WOLFGANG SEGETII
ELEMENTARE LOGIK
8., univerandcrtc Auflago
B DEUTSCHER VERLAG DER WISSENSCHAFTEN BERLIN 1973
В. Зегет
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА
Перевод II. М. Морозовой
Под редакцией и с предисловием канди ина философских наук Е.Б. Кузиной
москп \
ИВЫСШ\Я ШКОЛ V 1985
ББК 87 4
3-47
ПРЕДИСЛОВИЕ
Зсгет В.
3-47 Элементарная логика Пер. с нем. И. М. Морозовой.— М.: Высш. шк.. 1985.— 256 с.
Перевод изд.: Wolfgang Segcth. Ekxnentare Logik. Berlin, 1973
90 к.
Книга В Загета «Элементарная логика» выдержала восемь изданий в ГДР По содержанию, структуре и организации материала является оригинальным учебным пособием, в котором проблемы традиционной и соврем-иной формальной логики органично переплетены и связаны, что дел«ет книгу интересной с методическо-дид ктической точки зрения. Она состоит нз четырех глав: «Логика, мышление, язык». «Логика иыска-зык .ний»; «Логика предикатов». «Основные понятия теории определения  тео- ин редуктявкых умозаключений».
Для студсито |«лос' ! ких факультетов университетов и педагогических институтов.
0302040000—294
3 001 (01)—65 7—85
ББК 87.4
10
Вольфганг Зегет ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЛОГИКА 3«ведуюший редакцией А Д Кашин Научный ре т, «тор Е Б Кузина. Редактор Л Б Комиссарова. Младшие редакторы Т. А Шаигнив. Г. М Гришенкова. X-доживи Э. Е Дмитренко Художественный редактор С Г Абелин. Технический редактор Е И Герасим < а. Корректор Р К Косинова
ЦБ .4 4165 Изд М ФПН-505 Сдано в набор 18.01 85. Подл в печать Н.05.85. А 04867 Формат 84X108'/,, Бум тип JA 1 Гарнитура литературная Печать Bwi каи Объем 13.4 4 усл печ л. 13.65 усл. кр отт 14.07 уч. нзд л Тираж 40000 »кз Зек. М 743 Цена •< коп
Издатетьство «Высшая школа», 101430 Москва, ГСП-4,Неглавная ул . д. 29 <4. Орд-на Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени МПО «Первая Образцовая типография» имени А А Жданова Сою полиграфпрома при Государственном комитете СССР под лам лздательста, полигр.фян в книж ной торговли 113054, Москва, Валовая, 28
( VEB Dcu(seller Verlag dor W issenschaften. Berlin. 1973
I Перевод, предисловие издательство «Высшая школа», 19б5
Книга В. Зегета «Элементарная логика» представляет собой введение в современную формальную, или символическую, логику. Как говорится в предисловии автора к 8-му немецкому изданию, она дает представление об основных понятиях формальной логики, о ее правилах и законах, исходя из диалектико-материалистической теории познания. Автор ставит задачу не только ознакомить читателей с методами современной логики, но и выработать у них некоторый навык определенности, последовательности и строгости мышления и рассуждения. «Элементарная логика» ограничивается рассмотрением только тон части совре-jeiiHoii формальной логики, которая называется классической, т. е. ассерторической двузначной логики. В основу книги положена учебная литература, предназначенная в ГДР для студентов-заочников философских факультетов.
Среди вышедших в нашей стране учебников и учебных пособий по логике специально для студентов философских факультетов предназначена только «Формальная логика», выпущенная Ленинградским университетом х. Остальные учебники либо являются общими, либо предназначены для других специальностей, причем все они рассчитаны на очень краткий (обычно семестровый) курс лекций. Они знакомят главным образом с такими разделами логики, как учение о понятии, суждении, традиционная теория умозаключения, которые анализируются старыми, традиционными способами н средствами. Лишь в немногих нз них фрагментарно даются некоторые элементы современной формальной логики. Единственный уже упоминавшийся учебник для студентов-философов построен таким образом, что традиционная логика рассматривается до и независимо от современной, которая излагается в другом самостоятельном разделе почти без обращения к уже известному материалу.
По кругу рассматриваемых вопросов, структуре, организации материала предлагаемая книга значительно отличается от имеющейся у нас учебной литерат\ры по логике. Она охватывает основные раздеты современной логики и
1 См..* Формальная логика. Л., 1977.
многие вопросы трачииконкой логики, учснне о понятии (основные логические характеристики понятия, отношения между понятиями, деление понятий, определение), традиционную теорию дедуктивных умозаключений (непосредственные умозаключения, силлогистика), учение об индуктивных умозаключениях и методы Милля, умозаключения по аналогии. При этом, что особенно важно, все разделы традиционной логики вплетены в ткань современной, символической логики и рассматриваются в известном смысле как приложения последней к решению методологических или теоретико-познавательных проблем. Правда, проблемы традиционной логики излагаются весьма кратко.
Книга состоит из четырех глав:
«Логика — мышление — язык»;
«.Логика высказываний»;
«Логика предикатов»;
«Основные понятия теории определения и теории редук-тивных умозаключений».
Первая глава содержит краткое введение в историю предмета и в методы современной формальной логики. В иен говорится о гесге формальной логики в системе знания, соотношении ее с другими науками о мышлении к о значении логики. Примерами и анализом обыденных употреблений терминов «логика», «логичный» читатель подводится к определению формальной логики как науки об общих структурах правильного мышления в его языковой форме. Здесь же дается классификация существующих в логике направлений и разделов и тем самым выделяется и огра ничивается предмет данной книги.
Последний раздел этой главы дает некоторые сведения из области семиотики. Наряду с такими общефилософскими вопросами, как соотношение языка и мышления, здесь р осматриваются специальные проблемы семиотики, есте ствеиные и искусственные языки, язык-объект и метаязык, характеризуются основные разделы семиотики. Обсуждая достоинства и недостатки естественного языка и специаль ио-научных языков, являющихся его фрагментами, автор вводит понятия символического языка, формализации и формализованного языка. В одном из параграфов этого раздела вводятся основные семантические категории языковых выражений: повествовательные, вопросительные, побудительные предложения и имена предметов, свойств и отношений. В целом первую главу можно рассматривать как вводную и по содержанию, которое не раскрывает собственно предмет символической логики, и по способу изло
жен и я — очень краткому, имеющему целью лишь предварительное знакомство читателя с предметом.
Во второй главе, которая называется «Логика высказываний», сначала рассматриваются основные понятия и принципы двузначной пропозициональной логики, а затем излагается табличная логика высказываний как определенный аппарат анализа умозаключений. Исходным понятием ягляется понятие высказывания, определяемое как мысленное образование, отражающее объективные отношения между предметами и являющееся в зависимости от ха рактера этого отражения либо истинным, либо ложным. Формой существования высказывания является обычно повествовательное предложение. Понятие «суждение» автор не использует по той причине, что оно, по его мнению, имеет некоторый дополнительный по сравнению с понятием «высказывание» прагматический смысл: оно выражает точку зрения, позицию говорящего, его отношение к содержанию высказывания.
Очень подробно, на содержательных примерах, описываются логические связки: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, разделительная (строгая) дизъюнкция, исключение (антиконъюнкция), импликация, репликация (об ратная импликация), эквиваленция. Некоторые связки очень трудно выразить в естественном языке, сравнить и отчетливо провести их различие. Так, сложно на примерах показать различие между дизъюнкцией, анти конъюнкцией и строгой дизъюнкцией.
После обычных определений понятий логического закона, противоречия и нейтрального выражения логики высказываний читатель узнает, в чем состоит проблема разрешимости в лотке и как она решается для лотки высказываний. Наряду с табличным способом разрешения намечается в общем виде разрешающая процедура путем приведения к нормальным формам. Собственно нормальные формы: систематическое описание приведения к ним (в том числе к совершенным) и способ разрешения с их помощью рассматриваются в специальном разделе, отмеченном звездочкой, как выходящем за рамки элементарной логики и не являм-щемся необходимым для понимания и усвоения дальнейшего материала.
Во второй части главы показано применение лотки высказываний для анализа умозаключений. Здесь же дае’-ся определение умозаключения как формы мышления, дится понятие правила умозаключения, излагаются правила контрапозиции, введения и удаления логических связок и
друп.е, основанные на законах логики высказываний. При этом также содержательно и достаточно подробно разъясняется смысл правил лотки высказывании. Такое разъяснение представляется полезным и нужным для начинающих изучать логику, также полезно и объяснен»! принципа табличной проверки правил умозаключений, чему в «Элементарной логике* посвящен отдельный параграф.
В целом вопросам практического применения методов и аппарата логики в книге уделяется много места, и в большинстве случаев логическая техника вводится лишь посте того, как показана практическая потребность в ней. Такой способ изложения, на наш взгляд, имеет и достоинства, и недостатки. С одной стороны, хорошо, что читатель сразу узнает, для чего и как применяются те или иные логические приемы и методы. Во многих случаях оправдана и подр • ность, с которой они разъясняются на примерах. Но с другой стороны, при таком способе изложения подчас не проступает достаточно отчетливо сам механизм этих правил, методов, приемов, так как обилие предшествующих примеров может помешать усвоению логической техники.
Интересен раздел «Сокращенные умозаключения». Здесь описывается не только энтимема, чем обычно ограничиваются при рассмотрении этой формы мышления, но и други-виды сокращенных умозаключений, анализируемых средствами логики высказываний. В связи с восстановлен нем заключения в них автор задает табличный алгоритм нахождения следствий из данного множества посылок, а в следующем разделе (отмеченном звездочкой) излагает систематическую процедуру получения следствий путем приведения, по сути дела, к сокращенной конъюнктивной нормальной форме. В заключение раздела «Логика высказываний» показано ее приложение в релейно-контактных схемах и нейронных сетях.
Третья глава представляет собой элементарное введение в логику предикатов. Начальные разделы этой главы зн комят читателя с некоторыми основными вопросами тем» •Понятие». Все эти вопросы рассматриваются в контексти логики предикатов. Содержание понятия интерпретируется как высказывательная функция, или предикат. Здесь же вводится понятие квантора, свободной и связанной переменной, описываются способы получения высказываний из । ысказывательных функций. Отношения между понятиями задаются с использованием аппарата логики предикатов.
В качестве положительного момента следует отметить то, что в книге есть специальный и довольно большой раз
дел, посвященный переводу высказываний естественного языка на язык логики предикатов. Вместе с тем попытка рассмотрения темы «Понятие» только как определенной пропедевтики к логике предикатов нам представляется не совсем удачной. Хотя на протяжении всей книги так или иначе охватываются почти все разделы этой темы, систематического обзора этой основной формы мышления не получается, и представления о понятии как особой логической форме не складывается.
В дальнейших разделах этой главы умозаключения анализируют средствами логики предикатов. Опираясь на уже известные из логики высказывании правила и законы, автор вводит их аналоги для логики предикатов. Здесь же определяются понятия закона, противоречия и нейтрального выражения логики предикатов, а также в общих чертах намечается процедура сведения выражений логики предикатов к выражениям пропозициональной логики. Из правил логики предикатов даются: правило исключения квантора общности, правило введения квантора существования и правило выражения одного квантора через другой.
Далее излагается традиционное учение о непосредственных умозаключениях и категорическом силлогизме. Однако классифицируются непосредственные умозаключения не традиционно. Они подразделяются на: умозаключения подчинения, противоречия (обычно эти виды относятся к умозаключениям по логическому квадрату), обращения и противопоставления (предикату). Силлогистика рассматривается довольно кратко, только как частный вид умозаключений, анализируемых в логике предикатов. Традиционные способы проверки силлогизмов не даются, и автор выражает несколько скептическое отношение к возможности обоснования правильности отдельных модусов, без применения средств современной логики
Завершается раздел об умозаключениях традиционной логики краткими сведениями о доказательствах и опровержениях. При этом не излагается традиционная теория доказательства, а дается лишь определение той и другой операции и приводится несколько примеров умозаключений, интерпретируемых как доказательства. Такого общего рассмотрения, на наш взгляд, совершенно недостаточно для понимания сути доказательства в отличие его от правильного умозаключения, его специфических правил, приемов и условий состоятельности. Представляется, что для сту Дентов-философов раздел «Доказательство» должен быть Дан подробнее, учитывая его практическую значимость для
выработки навыков публичного выступления или ведения дискуссии.
Рассмотрение логики предикатов заканчивается знакомством с ее расширениями посредством введения тождества, оператора определенной дискрипции, предикатов второго и более высоких порядков. В связи с второпорядковой логикой рассматриваются виды понятий, но не те, которые приняты в традиционной логике, а скорее виды пр* ди катов. Так, понятия (предикаты) делятся по количеству элементов представляемого класса и по качеству: на предикаты без отрицания и предикаты с отрицанием, причем последние понимаются только как находящиеся в отношении противоречия к соответствующим предикатам без отрицания. Например, понятие «несчастный» не является в этом смысле отрицательным, если положительным считать понятие «счастливый». Отрицательным для него будет «н счастливый». Далее предиказы классифицируются по сте пени (порядку) и по местности. Здесь же определяются свойства двуместных отношений: рефлексивность, симмет ричность и транзитивность. При таких основаниях классификации, нам кажется, утрачивается специфика понятия как особой формы мышления.
В заключение автор останавливается па таких пробле мах логики предикатов, как пустой класс и квантор су шествования и проблема разрешимости логики предикатов Дастся общин обзор результатов в решении этой проблем) и представление о построении аксиоматической системы ло гики предикатов. Это единственное упоминание о современ ном аппарате логики для осуществления выводов. Описа ния логических исчислении нет ни в разделе о логике высказываний, ни здесь, что кажется несколько странным, поскольку книга предназначена для знакомства с совр« мен ной символической логикой, существующей главных <бразом в форме исчислении.
Последняя глава, по мнению автора, не имеет прямой отношения к современной формальной логике и являете) скорее приложением к основному содержанию книгн. В не! рассматриваются две частные проблемы общей методологии, тесно связанные с логикой: теории определения и редуктш ные умозаключения. После нескольких вводных замечании относительно методологии и ее связи с мировоззрением автор говорит о методологическом значении определения останавливается на операциях, сходных с определением, и затем рассматривает форму и структуру определения По сравнению с имеющимися у нас учебниками книг
В. Зегета отличается значительно более широкими сведениями относительно определении Так, в большинстве наших учебников приемы, сходные с определением, совершенно не рассматриваются, а из видов определений даются только некоторые явные (атрибутивные и генетические). В предлагаемой книге описываются такие виды явных определений, как родовидовые, перечислительные, определения через отношение, а также некоторые виды неявных определений — аксиоматические и как их частный случай индуктивные, или рекурсивные. Различаются, как обычно, реальные и номинальные определения. Первые делятся на определения сущности, определения посректвом указания составных частей, определения посредством установления причины (в частности, генетические), определения через указание цели, операциональные и др. Номинальные определения подразделяются на синтаксические и семантические, а последние, в свою очередь, на аналитические и сии тетические. Перечисляются и разъясняются требования, предъявляемые к определениям. Последний параграф этого раздела посвящен операции деления понятий и классификации, излагаемой в традиционной форме.
Редуктивные умозаключения, рассмотрением которых заканчивается книга, трактуются просто как недемонстративные. Таким образом, все умозаключения делятся на дедуктивные (демонстративные) и редуктивные (недемонстративные), к которым с оговорками относится и полная индукция. Основанием такого деления являются два типа связи посылок с заключением, выражаемой в первом случае материальной импликацией, а во втором — обратной им-пликтацией (репликацией). Деление умозаключений по направленности вывода (от общего к частному и т. д.) автор считает устаревшим и нецелесообразным, поскольку оно, по его мнению, не охватывает многие важные типы умозаключений и сам признак направленности вывода несуществен.
Редуктивные умозаключения, считает В. Зегет, отличаются от дедуктивных тем, что не могут быть получены исключительно по формальным правилам умозаключения — в них должно учитываться также содержание посылок и заключения. Они .>елятся на индуктивные и неиндуктивные, с одной стороны, и на регрессивные и прогрессивные — сДругой. Раздел об индуктивных умозаключениях излагает ся обычным образом: энумеративная, в том числе полная, и влиминативная индукция; к ней относятся мнллевские методы установления причинных связей. Неиндуктивные
Ю
умозаключения — это умозаключения по аналогии. Регрессивная и прогрессивная редукции различаются по направлению мысли: от известных фактов — к их объяснению в первом случае и от предположительного объяснения (гипотезы) — к высказываниям о фактах, истинность которых можно непосредственно установить, во втором. Здесь речь идет, по существу, о подтверждении гипотез. В заключение обсуждается проблема убедительности умозаключении. При этом подчеркивается неразрывная связь дедуктивных и редуктивных умозаключений в процессе познания и тот факт, что только в такой связи недемонстративные умозаключения могут быть убедительными. Рассматривается также зависимость степени уверенности в истинности заключения от степени у веренности в истинности посылок при дедукти вном умозаключении.
Как видно из обзора содержания, предлагаемая книга является весьма необычным для советского читателя введением в символическую логику. В то же время ее нельзя считать введением только в символическую логику, так как в ней достаточно подробно представлены многие разделы тра.ишнонной логики и некоторые логико-методологические проблемы. На наш взгляд, несомненным достоинством книги является предпринятая в ней попытка органического соединения современной формальной логики с отдельными разделами традиционной логики. Такое соединение, в принципе, полезно тем, что представляет современную логику не только как формализованные системы, чем часто ограничиваются учебники и изложения современной логики в учебных курсах, а как целостное учение о формах мышления, способах, законах и правилах рассуждения. Хотя, думается, что в данном случае опыт такого синтеза не всегда был удачен *.
Как уже отмечалось, почти все разделы темы «Понятие» так или иначе вошли в книгу, но целостного представления о понятии не складывается. Полезно было бы раздел «Логика высказываний» предварить общими сведениями о высказываниях, их структуре и видах. Хотя категорические высказывания рассматриваются в этом плане в параграфе о непосредственных умозаключениях, все же был бы целесообразен общий разбор высказывания как формы мышле
ния То же самое относится и к анализу процедуры дока -атетьства.
С другой стороны, собственно символическую часть мож но было бы дополнить и усилить построением некоторых типов исчислений, что дало бы возможность показать аппарат современной формальной логики. Часть примеров на проверку правильности умозаключения и разрешение выражений, напротив, следовало бы исключить, заменив их в не которых местах четким описанием алгоритма. Конечно, Алгоритмы тех или иных процедур в книге каждый раз даются, но, как нам кажется, иногда оказываются в тени, затемняются множеством примеров. Может быть, не всегда оправдан принятый, так сказать, «индуктивный» метод изложения, когда читатель подводится к принятию того или иного правила или определения примерами, хотя в целом такой метод имеет свои положительные стороны и иногда предпочтителен по сравнению с «дедуктивным».
Бесспорной заслугой книги В. Зегета является простота, общедоступность изложения, ее ориентированность на выработку практических навыков и то, что при се чтении сразу становится ясным, где и как можно использовать полученные знания. Этим определяется ее методико-дидактическая ценность. Хотя программа курсов логики для нефилософских специальностей имеет другую структуру и предполагает иную организацию материала, книга может быть с успехам использована в качестве дополнительной литературы для углубления и систематизации тех сведений по современной логике, которые студенты пату чают из обязательного курса. Что же касается университетских курсов логики для философов, то «Элементарная логика» может служить одним из наибатее простых и доступных для начинающих учебным пособием по некоторым разделам сим волнческой логики.
Кандидат философских наук Е. Б. Кузина
1 Оговоримся' возможно, автор и не ставил своей задачей объединить символическую логику с традиционной, и вошедшие сюда разделы традиционной логики, может быть, были включены по каким-то иным соображениям.
1. ЛОГИКА, МЫШЛЕНИЕ, ЯЗЫК
Характеристика места формальной логики в системе наук. Ее предмет и структура. Значение лотки для человеческого познапия. Логика и язык.
1.1. ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА В СИСТЕМЕ НАУК
Европейская формальная логика по истории своего возникновения и развития особенно тесно связана с двумя науками— философией и математикой. Ее создателем считается великий греческий философ Аристотель, жившин в зй4—322 гг. до нашей эры. В последующие столетия философы также занимались формальной логикой и сделали ряд новых открытий в области этой науки, но структура логики как науки, выработанная Аристотелем, по существу, не изменилась. Эту форму логики называют также «традиционной логикой». Отдельные значительные вклады в дальнейшее развитие формальной логики, сделанные, например, в XVII столетии Готтфридом Вильгельмом Лейбницем, практически не оказали влияния на ее традиционную форму. Лишь в середине прошлого столетня началось бурное развитие этой науки и продолжается до сих пор.
Логические трудности в математике, а точнее, логические противоречия в ее основаниях, обусловили необходимость того, что сами математики стали заниматься логикой, а это привело к стремлению четко отделить математику от логики. В этом отношении важнейшую роль сыграл Готтлоб Фреге, которого считают создателем современной логики, а его труды сравнивают с тр дамп Аристотеля. В течение последних ста лет развитие формальной логики определялось преимущественно потребностями математики. Именно математики сделали логику тем, что теперь называют «математической логикой», «логистикой» и «символической логикой».
Предложения об использовании в формальной логике символов и формул имелись еще у Аристотеля. В дальнейшем эта сторона формальной логики последовательно раз-
бивалась, и в настоящее время употребление формул приня-> такие размеры, что современный учебник по формальной логике больше похож на математический труд, чем на фило софскнй. Математическая логика играет решающую роль в со» ременных исследованиях по основаниям математики, она пронизывает всю систему математических наук, на ее базе математика может строиться строго логически, т. е. прежде всего непротиворечиво. В этом смысле математическая логика может рассматриваться по-разному с одной стороны, как математическая дисциплина, часть математики, своего рода метаматематика, а другой — как традиционная теория, усовершенствованная с помощью введения в нее современных средств. В настоящее время логикой также больше занимаются математики, чем философы, и применяется она больше в математике, чем в других науках.
Хотя современная формальная логика называется «математической», она является не только логикой математики. Ее правила и законы пригодны для любой нау ки, для любой области человеческого мышления. Вот почему логика до сих пор считается философской наукой.
Дискуссия о месте формальной логики в системе наук сегодня еще ни в коей мере не закончена. Тесная связь формальной логики с философией и математикой общепри-знана Но о характере и степени глубины этой связи мнения в значительной степени расходятся. Наряду с уже упомянутыми взглядами все более широко распространяется представление, согласно которому в настоящее время формальная логика превратилась, по крайней мере, в относи тельно самостоятельную науку.
Чтобы точнее понять связь между формальной логикой и философией, лучше всего исходить из определения марксистско-ленинской философии и краткой характеристики ее составных часгей. Марксистско-ленинская философия является наукой об общих законах движения и структуры прир |ды, общества и мышления (познания), а также положения человека в мире. Она является, иными словами, теорией объективной и субъективном диалектики. Объективная Диалектика — это способ проявления общих законов движения материи и ее стру ктуры вне человеческого сознания независимо от него. Субъективная диалектика зиждется а объ активной. Ее можно охарактеризовать как способ от-ю ЖеНпЯ человском объективной диалектики в своем созна-ш. Диалектический материализм исследует законы, об-,с для объективной и субъективной диалектики. Задачей
теории познания является изучение отражения объективно., диалектики субъективной диалектикой. Субъективная дна лектина, в частности закономерности мышления, образуют предмет исследования формальной и диалектической логики.
Таким образом, в обшем виде вырисовывается связь между формальной логикой и марксистско-ленинской философией по предмету. Однако есть еще два аспекта этой связи, о которых нельзя не упомянуть. Это, во-первых, основные понятия формальной логики и интерпретация ее формул и знаковой системы и, во-вторых, применение формальной логики.
Формальная логика должна заимствовать свои основные понятия непосредственно из философии. Это понятия «истина», «суждение», «понятие». Благодаря им каждая система логики получает философскую интерпретацию. Многие логики пытаются теперь избегать мировоззренческих вопросов в области своей науки, заменяя, например, термины «суждение» и «понятие» нейтральными на вид терминам! «предложение» и «терм». Можно разработать системы звуков, которые будут подчиняться произвольно выбраним i правилам, но неизбежно возникает вопрос, отражают ли эти системы знаков — непосредственно или косвенно — объективные связи?
Как уже говорилось, правила и законы формальной логики пригодны для любого человеческого мышления. В этом выражается ее обусловленность объективной реальностью Но формальная логика охватывает только один определенный аспект мышления и абстрагируется от других существенных аспектов. Таким образом, чтобы избежать одностороннего и искаженного отражения действительности, ее нельзя делать абсолютной и единственной мерой. Формальную логику нельзя применять произвольно, поскольку он » может использоваться диалектически и метафизически. Me тафизнческое применение формальной логики — это абсолютизация определенных абстракций, расчленение единого без учета переходных состояний, рассмотрение предмета без учета его истории и будущего. Диалектическое применение формальной логики — это классификация абстракций по существенным связям, понимание объективно существующих диалектических противоречий, переходных состояний и развития, причем понимание их в движении от абстракций к воспроизведению реально конкретного в мысленно конкретном, к пониманию его предназначения для объединения рахтичного.
1.2. ПРЕДМЕТ И СИСТЕМА ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
Слово «логика» происходит от греческого слова «логос» и в переводе означает: слово, понятие, мысль (идея), разум, л >гнка. Но не в каждом словосочетании, в котором ветре* ч.ътся слово «логика», оно имеет отношение к мышлению Под выражениями «логика вещей» и «логика истории» подразумевают объективные закономерности, прежде всего законы развития природы и общества, т. е. закономерности, не относящиеся к предмету формальной логики. Несколько иначе дело обстоит со словосочетаниями «логика научного исследования» и «логика науки». Зтесь имеют место пере сечения разделов с предметной и проблемной областью формальной логики. Однако логика науки и логика науч кого исследования не занимаются мышлением вообще и его закономерностями, а исследуют логическую структуру научных теорий, закономерности процессов научного иссле дования и др. Их область более узкая н более специальная, чем область формальной логики. С другой стороны, они не могут ограничиваться закономерностями формальной логики, поэтому их область исследования шире, чем область исследования формальной логики.
Объектом изучения формальной логики является мышление, но сказать, что формальная логика — это наука о мышлении, недостаточно. Имеется целый ряд других наук или отраслей знания, в задачу которых входит также и исследование мышления. Средн них наряду с диалектической логикой прежде всего следует назвать теорию познания и психологию. Психология изучает мышление в изменении его конкретных взаимоотношении с другими сторонами человеческого сознания, она занимается изучением влияния мышления на чувства и, наоборот, она понимает мышление как волевой акт и т. д. Формальная логика, напротив, абстрагируется от всех этих связей и изучает мышление прежде всего с точки зрения его логической непротиворечивости и последовательности. Дальнейшее различие между этими Двумя нау ками надо видеть в том, что психология в противоположность формальной логике при изучении мышления исходит из эмпирических, экспериментальных исследований. Можно было бы, как это и бывает, определить формальную логику как учение о правильном мышлении. Таким образом, ее можно было бы отделить от психологии, но не от Диалектической логики и теории познания.
Теория познания занимается мышлением как формой человеческого сознания. Теория познания диалектического
материализма учит нас, какое мышление является правильным и при каких условиях. Исходя из материалистического ответа на основной вопрос философии, теория познания дс> называет, что наше мышление истинно, если оно утверждает что между предметами имеется связь и эта связь фактически существует в объективном реальности, если оно присваивает предмету какое-то свойство, действительно присущее этому предмет}', и т. д. Короче, человеческое мышление правильно, если оно согласуется с объективной реальностью, если оно адекватно отражает объективную реальность. Основным критерием правильности мышления является практика. Формальная логика также занимается вопросами правильности мышления: по на вопрос, в каком случае мышление является правильным, отвечает главным образом марксистская теория познания
Пойдем по другому пути определения предмета формальной логики. В повседневной жизни для подтверждения сделанного вывода часто говорят: «Логично!» Таким образом, это выражение совершенно правильно употребляется многими людьми, которые никогда в жизни не читали учебника по логике. Логика занимается фактически тем, как правильно делать умозаключения, независимо от того, идет ли речь о выводах в повседневной жизни или о выводах в области какой-либо науки. Поясним это на примере. Сначала вывод из области зоологии:
если все млекопитающие животные суть теплокровны и все люди — млекопитающие животные, то все люди суть теплокровные.
Сравним его с выводом из области политики, если все марксисты суть борцы за мир и все члены СЕПГ суть марксисты, то все члены СЕПГ суть борцы за мир.
В формулировках обоих выводов фигурируют слова: «если — то», «и», «все», «суть», («есть»). Термины, употр< ляющиеся в пих,— различны. Попробуем заменить их буквами так, чтобы внутри одного вывода для разных терминов использовались разные буквы, а для повторяющихся терминов — одни и те же, структура обоих выводов будет выглядеть так:
если все .И суть Р и все S суть ц, то все S суть Р.
Буквы S, .И, Р можно заменить любыми терминами, и всегда будет видно, что вывод, сформулированный в трс тьей строке, истинен в том случае, если истинны суждения,
сформулированные в двух первых строках. Таким образом, мы получили структуру правильного рассуждения, структуру, с помощью которой действительность может адекватн отражаться в человеческом мышлении. Эта структура является общей для многих различных по содержанию рас суждений.
Исходя из этого, мы определяем формальную логику таким образом:
формальная логика — это наука об общих структурах правильного мышления в его языковой форме.
Это определение содержит ссылку на особую рать языка, в котором находят свое выражение структуры мышления. Связь между языкам и мышлением не раз будет (после изложенного в разделе 1.4) явно или неявно рассматриваться на протяжении всей книги.
Если можно считать, что формальная логика занимается структурой мышления, то к проблемам диалектической логики можно было бы отнести изучение мышления со стороны его содержания и предмета. Но поскольку еще не существует удовлетворительного изложения диалектической логики, а средн философов-марксистов еще нет единого мнения о ее предмете и ее отношении к другим философским дисциплинам, мы можем при ее характеристике опереться на указание Ленина. Диалектическая логика должна исследовать закономерности, по которым развиваются суж дения и понятия в их диалектической противоречивости, переходя друг в друга 1. Они ориентируют мышление на то, чтобы по возможности всесторонне изучать исследуемый предмет в его связях и опосредованиях, в его развитии. Диалектическая логика рассматривает мышление в его конкретности и в его связи с общественной практикой Диалектическая логика является содержательной, интенсиональной логикой, формальная логика — экстенсиональной. Хотя предметом этой книга является формальная логика, мы еще нс ра* вернемся в той или иной связи к проблемам и постановке задач логики диалектической.
Предмет формальной лотки, как он характеризуется в нашем определении, несмотря на батее чем двухтысячелетнюю работу ее создателей и на необъятное количество лите Ратуры, охвачен далеко не полностью. О некоторых ее раз-*лах вообще не существует никакого представления. Мысленные отношения, в которых встречаются нормы (например,
 S*' •Я'иии В. И Поли собр соч , т 29, с 190—191.
См : Ленин В. И. Поли. собр. соч., т. 42 с. 290.
правовые или моральные) или вопросы, хотя и изучаются, но до сих пор нет ни разработанной общепринятой логики норм, ни разработанной общепринятой логики вопросов. В наибольшей степени развита логика высказываний, на которой только и сконцентрировали свое внимание логики. Внутри логики высказывании различают двузначную логику и многозначную. Двузначная логика различает только истинные и ложные высказывания, т. е. она оперирует только значениями «истина» и «ложь».
Если приводимые до сих пор различия между разными отраслями логики складывались на основе различия в отношении предмета, то по использованию принципов и мс тодов возникает следующее разделение. Различают классическую логику, которую нельзя путать с традиционной, и неклассическую логику. Последняя отвергает, например, в форме интуиционистской логики использование косвен кого доказательства для бесконечных предметных облз стен. Поэтому в ее рамках доказуемо меньше высказывашп чем в классической логике. Далее делают различие между логикой законов, или логикой предложений, и логико! правил в зависимости от того, излагается ли структур самого мышления или правила, которым они подчиняются Исходя из упомянутых различий, мы можем охарактерн зовать цель этой книги как введение в современную дву значкую классическую формальную логику высказываний Эта область логики бу дет всегда иметься в виду, когда mi в дальнейшим будем говорить о формальной логике без к ких-либо дополнений. Эта область формальной логики раз работана более всего и лучше всего изучена. Она распола гает таким количеством выработанных понятий, охватывае и доказывает такое большое количество логических законов и частично достигла такой высокой степени абстракции, что в первом разделе может быть дан только исходный базис для дальнейшего овладения логикой в зависимости от пре следуемой цели.
Формальная логика, как мы ее здесь рассматриваем, подразделяется на логику высказываний и логику предика тов. Логика высказывании образует основу, на которой строится логика предикатов. Логика высказываний изу чает, в какой степени правильность связей между высказы ваннями зависит от истинности отдельных составляющих высказывании. При этом совершенно не учитывают структуру этих высказываний. Таким образом, речь здесь идет только о структуре связей между высказываниями. Стру к тура высказываний рассматривается лишь в логике npv
дикатов. Здесь исследуется, в какой связи друг с другом могут находиться понятия, составляющие высказывания. В одноместной логике предикатов имеются только такие предикаты, которые представляют свойства; предикаты, представляющие отношения, относятся к предмету изучения многоместной логики предикатов, или логики отношений. Наконец, различают логику предикатов первой ступени (порядка) и логику предикатов более высоком ступени в зависимости от того, отражают ли обсуждаемые понятия свойства предметов или свойства свойств, отражают ли они отношение между предметами или отношение между свойствами и отношениями.
В основном построение этой книги соответствует систематизации самой формальной логики. В соответствии с нашими принципами отбора материала разные разделы формальной логики будут излагаться в дальнейшем с разной степенью подробности. Большое место занимают при этом логика высказываний и лоп<ка предикатов первой ступени, которые вместе образуют элементарную логику.
1.3.	ЗНАЧЕНИЕ ФОРМАЛЬНОЙ ЛОГИКИ
В общем и целом люди мыслят логически правильно, хотя большинство из них никогда сознательно не задумывались над этим, не говоря уже об изучении логики как науки. Логическое мышление возникло в процессе человеческого развития. Человек всегда должен был думать логически правильно, чтобы направлять свою деятельность на достижение своих целей. Для человека жизненно необ
ходимо думать логически правильно, потому что иначе он ие смог бы познать самые элементарные закономерности прнроты и общества и не смог бы целесообразно направлять свои действия.
Мышление не является независимым от материи, как \ гверждает идеализм. Более того, законы мышления осно
вываются на законах объективной реальности, которые не зависят от человека. Человеческое мышление правильно, <*сли оно в мысли соединяет то, что соединено в действи-
тельности, мышление будет неправильным, если оно в ’ысли соединяет то, что не соединено в действительности. тЬо не значит, что логические законы являются непосред-€гвеннымн отражениями законов объективной реальности. Более того, логика абстрагируется от конкретных свя-законов, отношений и т. д. Так как логические законы нригодны для всех форм человеческого мышления — как
в науке, так и в повседневной жизни,— то их рассматривают вне зависимости от конкретных понятий и связей между ними, от конкретных высказываний и их связей и т. д.
Несколько иначе, чем в логическом мышлении, обстоит дело с наукой логики. Марксизм доказал, что в истории науки всегда имела место борьба между материализмом и идеализмом и что эта борьба всегда была выражением противостоящих друг другу интересов общественных сил. Поэтому в науке логики с момента ее возникновении такж< имеет место постоянная борьба между материализмом и идеализмом. При этом речь идет прежде всего о таких общих философских вопросах, как: на чем основываются л< гические законы? что является основой чля образования по нятий? от чего зависит правильность логических выводов'** и т. д.
Стоит ли вообще изучать науку логику, если человек уже от природы мыслит логически правильно? Этого, как мы его называем, спонтанного логического мышления достаточно, как правило, ля повседневного пользования. Но его подчас уже недостаточно для передачи кому-либо некоторое совокупности знании, например в политической агитационной работе.
Спонтанное логическое мышление становится сознательным логическим мышлением, если известны правил логики и эти знания применяются. Здесь уместно сравнение с грамматикой. Человек, никогда не занимаясь грамматикой, может выучиться от других разговаривать, не нарушая ее основных правил. Но без изучения грамматики он не станет знатоком языка, потому что он не знает правил и закономерностей образования предложений и т. д. То же относится и к логике. Сознательно использовать правила логики — «иачит мыслить более точно, лучше овладеть методами мыш лення и применять их. Пропагандист будет работать с оольшнм успехом, если он будет доказывать свои утверждения, т. е. в нужном порядке приводить для них доводы, или если он помимо необходимых знаний фактов владеет еще н логическими средствами опровержения ложных утверждений. 5 чнтель вообще лишь тогда сможет выполнить свою задачу и научить своих учеников мышлению на конкретном материале, если он сам умеет правильно мыслить. У ченнки легче и лучше будут понимать его, если он сможет создать ясную логическую структуру преподаваемого им материала.
Изучение логики приводит к превращению спонтанного логического мышления в сознательное, во-первых, в ре
зультате получения знаний о структуре правильного мышления и, во-вторых, в результате непосредственной тренировки мышления, подобно тому, как это бывает при изучении математики. Несмотря на это, нельзя от изучения логики ожидать чуда. Само по себе знакомство с правилами логики не научит их сознательному применению, и это применение может на первых порах вызывать значительные затруднения. Для научной работы формальная логика имеет, разумеется, еще большее значение. Она дает науке средства для решения проблем, с которыми не может справиться спонтанное логическое мышление даже опытного ученого. Такие проблемы возникают, например, при желании создать нанлучшую систематизацию какой-либо науки или при выявлении присущих данной научной теории внутренних логических противоречий.
Проблемы, сформулированные на языке формальной логики, могут обрабатываться на электронных вычислительных машинах с программным управлением. Если же необходимая степень точности формулировки не достигнута, то машинная обработка невозможна.
1.4.	ЯЗЫК И НАУКА
Формальная логика, по нашему определению, должна изучать структуры мышления в их языковой форме. По этому после общих замечаний о связи языка и мышления следует остановиться на роли языка в науке. Тем самым мы переходим к теме, которой будем заниматься прямо или косвенно на протяжении всей книги, а именно образованием понятий формальной логики для уточнения способа выражения.
1.4.1.	ЯЗЫК И МЫШЛЕНИЕ
«Язык есть непосредственная действительность мысли»,— говорится в «Немецкой идеологии» Маркса и Энгельса *. Об этом же говорит советский психолог С. Л. Рубинштейн, называя языковую действительность, звучащее и беззвучное говорение «формой существования сознания». В соответствии с результатами исследования частных наук марксистская философия рассматривает мышление как нечто
1 Маркс К., Энмльс Ф. Соч. 2-е изд., т. 3, с. 448.
нераздельно связанное с языком, считает мгттенлеи язык диалектическим единством.
Люди могут облениваться друг с другом мыслями нс иначе, как с помощью языковых средств, будь то произносимые или написанные слова к предложения, будь то сиг иализацня флагами или другие знаки, основанные на соглашении. Мысли могут сохраняться, накапливаться только с помощью языковых средств, таких, как книга или магнитофонная пленка и т. д. Сам процесс мышления происходит частично в виде беззвучного говорения, частично в виде звучащего. Однако все это не означает такой связи мыслс! и языковых средств, когда каждой мысли соответству ет с вершспно определенная формулировка н наоборот. Св<>н мысли можно формулировать более или менее точно. С дру гой стороны, языковые формы оказывают определенное влияние на мышление: они могут прояснять мышление, например, при логическом выводе, но они могут и тормозил его или вводить в заблуждение. По этим причинам нельз недооценивать анализ языка в науке. Однако его нельзя и переоценивать, как это было, например, у Людвига Вт генштеина, а после него у многих неопозитивистов, посколь ку единственную задачу философии Витгенштейн видел в критике языка.
Правда, в результате анализа языка ложно косвепн узнать кое-что об объективной реальности и о лышленни, но никакой анализ языка не может заменить изучение дей ствительностн. Только совокупность исследован ня дейст вительности, мышления и языка составляет аналитическую деятельность в нау ке. При этом отдельные аспекты апалпти ческой деятельности в различных областях науки имеют различное значение.
В соответствии со значением анализа языка в рамка диалектико-материалистическом теории познания развн вается новая дисциплина — семиотика. По определен!! Георга Клауса, семиотика является общей теорией язык вых знаков и нх связей друг с другом, с мышлением, объек тивной реальностью и человеком. При этом семиотика н изучает конкретные языки, как, например, немецкий, анг лийский и т. д., это задача отдельных языковых наук. Се миотика занимается тем, что является общим для всех языков независимо от их словарного состава, нх граммагн ческой структуры, от того, возникли они естественным п\ тем или были созданы для определенных целей. Своим по нятием знака семиотика охватывает не только слова таки> языков, как русский пли немецкий, ио и все материальные
бразования, которые что-либо значат или что-либо обо-начают. Сюда относятся различные вещи, как, например, символы математики, знаки регулирования уличного двн-ення и знаки различия на мундирах.
Из определения семиотики следует, что она должна учи-ывать четыре фактора:
1)	Z — знак (в только что указанном смысле),
2)	А — мысленные образы, отражения,
3)	О — объекты отражения,
4)	М — люден или нх сознание.
Разнообразные взаимосвязи этих факторов являются предметом различных разделов семиотики:
(1)	Сннтактика абстрагируется от всех факторов, за исключением знаков. Она исследует связи между знаками некоторого языка. Сннтактика устанавливает правила построения составных знаков, т. е. для ряда знаков (например, предложении) из более простых знаков (например, отдельных слов). Она создает критерий определения нрннадлеж кости данного ряда знаков к определенному языку и является своего рода общей грамматикой. В последующих главах синтактнка будет играть разную роль в отношении языка
• рмальной логики.
(2)	Семантика исследует отношения между Z и Л, связи между словами и соответствующими им понятиями. Знаки ' являются формой существования мысленных образов Д, последние являются значением знаков Z. Семантика, таким оразом, рассматривает отношения между знаками языка и их значениями. Кроме того, она изучает отношение между качениями простых знаков и значениями сложных знаков, составленных из простых Например, отношения между значением слов и значением предложений, построенных из ьтих слов.
(3)	Сигматнка изучает отношения между Z и О. Языковые значения Z — это имена, обозначения объектов О, последние являются десигнатами ников Z. Семантика и сигматнка служат предпосылкой еннтактики, все три они служат предпосылкой прагматики.
(4)	Прагматика исследует связи между знаками и людь-
. которые создают или воспринимают нх. Знаки могут 1Ужить для передачи знаний, могут давать выражение 'Увствам и вызывать чувства, они могут вызвать у человека ОпРеделениое поведение. Все эти свойства языковых знаков носятся к предмету прагматики. Очевидно, что этот раздел семиотики имеет тесную связь с поэзией, а также с про-нагандой. В области формальной логики она, напротив.
не играет почти никакой роли, что будет видно в различи’. 4. Наконец, употребляемые грамматические правила местах книги В последующих главах будут рассматривая построения выражений естественного языка в логическом ся преимущественно области семантики и сигматнки. . мысле также несовершенны, не в любом случае можно пределнть, имеет данное предложение смысл или нет.
142 ЕСТЕСТВЕННЫЙ Я ТЫ к И ЯЗЫК MAvifu	Ца\ КИ ДОЛЖНЫ И ОНИ ПЫТДЮТСЯ И К р ЯТЬ I .Д
1.4.2. ЕСТ С1ВЕННЫЙ ЯЗЫК И ЯЗЫК НАУКИ	* своих	^^я в перв>ю очередь с
Каждая наука для формулировки своих суждений и п шлюшью свеин а льно-научной терминологии.
нятий, своих законов и правил, своей теории и своего м Научная терминология — это запас специальных слов, тода располагает естественным языком. Естественный язы совокупность специальных выражений из области данной язык звуков, в данном случае русский, которые мы пол науки. Они возникают вследствие того, что в науках нс-зуемся в повседневной жизни для формулировки свои пользуются жесткие выражения, дефиниции, сложившиеся мыслей и для семена мыслями с другими людьми, возни в результате строго определенного употребления некоторых вместе с мышлением под влиянием общественного труда выражений. Слова, входящие в такие выражения, стано-вместе с мышлением продолжает развиваться дальшевятся терминами. Таким образом, можно искусственно вос-На основании того факта, что естественный язык сложилс препятствовать изменению значений слов с течением вре-не сознательно, а в какой-то мере спонтанно, в нем возникл ^(енн, если этого не требует дальнейшее развитие науки, различные недостатки, нс позволяющие наукам огранич Однако термины со строго фиксированным значением, разуваться татько этим языком. Тем не менее все науки пат меется, имеют жесткие границы употребления. С достиже-зуются естественным языком. Литература как наука иеннем нового уровня понимания явления старые термины на пользует естественный язык гораздо шире, чем такие нау кнполняются новым содержанием, кроме того, должны воз-как математика, язык которой наряду с языком формат пикать новые термины. Можно избежать употребления си-ной логики значительно отличается от естественного. Н нонимов, жестко ограничиваясь одним из них
она не может обойтись без естественного языка, по крайне#' Многозначность слов можно устранять различным спо-мере, пользуется им для введения своих основных понятш Одна из возможностей заключается в применении
Основными недостатками естественного языка являютс многозначных слов только в те.х контекстах, из которых следующие:	становится ясно, какое значение слова подразумевается в
1.	Слова естественного языка со временем постепенно i каждом случае. Это совсем нетрудно с такими словами, как почти незаметно меняют свое значение.	'Церковь» >. Предложение 'Церковь была воздвигнута в
2.	В естественном языке часто бывает, что одно сл< XI столетии» не оставляет никакого сомнения в том, в ка-одновременно имеет два или более различных значени»ком значении употребляется слово «церковь». Для таких и одновременно обозначает различные предметы, но бывае 1ов« как «сознание», различные значения которого очень также, что различные слова имеют одно и то же значение"vn,3KH Друг к другу или даже частично совпадают, этот обозначают один и тот же предмет. Слово «церковь» обозн- епособ может оказаться очень затруднительным или совсем чает, например, и здание церкви, и вид религии. Различны» невсиможиым, особенно если в одном и том же контексте слова, например, «превосходство» и «перевес» или «кат. Фигурирует несколько значений такого слова. В таком слу -строфа» и «катаклизм» имеют одно и то же значение1 *. чае надо решить, какой из двух следующих методов следует
3.	Значение слов естественного языка часто бывает ра применить: или нужно употреблять слово татько в таких плывчатым, неопределенным, т. е. не всегда можно сказал»0 ч®таниях, которые делают его однозначным, или тля каж-об определенном предмете, что слово обозначает именно его ДОГо значения исходного слова надо вводить особое новое Часто, например, нельзя сказать о человеке, здоров он ил слово- Такие слова часто заимствуются из живого иност-нет. В таком случае помогают себе неопределенной форму Раи,,ого языка или. например, в медицине образуются из лировкой: он не совсем здоров.	’Ф^внегреческих или латинских слов.
1 В оригинале в качестве примера даны немецкие слова: die Kirche .
церковь, die Geigt, die \icline — скрипка	Пример и оригинала die Kirche.
Неопределенность слов лучше всего хстранять пун	<	х
ясных дефиниций. Основная трудность возникает в т< ги	с>д>4" ^ментом абстрактного мышления, око
случае, когда неуверенность в значении проистекает не i неразрывп0 евя uito с последним.
недостатка знаний, а обусловлена объективно, т. е. ес Абстракции никогда не охватывают всего богатства дей-подразуменяемая область значения слова неопретелен. ствите. 11 ости, но -се науч! ( ра ильньк, ‘рье иые, нс если она не ограничивается строго, а переходит в друг, вздорные) абстракции отражают природу глубже, вернее, области значении Так обстоит дело со словами «больно! пол^ ________л „л „	___„
и «здоровый». В таком случае должно быть принято реш< ние, которое четко отделит одну область от другой. Дл * этого абстрагируются от переходной области и для вреду 1 тов, относящихся к ней, принимают специальное решени 1 однозначно относя или не относя их к области значеш 1 данного слова. То, что получается в результате таких ил 1 подобных действий и практически часто применяется в на\ 1 ке, и есть научный язык, или специальный язык определен 1 ной науки. Во всяком случае такие научные языки ке яв 1 ляются языком в прямом смысле, потому что они не сущей вуют самостоятельно и независимо от естественного языкэ Научный язык такого вида возникает из естественного язык; и специальной терминологии. Он отличается от естестве i лого языка запасом слов, а не правилами построения языкз Связь между научными языками и естественным язык осуществляется непрерывно, так как научные языки вклк>] чают в свою терминологию все новые слова естественна 1 языка. С другой стороны, в словарный запас естественн< г 1 языка постоянно переходят специальные термины различ-1 ныч наук (через школу, прессу, радио, иаучно-попул> р-* ную литературу).
Преимущества научного языка такого вида за ключ., юк ; в следующем: во-первых, по сравнению с естественным я ы-ком он обладает большей точностью, во-вторых, благодар» использованию специальных термине его способ выраже*] ния более краток и более нагляден, чем способ выражение естественного языка.
Требования, предъявляемые к научному языку, иапран лены на устранение неконтролируемых моментов естес венного языка при его использовании в науке. Недостаток ное внимание к языковым средствам может привести к нс доразумениям и даже к неправильной ориентации в иссл
Предмет этой книги не позволяет нам выходить за пределы этой ступени формирования языка и мышления (иначе нам пришлось бы дать введение в диалектическую логику или в материалистическую диалектику). Но это еще не го-орит о том, что посредством абстракций, посредством за-репления значений слов достигнут наивысший уровень познания. Если в результате закрепления значении слов происм днт отвлечение от объективной диалектики мышления и высказывания мыслей, то должны быть найдены мысленные и языковые средства для адекватного понимания движения и развития объективной действительности. В. И. Ленин писал: «Всесторонняя, универсальная гибкость понятии, гибкость, доходящая до тождества противополож ностеи,— вот в чем суть. Эта гибкость, примененная субъективно, «« эклектике и софистике. Гибкость, примененная но, то есть отражающая всесторонность материального процесса и единственно его, есть диалектика, есть пра-ичьное отражение вечного развития мира» •.
Эти замечания необходимы для правильного понимания той тесной взаимосвязи <х:всщаемых здесь проблем и значения требований, предъявляемых здесь к образованию научных Я1ыков, для процесса человеческого познания. Ряд наук использует в своих специальных языках символический язык. К ним принадлежат математика, химия и формальная логика. Формула 2Н4-О-»-Н;О относится к символическому языку химии и говорит о том, что при соединении двух атомов водорода с одним атомом кислорода образуется одна молекула воды. В символическом языке вместо слов используют знаки, искусственно созданные (+,-*-) или получившие определенное новое значение (Н»О). Преимущество символического языка в первую очередь заключается в том, что его выражения еще более точны и кратки, доЬашш. В интересах „ajKn'eerecTBennan неопределенное^ ^"х "«Ревод на естествеппый язык даже с помощью на> ч-|| изменчивость должны быть взяты под контроль и з -тр т*Р«'»«*о™и- Эт° видно уже па нашем примере из хп-иены с помощью определений, связанных с неизбежный ’ Кон«4»0. ПеР“°Д в данном случае в принципе возмо-здесь абстракциями. У страненненеопределенности привод! ________
к некоторому консерватизму, но при формировании выр ?
зительных средств языка является необходимой ступены	в и Поли собр соч.» т. 29. с. 152.
 am же. с. 99.
_	,	Н) Все основные знаки представлены в явном виде,
жен. Со дать же символический я ык без помощи ос г- ч НОВНые знаки — это простые, несоставные слова языка иного нельзя.	простые, несоставные символы (если речь идет о сим
Из уже названных преимуществ вытекает самое важн< НЧесКОм я ыке)
без помощи си вол imcck tx я ыков т 1кие науки, как фс «,) Заданы все правила определения, Эго правила введе-мальная логика, математика и теоретическая физика, новых, обычно более кратких знаков с помощью уже смогли бы достичь сегодняшнего уровня, потому что чело еющихся.
не в состоянии понять сложные связи этих наук на естес nj Заданы все правила построения формул. Это правила венном или специально-научном нс символическом язык „ пазования составных знаков из простых, например пра-Уже перевод относительно простых формул на естественн шла образования предложении из слов.
язык соз ает иногда т 1кпе сложные образования, что он ♦ m Заданы все правила преобразования пли правила почти непонятны. Поясним это на примере из математик;^юзак1ЮЧе11|1Я> qh1i относятся только к графическому Для области рациональны с чисел действителен так наз1|30^ражению применяемых знаков (слова, предложения, ваемын закон коммутативности сложения, выраженный ЖИвалЫ).
формуле a+b=b а. Сло« imii это было бы выражено таь /5) Заданы все правила интерпретации. Они дают све-Если любое число прибавить ко второму, то сумма бу ^ениЯ 0 том, как образуется значение сложных знаков (на-равна сумме этих же чисел, если бы второе число прибав фимер, предложений) из значений простых знаков (напри-к первому». Хотя речь идет об очень простом законе, - !ept слов). Они однозначно определяют связь между зна-Hoi । я ясно, ч ос помощью формулы ею можно вырази ^ами языка и их значениями.
короче, яснее и точнее. Важно еще и то, что снмволичсск. к необходимым условиям формализованного языка не язык логики приводит к максимальной точности поняти5тноснтся его обязательная символизация. Его основными вы заний и yi оз к )ченип к создает те*' самым прс^наками могут быть слова, а сложными знаками — предло-посытку для применения электронно-вычислительных к Чения естественного языка. Однако при создании формали-шпн и машннн го перевода.	юванного языка одновременно используют, как правило,
!	есы i я ык формальной логики был соз щеимущества символического языка. На примере из хи-
специа. ьн тя : >вершенно точного и ясного воспроиз >1ИИ видно, что символический язык не должен быть одно-дення общих структур человеческого мышления. Некотор временно и формализованным.
символ обозначает, например, определенное отношенн Так Как формальная логика располагает формализо-между двумя понятиями, го время как соответствую!! м<ниым языком, то с помощью его средств из формул, соот-слово естественного языка может иногда обозначать р тствующих истинным высказываниям, можно получать нчн отношения и лишь из контекста можно заключи формулы, соответствующие другим истинным высказыва-отношений имеется в виду. Между общи шям, не принимая во внимание в процессе преобразования руктур и । тления и структурами языкового выражомо высказывание. Еще одно преимущество формалнзо-ния леги и уще ?ует, । говорят, взаимнооднозначн «анного языка заключается в том, что в логическом умозак-отношенне, т. е. каждой j ысленнон структуре точне со ч очении не могут проскользнуть никакие неявно допус-ветствуе п е иная я ыковая структура и наоборо аемые дополнительные предпосылки. Многие проблемы Это ри	тому, ч о внутри формальной логики опер зогнки и математики вообще могут быть разрешены только
ц с мысл;	можно а [енить е ствием со знаками. Тгакимн средствами. Наконец, выявилось еще одно интерес-
ким образом, формальная логика располагает формали н*? н полезное свойство формализованных языков: форма-ванным языком, или формализмом. Формализм в этс 'швованные языки, полученные для какой-то определенной смысле не имеет ничего общего с метафизической абсолют-области, часто можно использовать в совершенно иных об
а ие । р ы io ci I шенню к содержанию, речь идет лив 1астях, дав их знакам соответствующую интерпретацию.
вре нн м трап ровании от содержания, что служ Несколько позже мы увидим, что при использовании фор-облегченню и уточнен! ю умственной деятельности. папизма логики высказывании могут решаться теорети-
Ф р^ в и я ык должен уд влетворять следу веские проблемы электрических к других контактных схем.
щим условиям:	г	1 •
Существенным недостатком формализованных языков п сравнению с .тру гимн языками является то, что они маловь -разительны. Совокупность имеющихся до сих пор формализованных языков может воспроизводить лишь относителып небольшие области действительности. Трудно предсказат», для каких областей науки могут быть созданы формализс-ванные языки, а для каких нет. Эмпирические исследования, конечно, не могут быть заменены ими. Совокупност. научных языков никогда не будет совокупностью формализованных языков.
Построение формализованного языка для определенной области науки создает условия для полного прояснения! логической структуры системы высказываний о данной области. Любая попытка создать такой язык, даже неудачная,! является полезной, потому что она неизбежно приводит к мысленному и языковому уточнению наших знаний о соот-| ветствующей области. Для различных областей нахкя (на-| пример, этики, юриспруденции), помимо формальной ло-1 гики и математики, уже найдены возможности для форма-1 лизании, а для других, возможно, еще будут найдены. Уже теперь в каждой науке формализованные языки могут I служить примером целенаправленной разработки специального языка и тем самым косвенно способствовать уточнению понятий и высказываний.
1.4.3. КАТЕГОРИИ СЕМАНТИКИ
В терминологии семиотики виды знаков называются «категориями», в данном случае это слово обозначает и основные понятия, как, например, категории в философии, а виды, которые определены значением относящихся к ним знаков. Такне выражения, как «Ленинизм — это марксизм нашей эпохи» и «Марксизм-ленинизм есть теоретическа» основа политики СЕПГ», относятся к одной и той же семан тической категории, к категории предложений. Такие вы ряжения, как «математик» и «логик», принадлежат такж к одной и той же семантической категории, к категорш «имен». Таким образом уже названы две важнейшие дл научных языков семантические категории. Их следует бол< с точно определить и провести дальнейшие разграничена
Оба приведенных в качестве примера предложения яг ляются повествовательными. Они доминируют в научны языках. Но в естественных языках используются и другие виды предложений: побудительные, вопросительные, вое клинательные и т. д. Побудительные и вопросительны*
предложения имеют особое значение для научных языков, рлличие между повествовательным, побудительным и воп-. ительным предложениями основывается на том, что им елответствУют различные формы мышления: высказывание, требование и вопрос. Высказывания, требования и вопросы являются отражением объективных связей вещей или явлений.
П ствовательное предложение	Побудительное предложение	Вопросительное предложен и-
высказывание	требование	вопрос
/ктнвные связи • у предметами	объективные свяли между предметами	объективные связи между предметами
Б\квы справа от таблицы указывают на принадлежность к определенной категории знаков (Z), мысленных образов (.4) и объектов отражения (О) в смысле раздела 1.4.1. Приеденная здесь связь между видами предложений и их значениями в какой-то степени является идеализацией. По-< гвовательное, побудительное и вопросительное предло-ения отличаются друг от дру га как по своему значению, так и по своей функции. Повествовательные предложения носят информативный, описательный, десигнативный характер. Они дают сведения о прошлом (например, свидетельские показания в суде), о настоящем (например, сведения о магнитном поле Земли) или о будущем (например, в прогнозе погоды). В науке они служат для формулировки за-K jhob и теорий.
Побудительные предложения носят направляющий, ука-ывающий, предписывающий, определяющий характер. Они побуждают кого-либо к действию или к его прекращению. В форме этих предложений можно сформулировать планы, Ридические законы и нравственные нормы. В науке их ожно использовать для формулировки методических пра-Ил и методов, в том числе и алгоритмизированных прс-грамм, они применяются и как средства общения при ру ко-^дстве научной работой и ее организации.
Вопросительные предложения выражают желание что-1ибо узнать. В зависимости от того, хотят ли узнать о том, Что есть или было или что надо делать, ответ последует в ви-’ повествовательного или побудительного предложения.
В палке вопросительные предложения могут употреблянеопределенные числительные и местоимения. На сою-ся для формулировки проблгч. Вопросительные преддо»* более подробно остановимся в логике высказываний; нии можно понимать как особый вид побу штельных пр |П именах, нсопроде пенных числительных н местоимениях— ложений, сое шняющих вопросы с треб ван и *м. При > в логике предикатов. Но о семантической категории имен вопрос рассматривается как относящееся к кому-то тре ч>е т ^ь уместно сделать некоторые принципиальные за-вание передачи информации.	,чання.
Правила образования повествовательных, побудите. «Имя», как термин логики и семиотики, имеет более ши-ных н вопросительных предложений, действующие в естепокое значение, чем в разговорной речи. Не только выра-вениом языке, применимы также и в научных язык «Владимир Ильич Ленин» и «Аллея Карла Маркса» В символических языках тля отражения рахтмчия меж я и тс я именами, но и все знаки, которые могут быть ис-повествовательным, побудительными и вопросительны в пы для обозначения какого-либо предмета. При предложениями в большинстве случаев пользуются воскл до>: п д предметом ожно понимать тела или мысли, свон-цательными и вопроситедьными шакамн:	, 1SJ пли связи. Имена обозначают понятия. Бывает, что
«р» — повествовательное предложение,	1 ’,я имеет значение, но ничего не обозначает, не имеет де-
«р!» или «!р»—побу дительное предложение,	сипит., например имя бога «Юпитер».
«р?» пли «^р» — вопросительное предложение.	Различают имена собственные и общие. Собственные име-
!— это имена с одним-единственным десигнатом, обозна-
В большинстве книг по логике обсуждается только л чжхипс одип-едннственный предмет. Примерами таких гика ск «ываний. Причина этого заключается про являются «Фридрих Энгельс», «Берлинская телеви-осего в том, что логика побуждений, или, как ее называю ^донная башня», велосипед Камиллы» и «человечество».
логика норм, и логика вопросов все еще находятся в стад Значение собственного имени — это единичное понятие, обсуждения их основ. Правда, в этих областях есть у же мн Общие имена или имена классов — это имена с более чем го работ (при этом применяются обозначения «логика ими одним десигнатом, обозначающим более одного предмета, ратмвов», «логика норм», «логика вопросов»), но до сего Примерами этого вида имен являются: «марксист», «теле-няшнего дня их авторы еще не добились результатов, ко^башня», «велосипед», «человек». Есть также общие имена, рые были бы, по крайней мере, приблизительно сравни' которые, хотя и имеют значение, но ничего не обозначают, с результатами, полученными в логике высказываний. ( например «нимфы». Значением общего и ген и является общее ществхет даже мнение, что никакой особой логики нор п«эдятие. К общим именам относятся существительные, если логики вопросов нет вообще или что их можно свести к л они не являются именами собственными (например, 'Все-гике высказывании. В этом книге тоже, как уже сказан ленная»), а также некоторые прилагательные и глаголы, рассматривается только логика высказываний. Пробл< 1
императивов будет затрагиваться лишь постольку, носкот» ку методические правила и правила умозаключения я. ляются императивами. Но при этом речь пойдет о теоретик познавательных, а не о логических проблемах. Если и не обязательно формулировать высказывая в повествовательном предложении, побуждение в побу тельном, а вопрос в вопросительном предложениях, то » же при 4’ормулкровке своих мысли! надо в такой степей учитывать различия между формами мышления, чтобы сл!			
	имя	собственное имя	общее имя
	понятие	единичное понятие	общее понятие
	десигнат	индивид	класс индивидов
шателю или читателю было ясно, хотят ли выра ить ыс»
зы ванне, побуждение или вэпрос. Неожиданные реакц Здесь следует дать обзор важнейших семантических ка-собеседнпков f ередко Я1 потея признак < недостаточ тегорий, чтобы последующие уточнения могли быть i боль-ясного выражения мыслей,	ней степени взаимосвязаны.
При анализе предложении рассматривают имена, со 1
1.4.4. языки РАЗЛИЧНЫХ ступеней	уже	Е„„ >чнтельн„ца предлагает ученику
v __________ пгпевести определенное предложение, то она в соответст-
К ребов ।	, 1редъявляе\ым к зыковым выр< с п 2 использует для этого предложения обозначение,
1	>ж; ! в Е наУке« ° носится и следую, g соответствии с п. 3 можно, например, констати-
сознания С>'|Л1|,аоЛзнаках1,язь1ка ₽еЧЬ ° BeUlaX*° С°Де₽Жа ^ать многозначность определенного слова этого предло-Основой любого человеческого познания являются ’^‘цко^языкТправит склотеш'^^ряз^ия^^разовання щи. свойства, связи и т. д.. короче, предметы, которые с "° е™“ ТГру™™XT ' ₽ ективно, реально существуют и сами не являются знак qco/chho ясно различие между объектным языком и ме-языка. Они находят отражение в объектных теориях, таязык м, если рассматриваемый'объектный язык является Н е нь сНп! ер, ннфекш С||мволнческим, а метаязык, как средство исследования, ! ые болезни вляются предметом теории инфекционных являстся несимволическим научным языком, что имеет ме-ЯЗЫК ЯВЛ5,е™ Чю в математике и формальной логике. При работе в пре-о‘ ,	rJLrL	Г’ «	делах одного и того же естественного языка сделать разли-
w 7 т	р а	тс°р,,и 11 ,,х языки з свою чие между объектным языком и метаязыком гораздо труд-
ре ь ст н в я предметом исследования. Так можно п Чтобы сказать что-либо на немецком языке о части гернть. истинны ли высказывания этой теории, совмесп ЯЗЫКЭ( удается подобрать метаязыковые имена, ли они друг с Др} гом, не содсрн нт ли теория противорс?бо3наче|11|я ддЯ слов ИЛи предложений объектного языка, щих друг другу к з НИИ. Бывает нужт Hcc.it для Предложсния «Пролетарии всех стран, соединяйтесь!» 7вс?ЛМуЛТ В/Н теор ;тпческ,,е 01 к можно найти название в метаязыке — его можно однознач-Ь таппп’ и’ пг^е ЭТО ие можст ь осуществлено вну назвать завершающим предложением из «Манифеста самой теории и посредством ее языка. Для этого необхо коммунистической партии» К Маркса и Ф. Энгельса Бо-ят^мый мХяязык^^Т	ст} пени и ее язык, >ы лее простым СПОсобом образования метаязыковых имен для
шемый метаязыком. Теория и ее язык не обязательно д Р предложений объектного языка является применение " ТОЙ £ ст5'"енн' Может f кавычекS стоящ^в кавычках, служит в данном слу-RTnnnfi ста. прин гь аил » }пени форму л и; v I чае метаязЬ|К0ВЫМ именем для того же слова, написанного р	* дн . то ,,е УстРаняет различия ме * <ез кавычек а есЛЯ поставить в кавычки предложение объ-
н языком”на к % tc	ится ержд т сктного языка, то получится имя этого предложения. В язы-
Метаязык имеет следующие свойства-	Ковой наУчной литературе выражения, напечатанные кур-
1	С помощью его языковых средств можно выразив’ сл*жат ^Языковыми именами для выражени все. что выразимо средствами объектного языка. ^^ктного языка.
2	. С его помощью можно обозначить все знаки, выра И ния и т. д. объектного языка, для всех них имеются име
3	На метаязыке можно говорить о свойствах вираже J объектного языка и отношениях между ними.
4	. На нем можно сформулировать определения, обо чения, правила образования и преобразования для вы женин объектного языка. Связь между объектным языь1 и метаязыком можно разъяснить на примере. На занят»] по русскому языку в политехнической средней школе Г изучаемый фрагмент русского языка выступает как объс ныи язык, а немецкий язык как метаязык.
Так как слова и прсхтоження русского языка можно i свести на немецкий язык, то первое требование к метая я зб
объектный
	слово	предложение
язык	пролетарии	Пролетарии, соединяйтесь!
	«пролетарии»	«Пролетарии, соединяйтесь’»
Следующие примеры делают различие между формул и
Ровками объектного и метаязыка более понятным:
_ 0) Пролетариат есть рабочий класс в капиталистическом 'Честно.
(2) «Пролетариат» означает то же, что и «рабочий кл редко употребляются кавычки. Конечно, нельзя заставить в капиталистическом обществе».	применять их точно в соответствии с приведенными
(3) Пролетариат означает то же, что и «рабочий класс j правилами. Но от научной литературы надо требовать, что-капиталистическом обществе».	п крайней мере, из контекста однозначно следовало.
Предложение (1) является предложением объектного о ** идет Рсчь- Разумеется, этого требования надо бы при-языка, оно сообщ ет нечто о социальной действительности! уживаться повсюду, где люди должны объясняться друг
Предложение (2) относится к метаязыку, оно сообщ.г с другом.
нечто о языковых выражениях и их значениях
Оба предложения сформулированы правильно. Предд	2. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЙ
жение (3) образовано неправильно, так как в нем смеша д объектный язык с метаязыком. Начиная со слова «озн Основные понятия логики высказываний. Их примене-чает», оно является метаязыковым именем, в то время к.) нпе в логических умозаключениях, а также в электрических перед этим вместо имени метаязыка для выражения объек и других контактных схемах, ного языка стоит само это выражение.
В литературе кавычки используются прежде всего ди 2.1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ выделения цитаты из всего текста, чго точно соответству . Т приведенному здесь правилу применения кавычек. Иногд Высказывание Операции с высказываниями (отрицание посредством кавычек указывается на то. что определенна и объединение высказываний). Многозначность ряда сою-формулпровка имеет иронический оттенок; если, например, зов естественного языка.
застали кого-либо спящим на работе, то говорят, что о<Я
снова был «прилежен». Это, конечно, не имеет ничего общег	ц.|. ВЫСКАЗЫВАНИЕ
с различием между объектным и метаязыком.
Выше ничего еще не говорилось о том, что в построений^ языков имеется более двух ступеней, тем не менее мы сфор мул провал и свои предыдущие замечания на языке третье); ступени. Чтобы говорить только об объектном языке, был бы достаточно языка второй ступени. Но мы говорили свойствах метаязыка, о правилах образования, действую щих в нем, н т. д. Для этого мы пользуемся языком, нах< дящимся с ним в таком же отношении, как он сам с объект ным языком, т. е. мета-метаязыком, или языком третье) ступени. Такое построение можно продолжать скольк угодно. Однако в общем достаточно различия между дву\ языками: между языком, являющимся предметом исслед вания, и языком, являющимся средством для исследования । Среди формализованных языков различие между языка' разных ступеней неизбежно. Иначе было бы невозмож) заменить операции с мыслями операциями со знаками. Др гая причина такого различения, касающаяся также и н формализованных языков, заключается в том, что смени ние языков разных ступеней может привести к логически противоречиям.
Вне формализованных языков часто не делают четко* различия между языками разных ступеней, или, как нм еще называют, семантическими ступенями. В частности.!
Понятие «высказывание» относится к основным понятиям формальной логики, которые не могут быть определены средствами самой /гой науки. Исследование и определение того, что такое высказывание, относится к задачам теории познания, результатами которой пользуется формальная логика.
Высказывание— это мысленное образование. Оно является формой отражения объективной реальности в человеческим сознании. Другими формами отражения являются восприятие, ощущение и понятие. Восприятие и ощущение принахтежат к чувственной ступени, а понятие и высказывание — к рациональной ступени познания.
Высказывание отражает объективную связь между предметами, этим оно отличается от понятия, которое отражает класс пре .мегов. Рассмотрим сначала некоторые примеры, касающиеся объективных связей между предметами. То. что листы этой книги из белой бумаги,— эю объективное положение дел, которое отражается в высказывании «Листы Э1ой книги сделаны из белой бумаги». То, что люди — общественные существа,— это объективное отношение; то, Что Земля вращается вокруг Солнца,— объективное отношение между предметами; то, что телевизор дороже радио-пРиемника,— также объективное положение дел. Во всех
этих случаях определенным предметам (листы книги, лю присущи определенные качества (быть сделанным из бе. бумаги, быть общественными существами) или определи! ные предметы (Земля, Солнце, телевизоры, радиоприем! ки) находятся в определен ной связи друг с другом (враща ся вокруг, быть дороже, чем...).
В дальнейшем мы чаще будем пользоваться термин «признак» вместо выражения «свойство или отношение», т. вместо «Определенные индивиды обладают определенны свойствами или находятся в определенном отношении др с другом» мы будем говорить короче: «Определенным инд4
,10гут существовать и в сознании, например, когда определенное высказывание является отражением определенного 40Ьектнвного положения дел. Конечно, реально существующие объективные связи между предметами являются первичными по отношению к существующим в сознании. Поэтому если высказывание н не является прямым, непосредственным отражением реально существующей объективной .вязи, а отражает мысленную объективную связь, то последняя, по крайней мере, косвенно, опосредованно зависит п объективной реальности.
Высказывание бывает истинным или ложным в зависн-
ем дам присущи определенные признаки».	нги от того, является ли оно адекватным, правильным
Как уже видно из примеров, слово «индивид» служит м отражением соответствующей ему объективной связи между только для обозначения человеческой личности. Оно уп предметами или нет. Аристотель, чье представление об исти-требляется для обозначения вещей в самом широком смыс. не лежит в основе ее диалектико-материалистического по-слова независимо от того, существуют ли они реально нл] нимания, выражал это таким образом: «Петину говорит тот, только в человеческом сознании. Атомы, молекулы, жив кто считает разъединенное разъединенным и связанное — ные, люди, дома, города, числа, мысли являются индивид г связанным, а ложное — тот, кто думает обратно тому, как ‘in в этом смысле. В обычном разговоре или в науке рсЛхл • обстоит с вещами» 1. Так как истинность высказыва-всегда идет (явно или косвенно) о совершенно определим ння — прямо или косвенно — всегда зависит от объективной области индивидов, т. е. о совершенно определенны! них отношении между предметами, то она является объек-индивидах и их признаках.	Т1П НОи истиной.
Совокупность лю ieA с их разнообразными общественны I Если мы сказали, что каждое высказывание бывает ми отношениями образует предметную область обществен] либ истинным, либо ложным, то это не означает, что каж-ных наук. Для зоолога предметной областью является с дое ьыска ывание абсолютно истинно или абсолютно лож-вокупность животных. Для физика элементарные частиш но, т. е. что оно точно и совершенно адекватно отражает со-атомы, молекулы, твердые тела являются индивидам! отсутствующую ему сбыктивную реальность, или отражает предметной области, о которой он говорит.	ее совершенно < шнбочно. 11ознанне действительности, по-
Но логические законы ни в коей мере не раскрыва лучение истинных еысказываний скорее есть процесс, котоспециальных предметных областей, они, как мы уже гов рый ведет от относительно истинных к абсолютно истинным рил и, применимы к любым предметным областям. Поэто\ высказываниям. Относительно истинное высказывание более в формальной логике говорится не о какой-либо определен! или менее точно или более или менее адекватно отражаег ной предметной области, а о любых предметных облает соответствующую ему объективную связь. Оно содержит и используется такое общее понятие индивида, как мы er 1 относительную истину, которая может исправляться, здесь охарактеризовали.	совершенствоваться, пополняться прогрессирующим позна-
Согласно этим предварительным замечаниям мы можс пнем. Но поскольку это высказывание охватывает, по край-в общем констатировать, что мы говорим об объективн ней мере, частично объективную связь между предметами, связи между предметами:	оно содержит что-то от абсолютной истины и поэтому яв-
(1) если определенным индивидам присущи определе Дяется предварительным этапом совершенного и окончательные признаки, или	Ъого познания ».
(2) если определенным признакам свойственны опр Высказывание формулируется (в общем) в форме повест-деленные признаки.	Вов.лелыюго предложения. Оговорка, поставленная в
На этом втором случае мы остановимся в разделе 3.51__________
Объективные связи между предметами могут существова Г i Аристотель. Сочинения. М., 1975. т. I. с 250. реа. ьно, как приведенные В предыдущих примерах, но i  » Лемин В. И. Поли. собр. соч., т. 18, с. 137,
скобки, возникает из-за того, что на символических язык^ формулировки высказываний можно считать повеств* I тельными предложениями только в переносном смыс J В естественных языках высказывания иногда выражают 1 не повествовательными предложениями, а другими язы*] выми формами. Такое вопросительное предложение, к < «Эта картина — шедевр?» нередко употребляется и пон мается, как повествовательное. Возглас «Ой!» при опре J ленных условиях обозначает высказывание, судя по коз рому, говорящий ощущает боль.
Несмотря на неразделимую связь между высказывант! и языковыми формами его существования, их нельзя п тать друг с другом При правильном переводе с одного язы на другой высказывание остается неизменным, а форма е | существования меняется. Высказывание может передавав ся различными предложениями н в рамках одного язык] Предложение «Все существует в пространстве и во времен
означает то же высказывание, что и «Нет ничего, что не с уверенность в ложности этого высказывания ничего не ме-ществовало бы в пространстве и во времени». Если значс няет в объективной истинности последнего. Высказывание ния истинности приписывают не высказываниям, а (к? истинно, поскольку оно объективно истинно. Аристотель это часто делают гносеологи — идеалисты и ученые-л > говорил: «Не потому ты бледен, что мы правильно считаем гики) повествовательным предложениям, то понятие ис|тебя бледным, а, наоборот, именно потому, что ты бледен, тины релятивизируется. Однако истинность высказывани- мы. утверждающие это. говорим правду» *.
есть объективная истинность, т. е. она зависит не от языка в юриспруденции также употребляют термины «выска-на котором сформулировано высказывание, а от объект» «ванне» и «суждение». От свндегельского показания суд ной связи между предметами, которую она отражает лДет по возможности адекватного описания объективного Итак, датим определение:	положения дел, т. е. истинного высказывания в подразу-
Высказывание есть мысленное отражение объективной деваемом здесь смысле слова. Приговор суда, наоборот, связи между предметами. Оно истинно, если оно адекпатн ,,е является высказыванием, а по своен сути является по-отражает эту связь, в противном случае оно ложно. Вы Суждением к определенному действию или поведению, ко-сказывание существует (в общем) в форме повествователь Т0Рое должны выполнять соответствующие государственные
по го предложения.
2.1.2. ВЫСКАЗЫВАНИЕ И СУЖДЕНИЕ
В традиционной логике вместо термина «высказывай» , был принят термин «су'жденне». Различение этих термине* целесообразно.
В настоящее время термин «суждение- использует в теории познания и в психологии. Суждение — это выск зывапие, но ему наряду с признаками высказывания пр J сущи еще и дру гие. Суждение — это волевой акт, оно выр J жает точку зрения, утверждение, эмоционально окрашен Эти признаки возникают потому, что суждения н выскпзн] вания существуют только в человеческом сознании и п
стоянно связываются с другими его формами. Формальная 10гцка абстрагируется от этих дополнительных признаков. Например, отношение человека к высказыванию для фор-иальной логики не имеет никакого значения. Эта наука Исследует отношения между истинными и ложными выска-.ваниями, но истинны или ложны эти высказывания, зависит только от отражаемой в них объективной связи между предметами.
Поясним это на примере: предположим, г-н Л просит г-на В одолжить ему 10 марок. Г-ну В не хотелось бы этого елать, и он говорит: «У меня нет с собой столько денег». При этом он знает, что в бумажнике у него есть еще 50 марок. Если он выдает за истинное высказывание, в ложности которого он убежден, то про такого человека говорят, что он лжет. Следовательно, г-н В солгал. Но если он на самом деле, не заметив, потерял бумажник, то его высказывание об отсутствии у него суммы, нужной г-ну А, правдиво и его
рганы. подсудимый или конфликтующие друг с другом стороны. Решение суда нельзя путать, например, с обосно-
ванием решения, которое, разумеется, носит характер высказывания.
Собственно в человеческом сознании высказываний нет, а есть только суждения. Но формальная логика в своих Целях абстрагируется от таких свойств суждений, которые не оказывают никакого влияния на те отношения, которые на изучает и которые только затруднили бы ее исследования. Такой результат абстрацни и называется «высказыванием».
1 Лри. Сочинения, т. 1, с. 250.
2.1.3. ВЫСКАЗЫВАНИЕ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
мы говорим «высказывание р имеет ложное значение истинности». Формальную логику, в которой каждое высказывание принимает только одно из двух значений истинности, называют «двузначной логикой». Таким образом, наше изложение ведется в рамках двузначной логики, нз чего следует, что рассмотренные здесь законы и правила неограниченно пригодны только для абсолютно истинных или абсолютно ложных высказывании, а также для таких высказываний. которые, по крайней мере, в данном отношении можно рассматривать как абсолютно истинные или абсолютно ложные.
Так как относительно истинные высказывания являются
Законы формальной логики действительны для люб содержания мышления, безразлично, являются ли t предметом проблемы науки или политики, вопросы искусе ва или повседневной жизни. Поэтом} в формальной логи абстрагир}ются от конкретного содержания высказываю 1 н говорят только о высказываниях вообще; конкретю высказывания служат лишь примерами. В логике выск зываний абстрагируются, кроме того, от составных чаете» и структуры высказываний, их принимают во внимаю g
только в логике предикатов.	одновременно относительно ложными, то они не соответст-
В соответствии с этими двумя процессами абстрагнрова вуют требованиям принципа двузначности. Для применения избирается символика логики высказываний. Скачал; ння к ним законов и правил двузначной логики требуется вводятся переменные для высказываний, называемые проп ► соблюдать определенные меры предосторожности. Сущест-зиинональными переменными р, q, г,. . . Эти переменные вует мнение, что относительно истинные и относительно лож-стоят вместо каких-либо повествовательных предложен» Й ные высказывания и их отношения следует рассматривать и их значениями являются гысказыванпя.	в многозначной логике. Уже имеются такие логики, в ко-
Пропозициональными переменными пользуются так же,] торых высказывание может принимать одно нз трех или как в математике числовыми переменными. Там говорят,] '"олее значений, а также попытки применить их в физике например, о натуральных целых или рациональных числ х и технике Однако эксперименты по использованию в них п, д, с,... и их отношениях и составляют формулы с помощь *, наряду с обоими абсолютными значениями истинности так-этих символов. В логике высказываний говорят о вы с к азы-! же и относительных значений истинности пока не привели ваниях р, qt г,. . . и их отношениях и также с помощью этих к удовлетворительным результатам.
символов составляют формулы. Как в математическихК Принцип двузначности дает возмож»»ость более точно формулах вместо числовых переменных а, Ь, с,. . . можно, определить пропозициональные переменные: пропозици-использовать определенные цифры (1, 6, 7), так и влогичг.'-l овальная переменная используется вместо какого-либо по-ких формулах вместо пропозициональных переменных мо. - ’ествовательного предложения, ее значением является вы-но использовать конкретные повествовательные предлож сказывание, которое либо истинно, либо ложно. В случае ния. Если такая формула пригодна для любого высказыва- необходимости можно установить, какое из значений пе-
ния р, q, г,. . ., то она, естественно, должна быть прпгодн । для любого конкретного применения.
Для более точного определения предмета нашего изл жения мы принимаем принцип двузначности высказыва нин:
Каждое высказывание бывает либо истинным, ли ложным, т. е. каждое высказывание имеет фактически одно и только одно нз этих двух свойств.
Другими словами: средн рассматриваемых нами выск зываний не должно быть ни одного, которое не было бы и I истинным, ни ложным. По высказывание не должно быт.] истинным и ложным одновременно. Вместо «высказывание истинно» мы говорим также «высказывание р имеет истин* пое значение истинности», вместо «высказывание р ложно*]
тинностн соответствует данному высказыванию. На специальном языке формальной логнкн это называется приданием пропозициональным переменным различных значений истинности. Для значения истинности «истина» мы нсполь-Уем в качестве символа букву «/», для значения истинности
•ложь» — букву «/».
Рассмотрим операции, которые можно производить с высказываниями с помощью связок логнкн высказываний. Сначала мы займемся отрицанием высказываний, а затем Р Этичными возможностями их соединений. В языке сое- мнению высказываний соответствует соединение повество-’тельных предложений с помощью союзов «и», «или» и т. д.
8 сложносочиненные предложения. При этом имеет место 1'0отвстс1е »е:
• ЯЗЫК*	повеет*ов«т<г.«ьыме предложения	союзы	- сложносочиненны* предложения
• ыы1*теяяя	выс«>чымнмя	лег ячеек не связки	с жные вькказы зияя
Сложные высказывания, образованные с позющью свя-ок из отдельных высказываний, являются истинными ил i ложными, как н сами элементарные высказывания, т. с. сложные высказывания сами являются высказываниями. Рассмотрим, каким образом значение истинности сложных высказываний зависит от значения истинности элементарных высказываний. Формальная логика ограничивается при этом исследованием экстенсиональных связей виска зываний. Экстенсиональными связями высказываний являются такие, при которых значение истинности сложного высказывания зависит только от значении истинности элементарных высказываний, но не от конкретного содержания последних.
В последующих разделах речь часто будет идти о выражениях. Под этим термином подразумеваются формулы логики. Некоторые выражения состоят только из переменных, другие из переменных и постоянных. Постоянные — это языковые знаки, имеющие определенное, твердое значение, это, главным образом, логические связки. Переменные же, наоборот,— это языковые знаки, которые нс имеют определенного конкретного значения, а употребляются вместо каких-либо постоянных.
В пределах логики высказываний мы будем использовать только один вид переменных — пропозициональные переменные, позже остановимся на других. Подвыражением мы понимаем последовательность знаков, состоящую и символов логики и правильно образованную согласно ее синтаксическим правилам. Такое выражение является осмысленной последовательностью знаков, которая обозначает, например, сложное высказывание в противополож ность бессмысленной последовательности, которая ничего не обозначает и не может обозначать. Как правильно образа вывать выражения, мы подробно покажем в последующих разделах. Для наших пелес эти замечания достаточно точно определяют, что является выражением.
Различие между мысленными образованиями и их языковыми формами существования, о котором мы уже hcoiho
кратно говорили, в дальнейшем будет играть важную роль в теоретико-познавательных рассуждениях. Но точное вза нмное соответствие мысленных и языковых структур в формальной логике позволяет абстрагироваться от этого различия в рамках логических рассуждений, а это дает возможное^ упростить способы выражения. Например, можно ск^'ять, что определенное выражение при определенном р определении значений встречающихся в нем пропозициональных переменных является истинным, хотя, строго гол'ря, надо было бы сказать, что значение этого выражения является истинным высказыванием.
2.1.4 ОТРИЦАНИЕ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Высказывание р отрицается, если хотят сказать, что существует объективная связь между предметами, не соот ветствующая р, а обратная ему, исключающая его. Отрицая высказывание р, получают другое высказывание, а именно: логическое противоречие р, отрицание р, символически изображаемое «~р». Это выражение читается как ше р» или лучше «ложно, что р».
В результате логического отрицания высказывания «ГДР представляет интересы немецкого народа» получают отрицание этого высказывания «Неверно, что ГДР представ ляет интересы немецкого народа». Вследствие этой операции мы превратили истинное высказывание в ложное. В результате же отрицания ложного высказывания получается истинное. Из ложного высказывания «Боннское правительство проводит политику мирного сосуществования» с помощью логического отрицания получают истинное высказывание ‘Неверно, что боннское правительство проводит политику мирного сосуществования». Таким образом, если высказывание р истинно, то его отрицание ~р ложно, и, наоборот, если р ложно, то ~р истинно. Эту связь .можно наглядно изобразить на таблице значений истинности отрицания:
р	~ р
t f	1 t
На основании этого формулируется следующее определе
Отрицание в логике высказываний есть операция, по. средством которой из данного высказывания р получают
его отрицание ~р, т. е. высказывание, значение исти |.И ности которого обратно значению истинности р.
Это определение пригодно не татько для простых в Л сказываний, рассматривавшихся нами до сих пор, но Л для любых сложных высказываний. Истинное сложное вн сказывание становится ложным и наоборот, если оно иеЛ ликом отрицается.
Высказывания, отрицающиеся несколько раз, могу вызвать трудности в понимании. Что, например, подразуВ мевается под высказыванием: «Неверно, что неверно, ч i неверно, что неверно, что идет дождь»? С помощью уже опи-В санных средств можно совершенно точно ответить на это л вопрос. Сначала высказывание «идет дождь» выражаете ч символом «р». Затем устанавливают, с кат ь ко раз отрицает И ся р, и для каждого отрицания пишут по одному символ «В отрицания. Так возникает более наглядное выражение! ~ л/ ~ ~ р. Это выражение является, очевидно, отрнца
нием ~ ~ ~ р и, тем самым, имеет значение истинности  обратное ~	*^р. Далее ~ является отрицание Л
~	~	— отрицанием ~ р и, наконец, ~ р ест Л
отрицание р. Отношения между этими пятью высказыв.з-1 пнями можно наглядно изобразить на таблице иепп ности:
/ /
/ I
Как видно, ~	*** ***р имеет то же значение истиннос-В
ти, что и р. В соответствии с этим исходное высказываш еВ может быть просто заменено понятным высказывание iВ «идет дождь».
Далее, из таблицы видно, что дважды или четырежды В отрицавшееся высказывание имеет то же значение истин-В ности, что и соответствующее не отрицавшееся, и чго трнж-В ды отрицавшееся высказывание имеет то же значение нс-В тинности, что и отрицавшееся один раз.
В результате этого мы получаем правило для у проще-В ния логических выражений:
Если перед логическим выражением или внутри i.uul
непосредственно друг за другом следует несколько отрицаний, то их можно попарно вычеркивать до тех пор, пока не останется одно или ни одного.
Если же между деумя знаками отрицания стоят, например, скобки, то для этих знаков отрицания указанное правило применять нельзя, поскольку они не следуют непосредственно друг за другом. Переход от многократно отрицавшихся высказываний к отрицавшимся один раз или совсем не отрицавшимся является, хотя и элементарным, примером того, как в формальной логике оперирование с мыслями можно заменить оперированием со знаками.
Формулировку отрицания высказываний с помощью выражения «Неверно, что ...» в естественном языке используют редко, так как она звучит несколько искусственно. Обычно ее употребляют тогда, когда хотят подчеркнуть, что определенное высказывание ложно. Однако, как указывалось выше, мнение человека не оказывает никакого влияния на значение истинности высказывания, и высказывание с отрицанием может быть как истинным, так и ложным. В специальном языке формальной логики речевой оборот «Неверно, что ...» укоренился как языковое выражение для отрицания высказывания, и здесь его всегда следует понимать именно так. Вместо выражения «Неверно, что бумага этой книги белая» в естественном языке в большинстве случаев употребляется выражение «Бумага этой книги ие белая». Оба повествовательных предложения фактически равнозначны, оба высказывания имеют одно и то же значение истинности. Во второй формулировке в первую очередь отрицается не высказывание, а татько понятие внутри высказывания. Но отрицать понятия можно лишь с помощью средств логики предикатов, в логике же высказываний можно отрицать высказывания татько целиком, без учета структуры и составных частей высказываний.
Здесь нужно указать на ошибки, возможные при отрицании высказываний. Если мы отрицаем высказывание •Бумага всех книг белая» по образцу предыдущего примера, то получаем высказывание «Бумага всех книг не белая». Первое высказывание ложно, так как имеются книги, напе-иатанные на желтой, розовой и дру гой бумаге. Если бы вто* рое высказывание было отрицанием первого, то оно было бы истинным. Но оно также ложно, так как говорит, что вооб-нет книг на белой бумаге. Правильное отрицание пер-₽ого высказывания должно бы гласить «Бумага не всех книг белая» нлн «Имеются книги, бумага которых не бе-зая».
В заключение следует еще указать на то, что нельзя путать логическое отрицание с диалектическим отрицанием. Различие между ними особенно ясно видно в случа с двукратным отрицанием. Высказывание, дважды отрицавшееся в логике высказываний, имеет то же значение истинности, что и соответствующее не отрицавшееся выска зывание, и может быть заменено им. Двукратное диалектическое отрицание, отрицание отрицания, как форма развития, приводит к тому, что первоначальное качеств в какой-то степени повторяется, но у же на более высоком уровне.
2.1.5. КОНЪЮНКЦИЯ В ЛОГИКЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Рассматривавшиеся выше отрицательные и неотрицательные высказывания отражают объективную связь между предметами природы, общества или мышления. Но дсп ствительность есть структура. система объективных связей, т. е. эти объективные связи существуют не изолированно друг от друга, а в свою очередь находятся в самых разнообразных связях друг с другом. Если одна объективная связь находится в определенной связи с дру гой, то это обстоятельство находит свое отражение в человеческом сознании в сложных высказываниях. Формой существования этих сложных высказываний являются сложносочиненные повествовательные предложения.
Займемся некоторыми важнейшими видами сложных высказываний и формами их образования. В рамках логики высказываний из всех свойств высказываний принимаются во внимание лишь их значения истинности. Поэтому здесь нас будет интересовать прежде всего вопрос о том, какая связь существует между значением истинности сложного высказывания и значениями истинности тех высказываний, из которых оно состоит.
Первое из таких сложных высказываний называется конъюнкцией. Если хотят сказать о сосуществовании двух определенных объективных связей *.ежду предметами, не давая более точного определения этому сосуществованию, то делают это с помощью сложносочиненного предложения, например «р и о», «как р, так и д», «р, но (также) (р и т. д. Часто отказываются от этих союзов и тогда повествовательные предложения просто ставят рядам. Сложное высказыва ние, которое говорит о сосуществовании двух объективных связей между предметами, является, очевидно, истинным, если фактически существуют объективные связи между
рргчыстлмн. соответствующие обоим простым высказываниям. Если же хотя бы одна из них объективно не существует, то они не существуют вместе, и тогда сложное высказывание, говорящее об их сос)щсствовании, является ложным. Например, мы объединяем два высказывания «Социа-„13М победит во всем миро и «Капитализм прекратит свое г. шествование» в конъюнкцию «Социализм победит во всем мире, и капитализм прекратит свое существование». Эта омъюнкцня истинна, так как оба высказывания истинны, «оныонкния была бы ложной, если бы, по крайней мере, дно из них было ложным.
Сюжное высказывание такого типа обозначается снм-г-л.тжч»и «pA<7»; это выражение читают как «/? н д». Мы также можем изобразить на таблице истинности связь между значением истинности конъюнкции н значениями истинное! и р и q. В таблице для конъюнкции нужно учитывать четыре различные возможности, т. е. четыре различных распределения значений пропозициональных переменных:
1.	р н q — оба истинны,
2.	р — истинно, q — ложно,
3.	р — ложно, q — истинно,
4.	р и q — оба ложны.
Таблица значений истинности конъюнкции имеет соот-ветстьсино следующий вид;
₽	4	p*q
t t '/	t f t f	i f f
На основании этой таблицы получаем опредетепне конъ-ю-'кцип:
Конъюнкция p/\Q есть сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда истинны как р, так и ф
Речений оборот «тогда и только тогда, когда...» в опреде-д*нии равнозначен обороту «точно тогда, когда...». Оба эти г'<)рота будут не раз встречаться в дальнейшем. Иначе Гг>воря, p/\q ложно, если хотя бы одно из двух высказыва-
u ’ — ложно.
Часто конъюнктигно соединяются не татько два, но три ••сказывания и более Как же устанавливают значение нс-
тинности такого сложного высказывания? Соединительн ««В связка «конъюнкция! является двухместной, т. е. она вс г-| да соединяет друг с другом только два высказывания. Ч. Л бы соединить конъюнктивно три высказывания, мы дол/Л мы, как в математике, использовать скобки и тогда полу.К чим:
(Р А Я) Л г или р Д («у Д г).
Сначала мы должны определить, какое значение имееЛ конъюнкция, стоящая в скобках. На основе этого значеш | истинности и значения истинности переменной третье | высказывания определяется значение истинности всего в ] ряжения. Установление значений истинности лучше все- ( проводить с помощью таблицы истинности. При ЭТОМ Сл1 дует принимать во внимание, что каждая из трех перемен I ных, имеющихся в конъюнкции, может быть истинной ил I ложной. Отсюда возникает восемь различных распределс-1 ний значении переменных:
1.	Все три переменные имеют значение «истинно» (1 на-| бор значений).
2.	Одна переменная истинна, две другие соответствен-» по — ложны (3 набора значений).
3.	Две переменные имеют значение «истина», треть Л соответственно — «ложь» (3 набора значении).
4	Все три переменные имеют значение «ложь» (1 наб 4 значений).
На основании этого записываются значения истинное! 6 в первых трех столбцах таблицы. Значения истинности в ос -1 тальных столбцах пату чают исходя из определения конь В юнкцин. В том случае, если оба высказывания, стоящие >
заглавной строке, истинны, то в соответствующих строках! ™воречия: пишут «/», в противном случае — «/». Из нижеследующей I таблицы истинности можно увидеть, что конъюнкция, сск-1 тоящая из трех высказываний, является истинной тогда и только тогда, когда все три соединенных высказывания нс-В тннны. Расположение скобок, очевидно, не играет никакой В роти. Поэтому в конъюнкциях, состоящих более чем i |t двух высказываний, скобки можно опускать.
Приведенных примеров таблиц истинности достаточ! о для балее точного понимания, что такое таблица истинн ти Таблица истинности выражения — это таблица, котор содержит все возможные распределения значений псреме I ных, встречающихся в выражении, а также значения исти иости, которые принимает выражение в целом в зависим» . Два первых столбца таблицы истинности уже известны ти от распределений значений его переменных. Поряд 1 1,3 Раздела об отрицании. Третий столбец строится в соот-
р	q		pAQ	(pAf)Af	gAr	рл(длг)
4	t	t	t	t	t	t
1	t	f	t	f	/	f
f	I f	t	1	f	f	f
t		f	f	f	f	f
I	t	t	f	f	t	f
9 f f t	i	f	f	f	f	f
	f	t	f	f	f	f
	f	f	/	/	f	1
значений переменных во входных статбцах таблицы определяет значение истинности всего выражения. Поэтому условием сохранения одним и тем же выражением в различных таблицах одного и того же порядка значений истинности по строкам является единая последовательность на-<«ров значений во входных столбцах.
Дли определения порядка значения истинности по строкам таблицы сложного выражения сначала надо, как в последнем примере, выяснить порядок значения истинности по строкам таблицы его составных частей. Например, порядок значения истинности выражения (pA~<7)A (~ГЛ$) зависит от порядка значения истинности (рЛ~<7) и от(~гД s). Порядок значения истинности по строкам таблицы (рд ^q) снова зависит от порядка значения истинности р и
Испатьзованной до сих пор символики уже достаточно для изображения одного важного закона логики высказывании, мы имеем в виду предложение о недопустимости про-
~ (М ~4
Это предложение говорит о том, что конъюнкция высказывания с его отрицанием всегда ложна. Составим таблицу истинности этого предложения:
f
	! ~p	p/\~p	~(pA~p)
	f	1	t
	t	t	t
ветствни с определением конъюнкции; если из двух конъ-юиктивно соединенных высказываний одно ложное, то все сложное высказывание ложно. То, что было сказано об отрицании, справедливо для любого сложного высказывания, если оно отрицается в целом, как это имеет место в начале заглавной строки четвертого столбца.
Невозможно, как говорил Аристотель, «чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же отношении» *, поэтом} не могу; быть вместе истинными два логически противоречащих друг другу высказывания.
Предложение о недопустимости противоречия служи, косвенным критерием истинности. На основании этого предложения о сложных высказываниях, в которых копъюнк-тивно соединены высказывание н его отрицание, сразу можно сказать, что они ложны, не проверяя их непосредственно на практике. Такие противоречия часто трудно распознать, потому что высказывание р выступает в языковой формулировке, отличной от формулировки его отрицания ~ р. Таким образом, чтобы суметь обнаружить такие логические противоречия, надо овладеть определенными правилами преобразования, с которыми мы познакомимся в логике предикатов, и, кроме того, надо располагать достаточными знаниями в соответствующей области науки. II здесь практика — главный критерий истинности, так как само предложение о недопустимости противоречия было получено только на основе данных об объективной реальности и в практике человечества оно миллиарды раз доказало свою истинность.
Как и в случае отрицания, нельзя путать логическое противоречие лежду высказыванием р и его отрицанием ^р с диалектическим противоречием. В то время как логическое противоречие вообще не существует в объективной реальности, диалектическое противоречие является движущей силой развитии, играет в нем решающую роль. Если стороны диалектического противоречия обусловливают друг друга, то стороны логического противоречия исключают друг друга.
В третьем столбце таблицы истинности предложения о недопустимости противоречия стоит только значение «ложь-, в четвертом столбце—только значение «истина». Это значит: сложное высказывание типа РЛ~Р ложно независимо от
1 Аристотель, Сочинения, т, I, с, 250.
того, означает р истинное или ложное высказывание; сложное высказывание типа ~ (рЛ~р) истинно независимо от того, означает р истинное или ложное высказывание. Выражение первого вида является противоречием (контрадикцией), высказывание второго вида — законом. Точное опреде-irine этого и других видов выражений логики высказываний приводится в разделе 2.1.8.
2.1.6. ДИЗЪЮНКЦИЯ. РАЗДЕЛИТЕЛЬНАЯ ДИЗЪЮНКЦИЯ И ИСКЛЮЧЕНИЕ
Если во вводной главе было сказано, что многие слова естественного языка многозначны, то это касалось не только существительных, но и союзов. К ним относится рассматри-члемое здесь слово «или». Формальная логика раскрывает под< бные многозначности и создает средства, с помощью ко* торых нх можно избежать.
Сложные высказывания, сформулированные с помощью союза «или», отражают существование различных возмож костей. Сложное высказывание «Производительность труда на нашем предприятии повышается за счет улучшения трудовой дисциплины или за счет лу чшеи организации труда» отражает наличие разных возможностей повышения производительности труда. с>го сложное высказывание истинно, если одна из двух указанных возможностей осуществляется в действительности. Но оно будет истинным и тогда, когда произкоднтельность труда повышается и за счет у лучше кия трудовой дисциплины, и за счет лучшей организации фуда, т. е. если реализуются обе возможности. Сложное высказывание будет южным, если не реализуется ни одна из них.
Таким образом, сложные высказывания, полученные с помощью союза «или», могут свидетельствовать о том, что из указанных возможностей реализуется, по крайней мере, одна. Они называются «дизъюнктивными». Дизъюнкция, ^стоящая из высказываний р и qt выражается в символической форме *p\Jq* и читается как «р или q*. В научной ли-ТгРатуре иногда встречается формулировка «р или и qi пли «р |(лн (такжеу Это означает, что это сложное высказывание будет истинным и тогда, когда оба элементарных ^сказывания вместе являются истинными.
основе наших примеров составим таблицу истин-°Стн дизъюнкции:
Р	Я	РУЯ
А теперь дадим определение: дизъюнкция pV q — это I сложное ыс называние, которое истинно тогда и толъм I тогда, когда, по крайнем мере, одно из высказываний р, g I является истинным.
Это определение дизъюнкции не является единственна I возможным. Дизъюнкцию можно определить еще и так:
Дизъюнкция p\Jq — это сложное высказывание, кото I рое является ложным тогда и только тогда, когда как р. I так и q ложны.
Дизъюнкция строится, чтобы показать, что из различны -. I возможностей реализуется, по крайней мере, одна. I I иногда нужно показать, что из двух различных возможно I тей только одна реализуется в действительности и что осу I ществление одной из возможностей исключает осуществлс I вне другой. В данном случае часто употребляют формул! I ровку «либо «р, либо д». Примером может служить сложи высказывание «Госу дарства с различным общественным стр( I ем либо мирно сосуществуют, либо находятся в состояии I войны». Такое сложное высказывание является crporoi I разделительной дизъюнкцией. Строгая дизъюнкция явл» I ется истинной, если высказывания, из которых она coci I нт, имеют прогивоположные значения истинности, т. е I одно высказывание истинно, другое ложно. Высказывай! I о том, что из двух определенных возможностей реалпзус I ся одна и только одна, конечно, ложно в случае, если ре I лизуются они обе или если не реализуется ни та, ни дру-1 гая. Введя символическое обозначение для строгой дизъюнк-1 пии, состоящей из высказывании р и q, *р'\/ф» (читается, к 1 «либо р, либо д»), можно построить таблицу истинности:
В соответствии с этим дадим определение:
Разделительная дизъюнкция p^'q — это сложное высказывание истинное тогда и только тогда, когда высказывания р, q имеют различные значения истинности.
Разделительная дизъюнкция может быть использована и в том случае, когда известно, что из двух исключающих друг друга наложений дел существует одно, но неизвестно какое.
В разделительной дизъюнкции «или» называют также «исключающим или», в простои же дизъюнкции «или» является соединительным. В дизъюнкции истинность одного простого высказывания не исключает истинности другого, а в разделительной дизъюнкции — исключает. Однако этого различия еще недостаточно, так как союз «или» в естественном языке, хотя и редко, употребляется и в третьем, тоже исключающем значении.
Возьмем, например, вместо неточного утверждения, что что-то является сыном рабочего или крестьянина, сложное (нас называние «Он — сын рабочего, или он — сын крестьянина». Тем самым мы хотим сказать, что он ни в коем слу-ч .е не является и тем и другим, но. по крайней мере, тать-ti одним из них. Словами «по крайней мере* мы выражаем t> обстоятельство, что он может не быть ни тем, ни другим. В отличие от разделительной дизъюнкции наше сложное «сказывание и в этом случае истинно.
I Такое сложное высказывание называют исключением и аитиконъюнкциеи. Исключение, состоящее из высказы-Whh!! р, q, символически изображается «р|д» и читается •к «р несовместимо cq* или «р и q исключают друг друга». Таблица истинности p\q имеет такой вид:
Определение гласит:
Д Исключение (антнконъюнкция) р q — это сложное вы-с**>ывание, которое истинно тоги» и только тогда, когда, 1,0 крайней мере, одно из высказываний р и q — ложно.
«пли» в естественном языке, как и во многих науч-языках, служит для построения дизъюнкции, раздели
тельной дизъюнкции и исключения. Нужно различать эти три вида сложных высказываний, так как это имеет существенное значение для ответа на вопрос, реализуется л« здесь, по крайней мере, одна нз двух различных возможностей и только ди одна.
Как можно провести четкое различие1* В фор мальв логике нужно договориться о подходящем символе или имени. Но это не решение для несимволическпх научш х языков и в первую очередь для естественного языка. Он,-пытках выделить союз «или» как связку дизъюнкции из числа других уже говорилось. Средства и результаты фор-мальвой логики здесь могут служить для разделения раз-пых значений слова, причем не нужно изобретать hobi е слова и речевые обороты. В формальной логике часто пользуются только связкой дизъюнкции и с помощью други связок сводят к ней разделительную дизъюнкцию и исключение.
Разделительная дизъюнкция руд может быть выраже-
на с помощью связок дизъюнкции, конъюнкции и отрина ния следующим образом:
(р V q) Л ~ (р A q).
Это выражение можно было бы перевести как «р или < I и нс (р и <?)», скобки должны пояснить, что отрицание о I носится к конъюнкции, а не к одному р; несколько болсЛ свободный перевод гласил бы «р или q, но не оба вместе I
/Л\/Мл _./„AzA ZSOWOtlHA-r	MZO ПпОЛП	|| р'£/</ I
Что (pV<7)A~(pAfl) означает то же самое, что сразу становится ясным из таблицы истинности:
P	Я	pvq	рлд	~(pAg)	(pVQ)A~(pAg)	Р^Я
t	t	t	t	/	f	f
t	f	t	f	/	t	t
f	t	t	f	t	t	t
f	f	f	f	t	/	f
истинности (pV<?)A~(p/\q) 1
значения
видно.
Как p^q совпадают, если совпадают значения истинности н q в обоих выражениях. Такие выражения называют выр жениями «с одинаковыми распределениями значений» ил* «семантически адекватными». В логических связях, например в умозаключениях, они могут заменять друг дру. ь Одинаковые распределения значений имеют также * q и (pA~?)V (~рА<7)- Это становится ясным, если вгор<
сражение переводят как «р и не —q, или не —р и о»; более свободный перевод: «р и нс — q, или не —р, но д». Доказательством их семантической адекватности также служит таблица истинности.
Исключение p]q имеет одинаковое распределение значе-HI H с жзъюнкциен ~pV~q И это мы докажем с помощью
t t f I
	1 ~₽		~pv~q	Р\Я
t	f	f	f	f
f	t	t	t	t
t	t	f	t	t
f	t	t	t	t
между тремя значениями «или» очень
Знание различий
важно для уточнения смысла сложного высказывания, так
как тому, кто знает три значения «или», не достаточно многозначной формулировки «р или <т», необходимо также знать, исключает ли осуществление одной нз возможностей (р) осущ твление другой (</) или нет, должна ли одна нз двух обязательно осуществиться, или может случиться, что не реализуется ни одна из них.
В заключение рассмотрим еще один важный закон:
р V ~Р-
В логике высказываний он называется законом исключенного третьего и тоже быз установлен Аристотелем.
P	| ~P		P\T~P
t I	f t	t t
Эго значит, что нз двух противоречащих высказываний н- могут быть ложными.
Пр. лложение об исключенном третьем следует также из инных об объективно!! реальности, оно отражает тот факт, Чт° некоторая объективная связь между явлениями действительности либо существует, либо нет. Закон исклю ’Явного третьего сохраняет силу только для абсолютно нс-и абсолютно ложных высказываний или когда соло
---	1 xiw rfiumnuiA __________ _____„_____
^гствующие высказывания можно рассматривать,

крайней мере, в данном отношении как абсолютно ьстинш или абсолютно ложные. Так как относительно истиннее высказывания одновременно являются и относительно ложными, то закон исключенного третьего к ним не применим. Кроме них имеются абсолютно истинное и абсолютно ложное высказывания о рассмотренном объективном отношен! и между предметами.
2.1.7. ИМПЛИКАЦИЯ, ОБРАТНАЯ ИМПЛИКАЦИЯ, ЭКВИВАЛЕНЦИЯ
К многозначным союзам естественного языка наряду с «или» относится также союз «если. то». В грамматике oi причисляется к условным союзам. С помощью этого союза часто выражают то, что одно явление является условней для другого. Существует три вида условий: 1) достаточные 2) необходимые и 3) достаточные и необходимые.
Чтобы правильно применять их в науке, важно научиться их точно различать. Из сложноподчиненных предложений, образованных с помощью союза «если, то», часто нельзя понять однозначно, какой вид условия здесь имеется в виду. Проблема еще более усложняется тем, что с помощью союза «если, то» не всегда передаются условные связи. Рассмотрим логическую структуру трех видов условной связи и соответственно три разных вида сложных высказываний, которые могут быть сформулированы с помощью «ес ли, то».
Первый вид такого сложного высказывания называется «импликацией». Символическим изображением импликации, состоящей из р, q, будет «р-* д»; на языке формальной логики говорят: «р включает <?», «всегда, если р, то <?» или просто «если р, то q*. То, что в импликации стоит слева от стрелки, называют «антецедентом», а то, что стоит справа,— «консеквентом» импликации. Антецедентом импликации р -* q является р, а консеквентом q.
Импликация р-> q говорит об определенной связи двух объективных явлении, а именно: если имеет место явление, выраженное р, то имеет место и явление, выраженное q-Но это еще ничего не говорит о том, существует ли хотя бы одно из этих явлений. Сложному высказыванию р-н? противоречит только тот случай, когда существует явление действительности р, а явления q не существует. В этом и тальке в этом случаеp-*~qложно. На основе этих рассуждении строится таблица истинности:
Определение гласит:
Импликация p—*q — это сложное высказывание, ко-io(xxr ложно тогда и только тогда, когда его антецедент р истинен, а его консеквент q ложен.
Из таблицы истинности и из определения импл :ка:ши вытекает, что перестановка ее членов может привес in к изменению таблицы истинности сложного высказывания. При конъюнкциях, дизъюнкциях, разделительных дизъюнкциях и исключениях такой опасности нет. Дтя них, так же как для сложения и умножения, имеет место закон коммутативности, а для импликации, как для вычитания и деления, закон коммутативности теряет силу.
Следующий пример может помочь лучше понять смысл импликации. Перед экзаменом экзаменатор составляет сложное высказывание: «Если экзаменуемый подготовился д<<росо«естно, то он сдаст экзамен». Если экзаменуемый хороню подготовлен и сдаст экзамен, то сложное высказывание истинно. Если же экзаменуемый не сдаст экзамен, хотя он хорошо подготовлен, то сложное высказывание, очевидно, ложно. В противоположность мнению экзаменатора добросовестной подготовки для сдачи экзамена недостаточно. В данном случае экзаменатор не учел каких-либо других условий, необходимых для сдачи экзамена. Если же экзаменуемый сдаст свой экзамен, не подготавливаясь основательно, то это сложное высказывание будет снова истинным. Если экзаменуемый не подготовился добросовестно и не сдал экзамен, то это сложное высказывание так;не истинно. Антецедент нашего сложного высказывания (р) отражает объективное положение дел, наличие которого является достаточным условием для существования явления, выраженного в консеквенте (</). Всегда, когда имеет vccto явление, соответствующее р, имеет место и явление, соответствующее q. Иными словами: не может быть, чтобы существовало явление, соответствующее р, а явле-НИя. соответствующего q, не существовало. Все другие слу-ч*и возможны.
И.-летняя формулировка свидетельствует о том, что
p-*q у тверждает то же, что и — (рЛ fl). « что порядок 3i ченнй истинности обоих выражений одинаков, что мох в показать на таблице:
д	q	~<1	P*~q		P-*-Q
/	1	f	/	I	t
t	/	t	/	1	f
f	t	f	f	t	t
f	f	t	t	t	t
Наш пример импликации отражает связь между достатсч-пым условием и его следствием, но импликация не всегд отражает именно эту связь.
Например, сложное высказывание «Если идет дождь, на улпие сыро> отражает причинную связь, т. е. свял между причиной и действием. Однако по своей логически структуре эта связь является импликацией, как и первая Дружеский упрек «Всегда, когда я хочу тебя навестить, т  бя нет дома» тоже имеет структуру импликации, хотя пег вое высказывание не является условием для второго, ьг говоря уже о причине. В связи с этим мы хотим еще раз напомнить, что формальная логика занимается только общими структурами правильного мышления. В форм .льн» логике сложные высказывания различаются только тог когда они различны по своим логическим структу рам, че> нет в наших трех примерах. Зате*^ мы хотим еще раз и помнить, что в логике высказываний, которой мы сейч занимаемся, из всех свойств высказываний мы принима. во внимание только их значения истинности и что мы иссле* дуем связи между простыми высказываниями и состоящим/ из них сложными высказываниями только в отношения связей между их истинностными значениями. Значения, в которых используются союзы в логике высказывании, представлены таблицами истинности. Разумеется, по эп причине иногда возникают некоторые отклонения от при* менення этих союзов в естественном языке, особенно, если в естественном языке они у потребляются многозначно.
В формальной логике импликация, как она здесь определяется, имеет особое значение для логического умозакл чения. В таблицах истинности в скрытой форме содержим ся множество импликаций, каждая таблица истинно?1 неявно содержит множество сложных высказывании вид* «Если р имеет значение «истина» и fl—значение «истина»»
то pfv'Q •* *е€Т знач н,,е «ложь». Эти сложные высказывания являются импликациями вида (p/\q)-*-r, антецедент которых представляет собой конъюнкцию двух высказываний. Применяемые в математике высказывания вида если р, то q»t «если р, тогда q> и «р есть достаточное условие ^ая *7* также имеют структуру и тликации.
Второй вид сложных высказывании, которые, как и импликации, могут быть сформчлированы с помощью «если, Tie, называется «репликацией» или обратной имплика цис*.
Репликация, состоящая из высказываний р. q, читается клс «р реплицирует?» или на естественном языке «только если р, то р». Символически это изображается как «р-*-р». Обратная импликация также говорит об определенной связи между двумя явлениями объективной реальности, а именно: только если существует явление, соответствующее р, то существует и явление, соответствующее q. Но это опятышчего не говорит о том, существует ли хотя бы одно из них. Противоречащим такому высказыванию будет высказывание, что существует явление, соответствующее q, но не существует соответствующего р. Таким образом, таблица истинности репликации ю еет вид:
р	я	P — Q
1 t ! f	t f t f	t I f t
Определение таково:
Репликация p^-q — это сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда его антецедент ложен,  его консеквенз истинен.
В качестве примера репликации рассмотрим сложное пысказывапие: «Только если замкнут контакт, лампочка горит». Если контакт действительно замкнут, а лампочка горит, то сложное высказывание истинно. Если контакт замкнут, а лампочка не горит, то сложное высказывание Также истинно. Не было сказано, что лампочка при назван-иых условиях обязательно горит. Поэтому нет причины Рассматривать данное сложное высказывание как ложное. Наоборот, высказывание будет ложным, если лампочка
горит, а контакт разомкнет. Если контакт разомкнут н лампочка не горит, это опять-таки не противоречит высмеиванию. Оно и в этом случае также истинно. В этом примере речь идет о связи между необходимым условием и er j следствием. Необходимое условие отличается тем, что его отсутствие делает невозможным его следствие, т. е. лампочка не может гореть, если предварительно был разомкнут контакт. Но наличия одного лишь необходимого условия недостаточно, чтобы наступило его следствие. Чтобы лампочка действительно зажглась после замыкания контакта, должны быть выполнены еще и другие условия: лампочка должна быть присоединена к источнику тока, подача тока не должна прерываться. Здесь так же, как и в случае с импликацией, следует напомнить о том, что формальная логика абстрагируется от многих аспектов реальных отнопн-нни. Связь между необходимым условием и его следствием всегда отражается в форме репликации. Но не каждая репликация отражает такую связь. У потребляемые в математике высказывания, как «только если р, тод» и «р является необходимым условием для ^», также имеют структуру репликации.
Третий вид рассматриваемых здесь сложных высказываний называется «эквивалениней». Эквиваленция, состоящая из высказываний р, q, символически изображается tp*-*q* ц читается как «р только тогда, когда q> или «р тогда и только тогда, когда <?>. Эквиваленция отражает тот факт, что два определенных явления либо существуют оба, либо оба не существуют. Так же, как и в конъюнкции, здесь ничего не говорится о виде и способе совместного су шествования. Употребленную здесь формулировку «вместе (оба) не существуют» нельзя путать с формулировкой «не вместе (не оба) существуют». Первую можно изобразить символически ~p/\~q, а вторую~(рЛ<7); различие между этими двумя формулировками можно разъяснить посредством таблицы истинности.
Приводим таблицу истинности и определение эквив*-ленпии:
Эквиваленция p*-*q — это сложное высказывание, ко-т0. с истинно тогда и татько тогда, когда высказывания oq оба имеют одинаковые значения истинности.
I Для разъяснения приведем пример, который мы уже один mi приводили. Предположим, что экзаменатор говорит: Экзаменуемый сдаст экзамен тогда и татько тогда, когда । юбросовестно подготовится». Это сложное высказывание истинно, если оба высказывания сбываются или оба не сбы-аются. Если же экзаменуемый сдаст экзамен без основа* тельной подготовки, то сложное высказывание ложно. Оно и тогда будет ложным, если экзаменуемый подготовился хорошо, а на экзамене провалился. Экзаменатор мог бы сформулировать свои мысли и таким образом: «(Экзаменуемый сдаст экзамен, и он добросовестно подготовился) или неверно, что он сдаст экзамен, и неверно, что он добросо-вестн • подготовился)». Чтобы пояснить логическую структуру этого сложного высказывания, мы вопреки всем тра-ншням поставили здесь в разговорном тексте скобки. То, что оба сложных высказывания экзаменатора говорят об одном и том же, можно доказать с помощью таблицы истинности.
Если мы до сих пор отдельно рассматривали импликацию, репликацию и эквиваленцию, то теперь займемся их связью. Сначала обратимся только к импликации и репликации и посмотрим, что патучится, если мы поменяем местами антецедент и консеквент.
р	’ 1		Q~*'P	p*—q	<t*~p
t t f f	t 1 t f	t 1 t t	t t f t	t t f t	t f t t
можем констатировать:
P-*q и q +- р имеют одинаковый порядок значений истинности;
P+-q и q-+p имеют одинаковый порядок значений нстин-I	ности.
Таким образом, импликацию можно превратить в репликацию с таким же порядком значений истинности, меняя местами ее члены и поворачивая стрелку в противополож-н°ч направлении. Это еще один пример того, как при использовании законов и правил формальной логики мыслен-1 * 743	65
ные операции можно заменить операциями со <накамп. 3 способ можно применять и для сложных высказываний сформулированных на естественном языке, конечно, условии достаточной точности и однозначности форме., ровок. Наприvep, можно заменить формуляр 1вку та  вида, всегда если р, то <у» формулировкой «только если тор». В естественном языке иногда встречаются реплика я и импликации в сокращенной форме. Принцип маркси колени неких партий «Без революционной теории нет волюцнонной практики!» является такой репликацией сокращенной форме. В более развернутой форме это зву так: «Только овладев революционной теорией, можно Житься успеха в революционной практике!». В виде сок щен ной импликации этот принцип гласил бы: «Ника революционной практики без революционной теории!».
Как символические обозначения импликации и реп канн и ука <ывают на способ их связи между собой, так твоиная стрелка указывает на связь эквивалент!!! с пмп ж1 кацией и репликацией. Эту двойную стрелку можно предс-Л вить как состоящую нз двух стрелок, показывающих ря1 личные направления. В самом деле, p+-*q и (p-*p)A(p*- I и «еют одинаковы!! порядок значений истинности:
			P*~q	(p—-q) A ( *—q)	P++q 1
t	t	t	t	t	t
t	f	1	t	1	t
1	t	t	1	/	f
f	f	t	t	t	t
уже
говорили, что импликация может выражп*
Мы
связь между достаточным условием и его следствием, а р/Н ликацня — связь между необходимым условием н его с станем. Если р отражает достаточное условие нскоторм! явления, соответствующего д, т. е. если p-^q истинно, ( если р одновременно отражает необходимое условие я ния. соответствующего q, т. е. если p+-q также истин тогда явление, соответствующее р, является достаточным необходимым условием явления, соответствующего q. I пример, прохождение тока (определенного вида и силы) раскаленной провол ке лампы накаливания является
статочным и необходимым условием для свечения этой * « 'х '""'Р пи. Поскольку лампочка горит всегда, когда проходI Ног ток.— >то условие достаточное. Поскольку лампочка р
ток. j
юлько тогда, когда проходит ток,— это условие необхо-
। |j высказывания вида «если р, то р», сформулнрован-естественном языке, часто нельзя понять, является ВОно по с юей структуре импликацией, репликанием или •деннией. Иногда этот вопрос можно решить на ос-ми контекста. Но если это и не удастся, все равно по-деК.<1 такого уточнения полезна. Как и в случае с тремя ч, ы1ями союза «или», здесь надо стремиться к одно иач-форм улировке своих мыслей.
2 1. ЗАКОНЫ И ПРХВИЛА ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
I рассмотренных выше выражений логики высказы-Ш1ШЙ некоторые мы назвали законами. По сравнению с гимн выражениями они обладают особым значением для t аеческого мышления. Как же можно отличить законы высказывании от остальных выражений? Какие другие виды выражений логики высказываний существуют?
Им .тся три принципиально различных вида выражении логики высказывании, для которых мы приводе! еле дртоцде примеры:
<Р V ~<7) V(~PA<7), (р V ~ q) А Р А <7).
Че они отличаются друг от друга, увидим из таблицы!
				pV~q	~pAq	(pV~q)V V(~PA<?)	(pV~$)A A(~pAq)	—♦	'Aq)
t	t	/	!	t	/	I	f	f
1 1 1	1	f	t	t	/	I	t	/
	t	t	f	f	t	t	f	t
	/	t	I	t	1	t	I	1
(pV~<?)V(~PA<7)
любом
при
.	___ „ , ,, ,,	распрею че-
значений встречающихся в нем пропозициональных ^ВВкнных принимает значение «истина». В этом оно сов-например, с предложением о недопустимости про-Ив°И-чия и с предложением об исключенном третьем, т. е. -«кона и логики высказывании. Выражение (pV~*7)A всегда принимает значение «ложь». В качестве .	выражения такого вида мы уже познакомились с
. с логическим противоречием. Выражение (pV~ */)-*• 3»
и большинство других выражений рассмотрений выше не является при всех наборах значений hcthhhocjJ ни истинным, ни ложным. Для этих выражений, назыш мых нейтральными, общим является то, что они, по крайнЛ мереа при одном наборе значений, но не при всех, прини-. *. ют значение «истина».
Таким образом, в логике высказываний есть три ви4 выражений:
I.	Законы логики высказываний или общезначим** выражения — это выражения логики высказываний, ьо> торые при каждом наборе значений встречающихся в них пропозициональных переменных принимают значение «истина» .
2.	Противоречия — это выражения логики выси, зы* ваннЙ, которые при любом наборе значений своих пропози-1 циональных переменных принимают значение «лож .».
3.	Нейтральные высказывания — по выражения логики высказываний, которые, по краиней мере, при одж* наборе значений встречающихся в них пропозициональных переменных принимают значение «истина» и, по крайней мере, при одном таком наборе — значение «ложь».
Каждое выражение логики высказываний принадлежа к одному и татько к одному из этих трех видов. Все выра че-ния логики высказываний, не являющиеся противоречив | ми.— это выполнимые выражения.
Таким образом, выполнимыми выражениями являются такие, которые, по крайней мере, при одном распределен* значений истинности встречающихся в них пропозицмо* нальных переменных принимают значение «истина».
Соотношение между этими видами выражений мож’® наглядно пояснить на схеме:
законы	нейтральные выражения	противоречия
выполнимые выражения
Стоит подумать над тем, почему законы имеют бальи** I значение для мышления, чем другие выражения. Если vW I о каком-то определенном выражении скажем, что оно пр* I каждом наборе значений принимает значение «истине* | то это будет лишь сокращенный способ выражения того, ’ I каждое сложное высказывание, соответствующее это'О 1 выражению, истинно независимо от того, какие конкретно I высказывания соединены в нем и какое значение истинно*, г* I
ши имеют. Иначе говоря: каждое сложное высказывание, логическая структура которого передается общезначимым выражением, истинно. Речь идет не о том, какие высказывания соединены, а о том, как они соединены. Отсюда вытекают два следствия.
В ^-первых, из каждого закона логики высказываний можно получить истинные высказывания. Для этого пропозициональные переменные заменяют конкретными повествовательными предложениями, а связки соответствующими союзами. Встречающиеся несколько раз пропозици-нальные переменные следует заменять одними и теми же предложениями с одними и теми же значениями. Тогда значение получившегося таким образом сложного предложения будет истинным сложным высказыванием. Из р\/ \ ~р пазу чают, например, истинное сложное высказывание «Идет дождь или неверно, что идет дождь». Выражение pV \~р общезначимо, каждое сложное высказывание такой структуры истинно независимо от того, означает ли взятое вместо р повествовательное предложение истинное или ложное высказывание, а также независимо от того, какое и* них истинно, а какое ложно.
Во-вторых, многие сложные высказывания можно нссле-ювать с помощью исключительно логических средств и установить, истинны ли они. С этой целью нужно выразить подлежащие исследованию сложные высказывания в символической форме, т. е. заменить повествовательные предложения с одними и теми же значениями одинаковыми пропозициональными переменными, повествовательные предложения с различными значениями заменить разными пропозициональными переменными, а союзы — соответствующими логическими связками. Если по таблице истинности Установлено, что получившееся таким образом выражение общезначимо, то можно сделать вывод, что исходное сложное высказывание, а также и любое другое, имеющее ту же л гическую структуру, истинно.
Если же выражение является противоречивым, то все сложные высказывания, структуру которых оно передает, ложны. Примером такого выражения является Сложные высказывания, структура которых передается нейтральными высказываниями, могут быть истинными, а могут быть и ложными. Это значит, что их значение истинности не м°жет быть определено таким способом. По таблице это можно определить только в том случае, если известны значения истинности простых высказываний, из которых состоит это сложное высказывание. Если же они неизвестны, то можно
попытаться сделать вывод об этом сложном выска нин на основании других уже известных истинных □ сказывании. К этим вопросам мы еще вернемся в р J ле 2.2.1.
С помощью таблиц истинности относительно любого U ражсния логики выска%1ваний можно установить, являл] ся ли оно законом, нейтральным выражением или upon j речи ем. Чем больше различных пропозициональных п менных в выражении, тем больше наборов значение ис ности надо проверить, но этот способ в конце концов вссг^ приводит к цели. Способ, с помощью которого относи, ель но любого выражения можно решить, к какому bi*J выражении оно относится, называют «разрешающей педуроА». Проблема разрешения состоит в том, ч указать такой способ. Для области логики высказыв. им этот способ состоит в построении таблиц истинности. Дру. гая «ра решающая процедура» для выражении логики » сказываний состоит в том, что выражение, относится т которого нужно решить, к какому типу оно принадлежит,i преобразуется в отну из его так называемых нормаль . форм, по которой можно непосредственно установить, является ли выражение общезначимым или не общезнада мым, выполнимо оно или не выполнимо. Этот способ мы олм шем в разделе 2.1.8*, но уже здесь кратко упомянем о правилах, по которым выражения приводятся к норм ль ным формам. Выражение в нормальной форме может со р жать только отрицание, конъюнкцию и дизъюнкцию, т. е все остальные константы должны быть свезены к назвв  ным трем.
Сначала рассмотрим преобразование импликлтп в дизъюнкцию. Импликация p-+q может быть преобразована в дизъюнкцию ~p\/q, так как обе имеют одинаю л' порядок значении истинности, что видно из т !блицы:
р	9	~P	P — Q	~PVq
t t f t	t f t f	f f t t	t 1 t t	t f t t
Имеется целый ряд различных импликаций, напри «Р Р~*~Ч, ~p-+~qt ~(p-+q), (p/\q)-^r и т. д. Надо ли >апо г пать для каждой из них в отдельности, какая дизъюнкций
л ряв»ь начна • Нет, достаточно знать общее правило, ко-vowwo получить на основе наших примеров. И это-«V правилу любую импликацию можно превратить в ди-jMOfiKUlHO.
Оба выражения нашего примера поместим друг под тугом и чисто формально опишем, как можно получить второе выр ! жен не из первого:
1.	р— антецедент импликации заменяется свои” отрн-8ДННСМ.
2.	Константа-> импликации заменяется константой V ЗЛЯ ди |ъюнкцнп.
3.	q — копсеквент импликации берется без изменении.
Реш. ющнм для тождества значении истинности обоих выражений является то, что первый член дизъюнкции имеет значения истинности, обратные значениям истинности перл то члена импликации, и что значения истинности вторых чл. нов этих выражений совпадают. Конкретная форма членов выражений не играет никакой роли, безразлично, состоят ли они из одной пропозициональной переменно*' или ее отрицания, из конъюнкции двух пропозициональных переменных и т. д. В результате обобщения мы лолу-ч е правило преобразования:
Импзикация преобразуется в дизъюнкцию с таким же лорядко значений истинности, если ее антецедент отрицается, константа импликации з.меняется констан нй Дизъюнкции, а консеквент берется без изменения.
В С' «-тветствпи с этим допустимы, например, следующие преобразования:
-Д_Г’	^р—	**(pj—*?)	(ГА?)—
~PV~	~~pV~<?	1	^(pAv)Vr
Мы не будем приводить таблицы истинности для каждой л«Ры выражений, но читателю в виде упражнения рекомендуем сделать это.
Если при таких преобразованиях возникают выражения отрицающиеся несколько раз, то их можно упростить в соответствии с правилами (в 2.1.4). Тогда ~~p\j ~q упрощается до p\/~q. В ~p\/q) знаки отрицания не должнм опускаться, так как они относятся к различным высказц. ваниям, а именно первый знак отрицания относится ко всему выражению в скобках, а второй — только к р.
Преобразовать любую дизъюнкцию в импликацию с таким же порядком значений истинности так же просто, как и выполнить обратное преобразование. Для этого можно использовать следующее правило:
Дизъюнкция преобразуется в импликацию с таким «е порядком значений истинности, если ее первый член отрицается, константа дизъюнкции заменяется константен импликации, а се второй член берется без изменения.
В соответствии с этим допустимы, например, следующие преобразования:
р	Vq	РУ-q 1	~(~pyq)	— (pAg)Vr
~р'	~^q	I ~p—-~q		P—*9)	1 ~~(PA?) — Г
			~(p —<?)	(pAq) — r
Правда, это правило применяется реже, чем предыдущее, но его используют для некоторых преобразований в логике предикатов.
Согласно сказанному в разделе 2.1.7 обратную импликацию (репликацию) можно преобразовать в импликацию с таким же порядком значений истинности, поменяв местами антецедент и консеквент и заменив стрелку репликации стрелкой импликации. Таким образом, каждая репликация через импликацию может быть преобразована в дизъюнкцию.
О возможности сведения эквивалент!)! к импликации уже говорилось в разделе 2.1.7, указания по преобразованию разделительной дизъюнкции и исключения находятся в разделе 2.1.6.
Без дальнейших обоснований мы приводим еще два правила для преобразования конъюнкции в дизъюнкцию с таким же порядком значений истинности и наоборот:
Конъюнкция преобразуется в дизъюнкцию с таким же порядком значений истинности, если:
1)	оба члена заменяются их отрицаниями.
2)	Л заменяется V и
3)	отрицается все выражение.
Соответственно
Р/\~Ч преобразуется в ~ (~ Р V---------0
и в конечном итоге упрощается в
~(~pV<7)
Дизъюнкция преобразуется в конъюнкцию с таким же порядком значений истинности, если:
1)	оба члена заменяются их отрицаниями,
2)	V заменяется Д и
3)	отрицается все выражение.
~(~Р V ^<7)
~	~ 0 Д ~

По своей природе эти правила — чисто синтаксические, они касаются исключительно знаков, но не их значения. Рассмотренные здесь правила служат для преобразования приведенных выражений логики высказываний в другие, имеющие такой же порядок значений истинности, иными словами, в семантически эквивалентные выражения. До сих пор мы не использовали этот термин, чтобы не спутать его с термином «эквиваленцня», что привело бы к смешению различных ступеней языка. Эквиваленты—это выражения объектного языка, с помощью которых можно высказать нечто об объективной реальности. Термины «одинаковый порядок значений истинности» и «семантически эквивалентный» являются выражениями метаязыка и используются для обозначения отношений между выражениями.
Однако здесь существует не только различие, но и связь, которая может быть полезной, например, для хмозаключе-ния. На основании примера сформулируем эту связь в общем виде:
р		l~₽	P — q	~РУЯ	
t t f f	t f t 1	f f t t	t t t t	t f t t	t t t t
Из таблицы истинности видно следующее:
1. Выражения p~+q и ~pVq семантически эквивалентны.
2. Эквиваленция (p-*g)<->(~pV?) общезначима.
Эквиваленция истинна только тогда, когда значении истинности ее членов совпадают. Если значения истинности членов эквивалент!!! совпадают при любом наборе значении переменных, т. е. если они семантически эквивалентны, то эквиваленция будет истинной также при любом набор» значений, т. е. будет общезначимой. Если эквивалент! общезначима, то ft* члены должны совпадать в своих зпачс ииях истинности при любом наборе значений, т. е. должны быть семантически эквивалентны. Таким образом:
Два выражения семантически эквивалентны толыи тогда, когда о тазованная из них эквиваленция общезначима.
В завершение сформулируем важное правило логики высказываний, которое мы неявно уже использовали при введении и обосновании различных правил преобразования, правило подстановки. Оно гласят:
В общезначимом выражении логики высказываний вместо любой пропозициональной переменной можно подставить любое выражение при условии, что эго осуществляется для всех вхождений этой переменной.
Каждое выражение, полученное из общезначимого выражения в результате правильного применения правил, подстановки, является общезначимым. Если в общезначи мом выражении (р-> q)*-+ (~ p\/q) вместо переменной р под ставляют выражение (p/\q), то получают общезначимое выражение ((p/\q)-►?)<-♦(~ (pA<7)V<7)- Если жеподстапов ку производят не во всех местах, то нет гарантии, что по лучится общезначимое выражение. Выражение <(рА?)~* -* q) <-+ (—' р V q), получающееся в результате такой нспра пильной подстановки, не является общезначимым. Средт различных видов логических выражений общезначимые выражения занимают особое место. Поэтому всегда ищут по возможности легкие способы, по которым можно установить, принадлежит ли дан нею ныражение к этому виду или нет. Легко определить, является ли обозначимой импликация. При этом пользуются методом от противного.
Предполагают, что подлежащая исследованию импликация не общезначима. Тогда можно найти, по крайней мере, один набор значений ее пропозициональных переменных, при которых эта импликация ложна. Такой набор значений может быть найден при предположении, что антецедент им
пликации истинен, а ее консеквент ложен. Если м икно найти такой набор значений, то импликация не будет общезначимой. Если же такого набора значении не существует, то импликация общезначима.
Пусть мы исследуем импликацию
TP (<7 -* P)-
Набор значений истинности, при котором она ложна, можно найти, предположив, что ее антецедент р истинен, а ее консеквент {q-*p) ложен. Консеквент сам является импликацией, которая будет ложной татько тогда, когда ее антецедент q—истинен, а консеквент р — ложен. Одна и та же пропозициональная переменная, а именно р, в одном и том же выражении, при одном и том же наборе значений не может быть в одном месте истинной, а в другом ложной. Таким образом, не существует такого набора значений истинности, при котором исследуемая импликация является ложной, следовательно, она — общезначима.
Другой результат пату чается для выражения
(р —д) —р.
Оно ложно, если (p-*q) истинно, л р ложно. Предположим, что консеквент р ложен, тогда для р в антецеденте мы должны сделать такое же предположение. Тем самым зада ется истинность антецедента (р-> д), так как он представляет собой импликацию с ложным антецедентом (р) и, следовательно, является истинным независимо от значения истинности ее консеквента (д). Следовательно, выражение (р—►д) —►р не является общезначимым.
Этот способ можно исполь ювать и для исследования выражения, не являющегося импликацией, например:
(pA?)V(-</V ~Р)
Скачала преобразуем это выражение в импликацию:
~ (Р A Q) — (~ q V ~Р)
~ (р A Q) -* (<7 Р)
~ pV ~ q) — (q ~ Р}
(Р — ~q) — (р — ~ р>.
Предположим, что консеквент всей импликации ложен, т. е. g истинно, а ~ р ложно. Тогда в антецеденте р должно быть истинным, а ~ g ложным. Таким образом, сам антецедент (р-> ~д) ложен. Следовательно, не существует набора значений истинности, при котором все выражение ложно.

Если надо исследовать эквивалентно, то ее преобразуют в две импликации, которые проверяют отдельно. Исследу-е t эквивалентно
<рА?)«-»(р— <7).
Сначала исследуем импликацию
(Р Л q) -* (р — 9).
Допустим, что консеквент (p-*q) ложен, поэтому р истинно, a q ложно. Из-за ложности q антецедент ложен Следовательно, это выражение общезначимо. Рассмотри* импликацию
(Р -*<?)-* (р Л <7).
Здесь имеется три набора значений истинности, при которых консеквент ложен. Среди ннх есть один набор значении, когда антецедент также ложен (если р истинно, a q ложно). Однако это еще не говорит о том, что выражение общезначимо, потому что существуют два других набора значений, при которых все выражение ложно: 1) когда р ложно, a q истинно, 2) когда р и q оба ложны. Исследованная эквива лекция была бы общезначимой, если бы обе импликации были общезначимы. Фактически же только первая импликация является общезначимой.
В заключение рассмотрим еще одно выражение:
[(Р -* <7) Л (г — s)] — [(р Л г) — (д Д $)].
Это выражение будет ложным только тогда, когда |(р -*•<?) Л Л(г-> s)J будет истинно, а 1(рЛг)-*(<7Л«)1 ложно. Последи» • выражение будет ложным только тогда, когда (р/\г) истинно, a (</As) ложно. Предположим, что (р/\г) истинно, и тем самым истинны р и г. Эти же значения они имеют в антецеденте импликации. Затем допустим, что (g/\s) ложно; таким образом, по крайней мере одна из двух переменных ложна. Тогда возможны три случая:
I.	д—истинно, s — ложно. Тогда в антецеденте (р-+д) истинно, но (/•-► s) ложно. Конъюнкция, по крайней мере, с одним ложным членом сама является ложной. Таким обра-еом, антецедент ложен, а все выражение истинно.
[<р — q) Л (г — s)] — [(Р Л ') —* (<7 Л S)]
I-------------------------Г
I
Схема еще раз показывает, как на основании распределения значений в копееквенте эти значения переносятся на антецедент и все выражение становится истинным.
2.	q— ложно, s—истинно. Тогда в антецеденте (p-+q) ложно, a (г~>$) истинно. Таким образом сам антецедент ложен.
3.	q — ложно, s — ложно. Тогда оба члена антецедента и сам антецедент ложны.
Среди трех возможных распределений значении истинности нет ни одного, при котором все исследуемое выражение было бы ложным. Следовательно, оно общезначимо.
Последний приведенный пример довольно сложен, зато преимущество, которое имеет описанный здесь способ, становится особенно наглядным. Если бы мы составили таблицу истинности, то нам пришлось бы использовать 32 строки, т. е. учесть 32 различных возможных набора значений истинности. Но из них достаточно принять во внимание только три, чтобы установить общезначимость выражения.
2.1.8*. РЕШЕНИЕ ПРОБЛЕМЫ РАЗРЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ НОРМАЛЬНЫХ ФОРМ
В этом разделе будет описано, как можно преобразовывать выражения логики высказывании, как уже по их структуре можно узнать, являются ли они общезначимыми и являются ли они противоречиями. При изучении этот раздел можно пропустить, сведения, содержащиеся в нем, являются условием для понимания разделов 2.2.1.4* и 3.2.6*.
Для решения некоторого выражения логики высказываний (т. е. для установления, к какому классу выражении оно принадлежит) его сначала приводят к нормальной форме. Последняя должна удовлетворять следующим условиям:
1.	Нормальная форма должна Сыть семантически эк-еивалентной исходному выражению.
2.	Из связок логики высказываний в ней должны содержаться только знаки отрицания, конъюнкции и дизъюнкции.
3.	Встречающиеся знаки отрицания должны относиться только к пропозициональным переменным, ноне к сложны* выражениям.
Приведем к нормальной (|ормс выражение ~ (p\/~q)-*
(~Р№)- Прежде всего нужно позаботиться о выполнении условия 2, а уже потом провести преобразования, необходимые для выполнения условия 3. Для этого сначала нужно устранить знаки импликации. Из ~ (/>V~ </)-*
(~р/\<?) получится-----РА<?). Пр
образование импликации в дизъюнкцию привело к тому, что левый член отрицается дважды. Согласно правил}, приведенному в разделе 2.1.4, выражение может бытьупро-щено до (pV~ <?)V~ (~ РА*?)- Теперь правый член надо преобразовать так, чтобы было выполнено условие 3. Дл* этого он превращается в дизъюнкцию (р\/~</) V ~ ~
~pV~<7).
После сокращения двойных знаков отрицания получаете (р V ~ q)\/ (р\/ ~ q)t являющееся нормальной формой вира жения ~ (pV ~	Р/\Я)- Здесь уже видно, что целе-
сообразно сначала нс принимать во внимание знаки отрицания, потому что они нередко сокращаются в процессе преобразования. Подтверди т это вторым, несколько более сложным примером.
Приведем к нормальной форме выражение: ** (р-> q)+~* *-> (г —~ s). Для этого с помощью эквивалентных преобразований надо устранить в сложном выражении один знак эк виваленнии, чва знака импликации и один знак отрицания. Мы начнем с устранения знака эквиваленции, пре-б разу я эквнваленцню в конъюнкцию двух импликации. Полу чается
[~ (/> — 0 — (г — ~ 01 А [(г — ~ S) — ~ «р9)]. Если теперь мы заменим знак импликации в квадратных скобках на знак дизъюнкции, то получим
[------(p-*q) V (г —* ~s)]A
Л Н (/ — ~ s) V ~ (р -* <?)],
а после сокращения двойных знаков отрицания получим [<Р — «) VU — ~s)]A[~ (r—~s) V~(p —<?)].
Обратимся к знакам импликации в круглых скобках и заменим их знаками дизъюнкции:
[(~pV?)V(~rV~s)]A A[~(~rV~s)V~(~/>V0].
Остается устранить знаки отрицания, стоящие в правой Ч8СГН выражения перед круглыми скобками. Это происходит в результате преобразования дизъюнкций в конъюнкции:
[(~pv<rt V(~'-V~s)]A
А[----(~~г А -----s) V~~(------рЛ~<7)1-
Нормальная форма имеет в конечном итоге такой вид:
[(~ р V Ч) V г V ~s>] Л (<' Л S) V (Р Л -</)]•
Такая нормальная форма в общем еще ке является той нормальной формой, по которой можно решить выр «женке. а лишь промежуточной ступенью для этого. В большинстве случаев необходимы еще преобраювання, при использовании следующих правил дистрибутивности:
I. От pV(</Ar) иожно перейти к (р V 0) Л Л (Р V г) 11 наоборот.
2. От />A0?Vr) можно перейти к (р A tf) V V(PAr) и наоборот.
Выражение вида pV (<?Лг) имеет то же распределение значений истинности, что и выражение вида (pV<7)A (PVH. т. е. правила дистрибутивности гарантируют то, что выражение, полученное с их помощью, семантически эквивалентно исходному. По первому правилу дистрибутивности можно от (/>V(~ рЛ<7)) перейти к (pV~P) Л (PV<7)-Здесь также можно применить правило подстановки, т. е. можно вместо пропозициональных переменных использовать сложные выражения.
Тогда по первому правилу дистрибутивности из(рА?)\/ V(<As) получшея
((/>А 7) Vr) A((pAq)Vs).
Так как в конъюнкциях и дизъюнкциях можно менять местами члены, не изменяя значения истинности, то от пре-дыдущего выражения можно перейти к (<V (РАЯ)) A($V VCpA?)) и снова применить первое правило дистрибутивности:
((г V Р) А (г V q)) А ((« V Р) A (s V ЯК
Если опустить лишние скобки и переставить члены выражения, то получится
(р V г) Л (р V s) Д (д V г) Л (д V s).
При двукратном применении второго правила дистрибутивности к выражению (рХ/^ЛОАЛ) получается аналогичный результат. Поэтому можно сформулировать производные правила дистрибутивности, в которых объединено двукратное применение первоначальных правил:
1.1. От (р А 7) V О’Л з) можно перейти к (Р V г) Д (р V s) Л Л (<7 V г) л (д V s) и наоборот.
2.1. От (р V д) Л (г V s) можно перейти к (Р А г) V (р Л s) V V (д Л О V (? Л л) и наоборот.
С помощью правил дистрибутивности из любого выражения логики высказываний, после приведения его к нормальной форме, можно получить его конъюнктивную и дизъюнктивную нормальные формы.
Конъюнктивная нормальная форма выражения — это конъюнкция дизъюнкций. Она выполняет все условия нормальной формы. Члены этих дизъюнкций (с отрицаниями или без них) являются пропозициональными переменными. Конъюнктивная нормальная форма выражения позволяет узнать, является оно общезначимым или нет. Начнем с простого примера. Надо исследовать выражение
(р Л д) — (р Л0.
Сначала составляется нормальная форма:
~ (Р Л д) V (Р Л д)
----(~ р V ~ д) V <р А д) (~рv ~?) V(р Ар).
Это выражение является дизъюнкцией, которая состоит из дизъюнкции и конъюнкции. Но нам нужна конъюнкция дизъюнкций. Применим первое правило дистрибутивности, причем введем (~ р V ~ д) вместо р, р вместо д, д вместо г и получим тогда
<(~ р V - д) V р) Л ((- Р V ~<7) V д).
Так как выражения (pV O/Vr), ((pVfl)Vr) и (pV^VH семантически эквивалентны друг другу, то мы можем написать: (~pV ~</Vp)A(~pV-‘'<7 Это эквивалентная первоначальному выражению конъюнкция дизъюнкций, члены которых являются пропозициональными переменными, и,
таким образом, конъюнктивная нормальная форма перво* начального выражения.
Каждая из этих двух дизъюнкций содержит пропозициональную переменную, которая один раз стоит под отрицанием, а другой — без отрицания. Левая дизъюнкция содержит р и ~р, т. е. ее часть имеет вид (pV~p); правая дизъюнкция содержит q и ~q и ее часть имеет вид (q\/~q). Выражения такого вида общезначимы, о чем мы >же знаем из раздела 2.1.6. В этом отношении ничего не меняется, если такая дизъюнкция содержит другие пропозициональные переменные. Дизъюнкция истинна тогда, когда истинен один из ее членов независимо оттого, какие значения истинности имеют остальные члены. Так как оба члена конъюнктивной нормальной формы общезначимы, то она тоже является общезначимой н первоначальное выражение также общезначимо.
В заключение можем сказать: выражение логики высказываний является общезначимым, если в каждой дизъюнкции его конъюнктивной формы любая пропозициональная переменная один раз встречается с отрицанием, а другой раз — без отрицания. Если же этого нет хотя бы в одной дизъюнкции, то выражение не будет общезначимым, т. е. будет нейтральным выражением или противоречием. В следующем примере мы сразу получаем решение:
Р — (PVQ) ~p\/(p\f q) ~pV pV q.
Здесь конъюнктивная нормальная форма состоит из одной-единственной дизъюнкции. В ней пропозициональная переменная р один раз встречается с отрицанием, а Другой раз — без него. Следовательно, p-*(pV<?) общезначимо.
Третий пример, хотя число необходимых преобразований в нем больше, будет понятен без дальнейших пояснений:

<Р-*<?)-* (~PV<?)
~ (р — q) V (~ Р V q)
~(~pV <7)V(~pV<7)
(рА -</) V(~P V </) р v q) V (р Л — q)
<(~Р V <7) VP)A((~PV<7) V ~q) pV q\/ p) A p V qV ~ q)-
Первоначальное выражение общезначимо, так как . е дизъюнкции его конъюнктивной нормальной формы <и1Ц1е. значимы.
Если из конъюнктивной нормальной формы выражении можно узнать, является ли оно общезначимым, то го дизъюнктивная нормальная форма позволяет определить, является ли выражение противоречием. Дизъюнктивн я н . -мальная форма выражения является дизъюнкцией конъюнкций. Она выполняет все условия нормальной фор. мы. Члены этих конъюнкций являются пропозициональными переменными (с отрицанием или без него). Приведем выражение
/’ЛГ(~РЛ<7) V(<?A ~<7)]
к дизъюнктивной нормальной форме. Для этого нужно применить второе правило дистрибутивности, ирит остается неизменным, (~p/\q) подставляется вместо q, a (gA ~ q) вместо г.
Это дает
{р Л Р Л q>) V Ip Л (q Л ~ q)) (Р Л ~ Р Л <7) V (Р /\Р Л ~ <7).
Обе конъюнкции содержат выражения вида рЛ^’. о которых мы уже знаем из раздела 2.1.5, что они при любом наборе значений переменных ложны, т. е. что они являются противоречиями. Так как конъюнкция, которая содержит ложный член, целиком ложна, то в нашей нормальной форме третья пропозициональная переменная не существенна зля значения истинности конъюнкций. Оба члена дизъюнкции являются противоречиями, таким образом, и она са 1 является противоречием. Следовательно, и псрвонач хльн «е выражение также противоречиво.
Таким образом, выражение логики высказываний является против ремнем, если в каждой конъюнкции, составляющей его дизъюнктивную нормальную форму, некоторая пропозициональная переменная входит один раз с отрит* мнем, а другой раз без него. Если же этого нет, хотя бы в одной конъюнкции, то выражение не является противоречием. т. е. оно общезначимо или нейтрально.
Еще одни пример:
— (—<7 — ~/’) Д (р— q)
~(<7V ~P)A(~/>V<7) (~<?Ap)A(~pV q) ((~ q A p) A ~ p) V (<~ q Л P) A q) q ЛР A ~ P)V q /\ P Л q)-
Это выражение также является противоречием.
Но всех этих примерах было .•’остаточно составить одну I двух нормальных форм. Однако бывает, как в следующем примере, что необходимо привести выражение послезова-тстык и к конъюнктивной, и к дизъюнктивной н«ры.ль-цыч формам:
<Р —* <7) —*	~р)
~(р-> ?) V ~(~q-*~p) ^(^р\/ g) V ~(яЧ ~Р) (pA~q)V(~q/\ Р)-
Таким образов, мы получили дизъюнктивную нормальную форму, с помощью которой выявляется, что выражение не противоречиво. Но является ли оно общезначимым, можно определить только по конъюнктивной нормальной Ф р е. Мы приводим к ней, применяя к последнему полученному выражению правило (1.1), выведенное из первого правила дистрибутивности. Из (pA'W<?)V(~9А₽) получит-fl (PV~<7)A(pVp)A(~?V~<7)A(~<7Vp)- Из полученной таким способом конъюиктивнои нормальной формы можно узнать, что выражение (р->q)-+- ~(~q-* ~р) не общезначимо. Но поскольку оно, как мы уже установили, не является противоречием, оно нейтрально.
Сложные выражения нередко требуют многократного применения правил дистрибутивности, чго приводит к громоздким нормальным формам. Напрнмер:
(р -* <7) А (Р -* г)] -* [Р — (Я А ')1
~ (p-*fl)A(p —И] V[P—(<7А01
- (~Р V <7)A(~PVO] V[~pV(<7Ar)]	,
~(~PV0 V ~(~pVr)l V[~pV(<7A0]
(P A ~ q) V (P A ~ г)] V [~P V (<7 Ar)]
(p A ~ q] V (P Л ~ г) V ~ p V (q A r).
Дизъюнктивная нормальная форма пату чается здесь В применения правила дистрибутивности. Так как данное выражение, очевидно, не является противоречием, то его следует привести к конъюнктивной нормальной форме. Для этого возьмем последнее полученное выражение, поставим первую и вторую конъюнкции в квадрапше скобки и применим правило дистрибутивности к обоим выражениям!
[<Р А ~ <7) V (Р A ~ г)] V ~ Р V А О
[<Р V Р) A (р V - г) A (~ Я V Р) А Я V ~ r)J V
V ~ р V (Я А г).
Следующи I этап заключается в применении правила Дистрибутивности к выражению, стоящему в квадратных
скобках, и к ~р. Эта дистрибутивность аналогична умно, жению в алгебре. Поэтому здесь излишне более подробно приводить это правило. Результат:
[<Р VpV ~Р) A(pV V ~л) А(~<7 V Д V ~р)Л Л (~ q V ~ г V ~ Р)] V (<7 Л г).
Повторное применение правила дистрибутивности приводит к конъюнктивной нормальной форме:
(pVpV~pV<7)A(pV~rV~pV<7) A(~<7VpV~pV<7)A(~<7V~'’V~pV<7) A(pVpV~pVr)A(pV~rV~pVr)
q\f р\/ ~ p\J г) f\(~ q\/ ~ r\J ~ p\f г).
Каждая из восьми дизъюнкций содержит, по крайней мере, одну пропозициональною переменную вместе со своим отрицанием, следовательно, данное выражение является общезначимым.
Решение выражений логики высказываний с помощью нормальных форм может показаться слишком сложным, особенно в последнем примере. Но при известном навыке возможны упрощения. В нашем примере совсем не нужно было бы составлять нормальную форму, состоящую из восьми членов. Дизъюнкции (pVpV'"'Р), (pV~rV~p)H (~qV VpV~p) — общезначимы. Применение правила дистрибутивности к ним и (7ЛО ничего в этом не .меняет. В последнем преобразовании нам вообще не нужно было принимать их во внимание. Следует отметить также, что применение правила дистрибутивности к (~gV~<V~P) и (qf\r) дает только общезначимые дизъюнкции *.
Дзя решения выражений логики высказываний применение этого способа не обязательно, достаточно способов, приведенных в разделе 2.1.8. Однако для систематического обзора следствий из имеющихся посылок надо уметь составлять конъюнктивную нормальную форму выражений логики высказывании и способом, описанным в разделе 2.2.1.4.
2.1.9. ЭКСТЕНСИОНАЛЬНЫЕ И ИНТЕНСИОНАЛЬНЫЕ СЛОЖНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ
Как уже говорилось в разделе 2.1.3, формальная логика исследует только экстенсиональные сложные высказывания, значения истинности которых однозначно определя-
1 Поскольку в первой скобке содержатся пропозициональные переменные с отрицаниями, а во второй — те же переменные без отрицаний (Прим.— £. К ).
значениями истинности тех простых высказываний. *» которых они состоят. Отсюда следует, что для установлю И1Я значения истинности экстенсионального сложного вы-диыаання нужно знать татько значения истинности его составных частей. Далее, в экстенсиональном сложном указывании любое простое высказывание может быть заменено любым другим высказыванием с тем же значением истинности без изменения значения истинности сложного указывания. Таким образом, можно, например, напучить из истинного сложного высказывания «Социализм победит во всем мире, а капитализм прекратит свое существование» истинное сложное высказывание «Социализм победит во вес 1 мире, а войны прекратятся!.
Логики единодушно придерживаются мнения, что имеются нс татько экстенсиональные сложные высказывания, но и интенсиональные, которые называются неэкстенсио-нальиыми сложными высказываниями. Однако не существует единого мнения о том, можно ли интенсиональные сложные высказывания сводить к экстенсиональным. Есть логики, например, Рудатьф Карнап, которые предпатага-ют, что такое редуцирование возможно. Но есть основания считать, что интенсиональные высказывания — это предмет не формальной логики, а диалектической. Значение истинности интенсионального сложного высказывания зависит не только от значений истинности составляющих его высказываний, поэтому для определения его значения истинности недостаточно знать лишь значения его составных частей. Если в нем заменить одно высказывание другим с тем же значением, то его значение истинности может измениться.
Если, например, в считающемся истинным интенсионально^ сложном высказывании «Камень нагревается, потому что на него светит солнце» заменяют второе высказывание на «он лежит на земле», то получают сложное высказывание •Камень нагревается, потому что он лежит на земле». Оно ложно, потому что описанные в его частях явления действительности не находятся в отношении причины и следствия, выраженном в словах «потому что». Интенсиональные сложные высказывания могут быть образованы также с помощью выражений «в то время, как» (в смысле одновременности) и «после того, как».
Может возникнуть вопрос, охватывает ли формальная логика, по крайней мере, все экстенсиональные сложные высказывания, если уж она не рассматривает интенсиональные? Существует 16 различных связок логики выска
ЗЫВИНИЙ, С ПОМОЩЬЮ которых МОЖНО соединять 1UJCJ j J вши я попарно. Мы описали семь из них: изучать остальЗ не обязательно, так как все они могут быть сведены к ,?□ семи. Можно, например,свести «ни р, ни q* к ~рЛ^7- Д сведение может, как мы вплели, продолжаться и д льД Достаточно располагать отрицанием и конъюнкцией J отрицанием и дизъюнкцией. Можно лаже свести все *3 тенси< шальные сложные высказывания к антиконъюнкцц^! Но этой возможностью практически не пользуются, пышЯ что она приводит к чрезвычайно неясным выражениям
Однако это еще не дает ответа на вопрос, можно ли 3 обилие союзов естественного языка охватить шестнадп «n<| логическими связками. Выражения «р и q», «как р, так я* ) «хотя р, но также q» и т. д. все имеют логическую структур» конъюнкции. Рахаичия между ними, имеющие знаеця прежде всего с точки зрения прагматики, например ocjflJB ударение на какой-то составной части и т. д., не оклзы-овЫ никакого влияния на значение истинности высказывания м ПОЭ1 ому в формальной логике не принимаются во внимание,
С фугой стороны, как мы уже видели, имеется целый ряд многозначных союзов естественного языка. Поэтом при символическом записи сложных высказываний вс, г» нужно исходить нз содержания. До тех пор, пока не onpej делена логическая структура сложного высказывания, его записывать в символическом форме нельзя. В этом заключается одна из сложнейших проблем машинного перст текста с одного языка на другой. Машины при перовом не могут учитывать смысл переводимого текста, они •£-принимают исключительно вид и последовательность пиков, с помощью которых записан текст, т. е. работ п, учитывая только синтаксис.
2.2.	ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Теперь мы прервем систематическое изложение форм.иь-ной логики, к которому снова вернемся в следующем рлз.г*| ле, и рассмотрим рахзичные возможности применения л* . гики высказываний.
2.2.1.	УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ В ЛОГИК? ВЫСКАЗЫВАНИЙ
Умозаключение в логике высказываний — это умозаключение, которое основывается только на законах логики выск * яяванам. Этим определением мы отделили его от у ^1
^мочения логики предикатов, не объяснив, однако, по* -рвя самого умозаключения.
\\4 заключение— это получение выскачыванмй. В та-JCj науках, как формальная логика и математика, с помо-умозаключения могут быть получены и такие формы ^лп. которые не являются высказываниями. Однако для 2м* пели мы можем ограничиться лишь получением вы-Существуют две принципиально различных И^ожности получения высказываний: первой и основной является непосредственное исследование объектам формулировка его ретультата в высказывании. Вторая возмож-dorH* заключается в том, чтобы, исходя из уже имеют) хся ducK.. ыышин (например, встречающихся в книгах), пол\-лть другие, отличные от них высказывания Умозаключе-„м- в собственном смысле слова — это получение высказы-мний последним способом.
Высказывания, на основании которых делают умозаключения, называют «посылками». Высказывание, полученное В посылок, называется «заключением» или «выводом». Вон <>. ание недоразумений мы, как правило, будем поль-Мяться только этими двумя терминами.
Между посылками и заключением существует опреде-енн^я связь: заключение должно следовать из посылок. Нельзя ставить друг за другом любые высказывания и выдавать возникшее таким способом образование за умозаключи» Более того, при составлении умозаключении нужно придерживаться определенных правил, называемых правдами умозаключения.
2.2.1.1.	Определение уно заключения
Логическое умозаключение состоит в том, что нз охного **« нескольких данных высказывании (посылок), приме-ИЯя к ним правила умозаключения, получают новое вы-саязыклнн' (заключение).
Конечно, из каждого высказывания можно сделать за-Мьчснне о самом этом высказывании. При этом заключение Умозаключенья не будет отличаться от посылок. Однако ’Ют случай неинтересен, потому что таким образом нельзя изучить новых знаний. Наше определение умозаключения ^Ватывает оба основных вида умозаключении— сдук-тивиое и редуктивное умозаключения. Как в логике вы-Ск*зыванпй, так и в логике предикатов мы будем заниматься исключительно дедуктивными умозаключениями Поэт»му ч*е»-ь достаточно более подробно определить только этот
вид умозаключений, задав соответствующие правила. В ~ I ответствии с правилами дедуктивных умозаключений, fj истинны посылки, то и заключение истинно. Эти пра>Д касаются нс конкретных высказываний и их содержания,, только высказываний в целом и построения сложных J сказываний из простых.
Принимая во внимание взаимное соответствие язы и мысленной структур, можно сказать, что правила заключения являются правилами преобразования, к щнмися только знаков языка.	g
Рассмотрим пример. В качестве посылки возьмем истин-1 ное сложное высказывание «Если изучают логику, то у чат. I ся мыслить более строго» (p-*q). Из этой посылки можаЛ получить два следующих высказывания:
1.	«Если не изучают логику, то не учатся мыслить С к? ’ строго» (~р—~q).
2.	«Если не учатся мыслить более строго, то не нзучжоД логику» (~(?->~р).
Первое из них было бы дополнительным аргуменговВ для изучения логики, но оно не истинно, а потому и не аы-I текает из нашей посылки. Свое мышление можно, по крупен мере, до определенной степени сделать более строгим а не изучая логику непосредственно. К сожалению, заключи I ння такого вида формулируются довольно часто. В орие I высказывание истинно, так как тот, кто не учится мыслить I более строго, не пользуется никаким подходящим для ого I средством, в том числе и изучением логики.
Правило, согласно которому из посылки получено это | заключение, является правилом контрапозиции и м быть сформулировано следующим образом: «Из истинности сложного высказывания вида (p-*q) можно сделать заклю* чение об истинности сложного высказывания вида (~J-* -*~р)» или короче «Из (p—~q) следует (~q-+~p)». Это ира*  вило обладает таким свойством, что при чисто формально»* I применении к истинному высказыванию оно всегда 1 другое истинное высказывание. Такую форму умозаключе- | ния мы называем приемлемой или правильной, а получение* I по ней заключение — необходимо истинным или достооср* I ным.
2.2.1.2.	Правила умозаключения .ю гик и высказываний
В этом разделе мы перечислим ряд важных правил ум0* заключения, записывая их для наглядности в форме еле*1 умозаключении.
I Правило контрапозиции получает при этом такой вид: Р—^Я
	~q-+~p-
По этому образцу мы будем давать схематически и все остальные правила умозаключения. Над чертой стоит посылка или посылки. Если посылок две или более, то мы пишем их дру г под дру гом. Под чертой находится заключение.
Первые правила умозаключения мы можем составить по уже известной нам таблице истинности констант логики высказывании.
(1.1) р (1.2) р Я__________ ~Я
Р А <7	РА ~<7 '
Эла схема вывода и другие, которые можно было бы составить в результате отрицания р, не требуют дальнейшего пояснения. Их можно понять по таблице истинности конъюнкции.
I	(2.1) р A Q
Р
(2.2) рА<7 q
По этим правилам, исходя из истинности конъюнкции, можно судить об истинности как одного, так и другого ее члена. Правила эти представляют интерес, поскольку постоянно используются, например, при цитировании книг или статей, т. е. когда из мысленной связи высвобождают одну из конъюнктивно связанных частей и рассматривают самостоятельно. В традиционной логике для сложных высказывании с «или» бы ли известны два прави ла умозаключения: *\!odas tollendo ponens» и «Aforfws ponendo tollens». При соблюдении последовательности приведенных названий можно изобразить их схематически следующим образом:
р или q и р или q
Р	Р______
Я
Однако эти правила умозаключения не всегда сохраняют снлу. Можно привести случаи, в которых эти правила ведут ст истинной посылки к ложному заключению. Определить, Для каких случаев эти правила пригодны, а для каких нет. Чожно только различая три указанных выше значения союза
«ИЛИ». Для ДИЗЪЮНКЦИИ пригодны следующие ПрИВКдЛ умозаключения:
(3.1) pV? (32) pV Я
~Р	~Я
Я	Р
Пели сложное высказывание «Подача тока прерван., и. и лампе чка накаливания перегорела» истинно и высказы <а-ни< «Подача тока не прервана» тоже истинно, то согласно (3.1) можно сделать заключение: «Лампочка накаливаю я перегорела ».
Если из дизъюнкции и отрицания одного из соединенных в ней высказываний можно сделать заключение, что ьтор.< из этих высказываний истинно, соответствующее закл.< • с-нис из анти конъюнкции не является необходимым. Вмело этого для заключения из анти конъюнкции существуют следующие правила:
(4.1) р | q (4.2) р | q
Р	Я
~~Я	~р
Из сложного высказывания «Студент V сдал экзамен на «отлично», или он сдал его на «хорошо» и высказывания н сдал экзамен на хорошо» можно согласно (4 2) с дел а и ключение: «Студент X сдал экзамен не на «отлично»
Для дизъюнкции эти правила не пригодны. Для заключения же из разделительной дизъюнкции имеют место в<е четыре правила умозаключения:
(5.1) РЧЯ Р___________
~ Я
(5.3) p^q ~Р
Я
(5.2) p^'q Я_________
~Р
(5.4) р'* q ~Я
Р
Сравнение правил умозаключений для заключении к1* дизъюнкции, анти конъюнкции и разделительной дизъюнкции показывает, как важно делать различие между тремя значениями союза «или». Далее, как выяснилось, каж . У из правил традиционной логики соответствует по •* правила умозаключения: правилу «.Uodns tolletulu pvnt'i** соответствуют правила (3.1) и (5.3), а правилу «ЛЬмЫ мп-d<> tollrns» — правила (4.1) и (5.1).
Следующие схемы показывают, как из конъюнкции млж-сделать заключение о дизъюнкции или нд '•••рот:
(6.1) ~ (р А (?)	(6.2) ~ (р V (?)
~pV~<7
Из «неверно, что Гегель одновременно материалист и идеалист» согласно правилу (6.1) следует с необходимостью «Гегель — не материалист или Гегель — не идеалист».
Для умозаключения из импликации применимы правила:
(7.1)р—*<?	(7.2) p—*q
Р	~д
q	~Р
Правило (7.1) одно из важнейших. Оно называется правилом силлогизма. Из традиционной логики оно известно к «к «.Modus ponrns» пли «Afodus ponendo pone ns*. Правило заключения (7.2) называлось «Modus tollenv или * Modus tollendo to! lens».
Для умозаключения из обратной импликации имеются правила:
(8.1)	р—Q
Q______
Р
(8.2)	р*-<? ~Р
Связь этих двух правил с правилами (7.1) и (7.2) становится ясной, если обратные импликации в них преобразовать в прямые в соответствии с правилами 2.1.7.
Для умозаключения из эквиваленция существуют правила:
(9.1) p*-*q	(9.1) p<-*q
Р	q
q	р
(9.3) p+-*q	(9.4) p<-*q
~p	~q
~q	~p '
Правило транзитивности импликации, или правило Цепного умозаключения, имеет такой вид:
(10) р — q q — r
I	Р~*
Из посылок: «Тот, кто изучает марксистскую филосо-1 ню, лучше познает закономерности общественного разви
тия» (p-*g) и «Познание закономерностей обществен» >Гт, развития дает возможность более эффективно способен^ вать общественном} прогресс}» (g-»-r) следует: «Тот, кто изучает марксистскую философию, может более эффект» ai0 способствовать общественному прогрессу» (р-*г).
(И) (р/\д) — г г /\q)^ ~р'
Согласно правилу сложной контрапозиции из «Если политическое значение социалистического соревнования принципиально ясно (р) и всех трудящихся призывают г участию в нем (q), то в социалистическом соревновании участвуют все трудящиеся (г)» можно сделать заключение «Если неверно, что все трудящиеся принимают участие в социалистическом соревновании, хотя всех призывали к участию в нем, неверно, что его политическое значение принципиально ясно». При формулировке нашего заключения использовался тот факт, что различше союзы имеют одинаковую логическую структуру, и в целях лучшего понимания союз «и» переведен посредством «хотя». Такие вольности прм переводе логических выражений на естественный язык допускаются. Но они не должны приводить к изменению смысла выражения, так как это влияет на значение истинности высказывания.
(12 1) р—г q-*s pvq г V s
(12.2) р — г q — s
~ г \/ ~$ ~РУ
В традиционной логике такое умозаключение называлось «дилеммой».
2.2.1.3. Проверка правил умозаключения
Рассмотрим вопрос о том, как можно проверить справедливость правила умозаключения. Смысл изучения логики заключается совсем не в заучивании наизусть некоторых правил умозаключения, гораздо важнее усвоить необходимые знания и навыки, чтобы уметь сознательно использовать логические умозаключения, делать умозаключения более уверенно и более эффективно опровергать своего противника.
Для каждого правила умозаключения существует и.мп-
л икания, которая общезначима тогда и только тогда, когда Ьйтгвететвуюшее правило умозаключения верно. Зто утверждение надо еще доказать. Если оно истинно, то о любом правиле умозаключения можно сказать верно оно или нет исходя из рассмотрения таблицы истинности, следуя соответствующей ему импликации. Предположим, что какое-то правило умозаключения верно. В соответствии с изложенным в 2.2.1.1 это значит, что вывод любого сделанного по этому правилу умозаключения истинен, если его посылки истинны. Если все посылки умозаключения истинны, то. естественно, истинна и их конъюнкция. Поэтому мы можем говорить не о посылках, а о посылке умозаключения и понимать под этим простое или сложное, в частности, конъюнктивное высказывание.
В качестве антецедента импликации берется посылка, а в качестве консеквента — заключение. Для составления таблицы истинности этой импликации нужно принимать во внимание две возможности:
1. Посылка, или антецедент, истинна. В таком случае истинно и заключение, т. е. консеквент, это следует из нашего предположения, что правило умозаключения верно. Значит, и сама импликация истинна, как каждая импликация с пстиниымиантсцедентом и консеквентом.
2. Посылка, т. е. антецедент, ложна. Этот случай надо непременно рассмотреть, так как правило умозаключения говорит не о том, что посылка истинна, а о том, что если она истинна, то... При таких условиях строить таблицу истинности заключения, или консеквента, не имеет смысла, так как импликация с ложным антецедентом в любом случае истинна (см. 2.1 7). Таким образом, рассмотренная импликация общезначима. Тем самым доказано, что если правило умозаключения верно, то соответствующая ему импликация общезначима. Теперь нужно доказать обратное утверждение.
На этот раз мы берем общезначимую импликацию в качестве посылки. Но она может быть таковой, по определению импликации, только тогда, когда при истинности ее антецедента истинен и ее консеквент. Импликация, антецедент которой истинен, а консеквент ложен, сама была бы ложной, а это противоречило бы нашей посылке. Поэтому правило умозаключения, говорящее, что из истинности посылки, т. е. антецедента данной импликации, следует истинность заключения, т. е. консеквента, правильно, оно УДорпедворяет уже не раз названным условиям. Тем самым исходное утверждение полностью доказано.
тмя» (р-*<?) и «Познание закономерностей общест развития дает возможность более эффективно спа вать общественному прогрессу» (q-*r) следует: «Т изучает марксистскую философию, может более и.», способствовать общественному прогрессу» (р-*г).
(И) (р/\д)-г
г Л <7)“* ~ р'
Согласно правилу сложной контрапозиции из политическое значение социалистического соревн принципиально ясно (р) и всея трудящихся призы участию в нем (р), то в социалистическом соревнова ши ству ют все трудящиеся (г)» можно сделать заключение неверно, что все трудящиеся принимают участие в с диетическом соревновании, хотя всех призывали к \ч. в нем, неверно, что его политическое значение принцип но ясно». При формулировке нашего заключения не зовался тот факт, что различные союзы имеют опта! логическую структуру, и в целях лучшего пони» союз «и» переведен посредством «хотя». Такие вольност переводе логических выражений на естественный язь пускаются. Но они не должны приводить к изменению ла выражения, так как это влияет на значение истин! высказывания.
(12.1) р—г (12.2) р-*г
Р V <7	V ~ s
г V s	~pV ~Q
В традиционной логике такое умозаключение н; лось «дилеммой».
2.2.1.3. Проверка правил умозаключения
Рассмотрим вопрос о том, как можно проверить Я вежливость правила умозаключения. Смысл изучения ла заключается совсем не в заучивании наизусть некого правил умозаключения, гораздо важнее усвоить мые знания и навыки, чтобы уметь сознательно испод вать логические умозаключения, делать умозаключен» лее уверенно и более эффективно опровергать своего пр" ника.
Для каждого правила умозаключения существует
которая общезначима тогда и только тогда, когда гв^ютее правило умозаключения верно. сЭто ут-ме'надо еще доказать. Если оно истинно, то о любом \ о заключения можно сказать верно оно или нет in р |ссмотрения таблицы истинности, следуя соот-сжцей ему импликации. Предположим, что какое-то , заключения верно. В соответствии с изложен* 2 2.11 это значит, что вывод любого сделанного по правнл> умозаключения истинен, если его посылки
Если все посылки умозаключения истинны, то, SJctwhho. истинна и их конъюнкция Поэтому мы можем wirr> не* о посылках, а о посылке у мозакпючения и по-». под этим простое или сложное, в частности, конъюн-стядох высказывание.
Н качестве антецедента импликации берется посылка, а в o«ktw консеквента — заключение. Для составления истинности этой импликации нужно принимать во «манне две возможности:
I Посылка, или антецедент, истинна. В таком случае •ггюо и заключение, т. е. консеквент, это следует из на-жго предположения, что правило умозаключения верно. Мм»т, и сама импликация истинна, как каждая имплика-я с чстнннымиантецедентом и консеквентом.
2. Посылка, т. е. антецедент, ложна. Этот случай надо елрг^гнно рассмотреть, так как правило умозаключения маэрмт не о том, что посылка истинна, а о том, что если она «тямча, то... При таких условиях строить таблицу истин* * >ети заключения, или консеквента, не имеет смысла, так «•я импликация с ложным антецедентом в любом случае W>MHa (гм. 2 1.7). Таким образом, рассмотренная импли-У*1 общезначима. Тем самым доказано, что если правило /Т.**и,оче,,,,я верно, то соответствующая ему импликация
*ачнча Теперь нужно доказать обратное утвсржде-
ЭТот раз мы берем общезначимую импликацию в ка-
|.v ылки- Но она может быть таковой, по опретелс-^^пликации, только тогда, когда при истинности ее •ЦнЛНта истинен и ее консеквент. Импликация, анте-^^которой истинен, а консеквент ложен, сама была бы •РВмлл Э ЭТ° пРОТНвоРечнло бы нашей посылке. Поэтому ^Мозаключения. говорящее, что из истинности т’ е антецедента данной импликации, следует ь заключения, т. е. консеквента, правильно, оно УЖе не раз названным условиям. Тем самым твержденне полностью доказано.
тия» (p-+q) и «Познание закономерностей общее» развития дает возможность более эффективно спг. вать общественному прогрессу» (<?->г) следует: «Т изучает марксистскую философию, может более способствовать общественному прогрессу» (р-*г) ‘
(11) (/? Л ?j г
Согласно правилу сложной контрапозиции из политическое значение социалистического соревг принципиально ясно (р) и всех трудящихся при цл участию в нем (q), то в социалистическом соревновл щ ствуют все трудящиеся (г)» можно сделать заключение неверно, что все трудящиеся принимают участие в i диетическом соревновании, хотя всех призывали к уч, в нем, неверно, что его политическое значение принцип но ясно». При формулировке нашего заключения ц< зовался тот факт, что различные союзы имеют один» логическую структуру, и в целях лучшего пони союз «и» переведен посредством «хотя». Такне вольнод переводе логических выражений на естественный ял пускаются. Но они не должны приводить к изменению ла выражения, так как это влияет на значение иезнн высказывания.
(12 1) р—г (12.2) р-.г q-»s	q-*s
Р\/ q	~ г V ~ $
г V s	V ~<7*
В традиционной логике такое умозаключение на лось «дилеммой».
2.2.1.3. Проверка правил умозаключения
Рассмотрим вопрос о том, как можно проверить с ведливость правила умозаключения. Смысл изучения лО заключается совсем не в заучивании наизусть некОЯ правил умозаключения, гораздо важнее усвоить !н-б> мые знания и навыки, чтобы уметь сознательно непем вать логические умозаключения, делать умозаключения лее уверенно и более эффективно опровергать своего пря ника.
Для каждого правила умозаключения существует
которая общезначима тогда и только тогдагкогда jomee правило умозаключения верно. Это ут-^ВЕте иадо еше доказать. Если оно истинно, то о любом IjEJ! »«©заключения можно сказать верно оно или нет *!Гн’ Р ссмотрения таблицы истинности, следуя соот-?\щй ему импликации. Предположим, что какое-то *' . . о умозаключения верно. В соответствии с изложен-^*^2 2.1.1 это значит, что вывод любого сделанного по правилу умозаключения истинен, если его посылки Zkkl Е<лн все пocылк,, умозаключения истинны, то, I’., гтмнно, истинна и их конъюнкция Поэтому мы можем ып» не* о посылках, а о посылке умозаключения и по-.JJfi под этим простое или сложное, в частности, конъюн-щрй высказывание.
Н качестве антецедента импликации берется посылка, а • ikmvtw консеквента — заключение Для составления v^thuu истинности этой импликации нужно принимать во •мманне две возможности:
I Посылка, или антецедент, истинна. В таком случае йстинм'- и заключение, т. е. консеквент, это следует из на-овго предположения, что правило умозаключения верно. Эшиит. и сама импликация истинна, как каждая имплика-мя с «стиннымиантецедентом и консеквентом.
2 Посылка, т. е. антецедент, ложна. Этот случай надо Ифгмгнно рассмотреть, так как правило умозаключения г *©еит не о том, что посылка истинна, а о том, что если она яВйшв. то... При таких ус ловиях строить таблицу истин-*1ети заключения, или консеквента, не имеет смысла, так км"ликация с ложным антецедентом в любом случае
яна (см 2 1.7). Таким образом, рассмотренная импли-rw общезначима. Тем самым доказано, что если правило а |МЛ10че,п,я верно, то соответствующая ему импликация -м *ачича Теперь нужно доказать обратное утвержде-п°т раз мы берем общезначимую импликацию в ка-Н4>, п' ылки. Но она может быть таковой, по определе-^^^мпликации, только тогда, когда при истинности ее Нта истинен и ее консеквент. Импликация, анте-nroPofi истинен, а консеквент ложен, сама была бы «р»»а это ир^мворечнло бы нашей посылке. Поэтому ИЦ"*® умозаключения, говорящее, что из истинности ЯЙВвмД. Т' е‘ антецедента данной импликации, следует заключения, т. е. консеквента, правильно, оно уже не раз названным условиям. Тем самым Нк утверждение полностью доказано.
На примере правила умозаключения (3.2) продет <| руем проверку правил умозаключений путем п<х!тп<-»Д соответствующих им импликаций и их исследования. |
Рассматриваемое правило умозаключения выглядит \J
(3.2) pyq ~Я________
Р
Для умозаключения имеет значение только то, что о сылки являются истинными высказываниями. Поэтому J мож-i обе посылки p\Jq и конъюнктнвно объедю гЬ в выражение (p\jq)j\~q> Поскольку каждое деду ith вне умозаключение носит характер импликации: ecut пос истинны, то истинно и заключение,— последнее » мгли-кативно присоединяется к конъюнкции посылок: [( \ <?),* А—►Р-
Возннкшее таким образом сложное высказывание х-следуется на его общезначимость. Для этого состава 4 таблицу истинности:
р	4 1		pvq	(pVfl)A~f	((pVfl)A-d“*P
t	t	1	t	f	t
1	f	t	t	t	t
f	t	f	t	f	t
I	f	t	f	f	t
Таблица истинности показывает, что сложное высказывание, соответствующее правилу (3.2), является законом логики. Таким образом, верность правила доказана, так как в каждом случае, где конъюнкция посылок истинна, заключение гак же истинно.
В качестве разъяснения рассмотрим другой пример. Предположим, что кто-то сделал заключение согласно следующему правилу:
~Р
Это заключение не кажется нам необходимо истинны , т. е. у нас сложилось впечатление, что из истинных нось лок не получаемся истинного заключения. Поэтому мы с»
Здесь нас опять-таки интересует только то, что конъюик-дря посылок истинна. Предпоследний столбец таблицы ис-тияности показывает нам, что мы должны обратить внимание на две последние строки. В последней строке получается, «т» заключение ~q при истинных посылках само является истинным. Из предпоследней строки мы получаем, что заключение также может быть и ложным. Итак, мы показали, «ю по предложенному правилу умозаключения выводы не я лляются необходимо истинными. Но это ничего не говорит о значении истинности заключения. Установить это значение в каждом конкретном случае только средствами л тики невозможно.
Таким образом, правила умозаключения, основывающиеся на общезначимой импликации, верны. Заключения, полученные ио этим правилам, необходимо истинны. Правила умозаключения, основывающиеся на выполнимой импликации, неверны.’ Полученные согласно нм заключения не являются необходимо истинными. Подытожим здесь еще ра то, что полезно знать о свойствах дедуктивных правил уаюзаключення.
Правило умозаключения ничего не говорит о значении истинности посылок умозаключения и ничего не говорит о значении истинности вывода как такового, т. е. оно независимо от значения истинности посылок. Оно лишь дает уверенность в том, что вывод всегда будет истинен, если истинна конъюнкция посылок. Правило не говорит о том, что вывод только тогда истинен, когда истинны посылки. Л ютому возможное доказательство ложности одной или н< скольких посылок не играет роли для значения истиино-сти заключения. Неверно думать, будто доказана ложность в ывода дедуктивного умозаключения, если показана ложность посылки или посылок.
Из вышеизложенного можно понять, как получают пр... I вила j моз а ключей и я из общезначимых импликаций. Но и]Я получения правил умозаключения можно использовать ц| общезначимые эквиваленцни. Исходя из эквивалент^ I можно получить даже два правила умозаключения. В ка-1 честве примера возьмем эквивалентно ~ (р q)*-t(~p у/ ^7). I ЕЙ СООТВеТСТВуЮТ Правила «MmaMiniJMiMn	
~ (/> А <7)
~Р V ~ <7
Два правила получаются
ляется законом только тогда, когда оба объединенных в н< J)
умозаключения	.
~p\J ~q	I
~ 6» А <7) *
потому, что эквпваленция яв- I
—---------- I
выражения имеют одинаковые значения истинности. Тем I самым выполняется условие правильности умозаключение! (вывод должен быть истинным, если истинны посылка) I независимо от того, какое выражение избирают в качестве I посылки, а какое в качестве заключения.
При такой связи между общезначимыми импликациями или же эквнваленциямн, с одной стороны, и верными правилами умозаключений — с другой, нельзя заблуждаться в отношении их различий, так как понимание их рахтичий способствуют более глубокому пониманию их связи. Пр1-вила умозаключения и обычные выражения логики высказываний отличаются друг от друга в двух отношениях: во-первых, они относятся к различным формам мышления, во-вторых, к различным семантическим категориям. Правила умозаключения имеют нормативный характер, по отношению к умозаключению как акту мышления они выполняют нормативную функцию. Из них непосредственно можно понять, что надо делать, чтобы из истинного высказывания определенной структуры получить также истинно* высказывание. Обычные же выражения имеют дескриптивный характер. Они выполняют описательную функцию, отражают объективно существующие положения дел. Они являются составной частью человеческого знания. Правило умозаключения принадлежит к более высокой семантической категории, чем, например, импликация, на которой оно основано. Импликация говорит об определенных явлениях действительности, что-то сообщает о них. Правило же ум<х заключения говорит о высказываниях и операциях с ними-
Основой правила умозаключения является импликаций» например, \(p-+q)/\p}r+q. Если эта импликация общезиг чима, то можно получить высказывание о составных частя* этой импликации и о связи между их значениями истинно ти, например: «Если p-*q и р является истинными выск]' 96
званиями, то q также является истинным высказыванием».
высказывание относится к более высокой семантической категории, чем импликация, но к той же семантической категории, что и получаемое из нее правило умозаключения.
Если высказывание об импликации истинно, то из него можно получить верное правило умозаключения, например: «Из истинности p-+q и р можно заключить об истинности q*. Переход от общезначимой импликации к верному правилу умозаключения требует описанного здесь промежуточного шлга. Одновременно становится ясным, что правила умозаключения не являются продуктом соглашения или произвола, по что их правильность, опосредствованная объективной истинностью определенных высказываний, сама является объективно обусловленной.
2.2.1.4. Сокращенные умозаключения
Часто умозаключения произносятся или записываются не полностью, а в сокращенной форме. В некоторых случаях пропускают одну или несколько посылок, в других — заключение.
Примером сокращенного умозаключения является следующее: «В строительстве внедряются современные методы планирования и руководства. Следовательно, в будущем <тройки будут расти быстрее, а стоимость строительства будет снижаться». Второе из этих двух высказываний должно быть выводом, на что указывает слово «следовательно», а первое является посылкой. Но нз этой посылки вывод не следует, так как правила, по которому можно было бы сделать такое умозаключение, нет. Правильное умозаключение по правилу ttfodus poncns* может получиться только при соответствующем дополнении: «Если в строительстве внедряются современные методы плакирования и руководства, То в будущем стройки будут расти быстрее, а стоимость строительства булет снижаться. В строительстве внедряйся современные методы планирования и руководства, '-лсдовательно, в будущем стройки будут расти быстрее, а J-T°HMocib строительства будет снижаться». Это умозаключение сформулировано сравнительно сложно. Поэтому для 1*-тепюй статьи предпочитают сокращенную форму. Однако можно делать только тогда, когда читатель в состоянии у***)стоятельно дополнить сокращенное умозаключение, °*да отсутствующая посылка для читателя понятна или
л
*• Из
97
когда ее можно понять из контекста. Наше сокр щеП| J умозаключение приемлемо, если читателю ясно, в чем J ключаются подразумеваемые современные методы и как влияют на производительность труда н рентабельности строительстве.
В пользу применения сокращенных форм умозаключена I говорят не только языковые, но и психологические причт нц | Полные умозаключения во многих случаях содержат 5цЗ| известное, что для читателя или слушателя скучно. С щепные же умозаключения заставляют читателя или слушателя думать и повышают его заинтересованность Но в любом случае при использовании сокращенных умозаклв>| чений необходимо соблюдать определенные логические и психологические условия.
Автор или оратор, к торый приводит только вывод из своего у мозаключения, должен сознавать, что заключ ннеот | следствия к причине, от вывода к посылке неоднозначно. | В качестве иллюстрации приведем два правила деду кт <в-нот умозаключения, на основании которых из различных I посылок делается один и тот же вывод:
fV<7	p—q
~ Р и Р___________
Я	Я
активном. Этими пр ' .темами мы займемся в разде-*4 2.
• Покажем на примере, как для нахождения высказываний необходимостью следующих из приведенных посылок ипжно использовать таблицы истинности.
* Учитель отвечает на вопрос относительно своего Гуду-сГ0 занятия следующими сложными высказываниями;
«(1) Я бУДУ преподавать немецкий язык или и я буду чи-п» рассказы.
(2) Или я буду читать рассказы, или я буду преподавать лтечлтнку (но только одно из двух, а возможно ни то, а1 ipyroej.
(3) Или я буду преподавать немецким язык, или я буду реподавать математику (и только одно из двух)».
Выяснить, будет ли он преподавать немецкий язык или математику, будет ли он читать рассказы или ист, значит выяснить, какой вывод пли какие выводи можно с слать •столом дедукции из посылок (1) — (3). Для этого нужно начала установить, о каких видах сложных высказываний ихг речь в посылках, т. е. в каком значении употреблено •или». Посылка (1) является, очевидно, дизъюнкцией. Оба еыска швання вместе могут быть истинными, преподавание । .icuKoro языка можно вести, используя подходящий рассказ. Современное преподавание математики же несовместимо с чтением рассказов. Этот факт и помещенное в скобки дополнение показывают, что посылка (2) является
штиконъюнкцией. То, что посылка (3) должна быть разделительной дизъюнкцией, видно из дополнения.
Таким образом, мы сделали все уточнения, которг е нужны н м для перевода умозаключения пл символический 'ujk логики высказываний. Нужно только договориться, Кими пропозициональными переменными будут сиыволи-“’рованы эти высказывания.
Пусть «р» означает «Я буду преподавать немецкий язык», «47» означает «Я буду читать рассказы».
Если же кроле заключения дается одна посылка, о вторая посылка может быть восстановлена путем обратного! у мозаключения от следствия к причине. Но такой вывоз, п лученный только средствами логики, не однозначен. Лишь! при достаточных знаниях в обсуждаемой области среди т»*] гпчсскн возможных посылок будут выделены и отобраны те,1 о которых реально не может идти речь.
Автор или оратор, опускающий посылку, должен, Г 'I умеетсг, ее знать. Он должен также убедиться в том, что го]	. -
читатели или слушатели тоже знают эту посылку или	означает «Я буту преподавать математику»,
состоянии ее найти. Если автор опускает заключение, то] '-оставим, схему умозаключения (пока еще не полную): он должен быть уверен в том, что публика способна п 0*	(1)	п V q
чить его. Он должен уметь оценить уровень ее знаний •	(2)	о	г
способности к логическому мышлению! Кроме того, закл*г	(3)	р • г
ченне действительно должно еле ювать из данных посыл i|	—?—
В связи с этим следует у казать, что во многих случаях неч*'
зя сделать дедуктивное умозаключение, а следует еде а * I
редуктивное и что в редуктивном умозаключении сущесТ' И/атем составим для ваших трех посылок общую таблицу вует иная св юь между посылками и заключением, чем • п,,,Н'Кти:
р	1 ’	r	pvq	| Q\r		(PV<I) |	A(?|r
t t t t f f f f	t t f t t / f	t / t f / 1 f	t t t t t t f 1	f t t t 1 t t t	/ t f t t f t f	f t t t f t f f
у МОЖНО Гы то бы
б» «)< A(ql / (Л
f t f t I f f f
• .но ОЫТЬ ложным, так как писылк -----------------------------" продолжить, вписав в нД	. которая будет истинной столбцы значении для выражений, в которых к конъюищД	. MeDe О‘Д1|О 113 двух выска:
посылок нмпликатнвно присоединено предполагаемое ключение. Тогда, как сказано в 2.2.3.1, следовало бы п>> верить, является ли выражение общезначимым, и т. д. Oj! иако этого делать не нужно, так как результат уже ч<>« прочитать по таблице истинности. Рассмотрим те стц« таблицы, в которых все три посылки истинны и. следов»-' тельпо, истинна их конъюнкция, другие случаи для умф| заключения нас не интересуют. Мы видим, что в обеих стм ках, где все посылки истинны (строки 2 и 4), высказыванием истинно. Иначе говоря: если посылки истинны, то и л <Я буду преподавать немецкий язык» должно быть истинна!
При тех же условиях г — ложно, следовательно, ~г-[ истинно. Из посылок (1) — (3) следует вывод: «Неверно! что я буду преподавать математику». Является ли q истинным или ложным высказыванием, только на основании и с ющихся посылок заключить нельзя.
В своих рассуждениях мы совершенно отвлеклись сч содержания посылок (1) — (3) и рассматривали татько ич значения истинности. В результате мы не только установили что следует из наших конкретных посылок, ио, кроме то” пату чили еще правила умозаключения, пригодные для л-бых высказываний, а именно:
р у q
Р и тем самым также
Р V q
Я I г РУ г
PV q q I r P^r
угот же результат можно получить без таблицы истинное* следующим образом.
целесообразно исходить из посылки (3). Чтобы она была тннной (а она должна быть таковой), одно из двух выска-^лннй, из которых она состоит, должно быть истинно, а !; гое —ложно
Сначала предположим, что «Я буду преподавать мате-~ддеу> — истинно. Тогда «Я буду преподавать немецкий t ык» должно быть ложным. Перейдем к посылке (2). В v . тветст ни с нашим предположением «Я буду преподавать идематвку» истинно. Тогда «Я буду читать рассказы» дано быть ложным, так как посылка (2) является анти* “	~ "	Ч только тогда, когда,
г j крайней мере, одно из двух высказываний, из которых лиа состоит, ложно. В соответствии с этим «Я буду читать «гсказы в посылке (1) также ложно. Чтобы посылка (1) — дизъюнкция — была истинной, по крайней мере, одно и* высказываний, из которых опа состоит, должно быть к тинным. Остается только высказывание «Я буду препода-». гь немецкий язык». Но эта последовательность противо-; чит нашему исходному предположению. Поэтому мы должны ее оставить и перейти к другой.
Снова начиная с посылки (3), предположим, что <Я буду  рсподэвать немецкий язык» истинно, тогда «Я буду препо-Ддвать математику» ложно. Тогда тем самым гарантирована и пшность посылок (1) и (2). Посылка (1) истинна, так как •стипно высказывание <Я буду преподавать немецкий язык», и ее истинность уже не зависит от того, какое значение нежности имеет «Я буду читать рассказы». Значение истин* ^и утого высказывания не играет никакой роли и для п сылкн (2). Так как согласно предположению высказыва-«Я буду преподавать математику» ложно, то посылка М истинна.
^го рассуждение также привело нас к тому выводу, что Учитель на следующем занятии будет преподавать немецкий а не математику. Проведет ли он занятие, читая Р*.сказы, чы не знаем.
2.2.1.4*. Систематический обзор слежтннй
В предыдущих разделах мы уже занимались вопросом ' То‘, какие заключения могут быть сделаны изданных вымазываний. являющихся посылками умозаключения. Там не могли дать никакого метода, по которому можно было • получить все следствия нз данных посылок Однако в лоне высказываний имеется тако») способ. Он включается
о конъюнктивном объединении данных посылок и nn I — ня н К р. Из р-н? получается, например, конъюнкция НИИ конъюнкции к совершенной конъюнктивной HjZ2^Ev'4) -<Р ЕсЛН пРименить к HJfi пеРво€ правило ной форме. Совершенная конъюнктивная нормальн * *'rtI16vTii внести, но в направлении, обратном тому, е ко-выражения логнкн высказываний удовлетворяет все/jKit это правило применялось до сих пор, то получим леням конъюнктивной нормальной формы, которые(~ Р A Р) V <?•
В 2Л'8 ’ Кромс того* она Должна удоптегэя^Иг к высказыванию дизъюнктивно присоединить лож-еше одному условию: каждая пропозициональная	а ы jaHHe то из дизъюнкции можно вычеркнуть
ная, । меющаяся в выражении, должна содержаться	член не изменяя при этом значения выражения.
Члене «ценной	зачеркнем (~рАр), то останется следствие q.
!°" ВыпХ.шЛ^°л „ф0рМЫ- г	В итоге — сказать: из р-*Ч и р следует Соответ-
илА	В CBOefi ко,,ъюнктпвной НоР’<1Л-11Оше« правило уже известно нам как «Alodus /юлегш.
пои форме (~pV$)Арне удовлетворяет этому у^ловию^ИИ^ поучить следствие из данных посылок по опи-как во втором члене нет пропозициональной переменно!йвХшздесь способу нужно после символизации посылок Этот член должен быть дополнен. Для этого пользутД^иня* сле^юшие шаги:
следующим правилом:	’^Посылки сл'едует соединить в конъюнкцию.
и ЬротЖеННЯ М°Ж!Ю ПереЛТ1< квыражен|1Ю^(? V 2 Привести ее к совершенной конъюнктивной нормаль-правило можно обосновать следующим обраЦ^з^4^^ нормальной формы могут быть взяты как Дизъюнкция является истинной, если один нз ее члеиов|ХД|В11< пюбые члены и их конъюнкции и преобразованы тннен. она будет ложной, если все ее члены ложны ВыЭ t п^авн логнкн высказываний.
жст I вида (<?А~<?) является противоречием, т. е. при jS®пР , дяны следующие высказывания как посылки умо-бом наборе значений истинности оно ложно. Если р истпД	У
то дизъюнкция pv (сА~<?) истинна, если же р ложно, '	„ v _ о
дизъюнкция ложна. Значение истинности этой дюъюнк^^^Н	'
зависит только от р. Таким образом, правило об *сн	Р \ Ч^
Если его применить к (~pV<?)Ap, то получается	Р'
п\/ oi А Гл \/ (п л м1	Сначала приводим к совершенной конъюнктивной нор-
/V / /\ lp v w л ~ <?)].	«мыкуй форме конъюнкцию этих посылок:
пол?чР“УЛЬТаТе пр,,'ге|,е""я закона дистрибутивности (р v ~ q) Л (~ Р V Ч) Л Р
,	(pv~<?)A(~₽v<rtA[pV(4A~<;)]
(~ р v q) Л (р V ч) Л (р V ~ ?)	J | (р v ~ fl) Л Р V 9) А (Р V 9) Л (р V ~ «)•
Если рассматривать выражения p-*q и р как посыл* Дд упрощения можно вычеркну ь все no®JPp > умозаключения, то нужно предположить, что оба выраженч кмны, кроме одного. В нашем примере это ка аетс р ч истинны. Тогда их конъюнкция тоже истинна, так же к> '>пк-тся и любое выражение, получающееся нз нее в результате	(р у ~ g) Л Р V (Р V <?)•
швалентных преобразовании. Предположим, что	-
A(pVq)A(PV^0 истинно. Так как каждый член нсткч Ji	„	посылках,
ной конъюнкции должен быть истинным, то можно любые • ^тот результат явно содержится	! ” -----—
члены иди любые их конъюнкции рассматривать как hci41^^™— - ------ 4
ные высказывания, например:	или в преобразо
ном виде (р-н?). Из p-+q и р следует средн прочего Этот результат является подтверждением того, что с следствий, которые можно напучить нз каких-либо посы гсегда имеются сами эти посылки. В данном случае это с" 102
(PV
<?)A(pVp) патучается pV(qf\~q) и затем р. гат явно содержится в посылках, чего нельзя ^^1о следующем. Из (~pV-/)A(pV<?) получите» РЛр) q и затем q.
Даны посылки
	р -* (q — г)
	Р —<7-
Так как в них встречаются три различные перемены то каждый член совершенной конъюнктивной нормадД формы должен содержать три переменные.	1
[р — (я “* И] Л (р -* Я)
[~ р v (~ <7 V И] Л (~ Р V Я)
pV ~ qV г) f\(~ PV Я)
(~ р v — 7 V г) Л [(~ Р V Q) V (г Л ~ г)]
(~ р V ~ Я V г) Л [(~ р V Я V г) Д р V Я V ~ г)] (~pV ~ЯУ г)М~РУяУ')М~РУяУ ~г>. I
Из этой нормальной <|юрмы возьмем два первых члена] объединим их в конъюнкцию:
р v ~ q V г) Л (~ р V Я V г).
Это выражение эквивалентно следующему:
(~ р V г) V Я Л <7):
его можно упростить в {~руг) и преобразовать в
Для упражнения было бы полезно еще раз paccw ipa последний пример предыдущего раздела.
«(1) Я буду преподавать немецкий язык или и я буя читать рассказы.
(2) Или я буду читать рассказы, или я буду препдв вать математику (но только одно из двух или ни то и Ш дру гое).
(3) Либо я буду преподавать немецкий язык, либо I буду преподавать математику (и только одно из .вухШ
В символической форме их конъюнкция имеет вях
<PV<7)AO7|r)A(p*$'r).
Теперь уже не нужно принимать во внимание значен« переменных. Достаточно точно выполнить требуемые л<Л ческие операции и результаты снова перевести на eciW венный язык.
Для перехода к нормальной форме нужно сначала Ч преобразовать выражения (2) и (3), чтобы они кроме пр ,п<| зициональных переменных содержали только знаки коиъ» кипи, дизъюнкции и отрицания перед пропозициональная переменными. По 2.1.6 (q J г) может быть заменено (~Я V
Для (р^г) имеются на выбор два тождественных вырад ния, а именно (pA~OV(~PAO и (PV')A~ (Р AO-JI следнее из них более пригодно для перехода к коиъюнк’т ной нормальной форме. Берем его и получаем
(Р V Я) А (~ Я V г) А [(р V г) А - (Р Л И].
После опускания квадратных скобок и преобразования четвертого члена в дизъюнкцию уже получена конъюнктивная нормальная форма
(р V <7) Л (~ q V ~ г) Л (Р V г) Л (~Р V - г).
Для получения совершенной конъюнктивной нормальной формы каждая из четырех дизъюнкции должна быть расширена:
[(р V Ч) V (Г Л ~ О] Л((~ Ч V ~ Г) V (Р Л ~Р)]
A[(PVr)V(?A ~ <?)] Л [(— Р V ~ П V (<7 Л ~ <?)]•
В результате применения законов дистрибутивности мы получаем:
[(р V q V Г) л (р V q V - г)] Л [(р V - q V - И
Л (~ Р V ~ q V ~ И] Л [(р V q У г) Л (р V ~ q V И]
А [(~ Р V <7 V ~ <) А (~ PV ~qV ~ г)].
Квадратные скобки мы сохранили только для наглядности. Кроме того, также для наглядности мы так переставили пропозициональные переменные в дизъюнкции, чтобы они стояли в алфавитном порядке. Это допустимо, потому что в дизъюнкциях перестановка членов не влияет на значение истинности. В полученной конъюнктивной нормальной форме две дизъюнкции встречаются дважды. Одно из двух вхождений этих дважды встречающихся дизъюнкций может быть вычеркнуто, так что совершенная конъюнктивная нормальная форма окончательно имеет следующий вид:
(р V <7 V f) Л (Р V q V ~ ') А (Р V ~ <7 V ~ г) A(~pV~<7V~r)A(pV~<7Vr)
А (~ Р V <7 V ~ А-
Каждая из 6 дизъюнкций может рассматриваться как следствие наших посылок. Каждая в отдельности мало что говорит. Первая, например, говорит о том, что учитель бУд₽т заниматься, по крайней мере, одним из трех видов Деятельности, а четвертая говорит о том, что, по крайней мере, одна из них не будет выполняться.
Объединим в конъюнкцию подходящие пары дизъюнкций и затем упростим нх. Возьмем, например, первую и пятую дизъюнкции:
(pV qV г) f\(pV ~qV г).
Эту конъюнкцию можно преобразовать в (рVr) V (?А~?) и упростить в (р\/г).
Вторая и третья дизъюнкции ,ыют:
(Р V q V ~ г) Л (р V ~ q V ~ г)
<Р V ~ И V (<? Л - q)
(pV-r).
Полученные промежуточные результаты соединим в (р V г) А (р Л ~r)t
получим pV('A'~<) и тем самым р.
Соединим четвертую и шестую дизъюнкции:
<~ р v ~ q V - г) Л (~ P V q V ~ г).
Получаем (~p\J'-'-r)\j(q/\~q) и затем (~pV~r).
Эго выражение соединяем с у же полученным промежуточным результатом:
(~ р v ~ г) А (р V ~ г).
Отсюда мы можем получить '~/’V(PA~p) и затем ~г.
По этому способу мы получили уже известные выводы: «Я буду преподавать немецкий язык» и «Неверно, что я буду преподавать математику».
По какому же признаку следует отбирать пары дизъюнкции, которые потом соединяют в конъюнкции, а затем упрощают? Каждую дизъюнкцию совершенной конъюнктивной нормальной формы систематически сравнивают с каждой другой. Две дизъюнкции, отличающиеся друг от друга только тем, что одна и та же пропозициональная переменная в одном случае встречается без отрицания, а в другом с отрицанием, могут быть объединены, в результате получается выражение, содержащее татько те переменные, которые встречаются в обеих дизъюнкциях, и не содержат» е переменных, встречающихся с отрицанием и без него. Систематический обзор всех возможных следствий нашего последнего примера с указанием, нз каких выражений они патучаются, дается на следующей странице.
2.2 2 ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВХНИЙ В РЕЛЕЙ НО-КОНТАКТНЫХ СХЕМАХ
В недалеком прошлом—примерно с начала нашего статетия, но особенно в последние годы — были обнаружены возможности применения формальной логики, поначллу казавшиеся удивительными, так как они были слишком далеки от проблемных областей, традиционных для логики; к ним относится применение логики высказываний в
(oVqVr) A(pAqV~r)A(pV~qV~r) A (~pV~qV~r) A (pV~qVr) A (-pVqV~r)
контактных системах. Из логики высказываний в результате соответствующей интерпретации ее символов, операций и т. д. получается алгебра релейно-контактных схем, вадачей которой является анализ и синтез электромеханических, электронных, пневматических и других контактных систем. Алгебра контактных схем исследует при этом только связь между входными и выходными сигналами таких систем.
Объясним применение логики высказываний на примерах контактных систем. Различия между видами контактных систем часто носят технический характер и возникают, например, из-за разнообразия материалов и т. д. Но они не имеют принципиального значения в отношении возможности применения логики высказывании. Рассматриваемые нами контактные системы состоят из проводов, концы которых соединены с полюсами источника тока. Релейные контакты являются составными частями этих проводов. С помощью реле они включаются или отключаются, при этом соответственно ток проходит по проводу или прохождение тока прекращается. Надо различать два вида контактов: рабочие контакты (или замыкающие) и размыкающие контакты. На наших чертежах показано:
рабочий контакт
размыкающий контакт
Рабочие и размыкающие контакты различаются следующим образом: если реле находится под током, то рабочий контакт замыкается и образует проводящее ток соединение, размыкающий же контакт открывается и размыкает соединение. Если же реле не находится под током, то рабочий контакт не проводит ток, а размыкающий контакт ток проводит. На чертеже показано такое состояние контактов, когда присоединенное к ним реле не находится подтоком.
Одно и то же реле может приводить в действие одновременно несколько контактов. На чертеже это изображено так, что замыкающим и размыкающий контакты обозначены одними и теми же буквами. Размыкающие контакты обозначены буквой со звездочкой или точкой. «А> обозначает рабочий контакт, <Л> обозначает размыкающий контакт; оба они приводятся в действие одним и тем же реле. Поэто-10ь
му можно отказаться от изображения нескольких реле на схеме электрических соединений.
Самое простое, когда провода одного-единственкого контакта подключены к источнику тока. Если же два или более контактов соединены друг с другом, как это показано на следующем чертеже, то возникает последовательное включение:
f — (-)
Очевидно, что при таком включении ток может проходить лишь тогда, когда оба контакта проводят ток, т. е. замкнуты. В этом случае оба реле находятся под током. Нетрудно понять, что такое соединение соответствует логической конъюнкции которая истинна только тогда, когда истинны обе пропозициональные переменные.
Следующий чертеж показывает простевший случаи параллельного соединения:
Это соединение будет токопроводящим уже тогда, когда один из контактов проводит ток. Для этого необходимо, что-эы реле, относящееся к Л, было под током, или реле, относящееся к В, не было под током. Очевидно, такое соединение соответствует дизъюнкции pV~qt которая истинна уже тогда, когда истинно р или ложно q.
Соответствия между соединением проводников и сложными высказываниями не ограничиваются, конечно, такими простыми случаями. Каждому последовательно-параллельному соединению, т. е. соединению, состоящему нз последовательного или параллельного включения или из обоих, соответствует сложное высказывание. Мы уже определили важнейшие соответствия, и прежде чем перейти к решению задач контактной техники средствами логики высказываний, хотели бы показать их на таблице.
По таблице соответствий можно описать и проанализировать любое последовательно-параллельное соединение средствами логики высказываний. Это значит, что можно Установить, при каких условиях соединение проводит
Контактная тгхни«а
Лсгяка яысмааыяаня*
Контлст
Рабочий контакт
Разминающий контакт
Соединены*
Последовательна соединение Параллельное сосдмнение Состояние тока Прохождении тока Отключение тока
Пропозициональная переменная
Пропозициональная переменная без отрицания
Пропозициональная переменная с отрицанием
Сложное высказывание
Конъюнкция
Дизъюнкция
Значение истинности
Истина
Ложь
ток, а при каких нет. Продемонстрируем это на более сложном примере:
В целом наше соединение параллельное и может б4 ль выражено дизъюнкцией. Его верхняя часть также является параллельным соединением (дизъюнкцией), которое состоит из одного-единственного контакта (переменной) и последовательного соединения (конъюнкции) размыкающего контакта (переменной с отрицанием) и рабочего контакта (переменной без отрицания). Поставим в соответствие контакту А переменную р и контакту В переменную q; получим выражение lpV(~pA<?)l\A • • Нижняя часть соединения — последовательное соединение (конъюнкция) размыкающего контакта (^q) и параллельного соединения двух рабочих контактов (p\/q). В целом получается выражение
[Р V р А <?)] V [~ q A (р V ?)].
Таблица истинности этого выражения дает нам разъяснение о проводимости тока данным соединением:
ПО
t i f f
я	~р	~Я		PV(~fA A q)	PVQ	~qh (PVq)	[PV(~PA A0M~4A A(PV0|
	f	f	f	t	t	f	t
f	f	I	f	t	t	t	t
t	t	f	t	t	t	f	t
f	t	t	f	f	f	f	f
Из таблицы истинности мы узнаем, что выражение выполнимо, т. е. соединение при определенных условиях проводит ток. Если результаты таблицы истинности перевести по табчице соответствия, то мы узнаем: схема проводит ток, если оба реле находятся под током (строка 1), если реле, относящееся к А (строка 2), или реле, относящееся к В, находится под током (строка 3). Соединение не проводит ток только тогда, когда оба реле не находятся под током 1^;рока 4). Таким образом, дан анализ схемы. По аналогии с мтм мы можем проанализировать отдельные части нашей схемы по различным столбцам таблицы истинности.
Примером всегда проводящей с хе*, и является:
Ей соответствует общезначимое выражение PV~P« Никогда не проводит ток схема:
Ей соответствует контрадикция (противоречие) рЛ^Р» Теперь займемся вопросом, можно ли овладеть синтезом схем (соединений) средствами логики высказываний, т. е. Всегда ли можно создать последовательно-параллельное соединение, которое отвечает определенным условиям в отношении его проводимости. Для логики это значит найти сложное высказывание с определенной таблицей истинности, в котором из логических констант имеются только отрицание, конъюнкция и дизъюнкции. Эта задача разрешима, так как все константы логики высказываний можно свести к названным.
Приведем пример синтеза схемы. Задача заключается в том, чтобы найти схему, которая проводила бы ток при
тех же условиях, что и рассмотренная нами, но имела Гы минимальное количество контактов. Для решения задачи мы можем снова использовать таблицу истинности. Нам нужно сначала подыскать выражение, которое имеет те же истинностные значения, что и первоначальное, но содержит как можно меньше пропозициональных переменных, потом сконструировать схему, соответствующую этому выражению. Выражения pV(~pA<7) и pV<7 имеют те же значения истинности, что и первоначальное выражение. Таким образом, обе следующие схемы проводят ток при тех же условиях, что и первая:
(-) (+)
Ясно, что из этих двух схем вторая больше соответствует названным требованиям, так как имеет минимум контактов.
В заключение можно сказать, что проблемы анализа и синтеза электрических схем в принципе решены средствами логики высказываний.
Возможность применения логики высказываний в технике имеет большое значение как для логики, так и для техники. Для техники это значение прежде всего заключается в том, что здесь операции с материальными предметами (проводами, контактами, переключателями и т. д.) можно заменить операциями с логическими символами. Для формальной логики такая возможность применения имеет двоякое значение: 1) она подтверждает правильность материалистического понимания формальной лотки, подтверждает то, что формальная логика является отражением определенных аспектов объективной реальности; 2) можно конструировать схемы, которые решают логические задачи и тем самым освобождают человека от части его умственного труда. Например, электронные установки по обработке данных уже зарекомендовали себя на практике и приобретают все большее значение как вспомогательное средство в составлении прогнозов, планировании, руководстве н организации промышленных предприятий и производственных процессов. Их значение заключается ле только в то л что они во много раз превосходят человек в скорости и точность при обработке данных, но прежде его в том, что они автоматически обрабатываю! форды.! иванные про*
пессы мышления, могут освобождать человека от трудоемкого схематического умственного труда и тем самым расширять возможности его творческой деятельности.
2.2.3. ЛОГИКА ВЫСКАЗЫВАНИЯ И НЕЙРОННЫЕ СЕТИ
Чрезвычайно трудно исследовать принцип действия головного мозга человека. До сих пор нет никакой возможности непосредственно проследить, что происходит в головном „озге человека, когда он думает.
В тех случаях, когда по каким-либо причинам нельзя экспериментировать с исследуемым объектом или когда это нецелесообразно, конструируют модель объекта, исследуя ее н затем пытаются сделать заключение в отношении самого объекта. Такая модель может быть материальной, как, например, модель самолета, по которой в аэродинамической тру' е изучают аэродинамические свойства самолета, но она может быть и абстрактной, мысленной моделью.
Американские ученые Уоррен С. Мак-Куллох и Уолтер Питтс в сороковых голах нашего столетня, исходя из известных в то время анатомических и нейрофизиологических данных о головном мозге, а также нз результатов исследования поведения, сконструировали абстрактную модель жятельности головного мозга — нервную или нейронную сеть. Теория этой модели в рамках этой книги представляет интерес, поскольку она исследует и описывает нейронные сети средствами современной формальной логики.
Нейронная сеть — это схема, сеть нейронов. Нейроны — это нервные клетки, точнее модели нервных клеток, состоящие из тела клетки и его отростков. Связь между нейронами осуществляется аксонами, которые могут передавать импульсы от одного нейрона к друюму. На конце аксонов находятся тормозящие концевые узлы. Местом соединения нейрона с концевым узлом аксона является синапс. Синап-04 всеиш оказывают определенное сопротивление передаче Импульсов. Чтобы преодолеть сопротивление синапсов, 0,н .временно должно исходить определенное минимальное количество импульсов.
В отношении функции нейронных сетей исходят из сле-^Ухчцрх предположений:
J. Каждый нейрон находится только в одном из двух Ирожных состояний: в возбужденном состоянии, которое веется результатом ранее полученного импульса, или в } 11 койпом состоянии. Возбужденный нейрон немедленно “*Дает импульс нейронам, связанным с ним, он, как го
ворят, «выстреливает». Нейрон, находящийся в спокойна состоянии, «не выстреливает».
2.	Сила сопротивления синапсов и сила импульсов при. ннмаются как целочисленные. Например, один нейрон и.мед сопротивление синапсов силой равной 3. Этот нейтрон ио жег быть приведен в возбужденное состояние тогда, когя через проводящие концевые узлы одновременно посту п<ьот несколько импульсов, которые вместе достигают, по К] tfi-ней мере, силы 3.
3.	Вся нейронная сеть работает в определенном единиц ритме, который разделен на такты. Импульсы подаются всегда через определенные интервалы. Если достаточное число движущих концевых узлов, прилегающих к нейрону, буждено во время такта t, то нейрон возбуждается последующем такте /4-1. Возбужденный нейрон в последующем такте переходит в невозбужденное состояние, если он не возбуждается снова.
4.	Если возбужден тормозящий концевой узел, прилегающий к нейрону, то нейрон в следующем такте не возбуждается.
5.	Структура нейронной сети неизменна.
Некоторые примеры могут пояснить, как может применяться логика высказываний в описании нейронных сетей
На рисунках нейронных сетей нейроны изображаются следующим образом:
движущий	тормозящий
концевой Jiei 1	1 концевой узел.
I ^ДАГОН
/\~niao метки
Следующий рисунок изображает соединение нейронов, соответствующее конъюнкции логнкн высказываний:
Сила импульса нейронов А и В принимается за 1, с* противление синапсов нейрона А за 2. При таких у слови»**
X возбуждается во время такта /+1 только тогда, когда А , в были возбуждены во время такта t.
При описании такой нейронной сети константы логики ^ка ываний будут использоваться в значениях, приведенных в 2.L Дополнительно договоримся:
«.4g» обозначает: «нейрон А возбужден во время такта I».
<~.4f> обозначает: «нейрон Л не возбужден во время так-v. /».
Нашу сеть конъюнкции можно описать выражением
♦-+ (Д( Д Bt).
На следующем рисунке изображена дизъюнкция:
Нейрон X с сопротивлением синапсов / возбуждается уже тогда, когда один из двух нейронов А, В был возбуж-** во время предыдущего такта. Эта сеть описывается как
Хг+1«-« (Л4 V Bt)-
Для описания следующей сети используется также отрицание;
Возбужденное состояние W оказывает такое действие, То X в последующем такте не возбуждается. X возбуждает-ЯI 1К0 тогда, когда в предыдущем такте А возбуждается, * X не возбуждается:
А	Х<+1(Л( Л	№t)-
• В качестве последнего примера мы приводим несколько сложную сеть:
Она описывается посредством
Xr+1 w {[(Л, A Bt) V (Л( А С,) V (Bt А С,)] А - ATJ.
Это значит: нейрон X возбуждается в такте /-f-1 только тогда, когда в такте t были возбуждены, по крайней мере, два из нейронов Л, В, С, а нейрон W не был возбужден.
К нейронной сети относятся еще рецепторные нейроны, которые пату чают импульсы не от других нейронов, а из окружающей эту сеть среды, а также относятся выводные нейроны, импульсы которых оставляют нервную сеть и, например, передаются дальше волокнам мышц. При более сложных нейронных сетях наряду с большим числом нейронов надо учитывать тот факт, что нейроны передают импульсы не только одному нейрону, как в наших примерах, но многим. Но это ничего не изменяет в том, что все эти нейронные сети могут быть описаны и изучены логическими и математическими средствами.
В настоящее время теория нейронных сетей уже достаточно разработана. Она дает не только модели для относительно простых логических схем описанного типа, но и позволяет моделировать условные рефлексы. Это очень важно, так как условные рефлексы играют важную роль в высшей нервной деятельности, особенно с связи с процессами обучения.
3. ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ
3.1. Основные понятия и символы логики предикатов. 3.2. Их применение в умозаключениях логики предикатов. 3.3. Другие понятия логики предикатов.
3.1. понятия и связи МЕЖДУ понятиями
Понятие с точки зрения теории познания. Формальнологическая характеристика понятия.
3.1.1.	ПОНЯТИЕ
Понятие, как и высказывание, является формой мыс-tfHHoro отражения объекта. Оно является составной частью высказывания. Как уже говорилось, высказывание отпивает некоторый факт объективной реальности, а именно тот факт, что определенному индивиду присущ определений признак. Исследование положения дел объективной дальности приводит нас к тому, что отражено в понятии.
Объективная реальность бесконечно разнообразна. Су-лктвующие в ней предметы более или менее отличаются друг от друга. Например, каждый человек отличается от •ругнх людей и тем более от других живых существ. Одна-к это не значит, что объективная реальность состоит гплошь из отдельных, изолированных друг от друга ин-. видов. Индивиды имеют некоторые общие свойства. Каж-Djfl человек имеет свойство, общее с другими людьми — свойство обладать сознанием. У людей вообще есть свойство, общее со всеми млекопитающими,— свойство иметь «‘плую кровь. так же обстоит дело с индивидами. Некоторые люди состоят в родственных отношениях друг с -.тугом, а иные нет. Поскольку один индивид имеет общий рнзнак с другими индивидами, он вместе с ними образует класс. Класс индивидов — это множество индивидов, ммкяцих, по крайней мере, одни общий признак. Мы поль-•rt*cn здесь термином «индивид» в значении, данном в разделе 2.1.1. Все предметы объективной реальности имеют общин признак — быть материальными. Общеобразовательные средние школы составляют класс в том отношении, ’то в них обучаются и воспитываются дети и подростки по ч биому плану Министерства просвещения. Класс образуют так же супружеские пары, братья и сестры. Для них общими являются определенные отношения. Каждый инди-и'Д может принадлежать к бесконечно многим классам, как он обладает самыми разнообразными признаками, и человек одновременно может принадлежать и к классу учителей, и к классу филателистов, и к классу членов ”ПГ, и к классу холостяков, и т. д. Принадлежность к Массу не требует сосуществования во времени и в ирост-^Днстве. Например, все сторонники мира образуют один *лсс, хотя они живут । разных странах. Гиппократ и Ро-Дут Кох принадлежат к классу знаменитых врачей, хотя 1,1 и жили в разное время.
Признаки класса присущи всем его индивидам и остался неизменными пр < переходе от одного индивида к дру-
В задачи этой книги не входит подробное раскрытие
„л познания. Тем не менее, необходимо отмстить, что с зрения теории познания диалектического материалнз-! отражение не является пассивным отображением деЙст-«тельности в человеческом сознании. У человека есть □собность к абстрагированию, н с помощью своих лбет-|gtuHi*i, если они верны, он может достигать все более глупого познания действительности. В геометрии, например, чку рассматривают как образование, не подлежащее ни-,кд>му измерению. В этом смысле точка является продуктом стр акции, мысленной конструкцией, которая помогает данный индивид отличается от других в пределах св rrd 101’ЬУ в познании основных отношений действительности, класса. Такид образом, нет смысла говорить просто таких мь,сле,и,ыч точек объективно не существует, лпе определение понятия не претендует на разъяснение
лассы, нужно сделать одно философское замечание. Инди->-<ды объединяются в классы на основании общих призма* В. присущих нм объективно. Эти общие признаки не су-
тому. Но эти признаки неизменны только в одном I Ь • —.................  —	----
определенном отношении. В остальном каждый индием Ч^ятия отражения диалектико-материалистической тео-а тем с<1ммм и его признаки изменчивы, и их изменение -	“ "лвия,,,,я ,,р мри** мрпбтпшмп ^wotutl ита
ределяет переход индивида из одного класса в другой, h кто, научившийся читать и писать, принадлежит уже не классу неграмотных, как прежде, а к классу уме^мц читать и писать. Ъ него больше нет признаков, общих -неграмотных, а есть дру гие, на основании которых он nj. надлежит к другому классу. Кроме общих, инвариантн признаков существуют еще и такие, которые измени при переходах от одного индивида к другому внутри ного класса, это индивидуальные признаки, то, ч<
класса. Таким образом, нет смысла говорить просто J инвариантных и индивидуальных признаках индивидд1,-нужно у казать, в отношении какого класса признаки явл> 1 **5.св	1 й теоР гико-познавательных проблем,
ются общими или индивидуальными. Один и тот же прнл|	отношении утверждения, что индивиды образуют
нак одного и того же индивида в пределах одного к л	HV>KMO сш laTb ОЛ|Ю ЛиллслАгкпе -гямрияии* Иипп-
может быть общим, а в пределах другого класса ннднм дуальным.	_- -	.
Как между индивидами, так н между классами инд.1Мг|^^®^ю*Г отдельно от индивидов. Конкретное или спецнфи-дов существуют сходства и различия. Классы с обшимИЬ11 °^ее» каК общность всех индивидов некоторого признаками снова образуют класс — класс классов, n.w| ®асса в к отношениях с другими индивидами, другими класс более высокого порядка. Люди, живущие вместеявляющееся одновременно сущностью этих связанные родственными отношениями, образуют се I *IL Bt He c: TWBJ -F Д ами фор альной логики Каждая семья является поэтому классом индивидов. Се 11ИР*1- здесь нс рассматривается.
мьи, состоящие, например, из пяти человек, образуют клааск Формой существования понятия в человеческом сознании классов, а именно класс семей нз пяти человек. Наря :у	слово. При этом безразлично, будет ли понятие
этим общим признаком состоять нз пяти человек эти семь»!?4*080 >ть в форме он rocioi ( рабочий ) или нссколь-имеют, конечно, и индивидуальные признаки (колич-	(например, «мировоззрение рабочего класса»),
детей, уровень общего доход, и т. д.) которыми они от-1"™ понятия выражаются придаточными предпожеиия-лнчаются дру г от друга.	; в высказывании «Трудящиеся, которые принимают
Предыдущее рассмотрение служит для подготовки опрс-|| деления понятия.
Понятие — это мысленное отражение класса индивиа ” млн класса классов на основании общих признаков.
Например, общими признаками, на основе которых ется определение понятия < являются: наличие общественной собственности на с[ ва производства при планомерном развитии всего нароДнСГ го хозяйства, отсутствие эксплуататорских классов эксплуатации человека человеком, принадлежность поли'^^ тической власти трудящимся при руководящей роли I г чего класса, руководящая деятельность марксистски "'Ц, нннских коммунистических партий.
Н8
ществе в социалистическом соревновании, приносят •*ьзу своему государству и самим себе» с помощью приточного предложения из понятия «трудящиеся» образу ется }*тие, которое отражает не весь класс трудящихся, ио 1ько часть класса с его дополнительным общим прнзна-«соцналнстическое государство . ,'4 Вместо первоначальной формулировки можно было бы венной собственности на ере*7* атЬ <ТРУдя^иеся’ принимающие участие в сониалисти-Дум соревновании...», отсюда совершенно ясно, что при--'«ное предложение не имеет здесь значения высказыва-<*я’ а является языковой формой существования понятия.
По аналогии с уже сказанным по поводу высказывания ь снова надо заметить, что формальная логика занижен не определенными, конкретными понятиями, а ие-
не
след} от понятие как таковое и отношение между ruwjl тиями. Вопросы возникновения и изменения понятий ..1 носятся не к области формальной логики, а к области т<-,.| рии познания пли же диалектической логики. Форм, пая логика дает лишь правила, которые след}ет прши м I во внимание прн образовании понятии.
3.1.2.	содержание и объем понятий
Согласно определению 3.1.1 понятия отражают (АдЛ признаки, присущие всем индивидам некоторого классн и сами классы. Исходя из этого, различают содержание 1 объем понятия. Их более подробное рассмотрение привЛ дет к более гл>бокому пониманию общего определения п, | пятня и даст возможность точнее выделить тот аспект иссле-1 дования понятия, которым занимается формальная логика
Содержание понятия является мысленным стриже нием инвариантных признаков определенного класса индивидов или класса классов. Содержание понятия человек» является отражением общих для всех людей свойств, например, таких, как обладание сознанием, владение я <ы ком и т. д.
Объем понятия — это мысленное отражение определенного класса индивидов или класса классов. Объем понятия «человек» является отражением класса люден.
Чтобы точно определить понятие «содержание понятия», надо также указать, инвариантные признаки какого класса отражены в содержании понятия. Соответств>ющим образом уточняется определение понятия «объем понятия».
Содержанке понятия — это мысленное отражение признаков, которые являются инвариантными внутри класса! ИНДК1 илов или классов, составляющих объем этого понятия.'
Объем понятия — это мысленное отражение того класся! индивидов или класса классов, инвариантные признаки* которых отражены в содержании этого понятия.
Более точное опреде1еиие содержания и объема понятия! одновременно делает более понятной их связь. Кроме того. । общее определение понятия становится конкретнее, если! учесть, что каждое понятие есть диалектическое единство его содержания и объема, т. е. неразрывное единство pa3'] личного.
Для каждого понятия имеется класс объектов, которому оно соответствует. Человеческое мышление — это н пассивное зеркало, отражающее лучи света, попадающне1 на его iiOBepxiiucib; при всей своей принципиальной з
влспмостп от объективной реальности, мышление обладает и относительной самостоятельностью. Оно может образовывать абстракции, внутренне противоречивые или противоречащие законам природы. Оно может, например, об-рлювывать такие понятия, как «бог», «кентавр» и т. д., которые отражают не су шествующие в действительности классы индивидов. Чтобы и в таких случаях можно было оперировать объемами понятий, вводят понятие нулевого или пустого класса. Нулевой класс — это класс, не имеющий ни одного индивида. В таком случае говорят, что объем таких понятий, как «бог», «кентавр» и т. д., является отражением нулевого класса, т. е. что в объективной реальности не существует индивида с признаками, отраженными в этих понятиях. Принимая это расширение, можно сказать, что для каждого понятия имеется класс, которому оно соответствует.
С другой стороны, конечно, далеко не для каждого кл icca имеется понятие, так как в объективной реальности существует бесконечно много классов, тогда как множество понятий, существующих в человеческом сознании, ограничено. Понятие можно определить, как раскрыв его содержание, так и определив его объем. Но отсюда не следует, что каждому содержанию точно соответствует определенный объем и наоборот, так как есть понятия, имеющие одинаковые объемы, но различные содержания.
Понятия «обладающий сознанием» и «способный производить орудия труда» по содержанию очень тесно связаны друг с другом, но не могут быть приравнены друг к другу. Об । они относятся к классу людей. И поскольку логика предикатов ограничивается рассмотрением экстенсиональных связей, она не делает различия между такими понятиями. В ее рамках понятия с различным содержанием, но с одинаковым объемом взаимозамен и мы. Таким образом, между содержанием и объемом понятия устанавливается соответствие.
3.1.3,	ПОНЯТИЕ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
Понятия могут быть составными частями высказываний, норм и вопросов. Здесь речь идет только об отношении понятия н высказывания; определение отношений между понятиями и нормами или понятиями и вопросами не входит задачи логнкн высказываний.
Когда говорят, что понятия являются составными частями высказываний или содержатся в высказываниях, ха-
рактеризуют связь между понятием и высказыванием линь внешне. Кроме того, не каждая составная часть выскань -ния является понятней.
Ту сторон\ отношения между понятием и высказыванием, которая существенна для формально ! лотки, л\чше всего можно понять, рассматривая понятие к.<к выскаэы-нательную функцию или форму высказывания. Выск.зы-вательной функцией является, например, «х— студент-заочник» и «х—отец у».
Как видно, высказыватедьныефункции имеют языковою форму повествовательных предложений, не будучи, однако, высказываниями. Относительно обеих высказыва-тельных функций, приведенных в качестве примера (как и относительно любых других выскаэывательных функций), нельзя сказать, истинны они или ложны. Но этим свойством, как известно, обладает каждое высказывание.
То, что высказывательная функция ни истинна, ни ложна, связано с тем, что она ничего не утверждает и i е отрицает, а является незаконченным, незавершенным высказыванием и имеет, по крайней мере, одну переменную величину, обозначаемой в языке так называемой своб дней переменной. В высказывании же, точнее в его языков м выражении, нет никакой свободной переменной. Первая высказывательная функция нашего примера в своей языковой форме содержит свободную переменную ex'», наша втирая высказывательная функция содержит свободные переменные «х» и «/». Здесь мы еще не можем дать определения понятия «свободная переменная». Пока мы можем только сказать: свободная переменная — это переменная, которая еще не имеет значения.
Таким образом, высказывательная функция есть мысленное образование, имеющее форму повествовательного предложения. В противоположность высказыванию она содержит, по крайней мере, одну переменную величину, обозначаемую свободной переменной, и вследствие того не является ни истинной, ни ложной.
Выше речь шла о том, что мы будем рассматривать понятия как высказывательиые функции. В повседневной жизни и в научной работе нам, как правило, встречаются понятия не в виде высказывательных функций. Мы говор! ч о понятии «студент-заочник», а не о высказывательной Функции *х — студент-заочник» или ст обладает свойств ’ быть студентом-заочником». Мы говорим о понятии «отец», а ие о высказывательной фу икпии «х — отец t/>. Однако правильнее рассматривать понятие как высказы нательную
функцию, так как свойства и отношения существуют не сами по себе, но всегда только как свойства индивидов, как отношения между индивидами.
•Нот факт определенно и очевидно принимается во вникание при рассмотрении понятия как высказывательной функции. Но его нужно учитывать и при рассмотрении других форм понятий. Отрыв свойства от его субъекта ведет к лбсолютизации свойств и отношении и искажению объективной реальности.
В «жмем какую-либо область индивидов. Рассмотренные высказывания и высказывательные функции можно тогда понимать как высказывания или высказывательные функции об этой области индивидов, т. е. о содержащихся в ней индивидах и их признаках. Существуют два способа перехода от понятия как высказывательной функции к высказыванию. Первый заключается в завершении выскаэы-вательной функции до высказывания путем замены переменных величин подходящими понятиями. В языке это происходит в результате замены свободных переменных подходящими именами. Так из «х — студент-заочник», заменяя свободную переменную х собственным именем «Фриц Мюллер», получают повествовательное предложение <Фрнц Мюллер — студент-заочник». Его значением является высказывание, которое либо истинно, либо ложно, смотря по тому, является ли подразумеваемый Фриц Мюллер студентом-заочником или нет. II < «х — отец у» повествовательное предложение получается лишь тогда, когда сбе свободные переменные заменены собственными именами, например, «Степан Павлович Титов — отец Германа Степановича Титова».
В теоретико-познавательных исследованиях различие *ежду мысленным и языковым аспектами рассмотрения необходимо. Но такое различие может привести к очень сложны формулировкам, как это уже видно из предыдущего абзаца. Точное взаимное соответствие высказываний и законченных повествовательных предложений, высказыва-тельных функций и повествовательных предложений со свободными переменными, перечтенных величин и свободных переменных позволяет несколько упростить наш способ выражения. В соответствии с этим мы в дальнейшем будем говорить, что высказывательная функция содержит своГ-.диые переменные, хотя она, строго говоря, содержит Только переменные величины, которым в языковом аспекте соответствуют свободные переменные.
Приведенные выше в качестве примеров переменные —
это индивидные переменные. Они представляют собой как бы пустые места для собственных имен, т. е. для языковых выражений, которые однозначно именуют конкретные индивиды. Примерами таких языковых выражений являются «Фриц Мюллер» (в случае необходимости для уточнения указывают дату и место рождения) и «Последнее предложение Коммунистического манифеста Маркса и Энгельса».
Таким образом, первая возможность получить повествовательное предложение из высказывательной функции, содержащей свободные индивидные переменные, заключается в том, что все свободные индивидные переменные заменяются именами собственными. В результате применения этого способа нз высказывательной функции получается единичное высказывание.
Второй способ получения высказывания из высказывательной функции заключается в связывании свободных переменных. Это происходит с помощью операторов или кванторов. Из высказывательной функции «х— студент-заочник» с помощью квантора существования получают высказывание о существовании:
Э(х) [х—студент-заочник].
Это значит: «Существует, по крайней мере, один индивид, для которого верно, что: х — студент-заочник». Если символ квантора существования Э(х)» стоит перед высказывательной функцией, которая содержит переменную х, то под этим подразумевается, что существует, по крайней мере, один индивид с признаками, отраженными в высказывательной функции, НО ВОЗМОЖНО, ЧТО ГаКИХ индивидов несколько. Из высказывательной функции «х — отец у» с помощью двух кванторов существования получают высказывание
3 (х) 3 (у) [х—отец у].
Это значит: «Су шествуют, по крайней мере, один х и один у, для которых верно: х — отец у». Можно также получить высказывание 3(у) [С. П. Титов — отец у|, используя обе названные возможности. Важно только учесть все свободные переменные.
Можно дать определение:
Экзистенциальное высказывание (высказывани<* о существовании) — это высказывание, которое устанавливает, что существует, по крайней мере, пин индивид, обладающим определенным признаком. Оно истинно только
тогда, когда имеется, по крайней мерс, один набор значений свободных переменных, при котором нз содержащейся в нем высказывательной функции получается истинное высказывание.
Для разъяснения последнего предложения приведем пример: в результате замены свободных индивидных переменных из высказывательной функции — отец у» мы папу чили истинное высказывание: «Степан Павлович Титов — отец Германа Степановича Титова». Таким образом, имеется, по крайней мере, один набор значений (фактически намного больше, но здесь это неважно), при котором из высказывательной функции получается истинное высказывание. Итак, 3(х) Э (у) [х— отец у] является истинным высказыванием.
Hi высказывательной функции «х— студент-заочник» с помощью квантора общности пату чают высказывание обо всех индивидах:
V(x) [х—студент-заочник].
го есть для каждого индивида х верно: <х — студент-заочник». С помощью квантора общности выражают, что каждому отдельному индивиду определенноИ области принадлежит данный признак. Вместо «для каждого х верно...» говорят также «для всех х верно: ...». Но этот способ выра жеиия не датжен приводить к смешиванию высказывании обо всех индивидах с высказываниями типа «Для класса индивидов х верно: ...», так как признак, относящийся к классу индивидов, не является признаком индивидов этого класса, и наоборот. Для каждого отдельного человека верно, например, что он умрет. Но нет никаких оснований для предпатожения, что это свойство относится к классу всех людей, т. е. к человечеству.
И нашей второй высказывательной функции, применяя Два квантора общности, можно напучить следующее ложное высказывание:
V(x) V (у) [х—отец у].
Это значит: «Для каждого х и для каждого у верно: х — отец у-, иными словами: «Каждый является отцом каждого». В результате комбинированного применения квантора общности и нспапьзования собственных имен также получается высказывание обо всех индивидах.
Дадим определение:
Высказывание обо всех индивидах, обшее высказывание — это высказывание, козорое констатирует, что каж-
1ын отдельный ИН1ИВНД данной индивидной области < обладает определенным признаком. Оно истинно только тогда, когда при любом нач'оре значений его свободных переменных из содержащейся в нем высаазывательной функции получается истинное высказывание.
Наряду с уже названными тремя видами высказываний имеется еще и четвертый. Мы имеем в виду высказывание, в котором встречаются оба типа кванторов, например:
V(f/) 3(х) [х—отец у].
Если индивидная область — область людей, то эта запись выражает высказывание «Каждый человек имеет отца».
Итак, высказывательные функции превращаются в высказывания путем замены содержащихся в них свободных переменных именами собственными или путем связывания их кванторами. Квантор связывает все находящиеся в области его действия переменные. В область действия квантора всегда входит, по крайней мере, последующая выска-зывательная функция. В нее может одновременно входить и несколько высказывательных функции, соединенных логическими связками. В этом случае все высказывательные функции, находящиеся в области действия квантора, объединяются скобками.
Два вида переменных, о которых здесь шла речь, можно определить следующим образом:
Переменная выскдэывательной функции является свободной переменной, если она не находится в области действия квантора.
Переменная является связанной переменной, если она находится в области действия квантора.
Символический язык лотки предикатов имеет здесь то преимущество, что о каждом выражении логики предикатов, не учитывая его значения, можно сказать, является ли оно высказыванием или высказывателыюй функцией. Для этого нужно только проверить, находится ли каждая встречающаяся в высказынательной функции переменная в области действия квантора с соответствующей подкванториой (стоящей непосредственно за ним в круглых скобках) переменной. Если это так, то «ы имеем высказывание, в противном случае — высказывательную функцию.
Ни в одном из примеров этой главы еще не встречалось отрицание. Поэтому нужно сделать еще некоторые замечания об отрицании в выражениях логики предикатов. Если отрицается высказывание «Существует, по крайней мере,
огни x< ДЛЯ которого верно: х — студент-заочник», то по-. .чают высказывание «Неверно, что существует х, для которого верно: с — студент-заочник». Иными словами, «Не существует никакого х, для которого верно: х — студент-сочник». В символическом изображении это будет
~Э(х) [х—студент-заочник].
Если мы отрицаем общее высказывание, то получаем .-Неверно, что для каждого х верно: х — студент заочник». Иными словами, «Не для каждого х верно: х — стучснт-мочник». В символическом изображении
~ V (х) [х—студент-заочник].
Наряду с этим можно отрицать и высказывательные функции, как в
Э(х) [х—не студент-заочник],
т. е. «Имеется, но крайней мере, один индивидх, для которого верно: х — не студент-заочник». Отрицанием законченных высказываний и высказывательных функций, а также их связью мы подробнее займемся в разделе 3.2.3.
Чожет удивить, что в главе о логике предикатов не было еще п речи о предикатах. Теперь их введение подготовлено, так что уже несколькими фразами можно объяснить, что такое предикаты.
Предикаты — это высказывательные функции типа «х — студент-заочник», «х больше, чем у», «х говорит с у о т» и т. д., т. е. содержание понятий в их правильной логической форме, по которой можно установить, отражается ли в не । свойство или отношение и между сколькими и и диви-’ <ми существует такое отношение. Все, что до сих пор говорилось о высказывательных функциях, относится также и к предикатам, так как каждый предикат является высказы-вательной функцией.
Пи числу мест предикаты делятся на:
(1) одноместные предикаты — это отражения свойств, высказывательные функции с одной переменной,
(2) многоместные предикаты — это отражения отношений, высказывательные функции более чем с одной переменной.
Многоместные предикаты более строго подразделяются на Двухместные, трехместные и т. д. предикаты или отношения. Так как логика предикатов занимается не отдельными предикатами, а предикатами вообще, будет целесообразно ввести для них символы. В качестве предикатных пере-
мсниых мы используем заглавные латинские буквы А, В, ... F, G, ... /?, S, ...; индивидные переменные, стоящие в скобках справа от этих букв, позволяют определить местность предикатов. Для наглядности составим таблицу примеров символов, которые потребуются в дальнейшем.
Символ	3'  «-яв»	Имя
Р(х) ~Р(Х)	х—Р; х имеет свойство Р х—не Р; х не имеет свойства Р	Одноместный предикат, свойство
R (х, у) (х, у)	х находится в отношении Л с У х не находится в отношении R с у	Многоместный предикат, отношение
V (х) ~V(X)	Для к аж то го инди >нда х верно Нс для каждого х верно (возможно верно для некоторых х, возможно ни для одного)	Квантор сбщпостн
3(Х) ~Э(Х)	Существует, по крайней мере, один х, для которого верно (возможно, верно для каждого х) Не существует х, для которого верно	Квантор существования
3.1.4. ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ
В разделе 3.1.3 мы рассматривали только такие высказывания, в которых имелось одно понятие. Гораздо чаще встречаются высказывания, в которых содержится, по крайней мере, два понятия, находящихся в определенном отношении друг с другом. Эти отношения являются отражением отношений, существующих между соответствующими классами индивидов. Высказывание будет истинным лишь тогда, когда отношение между его понятиями будет адекватным отражением того отношения, которое существует между классами, отраженными в понятиях. В соответствии с этим мы, говоря о возможных отношениях между понятиями, будем исходить из того, какие отношения возможны
между двумя классами индивидов. Это значит, что мы будем рассматривать отношения между понятиями как отношения межд) предикатами, т. е. содержаниями понятий, но на основе их объемов. Иначе говоря, как экстенсиональные отношения между содержаниями понятий.
Основой отношений между классами является отношение элементов; поэтому сначала нам нужно заняться им.
Индивиды, образующие на основе своих общих свойств некоторый класс, являются элементами этого класса.
Каждый индивид, являющийся человеком, иными словами, обладающий свойствами человека, является элементом класса людей. Высказывательной функции «х — человек» соответствует высказывательная функция «х — элемент класса людей».
Пары индивидов, образующие класс на основе общего двухместного отношения, являются элементами этою класса.
Каждая пара людей, состоящая в браке друг с другом, является элементом класса супругов. Высказывательной функции «х состоит в браке с у» соответствует высказывательная функция «Пара индивидов (х, у] является элементом класса супругов, или класса людей, состоящих в браке друг с другом». Аналогичным образом определяют элементы классов, в которых общими являются трехместные |'ти многоместные отношения. В дальнейшем мы будем заниматься исключительно одноместными и двухместными предикатами
Приведенные примеры элементов классов, конечно, ясны. Но на практике при попытке указать элементы дан него класса часто ошибаются. Первая возможная ошибка состоит в том, что вместо элемента класса снова у называют на класс. Рассматривают, например, жилые дома как элемент класса домов, не учитывая при этом, что элементами класса домов должны быть индивиды, а не классы. В качестве элемента класса домов можно назвать один дом, расположенный по определенному адресу.
Вторая, чаще встречающаяся ошибка заключается в том, что вместо элемента класса называют часть предмета. Называют, например, артиллерию или отдельного солдата Влемеитом класса армий. Здесь правильнее было бы на-’вать. например, Национальную Народную Армию ГДР. ^тих ошибок можно легко избежать, образуя высказывание следующего вида: «Национальная Народная Армия ГДР ^ть армия», т. е. соединяя имя индивида с именем соответствующего класса посредством связки «есть». Если же 5	7<3	129
вместо ННА ГДР ставят слово «солдат», то возникает I ное высказывание, определенно свидетельствхющее о тоц I что у казан не элемент класса, а что-то дру гое. Если же под/ । чается истинное высказывание, то это еще не говорит о тцц I что действительно указан элемент класса. Здесь может r/tuM допущена первая ошибка. Из-за многозначности слова! «есть» наряду с отношением принадтежности элемента к I классу оно может обозначать отношение содержаний и or- I ношение идентичности объемов.
Начнем систематическое изложение отношений между I понятиями. В целях наглядности класс индивидов изо pa- I зим в виде прямоугольника. Точки, составляющие площаль I прямоугольника, могут представлять элементы класса.
Прежде всего следует принять во внимание, что сущест-вует две возможности:
1. Есть классы, которые не имеют общего элемента.
2. Есть классы, которые имеют, по крайней мере, один общий элемент.
Сначала займемся первой возможностью. В графике- I ском изображении это будет
Г* I I в |	| Я I I S |
Здесь Л и В или R и S являются классами, которые не име- I ют ни одного общего элемента. Иными словами: общие признаки А (х) и В (х) не могут относиться к одному и тому же элементу. Или: не существует индивида, к которому отно- I сятся оба признака. Нет ни одного философа, который од- I нс ременно и в одном и том же отношении был бы материалистом и идеалистом. Если речь идет о классах R и S, классах пар, то не существует ни одной пары индивид.*» 1 между которыми существовало бы одновременно отношение R и отношение S. Нет, например, ни одного случая, когда ’ х одновременно и в одном и том же отношении явтяется и I причиной и следствием у. Этот пример показывает, что в I отношении /?(х, у) нельзя путать х и у. Если х является I причиной v, то у, естественно, является следствием х; но I пара lx, । совсем иная, чем пара {у, х]. В высказываниях I об отношениях пары индивидов всегда упорядочены.
Понятия, объемы которых не имеют ни одного общего I элемента, являются дизъюнктивными понятиями.
Понятия 1 (х) н В(х) являются дизъюнктивными тогда I и только тогда, когда
~ 3 (х) [ А (х) А В (х)].
Понятия А?(х, и) и S(x, у) являются дизъюнктивными тогда и только тогда, когда
~ 3 (х) 3 (у) [Я (х, у) A S (х, 0].
Вследствие этого два понятия Л(х) и В(х) являются мзъюнктивными только в том случае, если нм при каком наборе значений индивидных переменных нз высказывательной функции А(х)аВ(х) не получится истинное высказывание. Это же справедливо и для дизъюнктивных понятии /?(%, 0 и <S(r. у).
Понятие Д (х) или /?(х, у) и его отрицание ~А(л) или ~/?(х, у) также являются дизъюнктивными, поскольку нс мцест лет ни одного индивида, который имел бы опреде-ленн «.* свойство и не имел его одновременно и в одном и том же отношении; нет ни одной пары индивидов, между которы-1и существовало бы определенное отношение и оно же не су-щатвовзло бы одновременно и в одном и том же смысле.
Обратимся к понятиям, объемы которых имеют хотя бы по одному общему элементу.
Рисунки показывают, что все элементы А или R одно-р менно являются элементами В или S. Первый названный класс содержится во втором. Для каждого индивида х верно: если он имеет свойство А (х), то он имеет и свойство £(х). Каждый человек, являющийся рабочим, является
же и трудящимся. Для каждой пары людей х, у верно: «ели х — брат у, то х — родственник у.
Это отношение понятии называется подчинением. I (х) И1н /?(х, у) подчиненное, или видовое, понятие; В(х) или •$(х, у) подчиняющее, или родовое, понятие.
Понятия Д (х) и B(v) находятся в родо-видовом отношении тогда и только тогда, когда
V(x) [Д(х> —В(х)].
Понятия /?(х, у) и S(x, у) находятся в родо-видовом отношении тогда и только тогда, когда
v <х)v (У) [Я U, 0 — 5 (х, 0].
Из определения ясно, что для одного понятия можно •ити различные как родовые, гак и видовые понятия и 1,10 одно и то же понятие в отношении одного понятия может
быть видовым, а в отношении другого — родовым. Понятие «рабочий» будет видовым понятием по отношению к ро <>. вому понятию «трудящийся», но родовым понятием ПО ОППУ шению к видовому понятию «рабочий-металлист». Если рассматривать понятие «трудящийся» как родовое понятие, то понятия «рабочий» и «рабочий-металлист» будут по ь ношению к нему двумя видовыми понятиями. Если рассматривать понятие «рабочий-металлист» как видовое понятие, то «рабочий» и «трудящийся» будут по отношению к нему двумя родовыми понятиями. В каждом из этих случк-а выполнено условие, что каждый индивид, подпадающий под видовое понятие, должен подпасть и под родовое. Такие же отношения существуют, например, между понятиями «родственник», «брат» и «братья-близнецы».
Следующее отношение между понятиями, имеющими общие элементы объемов, можно увидеть на рисунках
А В
R S
В этом случае каждый элемент А или R является также элементом В или S и наоборот. Для каждого индивида верно: он имеет признак А (х) только тогда, когда он имеет признак В(х).
Иначе говоря: или он имеет оба указанных признака, или ни одного из них. Например, треугольники будут равносторонними только тогда, когда они имеют равные углы. Неразделимое единство мышления и языка позволяет сказать: х и у устно обмениваются мыслями только тогда, когда они говорят друг с другом. Имеющееся здесь отношение между понятиями является совпадением объемов. Это значит, что понятия «равносторонний треугольник» и «треугольник с равными углами» или же «устно обмениваться мыслями» и «разговаривать друг с другом» являются идентичными (совпадающими) по нх объему. Но по своему содержанию они не идентичны. Если же два понятия идентичны по св»* му содержанию, то они идентичны и по своему объему
Понятия А(х) и В(х) равнообъемны тогда и только тогда, когда
¥(х) [Л(х)нВ(х)].
Понятия R(x, у) и S(x, у) равнообъемны тогда и только тогда, когда
V (х) ¥ (у) [А? (х, у) w S (х, //)].
формулы, с помощью которых мы определили идентичность объемов, можно получить следующим образом: все цементы А являются элементами В, т. е. А содержится в В. до формула, выражающая подчинение. И наоборот, В содержится в Л. Поэтому верна и обратная формула.
Пэ логики высказываний мы знаем, что p+-*q н (р-*д)А л (q-*p) имеют одинаковые значения истинности и поэтому взаияозаменимы. Используя эту взанмозаменимость, получаем определение идентичности объемов.
На трех следующих примерах еще раз покажем многозначность слова «есть». «Фриц Мюллер есть студент-заочник выражает отношение принадлежности элемента к клас-.у; «Каждый рабочий есть трудящийся» — отношние между удержаниями понятий; «Каждый равносторонний треугольник есть треугольник с равными углами» — идентичность объемов.
Следующие рисунки показывают третье отношение между понятиями, классы которых имеют хотя бы по одному общ- му элементу:
Некоторые индивиды или пары индивидов являются элементами обоих классов, но есть и такие, которые являются элементами только одного из классов. Такое отношение существует между рабочими и писателями. Есть писатели-рабочие. но есть также рабочие, которые не занимаются писательской деятельностью, и есть писатели, которые ие являются рабочими. Такое же отношение, как между понятиями «рабочий» и «писатель», существует между «х помогает у» и «х — товарищ у по работе».
Это отношение понятий называется отношением перекрещивания.
Чтобы получить определение этого отношения, нужно только выразить на символическом языке логики предикатен тот факт, что имеются индивиды или пары индивидов, к торые обладают обоими признаками, и такие, которые Обладают тать ко одним из этих признаков.
Понятия Д(х) и В(х) будут находиться в отношении перекрещивания тогда и только тогда, когда
3 (х) [Л (х) А В(х)] Д 3 (х) [4 (х) /\ ~ В (х)] А
А 3 (х) [В (х) А ~ А (х)].
Понятия R(xf у) п S (х, у) будут находиться в отношении перекрещивания тогда и только тогда, когда
3 (х) 3 (у) [Я (х, у) AS (х, у)] Л Л 3 (л)Э (у)[Я (х, у) A~S(х, у)] Л 3 (х) 3 (у) [S (х, у) Л ~ R (х, у)].
Если несколько понятий имеют общее родовое понятие, то их называют соподчиненными понятиями. Соподчиненными понятиями являются, например, «рабочий», «крестьянин»; родовым понятием для них является «трудящийся». Также соподчиненными понятиями являются «слышать», «видеть», «чувствовать», так как они имеют общее родоо^е понятие «воспринимать». К соподчиненным понятиям относятся также противоположные (контрарные) понятия. Их определяют как те видовые понятия одного и того же родового понятия, которые в наибольшей степени отличаются друг от друга. Примерами противоположных понятии являются «красивый» и «безобразный», «большой» и «маленький». Это отношение между понятиями нельзя изобразить средствами формальной логики. Кроме того, почти всегда возникают большие трудности при определении того, какие понятия являются противоположными друг друг), так как при этом предполагается, что понятия распределяются по степени их различия.
Отношением между понятиями, которое можно точно отразить с помощью средств логики предикатов, является отношение между конверсивными понятиями. В этом отношении могут находиться татько такие понятия, которые сами отражают отношения. В случае двухместных отношений, которыми мы и ограничимся, одно понятие отражает отношение обратное тому, которое отражено в другом понятии. Конверсивными понятиями являются, например: «х есть причина у» и «у есть действие х», «х есть родитель у» и «у есть ребенок х», «х есть родственник у» и «у есть родственник х». Как видно из примеров, конверсивными по отношению друг к другу могут быть различные понятия, но есть понятия конверсивные сами себе. Конверсивное понятие для понятия /?(х, у) имеет особый символ, который означает его отношение к первому: ft (у, х).
Понятия /?(х, у) и R(y, х) будут конверсивными тогда и татько тогда, когда
V (х; V {у) [Я (х, у) w ft (у, х)].
Вышеизложенное описание отношений между понятиями Змлистся пропедевтикой к умозаключениям логики преди-мтое в следу юшем разделе, но оно полезно и само по себе. Во многих случаях, когда оперируют понятиями, необходи-знать, в каких отношениях друг с другом они могут IUX литься и как можно точно выразить эти отношения. Поэтому изучение отношений между понятиями полезно лем, кто занимается учебной или публицистической деятельностью. и не татько нм. Проникновение науки во все области нашей социалистической действительности (будь то политика, экономика или техника) предъявляет людям вое более высокие требования, в частности это касается способа выражения и понимания ими своей деятельности.
Тем, что здесь было сказано об отношениях между понятиями, далеко не исчерпывается диалектика этих отношений. Так, мы уматчали о том, что в объективной реальности вдваи индивидов не строго разграничиваются между собой, а всегда содержат индивиды, находящиеся в стадии перехода. Поэтому мы не касались вытекающей отсюда неопределенности многих понятий. Однако с помощью средств логики предикатов можно понять существенные отношения между понятиями, исследовать диалектику этих отношений.
3.1.5. символическая форма высказываний
Г Прежде всего возникают определенные трудности при переводе на язык логики предикатов высказываний, сформулированных в предложениях естественного языка, и наоборот, так как ни в логике высказываний, ни в логике предикатов для этого нет общего правила. Перевод следует Делать после анализа содержания. Поэтому мы попытаемся привести здесь ряд примеров, показывающих, какие моменты нужно при этом учитывать.
До сих пор в качестве символов мы пользовались константами логики высказываний и логики предикатов, т. е. символами логики высказываний для отрицания, конъюнкции и т. д_, кванторами общности и существования, а также индивидными переменными. Кроме того, по договоренности мы будем вводить индивидные константы и предикатные константы, т. е. символы логики предикатов с определенным значением. В качестве индивидных констант испатьзуем Маленькие латинские буквы, например «л» вместо «Александр», а в качестве предикатных констант заглавные латинские буквы, например, «Л1» вместо «человек».
Например, выражение «Александр прилежен» в симво-
л и чес кой форме будет выглядеть как F(a). Это е.тинип-J высказывание отражает тот факт, что Александр я вл я тс» элементом класса прилежных или что Александр обладает I свойством быть прилежным — F(а). Таким же единичным! высказыванием является «Александр женат (И(х, у)) HJI Еве (<)*. Здесь символизация тоже проста; в И(х, у) И11Лж » видные переменные нужно заменить индивидными констан- I тами — V (а, е).
Часто говорят просто: «Александр женат». Снмволиза- I ция по образцу предыдущего примера дала бы V(a, ^)]1 Но это не высказывание, а высказывательная функция* так I как у свободная переменная. Можно истолковать семейнгЛ положение как свойство; тогда у можно было бы опустить, < и V(a) было бы безупречной символизацией первоначаль 1 кого предтожения. Но это связано с уменьшением числа 1 мест предиката. Поэтому лучше более точно выразить го, I что подразумевается под «Александр женат». Если Алек* I сандр женат, то должен существовать еще кто-то, на кгл I он женат. Результатом этого рассуждения является: 1 3(!/)V(a, у), т. е. «Существует, по крайней мере, один I индивид у, для которого верно: Александр женат на у». ] Этот обратный перевод символизированного выражения на I несимволический язык может звучать непривычно. В ло- I гике предикатов замена операций с мыслями операциями со знаками создает предпосылку для четкого выражения 1 того, что в естественном языке могло быть опущено как ] само собой разумеющееся.
Символизации «Александр встретил (В(х, у)) друга I (F(j/, х))» предшествует анализ, подобный анализу в преды- I дущем примере: 3(х) (F(x, а)дВ(а, х)]. Есть кто-то, кто I является другом Александра и с кем Александр встретился. I «Александр встретился со своим другом Клеменсом (с)» I символизируется таким образом: F(c, а)^\В(а, с).
Предложение «Кошка есть хищное животное (/?(*)» I многозначно. Если это предложение относится к определен- I ной кошке (Л), то мы имеем единичное высказывание: R (k)- I Если же это предложение взято нз учебника зоологии, то I здесь, очевидно, подразумевается «Все кошки есть хищные I животные», или — это будет уже формулировка, которую I можно перевести на символический язык: «Каждый ин- I дивид, являющийся кошкой, есть хищное животное», я I именно: V(v) IA(x)->A?(x)J.
В этих формулировках не касаются стилистических тон- I костей, а по возможности точно воспроизводят содержание 1 в том смысле, что класс кошек входит в класс хищных жн- 1
ротных. В таких случаях следует смотреть, имеет ли место отношение включения в обратном направлении. Если да, то эти понятия идентичны по объему и знак импликации ^ожно заменить знаком эквиваленции. Но здесь этого нет, так как существуют и другие виды хищных животных. Если мгапзможно решить, являются данные понятия равнообъ-^ыми или они находятся лишь в отношении подчинения, то связь между ними на символическом языке выражается импликацией.
Экзистенциальные высказывания на естественном языке часто формулируются с помощью прилагательных: «отдельные», «некоторые», «иные», «различные», «немногие» и «многие».1
При символизации таких высказываний не учитывают количественные различия, например между «немногие» и «многие», а принимают во внимание только то, что является общим для всех них, а именно, что имеется, по крайней мере, один индивид с определенным признаком. И наоборот, из символизированного экзистенциального высказывания нельзя узнать ничего о количестве индивидов с определенным признаком, кроме того, что, по крайней мере, один такой индивид существует и что, возможно, все индивиды обладают этим признаком. Можно ввести кванторы, которые точно передадут количественные различия, но вообще-то этого делать не нужно.
Предложение «Многие локомотивы (Z(x)) приводятся в движение электродвигателем (Е(х))» говорит о том, что есть, по крайней мере, один индивид, являющийся л оком о-тивом и приводящийся в движение электродвигателем:
3(x)[L(x)Af (х)].
С помощью тех же средств можно выразить «Многие локо-мотпвы приводятся в движение не электродвигателем»:
3 U)[Z.(x) Л ~ ЕЮ].
Не совсем простой является символизация предложения «Большинство люден (Af (х)) стремятся к миру (F(x))». Неверно было бы символизировать его так: 3(v) 1.М(х)А AF(x)J. Эта запись говорит о том, что существуют люди, стремящиеся к миру. Но известно, что не все люди стремятся к миру, что есть люди, которые навязывают войну или, по крайней мере, пытаются ее навязать. Однако это никак
1 В немецком языке эти слова являются неопределенными числи-Рельными (Прим.— //. А!.).
не отражено нашим переводом. Такие выражения, как «многие», «большинство» и т. д., подразумевают, что не всем индивида л присущ определенный признак. Можно было бы предложить такую символическую запись*
~V(x)[Af(x)->F(x)].
Это выражение также обозначает истинное высказывание. Но оно еще менее удовлетворительно, чем первое, так как оставляет открытым вопрос о том, есть ли вообще люди, которые стремятся к миру. Поэтому наиболее адекватная символизация получается при соединении в конъюнкцию обоих выражений:
3 (х) [АГ (х) Л F (х)] Л ~ V (х) [.И (х) F (х)].
Может возникнуть вопрос, почему при символизации общих высказывании отдается предпочтение знаку импликации, а при символизации экзистенциальных высказываний — знаку конъюнкции и нельзя ли в обоих случаях использовать один н тот же знак. Сначала рассмотрим различие между
3 (х) [S (х) Л Р (х)] и 3 (х) [S (х) — Р (х)].
Оба экзистенциальные высказывания истинны, если существует хотя бы один набор значений х, при котором сложные высказывательные функции, находящиеся в области действия кванторов существования, истинны.
Конъюнкция 5(х)ДР(х) истинна только тогда, когда имеется, по крайней мере, один индивид с обоими свойствами. Импликация S(л)—►Р(г) в этом случае также истинна, по опа истинна и еще в двух случаях: 1) если имеется индивид, который не обладает свойством S, ио обладает свойством Р; 2) если есть индивид, у которого нет ни того, ин другого из этих свойств. Один из этих трех случаев почти всегда имеет место, так что высказывание этою типа почти ничего не говорит. Таким образом, значение высказывания тина «Некоторые индивиды со свойством S имеют свойство Р> перетается более адекватно, если его символизировать как
3(x)[S(x)AP(x)J.
Рассмотрим различие между
V (х) [S (х) _ Р (*)] II V (х) [S (X) л Р (V)].
Первое выражение говорит о том, что каждый индивид, если он имеет свойство S, то имеет и свойство Р, или что KdKibiii индивид, обладающий свойством 5, обладает и свойством Р. Таким образом, высказывание сделано не о любых индивидах, а только о тех, которые обладают опре-леленным свойством, принадлежат к определенному классу. Второе же выражение говорит о том, что любой индивид обладает обоими свойствами. Однако этого не утверждало ни одно из приведенных выше высказываний, все они подразумевали только то, что выражается в V(x) (S(x)->P(x)|. Это станет яснее, когда мы займемся преобразованием общих выска ываний в экзистенциальные и наоборот.
Покажем на примере, что при символизации нельзя переводить буквально, а нужно тщательно проанализировать содержание. Если мы символизируем высказывание «Все девушки и юноши прилежны» посредством
V(x) {[М (х) Д J (х)] — F (х)Ь
то обратный перевод будет: «Для каждого индивида верно: если он есть девушка и юноша, то он прилежен». В действительности же наше утверждение относится к каждому индивиду, который является девушкой или юношей.
Перевод выражений логики предикатов на естественный язык в большинстве случаев проще, чем обратный перевод Трудности могут возникнуть, если выражение логики предикатов содержит два или более кванторов. В заключение мы хотим заняться еще несколькими примерами.
Введем обычный в математике знак «меньше»: «х<у>, который читается как «х меньше у», чтобы с его помощью формулировать высказывания о натуральных, т. е. целых положительных числах 1, 2, 3, 4, ... Из «х<р в результате подстановки цифр вместо свободных переменных получается, например, истинное высказывание «3<7» и ложное высказывание «6<2». Если использовать только кванторы, Ю из этих высказывательных функций можно получить шесть различных высказываний:
(1)	*(*) *<>')[*< у].
(2)	V (х) 3 (у) [х < у].
(3)	3(у) V(x)[x < у]. (4) 3 (х) V (у) [х < у], (5) V (у) 3 (х) [х < у].
(6) 3 (х) 3 (у) [х < у]
Высказывание (6) истинно, если существует хотя Сц один набор значений индивидных переменных, при котором нз высказывательиой функции пол}чается истинное высказывание. Такой набор значений мы }же давали. Высказы. ванне гласит: «Имеется, по крайней мере, одно натуральное число х и, по крайней мере, одно натуральное число и, для которых верно: х меньше у* или «Имеется, по крайней мере, пара натуральных чисел, из которых одно меньше другого».
Высказывание (1) утверждает, что «Для каждой пары натуральных чисел верно, что первое из них меньше, чем второе». Однако это неверно (мы уже приводили контрпример), и, следовательно, это высказывание ложно.
Высказывание (5) говорит о том, что «Для каждого натурального числа у существует, по крайней мере, одно натуральное число х, для которого верно: х меньше у», или проще: «Для каждого натурального числа существует меньшее». Это высказывание ложно, так как для натурального числа 1 меньшего не существует; 1 есть наименьшее натуральное число. Иногда 0 рассматривают как наименьшее натуральное число, тогда все сказанное относится к нему, и высказывание истинно.
Высказывание (4) утверждает, что «Существует, по крайней мере, одно натуральное число х, такое, что для каждого натурального числа у верно: х меньше, чем у», или проще: «Существует наименьшее натуральное число». Высказывание истинно, если мы предполагаем, что хну различны. Высказывания (4) и (5) совпадают с точностью до последовательности кванторов. Однако они говорят о разных вещах и даже имеют различные значения истинности. Эт т пример показывает, что в выражениях логики предикат- в нельзя просто переставлять кванторы. Если встречаются только кванторы общности или только кванторы существования, то их можно менять местами, не изменяя значения выражения. Поэтому для высказываний (1) и (6) мы ье давали выражений, в которых кванторы стоят в иной последовательности.
Высказывание (3) гласит: «Существует, по краннег мере, одно натуральное число у, такое, что для каждого натурального числа х верно: х меньше у» или проще: «Существует наибольшее натуральное число». Это высказывание ложно, так как для каждого натурального числа можно найти большее, поскольку ряд нат}ральных чисел бесконечен.
Высказывание (2) утверждает, что «Для каждого натурального числа х имеется, по крайней мере, одно натуральное число у, такое, что верно: х меньше у» нлн с помощью отношения у>х, конверсного х<у, получаем; «Для каждого натурального числа найдется большее число». Это высказывание истинно.
Эти примеры пока<ывают, что при переводе выражений логики предикатов сначала нужно найти формулировку, точно соответствующую выражению, чтобы потом без изменения смысла перейти к формулировке, принятой в естественном языке.
3.2.	УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Теперь займемся традиционной к современной теориями умозаключений логики предикатов. Но сначала установим связь с умозаключениями логики высказываний и введем некоторые законы и правила, которые нужны нам для исследования умозаключении.
ЗЛ.1. УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ ЛОГИКИ ВЫСКАЗЫВАНИЙ И ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Умозаключения логики предикатов основываются на законах логики высказываний и логики предикатов. Вследствие этого возможности умозаключений логики предикатов П" сравнению с умозаключениями логики высказываний значительно расширяются. Насколько умозаключения логики предикатов выходят за пределы умозаключений логики высказываний, становится яснее из такого примера. Проанализируем следующее умозаключение:
Все марксисты — атеисты.
Многие борцы за мир не являются атеистами.
Следовательно, многие борцы за мир не являются марксистами.
Обе посылки умозаключения — истинные высказывания. Заключение также является истинным высказыванием. Но нужно посмотреть, следует ли оно с достоверностью из Посылок. Для этого мы заменим все три высказывания пропозициональными переменными р, <?, г; соединим их по спо-
> (2.2.1.3) в выражение (рЛ<7)~>г и по таблице истин-|°сти проверим, является ли ино общезначимым:
р	Q		PM	(PM) —>r
1	I	t	t	t
t	t	f	t	f
t	f	t	f	t
t	f	1	f	I
f	t	t	/	t
f	t	f	f	t
f	f	t	f	t
1	f	f	1	t
По второй строке мы видим, что (p/\q)~*-r является не общезначимым выражением, а только выполнимым. Тем не менее наше умозаключение достоверно, так как соответствующее выражение логики предикатов общезначимо и является законом. Доказательство этого утверждения мы приведем позже. Здесь же нас интересует, каким образом умозаключение, которое в логике высказываний не является достоверным, в рамках логики предикатов имеет это свойство. Для общезначимости выражения логики предикатов существенна определенная структурная связь, в которой находятся имеющиеся в нем понятия и о которой ничего не говорится в выражении (p/\q)-+r логики высказываний и в логике высказывании вообще. Из трех высказываний нашего умозаключения каждые два соединены общим понятием, в то время как нз выражения логики высказываний совсем не видно, имеют ли содержащиеся здесь высказывания общие понятия.
Допустим, что заключение гласило бы «Все борцы за мир—марксисты», тогда нам следовало бы символизировать его в логике высказываний в такой же форме. С точки зрения логики высказываний оба заключения невозможно различить. Таким образом, наше умозаключение в логике высказываний не может быть общезначимым. Оно общезначимо только при определенной дополнительной предпосылке. По эту предпосылку невозможно выразить средствам»! логики высказываний. Поэтому логика предикатов более пригодна для анализа умозаключений, чем логика высказываний. Однако это не означает, что логика высказываний является ихтишней, поскольку нельзя создать логику предикатов, не предпосылая ей хотя бы имплицитно логику высказываний. Ее законы значимы и для логики предикатов. Однако, как мы уже подчеркивали, в последней добавляется много новых законов.
3.2.2. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Сначала нужно объяснить, что такое закон логики предикатов вообще. Закон логики высказываний — это выражение, которое при любом распределении значении истин-н*сти своих пропозициональных переменных принимает значение «истинно», т. е. выражение, которому всегда соответствует истинное высказывание, какие бы повествовательные предложения ни использовачнсь вместо переменных (см. 2.1.8).
Следует ожидать, что закон логики предикатов также является выражением, нз которого при любой подстановке значений свободных переменных получается истинное высказывание. Но здесь речь идет о других наборах значений, н ти в логике высказываний.
Получится ли из высказывательной функции «х обладает сознанием» истинное высказывание, зависит от значения индивидной переменной х. Если вместо х поставить имя Ч1ловека, то получится истинное высказывание. Так как имеется, по крайней мере, одно значение высказывательной функции, которое превращает ее в истинное высказывание, то и 3 (х) [х обладает сознанием! является выражением, зна-чен1н которого есть истинное высказывание. Является ли V(x) (х обладает сознанием] истинным высказыванием, зависит от того, становится ли высказывательная функция истинным высказыванием при любом значении х. Это непосредственно подводит к вопросу, какие же имена индиви-д должны подставляться вместо х, иными словами, о какой области индивидов идет речь. Если в качестве области индивидов взять класс людей, то общее высказывание истинно; если же взять класс млекопитающих ити еще более широкий класс, то высказывание будет ложно.
Превратится ли высказывательная функция в истинное высказывание, зависит прежде всего от выбранной индивидной области.
Законы логики предикатов следует искать в таких выражениях, которые не зависят от специальной области индивидов, но значимы для любых непустых индивидных областей. В противном случае, нельзя было бы отличить законы конкретных наук, которые всегда значимы лишь для определенной области индивидов, от логических законов.
Рассмотренная выше высказывательная функция наряду с индивидными переменными содержит предикатную константу, «обладает сознанием». Но логике предикатов такие константы используют только как примеры; логика
предикатов занимается предикатами вообще, в ней так же мало говорится о конкретных высказываниях, как и в тоги к е высказываний. Ее главным образом интересуют структуры высказываний независимо от их конкретного содержания. Поэтому в ней оперируют с предикатными переменными. Ясно, что в высказывательной функции «Гегель есть Р» от значения Р зависит, будет ли она истинным высказыванием. Если Р заменяется предикатом «философ то получается истинное высказывание, а если Р заменяется предикатом «математик», то высказывание будет ложным.
Станет ли высказывательная функция истинным высказыванием, зависит от значений, или, как говорят, от интерпретации предикатных переменных.
Поэтому законы логики предикатов следует искать в таких выражениях, которые не зависят от конкретных значений предикатных переменных, а верны для любих их значений.
Таким выражением, не зависящим ни от конкретных индивидных областей, ни от частных значений предикатных переменных, является, например,
V(x)[F(x)V~F(x)].
Здесь при любом значении индивидной переменной х и при любом значении предикатной переменной F получается истинное высказывание, так как для любого индивида верно, что он или обладает каким-то (любым) свойством, или не имеет его. В данном случае мы имеем предложение б исключенном третьем, уже встречавшееся в логике высказываний, выраженное теперь в логике предикатов и являющееся первым примером закона логики предикатов. Как и в логике высказываний, закон исключенного третьего в логике предикатов справедлив лишь при предпосылке, что индивиды строго разделены на два класса: нз класс индивидов, имеющих определенное свойство, и на класс индивидов, не имеющих этого свойства. Но такого четкого разделения в действительности нет. Если говорят: «Для каждого индивида верно, что он жнвой нлн не живой», то это верно лишь относительно. Это высказывание нс охватывает индивиды, находящиеся в переходных состояниях от неживого к живому. Формальная логика рассматривает лишь строго разграниченные классы индивидов. Исследование переходов из одного класса в другой относится к сфере дп-алектичсской логики.
При соответствующей оговорке можно сформулировать предложение об исключенном третьем, касающееся отно-
тений между индивидами: для любой пары индивидов верно, что между ними существует некоторое отношение или его не существует:
у (х)v (у) [Я (х, £/) V ~ Я (х, у)].
В этом случае каждая пара значений индивидных переменных и предикатной переменной приводит к истинному высказыванию.
Исходя нз этих примеров, мы непосредственно приходим к общему определению закона логики предикатов.
Закон логики предикатов есть выражение логики предикатов, которое при любом наборе значений его переменных принимает значение «истина».
Как и в случае с законами логики высказываний, в логике предикатов приписывание значении переменным приводит к повествовательному предложению, значением которого является истинное высказывание. Для конкретизации этого определения следует добавить, что допустима любая непустая область индивидов и их признаков. Если же индивидная область пуста, то не все законы логики предикатов действительны, хотя существуют законы, которые справедливы и для пустых областей. К проблемам, возникающим вследствие принятия пустых областей, мы еще вернемся в разделе 3.3.5.
В логике предикатов, как и в логике высказываний, различают законы, или общезначимые выражения, выполнимые выражениями, нейтральные выражения и противоречия.
Нейтральное выражение логики предикатов есть выражение логики предикатов, которое, по крайней мере, при одном наборе значений его переменных принимает значение «истина» и, по крайней мере, при одном наборе значений принимает значение «ложь».
Противоречие логики предикатов есть выражение логики предикатов, которое при каждом наборе значении его переменных принимает значение «ложь».
Все выражения логики предикатов, не являющиеся противоречиями, суть выполнимые выражения.
Примером нейтрального и, таким образом, выполнимого выражения будет V(v) (F(x)-*-G(v)l. Если в качестве области индивидов берут класс граждан СССР и F(х) придают значение «7—17-летние», а G(x) придают значение «дети Школьного возраста», то получают истинное высказывание. •Ножное высказывание получают в том случае, если область индивидов расширяют до класса людей. Но ложное высказывание можно также получить в результате изменения зна-
ченнй предикатных переменных, например, если G(x) при. дать значение «обязаны учиться в МВТУ им. Баумана».
Выражение 3(х) 1F (х)Д~F (л) 1 является пример^ противоречия логики предикатов; так как нет ни одного индивида, который одновременно и в одном и том же смысле обладал бы каким-либо свойством и не обладал бы им, а значит, не существует ни одного набора значений х и F, при котором это выражение будет истинным высказыванием.
В логике предикатов, как и в логике высказываний, нас главным образом интересуют законы. Определив законы логики предикатов, мы займемся способом их получения. Можно поту чать новые законы, преобразу я уже су ществу ю-щие. На этом мы остановимся позже. Кроме того, можно получать законы логики предикатов из законов логики высказываний путем подстановки.
Если в законе логики высказываний вместо имеющихся в нем пропозициональных переменных подставить предикаты так, чтобы вместо одной и той же пропозициональной переменной стоял один и тот же предикат, то получится закон логики предикатов.
Выражение	является законом логики
высказываний (2.1.8). Если в нем вместо р подставить F{x) и G(x) вместо fl, то получится закон логики предикатов
[F (х) — G (х)] <-* [~ F (х) V G (х)];
если вместо р подставить R (х, у) и S (х, у) вместо qt то получится
[R (х, у) — S (х. у)] w [~ R (х, у) V $ (х. И]-То, что оба выражения представляют собой законы, можно доказать простым рассуждением. Из каждой высказывательной функции F(x), G(x), ~F(x) и т. д. подстановкой конкретных значений свободных переменных пату чаются высказывания и, тем самым, из сложных выражений — сложные высказывания, которые истинны независимо от значений истинности составляющих их высказываний. То, что эти сложные высказывания истинны, видно именно из того, что (p-*-g)*-»(~pV<7) является законом.
11з того же закона логики высказываний можно получить и другие законы логики предикатов, пользуясь кванторами общности. Если в законе логики высказываний вместо имеющихся в нем пропозициональных переменных подставить прети каты так, чтобы вместо каждого вхождения одной и той же пропозициональной переменной стоял одни и тот же предикат, и если свободные индивидные переменные свя
зать кванторами общности, то получится закон логики предикатов. Таким образом, при тех же подстановках, что и выше, и • (p->/7)*->(~pV<7) получается закон логики предикатов
V (х) {[F (х) -> G (х)] - [~ F (х) V G (х)]};
а также закон
V (х) V (у) {[R (х, у) — S (х, у)1 R (х. у) V 5 (х, «/)]}.
В разделе 3.1.3 мы сказали, что V(x) F(x) будет истинным высказыванием только тогда, когда F (х) при любом значении х превратится в истинное высказывание. Выражения. стоящие в фигурных скобках, при каждом наборе значении свободных переменных превращаются в истинные высказывания. Но тогда должны получаться истинные высказывания и при связывании свободных индивидных переменных кванторами, а свободные предикатные переменные замещаются конкретными предикатами.
Обобщая предыдущее, приходим к общему выводу: каждое выражение логики предикатов, общезначимое в логике высказывании, общезначимо и в логике предикатов.
Исходя из этого, можно облегчить разрешение выражений логики предикатов, своди их к выражениям логики высказываний. Если последние общезначимы, то общезначимы и выражения логики предикатов. Но не каждое общезначимое выражение логики предикатов будет общезначимым выражением логики высказываний, иначе проблему разрешения в логике предикатов вообще можно было бы свести к методам разрешения в логике высказываний.
Что касается выполнимости, то установление такого отношения между выражениями логики высказываний и логики предикатов, как в отношении общезначимости, невозможно. В результате подстановки из выполнимого, но не общезначимого выражения логики высказываний может получиться противоречие логики предикатов. Возьмем в качс тве примера выражение логики высказывании p/\q; если вместо р подставить 3(х) 1F(x)A~-F (х), а вместо Я— V(х) G(x), то получится противоречие логики предикатов
3 (х) [F (х) Л ~ F (х)] Л V (х) G (х).
То, что это выражение при любом наборе значений ложно, зависит от выражения, подставленного вместо р. Но та Же самая подстановка в закон логики высказывании снова приводит к закону. Если, например, в pV~F вместо р
подставить 3(v) IF(x)A~F (х)1, то получится
3 (х) [F (х) Л ~ F (х)] V ~ 3 (х) [F (х) Л ~ F (х)].
Общезначимость этого выражения определяется уже общезначимостью ~ 3(х) (F(x) A~F(x)l.
Вообще говоря, что касается выполнимости, то сущест вует следующее соотношение: каждое выражение логики предикатов, невыполнимое в лотке высказываний, в логике предикатов тоже не выполнимо. Но невыполнимые выражения являются противоречиями. Поэтому как в случае с общезначимыми выражениями, так и в случае с противоречиями можно попытаться осуществить их разрешение средствами логики высказываний. Хотя путем подстановок из законов логики высказываний можно полечить много законов логики предикатов, но все-таки не большинство из них.
В завершение этого раздела приведем некоторые важные законы последнего типа без дальнейшего обоснования:
(1)	V(x)F(x)-*F(y).
Этот закон утверждает, что если каждый индивид х обладает определенным свойством F, то и определенный индивид у обладает этим свойством.
(2)	F (у) —* 3 (х) F (х).
Согласно этому закону, если некоторый индивид у об ладает определенным свойством F, то существует, по край ней мере, один индивид с таким свойством.
Если взять оба эти закона как посылки умозаключения, то получается третий закон. По правилу транзитивности импликации (см. 2.2.1.2) построим умозаключение
V(x)F(x) — F (у) Г (у) —> 3 (х) F (х) V(x)> (х) a (x)F(x).
Так как посылки общезначимы, т. е. истинны при каждом наборе значений, то это верно и для заключения
(3)	V (х) F (х) —♦ 3 (х) F (х).
Нужно добавить, что (1) и (3) верны только тогда, когда рассматриваемая область индивидов не является пустым классом.
Из законов (1) — (3) получают простые, но важные правила умозаключения, о чем будет говориться в следующем разделе. Из следующих законов также можно получить
правила умозаключения, которые применяются в разрешающих процедурах, изложенных в 3.2.6:
(4; V (х) [F (х) Л G (*)] «-+ [V (х) F (х) Л v (•*) G (х)].
Этот закон интуитивно ясен. Он говорит, что каждый индивид тогда и только тогда обладает определенным свойств F(x) и определенным свойством G(x), когда каждый индивид имеет свойство F(x) и каждый индивид имеет свои ство G(x). Примером для (4) будет: «Каждый человек обладает сознанием и языком тогда и только тогда, когда каждый человек обладает сознанием и каждый человек владеет языком».
(5)	3 (х) [F (х) Л С (х)]	[3 (х) F Гх) Л 3 (х) G (х)].
Отсюда пол \ чается- если существуют объекты, которые изменяются и находятся на высшей ступени развития, то существуют объекты, которые изменяются, и объекты, которые находятся на высшей ступени развития. Если же в (5) по 1енять местами члены импликации, то получится выражение, которое не будет общезначимым, как это можно видеть на следующем примере.
Есть, например, государства с капиталистической системой экономики и есть государства с социалистической системой экономики. Но нет ни одного государства, которое сочетаю бы обе системы экономики. Уже нз этого примера следует, что (5) не может быть эквиваленцней, как (4).
(6)	[V (х) F (х) V V (х) G (х)] V (х) [F (х) V G (х)].
Если все индивиды имеют определенное свойство F(x) и in все индиви ды имеют определенное свойство G(x), то все индивиды имеют свойство F(х) или свойство G(x). И для этого закона обратимость также не является общей. Верно, что каждый философ либо материалист, либо идеалист. Но будет не верно ни то, что каждый философ материалист, ни то. что каждый философ идеалист. Для экзистенциальных высказываний имеет место эквиведениия:
(7)	3 (х;[F (х) V G(х)] <->[3 (х) F (х) V 3 (х) G (х)].
Отсюда следует: индивиды со свойством F (г) или свойст-в м j (л) су ществуют тогда и только тогда, когда су шествуют ИНДИВИДЫ со свойством F(r) или индивиды со свойством G(x). Гак как дизъюнкция истинна, когда один из се членов истинен, то для истинности 3(х) IF(x)VG(x)] никакой роли ие играет, будет ли истинно только 3(r) F(x) или только a(x)G(x), или оба они будут истинны. 3 (х) IF (г) G(r)J
будет ложным только тогда, когда как 3(x)F(r), так и 3(х)б(х) ложны.
(8)	V (х) [Г (х) -> С (х)] — [V (х) F (х)	V (х) G (х) J
Если для каждого, кто обладает научным мировоззрением, верно, что он может лучше выполнять свои общест* венные функции, то верно, что если каждый обладает научным мировоззрением, то каждый может лучше выполнять свои общественные функции.
В законах (1) — (8) встречаются только одноместные предикаты. Но так же, как путем подстановок из законов логики высказываний получаются законы одноместной и многоместной логики предикатов, из законов одноместной логики предикатов можно получить законы многоместной логики предикатов. Для этого нужно подставить многоместные предикаты вместо одноместных, и там, где стоит один квантор, поставить столько кванторов, чтобы все свободные индивидные переменные были связаны. Таким образом, из (8) получают
(8Э V(x)V(y)p?(x, у)->$(х, 0]
— [V (х) V (у) R (х, у) — v (х) V (у) S (х, у)].
Из (5) аналогичным образом пату чают
(5') 3(х)3 (//)[/? (х. у)Д5(х. //)]
-* [3 (х) 3 (у) R (х, у) Д 3 (х) 3 (у) S (х, </)].
Х2.3. ПРАВИЛА ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Как из общезначимых импликаций и эквивалентна до* гики высказываний, так и из общезначимых импликаций и экви вал енинй логики предикатов можно патучить правила умозаключения.
Из общезначимой импликации получается правило ум^ заключения, по которому на основании истинности антецедента можно сделать достоверное заключение о конссквен-те. Так, из закона логики предикатов V(x) F(.t)-*FM пату чается правило умозаключения
л, tU)F(«)
(,) ' f(y} '•
По этому правилу из высказывания «Все движется» можно, например, получить высказывание «Земля движется», т. е. заключение о том, что признак, относящийся ко все* индивидам, относится и к некоторому определенному пни1' виду.
lb F(yy+3(x) F(x) получается правило умозаключения
(2)	.
' 7 з (х) * (*)
Согласно этому правилу, если определенный индивид обладает каким-либо признаком, то можно заключить, что имеется, по крайней мере, один индивид, обладающий этим признаком.
Оба эти правила, хотя и бессознательно, чаще всего правильно применяются в логических умозаключениях. В применении же правил, в которые входит отрицание, ошибки допускают значительно чаще.
Следующие правила основываются на общезначимых эквиваленцнях. Эквиваленция логики предикатов, как и в логике высказываний (см. 2.1.8), только тогда будет общезначимой, когда значения истинности ее обоих членов при одинаковых значениях их переменных совпадают. Поэтому по каждому из ее обоих членов можно сделать достоверное заключение о втором, т. е. из каждой общезначимой экви-валенпнн получаются два правила.
Следующие законы (обозначенные (1), ...), воспроизводят отношения между общими и экзистенциальными высказываниями; соответствующие им правила ((1.1),...) позволяют преобразовывать общие высказывания в экзистенциальные и наоборот:
(1)	V(x)F(x) <-> ~3(x)~F(x)
/1 n VU)F(x)	/1ПЧ ~i(x)~F(x)
0 0 ~5T0~F(x)	2)	VW^X)-'
Если для этих и последующих выражений мы возьмем в качестве индивидной области класс людей, то по правилу (1-1) из «Каждый человек обладает сознанием» можно заключить, что «Нет ни одного человека, который не обладал |Й сознанием».
(2)	~V(x)F(x)	3(x)~F(x)
/О П ~ V (ХИ (*)	/0 04 i (х) ~ т7 (X)
1 4 l(x)-F(x)	~V(xF)(x)‘
Согласно (2.1) из «Не все люди миролюбивы» получается «Существуют люди, которые не миролюбивы», точнее ’Существует, по крайней мере, один не миролюбивый че-яовен».
(3)	3 (х) F (х)	~ V (х) ~ F (х)
7 ~V(»)~F(x)	a(x)F(x) *
151
Из «Есть люди, использующие войну для обогащения! согласно (3.1) заключают «Не для каждого человека верно, что он не использует войну дня обогащения».
(4)	~9(x)F(x)	► V(x)~ F(x)
di) vJ—н-2)
1 V (х) — / (х)	1 ~ а (х) F (х)
Согласно (4.1) из «Нет ни одного человека, который все знает» заключают «Для каждого человека верно, что он не все знает».
Преобразования общих высказываний в экзистенциальные и наоборот используются довольно часто (как, например, в разрешающей процедуре в 3.2.Ь). Часто такие преобразования могут облегчить понимание сложных высказываний или просто делают его возможным. Поэтому целесообразно сформулировать общее правил > для преобразования любых общих высказываний в экзистенциальные и наоборот.
Общее высказывание ( жзкстенциальное высказьна-ние) преобразуется в семантически эквивалентное жзистсн-циальное высказывание (общее высказывание), если:
1)	квантор общности (квантор существования) заменяется квантором существования (квантором общности),
2)	перед новым квантором ставится отрицание и
3)	отрицается вся подкванторная формула.
Вследствие этого пату чают, например, из ~V(x) F(x) выражение (х) ~Г(х), и так как два знака отрицания, относящиеся к одному и тому же выражению, взаимно у ни- ' чтожаются, его можно упростить до 3(х)~F(x).
Таким образом с помощью общего правила мы получили правило (2.1); если его применить к H(x)~F(x), то пату- । чнм правило (2.2).
Из выражения 3(x)-*F(x) получается сначала ~-V(a)~ ~F(x) и затем в результате упрощения ~V(x) F(x).
Из этих примеров ясно, что при преобразовании знаки отрицания, имеющиеся в исходном выражении, датжны быть перенесены в новое выражение.
На двух последующих примерах мы хотим показать, что при преобразовании важно правильно совершить третий шаг, т. е. определить область действия квантора и отрицать точно подкванторную формулу.
Из выражения V(a) F(x)-+F(y) патучается *^3(i)^ F(x)—►Г(г), так как в области действия квантора обШ‘ | пости находится только F(x), a F(i/) к его области действия не относится, и поэтому преобразование на него не распре I
страняется. Если перевести оба символизированных выражения, то можно убедиться, что они семантически эквивалентны. Первое гласит: «Если каждый индивид х обладает свойством Е, то и некоторый индивид у имеет это свойством; второе гласит: «Если не существует индивида х, который не имеет свойства F, то некоторый индивид у имеет это свойство».
Применим правило преобразования к выражению V(x) (Af (x)V /(х)1. В качестве области индивидов возьмем класс философов. Тогда выражение означает: «Каждый философ— материалист или идеалист».
Преобразование выражения
V (х) [ И (х) V / (*)]
согласно правилу дает ~3(х)~( И (x)V/(*)!, т. е. «Нет ни одного философа, для которого было бы неверно, что он материалист или идеалист», так как законы и правила логики высказываний сохраняют свою пригодность и для логики предикатов, то с их помощью это высказывание можно преобразовывать и дальше. Согласно правилу преобразования дизъюнкции в конъюнкцию (дано в 2 1.8) можно ~(pV<7) преобразовать в--(~РЛ~Я) и упростить до (~РЛ~<7)-
Если вместо р подставить И (х), а вместо q— /(х), то из ~[M(x)V/(*)l получают эквивалентное ему выражение l~Af (х)Д~/(х)]. Таким образом, исходному выражению семантически эквивалентно следующее выражение:
~3(х)[~А1(х)Л~/ЗД
т е. «Нет ни одного философа, который не был бы материалистом и не был бы идеалистом», или «Нет ни одного философа, который не был бы ни материалистом, ни идеалистом».
По аналогии с только что использованным правилом логики высказывании для преобразования выражений логики предикатов применяются и остальные правила логики высказываний, изложенные в 2.1 и 2.2.1. С их помощью преобразуются как сложные высказывания логики предикатов, так и сложные предикаты (как в предыдущих примерах). Как и рассмотренные правила преобразования общих высказываний в экзистенциональные и наоборот, они являются полезными в двух отношениях: они необходимы для разрешения выражений логики предикатов и могут служить Для преобразования трудно понимаемых выражений в более Досту иные пониманию.
Преобразование выражений, в которых один за другим стоят несколько кванторов, требует договоренности о том.
что в данном случае понимать под «областью действия». Условимся, что если непосредственно справа от квантора стоит другой квантор, то последний относится к области действия первого квантора. Поэтому наше правило можно многократно применять к выражению с несколькими кванторами.
В 3.1.5 мы установили, что выражение «Для каждого натурального числа существу ет меньшее» У (у) 3(х) 1х<у]— ложно. Следовательно, его отрицание должно быть истинным: ~Y(y)3(x) (x<yl, т. е. «Не верно, что для каждого натурального числа у имеется натуральное число г, меньшее, чем у». Первое применение правила преобразования приводит к 3(у)~3(х) 1х<у], т. е. «Существует натуральное число у, такое, что не существует никакого нату ральпого числа х, меньшего, чем у» или «Существует натуральное число, для которого нет меньшего числа».
Второе применение правила дает: 3 (i)V(х)-*[г<у], т. е. «Существует натуральное число у, такое, что для каждого натурального числа х справедливо: не верно, что х меньше, чем у».
Мы уже не раз говорили о том, что при отрицании сложных высказываний легко допустить ошибку, если исходить лишь из соображений, касающихся содержания. Изложенные здесь методы позволяют правильно выполнять такие отрицания совершенно формальными средствами.
При отрицании общих высказывании в разговорном языке часто переставляют «не» и «все». Так на вопрос, все ли локомотивы топятся углем, часто слышим ответ: «Нет, все локомотивы не топятся углем». С помощью ударения в приведенном предложении в какой-то степени становится ясно, хотя и не всегда, что подразумевается «Не все локомотивы топятся углем». В рукописном или печатном тексте в таких случаях нередки недоразумения. Чтобы уяснить различие между этими формулировками, запишем их в символической форме так, как они есть, и затем преобразуем si им символизированные «Все локомотивы не топятся углем» V(x)[Z(x)->~K(x)]
выражения:
«Не все локомотивы топятся углем»
~V(x)[L(x)->/((x)].
Преобразование общих высказываний в экзистенциальные дает
~ 3 (х) ~ [L (х) — ~ К (х)]
-----3 (х) ~ [L (х) — Л (х)].
Согласно правилу преобразования импликации в дизъюнкцию (см. 2.1.8) выражения в квадратных скобках преобразуются в
~Э(х)~[~£(х) V~*(x)]
V К(х)].
По правилу преобразования дизъюнкции в конъюнкцию (см. 2.1.8) далее получается
~Э (X)------~ L(x) Д-----------KW]
~ ~ Э (*) ~ ~ [------Цх) Л ~ к (*)].
Если убрать двойные отрицания, то в конце концов по-
лечится:
~3(x)[L(x)AX(x)]
«Нет ни одного локомотива, который топится углем»
3 (x)[L (х) л ~ К (X)]
«Есть локомотивы, которые не топятся углем».
Правильное отрицание высказываний получается только тогда, когда сначала отрицают все высказывание с по мощью «Не верно, что...» и затем преобразу ют его по правилам логики. Чем чаще проводят эти преобразования по всем эгапам, тем быстрее запоминают более простые и часто встре-чакхциеся преобразования. Например, очень скоро можно запомнить, что выражение ~ V(x) fF(x)—»-G(x)] семантически эквивалентно выражению 3(х) 1Г(х)Д ~G(x)l и что ~3(х) 1F(x)aG(x)1 и V(x) [F(x)-*-~G(x)i также семантически эквивалентны.
Правильное отрицание высказываний часто производят на основе своих знаний, правильно отражая явления объективной реальности. Но это бывает трудно, когда нет достаточных знаний. Покажем это на примере одного несколько шуточного выражения: «Неверно, что то, что находится за моей спиной (/?(х)) — это новая (Лг(г)) книга (В(х))». Следует ожидать, что эта формулировка эквивалентна следующей: «То, что находится за моей спиной,— это не новая книга». Но это значит «Это не новая книга»? Нужно ли понимать так, что этот предмет — не новая книга или — •°<Аце не книга? Запишем высказывание в символической Ф°Р е, а затем преобразуем его:
~V(x){/?(x)-[V(x)AB«
Сначала получается экзистенциальное высказывание
Э (х) —«(А? (х) —* [Л’(х) Д В (х)]}.
Двойное отрицание перед квантором существования уже опущено. Затем должны быть проведены некоторые преобразования, в результате которых отрицание будет относиться не ко всему выражению, стоящему в фигурных скобках, а к более простым составным частям:
3(лг) ~	(х) V [АГ(х) Л В(х)]}
3 (х)---{~ ~ Я (х) Л ~ И < v) Л В (х)]}
Э(х){Я(х)Л~[ЛЧх)ЛВ(х)]}.
Выдвинутая в качестве предположения формулировка <То, что находится за моей спиной, не есть новая книга» не является эквивалентной первоначальному выражению, которое должно иметь вид
V(x){/?(x)-»^[.V(x)AB«
Перевод выражения, получившегося при преобразовании, таков: «Нечто, находящееся за моей спиной, не является новой книгой». Наконец, дальнейшее преобразование даст:
3 (х) {/? (х) Л [~ W (х) V ~ Я (х)]}.
т. е. «Существует нечто, находящееся за моей спиной и не являющееся новым или книгой». При этом речь идет не обязательно о предмете, который не является ни новым, ни книгой (так как отрицаются не оба предиката, а их конъюнкция), хотя такая возможность и существует.
Для уточнения различия между отрицанием конъюнкции и отрицанием обоих ее членов составим таблицу истинности соответствующих выра ений логики высказываний:
р	Q			PM	~(pA4f)	
t	t	/	f	I	f	f
t	f	/	t	f	t	f
f	t	t	1	f	t	f
f	/	t	t	f	t	t
Преобразование выражений, содержащих двухместные предикаты, происходит совершенно так же. Пусть нужно отрицать выражение «Если кто-нибудь является братом кого-либо другого, то последний является братом первого». На символическом языке отрицательное высказывание
имеет следующий вид:
~ V (х) V (у) [В (х, у) — В (у, х)].
Сначала кванторы общности заменяются кванторами существования и снимаются двойные отрицания:
~ ~ 3 (х) ~ V (#) [В (х, у) — В (у, х)]
— а(х) — ао/)~[В(х, у)_*в(у, х)]
3 (X) 3 (у) ~ [В (х. у) — [В(у, X)].
Затем преобразуется выражение в скобках, как в предыдущих примерах:
3 (х) 3 (у) ~ В (х, у) V В (у, х)]
3 (х) 3	~ ~ [------В (х, у) Л ~ В (у, х)]
3 (х) 3 (у) [В (х, у) Л ~ В (у, х)].
Следовательно, имеются пары людей (мы взяли в качестве области индивидов класс людей), в которых один является братом другого, но не наоборот; это имеет место в том случае, когда такая пара состоят из брата и сестры.
В 3.1.5 мы уже указывали на то, что в выражениях логики предикатов нельзя менять местами кванторы общности и кванторы существования. Это допустимо только согласно следующему правилу:
з (х) V (у) R (х, у) v (у) э(*) R (х, у) *
Если, например, в некотором кругу людей имеется кто-то, кого все уважают, то отсюда следует, что (в этом кругу) Для каждого имеется кто-то, кого он уважает. Правило, обратное этому, неверно, как это можно видеть на том же самом примере. Если каждый уважает кого-либо, вряд ли речь идет об одном для всех человеке, которого все уважают.
3.2.4.	ТРАДИЦИОННОЕ УЧЕНИЕ О ЛОГИЧЕСКИХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯХ
Этот раздел содержит краткий обзор основных частей традиционного учения о логических умозаключениях: учения о непосредственных умозаключениях и учения о категорических силлогизмах. Значительная часть этого учения содержится в известном собрании сочинений Аристотеля по формальной логике под названием «Органон».
3.2.4.1.	Непосредственные умозаключения
Традиционная логика, следуя за Аристотелем, ограН|1 чивалась исследованиями умозаключений, в которых имелись только высказывания следующих видов:
Все S суть Р, сокращенно: S а Р.
Все S не суть Р, сокращенно: S е Р.
Некоторые S суть Р, сокращенно. S i Р.
Некоторые 5 не суть Р, сокращенно. S о Р.
Буквы о, е, i и о в сокращениях взяты из слова «affir-шо» — «утверждаю» — для дву х утвердительных высказываний и из слова «nego» — «отрицаю» — для двух отрицательных высказываний.
Отношение между SaP, ScP, SiP и SoP в традиционной логике изображали в виде логического квадрата:
С помощью логического квадрата можно установить (как будет показано в 3.2.5), являются ли некоторые непосредственные умозаключения правильными или нет. Но сначала нужно сказать, что такое непосредственное умозаключение и какие виды непосредственных умозаключении бывают.
Непосредственны: учоэаключенич суть умозаключения на основании только одного высказывания. В отличие от силлогизмов непосредственные умозаключения не получили систематического описания в произведениях Аристотеля; они рассматриваются в различных местах «Органона».
Непосредственные умозаключения подразделяются ня:
(1)	умозаключения подчинения,
(2)	умозаключения противоречия,
(3)	умозаключения обращения,
(4)	умозаключения противопоставления.
(1)	Умозаключение подчинения есть умозаключение на основании истинности общего высказывания к истинности подчиненного ему экзистенциального высказывания или
на основании ложности экзистенциального высказывания к ложности подчиненного ему общего высказывания.
В результате подчинения из высказывания «Все милитаристы должны быть обузданы в интересах сохранения мира* можно сделать, например, включение «Некоторые милитаристы должны быть обузданы в интересах сохранения мира».
(2)	Умозаключение противоречия есть умозаключение н основании утвердительного высказывания к отрицательному или наоборот. При этом всегда на основании истинности первого высказывания делают заключение о ложности второго или наоборот.
Таким образом, например, нз истинности высказывания «Все антагонистические классовые общества являются эксплуататорскими» делают заключение о ложности высказывания «Некоторые антагонистические классовые общества не являются эксплуататорскими обществами».
(3)	Умозаключение обращения есть умозаключение от истинности одного высказывания к истинности другого, в котором предикаты первого стоят в обратном порядке по отношению ко второму.
Посредством обращения, например, из высказывания «Все люди — живые существа» делают заключение о том, что «Некоторые живые существа — люди».
(4)	Умозаключение против* постав гения есть умозаключение от истинности одного высказывания к истинности другого, в котором предикаты первого находятся в обратной последовательности и отрицаются.
В результате противопоставления из высказывания «Все люди — живые существа» делают, например, заключение «Все индивиды, не являющиеся живыми существами, не являются лютьми».
Определение непосредственных умовключений не дает еще критерия, по которому можно было бы установить, какие из них являются правильными. Как это можно установить, мы покажем лишь в разделе 3.2.5.
После обзора непосредственных умозаключений перейдем к силлогистике.
3.2.4.2.	Силлогистика
Силлогистика — это теория силлогизма, учение о силлогизмах. Она систематически изложена в части «Первая аналитика» произведения Аристотеля «Органон».
Силлогизм есть умозаключение на основании двух ц. I сказываний в отношении третьего. В посылках сил то I гизма встречаются только три различных понятия. Одщ! из них переносится в заключение как его субъект (5) | второе—как его предикат (Р). Третье понятие, средний' термин (Л1), содержится в обеих посылках, но не содер-1 жится в заключении. Это понятие является посредником! между посылками, устанавливает между ними	связь, I
которая только и делает возможным умозаключение.	I
В умозаключении	I
Все млекопитающие — теплокровны	’
Все собаки — млекопитающие
Все собаки — теплокровны	|
«собаки» — субъект заключения, «теплокровны» — его предикат, а «млекопитающие» — средний термин. Названия I «предикат» и «субъект» относятся только к грамматической I функции соответствующих понятий. Однако с точки зре-1 ния современной логики все три понятия являются, ко I нечно, предикатами.
Если описать общую структуру нашего умозаключения, I принимая во внимание только относительное располо | жен не трех понятий, то получится следующая фигура I силлогистического умозаключения, называемая первой фигурой силлогизма:
М-Р
S—AI
S—P *	I
Наряду с этой фигурой силлогизма существуют еше I три, так как средний термин может быть в каждой посылке как субъектом, так и предикатом:	I
2-я фигура 3-я фигура 4-я фигура силлогизма силлогизма силлогизма
Р —Л!	Л! — Р	Р — М
S—M	Л/—s	Л1— s
S—P	S—р ’
Если в фигуре силлогизма тире между двумя предикатами заменить буквами a, с, i или о в любой комбинации, то получится модус этой фигуры. Таким образом, из каж-1Ь0
•vfl из четырех фигур можно получить по 64 модуса. Примерами модусов 1-й фигуры являются:
(1)	И а Р (2) Af г Р (3) И а Р (4) И е Р S а М	S a A!	S I Af	S I И
S а Р	SiP	5 i Р	io Р‘
В целом нз 256 возможных модусов правильными являются только 24. Правильный модус является верным правилом умозаключения. Если в правильном моду ее S, Р и Л! заменить понятиями, предикатами, то получится к.»нкретное умозаключение, в котором истинность заключения с достоверностью следует из истинности посылок. Из 24 правильных модусов приходится по шесть на каждую к четырех фигур умозаключения. Четыре правильных модуса первой фигуры мы уже перечислили. В традиционной логике они соответственно называются: Barbara, Celarcnt, Darii, Ferio. Эги названия общеприняты. Они подобраны так, что их гласные совпадают с гласными этих модусов.
В традиционной логике, как и для самого Аристотеля, установление правильности модусов представляло известную трудность. Однако при отбрасывании отдельных неточностей правильность тех модусов, которые фактически являются таковыми, была доказана.
Средства современной логнкн позволяют не только вывести все правильные модусы силлогизма, но и дают разрешающие процедуры, с помощью которых относительно каждого модуса можно строго установить, является он правильным или нет. Одним из таких способов решения мы займемся в разделе 3.2.6.
3.2.4.3.	О связи традиционной и современной теорий умозаключения
Как известно из истории, Аристотель первым систематически описал силлогистику, перечислил и доказал ряд непосредственных умозаключений. Непосредственные Умозаключения— это умозаключения из одной посылки, силлогизмы же — умозаключения из двух посылок. Но часто для получения заключения недостаточно одной или двух посылок. В таких случаях умозаключение более чем нз двух посылок можно разложить на несколько силлогизмов. Тогда заключение первого силлогизма используется как посылка во втором и т. д. Эта процедура, хотя и довольно сложная, приводит к цели.
6	161
Кроме того, традиционная теория умозаключения во. I обще несостоятельна. В средневековой логике, например I было доказано правило, согласно которому из двух отри’ I нательных посылок ничего не следует. Это правило при. I годно лишь в тех случаях, когда ограничиваются высказываниями вида SaP, SeP, SiP и SoP. Но существуют I высказывания, которые нельзя свести ни к одному из этих I видов.	I
Умозаключение	I
Ни один материалист не является объективным ндеа-1 листом	I
Ни один субъективный идеалист не является материя-1 листом
Существуют философы, которые не являются ни субъективными, ни объективными идеалистами хотя и имеет внешнюю форму силлогизма, однако в силлогистике неразрешимо, потому что заключение не относится ни к одному из приведенных видов высказываний. В логике предикатов оно может быть представлено выражением Э(х)(~S(х)Л~0(х)1, а все умозаключение может быть доказано как правильное по разрешающей процедуре раздела 3.2.6.
В качестве другого примера умозаключения, котор < не может быть разрешено средствами традиционной логики, приведем следующее: при подбрасывании монеты выигрывает тот (Р,), у кого монета выпадет гербом вверх (Si)—V(x)fSi(x)->	(где область х—класс игро-
ков), а у кого монета выпадет вверх цифрой (St), тот проигрывает (Pt)—V(x)lSt(x) -► Pi(x)J. Далее, для каждого игрока верно, что монета у него может выпасть либо гербом, либо цифрой вверх — V (v)[Si (*)VSt(х)1, но ни для одного не верно, что он может выиграть и проиграть
(x)(Pi (л)ДPt(х)| одновременно. Из этих четырех посылок следует: если игрок выиграл, то подброшенная им монета выпала гербом вверх — V(x)[Pi(x)-> Si (х)1, а если он проиграл, то монета выпала цифрой вверх — V(x)lP«(x)—Si(x)l. Символически все умозаключение выглядит так:
{V (х) [S, (х) — Р, (х)] Л V (X) [s, (X) — Р, (х)] д V (X) [S, (х) V S, (х)] Л ~ Э (х) [Р, (х) Л Pt <х)] I — (* W [р. (*) — S1WJ л V (х) [Р, (X) — s, (X)])-
RXoth это умозаключение и тривиально и никто не стал । требовать его доказательства, оно выходит за рамки ллогистнки Аристотеля. Современная же логика дока-это умозаключение не тать ко для двух возможных -1\чаев, но и для многих. Если имеются возможности
Sf, S, и т. д. и Рх, Pt, Р, и т. д. и если S( -* Ри S, -> Ръ S’,-*- Pi и т. д , причем Plt Р,, Р, и т. д. являются альте-. тпвнымн предикатами, то правильными являются выводы Р1 ~Si, Рt S„ Рэ S, и т. д.
До сих пор мы говорили татько о той области логики предикатов, в которой встречаются исключительно одноместные предикаты. Как уже было показано, традиционная теория умозаключения охватывает лишь часть возможных умозаключений. В частности, многоместные предикаты средствами традиционной логики вообще не охватываются. Теория непосредственных умозаключений и терпя категорических силлогизмов образуют только от-Н'сительно небатьшую часть логики одноместных предикатов первой ступени. В традиционной логике наряду с категорическими силлогизмами рассматривались еще и условные силлогизмы. Но они относятся не к логике предикатов, а к логике высказываний, потому что внутренняя структура высказываний, входящих в условные силлогизмы, не влияет на правильность этих умозаключений. Примеры условных силлогизмов приводятся в разделе 2.2.1.2. Различают гипотетические силлогизмы (сюда относятся Modus ponendo ponens и Modus tollendo tollens), разделительные силлогизмы (сюда относятся Modus tollendo ponens и Modus ponendo tollens) и третью форму условных силлогизмов, называемую «дилеммой».
Замечания об отношении силлогистики к логике предикатов не имеют своей целью как-то умалить заслугу Христотеля в области логики. Напротив, нельзя забывать, что такой четкости и точности, клк в его трудах по логике и в трудах Эвклида по геометрии, не достигло ни одно произведение классической древности. Наши замечания имеют целью лишь показать, что до середины прошлого столетия в области формальной логики (за исключением отдельных результатов) не было достигнуто значительного прогресса, и тем самым подчеркнуть стремительное развитие формальной логики, происшедшее за последнее столетне.
3.2.5.	ПРОЦЕДУРЫ ДЛ4 РАЗРЕШЕНИЯ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Для разрешения умозаключения логики высказываний I нужно:
I.	Перевести умозаключение па символический я; и I логики.	
2.	Конъюнктивно соединить посылки и посредством | импликации присоединить к ним заключение.
3.	Полученное выражение исследовать на общезнащ. I мость по таблице истинности. Если оно общезначим^  то соответствующее правило умозаключения верно, a cimo I умозаключение доказано как правильное (см. 2.1.1.3). I
В логике предикатов нет такого простого способа р u- I решения умозаключений, как таблицы истинности в >. гике высказываний. Способа, который можно было j испатьзовать для разрешения любых выражений лопин предикатов, не существует вообще. Два первых шага в разрешении выражений логики предикатов таковы же, как и в разрешении выражений логики высказываний. Поэтому разрешаемое выражение пытаются преобразовав так, чтобы можно было непосредственно установить его | общезначимость, или свести его к выражению логики высказываний, разрешимому с помощью таблицы истинности. Рассмотрим этот метод на примере непосредственных умозаключении. Другая разрешающая процедура будет изложена в следующем разделе. Для исследования непосредственных умозаключений нужно прежде всего! договориться о переводе традиционных высказывании типа SaP, SeP, StP и SoP на символический язык логики предикатов. «ЗаР» является сокращением для «Все 3 суть Р». Из раздела об отношениях межд\ понятиями можно уз- I нать, что в данном случае предикаты S(x) и Р(х) могут находиться в отношении подчинения («Все рабочие — трудящиеся») нлн в отношении тождества объемов («Все | равносторонние треугачьннки имеют равные углы»). Дтя , соединения обеих возможностей в одном выражении ло- । гики предикатов выбирают запись V(a)[S(x) -* P(t)«. I которая будет правильной и в случае совпадения объемов ' 3 и Р. хотя это отношение охватывается ею не полностью. Вместо V(x)|S(x)-► Р(х)1 можно также записать ~3(i) [3(х)Д~Р(х)1; второе выражение падучается из первого по правилу преобразования, приведенному в разделе 3.2 3 «ЗсР» является сокращением для Все S не суть Р». Этим подразумевается, что S(a) и P(v) несовместимы 161
материалисты — не идеалисты», или <Ни одни ма-047нет не является идеалистом»). На нашем символнче-языке это можно записать V(x)lS(x) -►	Р(х)]
применяя правило преобразования, ~3(х)13(х)Д Р«)1
,SiP — сокращение ътя «Некоторые 3 суть Р». Это .0ЧИТ, что классы, соответствующие S(х) и P(v), имеют, р крайней мерс, одни общий элемент. Так как это ничего < гое «рит о том, существуют ли индивиты, являющиеся увеитами только одного нз этих классов, мы можем ^писать
3 (х) [S (с) /\Р (х)] или ~ V (х)[S (х) — ~ Р (х)].
«ЗоР» — сокращение для «11екоторые 5 не суть Р». Здесь имеется в виду, что существуют индивиды, которые <взнются элементами класса, соответствующего S(x), и цементами класса, соответствующего ~Р(\). Этот класс ыключает все индивиды, которые не являются элементами крсса, соответствующего Р(х). Его называют классом Волнительным к Р(т). Так как ничего не говорится о tin, имеются ли общие элементы классов, соответствующих Six) и Р(г), можно записать татько 3(х)13(х)Д~Р(х)1 или ~V(v)|S(х)-> Р(х)1.
В сводной таблице получается:
Трахни* миая »*п«ь
Соврсмеинвя запись
SaP SeP S i P
S о
Р
V (х) (X (х) -♦ р (X)I или (х) [X (х)А~Р (х)1 у(х)|Х(х) —* ~Р(А>] или '-3(x)(5(x)AP(x)j з (х) |Х (Х)л Р (х)] или (X) (X (X) — ~Р (х)) 3 (х) (X (х)Л — Р (х)] или ~ у (х) [X (х) — Р (х)]
предикатов эта символизация высказываний
В типа Ня,
логике
SaP и SeP ведет к тому, что некоторые умозаключе-которые по правилам традиционной логики считается правильными, на самом деле оказываются не тако-B**ei. В разделе 3.3 5 мы подробнее остановимся на различных воззрениях на характер общих высказываний в традиционной и современной логике и нх следствиях.
Нужно сделать еще ото претварительное замечание. Правильные умозаключения отличаются тем, что из ис-тинных посылок всегта пазу чают истинное заключение. * хотя в умозаключениях противоречия делают заклю-
чсние о ложности высказывания, такое умозаключение эквивалентно умозаключению об истинности отрицания этого высказывания и может быть соответствующим разом символизировано.
Учитывая это, по правилу умозаключение противоречия из истинности высказывания «Все классово-антагони-стнческие общества являются эксплуататорскими» мы заключаем об истинности высказывания «Неверно, что некоторые классово-антагонистические общества не являются эксплуататорскими». Проверим, является ли это умозаключение правильным. Для этого сначала запишем его в символической форме, затем преобразуем его по соответствующим правилам и, наконец, редуцируем это выражение логики предикатов к выражению логики ы-сказываний:
(1)	V (х) [Д’ (х) — А (х)]	— ~ 3 (х)
(2)	~Э(х) ~[/(<x) — Л(х)]	—*~3(х)
(3)	~ Э (х) ~ К (х) V А (х)] — ~ 3 (х) (4) ~ 3 (х)~ (х) А ~ Д (х) — ~ 3 (х) (5) - 3 (х)[Я(х) А - 1 <*)1	— ~ 3 (х)
К (х)/\~А (х) К(х) /\ ~ А(х> К (х) А ~ Л (х) К (х) А ~ А (х) К (х) А ~ А(х>
(6)
~ Р — ~ Р-
Проведенная в (G) редукция допустима потому, что в р) по обе стороны от знака импликации стоят одинако ые выражения, и потому, что (5) в любое время может быть восстановлена из (6) в результате подходящей подстановки.
р 1		~р—> ~р
г /	t	t t
Таблица пстннности для ~р-+~р показывает, что это выражение общезначимо, а тем самым общезначимо В выражение логики предикатов (1), так как все выражения (1) — (5) эквивалентны. Этим доказана правильность исходного умозаключения и корректность правила умозаключения. Доказательство несколько усложнилось, так как нам пришлось воспроизвести его во всех подробностях, чтобы дать возможность применять этот метод н к другим умозаключениям.
Для разрешения этого умозаключения можно было также воспользоваться логическим квадратом. Можно, кдеимер, решить все умозаключения противоречия ис-Для из следующего: ш. Из двух контрадикторных высказываний всегда цро истинно, а другое ложно.
2. Два контрарных высказывания не могут оба быть I щетинными, но они оба могут быть ложными.
I ” 3. Два субконтрарных высказывания не могут быть оба ложными, но они оба могут быть истинными.
Однако важнее не то, каким методом проще решается умозаключение, а то, какие методы позволяют разрешить большую область умозаключений. И с этой точки зрения .игический квадрат ценится не очень высоко, поскольку вн охватывает слишком узкую область умозаключений. Тем не менее он может быть полезен для проверки умозаключений.
Для целого ряда импликаций лотки предикатов можно установить их общезначимость но разрешающей процедуре для выражений логики высказываний (2.1.6).
I Основная идея здесь та же, что и при разрешении выражений логики высказываний: предполагают, что импликация не общезначима, и пытаются найти такое распределение значений истинности или интерпретацию, при которой импликация будет ложной. Если выясняется, что такого распределения значений или такой интерпретации не существует, то импликация общезначима, а основанное на ней умозаключение правильно.
В отличие от импликаций логики высказываний импликации логики предикатов должны быть сначала преобразованы, прежде чем их можно будет разрешить. Для этого прежде всего пользуются законами, приведенными в разделе 3.2.1, или соответствующими им правилами. Преобразования такого вида необходимы и для разрешающей процедуры, приведенной в разделе 3.2.6, так что последующие примеры могут рассматриваться одновременно Щ** упражнения.
Исследуем умозаключение вида
У(х)[5(дг)->	(ж)1
V(x)(S(x)—~Р(л)Г
Оно будет достоверным тогда и только тогда, когта
167
импликация
V (х) IИ (х) -> - Р (х)] Л V (х) [S (х) — И (х)]1 — V (х) [3 (х) —* ~Р(х)] является общезначимой.
Согласно закону, приведенному в разделе 3.2.1, верн^ является правило
V(x)[F (x)->G(x)|
V(a)F(x) —* V (х) G (х) '
Если мы применим это правило к трем высказывание с импликацией, то получим выражение
RV(x) Л1(х)—* V(x)~P(x)]
Д (V(v) S(v) —* V (х) и ед
—+ [ V (х) <S (х) —* V(x)~P(x)J
Предположим, что эта импликация не общезначима, т. е. что, по крайней мере, при одном наборе значеи «й она ложна. Но это возможно только тогда, когда ее антецедент истинен, а консеквент ложен. Консеквент же ложен только тогда, когда V(x)S(x) истинно, a V(v)~P(r) ложно. Допустим, что это так; тогда мы должны вписать эти же значения и в антецедент. Для остальных высказываний в антецеденте должно быть найдено такое распределение значений, которое обеспечивало бы его истинность в целом. Поскольку антецедент является конъюнкцией, оба члена этой конъюнкции должны быть истинны. Поэтому в нервом члене конъюнкции мы должны придать V(x)W(x) значение «ложь», иначе V(t) И (х) -> V(x)~P( ) было бы ложным. Во втором члене конъюнкции мы должны придать V(r)J1(x) значение «истина», иначе Y(x)S(x) * -*V(x)Al(x) будет ложно. По одному и тому же выражению, входящему в состав сложного, нельзя придать два противоположных значения
{[V	v р ЗДЛ [V (x)Sjx) —» V (х) Л! (х)]}
-»(y(x)S<x)	—vtJO-POl
I t t
* /?
Предположение, что импликация не общезначима, при-водит к невозможным следствиям. Значит, не существует
т кого набора значений истинности, при котором эта импликация была бы ложной; следовательно, она общезначима.
В качестве второго примера возьмем импликацию {V (х) [Р (х) — - И (х)] Л 3 (х) [S (х) Л .И (х)]}
— 3(r)[S(x)A ~Р(х)].
Преобразуем ее тик, чтобы каждое высказывание содержало только один предикат. Для этого кроме правила, использованного в первом примере, нам нужно следующее:
з (х> [Г (х) Л G (х)I
3 (х) F (х) л 3 (х) G (х) ’
В результате применения обоих правил получим ([V (х) р (х) —• V (х) ~ И (х)] Л з (X) $ (X) Л э (X) Л1 (х))
—• |3 (х)$ (х) Л 3 (х) ~ Ptr)].
Квадратные скобки, в которые заключены высказывания в антецеденте, можно опустить; и тогда антецедент станет трехчленной конъюнкцией.
Попытаемся найти интерпретацию, при которой антецедент был бы истинен, а консеквент ложен. Консеквент ложен, если, по крайней мере, одно из содержащихся в нем высказывании ложно. О 3(v) S(x) нельзя предположить, что оно ложно, иначе весь антецедент, в котором оно также имеется, был бы ложным. Итак, допустим, что оно истинно, а 3(х) ~ Р(х) ложно. Рассмотрим импли-I кацню в антецеденте. По предположению 3 (х) ~ Р(х) ложно. Ойо эквивалентно (х)Р(д). Это высказывание является отрицанием V(x)P(x), значит, V(x)P(x) истинно. V(v) И (х) также должно быть истинно, поскольку импликация Y(x)P(x) -> V(х) ~ П(х) по предположению истинна. Но V(v)~.M(x) эквивалентно ~Э(х)Л!(х) и является отрицанием 3(х)И(х), истинность которого, как и истинность 3 (v)S (v), мы должны предположить.
u V (X) Р (х) — V (х) ~ W (х)] Д 3 (х) S (х) Л з (х) И ю)
Л 3 <*»- Р <*»1
— (з (х| 5 (*)
/
Таким образом, нс существует такого набора значений истинности, при котором данная импликация ложна; следовательно, она общезначима.
Однако тако1< способ не пригоден уже для следующего примера. Рассмотрим импликацию
{V (х) [.И (х)	~ Р (т)] Л 3 (х) [S (х) Л И (к)]}
— 3 (х) [S (х) Л ~ Р (х)].
В результате преобразования палу чаем
{[V (х) Л! (х) — V (х) - Р (t)J Л 3 (т)S (х) Л 3 (т) U (х)} — [3(x)S(x)A3(x)-P(x)].
Чтобы найти распределение значений, при котором эта импликация будет ложной, нужно предположить, что оба экзистенциальных высказывания в антецеденте, а тем самым и 3(x)S(x) в коисеквенте истинны и что Э(х)~ ~Р(х) ложно. Из ложности 3(т) ~ Р(х) следует ложность V(x)<~P(x). Из предыдущих прелпаложений ничего не следует в отношении значения истинности V(.v) VI (х). С предпалагаемой истинностью 3(х)ЛГ(х) совместимы как истинность, так и ложность этого высказывания. В первом случае вся импликация будет истинной, а во втором — ложной.
{[\U0VIJx) — V (л) ~ Р 00] Д 3£v)S(х) А 3(х) М (х)}
				* (э (*) т (ж) 1 t—~t	у л —(	-РО)|
И все же с помощью разрешающей процедуры из раздела 3.2.6 можно легко установить, что эта импликация фактически общезначима.
Если даже попытка непосредственного доказательства общезначимости импликации нередко терпит неудачу, то затраты на его провеление так незначительны, что такое доказательство все же стоит предпринять.
3.2.6. РАЗРЕШАЮЩАЯ ПРОЦЕДУРА ДЛЯ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
Описанная здесь разрешающая процедура позваляет разрешать не талько умозаключения, исследуемые в традиционной логике; ее применимость гораздо шире.
Чтобы можно было разрешить умозаключение этим способом, его сначала нужно записать в символической форме.
fl пучившееся выражение логики предикатов затем преобразуется согласно определенным правилам. Целью этих преобразований является приведение выражения в такую форм), чтобы его можно было редуцировать к выражению логики высказываний и разрешить это выражение ее средствами. Таким образом, выражению логики предикатов придается такая форма, что можно себе представить, будто оно возникло в результате подстановок (описанных в 3.2.2), сделанных в обратном направлении.
Этот способ ниже представлен рядом указаний, согласно которым следует пр от водить преобразования. Мы не будем обосновывать отдельные шаги, потому что это вдшло бы за рамки введения в формальную логику. С целью иллюстрации отдельные шаги этого способа показаны на следующем умозаключении:
Все марксисты — атеисты.
Многие борцы за мир — не атеисты
Следовательно: Многие борцы за мир — не марксисты.
1.	Запишите в символической форме все высказывания, имеющиеся в исследуемом умозаключении. Образуйте конъюнкцию посылок и присоедините к ней заключение посредством импликации
(V (х) [ И (х) — А (х)] Л 3 (х) [F (х) Л - А (х)]| _.3(x)[F(x)A~ М(х)].
2.	Преобразуйте все имеющиеся общие высказывания в экзистенциальные. Преобразуйте отдельные выражения так, чтобы в области действия кванторов существования были только конъюнкция и отрицание, причем отрицание не должно относиться к сложным выражениям:
3 (х) ~ [ И(х) — А(х)] Л э (х)[F(х) л ~ A<x)]J — 3(x)[F(x)A~.U(x)] {~Э(х)~[~ M(x)V 1 (x)J
Д 3 fx) [F (x) Л	~ A (X) J) 3 (x) [F (x)	A	~	M (x>]
<~3(x)-----[--И (x) Д ~ A (x)]
A 3 (x)[F (x) Д	~ A (t)]( — 3 (x) [F.(x)	Л	~	'! (v)]
~ (3 (x) [ 11 (x) Л ~ A (X)] A 3 (x) [F (x)	A	~	A (x)]}
— 3(x)[F(x)A~ W(x)].
3.	Замените заключение его отрицанием, а стоящий перед ним знак импликации знаком конъюнкции. Опу
стите скобки, в которые заключены посылки:
~ 3 (X) [ И (х)	~ А (хД 3 (х) [F (х) Л ~ A (xj]
А ~ 3 (X) [F (X) Л ~ и (х>].
4.	Проверьте, не встречается ли среди высказываний составленной таким образом конъюнкции хотя бы одно без отрицания и хотя бы одно с отрицанием.
5.	Если имеется хотя бы одно экзистенциальное высказывание без отрицания и хотя бы одно с отрицанием, то действуйте следующим образом:
(1)	Выпишите все имеющиеся высказывания, стоящие без отрицания.
(2)	Поставьте после них знак импликации.
(3)	Поставьте затем в скобках дизъюнкцию отрицаемых высказываний, однако без знака отрицания перед кванторами:
3 (х) [ F (х) Л - А (х)] -> {3 (х) [Л! (х) Л - 1 (х)] A3(x)[F(x)A - Л1(х)]}.
6.	Уберите кванторы и индивидные переменные: [ГА~/1]-Ч[ИЛ — Я] V [F Л — Af]}.
7.	Рассмотрите полученное таким образом выражение как выражение логики высказываний и составьте ere таблицу истинности:
F	A	M		~M	Fa A~A	Мл Л-Л	Fa А-Л/	(.Ил~Л| V(Fa~ ~M|	IF Л~А] v|FA~Af)}
1	t	t	f	f	f	f	/	/	t
t	t	f	1	I	f	/	t	t	t
t	f	t	t	f	t	t	f	t	t
t	1	f	t	t	t	f	t	t	t
f	t	t	f	1	f	f	f	/	t
f	t	f	1	t	1	f	f	f	t
/	!	t	t	/	f	t	f	t	t
/	f	f	1	t	f	/	f	f	t
8.	Если выражение логики высказываний не обще н<1-чнмо и в выражении, полученном по (3), встречается более чем одно экзистенциальное высказывание без отрицания, то проделайте то же самсе (5—7) с другим высказыванием.
Если хотя бы одно из выражений, исследованных по таблице истинности, общезначимо, то и исходное выражение тоже общезначимо, а соответствующее ему умозаклн
чгние правильно и правило, по которому оно получено, корректно. Если ин одно нз выражении, исследованных по таблице истинности, не является общезначимым, то и исходное выражение не общезначимо, а соответствующее ему умозаключение неверно и правило, по которому оно получено, некорректно. Рассмотренное здесь в качестве примера умозаключение правильно (как утверждает 3 2.1), и п >авило умозаключения, по которому оно получено (Modus Вагосо, 2 я фигура силлогизма), корректно.
Этот способ можно пояснить на другом примере.
Рассмотрим умозаключение:
Ни один колониалист—не гуманист.
Существуют колониалисты.
Существуют люди, не являющиеся гуманистами.
Существуют люди, являющиеся колониалистами, но не гуманистами.
Вопрос не в том, является ли заключение истинным высказыванием, в чем нет никакого сомнения, но в том, следует ли заключение с необходимостью из посылок. Из первой посылки оно не следует. Первая посылка говорит лишь о том, что колониальная эксплуатация и гуманизм не совместимы; но она не говорит о том, существуют ли люди, которые эксплуатируют колонии и не являются гуманистами. Так же и из конъюнкции второй и третьей посылок вывод не следует с необходимостью, так как выражение 13(x)F(r)A3(x)G{x)l -► 3(v)IF(x)AG(x)I не общезначимо. Иначе стоило бы только вместо F поставить «юмюниалнет», а вместо G — <не гуманист», чтобы заключение нз второй и третьей посылок получалось с достоверностью.
Таким образом, нужно применять разрешающую процедуру. Номера перед следующими выражениями обозначают, согласно какому указанию получаются эти выражения. Чтобы несколько упростить символизацию и преобразования, договоримся, что областью индивидов будет класс людей и в соответствии с этим в третьей посылке и заключении слово «человек» не будет приниматься во внимание.
(1) (~ 3 (х) [К (X) л н (х)] Л 3 (X) К (х) Л э (х) ~ Н (х) I -. Э(х) [ К (х) Л ~ II (х>]
(3) ~ 3 (х) [К (х) Д // (х)] Л 3 (х) К (х) Д Э (х) ~ Н (х) Л ~ 3 (х) [К (х) Л ~ II (х)].
Из двух экзистенциальных высказываний (без отрицания) этого выражения мы выберем для дальнейших преобразований 3(х)~Н(х), а 3(х)К(х) рассматривать не будем.
(5) 3 (х) - Н (х) -* {3 (х) [А (к) Д Н (х)] va(x)H(x)A-//(x)]}
(О ~н — {рс л н\ v [К л ~ «]}
К	н		КлН	Ka^H	1КЛ//1 V[KA~/fJ	
1	t	f	t	f	t	t
t	f	t	f	t	t	1
1	t	f	1	/	/	t
/	1	t	/	/	/	1
Так как выражение (6) не является общезначимым, а под (3) стоит второе экзистенциальное высказывание без отрицания, то соитасно указанию 8 мы теперь повторим с ним указанную процедуру.
(5) 3 (х) К (х) -> {3 (х) [К (г) Л Н (х)] V
(6) к-Ч[Кан]у[Кл~//П
(7)	К	"1	L„	КлН	Кл^н	\KaH] V|KA~tfJ	K — {(Aa//)v V[KA~H]}
	t	t	f	t	f	t	t
	t	1	t	f	t	t	t
	f	t	f	f	1	f	t
	f	f	t	f	f	f	t
Следовательно, данное умозаключение правильно. При этом выяснилось, что заключение следует уже из первых двух посылок, поэтому третья — лишняя н может быть опущена.
А теперь исследуем несколько более сложное умозаключение, не входящее в область традиционной теории умозаключении. В качестве индивидной области возьмем класс философов.
Каждый субъективный идеалист — идеалист.
Каждый объективный идеалист — идеалист. Существуют материалисты.
Ни один идеалист — не материалист.
Существуют философы, которые не являются ни объективными, ни субъективными идеалистами.
(I)	{V (х) [•$ (*) —* / (х)]Л V (х) [О (х) — / (х)]
ЛЗ(х) И (х) А~3 (х) [/ (х)Д U (х)]}
3 (х)	(х)Л~$ (X)]
(2)	{~3<x)~[~S<x)V/(x)]
Л —3 (х)~[~О (х) V / (х)]
ЛЗ (х) /И (х)Л—3 (х) [/ (х) А VI (х)]}
— Э(х)[~О(х)Л~«S(x)J
{~3 (х) ~	—-S (х) Л~/ (х)]
Л~з(х)~~[~~О(х)Л~/(х)] Аз(х) V (х)Л~3 (х) [/ (х)Л И (X)]} — з (х) [~О (х) A (х)]
{~3 (х) [S (х) Л ~ / (х)] л ~3 (х) [О (х) л~7(х)] Лз(х) .U (х)Л~3 (х) [/ (Х)Л W (X)]} -*3(x)[~0(x)A~S(x)]
(3)	-3 (х) [5 (х)Л ~ / (х)]Л ~3 (х) [О (х) А ~ / (х)] Лз(х) VI(x)A~3^х)[/ (x)A-U(x)]
Л -3 <х) [~О (х)Л	(х)]
(5)	3(х) At (х)
— <3 (х) [ S (х) А ~ / <х) ] V Н (х) [О (х)Л ~ / (х)]
V 3 (х) [ / (х) А ЛI (х) ] V з (х) [ ~0 (х) Л	(х)]}
(6)	Af-*{[SA-/MOA-/]V[/A‘W] V[-OA-S]|.
Из таблицы истинности следует, что выражение (6) является общезначимым, следовательно, общезначимо и шраженпе (1). Это доказывает, что умозаключение правильно.
По указанию (4) разрешающей процедуры следует проверить, содержит ли выражение, полученное согласно пп. (1)—(3), хотя бы одно экзистенциальное высказывание без отрицания и хотя бы одно с отрицанием. Но как нужно поступать, если выражение содержит экзистенциальные высказывания только с отрицанием или только без него.
пока не говорилось. S казания, которых нужно придерживаться в этом случае, должны быть описаны и проиллюстрированы примерами.
Возьмем умозаключение:
Все находится в движении.
То, что находится в движении, находится в изменении.
Существует нечто, находящееся в движении и в изменении.
Первые шаги те же, что и в предыдущих примерах:
(1)	{у(т) B(x)Av(x)[B(x) —У(х)]} ~*3<x)[B(x)AV'(x)J
(2)	{~3 (х) ~ В (г) Л ~ 3 (х) ~[ ~ В (х) V V (х)]}
—	3 <х) [В (v)AV(x)J
Л~3<х)~~[------Я(*)Л~Их)]}
—	3(г) (В(х)ЛИх)]
Нэ(х)~В(х)Л~3(х)[Я(х)Л~Пх)]}
—	з(х)[Я(х)АИх)]
(3)	~3(х)~В(х)Л~3<х)[Я<х)Л~Их)] Л~3<*)[Я(*)ЛИх)].
С этим выражением нужно поступать согласно следующим указаниям:
5*. Если имеются экзистенциальные высказывания только с отрицаниями, преобразуйте их в общие:
---V(v)--B(x)
Л ~ ~ у (х)~[Я (д)Л ~ (х)] у(г)~[В(х)ЛИ(х)]
V (х) B(x)Av(x)~[B(x) ^V(x)] Лу(х)~[5(х)ЛИх)].
6	♦. Опустите кванторы и индивидные переменные
ЯЛЧВЛ-И]Л-[ВЛИ.
7	♦. Полученное таким образом выражение рассматривайте как выражение логики выска >ваннй и составьте для него таблицу истинности
i			Вл A~V	~(Вл a~V]	Вл\	~[ЯлИ	ВЛ -[Вл Л-V]	A-[flAl]
t	t	f	/	t	t	f	t	f
t	f	t	t	f	f	t	/	f
f	I	f	f	t	f	t	/	f
1	1	t	/	t	1	t	/	f
Если выражение, исследованное по таблице истинности, оказывается противоречием, то исходное выражение общезначимо, а соответствующее ему умозаключение правильно, а правило, по которому оно получено, корректно. В ином случае выражение не будет общезначимым, а соответствующее ему умозаключение правильным, и, следовательно, правило, по которому оно получено будет непригодно.
Может показаться несколько странным, что общезначимость выражений логики предикатов доказывается путем сведения их к противоречиям логики высказывании. Дзло в том, что в результате преобразования согласно указанию 3 палу чается отрицание исходного выражения, т. е. из общезначимого выражения получается противоречие. И если после преобразования согласно п. 5 из противоречия снова получается общезначимое выражение, то этого не происходит, если применяются пп. 5 * и 6 *, а это значит, что не все преобразования этой разрешающей процедуры приводят к выражениям, семантически эквивалентным предыдущим.
Следует рассмотреть еще и тот случай, когда в выражении, полученном согласно п. 3, содержатся только экзистенциальные высказывания без отрицания. Возьмем умозаключение:
Не каждый черновалосый человек будет черноволосым, если у него галубые глаза.
Каждый черновалосый человек будет черноволосым, если у пего галубые глаза.
(I)	~y(t){[S(x)AМ (х)] —[В(х)—*S(x)]|
—* V(x) {[S(v)A И(х)]—*[fl(x)-*S(r)]}
(2)	—3(t)-{-[S(x)AW(x)]V[-B(x)VS(x)]} — 3(x)-{45(x)AU(v)lV[-fl(x)VS(x)J} 3<x)^~{~^[S(x)A>'l (x)]
—3 (x)~~{~~[S (х)ДЛ! <x)J A~[~fi(x)VS(x)]|
3 (x) {[S (х)ЛM (x)] A --В (x)/\~S (x)]}
—~3(x){[S(x)AA1 (x)]
A~~[-----B(x)A~S(x)]}
3 (x) {S (х)Д.И (x)A6(x)A-S(x)]}
—~3 (x) {S(х)Л И (х)ДВ (x)A~S(x)}
(3)	3(х){$(х)ЛЛ!(х)ДВ(х)Л~S(x)|
ЛЗ(*) {5(х)Д U (х)ДВ(х)Д~S(x)].
С этим выражением нужно поступать следующим образом.
5**. Если имеются только экзистенциальные высказывания без отрицания, проверьте, не является ли одно из них противоречием.
Если хотя бы одно из экзистенциальных высказываний в выражении, полученном согласно п. 3, является противоречием, то исходное выражение будет общезначимым. Если же ни одно из экзистенциальных высказываний в выражении, полеченном согласно 3, нс является противоречием, то исходное выражение не общезначимо.
В отношении экзистенциальных высказывании без отрицания в выражениях, полученных согласно указаниям 1—3, можно легко установить, являются ли они противоречиями. Согласно п. 2 они должны быть составлены так, чтобы в области действия квантора существования находился только один предикат или только одна конъюнкция предикатов. Каждый нз этих предикатов может быть с отрицанием пли без него. Если хотя бы один нз предикатов встречается в экзистенциальном высказывании один раз с отрицанием, а другой раз без отрицания (в нашем примере S(x) и ~5(х)), то это выражение будет противоречием. В ином случае выражение будет выполнимо.
Выражение (1) в нашем примере будет, таким образом, общезначимым, так как оба экзистенциальных высказывания в (3) являются противоречиями.
Рассмотрим условия, при которых выражение, полеченное согласно указаниям 1—3, может содержать противоречивое экзистенциальное высказывание.
Во-первых, возможно, что экзистенциальное высказывание, соответствующее заключению, является противо
речивым. Это экзистенциальное высказывание не эквивалентно заключению, а является его отрицанием в результате преобразования согласно п. 3. Счедовательно. оно противоречиво только тогда, когда заключение щезна-чнмо. Но это еще не дает ответа на вопрос, полечено ли заключение из посылок, т. е. истинно ли оно именно вследствие истинности посылок, ведь общезначимое выражение истинно независимо от них. Во всяком случае, здесь выясняется, что заключение общезначимо, о чем, возможно, до преобразования и не знали.
Во-вторых, возможно, что противоречиво экзистенциальное высказывание, соответствующее одной из посылок. Но такое экзистенциальное высказывание семантически эквивалентно соответствующей ему посылке. И если оно противоречиво, то противоречива и соответствующая ему посылка; а это значит, что посылки умозаключения содержат противоречие. В таком сл\чае конъюнкция посылок не может быть истинной и из псе нельзя сделать достоверного заключения.
Ценность исследования умозаключения согласно 5 •• заключается в том, что, во-первых, может быть установлена общезначимость вывода разрешаемого умозаключения и, во-вторых, может быть раскрыта логическая противоречивость посылок. Последнее особенно важно. Если логическое противоречие сознательно или бессознательно взять как посылку, то в качестве заключения можно получить любое высказывание, поскольку импликация, антецедент которой является противоречием, общезначима.
3.2.6*. РАЗРЕШАЮЩИ। ПРОЦЕДУРЫ И НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ
Этот раздел является как бы дополнением к разделу 3.2.6 и предполагает знание раздела 2.1.8 *. Здесь мы покажем, что разрешающая процедура логики предикатов использует преобразования выражении в их нормальные формы. Хотя этот способ не может дать общую разрешающую процедуру логики предикатов, но он может заменить хотя бы составление таблиц истинности.
Чтобы легче было следить, продемонстрируем этот способ на выражениях, для которых уже составлены таблицы истинности в разделе 3.2.6.
Первое выражение имеет вид
[ГА~Л]— U HA~>1JV[FA~ И]}.
Преобразование импликации в дизъюнкцию дзет ~[^A~H]V{[.WA~4] [FA~M]h
После устранения знака отрицания перед первой скобкой получаем
[~FVX]VffAfA~H]V[FA~Afn.
Преобразуем сначала по закону дистрибутивности выражения в фигурных скобках:
[-FV4]V{LWVF]A[Mx/~U1 A[~/IVFJAI~/IV~M]}.
Теперь преобразовано все выражение, причем выражения в квадратных скобках рассматриваются как далее неразложимые:
AIHFV 1]V[ И V- И]} A{[-FVX]VH^VFU
ЛП-FV I] [~ДV~A*D-
Фнгурные скобки должны прояснить связь с предыдущим выражением; теперь нх можно опустить:
И	A1V~W]
A[~FV 1 ~A VF]A[~FV Л V~.l V~M].
Итак, мы рассматривали исходное выражение как выражение логики высказываний, по вместо составления таблиц истинности привели его к конъюнктивной норма ib-иой форме. Каждая дизъюнкция этой нормальной формы содержит, как и ожидалось, по крайней мере, одну пере менную, встречающуюся один раз с отрицанием, а другой раз без него. Это свидетельствует об общезначимости выражения.
Необходимые преобразования во втором примере можно провести уже без пояснений:
—{[KA//]V[*A~//]} HVfl*A//M*A~//l} WV{[KV^A[AV-//JA[WVK1A[//V~//J| [//V/(VK]A[HV*V~//] a[wvhvk]a[hv^v~//J-
Это выражение не общезначимо, потому что не все дпзъ юнкцнн общезначимы.
Уже в третьей снизу строке можно видеть, какое вы-
ряжение должно стоять перед фигурными скобками, чтобы Кв выражение стало общезначимым. Последняя дизъюнк-Ья общезначима и поэтому здесь ее можно не учитывать. 0 каждой из трех предыдущих скобок К встречается, по кр Дней мере, одни раз. Если бы стояло перед фигурной скобкой, то выражение было бы общезначимым. Вследствие этого первая строка должна была бы иметь вид
К-*{[Л>Н]У[Л*Л-Н]}.
Поэтому надо проверить, нет ли среди экзистенциальных высказываний без отрицания, входящих в исследуем е выражение, высказывания вида 3(v) К(л). Поскольку так» имеется, выражение является общезначимым, а неси дуемое умозаключение правильным.
Рассуждения такого вида часто облегчают разрешение умозаключений, и если умозаключение неверно, то указывают, как его можно исправить. При этом можно также установить, не содержит ли умозаключение лишних посылок В нашем примере есть лишняя посылка 2	(х).
Если в предыдущих примерах нужно было установить общезначимость выражений, для чего используется конъюнктивная нормальная форма, то для следующего выражения нужно определить, является ли оно противоречием, для чего используется дизъюнктивная нормальная форма;
ВЛ-[ЯА-У]Л-[вАИ
BAt-fiWjAf-BV-VI
ВА{[~ВЛ-В] х/[-В Л -V]V[VA~S]
V[VA~H}
[BA-BA-B]V[SA~BA-H
V[flAVA-S]V[BAV'A-Vl
Каждая конъюнкция в этой дизъюнктивной нормальной форме содержит переменную и ее отрицание и поэтому все выражение противоречиво.
Посмотрим, правильно ли следующее умозаключение:
Внимательный пешеход не нарушает правил уличного Движения.
Нарушитель правил уличного движения вредит себе и другим.
Существуют невнимательные пешеходы, которые вредят себе и другим.
Сначала умозаключение нужно записать в символической форме; для этого поставим:
<F(x)» вместо «х— внимательный пешеход».
«У(х)» вместо «х—нарушитель правил уличного движения»;
«S (х)» вместо «х — тот, кто вредит себе и другим».
Следующие шаги осуществляются согласно предписаниям разрешающей процедуры:
(О	{V (х) [Т (х) —(х)]ЛV (х) {V (х) — S (х)]|
-* 3 (*) [~г С*)Л$ (х)]
(2)	Ьэ(х)-[Т(х)----У(х)]
Л ~3	’ (х) —* S (x)]j — з (х) [-Г (Х)Л$ (х)]
{~3 (х)~[~Т (x)V ~V(x)]A ~э (x)~[~V (х)VS (х)]}
—* 3 <х) [ Г (х) AS (х)]
{~3 (х) [Г (х)/\ V (х)]Л ~3 (х) [V (х)Л ~S (х)]}
—*з(х)[~7' (x)AS(x)]
(3)	~з(х)Гг(х)ЛИх)]Л~э(х)[У(х)А~S(x)] Д - 3 (х) [ ~Т (х) AS (х)].
Так как экзистенциальные высказывания встречаются только с отрицаниями, то все они должны быть преобразованы в общие высказывания:
(5*) v(x)~[T (x)AV(x)]Av(x)~[V(x)A ~S(x)] AV(*)4~T (x)AS(x)]
V(x) [	(x) V ~ V(x)]AV (x)[~l (x)VS (x)]
Av(x)[T (x)l -S(x)]
(6*) [^Tv-V]A[-VVS]A[rv~S].
Вместо составления таблицы истинности выражения представим его в дизъюнктивной нормальной форме:
[)~7-A~l']V[~rAS]Vf~l-A~V] V[~l’AS](A[TV~$] (~TA~VAT]V[~TA~VA~S] V[~TASAT]V[~7’ASA~S] V[~VA~VAT]V(~VA~l'A~S] V[ ~VA$ATM-I'aSA-S].
Это выражение не является противоречием, следовательно, умозаключение неверно. Попытаемся теперь найти дополнительную посылку, благодаря которой оно станс г
правильным. Предположим, что у нас есть такая посылка р вид* экзистенциального высказывания без отрицания, которую мы обозначим пока вопросительным знаком f>), н составим теперь требуемую форму согласно п. 5:
(5) ? —{э(г)[77т)ЛУ(х)Г 3^)[V(x)A-S(x)] V3(*)[~7' (OAS(x)]|
(6) ?-*{[TAV]V[VA-S]V[-7’AS]}.
He 5 читывал еще не достающее нам экзистенциальное «(сказывание, составим конъюнктивную нормальную фор-выражения в фигурных скобках:
([rvV]A[TV~S]A[VvHA[HV~S](
У[~ГА$]
[rvVV~7’]A[TVW$]A[TV~SV~T]
Л [Т V ~SVS] AIWVV
AlW WS]A[W	V ~Г]Л[1/ V ~S ySJ.
В этом выражении нас интересуют нс общезначимые ди <ъюнкции. Благодаря какому дополнительному выражению они станут общезначимыми?
[Г V VvSjAfVV V V ~ Т] A[V V W$] A[W~SV~T].
Очевидно все четыре дизъюнкции станут общезначимыми, если в каждой из них дополнительно появится — V:
-VV{[TVVVS]A[VVVV-T] [AVWVS]A[VV-SV-T]1
По закону дистрибутивности мы пату чаем общезначи-М( с выражение
[~W7’Vl/VS]A[~V'Vl'VV'V~7'] А[ ~Л/У V^VSlAl ~W V\J ~$V ~Г].
Теперь мы знаем, какие выражения должны стоять Вместо вопросительного знака в (5) н (6), и запишем их:
(6) У—{[TAHV[VA~S]V[~7'AS]}
(5) 3 (х) I (х) — {з (х) [Г (т)ЛV (х)]
va (Ч [V (х) A	(x)]v3 U) [~Т (x)/\S (х)]}.
И наконец, переведя наши результаты на естественный язык, получаем следующее правильное умозаключение (‘ одной дополнительной посылкой):
Внимательный пешеход не нарушает правил уличного движения.
Нарушитель правил уличного движения вредит себе и другим.
Существуют нарушители правил уличного движения
Существуют невнимательные пешеходы, которые в е-дят себе и другим.
3.2.7. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО И ОПРОВЕРЖЕНИЕ СРЕДСТВАМИ ЛОГИКИ
Каждое высказывание имеет значение истинности независимо от того, известно ли оно кому-либо. Это значение истинности объективно, т. е. определяется объективным положением дел, которое отражено в высказывании. Чти* и приспособиться к действительности и уметь воздействовать на нее, человек должен различать истинные и ложные высказывания. Этому служат доказательство и опровержение; они дают человеку знания об истинном значении высказываний, но не создают само это значение и не ока-«ывают на него никакого влияния.
Доказательство обосновывает уверенность в том, что доказываемое высказывание истинно. Опровержение обосновывает уверенность в том, что опровергаемое высказывание ложно. Для доказательств и опровержении пользу югся одними и геми же логическими средствами. Поэтому мы пока не бу тем их различать, а поговорим сначала татько о доказательствах.
Каждое детуктивнос доказлтельство (а здесь речь пои дет татько о таких) является дедуктивным умозаключением, ио не каждое дедуктивное умозаключение будет дедуктивным доказательством. Умозаключение дает уверенность в том, что его вывод истинен, если истинны посылки, но оно говорит не собственно о значении истинности заключения, а лишь об условиях, при которых оно истинно. Доказательство же высказывания говорит о том, что высказывание истинно.
Особенность доказательства по сравнению с умозаключением разъясним на примере. Высказывание «Многие борцы за мир — не марксисты» нужно доказать посредством умозаключения. С этой целью сначала следует найти высказывания, из которых оно следует. В разделе 3.2.6 мы уже показали, что оно следует из высказываний «Все

марксисты — атеисты» и «Многие борцы за мир — не атеисты». Следовательно, доказываемое высказывание истинно, если оба последних высказывания истинны. Но то. что эти высказывания истинны, нужно еще доказать. Только после этого наше высказывание будет действительно доказано.
Таким образом, доказательство высказывания осуществляется но строгой форме посредством следующих шагов (последовательность которых здесь значения не имеет):
1. Нужно показать, что доказываемое высказывание следует из определенных посылок.
2. Нужно показать, что эти посылки являются истинными высказываниями. В практике умозаключения второй шаг часто опускают, если уже известно, что посылки истинны; кроме того, посылки являющиеся очевидными, в явном виде не формулируют.
Для доказательства и опровержения используются законы и правила как логики высказываний, так и логики предикатов. Некоторую трудное!ь представляет лишь вы-бор необходимых исходных выражении и правил умозаключения и нахождение пути, ведущего от исходных выражений к доказываемому пли опровергаемому. Прямое бом.липельство высказывания состоит в том, что, исходя и истинных высказываний или общезначимых выражений, преобразуют их по правилам логики до тех пор, пока не получится доказываемое высказывание. В простейшем случае доказываемое высказывание получают уже в результате соответствующих подстановок в закон логики. Давать особый пример здесь нет необходимости, ибо такие п установки будут не раз встречаться в следующем, более сложном примере.
Следует доказать высказывание: Существуют (по крайней мере одни) идеалисты:
Э(х)/(х).
В качестве посылок приводятся следующие законы и высказывания, принимаемые как истинные:
(1)	y(x)F(x) —F0/)
(2)	F(y) — 3(x)F(x)
(3)	V i*) {Ph (х) — [Л1 (х) V / (*)]} — каждый философ является материалистом или идеалистом.
(4)	Ph(h)—Гегель—философ.
(5)	~М (Л)—Гегель — не материалист.
Вследствие подстановки {Ph(x)—^ (Al(v)V/(v)l) вместо F(x) и {Ph(y)-+ [ИG/)V/(//)]} вместо F(y) из (1) получается:
(6)	у (х) {Ph (х) — [.И (х)VI (х)]} — {Ph(y)^ [ U(i/)V7(f/)]}.
Эта импликация истинна, так как она получена подстановкой в общезначимое выражение. Антецендент этой импликации (3) истинен. Применение правила умозаключения: из р -+ q и р следует q — дает истинное высказывание
(7)	Ph (//) — [ И (//)V /(!/)]•
Если вместо у подставить имя собственное Л, то получится
(8)	Р/1(Л)-*[И(Л)у/(Л)1
Антецедент этой импликации также истинен. Применение правила к (8) и (4) дает
(9)
К (9) и (5) применяется следующее правило умозаключения логики высказываний: из p\Jq и —р следует q й 4. 2.2.1.2), в результате чего пазу чается
(Ю) /(ft).
Если в (2) вместо у подставить Л, а / вместо Г, то получается
(11) / (Л) — з (х) / (х)
Применение правила «Alodus ponens» к (11) и (10) дает в конечном итоге доказываемое высказывание
(12) з(х)/(х).
Доказатезьство выражения (12) можно было бы осуществить проще. Но мы избрали этот относительно сложный путь, чтобы сразу доказать нескатько высказывании — с (6) по (12) и продемонстрировать различные способы доказательства. Это доказательство дает опровержение высказывания «Не существует пи одного идеалиста». Так как это высказывание является отрицанием (12), а (1-) доказано, то согласно закону противоречия оно не может быть истинным. Высказывание вообще опровергается о казательством противоречащего ему высказывания.
Часто прямое доказательство бывает нецелесообразным или даже невозможным. Тогда истинность высказывания 186
^лаются доказать косвенно. Косвенное доказали? tbcmeo ♦^сказывания заключается в том, чтобы опровергнуть противоречащее ему высказывание, а затем по закону исключенного третьего сделать заключение об истинности д. называемого.
Мы показали, что доказательство и опровержение очень тесно связаны друг с другом, так что доказательством высказывания опровергается противоречащее ему, а опровержением высказывания доказывается ему противоречащее. Однако неверно думать, что из схемы доказательства можно создать схему опровержения, заменяя слово «истинно» словом «ложно». Можно доказать высказывание, доказывая его посылки. По нельзя опровергнуть высказывание, опровергая его посылки, так как если посылки |умозаключения ложны, то заключение не обязательно будет ложным. Так, например, из высказывания «Каждый философ — идеалист» можно сделать заключение о высказывании «Гегель — идеалист». Опровержение посылки ничего не меняет в том, что заключение является истинным высказыванием. Единственное, чего можно достичь вследствие опровержения посылок умозаключения, это заставить доказывающего искать новые посылки. Неверно также думать, что можно опровергать высказывание, доказывая, что оно не следует с необходимостью из данных посылок. В этом случае также можно лишь убедиться в необходимости искать новые посылки.
3.3. ПРОБЛЕМЫ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ
3 заключение нашего рассмотрения логики предикатов мы коснемся расширений, которые ведут за пределы элементарной логики, применения логики предикатов н, наконец, расскажем о фундаментальных и философских проблемах формальной логики.
3.3.1. ТОЖДЕСТВО
В традиционной логике наряду с законом противоречия и законом исключенного третьего как один из основных законов рассматривался закон тождества. Он изображался в виде «А =* А» и понимался как утверждение тождества каждой вещи себе самой. Метафизические интерпретации этого закона превратили его в утверждение, что каждая вещь с течением времени остается идентичной сама себе. Фактически формальная логика ничего нс го-
верит о том, остаются вещи тождественными сами с или изменяются. Формальная логика требует только, чтобы при выражении мыслей один и тот же знак не ущ> треблялся в разных значениях и чтобы его значение незаметно не изменялось. Нарушение ,того требования неизбежно приводит к ошибка !, например к неправильным умозаключениям следующего вида: «Материя» равнозначна с «веществом» и обозначает все, что заполняет пространство. Материя — это то, что существует вне сознании и независимо от него. Таким образом, все, что существа? вне сознания и независимо от него, является «вещество » Ошибка возникает вследствие того, что «материя» один р .» используется как физический термин, а в другой — как термин диалектического .материализма. Например, силовые поля существуют вне сознания и независимо от него, однако не имеют вещественной природы.
Если метафизическая интерпретация закона тождества не исключается самой формальной логикой, то она не совместима с марксистско-ленинской философией и тем самым с общей системок наук, на которой она основывается.
Употреблявшуюся ю сих пор символику логики предикатов можно расширить, добавив знак зля тождества. Тождество есть двухместное отношение. Говорят: ст тождественно у». В качестве символа для этого отношения можно взять, например, «/(х, у)» или «х=//». Мы примем второй способ обозначения; в литературе он более распространен, чем первый. В результате этого расширения нз элементарной логики предикатов возникает логика предикатов с тождеством.
Теперь ее средствами можно сформулировать выражение, которое соответствует закону тождества в традиционной логике:
у(х)[х = х].
Это выражение говорит о том, что каждый индивид тождествен самому себе. В диалектическом материализме эту идентичность индивидов самим себе, это неразличимое тождество называют «абстрактным тождеством». От ,*£г0 надо отличать конкретное диалектическое тождество. Под конкретным тождеством индивидов, классов, любых РУ* гих объектов понимают то, что они объединяют вс* различные, даже противоположные признаки и пр< жают развиваться. Конкретнее тождество является, ПЧ кнм образом, диалектическим единством тождества различия. Конкретное тождество является определены
с тзчки зрения содержания, и тем самым оно богаче, чем антрактное, но оно не исключает последнего, а в диалек-Гческ <м смысле снимает его.
Обычно закон тождества рассматривается как триви-1дьинй. Но уже Готтлоб Фреге установил, что высказывание о тождестве ни в косм случае не должно быть три-шальным. Для его истинности достаточно, чтобы оба довела, соединенные знаком тождества, обозначали один и тот же индивид. Это условие будет выполнено, если по И) стороны знака тождества стоит одно н то же имя. Такое докалывание говорит татько о том, что определенный индивид тождествен самому себе, и фактически тривиально. Hi <че обстоит дело, когда знак тождества объединяет хи различных имени, которые обозначают различные единичные понятия, и, несмотря на это, служат для обо-жачения одного и того же индивида. Такое высказывание не является тривиальным. Если будет установлено, что ш индивида, обозначенные различными именами н отра-яенньк в различных понятиях, тождественны, т. е. являются одним и тем же индивидом, то будет достигнуто Йюе знание. Здесь важно тождество различного, т. е. «онкретное тождество. Примером может служить сопро-Ммавшееся длительной и сложной исследовательской JifioToi' установление того факта, что писатель-романист, Йгтныи под именем «В. Traven», идентичен с человеком, вотпрый в начале нашего статетия именовался «Ret Marut», идават в 1917—1921 гг. журнал «Zigelbrenncr» и в Мюнхенской республике был известен как пропагандист. Та-Ы образом, можно сформулировать высказывание тождества «В. Traven есть Ret Marut», которое, конечно, не fyari тривиальным. При формулировке высказывания о •«ктест слово «есть» испатьзуется для обозначения ^Решения тождества. Таким образом, мы пату чаем еще Ро значение слова «есть».
И общезначимых выражений элементарной логики Гликатов можно получить общезначимые выражения ни предикатов с тождеством, заменяя двухместный ^с.зикат символом тождества.
V(x)y(y)[R(x, у) — S(x, //)]
— [ V (х) у (у) R (х, у) — v (х> V (!/) 5 (х. </)] Чнтся
V (X) V (у) [R (х, у) — (х = 0)]
Ч V (х) V (у) R (х. У) V (х) V (У) (х = «/)]•
Обосновать допустимость этого преобразования про. сто. Верхнее выражение общезначимо, т. е. при любой интерпретации своих предикатных символов оно будет истинным высказыванием. Если мы заменим предикат $ знаком тождества, то тем самым мы зададим интерпретацию для одного из предикатов. Поэтому нижнее выражение также общезначимо, т. е. при каждой интерпретации R оно будет истинным высказыванием. Из
V (х) V \У) [Л (х, y)V ~R (х, у)] получается
V (*) V (у) [(х = У) V ~(х = р)].
Па примере двух последних выражений мы должны отметить одну особенность логики предикатов с тождест-вом по сравнению с элементарной логикой предикатов. Вследствие проведенного здесь преобразования из общезначимого выражения получилось истинное высказывание. В элементарной логике предикатов, строго говоря, вообще не существует никаких высказываний, а только выражения, которые при соответствующей интерпретации становятся высказываниями. Выражение же логики предикатов с тождеством, не содержащее свободных индивидных переменных и не имеющее иных предикатов, кроме предиката тождества, уже интерпретировано и является, таким образом, высказыванием.
Следующее общезначимое выражение не может быть получено из общезначимого выражения элементарной логики предикатов, как предыдущие:
V (*) V (У)	(х)/\(хcy)] — F(у)}.
Это выражение говорит о том, что для каждого индивида х и каждого индивида у верно: если х обладает свойством F и тождествен с у, то у также имеет свойство F. Конкретным примером такой закономерной связи является: если Ret Marut по происхождению американец и тождествен с человеком по имени В. Traven, тогда и В. Тг -ven является американцем. Общезначимость этого выражения определяется тождеством; вместо знака тождества нельзя поставить любой двухместный предикат.
Тождество, подразумеваемое в символических выражениях этого раздела, является совершенным соответствием, тождеством индивидов только самим себе. Если индивндь1 тождественны в этом смысле, то речь идет об одном и том же индивиде. В разговорном языке эту форму соогветст-190
вия нередко путают с другой, которою называют равенством. Если женщина говорит, что у нее есть такое же платье, как и у другой женщины, то она, обычно, имеет в виду платье такого же покроя, из такой же ткани, такого же цвета и т. д., т. е. другой экземпляр серийной продукции. Таким образом, одна имеет такое же платье, ьяк и другая. Но две женщины имеют одно и то же платье тэлько тогда, когда оно у них одно на двоих и они носят его попеременно.
Через тождество можно определить петождество в смысле несоответствия индивидов, по крайней мере, в одном отношении, по одному признаку:
(х=£у) = ы~(х=у).
Выражение типа 3(х)Г(х) говорит о том, что существует, по крайней мере, один индивид со свойством F. Но иногда нужно символизировать высказывание о существовании только одного индивида с таким свойством или jВысказывание о существовании самое большее двух или точно двух или трех и т. д. индивидов с этим свойством. Для таких высказываний применяют особые кванторы существования. Введения этих дополнительных кванторов | Можно избежать, если использовать знаки тождества и ^тождества.
Высказывание «Существует, по крайней мере, два индивид.] со свойством F» может быть символически записано так:
3 (х) в (у) [Г (х)ЛГ (у)Л(х </)].
Выражением «х^у» исключается возможность того, что х\\ у тождественны и что, возможно, существует только один индивид со свойством F. Если нужно сказать, что сущ ствует, по крайней мере, три индивида со свойством F, пишут:
3 (х) 3 (!/) 3 (*) IF (х)/\F (у) f\F (z)/\(х у) A(x¥=z)A0/=/=*)]
Используя кванторы общности и кванторы существования, можно сказать, что существует точно определенное количество индивидов с определенным свойством.
V U) V (£/) {[/ <х} f\F (у)] — (х = г/)} означает, что существует максимум один индивид со свойством F; если какие-либо индивиды обладают свойством F, то они тождественны друг другу. Высказывание «Сушест-
aver максимум два индивида со свойством F» выражается посредством
V (х) v (у) v (г) {Р7 (х) ЛF (у) Л F (г)1 — [(x = 0V(x = 0V(//= *)]}.
г. е. если существует три индивида со свойством F, то, по крайней мере, два из них тождественны друг другу.
Сказать, что существует точно один индивид со свойством F, равнозначно тому, что сказать: существует, по крайней мере, и максимум одни индивид с этим свойством ил [ существует по крайней мере, один индивид с этим свойством, а каждый (другой) индивид с этим свойством тождествен ему:
3 (х) {F (х)Л V (v) [F (у) — (х = £)]} или проще
3(x)V(0[F(y)w(x = 0].
Если нужно указать, что существует точно два индиви э со свойством F, то следует записать, что существует, по крайней мере, два отличных друг от друга индивида с этим свойством, и каждый (новый) индивид, который также имеет это свойство, идентичен с одним из них:
3 (х) 3 (0 {F (v)/\F
AV (г) [F (г)	((z = V(* = £/))]}
или проще
3(х)3<//){(хУ=0
Л V (г) [Г (г) <-+ ((г = х) V (г = 0)]}.
3.3.2. ДЕСКРИПЦИИ
Если нужно обозначить один-единственный индивид, то обычно это делают с помощью имени собственного, например: -В. И. Ленин», «Москва», «Германская Демократическая Республика» Но можно также обозначить индивид посредством указания на признак, который присущ е>У и только ему. В. И. Ленин может быть назван как автор работы «Империализм, как высшая стадия капитализма*. Москва обозначена выражением 'Столица СССР» или «круп' нейший город СССР», а ГДР — выражением «первое сопи" а.тистическое государство в немецкой истории».
Чтобы перевести выражения такого вида на язык логики предикатов, вводят новый квантор — йота-оператор-В качес1ве символа применяют обычно маленькую /, н.шП"
I с «иную, наоборот, (j). При ном, как и при кванторах об-щи ти и существование, пишут индивидную переменную Кзатем указывают признак, который присущ подразуме-Ьимому индивиду. Таким выражением является, например, fp) Г(х) и читается оно как «Тот индивид х, который об-^Ьдпет свойством Г». Выражение »(х) /?(х, у) читается как «Тот индивид х, который находится в отношении R к у*. Такое обозначение индивида называют «дескрипцией». Оно рстоит из высказывательной функции и t-оператора. Если с помощью кванторов существования if общности из Бкказывательных функций образуют высказывания, то с помощью f-оператора из общего понятия получается единичное понятие, а из общего имени — имя собственное.
Как мы уже знаем из раздела 3.1.3, из высказыватель-ной функции можно получить высказывания, заменяя сво-бодные переменные именами собственными. Например, из ^высказывательной функции «х является основателем первого в истории человечества пролетарского государства» получается истинное высказывание «В. И. Ленин является основателем первого в истории человечества пролетарского государства». Но вместо свободной индивидной переменной можно поставить не имя собственное в узком смысле, а дескрипцию и тогда тоже папу чается истинное высказывание «Автор произведения «Империализм, как высшая стадия капитализма» является основателем первого в истории пролетарского государства».
Если мы вместо «х является автором у» напишем «V (х, y)*t а вместо «Империализм, как высшая стадия капитализма» подставим «»», тогда »(х) I (х, i) будет обозначать «Человек, который является автором работы «Империализм, как высшая стадия капитализма». Если мы вместо «х является основателем первого в истории человечества пролетарского государства» подставим «В(х|», тогда В 0 (г) U (х, <)) будет обозначать уже сформулированное выше высказывание.
Следует подчеркнуть, что дескрипцию »(х) f(x) можно }потреблять только тогда, когда фактически существует и только один индивид х со свойством Г. Если это условие не соблюдается, можно приптн к ошибочному умозаключению. Покажем это на примере. Из высказывания, согласно которому все индивиды имеют определенное свойство, следует, что любой индивид обладает этим свойством. Таким °бр»юм, из у(х) можно сделать заключение о Так как Е относится к любому у, то оно должно относиться и к индивиду, обозначенному :(г) б(г), таким образом гЬ(г) G(z)) ДОЛЖНО быть ИСТИННО. Пусть «/ (х)» CH.MBO-
 7 *. 713	1W
лизирует свойство всех индивидов изменяться, а 6(л) символизирует свойство быть творцом Вселенной. Тогда из истинного высказывания, что все индивиды изменяются, с необходимостью следует, что изменяется и творец Вселенной. Высказывание «Творец Вселенной изменяется» предполагает, что существует творец Вселенной. Можно сказать, что это высказывание тоже ложно. Но это ничего не дает, поскольку тогда его отрицание: «Творец Вселенной не изменяется» должно быть истинным. Чтобы избежать этих трудностей, выражения логики предикатов с дескрипциями, не имеющими ни одного десигната или имеющими более чем один десигнат, считают не ложными, а бессмысленными.
Дискуссия по поводу использования дескрипций, которые обозначают более одного индивида или нн одного индивида, еще не закончена. Путь для избежания возникающих здесь трудностей заключается в том, чтобы совсем не использовать дескрипции. Это возможно с помощью знака тождества. Например, высказывание «В. И. Ленин является основателем первого в истории человечества пролетарского государства» при применении знака тождества можно символизировать следующим образом («I» заменяет «В. И. Ленин»):
v(x)[B(x)w(x = Z)],
т. е. «Для каждого х верно: х является основателем первого в истории человечества пролетарского государства тогда и татько тогда, когда х тождественно с Лениным».
Если нужно сказать, что у является тем самым объектом, к которому относится Г, то всегда можно записать
v(x)[F(x)«->(№jO].
Но это выражение ничего не говорит о том, существует ли вообще такой индивид. Чтобы указать, что этот у существует, пишут
3 (у) V(х)[FU)<-* (х яу)].
Если этому у приписывают еще одно свойство 6, то «**' ражают это так:
3 (У)	(у) AV (х)[F (х) w (х—у)]}.
Эго выражение говорит, что существует такой у, что лишь он один имеет свойство F и вместе с тем обладает свойством G.
Таким образом, выражение B(r(x) V(x, *)), в которой
Имеется дескрипция, можно перевести в выражение
3 (У) {В (у) л у (х) [V (х, I) w (х = г) ]}, Lyropoe не содержит дескрипции. Если при этом переменив «В», «V» и «/» интерпретируются так, как указано выше, Кр получается истинное высказывание. Напротив, если от Г(> (/) 6(г)) переходят к 3 (y){F«J(*) <-> (?=у)Ц.  получается ложное высказывание: «Существует творец Вселенной и он изменяется».
К Этим способом можно избежать трудностей, которые могут возникнуть при применении дескрипций. Но его недос-таток состоит в том, что выражения без дескрипций более с. кны и трудны для применения, чем выражения с дескрип-мячи.
3.3.3.	ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ БОЛЕЕ ВЫСОКИХ ПОРЯДКОВ
I Мы уже много занимались переводом высказываний с естественного нлн научного языка на символический язык логики предикатов. Мы, например, знаем, что высказывание «Каждый индивид обладает свойством Р» символизируют Средством у (.v) Р(х), высказывание «Некоторые S суть Р»»— посредством з(х) 15(х)ДР(х)] и т. д. При этом мы часто говорили о свойстве, отношении, т. е. об определенных признаках, и использовали буквы S, Р и т. д. только как сокращения вместо определенных слов с определенным значением.
Но иногда, в частности в философии, речь идет о свойствах и отношениях вообще. Это делает необходимым расширение логики предикатов и ее символики. Оно заключается в том, что символы логики предикатов могут использоваться действительно как переменные и связываться кванторами. В соответствии с этим высказывание «Существуют свойства, присущие всем индивидам» символизируется, например, посредством 3(F) V(.v) Г(х).
Конечно, в элементарной логике мы уже говорили о призн как вообще, о любых понятиях и т. д. Мы, например, Определили возможные отношения между понятиями для Мбых понятий. В силлогистике также говорилось о любых Понятиях S, Л!, и Р. Такие выражения, как V(x) F(x) или
R(x, 0, которые мы для простоты называли высказываниями, строго говоря, обозначают не высказывания, а «сказы вательные функции, так как они содержат свобод
► предикатные пере енные F, R и т. д.
Для получения высказываний из выск азы нательных функций, в которых имеются предикатные переменные, сЛ. тается в силе все то, что мы говорили в разделе 3.1.3 о получении высказываний из высказывательных функций высказывание получается из высказывательной фуню цм тогда и только тогда, когда все имеющиеся в ней свободные переменные заменяются именами или связываются кванторами. Вместо предикатной переменной подставляются, конечно, не имена собственные, а общие имена. Это имена, которые могут служить для обозначения любого элемента класса, могут отличить этот элемент от элементов других классов. Такое имя, как *человек», служит для обозн; че-ния каждого элемента класса людей, но отличает их не трут от друга, а только от элементов других классов.
Возможность связывания предикатных переменных чрезвычайно повышает выразительность нашего символического языка. Приведем несколько примеров:
g(F)31x)F(x)
обозначает «Существует, по крайней мере, одно свойство, которое присуще, по крайней мере, одному индивиду» (например: четырехугольный, отвага, существование в пространстве);
3(F)~yfx)F(x)
обозначает ‘Существует, по крайней мере, одно свойство, которое присуще не каждому индивиду» (например, упругость, жизнь, сознание);
~3 (Л 3 (*) [F (х)Д —F (х)] обозначает «Не существует свойства, которое (одновременно и в одном и том же отношении) было бы присуще и не присуще хотя бы одному индивиду». Это опять закон противоречия;
V (F) у СП[F (х) V ~F (х) ] обозначает «Для каждого свойства и каждого индивида верно, что это свойство либо присуще индивиду, либо нет». Это закон исключенного третьего;
3(fl)vU)vQ/)[flC*. У)—*Я(у» х)]
обозначает «Существуют такие отношения, что еези °нн имеют место между двумя любыми индивидами х и У. 10 они имеют место и между у и х» (например, «сходен *, Р '* венство», «родство»);
v(>j v(?)[^ (х,	*)]
означает «Существуют такие отношения, что если они реют место меж ту любыми двумя индивидами х и //, то они не имеют места между у и х» (например, старше, меньше, отен, причина).
Выражения, в которых не только индивидные переменные. но и предик иные переменные связаны кванторами общности и существования, относятся уже не к элементарной логике предикатов, а к логике предикатов второй ступени. Кроме того, логика предикатов второй ступени отличается от логики предикатов первой ступени тем, что она содержит предикаты предикатов. Вследствие введения предикатов предикатов выразительность логики предикатов увеличи-ввется. Займемся теперь вопросом о том, что такое предикаты предикатов и почему ими пользуются.
В объективной реальности существуют не только индивиды, которые облазают свойствами и находятся в каких-либо отношениях с другими индивидами, сами эти при шаки также обладают некоторыми свойствами и находятся в определенных отношениях друг с др\гом. Таким образом, кроме признаков индивидов существуют:
1)	свойства свойств;
2)	свойства отношений;
3)	отношения	между	свойствами;
4)	отношения	между	отношениями;
5)	отношения	между	свойствами и отношениями.
Все эти виды	признаков можно охватить	расширенной
логикой предикатов, логикой предикатов более высокой сту пени.
Предикаты первой ступени, которыми мы до сих пор ограничивались, отражают признаки индивидов. Преди-•вть второй ступени, или предикаты предикатов, отражаю признаки, которые присущи признакам индивидов Эг* надстройку ступеней можно продолжать сколько угодно. Практически обходятся обычно предикатами первой и второй ступеней. Но их различие очень важно, так как признак, присущий признаку индивида, ни в коем случае Не является признаком самого индивида.
j Приведем несколько примеров признаке в признаков, Которые отражаются предикатами высших ступеней:
(1)	Мышление есть функция, свойство головного мозга; ДОЙствами мышления, т. е свойствами свойств, являются, например, последовательное! ь, глубина.
(2)	Для каждою индивида х и для каждого ин диви л । верно, как мы уже знаем: если х родственник р, то и у родственник х. Эго свойство отношения родства, закл <?чЛ ющееся в том, что оно существует в обоих направлениях называет «симметричностью». Таким образом, симметр; ч* ность является свойством отношений.
(3)	Мышление и речь, как свойства человека, неразрив. но связаны. Их связь можно представить как отношение между свойствами.
(4)	Отношения «х говорит с у* и «х устно обменивается мыслями с у» идентичны по объему. Следовательно, экстенсиональная идентичность является отношением межд| отношениями.
(5)	Свойство быть хорошим гражданином исключав, отношение расхищать народною собственность. Вследствие .>того отношение несовместимости является здесь отношением между свойством и отношением.
Предикаты второй ступени часто символизируются готическими заглавными буквами, чтобы они по виду отличались от предикатов первой ступени. Мы, например, символизируем предикат предикатов «самостоятельность (мышления)» посредством 2(Л), предикат предикатов «экстенсиональнля идентичность (говорения друг с другом и устного />мена мыслями)» посредством 3(/?, S).
В рамках логики предикатов второй ступени можно определить тождество индивидов, которое в разделе 3.3.1 <ыло введено без определения. Определение основывается на следующем соображении: два индивида, очевидно, тож д г-венны (т. е. являются одним н тем же индивидом) тогда и только тогда, когда каждый признак, присущий пер* «У индивиду, присущ и второму индивиду, н наоборот. Определение имеет следующий вид:
X - У = De! V (Г) [F (X) <“> Г О/)]-
Экстенсиональную идентичность, равиообъемность дву’ понятий мы уже определяли в разделе 3.1.4. Приводим te в символической записи:
А «= В и Def V (х) [ А (х) В (X)].
Аналогично с определением тождества индивидов
Дать также определение интенсиональной ид, нтичн^1*" понятий:
А - В «- Def V (•£>) [ Р (Я) w л> (В) ].
Интенсионально идентичными являются, например, по-тня «соперничество» и «конкуренция», так как все свойст-дприсушие одному нз них, присущи и другому, и наобо-^ККроме того, эн» понятия, конечно, и равнообъемны. Кук: если два понятия А и В интенсионально идентичны, они и экстенсионально идентичны. Эту формулировку I понимать в смысле импликации, т. е. исключен (ько тот случай, когда два понятия интенсионально иден-ны, но экстенсионально не идентичны. То, что говори-ь об идентичности одноместных предикатов, справедливо 1Л ч многоместных.
росЛ-е значение логика предикатов второй ступени для фундаментальных исследований в области математик и, поскольку позволяет представить натуральные чис-|кик предикаты предикатов. Нуль понимается как свой-рсвойства, которое не присуще никакому индивиду, натер как свойство свойства быть творцом Вселенной, э не присуще никакому индивиду, т. е. обладает свойст-। быть присущим 0 индивидов. Предикат предикатов О кно определить средствами логики следующим образом:
0(F)«= D'i ~3 (*)?(*)•
Единица рассматривается как свойство свойства, котовое присуще только одному индивиду. Например, свойство шть планетой с именем «Земля» обладает свойством быть присущим только одному индивиду. Предикат предикатов 1 можно определить:
1 (F) = Del 3(х) {F(x)Av (y)\f (У) -*	У)]}-
В определении прежде всего говорится о том, что существует индивид х, имеющий свойство F, и затем о том, что Каждый индивид, который также имеет свойство Г, идентичен с х. Аналогично можно определить любое другое натуральное число, а также исключительно средствами *гики можно определить вычислительные операции. Тем Шм становится возможным логически точное обсуждение ▼У и да ментальных вопросов математики.
ь Мы уже говорили о том, что нужно четко различать притки или предикаты различных ступеней. Это требование втекает также нз самой логики. Если в расширенной ло-гкке предикатов не делают этого различия и не принимают ••♦каких других мер предосторожности, то возникают логи-^кие антиномии, логические противоречия, которые вы-ятся из ясных и недвусмысленных посылок с помощью нЫх правил умозаключения.
3.3.4.	виды понятий
Здесь, как н в предыдущих разделах, мы будем расе far-ривать понятия как предикаты и, кроме того, займемся классификацией. При этом основаниями для классификации будут выступать исключительно формально-логические признаки. Различные виды понятий, например собирательные понятия, которые рассматривались в традиционно* логике, относятся к диалектической логике и здесь не принимаются во внимание.
Предикаты могут классифицироваться:
(1) по	признаку количества. С этой точки зрения интерес представляет прежде всего следующее подразделение:
(1.1)	предикаты, класс которых не содержит ни одного элемента;
(1.2)	предикаты, класс которых содержит только один элемент;
(1.3)	предикаты, класс которых содержит более одного элемента.
Большинство предикатов, употребляемых в повседневной жизни, в науке и т. д., принадлежит к (1.3); поэтому приводить примеры здесь излишне. К (1.2) относятся, например, «Вселенная», затем такие предикаты, как «марксистско-ленинская философия», являющиеся по своей логической структуре конъюнкцией предикатов, из которых каждый присущ более чем одному индивиду, но которые вместе присущи только одному индивиду. К (1.1) относятся предикаты, содержащие логическое противоречие, или такие, которые хотя и не содержат логического противоречия, но в которых соединены фактически несовместимые друг с другом признаки, так что существование индивида, который соответствовал бы им, противоречит физическим законам. Примерами являются «нетеплое тепло», «бог» и «вечный двигатель».
(2) Дал	ее, предикаты можно классифицировать но качеству:
(2.1)	предикаты бет отрицания;
(2.2)	предикаты с отрицанием.
Посредством предикатов без отрицания выражается наличие, а посредством предикатов с отрицанием — отсутствие определенных признаков. Если они сформулированы на языке логики предикатов, то различить их легко: этого нужно только посмотреть, предшествует ли им непосредственно знак отрицания. В естественном же или специально-научном языке часто неясно, имеем ли мы < грин*-
рьный предикат или прети кат, охватывающий тишь часть Клиентов, которую охватывает отрицательный предикат. Естественном языке отрицательные предикаты выражают-^Кбычно словом с частицей <не>. например «некрасиво», ^Едрксист» и т. д. Нередко для этой цели используются ^Вставки без-, вне-, а- и др. Однако с точки зрения логики Вн слова не всегда обозначают отрицательные предикаты.
пример, «несчастный» не является отрицанием слова Кастливыи», так как не каждый человек либо несчастлив, Kfto счастлив, тогда как из двух предикатов, из которых один является отрицанием другого, один обязательно дол-Кгн быть присущ каждому индивиду.
Т (3) Классификация предикатов возможна по ступеням. Иргь различают:
| (3.1) предикаты, отражающие признаки индивидов;
I (3.2) предикаты, отражающие отношения между ннди-М1Д.ЛШ и признаками или отношения между признаками Едличной сту пени;
(3 3) предикаты, отражающие признаки признаков.
Различие между предикатами вида (3.1) и (3.3) достаточно подробно освещено в разделе 3.3.3, так что примеры из-амшнн. Предикатами вида (3.2) являются: «имеет свойство* В его отрицание «не имеет свойства». Им соответствуют ктементарное отношение и его отрицание. Аналогичным об-Изох отражаются отношения между признаками различных ступеней.
( I) Четвертой возможной классификацией является классификация по числу мест.
Здесь обычно ограничиваются делением на:
(4.1)	одноместные предикаты;
(4.2)	многоместные предикаты или отношения.
Эта классификация также не нуждается ни в каком осо-пояснении, так как во всех разделах по логике прели Катов мы всегда различали одноместные и двухместные предикаты.
Если комбинировать два или более названных здесь ос-И(*ания классификации, то можно составить смешанную МЬссификапню предикатов и получить, например:
1) одноместные предикаты без отрицания первой сту •ни, которые не присуши ни одному индивиду (например, Йвчный двигатель»);
2) одноместные предикаты без отрицания первой ступи, которые присущи только одному индивиду (например, Пленная») и т. д.
Продолжить эту классификацию и при этом подыскать
пример для каждого вида предикатов — не только пол u ное упражнение на применение понятий, но н упражнение на кл 1ссифнкаиию, о чем мы будем говорить в разделе 4.1.к Больше мы здесь этим заниматься не будем, а обратимся < дальнейшему делению двухместных отношений, произвола* мому по виду отношений, отраженных в этих предикатах
Существуют такие отношения, что каждый индивид н> сочится в них сам с собой. Так каждый индивид идентичен а самим собой, например ровесник одинакового роста. Та-кие отношения называются реф ксивными отношения • и Нерсф icKCutfHbte отношения — это такие отношения, в ко о рых находится сам с собой не каждый индивид. Например, не каждый бреется сам. Среди нерефлексивных отношено, существует особый вид — иррефкксивнъиотнош ния. Эг такие отношения, в которых сам с собой не находится н? один индивид. Например, ни один индивид одновременно и в одном и том же отношении не отлич :ется от самого себя. Таким образом:
отношение R рефлексивно тогда и только тогда, когм верно
V(x)R(x, X) или ~з(х)~Rix, х);
отношение R нерефлексивно тогда и только тогд\ когл верно
~y(x)R(x, х) или g(x)~R(x, х);
отношение R иррефлексивно тогда и только тогда, когда верн
V(x)~R(x, х) или ~3(x)R(x, х).
Среди уже рассмотренных отношений встречались такие, которые, если они существовали между х и у, существовали и между у и х. К ним относятся отношения родства, сходства, сосуществования и взаимодействия. Эти отношения называют симметричными. Несимметричные ния — это такие отношения, которые, если они сущее: у
ют между х и у, не всегда существуют между у и х. Если  является братом у, то у не обязательно должен быть «'•pt-том х; у может быть сестрой х. Если х оказывает определенное влияние на у, то у не всегда оказывает то же самое влияние на х.Среди несимметричных отношений существует оо®" бый вид — асимметричные отношения.
Асимметричные отношения существуют между х н • но никогда не существуют между у и х. Если х являете^ начальником у, то у, в то же время и в том же смысле, ifl
•рлмстся начальником х. Ести х является прнчпно и, |0 у не является причиной х. Итак:
В отношение R симметрично тогда и только тогда, когда
Ьр,ю
vU)v(l/)[/?U, I/)—*R(!/. x)J.
•ан
~Э<Х)3<И[Я (*. ")A~R(f/, x)l
отношение R несимметрично тогда и только тогда, когда берно
~vU)vG/)[RU. у) — R(y, x)l
Ьи
y)/\~R(y, x)J;
’ отношение R асимметрично тогда и только тогда, когда верно
v(*)vQ/HR(x, y)-*~R(/6 х)].
или
~3 U) 3 <£/) Г* U. v)ARQ/> х)].
Транзитивными называются такие отношения, которые, есла они существуют между х и у и между у и z, существуют также между х и г. Если х больше у, а у больше z, то х больше г. Сюда относятся отношения субординации, зави-симости, равенства. Если отношение, существующее между г и у и между у и г, не всегда имеет место между х и z, оно «ваяется нетранзитивныч отношением. Если, например, х «ваяется угом у, а у — другом z, то не всегда х будет ipyroxi z. Здесь также существует особый вид, а именно инт/инзитивные отношения, которые существуют между \и у и между у и г, но никогда не существуют между х и z. Если, например, х на единицу больше у, а у на единицу больше ., то х не на одну единицу больше г. Суммируем:
отношение R транзитивно тогда и только тогда, когда ►рно
V (*) V («/) V (г) fl Я (х, y)/\R (у» г)] — R (х, г)} ил»<
-^3	3 Q/) 3 U) flR (х, y)/\R (у, z)]A~R (x, z)}-,
отношение R нетранзнтнвно тогда и только тогда, когда ►рно
I ~V(x)Yte)vU){[R(x, y)/\R(y, z)]—>R(x, z)}
3<*)3<!/>3(*){[fl	!7)AR(!7. z)]A—R(x, z)};
отношение R интранзитивио тогда и только тогда, ког верно
V (л) V (у) V (г) {[R (х, y)/\R(y, z)]-*^R(x, г)} или
~3 U) 3 (р) 3 U) {[R (х, y)/\R(y, г)]Д/?(х, г)}.
Каждому отношению присущи различные комбинации названных здесь свойств. Отношение ст является братом у* иррефлекснвно, не симметрично и не транзитивно; отношение «х является отцом иррефлекснвно, асимметрично и интранзитивно.
Среди двухместных отношений два имеют особое значение: это отношения типа равенства и отношение порядка.
Отношение R является отношением типа равенства тог.а и только тогда, когда верно:
(1)	V(x)R(x. х),
(2)	V(х)V(y)[R(x, y)—>R(y, х)],
(3)	V(x)V(i/)V(z) {[R(x, y)AR(v. — R(x,z)}.
Отношения типа равенства рефлексивны, симметричны и транзитивиы. К ним относятся все виды тождества и сходства, и 1ет ли речь об интенсиональной или экстенсиональной идентичности или говорится о равенстве в отношении величины, значения, веса или цены.
Отношения типа равенства служат научной абстракции. Процесс абстрагирования происходит таким образом Сначала с помощью установления отношения типа равенства индивиды области исследования подразделяются на так называемые классы абстракции, и все индивиды, находящиеся в этом отношении друг к другу, относят к одному  тому же классу. От различий между элементами такого класса абстрагируются, и область исследования предстает более наглядно, потому что теперь можно ограничиться только исследованием отношении между представителями разтнч-ных классов и не нужно принимать во внимание многообр * зие всех возможных отношений междх всеми индивид ми.
Такой процесс абстрагирования мы осуществили в рамках логики высказываний. Отношением типа равенства служило отношение«х имеет то же значение истинности, что и у». На основании этого отношения высказывания потр-'3' делились на классы истинных высказываний и ложных сказываний. Цы абстрагировались от различий между сказываниями внутри класса абстракции и рассматривай только отношения между истинными или ложными вы<*®1 204
Lr ииями. При этом конкретные высказывания служили hлько представителями класса абстракции, к которому мн принадлежат. В логике высказываний получалось толь-Ко два класса абстракции, но их может быть и больше, если, Кпрнмер, для социологических исследований изучаемую Einy населения подразделяют на классы ровесников или «рофессиональные группы.
'(ношения порядка служат для того, чтобы указать каж-иидивиду определенной области точно определенное о, т. е. размещают индивиды этой области в определен-кон последовательности. Например, посредством отношения «меньше» можно расположить натуральные числа в •йвисимости от величины. Отношение будет отношением Орядка, если оно является иррефлексивным, транзитов* ьч и связным. Такое отношение будет асимметричным, что Бе.лет из его иррефлексивности и транзитивности. Существуют так же рефлексивные отношения порядка, но мы не Бдем их рассматривать. Для них имеют место несколько •ные условия. Отношение является связным тогда и только тогд<>, когда для каждой пары (х, у) индивидов верно, что оно существует между х и у или между у и х, если х и у не шляются одним и тем же индивидом. Отношение «меньше» будет связным для натуральных чисел, т. е. для ка кдой п«ры (х, у) натуральных чисел верно: если х не равно у, го х меньше у или у меньше х.
I Отношение R будет отношением порядка, если верно:
(1)	V(x)~R(x, х),
(2)	V(х) V (у/ V (г) {[/? (х, y)/\R{y, z)]-»R(x, г)|,
(3)	V(x) V(j) (~(х=у) —»[/? (х, y)VR(y, х)]}.
Условие (3) в символической форме описывает свойство Связности отношения /?; его можно символизировать иначе:
V(x)V(y)[(x=^V^(x. y)VR(y, х)].
К.<к правило, отношение -меньше» можно использовать для Упорядочивания людей, если, например, ученики должны •^троиться в ряд по росту для определенного гимнастического упражнения. Однако оно не гарантирует однозначной последовательности, если двое учеников одинакового
3.3.5.	ПУСТОЙ КЛАСС И КВАНТОР СУЩЕСТВОВАНИЯ
К правильным модусам силлогизма (из которых некого-были названы в разделе 3.2.4.2) относится также, по ррясготезю, Modus Darapti З-ft фигуры. Применяя его.
можно построить, например, следующее умозаключений
Все боги бессмертны.
Все боги мыслящие существа.
Некоторые мыслящие существа бессмертны.
Заключение, очевидно, является ложным высказыв ц|И. ем, хотя правило умозаключения точно соблюдается. М но было бы сделать вывод, что и посылки являются ложны и высказываниями. Тогда наш пример был бы неинтересен, потому что он ничего не говорил бы о пригодности правила умозаключения. Но фактически обе посылки являются истинными высказываниями. Поясним это, символизируя первую посылку: у(х) (G(х>->4/ (х)j, т. е. для каж. ио предмета верно: е ли он — бог, то он бессмертен. Однако это не 1 оворит о том, что бог существует. Может быть Modus Darapti в противоположность мнению Аристотеля и традиционных логиков не верен?
По Аристотелю, высказывание вида SaP или S Р истин но только тогда, когда действительно существ}ют индивиды со свойством S, когта объем предиката S не является пус-тым классом. Эта неявная предпосылка традиционной логики в современной логике вводится в явной форме. Modus Darapti будет правильным, если дополнительная поаалка говорит, что объем среднего термина не является пусцЛ классом. Эта третья (предполагаемая) посылка в нашем примере ложна; она говорит: «Существ}ют боги» — Э(х) С ( )•
Modus Felapton 3-й фигуры, Modus Bamalip и M<us Fesapo 4-й фигуры так же верны только при наличии нелогичной дополнительной посылки. То же самое сира г •• ливо и для ряда непосредственных умозаключений, например для умозаключении подчинения и для некоторых у о-заключений противопоставления. Выражения логики ще ди катов, соответствующие этим правилам умозаключении» общезначимы только в непустых областях.
Выше мы употребляли наряду' с выражением ♦''уни’сТ' вуют индивиды со свойством S» выражение «Объем предик *** S не является пустым классом», так как они говорят по су* ществу об одном и том же. Займемся вопросом о том, в к» кам смысле можно употреблять эти выражения, и в качестве примеров приведем ряд истинных высказываний, в К” торых есть выражение «существует».
(1)	Существуют живые существа.
(2)	Существуют свойства, присущие всем инднви1**в
(3)	Существуют мирные отношения между государства-с различным общественным строем.
(4)	Существуют высказывания, которые адекватно отра-рт положение дел объективной реальности.
(5)	Существуют нормы социалистической морали.
(6)	Существует восприятие цвета.
(7)	В сказках существуют волшебники и добрые тухи
(8)	Для каждого натурального числа существует боль-
Т (9) Дтя мн >гих проблем, которые сейчас еще не решены, <ущс1твует решение.
Мы не хотим останавливаться на всех различиях смыс-выражения «существует» в наших примерах, а назовем щтько самые важные. В высказываниях с (I) по (3) слово Рщс твует» касается индивидов, свойств н отношений объ-ивной реальности и говорит о том, что эти предметы су-Г- ствуют в последней. В высказываниях (4) — (7) говорит-о существовании в сознании. В одних примерах говорится  адекватном отражении объективной реальности, в дру-pU — об образах сознания, которым в объективной реаль-кти ничто не соотвстствчет. Примером последнего являйся тот факт, что именно в сознании, а не вне его существу-«л логические противоречия. Особая проблематика свя-Мн.< с высказываниями (8) и (9) Здесь не ис.дразумев »ется Существование в сознании, так как определенно нет нико-Ькто перечислил бы все числа и осознал бы, какое из них
ьше, а какое меньше. И если бы в сознании какого-»нбо человека существовало решение неразрешенной проб-•емы, то эта проблема уже была бы решена. В последних Оказываниях «существует» обозначает не что иное, как •огическую непротиворечивость, в таком значении оно Юстояино употребляется в математике, где всегда можно •вазать «существует», если то, что полагается существую-ОЩ’!, не содержит в себе логического противоречия, не ^родится в противоречии с уже доказанными высказыва-Оми данной области и если из него не вытекает логиче-^ое противоречие. Поэтому истинность экзистенциального Оказывания первоначально не говорит нам ничего, кроме Жо, что здесь отсутствует логическое противоречие. Подра Девается ли при этом существование в сознании или э Осативиол реальности, можно установить лишь нз кон-
3.3.6.	ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ И АКСИОМАТИЗАЦИЯ В ЛОГИКЕ ПРЕДИКАТОВ
В связи с логикой высказываний уже говорилось о так называемой проблеме разрешимости. Она заключается в нахождении способа, с помощью которого конечным числ м шагов относительно любого логического выражения можно решить, является ли оно общезначимым, выполнимым ши противоречивым. С такой разрешающей процедурой, как таблицы истинности, мы познакомились в логике высказываний. Любое выражение логнкн высказываний можно разрешить. составляя для него таблицу истинности. Кроме того, каждое логическое выражение можно разрешить с помощью его нормальной формы. Но для решения проблемы разрешимости в логике высказываний достаточно и одного способа — таблиц истинности. Естественно, возникает вопрос, решается ли проблема разрешимости в логике предикатов, т. е. существует ли способ, с помощью которого можно разрешить любое выражение логики предикатов. Разрешающей процедуры для всей области логики предикатов, т. е. для любого выражения логики предикатов, не существует. Частичной областью логики предикатов, для которой решена проблема разрешимости, является, например, одноместная логика предикатов.
Уже для многоместной логики предикатов первой ступени в целом не существует общей разрешающей процедуры, кроме той, которую несколько десятилетий назад доказали Алонзо Чёрч и другие представители математическ й логики.
На этом исследовательские работы в этой области нс прекратились. Как и прежде, ведутся поиски по возможности емких разрешающих процедур для выражений логнкн предикатов, точнее, для возможно большего числа классов
выражений логики предикатов. Все выражения логики предикатов, в которых имеются кванторы, можно преобразовывать таким образом, что в начале выражения стоят все кванторы без отрицания, а остальная часть выражении
является их общей областью действия. Таким путем возникают различные классы выражений логики предикатов. Разрешающую процедуру подбирают для выражений, которые содержат только кванторы общности или в которых несколько кванторов общности стоят перед одним квантором существования. Для целого ряда таких классов выражение уже существуют разрешающие процедуры, для других •«* будут найдены.
Если для какой-либо области не существует разрешаю-»й процедуры, то обычно пытаются решить, являются ли иные выражения общезначимыми каким-либо другим •н и При этом исходят из заведомо общезначимых выра-_гнии. Последние по правилам умозаключения преобразуйся в другие, каждое выражение, полученное из общезначимого выражения, само является общезначимым. Если be из общезначимых выражений вследствие преобразовании по правилам умозаключения удается полечить разрешаемое Крашение, то найдено индивидуальное доказательство для данного выражения. Примеры этого находятся во многих Естах раздела 3.2.
Конечно, значительно труднее найти способ индивидуального доказательства выражения, чем разрешают) ю процедур) - В рамках разрешающей процед) ры имеются совер-шенно точные и подробные указания о том, что н)жно делать, чтобы разрешить выражение. Таким образом, если ЕН* разрешающая процедура, выражение можно разрешить в ршенно механически, что дает возможность в таких случаях проделать всю работу с помощью ЭВМ. Но для механического подбора индивид) альных доказательств практически применимого способа не существует. Поэтому нельзя отказываться от подбора индивидуальных доказательств с помощью классических ЭВМ. Во всяком случае стремятся сконструировать так называемые эвристические машины, которые могут в этом помочь. При подборе индивидуального Ж'Казательства можно опираться лишь на опыт и соблюдать некоторые довольно общие указания. В нахождении наиболее оптимальных исходных выражений, правил умозаключения и способов доказательства помогает тренировка, фантазия и диалектическое мышление. Здесь особенно важна Возможность точной проверки правильности любого полученного доказательства. Для этого нужно, по крайней мере, задать какой-либо способ механической проверки.
Для проведения индивидуального доказательства какого-либо выражения необходимо иметь другие выражения, “з которых оно может быть получено, и определенные пра-рйла умозаключения, с помощью которых может быть про-Ндеио доказательство. Это условие выполняется аксиоматической системой. Аксиоматической системой для множества выражений, например для множества общезначимых выражений логики высказываний, является множество Сражений, где все выражения доказуемы. Выражения, из Руорых состоит аксиоматическая система, называются ак-Р^амн. Если говорится об относительно небольшом числе
аксиом, то приводят их все. В ином случае нужно дать крц> теряй, в соответствии с которым относительно люс го иы-ражения можно решить, является ли оно аксиомой эго| системы, или указать способ, по которому можно п р 4HC. лить все аксиомы этой системы. Затем для каждом аксиоматической системы задаются правила умозаключения, с помощью которых из аксиом может быть получено некоторое множество других выражений.
Аксиоматические системы существуют для определенных областей формальной логики, математики, физики. Приведем пример такой системы из области формальной логики:
(О <р\/р)—>р
(2)	р — (p\Jq)
(3)	<p'q)-^(q\'p)
(4)	(Р —<7)~*l(< Р) —UV0]
(5)	V (х) F(x)-—F (ij}
(6)	F (у) — з (х) F (х).
Аксиомы (1) — (4) составляют систему аксиом для общезначимых выражении логики высказываний, аксиомы (1) — (6) систему аксиом для общезначимых выражений логики предикатов 1-й ступени. Эти аксиоматические системы, принятые Давидом Гильбертом и Вильгельмом Аккерманом в «Основаниях теоретической логики», конечно, не единственные для соответствующих областей Существуют другие системы, которые состоят из меньшего или большего числа аксиом. Выбор аксиоматической систе ы зависит от поставленной пели. Например, если речь ид<т об определенных теоретических исследованиях, выбираю! аксиоматическую систему, состоящую из наименьшего числа аксиом. Если же хотят иметь аксиоматическую систему, из которой удобно получать другие выражения аксиоматизированной области, то предпочитают более обширную систему.
Для аксиоматизации общезначимых выражений логики высказываний к аксиомам (1) — (4) добавляют правило отделения (Afodns ponens») и правило подстановки для выр-' жений логики высказываний, согласно которому пропозициональных переменных общезначимого выражение можно поставить любые выражения логики высказываний причем вместо одних и тех же переменных могут быть ставлены только одинаковые выражения. Сети же х«яя» аксиоматизировать общезначимые выражения логики пр^ дикатов 1-й ступени, то необходимы и некоторые ругие
p;<Dina, в частности правило подстановки з выражения Кгики предикатов, а также правила введения и нсключе-щ I кванторов.
Для аксиоматизации внелогической области, например Вгтной области физики, избирают аксиоматическую смете Ьу формальном логики и в качестве других аксиом прибав-Кют к ней соответствующие высказывания из аксиоматизи-емой области. Аналогичным образ им поступают, если нуж-В) доказать какое-либо высказывание с помощью других Ксказываний, не аксиоматизируя всю дисциплину. В та-Kpv случае к логическим аксиомам просто прибавляют по-Кики доказываемых выражений. В разделе 3.2.7 мы до-на ал и таким способом высказывание «Существуют идеал! сты».
Поскольку, как уже говорилось, для логики предикатов в щлом не существует общей разрешающей процедуры, Ьедпринимались попытки аксиоматизировать логику предикатов в целом. Но такая аксиоматическая система най-жна не была. А в 1931 г. математик и логик Курт Гедель Доказал, что эти попытки в принципе бесперспективны, Яфи-рмулировав свои результаты в лак называемой теореме цеп лиоты. Если аксиоматизируется достаточно богатая (выразительная) система, например логика предикатов, то •□способу Геделя можно построить выражение, относящееся именно к этой области, но не доказуемое и не ©проверенн! посредством имеющихся аксиом. Если же систему расширить за счет введения определенных общезначимых *ыражений, то полученное по способу Геделя выражение Суд доказуемым илн опровержимым; но тогда можно построить новое выражение, которое так же нельзя будет ни ♦•казать, ни опровергнуть в рамках имеющейся аксиома тической системы. Этот процесс можно продолжать бес ко
С точки зрения философии это приведенное Геделем до-Вательство имеет огромное значение. Оно опровергает.  частности, утверждение философов-идеалистов о том, что Каждую проблему мышления можно разрешить исключи-т^льно средствами формально!! логики. Так, Лейбниц счи рп, что можно разработать формальную систему, напри-ИгР математическую логику, где лишь посредством только ПР* Лразований по определенным правилам умозаключения *в*шо было бы разрешить любое символизированное выска *"*вание. Известные математики, даже придерживающиеся ^веалистнческоА точки зрения, признали, между прочим, Чт° попытка чисто формально решить вопрос об истнннос-
тн, не связывая его при этом с объективной реально., uJ потерпела крах вследствие доказательства Геделя.
В то время как результаты исследований Геделя вызвали пессимизм среди идеалистов, для диалектического ма?©. риализма, в частности для его учения об истине, они нмеяог 1 положительное значение. Для математики и логики значение этих результатов состоит в подтверждении диалектика-материалистического тезиса о том, что практика является основным критерием истинности, хотя перепроверять на практике каждое выска)ывание отдельно нет необходимости.
4. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ТЕОРИИ РЕДУКТИВНЫХ
УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
Настоящая глава является приложением к введению в формальную логику. После обзора основных понятий общей методологии науки будут рассмотрены две частные области методологии, тесно связанные с проблемами, обсуждавшимися выше. В отношении теории определения эта связь заключается в использовании знаний из области логики предикатов. Редуктивное умозаключение является в некотором смысле противоположностью дедуктивных \мо-заключений. Эти виды умозаключений дополняют друг ру-га и практически используются вместе.
4.0. К ПОНЯТИЮ ОБЩЕЙ МЕТОДОЛОГИИ
В современной логике редуктивное умозаключение в общем виде совсем не обсуждается, а теория определения обсуждается татько в той мере, которая необходим; внутри самой формальной логики. В традиционной логике эти темы рассматривались доватьно подробно и освещались с философской точки зрения. При этом авторы иногда делали различие между чистой и прикладной логикой и относили изучаемые ими формы редуктивного умозаключения и рии определения к последней.
Разумеется, связь обеих этих областей с формальн1** логикой существует, но главные и существенные основы они берут все же из философии. Их настоящее место — р общей методологии наук.
•пчсского материализма, являющейся философской наукой методах, которые, в принципе, могут быть использованы Каждой науке.
В центре интересов методологии находится созданный .Цмрксом, а затем разработанный Лениным диалектико-|0териалнстнческин метод как основной, общий метод познания и ревалюционного преобразования природы, обществ и сознания.
 Методом является система методических правил, которая определяет классы возможных систем операции, способных привести от исходных условий к определенной цели. I Это определение можно проиллюстрировать примерами разрешающей процедуры логики предикатов раздела 3.2 6. Разрешающая процедура служит для определения общезначимости выражений логики предикатов. Это уже указывает петь, которую преследуют, применяя такую процедуру. К исходным условиям, которые необходимы для применения процедуры, относится, в частности, то, что разрешаете выражение логики предикатов датжно быть выражени-ем первой ступени или сводимым к выражению первой сту пени. Для достижения этой цели необходимо выпалнить ряд Операций, а именно операции проверки и преобразова-. «ия. Такая последовательность операции является системой I Операций в смысле нашего определения. Отдельные опера-I ции определяются методическими правилами, а системы опе-I раций — системами правил, которые можно также назвать I глинами или программами. Разрешающая процедура содержит три таких плана. По какому из них действовать, зависит от того, получились ли после первых преобразовании экзистенциальные высказывания татько с отрицаниями ли только без отрицания, или и те и другие. Но эти планы *е определяют процесс в каждом отдельном случае со всеми его особенностями, а определяют в каждом случае их применения талько систему операций, где в зависимости от ви i исходного выражения на отдельных шагах или операциях могут возникнуть те или иные вариации различия Таким образом, разрешающая процедура определяет клас-систем операций. При этом речь идет о возможных системах операций, так как в случае их выполнения цель ] достигается, но она может быть достигнута и дру гим путем, при мер индивидуальным доказательством. Слово «онре-Ряяет* понимает я здесь в том смысле, что операции не ^исъ'кзются, а предписываются. Методы не описывают, что Жяяекя рсзмьгзгм проделанных операций или какие Р^рации выполняются, а предписывают, какие операции.
при каких условиях и с какой целью должны выполняться.
Если в качестве примера метода привести разрешающею процедуру из раздета 3.2.6, то следует добавить, чго по сравнению с другими методами он имеет свои особенное, и и, конечно, не является типичным примером метода. В отличие от других методов он касается экстенсиональных отношений н поэтому значительно проще, чем методы, охватывающие интенсиональные отношения. Отдельные предписания разрешающей процедуры во всех подробностях определяют выполняемые операции, а применение других методов может вести к обширным и сложным исследованиям способов выполнения операций.
К тому же далеко не всегда удается достичь цели путем применения одного-едннственного метода. Для получения новых научных результатов необходима целая система методов, методика, включающая методы анализа и синтеза, обобщения и абстракции, определения, дедуктивного и редук-ги иного умозаключения и т. д. Составные части, структура, применение и оценка методики определяются различными факторами. Особое место здесь занимают: предмет исследования или воздействия, поставленная цель, уровень развития науки в настоящее время и, наконец (но не в последнюю очередь), мировоззрение, на основе которого осуществляется исследование. Мировоззрение влияет уже на выбор применяемых методов. Например, отказ от сущностного определения предполагает позитивистскую и, в конечном счете, идеалистическую мировоззренческую ориентацию, поскольку с точки зрения позитивизма сущность вещей не проявляется в явлениях; такой сущности либо вообще не существует, либо она непознаваема. Для теории определения в рамках марксистско-ленинской методологии сущностное определение является одним из важнейших. Это не исключает возможности применения в некоторых конкрсг* ных случаях и других форм определения в зависимости от уровня познания и от поставленной цели.
В отношении методологических вопросов марксистско-ленинское мировоззрение воплощается прежде всего в диалектико-материалистическом методе, который превращает теоретическое богатство марксистско-ленинской философии в руководство к действию. Этот метод применим ,,е только в нау ках и к наукам в узком смысле слова. В нерву10 очередь он является руководством к революционному образованию общества с целью построения социализма и коммунизма.
( Диалектико-материалистический метод определяет не олько выбор используемых методов, но и характер их 'применения, оценку напученных результатов, значения от-Кгльиых методов внутри методики и т. д.
j Марксистско-ленинская философия, как теория общих Каконов движения и строения природы, общества и мышления, как основа диалектико-материалистического метода, |г1рантирует его универсальную применимость. Но диалек-Кмко-материалистический метод не претендует на замену Кругих научных методов, как марксистско-ленинская философия в целом не может заменить остальные науки. Диа-Кектико-материалнстический метод вместе со всеми другими научными методами образует единую систему. Применение Еналектико-материалистического метода находит выражение в способе применения специальных методов. Именно К этом смысле следует понимать выражение, что диалектико-материалистический метод находится с другими мето-ЬмИ в отношении общего к особенному или единичному. Если им не руководствуются при использовании других методов, то попадают под влияние метафизического, позитивистского способа мышления, для которого характерно рассмотрение единичных вещей вне их связи с другими, которому свойствен взгляд на предмет своего исследования не кик на исторически сложившийся, развивающийся, зависящий в своем развитии от объективных закономерностей Яркий пример метафизического мышления был приведен в разделе 1.4.1, где указывалось на концепцию Внт-тгенштейна, с точки зрения которого единственной задачей философии является критика языка.
Очень часто в научной работе слишком мало или вообще не задумываются над методологическими проблемами. В про-Ш:се профессионального образования будущим ученым даются не только знания нз их специальной области, но и навыки работы и мышления, которые сложились н оправдала себя в этой области. Однако к анализу привычного образа мышления и работы часто обращаются лишь тогда, когдз |*)сти гнутые результаты оказываются, очевидно, ошибочны in или когда они непригодны лтя решения новых задач. Марксистско-ленинская философия, естественные и обще Швейные науки все больше проникают друг в друга, но »’Х настоящее единство может быть осуществлено лишь на Основе марксистско-ленинского мировоззрения и диалектике материалистического метода. От метафизического Спо-М-ба мышления нас ограждает не простое решение в пользу ^«алектико-материалнстнческого метода, но его сознатель
ное, постоянное применение. Это проясняет сущность диа-лсктико-маирналистического метода, его функцию и его отношение к другим методам.
Методы, разработанные в формальной логике, математике и кибернетике, применяются повсюду, где они необходимы и полезны, а результаты их применения находят соответствующее место в общей системе знания. Здесь диалектико-материалистический метод незаменим. В предыдущих главах было необходимо постоянно выхолить за пределы формальном логики. В первую очередь это касалось тех мест, где речь шла о связи формальной логики с другими областями действительности, будь то перевод высказываний с естественного языка на символический язык современной логики, будь то доказательство или опровержение утверждений либо связь мысленных структур с объективно реальными или языковыми структурами. В этих случаях обращение к философским вопросам образования понятий было необходимо.
Процесс познания исходит из чувственно конкретного и через абстрактное приводит к мысленно конкретному. Этими словами кратко и в общем виде охватывается процесс, который, ссылаясь на Фридриха Энгельса \ можно в основных чертах охарактеризовать следующим образом: в исходном пункте познания находится общее представление о его объекте. Объект воспринимается в его развитии и его взаимосвязях, но отдельные его стороны не познаны. Пока они не исследованы и не объяснены, объект п< ’нация как целое не может быть охвачен. Поэтому необходимо отдельно исследовать единичное, изымая его нз его связей.
На этой ступени познания формальная логика м* <ет использоваться как важное cpeicTBo. Она абстрагируется от переходо между классами объектов и от их развития, проводит строгие разграничения, удовлетворяющие правилам классификации. На этой ступени познания формальная логика дает сведения, средства и методы, которые еще используются. Здесь машины могут освободить исследов*-• тя от умственной работы, умственные процессы могут <ыть формализованы и переданы автоматике. Эта ступень, ступень абстрактного, была исторически необходима в ист» рн” развития познания. Она необходима и с точки зрения един ства исторического и логического, а также в систематичя ской исследовательской работе. Но останавливаться на н нельзя. От познания свойств, которыми обладает объе* •
1 См.: Мирне К., Энгг Н' Ф. Соч. 2-е изд., т. 21, с. 328.
who переходить к познанию того, как связаны лежду со-и» эти свойства, какие из них обусловливают друг друга, какие исключают. Необходим переход от экстенсиоиаль-х к интенсиональным связям, переход, который не может ,гь совершен средствами формальной, экстенсиональна! гики. Цель включается в получении образа предмет!
тания, который позволит охватить его отдельные сто-
ны в их взаимосвязи и взаимодействии с другими пред-
тами
в падучей и и
картины,
которая объединяет начал!
, принципе правильный общий взгляд с абстрактным
ажением его сторон в одну живую картину предмета 1нания, взятого в его развитии, диалектическом с ди нет-
I! противоречивости.
4.1. ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ
Классификация определений осуществляется с семиотикой точки зрения. При описании определения, как и при ении понятий и их классификации, используются свекл из области логики предикатов, заимствуются ее 1ятия и методы.
4.1.1. О ЗНАЧЕНИИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
В дискуссиях, том числе и научных, нередко бывает, ' после длительной полемики, так и не придя ни к какому дему результату, партнеры в конце концов признают, » они говорили о разных вещах. Часто причиной таких ©разумений бывает то, что они одно и то же слово упот-11ЯКП в различных значениях. В таких случаях реко-«дуется заранее сказать, что подразумевается под опре-енным словом, т. е. определить выраженное этим словом
|тне.
«Определение», или «дефиниция», означает то же, что и Мшиченис». Определение должно быть по возможности пр сто «ограничением», отличением, оно даджпо го-ить не татько о том, чем не является предмет. Оно долж-быть также отождествлением, т. е. датжно говорить, этот предмет является. Идеальное определение отлича-
отождествляя, и отождествляет, отличая.
Ья однозначности терминов, особенно научного языка. Деления необходимы. Дефиниция основных понятий
ки
определяет в основном содержание и
предмет этой
ни. Например, определение «экстенсиональных отно-Л» влияет на структуру формальной логики. Но это
не говорит о том, что успех научной работы зав гейт только от дефиниций и что без них вообще нельзя заниматься падкой. Дефиниция всегда дает определенные сведения. Но в науке часто бывает, что работают, и успешно, с понятия* ми, которые пока не определены или, по крайней мере, определены неточно. Разумеется, такие ситуации — это всегда лишь временное состояние.
Если же дефиниция пока невозможна, то пытаются достичь хоть в какой-то степени однозначного толкования используемых терминов и понятий посредством операции, сходных с определениями.
Если в повседневной научной работе на каком-то этапе можно обойтись без определения, то при составлении спенн-атьно-научных словарей необходимо брать имеющиеся определения и составлять новые. В настоящее время не существует ни одного ученого, знания которого охватывали бы всю его область. Кроме того, из элементарных основ диалектики следует, что ученый лишь тогда может достичь значительных успехов в своей специальной области, если он рассматривает ее во взаимной связи с другими пауками и в рамках существующих общественных отношений.
Задачи, которые ставит перед наукой соцналистическ < общество, требуют коллегиальной работы и, тем самым, от каждого ученого требуют не только знаний в своей узкой области, но и, по крайней мере, знакомства с другими науками. Образованному человеку наряду с непосредственными знаниями из специальной области нужны еще знания из области политики, экономики, культуры и техники. Прак-1ически каждому необходимы справочники, которые давати бы ему краткие и правильные сведения о самых различных областях общественной жизни. Отсюда возникает необходимость создавать все новые хранилища знаний в виде специально-научных словарей, справочников, энциклопедий и т. д. Сама работа над словарем какой-либо области науки имеет большое значение для ее развития. Определение наиболее важных специальных терминов, понятий и предме-тов исследования подводит своего рода итог достигнутого уровня развития науки, заостряется внимание на имеющихся недостатках, что заставляет стремиться к их как можно более быстрому преодолению.
4.1.2. ОПЕРАЦИИ. СХОДНЫЕ С ОПРЕДЕЛЕНИЕМ
Так называемые операции, сходные с определением, можно рассматривать как предварительную ступень к точному определению. Ими пользуются тогда, когда для определения
знании еще недостаточно. Их использование может быть ьизвано и другими причинами. Для дискуссии среди представителей одной и той же специальной области такого J предварительного определения используемых терминов мо-ижет быть и достаточно, тогда как определение в строгом Смысле потребовало бы больших затрат. Наконец, имеют Киачение и дидактические соображения. При представлении н которой области науки, например, на занятиях в школе или в университете точное определение этой области < ычно Kujk т тишь тогда, когда хже введены все понятия, необходимые для его понимания. В начале же, опираясь на предва-Сительную подготовку, применяют какую-нибудь операцию, с ходную с определением.
К элементарным операциям, сходным с определением, относятся так называемые остеисивиые определения, среди Iкоторых можно выделить обозначение и указание. Первое и них заключается в том, что в ответ на соответствующий
Допрос дают имя индивида и т. д., второе — в том, что указывают на индивид, который п тразумевают под словом, рспех этих определении главным образом зависит от того, Жаки ми знаниями в соответствующей области уже обладает гот, для кого предназначено обозначение или указание. К роме того, оба названных определения предполагают, что подразумеваемый объект чувственно воспринимаем. Таким К>бразом, для определения абстрактных понятий они совершенно непригодны.
Приведение примеров может способствовать и определению абстрактных понятии, по крайней мере, до некоторой степени. Вследствие приведения многих примеров для термина или понятия получается перечисление. Оно определяет
термин или понятие посредством приведения ряда индивидов, которые подпадают под это понятие. Таким образом, 1иречисление является предварительной ступенью для опр< Веления понятия посредством полного указания всех индивидов, подходящих под это понятие.
Опи ание дает ряд внешних признаков подразумеваемых Мъектов. Оно .тает возможность составить представление о предмете. Характеристика является частным случаем описания. Она выделяет характерные признаки, связанные с Сдельными сторонами сущности предмета. Она, таким рразом, предполагает определенный процесс абстракции.
Посредством сравнения определяют предмет или поня-относя их к другому, уже знакомому предмету, которому он подобен. Здесь говорят также об опр< < делении по ана-1	219
логин, хотя сравнение не является определением в строгом смысле.
Отличение, или дифференциация, определяет предмет или понятие посредством указания на его отличие от других. Оно, естественно, предполагает, что данные предметы чувственно сопоставимы, т. е. что они имеют не только различия, но н сходства.
Способом, которым часто пользуются в науке, является контекстуальное определение термина. Оно заключается в предположении, что определяемый термин применяют в том значении, которое он всегда имеет в языковом контексте. Например, говорят, что у потребляют термин «класс» в значении, которое он имеет в таком сочетании, как «рабочий класс». Это однозначно определяет, что под «классом» подразумевают общественные классы, хотя их и не определяют. При этом не может возникнуть никакой путаницы с тем значением слова «класс», которое оно имеет, например, в формальной логике. Посредством такого определения можно с небольшими затратами из многих значений термина выделить одно, не давая ему точного определения. О самом значении и о десигнате определяемого термина это ничего не говорит тому, кто не знает данного термина, i словием применимости этой операции является то, что слушатель или читатель знает, по крайней мере, подразумеваемое значение, подразумеваемый десигнат термина.
4.1.3. ФОРМА И СТРУКТУРА ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Определения в точном смысле этого слова чаще всего имеют вид повествовательных предложений. Однако существуют определения, например, устанавливающие определения, которые не являются высказываниями, а представляют собой установки, решения и вследствие этого имеют вих побудительных предложении.
Определения могут быть даны на естественном или науч
ном языках, в том числе и на символическом.
Определения часто имеют вит равенства. Слева в них I записано выражение, которое должно быть определено. I т. е. определяемое (дефиннендум). Справа стоит выражение, посредством которого первое определяется, т. е. определяя щее (дефинненс). На символических языках оба выражения I часто соединяются знаком равенства со значком «Dei»-Поэтому определение такого вида выглядит так: определ ,,е' мое Def определяющее.
В естественном языке и в несимволизироваиных научны*|
Втыках вместо значка «=oef» часто пользуются словами Вламывается», «является», «есть». Из-за многозначности Кл< ва «есть» часто бывает трудно установить (если это неясно Кэ контекста), имеем ли мы дело с определением или нет.
। Определяющее выражение дефиниции в большинстве кдvчаев быв. ет сложным. Как правило, одно понятие опре-|д( ляется посредством двух или более понятий, соединенных Круг с другом. Естественно, среди них не должно быть поднятия, введенного впервые.
| Согласно правилу традиционной логики понятие должно Кпр< делиться посредством своего родового понятия и вндо-Кбразующего отличия. По этому правилу субъективный | идеализм можно определить следующим образом: «Субъективный идеализм есть философское направление, которое утверждает, что челов веское сознание первично, а материя существует лишь в сознании». «Философское направление* вляется родовым понятием, а «которое утверждает, что [человеческое сознание первично...» и т. д.— вндообразую-пшм отличием. Оно отделяет определяемое понятие от всех Кругпх, которые координируются с ним к являются видовы-Ки понятиями того же родового понятия. В нашем примере  субъективный идеализм отделяется от всех других философ-Нских направлений, а именно от материализма и объективного |идеализма, посредством видообразующего отличия. Но это - правило не всегда применимо. Например, самые общие фи-л«софскне категории нельзя определить таким образом, гак как для них не существует никакого родового понятия.
С этим классическим правилом определения связаны и другие трудности. Есть много случаев, когда невозможно Определить, какое из двух понятий является родовым и какое — видообразующим отличием, так как класс ипдиви-*>в, который соответствует определяемому' понятию, содержится равным образом в обоих классах, соответствующих Определяющим понятиям. Например, оба следующие определения можно равноправно поставить рядом друге другом: ’Квадрат есть прямоугольная фигура с равными сторона-Р»|». «Квадрат есть равносторонняя фигура со сторонами. Вводящимися под прямым углом друг к другу»:
<? (*) = Del R &)/\G (х) и Q (х) = DeI G (x)ftR (х).
Но из этого не следует, что с точки зрения содержания во Вех случаях безразлично, какое понятие является родовым, * какое видообразующим отличием.
Хотя, пожалуй, большинство у потребляемых определений создано по классическому образцу, во многих случаях
строить родо-видовые определения невозможно или нецел®, сообразно. Примером определения с другой логической структурой является: «Член коллектива университета им. Гумбольдта является научным работником, рабочим служащим или студентом университета им. Гумбольдта»*
А (*) = Def В (x)\fC (х) VD U)V£ (х).
Понятие «член коллектива университета им. Гумболы-та» относится к ни твидам, которые обладают тем или другим признаком. При определении посредством родового понятия и видообразующего различия определяемое понятие относится к индивидам, которые принадлежат и к одному и к другому классу, которые обладают и тем и другим признаком.
Следующий пример показывает, что в определяющем понятии конъюнкция и дизъюнкция могут встречаться вместе В военном уголовном кодексе ГДР (от 24 января 1962 г.) имеется определение: «Согласно этому закону военнослужащими являются солдаты, унтерофицеры, офицеры и генера-ды, находящиеся на действительной военной службе иди в запасе или призванные на службу нз резерва*. Для символической записи этого определения нужно учитывать, что «и» не всегда означает конъюнкцию. Нет никого, кто был бы и солдатом, и у нтерофицером, и офицером, и генера-дом. г>то определение записывается с помощью дизъюнкции:
Л! (х) = [S (x)VU (x)VO (X)\/G (х)] Л[№(х)\/Е(х)УЯ(х)\.
Таким образом, военным является каждый, к которому относится один из предикатов первой группы и один из предикатов второй группы.
Уже было сказано, что категории нельзя определять через род и видообразующее отличие. Определение категории «материя» можно составить с помощью отрицания: «Материей является то, что существует вне человеческого сознания и независимо от него», вместо чего можно было бы сказать* «Матерней является то, что не является сознанием»:
Al (x)=»Def~S(x).
Но эта схема определения не должна применяться необдуманно. Прежде всего следует учитывать, что класс индивидов с признаком Л1(х) не меньше класса индивидов, которые не имеют признака В(х). Такие определения, как «Холодное — это то, что нетеплое»,— бессмысленны, так
ж класс нетеплых предметов стишком широк для топ, 1 из него можно было вывести определение.
В итоге мы можем сказать, что в определении может гтречаться отрицание, конъюнкция и дизъюнкция и что М|я получения определения нх достаточно, потому что ос-Йвльные связки можно свести к ним. Обе константы логики Ире ди катов — квантор общности и квантор существования— Вг₽нже могут входить в определения.
Рассмотренные здесь определения имеют очень простую структуру. В них дефиннендум состоит из подлежащего определению выражения «квадрат», «военнослужащие» и т. д Л это является признаком непосредственного, явное*
;ения. Часто такое определение невозможно нл» Приводит к ненужному усложнению способа выражения.
таком случае составляют контекстуальное или неявно» определение. Его дсфиниендум содержит подлежащее опре-IЬлению выражение в контексте других выражений, кото ры< уже известны, определены. Так как уже определено, что является выражением логики высказываний, можнс опре юлить, например, понятие выполнимое выражение посредством следующего неявного определения: «Выраже ни логики высказываний может быть выполнимым толькс тогда, когда оно хотя бы при одном распределении значений истинности имеющихся в нем переменных принимает значе  ние «истина».
Рассмотренные выше определения построены очень про |сто еще в одном смысле. В языке все они выражены одним-| единственным предложением, посредством которого опре- л тяемое выражение становится вполне однозначным. Ос Штиоматическом определении говорится в том случае, если Ьгфпниендум определяется совокупностью предложений.
каждое из которых только отчасти определяет его. Здесь необходимым условием является то, что кроме определяемого выражения другого неизвестного выражения нет. Чт< такое высказывание, можно, например, установить посредст
11< у следующего аксиоматического определения:
(1)	Высказывание является мысленным образованием
(2)	Высказывание отражает объективное положение дел
(3)	Высказывание бывает истинным или ложным.
(4)	В большинстве случаев высказывание имеет вид по «ствовательного предложения.
Эта форма определения встречается гораздо чаще, чем Смажется на первый взгляд. Во многих случаях она исполь-IByется (например, в учебниках) для подготовки к ©пределе ни .о, простому по структуре, но трудно понимаемому. Н«
оно часто к заменяет такое определение прежде всего в тех случаях, когда уровень знаний ученика или сту тента еще недостаточен для понимания сущности подлежащего определению предмета.
Приведенное в качестве примера неявное определение относительно просто преобразуется в явное. Для этого нужно только поставить «высказывание» на место дефиниендума и образовать определяющее понятие, составив конъюнкцию из определяющих частей высказывании (I)—(4). Это преобразование может несколько усложниться, ести слово, обозначающее подлежащи А определению предмет, не является или не всегда является в аксиомах грамматическим подлежащим. Следует заметить, чго существуют аксиоматические определения, которые в принципе не могут быть преобразованы в явные.
Когда в какой-либо области заново вводится определение, ну жно точно установить, что этим определением подразумеваемый предмет фактически определен. Например, нужно доказать — если определяют элементы некоторого класса,— что признаки, указанные в определения, присущи всем элементам этого класса и только им. Такое доказательство может быть связано с чрезвычайно сложной научной работой. Но мы здесь подчеркиваем необходимость такого доказательства, потому что в аксиоматических определениях ошибиться легче, чем в других формах определения.
Частным случаем аксиоматического определения является индуктивное, или рскурси<ное, определение. В совокупности всех своих частей оно определяет класс таким образом, что элементы этого класса можно систематически строить из определенных исходных элементов. Оно определяет класс таким образом, что о любом предмете можно однозначно сказать, является ли он элементом этого класса, сводя его к определенным исходным элементам.
Правильно построенное индуктивное определение содержит следующие составные части:
(1)	явное указание на исходные элементы, т. е. исходные элементы полностью перечисляются, или дается критерий, согласно которому относительно любого знака можно решить, является ли он исходным элементом;
(2)	правила, по которым могут быть образованы остальные элементы определяемого класса;
(3)	четкое ограничение, показывающее, что кроме элементов, приведенных в (1) или образованных в соответствия с (2). нет никаких других, принадлежащих определяемому классу
I По этому образцу построено следующее индуктивное определение выражения логики высказываний:
Г (I) пропозициональные переменные являются выраже-
I пнями;
| Г (2.1) если последовательность символов А является выражением. то последовательность символов ~Л также является выражением;
!(2.2) если последовательности символов Л, и Ла (не
□ателию различных) являются выражениями, то
(Л.ДЛ,). (Л.УЛ,). (Л,УЛ,). (Л.1Л,). (Л, — 4,), (Л, —Л,) и (Л^Л,)
же являются выражениями.
(3) Никакие другие последовательности символов не [яются выражениями.
Это определение предполагает известным, что последо-ельным присоединением друг к другу символов логики жазываний, а именно пропозициональных переменных 7, г. . связок логики высказываний A, V. -  • я бок ( , ), пату чают последовательность симватов. При и единичный символ также рассматривается как после-ателыюсть симватов.
Приведем пример того, как исходя из этого определения кно строить выражения логики высказываний. Пропо-иональные переменные р uq согласно (1) являются выра-шями. Они относятся к исходным элементам. Так как м является выражением, то и ~р согласно (2.1) тоже является выражением. Так как ~р и q— выражения, то (~рД<?) Когласно (2.2.)— тоже выражение. Снова по (2.1) ~(~p\fq} Калиется выражением и (~ty/\q)^~(~pj\q)) по (2.2) также является выражением.
I Относительно любой последовательности символов мож-jbo установить, является ли она выражением, т. е. является ли она элементом класса выражений. Посмотрим, например, является ли выражением последовательность симватов В*р ?)Af). По (2.2) она будет выражением, если ~(pV</) и г являются выражениями, г является выражением по (1). Другая часть, а именно ~(pV</), согласно (2.1) будет выражением, если выражением является (pVfl)- Последнее является выражением в соответствии с (2.2), так как р и q втяются выражениями согласно (1).
[ Таким образом, на основании определения точно уста-*°влсно, что (M/’VflLV) является выражением ло1нки Выказываний.
4.1.4. ВИДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЙ
Относительно того, сколько существует различных видов определений и как их классифицировать, не существует единого мнения. Мы хотим сгруппировать определения, взяв за основание то, что определяется.
I. Реальные определения— это определения индивидов, классов индивидов, свойств, отношений и т. д.
2. Номинальные определения являются определениями значения слова и касаются языковых знаков или мысленных образов, которые существуют в форме этих знаков.
Следующими примерами можно проиллюстрировать го
различие:
(1) Апогей есть самая отдаленная от Земли точка орбиты движущегося вокруг Земли тела.
(2.1)	Самая отдаленная от Земли точка орбиты движущегося вокруг Земли тела называется «апогеем».
(2.2)	Слово «апогей» обозначает то же, что и выражение «самая отдаленная от Земли точка орбиты движущегося вокруг Земли тела». Определение (1) говорит о чем-то существующем в объективной реальности. Определение >2.1) касается языкового знака, слова «апогей» и говорит о том, как оно употребляется и что оно обозначает. Определение (2.2) есть определение понятия; оно касается значения пре-деленных языковых выражений.
Часто различие между реальным и номинальным определениями не так отчетливо видно, как в наших примера» Точное различение затруднено еще и тем, что мы говорим о предметах и т. п. только с помощью понятий и можем употреблять понятия лишь в языковой форме. Из ре иных 1 определена»'! всегда можно получить номинальные онре>Я ления, переходя от высказывания об опретеленном предме те к высказыванию о понятиях или о знаках. Примером МД рехода от реального определения (1) к номинальному могуI служить (2.1) и (2.2). При таком определении нельзя i0Ii' ' I кать высказывания вида: «Апогеи есть понятие...’. г часть реального определения соединена с частью помним» него определения. Это предупреждение не лишнее, так даже в научной литературе существуют «высказывание такого типа, которые являются не высказываниями, • мысленными соединениями знаков. Переход от и н0_ ных определений к реальным не всегда возможен.  2» минальные определения, которые регулнру т испоч -«ди ние знаков, иногда нельзя преобразовать в ос мыс	«у

реальные определения; таким примером является: «После-। зрвательность символов л-,(х=^) везде может быть заменена последовательностью (x=j£t/)>.
4.1.5.	РЕАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Как уже было сказано, реальные определения служат [для определения индивидов, классоз индивидов, свойств, к отношений и т. д. Существуют различные виды реальных определений, которые позволяют различными способами провести эту операцию.
Первым видом реального определения является определение посредством описания. Оно в известной степени является промежуточной ступенью между операцией, сходной с | определением посредством описания и характеристикой, с одно! стороны, и сущностным определением — с другой. В отличие от первых определение посредством описания лае не просто ряд внешних или характерных признаков, j ) указывает такие признаки определяемого предмета, что он оказывается совершенно однозначно определенным и Ъде. енным от других предметов. Такая однозначность при one мциях, сходных с определением, недостижима, и поэтому они в строгом смысле не относятся к определениям. С другой стороны, определение посредством описания характерно -Ии батее низкой ступени познания, чем сущностное определение. Оно схватывает не сущность определяемого пред мета, а ее проявление. Часто оно содержит сведения о том, Жак ч» имя носит определяемый предмет; в этом случае оно иногда причисляется к номинальным определениям.
Явление доступно через живое созерцание и непосредственный опыт. Явление дает возможность получить знания ь предмете вообще и схватывается обычно в первую очередь. ую явлению присущи элементы случайного, нестабильного, уиивидуального. Ограничиваться явлением всегда чревато wJb^ch <тью заблуждения и связанного с ним ошибочного ^•едения. Но с другой стороны, явление есть также прояв-сущности. Вследствие этого оно делает возможным р^уп к сущности, которую нельзя схватить непосредст-Сущность предмета есть нечто необходимое, относи-стабильное, общее. Поэтому продвижение от позна-явления к познанию сущности необходимо и возможно И** л >й познавательной деятельности.
посредством определения сущности схваты-необходимое, относительно стабильное, общее в пред-ре. особенно присущие ему диалектические противоречия.
Примером этого видя определения является следующее* «Человеческое сознание (по своей сущности) является наиболее развитой формой отражения материального мира».
В тесной связи с дефиницией посредством определения сущности находятся два других вида определения. Первым из них является определение посредством указания осн/ г ных признаков. Под выражением «основные признаки» подразумеваются такие признаки предметов, знание которых делает возможным сделать заключение об остальных признаках этого предмета. К этому виду определений относится, например, определение предметной области с ш мощью системы аксиом.
Здесь также следует назвать определение посредством идеа шзации. Такое определение встречается в геометрии, когда точка определяется как геометрическое образование, не имеющее измерений. Строго говоря, в действительности не существует ни одной точки, которая соответствовала 'ы этому определению. Тем не менее определения такого вида делают возможным построение теории, которая отражает существенные признаки объективной действительноеги.
К реальным определениям относятся определения посредство и указания составных частей. Примером является: «Желудочно-кишечный тракт состоит из желудка, тонкого кишечника, толстой кишки и прямой кишки».
Названные выше виды реальных определений служат для указания того, чем является определенный пре мет, какими свойствами он обладает или в каких отношениях с другими предметами он находится. Можно также определить предмет, указывая причины его возникновения, условия, при которых он необходимо появляется, или закономерности, которым он подчиняется, либо определяя его функцию или его цель.
Определение посредством установи'нич причины определяет предмет, указывая причины или источники его пр< м®" хождения или появления. Например, сознание определяют как ироду кт деятельности головного .мозга.
К этому виду определении относится генетическое onpt* деление. Оно указывает на то, как возникает предмет ’-11 как его можно создать. Генетическим определением я вл ся, например: «Если перемещать точку на плоскости одинаковом расстоянии вокруг неподвижной точки, то полу I чается круг».
Известна также дефиниция посредством опреде ни Я конов, которым подчиняется предмет. Человеческое еоз
«•it, например, можно опредетить, указывая на закономер-k<тл, которым оно подчиняется.
| Д гфиници я посредство и опредс г'ния функции раскрывает .п воздействия рассматриваемого предмета на другие предметы. Пигментацию кожи можно определить, указывая Ь то, что она защищает тело от вредного воздействия ульт-Бфиолетовых лучей.
Бли ким к этому виду определений, но отличающимся от нею, является дефиниция посредством on: еделения цели, »>на определяет предмет, указывая на то, с какой целью был роздан этот предмет, какой цели он служит. С этим видом . пределеиня, как и с рядом других видов реальных определений, надо быть очень осторожным в отношении однозначности, необходимой для каждого определения. Например, *ьдя определения телефонного аппарата было бы недостаточ-н , если бы его определили как прибс р, с помощью которого люди, находясь на большом расстоянии дру г от друга, могут разговаривать. Такую же фхикцню выполняет радио.
Наконец, нужно назвать операциональные определения, вторые также относятся к реальным предметам, не указывая, однако, на их признаки, причины и т. д. Операциональным определением являются:
(!) определение величины посредством указания операций, с помощью которых измеряется эта величина, или I (2) определение признака посредством указания операций, с помощью которых устанавливается, обладает ли пр дмет этим признаком.
Так, можно, например, операционально определить дл lies, указывая, как она измеряется. Так же можно опреде-Л»т кислоту посредством указания, что она окрашивает рмус в красный цвет. Операциональные определения не •огмг заменить дефиницию посредством определения сущ-рги, но решают задачи, для решения которых последние не пригодны. Проведение физических, химических и ршальных исследований невозможно, если неизвестно, В налги нужные величины или признаки, т. е. если не ^р операциональные определения. Какие определения В^р/л я юте я в каждом конкретном случае, зависит от Рентных факторов. Средн них нужно назвать: уже н.мею-Вк>> знания об определяемом предмете, знания тех, для ВЬ предназначено определение, и знание о том, в связи с ^Винпся определение.
глисты пытались свести все определения к номиналь-определениям, но некоторые из них признают, что по-^ра исключить реальные определения потерпела неудачу
Однако, как и прежде, дефиниция посредством определения сущности подвергается особенно сильным нападкам. Например, делается ссылка на тот факт, что формальная логика может рахтичать постоянные и непостоянные признаки, ио что она не имеет критерия для рахтичення существенных и несущественных признаков. Но ведь границы формальной логики не являются границами человеческого познания. Наконец, сущностным определениям ставят в упрек, чго поиски сущности вещей бессмысленны и бесперспективны, потому что определения сущности должны меняться в зависимости от уровня развития соответствующей науки.
Естественно, что определения — и это верно для всех видов определения — изменчивы, как и все чсловеческсе познание. Определение должно, например, измениться, если изменяется определяемый предмет, иначе оно не будет соог-ктствовать ему. Оно должно идти в ногу с развитием человеческого познания, принимать во внимание вновь открытые существенные, не известные до сих пор признаки определяемого предмета.
Таким образом, определения, как форма человеческого познания, движутся от относительной истины более низкого порядка к относительной истине все более высокого порядка. Наконец, следует помнить, что и на одном и том же уровне познания существует не одно определение предмета. Ленин указыват, что может быть много определений, так как предметы имеют много сторон м.
4.1.6.	НОМИНАЛЬНЫЕ ОПРЕД1 ЛЕНИЯ
Нельзя путать «номинальное определение» и «определение имени» и думать, что речь идет об объяснении слова, например слова «определение». В традиционной логике таюе ограниченное толкование действительно существовало. Современная методология рассматривает каждое нереальное определение как номинальное.
Номинальные определения делятся на:
(1) синтаксические определения;
(2) семантические определения.
Синтаксические определения имеют большое значение для таких дисциплин, как формальная лонжа и математик i. Но мы лишь вкратце остановимся на них, так как вне •ти* наук они вряд ли применимы.
Синтаксические определения касаются только Языковы*
1 См.: Ленин В. И. Поли. собр. соя., т. 29. с. 224,
знаков и их соединений; они ничего не говорят о значении этих знаков или их сочетаний и служат только для сокращения. Синтаксические определения указывают, как можно заменять знаки или их сочетания другими — чятце всего более краткими,— не принимая во внимание или вообще нс зная их значения. Синтаксическое определение, знаки которого имеют содержательное значение, автоматически превр нцается в семантическое определение. Примером синтаксического определения будет
cWsDef ЛЛР?-
Допустим, что мы кроме знака определения не знаем ни одного нз встречающихся здесь знаков. Тогда из определения узнаем, что ряд знаков вида«Л№рф» всегда может быть заменен более кратким рядом знаков вида *Cpq*. Но если } называется, что «ДЛ'рд» означает «~р\/<7». то определение превращается в семантическое, посредством которого определяется импликация «р->р».
Другим примером синтаксического определения является определение выражения логики высказываний (раздел 4.1.3). Оно касается исключительно вида выражений, но ничего не говорит об их значении.
Семантические дефиниции определяют значение знака. Они в основном такие же, что и те, которые называются «определениями понятия». Семантические определения служат для определения неизвестного еще значения дефиннен-дума посредством известного значения дефиниенса.
В корректной формулировке семантические определения имеют такой вид: выражение «. . .» равнозначно выражению «. . .». Например: «Выражение «дизъюнкция двух высказываний р и д» обозначает то же, что и выражение «Сложное высказывание истинно только тогда, когда, по крайней ме^*е, одно из дв>х высказываний р, q истинно». Конечно, вместо этой достаточно сложной языковой формулировки предпочтительна более простая «Дизъюнкция...» Однако к< рректное семантическое определение дано лишь в первой формулировке.
Семантические определения подразделяют на:
(1) аналитические определения;
(2> синтетические определения.
Аналитические определения эксплицитно ставят в соответствие языковому выражению значение, которое ему >же придано. Здесь речь вдет о том, чтобы сохранить }жс имеющие я и известные значения слов, например, в словгрях
пли лексике. К аналитическим определениям относятся также констатирующие определения.
Констатирующее определение у называет, в каком значе нии обычно употребляется термин в определенной области, например в науке. Оно имеет такой вид: под термином Т в науке Л понимают... Констатирующие определения особенно важны тогда, когда один и тот же термин употребляется в различных науках в разном значении. Примером является: «Под отрицанием в диалектическом материализме понимают...» и «Подотрицанием в формальной логике пони мают...». Констатирующие определения нужны, например, в том случае, если в научной работе сообщается, в каком значении употребляется определенный термин.
Синтетические определения придают языковому выражению новое значение. При этом речь может идти о том, чтобы придать значение новому слову или превратить слово естественного языка в научный термин. К синтетическим определениям относятся устанавливающие определения.
Устанавливающее определение указывает, в каком значении должен употребляться термин в данной облает и. Оно имеет вид: «Под термином Т в области Л надо понимать то-то и то-то». Уже из этой формулировки видно, что устанавливающее определение не является высказыванием, вследствие чего оно пи истинно, ни ложно. Оно имеет ищпобудительно-го прсдюжения. Оно, как и синтаксическое определение, является правилом для употребления языковых знаков. Устанавливающее определение необходимо в том случае, когда в научной работе хотят избежать обычного у потребления выражения.
В науке и в повседневной жизни существует ряд выражений, которые кажутся знаниями, на самом же деле являются устанавливающими определениями. Выражение «100 С — температура, при которой закипает вода при атмосферном давлении в 760 мм рт. ст.» является специальной формой устанавливающего определения, а именно соотносящие опреде гением. То, что здесь говорится о соотнесении понятия «100 С» с объективным положением дел (кипением), ясно уже нз того, что существуют различные измерительные шкалы для определения температуры.
Если такое соотнесение было однажды произведено, то такое высказывание, как «Спирт кипит при 78°С» и т. Д-. является уже знанием. Такие понятия, как «метр», час» и т. д., также установлены посредством соотносящего определения.
Изучив важнейшие виды определения, дадим в конечном итоге дефиницию ему самому:
Определение является (1) высказыванием, которое констатирует, чем является предмет, как он возник, чему он служит или как его обнаруживают, (2) или правилом, которое устанавливает, как должен употребляться языковый знак, (3) высказыванием либо правилом, которое констатирует или устанавливает, что обозначает либо должен обозначать языковый знак.
4.1.7. ТРЕБОВЧНИЯ К ОПРЕДЕЛЕНИЯМ
Разнообразие определений приводит к тому, что едва ли найдутся пригодные для всех определений правила, которых необходимо всегда придерживаться при формулировке определения какого-либо вида. Все определения должны быть элиминируемы. Это означает, что в области, к которой относится определение, дефинненду м должен быть в любом контексте заменим дефиниенсом без изменения его смысл.1.
Затем все определения должны быть нс п роти о речивы. Это означает, что они не должны содержать логического противоречия или вести к логическому противоречию в области, к которой они относятся.
Рассмотрим некоторые правила, которые необходимо соблюдать при определении понятий. Эти правила должны осмысленно применяться при формулировке реальных определении.
Важнейшим правилом, которое необходимо соблюдать при определении понятия, является привито равенства об ъс-ло. Класс, который соответствует определяющему понятию. должен охватывать те же элементы — не более и не менее,— что и класс, соответствующий определяемому.
При формулировке определений и прежде всего формулировке в естественном языке часто сталкиваются с нарушением правила равенства объемов, когда понятие или предмет определяется слишком узко или слишком широко. При слишком узком опред< тении приводят больше признаков, Вем нужно. Например, в определении «Идеализм — это философия, которая утверждает, что сознание первично, а терпя вторична и что все существует только в человечес-о*< сознании> идеализм сужается до субъективного ндеа-нзма. Следовательно, объем определяющего понятия слиш-ом мал по сравнению с объемом определяемого.
Противоположная ошибка называется слишком широким |ределением. Например, выражение «Капитализм есть
общественный строй, который основывается на *ксплуата-Ш1Н человека человеком! является истинным высказывани ем, но ошибочным определением. Понятие «капитализм» опредепено здесь слишком широко. Существует еще много видов эксплуатации. Поэтом} объем определяющего пои, тия по сравнению с объемом определяемого слишком велик
На рис) нке наглядно изображены обе ошибки в определении:
субъективный |
идее шзм
| объективный —
су бъективный идеа ты
капита шзи
рабство
;)еода miw
канита или
эксплуататорские оЪцсст .а
Для формулировки определения понятий или предмет « важно в первую очередь знание предмета. Так как можно допустить ошибку, приняв истинные высказывания за определения, здесь необходимо дать два методических указания.
Если написать равенство, выражающее определение, наоборот и поставить перед ним «только», то станет ясно, допущена ли ошибка слишком узкого определения. Высказывание «Только философия, которая утверждает..., является идеализмом» ложно, поэтому определение ошибочно. Ошибку слишком широкого определения можно обнаружить, если записать равенство наоборот н поставить перет ним «все» или «каждый». Так как высказывание «Каждый общественный строй, который..., есть капитализм» ложно, то и определение в данном случае не может быть править ным.
Следующее правило, которое необходимо соблюдать при формулировке определения, состоит в том, что в определи нии не должно быть круга. Это значит, что определяем * понятие не должно встречаться в определяющем ни явно, ни имплицитно. Такая ошибка, очевидно, содержится в следующем определении: «Химия — это учение о химических соединениях». Это определение не представляет ценности-гак как понятие «химия» само себя поясняет. В определении «Закон логики высказываний является общезначимым ело* ным высказыванием» также содержится круг, на этот
имплицитно. Выражения «закон логики высказываний) и «общезначимые сложные высказывания) являются различными названиями, обозначениями одного и того же, различными формами существования одного и того же понятия.
Определение по возможности не должно быть негативным, потому что класс, который соответствует отрицательному понятию, чаще всего бывает очень неопределенным. Однако существчют понятия, например «материя» и целый ряд понятии в математике, которые нельзя определить иначе, как посредством указания таких свойств, которыми они >м* обладают.
С точки зрения формальной логики из этих правил опре-I делений значение имеют только правила, говорящие о равенстве объемов, круге к непротиворечивости. Все остальные правила являются отчасти чисто методическими, отчас-| ти сводимыми к ним.
4.1.8. ДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ И КЛАССИФИКАЦИЯ
Деление понятия — это логическая операция, служащая I для нахождения понятий, которые подчинены данному по-। цятию. Таким образом, родовое понятие делится на видовые в понятия. Деление необходимо проводить по определенному 1 признаку.
J Понятие «искусство» по признаку используемых худо-I .«ествепных средств можно делить на «изобразительное ис-I кусство», «исполнительское искусство» и т. д. Это же понятие | । о признаку общественного класса, мировоззрение которого выражает это искусство, мотно делить на «социалистическое
II искусство», «буржуазное искусство» и т. д. Понятие «рабочие можно делить по национальному признаку: «немецкие
I рабочие», «польские рабочие», «французские рабочие» и з. д., по признаку профессиональной принадлежности: Вне: алл исты», «рабочие деревообрабатывающей промышлен-
11 Пости» и т. д. Признак, лежащий в основе деления понятия, | К зависит, как правило, от цели предпринимаемого деления.
I в любом случае необходимо придерживаться определенных правил.
I 1. Объем родового понятия должен совпадать с суммой |Вбъемов видовых понятий. При делении нельзя ограничи-^Ввться лишь частью видовых понятий; но и нельзя давать ни I одного понятия, которое не является видовым понятием для I Жалимого.
Ц'2. Видовые понятия должны исключать друг друга. Tall *и >1 образом, их объемы не должны пересекаться.
3. Нельзя оцювременно проводить деление по различном признакам, нх следует комбинировать друг с другом ак, чтобы не нарушались правила 1 и 2.
4. Деление не должно быть скачкообразным. Эго значит, iTO все перечисленные понятия должны быть такими видо->ыми понятиями, чтобы ни одно из них не подчинялось дру-ому видовому понятию.
Например, нарушением правила 4 было бы деление по-1ятия «наука» на понятия «естествознание», «история», *фи-юсофия» и т. д. Два последних понятия подчиняются понятию «общественная наука». Оно должно было находиться рядом с понятием «естествознание». Тогда оно само, естественно, может быть разделено.
В определенных случаях целесообразно предпринять дихотомическое деление, являющееся частным случаем деления понятия. При дихотомическом делении дают лишь видовое понятие делимого родового понятия и отрицание этого видового понятия. Понятия «пассажир» и «посетитель ресторанов», например, делятся на «курящий» и «некурящий». Дихотомию можно продолжать, снова разделяя отрицз-тельное понятие на одно из его видовых понятий и отрицание последнего. Так, например, понятие «велосипед» можно делить на понятия «велосипед с электрическим мотором» и велосипед без этектрического мотора». Последнее понятие можно дальше делить на понятия «с бензиновым мотором» и «не с бензиновым мотором». Это деление можно продолжать до тех пор, пока не останется ни одного отрицательного по пятия.
В то время как деление исходит из понятия, кгассирика-ция служит для разделения области предметов на классы по общему признаку. Так как содержание и объем понятия тесно связаны друг с другом, между делением понятия и классификацией не всегда можно точно установить различие. Для классификации также действительны правила деления, но они должны касаться только объема понятия. Периодическая система элементов является, например, результатом классификации химических эчементов по заря IV атомов. Д\ировоззрения мы классифицируем по нх ответу на основной вопрос философии.
Классификации, как и деление понятия, проводятся по определенным признакам. Какой признак выбирается в ка честве основания деления или классификации, зависит от пели деления или классификации. Если речь идет о р.пм* ши книг в хранилище библиотеки, то нх надо класси4и1и< ювать по содержанию. Тог, кто хочет в ять книгу вбиМИИ
теке, классифицирует их на уже прочитанные им и на еще нс прочитанные. Однако при классификации такую зависимость от цели нельзя считать произвольной. Признаки классификации должны быть объективными признаками, иначе правильная классификация не получится.
Классификация заключается не в создании порядка, который до сих пор не существовал. Она заключается в отыскивании объективно существующих подклассов делимого класса и признаков, которые являются инвариантными внутри и только вну три этих подклассов. В процессе классификации создается система понятий или терминов, адекватность или неадекватность которой определяется тем, соответствует ли она объективно существующим классам и их отношениям. Таким образом, классификация книг заключается в их мысленном упорядочивании на основании объективных признаков, а не в нх размещении на пачках.
Провести классификацию по определенному признаку — значит, рассматривая этот признак как изменяющийся, подыскать такие постоянные значения этого признака, чтобы каждое из них было инвариантным в одном из подклассов, но не встречалось ни в каком другом подклассе и чтобы в сумме этих подклассов был охвачен весь делимый класс. Если за основу классификации мы возьмем цвет, т. е. рассмотрим цвет делимого класса предметов как изменяющийся признак, то в основу деления на подклассы мы наложим отдельные цвета: красный, желтый, зеленый и т. д. как
конкретные значения, как конкретные признаки.
Основание классификации или деления может быть свойством (например, цвет), но может быть и отношением. Пары на танцевальной площадке можно, например, классифицировать исходя из того, состоят ли они в браке друг с другом.
Классификация объектов малоизученной области может быть значительным научным достижением. В таких случаях
она создается в диалектическом процессе познания, который никоим образом не исчерпывается применением средств формальной логики.
На основании определенных знаний о подлежащих классификации предметах и их признаках, принимая во внима-
ние цель
классификации, делается
первое предположение
тн.сительно возможного основания классификации и его онкретных значений. Затем это предположение проверя-т, проводя пробную классификацию. Выявляющиеся не-ьетаткн исправляются. Затем основание классификации Иова проверяют и т. д. до тех пор, пока не будет напучен ризнак, соответствующий правилам к пригодный для по
ставленной цели. Таким образом совершается процесс движения от относительно грубой попытки деления ко все более точным результатам классификации.
Но и при тщательном проведении классификации ннког да нельзя думать, что она окончательна. Исключением здес» могут быть только классы предметов, являющиеся протук том процесса абстрагирования. При классификации реаль но су шествующих предметов следует всегда у читывать, что всякая классификация относительна. Это происходит преж де всего потому, что классы материальных предметов почти никогда строго не разграничиваются и со временем изменяются. С другой стороны, классификация относительна вслед ствне развития человеческого познания и изменения целен, для которых она создается. Как и любая научная абстрак ция, классификация, несмотря на ее относительность, имеет научное значение, потому что ведет к более глубокому по знанию действительности, а каждое углубление познания образует лучшую основу хля деятельности человека.
4.2.	РЕДУКТИВНЫЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯ
Общая характеристика редуктивных умозаключений и их классификация дают возможность более подробно описать некоторые их виды.
4.2.1.	О РАЗЛИЧИИ МЕЖДУ ДЕДУКТИВНЫМИ И РЕДУКТИВНЫМИ УМОЗАКЛЮЧЕНИЯМИ
Формальная логика больше занимается изучением дедуктивных умозаключений, чем редуктивных. Во-первых, она является непосредственной основой дедуктивных умо заключений, т. е. ее законы можно непосредственно переводить в соответствующие правила умозаключения. Во вторых, сама формальная логика является дедуктивной дисциплиной, т. е. приводимые в ней доказательства или получаемые умозаключения являются преимущественно деду к-тивными. Для методов же редуктивных умозаключений он» является, хотя и необходимой, но недостаточной основой Со своей стороны, редуктивные умозаключения и доказательства не являются необходимыми для построения, например, аксиоматизированных областей формальной логики. Во всяком случае, при обосновании своих принципов ша может так же мало опираться на рецу ктивные умозаключения и доказательства, как и любая другая наука.
Еще и сейчас дедуктивное умозаключение определяют как умозаключение от общего к частному или к единичному. Ему противопоставляется индукция, как умозаключение от единичного или частного к общему. Такое деление устарело и нецелесообразно. Во-первых, оно не охватывает .многие важные типы умозаключения. Например, об умозаключениях логики высказываний нельзя сказать, что они ведут ни от общего к частному, ни от частного к общему. Во-вгорых, признак, по которому проводится эта устаревшая классификация умозаключений, относительно несущест-i еннын.
Определим еще раз дедуктивные умозаключения для сравнения их с реду ктивными. Дедуктивные умозаключения обладают следующими признаками:
(1)	Между посылками и заключением существует связь, выражаемая посредством связки «если — то», логической основой которой является импликация. Отсюда следует, что заключение дедуктивного умозаключения никогда не может Сыть ложным, если истинны посылки.
(2)	Дедуктивное умозаключение обосновывается исключительно применением верных правил умозаключения. Эти правила умозаключения являются правилами преобразования, касающимися только языковых знаков, так что при дедуктивном умозаключении операции с мыслями можно заменить операциями со знаками.
(3)	Дедуктивное умозаключение создает абсолютную уверенность в том, что заключение истинно, если истинны посылки.
Но посредством одного лишь дедуктивного метода можно разрешить лишь часть проблем. С его помощью можно, например, нз общих высказываний получить новые общие высказывания, но сформулировать обобщение посре хтвом этого метода так, чтобы из высказывании об отдельных индивидах области получить высказывания обо всех пндивн-д х этой области, можно только в исключительных случаях. Из того факта, что в некоторых странах социализм уже окончательно победил, нельзя дедуктивным путем вывести, что это произойдет во всех странах. Чтобы прийти к этому выводу, чрезвычайно важному для борьбы рабочего класса, необходимо использовать другие, недеду ктивиые, в том числе редуктивные, умозаключения.
Различие между дедуктивными и реду ктивными умозаключениями можно показать на простом примере. Предп< • ль. сим, что высказывание «Каждый человек обладает созн.
{нем» истинно. На языке логики предикатов высказывание оглядит таким образом:
V(x)[.M(x)~* В(х)]
— «Для каждого индивида х верно, если х — чедовек, то v обладает сознанием». Согласно правилу умозаключения логики предикатов (раздел 3.2.3) дедуктивным путем получаем Vf(»/)-*-B(i/), т. е. у гверждаемая связь верна также и для определенного отдельного индивида. Если в Л!(ь}-> -*B(j/) оба вхождения свободной индивидной переменной заменить любым именем собственным, то получится множество истинных единичных высказывании, которые все являются следствиями исходного высказывания. И здесь во всех случаях справедливо все то, что было сказано о дедуктивных умозаключениях в (!)—(3).
Предположим, что мы хотим получить высказывание, что каждый человек обладает сознанием. Посылками являются только такие единичные высказывания, как «Если Ганс — человек, то Ганс обладает сознанием». Какое это умозаклю-ченшР Если о каждом отдельном человеке имеется такое высказывание, как только что упомянутое, то высказывание обо всех индивидах — это лишь сокращение конъюнкции всех этих единичных высказываний. Тогда конъюнкция посылок эквивалентна заключению, а умозаключение достоверно, т. е. является дедуктивным умозаключением. По практически совершенно невозможно исследовать всех людей, которые когда-либо жили, живут или будут жить. Поэ тому конъюнкция посылок не может быть эквивалентной заключению.
Между общим и единичными высказываниями существует отношение следования, логической основой которого является импликация. Если мы сделаем умозаключение в противоположном направлении, то н отношение следования перевернется, т. е. получится отношение, логической основой которого является обратная импликация, или репликация. Если антецедент истинной репликации также истине.: (в нашем случае конъюнкция посылок), то это не гарантирует нстнниость ее консеквента. Вероятность истинности рассмотренного здесь закаючения очень велика. Но абсолютной достоверности на основании приведенных пось лок получить нельзя. При сравнении с дедуктивными умозаключениями интерес предстлвляет также трети»! признак нашего умозаключения. С tf’ рмалыюй точки зрения оно
построено по следующей схеме:
М (а) — в (а)
М (А) — В (Ь) М(с) — В(с)
У (*) I и (Л) — в (х)].
где a, b, с, . . .— индивидные константы.
Можно попытаться построить по этой схеме и другие умозаключения, интерпретируя Д, например, как «голубоглазый» или как «теплокровный». В первом слу чае заключение будет ложным, хотя в качестве посылок можно привести большое число соответствующих единичных высказываний; во втором случае мы в той же степени будем уверены в том, что заключение истинно, как н в исходном умозаключении.
Таким образом, мы видим, что в отличие от дедуктивных умозаключений здесь совсем не достаточно придерживаться формальных правил, чтобы из истинных посылок получить истинное заключение.
Итак, на простом примере мы познакомились с существенными признаками редуктивиых умозаключений.
Редуктивные умозаключения но сравнению с дедуктивными умозаключениями обладают следующими признаками:
(I)	Чежду посылками и заключением редуктивиого умозаключения существует связь, выражаемая союзом «если — то», логической основой которой является репликация. Если посылки редуктивиого умозаключения истинны, то заключение может быть истинным, но может быть и ложным.
(2)	Рсдуктивное умозаключение ие может быть получено исключительно по формальным правилам. Здесь нельзя абстрагироваться от содержания суждений, составляющих у мозакпюченне.
(3)	Редуктивное умозаключение приводит лишь к относительной уверенности в том, что заключение истинно при истинности посылок.
4.2.2.	КЛАССИФИКАЦИЯ РЕДУКТИВИЫХ УМОЗАКЛЮЧЕНИЙ
В зависимости от того, является ли заключение обобщением посылок, редуктивные умозаключения делятся на индуктивные и неиндуктивные. Пока мы не будем касаться этих дву х видов редуктивных умозаключении более подробно. Примеры индуктивной редукции приводятся в разделе 4.2.3, а примеры неиндуктивной редукции — в разделе 4.2.5. В этом разделе мы подробно рассмотрим регрессивную и прогрессивную редукцию, которые получаются при клас-
сификанпи редуктивных умозаключений в зависимости от направления процесса мышления.
Регрессивная редукция исходит из известных фактов, выраженных в форме высказываний, и ведет к объяснению этих фактов. Например, такой факт, как внезапная поломка радиоприемника, выражается в высказывании: «Радио перс стало работать». Посредством регрессивной редукции делается заключение, объясняющее этот факт, т. е. заключение о предпосылках, условиях, причинах и т. д. объясняемого факта. В нашем примере говорится об объяснении единичного явления. Но, как правило, объяснения подбирают для всего комплекса однородных явлении. пытаясь выявить оз ношения. Поэтому объяснение, полученное посредством регрессивной редукции, часто бывает не простым высказыванием, а нх совокупностью, часто даже целой теорией.
Высказывание об объясняемом явлении должно следовать из объяснения дедуктивно, поэтому умозаключение, дающее объяснение, является редуктивным умозаключением, как оно описано в разделе 4.2.1. Из нашего примерз видно, что у мозаключение посредством регрессивной редукции не является достоверным в том смысле, в каком это справедливо для деду ктивного умозаключения. Если радио перестало работать, для этого возможен целый ряд причин. Возможно, имело место повреждение в самом радиоприемнике, мог перегореть предохранитель в квартире или во всем доме, электростанция могла отключить ток и, возможно, имели .место другие причины. Каждое высказывание об одной из этих возможных причин является объяснением, так как из каждого из них следует высказывание о том, что радио перестало работать.
Умозаключение регрессивной редукции может привести к высказыванию, из которого следует высказывание об объясняемом явлении и которое уже известно как истинное. Во многих случаях наука объясняет новые или вновь открытые явления с помощью уже имеющихся теорий. В этом случае достаточно умозаключения посредством регрессивной реду кцин. Но иногда среди высказываний, известных к. к истинные, не существует такого, которое могло бы быть объяснением. В таких случаях строят гипотезу, т. е. некоторое проблематичное высказывание, из которого следует высказывание об объясняемом явлении. Истинность гипотезы устанавливают посредством прогрессивной редукции.
При прогрессивной редукции объяснением служит гипотеза, из которой выводятся высказывания, проверяем! .е непосредственно. Например, чтобы объяснить, почему не
работает радио, построим гипотезу: Перегорел предохранитель в квартиреэ. Наряду с высказыванием об объясняемом явлении из нее можно получить и такое высказывание: «Торшер не горитэ. Истинностное шачение этого высказывания можно проверить непосредственно.
Если полученные из гипотезы высказывания все оказываются истинными, то гипотеза считается подтвержденной, т. е. появляется относительная уверенность в том, что гипотеза истинна. Но абсолютная уверенность в истинности гипотезы, конечно, этим не достигается. Это видно на нашем примере. Причиной того, что не горит торшер, может быть перегорание предохранителя в доме или прекращение подачи тока электростанцией. Но степень уверенности в истинности гипотезы возрастает, если установить, что в других квартирах дома подача тока не прекращалась. Чтобы получить как можно более высокую степень уверенности в истинности гипотезы, целесообразно вывести из нее как можно больше высказываний. При этом лучше, чтобы вывезенные высказывания были различны и конкретны. Что под этим подразумевается, поясним на слетающем примере.
Когда Д. И. Менделеев расположил химические элементы, известные в его время, по возрастающему атомному весу, он установил, что физические и химические свойства элементов при таком расположении сначала меняются, но через опре шлейное число элементов повторяются в той же последовательности. Он высказал гипотезу, что свойства элементов находятся в периодической зависимости от их атомного веса. Эта гипотеза дала возможность предсказать, что химических элементов должно быть больше, чем было известно в то время. Однако подтверждения лишь этого предсказания Гы-ло недостаточно для подтверждения гипотезы; следствиями последней были также довольно конкретные высказывания о свойствах еще не известных химических элементов. Несколько лет спустя были найдены многие из предсказанных элементов с описанными свойствами. Это в значительной степени подтвердило гипотезу Д. И. Менделеева, так как совершенно невероятно, чтобы такие точные высказывания, проверенные в ходе развития науки, могли быть получены из ложной гипотезы. Гипотеза Д. И. Менделеева с некоторыми поправками (например, теперь элементы располагают не по атомному весу, а по связанному с ним атомному заряду) получила широкое подтверждение со стороны атомной физики XX столетия.
Если же среди высказываний, полученных из гипотезы, хотя бы одно окажется ложным, то гипотеза будет считаться
альснфицпрованной, опровергнутом. Таким образом, если фшер все же горит, то гипотеза о том, что в квартире сгорел редохранитель, опровергается. Однако это еще не говорит том, что гипотеза ложна целиком. Предположим, что ги-отеза является конъюнкцией нескольких высказываний, ели эта конъюнкция ложна, то, по крайней мере, одно нз оставляющих ее высказываний ложно. Возможно, что на амом деле ложно только одно из высказывании. Тогда мо vct быть достаточно лишь модифицировать гипотезу и затем нова перепроверить ее посредством прогрессивной редук-ии.
Философы-идеалисты все снова и снова высказывают омнение в отношении применимости редуктивных умоза-лючеиин вообще и индуктивных умозаключении в частно-ти. Ссылаясь на то, что редуктивные умозаключения в про-ивоположность дедуктивным недостоверны, что заключение щдуктнвного умозаключения при истинных посылках не (бязательно истинно, они требуют оправдания редуктивного мозаключения, которое последнее получает в процессе фактической деятельности человека. Высказывания, полу-циные посредством редукции, оправдали себя в обществен-юй, научной, технической и повседневной практике челове-са и продолжают оправдывать себя ежедневно. Но это еще н решает проблему единичного конкретного у мозаключения такого вида. Многие полученные посредством редукции вымазывания оказываются ложными. В каждом отдельном дедуктивном умозаключении надо пытаться добиться повоз-ложности большей достоверности. Это достигается, в частности, соблюдением определенных условий, которые будут зписаиы ниже. Кроме того, редуктивное умозаключение никогда нельзя рассматривать в отрыве от других знаний нз соответствующей области. Результаты умозаключений готчас же проверяются посредством других методов и сравниваются с высказываниями, уже проверенными на практике.
4.2.3.	ИНДУКЦИЯ
Важнейшим видом редуктнвпого умозаключения являются умозаключения по индукции. Эти умозаключения ведут от частного к общему, от высказываний об отдельных элементах класса к высказываниям обо всех элементах этого класса. Заключение умозаключения по индукции представляет собой расширение знания по сравнению с посылками.
Индуктивные умозаключения подразделяются на умозаключения энумсративной индукции, которой мы сначала
займемся, и па умозаключения эли шнативной индукции, к которым мы обратимся в разделе 4.2.4. Об энумеративной индукции говорят в том случае, когда для обоснования высказывания обо всех индивидах собирают единичные или частные высказывания. Элиминативная ннду кция имеет своей целью исключить из числа возможных объяснений те, о которых не может быть и речи.
Самым элементарным случаем энумсративной индукции является индукция посредством полного перечней ния. Например, после соответствующих исследований констатируют: «В СССР существует союз рабочего класса с другими слоями населения», «В ГДР су ществу ет союз рабочего класса с другими слоями населения», «В ЧССР...» и т. д. В завершение проверяют, охвачены ли все социалистические страны и верно ли для каждой нз них соответствующее высказывание. Если оба эти фактора имеются, то можно сделать индуктивное заключение: «Во всех социалистических странах существует союз рабочего класса с другими слоями населения».
Индукция посредством полного перечисления может быть использована, если исследуемый класс индивидов (А) состоит нз относительно небольшого количества элементов и если известны все элементы этого класса. Если о кажлом отдельном элементе установлено, что он обладает определенным признаком М, то нз этого можно и идуктнвно сделать вывод о том, что каждый элемент класса А имеет признак И. В обратном направлении умозаключение в конечной области также верно.
Представим схематически такое умозаключение для классов точно с тремя элементами:
Кисс К состоит из элементов а, Ь, с:
М(а) М (fr) АНО_____________
V (X) гл (х — (01-
Класс А состоит из элементов fa, 6J; k, dl; к, /J:
11 (а, Ь) А! (с. 4) М( ~. Л_________________
V (*) V (У) |А (X, у) — If (X, у)|.
Точнее говоря, эта форма умозаключения принадлежит к дедуктивному методу, хотя она и называется индукцией. Индукция посредством полного перечисления применяется,
конечно, очень редко. Чаще всего классы индивидов, неследуемые в науке, содержат неограниченно много элементов или, по крайней мере, столько, что практически невозможно исследовать их все. Поэтому чаще делают умозаключение посредством неполной индукции. Посредством неполной индукции из высказываний о некоторых элементах класса делают заключение обо всех элементах этого класса. Отличие такой индукции от индукции через полное перечисление в первую очередь заключается в том, что неполная индукция в качестве посылок имеет высказывания об относительно немногих элементах класса. Значение умозаключения нс-ватной индукции состоит прежде всего в том, что с его помощью получают обобщение, в то время как полная индукция является, собственно, лишь резюмированием.
Например, во всех науках, в общественной практике и т. д. установлено, что все известные формы материи нахо-1ятся в движении. Конечно, люди далеко не в состоянии исследовать всю материю, так как материя бесконечна в пространстве и времени, в своем разнообразии и развитии. Однако был сделан вывод — именно посредством неполной индукции,— что все формы материи подвижны, что движение есть форма существования материи.
Основным условием состоятельности умозаключения ис-патной индукции является то, что не обнаружено пи одного случая, противоречащего тому, о чем она говорит. Часто для индуктивного умозаключения обо всех элементах класса бывает необходимо исследовать возможно батьшее количество элементов этого класса. Как правило, индуктивное умозаключение будет тем более достоверным, чем больше число его посылок. Но это не всегда является решающим. В качестве иллюстрации может служить следующий пример: некто хочет навестить друга, точного адреса его он незнаег, ио предполагает, что друг живет на определенной улнне. Он установил, что в 98 домах из 100 его друг не проживает. Несмотря на это, он не может сделать заключение о том, что друг вообще на этой улице не живет. Такого умозаключения никто и не делает. Но на этом примере можно показать, что все зависит не от числа исследованных случаев, а от того, наскатько существенны признаки, исследование которых привлекается индукцией. Так, между матерней и движением существует закономерная связь, ибо движение является существенным признаком материн, и этот факт оправдывает соответствующее умозаключение. Связь же между номером дома и проживающими в нем жильцами является совершенно случайной.-
4.2.4.	МЕТОДЫ ИНДУКЦИИ ПО ДЖ. СТ. МИЛЛЮ
Методы, ра гработанные Дж. Ст. Миллем в середине прошлого столетия, относятся, как уже говорилось, к мето там элимннативноА индукции. В частности, они служат для исследования причинных связей Они являются методами элнмннативной индукции, поскольку служат для исключения нз множества явлений, которые могут быть причинами другого явления, всех явлений, кроме одного. Предпосылкой дтя применения методов Милля является то, что все возможные причины известны и потностью перечислены. Но эти методы не служат для нахождения или открытия каких-либо новых причин.
Каузальные связи являются, конечно, лишь особым видом объективно существующих связей, в частности одной стороной всеобщего взаимодействия. Вместе с тем не каждая каузальная связь является одновременно и закономерной, так как и случайные связи причинно обусловлены. Поэтому возможности применения методов Милля ограничены. С дру гой стороны, установление причинных связей в природе в обществе является важной предпосылкой для познания за конов. Раскрытие причинных связей может иметь и непо средственное практическое значение.
(I)	Метод сходства.
Если явление Е выступает как следствие других явле ний, все признаки которых, за исключением одного-единст венного признака X, различны, то можно зактючнть, что А является причиной Е. Объясним метод сходства на примере предположим, что различные промышленные предприятия отличаются особыми производственными успехами. Мы обозначим это для краткости посредством «Е». В ходе исследо вания выясняется, что предприятия довольно разнообразны. Первое является химическим предприятием (Л) и имеет относительно мало рабочих и служащих (В). На этом npei приятии есть много хорошо работающих бригад и рабочих коллективов (X). Второе предприятие—предприятие электротехнической промышленности (С) с большим количествам работающих (D). Здесь также много хорошо работающих бригад и рабочих коллективов (X) и т. д. Выясняется, чго предприятия имеют множество различных признаков и сходны лишь в одном, а именно в А. Отсюда можносдетать индуктивное умозаключение, что на этих предприятиях социалистический коллективный труд является причиной ити, по крайней мере, частью причины производственных успехов.
В целях наглядности дадим это умозаключение в символическом изображении. Знак «-♦*» должен обозначать «сопутствует», а знак «=>» должен обозначать «вызван». Тогда мы получим схем) индуктивного умозаключения по методу сходства:
(Л, в. А) ~ Е
(С, D, X) ~ Е
Х=$Е
В определенном смысле для методов Милля пригодно все то, что сказано об эиумератнвной индукции. Нужно исследовать но возможности большее число случаев. Прежде всего предполагают, что причиной определенного явления не могут быть несущественные признаки. Так, например, в отношении производственных успехов было бы несущественным, если бы предприятия случайно были схожи в том, что находились бы в одном городе.
В заключение следует заметить, что одно и то же действие может быть вызвано различными причинами. Поэтому, если вывод относительно причины явления получен посредством индукции, еще нет абсолютной уверенности в том, что установлена действительная причина. Причиной возникновения теплоты может быть и трение, и огонь, и электрический ток, и т. д.
(2)	Иг/лод различия.
Если определенное явление возникает в связи с признаками 4, В, С, \ и при этом не возникает там, где имеются тшь признаки Л, В, С, то можно сделать вывод, что V является причиной £.
Предположим, что два предприятия имеют общие признаки, например у них одинаковое оборудование (А), одинаковое количество квалифицированных рабочих (В) и обеспеченность сырьем (С). На предприятии с большими производственными успехами учитывается материальная заинтересованность трудящихся (Л), а на другом — нет. Тогда посредством индукции делают умозаключение о том, что материальная заинтересованность является прнчинои более высоких производственных успехов.
Дадим символическое изображение этого умозаключения!
(4, В. С, Х)~Е ~ [<л. В. С) *£] Л'=ф£
Применяя метод различия, как и метод сходства, обычно не довольствуются исследованием только двух случаев. Следует также помнить, что в качестве возможных причин
можно принимать во внимание только существенные признаки.
(3)	Метод остатков.
Пусть известно, что определенное явление G закономерно вызвано Л; тогда, если Я выступает вместе с X и действие известным образом отклоняется от G, то делают заключение, что X является причиной этого отклонения.
Посредством этого метода в 1816 г. была открыта не известная до тех пор планета Нептун. В расчете орбиты помог закон всемирного тяготения Ньютона (Д=>б). Несмотря на учет всех известных небесных тел, которые оказывали влияние на орбиту планеты Уран, его фактическая орбита (G, £) не совсем совпадает с расчетной (G). Тогда был сделан вывод, что эти отклонения (£) могут быть вызваны еще не известной планетой (X) и Иоганн Готтфрнд Галле действительно нашел ее по расчетам Леверье.
Метод остатков символически можно изобразить следующим образом:
(Л,	Г)
X =ф Е
(4)	Метод сопутствующих изменений.
Если явление £ зависит от определенных признаков А, В, Л', то причину £ устанавливают, выявляя те изменения в Д, В, X, которые приводят к подобным изменениям £. Если £ изменяется как X, но не как 1 или В, то делают заключение, что X является причиной £.
Этот метод имеет особое значение при проведении экспериментов, потому что он дает возможноегь сознательно и планомерно изменять признаки, которые могут быть причиной рассматриваемого явления. Применение этого метода можно объяснить на простом примере. Чтобы определить, как регулируется громкость на неизвестном мне приемнике, я одну за другой вращаю все ручки его настройки. Если громкость изменяется с поворотом одной из ручек, то регулятор громкости найден.
Метод сопутствующих изменений применим и в таких областях, где невозможно проводить эксперименты. Согласно этому метолу проводятся и обрабатываются наблюдения. Так, исследуя факторы общественного развития, классики марксизма-ленинизма установили, что физические свойства человека, географическая среда, рост населения и т. д. не могут рассматриваться как решающие. Напротив, снос* б производства материальных благ должен быть признан рс
иаюшим фактором в развитии человеческого общества, по* кольку его изменение соответствует историческому развито общества в целом. Изобразим этот метод символически. Апостроф над буквой означает, что соответствующий фактор леняется.
М, в. А) - £ (А', В. А) * £ (Л. В', Л) - £ (4, В, X) -* Е' \ =£> £'
При применении индуктивных методов Милля следует учитывать, что они могут использоваться только .ля установления причин определенных явлений. Следует также заметить, что они лишь в самых редких случаях могут быть использованы отдельно, изолированно друг от друга. Эти методы комбинируют друг с дру том по два и более. Особенно часто сочетают метод сходства и метод различия. Методостатков иллюстрирует совместное применение индукции и дедукции. В н »шем примере отправной точкой была гипотеза об орбите Урана, выведенная дедуктивно из закона всемирного тяготения Ньютона. Отклонение от предварительно рассчитанной орбиты было объяснено путем индуктивного умозаключения, подтверж юнного в дальнейшем открытием Нептуна.
4.2.5.	УЧОЗАКЛЮЧЬНИГ ПО АНАЛОГИИ
Другой формой редуктивного умозаключения является умозаключение по аналогии. Оно состоит в том, что в результате тождества или сходства двух предметов в некоторых существенных признаках делают умозаключение о тождестве или сходстве в других признаках.
Например, ФРГ в целом ряде признаков чрезвычайно сходна с фашистской Германией, разгромленной в 1945 г. Монополии, приведшие в свое время к власти Гитлера и поддерживавшие его, в настоящее время в основном контролируют деятельность западногерманского правительства. Антикоммунизм, реваншизм и милитаризм пропаган циру-ются в ФРГ едва ли иначе, чем до 1945 г. Коммунистическая партия Германии, единственная партия, последовательно представлявшая интересы рабочего класса и нации, была запрещена и в том и в другом государствах. Руководящие чиновники нацистского государства занимают ответственные посты в Боннском правительстве. Сотни гитлеровских палачей снова находятся на службе. В западногерманской
армии командуют офицеры, которые организовывали напа-дение гитлеровской Германии на другие пароды. Из всех этих сходств уже много лет назад можно было сделать вывод по аналогии о том, что в Западной Германии милитаристские круги подготавливают агрессивною войну против социалистического лагеря, хотя они и пытаются обмануть общественность, говоря о так называемой необходимой обороне. Далее можно сделать вывод о том, что после запрета КПГ и других демократических организаций демократические права и свободы будут ограничиваться во все возрастающей степени. Оба умозаключения по аналогии, как известно, подтверждаются и будут снова и снова подтверждаться фактами.
Умозаключение по аналогии происходит по следующей схеме, где «а» и «д> символизируют предметы, а’ «Ир, «Л!р, . . .— существенные признаки:
а и b сходны друг с другом в признаках If „
а обладает также признаком И4.
Таким образом, относительно достоверно, что b также обладает И4.
Признаки, в которых предметы сходны друг с другом, часто являются не только свойствами и отношениями, но также и законами. Последнее является особенно благоприятной предпосылкой для умозаключения по аналогии. В естественных науках основание такого сходства законов часто заключается в том, что они имеют одинаковую структуру.
Формулы
полностью сходны друг с другом в своей структуре, хотя по ним рассчитываются две различные силы. По первой формуле рассчитывается сила, с которой притягиваются массы /Л1 и т,, находясь друг от друга на расстоянии г. «у» символизирует гравитационную постоянную. По второй формуле рассчитывается сила, с которой притягиваются или отталкиваются электрические заряды ei и et, находящиеся на расстоянии г. «С» символизирует электрическую постоянную. Дру гнм примером сходства законов в структурном отношении являются некоторые законы алгебры натуральных чисел и логики высказываний, которые мы хотим сравнить:
(1 1)(оЧ-д) = (Ь+о)	(1.2) (pV<7)<-H<7Vp)
(2.1) (a b) (Ь-а)	(2 2)
1)а4 (b + <•) = («4-Ь)4-с
1) афс) = (аЪ)с 1)а(Ь4-0“(а-Ь)4-(й-0
(6.2) p\f(q/\r)
(3 2) р (д'. г)<->(р\/д)\, г (4 2) рА(дЛЛ<->(рЛд)Лг (5.2)рЛ(<Г 0<-+(РЛд)
\(р/\г)
(pVq)MpVr)-
(I) и (2) — законы коммутативности, (3) и (4) — ассо-<ативности, (5) к (6) — дистрибутивности. Приведенные 1К0НЫ алгебры натуральных чисел известны. Относительно сражений логики высказывании с помощью таблицы нежности легко установить, что они общезначимы, т. е. ш являются законами.
Структурное сходство законов, стоящих рядом друг с ^угом, очевидно. Сложение соответствует дизъюнкции, ум-эжение — конъюнкции, равенство — эквиваленции, а чис-эвые переменные — пропозициональным переменным. В ютветствии с этим ключом законы одной области можно еревести в законы другой области. Однако перевод (6.2) формулу алгебры уже не является законом. Несмотря на го, имеющегося сходства уже было достаточно для того, тобы в середине прошлого столетия систематизировать азде.зы математической логики в тесном контакте с маге-атикои. По аналогии и способ построения логики, приме* ениып в свое время английским математиком Георгом Буем, называется «алгеброй логики».
Чтобы достичь как можно более высокой степени вероят-ости вывода умозаключения по аналогии, необходимо со-люддть следующие правила:
1.	Число общих признаков должно быть по возможности ольшим.
2.	Признаки, лежащие в основе умозаключения по ана* !огни, должны быть существенными.
3	Общие признаки должны относиться к различным ви-им: у .-©заключение по аналогии будет вероятнее, если сход-тво установлено не только, например, в физических признаках данных предметов, но и в химических, биологических < др.
4.	О сходстве признаков определенного вида можно слегать вывод только тогда, когда уже установлено сходстве гри шаков подобного вида, т. е. нельзя на основании сходства, например, в физических признаках сделать заключение > сходстве в биологических признаках.
Умозаключения по аналогии уже не раз в истории науки «р и водили к новым знаниям, имеющим нлжное знамен х.
Например, на основании структурного сходства законов, которым подчиняются системы планет, и законов, действительных для атомов, путем умозаключения по аналогии были получены некоторые важные гипотезы об атоме, впослед ствии получившие подтверждение.
На чем же основана возможность умозаключений по аналогии, которые так обогащают наши познания об объективной реальности? В общем, она основана на том, что, несмотря на бесконечное разнообразие видов объективной реальности, последняя образует систему. Внутри этой системы существует много сходств в отношении свойств, связей и структур. Это относится и к природе, и к обществу, хотя в социальной сфере такое сходство играет значительно меньшую роль. Как видно из нашего первого примера, несмотря на различные формы проявления, часто существует более или менее полное сходство в сущности государств, общественного строя п т. д.
Если сходство в сущности, в существенных признаках установлено, то против применения умозаключений по аналогии и в социальной сфере нет никаких возражений. Они, правда, не дают абсолютной уверенности в том, что полученные заключения истинны, но могут способствовать нх обоснованию. Дело обстоит иначе, когда такие умозаключения по аналогии основываются на сходстве в несущественных признаках. Правда, они всегда стимулируют исследование сходств и в признаках, которые являются существенными. Однако если в существенных признаках имеются принципиальные различия, то умозаключения по аналогии, опирающиеся на сходство в несущественных признаках, следует рассматривать как совершенно ошибочные или как демагогический прием с целью ввести в заблуждение. Это относится, например, к империалистическим сторонникам теории конвергенции. На основании того факта, что между развитыми социалистическими и капиталистическими государствами существует некоторое сходство в организации производства и т. д., они делают вывод о том, что различии между социализмом и капитализмом становится все меньше и что оба общественных строя сближаются в форме современного индустриального общества. Однако тенденции развития этих общественных систем на самом деле проистекают из признака, в котором между ними существует огромное различие: общественная собственность па средства производства при социализме и частная собственность на средства производства при капитализме, отсюда: целью капитализма явзяется накопление богатства и власти в руках господст
вующего меньшинства, а при социализме — приумножение богатства всех и развитие социалистической демократии. Вследствие этого конвергенция двух таких общественных систем исключена.
Неправильное умозаключение сторонников теории конвергенции не влияет на объективную действительность и в конечном итоге имеет свои причины в ограниченной буржуазной классовой позиции.
Как уже говорилось, и в природе, и в обществе наряду с объективным разнообразием существует объективное сходство. И то и другое находит свое отражение в человеческом сознании. Это отражение объективной реальности происходит так, что мысленные образы, если они правильны, соответствуют отображаемым отношениям, законам и т. д. По-чтом\ отображения сходных друг с другом реальных отно шенин также сходны между собой. Если законы, отражающие различные области объективной реальности, сходны друг с другом по структуре, то можно предположить, что отражаемые области действительности в определенной степени также сходны друг с другом.
ЛИТЕРАТУРА 1
1	ВоАшвилло Е. К. Понятие. М., 1967.
2	Горим А Д П. Определение. М , 1974
3	Кжлуанин Л. А. Что такое матем лическая логика. М , 1964.
4	КариааскнА М. И. Классификация выводов.— В кн.: И бранные тр>ды русских логиков XIX в. М., 1956.
5	Клаус Г. Введение в формальную логику. М , 1960.
6	Кириллов В. И., Старченко А. А. Логика. М., 1982.
7	Мендельсон Е. Введение в математическ) ю логику. М , (971.
Ь Метаязык.— Философская энциклопедия. Т. 3 М.. 1964
9	Формализация — Философская энциклопедия. Т. 5 М., 1970.
10	Формальная логика. Л., 1977,
Литература предложена редактором перевода Е, Б. КуэиноА.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .............................................
I.	Логика, мышление, вэык...............................
1.1.	Формальная логика в системе на) к................
1	2. Предмет и система формальной логики...........
1.3.	Значение формальной логики.......................
1 4. Язык и наука.....................................
1.4.1.	Язык и мышление..............................
1.4.2.	Естественный вэык и шык науки................
1.4.3.	Категории семантики..........................
1.4	4. Языки различных ступеней..................
2.	Логика высказываний...................................
2	I. Основные понятия логики высказываний .......
2.1.1.	Высказывание.................................
2.1	2. Высказывание и суждение...................
2	13. Высказыванге в логике высказываний.......
2.1.4.	Отрицание в логике высказываний..............
2.1.5.	Конъюнкция в логике высказываний ............
2.1.6.	Дизъюнкция, разделительная дизъюнкция и исключение ...............................................
2.1.7.	Импликация, обратная импликация, эквиваленция
2.1	8 Законы и правила логики высказываний.......
2.1.8*	. Решение проблемы разрешения с помощью нормальных форм.............................................
2.1.9.	Экстенсиональные и интенсиональные сложные высказывания .............................................
2	.2. Применение логики высказываний..................
2.2.1.	Умозаключение в логике высказываний..........
2	2.1.1. Определение j мозаключения............
2.2.1.2.	Правила умозаключения логики высказываю:
2.2.1.3.	Проверка правила умозаключения...........
2.2.1.4.	Сокращенные умозаключения................
2.2.1	4*. Системашческий обзор следствии..........
2.2 2. Применение логики высказываний в релейно-контакт-ных схемах ..........................................
2 2.3. Логика высказываний и нейронные сети ........
3 Логика предикатов ....................................
3.1.	Понятия и связи между понятиями..................
3.1.1.	Понятие....................................
3.1.2.	Содержание и объем понятий...................
3.1.3.	Понятие в логике предикатов..................
3.1.4.	Отношения между понятиями..................
3.1.5.	Символическая форма высказывании ............
3.2.	Умозаключения логики предикатов..................
3.2.1.	Умозаключения логики высказываний и логики предикатов ...................................... .	. . .
3.2.2.	Законы логики предикатов.....................
3.2.3,	Правила логики предикатов....................
3 14 17 21 23 23 26 32 36 39 39 42 42 44 47 50
55 60
67
77
84
86 86
87 88
92 W
101
106 113 116
116 117 120
121
128 135 141
141
143
150
3.2.4.	Традиционное учение о логических умозаключениях 137
3.2.4.1. Непосредственные умозаключения............... 15g
3.2.4 2 Силлогистика.................................. 159
3 2 4 3. О связи традиционной и современной теории умозаключения .................................... 161
3.2.5.	Процедуры для разрешения умозаключений логнкн предикатив............................................ 154
3.2.6.	Разрешающая процедура для логики предикатов . .	170
3.2.6.	* Разрешающие процеду ры и нормальные формы . . .	179
3.2.7.	Доказательство н опровержение средствами логнкн 184
3.3.	Проблемы логнкн предикатов......................... 187
3	3.1. Тождество........ ......................... 187
3.3.2.	Дескрипции....................................... 192
3.3.3.	Логика предикатов	ботее	высоких	порядков ...	195
3.3.4.	Виды понятий..................................... 200
3	3.5. Пустой класс н	квантор	существования...........205
3.3.6.	Проблема разрешимости н аксиоматизация в логике предикатов............................................ 208
4 Основные понятия теории определения и теории редуктивных умозаключений.......................................... 212
4.0.	К понятию общей	методологии ....................... 212
4.1.	Об опретелении...................................   217
4.1.1.	О значении определения........................... 217
4.1.2.	Операции, сходные с определением................. 218
4.1.3.	Форма и структура определения.................... 220
4.1.4.	Виды определений................................. 226
4.1.5.	Реальные определения............................. 227
4.1.6.	Номинальные определения ... ..................... 230
4.1.7.	Требования к определениям........................ 213
4.1.8	Деление понятий н классификация................... 235
4.2.	Редуктивные умозаключения.......................... 238
4	2.1. О различии между дедуктивными и редуктнвными умозаключениями....................................... 238
4.2.2.	Классификация редуктивных	умозаключений ...	241
4.2.3.	Индукция......................................... 244
4.2.4.	Методы индукции по Дж. Ст.	Миллю............ 247
4.2.5.	Умозаключение по аналогии	............... 250
Литературе.................................................. 254