Основы Математического Моделирования
Физический факультет МГУ им. Ломоносова.
Боголюбов А. Н.
Глава I. Основные понятия и принципы математического моделирования.
§ 1. Математика и математическое моделирование 3
§2. Прямые и обратные задачи математического моделирования 5
§3. Универсальность математических моделей. Принцип аналогий 6
§4. Иерархия моделей 9
Глава II. Некоторые классические задачи математической физики.
§1. Задача с данными на характеристиках (задача Гурса) 12
§2. Общая задача Коши. Функция Римана 17
2.1. Функция Римана 17
2.2. Физический смысл функции Римана 25
2.2. Уравнения с постоянными коэффициентами 28
§3. Задача о промерзании (задача о фазовом переходе, задача Стефана) 31
3.1. Метод подобия 35
§4. Динамика сорбции газа 37
§5. Простейшие задачи для уравнения Шредингера 41
5.1. Уравнение Шредингера 41
5.2. Гармонический осциллятор 42
5.3. Ротатор 44
5.4. Движение электрона в кулоновском поле 46
5.5. Свойство полиномов Эрмита 52
Глава III. Математическое моделирование нелинейных объектов и процессов.
§1. Математические модели процессов нелинейной теплопроводности и горения .... 53
1.1. Краевые задачи для квазилинейного уравнения теплопроводности 53
1.2. Решения с обострениями 57
§2. Математические модели теории нелинейных волн 62
2.1. Метод характеристик 62
2.2. Обобщенное решение. Условие на разрыве 65
2.3. Уравнение Кортевега-де Фриза и законы сохранения 69
2.4. Схема метода обратной задачи 70
2.4.1. Прямая и обратная задачи рассеяния 70
2.4.2. Решение задачи Коши 72
2.4.3. Схема построения быстроубывающих решений задачи Коши 74
Глава IV. Методы исследования математических моделей.
§ 1. Вариационные методы решения краевых задач и определения
собственных значений 77
1.1. Принцип Дирихле 77
1.2. Задача о собственных значениях 79
2003
vww.mathphys.ru

§2. Некоторые алгоритмы проекционного метода 81
2.1. Общая схема алгоритмов 81
2.2. Метод Ритца 82
2.3. Метод Галёркина 85
2.4. Обобщенный метод моментов 86
2.5. Метод наименьших квадратов 87
§3. Метод конечных разностей 88
3.1. Основные понятия 88
3.2. Разностная задача для уравнения теплопроводности на отрезке 91
3.3. Метод прогонки 96
3.4. Экономичные разностные схемы. Схема переменных направлений 98
3.5. Консервативные однородные разностные схемы 100
3.5.1. Интегро-интерполяционный метод (ИИМ) - метод баланса 100
3.5.2. Метод конечных элементов (МКЭ) - проекционно-сеточный метод 102
§4. Асимптотические методы 105
4.1. Метод малого параметра 105
4.1.1. Регулярные возмущения 105
4.1.2. Сингулярные возмущения 108
4.2. Метод ВКБ (Венцеля, Крамерса, Бриллюэна) 113
4.3. Метод усреднения Крылова-Боголюбова 117
Глава V. Некоторые новые методы и объекты математического моделирования.
§1. Фракталы и фрактальные структуры 126
1.1. Фракталы в математике 126
1.2. Размерность самоподобия 128
1.3. Фракталы в природе 129
1.4. Моделирование дендритов 130
1.5. Иллюстрации к параграфу 131
§2. Самоорганизация и образование структур. Синергетика 133
2.1. Диссипативные структуры 133
2.2. Модель брюсселятора 134
vww.mathphys.ru

Гл. I Основные понятия и принципы математического моде-
моделирования.
§1. Математика и математическое моделирование.
Основные этапы метода математического моделирования.
1. Создание качественной модели.
Выясняется характер законов и связей, действующих в системе. В
зависимости от природы модели эти законы могут быть физическими,
химическими, биологическими, экономическими.
Задача моделирования — выявить главные, характерные черты яв-
явления или процесса, его определяющие особенности.
Применительно к исследованию физических явлений создание ка-
качественной модели — это формулировка физических закономерностей
явления или процесса на основании эксперимента.
2. Создание математической модели (постановка математической зада-
задачи).
Если математическая модель описывается некоторыми уравнения-
уравнениями, то такая модель называется детерминированной. Рассмотренные в
курсе методов математической физики начально-краевые задачи явля-
являются примерами детерминированных дифференциальных моделей.
Если модель описывается некоторыми вероятностными законами,
то такая модель называется стохастической.
1) Выделение существенных факторов.
Основной принцип: если в системе действует несколько
факторов одного порядка значимости, то все они должны быть
учтены, или все отброшены.
2) Выделение дополнительных условий (начальных, граничных,
условий сопряжения и т.д.).
3. Изучение математической модели.
1) Математическое обоснование модели.
Исследование внутренней непротиворечивости модели.
Обоснование корректности дифференциальной модели. До-
Доказательство теорем существования, единственности и устойчи-
устойчивости решения.
2) Качественное исследование модели. Выяснение поведения
модели в крайних и предельных ситуациях.
3) Численное исследование модели.
а) Разработка алгоритма.
б) Разработка численных методов исследования модели
Разрабатываемые методы должны быть достаточно общи-
общими (пригодными для исследования математических моделей
www.mathphys.ru

достаточно широкого класса) и алгоритмичными (обеспечиваю-
(обеспечивающими автоматизацию вычислений).
Новое требование — возможность распараллеливания (ис-
(использование кластерных вычислительных систем)
в) Создание и реализация программы.
Компьютерный эксперимент.
Лабораторный эксперимент
Образец
Физический прибор
Калибровка
Измерения
Анализ данных
Компьютерный эксперимент
Математическая модель
Программа
Тестирование программы
Расчеты
Анализ данных
По сравнению с лабораторным (натурным) экспериментом
компьютерный эксперимент дешевле, безопасней, может прово-
проводиться в тех случаях, когда лабораторный эксперимент принци-
принципиально невозможен.
4. Получение результатов и их интерпретация.
Сопоставление полученных данных с результатами качественно-
качественного анализа, натурного эксперимента и данными, полученными с помо-
помощью других численных алгоритмов.
Уточнение и модификация модели и методов ее исследования.
5. Использование полученных результатов.
Предсказание новых явлений и закономерностей.
vww.mathphys.ru

§2. Прямые и обратные задачи математического моделирова-
моделирования.
1. Прямая задача: все параметры исследуемой системы известны и изу-
изучается поведение модели в различных условиях.
2. Обратные задачи:
а) Задача распознавания: определение параметров модели путем
сопоставления наблюдаемых данных и результатов моделирова-
моделирования. По результатам наблюдений пытаются выяснить, какие
процессы управляют поведением объекта, и находят опреде-
определяющие параметры модели. В обратной задаче распознавания
требуется определить значения параметров модели по известно-
известному поведению системы как целого.
Примеры задач распознавания:
- Задача электроразведки: определение подземных структур
при помощи измерений на поверхности.
- Задача магнитной дефектоскопии: определение дефекта в де-
детали, помещенной между полюсами магнита, по возмущению
магнитного поля на поверхности детали.
б) Задача синтеза (задача математического проектирования): по-
построение математических моделей систем и устройств, которые
должны обладать заданными техническими характеристиками. В
отличие от задач распознавания, заключающихся в определении
параметров модели, соответствующей реальному состоянию
системы, в задачах синтеза отсутствует требование единствен-
единственности решения. Отсутствие единственности решения позволяет
из нескольких возможных решений выбрать технически наибо-
наиболее приемлемый результат.
Примеры задач синтеза:
- Синтез диаграммы направленности антенны: определение
распределения токов , создающих заданную диаграмму на-
направленности антенны.
- Синтез градиентных световодов: определение профиля функ-
функции диэлектрической проницаемости, при котором световод
обладает заданными характеристиками.
3. Задача проектирования управляющих систем: особая область матема-
математического моделирования, связанная с автоматизированными информа-
информационными системами и автоматизированными системами управления.
www.mathphys.ru

§3. Универсальность математических моделей. Принцип ана-
аналогий.
Универсальность математических моделей есть отражение
принципа материального единства мира.
Математическая модель должна описывать не только отдельные
конкретные явления или объекты, а достаточно широкий круг разно-
разнородных явлений и объектов.
Одним из плодотворных подходов к моделированию сложных
объектов является использование аналогий с уже изученными явления-
явлениями.
Процессы колебаний в объектах разной природы.
1. Колебательный электрический контур.
Сопротивление проводов считаем рав-
С
v(t) = Cq(t)
dt
dq
г = -
dt
ным нулю.
1 ным ну
1 / Я@ — заряд на обкладках конденсатора.
v(t) — напряжение на обкладках конден-
конденсатора.
С — емкость конденсатора
L — индуктивность катушки
Е — э.д.с. самоиндукции
/ — ток
Закон Ома: V\J) = ~& \})
d
dt1
С
L
www.mathphys.ru

2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популя-
популяций.
N(t) — численность растительноядной популяции 1
M(t) — численность плотоядной популяции 2
Пренебрегаем естественной смертностью популяции 1 и рож-
рождаемостью популяции 2.
dN
dt
dM
dt
= («, - PXM)N, a, > О, Д > 0,
= (-a2 + J32N)M, a2 > 0, J32> 0.
Система находится в равновесии, если
«1 л г &-> dN dM
А
п ' когда ~т~ — г~
Р2 dt dt
Линеаризованная система (n=N-N0 , т=М-М0):
dn
d2n
dt
2 + а]а1п = 0
vww.mathphys.ru

3. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости.
p(t) — зарплата
N(t) — число занятых работников
Равновесие рынка труда: за плату ро>0 согласны работать No >0
человек.
Предполагается, что
а) работодатель изменяет зарплату пропорционально отклоне-
отклонению численности занятых работников от равновесного;
б) численность работников изменяется пропорционально из-
изменению зарплаты относительно р0
^ l(-N0), al>0,
at
-— = а2(р-р0), а2>0
at
Отсюда
vww.mathphys.ru

§4. Иерархия моделей.
Принцип «от простого к сложному»: построение цепочки (ие-
(иерархии) все более полных моделей, каждая из которых обобщает пре-
предыдущую, включая ее в качестве составного случая.
Модель многоступенчатой ракеты.
Пренебрегаем сопротивлением воздуха, гравитацией.
1) Одноступенчатая ракета.
м=3^-5 км/с — скорость истечения продуктов сгорания топлива
(относительно Земли)
v(t) — скорость ракеты (относительно Земли)
m(t) — масса ракеты
Закон сохранения импульса:
m(t)v(t) = m(t + dt)v(t + dt) - dm(y(t + gdt) - u)
m(t + dt) = m(t) + — dt + O(dt2)
dt
dv dm dv dVinrri)
m— = и => — = -и =>
dt dt dt dt
ffl
(
v(f) = v0 + и ¦ In
v0 = v@); m0 = m@)
Максимальная скорость при полном сгорании топлива (формула
Циолковского):
v = м1п
0
тр — полезная масса (масса спутника)
ms — структурная масса (топливных баков, двигателей, систем
управления ракетой и т.д.)
vww.mathphys.ru

т.
то-тр
Я = 0,1
При
= u\n
= 1км/с
тр=0
2) Многоступенчатая ракета.
mi — общая масса г-й ступени
Ят;. — структурная масса z'-й ступени
A - А)га. — масса топлива г-й ступени
Я, и — одинаковы для всех ступеней.
п = 3 : т0 = т + щ + т2 + т3
Пусть израсходовано все топливо первой ступени. По форму-
формуле Циолковского скорость равна:
V, = U 1П
. тр
+т2+тъ
После отброса структурной массы Ят, включается вторая
ступень. Масса ракеты в этот момент тр +т2+тъ. После вы-
выгорания топлива второй ступени скорость равна:
V2 = Vy + U In
г \
тр + т2 + тъ
утр+Лт2+т3у
а после отброса структурной массы Лт2 и включения двига-
двигателей третьей ступени равна
v3 = v2 + и In
тр + тъ
При т=Ъ получаем
vww.mathphys.ru
10

со
где
ах =
Л(а3-\)
тр + т2+ т3
а2 =
тр + т2
Максимум достигается при а} = а2 = а3 = а.
1-Я
Для т=3:
а =
р — Я
ехр
Ъи
аха2аъ -а
з ™0
т
р V
р- Я
j
Для п ступеней:
1-Я
т
Р V-
пи
р- Я
При vw= 10,5км/с; Я = 0,1 получаем
/7 = 2 тп = 149т
77 = 3
= 77/77
/7 = 4 777П =
0
т
vww.mathphys.ru

§1 Задача с данными на характеристиках (задача Гур-
са).
Простейшая задача Гурса
uxy = f(x,y), х>0, у>0, A)
,0)=v>i(a:), и{0,у) = р2{у), B)
C)
Пусть решение задачи A)-C) существует. Поучим его явное представ-
представление через входные данные. Проинтегрируем A) по прямоугольнику
3) = {0 < f < х, О < 77 < у}:
У X
/ uxyds — I I Щг, d^di] —
э оо
= и(х, у) - и(х, 0) - и(у, 0) + Ц0,0) =
= и(х,у) -
У X
f f
u(x,у) = (pi(x) + (p2(y) -<pi(O)+ / /(?,
J J
о о
Из формулы D) следует единственность решения задачи A)-C). В
предположении дифференцируемости функций <р\{х) и (р2(у) и непрерыв-
непрерывности функции f(x,y) из формулы D) следует существование решения.
Рассмотрим общую задачу:
иху + а(х,у)их + Ъ(х,у)иу + с(ж,у)и = /(ж,у), х > 0, у > 0, E)
F)
G)
ww.mathphys.ru 12

где а(х,у), Ь(я,у), с(х,у) — гладкие функции.
Обозначим
F(x, у, и, их, иу) — f — аих — buy — си.
Тогда
и(х, у) = (рг(х) -f (р2{у) - ?>i@) -f / Fd^drj =
у х (8)
= У j
о о
где
Ф(х, у) = ^(аг) + <р2{у) - <Рг(О).
Введем интегро-дифференциальный оператор А:
У х
А[и}= I [
о о
Уравнение (8) запишем в виде
и = А[и] + Ф (9)
интегро-дифференциального уравнения Вольтерра. Метод последова-
последовательных приближений:
ип = A[un-i] + Ф, п = 1,2,...
щ— задано.
Положим щ{х,у) = 0. Тогда
ЯГ дип-\ дип-\ \
о о
www.mathphys.ru 13

Из A1) следует:
дип дщ
дх дх
дип дщ
ду ду
С ( ,dun-i
- / <a(x,ri)
ду
Докажем равномерную сходимость последовательностей
Пусть zn = un+i - ип. Из A1),A2) следует:
У х
n{x,y) = - / / la{?,
о о
с J у ox or)
5ж
=(*,») = -/Ьк,
о
Предположим, что в квадрате G = {0<x, у < L}
|о(х,у)|<М, |Ь(х,у)|<М,
Я,
где М > 0, Я > 0 — положительные константы.
Из A3), A4) следуют мажорантные оценки:
ы <
<ЗЯМ
дх
dz\
~ду~
2! '
<ZHMx<3HM(x
A2)
A3)
A4)
vww.mathphys.ru
14

По индукции: для любого п > 1 получаем
dzn
дх
dzn
ду
(n + 1)! '
< тмпкп~1-
те!
П\
где К = L + 2.
Так как (аг, у) € G
{2KLM)
n+l
к2м
dzn
дх
dzn
ду
ЗЯ BKLM)n
К та!
ЗЯ BKLM)n
A5)
В правой части A5) с точностью до множителей пропорциональности
стоят общие члены разложения expBKLM). Следовательно, последова-
последовательность функций
tin =
i Н \-Zn-Ъ
+ — 4- п1
дх дх
oz^ dzn-i
ду ду ду ду
дип
равномерно сходятся к предельным функциям и(х,у), v(x,y), w(x,y):
и(х,у) = lim un(x,y), v(x,y) = lim -^, w(x,y) = lim
П УОО
n—юо
vww.mathphys.ru
15

Перейдем в формулах A1), A2) к пределу п —> оо:
У х
= щ(х,у)- I I {av + bw + c(?,rj)u}
у
дщ
v =
I {a(x,r})v + b(x,r))w + с(х,т))и} dr}, A6)
дх
о
х
дщ [ л
w __ i }a(t;, у)v + bit,i У)w + с(?,y)u} o^.
о
Отсюда следует, что и = их, w = иу и и(х,у) удовлетворяет уравне-
уравнению (9). Непосредственным дифференцированием устанавливается, что
и(х,у) удовлетворяет E). Удовлетворение условиям F) следует из G),
(Я) и вида Ф(хуу).
Доказательство единственности решения задачи E)- G) (от против-
противного):
Пусть щ(х,у) ф U2(x,y) — два решения. Рассмотрим U{x1y) =
щ(х,у)-и2(х,у):
х у
U(x,y) = / / {aU^ + bUrf + clJ} d^drf.
о о
Из A4) следует
\Щ<НЪ \UX\<HU \Uy\KH,.
При (х, у) € G для любого п
\U\ ^ rsi.l* t- , iu • A7)
Из A7) следует, что
Щх,у) = 0
— противоречие.
www.mathphys.ru 16

О ~
> ?-& /&$
у&0&0О*л>
'$'#
SU>**?*
jSdbev
j^
0Я? а?*/?ье&'1
~-
/с.
/
У1/
vww.mathphys.ru
17

у y
= ^\2A _
a x
Г
<f
?//;
www.mathphys.ru
18

A
p
м
м
о
V
3
A
М
в
о
ОС
м
м
~ (f) =
0
J
b
л
А
А
Ч-
М
I
по/
U
6
-h
vww.mathphys.ru
19

= О
«
/У
¦7 7
~ .
&
/ </
vww.mathphys.ru
20

r
<20*y6jte**??A**&6~t444, _, &* /бр
www.mathphys.ru 21

&*¦
Г
J
Af
О
f
/K
,tr]= и
/
А
/u?
fit
3 <?
&
[<r] -
,
vww.mathphys.ru
22

сг-fa^ & #,
so
I If ] ="
^^
-2^j- #^
&
- fa sj,
/ifу
/
/
www.mathphys.ru
23

о
<f&
2Л#
^ a. 0***€y
i,
4
G
y%
www.mathphys.ru
24

/
и
п?
tee
У
Af*
vww.mathphys.ru
25

у
&**ff*<?
Г /»
L
\
a
~ О
О
/ <7
www.mathphys.ru
26

=>
- и,
у
6,
«
-h
Oy-avy
3/
= /, и
"~ *
vww.mathphys.ru
27

0&г
<f
^
¦=->¦
= О
= О
+ б V ^ О
<?,
vww.mathphys.ru
28

, No) =
fafasqs:
z < о*»
t-o
6-a
J.
С С/*
с/
a
A * -
1J>
/г
vww.mathphys.ru
29

=>
43
+ О с
/b
' 7
-h
L) =
www.mathphys.ru
30

- ? fdj.
s
PAS
Pa
¦jT
At;
= A
'/'?
'U- Л
2a,
Ч
$*° >
У/
<7
¦>Л5<О' ^-^
www.mathphys.ru
31

/
r
- о
- О
06
f
Т >о
<о
«s*/*^
Ту J
j 0 <<c <
e
- о
>Z4 <-
- О
t
= A
S
&^^
C)
(*)
C6&^-
www.mathphys.ru
32

s
- г
, C3j =>
Т Ф
vww.mathphys.ru

об
4a?
gbff)
r
= О
3 ^
vww.mathphys.ru 34

/
=>
и
у*
JfL
?
г*
с/
=. 3 e
www.mathphys.ru
35

=>
/
— — с? °С
с/
ОС
/О
vww.mathphys.ru
36

nz--
0
о
о
о
с
о '
о
о о
'.'
в о
о о
о 0
/0
О
о
с t
0
о е
с
, ^
у
0
$
о* <
%^(
0 0
0 Is
0
: «
0
7 0 Q p
0 0°
?>
6
0
о
1 •
0 <? ]
о/
'Z<2f<
V -
fA
- ч) U
О =>
е-
V
J
*п? ? s ??> ? * •
О)
(*)
www.mathphys.ru
37

/
re-
2pif
) .
7
Qcz> 9a
_ + __
_ * fee-fa)
= о,
•
r?)
vww.mathphys.ru
38

y
&
$6
^j, fa-fa)
a f&* oj = o,
л-
= о
fss)
; oj ys as*,oj ,
fsr)
vww.mathphys.ru
39

= О
e
^
7
^^
= о
e) = о
От-е
"
7
*/<>/u?c4/-c&/646e
j&&#s>a*z-.
vww.mathphys.ru
40

/f. Q%60<?mu2<x?e<t ?&&&*«>¦?-<*>*
У,
А? = - A,
с/
jl _ у ^j-, y-0 -?? я^
4
* a
www.mathphys.ru 41

- a^ ^^
Л a r
•6
&
X
A =
a
00
www.mathphys.ru 42

4-
А ^ А -/ •
e
¦/•в*
С /^ ~"
"*
А* =¦
vww.mathphys.ru
43

/7* (
(Pol
?. =
</ /
- >?***• /&*¦
л / +
4
9?
= О =>
Л =
7" -
/
A* '
С с* ,
r/t)
www.mathphys.ru
44

& Mr ~-
rsrJ,
=0.
www.mathphys.ru

/
&ouf
М-
? ' ^
ft;
a
vww.mathphys.ru 46

f
о/
=>
*
Co - "ЯГ—— — —
Ц a.
* ?€
(W
vww.mathphys.ru 47

§y?&f
"
л =
'+ ГА -
Л = A -
fst) =>¦
X
¦O
A =. /i^ ,
vww.mathphys.ru
48

Li (л) = ^~
A =
e
(усг?
vww.mathphys.ru 49

я.
?%<**?*> ut&<2- /
=>
yf
GO
www.mathphys.ru
50

ftr),
7/хле
S4SJ =>
,..., - & -
/й С *? $ &- S r f ? =: 0 / . ^ - yj stf, /cave-? *>•***' J
G G <f
¦& ее**** f^**f <f&^*& <?¦?V / s
/
vww.mathphys.ru 51

?
¦&
-&&?&*>
/&¦
^»
e
f
t d* Нь
f oo
d*f//»rxJ/r*Je-*Uc *o
- О,
* о *
-t&
¦Z& *??&'?'
S^
www.mathphys.ru
52

*_«**_&*_:
*?
^7^^
f/
7
у
^
З
SSy
4*
'=-л
ГО) =
vww.mathphys.ru
53

^
=>
ftX
<X3
ft)
О,
/ZtO-Of
- Ate
S
О
O
=: S
о
www.mathphys.ru
54

(Г-hS
Уу
-
/
/
/ / /
->&з?<2^ fj J ?г, /Vу -
www.mathphys.ru
55

в(о) =
S
о
&
/
^<«*ЛМ^
у
vww.mathphys.ru
56

*>ф
4 *¦<&*&-ж &?-
V
G
^fа&
>O, &
/с/
/
iPuus
- fa
/3-3, /в < 3, /в ><3.
~ fee
>"
vww.mathphys.ru
57

0fs),
, rej =>
ъ/-еьсг>00 ЖРе-
G)
f Py
, ?
= О
vww.mathphys.ru
58

e
<7
и
о
<fy /
L
ее е
vww.mathphys.ru
59

/ 4Y
ecto yS'&Х
e 7e>
7e> -
*J />
'J //'
/
vww.mathphys.ru 60

> /3
1У
<7
^ & 7t> >
О ~
=¦>
со
j
С-j ~~
S
If-/*
www.mathphys.ru
61

'^.
/
7
j =0
<7
=>
www.mathphys.ru
Ъ~(-а'#**М'М се)

= 66O
f
=>
a/6
t] =
6'J
P -
Ql/c6*4-
^^4
?
Ofj/
<?sc~ <&?
z-7
vww.mathphys.ru
63

= а. L L L
к t L L
. 6]
г* /
<7
/
G
= /
а
/
?y
/
??*> &<^
&&&& </&&&
www.mathphys.ru
64

y
7
П
(У
/ и
= О
&
Г
^ fSSj ллу«
www.mathphys.ru
65

t
о
<7
40
4*
П
, U +, U
www.mathphys.ru
66

Ut<K»cc<b<t
j И &/(nt)[u]
{a>\ « и * - и,'.
C&J
S
jfi) =
и + и
^^ 2П,
/ / / / у?
y^
' &е&&Ы?гчь&ь*еъг&
/
= vf
www.mathphys.ru
67

=*>
06
=>
e/i
/
&»
&/c.a?
/Z&vtfS
У
'
<s*««5**«se<s«^«*- лл?
vww.mathphys.ru

в.
P
%
*
/ip
f
$$ a&/
/o -
6C-
r
С?
у^
&<3f**&&&**&& ^/а^е
,?> /?
/
= О,
Л =
f
www.mathphys.ru
69

у. Oc&ec^6-<
4*,
С/
7ab&attzf
. <&
ar,
s
^ О
/
j 4
V
*&
<jj-
y
уб
/n>
(f
-,/У-
'.WJ.
A
www.mathphys.ru
70

17
&
о _
/
7Of
'*<? "* Г***— "У
www.mathphys.ru 71

U*Z<^
<г<х+***ь«,
/) ty
oo
ОСУ
= о
X
a
=• о, -
www.mathphys.ru
72

у
/ 7У
' (У
t
^^ У
^v. &
-y e
o)
&
&
j0
= A > o,
УУ
www.mathphys.ru
73

л^
G
* о
, Cm, (О)}
,о),
7
/ <7
^ f
www.mathphys.ru
74

C&t^
^
. га^
У Ъ?л
^
C?
/ + e
vww.mathphys.ru

u&?
e
f*€/
<7 <T
^
- ~<?
.
?/&<&*!<е,**«
su?~*f>'
-f
/р0<
www.mathphys.ru

^J
f
^
Л
/ 5 s r
<r ^
~7
2^& У
0
/
<7
www.mathphys.ru 77

/ s
Г
- О
' 'fs * & /2'(&j'yJ - /<iutxZi2<z, &2& ffa<f?6<^; /^
О,
66 ^^^
^ -' - ' " ' r ,*-
www.mathphys.ru 78

Л U + A U = О, /S €
X)
' 1
а,Л) - Ja A' S*
= * ^^J &fa, ?) - $fuJ JT/^ A)
= л
www.mathphys.ru 79

*4Г
У
А <Л
www.mathphys.ru 80

/¦
66c
<Z Л/3 - •~6*б+€6ле/**>&> *7st?j'<&7?Mzy7/i& &
?J*^ S /S tf*&,
or
<f
si/
7'
*r
J
\\U\\ ^?
¦/tS
www.mathphys.ru 81

У а, .-
a//,#) =>
www.mathphys.ru 82

/
а,
f/
^
/V
6 /n/# и
14
, tr) =
+
и/
www.mathphys.ru
oj

и. -
/w^t>a^cc^ лг
^^^
/•fit) =
v) ,
^^^
www.mathphys.ru „.

с/
^
? <?
f
U *
J% &
^
г^у ^tr
С fi j ^~ // ~
6?
<7
J/
www.mathphys.ru
§5

r
+¦ За = /,
-г?
a.
2 & /'^ j ?/? ^J I
A/
www.mathphys.ru
86

Ja = /,
a
*7
a *
C&s)
^ - ^ s- - Л л
4/ ^^ Jjp.
G </
66? -У
^^f
www.mathphys.ru

, \\U\\O-
X '
/
**?"*¦
.mathphys.ru

/
С^Зс^а^с &т&
У У </
f
__
A11^; = Q(\k\~),
/ У^ ^^
У a ^W /-/ /
у
vww.mathphys.ru

fu,:
</ ^
^
*
7.
Ф /ZLtto
Л-
W
И
4
y
^
</S
f
^
vww.mathphys.ru
90

*r
/0 - /*
5 [
= O,/,...,
о
*
s
л
Zt/ -
6
Q//- —
vww.mathphys.ru
91

X
XX
A
(У
<?&
<7 ^
&f
^fS/tKftcer ^s
www.mathphys.ru
92

г
Г**)
/'
Ч
i> /&и*!>&у
/V -
a?j
О
/S
/ y/6y 0?
<7
S+S
www.mathphys.ru
93

f
=>
?
?}+<*¦#*, /
vww.mathphys.ru
94

'0
Ж
rt,
\+ Лy\ - \f SИ
s<
i
^
<
vww.mathphys.ru
95

f
<f
ft,+j Va+s +
, /v = (?,/,-..,
=>
У^'^ ~'¦о?»0я, +&К, = ^ <4^/f*^/ +06^/8*,+/ +Д
о
fff)
G
/V =¦
л.
^
vww.mathphys.ru
96

4- ?*^
»—_ 4
=>
У
V I эе* I < / => I ^ I ^ / -> U,
{• I =>
*\ 4 d =-
=> \oLi \
/
vww.mathphys.ru
97

/
V?
ы&еа*-^
, o) =
vww.mathphys.ru

A
f
f
& ~-*
y у
www.mathphys.ru 99

з'
j0
4f<
sc^^vsg:
^
vww.mathphys.ru
100

<f
* - *<¦
Г
a* =
J
•г. . -
_ V/
/бег
А
л.
ww.mathphys.ru 101

_
У
г
ч
**&б
/
vww.mathphys.ru
102

^
? U)
о
S
= <
JL
О ,
?
=2,
vww.mathphys.ru
103

Як
Г
f
*.t v-'-7
(/
и о ~ О , и>*/ - О
"* ¦
vww.mathphys.ru 104

if J
(f
1?
SU,
*?
L &> ' J
yrt/p) =: ytfj+ ?fc*), Ъ
G ы
AfJ -
^
/UP i^CsCtbC&i^y /& <&&?&&<&¦ ^MtdUs У^О
www.mathphys.ru 105

* ¦ ¦' *'o)
www.mathphys.ru 106

oy
у
(f
/'
/
0 ~~
/
/
0;
4& \/lf | $/Z&? ,
= Г
U '-
Of a? &j
y
^
<?
?
S/-
=¦ 0, S , л?J ^=
0Y
vww.mathphys.ru
107

г^
у, =>
e
M\6-r\
_ч
v^
&f
p
/
/t?>t^f
У
<y
¦* л* =
у/,- f Ye)*/;
,
vww.mathphys.ru
108

<?c
c/
<f
j'
v
^
7'Tiu6?6t4C' &ai-&'4&gy
fsrj
Y; = SZ'ftJ-
/ <f
•-><?
о*?
www.mathphys.ru
109

<7 <
¦# 0^% *4***&e?. CX»i> ^ke^-USc^AS^^SC Ob?*"&4b*S> ??*ь*
<7 /
'2"
~ О
= fo
+ ASfy + ¦•• ^
с fftr)
vww.mathphys.ru 110

u/
r
По CO) =
с/г
У
off],
= L (io to) + nc {?), o) ¦ ui a)
>Yo
, fS*J => П с (V); (if) => Vy
f
a-
/
vww.mathphys.ru
Гз+J
ft)
111

<7 J
s
Z
/
о
** +
ft/J
с/
= /.
I
О у? S3
Г
=¦>
? *
= о
o
е/П,
" ''С/
= /-
vww.mathphys.ru
112

/
a
xx —
O/
t=-±/&fs)Sj "J
www.mathphys.ru 113

**
=>
г с
Гр-J
4
b6
/
&
= О
ssj
/й
и
м,
- r
- e-
vww.mathphys.ru
114

*
/ лес*,*]
'¦«->
f/sj
us)
с/
+ /V
vww.mathphys.ru
115

=>
А
S
- Q
-&
a e
c/
-f-
(**)
v. mathphys.ru
116

d
G
т
м
(\
L
/
Ц
&
¦*>? -
I
г \
. S& С? ^?
О
S€&'*t* ^^"^W^ej^
^
/
^f
&
<7*
ty??6Vi0<fi*cl?*t?? -/«fyf&&
С/
<7 У' ^
^
л
SSC/J * Л - Л 6/А-
Я;а4&'~
www.mathphys.ru
117

fy
"
+ г = о
V
с/
G
&
=¦ f/*J + /
vww.mathphys.ru 118

sl&
/
<ar
Ул
es
</
/s
'У
у
<y ///
^
/и?
/W & ,
T
^ atew***
/п.
.0. Oy-tf
/ <7
A
/
/to
vww.mathphys.ru
119

fg, d'J ^/^У ^ ^
> 00
&sc>f
^
e
^
www.mathphys.ru 120

Л, =
/ -#&*& OU*&V** /246*?<&? XLO/^^f* fjy =>
/246
*? €¦
= S
vww.mathphys.ru 121

//^^лс
S
4"
\y<&7Ubt&4&**6 ^^l^^^^tita^ /&У &
'1-0& C? at, g> - a#*'
If
f
a. fo) =y», Ofo) = о
vww.mathphys.ru 122

, 0) T ,
- С & о &)
" У
= X, rS I
a = e Xfa) =
& = о,
123
www.mathphys.ru

00yS*
= О it a - ?.
- ^ s? -"*
•¦C4?-J7'-Z4€4&J*
^
^ / /S
+
—
+ ё
'/ V
^ -C
-h
AzrJ
-^*f
^
yr
(f
vww.mathphys.ru
124

/7Я0/9&& /&у?
1/ x " a
Q
/
¦r.J
(У
www.mathphys.ru 125

A" /
Cf <s
&
^^
- 2L
^cko^s, j?>
zs
www.mathphys.ru
126

vww.mathphys.ru

/V <&<&&*? a** ^uC4**s?& & =
* у /1/ /С<^а0^е&*»4>0
i^a^^> ^*t и*ь~? t? &<& ^л«й<*«»л««*Л1. «й
-^^««Л*- a» =Z^
vww.mathphys.ru 128

У
/
S^
XX
s
-&>#
-yy y^/t <
<7
ww.mathphys.ru
129

??&
/ / X (Г
/ <7
www.mathphys.ru J3Q

ййё^
f^i
^
1^> 1
fxJ
г
www.mathphys.ru
131

л^
0.
сГ/ Q^
^
жшш
/X
шшт
05
1 X
0
0,5
I X
Рис. 3.2 Распределение концентрации X. Два различ-
различных типа структур, возможных в одной и топ же нели-
нелинейной среде (-4 = 2, 8 = 4,6, D 1== 1,6- Ю; Ог=8,0- I0-3)
при задании различных начальных данных
www.mathphys.ru
132

У,
г^й**Я»Й^ —
www.mathphys.ru
133

Z
if
У?
/I
x.? "-* *-J
& /P& -y^^; , —jr c^-' '«^ ?Z ^irf'C4isCK***r^"'~'"bb'/' ?&Ы»*0е*?-?а-
ГУ
)X + M9 ГУ
www.mathphys.ru 134

С;
у.
s *
.At
= BX -
Xfa, o) = Xc te) , Vfa, o)^yo feel ом* С
<7
= /t, У =
x.
-3
?>*/& ~
www.mathphys.ru
135

я?
4^*
= /I + X , У « 5//f - У,
?•
I X I
У I
?%j?
www.mathphys.ru
^

У
, о) = Xcte) - А, У га,о) = У„{<с) -
(о,
Я^бу?
е
<7
¦Л \ A*-6
<O
<O
<7
/S -
О
Q?
/S -
J
Улс
/& J
^
www.mathphys.ru