T ; X), sa dérivée distribution est définie par
(1.15) |(<p)=_/fê) VpeSQO.'H:).
Si/e Lp(0, T ; X), il lui correspond une distribution — encore notée/— sur
]0, T[ à valeurs dans X, par
f(q>)= f f(t)q>(t)ât, </> e ^(]0, T[),
J o
intégrale à valeurs dans X; on peut encore définir dfjdt comme élément de
@\0,T\X) par (1.15).
On vérifie sans peine le
Lemme 1.2. — Si fe Lp(0, T; X) et dfjdt e Lp(0, T ; X) (l^p^oo),
alors f est après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle de (0, F),
continue de [0, T]-* X.
On est maintenant en mesure de formuler de façon précise le problème (1.1),
(1.2) (1.3).
(') De façon générale j£f(<P ; V) désigne l'espace des applications linéaires continues de 0
dans V.

8 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
1.3 Premier théorème d'existence
Le résultat suivant précise à quel sens on résout le problème (i .1), (1.2), (1.3)
et donne un premier théorème d'existence d'une solution.
Théorème 1.1. — On suppose que Q est un ouvert borné (*). On donne f, uQ%
uu avec
(1.16) fe.L\Q),
(1.17) u0 e Hl(Q) n 1S{Q), p = p + 2,
(1.18) u{eL2(Q).
Il existe alors une fonction u vérifiant
(1.19) ueL°°(0, T;Hj(f3)nLp(«)),
(1.20) |6r(0,T;L2(fl)),
(1.21) —^ — Am + | « T m -= / dans Q,
dt2
(1-22) M(0) = n0,
(1.23) |f(0)=s"1-
Remarque 1.1.
De (1.19) (1.20) et du Lemme 1.2 il résulte e« particulier que « est continue
de [0, T] -> L2(£>) (en fait il y a beaucoup plus, cf. par exemple Lions-Magenes
[1] Vol. 1, Chap. 1) de sorte que (1.22) a un sens.
Pour vérifier que (1.23) a un sens, on doit utiliser l'équation (1.21), qui
s'écrit :
(1.24) '-" = / + Au - \u\pu.
dt2
Comme
Ae&(Hl0(Q); tf_1(:Q)),
on a :
AweL°°(0, T\H~\Q))
et comme/-» \f\pf applique LP(«Q) - LP'(Q) ,1 + 1 = 1,
P P'
on vérifie sans peine que
| u |'MeL"(0,T;Lp'(:Q)),
(0 Ce qui n'est d'ailleurs nullement essentiel.

une équation hyperbolique non linéaire
de sorte que (1.24) entraîne :
p2
(1 .25) ~ e L2(0, T; L2(Q)) + L°°(0, T; H~l(Q) + LP'(Q)) (l)
dt2
d'où, en particulier :
(1.26) ~ e L2(0, T; H~l(Q) + LP'(Q)),
df2
ce qui, joint à (1.20) montre, grâce au Lemme 1.2, que dujdi est continue de
[0, T] -> H~l(Q) + LP'(Q), de sorte que (1.23) a un sens. |
Remarque 1.2.
Sous les hypothèses du Théorème 1.2, on ignore s'il y a, ou non, unicité
de la solution. On verra toutefois au nro 1.5 ci-après qu'il y a unicité lorsque p
n'est « pas trop grand ». |
Remarque 1.3.
D'après (1.7) et (1 .9), u = 0 sur I ; la condition (1.2) est donc incorporée
dans (1.19). |
1.4 Démonstration du Théorème 1.1
Le plan de la démonstration (plan que l'on retrouvera très souvent dans ce
Chapitre, à des variantes techniques près) est le suivant :
(i) on construit des solutions « approchées » par la méthode de Faedo-
Gaîerkin ;
(ii) on établit, sur ces solutions approchées, des estimations a priori ;
(iii) on passe à la limite, grâce à des propriétés de compacité (pour passer
à la limite dans les termes non linéaires).
Etape (i) ; solutions « approchées ».
Pour simplifier l'écriture, on posera
.. d2v
etc.
On introduit une suite vv., ..., u',n, ... de fonctions ayant les propriétés
suivantes :
w, e HlQ(Q) n L\Q) V/ ;
j Vw?, u',, ..., u',„ sont linéairement indépendants ;
les combinaisons linéaires finies des w, sont denses dans
, dv
V = — ,
dt
„ d2v
V ~:
dt2
H'0(Q) n L%Q).
(i) ff->((2) + L'(Ci) est muni de la structure de dua! fort de H\{ii) n L*(Q).

10 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Une telle suite existe, d'après le Lemme 1.1.
On cherche alors um = ujj) solution « approchée » du problème sous la
forme
(1.28) um(t) = £ gim(î) wt.,
les gim étant à déterminer par les conditions :
KM, wj) + a(um(t), wj) + (| um(t) |p uin(t\ wj) = (/(/), wj) ,
(1.29)
^ j ^ m ,
ou
le système (1.29) d'équations différentielles (ordinaires) non linéaires est à
compléter par les conditions initiales :
Im
w,«(0) = w()lll , w0lll = X «/m w/ -" "o dans ll\(Q) n ll\Q)
lorsque m —► oo ,
m
(1 .32) w^(O) = i/,,,, , uUu = X /j«»i *i -♦ "i dans L2(«3) lorsque m -> oo .
/= î
D'après les résultats généraux sur les systèmes d'équations différentielles,
on est assuré de l'existence d'une solution de (1.29) (1.31) (1.32) (noter que
det(w>f, wj) 7^ 0 grâce à la linéaire indépendance de vv,, ..., wm) dans un
intervalle [0, tm] ; les estimations a priori qui suivent montreront que tm = T. |
Etape (iii) ; estimations a priori.
On multiplie l'équation (1.29) d'indice y par g)m(t) et l'on somme en j. 11
vient :
(1.33) (iO0, u'M) + a(um(t\ u'M) + (I um(t) r ujt\ u'm(t)) = (/(<), "i(0)
d'où
(,.34, ^l-l"-(')l1 + fl("-W-"-('))l+Js(Ij"-(x'')l'dJC) -
( = (/('), «;„(')) •
Posons
|| y || = yja(v9 v) (= norme sur Hl0(Q) équivalente à || v ||//.(n)) .

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 11
Il résulte de (1.34) :
\ (i «:w i2 + ii umo) h2) + i || um \\ino) <
|2
(1.34)
S
;(l»im|2 + ll"omll2) + ^||"m(0)||pL,(n)+fV(ff)|l"»ld<T-
P J 0
D'après (1.31), (1.32) le deuxième membre est ^C+ \f{o) \ \u'm(o) \ éo .
J o
(les C désignent des constantes diverses indépendantes de m), d'où
V | (I "«(0 I2 + ll«m(0ll2) + ^||^(0||^)^
d-35) <j
C + \ J J /(a) |2 do- + i | J u» |2 dcx.
D'après (1.16),
I/O7) |2 d*7 ^ constante .
J o
On déduit donc, en particulier, de (1.35), que
(1.36) K«|2^C+ f |u»|2do-,
J o
d'où résulte que
(1.37) | u'm(t) | ^ constante (indépendante de m).
Reprenant (1.35) on en déduit que
(1.38) || ujt) H + ll um(t) \\LP(Q) ^ constante (indépendante de m).
On en déduit que tm- T (cf. fin de l'étape (i)) et (1.38) (1.37) s'expriment
alors :
(lorsque m -» oo, um demeure dans un ensemble borné de
L°°(0, T ; Hl0(Q) n LP(Q)) et u'm dans un borné de L°°(0, T;L2(Q)) . |
Etape (iii) ; passage à la limite.
D'après le théorème de Dunford-Pettis (cf. par exemple Yosida [1]) l'espace
L°°(0, T; Ho(fl) n L\Q)) (resp. L°°(0, T; L\Q)))
est le dual de
Ll(09 T; H~\Q) + LP\Q)) (resp. de L\0t T; L\Q)))
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 2

12 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et par conséquent on peut extraire de um une suite wM telle que
(1.40) u„ -+ u dans Lco(0, T\ HlQ(Q) n Lp(£)) « weak star » ou « faibleétoile » (*),
(1.41) ul -+ u dans L°°(0, T\ L2(Q)) (2) weak star.
Par ailleurs, il résuite en particulier de (1.39) que
um est borné dans L2(0, T; Hl0(Q)) et ^ dans L2(0, T; L2(0))
donc en particulier que um demeure dans un borné de Hl(Q).
Mais on sait (Théorème de Rellich-Kondrachoff — cf. par exemple
Lions-Magenes [1], Théorème 16A, Chap. l) que
(1.42) Vinjection de HY(Q) dans L2(Q) est compacte.
On peut donc supposer que la suite «„ extraite de um vérifie, outre (1.40)
(1.41) :
(1.43) Up -> u dans L2(Q)fort et presque partout (p. p.),
et comme enfin | um \p um demeure dans un borné de L^O, T ; LP'(Q)), on peut
encore supposer que
(1.44) I "„ T «„ -♦ w dans L°°(0. T; LP'(Q)) weak star.
Le point essentiel — et c'est cela une des difficultés les plus typiques des
problèmes non linéaires (3) — est maintenant de montrer que
(1.45) w = \u\pu.
Or (1.45) résulte de (1.43), (1.44) et du
Lemme 1.3. — Soit (9 un ouvert borné de R" x R„ g^ et g des fonctions de
Lq(0), 1 < q < oo, telles que
Il g„ \\me>) < c > g/z -* g P- P- dans 0 .
Alors g„ -> g dans Lq faible.
(On appliquera ce Lemme avec
(Oi.e. I («„(/), *(/))d/ -* j («(/), *(/))d/ VjpeLi(0,7,;fr-Kfi)-rLi''(fi)).
J 0 J 0
(2) D'après (1.40), u^ -* u' dans ^'(0, T; Hç(Q)n L?(Q)), donc la limite «weak star»
de u'fl est nécessairement u'.
(3) Cf. toutefois sur ce point les méthodes présentées dans Da Prato [2].

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 13
d'après (1.43) g^ -» | u \p u = g p. p. et g^ -*• w dans Lq(@) faible d'après
(1.44), d'où w = g = | w |p w d'après le Lemme).
Démonstration du Lemme 1.3.
Soit N une suite croissante tendant vers + oo ; on introduit (*)
EN = { x | xe 6 , | *„(*) - *(*) | ^ 1 pour ii>N).
Les ensembles (mesurables) EN croissent avec N et mesure (EN) -*• mesure 0
lorsque N -*• oo.
Soit #N l'ensemble des fonctions (/> de L*(0)(—i = l)
\q q /
à support dans EN et soit # = |J #N ; <2> est dense dans L*(0). Si Ton prend
(pe$, alors
(1.46) (/)(gM — g) dx -*• 0 lorsque jj -> oo
d'après le Théorème de Lebesgue (en effet q> e^No ; on prend /z ^ N0 ; alors
l^fe/z - £) I < I <P I et -+ 0 p. p.). Comme # est dense dans Lq\0), (1.46)
démontre le Lemme. |
Ainsi (1.45) se trouve démontré et l'on peut passer à la limite dans (1.29)
que l'on utilise pour m — \i.
Soit doncy fixé et // > j ; alors, d'après (1.29) :
(1 .47) («;, Wy) + fl(«M, Wy) + (| U„ \PU^ Wj) = (/, Wy) .
Mais d'après (1.40)
tf(V vvy) -> a(u, w7) dans L°°(0, T) weak star,
(uj., wj) -> (u', wy) dans L°°(0, T) weak star ,
et donc
(u;9 wy) = ^ (^;, Wy) - («", wy) dans &(09 T)
et d'après (1.44) (1.45)
(I «„ \p w„, Wj) -> (| u \p w, w7.) dans L°°(0, T) weak star .
On déduit donc de (1.47) que
— (w, wy) + a(u9 Wj) + (| u \pu, Wj) = (/, Wy)
(0 On désigne par x un point de 0, au lieu de { x, t }.

14 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et cela pourf fixé quelconque. Donc l'on en déduit — d'après la propriété de
densité de la « base » w, ... wm ... ; cf. (1.27) — que
i2
(1.48) —2 (u, v) + a(u, v) + (\u \p u, v) = (/, v) Vt? e Hl0(Q) n LP(Q),
et
d'où résulte que u satisfait à (1.21) (et aussi à (1.19) (1.20)).
Reste à montrer que (1.22) (1.23) ont lieu. Mais d'après (1.40) (1.41) et le
Lemme 1.2 on a, en particulier, wM(0) -> w(0) dans L2(Q) faible ; or (cf. (1.31))
W/i(0) = u0ll -> u0 dans Hq(Q) n LP(Q), donc on a (1.22).
Par ailleurs, d'après (1.46),
(ul> wj) ~* (""> wj) dans L°°(0, T) weak star
donc (d'après par exemple le Lemme 1 .2 avec X = R)
K(0), wj) - («', w,-) Uo = ("'(0), wj)
et comme (cf. (1.32)) (w^(0), Wj) -> (ul9 Wj), on a :
(m'(0), wj) = («,, Wj) Vf,
d'où (1.23). |
1.5 Un théorème d'unicité
Comme on a déjà indiqué, on ignore s'il y a unicité de la solution dansée
cadre du Théorème l.l.Ona dans ce sens le résultat partiel suivant :
Théorème 1.2. — On se place dans les hypothèses du Théorème 1.1, avec
2
(1.49) p ^ (p fini quelconque si « = 2) (') .
Alors la solution u obtenue au Théorème \ A est unique.
Démonstration.
On fait la démonstration dans le cas n ^ 3 (le cas n — 2 est plus simple,
selon les mêmes principes).
Soient «et y deux solutions, au sens du Théorème 1.1; alors w = u — v
vérifie
(1.50) w" - Aw = | v\pv - | u \pu,
(1.51) w(0) = 0, w'(0) = 0,
(1.52) w e L°°(0, T ; Hl0(Q) n LP(Q)),
(1.53) w'6r(0,T;L2(fi)).
C1) Noter que si n = 3, on peut donc prendre p = 2, ce qui correspond à Schiff [1].

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE
15
Formellement tout d'abord, multiplions les deux membres de (1.50) par
w' ; alors — ce qui est correct lorsque les intégrales ci-après ont un sens — on
trouve que
(1.54) I A (| w'(0 |2 + || w(0 ||2) = j" (| v r v - | u r u) w' dx .
Mais le deuxième membre de (1.54) est majoré en valeur absolue par
(p +1) f suP (i u r, i v r) i w 11 w' i dx
ce qui est majoré d'après l'inégalité de Holder, par
c(\\ i u r nL-(0) + u i » r il-w) Il ww \\LHQ) il w(o ||L2(IÏ),
1 1 1 1
ou - + - + -= I .
<? n 2
Mais d'après (l .49) pn ^ q , et d'après (l. Il) on a donc
(1.55)
[ (| v \p v - | u \p u) w' dx
< c{\\ u(t) H" +
+ Il v(t) ||") || w(t) || | w'(0 |
et comme u, v e L^O, T; H0(Q)) on a finalement
(l .56) f (| v |" v - | « |" m) w' dx < c || w(0 || | w'(r) | .
Alors (l .54) donne
(1.57) | w'(0 |2 + || w(0 ||2 < C- £ (|| w(o-) ||2 + | w'(<7) |2)d<7,
d'où w = 0.
Pour justifier la conclusion précédente on utilise un procédé classique dans le
cas des équations hyperboliques linéaires. Soit .s e]0, T], On introduit :
ij/(t) = - w(<r) do-, t < s ; 0 si t > s ,
wi(0 = w(<7) de de sorte que i^(f) = w^f) — w^s) si t ^ s .
J o
On prend le produit scalaire des deux membres de (l .50) avec ip(t)et, toutes
les intégrations étant maintenant loisibles, on obtient :
- | (w', i/O dt + | a(wf i» df = | (| y |% - | u \p u, <p) dt

16 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
d'où, comme \jj' = w et ij/(0) — — w^s) :
- \ | w(S) |2 - i || Wl(S) ||2 = j" (d 17 r 17 -1 u r «), ia) dr
d'où (comparer à (1.55) (1.56)) :
\ | »(s) r + ^ || wi(«) ||2 < \' (il i « r iil-w + h i » r iui») Il mo ||t»(0) x
x (Il wl(0 lli«(0)
<C, f! | W(t) | (|| W,(0 || + M W,(5) ||) df
J o
< ï II wi(J) II2 + c2 fo (I WW I2 + Il h-jO) II2) dr
et donc
| w(s) |2 + Il Wl(s) ||2 < c3 r (| w(t) |2 + H Wl(t) ||2) df
J o
d'où le résultat. |
Remarque 1.4.
Dans le cas du Théorème 1.2 la suite um des solutions approchées (et non pas
seulement une suite extraite) converge (au sens du nro 1.4) vers u.
Une question naturelle est maintenant celle de la régularité de la solution,
moyennant des hypothèses de régularité supplémentaires sur les données ;
les résultats des nro 1.6 et 1.7 vont dans ce sens.
1.6 Un résultat de régularité
On a déjà introduit et utilisé l'espace de Sobolev (d'ordre 1) H1(Q) ; plus
généralement, on aura à utiliser Vespace de Sobolev Hm(Q) d'ordre m ;
(1.58) Hm(Q) = {v | D* v e L\Q\ \ a | ^ m } (*) ;
muni de la norme
( I lo-H2)1'2
\ j a | < m /
c'est un espace de Hilbert.
(i) Z)a-=Z)5',...,Z>^, a={ai....,a„}f |« H «i+•••+«», Dt = d/dxu

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 17
On va démontrer le
Théorème 1.3. — On se place dans les conditions du Théorème 1 A avec en
outre
(1.59) | eL2{Q),
(1.60) u0 e Hl0(Q) n H2(Q),
(1.61) UleHl0(Q),
2
(1.62) p ^ (p fini quelconque si n = 2) (condition (1.49)).
77 ex/ste a/o/\y «ne solution et une seule du système (1.21) (1.22) (1.23) vérifiant
(1.63) u e L°°(0, T; Hj(-Q) n H2(-Q)),
(1.64) u'eL^O, T;Hj(-Q)),
(1.65) t/'eL°°(0, T;L2(-Q)).
Remarque 1.5.
D'après le Théorème de plongement de Sobolev (cf. (1.11) et Ho(Q) ci Lq(Q\
q fini quelconque, si n = 2) si v e Hl(Q) on a : | v \p v e L2(Q) si (1.62) a lieu
et on voit aussi sans peine que si u e L°°(0, T ; H0(Q)), alors
u e L°°(0, T ; L'(G)) (/> = p + 2),
de sorte que le Théorème 1.3 redonne bien e/i particulier les informations
données par le Théorème 1.1. |
Démonstration du Théorème 1.3. Existence.
La méthode suivie est très simple : on part des solutions approchées um
fournies par (1.29) (1.31) (1.32), avec cette fois pour Wj une « base » (à un sens
analogue à celui de (1.27)) de l'espace H\(Q) C\ H\Q) ; on suppose que
(renforcement de (1.31) et 1.32)) :
(1.66) u0m-^u0 dans Hl0(Q) n H2(Q) ,
(1.67) "im-*"i dans #o(G).
On va établir (étape (i)) une estimation a priori supplémentaire qui montrera
l'existence d'une solution avec (1.64) (1.65), puis l'on montrera (1.63) dans
l'étape (ii) par utilisation de l'équation (1.21).

18 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Etape (i).
On déduit de (1.29) que
(1.68) (tC(0), wj) = (/(0) + Aii0» - I "om \P u0m9 wj), 1 < J < m .
Noter que d'après (1.59) et le Lemme 1.2, f(0) e L2(Q) ; d'après (1.66)
I A«om I < constante, et d'après (1.62), | u0m \p u0m demeure dans un borné de
L2(Q) ; on déduit donc de (1.68), en multipliant pargjm(0) et sommant en j :
| u'JO) |2 < (1/(0) | + | Au0m | + | | u0m \> u0m |) | u'JO) | ,
d'où
(1.69) |«:(0)|<C.
Dérivant (1.27) en t — ce qui est loisible — il vient :
(1.70) | (ujt), wj) + a(ujt), Wj) + (p + 1) (| um(t) \" ujt), wj) =
1 =(/'('), *>j), 1 <y <m;
on multiplie(1.70) parg'jm(t) et on somme en/; il vient :
(i.7i) Il (i U':(t) i2 + h «:(o h2) = (fit), 14(0) -
-(p + i)(i«.(oip«:(o, «:(»)).
Mais d'après l'inégalité de Holder on a :
(1.72) | (| um(t) |" ujt), ujt)) | < || | «.(i) |" ||L„(n) || u^(0 ||L,(n) || u'Jt) ||lJ(n)
où # est donné (comme dans le théorème de plongement de Sobolev) par
111,
n q 2
(le cas n = 2, d'ailleurs plus facile, se traitera par le même genre de méthode).
Comme, d'après (1.26), pn ^ q, on a :
|| I um(t) \p \\LniQ) ^ j| um{t) ||> ^ constante, d'après (1.38),
de sorte que (1.72) donne
(1.73) | (| um(t) r u'm(t)9 iii(O) \<c\\ u'Jt) || | u"m{t)\
et (1.71) donne alors
(1.74) i 1 (| u'Jt) |2 + || ujt) II2) < |/'(0 | | ujt) \ + c\\ u'm(t) || | u'Jt) |
d'où l'on déduit en utilisant (1.67) et (1.69) que :
(1.75) | u'Jt) |2 + || u'Jt) ||2 < c(l + £ (| u'Ja) \2 + || uja) ||j) d<r).

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 19
Donc
(u'm demeure dans un borné de L^fO, T; Hl(Q)),
u'm demeure dans un borné de L°°(0, T; L (Q)).
Alors on peut extraire une sous-suite u^ comme dans la démonstration du
Théorème 1 A et telle que, en outre, u vérifie (1.64) (1.65).
On a donc démontré le Théorème sous réserve de vérifier l'information non
encore en notre possession de (1.63), à savoir que
(1.77) Wer(0, T;H2(Q)).
Etape (ii). Démonstration de (1.77).
On déduit de (1.21) que
(1.78) Au = u" + | u\pu - f.
Mais (cf. Remarque 1.5) | u \p u e L°°(0, T; L2(Q)) ; d'après (1.16) et
(1.59),/6r(0, T;L2(Q)) de sorte que, avec (1.65), on déduit de (1.78) que
(1.79) AWeLœ(0, T\L\Q)).
Posons
(1.80) Au = h;
A est un isomorphisme de Hl(Q) sur H~1(Q), soit G son inverse; alors
(comme u e L^O, T; //o(&))) on a :
(1.81) u(t) = Gh(t) p.p.
Mais d'après les Théorèmes de régularité des solutions des équations linéaires
elliptiques (*) — cf. L. Nirenberg [1] et, par exemple, Lions-Magenes [1],
Volume 1, Chapitre 2 — on a :
(1.82) G e &(L\Q) ; H\Q))
et (1.77) résulte de (1.81) et (1.82). |
Démonstration du Théorème 1.3. Unicité.
On opère comme dans la partie formelle (maintenant justifiée) de la
Démonstration du Théorème 1.2. On arrive (avec les notations de cette Démonstration) à
\ jt (i w(o i2 + u w(t) u2) < c(n i U(t) r n^n, + u i ko r ilw x
(0 Cela suppose la frontière de Q assez régulière — hypothèse qui n'était pas intervenue
jusqu'ici.

20 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et comme
|| I «(0 |P ||l»(i» + || I v(t) r Hl-w ^ c (car pn< q) ,
on a :
5^(lw'(0|2 + l|w(0l|2)<c||W(f)|||w'(0|
d'où l'unicité suit. |
Remarque 1.6.
On peut poursuivre les dérivations en t (moyennant des hypothèses
supplémentaires sur/, w0, wj. Pour le cas « = 3, p = 2, nous renvoyons à Sather [2].|
1.7 Un autre résultat de régularité. Bases spéciales
On va démontrer un résultat du même type que celui du n° 1.6 mais sous
des hypothèses différentes surftt par une méthode utilisant l'introduction d'une
« hase spéciale » de fonctions Wj.
Théorème 1.4. — On suppose que n = 3 et p = 2. On donne f avec
(1.83) feL2(0,T;Hl0(Q))y
les hypothèses sur u0 et ux étant celles du Théorème 1.3 (i. e. (1.60) (1.61)).
// existe alors une fonction u et une seule, solution de (1.21) (1.22) (1.23) et
vérifiant (1.63) (1.64) et (au lieu de (1.65)) :
(1.84) u" e L2(0, T ; L2(Q)) = L\Q).
Remarque 1.7.
On obtient (1.65) si/e L^O, T;L2(Q)). |
Démonstration du Théorème 1.4.
D'après le Théorème 1.2 nous n'avons à nous préoccuper que de l'existence.
Comme toujours, il s'agit d'obtenir une estimation a priori de plus.
On va opérer en deux étapes : (i) on montre d'abord comment, u étant
supposée solution régulière du problème, on peut obtenir une inégalité a priori ;
(ii) on verra ensuite comment on peut—par un choix convenable de la « hase »
{ Wj} dans la méthode de Faedo-Galerkin — obtenir effectivement une estimation
a priori de plus.
Etape (i).
Soit donc u supposée assez régulière et vérifiant (1.21) (1.22) (1.23) et
u = 0 sur I. On multiplie (1.21) par — Au'. 11 vient (on rappelle que p = 2)
(1.85) a(u\ u') + (Au, An') + £ [ A (u3) ^- dx = a(f, u')

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE
21
d'où
(1.86)
Mais
I1(iiM'(oii2 + iau«i2;k
ii/w ii ii'«n ♦£!.%?£*
I
d(u3) du
dx
\n dXi dXi
et, comme n = 3, on a q = 6 et donc
< 3
du
dxt
LHQ)
du
dxt
âT H^IU»
mm
(1.87)
L^£dxhCH"'(t)llll"(')ll"^ll"(')l|2-
Mais d'après (1.82)
"(0 \\hho) < | A«(0
et on sait déjà que || u(t) || ^ constante, donc portant (1.87) dans (1.86)
il vient :
et
d'où
(|| «'(0 ||2 + | A«(t) |2) « ||/(r) || || «'(0 || + c || «'«) || | Au(t) |,
| u'(0 ||2 + | Au(t) |2 < H «, ||2 + | Au0 |2 + c f' ||/(<j) ||2 d<r
J 0
r (n "'(<r) n2+iA«(<j)i2)dff,
J 0
+ C
d'où
(1.88) ||m'(0||2 + |AW(0|2^c(||Wl||2 + |Au0|2 + j' ||/((7) ||2 do-
ETA pe (ii)
Le problème est maintenant de pouvoir utiliser (1.88) (et nous rencontrerons
souvent dans la suite des questions de cette nature). Il n'est pas commode de
pouvoir «reproduire» sur (1.29) l'opération (fondamentale dans l'Etape (i))
de multiplication par — Au sauf si
(1.89)
AW;
*jwj> 0'= U-) > wj = OsurF.
On choisit donc pour vv7- les fonctions propres définies en (1.89) qui sont
— en particulier — dans H2(Q). On peut appliquer les résultats du nro 1.4.
On va démontrer que, lorsque les Wj sont choisis par (1.89), on a
(1.90) Il u'Jt) II2 + | Au„,(0 I2 < constante .

22 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
En effet, remplaçant wy par — l/Àj Àwy dans (1.29), on en déduit
(191) ( (u"m®9 " Avv^ + (AUm^>Avv;) + ("-W3» " Avv;) =
l = (/(*), - Awy) , 1 < ; < m .
On multiplie laf-ième équation (1.91) par g'jm(t) et on somme en j ; il vient:
(i .92) \flw(°- M"(°)+ (AwJ0> Aw;-(0) +,?, L Isr ëdx =
( = a(/(0, t/m(0),
ce qui n'est autre que (1.85) pour le cas particulier des fonctions um à valeurs
dans l'espace engendré par wlt w2,.... wm. Donc les calculs faits à l'étape (i)
sont valables et donnent l'analogue de (1.88), i. e. (1.90) (en ayant pris soin
de prendre u0m et ulm vérifiant (1.66) et (1.67)).
Utilisant (1.90) comme on l'a fait pour (1.76), on en déduit l'existence de u
vérifiant (1.63) et (1.64).
D'après (1.21) on a :
u" = Au - | u \pu + f
d'où (1.84).
1.8 Inégalité et égalité de l'énergie
On va dans ce numéro démontrer les résultats suivants :
Théorème 1.5. — Sous les hypothèses du Théorème 1.1 on a (inégalité de
Vénergie) :
(1.93) J(u(t), u'(t)) ^ J(u0, u,) + \ (f(&)9u'(&))dfff p. p. en*,
J o
où
(1.94) J(cp, xj>) = i a(q>, q>) + £ J | <p(x) |" dx + 11 xj> |2 .
Théorème 1.6. — Sous les hypothèses du Théorème 1.2 on a (égalité de
Vénergie) :
(1.95) J(u(t), u'(t)) = J(«0> Ml) + (* (/(&), u'(g)) éo , p. p. en t .
J o
Démonstration du Théorème 1.5.
On déduit de (1.34) que
(1.96) J(um(t)t u'm(t)) = J(u0m, «i J + f (/(<7), ">)) d<7 .
J o

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 23
On utilise (1.96) avec m — \i, suite extraite telle que (1.40) (1.41) (1.43)
(1.44) aient lieu.
Soit 0 une fonction de C°([0, F]), 0 > 0. On déduit de (1.96)
(1.97) (* j(uM(t)9 «;(0) 0(0 dt = (* JK„ «g 0(0 dt +
J o Jo
+ [ 0(0 dt f (/(*), «») d*.
J o Jo
Le deuxième membre tend vers
-T rT
f J(u0, ut) 0(0 dt = f 0(0 dt p (/(*), «'(<x)) d<7.
J o J o J o
'o J o
Le premier membre s'écrit encore
0-98) I T || «/t) ||2 0(0 dt + i f | M;(t) |2 0(t) dt +
+ -„ f ||",(0||V)°wd' = *;
P J o
et chaque expression dans (1.98) est semi-continue inférieurement pour la
topologie faible pour «„ dans L2(0. T ; Hl0(Q)), u^ dans L2(Q, T; L\Q))
et w„ dans Lp(0, T \ LP{Q)) ; donc
lim inf Xl >\ f|| «(0 ||2 0(0 dt + i T | «'(0 |2 0(0 dt +
+ -, f || "(0 HZ-»» 0(0 dt = fr ;(«.(.), «'(t)) 0(0 dt.
On déduit alors de (1.97) que
f J(u(t\u'(t))0(t)ât ^ f J(uo,ux)0{t)ût + f 0(0 dt f (/(<t), M'(ff)) do-
Jo Jo JoJo
et cela pour toute fonction 0^0 d'où (1.93). |
Avant de passer à la démonstration du Théorème 1.6, notons le résultat
complémentaire suivant :
/ Sous les hypothèses du Théorème 1.1, on peut trouver une solution u
\ telle que t -> u{t) (resp. t -> u\t)) soit continue de
j [0, T] -, Hl{Q) n LP(Q)
\ faible (resp. de [0, T] - L2(Q) faible)
En effet d'après (1.19) (1.20) u est continue de [0, T] -> L2(Q) et dans
L°°(0, F; Ho(Q) n U{Q)) donc u est continue de [0, T] - Hl0(Q) n LP(Q)
d'après le Lcmme 8.1, Chapitre 3 de Lions-Magenes [I], Vol I.
Démonstration analogue pour u'. |

24 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Démonstration du Théorème 1.6.
Soient 0 < s < t < T ; soit 0n la fonction continue linéaire par morceaux,
égale à 1 sur [s, t] et à 0 pour a < s — \/n et a > t + l/« ; soit ^ une suite
régularisante de fonctions C00, paires, à support dans [— l/k, \jk].
On multiplie les deux membres de (1.21) par
(1-100) 0m((0nu')*rik*rik) - cpkn,
où les * désignent la convolution en t.
On note que
(1.101) <pkn = (?n((0„ u)' * nk * nk) - Qn((0'n u)*rik* rik)
ce qui permet de justifier les intégrations par parties ci-après. On obtient :
f (0n u\ (6n u') * rjk * nk) dt + f a(0n u, (9n u') * rjk * nk) dt +
J o J o
(i. 102) + fT f | u \" uen((en u') * nk * nk) dx dt =
= f 0B(/, (0» «') M* * nk) àt .
\ J o
La première intégrale dans (1.102) s'écrit
f ((on wy * nk9 (0H u') * nk) dt - f ((6fn u') * nk, (on uf) * nk) dt =
= - f ((0: u') * r,k, (0n u') * Hk) dt
J o
et lorsque k -> oo cela tend vers
- \T 0„ffn\u'(t)\2èt.
J o
De même, la deuxième intégrale de (1.102) s'écrit
f a((0„ u) M*> (On ")' M*) & - f a((Pnu)*rik,(0Hu)*rik)6t =
J o J o
= - f a((0nu)M*, (0>)*>7*)clf
^ 0
et lorsque k -* oo cela tend vers
- f 0n0'na(ut u)dt.
J o

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE " 25
On déduit donc de (1.102) que
"T
(1.103) -f 0n0'n(a(u,u) + \u'(t)\2)dt + f f \u\puu'02ndxdt =
= [ [ Oîfu'dxdt,
J 0 J fi
grâce au fait que\u\pue L°°(0, T ; L\Q)) par (1.62).
Mais si h e Ll(0, F), on a :
- [ 0n G'n h â<T = n f (1 - n(<r - 0) h(&) écr -
- n \ (l + n{c - s)) h{c) de
J s-l/n
et donc, d'après un Théorème de Lebesgue,
pour presque tout s et t, lorsque n -* oo.
Donc on déduit de (1.103) :
\ 1 (fl(M(0, t/(0) + | u'(t) |2) + f f | u \p uuf dx dt =
(1.104) ) l Js Jfi
I = ]- (a(u(s), u(s)) + | u'(s) |2) + f (/(<r), ii'(ff))dff>
pour presque tout s et /. Mais on peut intégrer par parties dans
| u \p uu dx do
et donc on déduit de (1.104) que
(1.105) J(u(t), iï(t)) = J(u(s), u'(s)) + (f(<r), u\a)) do , p. p. en s et i.
On fait maintenant tendre s vers 0 dans (1.105). D'après (1.99)
lim inf J(u(s), u'(s)) ^ J(u0, uù
et donc (1.105) donne
J(w(f), «'(0) ^ ^("0. "i) + (/(*). u\°)) à° > P. P. en t
J o
ce qui, joint à (1.93) donne (1.95). |

26 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On peut considérer, sous les hypothèses du Théorème 1.2, l'application
(non linéaire) :
(1.106) {/, w0, ux } -> u (— solution).
Posons
(1.107) W(Q) = {> | cpe L°°(0, T ; Hl0(Q))9 <p' e L°(0, T ; L\Q)) }
espace de Banach pour la norme
Il <P \\W(Q) = Il <P \\l^(0,T;Ho(Q)) + Il <P IIl»(0,T;L2(«)) •
On a le
Théorème 1.7. — Sous les hypothèses du Théorème 1.2, Vapplication n définie
en (1.106) est continue de L2(Q) x HlQ(Q) x L2(Q) -> H/(g).
Demo/î5i/ra//o«.
Soit v = 7r({ g, t?0, vx }) et supposons que
{g.»o.»i}-{/.«o.w,} dans L2(0 x //0«2) x L2(D).
Alors t? demeure dans un borné de W(Q) (cela est même valable dans
le cadre du Théorème 1.1 : on peut alors choisir v dans un borné de W(Q)).
Soit w = u — v, qui satisfait à
w" - Àw = / - g - (| u \p u - | v \p v) ,
d'où
i(l w'(0 I2 + || KO ||2) = i(| Ul - vt |2 + || «o - »o II2) +
+ I (/ - g, w') dff - I I (| u |" u - | v \p v) ww' dx dcx ,
d'où l'on déduit, toujours par des majorations analogues à (1.55) (1.56)
et grâce au fait que v demeure dans un borné de W(Q) :
| »'(<) |2 + || KO ||2 < | », - v, |2 + || u0 - v0 ||2 +
+ f |/-g|2d<7+C f' (|wV)|2 + ||w(<T)||2)d<7
J o J o
d'où
(1J08) | w'(0| + || K0||2 ^
^ c(u, v) [| Ul - v, |2 + || u0 - v0 ||2 + J J / - g |2 dcx] ,
où c(w, y) est fonction de u et y, bornée sur les bornés W(Q).
Le Théorème en résulte. |

1. UNE ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE
27
1.9 Remarques diverses
Dans toutes les considérations précédentes — et sans changer les
démonstrations pour l'essentiel — on peut remplacer — A par l'opérateur A défini par
aijeCl(Q)
(1-109) (
J au = ajH ,
I t *y(*. 0 6 {y ^ «Kï + "■ + tf ), a > 0 , (,-eR,
avec sur I les conditions aux limites de Dirichiet ou de Neumann (1).
De même peut-on prendre A elliptique d'ordre 2 m (avec A* = A). On
trouve alors (pour par ex. le problème de Dirichiet) que
(M 10) ue L°°(0, F; H%(Q)) (2) .
On a (par la même démonstration qu'au Théorème 1.2) l'unicité de la
solution donnée par l'analogue du Théorème 1.1, si
[ 2 m
(1.111) ) P ^ n - 2 m '
[ p fini quelconque si n < 2 m .
(Noter que si m = 1, n — 3, on retrouve (1.49)).
De même peut-on considérer des systèmes hyperboliques, ou des systèmes
bien posés au sens de Petrowsky, avec des non-linéarités analogues à celles
étudiées ici. |
Remarque 1.9.
On peut aussi généraliser quelque peu la non-linéarité \ u \p u en
remplaçant ce terme par F(u), la fonction X -* F(X) ayant des propriétés convenables
(cf. Jorgens [1] qui prend F sous la forme F(À) = XG'(X2)). Les méthodes
sont inchangées. |
0) On prendra garde que dans le cas de problèmes mêlés (i. e. Dirichiet sur un morceau de
la frontière, Neumann sur le reste) l'analogue de (1.82) n'est pas vrai. Si les0.7 dépendent de /,
il y a une difficulté lorsque l'on veut choisir une base spéciale, puisque les fonctions propres
dépendent alors de /.
(2) H™(Q) = adhérence de @(Q) dans Hm{Q).

28 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Remarque 1.10.
On a supposé « Q borné ». Le cas « Q non borné » donne lieu aux mêmes
résultats, avec les modifications suivantes :
(i) y/a(v, v) n'estplus en général, si Q n'est pas borné, une norme équivalente à
IMItfi(fl) sur Hl{Q) ; on utilisera alors l'inégalité suivante :
a(u(t),u(t)) = ||M(0||?|1(fl)- |«(l)|2 >
>\\u(t)\\2HHm-2t f \uf(c7)\2da-2\u0\\
J 0
(ii) On ne peut utiliser directement sur Q non borné la méthode du
Théorème 1.4 (il y a alors en général un spectre continu pour A (1)) ; mais soit
QR = Qn{x \ \x\ < R}\
on utilise la méthode du Théorème 1.4 dans QR et on obtient des estimations
indépendantes de R ; on peut alors faire tendre R vers l'infini (en fait on
démontre par la même occasion que la solution «dépend continûment de Q »). |
Remarque 1.11.
Les problèmes analogues à ceux de ce nro mais dans des domaines non
cylindriques seront examinés (partiellement) au Chapitre 3, nro 8. |
2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES DANS LE CAS OU IL N'Y
A PAS D'ESTIMATIONS GLOBALES A PRIORI
2.1 Equation hyperbolique sans estimation globale a priori
Les notations étant les mêmes que celles du nro 1, on cherche une fonction u
solution de
(2.1) u"-Au + u2 = 0, xeQ, te]09T[,
avec
(2.2) u = 0 sur 27,
(2.3) «(x, 0) = m0(x) , u'(x,0)(=^(x,0)j = Ul(x), xcQ.
Si l'on multiplie (2.1) par u' et que l'on intègre par parties en x, on trouve,
en admettant la convergence de toutes les intégrales introduites :
(2.4) i | u\î) |2 + J{u(t)) = i | ux |2 + J(u0),
(!) Cf. toutefois Lions-Strauss [1], p. 62.

2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 29
où l'on a posé
(2.5) J(<P) = i a(q>) + i b(q>),
(2.6) a(<p) = a(<pt (p) , a(<p, \j/) = grad <p.grad i^ dx
(2.7) b(<p) = f <p3dx.
Mais cette fois b(<p) n'est pas nécessairement positif et on ne déduit pas
d'estimation a priori de (2.4).
Nous allons voir dans les deux sections suivantes comment on peut obtenir
néanmoins une solution globale en t par des valeurs particulières de u0, ux.
On va pour cela introduire un sous-ensemble if particulier de l'espace
Hfa). I
2.2 L'ensemble IV
On suppose démormais que
(2.8) n ^ 6.
Alors HQ{Q) c L3(Q) et donc v -> J(v) est une fonctionnelle continue sur
Ho(Q). Notons que, (2.8) ayant lieu :
(2.9) | b(u) j1/3 < ca{u)1'2 Vu g Hl0(Q) , c = constante dépendant de Q
On introduit alors
[ d = inf (sup J(Au)) .
(2.10) <; ueHx0(Q)9 X > 0,
w ^ 0.
Lemme 2.1. — Sow.ï Vhypothèse (2.S) on a : d > 0.
Evidemment
A2 A3
(2.11) J(Att) = y fl(M) + y b(u) .
Si b(u) ^ 0 , sup J(Au) = + oo .
a > o \ b(u) / 6 b(u

30 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et donc d'après (2.9)
sup J(Xu) ^ —-
x > o 6 c
1 ■
d ou a ^ —- . |
6 c6
On introduit alors l'ensemble de stabilité iV :
(2.12) HT = { v | v e Hl0(Q), 0 ^ J(Xv) < d VAe[0, 1]}.
Vérifions tout de suite que iV rCest pas vide :
Lemme 2.2. — L'ensemble iV contient la boule 8& définie par
(2.13) $& = | v | v e Hq(Q), a(v) < p, p choisi > 0 satisfaisant
à p*Z—6, p- + C~pV2<d).
4 c6 2 3 )
Démonstration.
D'après (2.9) on a :
£ «(„) _ ^! fl(D)3/î < J(Atj) ^ Ç a(v) + If a{p)m .
On a donc
1 Ar3
J(Xv) ^ 0 VA e [0, 1] si ^ ~ V a(t?)1/2 ^ ° VA e C0' ^ '
9
donc si a(v) ^ —- .
4 c
Puis
1 , , c
J(Xv) ^ - a(v) + - a{vf12 < d ,
d'après la dernière condition sur p dans (2.13). |
On montrera dans la suite (section 2.3) que l'on a une solution globale du
problème (2.1 ) (2.2) (2.3) si n ^ 6 et si u0 e iV, avec
il "il2 + /(«o) <d.
Il faut auparavant expliciter quelques propriétés simples de iV.

2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 31
Lemme 2.3. — Uensemble iV (défini en (2.12)) est étoile par rapport à
Vorigine (i. e. v e iV => Ov e IV V0 e [0, 1 ]).
Immédiat sur la définition (2.12).
Lemme 2.4. — On a :
(2. H) iv^iv^kj®
où & est défini en(2A3) et ou
(2 A 5) W+ = { v | y e //£(&), a (y) + 6(y) > 0, J(v) < d } .
Z)éwo/7Jifrû[if/o/7.
On va montrer en fait que
(2.16) #~ = #~* u {0}
ce qui équivaut à (2.14) d'après le Lemme 2.2.
1) Supposons que v e iV, v ^ 0.
Si b(v) > 0, alors a(y) + b(v) > 0 et /(y) < d.
Si 6(y) < 0, alors sup J(Xv) = J ( - ^ y | ^ d,
V bM /
donc nécessairement — a(v)fb(v) > 1 (donc a(v) + b{v) > 0) et J(v) < d
2) Réciproquement, soit v e 1V*.
Si b(v) ^ 0, on a : sup J(Xv) = J(v) < d et veW.
Ae[0,l]
Si b(y) < 0, alors — T7— > l implique
b(v)
sup J(Xv) — J(v) ,
Ae[0,l]
d'où encore le résultat désiré. |
Corollaire 2.1. — U ensemble iV défini par (2 A 2) est ouvert.
Corollaire 2.2. — L'ensemble W est borné dans Hl(Q).
Démonstration.
En effet, si b(v) ^ 0 on a : J(v) ^ \ a(v) donc a(v) < 2 d.
Si b(v) < 0 alors b(v) > — a(v) donc J(v) > £ a(v) donc a(v) < 6 d.
Donc #~ est contenu dans la boule { v | v e Hl0(Q), a(v) < 6d}. |

32
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
2.3 Théorème de stabilité
On est maintenant en mesure de démontrer le Théorème de stabilité :
Théorème 2.1. — On suppose que (2.8) a lieu. Soit iV défini en (2.12). On
donne w0, ux avec
(2.17) u0eiT , ut e L2(Q) t
(2.18) il ux |2 + /(i/0) < à («/défini en (2.10)).
// existe alors une fonction u satisfaisant à
(2.19) weL°(0, T;//0(.Q)),
(2.20) u'eLœ(0,T;L2(fi)),
(2.21) u" - Au + w2 = 0,
(2.22) h(0) = h0, u'(0) = M!.
(2.23) u(t) e W(adhérence de iV dans H\(Q)) .
Remarque 2.1.
L'interprétation de (2.22) se fait comme à la Remarque 1.1, |
Remarque 2.2.
Pour Vunicité on obtient des majorations analogues à celles obtenues pour
l'équation u" — Au -f | u | u = 0, i. e. le cas du nro 1, avec p = 1 ; le
Théorème 1.2 montre alors qu'/7 y a unicité dans le Théorème ci-dessus si n < 4. |
Démonstration du Théorème 2.\.
1) On construit une solution approchée ujjt) comme au nro 1 en prenant
quelques précautions dans le choix de u0m et ulm.
Pour «0, ux donnés avec (2.17) (2.18) on peut trouver des suites «0m, ulm
(la « base » ir,, .... wln,... n'étant pas encore choisie) telles que :
eir , u0m -> «0 dans Hl0(Q) ,
(2.24) «lM e //£(«) , «lm - «! dans L2{Q) ,
f i I "i„,|2 + /("oJ < <' V/" •
[Par exemple on peut prendre u0m = w0 et ulm e N0(Q), uim -* ui dans L2(Q);
alors i | uim \2 + /(w0) < dpour m assez grand).

2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES 33
On choisit ensuite une suite wlt..., wmi... de H0(Q)t qui soit une «base »
au sens de (1.27) (dans H0(Q)) et de façon que
(2 25) | W°m' Ulm E ^Wu *"' Wmi = eSpaCe engendré par
1 wu ..., wm , pour m ^ 2 .
(Par exemple si w0m = u0, on prendra W! = u0 et on choisira wm de façon que
"l«6K Wj).
On définit donc la solution « approchée » um(î) par la méthode de Faedo-
Galerkin :
w«(0e[w, wj ,
K(0. w7) + fl(îim(/), w7.) + f Mm(r)2 w7. dx = 0 , Uj<m,
(2.26) < J«
F wm(0) = w0ra ,
l "m(0) = Ulm.
On a existence locale de wm(0 — i. e. dans [0, tm], îm > 0 — et dans cet
intervalle (cf. (2.4)) :
(2.27) i | u'm{t) |2 + J(ujt)) = i | ulm |2 + J(M0J •
2) On va maintenant vérifier que
(2.28) um(t)eHr W
(ce qui montrera que fm = T).
Supposons en effet que (2.28) ne soit pas réalisé et soit îx le plus petit /
pour lequel uj^t^ i iV.
Donc um(ti) e dif — frontière de if et comme if est étoile (Lemme 2.3)
on a :
0um{tx)eif V0e[O,l[.
Donc
(2.29) J(0um(tl))<d V0e[O, l[,
et faisant 0 -* l, on a :
(2.30) J(um(h))^d.
Si l'on avait /(wj/j)) < d alors d'après (2.29) et la Définition de if on
aurait «J/^eif, contrairement à l'hypothèse. Donc, d'après (2.30), on a :
(2.31) J(um(tx)) = d.
Mais (2.27) donne
'(«mOi)) < i I «i J2 + Au0m) < d d'après (2.24),
ce qui contredit (2.31). Donc on a (2.28).

34 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
3) Mais (2.28) et le Corollaire 2.2 entraînent que
(2.32) um e borné de L00 (0, T; Hl0(Q)).
Par ailleurs, puisque d'après (2.32), J(um(t)) est borné (en valeur absolue),
on déduit de (2.27) que
(2.33) u'm e borné de L°°(0, T ; L2(Q)).
On achève alors la Démonstration comme au Théorème 1.1. |
Remarque 2.3.
Si l'on suppose que n ^ 4, u0e iV r\ H2(Q), ut eHq(Q) et (2.18) ayant lieu,
alors on a une solution comme au Théorème 2 A et vérifiant en outre :
u e L°°(0, T; H2(Q)),
u' e L°(0, T; Hl0(Q)),
u"eL°°(0, T;L2(Q)).
Pour la démonstration, dériver (2.26) en / et raisonner comme au
Théorème 1.3 |
2.4 Un théorème de non-existence
On va maintenant considérer, avec Fujita [1] [2], une équation parabolique
non linéaire n'admettant pas de solution globale en t.
On pose
(2 34) ( *« = {0 si A<0, A1+a si A>0},
\ a > 0 donné.
On considère l'équation
(2.35) u' - Au - <p(u) = 0, xeR",/>0,
avec la donnée initiale
(2.36) u(x,0) = uo(x), xeR\
(il s'agit ici de problème de Cauchy).
On suppose
(2.37) u0eL1+a(Rn), u0 > 0 p.p., u0 =_ 0 .
On a alors le résultat (négatif) suivant :
Théorème 2.2. — On suppose que
(2.38) an<2,

2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES
3.'
et que u0 est donné avec (2.37). Il n'existe pas alors de solution du problème
(2.35) (2.36) telle que
(2.39)
Remarque 2.4.
Si
weL1+a(0,T;L1+a(R")) VT>0.
weL1+8(0, T;L1+a(R/,)):
alors
ou
«^'eL^OJîL^R")) et Au e L1+a(0, T; W"2,1 + a(Rn)),
(2.40) W~2lP(RH) = (W2'P'(R"))\ - + -==1,
P P
(2.41) W2'P'(R") = { v | oeL^R") , ^eL?'(Rn) , ^eLp'(R") } ,
W2'P'(R") étant un espace de Banach pour la norme
Il «Hlp'(R-) + S
lL''<R") i\/=I
a2.
dx, dxj
LP'(R")
Par conséquent si u satisfait à (2.35) on a :
w'eL1+a(0s T, W"2'1+a(Rn)) + L^O, T; L\Rn))
et on peut définir w(0), de sorte que (2.36) a un sens, |
Démonstration du Théorème 2.2.
Soit p e ^(Rn), avec
(2.42) p > 0* p paire, p(x) dx — 1 .
J Rn
On considère w0 * p et le problème étant invariant par translation en x, on
peut supposer que
u0 * p(0) > 0 .
Comme u0 * p est continue, on peut alors trouver /? et y > 0 tels que
(2.43) w0 * p(x) ^ P > 0 pour | * | < y .
Supposons que w soit solution de (2.35) (2.36) (2.39). Noter que
nécessairement u ^ 0 p. p.

36 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On introduit vT solution de
(244) ( -v'T- Ai>r = 0, t<T, xeR\
l vT(T) = p .
On définit alors
(2.45) YT(t) = («(0, ^(0), 0^/^ 7\
où dans (2.45) la parenthèse désigne par exemple le produit scalaire entre
L1+0£(R") et l'espace Sf des fonctions C00 à décroissance rapide (la fonction
t -+ vT(t) est C00 de t < T -+ Sf).
On peut dériver :
(2.46) 1 7T(0 - («'(0^r(0) + («M, »r(0)
où la première (resp. deuxième) parenthèse désigne le produit scalaire entre
W~2,1+a(R") + L\RH)
et 9> (resp. entre L1 + 0E(R") et 9>). Utilisant (2.35) et (2.44) on déduit de (2.46) :
(2.47) ~ YT(t) = (Aii(0 + <p(u(t))f vT(t)) + (ti(0, - At>r(0)
Mais
(2.48)
= (<*>("(')), vT(t)).
vT(t) >0, f
et k -> cp(k) est convexe, donc d'après l'inégalité de Jessen (cf. par exemple
Hardy-Lïttlewood-Polya [1])
(2.49) (?(«(0)> »r(0) ^ ?((w(0> t>r(f))) = <p(Yr(0)
et donc (2.47) donne
(2.50) ^ >V(0 ^OrM) >
et comme FT(t) ^ 0, cela s'écrit encore
(2.50 bis) ^*V(0^ rT(01+a.
On en déduit
iy(0)-« -iyr(r)-«^ t,
a a

2. EXEMPLES ET CONTRE-EXEMPLES
37
d'où
(2.51)
Mais
où
(2.52)
l-YT(0)-°
yT(0) - («(0), Vj{0)
c ï !
WTiX) — —-
(4 nTf2
> T.
Donc (p étant paire)
YT(0) = (w0 * p, wr)
et de (2.43) (2.52) on déduit
(2.53) YT(0)^p L_^xp(--L.)f dx = -i-exp(- 1-) .
Utilisant (2.53) dans (2.51) on en déduit
aT-^-z exp ( - a —I ^ 1
et cela quel que soit F ce qui est absurde si 1 — a«/2 > 0, i. e. sous l'hypothèse
(2.38). C'est donc que (2.39) est impossible. |
2.5 Remarque
Dans le cas des problèmes non linéaires stationnaires il n'y a généralement pas
existence s'il n'y a pas d'estimation a priori. C'est par exemple le cas du
problème
f - Au- \u\m =f dans Q,
{ } [u = g sur 7\
comme montre Pohojaev [4] (Exemple 3, §3).
Cet A. montre que le problème (2.54) (et d'autres problèmes plus généraux)
est normal au sens général que voici : si A est une application non linéaire
diiïérentiable de X -> Y (X et Y étant deux espaces de Banach), on dit que A
est normal si :
(i)Vv e F, la borne inférieure de x -> || A(x) — v ||y est atteinte sur Z ;
(ii) si (v — ^(x0), (p) = 0 V(pe Y' tel que A'(*o)* <p = 0, alors v = ACv0).
(Dans le cas des Banach réflexifs il s'agit d'une extension de la notion usuelle
de normalité pour les opérateurs linéaires : fermeture de l'espace image).

38
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
3. UN AUTRE EXEMPLE D'ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON
LINÉAIRE
3.1 Position du problème
On va dans ce nro étudier l'équation
(3.1) u" - Au + | u' \p uf = f x e Q , t e ]0, T[,
où p > 0 donné (et, comme dans les nros précédents, u' — dufdt, u" = d2ufdt2),
avec les conditions aux limites et initiales
(3.2) u = 0 sur I,
(3.3) u(x, 0) = u0(x) , u'(x, 0) = ux(x), x e Q . |
Il s'agit donc d'un problème quelque peu analogue à celui traité au nro 1,
avec le terme | u' \p u' au lieu du terme \ u \p u.
La non-linéarité est ici « plus forte », puisque la non-linéarité est fonction deuf
— au lieu d'être fonction de u. Néanmoins la solution du problème présent
QStplus simple que celle du problème du nro 1 et pour deux raisons :
(i) on peut obtenir davantage d'inégalités a priori que dans le cas du nro 1,
de sorte que l'on peut utiliser un raisonnement de compacité (c'est l'objet du
nro 3.2 ci-après) ;
(ii) on peut utiliser la méthode de monotonie — cf. Chap. 2, nro 6. |
3.2 Un théorème d'existence et d'unicité
Théorème 3.1. — On suppose f, u0, Uj donnés avec
(3.4) fe L2(0, T; Hl0(Q)), /' e L2(0, T; L2{Q)) = L2(Q) ,
(3.5) u0 eH\Q) n Hl(Q),
(3.6) uleHl0(Q)nL2(p+l\Q).
On suppose que Q est borné, de frontière régulière.
Il existe une fonction u et une seule, solution de (3.1) (3.2) (3.3), avec
(3.7) ue L°°(0, T; H2(Q) n Hl0(Q)),
(3.8) u' e L°°(0, T; Hl0(Q)),
(3.9) u" e L°(0, T; L2(Q)),
(3.10) u'eLp + 2(Q).

3. UN AUTRE EXEMPLE D'ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 39
Démonstration du Théorème 3.1. Unicité,
L'unicité est immédiate (*) ; si u et v sont deux solutions, alors w = u — v
vérifie
(3.11) w" - Aw + | u' \p u' - | v' \pv' = 0 .
Prenant le produit scalaire des deux membres de (3.11) avec w'(0» on obtient
(3.12) \ A(|w'(0|2 + ||w(r)||2) +
+ I (| U \P U - | 17' |" 17') (V - 17') djC = 0 .
OÙ
(3A3) || (p ||2 = f (grad<p)2dx.
Mais — et c'est le premier exemple de monotonie que nous rencontrons —
(3. H) | (| u \pu' - | y' |p17')(h' - t7') dx > 0
de sorte que (3.12) donne
^(|w'(r)|2 + ||w(0||2)^0
d'où w = 0. |
Démonstration du Théorème 3.1. Existence.
1° Solution approchée.
Comme au nro 1.7 on va utiliser la méthode de Faedo-Galerkin avec une
base spéciale. Soient Wj les fonctions propres de — A pour le problème de
Dirichlet :
(3.15) - Awj = Xjwpj = 1,..., wj = 0 sur F.
On suppose la frontière T de Q assez régulière pour que
(3.16) WjeH2(Q) et w; e L2(p+1)(Q).
On choisit «0m. wlm e [wl5 ..., wm] de façon que
(3 .17) u0m - u0 dans //2(0) n Hj(:C2) ,
(3.18) "im->"i dans Hj(.Q) n L2(p + 1)(-Q),
(ce qui est loisible).
0) Et valable dans des conditions plus générales ; cf. Chapitre 2, nro 6.

40 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On définit alors um(î) solution de
K(0, wj) + a(ujt\ wj) + (| ujt) |p u'm(t\ wj) = (/M, w7) ,
(3.19)
l Uj<m, "m(0e[wlf...,wj
(3.20) «»(0) = «o», ^(0) = ulm.
Le système (3.19) (3.20) admet une solution locale dans [0, tm].
Comme au nro 1 on va obtenir des estimations a priori qui impliquent que
î = T
'm J *
2° Estimation a priori (I).
Si
n
"«(0 = I g*«(0 Wy ,
i = i
on multiplie (3.19) parg;m(/) et on somme enf ; il vient
\ jt (I u'm(t) I2 + || um(t) ||2) + J | u'Jt) \p+1 dx = (/«, u'Jt))
d'où
(3.21) \{\u'm{t)\2 + \\um{t)\\ï)+ f JjU;(x,<T)|"+2dxd(7 =
= £ (/(t), «») d<7 + i (| ulm |2 + Il u0m ||2),
d'où
(3.22) \u'm(t)\2 + \\um(t)\\2 ^C,
(3.23) f |«„,|'+2dxdr <C.
Cela suffit à montrer que t„ = T V/m.
3° Estimation a priori (II).
Grâce à (3.15) on peut remplacer dans (3.19) w} par — A\v, et multipliant
encore par g)m(i) et sommant eny, on en déduit
t a(u'm(t), u'm(t)) + (Aum(t), A«;(0) +
(3-24) , ^ r * „... „.,m^
+ I l.^d«:i'"»)^fdx = «(/«•"««)•
« ^i

3. UN AUTRE EXEMPLE D'ÉQUATION HYPERBOLIQUE NON LINÉAIRE 41
Le terme non bilinéaire de (3.24) vaut
2
(p +1)
i
1=1 J n \ ôxJ p A i = i J n \dxi i
et l'on déduit donc de (3.24)
1
2
' 1 "' u'm(t) ||2 + | AMm(0 |2) +
(3.25,.. +^UÂ(i^"'^y^
uim\\2 + \Au0m\2)+ f a(/(<r), t/>)) dti.
J o
Utilisant (3.17) (3.18) on en déduit :
(3.26) um demeure dans un borné de L00 (0, T, H1(0)),
(3.27) um demeure dans un borné de L°°(0, T, H2(-Q)) (*),
\ — (| u'm \Pl2 um) demeure dans un borné de L2(0,
(3.28) <dxt
[ i = l,..., n .
4° Estimation a priori (III).
On déduit de (3.19):
I «:(<)) |2 = (AWom, M:(o» + (/«o, «:(o» - o «lm r «i,,, «:(o»,
d'où
iC(0) | < | At/0m | + |/(0) I + (| | ulm |2<"+1) dx)
1/2
et donc, grâce à (3.17) (3.18) :
(3.29) |tC(0)|<C
Dérivons (3.19) en t ; il vient :
(3.30) (uZ(t), wj) + a{u'm(t\ wj) + (p + 1) (| iïjjt) \p u»m(t)9 Wj) = (/'(O, w,).
(») On utilise ici l'inégalité |Ap |^ C|| ^ ||m2c«) pour <pgHq(Q), A<pEL2(Q), valable,
r étant assez régulière.

42 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Multipliant par g}m(t) et sommant enf, on en déduit :
(3.31) i ~ (| u"Jf) |2 + || u'Jt) ||2) + (p + 1) jj "«(0 |' "i(02 dx =
»(/'(o."':(0)-
Le terme non bilinéaire dans (3.31) vaut
On déduit donc de (3.31) que
(3.32) i(|«C(.)|2 + ||«;(0lla) +
= \ | «:(0) p + \ h «lm h2 + J' a», «»)d«T.
Grâce à (3.29) on en déduit donc encore une fois (3.26) et
(3.33) u"„ demeure dans un borné de L°°(0, F; L2(D)),
(3.34) — (| u'm \pl2 u'm) demeure dans un borné de L2(Q).
5° Passage à la /imite.
Des informations (3.22) (3.23) (3.26) (3.27) (3.28) (3.33) (3.34) on déduit
que Ton peut extraire de um une suite u^ telle que
(3.35) uM - u dans L°°(0, T ; //2(Œ) n //J(i2)) weak-star,
(3.36) m; - u' dans L°°(0, T ; Hl0(Q)) weak-star,
(3.37) u'I - u" dans L°°(0, T ; L2(&)) weak-star,
(3.38) u^-+u' dans l}{Q)fort et p. p. dans Q ,
(3.39) KI'h;-*^ dans L('+2)/('+1)(Q) faible,
(3.40) | M; |"2 M; -v x dans H'(Q) faible .
D'après le Lemme 1.3.
■> = | uT m', x = I W |W2 u'.
Le Théorème suit facilement (comme au nro 1, Théorème 1.1, et c'est ici
plus simple, car on obtient une solution « plus forte »). |

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES
43
Remarque 3.1.
On a obtenu également que
(3.41) lu'\',2u'eHl(Q). |
Remarque 3.2.
Le Théorème s'étend au cas où Q n'est pas borné, en « approchant » Q par
une suite d'ouverts bornés. |
Remarque 3.3.
Par utilisation d'un théorème de compacité plus élaboré que (1.42) on
obtiendra (cf. nr0 5 ci-après) une solution (plus faible) sous des conditions
plus générales ; on verra ensuite au Chapitre 2 comment la méthode de
monotonie permet d'obtenir des solutions (plus faibles) dans des conditions encore
plus générales. |
Remarque 3.4.
Naturellement le résultat précédent s'étend à des opérateurs
(3.42) u" + A(t)u + lu'^u' =/,
où A{t) = opérateur elliptique du deuxième ordre, A(t)* = A(t).
Cf. Lions-Strauss [1]. |
Remarque 3.5.
Nous renvoyons également à Lions-Strauss, loc cit. (cf. Section 1.9) pour
l'équation
(3.43) u" - Au + | u\pu' =/. |
Remarque 3.6.
Tout ce qui précède s'étend au cas d'autres conditions aux limites.
4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES
4.1 Les équations d'évolution
On considère un ouvert Q borné de R2 (Q est la plaque vibrante) ; pour u
et v deux fonctions données dans Q, on posera dans ce numéro :
(4.1) [", «] = D\u.D\v + D\ u.D\ v - 2Dl D2u.D1 D2v,
où D{. = d/dXi.
LïONS. - Problèmes aux limites non linéaires 1

44 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. I]
On désigne par À2 = À.À le laplacien itéré (en la variable jc). On cherche
(cf. Commentaires et Bibliographie correspondante pour l'origine «
mécanique » du problème) un couple de fonctions uu u2 définies dans Q x ]0, T[
telles que
(4.2) u\ + a! A2ui - [ul9 u{\ =/ dans i3x]0J[,
(4.3) a2 A2u2 + [ult wj = 0 dans Q x ]0, T[
(où les af sont des constantes > 0), avec les conditions aux limites
V «.,,$!-0 sur E (»)
\ on
(4.4) <
f w2» --— — 0 sur E y
\ on
et les conditions initiales
«!(X,0) = Hoi(*)»
(4.5)
wi(x, 0) = Mn(x), xeQ.§
Remarque 4.1.
ïl n'y a pas de condition initiale sur u2 ; cela tient au fait (2) que le système
(4.2) (4.3) ne contient pas de dérivée en t de u2. Le système (4.2) (4.3) n'est
pas du type de Cauchy-Kowaleska (3) ; on peut l'y ramener de la façon
suivante, par élimination de u2 : si G2 désigne « l'opérateur de Green »,
i. e. l'opérateur inverse de À2 dans Q pour les conditions aux limites de Diri-
chlet. alors (4.3) équivaut à
(4.6) u2 = -±-G2{luuu{\)
a
et alors (4.2) devient
(4.7) u[ +at A2u{ +^-[m1,G2([ii1>m1])J =/. |
a2
Pour énoncer notre premier résultat relatif à (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) on doit
introduire l'espace
(4.8) Hl(Q) = adhérence de 9{Q) dans H2(Q).
(i) dfdti = dérivée normale à F.
(2) Il y a, bien sûr, une interprétation physique de ce point.
(3) On verra dans la suite d'autres exemples de cette situation, sans la possibilité (comme ici
en (4.7)) de se ramener à un système de Cauchy-Kowaleska.

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES 45
On a:
(4.9) Hj(«)= (t>
v g H2(^), v = 0 , |- = 0 sur F
Cela posé, on a le
Théorème 4.1. — On suppose/, w01, wn donnés avec
(4.10) /eL2(Q),
(4. H) %GH02(fi), «„6L2(fî).
77 ex/s/e a/ors wt e/ w2 solutions de (4.2) (4.3) (4.4) (4.5) avec
(4 A 2) M1eL0O(0,T;//g(.Q))ï
(4.13) i/IgL^OJjL2^)),
(4A4) w2gL°°(0, T;H20(Q)).
Remarque 4.2.
11 résulte de (4.12) (4A4) et de la définition (4.1) que
K, u2]eL°°(0, r;!,1^))
et donc (4.2) entraîne :
(4A5) u'{eL™(0,T;H-2(Q)) ('),
et donc (4.5) a un sens. |
Remarque 4.3 (2).
La fonction w2 du Théorème 4.1 vérifie
(4A6) w2eL°°(0, T;H3-XQ)) Ve > 0 .
En effet, soit e > 0 fixé arbitrairement petit. Alors
(4 A 7) L1^) <= H~l-\Q)
car si/eL1^) on a :
|t/»| < II/IIl»«î)II <P Hl«(o) ^ c||/||Li(^||(p||H» + ^)
(car Bo+e(Q) c L°°(&) si « = 2 et £ > 0 ; cf. J. Peetre [1] (3)).
(i) Car £i(û) c i/-2(;Q) ; en effet si/e I1^), alors
lt/»N ll/llL>(n) ll»lk«(n) <c||/||Li(JÎ)||»||H2(J}).
(2) On utilise dans cette Remarque les espaces H*(Q), s non entier, pour lesquels nous
renvoyons à Lions-Magenes [1].
(-1) De façon générale, H'(Q) c /,*(£) si--1- — - > 0, c C°(â) si - — i < 0, c Lq(Q)
q s n s n
Vt? fini si = 0 .
s n

46 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Alors [ul9 wj g L°°(0, T\ /7""1 ""'(&)) et comme
a2A2u2 = - [Mt.t/J,
on en déduit (4.16) (utilisant la résolution du problème de Dirichlet dans les
espaces H5(Q), s non entier ; cf. Lions-Magenes [1], Chap. 2 (1)).
Remarque 4.4.
On ignore s'il y a unicité dans le Théorème 4.1. |
Avant de passer à la Démonstration proprement dite du Théorème 4.1,
explicitons quelques propriétés simples du crochet [u9 v],
Lemme 4.1. — L'application u9 v -► [u, v] est bilinéaire continue de
Hl(Q) x H20(Q)-> H~2(Q).
cf. Remarque 4.2.
Corollaire 4.1. — La forme u, vt w -> ([u, v]9 w) est triiinéaire continue
sur Hl{Q).
Lemme 4.2. — La forme triiinéaire u, v, w -+ ([w, v], w) est symétrique sur
H2(Q).
Démonstration.
Puisque [u9 v] — [v9 w], il suffit de montrer que
(4.18) ([Mb)= ([w,u],v)9
et d'après le Corollaire 4.1 il suffit de vérifier (4.18) pour u9 v9 w e @(Q).
On vérifie que
(4.19) [w, t>] = D\(D\u.v) -2Dt D2(Dl D2u.v) + D22(D2u.v).
Alors, par intégrations par parties
(["» v\ w) = (Dlu.v, D\w) - 2{Dt D2 u.v9 Dj D2 w) + (D2u.v> D2 w)
= {D\ w. D\ u - 2 Dt D2w.Dl D2u + D2w.D2 u9 v)
d'où (4.18). |
Démonstration du Théorème 4.1.
1° Définition des solutions approchées.
Soit w,,..., wm9... une «base» (à un sens analogue à (1.27)) de H2(Q)9
formée par exemple de fonctions de B{Q).
(i) (À2)-i envoie H'(Q) dans H»+4(Q)n HÎ(Q), s 2*0.

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES 47
Soit ulm(t) vérifiant
m
(4.20) ulm(t) e [wu ..., wj , i. e. ulm(t) = £ &«(') w* >
(«ï«(0, wj) + al(Aulm(tl Awj) +
+ - (lulm(t), G2([ulm(t)9 ulm(t)M *j) = (/«. ";) » 1 < j < m
#2
(où on utilise les notations de (4.6) (4.7)), avec
(4.22) Mlm(0) = uolm e [wu ..., wm] , u01m -> u0i dans Jfg(.Q),
(4.23) u'lm(0) = «iiMe[wi,..., wj , h11m -> wn dans L2(0).
Si Ton de/zmV w2m(0 Par
(4.24) u2m(t) = - 1 G2([>lm(0, Mlm(0])
"2
ou encore
^2A2«2m(0 + ["lm(0>"lm(0] =0,
i/2lll(0eHj(.Q),
alors (4.21) s'écrit
("L(0, wy) +a1(Awlm(0, Awy) - (I>lm(0, w2«(0], *>;) = (/(*). w;),
1 <; ^ m .
Naturellement w2m(t) «'e.yt pa.y (en général) à valeurs dans [wlt..., wm],
On est assuré de l'existence de ulm(i) — et donc de u2m(i) — dans un
intervalle [0, îml tm > 0.
2° Estimations a priori.
On multiplie (4.25) par gfjm(t) et on somme enf. Il vient :
\ j% (I u\Jt) \2 + a,\ At/lm(t) |2) - ([«,.(0, «2l.(0], u\M =
= (/«. «UO).
Mais, d'après le Lemme 4.2 :
([«1»(0, "2m(0]. "UO) = - (C«l-(0. «imOH, «2mW) =
= - 2 (^ ["l-W. M|.(0], «2-WJ
(4.21)
(4.24 bis)
(4.25)
(4.26)

48 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et d'après (4.24 bis) cela est égal à
+ ^ (A2u'2„(t), u2m(t)) = ^ ^ j AU2M(0 j2.
Donc (4.26) s'écrit encore :
(4.27) ~~ (| u'lM(t) |2 + a, | AWlm(0 |2 + ^ | Ah2m(0 |2) = (/(/), u\m{t))
et donc
f ^ (| «i-(0 |2 + «. | A«In(0 |2 + J | Au2m(0 |2) =
(4.28) =5'(|«nm|2 +«. |A«o.».|2 + y|AW2n(0)i2) +
\ J o
Mais d'après (4.22),
I wUm |2 + ax | Aw01m |2 < constante ;
d'après la définition (4.24) on a :
(4.29) u2m(0) = - -- G2([«oiM, "oi J) •
"2
Mais [w01m, w01m] demeure dans un borné de Ll(Q) donc de H~2{Q), donc
w2m(0) demeure dans un borné de Ho(Q) et donc dans (4.28)
| ->w2m(0) | ^ constante .
Donc (4.28) entraîne que tm — T et que :
(4.30) wlm, u2m demeurent dans un borné de L°°(0, T; H\(Q)),
(4.31) u'lm demeure dans un borné de L°°(0, T; L2(Q)).
3° Passage à la limite.
D'après (4.30) (4.31) on peut extraire une suite w1/z, u2fl telle que
!uifi -> ut dans £"(0, T; H&Q)) weak star , i = 1,2,
u'lfi -> u\ dans L°°(0, T; L2(0)) weak star ,
ulft -*■ ux dans L2(Q) fbrf.

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON- LINÉAIRES 49
Soient <pJf 1 < j ^ f0, des fonctions e ^([0, T]), <pj(T) = 0, et
(4.33) i^= f q>j®wj.
On déduit de (4.25) pour m = fi > f0 que
- ("l^*')dr + fl, (Ah1|(, Ai»df-
J o ^ o
(4-34) *!
- \T ([".„. «2J. ^)dr = fr (/, </0 dt + (i/xt/0), <MP)).
J 0 J 0
Mais, d'après le Lemme 2.2 :
J o J o
[^> w2/il -*■ [^> "2! dans L2(g) faible par exemple et donc puisque uifl -* uY
dans L2(0 fort, on voit que
rT ÇT çT
(Luifl,u2ftli,ilj)ét-+ ([i>, m2], ttl)dr = ([«i,«2]»*)dr
J 0 •> 0 Jo
et (4.34) donne donc à la limite :
(4.35) v
L-j («',,!>') dr + a! j (Aw^Ai/Od* - j ([wi,w2], i^)dr =
J 0
et cela Vi^ de la forme (4.33).
Par passage à la limite on en déduit que (4.35) a encore lieu pour tout
i> g L2(0, T; Hq(Q)) tel que i>' g L2(0, T; L2(£)) et i>(r) = 0.
Cela montre que ut et u2 sont liés par (4.2) et que u[(0) = un.
Il reste donc seulement à montrer (4.3). On peut passer directement à la
limite sur (4.24 bis) (pour m = pi) en notant que [ulft, ulft] -> [uu ux] dans
-*'(ô) Par exemple ; en effet si 9 g ^(0,
(["w.»Mi,i.L<p)d'= ([«1^.9]. "îjdt
J 0 «/ 0
et on passe à la limite comme plus haut. |

50
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
4.2 Equations d'évolution modifiées
Orientation.
Comme déjà signalé, le problème de l'unicité est ouvert dans le Théorème 4.1.
On va voir que pour une équation, modifiée à partir de (4.2) par addition
d'un terme de viscosité (cf. Morozov [1]) on arrive à un Théorème d'existence
et d'unicité. |
Equations modifiées.
Soit a > 0. On cherche un couple ul9 u2 satisfaisant à
(4.36) uï — a Àu'i + ax A2ul — [ul9 u2] = /,
(4.37) a2A2u2 + [«i.uj = 0 (identique à (4.3))
avec les conditions aux limites et initiales (4.4) (4.5). |
Relativement à ces équations, on va montrer le
Théorème 4.2. — On donne f, uQl9 un ;/et uQl sont donnés avec ies mêmes
hypothèses qu'au Théorème 4.1 ; on suppose que
(4.38) UlleHl0(Q).
Il existe alors une solution ul9 u2 et une seule de (4.36) (4.37) (4.4) (4.5)
telle que
(4.39) ul,u2eLco(09T;H20(Q))9
(4.40) WiGLœ(0,T;Hj(O)).
Démonstration de l'existence.
Le principe est en tous points analogue à celui utilisé au Théorème 4.1.
Le terme de « viscosité » — a À«ï donne une estimation a priori de plus,
correspondant à (4.40). |
On obtient donc l'existence d'une solution « plus forte » que dans le
Théorème 4.1, puisque l'on a (4.40) au lieu de (4.13) ; c'est ce qui va permettre
d'obtenir l'unicité.
Démonstration de l'unicité.
1° Relations algébriques.
Soient { ul9 u2 }, { uÎ9 u2 } deux solutions. Posons :
(4.41) vx — ut — «*, v2 = u2 — u*.

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES 51
Alors
(4.42) v[ - a Av[ + at A2vt = \uu r2] + \vu "2] »
(4.43) a2 A2v2 = [vl3 yj - 2[uj, uj ,
avec évidemment
(4.44) »i(0) = 0, »i(0) = 0.
2° Majorations pour v2.
On utilise ici la Remarque 4.3. D'après (4.17) et (4.43) on a :
(4.45) || v2 ||H3-.(J2) ^ Cj ||[Ui, yi]||Li(Q) + Ci \\[vu yi]||Lt(jj) •
Mais
||["l> »lD|U*(«) < C2 II "l llff*(IÎ) Il «1 llff*(0)
et comme m,, »! e L°°(0, T\ Hl(Q))9 on a :
(4.46) || v2 \\Hi-.m ^ c3 || »! ||H2(n) :
On note que | Avt | est une norme équivalente à || vt \\H^n) sur Ho(Q)t
de sorte que (4.46) équivaut à
(4.47) II»2.Ih3-.(o><c4|Ai>1|.
Si D1 = D2 ou DtDjy on a:
D2v2eL<o(0, T\Hl"\Q))
et (cf. Peetre [1]) Hl'\Q) c L2I\Q\ donc
(4.48) D2 w2, D2 u2 g L°°(0, T; L2I\Q))
et d'après (4.47)
(4.49) Il ^>2 »2 lli.»/«cn) < c5 | Ai;1 | -
Dans (4.42) posons
(4.50) F = K,»2] + [vu u^].
Vérifions que
(4.51) FG L"(0, T; ff"'(fl)) et || F ||H.1(fl) ^ c6 | Avt |.
En effet soit <p g H0(Q). Alors, toujours d'après le Théorème de Sobolev
fractionnaire (J. Peetre [1]) on a (e > 0 fixé) :
(4.52) cp g L2Kl-e\Q\ || q> ||L2,(,-.,(0) ^ c7 || <p ||Hi(0).

52 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Mais
|(["l.»2]»Ç>) | < C8 ll"l IIH2(JJ)( Ë il DlDJV2\\L*'Ha))\\ <P Hl*/C1-«)(0)
< d'après (4.49) et (4.52) et ce ux e L°°(0, T; //J(fî)) »
< c9 | Ai>! I i| 9llnA(0);
puis
| fl>i» "*]> ?) | < c8|| yt ||H2(I1)( £ II Di Dj"2 IIl^(û) Il <HIl>/o-«>(o)
< cio | Ayt | H (p \\HiiQ},
d'où (4.51).
3° Egalité de Vénergie.
De (4.42) (4.50) (4.51) on déduit, en posant
|| <p |]2 = f (grad<p)2dx,
(4.53) I (| v\{t) |2 + a || t/^) ||2 + a, | At>t(0 |2) = j" (F, i/,) dcx, p. p.
En effet, la méthode du Théorème 1.6 conduit à (analogue de (1.104)):
U(K(012 + a|K(0||2 +fll|ADI(r)|2) =
(4.54) ) i rt
f - 2 0 »iM I2 + a II »1M H2 + "i ! A»i(5) |2) + J (F, Vl) do-
pour presque tout .y et /.
Mais d'après (4.44) on peut prolonger y, par 0 pour / < 0 et, Fêtant
également prolongé par 0 pour t < 0, (4.54) vaut aussi avec s < 0. Mais alors on
obtient (4.53).
4° Unicité.
On achève la Démonstration sans peine à partir de (4.53) et (4.51); en
effet
(F, v\) d<7 < c6 \ | Av^ | || v\(a) \\„im de
J o I J o
<c„ f | Ai>1(ff)|||ci(<j)||dff
J 0

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES
5
et on déduit alors de (4.53) que :
(4.55) || »'.(.) ||2 + | At>.(.) |2 < c„ f (Il v\(a) ||2 + | At,,^) |2) d<r
J o
et donc
», = 0.
Alors (4.43) montre que u2 = 0. |
4.3 Le cas stationnaire
On se propose maintenant de donner quelques indications sur le problèrm
stationnaire correspondant à (4.2) (4.3) — problème important dans le:
applications.
On cherche donc un couple de fonctions w,, u2 telles que
(4.56) alA2ul - [ulf u2] = /,
(4.57) a2A2u2 + [uu h,] = 0,
(4.58) uieH20(Q\i = 1, 2 . I
On va obtenir Pexistence d'une solution à l'aide d'une variante du Théorème
du point fixe de Brouwer — résultat jouant pour toute la suite un rôle
absolument fondamental.
Lemme 4.3. — Soit Ç -> F(£) une application continue de Rm dans lui-même,
telle que, pour un p > 0 convenable, on ait :
(4.59) (i°të),0>° V{ tel que |«| =p,
oùsiZ = {t,},t, = {t,,}eW:
(4-60) «,!,)= £ É, >/„ K | - (f, 01/2 •
i=i
Alors il existe £, | £| < P, ^ £^ F(£) = 0.
Z)ewo«^/rai'/o«.
On raisonne par l'absurde ; si P(Ç) # 0 dans la boule /f = { | { | | f | < p},
on peut considérer l'application
(4.61) { - - P(0 , P , de K -» K
\P(t)\
qui est alors continue ; le Théorème du point fixe de Brouwer donne alors
l'existence d'un £ tel que
(4.62) £=-F(« P
P(0\

54 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
d'où |f| = p et prenant le produit scalaire des deux membres de (4.62) par £ :
(F®, o = - p I m l < o
ce qui contredit (4.59). |
On va utiliser ce Lemme pour montrer le
Théorème 4.3. Pour f donné dans H~\Q\ le problème (4.56) (4.57) (4.58)
admet une solution.
Démonstration.
1° Solutions approchées.
Soit wu ..., wm ... une « base » de Hl(Q) formée par exemple de fonctions
de B(Q) comme précédemment.
On cherche ulm e [wu ..., wm] telle que
(4.63) (a, A2ulm + — [ulm9 G2([ulm, wlin])], wtJ = (/, wt), 1 < i ^ m .
Si Ton définit u2m par
(4.64) u2m = - — G2([ulm, uim\)
"2
alors (4.63) équivaut à
(4.65) (at A2ulm - [ulm, u2m]t wt) = (/, wt), 1 < i ^ m ,
(4.66) a2A2w2m + [MlM,Mlm] = 0.
Il s'agit de montrer que (4.63) admet une solution. On utilise pour cela le
m
Lemme 4.3 (*), comme suit. A f = { {,} on associe ulm = £ itwt puis
(4.67) fy, = (al A2wlm - [w1/n, w2J, wt) - (/, w,)
et on pose
(4.68) />(0 = {i;i}-
Alors
/ m
) (P({), {) = E ^ fi = (al -2"lm ~ ["i™, «2«]. Uim) ~ (/. "lm)
(4.69) 1 '=1
( = Al I -Wlm |2 - ([tilm, M2J, Mlm) - (/, Ulm) .
( *) Q« (( remplace » dans /c? cas stationnaire le théorème d'existence locale pour les systèmes
d'équations différentielles non linéaires utilisé dans le cas d'évolution.

4. PROBLÈMES DE VIBRATIONS NON LINÉAIRES 5f
Mais par le Lemme 4.2 et par (4.66),
([«lm> "2«]> Ulm) = ([«1*, «1ml «2m) = ~ «2 I -W2m |2
de sorte que (4.69) donne
(4.70) (P(0, «) = a, | A«lm |2 + a2 | Au2m |2 - (/, n.J .
Mais
| (/, "l«) | < 11/ lln-2(IJ) Il "l« IU02(«) < Cl I A"lm I
et donc
(4.71) (/>({), {) > *i I Awi« I2 + *2 I Aw2m |2 - cx | Awlm | .
Donc
(P(0, £) ^ 0 si | Awlm | ^ cjau condition réalisée si | f | = p, p assez grand.
On peut donc utiliser le Lemme 4.1 ; il existe donc ulm e [wu ..., wm] solution
de (4.63), ou, ce qui revient au même, de (4.65) (4.66).
En outre, si ulm est solution, on a P(£) — 0 et (4.70) (4.71) donnent
(4.72) ax | Auîm \2 + a2\ Au2m |2 = (/, ulm) < cx | Auim \ .
2° Passage à la limite.
On déduit de (4.72) que
(4.73) uim demeure dans un borné de Hl(Q), i — 1, 2 .
On peut donc extraire une suite ulft telle que
(4.74) uifl -► ut dans HfcQ) faible
et, l'injection de H2(Q) -> L2(Q) étant compacte,
(4.75) uifl - ut dans L2(Q) fort (*) .
Soit / fixé, p > i ; on a :
(a, A2w.„, wt) - ([ullt, w2J, wt) = (/, w,) ;
mais
([«!„, W2J. W.) = (["il.» wii W2M)
et [ulfi, wj -> [w,, w(] dans L2(Q) faible, ce qui, avec (4.75), donne
(i) On a aussi : uf -> w^ dans Hq(&) fort.

56 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
et par conséquent
(a! A2Ut - [Ul9 U2], Wt) = (/, Wt)
et cela V/. On en déduit (4.56). On passe de même à la limite dans (4.66). |
4.4 Cas stationnaire ; régularité
On rappelle la définition des espaces de Sobolev construits sur LP(Q) :
(4.76) Wm'p(Q) = { v | v g LP(Q\ Da v e LP{Q\ \ a | < m } ,
espace de Banach pour la norme
Z \\Dav\\LP(Q).
\a\ ^ m
On va démontrer le
Théorème 4.4. — Pour f donné dans LP(Q)9 p > 1, il existe une solution
ul9 u2 du problème (4.56) (4.57) (4.58) qui vérifie
(4.77) ute W*>P{Q)9
(4.78) u2eW4'q(Q) Vq fini .
Démonstration.
On démontre, en fait, plus précisément :
toute solution de (4.56) (4.57) (4.58) possède, lorsque fe LP(Q),
(4*79) \ les propriétés (4.77) (4.78).
En effet, [uu ut] et [ul9 u2] sont dans Ll(Q) a H-l-\Q) (cf. (4.17)), donc
les équations
(4.80) alA2ul = lulfu2] + /, ux e H20(Q),
(4.81) a2 A2u2 - - [>!, u{]9 u2 e H2(Q) ,
entraînent (avec Lions-Magenes [1], Chap. 2) :
(4.82) w(.ei/3-*(£).
Alors
(4.83) D2ui e H1 -*(Q) c L2/e(Q) (J. Peetre [1]),
et donc, puisque e est > 0 quelconque
[ul9ut]t [ul9 u2]eL\Q) V^fini ^1 .
Alors le deuxième membre de (4.80) (resp. (4.81)) est dans LP(Q) (resp.
LP(Q) Vp fini) d'où (4.77) (4.78) d'après la résolution du problème de
Dirichlet dans LP(Q) (cf. S. Agmon [1], Agmon-Douglis-Nirenberg [1]). |

5. LEMMES DE COMPACITÉ 57
Remarque 4.5. La démonstration précédente suppose F assez régulière. |
Remarque 4.6 Si fe Lq(Q) Vq fini, la démonstration précédente donne :
ux g W*'P(Q) Vp fini. |
Remarque 4.7 En «réitérant» la démonstration précédente, on voit que
si fe ®(Q) alors u{ e @(Q)t i = 1, 2. |
5. LEMMES DE COMPACITÉ
5.1 Orientation
Nous avons déjà, et à plusieurs reprises, utilisé de manière essentielle la
compacité de l'injection de H1 (9) -> L2(6) lorsque 9 est un ouvert borné de
frontière assez régulière.
Ce résultat « d'injection compacte » ne suffit pas pour les applications.
Nous allons donc (au nro 5.2) donner deux Lemmes de compacité assez
généraux (*) puis donner au nro 5.3 une première application à une situation
déjà rencontrée au nro 3 ; d'autres applications seront données plus loin, en
particulier aux équations de Navier-Stokes.
5.2 Lemmes de compacité
Les notations seront les suivantes : on se donne trois espaces de Banach B0i
B, Bx, avec
(5.1) B0 œ B - Bx (2), Bt réflexif, / = 0, 1 ,
(5.2) l'injection B0 -> B est compacte .
On définit
(5.3) W = { v
veLp°(0,T;Bo), v = ~6 Lp'(0, 7; *,)
où Test fini et où 1 </>,.< oo, / = 0, 1.
Muni de la norme
v llz/o(0,r;flo) + H V' llLP'(0,T;fl,) ;
H7 est un espace de Banach.
Evidemment W - LPo(0, T ; B).
On a alors le résultat suivant :
( ') Dont une variante « non linéaire » sera donnée, dans un cadre concret, au nro 12.
(2) « c » signifie inclusion algébrique et topologique.

58 MÉTHODES DE COMPACITÉ ICHAP. 1]
Théorème 5.1. — Sous les hypothèses (5.1)(5.2) et si 1 <pt < oo, ï = 0,1
F injection de W dans LPo(0, T\ B) est compacte.
Démonstration.
Si vn demeure dans un borné de W, on peut extraire (*) une suite v^ telle
que Vp -*• v dans W faible. Changeant de notations, on voit que tout revient à
montrer ceci : soit vn une suite de W telle que
vn -*• 0 dans W faible .
Alors vn -> 0 dans LPo(0, T ; B) fort.
Mais on a le Lemme bien connu suivant (et dont nous rappellerons la
démonstration plus loin pour la commodité du lecteur) :
Lemme 5.1. — Sous Vhypothèse (5.2), Vrç > 0, // existe cn telle que
(5.4) \\v\\B^n\\v\\Bo + c„\\v\\Bl.
Par conséquent, Vrç > 0, il existe dn telle que
(5.5) \\vn\\LPo(0tT;B) ^ l\\vn\\LPo(0tT.Bo) + dn\\ vn\\LPo(0tTîBl).
Soit alors e > 0 donné ; puisque
II Vn \\lP0(0,T;B0) ^ C »
on aura
IK ÏÏLP0(OtTiB) < £/2 + àn\\Vn
si l'on choisit y avec t\c ^ e/2.
Tout revient donc à montrer que
(5.6) vn-+Q dans LPo(0, T; Bt) fort.
Comme W - C°([0, rj;^)on a: \\vn(t) ||fll ^ constante, de sorte que,
d'après le Théorème de Lebesgue, on aura (5.6) si l'on montre que
vn(s) -> 0 dans Bt fort, Vs g [0, T].
Comme s ne joue aucun rôle spécial, tout revient finalement à montrer que
(5.7) 0„(O) -0 dans^ fort.
Mais si l'on introduit w„ par
(5.8) wn(t) = vn(Xt), X > 0 à fixer ,
on a :
K(0) = w„(0),
(5.9)
ll|wJU(0,7.iflo) ^elX~l"'\ |K||L,l(o.T;fl,) <M,~'"".
(0 On utilise ici le fait que Lpi(0, T; Bi) est réflexif, si 1 < pt < oo, lorsque Bi est réflexif.

5. LEMMES DE COMPACITÉ 59
Si cp est une fonction Cl dans [0, T\, <p(0) = - 1, <p(T) = 0, on a :
w„(0) = I ((pwny dt = fi9 + y„ »
■> o
A = W, dr, yn= \ <pf w„ dr.
J o J o
D'après (5.9) on en déduit
(5.10) IK(0)I|fll < Il A, H*. + 11 y. Ils, ^c3^~1/P1 + Il 7. Ils,.
Si £ > 0, on choisit X de façon que c3 A1~1/Pl ^ g/2 et on aura donc (5.7)
si Ton montre que
(5. H) yn ->0 dans ^ fort.
Or wn -*• 0 dans LPo(0, T ; i?0) faible {X est fixé, et on peut toujours le
supposer < 1), donc yn -*■ 0 dans B0 faible. Comme B0 -* i?j est compacte, on en
déduit (5.11) et le Théorème (*). |
Démonstration du Lemme 5.1.
Supposons (5.4) inexact. Alors, Vrç > 0, il existe v„ e B0 et cn -*• + oo ,
avec
Il »» lin ^ 1 II »» lUo + C« H »- M». -
Introduisant wn = vj\\vn ||fîo, on a donc
(5 A2) l|w„||fl^ + cJ|wn||Bl
et
Il w„ Ha ^ (constante) || w„ ||flo < constante ,
donc (5.12) entraîne
(5 A3) l|wJL-0.
Mais || wn \\Bo = 1 et comme B0 -*• B est compactez on peut extraire de wn
une sous-suite wM fortement convergente dans B et nécessairement d'après
(5.13) vers 0, donc || wM ||fl -* 0 ce qui contredit (5A2). |
l f* lf5
» = - d„(/) d/, t>„ = (s — t) vA(t) àt.
sJo SK
(0 Autre démonstration (R. Temam) : on a vn(0) = an + t>„
un =
Si e > 0 est donné, on choisit s de façon que
Il A» Un, ^ f \\Vn{t)\\Bxdt^El2.
J o
Puis, pour s fixé, on observe que an -* 0 dans i?o faible, donc dans B\ fort.

60 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Remarque 5.1.
Dans les applications, on obtiendra une première estimation a priori dans un
espace du type Lp°(0, T\ B0), B0 étant un espace de Sobolev du type
(5 A4) B0 = Wm'p(Q).
On aura besoin, afin d'avoir convergence presque partout (cf. Lemrne 1.3),
de la conclusion du Théorème 5.1 avec par exemple
(5.15) B = LP(Q).
L'hypothèse (5.2) a lieu, d'après un Théorème de Kondrachoff [1], si Q
est borné de frontière assez régulière.
Alors la conclusion « pratique » du Théorème 5 A est qu'on obtient le résultat
désiré si Ton a une estimation a priori pour v' dans Lp,(0, T; Bt), où B{ peut
être choisi « arbitrairement grand ».
C'est cette remarque qui permettra (aux nros suivants) de résoudre le problème
de l'existence dans les équations de Navier-Stokes en dimension quelconque
d'espace. |
Nous allons donner maintenant un autre « Lemme de compacité » faisant
intervenir la notion de dérivée fractionnaire.
Nous nous bornons alors aux fonctions à valeurs dans des espaces hilber-
tiens (').
On se place donc dans les hypothèses (5.1) (5.2) avec en outre
(5 A 6) les espaces £0, B, Bx sont des Hilbert.
Si 7 est un nombre > 0 donné, on définit
(5A7) jr(R;B0,fii) = {» | veL2(R;B0)flT\vveL2(R;Bl)}
où
r + oo
y(T) = (transformée de Fourier en t de v) = e_2Tti,r u(t) ât.
J - 00
Muni de la norme
(5A8) IiHUR;Bo,flO = (!IHlL2(R;flo) + IMTrî|IL22(R;Bl))1/2
jey(R ; B0y By) est un espace de Hilbert.
On introduit ensuite
(5A9) ^f7(0, T; B0t Bx) = espace des restrictions à (0, T) des fonctions de
(]) Le cas non Hilbertien supposerait connue la théorie de Pinterpolation. Les résultats
ci-après suffiront pour notre objet.

5. LEMMES DE COMPACITÉ
61
espace de Hilbert pour la « norme quotient » :
(5.20) IMLrvco.TiHo,*.) = mfH w\\jty(R;B0.Bl) w = v p. p. sur (0, 7).
L'espace ^(0, 7; B0i Bx) est l'espace des v e L2(0, 7; B0) tels que (par
définition) la dérivée fractionnaire d'ordre y de v soit dans L2(0, 7; B1.)
(Dans les applications on aura en général 0 < y < 1).
On va démontrer le
Théorème 5.2. — On suppose que (5 A) (5.2) (5.16) ont lieu. Alors Vinjection
dejey(0, T\BQiBx)-* L2(0, 7; B) est compacte.
Démonstration.
Comme à la Démonstration du Théorème 5.1, tout revient à montrer ceci :
si vn -+ 0 dans jfy(0, T;B0i Bx) faible, alors vn -> 0 dans L2(0, 7; Bx) fort.
On peut supposer que vn est la restriction à (0, 7) de wn eJf y(R ; B0, B^, wn à
support dans [- 1, 7 + 1], w„->0 dans jf y(R ; B0, Bx) faible. Et il faut
montrer que wn -» 0 dans L2(R ; Bx) ou encore que
(5.21) Jn= P°° (1 w„(t) (Je, dr — 0 .
Or
J„ = j || w„(T) ||2, dr + j (1 + | r |»») || »„(r)%, . —J-; dr
< f \\^)\\llàr+7^—y.
J |t|<M 1 + M27
Pour e > 0 donné, on choisit M de façon que
C B
l + M2' * 2*
On aura alors (5.21) si l'on montre que
(5.22) f || w„(t) H5, dt - 0, M fixé.
J \x\^M
Si ij/ est une fonction continue à support compact, = 1 sur [— 1,7+ 1],
alors wn = \pwn et donc
w„(t)= f + "w.(0(c-2",,W0)d.;

62 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
donc w„(t) -► 0 dans B0 faible, donc dans B fort et a fortiori dans Bt fort ; par
ailleurs
||w.(T)||Bl<||w.||l,(,.Bl)||e-2"i,'^||1?(1)
et (5.22) résulte alors du Théorème de Lebesgue. |
5.3 Application du Théorème 5.1
On reprend ici la situation du nro 3, pour l'équation
(5.23) u" - Au + | u' \p u' =f dans Q = Q x ]0, T[,
(5.24) u = 0 sur X,
(5.25) u(0) = wo,w'(0) = ux .
On va démontrer le
Théorème 5.3. — On suppose f u0y ul donnés avec
(5.26) / g L2(0,T;//£(£>)),
(5.27) u0 g H\Q) n Hl0(Q) ,
(5.28) Wig//J(-Q).
On suppose Q borné de frontière régulière.
Il existe alors une fonction u et une seule (1), solution de (5.23) (5.24) (5.25),
avec
(5.29) u g L00 (0, T ; H2(Q) n H^Q)) ,
(5.30) u' g L°°(0, T;Hl0(Q)) n LP + 2(Q).
Remarque 5.2.
Les hypothèses sur/, w0, wL sont moins fortes que dans le Théorème 3.1
et la solution obtenue est (comme il se doit) plus faible. |
Démonstration du Théorème 5.3.
1) On construit la solution approchée um comme dans la Démonstration
du Théorème 3.1 (cf. (3.19)), avec
u0m - u0 dans H\Q) n H^Q) ,
"iffl-»wi dans Hl0(Q),
et les Wj étant choisis fonctions propres de — A, comme en (3.15).
(0 On ne montrera pas ici l'unicité, renvoyant au résultat plus général du Chapitre 2, nro 6.

5. LEMMES DE COMPACITÉ 63
2) Les estimations a priori (I) (II) de la Démonstration du Théorème 3.1
sont valables ; donc
(5.31) um demeure dans un borné de L°°(0, T; H2(Q) n Hl(Q)) ,
( um demeure dans un borné de L°°(0, T ; Hl(Q)) n LP(Q),
\p = P + 2.
Par contre les estimations a priori (III) ne sont plus valables (elles supposaient
que/' g L2(Q)) ; on va les remplacer par des estimations « moins fortes » mais
suffisantes pour passer à la limite, par application du Théorème 5.1.
3) Désignons par A l'opérateur non borné dans L2(Q) défini par
(5.33) Au = Au, D(A) = (domaine de A) = H2(Q) n Hl0(Q).
Alors, si Q est de frontière assez régulière
D(AN) cz H2N(Q)
et comme pour N convenable on a H2N{Q) a LP{Q) on voit que
(5.34) D(AN) c LP(Q) pour N assez grand .
L'opérateur Pm de projection dans L2{Q) sur [wu ..., wm] :
(5.35) Pmf = 5 (/, w,) w,
i=i
vérifie :
PmeJ?{D(AN);D(AN)); \\ Pm
et donc, d'après (5.34) :
Il Fro lljSf(D(/4N);LP(fi)) ^ C »
et donc» par transposition, comme F* = Pm :
(5.36) || Pm ||jSr(LP'(fl);DUw)') ^ C *
Mais on déduit de l'équation d'approximation (3.19) que
(5.37) u"m(t) = Aum(t) - Pm(\ u'm(Û |P u'm(t)) + PJ
et d'après (5.32), t -► | um(t) \p um(t) demeure dans un borné de Lp'(0, T ; LP\Q))
— et donc d'après (5.36) :
Fm(l «L IP «„) demeure dans un borné de Lp'(0, T; D(AN)') .
Par conséquent (5.37) (avec (5.31)) entraîne :
(5.38) um borné de Lp'(0, T ; D(AN)') .

64 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
4) On applique maintenant le Théorème de compacité 5.1, à la suite um, avec
(B0 — HliQ), p0 = 2 (par exemple)
Bx = D(ANY , Pi = p\
et avec
(5.40) B = Û(Q) (loisible car HliQ) -► L2(Q) est compacte) .
On en déduit que l'on peut extraire une suite u^ telle que
(5.41) u'^-* u' dans L2(0, T; L2(Q)) et p.p. dans g.
Par ailleurs on peut supposer que
(5.42) u^u dans Lœ(0, T ; H2(;Q) n Hj(.Q)) weak star,
(5.43) w; - u' dans Lp(fi) faible et dans L°°(0, T; Hq(Q)) weak star,
(5.44) Ki*X-»X dans LP'(Q) faible.
Mais d'après (5.41) et le Lemme 1.3, on en déduit que % = | u' \p u' et
on achève la Démonstration comme au Théorème 3.1. |
6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION)
6.1 Position du problème
Soit Q un ouvert borné de R", de frontière F (quelconque, régulière ou non
du moins au début).
On désigne par u un vecteur (vecteur vitesse) :
(6.1) U = {«!,...,«,}
défini dans Q = Q x ]0, T[.
On posera :
!-'-« <>-(£ £)•
».-(»-« D->=(£ &)•
Au = { Auu ..., Au„ } .

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 65
Les équations de Navier-Stokes sont les suivantes, dans le cas d'évolution
(6.2) ^- vAti+ £ UlDtu =/-gradp, (v > 0)
(6.3) divw -0 (i.e. £ Dlul = ol,
avec les conditions aux limites et initiales
(6.4) u = 0 sur I (i. e. w, = 0 sur X, i= 1,...,«),
(6.5) w(x. 0) = u0(x) sur G(i. e. w,(x, 0) = w0,.(x), x e Q). |
Le problème est de trouver w etp (évidemment défini au mieux à une constante
additive près) tels que (6.2),.... (6.5) aient lieu.
Remarque 6.1.
Les équations (6.2),..., (6.5) ne sont pas du type de Cauchy Kowaleska (pas
de dérivée en dpjdt ; nous avons déjà rencontré au nro 4 un exemple d'une telle
situation) ; en fait ces équations deviennent du type Cauchy-Kowaleska lorsque
écrites dans un espace quotient d'espace de distributions : l'espace V* défini
ci-après. |
On va maintenant définir ce qu'on entend par solution faible, ou, selon
Leray [1] [2], solution turbulente, du problème (6.2),..., (6.5). On a pour cela
besoin des notions suivantes ; on définit
(6.6) r = { <p | q> g ®(Q)n, div q> = 0}
et
(6.7) H = adhérence de HT dans (L2(Q))n .
Pour/, g H on pose
(6.8) (/,g)= £ f /igfdx(|/|=(/,/)1/2.
On considère par ailleurs les espaces HS(Q), s ^ 0, s entier ou non (cf. Lions-
Magenes [1], Chap. 1) ; l'espace (Hs(Q))n est muni du produit scalaire hilber-
tien :
(6.9) ((«,»)).= î ("„ vd„.(a) (l).
On définit ensuite :
(6.10) Vs = adhérence de rT dans (H\Q)f , || u \\s = ((w, u))^2 .
(') Le lecteur désirant éviter l'usage de H"(Q) pour s non entier pourra dans la lecture des
nnw 6.3 et 6.4, prendre pour s le plus petit entier ^ w/2.

66 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On posera en particulier :
(6.11) V1 = K, || «H, -|| «||.
On a donc
(6.12) Vsa V cz H si s> \ ,
où dans (6.12) chaque espace est dense dans le suivant.
On identifie H à son dual : H' = H. On peut alors, dans « la même »
identification, identifier V\ V's à des sur-espaces de H, donc on peut compléter (6.12)
par
(6A3) vs œ v <=. h œ v œ v;. |
Remarque 6.2.
L'espace V (et aussi Vs) est un quotient de @'(Q)n. |
Remarque 6.3.
Si v g Vs alors v{ g Ho(Q), donc (si s > i), vt — 0 sur F. On traduira alors
(6.3) (6.4) par l'appartenance de u à V, pour presque tout t. |
On pose maintenant :
" f OU: ÔV:
(6.H) a(u,v)= £ JT^àx, u,veV,
i,j= l J fi 0Xi 0Xi
et
(6.15) b(u9v,w)= t { tfk(Dk »,) w, d*
i.k=l J fi
pour trois vecteurs u, u, w tels que les intégrales convergent ; notons à ce sujet le
Lemme 6.1. — La forme trilinéaire u, v, w -+ b(u, y, w) est continue sur
V x V x (V n (Ln(Q))n (*).
Démonstration.
En effet, si u g V, on a : u{ g H0(Q), donc d'après le théorème de Sobolev :
(6 A 6) u{ e L9(:Q), - = (et q fini quelconque si w = 2) ,
q 2 n
et on note que
uk(Dk vd wt dx < || wfc ||L,(IÎ) || Dfc u< ||L2(Q) || wt \\Ln(Q) ,
I ^ n I
(0 Noter que Vn (Ln(Q))n = Ksi n < 4.

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 67
d'où le résultat (*). Pour n — 2 noter par exemple que
uk(Dk vt) Wi dx ^ || uk \\LHQ) || Dk vt \\L2(i}) || wt ||L4(m . |
I J « I
On peut maintenant poser le
Problème 6.1 On donne
(6. H) /GL2(OJ;(i/-W),
(6.18) w0g#.
On cherche uztp,pe 2>'(Q), tels que
(6.19) u g L2(0, T; V) n L*(0, T ; H),
n
(6.20) u' - v Aw + £ "* Di u = / " Srad P (identique à (6.2)),
(6.21) u(0) = «0.
Remarque 6.4.
Dans (6.19) l'appartenance de w à L°°(0, T; //) peut sembler artificielle et
en fait n'est pas indispensable pour l'énoncé du problème ; mais on montrera
l'existence dans la classe (6.19). Comme déjà indiqué (Remarque 6.3), la
condition « u g L2(0, T\ V)» traduit, dans un certain sens, les conditions (6.3)
et (6.4).
11 faut noter que l'on peut donner deux définitions, a priori également
naturelles, pour l'espace V :
première définition : V — adhérence de y dans (Hl(Q))n ;
deuxième définition : V — { v | v e (Hl(Q))\ div v = 0}.
Ces deux définitions sont équivalentes. Désignons en effet, pour un instant,
par V l'espace de la 2e définition ; il est clair que V c V ; montrons l'inclusion
inverse : soit donc L une forme linéaire continue sur V9 nulle sur V; d'après
le théorème de Hahn Banach, on peut représenter L (de façon non unique) par
L(v) = £ (Lhvt), L, g tf"'(£>);
L est nulle sur F, i. e. sur y et donc, d'après le théorème de dualité de Rham
(cf. de Rham [1]) :
(») En fait cela montre la continuité sur (L«(Q))n X Vx (Ln(Q))n.

68 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Mais on peut montrer (cf. Magenes-Stampacchia [1], note (27), p. 320)
qu'alors S g L2(Q) et dans ces conditions
L(v) = £ (|^, vA = - (S, div v) = 0 Vt> e K
d'où le résultat. |
Remarque 6.5.
Malgré son apparente précision, l'énoncé du Problème 6.1 comporte une
ambiguïté ; on n'a pas de renseignements sur u' et /?, mais seulement la relation
n
(6.22) u' + grad p = vAw- £ w( D{ u + / dans g ,
de sorte que le sens donné à (6.21) n'est pas évident.
Si l'on prend ^ef alors
(grad p, <p) = 0 (dans 0'(O, T)n)
et (6.22) donne
(6.23) (u\ <p) = - va(u, (p) - b(u, «, q>) + (f> <P) -
Mais on vérifie sans peine que
(6.24) h(u, u, cp) — — b(u, (p, u),
donc (6.23) équivaut à
(6.25) («', (p) = - va(u, (p) + b(w, <p, u) + (/, <p).
Soit X = adhérence de tT dans (W1^2^))" ; on a :
n
| b(«, <P, «) | < Ci || U ||(M(iî))n £ || Dt q>j \\Ln,2{n) <C2\\U ||2 || (p \\x ,
et donc
b(W,(p,W) = (g,(p),||g||r <c||W||2
donc ^eLHOJir).
Alors (6.25) montre que
(6.26) w'gL2(0, T\V') + Ll{0, T\X')
de sorte que (6.21) a un sens (par exemple dans X').
On précisera d'ailleurs cela dans la suite — et on verra que cette
interprétation se simplifie considérablement si n — 2. |
La Remarque 6.5 conduit naturellement à un autre énoncé du Problème 6.1.

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 69
Problème 6.2 On donne :
(6.27) /6l2(0,T; V) ,
(6.28) u0eH (identique à (6.18)).
On cherche u tel que
(6.29) u g L2(0, T; V) n L°°(0, T; H) (identique à (6.19)),
(6.30) (m', y) + va(u, v) + b(u, u, v) = (/, y) Vv e V n (L\Q))n,
(6.31) «(0) = i/0.
Remarque 6.6.
La condition (6.31) s'interprète comme à la Remarque 6.5 ; on utilise le
Lemme 6.1 pour préciser le sens de b(w, w, v). |
Remarque 6.7.
Montrons Véquivalence des deux énoncés.
Si u est solution du Problème 6.1 alors on a (6.25) V<p ef, d'où (6.30)
par passage à la limite sur cp dans V n (Ln(Q))n ; donc u est solution du
Problème 6.2.
Réciproquement, soit u solution de (6.30). Alors si Ton pose
n
(6.32) u - v Au + £ ut Dt u - / = S ,
»=i
S est dans (0'(0)" et
(6.33) (5, <p) = 0 dans (0'(O, 7))" V<p g ^ .
II en résulte que S est de la forme
(6.34) S = - &adp,pe®'(Q). |
On va démontrer dans la suite les résultats suivants :
Théorème 6.1. — // existe u solution du Problème 6.2 (T > Ofini quelconque).
La question de Vunicité est ouverte ; on démontrera toutefois le :
Théorème 6.2. — Si la dimension n est égale à 2, le Problème 6.2 admet une
solution unique.
On montrera aussi le
Théorème 6.3. — Si la dimension n — 2, la solution u du Problème 6.2 est,
après modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle, continue de
[0, T]-+ H; u(t) -» u0 dans H lorsque t -> 0 . |
Pour bien montrer l'importance du rôle de la dimension nous allons
commencer par la Démonstration des Théorèmes 6.2 et 6.3 (nro 6.2) ; nous donnerons
ensuite deux démonstrations du Théorème 6.1, la première (nro 6.4) valable
avec n quelconque, la deuxième (nro 6.5) valable avec n ^ 4.

70
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
6.2 Le cas de la dimension d'espace 2. Unicité
On utilise quelques Lemmes.
Lemme 6.2. — Si n — 2, il existe une constante c(Q) telle que
(6.35) || v ||L«(fl) < c(Q) || v \\$Q) || v ||#fl) Vu e Hl(Q) .
Démonstration.
Il suffit de montrer (6.35) pour v e @(Q) ; prolongeant v par 0 hors de Q,
(6.35) résultera alors de
1/4
(6.36) || v ||L<(R2) < 21/4|| v ||i^R2) (£ || D, u ||22(R2))
On part de
u2(x) = 2 v(Dt v) dxt,
J - oo
d'où
v2(x) < 2 Ui(x2) et v2(x) < 2 u2(xi) >
r + oo p + qo
v1(x2) = | u | | Dt y | dxj et v2(x1) = | y | | D2 u | dx2 .
J — oo J — oo
Donc
i/(x)dx<4 ^iU2)dx2 u2(*i)d*i
Jr2 Jr Jr
< 4 IIv \\m**) Il Div ILw> Il ^ Hl2(r2) Il Di v
d'où en particulier (6.36). |
Lemme 6.3. — Si n = 2 et ue L2(0, T; V) n L°°(0, F; //), alors
2
(6.37) £ "./>."eL2(0,T;F').
»=i
Démonstration.
Si <p e V (on rappelle que || <p \\ — norme de (p dans V) on a :
2 \ l 2
(^ £ UiDiU.cpj^ - ^ £ Ui Dt <p, uj ,

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 71
donc
( £ Ut Dt u, q>) < Ci H u ||(2L4(ft))2 || q> \\
I Vi=l / I
<(d>rès(6.35))c2||u|||u|||<HI
et donc
Il 2) «KO I>« M(0 ||v- < Ca H U(«) H | "(0 | ,
» = 1
d'où (6.37) puisque f->||w(0|| est dans L2(0, T) et t -» | u(t) | est dans
L°°(0, T). |
On déduit alors de (6.30) que uf e L2(0, T\ F'), lorsque n = 2 ; on a donc
démontré le
Théorème 6.4. — Toute solution u du Problème 6.2 vérifie, lorsque n = 2,
(6.38) u'eL2(0, T; F'). |
Le Théorème 6.3 résulte de u e L2(0, T; F) et (6.38) et les théorèmes de
trace ; cf. Lions-Magenes [1], Chapitre 1. |
Démonstration du Théorème 6.2.
Soient u et u* deux solutions et soit w = u — w*. Alors
(6.39) (w', y) + va(w, t?) + b(wy uy v) + b(u, w, v) — b(w, w, u) = 0,
Vue F (car F c (L2(.G))2 !).
Puisque Ton sait, d'après (6.38), que w' e L2(0, T; F'), on peut prendre dans
(6.39) v = w(t) et intégrer en t ; il vient (*)
(6.40)
- | w(t) |2 + v a(w, w) d<7 + [b(w, u, w) + b(u, w, w) — b(w, w, w)] = 0.
Mais b(w, w, w) = 0, b(w, w, w) = 0 et donc (6.40) donne
(6.41) \ | w(0 |2 + v f || w((7) ||2 dcr = - f b(w, m, w) d<7 .
(0 Si we L2(0, T; F), w' e 1,2(0, T; F'), on a bien X- j | h>(/) |2 = (*(/), *'(/)) p. p.

72 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. I]
Or
b(w, M, W) 6(7 \ < Cy\ || W((7) \\fL4(Q))2 II W((7) || d(7
\ J o i J o
< (par (6.35)) c4 f | w(<r) | || w(<r) || || u(c) || d<r
< V f II W(<7) ||2 d<7 + C5 \ | W((7) |2 || U((T) y2 d<7 .
J o Jo
Donc (6.41) donne
(6.42) |w(r)|2 <2c5 f ||W(o-)||2|w((7)|2d(7,
d'où w = 0. |
6.3 Base spéciale
On va prendre dans la suite l'espace Vs avec
(6.43) s^n/H1).
On utilisera les Lemmes suivants :
Lemme 6.4. — Avec le choix (6.43), si v e Vs alors Dt v} e Ln(Q).
Démonstration.
En effet (2) D{ vjeHs"l(Q) et Hs"l(Q) œ U(Q\ où i = l- - S-^- = -
d'après Peetre [1], |
Lemme 6.5. — Pour ue Vy v e Vs, on a :
(6.44) b(u, u, v) = — b(w, t>, u).
Résultat immédiat pour w, d g f ; puis on passe à la limite. |
Lemme 6.6. — Pour u e V, la forme linéaire v -» b(u, u, v) est continue sur Vs ;
on a :
(6.45) b(u9u,v) = (g(u),vlg(u)eVs\
avec
(6.46) \\g(u)\\y. <c6\\u
C) Donc si n = 2, l'existence se démontre sans utilisation d'autre espace que V\ — V.
(2) Cf. Prop. 12.1. Chap. 1, Lions-Magenes [1].

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 73
OÙ
(6.47) - = - —— (p < qy où q donné en (6.16)) .
Démonstration.
n
| b(u, u, v) | = | - b(u, vy u) | ^ c7 || u ||(2LP(r))r X! Il Di VJ Hl-(iî) >
d'où (6.46), d'après le Lemme 6.4. |
Lemnie 6.7. — Soit u e L2(0, T; V) n L°°(0, T; H). Alors
(6.48) u g L4(0, T ; (!'(£))"), p donné par (6.47).
Démonstration.
Si « = { u,}, on a:
(6.49) «,. e L2(0, T; //J(fi)) n L°°(0, T; L2(Q)) .
Distinguons deux cas :
Premier cas \n — 2.
Alors, d'après le Lemme 6.2:
|| «,(0 ||l«(i» < c(Û) || «KO Hnto) || «<(0 ||l»?o) < c II "»W Ifêii)
d'où
u,eL4(0, T\L\Q))
d'où (6.48) (p = 4 si « = 2) .
Deuxième cas : n ^ 3.
Alors d'après le Théorème de Sobolev, hI(Q) c Lq(Q), - = - - - et
(6.49) entraîne
(6.50) ut e L2(0, T ; L9(r2)) n Z,°°(0, T ; L2(r2)).
Mais d'après Hôlder
Il uM ||t,(fl) < | «,(») |#0) || Ui(0||#0) < c || «,(0 Ut'îo,
d'où
Wl.GL4(0sr;L^))
d'où (6.48). |

74 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Lemme 6.8. — Vinjection Vs -*■ H est compacte.
Démonstration.
Evident, car Vs a Vl = Ket Vx -*• //est compacte puisque H0(Q) -► L2(Q)
est compacte. |
Corollaire 6.1. — Le problème spectral (avec les notations (6.9)) :
(6.51) (K v))s = X(w, v) VveVs
admet une suite de solutions non nulles Wj correspondant à une suite de valeurs
propres kj :
(6.52) (K»)), = ^») VveVs, kj > 0 .
On utilisera les fonctions Wj comme « base spéciale » dans la méthode de
Faedo-Galerkin, au nro ci-après. |
On peut déjà utiliser l'espace Vs pour démontrer le
Théorème 6.5. — Toute solution du Problème 6.2 vérifie
(6.53) ufeL2(0tT;V's)ts = n/2 (<).
Démonstration.
En effet
(6.54) a(u , v) = (Au, v) , Ae&{V\V')
et utilisant (6.45) on déduit de (6.30) que
(6.55) u' = - y Au - g(u) +f.
D'après (6.46) et (6.48), g(u) e L2(0, T ; V's) ; comme Au e L2(0, T\ V%
feL2(0, T; V) et K' c K;, (6.55) donne donc (6.53). |
Corollaire 6.2. — Toute solution du Problème 6.2 est, après modification
éventuelle sur un ensemble de mesure nulle, continue de [0, T] -» V[s^i)l2 (2).
Démonstration (3).
On utilise ici la théorie de l'interpolation ; d'après Lions-Magenes [1],
Chapitre 1, u est continue de [0, T] -► [K, V'S]U2 = V(s-iy2 • I
(0 Si n = 2, on obtient de nouveau le Théorème 6.4 (d'ailleurs avec la même
démonstration !).
(2) Et aussi continue de [0, T] -> H faible (cf. par exemple Lions-Magenes [1], Lemme 8.2,
Chap. 3).
(3) Ce résultat n'est pas indispensable pour la suite.

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 75
6.4 Démonstration du Théorème d'existence 6.1 ; première méthode
6.4.1. Solutions approchées.
On utilise la « base » wu .... wm ... introduite en (6.52).
On définit um(t) solution « approchée » d'ordre m par
m
(6.56) (u^(0, wy) + vfl(um(0, wy) + b(um(t), um(t), wf) = (f(t), w,) , 1 < j>^m
(6.57) Mm(0) = u0m, u0m g [wlf..., wj, w0m -> w0 dans H.
Ce système d'équations différentielles en les gjm(t) définit wm(t) dans [0, tm] ;
on verra au point suivant que l'on peut prendre tm = T.
6.4.2 Estimations a priori (I).
Multiplions (6.56) par gjm(t) et sommons en j ; comme (cf. Lemme 6.5)
h(um, umt um) = 0, on en déduit
(6.58) I A | ujt) |2 + vfl(iim(0, ujt)) = (/(*), wm(0)
ou
ï à I «■*> I2 +v II «-« II2 < 11/(0 II II «-« Il < -2II «-w II2 +c
d'où
(6.59) | «„,(.) |2 + v f || «» ||2 dcr < | u0m |2 + c f ||/(<r) ||2 do .
Jo J o
Utilisant (6.57) on en déduit que tm— F et que
(6.60) um demeure dans un borné de L2(0, T\ V) n L°°(0, T; H).
6.4.3 Estimation a priori (II).
On va maintenant — et c'est le point fondamental — montrer que
(6.61) um demeure dans un borné de L2(0, T; V's).
Soit en effet Pm le projecteur de H -> [wu ..., wm] (donc
m
P,„ /> = £ (h, w,) w,)
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires

76
METHODES DE COMPACITE
[CHAP. 1]
Avec les notations (6.54) et (6.45) on déduit de (6.56) que
(6.62) u'm= - Pm(g(uJ) - vPm Aum + Pmf.
Mais || Pm \\x(vm; Va) ^ 1 (grâce au choix de Wj)t donc par transposition (et
comme P* = Pm) :
(6.63) \\Pm\\^aiv:y< 1-
On déduit de (6.60), (6.46), (6.48) que g(um) demeure dans un borné de
L2(0, T\ V'a), et donc Pm(g(u„)) demeure dans un borné de L2(0, T; V's).
Alors, comme Aum demeure dans un borné de L2(0, T ; V) donc de
L2(0, T; K), (6.61) résulte de (6.62).
6.4.4 Passage à la limite
On utilise le Théorème de compacité 5.1 avec :
B0 = V9 p0 = 2,
B{ = VS\ Pl=2,
B = H .
On peut donc extraire de um une suite wM telle que
(6.64) m„ -> u dans L2(0, T ; V) faible ,
(6.65) m„ -> m dans L°°(0, T ; H) weak star ,
(6.66) u^-^u dans L2(0, T; H) fort et p. p. dans Q ,
(6.67) «; -» u' dans L2(0, F; Ks') faible.
On déduit de (6.64) (6.67) que wM(0) -> w(0) dans V's faible (par exemple) et
donc que w(0) = u0.
D'après le Lemme 6.7, u^ u^ est borné dans L2(0, T; Lp/2(Q)) et on peut
donc supposer que
(6.68) Ultt u^j -+ xu dans L2(0, T ; LPl2(Q)) faible.
Mais grâce à (6.66) on a :
(6.69) xu = ".-«j-
(Utiliser le Lemme 1.3 ou bien noter que u^ u^j -► w(- Uj dans ^'(2) \ en effet
w^(- w^. (pàxàt -+ w(- wy (p dx et \fq> e @(Q)
J Q J q
car u^t -> w(- dans L2(g) faible et ww- q> -+ Uj q> dans L2(ô) fort.)

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 77
On déduit de (6.68) (6.69) que
(6.70) b(u^ w„, wj) -> b(u, u, Wj) dans L2(0, T) faible.
En effet si ^ e L2(0, T), on a :
b(u^ u^ Wj) xf/ ât = - &(«„, wJf u„) i^ d*
J o "^ J o
et on passe à la limite en utilisant (6.68).
Par ailleurs
(*V Wj) -> («', Wj) dans @'(Q, T) par exemple ,
et donc (6.56) (pour m = pi) donne à la limite
(M', Wj) + Va(w, Wj) + b(w, M, W7-) = (/, W,) ,
et cela Vf.
On en déduit (6.30) Vu g F,, puis Vu g K n (L"(G))". I
6.5 Démonstration du Théorème d'existence 6.1 ; deuxième méthode
La méthode qui suit ne donne le résultat que sous l'hypothèse
(6.71) «<4.
Par contre la méthode ne suppose pas que Von choisisse pour Wj une base
spéciale. |
Soit donc wx ... wm...une base « quelconque » de Vs (*) et um la solution
approchée définie par (6.56) (6.57).
On a encore l'estimation (6.60).
Par contre (6.61) n'est plus valable et va être remplacée par une estimation
sur une dérivée fractionnaire en t de um (cf. Théorème 5.2):
(6.72) quel que soit e > 0, Df/4_c um demeure dans un borné de L2(0, T; H),
où
i jT)i/4-e u _ restrjctjon à (0, T) de la transformée de Fourier inverse
(6.73) ^ en t de | t |1/4_c Uyoù u = transformée de Fourier en t de w, prolon-
f gement de u par 0 hors de (0, T).
Soit en effet um le prolongement de u,„ par 0 hors de (0, T) ; on déduit de
(6.56) que
) fa ("m(0. Wj) + Va(wm) W;) + b(um, U„, Wj) = (/, W;)
f - ("m(F)> Wj) ÔT + (M0«, Wj) Ôq ,
où/est le prolongement de/par 0 hors de (0, T), et où <50(resp. <5T) est la masse
de Dirac en 0 (resp. T).
(O Ou bien de Vn (L»(-Q))».

78 méthodes de compacité [chap. 1]
On utilise maintenant (6.45) mais avec des majorations différentes, valables
lorsque n ^ 4 ; on a :
(g(u)9 v) = - b(w, v9 u) ,
donc
|(g(u),t>)|<C||U||2LW|MI
et comme H\(Q) a L4(Q) si « =% 4, on a :
(6.75) \\g(u)\\v^c\\u\\2.
Posons
gm = g(ZJ ;
gm = transformée de Fourier de gm, / = transformée de Fourier de /, etc ;
(6.74) donne :
' 2 n h(um(T), Wj) + va(wm, wj) + Qu, wj) = (/, wj) -
(6.76)
- (um(n*j)*-2*itT + (u0m,wj)
Mais um(x)e [w,,..., wm] ; on déduit donc de (6.76)
2 7i it | «m(r) | 2 + va(«m(T), Û„(t)) + (gm(x), ujx)) =
= (7(t), Sm(r)) - («m(T), «m(t)) e ~2*itr + («0m, um(t)).
On déduit de (6.77), en prenant la partie imaginaire et majorant :
M| «mW |2 < (Il g„(T) 11k- + Il/M IIk-) Il ujx) Il +
(6.78)
+ | uJJ) | | ujx) | + | u0„, | | ujx) I
Mais d'après (6.75)
f " Il L \\v d» < c f || «,„(0 II2 dt < C,
J -00 •> 0
et donc
||ft.(T)|Mct.
D'après (6.60), | um(T) | < c2 et comme | u0m | ^ c3, on déduit de (6.78) que
M | ÛJx) |2 < C, || Ûjx) || + ||/(T) \\y. || ujx) || + C4 | «M(T) I
Soit c tel que 2 a > 1. Alors
(6.79) I '•'l"'"vT)-JdT<Xm+ y. + z,,
P°°M|"„(t)
J-oo 1 + | t |"

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 79
avec
J-oI + ItT
y- = j*JI/Wlk'll«-Wll7^7j-.dT.
J -oo 1 + T
|T|-
Mais :—-g L2(Rr) et d'après (6.60), um demeure dans un borné de
1 + T
L2(RT ; V) donc Xm ^ c. Comme
p + co
11/
•/ - GO
r.< I "ll/IlK'ir^lldT on a rM^c.
Enfin « j—- g L2(Rr) » et (6.60) entraînent Zm <* c.
Donc (6.79) — où cr > i — entraîne (6.72). |
On applique maintenant le Théorème de Compacité 5.2, avec :
fî0 = K, Bt = H , y = J - e , fl = /* .
On en déduit que l'on peut extraire de um une suite u^ telle que
(6.80) h„ - u dans L2(0, T; F) faible, L*(0, T; H) weak star
et, d'après le Théorème 5.2 :
(6.81) u„ -> w dans L2(0, T; //) fort et p. p. dans g.
On en déduit que u est solution du Problème 6.2 comme au n° 6.4. |
6.6 Un théorème de régularité
On va maintenant démontrer que si les données sont « plus régulières », et
si la dimension est 2, la solution est plus régulière. De façon précise :
Théorème 6.6. — On suppose que n = 2 et que f et u0 sont donnés avec
(6.82) fJ'eL\0,T;V')yf(0)eHt
(6 83) (uo = {"oi}. u0ieH2(Q)nHl(Q), u0 e V .
{(ces hypothèses ne sont pas les meilleures possibles).
Alors la solution u du Problème 6.2 fournie par le Théorème 6.1 vérifie
(6.84) u'e L2(0, T ; V) n L°°(0, T ; H).

80 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Démonstration.
On part de um, solution de (6.56), (6.57) avec Wj base de V n (H2(Q))n, et
u0m choisi de façon que
(6.85) u0m -> u0 dans V n (H2(Q))n.
On déduit de (6.56) que
| u'JO) |2 = (/(0), u'm(0)) - va(u0m, u'm(0)) - b(u0m, u0m, u^O)),
d'où
K(o)|2 ^ |/(o)||ii;(0)| + c|«;(o)|
2
car | b(u0m, u0m, u'm(0)) | < c || u0m ||(L4(n))2 £ Il ^("oJ; ||l<(0) | "«(°) |
et Df(wom)j est borné dans 7/<î(.Q) donc dans L4(£>).
Dérivons (6.56) en/ :
(6 86) f (M""W' Wù + Vfl(M"W' w') + b(umit\ «i(0, *;)
1 + b(w;(0, iiJO, *,) = (/'(0, *,.).
On multiplie (6.86) par g;m(0 et on somme en j ; il vient, en notant que
*(«„(/), «.^(O, «m(0) = 0:
(6.87) i jt | m;(0 |2 + v || «;(0 ||2 = (f(t), u'Jt)) - b(u'm(t), ujt), «,'„(/)) •
Mais
| b(um(t), um(t), u'm(t)) | = | - b(u'm(t), u'm(t), um(t)) | <
< ci || "M ||<lW Il «:w II II "m(o lUw
< (d'après le Lemme 6.2) c21| u'm(t) \\3'2 \ u'Jt) |"2|| ujt) \\(L,(a)ï,
<l\\u'm(t)\\2+c3\u'm(t)\2\\ujLt)\$L.m)2.
Posons
(6.88) q>Jt) = || uji) ||
Il vient
(6.89) jt | 11^(0 |2 + v II u'Jt) ||2 < ||A0 \\v. || W;(0 II + c3 </>,» | ««(O |2 .

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D*ÉVOLUTïON) 81
On déduit en particulier de (6.89) que
| «;« |2 < | <(0) |2 + c4 f' ||/'(o-) |j^ do- 4- c3 f ' <pm(a) | «:((t) |2 da
J o J o
< C5 + C3 <pm((7) | li;((7) )2 d(7 .
J 0
Donc
(6.90) | u'Jt) |2 ^ c5 exp (c3 J ç>m(otdoj ,
et comme um demeure dans un borné de L2(0, T\ V) n L°°(0, T\ H), donc
(Lemme 6.2) dans un borné de L4(0, T\ (L\Q)f\ on a :
J o
') dcr ^ constante
■J o
et donc (6.90) montre que :
(6.91) u'm demeure dans un borné de L°°(0, T\H).
On déduit alors de (6.89) que
(6.92) u'm demeure dans un borné de L2(0, T; V)
et comme on sait que um -» u (dans L2(0, T; V) faible par exemple), (6.84)
résulte de (6.91) et (6.92). |
Voici un résultat complémentaire au Théorème 6.6, donnant une
information supplémentaire sur la régularité en x.
Théorème 6.7. — On se place dans les hypothèses du Théorème 6.6 et on
suppose en outre quefe L2(0, T; H). Alors u e L2(0, T ; (H2(Q))2).
Sife L°°(0, T ; H) alors u e Z,°°(0, T ; (H2(Q))2).
Démonstration.
On a en effet
wi(«(o, v) = (/(o, v) - (i/'(0, ») - %('), «(0. «0.
et
| 6(11(0, U(t\ V)\<C\\ 11(0 ||(L4(0))a ( f || D, 11/0 llL4( J I V |
donc, puisque «eZ°°(0, T\ V),
b(u(t), !/(/), i>) = (#(0, i>), #(0 g L*>(0, T;H).

82 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Donc, puisque u' e L°°(0, T; //), on a :
a(u(t), v) = (F(0, v), Fe L2(0, T; H) (resp. L°°(0, T ; H))
si feL2(0, T; H) (resp. /eL°°(0, T; i/)). Le Théorème 6.7 en résulte, par
application d'un Théorème de Cattabriga [1], |
6.7 Un théorème d'existence globale de solution forte
Jusqu'ici, à part dans le théorème de régularité du nro précédent, on s'est
intéressé à des solutions « faibles » pour des données /, u0 relativement
générales.
On va montrer que, en dimension n < 4, on peut obtenir, pour des données
très particulières, un théorème d'existence global (en /) de solution «forte ».
On a le
Théorème 6.8. — On suppose que n < 4,/ = Oet que
(6.93) u0 e V n (H2(Q))n = W9
avec
(6.94) || u0 \\w assez petit (*).
77 existe alors une solution u et une seule (2) du Problème 6.2 vérifiant
(6.95) u' e L2(0, T ; V) n L»(0, T ; H).
Démonstration.
On part de um, solution approchée, comme dans la Démonstration du
Théorème 6.6. On a alors (car Ho(Q) c LA(Q) si n < 4) :
(6.96) K(0)| < c4 || «ollSr.
Par ailleurs
(6.97) | b(u9 vf w)\ ^c2\\u ||(LW || w ||(LW, || r || < c3 || u\\\\w || || v || .
On va montrer le résultat sous l'hypothèse (qui précise (6.94)) :
(6.98) v - V^" c3 -y. VKl II "o \\w>0.
Vv
On déduit de (6.87) (où/ = 0)
s it I u«w I2 +v II ««« II2 = - HM«w. ««w. «;w);
(0 Ce qui sera précisé dans la Démonstration.
(2) L'unicité résulte d*un Théorème plus général démontré au nro 6.8 ci-après.

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 83
mais
| Ku'Jt), ujt), ujt)) | < (par (6.97)) c3 \\ ujt) ||2 \\ ujt) ||
donc
(6.99) i 11 u'Jt) \2 + (v - c31| «„(.) H) || «;« ||2 < 0 .
Mais d'après (6.59),
| ujt) | < I «on, I < I "o I (il est loisible de prendre | u0m | < | w0 |)
et comme
|^|«-C0|2 + v||u-C0||"-0
on a :
(6.100) v || ujt) ||2 < | um(t) | | ujt) | < | i.o | | «KO | ,
donc
««(0||>v-c3^vî^7iV|«:(0|-
(6.101) v - c3
Il résulte donc de (6.101) et (6.96) que
v - c3 || Km(0) || > p > 0 ^si v - V^i c3 ~p Vl«o I II uo \\w = PJ.
Soit alors t0 le premier / éventuel où v — cz || wm(t0) 11 = 05 donc
v-c3||"m(0||>0dans[0,/o[
et (6.99) donne
d*
et (6.101) donne
l|tt;(0|2<0, donc |n:(r)|<|ii:(0)|
v — c3 II wm(0 II ^ v - c3 — V| u0 | 7| 11^(0) | > p , * e [0, r0[ ,
donc v — c3 || ujt0) || = 0 est impossible et
v-c2\\ujt)\\>p.

84 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Alors (6.99) donne
(6.io2) ^l«:w|2 + p||«:(o||2<o
donc
(6.103) um demeure dans un borné de L2(0, T\ V) n L°°(0, T; H),
d'où le Théorème suit. |
6.8 Un théorème d'unicité
Orientation.
Comme on a déjà signalé, le problème de l'unicité est ouvert dans le Théorème
6.1, lorsque n ^ 3.
Une question raisonnable est la suivante : on connaît l'existence d'une
solution dans L2(0, T; V) n L°°(0, T; H) ; quelle propriété supplémentaire de u
entraînerait Vunicité ?
On a dans ce sens le
Théorème 6.9. — On suppose n ^ 3. Soit u solution du Problème 6.2, vérifiant
en outre
(6.104) «gLs(0, T\{U{Q))n),
oh
(6.105) - + -< 1, r > n.
Alors la solution w, si elle existe (1), est unique clans la classe
L2(0, T\V)n L°°(0, T\H)n Ls(0, T; (Lr(Q))n) .
Démonstration.
1) Majoration préliminaire.
On se place dans le cas intéressant de (6.105) où — + - = 1.
s r
On a
(6.106) | b(u, v,w)\ ^ cl || u \\iLriQ))n H v || || w ||(Lp(r)))„ si - + - = -.
0) L'existence est maintenant un problème ouvert...

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION)
Mais pour u scalaire
\\u\\uia)<\\ul\î!2\a)\\u\\%n^2HQy car | = f + 2n/(f,2);
or Hl0(Q) - L2nKn-2\Q), donc
II" lllP(O) < C2 || M HÎi'o) || M ||h4(Q)
et (6.106) donne
(6.107) | b(u, v9w)\< c3 || u \\{Lrim)n || v || | w |2/s || w ||"/r. |
Application :
5/ w es/ solution du Problème 6.2 et vérifie (6.104) alors
w'gL2(0, T; V')(l).
(6.108) ., ^,,_ Tl(Ci _,. T//Wl
En effet d'après (6.107)
| b(u, u, i>) | = | - b(u, v,u)\< c3 H v || || u \\iLr(Q))n | u \2/s || u ||n/'
<c4\\v\\\\u\\{Lr{n))n\\u\\nlr;
or / - || u(t) lld^n»» est dans Ls(0, T) et * - || u(t) \\tt/r est dans L2r/n(0, T) :
donc r -* || u(t) \\(L'w || "(0 ||"/r est dans L2(0, T), donc
b(u9u,v) = (g,v)9 geL\0,T;V'),
d'où (6.108). |
2) Démonstration de l'unicité.
Soient u et w* deux solutions du Problème 6.2, vérifiant (6.104). Soit
vv = u — w*. On a:
(w', u) -f va(w, v) -f b(w, w, v) + b(u, w, v) — b(w9 w, v) = 0
et prenant f = w, les formules étant justifiées par (6.108), on a :
( \ ~ | w(/) |2 + v || w(/) ||2 = - b{w(t\ u(0, w(0)
(6.109) 2dr' ' u »
f = b{w(t), w(t), ii(0) .
Utilisant une variante de (6.107) on a :
| b(W(t), w«, «(0) | < c3 II u(t) \\ma)r | w(0 |2/I|| w(0 ||1+"".
(l) Donc w est continue de [0, T\ -*■ H.

86 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Posant
(6.110) M(0 = ||«(0||(V(U)r.
on a donc
| bKt), w(0, u(t)) | < c3 M(t)1" | w(t) |2's II w(t) ||1+n"
< v II w(î) ||2 + cA M{t) | w(t) |2 (on a utilisé (6.105)),
et (6.109) donne
(6.Hl) ^|w(0|2 <c4M(0|w(0|2, MgL1(0J) (par (6.104))
donc u> = 0. |
Remarque 6.8.
Le Théorème 6.9 montre l'unicité dans le Théorème 6.8 si n < 4 ; en effet on
a alors si n < 4 :
u g L°°(0, T; K) donc u e L°°(0, T; (Lq(Q))n), - = i - - ,
q 2 n
donc u g Ls(0, T; (L^-Q))") ,- + -=l,et^>wcarw<4.
s q
Si « = 4, on raisonne comme suit (L. Tartar) : on déduit de (6.109) que
\ Jt I "(0 I2 + v II H0 ||2 ^ | b(w(t)9 w(t)f u(0) |
< (par (6.97)) c3 || u(r) || || w(t) \\2
et d'après la Démonstration du Théorème 6.8 on a : v — c3 || u(t) || ^ 0 et par
conséquent
2 d/
montre que
1 ^|w(0|2 + (v-c3||W(0ll)||w(0||2 ^0
d ' w(t) \2 < 0 , d'où w = 0 . |
dt
6.9 Dépendance en la viscosité
Plaçons-nous en dimension d'espace 2. Utilisons, pour un peu simplifier
l'écriture, les variables { x, y } au lieu de { xu x2 }.
Supposant Q simplement connexe, on introduit la fonction de courant,
définie à une constante additive près, par
«■»» E-—-g —■

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 87
Alors \jf vérifie
(6.113) ^(-Ai« + vAV + KW = S,
où
05.1.4, W,-£(£..♦)-£$.«).
(6.115) 8 „ J./, - J.,,.
Si m = 0 sur F, alors dtyjdx et OV/dv sont nuls sur F> donc <WOV7 = 0 et
\jj — constante ; on fixe la détermination de \jj en prenant
i> = 0 sur F .
Les conditions aux limites sont alors
(6.116) \\> =0, |^ = 0 sur F.
On déduit du Théorème 6.7 que si
£eL2(0, T\ H-\Q)\ g' e L2(0, F; H~2(Q)) et i>(0) = »A0^
^0 donné correspondant à (6.83), alors il existe une solution \jj et une seule
du problème (6.113),..., (6.116), avec ip(0) = i/f0, vérifiant:
(6.117) \jj g L2(0, T; H\Q) n Ill(Q)) n L°(0, T\ Hl0(Q)) ,
(6.118) ïA'eL2(0, T\H\Q)),
Remarque 6.9.
Naturellement on peut aussi «transformer» le Théorème 6.2 de façon à
obtenir une solution \jj « faible ». |
Pour chaque v > 0, la solution du Problème 6.2 (n = 2) dépend évidemment
de v ; on écrira
(6.119) u = u\ i// = i/>v.
Le problème du comportement de, par exemple, ipv, lorsque v -*• 0, est
essentiellement ouvert.
On va, dans ce nro, étudier le comportement lorsque v -* 0 de la solution
d'un problème analogue à (6.113) (6. H6) mais avec d'autres conditions aux
limites. On considère de façon précise le

88 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Problème 6.3 On cherche une fonction \jj = \j/v solution de l'équation
(6.113) avec les conditions aux limites et initiales
(6.120) iA=0, A^ = 0surF,
(6.121) !>(0) = !>0 donné. |
A cause du changement de (6.H6) en (6.120), le Problème 6.3 n'est plus
équivalent au Problème 6.2 — de sorte que Ton doit reprendre le problème
de l'existence et unicité de ij/ solution du Problème 6.3. Nous allons reprendre
cela rapidement, en insistant seulement sur le résultat « supplémentaire » (par
rapport aux analogues de (6.117) et (6. H8)) qui est fourni par (6.126) ci-
dessous :
Théorème 6.10. — Soient g et \p0 donnés avec
(6.122) geL"(Q), Q = Q x ]0, T[,
(6.123) i/y0eH2(Q)n Hl0(Q)y A^GLœ(fi).
Pour chaque v > 0 fixé, il existe une fonction \jt = \j/v et une seule telle que
(6 A24) .> e L°°(0, T ; H2(Q) n Hl0(Q)),
p.
(6.125) AtAeL2(0, T ; Hl0(Q)) , ~ (- Ai/0 e L2(0, T; H~ l(Q)) ,
(6.126) Ai> e-L^fi),
et i/t vérifiant (6.113) (6.120) (6.121).
En outre, lorsque v -*• 0, on a :
\ II Y IIl*(0, T; H2(D) n Hl(D)) +
(6.127) ;
>
+
L2(0, T;H-HQ))
+ HA^|I
Démonstration.
I) Existence de ij/ — i//v vérifiant (6.124) (6.125).
Cela est la partie maintenant standard ; on part de la «basespéciale» Wj des
fonctions propres :
— àwj = Aj Wj, Wj g Hl0(Q) % (donc Aw,- = 0 sur F),
et on définit \jtm solution « approchée » du problème par
(6 128) ) dl (~ A^"" Wj) + V(A^W" AWj) + /W"" *"" Wj) = ^g(/)' W^ '
' 1 ^j<

6. équations de navier-stokes (cas d'évolution) 89
où
(6.129) ^,^)=jn(-(AU)---(AI;)-jdxd,>
avec la condition initiale
(6.130) ^m(0) = i>OlHe[Wl>...>wJ> il*0m-+ilt0 dans H2{Q) n Hl0(Q)
(on ne tient pas compte pour Vinstant de l'hypothèse « A\p0 e U°(Q) »).
Notant que fi(\j/m, il/m, \pm) = 0, on déduit de (6.128) que
\ Jt afym(t), i/%(/)) + v || tym(t) \\lia} = (f(t), i/.m(0)
d'où l'existence de \pm dans [0, T] et
(6.131)
! KM ||ii.i(0) +
<
I AW)
1/2
'mW \\lHoï
.d.
«S C .
Remplaçant h^- par — 1/Aj Awj dans (6.128) on en déduit :
(6.132) S \ À II A*-(t) H'2(n) + Vfl(A*-W' A*-(t)) +
+ 0GWO, W), - AWO) = (g(0, - AiA,„«).
Mais pour w = Wj on a :
/?(w, w, — Àw)
2.L
""' " /A \2 (JW u /a \2
dx d y =
= 2 h-cos(w, y) - — cos(n, x) (Aw)2 dr = 0
car la dérivée tangentielle de w sur F est nulle. Donc (6.132) donne facilement
(6.133) || Ai>M(0 ||L2(0) + v^(j T\\ Ai>M(0 ||?,i(0) dr) < c.
Aux estimations (6.131) (6.133) il faut ajouter une estimation sur la dérivée
d/dt(— à\pm). On note que, les c désignant des constantes diverses,
I MJ.D, >U<), v) I <
< c|| u|k,n)|| WMWlho)
<¥m(0
dx
\L'(!i)
#m(0
dy
< (par le Lemme 6.2) c || v ||l7i(n) || Ai/>„,(0 ||$n) x
(
#»(')
^ (d'après (6.133)) c || y ||;/(;,r» ''m (01
où km demeure dans un borné de L4(0, T).
dx
!l4(«)7
#m(0
|l"(0)
ax
+
\i*{fi)
dy
Ôy
A<ny
)■
\LA(QV

90
METHODES DE COMPACITE
[CHAP. 11
l#«wi
dx
< c\
|#„(0|
IHÔ(O)
^ c || AiAm(0 ||L2(fl) ^ c
Mais
et donc
(6.134) \ M«(0,<MM = (U0,«). *„ borné dans L4(0, T ; H'\Q))9
( donc borné dans L2(0, T ; H"1^)).
On désigne par Pm l'opérateur de projection dans L2(Q) sur [wl9 ..., wm] ;
alors (6.128) donne
~ ( - A<A J + v A V„ + P»^ = F, g ,
d'où, grâce à (6.124), l'on déduit, en particulier, que
(6.135) ^-(- Ai/O demeure dans un borné de L2(0, T ; H'l(Q)).
Utilisant le Théorème de compacité 5.1 on en déduit que l'on peut extraire
une suite t/^ de \j/m telle que
■>„ -> i> dans L°°(0, T ; /f 2(D) n //J(i2)) weak-star,
Ai>„ -> A»> dans L2(0, T ; //J(fî)) faible ,
~ (- At/O -> I- (- Ai» dans L2(0, T ; H~l(Q)) faible ,
et f ot
Ai>„ -> A»A
dans L2(Q) fort et p. p.
On en déduit l'existence de \jj vérifiant les conditions du Théorème, à
l'exception (pour l'instant) de (6.126).
2) U estimation (6.126).
Posant
(6.136) - Ai> = œ
on sait que œ vérifie
dœ
Ôt
d\jj dœ dij/ dœ _
dy dx dx dy
(6.137)
(6.138)
(6.139) œ g L2(0, T ; Hl(Q)), ^gL^OJ;//"1^)).
On considère (6.137) (6.138) (6.139) comme une équation parabolique
œ(0) = œ0 = (- A^0).
dœ

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 91
linéaire en œ, les « coefficients » d\jjjdx, dijjjdy étant dans L2(0, T ; H2(Q)) n
L°°(0, T\Hl(Qj).
Alors (6.126) et (compte tenu de (6.133)) (6.127) résultent de l'inégalité
suivante, que nous allons démontrer :
(6.140) I|û)||Loo(C) ^ Il û>0 ||L«(o) + || g(0 |U»<n> dr.
J o
La démonstration de (6.140) se fait en trois étapes :
(i) on montre (6.140) pour g et \j/ « réguliers » (de sorte que œ est solution
régulière) ;
(ii) on montre l'unicité de œ satisfaisant à (6.137) (6.138) (6.139) ;
(iii) on approche œ par des solutions régulières.
Etape (i).
Soit k un entier positif quelconque. On multiplie les deux membres de
(6.137) par œ2k~i et on intègre :
+
(6.141)
Lkjt\n»2kdxdy +
J a [dy dx dx dy J
= f gœ^dxdy.
Mais la troisième intégrale dans (6.141) vaut
_L f /# ^ _ # <^\ dy = o
2 k J Q \dy dx dx dy J
et comme la deuxième intégrale est ^ 0, on en déduit
2 k df
d'où
(yk(t)2k) < || g(0 ||y*(fl, ^(02*-1, yt(0 = || <o(û ||^(m
£*(0<||«(0||l»(..).

92 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
d'où
yk(t) < II w0 \\L2u(Q) + || g(a) \\L2k(Q) da
J o
d'où (6.140) en faisant tendre k vers l'infini (1).
Etape (ii).
Ce point est standard ; il suffit de vérifier que
ÔJLooL_ÔJLoaLeLl
dy dx dx dy K '
et que
(dij/ dco d\jj dœ \ _ n
\dy dx dx dy ' J
Cela est justifié si, par exemple, \j/ e L°°(0, T\ H2{Q)).
Etape (iii).
On approche \j/ par des fonctions \jjj « régulières », et précisément
ipj -> \p dans L2(0, T; H\Q)) fort,
\pj -> ij/ dans Lœ(0, T; //2(:Q)) weak star .
Soit aussi gj une suite de fonctions régulières, g} -* g dans L^iQ) weak star,
| ||g/0||L«(O)^ ^ j ||g(0||L-o(O)dr.
J o J o
Alors soit coy la solution de
idcOi 4 CM; i3co; CM; <3a)/
—- — v Ao) • H—— — — —- = 2 •
dt J + dy dx dx dy gj '
o)j(0) = w0 ,
^■gL2(0, r;//J(fî)).
Alors d'après l'étape (i), on a :
Il Mj IIl«(0) ^ Il wo IIl«(iî) + || g/(0 ||l»(0) àt
J o
d'où (6.140) suit, si l'on montre que cûj -* œ dans L°°((?) weak star.
(!) On peut aussi utiliser les troncatures.

6. équations de navier-stokes (cas d'évolution) 93
Or, d'après (6.142), coj demeure dans un borné de L2(0, T;Hl(Q)) (*).
On peut donc extraire une suite, encore notée œp telle que coj -*• œ* dans
L2(0, T\ Hl0(Q)) faible — et comme t» - ip dans L2(0, T\H\Q)) fort,
on en déduit que œ* est solution de (6.137) (6.138) (6.139) et donc, par
l'étape (ii), œ = œ*, d'où (6.140). |
3° Unicité.
La démonstration de l'unicité est très analogue à celle du Théorème 6.2 :
si ij/l et \j/2 sont deux solutions, alors, posant 0 = \j/l — \J/2t on a :
(6.143) a(0', v) + v(A0, Au) + Wi, i», v) - p(^l - 0, <ox - 0, v) = 0 .
Faisant, ce qui est loisible, v — 9 dans (6.143), on en déduit que
(6.144) I ± || 9(t) \\lhi0) + v || A9(t) \\l(Q) = - /?(!>!, 9, 9).
Mais
/l
|/Wi, 0,0)| <c||a0(O||l>(O)||*i(O||hW x
+
50
L<(0)
^ (par le Lemme 6.2) c \\ A00) \\lÇa) || 0(0 ||£g0)
^ v||A0(O||Î2(O) + c||0(O|| h Un) '
de sorte que (6.144) donne
2 d7 II ^(r) H/2/to ^ c II 0{t) H/2/é(f}) ' d'où le résultat * ■
On est maintenant en mesure d'étudier le comportement de ij/v lorsque
v -* 0. On introduit, pour simplifier l'écriture, l'espace (2)
(6
. H5) <& = ! i> j i> e L°°(0, T ; H2(-Q) n Hl0(Q)), Ai> e Lœ(g),
dt
eL2(09T;H-l(Q))}.
Théorème 6.11. — On se place dans les Hypothèses du Théorème 6.10.
// existe une fonction \p et une seule telle que
(6.146) i>e^,
(6.147) ^(- Ai» + /*(»» = g (i.e.(6.113)avecv = 0),
(6.148) ■>(<)) = tAo •
(') Prendre le produit scalaire de la lre équation de (6.142) par coj.
(2) Muni de la norme de Banach « du graphe ».

94 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Lorsque v -*• 0, si \py est la solution fournie par le Théorème 6.10, on a :
(6.149) ipv - \p dans <& faible .
Démonstration de Vexistence et démonstration de (6.149).
On part de \j/v fournie par le Théorème 6.10; on connaît les estimations
(6.127). Donc utilisant le Théorème de compacité 5.1, on peut extraire une
suite t/^ telle que
l i>" -> i> dans <& faible ,
(6.150)
/ D\jj» -> D\jj dans L2(Q) fort et p. p. , D = — et —.
On peut alors passer à la limite dans l'équation
~(- ÀrHMV + W) = g;
on voit ainsi que i/r satisfait à (6.147).
Démonstration de Vunicité,
1) Estimation préliminaire.
Puisque
Ai> e L°°(g) = L°°(0, r ; L°°(fî)) c L°°(0, T ; Lp(r2)) Vp fini ,
et comme (Agmon[1],Agmon-Douglis-Nirenberg [1]) A est unisomorphisme
de
W2'P{Q) n Hl0(Q) -> U{Q),
on en déduit que toute solution du problème a la propriété :
(6.151) ^Iœ(0, T\ W2'P(Q)) Vpfini.
On a en outre, pour presque tout t fixé :
(6.152) ||i>|| ^ cp(\\ Ai> ||LP(n) + || «> I.LP(n))» P -* oo ;
cette inégalité, due à Youdovich [1] résulte :
(i) de la résolution du problème de Dirichlet à l'aide des noyaux de Poisson
permettant l'usage des intégrales singulières ;
(ii) d'une estimation des normes dans le Théorème d'interpolation de
Marcinkiewicz ; cf. M. Cotlar [1], p. 289.
2) Soient \jiu ip2 deux solutions du problème et 0 = \j/i — \j/2- Alors si
l'on pose 0 = ip{ — ij/2, on a :
(6. 153) a(0\ v) + P(0, ipu v) + Mu #> v) - P(0, 0,y) = 0.

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION)
Faisant v — 0(t), on en déduit, en posant
(6.154) z(t) = || 0«||h^) = *(0(O,0(O),
que
1 âz(t)
9:
(6.155)
2 d*
Mais écrivant 0 au lieu de 0(0, etc
= -PfaOlOitXOit)).
J„ ôx l 2 0j>LW \dy)
Par intégration par parties, on en déduit que
^(^)Mxdy
_a_/ae a#
dy \cbc dy,
2
dx \dx dy,
âx ây .
(6.156)
— LUI©'-©]—
r /ôVi 5Vi\ de de ^ A
+ —^ ^ dxdy + J,
J « \ ax2 av2 / dx dy
2 J r \ ôy dx dx dy) \.
86 ÔO
-r- cos nx + — cos ny j dT
1 f /#, 30 #, S0\ (86 86 \
~2) r(lïTx + H7Ty)(-Txcosn> + Tycosn*)
dr.
Mais grad ij/l et grad 0 sont orthogonaux à F, donc
a*.»*,» 0gurr
dy dx dx dy
et comme par ailleurs la dérivée tangentielle
de de
— — cos wv + -- cos n
dx y dy
0 sur F,
on en déduit que / = 0.
Donc (6.156) donne
»..™-J.&[(S)'-fé)>*-
f /^Vi ^Vi\ 50 a6
+ J « l ax2
5y / ax dy
dx dy

96 méthodes de compacité [chap. 1]
d'où l'on déduit, par application de Hôlder :
(6.157)
| W„ 0,0) | < c || *Ai ll^.«/.(o) (\ I ërad ° l2/(l"Ê) d*) * > e > ° •
Mais d'après (6.151),
i/^eL^O, T :W2>P(Q)) Vp fini, /= 1,2,
donc | grad 0 | g L°°(g), donc il existe une constante M telle que :
(6 A 58) |grad0(x, t)\ ^ M
et (6.157) donne, en utilisant (6.152) :
(6.159) \P(ilfl,090)\<ce~l(Muul-e))1-e([ | grad 0 |2 âx)
Utilisant cette inégalité dans (6A 55) il vient
dzW ^ „ -1**2* wmi-«
df
d'où
(6.160) z(/) ^ M2(c01/e.
Soit alors t0 fixé, avec c«*0 < 1. On déduit de (6.160), en faisant e -» 0, que
z(0 = 0 dans [0, t0]
et ainsi de suite dans |70, 2 /0], etc. D'où le résultat. |
Remarque 6A0.
Il faut noter la méthode de démonstration de l'existence de \j/ dans le
Théorème 6.11 : (i) on introduit l'équation (6.113) avec v > 0, par addition
du terme de viscosité v A2ij/ ; (ii) on résout le problème avec viscosité ; (iii)
on fait tendre v vers 0 après avoir établi des estimations indépendantes de v.
La méthode précédente est dite « Méthode de Viscosité » (voir les
références bibliographiques dans les Commentaires). |
Remarque 6.11.
Dans l'ordre d'idées de la Remarque précédente, on peut démontrer ainsi
le Théorème 6 A ; on ajoute aux équations de Navicr-Stokes un terme de
Viscosité artificielle ( — l)m e Amu ; on résout donc
(6 161) S "< + (~ 1>"fiA"M. - vAu.+ |>faD|Mi=/-gradp,
div uE = 0 ,

6. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS D'ÉVOLUTION) 97
avec les conditions aux limites :
(6.162) uc,^,...,- -î = 0 sur 27,
dn dnm~l
et la condition initiale uc(0) = u0.
On démontre l'existence de «c, solution du problème précédent, avec
(6.163) u£ e L2 (0, 7 ; K n (H^Q))") n L°°(0, T ; H),
et Yunicité lorsque Von a
(6.164) m e"-— (!).
Pour l'unicité, avec des notations analogues à celles du Théorème 6.2,
on arrive à (e est fixé ; on n'écrit plus la dépendance en e)
(6A65) ^| w(0|2 + \\w(t)\\l<c\b(w9u9w)\
|| q> \\m = norme de <p dans (H%(Q))n.
Mais
(6.166) | b(w9 u, w)\ ^ c* || w ||(2L<(W. || u ||j .
Or (on utilise ici l'interpolation, comme dans Lions-Magenes [1] Chap. 1 ;
on pourra consulter également P. L. Butzer — H. Berens [1]) :
(6.167) L2(0, F; Hm(Q)) n L°°(0, 7; L2(Q)) œ L2/(1-0i)(O, T; H(i-dl)m(Q))
et (J. PCETRE [1])
H{i-e)m{Q) c 13\Q), - = - - (1 -°)m(> 0).
qd 2 n
Si Ton prend 0 de façon que (1 — 0) m/n ^ 1/4, alors qe ^ 4 et on peut
déduire de (6.166) :
\b(W,u,w)\<cl\\w\\2Jl-e)\w\2e\\u\\l
^l-\\»\\l + c2\w\2\lu\\\le.
(0 Donc, lorsque n croit, en a augmentant la viscosité artificielle », on arrive à l'unicité ;
si n = 2 (6.164) donne m ^ 1 ; on peut donc prendre m = 1, i. e. la viscosité (réelle) — vAu
suffit ; c'est le Théorème 6.2.

98 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Donc (6.165) donne
(6.168) ft\»(t)\2^c3\w(t)\2\\u(t)\\{/e
Mais prenant dans (6.167) Qx avec (1 — 6{) m = 1, on a :
(6.169) ueL2m(0, T;H\Q))
et cela donne, avec (6.168), le résultat désiré, si I/O ^ 2 m, ce qui est
compatible avec (1 - 0) m/n ^ 1/4 si l'on a (6.164). |
On montre ensuite que
„ mn i ue -> u dans L2(0, T; V) faible et L°°(0, T; //) weak star
(6. I/O) . A -
( lorsque e -> 0 . |
7. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS STATIONNATRE)
7.1 Le problème homogène
Le problème stationnaire correspondant au problème d'évolution étudié au
nro précédent consiste à chercher u — { ul9 ..., un } et p vérifiant
n
(7.1) — v Au + £ ut Di u — f "~ gra<^ P dans Q ,
i = i
(7.2) divw = 0,
(7.3) « = 0surF.
Avec les notations du nro 6 on peut formuler (de façon « faible ») le problème
précédent sous la forme du
Problème 7.L Soit / donné dans V. Trouver ueV (défini en (6.10),
(6. H)) solution de
(7.4) va(ut d) + b(u, u, v) = (f, v) Vv e V n (L"(Q))n C),
où les notations sont définies en (6.14) (6.15) ; le problème a un sens d'après
le Lemme 6.2. |
On va démontrer le
Théorème 7.1. — Pour tout f donné dans V\ il existe u dans V solution de
(7.4).
Démonstration.
1° On introduit Pespace
(7.5) W= iv Le F, ^-eLn/2(Q)\ ,
0) i. e.Vue V si n < 4.

7. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS STATIONNAIRE)
que l'on munit de la norme
99
v\\v+ I
dvt
ÔXj
L"/2(fi)
On observe que :
(i) W = V si « < 4 ;
(ii) y g W=> ve (Ln(Q)f d'après le Théorème de Sobolev.
On choisit ensuite une « base » wlt ..., wm9... de W et on considère le
problème approché suivant : on cherche um e [wl9..., wm], vérifiant
(7.6) va(um, Wj) + b{umi um9 wj) = (/, Wj), 1 ^j ^m.
On note que
(7.7) va(um, um) + b(um, um, um) = va(um, um) = v || wm ||2 ,
de sorte que Von peut appliquer le Lemme 4.3, comme dans la Démonstration
du Théorème 4.3. Donc il existe um solution de (7.6) et grâce à (7.7) on en
déduit que
v||«.J|2< ll/IUI",,, II,
donc
(7.8) || " - l
<~-\\f\\v
2° On peut alors extraire une suite «„ telle que
(7.9) u^-+ u dans V faible ,
(7.10) u^ -> u dans H fort et p. p.
Par ailleurs les umi umj demeurent dans un borné de Lq/2(Q) (- = , <
q fini quelconque si n — 2) et on peut donc supposer que
(7.11) u,t u„j -> xu dans Lq/2(Q) faible, ViJ .
Utilisant le Lemme 1.3, on en déduit que
(7.12) Zii = "t"y.
Prenons alors j fixé, fi > j et montrons que
(7 A3) b(u^ «„, Wj) -+ b(w, w, u>7.) .
En effet,
Lk =1 J Q uxk

100 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
u^u^-^UtUj dans Lql2(Q) faible d'après (7. II) (7.12) et ÔWj e Lnl\Q\
axk
d'où le résultat puisque -—-r + 7—-r = 1.
(«7/2) (n/2)
Donc on a (7.13) et par conséquent
va(u, Wj) + b{u, w, Wj) = (/, Wj)
et cela Vf, donc par passage à la limite on a (7.4) Vue W, puis Vue Vn (Ln(Q)). |
Remarque 7.1 Le cûrs « ;Q «o/i bor/ie »
Le Problème analogue à 7.1 pour Q non borné nécessite quelques
modifications dans le choix des espaces (x).
On introduit
(7.14) êl(Q) = complété de 2){Q) pour M |grad(p|2dx|
$ (Q) s'identifie à un sous-espace de $)\Q) si n ^ 3 et si n — 2 lorsque
$Q est de capacité > 0 (cf. Deny-Ltons [1] et l'étude des espaces Q)m{Q)
dans Hôrmander-Lions [1]).
Supposons n ^ 3 pour un peu simplifier. Alors
(7.15) ê\Q) = {Jo6 L?(-Q), ^ e L2(D) ,1 = 1-11
On introduit ensuite
(7.16) V = {u | ye^ffl)", divu = 0};
K coïncide (cf. Remarque 6.4 qui s'adapte facilement) avec l'adhérence
de 'V dans l'espace des v e (Lq{Q))n tels que
On a alors le
Théorème 7.2. — Pour fe(V)\ il existe ue V vérifiant
(7.4 bis) va(u, v) + b(u, u ; u) = (/, u) Vu e î> n (Ln(.Q))".
(') C'est plus simple dans le cas d'évolution où les résultats du nro 6 s'étendent au cas
« Q non borné » sans changement notable.

7. équations de navier-stokes (cas stationnaire) 101
Démonstration.
On opère par la méthode « standard » ; on considère
QR = Q n{x \ \x\ < R} .
On résout (7.4) dans QR ; il existe donc (avec des notations évidentes)
uR g V{QR) tel que
v<W"*, v) + bQx(uR, uR, v) = (/, v)Qr
(7-17) » ,
Vi> g V(QR) n (Ln(QR))
En outre on peut supposer que
(7.18) || ur\\V(Qr) ^ constante.
On introduit
uR = prolongement de uR à Q par 0 hors de QR ; d'après (7.18) uR demeure
dans un borné de V.
Cette fois l'injection de V dans H n'est pas compacte, mais on peut extraire
une suite telle que
(uR)i-* ^ dans L2loCilfort,
î. e. (ûR)i -> ut dans L2(Q)fort , V0 cz Q , 0 borné .
On peut alors passer à la limite ; on prend d'abord v g V ; on déduit (7.4 bis)
Vve-T puis par densité, Vv e V n (L\Q))n. |
7.2 Le problème non homogène
On se donne un vecteur \jj ayant les propriétés suivantes (\j/ — { \j/u ..., ij/n}) :
p.
(7.19) ^etf2(0), — ^GLB(fl), ^GLœ(fi).
(Noter que si /? ^ 3, la première condition (7.19) entraîne les deux autres.)
On introduit ensuite
(7.20) F=roti>(1).
Il résulte de (7.19) que
(7.21) F g (Ln(Q))n n (Hl(Q))n.
(0 Ici « rot » est en fait un système différentiel homogène du premier ordre à coefficients
constants tel que div (rot y/) = 0.

102 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On cherche un vecteur U = { Ul9 ..., Un} tel que
n
(7.22) - v AU + X ui Di u = / ~ §rad P dans Q >
(7.23) divU = 0,
(7.24) U-FG(//J(D))n. I
Remarque 7.2.
La condition (7.24) signifie que
(7.24 bis) Ui = Fi sur F,/=1, ...,«.
Les conditions aux limites sont dites « rto/7 homogènes ». |
On va montrer le
Théorème 7.3. — On suppose f — {fl9 ...,/„ } donné avec f{ e H~l(Q) Vz
et F donné par (7.20) avec (7.19). // existe alors un vecteur Ue (Hl(Q))n et
une distribution p g ®'(Q) vérifiant (7.22) (7.23) (7.24).
Démonstration.
1° Soit G un vecteur ayant les propriétés suivantes :
Ge(Hl(Q))n n(Ln(Q))n, div G = 0 ,
(725) (G = Fsur/
On pose
(7 26) u = U - G.
Remarque 1.3.
On peut prendre, a priori, G = F; on va voir qu'en fait il est essentiel de ne
pas prendre G = F (à la différence du cas linéaire) : toute la difficulté du
problème va consister à choisir G. |
Donc U = u + G et portant dans (7.22) on trouve :
n n n
(1.21) - v Au + X m, Dt u + X m, D, G + X GiDiU = ~f- grad p,
i=l « = 1 i = 1
(7.28) 7 = /+vAG- £ G.D.G;
»=1
on note que
(7.29) fe{H-\Q))n.

7. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS STATIONNAIRE) - 103
Par ailleurs :
div u = 0
et (7.24) équivaut à u e V.
On est donc ramené à trouver u e V tel que
/ va(u> v^ + b(u> u> ^ + b(u> G> y) + ^G> u> ^ = (f> ^
(7'3U) 1 VveVn(Ln(G))\
2° La méthode de démonstration du Théorème 7.1 montre qu'on aura
existence de u solution de (7.30) si l'on peut choisir G de sorte que
va(v, v) + b(v, v, v) + b(v, G, v) + b(G, v, v) = X ^ a \\ v \\2, a > 0
VveV n (Ln(Q))n.
Or
X = va(v, v) + b(v, G, v) = v \\ v ||2 + b(v, G, v)
et donc le Théorème résultera du
Lemme 7.1. — Quel que soit fi > 0, on peut choisir G vérifiant (7.25) de
façon que
(7.31) \b(v,G,v)\ ^/MM|2.
3° Avant de démontrer le Lemme 1A vérifions deux autres Lemmes.
Lemme 7.2. — On pose
p(x) = distance de x à F .
Pour tout e > 0 (assez petit), // existe une fonction 9e e C2(Q) telle que
(7.32) 0e = 1 dans un voisinage (variable avec e) de F ,
(7.33) 0£x) = 0 si p(x) ^ ô(e), ô(e) = exp(- 1/e),
(7.34)
é'-w
<-fr si p(x)^ô(e), V/c.
P(x)
Démonstration (E. Hopf [2]).
On définit d'abord la fonction X -* ^c(/l) pour X ^ 0 par
[ 1 si A < <5(£)2 ,
(7.35) {.(A) = ! fi log (-^) pour o»2 < A < <5(fi),
[ 0 pour X > ô(e) ,
puis l'on définit xc Par
(7.36) X.(x) = É.(p(x)) •

104 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Comme F est régulière, x* vérifie (7.32) (7.33) (7.34) et on obtient Qe
par régularisation de #c. |
Lemme 7.3. — // existe une constante ct telle que
(7-37) HJHU^^^HHIh^ VveHl0(Q).
Démonstration.
Par usage d'une partition de l'unité et cartes locales, tout résulte finalement
de Pinégalité :
r oo I i 12 r oo
(7.38) \-(p(x) dx ^ 2 \<p'(x)t2dx, q> e @(]0y oo[)
ce qui est immédiat (l/x ç>(x) = 1/x <p'(v) dv puis usage de l'inégalité de
J o
Hardy). |
4° Démonstration du Lemme 7. L
On introduit, avec les notations du Lemme 7.2:
(7.39) G = rot(0ei/O;
on a bien (7.25) et on va montrer qu'on peut choisir e de façon que (7.31) ait
lieu.
Des propriétés de 9e il résulte que
(7.40) \Gj(x)\ <e2(~)\^(x)\ + | Di>(x) |) Vf, si p(x) < ô(e),
où
|D*(x)| =( £ |D(-^.(x)|2)1/2,
et G; = 0 si p{x) > S(e).
Comme on a supposé que \j/{ g L°°(^), on déduit de (7.40) que
(7.41) | Gj(x) | < c3 (~ + | D*(x) |) V/, p(x) < ô(b) .
On a par conséquent
(7.42) II^Gj||L2(n)<C3(e||5||L2(0)) + (f r? | Dtfr |2 dx) "" .

7. ÉQUATIONS DE NAVIER-STOKES (CAS STATIONNAIRE) 105
Introduisons
(7.43) <p(b)=([ |Z¥l"d*) "
((p(e) -» 0 si g -> 0 grâce à l'hypothèse « ô/ôxj i/^ 6 L"(.Q) ») ;
on déduit de (7.42) et du Lemme 7.3 :
Il vt Gj \\L2iQ) < c4 e || p || + c3 || Vi \\L<im <p(e), - = - - - ,
et donc
(7.44) ll»iGy||L2(lï)<c5(e + ^(e))||i?||.
On va en déduire aisément (7.31) ; en effet
\b(v9G9v)\ <c7\\v\\ £ \\vtGj\\LHQ)
1.7-1
^ (par(7.44))c6||i;||2(6 + ^6)). I
Remarque 7.4.
On résoudra par des considérations analogues les problèmes non homogènes
dans le cas des équations d'évolution (nro 6). |
Remarque 7.5.
Si v g (Hl(Qj)" avec div v = 0, alors, Vj\re i/1/2(F) et
div v dx = 0 => Yj vj cos nj dF = 0 .
Réciproquement, si £ls ...,g„ sont donnés dans i/1/2(r), avec
£ gj cos njdr = 0
alors il existe i? e (H1(Q))n9 div i? = 0, ^ = gj sur F. Cf. Cattabriga [1] |.
Remarque 7.6.
Si n ^ 3, on a l'unicité de la solution lorsque ||/||y est «suffisamment
petit » ; en effet soient u et u* deux solutions ; si w — u — w*, on a :
(7.45) va(w, v) + b(w, w, v) + b(u, w, v) — b(w, wy v) = 0 .
Sous la seule hypothèse afe F'», w, w* sont dans F sans propriété de
régularité supplémentaire et donc aussi pour w ; il n'est alors loisible de faire

106 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
v = w dans (7.45) que si n ^ 3 (puisque alors la forme tri-linéaire u, v, w ->
b(«, v, w) est continue sur V) ; faisant donc v = w dans (7.45) on trouve
donc
et comme
on a finalement
v || w ||2 = — b(w, «, w)
v || w H2 <c||u|| ||h>||2
v||M||2 = (/,«)<l|/|lrll«lh
(vj 11/11.)
wir^o
et donc w = 0 si
(7.46) v2 >c||/||k',
ce qu'on peut interpréter comme « ||/||K- assez petit » ou « v assez grand » ! |
8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT
NON LINÉAIRE
8.1 Position du problème
On considère dans ce numéro le problème suivant : on cherche une
fonction u vérifiant
<■■■> *
8u_
dx,
|~J=/ dans 6-QxlO, 7L,
où p est donné > 2, avec la condition aux limites :
(8.2) u = 0 sur I
et la condition initiale
(8.3) u(x9 0) = u0(x)9 x e Q . I
Remarque 8.1.
On d onnera au Chapitre 2, nro 1, une solution de ce problème en utilisant
la « méthode de monotonie », solution plus simple que celle que nous allons
présenter. Mais la méthode ci-après (due à I. M. Visik [1]) contient plusieurs
idées qu'il nous semble utile de mettre en lumière. |
Remarque 8.2.
On choisit ici l'équation (8.1) comme «équation modèle», pour dégager
l'essentiel, sans complications techniques inutiles. Mais la méthode s'étend à

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 107
des équations beaucoup plus générales (cf. Visik, loc. cit. et le Chapitre 2).
En particulier le fait que l'équation soit du deuxième ordre ne joue aucun rôle
essentiel. |
Remarque 8.3.
Les non-linéarités apparaissent ici dans des termes de la forme
du
dxi
P-2 ,2
d2u
dx'(
2 '
pour passer à la limite dans ces termes, lorsqu'on utilise la méthode de compacité,
il faudra donc obtenir des estimations a priori « plus fortes » que celles obtenues
pour les équations de Navier-Stokes (nro 6) — le problème étant ensuite
d'utiliser ces estimations. |
8.2 Estimations a priori. Généralités
8.2.1 Notations.
On utilise les espaces :
WUp(Q) = { v | v e LP{Q\ Dt v e LP{Q\ i = 1,..., n} ,
espace de Banach pour la norme
n
(8.4) || v \\w,.,(0) = || v ||t,(a) + £ \\D,v\\um;
(8.5)
on a :
(8.6)
On posera
(8.7)
WQ'P{Q) = adhérence de 9{Q) dans WitP(Q\ ou encore ;
[ w£'p(Q) = { v | v e WUp(Q) , v = 0 sur F} ;
W-l'p\Q) = dualdeW01,P(^);
ifeW-l->'(Q)of=f0+ £ Dtfn
\fo,fi,...JneLp'(Q), - + -i = l.
P P
A{q>)
= _ y _Ô_ (\frp_\P~2 M
i=i dxt \| dxt I dxj
L'opérateur <p -* A(q>) applique WllP(Q) dans W~Up'(Q).
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires

108 MÉTHODES DE COMPACITÉ
Pour (py\j/e wl'p(Q)tona:
[CHAP. 1]
(8.8)
où
(A((p), \lt) = a{<p, i» ,
(8.9) a(<p^)= £ f
On posera dans ce numéro,
(8.10) |g| = ||
8.2.2 Estimations (I).
Multipliant (8.1) par u on obtient
dcp
ÔX:
p-2
dcp d\jj
dxi dXi
ma) • I
dx ,
(8.11)
1 d
5SÏ|«(0|2 + fl(«(0,«(0) = (/«,«(0).
2 df
Si donc l'on suppose que
(8.12) |/eLp'(0,r; W-1'"'^))
l u0 e L\Q) ,
on en déduit, en remarquant que, d'après l'inégalité de Poincaré,
(8.13) (a(viv))^ = \\v\\
est une norme équivalente à || V \\\y 1 P(Q) SUf Wl'\Q), que
^|«0)|2+ J' ||«.(ff)||'d<T< \ \U0\2+ f ||/(ff) 11^.^(0, || «(») || dff,
d'où
(8.14) |«(0|2+ f'||»(<T)||pd<T<|Uo|2 + c f'||/(ff)||^-,p.(n)dff.
Jo J o
8.2.3 Estimations (II).
On peut maintenant, formellement (les hypothèses précises seront faites plus
loin), dériver (8.1) en t et multiplier par u' ; il vient :
(8.15) (.,«(.), «'(«)) - (p - D î |o A (| | p |) . »' dx - (/', «O •
Le terme « non linéaire » dans (8.15) s'écrit
(P - !) I hr H dx
4(p - 1)
x y f ( <L (\ Êl\("~2)'2 ±\)
dx

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 109
d'où
-f'f i(M\-\i'~2V2(-)Y*<*>
Jo int=i \dt Mfo, I \dxi//
ou
Il est clair (et d'ailleurs, on montrera...) que l'on peut déduire de (8.16)
(avec des hypothèses convenables sur /et w0) des estimations a priori sur w' et,
surtout, sur |(/>(^)).
(8.17) p(X) = \k\{p-2)!1 X.
Pour appliquer la méthode de compacité, il faut encore une estimation sur
<(>&))■*
8.2.4 Estimations (III).
Une idée naturelle est de multiplier par (— Au) les deux membres de(8A)
(cf. nro 1.7 pour une idée analogue). Mais il apparaît alors une difficulté : les
intégrations par parties dans A(u) (Au) âx font apparaître des intégrales
de surface non nulles. |
On utilise alors les deux observations suivantes :
(i) dans la méthode de compacité, il faut arriver à une convergence presque
partout (cf. Lemme 1.3), et pour cela des estimations intérieures à Q suffisent ;
(ii) on peut supprimer les intégrales de surface en multipliant par une fonction
égale h Au à F intérieur et dégénérant sur T. |
On est ainsi conduit à introduire une fonction \j/ ayant les propriétés suivantes
(on suppose Q borné de frontière C°°) :
l \jj e 9(Q), i>(jc) > 0 si xeQ,
U = 0 sur r et 7 = 0 sur/Y1).
I on
0) L'utilité de cette dernière condition apparaîtra plus loin.

110
METHODES DE COMPACITE
[CHAP. 1]
Si Ton multiplie alors les deux membres de (8.1) par (— \j/ Au), le terme
non linéaire donne
A(u) (- ip Au) dx = 4(P 1-) x
(8 A9)
i.fciLll'\dxj\\dxi\ ôxJJ
dx +
^ [ fa A, ^W A
tdX:
3X;
+
ih i J fi ôxi dxi \
P-2
d« \ d\j/
dxj/ dxj
dx,
Les deux derniers termes sont « d'ordre inférieur » de sorte que l'on pourra
ainsi obtenir des estimations sur
^Ê; ('(£))■
I
(8.20)
l((7-t)%)-4,AW + AW..
8.3 Utilisation des estimations
Si w(x, t) est une fonction définie dans Q, on pose
Bw
où X > 0 sera choisi (assez grand) ultérieurement.
On montrera plus loin (au nro 8.3) le
Lemme 8.1. — Il existe une « base » de fonctions wl ... wm assez régulières
dans Q telles que { Bwj } soit une « base » de Vespace Lp(0, T ; W0'P(Q)).
On va alors utiliser la méthode de Faedo-Galerkin de la façon suivante :
1 on cherche um g {wl,..., wm], telle que
(8.21)
if (u'm + A(uJ, Bwj) dt = f (/, Bwj) àt, lç]
1 J 0 J 0
m.|
Remarque 1.4.
Noter que l'on traite un problème d'évolution comme un problème stationnaire.
On retrouvera plus loin (aux Chap. 2 et 3) d'autres procédés «d'approximation»
d'une équation d'évolution par une équation stationnaire (cf. en particulier
la régularisation elliptique). |

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 111
Remarque 8.5.
Puisque les Bwj forment une « base » de Lp(0, T ; wl,p(Q))9 on voit bien que,
si dans (8.21 ), um -> «, u vérifiera à la limite l'équation (8.1). |
Remarque 8.6.
Comme on verra au nro 6, la « multiplication par Bu » permet de retrouver
essentiellement, en une seule étape, les trois types d'estimations obtenues au
nr0 8.2.
On pourrait songer à un procédé différent pour utiliser les estimations (I)
et (III) ; on introduit : p e ^l(Q)t p(x) > 0 dans Q, p(x) = distance de x à F
si x assez près de r, puis l'opérateur À défini par
^=1,4 ('S-
Les estimations (III) du 8.2 s'obtiennent encore en multipliant par Apu.
Comme on sait (M. S. Baouendi-C. Goulaouic [1 ]) qu'il existe une suite
de valeurs propres et fonctions propres de Ap :
Apwj = Xj wj, Àj > 0 , wj9 jp -^ g L2(Q),
et telles que Wj soit régulière dans Q, on pourrait essayer d'utiliser Faedo-
Galerkin de la manière usuelle, en prenant les Wj comme « base spéciale » ;
mais alors Wj nest pas nul sur F et ce procédé conduirait à la solution du problème
(8.1 ), (8.3) avec une condition aux limites du type Neumann :
(8.22)
3u_
dxt
P'2 du < ^ n
cos (h, Xi) = 0
dx,
(au lieu de la condition de Dirichlet (8.2)). |
8.4 Enoncé du Théorème
Théorème 8.1. — On suppose que
(8.23) f/.|.^L»(e),e-Ox]0,r[,
où \jf est donné avec (8.18).
On suppose également que (1)
(8.24) w0 = 0.
0) Pour un peu simplifier — ce n'est nullement essentiel. Cf. d'ailleurs Chapitre 2, nro 1.

ueLp
(09TiWÏ-p(Q))9
W e L\Q),
*è,(
du
dxt
vi^>!(!
|(p-2)/2 * \
(P~2)/2 * \
112 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
// existe alors une fonction u et une seule ayant les propriétés suivantes :
(8.25)
(8.26)
(8.27)
(8.28)
et u satisfaisant à (8 A ) (8.2) et (8.3) (avec w0 = 0). |
Plan de la démonstration :
(i) démonstration du Lemme 8.1 (nro 8.5),
(iï) résolution de (8.21) et estimations, puis passage à la limite (nro 8.6),
(iii) démonstration de l'unicité (nro 8.7). |
8.5 Démonstration du Lemme 8.1
On part de la suite de fonctions gk sur [0, T] telles que
( gk(0) = 0 , gk(t) borné lorsque t -» T ,
les valeurs propres fik étant > 0 et les fonctions propres gk étant normalisées :
frg,2(t)dr = l.
•> 0
Soit ensuite
£m , m = 1, 2,..., une « base » de fonctions de Wq'p(Q) ,
(8 30^
l avec £m g ^(£2) (par exemple) (il suffit que Çm soit assez régulière).
On définit alors vkm comme la solution de
(8.31) - ij/ Avkm + (X + fik) vkm = £m , vkm = 0 sur F.
On verra que
Lemme 8.2. — Pour X > 0 assez grande le problème (8.31) adme/ w«e solution
unique régulière dans Q.
Admettant provisoirement ce résultat, on note que
(8.32) B(vkm (g) gk) = B(vkm(x) gk(t)) = Çm®gk)

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 113
de sorte que les B(vkm (g) gk) forment une «base» de l'espace LP(Q, T; WltP{Q)\
On pourra donc prendre, par indexation convenable,
(8.33) wi = vkm®gk9
ce qui démontre le Lemme 8.1, sous réserve de la
Démonstration du Lemme 8.2.
On va montrer plus précisément que, pour n assez grand, si/ est donné dans
H0(Q), il existe u unique vérifiant
(ue Hk0(Q) , S D* " e L\Q). I « I = * + 1 ,
l -\l/Au + fiu=f.
Pour démontrer (8.34) on utilise encore une fois la méthode de Faedo-
Galerkin, et encore avec une base spéciale. On introduit les fonctions propres :
(8.35) (- 1)* Akq>t = A, <pt, <pt e Hk0(Q) .
On part de um e [q>u ..., <pm], solution de
1 < ; < m ;
la solution um existe ; en effet, on déduit de (8.36) que
(8.37)
i=i J a I oxi
dx + n i Um r +
àlMS-*-"-
,);
car
" r # î ,-ox, . I / " r . \dum\2A \1/2.
< constante .
Donc le premier membre de (8.37) est
du
-î [
<A
ôxt
dx +
'*-4)i«.i

114 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On en déduit donc l'existence de um solution de (8.36) si Ton prend p ^ ci/2.
On va maintenant montrer que l'on peut choisir fi assez grand pour avoir les
estimations supplémentaires :
(8.38) ll"«ll//î(0) < constante,
(8.39) \p(Dk+i um)2 dx < constante,
où l'on dénote par Dr u une dérivation quelconque d'ordre r. Naturellement
(8.38) et (8.39) entraînent le résultat.
Grâce à (8.35) on peut remplacer dans (8.36) q>j par (— \)k àVj et l'on en
déduit que
(8.40) (- <A &um, (- 1)* Akum) + p\\um \\2Hk{Q) < \\f ||„fc(0) ||iim ||„k(0) .
Mais
X=(-ipAum,(-l)kA"um)
= - £ (Z)'(,A AuJ, D* um)
= - (£ D\DW DuJ - (Dxjf) (DuJ), Ef um)
= £ {D\^DuJ, Dk+ luJ + £ {&W DuJ, Dk um) C).
Posons :
III um\\\2 =X f ^(Dk+lum)2éx.
Alors
X = III um |||2 + ZfêV'A Dk+l »m, Dku^ + £(DJ>D*um, DkuJ + Y ,
i y i < c\\ um\\ma)\\ ««.1111.-1(0).
Mais comme Dip/^Ji// e L°°(.Q), on en déduit
X > III um |||2 - c2 m um m || um \\2IHQ) - c3 II um \\2{HD) > i III um |||2 -
- (± C22+ C3) Il MM H^o) .
0) Noter que — (Dk+i(y/Dum), D* um) = (Dk{\f/Dum)t D*+i um) car Dk{y/Dum) = 0 sur T
car y/ = 0 sur T, dy/(dn = 0 sur Tet «m e #£(.£) n Hk+2(Q).

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 115
Alors (8.40) donne
i III "m II!' + fa - i Cl ~ C3) |i Um ||^ < ||/ ||-fc(û) || Um \\Hk(n) ,
d'où résultent (8.38) et (8.39).
8.6 Démonstration de l'existence dans le Théorème 8.1
8.6.1 Existence d'une « solution approchée ».
On va d'abord démontrer qu'il existe um vérifiant (8.21).
Par utilisation du Lemme 4.3, l'existence de um résulte de Vinégalité
fondamentale :
/ [T [T
{u'm + A(um\Bum)ét>c \u'm\2dt +
J o J o
£J \Dium\"àxàt
"il*-»&>&)))'««
(8.41)
+ c
+ c
+ c
c > 0J(X) défini en (8.17).
En effet, comme on le vérifie sans peine, on a, sous les hypothèses faites sur/,
(8.42)
f</,
J o
Bum) dt
^ c*
d.i,4i*d,+Uiil£DH,n-
de sorte que l'on a, en particulier,
f (u'm + A(uJ-J,Bum)dt>0
J O
pour M \u'm\2dt+ £ | Dtum \p dxdt) assez grand.
\J o i=i J q J
8.6.2 Démonstration de (8.41 ).
On a:
(8.43)
f («^ + A{um), Bum) dt = Jt + - + J6 ,
J o

116 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
avec
Ji = ("« , - ^ A«J dr,
J o
J o
^-0^o.-|(o--o^))*.
J5 = (A(uJ , - <A A«m) dr,
J o
J6 = A (A(«J, Mm) d*.
J o
On a:
(8.44)
Ensuite :
^2 = I f f i/'Z^tf.^dxdf + f f f D, HDi um) u'm dx dt
i=l J O J Q »=1 J O J fi
= j J J |(* t (°t "J") d* d< + t \Tq'\o D, U»i O < dx d,
et donc
J2> ~C(\Q\ U'M \2 dr) ({ S (D, uj2 dx d*)1/2
donc (les c désignant des constantes diverses)
(8.45) Ji>~\\ |«:i2dr-cf £ (Z),.Wm)2dxdr.
4 J 0 J Q i=l
Ensuite
(8.46) /3 ^ 0

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 117
et
£, J q ; dt Ôxt \\dxt\ dxj Ôxt Ôt '
d'où
(8.47) J4
4(p - 1)
l,L(r-"(a7(
dx,.
(p-2)/2
dx.
;))'
dxdr.
Estimons maintenant J5. On a (2)
d'où
d'où
's = t f (^(«J, - DjtyDjuJ + Dj^DjUm)dt
;=i J o
+ £ f ^(OdMHDyuJdxdt,
J = l ■> Q
8um
dx,
p-2 d2um
dxt dxj
éxdt +
L (P - 1) f «
m = i JQ V^ dxj \\ dx{ I OX'
;=i J q Jw
,dxdf
/s ^
4(p - 1)
U*(£('(&)))'--
(0 Noter ici l'analogie avec le calcul du 8.1, Estimations (II).
(2) Noter ici l'analogie avec le calcul du 8.2, Estimations (III).

118
d'où
METHODES DE COMPACITE
[CHAP. 1]
(8.48) J5>ciJj(±(^))ydx6t-c\Ji{Djumréxàt.
Enfin
(8.49)
i=l J Q
dxi
dx dt.
Donc de (8.44)... (8.49) résulte, avec (8.43), que
j" K, + A(um),Bum)dt >\\ \ u'Jt) \2dt +
(8-50) l+Al1IJfe|Pdxd'+cl1L(r-')fêW&)))2^dt
3X:
dx dt .
Or
J.
ÔX:
dx dt ^ c,
L
dx.
dx dt
et (8.50) donne alors le résultat (8.41) si Ton choisit
X > ce*. I
8.6.3 Estimations sur um. Passage à la limite.
On déduit de (8.41) que, lorsque m -> oo,
^ um (resp. u'„) demeure dans un borné de Lp(0, T ; WitP(Û))
(8.51)
( (resp. de L2{Q)),
(8.52) < dt
Wfe))'^éWï-))d~"''v'-
dans un borné de L2(Q) .
Il résulte de ce que um demeure dans un borné de Lp(0, T; W0,P(Q)) que :
dx{ | dxt
(8.53)
p~2 du
--- demeure dans un borné de LP(Q),
Soit 0 un ouvert quelconque tel que 0 ci Q ; il résulte de(8.52)que, Ve > 0,
(8.54) pi^) demeure dans un borné de Hl{0 x]0, T - e[).

8. UN EXEMPLE D'ÉQUATION PARABOLIQUE FORTEMENT NON LINÉAIRE 119
Comme l'injection de
Hx{0 x ]0, T - e[) - L2(0 x ]0, T - e[)
est compacte, on voit que Ton peut extraire de um une suite u^ telle que :
(u^u dans Lp(0, T ; W^\QJ) faible ,
U; -► «' dans L2(Q) faible ,
(8.55)
(8.56)
(8.57)
(8.58)
(8.59)
/n--^l converge p. p. dans Q (*),
^^lMft))~^ dans L2(2)faible'
vV -^ (p (f^) ) - 0tj dans L2(Q) faible ,
{, dans Lp' (Q) faible .
dxt
Mais comme X -> /?(A) est monotone, il résulte de (8.56) que dujdxt converge
p. p. Alors, d'après le Lemme 1.3, on a
5«
p~2 du_
dxt '
Alors A(um) -+A(u) dans Lp'(0, T; H^-1'"'^)) et donc (8.21) donne :
(8.60) (* (iï + A(u)fBwj)dt= f (f.Bwj), Vj.
J 0 J 0
Comme { Bwj} est une « base » de Lp(0, T; Wq'p(Q)), on déduit de(8.60)
que «satisfait à (8.1).
Cela démontre l'existence dans le Théorème 8.1.
8.7 Démonstration de l'unicité dans le Théorème 8.1
Il y a relativement à l'unicité un résultat plus fort que celui énoncé dans le
Théorème 8.1 (2) : il y a au plus une solution de (8.1) vérifiant la seule
condition (8.15).
( ') Puisque dans (8.54) 0 et e sont quelconques (procédé diagonal).
(2) On verra au Chapitre 2 des énoncés plus systématiques dans ce sens.

120 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
En effet, si u vérifie (8.1) et (8.25), alors
(8.61) u' =/- A(u)eLp'(0, T\ W'Up\Q))
d'où résulte :
W6L°°(0, T\L\Q))
(et même : t -> u(î) est continue de [0, T] -*• L2(Q)).
Soient alors u et u* deux solutions ; si w = u — w*, on a :
(8.62) w' + A(u) - A(u*) = 0.
Mais comme on le vérifie sans peine
(8.63) (A(u) - A(v)9 u - v) > 0 0)
et donc (8.62) donne
d'où w = 0. |
Remarque 8.6 Ca.y stationnaire.
On peut étudier, par le même genre de méthode (cf. I. M. Visik [2]), les
problèmes stationnaires pour l'opérateur A. On verra au Chapitre 2 comment
on peut utiliser la monotonie de A. |
9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS
9.1.1 Un problème de transmission parabolique-hyperbolique
Des problèmes du type de celui considéré ci-après interviennent en Biologie ;
cf. H. Cohen et S. I. Rubinow [1].
On considère deux ouverts Qu Q2 de R", bornés, comme indiqués Figure 1.
FlG. 1.
0) C'est la propriété de monotonie de l'opérateur A dont un usage systématique sera fait
au Chapitre 2.

9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS 121
La normale n (*) à Fj est orientée vers l'extérieur [de Qx (donc l'intérieur
de Q2).
On cherche des vecteurs :
u = { ul9 ..., un } défini dans Qx x 10, T[= Qt ,
w = {wlt..., wn } défini dans Q2 x ]0, T[= Q2 ,
et la fonction scalaire/?, satisfaisant aux équations suivantes :
(9.1) — - v Au + X m, Di u = / - grad p dans Qj ,
oi i~ i
(9.2) div u = 0 dans Qj ,
d2w
(9.3) — - Aw = g dans Q2 ,
avec /es conditions de transmission sur Fj x ]0, T[= 2^ :
(9.4) w = — sur Ex ,
(9.5) J V Tn " ' C°S B' - 2 IS "' C°S B|j X "' = lit SUr ^ '
fi = 1,..., n
ainsi que les conditions sur I2 = F2 x ]0» F[:
(9.6) w = 0 sur X2
et les conditions initiales :
w(0) = w0 sur Dj ,
^'^ \ w(0) = w0 , w'(0) = wj sur Q2 . g
Transformation de la formulation du problème.
On introduit
(9.8) <2> = w' .
Alors (9.3) devient :
(9.9) 0'-a() 0d<7J = g + Awo.
(') Que l'on ne saurait confondre avec la dimension.

122 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On introduit ensuite les notations suivantes :
(9.10) (f,g)nt= \ fgdx, i = 1,2,
(9.H) aQt{u,v)= t f f?|^dx, ,-1,2,
j,k=l J Qt 0Xj 0Xj
(9.12) b0l(u,v,w)= t f u^vjwjdx,
(9.13) Vt = {v \ ve (H^Q^y, div v = 0 } ,
(9.14) F2 = { v | t? g (H\Q2))\ v = 0 sur F2 } .
On va alors vérifier que Ton peut formuler le problème posé sous la forme
suivante :
Problème 9.1.
On cherche w, <P, avec
(9.15) u g L2(0, F ; KO r. L°°(0, T ; (L2^))") ,
(9.16) <2> g L°°(0, T, (L2(.Q2))"), f <2> d<7 g L°°(0, T; K2) ,
J o
( ("', v)Ql + (0', <p)n2 + vaDi(uy v) + aQ2(0, ç) + bQt(u9 w, v)
Îl " f
~ ô Z W(. W; ^COSWfdF! =
z i\y=i J r,
= C/i, »)«, + (g, Ç>)jî2 + aQ2(w0i <p) , Vu g «! , (?) G K2 ,
avec
(9.18) u = <p sur Fj ,
et avec
(9A9) ii(0) =i/0,
(9.20) 0(0) = h>!
et
(9.21) u = ^ sur l! . |
Vérifions par exemple que si {u,<P} est solution du Problème 9.1, alors
{ w, w } , w = #(o) do- + w0 »
J o
vérifient (dans un sens faible) les conditions (9.1)... (9.7).

9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS 123
Tout d'abord prenant dans (9.17) v à support compact dans Qi et <p = 0
(puis v = 0 et (p à support compact dans Q2) on trouve que w et ^ satisfont
à (9.1) et (9.9).
Le point essentiel est alors de vérifier que (9.5) a lieu.
Si l'on multiplie (9.1) par v et (9.9) par <p, il vient (*)
(u\ v)Qt + vaQl{u, v) + bQl(u> w> v) + (#'» </>)a2 + ûo2 ( J * d(T, <pj +
+il.1(-i'i+iw+é(r.*dff))pdrï-
et tenant compte de (9.17), il vient
(9.22)
Jr. [" V^ + ^ + ^ (Jl*d<r + Wo) + Kjl, ^~^) «J^d^ -0.
Comme div v = 0, on a :
(9.23) \ v.nârt = 0
et réciproquement, si u* g (Hl/2(rt))n avec (9.23), il existe D6^ avec y = u#
sur F! (cf. Remarque 7.5). Donc (9.22) équivaut à
du
(9.24) ; " V dn +
pn + — l\ 0 d<7 + w0\ + - I X "i cos *;) w = ^-n
>leR,
et changeant p en p — X (ce qui est loisible), on trouve la condition (9.5)
(car &(&) d<7 + w0 = w). |
On va donner maintenant l'essentiel de la démonstration du
Théorème 9.1. — // existe { u, <P } solution du Problème 9.7.
Démonstration.
1) On applique la méthode de Faedo-Galerkin, comme au nro 6, avec une
« base spéciale », comme au nro 6.3.
( ') Tenant compte de ce que v = ç sur F\ .

124 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On définit
(9.25) Ws = { w j w e (HS0(Q))\ Q = Qx v Q2t div w = 0 sur Qx } ;
on désigne par (w, v)Wa le produit scalaire dans Ws ; on choisit alors (comme
en (6.43)) s = n/2 et on désigne par Wj les fonctions propres :
(9.26) (wj9 v)Ws = Xj(wj9 v) = Àj [ wj vâx, VveWs.
On applique alors Faedo-Galerkin à (9,17), avec la « base »
(9.27) { Vj, (pj }, v j = Wj sur Qt, q>j = Wj sur Q2 .
Soit { um9 <£m } la solution « approchée » d'ordre m correspondante.
2) On note que
1 " f
bQt(u9 u9u) - - Y, ui UJ uj cos ni dFi = 0 ,
de sorte que l'on vérifie sans peine que
/ um demeure dans un borné de L2(0, T;Vt)n L°°(0, T ; (L2^))"),
) 0m demeure dans un borné de L°°(0, T; (L2(Q2))n),
( f ®mâa<
\ J o
3) On vérifie enfin, comme au nro 6.4, que
(9.29) { u'm, (P'm } demeure dans un borné de L2(0, T ; Ws').
4) On utilise alors le Théorème de compacité 5.1 dans les conditions
suivantes : on l'applique à la suite { umt <Pm }, dans l'espace
L2(0, T; Vy x (L2(Q2))n)9 donc p0 = 2 ,
B0 = Vx x (L2(Q2))n9 dont on estime la dérivée en t avec (9.29), donc :
px = 2, Bt = W's ; on choisit ensuite (*)
(930) ( s = (H^(Ql)y x (H-ww)",
l 0 < e < ±.
On sait (cf. Lions-Magenes [1], Théorème 16.1, Chap. 1) que l'injection de
H1(QÎ) -> Hl~£(Qt) est compacte, et de même l'injection de L2{Q2) -*• H~\Q2)
est compacte. Donc on peut appliquer le Théorème 5.1.
On peut donc extraire «M telle que
(9.31) m„ - u dans L2(0, T'AH^XQ^fort (2).
(i) (fld1-e(ûi))"={v | ve(/f1-E(^1))",divv=0}.
(2) Le même raisonnement est évidemment possible dans le cadre du nro 6 mais est alors
inutile.
(9.28)
/ r*
demeure dans un borné de L°°(0, T ; V2)

9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS 125
Alors, puisque e < i, l'application
v -► f|ri
est continue de //1_E(^i) -> L2(Fi) (*) et donc
(9.32) igri -> u\Ft dans L2(0, T; L2^)) fort.
On peut grâce à (9.31) (resp. (9.32)) passer à la limite dans les termes
On2{u^ h„, vj) (resp. £ J u^ u^ Vj cos nt drt j
et on obtient ainsi l'existence d'une solution { w, <P } du Problème. |
Le problème de l'unicité de la solution est ouvert, sauf dans le cas n = 2 :
Théorème 9.2. — Si Von suppose n = 2, /e Problème 9.1 admet w«e solution
unique.
Démonstration.
Soient { w, ^ } et { w*, ^% } deux solutions.
On pose :
X = u — U+ , ^F = ^ — ^ ,
1 w f
(9.33) y(w, v, w) = - £ m, uy wy cos h, d/^ .
On a:
(/, »)o, + VF\ <p)Ql + vflQlfo v) + "o, ( j ^dcr, <pj +
(9 34) <!
+ ba,(w» Z. y) + bfl.fc w> y) - &o.(X. X> v) -
- y(", x*v) - y(x, «, ») + ?<x x. ») = o ,
et cela Vf g Kt x V2,v = cp sur F!.
A cause des termes « hyperboliques », on ne peut prendre q> = W(t) dans
(9.34) et comme il faut que v = q> sur Fj» on doit utiliser une méthode
techniquement plus compliquée.
Soit s g ]0, T[ ; on introduit :
ÎOm{t) = fonction continue dans [0, T], linéaire par morceaux ,
2 1
0m(t) = 1 si t < s , 0m(t) = 0 si t > s ,
m m
!pn suite régularisante de fonctions e ^(R(), pn(t) = pn( — t) ,
T 1 11 f + œ
p„ à support dans - - , -- , pn(t) df = 1 .
L ** ^J J — oo
(') En fait de Hl-*(QÙ -> Hxll-E(rx).

126 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
On introduit, pour n > 2 m,
0(0 = (W. X)*Pn* Pn) 9m ,
(9-37) } Ht) = ((em y) * p. * p.) 0m,
(où * désigne le produit de convolution en / et où on a implicitement prolongé
X et ^ par 0 hors de [0, F]).
Puisque x — *? sur Zu on a également v(t) — cp(t) sur Zj, et on peut alors
prendre v = v(t\ cp = cp{t) dans (9.34), et intégrer de 0 à T. Il vient :
(9.38) cnm + dnm + enm + fnm + glnm + g2nm + g„3m = 0
où
I 0
J o
dnm = f (!P, (0m ¥)*pn* p„)„2 0m d<,
J 0
^m = V flQ,(z» (On X)* Pn* Pn) #m Ôt ,
J 0
/-« = jo fl* ( Jo ^ d*> (^ ^> * Pn * P») ^ d< >
g™ = ^,(w, X, (0« x) * Pn * Pn) Omdt - y(u, x, (0m x) * Pn* Pn) 0m âî,
J 0 J 0
g»m = bat(x, "> (fin, X)* Pn* Pn) ^^~ ?(*> ", (#m *) * Pn * Pn) #m <*' >
J O J O
gl = I bat(X> X, (0m X)*Pn* Pn) Omàt ~ j yfa X, (0m X)*Pn* Pn) 0m Ôt .
J O J O
On va faire tendre n vers l'infini. On note que
= f ((0m XÏ - 0'm x, (0m X)*Pn* PX àt
•J O
((0m XÏ * Pn, (0„ X) * P«)Ql dt - 0'm(x, (0m x)* Pn* P«k àt
J o J o
= - I 0'm(X> (0m X)*Pn* PnU <*t
J O
-T
1 O
et donc
= - 0m 0'm | x \at dt lorsque n
J o
(9.39) c„m-cm=- em9'm\X\'Qldt lorsque n - oo .

9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS 12
De même
(9.40) dnm-+dm= - \Teme'm\v\l1àt.
J o
Il est évident que
(9.41) emm-+em = v\ 62m aQl(x> X) àt.
J o
Pour calculer/nm, posons :
[ Wâa = F(t);
•> o
alors
fnm= fT^2(^F,(^F')*Pn*Pn)dt
J o
= f T «n;((em F) * p„ (0m F) * p„) dr - f aQl{em F, (0'm F)*Pn* p.) d(
J O J 0
= - f a^n, F, (0'm F)*P„* P.) dl,
■I o
d'où
(9.42) /„,-/„=- f 0m 0'm aai(F, F)dt.
•J 0
Reste à considérer les expressions glnm. Admettons un instant le
Lemme 9.1. — Si v e H\Q) (Q c R2), F = frontière de Qy on a :
v \reL\r)
et
(9.43) ll^lUo^CIIHI^IIHli^.
Il en résulte :
{ si ve L2(0, T; H\Q)) n L°°(0, T; L2(0)), alors
( v\reL3(0,T;L3(r)).

128 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Conséquence :wjeL3(0, 71; L3^)) et par conséquent on peut faire tendre
n vers l'infini dans glnm :
gL - f [M"> x> x) - y(«, x, x)] # d/ = o,
J o
ûm - f [>0l(x> "> x) - ?(x, "> x)] ol & = g2,
J o
g» - f [fcOl0t, x, z) - v(z, z, x)] <£ d< = o.
J o
On en déduit, avec (9.39)... (9.42) et (9.39) que
(9.45) Cm + dm + em+fm + gl = 0.
On fait maintenant m -> oo. On note que, d'après un théorème de Lebesgue,
fT 1
- J 0m0'm\x\hiàt -^-\ x(s) |q. pour presque tout s .
On obtient donc :
(9.46)
\ (I X« \2ai + | Y(s) \k + aQl(F(s)9 F(s))) + v J' aQl(x, x) àt +
+ 0o,(x, "> x) - ?(X> ", X)] dt = 0 , p. p. er
^ o
Pour simplifier l'écriture, désignons par |/| la norme dans (L2^))" et
la norme dans Vl ; on note quea0l(/,/) = ||/||2 — |/|2 ; on déduit donc
de (9.46) que
( |x(5)|2 + 2v f ||x«||2d*<2v \S \x(t)\2ât +
\ j o J o
(9.47)
/ I P
( + [Wx,w> x) ~ v(x> «, x)] àt
I ^ o
Mais (cf. nro6.2):
(9.48) ( I b°ti> u>ti\ = \ baÙ> X>u)\< ci H * H3/2 I X I II u ||(LV>l))2
l <v||Z||2 + c2|x|2||t/||(4L4(fil))2,
et d'après le Lemme 9.1, on a :
|y(z,«a)|<'3llzir3lzl2/3ll«ll,W,>>»«
(9.49)
<v||zl|2 + c4|Z|2||«||(3L3(ri))2.

9. PROBLÈMES DE TRANSMISSION ET PROBLÈMES COUPLÉS 129
Portant (9.48) (9.49) dans (9.47) il vient :
| X(s) |2 + 2 v f II X(t) ||2 et ^ 2 v f II X(t) ||2 dt + f M(t) | X(0 |2ld*,
J o Jo Jo
où
(9.50) M(/) = 2 v + c2 || u{t) ||fL4(ûl))2 + c4 || «(/) ||fL,(ri))l,
doncA/(r)GL1(0, F) et
X(s)\2 < fS MO) \X(t) |2 dt, p.p.;
^ o
d'où # = 0.
Mais alors (9.46) donne *F = 0.
On a donc démontré le Théorème sous réserve de la
Démonstration du Lemme 9.1.
L'application v -+ v\r envoie //2/3(:Q) - H2}3~1}\r) = tf1/6(F) (cf.
Lions-Magenes, Chap. 1) et d'après J. Peetre [1], Hll6{T) c L3(F) (r
étant de dimension 1) ; on a donc :
Il v\r ||L3(r) Kc.Wv \\H2,iiQ) <C2\\v \\2Hf?(D) || v \\\%a). I
Remarque 9.1.
Les conditions (9.5) font apparaître des non-linéarités dans les conditions
aux limites. Les remarques fondamentales pour le traitement de tels problèmes
sont du type des suivantes :
(i) l'application « trace » v -*■ v\Fl est compacte de
HXQ,) - L2(rt) si 6 > i ;
(ii) on a des estimations sur la trace du type de (9.43). |
9.2 Equations couplées
Donnons brièvement deux exemples d'équations couplées.
Exemple 9.1 (cf. P. S. Chernyakov [1]).
On cherche le vecteur u et les fonctions scalaires/? et w, vérifiant
(9.51) ~ - v Aw + £ ui Di u + {w =/- gradp,
ut i=l
(9.52) divw = 0,
dw
(9.53) -r Aw + w.grad w = 0,

130 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
avec des conditions aux limites :
(9.54) w = 0, w = 0 sur I
et les conditions initiales
(9.55) w(0) = u0 , w(0) = w0 donnés ,
où dans (9.51) Ç est un vecteur donné de R".
Les méthodes utilisées au nro 6 pour les équations de Navier-Stokes
s'adaptent sans peine ; on notera en effet que
(w.grad w) w âx — — - (div u) w2 âx = 0 .
On obtient ainsi Vexistence d'une solution { w, w },
u g L2(0, T ; V) (V défini comme au nro 6), u e L^O, T ; (L2(Q))n),
w g L2(0, T ; HliQ)) n L°°(0, T ; L\Q)).
On peut démontrer l'unicité lorsque n = 2. |
L'exemple précédent correspond à un couplage « parabolique-parabolique »,
et il ne s'agit alors que d'une variante immédiate des équations de Navier-
Stokes. Voici un exemple correspondant à un couplage « parabolique-hyper-
bolique (!).
Exemple 9.2.
On cherche le vecteur u et les fonctions/? et w, vérifiant
du "
(9.56) — - v Au + £ ut Dt u + £w = / - grad p ,
(9.57) divw = 0,
(9.58) - 1 - Aw+ | w|'w + w.grad— = g (2),
ôr dt
avec les conditions aux limites (9.54) et les conditions initiales
(9.59) u(0) = u0 , w(0) = w0 , w'(0) = wt
A/o/er — on a fait ce qu'il fallait pour ça ! — qu'en multipliant (9.58) par w',
le terme
(w.grad w') w' dx = — - (div u) (w')2 dx = 0.
0) Nous ignorons si l'exemple ci-après correspond à une situation physique.
(2) On peut naturellement multiplier les exemples en « couplant convenablement » deux à
deux les situations étudiées dans les nros précédents...

10. ÉQUATION NON LINÉAIRE DU TYPE SCHRŒDINGER 131
Combinant les méthodes des nros 1 et 6 on montre l'existence d'une
solution { w, w } (etp g 9'(Q)) qui vérifie
(9.60) u g L2(0, T;V)n L°°(0, T; (L2(Q)f),
(9.61) w g L°(0, T ; Hj(fî)), w' e L°°(0, T ; L2(Q)),
(9.62) weL°°(0,T;Lp+2(i2)).
On peut aussi montrer V unicité lorsque n = 2(p quelconque). |
10. ÉQUATION NON LINÉAIRE DU TYPE SCHRŒDINGER
10.1 Position du problème
On prend dans ce nro des fonctions à valeurs complexes.
On cherche u solution de
(10.1) u' - i Au + | u\pu =/ dans g,
p > 0 donné, i = \J — 1,/donnée dans Q, avec les conditions aux limites
et initiales :
(10.2) w = 0 sur I,
(10.3) u(x,0) = u0(x) , xg:Q.
On va montrer brièvement comment les méthodes du nr0 1 s'adaptent à cette
situation. |
10.2 Théorème d'existence et unicité
On va montrer le
Théorème 10.1. — On suppose que
(10.4) /GL2(0,r;//à(O)), f'eL2(Q),
(10.5) w0G//tonL2(p+1)(fi).
Alors il existe une fonction u et une seule, vérifiant (10 A) (10.3).
(10.6) u g L°°(0, T ; Hl0(Q)) n LF(Q), p = p + 2
(10.7) w'eL°°(0, 7;L2(-Q)).
Démonstration.
1) On choisit une « base spéciale » dans la méthode de Faedo-Galerkin : on
prend les fonctions propres
(10.8) - Awj = Xj wj9 j = 1, ..., wj g Hj(0).

132 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
La solution « approchée » um est donc solution de
(t4(0, wj) + ia(um(t), wj) + (| um(t) \'um(t), wj) =
(10.9) ,
= (M, wj) , Kj<
ou
(f,ë)= \ fgix,
avec
(10.10) um(0) = uOmelwl9...,*„}, u0m-+u0 dans Hl0(Q) n L2(f)+l)(Q).
2) Multipliant (10.9) par gJm(t) (si uM(t) = JT gJm(t) wA et sommant en j\
\ j=i I
il vient
(10. H) (u'm(t), um(t)) + ia(um(t), um(t)) + (| um(t) \p um{t\ um(t)) = (/«, um(t))
d'où en prenant la partie réelle des deux membres de (10.11) :
(10.12) 1 11 um(r) \2 + \j «„(0 |" dx = (/(0, «„(0)
(où l/|2 = |j/W|2dx).
On en déduit que :
(10.13) um demeure dans un ensemble borné de L°°(0, T ; L2(Q)) et de LP(Q).
3) Grâce à (10.8) on peut remplacer dans (10.9) Wj par Awp et donc écrire
(10.9) sous la forme
(10.14) a(um(tl wj) + i(Aum(tl Awj) + (| um(t) \pum{t\ - Aw.) = a(f(t), Wj)
(car/satisfait à (10.4)).
On déduit de (10.14) que
( a{u'm{t\ ujf)) + i | Aum(t) |2 + (| um(t) \pum{t\ - Aum{t)) =
(10.15)
l = a(/(f), um(t)) .

10. ÉQUATION NON LINÉAIRE DU TYPE SCHRŒDINGER
Pour utiliser (10.15) calculons (Re = « partie réelle ») :
2 Re (| v |p t>, - Av) =
= 2Reî{oA(|Pr,)|dx
133
i = 1 J Q | 0Xi
dx + 2 Re
= 21 j m
■i f ?i»r2x
x("âé(rï)dJC
et donc, en particulier (*)
(10.16) Re (| um(î) r um(t\ ~ àujf)) > 0
et donc prenant la partie réelle de (10.15) il vient
1 d
2 ât
a(um(t), um(t)) < Re a(f(t)9 um(t))
d'où l'on déduit que
(10.17) um demeure dans un borné de L°°(0, T ; Hl0(Q)).
4) Reste à obtenir une estimation sur um.
On vérifie d'abord que | u'm(0) | ^ constante (2).
Puis on dérive (10.9) en t. Par le même genre de calcul que pour établir
(10.16) on vérifie que
do. îs) Re (^ (i um(t) r «M(o), «:«) > o
d'où l'on déduit que
(10.19) u'm demeure dans un borné de L°°(0, T; L2(Q)).
5) On passe alors à la limite sans difficulté, avec les méthodes des nros
précédents.
6) L'unicité est immédiate ; il suffit de noter que
(10.20) Re (| u \p u - | v \p v, u - v) ^ 0 Vw , v e LP(Q). |
0) On pourrait ici obtenir des estimations supplémentaires.
(2) On utilise ici l'hypothèse « w0e L2iP+i\Q) ».

134
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
11. ÉQUATIONS NON LINÉAIRES SUR DES VARIÉTÉS SANS
OU AVEC BORD
11.1 Position des problèmes
Soit toujours un ouvert Q de R", borné, de frontière F et
Q = Q x]0, T[, I = r x ]0, T[.
Problème 11.1.
On cherche une fonction w = w(x, t) définie dans g, et vérifiant
/ d2 d2 \
(11.1) Aw = 0 U = — + - +—J (l) dans g,
\ ôxf dx„/
avec
dw dw
(11.2) — + — + \w\"w=fsur L,
ot on
(où p > 0 donné,/donné sur Z, 5/5« = dérivée normale à F dirigée vers
Vextérieur de ;Q), et avec la condition initiale :
(11.3) w(x,0) = w0(x),xer. |
Remarque 11. L
Il n'intervient de dérivation en / que dans (11.2). |
Remarque 11.2.
On montrera dans la suite (nro 11.2) comment le Problème 11.1 se formule
en un problème non linéaire d'évolution sur la variété F. |
Formulons deux problèmes de même type, mais cette fois « hyperboliques »
(le Problème 11.1 étant, comme on verra, parabolique) :
Problème 11.2.
On cherche encore w satisfaisant à (11.1), avec cette fois
(11.4) -^ + — + | w\pw =f sur I
ôt2 dn
et les conditions initiales :
(11.5) w(x, 0) = w0(x) , ^(X,0) = wr(x), xgT.I
(!) Il n'y a donc pas de dérivées en t dans l'opérateur différentiel.

11. ÉQUATIONS SUR DES VARIÉTÉS SANS OU AVEC BORD 135
Problème 11.3.
On cherche w satisfaisant à (11 A) avec
,«« _x d2w dw \ dw r dw r
(11.6) —7+—+ — — =/surI,
Ôt2 dn I Ôî I dt
et les conditions (l l .5).
11.2 Formulation sur la variété F
11.2.1 Opérateur s/.
Pour cp g H1/2(r) désignons par <P la solution de
l A0 = 0 dans Q ,
l 0 = <p sur F ;
<PeHl(Q) et on peut (cf. Lions-Magenes [1]) définir ô&ldn e H~l/2(r) ;
on définit alors :
(11.8) stq> = ^9 ^GJ^(//1/2(F);H~1/2(F)).
OH
On désigne par (<p, \jj)r les intégrales et produits scalaires sur F.
On a:
(pour A > 0 quelconque, il existe a > 0 tel que
(s/q>9 <p)r + X\\<p \\2LHn >a\\cp ||* l/2(r) Vq> G Hl/2(r) .
En effet
I (- A0) 0 dx = 0 = - i>/<p, <p)r + I | grad <P \2 dx
et donc
Ga*>, (p)r + A\\q> \\2L2(n = | | grad <Z> |2 dx + k \ <P2 df >
J q J r
>aill*llâ«(tD>«ll*lrlltf«/>(r)- I
11.2.2 Formulation sur f.
Si l'on pose dans l'un quelconque des Problèmes du nro 11.1
(11.10) H</)|r = a(0

136 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
dw
alors —-(/) = œ?u(t) et donc le Problème 11.1 devient le suivant :
on
on cherche une fonction u(t) telle que
(11. H) ~ + du + \u \pu =f sur 2" = Fx ]0, T[ ,
oî
(11.12) w(0) = w0 donné sur F.
De même le Problème 11.2 devient le suivant : on cherche une fonction u(t)
telle que
(11.13) d-^ + du + | u \p u = f sur Z,
(11.14) w(0) = w0 , w'(0) = wv sur F ,
et le Problème 11.3 devient le problème analogue, avec (11.13) remplacée par :
/-,, , ^ d2u * \ du r du r
(11.15) —- + du + \ -\ — =/.
ôt2 I fit | dt
Remarque 11.3 II s'agit maintenant de problèmes sur la variété F, d étant
d'ailleurs un opérateur pseudo-diiïérentiel sur T. \
11.3 Résultats
On a d'abord les trois résultats suivants :
Théorème 11.1. — On suppose f donnée dans L2(0, T ; H~ 1/2(F)) et w0 donné
dans L2(F).
Il existe une fonction u et une seule telle que
(11.16) u e L2(0, F ; H1/2(0) n L°°(0, T ; L2(F)) n L^+2(Z),
et vérifiant (11.11) (11.12).
Théorème 11.2. — 0« suppose f donné dans L2(Z), w0 g i/1/2(F), w1 e L2(F).
7/ ex/s/e une fonction u telle que
(11.17) w g L°°(0, T ; Hll\r)) n L°°(0, T ; Lp+2(r)),
(11.18) w'erfO, T;L2(F))
et vérifiant (11.13) (11.14).
Théorème 11.3. — Ow suppose que
(11.19) /e L2(0, T;Hll2(r)),/' e L2(I),
(11.20) WoeUHn,
(11.21) w1Eff"2(r)nL!(|,+"(0.

11. ÉQUATIONS SUR DES VARIÉTÉS SANS OU AVEC BORD 13
Alors il existe une fonction u et une seule solution de (11.15) avec (11.14) e
(11.22) wgL°°(0, T;^1^)),
(11.23) w'gL°°(0, T;//1/2(F)),
(11.24) w"gL°°(0, T\L\r)). |
Nous allons seulement donner l'essentiel de la Démonstration du Théorème
11.1. Une autre démonstration du Théorème 11.1 résultera de l'usage de h
méthode de monotonie, étudiée au Chapitre 2 (on trouvera d'ailleurs au Chap. 1
nr0 4 une situation plus générale).
Démonstration du Théorème 11.1.
1) On choisit d'abord .y de façon que
(11.25) Hs(r) - LP(D , p = p + 2J, et s > \ .
| Il suffit de prendre s de façon que ^ - et s ^ 1.)
\ 2 n - 1 p )
On choisit alors la base spéciale w} définie par
(11.26) (wj) v)u.in = lj(wp v)LHn Vi; g JF(F).
2) On définit la solution approchée um par
«™(0 e K..., wm],
(11.27) ( (M"W' W^r + ('"'""•W' W^r + (I M"W |P W™W> wJr =
(11.28) wm(0) = w0jil g K,..., wm] -> w0 dans L2(F).
On en déduit aussitôt l'existence de um dans [0, T] avec les estimations :
(\ 1 ?Qï / w- G borné de LP(Z) '
1 ' ' l wm g borné de L2(0, T; Hif2(D) n L°°(0, T; L2(F)).
3) On obtient maintenant une estimation sur um grâce au fait que la base
{ Wj } est « spéciale ». On désigne par Pm l'opérateur de projection de
L\r) - K,.... WJ ;
alors
(11.30) u'm = - Pmsfum - Pm{\ um\<>um) + Pmf,
Pm est borné de H~s(r) -+ i/_s(0> donc de H~1/2(r) -+ /7~s(r) et de
Lp'(r)-+ H~s(r) (car on a (11.25)). Comme ^wm (resp. | wm |p wm) demeure

138 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
dans un borné de L2(0, T;H~1/2(r)) (resp. Lp'(0, T; LP'(F))), on déduit de
(11.30) que
(11.31) u'm demeure dans un borné de Lp'(0, F; H'\r)).
On utilise alors le Théorème 5.1 avec :
p0 = 2, B0 = tf1/2(F),
Pl=p'9 Bx = H-\r), B = L\r)
(l'injection de H1}2(T) -+ L2(F) est compacte).
On en déduit que l'on peut extraire une suite wM telle que
w„ -> u dans LP(Z) faible et dans L2(0, T; H1/2(r)) faible
et aussi L°°(0. T; L2(F)) weak star, et dans L2(Z)fort et p. p.
On passe alors à la limite par le procédé habituel.
4) L'unicité est immédiate. |
Remarque 11.4.
On a un résultat de régularité en les « variables d'espace » sur F.
Si/eL2(0, T;H1/2(Q)) dans le Problème 11.1, alors la solution u vérifie
(11.32) ue L°°(0, T; Hll2(T)) n L2(0, T; Hl(0).
On note pour cela que (pour des fonctions assez régulières) :
(11.33) (j*u9\u \pu)r ^ 0.
En effet, en utilisant la définition de jrfu, on introduit <P solution de
-A<£ = 0, <P\r = u;
alors
(- A0,|0|'0) = O= - (sfu,\u\'u)r + £ f |£-i-(|*|>*)djc
f=i Jfl vxt oxi
donc
(11.34) (^«, | « |p «)r = (P + 1) t \Q\*\'^f*x>
d'où (11.33) en particulier.
Si l'on choisit alors dans (11.27) les Wj de façon que
(11.35) s/wj = ljWj

11. ÉQUATIONS SUR DES VARIÉTÉS SANS OU AVEC BORD 139
(ce qui est différent, en général, des Wj définis par (11.26)), on obtient
("«. ^Or + || ^"«(0 \\2mn + (I um T wm. ^"J = (/, J*«J
d'où l'on déduit, grâce à (11.33), que um demeure dans un borné de
L°°(0, T; Hl/\r)) n L2(0, T;Hl(r)).
On n'a plus (en général) d'estimation sur u'm (*), mais on peut passer à la
limite par la méthode de monotonie (Chap. 2). |
Remarque 11.5.
Par le même genre de méthode qu'au Théorème 1.2 on montrera que si p
vérifie
(11.36) p ^ - , (p quelconque si n = 2),
il y a unicité de la solution dans le Théorème 11.2 (2).
Le point essentiel pour la démonstration est le suivant : si u et v sont deux
solutions et si w = u — v, </> = (I u \p u — I v \p v) , on a :
v ' u — v
| (<Pw. w\ | < || w'(0 ||i*r> || w(r) ||^1(r) || 0(t) \\Lrin
1 * _> (//«/i(r)c:L^(r))> I + -L + A = i,
g, 2 2(w - 1) v ' 2 *7t r
donc
| (</*w\ w')r | < c || w'(t) \\Li{r) || w(0 ||„i/i(r) x
(jri„rdr)"r + (jri,rdr)1']
et comme pr = 2 p(w — 1) < ?, d'après (11.36), on en déduit que
| (0w, w')r \<c\\ w(t) \\L2in || w(r) ||//I/2(r). |
11.4 Cas avec bord
Un opérateur «de même nature» que l'opérateur défini en (11.8) est le
suivant :
(11.37) ^m=X f —i-iîicx,,...,^,,^^!,...,^.,)^ (3)
(1) On peut obtenir une estimation sur une dérivée fractionnaire en t de um (comme au
nro 6.5) si p n'est « pas trop grand ».
(2) Si (11.36) n'a pas lieu, le problème de l'unicité dans le Théorème 11.2 est ouvert.
(3) On prend n — 1 au lieu de // et Tau lieu de Q pour préciser l'analogie avec les
considérations précédentes.
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 6

140 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
(les intégrales sont les valeurs principales) pour u définie dans
r = ]- ur1.
L'opérateur s/ est un opérateur elliptique d'ordre 1. On aura des résultats
analogues aux précédents, relatifs à l'équation
~ + s/u-\-\u\pu=fy etc. ,
ot
pourvu de remplacer H1/2(r) par #oo2(F) (cf. Lions-Magenes [1],
Théorème 11.7, Chap. 1). |
12. ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION NON LINÉAIRE DÉGÉNÉRÉES
12.1 Position du problème (cf. aussi Chap. 2, nro 3).
On cherche une fonction u telle que
où p est donné > 2, avec les conditions aux limites et initiales :
(12.2) u = 0surZ,
(12.3) w(x.O) = u0(x),xeQ.
Remarque 12.1.
Des problèmes du type précédent interviennent dans de nombreuses
applications : théorie de la chaleur, diffusion des gaz, etc. L'équation (12.1)
dégénère pour u = 0, d'où la terminologie adoptée pour ce numéro. |
Estimation a priori.
Si l'on multiplie les deux membres de (12.1) par u et qu'on intègre par
parties, on obtient
(12.4) i 11 u(t) |2 + M(u(t)Y = (J(t), u(t))
où l'on a posé
02.5) M(u) = (î Jjyr2(|)2dx)1/P.
La fonction v -> M(v) n'est pas une norme, et par conséquent Vusage des
estimations a priori correspondant à (12.4) nécessite quelques développements,
dont le principal est une généralisation du Théorème de compacité 5.1.

12. ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION NON LINÉAIRES DÉGÉNÉRÉES 141
Remarque 12.2.
Naturellement, on prend l'équation (12.1) comme «modèle». La méthode
ci-après s'applique à de nombreuses autres situations. Nous renvoyons à
DUBINSKII [1] [2].
12.2 Un résultat supplémentaire de compacité
Les données dans le Théorème 5.1 sont :
(i) les espaces de Banach B0 cz B cz Bx, l'injection B0 -+ B étant compacte ;
(ii) l'espace des v e LPo(0, T ; B0) tels que âv/ût e LPl(0, T; Bt).
Dans la situation présente, on remplace l'espace de Banach B0 par un
ensemble S, muni d'une fonction v -> M(v) de S -» R+, avec
(12.6) S cz B cz Bl9 M(v) ^ 0 sur S, M(kv) = \k\ M(v),
(12.7) l'ensemble { v | ve S, M(y) ^ 1 } est relativement compact dans B .
On considère ensuite Vensemble !F (qui « remplace » les ensembles bornés
de l'espace défini au (ii)) :
!!F = { v j y localement sommable sur ]0, T[ à valeurs dans Bi ,
M(y(0)"° àt < d ,
J o
t/e borné de Lp,(0, T; Bt) } .
On a alors le résultat suivant (Dubinskii [2]) :
Théorème 12.1. — On suppose que (12.6) (12.7) ont Heu, et que dans 3F
défini en (12.8), on a : 1 < pt < oo, / = 0,1. Alors & cz LPo(0, T\ B) et 3F
est relativement compact dans Lpo(0, T ; B).
Remarque 12.3.
Prenant S = i?! et A/(u) = || y ||Bl le Théorème 12.1 redonne le Théorème
5.1. Il nous a paru utile de séparer les deux résultats ; on notera d'ailleurs que
la méthode suivie dans ce numéro est sur un point différente de celle du nro 5.
Démonstration du Théorème 12.1.
Admettons un instant le Lemme suivant (variante du Lemme SA) :
Lemme 12.1. — Sous l'hypothèse (12.7), V?/ > 0, il existe cn telle que
(12.9) \\u - v\\B^rj[M(u) + M(v)] + Cn\\u - v \\Bt , Vw , veS.
Soit alors une suite u„ de J*. On veut montrer que l'on peut en extraire une
suite de Cauchy dans LPo(0, T;B). Grâce à (12.9) il suffit de montrer que

142 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
Ton peut en extraire une suite de Cauchy dans LPo(0, T'.B^). En effet, on
déduit de (12.9) que V// il existe cn telle que
f || un+m(t) - un{t) ||jr ât^rjï [M(un+m(t))P0 + M(un(t))P°] dt +
J o J o
+ cA || u„+Jt) - u„(t) ||pfl° ât,
J o
d'où le résultat.
On va en fait démontrer davantage, à savoir :
(12.10) on peut extraire une suite u^ telle que uft -> u dans C°([0, 7] ; B{) .
En effet :
1) pour presque tout / (disons pour / £ Z, mesure (Z) = 0), on peut extraire
une sous-suite (dépendant de t) telle que
(12.11) M«*(0) ^ K* < °°
(par l'absurde ; sinon il existe un ensemble F de mesure > 0 tel que
M(un(t))po -> oo Vf e E
et alors
\ M(un(t)Y°ét^ [ M(un(t))p"ât-+ oo
J 0 J E
ce qui contredit (12.8)) ;
2) d'après (12.7) et (12.11) (et l'homogénéité de M(v)) on peut donc pour
chaque t $ Z extraire une sous-suite (dépendant de /) telle que
(12.12) uk(t) -> u{t) dans Bl fort ;
3) soit {/l,/2,... } une suite dense dans [0, F], tt$Z\ d'après (12.12)
et le procédé diagonal, on peut extraire une suite uft telle que
(12.13) uJJÙ -> «(/,) dans Bx fort , V/ ;
4) mais V7 e [0, T] :
|| w„(*;) - "*.(') Ijn. = ^(cr)dcT ^
IN t lifli
"";(Jj|W»j|B-d«r)
< Mi-/l"" Il \\u»\\b\*°) <c\t,-t\l»>
ce qui joint à (12.13) et à la densité de la suite tt montre que «,, converge
uniformément dans Bl sur [0, T], d'où le résultat (12.10).

12. équations d'évolution non linéaires dégénérées 143
On a donc démontré le Théorème, sous réserve de la
Vérification du Lemme 12.1.
Le raisonnement est analogue à celui du Lemme 5.1. Si (12.9) n'est pas
vrai, il existe r\Q et deux suites un vn e S telles que
Il "„ - vH \\B > q0[M(un) + M(vn)] + n || un - v„ \\Bl .
Introduisons :
u = ^ 5= vJt .
" M(un) + M(v„) ' n M(un) + M(vn)
Alors
02.14) ||Hn -vn\\B Z n0 + «Il S» - vn\\Bl,
(12.15) M(un)^ 1 , M(vn)^ 1 .
D'après (12.15) et l'hypothèse (12.7), on peut extraire deux suites u^ v^
telles que
(12.16) u^ -» u , v^ -* y dans # fort.
Mais (12.14) donne
~ ~ c
Il w„ - »„ lia, < ~
et donc u = v. Donc "„ — ^ -» 0 dans # fort, ce qui contredit (12.14). g
Exemple d'application du Théorème 12.1.
Pour appliquer le Théorème 12.1 on utilisera la
Proposition 12.1. — Soit
(12.17) S = {v \ \v\(p~2)/2 veHl0(Q)}
et soit M(v) donné par (12.5). Alors (12.7) ût lieu avec
(12.18) B = LP(Q) (l).
Démonstration.
Notons tout d'abord que
02,9) M(,)=(;2)1/P(î l^w'-™'))2**)1''-
Posons : p(v) — \ v |(p_2)/2 v. Si v„ est une suite de S, p(vn) demeure dans
0) Ce que Ton peut d'ailleurs améliorer ; cf. la Démonstration.

144 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
un borné de Hl(Q) donc de Lq(Q), - — (ou q fini quelconque si n — 2),
donc vn demeure dans un borné de Lpq/2(Q) et comme l'injection de
Hl(Q) -> L2(Q) est compacte, on peut extraire une suite v^ telle que
(12.20) ^ - v dans Lpq/2(Q) faible ,
(12.21) jff(tg - x dans L2{Q) fort et p. p.
II résulte de la monotonie de X -+ /?(A) et de (12.21) que
donc (Lemme 1.3) v^-^P'1^) dans Lpq/2(Q) faible et /T1^) = u. Donc
Vp -* v dans Lpq/2(Q) faible et p. p. Ce qui entraîne que v^ -* v dans L5(^2)
/orf Vs < pg/2 (donc en particulier pour s = p) ; en effet, d'après le théorème
d'Egorov, Ve > 0 il existe E a Qf avec mesure (F) ^ e, tel que v^ -+ v
uniformément dans CF *, alors
| |i?„- 171* djc = Jg^l», - Hsdx + | K- t;|sdx<
^ IcF ' "" " "|S dx + (\Elv»~v r'2 âxï £l~6 '
d'où le résultat. |
11
pq*
12.3 Résolution du problème
On est maintenant en mesure de montrer le
Théorème 12.2. — Soit f donné dans Lp(Q)y - -\—- = 1 et u0 donné dans
P P
L2(Q). Il existe alors une fonction u et une seule telle que
(12.22) ueL°°(0, T;L2(Q))f
(12.23) |u |(p~2)/2 u gL2(0, T; Hl0(QJ),
(12.24) w'eLp'(0,7 ; W_1'P'(«Q)),
et u vérifiant (12A) (12.3).
Démonstration de l'existence.
1) On va utiliser la méthode de Faedo-Galerkin avec une base spéciale.
On choisit r de façon que
(12.25) <pe Hr0(Q) -> ---|- g Lp(&).
aXf ÔXj

12. ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION NON LINÉAIRES DÉGÉNÉRÉES 145
On prendra
en effet, on a alors
fp(Q)
ô2a> (P^Y
dxt ôxj °
et donc on a (12.25) d'après J. Peetre [1],
On prend alors pour wj les fonctions propres :
(12.27) (wp v)Hr(Q) = Xj(wp v) Vu e Hr0(Q)
et on définit um{t) par :
■ "™(0e[wlï...,wm]ï
(12.28) ) (M-(0' w>> + ^ I0 ' "m |P"2 Di Um Di WjÛX = (/(0, ^ '
1 < f < m ,
"m(0) = "om - "o dans Û(Q).
2) On déduit de (12.28) que
(12.29) i 1 | Mm(r) |2 + 4 £ I" (*>i(l "„ l(P"2>/2 "J)2 dx = ((/«. uJO)
2 df p i=i J a
d'où :
(12.30) wm demeure dans un borné de L°°(0, T\ L2{Q)),
(12.31) | um \(p~2^2 Um demeure dans un borné de L2(0, T\ Hl0(Q)) .
3) Estimation sur u'm.
La forme
i;->f f \u \p~2 Dt uDi vdx = a(w, u)
s'écrit
(12.32) fl(«, «,) = (g(«), i;) , || g(«) ||tf.r(0) ^ c || u ||Z;(à);
en effet
a(u, u) = - r^-rr f I « r~2 " Au dx,
(P ~ 1) J 12

146 MÉTHODES DE COMPACITÉ [CHAP. 1]
donc
I a(u> »>! < TTzn II iu \p~2 u ll^'w ilAv N"«» <
(P- 1)
< (d'après (12.25)) c || «||î;(J„ || u||„6l
(O)
d'où (12.32).
Alors (12.28) s'écrit
(12.33) (u'm(t) - g(uji)) - /(r), wj) = 0 , 1 ^ f ^ m ,
où
||g("«(0)||//-r(n) ^ ^ || "m(0 ||tPf«)
et où, par conséquent, d'après (12.31) (ce point n'est pas optimal mais suffit
pour la suite) :
(12.34) g(wm(0) demeure dans un borné de Lf'(0, T; H'r(Q)) .
Soit Pm le projecteur orthogonal (dans L2{Q)) sur [wl9..., wm] ; Pm est borné
dans &{Hr0(Q) ; //0'(G)) et &{H-r{Q) ; H~r{Q)) et donc (12.33) qui s'écrit :
w« = pm(g("m) +/)) et (12.34) entraînent que
(12.35) u^, demeure dans un borné de Lf (0, T; H~r(Q)).
4) On peut maintenant appliquer le Théorème 12.1 avec S donné par
(12.17)et A/(u)par (12.5) (de sorte que(12.31)équivautà M(um(t))p ât ^ c) ,
avec £. = H~r{Q) et p. = p' et enfin avec £ = LP(.Q) (ce qui est loisible
d'après la Proposition 12.1). Donc on peut extraire une suite wM telle que
(12.36) w„ - u dans L°°(0. T\ L2{Q)) faible,
(12.37) wM - u dans L'(0, F; LP(:Q)) fort et p. p.
(12.38) p(u„) = | «„ |(p_2)/2 wu -» x dans L2(0, T'; //J(Û)) faible .
Grâce à (12.34) on a / = | u \(p~2}/2 u et on voit alors par les procédés
habituels que u est solution du problème.
Par ailleurs, de (12.23) résulte que
dx
3 (i u r2 u) = (P - d(i u r~2)/2~)i « i("-2va6L^(e)
et donc
1
AOur^uîeL^rjH'-1^)). |

13. PROBLÈMES 14
Démonstration de l'unicité. (P. A. Raviart [2]).
Soient ux et u2 deux solutions, w = ux — u2. On a :
w -(^èi)A0"ilp~2"i - lw2lp~2"2) = o
et prenant le produit scalaire par (— À)"1 w et vérifiant que les produits sca
laires ont un sens :
(12.39) (w',w)„-.w) + ^~ï)0!'>r2"i -|«2r2«2,u, - «.,) = <),
(où (/,«)„-.,„, = (/,(-A)"1 g)).
Comme (monotonie de X -* \ X \p~2 X) :
(|u, |'_2h, - l«2r2«2,"i - n2)>0,
on déduit de (12.39) que
_d
dr
T.IN») |i-.<o><0
donc w = 0. |
Remarque 12 A.
On verra une autre démonstration de ce Théorème (dans un cadre un peu
plus général) au Chapitre 2, nro 3.2. |
13. PROBLÈMES
13.1 Peut-on dans le Théorème 1.2 supprimer la condition (1.49) ?
13.2 A-t-on un résultat analogue au Théorème 2.2 pour les équations du type
dt & ÔXt \\ ÔXt | ÔxJ
(Sans le terme — u1 +ot, ces équations sont étudiées au nrD 8 et au Chap. 2).
13.3 A-t-on pour l'équation (par exemple)
u" - Au + (u'f = f
des résultats analogues à ceux indiqués brièvement à la Remarque 1.6
relatifs à l'équation u" - Au + w3 = / ?
13.4 Y a-t-il unicité dans le Théorème 4.1 ?

148
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
13.5 Si Ton considère un système du type Cauchy-Kowaleska « attaché » au
système (4.2) (4.3), de la forme
( u[ + ai A2ut - [u!,w2] =/,
l bx u"2 + b2 u2 + a2 A2u2 + [uu u{\ = 0, e, > 0 , ex + e2 > 0 ,
ce système (où Ton rajoute des conditions initiales sur u2) est-il bien
posé et la solution de ce système (si elle existe !) est-elle une
approximation des systèmes (4.2) (4.3) ? Pour des résultats positifs de ce genre,
cf. Chapitre 4, n° 4.
13.6 Y a-t-il unicité dans le Théorème 6.1 ?
13.7 Si dans la méthode du nr0 6.4 on prend pour Wj une « base » quelconque
(et non la base spéciale utilisée), la méthode de Faedo-Galerkin est-elle
néanmoins convergente ? (Un problème analogue se pose chaque fois
qu'on a utilisé une « base spéciale »).
13.8 Que se passe-t-il dans la situation du nro 6.9 lorsque v -*• 0 sans changer
les conditions aux limites ?
13.9 Les problèmes «rétrogrades» (i. e. après inversion du sens du temps)
sont généralement « mal posés » (ou du moins on pense qu'ils sont
« mal posés »). Peut-on :
(i) montrer qu'ils sont mal posés ;
(ii) obtenir une propriété remplaçant l'unicité rétrograde du cas
parabolique linéaire ?
13.10 (Comme le problème précédent, ce problème se pose pour tous les
exemples considérés dans ce Chapitre et également ceux des Chapitres
suivants). On considère un problème non linéaire écrit symboliquement :
u' + sf(u) = 0
avec w(0) = w0. Lorsque u0 parcourt l'espace des données initiales que
peut-on dire de Yensemble parcouru par u(T) ?
13.11 Peut-on étudier la nature (par ex. l'entropie métrique) des ensembles de
conditions initiales pour lesquels un problème donné est « bien posé » ?
14. COMMENTAIRES
Comme il est indiqué dans le texte, l'équation (1.1) intervient en Mécanique
Quantique Relativiste. Outre les indications bibliographiques du texte, signalons le
travail de Jôrgens [1] où cet A. établit, pour le problème de Cauchy, un théorème
d'existence et d'unicité plus fort que le Théorème 1.2, après avoir transformé le
problème en une équation intégrale équivalente (utilisant la solution élémentaire de
l'opérateur des ondes) et les travaux de I. Segal [1] [2] [3],Brodsky[1], Strauss [2] [4].

14. COMMENTAIRES
149
Signalons aussi le travail Browder [2]. Le Théorème 1.3 est dû à Sather [1] [2],
auquel nous renvoyons pour des propriétés supplémentaires de régularité.
La méthode d'approximation par des équations différentielles, utilisée dans tout
ce Chapitre, a été introduite, dans les problèmes d'évolution hyperboliques linéaires
par S. Faedo [1], dans les problèmes d'évolution paraboliques linéaires par J. W.
Green [1] et dans les problèmes non linéaires, où la méthode joue un rôle absolument
fondamental, par E. Hopf [1] à propos des équations de Navier-Stokes (cf. nr0 6).
Cette méthode (jointe à une discrétisation en la variable de temps) est utilisée dans les
applications numériques (cf. Douglas-Dupont [1], B. Wendroff [1]).
Les résultats du nro 1.8 semblent nouveaux. Un résultat analogue au Théorème 1.6
mais avec plus d'hypothèses de régularité sur/, w0, u\ a été donné par Sather [1]
(Théorème 5.1). La méthode suivie dans la démonstration du Théorème 1.6 est celle
de Lions-Strauss [1], Lemma 2.1, adaptation d'une méthode donnée dans Lions-
Prodi [1] pour les équations de Navier-Stokes.
Le Théorème 2.1 est dû à Sattinger [2] (cf. aussi cet A. [1], et pour le résultat
de non existence Keller [1]) (pour l'exposé du Théorème 2.1 nous avons utilisé une
remarque de Fujita, communication personnelle).
Le Théorème 2.2 est dû à Fujita (cf. [1], [2]) où l'on trouvera des résultats
supplémentaires ; cet A. montre la non-existence de solutions usuelles ; nous avons un peu
étendu le résultat au cas de solutions faibles.
On trouvera un autre résultat de non-existence pour équations paraboliques non
linéaires (et utilisant encore la convexité) dans Kaplan [1], § 6.
Pour des résultats de non existence dans des équations hyperboliques non linéaires,
cf. N. J. Zabusky [2], P. D. Lax [2], R. C. Mac Camy — V. J. Mizel [1].
Les résultats du nro 3 sont dus à Lions-Strauss [1], où Ton trouvera des résultats
complémentaires (cf. aussi dans cette direction, Mizohata-Yamaguti [1] [2], Arima-
Hasegawa [1]).
A des détails techniques près, les résultats du nro 4.1 sont dus à Morozov [1],
Vorovic [1]. Le cas stationnaire (n™8 4.3, 4.4), dont on ne présente dans le texte que
les rudiments, a donné lieu à de nombreux travaux. Les équations considérées
(équations de Von Karman), étudiées en particulier dans les travaux de M. S. Berger [3]
[4] [5], Berger-Fife [1], Fife [1], conduisent au problème de valeurs propres pour
opérateurs non linéaires (consulter Berger [1] [2] et une étude générale dans F.
Browder [1] [7]) ; on utilise alors les techniques des variétés de dimension infinie (nous
renvoyons à Palais [1]) et la théorie de Ljusternik-Schnirelman (cf. Browder [1]
[7], Palais, loc. cit., J. Schwartz [1]) cf. aussi Bazley-Zwahlen [1]. On trouvera
d'autres résultats de régularité que le Théorème 4.4 dans Knightly [2]. Signalons
également les équations de nature parabolique
u\ + ai A2ui — [i/i, ui] =/i ,
ùi + ai A2u2 + [uit u\] = /2,
d'étude plus simple que le système du texte, et pour lesquelles nous renvoyons à
Dubinsky [4].
L'étude des problèmes aux limites non linéaires dépend du domaine^ et cela est lié
à la théorie des valeurs propres pour les problèmes non linéaires et à la théorie de la
stabilité. Cf. I. M. Gelfand [1], H. Fujita [3] ; pour le cas des équations
différentielles ordinaires (non linéaires), cf. Bailey et Waltman [1], Bailey, Shampine et
Waltman [1], H. B. Keller [1], Lasota-Opial [1], L. F. Shampine [1].
Les résultats du nro 5 sont loin d'être optimaux, mais ils suffisent pour notre objet.
Des théorèmes plus complets, dus à J. P. Aubin [1] utilisent des résultats de compacité
de Lions-Peetre [1]. Le Théorème 5.2 a été donné dans Lions [14], lre éd. Chapitre 4.
La méthode d'estimation donnée au nr0 5.3 a été introduite, à propos des équations
de Navier-Stokes dans Lions [3], et utilisée sur cet exemple, dans Lions-Strauss [1]
(où l'on trouvera aussi l'étude du cas où Q n'est pas borné). Il faut signaler ici les
résultats de compacité dans Ll de De Giorgi [3], Fleming [6], utilisant Cesari [6],
résultats essentiels dans la théorie des systèmes hyperboliques de lois de conservation.

150
METHODES DE COMPACITE
[CHAP. 1]
Les nros 6 et 7 qui traitent des Equations de Navier-Stokes, n'ont nullement pour
objet de présenter un état complet de la situation ; on a tâché de dégager seulement
quelques résultats significatifs ; d'autres résultats, pour des « modèles » différents
seront donnés au Chapitre 2, et d'autres résultats encore, relevant d'autres méthodes,
seront donnés aux Chapitres 3 et 4. Les résultats de base de la théorie sont dûs aux
travaux classiques de Leray [1] [2] [3]. Un exposé général de la question est donné
dans Ladyzenskaya [1] ; nous avons suivi ici une voie peu différente, donnant sur
certains points des résultats meilleurs. Le Théorème 6.1 est essentiellement dû à
Hopf [1] ; nous donnons une démonstration semble-t-il plus simple et plus générale,
suivant une méthode donnée dans Lions [3] (méthode du nro 6.4) ; la méthode donnée
au nro 6.4 utilisant les dérivées fractionnaires est due à TA. ; cf. Lions [1] [2]. Le
Théorème 6.2 est dû à Prodi et TA. ; cf. Lions-Prodi [1 ] ; cf. une autre situation
(revenant à un cas bidimensionnel avec singularité) dans Ladyzenskaya [4]. Le
Théorème 6.7 est dû à Ladyzenskaya [1]. Le Théorème 6.8 est dû à G. Prodi [1] et
J. Serrin [1], où l'on trouvera d'autres résultats. De nombreux résultats d'existence
locale en t de solutions fortes ont été établis ; cf. H. Fujita — T. Kato [1], H. Fujita
— K. Masuda [1], S. Ito [1] M. Shinbrot — S. Kaniel [1], S. Kaniel — M. Shin-
brot [1], P. E. Sobolevskii [1]. Des propriétés de régularité ont été établies par Foias
et Prodi [1], Masuda [j], C. Kahane [1], Serrin [2]. Voir aussi l'exposition de
SlBAGAKI — RlKIMARU [1].
La démonstration de l'unicité dans le Théorème 6. H est due à Youdovich [2].
L'existence de solutions « classiques » des équations d'EuIer (cas v = 0) a été
démontrée par T. Kato [1].
La démonstration de (6 A40) est donnée pour la commodité du lecteur. Une autre
possibilité est d'utiliser les opérations de troncature (cf. Théorème 7A, Chap. 3, § 7
de Ladyzenskaya-Ouraltseva-Solonnikov [1]; on utilise de façon essentielle le
Théorème 6.1, Chap. 2, § 6 de cet ouvrage).
Pour l'étude du problème de Cauchy et l'extension aux équations de Navier-Stokes
du Théorème de Tychonoff relatif à l'équation de la chaleur (sur le comportement à
l'infini en x) cf. P. Mustata [1].
Pour d'autres aspects concernant les équations de Navier-Stokes, toujours dans le
cas d'évolution, et utilisant le semi-groupe non linéaire (et éventuellement multivoque,
si n ^ 3) : wo -> solution à l'instant / (avec /"= 0), cf. C. Foias — G. Prodi [2]
(ces travaux étant liés à la turbulence).
Un problème analogue à celui de faire v ->0 (nro 6.9) se rencontre souvent dans
d'autres situations ; cf. en particulier O. A. Oleinik [1],..., [4] ; dans les travaux [1]
[2] [3] cet A. utilise la « méthode de viscosité » — cf. Remarque 6.10, nro 6.9 — pour
démontrer l'existence d'une solution — d'un type particulier — des équations
hyperboliques non linéaires du premier ordre. Pour des résultats complémentaires dans cette
direction, on consultera Glimm [1], Glimm-Lax [1], E. D. Conway et E. Hopf [1],
E. D. Conway et D. Smith [1], E. D. Conway et J. A. Smoller [1] [2], J. L.
Johnson [1], J. L. Johnson et J. A. Smoller [1] [2]. Pour des résultats locaux pour des
systèmes hyperboliques généraux, cf. J. Leray [7], L. Gârding [1]. On peut aussi
utiliser des méthodes du Calcul des variations ; outre certains des travaux
précédents, cf. l'usage de la théorie du contrôle stochastique dans W. Fleming [1] [5]
et de la théorie des jeux dans Krujkov [1].
11 y a naturellement beaucoup d'équations de l'hydrodynamique qui relèvent de
techniques analogues. Signalons en particulier les équations de la magnétohydrody-
namique, pour l'étude desquelles nous renvoyons à Dyer et Edmunds [1],
Ladyzenskaya et Solonnikov [1], Solonnikov [1], E. Sanchez-Palencia [1] [2] (et la
bibliographie de ces travaux ; on réfère ici au cas d'évolution et au cas stationnaire).
L'étude du cas stationnaire des équations de Navier-Stokes est faite de façon très
sommaire au nro 7. Pour l'étude de solutions « fortes » (i. e. dans des espaces plus
petits que F), nous renvoyons en particulier à R. Finn [1 ],..., [5], R. Finn —
D. R. Smith [1], H. Fujita [4], S. Kaniel [1].

14. COMMENTAIRES
151
Pour l'unicité, on trouvera des résultats beaucoup plus élaborés que ceux de la
Remarque 7.6 dans L. E. Payne [1].
Pour l'étude de diverses questions de stabilité, référons à Bramble et Payne [1],
Payne [3], J. Serrin [6], P. H. Rabinowïtz [2], W. Velte [1] [2] et l'exposé de
R. Temam [5].
Comme il est indiqué dans le texte, les résultats du nro 8 sont dûs à I. M. Visik [1]
[2]. On obtiendra de nouveau ces résultats, par des méthodes plus simples, au
Chapitre 2 ; mais la méthode de Visik contient plusieurs idées qu'il nous a semblé
utile d'expliciter, ces idées pouvant être utiles ailleurs.
Les équations étudiées au nro 9.1 se rencontrent en biologie (Cohen et S. I. Rubinow
[1]) ; en fait, dans ce travail, au lieu de l'équation (9.3) on a l'équation générale de
l'élasticité — mais cela n'ajoute pas de difficultés autres que techniques. Pour l'unicité,
on a adapté une idée de Lions-Prodi [1].
Nous donnons au nro 9.2 deux exemples simples de problèmes couplés (le deuxième
étant probablement artificiel). De nombreux problèmes couplés plus difficiles se
rencontrent dans les applications ; signalons les équations couplées de Maxwell-
Dirac (L. Gross [1]) et de très nombreux problèmes de météorologie (cf. en particulier
G. L Marchuk [1]). On trouvera l'étude du cas sîationnaire correspondant à l'Exemple
9.1 du nro 9.2 dans A. G. Zarubin [1].
On donnera une autre méthode de résolution des équations de Schroedinger non
linéaires (étudiées au nro 10) au Chapitre 3, nro 2.5. De nombreux autres résultats
relatifs aux équations de Schrœdinger sont donnés dans Pozzi [1].
Les problèmes linéaires du type de ceux considérés au nro 11 interviennent en
hydrodynamique et ont été étudiés dans A. Friedman-M. Shinbrot [1] R. M. Gari-
pov [1], Lions-Magenes [1], vol. 2 (Signalons à propos des équations non linéaires sur
une variété le travail de Duric [1] relatif aux équations de Navier-Stokes sur une
surface de Rieman).
Les Théorèmes 12.1 et 12.2 sont dûs à Dubinskii [2] ; on trouvera dans Dubinskh
[1] l'étude du cas stationnaire correspondant; cf. également des résultats de régularité
(pour le deuxième ordre) dans Ouraltseva [1]. L'unicité dans le Théorème 12.2
est due à P. A. Raviart [2]. Une autre méthode de résolution sera donnée au
Chapitre 2, nro 3.2. Des problèmes dégénérés de ce type ont été étudiés par Oleinik,
Kalashnikov — Czou Jui — Lin [1] et par Aronson [1]. Le problème :
/ «' — i A(w2) = 0 ,
(14.1) m = 0 sur 27,
l w(0) == tf0, «o > 0
pourra se traiter ainsi ; on commence par résoudre le problème :
(14.2) ïï- I ~(|w ||£) =0, u = 0 sur £, u(0) = it0
puis, par application du principe du maximum « faible », on montre que
u ^ 0 , donc que u = u est solution de (14.1).
(Le problème (14.1) intervient également dans les applications ; cf. Baklanovskaya
et Haipova [1]).

152
MÉTHODES DE COMPACITÉ
[CHAP. 1]
Un autre exemple de problème pouvant être résolu par les méthodes de ce Chapitre
est le suivant (J. M. Greenberg [1], Greenberg, Mac Camy et Mizel [1]) :
d2U /du\d2u d d2U
W2-E(3sr*-X7ti*=0> 0<x<{> />0' (x>0)>
w(0, /) =w(l,/) = 0,
u(x, 0) = uq(x) = x , -- (x, 0) = wi(jc) ,
E fonction continue > 0 .
(Pour les intégrales d'énergie multiplier par du/dtt d2u/dx2t d^ujdt1 ; après
multiplication par du/dt, observer que
\ cxj dx2 dt \ dxj ox ot
J Q J Q
où a{n) = E(Ç) âÇ ; on pourra utiliser la base des fonctions propres de — d2/dx2
avec les conditions de Dirichlet en 0 et 1 (!)). Cf. aussi C. M. Dafermos [1].
Tous les résultats de ce chapitre ont été établis dans des espaces de Sobolev construits
sur L*{Q). On peut avoir aussi à utiliser des espaces de Sobolev construits sur les
espaces d'Or liez. Nous renvoyons à I. M. Visik [3], M. S. Berger [6], F. Browder [8],
Dubinskii [6]. Cf. aussi l'étude de O'Neil [1] sur les espaces d'ORLicz.
On rencontre aussi dans des applications des équations à a coefficients retardés »
(phénomènes d'hystérésis) ; nous renvoyons à M. Artola [1] où Ton trouvera en
particulier l'étude de variantes d'équations étudiées par Levin et Nohel [l] ; voir en
particulier les estimations utilisant les fonctions de Lyapunov (signalons à ce propos
les travaux de Szego (cf. Bibliographie) sur la « construction numérique » des
fonctions de Lyapunov).
Nous n'avons pas développé, malgré ses liens avec la compacité, la théorie de
Leray et Schauder ; cf. Leray et Schauder [1], Browder [7], Browder et Petrys-
myn [1] [2] [3], J. Cronin [1] [2], J. T. Schwartz [2] et cf. des applications dans
J. Leray [6] [8], G. Miranda [1], L. Nirenberg [3], E. Rothe [1]. On pourra
consulter aussi Berger et Berger [1].
(') Greenberg [1] utilise la méthode des différences finies.

CHAPITRE 2
MÉTHODES DE MONOTONIE
ET DE MONOTONIE
ET COMPACITÉ

ORIENTATION
1) La lecture de ce Chapitre (à l'exception du nr0 5) suppose connus a
minimum les nros 1, 3 et le début du nr0 8 du Chapitre 1.
2) Vessentiel de la méthode de monotonie (*) est donné, pour les équations
au nros 1 et au début du nr0 2. La théorie des opérateurs pseudo-monotone
(nro 2.4) est indispensable pour la lecture des inéquations variationnelle
(nro 8 et 9).
3) On peut lire indépendamment du reste du Chapitre le nro 2 (en laissan
éventuellement de côté les nros 2.5 et 2.6) et le nro 8.
4) Les exemples des nros 3 et 4 sont importants pour la bonne compréhensioi
de la portée de la méthode de monotonie.
5) Le nro 5 peut éventuellement être passé ; il suppose connu le Chapitre 1
nro 6 ; on y expose sur des exemples (de variantes d'équations de Navier
Stokes) comment utiliser à la fois les méthodes de monotonie et de compacité
1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES
1.1 Exemple. Le cas p > 2
On reprend ici l'exemple traité au Chapitre 1, n° 8.
il s'agit de trouver une fonction
u = u(x ,t),xeQ ouvert borné de R", / e ]0, T\,
solution de
K ' dt -M dx-W dxt
oùp est donné > 2 (2), avec les conditions
(1.2) u = 0 sur £ = r x]0, T[,
(1.3) u(xy 0) = uQ(x), u0 donnée .
Avec les notations introduites en (8.5) (8.6), Chapitre 1, nous allons
démontrer le résultat suivant, en insistant sur la méthode (de monotonie) que nous allons
utiliser (puis généraliser) :
(') A ne pas confondre avec les méthodes utilisant la propriété, pour certains opérateurs
particuliers, de conserver une structure d'ordre.
(2) Lecas/>== 2 correspond à l'équation classique (linéaire) de la chaleur. Le cas 1 < p < 2
donne lieu à quelques petites complications techniques, étudiées au nro 1.5.2 ci-après.
p"2 du
du\
dxj

156 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Théorème 1.1. — On donne /et u0 avec les hypothèses
(1.4) /eLp'(0J; W"1,p'(^)), - + - = 1 ,
P V
(1.5) u0eL\Q).
Il existe alors une fonction u et une seule telle que
(1.6) ueLp(0,T;W*>p(Q))
et vérifiant (1.1) et (1.3).
Remarque 1 A .
Posons
„., ^.-tfflarfî).
i=î CXi \\ CXi I CX-J
On vérifie sans peine que A applique Wl,p{Q) dans W~l,p'(Q) et que si u
vérifie (1.6) alors A(u) e Lp'(0, T; W-^P'(Q)).
Il résulte alors de (1.6) et de l'équation (1.1) que
(1.8) u' = j- e Lp'(0, 7 ; W " I'p'(^)).
Il résulte de (1.8) que, en particulier, u est (après modification éventuelle
sur un ensemble de mesure nulle) continue de [0, T] -*• W~l,p'(Q), de sorte
que(l .3) a un sens. |
Remarque 1.2.
On peut en fait préciser la Remarque précédente : soit Kun espace de Banach
réflexif contenu dans un espace de Hilbert H, V c H avec injection continue,
V étant dense dans H ; identifiant H à son dual et V désignant le dual de F,
on peut alors identifier H à un sous-espace de V\ de sorte que
V ΠH ΠV .
Si on donne alors une fonction u e Lp(0, T; V) telle que u' e Lp'(0, T; F'),
la fonction u est (après modification éventuelle sur un ensemble démesure nulle)
continue de [0, T] -» H et Vapplication u -> u(0) est surjective sur H. |
Remarque 1.3.
La propriété (1.2) est «contenue» dans l'appartenance (p. p.) de u{t) à
W^{Q). |

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES
157
1.2 Démonstration de l'existence
1.2.1 Propriétés axiomaiiques de A.
On va dégager les propriétés de base (*) de l'opérateur A défini en (1.7)
qui interviennent dans la méthode de monotonie :
(i) posons V = Wq'p(Q) ; alors A applique V dans V'(= W~Up\Q)\
transforme les bornés de Ken bornés de V (2) et a la propriété de continuité suivante :
IVw , v , w e V , la fonction
X - (A(u + kv\ w)
est continue de R -> R .
La vérification de (1.9) est immédiate. Cette propriété intervenant souvent
dans la suite, on introduit la
Définition 1.1. — Tout opérateur A de V -» V ayant la propriété (1.9) est
dit hémicontinu.
(ii) l'opérateur A vérifie :
n 1Q) |Vu,t>eK, on a:
K } \ (A(u) - A(v), m - v) > 0 .
On pose la
Définition 1.2. — Tout opérateur A de Kdans V ayant la propriété (1.10)
est dit monotone.
La démonstration de (1.10) est immédiate à partir de la définition de A
par (1.7). |
On peut rattacher les propriétés (1.9) (1.10) de A à une propriété plus
générale.
Introduisons la fonctionnelle sur V :
(1.11) J(v) = ~ t \ \DiV\pâx, Dt
_Ô_
àXi
Cette fonctionnelle est différentiable au sens de Gâteaux (3) en tout u e V,
i. e. il existe une application linéaire continue v -» J'(u)v de V -» R telle que
(1.12) \\m\ (J(u + kv) - J{u)) = J\u). v
X-+0 *
C1) Qui seront généralisées dans la suite.
(2) On dit alors que l'opérateur A est borné. On a, plus précisément :
|| /-(w)||+ < c \\u W?'1 . (Rappelons que || ||, resp. || ||+, est la norme dans K, resp. V).
(3) Il y a en fait davantage dans ce cas particulier.

158 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et comme on le vérifie sans peine
(1.13) J'(u) = A(u).
La propriété (1 .10) résulte alors de la (*)
Proposition 1.1. — Si v -» J(v) est une fonctionnelle différentiable au sens
de Gâteaux sur V et convexe, l'application u -> J'{u) de V -> V est monotone et
hémicontinue.
Démonstration.
D'après la convexité,
J{(\ - 0)u + Ov) ^ (1 - 0) J{u) + 0J(v) V0 e ]0, 1 [,
donc
]- (J(u + 0(v - u)) - J(u)) ^ J(v) - J(u) ,
d'où
(1.14) J'(u).(v - u) ^ J(v) - J(u).
Echangeant le rôle de u et v et ajoutant on trouve
(J'(u)-J'(v)).{u-v)>0. |
Remarque 1.4.
On a une propriété réciproque : si J est différentiable au sens de Gâteaux et
si u -> J'(u) est monotone hémicontinue de V -► V\ alors J est convexe. |
1.2.2 Démonstration de Vexistence.
On utilise la méthode de Faedo-Galerkin. Soit u>. ... wm ... une «base»
de V\ on introduit um(t) «solution approchée» du problème de la façon
suivante :
"«(0 e [w,, ..., ivj (= espace engendré par w,,.... wj ,
\u„(0) = w0ine[w1, ..., wj , w0m- w0 dans L2(D).
Cela définit wm(/) dans un intervalle [0, /,„], tm > 0. Mais on note que
(1.16) (A(u\ u) > oc\\u\\py a>0.
(i) Il est clair en effet que J(u) définie en (1.11) est convexe.

1. équations paraboliques monotones 15'
Alors on déduit de (1.15) que (*)
(1.17) \\um(t)\2 +a f ||M»||'d<7< f ||/W||*||»»||dcT +
L J 0 J 0
+ i I w0m |2
d'où l'on déduit que /,„ = Tet que
(1.18) um demeure dans un borné de L*(0, T; L2(Q)) n Lp(0, T; V).
On peut donc extraire une sous-suite u^ telle que
dans Lœ(0,T;L2(Q)) faible étoile ,
dans Lp(0, T\V) faible,
dans L2(Q) faible,
dans Lp'(0, T;K') faible
(car || A(u) || ^ c || u \\p~l) et donc A(um) (2) demeure dans un borné de
L"'(0, T ; V).
Introduisons ûm(t\ A(um(t))~,..., prolongement à R de um(t), A(um(.*))> •••
par 0 hors de [0, T] ; alors (1 A 5) donne
(1.19)
(1.20)
(1.21)
(1.22)
"„ -► u
u„ ->• u
u„(T) - £
^(w„) -♦ X
(1.
23) j (dî "mW' WV + A^u^')~' wj"> = (/(0~ ' WJÏ + ("0-" ^ 5(' ~ 0) ~
l ~(um(T),Wj)ô(i -T).
On peut maintenant passer à la limite dans (1.23) avec m = fietj fixé, d'où
Ton déduit :
(à "■w) + & w'] = (^^ + (M<" ^ô(t ~0)~K» w'} ô{t ~ T) vy
et par conséquent
(1.24) ^.+ y^f + Uo5(t -0)-ÇÔ(t-T).
( ') Où | | désigne la norme dans L2(Q).
(2) Il faut également vérifier que A transforme les fonctions mesurables u de [0, T] -> V en
des fonctions mesurables de [0, 7] -► V. Tous les espaces sont supposés séparables et il suffit
donc de montrer que t -> (A(w(t))> w) est mesurable Vwg V. Or on verra (note (') de la
Définition 2.1 ci-après ; p. 179) que (sous des hypothèses d'ailleurs plus générales) A est
continu de Kfort dans V faible, d'où le résultat. Plus généralement, H. Brezis a démontré
que tout opérateur continu d'un Banach F quelconque dans un deuxième Banach quelconque
G muni de la topologie faible, transforme les fonctions mesurables à valeurs dans F dans
des fonctions mesurables à valeurs dans G.

160 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Restreignant (1.24) à ]0, T[, on en déduit que
(1.25) w' + X=/,
d'où v! e Lp'(0, T\ V), donc u(0) et u(T) ont un sens et comparant à (1.24)
on en déduit que w(0) = u0 et u(T) = £.
On aura donc démontré Vexistence d'une solution si l'on montre (c'est le
point crucial de la démonstration) que
(1.26) X = A(u).
De la propriété (1.10) résulte que
(1.27)
X„ = f 04("„(0) - -4W0). «„(') - KO) dt > 0 Vr 6 L"(0, T; K).
J o
Or de (1.15) résulte que
J (A(uj, u„) dt — j" (/, «,„) dr + i | «0J2 - i | n„(D |2
et donc
X> = J (/. «„) àt + \ | «o, I2 - ^ | k„(T) |2 - f (/!(«„) , o) dt -
- f (/l(i>), u„ - v) df
J 0
d'où (comme lim inf | uJJ) \2 ^ | u(T) |2) :
lim sup Xfl ^ J* (/, u) dt + {- | Wo |2 - 11 u(T) |2 - j* fo, ») d< -
(1.28) ° T
I - f (A(i>), u - v) et .
Mais de (1.25) on déduit, par des intégrations par parties que
\T (/, «) dt + \ | u0 |2 - i | «(T) |2 = J (X, u) et,
ce qui, joint à (1.27) (1.28), donne
(1.29) \ {x - A{v\u - v)dt ^ 0.
J o

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES K»1 161
On utilise maintenant Vhémicontinuité pour montrer que (1.29) entraîne
(1.26) : on prend v = u — kw, k > 0, w e LP(Q, T; V) quelconque ; alors (1.29)
donne
k\ (x~ A(u - kw\ w) dt ^ 0
J o
donc
(1.30) f {x~A(u -kw\w)dt>0;
J o
faisant k -► 0 dans (1.30) (*) on en déduit que
(X - A(u), w) dt ^ 0 Vw
J o
donc
X = .<(«) • I
Remarque 1.5.
Il faut insister sur le passage à la limite ci-dessus qui a pu, grâce à la monotonie
et F hémicontinuité, être effectué avec le minimum d'estimations a priori.
(Comparer au Chap. 1, nro 8, où le passage à la limite par la méthode de
compacité a nécessité l'obtention d'estimations a priori supplémentaires). 1
Remarque 1.6.
On peut assez facilement obtenir une estimation a priori sur um en prenant
pour Wj une base spéciale (cf. Chap. 1, nro 6.3) ; on choisit d'abord S tel que
HS0(Q) - Wl*(Q)
L S - 1 1 1\
V'6"—^2-p)'
On vérifie alors (par la même technique qu'au Chap. 1, nro 6.3) que, si Ton
choisit pour { Wj} une base de Hq(0) formée des fonctions propres
(1 • 32) (w,, «Ongo» = A/Wy, v) Vu e Hs0 (Q) ,
on a :
(1.33) um demeure dans un borné de Lp'(0, T; H~S(Q)) .
Mais, comme on a vu au Chapitre 1, nro 8, cette estimation supplémentaire
est insuffisante pour l'application de la méthode de compacité.
(1.31)
0) C'est loisible d'après le Théorème de Lebesgue.

162 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
On peut noter que si l'on choisit la base spéciale ci-dessus il est inutile de
passer par (1.23) (l .24) ; il est alors immédiat que u(0) = u0 et u(T) = £.
Remarque 1.7.
Le fait que la méthode de Faedo-Galerkin converge avec une base quelconque
est important pour les applications, car les « bases spéciales » sont, dans la
pratique, hors d'atteinte en général. |
1.3 Démonstration de l'unicité
Soient w, et u2 deux solutions du problème. Alors w = uy — u2 vérifie
w' + A(ux) - A(u2) = 0, w(0) = 0,
d'où
(w\ w) + (AOi) - A(u2), K{ - u2) = 0
et grâce à la monotonie :
W' = \ Jt I W(t) !" ^ ° '
d'où w = 0. |
1.4 Un résultat général
Nous avons souligné dans les démonstrations précédentes les hypothèses
qui sont intervenues. Nous avons donc implicitement démontré le résultat
suivant :
Théorème 1.2. —• Soient V, H comme dans la situation de la Remarque 1.2
V étant séparable (*). Soit A un opérateur (non linéaire) de V -» V ayant les
propriétés suivantes :
(1 .34) A est hémicontinu de V - V\ et || A(v) ||* ^ c\\v \\p~\ (2)
(1 .35) A est monotone de V -» V\
(1.36) (A(v),v) ^ a || v ||p, a > 0, Vue V{\ < p < oo).
Soient f et u0 donnés avec
(1.37) /eL"'(0,T;K'), u0eH.
('ï Hypothèse d'ailleurs inutile. Il suffit, dans le cas non séparable, de raisonner sur
l'ordonné filtrant croissant des sous-espaces de dimension finie de V.
(2) Cï. note(2) de la page 159.

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES 163
// existe alors une fonction u et une seule telle que
(1.38) ueLp(0,T; V),
(1.39) u' + A(u)=f,
(1.40) i/(0) = «0 (').|
Dans les applications (comme on verra dans les Exemples 1.5.1 et 1.5.2
ci-dessous), Phypothèse (1.36) peut être trop forte. Il est utile d'introduire la
variante suivante : on se donne sur V une semi-norme [v] telle que
(1.41) il existe X > 0 et p > 0 tels que [>] + / | v \ Z P || v \\ Vv e V (2) ,
et on suppose que
(1.42) {A{v\ v) > a[v]p, 1 < p < oo .
On a alors le
Théorème 1.2 bis. — Les hypothèses sont celles du Théorème 1.2 mais
avec (1.36) remplacé par (1 .42) (1.41). Alors les conclusions du Théorème 1.2
sont encore valables.
Il surfit, pour la démonstration, de modifier un peu (1.17) (1.18). On arrive
maintenant à
(1.43) l-\um(t)\2 + a^[uJcr)]pécT
^l"0«|2 + j ||/W||*||^((7)||dff.
Mais d'après (1.41) le deuxième membre de (1.43) est majoré par
1 ' "o„, I2 + <-, (T II/Or) ||S'd*)"" x
>/p / ri \ i/p-
■0.
x [(f [»»]' dff) " + (f I "Jfi) \" dff
* °2 + \ f0 £M-(ff)]' d,T +
+ \ C (}'o ||/(<r) ||f d<r) "P [(£ | um(c)\'àc)
< c3 + \ £ [um(c)Y àa +
+ ^[(£|«»|"d<T)2/''+l]
(') Noter que (1.38) (1.39) =• u' e Z."'(0, 7"; K') et donc (1.40) a un sens (cf.
Remarque 1.2).
<l) | | désigne la norme dans H, \\ [[dansK

164 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et donc (1.43) donne
(1.44) | um(t) |2 + j" K(<7)]pd<7 < c5 + c5 ( j" | uja) \p da) ' .
On déduit de (1.44) que
|«.(0|2<c, + cs(J'jK.tol'dff)
et donc
|«-(0|'<c6 +c6 f \um(o)\'da,
J o
d'où
(1-45) \um(t)\ ^c7,
ce qui joint à (1.44) donne :
J 0
J 0
et grâce à (1.41) on a donc
|| uj&) \\p âa ^ constante.
J o
On achève comme à la démonstration du Théorème 1.1. |
Remarque 1.8.
On verra plus loin des extensions des Théorèmes 1.2 et 1.2 bis précédents
couvrant, en particulier, des cas où A dépend de î (*). |
1.5 Applications des résultats généraux
1.5.1 Opérateur (1.1) avec les conditions aux limites du type « Neumann ».
On prend A donné par
(1.46) (A(u), ») = £ f \D,u \p~2 D, uDi v dx = a(u, v), p > 2 (2)
i = l J Q
0) On vérifiera d'ailleurs sans peine que les Théorèmes 1.2 et \ .2 bis s'étendent, avec la
même démonstration, au cas où A dépend mesurablement de / avec les hypothèses analogues
à (1.36) ou (1.42) « uniformes en t ».
(2) Le cas 1 < p < 2 correspond au cas où l'on n'a pas nécessairement
Cf. 1.5.2 ci-après et Chapitre 3, nro 1.

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES * «Bit 165/
pour w, v g V = W1,p(£?) ; prenant i/ = L2(.<2), on vérifie que l'on est dans le
cas (1.41) (1.42), avec
M=(t1I0|D',,l'dx) " •
On peut donc appliquer le Théorème 1.2 bis.
On choisit fe Lp (0, T\ V) de la façon suivante :
(1.47) (/(0, v) = f /0(x, 0 v(x) dx + f g(x, 0 »(x) dF,
J q J r
où
(1.48) /0gLp'(0,T;Lp'(O)) = Lp'(Q)
et
(1.49) geLp'(0, 7; W_1/p>'(F));
dans (1.49) on utilise l'espace (cf. par exemple Lions-Magenes [3] pour ces
espaces)
(1.50) W-1/P''p\r) = dualdeW1/p',p'(F),
où
(1.51) W1/p,p(F) = espace parcouru par v\r lorsque v parcourt W1,p(Q).
L'équation (1.39) équivaut à
(1.52) («'(/)) + a(u{t), v) = (/(r), v) VveV
et on a donc l'existence et Vunicité d'une fonction u dans Lp(0, F; W1,P(Q))
telle que F on ait (1.1) (avec/0 au lieu de/), (1.3) et
(1-53) X
» = i
P~2 du t ^
— cos (n, Xi) — g sur Z .
o\-
La condition (1.53) est du type de Neumann. \
Remarque 1.9.
Il faut en fait justifier (1.53) ce qui peut être fait par des méthodes analogues
à celles utilisées dans Lions-Magenes [1] (*). |
Remarque 1.10.
Dans le problème traité au nro 1.1 on peut remplacer la condition «
homogène » (1.2) par
(1.54) u = g sur I,
C1) Cf. aussi nro 4 ci-après.

166 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
où g est donnée sur I de façon qu'il existe w vérifiant (l )
(1 55) ( U' e LP(°' T; Wl,P{Q)) > w' e L* (°> T; ^"1,P'(^)) »
1 w|r = g.
Si l'on introduit alors ij/ = u — w\ tout revient à chercher i^ solution de
/ ■>' + A(i> + w)=/ - w^/.feL^OJjr1^))),
(1.56) ^e^OJî^Û)),
^(0) = "0 - w(0)eL2(O)(2).
Les raisonnements utilisés pour la démonstration du Théorème 1.1
s'adaptent à cette situation (3). |
Remarque 1 .11.
On résoudra de façon analogue le cas où l'on a une condition de Dirichlet
sur F, x]0, T[ et du type Neumann (i. e. du type (1.53)) sur F2 x ]0, T[,
1.5.2 Le cas de VExemple 1.1 avec 1 < p < 2.
On considère le problème du nro 1.1 mais avec 1 < p < 2. Alors on n'a
pas nécessairement W0,P(Q) ci L2(Q) (l'inclusion n'est vraie que si
\/p — \/n ^ \) et on est alors conduit à introduire
(1.57) V = Wi'p(Q) n L2(Q), H = Û(Q)
(et alors V = W~Up\Q) + L2(Q)).
On pose :
M = Il v \\w^p(Q) » semi-norme sur K,
et A étant donné par (1.7) on a (1.41) (1.42). Donc le Théorème 1.2 bis est
applicable, ce qui montre que les conclusions du Théorème 1.1 sont valables
également dans le cas l < p < 2. |
1.5.3 Opérateurs d'ordre > 2.
Considérons un exemple simple d'opérateur non linéaire d'ordre 4. On
introduit de façon générale :
(1 .58) Wnup(Q) = {v | D*ve LP(Q), | a | ^ m }
(') Cf. P. Grisvard [1] [2] pour des conditions explicites sur g pour qu'il en soit ainsi.
(2) On montre que w(0) e L*{Q).
(3) Noter que le « nouvel opérateur A » dans (1.56) dépend de t (à cause de w).

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES SÛBT 167
espace de Banach pour la norme
I \\Dav\\LP(Q)
et
(1.59) W£'P(Q) = adhérence de @(Q) dans Wm'p(Q).
Pour w,tie Wl'P(Q), on pose
(1.60) a(u,v)=\ | Au \p~2 Au Au dx ,
ce qui définit l'opérateur A de F = WVP(&) -» K' :
(1.61) A(u) = A(| Awl""2 Aw).
Cet opérateur est égal à J'{u) si
J(u) = - \ | Aw |p dx
P J Q
et on peut donc appliquer le Théorème 1.2. On a donc Vexistence et Vunicité
deue L'(0, T ; WltP{Q)) tel que
(1.62) ^ + A(|Aiir2A«)=/,
et avec (1.3). |
Remarque 1.12.
On peut également considérer des systèmes d'opérateurs monotones. I
1.6 Résultats de régularité
Naturellement, lorsque la méthode de monotonie est applicable, toute
estimation a priori supplémentaire donne un résultat de régularité ; voici un
exemple (comparer au Chap. 1, nro 8) :
Théorème 1.3. — On se place dans les hypothèses du Théorème 1.1 avec en
outre
(1.63) fJ'elïXQ), /(0)gL2(O), u0eW^p(Q)y A(u0)eL2(Q).
Alors la solution u donnée par le Théorème 1.1 satisfait en outre à
(1.64) «'6l°°(0, T\L\Q))y
(1.65) | Dtu |(p"2)/2 Dtu'eÛ(Q) Vi .

168 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Démonstration.
On part de (1.15) (* ) que Von dérive ent;on suppose que A(u0m) demeure dans
un borné de L2(Q) et on applique à um les estimations analogues à celles du
nro 8.2.3, Chapitre 1. On en déduit que w^,(resp.| Dfwm |(p_2)/2 D{u„) demeure
dans un borné de L^O, T\ L2(Q)) (resp. de L2(Q)) et puisque on sait (d'après
la démonstration du Théorème 1.1) que um -> u dans Lp(0, T' ; Wl'p(Q)) faible,
on en déduit (1.64) et (1.65) (2).|
1.7 Somme d'opérateurs monotones
Soit Hun espace de Hilbert sur R (pour simplifier (3)), K£ (/ = 1, ..., q) des
espaces de Banach réflexifs, avec Vt c: H, Vt dense dans H.
Soit || ||, la norme sur Vt. On pose
(1.66) K = Q Vl9 || «7 || = £ |MI..
On suppose V dense dans # et séparable.
On a:
V œ H cz V* , K, c H c K/ .
Soient A,- des opérateurs non linéaires de Kf -» Kj tels que
(1.67) At est hémicontinu borné de Vt - V{ , || A;(t>) U^ ^ c || v ||f_1 ,
(1.68) Ai est monotone de ^ -► V{ ,
(1.69) (A,.(^ v) > a, || v ||F , a, > 0 , V» e K(ou K,), 1 < Pi < go .
On pose
(1.70) A(v)= t Ai(v)'
On démontre alors, comme pour le Théorème 1.2 (i. e. comme pour le
Théorème l. 1) le résultat suivant :
Théorème 1.4. — On suppose que (1.67) (1.68) (1.69) ont lieu. Soient f et u0
donnés avec u0 e H et
(1.71) fe £Lp''(0,r;K/), I + i. = 1 .
, = i Pi Pi
(!) Avec une «base» wj convenable.
(2) Utilisant la théorie des semi-groupes non linéaires, on peut obtenir des résultats
plus précis (H. Brezis).
(3) Dans les cas complexes, remplacer (1.10) par
Re (A(u) — A(v)t u — v)^0.

1. ÉQUATIONS PARABOLIQUES MONOTONES
77 existe une fonction u et une seule telle que
(1.72)
uef) L»<p,T;V,), t/eLœ(0, T; H),
1=1
u' + A(u)=f,
"(0) = u0 . |
0.73)
(1.74)
Remarque 1.13.
On a la même variante qu'au Théorème 1.2 bis : si [ ]t est une 5
sur Vh telle que, pour A; convenable,
(1.75) [v]t + Xt | v | so/ï équivalente à || ||(-,
et si, au lieu de (1.69) on a :
(1.76) (#),o)^«W.
on a alors la même conclusion qu'au Théorème 1.4. |
Exemple 1.7.1.
On considère l'opérateur A donné par
On introduit les espaces
(1.78) Wx\>Pi{Q) = | v \v e LPi(Q\ ^ e LPi(Q) J ;
Wlx\Pi{Q) est un espace de Banach pour la norme
Il VÏÏlp'M +
On définit ensuite
dv_
ÔXi
iLP'(fi)
(1.79)
(1.80)
(1.81)
(1.82)
V, = adhérence de 2>(Q) dans W^P'{Q),
Mi
dxi
ILp,(0)
At\ ô ( ôv r dv\
V = fl V{ (donc q = n).

170 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
n
On a alors A(v) = £ A&v) et Ton est dans les conditions d'application
1=1
du Théorème 1.4 (en fait de la Remarque 1.13).
On obtient donc Y existence et l'unicité de u vérifiant
du -0/1 du |«-2 ôu\
(1'83) ^"À^ll^l dx-J-f>
l Wer(OJ;L2(f})),™eLp'(0,
(1.84) ) u = 0 sur 2\
\ u(x, 0) = w0W ,xei2. I
Exemple I .7.2.
Prenons
(1.85) ^ = {H »e W1^), v\reL\r)} (*) ;
pour m, u e K, posons
(1.86) fl(u, u)=£ f | Df u |p_2 Dt. uDfudx +
1 = 1 Jft
+ /? [ | » r-2 ««dr, /? > o.
On applique alors le Théorème 1.4 et la Remarque 1.13 dans les conditions
suivantes :
q = 2, Vx = V2= V,
(A,(i/),d) = ax{u9v) = X f | Df« I""2 0,110! udx,
»=i J «
(A2(u), v) = a2(u,o) = p\ \u \q~2 uvéT,
[^2 = (jrl^lqdr)l/\
(') La condition « p|r e Lq(r) » résulte de « v e Wx >P(Q) » si, et seulement si,
1/P

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES 171
On pourra prendre / (satisfaisant à (1.71)) par :
(/»= f f0vdx+ f gvdr,
(1.88)
(1.89)
du
dt
n
I
du
dxt
du
ÔXi
p'2 du
-r- COS (w,
ÔXi
(1.87)
f0eU\Q),geU\£){1).
Alors on obtient l'existence et l'unicité de u vérifiant
P2|;)=/o dans e>
■ cos (w, xt) + c | m \q~2 u = g sur 2",
ï
(1.90) h(*,0) = m0(.v), xefî.l
Remarque 1 A4.
Tows les espaces sur ;Q ou F introduits ci-dessus sont séparables. |
2. PROBLÈMES STATIONNAIRES
2.1 Premier résultat général
Théorème 2.1. — So/7 K ww espace de Banach réflexif séparabie (2). So/7 A
un opérateur de V -> K' ajwï/ les propriétés :
(2A) A es/ bortfe hémicontinu (cf. nro 1.2.1),
(2.2) A es/ monotone,
(2.3) (^J!)^ + 0o 5. || o||-oo.
Alors A est surjectifde V -> V\ i. e. pourfe V\ il existe ue V tel que
(2.4) A(u)=f.
Démonstration.
1) Soit u», ... wm ... une « base » de F; on cherche um e [wu ..., wm], vérifiant
(2.5) (^(O, wj) = (/>,.), 1 ^y<m.
U existence de wm suit du Lemme 4.3, Chapitre 1, en notant que
(i) (A(u„X um) - (f, um) > (A{um), um) -c\\um ||
et donc, d'après (2.3), (A(um), um) - c \\ um \\ > 0 pour || um || = p, p assez
grand ;
(ii) la fonction v -* (A(u), u) est continue sur [wl9..., \vm] (3).
(') On peut plus généralement prendre ge L?>'(0, T; ^"i,p'(D) -f L«'(T) •
(2) Dans le cas non séparabie, considérer, au lieu des espaces [wi,...twm], l'ordonné
filtrant croissant des sous-espaces de dimension finie.
(3) Les hypothèses (2.1) (2.2) entraînent que A est continu de Kfort -> V faible. Cf.
propriété plus générale dans (2), Définition 2.1, nro 2.4.
Lions. — Problèmes aux limita non lii
non linéaires

172 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Par ailleurs (2.5) donne
(A(um),um) = (f,uj *Z \\f\\y.\\un\\
ce qui, grâce à (2.3) montre que
Il um\\ ^ C.
Comme A est borné, il en résulte que || A(um) \\v> ^ C.
2) On peut donc extraire une suite u^ telle que
j uH -> u dans V faible,
( ' } | A(M/1) -» x dans K' faible.
Passant à la limite dans (2.5) (pour m = nJ fixé) on voit que
(X. wj) = (/» Wj-) Vf ,
et donc
(2.7) *=/.
Par ailleurs, d'après (2.5), (A(w^), «J = (/, «„) -» (/, u) et donc, d'après
(2.7):
(2.8) (AK), *0 - (X, ").
<9/t ufl voir que (2.6) (2.8) et les hypothèses (2.1) (2.2) entraînent que
(2.9) X = A(u)
ce qui, joint à (2.7), montre le Théorème.
3) On part de
(2.10) (A(u„) - A(v), u„ - v) > 0 V» e V.
Utilisant (2.6) (2.8) on peut passer à la limite dans (2.10), d'où
(2.11) (x - A(v), u - v) > 0 Vue F.
On raisonne alors comme à la fin de la démonstration du Théorème 1.1
pour l'existence.
On prend v = u — Aw, X > 0, w e V; (2.11) donne
X(x - A(u - Aw), w) ^ 0,
donc
(X - A(w - Xw\ w) > 0,
et faisant A -> 0 : (x - /*(«)> w) ^ 0 Vw e F, d'où (2.9). |

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES 173
Remarque 2.1.
On peut « axiomatiser » la Démonstration précédente (et cela sera utile dans
la suite). L'opérateur A est dit avoir la Propriété (M) si
(2.12) « u^ -» u dans F faible, A(w^) -* x dans V faible et
hm sup(A(w/1), « J ^ (/, u) » => x = >*(").
Le Théorème 2A es.* valable si l'on remplace (2.2) par (2A2) (en effet (2.9)
résulte maintenant de (2.8) par définition). |
2.2 Un Théorème d'unicité. Applications de dualité
Naturellement l'équation (2.5) admet une solution unique si
(2.13) (A(u) - A(v), u - v) > 0 Vu,veV,uj= v.
Voici dans ce sens un résultat plus raffiné :
Théorème 2.2. — On se place dans les hypothèses du Théorème 2 A et on
suppose en outre que :
(2.14) la norme \\ v\\ est strictement convexe sur la sphère unité de V,
(2.15) A(u) = A(v)=>\\u\\ = |M|.
Alors Véquation (2.4) admet une solution unique.
Démonstration :
1) Vérifions d'abord ceci (*) :
u vérifie (2.4) si et seulement si
(2.16) (A(v)-f9v-u)>0 VveV.
En effet si (2.4) a lieu alors
(A(v) -f,v-u) = (A(u) ~f,v-u) + (A(v) - A(u), v - u) =
= (A(v) - A(u\ v - u) ^ 0.
Réciproquement si l'on a (2.16) alors prenant v = u + Aw, X > 0, w e V, on a
(après division par X) :
(A(u + Àw) - /, w) ^ 0
et faisant A -> 0 on en déduit que (A(u) -/, w) ^ 0 Vive V, d'où (2.4).
(') Remarque qui jouera un rôle essentiel dans l'étude des inéquations, cf. nro 8.9.

174 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
2) V ensemble des solutions de A{u) = f est fermé et convexe.
Soit E l'ensemble des solutions et, Vu e V, soit Sv l'ensemble des u e V tels
que (A(v) - f v - u) ^ 0 ; d'après (2.18) :
e = n sv
veV
et comme Sv est un demi-espace fermé de K, le résultat suit.
3) Si (2.15) a lieu, l'ensemble E des solutions de (2.4) est contenu dans la
sphère \\u\\ — p, p convenable ; comme E est d'après 2) fermé convexe et
comme on a supposé la norme v -* || v || strictement convexe, il en résulte que
F est réduit à un point. |
Les méthodes précédentes sont voisines de celles utilisées dans l'étude des
applications de dualité et c'est pourquoi nous allons brièvement étudier ces
applications de dualité (*).
Soit F un espace de Banach sur R, de norme || || et soit || ||+ la norme
duale sur le Banach (dual) F', et soit ( , ) le produit scalaire entre Fet F'.
Soit r -> 0(r) une fonction continue monotone strictement croissante
de R + -+ R + , ^(O) = 0, <P(r) -+ oo si r -+ oo .
Une application J de F -*• F' est dite « application de dualité » relative à <P
si les conditions suivantes ont lieu :
(2.17) (J(u),u) = |l-^C") II* H "H V"e^»
(2.18) ||-/(«)||.=-*(I|k|I) V«eF.
Naturellement cette notion dépend de la norme choisie sur F. |
Exemples.
1) S, F= L"(fi),||U||=(|fi|W|Pdx) " = || u ||t,(0) , <*>(,-) = /-"-',
alors J(u) = \u\"~2 u .
2) S. F = Wl-\Q), || u || = (£ || D, u ||£,(0)) ", *(r) = r*"1 ,
alors ./(„)=- £ A(
Avant de montrer <?«'// existe toujours des opérateurs de dualité, vérifions
des propriétés simples de «/, résultant de (2.17) (2.18).
_5w
â-
(0 Qui seront très utiles plus loin.

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES « 175
Proposition 2.1. — Toute application de dualité est monotone.
Démonstration.
D'après (2.17) on a :
(2.19) {J{u) - J{v\u - v) = \\j{u)\\+\\u\\ + || J(v) ||+ || v || -
-(J(u)9v)-(J{v)9u).
Utilisons ensuite (2.18) ; posons : || u || = a, || v \\ = b ; alors (2.19) donne :
(2.20) (J(u) - J(v\ u - v) > (4>(a) - <Ê(b)) (a - b)
d'où le résultat. |
Proposition 2.2. — Si F est strictement convexe, J est strictement monotone.
Démonstration.
Il faut montrer que si (/(«) — J(v), u — v) = 0 alors u — v.
Il résulte déjà de (2.20) que || u || = || v \\.
Notons que si g e F', g ^ 0, || g H* = sup (g, v) et si F est strictement
IMI«i
convexe le sup. est atteint en un point unique de la sphère unité ; en effet le
sup. est atteint sur un ensemble convexe de la sphère unité.
On en déduit que u = v. En effet, si u # v(l)y alors -—- # T1—rr (car
Il "Il II «Il
Il « Il = Il » II) et donc
donc
(J(u), v) < (J(u)9 u) ,
et de même
(J(D)9 U) < (j(V)9 V)
et alors
0 = (J(u) - J(v\ u - v) > (J(u), u) + (J(u)9 v) - (J(u)9 u) - (J(v)9 v) = 0 ,
ce qui est absurde. |
Montrons maintenant l'existence :
Proposition 2.3. — // existe toujours une application de dualité relative à <ï>.
Cette application est définie de façon unique si F' est strictement convexe.
Démonstration.
1) Soit S la sphère unité de F. Pour u e S il existe, d'après le Théorème de
Hahn-Banach, un élément u* e F' et un seul, tel que
||«*IU= I, («*,«)= 1.
0) Non nuls. Si par ex. u =- 0 alors // = 0.

176 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
2) On définit alors J sur F par
(2.21) J(Xu) = <P(X) «*, X > 0, ue S, u* choisi comme en 1).
L'opérateur défini par (2.21) répond à la question. L'unicité résulte de la
stricte convexité de F' (par l'absurde). |
Proposition 2.4. — Soit F un espace de Banach réflexif de duaî strictement
convexe. Vapplication de dualité J relative à <P est hémi continue.
Démonstration.
En fait il y a plus : /est continue de F -» F' faible.
Vu la construction (2.21) il suffit de vérifier que si um e S, um -+ u0(u0 e S),
alors J(um) -» J(u0) dans F' faible.
Or || J(um) y* = 0(1) ; on peut extraire une suite u^ telle que J(u^) -» x dans
F' faible. Alors (J(u^), «J -* (x, u0) et donc
Il X II* ^ (X. «o) = Km (^«m)> mm) = lim II J<UJ II* > H X II* »
donc
(*.«o) = llzlUKII.
ilxll* = <*>(INoH)
et donc x = J(uo)> d'où le résultat suit, g
Comme J est borné (d'après (2.18)) et coercif ((2.3) a lieu car <P{r) -* oo si
r -» oo), on voit, en utilisant le Théorème 2.1 (et la Proposition 2.3 pour
l'existence) que l'on a le :
Théorème 2.3. — Soit F un espace de Banach réflexif strictement convexe
ainsi que son dual. Soit J l'application de dualité de F -> F' relative à <P.
Pour f donné dans F', // existe u unique dans F tel que
(2.22) J(u)=f. |
On peut compléter le Théorème 2.3 de la façon suivante :
Théorème 2.4. — Soit F un espace de Banach réflexif strictement convexe
ainsi que son dual. Vapplication fe F' -* u = J~l(f) (solution de (2.22))
définit Vapplication de dualité de F' -» F relative à 4>~K
Démonstration.
Il suffit de remplacera par J~1(f) dans (2.17) (2.18). |
Le Théorème 2.4 conduit naturellement aux espaces « réflexifs » et «
strictement convexes ainsi que leur dual ». En fait, la deuxième hypothèse n'est pas
une restriction essentielle, comme montre le résultat suivant dû à Asplund [1]
auquel nous renvoyons pour la démonstration. Cf. aussi Lindenstauss [1].

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES -^!fti& 177
Théorème 2.5. — Soit F un espace de Banach réflexif de norme || |j. Il
existe une norme ||| ||| équivalente à\\ \\ telle que, pour cette nouvelle norme,
F soit strictement convexe ainsi que son dual muni de la norme duale de \\\ |||.
On peut compléter quelque peu ce résultat :
Théorème 2.6 (cf. Brezis-Crandall-Pazy [1]). — Soit F un espace de
Banach réflexif de norme || ||. Pour tout a > 1/7 existe une norme \\ \\a sur
F telle que :
(i) F soit strictement convexe ainsi que son dual (muni de la norme duale
Il IL,** || ||a);
(ii)^ll ll.<ll II < a II IL. \\\ II... <ll II» < « Il IU.-I
a a
2.3 Exemples.
2.3.1 Opérateur A défini en (1.17), 1 < p < oo ; problème de Dirichlet.
D'après ce qu'on a vu au nro 1 (ou encore, d'après ce qu'on vient de voir sur
les applications de dualité), le Théorème 2.1 donne aussitôt : pour f donné dans
W~xy{Q\ il existe u e wl'p{Q) tel que
AM = - & teAlWA 3x-J=f
et il y a unicité (d'après le Théorème 2.2 ou le Théorème 2.3). |
2.3.2 Problème de Dirichlet non homogène.
Soit A défini comme en 2.3.1. fl existe u g WlfP(Q) unique tel que
A(u)=fJeW-l>p'(Q),
En effet, on introduit w e Wl,p(Q) tel que w|r = g (un tel w existe d'après les
hypothèses faites sur g). Introduisant \jj = u — w, tout revient à résoudre :
A(\jt + w) =f9ipeW£-p(Q)
i. e. un problème analogue à celui du 2.3.1 avec l'opérateur A remplacé par
A{ défini par
Ax{\j/) = A{\jj + w), w fixé dans WUp{Q).
On vérifie sans peine que Al9 opérateur de wltP{Q) -*• W~î,p(Q), possède
les propriétés du Théorème 2.1, ce qui montre Vexistence d'une solution.
Soient maintenant ui et u2 deux solutions éventuelles. Alors
«! ~ U2 E W^P(Q)

178 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et donc
(A(ux) - A(u2), u{ - u2) = 0 =
dux
ÔX:
P-2
3u{
ÔX;
du2
ÔX:
p~2du_
dxt
i\. (Oui._ Oui)
J \ dxt dxj
dx
d'où résulte que
dul du2
Vi
dXi ôxi
et comme ux — u2 = 0 sur F, onaw( = w2- I
2.3.3 Problème de Neumann.
On prend maintenant
et pour u, v e K on pose
(2.23) a(u,v) = £ \\Diu\p-2DiuDivdx+ \ \u\p~2uvàx.
On choisit/e K' par
(2.24)
)(f» = j fo»dx + j gL>dF,
(f0ELp\Q)igEW'l/p''PXr).
On peut appliquer le Théorème 2.1 ; on en déduit l'existence de u dans WUp(Q)
vérifiant
(2.25)
(2.26)
n
I
du
dxt
du_
foi
+ i«r«=/c
du \p~2 du , x /K
-| -~cosM = g sur r().
Il y a en outre unicité de la solution (application du Théorème 2.3). |
Remarque 2.3.
On adaptera au cas stationnaire les autres exemples donnés au nro 1. |
(') On peut justifier (2.26) par les méthodes de Lions-Magenes [1], Chapitre 2. Cf. aussi
nro 4 ci-après.

2. problèmes stationnaires ♦.*'> 179
Orientation.
Comme on verra ci-après au nro 2.5 les conditions du Théorème 2.1 sont
insuffisantes pour les «Opérateurs du Calcul des Variations»; par contre
l'hypothèse (2.12) est suffisante mais pour sa vérification éventuelle il est bon
d'introduire une « classe intermédiaire » entre les opérateurs ayant les
propriétés du Théorème 2.1 et ceux ayant la propriété (2.12): c'est la classe des
opérateurs pseudo-monotones. |
2.4 Les opérateurs pseudo-monotones
Définition 2.1. — Un opérateur À de V -*• V est dit pseudo-monotone si :
(i) A est borné,
(ii) lorsque Uj -* u dans F faible et lim sup (A(uj), Uj — u) ^ 0 alors
(2.27) lim mf(A(uj\ Uj - v) > (A(u), u - v) Vu e V(l). |
Vérifions tout de suite qu'on a bien là une classe « intermédiaire » :
Proposition 2.5. — On a les implications :
« A borné, hémicontinu, monotone » => «A pseudo-monotone » =>
« A a la propriété (2.12) » (i. e. « A est de type (M) »).
Démonstration de la première implication.
1) Si Uj vérifie (ii) de la Définition 2.1 et si A est monotone, alors
(2.28) (A(uj),Uj-u)-+0.
En effet, d'après la monotonie,
(A(Uj), Uj -u)> (A(u), Uj - u) - 0 .
2) Soit w = (1 - 0) u + Ov, 0 g ]0, 1 [ ; on a :
(A(Uj) - A(w), Uj - w) > 0 ,
donc
0(A(Uj), u- v)> - (A(Uj), Uj- u) + (A(w), uj - u) - 0(A(w), v - u)
0) En fait les hypothèses (i) (sans l'hémicontinuité) et (ii) entraînent que A est continu
de V fort dans V faible. En effet supposons qu'il existe un -*- u dans V fort, A(un) ne
tendant pas vers A(u) dans V faible. Comme A{un) demeure dans un borné de V, on peut
extraire une suite u^ telle que A{u^) -v/dans V faible,/ ^ A(u). Alors
lim sup (A(un), uft — w) = 0,
donc
iim inf (A(u^), u^ — v} — (f u — v) ^ (A(u), u — v) Vv e V,
et donc / = A(u) ; il y a contradiction.

180 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
d'où, grâce à (2.28) :
0 lira inf (A(uj)9 u — v) ^ — 0(A(w), v — u) ,
d'où, divisant par 6 et tenant compte de (2.28) :
(2.29) lim inf (A(uj)9 u} - v) ^ (A(w\ u-v),
w = (1 - 0)u + Ov , V06P, 1[.
Faisant 0 -+ 0 dans (2.29) on en déduit (2.27). |
Démonstration de la deuxième implication.
Soit Uj -► w dans F faible, A(uJ) -> # dans ^' faible et
lim sup (A(w,-), «y) ^ (*» u) •
Alors :
lim sup (A(uj)y Uj — u) ^ 0
et donc
(A(«), u - v) ^ (d'après (2.27)) lim inf (A(«,.), «7- - v) < (*,u - v) Vu e K,
et donc
x = Mu). 1
II résulte alors de la Remarque 2.1 et de la Proposition 2.5 que l'on a le
Théorème 2.7. — Soit A un opérateur pseudo-monotone vérifiant (2.3).
Alors, V/e V\ Véquation (2.4) admet (au moins) une solution. |
Naturellement tout cela n'est pour l'instant qu'un «jeu abstrait» dont
l'intérêt n'apparaîtra qu'aux 2.5 et 2.6 et, plus loin, dans l'étude des
inéquations. |
2.5 Les opérateurs de calcul des variations. Etude axiomatiquc
Définition 2.2. — Soit toujours V un espace de Banach réflexif séparable.
Un opérateur A de V -> V est dit du type du « Calcul des Variations» s'il
est borné et si on peut le représenter par
(2.30) A(v) = A(v9 u),
où u9v -* A(uy v) est un opérateur de V x V -» V ayant les propriétés
suivantes :
j Vw 6 V 9 v -> A(u, v) est hémicontinue bornée de
( ' } \V-+V'9 et (A(u9 u) - A(u9 v), u - v) > 0 ,
(2.32) Vu 6 V9 u -» A(w, u) est bornée hémicontinue de K-> K',

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES
iJtmr'' 181
(2 33) ( S* U* ~* U danS ^faible et si O4^» M^ ~ ^("m» w)> wm "" w) "* °
1 alors, Vu e F, A(w„, v) -► A(w, v) dans F'faible »
f si Up -+ u dans F faible et si A(up, v) -* $ dans F' faible,
( • } ( alors (A(tv i>), «„) -, (i>, m) . (') |
Un exemple de cette situation sera donné au nro 2.6.
Proposition 2.6. — Oz a l'implication :
« A dw calcul des variations » => « A pseudo-monotone ».
Z)ewo/î5/raf/o/7.
Soit Uj -> « dans F faible avec
(2.35) lim sup (A(uj)t Uj — u) ^ 0 .
1) On va d'abord montrer que l'on peut extraire une suite uk telle que
(2.36) Xk = (A(uki uk) - A(uk, u\ uk - «) -> 0 .
En effet, on peut extraire une suite uk telle que /*(«*, w) -*• x dans ^' faible
(car A(uj9 u) est borné dans F') et'alors, d'après (2.34), (A(uki u)t uk) -> (x,w) et
donc (A(uki «), uk — u) -* 0.
Cela, joint à l'hypothèse (2.35), montre que lim sup Xk ^ 0 et comme, d'après
(2.31), Xk ^ 0, on a (2.36).
2) On peut alors utiliser (2.33) ; donc
(2.37) A(uky v) -+ A(u9 v) dans V faible V^eF,
et utilisant alors (2.34) on a :
(2.38) (A(ukt v), uk - u) - 0 Vu e F.
Comme Xfc ^ 0, on a :
(A(w&), Wk - u) > (A(uk, u), uk-u)->0 (par (2.38))
ce qui, joint à (2.35) donne
(2.39) (A(uk\ uk - u) - 0 .
3) On utilise maintenant le fait que
(A(uk) — A(uk, w), uk — w) ^ 0 Vw,
avec w = (1 - 0) w + 0o, 0 g ]0 , 1[ ; il vient
0(A(uk)t u — v) ^ — (^(wA), wft — u) + (A(wk, w»), Wjt — u) + fl(A(w*, w), u — v)
et utilisant (2.39) (2.38) (2.37) on en déduit
0 lim inf {A(uk)y u — u) ^ 0 lim inf (/*(wfc) H')» w — u) = 0(A(w, w), w - v)
(!) Les hypothèses (2.30) ... (2.34) entraînent que A est hémicontinu.

182 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et donc, divisant par 9 et utilisant (2.39) :
lim inf (A(uk)t uk - v) ^ (A(u, (1 - 0) u + Ov), u - v)
et faisant 0 -+ 0, on en déduit (2.27). |
On déduit de la Proposition 2.6 et du Théorème 2.7 le
Corollaire 2.1. —• Soit A un opérateur du Calcul des variations (au sens de
la Définition 2.2). Alors l'équation (2.4) admet (au moins) une solution. |
2.6 Les opérateurs du calcul des variations. Exemples
2.6.1 Construction d'un opérateur A.
Notations.
On se place sur un ouvert Q de R", borné, de frontière assez régulière. On
désigne par Nx (resp. N2) le nombre de dérivations en x d'ordre < m — 1
(resp. d'ordre = m). Soit Aa(x, rj, £) une famille de fonctions réelles (| ce | ^ m)
définies sur Q x R*1 x R*2, vérifiant
(2 40) ! Pour Presclue tout x G ^> ^a fonction rj, Ç -+ Aa(x, rç, £) est continue
\ sur R*! x R*2 et Vrç, £ la fonction x -» Aa(x, rç, Ç) est mesurable.
On pose :
Dk u = { Dpu, | p | = k } ,
<5w = { w, Du, ..., Dm_1 w},
Aa(x, <5u, Dm 17) : x - Aa(x, ôu(x), Dm(x)).
On supposera :
il existe k e If(Q) telle que
(2.41) ) | AJLx, n, 0 | ^ c[| 17 lP_1 + K lP~ ' + fc(x)] ,
1 < p < oo , - + — = 1 .
P p'
On vérifie aussitôt ceci :
(2 42) (Si (2'41)alieu>
KL } \Ax(x,ôu,Dmv)
alors Vu, i; g Wm'p(£2), la fonction
est dans LP'(Q). Q
Remarque 2.4.
On peut améliorer (i. e. augmenter) l'exposant de | y\ \ dans (2.41) (et en
distinguant les exposants selon l'ordre correspondant des dérivations), tout
en conservant (2.42), par utilisation du Théorème de Sobolev. |
Sous l'hypothèse (2.41) on peut donc, grâce à (2.42), poser Vu, w e Wm,p(Q)
(2.43) a(u, w) = £ I Aa(x, ou, Dm u) Da w dx .

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES «ÏÉ»-' 183
On introduit maintenant :
(2.44) V = sous-espace vectoriel fermé de Wm*p(Q), contenant Wq'p(Q) .
La forme w -* a(u, w) est linéaire continue sur V, donc s'écrit
(2.45) a(ut w) = (/*(«), w) , A(u) e V (l).
Pour u g ^(:Q), A(w) est donné par
(2.46) A(u)= X (-l)MlT(AjLx9ôu9Dmu)).
Remarque 2.5.
La situation est, du point de vue des conditions aux limites, l'analogue des
problèmes variationneis linéaires : les conditions aux limites « stables » sont
contenues dans l'appartenance à F, et les conditions aux limites
complémentaires correspondent à l'usage (formel ) de la formule de Green dans (2.45).
Le cas V = Wq'p(Q) correspond au problème de Dirichlet et le cas
V = Wm,p(Q) correspond à un problème du type de Neumann. |
2.6.2 Exemples où les hypothèses de la Définition 2.2 ont lieu.
On va démontrer le
Théorème 2.8.—On suppose que (2.40) (2.41 ) ont lieu ainsi que les hypothèses
suivantes :
(2.4?) jinf" + a) si H"11-**'
pour xfixé p. p. dans Q et pour \ r\ \ borné ,
[ X K(x, rj, {) - Aa(x, ij, {*)) «. " O > 0 si { # {* ,
(2.49) H = m
l p. p. dans Q , Vrç .
SWf V donné avec (2.44) e/ A l'opérateur de V -* F' défini par (2.45).
/f/o/\y, V/g K', /Y eY/ste w c/ûws F te/ #we
(2.50) A(")=/.
Pour la démonstration, nous utiliserons les deux Lemmes qui suivent.
Lemme 2.1. — Si m„ -+ w rfa/w ^m~1 'p(Q)fort etve Wm>p(Q)y alors
(2.51) Aa(x, <5w„, Dmt>) - Aa(x, <5u, Dm v) dans Lp'(Q)fort.
(0 Et où (x, v) désigne le produit scalaire entre x^V'ttveV.

184 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Démonstration.
Ce Lemme est un cas particulier d'un résultat plus général : considérons une
fonction x, X -» /(x, X) de Q x Rd -» R qui soit du type de Caratheodory, i. e. :
/ pour presque tout x e Q, X -*f(x, X) est continue de Rd -* R ;
\ pour tout X e Rd, x -» /(x, X) est mesurable.
Si cp — {<p!,..., <pd} est un ensemble de fonctions de Q -* R, on définit
F(x, <p) : x ->/(*, { ^O),.-., <Pd(x)}).
On dit que/opère de
d
[] LPI(Q) - Lq(Q) (1 < pif q < oo)
si, V(p g [7 LP'(:Q) la fonction F(x, 9) appartient à L\Q).
On sait alors (cf. M. A. Krasnosel'skii [1], Théorème 2.1, p. 22) que
d
q> - F(x, 9) est continue de fl Lp,(n) -> Lq(Q) .
Le Lemme en résulte évidemment, en prenant :
d = N{ et /(x, A) = Aa(x, X, Dm v(x)). |
Lemme 2.2. — On suppose que (2.41) (2.48) (2.49) ont lieu. Soit
u^ue Wm>p(Q) avec u„-+u dans Wm<p{Q) faible.
On pose
(2.52) F, = E (Aa(x, <5u„, D*X) - Aa(x, <5u„, D mt/)) (D* u„ - Dx W)
|a|=m
er /'o« suppose que (noter que FM g Lx(^))
(2.53) f F„(x) dx-> 0 .
Alors
(2.54) AB(x, <5w„, Dm ufl) - Aa(x, <5u, Dm u) dans LP'{Q)faible .
Z)eWo?75i/rfl//o?7.
D'après (2.49) F^ ^ 0 ; donc, puisque u^ -*• u dans Wm~1,p(Q) fort (Pinjec-

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES H30T 185
tion Wm'p(Q) -► Wm~ Up(Q) étant compacte (*)), de toute sous suite de {fi} on
peut extraire une sous suite { v } telle que
f ôuv(x) -> ôu(x), Fv(x) -> 0 p. p. dans Q , disons pour x $ Z ,
( } \ mesure (Z) = 0.
Fixons x$Z et en outre avec k(x) < co (k étant la fonction intervenant
dans (2.41)) (et valable Va). Posons : rçv = ôuv(x)t r\ = ôu(x), £ = Dm u(x) et
^* l'une quelconque des limites de Dm uv(x) = £v.
On a:
(2.56) K*| < oo.
En effet (si £v = { £va }) :
(2.57) Fv(x) > I Aa(x, >jv, {,) Çva - c(Kv |p~l + Kv | + 1 )
| a \ = m
et donc d'après (2.48) on aurait Fv(x) -> oo si l'on avait | £* | = oo et comme
d'après (2.55) Fv(x) -* 0, c'est que (2.56) a lieu.
Mais alors (2.55) (2.56) et la continuité des Aa en rç, «J entraînent
£ (a.(x, >i, £*) - a.(x, n, 0) (C - Q = o
| at | = m
et donc, d'après (2.49),
£* = £.
Donc
Aa(x, ôuv(x), Dm uv(x)) -> Aa(x, <5w(x), Dm «(*)) p. p. dans Q ;
comme Aa(x, Ôuvi Dm uv) demeure dans un borné de LP'(Q), il en résulte d'après
le Lemme 1.3, Chapitre 1, que
Aa(x, <5uv, Dm uv) - Aa(x, ou, Dm u) dans LP'(Q) faible
et comme la limite est indépendante de toute suite extraite, on en déduit le
résultat (2.54). |
Démonstration du Théorème 2.8.
1) On va montrer que l'opérateur A est du type du Calcul des Variations,
au sens de la Définition 2.2, le Théorème résultant alors du Corollaire 2. L
(') Comme toujours, on suppose Q de frontière assez régulière, hypothèse inutile si
y = W™'P{Q). Noter aussi que le résultat s'étend au cas « Q non borné » car on veut
arriver ici à la convergence p. p. et il suffit de raisonner « sur tout compact ».

186 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Introduction de l'opérateur A(u, v).
On pose
ai(u,v,w)= £ j Aa(x9 ou, Dm v) Da w dx ,
a2(u9 w) = £ ) Aa(jc, ou, Dm u) Dawéx.
La forme vv -> fl^w, y, w) + a2(u, vv) est continue sur V, donc
(2.58) <Zi(w, y, w) + a2(w> w) = a(u> v> w) = (/4(w> y)> w), /4(w, y) g F',
et l'on a évidemment
A(u9 u) = A(u).
Comme on vérifie sans peine que A est borné et hémicontinu, on aura le
résultat désiré si l'on vérifie que (2.31) ...(2.34) ont lieu.
2) Vérification de (2.31 ) et (2.32).
(A(u, u) — A(u, v), u — v) — fl,(w, u9u — v) — a{(u, v9 u — v)
et ceci est ^ 0 d'après (2.49).
L'application v -> A(u9 v) est bornée hémicontinue de V -> F' ; par exemple
rhémicontinuité revient à vérifier que
a(u, i?i + Ay2> w) -*■ a(u> vi>w) Sl A -+ 09u9vi9 w e V .
Or cela résulte de ce que
Aa(x, ou, Dm(vl + Xv2)) -> /*a(x, (5m, Dm v{)
dans LP'(.Q) faible (et même dans U\Q)fort).
Mêmes remarques pour vérifier (2.32).
3) Vérification de (2.33).
Avec les notations du Lemme 2.2, on a :
(A(w„, u„) - A(u„, w), u^ - u) = F^x) dx
et donc, sous les hypothèses de (2.33), on a (2.54). Comme par ailleurs
Aa(x, ôutl, Dm v) - Aa(x, ou, Dm v) dans LP\Q) faible (et même fort),
on a
a(w^, y, w) -> a(w, y, vv) VwgF
et donc A{ull9 v) -> A(w, v) dans F' faible, c q. f. d.

2. PROBLÈMES STATIONNAIRES ~^3fn 187
4) Vérification de (2.34).
Soit u^ -> u dans V faible et A(uu, v) -> \j/ dans F' faible. Alors (Lemme 2.1)
Aa(x, bu^ Dm v) - Aa(x, ou, Dm v) dans Lp'(Q)fort
et donc
Par ailleurs
| Û2K. W^ - W) | ^ C X || ^"K ~ W) ||l.P(0)
I a|<m-l
et comme l'injection de W/m,/,(^) -> Wm~x%p(Q) est compacte, on a :
(2.59) fl2(«„f w„ - M) -, 0 .
Mais
«2K. w) = (^K» ")» u) ~ fliK» "» w) "* (^' w) " ai(w> r' w)
et donc, d'après (2.59), a2(u^ u^) -> (^, u) — ax(w, y, w) et donc
(A(w„, y), wj = ax(u^ v, uj + a2{u(1, u^) -+ (i>, w). c q. f. d. 1
Remarque 2.6.
Si un élément u de K minimise sur Kune fonctionnelle de la forme
(2.60) J(v) = f F(x, ôv, Dm v) dx ,
alors u satisfait (sous des hypothèses convenables sur F) à :
f dF
(2.61) £ — (x,^,Dmw)Dawdx = 0
| a \^m J S2 Ô(D au)
ce qui justifie la terminologie « opérateur du calcul des variations » pour
l'opérateur A introduit dans ce numéro. Pour une étude systématique de ce
point de vue, nous renvoyons au livre de C. B. Morrey [1], Insistons ici sur le
fait que dans le cas spécial m = 1, on peut aller plus loin qu'au Théorème 2.4
dans « l'ordre des non-linéarités» (cf. (1.10.8") p. 33 et les commentaires p. 207,
208 de Morrey, loc cit.). g
Remarque 2.7.
La démonstration du Théorème 2.4 utilise à la fois la « méthode de
monotonie » et la « méthode de compacité ».
De façon heuristique, on peut dire que, lorsqu'on a les estimations a priori
de l'énergie minima on peut obtenir l'existence en utilisant :
(i) la monotonie (si elle est satisfaite î) dans les termes de dérivation d'ordre
maximum (dans la formulation variationnelle),

188 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
(ii) la compacité dans les autres termes (non nécessairement monotones).
Si l'on est dans un cas « sans propriété de monotonie », M faut des estimations
a priori supplémentaires. |
Remarque 2.8.
Voici des conditions suffisantes pour que (2.47) ait lieu. Supposons que
(2.62) Y, A«(x> *l> & É« ^ c K T pour K | assez grand ;
|o|=m
pour a ouvert c £, posons
(2.63) a0(u, w) = Y I A«(x' ^ Dm w) D" w dx , u , w e Wm'p(a).
| x|<m J a
Dans ces conditions (2.47) a lieu pour aa{v, v) et V — Wq,p(g) si a est « assez
petit ».
Posons en effet
M*.,= I \\Dau\\LP{a).
\a\=k
On peut prendre [u]m(T comme norme sur F et on note que
M«.«j ^ ^Mm-i,en < cÔ2[w]m_2t0fj ^ - ,
de sorte que, pour a assez petit, le terme [w]m><r domine les
[u]k<(T, k ^ m - 1. 1
Remarque 2.9.
Sous les hypothèses du Théorème 2.4 // n'y a pas en général unicité. Voici un
contre-exemple, dont le principe est dû à Dubinskii [5] :
soit Q un ouvert borné, <P e C°°(^), 0 ^ 0, # = 0 sur F, b un entier ^ 1.
On définit l'opérateur A par :
(2.64) A(v) = - X — — — ) + (^ b + 1) E —-2 — .
i=i dxi \\ ôxi I ox-J i=i dx; 1 dxt I
On vérifie que l'opérateur A défini par (2.64) avec V = W0'p(Q)ttp = 2(b + 1)
satisfait aux conditions du Théorème. On a (fait ce qu'il fallait pour avoir)
A(0) = 0 de sorte que le problème
(2.65) A(u) = 0, w = 0 sur F,
admet deux solutions au moins : u = 0 et u = tf> (1). |
(') Cf. un contre-exemple de nature différente dans N. G. Meyers [1] et des résultats
d'unicité utilisant le principe du maximum dans Douglas, Dupont et Serrin [1].

6. PROBLÈMES STATIONNAIRES ifiTSt*. 189
Remarque 2.10.
On trouvera au Chapitre 4, nro 3, des exemples où A n'applique pas Kdans V
avec coercitivité mais où on peut néanmoins aboutir à un résultat de
subjectivité. |
Remarque 2.11.
Les résultats précédents ne couvrent que les cas des coefficients à croissance
polynomiaîe en les dérivées. Cela ne contient donc pas le problème de trouver u,
solution de
(2.66) — Au + utxp(u) = /, u — 0 sur F
pour lequel il faut utiliser des espaces analogues à ceux de Sobolev mais
construits en remplaçant les LP(Q) par des espaces d'Orlicz. Nous renvoyons
à I. M. Visik [3], J. A. Dubinskii [6], M. S. Berger [6], F. Browder [8]. |
Remarque! A2.
On a:
i la somme d'un opérateur pseudo-monotone A et d'un opérateur
^ * 1 borné hémicontinu monotone M est pseudo-monotone (1).
Posons B — A + M ; soit u} -> u dans V faible, avec
lim sup (B(Uj), Uj — u) < 0.
On a:
(A(uj), uj - u) = (B(uj), uj -u)- (M(uj), Uj - u)
= (B(uj), Uj -u)- (M(uj) - M(u), uj -u)- (M(u)f Uj - u)
^ (B(uj), uj -u)- (A/(«), uj - u),
donc
lim sup (A(Uj), Uj — u) < 0 .
Alors
lim inf (A(Uj), u} — v) ^ (A(u), u — v) et lim (A(Uj)9 u} — u) = 0 ,
donc
lim sup (M(Uj)t Uj — u) ^ 0
et comme M est pseudo-monotone (d'après la Proposition 2.5), il en résulte
que
lim inf (M(w7-), Uj — v) ^ (M(u), u — v) ,
0) On trouvera des résultats beaucoup plus généraux (et en particulier pour des
opérateurs multivoques) dans Brezis-Crandall-Pazy [1].

190 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et par conséquent
lim inf (B(uj\ us - v) ^ (B(u)f u - v). |
Remarque 2.13.
On a toujours supposé que (2.3) a lieu. En fait tout est valable sous
l'hypothèse
(2.68) il existe v0e V tel que
(A(v\v-v0) .
— ► + oo si || y H-* oo.
Il suffit en effet d'introduire Ax(v) = A(v + t>0). |
Remarque 2 A 4.
On peut construire des opérateurs monotones coercifs (et en fait des
opérateurs de dualité) qui soient des opérateurs différentiels d'ordre infini. 11 suffit
en effet de considérer l'espace V, du type de Gevrey (cf. aussi Chap. 4, nro 5.3)
des fonctions v définies sur Q telles que v g Wq'p(Q) Vm et
I
1 D>v
P 1
——— < oo (L constante donnée, s fixé > 1) ,
(/q!.../cn!)s
et de prendre l'opérateur A donné par
A(v) = Y (- \f Dk(\ Dk v \p~2 Dk v) . I
r L!ft,p(/c1!.../cn.r
3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT. APPLICATIONS
3.1 Généralités
On a considéré (cf. Remarque 1.2) un espace de Banach V contenu dans un
Hilbert H et identifiant H à son dual, on a donc :
(3.1) V c H c V f
//étant l'espace pivot.
Dans tous les exemples considérés jusqu'ici, on a pris :
(3.2) H = L\Q) (ou un produit (L2(Q))N).
On va voir qu'il est utile de prendre pour H des espaces différents ce qui
permet de « banaliser » certains cas pouvant apparaître comme non triviaux si
l'on ne se place pas dans le cadre fonctionnel convenable (J). |
(') Nous ne saurions trop insister sur l'extrême importance du choix du cadre fonctionnel
dans les problèmes non linéaires.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS rf&ï, 191
Remarque 3.1.
Une remarque liée aux considérations précédentes est que la propriété de
monotonie (éventuelle) dépend du choix du produit scalaire : si l'on considère
sur Q = ]0, 1 [ l'opérateur donné par
(3.3, *,,__.-.(,,,£).
alors on vérifie sans peine que Von n'a pas
\ (A(q>) - A(i») (q> - i» dx & 0 V<p , i> e 9(Q);
par contre, si l'on prend comme produit scalaire
<"'*>-Iav((-ê)",*)dJC(,)
(oui -) i> = ? est donné par ^ = i>, i>(0) = i>(1) = 01,
\ \ dx / dx /
alors, V</>, i> e 0(.Q) :
< A(q>) - A(n <p-iP) =
4L(-dS)(lH^^^H-dT2)"1(^Wdx
= j\ (\<p\<p-\^\^)((p-^)àx>0.i
3.2 Exemple. Problème non linéaire de la diffusion
On considère le problème suivant déjà étudié au Chapitre 1, nro 12 : on cher
che une fonction u telle que
(*■«> |-i|.K»|)-/,*«B,.e:o,n,
oùp > I (2), avec
(3.5) u = g sur I,
(3.6) w(x, 0) = w0(x), xeQ. |
(!) C'est là un produit scalaire (hilbertien) dans (/J-!(&)).
(2) Cela est plus général qu'au Chapitre 1, nro 12, où on s'était borné au cas/? > 2.

192 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Remarque 3.2.
Prenons/? = 3, Q — ]0, oo[,/ = 0, i. e. l'équation
avec
w(0, t) = g(t) = x0 + t, x0 > 0 fixé,
u(x, 0) = w0(x) = { x0 — x si 0 < x < x0 ; 0 si x > x0 } .
La solution est
u(x, t) — { t + x0 — x si 0 < x < x0 + / ; 0 si x < x0 + t} .
Il y a donc « propagation » de caractère hyperbolique. Cela tient à la présence
du facteur | u |. On dit, de façon générale, que l'équation (3.4), est une équation
parabolique dégénérée. |
Nous allons d'abord démontrer un théorème d'existence et d'unicité de
solution « très faible » :
Théorème 3.1. — On se donne f g, u0 avec
(3.8) / eLp'(09T;WUl/(Q) + H'\Q)) C)>
(3.9) g 6 H(0y T; tf(D), g = max (l> P ~ U ^" ~ °) ,
(3.10) u0eH-l(Q).
Il existe une fonction u et une seule clans LP(Q) c\ Lp(0, T; H~l(Q)) (2)
vérifiant C) (3 A) (3.5) et (3.6). |
Démonstration.
1) On va voir que ce résultat est conséquence du Théorème 1.2 ou du
Théorème 1.2 bis, pourvu que l'on choisisse convenablement les données dans
ces théorèmes.
On prendra
(3. H) H=ff-l(Q), (!/,*)„ = M- A)"1»),
où (— A)~ * v = v est la solution de
(3.12) -Av = v9 v = 0 sur F (donc S g //,}(:£)),
et où (w, (— À)~1 v) désigne le produit scalaire entre H~ l(Q) et H0(Q).
(i) W-i>p'(Q)+ H-H®)= W-i>P(Q)sip > 2n/(n+ 2).
(2) Espace qui se réduit à LHQ) si p > 2 nj{n -f 2).
0) Dans un sens précisé ci-après.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS
193
On prend ensuite
(3.13) V= Lp(Q)nH-1(Q).
Noter que LP(Q) c H~l(Q)sip ^ 2n/(n + 2) car on a alors Hl(Q) œ Lp\Q)
d'après le Théorème de Sobolev ; donc
(3.13 bis) V = LP(Q) si p > 2 "
n + 2*
On identifie H à son dual. Comme F est dense dans H, on a donc
V c H œ V\
mais Ton prendra garde que maintenant on n'a pas V = LP'(Q) + H0(Q).
Voici un exemple de forme Le V : soient/et h donnés avec
/ g W~Up\Q) + //'(G) et h g W-1/P''P'(F);
alors, avec la notation (3.12), on prend
(3 A4) L(i;) = (/,*)-
hfdF;
on définit ainsi LeK'jen effet si v g LP(Q) on a v e W2'P(Q) n WXqp{Q) et
comme v e H~ l(Q) on a aussi v e Hl(Q) ; donc v -> (/, ?) est continue sur V ;
puis
on
et comme h g (H^/p''p'(F))', la forme
J r on
est continu sur V, donc L e V'.
On introduit enfin :
1
(3.15)
Ona:
(3.16)
et
(3.17)
o(u,
v)
= U^T))alu] uvdx V
/if» irt — || „ IIP
«^> V) ~ / _ i\ U V ULP(D)
a(u, u — v) — a(v, u — v) > 0.

194 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
On peut donc appliquer le Théorème 1.2 si p ^ 2 n\{n + 2) (V — LP(Q))
et le Théorème 1.2 bis si 1 < p < 2 n[(n + 2) (en prenant [v] = || v \\Lp(Q)).
Par conséquent, si L(î) est donnée dans Lp'(0, T \ V), il existe u unique dans
Lp(0, T ; V) tel que
(3.18) (u'(t),v)H + a(u(t),v) = L(t)(v) Vv e V,
(3.19) m(0) = i#o.
2) On va maintenant montrer que, dans un sens faible, la solution de (3.18)
(3.19) résout le Problème initial, si Ton choisit L(t) convenablement.
On introduit :
(3-20) h(t) = -{y^T)\g(t)\p-2g(t)-
heLpKp-l\0tT;l(p-N« \r)) = Lp'(0, T ; l/C » \r))
et if(~'(r) cl w~l/p,'p\r)
d'après le Théorème de Sobolev fractionnaire (cf. J. Peetre [1]).
Il est alors loisible de prendre L(t) par
(3.21) L(t)(v)= J /(OSdx-J KOj^ûr.
Si Ton introduit la notation v dans (3 A 8) il vient :
.{o/Wïdx-{r*(,)gdr
(') avec v = 0 sur f. Donc,formellement:
Jflldf \(P- 1) // (P- 1) V 5»
-I0/W5dx-Ir*WSdr'
(') On pourrait justifier cela par des méthodes analogues à celles de Lions-Magenes [1].

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS 195
d'où l'on déduit que u est « solution » (*) de (3.4) et de
1 'U\p-2u = h,
(P- 1)
d'où (3.5) d'après le choix (3.20) de //. Enfin u est continue de [0, T] -> H,
donc (3.6) a un sens. |
Remarque 3.3.
On peut considérer le Théorème 12.3, Chapitre 1, comme un Théorème de
régularité. On va d'ailleurs maintenant rétablir ce résultat. |
Théorème 3.2. — On suppose que, avec les notations du Théorème 3.1:
(3.22) feL'ÏQ),
(3.23) g = 0.
(3.24) u0eL2(Q).
Alors la solution u du problème (3. 4) (3.5) (3.6) vérifie
(3.25) weL°°(0, T; L2(Q)),
(3.26) | u \(p~2)/2 u e L2(0, T; Hl0(Q)).
Démonstration.
On utilise les espaces V, H, V et la forme a(u, v) comme dans la
démonstration du Théorème 3.1. On prend L(t) donnée par (3.21) avec/? = 0.
On reprend la démonstration du Théorème 1.2 (ou 1.2 bis) avec une base
spéciale : on prend les fonctions propres
(3.27) -Awj = ljwj9 WjeHl0(Q).
Donc
(3.28) (u'm9 (- A)"1 Wj) + -~f) (I "* T* «*> *j) = (/«)> (- A)~ l wj) ,
1 < j ^ m,
avec
(3.29) um(0) = u0me[wl9...9 wm],u0m -> u0 dans L2(Q).
Mais(— A)-1 Wj = Wj/Aj et Ton déduit donc de (3.28) que
(iïm9 um) + (| um \p~2 um9 - Aum) = (/, uj
et par conséquent
2 Qt p
Qt D 1=1 J Q \3X; I
(0 On peut justifier cela par des méthodes analogues à celles de Lions-Magenes [1].

196 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
et donc
(3.30)
\2 ' p2 i=i Jflx^W,. /
[ =~2\u0m\2+ £(/(*)>"*>))
do*.
On sait déjà que um demeure dans un borné de Lp(g), donc le deuxième
membre de (3.30) est borné lorsque (3.22) a lieu. On en déduit que um demeure
dans un borné de L°°(0 et que les
dx
(\um\<>-2»2um)
demeurent dans un borné de L2(Q). Mais puisque Von sait que um -> u dans
LP(Q) faible, on en déduit (3.25) (3.26). |
3.3 Problèmes à frontière libre
3.3.1 Enoncé du Problème
On donne une fonction X -> k(X) de R -> R ayant les propriétés suivantes :
n in ! ^W e t^i' ^2]» 0 < kt < k2 < 00, k est continue pour X ^ X0,
^ ' \ k a un saut au point X0 avec k(Xm + 0) — k(X0 — 0) > 0 .
On considère un phénomène à deux phases (*), l'état de la phase / (/ = 1, 2)
étant ufa, /), avec
(3.32) h,(*, t) < X0 , u2(x, î) > X0 ;
on suppose que x e Q ouvert de R" et t e 10, T[. Pour fixer les idées, on suppose
que Q a pour frontière Tt et T2 (cf. Fig. 1), la phase uf occupant un voisinage
de J\.
Fig. 1.
(') La méthode ci-après s'adapte sans peine au cas d'un nombre quelconque de phases.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS m% 197
On désigne par F(t) la surface séparant les deux phases à l'instant t.
Les équations gouvernant l'évolution sont :
où/est une fonction donnée dans Q = Q x ]0, T[.
dt
(3.33)
I du2
HT
Les conditions aux limites sont de deux types :
(i) les conditions sur la frontière fixe :
' ut = gi sur It = F£x]0, 7[,
(3-34) i , x , , x
(ii) /es conditions sur la frontière libre :
on désigne par S la «frontière libre » :
(3.35) S = \J r{a) (considéré dans le plan t = g)
<i6[0,r]
(qui n'est pas donnée a priori mais fait partie des inconnues du Problème !) ;
sur S on suppose que les conditions suivantes ont lieu :
(3.36) Ul = u2 (-= A0),
n -a
b cos (n, 0 - Z Wo + 0) —± cos (n, x,)
I i=i ox,
(3.37)
+ £ /c(A0-0)f^cos(n,x,) = 0,
où b est une constante > 0 donnée et où n désigne la normale à T{t) dirigée par
exemple vers « l'intérieur de la 2e phase ».
La condition initiale est :
ut(x, 0) = «oiW > "oiW < ^o »
(3. 3o) i /■ \ -i
l u2(x, 0) = w02(x) , w02(x) > A0 ,
(F(0) étant donné). I
3.3.2 Transformation du Problème
On introduit la fonction K définie par
(3.39) K(n) = [" k(X)ûk
J o

198 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
et l'on introduit les nouvelles fonctions inconnues
(3.40) ot = *(*,),/ =1,2.
Les équations (3.33) deviennent alors
(3.41) —-L- _^- Ai?, =/,(/= 1,2) dans Q,
kiK-1^)) dt
avec
(3.42) vx < fi0 = K(À0), v2 > p0 •
Les conditions (3.34) deviennent
(3.43) vt = K(gt) sur Ilt i= 1,2,
et les conditions (3.36) (3.37) deviennent
(3.44) vl = v2(= fi0) sur S,
(3.45) b cos (m, 0 = ~ - ^ = 0 sur S
(où d/dn = dérivée normale à S orientée vers « l'intérieur de la deuxième
phase »). |
On peut écrire ces équations sous forme beaucoup plus condensée. On
introduit pour cela la fonction p(X), définie à une constante addiîwe près par
(3.46) U* k(K'\»)
P(H0 + 0) - PQi0 - 0) = b .
La fonction /? (comme d'ailleurs la fonction k) peut être considérée comme
multivoque si
«iUo)e[^o-0),^o-0) + b].
On introduit la fonction v définie dans Q (si le problème admet une solution !)
par
,-, rn , \ ( vAx, 0 dans la phase 1
\ v2(x, t) dans la phase 2
et v(x, t) = fi0 sur S.
On peut alors définir/?(t;) p. p. dans Q, si l'on suppose que S est de mesure
nulle dans Q.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS 199
On va démontrer le :
Lemme 3.1 —■ La fonction v définie par (3.47) vérifie
(3.48) ~ P(v) - Av = / dans &{Q) ,
(3.49) v = K(g) donnée sur I = I,u !2 (où tffe) = tf,fe,) sur £,)
(3.50) v(x, 0) = y0 (x) où i>0(x) = & (u0(x)) et où
\ _ / MoiW dans ^a première phase, à t — 0
0 \ W02W dans ^a deuxième phase, à t — 0 '
Les conditions (3.49) (3.50) sont évidentes. Pour vérifier (3.48), prenons
9 e @(Q) et calculons
(3.51) < ~ p(v) - Av, <p > - - < «0), ^ > - < i>, A<p > ,
les crochets désignant la dualité entre ^'(0 et ®(Q)>
On a:
-<«»».!>
--f «»,)^d.vd/-f «„,)^d,d,
•> i>i </<o 0Î J v2>no 0l
= f Wo + 0) - J90i0 - 0)) <p cos (», r) dS +
■I s
= b <p cos (n,/) dS + l-r-PiViUfpdxdt +
LJi«°'))vdJtd'"
+
' V2>fiQ
et
- (A^i) <p dx dt — (Àu2) ç> dx df

200 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
de sorte que, d'après (3.44) et (3.45) :
-</^),^> -<v,A<p} = j ^ {~P(vl)-Avl)j<pdxdt +
+ J (jtP(vJ- Ai>2)?dxdt = </,ç>>
d'après (3.41). |
On va maintenant étudier le Problème (3.48) (3.49) (3 .50) en le généralisant
quelque peu. Nous n'écartons pas a priori la. possibilité que v prenne la valeur
H0 sur un ensemble de mesure positive. Alors fi(v) est une fonction multivoque,
et nous pouvons parler d'une fonction w telle que
(3.52) wefiiv)
(i. e. *v(x, t) eP(v(x, t)), ce qui équivaut à w(x, î) = fi(v(x, t)) si v(x, t) # ^0
w(x,t)e[PQi0 - 0)J(mo - 0) + b\ s\v(x9t) = fi0).
On va alors chercher une fonction v telle que
(3.53) Y~Av=f> w vérifiant (3.52),
les conditions (3.49) (3.50) étant inchangées. |
Il devient maintenant naturel d'introduire la fonction inverse
(3.54) B = p~\
qui est univoque. Le Problème est alors ramené à la recherche d'une fonction w
telle que
^ _ A£(w) = / dans Q ,
(3"55) ^ >v = /?(K(g)) C) sur 2\
w(x, 0) = P(K(u0(x))) (2) sur Q . |
Nous avons jusqu'ici effectué des transformations « formelles », i. e. sans
jamais préciser à quels espaces fonctionnels les inconnues devaient appartenir.
Nous allons maintenant examiner cela.
0) fi(K(g)) est défini de façon unique car K(gt(xt /)) = //q.
(2) fî(K(u0(x))) est défini de façon unique car wq(jc) ^ Xo p. p.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS
201
3.3.3 Définition des solutions. Théorème d'existence et d'unicité.
On appelle « solution » du problème, toute fonction v qui satisfait à
i>eL2(0, 7 ,Hl(Q)),
v = K(g) sur 2",
/0 r,v , il existe w e fi(v) telle que weL2(g),
(3.56) <
l^_ AB(w)=/dans fi,
\ w(x,0) = /î(%)) (').
(La solution du problème initial est donnée par (3.40)).
On va maintenant démontrer le
Théorème 3.3. — On donne fe L2(Q). On donne g t < XQsurIu
g2 > A0 sur I2 , w0 sur Q , w0 ^ X0 p. p.
et on suppose qu'il existe une fonction w{ satisfaisant à Vhypothèse (3.57) ci-
après. Le Problème (3.56) admet alors une solution et une seule. Voici F
hypothèse 0.51):
n -7v ( il existe une fonction wl e HÎ(Q) (2) telle que
l wt = fi(K(g)) sur Z\ Wl(x, 0) = P(K(u0(x))) sur Q (3).
Démonstration.
1) Utilisant une fonction wx satisfaisant aux conditions de (3.57), on
introduit la nouvelle fonction inconnue
(3.58) 0 = w - wt .
Alors on doit avoir :
(3.59) ^_AB(*+».)-/., /,=/-^eL2(0.
2) On utilise alors le Théorème 1.2 dans la situation suivante. On prend
H=H-\Q), V=L2(Q); pour <p, i> g L2(I2),
(0 II résulte de la Démonstration ci-après que cette condition a un sens.
(2) Cette condition pourrait être affaiblie.
(3) On peut expliciter cela par des conditions sur u0 et g; il faut et il suffit que
fi(K(uQ)) e #i/2(.G), 0{K(g)) e mn{E) ;
avec des conditions intégrales de raccord aux coins pour lesquelles nous renvoyons à P. Gris-
VARD [2].

202 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
on poseO
(3.60) flOp,i»=| B(<p + wl)\l/ûx (2).
Notons d'abord que, puisque k(X) e [kl9 k2], on a :
d'où résulte que
(3.61) B'(X)2 ^ k2 B'(X).
La forme \j/ -+ a((p, i/>) définit A(q>) e V (dual de V lorsque H est identifié à son
dual) par
(3.62) a(q>, ■» = (A(q>)9 ■» = (A(/ ; 9), *A) ■
L'opérateur A est coercif.
On a:
(Aitpi) - A(q>2), (pt - <p2) = (B(^! + wO - flc>2 + w^) (</>i - (pi) d*
= f (B(^)-B(W)(^-Wdx, ^ = ^ + w,;
donc
(3.63) (A^O - A(q>2), <px - <p2) > ~ f | *GM " Bty2) |2 dx ^ 0 .
Par conséquent, d'après le Théorème 1.2 et la Remarque 1.8, on en déduit
l'existence et l'unicité de 0 vérifiant
( 0 e L2(0, T; V) = L2(Q), 0 e L°°(0, 7 ; H),
(3.64) (0', t?) + (A(0), y) = (/,, v) Vy g K,
l 0(0) = 0 .
(') On notera que le problème non linéaire étudié se traite entièrement dans un cadre
hilbertien.
(2) En fait a dépend de t :
B{<p + w\) V djc —= fl(i* ; #>, ^) ;
on applique donc en fait la note (») de la Remarque 1.8, nro 1.4, p. 164.

3. CHANGEMENT D'ESPACE PIVOT-APPLICATIONS
203
3) Reste à voir que # est solution « plus forte » (*) du Problème. Pour cela
on opère comme au nro 3.2 précédent. On remplace dans (3.65) v par — Au,
ce qui est loisible en dimension finie sur la méthode de Faedo-Galerkin, en
prenant pour Wj la « base spéciale » des fonctions propres de — À pour la
condition aux limites de Dirichlet. On obtient ainsi (2)
'd, (J. *' ")+,?,!„ é «• + *» g ■>- [/■ * " •
d'où résulte que
i \o(^B(0 + wl))~dxdt^C,
ou encore
et, grâce à (3.61), on a donc
t | (B'(* + Wl))2(||)2dxd/<fc2C
et donc
Bf(0 + wl)^-eL2(Q) V/.
Mais Bf étant borné,
B\0 + w)^±eL2(Q) Vî
C7.X:
^ + .,)^-îeL'(C) V/;
^-B(* + w.)eL2(0 V.,
(0 Noter que Ton obtient implicitement ici l'unicité de solutions « plus faibles » que celles
de renoncé du Théorème.
(2) On écrit directement les estimations dans le cas général ; pour la justification, on
travaille sur la base de Galerkin et Ton passe à la limite.
et donc
donc

204 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
v = B(w)eL2(0, T\H\Qj)
d'où le Théorème. |
4. PROBLÈMES NON LINÉAIRES D'ÉVOLUTION SUR UNE
VARIÉTÉ
4.1 Position du problème
Soit Q ouvert borné de R" de frontière F variété C2, Q étant localement
d'un seul côté de F.
On pose
(4.1) A«p)=-ïli{
On considère le Problème suivant : on cherche une fonction w(jc, t), vérifiant
(4.2) A(w) = 0 dans Q x ]0, T[ = Q ,
(4.3) £
i = 1
(4.4)
Dans (4.3), n désigne la normale à F dirigée vers l'extérieur de Q pour fixer
les idées. |
Remarque 4.1.
L'équation (4.2) ne contient pas de dérivée en t.
On a affaire à un problème de « même type » qu'au Chapitre 1, nro 11 ; on
peut évidemment construire un exemple contenant à la fois les deux situations
mais il est plus clair de séparer les deux cas, pour bien séparer l'usage de la
méthode de compacité (Chap. 1, nro 11) de celle de monotonie que l'on va
suivre maintenant. |
On va transformer le problème (4.2) (4.3) (4.4) en un problème équivalent
sur la variété F
4.2 Opérateur stf
On va étendre au cas non linéaire les constructions du Chapitre 1, nro 11.2.
Pour ge Wlfp''p(rX soit w Punique élément de WUp{Q) (cf. nro 2.3.2)
vérifiant
(4.5) A(w)=Q9 w\r = g.
d(p
p-2
l < p < oo
dw
dxt
2 dw . . dw . _
^- cos («, xi) + —=/sur I,
w(x, 0) = w0(x) , xe f .

4. PROBLÈMES NON LINÉAIRES D'ÉVOLUTION SUR UNE VARIÉTÉ 205
On va montrer la
Proposition 4.1. — Pour we W1,P(Q)9 vérifiant A(w) = 0, on peut définir
&~(w) e W-1/p''p'(r) de façon que
(4.6) ^(w)=£
dw
P~2 dw , , . - -
-— cos (n, Xi) si w e C (Q) .
OXi
Démonstration.
Pour <p g WVp'-p(r)9 il existe 0 e WUp(Q) telle que
<2>|r = <p
et en outre on peut choisir le « relèvement » <P de façon que l'application
<p -> <P soit linéaire continue de Wî/p''p(r) -> WUp(Q) (cf. E. Gagliardo [1]).
Posons de façon générale
(4-7) «(...^-Ijjipggdx. «,„e^0).
On vérifie que a(w, ^) est indépendant du cho/jc du relèvement ; en effet si
<2>! e Wl 'P(Q) vérifie &x\r = <p, alors <2> - ^ e ^01,P(£) donc il existe ^e 0(.Q)
avec ^ -+ <Ê - ^ dans ^1,P(.Q). Donc
a(w, 0) - a(w, 00 = lim a(w, ÎP,) = lim (A(w), ÎP,) = 0 .
j j
Donc <p -*• a(w, 0) est une forme linéaire continue sur W1/p',p(r) et par
conséquent
(4.8) a(w, 0) = (F(w), <p)r , .T(w) g W~ 1/p''p'(F) ,
où (i>, <p)r désigne le produit scalaire entre W~llp'tP\r) et *F1/jP''p(r).
Si w g C2(&) la relation (4.6) résulte de (4.8) et de la formule de Green. |
Remarque 4.2.
Le raisonnement précédent est tout à fait analogue à ceux faits dans Lions-
Magènes [1], Chapitre 2, pour les opérateurs linéaires. La seule différence est
relative à la densité. Dans le cas présent, on peut montrer que les fonctions de
C2(Q) (solutions de A(w) = 0) sont denses dans l'ensemble des fonctions qui
vérifient Â(w) = 0 dans W1,P(Q), de sorte que ^(w) est défini de façon unique.
Mais nous ignorons comment étendre cela aux opérateurs plus généraux du
Calcul des Variations étudiés au nro 2.6. |
Opérateur s/.
Pour g g ^1/p''p(F), on pose
(4.9) rf(g) = r(w)9
w défini par (4.5) et ^(w) par la Proposition 4.1.

206 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
On a la
Proposition 4.2. — Uopérateur A défini par (4.9) est borné, hémicontinu et
monotone de
wllp,'p(r) - W~1/p>'(F) (= (wl/p,'p(r)y),
et vérifie
|| J*(g) ||w-vp'.P'(r) < c || g \\Pwi}p>,P{r) .
Démonstration.
Si £i> ^2 G Wllp',p(r) et si vv; correspond à g,- par (4.5), on a :
(st(gx) - J*(g2)9gl - g2)r = (^(Wi) - ^(w2),*i - g2)r =
= (d'après (4.8)) a^, u^ — w2) — a(w2, wt — w2) ^ 0 .
Pour rhémicontinuité, noter que
(•fl/fei + ^2)^3)r = a(wt + w29 w3). |
Proposition 4.3. — Fowr tout X > 0 // existe ce > 0 tel que
(4.10) G«/(g),g)r + A || g ||£2(r) ^ a || g ||^,p(r)
Vg tel que
(4.11) geW1/p''p(F) 5/ p^-^r,
(4.12) ge W1/p>(F)nL2(F) 5/ 1 < p < ^~ .
Démonstration.
Notons que Wl/p''p(r) cz L2(F) si et seulement si/? ^ 2 n/(2 « + 1), d'après
le Théorème de Sobolev fractionnaire.
On a :
(4.13) (^(g),g)r + A||g||fc(r)= t J IDjwl'dx + A^ |w|2dr)P ;
on vérifie que le deuxième membre de (4.13) (élevé à la puissance 1/p) est une
norme sur WUp(Q) (ou l'espace {v \ ve WUp(Q), v \r e L2(F) })quien fait un
espace complet, donc, dans tous les cas
{^{g\g)r + ^\\g\\hin> *i\\w\\w^nn)
d'où résulte (4.10). |

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES 207
4.3 Problème équivalent sur F
Si l'on pose
(4.14) w|r = ">
le Problème (4.2) (4.3) (4.4) équivaut à
(4.15) dJL + ^(u)=f,
(4.16) w(0) = w0.
D'après les Propositions 4.2 et 4.3, on peut appliquer à la situation (4.15)
(4.16) les Théorèmes 1.2 ou 1.2 bis. On va en déduire le
Théorème 4.1. — On suppose fet vv0 donnés avec
(4.17) feLp'(0, T; W1/p,'p\r)),
(4.18) w0eL2(F).
7/ existe alors une fonction w et une seule dans Lp(0, T; W1,P{Q)) vérifiant
(4.2) (4.3) (4.4).
Démonstration.
En effet, d'après le Théorème 1.2 ou 1.2 bis, on a existence et unicité de u
solution de (4.15) (4.16) avec u e Lp(0, T ; Wllp''p(T)). On construit ensuite w
par :
\ A(w(t)) = 0 , w(t)\r = u(t) ,
<4'19)
f w(t)e Wl'p(0),
t jouant dans (4.19) le rôle de paramètre. On vérifie alors que
weLp(0, 7; WUp(Q))
d'où le Théorème. |
5. VARIANTE DES MODÈLES DE NAVIER-STOKES. MÉTHODE
DE MONOTONIE ET COMPACITÉ
5.1 Généralités. Position des problèmes
Nous avons souligné au nro 2 (Remarque 2.7) l'usage simultané qui a été fait
des méthodes de monotonie et de compacité dans le cas des équations
stationnâmes.
Nous allons maintenant voir comment un tel usage simultané peut être
également essentiel dans le cas d'équations d'évolution paraboliques.

208 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Nous exposons la méthode sur une classe d'exemples intéressants en eux-
mêmes : il s'agit de variantes des modèles de Navier Stokes étudiés au Chapitre 1
nr0 6. |
Notations et Problèmes
Pour un vecteur u — { ui9 ..., un }, wf fonction réelle définie dans Q, on pose
(5.1) I Vu |2 = £ \DiuJ\1,Di = -jL9
i,j=l 0Xi
Nous considérons le
Problème 5.1 Trouver u = u{xy î) = { ut(xt t),..., u„(x, t) },
x e Q , t e ]0, T[, et p+ = p*(x, /) solutions de
(5.3) ~ + vA(u) + t uÈ Dt u = / - grad p* , (v > 0),
(5.4)
(5.5)
(5.6)
Remarque 5.1.
div u = 0 ,
u = 0 sur I,
i/(x, 0) = w0(X), xgD
Dans le cas p = 2, on retrouve le problème de Navier-Stokes étudié au
Chapitre 1, nro 6. |
Une variante du Problème 5 A est le
Problème 5.2 Trouver u etp+ solutions de
du "
(5.7) — + vA(w) - v0 Au + £ uxD{u =f - grad p* , (v, v0 > 0) .
et les conditions (5.4) (5.5) (5.6) sans changement. |
Encore une autre variante que nous allons étudier est ia suivante :
Problème 5.3 Trouver u et p+ solutions de
du "
(5.8) — - (v0 + v, || «(0 ||2) Au + £ u, D.t u =
= /- gradp* , (v0, vt > 0),

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES 209
OÙ
(5.9) || <p ||2 = t f (Di(Pj)2dx=\ \V<p\2dx,
et les conditions (5.4) (5.5) (5.6) sans changement. |
Espaces fonctionnels.
Comme au Chapitre 1, nro 6, nous introduisons :
(5.10) r = {q> | q> = {<?»...,<pm}9 <PiSS(fl)9 div <p = 0},
puis
(5.11) V = adhérence de r dans (Wl >p(Q))n.
On vérifie que
(5.12) V= {v | ve(W^p(Q))\diwv = 0}.
Comme au Chapitre 1, nro 6, on introduit
(5.13) Vs = adhérence de r dans (Hs(Q))n
et
(5.14) H = adhérence de <T dans (L2(Q))n (= F0) . 1
5.2 Un théorème d'existence relatif au Problème 5.1
Théorème 5.1. — On suppose quefe Lp'(0, T ; V')etuQe Het que
(5.15) P>l+éh-
II existe alors une solution u,p+ du Problème 5.1, te//e #ue
(5.16) u e Lp(0, T; F) n L~(0, T; #).
Remarque 5.2.
Tl résultera de la Démonstration qui suit que w(0) a un sens, de sorte que la
condition {5.6) a un sens.
Démonstration.
1) Choix d'une base spéciale.
On choisit s avec
(5.17) s>1+f-

210 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Alors si v e HS(Q), on a :
Di v e H*~ \Q) c V°(Q) car \ - i—^ < 0 .
2 n
Donc en particulier Dt v e LP(Q) et donc
(5.18) Vs c Va H a V c K/
(i/ étant identifié à son dual).
On introduit alors tes fonctions propres Wj :
(5.19) (wJt v)Va = ^-(h-, i>) VveVs
(où ( , ) — produit scalaire dans H) (*).
<9« ua maintenant appliquer la méthode de Faedo-Gaîerkin avec la base { Wj }.
La méthode est donc analogue à celle suivie au Chapitre 1, nro 6 ; mais nous
aurons un passage à la limite plus délicat.
2) Méthode de Faedo-Gaîerkin.
On définit um(t) e[wu...9 wm]f solution de
(5.20) (u'm(t), wj) + v(A(um(0), wj) + b(um(t), um(t\ Wj) =
= (/(0, *j) , 1 < f < m
où
(5.21) b(u,v,w) = £ f UtiDivJwjûx,
avec
(5.22) uJO) = u0m e [wl9 ..., wj, u0m -4 w0 dans // .
Cela définit Hm(f) dans [0, tm\ tm > 0.
3) Estimations a priori (I).
On note que
(5.23) (A(ulv)= f f |VWr2Z)(.W/LV,dx,
donc
(5.24) (A(D), v) = f |Vt;|pdx.
C1) On suppose :Q borné. On pourra obtenir le résultat pour Q non borné en « approchant )>
Q par des ouverts bornés.

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES fÇFï , 211
On peut prendre comme norme sur V :
(5.25) ||t>||=(j" IVol'dx)".
Comme par ailleurs b(w, v, v) = 0 sur Vs (en particulier), on déduit de (5.20) :
(5.26) i A | Um(î) |2 + v || Um(î) ||p = (/W, Um(0) < ||/W ||F, || MmW ||
et comme/g Lp'(0, T ; V% on déduit de (5.26) que tm = Tet que
(5.27) wm demeure dans un borné de Lp(0, T; V) r\ L^O, T; /f) .
4) Estimations à priori (II).
On note que, pour w e Vs:
| K"m(0, «*(')> w) | = | - b(um{i\ w, «„(/)) |
^ c | ww(0 |2 || w \\y> (car si w e Vs on a : Dt Wj e Lœ(Q))
et donc
b(um(t\ ujt), w) = (gjt)f w) ,
(5 28)
{ gm demeurant dans un borné de L™(0t T ; Fs') .
Soit Pm l'opérateur de projection orthogonale dans H sur [wu ..., wm]. Les
opérateurs Pm sont uniformément bornés (par 1)), dans S£(H ; #)> J^(FS ; F5)
et^(K,';K;).
On déduit de (5.20) que
(5 • 29) u'm + vPm A(uJ + Pm gm = Pmf.
Or d'après (5.27), A(um) demeure dans un borné de LP'(Q9 T) V) donc de
l/(0, T; Vs) et donc Pm A(um) demeure dans un borné de Lp'(0, T; V's).
De même d'après (5.28), Pm gm demeure dans un borné de L^O, T; V's) et
Fm/enfin, demeure dans un borné de Lp(0, T; V's). Donc(5.29) donne
(5.30) um demeure dans un borné de Lp'(0, T; V's).
5) Passage à la limite (I). Utilisation de la compacité.
On utilise le Théorème 5.1 avec B0 = F, B = H, Bt = V'Stp0 = p,pt = p' ;
l'injection V -*• H est compacte ; on peut donc extraire une suite wM telle que
(5.31) m„ -> h dans Lp(0, T ; K) faible, dans L°°(0, T ; H) faible étoile ,
(5.32) u„ -> u dans Lp(0. T ; H)/ort et p. p. dans Q ,
(5.33) u; -> w' dans Lp(0, T ; Fs') faible ,
(5.34) A(w„) -> z dans Lp'(0, T ; K') faible .

212 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Fixons j ; on note que
(5.35) b(u^ u^ Wj) -> b(w, w, Wj) dans ^'(]0, T[) (par exemple !).
En effet, si cp e 0(]O, T[), on a :
b(u^ uM, w^ (p dt = - b(u^ wp uj q> dt
J o J o
= - Z um u»SDk wjd <pàxdt -+
i,k=l J Q
-*• — £ i/j wfc(Dfc Wy,-) <p ûx dt = b(u, uy Wj) <p ât,
i,k=l *> Q J O
(car u^ u^k -» Wf wk dans L*(ô) (noter que p > 2)).
Par conséquent, on déduit de (5.20) que
(5.36) (u\ Wj) + vfa wj) + b(uy uy Wj) = (/, ws)
et cela Vf. On en déduit que
(5.37) (u\v) + v(x,v) + b(u,u,v) = (f,v) Vv e Vs.
Mais puisque, d'après le Théorème de Sobolev :
(5.38) WUp(Q) c Î3{Q), - = - - - , (ou q fini quelconque si - - - < 0)
q p n \ p n /
la forme b(u, v, w) est continue sur Ksi - + - < 1, i. e. si z? ^ ce qui est
q p n + 2
vrai si (5.15) a lieu. Donc, par prolongement par continuité, on voit que (5.31)
est vrai V v e V.
6) Passage à la limite (II). Utilisation de la monotonie.
Comme d'après (5.31) (5.33), wM(0) -*> w(0) dans V's en particulier, on a
"(0) = u0
et on aura donc démontré le Théorème si l'on vérifie que
(5.39) X = *(u).
On vérifie d'abord ceci :
i si w,UGLp(0J;F)nr(0J;i/) et si (5.15) a lieu(l)y
^ l alors la fonction t -> b(u(t), u(t), v(t)) est dans L*(0, T).
(0 C'est ici que l'hypothèse (5.15) intervient de façon (apparemment) essentielle.

Or d'après (5.38) (on peut se borner au cas > 0, l'autre cas est plu
p n
5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES 21
En effet, passant aux composantes, il s'agit de montrer que si
w, v e Lp(0, T\ W£'P(Q)) n L°°(0, T; L2(Q)),
la fonction
t -+ uvDi u âx est dans L*(0, T).
i'après (5.38
facile) :
Lf(0, T;W0l'p(Q)) n L°°(0, T; L2(Q)) a Lp(0, T; Lq(Q)) n L°°(0, T; L2(Q))
<zLp(0tT;L\Q))t
où
1 = 1 - 0 0 _ 1 - 0 I^izj^ ?.
p p oo p ' (7 <? 2 "
On choisit 6 de façon que p = a, soit 0 = 2/(n + 2) et alors
(5.41) LP(0, T ; W^(Q)) n L°°(0, 7 ; L2(Q)) cr L'(Q) ,
1 n
(5.42)
P (n + 2) p '
2 1
On en déduit le résultat si - H— ^ 1, i. e. si (5.15) a lieu.
P P
On va pouvoir déduire de (5.40) que
(5.43) ^U(5)|2 + v [' (x,u)dt>
* {f,u)dt+\\u0\2 p.p.(').
o L
On introduit s0, s e ]0, T[9 s0 < s ; soit dm une fonction continue, linéaire
par morceaux sur [0, T], 0m(t) = 1 si
2 2 n /x rt 1 1
50 H— < r < 5 , f9„.(r) = 0 si r > 5 ou t < 50 + — ;
m m m m
soitpm une suite régularisante de @(R), p„(t) = pn(— t),
r + co r ! j-T
pn(t)ât=l9pn à support dans ,-
J -oo L n n]
0) Nous ignorons s'il y a égalité dans (5.43).

214 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
on introduit pour n > 2 m (comparer au Chap. 1, nro 9, Démonstration du
Théorème 9.2) :
(5.44) v = ((Omu)*Pn*Pn)Qm
et Ton prend v = v(î) donné par (5.44) dans (5.37) (ce qui est loisible).
On note que
f (u\v)dt= f (0mu\(0mu)*pm*pm)dt
J o •> o
= I" ((fim u)' * p„, (0m u) * p.) dt - f (G'mu, (0m u)*Pn* p.) dt
J 0 J 0
= -f {ffmu, {0m u) * p, * p„) dt - -f em9'm\u\2dt.
J 0 (n-oo) J 0
Grâce à (5.40):
j b(u, u, v)ât - f Ô2mb(u, u, u)ût = 0 (car b(u, u, u) = 0 Vu e K)
J 0 (n->oo) J 0
et Ton obtient donc
(5.45) f (~0mQ'J\u\2dt + v\ e2m(X,u)dt= f 0£c/,«)d..
J o J o J o
On peut maintenant faire tendre w vers l'infini ; on note que
\ (- Bm O'J I « !" dt - \ | "(S) |2 - J | «(S0) P
pour presque tout s (*) et s0
et par conséquent :
(5.46) [ï I "(5) f' + V j] (*' u) dI = 5 I "<s°> I2 + J] ^ u) dt '
( pour presque tout s et s0 .
Mais puisque w g L°°(0, T; 77), on peut trouver une suite s0n -> 0 non
exceptionnelle pour (5.46) telle que u(s0n) converge dans H faible ; comme
u(s) -» w(0) = w0 dans V[, on voit que
(5.47) u(s0n) -> w0 dans H faible .
(0 Que Ton ne saurait confondre avec le s introduit en (5.17) !

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES 215
On fixe alors s non exceptionnel dans (5.46) et Ton prend s0 — s0n. Grâce
à (5.47) on en déduit (5.43).
On peut maintenant démontrer (5.39), en utilisant la monotonie de A (*).
On introduit, pour cp g Lp(0, T; V):
(5.48) XI = v j5 (A(uJ - A{cp\ !/„ - cp) et + i | U|l(s) |2 ,
avec j choisi dans l'ensemble non exceptionnel pour (5.43).
Par nouvelle extraction si nécessaire, on peut supposer que
ujjs) -> u(s) dans H faible
et donc, utilisant en outre la monotonie de A, on déduit de (5.48) que
(5.49) liminfx; > i\u(s)\2 .
Mais grâce à (5.20)
K = f (/, «„) dt + ^ I "o„ f - v £ (^K), «p) dt -
- v f (A(q>), «.„ - <p) dr - Xs,
J 0
avec
Zs= J {f,u)ût + l-\u0\2
Par conséquent, avec (5.49) :
v (X,<p)àt - v (A(<p),H - <p)dr .
^ 0 J 0 ,
s i rs r* i
C/,w)df +-|w0|2 - v (x9<p)dt-v\ (A((p\ u - <p)dt >-\ u(s)\2 ,
o z J o J o z
d'où l'on déduit avec (5.43) que
(5.50) v (/ - A(cp\ u - cp) dr ^ 0 , p. p. en s .
J o
On en déduit (5.39) par le procédé habituel. |
Remarque 5.3.
Le problème de Xunicité de la solution dans le Théorème 5.1 est ouvert.
Cf. sur l'unicité un résultat partiel au nro 5.3 ci-après. |
0) On vérifie sans peine que A est monotone : c'est le gradient de la fonctionnelle
v -> - I Vv \p dx .

216 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Remarque 5.4.
On a le même énoncé qu'au Théorème 5,1 relativement au Problème 5.2.
On peut en outre montrer ceci : considérons v > 0 fixé ; on peut trouver
une suite v0 -» 0 et une solution { wvo, pi0} du Problème 5.2 telles que uvo -» u
dans LP(0, T; V) faible, où u est une solution du Problème 5.1. |
Remarque 5.5 Le cas stationnaire.
Le problème stationnaire correspondant au Problème 5.1 consiste à trouver
u etp* solutions de
/ n
vA(u) + £ a, D; w = / - grad p* ,
u = 0 sur r .
On peut appliquer le Théorème 2.4, et on a donc existence d'une solution
dans WUp{Q) si
(5.52) p>-^L.
En effet, A étant monotone hémicontinu et coercif de V -* K\ tout revient
à voir dans quel cas l'opérateur
n
u -» £ «, D, u
1=1
applique Kdans K' I car on a alors £ w,(D,- Uj) Uj dx = 0] .
\ (,j=l J Q I
Or cela est vrai si (5.52) a lieu ; tout revient en effet à étudier l'intégrale
I uv(D( u)âx,u,ve Wl0lP(Q),
intégrale qui converge si 2/q + l/p < 1, où l/q = l/p — 1/n, ce qui revient
à (5.52). |
5.3 Un théorème d'unicité
On a un résultat partiel d'unicité relatif au Problème 5.2 :
Théorème 5.2. — On suppose que
(5.53) P>^41C).
(0 Hypothèse plus restrictive que (5.15).

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES
217
Le Problème 5.2 admet alors une solution et une seule telle que
ueLp(Ot T; V) n Lœ(0, T\H).
Démonstration.
On va raisonner pour n > 2. Le cas « n = 2 » est plus facile. On va montrer
que le Théorème résulte du Théorème 6.8, Chapitre 1. En effet si u et u* sont
deux solutions, alors
(5.54) v j (A(u) - A(u% u - u*)ât ^ 0
J o
et on peut donc raisonner comme dans le Chapitre 1 ; Théorème 6.8, sans
tenir compte du terme (5.54) (1).
On sait (cf. point 6) de la Démonstration du Théorème 5.1) que
(5.55)1,eL''(0,T;L^)),i = i^,i = i^ + f>i = i-I(2).
v P V ° Q. 2 q p n
On aura donc le résultat, d'après le Théorème 6.8, Chapitre 1, si l'on peut
choisir 0 de façon que
2 n ,
- + - < 1 , a > n .
P *
i. e.
i. e.
On doit avoir 1 — 0 < 1, ce qui est possible avec (5.56) si (5.53) a lieu. |
5.4 Etude du Problème 5.3
Relativement au Problème 5.3 nous avons les résultats suivants. Nous
désignons par
(5.57) V = adhérence de -T dans (Hl0(Q))n (3).
(') Il y a là probablement des possibilités d'amélioration que nous n'exploitons pas.
(2) On suppose p < n. Le cas ap ^ n » est plus facile.
(3) Espace noté Kau Chapitre 1, nro 6.

218 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Alors
Théorème 5.3. — On suppose que
(5.58) /i<4.
77 existe alors une fonction u solution du Problème 5.3 et vérifiant
(5.59) weL4(0, T;V)nLco(0, T;H).
Théorème 5.4. — Si l'on suppose que
(5.60) w<3,
alors il y a existence et unicité d'une solution du Problème 5.3 vérifiant (5.59).
Remarque 5.6.
Le problème de l'existence et unicité est ouvert si n > 4 ; celui de l'existence
est ouvert si n > 5. |
Démonstration du Théorème 5.3.
1) On note que l'opérateur
w-> - || u\\2 Au
est monotone de V -» V car il correspond au gradient de la fonctionnelle
3(LJ,,D"'H*-
2) On utilise alors la même méthode qu'à la Démonstration du
Théorème 5.1. On note que, grâce au fait que vl > 0, on obtient l'estimation :
(5.61) um demeure dans un borné de L4(0, T; V) .
La méthode suivie pour la Démonstration du Théorème 5.1 s'applique
si l'on vérifie l'analogue de (5.40), i. e.
2) (si w,DGL4(0J;F)nr(0J;//) et si n<4,
*■ ' | la fonction t -+ b(u(t)9 u(t)9 v(t)) est dans l!(0, T).
Passant aux composantes, tout revient à vérifier que si
h, v e L4(0, T ; Hj(i2)) n L°°(0, T ; L2(Q)),
alors
u(Diu)veL\Q).
Or cela est vrai sous la seule hypothèse que u, v e L4(0, T; H0(Q)) lorsque
n < 4, car on a alors Hq(Q) c: L4(Q) et donc w,dgL4(g). |

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES 219
Démonstration du Théorème 5.4.
Comme dans la Démonstration du Théorème 5.2, on applique le
Théorème 6.8, Chapitre 1. Si u vérifie (5.59), et même si u vérifie seulement
weL4(0, T\ V),
alors
ut e L4(0, 7 ; Hl0(Q)) <= L4(0, T ; Lq(Q)), I = I - A
(si n > 2 ; le cas n = 2 est facile) et - + - ^ 1 si (5.60) a lieu. |
H.
Remarque 5.7.
On a démontré un peu plus : il y a unicité dans la classe des fonctions
appartenant à L2(0, F;V). |
Remarque 5.8.
Pour v0 > 0 fixé, soit wvi une (resp. la si n < 3) solution du Problème 5.3.
Alors, si n ^ 4, on peut trouver une suite vt -► 0 telle que uVi -► u dans
L2(0J;V)nr(0J;//)
faible étoile, où u est une solution du Problème de Navier-Stokes étudié au
Chapitre 1, nro 6. Si n = 2 alors uVx -» u (dans la même topologie), sans
extraction de suite, u étant la solution du Problème de Navier-Stokes. |
Remarque 5.9.
On peut démontrer une propriété de régularité de la solution du Problème 5.3,
moyennant des hypothèses de régularité sur les données :
Théorème 5.5. — On considère le Problème 5.3, avec n < 3. On suppose que
(5.63) /,/'eL2(0J;V), f(P)eH,
et que
I v -* £ Dt u0J.Di Vj dx est continue sur V
{ pour la topologie induite par H .
Alors la solution u du Problème 5.3 dans la classe (5.59) vérifie
(5.65) u' e L2(0, T; V) n L°°(0, T; H).
De/??o/?,5tra//orc.
Supposons n = 3 (le cas n = 2 est plus facile).
Pour simplifier récriture, posons, pour w, v e V :
,5.66) *■•>-£/.££*«

220 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
alors
(5.67) a(v,v) = \\v\\2
et l'on a
(5.68) (n'(0, v) + v0 a(u(t\ v) + Vl || u(t) \\2 a(u(t\ v) + b(u(t), u{th v) =
= (/(0. v) Vu g V .
Dérivant en t (formellement ; cela peut être ensuite justifié par ex. par
utilisation de la méthode de Faedo-Galerkin), il vient :
(5.69) (u"(t)9 v) + (v0 + Vl || W(0ll>(i/(0> v) + 2vi a{u'(t\ u(t))a{u(i),v) +
+ b(u'(0, u(t\ v) + b(u(î\ u\t\ v) = (f'(0, v) Vv e V .
Faisant v = u'(t) dans (5.69), il vient :
(5.70) \ jt\u\t)\2 + (v0 + Vl || u(t) \\2)a{u'(t),u'{t)) +
+ 2 Vl a{u\t\ u(t))2 + b(u\t)9 u{t\ M'(0) = (/'(0, "'(0) •
On a:
(5.71) |6(«,t>,ti)| < Ci I « ||J4(Û) || t; || .
Admettons un instant le
Lemme 5.1. — Si n = 3, on a
(5.72) || v \\L4(Q) <c2\\v ||?/i4(0) || v ||#0) VvïH10(Q) .
Alors (5.71) donne
| b(u'(t)9 i/(r), u'{t)) | < c3 || «'(0 ||3/2 || ii(r) || | u'(t) |l/2 ^
<y||«'(0||2 + c4||ii(0||4|«'(0|a
et portant dans (5.70) on en déduit
(5.73) (^|«'(0|2 + v0||uXO||2<2C4||«(0|nu'(0|24-
( +2||/'(0||*||"'(0||
(où || ||* est la norme duale de || ||).
Grâce aux hypothèses (5.63) (5.64) u'(0) e H et (5.73) donne :
K(0|2 + vo f ||t/'(o-)||2do-^2c4 f ||W(o-)||4|W'(o-)|2do- +
J o J o
+ 2Ï' ||/'(ff)||*||«'(<T)||da+|u'(0)|2

5. VARIANTE DES PROBLÈMES DE NAVIER-STOKES
221
et comme
2 £ \\f\o) H* Il u'(<x) || de < ^ £ || «V) ||2 da + c5
on a finalement
(5.74) | u\t) |2 + v0 f || «.'(a) II2 d<r < c6 f || «((T) II4 | u\a) |2 d<r + c7 .
J 0 J 0
On peut appliquer le Lemme de Gronwall, puisque l'on sait déjà que
u g L4(0, T; V). On obtient donc les estimations a priori désirées :
u'(t)\2 <c7exp(c6 J ||w(<7)||4d<7J
f ||t/V)||2do-<c9.|
•> o
< Co
Démonstration du Lemme 5.1.
On a : HX~\Q) <= L4(£) si ^— ^ - , le cas limite étant 0 = 1/4.
Donc, Vu g 77* (£):
Il v IIl«(o) < ct H v ||„3/4(Q) ^ c! || u HJIfta) || y Ht^Q),
d'où (5.72). |
6. MÉTHODE DE MONOTONIE ET OPÉRATEURS
HYPERBOLIQUES NON LINÉAIRES
6.1 Position du problème. Un théorème d'existence et d'unicité
Nous avons jusqu'ici appliqué la méthode de monotonie à des problèmes
elliptiques et paraboliques. Il est naturel de se demander si la méthode peut
s'appliquer à des problèmes hyperboliques non linéaires monotones.
La question est loin d'être résolue de façon parfaitement satisfaisante ;
cf. par exemple le Problème 11.9. On va donner dans ce numéro un exemple
simple où la méthode s'applique, en reprenant, par la monotonie, la situation
déjà étudiée au Chapitre 1, nr0 3. On trouvera l'étude de situations plus
générales, selon les mêmes principes, dans Lions-Strauss [1], Chapitre 2. |
Remarque 6.1.
D'autres problèmes hyperboliques non linéaires sont étudiés au Chapitre 3,
nros2.3, 2.4. |

222 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Nous reprenons donc le Problème posé au Chapitre 1, nro 3,1; changeant
p enp — 2, il s'agit de trouver une fonction u satisfaisant à
(6.1) u" - Au + | u' r~2 u' = / dans Q = Q x ]0, T[, (1 < p < oo),
(6.2) w = 0 sur Z,
(6.3) u(x, 0) = w0(x), w'(x, 0) = u^x), x e Q .
On va démontrer le
Théorème 6.1. — On suppose quef w0, ul sont donnés avec
(6.4) feL2(Q) + LP\Q) (<),
(6.5) u0eHl0(O), uteL2(Q).
Il existe alors une fonction u et une seule telle que
(6.6) u g L°(0, T; Hj(.Q)), «' e L°(0, T; L2(D)) ,
(6.7) WeU(Q)9
et les conditions (6 A ) (6.2) (6.3).
Remarque 6.2.
1) La condition (6.2) est en fait entraînée par l'appartenance de u à
Lœ(0, T ; #o(^)).
2) La condition (6.7) est évidemment inutile si p < 2.
3) II résulte de (6.1 ) et de (6.6) (6.7) que
(6.8) u"eL2(09T\H-l(Q)) + Lp'(g),
de sorte que w'(0) a un sens et la deuxième condition (6.3) a un sens. |
Remarque 6.3.
Les hypothèses sur les données sont moins fortes que dans le Théorème 3.1,
Chapitre 1, et (naturellement) la solution obtenue est plus faible. On observe
encore une fois un exemple du phénomène général : la méthode de monotonie
(lorsqu'elle s'applique !) permet de passer à la limite avec moins d'estimations
a priori que la méthode de compacité et permet donc d'obtenir des solutions
plus faibles avec moins d'hypothèses sur les données. |
On va démontrer le Théorème 6.1 dans les deux numéros suivants.
(') Comme d'ordinaire \/p + \fp' = 1. Evidemment, Q étant supposé borné, (6.4)
équivaut à/6 Linf(2"">«2).

6. OPÉRATEURS HYPERBOLIQUES NON LINÉAIRES 223
6.2 Démonstration de l'existence
Notations :
V = Hl0(O), H = L2(Q), a(u,v) = £ f p-p-dx9
P(v)=\v\'-2v, (/,g)=f fgdx, |/|=(/,/)1/2, \\v\\ = a(v,v)1'2.
1) On applique la méthode de Faedo-Galerkin avec une « base » wt ... wm ...
de l'espace V n LP(Q).
Soit donc um(t) e [wu..., wm] caractérisé (localement en t) par
(6.9) (ul wj) + a(um, wj) + (««;(/)), wy) = (/(f), wy), 1 < ; < m ,
(6.10) wJO) = w0mG[w1,..., w,J , w0m -+ w0 dansK,
(6. H) «^(0) = «iM6Lwi,..., wj , «im-*Mi dans//.
Les mêmes estimations a priori qu'au nr0 3.2, Chapitre 1, montrent que
tr i~»\ f Ww demeure dans un borné de L°°(0, T;V),
(6.12)
l m^, demeure dans un borné de L°°(0, T;//) n L?(g).
On va voir que ces estimations, et la monotonie, suffisent pour passer à la
limite.
2) D'après (6.12) on peut extraire une suite u^ telle que
' u^-* u dans Lœ(0, T ; V) faible étoile ,
(6.13) ,
,u^-* u dans Lœ(0, T; //) faible étoile et dans LP(Q) faible;
(6. H) /?«)-** dans Lp'(0 faible .
D'après (6.13), w^(0) -» w(0) dans //faible (en particulier) et donc w(0) = w0.
Appliquant (6.9) pour m = \i etf fixé, on voit que
(u\ Wj) + a(u, Wj) + (x, wj) = (/", wy), Vw,
et par conséquent
(W", v) + û(ii, i>) + (x, i>) = (/, i>) VpgKh Z/(£),
et donc
(6.15) u" + Au + x=f, (A=-A).
On a donc (6.8). Par ailleurs on a ainsi obtenu que

224 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
dans L2(0, T) + Lp'(0, T) faible, donc
K> Wj) |r=0 = (Ulfl9 Wj) - («'(0), Wj)
et par conséquent
Oi, Wj) = («'(0), Wj) Vf, donc w'(0) = "i .
On aura donc démontré l'existence si l'on vérifie que
(6.16) *=/*(«')•
3) On vérifie plus loin le
Lemme 6.1. — Soit w une fonction satisfaisant à
(6.17) w g L°°(0, T ; K), w' g L°°(0, T;H)n Lp(0, F ; Lp(£)) ,
w" + iw = g, g g L2(0, T ; H) + Lp'(0, T ; L "'(«)),
(6'18) lw(0) = «o, w'(Q) = ul.
Alors, pour presque tout t g [0, F], on a (*) :
(6.19) a(w(t)9 w(t)) + |w'(0|2 > a(u0, u0) + | ux |2 + 2 T (g, w') d<7 .
J o
Nous allons en déduire que
lim inf f (Piu'J - P(<p), «; - q>) d<7 < f (x - p(q>)9 u' - q>) d<7
(6.20) Jo Jo
( Vf non exceptionnel dans (6.19), V<p g Lp(g).
En fait pour montrer (6.20) il suffit de vérifier que
(6.21) lim inf f (£«), «;) d<7 < f (*, m') d* •
J o J o
Or on déduit de (6.9) que
(6.22)
\ a(u»(tl «„(*)) + -21 u'Jit) |2 + j" (/?«), «;) do- =
1 1 ff
= - a(w0M, u0/i) + - | «! J2 + J (/, w;) do-
Mais pour t fixé on peut supposer (d'après (6.12) et après nouvelle extraction
éventuelle de sous-suite) que
un(t) ~* *Ao dans V faible , ujj) -» t/^ dans H faible .
On vérifie, par un raisonnement analogue à celui fait à la fin du 2), que
<Ao = "(0, <Ai = "'(0 •
(i) Il y a égalité dans (6.19) si u0= 0, w. = 0, cf. 6.3.

6. OPÉRATEURS HYPERBOLIQUES NON LINÉAIRES 225
On déduit alors de (6.22) que
1
|2
(6.23)
a(u(tl u(t)) + \ | u\t) |2 + lim inf | (p(u'J, «;) d<7
1 lf
< 2fl("o."o) + 21 "* '2 + J (/>"')d(7-
Mais d'après (6.15) on peut appliquer le Lemme 6.1 à u en prenant g = f — %.
On déduit alors de (6.23) que
liminff (««;),«;) dtj < f (/,«') d<r + f (x-/,t/')d<7
J o ^ o J o
d'où (6.21) et (6.20).
D'après la monotonie de j5, on a :
f Wj-pm, u;-<p)d<7>o
J o
et par conséquent (6.20) entraîne :
f (x - £(</>), k' - <p) da > 0
J o
W non exceptionnel dans (6.19) ; prenant t = tk -+ T, tk non exceptionnel, on
en déduit que
(6.24) f (X - 0(«p), «'- p) dr ^ 0 V<peLp(Q)
J o
d'où résulte (6.16) par le procédé habituel.
On a donc démontré l'existence d'une solution sous réserve de la
Vérification du Lemme 6.1.
On utilise l'artifice déjà utilisé au point 6) de la Démonstration du Théorème
5.1. On introduit, avec les notations du nro 5,
(6.25) v = {(emw')*p„*Pn)Gm
que l'on peut écrire
((0m W)' * p„ * pn) 0m ~ ((0m W) * p„ * p„) 0m ,
de sorte que l'on peut prendre le produit scalaire des deux membres de (6.18)
avec v(t) et intégrer. Il vient
(6.26)
= f (g,v)dt9
J 0

Mais
226 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
OÙ
Xnm = f Ôm(w\ (0m w') * p„ * p„) du
J 0
Ynm = f 0m a(w, (0m w') * pn * pn) dt .
J o
*» = f {{0mw')'*p„{0mW')*p,)ùt-
J o
- f ((9'mw')*Pa,(emw')*p„)dt
J o
= - f ((0'm w) * p„ (0m w') * pn) àt
J o
-+ — 0m0'm\wf \2 dt lorsque n -+ oo .
J o
Puis
ynm = a{{Bm w) * p„, (0m w)' * p„) dr -
J o
a{(0m w) * p„, (0; w) * p„) dr
J o
= - fl((0w w) * p„, (0; w) * p„) dt
J o
-» — 0m0'm a(w, w) dt, lorsque n -> oo .
J o
On déduit alors de (6.26) que
- f 0m6'm\w'\2dt- \T0m0'ma(w,w)dt= C (gA02m*'))dt
J o J o J o
et faisant tendre w vers l'infini, on en tire :
l i | w'(0 |2 + i a(w(t\ w(0) = i | w'(s) |2 + i a(w(s), w(s)) +
(6.27) J
/ + (g» w') da, p. p. en s et t.
Mais on peut, d'après (6.17), supposer que w(s) -+ 0O dans V faible lorsque
5 -» 0 et w'(.s') -* 9{ dans /f faible et comme w(s) -*> w(0) = w0 dans i/ et
w'(s) -+ w'(0) = Wj dans F' + LP'(Q) faible, on voit que 0O = w0, Bx = ux\
donc lorsque s -» 0 : w(s) -*• w0 dans K faible, w'(s) -► ut dans 77 faible, d'où
l'on tire (6.19) à partir de (6.27). |

7. approximation d'opérateurs d'évolution w1* 227
6.3 Démonstration de l'unicité
Démontrons d'abord qu'il y a égalité dans (6.19) si u0 — 0, ul = 0, i. e.
(6.28) a(w(t\ w(0) + | w'(t) |2 = 2 f (g, w') da .
J o
En effet, on prolonge alors w et g par 0 pour f < 0 et on arrive à (6.27)
pour presque tout s, te] — oo, T[. Prenant s < 0 non exceptionnel, on en
déduit (6.28).
Soient alors ul et u2 deux solutions du problème. Posant u1 = u2 = w on a :
w" + Aw = - (P(u\) - P(u'2)) , w(0) = 0 , w'(0) = 0;
l'égalité (6.8) donne alors :
fl(w(r), w(0) + | w'(t) j2 = - 2 f (j5(«i) - j8(m'2), u\ - u'2) do- < 0
(par la monotonie de p) d'où w = 0. |
7. MÉTHODE D'APPROXIMATION D'OPÉRATEURS
D'ÉVOLUTION PAR DES OPÉRATEURS STATIONNAIRES
7.1 Généralités
Nous avons jusqu'ici traité les équations d'évolution en utilisant la méthode
de Faedo-Galerkin (éventuellement avec des « bases spéciales ») et en passant
à la limite soit par « compacité » soit par « monotonie ».
II y a en fait d'autres «points de départ » possibles ; nous allons en donner
un ici, d'autres méthodes encore étant indiquées aux Chapitres suivants, f
L'idée de base de la méthode donnée ici est simplement de « remplacer »
l'opérateur d/ât par le quotient différentiel (I — rh)/h9 où xh = translation en t
à droite de longueur h, et donc « d'approcher » l'équation
(7.1) ^+ >!(„)=/
par
(7.2) '—r*Uk + Aiuj=f.
7-T*,
L'équation (7.2) est de nature « elliptique » (nous allons évidemment préciser
tout cela). Il « suffit » alors de résoudre (7.2) puis de faire h -*• 0.
Notons que l'idée naturelle ci-dessus conduit à introduire le semi-groupe
s -> ts, dont le générateur infinitésimal est — d/df, son domaine consistant
en les fonctions nulles pour t = 0. Nous sommes donc conduits à introduire
un semi-groupe « général » G(s) remplaçant xs — ce qui donnera des
applications nouvelles. |

228 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
7.2 Un théorème d'existence pour équations d'évolution abstraites
7.2.1 Les données.
On se donne un espace vectoriel topologique <P, localement convexe séparé ;
soit <Pf son dual; on dénote par (ç>,/) le produit scalaire entre q> e <P et/e <P'.
On donne ensuite trois espaces tT, ^f, ir' avec :
U c f c (I)', $ c / c ^', $ c f c $'
( chaque injection étant continue et chaque espace dense dans le suivant,
j Jf est un espace de Hilbert (produit scalaire (hu h2)#>, norme corres-
( ' ) \ pondante ||/. |ljr),
(7.5) "K est un espace de Banach séparable et réflexif, de norme || ||y,
(7.6) "V est le dual de tT, de norme duale || ||r,,
et si (p, t//g ^, on a :
( (<p, t/0 = (<p, i^)^ = produit scalaire entre <p considéré comme élément
| de ^ et ^ considéré comme élément de ir'.
On suppose encore que :
(7.8) <P est dense dans tT mT' (*) ;
on fera d'ailleurs plus loin une hypothèse plus précise. |
Remarque 1 A.
Il résulte de (7.8) que
(7.9) -rn-r'czjf.
En effet si q> e ^, on a :
llplli = (9,p)< \\<P\W\\<P\W>,
d'où (7.9) grâce à (7.8). |
Remarque 7.2.
Si y c jf, l'introduction de # est inutile ; on a alors, Jf étant identifié à
son dual :
(7.10) f c/cf .|
Exemple 1.1.
Soient F, H, V comme au nro 1.4 et à la Remarque 1.2, donc
(7.H) V<= H<= V .
C1) Muni de la norme ||y|k + \\v lk' •

7. approximation d'opérateurs d'évolution 229
Si l'on introduit
(7.12) y = Lp(0, T\V)9 tf = L2(0, T;H), r ' = Lp'(0, T ; V),
on est dans la situation (7.10) sip > 2. Si 1 < p < 2, on est dans la situation
« générale », en prenant
<D = 0([O, T] ; V). |
Exemple 7.2.
Prenons maintenant
(7 A3) K = Wi*p(Q), // = L2(0) , r = W"1,P'(!Q) ,
et supposons que
(7.U) P<^-2.
Alors V n'est pas contenu dans H. Si l'on introduit f, Jf comme en (7.12),
on est dans la situation « générale » si l'on prend
(7.15) 0 = @([09T]\@(Q)).
Il s'agit pour cela de montrer (7.8). Introduisons d'abord une suite de
fonctions <pne®(Q)9 cp„ = 1 si d(x, F) > 2/n (*), cp„ = 0 si d(x9 F) < 1/n et
« décroissant régulièrement » pour 1/n < d(x, F) < 2/w.
Alors cpnv -+ v dans L*(0, T ; wi,9(.Q)) pour tout v de cet espace, 1 < q < oo.
Par transposition, cpnv -+ v dans L*'(0, T ; HP" 1,9'(.Q)) pour tout v de cet espace.
Par conséquent on a déjà :
(7.16) Vyef nr,ona:ç)ny-+i) dans iT n V ;
en outre, pour chaque n9 cp„ v est à support dans K x [0, T], # = compact de Q.
On peut donc considérer q>n v = w comme un élément de
(7.17) Lp(0, T; WUp(Rn)) n Lp'(0, T; W"1'^")).
Soit alors pm une suite régularisante, paire par exemple, de @(Rn) ; si * désigne
le produit de composition en x, on a :
pm * w - w dans L*(0, T; WUqÇRn))
pour tout w de cet espace ; par transposition, on a aussi
pm*w-*w dans L?'(0, F; W~UqfÇRT))
pour tout w de cet espace et donc
(7.18) pm* w -+ w dans l'espace défini en (7.17), pour tout w de cet espace.
(i) d{xt f)= distance de * à T.

230 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Par ailleurs, par prolongement à Rt par 0 puis régularisation en t, on voit
que ^([0, T] ; WUp(Q) n W~1>P'(Q)) est dense dans Y n V" et combinant
ces remarques, on obtient (7.8) et plus précisément :
Îon peut trouver une suite d'opérateurs pm e j£?(^ ; <P),
pm g JS?(TT' ; 0) tels que
pm v -» v dans ^"(resp. V) Vu e ^"(resp. v e Y") . I
Remarque 7.3.
De l'exemple précédent et de (7.9) il résulte que
(7.20) W^P{Q) n W~iy{Q) a L2(Q)
ce qui n'est pas conséquence du théorème de plongement de Sobolev si l'on est
dans le cas (7.14). |
On se donne maintenant les opérateurs A et sf9 qui sont des généralisations
respectives de d/dt et de « u -» A(u(.)) ». |
L'opérateur A.
On se donne une famille d'opérateurs G(s) tels que :
(7.21) G(s) est un semi-groupe continu dans V9 jf, iT* (*),
f G(s) est un semi-groupe de contractions dans 3%, i. e.
{1' > [ \\G(s)\\^;Jt)< 1 Vj^O.
On pose alors
( — A = générateur infinitésimal de G(s\ de domaine
D(A ; tT) (resp. D(A ; jf ), resp. D(A ; tT'))
dans ^"(resp. Jf, resp. tT') .
Soit (/*($) le semi-groupe adjoint de G(s), qui opère également dans ir9 dans
Jf et dans tT'. Soit — A* le générateur infinitésimal de G*(s)9 de domaine
D(A* ; iT) dans iT, D(A* ; jf) dans Jf, ... L'opérateur A* est dans jf (resp.
y9 resp. tT') l'adjoint, au sens des opérateurs non bornés, de A dans 3tf (resp.
tT', resp. tT).
On a :
(7.23) D(A ; tT') n ^(resp. D(A* ; tT') n iT) est dense dans tT (2).
On va maintenant définir A comme opérateur non borné de y -» y', de
domaine D(A ; y, t^*').
(0 On a en fait trois semi-groupes continus, coïncidant sur <P.
(2) Pour u e "V et e donné, on choisit q>e0 avec || u — p|| y < fi et on note que
(/ + - Aj-i q> eY u D {A \y') et -> p dans^T lorsque n -> oo.

7. approximation d'opérateurs d'évolution #tf 231
On définit :
(D(A ; y, y') = { v j v g y, u tel que la forme linéaire
w -» (u, A* w) sur D(A* ; f') n f est continue pour la topologie
induite par celle de y } .
Alors, il existe £v unique dans y tel que
(7.25) (p,A*w) = (t„w).
Si v g D(A ; y') n y, alors ^y = Au et il est donc loisible de poser £v = Au
dans le cas général, d'où :
(7.26) (u, A* w) = (Au, w) Vw g D(A* ; y) n r*.
On munit D(A ; f, t^"') de la norme || u ||r + ||Au||yv, qui en fait un
espace de Banach (vérification immédiate).
On définit de même l'espace D(A* ; yy y'). |
Remarque 1.4.
On a:
f si r c jf , alors £»(A ; iT, iT) = iT n D(A ; iT) et
(7.27)
l D(A* ; iT, yf) = y n D(A* ; iT). I
On fera, lorsque y n'est pas contenu dans Jf, les hypothèses suivantes :
fnDfyl; tT') (resp. iT n D(A* ; iT )) est dense
dans D(A ; tT, Y") (resp. D(A* ; iT, y')).
Remarque 1.5.
On a:
(7.29) (Au, y) ^ 0 Vu g D(A ; iT, iT) .
En effet, d'après (7.28), il suffit de montrer (7.29) Vu dans y n D(A ; y).
Mais considérons
roo
G(Pn) = G(s) pn(s) ds ,
J o
p„ suite régularisante dans ^(]0, oo[) et u g tT n D(A ; y). Alors <j(p„) u -» u
dans tT n D(A ; y) lorsque pn -» masse de Dirac à l'origine et
G(p„) veD(A;y)n D(A ; y),
donc d'après (7.2), w = G(p„) u g D(A ; 3tf). Mais on a alors (Aw, w) ^ 0
d'après (7.22) d'où le résultat. |
(7.28)

232 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Remarque 1.6.
On a de la même façon
(7.30) (A* !>,!>) ^0 ^veD{A*\ri'r,\ |
Uopérateur se.
On se donne sé9 opérateur non linéaire de V -» tT', vérifiant :
(7.31) j/ est borné et hémicontinu de y -* tT',
/ ^ est de type (M) (cf. Remarque 2 A), i. e. : si u^ -* w dans tT faible
(7.32) j et sé(u^ -* % dans y faible et si lim sup {sé{u^, wM) ^ (%, w) alors
(7.33) ^j 0) -> + oo si ||H|r-oo.|
Il u llr
7.2.2 Le Théorème.
Théorème 7.1. — 0« suppose que A et se sont donnés avec les hypothèses
(7.21) (7.22) (7.23) (7.28) et (7.31) (7.32) (7.33). Alors pour fdonné dans y 9
il existe u vérifiant
(7.34) ueD{A;r,r'),
(7.35) Au + s/(u)=f.
Remarque 7.7.
Si tT - jf, alors (7.34) signifie (cf. (7.27)) :
(7.34 bis) uer n D(A;y). |
Nous allons diviser la démonstration de ce Théorème en deux étapes.
7.2.3 Solutions approchées.
Compte tenu de ce qui a été dit à propos de (7.1) (7.2), une approximation
« naturelle » de (7.35) consiste en l'équation
(7.36) 1 ~/[G(/') u„ + s/QiJ =/,(/*> 0).
Mais si^ n'est pas contenu dans Jf, (7.36) n'a pas de solution en général et
il faut un peu modifier comme suit cette équation. On introduit une suite
Ôhe]09 l[, avec
(7.37) 1Z_^_0 si a-0.

7. approximation d'opérateurs d'évolution 233
(On prendra 0h — 1 si y cr jf.) On pose alors
(7.3„ Ak.'-^m
et l'on remplace (7.36) par
(7.39) A„uk + st(ull)=f.
On va vérifier le
Lemme 7.1. — Véquation (7.39) admef une solution uhsir n #â'.
Démonstration.
Posons :
&(q>) = Ahcp + .s/Op), opérateur de iT n Jf -► V + Jf .
L'opérateur J1 est borné, hémicontinu et comme
(7.40) (^ „,.,)> Izit || „ H»,
on voit que
(g(y), y)
Il <P ïïrn*
-> + co si H (p \\rnJt - oo
On a donc le Lemme d'après la Remarque 2.1 si l'on vérifie que J1 est de
type (M).
Soit donc u^-* u dans f njf faible, avec
#(k„) - g dans tT' + Jf faible
et
(7.41) lim sup (0(wM), mm) ^ (^, M).
Comme Ahu^ -* Ahu dans ^ faible, on a :
(7.42) sé{u^ = #(mm) - Afc w„ - x = £ - Ah u dans r" + Jf faible.
Comme se est borné, on peut supposer que sf(u^) converge faiblement dans
y et d'après (7.42) on a donc
(7.43) s/(uj -> x = g ~ Ah u dans tT' faible.
Mais
(•fi/(w„), wj = (^(Wj, w) + (#(W„) - Afc M, W„ - w) - (Afc(w - M„), U - W„)
^ (car Afc est ^ 0 dans JS?(jf ; jf))
^ (^K), m) + (#(«„) - Ahu,u„- u),

234 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
donc
lim sup (stf{u„\ m„) < te u)
et donc, comme se est de type (M), / = .fi/(w) et donc
g = Ah u + .«/(m) = #(w) . |
7.2.4 Passage à la limite en h.
On déduit de (7.39) et (7.40) que
(sf(uh), uh) ^ (/, uh),
d'où résulte que
(7.44) uh demeure dans un borné de y lorsque h -» 0.
Conséquence : on peut supposer (puisque se est borné) par extraction d'une
sous-suite, encore notée uh9 que
(7.45) uh-+ u dans ^ faible, s/(uh) -> % dans tT' faible.
Prenons maintenant v dans tT n D(A* ; tT'). On déduit de (7.39) que
(7.46) (uh9AÎv) + (j*(uùv) = (f9v).
Mais
(7.47) ^„-L^.,+ I^G(fc)V
et d'après (7.37) on a donc A* u -» A* t; dans tT' ; donc (7.46) donne à la limite
(7.48) (m, A* v) + te v) = (f9v) Vver n D(A* ; tT'),
et donc (d'après (7.25) (7.26)), u e D(A ; r\ r*') et
(7.49) Au + X=f,
et on aura démontré le Théorème si Ton montre que
(7.50) X = *(").
Or on déduit de (7.39) pour ve'T n D(A ; 'T') (donc veJf?) que :
("*), "* - «) = (/, M* - «) - 01/. w, "* - «) - (4.K - u)> "h - w)
(7.51) j ^ (car Ah est ^ 0 dans J^pf ; Jf))
l < (/> "* - «) - (^ ^ «/. - v)
d'où
lim sup (j*(uh), uh) ^ (^, u) + (/, u - v) - (At>, u - u)
(7'52) ■ Vver n D(A;y").

7. approximation d'opérateurs d'évolution *rtÉ^ 235
Mais d'après (7.28), on a la même inégalité Vu g D(A ; tT, ^') et on peut
alors prendre v = w, donc
lim sup (s/(uh)9 uh) ^ (%, w)
d'où (7.50) comme $4 est de type (M). |
Remarque 7.8.
II y a unicité dans le Théorème 7.1 si, en particulier
(7.53) (j*(u) - ^(u), zv-i>)>0=>« = u.B
7.3 Applications (I). Equations paraboliques
Prenons la situation de l'Exemple 7.1 et soit A donné de V -* V vérifiant
(1.34) (1.35) (1.36). Alors si s/ est défini par
(7.54) (sfv)(t) = A(v(t))p.p.9ver ,
les hypothèses (7.31) (7.32) (7.33) ont lieu.
Définissons le semi-groupe G(s) par
,-, r^ ,-, n , x ( 0 si 0 < f < s ,
(7.55) 0(s)q>(t) = , , .
v } w^w \(p(t - s) s\ s < t < T,
Alors A = éfât avec, par exemple
(7.56) D(A ; tT) = iv \ v g 1T , — g tT , u(0) = 0 .
Alors
D(/f ; tT, tT') = { y | v g tT, y' g r", y(0) = 0 }
et on vérifie sans peine que les fonctions q> g Cco([0, T] ; K) avec (p(0) = 0 sont
denses dans D(A ; tT, V) d'où, en particulier, (7.28).
On est donc dans les conditions d'application du Théorème 7.1, qui donne
l'existence de u = u(t) solution de
~ + A(u(t))^f, */(0) = 0.|
Prenons maintenant la situation de l'Exemple 7.2 avec (7A4) et avec le
même opérateur A que précédemment. Alors
D(A ; tT, V') = { v | v g Lp(0, T; W^P{Q)) ,
(7.57)
ÔV g L"'(0, T; W" 1,p'(£)), v(0) = 0 .
df
Vérifions que (7.28) a lieu. Soit donc v donné dans D(A ; tT, tT').
Utilisant les opérateurs de multiplication par cpn et de régularisation par p„
(opérateurs en la seule variable x) introduits dans l'Exemple 7.2, on voit que

236 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
l'on peut approcher y, dans D(A ; tT, tT'), par des fonctions w qui vérifient,
en particulier
w g Lp(0, 7; W01,P(&) n W_1'P'(.Q)),
w(0) = 0 .
(7.58) <( ~ g Lp'(0, 7; Wtf -'(G) n W~ 1,p'(0)) ,
Mais on approche alors w par q> e C°°([0, T] ; W01,P(G) n JP 1,P'(:Q)) et
<p(0) = 0, d'où (7.28).
On peut donc encore appliquer le Théorème 7.1. |
Remarque 1.9.
Si ugLp(0, T\ Wl0'p(Q)) et u'gLp'(0, J; H^~1,p'(^)) alors même lorsqu'on
est dans la situation (7.14), v est (après modification éventuelle en t sur un
ensemble de [0, T\ de mesure nulle) continue de [0, T] -> L2(Q) et
\To(v,v')dt = 1-\\v(T)\\lHO)-\\\v(0)\\lm.i
Voici maintenant des applications du Théorème 7.1 qui n'entrent pas dans
des problèmes déjà résolus auparavant.
7.4 Applications (II). Problèmes périodiques
Les espaces ^,34?, ir' sont définis comme au nro 7.3 précédent.
On considère le semi-groupe (*) G(s) des «translations sur le cercle» ;
(7.59) G(s)cp(t)= (*(/-* + T> » °<t<S>
v ' w<f,w l ^ - s) si s < t <T.
Alors A = âfât avec
(7.60) D(A ; r) = { v | v g tT, y' g r, v(0) = i>(T) } .
On vérifie, exactement comme au nro 7.3, que l'hypothèse (7.28) a lieu.
Par conséquent, d'après le Théorème 7.1, il existe une fonction u vérifiant :
% + A(u{t))=f,
(7'6I) ] u g Lp(0, T; V)f u' e Lp'(0, T; V),
u(0) = u{T) .
II s'agit donc d'une solution périodique en t. |
(*) En fait, le groupe.

7. APPROXIMATION D'OPÉRATEURS D'ÉVOLUTION" *t:rr 237
On obtient ainsi Vexistence (et aussi, d'après la Remarque 7.8, Vunicitë)
d'une fonction u = w(x, t) solution de
\p-2
Çl - Y —
dt & dxt
du_
dX;
|ïU =fjdonné dans Lp'(0, T; W~l'p'(Q))9
(7'62) ^ u g L"(0, T; Wj>p(Q)), u' e Lp'(0, T; W"Up\Q)),
i/(0) = u(T),
et cela pour/7 donné quelconque, 1 <p < oo.
Si l'on applique le nro 3.1, prenant donc :
V = Lp(Q)nH-\Q\H = H~\Q),
puis tT, Jf, tT' comme ci-dessus et A étant défini par (3.15), on obtient «
Vanalogue périodique » du Théorème 3 A : il existe une fonction u = u(x, t) et une
seule telle que
u e U(Q) n L>(0, T; H~\Q)) , ~ e Z/(0, T; V),
(7.63)
u(x, 0) = u(xt T) .
7.5 Applications (III)
Considérons deux espaces de Banach réflexifs Vl9 V2 avec
( K <= H <=: ¥{ , H espace de Hilbert donné, i = 1,2,
(7.64)
[ Vt dense dans H avec injection continue ,
et soient donnés les opérateurs Ah avec
Ai est monotone borné hémicontinu de Vi -> V[ , / = 1, 2 ,
(7.65) \ \\Aiv)\\y[^c\\v\^\ 2<Pi < oo,
(^W,y)^a||i;||?(, a>0 (2) .
On introduit alors
r = LPl(0, T; KO x LP2(0, T; V2) ,
Jf = L2(0, T; H) x L2(0, T; H),
et pour « = { uu u2 } e tT, on pose :
(7.66) (j/M)(/) = {^MO) - w2(0^2(«2(0) + «i(0} ■
(0 /et# sont donnés comme au Théorème 3.1.
(2) (<P, v) = produit scalaire entre q> e V'i, y/ e Vi, i ~ 1, 2 .

238 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
On définit ainsi un opérateur se de y -> V qui est borné, hémicontinu
monotone et
(7.67) (j/(M), u) = f [(A^uM), u.(r)) + (/12(«2(0), «2(0)J d/,
J o
donc j/ est coercif.
On définit enfin le semi-groupe G (s) par (avec/ = {/i,/2 }) •'
/-, ,ox y/ x /•/ x I 0 si 0 < / < s , /(f - s) si s < / < T,
(7.68) o(s)/(o = (/j(r + s) s, 0 < , < r_/i;; o ' si r_ s < , < 7.
On peut appliquer le Théorème 7.1 (on est dans le cas « simple » où y c: ffl) ;
oh obtient ainsi l'existence (*) d'un couple de fonctions { uu u2 } qui satisfont à
| wl + /^(Mi) - m2 = A , A e L"'(0, F; K/) ,
- ni + A2(w2) + Wl =/2 , /2 e Lrt(0, T; K2'),
(7.69) <; W;£Lp;(0J; Kf) , t = 1,2,
W;.eLp'(0,T;K/), 1 = 1,2,
Wl(0) = 0, m2(T) = 0.
7.6 Applications (IV)
Soit 0 un ouvert de Rm borné, de frontière 30 variété de dimension m — 1,
une fois continûment différentiable, 0 étant localement d'un seul coté de 30.
Soient ait i = 1,..., m, m fonctions de Cl(Ô)t à valeurs réelles.
m
On considère l'opérateur £ ^(y) <3/<3y; avec les conditions aux limites
i=l
suivantes : on introduit
•30. = J y | v e dO , Z a,(y) cos (/., y;) < 0 ,
n = normale à dO dirigée vers l'extérieur de 0 J .
(7.70)
On introduit ensuite
l D(A) = { v | v e H \0) , v = 0 sur d(9. }
(7.71) ) ,„
(7.72) A = fermeture de A (comme opérateur non borné dans L ((D)) .
On montre (cf. Bardos [1]) que — A est générateur infinitésimal d'un semi-
groupe dans LP{Q), 1 < p < oo, de contractions dans L2{0).
(') Et l'unicité si, par exemple les Ai sont strictement monotones.

7. approximation d'opérateurs d'évolution
239
On considère ensuite :
r = Lp(0; Wl\Ù)), 3ft = L2(6; L2(Q))
et alors
1T' = Lp'(<9; W~l-PXQ)).
On définit A pour des fonctions vectorielles comme pour des fonctions
scalaires.
Soit par ailleurs $0 défini par
|P"2
(7.73)
^ ï v d i du r2du\
(vjouant le rôle de paramètre si u = u(x, y)).
Si l'on suppose que p > 2 (l) on est dans le cas « y c: jf » et le Théorème
7.1 est applicable. On obtient ainsi Vexistence et Vunicité d'une fonction
u = u(x, v) vérifiant
(7.74) wefnDt^f),
du V'2 du"
\ \ n.i \t\ \ I I
(7.75)
( ™ . .du " d (\du l"'2 ôu\ ,
.S^^-^^lk *ù~f
(
dans Q x 0 , /donné dans Y" ;
les conditions aux limites sont « contenues » dans (7.74) ; l'appartenance de
u à 'V signifie que
(7.76) u = 0 si a-g F, ve0;
l'appartenance de w à D(/f ; i^') signifie (dans un sens «faible» ; cf. Bardos [l])
que
(7.77) u = 0 si xeQ,yedO- . |
Remarque 7.10.
On pourra résoudre de la même manière le problème
(7.78) (- l)"Df2"+I » - I /-(
(7.79)
(7.80)
p_2 a
â
xj U
u = 0 si .vef.re ]0, T[,
w(x, 0) = D, m(jc, 0) = - = D™ iv(x, 0) = 0 , xeQ,
D? + l u(x, T) = - = D2'"u(x,T) = 0, xg«3 (2). |
(0 Sinon, il faut vérifier l'analogue de (7.28), ce qui semble vrai mais que nous n'avons pas
démontré.
(2) Ou tout autre ensemble de conditions entraînant que —A soit générateur
infinitésimal d'un semi-groupe dans Lp(0, T).

240 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
7.7 Remarques diverses
Remarque 1.11.
Nous avons supposé dans le Théorème 7.1 que la famille G(s) constituait
un semi-groupe dans tf y i^ et "V. Or Ton rencontre des exemples où le semi-
groupe G(s) opère dans Jf mais n opère pas dans iT :
Exemple 7.3.
On considère Q = ]- 1, + 1[, r = Lp(0, T; W1q\Q)) ,
3fe = L2(0, T\L\Q% et l'opérateur A donné par
(7.81) Av = x^,
avec
(7.82) D(A ; JUT) = [ v | v , x ~ g Jp , v(x, 0) = 0 si x > 0 ,
y(jc, 7) = 0 si x < 0
Alors — A est générateur infinitésimal d'un semi-groupe G(s) de contractions
dans 3tf mais qui n'opère pas dans 'V ; on reviendra en détail sur cet Exemple
au Chapitre 3, nro2.6. |
Remarque 7.12 Problème à donnée initiale non nulle.
Considérons le problème
(7.83) m' + A(u) = /, k(0) = u0, uoeH,uo^0,
fe Lp'(0, T ; K'), A donné comme au nro 7.3.
Si Ton suppose que, Vi?0 g tT, on a :
(7.84) (j/(;!,.o),P^ + «> 'orsque || „ ||r - oo ,
Il y lly
alors on ramène aussitôt le cas (7.71) au cas (déjà traité) uQ = 0.
On introduit en effet w0 g Y avec wo g tT', w0(0) = w0 (w0 existe) puis l'on
pose : u — w0 — w. Alors (7.83) équivaut à
wf + j/(w + w0) = f — Wq , w(0) = 0 ,
d'où l'assertion. |
Remarque 7.13 Régularité.
On peut obtenir, dans la situation du Théorème 7.1, des résultats de
régularité du type « w g D(A ; rT) » (moyennant des hypothèses supplémentaires).
Cf. des résultats dans ce sens (dans le cadre des inéquations variationnelles)
aunro9.6. |

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 241
8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES
8.1 Exemples et orientation
Les problèmes aux limites elliptiques étudiés au nro 2 par exemple,
correspondent, lorsqu'ils sont issus de problèmes du Calcul des Variations, à des
extrema sans contraintes. Les extrema avec contraintes donnent naissance aux
inéquations variationnelles, que nous allons étudier. |
Commençons par l'exemple le plus simple. Soit Kun espace de Hilbert sur R,
et soit la forme quadratique J(v) donnée par
(8.1) J(v) = a(v9v) - 2L(v),
où a(u, v) est une forme bilinéaire continue sur K, vérifiant
(8.2) a(u9 v) = a(v9 u) Vm, veV9
(8.3) a(v, v) ^ a||u||£, a>0, VveV,
et où L(v) est une forme linéaire continue sur V.
On se donne par ailleurs un ensemble K convexe fermé dans V (A* est le a
convexe des contraintes ») et l'on recherche
(8.4) inf J(y).
Alors, comme il est bien connu, sous les hypothèses (8.2) (8.3), // existe un
élément u et un seul dans K tel que
(8.5) J(u)^J(v) VveK.
L'élément u est caractérisé par r inéquation variationnelle
(8.6) a(u, v - m) > L(v - u) Vu g K. |
Remarque 8.1.
Soit V le dual de V et soit A e J?(V ; V) l'opérateur correspondant à
a(u9 v), i. e.
(8.7) a(u9v) = (Aufv)9 AueV'y veV.
Alors (8.6) équivaut évidemment à
(8.8) (Autv - u)^ L(v - u) VveK.l
Remarque 8.2.
Si K = F, (8.8) se réduit à Péquation
Au = L
(si L(v) = (L,v\LeV). |

242 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Remarque 8.3.
Si K est un cône fermé convexe de sommet { 0 }, (8.6) équivaut à
,R 0x / a(u,v)>L(v) ïveK,
{ } \ a(u,u) = L(u).l
Remarque 8.4.
Le problème (8.6) est non linéaire (si K n'est pas un sous-espace vectoriel de
V) même avec A linéaire. g
Orientation : une fois qu'il est formulé sous la forme (8.8), le problème initial
(8.4) se prête à de nombreuses généralisations {ne correspondant plus en général
à des problèmes de Calcul des Variations). Par exemple, on peut se donner un
espace de Banach K, de dual V, un opérateur A non linéaire de V -► V\ un
convexe K fermé de V et chercher u e K tel que
(8.10) (A(u)9 v - u) > (f v - u) VveK,
pour/donné dans V. C'est une formulation abstraite des problèmes
d'inéquations variationnelles elliptiques.
On va donner au nro 8.2 une condition suffisante assez générale impliquant
Y existence d'une solution de (8.10).
Auparavant, nous allons donner des exemples d'application de (8.6). |
Exemple 8.1.
Nous prenons V = Hl(Q)y
(8.11) a(u,v)= Yé fli/x)~—dxt a0uvâx
i j = 1 J Q uXj OXi J q
où
l aQ, au = Gji g L^iQ) , a0(x) ^ a0 > 0 p. p. dans Q ,
(8.12) \ n
I £ atJix)iiij» ^ a | « |2 , a > 0, p. p. dans fl, V{ e R\
et nous prenons
(8.13) K= {v | veHl(Q),v > 0 p. p. sur F}.
L'ensemble K est un cône convexe fermé de Hl(Q), de sommet l'origine.
Si nous prenons
L(v) = [ fvâx, feL2(Q),

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES *?r£v 243
nous pouvons appliquer (8.9). Nous allons vérifier que Tunique élément u de
K ainsi mis en évidence est caractérisé (*) par
Au =/ dans Q (où Au = - ^ ^(««^) + «o «).
u ^ 0 sur r,
(8'14) U v 5" , ,>„
/-— = X, aijf-r—cos(n,xf) ^ 0 sur r,
au rt
w-— = 0 sur T;
,4
2/
plus précisément, lorsque u e H1(Q) et vérifie « Au e L2(Q) », on peut alors
(Cf. Lions-Magenes [1], Chapitre 2) définir
(8.15) p-eH-V\D
dvA
et alors le produit u dufdvA a un sens.
Démontrons (8.14). On déduit de la première inégalité (8.9) en y
prenant v = ± <p, cp e @(Q), que
a(u, <p) =
fq> âx , \t<p g Q}(Q)
d'où Au =/. Ona alors (8.15) (lorsque les coefficients ai} sont assez réguliers
dans Q) et on peut appliquer la formule de Green :
(Au) v âx = fv âx = — -— v âr + a(u, v)
J Q J a J r dvA
et comme fv âx ^ a(u, v) (avec égalité si v = w), on voit que w est caractérisé
par
(8.16) i~—\ vâr^O Vu g K , avec égalité si y = u .
Mais (8.16) implique d'abord que du/dvA ^ 0, puis que
I-—\u âF = 0 donc (comme u -— ^ 01 que u -— = 0.1
' dvA
Remarque 8.5.
La dernière condition (8.14) implique évidemment que u ou ôu/dvA est nul
sur r ; mais la partie de T où u s'annule est l'une des inconnues du problème !
(0 Au moins lorsque les coefficients au sont assez réguliers dans Q.

244 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Le Problème (8.14) (et les problèmes de ce type) sont appelés également
« Problèmes unilatéraux ». |
Exemple 8.2.
Nous prenons V= Hl0(Q), a(u, v) comme dans l'Exemple 8.1, mais avec
a0 ^ 0 (ce qui peut d'ailleurs être affaibli), et
(8.17) K = {v | veHl0(Q), v ^ 0 p. p. dans Q } .
L'ensemble K est ici encore un cône convexe fermé de sommet l'origine.
Nous prenons L(v) comme dans l'Exemple 8.1.
On peut encore appliquer (8.9), mais Vinterprétation du problème ainsi
résolu est beaucoup plus difficile. Formellement, on peut découper Q en deux
régions Q + , Q0, définies par :
u > 0 sur Q + y u = 0 sur Q0 .
Sur Q + y en prenant v = e<p9 q> g @(Q+), \ e \ assez petit, on obtient Au = f.
On verra plus loin (nro 8.5) que Au e L2(Q), de sorte que (formellement) u est
caractérisé par
u > 0 dans jQ+, u = 0 dans jQ0 ,
Au — f dans jQ+ ,
u = 0 , -— = 0 sur dQ+ (frontière de Q+).
dvA
Il s'agit donc d'un problème à frontière libre : dQ + n'est pas donné a priori, et
il y a les conditions aux limites de Cauchy sur dQ + . (Comparer au cas
d'évolution étudié au nro 3.3.) |
Remarque 8.6.
On pourra développer des considérations analogues aux précédentes lorsque
K est défini par
(8.19) K = {v | v g Hl(Q), \J/l <Ki^2p. p. dans Q, ^ données } . |
Exemple 8.3.
Nous prenons encore V = H0(O), a(u, v) comme dans l'Exemple 8.2 et
(8.20) K = { v | v g Hl0(Q\ | grad y(x) | < 1 p. p. dans Q } .
L'ensemble A^est un fermé convexe de H0(Q) et si l'on prend encore
L(v)= \ fvâx, feL2(Q),
on peut appliquer (8.6).
(8.18)

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 245
L'interprétation de (8.6) est assez délicate. Formellement, on décompose Q
en deux régions Q_ et Qt « définies » par
Q_ = { x | | grad u(x) | < 1 } ,
Qx ={x\ | grad w(*)| = 1}.
Alors la solution u est « caractérisée » par
! Au = f dans jQ_ ,
(8 21) < ' grad U ' = { danS °l '
f u et -— ,1 = 1, ..., n « continues » à l'interface entre iQ_et Qt ,
ÔXj
On a là un problème â'élasto-plasticité ; Q_ (resp. Qt) est le domaine
d'élasticité (resp. plasticité).
On notera que l'on a deux équations de nature différente dans £?_ et Q{ . |
8.2 Théorèmes d'existence pour les inéquations variationnelles elliptiques
Soit donc F un espace de Banach séparabîe (*) et réflexif et soit AT un ensemble
convexe fermé de V.
On se donne un opérateur A défini seulement sur Ky donc :
(8.22) A:K->V.
On va distinguer deux cas, selon que AT est borné ou non. Commençons par
le cas borné.
Théorème 8.1. — On suppose que K est un ensemble convexe fermé borné
non vide. Soit A un opérateur pseudo-monotone de K -* V'(2). Alors, pour f
donné dans V, il existe u dans K tel que Von ait (8.10).
(Notons bien que nous ne supposons pas A coercif parce que K est borné.)
Démonstration.
1) On considère une suite croissante d'ensembles Km avec
/•» aKm ŒKm+l c- c=K,
(8.23) )Km convexe fermé contenu dans un espace de dimension finie ^ m ,
U Km dense dans K .
m
On commence par résoudre une « inéquation approchée » (3) ; on va montrer
qu'il existe um e Km tel que
(8.24) (A(um), v-um)> (/, v - um) VveKm.
0) Hypothèse d'ailleurs inutile...
(2) La Définition 2.1, nro 2.4, point (ii), s'adapte ainsi : lorsque uj ->w dans V faible,
Uj, u e K, et lim sup (A(uj)t uj — w) ^ 0, alors
(*) lim inf (A(uj), u} — v)^ (à(u\ u — v) VveV.
On peut d'ailleurs supposer que (*) a seulement lieu VveK (Brezis).
(3) C'est l'analogue de la méthode de Galerkin utilisée pour les équations.

246 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Pour cela, soit Vm l'espace de dimension < m contenant Km, espace que Ton
munit d'une structure hilbertienne notée [ , ] (produit scalaire dépendant de
m). Si g g V\ la forme w -» (g, w) est continue sur Vm, donc
(g9w) = [ng9w]9 ngeVm, ne&(V';Vm).
Avec ces notations (8.24) équivaut à
(8.25) (nA(um)9 v - um) > [nf, v - um] Vu e Km ,
ou encore à
(8.26) [um9v- um] >[um + nf-7iA(umlv - um] VveKm.
Mais soit Pm = projection de Vm sur le convexe Km9 pour le produit scalaire
[ , ] ; alors (8.26) équivaut encore à
(8.27) um = Pm(um + nf - nA(uJ)
et l'existence de um vérifiant (8.27) résulte alors du théorème de point fixe de
Brouwer appliqué à l'opérateur v -» Pm(v + nf — nA(v)) de Km -» Km, pourvu
que Ton en montre la continuité.
Pour cela, il n'y a plus qu'à montrer la continuité de cette application de
Km -» V faible. Or soit un -* u dans Km ; alors A(un) est borné dans V et on
peut donc supposer par extraction éventuelle que A(un) -> x dans V faible.
Alors
lim sup (A(un)9 u„ - u) ^ 0
et par conséquent (d'après la pseudo-monotonie) :
(A(u)9 u - v) ^ lim inf (A(un)9 un - v) = fa u - v))
donc (x ~ A(u)9 u — v) ^ 0 Vv e V, donc x = A(u)9 et la continuité est
établie.
2) Puisque K est borné et À^ cz K9 um demeure dans un borné de K ! Et
A(um) demeure dans un borné de V. On peut donc extraire une suite wM telle que
(8.28) u^ -+ u dans V faible et u e K (car K est faiblement fermé) .
On va montrer que
(8.29) lim sup (A{u^9 u^ - u) ^ 0 .
En effet, comme U Km est dense dans K9 on peut trouver u0 dans \J Km tel que
m m
(8.30) || u — u0 \\v ^ £ , s > 0 donné arbitrairement.
Alors (^(wM), wM — w0) < (/, w„ — w0) pour ^ assez grand (d'après (8.24))
et comme (A{uM)9 u0 — u) ^ ce (d'après (8.30)), on voit que
lim sup (i4(nM), i/M - m) = lim sup [(A(wM), wM - w0) + (A(wM), w0 - w)] <
< ce + (/, k - w0) < cx e,
d'où (8.29).

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 247
Alors, d'après la pseudo-monotonie,
(8.31) liminf (/*(*,,), M, - v) > (A(u)9u - v) VdgK.
Mais si v e \J Km9 on a, pour p. assez grand (d'après (8.24)) :
m
(A(wM), uH - v) ^ (/, u^ - v) ,
d'où
lim inf (A(u^)9 u^ - v) ^ (/, u - v)
et donc
(A(u),u - o)^(J9u -v) Vve\JKm
m
et comme \J Km est dense dans K9 on en déduit (8.10). |
m
Remarque 8.7.
Comme on avait déjà noté au nro 2, la notion d'opérateur pseudo-monotone
n'est pas indispensable pour la résolution d'équations ; elle est par contre
exactement adaptée à la résolution à'inéquations. |
Nous passons maintenant à la situation où K n'est pas borné.
Théorème 8.2. — Soit K un ensemble convexe fermé non borné de V. Soit A un
opérateur pseudo-monotone de K -+ V, et coercifau sens suivant :
il existe v0e K tel que
(A^-v0)^ + oo ^ ||0||^00> veK_
Alors, pour f donné dans V, il existe u e K tel que l'on ait (8.10).
Première démonstration.
Soit BR = { v | v e K, || v \\ ^ R }, KR = K n BR. Comme KR est convexe
fermé borné, il existe, d'après le Théorème 8.1, uR e KR tel que
(8.33) (A(uR\ v-uR)> (/, v - uR) VveKR.
On choisit R ^ RQt R0 tel que || v0 \\ ^ R0. Alors on peut prendre v = v0
dans (8.33) d'où l'on déduit, grâce à (8.32), que
Il "* Il <C.
Alors A(uR) demeure dans un borné de V et l'on peut donc extraire une suite
R -* oo telle que
uR ~> u dans V faible, A(uR) -► x dans V faible.
Puisque K est faiblement fermé, u e K.
(8.32)

248 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Par ailleurs (A(uR), uR — u) ^ (/, uR — u) dès que R ^ || u ||, et donc
lim sup (/*(«*), Wr — w) ^ 0 et donc, d'après la pseudo-monotonie,
(8.34) lim inf (A(uR)9 uR - v) > (A(u)9 u - v)
et comme
(A(uR)9 uR - v) ^ (/, uR-v)-+(f,u-v) VveK,
on déduit de (8.34) que
(A(u)9 u - v) < (/, w - v) Vu e tf,
i. e.(8.10). |
Deuxième démonstration.
H y a en fait un résultat plus précis que dans la première Démonstration qui
précède ; en effet uR étant solution de (8.33), on a || uR || ^ c et si l'on choisit
R > c alors uR est solution de (8.10). En effet, si k est pris quelconque dans K,
on a (grâce au fait que \\uR\\ < R) :
v = (l — 0)uR + 6k e KR pour 6 > 0 assez petit ;
avec ce choix de v, (8.33) donne
0(A(uR), k-uR)> 0(f9 k-uR),
donc
(A(uR)9k-uR)>(f9k-uR) VkeK.l
8.3 Ensemble des solutions
Relativement à Vunicité éventuelle de la solution de (8.10) on a le résultat
immédiat suivant :
Théorème 8.3. — Si Von suppose que
(8.35) {A(ux) — A(u2), ul — u2) > 0 si ul ^ u2, ul9 u2e K,
alors (8.10) admet au plus une solution.
Démonstration.
On a fait ce qu'il fallait pour ça ; si u et u* sont deux solutions de
(A(u)9 v - u) > (/> - u) VveK,
{A(u*)9 v - u*) ^ (/, v - u*) VveK,
nous prenons v = u* (resp. v = u) dans la première (resp. deuxième) inéquation ;
additionnant, il vient :
(A(u) - A(u*)9u - u*) ^ 0,
d'où u = u* d'après (8.35). |

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 249
Lorsque A est monotone, une intéressante propriété de l'ensemble des
solutions est conséquence du
Théorème 8.4. — Si Von suppose que A est monotone hémicontinu de K -► V\
alors Vinéquation (8.10) équivaut à
(8.36) (A(v\v - u)>(fyv -u) VveK.
Démonstration (1).
1 ) Supposons que u satisfasse à (8 A0). Alors (8.36) a lieu. En effet,
(A(v), v - u) = (A(u\ v - u) + (A(v) - A(u\ v - u) >
^ (d'après la monotonie) (A(u), v - u) ^ (d'après (8.10)) (/, v - u).
2) Réciproquement, supposons que u satisfasse à (8.36). Pour w e K, soit :
v = (1 _ Q)U + OweK V0e]O,l];
avec ce choix de v dans (8.36) on en déduit, après division par 0,
(A(u + 0(w - «)), w - u) > (/, w - u)
et faisant tendre 6 vers zéro, on en déduit, grâce à Thémicontinuité
(A(u\ w - u)> (/, w - u) Vwg K, i. e. (8.10). |
Corollaire 8.1. — Sous les hypothèses du Théorème 8.4, Vensemble des
solutions de (8.10) est fermé convexe.
8.4 Applications
Nous pouvons maintenant donner de nouveaux exemples, n'entrant pas
dans le cadre élémentaire de (8.6).
Exemple 8.4.
Soit d'abord V un espace de Hilbert et A e ^(V'; V) correspondant à une
forme non symétrique : (Au, v) / (w, Av) en général.
Alors si
(8.37) (Av, v) > a || v\\\ a > 0, Vue F,
il résulte des Théorèmes 8.2 et 8.3 qu'/7 existe u unique dans K tel que
(Auyv - u) > (/, v - u) VveK. |
Exemple 8.5.
Soit A l'opérateur donné au Théorème 2.8 de Wm>p(Q) -* W~m'p'(Q). On a
vu que cet opérateur est pseudo-monotone. On peut donc lui appliquer le
Théorème 8.2. |
G) Comparer à la démonstration de (2.16).

250 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Exemple 8.6.
Particularisons l'Exemple 8.5 en prenant A par :
(8.38)
A(cp)
" d (\d<p \p'2 d<p\ , IP_2
où 1 < p < oo.
Prenons V = WUp(Q) et posons
\p~2 du dv
(8.39) a(u9v)= t f
du
ÔX:
- âx + a0 | u \p 2 uv âx .
i J Q
ÔXi ÔX;
On suppose que
(8.40) a0 g L™{Q\ a0(x) > a0 > 0 .
Si A^ est un ensemble convexe fermé de WX,P(Q) et a0 > 0, // existe alors un
élément u e Ket un seul tel que
(8.41) a(u9v-u)>(ffv-u) Vv e K.
Si Kest un convexe fermé de Wl'p(Q), on peut prendre a0 = 0.
Choisissons par exemple :
(8.42) K = {v | ve WUp(Q)y v^O sur F}.
Alors (par des considérations analogues à celles de l'Exemple 8.1) on vérifie
que la solution u de (8.41) est caractérisée par
A(u) = / dans Q ,
u ^ 0 sur r,
du
(8.43)
i=l
d
u
dxi
n
L
= i
p-
du
d
Xi
ÔX:
cos (n, Xi) ^ 0 sur F,
P-2
du_
dxt
cos (,
n, xt)j = 0
sur F.
Dans (8.43), ur e Wl~l/p^p(r)t et (cf. nro 5) :
du
dxt
p~2 Ou
dX:
cos («, x^ g W
■iip',p'
(r),
de sorte que le produit u.3T{u) a un sens. |
8.5 Variantes
Une autre écriture des inéquations variationnelles.
Nous allons formuler un peu différemment les inéquations (8.10) en utilisant
la fonction indicatrice \\iK du convexe K, définie par
t* 44Ï / ^^ = + °° si v e K >
V ' ; \ \j/K(v) = 0 si v i K .

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES . -. 251
Alors, admettant que A est défini sur l'espace V entier avec des propriétés
analogues à celles qu'il possède sur K (*), l'inéquation (8.10) équivaut à la
recherche de u e V tel que
(8.45) (A(u) -/, v-u)+ ^K(v) - Mm) > 0 Vue F.
En effet, si u est solution de (8.45), on a nécessairement ueK et (8.45) se
réduit à (8.10) ; réciproquement, si u satisfait à (8.10), alors on a (8.45). |
De façon générale on appelle fonction convexe propre sur V toute fonction cp
ayant les propriétés suivantes :
(
(8.46)
cp est définie sur V, à valeurs dans ] — oo, + oo] ,
cp est convexe,
{ (p n'est pas identique à + oo .
La propriété de convexité de cp équivaut à la suivante :
(8.47) l'épigraphe de cp dans V x R est convexe.
(épigraphe (cp) = { v, a \ v e V, a e R, a ^ (p(v) }).
La fonction cp est semi continue inférieure ment si et seulement si son épigraphe
est fermé, de sorte que si cp est convexe, cette notion est la même pour les
topologies forte et faible de V.
On note que ij/K est convexe propre semi-continue inférieurement (S. C. i).
Alors le problème (8.45) (identique à (8.10)) est (2) un cas particulier du
suivant :
étant donné À opérateur non linéaire de V -* V et cp fonction convexe propre,
trouver u e V tel que
(8.48) (A(u) -fv-u) + cp{v) - cp(u) ^0 Vu g V. I
On va montrer le
Théorème 8.5. — Soit A un opérateur pseudo-monotone de V -+ V\ cp une
fonction convexe propre S. C. i. On suppose que
!il existe v0 tel que (p(v0) < oo et
(/!(»), u-v0) + cp(u) .
.- OTïT ^°° SI il « il -* «> -
Alors, pourf donné dans V\ il existe u e Vsolution de (8.48).
(!) C'est le problème (non trivial) du prolongement des opérateurs ; nous ne l'aborderons
pas ici, car il semble ne jamais se poser dans les exemples d'opérateurs que nous considérons
dans ce livre.
(2) Du moins apparemment.

252 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Remarque 8.8.
On peut évidemment toujours supposer que / = 0, quitte à remplacer cp(v)
par cp(v) — (/, v). Mais le problème intervient « naturellement» sous la forme
(8.48) avec/* 0. |
Démonstration.
On va voir (selon U. Mosco [1]) que le Théorème 8.5 se ramène
essentiellement au Théorème 8.1, en utilisant l'épigraphe de cp comme convexe.
On introduit donc :
V — V x R , K = épigraphe de cp ,
A(v) = { A(vl 0 } pour v = {v, Ç}eV.
L'opérateur A est pseudo-monotone. Vérifions que (8.48) équivaut à
trouver u e K tel que
(8.50) (A(u) -Il - u) ^ 0 VSeK,
où/ = {/, -\}eV>.
En effet, en explicitant, (8.50) équivaut à trouver u = { w, a } tel que
( (A(u) -f,v-u) + Ç-a>0 V£ > cp{v) ,
(8.51) _ „
{ ue K donc a ^ (p(u).
Mais (8.51) équivaut à
(A(u) - f9 v - u) + <p(i?) - a ^ 0
et faisant y = w, on trouve a ^ (p(w) donc a = <p(«), d'où (8.48).
Reste à résoudre (8.50).
On introduit
KR = { 5 | v = { i>, £ } eX, || u - v0 || + | { - <PK) I < # } ;
alors XR est borné dans V et d'après le Théorème 8.1, il existe uR e Kr tel que
(8.52) (A(uR) -f,v - uR) ^ 0 V?e£R.
D'après la définition de KK, il est loisible de prendre dans (8.52)
V = v0 = { 1?0, <sp(l>0) } .
Alors (8.52) donne, si uR = { wK, aK } :
(8.53) {A(uR)9 uR - v0) + aR < (/, wR - v0) + q>(v0)

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES" 253
et comme cxR ^ (p(uR) on en déduit
(8.54) (A(uR\ uR - v0) + <p(uR) < (/, uR - v0) + q>(v0) ^ c(\ + || uR ||) ;
il en résulte, d'après (8.49), que \\uR\\ ^ constante.
Mais alors (8.53) donne : aR ^ constante. Comme par ailleurs
aR ^ (p(uR) ^ - c || uR || (d'après (8.49)),
on voit que || uR || -f | <xR | ^ ci = constante indépendante de R.
On en déduit
Il "a - 0OII + |«R - <P(U<>)| < ^2
et donc on en déduit (comme dans la deuxième démonstration du Théorème 8.2)
que pour R > c2,ûR est solution du problème cherché. |
Remarque 8.9.
L'exemple que l'on vient de résoudre ne rentre pas directement dans le
Théorème 8.1 (puisque K n'est pas borné) ni dans le Théorème 8.2(il n'y a
pas coercivité) ; la résolution n'a été possible qu'à cause de la forme particulière
de f', dont la deuxième composante est — 1.
On trouvera d'autres exemples (utiles pour les applications) de cette situation
dans Lions-Stampacchia [1]. |
Remarque 8.10.
On peut également donner une démonstration « directe » du Théorème 8.5,
selon les mêmes principes que pour la démonstration des Théorèmes 8.1 et 8.2 ;
cf. H. Brezis [1]. I
8.6 Interprétation des inéquations variationnelles avec les
sous-différentielles
Soit v -> cp(v) est une fonction convexe propre sur V; un élément x de V
est dit un sous-gradient de q> au point u si
(8.55) cp{v) - q>(u) > (x,v - u) VdgF.
On désigne par ôcp(u) l'ensemble des sous-gradients de cp au point u ; u -» d(p(u)
est la sous-différentielle de <p ; dcp est donc une application en général multivoque,
donc de V -> 2V'.
On écrira
(8.56) <p(v) - cp(u) ^ (pq>(u\ v - u) VueK
(ce qui signifie : (p(v) — (p(u) ^ (#, v — u) Vu g V, quel que soit x e dq>(u)\
Comparant (8.48) et (8.56) on voit que : l'inéquation variationnelle (8.48)
équivaut à la recherche de u dans Ktel que
(8.57) ~(A(u)-f)ed<p(u)9

254 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
ou encore
(8.57 bis) 0 e A(u) - f + d<p(u),
équation avec des opérateurs multivoques. |
Notons la
Proposition 8.1. — Soit V un espace de Banach de norme strictement convexe
ainsi que celle de son dual. Soit J Vapplication de dualité relative à <P (Cf. (2.17)
(2.18)) et soit V définie par W(r) = | <P{g) de. Alors
J o
y(IMI)- V(\\u\\)> (J(u),v-u) VveV
et réciproquement si çeK' vérifie
y(IMI)-^(ll« II) >«,»-«) VveV
alors i = J(u) (*).
Démonstration.
On a:
n\\ " II) - V(ll «II) = f V *(0 àt > 0(|| u ||) (|| v || - Il u H) =
= <KH«II)IMI -(J(u\u)>{J(ulv-u).
Réciproquement soit £ e sous-différentielle de W(\\ • ||) en «, i. e. tel que
V(\\v\\)- ^ll" 11)^ «,»-«) VveV.
Prenons v avec|| v || = || u || ; alors (£, u — y) < 0, donc(£, w) = || £ ||+ || w ||.
Introduisons w, avec || w || = 1 et u = sw, prenons v = tw, t e R quelconque ;
alors
no - v® >{t-*) «, vv) = Lzi ({s w) =
= (~)|KIUI«II =0-s)IKIU,
d'où
11(11* = *to = ^(11 «II) et le résultat. I
0) Dans le cas où J est multivoque, le résultat s'étend : la sous-différentielle de la fonction
v -> *F( |i u 11) au point u est J(u). Cf. Asplund [2].

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 255
8.7 Régularité
8.7.1 Le problème. Contre-exemples
Reprenons, à titre de « Problème Modèle », l'Exemple 8.1. ___
Supposons que F est une variété C00 et que les coefficients a{j sont dans Q){Q).
Dans le cas des équations et des problèmes aux limites ordinaires, on sait que,
si/e H\Q\ alors u e Hk + 2(Q) et cela pour tout k( > 0) (*). Tel n'est pas le cas
pour les inéquations variationnelles, où ce type de résultat n'est vrai que pour k
« assez petit ». Voici d'abord un Contre-exemple.
Contre-exemple 8.1.
On se place dans le cadre de l'Exemple 8.1, avec Q a R2 :
Q = { x | x e R2, x2 > 0 }
et avec A = — A + I. Soit X -> d(X) une fonction C00 sur X > 0 telle que
0(X) = 1 si A e [0, 1], 0(X) = 0 si X > 2 et 6(X) ^ 0 VA.
Définissons avec Shamir [1] [2] :
(8.58) u(x) = 9(r2) Re (z3/2), r2 = x2 + x\, z = xt + ix2.
On vérifie que
— Au + u = /, /e C1^) et à support compact,
et donc, en particulier :
(8.59) feH\Q).
Puis
w ^ 0 sur F, (et w = 0 si xl < 0),
ÔU du 3 _, 2\ r / l/2x ^ /v -
-.-=--— = x^(r2)Im(zU2) ^ 0 sur r»
on ox2 2
(et ~ = 0 si xt > 0)) ,
du
et donc aussi u — = 0 sur F.
on
Donc w donné par (8.58) est la solution du problème de l'Exemple 8.1.
S'il s'agissait d'un problème aux limites «ordinaire» (8.59) entraînerait
« w e H3(Q) » ; or ceci est inexact. |
Voici maintenant un Contre-exemple relatif à la situation de l'Exemple 8.3.
(0 Tout résultat de ce type s'appelle « théorème de régularité ».

256 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Contre-exemple 8.2.
On se place dans le cadre de l'Exemple 8.3 avec Q = ]0, 1[, A — — d2/dx2,
/=4.
On a donc : fe Hk(Q) V/:. On va voir que la solution correspondante u
n'est pas dans H3(Q). En effet
( x pour 0 < x < 1/4
(8.60) u(x) = I - 2 x2 + 2 x - 1/8 pour 1/4 < x < 3/4 ,
l 1 — x pour 3/4 < x < 1 .
[Pour établir la formule (8.60), on peut raisonner ainsi : dans une région,
non déterminée a priori, de Q, — u" — f — 4, donc
u(x) = — 2 x2 + ax + b
et comme la solution est symétrique par rapport à £,
w(x) =-2;c2+2jc + b.
La fonction u « doit » se « raccorder » au mieux avec les courbes u(x) =
distance de x à F, i. e. u(x) = x et w(x) = 1 — x. Donc on doit avoir u'(x) = 1
si u(x) = x d'où (8.60). On peut ensuite vérifier que « fourni par (8.60) est
solution du problème.] |
Orientation.
On va maintenant donner des résultats positifs de régularité ; les méthodes
dépendent non seulement de l'opérateur mais aussi du convexe (*).
On va présenter deux méthodes (2) :
(i) une méthode de translations, simple variante des méthodes usuelles dans
la théorie des équations elliptiques (nro 8.7.2) ;
(ii) une méthode d'approximation adaptée aux inéquations (nros 8.7.3 et
8.7.4). |
8.7.2 Un résultat de régularité par la méthode des translations.
Théorème 8.6. — On suppose que Q — {x | x„ > 0 }. Soit fe L2(Q) et u
la solution dans K — { v \ v e Hl(Q), v > 0 sur F } de
(8.61) a(u9v - w) > (J9v - u) VueiC,
\où a(u, v) = Y -r— -r— âx + uv dx . Alors u e H2(Q) .
\ »= i J n àxt dxt J D !
(!) On voit d'ailleurs facilement que si l'on prend pour K une boule de Hq(Q), alors les
théorèmes de régularité « naturels » sont vrais.
(2) On trouvera une autre méthode au Chapitre 3, nro 5.5.

INEQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES
257
Démonstration.
1) On utilise la méthode des translations parallèles à la frontière. On va
établir par cette méthode que si u est solution de (8.61) alors
(8.62)
p-eHl(Q), È = 1 » — 1 .
U suffit de raisonner avec / = 1.
On pose de façon générale
gh(x) = g(xx - h, x2,..., xn).
Comme Vopération v ~> vh invarie K, Vh, on déduit de (8.61) que :
a(u, vh - u) ^ (/, vh - u),
d'où
(8.63) a(u. k9 v) - a(u, u) > (/_ h, v) - (/, u) , Vh .
Mais
a(w, w) = fl(i/A, Mfc) Vh ,
(/, «) = (/*, "*) Vh ,
et donc on déduit de (8.63) (après y avoir changé h en — h) que
(8.64) a(uh9 v - uh) ^ (/, v - wA).
Prenant v = uh (resp. i? = w) dans (8.61) (resp. (8.64)) et additionnant, on en
déduit que
(8.65) a(uh - u,uh- u) ^ {fh -/, uh - m) .
Notons maintenant que, de façon générale,
| (<P> W | < Il <P WlHO^H-HR"-1)) H ^ IIl2(0,oo;//HR',+ 1))
< Il 9 Hl*(0.oo;H-1(R-i)) H ^ H (0Ù II ^ Il = Il ^ lllfi(fl))
et donc (8.65) implique
Il "h - " II2 < HA -/ll^(0.oo;ir-i(R"-i)) H Uh ~ " Il
et par conséquent
(8.66)
\ih-f)
t2(0,toiH-'(R"-')) ■
Mais si /e L2(Q),
5 (/*-/) ■
5*!
dans L2(0, oo;//"^R""1))

258 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
lorsque h -» 0 et donc (8.66) implique :
- (uh — u) demeure dans un borné de Hl(Q).
On peut donc supposer que y (uh — u) -* % dans Hl(Q) faible et comme
-- (uh - u) -* - -— dans l3{Q) ,
h dxl
on voit que
p-= - xeL2(Q), d'où (8.62).
ôxl
2) Pour obtenir le Théorème, il ne reste qu'à démontrer que
dxln
On utilise pour cela l'équation (conséquence de (8.21) pour le choix présent
de*)
- Au + u =f;
il en résulte que
- X —.\ + u ~feL\Q) d'après (8.62). |
^2,. n— 1 r\2„.
0 U _ -^ 0 U
dxl »=i dxf
Remarque 8.11.
La première partie de la Démonstration précédente demeure valable pour
les convexes K stables par l'opération v -*• vh (au moins pour h assez petit) ;
par contre la deuxième partie de la démonstration, telle que donnée ci-dessus,
suppose que K -> @(Q). |
8.7.3 Un résultat de régularité « abstrait »
On se pose maintenant le Problème général suivant : soit u une solution de
l'inéquation générale (8.10) ; supposons que f soit donné dans un sous-espace X
de V ; quand a-t-on
A(u) e X ?
On va donner une condition suffisante pour qu'il en soit ainsi.
On suppose que X est un espace de Banach réflexif, avec
\ X c F', l'injection X -» V est continue.
(8.67)
/ .Y est dense dans V.

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES f WÎ3^ 259
Soit J une application de dualité de X -> X\ X' dual de X (on renorme
éventuellement Jfet X' de manière qu'ils soient strictement convexes ; cf.
Théorème 2.5)/ vérifiant les analogues de (2.17) et (2.18).
On fait alors l'hypothèse suivante :
!on peut trouver une application J de dualité de X -» X' telle que,
Vw g K,Ve > 0, il existe uc e AT tel que A(ue) e Xet tel que
ue + eJ(A(ue)) = w .
On va démontrer le
Théorème 8.7. — On suppose que (8.67) et (8.68) ont lieu. On suppose
l'opérateur A monotone de V -» V\ hémi continu, borné et tel que pour v0 e K
convenable on ait (*)
(8„69) Cjfr>; u - v0) ^ + œ s[ ||u|hœ) ueK
II " Il
Alors si f est donné dans X, toute solution u de (8.10) vérifie
(8.70) A(u)eX.
Démonstration.
1) Grâce au fait que A est monotone on peut, d'après le Théorème 8.4,
remplacer (8.10) par (8.36).
2) On choisit dans (8.36) v = uE, ut donné en (8.68). II vient
- e(A(uX J(A(uë))) > - e(f9 J(A(us))),
d'où
(A(ut),J(A(ut)))*Z(f,J(A(ue))),
d'où encore, utilisant les analogues de (2.17) (2.18) :
0(|| A(uc) \\x) || A(uc) \\x < \\f\\x || J(A(uc)) \\x. = ||/ H, 0(|| A(ut) \\x)
donc
(8.71) \\A{uc)\\x^\\f\\x.
On déduit alors de (8.68) que
\\ut-u\\x. = e<P{\\A(ue)\\x)^E0{\\j\\x)
et donc
(8.72) ue-+u dans X'.
(0 Hypothèse sans objet si A'est borné.

260 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
D'après (8.71) et (8.72), on a :
(8.73) (A(uEl ue - u) = c(e) -> 0 si s -> 0 .
Mais
(8.74) (A(wc), w£ - i>0) = c (s) + (A(«£), u - i;0)
et comme A(ue) demeure dans un borné de X, donc de V, on déduit de (8.74)
que
(A(wc), ue — v0) ^ constante,
ce qui, avec (8.69) entraîne que
(8.75) us est borné dans V.
On peut alors supposer, par extraction éventuelle, que
(8.76) ue -> u dans V faible,
(8.77) A(ue) -> x dans Xfaible (donc aussi dans V faible).
On aura donc le Théorème si Ton montre que / = A(u).
D'après la monotonie de A
(A(ue) - A(w), ue - w) ^ 0 Vw e V.
Prenant w = (1 — 0) u + ôv, v fixé quelconque dans V, on en déduit :
- (A(ue\ ue-u) + (A((l - 0) u + 0v)t ue-u-6(v- u)) ^
^ 0(A(ue\ u-v).
Faisant s -> 0 on en déduit avec (8.73) (8.76) (8.77) :
0(A((\ -0)u + 0v), u - v) ^ 0(x, u-v).
Divisant par 6 et faisant 0 -* 0, on en déduit que
(A(u) - x, u - v) < 0 VvgV
donc x = A(u). |
8.7.4 Applications
Application 8.1.
On considère l'opérateur A donné par
î a,j(x) {, {y > a«î + - + £), a > 0 , V£ e R".
(8.78)

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES !<$?**' 261
On se donne une fonction \J/ vérifiant
i> g Hl(Q\ i//^0surf, Ai> ^ 0 (dans ^'(Q) »
1 donc aussi au sens des mesures sur iQ).
On définit le convexe AT par
(8.80) K = {v | veHl(Q), v > \j/ p. p. sur Q } .
On a alors l'existence et l'unicité de u e K tel que
(8.81) (Aufv-u)>(f,v-u) Vue/:,
lorsque/*est donné dans H~1(Q).
On va déduire du Théorème 8.7 le
Théorème 8.8. — On suppose que A et K sont donnés par (8.78) (8.80) où
\J/ est donnée satisfaisant à (8.79). Si dans ($.%\)fest donné dans
H'l(Q)nLp(Q) (1 <p < oo)
alors
(8.82) ueHl0(Q)n W2'P(Q).
Démonstration.
1) Il suffit de montrer que Au e LP(Q) ; en effet il résulte de la théorie des
problèmes aux limites dans LP{Q) (cf. Agmon [1], Agmon-Douglis-Niren-
berg [1 ]), que si u e Hl0{Q) et Au e LP(Q) alors u e W2'P(Q).
2) On va appliquer le Théorème 8.7 avec
V = H~1{Q) (*). On prend comme application de dualité
J(v) = \v\p~2v.
Tout revient à montrer que (8.68) a lieu. On se donne donc u dans K et on
cherche ue solution de
(8.83) ue + eJ(A(uej) = u,
soit
(8.84) Auz + J~1(^ï~^) = °-
(0 On n'a X <=■ V que si p est « assez grand » (p > 2 n/(n + 2)) ce que nous allons supposer
pour le cas général, cf. Brezis-Stampacchia [1], Remarque 1.6.

262 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Posant ue — u = wt on a :
Awe + J-l(^)= - Au.
L'application v -> Av + J~l(v/e) est monotone hémicontinue, bornée et
coercive de
Hl0(Q) n LP'(Q) -> H~\Q) + LP(Q)
et donc il existe we (donc ue) unique solution de (8.84) avec
On aura donc (8.68) si l'on montre ( et c'est cela Vessentiel) que
ueeK, i. e. uz ^ \j/ p.p.
On introduit pour cela
(8.85) ze = sup{<A - wE,0}
et tout revient à montrer que zt = 0.
On déduit de (8.84) que
(8.86) AW - uc) -Ail, = J-l(^L^j ;
notant que
(A(iA - «.), z.) = (Azt9 z.) ^ 0 ,
on déduit de (8.86) que
et comme par hypothèse — A\\i ^ 0 et par construction zE ^ 0, on en déduit
que
(-t~)<
z.h*0.
i. e.
J j~l p îij zc dx > 0 , E = {x | x g fî, i>(jc) ^ ue(jc) } .
Mais comme u e K on &: u ^ ^ et donc u ^ ue sur F, donc
j-^^^0 sur £,

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES irtnt / 263
donc :
J/-.(^),d.,,„,
et donc
et donc on a p. p. sur E ue = u ou zt = 0 et dans tous les cas zc = 0. |
Remarque 8.12.
L'hypothèse « A»^ ^ 0 » peut être remplacée par « A\jj est une mesure sur £>,
et sup {A\J/, 0} e U (Q) » en introduisant une approximation un peu plus
générale que dans (8.68). Nous renvoyons à Brezis-Stampacchia [1]. 1
Application 8.2.
Nous renvoyons également à Brezis-Stampacchia [1] pour la
démonstration, par application de méthodes analogues aux précédentes, de Théorèmes
de régularité relatifs à l'Exemple 8.3. On montre ainsi que si feLp(Q) alors
la solution u est dans W2'P(Q), 1 < p < oo. |
8.8 Théorèmes de comparaison
Nous allons donner un exemple (Théorème 8.10 ci-dessous) où la solution
d'une inéquation variationnelle est enveloppe supérieure d'une famille de
solutions de problèmes aux limites ordinaires. Ce résultat (dû à Y. Haugazeau
[1 ] [2]) est une conséquence du simple résultat « abstrait » suivant :
Théorème 8.9. — Soit V un espace de Hilbert, A e J?(V ; V), A coercif
et soient K et K* deux ensembles convexes fermés dans V. Soit u (resp. w*) la
solution dans K (resp. K*) de
(8.87) (Au, v - u) > (/, v - u) V» e K (/donné dans V%
(8.88) (resp.de (Au*,v*-u*)^(f,v*-u*) Vv* e K*) .
On suppose que P on peut trouver un couple { iv, m'* } e K x K* tel que
(8.89) w + w* = u + m*,
(8.90) (A(w - u*),w - u) = 0.
On a alors
(8.91)
w = u (et w* = u*).

264 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Démonstration.
Prenons v = w (resp. v* = w*) dans (8.87) (resp. (8.88)) et additionnons ;
tenant compte de (8.89) il vient
(Au, w - u) + (Au*, w* - u*) ^ 0,
ou encore (toujours avec (8.89))
(Au — Au*, w — u) ^ 0 ,
donc
(A(u ~ w), w - u) + (A(w - w*), w - u) > 0
i. e. avec (8.90) — (A(w — w), w — u) ^ 0 et comme A est coercif on en déduit
(8.91). |
Application.
On prend la situation de l'Exemple 8.1.
Soit rt un ensemble (de capacité ^ 0) de F et soit uFl la solution du problème
AuFt = / dans & ,
«r, = 0 sur ru -~ = 0 sur F - A ;
plus précisément, posons :
(8.93) ** = H «e/f1^), t>|ri = 0};
alors wr. g #* et vérifie
(AuFl9v*)=(f,v*) Vt;*eK*
ou encore (K* étant ici un espace vectoriel)
(8.94) (A«ri, v* - uri) > (/, i>* - i/ri) Vp* e X* .
Cela posé on a le
Théorème 8.10. — Soit u la solution du Problème (8.14). On a :
(8.95) u = sup uFl .
Comme u = uFi pour un Fx convenable, on a le résultat si l'on montre que,
quel que soit ru
(8.90) wr. ^ u p. p. sur Q .
On applique pour cela le Théorème 8.9 ; on pose uFx = u* et l'on introduit
(8.97) w = sup (w, u*), w* = inf (u, u*).
(8.92)

8. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES itfV 265
On vérifie que w e Kt w* e K* ; on a évidemment (8.89) ; vérifions (8.90) ;
si \j/ = u — w*, on a :
w — u* = \p +, w — u = \p~
et donc
(A(w - w*), w - m) = (AiA+> ^") = 0 .
On a donc (8.91), i.e. (8.96)0. I
8.9 Un autre type d'exemples
Nous avons déjà noté, à la fin de l'Exemple 8.3, que la solution d'une
inéquation variationnelle « elliptique » pouvait conduire à un problème « multiphase »
avec deux équations de nature différente dans deux régions du domaine Q.
Voici une autre série d'exemples de ce type.
Soit
V = H\Q),
a(u9 v) = £ atJ — j- âx + a0 uv dx , aiy et a0 e L™(Q)
n
X au(x) ^i^aK|2,a>0, a0(x) ^ a0 > 0 , p. p. dans Q .
Soit F un opérateur différentiel quelconque avec
(8.98) Peiff//1^;^)).
On définit
(8.99) K= {v | veH\Q\Pv > 0 dans £} (2).
Il existe alors u e Punique tel que
a(u, v — u) > (/, v — î/) Vu g 7^, (/donné dans L2(£?)).
Formellement on « découpe » Q en
Q+ = { x | Pi/(x) > 0} et Q0 = {x \ Pu(x) = 0 } ;
on obtient alors :
(8.100) Au=f dans &+,
(8.101) Pu = 0 dans £0 ,
duldvA = 0 sur F ,
et des conditions de transmission sur Pinterface entre Q+ et Q0.
C1) H. Brezis a démontré que l'application/-* u est «croissante» : si/1,/2 e Lœ(:Q),/i ^/2
p. p., alors «i ^ «2 (wi solution correspondant à/0-
(2) Pu $5 0 dans ^'(^) donc Pi; = mesure positive.

266 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Comme P est de type quelconque, on voit ainsi que Ton obtient deux
équations (8.100) (8.101) pouvant être de nature différente. |
Remarque 8.13.
On peut considérer des problèmes unilatéraux (ou d'inéquations varia-
tionnelles) pour les opérateurs pseudo-différentiels. Par exemple, on prend
(cf. Chap. 1, nro 1.1.4)
V=Hl0Ç(Q), 0 = ]- 1J[,
Au = v. p. ~ dy ,
J -i x - y
K={v\veV9v^0 p. p. sur Q } ;
il existe u dans Punique tel que
(Au,v - u)> (/,i? - u) Vue/:,
/donné dans V. |
9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES
9.1 Position des problèmes
Exemple 9.1.
Considérons l'un des problèmes les plus simples étudiés au nro 8 : dans
Q c R" trouver u solution de
( Au = f dans Q ,
(9,1) / u ^ 0 sur F,~ > 0 sur F, u~ = 0 sur r,
où A est un opérateur elliptique du deuxième ordre.
Par analogie avec le cas des équations, il est naturel d'attacher à (9.1) un
problème d'évolution de nature « parabolique » :
j- + Au =f dans Q x ]0, T[ = Q ,
(9*2) ^ u ^ 0 sur I = r x ]0, il— > 0 sur I\ w-f- = 0 sur 2\
u(x, 0) = u0(x) donné dans :Q . g

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES :*t& 267
Essayons de formuler (9.2) de façon plus précise. On introduit le convexe
K = { v | v e H\Q\ v > 0 sur F } ;
alors avec les notations habituelles, (9.2) peut s'écrire :
( (u'(0, v - ii(0) + O(0, v - u(i)) >(f,v- M(0) VveK,
(9.3) u(t)eK9
( u(0) = u0, u0 donné dans Û(Q).
Il apparaît ici une difficulté : la formulation (9.3) n'a de sens que si w'(0 e V
p. p. (pour que (u'(t), v — u(t)) ait un sens) ; or cela ne semble pas toujours
possible à réaliser et il faut encore affaiblir la formulation (9.3).
Pour cela on introduit une famille d'éléments v(t) e K, de façon que
»'=^€L2(o,r;n;
calculons alors
On a:
X = f [(i/, v - U) + (Au, v - ii) - (/, c - «)] d*.
J o
X = [(«', 1? - M) + (AU, » - tl) - (/, 1> - U)] dt +
J o
+ (i/ - u', v - u)dt
J o
> (d'après (9.3)) (v' - u',v - u) dt
et donc
X > i | t>(T) - u(T) |2 - i | KO) - u0 |2 .
Si donc l'on suppose que v(0) — u0, on a :
(9.4) f [(*', w-i/) + (Au, v — i/)J dr > f (/, v - u) dt,
J o J o
cette inéquation ayant un sens sou.? /a seule condition sur u :
(9.5) ueL2(0,T;F)
(et on impose u(t) e K p. p.).
On va dans la suite étudier le Problème sous la forme (9.4) (dans un cadre
plus général que nous allons indiquer). Malgré la nature « très faible » de la

268 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
solution cherchée, on verra qu'il y a unicité sous des hypothèses raisonnables.
Le problème sera ensuite celui de la régularité : quand les solutions « faibles »
de (9.4) sont-elles des solutions « fortes » au sens de (9.3) (*) ? |
Remarque 9.1.
Contrairement au cas des équations, le cas « u0 # 0 » apporte de sérieuses
difficultés techniques par rapport au cas « u0 = 0 ». Nous allons poursuivre
l'exposé avec l'hypothèse « u0 = 0 » ; nous donnerons seulement quelques
remarques simples (en particulier au Chap. 3) sur le cas « w0 # 0 », renvoyant
pour une étude systématique à Brezis [5]. |
Formulation générale des problèmes d'inéquations «paraboliques ». (2)
On se place dans le cadre du nro 7 ; pour un peu simplifier l'exposé, on va
commencer par le cas « y a jf ». On a donc un espace de Banach réflexif y,
un espace de Hilbert Jf, avec
(9.6) fc/cf.
Dans le cas de l'Exemple 9 A on prendra : y = L2(0, T;V), V = H\Q)
tuf = L2(0, T;H),H = L\Q).
On se donne ensuite, comme au nro 7, un opérateur A tel que
\ — A est générateur infinitésimal d'un semi-groupe s -*• G (s)
( dans y, M, y\ G(s) étant de contractions dans X .
On se donne en outre un opérateur non linéaire s4 vérifiant
(9.8) stf est pseudo-monotone de y -» y (3)
et on suppose (comme en (7.15)), que stf est coercif:
(j&iv), v — vQ)
(9.9) il existe v0 ejf tel que — ► oo si || v ||r -*• oo .
Il v lly
(0 Si l'on intègre en / Véquation u + Au = /, w(0) = wo, on obtient la formulation
équivalente
u{t) + Au(a) da = f(a) ôcr + u0 ,
J 0 J 0
à laquelle on peut associer l'inéquation non équivalente à (9.4) :
(w(0, v —1/(/)) + ( Au{g) dd — f{a) dff, v — u{t)\ > (w0, v — u(t)) W e k,
dont l'étude séparée, possible, n'est pas entreprise ici. Cf. Duvaut-Lions [1] et Brezis [5].
(2) Le cas « hyperbolique » sera étudié au Chapitre 3, nro 7. La terminologie : «
parabolique » ou « hyperbolique » n'est utilisée qu'à titre d'indication générale.
(3) Cf. Définition 2.1. Cette hypothèse est plus forte que (7.31) (7.32); comme nous
l'avons déjà signalé, la pseudo-monotonie est « la bonne » notion pour la résolution
d'inéquations variâtionnelles. On pourrait supposer aussi que A est seulement défini sur jf\

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 269
On donne enfin un ensemble ff avec :
(9.10) Jf est un ensemble convexe fermé de y.
Dans le cas de l'Exemple 9.1 on prendra
(9.H) Jf = {v | ueL2(0, T; V\ v(t)eK p.p.}
où K = { v | v 6 H^iQ), O 0 sur f } ; on vérifie sans peine que iï satisfait
à (9.10). |
A partir des données précédentes on peut poser des problèmes d'inéquations
variationnelles contenant comme cas très particulier la formulation « forte »
(9.3) et la formulation «faible» (9.4) (prendre A = â/ât et s/ défini par
G«/tO (0 = A(v(t)) p. p.). |
Formulation «forte » (généralisation de (9.3)).
On cherche u vérifiant
(9.12) ueJT,
(9.13) ueD{A\r'\ (*)
(9.14) (Au, v - u) + (sf(u)9 v-u)>(f,v-u) Vu e Jf
(où/est donné dans y). |
Formulation a faible » (généralisation de (9.4)).
Supposons que u satisfasse à (9 A 2) (9.13) (9.14) ; alors, siue/n D(A ; y)
on a :
(9.15) (Au, v - u) + (sf(u), v - u) - (/, u - u) =
= (Au, v - u) + (j*(u)9 v - u) - (f v - u) + (A(u - u), v - u)
> (d'après (9.14)) (A(v - u\ u - w).
Or on vérifie sans peine à partir des hypothèses (9.7) (cf. nr0 7) que
(9.16) (A<p, cp)^0 V(p6TT nD(A;'T').
Par conséquent (9.15) donne
(9.17) (Au, v - u) + iV(m), v - u) > (f v - u) Vu e jf n D(A ; tT').
La formulation « faible » est alors : trouver u e Jf vérifiant (9.17). |
9.2 Hypothèses de compatibilité. Exemples
Nous allons faire une « hypothèse de compatibilité » (2) portant sur A et Jf :
l Vu e Jf, il existe une suite « régularisante » vs vérifiant :
\(i) vj e Jf n D(A ; tT') ,
(9.18) j(ii) Uj.-u dans iT , y - oo .
/ (iii) lim sup (Au,-, u,. — u) ^ 0 . |
\ j-*ao
(0 Dans l'Exemple 9.1 cela correspond à w(0) = 0 .
(2) Non indispensable, mais suffisante pour notre objet.

270 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Donnons des Exemples.
Exemple 9.2.
Soit V un espace de Banach réflexif, H un espace de Hilbert, V dense dans H9
V a H a V',et Kun convexe fermé de V. On prend
r = Lp(0, T; F), 2 ^ p < oo (*),
^f = L2(0, T;H),
JiT = {v | i? e r, v(t) sK p. p. } ,
A = d/df, D(A\r) = {v | veryv'sr, v(0) = 0 } (2).
Donc — A est le générateur infinitésimal du semi-groupe G(s) donné en
(7.36). On observe alors que
(9.19) si OgI ona: G(s)Jf cl" Vs > 0 .
Dans ces conditions (9.18) a lieu, comme il résulte du
Théorème 9.1. — Si le convexe JfT et le semi-groupe G(s) vérifient
(9.20) G(j)Jfcjf Vj^O,
F hypothèse (9 A 8) est vérifiée.
Démonstration.
1) Observons d'abord que, Ve > 0, on a :
(9.21) (/ + SA)"1 = [ iexp(-^G(s)ds
de sorte que I comme - exp I 1 as = 11 grâce à (9.20) on a
(9.22) (/+ sA)'1 X c X .
2) Pour v donné dans JfT, on introduit alors ve par
(9.23) ve + eAvs = v (3).
On a : v£ e Jf n D(A ; V) et ue -* t? dans V lorsque £ -> 0 de sorte qu'il
n'y a plus qu'à vérifier (iii) dans (9.18) ; or d'après (9.23) :
(Av„ vE - v) = - £ | AvE & < 0 . |
(0 On considérera plus loin des cas où 1 < p < oo.
(2) Et définitions analogues pour D(A ; jf ), D(A ;-f").
(3) Noter l'analogie avec l'équation introduite dans (8.68).

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES m?£& 271
Remarque 9.2.
On a utilisé (9.22) ; notons que, comme G(t) (p = lim. (/ + - AI <p,
(9.22) entraîne (et donc équivaut à) (9.20). |
Remarque 9.3.
On a encore le résultat si Ton remplace (9.20) par :
(9.24) il existe a e R tel que exp (- as) G(s) X c X Vs > 0 .
On note en effet alors que
(1 - as) (I + £A)~* = f ç>£(s) e~as G(s) ds ,
J o
,, (1 - oe) / 1 \
<Ps(s) = exp^- - + ccjs ,
de sorte que
(9.25) (1 - oce) (/ + £A)_1 X c X ;
on introduit alors vz par t?e = (1 — ae) (/ + £A)-1 y . |
Exemple 9.3.
Soit ^(t) une famille d'ensembles convexes fermés de F vérifiant
(9.26) K(t)cK(t') si f^ *'
et
(9.27) QeK(Q).
Soit alors
(9.28) Jf = { i? | v e Lp(0, T; F), v(t) e K(t) p. p. } .
L'ensemble Jf (qui n'est pas vide, car 0 e X*) est fermé convexe dans 'f.
On vérifie sans peine que grâce à (9.26) (9.27) on a encore (9.20), A étant pris
comme dans l'Exemple 9.2. |
9.3 Théorème d'existence d'une solution «faible»
Théorème 9.2. — On suppose que les hypothèses (9.6) (9.7) (9.8) ont lieu,
que Vhypothèse de coercivité (9.9) a lieu avec v0 e Jf n D(A ; f') et que
P hypothèse de compatibilité (9.18) a lieu. Alors, V/e V y il existe ueJf solution
de P inéquation variationnelle d'évolution (9.17).
Démonstration.
On utilise un principe analogue à celui de la Démonstration du Théorème 7.1,
en se ramenant ici à des inéquations (au lieu d'équations) elliptiques.

272 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
1) On cherche donc d'abord uh e .if tel que
(9.29) (* ~^(h) uhi v - «,) + (sf(uh)9 v-uh)> (/, v - uh) Vv e Jf .
Il existe uh e Jf solution de (9.29).
On applique pour cela le Théorème 8.2 avec f et / au lieu de F et K et
l'opérateur A remplacé par
v __>7 "~ G(/l) 0 + j/(t;) = &(v) de tT -> iT .
On vérifie sans peine que M est pseudo-monotone et comme
(Lz6».„)>0.
on a :
(#(d), o - o0) = |W(d), v - o0) + ( ^--- (o - v0), v-v0\ +
(I - G(h) \ ^
+ I jj vo> v - v0I >
^ (j/(o), o - u0) + I - o0, o - o0 )
^ {st(p\ v - v0) - c H v H (car o0 e D(A ; tT'))
et donc, d'après (9.9),
(9.30) m±Z^)^ + ca ri H «p H ^ oo .
2) Il résulte de (9.30) que
(9.31) wft demeure dans un borné de V.
Donc, comme se est borné, on peut supposer, par extraction d'une sous-suite
encore notée uh, que, lorsque h -> 0 :
rg 32v / "ft -> « dans y faible,
1 * j \A(uh)->x dans tT'faible.
On déduit de (9.29) que
(9.33) (J ~fcGW r, r - ttjk) + (^K), i> - «*) > (/, » - «*) Vt> g jf ;

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES ~tt# 273
en effet le premier membre de (9.33) vaut
// - G(h), x \ // - G(h) \ , „ , ,
y 1 0 - «a), v - uhJ + y uk9 v - uhJ+ [œf(uh)t v - uh)
d'où le résultat d'après (9.29) et
On déduit de (9.33), en prenant u e J>f n D(A ; tT') que
lim sup (j/(wft), i/fc) ^ (Au, o - u) + (/, u) - (/, u - w),
d'où
(9.34) lim sup (sf(uh), uh - u) ^ (x - f, v - u) + (Au, v- u)
ft-0
VveJTn D(A ; iT).
Or
inf [(x - /, u - u) + (Au, u - u)] <
^ lim inf [(x - /, «; - «) + (Au,, m, - «)]
(où Wj est une suite régularisante comme en (9 A 8)) ^ 0 (d'après (9.18)).
Donc (9.34) entraîne
(9.35) lim sup (sf(uh), uh - u) ^ 0 .
Comme se est pseudo-monotone, il en résulte que
(9.36) lim inf (j*(uh), uh - u) > (sf(u), u - v) Vu e Jf .
ft-0
Mais d'après (9.33) on a :
(9.37) lim sup (sf(uh)9 uh — u) < (Au, u — «) — (/, u — w)
A->0
VveX* n D(A; tT').
Comparant (9.36) et (9.37) on en déduit que u vérifie (9.17). |
Cas où 'V n'est pas contenu dansJf.
On se place maintenant dans le cas du nro 7 où les espaces f, Jf, "T' sont
« compris » entre 0 et &', l'espace 'f n'étant pas supposé contenu dans X.

274 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
L'ensemble convexe Jf est donné comme précédemment (fermé dans V) ;
l'« hypothèse de compatibilité » (9.18) doit être modifiée comme suit :
Vu g Jf, il existe une suite « régularisante » Vj vérifiant :
(9.18 bis)
| (i) vj g X n D(A ; r, r') n
| (ii) Vj -> v dans V lorsque j -> oo ,
(iii) lim sup (Ai;,., t?y — t?) ^ 0 ;
les hypothèses (ii) (iii) sont donc identiques dans (9.18) et dans (9.18 bis).
On a alors le
Théorème 9.3. — On suppose que Von est dans le cas des hypothèses du nT0 1
pour les espaces f, ^f, y' et que (7.23) et (7.28) ont lieu. On suppose que
(9A8 bis) a lieu, les autres hypothèses du Théorème 9.2 étant inchangées.
Alors pour f donné dans nPr\ il existe u g Jf solution de
(9 A 7 bis)
(Au, v-u) + (j*(w), y - u) > (/, v - u) Vu g X n D(A ; iT,^') n Jf .
Démo/isfraf/O/î.
Nous aurons besoin du résultat suivant :
f si y g D(A ; iT, f') alors v - G(h) ve'T' V7i ^ 0 et
<9-38) ]l,
/ - (v - G(h) v) -> Av dans V lorsque h -* 0 ( ).
En effet, on a :
— G(s) q> + G(s) A(p = 0 Vç> g D(A; f') ,
us
donc en particulier Vç? g D(A ; V') n y ; mais d'après (7.28), pour v donné dans
D(A ; -T, iT'), on peut trouver <pn g D(A ; iT9) n"r,(pn->v dans D(A ; 1T, 1T')-
Alors G(^) cp„ -> (/(s) u dans C° (s > 0 ; *¥) et donc, en particulier,
— G(s) <Pn-*-r G(s) v dans ^'Q°» oo[ ; f ), donc dans 0'(]O, oo[ ; 0') .
Par ailleurs G(^) Acpn -> G(.y) Au dans C° (* > 0 ; f')cC°(O0; #') et
par conséquent
(9.39) j-G(s)v + G(s)Ai> = 0.
(0 La réciproque est également vraie.

INEQUATIONS D'EVOLUTION PARABOLIQUES
275
Il en résulte que « s -+ G(s) d»gC1(O0; "T + 'f') et on déduit de
(9.39) que
i (i> - G(h) y) = i j G(s) Ai; ds ,
d'où (9.38).
On va maintenant démontrer le Théorème par un double passage à la limite.
On introduit £ > 0 (e < 1).
On note que d'après (9.18 bis) Jf nJti? (qui est un ensemble convexe fermé
de *V n Jf ) n'est pas vide (et est même dense dans Jf).
Alors, Ve > 0, Vh > 0, il existe uhE e X n ffl tel que
( (Ahe UhE> V ~ » J + (^("ftB), » - «A.) >(f,V- O
/ Vu e Jf n/ , où A,, = —, y v y.
Prenons dans (9.40) v = v0; alors
(jtf(ttj, wft£ - i?0) + (Ahe(uhe - v0\ uhe - t>0) < (/, uhE - v0) -
- (Ahe »o, uhe - v0) .
Mais AhE est ^ 0 dans S£($e ; jf) et
u0 - G(h) v0 e
Au, Vry =
donne
\Ahev0 \\Y. <
v0 - G(h) v0
' + ]jG(^o
+ J||G(A)0o|jf«;
d'où, si e < A, || Ate t?0 || < c(utilisant (9.38)). Donc
{^{uht\ uhE - v0) < c(|| m*. ||^r + 1)
et par conséquent uht demeure dans un ensemble borné de f lorsque e, h -*> 0,
e < h.
On fait maintenant tendre £ vers 0, h fixé. On peut supposer, par extraction
de sous-suite, que uhe -> uh dans Y faible, s/(uhe) -> Xh dans 'f' faible.
On déduit de (9.40) que:
lim sup (sf(u J, W/ie) < (Zfc, u) - (/, t> - u„) - (Aft v, v - uft) ,
A„ = 7 ~~ GW, Vt? e jf n D(A ; 1T, tT') n Jf

276 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
(car alors Ahe v -» Ah v dans "T* + 3tf). Donc
[ lim sup (sf(u J, «fte - uft) < Qfo - / - Ahv, v - uft)
1 Vdg/h D(A;TT,ir') njf.
Mais prenant alors pour v une suite régularisante attachée à uh d'après
(9.18 bis), on en déduit que
lim sup (jtf (u J , wft£ - ufc) < 0
et par conséquent
lim inf (sf(uh8), uhe - v) > (sf(u), u - v),
d'où l'on déduit (comme au Théorème 9.2) que
(Ah v,v - uh) + (^(«0 , v - uft) ^ (/, v - uh)
On sait en outre que uh demeure dans un borné de V lorsque h -*> 0. On peut
donc supposer par extraction que
uh -* u dans 1T faible, w g Jf ,
^(WJ -* X dans V' faible.
On déduit de (9.41) que (utilisant (9.38)) :
hm sup (sf(uh), uh) ^ (x, v) + (Au, 1T -«)-(/, y - «)
VyeXn D(A',r,r!) n #.
Donc
lim sup (<srf(uh), uh - u) ^ (x - f + Av, v - u)
et prenant pour y une suite régularisante attachée à u d'après (9.18 bis), on en
déduit que
lim sup (jrf(uh), uh — u) ^ 0 .
On termine alors comme au Théorème 9.2. |
9.4 Théorème d'unicité de solution « faible »
Théorème 9.4. — On se place dans les hypothèses du Théorème 9.2 ou du
Théorème 9.3. On suppose en outre que, Vw, v g Jf :
(9.42) (s/(u) - s/(v)9 u-v)^0=>u = v.
Alors Vinéquation (9.17) admet une solution unique.

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES * *rt|# 277
Démonstration.
Soient u1 et u2 deux solutions, donc Vu g Jf n D(A ; f') (*)
1 (j*(u2), w - u2) + (4w, v-u2)> (/, o - u2) •
On pose
wejf:
"i + "2
2
et Ton introduit Wj suite «régularisante» attachée à w par (9.18) (2). On
prend v = w^ dans (9.43) et Ton ajoute :
(j^(Wj), Wj ~ «0 + (j?/(tt2), Wy - U2) + 2(AWj, W; - W) > 2(/, Wy - W)
d'où
Hm SUp [(^(«O, «j - Wj) + (j/(«2), «2 - Wy)] <
< 2 lim sup [(Avvy, Wj — w) — (/, Wj — w)] < 0
et par conséquent
(^(«0, Wj - W) + (j*(k2), U2 - W) ^ 0
i. e. (^(wj) — j^(w2), Wj — w2) ^ 0, d'où le résultat d'après (9.42). |
9.5 Applications
9.5.1 Cas hilbertien.
On suppose donné dans £2 a R" une famille d'opérateurs A(t) :
(9.44) A(t) ç, = - £ A (al7(x, 0 |j) + a0(x9 t) <p , * g ]0, T[ ,
avec
la0, atieL~(Q), G = Ox]0,r[,
(9.45) £ «,/x,.K.{i>«|{|2 P-P- a>0'
\ a0(x, t) ^ a0 > 0 (ou ^ 0 selon les cas), p. p. dans Q .
On introduit un espace V fermé dans H1(Q) avec
(9.46) Hl(Q) c K cH1^),
0) Et en outre ye/ dans le cadre du Théorème 9.3.
(2) Ou (9.18 bis).

278 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
puis
1T = L2(0, F; V\ tf = L2(0, T; H), H= L2(Q).
On considère alors l'opérateur A défini par
(9.47) (stu)«) = A«)u(t) p.p.
i. e. plus précisément
(9.47 bis) (sfu,v)= \ a(t;u(t),v(t)) ât Vu, DGf,
où
i,j=l J Si oxj oxi J Si
On prend A = d/d/, G(s) (p(t) = { (p(t - s), t ^ 5 ; 0 si f < s } .
Si Jf est un ensemble convexe fermé de iT vérifiant (9.10) on a alors d'après
les Théorèmes 9.2 et 9.4 Vexistence et Vunicité deusiï tel que
(9.48) Çsrfu, v — u) + (t/, u — u) > (/, t? — u), /donné dans f ',
pour tout v tel que
(9.49) i?ejf,o'e L2(0, T ; F') = f', »(0) = 0. |
Exemple 9.4. Prenons :
(9.50)
V = H\Q), Jf = { v | y £ 1T ', KO eK P- P- } :
X = {y | vsH\Q\ v^O sur F}('),
(9.51) (f,v)= \ f0vâxât + \ gvdl\
J Q J I
où f0eL\Q), gsL\l) (2).
La solution de (9.48) est alors solution « faible » de :
du ^
~ + Au = /0 dans Q ,
| u(x, 0) = 0 , xeQ ,
(9-52) ( ÔII
u ^ 0 sur 27, ^ g sur 27,
u-(èrg)=0 sur r-
(i) Donc X={v\ ve 1,2(0, T; &(&)), OOp.p. sur E }.
(2) On peut élargir ces hypothèses, par exemple g e £2(0, T; H~^2(r)).

9. inéquations d'évolution paraboliques 279
Exemple 9.5.
Nous prenons
(9 53) [V = Hl0(Q)9 jf = {v\ver9 v(t)eK p.p.},
^ • \K = {v \ veV, | grad v(x) | < 1 p. p. dans Q } ,
(9.54) (f,v)= \ fvâxât, fe L2(0, T; tf_1(.Q)).
La solution de (9.48) est alors solution « faible » de (*) :
— + Au = f dans la région où | gradx u(x, t) | < 1
| gradx m(x, t) | = 1 ailleurs dans Q ,
(9.55) {u(x, 0) = 0, w = 0 sur 27,
I et « continuité » de m et -— , i = 1,..., n ,
à l'interface des deux régions. I
Exemple 9.6.
Nous prenons
(V = H&Q), JT = {v\ ver, v(t)eK p.p.},
(9.56) lK = {v\veV, v(x) ^ ij/(x) p. p. dans Q } ,
l \j/ donné dans Hl(Q), i> ^ 0 sur Q ,
et/comme en (9.54).
La solution de (9.48) et alors solution « faible » de (*) :
— 4- Au = / dans la région où u(x, t) > ij/(x),
ox
lu = ij/ ailleurs,
(9.57) / w(x» 0) = 0, w=0 sur 27,
i • • , du
« continuité » de m et -—, i = 1,..., n ,
OXi
à l'interface des deux régions. |
0) L'interprétation qui suit est absolument formelle.

(9.58)
280 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Exemple 9.7 (Comparer au nro 8.9).
' V = H\Q), X = {v \ver , v(t)eK p. p. } ,
.K={t> | veH^Q), |L-A^>0, x = { xu ..., xm^ } ) ,
(9.59) (/,!>)= f /odxdt, /gL2(Q).
La solution de (9.48) est alors solution « faible » de
— 4- Au = f dans la région où - A^m > 0 ,
1 et dxn
(9.60) {â^" A*'M ==0ailleurs>
u(x, 0) = 0,
des « conditions de transmission » à l'interface (*) . |
Fxem/?/e9.8.
Soit Fi(0 une famille de sous-ensembles (capacitables) de F, avec
(9.61) F1(t)^F10') si f < f.
Nous prenons
(9 62) lr = L\0T;H\Q))9
^•oz> \ jf = { u | u e r, o(0 ^ 0 sur 7^(0 } .
Grâce à (9.61) on a la condition (9.20) et on a donc (9.48) ; la solution u
correspondante vérifie (en prenant/comme en (9.59)) :
— + Au = f dans Q ,
u ^ 0 sur £1 = { x, t | x g rj(t) } ,
du
(9.63)
dvA(t)
^ 0 sur X\ ,
= 0 sur Zl ,
= 0 sur 272 = 2T — Zi .,
5vii(0
1 m(*,0) = 0.|
(i) Cf. Problème 11.19.

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES -W^ 281
9.5.2 Problèmes analogues dans Lp, 2 < p < oo (*).
On a une série d'applications analogues aux précédentes en prenant par
exemple (2) l'opérateur se défini par (stfu) (t) = A(«(/)), où
(9.64)
A((p)
dx,-
p-2
+ klp"2r
On prendra cette fois pour Kun sous-espace fermé de W1,P(Q\ avec
(9.65) W£'P(G) aV a WUp(Q) ,
et
r = Lp(0, T; V), J>f = L2(0, T; L2(D)) = L2(0 .
L'opérateur j^ est défini plus précisément par
(9.66)
(sJu, v) = I a(u(t\ v(t)) dt.
a((p, i»
dxi
p-2
5(^ dt/f
5X; ÔX:
dx +
\\<p
P-2
(pij/ dx .
On prend, comme au nro 9.5.1, A = djdt avec comme domaine les fonctions
nulles pour t = 0 et, d'après les Théorèmes 9.2, 9.4, <?« a encore Vexistence et
V unicité de us Jf vérifiant (9.48), 5/ Jf satisfait à (9.20). |
Bornons-nous à un exemple, analogue de l'Exemple 9.4 ; on a de même des
situations correspondant aux Exemples 9.5 à 9.8.
Exemple 9.9.
V = WUp(Q), Jf = { v | 0 £ r, v{t) eK p. p.} ,
# = { v | 0 e Wl"{Q\ v>0 sur F } .
Le problème résolu (de façon « faible ») est le suivant :
dt ih dx, \| dxt I dx,/ + ' "
\p~2 u =f dans g,
m ^ 0 sur 2T,
(9.67)
\P(u)
I
p"2 du
cos (n, xt) ^ 0 sur 2",
w.eT(w) = 0 sur T,
w(x, 0) = 0 sur Q.i
9.5.3 Solutions périodiques.
Nous prenons les espaces f, l'opérateur j^ et le convexe Jf comme dans
les Exemples précédents.
(0 Dans le cas 1 < p < 2, on peut essayer d'utiliser le Théorème 9.2, mais il y a des
difficultés supplémentaires, surmontées dans Brezis [5].
(2)|Il y a évidemment un très grand nombre de généralisations possibles, en utilisant les
exemples d'opérateurs pseudo-monotones introduits au nro 2.

282 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Nous prenons encore A = d/dt mais un autre domaine correspondant aux
solutions périodiques ; donc G(s) est défini par (7.55) et
(9.68)
D(A ; r') = »
ver', ~er\v(0) = v(T)
Les Exemples précédents sont applicables si G(s) Jf a jf ce qui a lieu dans
tous les cas précédents sauf l'Exemple 9.8.
La théorie générale appliquée à l'Exemple analogue à l'Exemple 9.9 donne :
Exemple 9.10.
II existe une solution « faible » unique de
(9.69)
Ôu_
ôt
" d l\ du \p~2 du\ , IP_2
u > 0 sur E, $~(u) ^ 0 sur I, u .F(u) = 0 sur 2T,
u(x, 0) = w(x, T) , xeQ .
9.5.4 Problèmes couplés.
Nous prenons la situation du nro 7.5, avec
t y. = WUp{Q) = V , 2 < p < oo , H = L2(jQ) ,
(9.70) < « £ /
(^)-A(,)=-I-(
Nous prenons :
(9.71)
dcp
dXi
P-2
7^J + \<p r2 <p,
i = 1,2.
i r = U(0,T',V) x Lp(0,J',V),
\s/u = { A(ux) - u2 , A(u2) + ux }
et le semi-groupe G(s) défini par (7.59).
Prenons alors le convexe Jf défini par
(9.72)
jf = { 0 | Vl1v2 ^ 0 sur T} .
On a bien la condition (9.20) et donc on a (9.48), d'après les Théorèmes 9.2
et 9.4. On obtient ainsi une solution «faible» unique des inéquations suivantes :
-j± + A{ux)- u2 =fl9
(9.73)
du2
~Jt
+ A(u2) + ux =f2i
1 ux > 0 , u2 ^ 0, &-(uy) > 0 , y*(w2) ^ 0 , (*)
"i -^"("î) = 0 , w2 .^(w2) = 0 sur E ,
Wl(x, 0) = 0 , w2(x, T) = 0 , x g O . 1
(0 2T est défini comme en (9.67).

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES fftf^ 283
Remarque 9.4.
On peut naturellement, pour le même système d'opérateurs, considérer
d'autres convexes que celui défini en (9.72) ! |
Remarque 9.5.
On pourra construire, par les mêmes méthodes, des problèmes d'inéquations
liés aux opérateurs introduits au nro 7.6. I
9.5.5 Problèmes unilatéraux sur une variété.
On se place maintenant dans le cadre du nr0 4. On prend donc
V = W1/P>(F), H = L2(F), V = W~W'P'(F),
r = Lp(0, T;V), ^ = L2(0,r;H) = L2(Z*)(1), 2 < p < oo .
et Ton définit se comme suit.
On pose maintenant, pour éviter des confusions de notations :
Pour g e W1/P''p(r) = V, on résout :
(9.75) B(w) = Q, w\r = g, weWl>p(Q),
puis Ton pose
dw
(9.76) A(g) = .T(w) = £
dx.
^cosCn.x,).
On vérifie comme au nro 4 que A est monotone hémicontinue de V -*> V ;
et l'on a par ailleurs
(9.77) (A(g),g)r=(5-(w),w)r=||w||^.P(D)>a||g||ï., a >0 .
On prend maintenant se par
(J/W)(0 = ^(ll(0), «6^,
et A = d/d/ avec comme domaine les fonctions nulles pour t = 0.
Soit ensuite
(9.78) Jf = {y | ver, v ^ Op. p. sur T}.
On peut appliquer les Théorèmes 9.2, 9.4.
On obtient ainsi P existence et V unicité d'une solution «faible » de
~ + j*(u) - / > 0 , u > 0 ,
(9.79)
sur 27,
u(x,0) = 0, xeF.
(!) On n'a pas nécessairement^ c: jff.

284 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Remplaçant s& par son expression à l'aide de y, on voit que Ton a obtenu
Pexistence et l'unicité d'une solution « faible » de
f d l\Ôw \p-2 Ôw\ , IP_2 A ,
w > 0 sur 27,
(9.80) {|jp+*-(*)>/ sur 270,
w(^ + *"(w)-/) = 0 sur T,
I
\ w(x, 0) = 0 , x g F. I
Remarque 9.6.
On résout de la même façon le cas « périodique », où la dernière condition
dans (9.80) est remplacée par w(x, 0) = w(x, T), x g F. |
9.5.6 Problèmes d'inéquations pour opérateurs paraboliques dégénérés.
Après tous les Exemples que l'on vient de donner, il est raisonnable de se
poser la question de voir quels sont les problèmes d'inéquations attachés aux
opérateurs non linéaires étudiés dans les nT0S antérieurs (cf. Problèmes 11.17
11.20, 11.21, 11.22). Nous allons dans cet ordre d'idées donner des Exemples
(2) de problèmes d'inéquations attachés à l'opérateur (cf. nro 3.2)
♦-S-££('"-•£)•2<p
< 00 ,
Nous utilisons les méthodes du nro 3.2 (changement d'espace pivot). Nous
prenons :
H = H\Q), V = LP{Q),
a(u, v) = | u \p~2 uv éx9
r = L"(0, T; V), tf = L2(0, T; H),
a(u(t), v(t)) dt = (jtf(u), y) Vw , v g -T (3).
j;
<■"•<•"-£l£
p-2 a*
cos (n, x0-
(2) Dont nous ignorons s'ils interviennent dans des applications.
(3) Où (j^(w), v) désigne le produit scalaire entre s#(u) e'f' et nef, V espace ffi étant
identifié à son dual.

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES ^tffe 285
Nous posons, pour simplifier l'écriture
(9.81) Gcp = (- A)"1 cp, - A isomorphisme de #£(£) -* H~\û).
Alors nous introduisons les ensembles convexes suivants :
(9.82) jfj = {v | t> e f, (j(K0) > Op. p.}
(9.83) X2 = {u | ver, v ^ Op. p. } (*)
qui sont tous deux des cônes convexes fermés de y.
Prenant A comme au nro 9.5.5, on obtient donc l'existence et l'unicité de
u£ g jf( tel que
(9.84) (i/, v - ut) + (j*(ut)9 v - ut) ^ (f y - o,) Vi)6/{n D(A ; f'),
/donné dans y par
(9.85) (/, v) = f f(Gv) dx dt, /g L*(0 .
J Q
L'inéquation (9.84) peut s'expliciter ainsi :
^ G(» - ut) dx di + ^4l) { I "< i'~2 "^ ~ uù dx ât >
^ j fG(v - ut) dx dt.
De façon formelle (2) ces inéquations s'interprètent par :
(9.86) [ Ijf- Gv + ^ l ut \p~2 ut v -f.Gv) dx dt ^ 0 Vo e Jf,,
avec égalité si w = u(. |
Cas dw convexe Jf1.
On récrit (9.86) sous la forme
L(ir-A((F^)|Uir2ui)-/)Gcdxd^0,
(0 On peut évidemment construire une infinité de variantes à partir de ces deux exemples.
(2) Mais que Ton peut justifier, sous des hypothèses plus fortes sur/, en utilisant les
résultats du nr0 9.6 ci-après.
(9.84 bis)

du_
dt
(9.87)
286 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
d'où Vexistence et l'unicité d'une solution «faible » de :
G(«i(0) > ° P*P- dans 2>
«"■'(ï-JisiO-i'-'ÎS)^)--
Wj = 0 sur £ et pour t = 0. |
Cas dw convexe Jf 2-
On récrit (9.86) sous la forme
d'où Vexistence et Vunicité d'une solution «faible » de
' w2 ^ 0 dans Q ,
(9.88)
'"«(«(ir-^^i)'^''"2^)-0-
w2 — 0 sur ^ et Pour t = 0 . |
9.6 Théorèmes de régularité
Les résultats du nro 9.3 nous ont donné des conditions d'existence d'une
solution « faible » de (9.17).
Notre problème est maintenant de voir dans quelles conditions on peut
passer de là, par des théorèmes de régularité, à des solutions « fortes », au sens
de (9.12), (9.13) (9.14). |
9.6.1 Théorème de régularité ; première méthode.
Nous nous plaçons ici dans le cas Hilbertien : donc V est un espace de Hilbert
et se est un opérateur linéaire coercif de 'V -> f'.
On fait Vhypothèse suivante (comparer à (8.68) (*)) :
f pour u donné dans Jf, on peut choisir g e Jf tel que, Ve > 0 ,
1 il existe u£ e Jf n D(A ; "T ') vérifiant e(Aw£ + j/w£) + «£ = w +
C1) Le terme en £• que l'on « ajoute » ici par rapport à (8.68) pourrait être également
introduit dans (8.68) ; cf. une situation plus générale dans Brezis-Stampacchia [1].

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES ^" 287
On va démontrer le
Théorème 9.5. — On suppose que -V est un espace de Hilbert, f* c^,
et que se est linéaire coercif de *f ~> ir\ On suppose que (9.89) a lieu. La
solution u de (9.17) vérifie
(9.90) Au + séuetf O,
si f est donné dansJti?.
Démonstration. *
On déduit de (9.17) que
(9.91) (Av -f- sév - /, v - u) =
= (Av + ja/t* -/, u - w) + (.s/(t> - «), y - u) > 0.
(>0 par (9.17)) (>0)
Prenant v = ue dans (9.91), we fourni par (9.89), il vient
£(Awe + j/we - /, g - (Aw£ + J^we)) ^ 0,
d'où (| | désignant la norme dans Jf) :
| Aue + s/ue |2 < (/+ g, Aus + stfuE) - (f>g)
d'où résulte que
(9.92) Aut + séut demeure dans un borné de ffl .
Il résulte alors de (9.89) que
(9.93) | «, - m | < e(| >*«. + ^ I + I g I) < ce ,
et donc
(9.94) we-» w dans .?f.
Mais A * g J£?(D(A * ; jf ) ; tf) donne A g J^(^r ; £>(A * ; J>f )')
donc (9.94) entraîne :
(9.95) Au, -> Au dans D(A * ; &)'.
Par ailleurs si D(stf* ;J4?) = domaine de j/* (adjoint de j/) dans Jf, on a :
s/* g &(D(srf* \tf)\je) donc j^ g Jg?(jf ; 2)(j./* ; jf)') et donc (9.94) entraîne
(9.96) s4ut -> j^w dans D(A * ; jf )'.
(i) Comme /f* e if(Z)(/l* \iT* ;)tT') ona:^e ^(f ; Z)(/l* ;tT')') de sorte que (9.90)
a un sens.

288 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Donc Aue + stut -+ Au + œfu dans D(A* ; jtfj + D(rf* ; jf)' et d'après
(9.92) on peut extraire une suite encore notée ue telle que
Aue + s/ue -» x dans ^f faible
et donc
Aw + séu = x^^. |
Corollaire 9.1. — £Ow.y /es hypothèses du Théorème 9.5, /a solution «faible »
de (9.17) ejf une solution «forte » aw sens de (9.12) (9.13) (9.14).
Démonstration.
1) Il résulte de (9.90) que Au (pris au sens de S£(f ; D(A* ; iT')')) est dans
if' ; alors u g D(A ; ir') ; en effet si pn(s) est une suite de fonctions
régularisantes à support compact dans ]0, oo[, et si
G(pn)= P G(s)pn(s)ds,
J o
on a :
G(pn) u->u dans r, G(pn) u g D(A ; iT) (et même D(A°° ; *"))
et
AG(pn) u = G(p„) Aw -> Aw dans f ', d'où le résultat.
2) Pour w quelconque dans X n D(A ; f'), on peut prendre dans (9.17)
» = (1 -0)u + 0w90e]09l[
(car w g Jf n D(A ; V')) et (9.17) donne, après division par 0 :
(A((l - 0) u + 0w), w - w) + (j^w, w - w) ^ (/, w - w) .
Faisant tendre 6 vers 0, il vient
(9.97) (Au + Au -/, w - w) ^ 0 Vh> g jf n D(A ; r').
Mais d'après l'hypothèse de comptabilité (9.18) Jf n D(A ; V') est dense
dans X et donc (9.97) entraîne (9.14). |
Application.
Donnons un Exemple où (9.89) est réalisée.
On se place dans le cadre du nro 9.5.1 ; on se donne
UeH\Q), *<0 sur n,
K ' } \ K = { v | v ^ \j/ p. p. dans Q, v e Hl(Q) } ,
avec
V = Hl(Q), r = L2(0,T;V), X = { v \ v g r, v(t)eK p.p.}.

9. inéquations d'évolution paraboliques , ifi 289
On suppose que (pour simplifier, ce n'est pas essentiel) :
(9.99) A(t)= - A.
Alors (9. %9) a lieu 0).
On prend en effet
(9.100) g = - A^.
On a à résoudre Y équation parabolique
0), «ejf,
l £ \J~ - Au A + «£=u-eAft(a>
(9.101) l
j ue = 0 sur 2",
| u£x, 0) = 0
et il faut montrer que uE e Jf, i. e. ue ^ ^ p. p.
On introduit pour cela (2)
(9.102) z£ = sup(^- w£,0).
On peut écrire (9.101) sous la forme (comme dtyjdt = 0)
(9.103) e[^«r - ue) - À«r - «£)j = Me - u .
Prenons le produit scalaire de (9.103) avec ze ; sous réserve de justification
des intégrations, on en déduit que
(9.104) f £ lc (|<* - "•>•*. + (g «J^ - "«>S) d*d< =
Mais on vérifie que
\ jtty-uj.z,dxdt>0,
(9-105) \\Qi±U,-ue).d£idxét =
et donc (9.104) donne
(ue - u, z.) = k - «:
(«£ - u, z£) = («£ - u) ze dx dt ^ 0 .
(0 Pour une étude plus systématique que ce qui suit de propriétés de ce genre, cf.
Brezis-Pazy [1].
(2) Démonstration analogue à celle du Principe du Maximum pour les solutions faibles
d'équations paraboliques.

290 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Mais si \J/ > uR on a : u& ^ \j/ ^ u, donc ue — w ^ 0, donc :
(i/e — u) ze dx dt ^ 0 , donc (ue — u) ze dx dt = 0
et donc
(m, - «) (^ - «J = 0 p. p. si iA ^ w£.
Donc ou bien ij/ = ue ou bien ue = u ^ ij/y donc ue = \j/ dans tous les cas
d'où le résultat désiré, sous réserve de la justification de (9.104) (9.105).
Posons \J/ — ue = g ; on a :
/ ge W,
(9*106) | ïTespaœdesgeL2(0,T;Hj(.Q)),g'eL2(0,r;H"1(.Q)),g(0) = 0
et z£ = g+; on a: g+ g L2(0, T; ffj(0)),
de sorte que la première intégrale de (9.104) désigne < g', g+ >, produit scalaire
dans la dualité entre L2(0, T; H~\Q)) et L2(0, T; Ho(Q)).
Alors (9.105) est conséquence de
(9.107) <g',g+> >0 VgeW.
Admettons un instant que
. I g -> g+ est une application (non linéaire) continue de W->
( ' } I - L2(0, T ; Hl0(Q)) n C°([0, T] ; L2(fl)) .
On prend alors gj e Cl(Q), gj — 0 sur Z et pour t = 0, et gj -> g dans W,
On a
<*},*/ > = \q ^ • g;dxdt = i J^ g/x,T)2dx ^ 0
et comme < gh g] > -> {g\g+ > (d'après (9.108)), on a le résultat (9.107).
Reste donc à démontrer (9.108), ou encore, ce qui revient au même :
/ 2 ""* I & I (va^eur absolue de g) est continue de W-+
( • ' \ - L2(0, T ; ffj(fl)) n C°([0, T] ; L2(fl)) .
Comme il est classique que g -> | g | applique continûment L2(0, T; Hl(Q))
dans lui-même, il suffit de vérifier que :
a) | g | est dans C°([0, T] ; L2(Q)) ;
b) l'application g -> | g | est continue de W -> C°(0, T ; L2(D)).
Or
| I g(x> 0 I - I *(*, 'o) I | < | g(x91) - g(x, t0) |

9. inéquations d'évolution paraboliques "ffSrrV 291
entraîne
Il I g(0 I - I g('o) I |U» < Il g(0 - g(to) ||iW
d'où le a) (car W <= C°([0, J] ; L2(G))) ; puis pour g,heW,
I g(0 I - I h(t) | g(t) - h(t)
d'où
|| I g I - I h I |ico([o,r] ; ma)) <\\g- h \\c°ao.Ti;ma)) < c II S ~ * llw >
d'où le b). |
On va en déduire le
Théorème 9.6. — On suppose que (9.98) (9.99) ont lieu, Q étant un ouvert
borné de frontière assez régulière. Pour f donné dans L2(Q) il existe une fonction u
et une seule vérifiant
du d2u du
' dxt ' ôxi dxj ' ôt
(9.iio) «>^>£-^r.^L2(G) (Vi>;)<
(9.111) l dt
("->A)(^-A«-/) = 0 dans Q,
(9.112) u = 0 sur I etpourt = Q.
Démonstration.
On applique le Théorème 9.5, ce qui est loisible d'après ce qu'on vient de
voir. Posant
. , f f 811*.
on a donc l'existence et l'unicité de m g X n DCA ; ir') tel que
(9.113) \~T,v~u)+\ a(u>v - u)dt >(<P>V ~ u) VyeJf.
D'après (9.90) on sait que
~-AueL\Q)
ce qui, joint à u\s = 0 et w(x, 0) = 0, entraîne (9.110).

292 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Alors (9.113) s'écrit
j (y - Au -f)(v - u)âxdt > 0 VueX i. e. v > $
d'où résulte facilement (9.111). |
9.6.2 Théorème de régularité ; deuxième méthode.
On se place maintenant dans le cadre du Théorème 9.2 et l'on fait les
hypothèses suivantes (dont des exemples seront donnés plus loin) :
(9.114) {sf(u) - s/{v)9u - v) ^ c\\u - v\\2 Vw.uer,
(9.115) G(s) j/(o) = s/(G(s) v) Vu e 1Ty Ws > 0 ,
(il existe p > 0 tel que
G(s) v + G*(s) v - G*(s) G(s) v + (p - l) v e p Jf, Vu > jf ,
Vs > 0.
Evidemment (9. Il4) implique (9.42). Donc (9.17) admet une solution
unique. On a le
Théorème 9.7. — On se place dans les hypothèses du Théorème 9.2 avec
en outre (9. H4) (9.115) (9.116). Dans ces conditions, sife D(A ; V'), il existe
une solution unique de (9.17), forte au sens de (9.12) (9.13) (9.14). En outre
(9.117) usD{A\ir),
Démonstration.
On reprend la Démonstration du Théorème 9.2 ; on part donc de uh solution
(d'ailleurs unique dans le cas présent) de (9.29) et l'on va obtenir sur uh des
estimations plus fortes que dans la Démonstration du Théorème 9.2.
On déduit de (9.29) après multiplication par p (le p intervenant dans (9.116))
que
(9.118) (f ~fcGW uh + s/(u„) -f,pv- pu^ > 0.
On choisit v par
pv = G(s) uh + G*(j) u„ - G*(s) G(s) uh + (p-l)uh
= puh - ((?*(,) - I) (G(s) - I) uh
ce qui est loisible d'après (9.116). Alors (9.118) donne
(9.119) ((G(s) - /) (7 ~£{k) u„ + tf(uh) - f), (G(s) - /) «0 < 0 .

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES J&0R&& 293
Utilisant (9.115) on déduit de (9.119) que
/ (j*(G(s) uh) - st(uh\ G(s) uh - uh) +
(9.120) + (7 ~hGW (G(s) uh - uk), G(s) uk-uk)<
' ^(G(s)f-f,G(s)uh- uh).
Le deuxième terme de (9.120) est > 0 car GQi) est une contraction dans Jf,
de sorte que d'après (9.114) on déduit de (9.120) que
c || G(s) uh - «fc ||J ^ (G(s)f - /, G(s) uh - wfc),
d'où
(9.121) \\G(s)uh-uh\\r^1-\\G(s)f-f\\rf.
Mais comme/e D(A ; iT'\ on déduit de (9.121) que
(9.122) CM"*" "* ^constante, Vh , s > 0.
Il « H,
Faisant s -* 0 on en déduit que uh e D(A ; ^) et que
|| Auh \\r <: constante,
d'où résulte que u e D(A ; if) ; on achève la Démonstration comme dans
le Théorème 9.5. |
Remarque 9.7.
On peut (par des variantes faciles) affaiblir les hypothèses (9. H5) (9.116)
sans changer la conclusion du Théorème. On peut remplacer (9.115) par
IVu £ Jft il existe t > 0 tel que
| (*/(G(s) v) - G(s) (sf(v)\ G(s) o - o) | <
^ ts|| G(s)v- v\\r Vs >0,
et (9.116) par
/ il existe p > 0 tel que
(9.124) \ G(s) v + G*(s) v - G*(s) G(s) v +
J + (p - l)oe(p + 0(s))jf VugjT,
( Vs ^ 0 , où | 6(s) | ^ Cs2.
Cf. H. Brezis [1]. I
Application.
On se place dans le cadre du 9.5.1, avec
A{t) = A ne dépend pas de / (*),
(0 L'hypothèse (9.123) est « faite pour » le cas où A{t) dépend régulièrement de /.

294 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
et avec G(s) défini par
G(s) (p(t) = {(p(t - s) si t > s ; 0 si t < s } .
Alors on a bien (9.114) et (9.115).
On prend ensuite le cas de l'Exemple 9.4 (nro 9.5.1). Vérifions alors que
(9.116) a lieu, avec p = 2, i. e. que
(9.125) G(s) v + G*(s) v - G* (s) G(s) v + ve2Jf = X* (l).
Or G(s) veJfT; G*(s) est donné par
G*(s) <p(t) = { (p(t + s) si r ^ T - 5-, 0 si t ^ T - s } ,
donc G*Cs) o e Jf et
(j*(j) (/(s) y(r) = { y(r) si t e [s, T - s], 0 ailleurs } ,
de sorte que v - G*0) G(» veJtT, d'où (9.125).
On peut donc appliquer le Théorème 9.7, d'où l'on déduit ceci :
Théorème 9.8. — Soit f donné dans L2(Q) avec df/dt £ L2(Q) etf(x, 0) = 0.
// existe alors une fonction u et une seule telle que
(9-126) w> âv «' âMieL(e) V''
(9.127) <^ + AW=/,
(9.128) w>0, ^>0, u.^îi = 0 sur £ ,
(9.129) w(x,0) = 0.
Remarque 9.8.
Par application de la méthode du nro 8.7.2 on en déduit (au moins si Q est
un demi-espace) que
(9.130) âS;eL2(Q) V,J-
En effet d'après (9.127) : Au — f — dujdt = g et on raisonne comme au
nro 8.7.2 à t fixé. |
9.7 Remarques diverses
Remarque 9.9 Données initiales non nulles.
Considérons le Problème (9.3), avec u0 ^ 0.
Si u0 est donné dans Ky il est immédiat de se ramener au cas où « u0 = 0 » ;
0) 3C est ici un cône de sommet l'origine, propriété qui d'ailleurs n'est pas essentielle
pour l'application du Théorème 9.7.

9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES VTïlf&M 295
en effet on introduit w* = u — u0 et K* = K — u0 ; on est ramené aussitôt au
problème analogue pour u*, avec w*(0) = 0.
Cette remarque est générale pour les problèmes d'inéquations relatifs à
l'opérateur q> -► dçjdi + ja%), si "T = Lp(0, T\V)tt
iï = { v | u e 1T, v(t) sK p. p. } ,
A^ = convexe fermé de F.
Mais l'hypothèse « u0e K» est évidemment trop restrictive : en effet, dans le
cas des équations elle reviendrait à se donner u0 e F alors que la donnée «
naturelle » est uQ e H. L'analogue de cette situation serait de prendre
(9.13l) u0 e KH = adhérence de K dans H .
On rencontre alors de très sérieuses difficultés techniques pour lesquelles
nous renvoyons à Brezis [5]. Q
Remarque 9.10.
On donnera d'autres propriétés de régularité (et sans hypothèses
supplémentaires) au Chapitre 3, nro 6.2, par d'autres méthodes. Cf. aussi Brezis, îoc. cit. |
Remarque 9. Il.
L'hypothèse que — A est générateur infinitésimal d'un semi-groupe dans ir9
Jtf, V' n'est pas indispensable. On trouvera des exemples plus généraux au
nro 10 ci-après. |
Remarque 9.12.
Les problèmes d'inéquations pour les opérateurs hyperboliques ou bien posés
au sens de Petrowsky seront étudiés au Chapitre 3, nros 3 et 7. |
Remarque 9.13.
Nous avons toujours supposé les espaces sur R. Dans le cas d'espaces
vectoriels sur C, on remplacera, par exemple, l'inéquation
(s/(u) - /, v - u) > 0 Vu £ K
par
Re (j*(tt) -/, v - u) > 0 VveK.
On peut ainsi étudier par exemple des problèmes d'inéquations pour les
opérateurs de Schrœdinger. |
Remarque 9.14.
Voici une généralisation partielle au cas « d'inéquations d'évolution » des
résultats du nro 8.8. Nous nous bornons à un exemple.

296 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Nous prenons la situation de l'Exemple 9.6, nro 9.5.1, avec \j/ = 0, donc
(9.132) K= {v\ vsHliQ), v ^ 0 p. p. dans Q},
et nous supposons Â(î) = Ah coefficients indépendants de t (*) ; donc
(9.133) «(«,»)- t f aiJ(x)~~dx = (Au,v),u,vsHi0(Q).
i.7 = 1 J fi 0Xj 0Xi
Soit/donné dans L2(0, T\H~X{Q)) ; X étant défini par
Jf = { » | o e L2(0, T; H* (G)), »(*) g X p. p. } ,
on sait, d'après les Théorèmes 9.2 et 9.4 qu'il existe u e Jf unique tel que
(9 134) I J 0 &'' V " "} + *("' I)-M)"(/'l,-")]d^0'
l VugX,d'£ L2(0, T; H"1^)) , KO) = 0 .
On va comparer m à la solution d'une équation. Pour cela, soit Qx un ouvert
quelconque c .Q ; soit uQl la solution de
SÔUn i
"i2i(x, 0) = 0 , xefîj
et soit
(9.136) M*- i 0 pour xeû.x^Q,.
Cela posé on a le
Théorème 9.9. — Si u (resp. 20l) est donné par (9.134) (resp. (9.135) et
(9.136)), alors on a
(9.137) u ^ uQl p. p. dans Q = Q x ]0, T[ .
Démonstration,
1) Soit/„ une suite de fonctions telles que
fnj;eL2(09T;H-\Q))9Ux90) = 0.
./„->/ dans L2(0,TiH~\Q)), n -> oo ;
une telle suite existe.
0) Uniquement pour la commodité de l'exposé ; ce n'est pas essentiel.
(2) Restriction defà Q\ X ]0, 71.

-$m
9. INÉQUATIONS D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES #~* 297
Soient u„ et w„ffll les solutions correspondantes.
Comme un (resp. u„tQl) -► « (resp. uQi) dans L2(0, T; h\(Q)) lorsque n -> oo,
on aura (9.137) si Ton montre que
Par conséquent, il suffit de démontrer (9.137) avec/vérifiant
(9.138) /,/'gI2(0, T;H-l(Q)),f(x90) = 0.
2) Mais le Théorème 9.7 s'appliquant à cette situation, lorsque (9.138) a
lieu, la solution u de (9.134) vérifie
(9.i39MWr(r°)==0
u e L2(0, T;V),u'e L2(0, T;V),V= Hj(G),
w(0) = 0 ,
[(«', i; - u) + a(u, v - u) - (f,v - u)] dt > 0 Vu e Jf.
J o
Pour simplifier l'écriture, posons :
"o, = "* î
on a :
( fr
("9 140") < °
1 " ' ) JT* = {ç> | ^L2(0,T;^)),
\ ç> = 0 p. p. hors de Qt x ]0, T[ } .
3) On opère alors comme au nro 8.8. On introduit
w = sup (w, w*), w* = inf (w, w*) ;
on note que
(9.141) w e JT, w e ff* , w + w* = u + w* .
Prenant u = w (resp. y* = w* - wj dans (9.139) (resp. (9.140)) et ajoutant,
il vient, en tenant compte de (9.141) :
[(«' - <, w - w) + fl(u - u*, w - u)] dt ^ 0,
*> o
d'où
(9.142)
[(w' — u', w — u) + a(w — w, w — «)] dt ^
J o
^
[(w' - «i, w - u) + a(w - w*, w - w)] dt.

298 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
Si Ton pose u — u* = ^, le deuxième membre de (9.142) n'est autre que
et comme
(9.142) donne
et donc
rT
I (w' - u\ w - u) dt > 0 ,
a(w — u, w — u) dt ^ 0 ,
w = w, i. e. w*<w, d'où (9.137). |
On peut encore étendre le résultat précédent : soit gi un ouvert non
nécessairement cylindrique de Q et soit uQi la solution (qui existe et est unique si Qx est
« assez régulier ») de
\ ~ + AuQl =/ dans Qx ,
(9.143) < dt
f uQl = 0 pour t = 0 et sur la frontière latérale de Qt ,
et SQl le prolongement de uQl à g par 0 hors de Qt.
On a alors (par le même type de démonstration)
(9.144) u>uQl.
Il est très probable que
(9.145) u = sup «Ql ,
la difficulté étant de montrer que u est de la forme w = uQl pour ungt « assez
régulier » pour que l'on puisse résoudre (9.143). |
10. COMPLÉMENTS DIVERS
Nous donnons dans ce nro quelques compléments aux résultats précédents,
en référant aux articles originaux pour les démonstrations.
10.1 Equations d'évolution
Etant donné un opérateur différentiel non linéaire elliptique A, nous avons
dans ce qui précède essayé de mettre en évidence un espace de Banach V tel

10. COMPLÉMENTS DIVERS
: % 299
que A applique V dans le dual V de V (on verra au Chap. 4, nr0 3, une variante
de cette situation, où la « partie principale » de A envoie Kdans V). Mais il y a
un autre point de vue, qui est celui traditionnellement (sinon impérativement —
cf. Chap. 3, nro 1) adopté dans l'étude des opérateurs linéaires non bornés :
étant donné un opérateur A, et un espace X étant choisi (et on a déjà souligné
plusieurs fois combien ce choix est important), on considère le domaine D(A) (en
fait un domaine) de A dans X : D(Â) est un sous-ensemble de X (un sous-espace
dans le cas linéaire) et A envoie D(A) dans X. |
Ce point de vue, qui est naturel dans le cadre des « opérateurs non bornés »,
s'introduit également à partir des semi-groupes non linéaires dans X. De façon
un peu plus précise, étant donné un sous-ensemble K de X, on appelle semi-
groupe non linéaire dans K une famille d'opérateurs G(t) (non linéaires) de
K-> K,{t ^ 0), telle que :
(10.1) VA: e K, î -> G(t) (k) est continue de t > 0 -> X,
(10.2) G(s)(G(t)(k)) = G(s + t)(k) to, t ^ 0, V£ e#,
(10.3) G(0)(k) = k VksK.
On définit le domaine du générateur infinitésimal de G{t) comme
l'ensemble D des éléments k e K tels que
(10.4) h~l(G{h) (k) - k) converge dans Xlorsque h -> 0 ,
et on appelle générateur infinitésimal B du semi-groupe l'opérateur défini sur D
par
(10.5) B(k) = \\mh-l(G(h)(k) - k).
h-+0
On met bien ainsi en évidence un opérateur B de D(B) = D -> X. |
Exemple 10.1.
Appliquons le Théorème 1.2, avec/= 0. Pour u0 donné dans H, on définit
w(0 = (7(0 (m0) = valeur de la solution en / du problème (1.38) (1.39) (1.40).
On met ainsi en évidence un semi-groupe non linéaire dans l'espace de Hilbert
H.
Le générateur infinitésimal en sera l'opérateur B — — A considéré sur
D c V. I
Exemple 10.2.
On peut utiliser les résultats du nro 9 sur les inéquations variationnelles, avec
second membre nul et donnée initiale non nulle. On met ainsi en évidence un
semi-groupe non linéaire défini dans un sous-ensemble convexe d'un espace
de Hilbert. |
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 11

300 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
Remarque 10.1.
En fait (cf. en particulier Crandall et Pazy [1]), il faut introduire le
générateur infinitésimal comme opérateur muitivoque. |
Le problème essentiel dans cette direction est alors l'extension du théorème
de Hille-Yosida (cf. Hille-Phillips [1], K. Yosida [1]) pour les semi-groupes
linéaires au cas non linéaire. Voici un résultat partiel, relatif aux semi-groupes
de contractions. Un semi-groupe G(t) dans le Banach X (de norme notée || ||)
est dit de contractions si
(10.6) || G(t)(u) - G(t)(v) || < || u -v || Vu,veK, Vf ^ 0 .
Alors l'opérateur — B, générateur infinitésimal de G(t), est accrétif, i. e. :
si J est un opérateur de dualité relatif à la fonction <£ (cf. nro 2), alors A = — B
vérifie
(10.7) (A{u) - A(v), J(u- v))>0 Vw, v e D = D(A).
En effet, il résulte de (10.6) que, si *F est définie par <F(r) = <P(a) âa
J o
(cf. Proposition 8.1), on a :
(10.8) V(\\q>(t)\\)^W(\\u-v\\) si <p(t) = G(t)(u)-G(t)(v),
d'où
(10.9) ~V(II«P(0I
<0.
t = 0
Mais d'après la Proposition 8 A et le fait que
~ (p(t)\ = B(u) - B(v) ,
ai \t=0
on a :
d
d, niMOII)
= (J(q>(0))> B(u) - B(v))
t = 0
de sorte que le résultat suit de (10.9).
Dans le sens « réciproque » — qui est évidemment le cas important pour les
applications — on a le :
Théorème 10.1. — Soit X un espace de Banach dont le dual X' est
uniformément convexe. Soit A un opérateur accrétif de D(A) -> X (i. e. vérifiant (10.7)),
tel que
(10.10) A + I est surjectifde D{A) -> X.

4lh
11. PROBLÈMES ^11% 301
Alors, pour u0 donné dans D(Â), il existe une fonction u et une seule continue
de t ^ 0 -> X, une fois continûment diffêrentiable de t ^ 0 -> X faible;
u[f) e D(A) W ^ 0, solution de
(10. H) ^(0 + A«(0 = 0, m(0) = «0.
(L'opérateur — A est alors le générateur infinitésimal du semi-groupe
«o -> "(0).
Pour la démonstration, cf. Browder [7].
Pour l'ensemble de la théorie, et des applications, cf. Brezis et Pazy [1J
Brezis, Crandall et Pazy [1], Browder [7] [9], Crandall et Pazy [1],
T. Kato [2] [3] [4], Y. Komura [1] [2] [3].
10.2 Inéquations d'évolution
On peut, dans les Théorèmes 9.2 et 9.3, supprimer Vhypothèse de
compatibilité ; on obtient alors un théorème d'existence (très probablement sans l'unicité
comme au Théorème 9.3):
Théorème 10.2. — Soit "V* un espace de Banach réflexif Jf" un ensemble
convexe fermé dei^. Soit L un opérateur monotone (non nécessairement linéaire)
de D(L) c -V dans ir>. Soit se un opérateur pseudo-monotone borné et coercif de
X dans'V. Il existe alors u e Jt tel que, pour f donné dans'f' :
(10.12) {st(u) + Lv -f v - u) ^ 0 Vt)e/nD(I).
Ce résultat est dû à Brezis [3] où nous renvoyons pour la démonstration
(qui utilise un Lemme de Debrunner et Flor [1] et où l'on introduit un
prolongement maximal monotone de la restriction de L à Jf" par rapport à Jf x if* —
prolongement qui existe d'après le Lemme de Zorn). On trouvera une extension
de ce résultat aux opérateurs multicoques dans Browder [7].
11. PROBLÈMES
11.1 Résolution de la Remarque 4.2. Une étude systématique des problèmes
non homogènes (i. e. avec conditions aux limites « non nulles ») reste à
faire. Un des points les plus délicats est celui de la densité, rencontré à
la Remarque 4.2.
11.2 On a d'ailleurs des problèmes analogues aux précédents pour les
équations non linéaires d'évolution.
11.3 II serait peut-être intéressant d'étudier de plus près la structure de
l'opérateur (non linéaire) A introduit par (4.9) ; A applique Wlfp',p(r) dans
W~Up'p\r): il s'agit d'un opérateur « elliptique » d'ordre 2/p'. Peut-on
préciser cela, à partir d'une classe d'opérateurs pseudo-différentiels
non linéaires ?

302 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
11.4 Dans le cas linéaire, de nombreux travaux sont consacrés à l'étude de
« tous » les prolongements de, par exemple, l'opérateur — A donné
sur &{Q), prolongements ayant telle ou telle propriété, comme par
exemple :
(i) le « problème aux limites » correspondant est bien posé ;
(ii) — A est générateur infinitésimal d'un semi-groupe.
Grâce à la théorie des semi-groupes non linéaires, on peut se poser des
questions analogues relatives à l'opérateur (« remplaçant » — A) :
i-
k dx,
ôcp
dxt
'"&■ >»■
Pour le cas linéaire nous renvoyons à Lions-Magenes [1], appendice
du vol. 1 et à la bibliographie correspondante, et, en particulier, à
G. Grubb [1]. Le cas non linéaire est ouvert (1).
11.5 II semble raisonnable de conjecturer que le Théorème 5.1 est encore vrai
sans l'hypothèse (5.15), mais cela n'est pas démontré.
11.6 Etude plus complète de Y unicité dans tous les Exemples du nro 5.
11.7 Résolution du problème stationnaire correspondant au Problème 5.1
sans l'hypothèse (5.52).
11.8 Questions analogues aux précédentes sur le Problème 5.3.
11.9 Peut-on résoudre, globalement en /, dans un sens faible convenable,
l'équation
d2u " d (\ du \p~2 du\ ,
—2-1 — — 7"W' p#2'
dt i=i dXi M ôxt i dx/
avec les conditions aux limites et initiales « naturelles » ?
11.10 Question analogue relative à l'équation
ï_(L(grad")2d;c)Ai'=/-
11.11 Nous n'avons pas cherché à adapter la situation étudiée au Chapitre 1,
nro 9, au cas où l'on remplace dans (9.1) — vAw par un opérateur
monotone, comme au nro 5 du Chapitre présent. (Ce problème est sûrement
d'accès plus facile que les autres.)
11.12 On sait résoudre, par exemple, l'équation de la chaleur :
---Au=/, «1^ = 0, «(0) = u0,
0) Il serait intéressant, sembîe-t-il, d'examiner dans l'optique des semi-groupes non linéaires
des extensions du travail de Bony, Courrege et Priouret [1].

11. PROBLÈMES
•iïOlftrïf* 303
pour fe Lp(0, T ; If(Q)), p # o", en trouvant w dans les classes «
optimales » (ueLp(0, T; W2,<T(Q))). Peut-on obtenir des résultats analogues
pour l'équation
2^)=/' "ll = 0, w(0) = ^?
11.13 On n'a pas dépassé tordre de dérivation 2 en tt pour les opérateurs non
linéaires. Or (cf. Agranovich-Visik [1], Grisvard [3]) on sait
résoudre les problèmes aux limites (par ex. avec données initiales et
conditions aux limites de Dirichlet) pour l'opérateur
Peut-on remplacer les (— A)m~J par des opérateurs non linéaires (et
lesquels ? (*)) en ayant encore un problème bien posé ?
11.14 Dans le cas de l'Exemple 8.1 (le même problème se pose dans tous les
problèmes unilatéraux) peut-on trouver la classe des / telles que la
solution u correspondante soit dans &(Q) ?
11.15 Etude de la régularité de la solution des exemples étudiés au nro 8.9.
Par exemple si
p _ J_ _ "f; il,
dxn i=i dxf
a-t-on des résultats de régularité analogues à ceux du nro 8.7 ? (2).
11.16 Etude systématique des Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations varia-
tionnelles) pour les opérateurs pseudo-différentiels.
11.17 Etant donné un opérateur elliptique A d'ordre 2 m, et un système { Bj },
0<f<w— 1, d'opérateurs frontière «recouvrant/*», soit { Sj},
0 <f < m — 1, un système frontière « complémentaire » (de façon que
le système { Bjy Sj} soit de Dirichlet (cf. par exemple Lions-Magenes
[1], Chap. 2)); quels sont les problèmes unilatéraux bien posés
correspondants ? (i. e. Au =/dans Q et 2 m inégalités sur F et m égalités non
linéaires, inégalités et égalités construites à partir des B} u et Sj «). Cf.
aussi Lions [25].
11.18 Etude des problèmes d'inéquations pour les opérateurs
elliptiques-paraboliques dans un domaine (pour les équations, cf. Fichera [2],
O. A. OLEINIK [7], KOHN-NlRENBERG [1]).
— _ V
fit M
dt
i dxt
dxi
(0 Sans se borner à des perturbations non linéaires « assez petites » de A.
(2) Il y a dans ce sens des résultats de Brezis, par utilisation de la dualité.

304 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
11.19 Préciser les «conditions de transmission» dans l'Exemple 9.7, 9.5.
11.20 Quels sont « tous » les problèmes d'inéquations que Ton peut attacher
à l'opérateur d/dt - A ?
11.21 Extension au cas d'évolution du Problème 11.17.
11.22 Peut-on trouver d'autres problèmes d'inéquations «bien posés» que
ceux du nro 9.5.6 pour les opérateurs paraboliques dégénérés ?
11.23 On a donné un assez grand nombre d'exemples où sous deux types
différents d'hypothèses sur les données, on obtient deux types
d'information sur la régularité de la solution (cf. par exemple les Théorèmes 3.1 et
3.2).
Il serait intéressant d'étudier systématiquement les possibilités d'en
déduire des « résultats de régularité intermédiaires », par interpolation
non linéaire. Voici un résultat d'interpolation non linéaire qui peut être
utile dans ce sens ; soient A0 c Ax et B0 c Bl deux couples d'espaces
de Banach, avec injection continue, Bx étant supposé réflexif (*). Soit G
un opérateur non linéaire de A,- dans Bh / = 0, 1 avec les propriétés
suivantes : G est supposé continu, et
(11.1) || G(a) \\Bo ^ c || a \\Ao VaEA0,
(11.2) || G(a) - G(a') \\Bl < c \\ a - af \\Ai Va , af e A, .
De façon générale, si X0 c Xx est un couple d'espaces de Banach,
on pose :
T(X0, X{) = (espace de traces) espace parcouru par w(0) lorsque u varie
en vérifiant :
III "III = lK°"llL*o(0)œMo)+ ||^1-^||^.(0,ooM1)< °°»
où \/pt 4- (Xi e]0, 1[. On munit T(X0, Xx) de la norme
IMIr(*o.*,)= inf NI «|||.
u(0) = <p
Alors, si (11.1) et (11.2) ont lieu, G applique T(A0, Ax) dans T(B0t Bt).
(Cf. Lions [18] pour la démonstration et des applications).
Un autre résultat d'interpolation non linéaire est le suivant (Cf. Brow-
der [11]); si l'on remplace (11 A) par l'hypothèse analogue à (11.2)
dans A0, B0, alors G applique <P(A0, At) dans &(B0, Bj) pour tout
foncteur d'interpolation linéaire 0.
Des résultats antérieurs sur l'interpolation non linéaire (établis dans
un contexte entièrement différent) sont dus à Calderon-Zygmund [1],
Gagliardo [4].
0) Hypothèse d'ailleurs inutile, au prix de quelques complications techniques, comme
ont remarqué A. P. Calderon et C. Fous.

12. COMMENTAIRES
0fcr 305
11.24 Etude de problèmes du type de ceux du nro 5 mais avec dégénérescence :
du " d /. ,-_2 du\ " du .
div w = 0 .
12. COMMENTAIRES
Les résultats du nr0 1 relatifs aux équations paraboliques monotones sont
généralisés dans plusieurs directions au cours de ce Chapitre et des suivants et ont surtout
pour but de fournir plusieurs exemples.
L'introduction de la monotonie dans le calcul des variations et questions connexes
est due à Vainberg-Kachurovski [1], Kachurovski [1] [2], Minty [1], Zaranton-
nello [1] [2] et d'autres A. (cf. les exposés Kachurovski [3], Minty [6]). Les pro-
mières applications de la monotonie à certains problèmes aux limites elliptiques non
linéaires sont dues à Browder (cf. les travaux de cet auteur mentionnés dans la
Bibliographie, et en particulier l'exposé général Browder [7]). Du point de vue
concret des opérateurs elliptiques du Calcul des Variations d'ordre > 2, des résultats
généraux ont été obtenus antérieurement par I. M. Visik [2] (par des méthodes de
«compacité » du même type que celles exposées au Chap. 1, nro 8 dans le cas des
équations d'évolution, sans usage tout à fait explicite — et en tous cas sans usage
« fonctionnel » — de la monotonie). Le résultat qui semble le plus général dans ce
sens (pour l'ordre > 2) est celui de Leray et l'auteur (cf. Leray-Lions [1]) qui est
exposé au Théorème 2.8. Afin d'essayer de dégager l'essentiel, on a commencé par
un cas simple « purement monotone » (Théorème 2.1) que l'on a ensuite « axiomatisé »
pour arriver, selon H. Brezis [1], à la notion d'opérateur pseudo-monotone. Toute la
difficulté est alors de montrer que les opérateurs introduits par Leray et l'auteur sont
pseudo-monotones ; l'introduction des Opérateurs pseudo-monotones n'est pas
fondamentale dans ce nro 2 mais devient absolument essentielle pour une présentation
nette de la théorie des inéquations variationnelles elliptiques (nr0 8).
Le Théorème 2.2, dû à Brezis-Sibony [1] utilise des raisonnements très voisins de
ceux utiles pour les opérateurs de dualité introduits au nr0 2.2. Les opérateurs de
dualité ont été introduits dans Beurling et Livinsgton [1] pour l'étude des Séries
de Fourier dans />, puis repris dans Browder [10] et font maintenant partie des
outils standards ; on utilisera surtout les opérateurs de dualité au Chapitre 3.
Dans tout ce nr0 2, on peut supprimer sans peine l'hypothèse de séparabilité faite.
Nous n'avons pas cherché les hypothèses minima pour les opérateurs, en particulier
en ce qui concerne la propriété d'être « bornés » i. e. transformer les bornés en bornés.
Il faut noter que les opérateurs monotones hémicontinus coercifs d'un Banach
réflexif dans son dual sont surjectifs sans l'hypothèse d'être « bornés » (0- D'un autre
côté, // existe des opérateurs monotones hémicontinus coercifs et non bornés ; un tel
exemple d'opérateur (2) est dû à Rockafellar [4] où l'on trouvera des propriétés
de borne locale.
0) Pour la démonstration il faut utiliser, même dans le cas d'un espace de Banach sépara-
ble, l'ensemble ordonné filtrant croissant des sous-espaces de dimension finie.
(2) Sur l'espace l1 des suites { um\ m = I, 2,...} de carré sommable, on considère l'opéra-
teur gradient de *¥(u) = Y —-—r | um Jm+1, qui n'est pas borné sur l'ensemble borné des
m = i m + l
suites fi = { 0, ..., 0, 2, 0, ... }, 2 en j-ième position.

306 méthodes de monotonie et de monotonie et compacité [chap. 2]
La théorie des opérateurs monotones est également utile dans la résolution
d'équations intégrales (et c'est même là que les premières applications ont été faites) ; nous
référons à M. M. Vainberg [1], C. L. Dolph et G. J. Minty [1] et la bibliographie
de ce travail, et de Figueiredo et Gupta [1], Glowinski [1], Cf. aussi R. Car-
ROLL [1].
Les résultats de régularité de De Giorgi [1] relatifs aux équations elliptiques du
deuxième ordre ne s'étendent pas aux ordres supérieurs à 2 pour les équations du Calcul
des Variations ; cf. De Giorgi [2], E. Giusti et M. Miranda [1], V. G. Masia [1],
C. B. Morrey [1] [2]. Cf. aussi D. Gilbarg [1], Giusti [1], Ladyzenskaya, Ouraltse-
va [1], J. Moser [2], J. Nash [1], J. Serrin [4], G. Stampacchia [4].
Pour les problèmes monotones « avec poids », cf. C. Carvalho-Dias [1], monotones
« au bord », cf. K. Klingelhôfer [1][2], Costa-Cabral[1] et pour certains problèmes
dégénérés, cf. M. Derridj [1].
Pour l'approximation de la solution de problèmes monotones par des problèmes
analogues en dimension finie, cf. J. P. Aubin [3], H. Brezis et M. Sibony [1], P. Ciarlet,
Schultz et Varga [1].
Les opérateurs monotones interviennent également en théorie des jeux ; cf. par
ex. Rockafellar [2], Bensoussan [3], Lemaire [1].
Des applications du « changement de l'espace pivot » sont faites dans Lions [12]
(cette remarque est également utile dans les problèmes linéaires ; cf. Lions-Magenes
[1], Chap. 2 et 4), Le Théorème 3.1 est donné dans Lions, loc. cit., sip > 2 nj(n + 2)
et dans Brezis [2] si p > 2. Une autre démonstration du Théorème 3.2 est donnée dans
Brezis, loc. cit.. L'exposé des transformations faites au nro 3.3 suit un travail de
O. A. Oleinik [6]; cf. aussi Kamenostoskaya [1] (où est utilisée la méthode des
différencesïinies) etLADYZENSKAYA-SoLONNiKOV-OuRALTSEVA [1] (où l'on «régularise»
la fonction k puis l'on passe à la limite en utilisant des estimations spéciales aux
opérateurs paraboliques de deuxième ordre ; une méthode analogue est suivie dans
A. Friedman [4]) ; la démonstration du Théorème 3.3 et l'idée d'utiliser /M sont dues
à Brezis [2]. Pour des compléments relatifs au cas où la dimension d'espace est égale
à 1, cf. Douglas-Cannon-Hill [1], A. Friedman [5], N Guyen D. C. [1].
(On trouvera d'autres exemples de problèmes à frontière libre, traités par d'autres
méthodes, aux nros 8, 9). Voir d'autres problèmes dans Leray [8], Garabedtan et
Spencer [1], Gilbarg [2].
Le modèle du Problème 5.1 a été introduit dans Lions [9], ceux des Problèmes 5.2
et 5.3 ont été introduits dans Ladyzenskaya [2]. Les résultats d'existence ont été
établis dans Ladyzenskaya et Lions loc. cit. moyennant des restrictions plus fortes
sur p. Les résultats donnés ici ont été obtenus par Brezis et l'auteur. Les résultats
d'unicité sont de simples variantes des résultats déjà établis au Chapitre 1 pour les
équations de Navier-Stokes. Le Théorème 5.5 est dû à Ladyzenskaya, loc. cit.. Des
modèles voisins ont été étudiés indépendamment par S. Kaniel [2]. Consulter
également K. K. Golovkin [1]. Les résultats du nro 6 sont des cas particuliers de Lions-
Strauss [1]. On trouvera la résolution d'un problème analogue avec une «
discontinuité multivoque » dans Amerio [1].
Le Théorème 7.2 est dû à Bardos-Brezis [1]. L'introduction du facteur 6h dans
(7.20) est peut être nouvelle.
Une idée un peu voisine de celle utilisée au nr0 7 consiste à approcher (7.1) par
l'équation avec retard
ut donné sur [0, e]. Cela définit uE de proche en proche sur [e, 2 e], [2 e, 3 e],... puis
l'on fait e -> 0 ; cf. Browder [7]. Cf. une autre méthode encore au Chapitre 3, nro 1.
Les inéquations variationnelles, étudiées au nro 8, apparaissent de façon « abstraite »
chaque fois que l'on minimise une « bonne » fonction convexe sur un convexe.

12. COMMENTAIRES
r$i§M 307
Des situations concrètes analogues, mais relatives à des opérateurs différentiels,
sont apparues en Mécanique : problèmes d'élasticité avec contraintes unilatérales
(Signorini [1], Duvaut [1]), problèmes de plasticité (cf. le principe du minimum de
Prager-Hodge [1] ; cf. les ouvrages Prager [1], Goodier et Hodge [1], Mandel [1],
et Handbuch der Physik, Vol. VI, 1958). Une étude mathématique complète du
problème de Signorini a été faite par Fichera [1]; puis l'étude systématique des
problèmes d'inéquations (ou unilatéraux) en liaison avec les équations aux dérivées
partielles a commencé : après le travail de Stampacchia [1], on a étudié dans Lions-
Stampacchia [1 ] des problèmes non coercifs et on a introduit les (nouveaux) problèmes
d'inéquations variationneîles d'évolution (nr0 9 et Chap. 3, nros 3, 5, 6, 7), l'opérateur
ce de base » étant toujours linéaire ; on est ensuite passé (Hartman-Stampacchia [1])
au cas où l'opérateur de base n'est plus linéaire, pour arriver à la présentation très
générale (suivie ici) de H. Brezis [1]. D'autres exemples ont été étudiés par Moreau
[3], Lescarret [1]. D'autres résultats généraux ont été obtenus (en particulier pour les
opérateurs multivoques), par Browder [7], Rockafellar [5]. La démonstration du
Théorème 8.6 est due à l'auteur (cf. aussi Lions [10]). Les résultats des nros 8.7.3 et
8.7.4 sont dus à Brezis-Stampacchia [1] (où l'on trouvera des résultats de
régularité supplémentaires). Pour d'autres résultats de régularité, cf. H. Lewy [1],
H. Lewy-G. Stampacchia [1] et le Chapitre 3, nro 5.5 et de Veiga [1], Schiaffino
[1]. Pour le problème de la torsion élasto-plastique d'une barre, on pourra consulter
Annin [1], Hodge-Herakovich-Stout [1], Lanchon- Duvaut [1], Ting [1]. Des
problèmes de même type se posent en Mécanique pour des opérateurs d'ordre 4
(Zarka [1]). Pour la stabilité de la solution des inéquations variationneîles en le
convexe K, cf. U. Mosco [4], J. Joly [1]. Pour les perturbations singulières dans les
inéquations variationneîles, cf. D. Huet [1]. Pour les problèmes de frottement, cf.
Duvaut-Lions [2].
Les résultats du nr0 8.8 sont dus à Y. Haugazeau [1] [2].
Il peut arriver aussi que pour certaines données /les solutions de deux inéquations
variationneîles relatives au même opérateur mais à deux convexes différents soient
identiques ; on trouvera un exemple (relatif au problème de la torsion élasto-plastique)
dans H. Brezis [4].
On trouvera des indications sur la nature des parties de r où u = 0 dans le cas de
l'Exemple 8.1 dans A. Friedman [6].
Comme on a déjà dit les inéquations variationneîles correspondent (et étendent)
les problèmes de minimisation d'une fonction convexe / sur un convexe. Si on prend
pour / Paire d'une surface on trouve des problèmes de « surfaces minima avec
contraintes ». Cf. M. MlRANDA [1], J. C. NlTSCHE [1].
L'étude des inéquations variationneîles d'évolution (*) a été introduite dans le travail
de Stampacchia et l'auteur déjà cité ; la présentation plus simple et plus générale
suivie ici est celle de Brezis [1], les Théorèmes 9.1 à 9.4 étant dus à Brezis.
Le Théorème 9.5 est une variante des résultats de régularité du nro 8 ; on trouvera
d'autres variantes dans Brezis [3] à qui l'on doit le Théorème 9.6 (dont la méthode
est une adaptation aux inéquations d'évolution de la méthode des translations). La
méthode suivie pour justifier (9.104) (9.105) nous a été indiquée par R. Teman. Ces
types de raisonnement sont très voisins de ceux utilisés pour l'obtention du principe du
maximum faible (pour le principe du maximum dans des problèmes non linéaires,
cf. d'autres méthodes dans Aronson et Serrin [1] [2]).
On peut résoudre des problèmes d'inéquations variationneîles pour d'autres types
d'opérateurs que ceux considérés aux nros 8 et 9, par exemple pour les opérateurs de
Navier-Stokes ; cf. Lions [16], Brezis-Crandall-Pazy[1], les résultats du Chapitre
3, nro 6.
(*) A ne pas confondre avec les inégalités d'évolution de la forme
\\dujdt + A{t) u(t) || ^ <P(t, \\u(t) ||) , cf. Agmon-Nirenberg [2] .

308 MÉTHODES DE MONOTONIE ET DE MONOTONIE ET COMPACITÉ [CHAP. 2]
On trouvera d'autres familles de problèmes d'inéquations dans la théorie du contrôle
optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, cf. Lions [15].
Des inéquations variationnelles du type de celles du nro 9 interviennent en contrôle
stochastique, cf. Stratonovitch [11 (Supplément, p. 318-341).
Le nro 10 donne quelques indications générales sur les semi-groupes non linéaires
dont l'étude approfondie a été commencée par Y. Komura (cf. Bibliographie dans le
texte). Il s'agit là d'un sujet encore en plein développement et qui devrait avoir de
nombreuses applications : régularité des solutions des équations non linéaires
d'évolution, interpolation non linéaire, théorie non linéaire du potentiel, etc.

M
CHAPITRE 3
MÉTHODES DE RÉGULARISATION
ET DE PÉNALISATION

ORIENTATION
Comme on a déjà dit dans l'Introduction, les méthodes de compacité et les
méthodes de monotonie (ou les deux simultanément) permettent de passer à la
limite à partir d'estimations a priori (plus ou moins « fortes ») établies (en
général) sur des « équations approchées ».
Jusqu'ici les équations approchées ont été construites par la méthode de
Galerkin (ou des variantes de cette méthode) et dans quelques cas (Chap. 2,
nro 7) par les « différences finies » (*). Mais il y a d'autres procédés, qui sont
étudiés dans ce Chapitre :
1 ) On peut approcher les équations (ou inéquations)d'évolution paraboliques
par des équations (ou inéquations) elliptiques ; c'est la régularisation elliptique ;
2) On peut approcher les équations (ou inéquations) d'évolution
hyperboliques par des équations (ou inéquations) paraboliques ; c'est la régularisation
parabolique ;
3) On peut approcher, par la méthode de pénalisation, les inéquations par des
équations (2).
On passe ensuite à la limite en utilisant les méthodes des Chapitres ! et 2,
dont le contenu est donc supposé connu pour la lecture du présent Chapitre.
1. RÉGULARISATION ELLIPTIQUE ET ÉQUATIONS
D'ÉVOLUTION
1.1 Orientation
Nous reprenons l'étude des équations Au + s#(u) = f9 déjà considérées à
plusieurs reprises et en particulier au Chapitre 2, nro 7.
Commençons par quelques remarques (a) sur les méthodes (b) sur les
hypothèses.
(a) Les méthodes.
Les méthodes déjà utilisées (Faedo-Galerkin ou approximation de A par
—— — cf. Chap. 2, nro 7) font jouer des rôles assez séparés aux
opérateurs A et s/.
La méthode de régularisation elliptique, que nous allons introduire, permet
d'utiliser des hypothèses faisant intervenir à la fois A et s/ (cf. un résultat dans
ce sens au nro 1.4 ci-dessous).
( ») Ce qui est repris au Chapitre 4, nro 1.
(2) D'autres procédés encore seront donnés au Chapitre 4.

312 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Uidée générale de la régularisation elliptique est la suivante : soit à résoudre
la classique équation de la chaleur :
(1-0 4- - au =f dans Q,
ot
avec u(x, 0) = 0, u = 0 sur I.
On « approche » l'équation (1.1) par l'équation elliptique
(1.2) - e-^ + —8 - àue =/dans Qy s > 0,
les conditions aux limites existantes étant maintenues et en ajoutant une
condition aux limites pour / = T.
On résout (1 .2) (par des « méthodes elliptiques ») puis Ton passe à la limite
0: - 0).
De façon formelle, on fait dans (1.2) jouer le même rôle à toutes les variables,
d'où (ce qui demande évidemment à être précisé !) la possibilité d'utiliser les
hypothèses faisant, dans le cas général, intervenir à la fois A et se. L'analogue
(toujours formel) de (1.2) pour l'équation
Au + s/(u) = f
sera :
s/1* AuE -f Au£ -f $t(ut) =/.
Naturellement de nombreuses variantes sont possibles.
Par exemple, au lieu de (1.2) on peut considérer
(1.3) -fi-. a(n,) + —«- AwE=/,
ôt2 ôt
$ étant un opérateur > 0 à notre discrétion.
On peut par exemple dans (1.3) prendre $ = (— A)"1 ; on prendra
effectivement dans la suite des choix de ce type, f
(b) Les hypothèses.
Sauf au Chapitre 2, nro 10, nous avons généralement supposé que — A est
générateur infinitésimal d'un semi-groupe G opérant dans fy Jf et V, et de
contractions dans Jf.
Si l'on pose :
D(A) = fn D(A ; iT'), D(/i*) = f n D(A* ; tT') ,
alors /! est un opérateur non borné de domaine D(A) c f" à valeurs dans V ;
A est fermé, de domaine dense et A > 0, A* ^ 0 sur D(A) et D(A*)
respectivement.

1. RÉGULARISATION ELLIPTIQUE ET ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION 313
On va voir que ce sont en fait seulement ces dernières hypothèses qui sont
utiles pour les théorèmes d'existence (*).
On fera donc les hypothèses suivantes, en remplaçant A par L pour éviter
des confusions :
L est un opérateur linéaire non borné, de domaine D(L) c f, à
valeurs dans if\ L étant fermé de domaine dans y, et tel que
(Lu, u) > 0 Vu e D(L), (L* u, u) > 0 Vu e D(L*) (2).
On va étudier les équations non linéaires de la forme
(1.5) Lu + s/(u) =/, ueD(L). |
ht plan est le suivant : on montre d'abord au nro 1.2 le
Lemme 1.1. — On suppose if réjlexif, strictement convexe ainsi que son duah
Lhypothèse (1.4) sur L équivaut à F hypothèse :
(Lest un opérateur linéaire de D(L) -> if\ maximal monotone, à domaine
^ ' ) \ dense.
On résout ensuite (nro 1.3) l'équation (1.5) sous des hypothèses faisant
encore jouer à L et s4 des rôles distincts puis on considère enfin au nr0 1.4
un cas où les hypothèses faites font intervenir à la fois L et s/.
Des applications nouvelles sont données au nro 2.
1.2 Lemmes de maximalité
Avant de démontrer le Lemme 1.1, nous donnons un Lemme technique
très utile :
Lemme 1.2. — Soit L un opérateur linéaire de D(L), sous-espace de f\ à
valeurs dans Y', et monotone. Alors les conditions suivantes sont équivalentes :
(1.7) L est maximal monotone (3) à domaine dense ;
t pour tout couple { u,f}sir x if' tel que
(1.8) (Lu - /, v - h) > 0 Vu £ D(L) on a :
f m e D(L) et f= Lu . (4)
Démonstration.
1) (1.7) entraîne (1.8).
Supposons qu'il n'en soit pas ainsi ; alors u $ D(L) et l'on construit un pro-
C1) Ce qui ne supprime pas l'intérêt des méthodes utilisant le semi groupe G(s).
(2) L* est l'adjoint de L au sens des opérateurs non bornés de if dans if.
(3) Au sens : il n'existe aucun opérateur linéaire monotone qui prolonge strictement L.
(4) On dit aussi (avec Minty et Browder) que L est « maximal monotone » s'il n'existe
aucun graphe (linéaire ou non) qui prolonge strictement L. Le lemme 1.2 montre que cette
définition équivaut à la première et la densité du domaine.
(1.4)

314 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
longement strict L de L, encore monotone, d'où contradiction (L étant
maximal) ; pour cela on définit d'abord
D(L) = D(L) + { w } (espace engendré par D(L) et u),
et on définit Lsur D(L) par :
(1.9) L(v + Xu)= Lu + Xf, veD(L), A e R .
On vérifie sans peine que Lest monotone (i. e. ^ 0) : en effet si Ton pose
— y u = w (le cas X = 0 est immédiat), on a :
(L(v + Xu\ u + Xu) = A2(Lw - /, w - w) ^ 0 .
On a donc démontré que u e D(L) et il reste à montrer que/ = Lu. On prend
pour cela u = w + 0vr, 0 > 0 dans (1.8), w e D(L), ce qui est loisible ; il vient
après division par 0 :
(Lu + OLw -f,w) > 0;
faisant 0 -» 0, on en déduit :
(Lu - /, ir) ^ 0 Vu- e D(L)
et donc Lu = /puisque D(L) est dense dans Y. \
2) (\.8) entraîne (\.l).
Raisonnons encore par l'absurde ; si L n'est pas maximal monotone, il existe
un prolongement strict L de L qui est monotone; soit u £ D(L), u $ D(L) et
Lu = / Comme (L(v — w), u — u) ^ 0 Vu e D(L), donc pour tout u e D(L),
on a :
(Lu - /, u - u) ^ 0 Vu £ D(L) ,
et donc par hypothèse
u e D(L) et Lu = /; il y a contradiction.
Reste à voir que D(L) est dense dans V ; soit en effet g e V avec
(g,u) = 0 VueD(L).
Alors
(Lv - g, u - 0) = (Lu, u) ^ 0 Vu e D(L) .
et donc par hypothèse g = L0 = 0. |
On peut maintenant passer à la
Démonstration du Lemme 1.1.
1) (1.6) entraîne (\ A).
Montrons d'abord que L est fermé. Soit un s D(L), un -> w dans y, Lw„ ->/
dans f'. Comme (Lu — Lw„, u — t/„) ^ 0, on obtient à la limite :
(Lv - / u - w) ^ 0 Vu e D(L)
et donc, d'après (1.8), w e D(L) et Lu = /.

1. RÉGULARISATION ELLIPTIQUE ET ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION 315
Reste à montrer que L* ^ 0.
Si u e D(L*) n D(L) alors (L* w, u) = (h, Lu) ^ 0. Il surfit donc de considérer
u avec
(1.10) ueD(L*)9 u$D(L);
on va montrer qu'alors
(1.11) (L*m,m)>0.
Appliquons (1.8) au couple { w, — L* u } ; comme w £ D(L), il existe u0 e D(L)
tel que
(Lu0 4- L* «, u0 — u) < 0
i. e.
(Lv0, u0) < (Lu0, w) ~ (L* m, u0) + (L* w, m) = (L* u, u)
d'où (LU) puisque (Lv0, v0) ^ 0 .
2) (1.4) entraîne (\ .6).
D'après le Lemme 1.3, il suffit de montrer (1.8).
On part donc d'un couple { u,f} e Y x V, tel que
(1.12) (Ld-/,p-«)>0 Vue D(L).
On va démontrer que u e D(L) et Lu = /. L'idée est d'introduire une
fonctionnelle v -> <p(v) sur D(L) dont le minimum est atteint en u (donc dans D(L)).
Désignant par || || et || ||# les normes respectives dans Y et dans V (]),
on introduit :
(1.13) <p(v) = (Lv - /, w - «) + i||i>- »||2 + ±l|Li>-/||;.
La fonction u —► <p(p) est continue convexe sur D(L) et *p(u) -» + oo si
Il v IID(L> "* + °°- Par conséquent <p atteint son minimum en un point v0 de
D(L), caractérisé par
(p'M = o
i. e. (y désignant l'application de dualité de Y -* Y' relative à <£(r) = r ;
cf. Chap. 2, nro 2 et nro 10) :
(Lu, p0 - w) + (Lu0 -f,v) + (J(v0 - u), v) +
+ (Lu,y_I(Li;o -/)) = 0 VveD(L).
Posons : v0 — u = vr, Lv0 — f — g ; on a donc :
(1.14) (Lu, H' + y-1 g) + (Jw + g, u) = 0 Vt> e D(L).
(') Supposées strictement convexes. Cf. à ce sujet le Théorème 2.5, Chapitre 2.

316 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Donc v -* (Lvy w + J'1 g) est continue sur D(L) muni de la topologie induite
par y, donc
(M5) w 4- J~xgeD(L*) et L*(w 4- J'1 g) + /w + g = 0 .
Comme L* est > 0, on déduit de (l. 15) que
(1.16) (Jw + g, w + J~x g) ^ 0.
Or d'après (1.12) appliqué à v0y (g, w) ^ 0 et donc (1.16) implique
(1 • 17) (Jw, w) 4- (g, J"1 g) 4- (Jw, J-'g)^0.
Mais
G/n'.y-^x || a-|| IU"1 g II* ^ II* Il II s IL
et donc (1.17) entraîne
Il w ||2 4- || g ||2 - || w || || g IL <0
donc w = 0, g = 0 i. e. w = v0 e D(L) et Lv0 = Lu = f. |
1.3 Premier théorème d'existence par la régularisation elliptique
Théorème 1.1. — Soit y ww espace de Banach réflexif de norme strictement
convexe ainsi que celle de son dual Y'. Soit L un opérateur linéaire de D(L)
sous-espace dense de i^y à valeurs dans V', L étant maximal monotone (*).
Soit se un opérateur dcV -* i^\ pseudo-monotone (2), coercif, donc :
d.i8) nivir1-*00 si IM|-*°°-
Alors, Vfe*r'y il existe u e D(L) tel que
(1.19) Lu + s/(u)=f.
Démonstration.
1) Régularisation elliptique.
On introduit l'opérateur J de dualité de Y -> Y' relatif à <P(r) = r
(donc || J(v) IL = || v ||). On va « approcher » l'équation (1.19) par
(1.20) sL* J~] Lu£ 4- Lu£ 4- s?(uE) =f, £>0.
Résolution de (1.20). — On munit D(L) de la norme du graphe || v || 4- || Lv IL
qui en fait un espace de Banach réflexif. Pour u,ve D(L) on pose
(1.21) tce(w, v) = s(J-l(Lu), Lv) 4- (Lu, v) 4- (sf(u), v) ;
0) On peut aussi supposer, sans connaître le Lemme 1.1, que L > 0, L* > 0.
(2) i. e. rappelons-le (cf. Chap. 2, nro 2) : (i) j/ est borné ; (ii) lorsque uj -> // dans Y
faible et lim sup (stf{uj), uj — //) ^ 0 alors
lim inf (s4(it)\ Uj — v) > (s/(u), u — u) Vu e Y .

1. RÉGULARISATION ELLIPTIQUE ET ÉQUATIONS D'ÉVOLUTION 317
la forme v -» nE(u, v) est continue sur D{L), donc
(1.22) nfa v) = (Se(u)9 v) , aju) g D(LY (*) .
Vérifions que &E est pseudo-monotone de D(L) -> D(L)'. Il est immédiat que
&t est borné. Si par ailleurs nous introduisons Mt par
(1.23) e(J~l(Lu), Lv) + (Lu, v) = (M£u)9 v) , A/e(w) g D(L)',
l'opérateur ME est borné, hémi continu et monotone de D(L) -> D(L)'. Alors
^E(w) = j^(w) + Me(w), donc ^E est somme d'un opérateur j/ pseudo-monotone
de D(L) -> D(L)' (puisque .s/ est pseudo-monotone de 1f -+ V') et d'un
opérateur M£ monotone borné hémicontinu, donc (Remarque 2.12, Chap. 2), 0b t est
pseudo-monotone.
Par ailleurs comme L est ^ 0, on a :
(1.24) (#t(v), v) ^ (sf(v\ v) + e\\ Lv \\l
et par conséquent
00 SI
ID(L)
-||„||£- ~ - "~"«Ly
Donc d'après le Théorème 2.3, Chapitre 2, il existe uE e D(L) tel que
(1.25) â*lut)=f\
mais (1.25) équivaut à
*«("«■ ») = (/, «0 Vwe/)(L)
et donc
v - £(/" !(Lwe), Li?) = (/ - sf(ut) - Lue, v)
est continue sur D(L) muni de la topologie induite par 'V. Donc
(1.26) J~\Lut)sD(L*)
et (1.25) équivaut à (1.20).
On a donc démontré l'existence, pour tout e > 0, de uE G D(L) vérifiant (l .26)
et (1.20).
2) Estimations sur les ut.
Tout d'abord, d'après (1.24), on peut choisir ut de façon que
(1.27) ut demeure dans un borné de 'V lorsque £ -> 0.
(') Noter que D(L) étant dense dansf7*, on peut identifier D(L)' à un sur-espace de ^\

318 MÉrHODES DE RÉGUL\RISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On va maintenant démontrer que
(I . 28) Lut demeure dans un borné de ir' lorsque e -> 0. (l)
Prenons en effet le produit scalaire des deux membres de (1.20)avec J~ \LuE),
qui est dans D(L*) d'après (1.26) :
( e(L*J'i(Lue\J'i(Lue)) + {LuE,J'l(LuE)) +
(1-29)
[ +(j/(ue),J-|(Lue)) = (j,J-l(LuE))
et comme, d'après le Lemme 1.1, L vérifie (1.4), on a : L* ^ 0 et (1.29) donne :
(1 .30) || LuE \\l + (st(uX J-\Lue)) < (f9J'\Luj).
D'après (1,27) et le fait que sf est borné, || sf(ue) ||* < constante et donc
(1 .30) entraîne
||LHe||î<C||LMe|U, d'où (1.28).
3) Passage à la limite en s.
On déduit de (1.27), (1.28) ainsi que du fait que stf(uE) est borné et L est
fermé, que l'on peut extraire une suite, encore notée uE, telle que
IuE -> u dans 'V faible , u e D(L) ,
LuE -> Lu dans r' faible ,
^(i'e) -* 1 dans -V" faible .
Montrons que
(1.32) lim sup (sf(ue\ "E - u) < 0 .
E-0
En effet d'après (1.20)
(1.33) (s/(uE), uE-u) = (f- LuE, ut - u) - &(J-l(LuE), LuE - Lu) ;
d'après (1.28), | (J-1(LwE), LuE - Lu) \ ^ C, donc(l .33) donne
(st(ut\ «,-«)<(/- Lu, uE- u) - (L(uE - w), uE- u) + Ce
< (f- Lu,uE - u) + Ce,
d'où (1.32).
Alors, j/ étant pseudo-monotone,
(1.34) lim inf (sf(ut), uE - v) > (j*(«), m - u) .
(0 Nous attirons l'attention sur cette propriété ; le résultat analogue n'est pas vrai lorsqu'on
utilise l'approximation par Faedo-Galerkin (et nous avons dû alors utiliser les « bases
spéciales » pour avoir des propriétés — moins précises — « remplaçant » (1.28)) ; le résultat
analogue n'est pas vrai non plus dans l'approximation utilisée au Chapitre 2, nro 7. Il y a donc
de ce point de vue, avantage très net à l'approximation par régularisation elliptique. C'est
également cette propriété qui permettra d'utiliser des hypothèses faisant intervenir à la fois
Let se-

1. régularisation elliptique et équations d'évolution 319
Mais d'après (l .20), \fv e D(L) on a :
(sJ{uE), uE- v) = (f- Lv, uE - v) - (LuE - Lv, uE - v) -
- e(J-\Lue), Lut - Lv) ^ (/- Lv, uE - v) + C{ e
d'où, comparant à (1.34),
(1.35) (/- Lv,u - v) ^ (sf(u),u - v) \fveD(L).
Prenant : v = u — Ow, 0 > 0, w £ D(L), (1.35) donne après division par 0,
(f- L(u - 0w)9w) > (sJ(u),w)
d'où faisant tendre 9 vers zéro :
(f- Lu - s/(u), w) ^ 0 Vw £ D(L)
et donc Lu + sf(u) = /. |
1.4 Deuxième théorème d'existence par la régularisation elliptique
Si l'on analyse la Démonstration précédente, on voit que dans les deux points
cruciaux (i) (ii) ci-dessous, on n'a pas utilisé les hypothèses optimales :
point (i) : résolution de (1.20).
On a utilisé la pseudo-monotonie de s/ sur 'V alors que celle sur D(L) suffit ;
cela conduit à l'hypothèse (1.36) ci-dessous ;
point (ii) : estimation (1.28).
On a utilisé (1.30) sous forme brutale; une petite amélioration conduit à
l'hypothèse (1.37) ci-dessous. g
On arrive ainsi à l'énoncé suivant (*) :
Théorème 1.2. — Soit V un espace de Banach réflexif de norme strictement
convexe ainsi que celle de son dual. Soit L un opérateur linéaire de D(L), sous-
espace dense de ir9 à valeurs dans f, L étant maximal monotone. Soit se un
opérateur de D(L) (et non *V tout entier) -»- V vérifiant les hypothèses suivantes :
si Uj -» u dans 1f faible ,
Uj e D(L), u e D(L) , Luj -> Lu dans ir> faible ,
et lim sup (jrf(Uj), Uj — u) ^ 0, alors
lim inf {sé{u}), Uj — v) ^ {sé(u\ u — v) ,
il existe une fonction A -> i^(A) de A ^ 0 -> R+, bornée
sur tout compact, et il existe un nombre 6, 0 ^ 0 < l, tels que
||^(w)|i*<*(l|w||) + 0||LH|U Vt/eD(L).
On suppose que (l .18) a lieu. Alors, yifsir\ il existe u e D(L) solution de
(1.19).
(>) Extension « non linéaire » d'un théorème de perturbation hilbertien (cf. T. Kato [6],
Chap. TX, § 3).
(1.36)
(1.37)

320 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Démonstration.
1) On résout d'abord (1.20), comme au 1) de la Démonstration du
Théorème 1.1, ayant fait avec l'hypothèse (1.36) ce qu'il fallait pour ça. On a encore
(1.26).
2) Estimations sur les t/E. On a (1.27) sans changement et l'on va montrer
que (1.28) est également encore vrai. On vérifie (1.30) d'où Ton déduit, en
utilisant (1.37):
Il Lut \\l ^ || LuE |U [H\\ "e II) + 0 || Lut |U + H/IL]
d'où, grâce aux hypothèses sur ij/ et 0 faites dans (1.37) :
(1 - 0)|| LwB IL < C+ U/IL
d'où (1.28).
3) Passage à la limite lorsque & -» 0. Le point 3) de la Démonstration du
Théorème 1.1 s'applique sans changement. |
Remarque 1.1.
Le Théorème 1.2 contient le Théorème 1.1, mais nous avons séparé les
deux résultats pour mieux analyser la Démonstration. |
Remarque 1.2.
Soit M un opérateur linéaire monotone de D(M) (sous-espace dense de f~)
dans ir', non nécessairement maximal.
Alors, se vérifiant les hypothèses du Théorème 1.1 (*), // existe ue'V tel que
(1.38) («, Mv) + {sJ(u), v) = (/ v) Vu e D(M).
En effet, soit M une extension linéaire monotone maximale de M (il en existe
d'après le Théorème de Zorn) ; d'après le Lemme 1.1, L = (M)* est maximale
monotone et par conséquent, d'après le Théorème 1 A il existe u s D(L) tel
que Lu 4- sé(u) = /, d'où (1.38). \
Remarque 1.3.
L'étape suivante — pour laquelle de nombreuses recherches restent à faire —
serait de résoudre, sous des hypothèses convenables, les équations
(1.39) L(u) + j/(ii)=/,
L et se étant non linéaires et de façon à couvrir les cas (1.39) intervenant
effectivement dans les applications. |
0) On a aussi une remarque semblable lorsque se est seulement défini et pseudo-monotone
sur D(M*), et coercif.

2. APPLICATIONS
321
2. APPLICATIONS
2.1 Problèmes paraboliques généraux
On va appliquer le Théorème 1.2, avec
(2.1) r = Lp(0, T; V),
où 1 < p < oo et où Vest un sous-espace vectoriel fermé de Wm'p(Q\ avec
(2.2) W^P(Q) c Kc Wm'"(f2).
On prend
(2.3) | d'
D(L) = Iv ) y e iT , ~ £ Lp'(0, T; V') , u(0) = 0 ]
(noter que si v £ f~ avec di?/df £ Lp'(0, T; K'), alors t -> u(f) est, après
modification éventuelle sur un ensemble de mesure nulle, continue de [0, T] -> L2(iQ)) ;
on vérifie, en utilisant la formule :
Tt ' °) + ("' S) = (w(n w(T»w> - (w(0)'*(0))^
valable pour tout u, v ei^ tels que dw/d/, du/d/ £ f*', que
[ V - - ±
<2.4> ) d''
/ D(L*) ={u|t;eTr,~eir\ u(T) = 0 .
Donc L et L* sont ^ 0 et l'on est dans les conditions du Théorème l .2. J
Définition de l'opérateur s/.
Les notations sont analogues à celles du Chapitre 2, nro 2.6.1. ; soit N,
(resp. N2) le nombre de dérivations en x d'ordre ^ m — 1 (resp. = ni) et
soient Aa(x, /, rç, £) une famille de fonctions (| a | ^ w) réelles, définies sur
Q x R"1 x R"2, vérifiant
Ipour presque tout x, t £ g, la fonction rç, { -> Aa(x, f, rç, 0
est continue sur R*1 x R*2 et Vrç, { la fonction x, î -> Aa(x, f, rç, {)
est mesurable sur Q .
(Q) !

322 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On pose :
Dk u = { D1* w, | p | = k }, dérivations en x,
ou = {u,Du,...,Dm-lu} ,
Aa(x, /, <5w, Dm y) : xt t - Aa(x, t, Su(x, /), Dm y(x, t)).
On supposera :
| Vu, u e L"(0, 7; ^'"(.Q)) (ou Vu, y e tT), on a :
1 /la(x,^W,J)%)eLp'(e) (*).
La forme w -» a(uy w) où
(2.7) a(u, w) = X | /ia(x, r, £u, Dmu) Da w âx ât
est donc continue sur V, donc
(2.8) a(w, w) = (j/(u), m') , sJ(u) ef'.|
Hypothèses sur se'.
On va écrire (comparer au Chap. 2, nro 2.5 et 2.6) :
ssf(u) = s/(u, u) ,
j^(w, y) = sex(u, v) + ^2(w) »
où
(2.9) (^(u, y), w) = X A*(x, Uôu, Dmv) Da w dx df ,
| ût j = M J Q
(2.10) (j*2("), w) = £ f A*(x> '• ôll> °m w) D* w dx d' •
| a ] < m - 1 J Q
On fait alors les hypothèses suivantes :
(2.11) Vu, ve-V on a : (.*/.(w, w), u - y) - (.5/.(i,\ y), u - y) ^ 0 ;
( du.- du ,
\ si u,- -> u dans V faible, ----- -» — dans 'V faible
\ dr dr
) et si (s/yiUj, Uj) — srfx(up w), Uj — u) -> 0, alors
' Aa(x, r, 5uy, DM m,-) -> Aa(x, r, <Su, Dm u) dans Z/'(® faible;
, (s/(v), v)
(2.13) (coercivité) ^--—- ► + oo si || v || -> oo .
(() On peut donner comme en (2.41), Chapitre 2, des conditions algébriques suffisantes
pour avoir (2.6) ; par exemple
I Aa(x, r, r/, Z) \^c[\n\*-i+\Z K» + AU, /)], A G LP'(Q).

2. APPLICATIONS
323
Remarque 2.1
On peut donner, comme au Théorème 2.8, Chapitre 2, des conditions
suffisantes pour que (2.11) (2.12) aient lieu ; ce sont :
\ X >!«(*> M. £K«... , , - °° si lÉI-oo
(2.14) s M = m 14 1 +
f pour x,
tr1
î fixés p. p. dans Q et | 17 | borné ,
f Z K(x, r, *, « - A.(x, r, if, {*)) ({. - tf) > 0 si t± C ,
(2A5) |a!=m
l p. p. dans Q, Vrç .
Les Démonstrations sont analogues à celles du Chapitre 2, nro 2.6.2, avec
dans la Démonstration de l'analogue du Lemme 2.2, l'utilisation du résultat
suivant :
si î/; -> u dans y faible et si m, = —-- -* u dans tT faible,
alors w7 -> u dans Lp(0, T; M/'""1'"(&)) fort,
qui est conséquence du Théorème 5.1, Chapitre 1, avec
B0 = IT"'-P((2) , B, = W-m'p\n) et B= H/m_1'p(«Q) ,
et p0 = p, Pl = p' . 1
On va maintenant montrer que sous les hypothèses (2.11) (2.12) (2.13)
(2.17) ropérateur se est pseudo-monotone sur D(L), i. e. vérifie (1.36).
Comme on voit sans peine que (1.37) a lieu avec 0 = 0, on en déduit ceci :
Théorème 2.1. — On suppose que sf(u) est donné par (2.8), sous les hypothèses
(2.5) (2.6) (2.11) (2.12) (2.13). On suppose V donné par (2.1) avec (2.2).
Alors, pour f donné dans f"', il existe ue^V tel que dujdt e Y' et
(2A8) toL + s/{u)=ft
(2.19) u(x, 0) = 0. |
Si Ton prend V = Wo'p(Q), on a résolu ceci :
l 757+ I (-i)im]ir(AJLx,t,5u,iru))-f,
(2.20) J /e^OJîr^Û)),
J D* u = 0 sur 2/, | ce | ^ m - 1 ,
u(x, 0) = 0 , x e (2 . |

324 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Démonstration de (2.17).
Avec la décomposition de se donnée en (2.9) (2.10), on voit, comme au
Chapitre 2, nro 2.6, que (2.17) est conséquence (après avoir vérifié les propriétés
d'hémicontinuité et d'appliquer les bornés dans des bornés) des deux propriétés
suivantes :
(si iij -> w dans 'V faible, u'. -»- u dans "T* faible et si
(s/(uj, itj) - sf(Uj, u). iij - u) -> 0, alors, Vv e tT ,
s/(uJt v) -+ s#(u, v) dans ir' faible;
(si Uj -» u dans if faible, u) -» u' dans if' faible et si
s/(uj, v) -> \jj dans V\ alors
(j*(uj, u), uj) - (i>, u) . g
Vérification de (2.21 ).
D'après la définition de j/j et j/2» ^ résulte de (2.21) que
(sfiÇuj, Uj) — se\(Uj, w), Uj — u) -> 0
et donc on peut appliquer (2.12). Donc
Aa(x, t, ôujt Dm Uj) -> Aa(xy f, ôu9 Dm u) dans If'(Q) faible ,
et par conséquent
(sJ2{Uj), w) -> (s/2(u), w) Vwe-r .
Par ailleurs, d'après (2.16)
Aa(x, U àuj, Dm v) -> Aa(x, r, ou, Dm v) dans Lf'(g) fort
et donc, en particulier,
(s/^Uj, v), w) -» (sJ{(uy v), w) Vvv e TT . 1
Vérification de (2.22).
Grâce à (2.16), .ç^O/j, y) -> ^1(1/, v) dans y fort et donc
(2.23) G**.(w;, u), ";) -> (st^u, v), u),
(2.24) s/2(uj) = ^(wy, u) - sex(Uj, v) -> i/> - ^i(w, y) dans f' faible.
En outre
{sJ2(uj), iij - u) = X I Aa(x, t, Si/,., D'" w,.) D>y - u) âx dt
donne avec (2.16) :
(2.25) | (srf2(Uj\Uj - u)\ ^ c\\Uj - u\\LPi0tTlWm-i,P{S})) -+0.

2. APPLICATIONS
325
Alors l'égalité
(sf(uj9 v), uj) = (s/^Uj, v), uj) + (^2(ujl u) + (s/2(uj)9 Uj - u)
donne, en utilisant (2.23) (2.24) (2.25) :
(sf(uj9 v), Uj) -> (^i(w, v) + i> - séx{u, v), u) = (i>, w) . I
Remarque 2.2.
La méthode de démonstration du Théorème 1.2 appliquée à la situation
présente consiste à approcher l'équation (2.18) par :
(2'26) ~zJtJ HÎ + nf + J*{u°)=f'
où y est l'application de dualité de 'V -* ir' relative à \j/(r) — r.
Si Ton prend V = Wiï'p(Q), muni de la norme
( I \\D'v\\>L,ia\llP,
\\a\=m I
alors J"1 est l'inverse de l'opérateur
*-(-!)" E D'(|D>|"-2D».
| a | = m
Donc (2.26) est une équation intégro-différentielle dont on peut mettre en
question le caractère elliptique ! Mais on peut aussi approcher (2.18) par
r)^m Pin
(2.27) (- l)m£-Vt/E + ^ + j/(ne)=/,
avec m conditions aux limites pour / = T — et cette fois (2.27) est bien une
équation elliptique.
Plus généralement, on peut d'ailleurs approcher (2.18) par
(2.28) (- i)«fi.ÇMe + ^£ + s/(ue)=f,
dt2q dt
q ^ 1 fixé quelconque. On trouvera une démonstration de la convergence de
ce procédé, avec q = I, dans Lions [9]. 1
Remarque 2.3.
Nous avons dans ce qui précède utilisé le Théorème 1.2 avec 0 = 0. Voyons,
sur un exemple, ce que l'on peut obtenir de plus en prenant 0 < 6 < 1. On
considère la situation du Chapitre 2, nro 5.2. On considère donc l'équation
Ou.
Ôt
-vî|;(|VUr^) + |/iDiU=/-gradp,
(2.29) <, divu = °>
f u = 0 sur 2',
\ u(x, 0) = 0 .

326 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
L'espace V étant défini par (5.12), Chapitre 2, on prend
r = L'(0, T\ V)\
l'opérateur stf est défini par
(s/(u), v) = v X | Vu \P~2 --- ^ cIjc dt 4- b(i/, «, y) df,
OÙ
b(w, vtw) = Y, ui(®i vj) wj dx .
1,7= I Jfi
Le domaine D(L) est
D(L) = { v | u e 1T, u' 6 1T', u(0) = 0 } ,
de sorte que
(2.30) D(L) c L°°(0, F ; (L\Q)f).
Voyons à quelle condition on peut appliquer le Théorème l .2 (l) ; le point
essentiel est de voir quand sf applique D(L) dans f" et (l .37) a lieu.
On va voir que c'est le cas si
(2.31) p>[ + A^
n + 2
ce qui donne une nouvelle démonstration du Théorème 5.1, Chapitre 2 (par
une méthode différente).
Bornons-nous au cas (principal)
(2.32) n > 2 , 1 + ^r ^ p < n .
«4-2
On a :
s/(u) = .*/,(w) 4- sf2(u),
(^(h), v) = v £ f I Vu |p"2 D, w; D, Uy dx ,
••,7 = 1 JQ
(.^2(w), y) = b(w, w, y) d/ .
J o
(0 Et on constatera, chemin faisant, que l'on n'est pas en général dans les conditions
d'applications du Théorème I. I.

2. APPLICATIONS 327
Comme se x applique 'V dans ir\ tout revient à vérifier la propriété désirée
pour se2 (on a en effet les propriétés de monotonie convenables). On a (|| v \\
désignant la norme dans y) :
(2.33) \(sf2(u),v)\ ^ f I b(u9 u, u) | dt<
J o
<*llMI I.«IIZp(C>. SI - + - =
. 2 1
- - + --
P P
Mais d'après le Théorème de Sobolev :
Wl"(Q) cL'(fi), 1 = 1-1,
q p n
et d'après (2.30) :
(2.34) D{L) c Lp(0, F; ZW) n L°°(0, T; L2(Q)n),
donc, par interpolation :
(2.35) D(L) c Lr(0, T',Ls(Q)n),
où
1 a 1 a 1 — a
- = - , - = - + , 0 < a < 1 .
r p s q r
On choisit a de façon que r = s, soit
Aï
a =
n + 2
Alors
1/7 n l 1 1
r (n + 2) p y (n + 2) p p 2 2 p
i. e. si l'on a (2.31 ). En outre d'après les inégalités de convexité
(2.36) n«ii^(C)<c2i|Winiwiii,rL).
Donc (2.23) donne : sé2{u) e y et
<<\JMI2 4-c4||u||2a||-w|l*(1"a>.
Mais 2(1 — a) < 1 (car n > 2) et donc, Ve > 0, il existe ct avec
||u||2a||^||2*(1-a) ^£ || Lu |L + cc|M|2a/(2a-1)
et par conséquent, Vc > 0, il existe \jjc bornée sur tout compact avec
||j/2(l/)||. <C||L«IL + ^.(|| M II).
On peut donc appliquer le Théorème 1.2. |

328 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Remarque 2.4.
On a résolu le problème avec u0 = 0. La méthode de Faedo-Galerkin se
prête plus facilement (en principe) au traitement du cas w0 # 0 ; mais on peut
également aborder le cas « u0 # 0 » par des variantes des méthodes du nro 1 ;
nous renvoyons à H. Brezis [6]. 1
2.2 Problèmes paraboliques généraux. Solutions périodiques
On considère le même opérateur se que dans le nro 2.1, mais l'on prend
d
(2.37)
L=dr>
D(L) = iv | v e tT, ^ e Lp'(0, T\V') = -T\ v(0) = v(T) } ;
on a :
(2.38) L* = - L,
(2.39) (Lu, t>) = 0 Vt?£D(L).
On peut donc encore appliquer les Théorèmes 1 A et 1.2.
Appliquant cela à la situation de la Remarque 2.3, on obtient Vexistence
d'une solution { u, p } du problème
du £ d /. ry m-2 5« \ i
^a7-vZ^(|VWr 2a-)4-Zt,D,.W=/-gradp,
(2.40) divw = 0,
f w = 0 sur E ,
M(x, 0) = u(x, T) , x e a ,
5/ (2.31) a //t?w.
On a donc l'existence d'une solution périodique, f
Remarque 2.5
On a de même l'existence (et d'ailleurs l'unicité) d'une solution de
",/donné dans 2/(0,7; W_1'P'(5Q)) ,
/ du " d f\ du
dt & ÔXi \\ dXi
(2.41)
u' = ^eIf\0,T; W~l-'(fi)),
1 h(0) = u(T).

2. APPLICATIONS
329
Lorsquep ^ 2, on peut approcher le système (2.41) par
dt2
-6—* +
ar i=l ÔX: \
du,
ÔX:
(2.42) < 'ai" dt
[uE(0) = uE(T)y u'e(0) = u'E(7).
Lorsque 1 < p < 2, on peut l'approcher par
p~2 dus
dXi
■f>
~dt
p'-2duE
(2.43) < ' dt
( «e(0) = u£T), u'c(0) = M;(T).
ar; ar ^âx, \| dxt
p-2
du,
dx{
=/.
On voit donc une deuxième fois que dans les applications, la « régularisation
elliptique » peut se faire de plusieurs manières différentes. |
2.3 Systèmes hyperboliques non linéaires du premier ordre
Dans le cylindre Q = Q x ]0, T[, on se donne (n + 1) matrices
(2.44) 2?0(x, /), Bt(x, 0,.», £„(*, 0 e i?(Rw; Rw),
avec
les coefficients de /?, sont dans L°°(2) ainsi que toutes leurs
dérivées premières en „v,
(2.45)
(2.46) B* = Bt, i = 1,..., « .
Pour un vecteur q> = { q>u ..., (jow }, (/?,- fonction définie dans Q, on pose :
(2.47)
On suppose que
(2.48) B0(x,t) + fî*(x, 0
Alors
By= £ B,(x, 0 ^ + B0 <p .
X — B,.(x, /) > 0 p. p. dans g .
i= 1 c'xi
(Bip, (?) > 0 V<p £ 0(0) .
On va définir w/7e extension monotone maximale de B considéré comme
opérateur non borné dans L2(Q)y défini sur Q)(Q) (cf. Agranovich [1], K. O.
Friedrichs [1], K. O. Friedrichs et P. Lax [1], P. Lax et R. S. Phillips [1]).
On introduit
(2.49)
#v(*> o = Z B«(x'ocos (w» *••) sur L »
n = normale à f,

330 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
et l'on suppose que
(2.50) Bv(x, 0 est inversible V.v , t e I.
On se donne ensuite sur I :
(2 51) iP(x9t)s^(RN;Rq)9 q <N,
\ rang fi(x, t) = q , les coefficients de fi étant dans <€X(E).
On définit alors (cf. articles cités ci-dessus)
(2.52) D(B ; L2(Q)) = {v\ve (L2(Q))N, Bv e (L2(Q))N ,
fi(x,t)v(x,t) = Op. p. sur 1} C)
et Ton montre que si l'hypothèse suivante a lieu :
(i) (Bv(x, t) Ç,Ç)>0 V£ £ RN tel que fi(x, t) Ç = 0 ,
(ii) dans tout sous-espace de RN contenant strictement l'espace
des £ tels que fi(x, i) Ç = 0 , il existe n tel que (Bv(xt i) rj, rj) < 0 ,
alors B est maximal. |
On définit maintenant, dans l'espace
(2.54) -T = (£'«?))".
l'opérateur L donné par
(2.55) Lq> = ^ + t B,(x, 0 |j + B0(x, r) ? ,
avec
(2.56) D(L) = {v\ ver, Lv e rf = (L"'(e))\
fi(x, t) v = 0 p. p. sur 27,
v(x90) = 0 p.p. sur -Q (2)} .
On montre alors (cf. Bardos-Brezis [1]) que l'opérateur L ainsi défini est
^ 0 maximal.
Si Ton prend ensuite (par exemple !) se par
(2.57) sJ{v) = | o\p-2v,
le Théorème I . 1 donne Vexistence (et comme se est strictement monotone,
on a également l'unicité) d'une solution w dans D(L) de
(2-58) ~ + X B,(x, *) j| + B0(x9 t)u + \u T2 u =f,
/donné dans (LP'(Q))N. 1
(J) Cette définition a un sens.
(2) Ces conditions ont un sens.
(2.53)

2. APPLICATIONS
331
Remarque 2.6.
On obtient une autre extension maximaie de L donné sur @(Q) par (2.55)
en prenant :
(2 59Ï i D(L) = 1 y I u e ^> LlJ e r'> P(x> 0 w = 0 p. p. sur 2
1 ' } \ et v(x, 0) = v(x, T), x e £3 } .
Appliquant encore le Théorème 1 A, on obtient l'existence (et l'unicité) d'une
solution périodique (en t) de (2.58) (*). |
2.4 Equations hyperboliques non linéaires du premier ordre et équations de
transport non linéaires
Nous considérons maintenant un cas analogue à celui du nro précédent
mais avec N = 1. Les Bt sont donc maintenant des fonctions scalaires, à valeurs
réelles, et on suppose que (analogue de (2.48))
(2.60) 2 B0(x9 0 - E T" Bi(x> 0^0 P- P- dans 2 •
i = 1 &Xi
Par contre on ne fait plus V hypothèse analogue à (2.50). Introduisant encore
la fonction #v(x, 0 par (2.49), on suppose que Bvpeut s'annuler sur 2.
On définit alors
(2.61) Z- ={x9t \ x,teZ,Bv(x9t) < 0} .
Posant
(2.62) L<p = ^ + £ B,(x, t) || + B0(x, t) <p ,
on définit d'abord
(2.63) D(L0) = { v | u £ Lp(g) = ^, L» e LP'(Q) = iT,
t? = 0 sur 2_, i>(*. 0) = 0}
puis L0 u = Lu si v £ D(L0) et
(2.64) L = fermeture de L0 .
On montre alors (cf. Bardos [1]) que L est maximal ^ 0.
Si donc sf est pseudo-monotone coercif de 1f -> f~', on obtient l'existence
de u £ D(L) solution de
(2.65) ^ 4- Ifî,-(x, r)|j + B0(x, t) u + ^(W) =/ . 1
C1) Les conditions aux limites en x étant inchangées.
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 12

332 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On peut, par le même genre de méthode, résoudre des problèmes non Une-
aires pour Véquation de transport.
Soit (jo un espace localement compact dans R„, muni d'une mesure de
Radon d^(co), a> s m-
On va montrer comment résoudre le problème : trouver u = u(x, co, t)
définie dans Q x ço, telle que
S du ^ du [ vf * ^ / * x j / >x
^ f=i ^ J«
+ | u \p~2 u =fj donné dans If'(Q x ço) (>),
(2.67) ueU{Q x ^),
u(x, co, t) = 0 si { x, r } e L x co et
(2.68)
I si £ co(- cos (n, x^ < 0 ,
\ i = 1
(2.69) u(x, co, 0) = 0.
Dans (2.66) AT(x, r, co, a/) est un noyau donné, tel que
w -> K(x, f, co, a/) w(x, a/, r) du(o/) = Ku
soit linéaire continu de Lp(2 x ^) = f" dans lui-même.
La partie linéaire de l'opérateur intervenant dans (2.66) est l'opérateur de
transport (qui décrit, entre autres, la distribution des neutrons, £a désignant
l'espace des vitesses).
On applique le Théorème 1.1, avec y = LP(Q x ço), ,s/(w )= | u \p~2 u,
et L donné par
le domaine D(L) étant défini comme suit ; on introduit d'abord
D(L0) = Iv \ ve-T, Lve-T',
v = 0 si Xe0; cos (n» x«) < 0> x, t g T, u(,x, 0) = 0 ,
puis l'on définit L comme la fermeture de L0.
0) Q X « est muni de la mesure d* dt du(œ).

2. APPLICATIONS 333
Alors Lest ^ 0 maximal (*) (cf. Bardos [1]) de sorte que l'on peut appliquer
le Théorème 1 A, ce qui résout le problème posé ((2.68) étant pris dans un sens
convenable). |
Remarque 2.7.
On peut également résoudre le problème analogue dans l'espace
-T = Lr(œ ; Lp(0), 1 < r < oo . |
2.5 Problèmes non linéaires de Schrœdinger
Pour fixer les idées, on va se borner à un cas assez simple, renvoyant pour
d'autres cas à Bardos-Brezis [1].
On cherche une fonction u à valeurs complexes telle que
(2.70) |i_iAM + \u\p-2u=f,
/donné dans LP'(Q), avec
(2.71) u = 0 sur X, m(x,0) = 0 sur Q.
Pour nous ramener au cas réel, on décompose
u = ux + i u2 («!, w2 à valeurs réelles),
d'où le système
(2<72) Ki + àu2 + \u\p-2ux = fl9
U2 - Aul + | u \p~2u2 =/2.
On va appliquer le Théorème 1.1, avec :
r = {lp(Q))2 ,
j/(i?) = {ii?r2i?!, mp~2»2},
Lt? = { v\ + Ad2> u'2 "~ Ai?i } ,
(2.73) D(L) = { v | ver,Lvsr\ ^(0) = y2(0) = 0,
vt = v2 = 0 sur I" (2) } ;
cette application est loisible pourvu que l'on montre que L est ^ 0 maximal. |
(') Si A'est ^ 0. On peut aussi « faire entrer A" dans se », i- e. prendre
(2) Ces conditions ont un sens.

334 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Introduisons
(2.74) D0(L) = { v | Vj e C°°([0, T] ; W2'P'(Q) n L\Q)),
Vj = 0 sur 27, Vj(0) = 0 }
et munissons D(L) de la norme du graphe. On a le :
Lemme 2.1. — Uespace D0{L) est dense dans D{L).
Démonstration.
Introduisons v = vx + \v2 ; on a à montrer ceci : on donne v vérifiant
(2.75) v £ If(Q) , 1/ - i Au e Lf'(Q) , v = 0 sur I,d(x,0) = 0;
on veut approcher u, au sens de la norme
Il V\\LP(Q) + || U' - i AtMlLP'(Q),
par une suite de fonctions de
C°°([0, T] ; W2'P'(Q) n LP(Q)) ,
nulles sur I et pour / = 0.
On pose, pour h > 0 :
Vh(.x, 0 = { v(x9 t - h) si t ^ h, 0 si f ^ h } ;
t;,, vérifie encore (2.75) et lorsque h -» 0, vh -» v dans la norme désirée.
On peut donc dans (2.75) supposer que v = 0 au voisinage de t = 0. On
peut alors régulariser en r et donc supposer que :
(2 70) [VE C°°(C0' T] *' m)) ' "' " l àV E C00(C°' T] *' LP(Q^ '
\ d = 0 sur I et pour t = 0 .
11 reste seulement à montrer que (2.76) entraîne que
(2.77) i>eC°°([0. T]; W2'"'(Q)).
Si /> > />' (i. e. p ^ 2), t/ est dans C°°([0, T] ; Lp(r3)) c C°°([0, T] ; Lp'(&))
et donc Ai; e C°°([0, 7] ; LP\Q)) ce qui, comme v = 0 sur 2", entraîne (d'après
Agmon [1]) que l'on a (2.77).
Si p < p\ alors Ai; £ C°°([0, T] ; Lp(£)) (car v' e C°°([0, F] ; L'(£)) et
Lp'(&) c Lp(£)) donc, par Agmon [1], v e ^([O, T); W2>P(Q)) donc
112/ 1 2 \
i;eC°°([0, T];Lg,(^)) où — = ou ^ fini quelconque si ^ 0 .

2. applications 335
Donc v' g C°°([0, T] ; Lqi(Q)) \%\qx> p\ v' g C°°([0, T] ; Lp'(^))eton obtient
(2.77) comme précédemment. Si ql < p\ alors Av g C°°([0, T]; £«'(£)) et donc
i; g C°°([0, T] ; W2/,,(Q)) c C°°([0, T] ; L?2(Q)) ,
11214 « ■ i -14^n
— = = ou q7 fini quelconque si ^ 0
q2 qt n p n p n
et ainsi de suite. 1
Définissons ensuite
( D(M) = {v\ ver, Lvsr\ vx(T) = v2(T) = 0,
(2.78) vx = v2 = 0 sur 1} ,
l Mu = — Lv pour i; g D(M).
On introduit D0(M) de façon analogue à D0(L) et on a encore D0(M) dense
dans D(M) (pour la norme du graphe).
On a alors :
(2.79) (Lv, w) = (v, Mw) Vv e D(L) , w g D(M) .
En effet on vérifie sans peine que (2.79) est vrai si v g D0(L) et vv0 g D(M)
puis l'on utilise la densité. |
Le résultat désiré est alors conséquence des remarques suivantes :
(2.80) L est fermé de domaine dense dans V,
(2.81) L^O, M>0,
(2.82) L* = M.
Reste à vérifier ces propriétés.
Vérification de (2.80).
Si y = Vi 4- if 2, tout revient à ceci : soit vn g Lp(Q), v„ -> u dans Lp(g),
t^ — i At>„ -> y ' - i Av dans Lp(g),
vn = 0 sur 2" et pour ? = 0, alors v = 0 sur I et pour f = 0.
Oïv'n -> t/dansLp(0, T; ^-2*p(&)) 4- Lp'(0, T ; LP\Q)) et donc u„(0) -> v(0)
dans ^_2'p(&) -f Lp'(&) (en particulier !) ; donc v(0) = 0.
De même Avn -* Av dans LP'(Q) + W~1,p(0, T; LP(Q)) et donc, en
particulier, vn -» v au sens des distributions sur I (cf. Lions-Magenes [1].) Donc
v = 0 sur I. |
Fm/zcat/O«de(2.81).
Les propriétés sont immédiates sur B0(L) et DQ(M) et Ton passe à la limite. |

336 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Vérification de (2.82).
Soit w e D(L*) ; alors v -> (Lv, w) est continue sur £>(L) pour la topologie
induite par 'V et (Lv, w) = (v, L* w), L* w e y. Prenant v e @(Q), on a :
(Lv, w) = (v, Mw)
donc
(2.83) Àfw = L*weiT\
Alors
(2.84) (Lv, w) = (v, Mw), v e D(L), w e D(L*).
Prenons dans (2.84) v e ^(2), nu^ au voisinage de 2" et au voisinage de / =0.
Alors
(Lv, w) = i?j(x, F) WjOc, 7) dx 4- u2(x, F) w2(x, 7) dx + (u, Mw)
(où les intégrales expriment, par exemple, la dualité entre 2iï(Q) çt@'(Q)), d'où
résulte que
(2.85) w,(x, T) = w2(x, F) = 0.
Prenant ensuite dans (2.84) v e @(Q), nul au voisinage de / = 0 et de / = T
et nul sur Z, il vient :
(Lv, w) = | (^ w, - |£ w2j dr + (o, Mw)
d'où résulte que
(2.86) wl = w2 = 0 sur I.
Donc (2.85) (2.86) montrent que w e D(M), et donc D(L*) c D(M). Mais
(2.79) montre Vinclusion inverse et par conséquent D(L*) = D(M) d'où le
résultat suit. |
Le résultat final est donc, par application du Théorème 1.1 : il existe une
fonction u et une seule (l) solution de (2.70) et (2.71).
Remarque 2.8.
Le même type de méthode s'applique à l'équation
(2.87) ~- Au 4- \ur2u=f,
(•) A cause de la monotonie stricte de j/.

2. APPLICATIONS
337
avec
(2.88) w = 0 sur I, u(xt 0) = 0 si xgG,
en prenant
Lu = Au ,
dt
(2.89) ^ D(L) = | i? [ v g Lp(2), ^ - Ai? e LP\Q\ v = 0 sur 27,
y(x, 0) = 0, x g Q .
En effet l'opérateur L défini par (2.89) est ^ 0 maximal. Le résultat obtenu
par application du Théorème 1.1. peut d'ailleurs, dans ce cas, s'obtenir
beaucoup plus simplement par les méthodes de compacité ou de monotonie, en
prenant
du
Lm = — ,
dt
D(L) = li? [ ue LP(Q), ^ g Lp'(g), u = 0 pour t = 0
et
J3fW = - Al/ + | U\P~2 U.
Cette remarque montre que Von peut avoir plusieurs choix de décomposition
possible d'un opérateur donné en L 4- se'. |
Remarque 2.9.
Le problème traité dans ce numéro peut être résolu (sous des hypothèses de
régularité différentes) par la méthode de compacité. Cf. Chapitre 1, nro 10. |
2.6 Une équation non linéaire changeant de type
On considère dans ce numéro l'équation suivante :
(2.90)
x^ + (-ir---
dt dxm
dmu
p~2 dmu\
=/, - 1 <x < 1, 0 < t < T
(p donné avec 1 < p < oo),
(2.91) Djxu(± 1,0 = 0, O^y^m-l,
u(xy 0) = 0 si x > 0 ,
(2"92) lu(x9T) = 0 si x<0.

338 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On va montrer, par application du Théorème 1,1, que ie problème précédent
admet une solution et une seule (dans un espace que nous allons introduire).
Remarque 2.10.
On notera que Taxe x = 0 est singulier pour l'équation (2.90) ; l'opérateur
intervenant dans (2.90) est « parabolique dans le sens des i croissants » (resp.
décroissants) si x > 0, (resp. x < 0) ; ce changement de type se traduit dans
les conditions (2.92) : pour x > 0 la condition « initiale » est donnée pour
/ = 0, alors que pour x < 0, elle est donnée pour t = T. |
Notations.
Nous posons :
Q =]- 1 , 1[ , -T = Lp(0, T; W£'"(Q)) ,
(2.93) sf(u) = (- l)w—-
dxm
ôxm
p~2 d"^
dx7"
qui est monotone (et même strictement monotone, ce qui implique l'unicité)
de 'V -* V' (et borné, hémicontinu ; c'est d'ailleurs une application de dualité).
On définit ensuite
(2.94) D(L) = \v\ver,x~eir\
v(x, 0) = 0 si x > 0, v(x, T) = 0 si x < 0 (!) ,
où
tT'= Lp'(0,T; W-m'p'(£)),
et
(2.95) Lv==x~dT
On va montrer :
(2.96) L défini par (2.94) (2.95) est fermé, de domaine dense, ^ 0 maximal
On peut alors appliquer le Théorème 1.1, d'où notre assertion, /a solution u
de (2.90) (2.91) (2.92) <?ta/?f trouvée dans D(L). |
La Démonstration de (2.96) repose sur le résultat suivant, qui a un certain
intérêt en lui-même. On introduit
(2.97) tT = i; ustT, x-ef
lu uef, x-ef ,
(') On va voir que ces conditions ont un sens.

2. APPLICATIONS
339
espace de Banach pour la norme du graphe :
vU=\\v\\ir +
ÔV
dt
Alors
Proposition 2.1
1) Pour tout v e if, on peut définir de façon unique (*) les traces v(x, 0) et
v(x, T) et
(2.98) | x |1/2 v(x, 0), | x |1/2 i;(x, T) £ L2(£)
et* dépendent continûment dans L2(Q) de v e if.
2) Pour tout u,v e if on a la formule de Green :
(2.99) (x ~ , w) 4- (i>, x ^) = j xi;(x, T) w(x, T) dx -
xu(x, 0) w(x, 0) dx . |
Vérifions tout de suite que cette Proposition entraîne (2.96). La fermeture
de L résulte aussitôt de 1). Par ailleurs, si v e D(L), en appliquant (2.99) avec
h> = u, il vient
2(Lt>, v) = xv(x, T)2 dx - xv(x, 0)2 dx ^ 0 .
Soit ensuite w e D(L*) ; donc f -» (Lu, w) est continue sur D(L) muni de la
topologie induite par "f et (Lu, w) = (f, L* w).
Prenant i; e ^(G) on en déduit que
(2.100)
ot
et par conséquent w £ #". On peut alors appliquer (2.99) de sorte que w e D(L*)
équivaut h w s if et
xv(x, T) w(x, F) dx - xu(x, 0) w(x, 0) dx = 0 Vu £ D(L) .
0) Par prolongement par continuité.

340 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On en déduit
w\ w e tT, x -^- g iT\ w(x, 0) = 0 si x < 0,
I et
(2.101) l w(x,T) = 0 si x > 0\ ,
Il n'y a plus (d'après le Lemme de maximalité 1.1) qu'à vérifier que L* ^ 0.
Or (2.99) donne
2(L*w, w) =
xw(x, T)2 dx - xw(x, 0)2 dx
Vx<0 Jx>0
> 0. |
Démonstration de la Proposition 2.1.
Les points à montrer sont :
(1) densité dans iV des fonctions « régulières » ;
(2) les propriétés (2.98).
Alors (2.99) en résulte, car la formule est évidente pour v, w « régulières »
et on prolonge par continuité en utilisant (2.98).
Pour la question de « densité », on vérifie ceci :
(2.102) les fonctions de C°°([0, T\\ W™tP(Q)) sont denses dans tT.
(Noter que W™,P{Q) œ W~m,p'{Q), Q étant de dimension 1). Pour montrer
(2.102), on prolonge iV à t e R, (par réflexion) puis l'on régularise en /.
Tout revient donc à (2.98).
Réduisons le problème comme suit : si 0 e @(Q), 0 = 0 au voisinage de
x = 0, =1 au voisinage de x = ± 1, on vérifie que v -* Ov est continue
de iV -* iV, Mais si 6 = 0 dans ]— x0, x0[ par exemple (x0 < 1), on a :
n tm, l0veL'(09T;W?->QxO9lD),
{ } \W e[f(0,T;W-m-*QxO9\l))
car (0v)' = - (0 x v') et - est un multiplicateur sur W™,p (]x0, 1[) I
et d'après les Théorèmes de trace usuels (cf. Lions-Peetre [l])
(0») (x, 0) e L2(x0, 1)
— et on a évidemment le résultat analogue dans ]— 1, — x0[.
Donc tout revient à montrer (2.98) pour ij/v, où ^ e @(Q), \jt = 1 au
voisinage de x = 0. Mais on peut alors travailler sur R au lieu de Q. On introduit
donc
(2.104) W{R) = {v \ ve Lp(0, T; Wm'p(R)) , xv e Lp'(0, T; W~m'p'(R))}

2. APPLICATIONS 341
et la question se réduit à montrer (*)
( les fonctions « régulières » sont denses dans 7^(R) et, Vu e iTÇR),
(2.105)
l|x|1/2t;(x,0)eL2(R) et || | x |1/2 v(x, 0) ||L2(R) ^ c \\ v ||^(R).
La densité se traite comme pour (2.102).
La démonstration de (2.105) résulte alors des deux observations suivantes :
(i) le résultat analogue à (2.105) est immédiat si l'on remplace, dans la
définition de ^(R), xv' par | x | v' ;
(ii) on peut se ramener au cas (i). |
Etude de (i).
On introduit donc
(2.106) £ = { v | v e Lp(0, T\ Wm'p(R)) , \ x \ v'e Lp'(0, T; W'm'p'(R))} .
On vérifie par troncature et régularisation en t que les fonctions v de SC qui
sont dans C°°([0, T] ; Wm'p(R)) et à support compact dans R x [0, T] sont
denses dans 3C ; pour montrer l'inégalité de (2.105) on peut, par troncature,
supposer que v est nulle au voisinage de t = T ; on a alors :
r + oo r oo j / r + oo \
j \x\\v(x,0)\2dx= - j -(J | x | |^(x, 0 |2dxjd(
= - 2 \x\jr-vdxdt
•J 0 J ~oo <^
^ 2 || y ||lp(o,t; H""»p(R))
|L^'(0,T ; ff-"i»P' (R))
d'où le résultat.
Etude de (ii).
C'est le point techniquement essentiel. On utilise le Lemme de Prolongement
que voici (Baouendi-Grisvard [1]) :
Lemme 2.2. — Soit m entier ^ 1 donné. Il existe des opérateurs Pu P2
tels que
(2.107) F! e &(Wm'q(0, oo) ; Wm>q(R)) Va ,
(2.108) P2 e &(W-m'q(0, oo) ; W~m'q(R)) V?,
(2.109) Pi(p = (p sur ]0, oo[, Vç>, i = 1,2,
(2. HO) | x | F! m = F2(xw) Vu g tf""'*(0, oo).
C1) On aura évidemment, par la même démonstration, le résultat analogue pour la trace
pour / = T.

342 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Démonstration.
On définit
l u(x) si x > 0,
Fi «M = ] ^
/ 2-i aJt w("~ ^x) s* x < o,
les ak étant à déterminer dans R. On a (2.107) (Va) si
2m
(2. Hl) Z(-/c)X=l, 0^f<m-l.
On note ensuite que
l xu(x) si x > 0 ,
I x | PMx) = ) 2m
/ £ -^(-/cx)w(-/ex) si x<0,
\ fc=i ^
d'où (2.HO) si
( v(x) si x > 0,
F2 y(*) = ) 2m a
/ £ ~ u(- kx) si x < 0 .
On a le résultat si l'on peut choisir les ak de façon que l'on ait (2.108), i. e.
par transposition :
(2.112) P*e^(Wmw'(R); W™<q'(0, oo)) (Vg').
Or F2* est donné par
p2* ^(x) = cp(x) + Z -rl^(— ?)• * e rn,''(R) • * > °
et (2.112) équivaut à
(2.H3) I -\K—r= -L o<y^m- i.
Choisissant, ce qui est loisible, les ak par (2.111) (2. H3), on a le résultat. |
Démonstration de (2.105), fz//.
Soit v e i^(R), v+ la restriction de y à l'ouvert x > 0. Posons :
w = Pv = F1(y+) (i. e. Pu(/) = F1(f+(r)) pour presque tout t),
Fi (et F2) donné comme au Lemme 2.2.

2. APPLICATIONS
343
On a:
weLp(0, T\ Wm'p(R)),
Pl(^±)=P2(x^±) (d'après (2.110))
et donc, d'après (2.108),
'ȣ-"i
Ixl^eL^^Tî^-^'CR)),
donc h- e 3C. Alors, d'après (i)
|||xr/2w(x,0)||L2(0>oo)^ Ci llwllr <c2||i7|Uw
et comme w = v pour jc > 0, on a :
|||xi1/2i;(x,0)||L2(O)OO) ^c2|M|^(R).
On a évidemment le même résultat en changeant x en — x, d'où (2.105). I
2.7 Problèmes paraboliques non linéaires dans des ouverts non cylindriques
Soit Q = ouvert non cylindrique de R" x Rt ; on suppose que Q est borné,
contenu dans la bande 0 < t < T, de frontière latérale I régulière, la section
Qs = Q n { / = s) « dépendant continûment » de s et n'étant jamais vide.
(Les hypothèses précises que nous utiliserons sont données dans Lions [20]).
On cherche une fonction u = î/(x, t) définie dans Q et vérifiant
(2.114) Ç + (-l)m S D*(\D*i<r2 D*u) =/(1),
01 \a\-m
/donné dans g, avec
(2.115) Dxu = 0 sur 27, | jS | < m - 1 ,
(2.116) u(jc,0) = 0, xe^0.|
On va ici encore appliquer le Théorème 1.1, dans les conditions suivantes ;
on définit d'abord :
(2.117) rT = {v \ D*veIf(Q), \ P \ ^ m,
Dxv = 0 sur I pour | jS | < m - l(2) } ,
puis on définit se par :
(2.H8)
\(sf(u),v)= £ f I D*u \P~2 D*u D'vdxât, u, v ef ,
; \a\=m J Q
(sf(u)er', st{u) = (-\)m X Da(\Dau\p-2 Dau).
\ | a l=m
(i) oa = dérivation en x.
(2) Ces conditions ont un sens.

344 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On définit ensuite :
(2 119) (D(L)= {v\ ver, v'er\ v(x, 0) = 0 (l)} ,
L'opérateur L est fermé de domaine dense et l'on verra qu'il est ^ 0 maximal.
Il résulte alors du Théorème 1.1 (l'unicité étant conséquence de la stricte
monotonie de stf) :
/ ^ problème (2.114) (2.115) (2.116) admet une solution unique dans
( } \ D(L) défini en (2.119).
Remarque 2.11.
Naturellement le résultat précédent redonne le cas où Q est cylindrique. g
Remarque 2.12.
On pourra traiter de la même manière qu'au nro 2.6 le problème aux limites
analogue pour l'équation (2.90) dans un domaine de Q non cylindrique,
I consistant en deux courbes régulières situées respectivement dans x > 0 et
x < 0. I
Positivité et maximalité de L.
On introduit (exactement selon les mêmes idées qu'au nro 2.6) l'espace
(2.121) W =\v \ veiT, ys-f"
et Ton montre (cf. Lions [20], où la démonstration est faite dans le cas p = 2
mais est valable sans changements dans le cas 1 < p < oo) : V«, v e iV> on a :
*■>*> (ï-)4-D-
= u(x, T) y(x, F) dx - u(x, 0) v(x, 0) dx .
Appliquant (2.122) à u = i; e D(L), on a :
2(Lu, u) = \ u(x, Tf dx > 0 .
Utilisant (2.122) on vérifie ensuite que
D(L*) = {v \ ve-T, v'e V\ v(x, T) = 0, x e QT } ,
(2123) * a,
(0 Cette condition a un sens.

2. APPLICATIONS
345
et (2.122) donne alors
2(L* v,v)= v(xf Oy dx > 0
d'où le résultat, d'après le Lemme 1.1.
2.8 Problèmes non linéaires de type mêlé
On considère un ouvert cylindrique Q = Q x ]0, T[ et soit
(2.124) Iq = ensemble de mesure positive c I.
On cherche u = u(x, 0» *> t e g, vérifiant (*)
(2.125)
(2.126)
(2.127)
(2 A 28)
dt & dXiXl dxt\ dxj J (*}'
À dx.
u = 0 sur Z"0 ,
-— cos (v, x;) = 0 sur T — r0 ,
oxt-
v = normale à F,
u(x, 0) = 0 , x e -Q .
On va démontrer Yexisîence de u par utilisation de la Remarque 1.2. On
introduit :
(2.129) r = Iv | v, ~eLp(Q\ i = 1,..., n ;v = Op. p. sur 270 J
et on définit se par
(2?130) {sé{u\ v)=t\
_3u
dX;
-a— ^—dxdf , Vm, i>eiT .
OX; C7X:
L'opérateur ^ ainsi introduit est monotone de V -> V' et, grâce au fait
que les fonctions v ei^ sont nulles sur IQ9
(s/(v\v)>a\\v\\prn a>0.
On introduit ensuite
(2.131) D(M) = v
ver, JeL2(Q) (3);o(x,T) = 0,xe^ (4)
(0 Dans un sens convenable qu'on précise ci-dessous.
(2) On peut aussi bien considérer un opérateur comme en (2.114), ou même plus général
comme dans le nro 2.1.
(3) Et non dans "K\ de sorte que M n'est certainement pas maximal.
(4) Cette condition a un sens.

346 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
et
(2.132) Mv = -!-.
ot
Alors M est ^ 0 car, pour v e D(M) on a :
2(Mv9 v) = f v(x9 0)2 dx .
On en déduit, par application de (1.28), Remarque 1.2, qu'il existe u dans 'V
tel que
(2 A 33) (m, Mv) + (V(u), y) = (/, v) Vv e D(M).
Cette fonction u ainsi mise en évidence est solution {faible) du problème (2.125)
... (2.128), comme on vérifie par un calcul formel
3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE ET INÉQUATIONS VARIA-
TIONNELLES HYPERBOLIQUES
3.1 Position des problèmes
Au nro 1 nous avons « approché » des équations paraboliques par des
équations elliptiques : l'étape « naturelle » suivante est d'essayer d'approcher des
équations hyperboliques par des équations paraboliques : c'est la régularisation
parabolique, dont nous allons montrer Vutilitè. |
Nous allons appliquer cette méthode à des inéquations d'évolution de type
hyperbolique (*) (nous n'avons jusqu'ici traité — Chap. 2, nros 8 et 9— que les
cas d'inéquations elliptiques si paraboliques).
D'autres applications de la régularisation parabolique seront données
au nro 4. |
3.2 Un résultat général
Notations et hypothèses.
On donne un couple d'espaces hilbertiens V, H avec
(3.1) V c H,V dense dans H, V -> H continue.
On identifie H à son dual ; alors
V a h a y .
On posera, pour simplifier Vécriture :
(3.2) L2(0, T;V) = L\ V), L2(0, T ; H) = L\H) etc.
0) Ou relatives à des opérateurs bien posés au sens de Petrowski.

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 347
On posera ensuite :
n -v lr= L2(0, T;VxV) = L2(V) x L2(V),
{ ' } \ JP = L2(0, T ; V x H) = L2(F) x L2(H).
Identifiante à son dual, on a :
(3.4) y œJ#> c tT', tT' = L2(F) x L2(F'). |
Opérateur A.
On donne A avec :
(3.5) Ae&(V\V'), A* = A,
et tel qu'il existe c et a tels que
(3.6) (Av, v) + c\\v\\2H> a || t; ||2, a > 0, Vt; e V
(où (v4u, t;) désigne le produit scalaire entre V et V). |
Produit scalaire sur V.
On munira Kdu produit scalaire (c'est loisible d'après (3.5) (3.6)) :
(3.7) ((m, v)) = ((A + c) m, y) , m, ueK. |
Opérateur A sur L2(V).
Pour ne pas multiplier les notations, on désignera encore par A l'opérateur
de L\V)-> L2(V) donné par
(AtO(0-=A(KO) p'p-
Opérateur se'.
Soit A: > 0 donné. On définit
(3.8) ^'{a û1)' ^e^(^;^')-
$iv = {vuv2} ey, alors
^ = { kvl — y2, At^ -f kv2 } e y .
Une fois le produit scalaire choisi sur F par (3.7), le produit scalaire dans Jf
est donné par
(u,v) = [((«i,t>i)) + (u2,v2)]dt.
•> o

348 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Alors
(sfv, v) = [((/ci>i - v2, vj) 4- (Avx + kv2, v2)\ dt =
J o
= [k((A + c) vl9 vj - ((A + c) u2, yj 4- (Aul5 v2) + k(v2, v2)] ât
J o
> f [fax II r, ||? + fc || »2 lia - c || o, ||„ || »2 ||„] ât,
J o
Mais
(3.9) \\v\\H^d\\v\\v VveV,d>0,
d'où l'on déduit que si
(3.10) k > -d=,
2 Va
alors
il existe a0 > 0 tel que
(j/t?,t?)^a0|M|2, Vi?e^.|
(3-H) ^ ,^ ^ _ „ „2
Les semi-groupes G(s) et g(s).
On donne maintenant un semi-groupe G(s) continu dans L2(V), L2(H) et
L2(V), de contractions dans L2(H). On désigne par — A le générateur
infinitésimal de G(s)t et par D[A ; L2(H)) le domaine de A dans L2(H) etc..
On associe à G(s) le semi-groupe dans Y", Jf', V' donné par
^)-(cC(,) °
\0 G(s)J
et on désigne par — L le générateur infinitésimal de g(s), donc
(A 0\
(312) L = \o ^
(3 A 3) D(L ; jf ) = D(A ; L2( K)) x Z>(A ; L2(H)) . |
Lt?5 convexes jf",..
On se donne deux convexes Jf-, / = 1,2 avec :
Jf(. = ensemble convexe fermé de L2(V),
et l'on supposera
(3.15) il exister > 0 et w0 e L2(V) tels que a.yT2 + vv0 c jTt.

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 349
Remarque 3.1.
Dans les applications, le seul cas vraiment utile semble être celui où
*", = L\V),
auquel cas (3.15) est vérifié quel que soit JT2. |
Compatibilité (comparer au Chap. 2, nro 9 et en particulier aux nros 9.2 et
9.6.2).
On fait les hypothèses suivantes :
(3.16) G(s) Av = AG(s) v Vs ^ 0, Vy e L2(V),
(3.17) G(s)JflczX'l Vj^ 0,i =1,2,
/ i! existe ^ > ° teî que' Vs ^ °> Vy 6 ^ ' = *> 2 '
( " } | G(s) v + G*(s) i; - G*(s) G (s) v + (p - 1) v s pJft .§
On va démontrer le
Théorème 3.1. — On suppose A donné avec (3.5) (3.6) et $4 donné par (3.8)
avec (3.10). On suppose que (3.14)... (3.18) ont lieu et en outre que
(3.19) I ((A + c)Avuvl)dt ^ 0 VvxeD(A;l}{V)).
j o
On donne fe D(A ; L2(H)) et Von pose F = { 0,/} (eJf).
Il existe alors un élément u et un seul tel que
U £ Cri i X CfC 2
<3-20) UeD(L;/)
et
(3.21) (Lu,v - u) + Gs/w, y - u) > (F, i; - m) Vy e Jf .
Remarque 3.2.
L'inéquation variationnelle (3.21) n'est pas du type de celles rencontrées
au Chapitre 2, nro 9, parce que sf restreint à if n'est pas coercif sur 'V mais
seulement sur JF (c'est la situation typique des opérateurs hyperboliques ou
bien posés au sens de Petrowski). |
Remarque 3.3.
Avant de donner des Exemples (cf. nro 3.3) explicitons (3.21). Comme
Cft = CfC j X Ji 2 ( ) •
(0 On peut d'ailleurs, par la même méthode que ci-après, traiter des cas un peu plus
généraux.

350 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
(3.21) se décompose en deux inéquations
luleD(A ;L\V))y MjLeJfjL ,
(3.22) , ,
[((Auu i?! - mO) + ((feut - u2, vt - Ut))] dr ^ 0 Vu! e Xl
u2 e D(A ; L2(H)) n L2(V) , w2 e Jf2 ,
[(AÎ/2, t>2 ~~ Ul) + (^Wl + ^W2> ^2 ~~ W2)] ^^ ^
J 0
(3.23)
fr(/,«2-«
J 0
^ (f>2 - ui)dt Vu2eJf
2
Cas particulier : Jf, = L2(K).
Alors (3.22) se réduit à Véquation
(3.24) Aw. +/:«!- w2 = 0. |
Démonstration du Théorème 3.1: Unicité.
Soient w et w* deux solutions ; prenant v = u* (resp. i; = u) dans l'inéquation
relative à w (resp. w*) et additionnant, il vient
(3.25) (L(u - u*), u - u*) + (j*(w - m*), w - u*) ^ 0 .
Mais comme G(s) est de contractions dans L2(H), A est > 0 sur
D(/ï ; L2(//)) et d'après (3 .19) A est ^ 0 sur D(A ; L2(F)), donc
(L(w - u*), u - u*) < 0
et grâce à (3.11), on déduit donc de (3.25) que
a0 I u - w* |2 ^ 0,
d'où u = u*. |
Démonstration du Théorème 3.1: Existence.
1) Régularisation parabolique.
On introduit l'opérateur
et l'on « remplace » ^ par ^ 4- e&, e > 0. On note que
(3.27) ({sJ + e#) u, y) ^ a0 |M& + e [ ((A 4- c) y2, v2) ât
J o
et donc en particulier se + e& est coercifsur if (*).
(') On a exactement ajouté à se ce qu'il manquait pour la coercivité sur T^".

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 351
On peut alors appliquer les résultats du Chapitre 2, nro 9. On est dans les
conditions d'application du Théorème 9.7, Chapitre 2. Il existe donc un
élément uE et un seul vérifiant
(3.28) uE e Xx x jf2, ut e D(L ; iT),
(3.29) (Lwe, v - ue) + ((s/ 4- s&) u„ v - uE) ^ (F, v - ue) Vu e Jf .
Le problème (3.28) (3.29) est le régularisé parabolique du problème initial.
2) Estimations sur uv
Première estimation. On fait v = 0 dans (3.29) (car 0 e Jf,-). Alors
(Lw„ u.) 4- ((j* + e£) ue> ue) ^ (F, m.) = f (/, Ml2) df ^
■> o
< C II W,2 ÏÏLHH)
et donc d'après (3.27) et comme (Lwe, uE) ^ 0 :
(3.30) wE demeure dans un borné de Jf lorsque e -* 0.
Deuxième estimation. On utilise maintenant la méthode de démonstration
du Théorème 9.7. On multiplie les deux membres de (3.29) par p > 0
(intervenant dans (3.18)) et l'on choisit v par (c'est loisible d'après (3.18)) :
po = feO) + g*(s) ~ g*(s)g(s) 4- (p - 1)] uE.
Il vient :
(Lu,, - (g*(s) - /) (g(s) - I) u.) +
H- (K + bM) u„ - (g*(s) - T) (g(s) - I) ut) > (F, - (g*(s) - f) (g{s) - I) u,) .
Mais grâce à (3.16) on en tire
( (L(g(s) - /) u„ (g(s) - I) «,) +
(3-31)
+ ((j/ + e£) (gis) - I) uE, (g(s) - I) h.) <
^ (fe(s) - /) F, (g(s) - /) u.)
et comme L est > 0, on en déduit, en utilisant (3.27) que
|| (gis) - I) u,\\jr ^ c, || (Gis) - I)f\\LHH) || (g(s) - /) ut 1^
d'où
(3.32)
g« " /
^ct
G(s) - /
/
mm
Comme on a supposé que/ e D(A ; L2{H))y on déduit de (3.32), en faisant
tendre s vers 0, que
Lw,
^ constante

352 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
ce qui, joint à (3.30) montre que
(3.33) ut demeure dans un borné de D(L ; Jf) lorsque e -> 0.
Troisième estimation. On prend maintenant dans (3.29)
v = { ™a 4- w0, ue2 } ,
ce qui est loisible d'après (3.15). Alors (3.29) donne
((A 4- c) (Auel + kua - ue2), aue2 + w0 - uel) ât ^ 0 .
J o
d'où
<r ((A + c) we2, we2) d/ < ((A4- c) (/lwEl 4- /cwBl), out2 4- w0 - w£l) df
J o Jo
- (0* 4- c)ne2, w0 - uel)df,
J o
d'où
«^ Il Wc2 Hl2(F) < C2 II Autl + *"«! ||L2(K)(|| Ue2 \\L2(V) +
+ Il W0 - «81 IW)) + (C2 II "e2 I W) Il W0 - W81 IW)) '
Mais grâce à (3.33),
Il W.l IW) + Il ^M.l IW) < C3
et donc (3.34) donne
Il w«2 IIl*(k> < cÂl + Il uei \\mv))>
d'où
(3.35) wc2 demeure dans un borné de L2(V)
ou encore (grâce à (3.33)) :
(3.36) ut demeure dans un borné de y.
3) Passage à la limite
On peut alors extraire une suite, encore notée uet telle que
ut -» u dans D(L \tf)r\-r faible, ueX .
Alors e(^wc, y - we) -> 0 et (3.29) donne (3.21). 1
Remarque 3.4.
On peut considérer des cas où A dépend de t. Cf. Brezis-Lions [1], Remarque,
2°. 1
(3.34)

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 353
Remarque 3.5.
La troisième estimation dans la Démonstration ci-dessus est évidemment
sans objet si
(3.37) jf 2 est borné dans L2(V) ;
alors (3.15) est inutile. |
Remarque 3.6.
Supposons que se soit donné par (3.8) mais avec k = 0, donc
et faisons l'hypothèse suivante: Jf\ = L2(V), X2esî borné dans L2(V) et si
Uj e D(A ; L2(V)) et {A + e) ^ demeure dans un borné de L2(V) (Vf, £ -» 0),
alors Vj demeure dans un borné de L2(V).
Dans ces conditions, le Théorème 3.1 est encore valable (*). En effet on prend
cette fois :
de sorte que
([se 4- e@) v, v) = s(&v, v) ^ e || v \\$ ;
il existe donc ut dans X ^ x jf 2 et D(L ; f) tel que Ton ait (3.29), d'où
((A 4- c) (AuEl - ue2 4- suEil Vl - wel) > 0 V^ e L2(K)
et donc
(A 4- e)wBl = we2 .
Mais uEl e ^2 bor^edans L2(V) et donc wel demeure dans un borné de L2{V)
(et même de D(/ï ; L2(V))). On a donc déjà les résultats de la première et de
la troisième estimation (Démonstration du Théorème 3.1). La deuxième
estimation est valable sans changement, d'où le Théorème suit. |
Remarque 3.7.
On peut remplacer les hypothèses (3.17) (3 A8) par les suivantes :
(3.17 bis) il existe fi e R tel que Vs > 0 : Qxp(ps) G(s) Jf, c jf,, 7 = 1,2,
!il existe p > 0 tel que, Vs > 0, Vu e Jf, . i = 1, 2 ,
exp(/?s) G(s) y 4- exp(- £s) G*(s) y =
= G*(s) G(s) v + (p - l)ve pX{.
(') En ce qui concerne Vexistence. Pour l'unicité, on raisonnera directement sur chaque
cas — cf. Exemple 3.4 ci-après.

354 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
3.3 Applications
Exemple 3.1.
Soit Q un ouvert borné de R", de frontière F régulière. On va démontrer,
comme application du Théorème général 3.1 le
Théorème 3.2. — On donne une fonction f = f(x, t), avec
(3.38) /, feL2(0, /(*, 0) = 0 .
17 existe une fonction u et une seule telle que
/o ™\ du du d2u d2u 2 .
(3.39) w, —, —, —— . —-sU{Q)y i = l,..., n,
dxt dt dXidt dt2
(3.40) _J? _ Au =/ dans S,
^2
(3.41) w(x, 0) = 0, ~ (x, 0) = 0 sur Q,
dt
^->0 sur 27, P~>0 sur Tf1),
(3.42)
du du
Démonstration.
On applique le Théorème 3.1 dans les conditions suivantes :
V= Hl(Q),
Xx = L\V) = L2(0, T;V)t
Jf 2 = {y | v e L2(K), i? ^ 0 p. p. sur 27} ,
G(s) (jo(r) = {<p(t - s) si t ^ s, 0 si t < s } .
On vérifie que toutes les conditions du Théorème 3.1 sont satisfaites (2).
(0 djdn = dérivée normale à r dirigée sur Vextérieur de Q. D'après (3.39),
Aw = d2u!dti—feL2(Q),
de sorte que dujdn a un sens d'après Lions-Magenes [lj.
(2) En choisissant k > 0 .

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 355
L'opérateur A est A = d/df, avec comme domaine les fonctions nulles pour
î = 0. On peut ici utiliser (3.24). On a donc l'existence et l'unicité d'un couple
uu u2 avec
(3.43) Wl e D(A ; L2(V)) i. e. WleL2(K), u\ e L2(V), Mt(0) = 0 ,
(3.44) w2 e D(A ; L2(//)), u2 e jf2 ,
(3.45) «; + fcii! - «2 = 0,
(3.46) (w2 + At/t + /cw2 -/,i;2 - u2)d* > 0 Vu2eJf2.
J o
Comme Jf*2 est un cône de sommet l'origine, (3.46) équivaut à
(w2 4- AWi 4- ku2 — /, v2) dt > 0
(3.47) ) "°
Vu2 e Jf 2 , avec « = 0 » si v2 = u2 .
Utilisant la définition de JT2, on en déduit que
(3.48) u2 — At/x 4- /cw2 =/ dans Q.
Si l'on multiplie par v2 et que l'on intègre par parties, on déduit de (3.48)
que C)
(3.49) [ d-^v2àE= [ (u'2 + AWl + ku2-f,v2)dt
et donc
(3.50) —-i;2dr>0 Vi;2 e Jf 2 , avec « = 0 » si v2 = w2 ,
donc
(3.51) ^0, „2^ = 0.
Posons alors
C1) Rappelons que
dn ' dn
w(. = e" ut, i = 1,2.

356 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On déduit de (3.45) et (3.50) que
/ w[ — w2 — 0 ,
(3.52) ) w'2- Aw, =e'7 = r.
w2 ^ 0 sur E, ----■ = 0 sur I, w2 --— = 0 sur E .
\ dn on
Alors u — wx satisfait aux diverses conditions du Théorème, avec/remplacé
par/*.
Comme il y a équivalence de la recherche de w, de { wu w2 } et {w,, w2 }
on a aussi l'unicité. |
Exemple 3.2.
Nous allons considérer le problème des solutions périodiques en / d'une
inéquation du type (3.40) (3.42). Il faut prendre garde que le changement
w-t = e*' ut détruit la périodicité en t. On va vérifier ceci : on donne une fonction
/telle que
(3.53) /, feL2(2), /(x,0)=/(x,T), xeQ.
Soit k > 0 donné.
// existe une fonction u et une seule, vérifiant (3.39) et
(3.54) —, + 2kÔU + k2u - Au =/ dans g,
(3.55) u(x, 0) = m (x, T) ,^(x,0)=^(xJ),X6fl
er(3.42).
On applique le Théorème 3.1 avec les mêmes données qu'à l'Exemple
précédent, mais le semi-groupe G(s) étant cette fois donné par
G(s) (p(t) = {cp(t - s + T) si t ^ s , cp(t - s) si r > s } .
On obtient {ulyu2} avec
(3.56) f Ui G D(A '' L2(F))'- e- Wl 6L2(K)' "' eL2(K)' "l(*'0) = "l(*' T) '
1 u2 e D(A ; L2(tf)) ,
et (3.45) (3.46). On interprète (3.46) comme dans l'Exemple 3.1 et l'on voit
que u = «, répond à la question. |

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 357
Exemple 3.3.
La fonction f étant donnée avec (3.38), // existe une fonction u et une seule
telle que (3.39) ait lieu, ainsi que
(3.57) ^^0 dans Q, u = 0 sur E,
et
(3.58) (—-Au-A^O dans g,
\dt2 I
(3.60) w(x, 0) = 0,^(x, 0) = 0,xeQ(1).
or
On applique pour cela le Théorème 3.1 avec F = H0(Q),
A = - A, jf ! = L2(0, T ; K)j, Jf 2 = { y | u > 0 p. p. dans Q, v e L2(V) } ,
et le semi-groupe des translations. On pourra alors prendre (comme dans
l'Exemple 3.1) w = exp(kt)ul. |
Exemple 3.4.
On donne encore/avec (3.38). Il existe une fonction u et une seule
satisfaisant à(3.39) avec :
(3.61) w = 0 sur E , | grad^ — (x, t) | ^ 1 p. p. dans Q,
(3.62) ~^-Au=f si |gradx —(x,0| < 1,
ôt2 ôt '
cette interprétation formelle (2) étant précisée ci-après (en (3.66)), et u
satisfaisant à (3.60).
On applique pour cela la Remarque 3.6, dans les conditions suivantes :
v = Hl(Q), A = — A , G(s) = semi-groupe des translations à droite ,
donc A = âfât avec comme domaine les fonctions nulles pour t = 0,
0 - 1\
et s/ = [^ Qj, Xx = L\V),
(3.63) Jf2={v \ veL2(V), I gradx u(jc, 0 | ^ 1 P-P-} •
(0 Résultat analogue pour les solutions périodiques (comme dans l'Exemple 3.2) en
remplaçant dydt* — A par dydt* -{-2 k djdt + £2 _ a .
(2) Il faut en effet ajouter des conditions de transmission à l'interface entre le « domaine
plastique » | gradz dujdt | = 1 et le « domaine élastique », | grad* dujdi \ < 1 .

358 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On est dans les conditions d'application de la Remarque 3.6. Donc // existe
un couple { ult u2 } e Jf1 x X 2 tel que
ux e D(A ; L\V)\ u2 e D(A ; L2{H)),
(3.64) u[ - u2 = 0 (cf. (3.24) avec k = 0),
et
(3.65) (w'2 4- Auu v2 - u2)dt >\ (f,v2-u2)ât Vd2g/2.
J o J o
Posant
on voit que u satisfait à (3.39) (3.60) (3.61) et à
(3.66) (u" - Au, v2 - u) ât > (/, v2 - u) ât Vv2eX'2.
J o J o
Reste à voir Yunicité.
Soit/0 > 0 fixé quelconque. Prenons dans (3.65) :
v2 = w2 pour î > t0 .
Alors (3.65) donne
/ r*o rfo
\ (u2 4- Awt, u2 - «2) d* > (/» v2 - u2) dt ,
(3.67) < J o U
[ Vu2 tel que | gradx v2(x9 r) | < 1 pour t < t0 .
Comme t0 est quelconque, on peut condenser dans l'inéquation équivalente :
( fr f'
\ (u' 4- ^w, t? — w) dr ^ (/, t; — w) df , pour presque tout / ,
(3.68) No Jo
f V»! e L2(0, / ; V), y2 e L2(0, t\V)9\ grad, y2(x, 0 | ^ 1 p. p.
Soit u* une deuxième solution éventuelle. Prenant, ce qui est loisible, v = w*
dans (3.68) et v = u dans l'inéquation analogue pour u*t il vient (comme,
dans ce cas, {sév, v) = 0) :
î. e.
£ (1(H - O. «-«*)«>« <o
u(0 - u*(t) |2 ^ 0 p. p., d'où u* = «. 1

3. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (INÉQUATIONS VARIATIONNELLES) 359
Exemple 3.5.
On va résoudre un problème d'inéquation variationnelle sur une variété,
analogue, pour le cas des dérivées du deuxième ordre en /, au cas traité (pour
les dérivées du premier ordre en t) au nro 9.5.5 du Chapitre 2.
(On prend le cas p = 2 dans ce numéro, le cas p ^ 2 étant non résolu.)
Cf. également, pour le cas des équations, Chapitre 1, nro 11 et Chapitre 2, nro 4.
On va montrer Y existence et Vunicitê d'une fonction <P(x, t) telle que
(3.69) Ax$ = Odans g,
I ^- > 0 sur 27, 27 = F x ]0, T[ .
(3-70) ^ + ^_/>0 sur 27 (*),
a2,
/Ô0\ /d2<Z> d<Z> ,\ _
- + -/ = 0 sur 27,
\ôt/\ôt2 dn /
(3.71) 0(x,O) = 0,^-Oc.O) = 0, xeF,
et
l 4>eL2(09T;&(£})),
(3.72) | <Z>'eL2(0, T'fH\Q))f
( 0"eL2(O, T;Hl/2(Q))y
(ce problème n'est pas hyperbolique).
Pour résoudre ce problème, on introduit d'abord A comme suit : si
cp e H1'2 (F), on résout
(3.73) - Ài> = OdansG, iA = <psurF, ifr e H\Q),
et l'on pose
,3,4, *-£.
On a alors (cf. (11.9), Chap. 1):
A e j£?(H1/2(F) ; H-1/2(/-)), A* = A ;
(3.75) <j Vc > 0 , il existe a > 0 tel que
(A<p, p) + c || <p ||f2(r) > oc\\cp \\2Hi/Hn •
(0 3/3rt est la dérivée normale à /"dirigée vers l'extérieur ;/est donnée dans L2{L) , avec
dfldt e L2(2;) et /(*, 0) = 0 .

360 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On applique le Théorème 3.1 dans les conditions suivantes :
V = Hll\r) , H = L2(F) , A donné par (3.74) ,
Jf, = L2(0, F; F),
JT2 = { v | v e L2(0, T ; F), v > 0 p. p. sur I } ,
--(" "«)• *>•■
et pour G{s) le semi-groupe des translations à droite.
On obtient ainsi l'existence et l'unicité d'un couple { ul9 u2 } tel que :
ux e L2(V) , u[ e L2(V) , u2 e Û(V), u'2 e L2(H) ,
«i(x.O) = 0, m2(x,0) = 0,
u\ 4- kux — u2 = 0 ,
(3.76) (w'2 4- Awt + kw2, 1^2 ~~ "2) dt ^
J o
f (e"fc7.»2 -«2)^ VvïeX2.
J 0
On déduit de (3.76) que
u'2 4- Aut 4- ku2 - Q~kt /> 0 sur Z,
w2 ^ 0 , w2(w2 4- Ai/! 4- /cw2 — Q~k,f) = 0 sur 27.
Posant : vv(- = e*' uh i = 1,2, cela équivaut à
w\ — w2 = 0 ,
(3.77) ,
w2 4- AWj — / > 0 . w2(w2 4- Awt - /) = 0 sur Z
Soit alors 0 donné, pour presque tout f, par :
(3.78) Ax0 = 0, <P\r = w, .
On vérifie que
â7"
= *;(= w2),
de sorte que (3.70) résulte de (et d'ailleurs équivaut à ) (3.77).
Enfin (3.72) est conséquence de la résolution du problème de Dirichlet
(3.78) et du fait que wl9 w[ e L2(F), W[ e L\H) = L2(I). 1

4. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (ÉQUATION DE KORTEWEG) 361
Remarque 3.8.
On peut évidemment donner, selon les mêmes principes, beaucoup d'autres
exemples ; signalons en particulier :
• le cas où A est un système d'opérateurs elliptiques (par exemple le système
des opérateurs de l'élasticité) ;
• le cas où A est un opérateur d'ordre supérieur à 2, l'opérateur d2/dt2 + A
n'étant plus alors hyperbolique (*). |
4. RÉGULARISATION PARABOLIQUE ET ÉQUATION DE
KORTEWEG - DE VRIES
4.1 Position du problème. Intégrales d'énergie
On cherche une fonction u = u{xy t) solution de
(4.1) ^ + M^ + «*!"<>, 0<x<l, 0<r<7\
dt dx dx3
avec la condition initiale
(4.2) u(x, 0) = u0(x), 0 < x < 1 ,
et les conditions aux limites de périodicité en xs i. e.
(4.3) W(0,r) = w(l,0,
(4.3Ws, |<M-£„.0.-.
le nombre des conditions dans (4.3 bis) dépendant de la régularité de la solution
que l'on construira. |
L'équation (4.1) a été introduit par Kortkweg et de Vries ; cf. la
Bibliographie donnée dans les Commentaires. |
L'un des faits les plus remarquables relatifs à (4.1) est l'existence d'une
infinité d'intégrales d'énergie. Nous allons donner les plus simples. (Le problème
sera ensuite, comme d'ordinaire, d'utiliser ces intégrales.) |
Première intégrale d'énergie.
C'est l'intégrale immédiate obtenue en multipliant par u. Sous les conditions
de périodicité (4.3) et (4.3 bis) on a :
(4.4) [ (u^judx = 0, Q = ]0, 1[, Vf
(4.5)
—- • u dx = 0 .
q dx3
0) Le cas de l'Exemple 3.5 précédent correspond à la situation où A est pseudo-différentiel
elliptique d'ordre 1.

362 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 31
et donc
(4.6) ^ | ii(0 |2 = 0 (') . |
Deuxième intégrale d'énergie.
On multiplie (4.1) par l'expression non linéaire en u :
(4.7) 1/,1(t/) = «2 + 2a^.
CX
On a, grâce aux conditions de périodicité
/, o^ f // du d3u\ 2 . d2u\.
(4.8) h—+ a—- w2 4-2a—- dx = 0;
J«\\ dx dx3' dx2/
en effet
» f du d2u A f 2 33u J
2a w dx + a u —- dx = 0
•J q dx dx J a dx
et chacune des autres intégrales dans le développement de (4.8) est nulle.
Donc
(4.9) j0(!W">d*«°-
d'où
£(Ut-«(I)>H'
Remarque 4.1.
On obtient une autre intégrale d'énergie en multipliant (4.1) par
(4.H) tl/2(u) = u3 + 3a[-j +6au^ + ^a2
2
dx/ ' " "" dx2 5 " dx4
cf. P. Lax [3], Miura [1], Miura, Gardner et Kruskal [1]. |
Nous allons montrer maintenant comment, selon R. Temam [7], on peut
utiliser les deux premières intégrales d'énergie pour obtenir un théorème
d'existence.
(l) I | désigne la norme! /2djc) dans L2{Q) et ( , ) le produit scalaire associé.

4. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (ÉQUATION DE KORTEWEG) 363
4.2 Un théorème d'existence. Régularisation parabolique
Théorème 4.1. — On suppose a e R, a ^ 0. On donne u0 avec
(4.12) u0eH\Q), w0(0) = w0(D .
// ex/s/e a/ors une fonction u vérifiant
(4.13) weL°°(0, T\H\Q))
et (4.1)(4.2) (4.3).
Remarque 4.1.
Il résulte de (4.13) et (4.1) que (noter que //'(G) c L°°(Q) car *2 = ]0, 1[)
(4.14) ~eL°°(0, T; tf"2(.Q))
de sorte que (4.2) a un sens. |
Remarque 4.2.
On ignore si la solution u vérifiant (4.13) est unique. On donnera au nro 4.3
ci-après des résultats d'existence et d'unicité sous des hypothèses plus fortes
surw0. |
Démonstration du Théorème 4.1.
1) Régularisation parabolique.
Pour e > 0, on « approche » l'équation (4.1) par V équation parabolique
,a ,^x dw, du. d3ue d4ue
(4.15) e + wE -? + a—* + e—4e = 0.
dt ôx dx3 dx4
Les conditions (4.2) (4.3) (4.3 bis) sont « inchangées » :
(4 A 6) uE(x,0) = u0(x),
(4.H) ^(0,0 = ^.(1,0, 7 = 0,1,2,3.
dxJ dxJ
On obtient facilement, par les méthodes de compacité (Chap. 1) l'existence
de uE vérifiant
(4A8) wceL°°(0, T;L2(Q))n L2(0, F; H2(Q)).
Alors
ut|^6L2(0,r;L2(fl))
I ions. — Problèmes aux limita non linéaires !3

364
MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
et donc (4.15) donne
duE d4uE d3uE l du\ r2/^x
a* dx4 ôx3 \ ôx/
ce qui, joint aux conditions aux limites entraîne (régularité de la solution des
problèmes paraboliques linéaires)
(4.19)
t/£eL2(0;r;//4(i2)), |eL2(6).
(On peut réitérer et montrer ainsi que ut est indéfiniment différentiable dans
Q, mais cela ne sera pas utile dans la suite.)
Le problème (4.15) (4.16) (4.17) est dit « régularisé parabolique » du
problème initial. |
2) Estimations a priori (I).
On opère comme au nro 4.1 pour l'obtention de la première intégrale
d'énergie ; il vient
ii|„(„r + £j (£)'d,-o.
2 dr Jq\ôx2/
d'où (comme, en particulier, u0 e L2(Q)) :
(4.20) || itE\\L*(o,T.Lnn)) < c,
ô2uF
(4.21)
n'c
dx2
^ c ,
LHQ)
les c désignant des constantes diverses, indépendantes de e. |
3) Estimations à priori (H).
On opère comme au nro 4.1 pour l'obtention de la deuxième intégrale
d'énergie. On multiplie donc (4.15) par ^(wj mais le terme
ln\dx4,
«Ai(wc)dx
donne des expressions qu'il faut «compenser» par celles correspondant à la
deuxième intégrale d'énergie du cas « e = 0 ». On utilisera à cet effet les «
inégalités d'interpolation » suivantes :
Lemme 4.1. Pour tout v e H3(Q) on a :
(4.22) \\v\\L<(Q)<c\v\llfl2(\v\
+
d3v
dx3

4. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (ÉQUATION DE KORTEWEG) 365
et
(4.23)
âv
dx
< c u
L4(«)
'"■■('"♦ £D
3„l\5/12
Démonstration.
Avec les notations de Lions-Magenes [1], Chapitre 1, on a :
[H\Ql H°(Q)]ll/12 = H^4(Q) (H°(Q) = L2(Q)) ,
et d'après J. Peetre [1], H1/4(Q) c LA{Q) ; donc
Il ^ \\L4{Q) < c \\v \\Hv4(Q) ^ c || v 11^) Il v ||iJ(A)2 ,
d'où (4.22).
De même
et
[H\Q\H°(Q)]V12 = H5'\Q)
du
dx
L4(Q)
<c\\v\\Hs,4(a)9 d'où (4.23). |
Reprenons alors l'équation (4.15) multipliée par ^i(i/e) ; tenant compte
du calcul fait au nro 4.1, il vient :
J«L3 \dx'
âx + 8
D ÔX
dx
ô4"£'Ur2 + 2a^^ldx = 0
ou encore
(4.24) <
) „ f d3uE due^ ^ f (d\\2 J
f -2e —-E wE —iE dx - 2 ae —I ) dx = 0 .
Jr? 3x3 3x JrAdx3/
On en déduit
(4.25)
d
dt
du.
'
ôx
2
+ 2ae
d3uE
ôx3
1 d
3 d
u3 dx - 2 £ ue
t J Q J Q
du. d3u. ,
--dx.
dx ôx3

366 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Intégrant (4.25) en /, il vient, après division par a :
duF
-e(0
dx
+ 2e
ÎW
(4.26)
àup
dx
2e
a
r
J o
+ 4~ I "«(*, O3 dx - — t/0(x)3 d*
J OC J Q J> CC J Q
J o J r? dx dx
Mais
'?(/) dx
J n
^ || Me(0 H£,«>(«) || Mb(0 |U2(fi)
^ (d'après (4.20)) c, || ue(/) ||l«(d) <
<c2\ wE(0|1/2 U.(0| +
^(0
^ (d'après (4.20)) c3 1 +
due
dx
(0
\ 1/2
) <">
1/2
3 |a|
Puis (on supprime pour un instant l'indice e) :
du d3u
duE
dx
(0
I»
ôx ôx3
Ou
dx \\mm
Ô*u
ôx3
< Il «(0 Htw
< (d'après (4.22) et (4.23)) c5 | u(t) \y2l\ u(l) \
< (d'après (4.20)) cjl + -"(/))
\ ôx /
+
ô3u
Ôx3
(0
1/2
Ô3U ,
ô^°
a3w
ôx3
< c7 +
l«l
dx \
du \\V2
(') VveHi(Q) 0n a :
IIHlL«(fl,<c|H,/2(lH i |Ji|)
(utiliser le fait que V> e Q, \ v\y) | < | u |M~ 2 11» | | dvjdx |) .

4. RÉGULARISATION PARABOLIQUE (ÉQUATION DE KORTEWEG) 367
Avec ces dernières inégalités, on déduit de (4.26) que
âuQ
dx
(0
+ 2e
J o I dx3
(*)
da ^
+
dx
1
4- —
3|«
2
ÔX
(0
+ £
f Ki3
f
J 0
dx +
ÔX'
dcr 4- c
d'où
(4.27)
-- (0 + £
ax i
r
3x3
(T)
dff < c .
Donc
(4.28)
(4.29)
ou,
dx
< c
t«(0,T ; L2(J}))
03«.
3x3
< c.
LHQ)
Utilisant maintenant Véquation (4.15) on en déduit
du. duE d3uE d4uE
e = - u—? - a - -' - e —~
dt dx dx3 dx4
d'où avec (4.28) (4.29):
(4.30) -^demeure dans un borné de L2(0, T ;H~2(Q)) lorsque £ - 0 . I
4) Passage à la limite.
On peut, d'après (4.20) (4.21) (4.28) (4.29) (4.30), extraire une suite ue
telle que
"E - w> lrE - 757. dans L°°(0> ^ L\^)) faible étoiIe »
dx dx
due du
~dt~*Tt
dans L2(0, T; f/"2(«Q)), Chapitre 1 ,
ue -> w dans [}(Q)fort et p. p.
Alors wE dujdx -> w dw/dx dans £#'(0 Par exemple et par conséquent on
peut passer à la limite dans (4.15) ; on voit ainsi que u est solution de (4.1).
Les conditions (4.2) (4.3) ont lieu, d'où le Théorème. |

368 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
4.3 Remarques diverses
Selon les mêmes techniques (mais avec des majorations et des « inégalités
d'interpolation » plus compliquées) on montre (cf. R. Temam [7]) le :
Théorème 4.2. — On suppose a e R, a # 0 et u0 donné, avec
(4.31) u0eHHii), dS(0) = ^(l), j =0,1.
dxJ dxJ
Il existe alors une fonction u et une seule telle que
(4.32) u, -,^6L»(0,T;L2(fl)),
ÔX ÔX
(4-33) ^.(0,0 = ^.(1,0, 7-0,1.
ôxJ dxJ
et u vérifiant (4.1) (4.2). |
Remarque 4.3.
Si en outre
(4.34) u0eH>(Q) et ^> (0) = ^-° (!), j =0,1,2,
dxJ dxJ
alors, dérivant en t l'équation régularisée parabolique, on montre que
(4.35) p3,d?eL»(0,T;Û(Q)).
OX Ct
Il semble probable que si u0 est donnée dans C"°(Q)y avec
^(0) = dX(
dxJ dxJ
alors u est dans C°°(g). |
5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES
ELLIPTIQUES
5.1 Orientation
Soit V un espace de Banach réflexif ; on supposera toujours que
(5.1) la norme de V et celle de son dual V sont strictement convexes.

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 369
Soit v ->j(v) une fonction convexe sur V et K un convexe fermé de A. Soit
w, supposé exister, tel que
(5.2) ;(")= inff(t>).
veK
Si l'on introduit la fonction
(5.3) *f»-('(o) " VeK'
[ -f oo si v eK
alors (5.2) équivaut à
(5.4) (p(u)^(p(v) VveV
ou encore
q>(u) - q>((\ - 0) u + Ov) ^ 0 Vu , V0 > 0 ,
et d'après la définition des sous-différentielles (cf. Chap. 2, nro 8.6) on a donc
(5.5) (dq>(u)9 v - u) > 0 Vv e V.
Réciproquement si u satisfait à (5.5) on a (5.4) et donc (5.2).
On voit donc que certaines inéquations variationnelles elliptiques sont
équivalentes à un problème de minimisation du type (5.2).
Une méthode classique dans les applications est « d'approcher» le Problème
(5.2) par un problème pénalisé sans contraintes : on introduit une fonction
convexe v -> g(v) telle que
(5.6) g(v) = 0 sur K , g(v)>Osiv$K
et Ton considère, pour e > 0 « petit », le problème de la recherche de
(5.7) inffy(p) +1«(»)1.
veV l C J
Le facteur - g(v) est la pénalisation : si v i K, - g(v) est borné donc g(v) est
e e
« petit » ; on a supprimé les contraintes, i. e. on a remplacé un problème de
minimisation sur K (l) par un problème de minimisation sur l'espace V
entier (2). |
On peut noter que l'introduction de q> avec (5.3) correspond à une «
pénalisation infinie ». |
On va maintenant montrer que Ton peut adapter les idées précédentes à
toutes les inéquations variationnelles (cf. nro 5.3); on utilisera pour cela
l'outil des opérateurs de pénalisation (nro 5.2), et on donnera ensuite des
exemples et des applications. |
(1) L'appartenance à K traduit les « contraintes ».
(2) I. e. « sans contraintes ».

370 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
5.2 Opérateurs de pénalisation
On donne V avec (5.1) et K est un ensemble convexe fermé de V. On appelle
opérateur de pénalisation (attaché à K) tout opérateur fi de V -> V ayant les
propriétés suivantes :
(5.8) fi est monotone borné et hémicontinu de V -» V ;
(5.9) {o \ ve V,P(o) = 0} = K.
Le résultat suivant montre qu'il existe toujours de tels opérateurs :
Théorème 5.1. — On suppose que (5 A) a lieu et soit J un opérateur de dualité
de V -> V relatif à <P C)- Alors si PK désigne l'opérateur de projection de V -> K
(2), l'opérateur fi donné par
(5.10) fi{u) = J(u-PKu)
est un opérateur de pénalisation. |
La Démonstration utilisera un résultat simple, caractérisant la projection
PKuk l'aide de J :
(5. H) PK u — w est caractérisé par : w s K et (J(u — w), k — w) ^ 0
VfceK.
En effet, par définition
(5.12) \\ u ~ w \\ ^ \\ u ~ (l - 0) w - 0k\\ VkeK,Oe[0, 1] .
Si Ton introduit, comme au Chapitre 2, nro 8.6, "F par
y(r) = j 0(cr) dcr ,
(5.12) équivaut à
(5.13) W(\\ u- w H) < y(|| w - w - 0(* - w) ||) .
Mais (Chap. 2, Proposition 8.1),
«P(|| t/ - w ||) - «f(|| t/ - w - 0(k - w) ||) >
^ (/(w - w - 0(k - w)), 0(k - w))
(>) Au sens du Chapitre 2, nr0 2.2. On a donc
(/(«),«) = ||/(«)|UI« ||. ||/(«)ll. = *(ll«ll),
où || II* est la norme dans V\ duale de || ||.
(2) I. e. pour u e K, Pk u est l'unique élément de K tel que
\\u—Pku\\^ \\u — k\\ VkeK.

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 371
ce qui joint à (5.13) donne, après division par 0 > 0,
(J(u - w - 0(k - w)), k - w) ^ 0 .
et faisant tendre 0 vers 0 on en déduit (5. H).
Réciproquement, si w satisfait à (5.11), alors V& e K
V(|| u - k ||) - V(|| u - w ||) > (J(u - w), w - k)
(d'après le Chap. 2, nro 8.6) ^ 0
(d'après (5.11)), d'où || u - w || ^ || u - k || et le résultat. |
Démonstration du Théorème 5.1.
Monotonie de p.
On vérifie d'abord que, Vu, t? e K, on a :
(5.14) (J(u - PKu) - J(v - PK v), PK u - PK v) ^ 0 .
En effet, d'après (5.11) :
(J(u - PK u), k - PK u) < 0
et l'inéquation analogue pour PK v ; prenant respectivement k = PKv et
k = PKu, on en déduit le résultat par addition.
Mais, posant u = u — PKu,v = v — PK v, on a :
( (P(u) - P(v\ u - v) = (P(u) - P(v)9 u-î+PKu- PKv) =
(5 A5) = (J(u) - J(î), « - v) +
{ + (J(u - PK u) - J(v - PK i>), PK u - PK v) ;
le premier terme du dernier membre de (5.15) est > 0 d'après la monotonie
de J et le deuxième est également > 0 d'après (5.14).
Donc p est monotone. On vérifie que p est borné et hémicontinu.
Enfin J(u — PK u) = 0 équivaut à u — PK u = 0 donc à
u = PKueK. I
5.3 Application de la pénalisation
On va démontrer, en utilisant les opérateurs de pénalisation, le résultat
suivant, déjà démontré (par des méthodes différentes et sous des hypothèses
très légèrement plus générales) au Chapitre 2, nro 8, Théorème 8.2 :
Théorème 5.2. — On suppose que V satisfait à (5.1). Soit A un opérateur de
V -+ V, pseudo-monotone et coercifau sens :
!\l existe v0e K tel que
(A(v), v - v0)
HHΗ ^ + œ Sl IMI-oo-

372 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Alors pour tout f e V\ il existe u e K tel que
(5.17) (A(u)9 v - u) ^ (/, v - u) VveK.
Démonstration.
1) Le problème pénalisé associé.
Soit P un opérateur de pénalisation attaché à K, donc vérifiant (5.8) (5.9).
On va montrer que, Ve > 0, // existe uF e V tel que
(5.18) A(uE)+l-P(uE)=f.
On utilise à cet effet les remarques suivantes :
(i) l'opérateur v -»> A(v) -h - P(v) est pseudo-monotone d'après la Remarque
2.12, Chapitre 2;
(ii) (A(v), v - v0) + 1 (0(i>), » - £70) =
= (A(v)9 v - v0) + - (p(v) - p(v0) 9 v - v0) (car v0 e X)
^ (Au, t; — y0) (car p est monotone)
et donc
1
Il » I
(A(v)9 v-v0)+- (P(v)9 v - v0)
-> + 00 SI \\ V -> 00 .
Donc, d'après la Remarque 2A3, Chapitre 2 et le Théorème 2.3, Chapitre2,
on a l'existence de uE avec (5.18) (qui est dit « problème pénalisé associé à
(5.17)»).
2) D'après la Remarque (ii) ci-dessus, on peut choisir uE solution de (5 A 8)
telle que
(5 A 9) uF demeure dans un borné de V lorsque s -> 0.
Comme A est borné, A(uE) demeure dans un borné de V et
«".) = <f~ A(ut))-*0 dans K';
on a même
(5.20) ||/}(«E) ||* <Cl £.
On peut alors extraire une suite, encore notée uE, telle que
u. -> u dans K faible ,
(5'21) > A(t/£)-x dans F'faible;

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 373
vérifions que
(5.22) ]B(") = 0.
En effet P a la propriété (M) (cf. Proposition 2.1 et Remarque 2.1, Chap. 2)
d'où le résultat (*).
Alors d'après (5.9) on voit que u e K.
Si Ton prend alors v e K, on déduit de (5.18) (commet) = 0) :
(5.23) {A(uE) - /, D - ttf) > I (P(v) - P(ue\ v - «.) > 0 .
On en déduit
lim sup (A(Me), wE — u) ^ lim sup (/, uE — u) = 0
ce qui entraîne, A étant pseudo-monotone :
lim inf (A(uE), uc — v) ^ (A(w), w — v)
e-»0
d'où, d'après (5.23) :
(/, u - v) ^ (A(u), u - v) \JvsK,
i.e.(5.17). |
Remarque SA.
La Démonstration précédente fournit en outre un procédé d'approximation
de u par we. A vrai dire ce procédé n'est constructif que si uE et u sont définis
de façon unique, ce qui est le cas si, par exemple, A est strictement monotone. |
Remarque 5.2.
Soit W un espace de Banach de norme strictement convexe ainsi que celle
de son dual et supposons que
(5.24) V c W avec injection continue, V dense dans W (donc W c K')
(5.25) À* est un ensemble convexe fermé dans V et dans W.
On peut alors considérer un opérateur de pénalisation attaché à K dans
Vespace IV, i. e. :
(5.26) P est monotone borné et hémicontinu de W -> W ;
(5.27) { w | we W,p(w) = 0} = K.
(0 On déduit de (fî(ue)—fi{(p),uE—ç>) >0 V<? que— (/?(<p), w—<p) > 0 V<? ; prenant
?>=w-Aï/,A>0,ï'eK on en déduit (/?(" —A^), y) ^ 0 ; faisant A -> 0, on a donc
(fi(u\V) ^ 0 V?P, d'où (5.22).

374 méthodes de régularisation et de pénalisation [chap. 3]
(Un tel opérateur existe d'après le Théorème 5.1).
On peut encore considérer (5.18) et comme /? est en particulier un opérateur
de pénalisation attaché à K dans F, on a: (5.18) admet une solution uE et Von
peut trouver une suite uE telle que uE -» udans Vfaible, u solution de (5.17)(l)-l
Remarque 5.3.
Soit H7 un espace de Banach réflexif comme dans la Remarque précédente,
mais avec Vinclusion inverse de (5.24) :
(5.28) W a V, W dense dans V avec injection continue (donc V c W')
et l'on suppose que
(5.29) K est un ensemble convexe fermé dans W et dans V.
On introduit encore un opérateur /? avec (5.26) (5.27) et l'on considère (5.18)
dans W. Mais l'équation (5.18) n'admet pas nécessairement une solution dans
W (car A est coercif sur K, non sur W). On ajoute alors l'hypothèse suivante :
on peut trouver v0e K tel que
(i) (5.16) ait lieu pour cet élément v0 ;
00 n—n ► + oo si IMIh,-* oo.
V II v \\w
Dans ces conditions uEi solution de (5.18), existe et on vérifie que Von peut
extraire une suite uE telle que
(5.31) ut -> u dans W faible, u solution de (5.17). |
Les deux Remarques qui précèdent sont utiles dans les applications en ce
qu'elles permettent de choisir/? « au mieux ». |
Remarque sur la convergence.
11 faut noter que la Démonstration du Théorème 5.2 fournit également un
procédé d'approximation de w, solution de (5.17), par les uei solutions de (5.18).
On a d'ailleurs
(A(uE) - ,4(1/), uz - u) - 0 .
5.4 Exemples
Exemple 5.1.
On prend V = H0(Q), A donné par
A(P = ~ . É ^ (au âf;) + ao <P > *o> <*y e L°°(Q),
n
Z ûyto £ i tj > «fêî + - + x„2), a > 0 , V{, e R , p. p. sur Q,
a0(x) ^ a0 p. p. sur Q ,
0) Variante : soit K\ un convexe fermé de ^avec K\ r\ V = K; si fi\ = opérateur
de pénalisation attaché à K\ dans W, on peut prendre pour fi la restriction de fi\ à V.
(5.30)
p.jz;

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 375
et soit
(5.33) K = { v | v e Hl0(Q\ v > 0 p. p. sur Q } .
On peut appliquer la Remarque 5.2, note (!), avec W = L2(Q) et Kx —
{ v | v e L2 (Q), v ^ 0 p. p. sur Q } ; on choisit fî(v) = J(v — PK v), avec :
J = identité et
PK v = v+ (i. e. v(x) si v(x) ^ 0, 0 si v(x) < 0) C) .
L'équation correspondante est donc (2) :
\ A"e ~ 7wf =/»
(5.34)
! u, e Hl0(Q) . |
Remarque 5.4.
Naturellement on peut aussi utiliser un opérateur de pénalisation dans H0(&)<
mais c'est alors beaucoup plus compliqué. |
Exemple 5.2.
Prenons V = WJ,P(.G). (1 < /? < oo), A donné par
chp\p-2 d<p
ÔX;
(5.35) A(<p) = - t ±
(5.36) K = {v\ veW^p{Q),v^§ p. p. dans Q} .
On peut encore appliquer la Remarque 5.2, note (1), avec W = LP(Q).
Alors, choisissant /par J(v) = | v \p~2 v, on a :
0(i>) =/(i> - />* i>) = - \v~\p-2v- .
L'équation pénalisée correspondante est alors :
( A(ue) - \ i «,- r2 «; =/.
(5.37) j £
( u.e^Cfl). I
Exemple 5.3.
On prend A comme dans l'Exemple 5.1 mais avec
V = H\Q), a0 > 0 ,
(') On projette dans L2(Q).
^VT x / , , [ 0 si v(x) > 0 \
(2) Noter quQv—v+= — v-l v~(x) = , , . ; ; . .
\ — Kx) si v(x) < 0 /

376 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
et
(5.38) K= {v | veH\Q\ v > Op. p. sur F}.
On définit alors un opérateur fi de V -»- V par
(5.39) (P(u\v)=-[ u~ vdT, u , veV
(la forme v -* u~ vdT est linéaire continue sur K, donc définit fi(u) e V),
L'opérateur fi ainsi défini est monotone borné et hémicontinu et
fi(u) = 0<^> ir =0oueK .
L'équation pénalisée correspondante est alors (*) :
(5.40) a(uE,v)-- \ î/fydr= I fv dx VveHl(Q).
On peut interpréter (5.40) ainsi :
/ AuE = / dans Q ,
(5-41) )d»> ! - n ri
Exemple 5.4.
On suppose :Q borné.
On prend /l et V coin me dans l'Exemple 5.1 et adonné par
(5.42) K = { v | oeV9\ grad d(x) | ^ 1 p. p. dans Q} .
Le choix le plus simple de fi semble être alors le suivant. On choisit
(5.43) W=W*A(Q);
le convexe K est fermé C W ; pour u e W, la forme
(1 — | grad u |2)~ grad u .grad u dx
est continue sur H7, donc il existe /?(«) e W7' tel que
(5.44) |(l-l 8rad » I T grad t/. grad v dx = (fi(u), v) .
C1) On suppose / donné dans L2(Q) et on pose :
fl(«, f) = X fl^ a£ Si d* + °°uv dx '

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 377
On vérifie que l'application u -* fi(u) est monotone, bornée et hémicontinue
de W -* W. Par ailleurs
(P(o), o) = f [I grad v \4 - | grad v |2] dx =
J [ grad v | ^ 1
= | grad i; |4 dx — | grad v |4 dx — | grad v |2 dx
J fl J |grjdi> [ < 1 •> | grad u | > 1
> I «Li-4(») ~ (mesure Q) - \\ v \\
et donc
(5.45) {P(v\v)>\\v\\4w-(cl + c2||i>||2);
donc (5.30) a lieu avec v0 = 0.
Enfin si w e K alors fi(u) = 0 et réciproquement, si p(u) = 0, alors (j5(w), w) = 0,
donc
(1 - igradwl2)" |gradw|2 = 0 p.p.
et donc ne K.
On peut donc appliquer la Remarque 5.3. L'équation pénalisée
correspondante est :
\A^-\ ï ^rf(l-|gradii.ir^)=/,
(5.46) < £ i = i dxi \ dxil
( wE = 0 sur F. I
Exemple 5.5.
Soit K un espace de Hilbert et soit K défini par
(5.47) K = {v\(thv)>0, /= l,...,?,/,er}(1).
On définit alors /? par
(5.48) /*(») = - t (lj,vyij.
On a :
(/?(») - /?(»), » - r) = ~ I ((/,, »)" ~ (//, »)') ((/y, ») ~ (/;, r)) > 0 .
/■= i
\\ est borné, hémicontinu et (5.9) a lieu.
Si A e &(V; V), avec (Av, v) ^ oc \\ v ||2, a > 0, la solution u dans tf de
(Au,v - u) ^ (fiv — u) VveK(f donné dans K')
(') Les /ï sont linéairement indépendants ou non dans V.

378 méthodes de régularisation et de pénalisation [chap. 3]
est donc limite, lorsque c -» 0, de uE solution dans F de
(5.49) AuE- I X (lj9u)-lj=f.l
£ 7=1
5.5 Résultats de régularité
Nous allons montrer sur deux Exemples comment les équations pénalisées
peuvent conduire à des résultats de régularité (sur la solution u de l'inéquation
variationnelle) du type de ceux donnés au Chapitre 2, nro 8.7. |
On suppose les coefficients des opérateurs dans C\Q).
Exemple 5.6.
On se place dans le cadre de l'Exemple 5.3. Alors :
; si fsl}{Q), la solution u dans K de
(5.50) ' a(u, v - u) > (f,v - u) Vp£K(K défini par (5.38))
' est dans H2(Q) .
Il suffit en effet pour cela d'observer que ur solution de (5.41) est dans H2(Q)
et demeure clans un borné de cet espace lorsque s -» 0.
Pour cela, on note d'abord que u~ e Hl(Q) donc u~\r e //I/2(F) et donc uE
considérée comme solution du problème de Neumann :
ôuE 1 _
^=/' 0^ = ^
est dans H2(Q). Puis reprenante démonstration de la régularité de la solution
par la méthode des translations, on vérifie que si uE est solution de (5.41) alors
les dérivées tangentielles (*) de uc demeurent dans un ensemble borné de Hl(Q)
[lorsque c -» 0) ; puis utilisant Féquation AuE — f on en déduit (comme dans le
cas des problèmes aux limites ordinaires) que uE demeure dans un ensemble
borné de H2(Q). |
Remarque 5.4. (Variante de l'Exemple 5.6).
Soit g donnée dans L2{T) et soit u la solution dans K (toujours défini par
[5.38)) de
(5.51) a(u,v-u)^ I g(v-u)dr VveK.
On vérifie sans peine que
l Au = 0,
'5-52) < ^ du „ (du \ „
(') Après cartes locales.

5. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES ELLIPTIQUES 379
On va montrer que
(5.53) ueH3/2(Q).
On considère l'équation pénalisée :
(5.54) a(uE,v)-- \ uE~vdr = \ gvdr Vue//l(^)-
£ J r J r
On prend dans (5.54) v = — u~ ; on a
a(uey - u~) = a(ue~yu~) ^ 0
et donc (5.54) donne, après division par s :
1
et par conséquent :
mn j r
dF^ \\g\\mn
LHD
(5.55)
1 _
uE demeure dans un borné de L (F).
Mais u, satisfait à
AuF = 0,
ôuE 1 _
ce qui, joint à (5.55) et aux résultats de Lions-Magenes [1], Chapitre 2 montre
que :
(5.56) uc demeure dans un ensemble borné de H3/2(Q),
d'où résulte (5.53). g
Exemple 5.7 (H. Brezis)
On prend la situation de l'Exemple 5.1. Alors :
(5.57) si/e L2(Q) , la solution u est dans H2{Q).
On considère l'équation pénalisée (5.34), d'où
a(w£, v) - - \ u; v dx = \ fv dx Vp e Hl(Q).
Prenant v = u~ et raisonnant comme à la Remarque 5.4 (avec Q au lieu de
F) on voit que
- u~ demeure dans un borné de L2(£?).
Alors (5.34) donne :
AuE demeure dans un borné de L2(Q)
ce qui, joint au fait que ut e H0{Q), entraîne que uz demeure dans un borné de
H\Q) d'où (5.57). |

380 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Remarque 5.5.
On montrera de la même manière que si fe LP(Q) la solution u est dans
W2>\Q) (multiplier par - | u~c \p~2 u~). (cf. Brezis [5]). |
5.6 Remarques diverses
Remarque 5.6.
Revenons à la situation générale du nr0 5.3 et supposons que
(5.58) ) K\
I
Kt — ensemble convexe fermé de V{,
q
V = f] Vh V-x — espace de Banach de norme strictement convexe ainsi que
celle de son dual.
Soit fît un opérateur de pénalisation attaché à Kt.
On peut alors prendre comme problème pénalisé attaché à Vinéquation varia-
tionneUe (5.17) le problème suivant :
(5.59) A(ut)+ f 7 /».(«.)=/, e,>0(e = {Cl,...,e,}).
1 = 1 £J
On peut trouver une suite uE -* u dans V faible lorsque s ~> 0. |
Remarque 5.7.
On peut ensuite approcher par les méthodes de décomposition (ou de pas
fractionnaires) la (dans le cas où il y a unicité) solution de (5.59).
(Il s'agit là d'une extension aux inéquations de méthodes très utiles dans
l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles ; renvoyons
à Yanf.nko [1], Temam [1] et la Bibliographie de ces travaux ; pour le cas des
inéquations, cf. Lions-Temam [1]). |
Remarque 5.8.
Reprenons le problème étudié à l'Exemple 5.6 et la Remarque 5.4. Alors
sigeH' 1/2(F), on a : u s H\Q) ; si g £ //1/2(F), u £ H2(Q)
et si g £ L2(r), alors u £ HV2(Q).
Ce dernier résultat peut s'obtenir par interpolation non linéaire (cf. Problème
11.23, Chap. 2 et Lions [18]) qui permet, plus généralement, de démontrer
qucsi,(r6//%(r),alors//6//s + 3/2(^), - 1/2 <s < 1/2. |

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 381
6. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES
D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES
6.1 Méthode générale
On va adapter au cas « abstrait » d'évolution la méthode de pénalisation
introduite au nro 5 précédent dans le cas elliptique. |
Soit if un espace de Banach, Jf un espace de Hilbert avec (comme au Chap. 2,
nro 9) :
(6.1) f c/cf;
on suppose que
(6.2) la norme de Y et la norme duale de V sont strictement convexes.
On donne les opérateurs L, se et l'ensemble convexe Jf avec :
(6.3) L vérifie (1.4), donc, en particulier, L > 0, L* > 0 ;
Jf est un ensemble convexe fermé de if et (cf. hypothèse de
compatibilité (9.18), Chap. 2) VueJf, il existe une suite Vj e Jf n D(L)
telle que
(6-4) j vj-+ v dans tT ,
lim sup (Lvj, Vj — v) ^ 0 ;
' se est un opérateur pseudo-monotone de Y -> if ' et il existe
\ v0eJfn D(L) tel que
(6.5)
H » |] ^-> + co SI II y II -oo.
On va démontrer le résultat suivant (') :
Théorème 6.1. — On suppose que (6.1) ... (6.5) ont lieu. Alors, Vf donné dans
if\il existe u e .if tel que
(6.6) (Lv, v - u) + (j*(«), v - u) ^ (/, v - w) Vue/n D(L) .
DéwO^/rar/o/7.
1) Par la translation v -> v — y0, on se ramène au problème analogue mais
avec :
(6.7) t?0 = 0ejf.
(') Contenu dans le Chapitre 2. nro 9 mais obtenu ici par une méthode complètement
différente (et constructive).

382 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
2) Equation d'évolution pénalisée.
On introduit un opérateur de pénalisation fi attaché à Jf, donc vérifiant
(5.8) (avec K, Vy V remplacés par Jf, 'V, V') ; un tel opérateur existe d'après
(6.2) et le Théorème 5.1.
On considère alors Véquation pénalisée
i I
\ LuE + ^(uc) + -fi(uF)=f, e> 0,
(6.8) £
( uE 6 D(L).
L'opérateur :
v -* sf{v) + - fi(v) = &(v)
e
est pseudo-monotone et
(#(»), v)
(6.9) |fVT" + ^ S' IMI-x»;
en effet
(/?(»), i>) = (P(v) - J3(0), t> - 0) > 0 .
Donc d'après le Théorème 1.1, il existe ut. solution de (6.8) et en outre on
peut choisir uf de façon que :
(6.10) uF demeure dans un borné de 'V lorsque e -* 0 .
Alors sf(ue) demeure dans un borné de ir' et comme
L e & {r ; D(L*Y)
on déduit de (6.8) que
(6.11) P(ue) -> 0 dans D(L*)' , £ -> 0 .
3) Passage à la limite.
On peut d'après (6.10) extraire une suite, encore notée uE> telle que
iwe —► w dans Y faible,
fi(ue) -> 0 dans iT faible (*),
&?(uE) -* X dans ^' faible.
On déduit de (6.8) que :
0 ^ (P(ue)9 uE) = s(f - s4{ut\ uE) - e(Lue, ue) ^ e(f - s/(uE), uE) < Ce,
0) /?(wE) converge dans "V' faible et d'après (6.11) vers 0.

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 383
donc
(/*(«.), ut) - 0
et par conséquent
(6.13) j8(w) = 0, donc u e X .
Prenant maintenant ne/n D(L), on a :
(6.14) (Lo + j/(ttl)-/,£,-«.) =
= (Lt/£ 4- jl/(ub) - /, v - u£) 4- (L(v - w£), i? - u£)
= (car J3(i>) = 0) ± (ftiO - ftu.), * - u.) +
4- (L(v - i/£), y - uE) > 0 ,
et donc
(6.15) (j/(Wl), M.) ^ (j/fo), u) 4- (Li? - /, v - ii.)
d'où d'après (6.12) :
(6.16) lim sup (.s/(we), we) ^ (/, t;) + (Lv - f9 v - u).
Mais d'après (6.4), on peut choisir u} e D(L) r\ X, ui -» u dans ^,
lim sup (Lw7-, Uj — u) ^ 0 ; prenant u = w^ dans (6.16), il vient :
lim sup (sé(uX "«) ^ (*» ") = lim (stf(ue), u)
£-0
donc
(6.17) lim sup (sf(ut), ue - u) ^ 0 .
Donc, d'après la pseudo-monotonie
(6 A 8) lim inf (j*(ue)9 w£ - y) ^ (j/(m), w - y) Vi> e tT ;
mais d'après (6.14),
(j/(w£)> wB - v) ^ (Lu - /, v - uE) -> (Lv - /, i? - u), yejfn £>(L)
ce qui, joint à (6.18) montre que u satisfait à (6.6). |
Remarque 6.1 (Comparer à la Remarque 5.2).
Supposons que Jf soit un ensemble convexe fermé de iVy avec :
. ( f c iV^iV espace de Banach de norme strictement convexe ainsi
l que celle de son dual W.

384 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Alors on peut considérer un opérateur de pénalisation attaché à Jf dans
Vespace if et on a le même résultat que précédemment en considérant
l'équation (6.8): uE -» u dans "f faible. On a également l'analogue de la Variante
signalée en (*) de la Remarque 5.2 |
Remarque 6.2 (Comparer à la Remarque 5.3).
Supposons que Jf soit un ensemble convexe fermé de if avec
if a f \if espace de Banach réflexif de norme strictement convexe
1 ainsi que celle de son dual, if dense dans "f avec injection continue.
Alors on doit ajouter Vhypoihèse suivante :
[ on peut trouver v0e X n D(L) tel que (6.5) ait lieu pour cet élé-
\ ment v0 et
(6.2!) '
1 ^p)-> + oo si H^-oo.
\ II V WifT
On fait également l'hypothèse supplémentaire suivante :
Ion suppose D(L) n if et D(L*) n if denses dans if de sorte que
L restreint à D(L) n if est fermable (en L) dans ifxif; soit
L0 la restriction de L à D(L) n#; on suppose que L* est ^ 0 .
Sot/s les hypothèses (6.21) (6.22), // existe alors pour tout e > 0, un élément u£
de D(L0) tel que
(6.23) L0uE + s*(ue) + ~j](uE)=f.
Pour passer à la limite, on renforce l'hypothèse (6.4) ; on suppose :
Vu e JT, il existe une suite Vj e :£ n D(L0) telle que
(6.24) ; vi ~* v ^ans ^
lim sup (L0 vj9 Vj — v) ^ 0 .
j-* »
On peut alors extraire une suite, encore notée t/E, telle que
uE -*> w dans ^ faible
et on vérifie, comme dans la démonstration du Théorème 6.1 que
(L0v + sf(u) - /, u - h) ^ 0 Vu e D(L0) n Jf .
Mais D(L0) h/d D(L) n jf et L0 = L sur D(L) n Jf et on en déduit
que u est solution de (6.6). Donc
(sous les hypothèses (6.21) (6.22) (6.24) et si ut (resp. u) est
solution de (6.23) (resp. (6.6)) on peut extraire une suite, encore
notée uF, telle que ur -* u dans ^faible. 1

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 385
Remarque 6.3.
On déduit de (6.17) que
lim sup (<stf(ue) — s/(u), ut —1/)^0.
Donc :
Is'il existe une fonction X -» \j/(À) > 0 strictement monotone telle
que (sf(u) - sf(v)9 u - v) ^ ij/(\\ u - v ||), Vw, uef, alors uE -* u
dans -T (fort). I
6.2 Exemples et applications à la régularité
Exemple 6.1 (Analogue de l'Exemple 5.1).
On prend :
r = L2(0, T ; J/*(fî)) ,
se donné par
d ( dq>
(6"2?)' I a,/x,0£,Éy^a«î + -+ £B2), p. p. danse, «>0, V^eR,
a0(x, /) de signe quelconque ,
et soit JT donné par
(6.28) Jf = {v \ ve r,v ^ Op. p. dans Q } .
On prend ensuite
L = djdt ,
t)ef,^ef = L2(0yT;H~l(Q)),v(0) = 0 J .
(6.29) <j . f | __ du
D(L) = u
On peut appliquer la Remarque 6.1 (cf. Exemple 5.1) avec i(r = L2(Q)\
l'équation pénalisée est donc :
duE 1 - /■ j ^
-^ + séuc - - we = / dans S ,
(6.30)
ut(x, 0) = 0 ,
uc = 0 sur 2".
On obtient alors par application du Théorème 6.1 et de la Remarque 6.3
que uE-* u dans if lorsque e -» 0, u solution « faible » de l'inéquation varia-
tionnelle correspondant à ,o/, .if et L. |

386
MÉTHODES DR RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On peut déduire de là un résultat de régularité pour u.
On va d'abord montrer que
(6.31) - u~ demeure dans un borné de L2(0 .
En effet (6.30) s'écrit:
(6.32) (u'E(t\ v) + a(t ; ut(t)9 v) - - f wf v dx = (/(*), i?) Vi> 6 h£(G)
(6.33) fl(r;WfW)= ^ |/^0^;^;dx.
Prenant y = u(r) e L2(0, T; Hl(Q)), on en déduit :
(Ug, u)df+ o(r ; Me(r), u(0)d/ u~vdxdt
(6.34)
= fvdx di
1 Q
On prend maintenant dans (6.34) v = — ue ; d'après (9.107), Chapitre 2,
on a :
(«I, - iÇ) dt^O.
Par ailleurs
a(t \u„-ue)dt= a(t ; «B , uE ) dr ^ 0
J o ■> o
et donc (9.34) donne, après division par e :
iu<
LHQ)
< ll/ll^(C)
L2(Q)
d'où (6.31).
Comme conséquence on voit que fa solution de l'inéquation variationnelle
correspondante vérifie
(6.35)
du
dt
+ s/ue L2(Q) .
u(x, 0) = 0 , u = 0 sur 27.

6. INÉQUATIONS VAR1ATIONNCLLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 387
Conséquence : Si Von suppose en outre les coefficients a^ assez réguliers,
on en déduit (d'après Agranovich-Visïk [1]; cf. aussi Lions-Magenes [1],
Chap, 4) que
,, du du ô2u 2
(6-36) Tf &.:• ê^;eL(e)-
Cela redonne, par une méthode différente, le résultat du Théorème 9.6,
Chapitre 2. |
Exemple 6.2.
On considère une situation analogue à celle de l'Exemple 6.1 avec
(6.37) a0(x, 0 > 0 p. p. dans Q
et le problème périodique :
L = djdt ,
<6-38) \ i ! âv )
D(L) = u uef.-ef, v(0) = y(T) .
Alors (6.30) est remplacé par
duE a 1 _ r , ^
~âf + £ ~~ £ "' = ^ 2 '
(6.39) <
' i u£x9 0) = uE (x, T), x e Q
\ uE = 0 sur 27.
Les conditions sont analogues à celles de l'Exemple 6.1. |
Exemple 6.3.
Les données s/ et L sont identiques à celles de l'Exemple 6.1 mais avec
r = L2(0, T;Hl(Q))y
( *4 ' l.r = {y|i;eTr,t;>0 p. p. sur 27}.
Le problème pénalisé associé est le suivant (cf. Exemple 5.3):
(«;, p) + ûi(r ; ue(t), v) - - «B(0" y dF = /(/) t? dx +
(6.41)
+ I giDvdr,
où a(? ; u, v) est défini par (6.33) et où l'on prend
(6-42) feL2(Q), geL\l).

388 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
D'après le Théorème 6.1 et la Remarque (6.3) on a, u étant la solution de
l'inéquation variationnelle correspondante :
(6.43) w£-> «dans'T . 1
Supposons que/= 0. Faisant v = — u~ dans (6.41) on en déduit, en
raisonnant comme dans l'Exemple 6.1 ci-dessus, que
1_
fi jx
et donc
j (u;)2àL^ - j g^M1)
1 _ ,
(6.44) - uE demeure dans un borné de L (27).
Comme conséquence, on voit que la solution de l'inéquation variationnelle
correspondante vérifie :
— 4- séu = 0 dans Q ,
(6.45) <p-eL\Z),
u(x, 0) = 0 .
On déduit de là, s/ les coefficients de se sont suffisamment réguliers, que
(d'après Lions-Magenes [1], Chap. 4) :
(6.46) ueL2(0y T\ H3/2(Q))
et que (2)
(6.47) Df/4 u £ L2(Q). |
Exemple 6.4.
Les données sont celles de l'Exemple 6.1 avec
(6.48) X = { v | | gradx y(x, 01^1 P- P- dans 6 } •
Le problème pénalisé associé est le suivant (cf. Exemple 5.4) :
du
(6.49)
+ ^,-±i£((i-lr»i«.lTt)=/.
".(*, 0) = 0 ,
wc = 0 sur 2" ;
0) On arrive à la même conclusion si/ ^ 0 p. p. dans Q.
(2) La dérivée d'ordre 3/4 en / est définie par transformation de Fourier en / après
prolongement sur Rt.

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 389
on peut en effet appliquer la Remarque 6.2, avec
1T= I*(Q9T;WtA(Q))9
L0 = dldt,
D(L0) = { v | v £ if, v'e HT\ V(0) = 0 } .
On a d'après les Remarques 6.2 et 6.3, étant en outre dans un cas où il y a
unicité :
uc -> u dans V lorsque e -> 0. |
Exemple 6.5.
Soit w la solution du problème « unilatéral » (cf. nro 9.5.5, Chap. 2) :
1 - àw 4- w = 0 dans Q , (A = Ax),
|w^0 sur r,^ + !%/ sur 27, /e L2(Z) (')
\ w(x, 0) = 0, xe F.
Le problème pénalisé associé est le suivant :
/ — Awc 4- wE = 0 dans Q ,
(6.s., !£ + £_!..-.,„*.
* W£(X, 0) = 0, X£ F.
On a : w£ -> w dtwj L2(0, T; //1/2(F)) (sur I) /Or^we £ -» 0, d'où résulte
que wc -» w dans L2(0, F; Hl(Q)). |
On peut ici encore obtenir un résultat de régularité.
On note que (6.51) équivaut à
(6.52) j ^i>dF4- fl(wB, y) - ]- j w1T.i;dr= j fvdf VveH\Q),
a(u, v) = ) -— r— dx 4- wt?dx ;
(i) On peut prendrefdans L*(0y T; //-i/2(D).

390 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
donc
(6.53) [ ^ud£ + [ a(wey v) dt - - [ wf v dZ = [ fv dZ .
J i ot J0 £ Ji Je
Prenant dans (6.53) v = — w~ on en déduit, comme dans les Exemples
précédents que, sife L2(I), alors :
1 _ 2
- n> demeure dans un ensemble borné de L (27) .
c
Par conséquent la solution vv de (6.50) vérifie
- Aw 4- vv = 0 ,
(6.54) {_ + _6L-(2),
w(x, 0) = 0, xeF.
On déduit de cela (en utilisant les méthodes de Lions-Magenes [1], Chap. 4)
que
(6.55) weL2(0, T;H3,2(Q)). |
6.3 Données initiales non nulles
Orientation.
Nous avons toujours jusqu'ici traité les inéquations variationnelles
d'Evolution, dans le cas où L = d/dt, avec une donnée initiale nulle (u0 = 0) (cf.
Remarque 9. l,Chap. 2). Nous allons maintenant étudier brièvement quelques
cas où les données initiales ne sont pas nulles. On utilisera à cet effet la méthode
de pénalisation. D'autres méthodes sont possibles pour attaquer ce problème :
(i) les méthodes « analogues » à celles du Chapitre 2, nroH 9 et 10 (l) ;
(ii) les méthodes d'approximation par semi-discrétisation sur lesquelles nous
donnerons quelques indications au Chapitre 4, nro 1.2. g
Soit V un espace de Hilbert (2) contenu dans l'espace de Hilbert //, avec
V c H c V\V dense dans //, H identifié à son dual.
(') Nous renvoyons à H. Brezis [5] pour une étude complète ; on trouvera dans ce travail
des résultats beaucoup plus complets que ceux donnés ci-après.
(2) La méthode qui suit s'étend au cas où Kest un espace de Banach réflexif muni d'une
norme strictement convexe ainsi que celle de son dual.

(6.56)
6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 391
On se donne une famille d'opérateurs A(t), î £ [0, F], avec
[ A{t)G<£(V\V'\t-*(A(i)u,v) est mesurable et bornée Vu9veV,
1 (A(t)v9 v) ^ a || v\\l, a>0, VueK, Vf £ [0,7],
et un ensemble A^avec
(6.57) A^ est convexe fermé dans V.
On va démontrer le
Théorème 6.2. — On suppose que (6.56) (6.57) ont Heu. Soientf et u0 donnés,
avec
(6.58) /eL2(0, T;V),
(6.59) u0eK.
Il existe une fonction u et une seule ayant les propriétés suivantes :
(6.60) weL2(0, T; V),
(6.61) weC°([0, F];//),
(6.62) u(t)eK p.p.,
(6.63) w(0 -> w0 dans // lorsque / -> 0,
\ \S (v' + A(t)u -f,v-u)dt >\\v(s) - u(s)\2 - ^ | i?(0) - «o |2,
(6.64W Jov 2' '2' '
' Vu £ L2(0, T; F), y' £ L2(0, T; K'), »(0 £ K p. p., Vs £ [0, T] .
Remarque 6.4.
Comme w est continue de [0, T] -* H (et «OA7 dans K), il serait plus naturel de
prendre u0 dans H que dans V. Comme par ailleurs on a (6.62), l'hypothèse
« naturelle » serait de prendre
u0 £ adhérence de K dans // .
Pour une discussion de ce cas, cf. H. Brezis [5]. |
Remarque 6.5.
Reprenons (9.3), Chapitre 2. On en déduit :
(u'(0, KO - u{t)) + (A(t) «(/), «(f) - M(0) - (/(f), v(t) - M(0) ^
^ (t>'(0 - i/'(r), KO - u(t))
et par conséquent, en intégrant de 0 à 5, on en déduit (6.64). |

392 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Remarque 6.6.
Même dans le cas « u0 = 0 » le Théorème 6.2 apporte une précision
supplémentaire aux résultats connus jusqu'ici, à savoir (6.61). |
Démonstration.
1) Soit p un opérateur de pénalisation de V -> V (au sens du nro 5) attaché
à K. On considère Véquation pénalisée :
u'E + A(t)uE + 7J8(w1(0)=/.
(6.65) £
[ u,(0) = m0 .
Le problème admet une solution unique dans L2(0, T\ K), avec uE s L2
(0, T\ K'), d'après (par exemple) le Chapitre 2, nro 1.
On déduit de (6.65) que (*)
2
(6.66) <
w.(0 |2 + f ' (*(*) ".. ".) âa 4- i f ' (jS(uf(o-)), «.(*)) ^ =
J o £ J o
(/((7), U») d(7 + - | W0
!
2-'.<-'2
On peut toujours supposer par translation de l'ensemble du problème que
0 e K et alors 0(0) = 0 donc (p(v), v) > 0 et (6.66), joint à (6.56) donne :
(6.67) uE demeure dans un borné de L2(0, T; V) n L°°(0, T ; H),
(6.68) f (0(M.), m.) do- < c£ .
J o
On peut donc extraire une suite, encore notée we, telle que
we -> u dans L2(0, T; K) faible,
uE -> u dans L°°(0, T; //) faible étoile ,
P(u(tj) = 0 p. p., doncw(r)£Â: p.p.
2) On va maintenant montrer que (6.64) a lieu pour presque tout s. Soit v
pris comme dans (6.64). Alors fi(v(t)) = 0 et l'on déduit de (6.65) que
(6.69) \ {vf 4- A(t)uE-f,v-uE)dt>
> Uv(s) - uE(s)\2 - Uv(0) - u0\2 .
0) On désigne par | ] la norme dans H.

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 393
Soit f l'ensemble des fonctions i> e C°([0, 71), i>(0 ^ 0 Vf e [0, T]. On
déduit de (6.69) que, V^ e V, on a :
f »>(s) ds fS [(»' + A(r) w£ - /, v) - (v' - f, m,)] df ^
J o J o
(6.70) < > f *(s) ds f (/l(r) u„ ue)dt + U v(s) - <v£(s) |
i J o LJ o ^
-4| o(0) - u0|2 fi^ds.. •
\ *- J o
Mais
lim inf i>(s) ds (A(i) uti uB) df + - | v(s) - u£(s) I2 '
J o LJ o 2
^ *A(s) ds
J o
de sorte que l'on déduit de (6.70) que
f i//(s) ds j (y' + A(0 w-/,D-u)d/>
Jo J o
J 0
f (>1(0 M, U)
J o
dt + -|y(s) - u(s)\2
-\v(s)- u(s)\2 -^\v(0)-uo\2
ds,
et cela Vi/f e f ce qui montre que w satisfait à (6.64) pour presque tout s e [0, T].
3) On va maintenant démontrer que (6.61) résulte des autres propriétés.
Soit en effet un défini par
(6.7!) r\u'n + un = u, u„(0) = u0 , jy > 0 .
On a :
un{t) e Ket on peut prendre v = w,. dans (6.64). II vient :
-- f |M;|2dr+ f'(Aw -/,t/„-u)d/^^|Wf,(s)-w(5)|2,
'y j o j o z
d'où
(6.72) \un(s)-u(s)\2 ^2 [ {Au -/,tt -M)df
J o
et comme le second membre de (6.72) tend vers 0 uniformément en s lorsque
tj -» 0, on en déduit que un-* u uniformément en s e [0, T] dans i/, d'où (6.61).

394 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
4) Si l'on prend dans (6.64) v avec v(0) = w0, alors
| v(s) - u(s) |2 ^ 2 (v + A(i) u - /, v - h) df -* 0 si s -* 0
J o
d'où (6.63).
5) Unicité.
La Démonstration de l'unicité est une simple variante de la Démonstration
du Théorème 9.4, Chapitre 2. Si ux et w2 sont deux solutions, on introduit
iv = (y, 4- w2)/2, puis l'on définit vr.. par
^?w; + wn = w , w^O) = u0
et l'on prend v = wn dans chacune des inéquations ; par addition il vient :
2 (w'r wn- w)âi + [(AHi, w, - Mj) 4- (Au2, w, - u2)] df -
Jo J o
- 2 J" (/, wn - w)âi > ± | w„(s) - M1(S) |2 + \ | w„(s) - u2(S)|2 > 0,
d'où
[(Ai/ï, wn - w,) + Mm2, wn - w2)] ât ^ 2 (/, w,, - w) ât
J o J o
et faisant rç -> 0, il vient
(A(0("i ~ w2)»wi - ui)àt < 0
J o
d'où w, = w2. I
6.4 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de Navier-
Stokes (I)
On adopte les notations du Chapitre 1, nro 6.
On suppose que Q est un ouvert borné de R2 (').
Les espaces V et H sont définis par (6.11) (6.7), Chapitre 1, et les formes
a(u, v) et b(u, v, w) par (6.14) (6.15), Chapitre 1.
C1) Cf. Remarque 6.8 ci-après pour le cas « n quelconque ».

6. inéquations variationnelles d'évolution paraboliques 395
On se donne en outre un ensemble K avec les hypothèses (très restrictives)
suivantes :
(6.73)
K est un ensemble convexe fermé de K contenant l'origine tel que
a(vt v) 4- b(v9 (p, v) > 0 V<p £ K , Vu £ V.
Exemple d'ensemble K vérifiant (6.73).
Ona:
(6.74)
I grad
w\2dx > c | | w|2dx Vwe/f£(.G).
Soient alors a et b donnés avec
(6.75) 0<b^c-a
et soit K un ensemble convexe fermé de K contenu dans l'ensemble K (lui-même
fermé convexe dans V) défini par
(6.76)
dx2
4-
L°°(fl)
^2
2 | f £.00(0)-'
< 2b
£°°(fl)
Alors (6.73) a lieu car, d'après (6.74) (*),
a(u, i?) + b(v, q>9 v) > (c - a) (| Vl |2 4- | v2 |2) - 2 b | u, | | v2 | ,
d'où le résultat grâce à (6.75). |
Remarque 6.7.
L'hypothèse (6.73) entraîne que AT est borAîe dans K; en effet s'il ne l'était pas,
il existerait q>, \j/ e K tels que ç + Xij/ e K VA ^ 0 et alors on aurait :
a(v9 v) 4- b(v9 (p, v) 4- Ab(v, i>, y) ^ 0 Vi ^ 0 ,
donc b(u, \j/, v) ^ 0 et cela Vu ; or ceci est impossible (à cause de la condition
« div \j/ = 0 »). |
On va maintenant démontrer le
Théorème 6.3. — On suppose que les hypothèses(6.72) (6.73) ont lieu. Soitf
donné dans L2(0, T ; V). Il existe une fonction u telle que
(6.77)
(6.78)
w£L2(0, T; K)nL°°(0, T;H),
u(t)eK p.p.,
C1) | Vi | = norme de i>* dans L2(Q).
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires

396 méthodes de régularisation et de pénalisation [chap. 3]
[(ç>\ cp — u) + a(u, <p — u) + b(u, «, q> — «)] dt ^
\\fi(p-u)dtC)
J o
(6.79)
Vç) 6 L2(0, T; F), y' e L2(0, T; F'), ç>(0) = 0 , ç>(*) eKp.p.
Démonstration.
1) On introduit un opérateur de pénalisation/? de V-*V attaché à K, de
façon que /? soit également monotone hémicontinu de L2(0, T; K) -* L2(0, T; F').
D'après la Remarque 2.3 (faire n = 2 dans la formule (2.31) ; on voit que
le casp = 2 (correspondant à la situation présente) est admissible) il existe une
fonction uE (2) vérifiant
(«;, v) + a(ut9 v) + b(u„ uE1 v) + - (J5(mb), ») = (/, v) Vu e V,
(6 *80) ' ut 6 L2(0, T ; V), «; e L2(0, T ; F') ,
M,(0) = 0 .
Faisant v = t/c dans (6.80), ce qui est loisible, on obtient :
iue demeure, lorsque e -► 0, dans un borné de
l L2(0, T; V) n L°°(0, T; H).
En outre on déduit de (6.80) que
(6.82) P(ut) = e[f- uE - Au, - B(uj]
où A et B sont définis par
{Au, v) = a(u, v),
(j5(m), y) = b(u9 u9v), Vu,veV.
On déduit de (6.81) et (6.82) que, par exemple :
(6.83) P(ue) -> 0 dans 0'(]O, T[ ; V).
2) Passage à la limite lorsque e -> 0.
D'après (6.81), /?(uE) demeure dans un borné de L2(0, T\ V) et donc on peut
extraire une suite, encore notée t/e, telle que
(6.84) u8-»m dans L2(0, T; V) faible et dans L°°(0, T;H) faible étoile,
(6.85) p(uE) -> 0 dans L2(0, T; V) faible (utiliser (6.83) pour voir que la
(6.80 !
limite faible est 0).
I— b(u,u,u)
J 0
( ') On garde le terme nul — b(u, m, u) et au 1er membre par raison de symétrie.
J o
(2) D'ailleurs unique ; adapter le Chapitre 1, nro 6.2.

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 397
Par ailleurs on déduit de (6.80) que
l- \T (P(uE\ue)dt+ \T a(u„uE)dt + UuE(T)\2= CiLuJàt
£ J 0 J 0 L -J 0
d'où
idf->0.
J o
Grâce à la monotonie de fi on en déduit que f$(u) = 0 et donc u satisfait à
(6.77) (6.78).
Prenons q> vérifiant les conditions de (6.79) et calculons
%e = [(<?'> <P ~ «O + a(u» <P ~ uù + &("«> "B, Ç> - "e) - (/» <P - »0] dr-
J o
D'après (6.80) on a (car/?(ç>) = 0) :
(6.86) X£ = f (ç>' - u'„q>- u£)dt +
J o
+ \ f (0fo>) - POO. ç> - wE) dr^ 0 .
t Jo
Mais, par ailleurs
£(wB» ««, "■) = 0
et donc
^£ = [(<?', <Z> - "«) + a(ut9 q> - uE) - b(we, ç>, w£) - (/, ç> - «„)] dr
J o
et (6.86) donne donc
(6.87) f [V, ç> - «,) + «(u,, ç>) -(/,<?>- tO] dt ^ ^ ,
J o
*i = [û("e> Ut) + K"E, <P> "J] dt .
J 0
On utilise maintenant (6.73) avec v = u — wE. On en déduit que
7£ = [a(ut - u,uE- u) + b(u£ - u, cp, uE - u)] dt +
J o
4- [a(u, uE - u) 4- fl(Meï m) 4- b(u, cp, wE - m) 4- b(utt <p, u)]
•J 0
[a(u, we - m) 4- a(ue, u) 4- b(i/, <p, ue — u) 4- b(we, <p, m)] df.
J o
dt

398 méthodes de régularisation et de pénalisation [chap. 3]
On en déduit que
lim inf YE ^ [a(u, u) + b(w, (p, u)~] dt
J o
ce qui, joint à (6.87), montre que u satisfait à (6.79) (*). |
Remarque 6.8.
On peut résoudre (6.80) en dimension d'espace quelconque. On peut alors
passer à la limite pour les fonctions q> telles que, par exemple,
^6L("+2)/n(0.|
dxj ■
6.5 Problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) pour les opérateurs de] Navier-
Stokes (II)
Toujours sous l'hypothèse (6.73) on va maintenant obtenir un théorème
d'existence et d'unicité avec des convexes K quelconques mais avec des hypothèses
supplémentaires sur la donnée/; on va par contre supposer la donnée initiale
non nulle.
Théorème 6.4. — On suppose la dimension d'espace égale à 2. Soit K un
ensemble convexe fermé de V contenant V origine. On donnef u0 avec les
propriétés suivantes :
(6.88) /,/'eL2(0, F;//),
(6.89) u0eK,
il existe Mj e H tel que
(6'90) ' (/(0), v) - a(u0i v) - b(u0i «0, v) = («!, v) Vd 6 V.
Dans ces conditions, il existe une fonction u et une seule telle que
(6.91) weL2(0, T\ V), u' e L2(0, F; V) n L°°(0, F;//),
(6.92) u(t)eK W £ [0, T],
(6 93Ï [ ("'W' v ~ W(r)) + *(w(r)' V ~ W(r)) + b(u®9 "W' r ~ w(r)) ^
1 " M > (f(t),v - m(0) Vi>eK,p.p.enf,
(6.94) m(0) = «0.
Démonstration de l'existence.
1) On part de wE solution de (6.80), avec
wE(0) = u0 .
C)On peut déduire (H. Brezis) de la Démonstration précédente que u e C° ([o,T]; H)
et M (0) = 0.

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 399
Dérivons formellement (6.80) en t ; il vient :
l «, v) 4- a(u'Ei v) 4- &(".', utf v) 4- b(w£, u,', u) +
(6.95) < i
+ -(/?(tO>) = (/',»),
avec
(6.96) «,(0) = "o , u'JLO) = «,(') •
Or, on peut résoudre directement (6.95) (6.96). On notera à cet effet que :
si <peL2(0, T;V), q>' e L2(0, T ; K), alors
(6.97)
J o
v jdr ^ 0.
\ J o
En effet
(/*(?(/ 4- h)) - J5(^(0), <p(t + h) - ç>(0) > 0 ,
d'où (0(ç>(O)', <p'(t)) > 0 p.p.,d'où(6.97)(2).
On en déduit l'existence de wE solution de (6.95) (3) avec :
ue e L2(0, F; V), «; £ L2(0, T]V)n L°(0, F; //).
Intégrant ensuite (6.95) de 0 à /, on en déduit que ue est solution de (6.80),
ce qui justifie la dérivation en f.
2) Estimations à priori.
On a encore (6.81). En outre, prenant, ce qui est loisible, v = ut dans (6.95),
on en déduit (| | = norme dans H)
2 dî I M'(r)' 2 + fl^'W> M'W^ + ^W*(0' We(0' m'W^ +
d'où, tenant compte de (6.97) :
^ | w;w|2 4- £ aW(o-), w») der ^ \ | ii, |2 +
(6.98) \
4- f | b(u'„ u„ wi) | der 4- f ' | (/'(*), u;(ff)) | da .
J o Jo
(') Faire / -= 0 dans (6.79) en utilisant (6.90) et en notant que/7(.v0) ~- 0.
(2) On suppose /? choisi par pu = J (y — Pk v) qui est Lipschitzien lorsque V est un
espace de Hilbert.
(3) On utilise les méthodes de Compacité du Chapitre 1.

400 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Mais, || ||L4 (resp. || ||) désignant la norme dans (L4(Û))2 (resp. V)9 on a :
| Hu'e9 «., u'e) | = | b(u't9 u't9 u.) | < C! || ue ||L4 || u,# ||L4 || «; || ^
< (d'après (6.35), Chap. 1) c2 || ue ||L4 | M; |I/2 || Mf' ||3/2 ^
<i\\<\\2 + c3\\u,\\l\u't\2
et (6.98) donne alors
"X0 |2 + f II «M II2 d<7 ^ | ii, l2 + 2 c3 f ' || uc ||«, | a; |2 dff +
J 0 J 0
+ f |/'(ff)|2da+ \' \u'e(a)\2da.
J 0 J 0
On en déduit en particulier :
(6.100) K(0|2^(l"i!2 + \ |/V)|2da)x
x explt 4- 2c3 I || u£\\t4da\.
Mais d'après (6.35), Chapitre 1 et (6.81), uE demeure dans un borné de
L4(0, T\ (L\Q))2) et donc (6.100) entraîne :
(6.101) u'z demeure dans un borné de L°°(0, T ; H) .
Reprenant alors (6.99) on en déduit que
(6.102) u'E demeure dans un borné de L2(0, T;V).
3) On peut alors supposer, par extraction d'une sous-suite encore notée we,
que :
ue -> u dans L2(0, T; V) faible ,
u[-*u' dans L2(0, T; V) faible et dans L°°(0, T ; H) faible étoile .
Comme dans la Démonstration du Théorème 6.3, on a : p(u) = 0, donc u
satisfait à (6.91) (6.92) (6.94).
Montrons que l'on a (6.93). On déduit de (6.80) que, VveK:
Xve > a(ujit)9 «.(O) >
où
x; = (uj(0, t? - «.(O) + *(«.(0, «0 + *(".(<>, w.(0, ») •
Si alors f désigne l'ensemble des fonctions ifr e C°([0, T]), ^ 0, on a :
(6.103) f Xvt^dt^ f ^fl(«.,M,)dr.
J o J o
(6.99)

6. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION PARABOLIQUES 401
Mais u£ -► u dans L2(0, T; H) fort (d'après le Théorème 5.1, Chap. 1), de
sorte que
(«;, «„) $ dt -► («', u) i> dr.
J o Jo
Il en résulte aussi que
b(ue, uei v) \j/ dt -> b(u, u, v)\l/dt,
J 0 J 0
de sorte que (6.103) donneIcomme lim inf ^a(uei we) dt ^ ^a(w, u) dit
[(ur, v - u) + a(u, v) 4- b(u, u, v) - (/, u - u)] ^ dr ^
J o
^ j i>fl(«, «)dr V^e y,
J o
d'où (6.93). |
Démonstration de l'unicité.
Soient w et w* deux solutions du problème. Prenant v = w* (resp. u = w)
dans l'inéquation relative à u (resp. w+) et additionnant, il vient, en posant
w = u — u* :
— (w', w) — a(w, w) — b(u, w, w) 4- b(w*, «*, w) ^ 0,
d'où
(w', w) 4- <3(w, w) ^ — b(w, u*, w) .
On en déduit, comme dans la Démonstration du Théorème 6.2, Chapitre 1,
nro 6.2, que w = 0. |
Exemple 6.6.
Introduisons la fonction de courant \jt de u (comme au Chap. 1, nro 6.9) et
prenons
(6.104) K = lv\v1 = ^-,v2=-^-i6e H20{Q\ 9 > 0 p. p. dans Q ) .
{ I oy ox j
Alors (avec les notations du Chap. 1, nro 6.9), on obtient (*) :
( (- Ai/ 4- vA2 é 4- R(i» - g, 0) > 0 V0 ^ 0 p. p. dans Q ,
(6.105)
[ avec « = 0 » si 0 = \J/ 9
(6.106) ^ e L2(0, T ; H20(Q)), t// e L2(0, T ; //^(-Q)) n L00 (0, T ; //£(£)).
(!) On utilise le fait que K est un cône convexe de sommet 0. Par ailleurs le Théorème 6.4
est évidemment valable avec va au lieu de a, v > 0 .

402 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3J
Par conséquent on a Vexistence et Vunicité de \j/ vérifiant (6.106) et
( \j/ > 0 p. p. dans Q ,
(6.107)
- Ài/f' + vA2 \jf + R{$) - g > 0 p. p. dans Q :
l i>(- Ai/ 4- vA2 i> + K(i» - g) = 0 p. p. dans Q ,
(6.108) iA(x, 0) = i>0(jc) 9xeQ. |
Remarque 6.9.
Voici une variante des exemples qui précèdent.
On prend encore £2 ouvert borné de R2 et l'on prend maintenant
(6.109) V= {Hl0(Q))2 , H = (L2(Q))\
(6.H0) K = { v | ueK.divt; > 0 p.p.dans^} ;
on pose encore :
i,j= i J n axj axj
et l'on introduit
b(u, v, w) = b(w, y, w) 4- c(m, v, w) ,
(6.111) < 1 2
c(w)==i J^ JJg),yW;dx.
On note que b(u, v, v) = 0 Vu e K (et que b{u, v, w) = b(u, vf w) si div u = 0).
On montre alors, par une méthode semblable à celle de la Démonstration
du Théorème 6.4, que si fs L2(0, T; H), /'eL2(0, T;H), u^eK, et si la
condition analogue à (6.90) avec b au lieu de b a lieu, il existe une fonction u et
une seule satisfaisant à (6.91) (6.92) (6.93) (avec b au lieu de b) et (6.94). |
7. PÉNALISATION ET INÉQUATIONS VARIATIONNELLES
D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES
7.1 Opérateurs linéaires
On va considérer ici un cas analogue (mais un peu plus général) à ceux traités
au nro 3.3.
On donne V, H avec (3.1) et une famille d'opérateurs A(t), t e [0, T] avec
(7.1) A*(t) = A(t) Vt,A(t)enV;V),
( t - (A(t) u, v) est dans C2([0, T]) V«,«eF et
(7.2) (A'(t)v,v) <0 VveV ('),
l (A(t)v,v) > a || i^ ||2, a>0, Vue F, Vr e [0, T] .
(0 On peut se débarrasser de cette hypothèse par un changement de variables comme
dans le cas des équations (E. Baiocchi [2], J. Lieutaud (non publié)) ; cf. Liqns-Magenes
[2], Chapitre 9, nro 2.3. L

7. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES 403
Soit ensuite un ensemble K avec
(7.3) K est un convexe fermé de V contenant l'origine.
On va démontrer le
Théorème 7.1. — On suppose que (7.1) (7.2) (7.3) ont lieu. On donne f u0t
w. avec
(7.4) fe L2(0, T;H), fe L2(0, T;H),
(7.5) u0eV, A(0)Woe//,e)
(7.6) u,sK.
Il existe une fonction u et une seule telle que
(7.7) u e L°°(0, T ; F), u' e L°°(0, T ; V), u" e L°°(0, T ; //),
(7.8) u'(t)eK p.p.,
\ f T (W"(0 4- A(r) u(0 - f(t), v(t) - m'(0) dr > 0
(7.9) < Jo
f Vi;eL2(0, T;V)9 v(t)eK p.p.,
(7.10) «(0) = M0, «'(0) = !/!
Remarque 7.1.
Dans les notations du nro 3, A = d/df ; on considère ici le cas où A dépend
de t et où les conditions initiales w0, Wj ne sont pas nécessairement nulles ; les
hypothèses sur /sont analogues à celles correspondant au Théorème 3.1. |
Démonstration de l'existence.
1 ) Eq uation p en a Usée.
On introduit un opérateur /? de pénalisation attaché à K dans V et on
considère t équation pénalisée :
W;« 4- A(t)uc(t) + 1-(3(u:(t))=f(t)
W«(0) = U0 > Ue(°) = Ul •
On déduit formellement de (7.11) que
(7.12) <(0) =/(0)-A(0)Wo = W26//
(car P(ux) = 0 puisque w, e X). On considère alors a priori l'équation dérivée
formelle en f de (7.11) :
uE + A(o«: + ^'(o ". + ^ (PK))' =/',
We(0) = W0 , «i(0) = Mi , W'c'(0) = W2 .
0) Il suffit en fait (Brezis [5]) de supposer qu'il existe <p e H tel que
(jp — A(o) uo, v — mi) ^ o Vi> e K .
(7.11)
(7.13)

404 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
En notant (cf. (6.97)) que
\T((P(uw,u:)dt>o,
J 0
on voit que (7.13) admet une solution (d'ailleurs unique) telle que
ue, u[ e L°°(0, T ; V) , u"te L°°(0, T\H).
2) Estimations a priori.
Multipliant (7.11) par u'E, il vient
\jt[\ ".(0 I2 + W0 «.(0. «.(0)] - \ (A'(t) "*«), ufi)) +
+ J(««:(f)),«:(o) = (/(o,«:(o)
d'où, comme (A'(t) v, v) =g 0 :
i [| u't{t) |2 + (/l(r) «,(»), «.(»))] + J- j'o (/?("»), «») dff <
j[| M, |2 + (,4(0) U0, U0)] + [' (/(«T), II») dff .
(7.14)
2'
On en déduit que, lorsque s->0:
ue (resp. u's) demeure dans
(7.15) ,
un borné de L°°(0, T ; V) (resp. de 1^(0, T ; H)),
f (««.),«.)'
J o
(7.16) (/?«), «0 dff < Ce .
J 0
Prenons maintenant le produit scalaire des deux membres de (7.13) par
u'Xt). Nous obtenons
[I uE{t) i2 4- (A(o 4(0, K(i))] - l- j" (A'(o-) *;, «o do- +
+ f (A'(a) Mi, w») do- 4- \ f («m;)', <) do- =
= \[I «212 + (4(0) ii„ «,)] + J' (/, «;) dff.

7. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES 405
Tenant compte de (A'(t) v, v) < 0 et de (6.97) on en déduit :
i [| u"t(f) |2 + (A(t) u'JLt), «.(.))] + (A'(t) ujt), u'Xt)) -
- f (A'(c) u,, m.) d<r - f (A"(a) uc, u'e) àa <
J o Jo
\[\u2\2 + (.4(0) «„«..)] + (/l'(0)«o,"i)+ j (/.«Ddff,
<2"
d'où
1.
2
± [| «KO |2 4- a || u't(t) ||2] ^ Cl 4- c2 || w.(0 || || <(t) || 4-
4- c3 f || *.(*) || || <{?) || <** + f \m | | "» | ^
J o J o
et comme on a déjà (7.15) on en déduit que, lorsque e -» 0 :
[ wé (resp. w'£') demeure dans un borné de L°°(0, T; V)
\ (resp.de Lœ(0, T;//)).
3) Passage à la limite.
D'après (7.15) (7.17) on peut extraire une suite, encore notée uei telle que
( uE -* w, ^ -> w' dans L°°(0, T; V) faible étoile ,
1 < -> «" dans Lœ(0, T ; H) faible étoile,
de sorte que w satisfait à (7.7) (7.10).
D'après (7. H)
(7.19) fliO = e[/ - < - A(r) w J -> 0 dans L2(0, T ; K')
et par conséquent, avec (7.16) et la monotonie de /? :
P(*) = 0 ,
donc on a (7.8).
Soit maintenant v satisfaisant aux conditions de (7.9) ; âoncp(v(t)) = 0 p. p.
et (7.11) donne :
«(0 4- A(0 uE(t) - /(O, v{t) - u't(t)) = J (P(v(i)) - flitfO), v(t) - u'&t))
^ 0 p. p.
et donc
j (u"t 4- Ait) uE - /, t> - M;) df ^ 0 ,
^ o

406 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
ou encore :
(7.20) f « 4- A(i) m„ v)dt- I (/, v - u'e) di >
J o Jo
>\[\ u'JLT) |2 + (A(T)u,(T), «.(T))] - ^[I M! I2 + 04(0)«0, «0)]
- f (A'(t) «„ ti.) dr ;
mais la limite inférieure du deuxième membre est
> \ [I AT) I2 4- (A(T)u(TX u(T))] - I [| Ml |2 4- (A(0) n0, w0)] -
- f (A'(r)w,w)dr
J o
et donc (7.20) donne, à la limite :
J (m" 4- A{t) m, v)di- j" (/, i? - ii') dr ^ i [| t/(T) |2 4- (A(T) w(T), ii(T))
- \ [I «i I2 + 04(0) i/o, w0)] - j"' (AV) », u) di =
= (m" 4- A(0 w, m') dr
^ o
de sorte que u satisfait à (7.9). g
Démonstration de F unicité.
Soient ut et u2 deux solutions éventuelles ; on prend, ce qui est loisible :
v = u'2 dans [0, s], 0 dans ]s, T] ,
v = u[ dans [0, s], 0 dans ]s, T] ,
respectivement dans l'inéquation relative à Wj (resp. w2) l il vient, si l'on pose
w = wx — u2 :
- P [(W"(0, w'(0) + 04(0 w(r), w'(r))] dr ^ 0 ,
J o
i. e.
~ [| w'(s) |2 + (X(s) w(s), w(S))] - I j" (X'(0 w, w) dr < 0
et cela Vs e [0, T], d'où w = 0. |

7. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES 407
Remarque 1.2.
La démonstration de l'existence à l'aide de (7. H) explique (dans une certaine
mesure) les hypothèses faites au nro 3 ; on imposait alors à u deux types de
contraintes :
(7.21) u(t)eK0, K0 = convexe fermé de Ket (7.8).
Dans ce cas, si /?0 est un opérateur de pénalisation attaché à K0l on est conduit
à remplacer (7.11) par :
(7.22) u"E + A{t) uE + -J- &,(«.«) + f P(u'e(t)) = f(t) ,
£ = { £o> £i } > £. > ° •
Mais les estimations a priori sur (7.22) sont beaucoup plus difficiles à obtenir
(et d'ailleurs en général non vraies...) que pour (7.11). Cela «explique » les
hypothèses du nro 3 qui revenaient à supposer K0 «grand» i. e. «/?0 petit»
(en particulier K0 = V correspond à fi0 = 0). I
Remarque 7.3.
On a des remarques analogues à celles des Remarques 6.1 et 6.2 :
1) si K est un ensemble convexe fermé de W, espace de Banach
réflexif (') avec V a W œ H, (W = [H étant loisible), on introduira dans
(7.11) un opérateur de pénalisation /? attaché à K et opérateur de W -> W ;
2) si Xest un ensemble convexe fermé de W espace de Banach réflexif avec
W a K, on introduira dans (7. H) un opérateur de pénalisation fi attaché à K
dans W et qu'on supposera coercifsur W. |
7.2 Exemples
Exemple 7.1. (Comparer à l'Exemple 3.3.)
On considère A(t) défini par
i
^(o?=-J^^.og)+ *o(*,o«>,
-2/
fll7 = fly/ Vî, y , fl0-, a0eC (0,
(7.23) { n
I fl0.(x, 0 fi {y > ««î + - + ÉÎ.),a>0,
V{x, r}eQ, V{,eR.
a0(jc, /) ^ a0 > 0 dans Q .
(') De norme strictement convexe ainsi que celle de son dual.

408 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
On prend :
V = Hl(Q),
K = {v \ v ^ 0 p. p. dans Q } .
Le Théorème 7.1 fournit l'existence et l'unicité de u vérifiant
' du
(7.24)
dt
dt2
^ 0 dans Q ,
+ A(t) « - / > 0 dans Q ,
^(^ + ^(0m _/) = <> dans Q
dr \ dt2 I
w(x, 0) = u0 , — (x, 0) = ut , w = 0 sur E ;
ot
on suppose que
u0sH2(Q)n Hl(Q) ^UiEHliQ) ,ul ^ 0 p.p. dans Q.
L'équation pénalisée donnant une approximation de u est (!)
32w,
(7.25)
dt2 s\dt/
= /•!
Remarque 7.4.
On construira des exemples analogues avec A(t) opérateurs elliptiques (en x)
d'ordre quelconque ; Vhyperboliciîé n'intervient donc pas du tout de manière
essentielle. g
Exemple 7.2.
L'opérateur A(t) étant donné par (7.23), on prend V = HX(Q),
K = { v | ve H\Q), v^O p. p. sur F} .
Alors le Théorème 7.1 fournit l'existence et l'unicité de u comme dans le
Théorème 3.1, avec — A remplacé par A(t) et u(x, 0) = u0(x),
du
dt
(x, 0) = Wj(x), x e Q.
L'équation pénalisée donnant une approximation de u est :
(7.26) (U:,v) + a(t;ut(t)9v)-^j^) vdr=(f(t)9v) VveH\Q)9
(0 On utilise ici la Remarque 7.3, 1).

7. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES 409
où
a(t ; u, v) = £ aiAx> 0 ^7 â7 dx + ao(x> f) wy dx '
avec w£(x, 0) = u0(x), --^(x, 0) = Wj(x), x e Q . |
Exemple 7.3.
L'opérateur A(f ) étant donné par (7.23), on prend V = H0(Q) et
X = { i; | t; e Hl0{Q), | grad i;(x) | ^ 1 p. p. dans îQ } .
L'équation pénalisée correspondante est (*)
( wE(x, 0) = w0(x) , wé(x, 0) = ux{x), x e Q . |
Exemple 1 A.
L'équation pénalisée correspondant à l'Exemple 3.5 est
Ax 0E = 0 dans g ,
(7.28) ^Tf + ^-i ^M =/ sur I,
j a/2 5n e\dtJ
<Pe(x9 0) = u0(x), <Z>;(x, 0) = Wi(x), x £ F. |
Remarque 7.5.
On peut également approcher par pénalisation les problèmes périodiques
d'inéquation, comme dans l'Exemple 3.2. |
7.3 Exemples d'inéquations pour opérateurs non linéaires hyperboliques
On va considérer un problème unilatéral attaché à l'opérateur étudié au
Chapitre 1, nro 1 :
u -» u" — au + | u \p u .
On va démontrer le
Théorème 7.2. — Soit Q un ouvert borné de R", p > 0 donné avec
2
(7.29) p ^ (p fini quelconque si n = 2).
(0 On utilise ici la Remarque 7.3, 2).

410 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Soit
(7.30) K = ensemble convexe fermé de Hq(Q) ,0eK.
On donne f w0, ux avec
(7.31) /,/'eL2(0,
(7.32) u0 e Hl0(Q) n H2(Q),
(7.33) uxeK.
Il existe alors une fonction u et une seule telle que
(7.34) u e L°°(0, T ; HX0(Q)), «' e L°°(0, T ; //à(G)), u" e L°°(0, T ; L2(Q)),
\ I (m" - Au + | m T u - f v - u') dt ^ 0
(7.35) < Jo
( W6L2(O,'r;//to),i;(0eK p.p.,
(7.36) m(0) = w0, m'(0) = i/j .
Démonstration de l'Existence.
1) Soit /? un opérateur de pénalisation de V = HXQ(Q)-+V{= H~l{Q))
ittaché à K. On considère l'équation pénalisée :
<- AuE + \uE\»uE + ±P(u'E)=fi
(7'37) Wo)-.0,
«i(0) = Mi •
On démontre, exactement comme au Chapitre 1, nro 1, Théorème 1.3,
l'existence de uE solution de (7.37), uE e L°°(0, T ; K), w;eL°°(0, T; K)
w; e L°°(0, T; L2(:Q)) ; on peut dériver (7.37) en / :
«r - a«: + (p +1) i ". r «: + J ow = r,
(7.38) j £
( m,w(0) = /(0) + Au0 - | u0 |p w0 = u2 e L2(tt) (car p(ut) = 0).
Multipliant (7.37) par w^ on obtient :
uE (resp. Wg) demeure, lorsque e -* 0, dans un borné de
(7.39)
' L°°(0, T ; V) (resp. de L°°(0, F ; L2(Q))),
(7.40) (J8(u;), wO df < Ce .
J o

7. INÉQUATIONS VARIATIONNELLES D'ÉVOLUTION HYPERBOLIQUES 411
Multipliant (7.38) par uE\ on obtient (en utilisant (6.97)) (*)
J(i«:«i2 + ii«:(on2) + (p + i)r f iu.ipuxdxd<7<
<^(l"2|2 + ll",l|2)+ f f /'uldxda
et l'on en déduit par les mêmes majorations qu'au Chapitre 1, nro 1 (cf. (1.71),
(1.72)) que
(7.41)
uE (resp. u"E) demeure lorsque £ -> 0 dans un borné de
L°°(0, T ; V) (resp. de L°°(0, T ; L2(Q))).
2) On peut donc supposer par extraction éventuelle d'une sous-suite, encore
notée uei que
(7.42)
ur -* m, Wg -* m' dans L°°(0, T; F) faible étoile ,
< -► m" dans L°°(0, T; L2(îQ)) faible étoile ;
fi(u'E) -* 0 dans @'(Q) par exemple d'après (7.37) et donc jS(ué) -* 0 dans
L°°(0, T ; V) faible, et donc, d'après (7.40) on a, comme dans le cas du nro 7.1 :
P(u'(t)) = 0 p. p. donc u\t) eKp.p.
Donc u satisfait à (7.34) (7.36); soit alors v donnée comme en (7.35);
comme P(v(t)) = 0 p. p., on déduit de (7.37) que
d'où
(7.43)
« - Amb + | uE |p uE -f, i?(0 - u'E{i) ^ 0 p. p.
f « - Au. + | uE r «., 17) dt - f (f, v - i/O dt >
J 0 J 0
^ I (M; - Amb + | u£ |p ut9 uE) dt =
J 0
= ^K(T)|2 +^||t/£(T)||2 +^J |«.(x,T)|'dx-^|M. |2-
-5ll"ol!2-^ f |"oW|Pdx, p = p + 2.
(0 | | = norme dans L2(Q),
■. IMP-f
(grad ç>)2 dx.

412 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Mais uE{T) -► u(T) dans #S(&) et dans U{Q) faibles, u[{T) -> u{T) dans
L2(Q) faible (en particulier) et donc la limite inférieure du deuxième membre
de (7.43) est
^ ^ I M'(T) I2 + ^ Il <J) II' + Z \ I "(*> T)\péx-l-\ ux |2
1,1 "-M2 i f |u(x,r)|'dx-±
P J n 2
5.l"oll2-^ f l"olPdx =
2 P J n
(«" - Au 4- | « |pu,u')d*
J o
et on a donc (7.35) ; en effet, dans le premier membre de (7.43) on passe à la
limite « par compacité » comme dans le cas des équations (Chap. 1, nro 1). g
Démonstration de V Unicité.
Soient ux et u2 deux solutions éventuelles. Prenant :
v = u'2 dans [0, s] , =0 dans ]s, T]
v = u\ dans [0, s] , =0 dans ]s, T] ,
respectivement dans l'inéquation relative à ux (resp. u2), il vient, en posant
vv = t/! — u2 :
(w", w') d/ - a(w, w') ât - (| w, |p ^ — | w2 T "2. w') df > 0 ,
J o J o J o
(où a((p,\j/)= grad <p.grad t/r dx), soit
^ (I W(S) |2 4- || W(S) ||2) ^ - J' (| Ml |P Ml - I "2 T "2, W) df
i. e. fa même estimation que dans le cas des équations ; on a donc le résultat
comme dans la Démonstration du Théorème 1.3, Unicité, Chapitre 1. g
Remarque 7.6.
On résoudra par le même genre de méthodes les inéquations relatives aux
opérateurs (cf. Chap. 1, nro 3 ; Chap. 2, nro 6) :
u -* u" — Aw 4- | ur \p u'.

8. PROBLÈMES NON LINÉAIRES DANS DES OUVERTS NON CYLINDRIQUES 413
Remarque 1.7,
On pourra aussi considérer, toujours par les mêmes méthodes, les inéquations
relatives à l'opérateur
u -> A0 — + Ai « ,
A0 et Ax étant deux opérateurs linéaires coercifs. |
Remarque 7.8.
Les solutions périodiques en t dans les inéquations hyperboliques seront
étudiées au Chapitre 4. g
Remarque 1.9.
On peut remplacer (7.9) par
(7.44) (u"(t) + A{t) u(t) - f(t), v - u\t)) ^0 Vi? e K, p. p. en t.
En effet, soit s un point de Lebesgue des fonctions
t-+u\t) + A{t)u{t)-f{i) et t^{u\t) + A(t)u{t)-f{t\iï{t)).
Soit Qj une suite de voisinages de s dans [0, T] tendant vers s et soit v
quelconque dans K.
Définissons
| î; dans 0,-,
Vj(t) ~ \ u\t) dans [0, T\- Gj.
Alors pour ce choix àtv = Vj (qui est loisible) dans (7.9), il vient
f (w"(0 4- A{t) u(t) - f{t), v - u'(0) df^ 0 .
J 0,
Divisant par mesure ((Py) et utilisant le fait que s est point de Lebesgue, on en
déduit que (7.44) a lieu avec t = s, d'où le résultat.
Naturellement il est évident que, réciproquement, (7.44) entraîne (7.9). |
8. PÉNALISATION ET PROBLÈMES NON LINÉAIRES DANS DES
OUVERTS NON CYLINDRIQUES
8.1 Un exemple hyperbolique
Dans les exemples étudiés jusqu'ici, nous avons toujours, pour les opérateurs
d'évolution, résolu les problèmes dans des ouverts cylindriques : Q = Q x ]0, T[.
On va maintenant considérer le cas d'un domaine Q non cylindrique. |

414 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Notations.
2cRxBxRM et plus précisément Q c R" x ]0, T[ ,
Q n { t = s } = Qs,
rs = ôQ n { t = s} , 0 < s < T,(dQ = frontière de Q),
E = (J Fs, de sorte que dQ = Q0 u E u 0T .
se'[0,T]
Le Problème.
On cherche w dans g solution (dans un sens que Ton précisera) de
(8.1) Ç^- Au 4- |«|'«=/,
oi*
(8.2) w = 0 sur r,
(8.3) u(x, 0) = u0(x), |j(x,0) = Wl(x), xe^0.l
Remarque 8.1
Il s'agit donc d'un problème analogue à celui traité au Chapitre 1, nro 1,
mais relatif à un domaine non cylindrique. Cela n'écarte pas absolument la
possibilité d'utiliser la méthode de Faedo-Galerkin, mais il faut alors prendre
des « bases » dépendant de t, d'usage délicat (on verra un exemple d'une telle
utilisation pour le cas des équations de Navier-Stokes dans un domaine non
cylindrique dans Sather [3]). On va voir comment l'idée de la pénalisation
conduit à une méthode assez simple. 1
Espaces fonctionnels et Hypothèses.
Soit 0 un ouvert de R" tel que
(8.4) Q c (9 x]0, T[;
pour un peu simplifier (mais ce n'est pas essentiel) on supposera que
(8.5) Q est borné et on choisit 0 borné dans R".
Les espaces L2{Qt) (resp. Hl(Qt)) s'identifient, V7 e [0, T], à des sous-
espaces fermés de L2(0) (resp. Hl(0)) ; on définit alors
( L"(0, T; L2(Qt)) = espace des fonctions/e L"(0, T ; L2(0))
[telles que f(t)eÛ(Qt) p.p., (1 ^ p ^ oo)
et de même pour L"(0, T; Hx0(Qt)).

8. PROBLÈMES NON LINÉAIRES DANS DES OUVERTS NON CYLINDRIQUES 415
On fera les hypothèses suivantes :
Qt « croit » avec t, i. e. : si Q* = projection de Qt sur
l'hyperplan t = 0 , alors Q* c £>* si t < t' ;
/o ^ i v* G ]°» TC > S1 y G ^oW , v = 0 p. p. dans 0 - Qt,
(8.7)
alors u e //J(Q,) (*).
On va démontrer le
Théorème 8.1. — On suppose que (8.6) et (8.7) ont lieu. On donne f w0, ux
avec
(8.8) /eL2(g),
(8.9) Moe^nLW, p = p 4- 2 ,
(8.10) iiteL^Go).
77 ex/ste une fonction u vérifiant (2)
(8. H) weL°°(0,T;//J(5Qr)), MeLM(0J;Lp(ûr)),
(8.12) w'£L°°(0, T;L2(Or)),
e/ les équations (8 A) (8.3).
Remarque 8.2.
La condition (8.2) est contenue dans l'appartenance à L°°(0, T;Ho(Qt)).
La deuxième condition (8.3) a un sens, car (cf. Remarque 1.1, Chap. 1) il
résulte de (8.11) (8.12) et (8.1) (et Qt étant « croissant » avec t) que :
(8.13) u"el}$9T\H-\Q0) + LP'(Q0)) (3)
d'où résulte avec (8.12) que u' est en particulier continue de
lO,r\-+H-l(Q0) + lf(Q0).l
Démonstration du Théorème 8.1.
1) On introduit (9 quelconque avec (8.4) (8.5). Soit MeL°°(0 x ]0, T[)
telle que
f 0 sur Q,
M =
[ 1 dans 0 x ]0, T[ - Q .
(') On identifie, ici et dans la suite, v et sa restriction à Qt.
(2) Le problème de l'unicité n'est pas résolu ; cf. Problème 11.9.
(3) Il s'agit ici de la restriction de u" à Qo X ]0, T[.

416 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Dans le cylindre 0 x ]0, T[ on considère le problème :
u'E- AuE + \uE\puE + ±MuE=fC), (e>0)
(8.14) ^ uE = 0 sur dO x ]0, T[ ,
, uJLx, 0) = u0(x), ^(x,0) = 51(x), X6(P(2).
Ce problème admet une solution (Ve > 0) ; d'après la Démonstration du
Théorème 1.1, Chapitre 1, en multipliant (8.14) par uE on voit que Ton peut
choisir uE de façon que, lorsque £ -> 0,
( uE demeure dans un ensemble borné de
(8.15) < L°°(0, T ; ff£(0)) n L°°(0, T ; LP(0)),
v uE demeure dans un ensemble borné de L°°(0, T ; L2(0)),
et
(8.16) I M{u'f dx dt ^ Ce.
J 0x]O,T[
Remarque 8.3.
Le terme - MuE joue un rôle analogue au terme - P(uE) introduit au nro 7.1
£ £
2) On peut alors supposer par extraction d'une sous-suite que
uE - w dans L°°(0, T ; Hl0(&) n Lp(0)) faible étoile ,
(8.17) <u'B-+w' dans Lx(0, T ; L\(9)) faible étoile ,
u, -> w
dans L2(0 x ]0, T[) fort et p. p.
et d'après (8.16) on a :
(8.18) Mw' = 0,
donc w' = 0 p. p. dans 0 x ]0, T[ — g ; comme w(x, 0) = w0(*). w(x, 0) = 0
dans 0 — Q0 et par conséquent, grâce à (8.6) :
(8.19) w = 0 p.p. dans 0 x ]0, T[ - Q .
Cela, joint à (8.7) montre que :
(8.20) si u désigne la restriction dt w h Q, alors u e L°°(0, T; Hl(Qt)).
(i) /= prolongement defà 0 X ]0, 71 par 0 hors de Q.
(2) m = prolongement de W. à 0 par 0 hors de Q$.

9. AUTRES TYPES D'APPROXIMATION
417
Donc u satisfait à (8.11) (8.12).
Mais par restriction à Q (8.14) donne (ue désignant la restriction de ut à Q) :
d2
(8.21) —«.-AÎ,+ |u,|'î.=/ sur 2,
et grâce à (8.17) (comme au Théorème 1.1, Chap. 1) on peut passer à la limite
dans (8.21) et on voit que u satisfait à (8.1).
Alors u est solution du Problème, car d'après (8.17) uE(0) -* w(0) dans
L2((9) faible, donc w£(0) = u0 -> u(0) donc w(0) = u0 et d'après (8.17) et (8.21),
^(0) = Ul -> w'(0) dans H'\Q0) + Lp\i20) faible,
et
donc w'(0) = Wj. |
8.2 Remarques diverses
Remarque 8.4.
La méthode précédente est valable aussi dans d'autres exemples. Ainsi on
peut considérer le système des équations de Navier-Stokes dans un domaine Q
non cylindrique ; on l'approche dans 0 par (avec des notations analogues à
celles du nro 8.1) :
i^-vAu£+ £ utlj£ + ±Mut=f, dans 0 x ]0, T[
(8.22) j dt î=l dXi £
f div ue = 0 dans 0 x ]0, 7[
et cela permet de montrer l'existence d'une solution (faible ou turbulente),
en dimension d'espace quelconque (comme au Chap. 1, nro 6). |
Remarque 8.5.
Une autre possibilité pour les problèmes d'évolution dans des domaines
non cylindriques est d'utiliser la régularisation elliptique (nro 1) directement
dans Q. Cela a été fait, pour les équations de Navier-Stokes, dans Lions [6]. |
9. AUTRES TYPES D'APPROXIMATION
9.1 Approximation d'inéquations elliptiques par des inéquations
paraboliques
On se place dans le cadre du nro 5 ; on suppose que
(9.1) A vérifie (5.16) et en outre A est strictement monotone.

418 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Alors pour/donné dans V, il existe u0 e K unique tel que
(9.2) (A(u0), v-u0)> (/, v - i/o) Vue*.
Notre objet est de voir si l'on peut trouver u0 comme limite de solutions
cVinéquations dévolution de type parabolique.
On fera l'hypothèse suivante (*) :
(9.3) il existe p > 0 tel que || A(v) \\y. ^ cx \\v\\pv VvsV.
On pose alors p = p 4- 1, de sorte que (9.3) équivaut à
(9.4) ||AM||?'<C2lMlKP Vi?eK(i + i=l).
On définit
(9.5)
-T = L"(0, T;V),
(sf(v))(t) = A{v{t)) p.p., weiT,
(9.6) X = {v | ve-T, v[t)sK p.p.},
(9.7) L = d/dt, D(L) = { v \ vcT, Lv = v'cT', v(0) = 0} .
Alors, d'après le Théorème 6.1, Ve > 0, il existe uEe JT tel que
(9.8) e(Lt7, r - we) + (j*(hb), y - h.) ^ (F, v - ue) VveX* n D(L) ,
où
(9.9) F(t)=f p.p. (2).
En outre, d'après (9.1) sf est strictement monotone et donc uE est unique.
On va démontrer le
Théorème 9.1. — On suppose que (9.1) (9.3) ont lieu. Soit uE la solution de
(9.8). Alors, lorsque e -> 0, on a :
~ * r
(9.10) uE = - u£(t)ck->w0 dansVfaible.
Démonstration.
1) Définissons U0 e f~ par U0 = w0 sur [0, T]. Comme stf(u0) = A(w0) Vf,
on déduit de (9.2) que
(9. H) (^(Uo), v - U0) ^ (F, r - U0) Vy £ X* .
(') Hypothèse probablement inutile en remplaçant dans ce qui suit les espaces Lv par des
espaces d'Orlicz.
(2) Dans (9.8) (F, u) par exemple, désigne le produit scalaire entre i^' et y et dans (9.2),
(/, v) désigne le produit scalaire entre V et V.

9. AUTRES TYPES D'APPROXIMATION 419
On va démontrer que
(9 A2) uE -> U0 dans tT faible ,
d'où résulte (9.10).
2) On déduit de (9.8) que uE demeure dans un borné de V, donc s/(uE)
demeure dans un borné de V', et on peut donc extraire une suite, encore notée
uei telle que
,9 n) f"£->" dans ^faible,
1 s/(ue) -> x dans -V' faible .
On déduit de (9.8) que
(sf(ut), ut) ^ e(Lv, v - uE) + (.«/(«,), v) - (F, y - uB)
d'où
lim sup (W(tO, uE) ^ (/, u) - (F, v - m)
et par conséquent
(9 A4) lim sup (jl/(wb), mb - m) < fa - F, b - m) Vy e Jf n D(L).
£-*0
Mais, pour les choix (9.6) (9.7), Xc\D(L) est dense dans JT et donc
inf (x — F, y — w) = 0 et donc
t>eJTnD(L)
(9 A 5) lim sup <y(tO, uE- u) ^0.
Il en résulte que
lim inf (tf(ue)9 w£ - t?) ^ (^(w), m — u)
et comme, d'après (9.8),
lim inf (sf(ue), w£ - u) ^ (F, w — v),
on en déduit que u vérifie
(9 16) ( ^(u)t v~ U)>(F>V~U) Vue Jf n D(L)9
[ usX ;
(9.16) a lieu aussi Vu £ JT et donc w = U0, comme U0 est unique à vérifier
(9.11). On a donc (9.12) (1). |
C1) Autrement (R. Temam) : on déduit de (9.8) que
e(Lv, v — uE)+ (sf(v\ v — uE) > (F, v — uE) .
Choisissant v indépendant de / et prenant la moyenne, on a :
e(Lv, v — uE) + (A(v), v — uE)^ (f, v — uE)
et passant à la limite on trouve (A(v), v — w) > (f, v — u) Vve K, donc u = uq.

420 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Remarque 9.1.
On déduit de (9.15) et de la monotonie de se que
(9A7) (rf(ue) - s/(u)9 ue - u) -> 0 .
Si donc (A(p), v)1/q est une norme uniformément convexe sur V, alors
(ja/(we), w£) -> (s#(u), u) entraîne que uE -> u dans L*(0, F ; F) fort et donc
(9.10) a lieu avec convergence forte dans F. |
9.2 Nouveaux problèmes unilatéraux
Plaçons-nous dans le Cadre nro 7.1. Les hypothèses sont celles du Théorème
7.1 et on suppose en outre que
(9.18) A(0)uo=f(0).
D'après le Théorème 7.1, Ve > 0, // existe uE unique telle que
(9.19) w£eLœ(0, T\V), uE e Lœ(0, T; K) , <e L°°(0, T; //),
(9.20) We(t)eK p.p.,
T
(ewj 4- A(t) ue - f(t), i?(0 - w£(0) dt ^ 0
0
Vt;eL2(0J;l/), v(t)eK p.p.,
(9.22) m.(0) = wo, "KO) = Ml .
En outre, en reprenant la démonstration du Théorème 7.1 on voit que
wE, u'E demeurent dans un borné de L°°(0, T; V) , (*)
^/ew,' demeure dans un borné de L°°(0, T\H).
On en déduit que l'on peut extraire une suite, encore notée wE, telle que
(9.24) u, (resp. u[) -> u (resp. u) dans L°°(0, T; F) faible étoile ,
et u vérifiant
tA{t) u(t) - /(0, t<0 - «'(0) d* > 0 Vu £ L2(0, T ; V),
Jo
u(f)eX p.p., u\t)sK p.p.,
(9.26) W(0) = u0.
(•) On utilise ici le fait que l'on a (9.18).
(9.21)
(9.23)

9. AUTRES TYPES D'APPROXIMATION
421
Mais (9.25) équivaut à
(9.27) (A(t) u(t) -f(t\k- u'{î)) ^ 0 V& e K, p. p. sur [0, T].
On en déduit que (9.25) (9.26) admet une solution unique.
On a donc démontré les résultats suivants : (*)
Théorème 9.2. — On suppose que les hypothèses (7.1) (7.2) (7.3) ont lieu et
que f et u0 sont donnés satisfaisant à (7.4) (7.5) et (9.18). // existe alors une
fonction u et une seule satisfaisant à
(9.28) us L°°(0, T ; V\ u' e L°°(0, T ; V),
(9.29) u'(t)sK p.p.
et u satisfait à (9.26) (9.27).
Par ailleurs :
Théorème 9.3. — On se place dans les hypothèses du Théorème 9.2. On
choisit ux quelconque dans K. Alors, Ve > 0, // existe uE unique avec (9.19)
(9.20) (9.21) (9.22). Lorsque e -> 0, on a (9.24) où u est la solution obtenue
au Théorème 9.2. g
Exemple 9.1.
Dans le cadre de l'Exemple 7.1, on obtient, pour la solution u :
— ^ 0 p. p. dans Q ,
(9.30)
A(t) u - f ^ 0 p. p. dans Q ,
d-£(A(t)u-f) = 0 p.p. dans fi,
u(x, 0) = u0(x) 9xeQ (A(0) u0 = f(0)) . |
Exemple 9.2.
Dans le cadre de l'Exemple 7.2, on obtient, pour la solution u :
A(t) u =f dans Q ,
(9.31)
\Tt>0
1 du du
f dt dvA(t)
sur 27,
sur Z,
= 0 sur E,
| u(x, 0) = u0(x), xe& . |
(0 Des résultats de régularité supplémentaires ont été obtenus par H. Brezis.

422 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
Remarque 9.2.
Lorsque A(t) = A ne dépend pas de t ttf{t) = /ne dépend pas de t, la
solution du problème (9.26)... (9.29) est immédiate :
w(0 = w0 • I
10. APPROXIMATION PAR RÉGULARISATION D'OPÉRATEURS
MULTIVOQUES
10.1 Equations multivoques hyperboliques
Soit M une fonction multivoque de R -> 2R ayant les propriétés suivantes (*)
M est monotone (i. e. si X g M (s), \i e M(t) on a
(1CM) '(l-^s-O^O) et 0eM(0),
(il existe une suite de fonctions Mk e C*(R) telles que
Mfc(0) = 0 , M'k(t) > 0 , Mk(± oo) = ± oo ,
(10.3) Mk-1 = ^k -> M-1 = ^ uniformément sur tout compact (2) .
On va démontrer le
Théorème 10.1. — Soit Q un ouvert borné de R" de frontière régulière. Soit
M une fonction multivoque donnée vérifiant (10.1) (10.2) (10.3). On donne f
u0, Ut satisfaisant à
(10.4) /6L2(O,T;//^)),|6L2(0,
(10.5) u0sH\Q) nHj(-Q),
(10.6) ux sHl(Q), Mk(uj) e borné de l3(Q) lorsque k -* oo .
// existe alors une fonction u et une seule telle que
(10.7) m e L°°(0, T ; /f 2(fQ) n //J(G)),
(10.8) m' e L°°(0, T ; //£(£)),
(10.9) w"gL°°(0, T;L2(5Q)),
(10.10) - («ff(x, 0) ~ A«(x, 0 - /(x, 0) e M(«'(x, 0) p. P- dans Q ,
(10. H) «(x,0) = «0W,y(x,0) = «1(x), XG5Q(3).
(i) Cf. un exemple général où ces conditions ont lieu dans Amerio-Prouse [2].
(2) Donc M est maximal monotone, hypothèse qui est en fait suffisante (H. Brezis).
(3) On peut montrer (H. Brezis) utilisant les semi groupes non linéaires que w(0, t) e H1 (Q)
Vf.

10. APPROXIMATION PAR RÉGULARISATION D'OPÉRATEURS MULTIVOQUES 423
Remarque 10.1.
La condition (10.10) se réduit à une équation habituelle lorsque M est
uriwoque.
D'ailleurs lorsque M est univoque, avec M(± oo) = ± oo et (10.1), alors
l'existence et l'unicité de u est une simple variante du Théorème 3.1, Chapitre 1
(où l'on a considéré le cas
M(X) = |A |'A). |
Remarque 10.2.
La méthode qui suit consiste à «approcher» (au sens de (10.2) (10.3))
l'application multivoque M par les fonctions régulières Mk : c'est encore un
procédé de régularisation des équations, g
Démonstration de VExistence.
1) Comme il est indiqué dans la Remarque 10.1 ci-dessus, Vfc il existe une
fonction uk et une seule ayant les propriétés suivantes :
(10.12) u"k - Auk + Mk(uk) =f dans Q ,
(10.13) uk(0) = u0, ui(0) = uly
et, en outre, lorsque k -» oo,
/ uk (resp. u'ki resp. u"k) demeure dans un borné de
(10.14) < L°°(0, T ; H\Q) n Hl0(Q)) (resp. de L°°(0, T ; //J(Q)),
( resp.de L°°(0, F; L2(fQ))).
2) On peut donc extraire une suite, encore notée uki telle que
[ uk -» u (resp. uk -> u', resp. uk -* u") dans
(10.15) } Lr(0,T;H2(Q)nHlo(Q)) (resp. L°°(0, T ; Hl0(Q)), resp.
( L°°(0, F ; L2(0))) faible étoile .
D'après l'équation (10.12) on a également
( Mk(u'k) = vk - v = f - u" + Au dans L2(Q)
(10.16)
l faible (par exemple).
Alors u'k = J?k(vk) et si l'on démontre que
(10.17) u' = J!(v)

424 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
alors v e M{u') et donc
/ - u" + Au e M(iï),
i. e. (10.10). Comme u satisfait évidemment aux autres conditions du Théorème,
il n'y a donc plus qu'à montrer (10.17).
3) On va utiliser la monotonie avec une petite difficulté technique tenant au
fait que l'on ignore a priori si Jt{v) e L2(Q). On va pour cela utiliser les
troncatures (*). Pour tout R > 0, on définit
[ Jt{k) si | J?(X) | < .R ,
(10.18) JtR(k) = R si J?(A) > R ,
( - R si Jf(X) < - R.
Soit <p e ^(0 î aî°rs ( » ) désignant le produit scalaire dans L2(0, on a :
(10.19) (J?R(vk) - Jt«(q>)9 vk-cp)>0.
Mais, d'après (10.15)
(10.20) Jtk(vk) = uk -> u' dans Û(Q) fort (et p. p.), k -> oo ,
de sorte que
(10.21) J?R(vk) - («T dans L2(0 fort, k - oo ;
comme JtR{<p) -* JtR(q>) dans L2(0 fort, on déduit donc de (10.19) que
(10.22) ((w')* - .#*(<?), y - <p) > 0 V<pe0(0.
Mais ( 10.22) a également lieu V<p £ L2(0 et prenant
(p = v - Xip , A > 0 , i> e L2(0 ,
on en déduit, après division par A
((«')* - M\v - Ai», <A) ^ 0 V«A £ L2(0 .
On fait À -> 0, d'où
((«')* - ,#*(t;), i» ^ 0 VtA e L2(0
d'où («')* = MR(v). Comme cela est établi avec R quelconque, on a donc
(2.17). I
Démonstration de Vunicité.
La méthode est la même que dans le cas des « équations univoques » (cf.
Chap. 2, nro 6). Soient uu u2 deux solutions ; donc
(10.23) u[ — Auj 4- al =/, ffjeMfaî),
(10.24) «'j - Am2 + (72 =/, cr2£M(u2).
(') Méthode que l'on retrouvera (d'ailleurs pour des raisons du même ordre) au Chapitre 4,
nro 3.

11. PROBLÈMES
425
Donc, si w = Wj — w2» on a :
(10.25) w" - Aw + (7t - (72 = 0
et multipliant (10.25) par w', on en déduit l'unicité en notant que
(at - cr2, «i - u2) ^ 0 . |
10.2 Inéquations multivoques hyperboliques
On traitera par le même genre de méthodes le cas des inéquations
multivoques monotones.
Les données étant celles du nro 10.1, soit K un ensemble convexe fermé de
Hl(Q), OeK. On donne/, w0, t/j comme au Théorème 10.1, avec en outre
(10.26) uteK.
Il existe alors une fonction u et une seule satisfaisant à (10.7), (10.8), (10.9),
(10. H) et, pour presque tout t e [0, T] :
( (u"{t) - Am(0 4- (7(0 - /(*), v - u'(t)) ^ 0 Vu sK ,
(10.27) u'(t)eK,
{ (7(0 e M(u'(t)) •
11. PROBLÈMES
11.1 Etude de la régularité (éventuelle) de la solution du Problème résolu au
nro 2.6 au voisinage de la singularité x = 0.
11.2 Quand y a-t-iî unicité de la solution dans le cas du Problème étudié
au nro 2.8 ? (Le problème, déjà non banal dans le cas des opérateurs
linéaires, est alors résolu dans C. Baiocchi [1]).
11.3 Problème de «viscosité artificielle». Peut-on résoudre le problème,
dans Q x ]0, T[, Q c R2, £ > 0 :
du \ d /, t ôu\ d / , &A1 2 du r
div u = 0 ,
w = 0 sur I,
w(x, 0) donné ,
et peut-on faire £ -> 0 ?
(Des questions de ce genre se présentent à propos des problèmes de
viscosité artificielle (selon Von Neumann-Richtmyer [1]) pour
l'intégration numérique de problèmes de l'hydrodynamique ; pour l'exemple
précédent, cf. Harlow [1]).

426 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
11.4 A-t-on des théorèmes de régularité analogues à (6.35) lorsque se est
un opérateur elliptique d'ordre > 2 ? (Les méthodes utilisées ne
s'étendent pas à ce cas).
11.5 Peut-on étendre au cas où l'ensemble K est un convexe fermé quelconque
de Kles résultats du nro 6.4. sur les inéquations relatives aux opérateurs
de Navier-Stokes ? (et sans les hypothèses de régularité sur les données
faites au nro 6.5).
11.6 A-t-on unicité dans le Théorème 6.3 ?
11.7 Inéquations variationneiles hyperboliques avec singularité.
Peut-on résoudre l'inéquation
[T ï X '
(m", v - u) + (Au(t), v - u) + - (u\ v - u)
J n t
ât ^
(f,v- u) dt ,
J o
avec X < 0, X ^ - 2 n - 1, n = 0, 1,... ?
11.8 A-t-on unicité dans le Théorème 8.1 ?
11.9 La condition « Qt croissant » semble trop restrictive dans le Théorème
8.1. Le résultat est-il encore valable lorsque I est localement contenu
dans le cône de propagation des ondes issu de tout point de I ?
11.10 Peut-on résoudre l'équation
^- AK + | W'|P«'=/
dt1
dans un ouvert non cylindrique (avec les conditions aux limites et initiales
appropriées) ?
11.11 Peut-on résoudre les inéquations d'évolution paraboliques et
hyperboliques dans des domaines non cylindriques ?
12. COMMENTAIRES
La régularisation elliptique pour les problèmes paraboliques linéaires a été
introduite par l'A. dans [19] et appliquée à des problèmes non linéaires dans [6] [8] [9].
Une idée analogue a été indépendamment introduite et utilisée par O. A. Oleinik,
par exemple dans Olefnik [7].
On présente ici au nro 1 cette méthode dans un cadre très général (*). Le lernme de
maximalité 1.1 est dû à H. Brezis [2] [6] ; la démonstration donnée de ce Lemrne
dans le texte est due à L. Nirenberg. Les Théorèmes 1 T et 1.2 sont dus à Brezis [6].
Le Théorème 2.1 est dû à TA. [9], où la régularisation elliptique était utilisée
directement ; les résultats des nros 2.3 et 2.5 (2) sont dus à Bardos-Brezis [1], ceux du
nro2.4 à Bardos [1].
(') Que l'on pourrait d'ailleurs encore étendre aux opérateurs multivoques.
(2) Le cas traité au nr0 2.5 peut également être étudié par la méthode de compacité, cf.
Chapitre 1, nro 10.

12. COMMENTAIRES
427
La Démonstration de la maximalité de L donnée au nro 2.6, est due à Baouendi-
Grisvard [1], reprise dans Bardos-Brezis.
Les problèmes « d'inéquations variâtionnelles hyperboliques » ont été introduits
par FA. dans [21] à propos de l'Exemple 3. L Le résultat du nro 3.1 est dû à Brezis
et l'A. [t] ; on trouvera des résultats complémentaires dans Brezis [5]. La méthode de
régularisation parabolique a été utilisée déjà dans de nombreux travaux, sous le
nom (souvent) de méthode de viscosité.
Les résultats du nro 4 relatifs à l'équation de Korteweg et de Vries [1] sont dus à
R. Temam [7]. Des invariants fonctionnels pour cette équation ont été obtenus par
plusieurs auteurs ; Miura, Gardner et Kruskal [1] ont construit une infinité de tels
invariants, une méthode générale pour l'obtention de tels invariants étant due à
P. Lax [3] ; tous ces A. ont étudié la propagation des ondes pour ce type d'équations.
Le problème de l'existence (et l'unicité) d'une solution (avec conditions aux limites
périodiques) a été résolu dans SjÔberg [1] (sous des hypothèses plus fortes que celle
de Temam) par la méthode des différences finies. Le cas « a = 0 » correspond à
l'équation de Burgers [1] pour laquelle la méthode de régularisation parabolique
(ou de viscosité) est classique (cf. E. Hopf [3], |0. A. Oleinik [1] [2] ; consulter aussi
B. L. Rozdestvenskiï et N. N. Yanenko [1]) ; pour l'équation de Burgers
consulter aussi M. Rosenblatt [1]. Des résultats généraux sur la méthode de viscosité sont
donnés dans N. S. Bahvalov [1].
La méthode de pénalisation en Calcul des Variations a été introduite par R. Courant
[11 puis a donné lieu à d'innombrables travaux et applications, numériques en
particulier cf. Balakrishnan [1], Beltrami [1], Cea [1], Yvon [IL II y a une « dualité »
entre la pénalisation et la régularisation ; nous renvoyons pour cela à Bensoussan-
Kenneth [1] et A. Bossavit [1]. L'usage systématique de la pénalisation pour les
inéquations semble commode. L'Exemple 5.5 intervient dans des problèmes de^
reconnaissance des formes et la méthode correspondant à (5.49) présente certaines
analogies avec le travail de Barbosa-Wong [1], lui-même présentant des analogies avec
BROWN-von Neumann [1] (il est d'ailleurs intéressant de décomposer (5.49) par la
méthode des pas fractionnaires de l'Analyse Numérique).
Pour d'autres résultats de régularité que ceux du nro 5.5, et établis par la méthode de
pénalisation, cf. Lions [18] (on y trouvera en particulier des résultats de régularité
pour certains problèmes d'ordre > 2).
Nous avons introduit systématiquement l'usage de la pénalisation dans les
inéquations d'évolution dans Lions [16], [17]. Le résultat de continuité (6.61) a été obtenu
par Brezis [5], Temam, et l'A. Les inéquations relatives aux opérateurs de Navier-
Stokes ont été introduites dans Lions [16]; d'autres résultats sur ce sujet ont été
obtenus (par usage des opérateurs multivoques) par Brezis et Pazy [1]. On trouvera
d'autres résultats que ceux donnés aux nros 6 et 7 dans Brezis [5].
La méthode de pénalisation pour des problèmes non linéaires d'évolution dans des
ouverts non cylindriques a été introduite par l'A. dans [6] [7] puis indépendamment
par H. Fujita et N. Sauer [1] (on trouvera des applications numériques de
méthodes de ce genre, relativement à des opérateurs linéaires dans Mignot [1]).
On montre au nro 9 comment on peut approcher (sous certaines conditions) la
solution d'inéquations elliptiques par des inéquations d'évolution (*).
D'autres approximations sont encore possibles :
1) par exemple dans Strauss [5], Lecture 3.10, on approche l'équation
| u' |p-2 tï — Au = f
(de nature « parabolique ») par l'équation hyperbolique
eul + \u'e \p-2u'e— Aue =f.
0) Ce qui peut avoir un intérêt pour les applications numériques.
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 15

428 MÉTHODES DE RÉGULARISATION ET DE PÉNALISATION [CHAP. 3]
2) On peut approcher les équations elliptiques par des équations « encore plus
elliptiques » (par exemple d'ordre supérieur) ; cela a été utilisé pour obtenir des
estimations de l'erreur dans l'approximation numérique de problèmes aux limites
elliptiques linéaires dans Aubin [2], Aubin-Lions [1] et a donné lieu au travail de
Browder-Ton [1],
Les résultats du nro 10 A sont dus à Amerio et Prouse [2], où la situation étudiée
est d'ailleurs plus générale.
On rencontre dans les applications à la Mécanique des problèmes du type
(comparer à (7.44)) (w"(0 + Au(t) —f(t), v — u' (t)) > 0 V v e V, où j est une
fonctionnelle convexe > 0 non différentiable ; cf. Duvaut-Lions [31.

CHAPITRE 4
MÉTHODES ITÉRATIVES
SOLUTIONS PARTICULIÈRES

ORIENTATION
Les procédés utilisés jusqu'ici pour la construction de solutions approchées
sont :
1) la méthode de Faedo-Galerkin (Chap. 1 et 2),
2) la régularisation elliptique, ou parabolique (Chap. 3),
3) la pénalisation (pour les inéquations) (Chap. 3).
On étudie ici d'autres procédés :
1° les méthodes de différence finie (nro 1)0),
2° une méthode de décomposition (ou de « splitting up ») issue de techniques
classiques en Analyse numérique et donnant ici de nouvelles estimations
a priori (cf. n° 2),
3° une méthode d'approximation par troncature (nro 3),
4° la classique méthode des approximations successives qui, à condition de
bien choisir Vespace fonctionnel où Von itèret donne des résultats intéressants
(cf. nro 5).
On étudie ensuite (nros 6, 7, 8) les solutions périodiques et bornées en i.
Le nro 9 présente un caractère particulier en ce que beaucoup de calculs y
sont formels. Un très gros travail reste à faire dans ces directions.
1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES
FINIES
1.1 Orientation
Dans le problème (fondamental) de Vusage des estimations apnor/(etrnême
parfois, dans Vobîenîion d'estimations a priori) la méthode des différences
finies peut être très importante. Son intérêt principal est que la structure des
équations approchées par discrétisation (différences finies) est « très proche » (2)
de celle des équations que l'on veut résoudre et donc on ne « perd pas » des
estimations a priori. Son inconvénient majeur (comme on va voir...) réside dans
les calculs techniquement lourds auxquels on est inévitablement conduit.
De façon générale, il y a trois possibilités de discrétisation dans les problèmes
d'évolution :
(i) une discrétisation complète, i. e. en les variables d'espace et de temps ;
c'est la méthode généralement suivie en Analyse Numérique ; nous ne
l'aborderons pas ici, pour ne pas alourdir outre mesure l'exposé ;
(') Mais notre objet n'est pas une étude systématique de cet énorme sujet.
(2) Par un choix judicieux de la discrétisation.

432 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP, 4]
(ii) une discrétisation en la variable de temps seulement (on dit : une « semi-
discrétisation ») ; on a déjà utilisé une idée voisine au Chapitre 2, nro 7 et nro 9
I lorsqu'on a approché A par 1 ; nous allons, au nro 1.2, appliquer cette
méthode aux inéquations paraboliques, avec donnée initiale non nulle ;
(iii) une discrétisation en les variables d'espace seulement (on dit : une «semi-
discrétisation » en les variables d'espace) ; on applique, au nro 1.3, cette méthode
à un exemple (dû à P. A. Raviart [3]) d'équation parabolique non linéaire
dégénérée.
1.2 Semi-discrétisation et inéquations variationnelles
On se place dans le cadre du Chapitre 3, nro 6.3 (Théorème 6.2). On a donc
les espaces de Hilbert (*)
(1.1) Va Ha V
et on se donne un opérateur A (2)
(1.2) Me*(F;n.
\ (Av,v) ^ a \\v ||2 , ce > 0, veV.
Nous allons démontrer — par une méthode « constructive » de
semi-discrétisation — le
Théorème 1.1. — On suppose que (1.1) (1.2) ont lieu. Soit K un ensemble
convexe fermé de V. On donne
(1.3) /gL2(0, T;F'),
(1.4) u0eK.
Il existe une fonction u et une seule, telle que
(1.5) wgL2(0, T\ V)nLœ(0, T; H),
(1.6) u(t)eK p.p.,
(i7) \\l(l/(0 + Au{î) ~ /(0'v(t) ~ "w) dt + ^ ' "(0) " u° '2 ^ °
f Vy g L2(0, T; V), o' g L2(0, T; V) , y(0 e K p. p. |
Remarque 1.1.
L'énoncé précédent est légèrement moins précis que celui du Théorème 6.2,
Chapitre 3 ; on peut d'ailleurs déduire toutes les informations du Théorème 6.2
(') Pour simplifier l'exposé uniquement.
(2) Le même type de méthode résout le cas où A dépend de t ; nous nous bornerons au cas
où A ne dépend pas de t pour simplifier l'exposé.

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 433
à partir de l'énoncé précédent ; mais le point essentiel, dans ce qui suit, réside
dans la méthode de démonstration. |
Se m i-discrétisa tion.
On introduit
(1.8) k = At = T/N
et on désigne par u" une « approximation » (*) de u à l'instant nk. On introduit
j r(n+l)k
0.9) /" = ï /(*)<**. «^i;
on prend
(1.10) u0 = «0
et l'on définit de proche en proche les u" par
(Mi) \ (~iT ' >D " u") + (/lw" -/" » » - M") > ° VyGK »
( u"eK (1 < w < JV - 1).
Le système (1.11) est une inéquation variationneîle elliptique, admettant une
solution unique (en effet (1.11) équivaut à
Aun +l-u\v- un)>(fn -h^u"-1 ,v- u»\ Vt>eK,
et on applique le Théorème 8.2, Chapitre 2, à l'opérateur (coercif) À + - /).
On dit que les inéquations (1.11) constituent une approximation semi-discrète
de l'inéquation (1.7). |
Démonstration de Vexistence dans le Théorème 1.1.
Naturellement tout repose sur des estimations a priori sur la suite { un }.
On introduit :
(1.12) uk(t) = u" dans \nk9(n + \)k[9 0 ^n ^ N - \ .
On va démontrer le
Lemme 1.1. — Lorsque k -> 0, on a :
(1.13) w* demeure dans un borné de L2(0, T;V)n L°°(0, T; //).
Démonstration.
Soit u0 choisi (quelconque) dans K. On prend v = vQ dans (1.11) et l'on pose :
w" = w" — v0 .
0) II faudra en fait démontrer que c'est effectivement une approximation !

434 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP.
On en déduit
i(w" - wn~\ wn) + (Aw\ wn) ^ Un - Av0, wn)
d'où, après multiplication par k et || ||, | |, || ||* désignant respectiveme
les normes dans V, H et V (norme duale) :
(1.14) U\ wn\2 - | wn_1 |2 + | wn - wn~l |2J +
+ ka\\tf\\2 K k\\f* - Av0\\*\\w*\
d'où, en particulier :
\ (I w" |2 - | w-1 |2) + fea || w" ||2 < k\ || w" ||2 + ^ II/" - Av0 ||2 ,
et par conséquent
(1.15) \wn\2 - \wn~1\2 + k*\\wn\\2 <^\\fn ~ Av0\\l, 1 ^ n ^N -
Sommant en /7, on en déduit
(1.16) \wn\2 + ak £ ||^||2^|w°|2 + - t lir-^olli-
«7=1 « q=l
Mais comme/e L2(0, T; K')et d'après la définition (1.9), on a :
N
k X \\fq — Av0 \\l < C (constante indépendante de k),
et donc (1.16) entraîne :
(1.17) < N-l
k £ || w" j|2 ^ C.
1 «7 = 1
Il en résulte aussitôt (comme kN — T) que
i I w U c,
(1.18) < iv-i
^ fe £ ||u«||2<C,
estimations équivalentes à (1.13), d'après la définition (1.12). |
Passage à la limite en k.
On va faire tendre k vers 0 ; on déduit de (1.13) que Ton peut extraire u
sous-suite, encore notée uk, telle que
(1.19) uk -> u dans L2(0, T; V) faible et dans L°°(0, T;//) faible étoile .

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 435
Si K désigne l'ensemble convexe fermé des fonctions v e L2(0, T ; V) telles
que v(t) eK p. p., on a : uk e K Vk et comme K est faiblement fermé dans
L2(0, T; V)y ona:
(1.20) usK.
Donc u satisfait à (1.5) (1.6) et il reste à montrer (1.7).
On considère une fonction v satisfaisant à
(1.21) veCl([0,T];V), v(t)eK Vf.
On pose :
/ vn = v(nk)9n = 0,...,N - 1 ,
vk = « fonction en escalier définie par
(1.22) <J vk(t) = vn dans ]wfc, (n + 1) k[» ,
yfc = « fonction linéaire par morceaux, continue dans [0, T] ,
telle que vk(nk) = v"'1 , n = 1, 2, ... et yfc(0) = y0 » .
On note que
(123) JoU^-«')*-.S L U^-»*jd'-
j N-l
f = £ (y" - t/1-1,^ - un) ,
et que
(1.24) f G4Mfc, vk -uk)dt = k X (Au", if - m") .
•> 0 n=0
De même si Ton définit
(1.25) /*=/" dans [«Mn + 1) *;[,« = 0, ..., tf - 1 ,
on a :
(1.26) f (/t, „à - u4) dt = kZ (f, v"-u").
J 0 n = 0
Prenons maintenant v — vn dans (1.11), donc (multipliant par k)
(1.27) (un - un~\ vn - un) + k(Aun - f\ vn - un) ^ 0 ,
d'où
(vn - v"-\ vn - un) + k(Aun -f\ vn - un) = (un - un~\ vn - un) +
+ k(Aun -f\vn - un) +
1
2
+ = (| vn - un |2 - | y"-1 - un~l |2 + | vn - un - (y""1 - w"-1) |2)
^ 2 (I v" ~ "" I2

436 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
et sommant en n :
/ *-i
£ [(vn - vn~\ vn - un) + k(Aun - f\ vn - u")] >
l n = l
(1'28) 1 ^ 1 | r^"1 - U^"1 |* - I | «,0 _ „0 ,2 ^
> - j|K0)-ll0|2.
Mais avec (1.23) (1.24) (1.26), on déduit de (1.28) :
°'29) j + § (Auk-fk9vk- uk)dt-k(Au°,v° - ii0) +
f +fc(/«>0o_ Mo) + l|y(0)_Mo|2^0>
Mais lorsque /: -► 0, dfjdr -* i/ dans L2(0, F; K) fort, vk -> y dans
L2(0, T; K)fort,/k -»/dans L2(0, T; V) et comme
lim inf (Auk, uk) dt ^ (Au, u) ât ,
J o J o
et comme enfin £/° -► 0 dans F' lorsque k -* 0, on déduit de (1.29) que
(1.30) j [(t/, t>- ii) + (Au -/,d- u)]df + i| t;(0) - w0|2 ^0
et cela Vu satisfaisant à (1.21).
Mais si v est donné comme dans (1.7), il existe Vj vérifiant les conditions
analogues à (1.21) et tels que Vj -> v dans L2(0, T \ V) faible, v) -* v' dans
L2(0, T;V).
Prenant v = v} dans (1.30) et passant à la limite, on en déduit (1.7).
Démonstration de Vunicité dans le Théorème 1.1.
La démonstration de l'unicité est tout à fait analogue à celle du Théorème 6.2,
Chapitre 3. Soient ut et u2 deux solutions éventuelles ; on introduit
w = 2 (wi + w2>> Puis w,, (.7 > 0) par
rçu>; + wn = w , wfl(0) = w0 ,
et l'on prend w = w,. dans chaque inéquation ; additionnant, il vient :
2 K, wn - w)ât + [(Aul9 wn - wt) + (Aw2, w„ - n2)]df -
J o J o
- 2 f (/, w, - w) d/ > 0 .
J o

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 437
Mais
et donc
f «, w, - w) dt = - r, f | W; |2 d< < 0
J o J o
[(Auu w„ - Ul) + (Aw2, w„ - m2)] dt - 2
J o
Faisant tendre rç vers 0, on en déduit que
- (A(wt - u2), wt - u2) et > 0
J o
(/, w, - w) dt > 0 ,
d'où ut = w2. |
Remarque 1.2.
D'après l'unicité, il est inutile d'extraire une sous-suite ; on a donc démontré
que uk -> w dans L2(0, T; F) faible et dans L°°(0, T; H) faible étoile lorsque
k-+0. I
1.3 Semi-discrétisation spatiale ; application à une équation parabolique
1.3.1 Position du problème.
Soit Q l'ouvert ]0, 1[ de R ; on cherche une fonction u = u(x, O» x G ^»
* e ]0, T[, satisfaisant à
(1.31)
dt dx
dx
(i«r2«)
p~2 3
dx
(i u r2 «))
■f,
(1.32) w(0,r) = w(l,r) = 0,
(1.33) u(x, 0) = tio0?), x e Û .
Dans (1.31), on suppose que
(1.34) a ^ 2, p ^ 2.
L'équation (1.31) s'écrit encore
(1.31 bis) %-(a- 1)
-i ^
|(p-l)(«-2)
ax
p-2
c3t v ' dx
on a là un opérateur dont la « partie elliptique » est monotone (pour le produit
scalaire ci)/ âx) et dégénérée.
On va voir comment la semi-discrétisation spatiale permet de montrer le
théorème d'existence suivant :

438 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CFIAP. 4]
Théorème 1.2. — On suppose que f et u0 sont donnés avec
(1.35) /^e^OJîF1^)),
(1.36) u0eL«(Q), | u0 |a~2 u0 e Wl^(Q).
Il existe alors une fonction u telle que
(1.37) ueL°°(0, T;La(fQ)), | u \a'2 u e L°°(0, T; Wd'P(^))»
„' -^eLp'(0,T; W"1'^))!
(i.38) ;
^(|W|<a-2^W)GL2(0,T;L2(O));
et vérifiant (1.31) (1.33) (x). |
Le problème de l'unicité est ouvert.
Remarque 1.3.
Multiplions (formellement ) (1.31) par | w |a~2 u ; il vient
(1.39) - ~ f |u(x, t)\*dx+ f
dx
(| m |a"2w) dx = /| u r_2«dx
Q
d'où l'on « déduit » des estimations du type (1.37).
Le problème essentiel est : comment utiliser l'estimation (1.39) ? (Nous avons
déjà rencontré très souvent des problèmes de ce type ; cf. en particulier le
Chap. 3, nro 4.) Les méthodes utilisées jusqu'ici ont été :
• Approximation de Galerkin avec choix d'une base spéciale ;
• Approximation par régularisation.
Nous allons donner une autre méthode, dont la mise en œuvre présente de
sérieuses difficultés techniques, mais qui est très générale. |
Remarque 1.4.
Naturellement, la Remarque 1.3 qui précède conduit à poser v =
\u\a~2u\ mais v satisfait alors une équation « doublement non linéaire »
du type
j( p(v) + S/(V) = g ,
où fi et s& sont non linéaires ; aucun résultat très général n'est pour l'instant
connu relativement à des équations de ce type (cf. toutefois la Remarque 1.5). |
0) Les conditions (1.32) sont implicitement contenues dans (1.37).

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 439
1.3.2 Discrétisation spatiale.
Notations. On pose :
( <p(v) = \v\*~2v9 il/(v) = \v\ia'2)f2vt
(1.40)
(1.31) s'écrit alors :
(1.41)
Discrétisation en x.
On introduit
A(v) =
dx
du
(\^\P~2 àv\
\\ dx\ dx)
Tt + A(<p(u))=f.
h =
1
M entier (destiné à tendre vers 4- oo),
M + 1
(1.42) Vh = espace des suites vh = { v{ \ i = 0,..., M 4- 1 }, v0 = vm+\ — 0-
L'espace Vh est évidemment isomorphe à RM, mais on munit Vh de plusieurs
normes dépendant de h et qui sont des approximations des normes de L2(Q),
La(£?),... . Plus précisément on pose, pour w,„ vh £ Vh :
(1.43)
(1.44)
(1.45)
et enfin
(1.46)
(uh, vh)h = h £ ui vî » I U = norme correspondante ,
i= i
vh\\f,=[h X
h
il "/, IU.a = norme dualc de || ||„
par rapport au produit scalaire (1.43), i. e.
wheVh'W Wh lift
D
vh\ = (h 11 vt r)
1/a
On reconnaît là les approximations respectives des normes dans
L2(Q), W^p(Q)f W~Up\Q) et La(Q). I
Opérateurs discrets non linéaires.
<p(vh) £ Vh , <p(vh)i = | Vi \a~2 vt = <p(Vi) , 0^ia+l,
Pour vh e Vh on définit
(1.47)
«e^, (A(a = l»il("-2>/2t>i = *(»<), 0<î<M + l,

440 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
et
(1.48)
1.3.3 Problème semi-discrétisê.
On cherche une fonction uh e C*([0, T] ; Vh) telle que
(1.49) u'h(t) + Ah((p(uh(t))) = Â(t), t>0
(1.50) uh(0) = uoh,
oùfh et u0h sont des « approximations » de/et w0 ; de façon précise,
introduisons les operateurs de prolongement ph et qh par :
_ f la fonction continue linéaire dans chaque intervalle
(1 .51) ph vh - | ^ ^ + ^ ^ teHe ^^ ^ ^.^ = ^ ^ j- = 0j ^ m 4- 1 ,
_ f la fonction étagée définie par qh vh(x) = v-t dans
(1.52) ^ vh = | ](. _ i} A> (ï- + i} ^ [ n fî f f = 0> _ M + ! .
On construit alors/,, et w0/{ de façon que :
(i .53) f [hm \\iih + n/i(o ns;j d. < c o,
•> o
(A, ^)fc dt -* (/, ^ df, Vu e L"(0, T ; W01,P(^)) et pour toute
(1.54) J"° Jo
suite de fonctions £>,,(•) e C°([0, T] ; Kh) telles que phvh(.) -» y
dans Lp(0, T; W^P(Q)),
puis pour t/0^ :
(1-55) ||^(«o*)||*< C,[WoJ*< C,
(1 .56) ^ uoh -> w0 dans La(£>).
Ces choix sont loisibles.
Le système d'équations non linéaires (1.49) (1.50) admet une solution unique
dans un intervalle [0, Th] ; les estimations a priori qui suivent montrent que
Th = T. |
1.3.4 Estimation a priori (F).
On peut — et c'est cela le premier point fondamental — multiplier (1.49)
scalairement dans Vh, pour le produit scalaire (1.43), par <p(uh(t)) ; intégrant
en t, il vient (comparer à (1.39)) :
C1) Les C désignent des constantes indépendantes de h.

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 441
a
(1.57)
l ["<.«]* + f ' (A„(<p(uh(<j))), q>{uh(o)))k dff =
0£ J o
= J [MoJÏ + f ' (M°), <P(u„(a)))h d<X .
Mais
(^/.(»/.)> Wh) = tffcO>fc, Wfc),
j M
hp i=o
de sorte que
(1.58) (Ah(q>(uh))9 q>(uh)) = ah(<p(uh), q>{uh)) = || <p(uh) \\ph .
Dans le 2e membre de (1.57), on a :
f (/», (p(uh(a)))h da ^ f ||/fc(ff) ||*,, || (p(uh(a)) \\h do ^
(1.59)
f ^ v f || <p(ufa)) ||fdff + cfo) f ||/» 11^ d<r .
\ J 0 J 0
Choisissant rç < 1 dans (1.59) et portant dans (1.57) on en déduit
(1-60) [w*«]ï+ f \\<p(uk(o))\\ida^C.
J o
On en déduit que Th = T.
On déduit maintenant de (1.49) que
|| "/,(0 ||*,a < Il ^(<p(^(0)) ||*,a + || A(0 ||*,h
< || Vb'HMYWl" + \\fk(t)\\*tH
d'où résulte que
fT..
(1.61) \\u'h(t) J,„d/<C.|
J o
1.3.5 Estimations a priori (FF).
Les estimations a priori du 1.3.4 sont insuffisantes pour passer à la limite.
Mais — et c'est le deuxième point fondamental — on peut multiplier scalaire-
ment dans Vh les deux membres de (1.49) par — q>(uh(t)) :
(1.62) (— uh, — <p(uh)J + ahi<p(uh), — ç>(iifc)j = (/*, ^ <2>K) j .

442 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Mais
\ «.»«, ^fl>K(0)) ^ = h £ i u, (0 £ (| «,(0 |"-2 «,(0) =
2(a~1)fcl!^(|«l(0l("-2)/2«l(0)
a" i=i [ dt
d'où
(1.63) (tu"V'T
\dt dt
Par ailleurs
^,{vh(t),jtvh(t)J =
<p(uh(t))) = -^
/h a
i)
dt
Hu»(o)
/r i-o d(
= il(,|i"-w-"'wi')
ph
psIMollï
d'où
(1.64)
Enfin
ah (ç>("ft(0), J7 <p(wh(0)J = - -; || PKW) ||S •
'dt
pût
i>é*).*
< »/
- j" (^A> p») h àa +. (/„((), vh(t))h - (/„(<)), ^(0)),
f iirjijfdff + i/iio^oiijr + i/iir^o)!!:: +
J o
J' ||/» \\*,Hàa + \\fh(t) ||S'ifc + ||/,(0) ||^]
+ c(f)
d'où l'on tire
(1.65)
et comme
j Vh' dt 9('Uh)) dtT P n j II ^"^ II* d<T + ^ Il ^"hiO) \\k +
+ n || <p(uh(0)) ||j + cm
|U(M0))|L = Il <p(u0„) IL < c,

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 443
on déduit de (1.62) (1.63) (1.64) (1.65) que (en choisissant rj convenablement)
(1.66)
f
J o
df
Uu„(<r))
do + || <p(uh(t)) ||jj < C + C f || <p(uh{o)) \\l do .
*> 0
On en déduit les deuxièmes estimations a priori :
(1-67) ||?M0)||*<C,
|2
(1.68)
f
J 0
df
*K(*))
da ^ C .
1.3.6 Estimations sur ph uhi qh uh.
On utilise maintenant les opérateurs ph et ^ introduits en (1.51) (1.52). On
déduit sans peine des estimations (1.60) (1.61) (1.67) (1.68) que :
ph uhi qh uh e borné de L°°(0, T ; La(Q)),
d
(1.69)
(1.70)
(1.71)
(1.72)
(1.73)
(1.74)
(1.75)
(1.76)
dt
phuhe borné de Lp'(0, T ; W '1 >P'(Q)) ,
P*K), ?(Pj. «O e borné de L°°(0, T ; W01,P(^)),
9* <2>K) = <K4* "*) e borné de L°°(0, T ; LP(Q)),
>*(p* <?(«*)) e borné de Lp'(0, T; W_1'P'(.Q)),
i//(ph uh) e borné de L°°(0, T ; L2(Q)),
^ *(pfc iifc) e borné de L2(0, T ; L2(Q)),
gft iifc(T) £ borné de La(«Q) .
On en déduit que l'on peut extraire une suite encore notée uh telle que
phuh-*u dans L°°(0, T ; I?(Q)) faible étoile ,
qh uh-*ul dans L°°(0, T ; La(0)) faible étoile ,
JtP*u*->^ït dans ^(O.T-.W-1^)) faible,
ph (p(uh) -> Vl dans L°°(0, T ; W01,P(^)) faible étoile ,
(p(Ph uh) -* ^2 dans L°°(0, T ; W^P(Q)) faible étoile ,
Ç>0?fc uh) -+ ^3 dans L°°(0, 7 ; Lp(0)) faible étoile ,
A{Ph <p(uh)) -+ g dans Lp'(0, T; W_1'p'(fQ)) faible ,
HPh uh) -* vv dans L°°(0, T ; L2(0)) faible étoile ,

444 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
J^iP^^^^t dans L2(0,T;L2(Q)) faible,
1h uh{T) -* { dans 1?{Q) faible .
On note ensuite que nécessairement
"î = w, ^3 = vi •
On va montrer que
(1.77) vl = u2 = u3 = ç>(w) , w = \j/{u) .
On applique le Théorème de compacité, Chapitre 1, Théorème 12.1, avec :
S = {v\ <p(v)eWt'p(Q)}9
B = L(a-l)p(Q) , £t = W_1'P'(5Q) ,
Po = P , Pi = P »
MW = ||ç>W||(^("fi1)-
On est dans les conditions du Théorème 12.1, Chapitre 1, car (variante de la
Proposition 12A, Chap. 1) l'ensemble des v tels que M(v) ^ 1 est relativement
compact dans B. On applique le résultat à la suite phuh (grâce à (1.70) et
(1.71 )) ; on peut donc supposer que
(1 .78) Phuh-*u dans L(tt-1)p(Q) fort et p. p.
On en déduit déjà que w = \jt(u) et que v2 = (p(u).
On aura donc (1.77) si l'on montre que
(1.79) v3 = cp(u).
On ne peut appliquer directement un résultat de compacité à la suite qhuhi
mais Ton vérifie que qhuh est « assez voisin » de phuh. De façon précise, on
vérifie ceci (cf. P. A. Raviart [6]) : il existe une constante C telle que, Vpft e Vhi
on ait :
(1.80) || ph vh - qh vh \\L<.-»P(a) < eh1**'" || ç(vh) \\lk"'-l> .
De (i. 80) et (1 .78), il résulte que
Pu uh -qhuh-*0 dans L(a"1)p(g) fort
de sorte que Ton peut supposer que
(1.81) qhuh-*u dans &~l)p(Q) fort et p.p.,
et (1 .79) en résulte.

1. APPROXIMATION PAR LES MÉTHODES DE DIFFÉRENCES FINIES 445
1.3.7 Passage à la limite.
1) Il est immédiat de déduire de (1.49) et des résultats précédents que
u' + g=f,
(l -82) [ u(x, 0) = a0(x) , «(x, T) = «x)
Comme par ailleurs u satisfait à (1.37) (1.38), il ne reste plus qu'à montrer
que
(1.83) g = A(<p(u)).
2) On utilise pour cela la méthode de monotonie. On peut multiplier les
deux membres de (1.82) par | u |a~2 u ; on a (*)
^ («', | U T2 «) d«X = | ^ (£ (| U |<-«" „), | « |'-2"2 «) d<7 =
= aL||«(r)||i.(a)-jll«(0)||"L.(O,,
d'où
(1.84) 11| «(T) ||l.(n) + f (g,v(u))d» = l||u0|rt.(n)+ f (/, *(«)) dr.
Pour # quelconque dans Lp(0, T; W0'P(Q)), on considère :
Xh = f (A(Ph <p(uh)) - A(0\ Ph <p(uk) -Q)dt>0.
J o
On déduit de (1.57) que
1 [T
-\\qh uh(T) \\aL.iQ) + (A(ph <p(uh)) , ph q>(uh)) ât =
i rT
a J o
et grâce à (1.54). on en déduit, en prenant les limites inférieures,
1 fT
- || <T) \\l«iQ) + lim inf (A(ph q>(uh)) , p„ <?("„)) àt ^
Ct J Q
< ^ u «o irt.(fl) + f (/, «?(«)) <>/
a J o
d'où
0 < lim mf Xh < f (/, cp(u)) dt + U u0 |£.(fl) - - || u(T) ||j.(n) -
J O CC CL
- f (g, 6) àt - f (A(6), <p(u) - 6) df
•> o J o
= (d'après (1.84)) f (g - A(0), <p(u) - 0) ât,
J o
(]) Cf. P. A. Raviart [6] pour une justification détaillée.

446 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
d'où
f {g ~ A(0), <p(u) - 6) dt ^ 0 V0 e Lp(0, T; W01,P(^)) •
J o
On en déduit, par le procédé usuel (cf. Chap. 2, nro 1) que (1.83) a lieu. |
Remarque 1.5 (P. A. Raviart [6]).
On peut résoudre le problème (1.31) (1.32) (1.33) de manière différente, en
se ramenant à une équation doublement non linéaire (cf. Remarque 1.4 et
Problème 10.2).
Par le changement de fonction inconnue u -* | u \a~2 w, (1.31) devient (*)
..«» ! o ■ r'.)-£ êflir £)-/•<»>'>■
les conditions (1.32) (1.33) étant inchangées (avec un autre u0). Ce problème
est résolu dans Raviart, Îoc. cit., par discrétisation complète et un schéma
implicite ; si Ah désigne une approximation (convenable), en différences finies,
de l'opérateur :
-z-
d(p
dxt
p-2
dcp
~dx.
;)•
pour les conditions aux limites de Dirichlet, on considère le schéma
(1.86)
ï(K+1l
n+1 [y-2 «+1
Uh
u"h) + Ah(u"h+l)=fh"
(où Uh = approximation de u sur le réseau discret de pas (d'espace h) et au
temps nk).
On montre alors (Raviart, loc. cit.) la convergence de ce schéma, dans une
topologie convenable, vers une solution u du problème, dont Vexistence est ainsi
démontrée de nouveau.
L'intérêt de la méthode de discrétisation est (comme déjà vu pour la méthode
de semi-discrétisation) que Ton peut multiplier (1.86) par des expressions non
linéaires des unh (cf. aussi Chap. 3, nro 4). |
2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION
2.1 Un problème de T. Carleman. Enoncé du théorème
A propos de ses travaux en théorie cinétique des gaz, T. Carleman [1] a posé
des problèmes du type suivant : dans l'ouvert Q = Q x ]0, T[, où
Q = ]al,bl[x]a2,b2[,
(') On l'écrit en n variables d'espaces. Ce qui a été fait jusqu'ici (n = 1) s'étend au cas
n > 1 .

2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION
447
on cherche les fonctions u(x, t\ v(x, t), x e Q, t e ]0, T[, vérifiant
0.
\ Ôt ÔXX
(2.1)
/ Fin Fin
0.
du
Tt +
ôv
îites
/
i
du
dxl
ôv
dx2
u(a
v(x{
4- u:
+ i>2
1> X2>
,«2.
2 _
0
0
■v2 =
u2 =
= o,
= 0,
avec les conditions aux limites
(2.2)
et les conditions initiales
(2.3) u(\\ 0), v(x, 0) donnés égaux à u0(x) et v0(x).
Relativement à ce système, nous allons montrer le résultat suivant, dû
à Temam [4] :
Théorème 2.1. — Soient u0 et v0 donnés avec
< u(),v0eHl(Q)f^Lœ(Q)i
(2.4)
{ u0(au x2) = 0, v0(xl9 û2) = 0 ,
(2.5) u0 , v0 > 0 p.p. dans Q.
Il existe alors un couple de fonctions u, v, et un seul tel que
u e L°°(0, T ; H\Q) n L™{Q)),
(2.6)
t>eL°°(0, T; Hl(Q) n U°(Q)),
avec
(2.7) w^0,u^0 p. p. dans g,
e/ w, y ye7//z«™/ (2 A ) (2.2) (2.3). |
Remarque 2.1.
Il résulte de (2.6) et (2.1) que
de sorte que w(0), u(0) ont un sens (en particulier dans L2(Q)). |
Nous allons d'abord démontrer l'unicité (qui ne fait pas intervenir d'idée
nouvelle par rapport à ce qui a déjà été vu dans les Chapitres antérieurs), puis,
nous introduirons, pour l'existence, la méthode de décomposition.

448 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4
2.2 Démonstration de l'unicité
Soient { uu v1 } et { u2, v2 } deux solutions du problème. Posant :
U = Wj — U2 , V = Vx — V2 ,
on a :
(2.8)
ÔU du 2 2 2 2
_ + _ + Ml _ „, = „, _ „2 ,
dv dv 2222
^7 + ^— + v] -1? = «r - w22.
or c3x2
(2.9)
Multiplions (2.8) par u et intégrons sur Q ; posons :
(<p, i» = (pi> dx , | <p | = i>, cp)1/2 .
Notons que :
(2 AO)
et
(<!'")
>o,
(u\ - u\){ux - u2) = («! + u2)("i - u2)2 ^ 0 grâce à (2.7)
de sorte que
(2.11) (ift'V^ 1 rô-"ïH«i -«2)dx.
Mais
t..,»f6L«(0)
donc si
max (|| ut ||Lco(Q), || ^IIlco^)) = M,
(yî — ^2) (ui — ui) dx < 2 ju | w(x, 0 | | v(x, i) | dx
<2ii\u\\v\,
on a :
- | u(t) |2 < 4 /. | «(0 | | v(t) | .
et (2.11) donne
(2.12)
On obtient de même à partir de (2.9) :
(2.13)
-|o(0|2 <4fi\u(t)\\v(t)\ .

2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION
449
Ajoutant (2 A2) (2 A 3) il vient
^ (I «(0 I2 + I KO I2) < 4/i(| W(0 l2 + l KOI2)
et donc, d'après le lemme de Gronwall | u{t) |2 4- | v(t) |2 = 0. |
2.3 Méthode de décomposition
2.3.1 Généralités.
De façon générale et formelle, considérons le système (u désignant
éventuellement un vecteur ) :
(2.14) ^ + Al(u) + A2{u)=f9
où A x et A2 sont deux (*) opérateurs linéaires ou non.
Soit
k = At
le pas de temps et supposons que nous connaissions
u" — « approximation » de u à l'instant nk .
Nous déterminons alors u"+l (« approximation » de u à l'instant (n 4- 1) k)
en deux étapes :
Première étape : on considère l'équation
' Wj vérifiant les conditions aux limites « correspondant à Ax » ,
Wi(h/c) = un,
et on « calcule » (2)
(2.16) \Vl((n + \)k) = un+1/2 .
Deuxième étape : on considère la « deuxième partie » de l'équation (2.14):
-^1 + A2{w2) =f2
(2.17)
1 w2 vérifiant les conditions aux limites « correspondant à A2 » ,
w2(rc/c) = w'
= ,/«+1/2
(') La méthode s'étend au cas d'une décomposition finie quelconque.
(2) Cela est formel. Il faut que (2.15) admette une solution dans [nk,(n + 1) k] .

452 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
et
f Wjt(0 , vk0) linéaire dans [nk, (n + l)fel,0< n <N- l,
(2.30) „
{ uk{nk) = u" , i?k(nfc) = vn.
On va démontrer le
Lemme 2.1. — Les fonctions uiki viki (i = 1, 2), wft, 5fc demeurent, lorsque
k -> 0, dans w/7 borne de L°°(0, T; H1(Q) n U°(Q)) et sont à valeurs positives
(p. p.). |
Nous allons diviser la démonstration de ce Lemme en plusieurs étapes ;
on vérifiera en cours de route que les fonctions ulk ... sont bien à valeurs
&àr\$>H{(Q)r\Lco{Q). |
Lemme 2.2. — Si Ton pose
(2.31) c0 = || w0 ||L„(n) 4- || v0 ||Loo(n),
0/7 a :
(2.32)
Il k" + '/2 IIl^) + Il ^" + i/2 llL.(n, <c0, Vn = 0, ..., N - 1 ,
( et pour i = 1,2,
(2.33) un+il2 yvn+i/2 ^ 0 p.p. Vn ef /=1,2.
Démoni7ra/7O/7.
Les propriétés (2.33) résultent des formules (2.24) (2.26).
Pour simplifier l'écriture, posons :
(2.34) A"+"2 = ||t/"+i'2||tM(îî),/x"+"2 = \\vn+"2\\L^.
D'après les formules (2.26) on a :
(2.35) Xn+] ^ Àtt+i/29nn+1 ^ fin+i/2
et on aura donc (2.32) si l'on montre que
(2.36) r+1/2 4- //M + 1/2 ^ Xn 4- fi".
On observe pour cela que, comme a" ^ X" + ^" et comme la fonction
a 4- ka2
° ~* 1 4- 2 ka

2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION
est croissante au moins pour a < a, on a (d'après (2.24)) :
453
(2.37)
d'où l'on déduit :
1 + 2 k(Xn 4- ixn)
vn+i/2(x) K vn(x) 4- fc(A" + ff)2
1 4- 2 k{Xn 4- pT)
P.P,
r + 1/2 ^ A" + fcU" + ai")2
" 1 4- 2 fc(A" 4- /) '
,-i/2 < M" + W + A*")2
" 1 4- 2 fc(A" 4- if)
d'où (2.36) par addition de ces inégalités. |
DuLemme2.2 résulte aussitôt que uiki vîk (i = 1, 2), wfc et ufc demeurent dans
un borné de L°°(0, T ; L00^)).
// reste maintenant à montrer que ces fonctions demeurent dans un borné de
L°°(0, T;H\Q)). |
On va montrer le
Lemme 2.3. — Si k < 4 c0, // existe une constante cv telle que (*)
(2.38)
ôu_
ÔX:
n + i/2
dXj
" + i/2
^ C,
ij = 1,2 , 0 ^ m ^ N - 1 .
Remarque 2.2.
Naturellement les inégalités (2.38) donnent le résultat désiré et leur
démonstration achèvera donc la démonstration du Lemme 2.1. |
Démonstration du Lemme 2.3.
1) Montrons d'abord que
(2.39)
(2.40)
ôu_n+l
dx2
dvn+1
dx,
^
<
dun + 1/2
dx2
Ôvn+1/2
dx,
(0 | | désigne la norme dans L2{Q).

454 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
D'après la première équation (2.23), que Von dérive en x2 (*) :
(2.41)
dx
dxj
n_+1 _<h^_+1/2 k_l_(^+l\ = 0
2 dx2 dxx \dx2 I
(al9x2) = 0.
Cette dérivation est justifiée si, par exemple, -— u"+1/2 s L2(Q) ; prenant
ox2
alors le produit scalaire dans L2(Q) avec dun + 1fdx2i il vient, comme
\ôx1 \ôx2 / ' ôx2 j ""
dun+1
dx2
2
du"+l>2
dx2
dun+1
dx2
d'où (2.39). On établit de la même façon (2.40) en dérivant en xx la deuxième
équation (2.23).
2) Admettons un instant les inégalités suivantes :
| DiU^l2 |2 4- | DiVn + 1/2\2 < {(| D,«"|2 + | D,i>"|2),
(2.42)
2, D^±9 * - 1,2,
(1-4 kc0)2 ôx.t
et
(2.43)
du"
ôyx
+
dvn
dx?
^ kc2 +
dun + l>2
dxt
+
Ôvn+112
dx2
Vérifions que le Lemme en résulte.
Posons :
(2.44)
f A+ i/2 = I J>i "M + '/2 I2 + I ®i u" + i/2 I + I Dt vn + i/2 \2 + \D2 vn + i'2 |2 ;
l î = 1,2.
On déduit de (2.39) (2.40) (2.43) que
(2-45) pn+l ^kc2 +pn+l/2
zt de (2.42) on déduit (par addition des inégalités pour / = 1,2):
3.46) A,+i/2<W.-
(') Formellement tout d'abord.

2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION 455
Donc
ft,+ i ^*c2 + £/*,,
d'où
*■+' * sta'-^V1 - *> + ^fe <constante-
Utilisant alors (2.46), on a finalement : /?„, /?„+1/2 ^ constante, ce qui
démontre le Lemme, sous réserve de la vérification de (2.42) et (2.43).
3) Vérification de (2.42). On déduit de (2.22) que
DiUn + 1'2 = Dtun - 2kun + 1/2 DtuH+l/2 4- 2kvH + 1/2Dtvn+lf2,
d'où
(2.47) | Dt w"+1/2 | ^ | D, w" | + 2 fcc0(| D, wn+1/2 | + | D, w"+1/2 |)
2t de même
(2.48) |D,i;" + 1/2| ^ | 0,17-1 4- 2 fcc0(| Dt un + 1/2 | 4- | D, t;"+1/2 |).
Pour simplifier, posons un instant :
|D|W"+I'2| =x, |D(i>"+1/2| = y , \ Dtti'l = a 9 \ Dtv"\ = b 9 2 kc0 = y;
alors (2.47) (2.48) s'écrivent
x ^ a + y(x + y), y ^ b + y(x + y),
d'où, par addition :
(1 - 2y)(x 4- y) ^ a 4- b,
d'où
a + fc ^ , a + fc
* < « + yi—^r-, y < b + y-.
1 - 2 v ' ' ' 1 - 2y
et donc
x2 4- y2 ^ a2 4- b2 4- ——— (a 4- b)2 4- ~ (a 4- b)2 =
l-2y (l-2y)2
- a> + fc2 + ll(lZ.Z)(a + 6)2 ^ a> + b2 + 4y(l-y) 2 fc2
(l-2y)2 (l-2y)2
(a2 + o2)
(1 -2 y)2
d'où (2.42).

456
MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
4) Vérification de (2.43). Dérivons (formellement d'abord) la lre équation
(2.23) en xx ; il vient :
(2.49)
et l'équation (2.23) donne
(2.50)
dxx dxx dx
:(r)-
^,«„x,).l«-*'«(„„,2).
Prenant le produit scalaire de (2.49) avec dun + 1/dx1 il vient
Ôun+l
dxx
d'où, d'après (2.50) :
/Ôun + 1/2 du^_\k p2
\ dxx ' dxx ) ^ 2 ) a2
b2 Ya„n
dxx
(al9x2)
dx2
Ôun + 1 |2 < \Ôun+1/2
ôxx
d'où
(2.51)
du"
dxx
<
dun
ôxx
2k
un + l,2(aux2)\2dx2,
dun + l12
dxx
+ l- ^\u"+1'Haux2)\2dx2
dxx
Mais d'après (2.24) :
un+xl2{aux2) = k(v"(ai>x2)) ^ (d'après le Lemme 2.2) kc2
1 4- 2 kv\au x2)
et donc
« j" 2 | un + lf2(al9 x2) |2 âx2 ^ k(b2 - a2) 4
de sorte que (2.51) donne
(2.52)
dun+1
dxx
2
rV + 1'2
dxx
+ k(b2 - a2) Cq
Partant de la deuxième équation (2.23) (que l'on dérive en x2), on en déduit
une inégalité analogue à (2.52) avec v et x2 au lieu de u et xlt d'où (2.43). |
2.5 Passage à la limite. Démonstration du théorème d'existence
D'après le Lemme 2.1, on peut extraire des sous-suites, encore notées uiki
viki uki vki telles que
(2.53)
[ "/* -» ",-, vik -*vi9 uk-+u , vk -> v
{ dans L°°(0, T; H\Q) n L°°(0)) faible étoile .

2. APPROXIMATION PAR DÉCOMPOSITION
457
Ce type de convergence n'est pas suffisant pour passer à la limite dans les
termes non linéaires, mais on a une estimation supplémentaire pour uk et vk :
Lemme 2.4. — Lorsque k -» 0,
(2.54) -^'^ demeurent dans un borné de L°°(0, T\ L2(Q)) .
Démonstration.
Ajoutant les égalités correspondantes de (2.22) (2.23), on a :
(2.55) u"+1 - un + kd-^Ç- + k[(un + l'2)2 - (vn + 1>2)2] = 0
ce qui équivaut à
dx
dl4k , du2k . , ,2 , x2
(2.56) y + -^ + ("i*r-(»»)' = <>.
De même :
(2.57) ^ + ^S + (t,u)2_(Mu)2 = 0.
Cela entraîne (2.54), grâce au Lemme 2.1. |
On peut alors supposer, grâce aux estimations sur uki vk et à la compacité
de l'injection de H\Q) -> L2(g), que
(2.58) uk -» u , ufe -» t? dans L2(Q) fort et p. p.
Mais, d'après la définition des fonctions uk et u2]0 on a
Il "* - w2fc ||L°o(o,r,L^)) < sup | wn + 1 - un |
et avec (2.55) et le Lemme 2.1, il en résulte que
(2-59) Il wk - u2k ||L-o(o.r;/^(n)) < kc3 .
De même :
(2-6°) Il vk - v2k \\L*>(ofTlLim) ^ kc3 .
Donc, avec (2.58), on en déduit que l'on peut supposer que
(2.61) u2k -» u , v2k-* v dans L2(0 fort et p. p.
Mais la première égalité (2.23) s'écrit
Ulk ~ Uxk + ~ôf = °

458 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
d'où, avec le Lemme 2.1,
(2.62) || u2k - ulk ||r,co(0,T;r,2(r?)) ^ kc4
et de même
(2.63) || v2k - vlk \\Laoi0tT;L2(Q)) ^ kc4 .
On peut donc supposer, d'après (2.61), que
(2.64) ulk -* u , vlk -> v dans L2(Q) fort et p. p. .
Alors (avec les notations de (2.53)) :
ut = u (= u) , y,. = t? (= y)
et l'on a maintenant
(u]k)2 - w2 dans L2(Q) faible,
et, au même sens, (vlk)2 -> u2, et on peut passer à la limite dans (2.56) (2.57) ;
on voit ainsi que u et v satisfont au système (2.1).
Comme, d'après le Lemme 2.4, on peut aussi supposer que
^ _* d" , Ç* _+ |£ dans L-(0, r ; L2(«)) faible étoile ,
o? o? oi ot
on a :
Mk(0) -► m(0) , vk(0) -> i?(0) dans L2(Q) faible ,
et par conséquent
w(0) = u0 , i?(0) = i?0. |
Remarque 2.3.
On peut résoudre des problèmes analogues en dimension quelconque
d'espace : cf. R. Temam [4]. |
Remarque 2.4.
La méthode donnée est constructive (à cause de l'unicité, il y a convergence
sans qu'il soit nécessaire d'extraire des sous-suites). |
Remarque 2.5.
Par utilisation d'une méthode de décomposition de même type et d'espaces
hilbertiens d'opérateurs, R. Temam [8] a résolu des équations aux dérivées
partielles intervenant en contrôle optimal (cf. nro 9). |

3. APPROXIMATION PAR TRONCATURE
459
3. APPROXIMATION PAR TRONCATURE
3.1 Position du problème. Enoncé du résultat
Nous avons étudié jusqu'ici (cf. en particulier Chap. 2, nro 2), dans les cas
stafionnaires, des opérateurs non linéaires coercifs de V -> V.
Nous allons maintenant étudier, sur un exemple simple (!), un cas
d'opérateur non linéaire n'appliquant pas avec coercivité V -» V. |
Remarque 3.1.
Dans le cas des équations d'évolution :
Au + s/(u) = f
nous avons pu considérer des situations où s/ n'applique pas avec coercivité
"V -> f*', en faisant intervenir à la fois A et se (cf. Chap. 3, nro 1.4). |
Exemple.
Nous prenons
(3.1) V=W^P(Q) (1 < p < oo), O c R\
et un opérateur A0 avec
f A0 est borné, hémicontinu de V-+V\
\ A0 a la propriété (M) (cf. Remarque 2.1, Chap. 2).
Nous considérons ensuite l'opérateur B défini par
(3.3) B(M) = u^-,
puis
(3.4) A(u) = A0(u) + B(u).
On suppose que
(3.5) P<^T^;
a/o/\v £ n'applique pas V dans V ; en effet, si v e K, alors y e Lq(Q), - =
q p n
(résultat optimal) et donc
■(£)•« ^
(£?) Vi/,t; seulement si —|— < 1 , i. e. p >
g p n + 2
('} On pourra construire, suivant les mêmes principes, un très grand nombre d'exemples.

460 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Si Ton introduit
(3.6) W=VnLs(G), - ^ ^-±-- _ 1
s n p
alors
(3.7) B(u)sWf VueV.
En effet si cp e Ls(fQ) , u (p-\ cp e Ù{Q) si -- ^ "-^- - - ,
VoXj/ s n p
de sorte que
B(u) £ (LS(Q))' c W .
On a, par conséquent :
(3.8) A applique V dans W'( z> V).
Nous allons néanmoins démontrer le
Théorème 3.1. — On suppose que A est donné par (3.4) avec (3.2) (3.3) et
on suppose que (3.5) a lieu. On suppose également que A0 est coercif de V -> V.
Dans ces conditions, pour f s V, il existe us V tel que
(3.9) /*(«)=/
Remarque 3.2.
ïl résulte de (3.9) que
(3.10) fi(W)=/-^)eK'. |
3.2 Méthode de troncature
Le point essentiel pour la démonstration (donnée au nro 3.3) est le
Lemme 3.1. — Soit u e V tel que B(u) s V. Alors
(3.11) (B(u)iU) = 0.
Démonstration.
1) Indiquons d'abord où est la difficulté. Il est clair que, si, par exemple
<p e Q){Q)y alors
(B(cplcp)=^j(J^jcpâx = 0.
Mais si q> -> u dans V, il n'y a pas de raison pour que
(B(q>), cp) -> (B(u), u) ,
puisque B n'applique pas V -> V\ de sorte que B(cp) n'a pas de raison de tendre
dans V vers B(u).

3. APPROXIMATION PAR TRONCATURE
461
2) Il s'agit alors de trouver une approximation particulière de u ; on utilise
à cet effet la méthode de troncature. Pour M > 0 donné, on définit, Vu e V :
(v(x) si | v(x) | < M ,
M si i?(x) > M ,
- M si !>(*) < - M .
Lorsque M -> oo, on a :
(3.13) wM -> u dans F
et par conséquent
(3. H) (B(u\u)= lim (B(u\uM).
M-+ao
Mais l'approximation wM est très particulière en ce sens que l'on a :
(3 A 5) (fl(w), wM) = 0 V>/,
(ce qui avec (3.14) entraîne le résultat).
3) Démonstration de (3 A 5). Pour M fixé, la fonction u -> (#(w), wM) est
maintenant continue sur K (car wM e Lœ(Q) donc e Ls(f2)) et il suffit donc de
montrer que
(3 A 6) (B(<p)9q>M) = 0 Vq> e ®(Q) .
Or <«»>. ».)-fo »(£)»» «*--ijy|? <*-
3.3 Démonstration du Théorème 3.1
1) On construit les « solutions approchées » um par la méthode de Galerkfn :
on prend une « base » wx ... wm ... de V n LS(Q) et on définit um e [wlt ..., u'm]
par
(3.17) (A0(um) + /?(wj - /, wj) = 0 , 1 ^ f < m .
On note que, puisque w, e K n Ls(&) Vf,
(3 A 8) (B(um),um) = 0
et l'existence de um solution de (3.17) résulte du Lemme 4.3, Chapitre 1.
On déduit de (3.17) (3A8) que
(3.19) (A0(umlum) = (/,MJ ,
d'où
(3.20) //,„ demeure dans un borné de V.

462 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
2) On peut alors extraire une suite u^ telle que
(3.21) itp -> u dans V faible,
(3.22) W/l -> u dans LP{Q) fort,
(3.23) A0(uJ -> / dans V faible,
(3.24) £(«„) -> >/ dans **" faible.
Mais grâce à (3.22), on a : rj = B(u) et on déduit de (3 A7) (avec m = n) que
(3-25) x + m=f,
d'où résulte que 2?(w) e V — et donc que (3.11) est vérifié — et par conséquent
(/*> u) = (X> w)- Mais alors, on déduit de (3.19) que
lim (/*oK)> un) = (x> w)
ce qui, d'après la propriété (A/) (cf. Remarque 2.1, Chap. 2), entraîne que
/ = A0(u) et donc, grâce à (3.25), u est solution de (3.9). g
3.4 Un exemple d'inéquation
Nous prenons la même situation que précédemment, mais avec
(3.26) A0 est pseudo-monotone de V -> V.
On se donne par ailleurs un ensemble À^avec
(3.27) K est convexe fermé dans V, 0 e K,
et ayant la propriété :
(3.28) VA/, i? -> vM applique K dans lui-même (vM défini en (3.12)).
On va démontrer le
Théorème 3.2. — On suppose que les hypothèses du Théorème 3.1 ont lieu (*)
avec en outre (3.26). On donne K avec (3.27) (3.28). Soit f donné dans V.
ïl existe us K tel que
(3.29) (A0(u), v - u) + {B(u\ v)> (f,v - u) Vi? £ K n W .
Remarque 3.3.
L'ensemble # n ^ est dense dans /^ ; en effet, si u e K alors i;M e K n W
et i?A/ -> u dans K lorsque M -> oo. g
Remarque 3.4.
On ignore si #(w) £ K' de sorte que (B(u), u) n'a, a priori, pas de sens. |
(A(n),i>) ,, M
(') L'hypothèse de coercivité est -— ->-|- oo si | ■ « ] | -> oo .
|l» Il

3. APPROXIMATION PAR TRONCATURE 463
Démonstration.
1) A l'aide de la pénalisation, on se ramène d'abord au Théorème 3.1 :
si p est un opérateur de pénalisation attaché à K (cf. Chap. 3, nro 5.2)
on applique le Théorème 3.1 avec A0-\— fi au lieu de A0 ; on voit qu'il existe
£
ue e V tel que
(3.30) A0{ut) + B(n.) + j/*(«.)= A
Il résulte de (3.30) que B(uE) e V et donc, d'après le Lemme 3.1
(3.31) (*(«.), m.) = 0
ce qui, avec (3.30), donne
(3.32) (A0(u.), u.) + -s (/?(«,), u,) = (f, u.).
On en déduit que, lorsque c -> 0,
(3.33) ue demeure dans un borné de F,
(3.34) («".),".)< Ce.
On peut alors extraire une suite, encore notée t/E, telle que (comme dans la
Démonstration du Théorème 3.1)
/ ue -> i/ dans K faible ,
* A0(uE) -> y dans V faible ,
(3.35) <
ï B(uE) -> B{u) dans W faible ,
P(llE) -» Zi dans K' faible .
Mais on déduit de (3.30) que
P{ur) = v.{f - AQ(ur) - B(ue))
et donc, avec (3.35), P(ue) -> 0 dans W faible, donc
(3.36) Xl=0,
ce qui, joint à (3.34) montre quep(u) = 0 et donc u e K.
2) On déduit de (3.30) (comme au Chap. 3, nr0 5.3) que
(A0(t/£), v - ut) + (*(!#.), v - w.) - (/, i> - w.) ^ 0 Vt; e A
ou encore, d'après (3.31) :
(3.37) {A0(ue), v - we) + (B{uX v) - (/, i; - ut) > 0 Vu e AT.

464 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On en déduit que
lim sup (A0(«fi), «,) < (x, v) + (B(u)9 v)-(f9v-u) Vv e K n W
d'où
(3.38) lim sup (A0(ue), uE - u) ^ (x, v - u) +
£-0
4- (B(u), v) - (f,v - u) VveKnW.
Grâce à (3.28), on peut prendre v = uM dans (3.38) ; grâce à (3.15), on en
déduit que
lim sup (A0(tO, uE - u) ^ (x - f, uM - u) -► 0 si M -► co
£-0
donc
(3.39)
lim sup (A0(w£), «B - m) < 0 .
£-0
Mais, grâce à la pseudo-monotonie, il résulte de (3.39) que
lim inf (A0(we), wE — i?) ^ (^0(w)> w ~ v) Vv e K
donc Vve K n W, d'où, grâce à (3.37)
(B(u), v) - (/, i> - u) > (A0(u), u - v) VveKnW
et donc u satisfait à (3.29). |
Remarque 3.5.
On peut, sous certaines hypothèses, montrer que B(u) e V et alors écrire
(3.29) sous la forme « symétrique »
(3.40) (A0(u) + B(u), v - u) ^ (/, v - u) VveK.
Par exemple, si Ton suppose que :
ip_2 du\
ÔX:
(3.41)
K = {v \ v ^ 0 p. p. dans Q },
alors,
(3.42) A0(u) + B(u)eLp'(Q)
d'où résulte que B(u) e V.
dxj '

4. APPROXIMATION PAR SYSTÈMES DE CAUCHY-KOWALESKA 465
En effet, on prend comme équation pénalisée
(3.43) A0(uE) + B(«.) - 11 u; I""2 u; =/.
Prenons le produit scalaire avec — u~. On note que
(A0(ue), -uD>0,
(B(uX - H,") = - j" ^U£u;dx =
de sorte que
- Il < \\PLHQ) < ||/||Lp.(n) || u~ \\LP{Çi) ,
donc
HwrilEp'w^Ce.
et
^ || I "." Ip"2 w." ||tp'<») = ^ Il "." Il£p(i») ^ c.
Alors (3.42) résulte de (3.43) (*). |
Remarque 3.6.
La méthode de troncature donnée ici s'adapte aux problèmes d'évolution
associés aux problèmes stationnaires considérés ci-dessus. |
4. APPROXIMATION PAR DES SYSTÈMES DU TYPE DE
CAUCHY-KOWALESKA
4.1 Orientation
Nous avons déjà rencontré plusieurs exemples de systèmes non linéaires
qui ne sont pas du type de Cauchy-Kowaleska ; cf. en particulier :
• Les équations de Navier-Stokes (Chap. 1, nro 6) et leurs variantes étudiées
au Chapitre 2, nro 4 ;
• Les équations sur des variétés, étudiées au Chapitre 1, nro 11 et au
Chapitre 2, nro 5.
(') On a utilisé ici les méthodes du Chapitre 3, nro 5.5.

466 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Nous allons montrer, sur ces exemples, comment on peut approcher ces
problèmes par des problèmes « voisins » mais du type de Cauchy-Kowaleska. |
Remarque 4.1.
Le même type de procédé est valable pour les équations de la magnéto-
hydrodynamique. |
Remarque 4.2.
On peut appliquer la même technique à des inéquations variationnelîes qui ne
sont pas du « type de Cauchy-Kowaleska », mais nous ne développerons pas
ce point ici. |
4.2 Equations de Navier-Stokes
Nous reprenons les notations du Chapitre 1, nro 6.
On cherche u et p solutions de
(4.1) — vAw+ Y W;D;U=/- grad p ,
(4.2) divw = 0,
(4.3) u = 0 sur I,
(4.4) u(x, 0) = u0(x), u0 donné dans H.
Ce système ne contenant pas de dérivée en dp/dt, n'est pas dutypedeCAUCHY-
KOWALESKA.
Une idée naturelle pour « approcher » le système précédent par un système
du type de Cauchy-Kowaleska est de remplacer (4.2) par une équation de
la forme :
(4.5) £^ + divw = 0, £ > 0.
et
Mais on ignore si le système (4A) (4.5) (4.3) (4.4) conduit à un problème
« bien posé » — même si n = 2. On est alors conduit à modifier également
(4.1), par addition de termes qui soient nuls lorsque div u = 0.
On arrive ainsi au système d'équations que voici (' ) :
(4.6) -~ - v Au, + £ uei Dt uK + - (div ue) ut + grad pF = f,
(4.7) fi^ + divii. = 0,
(4.8) uE = 0 sur I,
(4.9) mb(0) = t/0 sur Q,
(4.10) pe(0) = p0 , pQ choisi quelconque dans L2(Q).
(') "E= {wei,...,H£f.} .

4. APPROXIMATION PAR SYSTÈMES DE CAUCHY-KOWALESKA 467
Le système (4.6) ... (4.10) est bien du type de Cauchy-Kowaleska. On va
démontrer les théorèmes suivants :
Théorème 4.1. — Pour tout c > 0, il existe { uv pE } vérifiant
(4. H) uee L2(0, T; (Hl0(Q))n) n L*(0, T; (L2(Q))n),
(4.12) pF.eL™(0,T;L2(Q)),
et les équations (4.6)... (4.10) (*).
Dans les cas où n = 2, { t/E, pE } est défini de façon unique (2).
Théorème 4.2. — On suppose n ^ 4. Lorsque e -» 0, O/7 pet/f extraire une
suite, encore notée { î/e, pE } te//e ^we
f i.£ -> i/ dans L2(0, T ; (Hl0(Q))n) faible et dans
(4.13)
{ Lœ(0, T ; (L2(Q))") faible étoile ,
<?w w es? twe solution du système (4.1) ... (4.4) de Navier-Stokes, etpE -*p dans
@'(Q)fR (quotient de Q)'(Q) par R).
Dans le cas où n = 2, l'extraction éventuelle d'une sous-suite est inutile.
Démonstration du Théorème 4.1.
Les techniques sont les mêmes qu'au Chapitre 1, nro 6. Nous ne reprenons
donc que l'essentiel.
1) On introduit
(4 A4) W= (HliQ))" x L2(Q)t
dont les « points génériques » sont notés { u, p }, { v, q }, ... On rappelle que
Vu, v e (Hl0(Q))n , w6(Hi(D))Mn(L"(Q))" (3)
on a posé
(4 A 5) b(u9v,w)= t f u^v^wjdx.
On introduit en outre :
1 " f
(4A6) biO', i\ w) = - jT "i (div p) w,- d.v ,
(4A7) b(u, v, w) = 6(w, y, w) + bi(w, u, w).
0) Il résulte de (4. H) (4.12) et des équations (4.6) (4.7) que les conditions (4.9) et (4.10)
ont un sens.
(2) Le problème de l'unicité est ouvert si n ^ 3 .
(3) Cf. Lemme 6.1, Chapitre !.

468 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On pose alors le problème (4.6) ... (4.10) de la manière suivante (comparer
au Problème 6.2, Chap. 1 ) ; on cherche { uB9 pe } satisfaisant à (4.11) (4.12) et
vérifiant (*)
(«;, v) 4- va(ut9 v) + b(ut9 ut9 v) - (pt9 div v) = (/, v)
Vve(Hl0(Q))"n(Ln(Q))\
(4.19) £(p;, g) 4- (div »e, g) = 0 VqeL\Q)9
w«(0) = «o » A(0) = />o •
2) On démontre alors l'existence de { uei pe } satisfaisant aux équations
précédentes comme au Chapitre 1, nro 6.4.
On observe d'abord que, Vu £ (Ho(Q))n n (Ln{Q))n9 on a :
b(v,v,v) = ^ i \ vi~(v2j)âx + l- £ f i>? (div ») dx = 0
z i ,y =i J n oxi z i = i J a
puisque (évidemment !) :
- (g, div u) + (div v9q) = 0 Vu e (H£(Q))n, g e L2(Q) .
Alors, on déduit formellement de (4.18) (4.19) que
(4.20) ~ (| «,(0 |2 + c | /?,«) I2) + va(H,(0, «e(0) = (/(>), w.W) •
Pour exploiter cela, on utilise la « base spéciale » formée des fonctions
propres Wj de
(4.21) (wpv) = Xj(wj,v) Vve{Hs0(Q))\
s étant choisi comme en (6.43), Chapitre 1 (s = n/2).
On utilise alors la méthode de Faedo-Galerkin ; on a l'estimation analogue
à (4.20) sur les solutions approchées { wEm, ptm } et on a une estimation sur u'E
grâce au choix de la base spéciale.
On passe à la limite par la méthode de compacité, comme au Chapitre 1,
nro6.4.
3) L'unicité (lorsque n = 2), se démontre comme au Chapitre 1, nro 6.2. |
Démonstration du Théorème 4.2.
1) On déduit de l'égalité analogue à (4.20) pour les solutions approchées
{ "«,, Pm } <lue> lorsque e -> 0.
(4.22)
ue demeure dans un borné de L2(0, T ;(Hl0(Q))n) n L°°(0, T ;(L2(Q))n),
(4.23) yj's pt demeure dans un borné de L°°(0, T; l3(Q)).
0) On désigne par (<p, y/) le produit scalaire dans (L2(:Q))n, et | <p |= (tp, gf)1^2.
(4.18)

4. APPROXIMATION PAR SYSTÈMES DE CAUCHY-KOWALESKA 469
2) On va maintenant obtenir des estimations sur les dérivées fractionnaires
en t de ut (par la méthode du Chap. 1, nro 6.5).
On pose :
(4.24) vfl(a„ v) + b(uc, «„ v) = (g,(t), ») »
où
g.e((//J(Q))")' = (H-\Q))\
avec
(4.25) || g£t) ||(H-.(n))- < ^(11 u,(f) ||2 + |i uE« H)
où || || = norme dans (Hq(Q))h.
En effet, cela résulte du fait que, lorsque n ^ 4, la forme w, y, w -* b(w, y, m>)
est continue sur (Hl(Q))n.
Prolongeant uBi pt hors de [0, T] par 0 puis transformant par Fourier en t,
on déduit de (4A8) (4.19) (4.24) que
iT("e(T), y) + >™(pE(T), g) - (pE(r), div v) +
4- (div ue(t), </) = (/, u) - (gE, v) 4- (i/0. y) -
- (Mf(T), i>) e-2«UT + e(p0, 9) - <Pe(T), g) e"2*irr .
On prend dans (4.26) v = we(t), *y = /?£(t) (' ). On en déduit :
ii | ue(t) |2 4- ire I pe(t) |2 = (? - ge, we(r)) +
+ («o- "«(t)) " («.CD. îeW) e"2"itT + e(p0, Pe(T)) -
-£(pE(T),pE(T))e-2-tr,
d'où
l |T||^(T)|24-iT|£|pr(T)|2^
(4.27) < < [Il/toi Il «.M 11 +
' + Cl | «.(t) I + C, £ I pe(T) | .
D'après (4.25) et (4.22),
f || g.(0||(H-i(nw» d» ^ C2,
J o
C1) On justifie cela en effectuant les mêmes opérations en dimension finie sur les
approximations uBm,Pem (comme au Chap.l, nro 6.5).

470 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
donc :
Il £e(T) ||(tf-»(«))" ^ C2
et introduisant a avec 2 a > 1, on déduit de (4.27) que
(4.28)
=^ c
P" 7-4-7* Q T I I "«<T) I2 + I t | e | p.(t)|2] éx ^
J - oo 1 4" I T j
p i|g.wndT , c p ||/(T)|U-,^]U>)||dr t
1J -oo i + i t r 3 J -oo i + i T r
r+o° /n i
J -oo ' ' i + i t r
Comme t
1
est dans L2(R) (car 2 g > 1), il résulte de (4.22)
(4.23) que chaque intégrale du 2e membre de (4.28) est ^ c4 et donc (4.28)
montre que (cf. (6.72), Chap. l),
(4.29) V>/ > 0 , DltIA~n uE demeure dans un borné de L2(0, T;(L2(Q))n) ,
(4.30) V>7 > 0 , D]1*-" pE demeure dans un borné de L2(0, T; L2(Q)) .
3) Passage à la limite. Grâce à (4.22) (4.29), on peut extraire une suite,
encore notée uEy telle que
(4.31)
(4.32)
ut -> u dans L2(0, T; (Hl0(Q))n) faible ,
uE -> u dans L°°(0, T ; (L2(Q))n) faible étoile :
uE -> u dans L2(0, T ; (L2(Q))n) fort et p. p.,
(ceci d'après le Théorème 5.2, Chap. 1).
D'après^ (4.23) ep'E -» 0 dans $)'{Q) (en particulier), donc div uE = - ep[ -> 0
dans ^'(g), ce qui, joint à (4.31) donne
(4.33) divw = 0.
D'après (4.31) (4.32) et en prenant dans (4.18) v avec div v = 0, on a :
(u\ v) + va(«, v) + b(w, m, y) = (/, v) ;
d'après (4.33), b(w, w, t?) = b(w, w, y) et donc u est solution de
(«', y) + va(w, y) + b(w, m, y) = (/, i?) Vu £ (Hq(Q))h9 div v = 0
et le Théorème en résulte. |

4. APPROXIMATION PAR SYSTÈMES DE CAUCHY-KOWALESKA 471
Remarque 4.3.
D'autres modifications que le passage de (4.1) à (4.6) sont possibles ((4.5)
étant inchangée) : on peut ajouter, au lieu de ~ (div u) u, les expressions :
- (div u) u —
-grad | u |2, O^Nl. |
Remarque 4.4.
On peut obtenir à partir de (4.18) une estimation sur u't considérée comme
à valeurs dans V's (donc en prenant v e Vs, div v = 0), mais on prendra garde
que l'application « naturelle » de (H0(Q))n dans V's n'est pas biunivoque. Nous
ignorons donc si le résultat analogue au Théorème 4.2 est encore vrai lorsque
n > 4. |
Remarque 4.5.
Naturellement la méthode précédente redémontre le Théorème 6.1, Chapitre 1
lorsque n ^ 4, i. e. l'existence d'une solution du problème de Navier-Stokes. |
4.3 Equations sur une variété
Nous reprenons le Problème du Chapitre 2, nro 4, dont nous conservons les
notations.
On cherche donc une fonction w solution de
(4.34)
où
A(w) = 0 dans g = ûx]0J[,
AM ' ~ ,?, dx,
\\ dx, I dxj '
1 < p < co ,
avec
(4.35)
+ I
dw
8X:
— cos (n, X..) = / sur E ,
(4.36)
H'(X, 0) = H>0(A') , X E F .
Nous allons « approcher » ce problème (qui n'est pas du type de Cauchy-
Kowaleska) par le suivant : on cherche une fonction uB(x, t) vérifiant (pour
e > 0 donné) :
(4.37) ÔU'
s -£ + A(us) = 0 ,
avec
(4.38)
duc "
1T + I,
du,
ÔX:
P~2 du* , a r
— cos (n, Xi) = f sur L .

472 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
(4.39) uE(x, 0) = w0(je), x e Q et x e F ;
ce problème est bien du type de Cauchy-Kowaleska. |
Posons maintenant le problème (4.37) (4.38) (4.39) de manière plus précise.
On introduit :
a(w» v) = Z
i = 1 J Q
du
ÔX;
p~2 du dv A
OXi OXi
et Ton rappelle que y (opérateur «trace sur F») applique Wl,p(Q) dans (et
même sur) Wx'llp^(T).
Pour simplifier Vexposé (mais ce n'est nullement essentiel), on supposera
quep > 2.
On posera :
(f,g)n = f fgdx, (<p,Mr= f #df.
J q J r
Cela étant, on cherche uE telle que
(4.40) uEeLp(0, T; V) ,
(4.41) W;eLp'(0, T; W_1'p'(«Q)),
(4.42) yw;eLp'(0, T; W_1/p>'(F)),
(4.43) e(u'„ y)n 4- (yu^, yy)r 4- a(wB, y) = (/, yv)r Vv £ K,
où / est donné dans Lp'(0, T; W/_1/p,p'(F)), et avec les conditions initiales
(4.44) uE(0) = u0, u0 donné dans L2(Q),
(4.45) yu£0) = w0, vv0 donné dans L2(F) comme en (4.36). |
Remarque 4.6.
Les données u0 et vv0 sont « indépendantes », ce qui est loisible, puisque l'on
cherche une solution uE « faible ». |
On va démontrer les résultats suivants :
Théorème 4.3. — Le problème (4.40)... (4.45) admet, pour tout e > 0, une
solution unique.
Théorème 4.4. — Lorsque e -» 0, on a :
(4.46) uE -> w dans Lp(0, T ; V) faible ,
w étant la solution du problème (4.34) (4.35) (4.36) (*). |
(■) On obtient ainsi une nouvelle démonstration de l'existence d'une solution dans le
Théorème 4.1., Chapitre 2.

4. APPROXIMATION PAR SYSTÈMES DE CAUCHY-KOWALESKA 473
Démonstration du Théorème 4.3,
C'est une simple variante de la Démonstration du Théorème 1,1 ou du
Théorème 1.2, Chapitre 2. (On appliquerait le Théorème 1.2 bis, si l'on avait
1 < P < 2.) I
Démonstration du Théorème4.4.
1) On déduit facilement de (4.43) que, lorsque £ -> 0 :
(4.47) uE demeure dans un borné de 11(0, T;V),
(4.48) yu'E demeure dans un borné de Lp'(0, T; W ~1/P''"'(F)),
eu'E demeure dans un borné de II (0, T; W~1,p(0)) ,
\/£UE demeure dans un borné de L°°(0, T\ l}(Q)) .
2) Posons :
r = Lp(0, T ; K),
(j/(u), y) = f a(u(t\ v(t)) dt Vu, y e tT ,
J o
où ( , ) désigne le produit scalaire entre V' et V.
D'après (4.47) (4.48), on peut extraire une suite uE telle que
l wE -» i/ dans "K faible ,
(4.50) yu£ -* yu dans Lp'(0, F; W~1/p''"'(F)) faible,
( «s/(we) -» / dans V' faible .
Alors ywB(0) -> yw(0) dans L2(F) faible, donc
(4.51) M0) = h>0.
Grâce à (4.50) (4.49) on peut passer à la limite dans (4.43) ; on obtient :
(4.52) (yu\ yv)r + te v)n = (/, yv)r VveV
et on aura donc u = w (et le Théorème) si Ton montre que
(4.53) X = ■*(«)•
3) On utilise pour cela la monotonie de si'. On pose :
(4.54) X, = i| |M,(T)|2dr+(J/(n.)-^(»),M1-o), eef.
(4.49)

474 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Utilisant (4.43) (avec v = uE) on voit que
*. = ?[ \u£x,T)\2âx-£- f |t/0W|2dx4-f (/,y«.)rdt +
+ \ j I w0 |2 dF - (^(mb), y) - (s/(v), ue - v).
Avec (4.49) et (4.50), on en déduit que
XE - j" (/, y«)r dr + \ j" | w0 I2 <iF " te f) - (•*(«>). » - »)
et par ailleurs j/ étant monotone
x*>\ J 111.(7) |2dr,
d'où
lim inf Y >
irninfX, ^ \ [ | w(T)|2 dF,
d'où
(4.55) | (/, yU)r df + 1 J | w0 |2 dT - (Z, o) - (s/(v), u - v) >
>\ \r\u(T)\2dr.
Mais on déduit de (4.52) que
^\f,yu)rdt+li | |w0|2dr-i J |M(D|2dr=(z,H)
et donc (4.55) donne
(X ~ sf(v), u - v) ^ 0 Vu e 1T ,
d'où (4.53) par le procédé habituel.
5. APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
5.1 Généralités
La méthode des approximations successives peut, a priori, être appliquée à
tous les problèmes non linéaires. Le point essentiel dans l'application de cette
méthode réside dans le choix de Vespace fonctionnel norme dans lequel on fait
les estimations (l).
( ') Nous avons d'ailleurs déjà souligné à plusieurs reprises combien est crucial, dans le cas
des problèmes non linéaires, le choix du « cadre fonctionnel ».

5. APPROXIMATIONS SUCCESSIVES
475
Nous allons donner deux exemples :
(i) Au nro 5.2, nous étudions le problème de Cauchy pour une équation
parabolique non linéaire, dans un cas où il n'y a pas d'intégrale d'énergie
(cf. aussi leChap. 1, nro 2) ;
(ii) Au nro 5.3, nous étudions une équation intégro-différentielle non
linéaire. |
du
5.2 L'équation — -Aw-w1+a = 0
Soit a > 0 donné. On cherche une fonction w(a\ t) vérifiant
(5.1) ^ - Ai/ - t/1+a = 0, xeR\ f>0,
et
(5.2) u(x,t)^0,
(5.3) u(x, 0) = u0(x) , .x e R" , u0 donnée ^ 0 ,
(5.4) u continue dans x £ R", t ^ 0 .
Si une fonction u existe pour tout / ^ 0, on dit qu'elle est solution globale
du Problème (5.1)... (5.4).
Nous allons démontrer le
Théorème 5.1. — On suppose que
(5.5) na > 2 .
Alors, pour tout x > 0, donné, il existe a tel que si u0 est une fonction continue
vérifiant
(5.6) 0 ^ t/0(x) ^ trexpl- ^— 1 ^ |2
alors, ii existe une solution globale (l) du Problème (5.1)... (5.4), vérifiant
(5.7) 0< u(x,f)< C -—,exp( — \x\2).
Remarque 5.1.
Dans le cas « opposé » à (5.5) : /7a < 2, on a vu (Chap. 1, nro 2.4) qu7/
n'existe pas de solution (dans un certain sens) au Problème (5.1) ... (5.4).
Au contraire, dans le cas où (5.5) a lieu, il existe « beaucoup » de données
initiales possibles u0 pour lesquelles une solution globale existe. |
(') On peut en outre montrei que // est « régulière » ; cf. H. Fujtta [1].

476 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Démonstration du Théorème 5.1.
1) Transformation en équation intégrale.
On introduit la « solution élémentaire » de l'opérateur de la chaleur :
1_
(4~^r
(5.8) U(x, y, 0 = -1— exp( - 1 | x - y \2)
(4 ntf2 \ 4 t I
On posera :
(5.9) Hu0(x9t)= I U(x, y, t) u0(y) dy .
(5.10) K(u)(x9t)=\ do- T U(x, y, t - (7)w(y, cr)1+ady.
Alors le problème à résoudre équivaut à trouver w solution de l'équation
intégrale non linéaire
(5.11) u = Hu0 + K(u).
On utilise alors la méthode des approximations successives ; on définit par
récurrence
(5.12) ux = Hu09
(5.13) un+l =Hu0 + K(un).
Le point fondamental consiste en le choix de la norme.
2) Choix de la norme.
Il est assez nature! de « comparer » toutes les fonctions introduites à limage
par H de exp j — — | x |2 ) (qui intervient dans (5.6)) ; on pose donc
(5.14) p(x9 t) = p = //(exp(- ^- | x |2)) = U(x9 0, t + x).
On a là une fonction continue ^ 0 dans R" x [0, 4- oo[. On introduit alors
la norme :
I <p(x9 t) I
(5.15) III <p III = sup '^ n
X€Rn p{X9t)
t > 0
3) Propriétés de K dans la norme \\\ |||.
On a :
[ il existe une constante cx telle que
(5.16) j |||/C(y)||| ^ cl III y|||1+a Vy fonction continue ^ 0
telle que ||| v \\\ < oo .

5. APPROXIMATIONS SUCCESSIVES 477
En effet, d'après la définition (5.15), on a :
v(x, t)î+a ^ HMII1+ap(x, 01+a
d'où, d'après la définition de K :
(5.17) K(v)^ ||M||1+ai:(p1+*).
Mais p(x, s)1 +a ^ c2 p(x, s) donne
(s + x)m/2
J o (s 4- x) j Rn
= C2 7T PU» 0 ^ C2 ■ 77 P(*> 0 =
= c3 p(car on a (5.5)) .
Alors (5.17) donne
d'où (5.16) (avec cx = c3).
Comme ||| p ||| = 1, il résulte de (5.16) que
(5.18) III ^(p) III ^.
Montrons maintenant ceci :
[ soit M > 0 donné ; quelles que soient w, v continues > 0 avec
(5.19) j H! u III ^ M, m u m < M,
( on a m K(w) - K(i>) ||| ^ cx({ + a) M* ||| « - o ||| .
En effet
| u(y, s)1 +a - v(y, s)1 +3t | ^ (1 + a) max { u(y, s)\ v(y, s)* } | u(y, s) - v(y, s) |
^ (1 +a)A/"p"0\.s)|||M- Hllp(y,5),
d'où
| K(u) (x, 0 - K(v) (x, 0 | ^
< [ d(7 f U(x,y, t - a) | u(y, cr)l+a - t;()-, cr)1+ût | dv
J 0 J R"
<(1 + «x)M"|ll« -HIIK(p)
d'où (5.19) d'après (5.18).

478 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
4) Convergence du procédé (5.13).
Naturellement (5.6) équivaut à
(5.20) 0 ^ u0 ^ ÔU(x, 0, x) , (ô = (7(4 kxT12)
et il s'agit de montrer la convergence de (5.13), au sens de la norme \\\ |||,
pour ô « assez petit ».
La démonstration se fait en deux temps.
i) Il résulte de (5 A3) et de (5 A6) que
(5.21) IIK+illl ^S + cJIKIII1^
(car (5.20) entraîne que Hu0 ^ ôp).
Par conséquent m wn ||| ^ y„, où y, = ||| ux ||| et y„+1 = ô + c, y„i+a.
II en résulte que, pour ô assez petit,
(5.22) m mJ|| < M(ô), où M(ô)^0 si Ô -> 0 .
i.) On déduit de la définition (5.13), de (5A9) et de (5.22) que
IIIWh + i - «.III = ||| *(»,,) "*(",,-1)||| <*i0 +a)Af(5)«|||MB-Mi(-illl
d'où le résultat suit, si Ton choisit S de façon que
(5.23) c{{\ + a)M(<5)a < 1 .
5.3 Une équation intégro-différentielle non linéaire dans un espace du type
de Gevrey
5.3.1 Un Lemme.
Soit E un espace de Banach sur R, de norme || ||, de dual E' dont la norme
est notée || ||*, le produit scalaire entre E et E' étant noté ( , ).
On se donne
(5.24) gsE, e'sE\ aeR, B g 3?(E ; E) ;
pour u e F, on pose
(5.25) A(u) = g 4- [a + (e', m)] 5w .
Lemme 5.1. — So/f/f = \\ B ||^(E;e)- ®n suppose que
(5.26) /Mal < 1, 4j9 || g || ||e'II* <(1 -/M*!)2.
// ex/5/e a/Ors w G E solution de
(5.27) /*(«) = «.

5. approximations successives
479
Démonstration.
On utilise un procédé très élémentaire. On vérifie qu'il existe p tel que si
Bp = {e | esEA\e\\ ^p},
alors :
i) A applique Bp dans lui-même,
ii) || A(u) - A{v)\\ ^c\\u - v\\ Vu,veBp, c < 1.
Pour cela, on note que
II^WH^lIgll + (I «I + Il e'IUI« 11)011 «II.
et donc, si u e Bp, on a :
|M(")|| <\\g\\+P(\a\ + ||e'IUp)p<P
pourp choisi tel que
(5.28) j8||e'ILp20 " \<*\P)p + \\g\\<09
ce qui est possible d'après (5.26).
On a ensuite, pour u, v e Bp:
\\A{u)- A(v)\\ ^P{\a\ + 2||e'|Lp)||tt- v\\ ,
d'où (ii) si
(5.29) 0(| a | + 2||e'|l*p)< 1.
On en déduit le résultat en choisissant p satisfaisant à la fois à (5.28) et
(5.29), ce qui est possible. |
5.3.2 Application.
On se propose de résoudre l'équation intégro-différentielle non linéaire
suivante (introduite dans Talenti [1] à propos de recherches sur le problème
de Cauchy) : soit
6 = {x,t | xe ]0, 1[, te]- 1, 1[}
et s un nombre ^ 0 donné et m un entier > 0 donné. On cherche une fonction
u définie dans (9 et solution de
(5.30) « = g +
a + b \ dx I (1 - t2) u(x, 0
J o J -i
c3t J o f(s +
— (x, t) dr .
f(s + 1) dxm
Dans (5.30) a et b sont donnés dans R et g est une fonction donnée (on
précisera plus loin les hypothèses sur g).

480
MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On va montrer l'existence d'une solution (sous des hypothèses convenables)
dans un espace de Banach E du type des espaces de Gevrey. |
Espace Gp,r.
Soient/? ^ 0 et r > 0 donnés. On définit Gp,r comme l'espace des fonctions u
définies dans 0 telles que
(5.31) (1 - \t\)kp + 1 ~u(x, t)eL™«9) V/c ^ 0 ,
(5.32) || u H,,, = sup
1
k rK f(pk + 1)
(l-\t\TP+1fku(x,t)
dxK
< 00 .
L°°(0)
On vérifie sans peine que Gp'r est un espace de Banach (non réduit à { 0 }) (*).
On pose maintenant dans (5.30) :
(t - T)S d'"u(x, T)
(5.33)
Bu = Bu(x,
■■"-if
dt J o
(s + 1) ôxn
dr.
Le point fondamental est le suivant — et c'est ici qu'intervient le choix de
l'espace Gp,r :
Lemme 5.2. — L'opérateur B défini par (5.33) vérifie :
(5.34) B e ^(Gs/m'r ; Gs/m'r)
et
(5.35) H 5 || ^rm.
Démonstration.
1) D'après les propriétés des intégrales de Riemann-Liouville, on a :
B = Cm ,
où C est donné par
(5.36)
Cu(x, t) = T \ -*- -— -.-- (x, t)
j ° r + i)
dr
et il suffit de montrer que
(5.37) Ce &(Gs/m'r; G5/m'r), 11 C 11 < r .
(0 L'espace G?'r est du type des espaces de Gevrey en la variable x (une fonction <p sur R
est dite de Gevrey d'ordre a si, pour tout compact K, il existe c et L tels que
\ <p<k'Kx)\ ^ cLk r(ka+ \) VA:, \/x e K) .

5. APPROXIMATIONS SUCCESSIVES 481
2) Posons sjm = p et supposons s > 0 (donc/? > 0). Alors
(5.38)
Il faut estimer
(1 -|f|)"+1|£-tC«(x,0
<
Jo r(P) fl-|t|Vt+,"+lU "J 9x'+l('j
|f - T j"-1 (1 - |f l)*'*'
r\p) (i - 111)'
^\\u\\p,rrk+l r((k + i)P+ î)
posant
o F(p)(l-|r|)
(k+i)P+\
di
T =
t î\ - a
_t\ 1 - a '
'intégrale précédente est majorée par
1
J o r(P) J o r((fc + i) P +
ôx'
Cm(x,0 <rT(fcp + l)r||ii|l,.,-
r(p)
et par conséquent
(l - I M)""-1
d'où
l|Cu||Pi,< r\\u\\„. |
On peut maintenant montrer facilement le
Théorème 5.2. — Soit r > 0 donné tel que
(5.39) \a\rm < 1 .
On suppose que g e Gsfm,r et que
(5.40) 16 | fc | || g ||s/m.r rm < (1 - | a | rm)2.
Alors il existe u e G*'m-r vérifiant (5.30).

482 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Démonstration.
On applique le Lemme 5.1 avec : E = Gs/m,r, B donné par (5.33) ; la forme
2\
o
u-* b \ dx \ (1 - t2)u(x,t)dt
est continue sur E, donc
l'
J o
(5.41) b \ dx I (1 - r)u(x9 t)dt = (e', m), e'eE'.
D'après le Lemme 5.2, /? ^ rm, on a donc la lre condition (5.26) d'après.
(5.39) et il ne reste qu'à évaluer || e' H*. Or,
I d;c (1 - t2)u(x, t)dt
-î
^ 2 sup (1 - t2) | u(xt t) | ^
x,t
^ 4 sup (1 - | t |)| u(x9 t)\ ^ 4 || m
de sorte que
Donc la deuxième condition (5.26) résulte de (5.40). |
6. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS PARABOLIQUES
6.1 Orientation
On considère un opérateur non linéaire « parabolique » de la forme
<P^~ft + ^M> 'e[0,r|.
On cherche une solution u de
(6.1) ^+ •<*(«)=/,
avec
(6.2) u(0) = u(T).
On dit alors que u est solution périodique (*).
(') Si /est donnée sur R( de période T, alors u est restriction à [0, T] d'une solution de
période T en /.

6. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS PARABOLIQUES 483
On peut, de manière très schématique, distinguer deux méthodes :
Méthode 1. — On introduit l'opérateur L = â/dt avec comme «domaine
de L » l'ensemble des fonctions v qui vérifient en particulier v(0) = v(T).
Alors (6.1) (6.2) s'écrivent
(6.3) Lu + stf(u)=f, u e domaine de L .
On peut alors appliquer, sous des hypothèses convenables sur s/ le
Théorème 1.2, Chapitre 3.
Nous avons donné un Exemple au Chapitre 3, nro 2.2. |
Méthode 2. On considère le « problème de Cauchy »
\ £ + ■*<«>=/•
(6.4) dr
! «(0) = u0
et l'on considère l'application
(6.5) i/0 -> w(7) = ^(w0)
dont « il ne reste plus » qu'à chercher les points fixes. |
Remarque 6 A.
Le traitement « global » par la Méthode 1 ne donne pas l'estimation
« w e Lcc(0, T ; H)» que nous avons souvent rencontrée.
(On rencontre d'ailleurs la même difficulté avec le problème de condition
initiale, ce qui a conduit à l'énoncé plus compliqué du Théorème 1.2, Chap. 3.)
La Méthode 2 permettra parfois de tourner cette difficulté. |
Nous allons donner un exemple d'application de la Méthode 2 dans le cas
des équations de Navier-Stokes.
6.2 Solutions périodiques des équations de Navier-Stokes
Nous utilisons les notations du Chapitre 1, nro 6.
Nous allons montrer le :
Théorème 6.1. — On donne fs L2(0, T\ V). II existe une fonction u qui
vérifie
(6.6) wgL2(0, F; J/)nL°°(0, T;//),
(6.7) (u\ v) + vfl(w, t?) 4- b(w, w, y) = (/, v) VveVn (L\Q))n,
(6.8) u(0) = w(r).

484 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Remarque 6.2.
On a, exactement comme au Théorème 6.5, Chapitre 1 (en effet, les conditions
aux limites en î n'interviennent pas dans ce résultat) :
(toute solution u de (6.6) et (6.7) vérifie
w'eL2(0, T\V;)t s = nl2.
Alors (6.8) a un sens. |
Démonstration.
On va appliquer la Méthode 2 en dimension finie puis passer à la limite sur la
dimension.
1) Solutions approchées.
On utilise une « base spéciale», comme au Chapitre 1, nr0 6 ; les wi sont
dans Vsi données par (6.52), Chapitre 1, i. e.
(6.10) (K »)), = ^K ») VveVs,
On considère le « problème de Cauchy » :
(6. H) (um, Wj) + va(um, Wj) + b{um um, wy) = (/, wj) , 1 ^ j < m ,
(6.12) um(t)E[wu...9wm]9
(6.13) wm(0) = w0 , w0 donné quelconque dans [wlt ..., wm] .
On sait (cf. Chap. 1, nro 6.4) que ujj) existe dans [0, T]. On va montrer :
il existe R , indépendant de m, tel que si | w0 | ^ R
alors | uJT) | < R (*) .
En effet, on déduit de (6.11), comme b(um, um, um) = 0 :
< \<ujj)9um{t)) + cx ||/(0 ||2
et comme en particulier
a(v, v) ^ c2\v\2
on obtient (c3 = vc2)
(6.15) ^ | Um(0 |2 + c3 | MO |2< 2Cl||/(0||i.
(6.14)
(') | | désigne la norme sur [wi,..., wm] induite par la norme de H.

6. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS PARABOLIQUES 485
Par conséquent
(6.16) e"T | um{T) \2 < | u0 |2 + 2 Cl f tc« ||/(() ||i d* = | u0 |2 + c4 .
On en déduit (6.14) ; il suffit en effet de prendre R avec
(6.17) R2>- ^ -.
; 1 - exp(- c3T)
Par conséquent l'application
envoie i?^ (boule de centre l'origine et de rayon R dans [ w1} ..., wm] muni de
| |) dans elle-même ; étant continue, on a donc :
(6.18) il existe w0m e BR tel que FJuQm) = u0m .
On désignera désormais par um la solution correspondante de (6.11) et
(6 A 9) Wm(0) = u0m.
2) Estimations sur um.
Puisque, d'après (6.14), u0m demeure dans un borné de H, on a exactement
les mêmes estimations que dans le cas des équations avec conditions initiales.
Donc (cf. Chap. 1, (6.60) et (6.61)) :
(6.20) um demeure dans un borné de L2(0, T ; V) n L°(0, T ; H),
(6.21) w^ demeure dans un borné de L2(0, T ; F,').
3) Passage à la limite.
On déduit de (6.20) (6.21) que l'on peut extraire une suite wM telle que
«M -> m dans L2(0, T ; F) faible et dans L°°(0, T ; //) faible étoile ,
«;-►«' dans L2(0, T ; Fa') faible
et donc, en particulier,
Mais comme wM(0) = u^(T) on en déduit que w(0) = t/(T).
On passe à la limite dans (6.11) (avec m = jj) comme dans le cas des données
initiales, Chapitre 1, nro 6.4. Donc u satisfait h (6.6) (6.7) et (6.8). |
Remarque 6.3.
On a utilisé la Méthode 2 (Méthode de point fixe) en dimension finie. Pour
son usage direct en dimension infinie, soit u une solution de (6.7) avec (6.6)
et i/(0) = w0.

486 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Alors u{T) peut être défini dans H (*), soit u{T) = 3~{uQ).
On vérifie directement que si n = 2, 3T est faiblement continue de H -> H
et transforme en elle-même une boule de H. Il existe alors u0 tel que &~{uQ) = wa
d'où encore le Théorème 6A, lorsque n = 2 (cf. G. Prodi [2]). Si /7 ^ 3, il faut
considérer un théorème de point fixe pour application (éventuellement) multi-
voque et la marche suivie précédemment est sûrement plus simple. |
Remarque 6.4.
On ignore s'il y a unicité de la solution périodique, même si n = 2, sous les
hypothèses du Théorème 6.1. |
Remarque 6.5.
On peut arriver, d'après S. Kaniel et M. Shinbrot [2], lorsque la dimension
d'espace est 2 ou 3, à un théorème d'existence et d'unicité de solution périodique
sous Vhypothèse supplémentaire que II/||l°°(o,t,/o est Pr^s dans un ensemble
« assez petit ». |
6.3 Remarques sur les problèmes unilatéraux
Dans le cas des problèmes unilatéraux (ou d'inéquations) relatifs à Navier-
Stokes et les solutions périodiques, on va montrer le
Théorème 6.2. — On suppose la dimension n = 2 et on donne un convexe
K fermé de V vérifiant (6.73), Chapitre 3, nro 6.4. Alors (2) pour f donné dans
L2(0, T; V), il existe u vérifiant
(6.22) i/eL2(0, T; V) n L°°(0, T ; H),
(6.23) u(t) £ K pour presque tout / e ]0, T[,
(6.24) [((p\ (p - u) + a(w, q> - u) -f b(u, t/, q> - u)] dt ^
J o
> f (/,? - w)df
J 0
pour toute q> e L2(0, T; V)y <p' e L2(0, T; K'), <p(0 e /^, <p(0) = <p(F)-
Dt?wo/?.sfrâ7/0/?.
On utilise simultanément la technique utilisée dans la démonstration du
Théorème 6.1 et la pénalisation, comme au Chapitre 3, nr0 6.
1) Soit donc p un opérateur de pénalisation de V -» V attaché à K (cf.
(') we L°°(0, 7*; //) et //' e £2(0, T; V») donc « est faiblement continue de [0, T] -> //.
f2) Comparer au Théorème 6.3, Chapitre 3.

6. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS PARABOLIQUES 487
Chap. 3, nro 5). On considère le « problème de Cauchy » (comparer à (6. H)
(6.12) (6.13)) (on a fait v = 1 ce qui est évidemment ici sans importance) :
(6.25)
(«;„, wj) + a(um9 wj) + b(um9 um9 Wj) +
+ - (P(um\ wj) = (/, Wj) , Uj<m,
(6.26) w«(0eK,.„,n'J,
(6.27) «„(0) = w0.
Comme la contribution - (P(um\ um) est ^ 0, on obtient comme dans la
s
démonstration de (6.14) :
„ ~R. f il existe R , indépendant de m et de a , tel que si
( ' ] i| M0 I < * , al0I*S I UmiT) \<R'
Par conséquent, il existe umE solution de
("me, VVy) 4" fl(Hw) Wy) + b(l/mE, WmE, W;) +
+ J (MO. wy) = (/, wj) , 1 < ; < w ,
(6-30) i,MI(0) = WmK(T), |iU0) | <*.
2) On déduit de (6.29) (6.30) et toujours grâce à la positivité de (P(v)y u), que
f umB demeure dans un borné de L2(0, T; K) n L°°(0, T\ H)
\ lorsque m -> oo , £ -> 0 .
Par contre, et cela étant indépendant du choix de la base, on ne déduit pas
de (6.29) d'estimation sur u'me qui soit indépendante de e (*). On ne peut donc
passer à la limite dans les termes b{umt, wme, wj) que par un raisonnement de
monotonie — qui n'est loisible que pour des convexes K très spéciaux — et c'est
l'objet de l'hypothèse (6.73), Chapitre 3.
On opère en définitive ainsi. On passe à la limite en m, s fixé ; alors (comme
n = 2) u'mE demeure dans un borné (dépendant de e) de L2(0, F; V) et on
extrait une suite ufl£ telle que
f !/„„ -> w£ dans L2(0, T ; K) faible
(6.32)
1 et L°°(0, T; H) faible étoile,
(6.33) W;K -> «; dans L2(0, T; V') faible ,
et l'on a
(6.34) w.(0) = Wi(.T) ■
(l) Nous n'avons pas pu adapter au cas « périodique » la méthode utilisée au Chapitre 3,
n"' 6.5.

488 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Par ailleurs, on déduit de (6.29) et (6.30) que
(6.35) f (/KO>Od'< Ce.
J o
On peut supposer que
(6.36) p(Upt) -> xe dans L2(0, T\ V) faible ,
et on déduit de (6.29) pour m = \i (comme dans le Théorème 6.1) que
(6.37) («;, v) + fl(u„ v) + 6(u„ ue, w) + - (*„ y) = (/, v) Vu £ F.
On en déduit, remplaçant (ce qui est loisible) i? par uE :
(6.38) | [fl(we> ii.) + | (z., «.)] dr = J (/, m.) d/.
On va montrer que
(6.39) X. = «".)•
Pour cela, on part de
(6.40) < Jo L £ 7J
f (peL\0, T;V).
Mais utilisant (6.29) le premier membre de (6.40) vaut
j (/. O - <*(<P, ««« ~ (p) ~ a{umti q>) - - (0(<p), umB - <p) -
ce qui (avec m = //)-> I (/, t/£) - a(q>, ue - cp) - a(ue, (p) -
--(P(<p)>Ue- -p) — j (X.. -P)J dr.
Mais utilisant (6.38), cela équivaut à
a(ut - <p, uE - <p) + - (xE - J5(ç>), ue - ç>) d/ ^ 0
(6.41) Jo L £ yJ
f V<peL2(0, F;K),
d'où l'on déduit (6.39) (prendre <p = uE — X\j/9 À > 0, diviser par A et faire
;. -> o).

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 489
Comme
f («O. O àt > \ (jS(w,), umt - ut) dt +
J o Jo
+ [ («0,«.)d/- f (/>(«.), w.)df,
J 0 *> 0
-r
o
on déduit de (6.35) que
^ o
(6.42) (/>(Mj,u.)d/<C8.
^ 0
En résumé, on a Vexistence de uz avec
ue demeure lorsque £ -> 0 dans un borné de
(6-43) .
L2(0, T;K)n L°°(0, T;//);
(6.44) K, t>) + a(u„ v) + fc(u„ ue, o) + ± (j8(w,), w) = (/, o) Vt; e K,
et ut satisfaisant à (6.34) et (6.42).
On passe maintenant à la limite en e exactement comme dans la
démonstration du Théorème 6.3, point 2, Chapitre 3. |
7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES
7.1 Orientation
Comme exemple-type, nous allons chercher une solution périodique en t de
d2w A \dw\p~2dw
—- — Aw + — -—
df2 \ dt \ dt
avec
(7.2) h> = 0 sur I(l).
et (périodicité de h> en /)
(7.1) — - Aw + — — =/ dans g = «Q x ]0, T[ ;
(7.3) w(x,0)= w(x,T), ^(x,0) = ^(x,D, xeQ.
(•) Pour fixer les idées. La méthode qui suit est valable pour « toutes » les conditions aux
limites.

490 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Une difficulté essentielle est la suivante : si l'on multiplie (7.1) par dwjôi et
que l'on intègre sur Qy alors, à cause de (7.3):
f d2w ^Wj ,
— • — dx df = 0 ,
Jq dt2 dt
et à cause de (7.2) et (7.3),
dw
I (- Avv) —dxdf = 0,
q ot
de sorte que Ton obtient
f I dw \p f dw
(7-4) Jfl|â|d*d'-J/âd*d'-
On pourra donc, dans une méthode convenable d'approximation, obtenir
une estimation a priori sur || ôw/dt \\lp(q) — mais cette estimation est
insuffisante.
La situation s'améliore beaucoup si l'on travaille avec des fonctions q> telles
que cp ât = 0, d'où l'idée, due à G. Prodi [3], de chercher w sous la forme
vv = u + u0 ,
m0 indépendante de /
(7.5) : T
udt = 0 ,
o
Effectuons pour l'instant un calcul formel à partir de (7.5) ; en portanfdans
(7.1), il vient (on écrit q>\ <p",... au lieu âtôcp/dt, d1q>jdt2i...) :
(7.6) h" - Au 4- | £/' |p~2 w' =/+ Aw0.
Pour « éliminer » w0, on dérive (7.6) en t, d'où :
(7.7) ^K-A« + |u'r2u')-^
(7.8) f u dt = 0 , H(0) = «(T), «'(0) = i/(T) .
J o
Puis, si l'on a pu trouver w solution (dans un sens convenable) de (7.7) (7.8),
on définira u0 comme suit : il résulte de (7.7) que
(7 9) ( *"- Au + |w'|p-2M'-y = go,
\ g0 indépendant de t ;

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 491
on choisit alors u0 par
(7.10) Aw0 = g0 , w0|r = 0
et alors w = u + w0 est solution du problème initial. |
Nous allons maintenant donner un sens précis à ce qui précède.
7.2 Résolution du problème hyperbolique (7.7) (7.8) par régularisation
elliptique
On va démontrer le
Théorème 7.1. — On suppose que Q est un ouvert borné de R" et que p > 2.
On donne fe LP'(Q). II existe alors une fonction w et une seule vérifiant
(7.H) w = « + w0, uQeHl(Q) + W2>P'(Q) n W0Up'(Q)
(7.12) u eL2(0,T;Hl0(Q)),
(7.13) WeLp(Q),
et w satisfaisant à (1 A) (1.3) (*).
Démonstration,
1) Notations.
Pour simplifier l'écriture, on posera :
(7.14) K=Wj(fl), A=-A, fl(M,D)=t f iriràx,
,-=1 J q OXi OXi
(7.15) y{cp) = \cpr2<p.
Notons que si w est solution du problème, alors
(7. î 6) w" e L2 (0, F; H ~l (Q)) + If'(Q).
2) Démonstration de l'unicité.
Soient w, et u>2 deux solutions éventuelles et \j/ = wx — w2 ; alors
(7.17) i>" + Ai> + y(wl) - y(w'2) = 0 .
SoitpB une suite régularisante de fonctions périodiques paires en t, de période
7* et, * désignant la convolution sur le cercle, introduisons
(7.18) $' * Pn* Pn = $ * Pn* Pn-
0) (7.2) est conséquence de u0e H}}(Q) -f W2.p'(Q)n W\^'{Q) et de (7.2). Les
conditions (7.3) ont un sens (cf. (7.16)).

492 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4
Comme, d'après (7.11) (7.12) :
U = Z + *o,foe HlQ(Q) + W2'P'(Q) n W0l>p'(Q) ,
(7.19)
/ Z6L2(0,T;F),
on a :
(7.20) \j/' * pa * pn = x' * p„ * pB e C°°([0, F] ; V) et périodique,
et comme par ailleurs d'après (7.13), \j/' s LP(Q), on a :
(7.21) \j/' *pn* pne C°°([0, F] ; Lp(&)) et est périodique.
D'après (7.16),
i>" £ L2(0, 7 ; F') + Lp'(0, T ; LP'(Q)),
ce qui, avec (7.20) (7.21), montre que
(ij/'\ \j/' * ptJ * p„) dî a un sens et est nul .
J o
Par ailleurs
A^ e { L2(0, T; F') + fonction de Lp'(fQ) } ,
et donc
(A\j/, \j/' * pn * pn) dî a un sens et est nul.
J o
Par conséquent (7.17) donne
(7.22) f (y(wi) - y(w2), i/r' * p„ * p,) df = 0
J o
et l'on peut passer à la limite dans (7.22) ; il vient
(7.23) f (y(wi) - y(w2), w[ - w2) dî = 0 ,
J o
d'où
(7.24) w; = w2.
Alors ^ = Wj — h>2 = 0 et
= K - w2
J o
r9T = (Wi - w2) d/ = T(«oi - w02) si w, = u( + uOÏ
J o
(cf. (7.11)) et donc
(7.25) 0 e f/J(G) + W2'p'(fQ) n W01,P'(^)

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 493
Mais l'on déduit de (7.17) que
(7.26) A0 = 0,
ce qui, joint à (7.25), montre que 0 = 0 d'où l'unicité.
3) Régularisation elliptique.
On va maintenant résoudre (7.7) (7.8) par régularisation elliptique. On
introduit l'espace
v e L2(0, T ; F), v e L2(0, T;V)n LP(Q), v" £ L2(0, T ; //),
y W= { v
(7.27)
/ JT V(t) dt = 0, u(0) = v(T), v'(0) = i/(T)J
qui est un espace de Banach pour la norme
Il V \\w = || V ||L2(0,riK) + Il V'Wmo,T;V) + Il V \\LPiQ) + || V" ||L2(0.r;ff)
Soit rç > 0 (destiné à tendre vers 0).
Pour u, v e ^ on pose
(7.28) ;
7^(1/, i?) = rf \ [(m", y") + (A«\ y')] d<7 +
+ (V + Au + y(u'), u') dcr,
J o
La forme y -> 7t^(w, f) est continue sur W, donc
(7.29) 71,(1/, v) = (£», u) , #,(*) £ W ,
et on vérifie sans peine que w -> Û8n(u) est hémicontinu et borné de IV -^ W'.
Vérifions que :
(7.30) <^ e^ cce/r// de W -> W ,
(7.31) ^ est (strictement) monotone de W -* W .
On a en effet (*)
(7.32) (#n(v),v) = ri\ (|i/T + IKII2)df + \T(y(v%v')dt;
J o J o
or
\T (y(vfXvf)dt = \\vf\\pL
J 0
Ilp(Q)
0) En notant par | | (resp. || ||) la norme dans L2(Q) (resp. Hq(Q) ; avec donc
= a(v, p)»/2).

494 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
et comme vât = 0, on a :
J o
il V \\L2i0tT;V) < C || V ||L2(0,r;K)
de sorte que (7.32) montre (7.30).
Ensuite
*„(«) - &n{v\ u-v) = n\ (| u" - t," i2 + H uf - 1/ ||2) dr
(7.33) '
J o
d'où (7.31).
Par conséquent, d'après le Théorème 2.1, Chapitre 2, // existe un (unique)
dans W tel que
(7.34) *„("„, v) = f (f,v')dt VveW.
J o
Le problème (7.34) est dit le « régularisé elliptique » du problème (7.7) (7.8).
4) Estimation a priori.
On déduit aussitôt de (7.32) que
(7.35) u'ng borné de Lp(g) lorsque 17 -* 0 ,
(7.36) n \ (Kl2 + ||«;i|2)df < C1
•> 0
et comme ut] ât = 0, il résulte de (7.35) (7.36) que
J o
(7.37) un g borné de Lp(0) ,
(7.38) 17 f ||t/J|2df <C2.
j 0
On va maintenant obtenir d'autres estimations a priori en choisissant dans
(7.34) upar
(7.39) v(t) = j" Wff(<7) do- - i j" (T - a) t/» do-.
On vérifie que :
[ u(0 dr = 0, de W,
J 0
et
v' = u„ .

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES
Alors (7.34) donne :
495
n
(7.40)
I [«, u'n) + {Au'v «,)] dt +
J o
+ f [«', »,) + Il «, II2 + (v«), ",)] dr = f (/, n„) dr
J o J o
Mais d'après (7.36) (7.38),
(7.41)
Par ailleurs
n [(«J. "i> + O^K» w„)] d'
^ o
f «, «,) dr = - f | «; |2 d
J O ^ O
^ constante , lorsque 17 —> 0 .
et grâce au fait que p = 2, (7.35) montre que
(7.42)
j 0
)dt
< constante lorsque r\ -* 0 ,
Ensuite (d'après (7.35) et (7.37)) :
(7.43)
J o
dr
< Il V(«i) ||t»-«n || «, IUe> < C3 .
Utilisant (7.40) (7.41) (7.42) (7.43) on en déduit que
(7.44)
fil"
J o
,m àt ^ C4,
5) Passage à la limite.
D'après (7.35) (7.44) on peut extraire une suite, encore notée uv telle qu
(«„->« dans L2(0, T ; V) faible ,
1 un -> w' dans If(g) faible ,
y(w^) _> z dans If'(Q) faible .
(7.45)
J o
(7.46)
Puisque I w, dr = 0 et un(0) = w,(T), on a :
J o
(7.47) [ udt = 0, w(0) = u(T).
Passant à la limite dans (7.34), on trouve que
(7.48) f [(- u\v") + (Au,v') + (x,v')]dt = \ (f,v')ôt VveW.
J o J o

496 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Utilisant la technique du (2) (pour l'unicité), nous prenons dans (7.48)
(7.49) v = u*pH*p„;
c'est loisible, car alors v g C°°([0, T] ; V), v' g Cco([0, T] ; LP(Q)), v est
périodique en t. Comme alors
f («', v") dt = 0 , I (Au, v) dt = 0 ,
J o J o
on en déduit que
(X> "' * P« * Pu) d' = (/> «'* Pn * Pr.) dt
J o J o
d'où
(7.50) f (Z,u')df = f (/,«')dt.
J o J o
Montrons maintenant que
(7.51) X = 7(u').
On introduit, pour <p g Lp(Q) :
(7.52) x2= fT(y(W;)-7(<p),w;_<?>)dr + ^ f(KT + H«;il2)dt.
J o J o
x, = f (/, «;) dr - f (y(<p), «; _ p) dt - f (y(«;), <?) dt
J o J o J o
*,-f C/;«')dt-f (yC«»), u' - ç>) dt - f (Z)<P)d/ = X.
J o J o J o
Utilisant (7.50) on voit que
(7.53) X = \ (x-yi^u' -<p)dt.
J o
Commet, ^ 0 on a donc X ^ 0 V<p g L*(g) ; on en déduit (7.51).
Soit maintenant \j/ donné, avec
(7.54) i> g C°°([0, T];Fn LP(.Q)), j i> dt = 0 , périodique en t,
J o
et prenons dans (7.48) v donné par (comparer à (7.39))
(7.55) KO = J V do- - \ J (T - a) x\j((j) de .
On a:
d'où

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 497
Alors, tenant compte de (7.51) :
(7.56) f [- («', f ) + (Au, il/) + (y(u'), & - (/, tfr)] dt = 0 ,
J o
d'où
(7.57) u" + Au + y(w') - / = g0 , g0 indépendant de t.
Si <p g 0(]O, T[), on a :
a» = - | u' <p' dt g LP(Q),
J o
Au(<p) = f (Au)9dreK',
J o
?(«')(*>)= f y(">d^Lp'((7), /(<?) = f ftpdtetfiQ),
J o ^ o
d'où
g0 f <p dr g K + LP'(Q)
J 0
et donc
(7.58) goeV + LP'{Q).
Alors (7.57) entraîne que u" = f + g0 — Au — y{u') vérifie
(7.59) u"eL2(0, T;V) + Lp'(Q).
On déduit alors de (7.57), avec ^ satisfaisant à (7.54), que
J (ttw + Att + y(tt')-/-go,^)d/ = 0 =
= («m *co) - («'(o), ^(o)) +
+ f [- («', f) + (Ai/, i/O + (y(u% iA) - (/, *)] d
d'où, avec (7.56),
(«'(0), m) = («'(7"), HT))
et donc
(7.60) M'(0) = u'(T).
On définit maintenant u0 par
(7.61) Aw0 = g0 9u0\r = 0,
donc, d'après (7.58) et Agmon [1] :
u0eV+ W2'p'(.Q)n W^P'(Q)
et w = u + w0 est solution du problème. |

498 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CKAP. 4]
7.3 Solutions périodiques d'inéquations hyperboliques
Une question assez naturelle est de voir dans quelle mesure on peut étendre
le résultat du type de celui obtenu au numéro précédent aux inéquations
hyperboliques (au sens du Chap. 3, nro 7). On rencontre de grosses difficultés
techniques. On va donner un résultat très partie!. |
Théorème 7.2. — On suppose que Q est un ouvert borné de R" et que p > 2.
On se donne f avec
(7.62) /GL2(0J;//to), /' g L2{Q), /(*, 0) = /(*, T),
et un ensemble convexe Kfermé dans L2(Q) ; on suppose que
!il existe un opérateur /? de pénalisation (ï) de H -> H, H = L2(£>),
attaché à K, tel que P applique Hj(iQ) -> Hj(:Q) et que
(P(v), - Av) ^ 0 Vu g Hj(fQ) .
A/ors /'/ existe une fonction u vérifiant :
(7.64) m g L2(0, T; //J(:Q)) , t/' g L2(0, T; tfJ(Q)) n Lf(Q),
(7.65) «"gL2(0,
(7.66) w(jc, 0) = w(jc, T), w'(*, 0) = u'(x, T), x e Q ,
(7.67) u'(t)eK p.p.,
[(«" - Au, <p' - u') +
J o
y0 > 0 donné,
(?'68) ^ +(|u'r2u' + y0 u',<p' -u')-(f,<p' -n')]df> 0,
V(jo /e//e #we
ç> € L2(0, T ; Hj(û)) , q>' e L2(0, T ; tfj(fi)) n L'CQ),
(7'69) l v(x,0) = ^,T),^(i)6K
£>? Ow/re, s/ u est une solution, toutes les solutions sont données par
(7.70) u + g, ge Hl0(Q) indépendant de t . |
Donnons des exemples où (7.63) a lieu.
Exemple 7.1.
(7.71) K = { v | v g L2(Q), v^0 p. p. dans Q } .
(ï) Au sens du Chapitre 3, nr0 5.2.

7. solutions périodiques, cas hyperboliques 499
Alors on peut prendre :
P(v) = - v-
et si v g Hl(Q)
(/?(y), - Av) = a(~ y", y) = a(y~, y") - a(v~, v + ) = a(y~, v~) > 0. |
Exemple 7.2.
(7.72) AT = { y | y g L2(&), A0 ^ v(x) < ?n p. p. dans Q } .
On peut alors prendre
(v(x) - A0 si y(x) ^ A0 »
0 si A0 ^ v(x) < ^ ,
y(x) — Ai si y(x) ^ Ax
et on a encore
(/?(y), - Av) ^ 0 Vy g Hj(«Q) | .
Démonstration de (7.70).
Soient w, et u2 deux solutions.
Utilisant la régularisation sur le cercle comme dans (7.18), nous prenons
$ = w2 * P» * P» (resp. <p' = «; * pn * p„)
dans l'inéquation relative à i/j (resp. w2). Alors, par addition (notant que
(«ï, "2 * p„ *p„) df + (u2\ w; * Pn * Pn) dt = 0 ,
Jo J o
(^"i, w2 *P„ *P„)df + (Au2, m; *p„*p„)d/ = 0,
J 0 J 0
(y("i), «2 * /}„ * pn - «;) dr + (7(»2'), u; * p„ * Pn - u2) dt ^
Jo J 0
^ [(/, "i * Pn * Pn - "0 + (/, "i * Pn* Pn~ "i)],d/ (')
J 0
d'où par passage à la limite :
(y("i) - y(w'2)»"i - u2)dt < °>
donc
0) On pose :
y(<p) = I #> lp~2 <p + yo (p, yo > 0.

500 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
donc
ui — u2 = g indépendant de i et g e Hl(Q) . |
Démonstration de Vexistence.
1) Solution approchée et pénalisée.
On va utiliser la pénalisation (comme au Chap. 3, nro 7) en dimension finie.
Soit donc, en posant V = H0(Q) :
(7.73) wu...,wnt... «base» de V n LP(Q).
D'après le Théorème 7.1, avec y remplacé par y 4- - B, s > 0, et V remplacé
£
par Vm = espace [wu ..., wm] engendré par wl9 ..., wm9 il existe
*/meL2(0, 7; FJ ,
d'ailleurs unique, telle que (*)
\ M. wy) + a(um, wj) + (y«) + - £(0, wy) = (/, w,) ,
(7.74) j
(7.75) «„(0) = «M(T), W^(0) = w;(T),
et
(7.76) || u'm ||Lp(Q) ^ c (constante indépendante de m et de e),
(7.77) f (P(ufm\u'm)dt^C8.
J o
2) Base spéciale et estimations à priori supplémentaires.
On choisit pour Wj la base spéciale des fonctions propres :
(7.78) A wj = Ay wy , wj g //J(O) .
Si (ce que l'on a implicitement supposé) la frontière rds Q est assez régulière,
on a :
WjZU{Q) Vf.
Grâce à (7.78) on peut dans (7.74) remplacer Wj par Awj :
(7.79) (C Aw,.) + (Aum, Awy) + (y(«;), Awy) + ± (P(u'm), Aws) -
= (/, Awj) , 1 < f < m .
(') Comme les fonctions sont à valeurs dans Km, l'analogue dans le cas présent du terme
//o de (7.11) est dans Vm. En fait dépend aussi de e.

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 501
On en déduit que
("w. ÀUm * Pn * Pn) + (Aum> All'm * pn * p„) +
+ (7(«m), ^"n. * P„ * Pn) + " (M), ^"m * Pn * Pn) =
= (/, Au'm * p„ * pn) ,
d'où
0(0, ^"L * p» * Pn) dr + - (£(0> Aw^ * pn * p„) dr =
J o £ J o
fl(/, i^ * p„ * pB) dt
J o
et par passage à la limite en n :
(7.80) f T (y(0, Aiïm) dt + l \ (P(u'm\ Au'm) dt = \ a(f, um) dt .
J o £ J o Jo
Utilisant maintenant (7.63), on en déduit que
(7.81) (y(0,^)dK a(f,ufm)dt,
J o J o
soit encore
(7.82) M |u;r-2u;(-AU;„)dxd< + VofT||UUI2d
f ^
r
^ i iiriiiiwiiid/
J o
et comme
f |<HP"2<K- àcp)dx >0
pour toute fonction <p assez régulière dans Q et nulle au bord, on en déduit que
(7.83) || u'm \\2 dt ^ constante indépendante de m et de e .
J o
On va maintenant démontrer que
(7.84) | u"m |2 dt < constante indépendante de m et de e .
J o
Soit pour cela t,, l'opérateur de translation sur le cercle, donc
T /va _ J /(' ~ '' + T) si 0 < / < h ,
Tfc;W" i/(r-/i) si h<t<T.

502 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Posons, pour simplifier l'écriture
On déduit de (7.74) que
(Tfc "m. Wj) + fl(T/. Wm> Wy) 4" (AB(Th O» Wy) = (jhf9 WJ) ,
(785) u<;<»
d'où en posant :
(7.86) <phn = zhum - um:
(7.87) (q>"hm9 Wj) 4- ai>hlll, Wy) 4- (AB(rfc u'm) - 2.t(u'm), Wj) = (xhf - /, wy).
On en déduit
OL> <Phm * P» * P») + fl0Phm> <?L * Pu * Pn)
+ (^(Tfc "m) - ^("m)> <PL * Pn * P«) =
= (lhf-f><Pkm*Pn*Pn)>
T rT
OU** O - ^(0> rh m; - u'„) et ^ (rh/ - /, rh M; - m;> d*,
0 J 0
d'où
7o I I <pL I2 àt 4- I (| t, i^ |'"2 Tfc m^ - | «; |'~2 C t, W; - u'm) dt 4-
■> 0 J 0
1 fT
+ 7 (Pfo "m) - PWm\ Tfc "i " "i) <*' <
£ J o
I (jhf-f><Phm)àt,
J o
d'où
(7.88) y0 f |ç»;w|2d^ f (Tfc/-/,ç»iJdr
J 0 J 0
Mais, grâce à (7.62), on en déduit que
<Phm
2
ât ^ constante indépendante de m et de £ .
d'où résulte (7.84).
3) Passage à la limite en m (e fixé).
Des estimations (7.76) (7.83) (7.84), on déduit que l'on peut extraire une
suite, encore notée umi telle que :
il existe une suite Çm e K telle que
wm + Zm ~+ "« dans L2(0, T ; V) faible ,
(7.89) 1 .. , , ... ,,_ T2

7. SOLUTIONS PÉRIODIQUES. CAS HYPERBOLIQUES 503
(7.90) u'm - «; dans L2(0, T; V) faible et L"(Q) faible ,
(7.91) «m —«J dans L2(g) faible ,
(7.92) a.(«0-»X. dans L"(2) faible,
et
(7.93) || M; ||LW;K) + Il K ||LP(e) + H <||tJ(o,7V,) ^ C ,
(7-94) ue(0) = u£T), u.(0) = u.(T),
(7.95) u:+Au, + X.=f.
On vérifie, comme pour (7.51), que
(7.96) Xs = UO-
On a en outre
(7.97) f (/?(u.), m.) d« < Ce .
J o
(Multiplier (7.95) par t/^ * pn * pn en tenant compte de (7.96) et passer à la
limite en n).
4) Passage à la limite en e.
Grâce à (7.93) on peut extraire une suite, encore notée wE, telle que
(7.98) il existe ÇEeV tels que uE + ÇE -> u dans L2(0, T ; V) faible,
f u't -> u dans L2(0, T ; V) n L?(Q) faible ,
(7.99)
1 < -> u" dans L2(0, T ; H) faible ,
(7.100) y(u'e) -> x dans L"'(Q) faible ,
(7.101) PK)~+Xi dans L2(Q) faible.
Mais on déduit de (7.95) (7.96) que
PK) = e[/ - m."- Aw£ - y(iO] - 0 dans ^'(fi),
donc %! = 0 et comme on a (7.97) on en déduit, avec la monotonie de /?, que
(7 A 02) /*(«') = 0.
Donc u\f)e K p. p. et on sait donc déjà que u satisfait à (7.64) (7.65)
(7.66) (7.67). Il reste donc à montrer que
(7.103) X = y(u')
et que (7.68) a lieu.

504 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Soit maintenant <p vérifiant (7.69). On déduit de (7.95) (7.96) que
K + AuE 4- y(u'E) -f,q>'- u't * pn * pn) dt =
J o
1 fr
= - 7 (P(U'Ù V' ~ < * Pn * Pn) &U
o J o
d'où
[(«;', <p') + (AuB, <p') 4- (y«) - /, <p' - u'E * pn * pn)] dt =
J o
1 fr
= ~ 7 (P(U*)> <P' ~ U'e* Pn* Pn) &
G J 0
et passant à la limite en n :
(7.104) f [(m;, «O 4- (Au£, q>') 4- (y(iO -f,q>* - <)] dt ^ 0
J o
J (/*(«0, q>' - u'Sât = J (jS(«0 - fliO, ç>' - u[) d* > o) .
car
Mais (7 A04) entraîne
(7.105) lim sup (y^), u'F) et
[(«" 4- Au 4- X, </) - (/, <p' - u')]
^ o
dt.
Comme on sait que u'(t) e K, il est loisible de prendre dans (7.105)
tp1 = u' * pn * pn,
d'où l'on déduit que
(7A06) lim sup | (y(u'c), u't) dt ^ \ (x, u') dt .
e-*0 J O J 0
Mais y étant de type M (en particulier) (cf. Remarque 2.1, Chap. 2), il en
résulte (7 A 03).
Montrons maintenant (7.68). On déduit de (7.104) que
I [«> <P') + (Au„ <p') 4- (y(u't)9 <p') - (/, q>' - u£)\ dt >
J o
> I (v«)> Odt = (y«) - y(u')> < - u')dt +
JO) J O
+ I (?(«'), "i - «') dr + j (y(«;), «') dt >
J o J o
> (y(w'), «c - w') & 4- (y(wD, «') d/,
J O J O
d'où (7.68) par passage à la limite. |

8. COMPORTEMENT A L'iNFINI EN î
505
Remarque 7.1.
L'étude des solutions périodiques éventuelles de l'équation
m" - Aw + I u\p~2u =/
semble difficile — et, a fortiori, en est-il de même pour les inéquations
correspondantes (cf. Problème 10.13). g
On trouvera dans P. H. Rabinowitz [1] l'étude des solutions périodiques
(en t) pour
(7.107) —n - —^ + eF(x, b,u) = Q
di2 dx2
et en particulier l'existence d'une solution périodique pour 6 assez petit (cf.
aussi Problème 10.15). |
8. COMPORTEMENT A L'INFINI EN t
8.1 Orientation
Dans la plupart des cas traités jusqu'ici, nous avons étudié les problèmes
d'évolution sur un intervalle [0, T], T donné fini.
Dans de nombreuses applications où l'on peut résoudre le problème avec T
fini quelconque, il est important de connaître le comportement de u(t) lorsque
t -* + oo.
Une autre question est de trouver une solution (si elle existe) ayant un
comportement donné lorsque t -> + oo et t -> — oo, par exemple une solution
bornée en t (dans un espace convenable en x).
Comme toujours, tout revient à obtenir de nouvelles estimations a priori.
Nous allons dans ce numéro donner quelques exemples de telles estimations. |
8.2 Solutions bornées sur R, d'équations d'évolution paraboliques
monotones
On va d'abord établir un résultat sur le comportement de la solution lorsque
t -» + oo.
Soit V un espace de Banach (norme || ||), contenu avec densité et injection
continue dans un Hilbert H (produit scalaire ( , ), norme | |) et V le duai
de K(norme || |U):
(8.1) V œ H œ V .
On se donne un opérateur v -* A(v) de V -* V tel que (*)
(A est borné hémicontinu et monotone de K-> V et
(A(v)9 v) ^ a || v \\p , a > 0 , 1 < p < oo , VueK,
IMooll^dMr1.
(') On pourrait élargir beaucoup ces hypothèses.

506 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On donne
(8.3) /eLfoc(0,oo;K') C)
avec
(8.4) f'+ H/IMlIf'dff^C, Vf>0.
Alors, quel que soit T> 0 fini, il existe d'après le Chapitre 2, nro 1, une
fonction u et une seule, solution de
(8.5) wêLp(0, T; V),
(8.6) m' 4- /*(w) =/dans ]0, T[9
(8.7) w(0) = 0.
Comme Test fini quelconque, on a :
(8.8) «eLUO, oo ;K).
On va démontrer le
Théorème 8.1. — On suppose que (8.1)... (8.4) ont lieu. Soit u la solution de
(8.5) (8.6) (8.7). Alors il existe une constante e2 telle que :
(8.9) | u(t) | ^ c2 lorsque t -* 4- oo ,
rt+ 1
(8.10) ||u((7)||pd(7 ^ c2 Vt^O.
Démonstration.
La fonction t -> u(t) est continue de / ^ 0 -> 77. On découpe l'intervalle
[0, 4- oo [ en les intervalles [j — 1./],/= 1, 2,..., et l'on introduit
(8.11) /yeU- U].|w('y)|= sup |u(f)|, 7=1,2,....
De façon générale, on déduit de (8.6) que, pour s et f > 0 quelconques,
s < t :
^ | H(0 |2 - \ | w(s) |2 4- J" (A(t/), u) da = j" (/, h) da
d'où, tenant compte de (8.2) :
2
(8.12)
|H(/)|2-i|«(s)|2 + af'||i.(ff)||'dff«s
<(|j|/(ff)||;'dff) (|'||i/(ff)||'dff
(') £foe(0, oo ; X) = espace des fonctions # telles que g 6 Z.*(0, 7"; X) V7" fini.

8. COMPORTEMENT A L'INFINI EN t
507
L'idée de la démonstration est d'appliquer (8.12) à des points tj et tk\
puisqu'il est possible que tj+1 = tjt on va l'appliquer à tj et tj+2.
On introduit
(8.13) .
où d est la « constante d'injection » V-+ H ,\ v \ ^ d \\ v \\.
On va montrer que
(8.14) | «(0+2)| <max(\u(tj)\,M).
Faisons la démonstration avecf = 1 ; le procédé est général. Si
| «C3) | < | "(M |
la démonstration est terminée ! Supposons donc | w(f3) | > | w(f,) | . Alors
(8.15) i | u(t3) |2 + a J'3 H 1/ H' dff > i | u(tl) |2 + a J" || u ||" d<x
et d'après (8.12), avec t = t^s = tx:
(8.16) ^|u(f3)|2 +a|"||u||'dff<l|U(.I)|2 +
/ rt3 \ i/p' I rt3 \ ifp
+ (jji/iH (Jji-ird.)
d'où, en comparant (8 A 5) et (8.16) :
(8.i7) «y iit/n^aj <y ii/iijdffj .
Mais/, — /, < 3 donc d'après (8.4) :
PlI/llïdffOc,
J fi
et donc (8.17) donne
(8A8) ^ \\u\\pâa<3cï.
Comme /3 — ^ ^ 1, il résulte de (8.18) qu'il existe t e [tly t3] tel que
(8A9) ||W(T)||^_^J =C39
d'où
(8.20) I w(t)| ^ c3d.

508 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Appliquant alors (8.12) avec t = t3 et s = t, il vient (utilisant (8.18))
\\u(h)\2 Ç\\u(r)\> + (3ciy"(3^~..
d'où, avec (8.20),
Cela démontre (8.14), d'où résulte
(8.21) | u(t) | ^ max / max | u(t) |, M\= c2
\re[0,2] /
d'où (8.9).
Appliquant alors (8.12) avec { / + 1, t}, on en déduit
rt+l * I rt+l \ l/p
d'où (8.10). g
On va déduire de là Vexistence de solutions bornées sur R, :
Théorème 8.2. — On se place dans les hypothèses du Théorème 8.1 et on
suppose en outre C) que
(8.22) Vinjection de V -> H est compacte .
On donne f sur R, avec
(8.23) /eL?;c(- oo, + oo;K'),
et
(8.24) J"+ H/tollï'd*^ VfeR.
// existe alors une fonction u satisfaisant à
(8.25) u' 4- A(u) =/sur ]- co, 4- oo[ en 19
(8.26) MeLB(- oo, 4- oo ; H),
rt + 1
(8.27) || u(&) ||p éa ^ constante Vf e R .
1) D'après le Théorème 8.1, il existe, V entier n > 0, une fonction uH et une
seule telle que
(8.28) u'n + A(un)=f sur ]-n, + oo[,
(i) Cf. Problème 10.17.

8. COMPORTEMENT A L'INFINI EN t 509
(8.29) t/M(-n) = 0,
(8.30) \un(t)\ ^c2 Vf ^ - n
avec la même constante c2 que dans le Théorème 8.9, et
(8.31) j' \\un(a)\\pâc7^c2 Vt> -n.
2) On va interpréter (8.31). Pour cela on prolonge un sur R par 0 pour t < — /?,
notant toujours par un le prolongement. De façon générale, X étant un espace
de Banach, et g étant donné dans Lf0C(R, ; X), on définit la fonction ZTg par
(8.32) £Tg(t) = « (j -+ £(r 4- (7) » de [0, 1] -> *;
donc ^"g- est défini sur R, à valeurs dans Lp(0, 1 ; Z) et
= (jff+1||«w||î^)1
(8.33)
Alors (8.31) équivaut à
3~un e L°°(Rf ; lf(0, 1 ; V)) et demeure dans un borné de cet espace
(8-34) ,
lorsque n -> oo.
3) On peut alors extraire une suite, encore notée un, telle que :
(8.35) un -> u dans L°°(R, ; H) faible étoile (d'après (8.30)) ,
3Tun -* ^u dans L°°(Rf ; Lp(0, 1 ; V)) faible étoile :
(8.36) .
d'après (8.34) ('),
(8.37) A(wM) -> x dans Lf^R, ; F') faible (2).
On déduit aussitôt de (8.28) que
(8.38) U' + X=f9
et par conséquent
(8.39) W'eLt(R,;n.
On aura donc le Théorème si l'on montre que
(8.40) X = A(u).
(') Noter que si (8.35) a lieu, alors, par exemple, 3~un -*&"u au sens des distributions
sur Rt à valeurs dans L2(0,1 ; H).
(2) I. e. A(un) -* x dans Lp'(s, t ; V) faible Vs, / finis.

510 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Soit pour cela 0 e 0(R,), 0(t) > 0, <p e Lpl0C(Rt \ V).
On introduit
(8.41) Xn = f 0(A(un) - A(q>)9 un - <p) ât, (Xn > 0) .
J — oo
On déduit de (8.28), prolongée sur R sous la forme
(8.42) „:+ *„.)-/., /„ = {{, j ;;:;,
que
(8.43) f °° 0{A(u„), un) d( = f " (/„, 0un) dt - \ 0(u'n,un)dt
J— QO J — QO J — QO
= f + "(/„,0u„)d( + i [ + °V|«J2df.
J — QO ^ J — QO
Mais d'après (8.42) et (8.38)
(8.44) M;_/-z = „' dans Lf0'c(R ; K')
et grâce à l'hypothèse (8.22) et le Théorème (de compacité) 5.1, Chapitre 1,
on a :
(8.45) un -► u dans L2(s, t ; H)fort, Vs, tfinis.
On peut alors passer à la limite dans (8.43) ; il vient
lim r°° 0(A{un\un)dt = V™ {f0u)àt + \ \ + C° 0'\u\2dt
M-+00 J — oo J —oo ^ J —00
et d'après (8.38), le deuxième membre vaut
ç + oo
(X.»)d(
J -oo
et par conséquent
(8.46) X„-> f œ0(Z-A(<p),M-9)df.
J - 00
Comme Xn ^ 0, on déduit de (8.46) que
(8.47) f" 0(X- A(<p),u-<p)dt>0 V<p e Lf0C(R ; K) .
J - 00
Prenant
ç, = u -^,*AeLf0C(R, ;F),A> 0,

8. COMPORTEMENT A L'INFINI EN t 511
on déduit de (8.47), après division par A, que
f °° 0(X - A(u - #), «/.) dr ^ 0 V^ 6 L?0C(R, î V).
*> -oo
Faisant X -» 0, on en déduit
"0(X- A(u)^)âi^O V«AeLf0C(Rr ;K),
•> -oo
donc
0(Z-A(W)) = O,
et cela V0 e 0(Rf), 0^0, d'où (8.40). )
On peut compléter le Théorème 8.2 par un résultat d'unicité :
Théorème 8.3. — On se place dans les hypothèses du Théorème 8.2. On
suppose que
(8.48) (A(u) - A(v)9 u - v) ^ y \ u - v \2 , y>0, Vw, v e V.
Alors le problème (8.25) (8.26) (8.27) admet une solution unique.
Démonstration.
Soient u et v deux solutions éventuelles et w(t) = u(t) — v(t). On a :
w'O) 4- A(u{t)) - A(v(t)) = 0
d'où, avec(8.48):
(w'(0, w(0) + y\ Mt)\2 < 0
i. e.
^(exp2yf|W(0|2)<0
donc, pour f < 0, exp 2 y/1 wQ) |2 ^ | w(0) |2 par exemple, ce qui est impossible
(d'après (8.26) w(t) e L°°(R, ; H)) sauf si w = 0. |
8.3 Le cas des inéquations paraboliques
Position du problème.
Soit maintenant donné en outre
(8.49) K = ensemble convexe fermé de V, OeK.
On cherche à voir s'il existe une fonction u ayant les propriétés (8.26) et (8.27)
avec
( u(t)eK p.p.,
(8.50) 1 («'(0. v - w(0) + (A(u(t)\ v - u(t)) > (f(t)9 v - u(i)) VveK.

512 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On peut envisager a priori deux méthodes :
(i) résoudre l'inéquation (8.50) sur î > — n, avec un(— n) = 0 (comme pour
le cas des équations (cf. (8.28) (8.29))) et essayer d'obtenir des estimations
analogues au cas des équations ;
(ii) utiliser la pénalisation (Chap. 3, nro 6).
Nous allons suivre ici la méthode (ii) ; nous n'avons pu obtenir qu'une
extension très partielle du Théorème 8.2.
Théorème 8.4. — On suppose que V est un espace de Hilbert et que
A e 3?(V\ F'),
avec
(8.51) (Av, v) > a || v\\2, a > 0, VueK.
Soit k donné avec (8.49). On suppose que (8.22) a lieu. On donne f avec
(8.52) /gL°°(R, ;tf), j' \\f'{a) \\l àa ^ c4 VfeR.
// existe'alors une fonction u et une seule ayant les propriétés suivantes :
(8.53) w,M'er(R(;//),
(8.54)
J' + 1(ll"||2 + IKIi2)d<7^c5 VfeR,
(8.55) u(t)sK Vf,
r* m I H'), v ~ u ('» + (Au^ v ~ w(r» > (■/"('>' v " w(r))
^'^ [VveK, WeR.
Démonstration.
1) Soit fi un opérateur de pénalisation (Chap. 3, nro 5) attaché à K. La
Démonstration du Théorème 8.2 montre l'existence, Ve > 0, de uE vérifiant
uE e L°°(Rf ; H), uE demeurant dans un borné de L°°(R, ; H)
lorsque e -* 0 ,
(8.57)
(8.58) | Il w£(t) II2 ût < c6 (constante indépendante de e),
rt+l
12,
(8.59) u'E + An. + ^(w.)=/ sur R, .
Il faut maintenant faire tendre e vers 0.
Dans une démonstration du type de celle faite au Théorème 8.2, on a besoin
de la convergence de uE dans L2(s, t ; H) fort. Or (8.59) ne donne pas directement

8. COMPORTEMENT A L'INFINI EN f 513
d'estimation sur u[. Mais on va, sous les hypothèses supplémentaires (8.52)
faites surf, obtenir une telle estimation.
2) On va démontrer que
(8.60) u\ £ borné de L°°(R, ; H) lorsque £ -► 0 ,
(8.61) ^ || W;(r) ||2 dr ^ c7 .
En effet, on reprend la Démonstration du Théorème 8.2; uE est obtenu
comme limite lorsque n -* oo de utn = un (e zstfïxé) donné par
u'n + Aun + -P(uH) =/, t> -n,
(8.62) < £
On peut dériver (8.62) en t :
u"H+Au'H + -(/?(«,))'=/',
(8.63) < £
M|l(-n) = 0, «;(-h)=/(-h) (car/?(0) = 0).
On en déduit, en notant que
f («a,)', t/;) do- > 0 Vs.f (> - n),
que
(8.64)
| w^(r) | ^ constante indépendante de n et de £ (car aussi \f(t) | ^ constante) ,
rt+l
(8.65) || u'n(o) ||2 dcr ^ constante indépendante de « et de s .
Alors (8.60) et (8.61 ) résultent de (8.64) (8.65).
3) D'après (8.57) (8.58) (8.60) (8.61), on peut extraire une suite, encore
notée uei telle que
(8.66) ut-*u,u'c-+u' dans L°°(R, ; H) faible étoile ,
et avec la notation (8.32) :
(8. 67) 3TuE -► 3Tu, 3TuEf -► .y u'dans L°°(R, ; L2(0, 1 ; V)) faible étoile .
On peut aussi supposer que fi(uB) -* g dans L2(Rf ; V) ; mais d'après
(8.59), P(uE) = s(f- u[ - AuE) -► 0 par exemple dans @'(Rt ; K'), et donc
(8.68) P(ut)-+0 dans L20C(R, ; V), £ - 0 .

514 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Par ailleurs, si 0 e 9(Rt)9 0 ^ 0, on déduit de (8.59) que
(8.69) f ™ 0{P(ue\uE)ât-+0.
Alors P(u) = 0 et donc u satisfait à (8.53) (8.54) (8.55). Pour v e K et
Oe@(R,),0 ^ 0, on déduit aussi de (8.59) que
30
0[(u'B9 v - ue) 4- {Au, -f9v- uE)] dt =
= f " o\ (/?(») - Ru}, v - u.) df > 0 (car 0(i>) = 0)
ou encore
0[{u'„ U) + (A!f„ 17) - (/, 17 - He)] df +
(8.70)
+ J f^'K^d^ [ + °°0(^)U£)d/.
J — 00 J — 00
2
Mais comme K -» //est compacte, on a :
(8.71) ue -* u dans L2(s, t ; H) fort Vs, f finis
et par conséquent dans le premier membre de (8.70)
+ 00 «
G-1 „, f dt - i r™ o'\u\2dt.
^ J - on ZJ-oo
Comme par ailleurs
r + 00 r + 00
lim inf 0(Au£, uB) df ^ 0(Au, m) dt ,
J — 00 J — 00
on obtient :
r + <x> 1 r + 00
0[(h', u) 4- (Aw, u - w) - (/, v - u)] dt 4- - 0' | » |2 dt ^ 0
J — 00 -^ «J — 00
ou encore
1™ + 00
0[(«' 4- Au -/, v - w)]dr > 0
J — 00
et cela V0 e 0(Rr), 0^0, donc
{u' + Au -f9v-u)^0 VveK.
Cela démontre Vexistence d'une solution.

9. EXEMPLES D'ÉQUATIONS LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE OPTIMAL 515
4) Unicité.
Soient ux et t/2 deux solutions éventuelles et w = ux — u2. Prenant v = u2
{resp. wx) dans l'inéquation (8.56) correspondante, on obtient
i^|w(0|2 + a||»v(0||2<0
d'où . _,
- ^|vv(0|2 + zd\ w(î)\2 <0
et on termine comme au Théorème 8.3. |
8.4 Remarques diverses
Remarque 8.1.
On trouvera dans G. Prouse [2] des estimations analogues à celles du nro 8.2
pour les équations hyperboliques :
u" + Au + y(u') =/,
avec par exemple
y(u) = | u' \p~2 u' , si m <C 5 et 2 ^ p ^ 2 4- ——y . |
Remarque 8.2.
L'étude du comportement à l'infini de la solution de problèmes de conditions
initiales est évidemment liée à la stabilité des problèmes considérés ; nous avons
signalé dans les Commentaires du Chapitre 1 l'usage qui peut être fait de la
fonction de Lyapounov. Nous référons pour cela à V. I. Zubov [1] (Chap. 5) ;
pour la construction approchée (en dimension finie) de fonctions de Lyapounov,
cf. N. P. Bhatia et B. P. Szego [1], G. P. Szego [1], G. P. Szego, G. Arienti,
C.SUTTI[1].
Les problèmes pratiques liés à la stabilité sont innombrables ; référons à
S. Chandrasekar [1], |
Remarque 8.3.
L'étude du comportement lorsque / -* oo de la solution de problèmes
hyperboliques non linéaires intervient en Physique Théorique ; cf. I. E. Segal [1] [2],
W. Strauss [4] [5] et la Bibliographie de ces travaux. |
9. QUELQUES EXEMPLES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PAR-
TIELLES NON LINÉAIRES LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE
OPTIMAL
9.1 Orientation
Comme on a déjà dit, ce numéro présente un caractère différent du reste du
livre. Alors qu'on a donné ailleurs des Démonstrations complètes (du moins,

514 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Par ailleurs, si 0 e 9(Rt), 0 ^ 0, on déduit de (8.59) que
(8.69) f " 0(P(ue)9ue)dt-+Q.
J -oo
Alors P(u) = 0 et donc u satisfait à (8.53) (8.54) (8.55). Pour v e K et
0 e 0(Rf)f 0 ^ 0, on déduit aussi de (8.59) que
r + r/i
0[(u'e9 v - ue) + (Aue -f9v- ue)] dt =
J — oo
= f °° 0 - (p(v) - p(ur), v - i.c) dt > 0 (car fi(v) = 0)
ou encore
[ *0[(u't9o) + (Aut9v)-(f9v- uj]dt +
(8.70) } _Q0
• +00
+ J I 0' | «e |2 dr ^ I 0(AuE, wj dt.
2
Mais comme V -* //est compacte, on a :
(8.71) uE - wdans L2(s, / ; //)/orf Vj, r finis
et par conséquent dans le premier membre de (8.70)
• + 00
r + oo
J - oo
i r + oo f r + oo
5 0' | «« |2 d* — =■ | 0'|«l2d».
£ J — oo Z J — qo
Comme par ailleurs
p + oo f + oo
liminf 0(AuB, t/e) dr > 0(Au9u)6t9
J — oo J — oo
on obtient :
r + oo i r + oo
0[(U', i?) 4- (Au, i; - m) - (/, v - u)] dt 4- - 0' | u |2 dr ^ 0
J — oo "^ J — 00
ou encore
0[(w' + Au -/, o - u)]dt > 0
et cela V0 g 0(Rr), 0^0, donc
(«' 4- Au -/, v - u) ^ 0 Vue K.
Cela démontre Vexistence d'une solution.

9. EXEMPLES D'ÉQUATIONS LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE OPTIMAL 515
4) Unicité.
Soient ul et u2 deux solutions éventuelles et w = ul — u2. Prenant v = u2
(resp. wL) dans l'inéquation (8.56) correspondante, on obtient
^lwW|2 + «lk(0||2^o
d'où .
- df | W(r)|2 + 0L<i\w(t)\2 ^0
et on termine comme au Théorème 8.3. |
8.4 Remarques diverses
Remarque 8.1.
On trouvera dans G. Prouse [2] des estimations analogues à celles du nr0 8.2
pour les équations hyperboliques :
u" + Au + y(w') =/,
avec par exemple
4
y(w') = | u \p 2 u , si n ^ 5 et 2 ^ p ^ 2 4- _ . |
Remarque 8.2.
L'étude du comportement à l'infini de la solution de problèmes de conditions
initiales est évidemment liée à la stabilité des problèmes considérés ; nous avons
signalé dans les Commentaires du Chapitre 1 l'usage qui peut être fait de la
fonction de Lyapounov. Nous référons pour cela à V. I. Zubov [1] (Chap. 5) ;
pour la construction approchée (en dimension finie) de fonctions de Lyapounov,
cf. N. P. Bhatia et B. P. Szego [1], G. P. Szego [1], G. P. Szego, G. Arienti,
C. SUTTI[1].
Les problèmes pratiques liés à la stabilité sont innombrables ; référons à
S. ClIANDRASEKAR [1]. |
Remarque 8.3.
L'étude du comportement lorsque / -» oo de la solution de problèmes
hyperboliques non linéaires intervient en Physique Théorique ; cf. I. E. Segal [1] [2],
W. Strauss [4] [5] et la Bibliographie de ces travaux. |
9. QUELQUES EXEMPLES D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES
PARTIELLES NON LINÉAIRES LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE
OPTIMAL
9.1 Orientation
Comme on a déjà dit, ce numéro présente un caractère différent du reste du
livre. Alors qu'on a donné ailleurs des Démonstrations complètes (du moins,

516 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
on l'espère !) on va donner ici un exposé largement heuristique ; on va montrer
V existence de certains opérateurs (ou de certaines fonctionnelles) dont le «noyau»
satisfait à des équations aux dérivées partielles non linéaires et à certaines
conditions aux limites. L'unicité n'est pas abordée ici ; des résultats d'unicité sont
connus pour certaines des équations aux dérivées partielles rencontrées, mais
dans des classes (où d'ailleurs il y a existence) extrêmement spéciales qu'il serait
désirable d'étendre. |
9.2 Problèmes de contrôle sans contraintes
Soit Jf un espace de Hilbert sur R.
On se donne dans J-f un opérateur non borné L, de domaine D(L) dense
dans Jf ; on supposera que L est fermé ; munissant D(L) de la norme
(| cp |2 + | Lcp I2)1'2 (»),
on supposera que
(9.1) L est un isomorphisme de D(L) sur ffî et (L<p, <p) > 0 V<p e D(L).
Soit^/ un espace de Hilbert, l'espace des contrôles (ou des commandes). On
donne
(9.2) Be&(<%;3P).
Alors pour un contrôle v e Jf donné, l'état y(v) du système est (pardéfinition)
la solution dans D(L) de
(9.3) Ly(v) =f+Bv , /donné dans Jf .
Pour v e °ll, le coût correspondant est supposé (2) donné par
(9.4) J(v)= \y(v)\2 + |M|i.
Il est clair qu'il existe un élément us°U et un seul tel que
(9.5) J(u)^J(v) VveW.
On dit que u est le contrôle optimal du problème, le contrôle v n'étant assujetti
à aucune contrainte (v parcourt tout l'espace tf/).
Il est immédiat de voir que u est caractérisé par :
(9.6) (v(w), y(v) - y(0)) + (u, v)* = 0 Vv g % .
Si l'on introduit Vétat adjointp(v) par
(9.7) p(v)eD(L*)9 L*p(v) = y(v),
(') On désigne par | | la norme dans ^ et par ( , ) le produit scalaire correspondant.
(2) Cela ne couvre nullement « toutes » les situations pratiques que l'on peut rencontrer.
Cf. une étude plus systématique par exemple dans Lions [15].

9. EXEMPLES D'ÉQUATIONS LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE OPTIMAL 517
alors (9.6) équivaut à
(L* p(t/), y(v) - y(0)) 4- (u, »)* = 0 Vu e # ,
d'où
(p(u), L(v(.) - y(0))) 4- (w, i>)« = 0
ou encore
(p(w), A;) + (u9v)* = 0 V y £ ^
d'où finalement :
(9.8) B* p(u) 4- u = 0 .
On peut éliminer w, d'où finalement :
Proposition 9.1. — Le contrôle optimal est donné par
(9.9) u = - 5*p,
oùp est donné par la solution { v, /? } e D(L) x D(L*) du système
(9.10) (Lv + i^p-/,
1 L* p - v = 0 . |
9.3 Approximation par un problème d'évolution artificiel
On introduit maintenant une variable r jouant le rôle d'un temps artificiel (l).
On va supposer que
(9.11) 0 ^ r ^ 1 ;
on introduit L2(0, 1 ;jf), L2(0, 1 ; W\ etc ; pour v g L2(0, 1 \<W) on définit
Bv par : Bv(r) = B(v(r)) p. p. sur (0, 1).
Soit e > 0. Pour v gL2(0, 1 ; %), on définit l'état (artificiel) yE(v) comme la
solution de
(9.12) e.-£ + Lyc=f+ Bv,
(9.13) yjfi) = 0,
où
(9.14) f(r)=f Vre[0, I];
ce problème admet bien une solution unique, car d'après (9.1), — L est
générateur infinitésimal d'un semi-groupe (de contractions) dans^f.
On définit ensuite la nouvelle fonction coût
(9.15) J,(v) = ||y»|it(0.1;Jo + Il »ll£>(o.i:«)-
0) Noter que l'opérateur L peut déjà contenir le temps.

518 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On a encore existence et unicité d'un contrôle optimal uE :
(9.16) Jfa)^J.(p) Vi;eL2(0, l;flr),
et donné (comme à la Proposition 9.1) par
(9.17) uc = - B* pc (i. e. «,(r) = - B*(pJLr)j) ,
où pc est donné par la solution { yt, pe } de
e^ + Ly, + BB*ps=f,
(9-18) <-% + L;.-,.-o.
y.M = o, p.(D = o.|
Par ailleurs on peut, sous des conditions générales sur L, vérifier que lorsque
e -> 0, on a :
(9.19) v£->v, />,->/> dans L2(0, 1;jT),
où v (resp. /?) désigne la fonction constante égale à v (resp. p) sur [0, 1 ]. I
9.4 Découpage du problème d'évolution artificiel
On utilise maintenant la possibilité de « découpîer » le problème (9.18).
On donne seulement ici les grandes lignes du raisonnement (cf. Lions [15]).
Pour s e ]0, 1 [, on considère le problème (comparer à (9.18)) :
£ ^ 4- Lcp + BB* i> = 0 , s < r < 1 ,
dr
1-e-r4-L*^-û) = 0, s < r < 1 ,
dr
<p(s) = hejf, i>(l) = 0.
Ce problème admet une solution unique, de sorte que \j/(s) est défini de
façon unique, l'application
h -* i>(^)
étant continue ûzJf -► J-f. Donc il existe ôeCO avec
(9.21) gB(j) e J&?(jf ; jf) ,
(9.22) ^) = fi,WA.

9. EXEMPLES D'ÉQUATIONS LIÉES A LA THÉORIE DU CONTROLE OPTIMAL 519
On vérifie (cf. Lions [15], Chap. 3, nro 4.2, pour des propriétés analogues)
que
(9.23) &(*)* = &(*),
(9.24) {QXs)hJt)>0 V/iejf. |
Soit par ailleurs { ae, fie } ia solution de
£ ^ 4- Lae 4- BB* & = / dans ]s, 1[ ,
- £^- 4- L* & - a£ = 0 dans ]s, 1[,
a.(5) = 0, A0) = 0.
On pose alors
(9.26) A(*) = P.(*).
On en déduit l'identité :
(9.27) />,(*) = Qe(s) yJs) + p,(5), V* 6 [0, 1 ] . |
On effectue maintenant un calcul d'identification formel ; portant l'identité
(9.27) dans la deuxième équation (9.18) on obtient (les ' désignant les dérivées
en r) :
- *Q't yE ~ Q&y'z) - *p't + L*(QC ye 4- p.) - ye = 0
et remplaçant ev^ par sa valeur déduite de la première équation (9.18) :
(-fiQi+ 2£L4-L*Q£4- Q.BB*Q. -/);>.+
4- (- £/>; 4- L*p£ 4- 2£^*/>£ - QJ) = 0
d'où l'on peut déduire que
(9.28) - sff, + Qs L+ L* Q, + Qc BB* Q, = 1 ,
(9.29) - sp. + L*pE + Qs BB* pE = QJ.
(Pour l'interprétation de (9.28), dans une situation analogue, cf. Lions [15],
Chap. 3).
Comme ps(\) = 0, il faut ajouter à (9.28) et (9.29) les conditions «initiales»
(9.30) 0.0) = 0,
(9.31) P.0) = 0.|
On obtient ainsi le « découplage » suivant du problème (9.18):
(i) on résout (9.28) (9.30) ce qui définit Qe(r)t 0 ^ r ^ 1, de façon unique ;
on résout ensuite (9.29) (9.31) ;
(9.25)

520 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
(ii) le contrôle optimal est donné par
w.= -B*(pJ= -£*(2£v£ + p£).|
9.5 Découplage du problème de contrôle initial
On déduit de (9.19) que, lorsque £ -> 0, on obtient :
(9.32) P = Qy + P
où
(9.33) QL + L* Q + QBB* Q = /,
(9.34) L*p + QBB* p = g/.
On obtient ainsi, en particulier :
Proposition 9.2. — Il existe Qs S?(Jtf \Jtf) tel que
(9.35) e* = e,
(9.36) (Qh,h)^0 VheJf,
et Q satisfaisant à (9.33) (*). |
Dans les applications, L est un opérateur aux dérivées partielles et Jf est un
espace fonctionnel. Donc (d'après le Théorème des Noyaux de L. Schwartz
[3]) Q s'exprime par un noyau distribution ; (9.33) est alors une équation aux
dérivées partielles non linéaire dont on va donner des exemples. g
9.6 Exemples
Exemple 9.1.
Soit Q un ouvert de R" de frontière F et prenons
(9.37) L = - A , tf = L2(Q), D(L) = H2(Q) n Hl0(Q).
Alors Q e J£(jf ; 3tf) s'exprime par un noyau Q(x, £), distribution sur
Qx x £>£ ; comme ô(x — Ç) est le noyau de 7, on obtient, en prenant en outre
pour simplifier
<% =jf9 B = identité :
(9.38) - AXQ - A,Q + f Q(x, ^) Q({lf {) d^ = <5(x - {),
(9.39) G(*. 0 = G(& *),
(9.40) g(x, 0 est un noyau appliquant L2(£>) dans D(L), et (g<p, <p) ^ 0 ,
(9.41) g(x,{) = 0 si xeF, £e&. |
(!) Naturellement, il faut préciser les domaines, car L est un opérateur non borné. Sous
certaines hypothèses sur L, on peut montrer que Q applique ffl dans D(L*).

9. exemples d'équations liées a la théorie du contrôle optimal 521
Remarque 9.1.
On notera qu'on obtient ainsi l'existence d'une solution Q(x, Ç) dans une
classe très particulière, correspondant au fait que Q(x, Ç) est le noyau d'une
application de tf = L2(Q) -> D{L). |
Exemple 9.2.
Prenons maintenant
L = A dans le cylindre Q x ]0, T[ ,
jf = L2(Q x ]0, T[)
auec D(L) défini par y(0) = 0.
Alors g s'exprime encore par un noyau Q(x, Ç, t, t) de façon que
(9.42) Qç,(x, 0 = \ Q(x9 {, f, t) ç,«, t) d£ dr .
Alors Q doit satisfaire à (toujours en prenant % — $£, B = identité)
(9.43)
-dS-ÔS-^Q-^Q+\ 2(*, {i, r, Tl) Q(ZU xl9 {, t) d^ dx, =
0* or J flX[o,n
= ô(x-Ç)ô(t - t),
X £ .Q , Ç £ Q , f, T £ ]0, T[ ,
avec
(9.44) Q(x9Ç9t9x) = GK.^t.O.
(9.45) g est le noyau d'une application de Jf -> ^f, (g<p, <p) ^ 0 ,
(9.46) e(x,^T,T) = 0,g(x,^/, T) = 0,
(9.47) Q(x9 Ç,t9 t) = 0 si x £ F, { £ Q (et donc si x £ Q9 { £ F).
En fait /a solution a dans ce cas une structure très particulière :
(9.48) Q{x9Ç9t9T) = P{x9Z9t)ô(t-x)9
où P(x9 <J, /) vérifie
(9.49) - ^ - AXP - A^P + J P(x, {lf r) P({lf {, t) d^ = ô(x - {) ,
(9.50) P(x9i9t) = P{Z9x9t)9
(9.51) [ [ P(x9 Ç9 t) <p(Ç) <p(x) 6x dÇ > 0 Vcp e L2(Q),
(9.52) P(x,Ç,T) = 0.

522 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
Le système (9.49) ... (9.52), et des systèmes de cette nature, sont très
importants dans les applications ; P(x, £, t) est le noyau d'un «filtre » (cf. la
bibliographie donnée dans les Commentaires). |
Remarque 9.2.
Cf. A. Bensoussan [1] [2], Lions [15], Chapitre 3, pour une justification
complète des remarques heuristiques précédentes et d'autres exemples de
ce type. |
Exemple 9.3.
Prenons L comme dans l'Exemple 9.2 mais avec D(L) défini par les conditions
de périodicité en t :
HO) = y(T).
Alors Q s'exprime par un noyau (comme en (9.42)), solution de (9.43)
(9.44) (9.45) (9.47), les conditions (9.46) étant remplacées par
(q ,,. ( Q(x, {, 0, t) = Q(x, {, T, t) ,
( ' ' \ Q(x, t, t, 0) = Q(x, {, r, T).
Le support (en { t, t }) de la solution n'est pas réduit — comme dans le
cas de l'Exemple 9.2 — à la diagonale t = t ; on n'a donc pas d'analogue
à la formule (9.48). |
9.7 Remarques diverses
Remarque 9.3.
L'idée de la «décomposition» du Problème (9.18), en introduisant la
famille de problèmes (9.20) peut s'appliquer dans d'autres situations,
indépendantes de la théorie du contrôle optimal.
Voici un exemple simple.
Considérons l'équation de la chaleur
(9.54) — - —" = 0 , t > 0 , 0 < x < x0 ,
dt ôx2
avec
(9.55) w(.y,0) = 0, 0 < x < x0
et les conditions aux limites
u(0, 0 = 0, t > 0
1 w(x0, t) = g(t) donnée (t > 0) ,

9. exemples d'équations liées a la théorie du contrôle optimal 523
Sans préciser les hypothèses faites sur les diverses fonctions introduites, on
considère la famille de problèmes aux limites (b jouant le rôle de paramètre).
: ^_^ = 0, r>0, 0<x<b,
et dx2
, q>(x, 0) = 0, 0 < x < fc ,
1 9(0, 0 = 0 ,
,£»«-«>■
Ce problème admet une solution unique, donc définit de façon unique <p(b, t),
d'où une application linéaire
(9.58) h->(p(b,t).
En prolongeant toutes les données et inconnues par 0 pour t < 0 et en notant
que t = 0 ne joue aucun rôle particulier, on vérifie que l'application (9.58)
envoie continûment & + (Rt) dans lui-même (*) et permute aux translations.
Donc (L. Schwartz [!])
f q>(b, t) = G(b) * h (2)
(9.59) (0
l G(b)e^'+(R,),G(b) = 0 pour KO.
Prenant dans (9.57) h(t) = -- (b, t) on trouve que q> = wdans 0 < x < b,
/ > 0, d'où
u(b,t) = G(b)*^-(b,t)
et comme b est quelconque, on a donc démontré Pexistence (3) d'une famille
de distributions G(x) e @'+(Rt), G(x) = 0 pour t < 0, telles que
(9.60) u(x,t) = G(x) *|-(;c, t).
dx'
On va montrer que
(9.62) G(0, 0 = 0.
(') ^ + (Rj) = espace des distributions sur R à support limité à gauche.
(2) Le symbole * désigne la convolution en /.
(t)
(3) Naturellement, on peut, dans ce cas particulier, calculer G(x) ; mais le raisonnement
donné ici est général.
Lions. — Problèmes aux limites non linéaires 18

524 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
On déduit de (9.60) que
du d du d2u
= G(x) * — + G(x) * —-
CX CX (t) CX (t) CX
et tenant compte de (9.54)
du dG(x) du dG(x)
<9x dx (r) ex dt (()
d'où
d2" d2G(x) du dG(x) du ^ d2G(x)
(9.63) —- = y- * — + —— * — 4- 2 y } * u ;
dx dx (o dx df (o dx dx dt (o
on remplace dans (9.63) u par (9.60) et on porte dans (9.54) :
(9.64) (*™ + 2*™.G(x)) *^ = 0.
\ dx dx dt (t) I (t) dx
On peut fixer* dans (9.64) et alors — (x, t) peut être choisi quelconque, donc
dx
a!GO0 + 2a!çW,GW_O|
dx dx dt (o
ou
Mais la condition w(0, 0 = 0 entraîne (9.62) et alors
£<M-s«M.„>0
donne y (0, f) = 5(0
ce qui, joint à (8.65), entraîne (9.61). |
On peut vérifier par transformation de Laplace en t (loisible) : si l'on pose
r oo
(9.66) H(x,p)=\ G(x,t) Q~ptdt, Rep>0,
J o
alors (9.61) (9.62) donnent
(9.67) dE+pH2=\i H(0,p) = 0
d'où
(9.68) H(x9 p) = p'1/2th(xp1/2). 1

10. PROBLÈMES
525
Remarque 9.4.
Nous avons étudié les problèmes sans contraintes, i. e. le contrôle v pouvant
parcourir tout l'espace fy. Si le contrôle v est assujetti à demeurer dans un
sous-ensemble ^ad de % (l'ensemble des contrôles admissibles), alors une
décomposition analogue à celle introduite ci-dessus est possible, mais avec un
« noyau non linéaire », ce qui conduit à des équations aux dérivées partielles
et fonctionnelles (cf. Lions [15], Chap. 3, nro 14).
Une autre possibilité est alors d'utiliser la programmation dynamique pour
laquelle nous renvoyons aux travaux de Bellman mentionnés dans la
Bibliographie (cf. aussi L. Tartar [1]). |
10. PROBLÈMES
10.1 Peut-on obtenir un résultat d'existence et unicité pour le Problème étudié
au nro 1.3 ?
10.2 II serait très intéressant, pour un grand nombre d'applications, d'étudier
systématiquement les problèmes « doublement » non linéaires
d'évolution
$ et se non linéaires.
Cf. Remarques 1.4 et 1.5.
10.3 Peut-on résoudre les problèmes d'inéquations considérés au nro 3.4,
lorsque K n'est pas stable par l'application v -> vM ?
10.4 Soit V = w\'p(Q) et A0 pseudo-monotone de V -* V et coercif. Soit
B défini par
n, , ô3u _ du ô2u
B(u) = u —- + 2 .
dx! dxx dx\
Cet opérateur rf applique pas V -> V si p < 3 n/(n -f 3). Si, par exemple,
u e 9(Q), on a
32,
<eM->=UK>=°-
Peut-on résoudre, pour/donné dans W 2,p'(Q)t l'équation
(10.1) A0(u) + B(u)=fl
Question analogue pour les inéquations. (On ne peut plus utiliser la
troncature, qui n'applique pas Kdans lui-même.)
On rencontre des problèmes de ce type avec les équations d'évolution

526 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
10.5 Le Théorème 4.2 est-il encore vrai si n > 4 ?
(Rappelons aussi le Problème 13.5, Chap. 1, qui est relatif à
l'approximation par des systèmes du type de Cauchy-Kowaleska).
10.6 Problème de traces non linéaires.
Soit u parcourant l'ensemble des fonctions telles que
\u\*~2 ueL>{09T\WÏ>{Q)),
u'eLp'(0,T; W-l'p'(Q)).
Quel est l'ensemble parcouru par w(0) ?
10.7 Y a-t-il unicité des solutions périodiques des équations de Navier-
Stokes (cf. Théorème 6.1) ?
10.8 Peut-on étendre le Théorème 6.2 au cas a? > 2 ?
10.9 Peut-on étendre le Théorème 6.2 (avec n ^ 2) à des ensembles convexes
K quelconques ?
10.10 A-t-on existence (et unicité) de solution périodique en t pour le système
de Carleman étudié au nr0 2 ?
10.11 Le Théorème 7.1 est-il encore vrai si 1 < p < 2 ?
10.12 Peut-on trouver des solutions fortes périodiques dans le Théorème 7.1
(avec des hypothèses supplémentaires sur /) ? (un tel résultat a été
4
obtenu par G. Prouse [6] si p < 2 H , n ^ 5).
10.13 A-t-on des solutions périodiques pour l'équation
«" - Au + \u\p'2u =/?
10.14 Le Théorème 7.2 est-il encore vrai si :
1) 7o = 0,
ou 2) K est un ensemble fermé convexe ne vérifiant pas nécessairement
(7.63),
ou 3) p < 2 ?
10.15 Peut-on étendre les résultats du type de P. H. Rabinowitz [I] à des
inéquations ?
10.16 Etude des solutions périodiques en t de systèmes couplés du type de ceux
étudiés au Chapitre 1, nro 9.1 ?
10.17 Le Théorème 8.2 est-il vrai sans l'hypothèse (8.22) ?
10.18 A-t-on l'existence d'une solution (faible) bornée d'une inéquation varia-
tionneîle (comme au Théorème 8.4) sans les hypothèses (8.52) mais
seulement avec (8.3) (8.4) ?

11. COMMENTAIRES
527
10.19 S. Agmon et L. Nirenberg [1] [2] ont mis en évidence la propriété de
convexité logarithmique de la norme des solutions des équations de
dt
Knops et Payne [1] ont étendu cette propriété aux équations de Navier-
Stokes en l'appliquant au problème de la stabilité du problème
rétrograde (ces propriétés de convexité interviennent dans l'étude des
problèmes mal posés, cf. J. Douglas J. [1], M. M. Lavrentiev [1],
L. E. Payne [2]). A-t-on des propriétés de ce genre pour les inéquations
variationneîles paraboliques ?
(Notons à ce sujet que l'on peut, avec des difficultés techniques assez
grandes, étendre la méthode de Quasi-Réversibilité (cf. R. Lattes
et J. L. Lions [1]) aux cas d'inéquations).
10.20 Peut-on étendre le Théorème 8.4 au cas de certains opérateurs A non
linéaires (par exemple monotones) ?
10.21 Peut-on étudier directement (sans référence au contrôle) le problème
(9.43) (9.44) (9.45) (9.47) (9.53) ?
11. COMMENTAIRES
L'utilisation des méthodes de différence finies pour démontrer l'existence d'une
solution de problème non linéaire a été souvent utilisée ; elle joue un rôle essentiel
dans S. L. Kamenostoskaya [l] et dans plusieurs travaux d'O. Oleinik, cf. en
particulier [1].
La possibilité d'approcher les inéquations d'évolution paraboliques par les
différences finies (discrétisation en toutes les variables) a été étudiée par l'auteur [22]
(où l'on considère des schémas explicites dont on étudie la stabilité) ; l'utilisation
de la méthode de semi-discrétisation pour atteindre les problèmes d'inéquations avec
donnée initiale non nulle est due à R. Temam (communication personnelle).
Les résultats du nro 1.3, ainsi que la méthode de démonstration, sont dus à
P. A. Raviart [3] [6].
Le problème étudié au nro 2 est un problème posé par T. Carleman dans [1] ;
ce problème a déjà été étudié par Kolodner [2], Ovciannikov [1], et du point de
vue numérique par Sultangazin [1]. Le résultat donné dans le texte est dû à
R. Temam [4]. La méthode de décomposition est d'usage courant en Analyse
Numérique ; bornons-nous à renvoyer à G. I. Marchuk [1], N. N. Yanenko [1],
R. Temam [1] et à la bibliographie de ces travaux (cf. aussi Trotter [1]). Une
démonstration d'un théorème d'existence (pour un système d'équations intervenant en
Météorologie) utilisant la méthode de décomposition est annoncé dans Demidov et
Marchuk [1]. Une autre application de la méthode de décomposition pour l'étude
directe des équations de Riccati est due à R. Temam [8] [9].
L'approximation des problèmes du type Navier-Stokes (qui ne sont pas du type
de Cauchy-Kowaleska) par des systèmes du type de Cauchy-Kowaleska a été
donnée par l'A. [23]. De très nombreuses variantes sont possibles ; on peut, par
exemple, considérer la condition <c div u = 0 » comme une contrainte et la « pénaliser »,
ce qui conduit au système
-^ — v AuE + £ uEi -^ + - (div ue) ut — - grad (div ue) = /,

528 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
qui est du type de Cauchy-Kowaleska et pour lequel on a des résultats analogues
aux Théorèmes 4.1 et 4.2. Ces modifications sont utiles dans la théorie de
l'approximation numérique des équations de Navier-Stokes : cf. R. Temam [2] [3],
A. J. Chorin [1] [2].
Pour d'autres méthodes, consulter P. Jamet, P. Lascaux et P. A. Raviart [1],
D. Greenspan [1]. Pour d'autres équations que l'on peut approcher par des systèmes
du type de Cauchy-Kowaleska, cf. Lions [11].
Un autre procédé d'approximation (intégrales multiplicatives) est développé par
N. Aronszajn [1].
Les résultats du nro 5.2 sont dus à H. Fujita [1] (où l'on trouvera de nombreuses
propriétés supplémentaires).
Les résultats du nro 5.3 sont dus à G. Talenti [1], Les espaces de Gevrey et
leurs variantes jouent un rôle important dans la théorie des équations aux dérivées
partielles (et d'ailleurs pour le même type de raison qu'au nro 5.3 ; par « ajustement »
convenable des paramètres, on peut dans ces espaces obtenir des résultats de
convergence pour les topologies correspondantes); après les travaux de Gevrey [1], de
très nombreuses utilisations d'idées voisines ont été faites; cf. J. Leray-Oiiia [1],
A. Fricdman [7], Lions-Magenes [2] [4], H. Tanabe [1], etc.
Pour un choix différent d'espaces, mais procédant d'idées du même ordre, cf.
F. Trêves [1] (en particulier Chap. 1).
La démonstration du nro 5.2 utilise implicitement la théorie des semi-groupes.
On peut utiliser de façon systématique la théorie des semi-groupes et, en particulier,
des puissances «fractionnaires» des semi-groupes, pour la résolution d'équations
d'évolution non linéaires. Cela est lié évidemment à la théorie de r interpolation des
espaces de Banach ; dans l'un quelconque de ces points de vue, on utilise la famille
de normes fournie soit par l'interpolation soit par les puissances « fractionnaires »
pour choisir la norme « au mieux » ; pour le point de vue « interpolation » appliqué
aux équations de Navier-Stokes, cf. Lions [3] ; le deuxième point de vue a été
développé par de nombreux auteurs ; référons en particulier à H. Fujita-T. Kato
[1], S. Krein [1], T. Kato-H. Fujita [1] Raskin et Sobolevskii [1], P. E. Sobo-
levskii [1] [2] [3], Pogorelenko et Sobolevskm [1]. Combinant cela avec les
approximations successives, H. Fujita et Masuda [1] ont obtenu l'existence et l'unicité
d'une solution locale en t des équations de Navier-Stokes à valeurs dans
l'espace K5/4 (avec les notations du Chap. 1, nro 6) (dimension d'espace 3).
Pour l'utilisation de la théorie des semi-groupes linéaires à un problème non
linéaire de la Physique Mathématique, cf. L. Gross [1].
Signalons également les travaux de Da Prato [1] pour certaines équations aux
dérivées partielles non linéaires dans des algèbres (généralisations d'équations du
type Riccati intervenant en contrôle optimal ; cf. le nro 9 de ce Chap.). Naturellement,
nous n'avons pas étudié toutes les méthodes itératives ! Il faut signaler en particulier
la méthode de Newton et ses variantes (cf. Antosiewicz [1] et la bibliographie de
ce travail) ; après linéarisation — par utilisation des différentielles — la difficulté
principale est (une fois encore) dans le choix des espaces de façon à ne pas perdre de
dérivabilité à chaque itération ; voir un exemple où cette circonstance est réalisée
dans P. A. Raviart [5] ; dans des cas plus compliqués où un choix « conservant la
dérivabilité» ne semble pas possible, il faut combiner chaque itération avec une
régularisation : c'est la méthode de J. Moser [1]. Pour d'autres méthodes itératives,
cf. N. Koshelev [1], W. Petryshyn [1] et M. Sibony [1] (où l'on trouvera des
applications numériques). Pour des résultats généraux utilisant les propriétés des
différentielles, cf. en particulier S. I. Pohojaev [2] [4] (cf. Remarque, nr0 2.5, Chap. 1).
Le Théorème 6.1 est dû, lorsque n = 2, à G. Prodi [2] et a été étendu au cas
général (par une méthode différente de celle du texte) par G. Prouse [4]. La recherche
des solutions périodiques des équations de Navier-Stokes a donné lieu à de
nombreux travaux ; signalons J. Serrin [3], V. I. Youdovich [3], S. Kaniel et M. Shin-
brot [2] et l'auteur [24] [8]. Cf. aussi Takeshita [1].
Pour l'étude des solutions presque périodiques des équations de Navier-Stokes,

11. COMMENTAIRES
529
cf. L. Amerio [2], C. Foias [1], G. Prouse [5]. Pour l'étude de solutions «quasi
stationnaires » au sens de Bass (cf. Agostini et Rass [1]), renvoyons à Vo Khac [1],
L'utilisation de théorèmes de points fixes pour l'obtention de solutions
périodiques est une idée classique de Poincaré. On trouvera des applications à d'autres
équations paraboliques que celles de Navier-Stokes dans G. Prodi [4] [5], F. Brow-
der [12] [13] (cf. aussi la bibliographie de ces articles). On trouvera d'autres
applications de théorème de point fixe dans P. Atten [1], A. Vaillant [1].
Le résultat du Théorème 7.1 (sur les solutions périodiques d'une équation
hyperbolique) est dû à G. Prodi [3]. La méthode de la régularisation elliptique du
problème hyperbolique est celle de W. Strauss [5] ; Prodi, loc. cit., n'utilise pas la
régularisation elliptique, mais la méthode de Faedo-Galerkin, l'existence de
solutions périodiques du système approché étant démontrée par usage de la théorie de
Leuay-Schauder. Le problème de la recherche de solutions périodiques d'équations
hyperboliques non linéaires a fait l'objet de nombreux travaux ; citons en particulier
F. Browder [12] [13], L. Cesari [1] [2], B. A. Fleischman et F. A. Ficken Ll],
G. Prodi [3] [5] [6], G. Prouse [6], P. H. Rabinowitz [1] et la bibliographie de ces
travaux.
Pour les solutions périodiques de systèmes d'équations différentielles ordinaires,
cf. L. Amerio [3], résultat qui peut être utile pour le cas des équations aux dérivées
partielles, combiné avec la méthode de Faedo-Galerkin.
Les estimations données au nr0 8.2 relèvent des méthodes de Amerio [2], Amerio-
Prouse [1], Prouse [3] (où l'on trouvera des résultats plus généraux que ceux du
nro 8.2).
A partir des résultats du nro 8.2, on peut étudier, selon Amerio-Prouse, loc. cit,
des solutions presque périodiques des équations considérées (et donc les résultats du
nro 8.3 permettent d'étudier les solutions presque périodiques d'inéquations
d'évolution).
Les «équations de Riccati » données dans l'Exemple 9.2 correspondent, en
dimension finie (i. e. dans le cas où L = d/dt + A, A = matrice), à la théorie des
filtres de Kalman-Bucy [1] et ont donné lieu à une énorme littérature. Dans le cas
de la dimension infinie (avec des opérateurs non bornés), cf. A. Bensoussan [1]
[2], H. J. Kushner [1], J. L. Lions [15] ; la présentation donnée ici, ainsi que
l'Exemple 9.3 semblent nouveaux (les détails techniques, assez longs, ne sont pas donnés
ici). Pour l'étude directe des problèmes d'équations aux dérivées partielles ainsi
obtenues cf. Da Prato [1] pour un théorème général d'existence locale et, pour un
résultat global (cf. Remarque 2.5) voir R. Temam [8] (cf. un cas particulier dans
Kushner [I]) et Da Prato [3]. Pour d'autres points de vue et d'autres exemples,
cf. W. Fleming [1] [3], Lukes et Russell [1], A. Z. Meiri [1], Mitter et Phil-
lispon [1], Stratonovitch [1], Wonham [1] et pour l'approximation de la solution,
Nédélec [1].
La Remarque 9.3 conduit naturellement à l'Invariant Imbedding, qui considéré
d'un point de vue plus « physique », donne directement des équations de nouveau
type (et qui peuvent être retrouvées par le procédé indiqué à la Remarque 9.3);
cf. en particulier Bellman, Kalaba et Wing [i].
Pour les équations aux dérivées partielles non linéaires rencontrées en
programmation dynamique, cf. les travaux de Bellman, Bellman et Kalaba, Bellman et
Lehman, Kushner et Kleinman cités dans la Bibliographie.
Naturellement ce (bref) nro 9 ne donne que l'un des aspects des problèmes
d'équations aux dérivées partielles issus du Calcul des Variations. Nous n'avons pas abordé
ici, en particulier, la question des Surfaces-Minima ; nous nous bornons à référer à
Bompieri [1], Bompieri, de Giorgi, Giusti [1], Bompieri, de Giorgi, M. Miranda [1],
R. Finn [6], de Giorgi [1] [2], Jenkins et Serrin [1], C. B. Morrey Jr [1], J. Serrin [4]
[5], et la bibliographie de ces travaux. De façon générale de nombreux problèmes
de géométrie différentielle conduisent à des problèmes d'équations aux dérivées
partielles non linéaires. Cf. en particulier L. Nirenberg [4].
D'autres types de problèmes d'équations aux dérivées partielles se présentent à

530 MÉTHODES ITÉRATIVES. SOLUTIONS PARTICULIÈRES [CHAP. 4]
d'autres propos ; il en est ainsi des équations intégro-différentielles non linéaires de
Boltzman (cf. Grad [1], Guiraud [1] et la bibliographie de ces travaux) et de
problèmes d'Economie Mathématique qui conduisent à des équations aux dérivées
partielles de type non ce traditionnel » (cf. M. S. Berger et N. G. Meyers [1]), ou
à des problèmes non linéaires déjà étudiés à d'autres occasions (ainsi le travail
Samuelson, Me Kean [1] qui aboutit à des problèmes du type de Stefan — attaqué
alors par des méthodes probabilistes ; Me Kean [1] [2] B. I. Grigelionis et A. N. Shi-
ryaev [1]). Voir aussi d'autres problèmes à frontière libre dans H. Chernoff [1].
Au sujet des méthodes probabilistes, signalons l'usage fait par Donsker [1] des
intégrales dans les espaces fonctionnels pour l'étude de la solution d'une équation
du type de Burgers lorsque la viscosité tend vers 0. Cf. aussi W. Fleming [5].
A propos de Videntification des systèmes gouvernés par des équations aux dérivées
partielles, on est conduit aux problèmes dits « inverses » où les inconnus sont les
coefficients d'un système aux dérivées partielles dont on connaît la structure et des
mesures sur la solution (correspondant aux coefficients inconnus à découvrir) ;
cf. B. F. Jones [1], J. Douglas et B. F, Jones [1], M. M. Lavrentiev [1]. Pour un
problème extrémal dans un ordre d'idées voisin cf. C. Pucci [1],

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Dépôt légal : N<> 6270, 3e trimestre 1969