Текст
ФИЛОСОФИЯ и социология
ЖМАНТИКА
МОДАЛЬНЫХ
И
ИНТЕНСИОШ ЛЬНЫХ
логик
СОДЕРЖАНИЕ
Вступительная статья .... .............. 5
С. А. Крипке. Семантическое рассмотрение модальной логики
(Перевод Л. Л. Никифорова)......................... 27
Я. Хинтикка. Виды модальности (Перевод Л. Л. Никифоро-
ва) . ............ ..... 41
Я. Хинтикка. Модальность и квантификация (Перевод
А. Л. Никифорова)................. . . ... 60
А. Н. Прайор. Временная логика и непрерывность времени
(Перевод 3. А. Сокулер).............................. 76
Е. Леммон. Алгебраическая семантика для модальных логик
I (Перевод А. А. Мучника)..............................98
Е. Леммон. Алгебраическая семантика для модальных логик
II (Перевод А. А. Мучника)..........................125
С. К. Томасон. Семантический анализ временных логик (Пе-
ревод А. А. Мучника)................................ 166
К. Сегерберг. Модальные логики с линейными отношениями
альтернативности (Перевод А. Л. Никифорова) . . . 180
Д. М. Габбай. Общий метод фильтрации для модальных ло-
гик (Перевод А. А. Мучника)...........................205
К. Файн. Пропозициональные кванторы в модальной логике
(Перевод 3. А. Сокулер) . . .... 212
Р. Монтегю. Прагматика и интенсиональная логика (Пере-
вод 3. А. Сокулер) . . .... . 223
Р. Монтегю. Прагматика (Перевод 3. А. Сокулер) .... 254
Д. Скотт. Советы по модальной логике (Перевод 3. А. Со-
кулер) ........................................... .280
Д. М. Габбай. Семантика типа Монтегю для модальных ло-
гик с пропозициональными кванторами (Перевод
А. А. Мучника)...................................... 318
Н. Д. Белнап. Интенсиональные модели для формул первой
ступени (Перевод А. Л. Никифорова)....................325
Р. Роутлей. Р. Мейер. Семантика следования (Перевод
А. Л. Никифорова).....................................363
424
ОБЩЕСТВЕННЫЕ НАУКИ
ЗА РУБЕЖОМ
ФИЛОСОФИЯ И СОЦИОЛОГИЯ
СЕМАНТИКА
МОДАЛЬНЫХ
И
И Н ТЕ НСИОН АЛ ЬНЫХ
ЛОГИК
ПЕРЕВОД С АНГЛИЙСКОГО
Составление, общая редакция
и вступительная статья
доктора философских наук
В. А. СМИРНОВА
МОСКВА
ПРОГРЕСС" 1981
Перевод с английского
Л Л МУЧНИКА, Л. Л. НИКИФОРОВА, 3. А. СОКУЛЕР
семантика модальных
И ИНТЕНСИОНАЛЬНЫХ ЛОГИК
ИБ № 4851
Редактор И. В. Пронченков
Художественный редактор А. Д. С уйма
Технические редакторы О. И. Семина, А. П. Агафошина
Сдано в набор 10.01,80 Подписано в печать 26.05.81. Формат 84Х108’/зг.
Бумага типографская Na 1. Гарнитура литературная. Печать высокая Условн.
печ. л. 22,26. Уч.-изд. л. 22,70. Тираж 5400 экз Заказ № 1212. Пена 1 р. 60 к.
Изд. № 26615
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Прогресс» Государствен-
ного комитета СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
Москва. 119021, Зубовский бульвар, 17
Отпечатано с матриц ордена Октябрьской Революции н ордена Трудового
Красного Знамени Первой Образцовой типографии имени А. А Жданова
Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам, изда-
тельств, полиграфия и книжной торговли. Москва, М-54, Валовая, 28 а Ленин-
градской типографии № 2 головном предприятии ордена Трудового Красного
Знамени Ленинградского объединения «Техническая книга» нм. Евгении
Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по
делам издательств, полиграфии н книжной торговли. 198052, г. Ленинград»
Л 52, Измайловский проспект, 29
Редакция литературы по философии и педагогике
© Составление, перевод на русский язык,
вступительная статья „Прогресс", 1981
10508—226
' 006(01)-81
1-80
0302040000
СОВРЕМЕННЫЕ СЕМАНТИЧЕСКИЕ
ИССЛЕДОВАНИЯ
МОДАЛЬНЫХ И ИНТЕНСИОНАЛЬНЫХ ЛОГИК
(ВСТУПИТЕЛЬНАЯ СТАТЬЯ)
Исследование модальных, временных, деонтических,
эпистемических, релевантных логик и других интенсиональ-
ных логических систем—новая и бурно растущая область
современной логики. Некоторые из перечисленных выше
разделов приобрели четкие очертания, а их исследование
пошло по пути детальной, иногда технически очень труд-
ной, систематизации. Это относится к модальным, времен-
ным, в меньшей степени релевантным логикам и системам
сильной импликации. По этим разделам написаны обоб-
щающие монографии и учебники. Прежде всего здесь
следует упомянуть монографию М. Кресвелла и Д. Хьюза
[20]‘ и более свежую работу Д. Габбая [19]. Другие
разделы, и прежде всего теория квантификации для ин-
тенсиональных контекстов, проблемы смысла, синонимии,
косвенных контекстов, еще не приобрели законченного
характера.
Предлагаемый вниманию читателей сборник состоит
из основополагающих работ зарубежных ученых, посвя-
щенных семантике модальных и интенсиональных логик.
Авторы публикуемых здесь статей являются крупными
специалистами в области современной логики. Хотя ни в
одной из помещенных статей и не провозглашается при-
надлежность автора к той или иной философской школе,
тем не менее следует иметь в виду, что они так или ина-
че разделяют различные философские убеждения. В свое
1 Здесь и далее цифра в квадратных скобках указывает на
литературу, помещаемую в конце каждой статьи.
5
время многие буржуазные логики придерживались идей
jioi нчсского пози тивизма. Но развитие научных исследо-
ваний, в том числе и логических, показало несостоятель-
ность философских установок позитивизма. И наиболее
прогрессивные буржуазные ученые, разочарованные экст-
ремистскими установками позитивизма, становятся на по-
зиции материализма, часто называя себя «научными реа-
листами». Это относится прежде всего к логикам, группи-
рующимся вокруг журналов «Философская логика» («Journal
of philosophical logic») и «Теория» («Theoria») и Общества
vi точной философии. К этому направлению принадлежит и
ряд авторов публикуемых в настоящем издании переводов.
Некоторые из авторов активно сотрудничают с советскими
логиками, и их работы опубликованы, например, в журналах
«Вопросы философии» и «Философские науки» и в спе-
циальных научных изданиях.
Исследования модальных и интенсиональных систем
занимали и занимают в логической науке значительное
место.
Довольно интересный семантический анализ неэкстен-
сиональных контекстов мы находим уже у основополож-
ников символической логики, и особенно у Г. Фреге и
Ч. Пирса, много внимания им уделено в работе Р. Карнапа
«Значение и необходимость» и в работах других исследова-
телей. Современное исследование модальных логик можно
датировать работами К- И. Льюиса (1912 г.) и Я- Лукасе-
вича (1920 г.). Особое значение имеет работа К. И. Льюиса
и К. Г. Лангфорда (1932 г.).
В 1948 году А. Тарским и Дж. Мак-Кинси была пред-
ложена алгебраическая интерпретация модальной логики.
Однако решающий перелом наступает на рубеже 50—60-х
годов, когда семантика модальных и родственных им систем
начинает разрабатываться особенно интенсивно.
** При этом выявились две тесно связанные между собой
тенденции. С одной стороны, стали изучаться формальные
языковые системы с более богатыми, чем это имело место
ранее, вьГршшт&ьиыш и тем самым ис-
кусственные логические языки были приближены к естест-
венным Языкам Ни языкам науки. С другой стороны, стали
учитываться "болеётонкие семантические и гносеологические
аспекты. Последнее, в частности, проявилось в обсуждении
такого важного для обоснования правильности логических
рассуждений понятия, как понятие рутинности. Как извест-
но, способ рассуждения правилен, если он при истинности
посылок гарантирует истинность заключения. Для обос-
нования способов рассуждений в классической логике
достаточно было понимания истинности предложения как
его соответствия с действительностью. От таких важных
самих по себе аспектов, как относительность знания, из-
менение и рост знания, конкретность истины и ряда дру-
гих, абстрагируются при построении семантики классиче-
ской логики. Однако многие из этих характеристик знания
и истинности становятся существенными и при построении /
семантики для неэкстенсиональных языков.
Отметим и еще один' немаловажный момент. При пост-
роении семантик как для классической логики, так и для
пеклассических логических систем используются понятия
и методы теории множеств, алгебры и других разделов
логики и математики. Но использование достаточно бога-
тых технических средств не должно скрывать логической
и философской сути изучаемых проблем. Разработка мо-
дальных и интенсиональных логик ориентирована по
преимуществу на проблемы философского характера. Поэ-
тому нередко рассматриваемый раздел логики называют
философской логикой. Цель настоящей вступительной
статьи прежде всего состоит в том, чтобы обрисовать
связь исследований модальных и интенсиональных логик
с философской проблематикой.
Еще Аристотель наряду с ассерторической силлогис-
тикой, то есть теорией умозаключений из утверждений
вида „Р присуще всякому S“, „Р не присуще ни одному
S“, „Р присуще некоторому S“ и „Р не присуще некото-
рому S“, рассматривал и модальную силлогистику. В по-
сылки и заключение модального силлогизма могут входить
утверждения вида „Р необходимо присуще всем S“, „Р
возможно присуще всем S“ и т. д. (такое использование мо-
дальных выражений получило впоследствии название мо-
дальностей de re). Но если ассерторическая силлогистика
Аристотеля в настоящее время реконструирована, то об-
щепринятого построения модальной силлогистики Аристо-
теля мы не имеем. Мне представляется, что модальности
(le re—это особый способ приложения предиката к субъ-
екту, а модальности силлогистики есть особого типа связ-
ки. Своеобразие модальной силлогистики Аристотеля
состоит в том, что он допускал переход от необходимой
большей посылки и ассерторической меньшей к необходи-
6
7
мому заключению: от „Р необходимо присуще М“ и (,М
присуще 5“ к „Р необходимо присуще S".
Логики мегаро-стоической школы сконцентрировали
свое внимание на логике высказываний. Модальности
„необходимо", „возможно", „случайно" они понимали как
операторы, действующие на высказывание в целом. По-
добное” понимание модальностей получило впоследствии
в схоластической логике название модальностей de dicto.
Таким образом, модальные характеристики высказыва-
ний изучались на всем протяжении развития логики. При
этом следует иметь в виду, что в разряд модальностей
заносились и заносятся сейчас разные по своему содер-
жанию понятия и операторы, хотя их свойства во многом
аналогичны. Прежде всего следует выделить алетические
модальности. Эти модальности относятся к положениям
дел, описываемым подоператорными выражениями, и они
подразделяются ^алогические и физические модальности.
Например, все, что не противоречит логике, считается
логически возможным, а все, что не противоречит законам
природы, — физически возможным. С другой стороны, мо-
дальные операторы могут характеризовать степень обосно-
ванности нашего знания: „достоверно", „вероятно" или
„доказано", „подтверждено", „опровержимо". Такого рода
модальности называют эпистемическими. К ним относят
и операторы вида „а знает, что" й т. д. Часто как модаль-
ные рассматривают и деонтические модальности: „обяза-
тельно", „разрешено" и „запрещено".
Модальности всех указанных типов изучаются нередко
одинаковыми методами, то есть при построении абстракт-
ных семантик мы порой отвлекаемся от их конкретной
интерпретации. Поэтому следует иметь в виду, что часто
название логической системы сохраняет только возможную
основную конкретную интерпретацию. Так, в статье
Е. Леммона речь идет об эпистемических и деонтических
логиках, хотя построенные им алгебраические й реляци-
онные семантики, конечно, не содержат собственно эпи-
стемических или деонтических интерпретаций.
Модальные операторы тесно связаны с пониманием
импликации „если..., то.Еще в мегаро-стоической
школе разгорелся спор о понимании импликации. Филон
считал, что импликация „если Л, то В" ложна только
тогда, когда А истинно и В ложно; во всех остальных
случаях она истинна. Именно такая импликация, полу-
чившая название материальной, была принята при пост-
роении системы классической логики. Однако материальная
импликация обладает целым рядом парадоксальных свойств,
заставляющих нас, например, считать утверждение „если
2x2 = 5, то Нью-Йорк—большой город", которое содер-
жательно не представляется истинным, за истинное утвер-
ждение. Иначе говоря, использование слов „если..., то...“
в естественных языках заставляет ‘видеть в них нечто
большее, чем просто материальную импликацию, и логики
упорно стремились вычленить эту более сильную связь.
Диодор Кронос—учитель Филона—предлагал считать
импликацию „если А, то В" истинной в том и только
в том случае, когда невозможно и не было возможным,
чтобы А было истинным, а В—ложным, то есть предлагал
определить нематериальную импликацию с помощью мо-
дальных и временных операторов.
К. И. Льюис для уточнения нематериальной импликации
построил ряд логических систем. Помимо классических
связок они содержали модальные операторы. Нематериаль-
ную импликацию он назвал строгой импликацией. Он
полагал, что интуитивному пониманию нематериальной
импликации соответствует его система S2. Затем в работе
[23] были обобщены результаты К. И. Льюиса и О. Беккера
и сформулированы 5 канонических систем S1 — S5.
На первых порах не было четко сформулированных
семантик для модальных логик. Как мы уже отметили,
в 1948 году А. Тарским и Дж. Мак-Кинси была построена
алгебраическая семантика для S4 Льюиса. В дальнейшем
алгебраические семантики для различных систем модальной
логики высказываний были детально разработаны Е. Лем-
моном в ставшей классической статье, перевод которой
предлагается читателю. Модальное пропозициональное
исчисление интерпретируется на матрице <7И, D, Г), U,
—, Р>, где <Л4, D, и. —> — булева алгебра, Р—допол-
нительная операция на булевой алгебре и В — выделенное
подмножество элементов. Пропозициональным связкам &,
V. 1, О сопоставляются соответственно операции f], (J ,
—, Р. Пропозициональные переменные пробегают по эле-
ментам М. Набор значений пропозициональных перемен-
ных выполняет формулу А на данной матрице, если зна-
чение формулы А при-этом наборе будет принадлежать D.
Формула А истинна на данной матрице, если и только
если каждый набор значений переменных формулы А вы-
е
полняет ее на этой матрице. Матрица называется харак-
теристической для модального исчисления S, если и только
если класс теорем S совпадает с классом формул, истинных
на данной матрице.
Согласно теореме Линденбаума, для широкого класса
пропозициональных исчислений существуют характеристи-
ческие матрицы, в том числе для всех расширений клас-
сической логики (замкнутых относительно подстановки).
Если для пропозиционального исчисления имеется конечная
характеристическая матрица, то это исчисление называется
табличным. Очевидно, что проблема разрешения для таб-
личного исчисления разрешима. Исчисление называется
предтабличным, если оно не является табличным, и всякое
его расширение таблично. Советские логики установили
ряд интересных результатов относительно предтабличных
исчислений; в частности, что среди всех расширений S4
имеется ровно пять предтабличных (В. Месхи, Л. Л. Эса-
киа [14], Л. Л. Максимова).
Модальные исчисления (включающие С2) можно интер-
претировать не на матрице, а на алгебре соответствующего
типа. В качестве выделенного значения берется булева!.
Тогда формула А истинна на модальной алгебре, если
и только если она принимает значение 1 при любом при-
писывании значений ее свободным переменным. Формула А
общезначима, если и только если она истинна на любой
алгебре из данного класса. Леммон устанавливает теоремы
о полноте для целого ряда модальных исчислений: класс
доказуемых формул совпадает с классом общезначимых
формул на данном классе алгебр.
Для ряда логических систем класс доказуемых формул
совпадает с классом формул, истинных на всех конечных
алгебрах данного класса. Исчисление называют финитно
аппроксимируемым, если для каждой недоказуемой фор-
мулы А найдется конечная алгебра (конечная матрица),
на которой А ложна, но все аксиомы исчисления истинны
и правила вывода сохраняют истинность1. Легко видеть,
что если исчисление конечно аксиоматизируемо и финитно
аппроксимируемо, то проблема разрешения для пего раз-
1 Вместо термина „финитная аппроксимируемость", принятого
в советской литературе, в англоязычной литературе употребляют
термин “finite model property” — свойство финитное ш моделей. При
переводе статей использовались как первый, так и шорой термины.
10
решима (в силу рекурсивной перечислимости класса до-
казуемых формул и класса конечных матриц).
При всей важности метода алгебраических ремаитак
для решения многих технических задач логики сам этот
метод давно уже оставлял чувство некоторой неудовлет-
воренности. Для модальных логик хотелось бы иметь се-
мантики, более соответствующие нашей интуиции. И такие
семантики были построены в конце 50-х годов. Это—ре-
ляционные семантики, основные идеи построения которых
были сформулированы в работах С. Кангера, Я. Хинтикки,
А. Прайора, С. Крипке. При этом наиболее фундамен- _ /
тальным понятием оказывается понятие возможности одного 1 '
мира относительно данного.
'Обратим внимание на следующее обстоятельство. Идея
возможного мира в классической логике не нужна для
формулировки понятия истинности, но она оказывается
важной для формулировки понятия логической истинности,
тесно связанного с понятием логической необходимости.
Действительно, оператор логической необходимости есте-
ственно трактовать следующим образом:
□ А истинно тогда и только тогда, когда А логически
истинно, то есть истинно во всех возможных мирах. Такая
трактовка модалыюстаПбыла развита Р. Карнапом (см.
его работу „Значение и необходимость"). Но нельзя ли
подобную семантику сформулировать для известных мо-
дальных систем, например для S4? Всегда ли для уста-
новления истинности □ А в некотором возможном мире Н
следует устанавливать истинность А bq всех возможных
мирах; может быть, для этого достаточно установить ис-
тинность А вмирах, возможных относительно Н, то есть
в мирах, достижимых из JH. Таким образом, класс воз-
можных миров Дгадёляется некоторой структурой и рас-
сматривается вместе с отношением возможности одного
мира относительно другого. Разные авторы называют по- |
следнее отношение по-разному: отношением относительной
возможности, достижимости, отношением альтернатив-
ности. ~ ~
Под модельной структурой (для нормальных модальных ~~j Г"
пропозициональных логик) понимается тройка <К, R, Gy,
где Д’ есть множество возможных миров, G—выделенный
Шф из К (его часто называют актуальным миром) и R—
бинарное отношение на К. В зависимости от свойств R
мы получим разные типы модельных структур. (Что no-
il
iniMfl'ii. под п<нм<>жпым миром при этом остается откры-
тым; чип iioiipoi' при более содержа П'лыюм истолковании
модальных операторов конкретизируется: возможный мир
может быть отождествлен с совокупностью положений дел,
совокупностью состояний знания и т. д.)
В классической логике под означиванием (приписыва-
нием значения пропозициональным переменным) мы пони-
маем функцию, приписывающую каждой переменной зна-
чение Т или F. В модальной логике пропозициональным
переменным приписываются истинностные значения отно-
сительно возможного мира, то есть означивание есть би-
нарная функция <р: ПхК —»-{Т, F). Следует обратить
внимание па то, что функция означивания у разных авто-
ров именуется по-разному (Крипке саму функцию <р на-
зывает моделью, другие авторьГмоделью называют модель-
ную структуру вместе с функцией означивания, то есть
<К, R, (I, <(>>, третьи моделью формулы А называют мо-
дельную структуру <К, R, Gy, на которой А истинна). '
Tempi» легко ввести функцию оценки
Ф(р{, Н, <р) = Т нэ <р (р;, Я) = Т
и обычным образом для &, , □.
Отметим, что реляционная семантика Крипке может
быть описана и с более явным вычленением интенсиональ-
ных моментов. К есть множество возможных миров; пусть
(или 2х) есть класс всех подмножеств К. Каждый
элемент из УК мы можем отождествить с положением
дел, так как положение дел описывается множеством всех
миров, в которых оно имеет место (вместо УК можно рас-
сматривать множество всех функций типа К —> {Т, F}).
Тогда функция означивания <р приписывает каждой про-
позициональной переменной некоторое положение дел.
Вместо функции оценки можно ввести предикат —
„Формула А истинна в мире Н модельной структуры М
<р
при означивании <р“— М|=Д:
н
н
А^УНг(RHH± =э .
Н \ н, /
12
Функция оценки <р на модельной структуре М есть
не что иное, как характеристическая функция предиката
А истинна в М (М[=Д) тогда и только тогда,
н ч>
когда для всякого означивания М[=Д.
о
Каково же отношение между алгебраическими и реля-
ционными семантиками? Оказывается, что полного соот-
ветствия между алгебраическими семантиками и семанти-
ками Крипке нет. С. IC Томасоном, Д. Макинсоном,
К. Файном были построены примеры модальных и временных
пропозициональных логик, для каждой из которых может
быть построена алгебраическая семантика, но невозможна
стандартная реляционная семантика.
С. К. Томасоном, Д. Макинсоном и Л. Л. Эсакиа
были предложены обобщения реляционной семантики.
Чтобы понять смысл вводимого обобщения, полезно про-
вести сравнение его с понятиями общезначимости и вто-
ричной общезначимости для классической второпорядковой
логики [16]. При“стандартной интерпретации второпоряд-
кового исчисления предикатов одноместные предикатные
переменные пробегают по подмножествам области X (то
есть по 5s (X), и-местные—по множествам n-ок (то есть
по З3 (X"). Формула общезначима, если она общезначима
в каждой непустой области. Известно, что этот класс
общезначимых формул не может быть аксиоматизирован.
А. Черч вводит понятие общезначимости в структуре <Х,
Пп ., П„, ...>, где IIiS^X), ...,П„е5»(Х»). Фор-
мула вторично-общезначима, если она общезначима во всех
структурах подобного типа. Класс вторично-общезначимых
формул аксиоматизируем. По существу, это первопоряд-
ковая логика с несколькими сортами переменных.
В стандартной реляционной семантике пропозициональ-
ные переменные пробегают по З3 (К)—всем подмножествам
К, то есть стандартная реляционная семантика является вто-
ропорядковой. Введя модельную структуру <К, G, R, П>,
где П s З3 (К), и соответствующие семантические понятия,
мы получаем первопорядковую реляционную семантику
(формула общезначима, если она общезначима во всех
структурах <К, G, R, П> данного типа). С. К. Томасон
показывает, что пропозициональное модальное исчисление,
имеющее алгебраическую семантику, имеет и первопоряд-
ковую реляционную, и наоборот.
13
Вгоропорядковая реляционная семантика может быть
обобщена и другим способом. Вместо отношения между
мирами вводится отношение между миром и множеством
миров. Пусть Q KxfP (JK). На отношение Q для полу-
чения различных логик могут накладываться различные
условия (см. статью Д. Габбая в этой книге). И тогда
условия оценки для □ формулируются следующим образом:
Ф(ПА, Н, <р)=Т^ЯС{Я7Ф(Л, Н', <р) = Т}.
Или, словесно: формула □ А истинна в Н при означива-
нии ср (в данной модельной структуре), если и только
если Н находится в отношении Q к множеству миров,
в которых истинна формула А при означивании <р. Этот
тип семантики был предложен Р. Монтегю и Д. Скоттом.
Семантики этого типа называют окрсстностными семан-
тиками, нлп семантиками типа Монтегю. Нетрудно видеть,
чю приняв xQS , ' 5 .= \y/Rxy}, второпорядковая семантика
оказывается частным случаем окрестностной семантики,
но не наоборот. Читателю, желающему ознакомиться с се-
мантикой типа Монтегю для пропозициональных логик,
мы советуем начать с работы Д. М. Габбая.
Семантики для пропозициональных логик с интенсио-
нальными операторами к настоящему времени достаточно
хороню разработаны. Помимо широкого класса логик
с алогическими, эпистемическими и другими модально-
стями, основательно исследованы логические системы
с временными операторами. Создание временных логик
является во многом заслугой А. Н. Прайора. Непосред-
ственным поводом к построению временных логик послу-
жил анализ „главного аргумента1’ Диодора Кроноса.
Диодор Кронос, выдвигая аргументы против мыслимости
движения, изменения в понятиях, в частности против
ipaicroBKii изменения как превращения возможного в дей-
ствительное, сформулировал следующие три несовместимых
положения: „то, что было, то необходимо было"; „воз-
можное не наследует невозможное" и „имеется нечто, что
во (можно, по чего нет и не будет". Если принять первые
дна положения, то из противоречивости трех положений
следует, что если нечто возможно, то оно есть или
будет. Аргументация Диодора рассматривалась как дока-
|.иел1.егво жесткого детерминизма, по существу — фа-
|.)лн яма.
14
Другая проблема античности, тесно связанная с мо-
дальностью и временем,—это проблема высказываний
о будущих событиях. Поставленная Аристотелем в работе
„Об истолковании11 как проблема истинностного статуса
утверждений типа „завтра будет морское сражение", она
стимулировала интенсивную работу мысли. В философском
плане это—проблема об объективности случайных собы-
тий.
Построение модальных и временных логик во многом
проясняет эти трудные философские проблемы. Временную
логику с операторами „когда-нибудь будет" (F) и „когда-то
было1 (Р) можно рассматривать как бимодальную логику.
Модельной структурой для временной пропозициональной
логики будет структура с двумя бинарными отношениями
<К, R2, Gy. При этом естественно потребовать, чтобы
одно отношение (трактуемое как „позже") было обращением
другого (трактуемого как „раньше"). Тогда, формулируя
условия истинности для F и Р как для возможностей,
мы получаем некоторую минимальную временную ло-
гику Kt. Накладывая дальнейшие ограничения на от-
ношения достижимости — в зависимости от принимаемой
концепции времени, — мы получаем различные системы
временных логик. Па базе этих операторов легко ввести
операторы „всегда будет" (G) и „всегда было" (Н).
В связи с применением аппарата временной логики
к анализу „главного аргумента" Диодора и утверждений
о будущих событиях хотелось бы высказать одно сообра-
жение. Если мы будем рассматривать высказывания вида
FA как констатацию дел в будущем, то при допущении
возможности разного хода истории мы не можем дать
двузначную истинностную оценку FA в настоящий момент,
что необходимо приводит нас к идее многозначных логик.
Этот момент явился исходным пунктом для построения
модальных и многозначных логик Я- Лукасевичем. По
возможен и альтернативный подход. Временные операторы
мы можем рассматривать как модализированные времен-
ные операторы. Тогда выражение „когда-нибудь будет"
уточняется одним из двух способов: „возможно, когда-
нибудь будет" (ф) и „обязательно когда-нибудь будет"
([F~|). Семантические условия истинности для этих опе-
раторов можно ввести следующим образом. Пусть Н (а, а)
означает: „а есть нить, выходящая из точки а“.
*
15
Символически:
Н (сс, a)Z^a =
= {x/Rax} Ryz V Rxy V z = у)
Тогда операторы [Fl и ф определяются следующим об-
разом:
akE А — Vcc(H (a, a) zi Эх (х £а & х)= А)),
а^=ф А = Эа(Н(а, а)&Эх (х £а & х\=А)).
Нетрудно видеть, что ф тождествен стандартному опе-
ратору F.
Возвращаясь к диодоровскому утверждению, что воз-
можное эквивалентно тому, что есть или что будет, мы
можем рассматривать его двояким образом: как МД э
г А V ф А ИЛИ МД = Д\/ЕД- в первом случае ут-
верждение не ведет к утверждению жесткого детерминизма
и фатализма. Отметим, что при допущении линейности
отношения R и неоканчиваемости времени (VxEty Rxy)
формула ф А эквивалентна [F] А.
На этой основе могут быть проанализированы и труд-
ности проблемы утверждений типа „завтра будет морское
сражение". В этом случае полезно ввести два метрических
временных оператора: |Бг[ А — „через п единиц времени
обязательно будет Д“ и <$> А—„через п единиц времени
возможно будет А":
akEM ^Vx(Rax&/a, x) — nzix]=A),
п|=<$> &/а, х/ = п&х|=Д).
Если нет ветвлений в будущее, то и здесь [Бг[ А = А
и отрицаются случайные события. Если же ветвление
допускается, то допускаются и случайные события (<^> А &
Л<$> ТА).
Хорошо разработанные системы льюисовской строгой
импликации оказались не полностью соответствующими
интуитивному пониманию следования, связи по смыслу.
В этих системах нет так называемых „парадоксов" мате-
риальной импликации, но имеются „парадоксы" строгой
импликации: если |— А, то В-< А. В этой связи были
предприняты попытки построить логические системы, бо-
16
лее приближающиеся к интуитивному пониманию следо-
вания, основанные на таком понятии вывода, когда все
посылки используются в выводе существенным образом
(релевантные логики).
Обычно как на первую систему релевантной логики
ссылаются на слабую теорию импликации А. Черча [18],
опубликованную в 1951 году. Однако система А. Черча,
по существу, эквивалентна системе советского логика
И. Е. Орлова, предложенной им в 1928 году [8]. Работа
И. Е. Орлова осталась вне поля внимания исследователей
релевантной логики. Лишь недавно В. М. Попов [7] ис-
следовал ее и показал эквивалентность слабой теории
импликации А. Черча.
Важным видом релевантных логик, удовлетворяющих
также требованиям, предъявляемым к льюисовским си-
стемам строгой импликации, являются системы сильной
импликации или системы следования. Система сильной
импликации была сформулирована В. Аккерманом
в 1956 году [17], затем перестроена А. Андерсоном
и Н. Белнапом и получила название логики следования.
Системы релевантной логики, включая систему следова-
ния Е, интенсивно исследуются американскими (Питтсбург-
ская школа) и советскими логиками. Изучение систем
сильной импликации в Советском Союзе было начато во
многом по инициативе С. А. Яновской. В последние годы
советскими логиками получены интересные результаты
в этой области (см. [4; 6; 7; 14]). Системы релевантной
импликации нужны для решения ряда методологических
проблем: уточнения понятия номологических высказыва-
ний, контрфактических предложений, преодоления труд-
ностей в логических моделях дедуктивного объяснения.
Долгие годы релевантные системы (R, Е и др.) не имели
семантики. Попытки построить для них реляционные се-
мантики с двуместным отношением достижимости оказались
безуспешными. Наконец Р. Роутлей и Р. Мейер предло-
жили адекватную реляционную семантику для системы R
с трехместным отношением достижимости. (В настоящей
книге предлагается перевод первой части этой их работы.)
Алгебраическая семантика для Е построена Л. Л. Макси-
мовой [5]; для важных фрагментов R и Е была построена
Е. К. Войшвилло [1] семантика на базе обобщенных описа-
ний состояния (в семантике релевантной логики учиты-
ваются противоречивые описания состояния).
17
Многие трудные вопросы—и прежде всего философ-
ского характера — возникают при построении модальпбй
(и более обще—интенсиональной) квантифицированной
логики. В. Куайн считал, например, что комбинация
кванторов и модальностей обязывает нас принять в ка-
честве существующих индивидные концепты, то есть идеа-
листическую онтологию, что, по его мнению, неприемле-
мо. Имеются значительные трудности и логического ха-
рактера. Так, если мы просто объединим обычную
квантификационную логику с модальностями S5, то в этой
системе будет доказуема формула Баркан — О Эх Ах щ
Г)3х<>/1х, принятие которой вызывает серьезные возра-
жения. Еще более серьезные трудщхтп возникают при
построении квантифицируемой модальной логики с тожде-
ством (равенством). Так, принятие принципа замены а =
• b Ла ЛЬ, в частности а--Ь щ □ (а = Ь), ведет к не-
приемлемым с точки зрения интуиции следствиям.
Однако вопреки пессимистическим прогнозам В. Куайна
модальная квантификационная логика построена и при
этом различными способами. В книге имеются переводы
статей С. Крипке, Я. Хинтикки, Р. Монтегю и Д. Скотта,
в которых предлагаются различные варианты построения
модальных исчислений предикатов.
Чтобы разобраться в многообразии подходов к модаль-
ной теории квантификации, целесообразно взглянуть
с единой позиции на различные подходы к этой теории.
>1 начну с характеристики более экстенсиональных под-
ходов, переходя к теориям, содержащим все более и более
интенсиональные аспекты, и проведу сравнение в единой
терминологии.
Для простоты рассмотрим исчисление предикатов, со-
держащее только предикатные константы, индивидные
переменные, квантор общности и модальный оператор не-
обходимости. Рассмотрим модельную структуру <К, R,
(i, U, ф>, где /<—множество миров, R — бинарное отно-
шение на К, G — выделенный мир из К, U- —индивидная
область, понимаемая как множество возможных объектов,
ф есть функция, сопоставляющая каждому возможному
миру Н непустую индивидную область ф(//)с: (J (вместо
ф(//)мы будем писать также UH). Для простоты мы рас-
сматриваем только нормальные модельные структуры.
Семантику мы будем формулировать, используя понятия
интерпретации I, функции приписывания значений сво-
бодным индивидным переменным—ф, и понятие истин-
ности формулы в мире Н данной модельной структуры М
ф
при приписывании ф—ЯКА Разные подходы к модаль-
ному исчислению предикатов будут расклассифицированы
в зависимости от того, что мы будем понимать под интер-
претацией и функцией приписывания <р.
Подход К. Интерпретация определяется, как и в экстен-
сиональной классической логике: /t-местной предикатной
константе интерпретация I сопоставляет множество п-ок
из области Я: I (Р'^О'х ... х U. Функция приписывания ф
каждой переменной сопоставляет объект из Я. Квантор
общности может трактоваться двояко: или как осущест-
вляющий квантификацию по всем возможным объектам,
или для каждого мира И по области ф(Я). Пусть ср = <р'
есть сокращение для „приписывание <р' отличается от припи-
сывания ср, возможно, только приписыванием переменной х“.
Первый квантор обозначим V, второй—V.. Тогда они
удовлетворяют следующим условиям истинности (мы опу-
скаем нижний индекс М):
I. ЯК Ух Ах Уф' ( ср == ср' сэ
II. ЯК У.х Ах = Vq>' ( ф = ф' & ср' (х) £ ф (Я) о
Классические связки удовлетворяют обычным условиям
истинности, а оператор необходимости — стандартному ус-
ловию:
ф / <р X
Я К □ А == УЯ1 \RHH1 zdH^A) .
У нас имеется три возможности понимания истинности
атомарной формулы (в мире Я модельной структуры М
относительно приписывания ср):
ф
1. Н\=Рп (xlt ..., х„) = <ф(х1).. . ф (х„)> £ I (Рп),
2. ЯКЯ"(Х1, х„) = ф (xt) g ф (Я) для всех i (1
i п) и <ср (xj... ф (х„)> е I (Рп),
19
ф
3. если ф(х,)€Ф(Я) для всех I то Н\=.
ф
|=Р (*!..х„) = <<Р (%1)... ф (х„)> е 1 (Рп)-, если ф (х,) £ ф (Я)
ф
для некоторого t(l^t^n), то предикат Н[= для фор-
мулы Р (хх, ..., хп) не определен.
В случае принятия (1) мы будем иметь П?х = Рх, что,
по существу, делает логику немодальной. Мы не можем
построить модальную логику с квантификацией по всем
возможным объектам при (1) или (2). Если истинностное
значение атомарной формулы в Н при приписывании ф
переменным недействительных объектов (случай 3) не опре-
делено, то Vx Ах становится эквивалентным V.x Ах. В этом
случае условие истинности в мире Н формулируется сле-
дующим образом:
//[=А = Уф (если ф (х,) Е ф (Н) для всех свободных
ф \
переменных А, то Н[= А) .
Модальные логики с квантификацией по действитель-
ным индивидам совместимы, по-видимому, только с воз-
можностью (3). Однако этот вопрос подробно не исследо-'
ван. При первом подходе интерпретация и функция при-
писывания не зависят от возможного мира, но понятие
истинности зависит от него.
Подход В. Мы будем полагать, что интерпретация
предикатной константы зависит от возможного мира;
в разных возможных мирах предикатной константе могут
приписываться разные значения. Интерпретация, таким
образом, является функцией двух аргументов: один про-
бегает по предикатным константам, другой — по возможным
мирам, то есть ЦЕ1", Однако вместо того
чтобы рассматривать интерпретацию как функцию двух
аргументов, мы можем рассматривать I как зависящую
от одного аргумента, а именно—от переменной, пробега-
ющей по возможным мирам. В качестве ее значения мы
для каждого мира II будем иметь свою интерпретацию 1н.
Последняя каждой предикатной константе в мире II со-
поставляет ее экстенсионал на действительных объектах
этого мира: I (Рп, Н) = 1н(Рп). Функция приписывания ф
сопоставляет каждой переменной объект из U. Для слу-
чая, когда U UH=U и выполняется условие RHJH2 тз
нек
о UHi s UHt, построены соответствующие семантики для
20
модальных логик (см., например, работу К. Шютте в [15;
с. 328 и след.], Д. Габбая [19], Г. Е. Минца в [15]). При
ф
этом предикат Н£=А (или функция оценки || А ||н = 1) опре-
делен только для таких «р, которые свободным переменным
из А сопоставляют объекты из UH.
Подход С. При этом подходе интерпретация в каждом
мире приписывает предикатному знаку его экстенсионал,
но определенный на множестве U, то есть \ н (Рп) <= U".
Функция приписывания ip, как и раньше, сопоставляет
переменным объекты из U. Принимается, что U UH = U.
Нек
Квантификация в Н осуществляется по объектам UH.
Семантика указанного типа была построена С. Крипке
(см. его статью в данной книге, с. 27—40). При таком под-
ходе не являются общезначимыми ни формула Баркан, ни
ее обращение, хотя при стандартной аксиоматизации фор-
мула Баркан доказуема в S5, а ее обращение уже в Т.
Ясно, что формула V.x Ах о Ау не будет общезначимой.
Поэтому С. Крипке для аксиоматизации класса общезна-
чимых формул модальной логики берет в качестве аксиом
формулы, полученные путем приписывания в любой по-
следовательности кваторов общности и операторов необхо-
димости к обычным аксиомам. Подход типа С часто назы-
вают семантикой с переменными областями.
Подход D. Здесь интерпретация предикатного знака
будет пониматься как функция от двух переменных. Она
в некотором мире Н предикатному знаку Рп сопоставляет
его экстенсионал на множестве возможных миров (анало-
гично подходу С), то есть I (Рп, Н)^2ип. При подходах
В и С мы двуместную функцию I(P", Н) представили в
виде 1ц(Рп). Но эту двуместную функцию I (Рп, Н) можно
представить и как сопоставляющую каждому предикат-
ному знаку некоторую функцию I (Рп), которая в свою
очередь каждому миру Н сопоставляет некоторое под-
множество из 7/2, то есть I (Рп, Н) = (I (Рп) (//)) = 1Рп(Н).
Саму функцию I (Рп) будем называть интенсионалом пре-
дикатного знака Рп, а значение этой функции (интенсио-
нала) в мире Н, то есть I Рп (Н) — экстенсионалом Рп в
мире Н.
Существенное отличие D от подхода С состоит в сле-
дующем. Допустим, что в языке имеются функциональные
константы; //-местная функциональная константа может
21
рассматриваться как особого вида п+1 -местное отноше-
ние, Тогда в качестве интенсионала «-местной функци-
ональной константы естественно рассматривать функцию
с областью определения в К и областью значений в Un.
Индивидная константа есть нульместная функциональная
константа, а множество функций, отображающих пустую
последовательность < > в U, можно отождествить с U.
Поэтому интенсионалом константы будет функция I (а),
сопоставляющая каждому миру из К элемент из U, а
экстенспоналом — элемент из 0, то есть (I (а)) (Н) £ U.
Иптенсионалы индивидных констант называют вслед за Р.
Карнапом индивидными концептами.
Во всех предыдущих случаях функция означивания ф
индивидным переменным сопоставляла значение из (У не-
зависимо от возможного мира. Но в таком случае нет
семантической согласованности между индивидной кон-
стантой и индивидной переменной. Специфика подхода D
состоит в том, что функция означивания ф является
функцией от двух переменных. Индивидной переменной
мы приписываем как интенсионал, так и экстенсионал в
данном мире, ф есть функция, приписывающая каждой
переменной функцию ф (х„) С Пд’. Экстенсионал перемен-
ной хп есть элемент из U, так как (ф (x„)) (Н) С U.
Теперь встает вопрос, как определить интенсионал
сложного выражения. Сложные выражения могут содер-
жать свободные переменные. В отличие от Р. Монтегю
мы будем говорить не об ннтенсионале сложного выра-
жения самого по себе, а об ннтенсионале сложного выра-
жения относительно приписывания интенсионалов свобод-
ным переменным (и относительно данной интерпретации).
При стандартном подходе в классической логике эк-
стенсионал сложного выражения вычисляется по экстен-
сионалам составляющих выражений следующим образом.
Пусть имеется выражение Р (а). Одноместной предикатной
константе сопоставляется объект из 2Г, а индивидной —
объект из U. Тогда объект, сопоставленный Р (а), вычи-
сляется по схеме 2гхП —> 2, то есть предложению сопо-
ставляется объект из 2 = {Т, F). В общем виде экстен-
сионал вычисляется по схеме АвхВ->Л. А как будет
вычисляться интенсионал сложного выражения Р(а) по
интенсионалам составляющих? Константе а мы приписы-
ваем функцию UK, одноместной предикатной константе
Р— функцию (2и)к. Тогда интенсионал сложного выра-
22
жения должен находиться по (2и)кУ.Пк. Но, с другой
стороны, предложение есть нульместный предикатный
знак, его интенсионал принадлежит к 2А В общем случае
интенсионал сложного выражения мы находим по интен-
сионалам составляющих по схеме (Ав)кх > Ак. Таким
образом, интенсионал сложного выражения (относительно
приписывания интенсионалов свободным переменным) яв-
ляется функцией интенсионалов составляющих, что реали-
зует известное требование Г. Фреге.
Переходя к пропозициональным операторам, например
оператору □, отметим, что в классическом случае одно-
местному пропозициональному оператору приписывается
функция типа 22, тогда интенсионал одноместного опера-
тора принадлежит к (22)^, то есть отождествляется с функ-
цией, приписывающей каждому миру некоторую класси-
ческую функцию.
При подходе D вводятся квантор по всем возможным
объектам, квантор по действительным объектам и предикат
существования I (Е, Н) = 17я. Квантор по существующим
объектам можно определить через квантор по возможным
объектам и предикат существования.
Подход Е. При этом подходе мы имеем два типа пре-
дикатных знаков: обычные и интенсиональные. Экстенсио-
нал обычного одноместного предикатного знака — как и
при подходе D — есть функция из U в 2, то есть объект,
принадлежащий 2и; интенсионал есть функция типа (2Г)\
Аналогично интенсионалом индивидного знака является
функция UK, а экстенсионалом — объект из U.
Экстенсионалы интенсиональных предикатных знаков
определены не на индивидах, а на индивидных концептах,
то есть на UK. Одноместному интенсиональному преди-
катному знаку в качестве его экстенсионала сопоставляется
объект 2^иА\ а в качестве интенсионала— функция типа
Таким образом, интенсиональные предикатные
знаки имеют интенсионал и экстенсионал, как и обычные
предикатные знаки. Этот подход сформулирован Е. Д. Смир-
новой в [7|. Он сходен с подходом Д. Скотта. Но имеется
одно важное различие. Д. Скотт интенсиональному пре-
дикатному знаку, скажем одноместному интенсиональному
знаку, сопоставляет функцию с областью определения в
индивидных концептах, то есть UK, и областью значений
₽ пропозициональных концептах, то есть 2* Следо-
23
вательно, он сопоставляет одноместной предикатной ин-
тенсиональной константе объект типа (2А)(2£/\ Но при
таком подходе неясно, следует ли говорить об интенсиоНа-
ле и экстенсионале предикатного знака; при подходе
Е. Д. Смирновой интенсиональному знаку может быть со-
поставлен как интенсионал, так и экстенсионал. Но, учиты-
вая, что (Лв)с изоморфно (Лс)й, мы видим, что интенсионал
(2С/Л)А’ изоморфен скоттовскому значению одноместного ин-
тенсионального предикатного знака (2А'/2С/). Для простоты
мы говорим о чисто интенсиональных предикатных знаках,
но могут быть и такие предикатные знаки, одно аргументное
место которого интенсионально, а другое — экстенсионально.
Как установить интенсионал сложного выражения,
главный знак которого интенсионален? Мы вычисляем по
схеме (Дй)А'х В —> Лк. В случае Qa, где Q — интенсиональ-
ный предикат, мы будем иметь: (2(С/Л)) Кх > 2*. Интен-
сионал сложного выражения вычисляется по интенсионалам
составляющих. Каким же образом вычисляется экстенсионал
сложного выражения (с интенсиональным предикатным
знаком)? Мы вычисляем его по экстенсионалу главного
знака и интенсионалу аргументного знака: 2(г*) х VK—+ 2.
В этом специфика интенсиональных предикатов (прямое
и косвенное употребление у Фреге) — экстенсионал слож-
ного выражения уже не является функцией экстенсиона-
лов составляющих. У Д. Скотта еще более сложный под-
ход, поскольку помимо области возможных объектов он
допускает область виртуальных объектов V (U s V). Инди-
видный концепт есть функция, отображающая К в V,
соответственно интерпретируются и интенсиональные пре-
дикатные знаки. Квантификация осуществляется по воз-
можным объектам.
Мы все время говорили о возможных мирах. Идея
возможных миров в современной семантике обобщена.
Первоначально в работах С. Кангера, Я- Хинтикки, в
первой работе С. Крипке (см. в [15]) под возможными *
мирами имелись в виду множества функций приписывания
(моделей в терминологии С. Крипке) с отношением на них.
Но в работе 1963 года С. Крипке (см. [15]) уже не отож-
дествляет возможный мир с функцией приписывания; он
понимает его более абстрактно. В дальнейшем этот под-
ход был еще более обобщен. У Д. Скотта вместо возмож-
ных миров фигурируют точки соотнесения, у Р. Монтегю —
24
ситуации использования. Причем точки соотнесения могут
истолковываться как семантически, так и прагматически.
Истинность предложения зависит от целого ряда факто-
ров—времени, лица, высказывающего предложение, места
и т. д. Эти факторы мы можем подразделить па относя-
щиеся к объективным условиям и факторы субъективного
прагматического характера, факторы, характеризующие
точку соотнесения, целесообразно разбить на относящиеся
к собственно семантическим аспектам и к прагматическим,
к ситуациям использования. Учет различных ситуаций
использования реализует глубокую философскую идею
конкретности истины. Учет фактора времени позволяет
учесть и рост знания, изменение знания.
Настоящий сборник статей, переводы которых предла-
гаются советскому читателю, не может, конечно, заменить
собой учебника, но специалистам он дает обширный мате-
риал для творческого обсуждения и дальнейшей разра-
ботки проблем семантики модальных и интенсиональных
логик.
В. А. Смирнов
ЛИТЕРАТУРА
1. Войшвилло Е. К- Семантическая информация. Понятия
экстенсиональной и интенсиональной информации. Кибернетика и со-
временное научное новнание. М., 1976.
2. Карнап Р. Значение и необходимость (исследование по
семантике и модальней логике). М., 1959.
8. Логическая семантика и модальная логика. М., 1967.
4. Логический вывод. М., 1979.
5. Максимова Л. Л. Семантика и теоремы отделения для
логических исчислений Е и R.—„Алгебра и логика". М., 1974.
6. Методы логического анализа. М., 1977.
7. Модальная и интенсиональная логика (Материалы совеща-
ния). М., 19/8.
8. Орлов И. Е. Исчисление совместности предложений.—
„Математический сборник", т. 34, 1928.
9. Серебрянников О. Ф. Эвристические принципы и логи-
ческие исчисления. М., 1970.
10. Слини н Я. А. Современная модальная логика. Л., 1976.
11. Смирнов В. А. Формальный вывод и логические исчисле-
ния. М., 1972.
12. С м и р н ов а Е. Д. и ТаванецП. В. Семантика в ло-
гике. В [3].
13. Сокулер 3. А. Проблема квантификации в модальной ло-
гике. В £6].
2S
14. Теория логического вывода (Тезисы докладов Всесоюзного
симпозиума). М., 1974.
15. Фейс Р. Модальная логика. М., 1974.
16. Черч. А. Введение в математическую логику. М., 1960.
17. Acker in а и W. Begriindung einer strengen Implication. “The
journal of symbolic Logic”. Vol. 23, 1956.
18. Church A. The Weak theory of implication. Kontroll iztes
Denkcii. Munich, 1951.
19. Gabbay D. M. Investigations in modal and tense logics
with applications to problems in philosophy and linguistics (Synthese
library, vol. 92). Dordrecht—Boston, 1976.
20. H u g h e s G. E., Cresswell M. 1. An Introduction to
modal logic. London, 1968.
21. L e w i s C. 1. Implication and algebra of Logic. Mind, N.S.
21, 1912.
22. L e w i s С. I. A survey of Symbolic logic. Berkeley, 1918.
23. L e w i s С. I. and Langford S. M. Symbolic logic. Dover,
1932.
24. M с К i n s e у J. С., T a r s k i A. Some Theorems about the
sententional calculi of Lewis and Heyting. Journal of Symbolic logic,
vol. 13, 1948.
25. Zeman J. J. Modal logic. The Lewis-modal systems. Oxford,
1973.
С. А. Крипке
СЕМАНТИЧЕСКОЕ РАССМОТРЕНИЕ
МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКИ*
В этой статье излагаются некоторые характерные осо-
бенности семантической теории модальных логик1. Для
квантификационного расширения S5 эта теория была пред-
ставлена в [1] и в сжатом виде изложена в [2]. Данная
статья имеет дело с одним аспектом этой теории, который
связан с введением кванторов, и ограничивается в основ-
ном одним методом. Основное внимание в статье уделяется
чисто семантическим вопросам, поэтому здесь не исполь-
зуются семантические таблицы, которые важны для полного
представления обсуждаемой теории. (Об этих таблицах
см. [1] и [11])- Доказательства также в значительной сте-
пени будут опускаться.
Мы рассматриваем четыре модальных системы. Фор-
мулы А, В, С, ... построены из атомарных формул Р,
Q, R, ... с помощью связок Д, ~ и Система М со-
стоит/ из следующих аксиомных схем и правил:
Al. nA=)A,
А2. □ (А=>В)=>. □ АоП В,
R1. А, А=>В/В,
R2. А/П А.
•Kripke Saul A. Semantical Considerations on Modal Lo-
gic.— “Acta Philosophica Fennica”, Fasc. XVI, 1963, p. 83— 94.
1 Изложенная здесь теория имеет точки соприкосновения с рабо-
тами многих авторов; см. о них в [11] и в работе Хинтикки [6].[По-ви-
димому, ближе всех к настоящей теории подошли Хинтикка и Кангер.
Однако, насколько мне известно, настоящая трактовка квантифика-
ции является единственной в своем роде, хотя она и была стимули-
рована знакомством с совершенно отличными методами Прайора и
Хинтикки.
27
Если добавить к ним следующую схему аксиом, то
получим систему S4:
□ А=>ППА.
Мы получим Брауэрову систему, если добавим к М
а^поа,
и S5, если добавляем
ОАоПОА.
Модальные системы, теоремы которых замкнуты по
правилам R1 и R2 и включают все теоремы системы М,
называются „нормальными". Хотя нами развита теория,
применимая к таким ненормальным системам, как S2 и
S3 Льюиса, здесь мы ограничиваемся рассмотрением нор-
мальных систем.
Для формулировки семантики модальной логики мы
вводим понятие (нормальной) модельной структуры.
Модельная структура (м. с.) есть упорядоченная тройка
элементов (G, К, R), в которой К есть некоторое мно-
жество, R—рефлексивное отношение на К и G€K.
Интуитивно это можно понимать следующим образом: К
есть множество всех „возможных миров", G представляет
„реальный мир". Если Ht и Н2 являются двумя мирами,
то Hj/?H2 интуитивно означает, что Н2 „возможен отно-
сительно" Hlt то есть что каждое суждение, истинное в Н2,
возможно в Нр При этом становится ясно, что отноше-
ние R должно быть рефлексивным; каждый мир Н воз-
можен относительно самого себя, так как каждое сужде-
ние, истинное в Н, a fortiori возможно в Н. Таким обра-
зом, требование рефлексивности для R является интуи-
тивно-естественным. Мы можем наложить на R дополни-
тельные требования, соответствующие различным „аксиомам
редукции" модальной логики: если R транзитивно, мы
называем (G, К, R) S4-M. с.; если R симметрично, (G, К, R)
является Брауэровой м.с.; если R является отношением
эквивалентности, мы называем (G, К, R) S5-M. с. Модель-
ная структура, не содержащая дополнительных ограни-
чений, называется М.-модельной структурой.
Для полноты картины нам нужно понятие модели.
Если дана некоторая модельная структура (G, К, R), то
модель приписывает каждой атомарной формуле (пропози-
циональной переменной) Р истинностное значение Т или F
28
в каждом мире Н£К. Говоря формально, модель ф на
м. с. (G, К, /?) есть бинарная функция <р(Р, Н), 1де Р
пробегает по атомарным формулам, Н — по элементам К,
а областью значений этой функции является множество
{Т, F}. Если дана модель, то приписывание истинностных
значений не-атомарным формулам мы можем определить
индуктивно. Допустим, что ф (А, Н) и ф(В, Н) уже опре-
делены для всякого Н £ К. Тогда если ф(А, Н) =
—<р(В, Н) = Т, то <р(А/\В, Н) = Т; в противном случае
Ф(АДВ, H) = F. ф(~А, Н) есть F, если и только если
Ф(А, Н) = Т; в противном случае ф(~А, Н) = Т. И на-
конец, ф(ПА, Н) = Т, если и только если ф(А, Н') = Т
для каждого Н' Q К, такого, что Н/?Н'; в противном слу-
чае ф(ПА, H)=F. Интуитивно последнее означает, что
А необходима в Н, если и только если А истинна во всех
мирах Н', возможных относительно Н.
Теорема полноты. |— А в М (S4, S5, Брауэровой си-
стеме), если и только если ф(А, G) = T для каждой мо-
дели ф на M-(S4-, S5-, Брауэровой} модельной структуре
(G, К, R).
(Доказательство см. в [11].)
Эта теорема полноты уравнивает синтаксическое поня-
тие доказуемости в модальной системе с семантическим
пон ятием общезначимости.
За исключением некоторых заключительных замечаний,
основная часть статьи относится к введению кванторов.
Для того чтобы сделать это, мы должны ассоциировать
с каждым миром некоторую область индивидов—индиви-
дов, которые существуют в этом мире. Формально говоря,
мы определяем квантификационную модельную структуру
(к. м. с.) как модельную структуру (G, К,/?) вместе с функ-
цией ф, приписывающей каждому Н 6 К некоторое множе-
ство ф(Н), называемое областью Н. Интуитивно ф(Н) есть
множество всех индивидов, существующих в Н. Следует
заметить, между прочим, что ф(Н) не обязательно должно
быть одним и тем же множеством для различных Н, ибо
интуитивно ясно, что в мирах, отличных от реального
мира, некоторые актуально существующие индивиды могут
отсутствовать, в то время как могут появляться новые
индивиды, подобные, например, Пегасу.
К символам модальной логики мы можем добавить
бесконечный список индивидных переменных х, у, г, ...,
и для каждого положительного числа п список п-арных
29
предикатных букв Рп, Qn, ... причем индексы часто будут
понятны из контекста. Пропозициональные переменные
(атомарные формулы) мы считаем „О-местными“ предикат-
ными буквами. Определив затем правильно построенные
формулы обычным образом, мы готовы перейти к опре-
делению квантификацпонной модели.
Для определения квантификационной модели мы должны
расширить первоначальное понятие, которое приписывало
истинностные значения каждой атомарной формуле в каж-
дом мире. Аналогично этому мы должны предположить,
что в каждом мире данная n-арная предикатная буква
детерминирует определенное множество упорядоченных
/i-ок—ее экстенсионал в этом мире. Рассмотрим, например,
случай с одноместной предикатной буквой Р(х). Мы могли
бы сказать, что в мире Н предикат Р (х) истинен для
некоторых индивидов из ф (Н) и ложен для других; фор-
мально мы могли бы сказать, что относительно одних
приписываний элементов из ф(Н) переменной xtp(P(x),
Н) = Т, а относительно других—ф(Р(х), H)=F. Мно-
жество всех индивидов, для которых Р истинно, назы-
вается экстенсионалом Р в Н. Но здесь имеется проблема:
можно ли ф(Р(х), Н) придать истинностное значение,
когда переменной х приписано значение из области не-
которого другого мира Н', а не из области Н? Допустим,
Р (х) означает „х лыс“ — должны ли мы приписать истин-
ностное значение такому, например, подстановочному при-
меру, как „Шерлок Холмс лыс“? Холмс не существует,
но при другом положении дел он мог бы существовать.
Должны ли мы приписать определенное истинностное
значение утверждению о том, что он лыс, или нет? Фреге
[3] и Строусон [4] не приписали бы этому утверждению
истинностного значения; Рассел [5] сделал бы это1. В связи
с целями модальной логики мы считаем, что различные
ответы на этот вопрос представляют альтернативные со-
глашения. Все они логичны. В известных мне обсуждениях
этой проблемы — в работах Хинтикки [6] и Прайора [7] —
принимается точка зрения Фреге—Строусона. Эта точка
зрения неизбежно приводит к некоторой модификации
обычной модальной логики. Причина состоит в том, что
заданная нами семантика для модальной логики предпо-
1 Однако Рассел заключил бы, что „Шерлок Холмс" не является
настоящим именем, а Фреге устранил бы его как пустое имя.
30
дагает, что каждая формула принимает определенное ис-
тинностное значение в каждом мире; позиция же Фреге —•
Строусона требует не придавать истинностного значения
формуле А (х), содержащей свободную переменную х, в
мире Н, если переменной х приписывается индивид, не
принадлежащий к области этого мира. Таким образом, мы
больше не можем надеяться на то, что первоначальные
законы модальной пропозициональной логики останутся
справедливыми для утверждений, содержащих свободные
переменные, и сталкиваемся с выбором: либо изменить
модальную пропозициональную логику, либо ограничить
правило подстановки. Прайор делает первое, Хинтикка —
второе. Существуют и дальнейшие альтернативы, связан-
ные с выбором позиции Фреге — Строусона: должны ли
мы понимать □ А как означающее (в Н), что А истинна
во всех возможных мирах (относительно Н), или она должна
быть только не ложна в любом таком мире? С точки зре-
ния второй альтернативы А должна быть либо истинна,
либо вообще не иметь истинностного значения в каждом
мире. В своей системе Q Прайор принимает, в сущности,
оба типа необходимости, обозначая один как ,,L“, а дру-
гой—как Аналогичный вопрос встает для конъ-
юнкции: если А ложно, а В не имеет истинностного зна-
чения, должны ли мы считать А Д В ложным или не
имеющим истинностного значения?
В полной формулировке семантической теории мы
должны были бы исследовать все эти варианты точки зре-
ния Фреге — Строусона. Однако здесь мы примем другое
решение и допустим, что утверждение, содержащее сво-
бодные переменные, имеет истинностное значение в каж-
дом мире для каждого приписывания его свободным пере-
менным1. Формально дело обстоит следующим образом.
Пусть и = иф(Н). U” является /i-кратным декартовым про-
НеК
изведением U с самим собой. Квантификационную модель
1 Естественно предположить, что атомарный предикат должен
быть ложным в мире Н для всех тех индивидов, которые не сущест-
вуют в этом мире, то есть что экстенсионал предикатной буквы
должен состоять из актуально существующих индивидов. Мы можем
осуществить это посредством семантического требования того, чтобы
<р(Рл, Н) было подмножеством [ф (Н)]”; в других отношениях семан-
тическая трактовка, предлагаемая ниже, осталась бы без изменений.
К системе аксиом нужно было бы лишь добавить все замыкания
формул вида Рп(х±.......х„) А (у) A (y).Z3.A (хЦ (1 Мы не
81
*
на к. м. с. (О, к, К) мы определяем как бинарную функцию
<р (Рп, Н), в которой для произвольного п первая пере-
менная пробегает по n-арным предикатным буквам, а Н —
по элементам К. Если п = 0, <р(/3пН) = Т или F; если
1, то ip(P"H) есть подмножество U". Теперь для каж-
дой формулы А и Н g К мы индуктивно определяем истин-
ностное значение <р (Д, Н) относительно данного припи-
сывания элементов U свободным переменным А. Случай
с пропозициональными переменными очевиден. Для ато-
марной формулы Рп (хх, ..., х„), в которой Рп является
п-арной предикатной буквой ип>1,и для данного при-
писывания элементов alt ..., ап из U переменным х^
..хп мы устанавливаем, что ip(P" (хх, .. ., х„), Н) = Т,
если n-ка (alt ..ап) является членом <р(JPn, Н); в про-
тивном случае <р (Рп (х1г . .., х„), Н) = F относительно дан-
ного приписывания. Если атомарным формулам эти при-
писывания даны, то приписывания сложным формулам мы
можем установить индуктивно. Для пропозициональных
связок Д, □ индукционные шаги уже были даны.
Допустим, что мы имеем дело с формулой А (х, yit ..., у„),
в которой х и У( являются единственными свободными
переменными, и истинное значение <р (А (х, yit ..., уп), Н)
уже было определено для каждого приписывания свобод-
ным переменным формулы А (х, уи ...,уп). Тогда мы
устанавливаем, что ц> ((х) А (х, yit ..., уп), Н) = Т относи-
тельно некоторого приписывания bit ...,bn переменным
У1< • • > Уп (причем Ь,- является элементом U), если (р (Д) х,
У1< • • • > Уп)< Н) = Т для каждого приписывания a, bit ..., bn
переменным х, ylf ..., уп соответственно, причем а £ ф(//);
в противном случае <р((х)Д(х, yit ..., //„)), H) = F отно-
сительно данного приписывания. Заметим, что ограниче-
ние а£ф(Н) означает, что в Н мы квантифицируем толь-
ко по объектам, актуально существующим в Н.
Для иллюстрации этой семантики мы предлагаем контр-
примеры двух известных утверждений, предложенных в
качестве законов модальной теории квантификации,—
„формулы Баркан" (х) □ A (x)zd □ (х) А (х) и ее конверсии
□ (х) А (х)о(х) ПД (х). Для каждой из них мы рассмат-
риваем модельную структуру (G, К, /?), в которой К=
выбрали этот путь потому, что при этом нарушается правило под-
становки; теоремы сохранились бы для атомарных формул, но они
не были бы справедливы при замене атомарных формул произволь-
ными формулами. (Это ответ иа вопрос Патиема и Кальмара.)
32
♦
= {G, H), G =# H, a R есть просто декартово произведение К2.
Ясно, что R является рефлексивным, транзитивным и сим-
метричным отношением, поэтому наши рассуждения при-
менимы даже к S5.
Для „формулы Баркан" мы расширяем (G, К, /?) до
квантификацпонной модельной структуры, определяя
ф(О) = {а), ф(Н) = {с, Ь}, гдеа и b различны. Затем для
одноместной предикатной буквы Рмы определяем модель <р,
в которой q(P, G) = {a), ф (Л Н) = {«}. Тогда очевидно,
что □ Р (х) истинно в G, если х приписан о; и поскольку а
является единственным объектом в области G, постольку
(х) □ Р (х) также истинно в G. Но (х) Р (х), очевидно,
ложно в Н (так как ф (Р (х), Н) = F, когда х приписан Ь),
и, следовательно, □ (х) Р (х) ложно в G. Так мы получаем
контрпример для формулы Баркан. Заметим, что этот
контрпример совершенно не зависит от того, приписывается
ли Р(х) истинностное значение в G, когда х приписан Ь,
или нет, поэтому он справедлив также и для систем Прай-
ора и Хинтикки. Такие примеры можно запретить и реа-
билитировать формулу Баркан только в том случае, если
мы потребуем, чтобы модельная структура удовлетворяла
условию: ф(Н')<=ф(Н), если Н/?Н'(Н, H'GK).
Для конверсии формулы Баркан устанавливаем ф(О) =
== {а, Ь\, ф (Н) = (а), причем снова а^=Ь. Задаем ф (Р, G)=
= (а, b}, ф(Р, Н) = {а} для данной одноместной предикат-
ной буквы Р. Тогда ясно, что (х) Р (х) справедливо и в G,
и в Н, так что ф(П(х)Р(х), G) = T. Но ф(Р(х), H) = F,
когда переменной х приписан Ь, так что ф (□•Р (х), G) = F.
Следовательно, ф ((х) □ Р (х), G) = F, и мы получили иско-
мый контрпример для конверсии формулы Баркан. Однако
этот контрпример зависит от соглашения о том, что Р (х)
в Н ложно, когда х приписан Ь; таким образом, этот контр-
пример может быть устранен, если принять, что для данно-
го приписывания Р (х) не имеет истинностного значения в Н.
В этом случае мы все-таки еще будем имегь контрпример,
если потребуем, чтобы необходимое утверждение было
истинно во всех возможных мирах Прайора), а не
только того, чтобы оно никогда не было ложным (,,7VM7V“
Прайора). При нашем настоящем соглашении мы можем
устранить этот контрпример только за счет того требова-
ния, чтобы ф(Н)5ф(Н'), если Н/?Н'.
Эти контрпримеры порождают специфическую труд-
ность: в квантифицированной S5 мы задали контрмоделп
2 Ла 1212
33
и для формулы Баркан, и для ее конверсии. По-видимому,
еще Прайор показал в [8], что формула Баркан выводима
в квантифицированной S5, а ее конверсия кажется выво-
димой даже в квантифицированной М посредством следую-
щего рассуждения:
(А) (х) А (х) п А (у) (согласно теории квантификации),
(В) □ ((х) А (х) zd А (у)) (навешивание знака необходи-
мости),
(С) □ ((х) А (х) z> А (у)) =>. □ (х) А (х) => □ А (у) (аксиома
А2),
(D) □ (х) А (х) => □ А (у) (из (В) и (С)),
(Е) (у) (□ (х) А (x)z> □ А (у)) (обобщение (D)),
(F) □ (х) А (х) о (у) □ А (у) (по теории квантификации
и (Е)).
Мы, кажется, получили заключение, используя прин-
ципы, которые все должны быть значимы в теории моде-
лей. На самом же деле здесь имеется слабое место при
навешивании необходимости на (А). В формулах, подобных
(А), мы придаем свободным переменным интерпретацию
всеобщности1: при утверждении (А) в качестве теоремы
подразумевается обычное универсальное замыкание этого
утверждения:
(А') (у)((х)А(х)^А(у)).
Теперь если мы применим правило навешивания не-
обходимости к (Д'), то получим:
(В') □(//)((х)Д(х) = Д (//)).
С другой стороны, само (В) интерпретируется как
утверждающее:
(В") (у) □ ((х) А (х)гэД (у)).
1 Это не значит, что интерпретация всеобщности теорем, содер-
жащих свободные переменные, является единственно возможней.
Можно считать формулу А доказуемой, если и только если для
каждой модели <р, <р (Л, G) = T для каждого приписывания свободным
переменным А. Но тогда формула (х) А (х)зЛ (у) не будет теоремой;
в самом деле, в описанной выше контрмодели для формулы Варка1
«Р((Х)Р(Х)ОР(У), G) = F, если у приписан Ь. Таким образом, теория
квантификации была бы изменена в направлениях, указанных в [9]
и [10]. Эту процедуру вполне можно рекомендовать, но мы не исполь-
зуем ее, так как хотим показать, что трудности можно преодолеть,
не изменяя теории квантификации или модальной пропозицйоиальной
логики.
34
Для выведения (В") из (Д') нам нужен закон вида
□ (У) С (у)^>(у) EJC (У)> представляющий собой как раз кон-
версию формулы Баркан, которую мы пытаемся доказать.
В самом деле, легко проверить, что (В") проваливается
в контрмодели, данной выше для конверсии формулы
Баркан, если заменить А(х) на Р(х).
Такого рода трудностей мы можем избежать, если —
следуя работе Куайна [15]—сформулируем теорию
квантификации так, чтобы утверждать можно было только
замкнутые формулы. Утверждение формул, содержащих
свободные переменные, объясняется в лучшем случае
удобством; утверждение А (х) со свободным х всегда можно
заменить утверждением (%) А (х).
Если А является формулой, содержащей свободные
переменные, мы определяем замыкание А как любую фор-
мулу без свободных переменных, полученную посредством
приписывания к А универсальных кванторов и знаков
необходимости в любом порядке. В этом случае аксиомы
квантифицированной М. мы определяем как замыкания
следующих схем:
(0) истинностно-функциональных тавтологий,
(1) пЛэА,
(2) □(А=)В). =.
(3) А=э(х)А, причем х не входит свободно в А.
(4) (х)(АгзВ). =>. (х) Az>(x) В,
(5) G/)(W А(х)=зА(«/)).
Правилом вывода является правило отделения для
материальной импликации. Правило навешивания знака
необходимости может быть получено в качестве производ-
ного.
Для получения квантификационных расширений 84,
S5 и Брауэровой системы нужно просто добавить к этим
схемам аксиом замыкания соответствующих редукционных
аксиом.
Полученные нами системы обладают следующими свой-
ствами: они представляют собой непосредственные раеши-
рения модальных пропозициональных логик без модифи-
каций Q Прайора; правило подстановки справедливо без
ограничений в отличие от изложения Хинтикки; и тем
не менее ни формула Баркан, ни ее конверсия не выводимы.
Кроме того, все законы теории квантификации — модифй-
2»
85
цированные для допущения пустой области—справедливы.
Семантическая теорема полноты, данная нами для модаль-
ной пропозициональной логики, может быть расширена
на новые системы.
В настоящей системе мы можем —при желании — ввести
существование как предикат. С семантической точки зре-
ния существование является одноместным предикатом Е (х),
удовлетворяющим —для каждой модели <р на м.с. (G, К, /?)—
равенству <р(£, Н) = <р(Н) для всякого ИСК. Аксиома-
тически мы можем ввести его, постулировав замыкания
формул вида: (х) А (х) Д Е (у). А (у) и (х)£(х). Пре-
дикат Р, использованный выше в контрпримере для кон-
версии формулы Баркан, теперь можно истолковать просто
как существование. Этот факт показывает, в какой сте-
пени существование отличается от тавтологичного преди-
ката A(x)V~A(x) даже в том случае, если доказуемо
□ (х)£(х). Ибо, хотя формула (х) □ (А (х) V~ А (х))
значима, формула (х) □ Е (х) не будет таковой; хотя и
необходимо, что каждая вещь существует, ио отсюда не
следует, что каждая вещь существует с необходимостью.
Семантически мы можем ввести в теорию моделей
тождество, определив, что х = у истинно в мире И, когда
х и у приписано одно и то же значение, и ложно в про-
тивном случае; существование могло бы тогда быть опре-
делено в терминах тождества с помощью соглашения о том,
что Е (х) означает fay) (х = у). В силу оснований, не из-
ложенных здесь, более общая теория тождества может
быть получена путем усложнения понятия квантифика-
цнонной модельной структуры.
В заключение мы выскажем несколько кратких заме-
чаний о „доказуемостной" интерпретации модальной ло-
гики, которую мы дали только для пропозиционального
исчисления. В отношении основного содержания этой
статьи читатель ничего не потеряет, если опустит эту
часть. Обсуждаемая интерпретация опирается на решение
добавлять оператор необходимости к формальным системам,
скажем к арифметике Пеано, таким образом, что для
любой формулы А этой системы □ А будет интерпрети-
роваться как истинное, если и только если А доказуема
в этой системе. Обсуждалось, можно ли использовать
вместо таких „доказуемостиых" интерпретаций модаль-
ного оператора предикат доказуемости, отнесенный к
геделевскому номеру формулы А; но статья профессора
36
Монтегю, помещенная в данном томе1, порождает некото-
рые сомнения на этот счет.
Рассмотрим формальную систему РА арифметики Пеано
в том виде, как она формализована в работе Клини [12].
К правилам образования мы присоединяем операторы Д, ~
и □ (добавляемые конъюнкция и отрицание должны быть
отличны от конъюнкции и отрицания исходной системы),
применяемые только к замкнутым формулам. В данной
выше теории моделей мы рассматривали в качестве ато-
марных формул пропозициональные переменные или пре-
дикатные буквы, за которыми следовали индивидные пе-
ременные, взятые в скобки; здесь мы считаем атомарными
формулами просто замкнутые, правильно построенные
формулы РА (а не атомарные формулы РА). В модельной
структуре (G, К, А?) К является множеством всех раз-
личных (не изоморфных) счетных моделей РА, G есть
стандартная модель в натуральных числах и R—декар-
тово произведение К2. Модель <р мы определяем посред-
ством того условия, что для любой атомарной формулы
Р и HgK q(P, H) = T(F), если и только если Р истинна
(ложна) в модели Н. (Напомним, что Р есть ппф РА,
а Н является счетной моделью РА.) Затем мы строим
оценку сложных формул, как и раньше 2. Сказать, что А
истинна, значит сказать, что она истинна в реальном мире G;
и для любой атомарной формулы Рср(ПР, G) = T, если
и только если Р доказуема в РА. (Заметим, что <р (Р, G) =Т,
если и только если Р истинна в интуитивном смысле.)
Так как (G, К, R) является S5-M.C., все законы S5 будут
значимы при этой интерпретации, и мы можем показать,
1 Имеется в виду статья: Montague R. Syntactical Treatments
of Modality, with Corollaries on Reflection Principles and Finite
Axiomatizability.—„Acta Philosophica Fennica", Fasc. XVI, 1963,
p. 153—168. — Прим. ped.
2 Могут возразить, что раз РА уже содержит символы для
конъюнкции и отрицания, скажем & и ~|, то зачем мы добавляем
новые символы—Л и ~? Ответ состоит в том, что если Р и Q яв-
ляются атомарными формулами, то P&Q будет также атомарной
в настоящем смысле, так как она является правильно построенной
формулой РА; но PaQ не будет атомарной формулой. Для того
чтобы иметь возможность применить предыдущую теорию, в которой
конъюнкция атомарных формул сама не является атомарной, нам
нужен знак А- Тем не менее для любого Н£К и атомарных Р и Q
cp(P&Q, Н)=ф(Рл(2, Н), так что смешение & с л практически
безвредно. Аналогичные замечания верны для отрицания и для до-
казуемостнон интерпретации S4, излагаемой ниже.
37
что вообще значимы только законы S5. (Например, если
Р есть неразрешимая в смысле Геделя формула, то
<рОТП~Л G) = F, что является контрпримером для
„закона” □ А\/П~Л.)
Другой доказуемостной интерпретацией будет сле-
дующая: мы снова считаем атомарными формулами замк-
нутые ппф РА и новые формулы строим с помощью до-
полнительных связок Д, ~ и □•Пусть К будет множе-
ством всех упорядоченных пар (Е, ос,), где Е являет-
ся непротиворечивым расширением РА, а а есть (счет-
ная) модель системы Е. Пусть G = (PA, а0), где есть
стандартная модель РА. Мы говорим, что (Е, <х) Л?(Е', а'),
где (Е, а) и (Е', а') находятся в К, если и только если Е'
представляет собой расширение Е. Для атомарной Р
определим, что <р (Р, (Е, a)) = T(F), если и только если Р
истинна (ложна) в а. Тогда для атомарной формулы Р
мы можем показать, что <р (ПР, (Е, сс)) = Т, если и только
если Р доказуема в Е; в частности, ф(ПР, G) = T, если
и только если Р доказуема в РА. Так как (G, К, Р) яв-
ляется S4-M.C., все законы S4 справедливы. Но не все
законы S5 сохраняются; если Р—неразрешимая в смысле
Геделя формула, то <р ((~ПРз>П-~Е|Р). G)=F. Однако
значимы некоторые законы, которые не доказуемы в S4;
в частности, для любого А мы можем доказать, что
<р(О~П(ОЛЛО~Л), G) = T, и отсюда получить те-
оремы системы S4.1 Мак-Кинси (см. [13]). С помощью
подходящих изменений эта трудность может быть устра-
нена, но мы не хотим здесь углубляться в этот вопрос.
Можно было бы сформулировать аналогичные интер-
претации для М и Брауэровой системы, но, по мнению
специалистов, они менее интересны, чем данные выше.
Мы упомянем еще один класс доказуемостных интерпре-
таций— „рефлексивные” расширения РА. Пусть Е бу-
дет формальной системой, содержащей РА, правильно
построенные формулы которой образуются из замкнутых
формул РА с помощью связок &, (Я говорю о &
и ”] для того, чтобы указать, что речь идет о той же
самой конъюнкции и о том же отрицании, которые исполь-
зуются в самой РА, а не о новых знаках. См. примеча-
ние 2 на с. 37.) Тогда Е называется рефлексивным рас-
ширением РА, если и только если: (1) это есть несущест-
венное расширение РА; (2) ДД доказуема| в Е, если и
только если доказуема А; (3) существует оценка а, ото-
38
бражающая замкнутые формулы Е в множество {Т, Р},
такая, что конъюнкция и отрицание удовлетворяют обыч-
ным таблицам истинности; все истинные замкнутые фор-
мулы РА получают значение Т, а (ПА) = Т, если и
только если А доказуема в Е, и все теоремы Е полу-
чают значение Т. Можно показать, что существуют реф-
лексивные расширения РА, содержащие аксиомы S4 или
даже S4.1, но не содержащие S5.
И наконец, мы замечаем, что, используя обычное ото-
бражение интуиционистской логики в S4, можно получить
теорию моделей для интуиционистского исчисления пре-
дикатов. Здесь мы не будем формулировать этой теории,
а лишь укажем—только для пропозиционального исчисле-
ния— полезную частную интерпретацию интуиционистской
логики, которая вытекает из теории моделей. Пусть Е
будет любым непротиворечивым расширением РА. Мы го-
ворим, что некоторая формула Р системы РА верифици-
рована в Е, если и только если она доказуема в Е.
Замкнутые ппф Р системы РА мы рассматриваем как
атомарные формулы и строим из них сложные формулы
с помощью интуиционистских СВЯЗОК Л, V. ~] И о.
После этого индуктивно устанавливаем: Af\B верифици-
рована в Е, если и только если верифицированы А и В;
AVВ верифицирована в Е, если и только если верифи-
цирована формула А или В; “| А верифицирована в Е,
если и только если не существует непротиворечивого рас-
ширения Е, верифицирующего формулу А; Aid В вери-
фицирована в Е, если и только если каждое непротиво-
речивое расширение Е до Е', верифицирующее А, вери-
фицирует также и В.
Тогда каждый подстановочный пример законов интуи-
ционистской логики верифицируется в РА; но, например,
Л\7"]Л не верифицируется, если А—формула, неразре-
шимая в геделевском смысле. В дальнейшем мы расши-
рим эту интерпретацию и покажем, что с ее помощью
мы можем найти интерпретацию для системы FC абсолютно
свободно становящихся последовательностей Крайзеля
(см. [14]). Между прочим, ясно, что в интерпретациях
S4 и S5, опирающихся на понятие доказательства, РА
может быть заменена любой истинностно-функциональной
системой (то есть любой системой, модели которой детер-
минируют, что каждая замкнутая формула является истин-
39
ной или ложной); в то же время интерпретация интуи-
ционизма применима к любой формальной системе.
ЛИТЕРАТУРА
1. Kripke S. A. A completeness theorem in modal logic.—
„The Journal of Symbolic Logic", vol. 24, 1959, p. 1 —15.
2. KripkeS. A. Semantical analysis of modal logic (abstract).—
„The Journal of Symbolic Logic", vol. 24, 1959, p. 323—324.
3. Frege G. Uber Sinn und Beteutung.—„Zeitschrift fiir Philo-
sophic und philosophische Kritik", vol. 100, 1892, p. 25—50.
4. Strawson P. F. On referring. — „Mind", n.s., vol. 59, 1950
p. 320—344.
5. Russell B. On denoting. — „Mind", n.s., vol. 14, 1905,
p. 479-493.
6. H intikka J. Modality and quantification. — „Theoria"
(Lund), vol. 27, 1961, p. 119—128.
7. Prior A. N. Time and modality. Clarendon Press. Oxford,
1957.
8. Pr ior A. N. Modality and quantification in S5.—„The Jour-
nal of Symbolic Logic", vol. 21, 1956, p. 60—62.
9. H i n t i k k a J. Existential presuppositions and existential
commitments.—„The Journal of Philosophy", vol. 56, 1959, p. 125—
137
10. Leblanc H. and Hail perin T. Nondesignating singular
terms.—„Philosophical Review", vol. 68, 1959, p. 239— 243.
11. Kripke S. A Semantical analysis of modal logic 1,—
„Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik"
vol 9, 1963, p. 67—96.
12. Klee ne S. C. Introduction to metamathematics. D. Van
Nostrand, New York, 1952.
13. McKinsey J.C.C. On the syntactical construction of sys-
tems of modal logic.—„The Journal of Symbolic Logic", vol. 10
1945, d. 83—94
14. Ki eise I G. A remark on free choice sequences and the
topological completeness proofs. — „The Journal of Symbolic Logic",
vol 23, 1958, p. 369—388.
15. Quine W. Van O. A'athematical logic. Harvard University
Press. Cambridge, Mass., 1940; second ed., revised, 1951. ’
Я- Хинтикка
ВИДЫ МОДАЛЬНОСТИ*
Под видами модальности я подразумеваю здесь не те
разнообразные способы исследования, которые господство-
вали или продолжают господствовать в изучении модаль-
ных логик, хотя иногда и буду комментировать эти спо-
собы* 1. Я говорю о тех видах или модификациях, которые
дали имя модальной логике. Другими словами, я имею
в виду разновидности систем модальной логики и те разно-
образные философски интересные интерпретации, которые
часто можно придать этим системам. Цель моей статьи
состоит в том, чтобы предложить особый метод изучения
самых разнообразных модальных систем, богатство кото-
рых, на мой взгляд, может ошеломить каждого. Боюсь,
это богатство отразилось и на моей статье, ибо основ-
ная часть ее представляет собой скорее ряд набросков
применения моих методов, а не последовательное их из-
ложение.
* Hintikka J. The Modes of Modality. — Models for modali-
ties. Dordrecht, Holland, 1969, p. 71—86.
1 В работе [I] Г. Бергманн дал интересную критику более ран-
них трактовок модальной логики. Я согласен с тем, что в период
написания статьи Бергманна его основной тезис, что все прежние
дедуктивные системы модальной логики не опирались на удовлетво-
рительную семантическую (или, если хотите, комбинаторную) харак-
теристику общезначимости (логической истины), был верен. Однако
мне кажется, что в настоящее время ситуация в этом отношении
радикально изменилась. Я убежден, что в статьях С. Кангера
[14— 17], С. Крипке [18, 22], Р. Монтегю и Д. Калиша [23, 24],
а также в моих статьях и статьях некоторых других авторов мы
находим тот вид обоснования модальной логики, об отсутствии ко-
торого говорил Бергманн.
41
Эти методы были изложены в моей статье [12]. Здесь
я начну с напоминания их существенных черт. Они опи-
раются на понятие модельного множества (м.м.). Модель-
ное множество является множеством формул—скажем,
р,— удовлетворяющим следующим условиям:
(С. ~) Если р содержит некоторую атомарную формулу
или некоторое тождество, то оно не содержит их отри-
цания.
(С. &) Если (p&q) Ер. то р Е р и q Ер.
(С. V) Если (pV^)€p, то рЕр или <?Ер-
(С. Е) Если (Ех)рЕр. то р(а/х)Ер
по крайней мере для одного свободного индивидного сим-
волам. (Здесь р (а/х) представляет собой результат замены
х на а повсюду в р.)
(C.U) Если (Ux) р Е Р и если b является свободным
индивидным символом, который встречается по крайней
мере в одной формуле из р, то р(Ь/х)Ер-
(С. =/=) р не содержит ни одной формулы вида ~(м = м).
(С. =) Если рЕр. (о = Ь)Ер и если q отличается от р
только взаимной заменой а и b в некоторых (или всех)
вхождениях, то <7Е|Х при условии, что р и q являются
атомарными формулами или тождествами.
В дополнение к этим условиям нам нужны либо со-
ответствующие условия для отрицаемых формул, либо
некоторый способ сведения отрицаемых (не-атомарных)
формул к неотрицаемым. И то и другое нетрудно сделать.
Если, помимо пропозициональных связок, кванторов
и равенства, у нас нет других логических констант, то не-
которое м.м. можно представлять как частичное описание
возможного состояния дел или возможного хода событий
(„возможного мира"). Будучи частичными, эти описания
тем не менее вполне достаточны для того, чтобы показать,
что описываемые ими состояния дел действительно воз-
можны: в теории квантификации выполнимость некоторого
множества формул равнозначна его включаемости в неко-
торое м.м., что я показал в [7, 8].
Этот подход можно распространить па модальную ло-
гику благодаря использованию определенных сочетаний
модельных множеств, называемых модельными системами.
Модельная система есть множество м.м., на котором опре-
делено некоторое двухместное отношение. Это отношение
будет называться отношением альтернативности, а множе-
ства, находящиеся в этом отношении к некоторому дан-
4.2
ному множеству р, будут называться альтернативами р.
Интуитивно они являются частичными описаниями тех по-
ложений дел, которые могли бы быть реализованы вместо
положения дел, описываемого р. Опираясь на эту идею,
сразу же можно заметить, что каждая модельная система Q
и ее отношение альтернативности должны выполнять сле-
дующие условиях.
(C.N.) Если /УрЕрЕЙ, то р£р.
(С.М.*) Если MpgpgQ, то в й существует по край-
ней мере одна альтернатива р, содержащая р.
(C.N+) Если Л7р€р£й и если v является альтерна-
тивой р в й, то р £ V.
Конечно, мы должны установить аналогичные условия
также и для отрицаемых формул или свести их к неотри-
цаемым, но это сделать легко.
Содержание (С.М.*) и (C.N.*) соответственно можно
выразить достаточно точно, сказав, что то, что возможно,
должно быть истинно в некотором альтернативном мире,
а то, что необходимо, должно быть истинно во всех аль-
тернативных мирах. Мы получаем здесь, следовательно,
несколько модифицированный вариант традиционной идеи,
что возможность равнозначна истинности в некотором
„возможном мире", в то время как необходимость равно-
значна истинности во всех „возможных мирах“. Если
отвлечься от использования понятия модельного множества
в качестве экспликации понятия описания возможного
мира, наше единственное отклонение от традиционной
идеи состоит в отрицании предположения, что все „воз-
можные миры" равноправны. Мы считаем, что не каждый
„возможный мир" (скажем, Р) является реальной альтер-
нативой данного „возможного мира" (скажем, Q) в том
смысле, что Р мог бы быть реализован вместо Q. Мы
предполагаем, кроме того, что в расчет принимаются
только подлинные альтернативы. Каждое утверждение
считается принадлежащим некоторому „возможному миру",
и в этом мире ничто не может быть названо возможным,
кроме того, что могло бы быть истинным в некотором
мире, который мог бы быть реализован вместо данного.
Этим объясняется использование отношения альтернатив-
ности и выражений „некоторый альтернативный возможный
1 Я буду постоянно указывать, однако, что имеется много спо-
собов модификации этих условий. Модификация (C.N ' ) иногда не-
обходима. См [12].
43
мир" и „все альтернативные возможные миры" там, где мож-
но было бы ожидать использования более простых выраже-
ний „некоторый возможный мир" и „все возможные миры".
Здесь мы уже получили краткое изложение теории
модальной логики. Выполнимость множества формул мо-
жет быть определена как' включаемость этого множества
в некоторый член модельной системы. (Можно заметить,
что это является естественным обобщением соответствую-
щего определения для теории квантификации). Переходя
к еще более общей формулировке, можно сказать, что
выполнимость произвольного множества множеств формул,
которое включает в себя произвольное двухместное отно-
шение (мы будем также называть его „отношением аль-
тернативности"), определенное на этом множестве, может
быть определена как возможность его гомоморфного ото-
бражения в некоторую модельную систему таким образом,
чтобы каждый элемент включался в свой образ (и то и
другое является, конечно, множеством). Другие понятия—
например, понятие общезначимости, противоречивости и
логического следования—могут быть определены в терми-
нах выполнимости обычным образом.
Благодаря выдающемуся положению, которое занимает
в этом подходе понятие выполнимости, этот подход может
быть назван семантическим. Не очень трудно получить
также некоторый вид синтаксической трактовки модаль-
ности исходя из тех же самых идей. Если дано некоторое
множество формул, то как можно показать, что оно вы-
полнимо? Ответ на этот вопрос непосредственно вытекает
из формы тех условий, которые определяют м.м. и модель-
ную систему. За исключением (С. ~) и (С. все они
являются условиями замыкания пли очень похожи на них.
(Исключенные условия можно рассматривать как некото-
рый вид условий непротиворечивости). Другими словами,
всегда, когда некоторое множество S множеств (на кото-
ром определено отношение альтернативности) нарушает
одно из условий, определяющих модельную систему (за
исключением (С. ~), это нарушение может быть устранено
посредством добавления новой формулы к одному из чле
нов 2 или (в случае (С.М*)) посредством добавления но-
вого члена вида (F) к S, и этот новый член служит
в качестве альтернативы одного из старых членов. Без
труда можно показать, что добавления такого рода сохраня-
ют выполнимость выполнимого S. (В случае (С. V) добав-
44
ление по крайней мере одного из двух членов сохраняет
выполнимость S.) Естественным путем обнаружения вы-
полнимости S является, следовательно, осуществление по-
следовательных добавлений этого рода, которые приводят
к построению модельной системы; показывающей, что S
выполнимо. Если все альтернативные способы осущест-
вления такого построения заканчиваются нарушением
(С. ~) или (С. 5^), то мы знаем, что 2 не выполнимо.
Нетрудно также показать, что каждое доказательство
формулы в соответствующей системе модальной логики
можно представить как неудавшуюся попытку построить
контрпример для этой формулы, то есть построить модель-
ную систему, показывающую, что отрицание этой формулы
выполнимо1.
Непосредственно не очевидно, что для каждого проти-
воречивого множества формул его противоречивость может
быть показана посредством безуспешного построения мо-
дельной системы такого рода. Однако можно доказать,
что это всегда осуществимо, если мы действуем надлежа-
щим образом (важно, чтобы мы не забывали ни об одной
возможности присоединения). Этот результат, который не
будет доказываться здесь, представляет собой важную
теорему полноты.
Но все это дает нам лишь одну систему модальной
логики, хотя и одну из наиболее естественных систем.
1 Если дано некоторое множество формул, для которого мы пы-
таемся построить модельную систему, обычно недостаточно рассмо-
трения только одного модельного множества него альтернатив. Чаще
всего мы должны рассматривать альтернативы этих алыернатив
и т. д. Действительно, для каждого конечного k мы легко можем
найти некоторое множество формул (и даже отдельную формулу),
такое, что нужно рассмотреть более чем k модельных множеств для
того, чтобы показать его выполнимость (или невыполнимость). По-
скольку каждое м.м. можно рассматривать как описание возможного
мира, в котором истинны или ложны предложения, постольку следует
думать, что множество таблично-истинностных матриц с конечным
числом истинностных значений не может служить для определения
таких понятий, как выполнимость и значимость в нашей системе.
Поэтому неудивительно, что соответствующий результат для доказу-
емости действительно был доказан для некоторых модальных систем
Льюиса в работе [2]. Я не вижу, почему эти результаты должны
показывать, что удовлетворительная семантическая теория модаль-
ной логики невозможна, как эго утверждалось. Напротив, было бы
очень странно, если бы мы раз и навсегда установили конечный
верхний предел для числа возможных миров, которые мы должны
рассматривать в семантической теории модальной логики.
45
Если отвлечься от аспектов, связанных с квантификацией,
она оказывается семантическим аналогом той дедуктивной
системы модальной логики, которая, пожалуй, лучше всего
известна как „система М“ Г. фон Вригта, изложенная в его
работе [29J, хотя гораздо раньше она была предложена
К- Геделем в [5]. (Соответствующую семантическую систему
мы также будем называть „система М“.) На мой взгляд,
мы вполне естественно приходим к этой системе, если
примем во внимание ее большое значение. Однако суще-
ствуют и другие интересные системы модальной логики,
и поэтому мы должны иметь возможность модифицировать
определяющие условия нашей системы М таким образом,
чтобы охватить и их.
Существует много самых различных способов модифи-
кации. Некоторые системы, возникающие в результате
этих модификаций, являются семантическими аналогами
хорошо известных дедуктивных систем, другие— важны
для интерпретации модальных логик. Среди важных воз-
можностей модификации имеются следующие:
(1) Можно допустить, что отношение альтернативности
обладает дополнительными свойствами по сравнению с теми,
которые наложены на него условиями, приведенными выше.
И наоборот, можно опустить некоторые из этих свойств.
Например, очевидно, что при наличии (C.N+) или неко-
торого аналогичного условия условие (C.N) равнозначно
требованию того, чтобы отношение альтернативности было
рефлексивным. От этого требования можно отказаться.
В этом случае часто целесообразно принять более слабое
условие, обеспечивающее, что оператор необходимости N
является по крайней мере столь же строгим, как и опе-
ратор возможности М. Это можно сделать, например,
следующим образом:
(С. п*) Если Мр(Ер£й, то в Й существует по край-
ней мере одна альтернатива р, содержащая р.
Напротив, мы можем потребовать, чтобы отношение
альтернативности было не только рефлексивным, но также
симметричным или транзитивным или обладало обоими
этими свойствами. Тогда транзитивность приводит к семан-
тическому аналогу S4 Льюиса, а соединение требований
симметричности и транзитивности (плюс рефлексивность,
конечно) дает аналог S5. Эти модификации были кратко
представлены в [12].
Замечания относительно семантического аналога S5
46
могут представлять некоторый философский интерес. Тран-
зитивное и симметричное отношения иногда известны как
отношения эквивалентности: они разбивают свою область
на „классы эквивалентности" таким образом, что два раз-
личных члена одного и того же класса всегда находятся
в этом отношении, в то время как члены разных классов
никогда не стоят в отношении эквивалентности. В случае
нашего семантического варианта S5 мы—для определенных
целей—можем потребовать, чтобы существовал только
один класс эквивалентности. (Например, это требование
не влияет на выполнимость каких-либо множеств формул.)
Если мы сделаем это, ситуация начинает становиться более
знакомой: каждое м.м. является альтернативой каждого
другого м.м. В самом деле, это именно та ситуация, ко-
торая предполагается традиционным отождествлением воз-
можности с истинностью в некотором возможном мире,
а необходимость—с истинностью во всех возможных мирах.
Тот факт, что традиционная идея порождает, таким обра-
зом, лишь модальную систему специального вида, возможно,
помогает объяснить, почему эта традиционная идея в тече-
ние длительного времени оказывалась бесплодной в теории
модальной логики, и обосновывает наш отход от традиции.
(2) Мы можем модифицировать предположения, отно-
сящиеся к квантификации. Модификации этого рода иногда
не зависят от наличия модальных понятий. Но даже в этом
случае они желательны вследствие взаимодействия кван-
торов и модальностей. Наиболее фундаментальным изме-
нением этого рода является устранение того, что я назвал
в [11, 13] экзистенциальными допущениями. Это предполо-
жения относительно того, что все наши сингулярные термы
говорят о некоторых актуально существующих индивидах,
то есть что пустые сингулярные термы исключены из
рассмотрения. В неинтерпретированной системе это, ко-
нечно, означает, что свободные индивидные символы не
должны вести себя подобно пустым сингулярным термам.
Обычно допущения этого рода неявно делаются во всех
традиционных системах теории квантификации. Их осо-
бенно легко устранить, используя нашу технику модель-
ных множеств. Все, что мы должны сделать для этого, —•
это модифицировать (С.Е) и (C.U) следующим образом:
(С.Е0) Если (Ех)рбн, то р(а/х)£ц и (Ех)(х = ц)£р
по крайней мере для одного свободного индивидного сим-
вола а.
47
(C.U0) Если (Ux)pCR и (Еу) (у = Ь) £ ц (или (Еу)
(b = i/)gp), то р(Ь/х)ер.
Объяснение: формула (Ех) (х—а) обычно служит
в качестве формализации фразы „а существует". (См. тезис
Куайна „существовать—значит быть значением связанной
переменной", который для наших целей можно перефра-
зировать так: „существовать—значит быть тождественным
одному из значений связанной переменной".) Соответственно
этому новое условие (C.U0) говорит о том, что все истин-
ное для всех актуально существующих индивидов истинно
также для индивида, обозначаемого термом Ь, при условии,
что такой индивид реально существует. Если в наши
системы допущены пустые сингулярные термы, подчерк-
нутое условие, очевидно, необходимо. Аналогично этому,
дополнительное значение (С.Е0) по сравнению с (С.Е)
заключено в требовании, чтобы терм а, используемый для
представления одного из индивидов, существование ко-
торых утверждается посредством (Ех) р, действительно
говорил о некотором актуально существующем индивиде
(или, если мы имеем дело с неинтерпретированной систе-
мой, вел себя соответствующим образом). Эта модифика-
ция необходима при допущении пустых сингулярных термов.
Система, полученная в результате устранения экзис-
тенциальных предположений, будет слабее нашей перво-
начальной системы М. Все те выводы, примером которых
может служить экзистенциальное обобщение и которые
опираются на отсутствие пустых сингулярных термов, те-
перь оказываются незначимыми. Но их можно сохранить
благодаря дополнительным посылкам вида (Ех)(у = й).
Хотя, например, формула р (а/х)п(Ех) р больше незна-
чима, будет значима связанная с ней формула (р (а/х) &
(Ех) (х = а)) кь (Ех) р.
(3) Все это еще не решает дискуссионных проблем
соединения модальностей с кванторами. Существует, од-
нако, выход из этих трудностей, о котором я (для част-
ного случая) говорил в [13]. Здесь мы будем рассматри-
вать только предложения, содержащие неитерированные
модальности. В этом случае мы поступаем совершенно
аналогично тому, как мы только что поступали при устра-
нении экзистенциальных предположений. Все,. что нам
нужно, — это придать формуле (Ех) А (х = а) роль, анало-
гичную той, которую формула (Ех)(х = п) играла при
устранении экзистенциальных предположений: всегда,
48
когда имеются вхождения х в сферу модального опера-
тора р, мы модифицируем (С.Е) (или (С.Е„)) таким обра-
зом, чтобы наличие (Ех) р в р влекло наличие (Ex) N (х =--а)
в р, и мы модифицируем (C.U) (или (C.U )) гак, чтобы
сделать его применение зависящим от наличия в р фор-
мулы вида (Ey)N(y = b) или (Ер) N (Ь = у).
Эти модификации приводят к дальнейшему ослаблению
нашей системы. Подозрительные выводы, осуществимость
которых была спорной, теперь будут зависеть от слу-
чайных посылок вида (Ех)/V (х — а) или (Ех)М(а = х).
Можно сказать, что эти модификации дают нам воз-
можность устранить возражения тех логиков, которые
сомневались в осуществимости (или целесообразности)
квантификации в модальных контекстах \ Суть этих воз-
I. ражений, если я правильно их понимаю, сводилась к тому,
что подлинные подстановочные значения связанных инди-
» видных переменных должны быть сингулярными термами,
которые действительно выделяют определенные индивиды,
и что обычные сингулярные термы вполне могут нарушать
это требование в модальных контекстах. Например, из
(i) число планет равно девяти, но оно могло бы быть
больше десяти
(что можно считать истинным для целей аргументации),
мы не можем вывести
(ii) (Ех)(х = 9& возможно, что х > 10),
так как в той степени, в которой (ii) имеет смысл, оно
кажется ложным.
Причина этого связана с тем фактом, что сингулярный
терм „число планет** в (i) не выделяет какого-либо опре-
? деленного числа, существование которого утверждается
в (ii). (Может быть, это число 9? Но невозможно, чтобы
9 было больше, чем 10. Если же это не 9, то какое это
число?) Тем не менее переход от (i) к (ii) оправдывается
нашими немодпфицированными условиями (С.Е) и (C.U).
, Следовательно, в нашей системе есть нечто ошибочное,
i и легко заметить, что даже устранение экзистенциальных
। предположений не может нам помочь.
Мне представляется, что эти возражения совершенно
справедливы и что на них должен ответить всякий, кто
хочет работать в рамках системы квантифицированной
модальной логики. Для ответа на эти возражения, может
1 См., например, [26—28], а также [3].
49
быть, нужно спросить: почему в модальных контекстах
некоторые термины не имеют того единственного значения,
которое является предпосылкой существования подстано-
вочного значения связанной переменной? Ответ на этот
вопрос неявно содержится в нашем методе разработки
модальной логики. Почему термин „число планет" в (i)
не выделяет определенный индивид? Очевидно потому,
что в различных положениях дел, которые мы считаем
возможными, утверждая (i), этот термин будет относиться
к различным числам. (В действительном положении дел
этот термин относится к числу 9, но неосознанно мы вво-
дим в рассмотрение также и другие положения дел, в ко-
торых он относится к большим числам). Это сразу же
дает нам ответ на вопрос о том, когда же тот или иной
сингулярный терм (скажем, а) действительно выделяет
определенный индивид и поэтому выступает в качестве
допустимого подстановочного значения связанных перемен-
ных. Последнее происходит в том, и только в том случае,
если сингулярный терм обозначает один и тот же индивид
не только в действительном мире (или, если обобщить
это, в каком-либо из рассматриваемых нами возможных
миров), но также и во всех альтернативных мирах, кото-
рые могли бы быть реализованы вместо него; другими
словами, если, и только если, существует индивид, кото-
рый он обозначает во всех альтернативных мирах. Но
обозначать данный индивид во всех альтернативных мирах
означает необходимо обозначать его. Следовательно,
утверждение (Ех)Л'(х = а) формулирует необходимое и
достаточное условие для того, чтобы терм а обозначал
определенный индивид в том смысле, к которому, по-ви-
димому, склонялась критика квантифицированной модаль-
ной логики.
Другие логики предпочли принять, что все свободные
индивидные символы логической системы являются допу-
стимыми подстановочными значениями связанных индивид-
ных переменных. При этом они были вынуждены огра-
ничить класс сингулярных термов, которые при интерпре-
тации могут быть подставлены вместо свободных инди-
видных символов, теми, которые обладают требуемым
видом единственности обозначения. Эта процедура вполне
осуществима, но она, как мне кажется, слишком сильно
ограничивает применимость наших логических систем. Эти
ограничения особенно стеснительны в тех областях, где
ВО
даже собственные имена могут не иметь требуемого вида
соотнесенности и поэтому не могут рассматриваться как
подстановочные значения свободных индивидных символов.
Это, по-видимому, происходит в эпистемической логике.
В работе [13] я утверждал, что в эпистемической логике
правильно определенная соотнесенность, с которой мы
здесь имеем дело, равнозначна известной соотнесенности.
Если это так, то собственные имена могут, конечно, не
обладать ею, так как субъект вполне может не знать,
на что ссылается некоторое собственное имя. Но если
даже собственные имена подводят нас, то что у нас
остается?
(4) Можно попытаться также провести модификацию
в совершенно ином направлении. Мы можем допустить
(а можем и не допускать), что индивиды, существующие
в одном положении дел, всегда существуют в альтерна-
тивных положениях дел. И наоборот, мы можем допустить
(или не допускать), что индивиды, существующие в одной
из альтернатив данного положения дел, всегда существуют
в этом данном положении дел. В системе, не содержащей
экзистенциальных предположений, эти допущения могут
быть очень просто формализованы путем введения пере-
носимости формул вида (Ех) (х = а) или (Ех) (а = х) из
модельного множества в его альтернативы, и наоборот.
В системах, содержащих экзистенциальные предположения,
ситуация будет сложнее. Простейшей и наиболее гибкой
системой является та, в которой нет допущения перено-
симости. Для получения такой системы мы должны моди-
фицировать (C.N+) так, чтобы его применимость обусло-
вить вхождением каждого свободного индивидного символа
предложения р по крайней мере в одну формулу р. Обо-
снование этой модификации очевидно: из (C.U) видно, что
в системах с экзистенциальными предположениями простое
наличие свободного индивидного символа в членах модель-
ного множества предполагает, что этот символ относится
к актуально существующему индивиду. Для того чтобы
не принимать допущения о том, что индивиды всегда пере-
ходят из некоторого возможного мира в его альтернативы,
мы должны, следовательно, избежать предположения
о том, что свободные индивидные символы можно перено-
сить из модельного множества в его альтернативы.
Возможные способы формулировки предположений
о таком перенесении в системах с экзистенциальными
предположениями коротко были обсуждены в другой моей
статье [12].
(5) До сих пор мы занимались способами получения,
новых систем модальной логики. Однако существуют
другие методы изменения, а именно методы формулиро-
вания предположений любой данной системы различными
способами, часть из которых нередко может быть более
полезной и плодотворной для определенных конкретных
целей, чем другие. В этой связи особенно полезно заме-
нять „глобальные" условия, относящиеся к отношению
альтернативности вообще, „локальными", касающимися
отношения некоторого м.м. к его альтернативам. Типичным
примером глобального условия является требование тран-
зитивности. Нетрудно показать1, что это условие можно
заменить (если нет других условий, добавленных к усло-
виям М) следующим локальным условием:
(C.NN+) Если MpCp^Q и если v является альтерна-
тивой р в Q, то Np Е v. Если это условие выполнено и
если другими условиями являются условия М, эффект
требования симметричности может быть достигнут путем
добавления следующего условия, которое опять-таки отно-
сится к „локальному" типу:
(C.NN+) Если и если v является альтерна-
тивой р в Q, то Np£p.
В самом деле, достаточно ясно, что это условие было
бы равнозначно требованию симметричности. Мы допустили,
что единственными другими условиями, касающимися от-
ношения между всеми альтернативами, являются (C.NN+)
и (C.N+). Однако последнее представляет собой следствие
первого и условия (C.N). Следовательно, единственным
важным в этом отношении условием является (C.NN+),
a (C.NN+) представляет собой его зеркальное отображение.
Мы можем также соединить два или более условий
в одно. Например, объединенное воздействие двух усло-
вий (C.N+) и (C.N), очевидно, можно частично получить,
используя следующее условие:
(C.M&N+) Если MgCpgQ, MfiEp, Л'р2£р, •••
..., N pk С р, то в Q существует некоторая альтернатива р,
содержащая все формулы q, ри р2, .... рк.
В некотором смысле даже все влияние (C.N+) полу-
чается с помощью этого правила, а именно в том смысле,
1 См. 113].
52
что каждое множество формул, которое выполнимо, оста-
ется выполнимым при замене (C.N+) на (C.M&N+),
и наоборот. Правда, это не очевидно. В случае некото-
рого м.м. р, содержащего бесконечно много формул вида
Л/р, из (C.N+) следует, что все альтернативы этого м.м.
также содержат бесконечно много формул. Наше новое
условие (С.M&N+) гарантирует лишь то, что для р сущест-
вуют альтернативы, содержащие любое данное конечное под-
множество бесконечного множества формул, которое (C.N+)
заставляет включать в каждую альтернативу р. То, что
более слабого условия (C.M&N+) тем не менее достаточно,
можно заключить из упомянутой выше теоремы полноты,
хотя, конечно, это еще не доказательство. Теорема гово-
рит, что для каждого множества формул, которое невы-
полнимо, можно показать это, пытаясь построить для
него некоторую модельную систему; если мы действуем
надлежащим образом, все возможные пути построения
заканчиваются нарушением (С. ~) после некоторого ко-
нечного числа шагов. Вследствие этого ограничения в до-
казательстве требуется всегда только конечное число при-
менений (C.N+). А для любого конечного числа применений
(C.N+) можно показать, что они заменимы применениями
(C.M&N + ).
Если к нашей базисной системе М добавлено требо-
вание транзитивности, то условие (C.M&N+) должно быть
заменено следующим условием:
(C.M&NN+) Если M^£pgQ, ATPi€p, Л/р2£р, ...
..., /VpA£p, то в Q существует по крайней мере одна
альтернатива р, содержащая все формулы q, Nplt Np2, ...
..., Npk.
Такие вариации наших первоначальных условий можно
продолжать почти бесконечно. Иногда они представляют
технический интерес. Еще более важно то, что часто они
помогают нам в интерпретации различных систем модаль-
ной логики сформулировать структуру различных инте-
ресных с философской точки зрения понятий, для анализа
которых мы хотим использовать нашу технику. Я приведу
здесь несколько примеров таких формулировок.
Если мы имеем дело с временной логикой или, более
точно, если мы читаем „Л1“ как „есть или будет, что", то
нашим „возможным мирам" можно придать очень ясное
значение: они будут состояниями мира в различные мо-
менты будущего. Каждое м. м. есть множество истинных
53
утверждений, которые все могут быть высказаны в один
и тот же момент (будущего) времени. Некоторое м. м.
есть альтернатива другого м. м., если и только если мо-
мент времени, связанный с первым м. м,, является более
поздним, чем момент времени, связанный со вторым м. м.
Тогда легко увидеть, что формулировка этой временной
логики получается посредством принятия нашей базисной
системы М и добавления к ее определяющим условиям
требования о том, что отношение альтернативности должно
быть линейным порядком1.
Говоря более точно, этим способом мы получаем ло-
гику времени, соответствующую классической физике. Если
же мы не хотим связывать нашу логику со старой физи-
кой, то поступим лучше, если каждое м. м. будем интер-
претировать как множество истинных утверждений, кото-
рые все могут быть высказаны в одной и той же точке
мира, и читать „М“ как „где-то случится так, что“. Тогда
мы больше не можем требовать, чтобы отношение альтер-
нативности (в этом случае, может быть, его было бы лучше
называть „отношением будущности**) было линейным по-
рядком. С релятивистской точки зрения мы, по-видимому,
должны иметь только транзитивность. Поэтому S4, может
быть, не так уж плоха в качестве системы временной
логики.
Мы можем увидеть также, какая система модальной
логики выступает в качестве формализации логической
возможности и логической необходимости. Мне представ-
ляется очевидным, что все, что логически необходимо
здесь и теперь, должно быть логически необходимо также
во всех логически возможных положениях дел, которые
могли бы быть реализованы вместо актуального положения
дел. (Логически возможно, что данный коллоквиум не был
бы проведен, но, безусловно, это не затронуло бы ни
одной логической истины). Это именно то, что говорит
(С. NN+). И наоборот, достаточно ясно также, что новая
логически необходимая истина не может явиться резуль-
татом реализации какой-либо логической возможности.
Короче говоря, мне представляется, что все, что является
логически необходимым в одном из логически возможных
1 Следовательно, S4 еще не является удовлетворительной систе-
мой этого рода временной логики, так как в S4 отношение альтер-
нативности не должно быть линейным; от него лишь требуется, чтобы
оно было транзитивным. См. [25] и [10].
£1
миров, должно быть также логически необходимым в дру-
гих логически возможных мирах. Но это предполагает,
что выполнено также (С. NN+). Вместе с (С. NN+) это
условие налагает на нашу модальную логику структуру
S5 Льюса. Таким образом, система S5 представляется
лучшей формализацией нашей логики логической необхо-
димости и логической возможности.
Однако здесь нужно сделать важное уточнение. В дан-
ном мною рассуждении не было ссылок на какой-либо
способ реального установления того, какие предложения
являются логически необходимыми или логически возмож-
ными. А такая ссылка существенна для корректности
рассуждения. В самом деле, мы получаем совершенно
разные результаты, если рассматриваем не „сами по себе"
логические истины, а лишь те из них, которые могут
быть доказаны посредством некоторого определенного
класса рассуждений, например в некоторой данной дедук-
тивной системе. Тогда „Nр“ будет означать, что р может
быть доказано посредством данных рассуждений, а „Мр“
будет означать, что р не может быть опровергнуто с их
помощью. Но если так, то такая формула, как
(iii) Мр п NMp,
вероятно, не будет значима, так как она бы означала,
что если р не может быть опровергнуто посредством
определенного класса рассуждений, то посредством тех
же самых рассуждений можно доказать, что оно не может
быть ими опровергнуто. В большинстве случаев это не-
верно. Тем не менее формула (iii) значима в S5, что
можно установить без особого труда. Следовательно, S5
на самом деле не может служить формализацией доказуе-
мой логической истины. Можно усомниться и в том,
являются ли даже законы S4 значимыми в этом смысле,
как свидетельствуют замечания Геделя в [15] о формуле
М (Np гэ р). Если так, то выводы Холлдена в [6] должны
быть исправлены.
Другие интерпретации указаны в моих прежних рабо-
тах. В одной из них я обсуждал аналогичные условия,
которым должны удовлетворять наши нормативные поня-
тия. (Новое обсуждение этого предмета дано в статье
„Деонтическая логика и ее философские следствия", поме-
щенной в [9].) В другой своей работе, [13], я проанали-
зировал в том же отношении наши основные эпистемические
55
понятия, а именно понятия знания и веры. Первое из них
является достаточно простым для того, чтобы его можно
было обсудить здесь. Предположим, что некто высказы-
вает некоторое число утверждений по одному и тому же
поводу, включая следующие: „для всего того, что я знаю,
возможно, что q“\ „я знаю, что р/*; „я знаю, что р.“, ...,
„я знаю, что pft“. В каком случае эта совокупность
утверждений будет непротиворечива? Кажется ясным, что
если для всего того, что он знает, действительно воз-
можно q, то для q должно быть возможно оказаться
истинным в то время, когда все, что он знает, является
истинным. При интерпретации „Л'“ =„я знаю, что“,
„Л4“ = „для всего, что я знаю, возможно, что" это как
раз то, что говорит (С.М&Л'+). Но этого еще не доста-
точно. Если наш субъект действительно знает то, что —
как он утверждает — он знает, то есть знает в том смысле,
в каком знание отличается от истинного мнения, то для q
должно быть возможно оказаться истинным в то время,
как он продолжает знать все то, что — как он утверж-
дает—он знает. Другими словами, реализация того, что
возможно для всего, что он знает, не должна заставить
его отказаться от какого-либо из его утверждений, если
он не хочет противоречить сам себе. Но это как раз то,
что требуется условием (C.M&AW+). А выполнение
этого условия означает, как мы видели, что логика зна-
ния по крайней мере столь же строга, как S4 Льюиса.
(Насколько я могу видеть, она в точности равнозначна
S4 при условии, что мы не обращаем внимания на
некоторые уточнения, которые я довольно подробно рас-
смотрел в работе [13], а также на тот факт, что эписте-
мические понятия обычно связываются с некоторым субъ-
ектом.)
В то же время, если наш субъект стремится лишь
к истинному мнению, ситуация будет иной. Нет противо-
речия в его отказе от одного из своих мнений, когда то,
что могло быть истинным, согласно его (истинному) мне-
нию, оказывается существующим. Другими словами, логика
истинной веры не есть S4, хотя логикой „реального*' зна-
ния является S4. Следовательно, наш подход приводит
к интересному, хотя и частичному, ответу на древний
вопрос относительно различия между „подлинным** знанием
и „только** истинным мнением. Если я прав, этим двум
понятиям соответствуют даже разные логики.
56
Этот момент очень интересен, поэтому его, может
быть, стоит развить дальше. С большим правом, чем ка-
жется на первый взгляд, можно сказать, что значение
(C.M&7V+) состоит в том требовании, что если р. выпол-
нимо и если M.q Ср, Np, £ И, Np^y,, < NPkGl1’ то
множество {q, plt р2, . ., pk\ также должно быть выпол-
нимо. Последнее . множество выполнимо, если, и только
если, импликация
q => (~ Pi\Z^P-N • • • V~ Pk)
не является общезначимой (логически истинной). Таким
образом, если (C.M&N+) используется с эпистемическими
понятиями, то его смысл состоит в требовании, что все
совместимое со знанием некоторого субъекта не должно
содержать возражения против того, что он знает осо-
знанно.
Аналогичным образом, смысл более строгого условия
(C.M&NN *) в эпистемических контекстах состоит в требо-
вании, что все совместимое со знанием некоторого субъекта
не должно содержать возражения против его утверждения,
что он знает то, что он знает осознанно. Ибо суть этого
условия сводится, как можно показать, к тому требо-
ванию, что выполнимость ц (вида, упоминаемого в
(C M&NN + )) влечет, что импликация
q => (~ Npi\/~ Npt\/.. \J~Npk)
незначима. Отсюда видно, что если мы имеем дело с под-
линным знанием, а не только с истинным мнением, то
(C.M&NN+) должно быть выполнено. Утверждение субъ-
екта о знании мира в этом смысле может быть подвергнуто
критике не только посредством указания на то, что факты
не таковы, какими они должны быть, согласно его ут-
верждению, но также и посредством указания на то, что
он в действительности не знает (не в состоянии знать),
что они таковы, каковы есть на самом деле. Кроме того,
истинное мнение не удовлетворяет (C.M&NN+), хотя оно
удовлетворяет (C.M&N + ). (Конечно, большая часть того,
что считается знанием в обычной речи, в смысле нашего
точного различия будет лишь истинным мнением.)
ЛИТЕРАТУРА
1. Bergmann Ci. The Philosophical Significance of Modal
Logic.— “Mind”, № 69, 1960, p. 466—485.
57
2. Dugundji J. Note on a Property of Matrices for Lewis
and Langford’s Calculi of Propositions.— “The Journal of Symbolic
Logic”, № 5, 1940, p. 150—151.
3. F и 1 e s d a 1 D. Referential Opacity and Modal Logic.—
Неопубликованная докторская диссертация в Гарвардском универ-
ситете, 1961.
4. Godel К. Zum intuitionistischen Aussaeenkalkiil.— Akademie
der Wissenschaften in Wien, Mathematisch— naturwissenschaftliche
Klasse, 1932, S. 65—66.
5. Godel K. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussa-
genkalkiils.— „Ergebnisse eines mathematischen Kolloqiums“, vol. IV,
1933.
6. Hall den S. A. Pragmatic Approach to Modal Logic.—
„Filosofiska studiei tillagnade Konrad Marc—Wogau", 4 april 1962.
Uppsala, 1962, p. 82—94.
7. H i n t i k k a J. Form and Content in Quantification Theory.—
“Acta Philosophica Fennica”, № 8, 1955, p. 7—55.
8. H i n t i k k a J. Notes on Quantification Theory.— “Societas
Scientiarum Fennica”. Commentationes phys.— math., 17, 1955,
№ 12.
9. H i n t i k k a J. Deontic Logic and Its Philosophical Morals.—
“Models for Modalities”. Dordrecht—Holland, 1969, p. 184—214.
10. Hintikka J. Review of Prior’s Time and Modality.—
“The Philosophical Review”, № 67, 1958, p. 401—404.
11. Hintikka J. Existential Presuppositions and Existential
Commitments.— “The Journal of Philosophy”, №56, 1959, p. 125—137.
12. Hintikka J. Modality and Quantification.— “Theoria”,
№ 27, 1961 (рус. nep. см. в данной книге, с. 60—75).
13. Hintikka J. Knowledge and Belief: An Introduction to
the Logic of the Two Notions. Ithaca, N. Y., 1962, p. 129—131.
14. Kanger S. Provability in Logic.— “Stockholm Studies in
Philosophy”, vol. 1, Stockholm, 1957.
15. Kanger S. The Morning Star Paradox.— “Theoria”, №23,
1957, p. 1—11.
16. Kanger S. A Note on Quantification and Modalities.—
Ibid., p. 133—134.
17. Kanger S. On the Characterisation of Modalities.— Ibid.,
p. 152—155.
18. Kripke S. A Completeness Theorem in Modal Logic.—
“The Journal of Symbolic Logic”, № 24, 1959, p. 1—14 (русск.
пер.: С. А. Крипке. Теорема полноты в модальной логике.—
В: Р. Фейс. Модальная логика. М., „Наука", 1974, Приложения).
19. Kripke S. Semantical Considerations on Modal Logic.—
Proceedings of a Colloquium on Modal and Many—Valued Logics.
Helsinki, 23—26 August, 1962. Acta Philosophica Fennica, 16, 1963,
p. 83—94 (рус. nep.: С. А. Крипке. Семантическое рассмотрение
модальной логики. Наст, том, с. 27—40).
20. Kripke S. Semantical Analysis of Modal Logic I: Normal
Modal Propositional Calculi.— “Zeitschrift fur mathematische Logic
und Grundlagen der Mathematik”, № 9, 1963, S. 67—96 (pyc. nep.:
С. А. Крипке. Семантический анализ модальной логики. I. Нор-
мальные модальные исчисления высказываний.— В: Р. Фейс.
Модальная логика. М., „Наука", 1974. Приложения).
68
21. К ri р к e S. Semantical Analysis of Modal Logic II: Non-Normal
Modal Propositional Calculi.—“TheTheory of Models”. Amsterdam, 1965,
p. 206—220 (русск. nep.: С. А. Крипке. Семантический анализ
модальной логики. II. Не-нормальные модальные исчисления выска-
зываний. Там же).
22. Kripke S. The Undecidability of Monadic Modal Quanti-
fication Theory.— „Zeitschrift file mathematische Logic und Grund-
lagen der Mathematik”, № 8, 1962, S. 43—116 (pyc. nep.:
С. А. Крипке. Неразрешимость одноместного модального исчис-
ления предикатов. Т. м же).
23. Montague R. Logical Necessity, Physical Necessitys
Ethics, and Quantifiers.— “Inquiry”, № 3, 1960, p. 259—269.
24. Montague R. and Kalish D. That.—“Philosophical
Studies”. № 10, 1959, p. 54—61.
25. Prior A. N. Time and Modality. Oxford, 1957.
26. Quine W. V. From a Logical Point of View. 9 Logico-
Philosophical Essays. 2nd ed., rivised. Cambridge, Mass., 1961.
27. Quine W. V. Quantifiersand Propositional Attitudes.—
“The Journal of Philosophy”, № 53, 1956, p. 177—187.
28. Quine W. V. Word and Object New York and London,
1960.
29. Wright G. H. von. Essay in Modal Logic. Amsterdam,
1951.
Я- Хинтикка
МОДАЛЬНОСТЬ И КВАНТИФИКАЦИЯ*
Многие ветви логики можно изучать двумя различными
(хотя и взаимосвязанными) методами, которые обычно назы-
ваются синтаксическим и семантическим. В этой статье я
дам очерк некоторых основных идей семантической теории
модальной логики, включая квантифицированную модаль-
ную логику. Я буду опускать большую часть доказательств,
так как более полное изложение легко осуществить на базе
и этого очерка
Фундаментальным понятием семантической теории
обычно является понятие истины. Если же при некоторой
отдельной интерпретации логических формул нас интере-
сует не вопрос об истине, а вопрос о том, существуют ли
какие-либо интерпретации, которые делают истинным дан-
ное множество формул (короче говоря, если нас не инте-
ресует отдельная интерпретация), то в качестве фундамен-
тального понятия семантической теории мы можем избрать
понятие выполнимостиа. Если отрицание некоторой фор-
мулы р невыполнимо, то р называется общезначимой.
Для обычной немодальной логики (теории квантифика-
ции) понятие выполнимости может быть определено (следуя
* Н i n t i k k a J. Modality and Quantification Models for Moda-
lities. Dordrecht, 1969, p. 57—70.
x Я знаю, что некоторые из моих наблюдений были предвосхищены
различными логиками, включая О. Беккера, X. Карри, П. Гича,
М. Гюллеума, С. Кангера, С. Крипке, Дж. Маккинси, К. Мередита и,
может быть, других. Одиако я не буду заниматься выяснением точного
отношения их идей к моим.
2 Здесь рассматриваются лишь различные интерпретации не-ло-
гических символов. Интерпретация логических констант (связок и
кванторов) считается фиксированной.
60
Карнапу, с небольшими модификациями) следующим обра-
зом: множество формул X выполнимо, если и только если
существует некоторое описание состояния, в котором спра-
ведливы все члены К. (Некоторая формула выполнима, если
и только если выполнимо единичное множество, содержащее
эту формулу.) Некоторое множество формул р является
множеством всех формул, которые истинны в некотором
отдельном описании состояния, если и только если оно
удовлетворяет следующим условиям:
(С.1) Если р есть атомарная формула или равенство,
то либо р£р, либо~ р£у, но не то и другое вместе.
(С.2) Если р — атомарная формула или равенство и если
все свободные индивидные переменные р встречаются в дру-
гих формулах р, то либо р£у, либо~ р£у.
(С.З) Если р — атомарная формула или равенство, если
q отличается от р лишь тем, что а и b заменили друг
друга в одном или нескольких местах, если р£у и если
a = b £ р, то Q € Р-
(С.4) Неверно, что ~ (а = а] £р.
(С.5) Если (p&q)£y, то pgp и г/(Ер.
(С.6) Если р £ р и q (Е р, то (p&q) £ р.
(С.7) Если (pVp)€p> то р€р или q С р (или оба).
(С.8) Если р £ у или (Е р и если все свободные индивидные
переменные (р V q) встречаются в других формулах р, то
(pV q)e Р-
(С.9) Если (Ex) р (Е р, то р (а/х) £ р по крайней мере
для одной свободной индивидной переменной а.
(С. 10) Если р(а/х)£у по крайней мере для одной сво-
бодной индивидной переменной а, то (Ex) р С р-
(С. 11) Если (Ux)p£y и если b встречается по крайней
мере в одной формуле р, то р (b/х) р.
(С. 12) Если р (b/х) С р для каждой свободной индивидной
переменной Ь, которая встречается в формулах р, то
(Ux) р е р.
Замечания:
(1) Условия (С.1) — (С.4) здесь обеспечивают, что та
часть р, которая состоит из атомарных формул и равенств,
является некоторым описанием состояния (в смысле, близ-
ком карнаповскому). Другие условия служат для обеспе-
чения того, чтобы, с одной стороны, все остальные фор-
мулы р были истинны в данном описании состояния и,
с другой стороны, чтобы все формулы, истинные в данном
61
описании состояния, принадлежали к р. Эти условия яв-
ляются не чем иным, как вариантам: обычных семанти-
ческих правил для &, V» Е и V.
(2) В условиях (С. 1)—(С. 12) я использовал следующие
предположения:
(i) р, q, ... являются произвольными формулами;
(ii) а, Ь, ...— произвольные свободные индивидные
переменные;
(iii) х, у, ... суть произвольные связанные индивид-
ные переменные;
(iv) р (а/х) есть формула, полученная из р посредством
повсеместной замены х на а;
(v) все пропозициональные связки, кроме & и V>
могут быть элиминированы;
(vi) все формулы, с которыми мы имеем дело, могут
быть приведены к такому виду, в котором знаки отрица-
ния встречаются только непосредственно перед атомарными
формулами или перед равенствами;
(vii) знак € представляет собой металогическое сокра-
щение для фразы „является членом...“
(3) Если мы хотим исключить пустоту универсума рас-
суждения, то этого можно добиться путем принятия сле-
дующего дополнительного условия:
(C.U) Если (1/х)р£р, то р(а/х)£р для по крайней
мере одной свободной индивидной переменной а.
Таким образом, мы можем переформулировать наше
первоначальное определение и сказать, что некоторое мно-
жество формул выполнимо, если и только если оно может
быть включено в множество, которое удовлетворяет усло-
виям (С.1)—(С. 12). (Множество, удовлетворяющее этим
условиям, будет называться полным описанием состояния.)
Однако почти половина этих условий является излиш-
ней. Множество формул, удовлетворяющее условиям (С. 1),
(С.З), (С.4), (С.5), (С.7), (С.9) и (С.11), я буду называть
модельным множеством и буду обозначать эти семь условий
как (С.~), (С.=), (С.само^), (С.&), (C.V). (С.Е) и (C.U)
соответственно. Я покажу, каким образом можно доказать,
что множество X формул выполнимо, если, и только если,
его можно включить в некоторое модельное множество (то
есть если и только если существует модельное множество р
такое, что р э X).
Доказательство: (1) Часть, относящаяся к „только
если", тривиальна. (2) Для того чтобы доказать часть,
62
относящуюся к „если**, достаточно доказать две следующие
леммы:
(А) Каждое модельное множество может быть включено
в максимальное модельное множество.
(В) Каждое максимальное модельное множество является
полным описанием состояния.
Из этих лемм следует, что любое множество формул,
которое можно включить в модельное множество, можно
включить и в максимальное модельное множество, то есть
в полное описание состояния. (Под максимальностью мо-
дельного множества р мы подразумеваем, что не суще-
ствует более широкого модельного множества vcop, такого,
что каждая свободная индивидная переменная, встречаю-
щаяся в формулах v, уже встречается в формулах р.)
Лемму (В) можно доказать проверкой того, что если
одно из условий (С.2), (С.6), (С.8), (С. 10), (С. 12) не выпол-
няется модельным множеством р, мы можем добавить к р
новую формулу так, чтобы получить более широкое модель-
ное множество. Лемму (А) можно доказать на основе леммы
Цорна точно так же, как соответствующий результат для
множеств с некоторым свойством финитного характера
(см. [1]).
Интуитивно данный результат можно выразить, сказав,
что модельное множество являемся формальным аналогом
частичного описания возможного состояния дел (некото-
рого „возможного мира"). (Этого описания, однако, вполне
достаточно для того, чтобы не сомневаться, что данное
состояние дел действительно возможно.) Поэтому было бы
естественно сказать, что некоторое множество предложений
выполнимо, если и только если оно может быть вклю-
чено в (частичное или полное) описание возможного состоя-
ния дел, а это как раз и есть то, что нами было показано
для того случая, когда модельные множества интерпрети-
руются как такие описания.
Эта идея помогает нам расширить понятие выполнимости
на множества формул, которые могут содержать модаль-
ные операторы. Прежде всего она говорит нам, что, когда
мы рассматриваем такие формулы, мы не можем обойтись
рассмотрением только одного модельного множества. При
обсуждении таких понятий, как возможность и необходи-
мость, мы должны рассматривать состояния дел, отличные
от действительного. Следовательно, в определении выпол-
нимости мы должны рассматривать множества модельных
63
множеств. Такие множества множеств мы будем называть
модельными системами.
Каким же условиям должны удовлетворять модельные
системы? Допустим, что Мр £ р g Q, где Q является модель-
ной системой (и где М обозначает „возможно"). Тогда, оче-
видно, мы должны потребовать, чтобы р, которое, может
быть, не является истинным в состоянии дел, описывае-
мом р, должно быть тем не менее истинным в некотором
другом состоянии дел, которое могло бы быть реализовано
вместо того, которое описывается посредством р. Описания
таких состояний дел будут называться „альтернативами р“.
Другими словами, должно быть выполнено следующее
условие:
(С.М*) Если AfpGp, то в Q существует по крайней
мере одна альтернатива v к р такая, что р g v.
Допустим снова, чго /Vp£p£Q, где Q является модель-
ной системой (и где N обозначает „необходимо") Тогда мы
должны потребовать, чтобы то, что происходит необходимо,
происходило реально
(C.N) Если Npfzp, то р£р.
Однако это не исчерпывает „значения" выражения Rp.
Когда мы говорим, что нечто имеет место необходимо, мы
говорим больше, чем прост» то, что оно имеет место в дей-
ствительности Мы говорим, что это неизбежно имеет место,
что это происходило бы во всех других положениях дел,
которые могли бы быть осуществлены вместо реального
положения дел. Говоря формально, должно быть принято
следующее условие-
(C.N + ) Если Np£p££i и если vgQ является альтер-
нативой р, то p£v.
Условий (С.М*), (С-N) и (C.N*) достаточно для семан-
тической трактовки некоторой минимальной части модаль-
ной логики. Определение выполнимости, к которому они
приводят, можно выразить следующим образом: множество
1 формул выполнимо, если и только если существует
модельная система <Q, R>, такая, что для некоторого
члена Q, скажем р, имеет место р X. Модельная система
есть пара <Q, /?>, первым членом кг торой является множе-
ство модельных множеств, каждое из которых выполняет
условие (C.N). Второй член этой пары R есть двухместное
отношение на Q, называемое отношением альтернативности.
Требуется, кроме того, чтобы Q и R удовлетворяли усло-
виям (С.М*) и (C.N+). Благодаря эквивалентностям ~Np =з
64
s= М ~ р и ~ р можно принять также предпо-
ложение минимальности.
Полученная таким образом семантическая система экви-
валентна хорошо известной синтаксической (аксиоматиче-
ской) системе модальной логики, которая впервые была
предложена Куртом Геделем и была названа фон Вригтом
в [2] системой М. Эта эквивалентность означает, конечно,
что некоторая формула доказуема в М, если и только
если она значима в нашей семантической системе.
Если мы добавляем условие, что отношение альтерна-
тивности должно быть транзитивным, то получаем более
строгую систему, которая в том же смысле эквивалентна
системе S4 Льюиса. Если потребовать, чтобы отношение
альтернативности было симметричным, мы получим семан-
тическую систему, синтаксический аналог которой полу-
чается из М добавлением так называемой аксиомы (аксиом-
ной схемы) Брауэра:
р щ NNip.
Если потребовать, чтобы это отношение было транзи-
тивным и симметричным, мы получим систему, которая
эквивалентна S5 Льюиса. Посредством наложения опреде-
ленного ограничения на (С.М *) в семантических аналогах
М и S4 может быть дана аналогичная семантическая интер-
претация системам S2 и S3 Льюиса1.
Я не буду здесь доказывать этих результатов. Вместо
этого я кратко рассмотрю проблемы, возникающие при
соединении модальностей с кванторами (и/или равенством).
Использование кванторов приводит к изменениям в при-
веденных выше условиях, ибо на основе этих условий мы
могли бы доказать результаты, которые, очевидно, проти-
воречат интуиции. Например, мы могли бы „доказать", что
значима следующая формула:
(1) (Ex)MP(x) щ N (Ех)Р(х).
Однако формула (1), очевидно, неприемлема в качестве
общего логического принципа. Для демонстрации этого мы
могли бы допустить, что каждое колесо является необхо-
1 Это ограничение можно было бы сформулировать, добавив
к (С.М *) следующий пункт: „При условии, что р не является альтер-
нативой какого-либо другого члена й или что в р существует по
крайней мере одна формула вида Nq“.
Мое внимание к тому, что S2 и S3 могут быть получены таким
образом, впервые привлек С. Крипке.
3 № 1212
65
димо круглым. Однако из того, что существуют колеса, мы
не могли бы заключить, что существование круглых объек
тов — необходимое и неизбежное свойство мира.
Рассуждение, показывающее значимость формулы (1),
можно представить следующим образом. Предположим
обратное:
(2) (Ex)7VP(x)Gpefi,
(3) М (Ux) ~ Р (х) G и € П
(для некоторого модельного множества р и модельной си-
стемы Q), откуда вытекает, что (1) незначима, то есть что
отрицание этой формулы выполнимо. Теперь это предпо-
ложение можно свести к абсурду. В самом деле, из (2) мы
получаем:
(4) NP(a)€v
для некоторого а в силу (С.Е), и из (3), согласно (С.М*),
мы получаем:
(5) (£/х)~ Р(х)€ vgfi
для некоторой альтернативы v к р. На основании (C.N+)
мы получаем из (4):
(6) P(a)ev.
И на основе (C.U) мы из (5) получаем
(7) ~Р(а)(^.
Последняя формула вместе с (6) нарушает наше условие
(С.~). Таким образом, редукция закончена и посредством
этого обоснована „общезначимость" формулы (1).
Так как (1), очевидно, не является логической истиной,
где-то в нашем рассуждении должен обнаружиться ложный
шаг. То, что (5) говорит обо всех индивидах, существую-
щих в возможном мире, описываемом v, в шаге (7) мы
применяли к частному случаю индивида а. Но почему мы
должны считать, что а существует в этом возможном мире?
По-видимому, на том основании, что этот термин встре-
чается в формулах V, о чем свидетельствует (6). В таком
случае, на каком основании мы утверждаем (6)? Этот шаг
основывается на (C.N+). Однако ясно, что переход от (4)
к (6) включает в себя нечто незаконное. В (4) мы говорим
о том, что а не может не иметь свойства Р. Из этого вовсе
не следует, что а существует и обладает свойством Р в каж-
дом альтернативном мире. Отсюда следует лишь то, что
66
если он существует в одном из них, то он будет обладать
этим свойством. Следовательно, шаг (6) возможен только
еще при одном предположении, которого здесь нет, а именно
при предположении о том, что а существует в мире, опи-
сываемом посредством v.
Этот анализ может быть обобщен. Для этого мы должны
взглянуть на (С.Е) и (C.U). Они показывают, что каждая
свободная индивидная переменная, встречающаяся в фор-
мулах р, ведет себя точно так же, как индивидный терм,
референт (носитель) которого реально существует в поло-
жении дел, описываемом р. Таким образом, мы можем
сказать, что наличие свободных переменных в формулах р
является формальным аналогом существования их значений
в положении дел, описываемом р.
Отсюда следует, что когда формула р переносится из
модельного множества р в одну из его альтернатив, ска-
жем v, мы должны обращать внимание на те свободные
переменные, которые содержит р. Если одна из них не
встречается в других формулах v, то присоединение р к v
законно только в том случае, если нужные нам значения
этой свободной индивидной переменной считаются суще-
ствующими не только в положении дел, описываемом р,
но также и в положении дел, описываемом v. Вообще
такого предположения сделать нельзя. Индивиды, которые
существуют de facto, возможно могут не существовать.
По этой причине условие (C.N+) должно быть заменено
следующим условием:
(C.N*) Если Nр gpg£2, если является альтерна-
тивой р и если каждая свободная индивидная переменная р
встречается по крайней мере в одной другой формуле v,
то p£v.
Легко увидеть, что если (C.N+) заменяется на (C.N*),
то (1) больше не будет значимой формулой. Действительно,
шаг (6) из приведенного выше рассуждения не будет оправ-
дан условием (C.N*) и не может быть осуществлен никаким
другим путем в терминах этого модифицированного усло-
вия. Вместо этого рассуждение (2) — (5) дает нам, в сущ-
ности, контрпример для значимости (О- в самом деле.
R = {p, v}, где v является альтернативой р и где
р = {(Ex) Р'Р (х) & М (Ux) ~ Р(х), (Ex) NP (х),
М (Ux) ~ Р (х), NР (а), Р(а)\,
v = {(Ux)~P(x), ~Р(Ь)}
3*
67
представляет собой модельную систему (в новом смысле,
определяемом посредством (C.N*) вместо (C.N+)), которая
показывает, что формула (1) не общезначима.
Можно, конечно, принять предположение о том, что
все, существующее в некотором возможном положении дел,
существует также во всех альтернативных положениях
дел; короче говоря, что все существующее существует необ-
ходимо. Однако важно понять, что в таком предположении
нет нужды. И важно также понять, что, если это предпо-
ложение принимается, мы обычно должны вносить другие
изменения в наши условия в дополнение к усилению (C.N+)
до (C.N*). Если в основе отношения альтернативности
лежит отношение достижимости, то можно видеть, что
должно быть выполнено следующее условие, если каждый
актуально существующий индивид считается существующим
необходимо:
(С.U*) Если (Ux)p£y и если Ь встречается в формулах
некоторого модельного множества, из которого достижимо
р (или в формулах |л), то р(Ь'х)£у,.
Это новое условие действительно необходимо, так как
можно показать, что (C.N+) не влечет (C.U*) и (C.U*) не
влечет (C.N+). Однако (С.О*) и (C.N+) являются следст-
виями следующего условия, которое в явном виде исчер-
пывающе выражает предположение о том, что свободные
индивидные переменные могут переходить из одного мо-
дельного множества в его альтернативы:
(С.само =*) Если а встречается по крайней мере в одной
формуле р и если v является альтернативой р, то
(а = а)£ V.
Таким образом, мы получили две различные системы,
одна из которых обходится без предположения о том, что
все актуально существующие индивиды существуют необхо-
димо, а другая принимает это предположение. Первая
использует наши первоначальные условия, за исключением
того, что (С. N4) заменяется на (C.N*). Мы будем называть
ее системой М. Другая будет называться системой М*. Ее
можно получить, присоединив к условиям М добавочное
условие (С.само =*). Однако это не единственный способ
получить ее. М* может быть получена из М посредством
усиления условий (C.N + ) и (C.U) до (C.N*) и (C.U*) соот-
ветственно. Можно показать, что каждое множество фор-
мул, которое выполнимо в получившейся системе, выпол-
68
пимо также и в М*. (Обратный результат следует из того,
что было сказано выше.)
Чтобы проиллюстрировать использование (С.само =*),
аналогичное использованию (C.N*) (и (C.U*)), можно ука-
зать на то, что рассуждение (2) — (7), изложенное выше,
может быть осуществлено благодаря этому условию сле-
дующим образом: (2) — (5) остаются прежними; затем
(5*) (a = a)£v
из (4) на основе (С.само — *). Теперь (6) оправдывается
с помощью (C.N+). Последний шаг (7) получается прежним
способом, завершая рассуждение.
Используя (С.U*) вместо (C.U), мы можем рассуждать
следующим образом: (2) — (5) опять остаются прежними;
(7) следует из (5) благодаря (C.U*), а (6) получается соот-
ветственно на основе (C.N*), а не (C.N+).
Эти варианты иллюстрируют ту мысль, что М* может
быть получена различными способами.
Из М и М* мы получаем две новые системы, добавляя
к их условиям новое условие (C.U). Здесь мы можем исполь-
зовать любую формулировку М*. Если используется вто-
рая формулировка, то становится возможным упрощение,
состоящее в том, что нет необходимости усиливать (C.U)
до (С.U*).
Система М заслуживает особого внимания, поскольку
возможность обойтись без более строгих предположений,
характеризующих М*, не всегда достаточно ясна. В част-
ности, эти предположения легко ускользают в синтакси-
ческой (дедуктивной) формулировке квантифицированной
модальной логики.
Действительно, если обычные аксиомы и правила вывода
пропозициональной модальной логики просто соединяются
с обычными аксиомами (и, может быть, правилами вывода)
для кванторов, мы, как правило, получаем AV, а не М, не
замечая того, что мы приходим к слишком строгому и часто
неоправданному предположению о том, что все индивиды,
существующие в одном возможном мире, должны существо-
вать во всех его альтернативах.
Для того чтобы предохранить себя от принятия этого
предположения, мы должны добавить соответствующую
оговорку ко многим обычным аксиомам или правилам вы-
69
вода. Например, к хорошо известному правилу вывода
р=>д
Np :□ Nq
мы должны добавить требование, гласящее, что все свобод-
ные индивидные переменные р должны встречаться также
в q.
Аналогично даже к modus ponens
р.
Q
мы должны добавить то требование, что все свободные
переменные р должны встречаться в q.
Целесообразность этих ограничений нелегко увидеть
в рамках дедуктивной структуры, о чем свидетельствует
их отсутствие на ранних стадиях развития квантифициро-
ванной модальной логики. Преимущества семантического
подхода иллюстрируются той легкостью, с которой мы
обнаружили, что нужно заменить (C.N + ) на (C.N*).
В М* предполагалось, что каждую свободную индивид-
ную переменную можно переносить из некоторого модель-
ного множества в его альтернативы. Мы можем построить
также еще более строгую систему—назовем ее М**,— в ко-
торой такой перенос разрешается не только в альтернативы
некоторого модельного множества, но даже в произвольные
члены той же самой модельной системы. М** может быть
получена из М* следующим усилением условия C.U*:
(С.U**) Если (Ux) р Ср и если b встречается в формулах
некоторого модельного множества, принадлежащего к той
же самой модельной системе, что и р, то р (b/x) С р-
Если нас интересует только выполнимость множеств
формул, то имеется более экономный способ получения М**.
Можно показать, что понятие выполнимости (определенное
для множеств формул) не затрагивается, если к условиям М
(или М*) мы присоединяем следующее условие:
(С .дос) В каждой модельной системе существует по
крайней мере одно модельное множество, из которого дости-
жимы все другие члены этой модельной системы.
Если (С.дос) выполнено, то М** может быть получена
из М* посредством присоединения к условиям М* следующей
„инверсии"* (C.U*):
(С.U*) Если (£/х)рСи « если b встречается в форму-
лах некоторого модельного множества, которое достижимо
из р, то р(Ь/х)Ср.
70
И наоборот, мы можем присоединить к условиям М*
аналогичную инверсию (С.само=,) условия (С.само=*).
Примером формулы, которая значима в М**, но не в М*,
является формула Баркан
М (Ex) Р(х)зэ(Ех) МР (х).
Однако очевидно, что формула Баркан неприемлема
для большинства модальностей в качестве значимого логи-
ческого принципа. Ясно, что возможность существовать не
всегда приводит к актуальному существованию: регулиро-
вание рождаемости не является логически невозможным.
Если отношение альтернативности считается симмет-
ричным, то различие между М* и М** исчезает (при усло-
вии, что (С.дос) выполнено). Так как предположения,
лежащие в основе М*, легко проникают в обычные дедук-
тивные системы квантифицированной модальной логики,
можно ожидать, что даже более строгие незаконные пред-
положения, лежащие в основе М**, столь же легко про-
никают в те дедуктивные системы, в которых отношение
альтернативности неявно считается симметричным. При-
мером этого является S5 Льюиса. Это ожидание действи-
тельно оправдывается: формула Баркан доказуема в кван-
тифицированной S5 без каких-либо добавочных предполо-
жений (см. [3]).
Некоторый интерес может представлять рассмотрение
того, каким образом формула Баркан может быть дока-
зана в М** различными способами. Рассуждение снова
будет строиться по типу reductio ad absurdum. Противо-
речащим предположением является
(8) М(Ех)Р(х)£у£&,
(9) (Ux)N ~ Р(х)ер£Й
для некоторой подходящей модельной системы Q. Из (8)
следует, что
(10) (Ex)P(x)£vGQ
для некоторой альтернативы v к р. Кроме того,
(И) P(a)£v
из (10) посредством (С.Е) для некоторого а. Теперь мы
можем получить
(12) N-PWSv.
71
из (9) и (11) на основе (C.U**) или (C.U.), что в свою
очередь благодаря (C.N*) влечет
(13) ~P(a)€v,
которая вместе с (12) нарушает (С.—), завершая, таким
образом, наше рассуждение.
Если мы используем (С.само=»), а не (C.U**) или (C.U»),
то вместо (12) можем получить
(И*) (а = п)ен
из (11) на основе (С.само=*). Тогда (12) следует благодаря
простому (C.U), а (13) — благодаря (C.N*).
Если отношение альтернативности считается симмет-
ричным, р является альтернативой v (благодаря симмет-
рии), и мы получаем (даже на базе одних предположе-
ний М*) (И)* из (11) благодаря (С.само*) и т. д. или
(12) из (9) благодаря (C.U*), действуя дальше, как и
раньше.
Однако если не предполагается перенесение перемен-
ных (и не предполагается симметричности), рассуждение,
начинающееся с (8) — (9), приводит, в сущности, к модель-
ной системе О, которая показывает незначимость формулы
Баркан в М*. Действительно, все, что мы должны сде-
лать, это установить Й = {р, v), в которой v является
альтернативой р и
р = {М (Ex) Р (х) & (Ux) N ~ Р (х), М (Ex) Р (х),
(Ux) N~ Р (х), М ~ Р (b), ~ Р (Ь)),
v~{(Ex)P(x), Р (а), ~Р(Ь)\.
Таким образом, мы достигли очень большой гибкости.
Мы можем допустить принцип переноса, на котором осно-
вывается значимость формулы Баркан, и можем сделать
это даже различными способами, но, делая это, мы должны
ясно понимать, что именно и для чего мы делаем.
Можно поставить вопрос относительно того, возможно
ли в М усилить условие (С.— ) до некоторой формы (будем
называть ее(С. = !)), в которой снято ограничение на ато-
марные формулы и равенства. Оказывается, что, если
принять условие (С. = 1), мы выходим за рамки М (или М*)
и получаем более строгую систему, которую можно полу-
чить также, приняв следующее условие:
72
(С.=*) Если a = b£p, если v является альтернативой pi
и если а и b встречаются в формулах v, то a = b С v> или
в еще более простой форме:
(C.N = !) Если a — bgp, то /V(a = b)Gp.
Другими словами, допущение (С.=!), отличного от
(С.=), равнозначно допущению отом, что все равенства не-
обходимы. Это весьма интересно, так как (С. = !) для всех
практических целей идентично одной из форм принципа
замены равных. Поскольку не имеет смысла предполагать,
что все равенства необходимы, постольку эквивалентность
(С.=!) и (C.N = !) дает серьезный аргумент против этого
варианта данного принципа.
Тем не менее прицип замены равных—даже в рас-
сматриваемой здесь форме — иногда принимается (более
или менее явно) при построении синтаксических (дедук-
тивных) систем квантифицированной модальной логики.
Поэтому неудивительно, что в таких системах можно „дока-
зать" столь парадоксальные „теоремы", как, например,
(14) (a = b)^>N (a — b).
Опять-таки может оказаться поучительным беглое срав-
нение различных способов, с помощью которых может
быть „доказана" формула (14). Будем использовать (а=/=Ь)
в качестве сокращения для ~ (а = Ь). Предположим, что
(15) (а = Ь)€р€П,
(16) М(а#=Ь)СцеП.
Эти два утверждения образуют предположение, которое
должно быть сведено к абсурду, й является, конечно,
модельной системой. Тогда мы получаем
(17) (а#=Ь)£л>еЙ
из (16), согласно (С=М*), для некоторой альтернативы v
к р. Теперь из (15) условие (С.=*) дает
(18) (a = b)€v.
Последняя формула вместе с (17) противоречит (С.~),
щвершая, таким образом, сведение к абсурду.
Если мы не хотим использовать (С \, мы можем рас-
суждать следующим образом: (15) — (17) остаются преж-
73
ними. Вместо (18) мы получаем
(18)* Л4(а=^п)€р,
из (15) — (16) на основе (С.= !). Это влечет
(19) (a=Aa)€X£Q
благодаря (С.М*) для некоторой альтернативы X к р. Но
(19) нарушает (С.само^), завершая, таким образом, све-
дение.
В ином случае, используя (C.N = 1), мы можем дейст-
вовать следующим образом: (15) — (17) остаются прежними.
Вместо (18) мы можем сначала получить
(18**) М(а==Ь)€р
из (15) благодаря (CN = I). Тогда (18) следует из (18**)
благодаря (C.N=*), и сведение вновь будет завершено.
Однако ни одно из этих рассуждений не может быть
осуществлено, если все незаконные предположения отверг-
нуты, и тогда легко построить контрпримеры для того,
чтобы показать незначимость (14).
Если отношение альтернативности считается симмет-
ричным, то (С. =*) влечет некоторую свою „инверсию" (кото-
рая может быть названа (С.=»)), получаемую из него бла-
годаря тому, что р и v меняются ролями. В системе,
которая принимает такое предположение, можно „дока-
зать", что каждая пара, возможно, тождественных индиви-
дов состоит из актуально тождественных индивидов. При-
мером может служить дедуктивная система квантифици-
рованной S5 с принципом замены равных в качестве одной
из аксиом. Мы видели, однако, что нет необходимости
принимать (С. = !), отличное от (С.=). Напротив, наши рас-
суждения должны были показать, что принцип замены
равных нормальным образом неприемлем в модальной
логике, по крайней мере в той форме, которая была рас-
смотрена здесь. Одной из причин того, что этот принцип
часто принимается, является неспособность логиков уви-
деть, что (С. = !) включает в себя бесконечно много гораздо
более серьезных и сомнительных предположений, чем (С.=).
Кроме того, синтаксические методы часто не дают воз-
можности заметить реально принимаемых предположений.
Семантический же подход выявляет эти предположения
и показывает, каким образом можно обойтись без них.
74
Однако нужно еще исследовать, нельзя ли поддержать
принцип замены с помощью других соображений и нет
ли некоторого иного варианта этого принципа, который
окажется лучше, чем тот, который мы анализировали здесь.
ЛИТЕРАТУРА
1. В i г k h о f f G. Lattice Theory. New York, 1948, p. 42—43.
2. Wright G. von. An Essay in Medal Ligic. Amsterdam, 1951.
3. Prior A. N. Modality and Quantification in S5.— „The Jour-
nal of Symbolic Logic“, № 21, 1956.
A. H. Прайор
ВРЕМЕННАЯ ЛОГИКА и непрерывность времени*
1, Пятнадцать временных операторов Хэмблина
Если мы будем использовать переменные р, q, г и
т. д. для „суждений" в древнем и средневековом смысле,
согласно которому их истинностные значения могли быть
различными в различные моменты времени (как, на-
пример, „Сократ сидит" истинно тогда, когда он сидит,
и ложно в другое время), мы можем присоединять к ним
не только обычные функционально-истинностные связки
С, К, N и т. д., по и то, что я называю временными
операторами, как, например:
Р, означающий „было так, что" (слабое прошедшее
время);
Н, означающий „всегда было так, что" (сильное про-
шедшее время);
F, означающий „будет так, что" (слабое будущее
время);
G, означающий „всегда будет так, что" (сильное буду-
щее время).
Эти операторы могут образовывать различные комби-
нации с функционально-истинностными связками и друг с
другом, например, KKpIIpGp будет означать „имеет место р,
всегда было р, и всегда будет так, что р“; PKpq—„было
так, что р и q“, FPp— „будет так, что было так, что р“.
Понимание времен как операторов, образующих пред-
ложения из предложений, недавно было подвергнуто кри-
* Prior A.N. Tense-logic and the continuity of time.— „Studies
Logica", Том XIII. 1962. Эта статья представляет собой содержа-
ние трех лекций, прочитанных Прайором в Варшаве, когда он был
гостем Польской Академии наук в октябре 1961 года.
76
тике Мейтсом в реферате [8], где он говорит, что средне-
вековый пример „белое было черным" (album fuit nigrum)
показывает, что „А было В“ нельзя, не опасаясь пара-
доксов, толковать как „было так, что А есть В“. Но сред-
невековые логики сами умели отвечать на это возражение.
Вальтер Бурляйгх, например, доказывал в (3, с. 48—49],
что для того, чтобы суждение прошедшего времени было
истинным, данный предикат должен утверждаться в на-
стоящем времени не обязательно относительно грамма-
тического субъекта, a de illo pro quo subiectum sup-
ponit *, например, для того, чтобы выражение album fuit
nigrum** было истинным, est nigrum*** должно быть
истинно относительно illud quod est album****, хотя и
не нужно, и не может быть того, что раньше было истинно,
что album est nigrum*****. В моей терминологии перед
нами не простой пример суждения Р<$х, а сложное утверж-
дение KtyxPqx, что относительно некоторого объекта х
„имеет место, что х бел и что было так, что х черен".
Этот пример является, кроме того, оправданием для еще
одной черты моего символизма, а именно отсутствия спе-
циального функтора настоящего времени. Я опускаю его,
потому что „имеет место, что р“ всегда эквивалентно
просто р. Фома Аквинский, комментируя в [1] на с. 27
аристотелевское описание глаголов в косвенных временах
как casus verbi ******, хотя сам глагол стоит в настоящем
времени, замечает, что „preateritum vel futurum dicitur
per respectum ad praesens. Est enim praeteritum quod
fuit praesens, futurum autem quod erit praesens" *******.
Символически, если оператор „имеет место, что" обо-
значить через S, то Pp = PSp и Fp — FSp.
Профессор Я- Н. Финдлей в 1951 году в подстрочном
примечании в [6] высказал предположение, что должно
быть исчисление с такими функторами, как F и т. п.. и
мне в 1954 году пришлось набросать такое исчисление,
чтобы рассмотреть некоторые исторические проблемы, ко-
*—относительно того, что считается субъектом (лат-).
**—белое было черным (лат.).
***—есть черное (лат.).
****— того, что есть белое (лат.).
*****—белое есть черное (лат.)
******—случая глагола (лат.)
*******—это есть прошедшее или будущее, высказанное в отно-
шении к настоящему. И даже прошлое, которое было настоящим,
и будущее, которое будет настоящим (лат.)
77
торых я коснусь в следующем параграфе. Более подробно
я рассмотрел этот вопрос в президентском обращении
к Новозеландской секции Австралийской философской
ассоциации, которое было опубликовано как [13], а еще
подробнее в 1956 году в Локковских лекциях в Оксфорде,
опубликованных как [12]. В письме от марта 1958 года
д-р К Л Хэмблин из Сиднея, который отреферировал
[12| в |7|, сообщил замечательный результат, который,
по моему, надо считать первым важным „прорывом" в этой
области, а именно: если принять некоторые весьма есте-
ственные предпосылки, то любая последовательность функ-
торов Р, Й, F и G, независимо от ее длины эквивалентна
одной из 15 групп (в это число включается и пустая по-
следовательность, то есть „настоящее время"). Отношение
следования между этими 15 „временными операторами"
может быть показано на следующей диаграмме:
1р-ьй1Рр-~-Рр
Интуитивно легко усмотреть правдоподобие этих экви-
валентностей и импликаций, а также то, что импликации
необратимы. Например HGp—„всегда было так, что всегда
будет так, что р“, и GHp—„всегда будет так, что всегда
было так, что р“, оба, разумеется, истинны тогда и только
тогда, когда есть, всегда было и всегда будет так, что р,
FGp—„будет так, что всегда будет так, что р“, означает,
что раньше или позже мы достигнем (если еще не достигли)
такого момента времени, после которого р всегда будет
истинно. Ясно, что это влечет GFp, „всегда будет так,
что будет так, что р“, а не наоборот, ибо GFp может
быть истинным и тогда, когда р должно в будущем всегда
попеременно становиться то истинным, то ложным. Далее,
если что-то было истинным и является истинным сейчас,
78
го относительно будущего времени также будет верно, что
оно было истинным, то есть и Рр и р имплицируют GPp
(ср. Оккам в [9, с. 4]: Si haec propositio sit mode vera:
Haec res est, quacumque re demonstrata, semper postea
erit haec vera: Haec res fuit *). Индетерминиста может
встревожить аналогичный принцип, что если что-то истинно
или будет истинно, то, следовательно, всегда было так,
что оно будет истинно, то есть что и р и Fp имплицируют
HFp\ однако нетрудно проинтерпретировать временные
операторы таким образом, что этот принцип окажется сов-
местимым с индетерминистской гипотезой (например, „окка-
мистская“ интерпретация изложена в моей статье [15]).
Хэмблин отметил, что формально мы можем вывести
все эти эквивалентности и импликации из следующих по-
стулатов:
I. Ир может быть определено как NPNp („всегда было
так, что р, если и только если никогда не было такого
случая, чтобы было не -р“), a Gp—как NFNp.
II. Аксиомы: 1) EFApqAFpFq-, 2) CGpFp\ 3) EFFpFp\
4) EFPpAApFpPp-, 5) EGPpApPp\ 6) CFGpGFp.
III. Правила: (i) если [—a, to [— Ga\ (ii) Есф —> EFaFfi
и (iii) (цитирую Хэмблина) „правило зеркального отобра-
жения, позволяющее из любого закона выводить соответ-
ствующее положение, заменяя Р на F, и наоборот", при-
чем все это присоединяется к обычному пропозициональ-
ному исчислению. Можно заметить, что эта формулировка
построена по образцу фон-вригтовской формулировки мо-
дального исчисления в приложении к [16], и нет сомне-
ний, что возможна более ясная и элегантная эквивалентная
аксиоматизация (в [12], например, я отметил, что если мы
используем Fnp для суждения „через промежуток времени
п будет р" и Рпр соответственно, то Fp превратится
в ЪпЕпр, a Gp — в ПнЕпр, Рр и Нр определяются сход-
ным образом; тогда некоторые из вышеприведенных зако-
нов следуют из теории квантификации с некоторыми но-
выми постулатами для Рп и Еп). Однако и это множество
аксиом и правил является достаточным в качестве базиса
для дальнейшего обсуждения.
Из них мы можем не только вывести эквивалентности
и импликации вышеприведенной диаграммы, но и дока-
* Если суждение „эта вещь есть“ было истинным, независимо
от того, как эта вещь обозначена, то всегда вис следствии будет
верно: „эта вещь была'1 (лат-)-
79
зать, что всякая сложная комбинация из Р, И, F и G
будет эквивалентна одной из 15 групп. Достаточно дока-
зать это для одного „крыла" диаграммы, скажем, для ниж-
него, а остальные случаи можно получить, используя
правило „зеркального отображения". В самом деле, если
мы будем по очереди приписывать Р, Н. F или G ко всем
нижним комбинациями операторов, то получаются следую-
щие результаты:
\HG PG G
Р HG PG PG
H HG HG HG
F HG GF FG
G HG G G
FG GF F HF PF
FG GF PF PF PF
FG GF HF HF PF
FG GF F F PF
FG GF GF GF PF
В этой диаграмме первый элемент показывает, что PHG
эквивалентно HG и т. д. Очевидно, что последовательное
применение этих эквивалентностей и соответствующих экви-
валентностей для верхней части сводит каждую последо-
вательность временных операторов, какой бы она ни была
длинной, к одной из 15 групп, например PHFG ~ PFG
(так как PHF — PF, или, иначе, так как HFG = FG)~ FG.
Однако в декабре 1959 года я заметил любопытную
вещь относительно хэмблиновских аксиом. Вторая его
аксиома—EFFpFp, которая утверждает эквивалентность
„будет так, что будет так, что р“ и „будет так, что р“,
очевидно, предполагает непрерывность времени. То, что
из более длинной формулы следует более короткая, еще
не связано ни с какими предположениями такого рода,
но „будет так, что р" влечет „будет так, что будет так,
что р“, только если мы предположим, что между настоя-
щим и любым моментом будущего, как бы ни был он бли-
зок к настоящему, всегда существует момент времени,
следующий за настоящим, но предшествующий этому буду-
щему моменту. Если бы время было дискретно и если бы
р становилось истинным непосредственно в следующий
момент времени, по после этого больше никогда истинным
бы не было, то „будет так, что р“ было бы истинно, а
„будет так, что будет так, что р“ было бы ложно. С дру-
гой стороны, его пятая аксиома — EGPpApPp — предпо-
лагает, что время дискретно, хотя это и не является не-
посредственно очевидным, и я лично нахожу, что это легче
показать на примере „дуала" этой аксиомы, то есть
6Q
EPGpKpGp, доказуемого из аксиом следующим образом:
PGp = NNPGp (p = NNp)
= NNPNFNp (Gp = NFNp: Df)
= NHFNp (Hp = N PNp: Df)
= NANpFNp(HFp = ApFp, по акс. 4 и прав, (iii))
= N ANpNNFNp (p = NNp)
= NANpNGp (Gp = NFNp: Df)
= KpGp (Kpq = NANpNq).
Здесь следование KpGp из PGp не предполагает никаких
допущений относительности непрерывности или дискрет-
ности времени. В любом случае ясно, что если было так,
что всегда будет так, что р, то сейчас р и всегда будет
так, что р. Затруднения возникают с конверсией этой
импликации. Предположим, что теперь р и всегда будет р,
но до настоящего времени никогда не было так, что р.
Если есть такая вещь, как последний предшествующий
момент (то есть если время дискретно), то ясно, что
в этот момент прошлого, и, следовательно, некоторый мо-
мент прошлого было так, что во все моменты времени,
будущие по отношению к этому моменту, будет р. Но если
время континуально и нет такого последнего момента, то
между любым моментом прошлого, каким бы близким он
ни был, и настоящим найдется другой момент, который
следует за ним и в который еще не было так, что р.
Но отсюда не следует, что постулаты Хэмблина про-
тиворечивы. В действительности, как указал ранее
в 1961 году д-р Т. Я. Смайли, они непротиворечивы, так
как выполняются совместно, если Рр, Fp, Нр и Gp экви-
валентны просто р. Однако это приравнивание делает вре-
менную логику бессмысленной, а единственные интуитив-
ные основания для того, чтобы принять все хэмблиновские
постулаты без этого приравнивания, противоречивы. И он,
и я были вынуждены согласиться, что вся система редук-
ций, какой бы она ни была прекрасной, должна быть
отброшена и что временная логика, по-видимому, явля-
ется менее изящной и более сложной, чем казалось.
Однако в октябре 1961 года, заканчивая в Варшаве
настоящую статью, я проверил детали редукций, чтобы
точно выяснить, какие из них предполагают сомнительное
следование PGp из KpGp, и обнаружил, что это только
81
редукции GPGp к Gp, дуальные ей эквивалентности Fp
и FHFp и их зеркальные отображения. Одно только ра-
венство GPGp = Gp надо рассмотреть детально. Доказать
его из хэмблиновских аксиом можно, кажется, лишь так:
Gp — NFNp (Df)
= NFFNp (FpFFp)
= NFNNFNp(p = NNp)
= GGp (Df. G)
= KGpGGp (CCpqCpKpq)
= GKpGp(KGpGq — GKpq — дуг.л. акс. I)
= GPGp (дуал. акс. 5, доказ. выше).
Более детальный анализ показывает, что только следова-
ние GPGp из Gp требует, чтобы из KpGp следовало PGp
(конверсия первого требует лишь конверсии последнего,
что совершенно безопасно). Но легко видеть, что из Gp
следует GPGp и тогда (как в вышеприведенном доказа-
тельстве), когда время дискретно, и тогда, когда оно не-
прерывно. В самом деле, предположим, что р будет истин-
но во всякий будущий момент времени, каким бы близким
он ни был, хотя сейчас р не истинно. Тогда между лю-
бым будущим моментом времени, каким бы он ни был
близким, и настоящим найдется другой будущий момент
времени, прошлый по отношению к этому будущему, та-
кой, что р будет истинно во все моменты времени, буду-
щие по отношению к нему; то есть, если всегда будет так,
что р, то всегда будет так, что было так, что всегда бу-
дет так, что р. Поэтому мы можем улучшить систему
Хэмблина, ослабив эквивалентность EPGpKpGp до без-
опасной импликации в одну сторону CPGpKpGp (это можно
сделать, ослабив его четвертую аксиому до импликации
CApPpGPp) и добавив CGpGPGp в качестве новой ак-
сиомы; и все его редукции будут сохранены на этот раз
на совершенно непротиворечивой основе предположения,
что время непрерывно.
2. Непрерывность времени и „главный аргумент" Диодора
Импликация CKpGpPGp имеет, возможно, и теорети-
ческий, и исторический интерес, поскольку дедуктивно
эквивалентная ей формула играет важную роль в той
83
реконструкции „главного аргумента" греческого логика
Диодора Кроноса, которую я попытался дать в 1954 году.
В первый раз я изложил эту реконструкцию в [11], аза-
тем в слегка измененной форме в [12J, после чего она
обсуждалась в статье Бекера [2]. Здесь я только кратко
изложу ее, а затем сделаю новые замечания относительно
этого вопроса.
Цель „главного аргумента", как я его понимаю, со-
стоит в опровержении аристотелевского взгляда, что хотя
повлиять на прошлое не могут ни люди, ни боги, но
в будущем имеются альтернативы, между которыми воз-
можен выбор. Вопреки этому Диодор утверждает, что
возможное есть просто то, что либо истинно, либо будет
истинно (то есть он сводит модальную логику к времен-
ной логике, принимая, по определению, что Мр—АрРр),
и что то, что не истинно и не будет истинным, не является
возможным. „Главный аргумент" состоит в доказательстве
этого на основе допущения самих перипатетиков, что мы
не свободны по отношению к прошлому (CPpNMNPp), и
их дальнейшего утверждения, что то, что с необходимостью
влечет невозможное, само невозможно (CLCpqCN MqN Мр).
Хотя ни в одном достаточно обширном тексте не гово-
рится о том, как это доказательство было проведено в де-
талях, оно предположительно может быть воспроизведено
следующим образом: если некоторое предложение р теперь
и всегда будет ложно, то уже сейчас, относительно на-
стоящего времени, было так, что р всегда будет ложно
(CKNpGNpPGNр), и поэтому, поскольку прошлое нельзя
изменить, теперь не может не быть так, что было так,
что р будет ложно. Но если р теперь истинно, то теперь
было бы „не верно, что было так, что р всегда будет
ложно" (поскольку сейчас р истинно), то есть настоящая
истинность р влекла бы эту теперь невозможную вещь, и,
следовательно, сама является невозможной.
Символически
KNpGNp PGNp
—» N MN PGNp (так как CPpNMNРр)
—+ Л/Л1р(таккак LCpNPGNр vtCLCpqCNMqNМр).
Это рассуждение, будучи реконструированным, суще-
ственно зависит от того принципа, что если р теперь
ложно и всегда будет ложно, то уже теперь имеет место,
83
что р всегда будет ложно; интуитивным обоснованием
этого принципа является то, что если р сейчас ложно и
всегда будет ложно, то по крайней мере в тот момент
прошлого, который непосредственно предшествует настоя-
щему, будет верно „никогда не будет так, что р“, хотя
бы это и не было верно ни для какого другого момента
прошлого. (Это становится достаточно ясным из диаграммы,
приведенной Бекером в' [2, с. 252]). Но (и таково мое
новое утверждение) если время непрерывно, то нет непо-
средственно предшествующего настоящему момента вре-
мени, и если только в настоящий момент р стало ложным,
то между любым прошлым моментом (как бы он ни был
близок к настоящему) и настоящим найдется другой мо-
мент (еще более близкий), в который р не ложно, следо-
вательно, ни в один момент прошлого не будет верно ,,р
всегда будет ложно". Итак, без предпосылки атомистиче-
ского понимания времени данный исторический довод не-
состоятелен. (Именно осознание этого факта в связи
с диодоровскпм аргументом помогло мне заметить пред-
положение дискретности в пятой хэмблнновской аксиоме.)
Если отвлечься от того, насколько действен аргумент
Диодора, его определение возможного как того, что есть
либо будет истинным (Mp^ ApFp), и вытекающее отсюда
определение необходимого как того, что истинно сейчас
и будет истинно в любой момент времени (Lp — KpGp),
ставят перед современным модальным логиком интересный
вопрос: какие из современных модальных систем будут
соответствовать этим определениям (если вообще имеются
такие системы)?
Есть три системы, непосредственно представляющиеся
нашему рассмотрению, а именно: фейсовская система Т
(эквивалентная системе М фон Вригта) и льюисовские
системы S4 и S5. Рассмотрим следующие аксиомы, которые
добавляются к пропозициональному исчислению вместе
с определением Мр как NLNp и „правилом необходимо-
сти" — если а, то |— La:
(1) CLpp (2) CLCpqCLpLq
(3) CLpLLp (4) CNLpLNLp.
Если мы используем только (1) и (2), то получим фей-
совскую систему Т; если добавим к ним (3), получим си-
стему, эквивалентную льюисовской системе S4; а если
84
вместо (3) добавим (4), получим систему, эквивалентную
более сильной льюисовской системе S5 (в которой (3) до-
казуемо).
Я показал в [11], используя диодоровские определения
и фрагмент временной логики, что можно доказать все
постулаты S4, а характеристический постулат S5 недока-
зуем. Это наводило на мысль, что диодоровская система
либо совпадает с S4, либо лежит между S4 и S5. Б [12]
я несколько поспешно отвлекся от второй возможности и
предложил следующую матрицу как характеристическую
для S4: последовательности из 0 и 1; булевские С и N;
Lp принимает значение 1 в тех и только тех точках, для
которых р принимает значение 1 в этой точке и во всех
точках, следующих за ней. (Это, разумеется, соответствует
идее, что I р истинно тогда, и только тогда, когда р истин-
но в это время и во все последующие моменты времени.)
Но Леммон и другие смогли показать, что матрица такого
рода не является характеристической для S4 и что она
подтверждает не только все постулаты S4, но и некоторые
формулы, относительно которых с помощью других матриц
можно показать, что они недоказуемы в S4, особенно
формулы CMLpLMp (аналогичную закону перестановки
кванторов С2хПг/фх//П//2х<рхг/) и ALCLpLqLCLqLp. Систе-
му, получающуюся добавлением к S4 первой из них, они
назвали S4.2, а систему, получающуюся добавлением вто-
рой,—S4.3. Далее они показали, что S4.3 содержит S4.2,
но не содержится в ней. Позднее Гич отметил, что ак-
сиома S4.3 может быть сокращена до ALCLpqLCLqp. Но
даже S4.3 не содержит всех формул, которые подтвержда-
ются матрицей, ибо Даммет и Леммон показали в [4], что
формула
CLCLCpLpLpCMLpLp,
подтверждаемая нашей матрицей, не содержится в S4.3.
Позднее Гич показал, что в S4.2, следовательно, в любой
более сильной системе из этой формулы выводима немного
более короткая формула
CLCLCpLppCMLpp,
из которой она сама в свою очередь выводится. Но дает
ли эта формула при присоединении ее к S4.3 систему, для
85
которой матрица действительно будет характеристической,
еще не известно, так же как не известна и аксиоматиза-
ция для диодоровской системы.
8, Логика отношения достижимости между мирами
Теперь я хочу рассмотреть системы, упоминавшиеся
в предыдущем параграфе, и некоторые другие с иной точки
зрения.
Предположим, что р, q, г и т. д. есть обычные пере-
менные для утверждений, а а, Ь, с и т. д.—обозначения
„миров1*, или полных положений дел. Будем обозначать
„в мире а имеет место, что р“ или, выражаясь более сво-
бодно, „р истинно в о“ как ра. Принимается, что (Np)a
имеет место тогда, и только тогда, когда N (ра); (Cpq)a
тогда, и только тогда, когда С (pa) (qa), и т. д. (Это пред-
положение позволяет нам использовать простую форму ра
вместо, скажем, Тар, которое мы ввели бы, если бы нужно
было провести различие между, скажем, NTap, то есть
N (ра), и TaNp, то есть (Np)a. Я рассмотрел некоторые
системы, в которых проводится такое различие, в [12].)
Будем использовать, далее, форму lab для „а и b тожде-
ственньГ, Uab— для „Ь либо тождествен а, либо достижим
из a**, a (Lp)a, то есть „необходимо, что р в мире а“,
будем интерпретировать как сокращение для TlbCUabpb" р
истинно в а и во всех мирах, достижимых из а“. (Эти
обозначения принадлежат К. А. Мередиту, 1956 г.; а ин-
терпретация—П. Т. Гичу, 1960 г.) Понятие достижимости
между мирами пока может остаться неопределенным; не-
которые способы его уточнения будут рассмотрены ниже.
Можно представить себе, что „быть достижимым из а“ оз-
начает “быть будущим состоянием а“, и таким образом
получить обобщение временной логики в некоторых на-
правлениях.
Если принимать в качестве аксиом такие формулы,
которые истинны в любом произвольно выбранном мире
а, то, делая различные предположения об отношении U,
можно получить характеристические аксиомы различных
модальных логик. Важные допущения, которые следует
рассмотреть, могут быть перечислены так (каждая формула
считается принятой в некоторой возможной системе):
86
(i) Uaa (Refl, или рефлексивность U).
(ii) CUabCUbcUac (Trans, или транзитивность U).
(iii) CUabCUacUbc (Recip—этим названием я обозна-
чаю постулат, гласящий, что любые два мира, достижи-
мые из одного и того же мира, достижимы один из другого).
(iv) CUabUba (Symm, или симметричность U).
(v) AUabUba (Соппех, или связность U).
(vi) CUabCUbalab (Asym —между двумя различными
мирами отношение U не может иметь места в обоих на-
правлениях).
(vii) СПЬС(р/?ПсС7(Л'6/teIldCNUbdUdcqcCqalleCUeaqe.
Этот последний принцип я называю Ind, или принцип
индукции. Он выглядит очень сложным, однако его можно
сократить и упростить, если ввести определение
Yab = KNUbaHcCNUbcUca,
и читать как „а непосредственно предшествует Ь“. Мы
можем сказать, что мир а „предшествует" миру Ь, если а
не тождествен b и не достижим из b (конечно, называть
это „предшествованием" имеет смысл только тогда, когда
миры образуют сериальный порядок, так что любой мир,
который не совпадает с b и не достижим из него, есть
мир, отличный от b и такой, из которого b достижим; но
это составляет только один тип случаев, в связи с кото-
рыми у нас будет повод обсудить постулат (vii). Теперь
мы можем сказать, что мир а „непосредственно предшест-
вует" миру Ь, если а предшествует b и любой мир, ко-
торый предшествует Ь, или предшествует а, или совпадает
с ним. Именно это понимание излагается в вышеприведен-
ном определении, которое сокращает постулат (vii) до
СПЬСфШсСУ сЬцсС (pal IeC U еахре.
То есть если всегда имеет место, что, когда некая функ-
ция выполняется Ь, она также выполняется любым миром,
Непосредственно предшествующим Ь, тогда если она вы-
полняется для данного мира а, то она выполняется и для
любого мира, из которого а достижим. (Потому что из
того, что она выполняется для а, следует, что она вы-
полняется для непосредственного предшественника а, а из
87
того, что она выполняется для непосредственного пред-
шественника, следует, что, и т. д.).
Формулы (i) — (iv) образуют группу, которую я уже
исследовал в [14], и главные результаты этого исследо-
вания будут перечислены здесь первыми.
Во-первых, существуют некоторые очень простые от-
ношения между самими этими формулами. TransHSymm
совместно влекут Recip, a Refl и Recip совместно влекут
Trans и Sy mm, так что множества
(Refl, Trans, Symm)
(Refl, Recip)
являются дедуктивно эквивалентными. Connex: AUabUba
влечет Refl: Uaa. Connex и Symm совместно влекут очень
сильное утверждение Uab, означающее, что любой мир
достижим из любого другого, из чего также следуют
(i) — (iii). Trans и Symm следуют, кроме того, из совер-
шенно отличного предположения CUablab, означающего,
что нет способа достигнуть из одного мира какой-либо
другой мир; a Connex сам не выводим из (i) — (iii).
Модальные формулы, которые выводимы (как выпол-
няющиеся в любом произвольно выбранном мире а) из
различных подмножеств этого множества постулатов, вклю-
чают следующие:
Al. CLpp,
А2. CLCpqCLpLq,
АЗ. CLpLLp,
А4. CMLpLp (эквивалентно CMpLMp и CNLpLNLp),
А5. CMLpp (эквивалентно CpLMp),
A6. CMLpLMp,
A7. ALCLpqLCLqp.
Мы уже отмечали, что если Al и А2 добавить к про
позициональному исчислению с правилом необходимости,
то получится фейсовская система Т; если к ним добавить
АЗ, получится льюисовская система S4, а при добавлении
А4 вместо АЗ получится льюисовская система S5. Если
к системе Т добавить А5, А6 или А7, получатся системы,
содержащиеся, подобно S4, в S5, но независимые от S4
T-J-A5 была изучена Хиитиккой, Т-рА6иА7, насколько
я знаю, не были изучены никем; a S4-J-A6, то есть
Т-|-АЗ + А6, дают систему Даммета и Леммона S4.2, в то
время как S4 +А7 дают их систему S4.3. S4 + A5 дают S5.
8$
Al в форме (CLpp) а, то есть CYlbCUabpbpa, следует
непосредственно из постулата рефлексивности или Uaa—
постулата, который имплицитно содержится в нашей ин-
терпретации Uab как „Ь либо достижимо из а, либо тож-
дественно с ним", поскольку тождество рефлексивно.
Даже постулата Uaa не требуется, чтобы установить
А2 в форме (CLCpqCLpLq)a, то есть CWbCU аЬС pbqbCUc
CUacpcTIdCUadqa, ибо для вывода этой формулы доста-
точно одной теории квантификации. То же самое верно
относительно правила необходимости в той форме, что
если фп есть закон, то и XXbCUabqb есть закон.
АЗ, формулу системы S4, в виде (CLpLLp)a, илиСПЬС
UabpbiicCUacTidCUcdpd, легко вывести из допущения
Trans, а формула А4 системы S5, имеющая ыщ(С MLpLp) а,
или C^bKUabTlcCUbcpcT\dCUadpd, получается из допуще-
ния Recip (CUabCUacUbc) таким образом:
ПМСК(1) Uab
К (2) WcCUbcpc
(3) Uad
К (4) Ubd (1,3, Recip)
(5)pd (2,4).
(В изложении этого предполагаемого доказательства до-
казываемая формула понимается как имеющая спереди два
квантора общности, вместо квантора существования перед
антецедентом и квантора общности перед консеквентом.)
Хинтнкковская формула А5, в виде (CMLpp)a, требует
только Symm, а характеристическая формула Аб системы
S4.2, в виде (CMLpMp)a, и характеристическая формула
S4.3 системы А7, в виде (ALCLpqLCqp)a, обе следуют из
Connex. (Доказательство см. в [14].)
Использование постулатов Asym и Ind легче рассмат-
ривать, если обратиться сначала к вопросу о возможной
интерпретации „достижимости", обозначаемой функтором U.
Одно очень простое чтение его таково: мы можем сказать,
что мир b достижим из мира а, если в мире а есть факты
относительно мира Ь, то есть если для некоторого <р в мире
а имеет место, что cpb; например, если в мире а имеет
место, что в мире b имеет место, что для всех р, если р,
то р. В этом смысле „достижимости" можно считать, что
любой мир достижим из любого другого, то есть принять
в качестве постулата Uab, что дает, как мы видим, по
меньшей мере систему S5.
89
Благодаря прямо противоположному условию, что ни-
какой мир не достижим из любого другого, мы также
приходим по меньшей мере к системе S5. Это может быть,
например, в таком случае: однажды я слышал, как про-
фессор У. К. Нил доказывал, что не может быть никаких
научных оснований для решения вопроса о конечности
мира или бесконечности его. Я спросил его, как быть
с теми физическими фактами (эффект Допплера и т. п.),
на основании которых некоторые физики-релятивисты ут-
верждают, что пространство является неэвклидовым и
„конечным, но неограниченным**. Он ответил, что, даже
если они и правы, эти физические факты не подтверждают,
но и не исключают возможность того, что существует
бесконечное число таких конечных, но неограниченных
физических пространств, которые не имеют никаких про-
странственных или физических отношений друг к другу.
Конечно, это поразительная идея, но такая возможность
логически не исключена, и в этом случае мир b „тожде-
ствен или физически достижим из а“, только если он
тождествен с миром a (CUablab), откуда следует Trans и
Symm как следствия из ClabCUbcUac, Clablba и CIbaUba.
Опять-таки мы можем сказать, что мир, или состояние
дел Ь, достижим из положения дел а, если b является
возможным будущим состоянием а. Постулат Trans и, та-
ким образом, ио меньшей мере модальная система S4,
кажется, соответствуют этой интерпретации, поскольку
возможное будущее состояние возможного будущего со-
стояния само есть возможное будущее состояние. Однако
Symm, очевидно, не соответствует этой интерпретации,
так же как с индетерминистской точки зрения не соответ-
ствует ей и Соппех, ибо если для данного состояния дел
могут быть различны^ возможные будущие состояния, то
найдется пара состояний, принадлежащих, так сказать,
различным „ветвям**, таких, что ни одно из них не дости-
жимо из другого, хотя оба они достижимы из общего на-
чала.
Еще один тип „перехода от мира к миру** описываете?
Китсом в „Оде к Соловью**:
Вдаль, вдаль, к тебе хочу я улететь,
Но не на колеснице Вакха,
А на невидимых крыльях поэзии,
Несмотря на недоумение моего глупого рассудка.
90
Один мир может быть „достижим" из другого в том смысле,
что он является продуктом воображения какого-то лица,
принадлежащего этому последнему миру. При такой ин-
терпретации Symm (принцип, означающий, что наши про-
дукты воображения таковы, что всегда могут „вообразить
себе нас") кажется неуместным, хотя Л. Кэрролл обыгры-
вал эту идею в „Зазеркалье", когда Единорог удивлялся,
что человеческие дети—это не просто создания его мифо-
логии, а Твидледум и Твидледи старались убедить Алису,
что она существует только в воображении Красного Ко-
роля, который на самом деле существовал только в ее
воображении. Соппех также кажется в этом случае непод-
ходящим: некто может создать в воображении два мира,
из которых ни один не будет продуктом воображения,
созданным в другом мире. С другой стороны, некто может
вообразить мир, в котором люди вообразили мир, в кото-
ром, и т. д. и т. п.; тогда постулат Trans будет означать,
что если мы вообразим мир, в котором кто-то вообразил
мир и т. д., то мы тем самым воображаем этот последний
мир. В этом смысле принцип Trans кажется правдоподоб-
ным. Получим ли мы таким образом систему S4 (благодаря
Trans без Symm или Соппех)? Может быть; но Мейнонг
(см. Финдлей [5], гл. VI) и Ч. С. Пирс (в [10], 4,61 и
4.172) указывали, что миры только воображаемые являются
„неполными" в том смысле, что какое-то утверждение мо-
жет не быть ни истинным, ни ложным в мире, создатель
которого никак не определил соответствующий факт. Это
.нарушило бы эквивалентность N(pa)n(Np)a и поставило
бы модальную систему, соответствующую данному типу
^отношения „достижимости", вне группы систем, которые
,МЫ здесь рассматривали.
/ Возвращаясь к временным интерпретациям, мы можем
В заключение рассмотреть вопрос о том, что случится,
Вели под „достижимостью" b из а мы будем понимать, что b
®сть не просто возможное, а актуальное будущее состоя-
ние а. Тогда то, что является „тождественным или дости-
жимым" из действительного мира, будет просто тем, что
ЛИбо истинно, либо будет истинным, то есть появится
диодоровская возможность. В этом случае разумно иметь
Такой постулат, как Соппех, а также Trans (положения
дел образуют линейный порядок без разветвления, так
tro для любых а и Ь, если b не тождественно а и не до-
стижимо из него, то а достижимо из Ь); однако Symm
по прежнему не желателен. В результате получается, как
и можно было ожидать на основании результатов преды-
дущего параграфа, по меньшей мере S4.3. Здесь стоит
упомянуть другую характеристическую аксиому для этой
системы, предложенную Хинтиккой, которая не очень ко-
ротка, но особенно наглядна при диодоровской интерпре-
тации, а именно:
CKMpMqAMKpMqMKqMp.
Эта аксиома утверждает (в терминах диодоровских модаль-
ностей), что, если р истинно сейчас или будет истинно
позже и q также истинно сейчас или будет истинно позже,
тогда есть или будет либо комбинация р с д-или-одновре-
менно-или-позже-него, либо комбинация q с р-или-одно-
временно-или-позже-него. Утверждение этой формулы от-
носительно произвольного мира а при нашем переводе
становится таким:
CK(£bKUabpb)-
— (ScK Uacqc) —
— A (£dK UadK pd'ZeK Udeqe) —
-(SfKUafKqfXgKUfgpq),
или эквивалентно
С (^ЬсКК UabpbK Uacqc) —
— A (I deKK UadpdK Udeqe) —
-(XfgKKUafqfKUtgpq).
Применяя к b и с антецедента принцип Соппех, получим
AUbcUcb. Первая альтернатива, Ubc, вместе с антецеден-
том дает первую альтернативу консеквента (ибо, поскольку
мы имеем Uab pb, Ubc и qc, b и с дают d и е, для ко-
торых KKUadpdKUdeqe), в то время как другая альтер-
натива, Ucb, вместе с антецедентом дает другую альтер-
нативу консеквента.
Кажется, что это так хорошо соответствует временной
последовательности, что можно только удивляться, чего
же еще желать, но ведь осталась еще формула Даммета
и Леммона, CLCLCpLppCMLpp, которая подтверждается
моей диодоровской матрицей, но не принадлежит S4.3.
В [14] я поднял вопрос о том, выводима ли эта формула
из постулата Asym, CUabCUbalab, который при настоящей
92
интерпретации U утверждает необратимость, или нециклич-
ность времени. Оказывается, что нет; мы должны взять
постулат, который я назвал Ind, то есть постулат индукции.
Формуле, которую мы теперь рассматриваем, не так
легко придать интуитивный смысл, но ее консеквент,CMLpp,
означает: „если раньше или позже р станет истинным на-
всегда, то р истинно сейчас", а вся формула доказывается
силлогистически из следующих двух лемм:
(а) Если LCLCpLpp (то есть антецедент формулы), то
нет и не будет последнего момента, в который р ложно.
(Ь) Если нет и не будет последнего момента времени,
в который р ложно, то если раньше или позже р станет
истинным навсегда, то р истинно и сейчас.
(а) следует по транспозиции из
(с) Если есть или будет последний момент времени,
в который р ложно, то неверно, что LCLCpLpp. „Неверно,
что LCLCpLpp" эквивалентно MKNpLCpLp (поскольку
LCpq = NMKNqp и, таким образом, NLCpq = NMKNqp),
то есть „раньше или позже будет так, что р-не-истинно
(Nр), но если р-станет-истинным-то-оно-и-останется-истин-
ным (LCpLp), так что (с) эквивалентно
(d) Если есть или будет последний момент времени,
в который р ложно, то раньше или позже будет так, что
и р-не-истинно, и если р-станет-истинным-то-оно-и-оста-
нетс я- исти иным.
Это следует в силу обычных правил квантификации из
(е) Если некоторый момент времени есть тот последний
момент, в который р ложно, то в этот момент одновре-
менно будет так, что р-не-истинно, и если р-станет-истин-
ным-то-оно-останется-истинным.
Это кажется очевидно истинным и может быть выра-
жено символически и доказано следующим образом: b есть
последний момент, в который р ложно, если в b одновре-
менно истинно, что Л'р и что р будет истинно во все мо-
менты, следующие за Ь, то есть ,/> есть последний момент
времени, в который р ложно" мы обозначим /\А'рЬПсС
NUcbpc. Поэтому (е) в целом принимает вид:
(Т1). CKNpbUcCNUcbpcKNpblldCUbdCpdTleCUdepe,
а его предполагаемое доказательство таково:
lldeCK (1) Npb
К (2) UcCNUcbpc
К (3) Ubd
93
К (4) pd
(5) Ude
К (6) CUebUdb
К (7) CUdbldb
К (8) CUdbNpb
К (9) CUebblpd
К (10) NUeb
(5, Trans)
(3, Asym)
(H) pe
(7, 1)
(6, 8)
(9, 4)
(2, Ю)
Принцип Asym в этом доказательстве используется в основ-
ном для того, чтобы придать значение определению для
,}) есть последний момент времени, в который р ложно",
ибо если бы время было цикличным (то есть если бы прин-
цип Asym был ложен), то компонент WcCNUcbpc был бы
тривиально истинен (потому что тогда было бы YlcUcb),
даже если бы b и не был в обычном смысле „последним
моментом, в который р ложно".
Используя Т1, или (е), доказываем (с!) на основании
(d) — (с), а из (с) можно доказать (а), который дает форму-
лировку Даммета — Леммона, если доказано (Ь). Легко
убедиться, что (Ь) эквивалентно
(f) Если начиная с настоящего момента за каждым
моментом времени, в который р ложно, рано или поздно
последует другой момент времени, в который р ложно,
то, если раньше или позже р станет истинным навсегда,
то р истинно и сейчас.
Мы можем доказать это совершенно очевидным обра-
зом из более общего утверждения
(g) Если за всяким моментом времени, в который р
ложно, рано или поздно последует другой момент, в ко-
торый р ложно, то, если с какого-то момента p-является-
всегда-истинным, оно истинно всегда, начиная с любого
момента времени, предшествующего этому данному.
Это доказывается по индукции из
(h) Если за каждым моментом времени, в который р
ложно, рано или поздно последует другой момент, в ко-
торый р ложно, то, если р начиная с некоторого момента
навсегда-становится-истипным, то оно стало-навсегда-ис-
тинным и в тот момент, который непосредственно ему
предшествует.
Символически (h) можно выразить так:
(Т2)
CllbCNpbZcKNUcbNpc —
- ndCneCUdepeTI fCNfdnhCUfhph.
04
Поскольку .Y/d есть сокращение для KNUdfUgCNU
dgUgf, то Т2 доказывается следующим образом:
HdfhCK, (1) KbCNpbZcKNUcbNpc
К (2) HeCUdepe
К (3) NUdf
К (4) KgCNUdgUgf
(5) Ufh
К (6) CNphYcK (7) NUch I
К (8) Npc /
Д' (9) NUdc
К (10) Ucf
(11) Uch
(12) ph
€
(1)
(2,8)
(4,9)
(10,5, Trans)
(6,7,11)
Напомним, что постулат Ind выражается таким образом:
СПЬСсрЬПсС NcbqcCqaTleCU ескре.
Подставив в него UfCUfpf вместо <р, получим
(ТЗ) CllbCUfCUbfpfYlcC \cbl\fCUcfpf -
- cnfCUafpfHeCUeaUfCUefpf.
Переименование букв в этом выражении дает
CndCneCUdepenfCYfdUhCUfhph —
— CYleCUdepellfCUfdUgCUfgpg.
Это вместе с Т2 силлогистически дает
CU.bCNpbZcKNUcbNpc -
(Т4) -CUeCUdepeHfCUfdllgCUfgpg,
что и является нашим (g).
Однако предположение Ind, которое играет решающую
роль в этом доказательстве, допустимо только тогда, когда
время дискретно. Ибо Ind означает (при настоящей интер-
претации (/), что если из того, что р имеет место в дан-
ный момент времени, всегда следует, что р имеет место
и в непосредственно предшествующий момент времени, то,
если р в какой-нибудь момент истинно, оно истинно и во
всякий предшествующий момент времени. Но если бы
время было непрерывным, то есть если бы не было ни-
какого непосредственно предшествующего момента времени,
то антецедент был бы в силу этого истинен во всех слу-
чаях; следовательно, и консеквеит должен был бы всегда
65
выполняться, то есть должно было бы всегда выполняться,
что все, что истинно в некоторый момент времени, истинно
и в следующие моменты, и тогда не было бы такой вещи,
как изменение. А если время непрерывно (и, следова-
тельно, Ind ложно), то нетрудно придумать опровергаю-
щий пример для формулы Даммета — Леммона CLCLCp
LppCMLpp. Ибо мы можем представить себе случай,
когда р истинно в М и во все более поздние моменты
времени и ложно во все предшествующие моменты, хотя
и нет такого последнего момента, в который р ложно
(потому что между М и любым сколь угодно близким из
предшествующих моментов времени, в который р ложно,
всегда найдется еще более близкий к М момент, в кото-
рый р также ложно). В этом случае просто не будет
такого момента времени, в который р ложно и в который
было бы истинно, что, если р становится истинным, оно
и остается истинным навсегда, то есть антецедент формулы
Даммета —Леммона будет истинен: и если мы установим,
что наше „теперь" предшествует М, то „раньше или позже р
всегда будет истинно" будет и сейчас истинно, а р не
будет истинным, то есть консеквент CMLpp формулы
Даммета—Леммона будет ложен.
Формула Даммета— Леммона является поэтому такой
же сомнительной, как и пятая аксиома Хэмблина, и как
сходная формула, которая может быть использована в
„главном аргументе" Диодора. То, что она подтверждается
моей матрицей, неудивительно, поскольку элементами этой
матрицы являются дискретные последовательности нулей
и единиц, такие, что для каждого члена последовательно-
сти имеется определенный последующий член — в моей
матрице в действительности непреднамеренно отразилось
не только диодоровское определение модальности, но
и особая черта диодоровской метафизики; возможно, хотя
это еще и не доказано, что S4.3 будет удовлетворять
диодоровским модальностям без этой случайной черты.
ЛИТЕРАТУРА
1. Aquinas Th. In Aristotelis libros peri hermeneias et pos-
teriorum analyticorum ixpositio. Marietti, Turin, 1955.
2. Becker O. Zur rekonstruktion des „Kyrieuon logos" des Dio-
dorus Kronos.— In: „Erkenntnis und Verantwortung". Fest-
schrift fur Theodor Litt. Dusseldorf, 1961.
96
3. Burglefgh W. De purltate artls loglcae tractatus longfor.
Franciscan Institute, St. Bonaventure, N. Y., 1955.
4. D u m m e 11 M. A. E. and Lemmon E. J. Modal logics
between S4 and S5.— „Zeitschrift fur mathematische Logik
und Grundlagen der Mathematik", vol. 4, 1959, p. 250—264.
5. Findley J. N. Meinong’s theory of objects. Oxford, 1933.
6. Findley J. N. Time—a treatment of some puzzles.— „Aus-
tralasian journal of psycology and philosophy". Dec. 1941,
p. 216—235. (Reproduced in Flew A. G. N. Logic and lan-
guage. 1st series. Blackwell, Oxford, 1931.)
7. Hamblin C. L. Review of Prior’s [12].— „Australasian
journal of philosophy". Dec. 1958, p. 232—234.
8. Mates J. R. B. Review of I. M. Boch£nski’s Formale
Logik.— „Journal of symbolic logic". March 1960, p. 57—62.
9. Ockham W. Tractatus de praedesttnation et de praescientia
dei et de futurus contingcntibus. Franciscan Institute, St.
Bonaventure, N. Y. 1945.
10. Peirce C. S. Collected papers. Ed. by Ch. Hartshorne and
P. Weiss. Harvard, 1931—1935.
11. Pr i or A. N. Diodorean modalities.— „Philosophical quarterly",
July 1955, p. 205—213.
12. Prior A. N. Time and modality. Oxford, 1957.
13. Prior A. N. The syntax of time-distinctions.— „Franciscan
studies", vol. 18, №2, 1958, p. 105—120.
14. Prior A. N. Possible worlds.— „Philosophical quarterly",
January, 1962.
15. Prior A. N. The formalities of omniscience.— „Philosophy",
April 1962.
16. Wright G. H. von. An essay on modal logic. Amsterdam,
1951.
4 1212
Е. Леммон
АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ СЕМАНТИКА
ДЛЯ МОДАЛЬНЫХ ЛОГИК 1*
Импульс к нынешнему развитию модальная логика
получила в книге Льюиса в Лэнгфорда [10]. В последние
годы, однако, их аксиоматический подход, связанный с рас-
смотрением выбранных ad hoc (к случаю) матриц для раз-
личения разных модальных систем, дополнился другими
методами. Наиболее глубокие из них —это, во-первых,
алгебраический метод Мак-Кинси и Тарского (см. [111
и [12] и, во-вторых, семантический метод Крипке (см. [5]
11 [6]); а затем— другие. Цель данной серии статей — осу-
ществить синтез этих методов. Таким образом, хотя полу-
чены новые результаты, главный интерес состоит в нахо-
ждении связен между родственными результатами и в
установлении общей основы для будущих исследований.
Вообще мы покажем, что результаты типа результатов
Кринке о семантической полноте могут быть выведены из
алгебраических результатов с помощью одной главной
теоремы (теорема 21).
В этой первой статье основная часть посвящена уста-
новлению того, что алгебраический метод Мак-Кинси—Тар-
ского, столь успешно использованный в связи с S4, может
быть распространен на шесть модальных систем, сильней-
шей из которых является Т. Во второй статье будут рас-
смотрены более сильные системы, а в третьей мы пред-
полагаем рассмотреть введение кванторов в эти системы.
Все эти системы исследуются общим методом. Сначала
устанавливается связь между регулярными матрицами для
•Lemmon Е. Algebraic Semantics for Modal Logics I.— „The
Journal of Symbolic Logic", 19G6, vol. 31, № 1.
98
каждой системы и алгеброй некоторого типа (теоремы 9
и 11). Далее, используя матрицу Линденбаума (теоремы
/ и 8), мы доказываем, что каждая система финитно аппрок-
симируема и, следовательно, разрешима (теорема 14).
1 (оному мы можем ограничиться рассмотрением конечных
алюбр, так что, в-третьих, мы докажем теоремы представ-
ления для таких алгебр в терминах алгебры, основанной
на множестве всех подмножеств данного множества (тео-
ремы 17 и 18). Эти представления приводят к установле-
нию связи между алгебраическим подходом и подходом
Крипке, а отсюда немедленно вытекают результаты о семан-
тической полноте.
I
Слабые модальные системы
В этой статье мы рассмотрим модальные системы, опре-
деленные в терминах следующих схем аксиом и правил
вывода1:
А1. А — (В-> Л);
А2. (Л (В С)) -> ((Л -> В) — (Л — С));
АЗ. (—- Л —* — В) —* (В —> Л);
А4. □(Л^В)->(ПЛ — □ В);
А5. ПЛ—> —□ —Л;
А6. □ Л —> Л;
В качестве определений мы принимаем следующие:
D1. ЛуВ = —Л —В;
D2. ЛДВ = —(—ЛУ-В);
D3. Л<-»В=(Л->В)А(В-> Л);
D4. 0^ = — П-Л;
D5. Л => В =□ (Л —> В);
1 Во всех системах неопределяемыми логическими связками яв-
ляются—» (материальная импликация),— (отрицание) и □ (необхо-
димость), и каждая содержит счетное множество препозиционных
переменных р, q, г,... . Правила построения формул обычные.
99
D6. А <=> B-= (Л =i> B)A(S=s> Л);
D7". □ПЛ = П ... □ Л;
п раз"
D8". О"Л =О- - О Л;
п раз
D9". Л =5>" В = □« (Л —> В)-,
D10". Л«"В = П"(Л^Й) (или (Л =ф"В)А(В=4>п Л))
В терминах этих схем аксиом и правил вывода мы
определим следующие шесть модальных систем:
С2 = {А1—А4; Rl, R2};
D2 = {A1-A5; Rl, R2};
Е2 = {А1—А4, А6; Rl, R2};
Т(С) = (А1-А4; Rl, R3};
T(D) = {A1—А5; Rl, R3};
Т = {А1—А4, А6; Rl, R3}.
Использование схем аксиом вместо аксиом в определе-
нии систем дает возможность не прибегать к правилу под-
становки. Наличие А1—АЗ, R1 в аксиоматике каждой
системы вместе с D1—D3 означает, что каждая система
содержит полное классическое исчисление высказываний
как свою подсистему \ и мы используем это в дальнейшем
без доказательства. Надо отметить, что в обеих системах,
содержащих А6 (Е2 и Т), немедленно выводится А5 как
схема теорем. Точно так же и для Т-систем R2 можно
получить как выводимое из R3, А4 и R1 правило. Эти
факты, взятые вместе с определениями данных систем,
немедленно приводят к следующей таблице включений *
рассматриваемых систем:
Е2 Т
1 См., например, работу Черча [I].
2 Из матриц, приведенных в последнем разделе настоящей статьи,
следует, что все включения в таблице собственные, а других вклю-
чений между этими системами нет.
10Q
(Здесь лийия, проведенная слева направо, означает вклю-
чение левой системы в правую.)
Система Т эквивалентна хорошо известной системе М (Т)
Фейса—фон Врнгта (см. [3] и [17]), а Е2 была представ-
лена в несколько иной формулировке в [7]. Т (D) и D2
суть соответственно их деонтические дубликаты, в кото-
рых схема аксиом А6 заменена более слабой „деонтической1*
схемой А5. Т (С) и С2 суть соответствующие более слабые
системы, в которых нет даже А5. Отличительной чертой
С2, D2 и Е2 является то, что правило R3 Т-систем заме-
нено более слабым правилом R2. Стоит напомнить здесь,
что, как показано в [7], система S2 Льюиса заключена
между Е2 и Т.
В дальнейшем мы основное внимание уделим С2. Фор-
мально это связано с возможностью быстро распростра-
нить результаты для С2 на другие системы. Но, кроме
того, эта система представляется нам как минимальная
модальная логика. Хотя могут быть и были рассмотрены
более слабые системы1, они представляются менее инте-
ресными с точки зрения интерпретации; возможная интер-
претация С2 дана в [9]. Следующая теорема дает некото-
рые основные схемы теорем для С2; их доказательство
непосредственно здесь не приводится.
Теорема 1.
(1) Нс2П(АЛВ)«-*ПАЛЕ|В;
(2) Hc2O(71VB)wO^VOB;
(3) НсгОИлв)—оалов;
(4) |—С2 □ AVDB—► □ (А\/В);
(5) Ног □"А-*(В=Ф"А);
(6) г-с2С”-А-+(Л=ФпВ);
(7) I—С2 (А =$>'*+гаВ) -»(□"А =^т □" В);
(8) |-С2 (A В) — «у* А =з>т О" В);
(9) Ног □" А «-»(— А А);
(Ю) I-C2 □” A <-> ((В — В) =Ф" А);
(11) Hc2(A^>"B)w-O"(AA-B);
(12) Ног (А =У+т В) ((В =s>« С) (А =ФП С)).
1 Например, системы El, DI, S0.5 и S0.9 из [7] хотя и не яв-
лнются собственными подсистемами С2, но в некоторых отношениях
пни слабее, чем С2. То же самое, конечно, относится к системе
Льюиса S1 и системе Фейса Sl°.
101
В следующей теореме даются основные схемы теорем
для D2 и Е2, которых нет в С2:
Теорема 2.
(1) Н D2 О (Л —* Л);
(2) Но2<>(Л --Л)^(Л^ Л);
(3) f— Е2 л —> <0 Л.
Отличительной чертой Т-систем является усиление тео-
рем соответствующих более слабых систем добавлением
префикса в соответствии с правилом R3.
Теорема 3. Если |—сг (D2, е2> Л, то |—т <с> <т <d, т> □" Л.
Особенностью, которая нам позднее понадобится, является
Теорема 4. Нт (С> □ (Л —>• Л)«->(Л —♦ Л)1.
Одна черта, присущая всем шести системам, хотя ею не
обладает, например, S2, состоит в подстановочное™ мате-
риальной эквивалентности в смысле следующей теоремы;
в дальнейшем мы часто будем ее использовать.
Теорема 5. Для S = C2, D2, Е2, Т(С), Т (D), Т,
если '|- s Л «-> В, то —s • - • Л В . ..
(где. . . В.. . есть результат замены некоторых вхождений Л
в .. .Л ... на В).
Доказательство проводится по индукции по длине фор-
мулы ...Л..., при этом существенно используются пра-
вила R2 или R3.
II
Алгебры и матрицы
Как установлено в работе Мак-Кинси — Тарского [12],
существует тесная связь между логикой S4 Льюиса и алгеб-
рами с замыканием. Аналогичная связь; как показано
в [8|, существует между логикой Т и обобщеньем алгебр
с замыканием, названных алгебрами с расширением. Здесь
мы рассмотрим дальнейшее обобщение, называемое просто
модальной алгеброй, которое мы используем для изучения
логики С2.
1 Более того, |—г (Д =>" Л) <-> (Д =5>га Д) для всех т, п.
102
Определение 1. Система ЭЛ = <М, U, П,—, Р>
является модальной алгеброй, если М есть множество эле-
ментов, замкнутое относительно операций и , Г), — и Р,
таких, что:
(i) М является булевой алгеброй относительно U , Г), —;
(ii) для х, у £М Р (х U у) == Рх U Ру.
Определение 2. Nx = — Р — х.
Теорема 6. Во всякой модальной алгебре ЭЛ =
= <М, U, П,—, Р>
(i) для х, у£М, N (х П у) = Nx П Ny;
(ii) для х, у С М, если x<Zy, то Px^PyuNx^Ny
(где х у означает х и у = у, что равносильно х Л у = х).
Дока з ател ьство
(i) N (х Л у)"= —Р —(хпу) = — Р(—xU —у) =
= — (Р — х U Р — у) = — Р — х Л — Р — у —
= Nx Л Ny.
(ii) Предположим, х^у, то есть хиу = У- Тогда
Рх U Ру = Р (л'U у) = Ру. то есть Рх<С!‘у. Аналогично, ис--
пользуя (i), мы покажем, что N Ny.
Модальные алгебры нас будут интересовать как (логи-
ческие) матрицы. Вообще алгебра, в которой выделено
некоторое подмножество D отмеченных элементов, стано-
вится матрицей (так что каждой алгебре мощности N
соответствуют 2N различных матриц). Данную пропози-
циональную логику можно проинтерпретировать в тер-
минах матриц следующим образом: пропозициональные
переменные (правильно построенной формулы) (ппф) логики
пробегают значение из множества элементов матрицы, ло-
гические связки интерпретируются как операции в (или
определимые в) матрице; таким образом, каждой ппф А
с п пропозициональными переменными соответствует (един-
ственная) матричная функция f(A) от п переменных. Теперь
мы скажем, что А удовлетворяется (или общезначима на)
матрицей тогда и только тогда, когда при данной интер-
претации значение f(A) для каждого набора из п элементов
матрицы принадлежит D; в противном случае мы скажем,
что А опровергается матрицей. Будем говорить также, что
система S удовлетворяется матрицей, если и только если
псе теоремы S удовлетворяются матрицей. Система харак-
теризуется матрицей (или матрица является характери-
стической для системы), если и только если все ппф си-
103
стемы, общезначимые на этой матрице, и только они,
являются теоремами системы.
И наоборот, если выбран формализм (то есть множество
связок) и матричная интерпретация, то всякая матрица
определяет некоторую пропозициональную логику, а именно
логику, теоремы которой суть в точности формулы, удо-
влетворяемые матрицей при данной интерпретации. Оче-
видно, эта матрица будет характеристической для опре-
деляемой ею системы.
Для любой пропозициональной логики L через WL обо-
значим множество ее ппф (в терминах связок Сй.., С„),
а через TL (подмножество WL) — множество ее теорем.
Теперь мы приходим к следующей, чрезвычайно общей
фундаментальной теореме (принадлежащей Линденбауму)
Теорема 7. Пусть L — пропозициональная логика,
такая, что TL замкнута относительно подстановки вместо
пропозициональных переменных. Тогда существует харак-
теристическая матрица логики L.
Доказательство. Пусть в L имеются связки с?«,
...,с^п, такие, что с“' является «(-местной (l^i^n).
Элементами нашей матрицы будут члены WL, а выделен-
ным множеством — TL. Каждой связке cf' соответствует
^-местная функция с£: для wx, . ..,wa, CWL полагаем
с? (Wjr, ..., wQ1) равным ппф, получающейся применением
связки с?< к ппф w1T ..., wa..
Пусть 9JlL = <WL, Tl, Ci, .... СпУ. Интерпретируя
С/< как с?, мы видим, что все теоремы L удовлетворяются
9JlL. Предположим, t £ TL, тогда при любом приписывании
значения из WL функция f(t) принимает значение, равное
результату подстановки в t, которое, по предположению,
принадлежит TL. Наоборот, если w^TL, тогда значение
f<w> при значениях аргументов, равных пропозициональ-
ным переменным w, не принадлежит TL. Таким образом,
является характеристической матрицей для L.
Следствие. Для каждой системы С2, D2 и т. д. су-
ществует характеристическая матрица.
Хотя мы и будем обращаться в дальнейшем к матрице
Динденбаума, существование которой гарантирует эта тео-
рема, надо иметь в виду, что эта матрица весьма триви-
1 См. Мак-Кинси [11].
104
альпа и не обязательно является самой интересной и
удобной характеристической матрицей данной системы.
Так, для классического исчисления высказываний наибо-
лее интересной характеристической матрицей является,
очевидно, та, которая основана на двухэлементной булевой
алгебре (то есть обычная таблица истинности), тогда как
матрица Линденбаума имеет счетное число элементов и
даже не является булевой.
Матрицы, которыми мы здесь интересуемся, суть струк-
туры 9Л = <М, D, и, П, —, Р>, такие, что DsM и U,
П суть бинарные операции, —, Р —унарные операции,
определенные на М и принимающие значения изМ. Матрица
называется собственной, если DcM. В связи с этими ма-
трицами мы вводим следующие определения отдельных
матричных функций:
Определение 3. х —+ у =— xUy.
Определение 4. х<->«/ = (х —*х).
Определим далее следующим образом регулярные ма-
трицы:
Определение 5. Матрица 8Л = <М, D, U , П, —,
Р> называется регулярной, если и только если:
(i) 9Л является собственной;
(ii) D — аддитивный идеал в М;
111) если x++y$D, то х — у.
(Подмножество D в М называется аддитивным идеалом,
если и только если Vx, у gD (х Пу 6 D) и VxgD, VygM
(xUf/eD).
После этого мы можем дать одновременную интерпре-
тацию связок модальных систем в терминах матричных
функций, а именно: интерпретируется как —“
как —, а — как N. Это на самом деле означает, что
AVB интерпретируется как------хЦу, а не как хЦу в
соответствии с определением D1; но эти функции оказы-
ваются идентичными во всех интересных случаях (хотя
они не идентичны в матрице Линденбаума). То же отно-
сится к АДВ и другим определяемым связкам.
Покажем теперь, как из характеристических матриц
Линденбаума для наших шести модальных систем полу-
чить регулярные характеристические матрицы. Это делается
в основном построением новой матрицы, элементами кото-
ioa
рой служат классы эквивалентности (относительно <->)
элементов старой матрицы.
Пусть W — множество ппф шести модальных систем.
Пусть Т — множество теорем С2, (D2 и т. д.). Для AgW
положим Е (А)= (В | В«_>А £ Т). Пусть V, Л. —, О те
функции на W, которые для ппф А, В, g W дают соот-
ветственно формулы А\/В, АдВ, —А и О А. Определим
новые функции \Д» Ли —1> <C>i на множестве всех клас-
сов Е(А) следующим образом:
Е(А) V1E(B) = E(AVB);
(А)Д1Е(В) = Е(АДВ);
-гЕ (А) = Е(—А);
О1Е(А)=Е(ОА).
Наконец, назовем W, — множество всех классов Е(А,
для А £ W и Т] — множество всех классов Е (А) для А g Т.
Очевидно, что Tj содержит только один элемент, так как
VA, В€Т, А^ВСТ.
Если положить А ~ В для А <-> В £ Т, то легко про-
верить, что есть отношение конгруэнтности на W. (Это
является следствием того, что все шесть модальных си-
стем содержат классическое исчисление высказываний и
теоремы 5) Таким образом, мы доказали, что структура
<Wn TjVt, Л1, —и Oi> е‘-ть матрица1; назовем ее ЭД?,.
Покажем, что 93?, является характеристической матрицей
для С2 (D2 и т. д_).
Теорема 8. Для С2, D2 и т. д. существуют харак-
теристические регулярные матрицы с единственным выде-
ленным элементом.
Доказательство. Рассмотрим только случай С2;
разные системы отличаются только множествами Т выво-
димых формул. То, что 93?, есть характеристическая ма-
трица, легко вытекает из того, что <W, Т. V, Л, —, О>
является матрицей Липдепбаума. Так как логика С2 не-
противоречива, TcW, то T^W,, и матрица 93?j—собст-
венная. Для Е (A), Е(В)£Т,, A, BgT, откуда (согласно
пропозициональному исчислению) АДВ^Т, так что
Е(АДВ) — Е (А)Д.Е (В) € Т..
1 Если бы я? не было о i ношением кош руэнтности, мы не имели
бы, вообще говоря, полет аиовсчпиС!и юждества, которая, конечно,
предполагается для матриц как для алгебр.
106
Аналогично можно показать, что если
E(A)eTn E(B)€WI, то E(A)V1E(B)eTI.
Следовательно, Тг является аддитивным идеалом в Wp
Теперь предположим, что Е (А) <->,Е (В) £ Т,, то есть
что (Е (А)-+ХЕ(В)) Ai(E(B) —>-,Е (А)) £ Tj, гдеЕ(А)-,
-*,Е(В)=—jE(A)ViE(B). Тогда E(Ae->B)CTr, так что
А<->ВСТ, то есть А с<В. Это значит, что Е(А) = Е(В).
Стало быть, 9)it— регулярная матрица. То, что Т,—одно-
элементное множество, было уже отмечено прежде.
Мы хотим установить соотношение между регулярными
матрицами, удовлетворяющими С2 (С2-матрпцами), и мо-
дальными алгебрами. Этому служит следующая теорема;
в ней мы обозначаем через „1“ единицу булевой алгебры,
входящей в модальную алгебру.
Теорема 9. 9)1 = <М, {d[, U, А, —, Р> тогда и
только тогда является регулярной матрицей, когда
<М, (J, А, —, Р>—модальная алгебра и d=l.
Доказательство. Пусть 9)1 = <М, {a}, U, П, —,
Р>—регулярная С2-матрица. Чтобы доказать, что <М, (J,
П, —> является булевой алгеброй, достаточно взять
какое-нибудь множество постулатов для булевой алгебры
и установить их справедливость: мы возьмем аксиоматику
Розенблюма ([15], с. 9). Из семи его постулатов Al, А6
и А7 являются тривиальным следствием того, что 9)1 есть
матрица. Для установления А2 мы докажем хАу==//Ах:
поскольку АдВ«->ВдА есть теорема С2, то
Axcz{d}, так как 9)1—С2-матрица. Согласно (iii) оп-
ределения 5 имеем хАу = уАх. АЗ, А4 и А5 аналогично
вытекают из того, что С2 содержит классическое исчис-
ление высказываний и из (iii) определения 5. Тождество
р (% и у) = Рх (J Ру является следствием теоремы 1 и (2) и
(iii) определения 5. Таким образом, <М, U, П, —, Р>
есть модальная алгебра. Поскольку <М, I), А , —> есть
булева алгебра, можно положить 1 = xU —х. Ввиду того
что Нс-2, А V—А, мы имеем: х U —х € {<Д, то есть х U —x = d
и d= 1.
Наоборот, пусть 9)1 = <М, U , А , —, Р> есть модаль-
ная алгебра. Так как <М, U, А, —>—булева алгебра,
то схемы аксиомы А1—АЗ удовлетворяются матрицей
<М, ]1}, U, А, —, Р>. Матричная функция, соответст-
107
вующая А4,—это
—N (—xUy)U(—NxU Nz/)=P(xD—y)U(P—xU—Р —</)=
«Р((хП~ У) U — x)U — Р—У~Р(~ хи — У) U— Р—у =
= (Р—xUP—</) U — Р—г/ = Р—xU 1 = 1,
так что схема аксиом А4 удовлетворяется. Чтобы прове-
рить R1, предположим х= 1 и х—>у—1. Тогда
у = (х П —х) U у = (х U у) П (— х U у) = (1 U у) Л 1 = 1 -
Проверим R2: пусть х-»-у=^1. Тогда —xlly=l и
х^у, так что Nx^ZNz/ по теореме 6 (ii). Теперь
Nx—»-Nt/ =—Nxl)Ny=l. Таким образом, <М, (1), U,
Л, —, Р> является С2-матрицей. Эта матрица собствен-
ная, так как <М, U , Л , —>, как булева алгебра, содер-
жит по крайней мере два элемента. Очевидно, {1} есть
аддитивный идеал в М. Наконец, хе->у=1 влечет х = у
в булевой алгебре, так что наша матрица также регулярна.
Ввиду этой теоремы мы можем не делать различия
между модальными алгебрами и соответствующими матри-
цами, в которых выделенным элементом является 1. Таким
образом, каждая модальная алгебра приводит к матрице,
удовлетворяющей С2 естественным образом. И наоборот,
С2 — характеристическая матрица теоремы 8, как мы по-
казали, является модальной алгеброй.
Для того чтобы установить аналогичные связи между
другими пятью системами и соответствующими алгебрами,
необходимо определить подходящие алгебры. Итак, введем
Определение 6. Алгебра называется деонтической,
если она модальная алгебра и удовлетворяет постулату:
(iv) Р1 = 1.
Определение?. Модальная алгебра называется
апистемической, если она удовлетворяет постулату:
X < Рх.
Определение 8. Модальная алгебра называется
нормальной, если она удовлетворяет постулату:
Р0 = 0.
Теорема 10. Все эпистемнческие алгебры деонти-
ческие.
108
Доказательство. Из (v) следует, что 1 ^Р1. Но
в булевой алгебре Pl 1, откуда Pl = 1, то есть (iv).
Теорема 11. 3)1 = <М, -{d}, U, П. —, Р> является
регулярной D2 —(Е2 —, Т (С)—, Т (D)—, Т—) матрицей
тогда и только тогда, когда <М, и > Г), —, Р> является
деонтической (эпистемической, нормальной, нормальной
деонтической, нормальной эпистемической) алгеброй и d=l.
Доказательства следуют доказательству теоре-
мы 9, если вдобавок мы заметим следующее: регулярная
О2-матрица удовлетворяет условию (iv), согласно тео-
реме 2(2). Регулярная Е2-матрица удовлетворяет усло-
вию (v), согласно теореме 2 (п. 3). Регулярная Т ((^-ма-
трица удовлетворяет условию (vi) согласно теореме 4.
Наоборот, из (iv) следует:
Nx —» Рх-Р—xU Рх = Р(— xUx) = Pl = 1;
так что справедливо А5. Из (v) следует:
Nx—>х = Р—xUx=(—xUP—x)Ux, так как Р—х =
=—xUP—x)=l(jP—х = 1, так что выполняется А6.
Далее, пусть выполняется (vi). Предположим, х= 1. Тогда
Nx — — Р—х =— Р0 = —0=1 и выполняется R3. Нор-
мальная эпистемическая алгебра является алгеброй рас-
ширений в смысле [8]; теорема 11 для Т фактически эк-
вивалентна теореме 4 из [8]. Однако в [8] рассматрива-
лась двойственная интерпретация модальной логики Т.
111
Финитная аппроксимируемость
Результаты предыдущего раздела дают уже некоторые
теоремы о полноте шести модальных систем, хотя и мало
интересные.
Теорема 12. )—С2 щг, е2, т<с), t<d), т>А тогда и только
тогда, когда А удовлетворяется во всех модальных (деон-
тических, эпистемических, нормальных, нормальных деон-
тических, нормальных эпистемических) алгебрах.
Доказательство. Всякая теорема С2 общезначима
пл любой модальной алгебре в соответствии с теоремой 9,
и наоборот, каждая не-теорема С2 опровергается регу-
100
лярной характеристической С2-матрицей теоремы 9, а сле-
довательно, некоторой модальной алгеброй по теореме 9.
В случае других систем аналогично используются тео-
ремы 11 и 8.
В этом разделе мы покажем, что теорема 12 еще ос-
тается в силе, если ограничиться только конечными ал-
гебрами. Мы покажем фактически, что каждая из этих
систем является финитно аппроксимируемой, то есть что
для каждой не-теоремы А каждой системы существует
конечная матрица, удовлетворяющая системе, но не удо-
влетворяющая А. Таким образом, кроме уточнения тео-
ремы 12 и подготовки для семантических построений в
следующем разделе, этот результат доказывает разреши-
мость всех шести систем. Наш способ доказательства, как
и прежде, является воспроизведением способа, применен-
ного Мак-Кинси и Тарским (см. [11] и [12]).
Теорема 13. Пусть 9J1 = <М, и, П, —, Р> модаль-
ная (деонтическая и т. д.) алгебра и пусть alt ...,аг —
конечная последовательность элементов М. Тогда сущест-
вует конечная модальная (деонтическая и т. д.) алгебра
8){1==<М1, и о Л 1, —1, Р> с не более чем 22Г+‘ элемен-
тами, такая, что
(i) для l^i sjlr ayCMj;
(ii) длях,уЕМ1 х U гУ = х U у,
(iii) для х, y^tAt хГ^у^хПу,
(iv) для х^М, —j% = — х;
(v) для х£М1( такого, что Px£M,, PjX = Px.
Доказательство. Пусть М,—множество элемен-
тов М, полученных из Рх, alt ..., аг конечным числом при-
менений U , Л и —, так как булева алгебра Мх содер-
жит не более чем 2зГ+‘ элементов. Положим U п Л ,, —t
равными U, Л,— соответственно ограниченными Мг.
Отсюда непосредственно будет следовать, что условия (i) —
(iv) теоремы выполнены. Для х € Mt скажем, что х покры-
вается у, если z/^Mj, PyGMj и х^у. Так как Р1СМг,
так же как и 1, то каждый элемент Mt покрывается не-
которым, хотя бы 1. Если х покрывается элементами у,
у п, то положим PjX = Pz/j Л • Л Ру„ (так что Рхх £ Mi).
Если х покрывается элементами ух, у п, то х у,- (1
^i^/г), так что Px^PjZ/,, по теореме 6 (ii), и Рх^Рхх.
ПО
И наоборот, если x£Mi и Px^Mj, то элемент х покры-
вается самим собой, так что
PiX = Рх П Pyf П • • • П Ру,„
где //„ ..., уп—другие элементы, покрывающие х. Таким
образом, Р.х Рх. Соединяя вместе эти результаты, мы
видим, что выполняется также (v).
Остается показать, что 9Л1 = <Л11, Щ» Пи —i, Рг>
является модальной (деонтической и т. д.) алгеброй, если
таковой является ’).){. Для модальных алгебр доказатель-
ство того, что Р( (х U 1//) = Pi* U 1Р1У. идентично данному
Мак-Кинси [11, с. 125]* и проводится непосредственно.
Для деонтических алгебр Pl = 1, и надо показать, что
РД — 1. Но поскольку 1 и Р1 принадлежат Mlt условие (v)
дает Р,1 — Р1 = 1 г. Для эпистемических алгебр х^Рх, и
нужно показать, что х^Ргх. Но мы уже показали, что
* Обозначим множество х£М(, на которых определена Pj в
начале построения, через Мг. Пам нужно доказать, что Vx, j/£Mi,
Pi (x|Ji/) = PixU Pii/ для определенной выше операции Р,. Заметим,
что если Р| определена в начале построения для х и у, то Р, опре-
делена на х и у и Pj (x(Jj/) = P1x(jP1f/> так как Р (xUi/) = PxL)Pj/ =
= P,x(JPit/, и> следовательно, P(x(Ji/)£M!, поскольку PjX, Pij/£Mt,
а М, замкнуто относительно (J • П. —• Отсюда Pi (х (Д) — Р (х Uf/)-
По определению Vx, т/Р,(х)= р| Р, (zz), Pij/= р| Pi (с).
U6M2 и €М2
v>y
Очевидно, Pj (х) (J Р, (у) = Q Pi (Щ1) Q Р1К')<
и € М2 V - М2
«>х 0
< Pl (Pl (к) и Pl (И)) = Pl Pi(i<Uc)=Pi(xU{/), то есть
ибМ2 wUy€Ms
и^х, u\Jv^-x\Jy
Pi (x)UP> (у)< Pi (xUf/)-
С другой стороны, Pi (x)UPi ({/)= PI P1(«)U PI P1K)^
u«M, osM,
u> x У
£s p| Pi M. так как (уш, ш£Мг, K'^xUf/) (ш^х&w^y). Сле-
еем,
w x\Jy
довательно, ?! (u>) входит в каждое П слева от Отсюда Р| (x(Jt/)=
= Pi (х) U Pi (У) — Прим., перев.
1 Для деонтических алгебр, так же как и для эпистемических
алгебр (теорема 10), эту теорему можно несколько усилить, заменив
2’г+’ на 2“г; для этих алгебр не нужно включать Р1 в число об-
разующих Мр
111
вообще Рх зС Pi*. Для нормальных алгебр РО = 0, и нужно
показать, что 1^0 = 0. Но если Р0 = 0, то Р0^Мг, так
что по (v) имеем Рг0 = Р0 = 0. Случаи нормальных деон-
тических и нормальных эпистемических алгебр являются
простой комбинацией рассмотренных выше случаев.
Подформулой ппф А мы называем ппф, которая входит
как часть (собственная или несобственная) в А. Теперь
мы докажем:
Теорема 14. Пусть А является ппф с г подформу-
лами. |—C2<Dg и т. д.)А тогда и только тогда, когда А обще-
значима на всех модальных (деонтических и т. д.) алгебрах
с не более чем 22Г+* элементами.
Доказательство. Если Нсг <ds и т. д.) А, то, со-
гласно теореме 12, А общезначима на всех модальных
(деонтических и т. д.) алгебрах. И наоборот, предположим,
что А не является теоремой С2 (D2 и т. д.). Тогда А оп-
ровергается на подходящей регулярной матрице, по тео-
реме 8, скажем на 9Л = <М, (1), и» П, —, Р>. Пусть
с*, ..., ап являются элементами М, подставляя которые
вместо пропозициональных переменных vly ..., vn фор-
мулы А соответственно мы получаем значение, не равное 1.
Предположим, что для этого задания значений перемен-
ных подформулы А, отличные от о,, ..., vn, принимают
значения ап+1, ..., аг. Можно допустить, что последняя
такая подформула А есть она сама, так что агУ=1. Тогда
<М, U. П , —, Р> является модальной (деонтической и
т. д.) алгеброй (теоремы 9 и 11), так что, по теореме 13,
существует конечная модальная (деонтическая и т. д) ал-
гебра 9Л с не более чем 22'”+" элементами, удовлетворяю-
щая пяти условиям этой теоремы. По условию (i) можно
взять те же значения переменных ., vn, то есть а^,
ап, в матрице Slip Из условий (ii) — (v) ясно, что это
задание значений приводит к тем же значениям подфор-
мул А в ffli,, что и были в 9Л, а значение А—ary=i, то
есть А опровержима на -Dip
Следствие 1. Системы С2, D2, Е2, Т (С), Т (D) и Т
финитно аппроксимируемы, а следовательно, разрешимы.
Следствие 2. Ca(D2 ит. д.)А тогда и только тогда,
когда А удовлетворяется на всех конечных модальных
(деонтических и т. д.) алгебрах.
112
IV
Алгебры и модельные структуры
В [6] Крипке показал, как можно использовать нормаль-
ные модельные структуры для доказательства полноты и
других результатов для системы 1 и как можно аналогич-
ным образом применить нормальные модельные структуры
различных типов для изучения более сильных систем,
таких, как S4 и S51. В последующей части статьи мы
обобщаем понятие модели Крипке и показываем, что ес-
тественные теоремы представления для введенных ранее
алгебр можно получить в терминах различных модельных
структур. Из этих теорем и теорем о полноте последнего
раздела легко вытекают результаты о полноте в духе
Крипке.
Модельной структурой (м.с.) называется упорядочен-
ная тройка й = </<, Q, Uy, где К — непустое множество
элементов, Q s К, a U —отношение, определенное на К-
Интуитивно можно представлять себе /< как множество
„возможных миров** и интерпретировать Uxy (для х, Д/()
как „достижимость** у из х или как „возможность** мира у
относительно мира х2 * * * * *. Для понимания роли подмножества
нужно напомнить, что в слабых системах С2, D2 и Е2
нет теорем вида □ А, так что они совместимы с добавле-
нием О А как схемы аксиом: сточки зрения интерпретации
это означает, что мы должны допускать возможность ми-
ров, в которых любое утверждение (в том числе противо-
речие) оказывается возможным, и Q интуитивно воспри-
нимается как множество таких миров8.
1 Трудно определить источник втих структур в недавней исто-
рии модальной логики. Подобные семантические методы применял
Хинтикка, а также Прайор, который, кажется, почерпнул эту идею
из нескольких неопубликованных заметок Мередита („исчисление
свойств", см. работу Томаса [16]). Точка зрения на эти структуры
с учетом взаимосвязей между „возможными мирами" восходит, ка-
жется, к Гичу. Их связь с алгебраической трактовкой S4 косвенно
рассматривается в статье Даммета и Леммона [2].
2 См., например, работу Крипке [6, с. 70] или Прайора [14],
где дано менее формальное объяснение.
8 Эта конструкция была мне предложена во время беседы с
С. Крипке; в [4] Крипке анонсировал результаты о семантической
полноте по крайней мере для Е2 и D2 из систем, которые здесь рас-
сматриваются, и, вероятно, эти результаты были получены с помощью
рассмотрений, аналогичных тем, которые представлены в нашей
Ьтатье.
113
Пусть задана модельная структура VI = </<, Q, {/>. Мы
определяем алгебру Й+ на .Я, как <М, U, П, —. Р>, где
(i) М = ф/< (то есть множество всех подмножеств /<);
(ii) U, (] являются теоретико-множественными опе-
рациями объединения, пересечения и дополнения до М;
(iii) для РЛ = {х|(Зу)(#€ Д Л Uxy) VxGQ}-
Теорема 15. Если й—модельная структура, то Я+—
модальная алгебра.
Доказательство. Что <М, U, П, — > является
булевой алгеброй, непосредственно следует из условия (ii).
Далее, для А, имеем:
Р (Д и В) == {х |(ду) (у G А U Bf\Uxy) Vx G Q} =
=-’ {* I(ЭУ) ЛUxy)\J (gz/) (y £B/\ Uxy) Vx G Q} =
= {^Кзу) (.'/€ A/\Uxy)\/x£Q\ U
U {x |(gz/) (y G Bf\Uxy)\/x£ Q} = РД U РД
так что Я+ является модальной алгеброй.
Обозначим пустое множество через 0. Тогда, согласно
(iii), получаем: .
Теорема 16. В алгебре любой модельной структуры:
(i) P0 = Q;
(ii) Q S РД для любого A.
Основной теоремой о представлении этого раздела яв-
ляется:
Теорема 17. Каждая конечная модальная алгебра
изоморфна алгебре на некоторой конечной модельной
структуре.
Доказательство. Пусть 9)1 = <М, U , П , —, Р> —
конечная модальная алгебра. Тогда, по теореме Стоуна
о представлении, <М, (J , П , —, Р> изоморфна алгебре
всех подмножеств данного множества /<. Обозначим этот
изоморфизм через <р. Для А •= К положим Р'Д = д1Р<р-1Д
и Q.-q(PO). Наконец, для х, у£1\ положим Uxy, если
х G|z/}. Я = <7\, Q, Uy, очевидно, является модельной
структурой. Мы покажем, что 9)i изоморфно отображается
функцией <р на Я+ Обозначим операцию возможности
в Я + через Р*. то есть Р*Д —- (х | (gz/) (z/G Af\Uxy) \/
V х G Qb ф. очевидно, является изоморфизмом относительно
U > Г) и —, так что осталось только показать, что
114
ср (Рх) = Р* («рх). Докажем сначала, что для х е Мер (Рх) U
U Q = <р (Рх). По теореме 6 (ii) РО Рх, так что Рх (J Р0~ Рх.
Поэтому ср (Рх) — ср (Рх U РО) = ср (Рх) (J ср (РО) - = ср (Рх) U Q,
по определению Q. Теперь рассмотрим атом а^М. Оче-
видно, <ра является одноэлементным множеством {а} для
некоторого и£К, и мы получаем:
Р* (ера) = (х | (gz/) (у е {/.-} Д Uxy) V х G 0} =
= {х | Uxy V х С Q} — {х | х С Pz V4 V х € Q) —
= {х | х е ф (Ра) \Де Q} = ф (Ра) U Q = ф (Ра).
Каждый элемент х б М может быть представлен в виде
ах U ... U ат для атомов ап ..., ат. Итак, для х е М:
<Р (Рх) = ф(Р(а, U • • • U а,л)) = ф (Раг U • • UPara) =
= ср (Рах) U ... U ср (Раи) = Р* (epaj U •. • U Р* (epaj =
= Р* (срa! U ... U сра,л) = Р* (ср (Oi U • • • U ат)) = Р* (срх).
Следовательно, ср является также изоморфизмом относи-
тельно Р.
Для алгебр пяти остальных типов нам потребуются
определения соответствующих модельных структур. Опре-
делим деонтическую м.с. как м.с. </<, Q, Й>, в которой
U и Q удовлетворяют условию:
(6) для хе К, (gy) Uxy, или x£Q.
Эпистемической м.с. мы назовем м.с. <К, Q, Uy, в ко-
торой U п Q удовлетворяют условию: (е) для х € /<, Uxx,
либо х е Q- (Очевидно, условие (е) эквивалентно рефлек-
сивности U на 7< — Q.) Наконец, м.с. <К, Q, Uy назовем
нормальной, если Q = 0. Для удобства мы можем обоз-
начать нормальные м.с. как <К, Uy вместо <К, Q, t/>:
в них нет „странных" миров. Для алгебры на нормальной
м.с. условие (iii) па А е tyK можно записать, как
(iii)' РЛ = (х | (gy) (z/£ Л Д Uxy)}.
Аналогично для деонтических м.с. условие (6) запишется
в виде:
(6)' для xGK (gz/)Hxz/;
а для нормальных эпистемических м.с. условие (е) озна-
чает условие рефлексивности U на К. Таким образом,
115
нормальные эпистемические м.с. идентичны тем м.с., ко-
торые Крипке назвал нормальными м.с.1.
Теорема 18. Если $ является деонтической (эписте-
мической, нормальной и т. д.) модельной структурой, то
31+—деонтическая (эпистемическая, нормальная и т. д.)
алгебра.
Доказательство. Пусть $ = </С, Q, Uy будет де-
онтической м.с. Согласно теореме 15, для доказательства
деонтичности алгебры Д+ достаточно доказать, что Р/С = К.
Но РК — {х\ fay)^ /\[)ху)У х £Q} ==К, согласно усло-
вию (6). Пусть теперь Д = </(, Q, Uy является эпистеми-
ческой м.с. Для доказательства эпистемичности алгебры
Д+ в соответствии с теоремой 15 надо установить, что
для А s К А s РЛ. Но, по (в), для 7! Uxx\/x С Q.
откуда (д</) (г/С A/\Uxy\ V х С Q, так что х£РА. Нако-
нец, пусть ® = Q, Uy — нормальная м.с. Для того
чтобы доказать нормальность алгебры в соответствии
с теоремой 15, достаточно доказать, что Р0 = 0. Но,
по теореме 16 (i), P0 = Q, a Q = 0.
Можно сформулировать теоремы представления.
Теорема 19. Всякая конечная деонтическая (эписте-
мическая, нормальная и т. д.) алгебра изоморфна алгебре
некоторой конечной деонтической (эпистемической, нор-
мальной и т. д.) модельной структуры.
Доказательство. Мы применяем такую же терми-
нологию и определения, как и в доказательстве теоремы 17.
Доказательство изоморфизма остается таким же, но только
нужно еще показать, что Д является деонтической (эпи-
стемической и т. д.) м.с. Предположим, что ЭЛ деонтиче-
ская алгебра. Так как Pl = 1, то по изоморфизму ф,Р*/С = /<,
или {х | (ay) Uxy V х С Q} = К. Условие (6) получается
сразу, и У оказывается деонтической м.с. Далее, предпо-
ложим, что ЭЛ является эпистемической алгеброй. Так как
для х б М х -С Рх, то по изоморфизму <р для каждого
1 Это терминологическое расхождение, возможно, является не-
приятным моментом, однако я предпочитаю считать, что нормальность
структур Крипке выражается в том, что <2 = 0, в большей степени,
чем в том, что отношение U рефлексивно, поэтому нам понадобился
специальный термин для обозначения последнего свойства. Крипке
также выделяет специальный элемент биД („действительный" мир),
но это не нужно для наших целей.
116
A s/СЛ sP* А. Следовательно, в частности, для х С Л’
sP*{x|, так что x£P*{.v). Отсюда следует, что
(gy) (f/€ W Л Uxy) V Q, откуда сразу же получается
условие (в) и эпистемичиость м.с. Я. Предположим теперь,
что 9JI — нормальная алгебра. Поскольку Р0 = 0, то по
изоморфизму ф Р*0 = 0. По, по определению, Q — ф (РО) =
= Р*(фО) = Р*0, так что Q —0 и Я является нормаль-
ной м.с.
Теорема 20. сг <О2 и т. д.> A (i) тогда и только
тогда, когда А удовлетворяется Я+ для всех модельных
структур Я (деонтических модельных структур Я и т. д.);
(ii) тогда и только тогда, когда А удовлетворяется Я+ для
всех конечных модельных структур Я (деонтических мо-
дельных структур Я и т. д.).
Доказательство. Если |—сгА, то А удовлетворяется
всеми модальными алгебрами, согласно теореме 12, а сле-
довательно, алгебрами Я4 для всех модельных структур Я,
по теореме 15. И наоборот, если А не является теоремой С2,
то существует конечная модальная алгебра, опровергаю-
щая А, согласно теореме 14, так что А опровергается Я+
на некоторой конечной модельной структуре Я, по теоре-
ме 17. В других случаях применяются теоремы 18 и 19.
Теорема 20 является еще одним результатом о полноте
(ср. теоремы 12 и следствие 2 теоремы 14). Остается
только уяснить, что эти последние результаты эквивалентны
семантической полноте. Это будет прямым следствием того
факта, что удовлетворение формулы алгеброй Я+ м.с. Я
эквивалентно истинности этой формулы в Я в смысле
Крипке. (На самом деле мы пользуемся здесь слегка из-
мененной терминологией Крипке.)
Сначала надо, следуя Крипке, определить подходящие
семантические понятия. Моделью ппф А в модельной струк-
туре </<, Q, t/> мы называем двухместную функцию Ф (v, k),
где v пробегает множество пропозициональных перемен-
ных формулы A, k—множество элементов К, а значения
функция Ф принимает из {Т, F) (Т — „истина", F—„ложь").
Таким образом, Ф(у, k) задает истинностные значения
Т, F каждой пропозициональной переменной А в каждом
„мире" из К; Ф(у, k) связывает каждую переменную
С множеством миров из К, в которых она истинна (так
что можно рассматривать переменную как функцию, ото-
бражающую миры в множество истинностных значений),
117
и каждый мир ассоциируется с множеством переменных,
которые принимают в нем значение „истина" (так что каж-
дый мир можно рассматривать как функцию от перемен-
ных со значениями истинности). Естественным образок'
Ф(у, k) связывает с переменной v множество АбгК, кото-
рое можно рассматривать как значение этой переменной
в алгебре ,Ч + .
Далее мы определим однозначно расширение функции Ф,
Ф' (В, А), где В любая подформула А, следующим образом:
(*)
если В —атомарная формула (то есть переменная), то
Ф'(В, А) = Ф(В, А);
(ii) Ф' (— С, А) Т (F), если и только если Ф' (С, A)=F(T);
(iii) Ф'(С—>D, А)=-Т, если и только если Ф'(С, A) = F,
либо Ф' (D, А) = 7;
(iv) Ф' (ПС, А) — Т, если и только если Ф' (С, 1) = Т для
всех /£/<, таких, что Ukl и k£Q. Из этих определений
и DI, D2 и D4 получаем:
(v) Ф'(С\/И, А) = 7, если и только если Ф' (С, А) = Т,
либо Ф' (D, А) = Т;
(vi) Ф'(С Л D, А) —Т, если и только если Ф'(С, А) = 7'
и Ф'(D, А) = Т;
(vii) Ф'(<>С, А) = Т, если и только если Ф'(С, /) = Т
для некоторого 1(^К, такого, что Ukl, или k£Q.
Эта интерпретация не нуждается в комментарии, за
исключением одного замечания, что, согласно (vii), <>(
истинно в мире А, если в некотором мире, достижимом
из А (возможном относительно А), истинно С, или А яв-
ляется одним из „странных" миров, в которых возможно
любое высказывание. ПС интерпретируется двойственным
образом, согласно (iv).
Мы будем говорить, что А истинна в модели ®(v, А;
в мире 1£К в модельной структуре <Z<, Q, £7>, если
Ф' (А, /) = Т. Будем говорить, что А общезначима в </<Q£7>
если А истинна во всех моделях (v, А) во всех
в </<, Q, Uy. Будем говорить, что А общезначима, есл’
А истинна во всех модельных структурах. Будем говорит,
также, что A D2-(E2-, Т (С)-, Т (D)-, Т-) общезначима, есл
А истинна во всех деонтических (эпистемических, нормаль
ных, нормальных деонтических, нормальных эпистемиче
ских) модельных структурах.
118
Для заданной ппф А и модели Ф(у, k) для А в мо-
дельной структуре Д = <Д’, Q, U> можно определить при-
писывание значений $( (Ф)* в терминах переменных
vlf v„ формулы А из алгебры .Ч + , налагая
lz(vj = {x|xCAAG)(v/, х) = Т} (l<tsCn)
и
Й(Ф) = <Е(У1), .... V'(v„)>.
И наоборот, если дано приписывание VI = <Alt ...
.... А„) (А,- S Д') из <Й'+ для п переменных из А, можно опре-
делить модельФ (?() (v, А) для А в М, полагая <!»(?() (vf, х)=Т
тогда и только тогда, когда x£Az Для любого приписы-
вания ?1 значений из А1+ для переменных из А и подфор-
мулы В формулы А обозначим через V» (В) значение из Я+,
принимаемое В при приписывании ?(.
Лемма, (i) Пусть А--ппф и <D(v, А)— модель для А
в Д = <А\ Q, U). Тогда для всех х £ К Ф'(А, х) = 7\ если
и только если х б V-ч (Ф;(/!).
(ii). Пусть А — ппф и VI—задание значений из Я'4 для
переменных из А в некоторой структуре Я’ = <К, Q, U>.
Тогда для всех х£К Ф(51)' (А, х) — Т, если и только если
х б Va (А).
Доказательство (i) проводится индукцией по
длине А. Если А является одной из переменных v1( . . ., v„,
то (i) выполняется по определению VI(Ф). Для доказа-
тельства шага индукции предположим, что результат до-
казан для В и С. Заметим, что по кванторпой логике:
z (1) W (UxtJ — Ф' (В, У) = Т) <-> у;7 (Uxy — у б Va (ф) (В)).
Теперь предположим, что А имеет вид В—> С. Тогда для
всех х б А:
Ф'(В —С, х)==Т<->Ф'(В, x) = F \/Ф'(С, х) = Т<_>
<-> х (т Уд (ф> (В) \/ х б (Ф, (С) <-> х б (— Va (ф( (В) и
uv,, (®-.(C))wvev?lifl!,(B-,c).
Аналогичное доказательство получается, если А имеет
вид—В. Предположим, наконец, что А имеет вид [ДВ.
* VI (Ф) называют также от нкой или приписыванием значений. —
Прим, перев.
119
Тогда для всех х£К
Ф'(ПВ, х) = Т <—> \y(Uxy —>Ф' (В, у) = Т) Л х $Q +-»
<-»(у^)(С/ху->£/€^я (<ю(В) A*£Q(no (!)))«-►
wx£NVa (Ф> (В) <->х £ Уй <ф) (ПВ)
Аналогично проводится док аз а тел ьство (ii): за-
мечаем, что утверждение (ii) справедливо в случае, когда А
является одной из переменных vn ..., v„, согласно
определению Ф(§1).
Теперь можно сформулировать основную теорему,
связанную с алгебраическим и семантическим подходом.
Теорема 21. Пусть St = <K, Q, U>—модельная
структура, а А — любая ппф. Тогда А удовлетворяется
алгеброй St+, если, и только если, А истинна в Я.
Доказательство. Пусть А является ппф, которая
удовлетворяется в St+, и рассмотрим модель Ф(\', k) для
A Bit. Тогда Уи (ф)(А)=А, откуда, по лемме (i), Ф' (А, х)=Т
для всех х^К. Таким образом, А истинна в it. И на-
оборот, предположим, что А истинна в St, и рассмотрим
задания значений переменных формулы А. Тогда для всех
х ё КФ(§1)' (А, х) = Т, откуда по лемме (ii) для всех х £ К
хСУи(А), так что УЙ(А) = К и А удовлетворяется в ал-
гебре St+.
Следствие. сг (D2, Е2 и т. д.) А тогда и только то-
гда, когда А С2—общезначима (D2—общезначима, Е2 —
общезначима и т. д.).
Доказательство проводится с помощью теоремы
20 (i), теоремы 21 и различных определений истинности.
Результат полноты для Т в этом следствии эквивален-
тен такому же результату в статье Крипке [6] (р. 86).
Результаты полноты для других пяти систем являются
новыми, хотя в некоторых случаях они были анонсиро-
ваны Крипке в [4]. Однако эти результаты здесь полу-
чены независимо от рассмотрений семантических таблиц,
применявшихся Крипке, а на основе соответствующих
алгебраических теорем.
ISO
V.
Четырехзначные матрицы
Четырехзначные матрицы широко использовались в ис-
следованиях по модальной логике для установления неза-
висимости и т. д. Теоремы представления последнего раз-
дела дают легкий способ определения всех регулярных
четырехзначных матриц, которые удовлетворяют С2; вся-
кая такая матрица изоморфна алгебре на модельной
структуре $? = </(, Q, Uy, где /( содержит два элемента,
скажем а и Ь. Элементарное вычисление показывает, что
существуют 64 таких модельных структур (существуют 4
возможных выбора Q и 16 выборов U). Однако из 64 со-
ответствующих алгебр много изоморфных; среди них
только 15 существенно различных, а именно1:
= {а, Ь}, 0>;
Я2 = <К, W. 0>;
$?8 = <Л’, {«}; {<Ь, &>}>;
= {«}, {<Ь, «>}>;
= {a}, {<b, by, <b, «>}>;
$?«=</<, 0, 0>;
0. {<ь, ьу}у,
®„ = <К, 0, {<Ь, «>}>;
®в = <К, 0, {<«, аУ, <Ь, Ь>}>;
= 0, {<«, by, <b, а>»;
$?ц = <К, 0, {<Ь, «)}>;
ЯЙ==<К, 0, {<b, by, Са, Ьу}у,
ЛИ = <К, 0. {<b, by, <а, by, <b, Й>}>.
= <К, 0, {<«, ay, <b, by, <b, а>[>;
^i6 = <К, 0, {<а, ay, <b, by, <а, by, <b, а>}>.
5ти 15 модельных структур более наглядно можно пред-
ставить с помощью направленных графов (см. [13]):
1 Это является следствием очевидней симметрии между а и b и
того, что для построения $i+ безразлично, ведут ли стрелки отно-
шения U в Q или из <2; последнее будет использовано в продолже-
нии настоящей статьи.
121
а ь а Ь а b
о о ° ° О <Р
£\(Q = {a}) Л\(б={а})
а b о——« о а Ъ а Ь о •» —<Р о о
SUQ = {a}) $UQ={c)) ft, (Q=fc
а Ь а b а Ъ
о <Р о 1
Я (Q = 0) (Q = 0) =0
а Ъ a b а Ь
£10 (Q = 0) V - 0 (Q=0) Я12 (Q=0
а b а b а Ъ
^ХЗ (Q-0) •ftu (Q=0) itls (Q=0
Чтобы облегчить сравнение с обычными представления-
мп (четырехзначных логик), надо договориться о следующем
обозначении элементов
Я/(1 15): 1 = {щ Ь\, 2 = £}, 3= {«}, 4 = 0.
Связки —> и — всех матрицах: имеют одинаковую интерпретацию во
a
T 2_ТТ
1 2 3 4
1 1 3 3
12 12
1111
£
1
2
3
4
-Р
4
3
2
1
122
Наши 15 матриц различаются в столбцах для опера-
ции □ , приводимых в следующей таблице:
□ Р
Сравним эту таблицу с пятью группами матриц Льюиса
и Лэнгфорда (см. [10]). Группа I идентична с ЛТф, груп-
па II—с группа III—с а группа IV—с .0^.
Матрица группы V нерегулярна; хотя она удовлетворяет
А4, но не удовлетворяет R2, и поэтому
Р (х U у) ф Рх U Ру (Р (4 U 2) = Р2 = 2, но Р4 U Р2 = 3 U 2 = 1).
Вспомним, что во всех 15 предггавлепных матрицах,
как регулярных, единственным выделенным значением яв-
ляется 1; однако вполне можно использовать для других
целей такие же матрицы с двумя выделенными значени-
*" ями 1 и 2.
’ ' Яф опровергает ,45 и ДА, показывая, таким образом,
, что С2 содержится в Т (С) и D2 как собственная подло-
гнка. удовлетворяет А5, но опровергает А6 и [JA,
’ показывая, что D2 строго содержится в Е2 и Т (D).
удовлетворяет правилу R3, но опровергает /15, что
указывает на собственное включение Т (С) в Т (D) и не-
зависимость от D2. Я] удовлетворяет А6, но опровергает
□А, что означает собственное включение Е2 в Т. Нако-
нец, StJ, удовлетворяет А5 и R3, но опровергает А6, от-
куда следует собственное включение Т (D) в Т и незави-
симость Т (D) и Е2.
На самом деле, какие схемы аксиом общезначимы
в различных матрицах, можно уяснить из рассмотрения
соответствующих графов, если принять во внимание под-
ходящие модельные условия. Так, матрицы, которые
удовлетворяют Т, суть те, которые базируются на рефлек-
сивных графах, в которых Q — 0, а именно: Я<[, Я(4, Я,^.
Некоторые другие матрицы из приведенного множества
будут использованы в продолжении данной статьи.
123
ЛИТЕРАТУРА
1. Church A, Introduction to mathematical logic I„ Prince-
ton, 1956 (рус. пер.: Черч А. Введение в математическую логику.
М., 1960).
2. Dummett М.А.Е. and Lemmon Е. J. Modal logics bet-
ween S4 and S5.—“Zeitschrift fur mathematische Logik und Grund-
lagen der Mathematik”, vol. 5, 1959, p. 250—264.
3. F e у s R. Les logiques nouvelles des modalites.—“Revue
neoscholastique de philosophic”, vol. 30, 1937, p. 517—533, and vol.
41, 1938, p. 217—252.
4. Kripke S. A. Semantic analysis of modal logic (abstract),—
“The Journal of Symbolic Logic”, vol. 24, 1959, p. 323—324.
5. Kripke S. A. A completeness theorem in modal logic, this
Journal, vol. 24, 1959, p. 1—14 (рус. пер. в кн.: Фейс. Модальная
логика, М., 1974, с. 223—246).
6. Kripke S. A. Semantical analysis of modal logic I.—„Zeit-
schrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik”,
vol. 9, 1963, p. 67—96 (рус. nep.: там же).
7. Lemmon E. J. New foundations for Lewis modal systems.—
Journal of Symbolic logic”, vol. 22, 1957, p. 176—186.
8. Lemmon E. J. Extension algebras and the modal system T.—
“Notre Dame journal of formal logic”, vol. 1, 1960, p. 3—12.
9. Lemmon E. J. Deontic logic and the logic of imperatives.—
“Logique et analyse”, vol. 8. 1965, p. 39—71.
10. Lewis С. I. and L a n g f or d С. H. Symbolic logic. Mew
York, 1932.
11. McKinsey J.C.C. A solution of the decision problem for
the Lewis) .,-ai.ems S2 and S4, with and application to topology. —
“The Journal of Symbolic Logic”, vol. 6, 1941, p. 117—134.
12. McKinsey J.C.C. and Tarski A. Some theorems about
the sentential calculi of Lewis and Heyting, vol. 13, 1948, p. 1—15,
13. Ore O. Graphs and their uses. New York, 1963.
14. Prior A. N. Possible worlds.—“Philosophical quarterly”,
vol. 12, 1962, p. 36—43.
15. Rosenbloom P. The elements of mathematical logic.
New York, 1950.
16. Thom a s I. A final note on Sl° and the Brouwerian axio-
mes.—“Norte Dame journal of formal logic”, vol. 4, 1963, p. 231—232
17. Wright G. H. von. An essay in modal logic. North-Holland,
1951.
Е. Леммон
алгебраическая семантика
для МОДАЛЬНЫХ логик II*
Данная статья является продолжением [7], и терми-
нология [7] широко в ней используется. В [7] применя-
лись алгебраические методы Мак-Кинси—Тарского. Мы
также расширили эти методы для получения семантиче-
ских результатов в духе Крипке для класса сравнительно
слабых модальных логик, сильнейшей из которых явля-
ется логика Т Фейса — фон Вригта. Исследовались деон-
тические варианты систем Т и Е2, соответственно наз-
ванные Т (D) и D2, и даже более слабые системы модаль-
ной логики. Основная цель настоящей статьи состоит в
распространении этих результатов на более сильные сис-
темы модальной логики. Так, мы рассматриваем системы
Льюиса S2—S5, систему Брауэра В из статьи Крипке [4],
системы ЕЗ —Е5 [5] и модальную логику Лукасевича на-
ряду с некоторыми новыми системами.
Теперь целесообразно произвести некоторые изменения
метода [7]. Так, в разделе 1 устанавливаются некоторые
дальнейшие результаты, касающиеся модельных структур,
с тем чтобы выяснить соотношения между системами S2,
Е2, S3 и ЕЗ; в частности, в дальнейшем изложении важ-
ную роль играют понятия рафинированной и связной модель-
ной структуры. Кроме того, для упрощения в исследова-
нии сильных систем раздела IV даются общие теоремы
представления модальных алгебр, в основном принадле-
жащие Дану Скотту, в результате мы переходим от чисто
* Lemmon Е. J. Algebraic Semantics for Modal Logics II.-—
“The Journal of Symbolic Logic”, 1966, vol. 31, № 2.
125
алгебраического решения проблемы для каждой модаль-
ной системы (как в [7]) к модельно-структурному реше-
нию, которое легче первого. Чем дальше по ходу статьи,
тем больше предоставляется читателю самостоятельно делать
очевидные семантические выводы из алгебраических резуль-
татов. Так мы приходим к заключению, что А является
теорией некоторой системы, если А общезначима во всех
алгебрах Я+ для всех модельных структур А некоторого
вида. Тогда можно автоматически применять теорему 21
из 17] для доказательства того, что А является теоремой
системы тогда и только тогда, когда А общезначима во
всех некоторого вида, что означает семантическую пол-
ноту. Таким образом, теорема 21 из [7] продолжает играть
фундаментальную роль в наших рассмотрениях.
Осталось сделать многое. Например, имеются различ-
ные деонтические напарники к тем системам, которые сле-
дует рассмотреть, такие, как D3 — D5 из [5], так же как
системы, получающиеся при добавлении к Т или S4 раз-
личных редукик лых утверждений. Однако можно ожи-
дать, что многи'ё методы этой статьи переносятся на другие
системы. На протяжении всей статьи я чрезвычайно обя-
зан идейному и стимулирующему влиянию Дана Скотта,
хочя я один ответствен за чисто алгебраическую форму,
в которую вылились у меня некоторые из его изящных
семантических построений.
Системы Е2, ЕЗ, ЕТ, Е4
Система Е2 подробно рассматривалась в [7]. Основная
цель этого раздела —установить некоторые выводимые пра-
вила для Е2, которые понадобятся позднее, и наметить
доказательства полноты и разрешающих процедур для
трех расширений Е2. Как в [7], мы рассмотрим схемы
А1. А—«-(В—>А);
А2. (А — (В — С)) — ((А — В) — (А С));
АЗ. (— А —> В) —> (В —А);
А4. □ (Л —» В) —> (□ А —>-□ В);
А6. □ А —>-А,
и правила
р 1 А А —» В ра А —» В
13 □ А -> о В
Система Е2 определяется схемами аксиом А1—А4, А6
и правилами вывода /?1, R2. Вдобавок к определениям
126
из 17j введем обозначения Т-Р — р, F= — (р—*-р); е-ал-
гсброй (эпистемической алгеброй) мы будем называть струк-
туру "Di = < М, cj, гл, —, Р >, где М—множество эле-
ментов, замкнутое относительно п, —, и Р такое, что:
(i) Л) является булевой алгеброй относительно о, гл, —;
(ii) для всех х, рСМ Р(хоу) = РхиРу;
(iii) для всех х£М х^Рх.
Согласно следствию 2 теоремы 14, нам известно из [7],
что Е2А тогда и только тогда, когда А обозначима во
всех конечных е-алгебрах.
Модельной структурой мы называем структуру At —
= <К, Q, Uy, где К — непустое множество элементов, Q<= К,
a U —бинарное отношение, определенное на /(. Модель-
ная структура называется эпистемической, если отноше-
ние U рефлексивно на K — Q. Алгеброй на At = <K, Q, Uy
называется структура At+ = <M, о, п, —, Р>, где:
(i) М = 4$ К (множество всех подмножеств К)',
(ii) о, г\, — суть теоретико-множественные операции
объединения, пересечения и дополнения до мно-
жества М;
(iii) для А С М РА = (х | (Эу) (у С А Д Uxy) \/ x£Q\.
Согласно теореме 18 из [7], алгебра А1+ эпистемиче-
ской м. с. At является е-алгеброй, а, по теореме 19 из [7],
каждая конечная е-алгебра изоморфна алгебре на неко-
\ торой конечной эпистемической м. с. Заметим также, что
1"ДЛЯ ACM NA( = —Р—A) = |x|(V^)(t/xy —А) /\ xft
f №}
V Сначала мы уточним этот результат, ограничив наше
,• внимание м. с. специального вида. Назовем модельную
7 структуру Я = <К, Q, U' рафинированной, если и только
если:
(р) для всех х, у£К из Uxy следует х^К—Q.
Интуитивно рафинированность <Д, Q, Uy означает, что
никакой (7-путь не проходит внутри Q, не ведет из Q, то
есть Uxy никогда не имеет место для x£Q. Для всякой
< модельной структуры Я = </(, Q, Uy можно положить:
U1 = {<_x, уу-.х £K—Q f\Uxy\,
тогда м. с. Й1 = <Х, Q, UYy, очевидно, будет рафини-
рованной .
Докажем:
127
Теорема 1. Я+
Д о к а з а г е л ь с т во. Положим Я — </(, Q, П>и^1=»
«= <К, Q, L7t>, где (71 определено так, как и выше. Слу-
чаи kJ, г\,—тривиальны, и нам нужно только показать,
что для ЛеК PA = PiA, где
Р,-Л = {х |(Эг/) (у С А /\ Utxy) V х б Q}.
То, что Pj/! s РА, получится сразу, так как из Uxxy сле-
дует Uxy. И наоборот, предположим, что хРР/1, так что
или (Зу) (у £ А V Uxy), или x£Q. Если x£Q, то х^РрА.
Предположим теперь, что x$Q. Тогда (Эу) (у £ А /\ Uxy),
следовательно, (Зу) (у £ А Д U ,ху) и xgPjl. Доказатель-
ство окончено.
Это означает, что в результатах о полноте из [7] можно
ограничиться классом алгебр, соответствующих рафиниро-
ванным м. с.
В случае Е2 получаем:
Теорема 2. ейА тогда и только тогда, когда А обще-
значима на 5?+ для всех конечных рафинированных эписте-
мических м. с. SL
Можно ввести дальнейшее ограничение, как показал
Крипке в [4], 2.2. Будем говорить, что м. с. Я = <К, Q, Uy
связна, если существует х£К, такой, что для всех у^К
(у=дх) U*xy, где U* является наследственным для U1).
Для данной Д = <К, Q, Uy и х£К $£ж (связной м. с.,
порождаемой х из Д), называется <КХ, Qx, Uх>, где
(О Кх = {у\и*ху\ \J {х};
(ii) Qx = Kxr>Q-,
(iii) Ux = {<у, ?y\Uyz f\tj, z£l<x\.
Теорема 3. Если А опровергается алгеброй Д+ на
$ = <К, Q, Uy, то существует связная модельная струк-
тура порождаемая элементом х € К, такая, что А
опровергается алгеброй ДД
Доказательство. Предположим, что А опровер-
гается в алгебре Д+ при задании 8l = <At, .... А„>
(AzsK) значений переменных vlt ..., v„). Как и в [7],
через \'д (В) обозначим значение, приписываемое подформуле
В формулы А при задании §1. Нам известно, что Ve (А)=Д/<,
следовательно, можно выбрать х С К — VB (A). Slx =
х) Такой х не обязательно единствен.
128
--- <KX, Qx, Uж>—связная модельная структура, порож-
даемая х из Д. Для А,- s К положим А'( — А[Г\КХ и рас-
смотрим задание 31' (в алгебре ==</!', А'п> зна-
чений переменных из А. Сначала мы убедимся, что для
всякой подформулы В формулы А для всех k С Кх k С Vv (В)
тогда и только тогда, когда k С А{. Применяем индукцию
по длине А. Если В является переменной V,-, то для
/г Е Кх имеем: k Е Va (vz) тогда и только тогда, когда k С Ait
тогда и только тогда, когда А'{ (= Л(г»/<ж), тогда и
гочько тогда, когда ACVa-(vz).
Если В имеет вид С —> D, то для k Е Кх имеет:
/<EVa(C—>D) тогда и только тогда, когда &(£Va'(C), или
&€Va-(D) тогда и только тогда, когда k£va-(C), или
&£Va-(D) (по индуктивному предположению) тогда и
только тогда, когда k £ Va. (С —* D). Аналогично рассмат-
ривается случай, когда В имеет вид —С. Наконец, пред-
положим, что В имеет вид ПС. Тогда для k£Kx имеем:
€ Va (□ С) тогда и только тогда, когда
(V/)(/€A'A^/-/EVa(C))A^<Q; (1)
&€Vq'(E)C) тогда и только тогда, когда
(V/) (/ € Кх Л UXM / Е Va- (С)) Л k (t Qx. (2)
Чтобы убедиться в эквивалентности правых частей (1)
и (2), заметим сначала, что для k Е Кх k £ Q, если и только
если k£Qx. Теперь предположим, что выполняется усло-
вие правой части (1), и пусть 1(-Кх и Uxkl\ тогда I
Ukl, так что /£Va(C); таким образом, по индуктивному
предположению 1£КХ, /EVa<(C). И наоборот, предполо-
Жим, что выполняется условие правой части (2), и пусть
/СА и Ukl. Так как k£Kx, то либо U*xk, либо x = k.
В обоих случаях из Ukl получаем / Е Следовательно,
Uxkl, так что / С Va- (С). По предположению индукции,
/£Va(C). Это завершает доказательство индукции.
Мы получили, что для k Е Л’х k Е Va (А) тогда и только
тогда, когда k£Va, (А). Но поскольку х Е Кх и х (£ Va (А),
мы имеем x(£Va-(A), так что Va- (А)=А/<а, и А опровер-
гается в
Очевидно, вследствие этой теоремы можно ограничиться
связными м. с. при установлении результатов о полноте.
Так, для всякого недоказуемого в Е2 утверждения А най-
дется конечная рафинированная связная м. с. Я1, такая,
цто Л опровергается в Д+ Доказательство теоремы 3
I № 1212 129
также показывает, что для формулы А, опровергаемой
заданием §1 значений из алгебры Д+, для некоторой м. с.
St == <А, Q, Uy для всякого х £/<_Va(A) А опровергается
в алгебре
В дальнейшем мы будем иметь дело с двумя специ-
альными модельными структурами. Яе = </<, Q, Uy опре-
деляется следующим образом: Q = {n}, U — 0
для некоторого элемента а. обладает такими свойст-
вами: РА для всех Лс/С; NA = 0 для всех A s К‘,
является (тривиальным образом) связной и рафиниро-
ванной. Я5 = <К, Q, Uy определяется так: К — {«, b}, Q=
= {о}, а £/ = {</?, by, <jb, «>} для некоторых элементов
а и Ь; Я6 была определена также в [7], где был дан ее
граф и установлен изоморфизм с группой I Лыоиса из [9];
очевидно, эта м. с. является эпистемической, связной и
р афиниров энной.
Теорема 4. Если А опровергается то она опро-
вергается также Яр.
Доказательство. Предположим, что А опровер-
гается ДД то есть для некоторого задания ?(= <АП ..., АпУ
(Afs{«}) значений переменных vt, ..., v„ из А
vfl (А) =#{«}, и поэтому Vs(A) = 0. Рассмотрим такое же
задание значений vn ..., v„ в Я^. Пусть Va. (В) есть
значение, принимаемое подформулой В формулы А при
задании §1 в Я* *. Покажем по индукции, что а^УДВ)
тогда и только тогда, когда «gVn!S(B). Если В является
переменным v,-, то утверждение тривиально, так же как
и в случае В вида С —* D и —С. Предположим теперь,
что В имеет вид □ С. Тогда и в Яе и в Я6 a£Q, так что
a Ve (□ С) и а Vfl, (□ С) утверждение будет справедливо
также и в этом случае. Поскольку Vn (А) =/- 0, а ^Va5(A),
то А опровергается в Я6.
Теорема 5. Если |—Е2 □ Т —□ А, то |—Е2 А.
Доказательство1. Предположим, что |—Е2 □ Т — >
—» □ А и не |— Е2А. Тогда для любой эпистемической м. с.
St = </<, Q, Uy и для всякого задания значений перемен
ных §1 из Я'+ Vn (□ Т —> □ A) = /f. Теперь легко видеть,
1 Альтернативное доказательство этой теоремы в терминах нор
• мальных форм для Е2 было сообщено мне Д. Скоттом, которому >
благодарен также за то, что он обратил мое внимание на важное п.
©того в связи с 82 и S3 (см. следующий раздел).
130
что Vq (□ Т) = /< —Q, откуда следует, что Va (□ A) = ^—
-Q, то есть NVa(A) = /< — Q. Но для As Л' NAsA,
гак что 7<—Q S Ve (А), В частном случае й6 ввиду b С 7< —
- Qb € Vq А; также ввиду b 6 NV„ (А) = К. — Q, если Uba, то
получается, что a£Va(A), так что Va(A) = /f, и А удов-
летворяется на й|. Теперь, если А не является теоремой
Е2, по теореме 2 существует некоторая (конечная) рафи-
нированная эпистемическая м. с. й'= U'y, такая,
что А опровергается в й+, то есть такая, что Va (А) =
-= К' для некоторого задания 31' из Й'+. Однако, как мы
отмечали, К' —Q' sVa-(A). По замечаниям, следующим за
теоремой 3, А опровергается также Йф для всякого х £
€ K'Vq- (А); но всякое такое х g Q. Поскольку Й' рафи-
нированная, то й*+, очевидно, изоморфна й/, так что А
также опровергается ЙЛ Это противоречие с теоремой 4
доказывает теорему 5.
Мы используем выведенное для Е2 правило в следую-
щем разделе. Теперь же возвратимся к системе ЕЗ, опре-
деленной добавлением к Е2 схемы аксиом:
А7. □ А —> □ (□ В —► □ А).
ЕЗ можно иначе аксиоматизировать, добавляя к Е2
схему аксиом:
АТ. □ (А —В) —> □ (□ А-> □ В).
(Так, фактически ЕЗ определяется в [5].) В самом деле,
если в А7 вместо А подставим А —>В, а вместо В —А,
то получим
Нез □ (А —»• В) —> □ (QA —> □ (А -+ В)),
а используя А4 и R2, 'легко можно доказать
Не2 □ (□ А □ (А —> В)) —> □ (□ А —»• ПВ)
Вместе все это дает НезА7'. И наоборот, мы получим
А7 из АТ, заметив, что Н Е2 □ А —► □ (В —>- А).
Из А7, используя А4, мы имеем
Нез □ А —» (□ □ В —□ А),
откуда, подставляя □ А вместо А и А вместо В, выводим
Нез □ □ А □ А.
Этот и другие подобные результаты позволяют нам
нывссти редукционные теоремы для ЕЗ, с помощью кото-
»• ^31
рых доказывается, что в ЕЗ ровно 42 разных неприводи-
мых модальности (см. Парри [23], где даются параллель-
ные редукции в системе S3).
Лемма. Нез О (О А Д □ Т) <-»О А.
Доказательство. ез О «>А Д □ Т)—*О А следует
из А1 по правилу контрапозиции и простых модальных
преобразований, если подставить — А вместо А и Г вместо В.
И наоборот, благодаря классическому пропозициональ-
ному исчислению (А 1 — АЗ)
Нез О А —> (О А Д □ 7) V (О А Д — □ Г).
Но НезОАД □Т->О(ОАД □ Т) по Д6.
Кроме того, Нез<> А Д — П 7-^0 0 0 и НезО —
— Т —>-О С для всякого С. Собирая все эти утверждения
вместе, получим
НезОА->О(ОА Д □?')
Для соответствующих алгебраических рассмотрений
определим понятие транзитивных е-алгебр как е-алгебр,
удовлетворяющих кроме условий (i) — (iii) еще и
(iv) (Vx- g М) Р (Рх - РО) = Рх.
Используя эти определения и идеи [7], мы докажем:
Теорема 6. 9)1 = <М, {d}, vj, r>, —, Р> является
регулярной ЕЗ-матрицей тогда и только тогда, когда
<М, cj, г>, —, Р> транзитивная е-алгебра и d = I.
Доказательство. В дополнение к доказательству
теоремы 11 из [7] нам потребуется еще следующее. То,
что регулярная ЕЗ-матрица удовлетворяет условию (iv),
следует из леммы. И наоборот, в каждой е-алгебре РО Ру
(ср- [7], теорема 6 (ii)), так что Рх — Ру = Рх — РО, откуда
Р (Рх— Ру) И Р (Рх — РО) = Рх по (iv). Далее, Nx —+
—* N (Ny —» Nx) — — Nx м N (— Ny Nx) = P — x — P
X(—P — yrxP —x). Но из вышесказанного —P —х<1
<C P (P— x — P — у). Таким образом, Nx —>-N(Ny—>•
—»Nx)=l и /47 выполняется.
Эта теорема показывает, что регулярную ЕЗ-матрицу
Линденбаума (о существовании которой см. доказатель-
ство теоремы 8 из [7]) можно рассматривать как тран-
зитивную е-алгебру с 1 как выделенным значением. Далее
устанавливается финитная аппроксимируемость ЕЗ.
132
Теорема 7. Пусть А является ппф с г подфор-
мулами. Тогда НезА, если и только если А истинна во
всех транзитивных е-алгебрах с не более чем 22Г+1 эле-
ментами.
Линии доказательства и обозначения следуют теоре-
мам 13 и 14 из [7]. Вдобавок к тому, что там доказано,
остается показать только, что Pt (Рх — PjO) = Ррс, если
дано Р (Рх — РО) — Рх, где PjX = Рг/г гл... о Руп для
Уи •••, Уп> покрывающих х. В построении ЛД из М не
обязательно включать Р1, так как Pl = 1, но вместо этого
мы включаем РО; отсюда следует, что в М, не более чем
22Г+1 элементов. Так как РО^МП Р,О = РО, по (v) тео-
ремы 13 из [7]. PJxXPy, (1 откуда PjX —
— РО Ру; — PtO = Руi — РО. Но Р(Ру,- — РО) = Ру,- Е
ЕМ1( так что PjX — PjO покрывается Pz/( —РО. Предпо-
ложим, что Ptx — РгО также покрывается ?п ..., гт.
Тогда Pi (Р^ — РХО) = Р (Р/д — РО) г\ ... n Р (Pz/„ — РО) гл
r\ Pzx гл ... глРг,Л. Таким образом, Pj (Рхх — Р,О) Рхх.
И наоборот, так как —е-алгебра, то Р^^Ррс, откуда
PiX = (Px — P^vPjO. Но PjX-PiO^PJPjX — PjO), а
также PjO^PJPjX —PjO). Следовательно, PjX^PjX
X(PjX —PjO). Этим и завершается доказательство.
Возвращаясь к модельным структурам, определим
транзитивную м. с. Я = </<, Q, 77> как м. с., в которой
U транзитивно в Д. Доказывается:
Теорема 8. Если Я—транзитивная эпистемическая
м. с., то Я+ является транзитивной е-алгеброй.
Доказательство. Очевидно, достаточно показать,
что Р (PA — Q) = P/1 для AsK, где № = </(, Q, Uy—
транзитивная эпистемическая м. с. Предположим, что
х£Р(РА—Q). Тогда, если xgQ, х С РД во всяком слу-
чае. Если x^Q, то для некоторого у у£РА—Q и Uxy,
следовательно, y^Q и у ЕРД. а значит, для некоторого z
г£Д и Uyz. Таким образом, по транзитивности /7, имеем
Uxz и х£РА. И наоборот, предположим, х£РА. Если
х Е Q, то х Е Р (РД —Q)- «Если х (£ Q, то х Е РД — Q, а сле-
довательно, хЕР(РД — Q), по предположению об эпнсте-
мичности Я.
Теорема 9. Всякая конечная транзитивная е-алгебра
изоморфна алгебре на некоторой конечной транзитивной
эпистемической м. с.
133
Доказательство. Будем следовать линиям дока-
зательства теорем 17 и 19 из [7]. Мы знаем, как найти
для данной конечной транзитивной е-алгебры 2)1 конечную
эпистемическую Й = <Л, Q, такую, что Э)! изоморфна
при изоморфизме <р. По теореме 1, 5Т+=.^, где —
рафинированная м. с., соответствующая Д. Значит, №
изоморфна при изоморфизме <р. Дальше, при изомор-
физме ф Р(РЛ— 0 = РЛ для А^К, так как 9J? тран-
зитивна. Предположим теперь, что для некоторых х, у,
имеет место игху и Uxyz\ тогда х, y^Q, так как
м. с. 3?! рафинированная. Тогда y£P{z}, y£P{z} — Q,
откуда xeP(P{z} —Q). Следовательно, х £Р {г} и U^xz,
так что отношение Ux транзитивно.
Теорема 10. езА (i) тогда и только тогда, когда А
общезначима на SH для всех транзитивных эпистемиче-
ских м. с. Я; тогда и только тогда, когда А общезна-
чима на всех конечных транзитивных эпистемических
м. с. Д.
Доказательство получается непосредственно из теорем
7—9 (ср. с доказательством теоремы 20 в [7]). Если,
следуя линии [7], определить Е3-общезначимость А как
истинность во всех транзитивных эпистемических м. с.,
то по теореме 21 из [7] получим:
Теорема 11. |—-езА тогда и только тогда, когда
А ЕЗ-общезначима.
Следующим результатом для ЕЗ, который будет исполь-
зован в дальнейшем, является:
Теорема 12. Если Нез ПТ —> □ А, то НезА.
Доказательство параллельно доказательству теоремы 5,
если учесть, что есть транзитивная эпистемическая
м. с., такая, что удовлетворяет ЕЗ.
Третья система, которую мы рассмотрим, ЕТ, получа-
ется из Е2 добавлением аксиомы:
A8. □ Т —□ 7\
Так как обратная импликация следует из A6, то
Нет
Семантика ЕТ излагается в следующих теоремах. Назо-
вем е-алгебру замкнутой, если кроме условий (i) — (iii)
она удовлетворяет (v) РР(О) = Р(О).
134
Теорема 13. S)l = <М, {d}, r\, —, P> явля*
ется регулярной ЕТ-матрицей тогда и только тогда, когда
<М, п, —, Р> есть замкнутая е-алгебра и d — I.
Доказательство. Вспомним теорему 6. Что регу-
лярная ЕТ-матрица удовлетворяет (v), непосредственно
вытекает из |—ет ООА«-»О^- И наоборот, если дано (v),
то NN1 = N1, так что N (х —> х) —> N N (х —>- х) =>
= —Nl и NN1 = 1.
Теорема 14. Пусть А—ппф с г подформулами.
Тогда |—етА, если и только если А общезначима на всех
замкнутых е-алгебрах с не больше чем 22Г+1 элементами.
Доказательство. Вспомним теорему 7. Здесь
достаточно доказать, что при РРО = РО будет PjP/Э =
= PtO. Как в доказательстве теоремы 7, мы включаем РО
в построение Mlt так что РРО = РО£М1. Тогда по (v)
теоремы 13 из [7] Р1РО = РРО. По этой же причине
РО = РХО. Итак, Р1Р1О = Р1РО = РРО = РО = Р1О.
Будем называть модельную структуру Я </<, Q, Д>
замкнутой, если из Uxy следует уЕК— Q для всех х,
уек.
Таким образом, в замкнутой модельной структуре нет
Д-путей внутри Q или ведущих в Q.
Теорема 15. Если Я— замкнутая эпистемическая
м. с., то она является замкнутой е-алгеброй.
Доказательство. Предположим, что Я ~
— Q, Д>—замкнутая эпистемическая м. с. Доста-
точно показать, что PQ = Q. Включение Q s PQ триви-
ально. Предположим, х £ PQ. Тогда (jy) (у EQ /\ Uxy)\/
V х Е Q- Но в силу замкнутости Я первый член дизъюнк-
ции невозможен.
Теорема 16. Всякая конечная замкнутая е-алгебра
изоморфна алгебре на некоторой конечной замкнутой
эпистемической м. с.
Доказательство. Как в теореме 9, мы знаем,
что SDt изоморфна Я+, а также ЯД где м. с. Ях — рафи-
нированная. Дальше, по изоморфизму PQ = Q, так как 9Л
здесь замкнута. Предположим теперь, что 1Цху, но у EQ
для х, уЕК- Тогда x(EPQ = Q, что противоречит рафини-
рованности Ях.
135
Как обычно, получается теорема о полноте.
Теорема 17. |— етА(1) тогда и только тогда, когда
А истинна на АН для всех замкнутых эпистемических
м. с. Я; (ii) тогда и только тогда, когда А истинна на Й+
для всех конечных замкнутых эпистемических м. с. 5?.
Определяя ЕТ -общезначимость как истинность А во всех
замкнутых эпистемических м. с., мы получаем:
Теорема 18. НетА тогда и только тогда, когда
А —ЕТ-общезначимая формула. Главное различие между
ЕТ и Е2, ЕЗ состоит в том, что аналог теорем 5 и 12
не имеет места. Это главным образом потому, что не
замкнута, так как Uba, хотя а С Q. Действительно, если бы
Нет □ Т —+• □ А, то Нет А и по А8 мы могли бы заклю-
чить Нет □ Т —> □ А, по, как мы увидим, в ЕТ, подобно
другим Е-спстемам, нет теорем вида ПА.
Наша четвертая система, Е4, получается из Е2 добав-
лением /17 и А8. Другой эквивалентный способ получить
Е4 из Е2—добавить схему аксиом:
А9. □А-^ППА.
Для этого заметим, что Нет □ А —► □ □ Т, так как
Не2 □ А -> пт и НезП а-* (□□?->□□ А) по А7
и /14. Следовательно, Hei /19- И наоборот, НнгП ПА-*
В □ А), так что /17 непосредственно вытекает
из А9, так же как и /18. (Этим другим способом Е4 опре-
деляется в [5]).
При данной здесь аксиоматизации Е4 результаты пол-
ноты и разрешающая процедура получаются посредством
простой комбинации результатов для ЕЗ и ЕТ и не тре-
буют отдельного рассмотрения.
Подходящими алгебрами будут замкнутые транзитив-
ные эппстемические е-алгебры \ а соответствуй щпе модель-
ные структуры суть замкнутые транзитивные эпистеми-
ческие м. с. Определяя Е4-пст11Нвссть формулы А как
общезначимость А во всех замкнутых транзитивных эписте-
мических м. с., получаем:
Теорема 19. Hei А тогда и только тогда, когда
А — Е4-общезначи.ма.
1 Эти алгебры можно также определить как е-алгебры, в кото
рых РРх=Рх.
136
Итак, для всех четырех систем настоящего раздела
указана алгебраическая семантика.
Системы S2, S3, Т, S4
Рассматриваемые в этом разделе статьи системы S2,
S3, Т и S4 в отличие от систем предыдущего раздела
хорошо известны в литературе (см., например, [14]). Мы
увидим, что подходящую семантику для этих систем можно
вывести из семантик прежних систем довольно естествен-
ным путем. Нам не потребуются новые схемы аксиом,
за исключением того, что для каждого мы
примем схему □ At, получающуюся из схем приписы-
ванием слева символа необходимости. Однако мы исполь-
зуем два новых правила:
по' В) по А
К □(□А — ПВ) ЛООА’
Четыре новые системы определяются так:
S2 = {A6, ПЛ1 — □ Д4, ПА6; R1, R2'};
S3 = {A6, □ Л1 — □ Д4, □ Л6, ПЛ7; RB;
Т = (Л1—Л4, Л6; R1, R3};
84 = {Л1—Л4, Л6, Л9; /?1, R3}.
Это стандартные формулировки Т и S4. Относительно
S2 (S3) мы заметим, во-первых, что А1—А4 (А1—А4, А7)
следуют как схемы теорем, согласно А6; во-вторых, про-
стой индукцией доказывается, что если А вытекает из
А1 — А4, А6 (А1—А4, А6, А7) только по правилу R1,
то [—S2(S3)DA. (Это справедливо для А1- А4, А6
(А1 — А4, А6, А7), а при переходе отАиА—>ВкВ по
В1 можно сделать параллельный переход от □ А и
□ (А —> В) к □ В по А4 и R1).
Так как все тавтологии выводимы из Л1 — АЗ только
с помощью R1, то для тавтологии А, |—S2 <зз> □ А. Теперь
сразу получается эквивалентность приведенной здесь
формулировки S2 формулировке из [5]. Для S3 дополни-
тельно заметим, что, используя А7, мы легко можем вы-
вести R2' как правило (заменяя А на А —> В и В на Т
и замечая, что S3 □ Т); это позволяет нам вывести
QA7' из □ А7 параллельно ЕЗ-выводу А7' из А7 (см.
137
предыдущий раздел) и установить эквивалентность форму-
лировке S3 в [5J1.
Теорема 20. (i) |— Е2 А в том и только в том слу-
чае, когда [—S2 □ A; (ii) |—-S2 А в том и только в том
случае, когда |—е2 □ Т —> A; (iii) ез А в том и только
в том случае, когда ]— S3 □ A; (iv) |—S3 А в том и только
в том случае, когда вз QT —► А.
Доказательство. Следование |—S2 □ А из |—Е2
доказывается по индукции, как в [5]. Очевидно также,
что если нгПТ—>А, то ]—эгА, так как |— S2 □ Т.
И наоборот, предположим, что S2 А; индукцией по длине
доказательства А в S2 мы покажем, что (—В2 □ Т —> А.
Это сразу же устанавливается для аксиом, так как |—вг
□ Т —> □ Ai (i = 1, 2, 3, 4, 6) по R2. Переходу от В и
В—*С к С в S2 соответствует переход от □ Т —► В и
□ Т —»- (В —>- С) к □ Т —* С в Е2 с использованием А2
и R1. Предположим, наконец, что □(□В—*ПС) выве-
дено из □ (В —> С), по правилу R2', и что |—вг □ Г —
—'□(В—>С). Тогда, по теореме 5, |— нг В —> С, откуда
по R2 (—Е2 □ в - □ С; и далее, НЕ2 Т -> (□ В □ С),
откуда, снова по R2, |— Е2 □ Т —> □ (QB —> □ С), что и
нужно было получить. Это доказывает (ii). Для доказа-
тельства другой половины (i) предположим, что S2 (ДА.
Тогда, по только что полученному результату, Е2 □ Т —*
—> □ А, откуда |—-Е2 А, по теореме 5. Это дает (i).
Для доказательства (iii) и (iv) мы выводим )—-S3 □ А
из )—ез А индукцией по длине доказательства (шагу от
А —> В к □ А —□ В по /?2 соответствует переход от
□ (Л —* В) к □ (□ А —* □ В) с использованием АТ),
вывод |—S3 А из -Ез □ Т —> А получается сразу ввиду
I—S3 □ Т, а обратный вывод также тривиален, так как
не надо заботиться о правиле R2. Это доказывает (iv).
Осталось доказать другую половину (iii). Пусть |—S3 □ А.
Тогда, по только что полученному результату, ез
□ Т —* □ А, откуда )—ез А, по теореме 12, чем и завер-
шается доказательство (iii).
1 Следует отметить, что выше дана аксиоматизация S3 в духе
Саймонса [15]; такие аксиоматики можно дать для S4, ЕЗ, Е4, но не
для Е2, S2, ЕТ или Т, как показано в [8J.
138
Теорема 21.
(i) Нт А эквивалентно Нет □ Т —> А;
(ii) Hs4 А эквивалентно Не^ ПТ—» А.
Доказательство. Из Нет (Ен □ Т —► А получает-
ся сразу Нт (S4) А ввиду Нт <S4> ПТ (и, очевидно, вклю-
чения теорем ЕТ (Е4) в теоремы Т (S4)). Обращение дока-
зывается простой индукцией: шагу R3 от В к □ В соот-
ветствует переход от □ Т —» В к □ Г-> □ В, с использо-
ванием R2 и Л8.
Из теоремы 20 (ii) и (iv) и теоремы 21 следует, что
проблема разрешения для четырех новых систем сводится
к проблеме разрешения четырех предыдущих систем, ко-
торые, как было установлено раньше, разрешимы. (И на-
оборот, (i) и (iii) теоремы 20 сводят проблемы разрешения
для Е2 и ЕЗ к проблемам для S2 и S3.) Далее, эти ре-
зультаты позволяют получить теоремы полноты для но-
вых систем из аналогичных теорем прежних систем.
В терминах алгебры мы будем говорить, что ппф А
с переменными слабо выполняются на е-алгебре 9)1 тогда
и только тогда, когда /<А>, n-местная табличная функция,
соответствующая А, принимает значения ^N1 для каж-
дого n-набора элементов из 9)1. Это, очевидно, эквива-
лентно при осмыслении 9)1 как матрицы', если вместо
одного выделенного значения 1 мы будем считать выде-
ленными все элементы N1, то есть D, то множество
выделенных элементов окажется главным фильтром (ад-
дитивным идеалом), порождаемым N1; тогда слабая выпол-
нимость эквивалентна выполнимости в новой матрице1.
Теорема 22. Для каждой е-алгебры 9)1 □ Т —>-А
удовлетворяется на 9)1 тогда и только тогда, когда А
слабо удовлетворяется на 9)1.
Доказательство, /с Т -*А) = 1 тогда и только
тогда, когда N1 —>/<А>=1, тогда и только тогда, когда
N1 </‘А>.
1 Заметим, что эта новая матрица нерегулярна, как показано
в [7]. Для этого заметим также, что условие (iii) определения 5
из [7], вообще говоря, не выполняется (например, если х — 1, j/ = Nl,
со х <г->у~- Nl £ D, но не всегда х—у). Мы видим здесь, между
прочим, почему конечные матрицы с более чем одним выделенным
значением играют столь большую роль в изучении слабых льюисов-
ских систем.
139
Алгебраические результаты о полноте для всех четы-
рех систем следуют ио теоремам 20—22 из соответствую-
щих результатов для прежних систем.
Теорема 23. i - $2 (S3, т. st) А тогда и только тогда,
когда Л слабо удовлетворяется на всех конечных (тран-
зитивных, замкнутых, замкнутых транзитивных) е-алгебрах.
Действительно, для Т и S4 в терминах выполнимости
в нормальных е-алгебрах (где нормальная алгебра, как
определено в [7], характеризуется условием РО = 0)
можно получить лучшие результаты, чем в терминах
слабой выполнимости в замкнутых е-алгебрах. Соответст-
вующие результаты действительно выводятся из исследо-
вания нормальных алгебр и модельных структур в [7],
но будет более удобно и в некоторых отношениях более
показательно вывести их здесь независимо. Это прольет
больше света на важность условий замкнутости и аксиомы
А8 и покажет, почему аналогичные результаты не полу-
чаются для S2 и S3, в алгебрах которых эти условия не
выполняются.
Сначала заметим, что если А слабо удовлетворяется
на всех (конечных) е-алгебрах, то a fortiori А удовлет-
воряется иа всех (конечных) нормальных е-алгебрах, так
как если РО = 0 и Nl — 1, то слабая выполнимость есть
просто выполнимость. Для установления обратного соот-
ношения удобнее обратиться к модельным структурам.
Если А слабо удовлетворяется на Д'+ для м. с. Q, U~>,
то для всякого задания значений переменных К—Q<=
<= (А). В терминах моделей Крипке Ф(с, k) (идею этого
можно найти в [4]; обозначения см. в [7]) слабая выпол-
нимость А на А?+ эквивалентна истинности А во всех
моделях Ф(у, k) для всех l£K~Q в At; это можно на-
звать слабой общезначимостью А в At.
Рассмотрим замкнутую модельную структуру Д=
Q, По условию замкнутости, в ней нет Д-пу-
тей, ведущих в Q. Если выбрать какой-нибудь х £ К — Q,
то в АТХ — <J(X, Qx, U —связной модельной структуре,
порожденной х из Ai, ф, —о, так что АД нормальна. Мы
применим этот факт в доказательстве следующей теоремы.
Скажем, что А слабо опровергается на АТ+, если и только
если формула А не сласовыпслкпма на А1+.
Теорема 24. Если А слабо опровергается на Я +
для замкнутой эпистемической At = <Z(, Q, Д>, то для
НО
некоторого x^K—Q А опровергается на где $+-—
нормальная е-алгебра.
Доказательство. Если А слабо опровергается
па Д+, то для некоторого задания значении 81 (К—Q)—
—Va (А) =И= 0. Выберем х £ (Д' — Q)— Vfl (А). Тогда опро-
вергает А, по замечанию к теореме 3, и Яф является
нормальной м. с., по замечанию, предшествующему этой
теореме.
Если Я = </(, Q, (/> не только замкнута, но и тран-
зитивна, то для хфМ—Q Яф будет не только нормаль-
ной, но и транзитивной. Следовательно, если А не пред-
ставляет собой теорему Т (S4), то существует конечная
[транзитивная) е-алгебра, а также конечная (транзитивная)
Я+ для эпистемической м. с. Я, в которой формула А
слабо опровержима. Тогда, по теореме 24 и следующему
за ней замечанию, существует конечная (транзитивная)
нормальная е-алгебра Я, в которой опровергается А.
Отсюда мы получаем все обычные результаты полноты
для Т и S4. Заметим, в частности, что нормальная эппсте-
мическая алгебра есть просто алгебра расширений в смысле
[6] и что нормальная транзитивная эпистемическая ал-
гебра есть просто алгебра с замыканием в смысле Мак-
Кинси—Тарского [12]. Таким образом, от теоремы 23 мы
приходим к теореме 25.
Теорема 25. (—т <S4> А тогда и только тогда, когда А
общезначима во всех конечных алгебрах расширений
(с замыканием).
Т-общезначимость определена в [7] как истинность во
всех нормальных эпистемических м. с.
Можно определить 82-общезначпмость как слабую
истинность во всех эпистемических м. с., 83-общезначи-
мость как слабую истинность во всех транзитивных эпи-
стемических м. с. и 54-общезначимость—как истинность
во всех нормальных транзитивных эпистемических м. с.
Тогда будет верна:
Теорема 26. |—S2(S3, т. S4)A тогда и только тогда,
когда А будет S2- (S3-, Т-, S4-) общезначимой
формулой. Отношение между Е2 и S2 уже достаточно
ясно ввиду теоремы 20. Однако можно еще кое-что уточ-
нить в следующем смысле. Определим иерархию систем
Е2", таких, что Е2° = Е2, и для 1 Е2" содержит
141
в качестве аксиом все формулы А, такие, что |— Е2 А и
□ "Т, а единственное правило вывода—Обсудим
сначала Е21.
Теорема 27. E2J = S2.
Доказательство. Включение (теорем) Е21 в S2
очевидно. И наоборот, предположим, |—ssA. Тогда
|— S2 □7’—>А по теореме 20, откуда |—«А. Таким обра-
зом, класс 82-теорем—это в точности класс Е2-теорем,
и □ Т замкнуто относительно правила отделения.
Теорема 28. |—е2«А тогда и только тогда, когда
Не2П"'Г-> А.
Доказательство проводится по индукции.
Таким образом, проблема разрешения для каждой
системы Е2" решается с помощью Е2.
Подходящие семантики для всех систем можно ука-
зать по аналогии с семантикой для S2. Так, назовем
формулу А /г-слабовыполнимой в алгебре ЭЛ, если и
только если для каждого задания значений переменных
из ЭЛ f <А>2& N"l.
По аналогии с теоремой 23 имеем:
Теорема 29. |—Е2"А тогда и только тогда, когда А
и-слабовыполнпма на всех конечных е-алгебрах.
Можно сказать, что А и-слабообщезначима в ST, если
и только если А истинна во всех моделях Ф (v, k) для
всех P"_1Q) в А. Тогда А—Е2”-общезначима,
если и только если А и-слабообщезначима во всех эписте-
мических м. с., и наоборот. Легко доказывается
Теорема 30. |—Е2« А тогда и только тогда, когда
А—Е22-общезначима.
Системы Е2" образуют возрастающую последователь-
ность в том смысле, что класс теорем Е2" собственно
содержится в классе Е2п+1; в Е2" нет теорем вида □n+1 А,
как показывают, например, матрицы ЭЛ" из [8]. Далее,
объединение множеств теорем всех систем Е22 есть в точно-
сти множество теорем системы Т, как показано в [8].
Доказательство теоремы 5 можно обобщить надлежащим
образом, чтобы показать следующий факт: если [—Е2 □ пТ —
—> □" А, то |—вг А. откуда можно вывести, следуя ли-
нии доказательства теоремы 20, что | - Е2 А тогда и только
тогда, когда J--Е2«П"А. Это значит, что для каждого
142
Е2" можно вывести обобщенную версию правила Z?2T:
' □А=^«ПВ •
Таким образом, в Е2” имеет место подстановочность
„п-строго“ эквивалентных формул, то есть таких А и В,
что (— Е2« А о " В, но не ,./тг-строго“ эквивалентных фор-
мул, где т < п. Это обобщает известные факты о S2.
Можно, наконец, попытаться определить аналогичную
иерархию, основанную на ЕЗ так, что ЕЗ° = ЕЗ, а Е3‘!
для п 1 содержит в качестве аксиом формулы А, такие,
что |—Ез А наряду с □" Т и единственным правилом
вывода RI. Однако мы установим следующее:
Теорема 31. E3X = S3; Е3" = S4 для п 2.
Доказательство. Что E31==S3, следует из тео-
ремы 20 (iv). Очевидно, если |— ез»А, то S4A, и если
|—ез«А, то |— ез«+>А. Следовательно, достаточно пока-
зать, что если |—S4 А, то |—-Ез2А. Заметим, что
Нез □ □ Т -> (□ А □ □ А) по А7 и А4. Таким об-
разом, Нез2А9. Предположим, что Нез2А. Покажем по
индукции, что Нез2 □ А и, таким образом, что R3 есть
выводимое правило ЕЗ. Если Нез А, то Ез □ Т —* □ А
по R2, откуда (— ез2 □ А. Кроме того, Нез2 □ ST, по А9
и аксиоме □ ? Т. Итак, если А является Е32-акспомой,
то Нез2 □ А. Очевидно, когда С следует из В и В—>С
по /?1, ПС следует из ЦВи □ (В —>С), согласно А4
и Д1. Это завершает доказательство.
Итак, если S2 можно рассматривать как первую сту-
пень в иерархии систем, ведущих от Е2 к Т, и S3 нахо-
дится в таком же отношении к ЕЗ, в каком S2 находится
к Е2, аналогичная иерархия между ЕЗ и S4 вырождается
уже на второй ступени. Этот факт тесно связан с конеч-
ной аксиоматизируемостью S4 (см. [8], особенно теорему 1).
Общая теорема о представлении *
Восемь рассмотренных до сих пор систем относительно
включения образуют куб. Представим себе Е-системы как
1 Основным результатом этого п следующего разделов я весьма
обязан идеям, сообщенным мне Даном Скоттом.
143
вершины в основании куба: тогда ЕЗ и ЕТ будут рас-
ширениями Е2, в которых соответственно добавлены аксиомы
Л7 и Л8, а Е4 является расширением, содержащим обе
эти аксиомы. Четыре системы из последнего раздела статьи
можно поместить в верхней части куба над предыдущими
четырьмя системами: как показывают теоремы 20 и 21,
в каждой из „верхних" систем содержатся в точности те
теоремы А, для которых □ Т —* А служат теоремами
соответствующих нижних систем. (См. схему в разделе VI.)
Теперь мы рассмотрим восемь других систем, полученных
из прежних восьми как бы переходом в новое, четвертое
измерение. Этому новому измерению соответствует добав-
ление схемы аксиом:
ДЮ.
□ 74 —* (А □ О А);
причем надо заметить, что в случае систем S2 и S3 мы
добавляем □ А10 (откуда /110 следует согласно .46).
Как мы увидим, большая часть получающихся систем
уже известна из литературы.
Наши результаты о полноте существенно зависят,
во-первых, от установления финитной аппроксимируемости
этих систем (то есть каждая не-теорема опровергается на
подходящей конечной алгебре) и, во-вторых, от использо-
вания теорем о представлении для конечных алгебр в тер-
минах алгебр некоторых конечных модельных структур.
Эти методы кажутся не применимыми непосредственно
к новым системам. Поэтому мы поменяем местами эти
этапы. Докажем сначала теорему представления приме-
нительно ко всем алгебрам, конечным или бесконеч-
ным, а затем установим свойства конечных моделей
скорее в терминах модельных структур, чем в чисто
алгебраических терминах. (В действительности мы могли
бы везде следовать этому порядку.) Настоящий раздел
как раз и дает эту общую теорему о представлении.
Вернемся назад, к понятию модальной алгебры в [7],
по существу к алгебрам, подобным е-алгебрам, за исклю-
чением того, что условие (iii), то есть х^Рх, не обя-
зательно выполняется. Если 9)1 = <М, U , Г) > —> Р> является
модальной алгеброй со счетным множеством М, тогда,
конечно, не может существовать модельная структура
^ = </(,(2, Д>, такая, что 9)1 изоморфна Д', так как
алгебра Д+ содержит либо конечное, либо несчетное
144
число элементов в зависимости от того, содержит ли К
конечное или бесконечное число элементов. Следовательно,
в соответствии с общей теоремой Стоуна о представлении
булевых алгебр, самое большее, что можно было бы по-
казать, это что 9)1 изоморфна некоторой подалгебре Д+
для некоторой м. с. S’. Фактически наше доказательство
будет близко следовать и являться обобщением доказа-
тельства Стоуна.
Для произвольной модальной алгебры 9Л = <М, U,
П , —, Р> обозначим через т, п переменные с областью
изменения М. Обозначим через F множество всех собст-
венных максимальных фильтров булевой алгебры <М, U ,
Г). —> и пусть х, у, г будут переменные с областью зна-
чений F. (Собственный максимальный фильтр х С F есть
подмножество М, которое является фильтром (аддитив-
ным идеалом), таким, что 0(£х и для всякого т£М. либо
т£х либо —/и£х.) Теперь пусть А— любое подмноже-
ство М. Все конечные пересечения элементов А принад-
лежат М; пусть Л'—множество таких пересечений, то
есть А'={п: (3/п,) . .. (3m ) (п = т± П ... П т /\тх, ....
тр£А)}(Р> 1).
Очевидно, что А^А'. Положим,Л* = {т-.т п для
«С-4'}. (В случае /1=0 положим,/Р = {1}.) Очевидно,
что А' s As, так что AsA1. Интуитивно, если §0! есть
алгебра Линденбаума, то можно рассматривать As как
множество „теорем", выводимых из А, как множества
j „аксиом" (ср Столл [17], гл. 6, разделы 6—9). Мы лека-
жем сейчас, что Л4 всегда является фильтром.
Лемма 1. Для A s М, /I-' есть фильтр в <М, и , О ,—>.
Доказательство. Пусть mgAs и tigAs. Тогда
* найдутся конечные пересечения элементов A, tn и п' С А'
такие, что mZ^m, nZ^n'. Неочевидно, т'[\п является
конечным пересечением элементов А и т^п^т' Г)и',
так что т Л п € As. Теперь предположим, что т С As,
п^М. Тогда т Z^ tn' для некоторого т £ А'. Но т U п Z^ т\
так что и m\jn£As.
Будем называть подмножество ЛеМ непротиворечи-
вым, если и только если 0(£Д\ а в противном случае —
противоречивым. Если А непротиворечиво, то As является
собственным фильтром, согласно лемме 1, и поэтому со-
держится в некотором собственном максимальном фильтре
(согласно лемме Цорна, см. книгу Столла [17], гл. 6,
145
теорема 5.2 и раздел 9(3)), то есть (Bx)(x^F /\ А^ х).
И наоборот, предположим, что (Зх) (х £ F Л A Е х), и
выберем mit .. ., тр £ А. Тогда mlt ..., tiip£ х, так что
П/п7^х, поскольку х—фильтр; таким образом, As^x,
так что 0(£As, так как х—собственный фильтр и А
непротиворечиво. Следовательно, непротиворечивость А
эквивалентна тому, что А содержится в некотором собст-
венном максимальном фильтре F.
Лемма 2. Для ЛеМ и иДМ если Ли{—tn}
непротиворечиво, то т С А‘.
Доказательство. Предположим, что Л (J {—tn}
противоречиво. Тогда О С (Л и {—m})s, то есть существуют
такие элементы щ, ..., пр С Л и {— tn}, что 0 = щ Г) ... Г) пр.
Либо —tn = tij для некоторого /(1^/^р), либо нет.
Предположим, что —-ni = rij для некоторого /. Тогда,
если только 0^=— т (а в случае 0 = — т, т~ 1 елд,
очевидно, что 0 = — т[\п' для п' С Л', откуда тУ^п' и
m^As. Если —т не совпадает ни с каким nJt то
пг Г) ... Г) ир=0 Е Л' и, поскольку 0 т, т снова будет £ As.
Лем м а 3. Для Л (Vx) (x£F/\A^x~+ т£х)
тогда и только тогда, когда m£As.
Доказательство. Для Л=М предположим, что
т С As и Лех для некоторого собственного максималь-
ного фильтра х. Тогда, как мы установили выше, Л5ех,
так что т£х. И наоборот, предположим, т(£ As. Тогда,
по лемме 2, Л и {— tn} непротиворечиво и, стало быть,
содержится в некотором собственном максимальном фильтре
у £F. Но в этом случае Л е у и ввиду — tn£y т £ у.
(Интуитивно лемма 3 эквивалентна утверждению о том,
что „предложение" т принадлежит всем полным и непро-
тиворечивым расширениям х множества Л тогда и только
тогда, когда т является „следствием" Л.)
Теорема 32. Пусть 9Dt = <M, U, Г), —, Р>—мо-
дальная алгебра. Тогда существует модельная структура
Д = <Д, Q, Uy, такая, что Я)? изоморфна подалгебре Д+.
Доказательство. Положим К просто множест-
вом F всех собственных максимальных фильтров алгебры
<М, U, П,—>. Для /ng М возьмем ср (т) = {х g F |т £х}.
Пусть Q = {х £ F | РО Е х), так что X^Q тогда и только
тогда, когда Р0£х. Наконец, для x,y£F положим Uxy
146
тогда и только тогда, когда (V/n) (т £у —► Р/п £ х). Пусть
Д - -- </<, Q, t/> и обозначим через Р* оператор возможности
иЯД то есть для С S/<, Р*С = \х\(Эу)(у /\ Uxy)\/
V*€Q}- Покажем, что 901 изоморфна подалгебре Д+ при
изоморфизме ф. Действительно, это простое следствие
следующих четырех фактов:
(i) для т, п £ М ф (in (J п) = ср (in) (J ср (и);
(ii) для т, п £ М ср (т Г) п) = ср (т) П Ф («);
(iii) для /7г£Мф(—т) =— ф (т);
(iv) для т £ М ф (Рт) = Р*ф (т).
Из них три первых в соответствии с теоремой Стоуна
о представлении являются простыми следствиями опреде-
ления ф и свойств собственных максимальных фильтров.
Для установления (iv) предположим, что х С Р*ф (tn), то
есть либо для некоторого у, такого, что //£ф(/п), Uxy
пли xCQ. Если y£q(m), то т£у, и если Uxy, то
(Ут) (т £у —> Рт С х), так что Рт£х и х£ф(Р/п). Если
x£Q, то РО С х. Но Рт^РО для всякой модальной ал-
гебры, так что Рт£х, поскольку х—фильтр, и опять-
таки %Сф(Рт). Таким образом, Р*ф (т) s ф(Рт).
Только обратное включение представляет некоторые
трудности. Предположим, что х^Р*ср(/тг), то есть
(Vy) (Uxy —> y^tf (т)) /\ x^Q. Теперь легко проверить,
что Uxy эквивалентно (Vn) (Nn £ х —п С у). Следовательно,
(Уу) ((Уп) (Nn£x -+п£у)—> — т£у), так как у—мак-
симальный фильтр. Положим, А = {п | Nn £%}, так что
п£А означает, что Nn£x. Тогда (Уу) (А^у—+ — т£у).
Отсюда, согласно лемме 3, —т£А‘. Это означает,
что существует некоторое п' = пх П • П пр для ny С
СЛ(1^/^р), такое, что —т^п!. Но тогда —Р/п=
= N—tn Nn' = Nn, П • • П Nnp по свойствам модальных
алгебр (см. [7], теорема 6). Однако Nny£x, по определе-
нию А, так что Nn'gx и — Рт£х. Таким образом,
Рт^х, то есть х^ф(Рпг). Это показывает, что ф(Рпг)с=’
s Р*Ф (т) и завершает доказательство (iv).
Рассмотрим множество подмножеств /С вида <р(т) для
некоторого /п£М. Из (i) — (iv) очевидно, что это множе-
ство замкнуто относительно U , П ,— и Р*, таким образом,
это множество образует подалгебру Д1+, очевидно изо-
морфную при ф алгебре 9)1. Доказательство окончено.
147
Дальше мы намереваемся показать, что теорема о пред-
ставлении остается в силе при различных ограничениях
на алгебру ЭЛ, если на соответствующую модельную
структуру Я наложить подходящие oi раничения. Напом-
ним, что в [7J деонтической алгеброй называлась модаль-
ная алгебра, удовлетворяющая условию Pl — 1, а деонти-
ческой модельной структурой — модельная структура,
в которой для всякого х либо (3y)Uxy, либо x£Q.
Теорема 33. Пусть ЭЛ—деонтическая (эпистеми-
ческая, нормальная, замкнутая, транзитивная) алгебра.
Тогда существует деонтическая (эпистемическая, нор-
мальная, замкнутая, транзитивная) модельная структура
Я, такая, что ЭЛ изоморфна н которой подалгебре Я+.
Доказательство. В терминологии и структуре
оно следует теореме 32. Предположим, что ЭЛ — деонтиче-
ская алгебра, то есть Р1 = 1. Тогда для всех х £ F 1£х,
так что <р(1) = Е = /< и Р*Д = Р*<р(1) = <р(Р1) = <р(!) = /<
или {х | (3z/) {Uxy V х € Q)I =К, и Я оказывается деонти-
ческой м. с. Пусть алгебра ЭЛ—эпистемическая, то есть
m^Pm, и т£х. Тогда Рт£х, так как х — фильтр, а
значит, Uхх. Таким образом м. с. Я эпистемическая.
Если ЭЛ — нормальная алгебра, то есть РО = 0, то для
всех х £ F, ввиду О^х РО, (>-х и Q==o. Поэтому Я нор-
мальна. Если ЭЛ замкнута, то есть РР0 = Р0, то, согласно
теореме 1, Я+=Я,', где Я j рафинирована. Предположим,
что U^xy и t/CQ. Тогда х£К—Q, (Ут)(т С У —>Pmgx),
Р0£у и РР0 = Р0£х, то есть пришли к противоречию.
Следовательно, Д1 замкнута и ЭЛ изоморфна подалгебре
Я/. Наконец, пусть ЭЛ транзитивна, то есть Р(Рт—Р0)=
=Рт. И снова, по теореме 1, имеем Д+ = ДТ, где Я\—рафини-
рованная м. с. Пусть теперь Uгху, U гуг. Тогда х, y£K — Q,
так что —РО у ввиду максимальности у, кроме того,
(Vm) (т С у —> Рт £ х), (Vm) (т £ z —> Pm £ у). Пусть т £ г.
Тогда Рт £ у. Таким образом, Рт—РОС у, так как у есть
фильтр. Отсюда Р(Рт—P0) = Pmgx. Так как х £ К—Q,
то Uxxz, и Я транзитивна.
Из характера этого доказательства ясно, что комби-
нации ограничений на алгебры не создают каких-либо
специальных проблем: например, замкнутые (транзитив-
ные, замкнутые транзитивные) е-алгебры изоморфны
подалгебрам алгебр подходящих замкнутых (транзитив-
ных, замкнутых транзитивных) эпистемических м. с. Ввиду
148
этого можно построить (с помощью теорем представления
п различных регулярных матриц Линденбаума) новые
характеристические матрицы для всех систем, рассматри-
вавшихся до сих пор либо в [7], либо в настоящей
статье; но если матрицы Линденбаума содержат только
счетное число элементов, то новые матрицы содержат,
конечно, несчетное множество. Рассмотрим случай Е2.
Мы знаем, что у этой системы имеется регулярная харак-
теристическая матрица, являющаяся е-алгеброй, согласно
теоремам 8 и 11 из [7]. По теореме 33, эта е-алгебра
изоморфна подалгебре ,Q’+ некоторой эпистемической
м. с. й. По теореме 18 из [7], сама Д+ является е-ал-
геброй, а значит, Е2-матрицей. Но, с другой стороны,
каждая теорема А системы Е2 опровергается на подал-
гебре Д+ по изоморфизму и, очевидно, на всей алгебре Я'+.
Итак, Д+ является характеристической для Е2. Точно
так же обстоит дело и с другими системами — за исклю-
чением S2 и S3, для которых нужно ввести специальные
ограничения в свете результатов последнего раздела.
Эти факты можно суммировать в следующем списке под-
ходящих модельных структур для каждой системы:
Система Соответствующая м. с.
С2 Любая
D2 Деонтическая
Е2 Эпистемическая
Т (С) Нормальная
Т (D) Нормальная деонтическая
Т Нормальная эпистемическая
ЕЗ Транзитивная эпистемическая
ЕТ Замкнутая эпистемическая
Е4 Замкнутая транзитивная эпистемическая
S4 Нормальная транзитивная эпистемическая
Теорема 34. Для каждой из систем С2 и т. д. су-
ществует такая м.с. Я, что Д+ является характеристиче-
ской матрицей для этой системы.
IV
Восемь других систем
Из восьми упомянутых в начале предыдущего раздела
систем мы выберем для начала одну—неинтересную; после
того, как решим связанные с ней задачи, легко будет
149
исследовать другие семь систем. Система E2(S) полу-
чается в результате добавления Д10кЕ2. Я не встречал
раньше в литературе упоминания об этой системе.
Теорема 35.
(1) Не2(5)П7’->(ОП А — А);
(2) Квад □ (О А —»• В) —(А —»- □ В);
(3) НЕ2;<5) □ (А —> □ В) —А —> В).
Доказательство. (1) тривиально. Для (2) заме-
тим, что НЕ2 (S) □ В —(А —>• □<> А), так как, очевидно,
I—Е2 (S) ПВ —»- □ Т. По А4, |—Е2 <s> П (£> А —В) —*
—>(<>□ А —> □ В), и теперь получается (2). Аналогично
с использованием (1) доказывается (3).
Назовем е-алгебру ЯН симметричной, если она удов-
летворяет условию
(vi) для х£М х—PO^NPx.
Теорема 36. ЯЛ = <М, (d), и, Г), —, Р> является
регулярной Е2 (5)-матрицей в том и только в том случае,
когда <М, и, п, —, Р> есть симметричная е-алгебра и
d=l.
Доказательство. То, что Е2 (5)-матрица удов-
летворяет условию (vi), сразу же следует из А10. И на-
оборот, N1 —- (х —+ NPx) = х—РО—>NPx = l, согласно
(vi).
Теперь нетрудно показать, что E2(S) имеет такую
характеристическую регулярную матрицу Линденбаума,
что существует симметричная е-алгебра, характеризующая
ее согласно последней теореме. Назовем м.с. Д = < К, Q, Uy
симметричной, если U симметрично в К—Q. Нам потре-
буется:
Теорема 37. Пусть ЯП—симметричная е-алгебра.
Тогда существует симметричная модельная структура Д,
такая, что ЯЛ изоморфна подалгебре Д+.
Доказательство следует линиям теорем 32 и 33.
Если ЯЛ симметрична, то т—PO^NPm. Пусть Uxy, то
есть (у/n) (т £ у Pm С х) для х, у£К—Q. Тогда легко
показать, что (ym) (Nm £ х - * т Су); кроме того, для
хСА—Q, — РОСх, поскольку фильтр х максимален. Для
т£х имеем т—РОСх, откуда NPmCx, так что Рт£у.
Отсюда Uyx, то есть м.с. Я симметрична.
150
Теорема 38. Алгебра на симметричной модельной
структуре симметрична.
Доказательство. Пусть Я = <Д, Q, Uy—симмет-
ричная м.с. Требуется доказать, что для AsД, А—QsNPA.
Предположим, х£А—Q, так что х£А, x^Q. Тогда
x£NPA в том и только в том случае, когда х (£ Q A(yz/)
{Uxy (3г) С г (АД Uxz)\Jtj £Q)). Предположим, что
Uxy. Если y£Q, все очевидно. Если y£Q, то Uyx, по
симметричности U в К—Q. Но тогда (дг) (г С А/\ Uyz).
Теорема 39. Существует модельная структура Д
с Д+, являющейся характеристической алгеброй для
Е2 (S).
Доказательство. Пусть $—модельная струк-
тура, построенная в теореме 37 из алгебры Линденбаума
9)1 для E2(S). Тогда любая не-теорема в E2(S) опровер-
гается на Д+ по теореме 37. И наоборот, всякая теорема
E2(S) удовлетворяется на Я + в соответствии с теоремами
36 и 38.
Теперь мы в состоянии доказать свойство финитной
аппроксимируемости для Е2 (S). Однако сначала устано-
вим довольно общий результат, на основе которого можно
доказывать финитную аппроксимируемость для широкого
класса систем.
Теор ем а 40. Пусть Д = <Д, Q, Uy—произвольная
модельная структура, a Alt ..., Аг—подмножества Д'.
Тогда существует конечная модельная структура
Д = <Д, Q, Uy с не более чем 2r+1 элементами с подмно-
жествами Ах, ..., Ar s /(, такими, что:
(i) А[~К эквивалентно А(- = Д;
(ii) —А; = Ау эквивалентно—Az = Ау;
(iii) А,- U Aj = Ак эквивалентно А,- и Aj — Ак\
(iv) А,- Г) Aj = Ак эквивалента^ А(- П Ау = Aft;
(v) если РА; = Ау, то PAz = Ay,
где Р и Р—операторы возможности соответственно в Д+
и SK
Доказательство. Пусть S = {Alf ..., Ar, Q} и
для х, у£К, положим, х = г/, если и только если
(у A) (AgS—>(xgA<->z/£ А)). Тогда == является отноше-
151
нием эквивалентности в К, которое разбивает К не более
чем на 2r+1 классов эквивалентности. Для х поло-
жим,_х = {у|у = х}. Для А^К пусть Л = (х|х£Л}.
К = {х|х £/<} есть множество классов эквивалентности К',
мощность л не более чем 2r+1. Для х £ /< и А^К легко видеть,
что (i) если х£А, то х£Л, и (ii) если х^Л_иЛ£5,то
х С А. Таким образом, мы уже определили Q, Л$, .... Аг.
Положим, наконец, для х, у£К Uxy<$(yA)(A£S/\
Д РЛ £S —*(//€ А —> х £ РЛ)). Это определение _ кор-
ректно, то есть не зависит от выбора х и у в х и у, так
как для у, у' £у у£А&у'£А для данного Л £ S; а для
х, х'£х х С РЛ <й> х'€ РЛ, по определению =.
Из пяти условий теоремы (i) — (iv) проверяются три-
виально. Для (v) мы сначала покажем,_что РЛ; = РЛ,-,
если РЛ; = Aj С S. Предположим, что х С РЛ,-. Тогда ввиду
РЛ,-£5 х£РЛ,-, так что либо (ду) (у£ Ai/\Uxy), либо
x^Q. Предположим, что у С Л,- и Uxy. Если у£А для
некоторого Л s К, то х £ РЛ при Uxy, теперь_отсюда
обязательно Uxy. Но, кроме того, у£Л,.. Итак, х£ РЛ,-.
В другом случае, если x£Q> то x£Q, откуда х£РЛ,-.
Поэтому РЛ,-РЛ,-. И наоборот, пусть x£PAt, так что
либо (ду) (у С Л,-A Uxy), либо xgQ. Теперь, если у С Л,-
и Uxy, то у £ Л,- (так как Л,- £ S) и (уЛ) (Л £ S ДРЛ £ S- >
-> (у С Л —> х £ РЛ)). Но Л,- и РЛ,-£5, следовательно,
х£РЛ,- и х£РЛ,-. В другом случае при х С Q имеем
х € Q (ввиду Q £ S), так что снова х £ РЛ,-, и х С РЛ,-.
Итак, РЛ,- s РЛ,-. ________
Предположим теперь, что РЛ,- = Л7. Тогда РЛ,- = РЛ,-=
= Aj. Тем самым (v) и вся теорема доказаны. Эту тео-
рему можно использовать вместо теоремы 13 из [7] для
установления финитной аппроксимируемости С2 и других
систем; фактически эти доказательства родственны, конеч
пая алгебра Я ь эквивалентна в некотором смысле алгебре
9)1Х из той теоремы, а отношение U заменяет понятие по
крывания элементов в Д1, у Мак-Кинси.
Для наших целей, однако, нужен вариант, охватыва
ющий случай симметрии.
153
Теорема 41. Если Д = <Д, Q, Uy—симметричная
модельная структура и 4„ Аг—подмножества К, то
существует конечная симметричная модельная структура
Й = <Д, Q, Uy с не более чем 2r+1 элементами с под-
множествами Лп АГ^К, удовлетворяющими пяти
условиям теоремы 40.
Доказательство следует в общих чертах доказа-
тельству теоремы 40. S, /< определяются, как и раньше,
однако для х, у^К мы определяем теперь Uxy, если и
только если (уЛ) (Л £ S/\PA € S —> (у£ А —> х £ РЛ)Д
Л (* Q /\у (£Q (х £ А у £ РЛ))); это свойство зависит
от присутствия в множестве S элемента Q. Как и раньше,
(i)—(iv) получаются непосредственно. Предположим, что
PA; = Ay£S, и рассмотрим х£РЛ;. Тогда (ду)
(У€Aj/\Uxy) или x£Q. Если x£Q, то, конечно,
х^РЛ,-. Для АеД если у £ А, то х £ РЛ, согласно Uxy.
Далее, если x(£Q, y^Q, то из Uxy мы выводим Uyx
(U симметрично на Д—Q), так что если х С А, то у£РЛ.
Таким образом, Uxy, но y^A,-; следовательно, х£РА,-.
И наоборот, если _x£PAz, то или (ду) (у С Л, A Uxy), пли
x£Q. Если x£Q, то все равно х С РД;. Таккак Лг-£ S,
PA;£S, то при Uxy и у^Л,- оказывается, что xgPA,-,
хе pa- Это дает (v). Остается показать, что U симмет-
рично в Д—Q. Пусть Uxy, x(PQ, y(£Q, так что x(^Q,
y^Q. Легко убедиться, что, согласно определению
U, Uxy.
Очевидным следствием (ср. Мак-Кинси [11], теоремы
Биб) является опровержимость на подходящей Д + фор-
мул, опровержимых на ЗТ+: пусть Лп ..., Аг являются
значениями, которые принимают г подформул А при
опровержении Л на Д+; тогда Лг, ..., Аг будут значе-
ния, которые принимают те же подформулы при соответ-
ствующем опровержении на Я+. Таким образом, теорема 41
устанавливает финитную аппроксимируемость Е2 (S), и мы
приходим к:
Теорема 42. |—Е2 <s> А эквивалентно тому, что
(I) А общезначима на $+ для всех симметричных эписте-
мпческих м.с. Я1, и тому, что (ii) А общезначима на Д+
для всех конечных симметричных эпистемических м.с. Я.
153
Для доказательства надо просто распространить пре-
дыдущую теорему на эпистемические м.с. Мы сразу же
получаем из Uxx для x^Q, что Uxx для x(£Q.
Подходящее определение истинности и теорема для
E2(S) очевидны. Сформулируем, наконец:
Т е о р е м а 43. Если Не2 <s> □ Т —> □ А, то Нвг <s> А.
Доказательство параллельно доказательству
теоремы 5 (ср. теорему 12), если заметить, что явля-
ется симметричной эпистемической м.с., так что удов-
летворяет E2(S).
Вторая система, которую мы назвали E3(S), полу-
чается в результате добавления А10 к ЕЗ. Сначала
докажем:
Теорема 44. Нез (S)D О □ А -+ □ А.
Доказательство. Имеем НезП <> □ ЛО □
I— В2 □ О □ А—>- □ Т (по Z?2), откуда |— ва'ПОПЛ-^
—♦□У ДОП А. Подставляя Т вместо В в Л7 и приме-
няя R2, получаем: |— ез <> □ А —> <> □ (□ Т —»- □ А).
Таким образом, Нез □ ТДО □ А —□ ТД<> □
(□Г —<-□ А). Теперь используя 7110, получаем:
НЕ2 (S) □ Т/\ъ □ (□ Т —> □ А) -> □ А. Следовательно,
Нез (S) □ <> □ А —>- □ А.
Следствием теорем 36 и 6 является
Теорема 45. 9Л = <1М, (<Д, и, Г), —, Р> —регу-
лярная ЕЗ (5)-матрица тогда и только тогда, когда
<М, и, П, —, Р> есть симметричная транзитивная
е-алгебра и d = 1.
Далее:
Т ео р ем а 46. Существует модельная структура Я
такая, что алгебра Я+ является характеристической для
ЕЗ (S).
Доказательство. $ строится, как в теореме 37,
из алгебры Линденбаума ЭЛ для E3(S). Пусть —рафи-
нированная модельная структура, соответствующая Я',
и предположим, что UYxy, а значит, х^К—Q,
у^К—Q. Тогда (ут)(/н£у—> Рт£х), (ym) (т С г —
—>Р/п£у). Теперь предположим, m£z. Тогда Рт£у.
Так же и РОС У, поскольку у£К— Q (ввиду максималь-
ности у). Поэтому Рт— РОС у, откуда Р (Pz/z—Р0)£х. Но
154
Pm = P(Pm—РО), так как $0? транзитивна. Таким обра-
зом, Рт£х и U±xz, так что Я, транзитивна. Теперь тео-
рема следует из теорем 1, 8, 36, 38 и 45.
Теорема 47. Если Д = <А, Q, U>—симметричная
транзитивная модельная структура и Ait ..., Аг—под-
множества Л, то существует конечная симметричная тран-
зитивная модельная структура Д = <Д, Q, с не более
чем 22 lr+1) элементами и подмножествами Ait ..., Аг s Л',
которые удовлетворяют пяти условиям теоремы 40.
Доказательство. Модифицируем доказательство
теоремы 40 (ср. теорему 41): положим 8 = {А1, ..., Аг,
Q, Af—Q, ..., Аг—Q, ф}, так что Д содержит не более
чем 22(г+1) классов эквивалентности, и для х, у опре-
делим Uxy как хф@ЛСу71)(Л CSAPT1ES—>(г/£А—>-
->х£РАУА(х$ QAy^Q-+(xG А—*-у£РА))). (Ср. опре-
деление U в теореме 41.) Как и прежде, (i)—(iv) прове-
ряются очевидным образом. Для (v) предположим, РА,-=
=AyCS и рассмотрим xgPA,-. Тогда или (а//) (г/С А,-А
/\Uxy), или х£ф. Если х £ Q, х £ РА,-, как и раньше. Но
если хф(2, то Uxy мы устанавливаем, как и в доказа-
тельстве теоремы 41, так, что х£РА,-. Аналогичным
образом из х£РА,- выводится х£РА,-. Это дает (v), и
остается доказать симметричность и транзитивность Я.
Симметричность U в К—Q непосредственно выводится из
доказательства теоремы 41. Для установления транзитив-
ности полагаем Uxy и Uyz, то есть x(tQ, y(£Q, (уА)
(ACSAPACS (усА х € РА) Л (x^QAy^Q —
->(хеА->//СРА))), (vA)(A€SAPA6S^(zCA^
->У Е РА)Л(У Лг£Q — (у € А -> г £ РА))).
Теперь предположим, что A£S, PAgS и z£A. Тогда
#£РА. По определению S, РА—Q£S (в самом деле, для
всех A£S А — Q£S), и так как Р(РА—Q) = PA, по
транзитивности Я, то также Р (РА — Q) £ S. Следовательно,
х£Р(РА—Q), то есть х£РА. Наконец, предположим, что
х, z(£Q и х£А. Поскольку y£Q, то у С РА—Q, так что
?£Р(РА—Q) = PA. Таким образом, Uxz, что и требова-
лось доказать.
155
Теорема 48. [-E3(S)A (i), если и только если А
общезначима на для всякой симметричной транзитив-
ной эпистемической м.с. Я, и эквивалентно (ii), если и
только если А общезначима на Д+ для всякой конечной
симметричной транзитивной эпистемической м.с. fi.
Доказательство здесь аналогично доказательству
теоремы 42.
Наконец, заметим, что ввиду транзитивности спра-
ведлив аналог теоремы 43.
Теорема 49. Если |—ез <s> □ Т —> □ А, то |—ез <S) А.
Опираясь на теорему 44 и имея в виду известную
структуру модальностей для ЕЗ (такую же, как у S3,
см. 13), можно показать, что в E3(S) имеется ровно 26
различных неприводимых модальностей. На самом деле
они идентичны 26 модальностям системы, описанной Парри
в [13, с. 151], и те же матрицы показывают, что даль-
нейшие редукции невозможны.
Следующие две системы, ЕВ и Е5, получаются в ре-
зультате добавления Д8 к Е2 (S) и ЕЗ (S) соответственно;
или, эквивалентно, в результате добавления /ПО к ЕТ
и Е4 соответственно; можно дать более простые аксиома-
тические определения этих двух систем. Система Е5 была
упомянута, по неправильно определена в [5]; необходи-
мое исправление, принадлежащее Крипке, дано в [18].
Тогда как в Е4 те же 14 неприводимых модальностей, что
и в S4, в Е5 их 10, а в сопоставляемой системе S5—6.
Полнота и разрешимость легко получаются с помощью
предыдущих теорем.
Теорема 50. 9Л = <М, {d}, U, Г), —, Р> является
регулярной ЕВ-(Е5-) матрицей тогда и только тогда, когда
<м, и, Г), —, р> —замкнутая симметричная (транзи-
тивная) е-алгебра и d=l.
Теорема 51. Существует модельная структура Я,
такая, что Я'+ служит характеристической алгеброй для
ЕВ (Е5).
Доказательство требует только (в добавление к
теоремам 37 и 46) установить, что алгебра Я + из тео-
ремы 32 замкнута, если замкнута алгебра 9)1, то есть если
166
РО —РРО. Но, пользуясь терминологией доказательства
той теоремы, мы знаем, что Р*ф = ф(Р0), так что
Р*Р*ф = р*<р (РО) — ф (РРО) = ф (РО) = Р*ф, и алгебра замк-
нута.
Теорема 52. Если Я = <К, Q, —замкнутая сим-
метричная (транзитивная) м.с. и Ait ..., Аг—суть под-
множества К, то существует конечная замкнутая симмет-
ричная (транзитивная) м.с. Я —<К, Q, U> с не более чем
2r+1 (22 (г+”) элементами и подмножествами Ait ....
..., АГ^К, удовлетворяющими пяти условиям тео-
ремы 40.
Доказательство требует только добавлений к
теоремам 41 и 47. В связи с замкнутостью 5? Q = PQ. Но
QgS, так что PQCS.Ho условию (v), PQ = PQ = Q, и Я1
оказывается замкнутой.
Теорема 53. [- ев(Е5)А (i) тогда и только тогда,
когда А удовлетворяется на всякой замкнутой симмет-
ричной (транзитивной) эпистемической м.с. St, (ii) анало-
гично для соответствующих конечных м.с. Аналоги теорем
43 и 49, конечно, несправедливы для ЕВ и Е5 (тем более
что они верны для ЕТ и Е4).
Остальные четыре системы можно рассматривать сов-
местно. Они находятся в таком же отношении к Е2 (S) — Е5,
в каком S2 — S4 находятся по отношению к Е2— Е4.
S2(S) получается при добавлении А10 к S2, S3(S) — при
добавлении ПАЮ к S3; В — при добавлении А10 к Т;
a S5 — при добавлении 410 к S4. Среди этих систем но-
выми, как нам кажется, являются S2(S) и S3 (S); В есть
система Брауэра из статьи Крипке [4], a S5 — родствен-
ная система Льюиса. Конечно, при наличии R3 легче
аксиоматизировать В и S5, добавляя А —> □<> А к Т и
S4 соответственно.
Известны и более простые аксиоматизации S5
(см. [14]). Сформулируем основную теорему, которая свя-
зывает четыре новые системы с четырьмя старыми.
Теорема 54.
(i) |—кг (эдвз (S)> А эквивалентно Hs2 (s> <S3 <s» ПА;
(ii) Hs2 (S; (S3 (S)> А эквивалентно [—вг <s> <ез <s» ПТ -> A;
(Ш) b-B(S6) А эквивалентно Hев^ПТ —» A.
JW
Доказательство проводится параллельно дока-
зательствам теорем 20 и 21, а для (i) и (ii) используются
теоремы 43 и 49.
Эта теорема сводит проблему разрешения новых сис-
тем к уже решенным аналогичным проблемам для четы-
рех предыдущих систем. Основной результат раздела II
можно теперь воспроизвести с обычными соответствую-
щими модификациями. Кроме установления подходящей
алгебраической семантики для новых систем S2 (S) и
S3(S), напоминающих S2 и S3 отсутствием в них теорем
вида □□ А, это дает независимое доказательство семан-
тических результатов Крипке для В и S5. Основные
свойства суммирует следующая теорема.
Теорема 55 (а) S2 <sj <яз <s» A, (i) если и только
если А слабо общезначима на всех (конечных) симмет-
ричных (транзитивных) е-алгебрах; (ii) если и только
если А слабообщезначима на Я + для каждой [конечной]
симметричной (транзитивной) эпистемической м.с. К;
(в) Нb(S5>A, если и только если А общезначима на
Я+ для всякой [конечной] нормальной симметричной
(транзитивной) эпистемической м.с.Я.
Иерархию систем E2(S)" можно определить по анало-
гии с системами Е2" раздела II. Тогда S2 (S) = Е2(S)K
Каждая система Е2 (S)" разрешима, а подходящая семан-
тика для нее строится в терминах /i-слабой общезначи-
мости. На существовании этой иерархии базируется до-
казательство финитной неаксиоматизируемости систе-
мы В, подобно тому как на Е2"-иерархии основано
доказательство финитной неаксиоматизируемости системы
Т в [8]*.
Легко построить модельную структуру, показываю-
щую, что в В бесконечно много различных неприводимых
модальностей; следовательно, их бесконечно много в
S2(S), E2(S) и ЕВ. Однако в S3 (S), подобно E3(S),
только 26 неприводимых модальностей. Эта система, со-
гласно теоремам 44 и 54 (i), содержит систему Парри
(см. [13], с. 151), получающуюся при добавлении
П (□ О □ А —> А) к S3, и имеет точно такую же струк-
туру модальностей. Но я не мог найти доказательства
* Здесь имеется в виду аксиоматическое задание систем Т в В
схемами аксиом с единственным правилом вывода R1 (modus ponens).
— Прим, перев.
ДБ8
того, что □ ЛЮ доказывается в системе Парри, так что
вопрос о совпадении этих систем, кажется, остается
открытым. Как показано в [2], добавление □<>□ А —>□ А
к S4 дает S5; аналогично можно показать, что добавле-
ние этой аксиомы к Е4 дает Е5. Было бы прекрасно, если бы
удалось показать, что добавление этой аксиомы к ЕЗ дает
E3(S), и таким образом установить идентичность S3 (S) и
системы Парри.
V
Три вырожденные системы. Результаты о пересечениях
Рассмотрим
аксиом:
АН.
А12.
А13.
следующие три дополнительные системы
А —ПА;
О А;
□ В—>(А—А).
Через PC мы обозначаем систему (AI— А4, А6, АН;
/?1}; через Е—систему {А1 — А4, А6, А12; /?!}; а через
L—систему {А1—А4, А6, А13; Л?1}. Для PC правило Лз,
так же как и R2, следует из АН. Действительно, по
АН и А6 рсАе->ОА, и система вырождается в клас-
сическое пропозициональное исчисление. Поэтому PC со-
держит S5 и, следовательно, все рассматривавшиеся до
сих пор системы. Пусть К — {Ь} для некоторого элемента
Ь, <2=ф и U = {<6, by}, тогда для Я*РС —<А, Q,
очевидно, является характеристической матрицей для PC,
поскольку в качестве булевой алгебры она изоморфна
соответствующей двузначной алгебре и удовлетворяет
условию Рх = х. Система Е также вырождена, поскольку
Н eDA<->F; R2 можно вывести в Е ввиду того, что
Не □ А —»• В для каждой формулы В (на самом деле это
показывает избыточность схем аксиом А4 и А6). Е со-
держит Е5, а следовательно, и все Е-системы, которые
мы рассматривали. Она характеризуется матрицей Я/ из
раздела I, поскольку ЯД так же как булева алгебра,
изоморфна двузначной, с условием Рх=1.
А13 доказывается в обеих системах, PC и Е, так что
L содержится в PC и в Е. Мы увидим, что L, являю-
159
щаяся на самом деле модальной логикой Лукасевича1 * *, в
равной степени близка к системам PC и Е. Отметим
сначала, что Hl (А —» В) —► (□ А —» □ В). По А13, Hl
(А —>• В) —> (□ А —» □ (А —> В)); откуда по А4 получаем
требуемую формулу. Значит, правило R2 оказывается
выводимым правилом в L. Теперь легко видеть, что L
содержит Е5, а также все другие Е-системы.
Чтобы дать алгебраическое описание L, назовем
е-алгебру дискретной, если и только если она удовлет-
воряет условию:
(vii) Рх = х U РО.
Легко проверить, что имеет место
Теорема 56. ЭЛ = <М, {d\, (J, П, —, Р>—регу-
лярная L-матрииа тогда и только тогда, когда <М, U ,
П, —, Р> есть дискретная е-алгебра и с/=1.
Назовем модельную структуру Я = </(, Q, Uy диск-
ретной, если и только если Я' удовлетворяет условию:
если Uxy, то х — у.
Теорема 57. Пусть ЭЛ—дискретная е-алгебра. Тогда
найдется такая дискретная м.с. Я, что ЭЛ изоморфна под-
алгебре Я’4'.
Доказательство следует линиям теорем 32 и 33
(ср. теорему 37). Пусть ЭЛ удовлетворяет (vii), то есть
для /п^М, Pm = //zjjPO. Для Я из теоремы 33 (эписте-
мический случай) рассмотрим Я\—рафинированную м.с.,
полученную из Я, и предположим Utxy, то есть (уш)х
X (т Е у —> Pm Е х), где x(£Q, то есть РО^х. Для т£у
имеем Рт£х, откуда /и (J РОЕ А', т. е. in£x, или РОЕ а
по свойствам максимальных фильтров, следовательно,
т£х, таким образом, у<=х. Обратное включение дока-
зывается так: Nm = m— РО, по дискретности ЭЛ и, по-
скольку Urxy, (у/п) (Nm Е х —> т Е у). Пусть т Е х; —РО Е х
ввиду максимальности х, так что т— Р0= Nm Е х, откуда
т£у. Таким образом, х<=у и х = у. Значит, Я,—диск-
ретная м.с., а, по теореме 1, ЭЛ изоморфна подалгебре Я’Д
1 См. Лукасевич [10] и Смайли [16]; здесь мы, однако, подра-
зумеваем, что модальная система определяется матрицей Лукасевича
и не содержит фуикторных переменных в правилах образования
формул.
160
Теорема 58. Алгебра дискретной эпистемической
модельной структуры сама является дискретной эписте-
мической.
Доказательство. Пусть Я = <7(, Q, U>—диск-
ретная эпистемическая м.с., так что если Uxy, то х — у
и Uxx для х £ К—Q. Покажем, что для А S К РА = A (J Q.
Так как А s РА и QsPA, то AUQ^PA. И наоборот,
пусть х£РА. Тогда если x£Q, то (gy) (Uxy/\y £ А). Но
тогда х = у и л£А, так что РА s А и Q-
Сразу получаем (ср. теорему 39):
Теорема 59. Существует такая м.с. Я, что Я+
является характеристической алгеброй для L.
Напомним читателю м.с. Я3 из [7], а именно: Я3=
=<]«, Ь}, {й}, {<&, Ь>}>. Нз Смайли [16] можно усмот-
реть, что Я3+ есть матрица Лукасевича для Е-модальной
. логики. Покажем, что Я3 является характеристической
для L; это, конечно, дает разрешающую процедуру для L
ввиду конечности Я3. Очевидно, что Я3—дискретная
эпистемическая м.с., так что она дает матрицу для L,
согласно теоремам 56 и 58. Пусть А — не-теорема L.
Тогда, по теореме 59, А опровергается на Я+, скажем,
при задании SI- Тогда для всякого х С К—Vn (А) А опро-
. вергается в алгебре Я£ на связной м.с. Ях (см. заме-
чание, следующее за теоремой 3). Теперь, если х£К—Q,
изоморфна ЯрС, поскольку вследствие дискретности
Az = {x). Тогда А — не-теорема PC. Аналогично, если
x<zQ> Я| изоморфна Я*, и А — не-теорема Е. Принимая
во внимание, что каждая теорема L является одновре-
менно теоремой Е и PC, получаем:
’ Теорема 60. [—ь А тогда и только тогда, когда
> I—рс А и |—в А.
Хорошо известно (см. [16], с. 149), что Я] можно
рассматривать как прямое произведение двух матриц —
Ярс и Я/. Следовательно, если А опровергается на Ярс
‘ или Я+, то А опровергается также и на Я3.
Теорема 61. Я£ есть конечная характеристическая
Матрица для L.
Конечный результат отношения между L и РС дока-
зывается параллельно доказательству теорем 20, 21 и 54.
4 К» 1212
161
Теорема 62. )—рс А эквивалентно |—ь □ Т
Отметим также важную для последующего теорему:
Теорема 63. |— в А эквивалентно |—E2<F—»-А.
Доказательство. Поскольку Не О А по А12, то
из |— ЕгОТ—>А следует, что |—еА. Обратное устанавли-
вается индукцией по длине доказательства А в Е, если
заметить, что Не-з О А —> < А по R2.
Для упрощения будем обозначать названиями логи-
ческих систем также множества теорем, доказываемых в
этих системах. Тогда теорему 60 можно выразить короче:
L = PCrvE. Следующая теорема показывает, что анало-
гичные результаты о пересечении имеются во всех рас-
сматриваемых выше шестнадцати системах.
Теорема 64. (i) E2 = S2rvE; (ii) E3 = S3rvE;
(iii) ЕТ = ТглЕ; (iv) E4 = S4rvE; (v) E2(S) = S2(S)rvE,
(vi) E3(S) = S3(S) rv E; (vii) ЕВ = ВглЕ; (viii) E5 =
^=S5^ E.
Доказательство. To, что E2^S2rvE, триви-
ально и аналогично для остальных семи случаев. И нао
борот, предположим, что |— s2 А и Не А. Тогда Нез ПТ—*
—►А, по теореме 20 (ii), и He2<>F—>-А, по теореме 63.
Но Не2 □ Ту О F. Поэтому Нвг А. В остальных семи слу-
чаях применяются теоремы 20, 21 и 54; заметим, что Е2
содержится во всех других Е-системах.
Доказательство этих результатов в терминах модель-
ных структур мы проиллюстрируем на двух примерах.
Пусть А—не-теорема ЕТ. Тогда существует замкнутая
эпистемическая м.с. Л, такая, что Д+ опровергает А.
Выберем Vn(A), где а—задание значений перемен-
ных, на котором опровергается А. Легко видеть, что в
зависимости от принадлежности х£К—Q или x£Q,A on
ровергается на нормальных эпистемических алгебрах или
на (мы предполагаем, что выбрана рафинированная
м.с. Я) и не является ни теоремой Т, ни теоремой Е.
Предположим далее, что А не-теорема ЕЗ. Тогда суще-
ствует транзитивная эпистемическая м. с. Д, такая, что
Я’+ опровергает А. Выбирая х, как и прежде, мы видим
в этом случае, что А слабо опровергается на и по-
этому не является теоремой S3 или А опровергается на
162
fit и не является теоремой Е. Шесть остальных случаев
аналогичны одному из этих двух1.
VI
Добавление о системах и матрицах
Системы, рассмотренные в разделах I, II и IV, можно
представить в следующей! схеме включения:
Здесь верхние четыре системы предполагают правило 7?3
и могут быть охарактеризованы нормальными матрицами;
в следующих четырех системах есть теоремы вида □ А,
но нет теорем вида □□А; последние четыре системы
t характеризуются замкнутыми матрицами; четыре нижние
системы обладают таким свойством, что если [— □ Т —>
—* □ А, то |— А. Куб, стоящий справа, является симмет-
ричным «напарником» левого куба. Число, стоящее в квад-
ратных скобках, рядом с названием системы, обозначает
Количество различных неприводимых модальностей в си-
стеме; там, где такого числа нет, в системе бесконечно
много различных неприводимых модальностей.
Для доказательства независимости систем, не соеди-
ненных отрезками, а также невозможности других вклю-
чений достаточно сделать это для восьми верхних систем.
Например, если мы покажем, что S3 не содержится в Т,
1 Эти результаты о пересечении получены в духе Холдена [3],
который показал, что S3 = S7 f] S4. Однако в представленной серии
статей мы не пытались исследовать такие странные системы, как
SC—S8; маловероятно, что они в некотором, сравнительно простом
смысле связаны с системой Е.
163
то по теоремам 20 и 21 ЕЗ не содержится в ЕТ. Далее,
нам известно, что все Е-системы, входящие в Е, не со-
держат теорем вида □ А и, следовательно, собственно
включается в соответствующие верхние системы. То, что
системы S2, S3, S2(S), собственно, содержатся соответ-
ственно в Т, S4, В и S5, следует из AtJ, которая слабо
удовлетворяет все эти системы и слабо опровергает □ □ Т.
Для доказательства собственного включения Т в S4 и S2
в S3 нам, очевидно, нужна алгебра нетранзитивной м.с.,
которая должна поэтому содержать не менее трех эле-
ментов. Такой простейшей м.с. является At = <{c, Ь, с},
0, {<а, а>, <Ь, ЬУ, <с, су, (а, ЬУ, <Ь, с>}>; тогда Д+
удовлетворяет Т и S2, но опровергает А1. Это показы-
вает также вместе с At-! независимость S3 и Т. Далее,
рассмотрим ЙД (II группа Льюиса: см. [7J, раздел V).
Опа является нормальной эпистемической транзитивной,
но не симметричной м.с. и поэтому удовлетворяет А4, но
не ЛЮ. Таким образом, S2, S3, Т, S4, собственно, вклю-
чаются в S2(S), S3(S), В, S5 соответственно. Наконец,
нам необходима нормальная эпистемическая симметричная,
а не транзитивная м.с.; и здесь снова нужны три эле-
мента; для этого мы просто расширим U из предыдущей At,
включив <Ь, аУ и <с, by. Эта матрица удовлетворяет В,
но опровергает /47, что указывает на собственное вклю-
чение S2 (S) в S3(S) и В в S5, так же как и на незави-
симость S3 и S2(S) и S4 и В.
Последнее замечание. Даганджи в [1] показал, что
между S1 и S5 нет системы, которая бы характеризова-
лась конечной матрицей. Поэтому этот результат прило-
жим к восьми верхним системам на чертеже.
Отсюда следует, что никакая Е-система из восьми ниж-
них также не характеризуется конечной матрицей; для
всякой такой матрицы методы нашей статьи позволяют
построить характеристическую матрицу для соответствую-
щей верхней системы.
Все вырожденные системы Р, С, Е и L имеют конеч-
ные характеристические матрицы: AtpC, AtJ и StJ.
ЛИТЕРАТУРА
1. Dugundj i J. Note on a property of matrices for Lewis and
Langford’s calculi of propositions, Journal of Symbolic logic, vol. 5,
1940, p. 150—151.
164
2. Dummett M. A. E. and Lemmon E. J. Modal logics
octween S4 and S5, Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grund-
lagen der Mathematik, vol. 5, 1959, p. 250—264.
3. Ha 11 den S. Resuits concerning the decision problem of
Lewis’s calculi S3 and S6, this Journal, vol. 14, 1950, p. 230—236.
4. Kripke S. A. Semantical analysis of modal logic 1, Zeit-
schrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, vol.
9, 1963, p. 67—96. (рус. nep. в кп.: Фейс. Модальная логика. М.,
1974, с. 304-323).
5. Lemmon Е. J. New foundations for Lewis modal systems,
this Journal, vol. 22, 1957, p. 176—186.
6. Lemmon E. J. Extension algebras and the modal system
T.—„Notre Dame journal of formal logic", vol. 1, 1960, p. 3—12.
7. Lemmon E. J. Algebraic semantics for modal logics I.—
Journal of Symbolic logic, 1966, vol. 31, № 1 (см. наст, сб., с. 98).
8. Lemmon E. J. Some results on finite axiomatizability in
modal logic.—„Notre Dame journal of formal logic".
9. Lewis С. I. and Langford С. H. Symbolic logic. New
York, 1932.
10. Lukasiewicz J. A system of modal logic.—„Journal of
computing systems", vol. 1, 1953, p. Ill—149.
11. McKinsey J. С. C. A solution of the decision problem for
the Lewis systems S2 and S4, with an application to topology, this
Journal, vol. 6, 1941, p. 117—134.
12. McKinsey J.C.C. and Tarski A. The algebra of topo-
logy. Annals of mathematics, vol. 45, 1944, p. 141—191.
13. Parry T. W. Modalities in the Survey system of strict
implication, Journal of Symbolic logic, vol. 4, 1939, p. 137—154.
14. Prior A N. Formal logic (2nd edition), Oxford, 1962.
15. Simons L. New axiotnatizations of S3 and S4, this Jour-
nal, vol. 18, 1953, p. 309—316.
16. Smile T. On Lukasiewicz’s L —modal system.— „Notre
Dame journal of formal logic", vol. 2, 1961, p. 149—153.
17. Stoll R. R. Set theory and logic, San Francisco, 1961.
18. Yonemitsu N. Review of 5, Journal to Symbolic logic,
vol. 23, 1958, p. 346—347.
С. К. Томасон
СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ ЛОГИК** 1
§ 1. Введение
Хотя мы и считаем, что излагаемые ниже результаты
имеют непосредственное философское значение, однако
ограничим свои замечания сферой математики. Философ-
ское обсуждение временных логик, близкое математикам,
читатель найдет в [4]. „Минимальной" временной логикой
Т(, является система со связками ~, —► , F („в некоторый
момент в будущем"), Р („в некоторый момент в прошлом")
и аксиомами:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
р->(9 —р);
(р -* (9 —г)) — ((р — q) — (p-+ 0);
(~Р — ~ 9) -> (9 РУ,
G(p-+q)-+ (Gp - + Gq)-,
H(p~.q)^(Hp~^Hqy,
Р —► HFp\
р —> GPp
(где С и Н обозначают ~F ~ и ~/^соответственно) и
следующими правилами вывода:
(8)
из а и а ->р следует Р;
* Thomason S. К. Semantic Analysis of Tense Logics.—„The
Journal of Symbolic Logic", 1972, vol. 37, № 1.
1 Эта работа была поддержана Канадским национальным иссле-
довательским центром и доложена в Беркли в июне 1971 г. на сим-
позиуме, посвященном Тарскому.
166
(9) из а выводится всякая формула, получаемая под-
становкой в а;
(10) из а выводится Са;
(И) из а выводится На.
Логическая система Т, язык которой совпадает с язы-
ком То, а аксиомы и правила вывода включают (1)—(11),
называется временной логикой. Аксиомы и правила Т, от-
личные от (1)—(11), называются собственными аксиомами
и правилами Т.
Мы исследуем три семантических системы временных
логик, то есть три понятия структуры и три отношения
(= между структурами и формулами. й^=а читается как
„а истинна в й“. Структура Й является моделью времен-
ной логики Т, если каждая формула, доказуемая в Т,
истинна в й. Семантика называется адекватной для Т,
если множество всех моделей Т в этой семантике является
характеристическим для Т, то есть всегда, когда Т(А-а,
существует модель й теории Т в этой семантике, такая,
что й|^а. Две структуры Й и 33, возможно из различ-
ных семантик, называются эквивалентными (й~33), если
в й и 33 истинны одни и те же формулы.
Семантика второго порядка—это семантика, подразу-
меваемая в [4]. Структурой в ней называется пара <Ц7;
/?>, где W— непустое множество, a бинарное отно-
шение на W. Отношение определено в терминах при-
писывания значений. Пусть Var и Fla обозначают мно-
жества пропозициональных переменных и формул соответ-
ственно; приписывание есть функция V:Var->2w; если V
является приписыванием, то V*:Flax W —> {Т, F} опре-
деляется посредством:
(12) V* (р, w) = T (р);
(13) V* (~а, w) = Т & V* (а, w) = F\
(14) V*(« —Р, ьу) = Т^[У*(а, m) = FvV‘(P, ш) = Т];
(15) V*(Fa, w) = T&(Bu)[wRu/\V*(a, и) = 7];
(16) V*(Pa, w) = T <^(Зп)[и/?1е>ДУ*(а, и) = 7].
<IF; если для всякого приписывания V и вся-
кого w g IFF* (а, w) = T. Кажется, что семантика второго
Порядка ясно формализует интуитивное представление о
167
Временной логике: U7 соответствует множеству всех мо-
ментов времени, a R означает временное упорядочение.
Однако в § 4 будет показано, что семантика второго по-
рядка неадекватна для некоторых интересных временных
логик.
Алгебраическая семантика является простой модифика-
цией алгебраической семантики модальных логик, предло-
женной впервые Мак-Кинси и Тарским [3]. Структурой
здесь служит временная алгебра, то есть алгебра 21 = <А;
0. 1, U, А, "1, f, р>, такая, что <Л; 0, 1, U , П, "]>
есть булева алгебра и для всех a, bС А
(17)
(18)
(19)
(20)
f (0) = р (0) = 0;
f (а II b) = f (a) A f (b);
р (а и Ь) = р (а) и р (Ь)\
f (а) А b = 0 & а А р (Ь) = 0.
Каждой формуле а соответствует полином ha времен-
ной алгебры (полученный записью ос в терминах V,
F и Р заменой каждой пропозициональной переменной р,
соответствующей переменной а,- и заменой V, F и Р на
, U , f, Р соответственно). Тогда 81 а означает, что
йа=1 тождественно в 81. Ниже будет показано (теорема 2),
что алгебраическая семантика адекватна для всех времен-
ных логик. Однако алгебраическая семантика не форма-
лизует очевидным образом интуитивной идеи упорядоче-
ния времени.
Новой является семантика первого порядка1. Струк-
турой здесь служит <IF; R-, П>, где R — бинарное отно-
шение на непустом множестве W, а 11 — непустое семей-
ство подмножеств W, замкнутое относительно булевых
операций и операций /к и pR, определенных посредством
(21)
(22)
fR(X) = {^elK | (Зи)(ЛЛп€Х)};
pR(X)^{w£W | (3u)(uRw/\uEX)}.
1 Фактически Макинсон [GJ представил понятие структуры, ко-
торое почти эквивалентно нашему понятию структуры первого по-
рядка, и кажется очевидным из работы [5] Файна, что те, кто изу-
чал модальные логики с пропозициональными кванторами, призна-
вали необходимым рассматривать кванторы по ограниченному классу
множеств „возможных миров". Когда писалась настоящая статья, эта
работа была нам неизвестна.
168
Приписыванием здесь служит функция И:Уаг—>П;
как и раньше, V* определяется посредством (12)—(16), и
<W; R-, П>|=а означает, что V* (a, w) = T для каждой
оценки V п каждого w£W. Очевидно, что структура
второго порядка <IF; /?> эквивалентна структуре первого
порядка <IVZ; R-, 2W> и что а, истинная в <W7; Л?>, ис-
тинна также и в <W; R-, П> при всяком II. Семантики
первого порядка формализуют временную интуицию так
же хорошо, как и семантики второго порядка, с той лишь
разницей, что семантики первого порядка свободны от
предположения, подразумеваемого в семантиках второго
порядка, о том, что произвольному множеству моментов
времени соответствует высказывание, истинное в эти, и
только в эти, моменты. Ниже будет показано (следствие 5),
что семантики первого порядка адекватны для всякой
временной логики.
Сделаем небольшое отступление, чтобы разъяснить ис-
пользование здесь терминов первый порядок" и „второй
порядок". Рассмотрим формальную систему с „индивид-
ными переменными" t, xit х.2, ..., „унарными предикат-
ными переменными" Xt, Х2, Х3, . ., находящимися в соот-
ветствии с пропозициональными переменными временных
логик, и бинарным постоянным предикатом R. Формулы
временной логики переводятся в формулы новой системы
посредством преобразования Ф:
Ф (Pi) =^(0;
ф (~а) = ~Ф (а);
Ф (а —> [3) = Ф (а) Ф (6);
Ф(Ра) =(3x)(R(t, л-)ДФ(а)[х/г]);
Ф(Р’а) = (3x)(R (х, /)ДФ(а) [x/t])
(где х первая индивидная переменная, не встречающаяся
в Ф(«), а Ф(а)[х/7] есть результат подстановки х вместо
t в Ф(а)). Тогда в Ф(а) входят единственная свободная
переменная t и предикатные переменные Х),, ..., Х;„,
соответствующие пропозициональным переменным, входя-
щим в а.
Теперь можно рассматривать новую систему как систему
второго порядка, и структурой в этом случае будет пара
<,W; R>; индивидные и предикатные переменные пробегают
Значения из П7 и 2W соответственно, а Ф(а) считается
169
истинной в <W\ Ry тогда и только тогда, когда <Ц7, £?>^ос.
С другой стороны, можно рассматривать новую систему
как систему первого порядка с двумя сортами переменных,
и структурой в этом случае (в сущности) будет тройка
<1Г; R; П>, где II е 2W, индивидные и предикатные пе-
ременные принимают значения из W и II соответственно,
а Ф(сх) считается истинной в <U7; Я; II> тогда и только
тогда, когда <117; R; П>[=а.
§ 2. Алгебраическая семантика
Пусть 31 = <Л; 0, 1, U, А, 1, f, р> — алгебра типа
временной алгебры (то есть Og A, U —бинарная связка
и т. д.). Тогда ha, 31 |= а и „31 является моделью Т“ можно
определить так, как в случае временной алгебры.
Теория I. Пусть 31 является алгеброй временного
типа. Тогда 31 будет моделью То тогда и только тогда,
когда 31—временная алгебра.
Доказательство. Пусть 31 есть модель То. По-
скольку все тавтологии доказываются в То, <А; 0, 1, U,
П, 1 > является булевой алгеброй. Так как ~7?(рЛ~р),
~/э(рЛ~р), F (p\/q)& FpVFq и Р (р\/ q) Рр\/ Pq до-
казываются в То, (17)—(19) удовлетворяются в Э(. Пусть
а, Ь£ А и [(а)Г\Ь = О, то есть b^.~\ f (а). Тогда р(Ь)^
по (19), так что р (V (а)) ^ ~] р (Ь). Но
р—*~P~Fp доказывается в То, откуда ”lp(~|f(c))
тождественно в Э(. Следовательно, а^.~\р(Ь), то есть
а{\р (b) = Q. Аналогично, если а[\р — то /(а) А 6 = 0
и (20) выполняется в 31.
И наоборот, допустим, что 31 временная алгебра.
Чтобы доказать, что 31 является моделью То, достаточно
показать, что 31|=а для всякой аксиомы а системы То и
что правила вывода То сохраняют истинность формул в 31.
Очевидно, что (1)—(5) истинны в 31 По (20) (с Ь = "]/(«)
g(f=z(6). Аналогично 31 f=(7). Правила (8) и (9) в коммен-
тариях не нуждаются; для доказательства случаев (10) и
(11) используется (17).
Теорема 2. Алгебраическая семантика адекватно
для каждой временной логики: а именно, для каждой вре-
170
меннбй логики Т существует такая временная алгебра 31,
что
(Va g Fla) (31 Да Т }— а).
Доказательство. Пусть 31 т обозначает алгебру
Линденбаума—Тарского для Т, то есть 81Т = <А; 0, 1, U.
П , "1, /, р>, где А = {[а] | а £ Fla}; [а] = [Р] & Т }— а «-»£;
O = LPA~P]; MU[P]==[aV0]; /([«]) = [Fa] и т. д. Тогда
51тДа^ТД-а для всякого agFla. По теореме 1 3(т яв-
ляется временной алгеброй.
§ 3. Семантика первого порядка
Если <IF; R; П> структура первого порядка, то обо-
значим временную алгебру <П; 0, W, U, А, , Аъ Pr>
через <IF; R; П>+.
Теорема 3. Структуры <IF; R; П> и <IF; R; П>+
эквивалентны.
Доказательство. Если V’:Var—»-П, то
| V* (р, w) = T} — V(p),
(ш|Е’*(~а, w) = Т\ — "| Ду |’/*(«, w) — T},
{&y|F*(aVP, ьу) = 71} = ]а>|1*(а, w)=T\ (J Ду|У*(Р, w) = T},
Ду | !/• (Fa, w) = T} =fR ({ьу| V* (a, w) = T}),]
{u>|V'*(Pa, w) = 71} = р« (]ю| V* (a, w) — T}),
итак индукцией подлинем получается, что в <IF; R; П>+
где ..., рп—пропозициональные переменные, входя-
щие в а. Следовательно, <IF; R; П>+Да тогда и только
тогда, когда <IF; R; П> Да.
Теорема 4. Если 31 временная алгебра, то суще-
ствует структура первого порядка <IF, R, П>, такая,
что <IV; R', П>+ изоморфна 31.
Доказательство. В терминологии [2] временная
алгебра является булевой алгеброй с двумя сопряжен-
ными аддитивными нормальными операторами. Согласно
теоремам 3.10, 2.12, 3.6 в [2], существует тройка <IF;
R; S>, такая, что S — и 31 изоморфна подалгебре 33
171
алгебры
<Г,
R, S>+ = <2W; 0, W, (J, П, "I, fs>,
где U, II и “j —оСычные теоретико-множественные опе-
рации, a fK и fs определены по (21). Так как S = R-1,
то fs ^Pr- Пусть множество П s 2W таково, что 33 = <П;
0, W, U, П, 1, /д, fs>- Тогда 33 = <IP; R; П> + .
Следствие 5. Семантика первого порядка адекват-
на для всех временных логик.
§ 4. Семантика второго порядка
Назовем структуру <_W-, R> ILI-структурой, если суще-
ствует такое что ограничение R на (щ | wcRiv} яв-
ляется иррефлексивным линейным отношением порядка без
наибольшего элемента. Рассмотрим формулу
(23) GFp^I'Gp.
Если<1Р; R> есть ILI структура, то <IP; R> |#= (23). Для
установления этого выберем к>0, как указано выше; можно
показать (используя аксиому выбора), что существует под-
множество S множества | te^Rto}, такое, что как S, так и
дополнение к 5 являются кофинальными в (да | w,,Rw}; пусть
V —такое приписывание, что V (р) = <3, где V* ((23), w0) = F.
Если же Т — временная логика, каждая модель которой
является ILI-структурой, а Т' получена из Т добавлением
(23) как аксиомы, то у Т' нет модели; тогда формула
р /\~ Р истинна в каждой модели Т' и при условии не-
противоречивости Т' семантика второго порядка неадек-
ватна для Т'. Надо заметить, что (23) имеет такой интуи-
тивный смысл: эта формула утверждает, что каждое выска-
зывание в некоторый момент перестает изменять свое истин-
ностное значение. Таким образом, (23) означает истинность
„макроскопических1* предложений о мире, в котором спра-
ведлив второй закон термодинамики.
Укажем в заключение временную логику Т такую, что
каждая модель Т является ILI-структурой и что добавле-
ние к Т (23) как аксиомы дает непротиворечивую логику.
Рассмотрим формулы:
172
(24) FFp —+ Fp\
(25) (Fp Д Fq) (F (p Д q) V F (p Д Fq) F(q A Fp));
(26) Gp - > Fp-
(27) Pp-> P(p/\'- Pp).
Читатель может проверить, что
<U7; /?>[=(24) ФФ R транзитивно,
<IL; Ry |= (25) ФФ (V/г, v, и1 б И7) [(uRv A tiRw) =>
=> (vRw V wRv V v = щ)];
<W, Ry\=(26)tt(VueW)(3veW)(uRv).
Мы докажем, что если <1Г; 7?>[=(27), то
(VSslF)(Vwg S)(3u £S)[(uRw\/u = tti)A(Vt>)(^H=>v^S)]*,
и если R транзитивно, то справедливо обратное заключение.
(Следовательно, если <1Е; /?>)=(27), то R иррефликсивно:
для множества S' = (щ} получается (Vv) (vRw=i>v =y=w).)
Пусть <IF; Ry [=(27) и w£S<=W. Пусть V таково, что
V (р) — S. Если V* (Pp, w) = F, то (Vv) (vRu=^>v (£S) и можно
взять u — w. Если V*(Pp, w) = T, то Е*(Р(рД~Рр)) = 7,
так как <117; Ry (27). Следовательно, (Эн) (uRw/\V*(p, и)=
— Уя(~Рр, и) = Т)‘, тогда ugS и (Vv) (vRu => v S).
Для доказательства обратного предположим, что R
транзитивно и <ИД 7?>|^(27). Пусть V—оценка и W —
такой элемент, что V* (Pp, w^ — T и V* (Р (р А~ Pp), №i) =
=F. Пусть S = V(p). Так как V*(Pp, wJ — T, то суще-
ствует w£W, такое, что wRwt и w£S. Теперь вслин^З
и (uRw V и = w), то и uRwl (по транзитивности R) и
V* (р /\~ Pp, u) = F (согласно выбору Но Vй (р, и) = Т,
так что V*(~Pp, u) = F, то есть (3 v)(vRu /\v£S).
Из всего вышеизложенного следует, что для всякой
временной логики Т с собственными аксиомами (24) — (27)
каждая модель Т является ILI-структурой. Временная
Логика Т', получакгцаяся добавлением (23) как аксиомы
К Т, непротиворечива, потому что <М; <; П> является
моделью первого порядка логики Т', где N — натуральный
* На самом деле формулы (24) — (27) дают структуры (или шкалы
Крипке), в которых время может „ветвиться" только назад и для
Каждого момента „времени" существует некоторый предыдущий момент
(в смысле предпорядка в структуре), являющийся минимальным, то
»сть не имеющим предшественников. Транзитивность и иррефлексив-
ность временной структуры Т отмечена в тексте.— Прим, перев:
173
ряд, <—обычный порядок на N, а П состоит из всех
конечных или дополнительных к конечным („кофинитных")
множеств 7V. Т' служит примером интересной по существу
временной логики, для которой семантика второго порядка
неадекватна.
§ 5. Структуры первого порядка
Здесь будет показано, что каждая структура первого
порядка эквивалентна такой структуре первого порядка,
которая по свойствам ближе к структуре второго порядка.
Наша цель состоит в использовании универсальной адекват-
ности структур первого порядка.
Определение 6. Структура <1Г; П> является
рафинированной, если для всех и, с (Ей7,
(28) (VS (Е П) (и С S & v С S) => и = V,
(29) (VS G П) (v £ S => и С fR (S)) => uRv.
Заметим, что из (29) следует
(VS (ЕII) (и £ S => v С Рх (S)) => uRv.
Пусть uRv, тогда по (29) существует некоторое So £ П>
такое, что v £ So, но u(fcfR(S0). Так как v С So е “| pR “| /R (So),
PRlfK(S0). Тогда для S=“|fR(Sc) мы получим и б S,
но v^pR(S).
Определение 7. Отношением конгруэнтности на
<IV'; R\ П> называется такое отношение эквивалентности
= на W, что
(30) (и = и, Д и = nJ => {uRv Ф> UtRv^y,
(31) n==W1=>(vseii) («с s^i^es).
Если ss является отношением конгруэнтности на
<!Г; /?; П>, то полагаем: u — {«j | и нх} (и С К7),
(32) uRv uRv,
(33) и € S Ф» п g S (S $ П),
n = {s|sen}.
174
Заметим, что условия (30) и (31) в точности таковы,
какими должны быть, чтобы (32) и (33) имели смысл.
Теорема 8. Пусть s отношение конгруэнтности
на <W; R; П>. Определим ЧГ:П—>П условием 4f(S) = S.
Тогда
(34) Т является взаимно однозначным отображением на'
(35) <W; R; П> есть структура-,
(36) Ч1, устанавливает изоморфизм <W; R; П>+ и
<W; R; П> + ;
(37) <W; R; П>~<Г; R- П>.
Доказательство. По определению, П, Тявляется
отображением на. Если S = T, то, по (33), S = Т\ следова-
тельно, Т есть взаимно однозначное отображение. (35)
означает, что П замкнуто относительно булевых операций
/r и pR . Читатель может проверить, что "| S = ф ( “| S) и
SUT=4>(S U Т). Точно так же/> (8)={и|(Зи)(п7?иДи g S)} =
={u I ч € fr ($)} = Ф (/r (S)). Аналогично pR (S) = ф(рк (S)).
Одновременно c (35) при этом доказаны (36) и (37).
Определение 9. Если <1Е; R't П> есть структура,
то г=ац есть отношение эквивалентности, определенное на
W посредством и =п v ФФ (VS £ П) (и С S ФФ v £ S).
Теорема 10. Если <1Е; R- П> удовлетворяет (29),
то =п является отношением конгруэнтности на (W\R', П>
и структура <W, R, П> рафинирована.
Доказательство. Ясно, что =п удовлетворяет (31).
Пусть и p=n»i. Если uRv, то (VS £ П) (v (Е S =>
«Ф и С fR (S)); из u^nut и v=nfi следует, что (VSgll)
(ty С S £/R (S)); поскольку <1F; R; П> удовлетворяет
(29), то u^Rvi. Аналогично, если UfRVi то uRv. Следова-
тельно, =п является отношением конгруэнтности. По опре-
делению <W; R; П>, если (VS£II) (uCS^vgS), то
!VSgП) (п^Хффп^Х), то есть u = v. Точно также, если
VS С П) (v € S =Ф u С f r (S)), tq (VS С П) (о С S =Ф и С fR (S)),
Так как fR (Б) = ф(/К (S)) по (36); так как <1Е; R; П> удов-
летворяет (29), то uRv, а значит, и uRv. Следовательно,
<W, R, П> является рафинированной структурой.
Теорема 11. Пусть <U7; R; П>—структура. Тогда
еутрствует такое отношение R' э R, что:
175
(38) fR'=h и Pr' — Pr>
(39) <117; R'-, П> является структурой’,
(40) <IF; R'; П>+ = <Ц7; /?; П>+;
(41) <117; R', П>~<Ц7; /?; П>;
(42) <W7; R'\ П> удовлетворяет (29).
Доказательство. Пусть <=> (VS £ П) (и £ S =Ф
=> « € /r (S))- Тогда Rs R', так что fR (S) s fR- (S) для
всех Sgll. И наоборот, если и (S), то для некоторого
v uR’v и v£S, тогда по определению R’, и £fR(S). Анало-
гично pR’ = pR, и легко выводятся (39) — (42).
Следствие 12. Для каждой структуры <117; R; П>
существует рафинированная структура <Ц70; /<(|; По>, экви-
валентная <U7; R; 11>; кроме того, П и По равномощны.
Доказательство. По очереди применяются тео-
ремы 12, 11 и 9.
Следствие 13. Для каждой временной логики Т и
формулы а Т |— а тогда и только тогда, когда а истинна
в каждой модели Т.
§ 6. Адекватность второго порядка
Замечательно не то, что семантика второго порядка
иногда не адекватна, а то, что она адекватна в некоторых
нетривиальных случаях. В этом параграфе мы покажем,
что каждое из двух условий на Т достаточно для проверки
адекватности семантики второго порядка для Т.
Временная логика Т называется финитно аппроксими-
руемой (ф. а.) * относительно данной из трех семантик,
если при Т |-\- а существует конечная структура SI в этой
семантике, такая, что 21 является моделью Т и
(Мощностями <R7; R-, П> <Ц7; Ry и <4; 0, .. •> называются
мощности W, W и А соответственно.) Если Т ф. а. отно-
сительно некоторой семантики, то эта семантика, конечно,
адекватна Т.
* Переводчик заменил термин „свойство финитности моделей"
более привычным для русского читателя термином „финитная аппро-
ксимируемость".— Прим. ред.
176
»#
Теорема 14. Каждая конечная временная алгебра
эквивалентна некоторой конечной структуре первого по-
рядка, и наоборот.
Доказательство. Пусть 31—конечная временная
алгебра. По теореме 4 существует структура первого по-
рядка <Ц71; /?,; Щу, эквивалентная 31 с П£ той же мощ-
ности, что и А. По следствию 12, <Wlt RL, Пу> эквивалентна
рафинированной структуре <Ц7; /?; П>, где П имеет ту же
мощность, что и Пп а следовательно, и 31. По (28) структура
W конечна. Очевидно и обратное: <117; П>+ является
временной алгеброй, эквивалентной <Ц7; R; П>, и конеч-
ной, если конечна <117; /<; П>.
Следствие 15. Временная логика ф. а. относительно
семантики первого порядка тогда, и только тогда, когда
она ф.а. относительно алгебраической семантики.
Т ео р ем а 16. Каждая конечная структура первого
порядка эквивалентна конечной структуре второго порядка,
и наоборот.
Доказательство. Пусть <1F; /?; П> конечна. По
следствию 12, существует рафинированная структура
<Ц70, Ro, По>, эквивалентная <П7; R; П> с По той же мощ-
ности, что и П. По (28), множество Ц70 конечно; скажем,
Ц7„ = .. ., ш„), где w^Wj, если i #=/. Опять по (28),
если i=^j, то найдется S(-y- С По, такое, что ну,- С S; и Wj Sl7.
Тогда {кД = Г) (S;y | 1 < / < и, / =7^i} С П„. Отсюда По = 2и''«
и <R70; ~ <Ц70; Ro; П>~<117, R, П>. Обратное три-
виально: если <Ц7; /?>— конечная структура второго по-
рядка, то структура <117; R; 2VV> эквивалентна конечной
структуре первого порядка.
Следствие 17. Если Т ф. а. относительно какой-
нибудь из трех семантик, то семантика второго порядка
адекватна для Т.
Тот, кто хотел бы доказывать адекватность семантики
второго порядка для отдельных временных логик с помо-
щью следствия 17, может использовать те сведения о финит-
ной аппроксимируемости, большая часть которых приме-
нима в особенности к модальным логикам и, следовательно,
может быть приспособлена, по-видимому, к временным
логикам. Обзор этих сведений читатель найдет в [1J. Ниже
мы приведем существенно отличающийся от этого метод
177
доказательства адекватности, который не требует никакой
специальной техники.
Пусть Е—класс формул, таких, что если <1Е; R\ П> есть
рафинированная структура и (.W; /?>|=/=а, то R; П> |=^а.
В Е содержится много интересных формул, например (24)—
(26). Принадлежность (25) к Е устанавливается так: пусть
<1Е; /<; П> рафинированная структура и <Ц7; /?>|=^(25).
По § 4, существуют и, v, w£\V, такие, что uRv, uRw,
wRv, vRw и v^=w. Так как wRv, то, согласно (29), суще-
ствует Si^n, такое, что w^S, и ^/^(SJ. Поскольку
vRw, то, по (29), существует 7\ g II, такое, что w £ Тг
и v(^fR(T2). Наконец, ввиду v=^w, по (28), найдется
S3 С П, такое, что v С S3 и w(£S3. Пусть S == S£ П "]//?(Т2) П S3
и Т = "] fR (8г) П Т2 П IS,. Тогда t’£S и w£T, так что
u<zfR(S)ftfR(T)- Кроме того,
fR (S П Т) fR (S3 П "] S8) = 0;
fR (S n fR (П) s fR (1 fR (Т2) П fR (Л)) = 0;
fR (fR (S) Л T) s fR (fR (SJ П 1 fR (^)) = 0.
Таким образом, S, Tgll и fR(S)nfR(T)&fR(Sp\T)\J
UfR(S[}fR(T))\jfR(fR(S)(]T), откуда <117; R; П>|=#25).
He следует делать заключение о том, что доказатель-
ство принадлежности формул к Е всегда требует изобре-
тательности. Доказательства для (24) и (26), например, три-
виальны.
Теорема 18. Пусть Т—временная логика без соб-
ственных правил вывода, все собственные аксиомы которой
принадлежат Е. Тогда семантика второго порядка адек-
ватна для Т.
Доказательство. Если Т[~\-®., то существует ра-
финированная структура первого порядка <Ц7; R; П>,
которая является моделью Т и в которой а не истинна.
Тогда а, конечно, не истинна и в <R7; /<>. Так как соб-
ственные аксиомы Т принадлежат Е и истинны в <Ц7; R; П>,
то они истинны в <R7; R}. Поскольку в Т нет собственных
правил вывода, то <1Е; /<> есть модель Т.
§ 7, Некоторые проблемы
Можно ли охарактеризовать Е таким образом, чтобы
легче усматривалась принадлежность и непринадлежность
формул £? Является ли множество Е эффективно разреши-
те
мым? Пусть Ei обозначает класс формул а, для которых
существуют предложения А теории первого порядка бинар-
ною отношения, такие, что а истинна в <1И; /?> тогда и
только тогда, когда А истинна в <IF; £>, рассматриваемой
как модель теории первого порядка. В каком отно-
шении находятся £i и £? Можно ли охарактеризовать
класс £t предложений А, получаемых таким образом из
формул а g £i синтаксически или в терминах обычной се-
мантики теорий первого порядка?
В заключение заметим, что рассмотренные здесь нами
три семантики для временных логик можно модифицировать
и для модальных логик. Семантика возможных миров
Крипке является семантикой порядка. Алгебраическая се-
мантика и семантика первого порядка адекватны для всех
модальных логик. Но будут ли адекватны для всех модаль-
ных логик семантики второго порядка?1
ЛИТЕРАТУРА
1. Наггор R. Some structure results for propositional calculi.—
“The Journal of Symbolic Jogic”, vol. 30, 1965, p. 271—292.
2. Jonsson B. and Tarski A. Boolean algebras with opera-
tors.— “American Journal of Mathematics”, vol. 73, 1951, p. 891—939.
3. M с К i n s e у J. С. C. and Tarski A. Some theorems about
the sentential calculi of Lewis and Heyting.— “The Journal of Symbolic
Logic”, vol. 13, 1948, p. 1—15.
4. Prior A. N. Past, Present and Future, Clarendon Press,
Oxford, 1967.
5. Fine K. Propositional quantifiers in modal logic.—“The Journal
of Symbolic Logic”, vol. 36, 1970, p. 336—346.
6. Ma k i nso n D. A generalisation of the concept of a relational
model for modal logic.—“Theoria”, vol. 36, 1970, p. 330—335.
7. Thomason S. K- An incompleteness theorem in modal logic.—
“Theoria” (to appear).
Г Ответ отрицательный. В [7] мы ностроили нормальное расши-
рение Т, для которого семантика второго порядка неадекватна. Мы
узнали, что Файн построил нормальное расширение S 4, для которого
также нет адекватной семантики второго порядка [М. Гереон в [9]
доказал, что для этих логик нет даже адекватной семантики Скотта —
Монтегю второго порядка.—Прим, перев.]. А.. Лахлан и В. Форрест
показали, что Е собственно содержится в Е±.
К. Сегерберг
МОДАЛЬНЫЕ ЛОГИКИ С ЛИНЕЙНЫМИ
ОТНОШЕНИЯМИ АЛЬТЕРНАТИВНОСТИ*
В этой статье мы даем изложение фундаментальных
систем двух простейших и наиболее важных видов пропо-
зициональной временной логики. Эти виды, которые все еще
не имеют общепринятого наименования, мы называем моно-
модальным и бимодальным, согласно числу исходных опе-
раторов необходимости. Тема данной статьи—обсуждение
взаимоотношения между синтаксическими и семантическими
условиями: что представляет собой логика, например, об-
щего, вполне упорядоченного, плотного, непрерывного,
целочисленного или конечного времени? Не все результаты
здесь являются новыми; ссылка на предыдущие работы
дана в конце статьи. В качестве главного достижения дан-
ной статьи мы рассматриваем развитие теории фильтрации,
что делает возможным применение техники типа Хенкина
к модальным логикам с линейными (или строго линейными)
отношениями альтернативности, так что это развитие позво-
ляет нам дать систематическую трактовку специфической
области временной логики.
Мы начинаем с § 0, который обеспечивает теоретиче-
ское обоснование для анализа, проводимого в последующей
части статьи. Этот параграф обобщает и расширяет мате-
риал, изложенный в работе [8], и знакомство с этой рабо-
той, несомненно, сделает более легким чтение настоящей
статьи. § 1 посвящен мономодальной логике, а § 2—бимо-
дальной. Некоторые исторические замечания собраны в за-
ключительном § 3.
* Segerberg К. Modal logics with linear alternative relations.—
“Theoria”, 1970, vol. 36, p. 301—322.
180
§ 0. Общие замечания
N, Z, Rat и Re обозначают соответственно множества
натуральных чисел, целых чисел, рациональных и дейст-
вительных чисел. Порядковыми типами этих множеств
являются со, £, т] и X соответственно.
Нашими пропозициональными буквами будут Ро, Pf,
..., Рп, ..., а | и —> являются нашими булевыми
исходными константами. В дополнение к этому мы имеем
семейство {[£]}(gj унарных модальных операторов, причем
J есть некоторое фиксированное множество индексов. Оче-
видным образом определяется понятие /-формулы, и Ф7
обозначает множество всех /-формул. В качестве сокра-
щений мы используем "], Д, V и <->, а также у вместо
и ф вместо “|ЁП (для всякого ifzJ).
j- ' Под К7 мы понимаем наименьшее множество L <= Ф7,
j такое, что (i)L содержит все тавтологии и все подстано-
у вочные примеры схемы
щ (А-> В)-> ([7] А[7] В)
для каждого i g J, и (ii)Z, замкнуто по модус поненс (7МР:
А, А -+ В/В), а также для каждого i С J замкнуто по пра-
вилу навешивания необходимости для [7] (Nec;: А/[7|А).
Под /-модальной логикой мы понимаем множество £^Ф7,
такое, что L содержит KJ и замкнуто по МР и по правилу
подстановки. Если вдобавок L замкнуто по Nec(- для каж-
дого i С J» то L называется нормальным. Таким образом,
KJ является наименьшей нормальной /-модальной логикой.
<7/, Ry является J-структурой, если U есть некоторое
Множество, a R—функция, сопоставляющая каждому i g J
В качестве значения бинарное отношение /?,• па U. dJ, R, Vy
является /-моделью, если <7/, Ry есть /-структура, а V—
оценка на этой структуре1; то есть если V есть функция,
определенная для каждого неотрицательного целого числа и
имеющая в качестве значений подмножества множества V.
Определение истины на некоторой точке в / модели будет дано
Ниже. Модель U является моделью для множества 2 фор-
мул, если каждая формула из 2 истинна в П, то есть
Истинна на каждой точке в U. Аналогично, структура <у
1 Буква «7» в выражениях «J-модель» и «/-структура» иногда
будет опускаться.
181
будет структурой для 2, если каждая формула из 2 зна-
чима в то есть истинна в каждой модели на Если
T s Фу, то две модели эквивалентны по модулю ¥, если
каждая формула из Чг истинна в обеих моделях, когда она
истинна в одной из них. Две модели эквивалентны, если
они эквивалентны по модулю Фу. Логика L детермини-
руется классом С структур, если каждая структура из С
является структурой для L и каждая не-теорема L незна-
чима в некоторой структуре из С. Если $ есть такая
структура, что {£у} детерминирует L, мы будем говорить,
что L детерминируется посредством
Под канонической моделью для нормальной /-мо-
дальной логики L мы понимаем /-модель <t/, R, Р’>, где
U есть множество всех L-максимальных множеств /-фор-
мул, где для всякого i С /, xR{y тогда и только тогда,
когда для всех /-формул А, [7]А £ х, если и только если
A^z/ и где для всякого п, V (п) = {х:Рп£х\. Можно пока-
зать (используя аксиому выбора, если дано неупорядочен-
ное /), что для всякой формулы А и для всякого х U,
А истинна на х в тогда и только тогда, когда Agx.
Мы будем ссылаться на этот факт как на фундаменталь-
ную теорему для нормальных J -модальных логик. Мы за-
ключаем, что А7 детерминируется классом всех /-структур.
Предположим, что П = <17, R, V> есть некоторая /-
модель, а х— некоторый элемент из U. Пусть IIх будет
наименьшим множеством, которое содержит х и замкнуто
по Ri для каждого igZ. Пусть R} и Vх будут ограниче-
ниями Rj и V—до 0х (в очевидном смысле). Тогда /-
модель U* = <t/*, Rx, Vх) называется моделью, порожден-
ной из U посредством х. Можно показать, что для всякой
формулы А и для всякого у g Ux А истинна на у в П,
если и только если А истинна на у в IIх. Мы будем ссы-
латься на этот факт как на теорему порождения.
Предположим, что U = <t/, R, Е> является /-моделью,
а Чг есть подмножество множества Ф7, замкнутое по свой-
ству подформульностп. Мы определяем отношение эквива-
лентности-'-' в U посредством условия: х~у тогда п только
тогда, когда для всякой формулы А £ Ч’ А либо истинна в П и
на х, и на у, либо ложна и на х, и на у. Мы пишем [х]
для обозначения класса эквивалентности х nt/' для
обозначения множества классов эквивалентности. Пред-
положим, что R' является семейством бинарных отноше-
ний R\ на U', таким, что для всякого zg/,
182
(i) xR;y, если только [x]/?( [z/]; и
(ii) [x]/?;[z/], если и только если 0 п Щ А ис-
тинна на х в П, если А истинна на у. Кроме того, пред-
положим, что V' есть такая функция, что [х] £ V' (п),
если и только если х (п) для всякого x£U и для
всякого п, такого, что Р,г£Чг. Тогда IV = <!/',/?', Г'>
называется фильтрацией Ц по Можно показать, что
для всякой формулы А^Т и всякого х g U А истинна
на х в 11 тогда и только тогда, когда А истинна на [х]
в U'; таким образом, П и IV эквивалентны по модулю Т.
Мы будем ссылаться на этот факт как на теорему фильт-
рации. Важно заметить, что U' конечно, если конечно Чг.
Предположим, что 11 = <17, R, V> и IV = <V', R’, К'>
являются J-моделями. Функция /:£/-> 17' называется
Р-морфизмом из Ц в Ц', если (i) / есть „отображение на“,
(ii) для всякого i g J xR,y, только если fxR'tfy, и (iii) для
всякого i£J fxR'ify, только если существует г, такой,
что fz = fy и xRtz. Мы говорим, что f устойчива (reli-
able) на формуле А, если для всякого х £ U А истинна
на х в П, если и только если А истинна на fx в IV.
Можно показать, что если f устойчива на пропозицио-
нальных буквах, встречающихся в А, то она устойчива
и на А. На этот факт мы будем ссылаться как на тео-
рему Р-морфизма. Мы замечаем, что если [ устойчива на
пропозициональных буквах А, то А истинна в U, если и
только если А истинна в IV. Следовательно, если f ус-
тойчива на каждой пропозициональной букве, то П и U5
эквивалентны.
Предположим далее, что 11 = <17,/?, V> является J-
моделью, / С J —фиксированным индексом и /?у-—тран-
зитивным отношением. Мы называем не-пустое подмно-
жество С множества U /?7-скопленнем в Ц, если ограни-
чение Rj- до С представляет отношение эквивалентности
и не существует расширения С, для которого это истинно.
Скопление является собственным, если оно содержит по
крайней мере два члена. Идея, лежащая в основе вве-
дения этого понятия, обнаруживается благодаря следую-
щему наблюдению. Предположим, что Rj связно в том
смысле, что для всяких х, у из его области если х=£у,
го xRj-y или yRjX. Тогда Rj будет линейным, если и
только если оно рефлексивно и не существует собственных
Ry-скоплений; и Rj является строго линейным, если и
только если вообще не существует Ру-скоплений.
183
Теперь мы опишем построение, которое будет иметь
большое значение для дальнейшего изложения. 11 и /
остаются такими же, как и прежде, за исключением того,
что теперь мы считаем транзитивным. По причинам,
которые станут ясны в последующих параграфах, мы
принимаем, что каждое /?7-скопление С погружено в неко-
торое множество С+ таким образом, что если С и D — раз-
личные скопления, то С+ и D+ не имеют общих элемен-
тов. Для каждого С+ мы определяем произвольное упоря-
дочивание такое, что Rf является линейным, если
R, рефлексивно, и строго линейным, если оно не рефлек-
сивно. Пустьа = </1, <> будет любым порядковым типом
без последнего элемента. Для каждого С определяем
С* = {<с, п>:с£С+ иа£/1). Не теряя общности, мы можем
принять, что пересечение U и U{C*:C является ^-груп-
пой} пусто. Пусть U* обозначает объединение U— и {С:С
есть ^/-скопление} и (J {С* :С есть fy-скопление}. В каж-
дом скоплении С мы произвольно выбираем элемент и
обозначаем его посредством у (С). Тогда следующее опре-
деляет функцию f: U:
'I, если (7
с, если £ = <<?,«> и c£U
у (С), если £ = <с, а>, с (£17 и С
ление, что cgC+.
есть такое скоп-
Мы определяем, что отношение ^R*r\ имеет место между
элементами т] С U*, если и только если (i) Sgt/ или
п f^Rjfr\ или (ii) £ = <с, п>, r] = <d, by и либо су-
ществуют различные скопления С и D, такие, что cgC+
и d^D+, а у (С) RjY (D), либо существует скопление С,
такое, что с, d gC+ и a < b, либо существует скопление С,
такое, что с, d£C+, a = b и cR+d. Кроме того, для вся-
кого такого, что i=^j, мы определяем, что
если и только если f^Rtfг]. И наконец, V* мы определяем
посредством того условия, что £gK*(n), если и только
если Тогда Ц* = <17*, R*, К*> является /-мо-
делью. Легко видеть, что [ есть Р-морфизм из 11* в 11,
который устойчив на каждой формуле. Другими словами,
11 и 11* эквивалентны. Ввиду отсутствия лучшего наиме-
нования мы будем называть этот результат теоремой
сглаживания (Bulldozer Theorem). Этим же наименованием
мы охватываем также тот факт, что если для некоторого
184
k£J, отличного от j, такого, что Rk = мы заменяем опре-
деление Rk на R*k = R*, то вся аргументация сохраняется,
если изменение в конструкции <> состоит в тре-
бовании устранить как первый, так и последний элементы.
Повторяя то, что было сказано выше, следует отме-
тить, что значение теоремы сглаживания выражается в
том, что поскольку U и U* верифицируют одни и те же
формулы, то R] является линейным, если R,- рефлексивно,
и оно будет строго линейным, если Rj не-рефлексивпо.
Это тот стержень, к которому крепится основное содер-
жание данной статьи.
§ 1. Мономодальняя логика
На всем протяжении этого параграфа множество ин-
дексов J будет множеством J = {0}. Таким образом, един-
ственным исходным модальным оператором является [о],
который для простоты мы будем записывать как Также
для простоты вместо “J-структура" и „J-модель" мы будем
писать „структура" и “модель". Семейство R в структуре
<(J, Ry будет отождествляться со своим единственным
членом Ro, другими словами, R является отношением
альтернативности из <67, Ry. В связи с транзитивной
структурой <67, Ry мы иногда будем использовать не
всегда строго обоснованную, но более содержательную
терминологию. Например, если xRy и неверно, что yRx,
мы можем сказать, что х предшествует у или что х рань-
ше, чем у, а также что у следует за х или что у позже х.
Если у следует за х и ему не предшествует никакой
последователь х, то мы говорим, что у является непо-
средственно следующим за х, тогда х и у, а также у и х
являются смежными. Некоторый элемент х следует после
множества С элементов, если х следует после каждого
элемента множества С. Множество D следует после мно-
жества С, если каждый элемент D следует после С. Два
множества будут смежными, если одно из них следует
после другого и элемент, следующий за одним из них,
не является предшественником другого. Последнее скоп-
ление—то, за которым не следует ни один элемент. И так
далее.
Логики, обсуждаемые в этом параграфе, определимы
в терминах акспомных схем, получаемых из следующего
185
набора:
D. ОТ.
Т. ПА—>А.
В. фЕ)А—*А.
4. ПА->ППА.
А. □□А->ПА.
L. □(АЛПА->В)УП(ВлаВ —А).
Z. □(□А->А)->(ОСА->ПА).
W. □ (□А—»-А)—► ПА.
Dum. □(□(A -> DA) A) -> (фцА -> А).
Grz. □(□(А->ПА)->А)- > А.
Напомним, что K4.3=K4L, S4.3 — KT4L и S5 = KT4B.
Доказательства полноты хенкиновского типа для мо-
дальных логик — впервые предложенные Макинсоном и
Скоттом—опираются на тот факт, что свойства канони-
ческой модели для некоторой логики зависят от самой
этой логики. Таким образом, хорошо известно, что если
L есть нормальное расширение KD (КТ, К4, КА, KL),
то является сериальной (serial) в том смысле, что
4x3yxRy (рефлексивность, транзитивность, псевдоплот-
ность в том смысле, что VxVz/Elz (х/?г/ => х7?г/?у), частично
упорядоченной в том смысле, что VxVz/Vz(xJ?y и xRz^>
=> yRz, или у = г, или zRy). Если это дано, то теоремы
полноты для этих логик и логик, определимых в их тер-
минах, следуют непосредственно.
Когда мы приступаем к рассмотрению полноты тех
логик, которые определяются более сложными схемами
нашего списка, то оказывается труднее оценить влияние
этих схем на канонические модели. Однако мы достаточно
хорошо сумеем обнаружить эти влияния—по крайней
мере для целей временной логики,— пропуская канони-
ческие модели через фильтры.
Пусть 11 = <U, R, К> будет моделью, а V—множеством
формул, замкнутых по свойству подформульности. Пред-
положим, что 11' = < U', R’, V"> есть фильтрация П че-
рез Ч*1, такая, что [%]/?'[«/], если и только если □A£4f
и ЦА истинна на х, то и QA, и А истинны на у. Тогда
мы говорим, что 11' является леммоновсксй фильтрацией
11 через Т. Легко показать, что леммоновская фильтрация
существует в том случае, если 11 транзитивна.
18g
Теперь мы сформулируем результат, который служит ис-
ходным пунктом исследования в этом параграфе. Предпо-
ложим, что L является нормальным расширением К4.3.
Пусть V будет конечным множеством формул, замкнутых
по свойству подформульности. Пусть ЭЛ будет как угодно
порожденной подмоделью канонической модели ЙЛ£, и
пусть ЭЛ' будет леммоновской фильтрацией ЭЛ посредст-
вом Т. Тогда, как легко видеть, ЭЛ' является конечной,
транзитивной и упорядоченной (в том смысле, что
YcVi](£=^ или где R' есть отношение
альтернативности из ЭЛ'). Это—наш исходный пункт, и
он важен по следующей причине. Предположим, что Ао
есть некоторая формула, не выводимая в L. Тогда, со-
гласно фундаментальной теореме, Ао проваливается в ЭЛ/,
скажем, на t. Согласно теореме порождения, Ао провали-
вается на t также в подмодели ЭЛ, порожденной из ЭЛ£
посредством t. Пусть Т будет множеством подформул фор-
мулы А„ п пусть ЭЛ' будет леммоновской фильтрацией ЭЛ
через Т. Тогда, согласно теореме фильтрации, Ао провалива-
ется на [/] в ЭЛ' благодаря тому, что ЭЛ' конечна, транзитив-
на и упорядочена. С другой стороны, легко показать, что
каждая теорема К4.3 истинна в каждой модели этого
вида. Следовательно, К4.3 детерминируется классом ко-
нечных, транзитивных и упорядоченных структур. Этот
результат еще не объясняет, почему К4.3 представляет
интерес для временной логики. Однако, согласно теореме
сглаживания, каждая модель данного вида может быть
преобразована в эквивалентную модель, являющуюся
строго линейной (посредством погружения каждого скоп-
ления в самое себя и использования порядкового типа <о
множества натуральных чисел для каждого а). Таким
образом, К4.3 детерминируется классом всех строго линей-
ных порядков. В действительности мы можем сказать
даже больше: К4.3 детерминируется классом строго ли-
нейных порядков %, таким, что для некоторых натураль-
ных чисел п и р, не каждое из которых равно нулю,
порядковый тип {у есть <о•« + /?. Таким образом, К4.3
детерминируется также классом строгих полных поряд-
ков.
Если L, Т, ЭЛ, ЭЛ' таковы, как прежде, то можно пока-
зать следующее.
Лемма 1.1. ЭЛ' сериальна (рефлексивна, псевдоплот-
на), если KD^L(KT KAsL). Другими словами,
187.
если KD s L, то 9)1' содержит последнее скопление. Если
КТ s L, то каждый элемент 9) Г содержится в некото
ром скоплении. Если KA-=L, то 9)Г не содержит смеж-
ных up рефлексивных элементов.
Мы приводим доказательство только последнего слу-
чая. Предположим, что КА s L. Тогда 931/, будет псевдо-
плотной, п, следовательно, такой же является 9)1. Пусть
£ п т] будут смежными элементами в 9)?', такими, что
Возьмем какие-либо и z/£ip 9)1 упорядочено,
поэтому xRy, или х — у, или yRx. Из последнего случая
следовало бы, что и этот случай должен быть
исключен; поэтому xRy. Благодаря псевдоплотности 9)1
существует г, такой, чго xRzRy. Поэтому , и,
следовательно, £ и т] не могут быть оба иррефлекспвными.
Из этой леммы следует, что K4.3D детерминируется
классом строго линейных порядков типа то-n, где п^1.
K4.3D детерминируется также классом всех бесконечных
строго линейных порядков и классом всех бесконечных
строгих полных порядков. Приведем еще один результат.
Теорема 1.2. K4.3D детерминируется посредством
<(02, <>.
Для S4.3 также следуют различные результаты о пол-
ноте. Таким образом, S4.3 детерминируется классом всех
бет конечных, упорядоченных, рефлексивных, транзитив-
ных структур, классом всех линейных порядков, классом
всех полных порядков, классом всех бесконечных полных
порядков, а также <ы2, ^5>. Существуют также более
строгие результаты. Лемма 1.1 показывает, что, строго
говоря, S4.3 детерминируется классом структур, состоя-
щих из конечной цепи конечных скоплений. Возьмем
любую из этих структур; предположим, что она содержит
т скоплений. Возьмем какую-либо модель на ней и при-
меним теорему сглаживания, погружая каждое скопление
в различные образы множества рациональных чисел и
используя «о для каждого а. Получающаяся в результате
этого линейная модель имеет порядковый тип (т]-со) т = ip
Поскольку эта модель эквивалентна первой модели, мы
получаем новую теорему полноты.
Теорема 1.3. S4.3 детерминируется посредством
<Rat, ^>.
Вместо погружения первоначального скопления в образ
интервала реальных чисел (0,1) и каждого не-начального
188
скопления — в образ интервала реальных чисел [0,1) можно
было бы сделать все образы различными. Получившаяся
в результате этого линейная модель имела бы порядко-
вый тип X + (1 4- М • (т—1) = Л.
Теорема 1.4. S4.3 детерминируется посредством
<Re, ^>.
Последняя часть леммы 1.1 может быть использована
для обоснования аналогичных теорем для K4.3AD. Здесь
имеется дополнительное препятствие, а именно: нужно
доказать, что если формула проваливается в строго ли-
нейно упорядоченной модели, областью которой является
интервал рациональных (действительных) чисел [г,-|-оо) для
некоторого г, то она также проваливается и в интервале
рациональных (действительных) чисел (—оо, -|-оо). Однако
эта трудность сразу же разрешается благодаря теореме
порождения.
Теорема 1.5. K4.3AD детерминируется посредством
<Rat, <>, а также посредством <Re, <>.
Теперь мы обратимся к несколько более трудному
случаю дискретных линейных порядков.
Пусть L, Ф, ЭЛ, ЭЛ' будут такими же, как и прежде.
Лемма 1.6. Если К4.3 Zg= L, то для каждого не-фи-
нального скопления С из ЭЛ' существует некоторый R-
финальный элемент в {х:[х]£С}, являющийся иррефлек-
сивным.
Доказательство. Предположим, что С является
не-финальным скоплением ЭЛ' и что £ непосредственно
следует за С. Из того, что ЭЛ' есть леммоновская фильт-
рация, следует, что существует некоторая формула А,
такая, что □ А^Ф’ и ДА истинна на £, но повсюду лож-
на в С. Если исключить тот случай, когда {х:[х]£С}
состоит только из одного пррефлексивного элемента и
поэтому доказывать ничего не нужно, то существуют эле-
менты х, х', такие, что [х], [х']£С и xRx'. Согласно
теореме фильтрации, QA проваливается на х' в ЭЛ, по-
этому ПДА проваливается на х. Если г есть какой-либо
элемент £, такой, что г££, то из теоремы фильтрации
^следует, что ЦА истинно на г. Легко видеть, что xRz,
[поэтому ОПА истинно на х. Теперь каждый подстано-
вочный пример новой схемы Z истинен на х. Отсюда мы
^заключаем о существовании некоторого элемента и, та-
; 189
кого, что xRu, и такого, что ППА справедливо на и,
когда ПА проваливается. Очевидно, что и является
иррефлексивным и, согласно теореме фильтрации, [и] С С.
Если для некоторого t мы имеем uRt, то ПА справед-
лива на t, поэтому [/](£С. Доказательство закончено.
Теперь предположим, что L является нормальным рас-
ширением K4.3Z, и пусть Т, ЭЛ и ЭЛ' соответственно
изменены. Если ЭЛ' содержит не-финальные скопления,
то пусть С будет одним из них. Пусть R° будет произ-
вольным строгим линейным упорядочиванием элементов С,
таким, что [п] будет /^“-финальным в С (и есть элемент,
существование которого гарантируется леммой). Мы опре-
деляем, что имеет место между элементами Ё и л
в ЭЛ', если и только если либо £фС, либо i]rfC, и£/?'т),
либо £т| С С м Пусть ЭЛ* = <U', R*, У>. Индукцией
можно доказать утверждение о том, что для всякого А С Т
и всякого £Ct/'A истинна на Ё в ЭЛ*, если и только
если А истинна на £ в ЭЛ'. Единственным подслучаем
индукционного шага, который осуществляется не автома-
тически, является тот, когда А = ПВ предполагается лож-
ным в ЭЛ' на некотором В С С, причем сформулированное
утверждение считается справедливым для В. Отсюда сле-
дует, что QB ложна в 9JJ' на [и] и что поэтому, согласно
теореме фильтрации, QB ложна на и в 9)?. Таким обра-
зом, существует некоторый элемент, такой, что uRv и В
ложна на v. Поскольку и иррефлексивно и /^-финально
в |х:[х]СС), постольку мы заключаем, что [п] позже,
чем С. Теорема фильтрации обусловливает ложность В
на [и] в ЭЛ', поэтому, согласно индуктивному предполо-
жению, В ложна на [п] в ЭЛ*. Из определения R* сле-
дует, что £/?*[х], поэтому ПВ проваливается на £ в ЭЛ*,
что и нужно было показать.
Следовательно, ЭЛ' и ЭЛ* верифицируют одни и те же
формулы Чг, но, когда они являются конечными, упоря-
доченными и транзитивными, ЭЛ* содержит на одно не-
финальное скопление меньше, чем ЭЛ'. Этого (и теоремы
сглаживания для распределения конечных групп) вполне
достаточно для обоснования той части следующей теоремы,
которая относится к полноте,— часть, относящаяся к не-
противоречивости, тривиальна.
Теорема 1.7. К4.3DZ детерминируется посредством
<N, <>, а также <Z, <>.
190
Теперь легко установить соответствующий результат
для K4.3IF. Поскольку IF представляет собой более стро-
гую схему, чем Z, достаточно уточнить, что делать, если
9JT содержит финальное скопление. Справедливо, что если
С является финальным скоплением в 9J?', то /?® может
быть любым строго линейным упорядочением С; если R*
и 9)1* определяются так, как они определялись раньше,
то прежнее утверждение истинно. (Оказывается, что вслед-
ствие возрастающей численности W в индуктивном дока-
зательстве не может возникнуть обсуждаемая ситуация,
если С есть некоторое финальное скопление.)
Теорема 1.8. К4.3 W детерминируется классом ко-
нечных строго линейных порядков, а также (N, >>.
Переходим к последней паре схем из нашего списка.
Пусть L будет нормальной логикой, по крайней мере
столь же сильной, как К4.3, и пусть VF, 9Л, 9R' изменены
соответствующим образом. Если С есть некоторое скопление
в 9)1', то мы будем говорить, что элемент £ б С является вирту-
ально последним в С, если и только если существует
некоторый z6£, такой, что для всякого и если zRu и
[zz] С С, то [tzj = £. Это понятие интересно, конечно, только
в том случае, когда С собственное.
Лемма 1.9. Предположим, что /(4.3Dum s L. Тогда
каждое не-финальное собственное скопление в 9Л' содержит
виртуально последний элемент.
Доказательство. Предположим, что С является
не-финальным собственным скоплением в 9)1', таким, что
в нем отсутствует виртуально последний элемент. Тогда
для каждого t (С п каждого z £ £ существует некоторое и,
такое, что zRu, [и] б С и [zz] £. Поскольку 9)1' конечна,
это означает, что в С должны существовать различные р
и v, такие, что
УхЭ#([х] е С => у € р и xRy)\
Vx3z/([x] б С => у £ v и xRy).
Поскольку р #= V, существует некоторая формула А £ 4f,
такая, что А истинна в 9Л' на р, но не на v. Пусть (1
будет непосредственно следовать за С. Поскольку 9)1'
представляет леммоновскую фильтрацию, существует неко-
торое В, такое, что □ B6'F и ЦВ истинно в 9)Г на D,
но не на р. Пусть C = AVE)B. ААы выписываем следую-
191
Щие факты, являющиеся следствиями теоремы фильтрации:
(2) если х Ср, то С истинно на х;
(3) если х С V, то С ложно на х\
(4) если [х] следует за С, то С истинно на х;
(5) если х С v, то ОСС истинно на х.
Фиксируем некоторое u£v. Из (3), (5) и того факта, что
каждый подстановочный пример схемы Dum справедлив
на и, следует, что для некоторого v, такого, что uRv,
имеет место
(6) □(С—* ПС) истинно на v;
(7) С ложно на v.
При наличии (4) и (7) [о] не может следовать за С: сле-
довательно, [о]СС. Но тогда, согласно (1), существует не-
которое И, такое, что vRw. Согласно (2) и (6), получаем
(8) ОС истинно на w.
Согласно (1), существует некоторое t£v, такое, что wRt.
Благодаря (8) С истинно на t. Однако это противоречит
(3). Доказательство закончено.
С помощью рассуждения, аналогичного тому, которое
привело нас к теореме 1.7, мы можем теперь доказать:
Теорема 1.10. S4.3Dum детерминируется посред-
ством <Л'^>, а также посредством (Z, ^=>.
Доказательство этой теоремы мы опускаем, так же как
и доказательство следующей, связанной с предыдущей,
теоремы.
Теорема 1.11. S4.3 Grz детерминируется классом
всех конечных линейных порядков.
Другим путем выражения содержания последней тео-
ремы было бы утверждение о том, что S4.3Grz детерми-
нируется посредством <7V, =s> и классом всех неупоря-
доченных структур.
В сфере мономодальной логики у нас остается еше
только вопрос о круговом времени. Этот вопрос может
быть поставлен точно относительно логик, детерминиро-
ванных классом всех моделей <Z, ,V> (соответственно
классом всех моделей <2, <, V>), таким, что для некоторого
положительного числа р, для каждого п, VxVz/ (х, у £ V (и)>
z$>x==y(mod р)).
Интересно, что ответ на этот вопрос не зависит <>i
того, требуется ли от отношения альтернативности быть
192
рефлексивным или иррефлексивным или не требуется,—
в любом случае ответом будет S5. Существует простое
доказательство, использующее фильтрации и теорему
сглаживания.
Можно добавить, что, как показывают наши аргументы,
каждая логика, изложенная в этом параграфе, обладает
свойством фи нити ости моделей.
§ 2. Бимодальная логика
В данном параграфе множество индексов / будет мно-
жеством 2 = {0, 1}, что означает наличие двух исходных
модальных операторов [6] и [Т]. Интуитивно мы будем
понимать [б~] как оператор прошлого, а Щ—как опера-
тор будущего. (Наша символика связана с символикой
Прайора следующим образом: [о] — И, [T]==G,
ф—F.) Мы принимаем обычные сокращения: ПА вместо
АД[61АЛГГ]А и <>А вместо Ау/<@>А\/фА. Под струк-
турами и моделями мы понимаем биструктуры и бимоде-
ли, которые мы записываем как <(/, Ro, Rty и <С/, Ro,
Rlt l/>. Ради простоты мы обычно пишем L (как в „left”)
вместо Ro и R (как в „right”) вместо Rv Особый инте-
рес для временной логики представляют те структуры,
в которых L и R являются конверсными по отношению
друг к другу. Эти структуры мы предлагаем называть
структурами Прайора. В контексте транзитивных структур
Прайора мы будем использовать содержательную терми-
нологию такого же рода, как и в предыдущем параграфе.
Например, можно говорить, что у позже, чем х, если xRy,
и неверно xLy, что х является первым в множестве С,
если х есть R-первый в С, и т. д.
Из того, что было сказано в § 0, следует, что /<2—•
наименьшая нормальная бимодальная логика—детерми-
нируется классом всех структур. Используя обычную
процедуру анализа канонических моделей, легко найти
результаты полноты для большого числа других нормаль-
ных логик. Мы приводим список избранных схем, соеди-
ненных с соответствующими условиями. Таким образом,
если все подстановочные примеры одной из таких схем
являются теоремами определенной нормальной логики, то
каноническая модель для этой логики обладает соответ-
ствующим свойством.
1 & *212
193
Со. ФША — A. Rs А.
С,- ф[о]- А A. As R.
D(l. <§>Т. L сериально.
£),. фТ. R сериально.
То. [р]А —* A. L рефлексивно.
Tv ЩА-+А. R рефлексивно.
Yo. [р]А —»- Г61Г61А. L транзитивно.
У1. [Т]А —> ШША. R транзитивно.
А„. И0]А-[0]А. А псевдоплотно.
At. ШША-ША- R псевдоплотно.
Lo. Г~|А —>• [о][~П A. VxV/yVz (xRyLz к — z или xRz
или xLz).
Lj. □А~*|Т][о]А. YxYy^z{xLyRz^> х = г или xRz
или xLz).
Мы будем называть логики как можно проще. Примем
соглашение о том, что если So и S| являются дуальными
схемами, a L — нормальной логикой, то мы пишем LS вме-
сто LS0St для обозначения наименьшего нормального
расширения L, которое содержит все подстановочные
примеры Sc и S,. (Буква L выполняет у нас большую
работу: в качестве параметра, относящегося к нормальным
модальным логикам, в качестве сокращения для «А0А1»,
в качестве параметра отношений в структурах. Надеемся,
что это не вызовет недоразумений.)
Вышеприведенные результаты можно расширить. №С
детерминируется классом всех прайоровских структур,
а №С4 —известная как минимальная временная логика R,
Леммона — классом всех транзитивных структур Прайора.
Используя теорему порождения, мы могли бы легко
доказать, что Lin = №С4А детерминируется классом всех
связных транзитивных прайоровских структур и что
Lin Т детерминируется классом всех связных, рефлексив-
ных, транзитивных прайоровских структур. Последние
две системы мы рассматриваем как базисные нормальны*
временные логики бимодальной категории, так как, ис-
пользуя теорему сглаживания, можно доказать, что Lir
детерминируется классом всех строго линейно упорядо
ченных прайоровских структур, a Lin Т — классами всех
линейно упорядоченных прайоровских структур.
194
Для уяснения этого пункта обратимся к теории фильт-
рации. Прайоровские фильтрации в бимодальных кон-
текстах будут играть ту же самую роль, которую
леммоновская фильтрация играет в мономодалыюм кон-
тексте. Прайоровскую фильтрацию мы определяем сле-
дующим образом. Пусть 11 = <L7, L, R, V> будет моделью
и 1Г = <{/' £', R' V'y—фильтрацией Ц посредством некото-
рого множества У 1|юрмул, которое замкнуто относительно
подформул. Тогда U' будет прайоровской фильтрацией,
если и только если для всяких х, у g U [х] R' [//], если и
только если [у] L' [х]; и если для всякой формулы А,
если [о] А б и ["б] А истинна в П на х, то А и [о] А
истинны на у, и если Щ А £ Т и Щ А истинна в U на у,
то А и Ц] А истинны на х. Прайоровская фильтрация
существует, если U является транзитивной прайоровской
моделью. Заметим, что прайоровские фильтрации являются
транзитивными прайоровскими моделями. Так как упоря-
доченность и рефлексивность наследуются всеми фильтра-
циями, мы заключаем, что Lin детерминируется классом
всех конечных упорядоченных транзитивных прайоровских
структур, a Lin Т — классом всех конечных упорядоченных
рефлексивных транзитивных прайоровских структур. Эти
результаты образуют исходный пункт нашего исследования
в настоящем параграфе. Другим способом выражения та-
ких результатов может быть следующий. В транзитивной
прайоровской структуре L-скопление является ft-скопле-
нпем, и наоборот; поэтому мы можем говорить о скопле-
ниях, опуская префикс. Не-теорема Lin проваливается в
некоторой конечной упорядоченной транзитивной прайоров-
ской структуре, которая может содержать скопления, а
может и не содержать их, в то время как не-теорема
Lin Т проваливается в некоторой линейно упорядоченной
прайоровской модели, содержащей конечное множество
конечных скоплений.
Используя теорему сглаживания, мы можем теперь
вывести два интересных результата полноты. Поскольку
доказательства просты и совершенно аналогичны соответ-
ствующим доказательствам § 1, мы их опускаем.
Теорема 2.1. LinT детерминируется посредством
(.Rat, '5, 5=>, a LinD/1 — посредством (Rat, >, <>.
Опущенное доказательство второй части этой теоремы
опирается на тот факт, что фильтрации (подмоделей)
7*
195
канонических моделей для нормальных расширений
Lin DA не содержат смежных иррефлексивных элементов.
Если бы мы могли найти некоторое расширение, такое,
что фильтрации не содержали бы также смежных скопле-
ний, мы могли бы решить проблему полноты для строго
непрерывного времени. Предположим, например, что
Х1== <L7, L, R, V> является конечной связной транзитивной
прайоровской моделью с начальным и финальным скопле-
ниями, не содержащей ни смежных иррефлексивных эле-
ментов, ни смежных скоплений. Погружаем каждое
скопление в различные отображения реального интервала
(О, 1] и применяем теорему сглаживания с £ для каж-
дого а. Предполагая, что сумма скоплений и иррефлек-
сивных элементов в 11 равна т (обязательно нечетное!),
заключаем, что образовавшаяся эквивалентная строго
линейно упорядоченная модель обладает типом т = т1ф-.-.
... 4-тст, где т,- есть (Хф-!)•£ = X, если i нечетное, и т,-
есть 1, если i четное. Следовательно, т = Х.
Двумя схемами, которые могут быть использованы
для этой цели, являются следующие:
80-(ф А<->[р]А) —* (О А —»-□ А);
S, • (<§> А <-> Ш А) — (О А -> □ А).
Эти схемы не только дуальны, но и эквивалентны. Легко
проверить, что они значимы в (Re, >, <>.
Хотя и можно доказать, что каноническая модель
для Lin и DAS не содержит смежных скоплений, но, ка-
жется, не существует способа устранить возможность
того, что такие группы существуют в фильтрации этой
модели или ее подмоделей. Однако можно показать, что
эти фильтрации обладают некоторой разновидностью деде-
киндовой полноты, которой будет достаточно для целей
доказательства полноты Lin DAS.
Предположения для всех лемм этого па-
раграфа. L является нормальным расширением Lin.
Т есть конечное множество формул, замкнутое по свой-
ству подформульности. 2)1 = <(/, L, R, У>— порожденная
подмодель канонической модели для L, ЭЛ' = <{/', L', R',V>
есть прайоровская фильтрация ЭЛ через Т.
Лемма 2.2. Предположим, что LinDASsL и что
С и D являются смежными скоплениями в ЭЛ', причем С
непосредственно предшествует D. Тогда существует ир-
196
рефлексивный элемент, который является либо последним
в (х: [х]£С|, либо первым в (х: [x]CD).
Доказательство. Возьмем любые g£C и n^D-,
тогда и неверно, что Поскольку неверно, что
то существует некоторое А, такое, что либо
(OtQjA^T и ® А истинна в 3JT на но А и [о] А не
являются истинными на г), либо (ii)[Г] А £ Т иЩА истинна
в 9)Г на 1), но А и [ДА пе будут вместе истинны па
Эти два случая аналогичны, и мы рассмотрим только
один из них, скажем (i).
Если [о]А истинна на т], то на г] истинна и А, так
как R' универсально на D, следовательно, [о] А ложна
на т]. Так как С и D смежны и [о] А истинна повсюду
в С, существует некоторый элемент в D, на котором А
проваливается. Не теряя общности, мы можем принять,
что таким элементом будет т].
Пусть х££ и ygiy, очевидно, xRy. Согласно теореме
фильтрации, [о] А истинна на х в 9)1 и [о] А и А обе
ложны на у. Следовательно, О [о] А истинна на х, в то
время как □ [о] А не истинна. Таким образом, согласно
So, □ (ф □ А ^[о]® А) проваливается на х. Имеются
два случая, которые нужно рассмотреть.
Случай (а). Для некоторого г, такого, что x = z, или
xLz, или xRz, ф[о]А истинна на г и [о][о]А ложна.
Из этого следует, что существует некоторый элемент и,
такой, что zRu и [о] А справедливо на и, а также что
существует некоторый элемент v, такой, что xLv и ЩА
проваливается на v. Поскольку 9)1 является транзитивной
Прайоровской моделью, это абсурдно. Поэтому такой
случай не может возникнуть.
Случай (Ь). Для некоторого г, такого, что х — г, или
xLz, или xRz, ф Гб] А ложна на г и [о] Гб] А истинна на г.
Очевидно, что г иррефлексивен. Кроме того, xLz невоз-
можно, поэтому х — г или xRz. Аналогично, yRz невоз-
можно, поэтому у —г или yLz. Так как С и D смежны,
•то означает, что [г] С С или [z]£D. Если [г] С С и zRu
для некоторого и, то тот факт, что ф [о] А ложна на г,
влечет, что [о] А ложна на и. Согласно теореме фильтра-
ции, 0А проваливается на [w], поэтому [н](£С. С другой
стороны, если [z] С D и zLv для некоторого v, то анало-
гичное рассуждение показывает, что [v] (f D.
На этом доказательство леммы заканчивается.
197
Пусть L, ¥, ЭЛ и ЭЛ' будут такими же, как в лемме 2.2.
Новую модель ЭЛ* = (U*, L*, R*, У*> мы определяем сле-
дующим образом. Элементами U* являются элементы U'
плюс — для каждой пары смежных скоплений в ЭЛ'— ир-
рефлексивный элемент, выделяемый предшествующей
леммой. Функцию V мы определяем следующим
равенством:
| ц, если р. £ U',
1 [р]< если Р^П'.
Очевидно, что f является „отображением на“. Мы уста-
навливаем, что р R*v, если и только если v£*p, если и
только если fpR'fv и (р=#=/р и v = fv => 3z (г g v и р/?г)),
V* определена для всякого п посредством V* (и) =
— {р:/р С V' («)} Нетрудно доказать, что для всякого
р g U* и для всякого А £ У А истинно на р в 9)1*, если
и только если А истинна на /р в ЭЛ'. Другими словами,
ЭЛ' и ЭЛ* эквивалентны по модулю У. В то же самое
время ЭЛ* относится к тому же виду моделей, который
был рассмотрен на с. 193: является конечной связной
транзитивной прайоровской моделью с первым и финаль-
ным скоплениями, не имеющей смежных элементов и
смежных скоплений. Отсюда мы заключаем:
Теорема 2.3. Lin DAS детерминируется посредст-
вом (Re, >, <>.
Теперь мы обращаемся к непрерывному линейном}
времени. Сначала следует определить проблему. Пусть
дана конечная связная рефлексивная транзитивная мо
дель, не содержащая двух смежных собственных скопле
ний. Применяем к этой модели теорему сглаживания,
погружая каждое собственное скопление в различные
образы реального интервала (0,1] и каждое не-собственно<
скопление—в различные образы одного из реальны.',
интервалов (0,1), (0,1], [0,1), [0,1] в зависимости от ег<
окружения. Читатель может проверить, что погружения
для не-собственных скоплений можно выбрать такщ
образом, что структура модели, получившейся в резуль
тате сглаживания, будет изоморфна (Re, Sj, 5=>.
Опираясь на эту основу, рассмотрим следующую схему
к. о Ад 01 АЛ □ ([о] A vm 1Ао ([о] АД
Д(В —> Щ (А —>• В))ДП в -> Ш (А - В)))v
VO(ffl-|AA(C->[o](-lA-.C))V(-|C->[o](-]A->-]C)))
Мы замечаем, что К эквивалентна своему собственному
дуалу и что каждый подстановочный пример К значим
в (Re, :£>.
Введем следующую терминологию: ЭЛ и ЭЛ' предпола-
гаются такими же, как и прежде. Если С является скоп-
лением в ЭЛ' и £ £ С, то £ называется виртуально финальным
в С, если существует некоторый х Е £, такой, что для
всякого и, если zRu и [i/]gC, то £ = [ц|. Аналогично,
С называется виртуально первым в С, если ££С и суще-
ствует некоторый г £ £, такой, что для всякого и, если
uRz и [п]£С, то £ = [п]. Тривиально, что не-собствен-
ные скопления всегда имеют виртуально первый и вир-
туально финальный элемент.
Л е м м а 2.4. Предположим, что L = Lin ТК и С и D
являются смежными скоплениями в ЭЛ', такими, что С
непосредственно предшествует D. Тогда либо С содержит
виртуально финальный элемент, либо D содержит вир-
туально первый.
Доказательство. В противоположность тому, что
утверждает лемма, предположим, что С не имеет вирту-
ально финального элемента, a D не имеет виртуально
первого. Так как С и D конечны, должны существовать
€ С, £, =/= g2 и т]1П2 СП, П. ¥= Пг. такие, что для i = 1, 2
УхЭу ([х] € С => у € £, и xRy)\
УхЗ</ ([х] и yRx).
Поскольку ЭЛ' является фильтрацией ЭЛ через Чг, по-
стольку должны существовать В, С £ Чг, такие, что В
Истинна в ЭЛ' на ио не на S2 и С истинна на ip, но
не на т]2. Из того факта, что С раньше О, мы заклю-
чаем, что или (i) существует некоторая формула [о]Л £ Т,
такая, что [о] А истинна везде в С и ложна везде в D,
Или (ii) существует некоторая формула [Т[ А £ Чг, такая, что
QJ А истинна везде в D и ложна везде в С. Эти случаи
аналогичны, и мы рассмотрим только один из них, ска-
жем (1). Ясно, что О|0]А и О"][0]А повсюду истинны
U ЭЛ, а так как С и D смежны, то также ясно, чго
□ О [О] А ДШ "I [о] А) справедлива повсюду в ЭЛ. Следо-
вательно, мы можем использовать новую аксиомную
схему К (с [о]А вместо А). Существуют два случая,
198
199
согласно тому, какой из двух дизъюнктивных членов
консеквеита К является истинным.
В случае, когда истинен первый дизъюнктивный член,
существует некоторый элемент и, такой, что [о]Го] А ис-
тинна в 901 на и, так же как истинны В—>[о] (Го] А —> В)
и ~| В —* Щ (Го] А —> ~| В). Благодаря рефлексивности L
[0]А истинна на и, следовательно, согласно теореме
фильтрации, [w] должно быть раньше D. Тогда должны
существовать элементы xY С и хг С такие, что uRxt
и tiRx2. Но тогда в зависимости от того, истинна или
ложна В на и в 9Л, либо В истинна на х2, либо В ложна
на Xf Согласно теореме фильтрации, это абсурдно.
Случай, когда истинен другой дизъюнктивный член
консеквеита К, аналогичен рассмотренному.
На этом доказательство леммы 2.4 заканчивается.
Пусть L, 4r, 9)!, 9)1' будут такими же, как в предшест-
вующей лемме. Для каждой пары смежных собственных
скоплений С и D выберем новый объект g(C, D). Пусть
U* будет объединением U' и области функции g. Опреде-
ляем функцию устанавливая, что /р = р в
случае, когда р£(7', и если p = g(C, О), то /р будет
виртуально финальным элементом в С, если таковой су
шествует, и виртуально первым элементом в D в проти-
воположном случае. Благодаря лемме 2.4 f всюду опре-
делена. Ясно, что f является „отображением на“. Мы
определяем, что p/?*v, если и только если vL*p, если и
только если fpR'fv и если И — ё (CD), p^v, a fv—вирту
ально финальный в С, то Д’(Г С, а если v = g(C, D), р у= v и
fv—виртуально первый элемент в D, то /р(£ D. И наконец,
определяем V*(n) = {p:fp£ V'(«)} для всякого и. Все это
представляет собой точное объяснение того, что модель
9)1* = <17*, L*, R*, !'*> получается посредством помещения
между двумя любыми смежными собственными скоплс
ниями в 9J1' нового элемента, который ведет себя подобно
соответствующим виртуально финальному или виртуально
первому элементу. Значение этого построения заключается
в том, что 9)Г и 9)1* эквивалентны по модулю таг
как если А £ Т и р б U*, то А истинна на р в 9Л*, есл,
и только если А истинна на /р в -Di'. Вместе с преды
дущими замечаниями это оправдывает следующее утверж
дение:
Т еорема 2.5. Lin ТК детерминируется посредспия
<Re, S, S>.
200
Теперь мы обратимся к дискретному линейному вре-
мени и рассмотрим следующие аксиомные схемы:
Dum0. [о]([о](А -> 0 А) -> А) -*(<@> [о]А -> А).
Dumr Ш(Ш(А->ША) —А) — (фША — А).
Grz0 [о] ([б] (А [о] А) —> А) —> А.
Grz, Ш (Ш (А — [о] А) —» А) — А.
Результаты для мономодальных прототипов этих схем
нельзя автоматически перенести на бимодальную логику,
так как в мономодальном случае мы имеем дело с лем-
моновскими фильтрациями, в то время как теперь имеем
дело с прайоровскими фильтрациями. Однако бимодаль-
ный вариант леммы 1.9 имеет предполагаемую форму, и,
поскольку доказательство аналогично, мы сформулируем
только результат.
Лемма 2.6. П редположим, что L s Lin Т Dum0
(Lin Т Dum,) и что С является собственным не началь-
ным (не конечным) скоплением в 9Л'. Тогда в С существует
виртуально первый (последний) элемент.
Если в формулировке этой леммы Dum„ (Dum,) заме-
нено на Grz„(Grz,), то слова „не начальный" („не конеч-
ный") можно вычеркнуть.
Из леммы 2.6 и данного замечания различные резуль-
таты полноты могут быть выведены посредством разумного
использования техники сглаживания. К ним относится и
тот факт, что Lin Т Dum0 (Lin Т Dum,) детерминируется
классом всех линейных прайоровских структур, который
не содержит никакой подструктуры типа 1+*со(со+1).
Более важной все-таки представляется:
Теорема 2.7. Lin Т Dum детерминируется посред-
ством <Z, S, ^>.
Будем говорить, что линейная прайоровская струк-
тура <G, L, Ry является вполне упорядоченной, если R
вполне упорядочено, и антп-вполне упорядоченной, если
L вполне упорядочено. Тогда LinTGrZo детермини-
руется классом всех вполне упорядоченных структур, а
LlnTGrZj — классом всех анти-вполне упорядоченных
структур. Здесь существует также более важный резуль-
тат:
Теорема 2.8. LinTGrz детерминируется классом
всех конечно линейно упорядоченных прайоровских струк-
тур.
R01
Без доказательства мы упоминаем о том, что введение
схем
Мо. <@> (<@> А —[о] А);
Мп ф(фА->ША)
позволяет использовать данную технику для обоснования
того, что Lin7DumM0 детерминируется посредством
и Lin Т Dutn Л4,— посредством </V, 'A А>1-
Заметим, что Lin Т Dum М = Lin Т Grz.
В нашем анализе дискретного строго линейного вре-
мени используются следующие схемы:
Zo. ®(®А — А) — [о] А -*[р] А);
Z,. Ш(ШЛ^А)-> (ф[Т]А—* ША);
Wo. 0 (0 АА) —> [о] А;
W,. ш (Ш АА) — ША.
Анализ этих схем аналогичен анализу соответствующих
схем в мономодальной логике, и мы ограничимся форму-
лировкой бимодального аналога леммы 1.6:
Лемма 2.9. Предположим, что L s LinZ0(LinZ,)
и что С является нс начальной (не конечной) группой в ЭЛ'.
Тогда существует первый (последний) элемент в {z:[z]gC},
который будет иррефлексивным.
Отсюда следует, что LinZ0 (LinZJ детерминируется
классом строго линейных прайоровских структур, кото
рый не содержит подструктур типа 1+*со(со-{-1). Lin2
детерминируется классом строго линейных прайоровских
структур, чей порядковый тип является конечным, илг
есть со, или *ю, или £. Аналогично Lin IV7„ (Lin №,) детер
минируется классом строго вполне упорядоченных прайс
ровских структур (строго анти-вполне упорядоченны:
прайоровских структур). Этот результат, может быть
стоит выделить:
Теорема 2.10. Lin W детерминируется классом ко
нечных строго линейных прайоровских структур.
Мы все еще не получили строгих логик, которые имею;
дело с натуральными или целыми числами. Поэтому рас-
смотрим такие формулы:
Ео. O0JL;
Е1- ОШ±-
‘ Ср. [8].
202
Поскольку данная статья оказалась достаточно длинной,
мы опускаем полное описание анализа этих формул.
Можно показать, что Lin ZD,(Lin ZD0£,1) детерми-
нируется посредством <Л', >, <>(<М, >, <». И по-
следнее:
Т е о р е м а 2.11. Lin ZD детерминируется посредством
<Z, >, <>.
Отметим, что LinZ£ = Lin W.
Теперь остается только вопрос о круговом времени.
Ответ заключается в том, что логика, детерминируемая
круговым рефлексивным временем, а также круговым
иррефлексивным временем, есть S52 — /<2Т4В, где В имеет
очевидное значение.
§ 3. Исторические замечания
Логика времени берет свое начало с работы [6] Артура
Прайора. Многие вопросы, с которыми он имеет дело
в этой статье, были впервые поставлены им, и он же
предложил ответы на многие из этих вопросов. Исто-
рически сначала исследовались рефлексивные мономо-
дальные системы; имеется интересное исследование их
развития в работе [7] Прайора. Даммет и Леммон [3] и
Булл [1] являются основными авторами в этой области.
Логика, названная нами S4.3Grz, представляет собой то
же самое, что и система D* Макинсона [5], но у этого
автора неясно, была ли она аксиоматизирована раньше.
Лемма 1.9 и теоремы 1.10 и 1.11 являются специальными
случаями результатов, опубликованных в [9], хотя тео-
рема 1.10 была, конечно, доказана раньше Крипке
Буллом (см. [1]) По некоторым причинам вопросы пол-
ноты для иррефлексивных мономодальных систем не были
исследованы, поэтому наши результаты для К4.3, K4.3AD,
К4.3 и К4.3 могут быть новыми. (Д-р Кит Файн инфор-
мировал автора о том, что м-р Патрик Шиндлер из
Бальол-Колледжа в Оксфорде независимо получил теорему
Полноты для логики, тождественной K4.3DZ.)1
1 (Добавлено в корректуре.) После того как эта статья была
отправлена в печать, автор обнаружил, что система D* Макинсона
отождествляется с S4.3Grz в статье: Schumm G. F. On a modal
lystem of D. Makinson and B. Sobocinski,— „Notre Dame journal of
formal logic", 1969, vol. 10; p. 263 — 265. Кроме того, теперь опубли-
203
В области бимодальной временнбй логики основным
источником является работа Булла [2], которая действи-
тельно содержит все наши результаты, касающиеся ир-
рефлексивности. Работа Габбая [4] посвящена предикатной
временнбй логике, но в качестве побочных продуктов
содержит некоторые пропозициональные логические ре-
зультаты. Рефлексивные бимодальные системы не привле-
кали большого внимания логиков, занимающихся времен-
ными логиками. Прайор [7] приписывает Гэмблину опре-
деление системы, которая, согласно результату в [4],
тождественна Lin7\ Другие наши результаты в этой
области, в частности для LinTTC, по-видимому, являются
новыми.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bull R. A. An algebraic study of Diodorean modal systems.—
„The Journal of Symbolic Logic", vol. 30, 1965, p. 58—64.
2. В u 11 R. A. An algebraic study of tense logics with linear
time.— Ibid., vol. 33, 1968, p. 27—38.
3. Dummet M. A. E. & Lemmon E. J. Modal logics between
S4 and S5.— „Zeitschrift fur mathematische Logik und Grund-
lagen der Mathematik", vol. 5, 1959, p. 250—264.
4. Gabbay D. Model theory for tense logics.— U. S. Air
Force Office of Scientific Research, contract no. F61052-68-C-
0036, report no. 1, April 1969.
5. M a k i n son D. S. There are infinitely many Diodorean modal
functions.— „The Journal of Symbolic Logic", vol. 31, 1966,
p. 406—408.
6. Prior A. N. Time and modality. Oxford, 1957.
7. Prior A. N. Past, present and future. Oxford, 1967.
8. Seger berg K. Decidability of S4.1.— „Theoria", vol. 34,
1968, p. 7—20.
9. Seger berg K. On some extensions of S4.— „The Journal
of Symbolic Logic", vol. 35, 1970, p. 363.
кована работа: Schindler. Tense logic for discrete future time.-
„The journal of symbolic logic" 1970, vol. 35, p. 105—118.
Д. М. Габбай
ОБЩИЙ МЕТОД ФИЛЬТРАЦИИ
ДЛЯ МОДАЛЬНЫХ ЛОГИК*
Метод фильтрации (см. [3]) и его различные модифика-
ции в модальной и временнбй логиках играют двоякую
роль. Во-первых, его можно использовать для доказатель-
ства разрешимости различных систем, а во-вторых, для
установления результатов о полноте (см. [4]).
Кратко метод фильтрации состоит в следующем. При
данной системе (S, R, 0) возможных миров (см. ниже),
которая является моделью предложения ф, мы выбираем
конечное множество предложений 0, связанных с ф, и пере-
ходим от (S, R, 0) к другой модели (S*, R*, 0) предло-
жения ф, которая в зависимости от 0 более или менее
подобна S. Это может быть сделано многими способами.
В простейшем способе 0 полагается множеством всех под-
формул ф и идентифицируются любые два возможных мира,
в которых все элементы 0 принимают одинаковые зна-
чения и xR*y определяется как Va £ 0 (если □ а истинно
в х, то а истинно в у). При другом пути выбирается не-
которое подмножество S. Способ, которым это делается,
зависит от поставленной цели.
Если мы намереваемся применить этот метод для дока-
зательства разрешимости, то хотелось бы, чтобы S* было
конечным множеством и моделью для рассматриваемой
системы аксиом. Это главное из того, что делается в даль-
нейшем. Иногда бывает желательно доказать полноту на
некотором множестве возможных миров, например на мно-
♦Gabbay D. М. A General Filtration Method for Modal
Logics.—„Journal of Philosophical Logic11, 1972, №1, p. 29—34.
205
жестве целых чисел: в этом случае мы выбираем в ка-
честве S* множество целых чисел.
Селективная фильтрация связана с специальным выбо-
ром S*, а именно выбором подмножества S. В настоящей
статье мы имеем дело как раз с этим методом (см. также
мою статью [5]).
Пусть (S, 0) будет структурой Крипке, то есть
S —множество всех возможных миров, /х! s S X S — отно-
шение достижимости, 0 £ S—„настоящий" мир, а [ ] —двух-
местная функция, такая, что для всех xfS и всех про-
позициональных переменных [у]х равно либо 1, либо 0
(истине или лжи). Истинностное значение формулы <р
в мире х обозначается через [ф]х.
Пусть X — модальная логика, семантика которой харак-
теризуется некоторым множеством условий па R. Будем
говорить, что X допускает фильтрацию, если для всякой
модели (S, R, 0) предложения ф, являющейся моделью X,
можно построить конечную модель (S*, R*, 0*) для ф, удовле-
творяющую тем же условиям.
Очевидно, всякая система, которая допускает фильтра-
цию, обладает свойством финитной аппроксимируемости,
а не наоборот (например, логика S4.3 финитно аппрокси-
мируема, но не допускает фильтрации относительно ли-
нейного отношения R).
В этой статье дается общий метод построения (S*, /?*)
из (S, R), действующий одновременно во многих семейст-
вах систем, среди которых такие хорошо известные си-
стемы, как К, Т, В, S4, S4.1, S4.2, S5 и другие (см. раз-
личные теоремы ниже).
Обычная фильтрация была введена Леммоном и Скот-
том [3], модифицирована затем Сегербергом [2] и мною
[1]- [4]-
Пусть (S, R, 0) — модель ф. Предположим, что R
удовлетворяет некоторому множеству условий Р, которое
характеризует отдельную рассматриваемую систему. Мы
хотим получить из нее систему (S*, R*, 0*), такую, что R*
удовлетворяет тому же ряду условий, что R, и являю-
щуюся моделью ф. С этой целью рассмотрим два конечных
множества формул А и 0; А является множеством, слу-
жащим для построения S*, а 0 — множеством для опре-
деления R*. Мы всегда предполагаем, что оба множества
А и 0, содержат ф и замкнуты относительно отрицания
конъюнкции и взятия подформул. Для различных систем
206
мы делаем различные предположения о А и 0 и в некото-
рых случаях используется промежуточное отношение R+.
Теорема 1. Пусть К—модальная система с аксио-
мой □ (ф —ф) —+ (□ ф —* □ ф) и правилом (— ф=> [— □ ф,
тогда следующие расширения К допускают фильтрацию:
(а):К; (Ь):Т; (с):В; (d):S4; (e):S5;
(f):S4.1 = S4+O □ ф VO □ ~ ф;
(ё):54.2 = 34-|-П<^ПО~ф-
Доказательство. Предположим, А = 0. Определим
(2) х = у, если и только если V(J £ A ([р]* = .
Пусть х* обозначает класс эквивалентности (относитель-
но ==), содержащий х, a|_(z/*) обозначает формулу (Зу£у*)
Vz(yRz —» у = г);
положим,
(3) x*R+y*, если и только если (Зх1 С х*) (З//1 б У*) ^Ry1),
и положим, x*Rfy* означает х*/?+у*/\~ [_ (х‘).
Для пропозициональной переменной у С А определяем
№• = №
Лемма 4. Для каждой подформулы ф формулы ф
имеет место [ф]х = [ф]х..
Доказательство. Проводится по индукции. Случаи
атомной ф, а также ~ и Д не представляют трудности.
Пусть [Пф]х=1; так как ПфСА, то [□ ф]ж* = 1 для
каждого л1 С V. Если x*R+y*, то x1Ry1 для некоторого
х*£х* и некоторого у1£у*, откуда [ф]р.= 1 и [ф]^=1.
Пусть [□ф]х = 0 и ~ |_ (х*), тогда для некоторого у,
такого, что xRy, [ф];/ = 0, и x*R+y*, и [ффу* = 0. Заметим,
что если [_ (х*) и [□ф]х = 0, то можно взять у — х.
Проверим теперь каждое утверждение теоремы. Пока-
жем, что если R удовлетворяет условию Р, то ему удов-
летворяет также R*.
(а) Система К полна относительно R без всяких огра-
ничений, и (S*, R+, 0*) будет моделью К.
(Ь) Система Т полна для рефлексивного R, и из реф-
лексивности R следует рефлексивность R+, и (S‘, R+, 0*)
будет моделью Т.
(с) Система В полна для симметричного отношения R.
Опять из симметричности R вытекает симметричность R+.
(d) S4 является полной системой для транзитивного
н рефлексивного отношения R. Отношение R+ не обяза-
207
тельно транзитивно, поэтому вводится 7?*—транзитивное
замыкание Надо доказать следующее:
Лемму 5. Если x*R+y* и [□<?]£ = 1 для □ <р под-
формулы ф, ТО [□ф]^»=1.
Доказательство. Так как □ <р есть подформу-
ла ф, то, согласно лемме 4, [□ <р]х« = [□ для каж-
дого х^х*. Так как x*R+y*, то для некоторых х’£х*
и t/£y* x1Ry1.
Теперь [□ <р]Х1 = !=>[□□ <р]х> = !=?>[□ =
= 1 =>[□ <р]+, = 1. Получаем по индукции, что (x*R*z*/\
А[Пф]£ = !)• Последнее свойство дает [□ <р]+. =[□ <р]>
для <р, являющейся подформулой ф. Отношение R* тран-
зитивно и рефлексивно, так что (с!) доказано.
(е) Система S5 полна для Vxy(xRy). Надо выбрать
R* — S*~xS*.
(f) Система S4.1 полна для рефлексивного и транзи-
тивного R со следующим дополнительным условием (пол-
нота может быть доказана с помощью метода Хенкина):
Vx3^ (x/tyAVz) (yRz—*y — z)).
Выберем R* как транзитивное рефлексивное замыка-
ние /?+. Очевидно, если для х+ выбрать х£х+ п у как
любой элемент S, удовлетворяющий условию, то по опре-
делению R? получим y*R+z* —> у* = г*.
(g) Система S4.2 полна относительно рефлексивного
и транзитивного R и следующего дополнительного усло-
вия (полнота может быть доказана с помощью метода
Хенкина).
Vxz/EJz (xRz /\yRz).
Возьмем R* такое же, как в случае S4. Очевидно, для
х£х* и у£у* можно найти такое г, что x*R+z*/\y*R v z*.
Теорема 6. Пусть X является расширением К, либо
Т или В, семантика которого характеризуется дополни-
тельным условием на R вида (7); тогда X допускает филь-
трацию и будет разрешимой системой (хотя может даже
не быть финитно аксиоматизируемой):
(7) (Vx, ... xn)(V7A,-z/.y7?/,i/-^3z/1 ...утМ),
где г и t выбраны из xf ... х„, а формула М—в тер-
минах R, равенства, xt (1 I n), yj (1 jtn) не содер-
£08
жит кванторов, отрицания и импликации, а в
ни одно переменное не повторяется дважды. Антецедент
может быть пустым.
В частности:
(а) □“ф-’-Пф-
(Ь) ЕГф—"Т,
(с) ЕЕ <р — О<Р
допускают фильтрацию.
Доказательство. Пусть (S, R, 0) является мо-
делью ф и X, и предположим, что она удовлетворяет
также условию (7). Определим (5*, /?*, 0*) так же, как
в (2) и (3). Мы покажем, что условие (7) выполняется
для R+. Пусть /\iZ^jR+t^j. Тогда можно найти z/y £ z?,,
такие, что Это можно сделать потому,
что из x*R+y* следует, что для некоторых х1 £ х*, у1 £ У*,
x1Ry1. Заметим, что, возможно, х*=у*, но х1^!/1; это
ничему не мешает.
Поскольку в S выполняется (7), то для некоторых
f/i. •••» Ут Л4(х,,..., У1> •••) также выполняется в S.
По индукции по Vy и Л, можно доказать, что если в (S, R)
выполняется М, то М (х’, выполняется в (S*, /?+),
и доказательство заканчивается. (В случае, когда х1 А у1,
х* — у*, но в М (х*, у*) они снова оказываются равными,
и поэтому, предполагая антецедент для х*~у*, мы полу-
чим консеквент для х* = у*, хотя в доказательстве мы
используем (7) в S для х1^=у1.) Заметим, что S* огра-
ничено при данной длине ф. Условия для выбранных
нами систем будут:
(a) [lRv —> \kRmv\
(b)
(c)
Эту теорему стоит сравнить со следующей теоремой
(доказанной в [1] с использованием метода, совершенно
отличного от данного).
Теорема 7. Пусть X будет расширением К, и се-
мантику X можно характеризовать дополнительным требо-
ванием на R вида:
(Vxj ... х„) (Л (yiRv{) — М);
209
где М — предложение в языке, содержащем х,...х„,
равенство и где щ, vt выбираются из ... хп\ тогда X
допускает фильтрацию и является разрешимой системой
Теорема 8. Система К +□ —>• □m+1 <р допускает
фильтрацию.
Доказательство. Эта система полна для R с усло-
вием \xRm+1v —> yRv. Пусть (8, R, 0) будет моделью ф
и удовлетворяет этому условию. Построим конечную мо-
дель (8*. R*, 0*).
Выберем Ди© такими, что Д э ©, и если [3 С ©, то
□т+1р£Д. Определим 8* и R + , как в (2) и (3). Мы уже
знаем, что выполняется (4).
Лемма 9. Пусть □ р является подформулой ф, и пред-
положим, что [□ р]х = 1 и что x*R+my*, тогда для всякого
У$У* [□₽],= !•
Доказательство. Из [— □ [3 —► □'п+1р мы полу-
чаем [□'П+1Р]Х=1. Выберем ух... ут^ такими, чтоy*iR+iji+x,
x*R+y* и y'm_xR+y*. Тогда ввиду x*R+y* мы имеем для
некоторого х1^х и у] = ул xlRy\, а ввиду □ т+1р£ Д
имеем [Пт+1Г»]Л1 = 1 и [□mP]J/i=l. Продолжая в этом
духе, мы придем к [□Р]у=1. Доказывая по индукции,
получаем (10).
(10) Если x*R+ikm+vу* (для k^O) и [□Р]х=1, то
[РЪ=1-
Пусть x*R*y* означает (3k 0) x*R+ (Лт+п у*. Согласно
теореме 8, получаем
(11) [РК‘ = [Р]х+- для всякой подформулы р формулы ф.
Для завершения доказательства (6) потребуется;
Лемма 12. x^R*у* —*x*R*y*.
Доказательство вытекает из определения R*.
Замечание. Конструкция в (4а) приводит к такому
же результату для временной логики Kf Kt полна для
семантики вида (8, R, 0) с такими определениями:
[Оф]х = 1 Ф» Vy (xRy -> [ф]у = 1);
IWL = 1 <=> уУ (УК* — И» = 1)-
210
ЛИТЕРАТУРА
t. G abb а у D. M. Selective Filtration in Modal Logics 1.—
„Theoria", №36, 1970, p. 323—330.
2. Segerberg K- Decidability ot Four Modal Logics.— „Theo-
ria", 1968, p. 21—25.
3. Lemmon E. and Scott D. Intensional Logics. Stanford,
1966.
4. Gabbay D. M. Semantical Methods in Non-Classical Logics,
Vol. 1.— „Modal and Tense Logics", North — Holland Publish-
ing, Co.
5. Gabbay D. M. Tense Sistems with Discrete Moments of
Time.— „Journal of Philosophical Logic", No. 1, 1972, p. 35.
К. Файн
ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫЕ КВАНТОРЫ
В МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ** 1 2
В этой статье я представлю некоторые полученные
мною результаты относительно модальных теорий, содер-
жащих кванторы по пропозициональным переменным.
Статья состоит из двух частей: в первой рассматриваются
теории, неквантификационная часть которых есть систе-
ма S5; во второй части — теории, неквантификационная
часть которых слабее S5 или не содержится в ней. Если
не оговорено противное, то каждая теория будет иметь
один и тот же язык L. Он содержит счетное множество V
пропозициональных переменных рх, р2, ..., операторы V
(или), ~ (не) и □ (необходимо), квантор общности (р),
где р есть пропозициональная переменная, и скобки (и).
Правильно построенная формула L определяется обычным
образом.
I?
1.1 Семантика
В семантике Крипке для S5 [6] высказывание отожде-
ствляется с множеством возможных миров, в которых оно
истинно. Таким образом, согласно этой точке зрения, про-
* Fine Kit. Propositional quantifiers in modal logic.— „Theo-
ria", 1970, vol. 36, p. I.
1 Я очень многим обязан покойному Артуру Прайору. Без его
поддержки эта статья не была бы написана.
2 Результаты этой части содержатся в моей диссертации док-
тора философии, представленной в Уорвикский университет летом
1969 года.
212
позициональные квантифицированные переменные (р) про-
бегают по множеству подмножеств возможных миров.
С формальной стороны, структура 31 есть упорядоченная
тройка (IE, Р, v), где W (миры) есть непустое множе-
ство, Р (суждения) — непустое множество подмножеств W,
a v (оценка)—отображение V в Р.‘Тогда определения истин-
ности формулируются таким образом: если 31 есть струк-
тура (W, Р, к), х—мир, принадлежащий W, а В и С —
формулы, то:
и
(О 1= Р/> если и только если x'Gf(p/), £= 1» 2, ...;
X
й VI
(И) |=-В, если и только если неверно, что к В;
X х
ш а а
(iii) к BVC, если и только если к В или к С;
X XX
81 й
(iv) к □ В, если и только если к В для всех у в W;
X и
а и-
(v) к (Р/) В, если и только если к В для всех струк-
тур 31' = (W, р, v), таких, что
v' (P/) = v(p7)
для всех j^i, i = l, 2, ... (Отметим, что v' (р,) £ Р по
определению структуры.)
а а
Формула А истинна в 31, к А» если к А для всех у в W.
у
Есть три естественных условия, которые мы можем
наложить на Р:
(i) Р булево, то есть замкнуто относительно дополне-
ния и конечного объединения. (Отрицание суждения и
дизъюнкция суждений также суть суждения.)
(ii) Р замкнуто относительно формул, то есть для
каждой структуры 31 — (W7, Р, и) и для каждой форму-
{а \
х £ IE: k A £ Р. (Каждая формула при любой
интерпретации выражает суждение.)
(iii) Р есть степень-множество IE, то есть множество
всех подмножеств IE. (Для любого множества миров най-
дется суждение, истинное именно в этих мирах.)
213
Эти гри условия приводят соответственно к трем тео-
риям. Пусть S.Sji—(S5k; S5« + ) есть множество фор-
мул, истинных и каждой структуре SI =(l¥z, Р, v), такой,
что Р есть булево множество (замкнутое относительно
формул; степень-множество IE).
Ясно, что S5ji — s S5n s S5n. Можно также по-
казать, что эти включения являются собственными.
1.2. Аксиоматизируемость
Пусть AxS5n—задается следующими аксиомными схе-
мами и правилами вывода:
1. Все тавтологические формулы.
2. □ (А В) —► (□ А —□ В).
3. □ А А.
4. П~ПА.
5. (р) А (р) —> А (В), где В есть формула PC, то есть
немодального пропозиционального исчисления, свободная
для (подстановки вместо) р в А (р).
6. (р)(А-В)->((р) А^(р)В).
7. А —> (р) А, где р не свободно в А.
МР. А, А -> В/В.
Nec. А/Q А.
Gen. А/(р)А.
AxS5n есть Ах 55л—без схемы 5 ограниченной специ-
фикации, но со спецификацией:
8. (р) А (р) —> А (В), где В есть любая формула, сво-
бодная для (подстановки вместо) р в А(р). Ах55л-|-есть
AxS5n с аксиомой:
9- (Зр.) (р, & (р2) (р2 -» □ (Pi — р2))).
Ясно, что схема 5 соответствует условию, что Р есть
булево множество, схема 8 соответствует условию, что Р
замкнуто относительно формул. Аксиома 9 (с правилом
Nec.) соответствует условию, что Р атомно над множе-
ством W, то есть для каждого в Р имеется атом
(наименьшее непустое множество а в Р), которому при-
надлежит х^а. Если отождествить неразличимые миры,
то есть такие, которые принадлежат одним и тем же суж-
214
дениям в Р, то аксиома 9 будет означать, что каждый
мир может быть описан, то есть для каждого a'€U7,
Утверждение Iх. AxS5.n—, AxS5n и АхЭблД-
суть аксиоматизации S5n—, S5n и S5n+ соответственно.
Простейшим прямым способом доказательства является
использование метода Генкина—Скотта—Макинсона, ме-
тода максимально непротиворечивых (м. н.) теорий (см. [7]).
Используется техника Крессвелла [3], для того чтобы
показать, что каждая м. н. теория имеет один и тот же
язык, а для S5n + используется также построение, которое
каждую м. н. теорию обеспечивает переменной, принадле-
жащей этой теории и только ей.
1.3. Разрешимость
Утверждение 2. Теории S5n и S5n разрешимы.
Доказательство осуществляется путем элиминации кван-
торов. Пусть Lj есть язык L с одноместными оператора-
ми Mft, k = 1, 2, .. ., и пусть L2 есть L, с пропозициональной
константой g. Для этих новых символов мы добавим сле-
дующие пункты к определению истинности:
й
(vi) MftB, если и только если по меньшей мере k
X
различных атомов Р включается в {у: )=в|.
51
(vii) |= g, если и только если х принадлежит некого-
X
рому атому Р.
Если неразличимые миры отождествлены, то М/;А означает,
что А истинно по меньшей мере в k мирах, которые могут
быть описаны, a g означает, что действительный мир х
может быть описан.
Мы докажем разрешимость S5n (S5n), если покажем,
что:
1 Р. Булл независимо установил этот результат для S5n
и Б5л-|- [2]. Он пользовался семантическими таблицами, а его семан-
тика слегка отлична от моей. Д. Каплан также независимо устано-
вил этот результат для S5jt—|- [5]. Он использует метод элиминации
кванторов, как в утверждении 2.
215
А. Существует эффективный способ нахождения для
каждой формулы А языка L бескванторной формулы В
языка Li(L2) такой, что А «э В С S5n ф-(S5n),
и
В. Множество бескванторных формул L1f]S5n +
(L2nS5n) разрешимо.
Мй и g можно определить в языке L. Пусть QA будет
обозначать О А & (р) (□ (А —► р) V □ (А —~ р)), где р
есть первая переменная, которая не свободна в А. Тогда
следующие эквивалентности значимы во всех структурах:
10. MftA^(3(/1)...(3qft)(A □(q/^~q/)&AU(Qq,&
&□(<?,-> А))),
где q; есть i-я переменная, не свободная в A, i=l, ...
..., /г, k = 1, 2, ... .
Н. g«(3pI)(pI&Qp1).
Добавляя 10 (10 и И) как аксиомы к AxS5nф-(Ах55л),
мы можем осуществить в аксиоматизированных теориях
вышеуказанное доказательство элиминируемости. Это дает
новое доказательство полноты.
Я предполагаю, что вышеописанный метод можно было
бы использовать при доказательстве разрешимости 55л —.
Однако полное доказательство содержало бы огромное ко-
личество деталей, а мое терпение не эквивалентно моим
предположениям.
1.4. Предикатные и булевы аналогии
55лф- взаимопереводима с первопорядковой теорией
атомарной булевой алгебры, а также с М, второпорядко-
вым монадическим исчислением предикатов. Например,
перевод Т формул 85лф-иа язык М определяется следу-
ющим образом:
Тр, = Р,(х);
Т ~ В = ~ ТВ;
Т(В VC) = TB V ТС;
ТПВ = (х1)ТВ;
Т(Р/)В = (Р,)ТВ,
где (Pz) есть кванторы по предикатам.
216
Легко показать, что:
А. Т есть эффективное отображение.
В. Формула А языка L принадлежит S5n + , если и
только если ТА значима в М.
А и В вместе с классическим результатом, что М раз-
решима, дают новое доказательство разрешимости S5n-f-.
S5n взанмопереводима с первопорядковой теорией се-
парабельной булевой алгебры и, разумеется, с второпо-
рядковым исчислением, определенным посредством {ТА: А £
£S5n}. (Булева алгебра сепарабельна, если множество
всех атомов алгебры имеет по меньшей мере верхнюю
границу.) Первый результат зависит от утверждения 3.
Утверждение 3. Р замкнуто относительно фор-
мул, если и только если Р булево и сепарабельно.
Синтаксически это утверждение означает, что S5n мо-
жет быть аксиоматизируемо добавлением к AxS5n — аксиомы
12. (ЭР1)П(Р1«ё)
(g, как и Mft, будет теперь использоваться как сокращение).
Единственное доказательство этого результата, которым
я располагаю, является непрямым. Оно состоит в показе
того, что доказательство элиминации кванторов для AxS5n
проходит и для новой аксиоматизации.
Элементарная теория булевой алгебры переводима
в S5n —, и я подозреваю, что существует перевод и в дру-
гую сторону.
1.5. Некоторые дальнейшие теории
Между условиями, накладываемыми на Р, и аксиомами
существует следующее соответствие:
Р атомно g,
Р безатомно ~ g,
Р атомно или безатомно g —> □ g,
Р бесконечно MjTVO^q, M2TvO~g, • ••. где
Т= (pj (Pi —* РО-
Это означает, что теория, в которой выражается усло-
вие или комбинация условий, написанных слева, может
быть аксиоматизирована добавлением к AxS5n — соответ-
ствующих аксиом справа. Полнота и разрешимость для
217
всех этих теорий может быть доказана методом элиминации
кванторов. Некоторые из них особенно интересны:
(i) Р атомно. Теория, удовлетворяющая этому условию,
та же, что и S5n -ф. Другими словами, различие между
утверждением, что Р атомнс, и утверждением, что Р есть
степень-множество, не выразимо с помощью L. Более
строгое условие естественно формулировать, используя
кванторы по множествам высказываний.
(ii) Р безатомно. Теория, удовлетворяющая этому усло-
вию, соответствует неплатонистской концепции суждения
(каждое суждение выражается предложением).
(iii) Р атомно или безатомно. Теория, удовлетворяющая
этому условию, является пересечением двух вышеописан-
ных теорий. Поскольку Б5л-|- соответствует платонистской
концепции суждения, эта теория предоставляет общую
территорию для платонистов и иеплатонистов.
Утверждение 4. Эта теория — самая слабая (нор-
мальная) теория, обладающая следующим свойством-, если А
есть формула, в которой каждая переменная р находится
в области действия □ или (р), то Афэ0А является
теоремой.
(iv) Р бесконечно. Теория для этого условия эквива-
лентна модальной теории с пропозициональными кванто-
рами, предложенной Крипке в [6]. Если это условие до-
бавляется к условиям (i) и (ii), то получающиеся теории
будут полны в том смысле, что для каждой замкнутой
формулы А либо А, либо ~ А является теоремой.
Эти рассмотренные нами три теории не являются, ко-
нечно, аксиоматизируемыми, то есть они не могут быть
аксиоматизированы добавлением конечного числа аксиом
к AxS5n.
II
2.1. Семантика
Пусть теперь под структурой понимается упорядочен-
ная четверка §1 = (IE, R, Р, и), где (IE, Р, v) есть струк-
тура в старом смысле, a R (достижимость) — бинарное
отношение на W. Условия истинности выглядят теперь
так:
(i), (ii) и (iii), как и раньше;
218
и и
(iv) )=□ В, если и только если )=В для всех у таких,
х V
что xRy\
и а'
(v) ^(Р^В, если и только если (=В для всех струк-
тур 31' =
(W,R,P,v) таких, что и'(p/) = t?(p7) для всех j^=i,
i=l,2, ... . Значимость определяется, как и выше. Ска-
жем, что 21 = (IP, R, Р, о) замкнута относительно формул,
если для каждой структуры 2(' = (IP, R, Р, v’) и для каж-
дой формулы 21 <л С IP: А I С ?• Вели S есть некоторая
пропозициональная модальная логика, для которой R
удовлетворяет условию С, то 5л— (Sn; Sn+) есть мно-
жество формул, значимых в каждой структуре 21 =
= (IP, R, Р, v), такой, что R выполняет С и Р булево (21
замкнуто относительно формул; Р есть степень-множество
IP). Так, например, S4n есть множество формул, обще-
значимых в каждой структуре 21 = (IP, R, Р, и), такой,
что R рефлексивно и транзитивно и 21 замкнуто относи-
тельно формул.
2.2. Аксиоматизируемость
Пусть AxS есть аксиоматизация вышеупомянутого S
(но в расширенном языке). Пусть AxSn —есть AxS с ак-
сиомными схемами 5 и 6, а также 7 и следующей аксиомой:
13. (Р)П А—> П(р) А
и правилами MP, Nec., Gen. Пусть AxSn есть AxSn—
с экономной схемой 8 вместо 5.
Утверждение 51. АхКл —, АхКл, АхТл —, АхТл,
AxS4n—, AxS4n есть аксиоматизации Кл—, Кл, Тл—,
Тл, S4n—, S4n соответственно.
Эти результаты также доказываются методом макси-
мально непротиворечивых теорий. В самом деле, данный
метод показывает, что AxSn— и AxSл суть аксиоматиза-
1 Р. Булл первым установил этот результат для S4jt[2], Д. Габ-
бан независимо установил эти результаты для л-теорий, но он исполь-
зовал другую семантику [4].
219
ции Sn— и 5л соответственно, если каноническая модель
для S базируется на модельной структуре для S1.
По контрасту с утверждениями 1 и 5 имеем:
Утверждение 6. Теории Клф-, Тл-|-, К4л-р,
54л ф-, 54.2л ф- и Вл4- не аксиоматизируемы.
Для каждой из этих теорий соответствующий результат
получается заданием перевода Т с языка второпорядковой
арифметики на язык этой теории. Т строится в три этапа.
Прежде всего, в теории мы выражаем допущение, что су-
ществует' одно-однозначное соответствие между мирами и
тройками миров. Во-вторых, определяем квантификацию
по множеству троек миров (отношений) через квантифи-
кацию по множеству соответствующих миров (суждений).
В-третьих, даем стандартное пеановское определение для
сложения и умножения.
2,3. Разрешимость
Пусть теория S есть некоторое множество формул L,
содержащее Кл— и замкнутое относительно МР и Gen.
Две теории, St и S2, совместимы, если (А: для некоторо-
го В, B£S] и В—непротиворечиво. Пусть <р бу-
дет конъюнкцией аксиом робинсоновской конечно аксио-
матизируемой и существенно неразрешимой арифметики;
и пусть
KR = {А:Т<р —> А £ Кл —
Тогда мы можем показать, что KR существенно неразре-
шима, так что и любая теория, совместимая с K.R, нераз-
решима (см. [8]).
В частности, мы можем показать, что:
Утверждение 7. Кл —, Кл, Тл —, Тл, К4л —,
К4л,54л —,54л, 54.2л —, 54.2л, Вл—и Вл неразрешимы.
Вышеописанный метод не применим для 54.3л — и 54.3л,
и я не знаю, разрешимы эти теории или нет.
После этих отрицательных результатов следует упо-
мянуть и положительный. Структура 91 = (IF, R, Р, v) яв-
ляется диодоровой, если IF = {0, 1,2, ...}, R есть естест-
венный порядок на IF, а Р есть степень-множество IF.
* Для объяснения этой терминологии см. [7].
220
Пусть
Dn-f-= (А: (= А для всех диодоровых St}.
Утверждение 8. Dn+ разрешима.
Этот результат может быть доказан переводом D.n ф- во
второпорядковую теорию функции „следования за“, о ко-
* торой известно, что она разрешима [1]. Из результата
Рабина следует также, что S4.3n+ разрешима.
2.4. Теории с изменяющейся областью
До сих пор мы предполагали, что область Р суждений
одна и та же во всех возможных мирах. Однако можно
было бы считать, что суждение имеет место в данном мире,
если те индивиды, к которым относится это суждение, су-
ществуют в данном мире. Следовательно, если индивидные
области меняются от мира к миру, то должны меняться и
области суждений.
Как известно, существуют различные семантики для
модальной логики с изменяющейся областью. Рассмотрим
для примера одну из них. Под структурой будет пони-
маться упорядоченная пятерка (х, W, R, Р, ц), где х £ W, R
есть бинарное отношение на W, Р отображает каждый мир
y£W в Р , непустое множество подмножеств W, такое,
что если yRz, то Pg<=Pz, и, наконец, v отображает V на
Рх. Условия истинности для □ и (Pj) теперь таковы:
И И'
(iv) !=□ В, если и только если f=B для всех струк-
X у
тур St' = (у, W, R, Р, v) таких, что xRy, и
и я-
(V) t=(Pr) в, если и только если В для всех структур
X X
SI' ~(y,W, R, Р, v) таких, что v' (Ру) = v (Pj) для всех
j =7^» I, i = 1, 2, ... .
Все результаты предыдущих двух разделов могут быть
расширены на случай данной семантики. Например, пред-
положим
, и
К'л —= /А: |=Л для всех SI = (x, W, R, Р, о) таких, что
Ри булево для каждого у в W} .
221
Тогда, используя применяемые ранее методы, мы можем
показать, что К'л — аксиоматизируема (отбросив аксиому 13
из АхКл—) и что Кл — неразрешима.
ЛИТЕРАТУРА
1. Bile hi J. R. On a decision method in restricted second or-
der arithmetic. — In: “Logic, methodology and philosophy of science.
Proceedings of the 1960 International Congress”. Ed. by E. Nagel,
P. Suppes and A. Tarski, Stanford, California, Stanford Univer-
sity press, 1962, p. 1—11.
2. Bull R. A. On modal logic with propositional quantifiers. —
“The journal of symbolic logic”, vol. 34, I960, p. 257—263.
3. Cresswell M. J. A Henkin completeness theorem forT. —
"Notre Dame journal of formal logic”, vol. 8, 1967, p. 186—190.
4. Gabbay D. M. Montague-type semantics for modal logics
with propositional quantifiers. Unpublished.
5. Kaplan D. S5 with quantifiable propositional variables. —
“The journal of symbolic logic”, vol. 35, 1970, p. 355.
6. Kripke S. A. A completeness theorem in modal logic.—
Ibid., vol. 24, 1959, p. 1—14.
7. Segerberg K. Decidability of S4.1.—“Theoria”, vol. 34,
1968, p. 7—20.
8. Tarski A., MostowskiA. and Robinson R. M. Un-
decidable theories Amsterdam. North-holland Publishing Co., 1953.
Р. Монтегю
ПРАГМАТИКА И ИНТЕНСИОНАЛЬНАЯ ЛОГИКА*1
Слово „прагматика" в работе Ч. Морриса [20] исполь-
зовалось для обозначения той ветви философии языка,
в которой наряду с лингвистическими выражениями и
объектами, обозначаемыми этими выражениями, внимание
обращается и на тех, кто использует эти выражения, и на
возможные ситуации их использования. Две другие ветви —
синтаксис и семантика, рассматривающие соответственно
выражения сами по себе и выражения вместе с их значе-
нием,—были во времена Морриса довольно основательно
развиты; первая—целым рядом авторов, вторая —в работе
Тарского [22].
Однако моррисовская концепция прагматики была де-
кларативной и неопределенной. Шаг к уточнению понятия
прагматики был сделан Бар-Хиллелом, который указывал
в статье [2], что прагматика занимается тем, что Ч. С. Пирс
* Montague R. Pragmatics and intensional logic. — “Synthe-
se” 1970, vol. 22, № 112.
1 Эта работа была представлена на Южно-Калифорнийсксм логи-
ческом коллоквиуме 6 ятваря 1967 года и содержит исследования,
частично финансированные Национальным фондом по науке (договор
СР-4594). Я хотел бы выразить благодарность моему ученику д-ру
Дж. Кэмпу за ряд цепных замечаний, помимо тех, признательность
за которые выражена в тексте, а также Т. Баррозо, исправившему
одну мою ошибку. Следует, может быть, заметить, что эта статья
была предложена другому журналу 7 ноября 1967 года, но после двух
с половиной лет взята обратно из-за большой задержки с ее публи-
кацией; таким образом по замыслу она должна была появиться раньше
моих работ [141 и [15], ибо представляет собой в какой-то мере осно-
вание для них обеих.
223
в прошлом веке называл „индексными выражениями"1.
Слово или предложение является индексным, если его
значение может быть понято только в ситуации, в кото-
рой оно использовалось; примером может служить личное
местоимение „я“. Различные индексные предложения можно
строить, используя, например, ссылки на время произне-
сения. Рассмотрим предложение „Цезарь будет убит". Его
истинность или ложность не может быть определена не-
зависимо от ситуации, в которой оно было высказано;
прежде чем определить истинностное значение этого пред-
ложения, должно быть определено время, когда оно про-
износилось, то есть должен быть уточнен один из аспектов
ситуации использования.
Хотя Бар-Хнллел и отметил, что прагматика занимается
индексными выражениями, он не разъяснил достаточно
ясно, каким образом она должна ими заниматься. Мне
кажется, что прагматика должна, по крайней мере перво-
начально, следовать образцу семантики—или ее современ-
ной версии—теории моделей2,—рассматривающей прежде
всего понятия истины и выполнимости (в модели или при
интерпретации). Следовательно, прагматика будет исполь-
зовать сходные понятия, хотя теперь мы будем говорить
об истине и выполнимости не только по отношению к оп-
ределенной интерпретации, но и в некоторой ситуации
использования.
Несколько лет назад я анализировал эти понятия
в связи с рядом специальных случаев, например с теми,
где имелись личные и указательные местоимения, модаль-
ные и временные операторы, операторы вероятности, слу-
чаи, где наблюдалась контекстуальная двусмысленность и
прямая самореференциальность3. Важной чертой большей
части этих исследований был метод анализа кванторов,
разработанный в основном моим учеником проф. Н. Кокь-
яреллой, который и воспроизводится ниже в нашем общем
1 Другими терминами для обозначения тех же выражений явля-
ются „эгоцентрические частицы" (Рассел), „квазирефлексивныевы-
ражения" (Рейхенбах), „индикаторные слова" (Гудмен) и „не-
вечные предложения" (Куайн, для предложений с индексами).
2 Изложение фундаментальных понятий теории моделей Тарского
см. в [23].
3 Эта работа была доложена на Филссофсксм коллоквиуме Ка-
лифорнийского университета в Лос-Анджелесе 18 декабря 1964 года.
Анализ специальных случаев в рамках общего подхода настоящей
работы будет обсуждаться в другой публикации.
224
рассмотрении1. В каждом специальном случае, однако,
понятия истины и выполнимости должны были опреде-
ляться заново, в частности не усматривалось никакого
общего метода анализа операторов. Интуитивно единообра-
зие чувствовалось, но полное формальное единство было
достигнуто только в 1965 году, в ходе совместной работы
д-ра Ч. Ховарда и моей.
Позвольте перейти к описанию общего метода. Под
прагматическим языком понимается язык, символы кото-
рого (атомарные выражения) принадлежат следующим
категориям:
(1) логические константы —i, л, v, ->, <->, Д, V.
= , е (которые понимаются, соответственно, как „неверно,
что“, „и“, „или“, „если...то“, „если и только если*1, „все",
„некоторые", „равно", „существует");
(2) круглые скобки, квадратные скобки и запятые;
(3) индивидные переменные щ, ..., vk, ...;
(4) индивидные константы;
(5) «-местные предикатные константы для каждого на-
турального (то есть неотрицательного целого) числа п;
(6) операторы.
(Индивиды, входящие в предметную область такого
языка, будут рассматриваться как возможные объекты;
соответственно, символ е будет встречаться в таких кон-
текстах, как е [*]> что надо понимать как „х существует"
или „х—действительный объект". Под (6) я понимаю только
то, что может быть названо одноместными операторами.
Это—такие символы, которые, подобно знаку отрицания,
будучи помещены перед предложением, дают в результате
новое предложение; примерами могут служить модальные
операторы „необходимо" и „случайно", так же как выра-
жения „будет так, что", „обычно", „по крайней мере
наполовину вероятно, что...". Исключительно ради про-
стоты я отказываюсь от функциональных символов, де-
скрипций и многоместных операторов; но расширить на-
стоящий метод, чтобы охватить и эти выражения, несложно.
В самом деле, многоместные операторы могут быть
выражены как в расширенной прагматике, так и в ин-
тенсиональной логике, которые будут рассматриваться ниже,
1 Н. Кокьярелла рассматривал квантификацию только в связи
с временной логикой; это рассмотрение может быть найдено в рефе-
рате Кокьяреллы [4] и в его неопубликованной докторской диссер-
тации [5].
6 Да 1212
225
а Элементы теории дескрипций входят в интенсиональную
логику.)
Формулы прагматического языка L строятся, как обычно.
То есть множество формул L есть наименьшее множество Г,
такое, что: (1) Г содержит все выражения
еИ;
....
где £, Со. •••• Cn-i есть индивидные константы L или
индивидные переменные и Р есть «-местная предикатная
константа L; (2) Г замкнуто относительно применения
логических связок; (3) Д и <р и V w <р принадлежат Г,
если и есть индивидная переменная и <р принадлежит Г;
(4) N(p принадлежит Г, если N есть оператор L и <р при-
надлежит Г.
Для того чтобы интерпретировать прагматический
язык L, нам надо кое-что уточнить. Прежде всего, мы
должны определить множество всех возможных ситуаций
использования—или, скорее, всех комплексов существен-
ных аспектов возможных ситуаций использования; такие
комплексы мы можем называть индексами или, заимствуя
выражения Д. Скотта, точками соотнесения. Например,
если единственными индексными выражениями L были вре-
менной оператор и личное местоимение „я“, то точками
соотнесения должны были бы быть упорядоченные пары,
состоящие из лиц и действительных чисел, представляющих
соответственно произносящего высказывание и момент про-
изнесения.
Во-вторых, мы должны для каждой точки соотнесения I
определить множество А,- объектов, существующих по от-
ношению к I. Например, если бы точками соотнесения
были моменты времени, Л,- понималось бы как множество
объектов, существующих в момент времени i.
В-третьих, мы должны определить смысл, или интен-
сионал каждой предикатной и индивидной константы L.
Для этого следует константе с приписать в каждой точке
соотнесения i денотат, или экстенсионал с в i. Например,
если точками соотнесения были моменты времени и с было
предикатной константой „зеленый", мы должны были бы
для каждого момента i определить множество объектов,
которые будут считаться зелеными в i. Если, с другой
стороны, с было бы индивидной константой, допустим
„папа римский", мы должны были бы определить, для
226
каждого момента времени i, личность, рассматриваемую
как папа римский в I.
Четвертым условием является интерпретация операто-
ров языка L. Для того чтобы задать ее, мы припишем
каждому оператору L отношение между точками соотне-
сения и множествами точек соотнесения. Роль, которую
играют эти отношения и интуитивные основания, по ко-
торым мы считаем их интерпретацией для операторов,
лучше обсудить позднее.
Для того чтобы говорить точнее, введем несколько
вспомогательных понятий. Под <{7G, ..., U-отноше-
нием будем понимать подмножество множества 67 0 х, ...
..., X Uп-х (под которым понимаем декартово произведение
П£ < nUi множеств 67О, ..., 67„_1), а под </, U 0, ..., 67„_t>-
предикатом будем понимать функцию, определенную на
множестве I, со значениями из множества всех <670, ...
..., 67п_1>-отношений. (Слово „отношение" я использую
в качестве возможного кандидата для обозначения экстен-
сионала предикатной константы, тогда как термин „пре-
дикат" сохранен для интенсионала этих констант. Рас-
смотрим специальный случай, когда /г = 1. Тогда
<670>-отношения совпадут с множествами элементов U й,
а </, 670>-предикаты будут тем, что можно рассматривать
как свойства (снабженные указанием на точку соотнесения
из множества точек соотнесения /) элементов Uo, и такие
<67 0>-отношен и я и </, 670>-предикаты будут соответство-
вать одноместной предикатной константе. В случае, когда
п = 0, мы будем говорить о Д-отношениях (где Д есть
пустая последовательность, то есть пустое множество);
эти отношения есть подмножества пустого декартова про-
изведения, которое, естественно, равно {Д}. Таким обра-
зом, единственными Д-отношениями будут пустое мно-
жество Д и единичное множество {Д}; мы будем считать
эти два объекта истинностными значениями F и Т соот-
ветственно. Соответствующими предикатами являются
</>-предикаты; они будут функциями, определенными на
множестве /, со значениями F и Т, то есть тем, что может
пониматься как суждения1, снабженные указанием на
точку соотнесения из множества /.)
1 Идея истолковывать суждения, св< йства и интенсионалы от-
ношений как функции этого рода впервые встречается, по-м.ему,
в статье Крипке 112].
8*
227
Под k-местным отношением членов множества U и под
k-местным 1-предикатом на членах U будет пониматься
<t/0, Е^-^-отношение и </, Uo, ..., ^'\_1>-предикат
соответственно, где каждое Up (для р < k) есть U.
Определение I. Возможная интерпретация для
прагматического языка L есть тройка <Л, F, Ry, такая,
что: (1) А есть функция; (2) для каждого i из области
определения А А: есть множество (я использую равным
образом „А“ и „А (i)“ для значения функции А от аргу-
мента i); (3) F—функция, областью определения которой
является множество предикатных и индивидных констант
языка L; (4) если с—индивидная константа L, то Fc будет
функцией с той же областью определения, что и у функ-
ции А, причем такой, что для всех / из области опреде-
ления A Fc(j) принадлежит объединению множеств At,
где i принадлежит области определения А; (5) если Р —
«-местная предикатная константа L, то F является
«-местным ВЛ-предикатом на элементах объединения мно-
жеств А; (для г£ОЛ), где ВЛ — область Л; (6) R— это
функция, областью определения которой является мно-
жество операторов L; (7) если N принадлежит области
определения R, то RN есть <ВЛ, 8ВЛ>-отношение, где
SB Л представляет собой степень-множество (множество
всех подмножеств) множества ВЛ.
В связи с этим определением будет уместно сделать
несколько замечаний. Пусть SI будет возможной интер-
претацией для прагматического языка L, и пусть имеет
вид <Л, F, Ry. Мы рассматриваем область определения Л
как множество всех точек соотнесения в интерпретации 51.
Если i есть точка соотнесения, то Л, понимается как
множество объектов, существующих при i (согласно 51).
Объединение множеств Л(- для i, принадлежащих ВЛ, может,
таким образом, рассматриваться как множество всех воз-
можных индивидов (согласно 51). По вышеприведенному
определению, индивидная константа обозначает возможный
индивид, а одноместная предикатная константа — множе-
ство возможных индивидов в данной точке соотнесения.
Чтобы показать, что требование принимать в качестве
значений для констант только существующие в данной
точке соотнесения индивиды пли множества таких индиви-
дов является слишком сильным, предположим, что точками
соотнесения являются моменты времени, и рассмотрим
индивидную константу „предпоследний папа римский"
228
и предикатную—„быть вспоминаемым кем-то". То же за-
мечание может быть сделано в связи с более чем одно-
местными предикатными константами. Рассмотрим, напри-
мер, двухместную предикатную константу „думать о“
(Джонс думает о Джоне). При стандартной интерпретации,
когда точками соотнесения являются возможные миры,
экстенсионалом этой константы в данном мире будет
отношение между индивидами, существующими в этом
мире, и возможными индивидами (то есть объектами, су-
ществующими в некотором мире) \
Центральные для прагматики понятия истинности
и выполнимости выражаются фразами: „предложение (то
есть формула без свободных переменных) <р истинно в точке
соотнесения i при интерпретации 21“ и „возможный индивид х
выполняет формулу <р в точке соотнесения i при интер-
претации 2(“, которые мы сократим до „<р истинно,-,
и „х выП1. и<р“ соответственно. Приведенные ниже пункты
не являются определениями истины и выполнимости,
а должны пониматься скорее как верные утверждения,
выражающие наиболее характерные черты этих понятий:
полные определения будут даны позднее.
Критерии прагматической истины и выполнимости
Пусть 21 будет возможной интерпретацией для прагма-
тического языка L, имеющей вид <Л, F, Ry, пусть i£D»4,
пусть х есть элемент объединения множеств (для / €
£ ОЛ), пусть Р будет 2-местной предикатной константой L,
и пусть и будет индивидной переменной. Тогда:
(1) Р[с, d] истинно», если и только если <Fc(t),
(0> € РР (0;
(2) х вып»?( Р [с, и], если и только если <FC (i), х> С Fp (О;
(3) х выпй с = и, если и только если Fc (t) совпадает с х\
(4) х вып» е (и), если и только если х £ А{-,
(5) если <р есть предложение L, то —кр истинно», если
и только если <р не истинно», и;
1 Этот простой и очевидный подход — не единственно возможный
анализ для фразы „думать о“, обсуждавшейся в философской литера-
туре, например в статье [1], не очень успешно; но я думаю, что это
одно из возможных рассмотрений одного смысла этой фразы—ре-
ференциального. Для анализа нереференциального смысла см. [15].
229
(6) если <p, ф есть предложения L, то (ф л ф) истинно,. я,
если и только если оба ф и ф истинны,, а;
(7) если <р есть формула L с единственной свободной
переменной и, то V иц> истинно», и, если и только если
в объединении множеств Aj (j £V)A) имеется объект у,
такой, что у вып(?(<р;
(8) если <р есть предложение L и N — оператор L, то
Мф истинно», я, если и только если <i, {j:j£DA и ф
ИСТИННО/^} > € Rn-
Согласно (8), Nq> истинно в i (при 31), если и только
если i стоит в отношении RN к множеству точек соотне-
сения, в которых ф истинно (при 31). Чтобы убедиться,
что (8) обеспечивает адекватную трактовку, например,
оператора прошедшего времени, рассмотрим такую интер-
претацию 31, в которой D/1 есть множество действительных
чисел (то есть моментов времени), a RN есть множество
пар <i, />, где i(D/l, JeD/l и существует j С J, такое,
что j < i. Тогда по (8), Nq> будет истинно в i (при §1),
если и только если существует j < i, такое, что ф истинно
в / (при 31), и, следовательно, N будет корректно выра-
жать значение оборота „было так, что..Ясно, что
аналогичным образом может быть рассмотрено будущее
время, так же как модальные операторы (интерпретиро-
ванные посредством соответствующих отношений), рас-
сматриваемые в работе Крипке [12]. Впрочем, все эти
примеры могут быть проанализированы в рамках более
простой структуры, в которой Rn есть отношение между
двумя точками соотнесения (а не между точкой и множест-
вом точек соотнесения). Чтобы понять необходимость более
общего подхода, рассмотрим операторы возможности, ус-
ловной необходимости или, заимствуя особенно прозрач-
ный пример Д. Скотта, настоящее продолженное (present
progressive) время. Для рассмотрения последнего примем,
что интерпретация ?! снова имеет в качестве точек соот-
несения действительные числа; RN пусть будет множеством
пар <j, j>, таких, что i^DH, JsD/1, и J есть окрест-
ность i (то есть J содержит открытый интервал, элементом
которого является i). Тогда, согласно (8), Nq будет истинно
в t (при 31), если и только если имеется открытый интер-
вал, включающий i, на котором ф истинно (при 31). Таким
образом, N может несколько неуклюже читаться как
„сейчас продолжает иметь место, что...“ в том смысле,
230
в каком фраза „сейчас продолжает иметь место, что Джонс
живет" синонимична с „Джонс живет".
В соответствии с (7) областью квантификации являются
все возможные (а не только действительные) индивиды.
Желательность этого может быть усмотрена, в случае
временной логики, из рассмотрения предложения „был
человек, о котором никто не помнит". Разумеется, кван-
тификацию по действительным индивидам можно ввести,
комбинируя квантор и символ существования Е-
Условия (О—(8) станут совершенно ясными, если мы
сможем получить их на основе следующей последовательно-
сти определений, то есть показать, что (1)—(8) являются
просто следствиями определений II—V, приводящихся ни-
же. Мы принимаем, что 31 есть возможная интерпретация
для прагматического языка L, 91 = <Л, F, R~>, U —объедине-
ние множеств AJt где j £ БЛ, Ua есть множество всех беско-
нечных последовательностей (типа со), состоящих из членов
U, i£DA и п—натуральное число.
Определение II. Если £—индивидная переменная
или индивидная константа L, то под Extra £, или экстен-
сионалом 'Q в i (при 91), понимается функция Н с областью
определения С/“, заданная следующим образом:
(1) если £—переменная оп и х g Ua, то 7/(х) = хп;
(2) если £—индивидная константа и х £ Uто Н(х) =
Экстенсионал формулы в некоторой точке соотнесения
при интерпретации 91 вводится следующим рекурсивным
определением.
Определение III. (1) Если £— индивидная кон-
станта L или индивидная переменная, то Ext/, я(е [£]) есть
{x:x£Ua и (ЕхЪ, «(□)(х)€ Д,ф.
(2) Если £ и т)—индивидные константы L или инди-
видные переменные, то Ext,, «(£ — г]) есть {x:x^Ua
и (Extra (£)) (х) тот же самый, что и (Ext;, я(т])) (х)}.
(3) Если Р есть «-местная предикатная константа L
и £0, ..., —индивидные константы L или индивидные
переменные, то Ext,, И(Р[£О, ..., есть
и <(Extt, и (U) (х), (Ext,-. и(£„_1))(х)>€^(1)}.
(4) Если <р и ф—формулы L, то Ext,-, а (—1 ср) есть
Ua— Ext,-, ?((tp), Ext,-. и (<р л ф) есть Ext,-, (<р) П Ext,-. а (ф) и
подобным образом для других пропозициональных связок.
231
(5) Если <р—формула L, то Ext;, я(V ад) есть {х:хС Уа}
и для некоторого у£ U, последовательность <х0, ..xn_j,
У, xn+i- • •>€ Ext,. а(ф)} и сходным образом для Лад-
(6) Если ф—формула L и N—оператор L, то Ext,-, ®(Л^ф)
есть {x-.x^Ua и <i, и *€ Ext/r а (ф)}> € #А}.
Определение IV. Если ф—предложение L, то ф
истинно,-®, если и только если Ext,-, ®ф = t/“.
Определение V. Если ф —формула L, единственной
свободной переменной которой является vn, то у вып,, ®ф,
если и только если существует Ext,-. ®(ф), такой, что
хп=у.
Из вышеприведенных определений можно усмотреть,
что экстенсионалом формулы (в точке соотнесения) яв-
ляется множество последовательностей („выполняющих" эту
формулу в точке соотнесения в том смысле, в каком фор-
мулы выполняются не индивидами, а последовательностями)
и что экстенсионалом индивидной константы или перемен-
ной (опять-таки в данной точке соотнесения) является
функция, приписывающая возможный индивид каждой
последовательности в £/“. Как соотносятся эти определения
с основополагающим анализом вопроса, изложенным
у Фреге в [9]? Следует вспомнить, что Фреге прямо рас-
сматривает только экстенсионалы выражений, не содер-
жащих свободных переменных, например в случае нашего
языка, только для предложений и индивидных констант.
Экстенсионалом (или обычным экстенсионалом) предложе-
ния для Фреге было истинностное значение, но в соот-
ветствии с определением III нетрудно видеть, что экстен-
сйоналом предложения языка L может быть только Ua
или пустое множество, которые в этом случае естественно
отождествить с истиной и ложью соответственно. Для
Фреге экстенсионалом (или обычным экстенсионалом) инди-
видной константы был объект, обозначаемый этой констан-
той, тогда как для нас экстенсионал есть константная
функция, значением которой является этот объект, а об-
ластью определения—{/“. Таким образом, если отвлечься
от теоретико-множественных манипуляций, то фрегевские
экстенсионалы во всех общих случаях совпадут с нашими.
Для дальнейшего обсуждения я введу интенсионалы
некоторых выражений для интерпретации 3(, а также
понятия логического следования, логической истины и ло-
гической эквивалентности, приемлемые для прагматики.
232
Определение VI. Если <р—индивидная константа L,
формула L или индивидная переменная, то Int« (<р) есть
функция Н, определенная на области DA, такая, что для
каждого i Е DA, И (j) = Ext,. а (ф).
Определение VII. Предложение ф есть логическое
следствие (в прагматическом смысле) множества предло-
жений Г, если и только если для каждого прагматического
языка L и для всех 31, A, F, R, I, если 31 = <А, F, Ry, то31
есть возможная интерпретация для L, i £ DA, Г и {ф} есть
множество предложений L, и для каждого ф£Г, если ф
истинно;, и, то ф истинно,, а. Предложение логически ис-
тинно, если и только если оно является логическим след-
ствием пустого множества. Предложение <р логически экви-
валентно предложению ф, если и только если предложение
(ф<->ф) логически истинно* 1.
Если под экстенсионалом предикатной константы Р
(в i при 51) мы будем понимать FP(i), то исследование
определения III покажет нам, что фрегевский принцип
функциональности полностью приложим к нашему поня-
тию экстенсионала: экстенсионал формулы есть функция
экстенсионалов (обычных экстенсионалов) тех его частей,
которые не находятся в косвенных контекстах (то есть
в случае данного языка не находятся в области действия
оператора) и интенсионалов (которые Фреге называет не-
прямыми экстенсионалами) тех его частей, которые нахо-
дятся в косвенных контекстах. Пункт (6) определения III
создает эту зависимость некоторых экстенсионалов от ин-
тенсионалов, и из-за него определение III нельзя рассмат-
ривать как простую рекурсию по длине формул. Вместо
этого его можно рассматривать как рекурсию по фунди-
рованному отношению S между упорядоченными парами,
определяемому таким образом: <</, ф>, <i, ф»£5, если
1 Назовем интерпретацию <Л, F, Ry пустой, если объединение
множеств Л; для i£DA пусто. Г1сскольку мы не исключаем пустую
интерпретацию, может появиться опасение, что возникнут трудности
в связи с понятием, введенным определением VII. Эти страхи неоправ-
данны, легко показать, что вышеприведенное определение логического
следования эквивалентно результату добавления ограничения, что
§1 не пуста. С другой стороны, некоторые из вышеприведенных кри-
териев истины и выполнимости не проходят для пустой интерпретации;
но этот случай исключен условием „х есть элемент объединения мно-
жеств Aj“.
233
и только если I, /£DX, <р, ф суть формулы L, а ф есть
собственная подформула <р Ч
Впрочем, мы могли бы принять другой порядок, сна-
чала введя интенсионалы, а потом в их терминах опре-
деляя экстенсионалы. Легко видеть, что в этом случае
интенсионалы вводились бы простой рекурсией по длине
формулы; другими словами, интенсионал сложного выра-
жения зависит только от интенсионалов составляющих
его частей. (Так мы даем, по крайней мере для прагма-
тических языков, отрицательный ответ на вопрос Фреге,
нужно ли вводить косвенные интенсионалы наряду с обыч-
ными экстенсионалами и обычными интенсионалами. Ответ
будет отрицательным даже для более богатых языков,
рассматривающихся ниже.)
Общее рассмотрение операторов, отраженное в пункте
(6) определения III и принадлежащее Ч. Ховарду и мне,
имеет то преимущество, что включает все известные част-
ные случаи, однако его недостатком является его, по-
видимому, ad hoc и далекий от интуитивной ясности ха-
рактер. Чтобы устранить эту видимость и одновременно
дать теоретическое обоснование, нужно рассмотреть ин-
тенсиональную логику. Попытки построить интенсиональ-
ные языки для анализа предложений мнения и тому по-
добного осуществлялись и раньше, но без полного успеха;
теперь я сообщу о своих собственных результатах в этой
области.
Под интенсиональным языком будет пониматься язык,
символы которого принадлежат к следующим категориям:
(1) логические константы прагматических языков;
(2) круглые скобки, квадратные скобки и запятые;
(3) индивидные переменные ц0, ..., о„, ...;
(4) индивидные константы;
(5) и-местные предикатные переменные Go, Gft> „, ...
для каждого натурального числа п;
(6) предикатные константы типа s для каждой конеч-
ной последовательности s целых чисел 5?—1;
(7) оператор □ (читающийся как „необходимо,что.
(8) оператор дескрипции (читается „единственный...
такой, что...“ и рассматривается вместе с символами (1)
и (7) категорий как логическая константа).
1 Рекурсия по фундированным отношениям явно была введена
впервые в работе [13]; ее обсуждение см. в [19].
234
Согласно (6), мы допускаем, что аргументами преди-
катных констант наряду с индивидными символами могут
быть и предикатные переменные. Тип такой константы
указывает грамматические категории соответствующих по-
следовательностей аргументов, причем —1 соответствует
индивидным символам, а неотрицательное число п соот-
ветствует n-местной предикатной переменной. При этом
все прежные предикатные константы могут быть включены
в это определение и понимаемы как предикатные константы
типа <s0, ..., sn_1>, где всякое s(- (если i <п) есть —1.
Оператор дескрипции будет навешиваться только на пре-
дикатные переменные, потому что он понадобится нам
только в таких контекстах и потому, что его использо-
вание в связи с индивидными переменными потребовало
бы небольшого, но постороннего нашему предмету рас-
смотрения вопроса о выборе „пустого объекта" \ Мы будем
допускать только такие дескрипции, которые полностью
элиминируемы и вводятся исключительно для упрощения
некоторых примеров.
Множество формул интенсионального языка L есть наи-
меньшее множество Г, такое, что (1) Г содержит выражения
ей;
где £, т], £, ..., £„_j есть индивидные константы I. или
индивидные переменные и G есть n-местная предикатная
переменная L, а также выражения
где Р есть предикатная константа L типа <s0, ...,s„_1>,
и для каждого i < п либо s,O 0 и есть s,-местная пре-
дикатная переменная, либо s,- = —1 и есть индивидная
константа L или индивидная переменная; (2) Г замкнуто
относительно применения логических связок; (3) Д нф
и V мф принадлежат Г, если только ф принадлежит Г
и и является индивидной или предикатной переменной;
1 Настоящая система могла бы быть, однако, расширена, чтобы
включать всю теорию определенных дескрипций любым из хорошо
известных способов, например способом Монтегю и Калита [17].
Дескрипции введены здесь в таком ограниченном виде также и для
того, чтобы избежать не имеющих отношения к делу разногласий
относительно лучшего способа рассмотрения дескрипций.
235
(4) □ ср принадлежит Г, если только гр принадлежит Г;
(5) если гр, ф принадлежат Г, a G есть предикатная пе-
ременная, то Г содержит также результат замены в <р
всех вхождений G, которые не следуют непосредственно
за V, Л или Т. на Т бф.
Под термом L понимается либо индивидная константа L,
либо индивидная переменная, либо выражение “Г Grp, где
G—предикатная переменная, а ср—формула L.
Определение VIII. Возможная интерпретация для
интенсионального языка L есть пара <Л, Ё>, удовлетво-
ряющая пунктам (1)—(4) определения I и, кроме того,
выполняющая условие (5'): если Р— предикатная кон-
станта L типа <s0, ..., s„_j>, то есть <DZ, UB, ...
..., 7/„_1>-предикат, где для каждого i < п либо sz = —1
и (jj есть объединение множеств At (i g ВЛ), либо s,^0
и U, есть множество всех «^-местных ОЛ -предикатов, за-
данных на элементах объединения множеств Л(-, где i С ВЛ.
Условие (5) определения I есть специальный случай
настоящего условия (5'), когда s„= ... =.s„_x = —1.
Снова мы будем прежде всего интересоваться поняти-
ями истинности и выполнимости, выражаемыми фразами:
„предложение ср истинно в точке соотнесения i при ин-
терпретации 31 и „х выполняет формулу гр в точке соот-
несения i при интерпретации 31“. Но поскольку наши
формулы теперь могут содержать свободно наряду с ин-
дивидными и предикатные переменные, то под х мы будем
понимать либо возможный индивид, либо предикат, за-
данный на индивидах.
Содержательные основания настоящего исследования
станут ясными после рассмотрения следующих критериев.
Критерии интенсиональной истины и вы-
полнимости. Пусть 31 есть возможная интерпретация
вида <Л, Е> для интенсионального языка L, пусть г g ЭЛ,
пусть U будет объединением множеств Лу (где / g ОЛ),
пусть х С V, пусть Р будет предикатной константой языка L
типа <—1, —1>, пусть с, d будут индивидными констан-
тами L и пусть и будет индивидной переменной. Тогда:
(1)—(7) пункты критериев прагматической истины
и выполнимости.
(8') Если ср есть формула L, единственной свободной
переменной которой является «-местная предикатная пере-
менная G, то \/G<p истинно,-. 5(, если и только если имеется
236
«-местный ОЛ-предикат X на членах U, такой, что X
выщ, и<р-
(9') Если G есть «-местная предикатная переменная,
Р — предикатная константа L типа <«> и X—-«-местный
ОЛ-предикат на членах U, то X вып,-. а P[G], если и только
если <Х>
(10') Если <р есть предложение L, то □ ср истинно,, а,
если и только если ср истинно/, « для всех j^DA.
(1Г) Если G есть «-местная предикатная перемен-
ная, 53—предикатная константа L типа <«> и ср—формула
L с G в качестве единственной свободной переменной, то
З3 [~ГGcp] истинно,, и, если и только если либо существует
в точности один «-местный ОЛ-предикат А' на членах U,
такой, что X вып/, «ср, и этот предикат принадлежит F
либо неверно, что существует в точности один такой пре-
дикат, и пустой предикат (то есть ОЛх{Д}) принадле-
жит F y>(t).
(12') Если G есть 0-местная предикатная переменная
и X есть <ОЛ>-предикат *), то X выщ, a G [ ], если и только
если пустая последовательность есть член X (i) (следова-
тельно, если и только если X(i) = (A}),
В силу (8'), предикатные переменные пробегают по
свойствам и отношениям возможных индивидов, В силу (10'),
□ будет рассматриваться как стандартный оператор необ-
ходимости. Вследствие (8') и более ранних замечаний 0-мест-
ные предикатные переменные пробегают по суждениям,
следовательно, мы можем, согласно (12'), читать G [ ] как
„суждение G истинно".
Квантификации по индивидным концептам и по отно-
шениям (в экстенсиональном смысле) в системе нет, но
тем не менее в ней можно построить их аналоги. Пусть
<Л, Е> будет возможной интерпретацией для интенсиональ-
ного языка, а V—объединением множеств Л,-, где i g ОЛ.
Под индивидным концептом в <Л, F> понимается функция,
определенная на ОЛ и принимающая значения из области U.
Индивидные концепты могут быть отождествлены с <D Л, £/>-
предикатами, выполняющими формулу
□ Vи Ли (G [и] v = и).
* Речь идет именно о <ВЛ>-предикате, а не о DА-предикате;
<ВЛ>-предикат есть функция, определенная на множестве DH со
значениями „истина" и „ложь".— Прим, перев.
237
Далее, как заметил Дж. Кэмп, <1/, 1/>-отношений Могут
быть отождествлены с <D4, U, Uy-предикатами, выполняю-
щими формулу
Л и л V (□ G [и, и] V □ 1 G [и, и]);
и то же самое для отношений с большим или меньшим
числом мест.
Теперь введем точные определения, следствиями кото-
рых были бы критерии (1) —(12'). Мы примем, что 81 есть
возможная интерпретация для интенсионального языка L,
§1 = <Л, F>, U есть объединение множеств Лу-(/’£ D/1),
a igD.4. Мы не можем в данном случае продолжать
считать, что обыкновенные бесконечные последовательности
приписывают значения переменным; наличие переменных
различных типов требует рассмотрения двойных последо-
вательностей, в которых один из индексов определяет тип
данной переменной. В частности, под системой, ассоцииро-
ванной с St, будем понимать функцию х, областью кото-
рой являются пары <n, ky, где п есть натуральное число,
a k—целое число —1; если <п, ky есть такая пара и
k =—1, то x«n, ky)£U, а если k^Q, то x«n, ky) есть
^-местный D.4-предикат, определенный на членах U.
Пусть S есть множество всех систем, ассоциированных с §1;
как и раньше, мы будем понимать под xni k значение
функции х «п, ky). Примем, что, кроме того, п и k суть
натуральные числа; если х есть функция, то под xg будем
понимать функцию, которая получается из функции х
подстановкой b вместо значения х при аргументе а, то
есть функцию (х—(<а, х (а)>}) U {<а, &>}.
Экстенсионал терма и формулы вводится одновременной
рекурсией.
Определение IX. (1) Если с есть индивидная кон-
станта L, то Ext,-, а(с) есть функция Н, заданная на S,
такая, что для всех х 6S, H(x) = Fc(i).
(2) Ext,-. и (vn) есть функция Н, заданная на S, такая,
что для всех х £ S, Н (х) = х„,
(3) Ext,-, и (G„, ft) есть функция Н, определенная на
области S, такая, что для всех xgS, Н (х) = xn,k.
(4) Если ф есть формула L, то Ext,-, а (Тб„Лф) есть
функция Н, заданная на области S, такая, что для всех
xgS либо (Я(х)}--g Ext,-, а(ф)}, либо не суще-
238
ствует такого Z, для которого {Z} = {У ’.Ху’k> С Ext;, а(ср)},
и Н(х) есть D/lx{A}-
(5) Если L, есть индивидная константа L или инди-
видная переменная, то Ext, й(е[С]) есть {x:x£S и
(Ext/, а (£)) (х) С Л,}.
(6) Если С и г] являются либо индивидной константой L,
либо индивидной переменной, то Ext/, а (С = л) есть
(x:x£S и (Ext(, а(£))(х), такой же, что и (Ext/, а (л)) (*)}•
(7) Если 1] есть «-местная предикатная переменная или
терм Т^ср (где G — «-местная предикатная переменная) и
каждая из to. • Cn-i является индивидной константой L
или индивидной переменной, то Ext,, а (л [Со, •••>Cn-i])
есть {x:x£S и <(Extz, я (£„)) (х), ..., (Ext/, a (t„-i)) (х)> С
e(Extz, a)(T])(x) (i)}.
(8) Если Р есть предикатная константа L типа
<s0, s„_j> и для каждого i<« либо s,>0 и С/есть
или 8гместная предикатная переменная, или терм Gcp,
в котором G есть s,-местная предикатная переменная и <р
есть формула L, либо s(- = —1 и С,- есть индивидная кон-
станта или индивидная переменная L, то
Ext/, а (Р [Со, C„-i]) есть {x:x£S и
<(Ext/, а (Со)) (х),.... Ext/, а (£„_,)) (-Ф € Fp (i)}.
(9) Если <р, ф—формулы L, то Ext/, а(~1ф) есть
S—Ext/, а (ср) и соответственно для других пропозицио-
нальных связок.
(10) Если ср—формула L, то Ext/, а(\/ад) есть
{х :х С S и для некоторого у G U система х£"’ -1> £ Ext/, а (ср)}
й соответственно для /\п,;<р-
(11) Если ф—формула L, то Ext/, а(VG,, ftcp) есть
{x:x£S и для некоторого 6-местного ОЛ-предиката Y на
членах U система Ху"’ к> G Ext/, а (ср)} и соответственно
для AG„,ftcp-
(12) Если ср—формула L, то Ext/, а(Пф) есть (x:x£S
и для всех jCD/l, х С Ext/. а (ф)}-
Определение X. Если ф есть предложение L,
то ср истинно/», если и только если Ext/, и(ф) = 5.
Определение XI. Если ср есть формула L, имею-
щая в точности одну свободную переменную, то у вып/. »ф,
если и только если либо существует натуральное число «,
такое, что свободная переменная ср есть vn, и существует
239
х 6 Ext;, и (ф), такое, что хп> _£ = у, либо имеются натураль-
ные числа п и k, такие, что свободная переменная ф
есть G„ift, и существует такое х£ Ext/, а (<р), что хПгк = у.
Определение XIL Если <р—терм или формула L,
то IntSI (<р), или интенсионал ср, в интерпретации есть
такая функция Н с областью D4, что для любого
/(EDA Н(i) = Ext,-, и (<р).
Определение XIII. Предложение ф есть логиче-
ское следствие (в смысле интенсиональной логики) множе-
ства предложений Г, если и только если для каждого
интенсионального языка L и для всех §1, A, F, i, где
§1 = <Л, Е> и ?( есть возможная интерпретация L, iCD/?,
Г U {ср} есть множество предложений L и для всякого
ф € Г если ф истинно,, а, то и ф истинно,. Предложение
логически истинно, если и только если оно есть логическое
следствие пустого множества. Предложение ф логически
эквивалентно предложению ф, если и только если пред-
ложение (ф«->Ф) логически истинно.
Замечания об экстенсионалах и интенсионалах, сделан-
ные выше по поводу прагматических языков, приложимы
и к настоящим определениям, с той только разницей, что
„бесконечные последовательности“ должны быть заменены
„системами". Далее, критерии (1)—(12') являются непо-
средственными следствиями из определений IX—XI.
Ранее уже говорилось, что допускаемые нами дескрип-
ции, то есть фразы с операторами дескрипции по преди-
катным переменным, элиминируемы. Теперь мы можем
сделать более точное утверждение: если ф есть некоторое
предложение интенсионального языка L, то существует
предложение L без дескрипций, логически эквивалент-
ное ф. Например, если ф есть
5s [TG& [G]],
где G есть одноместная предикатная переменная, а Р и Q
предикатные константы типа <1>, то ф логически экви-
валентно
VG (© [6]л у И (62 [//] □ Дх (Я [х] <-> G [х]))л
5* [G])V(П VG (62[G]л ДЯ (62 [Я] —
□ Дх (Н [х]G [х])))л VG (□ Дх 1 G [х]Л5»[G])).
Удобство дескрипций состоит в том, что они дают
возможность строить имена для особых предикатов. Вот
?4Q
как, например, мы можем различать выражения, обозна-
чающие свойства, и выражения, обозначающие двухмест-
ные предикаты, если они записаны одной и той же фор-
мулой (принимая во внимание места, занимаемые отдель-
ными индивидными переменными): если <р есть формула
и и, v—различные индивидные переменные, то под uq>
(может читаться как „свойство тех и, которые удовлетво-
ряют условию ср) будем понимать терм ТСЛ«П (G[u]<->cp),
а под uvcp (читается как „отношение между и и v, удовлетво-
ряющих <р“)—терм-Г77ДиД1>П(//[и, ц]<->ср), где G, Н есть
соответственно первая одноместная и первая двухместная
предикатные переменные, не входящие в <р. Мы можем,
таким образом, вводить определения для случая трех
переменных, и даже больше; но — и это намного интерес-
нее—мы можем также ввести определения для пустой
последовательности переменных. В частности, если <р есть
формула, то под Лф будем понимать терм ТСП (G[ ] <-> <р);
этот терм обозначает суждение, выраженное формулой ср,
и может читаться как „суждение, что ср“ или просто
„что ср“ и служит тем же целям, для которых Каплан [11]
построил терм „<р“.
Из определения IX ясно, что предложения интенсио-
нальных языков в отличие от предложений прагматических
языков могут содержать косвенные компоненты — то есть
такие, интенсионалы которых приходится рассматривать
для определения экстенеионала всего выражения,— только
одного вида; это компоненты, находящиеся в области
действия оператора □ . К такому же результату можно
прийти, беря в качестве исходного косвенного контекста
не □ ср, а Лф—и тождество суждений, тогда □ ср можно
было бы определить как Лср = АДад, = t>0.
Теперь посмотрим, как можно ввести операторы в ин-
тенсиональные языки. (Наблюдение, что это может быть
сделано, и настоящее исполнение принадлежат совместно
Дж. Кэмпу и мне.) Предположим, что L есть некоторый
прагматический язык и </1, F, Ry — некоторая возможная
интерпретация для него. Предположим также, что опера-
торам N языка L взаимно однозначно соответствуют пре-
дикатные константы /V' типа <0>. Пусть L' будет интен-
сиональным языком, все индивидные и предикатные
константы которого содержатся в L вместе с симво-
лами АГ, соответствующими операторам N языка L.
241
Пусть F' таково, что <Л, F'y есть возможная интер-
претация для интенсионального языка L', F F', а для
каждого оператора N языка L и для каждого i £ ОЛ
F'n, (i)— это {<(/>:U есть <ОЛ>-предикат и <1{/:/£ВЛ
и V (j)= {Л}}> 6 Rk}- Тогда мы можем легко доказать
следующее: если ср есть предложение L и если ср' полу-
чается из <р заменой каждой подформулы вида Л^ф, где N
есть оператор L, а ф—формула L, на подформулу
УС(П(6[]ч->ф)лЛПС]),
и г'СОЛ, то ф истинно в i при прагматической интерпре-
тации <Л, F, Ry, если и только если ср' истинно в i при
интенсиональной интерпретации <Л, F'y.
Таким образом, мы свели прагматику к интенсиональ-
ной логике. Это сведение, грубо говоря, заключалось
в рассмотрении одноместных, модальностей (то есть отно-
шений между точками соотнесения и множествами точек
соотнесения) как свойств суждений. И наоборот, каждое
свойство суждений соответствует одноместной модальности.
В самом деле, если <Л, Fy есть интерпретация для интен-
сионального языка и в этой интерпретации имеется свой-
ство суждений X (то есть <ОЛ, 6'>-предикат, где U есть
множество всех <ОЛ>-предикатов), то соответствующая
одноместная модальность будет являться множеством пар
<i, Jy, таких, что i^DA, и существует Y£X(i), такой,
что / = {/:/еол и У(/) = {АН-
Теперь уточним, в каком смысле интенсиональная ло
гика может быть частично сведена к прагматике. Пусть L
будет интенсиональным языком, все предикатные константы
которого имеют тип <0> или <s0, ..., s„_i>, где sp= — 1
для всех р < п, и пусть <Л, Fy будет некоторой интер-
претацией для языка L. Пусть предикатные константы 5-
языка L типа <0> одно-однозначно отображаются на опе-
раторы и пусть N будет оператором, не входящим
в их число. Пусть L' будет прагматическим языком, у
которого те же индивидные константы, что и в L, те же
предикатные константы, что и константы L, которые не
имеют типа <0>, и операторами которого являются N и 3s’,
где есть предикатная константа типа <Ю>. Пусть F' п
R таковы, что <Л, F', Ry есть возможная интерпретация
для прагматического языка L', F^F, RN есть множеств< >
пар <«,./>, таких, чго ( б Г)Л и J = D4, и для каждого
предиката 3 языка L типа <0>, R^v есть множество пар
242
<ii, Jy, таких, что и существует У 6^(0 такой,
что J = {/: j £ D/1 и У(/) = {Л}Ь Тогда мы легко можем
показать, что если i £ D/1, ср — предложение L и ср' полу-
чается из ср заменой каждой подформулы У* [ЛФ], где 5s
есть предикатная константа типа <0>, а ф—формула L,
на У*'ф и ср' есть предложение прагматического языка L'
(это налагает некоторые ограничения на форму ср), то ср
истинно в I при интенсиональной интерпретации <Л, Fy,
если и только если ср' истинно в i при прагматической
интерпретации <71, F', Ry.
Тот факт, что одноместные модальности в известном
смысле совпадают со свойствами суждений, придает этим
модальностям интерес и создает интуитивное обоснование
для использования их при интерпретировании операторов.
(Совершенно то же можно было бы сказать о многомест-
ных модальностях и многоместных операторах, если бы
таковые были включены в прагматическую систему.)
Отношения между различными системами в общих чертах
могут быть выражены следующим образом. Если под
модальной логикой мы понимаем ту часть интенсиональной
логики, в которой не рассматриваются формулы с преди-
катными переменными, то интенсиональная логика может
рассматриваться как второпорядковая модальная логика
и прагматика в известном смысле содержится в ней:
в самом деле, прагматика может рассматриваться как
первопорядковая часть интенсиональной логики.
Конечно, ничто не принуждает нас останавливаться
на модальной логике второго порядка. Мы могли бы
вполне очевидным образом расширить настоящее построе-
ние и получить разнообразные системы высших порядков
вплоть до трансфинитного. Однако только система второго
порядка нужна для того непосредственного применения
к обсуждению философских проблем, основу для которого
призвана была заложить настоящая работа.
Например, убеждения могут быть естественным образом
рассмотрены в интенсиональной логике. Пусть L будет
интенсиональным языком, содержащим предикатную кон-
станту 93 типа <—1,0>. Если <71, Fy есть возможная
интерпретация для L, то мы будем рассматривать область
определения функции А как множество всех возможных
миров, А; — как множество объектов, существующих
в возможном мире i, a Fc(i) как экстенсионал дескрип-
тивной константы с в мире i. Тогда <0/1>-предикат может
243
с полным основанием рассматриваться как суждение в под
линном философском смысле, а не только в том расши-
ренном значении, в каком он рассматривался раньше,
а интенсионал предложения в интерпретации <Л, F>—как
суждение, выражаемое этим предложением (в интерпре-
тации <Д, Е». Мы рассматриваем 33 как сокращение для
„убежден*" и считаем F<^(i) множеством пар <х, Г/>, таких,
что х верит в суждение U в возможном мире i. Идея
рассматривать убеждение как эмпирическое отношение
между индивидами и суждениями не нова. Ряд трудно-
стей, связанных с этим подходом, рассеивается, если
осуществлять его в рамках нашего метода, в особенности
снимается проблема квантификации по переменным в обла-
сти действия оператора „убежден"" и проблема итерации
таких операторов1.
Рассмотрим утверждение „существует предмет, относи-
тельно которого Джонс убежден, что Робинсон убежден,
что этот объект имеет форму шара“. В нем встречается
и итерация, и квантификация в непрямых контекстах;
но в L оно выражается (при <Л, Е>) простым предложе-
нием V*(£[*]A^[7> л5 И]]), где J и R—ин-
дивидные константы, обозначающие Джонса и Робинсона
соответственно, и S есть предикатная константа, выра-
жающая свойство „иметь форму шара"". Если же мы пред-
почитаем не иметь дела с дескрипциями, то эту фразу
можно выразить логически эквивалентным предложением
VxVG(£[x]A®[J, G]AD(G[]<->
\/H(93[R, Д]а □(//[]<->S[x])))).
Здесь может быть выдвинуто два возражения. Во-пер-
вых, какой эмпирический смысл можно придать убежде-
нию как отношению между лицами и суждениями? Я по-
лагаю, что не меньший, чем у обычных эмпирических
предикатов. Можно дать критерии, хотя, возможно, и не
определение, для этого отношения в бихевиористских
терминах. Приведу два примера, правда неотшлифованных
и не до конца проанализированных.
1 На проблемы первого рода много раз указывал Куайн, на-
пример в книге [211; проблемы второго рода встают в связи с дис-
сертацией Каплана [11], система которого кажется неспособной
к расширению, адекватному для рассмотрения утверждений с итери-
рованными выражениями для убеждений.
244
(1) Если ср есть некоторое предложение, выражающее
суждение G, то утверждение, что х соглашается с ср, под-
тверждает (хотя, конечно, неокончательно) утверждение,
что х убежден, что G.
(2) Если ср — некоторая формула, которая содержит
в точности одну свободную переменную и выражает
свойство Н (в том смысле, что для всех i б D/1, Н (i) есть
множество возможных индивидов, выполняющих ср в i при
данной интерпретации), то утверждение, что х соглашается
с <р, когда ему указывают на у, подтверждает (хотя, опять-
таки, неокончательно) утверждение, что х убежден в су-
ждении, что //[у].
Второе возражение может касаться того факта, что
если ф и ф есть какие-то логически эквивалентные пред-
ложения, то предложение
5Э [У, A^,]
логически истинно, хотя и может при известных обстоя-
тельствах оказаться необоснованным. На это можно было
бы возразить, что заключение все-таки, по-видимому,
неизбежно, если в качестве объектов убеждения действи-
тельно берутся суждения, но это заключение перестает
казаться ложным, если последовательно применяется
принцип (1), а его противоречие с интуицией объясняется,
пожалуй, существованием другого понятия убеждения,
объектами которого являются предложения или в неко-
торых случаях комплексы, состоящие частично из откры-
тых формул1.
В качестве другого примера рассмотрим глагол „ка-
заться*": „и кажется v имеющим форму шара"".
Пусть L будет определено, как и выше, с той лишь
разницей, что теперь в L будет иметься предикатная
константа $ типа <—1, I, —1>; если <Д, Е> есть воз-
можная интерпретация для L и fgD/l, то E»(i) будет
считаться множеством троек <х, U, уУ, таких, что в воз-
можном мире i у кажется, что х имеет свойство U. Пред-
ставленная выше формула будет выражаться в L формулой
$ [u, wS [и>], ц].
1 Частичный анализ этого понятия может быть найдеи в рабо-
те [18]. Однако он был неполон и непригоден в тех случаях, для
которых предназначен критерий подтверждения (2) и в которых
убеждения касаются объектов, не имеющих имен.
246
Мы не предпринимали никаких попыток определить
оператор „убежден" или „ему кажется". Но это не избав-
ляет нас от необходимости прояснить логический статус
этих глаголов и понятий логической истины и логического
следования для рассуждений, в которых они встречаются;
и это, возможно, служит главным требованием для оценки
ряда философских доводов. Однако область применения
интенсиональной логики в философии, по моему мнению,
этим не исчерпывается, более важные применения могут
быть найдены и в других областях, особенно в метафи-
зике и эпистемологии, как это обсуждалось в работе [15].
Здесь, по-видимому, было бы уместно хотя бы кратко
охарактеризовать промежуточную систему, принадлежа-
щую Д. Скотту и мне, которая может быть названа рас-
ширенной прагматикой К
Символы расширенного прагматического языка принад-
лежат к следующим категориям:
(1) логические константы прагматики;
(2) круглые и квадратные скобки и запятые;
(3) индивидные переменные;
(4) индивидные константы;
(5) операторы степени </и, п, р> для всех натуральных
чисел т, п, р.
Множество формул такого языка L есть наименьшее
множество Г, удовлетворяющее ряду известных условий,
а также условию, что Nuu,. . ., ср^, ...cpp-j
принадлежит Г, если N есть оператор L, имеющий степень
</п, п, рУ, и0, ..., tzm_] есть различные индивидные пере-
менные, каждая из £0, . ., tn-i—либо индивидная кон-
станта L, либо индивидная переменная, а ср0, ..., (рг_1
принадлежит Г.
Возможная интерпретация для расширенного прагма-
тического языка L есть пара </1, F>, удовлетворяющая
условиям (1), (2), (4) определения I и, кроме того, такая,
что (3') F есть функция, определенная на множестве
индивидных констант и операторов L, и (5'), если N есть
1 В первоначальном варианте данной статьи описания расши-
ренной прагматики не содержалось; оно было добавлено после того,
как я познакомился в июне 1967 года с трактовкой модальной ло-
гики Скоттом и обсудил ее с ним и с Капланом. Принципиальная
разница между системой Скотта и расширенной прагматикой состоит
в том, что в первой допускается квантификация ие по индивидам,
а лишь по индивидным концептам.
246
оператор L степени <m, и, ру, FN есть <D/1, U и, ...
..., Un-i, Vo, l/„_ ^-предикат, где каждое U i(i <_п)
есть объединение множеств Aj, где /(ED/1 и каждое
l/,(i<p) есть множество т-местных D Zl-предикатов на
членах объединения множеств Л,-(/£ DZ1). Экстенсионал
индивидной переменной, индивидной константы или фор-
мулы по отношению к возможной интерпретации 91 вида
<Л, Fy и точке соотнесения i g ОЛ определяется так же,
как и в определении II, вместе с рекурсией, состоящей
из пунктов (1), (2), (4), (5) определения III, и вместе со
следующим пунктом: если N есть оператор L степени
<т, п, ру, ku, ..., k,n_,— различные натуральные числа,
каждое из £0, ..., есть индивидная константа L или
индивидная переменная, а <р0, .. , г—формулы L, то
Ext,-. 51 (ЛЧ„, • • Ко, • •, £„-i, Фо, • • , <Рр-1] — это
{Х.Х с и <(Ext,-_ й (Со) (х), .... Ext;, 5( (С„_!) (х), Уо, х,. • •
..., Ур-i, х> € f'yv(')}, где для каждого q < р и х £ Ua, Y q, х
есть
{</. {<£/о, •••, ^“Z’.^Ext/, Sl (<(>„)}>:/EDZ1).
В частности, если N есть оператор степени <0, п, 0>,
то Ext/, я (N Ко....Sn-i]) есть К:А' G и <Extz, а (ф0) (х),
..., Ext/, и (C„-i) (х)> £ Ejv 0)}, а М в таком случае будет
играть роль «-местной предикатной константы; если же N
имеет степень <0,0, 1>, то Ext/, я (Л? [ср]) есть {x:x^Ua
и <{</, {Л}>:/€Е>'4 и хЕ Ext/, 5i (ср)} U {</, Л>:/€ 'ОЛ и
x$Ext/, й(ср)}> eFA,(t)}, a TV в таком случае может служить
заменителем для (одноместного) оператора прагматики.
Далее, оператор расширенной прагматики произвольной
степени </«, п, рУ может быть заменен в интенсиональной
логике предикатной константой типа <s0, ..., s„_A, ...,
..., tp_1y, где каждое s; (i < n) есть —1 и каждое
(t < P) есть m-
Таким образом, в определенном смысле прагматика
содержится в расширенной прагматике, которая в свою
очередь содержится в интенсиональной логике. Мы можем
рассматривать расширенную прагматику как дающую более
всестороннюю, нежели обыкновенная прагматика, первопо-
рядковую редукцию для части интенсиональной логики. На-
пример, если S3, подобно оператору „убежден", является пре-
дикатной константой интенсиональной логики типа <—1, 0>,
мы можем заменить S3 оператором S' степени <0, 1, 1>
247
(в расширенной прагматике) и утверждение
.33 [х, ~ф]
выражать эквивалентным образом утверждением
33' [х, ф].
Соответственно, если подобно „быть убежденным,
что“,— предикатная константа типа <1, 1, —1>, мы можем
заменить ее оператором 3' степени <1,2, 1> и выражать
утверждение
$ [и, U/ф, и]
с помощью
Ww [и, V, ф].
(Из этого примера, так же как из общего определения
экстенсионала, должно быть ясно, что т переменных, не-
посредственно следующих за оператором <т, п, р>, долж-
ны рассматриваться как связанные.) Мы, разумеется, не
хотим сказать, что все формулы интенсиональной логики,
содержащие 53 или S, могут быть выражены в расши-
ренной прагматике; например, утверждению „Джонс убеж-
ден в чем-то таком, во что Робинсон не верит" не соот-
ветствует никакая формула расширенной прагматики.
Теперь мы можем рассмотреть различные технические
свойства трех систем, сформулированных в этой статье.
Прежде всего надо отметить, что теорема компактности
не выполняется для интенсиональной логики. Другими
словами, это значит вот что: пусть множество предложе-
ний называется выполнимым, если существует не-пустая
интерпретация §1 и точка соотнесения i в §1 такая, что
все предложения этого множества истинны в i при
тогда не будет выполняться утверждение, что для любого
множества предложений интенсиональной логики Г:
(3) Если любое конечное подмножество Г выполнимо,
то и Г выполнимо.
Это очевидным образом вытекает из того сведения
обычной логики второго порядка к интенсиональной логике,
о котором мы упомянули раньше, и из широко известного
факта, что теорема компактности не выполняется в логике
второго порядка. С другой стороны, пусть ф будет назы-
ваться предикативным предложением, если ф—предложе-
ние интенсиональной логики, не содержащее дескриптив-
ных выражений и такое, что (1), если G есть предикатная
248
переменная, ip—формула, а дбф—подформула ср, то
существуют 3х, ..., у такие, что есть предикат-
ная константа, каждое из £,• (i^n) есть либо индивидная
константа, либо индивидная переменная, либо предикат-
ная переменная, у—формула, ф есть формула [£0, ...,
£„] —* у), a G—£,• для некоторого icXn, и (2) если G есть
предикатная переменная, ф—формула, а \/Счр—подфор-
мула <р, то существуют £0, • • > £к> Х> удовлетворяю-
щие такому же условию, что и в (1), за исключением
того, что чр теперь есть (^[^, • •, ?в]Лх)- Для
предикативных предложений интенсиональной логики тео-
рема компактности выполняется; другими словами, утверж-
дение (3) выполняется для любого множества предика-
тивных предложений1. Отсюда можно заключить, что тео-
рема компактности без ограничений выполняется для праг-
матики и для расширенной прагматики, то есть что утверж-
дение (3) верно как для любого множества Г предложе-
ний прагматики, так и для любого множества Г предло-
жений расширенной прагматики; для этого мы используем
вышеописанное сведение обоих языков к интенсиональной
логике и замечаем, что в результате такого сведения по-
лучаются исключительно предикативные предложения.
Сходные замечания приложимы к вопросу о рекурсив-
ной перечислимости класса логически истинных предложе-
ний во всех трех рассматриваемых системах. Однако сна-
чала надо сказать о том, какой смысл имеет рекурсивная
перечислимость в этом контексте. Мы не требовали, чтобы
символы, из которых были построены наши языки, состав-
ляли бы счетное множество, поэтому здесь неуместно гово-
рить о гёделевской нумерации всех выражений. Но можно
предположить, что для некоторого счетного подмножества S
множества всех выражений может быть дана гёделевская
нумерация, удовлетворяюшая всем обыкновенным усло-
виям, можно, далее, предположить, что все логические
константы, круглые и квадратные скобки, запятые, все
индивидные переменные, все предикатные переменные,
1 Это утверждение, формулировка которого частично принадле-
жит Дж. Кэмпу, может быть довольно легко доказано на базе тео-
ремы полноты для логики са-порядка Генкина [10] и не составляет
особенности второпорядковой модальной логики; в самом деле, тео-
рема компактности верна для предикатных предложений модальной
логики высших порядков, содержащих переменные всех конечных
уровней.
249
бесконечное множество n-местных предикатных констант
(для каждого п), бесконечное множество предикатных кон-
стант каждого типа, бесконечное множество одноместных
операторов и бесконечное множество операторов каждой
степени есть в S и что S замкнуто относительно сочленения
двух выражений. Когда мы говорим, что множество выра-
жений рекурсивно или рекурсивно перечислимо, мы имеем
в виду, что рекурсивным или рекурсивно перечислимым
при определенной гёделевской нумерации является под-
множество S.
Отождествим язык с множеством символов, которое он
содержит; соответственно, мы можем говорить о рекур-
сивных языках. Тем же методом, какой был указан
в связи с компактностью, легко показать, что (1) имеются
рекурсивные интенсиональные языки, в которых множе-
ство логических истин не является рекурсивно перечис-
лимым; (2) если L — некоторый рекурсивный интенсио-
нальный язык, то множество логически истинных преди-
кативных предложений L рекурсивно перечислимо; (3) если
L — некоторый рекурсивный прагматический язык, то
множество всех логических истин L рекурсивно пере-
числимо.
На базе (2)—(4) вместе с теоремой Крейга [6] мы
можем, разумеется, показать, что каждое из трех мно-
жеств, упомянутых в (2) — (4), рекурсивно аксиоматизи-
руемо (с использованием правила отделения). Однако
представляется желательным найти простую и естествен-
ную аксиматизацию этих множеств. Одна из трех встаю-
щих таким образом проблем была окончательно разрешена:
Д. Каплан недавно получил аксиоматизацию множества
логических истин (обыкновенной) прагматики. Он по-
лучил также аксиоматизацию для множества логически
истинных предложений системы, весьма близкой к рас-
ширенной прагматике похоже, что, когда его аксиома-
тизация станет доступной, ее можно будет распространить
на расширенную прагматику. Однако проблема аксиома-
тизации предикативной прагматической логики остается
открытой.
В связи с проблемой аксиоматизации не будет, навер-
ное, излишним упомянуть, что все наши три системы
в определенном смысле чисто референциальны, а именно
в том смысле, что
(4) А и A v (и = v -> (<р ф'))
250
л
1
логически истинно, если и, v суть индивидные перемен-
ные, <р—формула рассматриваемого языка и ср' получается
из ср заменой свободного вхождения и на свободное вхож-
дение v, но она не чисто референциальна в другом смысле:
не всегда истинно, что если с, d суть индивидные кон-
станты, ср—формула одного из рассматриваемых языков
и ср' получается из ср заменой вхождения с на d, то формула
(5) (c = d —> (<р <-»<р'))
логически истинна. Отсюда, разумеется, следует, что логи-
ческий закон снятия квантора общности выполняется не
всегда; он выполняется, если в результате снятия вво-
дится переменная, но не выполняется в общем случае,
если в результате снятия вводится индивидная константа.
Существует общее (хотя и не всеобщее) соглашение,
что (5) не должно быть логически истинным в модальных
контекстах или в контекстах, где имеется оператор убеж-
дения; рассмотрим, в частности, такой знакомый пример
формулы (5):
Если Утренняя Звезда = Вечерняя Звезда, то Джонс
убежден, что Утренняя Звезда появляется утром, если и
только если он убежден, что Вечерняя Звезда появляется
утром.
,! Однако на основании этого некоторые философы отка-
зываются считать логически истинным и (4). Желатель-
ность принятия в качестве логической истины (4), но не (5)
впервые, по-моему, явно обосновывалась в 1955 году
в статье Монтегю 114], однако недавно этот тезис был
развит Фоллесдаллом в [8] и Кокьяреллой в [5], а также
в докладах проф. Р. Томасона и проф. Д. Фоллесдалла.
Позвольте мне закончить некоторыми замечаниями
относительно истории интенсиональной логики. Первой
серьезной и подробной попыткой такого рода является,
кажется, работа Чёрча ]3|. Независимо от него, Карнап
в своих беседах предлагал отождествить интенсиональные
объекты с функциями, сопоставляющими возможным мирам
интенсионалы соответствующих родов, и рекомендовал
отождествить возможные миры с моделями — в отличие от
более позднего подхода Крипке, принятого в настоящей
работе. Д. Каплан в своей диссертации [11] отметил не-
которые недостатки системы Чёрча и представил изменен-
ную версию, призванную преодолеть эти недостатки,
а также построил теорию моделей для исправленной си-
251
стемы, базирующейся на идеях Карнапа. Однако система
Каплана страдает от указанного выше недостатка, связан-
ного с итерацией эмпирических свойств суждений; эта
трудность в значительной мере происходит от карнапов-
ской идеи отождествить возможные миры с моделями.
Более недавние попытки Ч. Ховарда, Д. Каплана и
Д. Скотта (некоторые из них предшествовали, а некоторые
были предприняты после доклада, в котором излагалось
основное содержание этой статьи) избегают этой трудности,
но разделяют вместе с работой Каплана [11] тот недос-
таток, что не допускают неограниченную квантификацию
по обыкновенным индивидам. Но не думаю, что без такой
квантификации можно естественным образом рассматривать
естественный язык или адекватно ответить на куайнов-
ское возражение против квантификации в косвенных кон-
текстах *.
* Основное возражение Куайна против допустимости квантифи-
кации в косвенных контекстах состоит как раз в том, что в таких
контекстах происходит квантифицировапие не по объектам, а по
абстрактным сущностям. Для Куайна квантификация является той
привилегированной языковой формой, которая непосредственно ука-
зывает на предметы, существующие в предметной области данной
теории (иногда он говорит: „в онтологии данной теории"). Отсюда
формулировка онтологического критерия Куайна: „быть—значит
быть значением квантифицированной переменной". Рассмотрим теперь
случай квантификации в косвенном контексте: пусть
(1) (а = 6) Л (Джонс убежден, что а#6),
(2) (а = а) Л (Джонс убежден, что а = а)
суть истинные утверждения, где „а“ и „Ь“ — индивидные константы,
например „Утренняя Звезда" и „Вечерняя Звезда". Отсюда, по пра-
вилам стандартной теории квантификации
(3) зх (х = а) Л ~1(ДЖ011С убежден, что х = с),
(4) зх(х = а)Л (Джонс убежден, что х — а).
Поскольку один и тот же объект не может одновременно вы-
полнять как (3), так и (4) (при правдоподобном предположении, что
убеждения Джонса не являются логически противоречивыми), то
Куайн делает вывод, что в косвенных контекстах квантифицирован-
ные переменные пробегают не по действительным объектам (в данном
случае по небесным телам), ибо действительный предмет, о котором
шла речь в (1) и (2), был всего один, а по идеальным сущностям —
индивидным концептам. Поэтому Куайн делает вывод, что квантифи-
кация в косвенных контекстах предполагает идеалистическую онто
логию.— Прим, перев.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anscombe Е. The Intentionality of Sensation: Л Gramma
tical Feature.— „Analytical Philosophy", Second Series, Oxford, 1965.
252
2. Bar-Hillel Y. Indexical Expressions.—,,Mind“, 63, 1954,
p. 359—379.
3. Church A. A Formulation of the Logic of Sense and Deno-
tation.—“Structure, Method, and Meaning”, ed. by Henle P., Kal-
len H. M. and Langer S. K- New York, 1951.
4. С ос c h i a r e I 1 a N. A Completeness Theorem for Tense Lo-
gic.— „The Journal of Symbolic Logic”, 1966, p. 689—690.
5. Cocchiarella N. Tense Logic: A Study of Temporal Refe-
rence (Doctoral dissertation, University of California at Los Angeles),
1966.
6. Craig W. On Axiomatizability within a System.— „The
Journal of Symbolic Logic”, 18, 1953, p. 30—32.
7. Feigl H. and Sellars W. (eds.). Readings in Philosophical
Analysis. New York, 1949.
8. Fol lesdal D. Referential Opacity and Modal Logic (Docto-
ral Dissertation, Harvard University, 1961).
9. Frege G. Uber Sinn und Bedeutung.—"Zeitschrift fur Philo-
sophic und Philoscphische Kritik”, 100, 1892, S. 25—50.
10. Elenkin G. Completeness in the Theory of Types.— „The
Journal of Symbolic Logic” № 15, 1950, p. 81—91.
11. Kaplan D. Foundations of the Intentional Logic (Doctoral
dissertation, University of California at Los Angeles, 1964).
12. Kripke S. Semantical Considerations on Modal Logic.—
“Acta Philosephica Fennica”, № 16, 1963, p. 83—94.
13. Montague R. Logical Necessity, Phisical Necessity, Ethics
and Quantifiers.— “Inquiry”, № 4, 1960, p. 259—269.
14. Montague R. On the Nature of Certain Philosophical
Entities.—“The Monist”, № 53, 1969, p. 159—194.
15. Montague R. Pragmatics.—“Contemporary Philosophy —
La Philosophic Contemporaine” (ed. by R. KI ib an sky). La Nuova
Editorice, Florence, 1968.
16. Montague R. Well-founded Relations; Generalizations of
Principles of Induction and Recurtion.—“Bulletin of the American
Mathematical Society”, № 61, 1955, p. 442.
17. Montague R. and К a I i s h D. Remarks on Descriptions
and Natural Deduction”, part I.—"Archiv fur Mathematische Logik
und Grundlagenforschung”, № 3, 1957, p. 50—64.
18. Montague R. and Kalish D. That.—“Philosophical Stu-
dies", № 10, 1959, p. 54—61.
19. Montague R., Scott D. and Tarski A. An Axiomatic
Approach to Set Theory. Amsterdam (forthcoming).
20. Morris C. W. Foundations of the Theory of Sings.—“Inter-
national Encyclopedia of Unified Science”, vol. 1, No. 2, 1938.
21. Quine W. V. Word and Object, M. LT. Press. Cambridge,
Mass., 1960.
22. Tarski A. Pojecie prawdy w j^zykach nauk dedukcyjnych
(The concept of truth in the languages of the deductive Sciences).—
“Travaux de la Societe des Sciences et des Lettrcs de Varsovie”, Class,
III, No. 34, 1933.
23. Tarski A. Contributions to the Theory of Models. Part I.—
“Indagationcs Mathematicac”, 16, 1954, p. 572—581.
24. Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Oxford, 1956.
Р. Монтегю
ПРАГМАТИКА*
Наука о языке (иначе семиозис или семиотика) была
разделена в работе Ч. Морриса |20] на три ветви—син-
таксис, семантику и прагматику, которые кратко можно
охарактеризовать следующим образом. Синтаксис рассмат-
ривает только отношения между языковыми выражениями,
семантика — отношения между выражениями и теми объ-
ектами, которые обозначаются этими выражениями, а пра-
гматика— отношения между выражениями, объектами,
к которым относятся эти выражения, и теми лицами,
которые используют эти выражения, или теми ситуациями,
в которых они используются.
В то время когда Моррис писал это, синтаксис уже
был развитой дисциплиной в значительной мере благо-
даря Тарскому, Гёделю и школе Гильберта (см. Тарский
[25—27], Гёдель [6], Гильберт и Бернайс [7]). Современ-
ные исследования по синтаксису в основном распадаются
на два направления: теорию доказательств и математи-
ческую лингвистику, которая пока остается скорее по-
пыткой создать дисциплину, чем научной дисциплиной.
Основания семантики тоже уже были полностью зало-
жены в то время, когда писал Моррис (в работе Тарского
* Montague R. Pragmatics.— In: “Contemporary philosophy”.
Firenze, La nuova editrice Italia, 1968, vol. I. Большая часть этой
статьи представляет собой изложение сообщения, сделанного автором
на Философском коллоквиуме Калифорнийского университета в Лос-
Анджелесе в декабре 1964 года, в Британской ассоциации по фило-
софии науки в июне 1966 года и в Стокгольмском университете
в марте 1966 года. Работа над статьей частично финансировалась
Национальным фондом по науке.
254
[28]), но наиболее широкое развитие эта теория получила
позднее под названием теории моделей (см. сборник Адди-
сона, Генкина и Тарского [1], обширную библиографию
работ в этой области, а также статью „Теория моделей"
в сборнике “Contemporary philosophie”, Firenze, 1968,
vol. I). Выдвигалась идея — например, в седьмой статье
книги Куайна [23],— что семантика делится на две дис-
циплины— теорию референции, соответствующую теории
моделей и работам Тарского, и теорию смысла. Однако
исследование показывает, что это деление, возможно, не
самое лучшее; кажется, что теорию смысла естественнее
было бы отнести к прагматике, как это делается ниже
в разделе 2.
Однако развитие прагматики во времена монографии
Морриса было еще делом будущего. В статье Бар-Хил-
лела [2] отмечалось, что прагматика занимается тем, что
Ч. С. Пирс в прошлом столетии называл индексными
выражениями, то есть такими словами и предложениями,
значение которых можно определить, только зная ситуа-
цию, в которой они использовались1; примерами могут
служить слова «я», «здесь», а также предложения, содер-
жащие ссылку на время их произнесения
Прагматика не имела никакого строгого технического
воплощения вплоть до 1959 года, когда автор этой статьи,
к которому затем присоединились и другие, начал свои
исследования, до сих пор в значительной мере остаю-
щиеся неопубликованными. Мне представляется желатель-
ным, чтобы прагматика, по крайней мере вначале, сле-
довала бы за семантикой, занимающейся понятием истины
(в модели или при определенной интерпретации), то есть
сама обратилась бы к понятию истины, причем не только
при определенной интерпретации, но и в определенной
ситуации использования.
Я проанализировал это понятие для ряда специальных
случаев; во многих из них важной чертой анализа явля-
лась трактовка кванторов, развитая первоначально моим
учеником проф. Н. Кокьяреллой в связи с временной
логикой и сохраненная в излагаемой ниже общей теории.
Однако в этой ранней работе понятия истины и выпол-
нимости определялись заново для каждого специального
1 Рассел называл эти выражения „эгоцентрическими частицами",
Рейхенбах— „квазирефлексивными выражениями", Гудмеи — „индика-
торными словами", Куайн — „невечными предложениями".
255
случая. В особенности не было усмотрено никакого общего
способа рассмотрения операторов вплоть до 1965 года,
когда в работах д-ра Ч. Ховарда и моих было достигнуто
полное формальное единство подхода.
1, Язык и интерпретации
Теперь я обрисую общий подход.
Под прагматическим языком понимается язык, содер-
жащий символы (или атомарные выражения) следующих
категорий:
(1) логические константы ”], л, v, <-», Д, V» =
(читаются соответственно как „неверно, что“, „и", „или",
„если ... то“, „если и только если" „для всех", „для неко-
торых", „равно");
(2) скобки;
(3) индивидные переменные п0, ..., vh, ...;
(4) «-местные предикаты — для каждого натурального
(то есть неотрицательного целого) числа п, в том числе
выделенный одноместный предикат Е (читается „сущест-
вует");
(5) «-местные функциональные символы, для каждого
натурального числа «;
(6) «-местные операторы, для каждого положительного
целого «. Мы будем требовать, чтобы символы первой,
второй и третьей категорий содержал каждый прагмати-
ческий язык; следовательно, прагматический язык можно
отождествить с множеством предикатов, функциональных
символов и операторов, которые он содержит. Таким
образом, прагматическим языком может быть любое мно-
жество таких символов.
«-местный оператор есть символ, который, будучи по-
мещен перед последовательностью из « предложений, по-
рождает новое предложение. Примерами одноместных
операторов являются выражения „необходимо", „будет так,
что...", а примерами двухместных операторов—выражения
„если было так, что..., то будет так, что...", „при предпо-
ложении, что ..., вероятно со степенью 1, что...". Я исклю-
чаю 0-местные операторы, потому что они по своим функ-
циям ничем не отличаются от 0-местных предикатов.
Термы (обозначающие выражения) и формулы прагма-
тического языка L образуются именно так, как этого и
256
следовало ожидать. То есть множество термов L есть
наименьшее множество Г такое, что (1) все переменные
находятся в Г и (2) Г содержит Д£и . . . £я_х, если А
есть «-местный функциональный символ L и £с , 1>п_1
принадлежат Г1 * * * * *. А множество формул L есть наименьшее
множество Л, такое, что (1) А содержит Pt^ ...
где Р есть «-местный предикат L, а с0, ..., £„_j—термы L,
в частности А содержит £=т), где £ и 1]—термы L,
(2) А содержит “]q', (<рлт|), (<pvi|), (<р —> ф) ш (<рч->ф),
если только <р и ф принадлежат А; (3) А содержит Дщр
и V«<P. если и есть переменная п ср содержится в А
и (4) А содержит Л7<р0, q>„_n где N есть «-местный
оператор L, а %, .... <p„_f принадлежат Л.
При интерпретации прагматического языка L мы будем
принимать во внимание возможные ситуации использова-
ния. Нет необходимости рассматривать их во всей слож-
ности; вместо этого мы можем сосредоточить наше вни-
мание только на тех чертах, которые влияют на значение
используемых выражений. Таким образом, достаточно
будет задать комплекс всех относящихся к делу аспектов
подразумевающихся возможных контекстов использования.
Мы можем назвать эти комплексы индексами или, исполь-
зуя термин Д. Скотта, точками соотнесения. Например,
если единственными индексными выражениями L были
временные операторы, то в качестве точек соотнесения,
естественно, должны быть выбраны моменты времени,
понимаемые как возможные моменты произнесения выска-
зывания. Если же L содержит, кроме того, личное
местоимение первого лица „я“, как в ниже приведенном
примере, то существенными становятся два аспекта ситуа-
ции использования, то есть говорящий и время произне-
1 Предполагается, что метатеория совпадает с какой-либо фор-
мулировкой теории множеств с собственными классами (например,
теория множеств Бернгйса— Морзе с индивидами пли без них; фор-
мулировку такой теории см. в приложении к Келли [10] или в
монографии Монтегю, Скотта и Тарского [19]), к которой добавлены
обозначения для различных символов и множеств символов объект-
ного языка, символ сочленения (здесь его заменяет простое распо-
ложение символов друг за другом) и некоторые допущения относи-
тельно отождествления и различения символов и множеств символов
объектного языка. Следует подчеркнуть, что ~|, Л и г. п. являются
не символами объектного языка, а, скорее, их метаязыковыми име-
нами
9 1212
257
Сения; тогда в качестве точек соотнесения естественно
выбрать упорядоченные пары, состоящие из личности и
момента времени.
Другим видом информации, которую мы должны по-
лучить для интерпретации L, служат подразумевающиеся
интенсионалы (или смыслы) каждого предиката L. Для
этого мы должны определить для данного предиката Р и
для каждой точки соотнесения i объем (или денотат) Р
при • i. Например, если точками соотнесения являются
моменты времени, а Р есть одноместный предикат „зеле-
ный", то мы должны для каждого момента времени i
определить, какое множество объектов считаются зеле-
ными в i; если же Р—двухместный предикат „быть же-
натым на...“, то мы должны определить для каждого
момента времени i множество упорядоченных пар <х, у>,
таких, что х и у считаются супругами в I.
Третьим видом требующейся информации являются
подразумеваемые интенсионалы каждого функционального
символа L. Это может быть сделано, как и в случае
предикатов, путем определения для каждой точки соот-
несения i подразумеваемого объема функционального
символа в i. Например, если точками соотнесения снова
являются моменты времени и мы рассматриваем одно-
местный оператор „быть женой", то нам необходимо опре-
делить для каждого момента времени функцию, которая
приписывает каждому женатому мужчине лицо, рассмат-
ривающееся как его жена в i (а любому другому
объекту—произвольно выбранный „нулевой объект");
если же мы рассматриваем 0-местный функциональный
символ (или индивидную константу) „американский пре-
зидент", мы должны будем для каждого момента времени
определить лицо, которое рассматривается как американ-
ский президент в i.
Четвертым родом требующейся информации служит
интерпретация операторов L. Для того чтобы получить
ее, мы припишем каждому «-местному оператору L и
каждой точке соотнесения I в качестве объема оператора
при i «-местное отношение между множествами точек
соотнесения. Это вместе с пунктом (5) приведенного ниже
определения IV есть именно тот общий подход к интерп-
ретации операторов, который был выработан Ховардом и
мной в 1965 году; мотивировка такой интерпретации
станет яснее позднее, после рассмотрения примеров.
258
Наконец, для интерпретации L мы должны указать
множество возможных объектов, которые будут объектами
рассмотрения. (В случае временной логики это множе-
ство будет включать по крайней мере все объекты, су-
ществующие в прошлом, настоящем или будущем.) Вы-
шеприведенные эвристические замечания естественно
приводят к следующему определению.
Определение I. Возможная интерпретация для
прагматического языка L есть упорядоченная тройка
</, U, Fy—такая, что (1) /, U есть множества, (2) F—
функция с областью определения L, (3) для каждого
символа А в L FA есть функция с областью определе-
ния 7; (4) если Р есть «-местный предикат L, a i при-
надлежит 7, то Fp(i) есть п-местное отношение на U (то
есть множество упорядоченных «-ок членов 77); (5) если
А—«-местный функциональный символ L, a i принадле-
жит 7, то F A(i) есть («+1 )-местное отношение на U,
такое, что для всех х0, ..., xn_it принадлежащих U,
имеется в точности один объект у множества U, такой, что
<х0, хп_1У уу принадлежит FA(i)-, (6) если'Л?- «-
местный оператор L, а I принадлежит 7, то FN(i) есть
«-местное отношение на множестве всех подмножеств 7.
Здесь следует сделать несколько замечаний. Я исполь-
зую равным образом обозначения “Fp“ и “F (Р)“ для
значения функции; это удобно тогда, когда, как в выше-
приведенных случаях, значение функции само является
функцией. Конечные последовательности (или «-ки) обо-
значаются с помощью угловых скобок; например <х> есть
одночленная последовательность, состоящая из х. Мно-
жество I в вышеприведенном определении есть множе-
ство всех точек соотнесения интерпретации <7, U, Fy.
Если i—точка соотнесения и в L есть выделенный
предикат Е, то объекты х, такие, что <ху £ FE(i), пони-
маются как объекты, существующие в i (при интерпре-
тации <7, U, Fy). Множество U в определении рассмат-
ривается как множество возможных объектов (возможных
индивидов) интерпретации <7, U, Fy\ мы не требуем,
чтобы каждый возможный индивид существовал в какой-
нибудь точке соотнесения, хотя это дополнительное усло-
вие будет в действительности выполняться для ряда
специальных случаев. В пунктах (4) и (5) мы устанав-
ливаем, что объем предиката или функционального сим-
вола является отношением между возможными объектами
9« 259
или функцией, определенной на возможных объектах.
Требование, чтобы значением предиката в данной точке
соотнесения было отношение между существующими в
этой точке соотнесения объектами, а значением функцио-
нального символа была бы функция, которая существу-
ющим объектам сопоставляет опять-таки существующие
объекты, является чрезмерным ограничением. Чтобы по-
казать это, предположим, что точками соотнесения явля-
ются моменты времени, и рассмотрим одноместный пре-
дикат „быть вспоминаемым кем-то" и одноместный функ-
циональный символ „быть отцом".
2. Смысл и значение
Теперь будет введено понятие интенсионала и экстен-
сионала в применении к термам и формулам; а используя
эти понятия, мы определим понятия истины, логической
общезначимости и логического следования.
Терм, вообще говоря, может содержать переменные.
Поэтому его экстенсионал в данной точке соотнесения
будет функцией Н, которая для каждой возможной си-
стемы значений этих переменных приписывает терму
значение в данной точке соотнесения. Термы могут со-
держать различное число переменных, и для этого числа
нет никакой верхней границы, следовательно, удобнее
рассматривать функцию Н как заданную не на конечных,
а на бесконечных последовательностях возможных
объектов1. Позиция в этой последовательности укажет на
подразумевающееся соответствие между переменными и
объектами, то есть в произвольной бесконечной последо-
вательности х п-я конституэнта хп рассматривается как
значение переменной vn.
Определение II. Предположим, что §1 есть воз-
можная интерпретация для прагматического языка L,
§!==</, V, Еу, a i принадлежит /. Тогда Ext,, «(£), или
экстенсионал £ в i (при интерпретации 31), вводится для
произвольного терма £ следующим рекурсивным опреде-
лением:
1 Под „бесконечной последовательностью" я подразумеваю здесь
обычную бесконечную последовательность, то есть функцию, опреде-
ленную на множестве всех натуральных чисел.
260
(1) Extf. и(ц„) есть функция H, областью которой
является множество всех бесконечных последовательно-
стей возможных объектов §1, и причем такая, что если
х—одна из последовательностей этого множества, то
Н (х) = хп;
(2) если А есть /i-местный функциональный символ
языка L, а £0, ..., £„_t термы, то Extz и(^?0 •••
... ^,-1) есть функция Н, областью которой является
множество всех бесконечных последовательностей возмож-
ных объектов интерпретации ?(, причем такая, что если х
есть любая из этих последовательностей, то И (х) — тот
единственный объект у, для которого <Ext(- « (£0)(х)> •••>
Ext,. a(£n_t)(x), у> принадлежит FA(i)*.
Определение III. Пусть §1 есть возможная
интерпретация для прагматического языка L, 91 = </, U, F>,
а £—терм L. Тогда Int«(£), или интенсивная £, есть
функция Н, определенная на множестве I, такая, что для
всякого i из I
//(f) = Extz>a(£).
Формула, вообще говоря, может содержать свободные
переменные, поэтому ее экстенсионал в данной точке со-
отнесения будет являться множеством тех систем значе-
ний ее свободных переменных, при которых формула
выполняется.
Как и в случае термов, удобно рассматривать значе-
ния переменных как задаваемые бесконечными последова-
тельностями возможных объектов. Однако мы не можем
вводить экстенсионалы формул простой рекурсией по
структуре выражения, как это было сделано в случае
термов. Как было замечено Фреге в статье [5], экстен-
сионал формулы, содержащей операторы, зависит скорее
от интенсионалов, чем от экстенсионалов некоторых ее
частей, поэтому мы введем сначала интенсионалы формул,
что можно сделать простой рекурсией.
♦ Экстенсионал терма £ в точке соотнесения I, принадлежащей
интерпретации SI, есть функция, сопоставляющая каждому терму на
каждой бесконечной последовательности определенное значение. По-
этому он является функцией от двух аргументов: индивидного терма
и бесконечной последовательности, что Монтегю и записывает как
Extia(£) (х). Понятнее, может быть, была бы запись: (Ех1(й (£)) (х).—
Прим, персе.
261
Определение IV. Предположим, что 51 есть воз-
можная интерпретация для L и 51 = <7, U, F>. Тогда
Inta (ф) для произвольной формулы ф языка L вводится
следующим образом:
(1) если £, т]—термы L, то 1пк(£ = i;) есть такая
функция Н, определенная на 1, что для всякого 7 из
7 Н (7) есть множество тех бесконечных последователь-
ностей х, состоящих из членов U, для которых
Ext, »(ЙИ есть тот же объект, что и Ext,-, а(i])(х);
(2) если Р есть «-местный предикат языка L и
£0, ..., C„-i —термы L, то IntS((PCo ••• L,-i) есть такая
функция Н с областью 7, что для каждого i из 7 /7,-
есть множество тех бесконечных последовательностей х,
образованных из членов 77, для которых <Ext,. а (£0)(х), • • •
..., Ext,. я(С„-1)(х)> принадлежит Fp(i);
(3) если ф—формула L, то Inta( *] ф) есть такая функ-
ция Н, определенная на области 7, что для каждого i
из 7 Я (7) есть множество тех бесконечных последова-
тельностей х, образованных из членов 77, которые не
входят в Int?( (ф) (7), соответственно для прочих пропози-
циональных связок;
(4) если ф—формула L, то 1пи(\Л’пф) есть такая
функция 77, определенная на области 1, что для вся-
кого 7 из 7 /7(7) есть множество тех бесконечных после-
довательностей х, образованных из членов 77, для кото-
рых существует у в U, такой, что бесконечная последова-
тельность <л0, ..., x„_lt у, хп+1, ...> принадлежит Inta(ф) (7),
соответственно для /\vnq>\
(5) если N есть «-местный оператор языка L, а
<Ро> Фп-1—формулы L, то 1п1а(Л7ф0 ... ф„_1) есть
функция Н с областью /, такая, что для всякого 7 из
7 И (7) есть множество бесконечных последовательностей х,
образованных из членов 77, таких, что <70, ..., Jn_t>
принадлежит FN(i), где для каждого k < n Jк есть мно-
жество элементов / множества 7, для которых х является
элементом множества Int«(<pft) (j) *.
Определение V. Предположим, что §1 есть воз-
можная интерпретация для прагматического языка L,
I—точка соотнесения в 51, а ф — формула L. Тогда
Ext/, st (ф), или экстенсионал ф в 7 при 51 есть 1п1й(ф)(7).
* Именно в пункте (5) видно, что интенсионал выражения
с операторами зависит не от экстенсионалов, а от интенсионалов
подоператорных выражений.—Прим, ntpee.
262
Если <р—предложение (то есть формула без свободных
переменных), то экстенсионал ф будет всегда либо пустым
множеством, либо множеством всех бесконечных последо-
вательностей возможных объектов; на этом соображении
основывается следующее определение истины1.
Определение VI. Если 31 есть возможная интерп-
ретация для L, i есть точка соотнесения в 3( и ф—пред-
ложение L, то ф истинно в i при 31, если и только если
Ext/, и(ф) есть множество всех бесконечных последова-
тельностей возможных объектов 31.
Чтобы пояснить смысл этих определений, я укажу
некоторые из их непосредственных следствий относи-
тельно понятия истины.
Замечания. Пусть 31 будет возможной интерпре-
тацией для прагматического языка L, имеющей вид
</, U, пусть i принадлежит I, пусть и есть пере-
менная, пусть Р — одноместный предикат языка L и пусть
с, d есть 0-местные функциональные символы языка L.
Тогда:
(1) Рс истинно в i при 31, если и только если
<ЛЛ0(Л)> принадлежит Fp(t)2;
(2) c*=d истинно в i при 31, если и только если
ГДО(А) совпадает с Fd(t)(A);
(3) если ф—предложение L, то Зф истинно в i
при 31, если и только если ф не истинно в i при 51;
(4) если ф, ф—предложения L, то (флф) истинно в I
при 31, если и только если оба ф и ф истинны в i при 31;
(5) \/иРи истинно в i при 31, если и только если
существует объект х в U, такой, что <х> принадлежит
^(0;
(6) если N—одноместный оператор языка L и ф пред-
ложение L, то Л^ф истинно в i при 31, если и только если
<J> принадлежит FN(i), где J есть множество тех элемен-
тов 1, в которых ф истинно (при 31).
В соответствии с вышеприведенным пунктом (5),
квантификация осуществляется по возможным,^ не только
по действительным, или существующим) объектам. Же-
1 Это соображение, как и многие другие общие идеи, использо-
ванные в определениях данного раздела, принадлежит Тарскому [28].
а Здесь Л есть пустая последовательность, Fc(i)—0-местная
функция, а ее значения для 0-местной последовательности Л—это
тут возможный объект, который, как мы считаем, обозначается сим-
волом о.
263
лательность этого может быть усмотрена на примере
предложения „есть люди, о которых никто не помнит*',
в частном случае временной логики. Разумеется, кван-
тификация по актуальным индивидам может быть выра-
жена с помощью особого предиката существования £;
например, соответствующее предложению в пункте (5)
предложение, в котором квантифицированная переменная
пробегает по действительным объектам, имеет вид:
\и (ЕилРи).
Определение VII. Мы говорим, что <р есть логи-
ческое следствие (в смысле общей прагматики) множества
Г, если и только если имеется прагматический язык L,
такой, что ф и все члены Г являются предложениями L,
и для любой возможной интерпретации §1 языка L и
любой точки соотнесения i в 31, если все члены Г истинны
в i при 31, то и ф истинно в i при 31, и ф логически
общезначимо (опять-таки в смысле общей прагматики),
если и только если ф есть логическое следствие пустого
множества предложений (то есть если и только если су-
ществует прагматический язык L, предложением которого
является ф, и ф истинно в i при 31, где §1 есть возмож-
ная интерпретация L, a I — точка соотнесения 31).
Легко заметить, что если ср и члены Г являются пред-
ложениями (некоторого прагматического языка), то ф есть
логическое следствие Г, если и только если имеется такая
конъюнкция ф членов Г, что ф —► Ф логически общезна-
чимо. Очевидно также, что в силу известных результатов
множество логически общезначимых предложений рекур-
сивного языка рекурсивно аксиоматизируемо (при конеч-
ном числе правил вывода). Однако представить систему
аксиом для этого множества — совсем другая и более
трудная задача, но это было сделано проф. Д. Капланом
в сравнительно недавней работе.
3. Частные случаи
Когда мы переходим к рассмотрению отдельных раз
делов, входящих в прагматику, таких, как временная
логика, модальная логика, логика личных местоимений,
то понятия логической общезначимости и логического
следования, приводимые в определении VII, требуют
5 64
уточнений. Например, мы часто будем интересоваться не
ёсёМи возможными интерпретациями для данного языка L,
а только некоторым классом К возможных интерпрета-
ций. Выбор К будет зависеть от того, какой специальный
раздел логики рассматривается в данном случае, а эле-
менты множества К будут считаться стандартными
интерпретациями для L в смысле, соответствующем этой
логике. Соответствующие релятивизированные понятия
истины и следования определяются следующим образом:
Определение VIII. Пусть К есть класс возмож-
ных интерпретаций для прагматического языка L, пусть
Ф и элементы множества Г будут предложениями L.
Тогда ф есть К-следствие из Г, если и только если для
любого §1 из К и любой точки соотнесения i из 5(, если
все члены Г истинны в i при 51, то и ф истинно; и ф К-
общезначимо, если и только если ф есть К-следствие пус-
того множества.
В некоторых случаях, одни из которых будет проил-
люстрирован ниже, этой степени конкретности стано-
вится недостаточно, иногда нам приходится ограничивать
не только класс рассматриваемых возможных интерпре-
таций, но и класс рассматриваемых точек соотнесения.
Построение точных понятий, которое включает приписы-
вание каждой стандартной интерпретации множества ее
точек соотнесения (считающихся ее стандартными точ-
ками соотнесения), осуществлено совместно моими учени-
ками д-ром Дж. Кэмпом, д-ром П. Смитом и мной.
Определение IX. Пусть К есть класс возможных
интерпретаций для прагматического языка L, J—функ-
ция, приписывающая каждому элементу 51 множества К
множество точек соотнесения из 51, и пусть ф и элементы
множества Г будут предложениями L. Тогда ф есть
(К, «/^-следствие Г, если и только если для любого ?!
из К и любого i из А, если все члены Г истинны в i
при 51, то истинно и ф; и ф (К, ./^-общезначимо, если и
только если ф есть (/<, /)-следствие пустого множества
предложений.
Необходимость этих понятий была показана Кэмпом:
он нашел интересные примеры К и J, для которых до-
казал, что не существует такого класса А", что множе-
ство К' -общезначимых предложений совпадает с множе-
ством (/<, /)-общезначимых предложений.
Теперь введем специальные классы возможных интер-
265
претаций; при этом мы будем указывать отдельные спе-
циальные разделы прагматики.
Обычная временная логика. Пусть L есть прагматиче-
ский язык, единственными операторами которого являются
два одноместных оператора У* и и пусть (L) —класс
возможных интерпретаций </, V, Gy для L, таких, что
(1а) / есть множество действительных чисел, (1b) для
каждого i из / Gap (i) есть множество одночленных по-
следовательностей <7>, таких, что J /, и существует /
в J, такое, что /< i, и (1с) для каждого i в 7 G^-(i) есть
множество одночленных последовательностей <7>, таких,
что J s 7, и существует / в J, такое, что i < /. При этом
мы рассматриваем действительные числа как моменты вре-
мени. Если (1а) — (1с) выполнены, если q> есть предложение
L, a i принадлежит I, легко заметить, что
истинно в i при <7, U, Gy, если и только если
существует j в 7, такое, что / < i и q истинно в j при
<7, U, Gy и
eFq> истинно в I при <7, U, Gy, если и только если
существует / в 7, такое, что j > i и q? истинно в / при
<7, U, Gy.
Поэтому естественно читать как „было так, что q>“,
a q> — как „будет так, что q>“. 7Cf (Ь)-общезначимые пред-
ложения L составляют класс логических истин (языка L)
обычной временной логики. Д. Скотт в переписке отметил,
что если L содержит по меньшей мере один одноместный
предикат и два двухместных функциональных символа,
то множество Ki (L) общезначимых предложений L не
является рекурсивно перечислимым (и, следовательно,
рекурсивно аксиоматизируемым). Он также показал, что
при таком же предположении относительно L (которое,
конечно, может быть ослаблено) теорема компактности
для TCj (L) не выполняется, это означает, что неверно,
что если предложение q> языка L есть Ki (Ь)-следствие
множества Г предложений L, то q> также есть Kt (Ь)-след-
ствие некоторого конечного подмножества Г.
В соответствии с интерпретациями в Ki (L) время кон-
тинуально. Если считать, что время дискретно, то усло-
вие (1а) следует заменить условием „7 есть множество
целых (положительных и отрицательных) чисел". Д. Скотт
показал, что вышеизложенные результаты сохраняют силу
и в этом случае.
266
Обобщенная временная логика. Мы можем, однако, рас-
сматривать структуру времени как случайную и, следо-
вательно, не ограничивать наше внимание какой-то частной
временной структурой; впрочем, было бы естественно при-
нять минимальное требование, что время линейно упоря-
доченно. Если L снова есть прагматический язык, един-
ственными операторами которого являются У* и <F, то
мы приходим к другому классу стандартных интерпрета-
ций для L; в самом деле, пусть /<а(Ь) есть класс возмож-
ных интерпретаций </, U, Gy для L, таких, что на I
задано отношение простого порядка1 и что (2а) I не-
пусто (2Ь) для каждого i в I Gcp(i) есть множество одно-
членных последовательностей <J>, таких, что i принадле-
жит /, Jc/ii существует /, принадлежащее I, такое, что
j^i и i^=j, (2 с) для каждого I в /, G^-(t) есть мно-
жество одночленных последовательностей <J>, таких, что
i£l и существует j в J, для которого г^/ и t#>j.
Таким образом, мы получаем временную логику Н. Кокья-
реллы. Легко заметить, что (это было замечено Кокьярел-
лой) теорема компактности выполняется для Д2(Ь). Далее
Кокьярелла [3, 4] дал элегантную аксиоматизацию для
(Ь)-общезначимых предложений.
Личные и указательные местоимения. Пусть L будет
прагматическим языком, в котором вообще нет операто-
ров, но есть выделенный 0-местный функциональный сим-
вол с. Пусть (L) будет классом возможных интерпре-
таций </, U, Gy для L, таких, что (За) GA(i) есть GA (/)
для всех символов Л в L, отличных от с и всех i, / из /,
(3b) Gc(i) есть {<г>} (то есть единичное множество, со-
стоящее из одночленной последовательности i), для всех i
из I. Если эти условия выполнены, Р есть одноместный
предикат L, а I и / принадлежат /, то легко заметить,
что Рс истинно в i при </, U, Gy, если и только если
<f> принадлежит Gp(j). Итак, если точками соотнесения
являются возможные авторы высказываний, то с соответ-
ствует местоимению первого лица „я“. Если точки соот-
несения рассматриваются как лица, к которым обращены
высказывания, то с соответствует личному местоимению
второго лица „ты“. Другой способ задания точек соотне-
1 Простой порядок множества I есть рефлексивное, антисиммет-
ричное и транзитивное отношение на множестве /. (R антисиммет-
рично, если и только если х~-у, когда xRy и yRx.)
267
сения наделяет с значением указательных местоимений
„это" или „то". Не лишено основания дополнительное усло-
вие на члены X3(L), что <i> принадлежит GB(i) для всех
i из /; если это сделано, и только в этом случае, пред-
ложение Ес (например, „я существую") будет общезначи-
мым. Употребление сразу нескольких указательных и лич-
ных местоимений не представляет особых проблем: исполь-
зуются несколько различных индивидных констант и
берутся последовательности соответствующей длины (напри-
мер, состоящие из говорящего, объекта, на который ука-
зывает говорящий, и лица, к которому обращается гово-
рящий) в качестве точек соотнесения.
Для того чтобы более подробно показать использование
нескольких индексных выражений в одном языке, мы
рассмотрим комбинацию временных операторов с местои-
мением первого лица единственного числа. Если 1, J, U —
множества, —отношение простого порядка на / и для
каждого i в I, = U, G£> и 91£ есть возможная интер-
претация для прагматического языка L, не содержащего
операторов У* и <F, то ^.-произведение систем (где i
принадлежит /), есть возможная интерпретация <Х, U, Ну
для языка <F}, такая, что (1)Х есть множество
упорядоченных пар <i, />, где i принадлежит /, а / при-
надлежит J\ (2) для каждого i в /, каждого / в J и каж-
дого предиката или функционального символа Л в L
НA(<.i, /» = (G,)л(/); (3) если i принадлежит /, / принад-
лежит J, a N есть n-местный оператор L, то HN«i, />)
есть множество n-ок <Х0, ..., Xn-i>, таких, что Хо, ..
Х„_£ есть подмножества К, а <УС, ..., У„_1> принадле-
жит где для каждого k < п, Yk есть множество
тех j' из J, для которых <i, /'> принадлежит Xft; (4) для
каждого в I и j в J Н<р (<i, />) есть множество одночлен-
ных последовательностей <Х>, таких, что ХеХ, и су-
ществует i' в /, такое, что i' i, i’^=i и <i', /> принад-
лежит X, (б) для каждого i из множества 1 и j из мно-
жества J Hg: (<j., />) есть множество одночленных после-
довательностей <Х>, таких, что ХеХи существует i’
в I, такое, что i Г, i=£i’, а <Г, /> принадлежит X.
Пусть теперь прагматический язык L содержит опера-
торы У и <F вместе с особым 0-местным функциональным
символом с, упомянутым выше, и пусть Х4 (L) будет клас-
сом возможных интерпретаций 93 для L, таких, что су-
ществуют множества /, J, U, возможные интерпретации
91,- в Ks (L — (где i принадлежит /) и простой по-
рядок на /, где J есть множество точек соотнесения,
U — множество возможных индивидов интерпретации 81,-
(где i принадлежит /), а 45 есть ^-произведение интер-
претаций 41,- (где i принадлежит /). Если эти условия вы-
полнены, если ф есть предложение L, a <i, /> —точка со-
отнесения S3, то легко убедиться, что У<р истинно в <i, />
при S3, если и только если существует I' в /, такое, что i'^i,
i i', а ф истинно в <Г, /> при S3, если, крометого, Р —
одноместный предикат L, то Рс истинно в <t, /> при S3,
если и только если </> принадлежит Hp(<i, /», и если j'
принадлежит J, то Нр(<л, jy) = Hp(<_i, j'».
Таким образом, 3* ведет себя как раз так, как должен
бы вести себя оператор прошедшего времени, а с—как раз
так, как этого можно было бы ожидать от местоимений
„я“ (или „ты“, или указательного местоимения, в зависи-
мости от того, как мы будем понимать второй конституэнт
точки соотнесения в S3). Однако мы не можем гарантиро-
вать, что Ес („я существую") будет истинно при любом
оправданном сокращении класса /\4(Ь). Вместо этого мы
будем говорить о (Л'4 (L), «^-общезначимости, где для всех
<К, U, Иу из (L), /<к, и. н> есть множество пар <i, />
в К, для которых </> принадлежит IIР (</, />). Получается,
что Ес (К4(Ь), 7)-общезначимо, а 5* "] Ес („Я всегда
существовал") не (К4 (L), /)-общезначимо.
Стандартная модальная логика. Пусть L будет праг-
матическим языком, единственным оператором которого
является □, и пусть 7C5(L) будет классом возможных
интерпретаций </, U, F> для L, таких, что для каждого i
в I Е □ (i) = {</>}. В данном случае мы рассматриваем I
как множество всех возможных миров. Если <7, U, F>
принадлежит K5L, ф есть предложение L, a i принад-
лежит /, то □ ф истинно в i при </, U, 7Г>, если и только
если для всех j из / ф истинно в / при <7, U, F>.
Таким образом, необходимость понимается как истин-
ность во всех возможных мирах. Легко показать, что для
К6 (L) выполняется теорема компактности и что множество
К6 (Ь)-общезначимых предложений аксиоматизируется той
версией системы S5 с квантификацией, которая содержится
в статье Крипке [12]. Крипке в этой статье доказал, что
его система аксиом полна относительно интерпретации,
которая только в несущественных деталях отличается от
приведенной здесь, поэтому настоящее утверждение о пол-
ноте тривиальным образом выводится из крипкевского.
Обобщенная модальная логика. Пусть L будет таким,
как было указано выше, М будет классом бинарных отно-
шений, a KB(L, М)—классом возможных интерпретаций
</, U, Fy для L, таких, что для некоторого R из М (6а)
R есть рефлексивное отношение на множестве I и (6Ь) для
каждого i из 1 F □ (i) есть множество одночленных после-
довательностей <J>, таких, что Js / и для всех /, для
которых iRj, j принадлежит J. При этом мы опять рас-
сматриваем 1 как множество всех возможных миров;
утверждение, что iRj понимается как означающее, что
мир / достижим из мира i, а истинность П<р в i означает
истинность (р во всех мирах, достижимых из i. Например,
мы можем считать, что один мир достижим из другого
в случае, если они в прошлом были одинаковыми или,
наоборот, стали одинаковыми начиная с какого-то момента
в прошлом. В обоих этих случаях, которые ниже будут
рассмотрены более подробно, отношение достижимости есть
отношение эквивалентности. Стандартная модальная логика
служит частным случаем, когда М есть класс всех уни-
версальных отношений (то есть отношений R таких, что
iRj имеет место, если только i или j принадлежат обла-
сти отношения R).
Идея использования отношения достижимости в модаль-
ной логике была (независимо) выражена в 1957 году в пуб-
ликации Кайгера [9] (изложение исследования, проведен-
ного в 1955 году), в сообщении, сделанном Монтегю
в 1955 году и изложенном в статье Монтегю [16], и в сооб-
щении, изложенном в статье Хинтиккн [8]. Однако в этих
случаях отношение достижимости всегда понималось как
отношение между моделями; отношение достижимости
между точками соотнесения, вроде того, которое рассмат-
ривается здесь, впервые появилось в работе Крипке [13].
В этой работе Крипке [13] приводятся различные ре-
зультаты относительно аксиоматизируемости. В частности,
если М есть либо класс рефлексивных отношенийх, либо
класс симметричных и рефлексивных отношений» либо
класс транзитивных и рефлексивных отношений, либо
класс отношений эквивалентности, Крипке аксиоматизи-
1 Рефлексивное отношение—это такое отношение, которое иногда
называют рефлексивным на своей области, то есть бинарное отноше-
ние R, такое, что для всех i из области определения R имеет место iRj.
S70
ровал множество Kn(L, М)-общезначимых предложений
языка L, которые не содержат символа равенства и функ-
циональных символов и в которых квантификация произ-
водится только по действительным индивидам. Некоторые
случаи расширений, смягчающих ограничения на этот класс
предложений, были получены в неопубликованной диссер-
тации Кокьяреллы [4] и неопубликованной работе Крипке
и Томасона.
Общая деонтическая логика получается, когда мы
отбрасываем требование рефлексивности отношения до-
стижимости, которое в этом случае следует понимать
скорее как отношение этической релевантности. В част-
ности, мы примем, что L есть прагматический язык,
единственным оператором которого является одноместный
оператор О, что K7(L) есть класс возможных интерпре-
таций </, U, Fy для L, причем для некоторого бинарного
отношения S (7а) область S включается в I и (7Ь) для
каждого i из I F0(t) есть множество одночленных после-
довательностей <J>, таких, что J s I и для всех /, если
iSj, то /' принадлежит J. Мы будем читать 0<р как „обя-
зательно, что <р“ и рассматривать утверждение iSj как
означающее, что / есть один из тех достижимых из i миров,
которые лучше устроены в моральном отношении. Истин-
ность 0<р в I, таким образом, равносильна истинности <р
во всех лучше устроенных достижимых из i мирах. Про-
позициональная логика класса М, (L) (то есть множество
/\7 (Ь)-общезначимых предложений, которые не содержат
индивидных переменных и констант и, следовательно, не
содержат вообще более чем 0-местных предикатных сим-
волов) была аксиоматизирована в неопубликованной работе
Е. Леммона и Д. Скотта; теорема полноты для всего мно-
жества /С, (Ь)-общезначимых предложений была недавно
доказана проф. Д. Капланом на основе идей Леммона.
Специальная деонтическая логика. Кажется, нет прав-
доподобных ограничений, которые могут быть наложены
на отношение этической релевантности в общем случае.
Однако в некоторых случаях уместны различные частные
ограничения. Например, мы можем предположить, что
любой мир (не обязательно этически релевантный ему)
достижим из любого другого; тогда нам понадобится
рассматривать только особое множество „лучших" миров.
Соответственно, если L таково, как было указано выше,
I мы будем считать A'e(L) классом возможных нитерпре-
271
таций </, U, F> для L, если для некоторого непусто-
го подмножества ./ множества I и для всех i из /
F0(t) есть множество одночленных последовательно-
стей </<>, где / в этом случае опять рассмат-
ривается как множество всех возможных миров, J рас-
сматривается как множество лучших (предпочитаемых)
миров, а истинность предложения Оф в i равносильна
истинности ф во всех предпочитаемых мирах.
Соответственно несколько более общему подходу мы бу-
дем считать достижимость отношением эквивалентности
между возможными мирами (подобно отношению „быть в
прошлом одинаковыми"), хотя и по-прежнему будем рас-
сматривать выделенное множество предпочитаемых миров;
Оф считается в i истинным, если и только если ф истинно во
всех мирах, достижимых из i и являющихся предпочитае-
мыми. Затем мы примем, что /<,, (L) есть класс возможных
интерпретаций </, О, F) для языка L, если существует
отношение эквивалентности R и множество J, включаю-
щееся в множество I, такое, что (9а) для каждого i в 1
существует / в J, такое, что iRj, и (9Ь) для каждого i в /
F. (i) есть множество одночленных последовательностей
</(>, таких, что К s I, и для каждого /, такого, что iRj,
и / принадлежит J, j принадлежит Д’. (Оптимистическое
допущение (9а), что из любого мира достижим некоторый
предпочтительный мир, не покажется необоснованным, если
R понимается как отношение „быть в прошлом сходными",
причем прошлое рассматривается как имеющее конечную
длительность, а будущее—бесконечную длительность).
Как легко убедиться, класс /<я (Ц-общезначимых пред-
ложений языка L совпадает с классом /<в (Ь)-общезначи-
мых предложений языка L, и оба они совпадают с классом
общезначимых предложений (заданным теоретико-модель-
ным способом, но по-другому) квантифицированной деон-
тической логики, представленным в сообщении 1955 года,
изложенном в статье Монтегю [16]. На основании уста-
новленного в этой работе результата о полноте легко
вывести, что пропозициональная логика Re (L) (как и Kv (£))
аксиоматизируется с помощью правила отделения и сле-
дующих схем:
Ф (если ф—тавтология);
(?Ф (если ф—тавтология);
О (ф —* ф) —»• (Оф —♦ Оф);
272
О (О (гр -+ 1р) -> (Оф —> Oi]>)),
~] Оф <-» 010ф;
О (“] Оф <-> О “J Оф).
В качестве иллюстрации возможных комбинаций рас-
смотрим комбинацию оператора необходимости и опера-
тора долженствования. Пусть L — прагматический язык,
единственными операторами которого являются □ и О,
пусть М будет классом бинарных отношений и пусть
7<10 (L, М) будет классом возможных интерпретаций </,
О, F> для L, таких, что для некоторого R из М и не-
которого бинарного отношения S выполняются условия
(6а), (6Ь) и (7Ь) и, кроме того, S^R.
В качестве другой иллюстрации мы можем рассмотреть
комбинацию временных операторов с зависящей от времени
необходимостью и зависящим от времени долженствова-
нием. Пусть L будет таким, как указано выше, но к нему
будут еще добавлены операторы SP и &, пусть L' будет
прагматическим языком, включающимся в язык L — {ИР,
&, □, 0} и пусть /CU(L, L') будет классом возможных
интерпретаций G для L, таких, что для некоторых I, J,
U, Ui (где i принадлежит /), F; (i принадлежит /),
Ri (i принадлежит I), 33,- (i принадлежит 7) и G,- (i при-
надлежит /); (Ila) /, J, U есть множества; (lib) C7 есть
простой порядок на /; (Пс) для каждого i из I 31/=
= <J, U, Fty и 31, есть возможная интерпретация для L';
(lid) для каждого i из 7, 7?,- есть такое бинарное отноше-
ние между членами J, что для всех / и принадлежа-
щих J, jRij', если и только если (Fe)A (j) = (Ft-)A (j'), где
t'^i, Г =£i и А принадлежит L'; (Не) для каждого i
из I, = U, Gj>, FiS^Gi и принадлежит K10(L —
— {5\ <F), {R,}) и (Hf) 6 есть ^-произведение систем 33f,
где i принадлежит 7. Мы будем считать элементы множе-
ства 7 моментами времени, — временным порядком, а
J — множеством возможных миров. Утверждение, что jRJ'
означает, что миры / и j' во все моменты времени, пред-
шествующие I, сходны во всех чертах, выражаемых в язы-
ке L'. Если условия (На)—(Ilf) выполнены, ф есть пред-
ложение L, a <i, /> —точка соотнесения 6, то легко
показать, что Пф истинно в <i, /> (то есть в мире / во
время i) при G, если и только если ф истинно при 6 во
всех точках соотнесения <i, /'>, где //?,•/' (то есть во
• время i во всех мирах, которые подобны j во все моменты
273
времени, предшествующие i). Таким образом „Сф" может
читаться как „в силу прошлых фактов необходимо, что <р“,
а как „принимая во внимание прошлое, обязательно,
что ф“.
Будущее сослагательное условие может быть выражено
без изменений в интерпретациях класса Кн (L, L'). В самом
деле,
□ "ИКф ->ф),
кажется, адекватно выражает утверждение: если в буду-
щем имело бы место <р, то (в то же время) имело бы место ф.
Среди сослагательных условных модусов наиболее под-
ходящей для этических рассуждений кажется форма буду-
щего времени; впрочем, сходным образом можно было бы
дать анализ и других модусов, но он будет более сложным.
Первая адекватная трактовка сослагательных условий
настоящего времени в рамках прагматического подхода
содержится в неопубликованной работе проф. Д. Льюиса;
другие трактовки, содержащие, как нам кажется, улуч-
шение и расширение, были развиты Льюисом и мной.
Настоящий анализ сослагательных условий будущего вре-
мени, хотя и принадлежит мне, обязан как критике проф.
Льюисом более ранних версий, так и дискуссиям с Дж.
Кэмпом и Д. Скоттом.
Во всех вышеприведенных примерах отношения значи-
мости или достижимости было достаточно для интерпре-
тации операторов. Следующие примеры, в которых это уже
не так, иллюстрируют дополнительную общность настоя-
щего подхода.
Крипкееская семантика для ненормальных модальных
логик. Пусть L будет прагматическим языком, единствен
ным оператором которого является □; пусть Ki2(L) будет
классом возможных интерпретаций <7, V, Бу для L, таких,
что для некоторого бинарного отношения R (12а) область R
включается в 7, (12b) iRi, если только iRj, (12с) для всех i
из I есть множество одночленных последовательно
стей </>, где J 7, iRi и / принадлежит J для всех j, та
ких, что iRj. Тогда одна из основных теорем работы Крипю
[14] может быть сформулирована так: пропозициональпа .
логика класса 7(12(L) совпадает с множеством (сформх
лированных в L) теорем системы Е2 Леммона [15]. Друи"
теоремы полноты, доказанные в работе Крипке [14], така
могут быть выражены в понятиях прагматики.
274
Другая общая модальная логика. Вышеупомянутые ин-
терпретации Крипке дают элегантные теоремы полноты
для таких систем, как S2 и S3, однако у них нет четкого
содержательного истолкования. В то же время могут быть
найдены примеры таких содержательно-осмысленных интер-
претаций для необходимости, которые кажутся невыразимы-
ми в терминах отношений релевантности. Например, пусть
L будет таким, как описано выше, пусть 9)1 будет классом
множеств бинарных отношений, и пусть I\ 13 (L, ЭЛ) будет
классом возможных интерпретаций </, U, F' для L, таких,
что для некоторого М из 9)1 (13а) М есть множество реф-
лексивных отношений, заданных на множестве / (13b) для
каждого i из / Ед (i) есть множество одночленных после-
довательностей <J>, где / с/ и существует R в М такое,
что J содержит все объекты /, для которых iRj. Элементы
множества / и на этот раз понимаются как возможные
миры. Отношения в М рассматриваются как соответствую-
щие различным видам достижимости, другими словами,
если R принадлежит М, то сказать, что iRj,— значит ска-
зать, что / достижимо из i определенным способом. Истин-
ность Пф в мире i равносильна истинности <р во всех
мирах, достижимых из j каким-то определенным способом.
Мы можем, например, рассматривать виды достижимо-
сти как соответствующие моментам прошлого и так, что
один мир считается достижимым из другого способом,
соответствующим моменту i, если и только если эти два
мира в ряде черт совпадают вплоть до момента i. Не-
сколько подробнее вдаваясь в детали, мы можем рассмат-
ривать язык L, такой же, как и описанный выше, но
t добавлением операторов н eF-, L' будет прагматическим
языком, включающимся в L — {3\ HF, □}, а (L, L')
будет классом возможных интерпретаций (£ для L, таких,
Что для некоторых I, J, U, 9(,- (i принадлежит /), Е,-
(i принадлежит /), М,- (i принадлежит /), 83г- (г принад-
лежит /) и G; (i принадлежит I) выполняются условия
(На)—(11с) и условие (14а) для каждого i из I, Mf есть
Множество бинарных отношений R на элементах J, такое,
что для некоторого Г, i'^i, i'^=i п для всех j и j,
принадлежащих J, jRj', если и только если (F{*)A(j) =
-(Ъ'ЫП, где i"=jt=i' и А принадлежит L'; (14b)
для каждого i в /, 83, = <J, U, С{>, F;^Gi и вклю-
чается в Kis(L — \3\ {М(}) и (14с) (5 есть ^-произ-
ведение систем 23z, где I принадлежит /. Если эти условия
275
выполнены, если <р есть предложение L, a <i, /> точка
соотнесения @, то легко заметить, что □<£ истинно в <i, />
(то есть в момент времени i в мире /) при 6, если и только
если существует R в М,-, такое, что <р истинно во всех
точках соотнесения <i, /">, для которых iRj'. Тогда „□<р“
может читаться также и как „в некоторый момент прош-
лого предсказуемо, что в настоящее время будет ср”1.
Этот пример подсказывает некоторые способы спепи
фикации класса Я)1 в связи с А'18 (L, ЭЛ). Мы могли бы
потребовать, чтобы, как в примере, каждое множество
в 3JI было множеством отношений эквивалентности, зам-
кнутым относительно пересечения; в частности, пусть 5Ш,
будет классом множеств М, таких, что для некоторого
множества I (а) М есть непустое множество отношений
эквивалентности, областью которого является I, и (b) R Г|5
принадлежит М, если только R и S принадлежат М. Если
М принадлежит 9ЛП то мы можем рассматривать каждый
член R множества М как отношение „совпадать в опреде-
ленных чертах".
С другой стороны, отношение достижимости может по-
ниматься в терминах сходства, а не совпадения; в этом
случае имеет смысл рассматривать такой класс ЭЛ2 всех
множеств М, что для некоторого множества I (а) М есть
непустое множество рефлексивных и симметричных отно-
шений, заданных на области /, (b) R Г) S принадлежит М,
если только R и S принадлежат М, и (с) для каждого
R в М существует S в М, такое, что для всех i, j, k,
если iSj и jSk, то iRk. Если М принадлежит ЭЛ2, мы
рассматриваем каждое R из М как отношение сходства
в определенных чертах и в определенной степени между
мирами. R, разумеется, не будет в общем случае транзи-
тивным. Отношение S, существование которого утверж-
дается пунктом (с), может пониматься как отношение сход-
ства в тех чертах, которые подразумеваются в R, но в два
раза более высокой степени, чем это подразумевается в R2 * * S.
1 Это чтение было предложено У. Уэлкоу.
2 Класс 5Ш2 тесно связан с классом равномерных пространств
(в смысле общей топологии; определение и обсуждение см. [10], с.
233—285, рус. издания.—Реб.). В частности, если М принадлежит
I—общая область всех отношений в М, a N—множество отношений
S между элементами I, такое, что для некоторого R из М, Р £ S, то
</, Ny есть равномерное пространство; и наоборот, если <Х, Ту —
равномерное пространство и М—множество симметричных отношений
276
Дальнейшее ослабление допущений приводит пас к та-
кому классу SDls всех множеств М, что для некоторого
множества I (а) М—непустое множество рефлексивных
отношений на области /, (b) /?Г)5 принадлежит М, если
только R и 5 принадлежат М, и (с) если R принадлежит
М и i принадлежит I, то существует отношение S в М,
такое, что для всех j, k, если iSj и jSk, то iRk.
Ясно, что SRiSSJla Е Wts. Может быть также пока-
зано, что /(1Я (L, 9Л.,) есть в точности класс топологиче-
ских интерпретаций модальной логики, то есть класс воз-
можных интерпретаций </, U, F) для L, таких, что су-
ществует множество Т, для которого (а) </, Ту—тополо-
гическое пространство1 и (Ь) для каждого i из 1 Fq (i) —
множество одночленных последовательностей <J>, таких,
что J I, и для некоторого К из Т, i принадлежит К и
KsJ. K13(L, £0l8) — общезначимые предложения суть, таким
образом, в точности теоремы квантифицированной версии
льюисовской системы S4; это показано для топологиче-
ской интерпретации в книге Расёвой и Сикорского [24].
Индуктивная логика. Для каждого действительного
числа г, такого, что O^rs^l, пусть Рг будет одномест-
ным оператором и пусть Pr=/=PS, если r^=s. Пусть L
будет прагматическим языком, имеющим в качестве опе-
раторов символы Рг(0 г < О» 11 пусть /<16 (L) будет
классом возможных интерпретаций </, U, Fy для L, та-
ких, что существуют £, р, для которых (15а) </, р>
есть поле вероятностей (в смысле Колмогорова [11]) и
(15b) для каждого i из 1 и каждого действительного
числа г, такого, что 0 г 1, FPr (1) есть множество одно-
членных последовательностей <j>, для которых J есть
член | и p(J) = r. Тогда мы можем читать „Рг<р“ как
„вероятно в точности со степенью г, что ф“, а „вероятно"
может пониматься либо в смысле априорной теории веро-
ятностей, либо в смысле частотной теории в зависимости
от того, понимаются ли точки соотнесения как моменты
времени или как возможные миры. „Р^“ может соответ-
' ственно читаться или как „почти всегда бывает так, что ср“
, или „почти достоверно, что <р“.
• Существуют примеры временных операторов, которые
в Т, то М принадлежит ffil2 и все отношения М определены на обла-
сти X.
5 1 Определение топологического пространства см., например,
в [10] (с. 60 русского издания.—Рей.).
277
не могут быть проинтерпретированы в терминах отноше-
ний достижимости. Кэмп рассматривал два бинарных
оператора этого рода, соответствующих оборотам: „с тех
пор как было так, что <р, (всегда) было так, что ф“ и
„до тех пор пока есть так, что <р, будет (всегда) так,
что ф“. (Кэмп анализировал общее понятие времени и
показал в работе, которая до сих пор остается неопубли-
кованной, что всякий временной оборот может быть выра-
жен в терминах этих двух.)
Я только упомяну три дальнейших пути развития
прагматики. (1) Кэмп дал анализ, представляющий неко-
торые интересные черты таких индексных наречий, как
„вчера**, „сегодня**, „завтра**, использованных вместе с вре-
менными операторами. (2) Анализ дат, использовавшихся
в комбинации с временными операторами, был дан в книге
Прайора [2]] и развит далее Кэмпом1. (3) Разновидность
второпорядкового расширения прагматики была развита
в статье Монтегю [17] и отождествлена с интенсиональ-
ной логикой; кажется, что это первый вполне адекват-
ный анализ контекстов мнения и тому подобного. Ряд
философских приложений этой расширенной системы
дается в статье Монтегю [18].
ЛИТЕРАТУРА
1. Addison J. W., Henkin L., Tarski A. The Theory
of Models. Amsterdam, 1965.
2. В а г-II i 1 1 e 1 Y. Indexlcal Expressions.— “Mind”, 1954, vol.
63, p. 359—379.
3. Cocchiarella N. A Completeness Theorem for Tense
Logic.— “The Journal of Symbolic Logic”, vol. 31, 1966, p. 689—690.
4. C occ h i a r e I 1 a N. Tense logic: a Study of Temporal Refe-
rence (Dissertation). Los Angeles, 1966.
5. Frege G. Uber Sinn und Bedeutung.— “Zeitschrift fur
Philosophic und philpsophische Kritik”, Bd. 100, 1892, S. 25—50.
6. G о d e 1 K. Uber formal unentscheidbare Satze der Principia
Mathematica und verwandter Systeme 1.— “Monatshefte fiir Mathema
tik und Physik”, Bd. 38, 1931, S. 173—198.
7. Hilbert D., Bern a vs P. Grnndlagen der Mathematik.
Berlin, 1934-1939.
8. H i n t 1 k k a J. Modality and Quantification.—“Theoria”,
vol. 27, 1961, p. 119—128.
9. К anger S. Provability in logic. Stockholm, 1957.
1 Хотя здесь впервые делается специальная ссылка на Артур.'
Прайора, я должен сказать, что все современное развитие логики
времени началось с его работ и было стимулировано ими, в особен
ности книгами [22] и [21].
278
10. Kelley J. L. General topology. Princeton, Toronto, New York
& London, 1955. (Рус. nep.: Келли Дж. Л. Общая топология.
Пер. А. В. Архангельского. М., „Наука", 1968).
11. Kolmogorov A. N. Foundations of the Theory of Proba-
bility. New York, 1956. (Рус. nep.: Колмогоров A. H. Основные
понятия теории вероятностей, 2 изд. М., 1974).
12. Kripke S. A Completeness Theorem in Modal Logic.—
“Journal of symbolic logic”, vol. 24, 1959, p. 1 — 14.
(Рус. пер.: Крипке С. А. Теорема полноты в модальной
логике.— В кп.: Фейс Р. Модальная логика. М., „Наука", 1974).
13. Kripke S. Semantical Considerations on Modal Logic.—
“Acta Philosophica Fennica”, f. 16, 1963, p. 83—94.
14. Kripke S. Semantical analysis of modal logic, II. Non-
normal Modal Propositional Calculi.—In: [1]. (Pyc. nep.:
Крипке С. А. Семантический анализ модальной логики. II.
Ненормальные модальные исчисления высказываний. — В кн.:
Фейс Р. Модальная логика. М., „Наука", 1974).
15. Lemmon Е. J. New Foundations for Lewis Modal Sy-
stems.— “The Journal of Symbolic Logic”, vol. 22, 1957, p. 176—186.
16. Montague R. Logical Necessity, Physical Necessity, Ethics,
and Quantifiers.— “Inquery”, 4, 1960, p. 259—269.
17. Montague R. Pragmatics and Intensional Logic.—“Diaiec-
tica” (forthcoming). (Напечатано в журнале „Synthese”, 1970, p. 22,
№ 112.)
18. Montague R. On the Nature of Certain Philosophical
Entities.— “Monist” (forthcoming). (Напечатано в журнале: „Monist”,
53, 1969, p. 161 — 164.)
19. Montague R., Scott D., Tarski A. An Axiomatic
Approach to set Theory. Amsterdam (forthcoming).
20. M о r r i s C. W. Foundations of the theory of signs. Chicago, 1938.
21. Prior A. N. Past, Present and Future. Oxford, 1967.
22. Prior A. N. Time and Modality. Oxford, 1957.
23. Q u i n e W. V. From the Logical Point of View. Cambridge, 1963.
24. Rasiowa H., Sicorski R. The mathematics of meta-
mathematics. Warsawa, 1963. (Рус. nep.: Рас ев а E., Сикор-
ский P. Математика.метаматематики. M., „Наука", 1972.)
25. T a r s k i A. Uber einige fundamentale Begriffe der Meta-
mathematik.— “Comptes rendues des seances de la societe des sciences
et des lettres de Varsovie», classe III, 23, 1930, S. 22—29. (Англ.
I пер. в: Tarski [29].)
26. T a r s k i A. Fundamentale Begriffe der Methodologie der
deduktiven Wissenschaften, I.— “Monatshefte fiir Mathematik und
k Physik”, Bd. 37, 1930, S. 361—404 (Англ. пер. Там же).
27. T a r s k i A. Grundziige des Systemenkalkiils—“Fundamenta
' Mathematicae”, 1936, 25, S. 503—526; 1936, 26, S. 283—301 (Англ,
nep. Там же.)
28. Tarski A. Pojycie prawdy w jgzykach nauk dedukcyjnych
(The concept of truth in the languages of the deductive sciences).—
. “Travaux de lasociete des scienceset des lettres de Varsovie, classe III”,
1933, 34 (Англ. пер. Там же.)
29. Tarski A. Logic, Semantics, Metamathematics. Transl. by
' \Voodger J. H. Oxford, 1956.
Д. Скотт
СОВЕТЫ ПО МОДАЛЬНОЙ ЛОГИКЕ*
Всем известно, что гораздо приятнее давать советы,
чем получать их. Всем известно также, как редко люди
внимают добрым советам. Тем не менее эти факты мало
кого удерживали от дачи советов, и уж меньше всего —
автора настоящей статьи. Он заметил, что в нынешних
исследованиях по модальной логике весьма распростра-
нены путаница, неправильно расставленные акценты и
дублирование одних работ другими, и теперь он занят
распространением всякого рода полезных советов по этому
поводу. Ои очень доволен, что коллоквиум в Ирвине* 1
оказался таким своевременным и удачным форумом, г.
надеется, что каждый его совет вызовет полезную дис-
куссию— хотя бы в порядке самозащиты. Действительно,
кажется, что наступило время для плодотворного разви
тия модальной логики; но для этого нужно позаботиться
об очищении и упрочении ее оснований. В самом деле
ведь возможна такая гибкая структура, что стары»
затруднения окажутся вне ее и можно будет начать раз-
работку ее важных приложений.
Прежде чем обратиться к частностям, я хочу дан
один общий совет. Часто приходится слышать, что м<>
дальпая (или какая-либо другая) логика не нужна, т.н
как она может быть переведена в некоторый более при
стой, первопорядковый язык. Не обращайте внимания п >
* Scott D. Advice on Modal Logic.— “Philosophical Problcn-
in Logic. Some Recent Developments”. Ed. by K. Lambert. Reid
Dordrecht, Holland, 1970.
1 Текст выступления автора на этом логическом коллоквщм.
в 1968 году лег в основу настоящей статьи.
280
такие доводы. Не придавайте никакого значения требо-
ванию, чтобы исходная система была заменена другой.
Надо выделить важные понятия и исследовать их свойства.
Тот факт, что действительные числа могут быть опреде-
лены в терминах множеств, еще не является доводом
в пользу того, чтобы интересоваться произвольными мно-
жествами. Среди различных множеств должны выбираться
имеющие отношение к данному вопросу, и нельзя пори-
цать тех, кто считает внутренние свойства действитель-
ных чисел более интересными, чем любая их формализа-
ция в теории множеств. Конечно, если мы можем пока-
зать, что теория множеств дает новые важные понятия,
то можно найти и основания для выхода за пределы
теории действительных чисел (такие основания найти
нетрудно!). Но, разумеется, обсуждение этого вопроса не
может ограничиваться одними только формальными осно-
ваниями.
Этот очерк разделен на шесть параграфов. В первом
из них обсуждаются индивиды: действительные, возмож-
ные и виртуальные; во втором вводятся возможные миры
и их обобщения; в третьем параграфе возможные миры
и индивиды комбинируются для того, чтобы ввести фун-
даментальное понятие индивидного концепта-, в четвертом
обсуждаются общие интенсиональные операторы; пятый
параграф дополняет это обсуждение рассмотрением опе-
раторов, связывающих переменные. В заключительном,
шестом параграфе выявляются различия между случай-
ным совпадением (incidence) и равенством (equality), что
необходимо для анализа проблемы перекрестной иденти-
фикации (cross-world identification). (Анализ последнего
Вопроса не так хорош, как хотелось бы автору, и поэтому
он думает о его дальнейшей разработке.) Этот план был
выбран с той целью, чтобы постепенно построить семанти-
ческую структуру для модальной логики и при этом дать
адекватные (как надеется автор) объяснения проблем,
чтобы его добрые советы не показались слишком автори-
тарными. Во всяком случае, различные критические
замечания будут пониматься автором в духе целесообраз-
ной дискуссии. Целью является синтез всех ценных идей,
а не победа взглядов одного человека над взглядами
Других.
281
I. Индивиды
Что такое индивид? Очень хороший вопрос. Настолько
хороший, что мы даже не будем пытаться ответить на
него. Мы могли бы допустить, что „быть индивидом"—
это исходное неопределяемое понятие; что совершенно
безопасно, ибо исходным может быть любое достаточно
ясное понятие. Возможно, правда, что мы захотим иметь
дело не с самими индивидами, а с конструктами или
знаками, представляющими индивиды. Сейчас это не имеет
значения: важно сойтись на том, что индивиды (или их
законные представители) могут быть собраны в одну об-
ласть, множество, которое мы назовем D.
Я считаю важным, чтобы D было данным заранее.
Это не означает, что все элементы D даны в конструк-
тивном смысле, ибо данным тут может быть только неко-
торое свойство, определяющее множество D. Однако
если D считается неопределенным, то возникает большая
путаница. Любое множество может быть расширено путем
введения новых элементов, но тогда мы получаем новое
множество D' и различные результаты могут под-
вергнуться изменению, будучи отнесены к новой области.
Иногда это изменение может иметь вид парадокса, если
забывают, что D' ф D. Может быть, в будущем мы на-
учимся понимать логику потенциальных совокупностей
(возможно, благодаря интуиционизму?). Но сейчас наша
простая двузначная логика требует такой идеализации.
Пусть вас не обескураживает то, что мы с самого начала
связываем себя этой идеализацией. Спросите себя, оце-
нили ли вы, каким полезным и гибким орудием является
в действительности двузначная логика? Я думаю, что
лучше сначала исследовать такую идеализированнук
ситуацию, а затем, когда на основе сделанного можно
будет оценить, что было приобретено, а что утеряно,
отбросить нежелательные предположения.
Как велика область D? В общем она довольно об
ширна (по крайней мере непуста), потому что мы хотим
чтобы D было областью возможных индивидов. Здесь
„возможный" означает „возможный относительно некото
рой априорной теории". Может быть, слово „мыслимый
здесь было бы более уместно. Во всяком случае, я хоч\
еще раз подчеркнуть, что это понятие относительно
Конечно, мы можем мыслить индивиды, не находящиеся
282
в Z?, но это в данном случае совсем некстати. Мое един-
ственное требование—мыслить по крайней мере один воз-
можный индивид, поскольку вообще логика для непустой
области проще. Кванторы по возможно пустым областям
появятся позже, там, где они будут уместнее.
Мне понадобилось очень много времени, чтобы при-
знать целесообразность понятия „возможный индивид".
Только после многочисленных дискуссий с группой логи-
ков Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе
(Монтегю, Каплан, Кокьярелла и Кэмп) я наконец про-
зрел. На настоящем собрании я рад отметить, что и дру-
гие пришли к тому же заключению (особенно ван Фрас-
сен и Ламберт). Можно привести много примеров, под-
тверждающих эту идею. Рассмотрим хотя бы следующие
предложения: „Никакие два президента США никогда не
были похожими друг на друга1*, „Все нобелевские лау-
реаты одинаково заслуживают своей награды**, „Этот ро-
ман произведет на всех читателей не менее глубокое
впечатление, чем на меня**. В данных примерах мы имеем
дело с течением времени. Индивиды (в данном случае
люди) приходят в мир и умирают, прекращая свое сущест-
вование. Однако мы можем осмысленно сравнивать любые
два лица, существующие в разное время, причем не
всегда два определенных лица, так что требуется как раз
квантификация по всему множеству возможных индиви-
дов. В этом состоит разница между первыми двумя пред-
ложениями (в прошедшем времени) и третьим (в будущем).
Такова одна группа возможных примеров; как только
проблема понята, на ум приходят сотни других примеров.
К различию между действительными и возможными
индивидами мы обратимся ниже, в пятом параграфе.
В настоящем же параграфе мы хотим обрисовать другое
различие—между возможными и виртуальными индиви-
дами. Не так давно Куайн популяризировал виртуальные
объекты. Простите за слово „объекты**, ибо Куайн хотел
бы рассматривать их как fa?on de parler * и считать
Все вхождения таких выражений элиминируемыми посред-
ством контекстуальных определений. Но мне такой под-
ход представляется некоторым смещением акцентов или,
может быть, проявлением известной близорукости. Воз-
можность введения виртуальных объектов неограниченна
1 Оборот речи (франц.)
283
и в значительной мере относительно неисследованна. Их
надо понимать не как привидения, а, скорее, как идеаль-
ные объекты, введенные для того, чтобы увеличить зако-
номерность в нашем языке. Используя имена таких объ-
ектов, мы часто получаем простые формулировки, благо-
даря которым можно избежать увеличения числа различ-
ных частных случаев. Блестящими примерами этой по-
лезной идеализации являются ± со в обычной теории
действительных чисел, бесконечно удаленная точка в проек-
тивной геометрии, виртуальные классы в теории множеств.
Конечно, каждое из вышеупомянутых понятий может
быть элиминировано (ценой значительного удлинения
выражений) с помощью контекстуальных определений.
Но я советую не считать контекстуальную элиминируе-
мость главной чертой этих понятий и предлагаю посмот-
реть на мои основания для такого совета.
Мое самое значительное возражение опирается на
чувство, что мне не известна общая теория контекстуаль-
ных определений. Я даже сомневаюсь, что такая теория
существует. Может быть, я в данном случае просто
упрямлюсь, как не раз бывало раньше, но я не знаю
никакого действительно серьезного изучения данной проб-
лемы. Я не хочу сказать, что Куайн не дал нам некото-
рых важных примеров использования контекстуальных
определений. Нет, мне хотелось бы предложить более
нейтральный способ обсуждения, который позволит доста-
точно ясно обсуждать этот вопрос, не предрешая окон-
чательного ответа. Меня беспокоит то, что, когда кон-
текстуально элиминируется каждое вхождение элимини-
руемого выражения отдельно (а вхождения управляются
возможными контекстами), тут всегда может вкрасться
некоторый разрыв или, иначе говоря, может получиться,
что в некоторых контекстах виртуальный объект ведет
себя как вещь одного рода, а в других — иного. Причем
это не так уж необоснованно: ни один объект не стоит
в одних и тех же отношениях ко всем другим объектам.
Беспокоит же меня здесь то, что контекстуальный метод
слишком легко допускает непостоянные объекты.
Что же делать? Вот что: просто будем считать выра-
жения для виртуальных объектов действительно именую-
щими (абстрактные) объекты. Вместо определений возьмем
аксиомы (может быть, используя вместо „есть сокра-
щение для", используя, разумеется, в качестве символа
2Ь4
объектного языка!). Несомненно, это налагает более
тяжелые обязательства. Так, если что-нибудь окажется
ошибочным, то мы столкнемся с тем, что наши аксиомы
противоречивы, и тогда мы не сможем так легко завуали-
ровать существо вопроса, изменив какой-то пункт „опре-
ления“ и назвав его безопасным. Это—отрицательное
следствие. Но возможно также и положительное: я пока-
зал в моей работе по дескрипциям, что в случае виртуаль-
ных классов аксиомы могут быть проще и элегантнее,
чем определения. Мне. кажется, что благодаря этому по-
нимать виртуальные классы легче. Заметьте, что на основе
аксиом может быть выведена метатеорема об элиминации,
причем это может иметь место довольно часто. Итак,
совет мой состоит в том, чтобы оставить проблему эли-
минации для развития теории, а не усложнять ею форма-
лизацию.
Наш следующий вопрос таков: допустимо ли, чтобы
квантифицированные переменны^ пробегали по виртуаль-
ным объектам? Мне думается, что ответом должно быть
твердое „нет". Квантификация (или область связанных
переменных) будет включать только возможные индивиды.
Если мы придадим виртуальным объектам столь высокое
значение, что захотим квантифицировать по ним, то пе-
рейдем к новой теории с новой онтологией (и с новыми
виртуальными объектами!). Роль виртуальных объектов
состоит в прояснении структуры базисной области D,
а не во введении нового класса проблем. Вот почему мы
бываем довольны, когда упоминания о виртуальных объ-
ектах оказываются элиминируемыми. Но может быть так,
что виртуальные объекты используются для упрощения
задания исходной структуры области D, поэтому мы до-
пускаем, что элиминация не всегда возможна. Следова-
тельно, виртуальные индивиды не допускаются на равных
правах с индивидами из D.
Таким образом, квантификация по всем виртуальным
индивидам не допускается. Однако квантификация по
части их вполне может быть полезной. Возьмем в каче-
стве примера теорию действительных и виртуальных
классов. Каждый действительный класс имеет карди-
нальное число. Если а и b—действительные классы (мно-
жества), то мы будем писать а да b для обозначения того
факта, что между ними существует одно-однозначное
соответствие (как актуальное отношение). Тогда карди-
285
нальное число множества а может быть определено сле-
дующим равенством:
| а| — \х:х т«}.
В обычных теориях классов |а|, как правило, есть вир-
туальный, а не действительный класс.
Среди виртуальных классов мы можем определить
тот, который считается кардинальным числом, следующим
образом:
Card [т] <-» Эх [т = | х |],
где т есть терм, а х не входит в т свободно.
Разве плохо было бы иметь переменные, пробегающие
по кардиналам, например готические буквы ш, и, ...,
так, чтобы можно было обычным путем формулировать
теоремы о существовании? Ответ прост: да, вы можете
это сделать и даже не рисковать своими взглядами на
виртуальные объекты. Мы просто примем, что
УщФ (1П) «-> УлФ (| х |)
и
ЭщФ (ш) <-> ЭлФ (| х |).
Подразумевающийся смысл этих определений ясен, и
мы видим, что такая квантификация не хуже, чем обыч-
ная квантификация по множествам. Ясно, что тот же
самый подход может быть применен и к квантификации
по любой части виртуальных объектов, которая может
быть пронумерована или индексирована множествами с по-
мощью некоторой определимой операции подобно |а|.
Однако по этому методу квантификация никогда не будет
производиться по всем виртуальным объектам, ибо вне
зависимости от того, что за операция <р (а) берется, вир-
туальный класс т= {х:х(£<р(х)} таков, что ”] Эу [т = <р (//)].
Поэтому данный метод полезен и естествен.
В итоге мы различаем виртуальные, возможные и дей-
ствительные объекты. Если обозначить буквой V область
виртуальных объектов, D — возможных, а А—действитель-
ных, то для простоты мы можем принять, что
A<=D<=V.
Разница между А и D, хотя и не проявляется в обыч-
ных системах, но становится решающей в модальной ло-
гике. Действительно, в этом случае А должно быть за-
2SS
менено целым семейством областей At G D, где i € /.
Однако разделять эти классы полезно, может быть, даже
в немодальной логике (см. работу Кокьяреллы и Ламберта).
Заметим, что мы уже использовали отношение равен-
ства (=) между индивидами—даже в V. Это оправдано
и строго. Равенство есть логическое понятие. Если раньше
и заблуждались относительно свойств равенства, то это
никак не означает, что само понятие изначально неясно. Мы
обсудим это подробно в связи с модальными понятиями.
II. Возможные миры
Здесь не место обсуждать, откуда идет сама идея
возможных миров, достаточно заметить, что недавние
работы Кангера, Монтегю, Хинтикки и Крипке ясно
установили полезность данного понятия. В самом деле,
идея кажется столь достойной, что я хочу выступить за
нее, имея в виду расширение этого понятия, которое де-
лает метод гораздо более гибким, по крайней мере мне
так кажется.
Мой совет заключается в использовании принципа
индексных выражений Карнапа—Бар-Хиллела. Возможные
миры, понимаемые как различные собрания индивидов
с дополнительной структурой или без нее, выражают
только один аспект этой идеи. Любая система структур
может быть индексирована элементами подходящего мно-
жества, причем различными способами. Так, возьмем
фиксированное множество I этих индексов и прежде всего
отметим индексами систему действительных индивидов,
положив, возможно различные, А, s D для каждого i£l.
Важно, чтобы не предполагалось одно-однозначного соот-
ветствия между А,- и i, ибо элементы множества I могут
обладать структурой, не полностью отражающейся в от-
личиях одного Aj от другого. Вот почему я отказываюсь
брать как модели Монтегю—Крипке (ранние работы),
так и модельные множества Хинтикки в качестве фунда-
ментальных. Этот пункт необходимо обосновать несколько
подробнее. Дело в том, что недостаточно заявлять, будто,
имея модели или модельные множества, мы можем про-
вести различения, достаточные для получения эффекта
любого множества индексов (используя отдельные раз-
личные экземпляры множества или вводя в язык спецн-
£87
альпые предикаты), ибо это и означает, что метод индек-
сов в действительности является более фундаментальным.
Посмотрим на эти индексы в действии. Суть состоит
в том, что в самих выражениях языка делается неопре-
деленная ссылка на индекс—отсюда и наша терминология.
Здесь мы можем привести лишь один такой пример, хотя
позже будут приведены и другие, более интересные при-
меры. В данном примере рассматривается случай с кван-
тификацией. Пусть мы имеем квантор V.v, пробегающий
по области D. Теперь введем квантор по „действительным"
индивидам V.x, где точка означает указание на неопреде-
ленный индекс. Таким образом, даже если мы знаем зна-
чение предиката 5s, мы не можем сказать, является ли
V.xOP(x)
истинным или ложным. Однако если мы выделим неко-
торое i£J, то относительно этого индекса предложение
имеет определенное истинностное значение; а именно, оно
истинно, если 5s (а) истинно для всех а С А{. Но пока мы
не укажем на некоторое i С I, область значения кванти-
фицированной переменной остается неизвестной.
В этом примере мы видим предложение, чье истин-
ностное значение не постоянно, а изменяется как функ-
ция от ;£</. Такую ситуацию легче всего представить
себе в случае высказываний, зависящих от времени, то
есть в случае, когда / представляет множество моментов
времени. Очевидно, что одно и то же высказывание может
быть истинным в один момент и ложным — в другой.
В более общем случае не следует считать i £ I чем-то
таким же простым, как моменты времени или возможные
миры. В общем случае
i = (w, t, р, а, ...),
где индекс i имеет много координат- например, w есть
мир, t—время, р{хуг}— (трехмерное) положение в мире,
а—субъект и т. д. Все эти координаты могут изменяться,
возможно, независимо и таким образом влиять на истин-
ностное значение утверждений, которые косвенно отно-
сятся к данным координатам.
Встает вопрос: почему мы не можем просто сделать
эти указания прямыми и свести тем самым логику индек-
сных выражений к обычной логике? Ответ заключается
в том, что мы ведь не говорим таким образом. Выска-
288
зывания всякого рода косвенно указывают па „здесь",
„теперь", „я". Эти высказывания имеют свою логику: от-
носительно некоторых из них можно утверждать, что они
истинны в силу своей синтаксической формы. Поэтому
ввиду распространенности и простоты таких высказыва-
ний мы, конечно, обязаны исследовать их внутреннюю
логику. Разумеется, перевод на более элементарные языки
может помочь в получении некоторых результатов, но
это не означает, что более сложные языки неинтересны или
что они должны быть элиминированы. Это напоминает
идею типовой неопределенности: мы должны указывать
точно не тип каждой переменной, а только относительное
расстояние между их уровнями. Многие высказывания
истинны на всех уровнях, и было бы просто лишней ра-
ботой точно выписывать в обозначениях все уровни всех
переменных.
i £ I можно было бы назвать точками соотнесения, так
как для определения истинностного значения выражения
необходимо „соотнести" его сточкой из I. Предварительно
я уже заметил, что эта терминология более нейтральна
и более обща, чем возможные миры. Может быть, „индекс"
также хороший термин, но мне он кажется каким-то не-
выразительным. В любом случае при построении интерпре-
тации для некоторого языка множество / вместе с Л;с
S Ds V должны быть фиксированы заранее. Не забывайте,
что некрасиво изменять объем I в середине исследования
(или заявлять о тех координатах, о которых вначале ни-
чего не говорилось), а потом высмеивать логику индекс-
ных выражений как противоречивую и лишенную интуи-
тивного содержания.
' Такие доводы, если они имеют какое-либо серьезное
содержание, могут только показать, что некоторая интер-
претация неадекватна для представления более сложной
ситуации. То есть можно показать неадекватность отдель-
ной интерпретации, но нельзя доказать неадекватность
самого метода построения интерпретаций.
Итак, можно заключить, что истинностное значение
утверждения зависит от i £ /. Для того чтобы установить
связь между утверждениями и их частями, потребуются
некоторые обозначения. Сначала примем обозначения для
истинностных значений: будем писать 1 для обозначения
истины и 0—для обозначения лжи. Этот выбор основан
на том, что 2 = {0, 1} есть простой и удобный символ для
10 № 1112 *
289
обозначения множества из двух истинностных значений.
Далее, утверждению Ф сопоставим функцию [|Ф|| (значение
Ф в данной интерпретации), определенную на I, со зна-
чениями из множества 2. Иначе говоря, мы будем писать
ЦФ||,-=1.
когда Ф истинно относительно i. Возможны и другие
обозначения, и ниже мы рассмотрим несколько их вари-
антов. Отметим, что мы используем запись fc как равно-
значную записи значения функции f (i). Иногда нам при-
дется говорить о множестве всех функций, определенных
на I, со значениями из 2; оно будет обозначено 21, и мы
можем записать:
ЦФ||€2',
если
ЦФ||,-€2Л
где i£7.
Мы уже фактически приняли, что наш язык содержит
обычные пропозициональные связки ”], V. Л, —”»
и кванторы V, V., 3, 3., а также другие операторы,
о которых речь пойдет ниже. Для объяснения значения
этих символов дадим обычные семантические определения,
а именно:
("])Ц "I Ф ||,- = 1, если и только если ||Ф||,-= 0;
(\/)||Ф V ^11,- = 1, если и только если ||Ф||,- или |]Ф||,- = 1;
(V) |] Ф Л 'РIL* = 1. если и только если || Ф ||,- =1 и ||Ф ||,-= 1,
и аналогичным образом для (—>) и (<->). Заметьте, что
в пункте (1) мы не добавили слов „в противном случае
HI ф||,. = 0”, так как мы уже согласились, что принята
двузначная логика.
Для того чтобы интерпретировать кванторы, я посо-
ветовал бы ввести в язык константы а для всех a£V.
Разумеется, соответствие между а и а должно быть одно-
однозначным. Тогда мы можем записать:
(V) || Vx Ф (х) II,- = 1, если и только если ||Ф (а) ||,- = 1
для всех а £ D;
(У-)||У-хФ(х)||,- = 1, если и только если ||Ф (й)||,- = 1
для всех а £ At.
290
Соответственно для (3) и (3.). Однако известно, что не-
которые не хотят иметь несчетные языки со слишком
объемистыми „адресными книгами" индивидных констант.
Это одна из причин, по которым Тарский ввел свой ва-
риант определения выполнимости. Я работал с обоими
типами определений и пришел к выводу, что определения
с индивидными константами гораздо проще излагать тем,
кто не имеет навыков в теории множеств. Определение
истинности оказывается короче.
До сих пор мы говорили только о связи между выска-
зываниями и о кванторах, навешиваемых на высказыва-
ния. Что же касается интерпретации атомарных формул
термов (например, дескрипций), то она заслуживает отдель-
ного параграфа.
III. Индивидные концепты
Почему бы не броситься сразу в гущу боя, начав
с определенных дескрипций? Они иллюстрируют все про-
блемы и прямо ведут к общим операторам. Во-первых,
какие же нам принять обозначения? Существуют j, Т, U
для обозначения определенной дескрипции, но мне ни одно
из них не нравится. Это дело вкуса, но поскольку для
кванторов я использовал перевернутые гротесковые *)
буквы V и 3, то решил использовать (перевернутую?)
гротесковую заглавную букву I для обозначения того,
что речь идет об индивиде. (На самом деле Т, конечно,
не так уж плохо, но как быть с Т и F или Т и | для
обозначения истинностных значений?) Независимо от обо-
значений семантика для этого оператора довольно оче-
видна, ибо:
(I)|| 1хФ(х)= а, если и только если,
Н = {Ь€О:ЦФ(Ь)||/=1).
Иными словами, имея /£/, для определения значения
||Ф (Ь) ||,- относительно каждого b £ D мы должны посмотреть,
действительно ли при единственном b эта формула истинна.
Если так, то этот индивид назовем а и будем считать
его значением дескрипции относительно i. Следовательно,
1 Гротесковый шрифт — вид типографского шрифта с равномерной
толщиной штрихов и без подсечек.—Прим, перев.
10*
291
|| 1хФх|| есть функция, определенная на /, со значениями из
D. Но какого рода эта функция? И чем тогда будут несоб-
ственные дескрипции? Ответ: эти функции лучше всего
рассматривать как частичные', несобственные дескрипции
имеют „неопределенные" значения.
Эта точка зрения отличается от той, которую я защи-
щал раньше (даже в самом моем докладе на коллоквиуме
в Ирвине!). Как извлечь все преимущества из идеи (нуждаю-
щейся еще в детальных объяснениях) индивидных кон-
цептов, я понял только тогда, когда начал в неформаль-
ной, разговорной манере излагать скопившиеся у меня
соображения. Это станет яснее по мере того, как мы
будем продолжать наше исследование.
Заметим, что наряду с оператором I мы имеем также
оператор I., который принимает в качестве значений
только действительные индивиды и определяется следую-
щим очевидным образом:
(I.) || I.хФ (х) ||; = а, если и только если
{«} = {b С А,:||Ф(Ь) ||(-= 1},
причем мы принимаем, что это значение неопределенно,
если нет а, удовлетворяющего условию, записанному справа.
Разумеется, оператор I. не является исходным, потому
что он так легко определяется в терминах других понятий.
1.хФ (х) = 1x3 .у [х = у/\Ф (#)].
Это последнее замечание напоминает нам, что мы еще
ничего не сказали о равенстве. Как обычно, наш язык
содержит термы и формулы, а также обычные операторы
и необычные, которые мы еще введем. В частности, из
двух термов т и а может быть образовано равенство т = а,
представляющее собой формулу. Мы хотим приписать
значение каждому правильно построенному выражению
без свободных переменных, поэтому предположим, что нам
известно ||т|| и ||о||, а именно частично определенные функ-
ции с областью определения I и областью значения. Но
какой областью значения? Значения дескрипций должны
принадлежать только D, а значения индивидных термов
в общем случае должны лежать в V. Используем Vih для
обозначения множества частичных функций, в то время
как И'7' есть множество всюду определенных функций,
292
гак что
kll.
Для равенства:
(==)||т = а||,.= 1, если, и только если, ||т||,- и ||а||,- оба
либо определенны и равны, либо неопределенны.
Да, да, я слышу возражения, выкрикиваемые со всех
сторон. Если мы собираемся использовать неопределенные
термы, то почему нельзя использовать и неопределенные
истинностные значения? Разве это не более естественно?
Может быть, и так, но сначала покажите мне действительно
пригодную для работы трехзиачную логику. Я знаю, что
такая логика может быть построена и по меньшей мере
четыре раза в год кто-нибудь преподносит новую идею,
но до сих пор она еще не разработана до такой степени,
чтобы с ней было приятно работать. Может быть, такой
день настанет, но меня еще нужно будет убедить. Поэтому
мой совет такой: продолжать работать с двузначной ло-
гикой, потому что ее легко понимать и использовать
в приложениях; а если кто-то предложит другую рабо-
тающую логику, то переключиться будет нетрудно.
На основе (=) становится очевидно, что следующие
две формулы всегда истинны для всех i £ 1
т = т и [т = оДт = 6—>а = 6],
что и является причиной выбора такого определения.
Поскольку следующая формула, как мы покажем ниже,
в общем случае не проходит
т = оДФ(т) —>Ф(а),
то это может кого-то смутить. Однако важный частный
случай выполняется и здесь. Прежде всего мы должны
сказать, что делать с (виртуальными) индивидными кон-
стантами:
|| яII,-= с для всех «£|/.
Это есть именно подразумевающееся значение а. Теперь
легко проверить, что
а = Ь/\Ф(а) —>Ф(Ь)
всегда истинно. В частности, выполняется также немного
более слабое утверждение:
Vx Уу [х = t/ДФ (х)Ф (у)].
293
Чтобы лучше понять предлагаемую семантику, давайте
будем (более или менее) следовать терминологии Карнапа:
будем называть элементы 2' пропозициональными концеп-
тами, а элементы Vth—индивидными концептами. Заме-
тим, что
и, таким образом, классификация индивидных концептов
параллельна классификации индивидов. Мы называем их
концептами, потому что их значения зависят от индексов,
или точек соотнесения, принадлежащих /, и образуют
последовательный ряд значений, то есть функцию. Такой
пучок индивидов (или истинностных значений) дает нам
не один индивид, а индивидный концепт, зависящий от
точки соотнесения. С этим каждый знаком на примере
такой старой дескрипции, как „Нынешний король Франции1*.
Заметьте, что И строится сначала, а К(/>— после, с тем
чтобы приписывать значения термам. Это означает, что
индивидный концепт есть семантический конструкт, а не
исходное онтологическое понятие.
Повторяем: для терма т и формулы Ф:
а ||Ф||€2'.
Таким образом, ||т|| есть нечто вроде фрегевского смысла,
а ||т||,- — что-то вроде значения. Но не точно. Не будем
здесь углубляться в данный вопрос. Может быть, будет
лучше использовать идеи Карнапа и назвать ||т|| интен-
сионалом т, а ||т||(-—экстенсионалом т в «£/. Основной
принцип нашей семантики таков: интенсионал целого
выражения есть функция интенсионалов его частей.
То же самое, конечно, может быть не истинно для
экстенсионалов. В этом и состоит наше объяснение „пара-
докса“ равенства: естественное чтение т=о может быть толь-
ко таково, что тио имеют тот же самый экстенсионал (если
вообще они имеют экстенсионал) по отношению к данной
точке соотнесения. Это не влечет в общем случае равен-
ства интенсионалов. Следовательно, у нас не может быть
общего правила замены равных — кроме случая, когда мы
имеем дело с подлинными индивидами, интенсионал кото-
рых является константной функцией.
Обратившись на минуту к дескрипциям, мы отметим
общезначимость принципа:
Vу \у = 1хФ (х) <-» Vx [х = у<г+ Ф (х)]].
294
Это фундаментальное свойство дескрипций защищалось
многими из нас (назовем хотя бы некоторых: Хинтикка,
ван Фрассен, Ламберт, автор настоящей статьи) и теперь
кажется естественным. Следуя тому методу, каким я рас-
сматривал индивидные концепты, мы получим некоторые
результаты и для неопределенных дескрипций. Мы видим,
что || 1х [х =/= х] || есть всюду неопределенная функция в мно-
жестве функций И(/); назовем ее «. Этот концепт «• С И(/>
очень похож на фрегевский пустой объект и кажется мне
теперь более естественным, чем произвольный выбор пус-
того элемента в V~D. Его онтологический статус вполне
детерминирован, он может быть назван семантическим
конструктом, что, по-видимому, ставит это понятие на
место. Однако мы получим то же самое общезначимое пред-
ложение, что и раньше, если примем, что
“| Зу [г; = 1хФ (х)] —* 1хФ (х) = 1х [х =# х].
IV. Интенсиональные операторы
До сих пор мы находились на уровне чистой логики:
все понятия (за исключением индивидных констант) были
логическими понятиями. Теперь пришло время обсудить
внелогические понятия, чтобы прийти благодаря этому к
дальнейшим логическим понятиям.
Что можно сказать относительно (атомарных) преди-
катов? Обсудим в качестве простого примера бинарные
отношения. До сих пор единственной константой такого
рода у нас было равенство, но оно слишком специфично.
Поэтому мы отметим прежде всего, что наряду с равен-
ством будем допускать выражения
tRo,
где тиа могут быть произвольными термами. (Разу-
меется, мы хотим быть в состоянии выразить в языке
такие выражения, как „Ивонна есть жена нынешнего
короля Франции".) Это ставит перед нами вопрос о том,
как интерпретировать R; назовем эту интерпретацию || R ||.
Будет ли ||R|| отношением между индивидами или между
индивидными концептами? Ответ: последнее. Почему?
Потому что, даже если мы начнем с отношений между
индивидами, мы сможем определить интенсиональные от-
ношения, которые зависят от интенсионалов каждого из
295
аргументов. (Это станет очевидным, как только мы вве-
дем модальные операторы.) Поэтому в общем случае мы
примем
||R||e(2z)vl/,xvt/),
так что в соответствующем пункте определения истины
мы будем иметь
r hM=IIR|l(KII.IW
То же самое для предикатов с большим числом мест.
Отметим, что подстрочный индекс i в данном случае не-
существен, так как мы установили, что значение функ-
ции ||R|| принадлежит 21.
Предикаты сделаны такими сложными не для того,
чтобы мучать читателей, а для того, чтобы сделать логику
более общей. Когда формула логически общезначима (то
есть истинна во всех интерпретациях и относительно всех
точек соотнесения в интерпретации), она останется
общезначимой и тогда, когда в нее вместо предикатных
букв подставлены формулы. Данное соглашение есть един-
ственно разумная конвенция. Но это, ясное дело, не
мешает нам обсудить некоторые частные виды предикатов.
Одним таким видом являются экстенсиональные пре-
дикаты. Лучшим примером могут служить обыкновенные
отношения R <= УхК. (Например, 2 <-|-оо, откуда видно,
что отношения должны быть определены на всем множе-
стве V.) По аналогии с индивидами ту константу языка,
которая соответствует отношению R, будем обозначать R.
Тогда
(R) ||fl; = 1, если и только если
(IIЧ-, MDGR.
Заметьте, что для того, чтобы эта атомарная формула
была истинной, должны быть определены как ||т||(-, так и
Цо ||,-. Однако для равенства мы выберем другую конвен-
цию, потому что особая роль равенства обусловливает
различные конвенции, принимаемые для большего едино-
образия среди общезначимых формул. (Интересная деталь:
если все атомарные формулы построены с помощью —
или различных R и если единственными термами явля-
ются переменные или дескрипции, то дескрипции могут
быть полностью элиминированы. В общем случае это не
296
имеет места.) Например, принцип экстенсиональности (для
7?) читается:
т = т'Да = а'Л'гЛо —> .
Не каждый экстенсиональный в этом смысле предикат
происходит от обычного R. Читатель легко может построить
для себя другие примеры, а мы вернемся к этому вопросу
ниже.
Интенсиональные отношения приходят на ум не так
легко, как пропозициональные интенсиональные операторы.
Простейшим примером является оператор необходимости □:
(□) |1П<1)||/ = 1» если и только если ЦФ||У = 1 для
всех / С I.
Это означает ни больше ни меньше как истинность
во всех возможных мирах. Как же мы это назовем? Логи-
ческая необходимость кажется мне не совсем подходящим
названием, потому что она зависит от I (как и значения
||R||). А универсальная необходимость? Ведьмы и в самом
деле квантифицируем по всему универсуму I. Как бы мы
его ни называли, но это модальный оператор системы S5,
то есть очень полезный оператор Возможность, разумеется,
определяется двойственным образом, поэтому нам не нужно
выписывать пункт для (О) в определении истины.
При желании мы можем сказать, что □ имеет в ка-
честве интерпретации || □ j|, так же как и R. В самом
деле || ПЦ имеет тот же логический тип, что и ||"]||:
ini, пит2'-
Они являются отображениями из множества пропозицио-
нальных концептов на множество пропозициональных
концептов. Разница в том, что один из них экстенсиона-
лен, а другой нет. Замечание, что мы можем написать
|1ПФЦ = О (Цф|1)
(без подстрочных индексов!), делает нашу конвенцию от-
носительно интенсионалов совершенно очевидной.
Теперь, когда логический словарь стал более богатым,
полезно рассмотреть некоторые сложные фразы: напри-
мер, □т = о. По определению, мы имеем:
((□т = <т|]z = 1, если и только если ЦтЦу = |1СТ11/ для всех
Причем правое равенство выполняется и в случае, когда
оба его терма неопределенны. Это означает, что ||□т = o||
297
является концептом истинного выражения, если и только
если выполняется || т || = || о ||, то есть если ||т|| и ||о |1 есть
тот же самый индивидный концепт. Введем для этого
понятия особый символ:
т = о<-> □т = о.
Так мы различаем экстенсиональное равенство (т = а) и
интенсиональное (т = а). Назовем это более строгое поня-
тие тождеством.
Имея в виду нашу конвенцию относительно интенсио-
налов (которая может быть формально обоснована семан-
тикой), мы находим, что если т и о не имеют свободных
переменных, то
т = о Д Ф (т) —> Ф (а)
верно для тождества, в го время как аналогичный прин-
цип для равенства не выполняется. Соответственно если
Ф и Т не содержат свободных переменных и 0' получается
из 0 заменой вхождений Ф на ¥, то
□[®<-*V]A0->0'
также выполняется. Таким образом, наша логика имеет
известную степень экстенсиональности: выполняется под-
становочность для логически эквивалентных формул. Неко-
торые считают, что в подлинной интенсиональной логике
такой принцип должен быть отброшен. Но я не видел
ясного семантического анализа подобной логики. Обычно
путают пропозициональные операторы и предикаты от
предложений, то есть предполагают, что объектный язык
должен формализовать часть синтаксиса. Но даже в этом
случае я не вижу никакой подходящей общей системы.
Мой совет—работать пока на этом промежуточном интен-
сиональном уровне, потому что, как я попытаюсь показать
в последнем параграфе, тут имеется много сложных и
интересных понятий.
Самая интересная комбинация содержит □ и V. Верна,
например, такая формула:
□УхФх «~>Ул'ПФ (х),
а такая
□ У.хФ (х) У.хПФ (х)
не верна; и, таким образом, для V. не верна импликация
в обе стороны. Опровергающие примеры подобрать не-
298
трудно. В последнее время вокруг этих принципов под-
нялась большая суета, но все напрасно: есть два вида
кванторов с разными свойствами. Все, что сейчас нужно,—
строить ясную семантику. (Это замечание было сделано
Крипке и другими, но его невредно и повторить.)
Чтобы прояснить опровергающие примеры, полезно
снова рассмотреть экстенсиональные предикаты. Предпо-
ложим, что каждому i g I сопоставлено отношение R^Vx V
с возможно различными Rt для различных i. (Мы можем
рассматривать R как функцию, значениями которой слу-
жат отношения.) Затем мы можем ввести в наш язык
константу R (черточка (—) обозначает константное отно-
шение, а тильда (~) — переменное отношение), значение
которой задается так:
(R) ||т/?сг|| = 1, если и только если (ЦтЦ,, ||а ||,-) б R;-
А,- s D есть как раз такой одноместный предикат, так
что мы можем написать
(Л) || Лт И, = 1, если и только если ||т||, С А,. Далее мы
замечаем, что
У.хФ (х)«-» Vx [Л (х) —> Ф (х)]
истинно, а это и означает, что V. есть ограниченный кван-
тор. Теперь легко заметить, что
[Лх-^ ПФ(х)]
и
□ [Лх ->Ф(х)]
являются независимыми формулами. Этим и объясняются
описанные выше явления.
Использование переменных предикатов указанным пу-
тем кажется мне более предпочтительным, чем тот способ,
каким ван Фрассен предлагает использовать то, что он
называет логическим пространством. Если я правильно
понимаю его метод, он рассматривает D (которое сейчас
может быть равным V) как множество абстрактных ячеек
для индивидов. Я представляю себе это как что-то вроде
гигантской корзины для яиц. На этом пространстве опре-
делены некоторые фиксированные предикаты. Действитель-
ные индивиды понимаются как отображенные (или заклю-
ченные) в множество D. Затем задается семейство транс-
формаций Т = {/, :< 6 и мы можем следовать за инди-
видом по D, наблюдая, как а£ D трансформируется
299
в tta. Разумеется, а и (а) имеют различные свойства по
отношению к фиксированным предикатам. Есть в этой иде<
что-то, что мне кажется неподходящим или по меньше)
мере недостаточно общим. Я думаю, что мы можем полу
чить тот же эффект, заменив фиксированное отношение к
семейством отношений которые определяются так:
aRfi<-» (a) Rtf (b)
и сохраняют индивиды на их местах. Суть в том, что,
как мне кажется, ван Фрассен путает изменяемость пре-
дикатов с интерпретацией модальных операторов. Эти
вещи надо различать, и совет мой в том, чтобы принять
модельные структуры вроде предложенных выше, в которых
модальный оператор рассматривается отдельно.
Например, мы можем принять, что I есть система,
содержащая бинарный символ композиции о; тогда, если
нам нравится трансформационный подход, мы можем принять
tj (tj (а)) = tioi (а).
Далее, можно определить пропозициональный оператор [-»]:
(|-~Я) || [-»]Ф ||,- = 1, если и только если ЦФЦго/ для всех
/€/•
Получается чрезвычайно интересный оператор, но в
действительности это оператор довольно специального
вида—он может стать предметом рассмотрения, напри-
мер, во временной логике. И это, конечно, только один
из множества различных типов операторов.
Более общо, пусть будет бинарным отноше-
нием на I, тогда соответствующий р оператор [~р~] опре-
деляется так:
(Е) — 1» если и только если [|Ф||/= 1 для всех
/ б I, где ipj.
Другими словами, р есть просто-напросто отношение
альтернативности, заданное на возможных мирах. Однако
следует подчеркнуть, что это не единственный способ
получения интересных операторов, хотя он и включает
предыдущий пример.
Простейший пример оператора, который нельзя есте-
ственным образом задать с помощью какого-либо отно-
шения альтернативности, встречается во временной логике.
Предположим, что есть множество моментов времени (то
есть множество действительных чисел). Мы определим
оператор продолженного времени (progressive tense)p^TaK:
300
(PZ|) ||дФ||,.= 1, если и только если имеется откры-
тый интервал такой, что i£J и ||Ф||у = 1 для
всех j£J.
Давно уже Мак-Кинси и Тарский показали, что логика
данного оператора является в точности S4. На любом
другом индексном множестве I мы можем задать S4 с по-
мощью отношения альтернативности, но на обыкновенном
множестве действительных чисел задать таким путем g
никак нельзя.
Теперь нам легко перейти к самому общему монади-
ческому пропозициональному оператору. Сопоставим каж-
дому i g I семейство G, подмножеств I. Тогда мы можем
определить следующий оператор:
(®) || Ф Ц, = 1, если и только если,
{/6/: IMI^IKG,-,
что является просто тривиальной переформулировкой
утверждения
Не(2Т-
Но почему-то это истолковывается по-другому в терминах
множеств. Заметим, что в примере с |Т*| семейство Gt
могло бы пониматься как собрание всех подмножеств /,
содержащих внутри себя точку i, иными словами, как
окрестность точки I.
Ясно, что только некоторые из операторов [g] могут
быть названы логическими операторами, а именно лишь
те, которые не зависят от структуры I.
Имея подходящее определение (инвариантное относи-
тельно изменения множества I, например), мы, без сом-
нения, сможем показать, что единственными логическими
операторами являются “I, "II, □ и О. Конечно, это не
означает, что другие операторы не интересны—ничего
подобного! По-моему, одна из самых больших ошибок всей
модальной логики заключается в концентрации внимания
на системах лишь с одним модальным оператором. Един-
ственный способ получить какие-либо философски значи-
мые результаты в деонтической или эпистемической ло-
гике— это комбинировать соответствующие операторы с
временными операторами (иначе как вы можете сформу-
лировать принцип изменения?); логическими (иначе
301
как вы сравните относительное и абсолютное?) опе-
раторами типа исторической или физической необходи
мости (иначе как вы сможете связать субъект и его
окружение?) и т. д. и т. п. На чем же следует остано
виться? Этот список можно продолжать и продолжать.
Автор любой системы должен будет где-то остановиться,
но остановиться на одном операторе—это, конечно, значит
упустить что-то важное. Я хочу подчеркнуть, что изла-
гаемая здесь семантика позволяет рассматривать сразу
несколько операторов естественным и удобным путем:
надо только выбрать подходящие координаты i — (щ, t, р,
а, .. .). Конечно, при этом нельзя забывать и о логичес-
ких операторах. Я хочу по этому поводу возразить Хин-
тикке. Он использует только один оператор (который я
обозначил как QT|) и старается выразить различные усло-
вия относительно подстановочности и существования в
терминах равенства [~р~]'гт — о с итерированными модаль-
ностями. Я полагаю, что это слишком большая для от-
ношения альтернативности нагрузка: фундаментальное
условие для подстановочное™ есть □т = о. Условия,
содержащие более слабые отношения, должны быть пред-
ставлены как метатеоремы относительно специальных
контекстов (специальных формул Фт), а не как часть
исходной семантики. Мне кажется, что подход настоящей
работы оставляет место для важных идей! Хинтикки.
V, Операторы, связывающие переменные
До сих пор мы говорили только об интенсиональных
отношениях или интенсиональных операторах, действую-
щих на предложения. Однако нам требуется большая
степень общности, хотя достичь ее сложно. В частности,
требуются интенсиональные двойники экстенсиональных
операторов типа кванторов и операторов дескрипции.
Рассмотрим теперь прежде всего оператор $, который
связывает одну переменную и навешивается на один терм
и одну формулу; мы можем использовать его в языке в
следующих выражениях:
$л [т(х), Ф(х)].
Теперь мы должны выбрать: считать ли это термом или
формулой.
302
Примем первое, то есть будем считать $ термообра-
зуквдим оператором. Значениями этого сложного терма
могут быть и виртуальные объекты (ср. выражение
U т(х)
в теории классов: оно существенно зависит от А и от т (х)).
Но поскольку мы занимаемся интенсиональной логикой,
то значениями будут (виртуальные) индивидные концепты.
Так, мы примем, что
||Sx[T(x), <D(X)]|IGV,Z’.
Каким же образом значение зависит от т(х) и от Ф(х)?
Эти выражения являются функциями от х, а все связан-
ные переменные пробегают по D. Поэтому мы приходим
к утверждению, что
где t/=(V'/>)" X <yl)D есть множество всех функ-
ций, значениями которых являются концепты, а областью
определения —О; (2')° есть множество заданных на D
функций, значениями которых служат пропозициональные
концепты. Таким образом:
($) ||$х[т(х),Ф(х)]||г. = ||$||(/, F)z,
где f 6 (У1)0 и F (2/)D определяются так:
Ма)±=||т(а)||,-,
F(a), — ||Ф(а)]1,- для всех a£D.
Немного затруднительно привести действительно яркие
и актуальные примеры таких операторов, которые суще-
ствуют сами по себе: обычно они бывают составлены из
других, более простых операторов. Например,
///УхП[Ф (х) -> у = т (х)]
как раз и является сложным оператором. (Только, пожа-
луйста, не просите меня дать благозвучное чтение этой
дескриптивной фразы.) Не исключено, что тот или иной
оператор всегда можно свести к такому сложному опера-
тору, в котором переменные связываются только кванто-
рами и операторами дескрипции; но опять-таки, может
быть, можно, а может, и нет. Эта проблема порождает даль-
нейшие размышления. Заметьте, что в случае, когда S есть
303
формулообразующий оператор, надо внести только одно
изменение: сделать так, чтобы его значениями были про-
позициональные концепты.
Чтобы еще раз указать на то, какого рода принципы
взаимозаменимости существуют в этой логике, укажем,
что здесь имеют место следующие формулы:
Ух|Дт(х) = т' (х)ДУхП[Ф (%)<-»Ф' (х)] —>
$х [т (х), Ф (х)] = $х [т' (х), Ф' (х)].
Рискуя повториться, мы все-таки заметим, что □ есть
единственный модальный оператор, который подходит для
выражения условий взаимозаменимости,— это одна из
главных причин для включения его в число логических
констант системы.
Важная проблема, на которую мы до сих пор не об-
ращали внимания, состоит в использовании различных
интерпретаций. В самом деле, ведь мы, по сути дела,
еще не сказали, что такое интерпретация. Это надо
сейчас же исправить. Интерпретация приписывает зна-
чения символам языка в соответствии с их логическим
типом. Чтобы определить интерпретацию, надо прежде
всего определить V, D, I и Л,- для каждого i € /. Затем
для каждого символа $ мы должны определить его зна-
чение. Какие символы мы будем рассматривать? Как
минимум это будут а для каждого a£V, ~|, V, I,
= , особое А, □ и, наконец, все внелогические символы $,
среди которых содержатся все термообразующие и фор-
мулообразующие операторы со связанными переменными
или без них, в требующемся нам количестве. Перечислен-
ные сначала символы являются логическими (по крайней
мере по отношению к данным областям виртуальных, воз-
можных и действительных индивидов и индексов). Осталь-
ные— внелогические. Значения логических символов фикси-
рованы', значения внелогических могут варьироваться. До сих
пор я не выражал эту возможность в моих обозначениях.
Обозначим нашу интерпретацию 31 (заглавное готическое Л).
Это какая-то богоподобная п-ка, в которой содержится
вся информация относительно областей, индексов и вне-
логических символов. Если мы знаем 31, то знаем все.
Все наши семантические правила (вроде (V), (=), (□),
($)) (—) приведены в боевую готовность, и мы можем
определить значение любого правильно построенного выра-
304
жения (без свободных переменных). Я буду использовать
обозначения
hF и ||Ф||\
тогда как Монтегю рекомендует:
TSI и Ф« .
Это короче, но, по-моему, даже слишком коротко. В дан-
ной системе обозначений нам нечего будет написать, когда
упоминание об 31 будет устранено. (Конечно, для неко-
торых такое устранение есть грех, и они никогда не ста-
нут рассматривать подобную возможность.) Поэтому я
предпочитаю писать двойные черточки, которые будут
напоминать мне о различии между выражением и его зна-
чением. Правда, это совет такого рода, что вы можете
им воспользоваться, а можете и отвергнуть его; я прошу
только, чтобы вы всегда отдавали себе отчет в том, что
вы делаете. Относительно себя я надеюсь, что сделал
достаточно ясным содержание настоящего подхода.
При допущении, что интерпретации могут быть раз-
личными, определение логической общезначимости стано-
вится более определенным. Построим его для случая фор-
мулы Ф(х,г/, ...) со свободными переменными. Такая
формула общезначима, если, и только если, для всех
интерпретаций 31 и для всех индивидов а, Ь, ...,
(возможных индивидов QX) мы имеем
|ф(«,
для всех i £ I (индексному множеству 31). Поскольку наша
логика первопорядковая (связанными являются только
индивидные переменные), пет ничего удивительного в том,
что множество общезначимых формул аксиоматизируемо.
В действительности, аксиомы и правила хорошо известны:
это предикатная логика плюс модельная логика S5 для □,
плюс требуется экономная схема замены необходимо рав-
ных (и эквивалентных). Давид Каплан и я представим
его доказательство полноты (стандартного генкиновского
типа) в нашей совместной работе, содержащей больше
технических деталей. Томасон также проделал детальное
изучение теорем полноты в статье, зачитанной здесь в
Ирвине. Его система, однако, является только фрагмен-
том общей системы, описанной в данной работе, хотя
развиваемые им методы будут применяться. В связи с
305
этим, кажется, нужен еще один маленький совет: цель
логики не в том, чтобы давать доказательства теорем о
полноте. Действительной ее целью служит прояснение
понятий. Теоремы полноты нужны, но они не самоцель.
Здесь надо сделать еще одно маленькое замечание
относительно формализации. В определении логической
общезначимости следует отметить, что на места свободных
переменных могут подставляться константы, обозначающие
элементы а € D, а не а б V. Основанием здесь служит то, что
индивидные переменные пробегают по тем индивидам, по
которым осуществляется квантификация. Метаязыковые
греческие буквы т, о, . . ., напротив, могут быть заменя-
емы также и выражениями для виртуальных объектов.
Я советую в фундаментальных исследованиях не прида-
вать индивидным переменным двойную функцию. (А для
педагогических целей двойное использование как раз
лучше, потому что учащимся не нравится такое сложное
использование греческих букв!)
Следующий шаг состоит в продвижении к логике
высших порядков. Сейчас же для рассмотрения данного
вопроса я ограничусь лишь тем, что отошлю вас к послед-
ним работам Монтегю. Интересно отметить, что в своих
хельсинкских лекциях Леммон строил модальную теорию
множеств, не давая семантики. Сейчас семантику можно
построить, но я еще не разработал полностью всех деталей.
VI. Случайное совпадение
versus *)равенство
Нам уже пришлось провести различие между равен-
ством и тождеством. Мне потребовалось очень много вре-
мени, чтобы понять, в чем заключается это различие,
потому что меня спутало более слабое отношение, которое
я буду обозначать
т х а
и назову случайным совпадением. Я был доволен (в какой-то
мере), обнаружив, что та же путаница лежит, как мне
кажется, и в основе недавней дискуссии Хинтикки и
Фоллесдала. По-моему, настало, наконец, подходящее
♦) Против; здесь — в отличие от (лат.).
33$
время для того, чтобы прояснить это различие с помощью
принятой нами здесь семантики.
В самом деле, мне кажется, что она больше подходит
для того, чтобы дать требующиеся пояснения, чем хин-
тикковские модельные множества, хотя он может возра-
зить, что его метод имеет при этом другие преимущества.
Главное —мы должны четко различать индивиды и инди-
видные концепты, что и делает наша семантика. Я не ду-
маю, что ситуация столь же наглядна и в случае семан-
тики Хинтикки, но не исключено, что она может быть
таковой. Я полностью обязан Монтегю и Каплану, кото-
рые указали мне путь к излагающимся здесь формули-
ровкам.
Идея заключается в том, что два индивида, которые,
вообще говоря, различны, могут иметь одни и те же свой-
ства (определенного рода!) в данном мире (относительно
данного индекса). Следовательно, они эквивалентны или
случайно совпадают в этот момент. Относительно других
точек соотнесения они могут и не совпадать. Допускается
ветвление и слияние индивидов — по крайней мере по-
стольку, поскольку это допускается различениями, свя-
занными с некоторыми типами свойств. Я думаю, что пу-
таница относительно слияния индивидов проистекает из
вопроса о допускаемых свойствах', если класс свойств не-
определенный, изменяющийся, то эквивалентность инди-
видов может показаться парадоксальной. Мы должны
согласиться на класс свойств, данных заранее, или по
крайней мере согласиться, что это понятие релятивизи-
ровано относительно фиксированного класса свойств, ко-
торые мы хотим исследовать более пристально. Я уверен,
что именно это имел в виду Хинтикка. К сожалению, он
использовал для отношения случайного совпадения символ
равенства (=), а это, когда другие понимают равенство
по-иному, приводит к бесполезным дискуссиям. Мы увидим,
почему сейчас соблазнительно использовать = именно таким
образом.
Как же мы можем выразить идею случайного совпа-
дения в нашей семантике? Разумеется, мы могли бы до-
бавить внелогическую константу « и аксиомы для экви-
валентности. Но этот подход не удовлетворителен, так
как в нем не содержится никакого специфического ана-
лиза отношения случайного совпадения. Лучшим подходом
является выделение класса моделей интерпретаций с более
307
определенной структурой, чертам которой можно придать
содержательно ясное и наводящее на размышления истол-
кование.
Итак, начнем с предположения, что каждому индиви-
ду а С V и относительно каждого i С I мы можем сопоста-
вить некоторые особые характеристики, которые опреде-
ляют или индивидуализируют а по отношению к соответ-
ствующим свойствам. Будем считать, что эти элементы
составляют особый класс абстрактных объектов, называе-
мых состоянием а относительно i, и примем для удобства,
что S есть множество, содержащее все состояния всех
индивидов как свои члены. Следующий наш шаг может
показаться чрезмерным упрощением: мы отождествляем
индивид а с такой индивидуализирующей функцией. Мы
принимаем, что и для каждого с С У и i g I пишем
а,- для обозначения состояния а относительно i. Теперь
можно определить смысл случайного совпадения:
(«.) [| a aj b ||,- = 1, если, и только если, ai = Ь(. (Я пишу
»., потому что этот пункт касается только индивидных
констант; полное определение для сложных термов будет
дано позднее.)
Как можно видеть, мы принимаем, что для того, чтобы
знать индивид, достаточно знать все его характеристики
относительно всех точек соотнесения. На словах это звучит
неплохо, но на деле равносильно предположению, что
у нас имеется достаточно точек соотнесения и доста-
точно детализированные характеристики. Я могу пред-
ставить себе, что в ходе дальнейшей разработки мы сможем
отбросить это условие; но для цели рассмотрения спосо-
бов введения непротиворечивого отношения случайного
совпадения это условие не кажется необоснованным.
Заметьте, что равенство индивидов при таком предпо-
ложении оказывается определимым в терминах случайного
совпадения, то есть выполняется
a = b<-> [Ja^b.
Из-за этого, несомненно, Хинтикка считает « более фун-
даментальным отношением, чем то отношение, которое я
обозначаю как =. Однако соотношение между этими по-
нятиями он затемняет тем, что использует оператор [р]
вместо более сильного □, что приводит к некоторым ус-
ложнениям. В любом случае, я хочу теперь показать,
308
что независимо от рассмотрения Модальностей мы не можем
брать « и определять через него =.
Трудности здесь возникнут из-за индивидных кон-
цептов. Надеюсь, что различие между индивидом и ин-
дивидным концептом стало ясным для всех. По крайней
мере я достиг этой ясности благодаря семантическому
подходу и замечаниям Монтегю и Каплана. Видите ли,
даже если мы рассматриваем индивиды как функции в S1,
индивидные концепты вводятся вторично (помимо, сверх
индивидов, как это и было раньше) и значениями их яв-
ляются функции, значениями которых являются инди-
виды. Мне сейчас представляется, что это единственное
подходящее решение. Так, для терма т мы устанавли-
ваем, что
и 416 т(л-
(Напомним, что значением терма служит частичная функ-
ция. Кажется, что a£V лучше рассматривать как полную
функцию а £ S1, так как индивиду всегда можно придать
некоторый абстрактный объект в качестве его состояния
независимо от выбора i£l.) Это требует следующей се-
мантики:
||T«a(|z=l, если и только если
(IMIfh—dl^ НА-
ТО есть прежде всего мы находим, какие индивиды обо-
значают тио (|(t||z и ||a||z), а затем смотрим, совпа-
дают ли их состояния. Все прекрасно (то есть истинностное
значение вполне детерминировано), если оба (|t[(z и || a ||z
определены; в противном случае мы принимаем, что ут-
верждение истинно, если они оба не определены.
Теперь перейдем к следующему: что означает вообще
х ж о? С формальной точки зрения имеет место:
|| □ т <r ||z = 1, если и только если (||т||/)/ = (||о||/)/
для всех I.
Ясно, что это не то же самое, что ||т|| = ||сг[|, если
Пт|| и ||о[| не являются константными функциями в V1.
Давайте рассмотрим следующий простой пример, пусть т—
„президент США“, а a — „самый большой мошенник на
свете". (В нашем примере какое-либо сходство с живу-
щими или умершими лицами может быть только случай-
ным.) Для простоты примем, что I содержит моменты
309
времени. Тогда для каждого i£l индивид ЦтЦ,- есть це-
ликом лицо, являющееся президентом США в момент
времени i. При желании мы можем считать, что (ЦтЦ,-),-
есть моментальный снимок человека, причем такой, что
в нем на очень чувствительной бумаге запечатлелись даже
качества этого человека в данный момент времени. Пере-
ходя от одного i С I к другому, мы переходим по (довольно
обширной) официальной портретной галерее, представ-
ляющей президентов США. Тем временем ФБР для своих
собственных целей фотографирует в каждый момент вре-
мени самого большого мошенника на свете. Можно пред-
ставить себе панику, которая разразится, если сравнение
обнаружит истинность утверждения □т«о. Однако са-
мого президента можно милосердно извинить, так как
только из-за своего высокого поста он попал в эту не-
благовидную категорию. Утверждение, что Пт ~а, хотя
и неприятное, имеет вполне определенный смысл и не
влечет т « о.
Почему не влечет? В изложенных выше рассуждениях
я замечаю некоторую слабость. Недостаточно рассматри-
вать I как простое множество последовательных момен-
тов времени. Наш простейший взгляд на индивиды таков,
что если а,- — bt в один момент, то а = Ь (во всякое время!).
Мы должны рассматривать не только течение времени,
но и альтернативные потоки событий. — Нет, когда об
этом подумаешь, то понимаешь, что это вовсе не ответ,
ибо это делает наш индивидный концепт [|т|| более упи-
танным, но не более интересным.—Может быть и влечет.
(Да, я вижу, что для того, чтобы сделать идею чем-то
полезной, требуется гораздо больше мысли и экспери-
ментов. Во всяком случае, я считаю, что точный и общий
семантический каркас — основное, а это, как я пытался
показать, теперь нам доступно.) Попробуем спасти выше-
приведенный пример. Мы можем представить себе в ка-
честве возможного индивида деятельного слугу народа,
обладающего кучей положительных качеств относительно
всех точек соотнесения. Теперь представим себе ловкого
мошенника. Это не индивидные концепты, а возможные
индивиды — различные индивиды. Слуга народа не всегда
является президентом, а мошенник не всегда удачлив. Но
в момент своего триумфа, когда оба достигают вершины
своей карьеры, обнаруживается, что они совпадают во всех
своих харак1еристиках.
310
Нет, именно не влечет. Я искажаю язык, чтобы он
соответствовал абстрактно сконструированной семантике!
Тем не менее я все еще думаю, что отношение ~ имеет
разумное значение. Затруднение состоит в том, что я пы-
тался защитить принцип
о = а « Ь,
а защита оказалась ложной, едва только я попытался
изложить ее. Мне кажется, что аяЬ, следует читать
как „а и b эквивалентны (неразличимы) по отношению
к некоторым (фиксированным) свойствам,,: действительно,
как показал Хинтикка, имеются различные способы ин-
дивидуализации индивидов (различные восприятия), кото-
рые в моей семантике создадут различные отношения
эквивалентности «2, ..., ..., «и. Удовлетворяют
ли какие-либо из них вышеуказанной эквивалентности —
вопрос спорный. Однако я хочу снова подчеркнуть, что
нельзя путать эквивалентность и равенство. Мы должны,
с моей точки зрения, провести различия, которые могут
быть суммированы в следующих диаграммах, где стрелка
означает импликацию. Заметьте, что диаграммы различны
для индивидов и индивидных концептов. Стрелки в обе
стороны строго обоснованны, стрелка в одну сторону,
конечно, не может быть перевернута, кроме сомнитель-
ного случая —Я полагаю, что мы придем к отрицанию
таких инверсий.
Затруднения, связанные с перекрестной идентифика-
цией индивидов, решались Давидом Льюисом по-другому.
Он считал, что
1М(.,
/б i
a A i — неиересекающиеся множества
Л, Г) А, = 0, если i j.
Это означает, что каждый мир i g / имеет свое собствен-
ное множество квазиобъектов (tokens), представляющих
индивиды. Разделив индивиды, мы теперь соединим неко-
торые из них отношением С — „быть дубликатом". Если
a£Ait a b Е Aj, то аСЬ означает, что а является дубли-
катом b в А,, то есть тем лицом, каким был бы Ь, если
бы он жил в Л,, или по меньшей мере тем лицом, кото-
рое бы выглядело точно так, —если мы допустим сущест-
311
вование нескольких таких индивидов. В случае, когда
i — j, мы согласимся, что аСЬ требует, чтобы а=Ь.
а = Ь
аа= b
~а=Ь
4
I
I
1 f I
□ а «= b
а^Ь
Мы легко можем выразить отношение Льюиса в нашем
языке, используя константу С вместе с использованными
ранее символами. Тогда будут выполняться следующие
принципы:
Ух, у [хСу —<- Лх],
Ух, у[хСу/\Ау-+ х = у],
Ух [Ах —> хСх].
При желании мы можем переписать это, используя
кванторы У. и 3. Льюис использует отношение „быть
дубликатом" для того, чтобы ввести разновидность мо-
дального оператора, которая мне очень не нравится. Мое
прочтение его оператора для формулы Ф(х) с одной свя-
занной переменной дает тот результат, что
Уг/(г/Сх->Ф0/))
выражает утверждение „необходимо", что Ф(х). Я считаю,
что этот оператор слишком сложен, чтобы его можно
было рассматривать как исходный, но обсуждение этого
вопроса требует особого разговора.
312
Мы начали обсуждение отношения „быть дубликатом"
потому, что оно имеет содержательный смысл и в его
терминах очень естественно определить отношение совпа-
дения:
T«cr<->V. х [хСх++хСо].
Затем мы обнаружим, что
Ул, у[Ах/\х ж у—> хСу],
хотя конверсия этой формулы в общем случае не выпол-
няется. Таким образом, хотя отношение совпадения слиш-
ком слабо, чтобы в его терминах определять отношение
„быть дубликатом", оно очень тесно связано с ним. Мы
можем понимать акЬ так, что а и b имеют одни и те же
дубликаты в действительном мире, то есть что у них
большое количество свойств совпадает.
Подводя итог вышеизложенным, в общем довольно
неудовлетворительным соображениям, мы можем подчерк-
нуть следующие моменты: (1) имеется по меныией мере
три отношения =, (которые легко спутать)', (2)
мы имеем теперь семантику, в которой можно ясно вы-
разить различие между ними', (3) следует всегда помнить,
что индивидные концепты ведут себя не так, как инди-
виды. Хотя Давид Каплан подробно говорил об этих раз-
личиях в ряде публичных лекций, я обнаружил, перечи-
тывая его записи, что на самом деле я не убежден, что
мы имеем окончательное разрешение проблемы идентифи-
кации. Но у меня есть по этому поводу один совет (сюр-
приз); нам нужно больше экспериментировать в построе-
нии моделей. До сих пор наши указания относительно
возможных миров были слишком расплывчатыми. Идея
использовать V S! означает рассмотрение индивида как
процесса (в математическом смысле этого слова). То есть
это попытка анализа индивида. Такой метод еще не ли-
шился доверия, потому что еще не был реализован во
всех деталях. Просто написать SJ означает очертить ске-
лет, но не облечь его плотью. Существенный шаг в раз-
витии такого метода анализа состоит в конкретизации
рассматриваемых элементов. Это должно быть сделано
до того, как мы сможем решать, что вложить в S. Я не
думаю, что хинтикковский метод модельных множеств
дает правильное решение, потому что я считаю, что мы
313
должны иметь понятие о том, какого рода возможные миры
даны, прежде чем выяснять какие то истины относительно
них. Конечно, это подлинный’ философский вопрос, и ка-
жется, что лучше всего обсуждать его после того, как
будут построены интересные модели в рамках этой се-
мантики. Мой совет состоит в том, чтобы работать над
этой проблематикой.
Постскриптум (декабрь, 1969)
Эта работа писалась второпях в конце мая 1968 года.
Спешка заметна и стиль ужасен; теперь мне кажется, что
читать это очень неприятно. Целью этого эссе было вызвать
дискуссию. Но только двое из моих коллег нашли время
ответить мне письменно: Каплан и Монтегю. Их подроб-
ные критические возражения показали мне, что статью
следовало бы совсем переделать, но на это я, к несчастью,
не имею сейчас времени. Тем не менее редактор был до-
статочно любезен, чтобы поддержать публикацию статьи
и в этой весьма незавершенной форме. Я хочу поблаго-
дарить его за это и надеюсь, что очевидные изъяны моей
статьи побудят других сделать лучше.
Хотя я мог учесть только часть из многочисленных
замечаний, сделанных Капланом и Монтегю, однако будет
полезно процитировать некоторые из них, чтобы моя ра-
бота не вызвала совершенно неправильного представле-
ния. Во-первых, из письма Давида Каплана (от 28 июля
1968 года):
„Мне не нравится, что вы называете = „тождеством-1. Это про-
исходит, я думаю, из-за отбрасывания того, что Карнап называл „ме-
тодом отношения именования" (см. „Значение и необходимость" *
и присущего ему способа выражения. С каждым гермином связаны
ровно два аспекта: экстенсионал и интенсионал. = обозначает совпа-
дение экстенсионалов, a еа—совпадение интенсионалов. Однако это
означает отказ от первичности экстенсиональных контекстов. Техни-
чески удобнее рассматривать все контексты как интенсиональные
просто потому, что мы можем представить экстенсиональные контексты
как их подмножество. Но одной из главных целей занятий интенсио-
нальной логикой в той форме, в какой мы это делаем, является
описание интенсионального объектного языка в экстенсиональном ме-
таязыке. Если на кого-то производит слишком большое впечатление
чрезмерное упрощение, состоящее в рассмотрении всех контекстов как
(Самое большее) интенсиональных, то можно даже считать интенсио-
*) М., 1959, с. 160, 219, 295. — Прим. ред.
314
налы денотатами особого рода и говорить, как вы это делаете в не-
которых местах, что принцип интенсиональной взаимозаменимости
показывает степень „экстенсиональности1' языка. Чтобы обнаружить
индивиды, надо смотреть на значения переменных, а затем навсегда
различить индивиды и индивидные концепты. Хотя в техническом
смысле и правильно будет сказать, что экстенсиональная логика есть
частный случай более общей интенсиональной логики, но в некотором
важном смысле также правильно сказать, что экстенсиональную логику
можно считать самой общей формой. Это означает, что мы сохраняем
различие между смыслом и денотатом (или отношение именования),
то есть различие между гем, о чем мы говорим, и тем, как мы об
этом говорим. Именно это видел Фреге и принимал Чёрч. Я думаю,
что вся ситуация очень похожа на вопрос о первенстве двузначной
логики, и тут могут быть приведены аргументы как „за“, так и
„против". Эти важные вещи должны быть ясными, но я не думаю,
что этому можно помочь, называя е= „тождеством" или утверждая,
что формулы на с. 121 *) подобны закону Лейбница".
Относительно совпадения Каплан писал мне раньше
(10 июля 1968 года):
„Кажется, что в районе с. 132 вы потеряли след некоторых объ-
ектов. Я думаю, что здесь есть две проблемы: (1) может ли быть =
определено с использованием ss? (2) может ли т = о быть определено
через □ (т ~ °)? На (•) ответ положительный, но только в случае,
когда не допускается слияние индивидов. Так, в вашем примере, где
речь идет о человеческих существах (и где, как вы заме:или, слия-
ние невозможно), мы можем использовать определение:
т = о <-> г о.
Но разумеется, если слияние допускается, как в случае дорог
в пространстве, это определение не работает, так как U.S.60 « U.S.70
истинно в Восточной Колумбии, но U.S.6O = U.S.7O ложно в общем
случае. (Здесь мы можем использовать основные (essential) имена
дорог и принять, что U-S.60 повсюду обозначает U.S.60.)
Ответ на (2) всегда отрицательный, и ваш пример показывает,
что Цт ss о не необходимо для т = о. Иными словами, т = о не
имплицирует □ (т « о). В самом деле, предположим на минуту, что
президент = мошенник, тогда галерея президентов и галерея ФБР
будут содержать одну общую фотографию, а именно нынешнего пре-
зидента. Но если в старые времена президенты были честсе.то между
обеими галереями будут большие различия, и поэтому [J (президент
мошенник) будет ложно.
Чтобы показать, что □ (т « о) недостаточно, мы, естественно,
должны допустить возможность слияния и разделения индивидов
(в противном случае [□ (т « о) » т и о] и [т а; о <-> т = о]). Знаете
ли вы, что Федеральная магистраль 0, которую вскоре должны строить,
будет по всей длине иметь 73 ряда? (Она будет проходить через центры
всех главных городов; идея возникла в Лос-Анджелесе.) Построенная
*) Здесь и далее в письмах указанньк страницы не соответствуют
страницам в оригинале статьи. По-видимому, Каплан и Монтегю чита-
ли ротапринтный варианте другой нумерацией страниц.— Прим, перев.
315
на средства объединенных федеральных фондов, эта магистраль в каж-
дой точке будет совпадать с какой-нибудь уже существующей магист-
ралью, которая, разумеется будет расширена до 73 рядов на том от-
резке, на котором с ней сливается Федеральная магистраль 0, а затем
снова будет сужаться. Пусть точками соотнесения будут большие го-
рода, и в каждом городе верно, что: магистраль с 73 рядами ~
ss Федеральн. магистр. О, тогда О (магистраль с 73 рядами ~
я Федеральн. магистр. 0) также будет истинно. Но нигде не верно,
что магистраль с 73 рядами = Федеральн. магистр. 0, так как все
магистрали штата где-нибудь сворачивают с Федеральной магистрали 0
(и, кроме того, не выходят за пределы своих штатов).
Для защиты принципа, который вы приводите на с. 132, замечу
следующее: слева направо т = о т ~ о общезначимо, поэтому обще-
значимо и □ (т = о □ (т а; о), и, как вы указали раньше, а=Ь->
-> □ (а — Ь). (Справа налево □ (а ~ Ь) означает, что для всех ig/
(|| a||f)f = (|| b ||Но, по определению, для всех i£l || а||/ = а, по-
этому мы имеем, что для всех i£l ai = b[. Но а и Ь суть именно
функции, определенные на 1, поэтому o = h.)“
Монтегю делает одно из своих замечаний по-другому
(30 июня 1968 года).
„Вы ставите вопрос об интуитивном значении Q (т а о). Ваш
пример с „президентом" и „самым большим мошенником" неудачен,
потому что оба терма обозначают человеческие существа, которые
являются непрерывными и, следовательно, тождественными, если только
совпадают (как вы это и отметили). Но пусть о = „президент", а т =
„совокупность молекул в кресле президента". Тогда о Ф т истинно,
потому что организм не есть совокупность молекул; это равенство
не верно не только сейчас, но и во всякий момент времени, поэтому
□ (о ф т) истинно. Теперь предположим, что президент (и больше
никто) сидит в настоящий момент в своем кресле. Тогда о а т ис-
тинно. Если мы теперь предположим, что президентские обязанности
поглощают столько времени, что в каждый момент времени I человек,
являющийся президентом, сидит в президентском кресле (то есть,
что каждый президент сидит безвылазно в своем кресле с момента
избрания и до освобождения от обязанностей), тогда □ (<т а т) ис-
тинно. Таким образом, П(оат) совместимо не только с о £ т, но
даже с 0 (о 56 т). (Конечно, легко построить такой пример, в котором
было бы [а = тлЮ(оат)|; но, как вы заметили, мы не можем
иметь [0 = таЕП(о ~ т)1 или [□ (а = т)Л !□ (о а ?)].)“
Далее Монтегю решительно возражает против моей
интерпретации предикатных констант и утверждает, что
допущение подстановки формул вместо предикатов есть
„пустая догма". И он хорошо обосновывает свое утверж-
дение. Он продолжает далее:
„Итак, я по-прежнему убежден, что естественными системами
в порядке увеличения силы являются: (1) узкая модальная логика, то
есть содержащая только индивидные термы и логический оператор О, —
первопорядковая подсистема системы, которую я набросал (она сущест-
316
венно является системой Крипке—Кокьяреллы — Томасона); (2) праг-
матика, в которой содержатся произвольные внелогические пропози-
циональные операторы (одноместные или многоместные, но не связы-
вающие переменные), в интерпретации которых мы соглашаемся;
(3) расширенная прагматика, которая содержит произвольные опера-
торы, связывающие переменные, но в связи с которой имеется из-
вестное расхождение во взглядах относительно того, какого рода опе-
раторы должны быть приняты в качестве исходных; (4) второпорядко-
вая система, которую я набросал для вас; (5) системы высших по-
рядков, построенные по этому образцу".
Наконец, он заключает, что моя система, улучшенная
в том, что касается предикатных констант, или в которой
„предикатные константы (как техническое упрощение) от-
брошены и вместо них используются общие (более общие,
чем у вас) операторы, связывающие переменные", может
рассматриваться как вариант его расширенной прагмати-
ки. Я сожалею, что не могу изложить здесь его систему
и его доводы (а также последующую переписку между
Капланом и Монтегю), а могу только отослать читателей
к некоторым недавним публикациям, в которых Монтегю
объясняет свой подход к интенсиональной логике.
Д. М. Габбай
СЕМАНТИКА ТИПА МОНТЕГЮ ДЛЯ МОДАЛЬНЫХ
ЛОГИК С ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНЫМИ КВАНТОРАМИ*
В статье [1] Булл рассмотрел модальное исчисление
с кванторами над пропозициональными переменными, под-
чиняющимися правилам вывода:
(1) Если то |— (Vg)<p—,-ф,
(2) Если |— <р —* ф, то |— <р —» (Vg) ф,
где q не входит свободно в ф.
Булл рассмотрел также формулу Баркан:
(3) (V?) ПФ - □ (V?) Ф
и дал семантику для S4 + (3) и S5-p(3).
В этой статье мы покажем, как семантика типа Мон
тегю [2] может быть использована, чтобы охарактеризо-
вать различные модальные исчисления (с пропозицио
нальными кванторами) с формулой или без формулы Баркан.
Мы рассмотрим такие исчисления, основанные даже на
более слабых системах. В частности, мы получим семан-
тику Булла для S4 + (3) и S5 + (3). Прежде чем перейти
к доказательствам, опишем и обсудим семантику для систем,
основанных, например, на Т. Т-моделью называется сис-
тема (S, R, [ ]), где S —множество (возможных миров),
отношение R^Sx2s, а [] —функция двух перемен-
ных со значениями из {Т, F), причем область изменения
первого переменного — множество предложений, а второ-
го— S. Значение этой функции мы обозначим через [ф]х,
* D. Gabbay, Montague type semantics for modal logics with
propositional quantifiers. — „Zeitschrift fiir mathematische Logik und
Grundlagen der Mathematik", 1971, B. 17, h. 3, s. 245—249.
318
Для A, BsS имеет место:
(5) (%, A) 6 R/\A s В => (x, B)£R-
(6) (x, 4) £ R => x С 4;
(7) (x, A)eRA(x, B)£R=>(x, Af)B){R;
(8) (x, S)ER.
Условия (5), (7) и (8) означают, что для всякого x£S
множество Fx = {/4|(x, /1)gR) является фильтром.
(9) [фЛФ]х = Т тогда и только тогда, когда
[<р]х = Т и [ф]х = Т;
(Ю) [~фЬ = т тогда и только тогда, когда
[<pL==f;
(11) [Пф]х = Т тогда и только тогда, когда
(*, {z/l[<p]y = T})€R;
(12) [VW (<?)], = Т тогда и только тогда, когда
[ф(°0]х = Т
для всех собственных подстановок *) формулы а вместо
q в ф. Заметим, что для каждой а можно так изменить
обозначения переменных формулы ф, что получим экви-
валентную ф формулу ф', в которую может быть под-
ставлена а
(13) [ф]х = [ф]х, если Н Ф<~>ф-
т
(14) ф истинна в модели Т тогда, когда [ф]х=Т для всех х.
(15) В случае Т + (3) надо добавить подходящее усло-
вие: для всех х фильтр Fx замкнут относительно произ-
вольных пересечений.
Замечание 16. В [1] Булл принимает формулу
Баркан на том основании, что вопрос о принятии этой
формулы сводится, как считает Булл, к выяснению того,
совпадают ли области изменения переменных в разных
возможных мирах\ а поскольку в нашем случае это оче-
видно, то он принимает эти аксиомы. Однако в [3], где
я дал семантику типа Монтегю для предикатного исчис-
*) То есть подстановок, допустимых при обычных ограничениях
в области действий кванторов.—Прим, перев.
Пункт (12) не является индуктивным; он может быть переформу-
лирован следующим образом: |V<?<p (<?)]£ = Г тогда и только тогда,
когда [ф О)]х — 'В Для всякого отличающегося от / возможно
только приписыванием значения q. Но при новом определении вопрос
о полноте остается открытым.— Прим. ред.
319
ления Т и без формулы Баркан, указывается, что этот
вопрос сводится к условию (15), так как во всех воз-
можных мирах в [3] у переменных одна и та же область
изменения. (Мы хотели бы отметить, что первым аксио-
матику для семантики Монтегю из [2] дал Д. Каплан.)
Кажется, что этот вид семантики естествен для того,
чтобы характеризовать системы без формулы Баркан.
Заметим, что в случае исчисления предикатов семантику
типа Крипке для характеризации систем можно исполь-
зовать и без формулы Баркан, так как можно рассмат-
ривать возможные миры с разными областями для пере-
менных.
§ 1, Система К
Вводятся следующие аксиомы:
(17) Классическое пропозициональное исчисление.
(18)
(19) НП(фЛФ)<->ПфАПФ.
(20) Аксиомы Булла (1) и (2) и
VQ<p (q) <р (</) и <р (q) -> 3<др (q).
Теорема 21. Логика К является полной для семан-
тики со свойствами (5) и (7)—(14).
Доказательство. Покажем сначала, что выпол-
няются все аксиомы и правила вывода:
(17) выполняется в силу (9) и (10);
(18) выполняется в силу (8) и (11);
(19) выполняется в силу (5), (11) и (7);
(20) выполняется в силу (12) и (13).
Доказательство (20) проводится индукцией по
числу кванторов в ф.
Теперь вернемся к построению модели, в которой все
недоказуемые формулы ложны. Предполагается наличие
пропозициональных переменных.
Лемма 22. Пусть формула <р такова, что |—~ ф,
тогда существует полная теория А со свойствами:
(23) <рел
(24) Зг/ф (г/) £ А => ф (а) б А
для некоторого а в нашем языке.
320
Поскольку в нашем распоряжении аксиома (20), то Л
строится обычным образом.
Пусть S — множество всех полных теорий нашего
языка, выполняющих (24). Нужно определить R и [ j.
Пусть A s S.
(25) Df: (Л, Л)£/? тогда и только тогда, когда для
некоторого предложения ч]>, такого, что ПфбЛ,
(Д' | фсД'}^.4.
Очевидно, что (5) удовлетворяет этом .у определению.
Тогда ввиду НЩф~'ф)- выполняемся (8). Чтобы дока-
зать (7), положим, что (А, .1)6/?, (Л, и югда
для ф,, ф,. будем иметь Е]ф,бА,
□ Ф2ед и (Д'л,
{Д'|Ф2€Д'}<=В,
• откуда по (19) □ (ф1ЛФ2)бА и (А'| Д ф2 б Д'} S
j S А П В.
I Теперь надо показать, что при ~ОфбЛ (А, (Д'| ср 6
i 6Д'})$Я- В противном случае для некоторого р
|/ {А'|Р6'\'}г:(Л'|<р€А'}
• п пред.
Но последнее условие ввиду (22) означает, что - 0 —->• <р
и, стало быть, Р~ QP—♦ □ ф и □фбЛ, то есть получи-
лось противоречие.
(26) Определим [<р]д = Т тогда и только тогда, когда
фб А.
Теперь (9) и (10) получаются немедленно, а (И) сле-
дует из (25) и (26), и таким образом получается (13).
Обратимся к (12).
Пусть [У<7ф (<7)]д = Т, то есть Vi/<p(<7)6A, а значит,
для всех та<р(<х)бА, или, другими словами, |<р(а)|д=Т.
Если же [Vgip (д)]д = F, то |Зф~ф(ф)]д = Т пли
Э<7 ~ <р (ф) 6 А, так что (24): для некоторого а, ~ q> (к) б Д,
то есть [<p(a)]&=F.
Теперь по лемме 22 получаем
(27) ф тогда и только тогда, когда для всех Д££
[ф]д = т-
§ 2. Формула Баркан
Покажем, что логика К + (3) полна относительно се-
мантики с дополнительным условием (15).
11 № 12121
321
Лемма 28. Если мы добавим (15), то выполняется (3).
Доказательство. Пусть [V? □ ф тогда
для всякого а(х, Sa)£R, где S„ = {г/1 [<р (а)]у = Т}.
Теперь по (15) (х, A Sa\GR, но z С П Sa тогда и
\ а / а
только тогда, когда [Vgcp (<?)]г = Т по (12) и, таким обра-
зом, [□ У<7<р(<7)]х = Т.
Теорема 29. Логика К Д(3) полна относительно
данной выше семантики.
Доказательство. Построим множество S и опре-
делим R как г. о'орсме 21. Надо лишь пока.пит. теперь,
что:
(30) (Д, п {А |(Д, A) £R})€R.
Пусть 5Ю = {Д' |[а]д- = Т}. Тогда, согласно определе-
нию (25), (30) выполняется, если выполняются
(31) (Д, А {5К|(Д, 5Ю) € R}) € R
или
(32) /Д, а ДДёЯ-
\ □ а е A J
Но мы не можем это доказать. Надо модифицировать
определение (25), чтобы выполнялось также и (32).
(25) надо заменить на
(33) (Д, A)ZR тогда и только тогда, когда
А 5аеЛ.
LJ ае А
Теперь снова надо проверить, возможно ли ~Е]ф£Д,
и тем не менее (Д, {Д' | Д'}) £ R. То есть
(34) A Sac=S4 и ~ПФ€Д.
□ ае Д
Сейчас мы докажем, что этого не может быть.
Лемма 35. Система {а | □ а С Д} U {~П ф} непроти-
воречива.
Доказательство. В противном случае было бы
Л - • А а„ - 4.
H&iA-. Л ‘ОФ
и Пф 6 А, то, есть противоречие.
Теперь, кажется, осталось расширить это множество
322
до полной теории Ло в нашем языке, удовлетворяющей (24),
и доказательство завершится, потому что Ао £ П Su и
□ as Д
М5ф-
Это представляет некоторую трудность, ибо множество
леммы (35) может содержать среди а все пропозициональ-
ные переменные нашего языка и неясно, можно ли по-
строить Ао в этом же языке. Но поскольку у нас есть
формула Баркан, это можно в действительности сделать
по теореме Генкина [4] для счетного языка.
Теорема 36 (Генкин). Пусть А непротиворечивая
теория, такая, что для каждой <р: если для каждой кон-
станты с языка мы имеем А р- <р (с), то А Vx<p (х). Тогда А
можно расширить до полной и насыщенной теории в этом
же языке. Теория из (35) обладает свойством, требуемым
теоремой 36 в силу формулы Баркан, как заметил в [5]
Томасон.
§ 3. Другие системы
Лемма 40. Т = К + Пф-*ф является полной логи-
кой для семантики К с дополнительным условием (6).
Доказательство. Очевидно, если (A, Sa)£R, то
ввиду |— □ a —> а мы имеем А £ Sa.
Лемма 41. Система Т -р (3) полна относительно се-
мантики для К + (3) с добавленным условием (6).
Рассмотрим теперь Т-|-(42):
(42) □ <р — □ □ <р.
Для описания соответствующей семантики положим
(43) А+= {//|(!/, A)ZR}.
Теорема 45. S4 = Т + (42) является полной логикой
для Т-семантики с дополнительным условием
(46) А+^А++.
Доказательство. Формула (42), очевидно, выпол-
няется, если имеется (46). И, наоборот, мы покажем,
используя (42), что (46) выполняется в S.
Д+ = (А'|(А', Д)€М = {А' 1(Д',
для ПФС А' и А.
и*
323
Таким образом, □2чр^Д' и
(Д'5Пф)С/?, но 5о<]> = 5ф,
и Д'€5^+. Но А<=В=> Л+ <= В+ и Д'£Л + + .
Теорема 47. S4 + (3) является полной логикой для
54-семантики с дополнительным условием (15).
Замечание 48. Для получения семантики Булла
для S4 + (3) продолжаем так. Определим:
(49) хру тогда и только тогда, когда у С А А.
(Л-. Д) g R
По (46) получаем транзитивность р, а по (6) рефлек-
сивность. Согласно (33) имеем:
(50) [Пф^Т тогда и только тогда, когда [<р]!/ = Т
для всех у, таких, что хру.
Теорема 51. Логика S5 полна для семантики с усло-
вием (52) (х, A)^R тогда и только тогда, когда (у, Л) £ R.
Таким образом, оказывается, что (х, A)£R эквивалентно
A = S. Это приводит к выводимости (3).
ЛИТЕРАТУРА
1. Bull R. A. On medal logics with propositional quantifiers.—
“Journal of Symbolic Logic”, 1969, Vol. 34, p. 257—264.
2. Montague R. Pragmatics and intensional logics. Synthese,
1970, Vol. 22, p. 68—94. (Рус. пер. см. настоящее издание, с. 223.)
3. Gabbay D. M. Montague type semantics for modal T wit-
hout equality.— “Notes AMS”, August 1969, p. 843.
4. Hen kin L. A generalization of the concept of co-complete-
ness.—“Journal of Symbolic Logic”, 1957, Vol. 22, p. 1—14.
5. Thomason R. Some completeness results for modal predi-
cate culculi.
6. FineK. Propositional quantifiers in modal logic.— “Theoria”,
1970, Vol. 36, p. 336—346. (Рус. пер. см. настоящее издание, с. 212.)
Н. Д. Белнап
ИНТЕНСИОНАЛЬНЫЕ МОДЕЛИ ДЛЯ ФОРМУЛ
ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ * 1
§ 1. Введение
В работе Андерсона и Белнапа [8] была развита се-
мантика для формул следования первой степени, то есть
формул А —> В, говорящих об отношении следования
между формулами А и В, содержащих только истинност-
ные функции (определенные в терминах „или" и ,,не“) и
кванторы. Основными идеями были: 1) понятие струк-
туры <Р, F[p, 1>, в которой Р является множеством
(интенсиональных) суждений, замкнутым относительно
отрицания и многократной дизъюнкции, I есть область
индивидов и Fip есть множество функций из I в Р; 2) се-
мантическое отношение след (следования), существующее
между множеством суждений, объединенных конъюнктив-
но, и множеством суждений, объединенных дизъюнктивно;
3) понятие атомарной структуры, то есть структуры, зада-
ваемой множеством суждений X, замкнутым относительно
отрицания и таким, что для любых непересекающпхся под-
классов Y и Z множества X Y не находится в отношении след
к Z. Для фрагмента системы следования EQ с. кванторами,
включающего формулы первой степени, можно было бы
дать доказательства непротиворечивости и полноты. В этой
семантике было дано также определение понятия „значи-
мости" для формул первой степени, то есть для того мно-
* В е 1 п а р X. D. Jr. Intensional Models for First Degree For-
mulas.—“The Journal of Symbolic Logic”, 1967. vol. 32, №l,p. 1—22.
1 Это исследование частично было поддержано National Science
Foundation Grant GS—190 (History & Philosophy of Science). Я хочу
поблагодарить Дж. Барвайза за волглую п<.м> щь на по; ' й стадии
этого исследования и П. Вудраффа и М. Данна за чтение боле
поздних набросков.
325
жества формул, которое содержит все формулы следования
первой степени и чисто истинностно-функциональные фор-
мулы и замкнуто относительно дизъюнкции, отрицания
и квантификации. Было высказано предположение о том, что
фрагмент EQ, состоящий из формул первой степени, полон
и непротиворечив, и были поставлены проблемы относи-
тельно эффективности понятия значимости для бескван-
торных формул первой степени.
Предположение оказалось справедливым. Выяснилось
также, что существует разрешающая процедура для
установления значимости (и, следовательно, для доказуе-
мости в EQ) бескванторных формул первой степени.
Имеет место следующий вариант теоремы Левепгейма —
Скулема: если множество формул первой степени может
быть одновременно ложным, то это верно и в структуре
<Р, Fjp, 1>, в котором / и образующие для Р являются,
самое большее, счетными1.
Основная задача настоящей статьи состоит в обосно-
вании этого предположения. Однако мы используем этот
случай и для перестройки некоторых фундаментальных
идей так, чтобы сделать более очевидной алгебраическую
природу тех структур, с которыми мы имеем дело. В част-
ности, понятие X след Y, где X и Y являются классами,
мы заменяем понятием Д X V Y, в котором является
отношением порядка некоторой решетки, Д X есть пере-
сечение X, a VY — объединение Y.
1.1. Логическими системами, которые мы будем назы-
вать интенсиональными логиками и для которых будем
доказывать полноту и непротиворечивость их фрагментов
первой степени, являются: система Е следования, систе-
ма EQ следования с кванторами, система R релевантной
импликации и система RQ релевантной импликации с кван-
торами. Определяя эти системы,мы предполагаем перечисли-
мый список пропозициональных переменных, индивидных пе-
ременных и (для каждого п > 0) п-арных предикатных букв.
Формулы строятся обычным образом из пропозициональных
переменных и позитивных атомов вида F (ху, ..., хп) (где
F есть n-арная предикатная буква, а каждый — инди-
видная переменная) посредством связок: —+—для следо-
вания,-—для отрицания, V—Для дизъюнкции и Эх—
1 Это исправляет утверждение, сделанное в рабше Белнапа Jllj,
согласно которому само Р должно быть перечислимым.
326
для экзистенциального квантора. Мы будем использовать
также знак &—для конъюнкции и (х)— для универсаль-
ного квантора, предполагая, как обычно, что (А&В) опре-
деляется как А V В и (х) А—как ЗхА. В качестве опре-
деления необходимости мы будем использовать следую-
щее: МА -df(A --> А) — А.
Аксиомами для EQ буд\ । югда следующие:
(1) ((А - А) - В) - В;
(2) (А ~ -В) -((В ->С?) ->( 1 -<"));
(3) (А —(А —В)) —(А > />');
(4) (А& В) — А;
(5) (А&В) —В;
(6) ((А — В) & (А — С)) — (А — (В & Q);
(7) (МА & МВ) —М (А & В),
(8) А — (A VB);
(9) В — (А V В);
(10) ((А - С) & (В - Q) > ((А V В) . С);
(И) (A&(BVQ) > ((А&В) VQ;
(12) (А — А) — А;
(13) (А —В) >(В > А);
(14) А —А;
(15') Аг/ —Эх Ах;
(16') (х)(А — В) — (ЗхА — В);
(17') (х) (А V В) — (ЗхА V В);
(18) (х)(А — Q — ((х)А-(х)С);
(19) ((х) А & (х) С) — (х) (А & С);
(20) (x)NA-+N (х) А.
И наконец, если А есть аксиома, то (х) А—также
аксиома. В аксиомах (15')—(20) А может содержать х
свободно, Ау неотличимо от Ах, за исключением того, что
все свободные вхождения х в Ах заменены свободными
вхождениями у в Ау, В не содержит х свободно и С есть
любая формула.
Правилами будут модус поненс (из А и А — В сле-
дует В), введение конъюнкции (из А и В следует А&В)
и переименование связанных переменных.
327
Штрих в (15') — (17') указывает на то, что эти аксиомы
претерпели изменение по сравнению с работой Андерсона
1959 года вследствие использования Нх вместо (х).
Система RQ получается из EQ простым добавлением
новой аксиомы:
(21) А — Л'А,
то есть А —* ((А А) —► А).
Тогда системы Е и R пропозициональной логики по-
лучаются из EQ и RQ соответственно путем устранения
всех аксиом, содержащих кванторы. Система Е является
старейшей в этом множестве интенсиональных логик; она
обсуждалась в следующих публикациях: Андерсон [11,
Андерсон и Белнап [3], [4], [5], [6] и Белнап [9], [10].
EQ была впервые определена в работе Андерсона [1] и
обсуждалась в работах Белнапа [11] и [12]. Системы R и
RQ здесь определены по-новому, хотя их импликативные
фрагменты восходят к работам Чёрча [14] и Мо Шоо-Куй
[16]. В этом виде они обсуждались в работах Андерсона и
Белнапа [5], Андерсона [2] и Правица [17]; последний
ввел термин „релевантная импликация", который и по-
служил основанием для использования нами обозначений
,,R“ и ,,RQ“.
Под „степенью" формулы мы будем понимать количе-
ство стрелок, каждая из которых входит в сферу действия
другой стрелки. Таким образом, формула нулевой степени
не содержит стрелок вообще, в то время как следование
первой степени имеет вид А —-В, где А и В являются
формулами нулевой степени. Формула первой степени
есть любая формула, построенная из формул нулевой
степени и следований первой степени посредством лишь
V, “ и 3, поэтому в формулах первой степени ни одна
стрелка не встречается в области другой стрелки.
1.2. Обоснование непротиворечивости и полноты фраг-
ментов первой степени интенсиональных логик EQ, Е,
RQ и R потребует наряду с (1) определением самих
систем введения еще следующих понятий: (2) интенсиональ-
ной решетки, (3) теории суждений, (4) интенсиональных
моделей, (5) полных нормальных ветвей и деревьев и (6)
определенного рода критической модели, детерминирован-
ной полной нормальной ветвью. Наш план заключается
в том, чтобы последовательно ввести эти понятия, при-
держиваясь данной выше нумерации и попутно доказывая
328
те леммы, которые могут быть сформулированы и дока-
заны в терминах ранее введенных понятий. Затем в § 7
мы используем ранее развитый аппарат для того, чтобы
дать очень краткие доказательства наших основных теорем.
Читатель может заранее заглянуть в § 7.
§ 2. Интенсиональные решетки
В этом параграфе мы определяем понятия „интенсио-
нально дополненной дистрибутивной решетки с истинно-
стным фильтром" и ее „полного" аналога, которые для
интенсиональной логики играют ту же самую роль, какую
булевы алгебры играют для экстенсиональной (двузначной)
логики. Мы сформулируем также те свойства этих реше-
ток, которые потребуются в дальнейшем.
2.1. Упорядоченная четверка <А, N, Т> (в которой
А есть некоторое множество, гД—отношение на A, N —
некоторая функция па А и Т — некоторое подмножество А)
называется дистрибутивной решеткой с интенсиональным
дополнением и истинностным фильтром (короче, интен-
сиональной решеткой) при условии, что: (DL) Л octi, дистри-
бутивная решетка по Д. (мы используем Д и V для обозна-
чения пересечения и объединения в решетке), что означает
следующее: Д есть частичное упорядочение А, то есть Д
рефлексивно, антисимметрично и транзитивно в А; для
любых a, b£A в А существует единственный элемент
а Д b и единственный элемент а V Ь, такие, что для вся-
кого с£А с^(аДЬ), если и только если с Да и сДЬ,
и (aVb)^c, если и только если аДс и ЬДс; и для
всяких а, Ь, с g А а Д (b V с) = (а Д b) V (а Л с) и а V
V (Ь Д с) = (а V Ь) Д (а V с);
(N1)NNa = a для всякого а С А;
(N2) если аДЬ, то МЬДЫа для всяких а, Ь^А;
(Т) Т является истинностным фильтром, то есть удов-
летворяет следующим трем условиям: (i) Т есть фильтр —
(аДЬ)СТ, если а£Т и ЬДГ, аДЬ^Т, если аДЬ и
а£Т; (ii) Т непротиворечив — не существует а, такого,
что а^Т и Na£T; (iii) Т является исчерпывающим—для
каждого а С А, либо а£Т, либо NagT.
В следующих ниже семантических применениях интен-
сиональных решеток А мыслится как множество сужде-
ний, Д—как отношение следования, пересечение и объе-
динение в решетке—как пропозициональная конъюнкция
329
и дизъюнкция соответственно и N — как пропозициональ-
ное отрицание. Т рассматривается как представляющее
истинные суждения в множестве А. В тех случаях, когда
смешение невозможно, „А“ будет представлять интенсио-
нальную решетку <А, 4^, N, Т>. Мы будем использовать
также символ F для обозначения теоретико-множественной
разности А — Т между А и Т, таким образом, F будет
представлять множество ложных суждений в А. Мы воз-
держимся от утверждения, что признание Т истинностным
фильтром влечет, что F есть ложностный идеал.
Определенных выше интенсиональных решеток доста-
точно для семантики бескванторных систем Е и R. Однако
для систем EQ и RQ, содержащих кванторы, нам нужны
не только конечные пересечения и объединения, но мы
вынуждены использовать также и бесконечные пересечения
и объединения в связи с универсальными и экзистенци-
альными кванторами. Введение бесконечных пересечений
и объединений заставляет нас соответствующим образом
модифицировать условия дистрибутивности и истинност-
ного фильтра.
Интенсиональная решетка <А, N, Т> называется
соответственно полной, полностью дистрибутивной ре-
шеткой с полным, истинностным фильтром при условии,
что:
(С) Для каждого подмножества В множества А в А
существуют единственные элементы Д В и \/В, такие,
что для каждого а£А а^ДВ, если и только если
а :ДЬ для каждого b£ В и V В <1а, если и только если
Ь^а для каждого bgB.
Там, где {ах}хех является индексированным множест-
вом, мы пишем Axfcxax вместо Д{аДхбХ и Vxexax
вместо V {ах}хбХ-
(CD) AxexVyeYax, у= VfesAx6xaxf(X), и двойственно.
Здесь S является множеством всех функций из X в Y.
(СТ) Для каждого BsA, ДВ£Т, если и только
если ВеТ1.
1 В работе Белнап;: и Спенсера [13] было показано, что для
любой тройки <А, «С, 1\>, удовлетворяющей (DL), (N,), (N2), а также
условию: (N8) а # Na для всякого а С А. существует истинностный
фильтр Т, удовлетворяющий условию (Т), но что добавление (С) не
гарантирует существования Т, удовлетворяющего также (СТ). Теперь
показано, что добавление (CD) достаточно для существования та-
кого Т.
ззо
Поскольку в дальнейшем мы по будем рассматривать
интенсиональные решетки, полные в том смысле, что они
удовлетворяют условию (С), но не удовлетворяют условиям
(CD) и (СТ), постольку в данной статье мы позволим себе
понимать под полной интенсиональной решеткой только ту
решетку, которая выполпчег все условия (С), (CD) и (СТ).
Множество (>, включенное в [полную] интенсиональ-
ную решетку А, шпыняется [полностью] независимым,
если (i) для всякого и С А, если a£G, то Na^G, и (ii)
для каждой нары конечных [и бесконечных] подмножеств
]ах}хех и ]ay}y6Y множества G U {Nc:c£G[, если Дх6хах<
^Х/уеуЭу, то для некоторых х£Х и у С Y, ах ау.
[Полная] интенсиональная решетка <A', 5^', N', Т'>
является [полной] подрешеткой [полной] интенсиональной
решетки <А, sC, N, Т,>, если и только если (i) A'sA,
(ii) в отношении А' согласуется с ДА N' согласуется
с N и Т' согласуется с Т, и (iii) пересечения и объеди-
нения членов А' [и подмножеств А'] одни и те же отно-
сительно А' и А, последнее означает, что А' замкнуто
по пересечению и объединению в смысле решетки
<А, <, N, Т>.
Отображение h [полной] интенсиональной решетки А
в [полную] интенсиональную решетку А' будет [полным]
гомоморфизмом между А и А', если и только если для
а, ЬеА и (ах[х6 xsA, аДЬ влечет h(a)^h(b),
h(Na) = Nh(a), h (а V b) = h (a) V h (b) [h(Vxexax) =
= Vxexh(ax)] и двойственно для Д) и а£Т влечет
h(a)6T', причем Т и Т' являются [полными] истинност-
ными фильтрами А и А' соответственно. Первое условие
следует из других вследствие дуального условия для Д
и того, что для всякого а£А a£F=(A— Т) влечет
h(a)£F' = (A'—Т'). Если к тому же h является одно-
однозначным, то оно будет [полным] изоморфизмом, и если
h есть отображение на А', то А и А' (полностью) изо-
морфны.
Если G — [полностью] независимое множество образу-
ющих для [полной] интенсиональной решетки А, то это
будет необходимым и достаточным условием для того,
чтобы G было множеством свободных образующих для А
в том смысле, что если f есть любое отображение G в
[полную] интенсиональную решетку А', обладающее тем
свойством, что для всякого а С G a G Т влечет f (а) £ Т'
331
и a£F влечет f(a)gF', то f может быть расширено для
[полного] гомоморфизма А в А'.
Если [полная] интенсиональная решетка задана по-
средством некоторого [полностью] независимого множества
образующих, то сама решетка называется [полностью] не-
зависимой 4
2.2. Легко обнаруживаемыми и широко применяемыми
свойствами полных интенсиональных решеток являются
следующие (конечные аналоги, очевидно, также имеют
место):
(1) а^дВ, если и только если для всякого bgB
а Ь; \/В^а, если и только если для всякого b£B
b^a; уВ<ДС, если и только если bs^c для всякого
bgB и с С С. Также Дхех Vy е уах,;/ если и только
если ДхехЗх. s<х) для всякой функции s из X в Y,
и а^Х/хех AyeY bx,у, если и только если a^VxgX
bxS(x) ДЛЯ всякой функции S из X в Y.
(2) СеВ влечет ДВ^ДС и X/C^VB, и если В
и С имеют общий элемент, то Д В V С.
(3) N /\ х е хах == V х е х Nax и N \/ х е хЩ = Ax е xNax.
(4) Обобщенная ассоциативность и коммутативность
для любых комбинаций конечных и бесконечных пересе-
чений и для любой комбинации конечных и бесконечных
объединений.
(5) Если множество G порождает полную интенсиональ-
ную решетку А, то любое а£А может быть представлено
в конъюнктивной нормальной форме a=Ax6xVyeYax,r
где для х G X, у € Y, ах> у G G U {Ng:g б G}, а также в дизъ-
юнктивной нормальной форме Vxg хАуе уйх, у-
2.3. Здесь мы изложим некоторые более специальные
свойства интенсиональных и полных интенсиональных
решеток, которые будут использоваться в дальнейшем.
(1) Пусть М„ будет упорядоченной четверкой элемен-
тов <М„^, N, Т>, в которой Мо = ]—3, —2, —1, —О,
+0, 4-1, +2, 4-3}; T = ]+i}, где i = 0, 1,2, 3; N(±a)=
= =F а; и a^b, если и только если (i) a = b, или (ii)
1 То, что здесь называется „полностью независимой полной
интенсиональной решеткой11, в работе Андерсона и Белнапа [8J было
названо „атомарной структурой11. Последний термин принят благо-
даря его связи с философским понятием атомарного суждения, однако
в данном случае мы модифицируем пашу терминологию так, чтобы
привести ее в соответствие с терминологией алгебраистов.
332
а== — 3, или (iii) fl = + 0 н b € Т, или (iv)a — — 1 и b = -J-1
или а = — 2иЬ = Н-2, или (v) Nb Na, согласно (i) — (iv).
Мо является интенсиональной и полной (как и все ко-
нечные интенсиональные решетки) решеткой, что нетрудно
установить *.
Пусть А будет интенсиональной решеткой, и пусть
a, h£ А будут такими, что (i) a, b£T, (ii) Na а,
Ni> - е I), (iii) Na Д b • Nb, Nb Д a Na и (iv) Na b.
Тогда подрешетка, порождаемая {a, b), изоморфна ре-
шетке M() при естественном расширении отображения f(a) -
== -|— 1, f (t>) = + 2. (Основное содержание этого утвержде-
ния было установлено в работе Андерсона и Белнапа |6|).
(2) Пусть (<АХ, -r7x, Nx, Тх>}хеХ будет индексирован-
ным множеством (полных] интенсиональных решеток, и
пусть Пх6хАх определено как упорядоченная четверка
<А, 5Д N, Ту, для которой справедливо следующее:
Т= XхехТх, F= Ххех, Fx и А = Т ]J F, а также для а,
b£A, если а—{ах)х6х и b = (bx)x€x> то а^Ь, если п
только если ах^Сх Ьх для всякого х £ X и Na = {Nxax)x6 х-
Тогда ПхеХАх также является [полной] интенсионалиной
решеткой.
(3) Пусть А будет полной интенсиональной решеткой,
и пусть (<АХ, ДТ N, Тх>)хбХ будет индексированным мно-
жеством полных подрешеток А, удовлетворяющих сле-
дующим трем условиям:
(i) для каждых tx, txgTx, где х£Х, если (Дуe(x-{x)j)
(ATy)Atx<tx, то tx<t;, и для дуала; (ii) для х, у£Х,
если х=^=у, ty£TyHfx£Fx, то fx^fy; (iii) для х, у£Х,
если х у, tx, tx С Тх и 1у б Ту, то tx < tx Vty, и для дуала
этого выражения. Пусть также Т' = (ДВ:В£ XxgxTxex},
F*=(VB:BC Хх6хТх), и пусть А" = Т* (J F*. Тогда <А*,
N, Т*> является полной интенсиональной решеткой,
целиком изоморфной ПхбХАх.
Действительно, для (ах}х6х € Вх6хАх определяем
h{ax}x6X как Дх6х{ах} или Vxex (ах), согласно тому
ЮхехСТ или {ax}x6x€F.
Затем прежде всего h (N ({ах)хбХ)) = h ({Nax|x6 х)=
= N (h ({ах)х6х)) благодаря построению Пх6 хАх и обобще-
нию законов де-Моргана.
1 Матричное представление Мо можно найти в работе Белнапа
[10]. Ми встречается также в работах Андерсона и Белнапа [5],
[6] и [8].
333
Далее устанавливаем, что а — h (Vyе y {ax> y}xe x; для
доказательства гомоморфизма достаточно показать, что а —
= Vyg yh({aXiy}xeX). В первую очередь из ПхбХАх мы
видим, что
а — h ({Vy g y аХ1 у)х 6 х).
Пусть YT будет множеством всех у G Y, таких, что ах . g Т\
для всех xgX, и пусть Yf=(Y— Yi) будет множеством
всех у g Y, таких, что аЛУ у g Fx для \ g X. Тогда, если YT
пусто, мы будем иметь Vyeya*.у€ Fx Для каждого xgX,
так что по определению h получаем
а = V х е х V у g уах, у
Теперь, согласно свойствам решетки,
V х g х V у g y ах t у \/ у g у \/ х g Хах, у,
и так как для всяких у g Y, х g X aXi у g Fx определение h
приводит к
а = Vygyh ({a*, s}Jex)>
что и требовалось доказать.
С другой стороны, предположим, что YT не пусто,
тогда (благодаря тому, что для каждого х g X, Vye уах, у С
g Тх) определение h приводит к
а = AxgxVyeyaXty.
Используя дистрибутивность и определяя S как множество
всех функций из X в Y, мы получаем
а = VsesAxexax, s(x>-
Пусть Sy будет тем подмножеством S, члены которого s
обладают тем свойством, что для всякого xgX s(x)g YT.
Тогда
a = (VsesTAxeхах, $(х)) V (Vse(S—Sy)Axg xax, s <X))),
где в данном случае и ниже правый член дизъюнкции
должен быть вычеркнут, если Yf пусто. Однако, если Yf
не пусто, мы показываем, что
Vse(S-S'j)Axe хах> s (х) = Vye Y Vxg хах> у.
То, что V s g (S—Sy) Л х е хах, s (х) V у е y V х е хаХ1 у три-
виально, так как для каждого sg(S — St), s(x) = z/ для
некоторых ygYp и xgX, поэтому для данных хну
334
ax, s(x) = ax, у. Для доказательства обратного утверждения
нам нужно показать, что
ах, у Vse(S-ST) aq (s), s (q (s))>
где x£ X, y£ Yf и q есть функция из S —St в X. Но по-
скольку Yt содержит некоторый член, скажем у', по-
стольку должен существовать некоторый член s множества
S —St, такой, что s (х) = у и для всякого х' =/= х s (х') = у'.
Поэтому для данного s мы будем иметь
ах, у aq (S), s (q (s)l
либо тривиально (если q(s) = x), либо согласно условию
(ii) нашей гипотезы (если «/(sj^x), поэтому ах,у^
< \Ag(s-sT)«q (s). s(q (S)) получается сразу же благодаря
свойствам решетки.
Теперь обратим внимание на левый член и покажем,
что
Vs6STVx6xax, s (х) — Vy е sT Д х е хах, у
Тривиально, что Vye у , Axe .\ах, у Vses, Дх6 Хах, s(х),
так как для каждого у С Ут существует s£S|, такой,
что для всякого х £ X s(x)^y. Для доказательства кон-
версии этого утверждения нам нужно показать, что
АхеХах, S (Х) Vy е YTaq (Г), у
для каждого sgSr и для каждой функции q из Ут в X.
Справедливость этого отношения очевидна, если для не-
которого х£Х q(y)=x для всякого у£Ут; если, с дру-
гой стороны, q принимает по крайней мере два различных
значения хи х', то это отношение справедливо благодаря
условию (iii) пашей гипотезы.
Следовательно,
а --- ( \/ у g УтА х 6 Хах, у) V ( V у е YpVx е .\ах, у\
то есть
я • (Vyg YTli ({ах. Jbeх)) V (Vyе Yfh ({ах, е х)) --
“Vye yh ({аХ1 у}хе.х).
h(Ayey {ах,у}хех) = Aye yh ({aXi у}х6 х) следует благодаря
дуальности, а то, что {ах}хбХ€Т влечет h ({ах)х€ х €Т*,
является непосредственным следствием определений h и Т*.
Поэтому h является полным гомоморфным отображением
335
ПхехАх в А*. Свойство одно-однозначности h нетрудно
вывести из условия (i) гипотезы на основе свойств ре-
шетки, добавив лишь то условие, что Т* и F* не пере-
секаются. То, что h есть отображение на А* очевидно.
На этом доказательство того, что <А*, N, Т*> является
полностью изоморфной Пх6хАх, заканчивается.
§ 3. Теория суждений
В этом параграфе мы дадим краткий набросок той
части теории суждений, которая существенна для семан-
тики интенсиональной логики, а затем перейдем к дока-
зательству леммы, нужной нам в дальнейшем. Чтобы
сделать совершенно ясным то, чем мы хотим заниматься,
сформулируем эту теорию в виде определения и некото-
рого множества строгих предположений, в истинности
которых мы убеждены. Предварительно мы можем ска-
зать, что рассматриваем суждение как (внелингвистиче-
ское) логическое содержание предложения, так что могут
существовать невыраженные суждения, и два предложения
выражают одно и то же суждение только в том случае,
если играют одну и ту же роль в выводе. Наряду с по-
нятием суждения исходными элементами теории являются
также пропозициональное отрицание, (интенсиональное)
отношение логического следования или импликации и
понятие пропозициональной истины.
3.1. Наши предположения будут иметь смысл только
для таких множеств суждений, которые определенным
образом замкнуты, поэтому мы начинаем с определении.
Определение. Множество суждений Р [полностью]
замкнуто, если и только если Р замкнуто по пропози-
циональному отрицанию и образует [полную] решетку
с отношением логического следования между суждениями.
Определение. Если Р [полностью] замкнуто, ^яв-
ляется отношением пропозиционального следования на Р,
N есть операция пропозиционального отрицания на Р
и Т —множество всех истинных суждений из Р, то мы
можем сказать, что упорядоченная четверка элементов
<Р, N, Т> представляет [полную} пропозициональную
решетку.
Пр ед положение 1. Каждая [полная] пропозицио-
нальная решетка является интенсионально дополненной
336
[полностью] дистрибутивной [полной] решеткой с [полным]
истинностным фильтром.
Для суждений а и b аДЬ есть суждение о том, что а
принято и b принято, а\/Ь—суждение о том, что а
принято или b принято, и для множества суждений
А, ДА есть суждение о том, что принят каждый член А,
V А—суждение о том, что принят некоторый член А.
Na есть, конечно, суждение о том, что а не принято.
Предположение 2. Для любого конечного числа п
существует пропозициональная решетка, порождаемая по-
средством п независимых образующих.
Совместно эти два предположения приводят пас к столк-
новению с ортодоксальной теорией суждений, так как
с классической точки зрения каждая пропозициональная
решетка есть булева алгебра, в то время как свободная
интенсиональная решетка с числом образующих и ею не
является.
Предположение 3. Существует полная пропози-
циональная решетка, порождаемая полностью независимым
множеством (суждений) мощности
Из третьего предположения, конечно, вытекает второе;
мы разделили их с целью указать на то, что для пол-
ноты бескванторных систем Е и R требуется только вто-
рое предположение. Аналогичное замечание справедливо
и для предположения 1: ссылка на полную пропозицио-
нальную решетку не является необходимой для непроти-
воречивости бескванторных систем. Кроме того, если при-
нять во внимание непротиворечивость систем, содержащих
кванторы, то, по-видимому, можно было бы ослабить
требование дистрибутивности, постулируемое для полных
пропозициональных решеток: вероятно, было бы доста-
точно только постулата а V(Лхс х bx) Л \ е х (аVbv), а
ограничение (CD) счетными множествами сделало бы это
обязательным. Но мы думаем, что для полных пропо-
зициональных решеток истинно более строгое предполо-
жение полной дистрибутивности, как оно истинно для
полных полей множеств.
3.2. Опираясь на эти предположения, докажем теперь
лемму, которая ниже потребуется для доказательства
того, что различные системы интенсиональной логики се-
мантически полны относительно подразумеваемой пропо-
зициональной интерпретации.
337
Здесь и далее, если с является некоторым кардиналом,
Мс будет Пх:х < сАх, где для каждого х < с, Ах есть Мо.
(Определения П и Мо см. в 2.3.)
Лемма 3.2. Для каждого кардинала 0<с^#о су-
ществует пропозициональная решетка Рс, изоморфная Мс.
В самом деле, согласно предположению (3) из 3.1,
существует пропозициональная решетка Р = <Р, N, Т>,
порождаемая множеством G из 2с независимых генераторов,
где для непересекающихся множеств {sj и (r-Jc> i > О,
0={Г|}и{М- (Для случая конечности G требуется, очевидно,
только предположение (2) из 3.1.) ААы показываем, что Р
имеет подрешетку Р£'==<РС, N, Тс>, изоморфную Мс.
Можно принять, что G^T, ибо в противном случае мы
можем найти независимое множество генераторов G', та-
кое, что G'sT, выбрав G' = (f(a): a£G}, где f(a) = Na,
если а Т и f(а) — а, если а £ Т. Приняв NG = {Ng:g С G},
мы можем ввести следующие определения для каждого
I <с: 1Д~{а:а£КС и a=fcNr{ или c = s,};
V( = (а : с £ Л'6 и a=£Nst или zz = r,};
ui = \/ U iNu}— /\N U i~ f\{a'.{aQG иафг;) или а: = М\};
v,.= VV^/Vv,- — /\NV, = - /\{at(a £G и a-/-s,) пли а — Mr,};
+ 0,---(//,. Av,);
4 1/ - (w.AvjVMVf = (//.V^VjAv,.;
+ 2,- -= (//,A v,) V Nu{ и-) A up,
4- 3(zzA v z) V N v , V N и = Мщ);
-0(.=M(+Oi),-l/.=M(+lI),-2i.=M(+2I.),-3/=M(+3i.);
T,= {4~ 0/+1/4-2/ + 3,4, А,- = {- 0,— 1,-2,.-3,4;
P, = (T,UFf);
T' = {aB:B€X, <ct,4;
F' = {AB:B€7G<cF,4;
Pe Tc U Fc.
Теперь нужно показать, что <РС, ' ', N, Тс> изоморфна Мг.
Прежде всего нетрудно заметить, что элементы 4-1,
и -р2,- служат в качестве генераторов для Рр, действи-
тельно, 4-0,-==(+1, А+2,), а 4-3,= (4-1,V+2,-). Сле-
довательно, для доказательства изоморфности Р,- и Л4„
для каждого i достаточно показать, что Р,- выполняет
условия (i)—(iv), сформулированные в (1) из 2,3 (i).
Так как, по предположению, s,-, г^Т, то отсюда сле-
§38
дует—благодаря тому, что Т есть фильтр,— что //,• и V,
и соответственно каждый член Т, находятся в Т; (ii)
соотношения —1/^+1, и —2, ^4-2,- следуют из того,
что NUj^Uj (так как (У, и /V U, содержат s(, и поэтому
Ns; также его содержит), и аналогично для v,-; (iii) мы
также имеем — 1; Л 4-2,-С—2,-и Д + 1,lf. То, что
1/^ + 2/, следует из того факта, что NNi^.u{, кото-
рый в свою очер.дь выгекаег из независимости G и того,
что NVi и U. не имеют общих членов.
Благодаря тому, чг<» Р' TC{]FC определено в соот-
ветствии с (3) из 2.3, остается только показать, что Рс
удовлетворяет условиям (/)-— (iii) из 2.3(3), из чего будет
непосредственно следовать, что Рс изоморфно Мс. Сначала
покажем, (i) что (Де Ф ь 4-0;)Д/Л -Д t'k влечет tk^.t'h, тцр
/А, t'k^Tk- Предположим, что консеквент этого утвержде-
ния ложен; тогда па основании рассмотрения семи раз-
личных пар tk, t'k, для которых tk t'k, мы можем за-
ключить, что если бы антецедент этого утверждения был
истинным, то мы должны были бы иметь либо Лс^й|-
+ 0,-Д 4-lft^4-2/(, дню то же самое соотношение, но
с заменой 4-U на 4-2й и |-2ft на 4-lft. Благодаря сим-
метричности всех определений нам нужно показать только
ложность первого соотношения. Если бы оно было истин-
ным, то на основе определения и дистрибутивности мы
должны были бы иметь то есть
Л iф k (и,/\Ni)/\Nхк < uk.
Так как для каждого i^=k и Ut и V,- содержат Nrk,
которое находится также в NVh, мы должны иметь
^u, Avz для всякого i^=k, что в свою очередь приводит
к последнее ложно вследствие независимости G.
(ii) Для i^=k где fF. и tk£Tk следует из
того, что и для i^=k\ (iii) для i^k
tk^t’k, где th, t'k£Tk и t^Tj.
§ 4. Интенсиональные модели
В этом параграфе мы определяем понятие «модели»
для интенсиональной логики, что приводит нас к опре-
делениям других близких понятий, нужных для построе-
ния адекватной семантики первопорядковых формул. Дока-
зывается также непротиворечивость, связывающая различ-
839
ные интенсиональные логики с определенными критическими
моделями.
4.1. Нижеследующее понятие модели предназначено
для формул первой степени, содержащих кванторы; для
пропозициональной логики было бы достаточно и более
простого понятия модели. Однако с целью более крат-
ного изложения мы не будем рассматривать пропозицио-
нальную логику в качестве отдельного случая.
Q является интенсиональной моделью, если н только
если Q есть упорядоченная тройка элементов <А, I, s>,
в которой А есть полная интенсиональная решетка, I —
не-пустая область индивидов, a s—функция приписывания
для А и I, то есть такая функция, что для каждой ин-
дивидной переменной х, s(x)£I, для каждой п-арной
функциональной буквы F, s(A) есть функция из 1п в А,
и для каждой пропозициональной переменной р, S(/?)gA.
Для данной интенсиональной модели Q = <A, I, s> мы
определяем оценку (нулевого порядка), детерминируемую Q,
и истинностное множество (первого порядка), детерми-
нируемое Q.
Скажем, что Vq есть оценка (нулевого порядка), де-
терминированная Q = <A, I, s>, если и только если vQ
есть функция, определенная для каждой формулы пуле-
вого порядка и имеющая оценку в А, которая задана
следующим образом. Для всякой формулы нулевой сте-
пени (фнс) А:
если А есть пропозициональная переменная, то vo(A)~
= s(A);
если А имеет форму F (xit ..., хп), то Vq (А) является
значением в А функции s (F) для аргументов <s (xj, ...,
s(xn)>;
если А имеет форму В, то vq (А) = Nvq (В);
если А имеет форму В\/С, то vQ (А) = Vq (B)\/Vq (С)
(здесь первое вхождение знака “V" является синтаксиче-
ским, а второе —алгебраическим; в дальнейшем различие
между этими вхождениями будет ясно из контекста);
если А имеет форму ЗхВ, то Vq(A) = \/C, где С пред-
ставляет такое множество, что с £ С, если и только если
Vq'(B) = c для некоторой интенсиональной модели Q' —
= <А, I, s'>, в которой s' отличается от s разве что припи-
сыванием значения х.
340
Обращаясь теперь к понятию iicTiiiiiiocrnoi о мпо/ксства,
мы говорим, что Ч\, является (первонорядковым) истин-
ностным множеством, детерминированным Q <Л, 1, s>,
если и только если для всякой формулы первой степени
(фпс) А и полной интенсиональной решетки А = <А,
N. Т>:
если А есть фнс, то А £ Tq, если и только если
VqA £ Т;
если А имеет форму В-+С, то А £ Т,?, если и только
если Vq(B)^vq(C);
если А имеет форму В, то А С TQ, если и только
если B^Tq;
если А имеет форму В\/С, то А £ TQ, если и только
если либо B^Tq, либо C£TQ;
если А имеет форму ЭхВ, то AgTQ, если и только
если B(;Tq для некоторой интенсиональной модели Q' =
= <А, I, s'>, в которой s' отличается от s только, мо-
жет быть, приписыванием х.
Мы определяем также Fq —ложностное множество,
детерминируемое Q,— как дополнение TQ относительно
множества фпс. Тогда некоторая фпс А называется истин-
ной в модели Q, если А £ Tq, и ложной в Q, если А £ Fq.
Мы предоставляем читателю проверить справедливость
этого утверждения по крайней мере в том отношении,
что фпс А истинна в Q точно в тех же случаях, когда А
ложна в Q.
Некоторая фпс общезначима в (полной интенсиональ-
ной решетке) А, если она истинна в каждой модели
Q = <A, I, s>, и фальсифицируема в А, если ложна в не-
которой модели Q = <A, I, s>.
Под интенсиональной структурой мы понимаем упо-
рядоченную пару <А, 1>, в которой А есть полная ин-
тенсиональная решетка, а I представляет не-пустую
область индивидов. Мы будем говорить, что некоторая
фпс А значима в структуре <А, 1> или фальсифицируема
в структуре <А, 1>, если А истинна в каждой интен-
сиональной модели <А, 1, s> или ложна в некоторой
интенсиональной модели <А, I, s>.
Если А является полной пропозициональной решеткой,
то структура <А, 1> будет пропозициональной структурой,
а интенсиональная модель <А, I, s>—пропозициональной
моделью.
341
Это приводит пас к последнему и наиболее важному
семантическому определению: некоторая фпс значима (без
уточнений), если п только ели она значима в каждой
пропозициональной структуре, то есть истинна в каждой
пропозициональной модели, и она фальсифицируема, если
и только если фальсифицируема в некоторой пропозицио-
нальной структуре, то есть ложна в некоторой пропози-
циональной мотели. Оправдание этих последних опреде-
лений следует искать, конечно, в подразумеваемой интер-
претации наших интенсиональных логик.
4.2. Здесь мы уже можем дать строгую формулировку
некоторой части нашего основного результата: для фор-
мул первой степени значимость является необходимым
и достаточным условием их доказуемости в EQ, а также
в RQ. В качестве леммы, нужной для обоснования этого
результата, мы докажем связь между доказуемостью в RQ
и значимостью в интенсиональных решетках Мс.
Лемма 4.2. Каждая фпс, доказуемая в RQ, значима
в Мг для всякого с. {То же самое справедливо соответст-
венно для EQ, Е и R.)
Для доказательства этого нам нужно ввести понятие
импликативной интенсиональной решетки и соответствую-
щим образом расширить понятия оценки и истинностного
множества. Идея доказательства состоит в том, что дока-
зательства фпс в RQ можно строить из формул, которые
сами не являются формулами первой степени. Мы на-
ходим подходящую интерпретацию этих формул, явля-
ющуюся расширением той интерпретации, которую имеем
для фпс. (Увы, эта интерпретация отчасти будет ad hoc;
в противном случае мы бы имели хорошую интерпретацию
для всей интенсиональной логики, а не только для ее
первостепенного фрагмента.)
[Полная] импликативная интенсиональная решетка ость
упорядоченная пятерка элементов <А, N, Т, -^У, в ко-
торой <Д, N, Т> есть {полная] интенсиональная ре-
шетка, а -у-»-—двухместная операция на А, такая, что
для а, b £ А, (а т->-Ь) С Т, если и только если as^b.
[Полная] импликативная интенсиональная решетка <А,
N, Т, -~*У называется пмпликативным расширением
решетки <А, N, Т>. Для данного А мы записываем
его расширение в виде <А, ~^У.
Пусть Q = <A, I, s> будет интенсиональной моделью,
342
детерминирующей оценку vQ и истинностное множество TQ,
и пусть <А, будет импликативным расширением А.
Тогда Q'=<^A, I, s> представляет собой имплика-
тивную интенсиональную модель, детерминирующую им-
пликативную оценку vQ-, при условии, что для каждой
формулы А, если А есть фнс, то vQ- (/1) = vQ (А); если А
имеет форму В —+ С, то vQ- (А) = vQ- vQ- (С); если А
есть не-фнс, а имеет одну из форм В, В\/С или ЭхВ,
то vq' (А) имеет соответственно одно из следующих зна-
чений: Nvq-(B), vq- (B)Vvq- (С), или VC, где eg С, если
и только если Vq-(B) = c для некоторой импликативной
интенсиональной модели Q" <JA, 1, s">, в которой
s" отличается от s только, может быть, приписыванием х.
Формула А называется значимой в импликативной
интенсиональной решетке <А, -г*>, если и только если
Vq- (A) g Т для каждой импликативной интенсиональной
модели <|А, I, s>.
Из того, что Т —фильтр, легко видеть, что для фпс
значимость в импликативном расширении <А, -*> ре-
шетки А эквивалентна значимости в А. Кроме того, если
использовать Тс для обозначения истинностного фильтра
Мс, a F*—для обозначения его дополнения относительно Мг,
нетрудно заметить, что для каждого с, (AT‘)A(VFf) —
== АМ£» поэтому лемма 4.2 является следствием такого
утверждения.
Пусть А=-<А, N, Т> будет полной интенсиональ-
ной решеткой, обладающей тем свойством, что если F =-
= (А —Т), то (AT)A(VF)= аА; тогда существует импли-
кативное расширение <А, -г>>, в котором значима каж-
дая теорема RQ.
Действительно, пусть -> определена следующим обра-
зом: (I) если a g F и b g Т, то (i) а -? b = А А, если а=^= Ь,
(ii) а ? Ь = \/ А, если а= АА или b — V A, (iii) а ,-b =-.
= (NaAb) в других случаях; (II) если a, b g F, то а » b --=
— Na A (a ->(b V(AT))); (III) если a, bg T, то а .-b =
— b Д ((а А (V F)) -х b); (IV) если a g 1 н b g I ', то а ? b -
- Na A b А (аА (V F) - b V (А Т)).
Убедиться в том, что <А, -*> является импликативной,
достаточно легко, если принять во внимание тот факт,
что равенство (AT) А (V F) = ДА, постулированное для А,
влечет (для случая (II)), что если о, bg/;, то a A b, если
и только если «-'AC’V (AF)), а также (для случая (III)),
343
что если a, b £ Т, то а Ь, если и только если (сД (VF))
Действительно, предположим, что а^(Ь\/(/\Т)), тогда
а^(Ь\/(/\Т)) /\а (по построению решетки), ДЬу ((Д7) /\а)
(по дистрибутивности), ^Ь\/((/\Т)/\(\/F)) (вследствие
того, что a^F влечет a^.\/F), ^Ь\/(ЛЛ)^Ь. Другой
случай—дуальный. Для завершения этого рассуждения
требуется лишь столь же просто (и столь же механически)
установить, что каждая аксиома RQ значима в <Л, -*>
и что правила сохраняют значимость.
4.3. Здесь мы добавим некоторые побочные замечания,
касающиеся импликативных расширений. Они интересны
главным образом с точки зрения предположения о том,
что подходящие семантики для интенсиональных логик
можно найти в понятии импликативного расширения.
(1) Для данной интенсиональной решетки, в которой,
как и выше, (ДТ)Д(\/Е) — ДЛ, альтернативное импли-
кативное расширение задается следующим образом: (I)
(/\Т? а)=а, (а ? F)=NA, а г\/Л) = VЛ и (ДЛ а) =
= V Л; (И) в противном случае {а -} Ь) = ДТ или (а * Ь) =
<= ДЛ в зависимости от того, «ДЬ или а^.Ь.
(2) Существуют полные интенсиональные решетки Л,
не имеющие импликативного расширения <Л, -*>, такого,
что каждая теорема R значима в <Л ^>, например,
<Л, N, Ту, в которой Л, Т и N являются такими
же, как в Д10 (см. 2.3), таково, что если a£F и
b£T, то а^Ь, если b£T, то ДО^Ь, п^ + 3 для вся-
кого а; а^Ь, если и только если NB^NA. Было бы
интересно рассмотреть вопрос о том, для каждой ли пол-
ной интенсиональной решетки существует импликативное
расширение, в котором значима каждая теорема системы Е.
(3) Если <Л, -?> есть любая импликативпая интенсио-
нальная решетка, в которой значимы все теоремы Е, то
это справедливо и для решетки <11, < „Л; .*>, в которой
п—конечно, Л; == Л для i < п и для элементов а= „
и b = {b,-)( <„ из П;<„ Л,-(а ?Ь) определяется как {<?,•},-<
где все с} одинаковы и каждое Cj = Д,- <п (а,—► Ь,). В том,
что эго так, можно убедиться, обратив внимание на то,
что свойство быть теоремой в Е сохраняется при том роде
одновременной подстановки, который имеется в виду
в определении <П,<Л! Л;-*>. Некоторый интерес представ-
ляет случай, в котором Л есть Л-10 и <Л, л> определяется
так же, как в 4.2; мы обнаруживаем, что в таких импли-
кативных интенсиональных решетках каждая теорема Е
344
значима (так как все они значимы в Л1о), по теорема
А—>((А—> А)—> Л) системы R проваливается при /г> 1.
Требуемое определение выглядит так: для данной ппф А
системы Е пусть s" (А) = s? (А)&. .. &s" (А), где кажу ая
функция s” определена для всех правильно построенных
частей формулы А, значениями ее являются формулы и
она задается следующим образом:
(i) если р есть /-ая в алфавитном порядке переменная А,
то s?(p) есть ((/-п) | (i —!)) ая переменная, не встречаю-
щаяся в .4;
(ii) s?(.4\/A) .</ (.1)7s''(«);
(iii) s" (Д&В) s" (A)&s" (В);
(iv) 8?(Д) = «7'И);
(V) s? (A -> B) = (s7 (A) - 87 (B))&... & (S7 (A) — s" (B)).
После этого очевидно, что если sn(A) значима в <А, -*>,
то формула А значима в <П, <„А/ />.
Более интересным является то обстоятельство, что
переход от Л к s"(A) сохраняет свойство быть теоремой
в В, но не в R.
(4) Имплпкатнвные интенсиональные решетки, в общем,
не являются импликативными решетками в смысле Карри
[15, с. 141], и обратное тоже не верно, В самом деле,
хотя определение (а Ь) в <А .*> как V{c:cC А и яДс^СЬ}
гарантирует, что если а Ь, то (a -? b) С Т (так как тогда
(а>Ь)=\/А), нет гарантий в том, что если (ом-Ь)Е7,
то одного h£T достаточно для (a~rb)£T, но этого
не достаточно для Аналогичное замечание справед-
ливо и для определения а? 1) как „материальной импли-
кации" Na V b.
§ 5. Ветви и деревья
В этом параграфе мы определяем некоторые понятия,
приводящие нас в конечном счете к понятиям „полной
нормальной ветви" и „полного нормального дерева", ко-
торые используются при установлении связи между дока-
зуемостью и общезначимостью. Общий план доказательства
аналогичен определенному варианту гёделевского доказа-
тельства полноты для функционального исчисления пер-
вого порядка: если нам дана некоторая формула первой
345
степени, то мы пытаемся построить древовидное „дока-
зательство" этой формулы, поднимаясь от „заключения"
к „посылкам", если каждая ветвь построенного таким обра-
зом дерева закапчивается некоторым видом „аксиомы",
формула доказуема, если же некоторая ветвь не заканчи-
вается, томы можем использовать ее для задания модели,
в которой данная формула ложна.
5.1. Начнем с определений, требуемых для задания
того сорта ветвей и деревьев, который мы используем
в нашем методе доказательства.
(1) Под атомом мы понимаем фпс, представляющую
собой либо пропозициональную переменную Р, либо фор-
мулу вида В(х1, ..., х„), либо отрицание одной из таких
формул. Атомы разделяются на гюложительные и отрица-
тельные в соответствии с тем, начинаются они со знака
отрицания или нет.
Следованием является формула, имеющая вид А—-В,
а отрицаемое следование имеет вид А—>В.
Формула А есть дизъюнктивная часть формулы В,
если и только если А совпадает с В, или существует
формула .4уС или С\/.4, которая представляет собой
дизъюнктивную часть формулы В.
<р (.4) есть формула, дизъюнктивной частью которой
является А, и ср (В) —результат замены .4 в ср (4) на В.
Если А не имеет формы В\'С, то ,4 является мини-
мальной дизъюнктивной частью ср (А).
(2) Если X есть множество фпс, С—некоторая фпс
п Z—последовательность переменных xlt ..., х,, то
X является непосредственным редукционным множеством
для С относительно Z в следующих случаях: (i) Х = {А},
C = Aj_(ii) Х = {А, В}, С=(А \/ В); (iii) Х = {А) или
Х = {В}, С = АуВ; (iv) Х = {Ах(} для некоторого х,-С Z,
C = 3xAx; (v) X = {Ax,}X;6z, С — ЭхАх.
Если С имеет одну из форм, указанных в (i)—(v), то
С называется сводимой, но если С представляет собой
атом, следование или отрицаемое следование, то С не
имеет непосредственного редукционного множества и на-
зывается несводимым.
(3) Множество X фпс называется полностью сводимым
относительно Z, если и только если для любого сводимого
А£Х существует Y<=X, такой, что Y есть непосредст-
венное редукционное множество для А относительно Z.
346
(4) Следующее понятие аналогично понятию непосред-
ственного редукционного множества. Отрицаемое следо-
вание Л —» В непосредственно представлено в некотором
множестве X, если и только если /1 g X или В£Х.
Отрицаемое следование Л—~В представлено парным образом
в паре множеств {X, Y), если и только если либо хотя
бы одно из Л и В находится и в X, и в Y, либо Л п В
вместе находятся хотя бы в одном из множеств X, Y.
5.2. Теперь обратимся к понятию „полной нормальной
ветви". Узловые точки ветвей будут последовательностями
фпс, их нужно понимать как некоторый вид дизъюнкции
членов этой последовательности. Для того варианта тео-
ремы Левенгейма—Сколема, который мы хотим доказать,
мы допускаем последовательности бесконечной длины,
а чтобы избежать некоторых технических трудностей,
будем рассматривать только „регулярные" последователь-
ности. Последовательность называется регулярной, если
и только если (i) каждый элемент ее представляет собой
фпс, (ii) каждое следование, встречающееся в качестве
правильно построенной части какого-либо элемента, имеет
форму А—+В, (iii) ни одна переменная не встречается
в ней свободно и связанно и (iv) в нее не входит беско-
нечное количество переменных. Поэтому регуляризацию S
мы определяем, во-первых, как замену каждой формулы
А —> В из S на формулу А —> В, а затем для любого i
каждое связанное вхождение i-й переменной заменяем па
(Зы)-ю переменную и каждое свободное вхождение i-й
переменной заменяем на ((3-i) + i)-io переменную. Ясно,
что регуляризация S доказуема в смысле 5.4 в любой из
систем EQ, Е, RQ или R, если и только если S доказуема,
и значима или фальсифицируема в структуре <А, 1>,
если S значима или фальсифицируема в <А, 1>.
Для того чтобы иметь возможность говорить об опре-
деленных формулах и множествах формул, включенных
в наши „полные нормальные ветви", мы вводим некото-
рые дополнительные обозначения; допустим, что В —
= Sj, • • •, Sy ... есть последовательность регулярных
последовательностей фпс; тогда относительно В мы опре-
деляем:
Z есть множество переменных, не связанных в S<;
347
Dy—множество всех фпс, принадлежащих некоторому
Sj', причем
D — объединение всех Dy-;
Е(Л 7) есть (z + 1)—е следование в Sj, в котором каждый
элемент его левой части либо сводим, либо представляет
собой фнс. (Заметим, что Е(11у) может быть неопределенной.
Интуитивная идея состоит в том, что для константы i
все Е(/1у) образуют цепочку в данной ветви — некоторую
ветвь в’нутри ветви, в которой E(i, j+1) служит „посылкой"
для E(i> =,, точно так же как Sj+1 служит „посылкой"
для Sj. Эти условия наложены для того, чтобы, когда
мы строим ветвь снизу вверх, нумеруя следования, не
возникало путаницы вследствие присоединения новых
следований к левой части уже имеющихся.)
L(f,y) есть множество всех А, таких, что некоторое
с j' = j имеет форму <р(А)—> В (использование „<р“ см. в 5.1
(1));
R(t j) —множество всех А, таких, что некоторое Е(|, Г)
с К имеет форму В—-<р(А);
L| — объединение всех L(/ у,;
R,—объединение всех R(i> j).
,,L“ и ,,R“ означают „левее" и „правее". Можно заметить
в этой связи, что вместо более общего случая мы рассмат-
риваем формулы вида А —- В и поэтому можем давать
не дуальные, а совершенно одинаковые трактовки левой
и правой частей формул следования.
Теперь можно уточнить условия, при которых после-
довательность B = Slt ..., Sj, ... является полной нор-
мальной ветвью для последовательности S фпс.
(A) Sx есть регуляризация S.
(В) Sj—конечный элемент В, если Sj представляет
собой явную тавтологию в том смысле, что существует
пара атомов А и А, таких, что имеет место по_ крайней
мере одна из следующих возможностей: А и А оба яв-
ляются элементами Sj; в Sj существует элемент В—*С,
причем такой, что либо А есть дизъюнктивная часть В,
а А — дизъюнктивная часть С, либо А есть дизъюнктив-
ная часть В, а А—дизъюнктивная часть С.
(С) Sj — конечный элемент В, если справедливо следую-
щее: (1) все D;, L(iij) и R(iij) (для каждого i, такого,
что Е(11}) определено) полностью сводимы относительно Z;
343
(2) каждое отрицаемое следование в Dj непосредственно
представимо в Dj-, (3) для каждого i такого, что Е(11 р
определено, каждое отрицаемое следование в Ц парным
образом представлено в <L(ii р, R(ii р>.
(D) В противном случае:
(0) Если j = 5n, то, если каждый элемент Sj несводим,
Sj+1 = Sj; в ином случае Sj имеет форму:
Л1, ..., Лд-!, Лд, Лд+1, ..., ^g+k, ...,
где Лд является самым левым сводимым элементом Sj
и где k = j, если Sj бесконечна, и Sj имеет q | к элементов,
если Sj конечна. Если Лд имеет форму (i) В, (ii) В\'С,
(iii) В V С, (iv) ЭхВх или (v)3xBx, то Sj+1 представляет
собой результат замены Лд в Sj на (i) В, (ii) последо-
вательность В, С, (iii) либо В, либо С, (iv) Bxt, где х{
есть первая в алфавитном порядке переменная в Z, не
встречающаяся свободно в Sj, или (v) Вхл, где х, есть
первая переменная в Z, такая, что Вх-, не встречается
в DP В случае (v) для получения Sj+1 нужно также по-
местить формулу Лд=-=ЭхВл- справа от Лч+к.
(1) [(2) | Если / = 5п ф- 1 [если / = 5п-| 2J; пусть j будет
некоторой функцией, определенной на положительных
числах и принимающей каждое положительное число в
качестве значения бесконечное число раз, тогда если
(п), j) не определено или имеет форму В—»С, причем
каждая минимальная дизъюнктивная часть В [С] несво-
дима, то Sj+1 = Sj. В противном случае E(t(n) ;) будет
такой, что ее антецедент имеет форму <р(Л) [ее консек-
вент имеет форму ф (Л)], причем А является самой левой
сводимой минимальной дизъюнктивной частью ф(Л).
Если А имеет форму (i) В, (ii) В\/С, (iii) ЗхВх или
(iv) ЭхВх, то Sj+i является результатом замены ф(Л) в
Sj на (i) <р(В), (ii) ф(В) или ф(С), (iii) <1 (Вт(), причем
%i есть первая переменная в Z, не свободная в Sj, или
(iv) (<p (Bxj)V3xBx), причем Xj есть первая переменная
в Z, такая, что Вх{ не встречается в j, [не встре-
чается в R(f(n,,j)].
(3) Если j = 5n-|-3: если каждое отрицаемое следова-
ние, которое является элементом Sj, непосредственно
представимо в Dj, то Sj+i = Sj; в противном случае, если
А—>-В есть самое левое отрицаемое следование в Sj, ко-
349
торое не будет непосредственно представимо в Dj, то Sj+1
получается из Sj посредством присоединения либо А,
либо В непосредственно справа от А —> В.
(4) Если j = 5n + 4: если для каждого i, E(ltj) опре.
делено и каждое отрицаемое следование, являющееся эле-
ментом Sj, представимо парным образом в <L(lij), R(lij)>,
то Si+1 = Sj. В противном случае пусть <k, i> будет пер-
вой парой чисел (в некотором порядке), такой, что если
А —► В есть k-е в алфавитном порядке отрицаемое следо-
вание, то А —+ В является элементом Sр Е(Ь j, определено,
а А —не представимо парным_образом в <Ь(1<)), R(i, р>.
Тогда если Е(1)) имеет форму C—>D, то Sj+i будет ре-
зультатом замены E(Itj) в S( на одну из следующих че-
тырех формул:
Cv7-*DV^; C\/B->D\/B-, C\/A\/B-+D-,
С-* D\J A\JB.
На этом определение понятия „В есть полная нормаль-
ная ветвь для S” заканчивается.
5.3. Будем говорить, что полная нормальная ветвь
для S тавтологична или не-тавтологична в зависимости
от того, заканчивается ли она или не заканчивается в
соответствии с 5.2 (В) явно тавтологичной последователь-
ностью. В связи с последующим параграфом нужно заме-
тить, что если полная нормальная ветвь В является ие-
тавтологичной, то (используя обозначения 5.2):
(1) D полностью сводимо относительно Z и множество
фнс в D также полностью сводимо относительно Z;
(2) если А —► В встречается в D, то некоторая E(li j,
имеет форму А—> В;
(3) для каждого i, Ц и R,—оба полностью сводимы
относительно Z;
(4) каждое отрицаемое следование в D непосредственно
представимо в D;
(5) для каждого 1, такого, что Е(1.р определена для
некоторого j, каждое отрицаемое следование в D пред-
ставимо парным образом в <Llt Rj>;
(6) не существует такой пары атомов Ли А, оба члена
которой встречаются в D; _
(7) ни для какого i и ни для одной пары атомов А и А
350
не встречается следующее: А £ Ц и ZgRj или А £ Ц и
А е R,;
(8) если S конечна и не содержит кванторов, то В ко-
нечна.
5.4. Теперь мы докажем лемму, нужную для доказа-
тельства полноты интенсиональных логик. Будем гово-
рить, что (возможно, бесконечная) последовательность
формул Л1, ..., !,, ... доказуема в EQ[E, RQ, R], если
и только если существует конечное и, такое, что
-^3лх3г.,, . .Злу - (.-Q ... V -Ч„) являепя теоремой
EQ[E, RQ, Rj.
Тогда мы имеем:
Лемма 5.4. Если каждая полная нормальная ветвь
для последовательности S фпс тавтологична, то можно
конструктивно найти доказательство S в EQ, а значит,
и в Е, если S не содержит кванторов.
В самом деле, полные нормальные ветви для последо-
вательности S можно расположить в виде дерева—пол-
ного нормального дерева для S, начинающегося с регуля-
ризации S в качестве нижней точки и раздваивающегося
в тех точках, которые удовлетворяют условиям (0-iii),
(1-ii), (2-ii) или (3), или разделяющегося на четыре ветви
в тех точках, которые удовлетворяют условию (4) опре-
деления „полной нормальной ветви" из 5.2. Согласно
лемме Кёнига, конечно ветвящееся дерево, каждая ветвь
которого заканчивается, само будет конечным. Поэтому
мы можем использовать индукцию, принимая в качестве
индуктивного предположения гипотезу о том, что теорема
верна для всех последовательностей дерева, расположен-
ных ниже п-й точки. Предположим, что Sj есть п-я точка
в полном нормальном дереве для S. Если Sj выполняет
5.2 (В), то Sj доказуема на основе соображений, изло-
женных в работе Белнапа [12] или Андерсона [1]. Если
Sj выполняет любое из условий (0)—(4) из 5.2 (D), то
методами, изложенными в работе Андерсона [1], можно
показать, что соответствующая конъюнкция дизъюнкций,
отвечающая первоначальной совокупности точек непосред-
ственно выше Sj (вместе с В—>В, С—>С и D—> D в слу-
, чае (4)), влечет дизъюнкцию, отвечающую совокупности
точек Sj. Согласно индуктивной гипотезе, предшествующие
дизъюнкции являются теоремами EQ, и, поскольку в EQ
имеются правила введения конъюнкции и модус поненс,
351
Sj будет доказуема в EQ. Отсюда, по индукции, следует,
что и нижняя точка доказуема в EQ. Так как нижняя
точка является регуляризацией S, отсюда следует, что S
также доказуема в EQ.
Единственным более трудным случаем является 5.2(4),
который сводится к некоторому использованию [(D&C —+
£)&(£> —> Е У В) 8с(Е —> E)&(D —> D) & (В В)] —
—* (В—»С\/(£>—*£))• Последнее выражение сводится к
[(D & С -> Е) & (D -+Е\'В) & (Е —> Е) & (D -> D)&(B —
- >С)] —> (D — * Е). Использхя технику работы Белнапа
[9, с. 87J, мы можем дать набросок доказаюльетва по-
следнего выражения следующим образом:
1. D 8с С - + Е гипотеза;
2. D—>ЕуВ гипотеза;
3. В—^Е гипотеза;
4. D—+D гипотеза;
5. В —> С гипотеза;
6. Е& D->DyE из 4;
7. E&D-+CVE из 3;
8. B&D-^DyE из 4;
9. B&D-^CyE из 5;
10. (£&D)V(B& D) — ^(DyE)fr(CyE) из 6—9;
11. (E\/B)&D—> (D&C)yE из 10, дистрибутивность,
12. D—» (Ey B) 8c D из 2 и 4;
13. (D8cC)\/E->E из 1 и 3;
14. D~^E из 11 —13, транзитив-
ность.
Следовательно, конъюнкция гипотез влечет заключение
D^E.
Вторую часть этой леммы можно доказать посредством
ссылки на тот факт, что аппарат квантификации EQ не
нужен, если Sf не содержит кванторов.
5.5. Для той части основной теоремы, в которой речь
идет о непротиворечивости, нужна лемма, формулировка
которой требует распространения семантических понятий
на последовательности формул: для данной полной интен-
сиональной модели Q = <A, I, s> мы устанавливаем, что
последовательность S фпс истинна в Q, если и только
352
если некоторый член S истинен в Q, то есть если неко-
торый член S принадлежит Tq. Тогда S значима в К, если
и только если она истинна в каждой <А, I, s>.
Лемма 5,5. Если каждая полная нормальная ветвь
для последовательности S тавтологична, то S значима в
каждой полной интенсиональной решетке.
При доказательстве этой леммы заметим, что яв-
ляющаяся регуляризацией S, значима в интенсиональной
решетке, если и только если S значима; после этого до-
статочно рассмотрения случаев использования индукции,
аналогичной индукции в 5.4.
§ 6. Критические модели
Этот параграф мы посвящаем лемме, связывающей оп-
ределенные полные интенсиональные модели с не-тавто-
логичными полными нормальными ветвями; эта лемма
является центральной, так как используется в основной
теореме и в связи с непротиворечивостью, и в связи с
полнотой.
6.1. Для каждой не-тавтологичной ветви В мы можем
определить интенсиональную модель, в которой члены В
одновременно фальсифицируемы. Для этой цели введем
сначала определенные подмножества Л1п, которые будут
играть в дальнейшем важную роль:
1+1 = {Д1, -1, +0, -3}; 1 + 2 = { |-2, -2, +0, -3};
Fo=4-0, -1,-2, -3}.
Интенсиональная модель, детерминируемая не-тавто-
логичной полной нормальной ветвью В, определяется как
полная интенсиональная модель Q = <MC, I, s>, в которой
с является наименьшим числом, большим, чем любое i,
такое, что E(lt п определено для некоторого j (а Мс та-
ково, как в 3.2), I есть множество положительных чисел,
а функция приписывания s определена в терминах В сле-
дующим образом (обозначения те же, что и в 5.2).
Если х есть i-я переменная в Z, то s(x) = i, и если
х (£Z, то s (х) = 1.
Для каждой пропозициональной переменной р, s(p)=
= a=(aj1<c (а£Л1с, а,£ЛД), причем р—А и для вся-
кого i^c, at есть наименьший член Л40, выполняющий
условия (1)—(6), приведенные ниже.
1!12
353
Для каждой n-арной функциональной переменной F, s (F)
есть та функция от n-ок членов I в Ме, которая вклю-
чает n-Ky<jb jn> в a = {ai|(<e, причем если х1к
(1 sSIk^n) есть jk-a переменная bZh F (х,,, х)п)=Л,
то для всякого i<c, а! есть наименьший член Л10, выпол-
няющий условия (1)—(6), изложенные ниже.
(1) Если А £ Ц, то а; £ 1+1; (2) если А £ L,, то Na, £ 1+1;
(3) если А £ Rb то aj^I+2; (4) если А £ Rb то Na, £ 1+2;
(5) если А С D, то а, £ Fo; (6) если A g D, то Naj £ Fn.
Очевидно, что c^.N0.
Ясно, что существует, самое большее, одна такая мо-
дель, детерминируемая любой не-тавтологичной ветвью В;
что по крайней мере одна такая модель существует, сле-
дует из того факта, что приписывание i-й координаты s(A)
на основе (1)—(6) могло бы привести к противоречию
только в одном случае: если бы имело место либо А б L,
и А £ Rb либо ZlgLj и A£Rb либо AgD и 71£D. Но
эти возможности исключены вследствие 5.3 (6) и 5.3 (7).
Пусть Vq(Z1) будет i-й координатой (в M0)vQ(A) (ЬЛП).
6.2. Прежде чем перейти к доказательству того, что
модель, детерминируемая не-тавтологичной ветвью В, об-
ладает нужными свойствами, мы введем некоторые новые
понятия и отметим некоторые факты.
Множество Y фпс является наследственным относи-
тельно Z, если и только если для всякой фпс А и мно-
жества фпс X, если X представляет собой непосредствен-
ное редукционное множество для А относительно Z (см.
5.1 (1)) и если XsY, то A^Y.
Очевидным следствием наших определений является
следующее: если (i) каждая несводимая фпс из X (см.
5.1 (2)) находится в Y, если (ii) X полностью сводимо
относительно Z (см. 5.1 (3)) и если (iii) Y является на-
следственным относительно Z, то X s Y.
Этот факт мы будем использовать неоднократно в ходе
доказательства, показывая, что (i)—(iii) справедливы для
определенных X и Y, и заключая затем, что XeY.
Впоследствии мы будем использовать также тот факт,
что определенные множества являются наследственными.
Пусть Q = <A, I, s> будет некоторой интенсиональной
моделью, a Z — множеством переменных, таким, что для
всякого i € I существует х С Z, для которого s (х) = i. Пусть
354
В будет полным идеалом в А в том смысле, что если
CsA, то Сс=В, если и только если VC^B, Тогда мно-
жество фпс А, такое, что vQ (А) £ В, будет наследственным
относительно Z. Отсюда непосредственно следует, что если
Q = <Me, I, s> детерминировано не-тавтологнчной ветвью В
(как в 6.1), то следующие множества будут наследствен-
ными относительно Z: множества фпс А, для которых
либо v’qACI+i, либо Vq(A)£I+2, либо v'q£F0, так как
I+i. 1+2 и Fo — все являются полными идеалами в Мо.
И также легко убедиться в том, что Fq наследственно
относительно Z.
6.3. Теперь мы можем доказать следующее.
Лемма 6.3. Пусть В будет не-тавтологичной пол-
ной нормальной ветвью для последовательности S и пусть
Q = <MC, I, s> будет интенсиональной моделью, детерми-
нированной В, тогда D s Fq, то есть члены всякого S(
из В одновременно фальсифицируемы в Q.
Предположения этой леммы мы обозначаем как „(Н)“
и продолжаем использовать обозначения из 5.2.
(1) Если (Н) и если А есть фнс из D, то для каждого
i<c Vq(A) £ Fo. Действительно, справедливость этого свой-
ства для атомов можно усмотреть непосредственно из
6.1(5) и 6.1(6). Согласно 5.3 (1), множество фнс из D
полностью сводимо, а согласно 6.2, обсуждаемое свойство
является наследственным, поэтому заключение леммы сле-
дует из 6.2.
(2) Если (Н), то для всякого i <с А С Li влечет Vq(A)
£ Fo и А С Ri влечет Vq(A)£/+2. Справедливость этого
для атомов вытекает непосредственно из 6.1(1) (4). По-
скольку, согласно 5.3 (3), Lt и R! — оба полностью сводимы
относительно Z и поскольку, согласно 6.2, эти свойства
являются наследственными относительно Z, постольку
заключение леммы получается на основе 6.2.
(3) Если (Н), то для каждого i < с и каждого j, та-
кого, что Е(11р определено, E(ii р С Ео-_Сначала заметим,
что каждое E(l<J) будет иметь форму А —> В. Так как в
этом случае А £ L, и В С Rj, мы получаем, согласно при-
веденному выше (2), что v{j(A)CI+i и у^(В)£1+2. Затем
рассмотрение свойств Мо показывает, что Vq(A)^Vq(B),
поэтому vq (A) <£ Vq (В). Следовательно, (А —» В) =
=E(1,p^Fq.
'/212*
355
(4) Если (Н) и если А — В £D, то А —> В £ FQ. Оче-
видно, достаточно показать, что (A—►B)€Tq; это обосно-
вывается обнаружением того факта, что для каждого
i <с vjQ(A) Согласно 5.3 (4) и (5), А —> В должно
быть непосредственно представимо в D и парным образом
представимо в <Lit Ri> для i < с; рассматривая для каж-
дого i <с восемь различных случаев (см. 5.1 (4)), в кото-
рых это может произойти, мы можем показать, что
Vq(A)^ Vq(6). Рассматривая один из этих случаев в ка-
честве примера, предположим, что A£D и В находится
одновременно в Lt и в Rj. Затем, согласно пункту (2),
изложенному выше, Vq(B) С (/+i П /+2), поэтому Vq(S)€
—0, +3}. Согласно пункту (1), изложенному выше,
v'q(A) Е Fo, поэтому доказательство того, что Vq(A)^ Vq(5)
требует лишь рассмотрения свойств Мо, из которого мы
заключаем, что agF0 и Ь£{—0, +3} достаточно для
а^.Ь.
Обратившись теперь к доказательству леммы, предпо-
ложим, что (Н), тогда, согласно (4), все отрицаемые сле-
дования из D находятся в Fq и, согласно (1), все фнс
из D также находятся в FQ. Далее, пункт (3) совместно
с 5.3 (2) влечет, что каждое следование из D находится
в Fq, так что все несводимые фпс из D находятся в FQ.
Поэтому, поскольку D полностью сводимо относительно Z
(согласно 5.3(1)) и поскольку Fq является наследственным
относительно Z (согласно 6.2), постольку на основании 6.2
следует, что D s FQ.
§ 7. Основные теоремы
В этом коротком параграфе мы объединяем все ранее
доказанные леммы для доказательства эквивалентности
шести важных свойств.
7.1. Последовательности, содержащие кванторы. Пер-
вая теорема выражает главный результат в форме общей
теоремы об эквивалентности, из которой в качестве след-
ствия выводится дополнительный результат. Схема дока-
зательства эквивалентности свойств, перечисленных в фор-
мулировке теоремы, выражается следующей диаграммой
(следует обратить внимание на двойное использование
импликации от (2) к (3), которая является содержанием
356
леммы 6.3):
Теорема. Для данной счетной последовательности S
первопорядковых формул следующие утверждения эквива-
лентны:
(1) S значима.
(2) S значима в каждой интенсиональной структуре
<Д\.С, 1>, в которой и 1 есть множество положи-
тельных чисел.
(3) S не имеет не-тавтологичной полной нормальной
ветви.
(4) S значима в каждой полной интенсиональной
структуре.
(5) S доказуема в EQ.
(6) S доказуема в RQ.
Доказательство. Поскольку для каждой Мс с
с^АГ0, согласно лемме 3.2, существует пропозициональ-
ная решетка Рс, изоморфная Мс, постольку, если бы S
была фальсифицируема в <Ме, 1>, она была бы также
фальсифицируема и в <РС, 1>, поэтому, по контрапозиции,
(1) влечет (2). То, что (2) влечет (3), можно усмотреть из
контрапозиции леммы 6.3 и того факта, что регуляриза-
ция S фальсифицируема в некоторой структуре тогда и
только тогда, когда в этой структуре фальсифицируема S.
То, что (3) влечет (4), есть содержание леммы 5.5. И на-
конец, то, что (4) влечет (1), гарантировано предположе-
нием 1 теории суждений (§3.1). Поэтому (1)—(2) — (3) —
(4) эквивалентны друг другу.
Как мы заметили выше, (2) влечет (3) по лемме 6.3, а
согласно лемме 5.4, (3) влечет (5). Совершенно очевидно,
что (5) влечет (6), так как RQ получается добавлением
некоторой аксиомы к EQ, то, что (6) влечет (2), есть со-
держание леммы 4.2. Поэтому (2) — (3) — (5) — (6) эквива-
лентны друг другу. Следовательно, все утверждения
(1)—(6) эквивалентны.
12 №1212
357
То обстоятельство, что (1) влечет (5) и (6), выражает
полноту первопорядковых фрагментов EQ и RQ, а то, что
и (5), и (6) влечет (1), свидетельствует о непротиворечи-
вости этих фрагментов.
То обстоятельство, что отрицание (1) (или, может быть,
(4)) влечет отрицание (2), равнозначно соответствующему
варианту теоремы Левенгейма—Скулема для интенсио-
нальной логики: если некоторое множество фпс фальси-
фицируемо, то оно фальсифицируемо и в полной интен-
сиональной структуре <А, 1>, в которой I счетно и А
порождено счетным множеством.
Следующий результат мы получаем в качестве след-
ствия .
Следствие (теорема вложения). Каждая не более
чем счетная интенсиональная решетка изоморфна некото-
рой под решетке Ъ\с для некоторого с^И0, а также неко-
торой под решетке решетки Рс, порождаемой не более чем
счетным множеством независимых генераторов.
Вторая часть этого следствия является непосредствен-
ным следствием алгебраического содержания леммы 3.2.
Для доказательства первой части данного следствия пред-
положим, что у нас есть не более чем счетная интенсио-
нальная решетка А. Рассмотрим ее инверсную диаграмму—
ID (А), задаваемую следующим образом. Сначала упоря-
дочим члены А; и для i-ro члена А — а—пусть f (а) будет
i-й пропозициональной переменной. После этого для а,
Ь^А мы устанавливаем, что f(a)—>f(b) находится в
ID (А), если и только если a s^b, a f (а) —> f (b) находится
в ID (А), если и только если п^Ь. Тогда тривиально, что
ID (А) одновременно фальсифицируема, поэтому, согласно
теореме 4, она также одновременно фальсифицируема и в
некоторой Q = <MC, I, s>, где с^.Кв. (Мы можем прене-
бречь I.) В таком случае функция s (f (а)) из А в Мс яв-
ляется, очевидно, гомоморфной, и тот факт, что s (f (а))=
=s (f (b)) влечет a = b, представляет собой следствие того,
что все члены ID (А) ложны в Q и что если f (а) --> f (b)
не находится в ID (А), то f (а) —f (b) находится в ID (А).
Поэтому s(f(a)) есть изоморфизм.
7.2. Последовательности, не содержащие кванторов.
Вторая основная теорема строго аналогична первой, за
исключением того, что она относится к последовательно-
стям фпс, не содержащим кванторов.
358
Теорема 2. Для данной последовательности S пер-
вопорядковых формул, не содержащих кванторов, следую-
щие утверждения эквивалентны:
(1) S значима.
(2) S значима в Мс с числом с вхождений знака —>- в S.
(3) S не имеет не-тавтологичной полной нормальной
ветви.
(4) S значима в каждой полной интенсиональной ре-
шетке.
(5) S доказуема в Е.
(6) S доказуема в R.
Прежде чем приступить к доказательству, заметим,
что для формул, не содержащих кванторов, понятие ин-
тенсиональной модели можно обобщить так, что в неко-
торой интенсиональной модели Q = <A, I, s> А не обяза-
тельно должно быть полным, так как требование полноты
используется, конечно, только в связи с кванторами.
Поэтому для S, не содержащих кванторов, мы могли бы
опустить слово „полный" в утверждении (4) и получить
утверждение:
(4*) S значима в каждой интенсиональной решетке.
Изменив аналогичным образом (1), мы получим:
(1*) S значима в каждой пропозициональной решетке.
Доказательство. Доказательство того, что (1)
или (1*) влечет (2), является точно таким же, как дока-
зательство теоремы 1. Мы показываем, что (2) влечет (3),
рассуждая по контрапозиции: предположим отрицание (3),
то есть допустим, что некоторая полная нормальная ветвь
для S не-тавтологична; пусть это будет В. Тогда S фаль-
сифицируема в интенсиональной модели Q = <M<?, I, s>,
детерминируемой В, где с, согласно 6.1, является наимень-
шей верхней границей для i во всех определенных Е(11 р
при всех изменениях j. Поскольку E(iiP всегда опреде-
лена как некоторое следование (если она вообще опреде-
лена), постольку для фиксированного j наименьшая выс-
шая грань для i во всех определенных Ео не должна
превосходить общего числа вхождений в Sj знака —
Анализ процесса регуляризации и порождения ветвей,
изложенного в 5.2, показывает, что для S, не содержащей
кванторов, число вхождений знака —* никогда не увели-
чивается при переходе от S к Sf и от Sj к Sj+J в полной
нормальной ветви для S, поэтому число вхождений знака
12*
359
-+ в S является верхней границей для с. Но вследствие
того, что фальсифицируемость S в Мс, очевидно, влечет
фальсифицируемость S в <МС'>, если с' не меньше с, мы
получаем требуемое отрицание (2). (Однако если S содер-
жит кванторы, то случай (v) из 5.2(0) может привести
к возрастанию числа вхождений знака —* при переходе
от Sj к Sj+1; см. последнее предложение из 5.2(0). Заме-
тим, что это возрастание обусловлено только квантифи-
цированными следованиями, а не следованиями между
кванторами.)
То, что (3) влечет (4), есть содержание леммы 5.5;
небольшая модификация леммы 5.5 показывает, что (3)
влечет также (4*). И то, что (4) влечет (1) и (4*) влечет
(1*), снова гарантируется предположением 1, поэтому
(1) — (1*)-—(2) — (3)—(4)—(4*) эквивалентны друг другу.
Выше мы показали, что (2) влечет (3). То, что (3) вле-
чет (5), является частью содержания леммы 5.4. То, что
(5) влечет (6), тривиально, так как R получается из Е
посредством добавления некоторой аксиомы, и то, что (6)
влечет (2), снова вытекает из леммы 4.2. Поэтому (2) —
(3)—(5)—(6) и соответственно (1)—(6) все эквивалентны.
То, что из (1) или (1*) следует (5) и (6), есть выра-
жение полноты первопорядковых фрагментов систем Е и
R, в то время как следование (1) и (1*) из (5) или (6)
выражает их непротиворечивость.
Тот факт, что отрицание (1) (а может быть, (4) или
одного из вариантов, отмеченных звездочкой) влечет отри-
цание (2), равнозначен некоторому варианту теоремы
Левенгейма—Скулема для интенсиональной пропозицио-
нальной логики: если множество фпс, не содержащее
кванторов, фальсифицируемо, то оно фальсифицируемо в
интенсиональной решетке, порождаемой счетным множе-
ством.
В качестве важнейшего следствия теоремы 2 мы полу-
чаем процедуру разрешения для установления значимости
и (равнозначно) доказуемости конечного S.
Следствие. Если последовательность S бесквантор-
ных. формул первой степени конечна, то существует ме-
ханический способ установления того, является ли S зна-
чимой и (что эквивалентно) доказуемой в Е или R.
Из двух процедур, которые мы даем, первая носит
более семантический, а вторая—более синтаксический
характер. Во-первых, из теоремы 2 следует, что можно
360
проверить значимость S в Мс, где с является числом вхож-
дений в S знака —Ме, несомненно, будет конечным, так
что процесс проверки всех возможных моделей <МС, I, s>
(в которых I может быть произвольным, так как оно не
играет роли) должен закончиться. Во-вторых, можно по-
строить полное нормальное дерево для S. Согласно лемме
Кёнига, это дерево будс конечным, так как по 5.3 (8)
конечна каждая его ветвь; поэтому можно просто прове-
рить, является ли каждая ветвь тавтологичной,— эта про-
цедура устанавливается теоремой 2. При этом вполне
понятно, что S может состоять из отдельной бесквантор-
ной формулы А, и у нас, таким образом, есть процедура
разрешения для первостепенных фрагментов Е и R.
ЛИТЕРАТУРА
1. Anderson A. R. Completeness theorems for the systems E
of entailment and EQ of entailment with quantification.— „Zeitsch-
rift fiir mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik", vol. 6,
1959, p. 201—216.
2. Anderson Л. R. Some open problems concerning the system
E of entailment.— “Acta Philosophica Fennica”, fasc. 16. Helsinki,
1963.
3. Anderson Л. R. and Belnap N. D. A modification of
Ackermann’s "rigorous implication” (abstract).— “Journal of Symbolic
Logic”, vol. 23, 1959, p. 457—458.
4. A n d e г s о n A. R. and Belnap N. D. Jr., Enthymemes.—
“The Journal of philosophy”, vol. 58, 1961, p. 713—723.
5. Anderson A. R. and Belnap N. D. Jr., The pure calculus
of entailment.— “Journal of Symbolic Logic”, vol. 27, 1961a, p. 19—52.
6. Anderson A. R. and Belnap N. D. Jr., Tautological en-
tailment.— “Philosophical studies”, vol. 13, 1961b, p. 9—24.
7. Anderson A. R. and Belnap N. D. Jr., Entailment with
negation.— „Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der
Mathematik", vol. 11, 1965, p. 277—289.
8. Anderson A. R. and Belnap N. D. Jr., First degree en-
tailment.— “Mathematische Annalen”, vol. 149, 1963, p. 302—319.
9. Belnap W. D. Jr., A formal analysis of entailment,— “Tech-
nical Report”, № 7, Contract No. SAR/Nonr—609(16), Office of Naval
Research (Group Psychology Branch), New Haven, 1960.
10. Belnap N. D., Jr., Entailment and relevance.— “Journal of
Symbolic Logic”, vol. 25, 1960, p. 388—389.
11. Belnap N. D., Jr., First degree formulas (abstract).—
“Journal of Symbolic Logic”, vol. 25, 1960b, p. 388—389.
12. Belnap N. D., Jr., EQ and the first order functional cal-
culus.— „Zeitschrift fiir mathematische Logik und Grundlagen der
Mathematik", vol. 6, 1960c, p. 217—218.
361
13. Belnap N. D., Jr. and Spencer J. H. Intensionally comple-
mented distributive lattices.— “Portugalias Mathematica“, forthcoming.
14. Church A. The weak theory of implication.— “Kontrol-
liertes Denken”. Munich, 1951.
15. Curry H. B. Foundations of mathematical logic. McGraw-
Hill, New York, 1963.
16. Moh Shaw-Kwei. The deduction theorems and two new
logical systems.— “Methods”, vol. 2, 1950, p. 56—75.
17. Prawitz D. Normal deductions, presented to the Associa-
tion for Symbolic Logic. Hotel New Yorker, April 21, 1964.
Р. Роу тлей, Р. Мейер
СЕМАНТИКА СЛЕДОВАНИЯ*
Было время, когда модальные логики „не имели се-
мантики". Введя реальный мир G, множество миров К и
отношение R относительной возможности между мирами,
Саул Крипке рассмотрел эту ситуацию и, заметив, что
формально она объяснима, создал модельные структуры.
Вскоре оказалось, что почти каждый начал создавать мо-
дельные структуры, причем одни из них были деонтиче-
скими, другие—временными, третьи — эпистемнческими,
в зависимости от условий, накладываемых на бинарное
отношение R.
Однако ни одна из модельных структур, которые соз-
давали Крипке, Хинтикка, Томасон или их соратники и
коллеги, не была релевантной. Это вызывало большую
печаль в городе Питтсбурге, где обитают капитаны аме-
риканской индустрии. Логика индустрии была представ-
лена Андерсоном, Белнапом и К0—исследователями вы-
водимости, ужасов материальной импликации, строгой
импликации и всего того, к чему приводит их ложность
или противоречивость. Почти каждый год компания “Ан-
дерсон & Белнап” выпускала новую логику, называя ее
Е, R, Е, или Р—W, и она анализировала эти логики и
называла их релевантными. И многими эти логики при-
нимались благосклонно, так как они выражали интуицию,
но еще больше людей относилось к ним пренебрежительно
за то, что они не имели семантики.
* Routly R., Meyer R. The Semantics of Entailment.—
“Truth, Syntax and Modality” (ed. by H. Leblanc). Amsterdam—Lon-
don, 1973, p. 199—243.
363
Да, Андерсон и Белнап создавали логики без семан-
тики. Одни удивлялись и радовались1 2 3 * * тому, что некоторая
Истинная Логика могла появиться среди нас в чисто син-
таксической форме, не обремененная никаким теоретико-
множественным грузом. Другие говорили, что релевантные
логики являются лишь синтаксическими. Исследовавший
эту ситуацию Р. Роутлей и совершенно независимо от него
Уркварт нашли экспликацию ключевого понятия реле-
вантной импликации. Основываясь на работе Роутлея [1972]
и используя помощь наших друзей, в частности Данна и
Уркварта, а также Андерсона, Белнапа, В. Роутлея и
Вудраффа, мы развили это понимание для того, чтобы
представить здесь формальные семантики для системы R
релевантной импликации и дать доказательства непроти-
воречивости и полноты относительно этих семантик.
В развитых здесь семантиках центральным является
тернарное отношение R, которое в релевантных логиках
занимает место крипкевского бинарного отношения для
стандартных модальных и интуиционистской логик. В по-
следующей работе мы покажем, как посредством изменения
постулатов для R обычно получают другие релевантные
логики, в частности систему Е Андерсона и Белнапа, си-
стему Р отмеченного следования и аккермановскую систему
строгой импликации*. На этот раз мы присоединяем к R,
развитой в работе Мейера [1968], теорию следования по-
средством явного добавления к R модального оператора
льюисовского типа8. Поскольку модальной частью теорий
1 Основополагающим пунктом является, конечно, то, что имеется
много путей формальной экспликации неформальных логических и
математических понятий и что имеет значение множество аксиом. Это
делают матрицы, правила для натуральной дедукции, соответствую-
щие алгебраические структуры и т. д., которые ранее были предло-
жены для релевантных логик. Новизна настоящего подхода, как
считает Белнап, состоит в том, что он, подобно крипкевской семан-
тической редукции модальной логики, дает экстенсиональное—истин-
ностно-функциональное в существенном смысле—понимание реле-
вантной логики. Почему именно этот вид понимания оказывается
особенно привлекательным—это дело психологии логики, в которой
мы явно некомпетентны; действительно, даже чисто технические про-
блемы выглядят гораздо более легкими, см., например, § 8 данной
статьи.
2 Р была переименована в Т в работе Андерсона и Белнапа
[1972J, в которой см. формулировки всех упоминаемых здесь логик.
3 Семантики для NR мы развиваем в продолжении данной статьи,
опубликованной в: “The Journal of Philosophical Logic”, 1972, vol. 1,
№ 1, 2.
864
следования Аккермана—Андерсона— Белнапа является,
в сущности, S4, в то время как релевантная часть опи-
рается на новые идеи, постольку существенно новым в
развитых здесь семантиках будет трактовка основопола-
гающей системы R, а понятие необходимости будет про-
анализировано аналогично крипкевскому анализу S4 в
работе Крипке [1963]. Следует заметить, что в своей им-
пликативной части (слабая теория импликации R, Чёрча)
R является старейшей из релевантных логик и, возможно,
наиболее естественно мотивированной. Расширения R
(R-смешение Данна) и его позитивного фрагмента R+ (по-
зитивная логика, интуиционистская логика) подпадают под
наше рассмотрение, и им будет дана соответствующая
трактовка.
Рассмотрим обычное в английской литературе пред-
ставление бинарного отношения R Крипке. T/RZ/j “гово-
рит", что „мир“ Нг возможен относительно мира Н. Можно
предложить интересное тернарное обобщение: T/RZ/j, Н2,
которое говорит, что „миры** и Н2 со-возможны (или,
может быть, совместимы) относительно Н. (Это чтение
предложено Данном.) На „мирах** мы не будем задержи-
ваться, так как используем терминологию работы Роутлея
[1972], для того чтобы говорить о „конструкциях**, а не
о „мирах**, указывая тем самым, что имеем дело с тем, что
не обязательно реализовано или даже реализуемо в любом
обычном смысле. (Мы думаем, что логика должна охва-
тывать даже экстраординарный смысл, чтобы оправдывать
как физику, так и философию и поэзию). Чтобы учесть
некоторые интуитивные соображения, придающие фило-
софский интерес релевантным логикам, мы могли рассмат-
ривать конструкции не только как обычные миры, но
также и как системы убеждений (не обязательно непро-
тиворечивых). Эти системы убеждений могут представлять
собой комбинации некоторого закона с сообщениями на-
блюдения, описывающими возможные ситуации. Здесь мы
не будем обсуждать вопрос о том, принадлежит ли поня-
тие конструкции онтологии, эпистемологии или, быть может,
только психологии1.
1 То же самое можно, конечно, сказать о возможном мире в се-
мантиках льюисовских модальных логик. Но наш коллега Н. Кокья-
релла в идеях, подобных представленной здесь, находит скорее эпи-
стемологическую, чем онтологическую ориентацию; мы не столь уве-
365
Согласно развиваемым здесь интуитивным соображе-
ниям, две конструкции совместимы относительно третьей
при условии, что всегда, когда предложения А и В имеют
место соответственно в первой и второй конструкции,
предложение С, которое прямо утверждает, что А и В
совместимы, имеет место в третьей конструкции. [Данн
приводит стандартную модель, аналогичную модели Крипке:
некоторый мир возможен относительно другого при усло-
вии, что всегда, когда А справедлива в первом мире,
предложение, утверждающее, что А возможно,—а именно
О А, — справедливо во втором.]
Чтобы облегчить понимание постулатов и доказательств,
мы изменим обозначения, которые известны читателю,
знакомому с работами Крипке. В дальнейшем для обоз-
начения конструкций мы вместо Н, Н1 и т. д. употребляем
а, Ь, с и т. д. Мы отказываемся также от старого способа
записи; Rabe будет теперь утверждать, как мы установили
неформально, что а и b совместимы относительно с1. Мы
также вводим бинарную связь совместимости «А о В», чи-
таемую как «А совместимо с В»2.
Если исследовать синтаксический аналог нормальных
модальных семантик, модельные структуры Крипке можно
рассматривать просто как содержащие в качестве своих
элементов непротиворечивые и полные теории. Наши модель-
ные структуры при исследовании их синтаксического аналога
также будут содержать теории в качестве элементов. Но
как в работе Роутлея [1972], так и с точки зрения наших
предыдущих замечаний рассмотрение релевантности за-
ставляет нас трактовать теории не-нормально с классиче-
ской точки зрения. Класс теорий, на которые мы будем
обращать внимание, будет настолько нормальным, насколько
это возможно; его членами будут первичные интенсиональ-
ные теории. Помимо того, что в некотором смысле эти
теории замкнуты по следованию, они будут непротиворе-
рены в этом, но в данном случае оставляем этот философский вопрос
без рассмотрения.
* cRab в старой записи.
2 Аналогом знака « о », восходящего к работе Чёрча (1951), явля-
ется ORi; рассматривалась ли эта связка как совместимость, сопос-
тавимость, интенсиональный вид конъюнкции нли просто как некото-
рая операция в соответствующих алгебраических структурах, она
оказалась весьма полезной; см., например, работу Мейер и др. [1972J.
365
чивыми и полными теориями относительно конъюнкции и
дизъюнкции, как и классические теории.
С другой стороны, отрицание, как в работе Роутлея
[1972] и в предыдущих работах Данна, Белнапа и других,
требует допущения теорий, являющихся противоречивыми,
неполными или одновременно противоречивыми и неполны-
ми. Как и выше, оправдание этому может быть найдено
в контекстах веры, в оценочных контекстах или даже в
тех крайних случаях (например, парадокс Рассела), когда
мы можем выбрать явное противоречие или когда никак
(например, в аксиоматизированной арифметике) не можем
добиться полноты. Тем не менее мы спасаем здесь нечто
подобное привычной рекурсивной трактовке отрицания
посредством различения строгого и слабого способов ут-
верждения предложения А в данной конструкции. Стро-
гий способ состоит в утверждении А, слабый—опускает
утверждение А. Для каждой конструкции а это порож-
дает дополнительную конструкцию а*, такую, что строго
утверждаемое в а слабо утверждается в о*, и наоборот.
Требуемый рекурсивный пункт тогда говорит, что А имеет
место в а только в том случае, если А не имеет место в а*-,
читатель заметит, что при нормальных обстоятельствах, ког-
да мы утверждаем именно то, чего не отрицаем, а и а*
совпадают и значение отрицания сводится к обычному.
Релевантная импликация, хотя и является центром
проблемы, получает свою характеристику через отрицание
и совместимость, и А релевантно влечет В только в том
случае, когда А и В несовместимы. Как оказывается (при
фиксированной интерпретации нашего формального языка),
А релевантно влечет В в конструкции с только в том
случае, когда для всяких конструкций а и Ь, всегда, ког-
да Rcab и А имеет место в а, В имеет место в Ь1.
Реальный мир играет особую роль в наших семанти-
ческих постулатах. (Поэтому мы будем обозначать его
как 0, а не как G; 0 не только выглядит лучше [он на-
поминает математическую семантику], но и указывает на
то, что он будет исполнять формальную роль тождества.)
О необходимо выделять по следующим причинам: логиче-
ские истины не являются истинами во всех конструкци-
ях; стратегия, способная справиться с парадоксами, состоит
1 В более слабых системах, таких, как Е и Т, мы будем исполь-
зовать это условие для характеристики тернарного отношения дости-
жимости R.
367
в том, что даже логическим тождествам разрешается иног-
да быть ложными. (В конце концов, что может быть луч-
шим основанием для отрицания того, что q влечет р —» р,
чем допущение, что q может быть истинно тогда, когда,
по существу на основе релевантности, р—* р ложно?)1
Чем тогда является логическая истина? Конечно, ис-
тиной во всех конструкциях, в которых все логические
истины истинны! (Это никоим образом не тавтология;
возможно, что некоторая случайная не-логическая истина
может пройти через все конструкции, в которых верифи-
цированы все логические истины.) Откровенно говоря,
рассматривая в качестве кандидатов на место реального
мира только такие конструкции, в которых верифициро-
ваны все логические истины, мы лишь выдаем этим свою
логическую ограниченность, так как для логиков они
истины, которыми мы хотим характеризовать нашу фор-
мальную семантику. Наша семантика, конечно, требует
от физика или экономиста рассуждать корректно в том
смысле, что он должен использовать значимые аргументы,
но физик в качестве физика столь же нужен для утверж-
дения законов логики, как логик в качестве логика нужен
для утверждения третьего закона термодинамики. (Таким
образом, мы реконструировали определенный параллелизм
между логиками и физиками; мнение о том, что физик
имеет дело только со второсортными [при некотором под-
ходе—с первосортными] истинами, ибо можно вообразить
или по крайней мере представить формально, что его
законы ложны, в то время как законы логики всегда
истинны, обусловлено лишь недостатком воображения.)
Пожалуй, уже достаточно общих разъяснительных за-
мечаний. Последующее формальное изложение является,
конечно, независимым от них и может быть использовано
для обоснования изменчивых неформальных интуитивных
соображений. Главным в последующем изложении будут
доказательства семантической непротиворечивости и пол-
ноты пропозициональной логики релевантной импликации
R. Многочисленные применения основного результата сос-
тоят или в новых ответах, или в открытии простых
доказательств проблем того рода, о котором говорится в
работе Андерсона [1963]. Характеристика нормальной
значимости, например, показывает, что множество теорем
* В дополнение к последующим замечаниям см. §4 данной статьи.
368
R замкнуто по правилу отделения для материальной
импликации — основной результат работы Мейера и Данна
[1969]; опираясь на работу Мейера [1972 а, Ь], мы по-
казываем, кроме того, что R хорошо аксиоматизируема
в том смысле, что в общем ее фрагменты, полученные
устранением некоторых связок, могут быть получены из
аксиом, в которых устраненные связки не встречаются
(детали см. в § 10); аналогично расширение нашего до-
казательства полноты на систему RM Данна—Мак-Колла
проливает некоторый свет на результаты, полученные
Мейером и рассмотренные в алгебраической форме в ра-
боте Данна [1970]. Теория моноидов Де-Моргана, разви-
тая Данном в его диссертации (Питтсбургский универси-
тет, 1966) для представления алгебраического аналога
системы R и суммированная в работе Мейера и др. [1962],
во многих пунктах связывается с нашей семантикой,
и для нее указана полезная теорема о погружении типа
Стоуна. Введена теория суждений и использована для
наброска расширения данной семантики на систему RP
релевантной импликации Андерсона — Белнапа с пропози-
циональными кванторами, представленную в работе Ан-
дерсона [1972]; аналогичное расширение предложено для
первопорядкового варианта RQ системы R. С другой
стороны, мы предлагаем истинностно-значные семантики
(в смысле Лебланка) и в случае кванторов. Как нам ка-
жется, доказательства полноты относительно предло-
женных семантик квантификационных систем являются
хотя и громоздкими, но прямыми. Мы ограничиваемся
здесь доказательствами семантической непротиворечивости
для этих систем.
Наши вводные замечания мы завершим утверждением
о том, что в результате этой статьи и близкой к ней ра-
боты Уркварта [1972] релевантные логики получают теперь
формальные семантики; но отношение этих семантик к
тому неформальному требованию, что система логики долж-
на выражать чьи-то интуитивные соображения, всегда
будет предметом частного мнения, и это мнение мы пред-
ставляем читателю.
369
§ 1. Предварительные замечания о синтаксисе
Пропозициональный язык SL есть тройка <5, О, Fy,
в которой S есть счетно-бесконечное множество пропо-
зициональных параметров, О—множество, членами кото-
рого являются унарная связка—и бинарные связки
&, V, —»» и В—множество формул, полученных обычным
образом из параметров S и связок О. (Мы используем
буквы „р“, ,,q“ и т. д. для того, чтобы говорить о про-
позициональных параметрах из S, а буквы «А», «В» и
т. д.—для обозначения произвольных формул из F. Для
облегчения чтения формул бинарные связки, включая
определяемые, упорядочены по силе связи следующим
образом: &, о, V, <->. и принимается ассоциация
влево.) В качестве определения аксиомных схем и правил
для системы R релевантной импликации мы принимаем
следующие:
А1. А — А;
А2. А ((А->В)- -В);
АЗ. (А- ►В)—>(В — .С)^(А->С);
А4. (А —(А —* В)) - -*(А—>-В);
А5. А&В—+ А;
А6. А& В^В\
А7. (А^В)&(А->С)->(А^В&С);
А8. А-+АХ/В;
А9. В -> А V В;
А.10. (А — С)&(В^С)^(А V В-+С)-,
All. А&(ВуС)-+ А&_В V А&С;
А12. (А В) (В А);
А13. А^А;
DI. AoB = dfA—> В (совместимость);
D2. А <-> В = df (А —> В) о (В —> А)1 (эквиваленция);
R1. Из А —> В и А следует В (модус поненс);
R2. Из А и В следует А&В (введение'конъюнкции).
1 В системе R дефинненс эквивалентен более привычному выра-
жению (А -> В) & (В -» А).
370
§ 2. Предварительные замечания о семантике
Релевантная модельная структура (в дальнейшем р.м.с.)
есть четверка <0, К, R, *>, в которой К, есть множество,
0 С Д’, R—тернарное отношение на К и *—унарная опе-
рация на Д', удовлетворяющая следующим постулатам.
Для того, чтобы облегчить формулировку этих постула-
тов, и для помощи в их интерпретации мы определяем
бинарное отношение < и квартернарное отношение R2 на
Д' для всяких a, b, с, d из Д' следующим образом:
dl. а < b = <jfRO ай;
d2. R2 abcd= dig x(Rabx&Rxcd&x £ Д).
dl и d2 можно пояснить так. Мы начинаем с крипкев-
ского понятия мира, достижимого из другого мира. Обобщая
это понятие для перехода, по существу, к относительному
понятию релевантности, мы вводим понятие конструкции,
достижимой из нары конструкций. Очевидно, мы могли бы
перейти к тройке конструкций, четверке и т. д. Однако
в рамках интуитивных соображений относительно со-воз-
можности, формализуемых в системе R, которая опирается
на тот факт, что совместимость, вводимая посредством D1,
является коммутативной и ассоциативной, все отношения
достижимости высших порядков оказываются определи-
мыми на основе тернарного R; таким образом, R2, вводимое
посредством d2, говорит, что конструкция d достижима из
тройки конструкций а, Ь, с или, если угодно, что а, Ь, с
со-возможны относительно d. Кроме того, уровень можно
поднять посредством тернарного относительного произве-
дения того вида, который входит в d2, но его можно и по-
низить благодаря привилегированному статусу 0; грубо го-
воря, сказать в системе R, что А совместимо с некоторым
положением вещей, означает высказать само А, и наоборот,
ROab возвращает нас к Крипке, просто утверждая, что b
достижима из а, согласно dl. В силу того, что система R
не является модальной, мы считаем <, определенное по-
средством dl, аналогичным бинарному интуиционистскому
отношению из работы Крипке [1965].
Приведем постулаты, которым (для всяких a, b, с, d
из К) должна удовлетворять р. м. с. <0, К, R, *>;
pl. ROaa;
р2. Raaa;
371
рЗ. RQabcd=±> R2acbd',
p4. R20abc=i> Rabe1;
p5. Rabc=3>Rac*b*;
p6. tz*® = o.
Мы надеемся, что в свете наших пояснительных замечаний
допустимо, что каждый из постулатов pl—рб может ока-
заться истинным. (Как уже было отмечено, изменение пос-
тулатов дает различные релевантные логики, поэтому,
конечно, могут существовать точки зрения, исключающие
тот или иной из этих постулатов. Соответственно допустимо
и все то, чего хотим мы.)
§ 3. Оценки, интерпретации, значимость
Пусть <0, К, R,*> будет некоторой р. м. с., {Т, F} —
множеством классических истинностных значений, a SL =
= <5, О, F>— пропозициональным языком, определенным
в параграфе 1. Оценка v языка SL в р. м. с. <0, К, R, *>
будет функцией, которая приписывает истинностное зна-
чение каждому параметру из S для каждой конструкции
из К и удовлетворяет тому ограничению, что учитывает
бинарное отношение достижимости <, определяемое с по-
мощью (11. Интерпретация I, ассоциированная с v, есть
единственное расширение v на все формулы F в каждой
конструкции из К, удовлетворяющее неформальной экспли-
кации, которую мы дали связкам. Формально:
a) v есть оценка SL в <0, К, R, *> при условии, что v
есть функция из S-К в {Т, F), которая для всякого р
из 5 и всяких а, b из К удовлетворяет следующему условию:
(1) a<b&v(p, а) = Т =$>v {р, Ь) = Т;
(b) 1 есть интерпретация, ассоциированная с v, при
условии, что I есть функция из FxK в {Т, F), удовлетво-
ряющая— для всякого р из 5, всяких А, В из F и вся-
кого а из А—следующим условиям:
(i) I (р, a) = v(p, а);
(ii) /(А&В, а) = Т тогда и только тогда, когда
/(А, а) = Т и /(В, а) = Т;
1 В тексте R2abcd =±> Rabe; опечатка.— Прим. ред.
372
(Ш) /(А\/ В, a) = T тогда и только тогда, когда
/(А, а) = Т или / (В, «) = Т;
(iv) / (А --> В, а) = Т тогда и только тогда, когда для
всяких Ь, с из К Rabe и /(А, Ь) = Т=>/(В, с) = Т;
(v) /(А о В, «) = Т тогда и только тогда, когда суще-
ствуют Ь, с из К, такие, что Rbca и /(А, Ь) = Т и
/(В, с) = Т1;
(vi) I (А, а) = Т тогда и только тогда, когда /(А, а*) = F.
Формула А истинна при оценке v, или при ассоцииро-
ванной интерпретации /, в точке а из К в том случае,
если I (А, а) = Т; в противном случае А ложна при v
в а2. Истина в 0, как замечено выше, является истиной,
которая включается в число верифицированных логиче-
ских истин; соответственно этому мы просто говорим, что
А верифицирована при v, или при ассоциированной /,
в том случае, когда /(А, 0) = Т, в противном случаемы
говорим, что Л фальсифицирована при v. А значима в р.м.с.
<0, К, R, *> в том случае, когда А верифицирована здесь
при всех оценках. И наконец, формула A R-значима
в том случае, когда А значима во всех р.м.с.; в против-
ном случае А — R-незначима.
§ 4. Следование
Во вводных замечаниях мы говорили о том, что, напри-
мер, физику позволительно отрицать некоторые логические
законы постольку, поскольку он рассуждает корректно.
Под этим мы понимали, что если физик утверждает А и
при этом А влечет В, то он соглашается также и с В.
Таким образом, мы приходим к следующим семантическим
понятиям.
Поскольку о был определен посредством D1, корректность
этого определения детерминируется применением (iv), (vi) и семанти-
ческих постулатов; ниже, в параграфе 10, где о добавлен в качестве
исходной связки при помощи аксиом А14, А15, условие (v) становится,
конечно, исходным семантическим постулатом.
2 Это переход к терминологии работы Мейера и Дайна [ 1969J;
заметим здесь, что если А ложна в а при V, то из этого не следует,
что А истинна в а при v; благодаря (vi) отсюда следует в соответ-
ствии с вводными замечаниями, что А истинна в а* при V.
373
Пусть <0, К, R, *> будет некоторой р. м. с., в которой v
является оценкой, а / — ассоциированной интерпретацией.
Тогда А влечет В при v при условии, что для всякого а
из К
(2) /(А, а) = Т=>/(В, а) = Т.
Мы говорим, что А влечет В в <0, К, R, *> в том случае,
когда А влечет В при всех оценках. Наконец, А R-влечет
В в том случае, когда А влечет В во всех р.м.с.
Следование есть ключевое понятие, которое мы соби-
раемся здесь эксплицировать, и нужно сказать несколько
слов о том, как мы его понимаем. Прежде всего, сле-
дование здесь является семантическим отношением между
предложениями; впоследствии, когда мы добавим к R необ-
ходимость и рассмотрим стрелку системы Е, у нас будут
средства для рассмотрения связки следования *, но в дан-
ный момент наша система слишком бедна для выражения
утверждения о том, что А влечет В в каком-либо смысле.
Действительно, при отсутствии единства в нашей терми-
нологии лучше было бы говорить об импликации при v,
или в <0, К, R, *>. Но как классическая доказуемость
формулы А В классически указывает на то, что А клас-
сически влечет В, точно так же, как мы увидим, доказуе-
мость А —В R указывает, что А R-влечет В в только
что определенном смысле, то есть в самом общем смысле
слова “влечет": всегда, когда А истинна, В истинна. Во-
вторых, следование при оценке—и отсюда следование
в некоторой р.м.с.—нельзя отождествлять со следованием
в его логическом смысле; эти понятия скорее характери-
зуют все сохраняющие истинность аргументы в специфи-
ческих контекстах; однако, принимая во внимание все
интерпретации и все р. м. с., мы приходим к желаемому
логическому понятию.
Теперь мы хотим соотнести следование и верификацию.
Наши замечания о привилегированном статусе 0 совер-
шенно корректно говорят, что А —* В является R-значимой
тогда и только тогда, когда А R-влечет В, и—более спе-
* Эта гипотеза авторов не подтвердилась. Г. Е. Минц привел
контрпример. Формула (р —> .q —> г) & (q —* р\/г) —* q—* г доказуема
в RN с модальными операторами, но не доказуема в Е. Семантическое
обоснование недоказуемости этой формулы дано Л. Л. Максимовой
(“Bulletin of the Section of Logic”, Wroclaw, 1973, vol. 2, № 1).—
Прим. ped.
374
циально—что при оценке v в некоторой р. м. с. А влечет
В при v тогда и только тогда, когда А —» В верифициро-
вана (то есть истинна в 0) при v. Эти вещи доказываются
непосредственно; в свете сказанного можно сделать заме-
чание о том, что главная роль 0 и относящихся к нему
постулатов заключена в том, что мы хотим знать в общем,
какие предложения являются логически истинными, а не
просто то, какие предложения специальной формы А —» В
истинны. Тем не менее первая проблема может быть све-
дена ко второй, когда 0 и связанный с ним аппарат де-
лаются теоретически несущественными.
Для того чтобы показать, что следование сводится к ве-
рификации, мы докажем сначала некоторые наиболее важ-
ные леммы. В дальнейшем пусть А, В, С будут произволь-
ными формулами, <0, A, R, *>—произвольной релевантной
модельной структурой, а и b—членами К, v—оценкой SL
в <0, К, R, *> и / будет интерпретацией, ассоциирован-
ной с V.
Лемма 1. а<Ь и /(А, а) = Т => I (А, Ь) = Т.
Доказательство проводится индукцией по длине
формулы А. Ограничение (1) на с. 372 обеспечивает спра-
ведливость леммы для базисного случая. Аргументация,
использующая индуктивное предположение, тривиальна,
когда главными связками являются & или V- Поскольку о
является связкой, вводимой по определению, остается рас-
смотреть всего два случая: (а) если А имеет форму В, то
если Ь>а и /(А, а) = Т, по рб, Ь* < а*, и поэтому, по
(vi), I (В, cz*) = F. Отсюда, по индуктивному предположе-
нию, 1 (В, b) = F и, следовательно, /(А, Ь) = Т; (Ь) если
А имеет форму В —► С и /(А, я) = Т, то, согласно (iv),
это означает, что если I (В, d) = T и Racic, то/(С, с) = Т
для любых d, с из К- Предположим затем, что а < b,
/(В, d) = T и Rbdc. Согласно сП и d2, R20adc, откуда, по
р4, Rac/c, и отсюда, по предположению, I (С, с) = Т; сле-
довательно, по (iv), / (А, Ь) = Т, что и завершает доказа-
тельство леммы 1.
Лемма 2. А влечет В при v=>A В верифициро-
вана при V.
Доказательство. Предположим, что для всякого с
из А если 1 (А, с) = Т, то /(В, с) = Т. Мы должны пока-
зать, что / (А —В, 0) = Т. Для произвольных а, b из К
375
допустим, что 7(А, а) = Т и RCtafr. Согласно dl, а<_Ь.
По лемме 1, /(А, Ь) = Т. По предположению, I (В, Ь) = Т,
что благодаря (iv) дает нам нужный результат.
Лемма 3. А —* В верифицирована при v=$> А влечет
В при V.
Доказательство. Предположим, что для всяких
а, Ъ из К, если RCtab и I (А, а) = Т, то 7 (В, Ь) = Т. При-
меняя dl и pl, получаем, что А влечет В при v.
Теорема, связывающая следование и верификацию, под-
готовлена.
Теорема 1. А влечет В при v тогда и только тогда,
когда А —* В верифицирована при v. Поэтому А влечет
В в <0, К, R, *> тогда и только тогда, когда А —> В
является значимой, и A R-влечет В тогда и только тогда,
когда А —* В R-значима.
Доказательство: согласно определениям и лем-
мам 2 и 3.
§ 5. Семантическая непротиворечивость R
(адекватность постулатов)
В этом параграфе мы покажем, что каждая теорема R
является R-значимой. Сохраняются обозначения § 4, и мы
вновь доказываем некоторые предварительные леммы.
Л ем м а 4. Если А является аксиомой R, то 7 (А, 0) = Т.
Доказательство. В силу того, что каждая из
аксиом R имеет форму В —- С, для каждой такой аксио-
мы, согласно лемме 2, достаточно показать, что (а) если
7 (В, а) = Т, то 7 (С, а) = Т. Поэтому для каждого при-
мера А1—А13 мы принимаем антецедент (а) и доказываем
его консеквент. А1—тривиальна. Для А2 достаточно по-
казать, что если А и А —► В истинны при v в точках
а и Ъ соответственно и если Rabe, то отсюда следует,
что С истинна в с; ввиду того, что Rabe => R20abc =>
=> R20bac=$ Rbac, согласно pl, рЗ и р4, С действительно
истинна в с, что и верифицирует А2. Для АЗ достаточно
показать, что если А —>- В истинна в а и Rabe и если
В —>С истинна в b и Rede и А истинна в d при оценке v,
то С истинна в е\ но если Rabe и Rede, то, по d2, R2«bde
876
и, по рЗ, R2adbe, откуда если / (А —В, a) = l (A, d) =«
= I (В —>С, Ь) = Т, то, по d2, существует х в К, такой,
что I (В, х) = Т и Rxbe. Следовательно, Rbxe (см. вери-
фикацию А2) и С истинна в е, что и верифицирует АЗ.
Для А4 предположим, что / (А —> (А —* В), п) = Т и
/(А, Ь)==Т и Rabe, покажем, что /(В, с) = Т. Но Rabc=>
=> Rbac, как и выше, откуда, по р2 и d2, R2btac; по рЗ,
R2babc, применяя d2 и коммутацию, снова получаем R2abfcc,
откуда, по предположению, d2 и iv получаем, что I (В, С) =
=Т, что верифицирует А4.
Аксиомы для конъюнкции и дизъюнкции верифици-
руются тривиально, если дана характеристика (Ь) того,
что считается интерпретацией. Рассмотрим, например, А7.
Примем, что А —* В и А—>-С—обе истинны в а; пока-
жем, что А —> В&С также истинна в а. Предположим,
что I (A, b) = Т и Rabe, и покажем, что В&С истинна
в с. Но, по предположению, / (А —> В, а) = 1 (А —> С, а) = Т,
откуда / (В,с) = /(С,с) = Т и, по (ii) нас. 372,1 (В&С, с) = Т,
что и требовалось доказать. Верификация других аксиом
из числа А5—АН является аналогичной.
Для верификации А12 предположим, что А—* В ис-
тинна в а. Покажем, что В —> А истинна в а. Предполо-
жим, что Rabe и В истинна в Ь‘, покажем, что А истинна
в с, то есть что 1 (А, с*) = F. Для приведения к абсурду
предположим, что /(А, с*)=Т; по р5, Rac*b* и, следо-
вательно, I (В, Ь*) = Т, так как А —> В истинна в а. По-
этому /(В, t>**) = F, по (vi), и отсюда, по рб, 1 (В,b) = F —
противоречие. Аналогично А13 верифицируется путем
допущения, что А истинна в а, следовательно, А ложна
в а*, поэтому А истинна в а**, отсюда, по рб, А истин-
на в а. На этом доказательство леммы 4 заканчивается.
Для того чтобы рассмотреть варианты основной логи-
ки, важно исследовать, что от чего зависит в доказатель-
стве леммы 4. Из постулатов только р4 существенно входит
в верификацию А1 и аксиом для конъюнкции и дизъюнк-
ции благодаря своей роли в доказательстве леммы 1. Сле-
дует заметить, что постулаты для отрицания р5 и рб
существенно входят только в верификацию аксиом для
отрицания; если нужно, эти постулаты могут быть ослаб-
лены так, что будут давать другую теорию отрицания,
например интуиционистски приемлемую при отсутствии
377.
A13. Весь постулат рефлексивности р2 входит в верифи-
кацию аксиомы сокращения А4; устранение постулата
приводит к устранению аксиомы, и наоборот. И наконец,
рЗ, называемый Данном „законом Паша", поскольку его
аналог в форме известного постулата был введен в гео-
метрию Пашем (где Rabe означает „с находится между
а и Ь“), оказывается нужным при верификации аксиомы
транзитивности АЗ; другое его использование может быть
заменено, как видно из доказательства леммы 4, более
слабым постулатом.
Чтобы закончить доказательство того, что наши посту-
латы адекватны, нужно еще показать, что R1 и R2 со-
храняют верифицируемость; мы доказываем несколько
больше, начиная с определения. Пусть <0, /<, R, *> есть
р. м. с., аСК и v—произвольная оценка в <0, К, R, *>;
тогда теория, детерминируемая посредством v в а—сим-
волически Т (у, а), — будет множеством предложений, ис-
тинных в а при v; регулярная теория, детерминируемая
посредством v, будет множеством предложений, верифи-
цированных при v, то есть Т (v, 0), что в дальнейшем
мы сокращаем как Т (v).
Лемма 5. Множество предложений Т {у, а), истин-
ных при v в а, замкнуто по введению конъюнкции, то есть
если А, В £ Т (v, а), то А&В С Т (v, а). Соответственно
множество предложений Т (v), верифицированных при v,
замкнуто по введению конъюнкции.
Доказательство: непосредственно из определе-
ний.
Лемма 6. Т (у, а) замкнуто по следованию при v,
то есть если А £ 7 (v, а) и А —В £Т (v, а), то В £ Т (v, а).
Соответственно Т (v) замкнуто по модус поненс.
Доказательство: непосредственно из определений
и теоремы 1.
Лемма 7. Т (у, а) замкнута по модус поненс, то есть
если А СТ (v, а) и А —+ В С. Т (v, а), то В С Т (у, а). Соот-
ветственно Т (v) замкнута по модус поненс.
Доказательство: непосредственно из определений
и р2.
Теорема 2. Регулярная теория Т (у) предложений,
верифицированных при v, для всякой релевантной модель-
378
ной структуры и всякой оценки содержит все теоремы R.
Соответственно, семантика, развитая выше, адекватна
для R в том смысле, что все теоремы R являются R-зна-
чимыми.
Доказательство. Если Т (v) такова, как утверж-
дается в этой теореме, то, по лемме 4, она содержит все
аксиомы R и, по лемме 5 и лемме 6 (или 7), замкнута
по введению конъюнкции и модус поненс. Поэтому все
теоремы R принадлежат к Т (v) для произвольной v и
произвольной р. м. с. Следовательно, некоторая R-теоре-
ма А принадлежит ко всякой такой Т (v), в которой она
R-значима.
§ 6. Предварительные замечания о полноте:
теория интенсиональных теорий
Пусть пропозициональный язык SL = <S, О, F> будет
таким же, как в § 1. Подмножество Т из F является
интенсиональной ^-теорией, если Т замкнуто по введе-
нию конъюнкции и если всегда, когда А С Т и А —> В
является теоремой R, В g Т. (Последнее условие вводит
замыкание по R-следованию в синтаксическом смысле,
которое, как мы должны доказать, совпадает с R-следо-
ванием, охарактеризованным семантически.)
Пусть Т будет интенсиональной R-теорией. Т явля-
ется простой, если AVB^T, то AgT или Bg7\ Т ре-
гулярна, если она содержит все теоремы R \ и непро-
тиворечива, если не содержит отрицания некоторой тео-
ремы R?. И наконец, Т является нормальной, как в ра-
боте Мейера и Данна [1969], если она регулярна, непро-
тиворечива и проста. Мы замечаем, что нормальность
влечет непротиворечивость и полноту в обычном класси-
ческом смысле.
Связь с идеями предыдущего параграфа может быть
установлена следующим образом.
1 То, что называется здесь регулярной теорией, в предыдущих
публикациях—например, в работах Мейера и Данна [1969] и Мейера
и др. [1972] — было названо теорией.
2 Так как А&А является теоремой R, то из двух формул А, А
Лишь одна может принадлежать непротиворечивой теории.
379
Лемма 8. Пусть v будет оценкой в некоторой р. м. с.
<0, К, R, *> и пусть а С Д'. Тогда теория Т (у, а), де-
терминируемая посредством v в а, будет интенсиональ-
ной R-meopueif, кроме того, Т (у, а) является простой.
Если 0 < а, то Т (v, а) регулярна, в частности, Т (v)
будет регулярной. И наконец, достаточным условием для
того, чтобы Т (v) была нормальной, является тот факт,
что 0 < 0* имеет место в <fi, К, R, *>, где (определено
выше посредством d 1.
Доказательство. По лемме 5, Т (v, а) замкнута
по введению конъюнкции. Предположим, что А £ Т (у, а)
и А-+ В есть теорема R. Согласно теореме 2, А влечет
В при v и, по лемме 6, В £ Т (v, а). Поэтому Т (v, а)
является интенсиональной R-теорией. Кроме того, благо-
даря условиям рекурсивности, наложенным на v, Т (у, а)
является простой.
В силу того что, по теореме 2, все теоремы R вери-
фицированы при у, если 0 < а, то, по лемме 1, все
теоремы R истинны при у в а; поэтому если 0 < а,
то Т (у, а) будет регулярной. И наконец, предположим,
что 0 < 0*. По р2, R0*0*0* всегда имеет место, откуда,
согласно р5—рб, R0*00, и, произведя коммутацию по
рЗ — р4, получим R00*0, то есть 0* < 0 имеет место во
всех р. м. с. Затем, согласно предположению, Т (у) =
— Т(у, 0) = Т(у, 0)* в силу леммы 1; то есть одни и
те же формулы истинны в 0 и 0* при v. Поскольку все
теоремы R истинны в 0 при у, они, согласно предположе-
нию, все истинны также и в 0*, следовательно, отрицания
теорем не истинны в 0. Этого достаточно для непротиво-
речивости Т (v), и, поскольку Т (у) всегда регулярна и
проста, 0 < 0* влечет, что Т (v) является нормальной,
что и завершает доказательство леммы.
Теперь мы обратимся к развитию исчисления интен-
сиональных R-пгеорий. Пусть Ж будет совокупностью всех
интенсиональных R-теорий. Мы определяем операцию о
на Ж, устанавливая для всех S, Т из Ж, что SoT равно
множеству формул U, такому, что C£f7 тогда и только
тогда, когда существует А в S и В в Т, такие, что
АоВ —С является теоремой R, то есть SoT =
= {С:ЗАЗВ (А С S&B С Т) HrAoB —» С}. Под исчислением
интенсиональных R-теорий мы понимаем структуру 3% —
<== <<%’, S, о, 0>, где SK и о были только что определены.
380
О есть множество теорем R, a s — теоретико-множествен-
ное включение.
Лемма 9. Определенное выше исчисление SK интен-
сиональных R-теорий является частично упорядоченным
коммутативным моноидом-, то есть о коммутативна и
ассоциативна и 0 является тождеством относительно о;
далее для всяких а, Ъ,спзЯ если a sb, то aocsboc.
Кроме того, в SK отсутствуют степени, то есть а о
а = а.
Доказательство. Сначала мы верифицируем, что
о является операцией на SK, то есть что если a, b£
то aob^ffl. Тривиально, что aob замкнуто по доказуе-
мому R-следованию. Чтобы показать, что оно замкнуто
по введению конъюнкции, предположим, что С и D обе
принадлежат к aob. Тогда имеются Л, А' в а и В, В'
в Ь, такие, что А о В —» С и А'оВ'—являются теоре-
мами R, откуда (А о В) & (А'оВ') —> C&D будет теоремой R,
согласно элементарным свойствам конъюнкции. Но легко
показать, что (А&А') о (В&В') —» (А о В) & (А'оВ') также
является R-теоремой; антецедент, очевидно, находится
в а о b благодаря замыканию а, b по введению конъюнк-
ции; откуда, по транзитивности и замыканию aob по
доказуемому R-следованию, С & D £а ob, из чего видно,
что aob есть интенсиональная R-теория.
Коммутативность и ассоциативность о как операции
на легко получаются из тех же свойств о как связки R.
То, что 0 о а содержит а, очевидно, так как если А^а,
то это R-эквивалентно (А —> А) о А С 0 о а, и наоборот,
если Bf Оо а, то в а существуют R-теоремы С и А такие,
что С о А —* В доказуема в R, поэтому (так как для о
имеет место экспортация) А —В является теоремой R,
следовательно, В£а. Свойство монотонности о при S и
свойство отсутствия степеней опять-таки очевидны. По-
следнее обусловлено тем, что замкнутость по & влечет
замкнутость по о для R-теории благодаря теореме А&В—>
—г-АоВ из R, что и завершает доказательство лем-
мы 9.
Пусть Т будет любой регулярной интенсиональной
R-теорией. Пусть интенсиональная Л-теория будет любым
множеством формул пропозиционального языка SL, кото-
рое замкнуто по введению конъюнкции и Т -следованию,
то есть таким, что а будет интенсиональной Т-теорией,
381
если а является интенсиональной R-теорией и, кроме того,
если А —> В g Т и Aga, то В g а. Исчисление интенсио-
нальных Т-теорий <_^Т, S, о, 0г> дня регулярной
R-теории Т определяется установлением того, что ЗКТ
равно множеству всех интенсиональных Т-теорий и при
этом Т есть 0г, а о и определены так, как это сде-
лано выше.
Лемма 10. Если Т является регулярной R-теорией,
то определенное выше исчисление 3%Т является под-полу-
группой Ж и, следовательно, частично упорядочено, ком-
мутативно и не имеет степеней в смысле леммы 9; кроме
того, $КТ есть моноид с тождеством 0г.
Доказательство. Так как все Т-теории являются
R-теориями, то ясно, что Для того чтобы пока-
зать, что Ч£ч есть под-полугруппа и, следовательно, ком-
мутативна, ассоциативна, частично упорядочена и не имеет
степеней, достаточно показать, что замкнута по о.
Предположим, что а и b принадлежат Мы должны
показать, что aob замкнуто по Т-следованию, то есть что
если С g а о b и С —> D g Т, то Dgaob. Но если С g а о Ь,
то имеется А в а и В в Ь, такие, что А о В -+С является
теоремой R. Затем, по транзитивности, А о В —D g Т
(так как она есть R-следствие формулы С—» D). Благо-
даря экспортации А —>- (В —> D) принадлежит к Т, откуда,
согласно замкнутости а по Т-следованию, В—>Dga.
Тогда (В —> D) о В принадлежит к aob, по определению;
но это R-влечет D, следовательно, Dgaob, что и требо-
валось доказать.
Чтобы показать, что 0г есть тождество, заметим, что
так как Т регулярно, как и прежде, имеет место a s
сг а о 0г. Предположим, что В g а о 0г. Тогда имеются А
в а и С в Т, такие, что А о С —В является теоремой R.
Но в таком случае, используя экспортацию, получаем
А —»- В g Т, что благодаря замкнутости а по Т-следованию
дает Bga. На этом доказательство леммы 10 заканчи-
вается.
Под р+ м. с. будем понимать структуру <0, К, R>,
в которой К есть множество, 0 g К и R —тернарное отно-
шение на К, удовлетворяющее pl—р4. (Очевидно, что
все р. м. с. будут р+ м. с., так как первые получаются
из последних посредством добавления знака и связан-
ного с ним аппарата, но не наоборот.) Пусть М = <Л4,
882
о, 0> будет любым коммутативным, частично упорядочен-
ным, не имеющим степеней моноидом в смысле лемм 9
и 10, то есть о является коммутативной и ассоциативной,
0—тождеством, —частичным упорядочением, удовлетво-
ряющим а^.Ь=$> ао с ^.Ь о с и аоа^а. Под р+м. с.,
ассоциированной с М, мы понимаем структуру <0, М, R>,
определенную тем, что 0 равен тождеству М, М рассма-
тривается как фундаментальное множество М, a R является
тернарным отношением на М, таким, что Rabe имеет место
тогда и только тогда, когда aob^c в М. Тогда:
Лемма 11. Если есть коммутативный, не имеющий
степеней частично упорядоченный моноид, то р+ м. с.
<0, М, R>, ассоциированная с М, удовлетворяет pl—р4.
Кроме того, для любых a, b, с, d из М, а <Ь в <0, М, R>
тогда и только тогда, когда а^.Ь в М, и R2abcd тогда
и только тогда, когда aob ос ^.d в М, что дает интер-
претацию сП и d2. В частности, исчисления леммы 9
и леммы 10 ассоциированы с р+ м. с. <0, F?, R> и
<0г, &СТ, Rr> соответственно.
Доказательство. Пусть М и тернарное отноше-
ние R будут таковы, как было охарактеризовано выше.
Тогда ROab тогда и только тогда, когда Q о а — а^.Ь,
что оправдывает dl. R2abcd тогда и только тогда, когда
существует х в М, такой, что aob<lx и xoc^d. Но
в этом случае условие монотонности моноидов дает
а о Ь о с ^х о с ^.d, что дает интерпретацию d2 в одном
направлении; и, наоборот, пусть aob = x. Тогда посту-
латы выполняются следующим образом: pl — в силу того,
что а^а в любом частичном порядке; р2—благодаря
условию отсутствия степеней аоа^а на М; рЗ—в силу
коммутативности и ассоциативности о; р4 — поскольку 0
есть тождество М. Таким образом, <0, , R> и <0r, ЗКТ, RT>
являются р+ м. с. для регулярных интенсиональных R-тео-
рий Т, так как, согласно леммам 9 и 10, соответствующие
исчисления теорий удовлетворяют условиям, налагаемым
на М. На этом доказательство леммы 11 заканчива-
ется.
Развитие исчисления интенсиональных теорий выводит
нас на главный путь доказательства полноты наших се-
мантик. Остаются еще два препятствия. Во-первых, про-
извольная интенсиональная R-теория не обладает доста-
точной различительной силой относительно дизъюнкции;
383
во-вторых, -|- естественным образом не является операцией
на всех 3% или на различных ЗКТ. Эти две проблемы
мы решим в следующем параграфе, перейдя к простым
теориям.
§ 7. Семантическая полнота системы R:
простые интенсиональные теории
Пусть Т будет простой регулярной R-теорией, а <0т,
3%т, Rr>— р+ м. с., ассоциированной с Т по лемме 11.
Пусть 3^'т будет подмножеством состоящим из всех
простых интенсиональных теорий в a Rr—ограни-
чением RT до З^т- Тогда:
Лемма 12. Пусть Т будет простой регулярной
интенсиональной R-теорий и пусть 3%'г и R? таковы,
как определено выше. Пусть (\ будет Т. Тогда <0Д 3%'т,
Ry> удовлетворяет pl—р4, то есть является р+ м. с.
Доказательство. Поскольку 0J = Т = 0г и по-
скольку Ry является ограничением Rr до подмноже-
ства 3%'т множества 3%т, постольку условия pl, р2 и р4
выполнены в <0г, 3T'r, Rt> вследствие того, что они вы-
полнены в <0r, 3VT, Rr>. Таким образом, только вери-
фикация закона Паша, рЗ, может представлять трудности,
так как он содержит экзистенциальное утверждение о том,
что если R2Tabcd, то в 33'т существует х, такой, что
RTocx и RzxM. Проблема заключается в том, что хотя
такой х безусловно принадлежит к ЗКТ—согласно лемме 11,
йос само будет принадлежать к ЗКТ—нет гарантий, что
существует простая теория х, исполняющая функцию по-
средника, требуемая условием рЗ. Оставшаяся часть до-
казательства леммы 12 состоит в нахождении таких
гарантий.
Предположим, что Rj-abcd. Согласно тому, что было
сказано выше, вЗКТсуществует х, такой, что Rracx и RTxbd;
мы покажем, что в ЗКт существует х', такой, что R'Tacx'
и R'Tx'bd, из чего вытекает R'Tx’bd, что и верифицирует рЗ.
В любом случае, согласно определению R и, следова-
тельно, Rr на 3%Г, существует максимальная Т-тео-
рия х’, удовлетворяющая условию: (1) х < х’ и RTx’bd
в <0г, 3tfT, Rr>. Поскольку само х удовлетворяет усло-
вию (1), легко видеть, что объединение совокупности
384
интенсиональных Т-теорий, удовлетворяющих условию (1)
и упорядоченных посредством е, само является интен-
сиональной Т-теорией, удовлетворяющей (1), из чего,
согласно лемме Цорна, можно заключить, что существует
интенсиональная Т-теория х', включающая х и такая,
что х о b ^=d, в то время как собственные расширения
множества х не являются интенсиональными Т-теориями,
удовлетворяющими (1).
Остается показать, что х' является простым. Предпо-
ложим, что это не так. Тогда имеется формула А V В,
такая, что А V В(£х', А(£х' и В(£х'. Пусть [х', А] и
[х', В] будут соответственно множествами формул D,
такими, что существует член х'—С, такой, что С&А—»-
* D, С & В —D являются членами Т. Легко видеть,
что [х', А] и [х', В] — расширения множествах', замкну-
тые по введению конъюнкции и Т-следованию; соответ-
ственно, они представляют интенсиональные Т-теорпи,
которые благодаря максимальности х' не удовлетворяют
условию (1). Поэтому ни [х', А]оЬ, ни [х', В]оЬ не
является подмножеством d. Соответственно, существуют
формулы Е в Гх', А] и F в Ь, такие, что |— Е о F —► D,
R
но D(£d; кроме того, согласно определению [х',А], имеется
формула С в х', такая, что С&А —«-Е£Т, откуда, по
экспортации и на основании регулярности Т, Е —>-
—>(F —>-D) £ 71 и, по введению конъюнкции, транзитив-
ности и импортации о, (С & А) о F ►—> D С Т. Аналогично
этому имеются формулы С' в x,'F' в b и формула D',
не находящаяся в d, такие, что (С' & В) о F' —► D' С Т.
В силу того что Т замкнута по введению конъюнкции,
можно использовать элементарные синтаксические аргу-
менты для того, чтобы показать, что формула (С & С' &
& (А V В)) о (F & F') —>- D V D' принадлежит к Т, и из
того, что С&С'&(А\/В) принадлежит к х', F&F'—
к b и x'obsd, можно заключить, что D V D'gd. Но d
является простым, поэтому либо t)£d, либо D' £ d в про-
тивоположность нашему выбору D и D' так, чтобы они
не были членами d; гипотеза о том, что х' не является
простым, оказалась несостоятельной, поэтому мы заклю-
чаем, что х' будет простым и что, следовательно, х'С.%7
(наряду с a, b, с, d).
Теперь мы должны показать, что R.'Tx'bd, R.racx и
RrOrxx'. Согласно рЗ — р4, Втасх', что—в силу простоты
385
а, с, x'—дает R'Tacx', поэтому, no d2, R'/acbd, что и за-
канчивает верификацию рЗ и доказательство леммы 12.
Лемма 12 позволяет нам при образовании SK? устра-
нить из SKT все, кроме простых теорий. Она также позво-
ляет нам иметь дело с отрицанием, так как операция *
может быть естественно определена на Действительно,
если а является простой интенсиональной теорией, то
пусть а* будет множеством всех формул А, таких, что А
не принадлежит к а, символически а* = {А:А(£а}. Тогда:
Лемма 13. Пусть Т будет простой интенсиональ-
ной теорией, и пусть р+ м. с. <0?-, fflr, R:r> будет такой
же, как в лемме 12. Пусть * определена так, как выше, и
пусть *' будет ее ограничением до &t'T. Тогда <0Д ЗК'т,
Rr, *'> есть р. м. с.
Доказательство. Мы должны показать, что (а)
применение *' к членам не выводит за пределы 3%'г и
что (Ь) р5 — рб выполнены, ибо оставшаяся часть леммы
следует из леммы 12. При доказательстве (а) мы сначала
показываем, что применение * к простым теориям дает
простые теории; во-вторых, что если а замкнуто по Т-сле-
дованию, то замкнуто и а*. Предположим тогда, что а
является простой теорией, что A(Ja* и что А —* В есть
теорема R. Для сведения к абсурду предположим, что
В ft а*. Тогда В£п, откуда, по контрапозиции и замкну-
тости а по доказуемому R-следованию, получаем Aga,
что противоречит предположению о том, что А б а* и по-
казывает замкнутость а* по доказуемому R-следованию.
Для того чтобы показать, что а* замкнуто по введению
конъюнкции, предположим, что А, В С а*, но что для
приведения к абсурду А&В^а*. Тогда А & В £ неоткуда
согласно законам де-Моргана и простоте а, либо А, либо
В принадлежит к а в противоположность предположению
о том, что А и В находятся в а*. И наконец, покажем,
что а* является простой: если ни А, ни В не принадле-
жат к а*, то А, В—обе находятся в а, откуда благодаря
введению конъюнкции и законам де-Моргана следует, что
А V В находится в а и А V B(£a*. С другой стороны,
если А V В С а*, то А £ а* или В £ а*. Это завершает до-
казательство того, что если а является простой интен-
сиональной теорией, то такой же будет и а*. И последнее:
386
если а замкнута по Т-елсдопашно, Л принадлежат к а*
и А —> В Т и если В не находи к я и </*, то В и, сле-
довательно, А принадлежит, как и прежде, к а и Л не
принадлежит к а*, что опять-таки абсурдно. Таким обра-
зом, пункт (а) доказан: применение *' к членам Н'т не
выводит за пределы Н'т.
Верификацию пункта (Ь) мы начинаем с р.6. А£а**
тогда и только тогда, когда А (£ а*; последнее имеет место
тогда и только тогда, когда А С а, что в свою очередь имеет
место тогда и только тогда, когда А С « — в силу двойного
отрицания, если а является интенсиональной R-теорией.
Для верификации р5 предположим, что R'7a/;c. Согласно
определению Ry, а о b = с. Предположим, что D С а о о*; мы
покажем, что D£b*. Допустим, что это не так; тогда
D С Ь. Благодаря тому, что D С а о с*, имеется формула А
в а и формула Еве*, такие, что (—• А о Е —>- D, что по
__ _ R
контрапозиции дает |— D —>- (А —>- Е). Так как b замкнуто
R __
по доказуемому R-следованию, А —► Е С Ь\ следовательно,
А о (А —>- Е) С а о s с. Но из А о (А —>- Е) доказуемо R-
следует Е, что дает Eg с, то есть ЕС с*—противоречие.
Эго показывает, что имеет место а о с* s b*, и следова-
тельно, на основании определения, R'Tac*b*, что и закан-
чивает верификацию р5 и доказательство леммы 13.
Практически мы уже получили семантическую полноту.
Если Т есть любая регулярная простая Интенсиональная
R-теория, то пусть <0г, Н'т, Rr, *'>, ассоциированная с
Т по лемме 13, называется Т-канонической р.м.с. Н'т.
Т-каноническая оценка v7 будет функцией, которая при-
писывает для каждого пропозиционального параметра р
и каждой простой Т-теории а в Н'тхт(р, а) = Т тогда и
только тогда, когда р£а. Короче говоря, vT делает па-
раметр истинным в теории тогда и только тогда, когда
этот параметр находится в теории; мы покажем, что это
имеет место для всех формул.
Лемма 14. Пусть Т, vr и Н'т таковы, как сказано
выше, и пусть 1 будет интерпретацией в р.м.с. Н'Т,
ассоциированной с Т-канонической оценкой vT. Тогда для
каждой формулы А пропозиционального языка SL и для
всякого а в Н'т /(А, а) = Т тогда и только тогда, когда
К^а. (Короче, в записи лемм 5—7, Т(уТ, а)=а.)
387
Доказательство. По индуктивному предположен
нию для любого а из Н'т лемма имеет место для всякой
формулы А, в которой встречается меньше, чем k, связок,
и мы показываем, что это продолжает иметь место для
произвольной формулы А и любого а в том случае, когда
число логических связок в А равно k. Для случая, когда
k = 0, это очевидно по определению vr. Когда k > О,
имеется четыре случая в зависимости от того, какая
связка является главной в формуле А.
Случай 1. А есть В&С. Тогда /(В&С, а) = Т тогда и
только тогда, когда /(В, а) = / (С, а) — Т, тогда и только
тогда, когда (на основе индуктивного предположения)
В С а и С £ а, тогда и только тогда, когда В&С С «•
Случай 2. А есть В\/С. /(В\/С, а) = Т тогда и
только тогда, когда / (В, а) = Т или /(С, а) = Т, тогда
и только тогда, когда (на основе индуктивного предполо-
жения) В£п или С С а, тогда и только тогда, когда
В\/С€а (так как а является простой).
Случай 3. А есть В. /(В, а) — Т тогда и только
тогда, когда /(В, a*) = F, тогда и только тогда, когда
(на основании индуктивного предположения) В(£а*, тогда
и только тогда, когда Вт£а.
Случай 4. А есть В—>С. /(В—>С, а) = Т тогда
и только тогда, когда для всяких Ь, с из 1Тт, если
дано R'y-abc и 1 (В, />) = Т, то /(С, с) = Т, тогда и только
тогда, когда (на основе индуктивного предположения) (1)
для всяких Ь, с из Н'т если дано R'Tabc и В£Ь, то С С с.
Мы должны показать, что (1) имеет место тогда и только
тогда, когда (2) В—>С£а.
Мы вспоминаем, что R'Tabc означает, что а о b s с в
исчислении интенсиональных R-теорий. Соответственно,
то, что (2) влечет (1), тривиально, так как если В—>С
находится в а и В находится в Ь, то (В -+С) о В нахо-
дится в aob и, следовательно, в с при данном aobsc.
Но формула (В—>-С)оВ доказуемо R-влечет С, откуда
Cgc, так как с есть интенсиональная R-теория.
Для того чтобы показать, что (1) влечет (2), достаточно
применить максимизирующий аргумент леммы 12. Пред-
положим, что В —> С С а- Мы показываем, что существуют
Ь, с из Н’т, такие, что R.'Tabc, В£Ь и С(£с; тогда по
контрапозиции отсюда следует, что (1) влечет (2).
388
Если В—>С(£а, то благодаря двойному отрицанию и
определению о, BoCga*. Пусть [В], [С] будут множест-
вами формул, которые являются Т-следствиями В и С
соответственно. Ясно, что они будут интенсиональными
Т-теориями и [В]о[С]ео*, так как мы можем принять,
что а и, следовательно, о* есть простые интенсиональные
Т-теории. Но если о* является простой, то, согласно
лемме 12, мы можем найти простые интенсиональные Т-
теории b и d, такие, что [В] sb, [C]sd и bod<=a*, и,
используя аргумент, верифицирующий р5 и рб, получаем
aob^d*. Принимая с в качестве d*, получаем R'Tabc и
В£Ь; кроме того, С не находится в с — d* вследствие
того, что C£d = c*. А это как раз то, что требовалось;
следовательно, мы закончили верификацию случая 4 и
доказательство леммы 14.
Лемма 14 сводит проблему доказательства полноты
для R к проблеме доказательства того, что каждая не-
теорема не принадлежит к регулярной простой R-теории.
Это было доказано уже в работе Мейера и Данна (1969),
однако с целью полноты изложения мы приведем здесь
это доказательство.
Лемма 15. Пусть А будет не-теоремой системы R
релевантной импликации. Тогда существует простая ре-
гулярная 'R-теория, не содержащая А.
Доказательство. Согласно предположению, мно-
жество теорем является регулярной R-теорией, не содер
жащей А. Упорядочивая множество всех регулярных
R-теорий, не содержащих А, посредством теоретико-мно-
жественного включения, мы обнаруживаем, что каждая
цепочка в этом множестве ограничена его объединением
и, следовательно, по лемме Цорна, существует максималь-
ная регулярная R-теория, не содержащая А. Назовем ее
теорией Т. Если BVCgT, В^Т и С(£ Т, то вследствие
максимальности Т R-теории [7, В] и [7, С], образован-
ные так, как в доказательстве леммы 12, обе содержат
А, откуда, согласно элементарным свойствам дизъюнкции
и конъюнкции, вытекает, что 7 содержит А. Последнее
невозможно, что и завершает доказательство леммы.
Полнота формулируется в следующей теореме.
Теорема 3. Система R релевантной импликации
389
семантически полна в том смысле, что все ^-значимые
формулы являются теоремами.
Доказательство. Проведем рассуждение по конт-
рапозиции. Допустим, что формула А системы R не
является теоремой R. Мы доказываем, что А незначима.
Действительно, если А не теорема, то, по лемме 15, су-
ществует регулярная простая R-теория 7’, такая, что
А(£7\ Рассмотрим затем Т-каноническую р.м.с. «У?-,
/Д, Rr. **>» получаемую по лемме 13. Согласно лемме 14,
Т(уТ, а) = а для каждого члена а из Н’Т, где vT есть
Т-каноническая оценка; в частности, множество Т (vr)
формул, верифицированных при vr, есть, таким образом,
0г, то есть само Т. Поэтому А, в частности, не верифи-
цировано при vT и, следовательно, является R-незначи-
мой. На этом заканчивается доказательство теоремы 3 и
соответственно семантической полноты R.
§ 8. Нормальные релевантные семантики:
гамма принцип
В работе Мейера и Данна [1969] и других работах
было затрачено много усилий для того, чтобы показать,
что, когда А и А\/В являются теоремами R (или близкой
системы), тогда и В будет теоремой R. Обоснование этого
принципа, известного со времен Аккермана как у, по-
требовало сложной аргументации в работе Мейера и
Данна [1969], но здесь это может быть сделано проще.
Пусть <0, К, R, *> будет некоторой р.м.с. Будем на-
зывать <0, Д', R, *> нормальной при условии, что выпол-
нен следующий постулат:
р0. 0 = 0*.
Благодаря лемме 8 мы замечаем, что множество фор-
мул, верифицированных при некоторой оценке в нормальной
р.м.с., образует нормальную R-теорию. Соответственно,
множество формул, значимых в нормальной р.м.с., всегда
замкнуто по у, так как если А принадлежит к каждой
из совокупности нормальных R-теорий, то А не может
принадлежать ни одной из них, ибо нормальность пред-
полагает непротиворечивость, и поэтому, если А\/В при-
надлежит к каждому члену этой совокупности, формула В
390
должна также принадлежать ко всем нч них, так как
нормальность предполагает также и прогни у. Кроме
того, можно доказать, что если мы всерьез хотим до-
пустить мысль о том, что 0 образует реальный мир, то,
может быть, следовало бы потребовать, чтобы значимость
для системы R была охарактеризована как значимость во
всех нормальных р.м.с., которую мы будем называть
нормальной R-значимостью. Работа Мейера и Данна [1969]
показывает, что значимость и нормальная значимость для
R совпадают; это легко доказать.
Лемма 16. Пусть <0, К., R, *> будет некоторой
р.м.с. Под ее нормализацией будем понимать структуру
<0', К', R', *'>, в которой 0' есть новый элемент,
К1 получается посредством добавления 0' к К, *' есть
расширение * на К*, детерминированное условием О'* = О',
и если а, Ь, с являются элементами К, то для тройки
элементов К' отношение R' должно удовлетворять сле-
дующим условиям:
(i) R'0'0'0';
(ii) R'O'O'a тогда и только тогда, когда ROOa;
[iii] R'O'aO' и R'nO'O' тогда и только тогда, когда
ROaO*;
(iv) R'nbO' тогда и только тогда, когда Ra&0*,
(v) R'0'ab и R'aO'b тогда и только тогда, когда ROab;
(vi) R'abc тогда и только тогда, когда Rabe.
Тогда нормализация <0', К', R', *'> является нор-
мальной р.м.с.
Доказательство. Выполнение р0 декретировано;
в то же время выполнение pl, р2 и рб следует из того,
что они имеют место для <0, К, R, *>, и из приведенных
выше тривиальных спецификаций, включающих О'. Вери-
фикация рЗ—р5 требует несколько больших усилий,
однако решающим является то, что R' имеет место среди
членов К' тогда и только тогда, когда R имеет место
среди членов М при замене вхождений 0' на первых двух
аргументных местах на 0, а на последнем аргументном
месте—на 0*, за исключением случая RO'0'O'. В вери-
фикации рЗ—р4 помощь оказывает тот факт, что 0* < 0
во всех р.м.с. Остальное—пустяки, которые едва ли за-
интересуют читателя.
Теорема 4. R непротиворечива и полна относи-
тельно нормальной семантики, представленной в этом
391
параграфе, то есть формула к является теоремой R
тогда и только тогда, когда А нормально YI-значима.
Доказательство. Если А является теоремой R,
то, согласно теореме 2, она значима во всех р.м.с.,
включая нормальные, что и обосновывает нормальную
семантическую непротиворечивость. И наоборот, если А
не является теоремой R, то, согласно теореме 3, она не
значима в некоторой р.м.с. <0, К, R, *> (короче—К), то
есть существует оценка v с ассоциированной интерпрета-
цией I, такая что /(A, 0) = Fb А. Пусть <0', К', R', *'>
(короче—К') будет нормализацией А, существование ко-
торой гарантировано леммой 16. Расширяя v до оценки
v' в Д'' таким образом, что v' согласуется с v, там, где
v определена, и устанавливая v(p, Q') = v(p, 0) для вся
кого параметра р, мы показываем, что (a) v' продолжает
выполнять ограничивающее условие (1) на с. 372 и, сле-
довательно, действительно является оценкой. Предполо-
жим, что для параметра р и точки а из /<',v' (р, а) = Т и
R'O'ab, b£K. Мы показываем, что (b)v'(p, Ь) = Т. Если
а и b являются О', то показывать нечего; если же ни
одна из них но О', то, согласно (v), а < b в К ив силу
того, что v есть оценка, (Ь) имеет место. Если а = 0' и
то, по (ii), 0 <Ь находится в К и (Ь) имеет место,
так как если р истинно в 0' по соглашению, то оно
истинно в 0; наконец, если и Ь — 0', то, по (iii),
а < 0* в Д, н если v(p, ц) = Т, то v(p, 0*) = v (р, 0) — Т,
так как 0* < 0, откуда, по соглашению, v'(р, 0) —Т, что
доказывает (а).
Пусть Г будет интерпретацией, ассоциированной с v'.
Теперь мы показываем, что (с) для всякого а из К и для
всякой формулы В Г (В, о) = I (В, а) и (d) если / (В, 0) = F,
то Г (В, 0') = F.
Доказываем (с) и (d) вместе индукцией по длине фор-
мулы В. Базисный случай, в котором В является пара-
метром, уже доказан благодаря (а). Остается четыре слу-
чая в соответствии с тем, является ли главной связкой
В &, v, — или —с. По индуктивному предположению, (с)
тривиально в первых трех случаях и благодаря этому (d)
в этих случаях следует из леммы 1, так как 0' < 0.
Предположим теперь, что В имеет форму С—► D. Для
доказательства (с) предположим сначала, что ц=^0' и
/ (С —> D, d) = F, тогда имеются Ь, с в Д, такие, что
392
Rabe, I (C, b)—T и I (D, c) = F. Согласно (vi), R'abc и,
по индуктивному предположению, I' (C, b) T и /'(D,c)
= F, откуда Г (С —* D, a) = F. Предположим, наоборот,
что а =£0' и /'(С —»-D, a) = F. Тогда имеются Ь, с в К,
такие, что R'abc, Г (С, Ь) = Т и Г (D, c) = F. Если Ь,
с£К, то, по индуктивному предположению, получаем
I (С —> D, а) = F, обращая предыдущий аргумент. Пред-
положим, что й = 0', с^К. По (d) и индуктивному пред-
положению /(С, 0) = Т, по (v), ROnc, что, по рЗ—р4,
влечет RaOc, а этого достаточно для того, чтобы пока-
зать, что / (С —» D, o) = F. Предположим, что и
с = 0'. Поскольку 0* < 0, то, по лемме 1, Г (D, 0*) F;
в то же время, по (iv), RcftO*—этого достаточно для
фальсификации С —> D в а при /, согласно индуктивному
предположению. Наконец, предположим, что Ь = с = О'.
Используя коммутацию и (iii), получаем R«00*, в то же
время, по индуктивному предположению и лемме 1,
/(С, 6) = Т и 1 (D, 0*) = F, что фальсифицирует С—>-D
в а при / и обосновывает, что для всякого а в /( и вся-
кой формулы В /'(В, а) = /(В, а); (с) и (d) следуют
отсюда, как и прежде, по лемме 1.
В заключение мы замечаем, что, поскольку для избран-
ной нами не-теоремы А системы R / (A, 0) = F, то, согласно
только что доказанному принципу (d), /'(A, 0) = F; в
соответствии с этим А не является нормально R-значи-
мой, что и завершает доказательство теоремы 4.
Следствие 4.1. у имеет место для R, то есть
если А и А\/В—теоремы, то теоремой будет и В.
Доказательство. Множество Т (v) формул, вери-
фицированных при оценке v в нормальной р.м.с., замк-
нуто по модус поненс для материальной импликации,
следовательно, таким же является и пересечение всех
таких Т (vj для р.м.с., которая, согласно теореме, пред-
ставляет множество доказуемых формул R.
§ 9. R-смешение и другие системы
Расширения семантики
Система R-смешения Данна и Мак-Колла получается
из R посредством добавления новой экономной схемы
А—*(А—>Л). Соответствующим семантическим иостула-
13 № 1212
393
том будет следующий:
р7. О < а или 0 < а*.
Соответственно, р.м.с. смешения пусть будет любая р.м.с.,
удовлетворяющая pl—р7, а нормальной р.м.с. смешения
будет р.м.с. смешения, которая для всех элементов Д’
удовлетворяет также рО. Пусть А будет RM-зпачима
тогда и только тогда, когда А значима во всех р.м.с.
смешения, и нормально RM-значима тогда и только тогда,
когда А значима во всех нормальных р.м.с. смешения.
Тогда мы получаем очевидное следствие предыдущей
теоремы следующим образом.
Теорема 5. Для всякой пропозициональной формулы
А следующие условия эквивалентны: (1) А является тео-
ремой RM; (2) А — RM-значима, (3) А нормально RM-
значима.
Доказательство. Доказательство теоремы 2 по-
казывает, что (1) влечет (2) при условии, если мы пока-
жем, что А —> (А —> А) является RM-значимой. Достаточно
заметить, что в RM, хотя она избегает наиболее грубых
парадоксов, тем не менее из очень плохих формул сле-
дуют очень хорошие, то есть если В и С являются RM-
значимыми, то В RM-влечет С. (Для доказательства этого
примем, что В и С RM-значимы, и пусть В будет истинна
в точке а в р.м.с. смешения при I. Тогда а < 0* не имеет
места, так как в противном случае В, по лемме 1, была бы
ложной в 0 — в противоречии с ее значимостью; эквива-
лентно, согласно р5 — рб, 0 < а* не имеет места, откуда,
по р7, 0 < а\ но тогда, по лемме 1, все RM-значимые
формулы, включая С, истинны при / в а, так как, по
определению RM-значимости, все они истинны в 0).
Поэтому, в частности, так как А —> В R-значима и, сле-
довательно, RM-значима, ее отрицание влечет саму эту
формулу. Заметим, что в следующей последовательности
формул каждый член R-следует из своего предшествен-
ника: А —А —>-(А —А), А —> (А —> А —> А), А —>-(А —>
—►(А—<-А)), А —(А —> (А —А)), А-«-(А —А). Так ка:.
множество RM-значимых формул, очевидно, замкнуто пс
R-слсдовапию, RM-значима, в частности, и формул;
А—♦ (А —>-А). После этого ясно, что (1) влечет (2) и (2;
влечет (3). Метод теоремы 4 показывает, что если (2) вле-
864
чет (1), то и (3) влечет (1). Мы закапчиваем доказатель-
ство теоремы 5, показывая, что (_) влечет (1).
Предположим, что С не является теоремой RM.
Лемма 15 производит простую регулярную RM-теорию,
не содержащую С, скажем теорию Т, а теорема 3 пока-
зывает, что каноническая р.м.с. <0^, Н'т, R'r, *'> делает
С незначимой. Остается показать, что р7 истинен для
этой р.м.с. Предположим, что для некоторого а^Н'т,
О'т — Т а; мы показываем, что Т sa*. Пусть А принад-
лежит к Т, но не к а; по определению *, Aga*. Пусть
В будет любым членом Т. По стандартам, Т, А—плохая
формула, а В — хорошая; и поскольку парадоксальные
склонности RM являются как синтаксическими, так и се-
мантическими, постольку благодаря RM-теореме А&В —►
—> (А —> В) оказывается, что А —► В принадлежит к Т.
Но тогда Bga*, так как члены Н’т замкнуты по Т-сле-
дованию. В была произвольной формулой, поэтому Т s a*,
что и требовалось доказать. Это завершает демонстрацию
того, что избранная нами не-теорема С является RM-не-
значимой и на основе обобщения и контрапозиции все
RM-значнмые формулы представляют собой теоремы RM,
что и заканчивает доказательство теоремы 5.
Однако р7 есть лишь один из многих постулатов, ко-
торые мы могли бы принять для того, чтобы получить
R-смешение; из него следует, что < является всеобщей
в том смысле, что если <0, К, R*> есть р.м.с. смешения,
то нли а<Ь или t<a для всяких a, b£K- При задан-
ном постулате нормальности рО всеобщее упорядочение
тривиально влечет р7, хотя без рО это не имеет места в
общем1. Мы избираем р7 потому, что он точно указывает,
как надо этот богатый семантический универсум для R
сократить до R-смешения; грубо говоря, этот принцип
добавляет только то, что „реальный мир" 0 будет рас-
сматриваться как одна из альтернатив для RM. Если, в
частности, мы требуем, чтобы 0 был нормальным и, сле-
довательно, в принципе, описываемом непротиворечивой
и полной теорией Т, то р7 содержит то условие, что аль-
тернативы к 0 должны описываться или посредством не-
противоречивых под-теорий, или полной сверх-теорией 7’.
В работе Мейера [1968b] было доказано, что RM
разрешима и имеет простую модель. Настоящий теорети-
х У нас есть конкретный контрпример.
396
1 3«
ко-модельный подход дает эквивалентный результат:
каждая не-теорема RM опровержима в конечной р.м.с.
Сугихары <0, К, R, *>, в которой К состоит из всех
целых чисел .в некотором интервале [—т, т], 0 есть 0,
* —есть? и Rabe имеет место для чисел а, Ь, с из К тогда
и только тогда, когда наибольшее число из а, b по абсо-
лютной величине ^с; если а, b одинаковы по абсолют-
ной величине, то наибольшее из этих чисел не превос-
ходит с. Отсюда вытекает разрешимость RM. Единственным
другим пунктом, ничего не изменяющим относительно
данной здесь семантики для RM, является то, что в ра-
ботах Мейера [1968b] и Данна [1970] введение числа 0
в модель делало эту модель не-нормальной, так как 0 был
отрицанием; здесь не-нормальность не касается 0, так как
в качестве реального мира принимается +1.
Если некоторая логика является расширением RM в
том смысле, что она содержит все теоремы RM и замк-
нута по введению конъюнкции, модус поненс и подста-
новке, то, согласно результату работы Данна [1970], она
имеет конечную характеристическую матрицу. Соответст-
венно, естественным требованием к расширениям RM
было бы введение в постулаты требования конечности;
посредством добавления к pl—р7 постулата, говорящего
о том, что К имеет не более чем, скажем, 9 членов, мы
получаем расширение RM Данна; мы предоставляем Данну
решать вопрос о том, а не получим ли мы их все, сок-
ращая число членов до единственного элемента 0, когда
все различия релевантности сливаются и мы возвраща-
емся к классической логике.
Несколько более интересным путем получения класси-
ческой логики является усиление р7 до такого постулата:
р7'. 0 < а.
Демонстрация того, что р7' дает классическую логику,
требует окольного пути через ‘-постулат и является не-
полной без него. Для всякого а из К достаточно пока
зать, что из а < 0 вытекает значимость всех классических
теорем в р.м.с., удовлетворяющей р7'. Но это очевидно
по рб — рб, так как 0 < а*, откуда а = а** < 0* < 0. Бла-
годаря условию монотонности (1), наложенному на оценку,
для всякого параметра р и всяких а, b из К имеет место
v(p, a) = v(p, b) для всякой оценки v всегда, когда вы-
полнен постулат р7', так как й<0<Ь, и наоборот;
896
отсюда, согласно лемме 1, для всякой формулы А
/(А, й) = /(А, 6) = /(А, 0), где / есть интерпретация,
ассоциированная с v. Этого достаточно для того, чтобы
сделать реальный мир действительно единственным, а все
тавтологии значимыми.
§ 10. В сфере R Ц-. Семантика позитивной логики
Мы вводим понятие р+м.с. методом теоремы 3 как
тройку элементов <0, К, R>, для которой имеют место
pl—р4. Возникает вопрос: предоставляет ли р+м.с. жизне-
способную семантику для системы R +, задаваемой
аксиомами А1—АП системы R, не содержащими отри-
цания, и правилами R1 — R2, в частности, для черчев-
ской слабой теории импликации Rj, задаваемой с по-
мощью А1—А4 и R1? Пусть семантические понятия
охарактеризованы так же, как и выше, включая опера-
цию * с ее постулатами и опуская отрицание и все, что
с ним связано. В частности, пусть не содержащая отри-
цания формула R будет значима вр + м.с. <0, К, R> тогда
и только тогда, когда она истинна в каждой оценке, и
пусть она будет R + -значима тогда и только тогда, когда
она значима во всех р+м.с. В дальнейшем мы опираемся
на результаты некоторых предыдущих статей1.
Лемма 17. Пусть А будет не содержащей отрица-
ния формулой системы R. Тогда А является теоремой R,
если и только если A R+-значима.
Доказательство. Каждая р.м.с. есть, очевидно»
также р + .м. с., поэтому, если A RJ- -значима, то она
и R-значима, откуда, по теореме 3, А есть теорема R.
И наоборот, предположим, что А является теоремой R.
В работе Мейера [1972b] было доказано, что А имеет
доказательство в некоторой системе (назовем ее R 4- +),
которая получается из R+ посредством добавления ин-
тенсиональной конъюнкции о в качестве дополнительного
исходного знака и аксиомных схем:
А14. А(В(А о В));
А15. (А —>• (В —► С)) —((А о В)-»С).
1 В частности, на работы Мейера в [1972а] и [1972Ь].
897
Теперь мы принимаем рекурсивное условие v на с.372
в качестве исходного семантического постулата, как от-
мечено в примечании 10. Легко показать, что А14 иА15
являются R +-значимыми; другие леммы, приводящие
к теореме 2, не затрагиваются, поэтому аргументация
этой теоремы показывает, что все не содержащие отри-
цания теоремы R, будучи теоремами R4-4-, являются
R +-значимыми, включая, в частности, нашу теорему А,
что и заканчивает доказательство теоремы 17.
Лемма 18. Если формула А не является теоремой
слабой теории импликации Чёрча Rj и если единственной
связкой, встречающейся в А, является —то А не будет
R 4- -значимой.
Доказательство. В работе Мейера [1972а] до-
казано, что при условии леммы А не является теоремой R,
откуда заключение следует по лемме 17.
Лемма 19. Пусть А будет не содержащей отрицания
формулой R. В этом случае А будет теоремой R тогда
и только тогда, когда А является теоремой R4-.
Доказательство. Доказательство слева направо
почти тривиально. Предположим, что А есть теорема R.
Как отмечено в доказательстве леммы 17, А является
тогда теоремой системы R-f--]-. Остается показать, что
R 4--(- будет консервативным расширением R4-, то есть
что добавление о и А14, А15 не производит новых тео-
рем со связками &, V» —*• системы R4-.
Для того чтобы это сделать, мы строим новое исчис-
ление интенсиональных теорий для R+, как было сде-
лано выше для R. Пусть ^-[--теория будет множеством Т
формул пропозиционального языка SL, не содержащих
отрицания, которое замкнуто по введению конъюнкции
и R -(--следованию, то есть такое, что если А—> В выво-
дима из A—All, Rl, R2 и если AgT, то BgT. Пусть
П+ будет множеством всех R-(--теорий, и операция о
определяется на Н+ следующим образом: для всяких а,
b из Н^а о b = ]С:С является не содержащей отрицания
формулой и существуют А в а и В в Ь, такие, что
А—►(B—> С) есть теорема R+}.
Исчисление интенсиональных R 4 -теорий в соответст-
вии с предыдущими рассуждениями является структурой
Д-|-= <//-{-, Е, о, 0+>, в которой //-(-, о только что
398
были определены, s—теоретико-множественное включе-
ние, 0есть множество теорем R 1 . Затем, как н в лемме 9,
мы показываем, чги определенная нами шрумура // [-
есть частично упорядоченный, не имеющий степеней, ком-
мутативный моноид с тождеством 0 4-; срабатывает стра-
тегия доказательства леммы 9, выбор тактики предостав-
ляется читателю.
Теперь мы переходим к подсовокупности И+', со-
стоящей из простых R-(--теорий; в отличие от того, что
было ранее, она включает 0 4-, что обосновывается ме-
тодами работы Мейера [1972с]. Соответственно, рассмотрим
структуру <04-, /74-', R'>, в которой 0-|- и Н таковы,
как определено, и для всяких а, Ь, с из И -(-' R'abc
тогда и только тогда, когда aob sc. Как и в лемме 12,
мы хотим показать, что Н-\-' есть р+.м. с. Верификация
pl, р2 и р4 опять является непосредственной; верифи-
кация закона Паша, рЗ, вновь зависит от доказательства
того, что для всяких а, b из /74- и всякого с' из Н
если aob sc', то благодаря простоте с'существует прос-
тое а' из Н'г', такое, что asa' и а' о b sc, что, бу-
дучи доказанным, обеспечивает следование закона Паша
из ассоциативности операции о, определенной на интен-
сиональных теориях. Как легко может проверить чита-
тель, аргумент леммы 12 в самом деле проходит беспре-
пятственно, показывая, что <04-, Н + , R'> является
р+.м.с. Соответственно, все теоремы R 4-+ значимы
в <04-, Н 4-, R'>, поэтому мы можем закончить доказа-
тельство настоящей леммы, показав, что все не-теоремы
R 4- незначимы в <04-, Н, R'>.
Пусть каноническая оценка v 4- для каждого пара-
метра р и простой R-|- теории а из Н4~' приписывает
“v4-(p, а) = Т тогда и только тогда, когда р£а. Как и
в лемме 14, мы хотим показать, что там, где J 4- яв-
ляется интерпретацией, ассоциированной с v4-, /4-(А,
а) = Т тогда и только тогда, когда А £ а для всякой
формулы А системы R 4- и члена а из Н-\-'. Доказа-
тельство вновь проводится по индукции, в которой все
случаи очевидны, кроме того, в котором А имеет форму
В—>-С, индуктивное предположение опять сводит этот
случай к проблеме показа того, что В >ССа тогда и
только тогда, когда для всяких Ь, с из И-\-’В£Ь и
R'abc влекут С£с. Но R'abc означает, что aob sc,
откуда, по определению, следует, что для всяких фор-
399
мул С, А и В, если А—*(В —> С) есть теорема R-R,
А£а и В gfc, то С С с. Импликация слева направо три-
виальна, если принять само В—*С в качестве требуемой
подстановки для А. Предположим, наоборот, что В—>-С £ а;
мы хотим показать, что существуют Ь, с из Н-\-' .такие,
что R'abc, Bgfe, но С£с. Во всяком случае, в Н-\- такие
элементы существуют. Примем, что [В] есть множество
формул, которые доказуемо R-(--следуют из В, и допус-
тим, что с+ есть а о [В]; тогда, если бы С находилась
в с+, существовали бы элементы А из а и В', доказуемо
следующий из В, такие, что формула А—>(В' —>-С) яв-
лялась бы теоремой R + , из чего благодаря замкнутости а
по доказуемому R-R-следованию легко вытекало бы, что
В—>С принадлежит к а—в противоречии с предполо-
жением. Но в таком случае, расширяя с+ до максималь-
ной и с помощью обычного рассуждения до простой
теории с, которая не содержит С, а затем расширяя [В]
до простой теории Ь, такой, что а о b е с, получаем бла-
годаря результату, приведенному в середине последнего
параграфа, все, что нам нужно; b и с—обе простые,
R’abc имеет место, В£Ь и С(£с. Это завершает доказа-
тельство того, что v+ выполняет то, что от нее тре-
буется: произвольную формулу А она делает истинной
тогда и только тогда, когда Aga. В частности, благо-
даря тому, что 0+ является множеством теорем R-R,
v-f- не делает истинной в 0+ любую не-теорему R + ,
что заканчивает доказательство того факта, что не-теоремы
R + остаются не-теоремами R-R+ и, следовательно, не-
теоремами R. При данной выше конверсии лемма 19 до-
казана.
Теорема 6. Пусть А будет не содержащей отри-
цания формулой R. Тогда А является теоремой R + (то
есть выводится из не содержащих отрицания аксиом,
исключая аксиомы для о), если и только если А — R+-
значима. Кроме того, если А — чисто импликативная фор-
мула, то она будет теоремой слабой теории импликации R j
Чёрча тогда и только тогда, когда А—R-^-значима.
Доказательство. По лемме 17 и 19, если А не
содержит отрицания, то она будет теоремой R+ тогда
и только тогда, когда является теоремой R, что имеет
место тогда и только тогда, когда она R-(--значима. Это
400
доказывает первую часть теоремы. Вторая часть следует
из первой и леммы 18.
Эта теорема вместе с родственными результатами ра-
бот Мейера [1972а] и [1972b] позволяет нам утвердительно
ответить на важные вопросы относительно консерватив-
ного расширения системы R.
Теорема 7. R вполне аксиоматизируема; для каждой
из следующих комбинаций связок все теоремы с этими
связками выводимы из аксиомных схем и правил А1—А15,
содержащих лишь эти связки [о-аксиомами являются
А14, A15J:
о; , о; &; —>, v> &; —>
о, &; о, &, V; —> &» V-
Доказательство. Во всех случаях доказательство
или уже было дано, или может быть найдено в работах
Мейера [1972а] и [1972b], либо легко следует из резуль-
татов, данных в одной из этих работ.
Теорема 7 отвечает для системы R на вопрос, задан-
ный в работе Андерсона [1963] относительно системы Е.
§ 11. Интуиционизм. Расширение позитивной семантики
Выше мы заметили, что добавление к постулатам для
р.м.с. постулата 0<а приводит к классической логике.
Но тот же результат может быть достигнут через *-
постулаты, то есть через отрицание. Менее сильным сред-
ством будет добавление к постулатам для р+.м.с. по-
стулата р7' :0 < а. Это делает значимыми не все классически
значимые формулы, не содержащие отрицания, а только
те, которые интуиционистски значимы. Этот результат
мы представляем в виде теоремы.
Теорема 8. Пусть и. м.с. будет такой же струк-
турой <0, К, R>, как и выше, удовлетворяющей pl—р4,
р7'. Тогда формула А значима во всякой и.м.с. тогда
и только тогда, когда А является не содержащей отри-
цания теоремой интуиционистского пропозиционального
исчисления I. Посредством расширения понятия интер-
претации так, что для всякого а £ К 1 (~| А, Ь) = Т тогда
и только тогда, когда для всякого Ь, такого, что а <.Ь,
I (A, b) = F, мы можем охарактеризовать интуиционист-
401
ское отрицание также и в стиле Крипке; так что тео-
ремы /, и только они, будут значимы во всех и. м.с.
Доказательство. Оно было дано в работе Крипке
[1965] и здесь едва ли необходимо. Мы просто замечаем,
что Rabe влечет b < с и а < с при данных постулатах
р7', рЗ—р4 и dl, (12. И наоборот, если Ь<с и а < с,
то, согласно р2, Rccc, отсюда следует Rate, по рЗ — р4, р7'.
Соответственно, R может быть определено через отноше-
ние <, и простая проверка показывает, что постулаты
требуют от < рефлексивности, транзитивности и того,
чтобы 0 находился в этом отношении ко всякому а из К.
Хотя Крипке не требует последнего свойства от своего
бинарного отношения достижимости для интуиционист-
ской семантики, но его древовидная м. с. обладает им,
поэтому отношение Крипке можно отождествить с нашим
отношением <. На этом и заканчивается доказательство
того, что только интуиционистски значимые формулы
значимы во всех и. м.с.
Теорема 8 точно выражает тот аспект, в котором ин-
туитивные соображения, лежащие в основе релевантных
логик, отходят от тех соображений, на которых покоится
пропозициональная часть интуиционизма. В терминах
нашей исходной мотивировки оказывается, что все то,
в чем нуждается интуиционизм и, между прочим, клас-
сическая логика, есть приемлемый способ утверждать
совместимость двух предложений А и В. Один способ
сделать это состоит в утверждении А&В, другим — является
утверждение ~|(А э "] В), что эквивалентно формуле
1 "I (А&В), которая выглядит не намного лучше. В лю-
бом случае, как показывает доказательство теоремы 8,
мы ослабляем позитивные релевантные интуитивные сооб-
ражения до интуиционистской интуиции, когда считаем, что
две теории совместимы относительно третьей, если всегда,
когда А имеет место в первой и В — во второй, А&В
имеет место в третьей. Не удивительно, можем мы доба-
вить, что интуиционистская логика не устраняет пара-
доксов релевантной.
И все-таки, интуиционизм, особенно в той его части,
которая не содержит отрицания, представляет удобный
промежуточный путь между классической и релевантной
логиками. (Промежуточным в другом смысле является
R-смешение, см. работу Мейера [1968]). На этот факт
402
указывает следующее простое следствие теоремы 8 (дока-
занное в работе Мейера [1972b], но заслуживающее упо-
минания и здесь).
Следствие 8.1. Все не содержащие отрицания тео-
ремы R интуиционистски значимы.
Доказательство проводится, согласно теоремам 6
и 8, так как все и. м.с. являются р.м.с.
Другие системы, промежуточные между R 4- и клас-
сической пропозициональной логикой, например система
Даммета LC, позитивная часть RM +-системы R-смешения
Данна, могут быть получены посредством добавления
различных постулатов.
§ 12, Введение к пропозициональной квантификации,
Теория суждений
Как было показано Андерсоном, Белнапом, Гровером
и другими, большой интерес вызывает добавление к реле-
вантным логикам теории пропозициональной квантифика-
ции1. В связи с этим интересом и для полноты фило-
софского рассмотрения мы в последующих iiapai рафах
наметим несколько способов введения пропозициональной
квантификации в нашу семантику.
Прежде чем погрузиться в формализм пропозициональ-
ной квантификации, естественно поставить вопрос: к чему
относятся пропозициональные кванторы? У нас есть два
ответа: а) к суждениям, Ь) к предложениям. Многие со-
дрогаются, когда дают первый ответ, или по крайней мере
опираются на него. Сегодня нетрудно сохранять хладно-
кровие, ибо выяснилось, что суждения могут быть построены
просто как множества, а против этих полезных экстен-
сиональных фикций едва ли стоит возражать.
Отложив в сторону окончательные онтологические обя-
зательства, суждение с современной точки зрения рас-
сматривают как нечто такое, что соответствует опреде-
ленному распределению истинностных значений в мире, а
суждения, истинностные значения которых являются одними
и теми же во всех мирах, отождествляются. Чтобы не
1 См. работы Андерсона и Белнапа [1961], Мейера [1972с1],
Андерсона [1972] и докторскую диссертацию Гровера (Питтсбургский
университет, 1969).
403
отстать от моды, суждение можно строить как множество,
а именно как множество всех миров, в которых суждение
истинно.
Пусть К = <0, К, R,*> будет р.м.с. Принимая во вни-
мание условие (1) и данные выше пояснительные замена,
ния, суждение в К будем считать любым подмножеством
J s К, которое замкнуто сверху, то есть такое, что всегда,
когда a^J, Ь^К и (привлекая dl) a<b, имеет место
b^J. Пусть алгебра сужденой П (К), детерминируемая
посредством К, будет пятеркой элементов <П, о, и,—,
1>, охарактеризованных следующим образом:
(1) П есть множество всех суждений в К;
(2) U —обобщенная операция теоретико-множествен-
ного объединения подмножеств Г из П.
(3) 1 = {а:«бК и 0<п[;
(4) для F, G СП;
a) FoG = {c:3«3fc(cC^^bCG&R(zbc)};
Ъ) 7={с:сС^&с*С0-
Первая серьезная попытка снабдить релевантные ло-
гики R и Е — или, скорее их первопорядковые части —
теорией суждений была сделана в работе Белнапа [1967].
Белнап не пояснил, что он понимает под суждениями, и
хотя он ассоциирует суждения с логическим содержание
предложений, это мало помогает1. Но он удивительно
ясно осознал тот вид алгебраической структуры, который,
с его точки зрения, характеризует их, а именно: сужде-
ния могли быть построены как интенсионально дополнен-
ные дистрибутивные решетки с истинностным фильтром 2.
Алгебраические идеи Белнапа были развиты и усовер-
шенствованы с особым вниманием к системе R для созда-
ния понятия моноида де-Моргана, использованного, как
уже отмечалось ранее, Данном для доказательства алгеб-
раической полноты R ®. Кроме того, для развитой здесь
1 В работе Белнапа [1967], с. 8.
2 Терминологию и ее применение см. опять в работе Белнапа,
[1967]. Мейер везде называет эти структуры „решетками Белнапа".
В качестве другого названия Белнап предложил термин „нормальная
решетка де-Моргана“.
8 Наиболее доступное изложение см. в работе Мейера и др.
[1972]; более полное извлечение из диссертации Данна дано в ра-
боте Андерсона и Белнапа [1972].
404
теории суждений эти идеи оказываются существенно кор
рентными; если дана некоторая р.м.с., то алгебра сужде-
ний, ассоциированная с ней, действительно является мо-
ноидом де-Моргана, что будет показано ниже после при-
ведения соответствующих определений.
Грубо говоря, структура D-=<D,o, V,—, 1> пред-
ставляет собой моноид де-Л’органа, если D есть множество
IgOn о, V-бинарные, а — унарная операция на D,
такие, что если а/\Ь определено посредством закона де-
Моргана как —(—а\/—Ь), то D служит дистрибутивной
решеткой при Д, а V — коммутативным моноидом при о
(с 1 в качестве моноидного тождества) и вдобавок имеют
место следующие определения и постулаты:
ql. а <_Ь тогда и только тогда, когда а V b = Ь\
q2. a-^-b — ai — (ao—b);
q3. a2 = <ji<7oa;
q4. a<a2 (постулат наличия квадратов)-,
q5. ао(Ь\/с) = (aob)\/(нос);
q6. ao(a-+b) < Ь;
q7.-----а=>а.
О моноидах де-Моргана см. работу Мейера и др. [1972]
и работы Данна, цитируемые здесь.
Моноид де-Моргана является полным при условии, что
он будет полным в качестве решетки, то есть при усло-
вии, что для каждого подмножества S множества D су-
ществует наибольшая нижняя граница Д5 и наименьшая
верхняя V-S; они принадлежат к D и бесконечные дист-
рибутивные законы имеют место в следующей форме для
всякого a£D и Ss D.
q8. п Л VS= V{«As:sC s};
q9. aoV<$ = {V«o$:sCs}.
Teop ем a 9. Алгебра суждений, детерминируемая
посредством р.м.с. <0, К, R, *>, является полным мо-
ноидом де-Моргана.
Доказательство. Пусть П (К) = <П, о, [J,—1>
будет алгеброй суждений, определенной выше. Мы заме-
чаем, что о и, —, применяемые к членам Пии, при-
меняемая к подмножествам П, дают замкнутые сверху
подмножества К, то есть опять члены П. Определяя для
405
членов F и G и подмножества Г из П:
(с) F\’G — 0. U {F, GJ,
(d) nr = dfU{F:Fer};
(е) FAG = dfn{F,G},
мы замечаем, что все постулаты и определения для пол-
ного моноида де-Моргана выполнены для П(К), что и
завершает доказательство.
Следствие 9.11. Каждый простой моноид де-Мор-
гана можно вложить в простой полный моноид де-Мор-
гана, элементами которого являются множества с обоб-
щенным моноидным пересечением П, объединением U и
упорядочением s, которые могут быть отождествлены с
соответствующими теоретико-множественными пересече-
нием, объединением и включением.
Доказательство. Пусть D = <D, о, V.—, 1>
будет простым моноидом де-Моргана. F^D является, как
обычно, фильтром на D при условии, что для всяких х,
y£D, xf\y^F тогда и только тогда, когда х и у — оба
находятся в F, кроме того, F будет простым фильтром
тогда и только тогда, когда для всяких х, у £ D, xyy^F
тогда и только тогда, когда по крайней мере или х или
у принадлежит к F. Пусть К есть множество всех прос-
тых фильтров на О; 0 будет главным фильтром, детер-
минируемым посредством 1, то есть 0 = {х:1 <х в О};
R—тернарное отношение, которое имеет место между
а, Ь, с из К тогда и только тогда, когда для всяких х,
у из D всегда если х С а и у£Ь, то хоу С с; * — операция
на К, такая, что для всякого x^D и а £К, х£а* тогда
и только тогда, когда х(£а. Все это в алгебраической
форме выражает просто то, что уже было в синтаксичес-
кой форме развито в параграфах 6 и 7 и методами этих
параграфов легко доказывается, а именно, что <0, К, R, *>
есть р.м.с.
Рассмотрим теперь алгебру суждений П(К), опреде-
ленную посредством условий (1)-(4) этого параграфа.
П(К) является полным моноидом де-Моргана, по теоре-
1 Данное и дальнейшее следствия используют методы Стоуна
(см. Расева и Сикорский [1963]) погружения моноидов де-Моргана
в полные моноиды де-Моргана. Как и в работе Мейера и др. [1972]
моноид де-Моргана прост, еслп всегда, когда l<ayfc, 1 <а или 1<К
406
ме 9, а П> U И S есть, по определению, иереи чецие,
объединение и включение. Предположим, что дли некою
рого подмножества I множества II (К) тождество 1|1(К)
множества П(Л') включено в U /. Так как, по определе-
нию, Пню есть множество супермножесгв 0, которые при-
надлежат к П (К), то 0, в частности, принадлежит к 1 п</<),
из чего вытекает, согласно предположению, что 0 при-
надлежит к некоторому 11 в /. Но Ih по определению,
замкнуто сверху, и поэтому не только {0}, но и все
элементы из 1п(к)Е//. Это доказывает как то, что П(/С)
является простым, тчк и то, что оно полно в том смысле,
что всегда, когда 1п<Л) есть подмножество обобщенного
объединения элементов II (Л), оно будет подмножеством
одного из этих элементов.
Пусть h будет функцией из D в П (/<), которая ото-
бражает каждый элемент х из D в множество h (х) прос-
тых фильтров на D, к которому принадлежит х. Благо-
даря репрезептационной теореме Стоуна для дистрибутивных
решеток добавление h сохраняет Д и V. меюды Бялы-
нинкой-Бируля и Расовой 119571 могут быть приспособлены
для работы с —, и несложная проверка показывает, чк>
— h(x) = h(—х); наконец, чтобы показать, что h сохра-
няет о, констатируем, что a£h(xoy) тогда и только
тогда, когда хоу£а; последнее имеет место тогда и только
тогда, когда (алгебраизируя рассуждение леммы 12) су-
ществуют простые фильтры Ь, с на D, такие, что х£Ь,
у£с и Rbca, а это в свою очередь имеет место тогда и
только тогда, когда agh(x)oh(y). Это показывает, что h
есть изоморфное отображение D в простой полный моноид
де-Моргана II (К) и заканчивает доказательство следст-
вия 9.1.
Следствие 9.2. Каждый моноид де-Моргана можно
вложить в полный моноид де- Моргана.
Доказательство. Пусть D будет моноидом де-
Моргана и пусть {FJI6/ будет индексированным множе-
ством всех простых фильтров, которые содержат тождество 1
моноида D. Структуры <0z, Kit R,-, ?> для каждого i в /
определим следующим образом: 0, есть F it Kt есть мно-
жество всех простых фильтров на D, которые замкнуты
по модулю FI, то есть таких, что простой фильтр С при-
надлежит К/ тогда и только тогда, когда еслп х£С и
x~^yQF{, то y(zG-, заметим, что 0, сК;; Д,- есть терпяр-
407
ное отношение на А,- такое, что R{abc тогда и только
тогда, когда если х£а и y£b, то хоу£с, * есть опера-
ция на К/ такая, что xga* тогда и только тогда, когда
— х (£а, заметим, что R, и Г являются ограничениями
до К,- определенных выше R и * и доказательство того,
что для каждого i в / структуре <0z, К,, R,-, Г> является
р.м.с. может быть проведено, как и прежде.
Теперь мы определяем произведение структур Xi^I<fiit
Kt, R,-, ‘> = <0, К, R*>, устанавливая, что К. есть декар-
тово произведение х^Н 0 —элемент К, который являет-
ся 0; для каждой координаты i и R abc и а*=Ь имеют
место соответственно тогда и только тогда, когда для
каждого i в I '^ia[bici и Легко проверить, что
произведение структур есть р.м.с., если известно, что
представляет собой каждый компонент этой структуры.
Рассмотрим снова алгебру суждений П(/(), которая,
согласно теореме, представляет полный моноид де-Мор-
гана. Определим функцию h из D вП(К), устанавливая,
что г-й компонент h (а) будет множеством членов /Q,
к которым принадлежит а. Заметим, что если а < b в D,
1 то по теореме Стоуна, существует простой Flt
такой, что 1 С /ф, но а —>- b С F р, если рассмотреть множество
всех фильтров HaD, которые замкнуты по модулю Ft и
содержат а, но не содержат Ь, то применение леммы
Цорна дает некоторый максимальный фильтр, который
оказывается простым и поэтому принадлежит к Fp, отсюда
следует, что если а=^=Ь, то на некоторых компонентах
множества h (а) и h(b) будут различаться, то есть h есть
1—1. Теперь остается только доказать, что h сохраняет
операции D. Так как они определены на точках, это до-
казательство будет таким же, как в доказательстве пре-
дыдущего следствия. На этом доказательство следствия 9.2
заканчивается.
Так как моноиды де-Моргана алгебраизируют R, наши
следствия можно рассматривать как выражение некоторой
синтаксической информации, например информация о том,
что система RP системы R с пропозициональными кван-
торами является консервативным расширением бескван-
торной системы. Но мы не будем задерживаться на об-
суждении этого вопроса.
Наша теория суждений оказывается алгебраической
(исходя из того, что нам уже известно, было бы весьма
408
удивительно, если бы это было не так), но она имеет
большее отношение к логике, чем к развитию некоторой
формы репрезентационной теоремы Стоуна. Как, напри-
мер, наша теория суждений относится к утверждению о
том, что каждое суждение истинно или ложно—этому
важному свойству описанной выше теории Белнапа?
Действительно, что значит для суждения быть истинным
или ложным?
Как можно предполагать, мы допускаем различные
ответы. При доказательстве полноты мы видели, что ре-
гулярные простые теории дают начало релевантным мо-
дельным структурам, а последние могут быть нормальны-
ми или не-нормальными. Если основополагающая р. м. с.
нормальна, то есть если 0=0*, то и алгебра суждений П (К)
будет нормальной в том смысле, что для каждого сужде-
ния F из П (К) мы имеем только 1 s F или 1 F, где
алгебраическое тождество 1 функционирует как то, что
Кокьярелла назвал суждением о мире, то есть таким суж-
дением, которое истинно в «реальном» мире 0 п во всех
мирах, содержащих его, и ложно в остальных случаях.
Поэтому принимая 1 <= F в качестве стандарта для ис-
тинности суждения F, мы получаем, что нормальные
теории, нормальные р. м. с. и нормальные пропозицио-
нальные структуры развертываются совместно. (То, что
нормальные теории детерминируют нормальные р. м. с.,
мы видели и выше. Предположим, что <0, К, R, *> нор-
мальна, для доказательства того, что П(К) нормальна,
предположим, для сведения к абсурду, что имеет место и
1 s F и 1 s F. Тогда, в частности в силу того, что 0 g 1,
получим 0 g F и OgF, то есть 0*(£F, но 0=0*, согласно
предположению нормальности <0, К, R, *>,— противоре-
чие. С другой стороны, предположим в общем, что 1 F.
Тогда некоторый член 1 не принадлежит F, и, так как
1 замкнуто сверху и содержит наименьший член 0, полу-
чаем, в частности, 0(£Л Отсюда, по определению, 0*gF.
Но 0* < 0, и в силу того, что F замкнуто сверху, OgF;
следовательно, 1 s F.)
Последняя часть только что представленного доказа-
тельства кажется, к сожалению, асимметричной. Незави-
симо от того, является р. м. с. нормальной или нет, наш
критерий истины для суждений позволяет, по-впдимому,
и суждению, и его отрицанию быть истинным, но не до-
409
пускает возможности того, что ни одно из них не. истинно.
Об этом можно было бы поговорить (непротиворечивость
кажется нам более важной, чем полнота), но едва ли это
нужно. Мы характеризовали истинность суждений отно-
сительно «реального» мира 0, и наши условия, наложен-
ные на реальный мир, допускали противоречивость, но не
неполноту; желаемую неполноту (не обязательно относи-
тельно истин) можно получить, просто приняв нашу ха-
рактеристику суждения как истинного или ложного отно-
сительно некоторого другого положения дел. Мы можем
сделать это даже в том случае, если захотим, чтобы
реальный мир был нормальным, то есть чтобы 0=0*. И
наоборот, мы можем сделать реальный мир даже еще бо-
лее не-нормальным—допуская неполноту — посредством
ослабления постулатов таким образом, чтобы предотвра-
тить выведение 0* < 0; общий постулат рефлексивности
р2, разрешающий сведение к абсурду и закон исключен-
ного третьего, по-видимому, должен быть ослаблен в пер-
вую очередь.
В любом случае, имея суждения, мы располагаем тем,
что позволяет нам ввести квантификацию.
§ 13. Пропозициональные семантики для RP
Имея теорию суждений, развитую в последнем параг-
рафе, мы рассмотрим здесь результат добавления к R
аппарата пропозициональной квантификации. Пропози-
циональным языком PL будет пятерка элементов <S, V,
О, Q, F>, в которой S, как и прежде, есть множество
параметров, V—счетЕЮ-бесконечное множество пропози-
циональных переменных, О — как и прежде, множество
связок (—>, &, V> —}, Q—множество универсальных кван-
торов (Р) (один для каждой переменной Р в V) nF—наимень-
шее множество, такое, что S и V s F, и такое, что оно
содержит А & В, А V В, А —В, А и (Р) А, если оно со-
держит А и В для всякого Р в V. Мы продолжаем ис-
пользовать буквы „р“, „ф‘ и т. д. для пропозициональных
параметров и будем использовать „Р“, ,,Q“ и т. д. для
пропозициональных переменных. Члены F называются
формулами PL; формулы, в которых переменные не встре-
чаются свободно, называются предложениями. (С точки
зрения синтаксиса, нас будут интересовать только пред-
410
'f ложения, синтаксическую роль которых пришлось бы
>приписать свободным переменным, выступающим ими го
параметров, которые могут встречаться в предложен и я х.)
Пусть А будет любой формулой PL. Замыканием А будет,
как обычно, любое предложение В, которое получается
из А посредством постановки перед ним нуля или боль-
шего числ > универсальных пропозиниональных кванторов.
Пусть В будет какой-либо формулой. А [В/P] будет
результатом подстановки формулы В вместо каждого
свободного вхождения Р в А, переименовывая связанные
переменные, если это необходимо, для того, чтобы избе-
жать смешения.
Теперь мы охарактеризуем релевантное пропозицио-
нальное исчисление RP. (Первая явная формулировка RP
встречается в работе Андерсона [1972].) В качестве аксиом
мы принимаем все замкнутые формулы вида А1—А13
вместе со следующими новыми аксиомными схемами:
А16. (Р) А —* А [В/Р];
А17. (Р) (А —> В) —> ((Р) А — (Р) В);
А18. (Р) (А \/В) —► ((Р) А\/В), если Р не свободна в В;
А19. В —» (Р) В, если Р не свободна в В;
А20. (Р) А & (Р) В — (Р) (А & В).
Правилами, как и прежде, являются модус попенс и вве-
дение конъюнкции.
Связки о и <-> вводятся прежними определениями.
Обычным образом определяются В и некоторые полезные
констаптых:
D3. ВРА = ^(РУА;
D4. Z = d{_(P)(P — Р.'
D5. f = df/;
D6. P = dl(P)P;
D7. T = rifP.
Пусть теперь <0, К, R, *> будет некоторой р. м. с., и
путь П (К) = <П, °, U, —, 1> будет соответствующей
алгеброй суждений, определенной в предшествующем па-
раграфе. Приписывание суждений в К есть функция а,
1 См. работу Мейера 11972 d]; несущественные отличия в фор-
мулировке RP имеются как там, так и в работе Андерсона [1972].
411
определенная на S, U, V со значениями в П. Мы при-
спосабливаем технику Лебланка, характеризуя приписы-
вание а как Р-вариант а' при условии, что а и а' со-
гласуются на SuV—{Р}, то есть два приписывания
являются P-вариантами одно другого, если они различа-
ются, самое большее, р приписыванием различных суж-
дений Р.
Приписывание суждений а в р. м. с. К детерминирует
ассоциированную оценку v и интерпретацию / в смысле
параграфа 3, то есть для каждой пропозициональной пе-
ременной или параметра А в PL мы будем иметь оценку v,
ассоциированную с а:
(i) v(А, а) == Т тогда и только тогда, когда о£сс(А).
Рекурсивные пункты (ii)—(vi) на с. 14 могут быть ос-
тавлены без изменений.
Для пропозициональных кванторов мы добавляем
(причем П определено выше):
(vii) /(Р)(А, п) = Т тогда и только тогда, когда для
каждой интерпретации детерминируемой посредством
P-варианта а—а', а'(Р)£П; Г (А, а) = Т;
(viii) / (ЭРА, а) = Т тогда и только тогда, когда для
некоторой интерпретации /', детерминируемой посредством
Р-варианта а—а', а (Р) С П, /'(А, а) = Т.
(Поскольку мы не принимаем 3 в качестве исходного
знака, заметим, что (vii) вместе с (vi) влечет (viii).)
Понятия истинности при приписывании или при ассо-
циированной оценке, верификации, следования и значимости
могут быть взяты из параграфа 3. В частности, формула
А является PP-значимой тогда и только тогда, когда она
истинна при всех приписываниях суждений ее пропози-
циональным переменным во всех р. м. с. <0, К, R, *>.
Следует заметить, что так как суждения, по определению,
замкнуты сверху, ограничение (1) из параграфа 3 авто-
матически выполнено.
§ 14. Непротиворечивость пропозициональной семантики.
Вторичные р. м. с.
Доказать, что RP непротиворечива относительно пред-
полагаемой семантической интерпретации, означает повто-
рить аргументы параграфов 4 и 5, сохраняя все леммы
при расширенном словаре. Поэтому мы непосредственно
устанавливаем:
412
Теорема 10. Все теоремыРР являютсяРР -значимыми.
Доказательство. Для доказательства теоремы до-
статочно, расширяя лемму 1 и теорему 1 на новые кон-
тексты, снова показать, что все аксиомы значимы и все
правила сохраняют значимость. Некоторый интерес пред-
ставляет только А16. Примем для произвольного р. м. с.,
что I ((Р) А, а) = Т; достаточно посредством пашей усо-
вершенствованной теоремы 1 показать, что I (Л [В/Г], «) -Т
для произвольного В. Действительно, пусть [> (В) будет
множеством всех b в К, таких, что / (В, Ь) = Т. По лем-
ме 1, [3(B) замкнуто сверху, поэтому [3 (В) £ П. Но так
как (Р) А истинно в а при /, А истинна при интерпре-
тации /', которая во всем подобна / для пропозициональ-
ных переменных, за исключением того, что устанавлива-
ется /'(Р, Ь) = Т тогда и только тогда, когда 6 £ [3 (В), то
есть тогда и только тогда, когда I (В, Ь) = Т для всякого
b в К. Очевидный индуктивный аргумент по длине А дает
в заключение /(А[В/Р]) = Т, что и заканчивает наше до-
казательство теоремы.
Хотя в настоящее время у нас нет доказательства,
имеются, к сожалению, основания думать, что конверсия
теоремы 10 неверна. Эти основания могут быть различ-
ными, но проще всего было бы сказать, что пропозицио-
нальная квантификация является существенно второио-
рядковой, ибо пропозициональные буквы рассматриваются
как 0-арные предикаты. Поэтому способ доказательства
полноты для RP состоит, кажется, в модификации того
аппарата, посредством которого Генкин [1950] доказал
полноту для логик высшего прядка, но со ссылкой не
только на предполагаемую первичную интерпретацию, а на
класс вторичных интерпретаций, в которых кванторы от-
носятся не ко всем суждениям, а к суждениям некоторого
подмножества множества всех суждений. Хороню извест-
но, что не каждое подмножество пригодно для этого.
Этот принцип сокращения был применен Буллом [ 1959]
при доказательстве полноты пропозиционального варианта
S4 и S51. Здесь мы применяем его посредством характе-
ристики вторичной (р. м. с. как пары элементов <К, Г>,
в которой К = <0, К, R, *> есть р. м. с. и ГсП, где II,
как и выше, есть множество всех суждений в К. Прнпи-
1 Выражение «принцип сокращения» принадлежит, насколько
нам известно, Кокьярелле.
413
сывание характеризуется, как и выше, при том ограни-
чении, что его значениями при а всегда будут члены Г.
Аналогично, а' не рассматривается как P-варианта, если
не имеет места а' (Р)£Г. Оценки, интерпретации и т. д.
могут затем быть охарактеризованы, как и прежде, за
исключением того, что (ранее пустой) пункт сс'(Р)£П в
(vii) и (viii) устанавливается как ct'(Р) £ Г. Тогда некото-
рая формула будет значима во вторичной модели <К, Г>
тогда и только тогда, когда она верифицирована при всех
приписываниях в этой модели.
В любом случае мы имеем:
Теорема 11. Каждая теорема RP, доказательство
которой не требует А16, значима во всех вторичных
р. м. с. <К, Г>.
Доказательство аналогично доказательству тео-
ремы 10.
Наш обход А16 является обычным в этих случаях;
действительно, хотя А16 имеет место, когда другая пере-
менная или параметр подставляется вместо универсально
квантифицированного Р, мы можем найти вторичную мо-
дель <К, Г>, которая будет опровергать такое простое
следствие из нее, как 2R (R <-> р & у). (См. работу Ген-
кина [ 1953] относительно связанной с этим дискуссии.)
Так как именно спецификация является тем главным, что
заставляет налагать странные ограничения на модели для
логики второго порядка и теории типов, то, по существу,
мы отбираем привилегированную вторичную р. м. с. (то
есть ту, в которой все аксиомы, в частности А16, значи-
мы). Но это не настолько произвольно, как может пока-
заться, поскольку равнозначно обычному требованию, что-
бы в привилегированной р. м. с. суждения были замкнуты
в определенном разумном смысле. Это означает, что выбор
X s П, сокращающий область пропозиционального кван-
тора, не является произвольным, так как мы должны при-
нимать во внимание не только те суждения, которые при-
писываются пропозициональным переменным, но также и
сложные суждения, которые могут быть образованы из
них; отсутствие конъюнкции, например, происходит
вследствие отсутствия замыкания множества суждений по
пересечению, которое позволяет ввести логическую опе-
рацию конъюнкции.
414
Таков набросок пашой пропочцппопальпгиТ семантики;
теперь мы переходим к рассмотрению niriepiipeiaiuni про-
позициональных кванторов как относящихся к предло-
жениям.
§ 15. Подстановочная семантика.
Первонорядковая семантика
Мы получаем более простую технику благодаря при-
нятию подстановочной интерпретации пропозициональных
кванторов. В частности, мы сохраняем семантические оп-
ределения параграфа 3 (не расширяя на пропозициональ-
ные переменные определяемую в нем опенку v). Для про-
позициональной квантификации просто добавляются сле-
дующие пункты, в которых В есть предложение, а в А
нет свободных переменных, за исключением, возможно, Р:
(ix) / ((Р) А, а) = Т тогда и только тогда, когда для
всякого предложения В языка PI. / (Л | В/P], ц) = Т;
(х) / ((ЗР) А, а) = Т тогда п только тогда, когда име-
ется некоторое предложение В языка PL, такое, что
/(А[В/Р], а=Т.
И снова пункт (х) следует, по определению, из (ix) и
(vi). Заметим, что наша подстановочная семантика в про-
тивоположность пропозициональной семантике определяет
семантические понятия только для предложений, а не для
произвольных формул. В обоих случаях это дело конвен-
ции, частично предвосхищенной здесь тем установлением,
которое делает теоремами только предложения. Значимость
и т. п. определяются как и прежде.. При этом подходе
очень легко показать непротиворечивость. Соответственно
мы тотчас же формулируем:
Теорема 12. Все теоремы RP значимы в подстано-
вочной семантике.
Доказательство опускается.
Как было доказано в работе Лебланка и Мейера | 1909],
на уровнях высших порядков очень многое говорит -а
подстановочную или истинностно-значную семантику;
действительно, доказательство полноты Генкина [1950]
показывает, как об этом упоминает сам Генкин, преиму-
щество скорее лингвистической, а не онтологической
интерпретации; хотя интересно размышлять, как мы де-
415
лали выше, о суждениях, но типичное доказательство
полноты для исчислений, подобных RP, будет иметь дело
только с предложениями, только с поименованными суж-
дениями с онтологической точки зрения или, более пес-
симистично, со всем, к чему может относиться кванти-
фикация.
Первопорядковый вариант RQ системы R может быть
сформулирован подобно RP, за исключением того, что в
этом случае специфические трудности, связанные со вто-
рым порядком, не возрастают. Мы предполагаем, что RQ
сформулирована так, как это сделано в работе Мейера
и др. [1972]; для читателя, не знакомого с данной стать-
ей, укажем, чго это обычный первопорядковый язык без
тождества, с предикатными буквами G и т. д., парамет-
рами b и т. д. и индивидными переменными хит. д.;
формулы и предложения образуются, как обычно, с по-
мощью связок и индивидных кванторов. Адекватная
аксиоматизация получается посредством подстановки «х»
вместо «р» в А16—А20 и принятия вместо «В» в А16
произвольного терма «6>, подставляемого вместо «х». Соот-
ветствующей семантикой является следующая.
Релевантная квантификационная модельная структура
(р. к. м. с.) представляет собой пару элементов <К, О>, в
которой К есть р. м. с. и О — непустое множество. Оценка
у в р. к. м. с. есть функция, приписывающая всем перемен-
ным и параметрам члены D и всем n-арным предикатным
буквам С на каждой точке а из К /i-арные отношения1
на D; тогда v приписывает Т или F атомарному предло-
жению Gtlt ..tn в а тогда и только тогда, когда
<v(/j), ..., v(/„)>£ v (G, а). Интерпретация I, ассоцииро-
ванная с v, по-прежнему удовлетворяет (ii)—(vi). (Про-
позициональная константа f должна быть сделана исходной
для RQ в работе Мейера и др. [1972]; мы замечаем, что
для этого достаточно принять условие; 1 (f, а) = Т тогда
и только тогда, когда 0 <ф а*). И снова, следуя Лебланку,
определяем у и у' как х-варианты тогда и только тогда,
когда они согласуются на всех переменных параметрах, за
исключением, возможно, х. Принимая, что I и Г будут
х-вариантами, если ими являются у и у' мы устанавли-
ваем для кванторов:
1 (1) продолжает сохраняться в том смысле, что с< Ь —> v (G,
а) £ v (G, Ь).
41в
(xi) . / ((л) A, <7) T тогда п только тогда, когда
I' (А, о) Г ДЛЯ всякою \ г..||)1Ы11 i.i / /'.
(xii) I (ЭлЛ, «)—Т кида п юлькотогда, когда Г (Л, п)—
=Т для некоторого л-варпапта /
Определяя истинность, верификацию и т. д., как и
прежде, мы получаем:
Т е о р е м а 13. Нее теоремы RQ значимы во всех р. к. м.с.
Доказательство. Как и в предыдущем пара-
графе, расширяем леммы 1—3 и теорему 1 и верифицируем
аксиомы иа произвольной оценке в произвольной р.к.м.с.
Для правил проблемы не возникает (обобщений среди
них не будет ввиду того, что в качестве предложений
принимаются только теоремы), откуда следует, что все
теоремы истинны на произвольной v и, следовательно,
значимы во всякой р. к. м. с.
С нашей квантификационной семантикой довольно тя-
жело работать, и вполне возможно, что она делает зна-
чимыми некоторые известные не-теоремы RQ. Однако мы
в этом сомневаемся. Более интересно, конечно, было бы
вставить релевантность в нашу квантификационную семан-
тику посредством различных областей с различными конст-
рукциями, возможно модифицируя (xi), (xii) и аксиомы RQ.
Для сравнения R с интуиционистским исчислением I
можно заметить, что на квантифнкационном уровне RQ
определенно выходит за пределы IQ относительно прин-
ципа (х) (p\/Fx)->p\/(x)Fx, подробно обсуждаемого
в работе Крипке [1965]. Но в данном случае это имеет
место, поскольку этот принцип может быть принят в ка-
честве аксиомы RQ; выбор семантики в интуиционистском
направлении, по-видимому, не выдвигает принципиальных
трудностей; является ли такой выбор желательным с реле-
вантной точки зрения — это другой вопрос, обсуждаемый
в работе Мейер и др. [1972].
Первопорядковая истинностно-значная семантика, соот-
ветствующая семантике предыдущего параграфа, для RP,
может быть получена таким же образом. И снова заметим,
что семантическая непротиворечивость — это не проблема;
мы думаем, что полнота тоже.
417
§ 16. Последние замечания
Открытые проблемы. Мелочи
Наше главное обещание выполнено. Система R имеет
крнпкевскую семантику. То же самое относится и к родст-
венным системам. Нашу семантику мы обосновывали с раз-
личных точек зрения, но имеются и другие, которых мы
не касались. Мы показали, что в некоторых отношениях
наша семантика хороша; легкость, с которой мы получили
наши результаты, позволяет надеяться на то, что и дру-
гие трудные проблемы, в частности проблема разреши-
мости, окажутся более доступными для анализа и решения.
О некоторых из этих проблем можно сказать здесь.
Алгебраическая сущность нашего доказательства пол-
ноты заключается в том, что оно дает нам средство пре-
вратить простои моноид де-Моргана в релевантную мо-
дельную структуру; можно просто рассмотреть множество К
простых фильтров этих моноидов и использовать моноид-
ную операцию для определения R естественным образом;
операция * обычно не создает трудностей. С другой сто-
роны, определение р. м. с. может оказаться напрасной
тратой времени; читатель, заинтересованный в восстанов-
лении подробностей, должен принять меры предосторож-
ности относительно закона Паша, рЗ. Поэтому способ
нашего доказательства полноты, более ясно выраженный
в следствии 9.1, можно приветствовать; в частности, на
примере преобразования моноидов де-Моргана в р. м. с.
можно увидеть, как проблемы, решаемые с помощью
матричного метода, могут обсуждаться в нашей семантике.
Рассмотрим р. м. с. К=<0, К, R, *>:
к={°, !> 2};
0*=0; 1*=2; 2* = 1.
R справедливо для следующих троек и не имеет места
в остальных случаях: ООО, ОН, 101, 022, 202, 111, 222,
121, 122, 120, 211, 212, 210.
К была независимо открыта Урквартом в применении
этих семантических методов к моноиду де-Моргана 1 Мо,
1 Строго говоря, в работах Белнапа [1967] и Данна и Белнапа
[1968] Мо рассматривается как решетка де-Моргана, то есть о не
определена на нем; но в работе Белнапа [I960] опа первоначально
появляется в качестве матрицы; определение о через — (а -»• Ь) де-
лает ее моноидом.
418
которых в работах Белнапа [I960], Андерсона и Бел-
напа [1962] и других использовался для обоснования
центральных семантических факторов относительно реле-
вантных логик. Мы замечаем также, что К„ i некотором
смысле является минимальной, ибо служит ..апмепынеп
р. м. с., для которой справедливы все следующие усло-
вия: (а) нормальность в смысле 0*=-0; (й)< не является
линейно упорядочивающим (поэтому К не смешанная
р. м. с.); (с)* не тождество. Мы замечаем, что если эти
условия даны, то постулаты выну/кдакл icpiiapiioe отно-
шение иметь место по крайней мере в перечисленных
тройках.
Впервые Мо была использована в работе Белнапа [1960]
для обоснования принципа релевантности: если A R-
влечет В, то (на пропозициональном уровне) А и В имеют
общий параметр. Покажем это в К, предположив, что
А и В не имеют общего параметра. Если р встречается в А,
устанавливаем v (р, 1)=71; если р встречается в В, уста-
навливаем v (р, 2)=Т; устанавливаем, далее v (р, a)—F
для всякого а в К, за исключением того, что сказано
в этих условиях. Посредством индукции покажем, что
для каждой подформулы А' формулы А и В' формулы В
I (А', 1)=Т и I (В', 1)=/'’, а также, то что относится к 2.
Нам нужно рассмотреть только индуктивный случай:
& и V индуктивно тривиальны; если А' есть F в 2,
то А' есть Т в 2* = 1, что показывает стратегию для
случая—. И наконец, рассмотрим А'-* А", во-первых,
эта формула, несомненно, имеет F в 2, так как R212 и,
по индуктивному предположению, / (А', 1)=Т и I (А",
2)=F. С другой стороны, эта формула истинна в 1, так
как в пяти случаях, в которых 1 служит первым аргу-
ментом R—101, 111, 121, 122, 120,— для первых трех
случаев контрпример нельзя получить, поскольку с А"
есть Т в 1, а для последних двух этого нельзя сделать
в силу того, что А' ложно в 2 на основании индуктивного
предположения; поэтому А'->А" есть Т в 1. Случай с В
трактуется симметрично, что и заканчивает индуктивный
аргумент, показывая, что / (А, 1)=Т и I (В, 1)=F.
Этого достаточно для того, чтобы показать, что А не вле-
чет В при I и что, следовательно, А не R-влечет В.
По контра позиции мы получаем принцип релевантности.
Второй случай использования Мс встречается в работе
Андерсона и Белнапа [1962]; этот моноид был исполь-
419
зован для того, чтобы показать, что Aj&. .
-*.Вх V • • • V-В,, будет теоремой тогда и только тогда,
когда все и By являются пропозициональными пере-
менными или их отрицаниями и некоторое А{ идентично
некоторому By. Случай „если" тривиален, поэтому мы,
как и прежде, принимаем, что в настоящем случае,
утверждая АрА^В, для всяких i, /, нужно показать
„и только если" посредством контрапозиции Если для
некоторого р A (i)=P, устанавливаем v (Af, 1)=Т; если
At=p, устанавливаем v (Alt 2)=F; если Ву=р, уста-
навливаем v (Ву, 1)=F; если Ву=р, устанавливаем
v (By, 2)=Т. Так как эти спецификации не конфликтуют
между собой, то, произвольно выбирая v, за исключением
данных спецификаций, мы снова делаем антецедент истин-
ным, а консеквент ложным в 1 при v и фальсифицируем
следование, а затем по контрапозиции обосновываем то,
что нужно было показать. (Рассуждения этого вида по-
дробно оправдываются в работе Роутлея [1972], здесь
нас интересует только Ко)
По-видимому, о тех скромных результатах, которые
могут быть получены, сказано уже достаточно; все это,
конечно, нетрудно, ибо эти результаты были уже полу-
чены ранее, и еслп принять во внимание некоторые пре-
позиционные мотивировки, данные Андерсоном и Бел-
напом в их статье и повторенные в их работе [1972], то
наши результаты не дают существенного улучшения
в работе с Ко. Но можно получить и такие результаты,
которые были бы новыми; например, приняв декартово
произведение р. м. с., как это сделано в следствии 9.2.
можно доказать, что R приемлема в смысле Холдена,
то есть если А=зВ является теоремой и при этом знак
„гэ“ определен истинностно-функционально, то или одна
из формул А, В будет теоремой, или (на пропозицио-
нальном уровне) у А и В имеется общий параметр. Бла-
годаря результату Крипке это влечет, что R имеет нор-
мальную характеристическую матрицу, если выполнены
другие условия. Последняя приятная новость использо-
вана в работе Мейера [1972d], поэтому мы о ней и ска-
жем. Как было замечено, RP есть консервативное рас-
ширение R. С целью доказательства возьмем не теорему А
системы R и найдем р. м. с., которая опровергает эту
не-теорему; приписывая каждому параметру А, множество
420
миров, в которых этот параметр iicunieti, мы получаем
пропозициональное приписывание в смысле nap.ii рифа 13
В той же самой р. м. с., которая фальсифицируй! Л. Отсюда,
по теореме 10, А остается не-теоремой RP, что и закан-
чивает доказательство.
Вот некоторые проблемы, которые должны быть ре-
шены и относительно которых, как мы надеемся, настоя-
щая семантика окажется полезной.
1. Проблема разрешения для пропозициональных реле-
вантных логик.
2. Расширение этих методов на логики высшего по-
рядка с нетривиальными математическими приложениями
И соответствующее доказательство полноты. Если есть
выбор, мы предпочитаем приложения.
3. Более серьезный анализ отношения между интуи-
1ИОНИСТСКОЙ и релевантными логиками. Насколько, в част-
юсти, релевантность гарантирует безвредность отклонения
i сторону не-конструктивных аргументов? (Некоторые
результаты в этой области встречаются в работе Мейера
1972е].)
" Является ли RP разрешимой? (Мейер полагает, что
г него есть основания сказать „пет“, по не вполне уве-
рен.) И в общем чему подобна RP? Может ли наша тео-
!ия суждений быть охарактеризована более сжатым обра-
зом? Что из результатов работы Мейера [ 1972d], в который
:ропозицнональная квантификация применяется к родст-
венным логикам, подобным I и D Карри, приложимо к R?
1меют ли они легкие доказательства в настоящей се-
I антике?
5. Необходимость будет добавлена к R в дальнейшем,
io что можно сказать относительно других модальнос-
тей, пропозициональных отношений и т. д.? Могут ли они
>ыть добавлены при помощи прямой аналогии с другими
рактовками или потребовали бы более глубокого рас-
мотрения релевантной импликации?
6. Семантические таблицы. Генценовские формули-
ровки. Как настоящая семантика помогает механизировать
I изображать релевантную дедукцию? Поскольку она
!ротивопоставляется формулировке R в виде натураль-
\ой дедукции, здесь возможны сложности; генценизация
1 4- Данна является лучшим результатом. Может ло он
|ыть расширен на всю R?
421
ЛИТЕРАТУРА
Anderson A. R. Some Open Problems Concerning the System
of Entailment—“Acta Philosophica Fennica”, vol. 16, 1963, p. 7—i
Anderson A. R. An Intensional Interpretation of Truth-Valw
1972.
Anderson A. R. and В e I n a p. Jr., N. D. Enthymemes.—“1
Journal of Philosophy”, vol. 58, 1961, p. 713—723.
Anderson A. R. and В e 1 n a p Jr., N. D., Tautological Enta
ments.— “Philosophical Studies”, vol. 13. 1962. p. 9—24.
Anderson A. R. and В e 1 n a p Jr., N. D. Entailment. Print-
ton, 1972.
Bel nap Jr., N. D. Entailment and Relevance.— “The Jourm
of Symbolic Logic”, vol. 25, 1960, p, 144—146.
В e 1 n a p Jr., N. D. Intensional Models for First Degree Form;
las.—“The Journal of Symbolic Logic”, vol. 32, 1967, p. 1—22.
Bilanicki-Birula A. and R a s i о w a H. On the Represei
tation of Quasi — Boolen Algebras, Bull. Acad. Polon. Sci., vol. Г.
1957, p. 259—261.
Bull R. A- On Model Logic with Propositional Quantifiers.-
“The Journal of Symbolic Logic”., vol. 34, 1969, p. 257—263.
Church A. The Weak Theory of Implication.—“Kontrolliert
Denken”, eds. Menne A., Wilhelmy A. and Angsil H. in honor
Prof. W. Britzelmayr. Munich, 1951, p. 22—37.
Dunn J. M. Algebraic Completeness Results for R.,Mingle aj
its Extensions.— “The Journal of Symbolic Logic”. Vol. 35, 197<
p. 1—13.
Dunn J. M. and В e 1 n a p Jr., N. D. Homomorphisms of Inte.
sionally Complemented Distributive lattices.— “Mathematische Ann.
len”. vol. 176, 1968, p. 23—28.
H e n к i n L. Compliteness in the Theory of Types.— “The Jot"
nal of Symbolic Logic”, vol. 15, 1950, p. 81—91.
HenkinL. Banishing the Rule of Substitution for Functu
nal Variables.— ’’The Journal of Symbolic Logic”, vol. 18, 195 -
p. 201—208.
KripkeS. Semantical Analysis of Modal Logic I.— “Zeitschrift ft.-
mathematischeLogik und Grundlagen der Mathematik”, vol. 9, 1963, p. 67
96. (рус. nep. в кн.:Ф e й с. Модальная логика, M., 1974 ,c. 254—303-
Kripke S. Semantical Analysis of Intuitionistic Logic I -
“Formal Systems and Recursive Functions”, eds. Crossley J N. at.
Dummet M. A. E.) Amsterdam, North—Holland, 1965, p. 2—12‘-
Leblanc H. and Meyer R. K. Truth —Value Semantics f<
the Theory of Types.— ’’Philosophical Problems in Logic, Some Recc:
Developments” (ed. Lamberd K-) Dordrecht. 1969, p. 77—101
Meyer R. K- Entailment and Relevant Implication.—”Lo|.
que et Analyse” no. 44, 1968, p. 472—479.
M e у e r R. K- A Characteristic Matric ior RM, Mimeograph..
1968 b.
Meyer R. K. Conservative Extension in Relevant Implication.-
“Studia Logica”, 1972a.
M e у e r R. K. On Conserving Positive Logics.— “Notre Dan
Journal of Formal Logic”, 1972b.
Meyer R. K. Metacompleteness. 1972c.
422
Meyer R. К. Entailment, liiliiilmmin. N> p.il "Inilli, SynLiv
and Modality”, Anrtnd.nn I >nd<>n. l-r. M p n..". lift
M e у v i к i' . N> p ii h.j. 1 о .11 hi. <1 ..I • i. ।. I 1 li> 11>ui n.11 >!
Symbolic Logic",
Meyer R K. ami D u n n .1 M I l> And .1 I tn- loin nal
of Symbolic Logic”, vol 31, 1'м.ч, p n,u i/i
Meyer R К., I) u и n .1 M ami I I ,i u> II < oinjili leiuss
of Relevant Quntificalion lln-oiu “L'.nh (i.iiih- .loinnal of l onnel
Logic”, 1972.
R a s i о w a II. and S i k о i s U i R I lie Mallieinnl ics ol Mi farna-
thematics. Warsaw, 1963 (рус. nep.. M., 19/2)
R outley R. The Scmanlics ol l-'iist dcgiee EnLulinent, 1972.
Ur quart A. Semantic1 lot Relevant logics.— “The Jounia! of
Symbolic Logic”, 1972.