/
Автор: Брахман Т.Р.
Теги: кибернетика математика математический анализ издательство радио и связь многокритериальность
Год: 1984
Текст
Т. Р. Брахман
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТЬ
И ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВЫ
В ТЕХНИКЕ
Т. Р. Бр ахма и
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТЬ
И ВЫБОР АЛЬТЕРНАТИВЫ
В ТЕХНИКЕ
МОСКВА «РАДИО И СВЯЗЬ» 1984
Ы ("31
li .47
II ь" I ..'177.39
Ьрахман Т, Р.
Мпогокритерпальность и выбор альтернативы в
н мшке. — М.; Радио и связь, 1984. - 288 с., ил.,
В пер.: 1 р. 30 к.
Развивается метод выбора объективно предпочтительного p.ipii.ui
i i многокритериалытей технической системы из нескольких d.'iMipn.i
«ив В основу метода положено понятие полезности системы как
'Oo6iu.eHH.oro показателя степени ее совершенства, выражаемого в ко
(пчоственргой форме через частные критерии. Метод иллюарируеи-я
примерами из различных областей техники.
Для инженеров—разработчиков технических систем, а тгм-жс дня
пецвалистов, занимающихся планированием и управлением раяшиы
повой техники.
7502000000-046
046(01)-84
ББК 32.81
6Ф0.1
Рецензенты: д-р техп. наук, проф. В. Д. ЗУБАКОВ,
капд. техн. на} к В. В. АБРАМОВ
Редакция литературы по кибернетике
и вычислительной технике
С) Издательство «Радио и связь-. 1984
ВВЕДЕНИЕ
Жизнь каждого человека заполнена альтернативами. С мо-
мента начала сознательной деятельности и до глубокой старости,
с момента утреннего пробуждения и до отхода к ночному сну че-
ловек непрерывно оказывается перед необходимостью принимать
те или иные решения. Эта необходимость обусловлена тем, что
каждая возникшая ситуация может иметь два или несколько вза-
имно исключающих исходов и из них надо выбрать предпочти-
тельный. В выборе предпочтительного исхода и состоит принятие
-решения.
Если альтернативы, бесконечной чередой встающие перед че-
ловеком, трактовать как некое множество, то оно будет включать
в себя по крайней мере три пересекающихся подмножества аль-
тернатив: в личной жизни, в общественной и производственной
деятельности.
Часто альтернативы связаны со сложными ситуациями, харак-
теризующимися многими критериями и многими ограничениями. В
зависимости от жизненного опыта, знаний и свойств характера
человек сразу же или после длительных раздумий и колебаний
принимает решение, т. е. производит выбор альтернативы, пред-
ставляющейся ему предпочтительной. При этом обычно выбор
производится интуитивно, и точный путь, приведший к нему, не
может описать и сам автор решения, хотя известно, что он каким-
то образом принял во внимание и взвесил все относящиеся к делу
критерии и все ограничения. Такое своеобразие присуще альтер-
нативам всех трех названных выше видов. Изучение скрытой ло-
гики выбора предпочтительной альтернативы из подмножеств пер-
вого и второго вида — задача психологов и социологов.
Подмножество альтернатив в производственной деятельности
включает в себя, в свою очередь, подмножества следующего ран-
та. Условно последние можно разбить на альтернативы организа-
ционного характера, собственно производственно-технологические
альтернативы и, наконец, научно-технические альтернативы.
Конечно, для социологов и психологов и здесь открывается об-
ширное и плодотворное поле деятельности, но научно-технические
альтернативы являются предметом пристального внимания и изу-
3
чения в первую очередь тех специалистов, которые имеют непо-
средственное отношение к решению научно-технических задач.
Настоящая работа посвящена проблеме альтернатив, возни-
кающих перед создателями новой техники. Таким образом, из
множества, которое образуют альтернативы различных видов,,
предметом рассмотрения является лишь часть подмножества аль-
тернатив второго ранга.
От момента возникновения необходимости создать новую тех-
ническую систему до момента, когда такая система выходит из
серийного производства и поступает в эксплуатацию, проходит
ряд этапов. Первый этап состоит в четком определении назначе-
ния системы и предварительном формулировании требований, ко-
торым она должна удовлетворять. Далее начинается поиск прин-
ципов построения системы, ее структуры и состава, предваритель-
ное проектирование, оценка характеристик системы и степени
выполнения заданных требований. Этот начальный этап разработ-
ки нередко выполняется несколькими коллективами независимо,
на конкурсных началах. Цель такой организации работ—полу-
чить возможность выбрать для реализации наилучший в том или
ином смысле вариант решения поставленной задачи.
Здесь нам придется сделать небольшое отступление. В послед-
нее десятилетне, благодаря, по-видимому, огромным успехам при-
кладной математики, как неукротимая эпидемия повсеместно рас-
пространилось понятие «оптимальность». Люди самых различных
областей деятельности, желая завоевать признание своим пред-
ложениям, к месту и не к месту привешивают им ярлык «опти-
мальное», полагая, что этим они придают своим предложениям
привлекательность и убедительность. В действительности понятие
«оптимальное решение» имеет вполне определенное значение: оно
означает в принципе самое лучшее в том или ином смысле реше-
ние, допускаемое обстоятельствами. И нет ничего труднее, чем
доказать, что данное решение действительно оптимально.
Особенно трудно говорить об оптимальности технических си-
стем. В подавляющем большинстве случаев одна и та же техни-
ческая задача может быть решена несколькими способами, раз-
личающимися не только внешними характеристиками, схемами и
конструкциями, но даже физическими принципами, положенными
в ее основу. При этом одно из решений может превосходить дру-
гое по одним свойствам и уступать ему по другим. В этих усло-
виях часто чрезвычайно трудно сказать не только, какая из си-
стем оптимальна, но даже—какая из них предпочтительнее.
Приступая к разработке новой технической системы, се созда-
тели нередко оставляют в стороне вопрос об «оптимальности», но
в меру своих знаний, опыта и изобретательности ищут такое ре-
шение, которое им представляется наилучшим. Представление о
паилучшей системе — это не просто интуиция, а вывод, основан-
4
ный на ряде логических и количественных оценок. Для начального
этапа разработки характерны повышенный тонус, энтузиазм, целе-
устремленность, высокая творческая активность коллектива раз-
работчиков. В итоге рождаются замысел и первоначальные конту-
ры будущей системы.
Но происходит еще одно важнейшее явление: рождаются «кон-
курирующие варианты» системы или ее отдельных частей. Это
бывает не только при выполнении первого этапа разработки не-
сколькими коллективами на конкурсных началах, но и в недрах
одного коллектива. Причина такого явления уже упоминалась:
техническая задача в подавляющем большинстве случаев имеет
множество решений.
В результате перед разработчиками, которым раньше надо*
было «придумать», как решить задачу, возникает новая своеоб-
разная задача: какой из появившихся вариантов избрать, какому
отдать предпочтение? Если бы один из вариантов по всем харак-
теристикам, включая экономические, превосходил другой или дру-
гие, то вопрос решался бы элементарно. Но в том то и дело, что
до стадии сравнения доживают лишь такие варианты, которые
явно конкурентоспособны: каждый из вариантов в чем-то лучше,
а в чем-то хуже других.
И здесь изменяется и поведение, и душевное состояние разра-
ботчиков: появляется беспокойство, неуверенность, желание най-
ти обоснования для выбора. Причина заключается в понимании
высокой ответственности подобного решения, в понимании невоз-
можности что-либо изменить, если все варианты отметены, а один
выбран и пошел в рабочее проектирование и далее — в производ-
ство. Причина заключается и в опасении, что в действительности
более совершенный вариант из-за ошибочного выбора окажется
«за бортом».
Заметим, что описанная ситуация характерна отнюдь не толь-
ко для технической системы в целом, но и для ее отдельных
устройств, агрегатов и элементов. Изменяется лишь количество
специалистов в иерархии коллектива разработчиков и число тех,
кто оказался перед проблемой выбора.
Для проектирования технической системы и ее средств в рас-
поряжении разработчиков имеется множество общих и специаль-
ных дисциплин. Математика, физика, химия, механика, электро-
техника, радиотехника, сопротивление материалов, аэродинамика,
оптика, акустика, теория вероятностей и математическая стати-
стика, инженерная психология, теория надежности, системотехни-
ка— вот небольшая выборка из того обширного набора дисци-
плин, которые находятся в распоряжении разработчиков новых
технических систем и используются ими.
Но какие дисциплины могут быть использованы для обосно-
ванного выбора предпочтительного варианта проектируемой си-
5
стемы? Эти дисциплины существуют и объединены общим назва-
нием «Исследование операций». Само названий и основы этой спе-
цифической отрасли прикладной математики Появились во время
второй мировой войны, когда потребовалось находить наилучшие
решения задач в условиях неопределенности, связанных с прове-
дением различных военных операций. В послевоенные годы и ме-
тоды и область приложения «Исследования операций» далеко
вышли за свои первоначальные пределы, но название осталось
прежним. В настоящее время в «Исследование операций» вклю-
чают математическую теорию игр, теорию статистических реше-
ний, линейное программирование, динамическое программирова-
ние, теорию управления запасами, теорию массового обслужива-
ния, теорию назначений и т. п.
Применение методов исследования операций оказалось весьма
плодотворным при решении народнохозяйственных задач, таких
как задачи планирования, транспортные, задачи загрузки тех-
нологического оборудования, оптимизации складских запасов ма-
териалов и комплектующих изделий для непрерывного производ-
ственного процесса, загрузки электроэнергетических сетей и ли-
ний связи и т. п.
Но методы исследования операций характеризуются важной
особенностью: они предполагают наличие одной целевой функции
в каждой задаче. Оптимальное решение, которое позволяют най-
ти методы исследования операций, означает максимизацию (или
минимизацию) целевой функции. Задачи, где выделена одна целе-
вая функция, называют однокритериальными задачами.
Альтернативы, перед которыми оказываются разработчики но-
вых технических систем, в большинстве случаев не могут быть
отнесены к однокритериальным задачам. Но тогда к ним нельзя
применить аппарат исследования операций.
Любая техническая система, особенно система сложная, ха-
•рактеризуется многими свойствами, определяющими ее потреби-
тельскую ценность. Среди этих свойств есть такие, величину ко-
торых желательно всемерно увеличивать, есть и такие, которые
желательно минимизировать.
Рассмотрим, например, такую техническую систему, как пас-
сажирский морской теплоход. Ясно, что желательно увеличивать
такие характеристики теплохода, как число пассажирских мест,
скорость хода, стабильность микроклимата в каютах, степень
ослабления качки при волнении моря, степень комфорта в каютах
и вспомогательных помещениях. В то же время желательно ми-
нимизировать расход горючего в двигателях теплохода на милю
пути, отношение массы конструкции к массе полезной нагрузки,
стоимость изготовления теплохода, амортизационные расходы па
единицу пути или на единицу времени эксплуатации и т. д.
6
Обратимся теперь к другой технической системе — ретран-
слятору телевизионных программ, расположенному на геостацио-
нарном искусственном спутнике Земли. Желательно, чтобы мощ-
ность излучаемых сигналов была велика, чтобы их можно было
принимать непосредственно на обычные телевизионные приемни-
ки (бытовые) с их примитивными антеннами. Желательно, что-
бы ретранслируемый сигнал излучался в широком пространст-
венном секторе с целью обеспечения возможности приема в пре-
делах всей полусферы Земли, обращенной к ретранслятору. Жела-
тельно также, чтобы ретранслятор обладал максимальной широ-
кополосностыо в интересах одновременной передачи максималь-
ного числа телевизионных программ на разных несущих частотах.
С другой стороны, желательно, чтобы потребление электроэнер-
гии ретранслятором было минимальным, количество выделяемого
в аппаратуре тепла также было как можно меньше, чтобы мини-
мальной была масса ретранслятора и размеры его антенн. Важно,
чтобы были минимизированы требования к точности стабилизации
и ориентации его антенн. Наконец, важно, чтобы срок службы
ретранслятора был как можно больше.
Подобных примеров можно привести сколько угодно.
Что же мешает конструктору увеличить, насколько это жела-
тельно, все тс характеристики, возрастание которых повышает
потребительские качества системы, и уменьшить до предела все
те свойства, минимизация которых улучшает систему? Этому пре-
пятствует взаимная зависимость между отдельными характеристи-
ками и ограничения, существующие для каждой системы. Так,
для ретранслятора геостационарного ИСЗ наверняка будет ого-
ворена допустимая максимальная масса. При этом мощность пе-
редатчика оказывается уже ограниченной, тем более, что часть
общей массы надо выделить для солнечных батарей, питающих
электроэнергией тот же передатчик, для антенны и устройств ори-
ентации и стабилизации, для устройств охлаждения. Увеличивая
размеры антенны, мы вынуждены будем уменьшать массу пере-
датчика. Повышая срок службы ретранслятора путем дублирова-
ния наименее надежных элементов, мы также вынуждены будем
выделить для этого некоторую массу, пожертвовав мощностью
передатчика, мощностью солнечных батарей или размерами ан-
тенны и т. д.
Таким образом, ограничения и связи между отдельными су-
щественными характеристиками технической системы приводят к
необходимости идти на компромисс и выбирать для каждой ха-
рактеристики не максимально возможное в принципе значение, а
меньшее значение, при котором и другие важные характеристики
тоже будут иметь приемлемую величину.
Но когда мы оцениваем техническую систему или сравниваем
между собой несколько вариантов ее построения, мы не можем
7
ограничиваться сравнением по одной какой-либо характеристике,
а должны принять во внимание всю их совокупность. Те сущест-
венные характеристики системы, которые принимаются во внима-
ние при оценке или сравнении систем, называют частными кри-
териями. Поэтому задача опенки или сравнения технических си-
стем с целью выбора из имеющихся альтернатив предпочтитель-
ной называется многокритериальной задачей.
В последнее десятилетие интерес к многокритериальным за-
дачам значительно возрос. Это объясняется многими причи-
нами. Основная из них заключается в том, что современные тех-
нические системы становятся все сложнее и дороже, поэтому сроки
создания п освоения в серийном производстве систем возра-
стают. В современном урбанизированном мире появление новой
системы надо оценивать, наряду с прочими факторами, и по сте-
пени воздействия системы па окружающую среду, и по другим
отдаленным последствиям, которые может вызвать ее распростра-
нение. Таким образом предпочтительность альтернативы опреде-
ляется совокупностью частных критериев.
С другой стороны, научно-технический прогресс продемонст-
рировал могущество и плодотворность применения математиче-
ских методов для решения сложнейших задач. Особенно большие
возможности в этом отношении открылись с появлением высоко-
производительных ЭВМ (на которые порой пытаются возложить
«ответственность» за решение таких проблем, которые по суще-
ству находятся и будут в обозримом будущем находиться только
в компетенции человека). Поэтому вполне естественно, что появи-
лось стремление найти строгие математические подходы к такой
важной и ответственной области, как многокритериальные аль-
тернативы в технике.
Но эта область оказалась пока «крепким орешком».
Многочисленные исследования проблемы решения многокри-
териальных задач, появившиеся в последнее десятилетие, направ-
лены на изыскание путей нахождения оптимальных решений с
учетом всей совокупности частных (или, как их еще называют,
локальных) критериев и ограничений. Существенным моментом
в теории решения многокритериальных задач является само по-
нятие оптимальности. В отличие от однокритериальных задач, в
которых оптимальность характеризуется максимумом (или мини-
мумом) единственной целевой функции, в многокритериальных
задачах оптимальное решение может представлять собой лишь
некоторый должным образом обоснованный компромисс между ве-
личиной частных критериев, поскольку каждый из них в той или
иной мере представляет собой целевую функцию. Отсюда возник-
ло и другое название многокритериальных задач — многоцелевые
задачи.
8
Некоторые авторы предлагают рассматривать решение много-
критериальной задачи как вектор многомерного пространства, со-
ставляющими которого являются частные критерии системы. При
такой трактовке оптимальное решение означает максимизацию
(или минимизацию) этого многомерного вектора, а те значения
частных критериев—составляющих вектора, при которых он до-
стигает экстремального значения, и являются оптимальными зна-
чениями этих частных критериев. Подобный подход привел к по-
явлению понятия «векторная оптимизация». В гл. 1 настоящей
работы кратко рассмотрено современное состояние проблемы по-
иска оптимальных решений многокритериальных задач.
Отметим, что сложность этой проблемы обусловлена не вычи-
слительными, а концептуальными (логическими) трудностями.
Пока эти трудности нельзя еще считать преодоленными. В резуль-
тате те методы, которые может предложить для практики теория
векторной оптимизации, носят на себе заметную печать субъекти-
визма. Это приводит к тому, что и получаемые решения не обла-
дают должной убедительностью. Видимо, поэтому теория вектор-
ной оптимизации развивается ее сторонниками и энтузиастами,
а практики относятся к рекомендациям этой теории скептически
и стараются обходиться в практических делах иными средствами:
интуицией, методом проб и ошибок, методом экспертных оценок,
оптимизацией частных решений, охваченных инженерными теория-
ми. В результате создаются системы с очень высокими потреби-
тельскими свойствами. И каждая последующая система совершен-
нее предыдущей, поскольку при ее создании используется нако-
пленный опыт.
В последнее время появился плодотворный метод функцио-
нально-стоимостного анализа (ФСА) для отыскания решений,
приближающихся к оптимальным по критерию эффективность-—
стоимость. ФСА требует знания большого числа зависимостей
между отдельными характеристиками системы и поэтому успешно
применяется в основном для повышения качества и снижения тру-
доемкости достаточно простых технических изделий, хотя нет со-
мнений, что область применения ФСА будет постепенно расши-
ряться.
Нисколько не умаляя важного значения дальнейшего развития
и совершенствования теории оптимального решения многокрите-
риальных задач, заметим, что при разработке любой сложной
системы уже сейчас никуда не уйти от необходимости выбора,
потому что альтернативы, как уже указывалось, неизбежно воз-
никают как для системы в целом, так и для ее отдельных частей.
И выбор так или иначе но всегда производится.
Представляется поэтому, что изыскание методов выбора объ-
ективно предпочтительной альтернативы применительно к слож-
ным техническим системам является актуальной задачей.
9
Задача выбора предпочтительной альтернативы (или кратко—
задача выбора) проще задачи отыскания оптимального решения,
так как не требует знания функциональных зависимостей между
всеми частными критериями. Однако не требует пояснений
утверждение, что и в задачах выбора возникают немалые кон-
цептуальные трудности.
Настоящая работа представляет собой попытку наметить пути
решения задачи выбора объективно предпочтительной альтерна-
тивы на этапе проектирования многокритериальных технических
систем. В основу метода положено понятие объективной полез-
ности технических систем общественного использования как ком-
плексного свойства системы, «впитавшего» в себя все частные
критерии системы. Существование такой объективной полезности,
могущей быть выраженной количественно, в известной степени
постулируется, по затем подтверждается на многочисленных при-
мерах анализа технических систем самого различного назначения.
Следующий наиболее трудный шаг развиваемой методики за-
ключается в установлении аналитической зависимости полезно-
сти от частных критериев системы. Этот этап решения задачи вы-
бора не может быть сведен к набору однозначных правил дейст-
вий. Установление упомянутой аналитической зависимости являет-
ся смесью науки и искусства.
Такое заявление может покоробить тех, кто привык в своей
деятельности руководствоваться строго установленными метода-
ми. Но ведь доказано, что и само проектирование технических
систем также лежит на грани между наукой и искусством [1—8].
Эго тем не менее не мешает достаточно подготовленным специа-
листам с успехом создавать множество эффективных сложных
систем. Как сказал известный математик Д. Пойа, «при решении
задачи не следует ставить вопрос: существуют ли законы эвристи-
ки, т. е. точные правила, которых необходимо придерживаться
для того, чтобы что-либо открыть? Вопрос надо ставить так: су-
ществуют ли какие-либо принципы или афоризмы, выражающие
установки, полезные для решения задач?» [9, с. 276]. Не случай-
но в название своей книги об имитационном моделировании
Р. Шеннон ввел слова «искусство и наука» [1].
Изложение принципов подхода и метода решения задач выбо-
ра в настоящей работе сопровождается большим количеством
примеров их приложения к конкретным системам. При этом пре-
следовалась цель не только сделать утверждения более нагляд-
ными и доходчивыми, но и повысить шансы на состоятельность
самого метода. Мы руководствовались при этом правилом 4 «Ма-
тематических начал натуральной философии» Исаака Ньютона,
гласящим: «Считать правильным всякое утверждение, полученное
из опыта с помощью индукции, до тех пор, пока не будут обнару-
10
жены другие явления, которые ограничивают это утверждение
или противоречат ему» [10, с. 128].
Примеры приложения метода важны для его практического
освоения. Мы полностью присоединяемся к утверждению Д. Пойа:
«...я считаю конкретные примеры гораздо более ценными, чем лю-
бые общие рассуждения» [9, с. 295].
Поскольку многочисленные приложения развиваемой в настоя-
щей работе методики неизменно приводили к положительному ре-
зультату, есть основания полагать, что мы стоим на правильном
пути и что предлагаемый метод выбора предпочтительной аль-
тернативы многокритериальной системы может найти полезное
практическое применение.
Приемы, с помощью которых в настоящей работе отыскива-
ются основания для объективного решения задачи выбора, в со-
временной терминологии относятся к области, называемой систем-
ным подходом. Это значит, что роль каждого частного критерия
взвешивается с точки зрения его влияния на свойства системы в
целом. При этом вид объединения частных критериев в единую
функцию полезности заранее не предопределяется, а устанавли-
вается в результате анализа сущности функционирования систе-
мы и роли каждого частного критерия в этом процессе.
Автор отчетливо понимает, что им сделан лишь первый шаг
в решении этой задачи. Он не сомневается, что в работе есть не-
достатки и спорные положения, и будет благодарен тем, кто на
них укажет.
Представляется, что в современных условиях, когда создавае-
мые сложные технические системы требуют огромных затрат тру-
да, времени и материальных средств, любые методы, позволяю-
щие более объективно выбирать предпочтительные альтернативы,
должны представлять интерес и побудить специалистов обратить
на эту область технического творчества более пристальное вни-
мание.
Глубокое убеждение в справедливости этих положений стиму-
лировало создание настоящего труда и привело к выводу о целе-
сообразности вынести его па суд специалистов.
Г лава 1
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
1.1. ВИДЫ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ
Отыскание оптимального решения по нескольким критериям
всегда представляло собой актуальную задачу. В любом техни-
ческом устройстве есть такие характеристики, количественные зна-
чения которых желательно максимизировать, а есть и такие, ко-
торые желательно количественно всемерно уменьшать.
Но между отдельными характеристиками существует взаимная
зависимость и действует ряд ограничений. В результате этого ока-
зывается, что вне некоторой области, называемой областью согла-
сия, увеличение одних характеристик неизбежно влечет за собой
уменьшение других, причем тех, численные значения которых же-
лательно также увеличивать, и наоборот. Область, где характе-
ристики взаимно обусловлены, называют областью компромисса.
В течение длительного времени к подобным внутренним проти-
воречиям технических (да и всех других видов) задач подходили
следующим образом: из множества характеристик выбирали одну,
наиболее важную в рассматриваемой задаче, и требовали се мак-
симизации при условии соблюдения определенных ограничений;
при этом остальные характеристики либо подпадали под катего-
рию ограничений либо принимались такими, которые получались
при максимизации основной характеристики.
Сегодня такие задачи называют однокритериальными или од-
ноцелевыми. Для решения однокритериальных задач создан и уже
давно успешно применяется развитый математический аппарат, в
том числе аппарат исследования операций.
Но если максимизация одной из наиболее важных характери-
стик системы влечет за собой неприемлемое снижение другой су-
щественной характеристики, то одпокритер дальний подход к за-
даче становится уже несостоятельным. Вместе с тем, как указы-
вают Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн: «Ведущий принцип не
может формулироваться в виде требования одновременной макси-
мизации двлх и более функций» [11, с. 37]. Поэтому к выбору
оптимального решения в подобных случаях нужен какой-то дру-
гой подход.
В последние 10—15 лет ведутся интенсивные поиски методов
отыскания оптимальных решений в задачах, характеризующихся
многими критериями (многокритериальная или векторная оптими-
зация) .
В зависимости от того, в каком виде проявляется действие раз-
личных критериев, многокритериальные задачи могут быть раз-
биты па несколько классов [12].
Класс 1 — множество качеств. При выборе решения должны
приниматься во внимание несколько характеристик (качеств) тех-
нической системы. Обычно в задачах этого класса частные, крите-
рии имеют различную размерность и физическую природу. Приме-
ром задачи класса 1 может служить проектирование оптимально-
го стрелкового автомата. В критерий оптимальности должны вхо-
дить: масса, габариты, рассеяние при стрельбе, время перезаряд-
ки (эти параметры желательно минимизировать), а также величи-
на боекомплекта, скорострельность, дальность прицельной стрель-
бы, срок службы (эти свойства требуется по возможности макси-
мизировать) .
Класс 2— множество объектов. Здесь система состоит из ря-
да объектов, качество функционирования каждого из которых
описывается своим частным критерием, а эффективность системы
определяется совокупностью частных критериев. Эта совокуп-
ность и есть векторный критерий оптимизации. Физическая при-
рода и размерность частных критериев в задачах этого класса
обычно одинаковы. Примером задачи класса 2 является много-
канальный радиолокатор управления воздушным движением са-
молетов в районе аэропорта. Радиолокатор распределяет зондиро-
вания между рядом самолетов: одни из них заходят на посадку,
другие — только приближаются к аэропорту, третьи — взлетели и
выходят на маршрут. В зависимости от этапа движения, скорости,
грузоподъемности, запаса горючего и т. п. надо с различной точ-
ностью вести самолет, а эта точность зависит от частоты радио-
локационного зондирования. Требуется выделить каждому само-
лету какое-то число зондирующих импульсов радиолокатора в
каждую секунду (частный критерий) так, чтобы эффективность
управления всеми самолетами в совокупности была максималь-
ной.
Класс 3 — множество условий. Техническая система должна
функционировать в различных условиях, для каждого из кото-
рых качество функционирования характеризуется некоторым ча-
стным критерием. Эффективность системы определяется при этом
совокупностью величины критериев для каждого из условий.
Частные критерии имеют в задачах этого класса одинаковую при-
воду и одинаковую размерность. Можно привести следующий
13
пример подобной задачи. Создается наземная радиолокационная
станция управления сближением искусственных спутников Земли
для их стыковки на орбите. Предусматривается стыковка на ор-
битах высотой 250—350 км, 2000—2500 км и на геостационарной
орбите. Критерием качества работы станции для каждой отдель-
ной высоты является отношение пространственного сектора бы-
строго сканирования к среднеквадратическому значению флуктуа-
ционной ошибки измерения угловых координат. При выбранной
мощности передающего устройства станции наилучшее значение
указанного критерия требует для разных высот стыковки антен-
ных лучей разной ширины. Но практически можно иметь в стан-
ции луч только одной ширины. Необходимо поэтому оптимизиро-
вать ширину луча так, чтобы векторный критерий эффективности,
образуемый частными критериями для каждой из трех высот сты-
ковки, принял максимальное значение.
Класс 4 — множество этапов. Техническая система функцио-
нирует в течение ряда этапов (как правило, временных), причем
качество функционирования на каждом этапе характеризуется сво-
им частным критерием. Эффективность системы зависит от ее
функционирования на всех этапах и, следовательно, выражается
векторным критерием, составляющими которого будут частные,
поэтапные критерии.
Можно привести следующий пример многокритериальной за-
дачи этого вида. Создается метеорологический искусственный
спутник Земли, на котором устанавливается автоматический фо-
тоаппарат с программным управлением. Запас фотопленки в ап-
парате ограничен. На последовательных витках производится
съемка облачного покрова над территорией своей страны, место-
положения рыболовецких флотилий в акваториях мирового океана
и перемещения экспедиций в Антарктиде. Качество выполнения
каждой из этих задач определяется числом кадров, отснятых в
нужном районе за один проход спутника. Эффективность же ИСЗ
зависит от того, насколько полноценно выполнены все три этапа
съемки, и, следовательно, требует оптимизации по векторному кри-
терию эффективности.
Класс 5 — множество вариантов постановки задачи. В систе-
мах этого класса неопределенность возникает в самой постановке
задачи, например, качество функционирования системы зависит
от значения некоторого параметра, о котором известна лишь об-
ласть его возможного изменения и зависимость частного критерия
от численного значения параметра. Если закон распределения для
параметра неизвестен, то эффективность системы будет выра-
жаться векторным критерием, составляющими которого будут ча-
стные критерии для всех возможных значений неизвестного пара-
метра. Размерность частных критериев в задачах этого класса
одинакова.
И
Этот класс задач можно проиллюстрировать следующим при-
мером. Требуется выбрать оптимальный режим сканирования на-
стройки приемника обнаружения работающих радиолокаторов.
Известно, что в зоне действия приемника может работать три
класса радиолокаторов, различающихся частотой повторения зон-
дирующих импульсов. Частным критерием успешности работы при-
емника по каждому классу радиолокаторов является время обна-
ружения, зависимость которого от скорости сканирования извест-
на. Эффективность приемника определяется векторным критерием,
составляющими которого служат скалярные критерии по каждому
классу радиолокаторов. Требуется оптимизировать векторный кри-
терий.
Помимо перечисленных классов задач могут возникать также
задачи, содержащие черты двух или более классов, или задачи,
в которых составляющие векторного критерия представляют со-
бой, в свою очередь, не скалярные, а векторные частные критерии
Так, иллюстрация к описанию задач класса 2 может представлять
собой двухвекторную задачу. Действительно, в качестве критерия
эффективности в этой иллюстрации выступает вектор, составляю-
щими которого являются зондирования, выделяемые для каждого
из обслуживаемых самолетов в единицу времени. Но зависимость
качества обслуживания самолета от числа зондирований тоже
может носить сложный характер, так как она будет связана с
летными характеристиками самолета, его местоположения, запаса
горючего и т. п. Тогда частный критерий будет, в свою очередь,
вектором, составляющими которого являются указанные свойства
самолета.
Вопросы, которым посвящена настоящая работа, касаются
главным образом задач класса 1. Заметим еще раз, что для задач
этого класса характерно, что составляющие вектора эффективно-
сти имеют, как правило, различную физическую природу и, сле-
довательно, различную размерность. Эта особенность, как будет
видно из дальнейшего, накладывает определенную печать и на
подход к решению задач.
1.2. ПРИНЦИПЫ ПОИСКА ОБЛАСТИ ИЗМЕНЕНИЯ КРИТЕРИЕВ
Проблеме отыскания оптимального решения многокритериаль-
ных задач посвящено большое число работ [13—29]. В настоящее
время теория векторной оптимизации еще далека от своего за-
вершения, но разработан ряд принципов и приемов, которые мо-
гут быть использованы для решения некоторых практических за-
дач. Вместе с тем, как будет видно из последующего, на пути
создания теории многокритериальной оптимизации существует ряд
принципиальных трудностей.
15
Первая проблема, возникающая при решении многокритери-
альных задач, заключается в определении области изменения
частных критериев, в которой находится оптимальное решение.
Легче всего представить себе существо этой проблемы при ее гео-
метрическом толковании. Это, правда, требует ограничить рас-
смотрение двухкритериальными задачами, но последующий пере-
ход к многокритериальному случаю не встречает принципиальных
трудностей.
Итак, предположим, что требуется оптимизировать систему,
эффективность которой определяется всего двумя критериями xt
и х2. Без уменьшения общности рассуждений можно считать, что
эффективность возрастает и при увеличении хь и при увеличении
х2, причем оба критерия могут принимать только положительные
значения. Тогда на плоском поле с декартовыми координатами
Х] и х2 каждое решение будет изображаться точкой (хп, x2i), а
эффективность Э,- этого решения есть некоторая функция от ко-
ординат изображающей точки: Э;=/(х);, х2;). Но если нам из-
вестно, что эффективность возрастает как при увеличении х1; так
и при увеличении х2, то что мешает нам придать этим критериям
сколь угодно большие значения? Этому мешают неизбежные в
каждой реальной системе ограничения. Наиболее типичны два
вида ограничений. Ограничения первого вида можно назвать фи-
зическими или абсолютными.
Физическим мы будем называть такое ограничение величины
критерия хг, которое не зависит от величины других критериев.
Допустим, например, что проектируется высотный дрейфующий
аэростат для метеослужбы. Критериями эффективности системы
определены: максимальная высота полета, полоса захвата земли
полем зрения бортового автоматического фотоаппарата и число
кадров, которое позволяет сделать запас пленки. Как бы мы ни
меняли два последних критерия, существует максимальная высо-
та подъема воздухоплавающих приборов, ограничиваемая высо-
той атмосферы.
Система, в которой два критерия Xj и х2 имеют только физи-
ческие ограничения, будет изображаться на координатном поле
множеством точек, ограниченных двумя прямыми линиями х, шах
и х2тах и осями координат (рис. 1.1,а). Оптимальное решение в
этом случае можно указать без каких бы то ни было исследо-
ваний: его отображает точка М.
Но подобные системы на практике встречаются редко. Реаль-
ные системы имеют ограничения второго вида, проявляющиеся во
взаимной зависимости частных критериев. Эта взаимная зависи-
мость, в свою очередь, возникает из-за какого-то общего ограни-
чительного требования. Например, если задан максимальный объ-
ем проектируемого аэростата, то между высотой его подъема и
массой поднимаемого оборудования немедленно появляется взаи-
16
Рис. 1.1
мосвязь. Следовательно, взаимосвязь возникнет и между назван-
ными выше частными критериями эффективности системы. В ре-
зультате область возможных решений для двухкритериальной си-
стемы будет уже иметь вид, показанный на рис. 1.1,6, причем ли-
ния АВС обусловлена взаимной связью критериев.
Область возможных решений, вообще говоря, превышает об-
ласть допустимых решений. Она определяется такими минималь-
ными значениями критерия Xi=xlmin или x2=x2min, при переходе
через которые эффективность системы становится недопустимо
малой или равной нулю (рис. 1,1,в). Так, можно признать,
что дрейфующий аэростат имеет нулевую эффективность, если он
при заданном объеме оболочки может поднимать на достаточную
высоту фотоаппарат с запасом пленки всего на несколько минут
съемки.
Если эффективность системы повышается и при увеличении
критерия и при увеличении критерия х2, то оптимальное реше-
ние лежит на ограничительной линии. Более того, можно утверж-
дать, что оптимальное решение лежит па той части ограничитель-
ной линии, которая отмечена точками на рис. 1.1,г, д, е. Эту часть
ограничительной линии называют областью компромисса, потому
что именно здесь увеличения одного из критериев можно достичь
лишь ценой уменьшения другого.
Заметим, что ограничительная линия вида, представленного
на рис. 1.1,г, практически встречается редко. Наиболее, типичный
вид ограничительной линии показан на рис. 1.1,6 и е.
Приведем несколько примеров, поясняющих высказанные по-
ложения.
2—1051
17
Пример 1.1. Самолетный обзорный радиолокатор, предназначенный для пре-
дупреждения столкновений в воздухе, характеризуется двумя критериями: даль-
ностью R обнаружения и пространственным сектором обзора в единицу време-
ни Й. Требуется построить ограничительную линию при заданной общей массе
радиолокатора и отметить на ней область компромисса, если известно, что
ДОЛЖНЫ ВЫПОЛНЯТЬСЯ условия т-т> К'-'Ъ t
Из радиолокации известно, что при работе в режиме обзора пространства
между дальностью обнаружения R, пространственным сектором обзора £2, сред-
ней мощностью передатчика Р и площадью раскрыва антенны .4 радиолокатора
существует следующая функциональная связь:
= kPA,
где k —- размерный коэффициент пропорциональности. При заданной общей
массе радиолокатора можно так оптимизировать соотношение между Р и А
(передатчик и антенна составляют значительную часть общего веса радиоло-
катора), чтобы произведение достигло максимально возможного значения при
заданной общей массе. Но тогда, как видно из приведенной формулы, увели-
чение дальности 1? обнаружения можно получить лишь ценой уменьшения сек-
тора Й обзора и наоборот (рис. 1.2).
Для минимально допустимых значений критериев могут быть найдены объ-
ективные обоснования. Так, минимально допустимую дальность обнаружения
можно определить из следующих соображений: если радиолокатор обна-
ружил самолет на встречном курсе, то время, оставшееся до встречи, должно
быть достаточным для бокового или вертикального уклонения на безопасное
расстояние.
Пример 1.2. Проектируется электрокар. Общая масса его Gs слагается из
массы конструкции GK, массы приводных аккумуляторов GaK и массы полезной
нагрузки 6н- Критериями эффективности электрокара являются: масса полез-
ной нагрузки Сп и путь движения L без замены или подзарядки аккумулято-
ров. Надо определить область компромисса при заданной допустимой общей
массе Gs электрокара.
Путь L, который может пройти электрокар без подзарядки или замены
аккумуляторов, в первом приближении пропорционален суммарной энергии, ко-
Рис. 1.3
18
торую может отдать аккумуляторная батарея. Эта энергия, в свою очередь,,
для аккумуляторов данного типа пропорциональна массе аккумуляторов. Сле-
довательно, пройденный электрокаром путь будет пропорционален массе акку-
муляторной батареи:
L =
Составляя уравнение баланса масс, получихм из него следующее выражение
для ограничительной линии:
L = k (G:- — Gk) — kGn.
График этой функции изображен на рис. 1.3.
Пример 1.3. Проектируется наземный радиолокатор, общая стоимость СЕ
которого задана. В радиолокаторе должна быть применена антенна в виде
фазируемой решетки (ФАР). Из-за большого сектора качания луча размер каж-
дого управляемого элемента ФАР должен составлять половину длины волны,
которая тоже задана. Частными критериями эффективности радиолокатора опре-
делены площадь ФАР А и средняя мощность передатчика Р. Известно, что
стоимость передатчика в первом приближении пропорциональна корню квадрат-
ному из его средней мощности. Требуется найти вид ограничительной линии и
вид области компромисса критериев.
Площадь одного элемента ФАР по условию равна (Х/2)2, где X — длина вол-
ны, поэтому общее число N элементов в антенне будет 4АД2. Стоимость антен-
ны Са можно считать пропорциональной числу элементов, а следовательно,
величине А. Таким образом, баланс стоимости радиолокатора
Cs=zZ:aA-V/2 + Can.
Здесь %А—коэффициент стоимости антенного элемента; — коэффициент
стоимости передатчика; Сап—стоимость всей остальной аппаратуры радиоло-
катора; Cs — общая стоимость радиолокатора.
Рис. 1.4
19
Отсюда получаем выражение для ограничительной линии, на которой лежит и
область компромисса (рис. 1.4):
А = (Cs - Са„)/АЛ - (6п/£а) Р‘/2.
Минимально приемлемые значения Amjn и Pmin определяются внешними ха-
рактеристиками радиолокатора. Они могут быть вычислены, если известны ми-
нимально приемлемая дальность обнаружения объектов и минимально
приемлемый пространственный сектор обзора ЙШ1П- Тогда из уравнения обзор-
ного радиолокатора, приведенного в примере 1.1, получаем
^ = <2min/?4min/UP).
Эта зависимость, также изображенная на рис. 1.4, отсекает на ограничитель-
ной кривой область компромисса. В данном случае нижняя граница области
допустимых решений состоит не из двух отрезков перпендикулярных прямых
линий, а представляет собой гиперболу.
Пример 1.4. Проектируется анализатор радиоспектров. Он представляет
собой узкополосный быстроперестраиваемый в широком диапазоне частот ра-
диоприемник. Частными критериями эффективности спектроанализатора опреде-
лены: диапазон j сканируемых частот, разрешающая способность по частоте А),
число сканирований всего диапазона в секунду F. Требуется определить вид
границы допустимых решений.
В данной задаче фигурируют не два критерия, как в предыдущих приме-
рах, а три. Поэтому граница допустимых решений будет представлять собой
некоторую поверхность в «пространстве» с координатами f, F, или f, F, l/&f.
Чем меньше АД тем большее число деталей можно обнаружить в исследуе-
мом спектре. Поэтому на третьей координатной оси целесообразно отклады-
вать не А/, а обратную величину. Физически она характеризует то время, в те-
чение которого приемник должен пребывать на каждой частоте диапазона для
того, чтобы амплитуда на его выходе достигла стационарного значения. Это
время т можно считать равным т = 3/А/'.
Теперь нетрудно установить функциональную связь между частными критерия-
ми j, F и г. Действительно, число разрешаемых элементов в диапазоне часто!-
ного анализа равно f/Af; на каждом элементе разрешения прибор должен на-
ходиться в течение времени т, поэтому полное время одного сканирования бу-
дет равно T?/Af. Значит, число сканирований в секунду составит А/7(Д). Заме-
няя в этом выражении А/ па х из приведенного выше соотношения, получаем
г = 3/(^2).
На рис. 1.5 построена область компромисса. Она представляет собой по-
верхность двоякой кривизны: в сечениях, параллельных плоскости f—F, полу-
чаем гиперболы; в сечениях плоскостями, параллельными плоскости г—F,—квад-
ратичные гиперболы. Благодаря логарифмическому масштабу на рисунке эта
поверхность превратилась в плоскость.
Не следует думать, что область компромисса всегда найти
столь же легко, как в приведенных выше простейших примерах.
Отыскание области компромисса играет важную роль, так как по-
20
зволяет исследовать не все множество допустимых решений, а
лишь его незначительную часть, в которой заведомо находится
оптимальное решение. Область компромисса не обязательно долж-
на представлять собой непрерывную границу (линию, поверхность
или гиперповерхность): если критерии могут принимать лишь дис-
кретные значения, область компромисса также представляет сово-
купность дискретных точек или отрезков, лежащих на упомянутой
границе.
1.3. НОРМИРОВАНИЕ ЧАСТНЫХ КРИТЕРИЕВ
Некоторые классы многокритериальных задач, как уже ука-
зывалось в 1,1, отличаются тем, что частные критерии имеют раз-
личную физическую природу и поэтому различную размерность.
Это обстоятельство значительно осложняет решение многокрите-
риальных задач. Действительно, когда увеличение численного зна-
чения одного критерия может быть достигнуто лишь ценой умень-
шения другого, то трудно решить, приведет ли к повышению эф-
фективности технической системы такое мероприятие, если один
критерий измеряется, скажем, в угловых градусах, а другой в ват-
тах. В связи с этим предложены различные методы нормирования
критериев. Во всех этих методах вместо «натурального» крите-
рия вводится его отношение к некоторой нормирующей величине,
измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий. В результате
такой операции все частные критерии приобретают безразмерный
вид.
Смысл операции нормирования можно трактовать и так: любое
пространство должно обладать метричностью, а для этого все
его координаты должны иметь одинаковую размерность. При нор-
мированных критериях это требование выполняется, и тогда ста-
новятся обычными понятия увеличения и уменьшения вектора, ха-
рактеризующие то или иное допустимое решение задачи. Но нор-
мирование не может производиться путем деления величины ча-
стного критерия на произвольно выбранную величину той же раз-
мерности. Нормирующий делитель должен иметь под собой хоро-
шо обоснованную логическую базу. Здесь и начинаются трудно-
сти. Рассмотрим логику некоторых методов нормирования част-
ных критериев.
Один из методов основан на нормировании к заданным зна-
чениям. Если в технических требованиях на систему указана тре-
буемая величина i-ro критерия хго, то естественно оценивать ре-
шение тем, насколько предложенное в нем численное значение
критерия соответствует заданному. В зависимости от величины
у,- — x-Jx^ можно сделать следующие заключения:
при г/г-С1 решение неприемлемо, потому что не обеспечит то,
что задано;
21
при yt — 1 решение заслуживает пристального внимания, так
как обещает получить критерий xt как раз такой величины, ко-
торую требует техническое задание;
при у,->1 превзойдены требования задания и поэтому можно
ожидать, что найдено оптимальное или, во всяком случае, хоро-
шее решение.
Логически слабым моментом нормирования к заданным значе-
ниям критериев является негласное предположение, что авторы
технического задания по существу нашли оптимальное решение.
Иначе нельзя объяснить, почему вся совокупность заданных зна-
чений критериев рассматривается как образцовая.
Второй метод, который можно назвать нормированием к мак-
симуму, базируется на следующих соображениях. После того, как
мы нашли область компромисса, нам известно, какие максималь-
ные значения может в этой области принять каждый из частных
критериев. (Скажем, в примере 1.3 максимальное значение крите-
рия А соответствует точке 7\ на рис. 1.4, а максимальное значение
критерия Р, соответствует точке J’s-) Можно полагать, что чем бли-
же частный критерий к своему максимально возможному значе-
нию, тем лучше для системы в целом.
В литературе по теории векторной оптимизации указывается,
что недостаток метода нормирования к максимуму заключается в
следующем. Чем больше максимальное значение частного крите-
рия, тем меньшим может оказаться его нормированная величина
для некоторого конкретного варианта. Но при поиске оптималь-
ного решения на основе оперирования с нормированными част-
ными критериями (которые в результате нормирования как бы
«обезличились») естественно стремиться к возможному уравнива-
нию их численных значений. В результате тот критерий, который
может иметь максимальную ненормированную величину, получит-
приоритет перед другими частными критериями и может в про-
цессе поиска оптимального решения быть незаслуженно увеличен.
Поясним этот недостаток на данных примера 1.4. Допустим, что минималь-
ное значение диапазона просматриваемых спектроанализатором частот f и мак-
симально допустимая полоса пропускания Л/ приемника спектроанализатора
приняты равными:
Лнп = 103 Гц, Д/= 1(Р Гц.
Из приведенных в этом примере формул можно найти максимальную частоту
сканирования: Гта![=33 Гц. В связи с тем, что примененная в спектроанализа-
торе электронно-лучевая трубка имеет длительное послесвечение, техническое-
задание допускает минимальную частоту сканирования -Tmin=l Гц. В этом слу-
чае легко видеть, что максимальное значение критерия с составит:
'Cmax = Z3/(^т1П/пНП) = 17,3-10 4 С,
22
а максимальное значение просматриваемого диапазона частот
/так = 3/(fmin^in) = 33 • 10е ГЦ.
Предположим теперь, что в результате проектирования с учетом различных
схемных и конструктивных соображений выбран диапазон просматриваемых
частот /=15-10° Гц, а полоса пропускания Д/ = 0,9-104 Гц. Это определяет и
частоту сканирования: Г=1,8 Гц. Образуем теперь безразмерные критерии ме-
тодом нормирования к максимуму, т. е. вместо f, т, F введем критерии;
-*/— flfttiaxr Хт = х/хтзх> Хр—
При предложенных значениях f, т и F безразмерные критерии будут иметь сле-
дующие численные значения:
Л'г = 0,4о; л- = 0,19; = 0,035.
Если теперь оценивать предложенные величины критериев с точки зрения бли-
зости решения к оптимальному, считая важным свидетельством этого близость
нормированных критериев к единице, то сразу придется сделать вывод: реше-
ние неприемлемо, потому что критерий Хр недопустимо мал. Но подобный вы-
вод нельзя признать состоятельным, потому что при Хр =0,055 частота сканиро-
вания Е=1,8 Гц, что по техническому заданию допустимо. Вероятно, больший
ущерб эффективности спектроанализатора принесло бы повышение частоты ска-
нирования ценой уменьшения диапазона просматриваемых частот или ухудше-
ния разрешающей способности.
Еще один способ нормирования критериев предусматривает в
качестве нормирующих делителей разность между максимальным
и минимальным значениями критерия в области компромисса. В
обозначениях только что рассмотренного примера это означает,
что безразмерные критерии Ху, хт, Хр будут выражаться следую-
щим образом:
X} - ".//(/max ==-^т!п)> Хр = ^/(^шах
Легко видеть, что при численных значениях критериев, которые
были приняты выше, их нормированные указанным методом зна-
чения изменяются незначительно. Но могут встретиться такие за-
дачи, в которых диапазон изменения какого-либо критерия в зоне
компромисса невелик, и тогда в нормированном виде этот кри-
терий будет неоправданно большим.
Широкое распространение получило нормирование критериев
данного устройства к критериям аналогичного по назначению
устройства, принятого за базовое изделие. Тем самым предпола-
гается, что последнее представляет собой материализацию опти-
мального решения.
Указанные выше недостатки нормирования частных критериев
отмечаются в [13, 26, 30] и в ряде других работ. Некоторые авто-
ры прямо указывают, что нормирование представляет собой фор-
мальную операцию для придания критериям безразмерной формы
и имеет в значительной степени субъективный характер.
23
1.4. ОБЩИЙ ПОДХОД К ПОИСКУ ОПТИМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ
Наиболее полное и строгое исследование методов многокри-
териальной оптимизации дано, насколько нам известно, в работе
[13]. Автор показывает, что все известные методы векторного син-
теза оптимальной системы непосредственно или косвенно сводятся
к скалярному синтезу. Иначе говоря, частные критерии xt, (i =
= 1ч-ге) тем или иным способом объединяются в составной кри-
терий А'=[(А'/)> который затем максимизируется (или минимизи-
руется). Если составной критерий получается в результате про-
никновения в физическую суть функционирования системы и
вскрытия объективно существующей взаимозависимости между
частными критериями и составным критерием, то и оптимальное
решение является объективным. Однако отыскание подобной взаи-
мозависимости, по мнению автора, чрезвычайно сложно, а может
быть, и не всегда возможно. Поэтому на практике составной кри-
терий обычно образуют путем формального объединения частных
критериев, что неизбежно ведет к субъективности получаемого
«оптимального» решения.
Знания аналитического вида зависимости составного критерия
от частных критериев не требуется, если решение ищется на осно-
ве безусловного критерия предпочтения (БКП). Последний озна-
чает, что если для систем I и П, характеризующихся частными
критериями х^, (г=1-ь«), выполняется неравенство
(3.1>
в том числе хотя бы для одного номера i неравенство выполняет-
ся строго, то система I предпочтительнее системы II. Но в общем
случае БКП не позволяет довести задачу до конца, а дает воз-
можность найти лишь область компромисса, в которой находится
и оптимальное решение. Это ограничение возможностей БКП за-
ставляет обращать пристальное внимание на методы, основанные
на формировании составного (обобщенного) критерия.
Обобщенный критерий можно назвать условным критерием
предпочтения (УКП), поскольку с его помощью ищется оптималь-
ное решение — максимум УКП в области компромисса, т. е. в той
области, где одно или несколько условий (1.1) не выполняются.
Если функциональная зависимость обобщенного критерия от ча-
стных критериев установлена, то оптимальное решение найти не-
трудно.
Рассмотрим для простоты случай одного ограничения:
F(xl) < С (i = 1 -г-л). (1.2)
Если найден обобщенный критерий
(1.3)'
24
то оптимальным будет такое решение, которое дает максимум вы-
ражения (1.3) при выполнении условия (1.2). Для отыскания мак-
симума А’шах и оптимальных значений x/opt (i=l-r-n), доставля-
ющих этот максимум, можно воспользоваться, например, методом
неопределенных множителей Лагранжа. Для этого образуют вспо-
могательную функцию
= (1-4)
где Z—неопределенный множитель, и затем приравнивают нулю
все частные производные этой функции по критериям х£:
дФ(хих2......хп) _ df(xux?,.. .,х„) <?Л(Л|,х2,. . ., х„) _
dx; dXj ' Л дх,
J = 1 -е- п. (1.5)
В результате получают п уравнении типа (1.5) с п+1 неизвест-
ными: Xi, х-2, ..., хп, л. В сочетании с условием (1.2) всего мы име-
ем п+1 уравнений. Их совместное решение дает оптимальные
значения частных критериев xlopt> x20pt> • • > -^nopt и максимум обоб-
щенного критерия
^-=/' (-ЫорЬ -^2opt ’ • > opt)- 0 -^)
Если на систему действует не одно, а два или более ограниче-
нии вида (1.2), то во вспомогательное уравнение (1.4) вводятся в
виде слагаемых все эти ограничения, каждое со своим неопреде-
ленным множителем. После этого задача решается по той же схе-
ме, которая была приведена выше. Заметим, что, приравнивая
нулю частные производные, надо убедиться: найден экстремум, а
не точка перегиба. Это выполняется обычными приемами.
Мы уже указывали на трудность получения объективно обо-
снованной зависимости (1.3). В связи с этим широкое распрост-
ранение получили формальные методы установления связи меж-
ду частными критериями. Один из простейших формальных мето-
дов основан на принципе равенства. Этот принцип заключается в
следующем. В нормированном виде все частные критерии могут
изменять свои численные значения в пределах 0-е 1. Желательно,
чтобы все частные критерии были как можно ближе к своему мак-
симальному значению — к единице. Если исходить из одинаковой
важности выполнения этого пожелания для всех частных крите-
риев (в этом и состоит принцип равенства), то условие оптималь-
ного решения запишется так:
— -^2opt/-^2o = • • • -+орЬ'Жо
При С f (Xiopt, -^2opt • • • opt)- 0 ’^)
Здесь х10, х2г ... хп0 — нормирующие делители. Графическое пояс-
нение принципа равенства применительно к двухкритерпальной
задаче дано на рис. 1.6,а. Иногда вместо строгого равенства ищут
25
Рис. 1.6
решение, обеспечивающее «квазиравенство» нормированных кри-
териев (рис. 1.6,6).
Поясним принцип равенства на конкретном примере.
Пример 1.5. Проектируется устройство сканирования для лазерного лока-
тора, представляющее собой небольшое плоское зеркало, качающееся около оси
под действием электромеханического привода (рис. 1.6,в). Благодаря качанию
зеркала луч неподвижного лазера, падающий на его поверхность, последова-
тельно облучает различные угловые направления; через то же зеркало прини-
маются отраженные сигналы.
Для работы лазерного локатора важно с максимальной скоростью осматри-
вать угловой сектор. Желательно, чтобы последний был как можно больше.
Поэтому частными критериями сканера приняты:
полный угловой сектор качания зеркала 2ср,
число полных циклов качания в секунду Р.
Так как необходима линейная зависимость углового положения сканера от
времени, то механический резонанс зеркала на пружинных подвесках не ис-
пользуется. В этом случае мощность Р электродвигателя привода сканера опре-
деляется следующим соотношением:
Р — "Г2т^ ^2рз
Зт!
26
Здесь т— масса зеркала; I — размер зеркала по направлению, перпендикуляр-
ному оси качания; ц— коэффициент полезного действия всего привода.
Техническими требованиями на проектирование предусмотрены такие вели-
чины т, I, Р и ц, при которых <р*'Л! = 1,8 107, если ср измеряется в миллирадиа-
нах. a F'—в герцах. Кроме того, в требованиях указано, что минимально до-
пустимые значения сектора и частоты сканирования равны
2фппи = Ю мрад, F’min — 10 Гц.
Требуется найти оптимальные значения yopt и
Будем решать задачу на основе принципа равенства. Прежде всего нам
следует найти область компромисса. Подставляя в уравнение связи ф и F
минимально допустимое значение частоты сканирования Г । , найдем макси-
мальное значение сектора сканирования фта1в области компромисса:
'Ртах = (1,8-Ю7/Ю3)1/2 — 134 мрад.
Подставляя в то же уравнение минимально допустимое значение сектора ска-
нирования фш!и, найдем максимальное значение частоты сканирования в
области компромисса:
Тш„ = (1,8.107/52)'/з-90 Гц.
Теперь можно ввести нормированные критерии хх и х2 вместо натуральных, кри-
териев q? и F:
*1 == Т/Тспах = ТЛ 34-,
= F!FmiX = F/9Q.
Связь между лу и х2 имеет вид
X2-Л® =: 1,4-10~3.
Минимально допустимые значения нормированных критериев будут:
•^1 min = 0,0374, A-2mIn 0,111.
График зависимости между др и Ха изображен ка рис. 1.6,г.
Для отыскания оптимального решения по принципу равенства остается про-
вести из начала координат прямую линию под углом 45° и найти координаты
точки ее пересечения с областью компромисса. В данном случае легко найти
оптимальное решение и аналитически. Полагая r;opt = -r2opt> из уравнения связи
находим
-W = Л201ц = (1,4-10 = 0,269.
После возвращения от нормированных критериев к натуральным получаем:
фор( = 36 мрад, Fopt = 24 Гц.
Задача решена. Но это не приносит удовлетворения, так как «оптимальные»
параметры получены з результате формальных операций без анализа действи-
тельного влияния тех или иных значений параметров на качество выполнения
системой предписанных функций.
В литературе по теории векторной оптимизации приводится
еще ряд принципов поиска компромисса, также основанных на
27
идее равномерности. Мы остановимся здесь только на одном из
них, называемом иногда принципом максимина.
При большом числе частных критериев добиться их равенст-
ва (в нормированном виде) иногда чрезвычайно трудно из-за
сложных взаимосвязей. В этом случае и может оказаться полез-
ным принцип максимина. Сущность этого принципа состоит в
последовательном «подтягивании» тех нормированных критериев,
численные значения которых в исходном решении оказались наи-
меньшими. Вследствие того, что операции производятся в области
компромисса, подтягивание «отстающего» критерия неизбежно
приводит к снижению остальных. Но при проведении ряда шагов
можно добиться определенной степени уравнивания всех частных
критериев, что и является целью принципа максимина.
В ряде работ (например, [15]) упоминается метод последова-
тельной оптимизации, противопоставляемый методам, основанным
на формировании обобщенного критерия. По своим идеям метод
последовательной оптимизации близок к методу максимина.
Принцип максимина может применяться и в таких многокри-
териальных задачах, в которых аналитическая зависимость меж-
ду критериями неизвестна. Поясним принцип максимина на сле-
дующем примере.
Пример 1.6. Проектируется авиационный комплекс противовоздушной обо-
роны. Комплекс состоит из радиолокатора кругового обзора для обнаружения
воздушных целей, радиолокатора сопровождения и подсвета целей и самонаво-
дящчхея ракет с полуактивными радиолокационными головками. Для комплекса
предполагается использовать тяжелый самолет, который должен нести боевое
дежурство, барражируя в некоторой зоне.
Критериями эффективности комплекса определены:
1) время барражирования без дозаправки самолета топливом Д;
2) дальность обнаружения целей Д;
3) канальность радиолокатора сопровождения п;
4) дальность полета ракет г;
5) число ракет на борту N.
Желательно, чтобы все критерии имели максимально возможное числен-
ное значение.
Установить взаимозависимость между перечисленными критериями в ана-
литической форме крайне сложно, хотя физическая сущность взаимозависимо-
сти ясна. Действительно, самолет имеет ограниченную грузоподъемность, т. с.
при проектировании необходимо соблюдать условие: суммарный вес всех
устройств не превышает установленной грузоподъемности. Далее, увеличение
дальности действия обзорного радиолокатора может достигаться либо за счет
повышения мощности передатчика (тогда это будет увеличивать его массу и
потребление электроэнергии), либо за счет увеличения размеров антенны. В по-
следнем случае кроме увеличения массы будет увеличиваться размер обтекате-
ля антенны, что скажется на лобовом сопротивлении и, следовательно, приве-
дет к повышенным затратам топлива и уменьшению времени барражирования.
28
Можно продолжить аналогичные рассуждения и установить еще ряд су-
щественных зависимостей в качественной форме. Но каким образом спроекти-
ровать оптимальный комплекс при существенных ограничениях? Допустим, что
используется принцип максимииа.
Для этого проводится первая проектная проработка, в которой критериям
Zc, Д, п, г задаются минимально приемлемые значения и выявляется максималь-
ное значение критерия N=Nms.x. При тех же минимальных значениях перечис-
ленных критериев придается минимальное значение критерию N и находится
to шах. Затем, сохраняя минимальными все критерии, ищется максимальное зна-
чение критерия Д = и т. д. Проработка на этой стадии может быть весьма
приближенной, так как должна дать лишь оценки максимально достижимых
значений частных критериев в области компромисса. Это позволяет нормиро-
вать все критерии:
A = W?tnax, А = «/«max, А “ N,Wraax, Х5 = Г/Ггаах.
После этого проводится этап нормального проектирования, по результатам
которого можно определить численные значения всех нормированных критериев.
Обозначим эти значения теми же символами с цифрой 1 в скобках вверху каж-
дого символа. Допустим, что оказалось
Х(1) > А-(1) > х(1) х(!) > х(1)
А ' 1 '1 Л3 '
Тогда надо провести корректировку проекта, задавшись, скажем, условием
xf > = х<2> - X(D.
Б результате корректировки получим новый набор численных значений крите-
риев:
х®, х('-\ х®, Х(2К х(2}.
Так как мы увеличили критерии л‘> и х-л, то какие-то или все другие кри-
терии уменьшились. Если при этом различие между минимальным и остальными
критериями невелико, то можно считать, что найденное решение близко к опти-
мальному. Если же оказалось, что один или несколько критериев резко отли-
чаются в меньшею сторону от остальных, то корректировку следует повторить.
В толковом словаре термин «компромисс» определяется так:
«Соглашение путем взаимной уступки при столкновении каких-
нибудь интересов, стремлений». Отсюда получили свое наименова-
ние наиболее развитые принципы векторной оптимизации: принци-
пы справедливой уступки.
Понятие «справедливость» с трудом поддается определению
даже в житейском смысле, тем более затруднительно определить
его применительно к проблемам решения многокритериальных
задач. Термин «справедливость» введен в теорию оптимизации
лишь с той целью, чтобы подчеркнуть необходимость в каждом
конкретном случае вникать в задачу по существу, не допуская
шаблона, и применять тот принцип уступки, который адекватен
данной задаче.
29 -
Краткому рассмотрению принципа справедливой уступки и
примыкающему к нему вопросу о приоритете критериев посвяще-
ны два следующих параграфа этой главы.
1.5. АДДИТИВНЫЙ КРИТЕРИИ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Будем обозначать нормированные частные критерии символа-
ми х*/1, х^\ х%\ где j—номер решения, а обобщенный крите-
рий j-ro решения — символом Х0’. Если все частные критерии име-
ют одинаковую важность, то представляется логичным следующее
рассуждение.
Поскольку в области компромисса увеличение одного критерия
может достигаться лишь ценой уменьшения другого (других), то
•справедливым является такой компромисс, при котором абсолют-
ный уровень снижения одного критерия не превышает суммарного
абсолютного уровня увеличения других критериев.
Допустим, что от решения мы перешли к решению
тогда в соответствии с изложенным принципом следует вычислить
сумму абсолютных изменений всех частных критериев, обуслов-
ленных этим переходом:
п п п
= 2 ~ = 2 - 2 с1 -8)
t=i i=i i=i
В случае Axs >0 решение Х& по принципу справедливой абсо-
лютной уступки признается лучшим, чем решение Если же
Ахз<0, то лучшим считается решение Но тогда самым луч-
шим решением, допускаемым обстоятельствами, т. е. оптимальным
решением, будет такое, для которого Аль СО при переходе от не-
го к любому другому решению.
Таким образом, принцип справедливой абсолютной уступки
приводит к утверждению, что оптимальное решение означает мак-
симизацию суммы нормированных частных критериев:
п
opt X -»• шах 2 xt.
г=1
(1-9)
Мы видим, что вместо векторного критерия оптимальности в
результате применения принципа справедливой абсолютной уступ-
ки сформировался обобщенный (или, как его еще называют, ска-
лярный, составной) критерий оптимальности. Обобщенный крите-
рий представляет собой сумму нормированных частных критериев,
и поэтому его можно назвать аддитивным критерием оптималь-
ности.
Наилучшее решение соответствует максимуму аддитивного кри-
терия.
зо
Сведение многокритериальной задачи к однокритериальной за
счет введения обобщенного критерия вместо ряда частных крите-
риев означает по существу решение задачи. Такой вывод следует
из того, что для решения однокритериальных задач существует
множество хорошо развитых методов.
С появлением обобщенного критерия исчезают логические про-
блемы и остаются лишь вычислительные трудности. Такие ради-
кальные результаты применения принципа справедливой абсолют-
ной уступки требуют проанализировать обоснованность самого
этого принципа. Здесь и находится «ахиллесова пята» современ-
ной теории многокритериальной оптимизации.
Авторы работ [15, 21, 26], рассматривая обобщенный аддитив-
ный критерий, указывают на его недостатки, главным образом на
то, что в аддитивном критерии может происходить взаимная ком-
пенсация частных критериев. Это значит, что уменьшение одного
из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто
возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка
вводятся специальные ограничения на минимальные значения ча-
стных критериев, весовые коэффициенты критериев и другие
приемы.
Но главное уязвимое место аддитивного критерия, по нашему
мнению, состоит в том, что он никак не вытекает из объективной
роли частных критериев в функционировании системы и выступает
поэтому как формальный математический прием, придающий за-
даче удобный для решения вид.
Такое мнение можно встретить и в ряде работ (например, [26,
30, 31]). Несмотря на свои слабые стороны обобщенный адди-
тивный критерий позволяет в ряде случаев успешно решать мно-
гокритериальные задачи и получать полезные результаты. Приве-
дем простейшие примеры применения этого вида.
Пример 1.7. Для прокладки электрических кабелей в подземных бетони-
уоьазчьк телтаелях итобходимо уманамтаачъ иа «еш тоинеля крокштейны.
Для крепления кронштейнов разрабатывается специальный носимый автомат,
позволяющий встреливать стальные дюбели в бетонную степкл. Эти дюбели
Рис. 1.7
впоследствии и удерживают кронштейны с кабелями. Автомат состоит из кор-
пуса с магазином, содержащим запас дюбелей, подающе-спускового механизма
с зарядами ВВ, ствола и рукояток (рис. 1.7,с). Масса заряженного автомата
не должна превышать 6 кг.
Частными критериями эффективности автомата определены:
скорость выбрасывания дюбеля V',
число дюбелей, помещающихся в магазине, N.
Чем выше V, тем надежнее дюбели проникают в бетон любой марки. Чем
«больше А, тем удобнее работать с автоматом: реже надо его дозаряжать, что
делать в тоннеле нежелательно.
При фиксированной величине заряда и заданной массе дюбеля его скорость
в первом приближении будет возрастать пропорционально квадратному корню
из длины L ствола автомата. Предположим, что в процессе проектирования
установлена следующая зависимость:
v= ио/!?
где V измеряется в метрах в секунду, L — в метрах. Погонная масса ствола
составляет 1,0 кг/м. Масса корпуса — 2 кг; масса одного дюбеля с расходуе-
мым на него зарядом равна 0,07 кг. Уравнение баланса масс имеет вид
1£ + 0,07Л’+2 = 6.
По мнению заказчика, оба критерия V, N в нормированном виде имеют
одинаковую важность. Поэтому после нормирования можно искать оптималь-
ное решение о помощью обобщенного аддитивного критерия.
Для нормирования надо найти AVax и Т max-Найдем сначала первую величи-
ну. Минимально допустимая скорость установлена прп испытаниях из условия;
что пущенный с этой скоростью дюбель еще способен войти в бетон средней
твердости. Установлено, что Vm!n=100 м/с. Тогда из условия баланса масс на-
ходим Лгтах=50. Для отыскания Vmax будем считать массу дюбелей равной
нулю, т. е. в комплекте очень мало дюбелей; тогда
Vmaxs 140 /1^7 = 280 м/с.
Нормированные частные критерии будут иметь вид
х, = А//50, х2 = V/280.
Приведенные выше соображения позволяют представить обобщенный критерий
эффективности автомата X в следующем виде:
X = хх + л3 = Д7/5О 4- V/280.
Чтобы найти максимальное значение обобщенного критерия, можно воспользо-
ваться хорошо известным методом неопределенных множителей Лагранжа. В
результате получаем
Vopt= 124 м/с.
Теперь несложно определить Уор(= 46, Т.ор1 = 0,76м. График области компромисса
для данной задачи с обозначенным на ней оптимальным решением показан на
рис. 1.7,6.
32
Пример 1.8. Для облегчения поиска косяков рыбы в океане рыболовецкие
флотилии решено оснастить специальным оборудованием [32]. Оно состоит из
малоразмерного беспилотного самолета с телевизионной широкоугольной каме-
рой и передатчиком телевизионного изображения на рыболовецкое судно, где
установлен телевизионный приемник. Самолет может совершать полет по про-
грамме или управляться с того же судна по радио.
Критериями эффективности оборудования при согласовании технического
задания на проектирование приняты:
максимальная дальность самолета от судна R,
максимальный диаметр зоны одновременной видимости телевизионной ка-
меры D,
максимальное время полета самолета с имеющимся запасом топлива t.
Предполагается использовать уже ранее разработанный малогабаритный
беспилотный самолет, грузоподъемность которого определяет требование: общая
масса оборудования плюс масса топлива для двигателя самолета не должны
превышать 17 кг. При скорости полета 150 км/ч двигатель потребляет 0,8 кг
горючего в час. Масса G t горючего, необходимого для t часов полета, равна
k-J, где /гт =0,8 кг/ч.
Для увеличения диаметра D одновременно осматриваемой зоны на поверх-
ности воды необходимо увеличивать высоту Н полета (рис. 1.8,а), так как поле
зрения фиксировало по сдоим угловым размерам, причем можно считать, что
D—H. Но при увеличении высоты полета на борт необходимо устанавливать
более мощную оптику. В процессе проектирования определено, что общая масса
G0K телевизионной камеры с оптикои может быть представлена следующей за-
висимостью:
0^ = 0^^,
где Gj=2 кг, Ао=50 кг/км2.
Рис. 1.8
33
Допустимая дальность полета самолета от управляющего судна определяет-
ся, конечно, условиями прямой видимости, но зависит также от мощности бор-
тового передатчика телевизионного изображения. Мощность передатчика должна
возрастать как квадрат дальности R, масса передатчика Gn практически про-
порциональна его мощности:
Ga = k^R?,
где kR=5-W~3 кг/км2.
Кроме перечисленного выше оборудования на борту будут установлены
электрический генератор с приводом от двигателя самолета и радиоприемник
команд; общая масса этих устройств Од=3 кг.
Техническим заданием предусмотрено, что оптимизация оборудования долж-
на проводиться в процессе проектирования в предположении, что все три част-
ных критерия в нормированном виде одинаково важны.
Уравнение баланса масс будет выглядеть следующим образом:
Gv — Gj -J- k0H'1 + kftR'2 Ga.
Нормирующие делители для критериев определяются путем подстановки в урав-
нение баланса масс минимально допустимых значений критериев попарно'
Япых -- [Оз - G, - Gtt - - Mminl1/2 (1
= [G, — G,— G*-k0Hlin - ЙА.п]1'2 (1/Z^),
Zmax = [Gs - G, - Gt - k0Wmin - (1Ж).
Допустим, что в результате анализа действия системы заказчик установил в
технических требованиях на разработку следующие минимально допустимые ве-
личины критериев:
/?min=10KM, <тш=1ч, Я,,,!,, 0,1 КМ.
Подставляя попарно Rmm, £min> Wmin в приведенные равенства, находим мак-
симально возможные значения каждого из критериев, которые и будут исполь-
зованы для нормирования:
^тах = 46 км, /тах=13,8ч, /7та1 — 0,46 км.
Обобщенный критерий будет иметь следующий вид:
X = Н/Нmax -f- /?//?тах +
Для отыскания оптимальных значений частных критериев Hopt> /?opt и Zopt,
максимизирующих X, воспользуемся методом неопределенных множителей Лаг-
ранжа. Для этого составим вспомогательную функцию Ф:
Ф = + R/Rmax + t!tmax+ ЦО, — Gt — Од-
где % — неопределенный множитель Лагранжа. Приравнивая нулю частные яро-
изводные функции по переменным Н, R, t, находим
/7С.Л 1-0,24 км, /?сп.-24 км, fo^ = 7,§ ч.
34
Для сравнения решим теперь эту же задачу, исходя из принципа равенст-
ва Условие оптимальности имеет тогда вид
^opt/^Anax -^opt/^max — ^opt/^max’
11одставляя значения /70pt и 7?opt> выраженные через 1 t, из этих равенств в
уравнение баланса масс, получаем следующее уравнение для /0[)(:
- В = о.
А : е ka (Ятах//тах)2 + kn (Ятах^шах)2 = 0,113 Кг/с2.
В = Gs — Gj — Ga= 12 кг.
Решение квадратного уравнения 0,113/2^4-0,8Zopt—12 = 0 дает ?opt = 7,4 ч. Из
условия равенства нормированных значений частных критериев находим Н ( =
0,25 км, 2?opt =25 км.
Мы видим, что оптимальные значения критериев при обоих методах реше-
ния близки друг к другу. Значения оптимальных критериев показаны на графи-
ках рис. 1.8,6—г.
В большинстве задач нет оснований придавать одинаковую
важность нормированным частным критериям, как это делалось
в приведенных выше примерах. Различная значимость критериев
ври формировании обобщенного аддитивного критерия X учиты-
вается с помощью весовых коэффициентов или коэффициентов
важности:
п
X =^а^Х11хю), (1.10)
1=1
причем
п
<1-и)
i = l
!десь —i-а частный критерий данной системы; xiQ —i-й нор-
мирующий делитель; а;—весовой коэффициент i-ro критерия;
и -число частных критериев.
Введение весовых коэффициентов лишь создает видимость
большей объективности формулы (1.10), потому что их определе-
ние сталкивается с серьезными трудностями и обычно сводится к
жспертной оценке а( [5, 20, 26, 33]. Для упрощения работы экс-
пертов некоторые авторы предлагают требовать от них только
ранжирования критериев по важности. Далее ранги переводятся
в весовые коэффициенты по определенным формулам без участия
жспертов. Существует несколько таких формул. Две из них при-
ведены ниже:
a\ = i-2^‘, (1.12)
а) = 1 —(г—1)/щ (1.13)
35
Предполагается, что частному критерию присвоен номер назна-
ченного ему ранга. Это значит, что самый важный критерий xir
следующий по важности х2 и т. д. Нетрудно видеть, что формула
(1.12) подчеркивает значимость критериев высокого ранга
~1; 2). Формула (1.13) дает линейное снижение весовых коэффи-
циентов. Нормирование а- для перехода к ait удовлетворяющих,
условию (1.11), не представляет труда.
Из приведенного краткого рассмотрения видно, что объедине-
ние частных критериев в аддитивный обобщенный критерий хотя
и дает представление о сравнительных свойствах систем по сово-
купности их характеристик, но имеет существенные недостатки.
Главными из них являются:
1) слабая связь весовых коэффициентов с действительной
ролью частных критериев в выполнении системой своих функций;
2) трудность отыскания объективного способа нормирования
частных критериев для приведения их к безразмерному виду.
3) малая чувствительность обобщенного критерия к измене-
ниям величины отдельных частных критериев, особенно если их
общее число велико; компенсация малой величины одного крите-
рия избыточной величиной другого.
1.6. МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЙ КРИТЕРИЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ
Принцип справедливой абсолютной уступки привел к аддитив-
ному критерию оптимальности. Но, естественно, возникает вопрос:
а является ли абсолютная уступка действительно «справедли-
вой»? Не будет ли более справедливым при поиске наилучшего
решения в области компромисса оперировать относительными ве-
личинами уступок, т. е. увеличивать один критерий за счет умень-
шения другого в долях тех величин, которые первоначально имели
эти критерии?
В каком-то смысле подобный подход, действительно, выглядит
более справедливым. Если, скажем, критерий был равен 0,9, а
критерий Хг — 0,2, то при абсолютной уступке в 0,1 в пользу пер-
вого критерия мы получили бы Xj = l, х2=0,1. В итоге критерий
х{ возрос примерно всего на 10%, но при этом критерий х2 сни-
зился вдвое. Где же тут справедливость?
Такие соображения привели к принципу справедтивой относи-
тельной уступки, который формулируется следующим образом:
справедливым следует считать такой компромисс, когда суммар-
ный уровень относительного снижения одного или нескольких кри-
териев не превышает суммарного уровня относительного увеличе-
ния остальных критериев.
В математической форме условие оптимальности на основе
принципа справедливой относительной уступки имеет вид
36
п
2(д-Ш)=о> о-14)
i=l
где Дх; —приращение величины i-ro критерия; xt —первоначаль-
ная величина i-ro критерия; п — число критериев.
Полагая Дх,-х,-, можно представить (1.14) как дифференци-
ал натурального логарифма. Тогда имеем
= 2 ^0n = I 21п ~ (1п П xt | = 0. (1.15)
»=i i—1 \>=i / \ /=1 J
Ввиду монотонности логарифмической функции условие (1.14)
означает, что достигает максимального значения функция, стоя-
щая под знаком логарифма в последнем равенстве формулы
(1.15). Таким образом, принцип справедливой относительной
уступки приводит к мультипликативному обобщенному критерию
оптимальности:
(1.16)
г=1
Обобщенный мультипликативный критерий не требует норми-
рования частных критериев, и в этом заключается его важное пре-
имущество перед аддитивным критерием. Но, как указывается в
ряде работ [12, 15, 26, 31], мультипликативный критерий также
имеет серьезные недостатки:
этот критерий компенсирует недостаточную величину одного
частного критерия избыточной величиной другого;
он имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев, по-
скольку в соответствии с принципом относительной уступки абсо-
лютное изменение критерия при оптимизации тем больше, чем
больше его первоначальная величина.
Мультипликативный критерий образуется путем простого пере-
множения частных критериев в том случае, если все они имеют
одинаковую важность. Если же это не так, то вместо простого про-
изведения мультипликативный обобщенный критерий выражается
через частные критерии следующим образом:
п
м = о-17)
1=1
где показатели степени означают весовые коэффициенты важ-
ности.
Приведем простые примеры применения мультипликативного
критерия оптимальности.
37
Пример 1.9. Решим задачу оптимизации параметров автомата для встрели-
вания дюбелей в бетонную стенку (см. пример 1.7) на основе мультипликатив-
ного Критерия:
л~ \ Х. (1.18)
Здесь V — скорость полета дюбеля на выходе из ствола; N — число дюбелей в
магазине.
Используем то же уравнение баланса масс
IL+0,07tf = 4
и ту же связь между длиной ствола автомата L и скоростью V.
Г=140/Г
Для отыскания максимума X составляем уравнение вспомогательной функции Ф
с использованием неопределенного множителя Лагранжа:
®=140j/TW-H(4 — L — 0,Q7N). (1.19)
Теперь надо приравнять нулю частные производные Ф по L и А', а затем ре-
шить два полученных уравнения совместно с уравнением баланса масс. В ре-
зультате получаем
Г01я = 162 м/с, Nol,t тт 38, lopt = 1,33 м.
Мультипликативный критерий привел нас к другим значениям параметров, чем
аддитивный критерий. Отсюда следует, что по крайней мере один из этих .кри-
териев дает мнимую оптимизацию, не отражающую сущность функционирова-
ния рассматриваемого устройства.
Пример 1.10. Проектируется бытовая стиральная машина. Ввиду предпо-
лагаемого массового производства в процессе проектирования особое внимание
обращено на оптимизацию ее параметров. В соответствии с техническим зада-
нием критериями эффективности машины служат:
масса m одновременно загружаемого белья,
число Д' циклов стирки за день или за 8 ч при полной загрузке машины в
каждом цикле
число q килограммов белья, выстиранного на 1 кВт-ч электроэнергии.
При этом техническими условиями оговорены два обязательных ограничения:
себестоимость машины С должна быть не больше 120 руб.,
габаритный объем машины не должен превышать 1'7=160 л.
Таким образом, для оптимизации характеристик стиральной машины будут
использоваться следующие частные критерии:
т, кг; N, день-1; q, кг/кВт.ч.
Предположим, что разработчики машины располагают мировой статистикой
бытовых стиральных машин и усыновили путем ее анализа ряд функциональ-
ных зависимостей:
объем, который надо отвести для загрузочного барабана и воды, пропор-
ционален массе загружаемого белья с коэффициентом пропорциональности 'k =
= 30 л/кг;
38
ным величине q1 с коэффициентом пропорциональности Cq—10 руб
число закладок белья за рабочий день N потенциально пропорционально
мощности электродвигателя; пропорционально этой мощности возрастает объем,
занимаемый двигателем с приводом; коэффициент пропорциональности между
числом загрузок и необходимым объемом можно считать равным kN=3 л/за-
кладкп в день;
часть стоимости машины, приходящейся на барабан, резервуар для воды
и т. п., можно считать пропорциональной массе белья с коэффициентом пропор-
циональности с,„ = !0 руб/кг;
чем большее число закладок белья мы хотим обеспечить за день, тем более
мощный потребуется привод, значит, и стоимость его будет больше; эту зависи-
мость также можно считать линейной с коэффициентом сл = 5 руб/закладку в.
день;
улучшение показателя q требует совершенствования гидродинамических ха-
рактеристик барабана, формы бака, режимов реверса и т. д.; в конечном итоге
это приводит к удорожанию машины, которое можно принять пропорциональ-
КГ
кВт.ч f
кроме объема машины, зависящего от массы загружаемого белья и скоро-
сти его стирки, в машине имеется еще дополнительный объем едоп для разме-
щения органов управления, автоматики и т. п.; этот объем для машин рассмат-
риваемого класса можно считать постоянным; вместе с технологическими поло-
стями он равен 10 л.
Располагая столь исчерпывающими сведениями, мы без труда можем напи-
сать два основных ограничительных уравнения:
1) уравнение баланса объема
Т)о = km Ш+ kNN-]- 'Удоп. (1.20)
2) уравнение баланса стоимости
С = стт + cnN + c^2. (1.21)
Для оптимизации машины по трем частным критериям т, N, q надо сфор-
мировать единый обобщенный критерий. По мнению заказчика и экспертов, вес
три критерия имеют одинаковую важность и предпочтительно руководствоваться
принципом справедливой относительной уступки. На основании этого записы-
ваем обобщенный мультипликативный критерий в следующем простом виде:
X = mNq. (1.22)
Имея два уравнения баланса (объема и стоимости машины) и выражение
для обобщенного критерия X, можно найти оптимальные значения торь M>pt и
<?opt, при которых X достигнет максимально возможного значения. Решая эту
задачу по той же схеме, что и в предыдущем примере, получаем
zreopt = 4,0 кг, ,Vopt = 10 день-1, q = \,l кг/кВт.ч.
Максимальное значение обобщенного критерия составит при этом
ХП1ад = 68 кг2/(кВт.ч-день).
39
Не следует удивляться необычной размерности обобщенного критерия- такие
«странные» размерности часто получаются при перемножении ненормированных
частных критериев.
1.7. МОДЕЛИРОВАНИЕ
Моделирование представляет собой упрощенное воспроизве-
дение процессов, происходящих в технической системе, в том чис-
ле во внешней обстановке, с целью анализа поведения системы и
определения ее характеристик в различных условиях. Совокуп-
ность устройств и действий, осуществляющих указанное воспро-
изведение, называется моделью. Таким образом, модель является
представлением объекта, системы, процесса или понятия в неко-
торой форме, отличной от формы их реального существования. С
помощью моделирования имитируется как сама система, так и
происходящие в ней процессы. Имитационное моделирование есть
процесс конструирования модели реальной системы и постановки
экспериментов на этой модели с целью либо понять поведение
системы, либо оценить (в рамках ограничений, накладываемых
некоторым критерием или совокупностью критериев) различные
стратегии, обеспечивающие ее функционирование. [1].
Модели и моделирование классифицируют по различным при-
знакам:
физическое (масштабное), аналоговое и математическое мо-
делирование, а также их комбинации;
статическое и динамическое моделирование;
детерминистское и стохастическое моделирование;
моделирование с дискретным и непрерывным представлением
переменных величин.
Имитационное моделирование является одной из разновидно-
стей математического моделирования. Имитационным моделиро-
ванием называется такое моделирование систем, при котором вос-
производимые математически явления происходят с сохраиеиием
их исходной логической структуры, последовательности во време-
ни, а иногда и физического содержания.
Сохранение логической структуры и последовательности про-
цессов во времени при имитационном моделировании сложных
систем имеет огромные достоинства, так как позволяет в прин-
ципе проспедигь за всеми переменными величинами, являющими-
ся существенными параметрами, аргументами или функциями.
Подобно тому, как при исследовании реальной физической систе-
мы можно с помощью приборов измерять поведение различных
переменных величин в процессе ее функционирования, так и при
имитационном математическом моделировании можно получать
аналогичную информацию, выводя из машины соответствующие
переменные величины.
40
Имитационное моделирование технических систем применяется
для следующих целей:
исследование поведения проектируемой системы как целого и
ее отдельных частей с целью заблаговременной проверки заложен-
ных принципов и параметров:
накопление статистических данных, путем замены части доро-
гостоящих натурных испытаний системы испытаниями на модели
(этому этапу всегда предшествуют исследования адекватности
модели реальной системе);
проверка функционирования системы в экстремальных усло-
виях, которые крайне сложно или даже невозможно воспроизвести
для реальной системы;
исследование влияния вариации одних характеристик системы
на другие ее характеристики с целью отыскания критичных соот-
ношений и для оптимизации системы в том или ином смысле.
Чем более сложные и дорогостоящие системы и процессы под-
вергаются разработке и исследованию, тем большее значение при-
обретает в этих работах моделирование. Вопросы моделирования
освещены во многих трудах [1, 34—41]. Моделирование приме-
няется и в задачах векторной оптимизации [28, 29J.
Естественно, возникает вопрос: можно ли использовать имита-
ционное математическое моделирование для выбора предпочти-
тельной системы из нескольких конкурирующих?
Казалось бы, на этот вопрос можно без колебаний ответить по-
ложительно. Действительно, многолетний опыт использования мо-
делей показал, что при соблюдении условий адекватности модель
позволяет получить исчерпывающие сведения о свойствах иссле-
дуемой системы и ее поведении в любых ситуациях.
Однако если вдуматься в концептуальную трудность решения
задачи выбора, то становится ясно, что эта трудность обусловлена
не столько незнанием характеристик и поведения сравниваемых
систем, сколько тем, что таких характеристик много, большая их
часть должна быть принята во внимание при выборе предпочти-
тельной системы (задача многокритериальна), а как соразмерить
роль отдельных характеристик — неизвестно.
Поэтому если построить имитационные (или любые, другие)
модели конкурирующих технических систем по обычным рецеп-
там и провести на них статистическое моделирование, то мы по-
лучим обширный материал для решения задачи выбора, но отнюдь
не само решение этой задачи.
Из сказанного не следует, что математическое моделирование
не может принести пользы в задаче выбора предпочтительной
многокритериальной системы. Одно из плодотворных направлений
заключается в моделировании системы более высокого уровня. В
состав этой системы, как одно из ее звеньев, входит исследуемая
система, применительно к которой требуется решить задачу выбо-
41
ра. Вводя в модель характеристики конкурирующих вариантов и
моделируя работу системы более высокого уровня при различных
состояниях внешней по отношению к ней обстановки, можно вы-
явить объективные различия в полезном эффекте каждого из ва-
риантов исследуемой системы. После этого выбор предпочтитель-
ного варианта не представит большого труда. Но создание подоб-
ной комплексной модели, адекватной реальным системам, требует
значительных затрат времени и сил.
Второе направление моделирования в интересах выбора пред-
почтительной альтернативы ограничено рамками исследуемой си-
стемы, но требует серьезной предварительной работы, представ-
ляющей собой творческую деятельность человека. На основе идей
и методов, развиваемых в последующих главах, формулируется, а
затем и моделируется полезность системы.
Здесь особенно отчетливо проявляются достоинства имитаци-
онного моделирования. Поскольку имитационное моделирование
осуществляется с сохранением иерархических связей и временной
последовательности процессов, свойственных реальной системе, мы
сможем, даже не зная явного вида функциональной зависимости
некоторых частных критериев друг от друга, найти численное зна-
чение полезности для известных численных значений частных кри-
териев. Возможность представления как самой системы, так и
окружающей обстановки с учетом случайных и динамических
факторов позволит при указанном условии накопить статистиче-
ские оценки полезности и, следовательно, дать ей более достовер-
ное количественное определение.
Для проведения математического моделирования в интересах
решения задачи выбора необходимо, как и при моделировании
для любых других целей, произвести абстрагирование и форма-
лизовать адекватным образом отдельные элементы и процессы
как самой системы, так и окружающей обстановки. При этом в
модели должны найти отражение все те характеристики, которые
при подготовке к моделированию были отнесены к категории ча-
стных критериев полезности.
В цели настоящей работы не. входит исследование путей реше-
ния задач выбора с помощью имитационных математических мо-
делей. Поэтому высказанные выше соображения мы лишь проил-
люстрируем на простых примерах.
Пример Проектируется система автоматического регулирования транс-
портных потоков па перекрестках автомагистралей крупного города. Назначе-
ние системы заключается в максимально возможном увеличении пропускной спо-
собности магистралей при соблюдении установленных правил дорожного движе-
ния и обеспечении условий безопасности.
На конкурс представлено несколько проектов, отличающихся принципом
действия датчиков подсчета числа автомашин, приближающихся к перекрестку,
42
i также логикой переключения сигналов светофора. Помимо требования обес-
печить максимальную пропускную способность и свести к минимуму простои
июмашии перед красным сигналом светофора, от системы также' требуется
обнаружение и предоставление проезда без задержки автомашинам, цмеюшим
приоритет (машины неотложной медицинской помощи, пожарные и некоторые
специальные машины).
Определим понятие «полезность» применительно к системе авторегулирова-
иия движения транспорта. Такие определения, как «среднее число автомашин,
проходящих в час в каждом из направлений» или «среднее время простоя, при-
ходящееся па одну автомашину», нельзя признать удовлетворительными, потому
что эти показатели зависят отнюдь не только от совершенства системы авто-
рсгулированпя, по от характеристик транспортных потоков, ширины проезжей
части, относительного числа приоритетных машин. Задачи типа регулирования
движения потоков транспорта относятся к категории задач массового обслужи-
вания, для решения которых существует хорошо развитый математический аппа-
рат [42, 43]. С его помощью для заданных характеристик потоков и заданных
ограничительных условий можно найти оптимальное регулирование, максимизи-
рующее пропускную способность.
В связи с этих: представляется обоснованным дать следующее определение
полезности системы авторегулирования транспортных потоков: полезность си-
стемы автоматического регулирования транспортных потоков есть отношение
пропускной способности, обеспечиваемой данной системой, к теоретически мак-
симальной пропускной способности при заданных ограничивающих условиях.
Теперь можно приступать к созданию имитационной математической моде-
ли. Упрощенная блок-схема такой модели изображена на рис. 1.9. Блоки 2 и 3
представляют собой датчики пуассоновского потока автомашин, приближающих-
ся по магистралям х и у к регулируемому перекрестку. На эти потоки накла-
дывается также случайный, значительно менее интенсивный поток приоритетных
машин, формируемый в блоке 1.
Блок 5 представляет характеристики счетчиков Сч,х, Сч2х, Сч^Л Счд/ авто-
машин, приближающихся к перекрестку. В действительной модели этот блок
будет представлять собой достаточно сложную частную модель, отражающую
основные свойства счетчиков каждого из конкурирующих вариантов (они вво-
дятся в комплексную модель, конечно, поочередно). Свойства конкретного про-
екта отражает также блок 7, который воспроизводит те правила, по которым
система по данным счетчиков, по информации о приближении приоритетных
машин и по отсчетам времени (блок 4) выдает команды на открытие движения
по направлениям х или у.
В зависимости от того, какое из направлений в данный отрезок времени
открыто, на другом закрытом для движения направлении начинают скапливать-
ся автомашины. Это явление отражается с помощью блоков 9 п 10. Так как
после открытия движения на ранее закрытом направлении автомашины не сразу
набирают номинальную скорость движения, т. е. стационарный выходной поток
формируется не мгновенно, то предусмотрен блок 12, подключаемый к направ-
лению либо х, либо у.
43
Рис. 1.9
В блоке 16 формируются статистические характеристики суммарного выход-
ного транспортного потока, характеризуемые в простейшем случае математиче-
ским ожиданием числа автомашин в единицу времени и дисперсией, точнее,
оценками этих числовых характеристик.
С учетом принятого определения полезности системы авторегулирования
в модели предусмотрена еще одна ветвь—блоки 5, 8, 11, 15. Здесь по данным
чех же входных потоков транспорта методами теории массового обслуживания
вычисляется максимально возможное математическое ожидание пропускной спо-
собности. Наконец, в блоке 17 определяется полезность моделируемой системы
авторегулирования.
Совершая ряд «прогонов» модели при постоянных законах распределения
входных потоков, повторяя затем эти же операции для ряда типичных видов
44
законом распределения входных потоков, мы получаем на выходе модели усред-
ненное значение полезности исследуемой системы авторегулирования.
Проводя такое статистическое моделирование для каждого из конкурирую-
щих вариантов (с соответствующим изменением блоков 5 и 7), можно найти
объективные усредненные оценки полезности каждой из систем. Эти оценки
совместно с оценками платы за полезность систем дают основу для выбора
предпочтительной альтернативы.
Пример 1.12. Нужно сравнить несколько проектов авиационного прибора
для предотвращения столкновений пассажирских самолетов при движении по
.маршруту. Используем имитационное моделирование *>.
В качестве первого шага, как и в предыдущем примере, нам надо дать чет-
кое определение полезности прибора. Особенность задачи состоит в том, что
столкновение самолетов представляет собой исключительно редкое явление. По-
этому если бы стали сравнивать возможное число столкновений самолетов, нс
оборудованных проектируемыми приборами и имеющих такие приборы в со-
ставе навигационных средств самолета, то результаты получились бы малоубе-
дительными. Для выпуклого представления потенциального эффекта, который
может дать предупредитель столкновений, будем рассматривать такую ситуа-
цию, когда исследуемый самолет летит по предписанному ему маршруту, а дру-
гие летательные аппараты (самолеты и вертолеты) образуют поток заведомо
опасных объектов. Эта опасность состоит в том, что при отсутствии предупре-
дителя столкновений эти аппараты проходят в недопустимой близости от само-
лета или просто сталкиваются с ним. (Визуальный контроль обстановки из-за
облачности или ночного времени суток считается невозможным).
При указанных исходных предположениях можно дать следующую форму-
лировку полезности прибора: полезность бортового предупредителя столкно-
вений есть вероятность предотвращения столкновения с другим летательным
аппаратом или прохождения в недопустимой близости от него при условии, что
в отсутствие данного прибора подобное явление неизбежно.
Имитационную математическую модель для сравнения конкурирующих ва-
риантов предупредителя столкновений надо строить с учетом приведенного опре-
деления его полезности. Упрощенная блок-схема такой модели изображена на
рис. 1.10.
Блок 1 представляет движение самолета по маршруту, т. е. дает его теку-
щие координаты как функцию времени. Блоки 2, 5, 8, 11 имитируют внешнюю
•обстановку. Поток опасных летательных аппаратов, формируемый блоком 5,
может содержать объекты с различными скоростями полета и различными кур-
совыми углами, но параметры их движения относительно защищаемого само-
лета должны выбираться так, чтобы они приводили к столкновению с ним или
к прохождению в опасной близости от него, если только защищаемый самолет
своевременно не предпримет специального маневра по курсу или по высоте
полета.
Блок 11 (модель погодных условий) введен с той целью, чтобы учесть огра-
ничения в дальности действия предупредителя столкновений, если он выполнен
С этим же примером, но решаемым методом функции полезности, мы
встретимся в гл. 6.
45
Рис. 1.10
на лазерном локаторе или на радиолокаторе миллиметрового диапазона длин
волн. Поэтому величина ослабления сигнала на единицу пути, выдаваемая этим
блоком, зависит от длины волны, используемой предупредителен столкновений.
Примененная в данном варианте прибора длина волны должна вводиться в
блок 11.
Блоки 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12—15 непосредственно включают в себя характе-
ристики исследуемого варианта предупредителя столкновений. При переходе от
одного варианта прибора к другому могут изменяться не только численные па-
раметры, но п структура блоков.
Данные из блока измерения текущих координат обнаруженного опасного
летательного аппарата и пролонгации траектории его движения (блок 12) вме-
сте с пролонгированной траекторией движения защищаемого самолета посту-
пают в блок 14. В блоке 14, имитирующем бортовую ЦВМ, на основании по-
46
i тупившей информации и с учетом допустимых и реализуемых перегрузок (блок
76) вычисляется оптимальный защитный маневр и соответствующие команды
выдаются на индикатор пилота.
Но рекомендованный маневр выполняется пилотом не сразу, а с некоторой
задержкой во времени (блок 15). Величина этой задержки в значительной сте-
пени обусловлена тем, насколько отчетливо и ясно представлена информация
на индикаторе пилота. Это обстоятельство и отображено в блок-схеме модели
зависимостью времени задержки от мнемонического совершенства индикатора
на пульте пилота (блок 13). Если бы производилось физическое моделирование
пли смешанное моделирование с включенным в модель реальным индикатором
данного варианта системы, то определить время задержки реакции пилота мож-
но было бы, набирая статистику действий реального человека-оператора, «вхо-
дящего» в состав модели.
Но при математическом моделировании реальный индикатор отсутствует.
Откуда же взять сведения для блока 131 Здесь мы как раз и сталкиваемся с
трудностью представления в модели неметрических критериев полезности си-
стемы. Преодолеть эту трудность в данном случае можно двумя способами.
Либо надо создать отдельную полуфизическую модель индикаторов разных
вариантов и на ней предварительно получить статистические данные о времени
задержки реакции пилота, либо определить искомую характеристику методом
экспертных оценок.
После того как для данной реализации случайного потока опасных лета-
тельных аппаратов и других случайных величин, входящих в состав модели
рпс. 1.10, получена оценка степени близости прохождения опасного объекта
относительно самолета, совершившего защитный маневр, эта оценка сравнивает-
ся с заложенной в блок 19 зоной опасности. Если ближайшее расстояние пре-
вышает размер зоны опасности, то специальный счетчик фиксирует число 1, в
противном случае в счетчик добавляется 0.
Проводя многократный прогон модели при разных характеристиках потока
опасных летательных аппаратов, можно получить оценку вероятности предот-
вращения столкновения как отношение числа, накопленного в упомянутом выше
счетчике, к общему числу реализаций. Л это, по определению, и есть полез-
ность прибора.
Выполняя подобное моделирование для каждого из конкурирующих вари-
антов прибора, можно получить оценки их полезности и на основании этого
выбрать предпочтительный проект.
Даже весьма краткое рассмотрение принципов имитационного
математического моделирования на двух приведенных примерах
показывает, что для определения количественного значения по-
лезности конкурирующих вариантов нам не потребовалось нахо-
дить аналитическую зависимость полезности от всех частных кри-
териев, и в этом большое достоинство данного метода. Недостат-
ком же его, как уже упоминалось, является большая трудоемкость
создания модели, ее отладки и накопления представительной ста-
тистики.
47
1.8. ФУНКЦИОНАЛЬНО-СТОИМОСТНЫЙ АНАЛИЗ
Функционально-стоимостный анализ (ФСА) или, как его иног-
да называют, инженерно-стоимостный анализ (ИСА) представ-
ляет собой совокупность инженерных процедур, направленных на
изыскание наиболее рациональной конструкции и схемы изделия,
обеспечивающих выполнение заданных функций при минимальных
издержках н без ухудшения качества изделия. Таким образом,
если ввести понятие оптимального изделия как изделия, обла-
дающего заданными свойствами при минимальной стоимости, то
ФСА преследует цель спроектировать такое оптимальное изделие,
т. е. направлен на решение задачи векторной оптимизации, по-
скольку всякое реальное изделие характеризуется многими кри-
териями.
ФСА находит применение для повышения качества и снижения
себестоимости продукции. Наиболее ощутимый эффект ФСА дает
при совершенствовании уже выпускаемых промышленностью из-
делий, но он может применяться и при проектировании новых из-
делий [44—46].
ФСА предполагает выбор конструкции, схемы и технологии
изготовления изделия в комплексе. При этом считается, что из-
держки производства при изготовлении изделия складываются из
необходимых издержек, обеспечивающих выполнение изделием
своих основных функций, и ряда дополнительных, избыточных из-
держек. Последние обусловлены:
выполнением изделием и особенно его частями дополнитель-
ных, необязательных функций;
неоправданным усложнением функциональной, электрической,
кинематической, оптической схем;
несовершенством конструкции;
нерациональным выбором комплектующих элементов и мате-
риалов;
несовершенством технологии изготовления.
Для проведения ФСА выполняются следующие процедуры.
1. Дается четкое определение функционального назначения из-
делия.
2. Устанавливается перечень его основных функций: Fb F2„
Fs, F я.
3. Составляется морфологическая карта изделия. Она пред-
ставляет собой матрицу, строками которой являются функции F^
F2, Fs, F„, а столбцами—возможные способы выполнения каж-
дой функции Рп, Р12, ..., р21, р22, Pnk-
4. Путем анализа конструкции, осуществляющей данный ptj, и
технологии ее изготовления устанавливается себестоимость
присущая данному
5. Выбором по одному /то из каждой строки образуют ги-
48
потетический вариант изделия, способный выполнять все задан-
ные функции изделия. Последовательно выбирая различные ком-
бинации pij из строк таблицы, получают ряд возможных изделий,
выполняющих все заданные функции.
G. На основании данных л. п 4 и 5 определяют себестоимость
каждого из гипотетических вариантов изделия.
7. Выбирают тот из вариантов, себестоимость которого оказа-
лась минимальной.
Мы привели предельно упрощенную схему для пояснения ос-
новной идеи ФСА. В действительности дело обстоит значительно
сложнее. Во-первых, прямой переход от основных функций К, к
способам их осуществления для практических расчетов недоста-
точен: приходится выявлять вспомогательные, но тоже необходи-
мые функции, обеспечивающие выполнение а уже для них
искать способы их конструктивно-технологической реализации.
Во-вторых, для уменьшения числа вариантов, подлежащих ана-
лизу, функциям /у придаются весовые коэффициенты, а для каж-
дого гипотетического варианта составляется «положительно-отри-
цательная таблица», в которой указываются достоинства и недо-
статки каждого рг/, вошедшего в данный вариант. На основании
этого определяются коэффициенты значимости вариантов. Для
дальнейшего анализа выбираются варианты, имеющие максималь-
ные коэффициенты значимости. Имеется еще ряд операций, кото-
рые необходимо выполнять при практическом использовании ФСА.
Из опубликованных данных видно, что ФСА успешно применяет-
ся при совершенствовании достаточно простых изделий. Так, в
работе [44] приводятся данные о совершенствовании мотобура
Д-10М: применение ФСА позволило уменьшить количество дета-
лей коробки передач мотобура с 35 до 22, снизить трудоемкость
изготовления коробки передач на 60% и затраты материалов на
55%. В [46] приводятся сведения о снижении в 2,5 раза трудоем-
кости изготовления электронного блока в результате реализации
рекомендаций ФСА.
Таким образом, ФСА представляет собой метод выбора наи-
лучшего технического решения по критерию эффективность —
стоимость, предполагающего фиксацию эффективности на задан-
ном уровне и минимизацию стоимости. Конечно, такой подход на-
до считать наиболее целесообразным: если необходимый уровень
эффективности каким-то образом обоснован, то самое лучшее, что
можно предложить, — это достичь требуемой эффективности ценой
минимальных затрат. При этом если все сравниваемые альтерна-
тивы имеют одинаковую эффективность и различаются только по
стоимости, то выбор предпочтительного варианта не представляет
труда.
Взглянем теперь на ФСА с точки зрения многокритериальных
задач. Как уже ясно из предыдущих параграфов этой главы,
4—1051 49
основная логическая трудность заключается здесь в том, что си-
стема характеризуется рядом частных критериев, которые в сово-
купности определяют ее эффективность, но функциональная за-
висимость эффективности от частных критериев неизвестна. По-
этому если система 1 превосходит систему 2 по критерию но
уступает ей по критерию х2, имеющему к тому же другую размер-
ность, то нет простого способа определить, какая из этих двух си-
стем обладает большой эффективностью. В этих условиях приме-
нить ФСА нельзя.
1.9. КРАТКИЕ ИТОГИ
Наиболее полный критический обзор современных методов ре-
шения многокритериальных задач приведен в работе [14]. Но и
краткое рассмотрение в настоящей главе позволяет понять, что
эти методы еще далеки от совершенства. Поэтому в практической
деятельности предпочтительная альтернатива определяется обыч-
но методом экспертных оценок либо непосредственно ответствен-
ным руководителем — ЛПР (лицом, принимающим решение).
Коллективное мнение группы опытных специалистов — экспер-
тов— служит рекомендацией для ЛПР. Устанавливаемые при
этом интуитивно предпочтения основаны на большом опыте и зна-
ниях экспертов и ЛПР и, как показывает многолетняя практика,
приводят в большинстве случаев к успеху.
Но это ни в какой степени не означает, что ЛПР не заинтере-
совано в развитии объективных оснований, облегчающих ему при-
нятие обоснованного решения. Поэтому актуальность совершенст-
вования методов решения многокритериальных задач не вызывает
сомнений.
На рис. 1.11 изображена заимствованная из работы [15] схе-
ма наиболее известных в настоящее время методов. Подавляющее
их большинство основано на формировании тем или иным образом
из частных критериев системы обобщенного критерия, который за-
тем максимизируется (минимизируется). С помощью такого при-
ема многокритериальная задача сводится к однокритериалы-юй.
На некоторых позициях схемы рис. 1.11 мы останавливались в
настоящей главе. Скажем несколько слов о других методах.
Под номером 15 на схеме, представлен метод, являющийся
взвешенной комбинацией аддитивного и мультипликативного ме-
тодов построения обобщенного критерия. При а=1 мы имеем чи-
сто аддитивный обобщенный критерий, при а = 0 получаем чисто
мультипликативный. С точки зрения физической сущности взаимо-
действия элементов системы и отражаемых ими критериев фор-
мулу блока 15 объяснить невозможно. Но с точки зрения анали-
тика, образующего обобщенный критерий как формальную мате-
матическую операцию, эта формула вполне прозрачна. Действп-
50
к'льно, если мы не знаем, что в большей степени отражает реаль-
ность— аддитивное или мультипликативное объединение частных
ьрнтериев, то, образовав их взвешенную сумму, мы можем себя
\ верить, что не отошли от истины, если весовому коэффициенту а
придано должное значение.
Но остается открытым вопрос: откуда взять это «должное»
-падение весового коэффициента а?
Блоки 5, 8, 11, 11 на рис. 1.11 отражают методы формирова-
ния обобщенных критериев на основе отклонения от «идеальной»
1\о1иниз критериев
*• е F
Минимаксный
Сумма потерь
0 'i,o ':min
nfWX)_k
fyf —f . 6
Ti,o Qmm
Рис. 1.11
51
альтернативы. Так, в блоке 8 в символической форме представ-
лен следующий метод. Для каждого из критериев ft (х) опреде-
ляется максимальное значение этого критерия fi0 для некоторой
гипотетической «идеальной» системы. Тогда разность fi0—fifx)
представляет собой меру отступления данной системы от «идеаль-
ной». Чем меньше эта разность, тем ближе данная система по кри-
терию ft (х) к «идеальной» системе. Но система характеризуется
не одним критерием (х), а п критериями. Поэтому наилучшей
надо считать систему с такими значениями частных критериев,
при которых сумма разностей между частными критериями этой
системы и «идеальной» системы минимальна. Это и означает, что
оптимальное решение должно определяться условием
П-
F{x) = min2[Ao — Л (*)]• (1-23)
i=i
Дальнейшее развитие описанной логики отражает вторая фор-
мула в блоке 8. Можно рассуждать следующим образом. Сама по
•себе абсолютная разность /;о—fifx) не в полной мере отражает
степень отступления критерия от «идеального» f(0: важно
еще, какую долю составляет эта разность от всего возможного
диапазона изменений данного критерия. Именно относительное от-
клонение от «идеала» является адекватной мерой степени совер-
шенства критерия ft (х) данной системы. Отсюда легко прийти к
формуле оптимального решения:
Д(х) = ш1п2^ДС12Ж. (1.24)
i=l J i,0 J i min
Разновидностью формулы минимального относительного от-
клонения от «идеальной» системы является формула, в которой
различным критериям придан разный вес в обобщенном критерии.
Этот разный вес может быть отражен либо весовыми множителя-
ми, либо весовыми показателями степени:
F (л) — min V1'. ,
z=l J i,0 } i min
Ft \ V Г Л» ~fi (*)
F (x) — mm 2a —----------------—
(1.25)
(1.26)
В [27] развивается метод векторной оптимизации, основанный
на минимизации суммы квадратов нормированных отклонений ча-
стных критериев от их минимально возможных значений. Этот
метод описывается формулой (1.26) при Z,/ =2.
Блок 14 отражает метод, близкий к методу, описываемому
формулой (1.25). Здесь использована следующая логика. Взве-
52
шенное относительное отклонение данного критерия (х) от со-
ответствующего критерия для «идеальной» системы равно
Л____f.tx)
(ч ——— , где р(-—весовой коэффициент. Следуя принципу
Ло ft min
равномерной относительной уступки, можно полагать, что оптп-
Л,о — fl М
мальным является такое решение, для которого все ---
/ой fl mln
равны между собой. Это приводит нас к формуле
F И = 2 Р/ = nk0. (1.27)
fi,0— min
В блоке 11 приведены формулы для сравнения относительной
предпочтительности различных вариантов системы. Предпочти-
тельным следует считать тот вариант, для которого сумма потерь
по отношению к «идеальной» системе меньше, чем для других
вариантов. Как указывают авторы работы [15], вторая формула
блока И находит применение в теории принятия коллективных
решений.
Блоки 3, 6, 9, 12 отражают метод последовательной оптими-
зации, главная отличительная особенность которого заключается
в том, что здесь обобщенный критерий оптимальности не строится.
В методе множества неподчиненных альтернатив (блок о) стро-
ится упорядоченное по важности множество критериев оптималь-
ности. Затем производится ряд последовательных приближений к
оптимальному решению. На первом шаге выбирается такое реше-
ние, при котором максимален высший по рангу критерий. Затем
задается допустимое снижение этого критерия и ищется макси-
мально возможное при этих условиях значение второго по рангу
критерия и т. д. Аналогичен по своему смыслу и метод уступок
(блок 9).
Метод ELECTRE основан на построении графа превосходства
по каждому критерию оптимальности. Затем с помощью специаль-
ных приемов и дополнительной информации строится обобщенный
граф и находится предпочтительное решение.
Оценивая в целом все рассмотренные и перечисленные методы
оптимизации, можно заметить, что все они так или иначе сводят
векторный критерий к скалярному. Безусловный критерий пред-
почтения (БКП), как уже указывалось в 1.4, не требует, правда,
нахождения функциональной зависимости некоторого обобщенно-
го критерия от частных, но зато не позволяет продвинуть задачу
дальше, чем отыскание области компромисса, в которой находит-
ся и оптимальное решение. Тем не менее в некоторых случаях,
особенно для не слишком сложных технических систем, метод
БКП может дать плодотворные для практики результаты. Это
53
.хорошо видно пз работы [13], посвященной в своей основной ча-
сти БК.П.
При отыскании оптимального решения в самой области ком-
промисса необходимо пользоваться условным критерием предпо-
чтения (УКП), поскольку в этой области нет превосходства одно-
го решения над другим по всем частным критериям. УКП — это,
по сути дела, функциональная связь между обобщенным и част-
ными критериями. Рассмотренные в настоящей главе методы стро-
ят эту связь формально, используя для определения весовых ко-
эффициентов (а иногда и нормирующих делителей) экспертные
оценки. Как бы квалифицированы ни были экспертные оценки,
они не могут повлиять на «произвол» в выборе вида формальной
связи обобщенного критерия с частными критериями. В резуль-
тате найденное в качестве оптимального решение несет на себе
печать субъективизма. В [13] справедливо указывается, что снять
печать субъективизма и получить объективно оптимальное реше-
ние можно только в том случае, если оперировать объективно су-
ществующей зависимостью обобщенного критерия от частных
критериев.
Вопросу о возможности и путях отыскания такой зависимости
посвящены следующие главы книги.
Глава 2
ПОЛЕЗНОСТЬ И ЧАСТНЫЕ КРИТЕРИИ
2.1. ЗАДАЧА ПРОЕКТИРОВАНИЯ И ЗАДАЧА ВЫБОРА
Характерной особенностью сложных технических систем
является многокритериальность. Многокритериальность означает,
что степень совершенства системы, качество выполнения ею своих
функций зависит от нескольких выходных характеристик. Поэтому^
и при проектировании системы, и при сравнении альтернативных
технических решений надо учитывать вклад каждой из этих ха-
рактеристик, приобретающих, таким образом, ранг критериев.
Проектирование всегда происходит в условиях ряда ограниче-
ний, не позволяющих придавать всем критериям желаемые значе-
ния: увеличение одних из них неизбежно влечет за собой умень-
шение других. Можно поэтому ожидать, что существует наиболее
благоприятное соотношение между критериями, при котором сте-
пень совершенства системы при заданных ограничениях будет мак-
симальной. Численные значения критериев в этом случае можно
считать оптимальными.
54
Однако придать этой простой мысли форму реального способа
действия чрезвычайно трудно. Цель теории векторной оптимиза-
ции, о которой шла речь в предыдущей главе, заключается в со-
здании аппарата синтеза оптимальных технических систем. Ко-
нечно, чрезвычайно важно иметь возможность при заданных тре-
бованиях и ограничениях создать наилучшую (в заранее установ-
ленном смысле) систему. По теория векторной оптимизации пока
еще нс вышла на уровень, который позволил бы применить ее для
проектирования конкретных систем, за исключением наиболее
простых. Поэтому практическое проектирование сложных систем
ведется с использованием, отдельных прикладных наук и инженер-
ных методов, а степень совершенства проектов в значительной
степени зависит от опыта и интуиции разработчиков. Многолет-
ний опыт показал, что при этом создаются весьма совершенные
системы (хотя нельзя утверждать, что при наличии инженерных
методов оптимального синтеза их нельзя сделать еще лучше).
Практическое проектирование неизбежно приводит к появле-
нию альтернативных технических решений. Они возникают когда
проектирование ведется на конкурсных началах разными коллек?
тивами, а также одним коллективом. Поэтому переход от проекта
к разработке, и к освоению системы в производстве неизбежно
требует избрать из имеющихся альтернатив предпочтительную.
Многокритериальность системы вызывает трудность решения за-
дачи выбора, если одна из альтернатив превосходит другую по
одной группе критериев, но уступает ей по другой. А так большей
частью и бывает на практике, потому что системы, отстающие от
других по всем критериям, не доживают до конкурса.
Задача выбора предпочтительной альтернативы также решает-
ся интуитивно техническим руководителем, опирающимся большей
частью на мнения экспертов. Если бы инженерные методы синтеза
оптимальных систем существовали, то они же могли быть исполь-
зованы для выбора объективно предпочтительной альтернативы.
(Более того, при наличии таких методов альтернативы появлялись
бы лишь в исключительных случаях.)
Чем же в описанной ситуации оправдывается стремление пред-
ложить методы выбора объективно предпочтительной альтернати-
вы, игнорируя задачу проектирования оптимальной системы? По
крайней мере два обстоятельства оправдывают это стремление.
Во-первых, задача выбора намного проще, чем задача синтеза
оптимальной системы. Во-вторых, технический руководитель нуж-
дается в методах объективного количественного сравнения аль-
тернатив даже при отсутствии методов оптимального синтеза. По-
ясним сначала второе обстоятельство.
Допустим, что два коллектива представили проекты системы,
разработанные на основе одних и тех же требований. Видно, что
требования в обоих проектах удовлетворяются; известно, что оба
55
коллектива имеют достаточно большой опыт. Поэтому оба проекта
имеют право на жизнь. Но выбор все же сделать необходимо, по-
тому что нет оснований запускать в производство две разные
системы, решающие одну и ту же задачу. И крайне нежелательно,
чтобы при этом был отклонен тот вариант, который в действи-
тельности лучше. Ясно, что в этой ситуации техническому руко-
водителю важно было бы иметь средство определения объективно-
предпочтительной альтернативы.
Поясним теперь, почему задача выбора проще задачи синтеза
оптимальной системы. Как следует из материалов гл. 1, для оты-
скания оптимального решения многокритериальной задачи необ-
ходимо выполнить следующие действия:
1, Установить перечень частных критериев данной системы:
Л?!, х,, х„.
2. Найти аналитическую связь между заданными ограниче-
ниями Д1, Л2, Ап и частными критериями:
(хъ х2,.. х„) С А/; j = 1 -Ъ k.
3. Выбрать обобщенный критерий X (целевую функцию) и
установить аналитическую зависимость X от частных критериев:
X — Ф (xlt х2,..., х„).
4. Найти такие значения частных критериев х, — x10|lt, i =
которые удовлетворяли бы заданным ограничениям и
вместе с тем доставляли максимальное значение обобщенному
критерию:
Ф (МорО • • •» X Opt) ’ -^max*
Тогда система, частные критерии которой имеют значения xjOpt,
i=\~n, будет оптимальной системой.
Для выбора предпочтительной альтернативы надо выполнить
действия 1 и 3, после чего найти численное значение обобщен-
ного критерия Х(|) для системы варианта I и Х(П) для системы ва-
рианта II, подставив в выражение для обобщенного критерия чис-
ленные значения частных критериев х)1’, и х(;н-\ i=
iсодержащихся в проектах двух сравниваемых вариантов
систем:
.¥(1) = ф (x(I)t Л(1)( . . х(!>), zy(Il) = ф (*(11), , *(!!)).
Предпочтительным является тот вариант, для которого обобщен-
ный критерий имеет большую величину.
Заметим, что действие 2 здесь не потребовалось выполнять
потому, что его, по сути дела, выполнили разработчики про-
ектов. Может быть, они в явном виде и не искали функциональ-
ные зависимости х2, ..., х„), но они выбрали такие значения
56
характеристик системы, при которых заданные ограничения удо-
влетворяются.
Найти аналитическую связь между заданными ограничениями
и частными критериями обычно достаточно сложно. Так, опытйые
разработчики умеют спроектировать радиолокатор, удовлетворя-
ющий заданным ограничениям по массе и по потреблению элек-
троэнергии. Но при этом им неизвестна формула, связывающая
массу передатчика с его средней мощностью и скважностью; или
формула, показывающая, как зависит масса и электропотребление
приемного устройства от шум-фактора, разрешающей способности
по дальности и скорости и величины мгновенного поля зрения по
этим двум координатам. Отсутствие необходимости знать подобные
зависимости упрощает задачу выбора по сравнению с задачей
синтеза оптимальной системы.
Метод выбора объективно предпочтительной альтернативы,
развиваемый в этой работе, назван методом функции полезности.
Каждая альтернатива характеризуется в этом методе не, одним,
а двумя обобщенными критериями: полезностью и платой за по-
лезность. Необходимость иметь два таких обобщенных критерия
я сущность каждого из них будут пояснены в следующих разде-
лах. Важно отметить, главную особенность этого метода: функ-
циональная связь между обобщенным критерием и частными кри-
териями устанавливается не формально, а на основании вскрытия
объективно существующих зависимостей. Исключением из этого
правила являются только так называемые неметрические частные
критерии, к определению численных характеристик которых при-
влекаются экспертные оценки.
Формирование обобщенных критериев на основе объективно
существующих связей с частными критериями должны способст-
вовать правильному выбору предпочтительной альтернативы.
2.2. ПОЛЕЗНОСТЬ
Полезностью технической системы будем называть некоторую
количественную характеристику степени выполнения системой
своего функционального назначения. Эта характеристика должна
служить объективной мерой для оценки системы. Но всякая тех-
ническая система создается ради того, чтобы в том или ином виде
служить людям. Поэтому возникает вопрос: а может ли в прин-
ципе такая характеристика быть объективной, т. е. не зависящей
от субъекта, коль скоро для удовлетворения его потребностей
предназначено оцениваемое техническое устройство?
Анализируя этот вопрос, мы приходим к выводу, что следует
различать:
1) полезность с точки зрения индивидуального потребителя;
57
2) полезность с точки зрения массового производства техни-
ческих устройств индивидуального потребления;
3) полезность устройств или систем общественного (неиндиви-
дуального) использования.
В первом случае понятие полезности сугубо субъективно и
различно для различных людей. Различными и субъективными
будут и частные критерии полезности. Рассмотрим в качестве при-
мера переносный батарейный транзисторный радиоприемник.
Ниже в табл. 2.1 представлены формулировки основного целевого
назначения этого технического устройства и частные критерии его
полезности с точки зрения двух гипотетических индивидуумов.
Таблица 2.1
Номер
индиви-
дуума
Основное це (евое назначение
приемника
Г гавпые частные критерии полезности
Слушание последних известий
и запись на магнитофон музы-
ки в условиях Подмосковья
Обеспечение музыкой для тан-
цев при загородных прогулках
и турпоходах
2
1.1. Наличие диапазона УКВ
1.2. Широкая полоса пропускания
1.3. Наличие выхода для подключе-
ния магнитофона
2.1. Большая звуковая мощность
2.2. Малая масса и габариты
2.3. Большое число часов работы с
одним комплектом батарей
2.4. Вход для подключения проигры-
вателя патефонных пластинок
Если бы индивидуума 1 облечь правами ЛПР (лида, прини-
мающего решение), то он мог бы вообще исключить из числа кри-
териев полезности свойства 2.4. Индивидуум же 2 мог бы не при-
знать за критерии свойства 1.3.
Таким образом, субъективное толкование основного функцио-
нального назначения в данном примере приводит и к различию
в критериях полезности технического устройства. Полезность в
данном случае выступает как субъективная характеристика.
Понятие полезности как меры индивидуальных предпочтений
широко используется в теории игр и в теории статистических ре-
шений [11, 47, 48]. В нашей работе мы используем термин полез-
ности как объективную количественную меру.
Предположим теперь, что решается вопрос о выборе одного
из нескольких проектов переносного радиоприемника для запуска
в массовое производство с целью продажи населению. В этом слу-
чае было бы крайне неосмотрительно производить выбор на осно-
вании личных предпочтений одного лица. Так обычно и не посту-
пают. Выявляются методами статистики наиболее типичные пред-
почтения и с учетом тех или иных ограничивающих факторов ис-
58
пользуются как основа для формулирования технических требова-
ний на разработку приемника. Первый раздел этого документа
определяет количественные значения тех характеристик, которые
выступают в качестве критериев полезности приемника. При срав-
нении представленных проектов с целью выбора наилучшего для
запуска в производство основную роль будут играть эти критерии.
Полезность в данном случае хотя также отражает индивиду-
альные предпочтения людей, по носит уже значительно более объ-
ективный характер, так как является статистическим усреднением
множества различных мнений.
В дальнейшем будем считать, что полезность, выявленная как
статистически усредненное мнение достаточно большого количест-
ва непредвзятых экспертов, может рассматриваться как объектив-
ная характеристика технического устройства и служить основой
для выбора предпочтительной альтернативы.
Перейдем теперь к рассмотрению третьего случая: полезности
устройств общественного (неиндивидуального) использования.
Целевое (функциональное) назначение таких устройств, хотя они
и служат людям, не зависит от воли и сознания людей и для дан-
ного уровня развития техники определяется вполне объективно.
Но тогда объективно определяется и полезность таких устройств.
Приведем некоторые примеры.
Устройство грозозащиты промышленных сооружений. Назначе-
ние этого устройства — сведение до минимума вероятности разря-
да молнии на элементы конструкции защищаемого сооружения.
Полезность будет определяться величиной этой вероятности при
наиболее опасной грозовой обстановке; эта полезность никак пс
может зависеть от чьих-либо мнений или предпочтений.
Самолетный альтиметр. Полезность определяется достоверно-
стью информации о расстоянии летательного аппарата от под-
стилающей поверхности во всем диапазоне высот полета. По-
лезность в таком определении объективна. Частными критериями
полезности являются: диапазон измеряемых высот, случайные и
систематические погрешности измерения, чувствительность к (со-
стоянию атмосферы, быстродействие, надежность, помехоустойчи-
вость, габариты, масса, удобство монтажа на летательном аппара-
те, создаваемое аэродинамическое сопротивление, потребление
электроэнергии. Практически все критерии поддаются количест-
венному выражению. Имея совокупность таких критериев, можно
объективно сравнивать полезность не только разных конструкций
альтиметров, построенных по одному принципу, но и принципи-
ально различных приборов, например барометрических, радио-
альтиметров, автономных интеграторов перемещений самолета ио
вертикали и т. п.
Система автоматического регулирования технологического про-
цесса. Предназначена для дозировки составляющих, из которых
59
синтезируется выходной продукт, и поддержания заданных темпе-
ратурных, скоростных и других режимов. Полезность системы
определяется близостью состава выходного продукта к установ-
ленному номиналу во всем диапазоне возмущающих факторов при
заданной производительности.
Можно было бы привести еще бесчисленное множество других
примеров, но и так ясно, что полезность технических систем об-
щественного назначения представляет собой столь же объектив-
ную характеристику, как и частные свойства, называемые нами
критериями.
Не представляет особого труда представить себе качественную
зависимость полезности от отдельных критериев. Иллюстрация
этого утверждения дана на рис. 2.1. Здесь приведены графики за-
висимости величины функции полезности ф от одного из частных
критериев для нескольких устройств, в том числе простейших.
График на рис. 2.1,а относится к задаче выбора электродвига-
теля для привода металлообрабатывающего станка. По горизон-
тальной оси отложена мощность двигателя, по вертикальной —
«полезность» двигателя. Что в данном случае следует понимать
под полезностью? По-видимому, это способность двигателя обес-
печить работу станка во всех возможных режимах. Поэтому, пока
мощность двигателя не достигла некоторой минимально приемле-
мой величины, полезность его равна нулю: он просто не сможет
привести станок под нагрузкой в
движение. Далее, с ростом мощ-
ности полезность должна моно-
тонно возрастать, отражая спо-
собность развивать на режущем
инструменте все большие и боль-
шие усилия и скорости, что рас-
ширяет возможности станка. Но
увеличение мощности двигателя
свыше некоторого уровня уже не
будет вызывать каких-либо поло-
жительных последствий, так как
прочность конструкции станка нс
позволяет развивать еще боль-
шие нагрузки на режущем ин-
струменте. На графике это об-
стоятельство отражается в пере-
ходе кривой полезности в гори-
зонтальную линию.
На рис. 2.1,6 изображен гра-
фик зависимости полезности дат-
чика времени от точности хода
часового механизма. Ясно, что
60
пока погрешность хода очень мала, то полезность датчика по-
стоянна и от погрешности хода не зависит: действительно, для
многих технических применений безразлично, уходит ли отсчетный
интервал от точного времени на 0,0001 или на 0,001 с за сутки.
Но когда погрешность хода возрастает настолько, что это уже
отчетливо ощущается, то полезность датчика начинает снижаться.
Наконец, погрешность может достичь такой численной величины,
когда датчик, как прибор для определения интервала времени ста-
нет бесполезен. Никто, вероятно, не будет оспаривать, что можно
считать равной нулю полезность датчика, уходящего от точного
времени на 30 минут в час.
На рис. 2.1,в изображена одна из характеристик рабочего ме-
ста конструктора, а именно: зависимость полезности от яркости
встроенного в рабочее время место осветительного прибора. При
слишком низкой яркости освещения работа конструктора прак-
тически невозможна, в силу чего полезность равна нулю. Начиная
с некоторого уровня освещенности работать уже можно, и полез-
ность начинает возрастать вместе с яркостью освещения. Наступа-
ет такая яркость, дальнейшее возрастание которой пользы уже не
дает (в кривой полезности появляется горизонтальный участок), а
при еще более ярком: освещении конструктор ощущает болезнен-
ные явления в органах зрения, что свидетельствует о падении по-
лезности.
На рис. 2.1,г представлен график полезности радиолокатора
раннего обнаружения в зависимости от средней частоты ложных
тревог, вызванных выбросами внутренних шумов приемного
устройства радиолокатора. При некотором уровне ложных тревог
(скажем, 3—4 раза в сутки, т. е. по разу за каждую смену рабо-
чей бригады) эти тревоги могут использоваться как благо, допол-
нительно позволяя контролировать функционирование всех систем
радиолокатора. Если ложные тревоги слишком часты, то они бу-
дут загружать аппаратуру анализа, нервировать персонал, а при
еще большей частоте создадут опасность пропуска на их фоне
действительной тревоги. Это значит, что при повышении частоты
ложных тревог выше некоторого уровня полезность радиолокато-
ра начнет снижаться. Аналогичная ситуация может сложиться
при чрезмерно низкой частоте ложных тревог, если на последние
возложена задача дополнительного автоматического контроля ис-
правности всех систем радиолокатора.
Не требует подробных пояснений график рис. 2.1,д, где пока-
зана зависимость полезности цифровой вычислительной машины
от частоты сбоев, происходящих в ней в процессе вычислений.
Отметим только, что когда частота сбоев становится столь высока,
что они с высокой вероятностью происходят за время решения еди-
ничной задачи, то пользование ЦВМ. становится бесполезным для
практики, на что указывает ход кривой на рис. 2.1,д.
51
Более сложный случай показан на рис. 2.1,е: зависимость по-
лезности антенны типа фазируемой антенной решетки от числа
фазируемых элементов в ней (ширина диаграммы направленности
антенны для всего графика предполагается постоянной). Пока
элементов совсем мало (например, меньше четырех), полезность
от их присутствия равна нулю: никаких дополнительных свойств
подобная антенна не имеет. Когда число фазируемых элементов
становится 4, 8, 16, то появляется возможность моноимпульсного
метода пеленгации по двум угловым координатам, что придает
наличию фазируемых элементов некоторую полезность. При еще
большем числе элементов наступает момент, когда создается ре-
альная возможность покачивания диаграммы направленности от-
носительно центрального ее положения, что резко упрощает про-
цесс обнаружения объекта по данным внешнего указания его при-
ближенных координат. Такое новое свойство радиолокатора до-
полнительно увеличивает полезность фазируемых элементов. Даль-
нейшее увеличение числа элементов не вносит нового качества,
но расширяет приобретенную способность перемещать луч.
Наконец, когда число фазируемых элементов приближается к ве-
личине, равной отношению пространственного сектора ответствен-
ности радиолокатора к квадрату ширины диаграммы направлен-
ности антенны, то появляется новое важное качество: возможность
немеханического, практически мгновенного зондирования любого
углового направления в этом секторе. При достаточном потенциа-
ле радиолокатора это означает возможность автономного обнару-
жения объектов во всем секторе ответственности. Это новое каче-
ство отражено на графике последним участком резкого возраста-
ния функции полезности. Дальнейшее увеличение числа элементов
уже ничего не добавляет, что и объясняет появление последнего
участка «насыщения» функции полезности.
Приведенные иллюстрации позволяют понять, что действитель-
но существует некоторая объективная функция, характеризующая
зависимость степени выполнения системой своего назначения от
величины некоторых параметров (частных критериев).
Отметим здесь два следующих обстоятельства. Во-первых,
желательно, чтобы частные критерии всегда представлялись в та-
ком виде, при котором на основном участке сравнения и выбора
увеличению критерия соответствовало увеличение полезности. Это
облегчит в дальнейшем решение задач. С этой точки зрения по-
лезность ЦВМ лучше характеризовать не средней частотой сбоев,
а средним интервалом времени между сбоями; полезность датчика
времени лучше характеризовать не зависимостью от погрешности
хода, а зависимостью от интервала времени, за который датчик
уходит от точного значения на допустимую величину. Соответст-
вующие таким критериям графики полезности показаны штрихо-
выми линиями на рис. 2.1,6 г, д.
62
Второе обстоятельство состоит в следующем. Как видно из
рис. 2.1, функция полезности в общем случае может принимать
чрезвычайно причудливый вид. Трудно ожидать, что удастся пред-
ставить в аналитической форме на убедительной логической осно-
ве такую, например, зависимость, которая в качественном виде-
показана на рис. 2.1,е. Предотвратить появление столь сложных
но виду функций полезности можно за счет жесткого установления
функционального назначения рассматриваемых технических си-
стем. Действительно, если радиолокатор с ФАР предназначен
только для работы по внешнему указанию и одновременно только
но одному объекту, то применение в нем столь большого числа
управляемых элементов, которое позволяет ему мгновенно бро-
сать луч в любое направление, может трактоваться как избыточ-
ность, не увеличивающая полезности. Наоборот, если радиолока-
тор должен обеспечивать возможность одновременно обслуживать-
несколько сильно разнесенных по угловым координатам объектов,
то полезность такого радиолокатора при малом числе элементов
в ФАР должна быть крайне мала. Таким образом, при обоих на-
значениях радиолокатора функция его полезности в зависимости
от числа элементов в ФАР приобретает значительно более простой:
характер, чем показанный на рис. 2.1,е.
Для того чтобы установить реально существующую связь меж-
ду полезностью и частными критериями, надо прежде всего уметь
дать правильное определение полезности системы каждого кон-
кретного типа.
2.3. ФОРМУЛИРОВАНИЕ ПОЛЕЗНОСТИ СИСТЕМЫ
Главное методическое различие между подходами, изложен-
ными в гл. 1, и подходом на основе объективной полезности за-
ключается в следующем.
В первом случае исходят из частных критериев, устанавливае-
мых путем анализа системы; затем частные критерии объединяют
тем или иным (в общем, довольно произвольным) способом в
обобщенный критерий. Метод функции полезности предполагает
другую логику движения: исходя из назначения и сущности си-
стемы, путем логического анализа формируется понятие полезно-
сти системы как некоторой обобщенной ее характеристики. Затем
устанавливается, какие параметры системы явно влияют на эту
характеристику. Эти параметры переводятся в категорию частных
критериев. Наконец, ищется функциональная связь полезности с
частными критериями.
Таким образом, рассмотренные в гл. 1 методы носят в какой-то-
мере черты индуктивного метода: «от частных критериев — к об-
щему составному критерию», в то время как предлагаемый метод
63'.
функции полезности (МФП) напоминает дедуктивный метод: «от
общего понятия полезности — к частным критериям».
В общем случае дедуктивные заключения обладают большей
достоверностью, чем индуктивные. Но это в рассматриваемой про-
блеме будет верно лишь при том условии, что все звенья дедуктив-
ной цепи надежно обоснованы. Первым звеном этой цепи является
формулирование полезности анализируемой системы.
Чтобы сформулировать понятие «полезность» применительно к
конкретной технической системе, надо прежде всего дать ответы
на следующие два вопроса:
''J1. В чем заключается основное назначение системы, какую
общественную потребность она призвана удовлетворять?
xi 2. Увеличение какого главного свойства системы установлен-
ного назначения повышает ее полезный общественный эффект?
Отвечая на два сформулированных вопроса, можно не вникать
в принципы функционирования системы, не думать о стоимости и
сложности. Надо только предполагать, что основным требованиям,
выступающим в данном случае как ограничения, анализируемая
система удовлетворяет. Для большинства технических систем
удается дать убедительный ответ на оба вопроса. После этого
формулирование понятия «полезность» данной системы уже не
составляет труда.
Пояснение сказанному дают примеры, сведенные в табл. 2.2.
Приведенные в 4-й графе таблицы свойства систем еще не
являются формулировкой их полезности, хотя отражают в основ-
ном то, что имеется в виду под этим понятием. Нетрудно заметить,
что здесь нет простой замены ряда частных критериев одним:
свойство системы, указанное в 4-й графе, «впитало» в себя ряд
частных критериев.
Так, например, для подвижного агрегата сварки стыков труб
магистральных трубопроводов частными критериями полезности
являются: число проходов по одному и тому же стыку для полу-
чения законченного шва; время, затрачиваемое па перемещение
агрегата от одного стыка к другому и монтаж его в новом рабо-
чем положении; скорость перемещения сваривающей головки. Эти
критерии входят в «среднюю длину свариваемого шва в единицу
времени». Но у агрегата есть еще ряд важных характеристик, ко-
торые должны учитываться при решении задачи выбора. К ним,
в частности, относится расход материалов и горючего на единицу
длины свариваемого шва, частота и трудоемкость регламентных
работ, амортизационные расходы на единицу длины сварного шва.
Особенность перечисленных характеристик заключается в том, что
всегда желательно их величину иметь как можно меньшей. В гл. 5
будет показано, что ряд таких характеристик системы объединя-
ются вторым обобщенным критерием — платой за полезность.
64
Т а б ч и ц а 2 2
№ Название смех емы C)T8L г II ‘ вопрос 1 О1ВЕ 1 па вопрос 2
Подвижный сварочный агрегат для магистральных трубопроводов Герметичная сварка стыков мсталпичоских гр^б при прокладке магистральных трубопроводов нефти, газа и воды Средняя длина сварного шва в единица времени (например, за рабочею смену)
2 Автомобиль- ный предупре- дитель стол- кновении Предотвращение столкно- вений движущегося по шос- се автомобиля с возникшим впереди препятствием Вероятность предотвраще- ния столкновения в опас- ных ситуациях с другими движущимися или непо- движными автомобилями либо с любыми другими опасными объектами
Читающая ЭВМ Воспроизведение «человече- ским» голосом печатного текста для обслуживания слепых Степень близости синтези- рованной речи к речи чи тающего вслух чеювека
4 Робот-мани- пулятор сбо- рочных кон- вейерных ли- пин Выполнение сложных дви- жений, подобных движе- ниям человеческих pvk, для полной автоматизации кон- вейерной сборки агрегатов и приборов Относительная трудоем- кость сборочных операций выполняемых роботом, ус- редненная по различным ти- повым пздечпям
U Пассажирский трансконтинен- тальный са- молет Доставлять пассажиров и их ручную кладь с одного континента на другой Число пассажиров, достав- ляемых за время, не боль- шее максимально допусти- мого, на заданное расстоя- ние
Г Наземный ком- плекс аппара- туры слепой посадки Обеспечить выдачу на борт самолета команд управле- ния для пилотируемой или автоматической посадки самолета на аэродром в лю- бую погоду Точность и достоверность команд управления по вы- соте, курсу и скорости в любых ситуациях
7 Медицинский интроскоп Просвечивание внутренних органов человека и живот- ных Разрешающая способность по всей глубине тела по всем координатам
8 Наземный радиолокатор раннего преду- преждения Обнаруживать воздушные и космические искусственные объекты Интервал времени от мо- мента оповещения о поло- жении и параметрах дви- жения обнаруженного объ- екта до момента выхода объекта на установленный рубеж
5 ’*': 65
Продолжение таблицы 2.2
№ 1 л/л | Название системы Ответ на вопрос 1 Ответ на вопрос 2
9 Наземный ра- диолокатор регулирования воздушного движения Определение параметров движения самолетов в рай- оне аэропорта для подачи пилотам соответствующих команд Пропускная ^способность при- заданной точности и разре- шающей способности
10 Гидроглубомер Измерение глубины дна на ходу судна методом гидро- локации для безопасности хода Точность измерения в диа- пазоне заданных упрежде- ний относительно местной вертикали
11 Универсальная ЦВМ Решение сложных матема- тических задач численными методами Среднее число стандартных обобщенных математических задач и задач обработки данных, решаемых в едини- цу времени
12 Автосправка трансагентства Давать ответы «человече- ским» голосом на вопросы посетителей о расписании и свободных местах в пасса- жирских транспортных сред- ствах Число различных справок, которое может хранить и воспроизводить автомат
13 Авторегулятор транспортных потоков Регулировать движение ав- томашин и пешеходов на пересечении безрельсовых автомагистралей Степень приближения регу- лирования к теоретически опп-шальиому в любых си- туациях
14 Метеорологи- ческий ИСЗ Производить фото- или те- левизионную съемку облач- ного покрова и передавать ее результаты на Землю по широкополосной радиолинии Ширина контролируемой полосы перпендикулярно на- правлению движения ИСЗ при возможности сплошно- го перекрытия вдоль на- правления полета
15 Пассажирский электромобиль Перевозить людей и мелкие грузы (почту) по безрель- совым дорогам и использо- ванием аккумуляторов элек- трической энергии для тяги Длина пробега без подза- рядки или замены аккуму- ляторной батареи
16 Фрезерный станок с ЧПУ Автоматически обрабаты- вать детали в трех плоско- стях по программе на пер- фоленте Точность обработки в тече- ние всего рабочего цикла (с учетом износа режущего- инструмента) при заданном времени цикла
66
Окончание таблицы 2 2
1 ЧП Название системы Ответ па вопрос 1 Ответ па вопрос 2
17 Система обна- ружения по- лезных иско- паемых Обнаруживать залежи по- лезных ископаемых с по- мощью специальных назем- ных генераторов зондиро- вания и приемников отра- женных сигналов Вероятность правильного прогнозирования (расшиф- ровки) принятой информа- ции
Обнаружитель подземных коммуникаций Обнаруживать место зале- гания электрических кабе- лей, водопроводных и га- зовых труб при ремонтных работах и перед рытьем котлованов для строек Глубина достоверного обна- ружения и определения ко- ординат объектов и объем контролируемого простран- ства в единица времени
19 Глобальна! система мор- ской навига- ции Обеспечивать всепогодно круглосуточное определе- ние морскими судами своих географических координат Потенциальная точность определения координат, ус- редненная по всем обслужи- ваемым акваториям миро- вого океана, при заданной пропускной способности
20 Комплекс оборудования для автомати- ческого проек- тирования пе- чатных плат электронной аппаратуры Выпуск комплекта произ- водственно-технологической документации на основе введенного в автомат фор- мализованного задания Число лабораторных спе- циалистов, конструкторов, технологов и рабочих, заме- няемых автоматом, при оди- наковом объеме производ- ства
В системе, представленной в таблице под номером 2, в графе 4
указано: «вероятность предотвращения столкновения в опасных
ситуациях с другими движущимися или неподвижными автомоби-
лями либо с любыми другими опасными объектами». Эта вероят-
ность также «впитала» в себя ряд частных критериев. В число их
входят и дальность обнаружения препятствия, и влияние помех
от земли и предметов на обочинах дороги, и степень всепогодно-
сти прибора, и отчетливость предупредительного сигнала водите-
по или эффективность воздействия на тормоза машины.
Для читающей ЭВМ (позиция 3 табл. 2.2) в качестве основы
1ля формулирования полезности предложено принять степень
близости синтезированной с текста речи, той речи, которая свой-
ственна чтецу с хорошей дикцией. Подобное представление, о по-
лезности читающего автомата оправдано: самое главное, что от
чего требуется, — это чтобы можно было понять па слух воспро-
изводимые машиной звуки как осмысленную речь. Если этого нет,
5 67
?о при любых других достоинствах полезность читающей ЭЗР1
будет равна нулю. Но не только это свойство указывает степень
полезности ЭВМ. Важное значение имеет также диапазон шриф-
тов, которые способна распознавать машина. При дальнейшей
проработке способность к распознаванию различных шрифтов
может быть включена в приведенное понятие полезности. Длр это-
го достаточно выбрать ряд типовых шрифтов и усреднять свойст-
во, указанное в 4-й графе, по этим шрифтам. Можно пойти и!даль
ше, снабдив показатель качества чтения с разных шрифтов весо-
вым коэффициентом, отражающим относительную распространен-
ность печатных изданий с таким шрифтом.
Для медицинского интроскопа (позиция 7 табл. 2.2) в качест-
ве основы для формулирования полезности предлагается принять
разрешающую способность по всей глубине тела по всем коорди-
натам. Это определение не охватывает безвредности и безболез-
ненности интроскопии для человека, хотя такие свойства имеют
исключительное значение. Здесь как раз мы имеем дело со слу-
чаем, когда вводится обязательное условие. Другими словами,
нет необходимости рассматривать безвредность и безболезнен-
ность интроскопического устройства в качестве частных критериев
его полезности: два таких устройства могут рассматриваться как
альтернативы лишь при том условии, что оба они действуют без-
вредно и безболезненно.
Отметим особенность формулировки полезности системы 3
(пассажирский трансконтинентальный самолет). Слова «... за вре-
мя, не большее ... допустимого...» в этой формулировке являются
указанием не на критерий, а на ограничение. При более детал! пом
изучении данной системы мы пришли бы к выводу, что ее полез-
ность при реальном соотношении характеристик пропорциональна
числу пассажиров, перевозимых за один типовой рейс. Плата же
за полезность определяется суммарными расходами на такой рейс,
включая стоимость амортизации агрегатов самолета. В результа-
те эффективность пассажирского самолета по критерию эффектив-
ность— стоимость оценивается средним числом пассажиро-кило-
метров на рубль затрат.
Если же бы мы рассмотрели внешне аналогичную систему--
городской маршрутный автобус, — то здесь полезность определя-
лась бы числом пассажиров, перевезенных на заданное расстоя-
ние за единицу времени. Совершенство автобуса по критерию
эффективность — стоимость оценивалось бы средним числом пас-
сажиро-километров в час на рубль затрат.
Такое различие между двумя упомянутыми системами объяс-
няется тем, что полное время, затрачиваемое на рейс самолета,
включает в качестве значительной по величине составляющей вре-
мя ожидания вылета пассажирами, время предполетной и после-
полетной подготовки самолета. Поэтому повышение скорости са-
68
молета не резко сокращает общее время, но плату за полезность
повышение скорости увеличивает очень резко. В случае же автобу-
са главное его полезное назначение — перевозить максимум пасса-
жиров по маршруту следования — прямо пропорционально не
юлько вместимости автобуса, но и средней скорости движения.
Последняя зависит от многих факторов (см. гл. 6), а увеличение
средней скорости может слабо повышать плату за полезность.
После того как установлено главное свойство системы, опреде-
ляющее ее полезный общественный эффект, можно дать формули-
ровку обобщенного критерия — полезности системы. Установлен-
ная таким образом полезность системы хотя и охватит ряд част-
ных критериев, но обычно далеко не все. Часть из оставшихся кри-
териев будет учтена в плате за полезность. Что же касается не-
охваченных частных критериев, влияющих непосредственно па
полезность системы, то их следует разбить па две группы. В одну
из групп следует включить частные критерии, которые можно
рассматривать как ограничения. Это позволит исключить такие
критерии из процесса сравнения альтернатив, поскольку задан-
ным ограничениям должны удовлетворять все конкурирующие ва-
рианты.
Вторая группа частных критериев, не охваченных первона-
чальной формулировкой полезности, должна быть учтена в про-
цессе отыскания функциональной зависимости между полезность о
и частными критериями. Отыскание этой зависимости представ-
ляет собой итеративный процесс, в котором при необходимости
уточняется и само понятие полезности анализируемой системы.
Примеры применения этих принципов, приведенные в гл. 6, по-
казывают, что в итоге можно получить достаточно убедительную
связь между полезностью системы и частными критериями полез-
ности.
От обоснованности формулировки полезности системы зависит
и обоснованность всего последующего расчета. Применительно к
системам, перечисленным в табл. 2 2, формулировка полезности
предопределяется содержанием графы 4. Поэтому информация,
приведенная в этой графе, была получена следующим образом.
Группе экспертов в числе 40 человек была разъяснена поста-
новка задачи и предложено каждому индивидуально (т. е. без об-
суждения с другими экспертами) заполнить таблицу, аналогич-
ную табл. 2.2, в которой были заполнены столбцы 1, 2, 3, и остав-
лен свободным столбец 4 (ответ на вопрос 2). Экспертам указы-
валось, что содержание столбца 4 должно быть лаконичным и
исчерпывающим, отражая самое главное свойство системы, без
которого она явно бесполезна и увеличение которого очевидно
повышает степень выполнения системой своего главного назначе-
ния. Экспертам указывалось также, что некоторые важные каче-
ства системы должны трактоваться как обязательные условия
69
(приводился пример безвредности и безболезненности медицинско-
го интроскопа), а те свойства, присутствие которых в общем не
требуется, но на которые приходится соглашаться ради получения
полезности, будут отнесены ко второму обобщенному критерию —
плате за полезность.
Формулировки, приведенные после этого экспертами в столбце
4 их таблиц, хотя и словесно не всегда совпадали, но по своему
содержанию показали хорошее единство.
Например, для системы 1 формулировки «средняя скорость
сварки» и «число сваренных стыков за стандартную рабочую сме-
ну» считались равнозначными формулировке табл. 2.2.
Для системы 6 формулировки «среднеквадратическое отклоне-
ние от теоретической глиссады» или «величина отклонения точки,
скорости и угла приземления на посадочной полосе от запрограм-
мированных» также считались идентичными приведенной в табли-
це для системы 6.
Экспертиза показала, что в некоторых случаях формулировки
главного признака полезности не совпадали по существу. Так, при-
менительно к системе 10 один из экспертов дал формулировку
«максимальная глубина» надежного приема отраженного от по-
верхности дна сигнала». Эта формулировка при обработке резуль-
татов экспертизы была отнесена к категории несовпадающих и не
отвечающих назначению системы. Действительно, поскольку гид-
роглубомер служит только средством обеспечения безопасности
движения судна, повышение дальности действия глубомера сверх
некоторой величины, определяемой осадкой и скоростью движения
судна, не повышает его полезности. Предполагая, что вес конку-
рирующие варианты имеют необходимую дальность (глубину)
действия, мы придем к выводу, что самое главное, что требуется
от гидроглубомера, — это чтобы его показаниям можно было всег-
да доверять. Отсюда и появилась формулировка, приведенная в
таблице. Подавляющее число экспертов дало аналогичную по сво-
ей сути формулировку.
Результаты обработки экспертных оценок изображены в гра-
фической форме на рис. 2.2. По горизонтальной оси отложены
70
порядковые номера систем табл. 2.2. По вертикальной оси указан
процент экспертов, давших идентичные по существу формулиров-
ки для главного свойства системы, определяющего ее обществен-
ную полезность. Эти формулировки и приведены в столбце 4
табл. 2.2. В среднем по всем 20 системам единство формулировок
превысило 94%.
Для формулирования полезности системы должны привлекать-
ся специалисты, имеющие большой опыт разработки и эксплуата-
ции систем данного типа. Именно они в состоянии оценить, какие
свойства системы являются определяющими. С другой стороны,
|'с может быть уверенности, что инженер, имеющий опыт, скажем,
только в области станков с числовым программным управлением,
в состоянии правильно судить о полезности радиолокатора даль-
него обнаружения.
При проведении экспертизы, результаты которой отражены в
табл. 2.2, этот принцип был выдержан не в полной мере. Хорошее
совпадение оценок, которое тем не менее получилось, создает уве-
ренность, что эти оценки отражают действительно присущие ана-
лизируемым системам свойства.
У критически настроенного читателя может возникнуть вопрос:
значит, весь метод функции полезности базируется на экспертных
оценках; так чем он лучше, чем непосредственное экспертное опре-
деление предпочтительней альтернативы?
Ответ состоит в следующем. В описанном эксперименте экспер-
ты привлекались не для того, чтобы выявить их субъективные
мнения, а для того, чтобы проверить, насколько надежно может
специалист вскрыть то свойство технической системы, которое ей
объективно присуще. Эксперимент подтвердил, что надежность
этого высока.
Во многих отраслях науки, в том числе в математике, помимо
доказательных рассуждений широко используются так называе-
мые правдоподобные рассуждения [49]. Последние также явля-
ются мощным методом познания. Смысл правдоподобных рас-
суждений сводится к следующему. Если на основании логического
анализа высказано некоторое предположение, то каждый случай
подтверждения этого предположения увеличивает его правдопо-
добность, причем тем сильнее, чем Солее существенно отличаются
друг от друга случаи подтверждения. Увеличение правдоподобия
означает повышение шансов истинности рассуждения.
Нечто подобное мы имеем и при определении полезности си-
стемы. Совпадение формулировок главного общественно полез-
ного свойства системы, данное рядом специалистов и наблюдае-
мое применительно к системам существенно различного вида, уве-
личивает уверенность в истинности суждений. Иначе говоря, по-
вышается уверенность в том, что вскрывается истинная полезность
системы как ее объективное свойство.
71
2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТНЫХ КРИТЕРИЕВ ПОЛЕЗНОСТИ
Полезность системы зависит от ряда отдельных характеристик
(параметров) системы. Среди многочисленных параметров особую
роль играют те, от которых полезность системы зависит непосред-
ственно. Такие параметры мы будем называть целевыми. В пода-
вляющем большинстве случаев целевые параметры являются мет-
рическими, т. е. выражаются в количественной форме.
Для того чтобы определить, какие из параметров системы сле-
дует отнести к категории целевых, надо после, предварительного
формулирования понятия «полезность» данной конкретной систе-
мы ответить на вопрос: какие параметры системы непосредствен-
но влияют на ее полезность? К целевым параметрам могут отно-
ситься не только те, которые прямо отражены в предварительной
формулировке полезности системы. Это обстоятельство уже иллю-
стрировалось в предыдущем параграфе.
На рис. 2.3 схематически показаны примеры выбранных целе-
вых параметров ряда технических устройств. Эти примеры доста-
точно понятны и нуждаются лишь в незначительных пояснениях.
Так, поясним выбор целевых параметров легкового автомобиля.
Основное назначение этого технического устройства — обеспечить
возможность быстрого передвижения людей. Поэтому в качестве
первого целевого параметра выступает максимальная скорость
продолжительного движения автомобиля. Слово «продолжитель-
ного» добавлено потому, что потребительское значение имеет воз-
можность развивать большую скорость на протяженных участках
дороги. Но важное значение имеют также динамические качества
автомобиля (возможность быстрого набора скорости), и поэтому
мощность двигателя также включена в число целевых параметров.
Если функциональным целевым назначением легкового автомоби-
ля является быстрое передвижение людей, то число пассажирских
мест уточняет, что именно означает здесь слово «людей», и поэто-
му это число также включено в состав целевых параметров. Мо-
жет возникнуть вопрос: почему в состав этих параметров но вве-
дены такие важные показатели, как потребление бензина, на
100 км пути и масса снаряженного автомобиля? Дело в том, что
эти параметры не являются непосредственно целевыми. От рас-
хода бензина непосредственно не зависит способность автомобиля
быстро перемещать людей из одного места в другое. С другой
стороны, мощность двигателя в значительной степени определяет
расход бензина, а число пассажирских мест — массу автомобиля.
Расход бензина и масса автомобиля должны быть включены в
другую группу значимых параметров, определяющих плату зд по-
лезность. Заметим, что динамические качества определяются от-
ношением мощности двигателя к полной массе машины. Поэтому
в выражение для полезности автомобиля должны войти оба .эти
параметра (см, гл. 6), хотя по существу масса является платой за
полезные свойства.
В качестве еще одного комментария к схемам рис. 2 3 укажем
па пожарный сигнализатор (схема б) и карманный компьютер
(схема е). Надежность является, как известно, одним из важней-
'пих параметров любого технического устройства. Тем не менее
отлько в схеме пожарного сигнализатора надежность фигурирует
в числе целевых параметров. Это можно объяснить тем, что само
функциональное назначение пожарного сигнализатора — с высо-
кой степенью достоверности и с минимальной вероятностью про-
пуска сообщать о возникновении загорания ~ может быть полно-
ценно реализовано только в том случае, если эксплуатационная
надежность этого устройства будет очень высока. Такую катего-
S)
е)
Рис. 2.3
73
ричность нельзя отнести ни к одному из других устройств, пред-
ставленных на рис. 2.3. Аналогичные соображения привели к
включению в целевые параметры карманного компьютера его раз-
меров. Хотя масса и габариты являются важной характеристикой
любого технического устройства, но только для карманного
компьютера среди устройств, изображенных на рисунке, право-
мерно включить габариты в состав целевых параметров, потому
что именно габаритами определяется соответствие компьютера
определению «карманный».
Все целевые параметры, представленные на схемах рис. 2.3,
могут быть выражены в количественной форме. Но это не всегда
так. Как будет показано в гл. 4, некоторым системам присущи
целевые параметры, которые обычно выражаются лишь качест-
венно.
Следующей группой значимых параметров будут другие спе-
циальные значимые параметры. Значение слова «специальные»
указывают, что речь идет о параметрах, не являющихся общезна-
чимыми, а свойственных именно техническому устройству дан-
ного вида. Так, для технических устройств, представленных на
схемах рис. 2.3, такие специальные значимые параметры показа-
ны на рис. 2.4. Нетрудно заметить, что каждый из этих параметров,
г)
Рис. 2.4
74
i называя на важные свойства данного устройства, неприменим к
щугим устройствам. Из множества признаков, характеризующих
рассматриваемое техническое решение, в состав специальных зна-
чимых параметров следует включать лишь наиболее важные, от
которых может зависеть предпочтение одного варианта другому.
Помимо параметров, свойственных данному устройству (целе-
вые и специальные значимые параметры), существует ряд пара-
метров, присущих широком}' классу устройств; численное значение
гтих параметров также может повлиять на выбор предпочтитель-
ной альтернативы. Такие параметры можно назвать общими зна-
чимыми параметрами. 1\ этой категории относятся, в частности,
масса и габариты устройства. Ведь нет сомнения в том, что при
сравнении двух возможных технических решений, характеризую-
щихся одинаковыми количественными значениями целевых и спе-
циальных значимых параметров, предпочтение следует отдать
юму, которое позволит создать техническое устройство меньших
габаритов и меньшей массы. Если по всем техническим характе-
ристикам два конкурирующих решения совпадают, то предпочте-
ние следует отдать тому, которое имеет меньшую стоимость. Сле-
довательно, и стоимость относится к общим значимым парамет-
рам. Примерный состав общих значимых параметров показан на
схеме рис. 2.5.
Стоимость является сложной
характеристикой системы, слага-
ющейся из стоимости разработ-
ки, изготовления и эксплуатации.
В свою очередь, каждая из этих
составляющих определяется ря->
дом факторов. Так, стоимость из-
готовления зависит от сложности
схемы и конструкции, от техноло-
гичности конструкции, степени
унификации, применяемости од-
нотипных деталей и узлов, от
стоимости применяемых ком-
плектующих изделий и материа-
лов и т. п. Эти вопросы кратко
рассмотрены в гл. 5.
Таким образом, в общий пе-
речень значимых параметров
входят три группы параметров:
целевые, специальные и общие.
Из всего этого многообразия на-
до отобрать те, которым будет
присвоено наименование частных
критериев полезности и частных
Рис. 2.5
75
критериев платы за полезность. Некоторые параметры должны
быть включены в категорию ограничений.
Первым шагом в этой работе должен быть выбор частных кри-
териев полезности. Опираясь па уже сформулированное определе-
нно полезности анализируемой системы, надо отобрать те пара-
метры, которые непосредственно влияют на полезность. Устано-
вить это можно путем мысленного варьирования количественного
значения параметра в широких пределах с анализом влияния это-
го на полезность системы. При выявлении частных критериев по-
лезности не надо забывать, что кроме полезности существует вто-
рой обобщенный критерий — плата за полезность. Поэтому если,
скажем, исследуется такой параметр, как электропотребление ра-
диолокатора, то надо отдавать себе отчет в следующем: полезный
эффект радиолокатора никак не зависит от того, сколько электро-
энергии он потребляет; важно, сколько СВЧ энергии он излучает,
какова его дальность действия и т. д. А потребление электроэнер-
гии указывает на плату, которую приходится нести ради приобре-
тения полезности.
Надо стремиться к тому, чтобы первичный перечень частных
критериев полезности был достаточно полон, чтобы из него не
выпал кякей-либо зъачимыи параметр, влияющий на полезность
л па выбор предпочтительной альтернативы. Но в результате это-
го перешчш частных критериев может оказаться слишком длин-
ным. В методе функции полезности должна быть выявлена дей-
ствительная функциональная зависимость полезности от частных
критериев, и чем больше число частных критериев, тем труднее
будет установить эту зависимость. Чтобы облегчить последующую
работу, надо критически проанализировать первичный перечень
частных критериев.
Некоторые частные критерии иногда могут быть переведены в
категорию ограничений и в связи с этим исключаются из переч-
ня. Основанием здесь может служить очевидная необходимость
требовать от всех альтернатив, чтобы данный критерий не выхо-
дил за некоторые пределы, причем численное значение критерия
внутри пределов уже не влияет на полезность. Например, веро-
ятность безотказной работы пассажирского самолета в течение
типового рейса можно отнести к категории ограничений: очевидно,
что в качестве альтернативы не может выступать самолет, у кото-
рого этот критерий равен 0,5, какими бы высокими другими харак-
теристиками он ни обладал.
Если известно, что численные значения некоторых частных
критериев одинаковы для всех конкурирующих вариантов, то эти
критерии можно исключить из перечня: предпочтительный ва-
риант выявляется только на основе различий между ними. Одна-
ко к этой операции надо прибегать с осторожностью: она допу-
76
। i ьма лишь при мультипликативном объединении частных кри-
I ериев.
Наконец, в перечень могут оказаться включенными также па-
раметры, влияние которых на полезность неочевидно. При необ-
w шмости сократить перечень такие критерии можно перевести
г категорию «кандидатов». Если без учета кандидатов различия в
полезности альтернатив выявятся отчетливо, то предпочтения смо-
। \ г быть установлены. Но если полезности альтернатив окажутся
численно близкими, то кандидаты должны будут стать частными
критериями с соответствующим уточнением вида функции полез-
ности и ее численных значений для каждой альтернативы.
Остается указать, что следует считать слишком длинным пе-
речнем частных критериев полезности. Имеющийся на сегодня
1Н1ыт показывает, что нежелательно иметь дело более чем с 10
частными критериями.
После того как перечень частных критериев полезности сфор-
мирован, следует составить перечень частных критериев платы за
полезность. Основанием для отнесения некоторого значимого па-
раметра к категории частных критериев платы за полезность слу-
жит следующий признак. Если численное значение какого-либо
параметра, пе определяющего непосредственно полезность, жела-
1сльно всегда уменьшить и этот параметр прямо или косвенно
отражает те затраты, на которые приходится соглашаться ради
приобретения полезности, то такой параметр является частным
критерием платы за полезность. При этом анализе затраты надо
понимать в широком смысле слова.
Например, масса какого-либо прибора непосредственно не
влияет на его полезность. (Бывают, правда, редкие исключения:
масса механического накопителя энергии определяет его полез-
ность, если последняя измеряется накопленной кинетической энер-
гией. Но даже в этом случае правильными частными критериями
полезности должны служить момент инерции и скорость вращения
накопителя, а не ого масса.) Массу прибора всегда желательно
всемерно уменьшать. Поэтому такой параметр может выступать в
качестве критерия платы за полезность. В гл. 5 будет показано,
что иногда целесообразно принять полную массу системы за обоб-
щенный критерий платы за полезность. Но даже если в качестве
обобщенного критерия платы за полезность принята стоимость
системы, масса системы может являться частным критерием пла-
ты за полезность. От массы системы может зависеть стоимость не
только непосредственно через материалоемкость и трудоемкость
изготовления, но и косвенно: через большие затраты на транс-
портные средства и на транспортирование системы.
К частным критериям платы за полезность следует относить
потребляемые системой электроэнергию, топливо, запасные дета-
ли и т. п. При составлении перечня частных критериев платы за
77
полезность также можно выделять «кандидатов» в критерии как
это рекомендовалось для частных критериев полезности.
Исключать из перечня те частные критерии платы за полез-
ность, численные значения которых одинаковы для всех конкури-
рующих вариантов, нельзя. Это связано с тем, что частные крите-
рии объединяются в обобщенный критерий платы за полезность
аддитивно. Поэтому исключение каких-либо-—пусть даже оди-
наковых— слагаемых исказит соотношение платы за полезность-
сравниваемых вариантов. Более подробно вопрос о плате за по-
лезность и частных критериях этой категории рассмотрен в гл 5.
Примеры формирования перечня частных критериев полезно-
сти можно найти в гл. 6.
Глава 3
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПОЛЕЗНОСТИ
Основное утверждение метода функции полезности состоит в
объективном существовании полезности ф систем общественного
использования. Полезность обладает метрическими свойствами,
т. е. может быть выражена количественно.
С другой стороны, не вызывает сомнения, что полезность как
показатель степени выполнения системой своего функционального
назначения изменяется при изменении величины ее частных кри-
териев. Следовательно, должна существовать объективная функ-
циональная зависимость полезности ф от частных критериев х1г
хъ ..., х„:
ф=/(х„л:2, (3.1)
То обстоятельство, что вид этой зависимости нам неизвестен,
а ее отыскание в ряде случаев может представлять чрезвычайные
трудности, никак не может повлиять на ее объективное существо-
вание.
Частным критериям Xj, х2, ... хп всегда можно придать такую
форму, чтобы в интересующей нас области их изменения возра-
стание х; вызывало увеличение полезности, иначе говоря, чтобы
было справедливо соотношение dty/dXf >0. Монотонная зависи-
мость полезности от частных критериев не противоречит невоз-
можности одновременного увеличения в области компромисса
всех частных критериев. В отличие от методов векторной оптими-
зации в методе функции полезности способ объединения частных
критериев в единый составной критерий заранее не предопреде-
78
1яется. Способ объединения должен быть установлен на основа-
нии анализа физической сущности функционирования системы и
фактической роли каждого из частных критериев в образовании
полезности системы.
Указать универсальный способ выявления аналитической за-
висимости полезности от частных критериев невозможно. Вместе с
гем накопленный к настоящему времени опыт показывает, что
тщательное исследование системы всегда давало возможность
решить эту задачу. В настоящей главе излагается ряд методов,
облегчающих установление функциональности связи между полез-
ностью и частными критериями.
3.1. МЕТОД ВАРЬИРОВАНИЯ
Сущность метода варьирования можно сформулировать сле-
дующим образом: «Если уменьшение некоторого частного крите-
рия хг до величины xjmin обращает полезность системы в нуль
независимо от величины других частных критериев, то данный
частный критерий входит в аналитическое выражение для по-
пезности в виде множителя в положительной степени».
Иначе говоря, если при-Дф — д(-П11П имеем tp(,q, .г2,. .., JQmln, ...
. .., хп} =0, то при xt > .ximin функция полезности имеет вид
Ф = И‘- —4(min) (3.2)
где f2(x\, х2, ..., x/t)—аналитическая зависимость полезности от
других частных критериев; /2(^1, х2, ..., хп) > 0; >0 — показа-
тель степени.
Действительно, предположим обратное, т. е. что частный кри-
терий входит в выражение для полезности в виде взвешенной
суммы. Тогда, фиксируя величины всех остальных частных кри-
териев, можно написать следующие соотношения:
Ф -- д (яф — x^m.n) + Л Ui, х2,. .хп),
Ф == at (x?i . — xfi ,)+f2 (Ai, х2,..., хп) = 0,
I min i min ,l
(3.3)
«/>₽, по-
второв уравнение, таким образом, означает
=0,
что невозможно, поскольку по условию эта функция больше нуля.
Надо заметить, что представление частного критерия хг, обла-
дающего указанным свойством, в виде множителя в положитель-
ной степени является упрощением, поскольку любой многочлен
без свободного члена, в котором переменной является в поло-
жительных степенях, также может обратить полезность в нуль
при Xi = ximia (в частности, при */min = 0). Кроме многочленов без
79
свободного члена, некоторые другие функции также обладают
подобным свойством. Но опыт применения метода варьирования
к большому числу различных систем показал, что представление
частного критерия в виде множителя в положительной степени до-
статочно правильно отражает его фактическую роль.
Для некоторых систем легко видеть, что при х: — xl mill '!•* = 0.
Для других систем указать ду 1ШП(кроме Х{-га1п= 0), при котором
ф = 0, затруднительно.
Так, обращаясь к системам, представленным в табл. 2.2, мож-
но разделить их на две группы. В первую группу войдут системы,
в которых уменьшение критерия, сформулированного в столбце 4
таблицы, хотя и уменьшает полезность, но трудно указать такое
минимальное значение этого критерия, при котором полезность
становится равной пулю. Во вторую группу войдут системы, для
которых можно с уверенностью утверждать, что при некотором
минимальном значении этого критерия будет ф = 0. Такая класси-
фикация дана в табл. 3.1. Для краткости в этой таблице не рас-
крыто наименование системы, а указаны лишь их номера, отве-
чающие номерам в табл. 2.2 (столбец 1).
Таблица 3,1
Группа 1
Системы, описываемые условием "ф — О
при л’,=0
Группа 2
Системы, описываемые условием Д = 0
при х,- =х___________________________
1, 2, 3, 5, 7, 9, И, 12. 13, 14, 17
4. 6, 8, 10, 15, 16, 18. 19, 20
Таблица 3.1 нуждается в некоторых ком,ментариях. Так, систе-
ма 1 отнесена к первой группе потому, что хотя с уменьшением
длины свариваемого в едишицу времени шва полезность системы
снижается, но трудно назвать такую длину сварки в единицу вре-
мени, которая позволила бы утверждать, что полезность свароч-
ного агрегата стала равна нулю. Подобным же образом, при сни-
жении вероятности предотвращения столкновения автомобилей в
опасных ситуациях полезность системы 2 явно снижается, но за-
труднительно назвать то минимальное значение этой вероятности
(за исключением нуля), при котором полезность системы обра-
тится в нуль. Без особого труда читатель может найти доводы
для включения в первую группу других систем, указанных в пер-
вой строке табл. 3.1.
Приведем также примеры соображений отнесения систем к
группе 2. Так, система 8 (наземный радиолокатор раннего преду-
преждения) снижает свою полезность при уменьшении времени
оповещения о приближающихся воздушных объектах. Пока рас-
80
к 1.1агаемый интервал времени еще достаточен для принятия на-
меченных на этот случай действий, система, хотя и со сниженной
полезностью, продолжает выполнять свою задачу. Ио когда рас-
полагаемый интервал времени предупреждения становится ниже
екоторого критического минимального значения, никаких ответ-
ных мер принять невозможно, т е. полезность системы обрашаот-
к я в нуль. Другим примером может служить пассажирский элек-
фомобиль (система 15 табл. 2.2). Как известно, современные
электромобили имеют длину пути пробега без подзарядки тяговых
। ккумуляторов в пределах 75—175 км. При снижении длины про-
бега полезность электромобиля снижается. По когда длина про-
бега становится короче длины минимального практически нужного
маршрута (например, для почтового электромобиля таким марш-
рутом может быть расстояние от центрального почтамта до об-
служиваемого электромобилем почтового отделения), полезность
электромобиля становится равной нулю.
Наконец, рассмотрим систему 20. Чем больше число специа-
листов заменяет система автоматического проектирования печат-
ных плат электронной аппаратуры, тем выше полезность этой си-
стемы, так как тем выше достигаемая благодаря ее применению
производительность труда. Наоборот, при снижении числа заме-
няемых системой специалистов снижается и ее полезность. Ио
если число специалистов, обслуживающих автомат, равно числу
специалистов, которые без него могут выполнить ту же работу
за то же время, автомат можно признать бесполезным. (Здесь не
учитываются такие психологические факторы, как выигрыш от
высвобождения людей от рутинного труда.)
Среди помещенных в табл. 2.2 систем есть такие, принадлеж-
ность которых к той или иной группе не столь очевидна. Так, чи-
тающая ЭВМ (система 3) отнесена к первой группе на том осно-
вании, что по мере снижения близости синтезированных машиной
звуков человеческой речи постепенно' снижается и полезность этой
системы. Трудно указать, при какой степени «непохожести» этих
звуков па человеческую речь следует считать систему бесполезной.
Но, с другой стороны, наверняка, существует столь плохая арти-
куляция синтезированной речи, при которой осмыслить издавае-
мые ЭВМ звуки будет уже невозможно. К этой же сомнительной
категории относится и авторегулятор транспортных потоков (си-
стема 13). С одной стороны, чем сильнее отличается регулирова-
ние движения транспорта от теоретически оптимального, тем ниже
полезность системы. Но можно себе представить, что автомат так
«регулирует» движение, что не только уходит от оптимальности,
но создает заторы транспорта и аварийные ситуации. При дости-
жении такого отклонения от теоретического оптимума можно го-
ворить не только о том, что полезность системы обратилась в
нуль, но что система обладает отрицательной полезностью.
6—1051 81
Приложение метода варьирования к некоторым системам мо-
жет показать, что снижение величины какого-то критерия Xj до
нуля не обращает полезность системы в нуль. Это обусловлено
положительным воздействием на функционирование другого част-
ного критерия xk. В этом случае можно утверждать, что критерии
Xj и хк находятся в аддитивной связи друг с другом. Тогда за-
висимость полезности от частных критериев приобретает вид
Ф = //ft (х„ х2,..., х„). (3.4)
Здесь (3.4) u.j и ай —весовые коэффициенты частных критериев
-*/ и хь.
Метод варьирования частных критериев не всегда достаточен
для определения аналитической зависимости полезности от всех
частных критериев, но связь некоторых из них с величиной по-
лезности он отыскать позволит. Приведем примеры, поясняющие
практическое использование метода варьирования.
Пример 3.1. Проектируется наземная система многоканальной радиосвязи
на большие расстояния в диапазоне СВЧ. Основой системы являются ретран-
сляционные станции, поднятые на вышки дтя увеличения дальности радиови-
димости между соседними станциями. Представлено несколько проектов, разли-
чающихся высотой и конструкцией вышек, направленностью антенн, мощностью
передатчиков и устройством прпемио-преобразуюгцей аппаратуры. Поэтому воз-
никла задача выбора одного из представленных проектов для реализации.
Прежде всего мы должны дать предварительное определение полезности
радпоретрансляционной станции. Основное назначение такой станции заклю-
чается в приеме радиосигналов в возможно более широкой полосе частот (что
определяет реализуемое число независимых каналов связи) и в передаче их с
минимальными искажениями следующей ретрансляционной станции. Для полу-
чения высокой полезности станции надо иметь широкую полосу пропускания,
так как система предназначена для одновременной связи ряда удаленных друг
от друга абонентов, и чем шире общая полоса пропускания, тем больше або-
нентов может быть обслужено за данное время, тем большую пользу будет при-
носить система.
Полезность отдельной ретрансляционной станции зависит также от дально-
сти ее действия. Каждая станция для того и введена в систему, чтобы пере-
давать сигналы как можно дальше е учетом прямолинейного распространения
радиоволн и кривизны земной поверхности. Поэтому полезность станции будет
определяться дальностью и объемом информации, которую станция способна
передать в единицу времени. Применяя метод варьирования, мы убеждаемся,
что полезность ретрансляционной станции ф связана с высотой вышки Я соот-
ношением (3.2). Действительно, если Я=0, то станции придется ставить очень
близко друг к другу, что сделает систему не только очень дорогой, но и бес-
смысленной: вместо многократной операции приема и передачи СВЧ сигналов
по эфиру для многоканальной связи лучше в этом случае применить систему на
82
ipynix принципах, например передачу сигнала по кабельной или волноводной
широкополосной линии.
Как известно, дальность горизонта /?, км, для антенны, установленной на
высоте Н, м, при нулевых углах укрытия равна
R} Н, (3.5}
I ле коэффициент k3 =3,6 для дальности геометрической видимости и 4,1
। ci радиогорпзонта с учетом нормальной радиорефракцнн. Предполагая, что все
< 1.Н1Ц1Ш имеют вышки одинаковой высоты, находим, что полезность ф станции
имеет вид
ф = 2^/7Г/(х1,х2,...,х„). (3.6)
Одним из важнейших частных критериев полезности ретрансляционной стаи-
кии является среднее количество информации, которое опа способна передать
в единицу времени В статистической теории связи показывается, что количество
информации, передаваемое в единицу времени, или скорость передачи информа-
ции зависит от полосы пропускания канала Af, отношения р мощности сигнала
ь мощности шума и способа кодирования. Чем больше избыточность в переда-
ваемом сигнале, тем при меньших отношениях сигнала к шуму можно переда-
вать информацию. Но избыточность приводит к увеличению длительности сооб-
щения, содержащего заданную информацию. Существует оптимальное кодиро-
вание, при котором достигается наибольшая скорость передачи информации при
данном отношении сигнала к шуму [50, 51]. Эта максимальная скорость пере-
дачи равна
Сюах = Д/lgd + р)- (3.7).
Применяя метод варьирования, легко убедиться, что при Сп)ах=0 справед-
шво утверждение ф=0. Поскольку передача информации есть основное назна-
чение линии, го следует считать, что ф прямо пропорционально С,-,,, т.
Если обозначить: Р — мощность передатчика станции, G — коэффициент
усиления его антенны, /4П — площадь поглощения приемной антенны соседней
станции (а также данной, так как все станции линии считаются одинаковыми),
—шум-фактор приемника, то отношение р сигнала к шуму
P = PGA„/(4izR^mkmT^).
Подставляя значение скорости передачи Сшах и р в (3.7), получаем
? l 77 Д/lg [1 + PGAJ^HF^TAf)]/ х2,..х„). (3.8)
Не останавливаясь на других частных критериях, заметим, что рост полезности
с увеличением высоты вышки Н отнюдь не означает, что при условии одинако-
вых Af, Р, G, А п предпочтение следует отдать тому из конкурирующих проек-
тов ретрансляционной станции, который предусматривает большее значение Н.
Выбор производится по критерию полезность — плата за полезность, а увеличе-
ние высоты вышки неизбежно сопряжено с повышением ее стоимости. Для срав-
нения проектов надо не только найти количественное значение полезности каж-
дого из них, но н плату за полезность. При этом может выявиться, что сущест-
вует оптимальная высота вышки, и предпочтение будет отдано не тому ггооек-
6'
83
ту, который предусматривает вышку наибольшей высоты, а тому, который пред-
лагает вышку с высотой, минимизирующей стоимость системы в целом.
Пример 3.2. Разрабатывается прибор переносного типа для обнаружения
п определения местоположения электрических кабелей, водопроводных и газо-
вых труб, залегающих неглубоко под поверхностью земли. Прибор используется
при ремонтных работах и при рытье котлованов для строек.
Подобный прибор упомянут в табл. 2.2 под номером 18. Там же дано опре-
деление главного свойства этого прибора, которое должно служить основой для
предварительного формулирования его полезности. В настоящее время подобные
приборы разрабатываются с использованием радиолокационного принципа в СВЧ
диапазоне [52]. Большое затухание радиоволн в земле приводит к тому, что
наиболее труднодостижимым параметром является дальность (глубина) на-
дежного обнаружения отраженного сигнала. Поэтому этот параметр в сочета-
нии с определением координат за минимальное время н принят за предвари-
тельную характеристику полезности прибора. Чем шире величина угла обзора
0 (рис. 3.1), тем быстрее можно осмотреть нужную зону. Но при увеличении
угла 0 потребуется повысить мощность излучателя.
Известно, что трубы и кабели закладываются на глубину, не меньшую не-
которой минимальной глубины Hmin. В итоге полезность прибора будет опре-
деляться контролируемым с одной установки объемом, где в принципе могут
залегать интересующие нас коммуникации. Этот объем, показанный на рис. 3.1
штриховкой, как нетрудно видеть, равен
(3.9)
3 cos8y 2
Полезность прибора будет пропорциональна величине а. Но общая зона кон-
троля на данной строительной или ремонтной площадке значительно превышает
ту зону, которую способен обследовать прибор с одной позиции. Полезность
будет пропорциональна общей зоне контроля за заданное время, т. е. будет
прямо пропорциональна v и числу позиций, на которых можно провести кон-
троль в единицу времени (например, за рабочую смену).
Рис. 3.1
Операции с использованием прибора состоят
из двух основных этапов: переноска прибора с
места предыдущих гтгерепий и подготовка его к
работе на новом месте (затрачиваемое па этот
этап время обозначим через Б); второй этап —
проведение измерений на выбранном месте. Вре-
мя выполнения второго этапа обозначим 12. Оче-
видно, что полезность пропорциональна 1[(М-
4И2). Чем больше угол 0, тем более мощный из-
лучатель и источник шиания должен иметь при-
бор, значит, тем более громоздок он будет, что
повлечет за собой увеличение времени Иначе
говоря, можно утверждать, что Л есть функция
8, причем функция, возрастающая вместе с 0.
Что касается времени />, то оно будет Также
84
и,.,настать с увеличением 0, ио можно полагать, что эта зависимость будет бо-
|<'< слабая, чем О.
При варьировании величины Н мы замечаем, что полезность ф обратится
и пуль при W<Wm|n независимо от величины других частных критериев. Дей-
। ।витально, если на глубине коммуникации не прокладываются, то при-
ону ничего не сможет обнаружить при столь малой глубине проникновения
< и гнала и будет, следовательно, бесполезен. Поэтому по отношению к крите-
рчо И прибор описывается соотношением (3.9) при H>HmW Обращаясь к
выражению (3 9), мы замечаем, что при #=/7ш1 v = Q.
Исходя из проведенного рассмотрения, можно раскрыть выражение для по-
чез.гости в следующем виде:
л fZ/+/;)3^f/7n].n +1g2 (0/2)
, т f д, । д;,
3 cos3 7-(, (0) — /2 (9)
(3.10)
>десь f(Xi, х3, ..., хп) обозначает функциональную зависимость полезности при-
бора от других частных критериев.
В частном случае прибора, описанного в статье [52], отличающегося тем,
сю излучатель лежит па земле и волна направлена вертикально вниз, надо счи-
ать у=0 и h = 0.
Следующим этапом отыскания вида функции полезности должно было быть
\ ci аковление явного вида зависимости Д(0) и Z2(0) от угла 0. Но наш пример
преследовал только цель продемонстрировать метод варьирования. Поэтому мы
не будем развивать решение дальше.
В качестве еще одной системы, полезность которой обращает-
ся в нуль при некотором критическом значении частного крите-
рия, рассмотрим комплекс оборудования для автоматического про-
ектирования печатных плат электронной аппаратуры (система 20
г. табл. 2.2). Как указано в столбце 4 этой таблицы, главное свой-
ство системы, которое желательно всемерно увеличивать, является
выигрыш в количестве занятых специалистов при том же объеме
производства.
Предположим, что при ручном проектировании заданный объ-
ем конструкторско-технологической документации за заданное
время может быть выпущен Np числом специалистов (для про-
стоты рассматриваются некоторые «усредненные» но квалифика-
ции специалисты). Спроектированный комплекс обеспечит тот же
объем работы за то же время при привлечении <Va специалистов.
Прибегая к варьированию, легко прийти к выводу, что полезность
комплекса автоматического проектирования обратится в нуль при
/Va = /Vp. Следовательно, данная система описывается соотноше-
нием (3,2) при Л/а < Л’р. Но абсолютная разность Np —
является плохим критерием полезности. В самом деле, экономия
20 специалистов в производственном процессе, где их было без
автомата занято 1000 человек, является не очень ощутимым вы-
игрышем. Если же АЛ'’= Ар —- =20 при Л’р=40, то автомат дал
85
существенную экономию. Исходя из этого, первый шаг в раскры-
тии вида функции полезности приводит нас к формуле
* = • • ’ хп) = (1 - NJNJftXu х2...хп). (3.11)
В зависимости от совершенства автомата он может автомати-
чески проектировать либо любые платы, либо лишь какую-то
ограниченную номенклатуру типоразмеров. Типоразмер отражает
не только конструктивные, но и схемно-функциональные особен-
ности платы. Некоторые автоматы имеют указанное ограничение,
что, конечно, должно найти отражение в выражении для их по-
лезности.
Обозначим общее число типоразмеров электронных плат, про-
ектирование которых составляет существенную долю в общей за-
грузке производства, через q. Из этого числа qz типоразмеров
можно проектировать с помощью автомата, noq^ — q— q& типо-
размеров проектировать с помощью автомата нельзя, и поэтому
они продолжают проектироваться вручную. Общая экономия в
численности специалистов будет теперь
AN = Np - [Na {qjq) + Np (qjq)].
Выражение (3.11) для полезности примет вид
Ф = (1 — (3.12)
Методом варьирования легко убедиться в логической обоснован-
ности выражения (3.12). Действительно, чем меньшую долю из
требуемой номенклатуры типоразмеров плат (qalq) способен про-
ектировать автомат, тем ниже его полезность. Если <7а/^=0, то, как
следует из (3.12), ф = 0. Это вполне логично: автомат, не способ-
ный проектировать пи один из широко применяемых типов плат,
явно бесполезен. Наоборот, при qjq=\ автомат в максимальной
степени реализует свои полезные свойства.
Аддитивно объединяться могут только параметры, имеющие
одинаковую размерность. Как правило, такие параметры играют
и одинаковую функциональную роль и обычно сначала аддитивно
объединяются между собой, а затем уже выступают в качестве
частного критерия. Поэтому системы, в которых полезность зави-
сит от суммы частных критериев, встречаются редко. Исключение
составляют системы с полезностью, зависящей от вероятности
успешного осуществления хотя бы одного из нескольких проис-
ходящих в системе процессов. В этом случае наблюдается своеоб-
разное объединение частных критериев, обладающее некоторыми
свойствами аддитивного объединения (см. § 3.6).
Непосредственное аддитивное объединение частных критериев
происходит в системах, где полезная функция обеспечивается дву-
мя или несколькими устройствами одного назначения. Рассмот-
рим, например, обзорный радиолокатор с двумя передающими
устройствами. Полезность обзорного радиолокатора определяется
86
количеством угловых направлений, контролируемых в единицу
времени. Пусть передающие устройства поочередно излучают зон-
пгрующие импульсы через общую антенну. Одной из составляю-
щих функции полезности радиолокатора будет сумма средних
мощностей передатчиков. Если один из них вышел из строя, то
полезность радиолокатора не упадет до нуля. Уменьшится вдвое
количество угловых направлений, контролируемых в единицу вре-
мени, и во столько же раз снизится полезность.
Если передающая часть того же радиолокатора представляет
собой фазируемую антенную решетку из п твердотельных моду-
лей мощностью Р] каждый, то в формулу полезности нецелесооб-
разно вводить сумму мощностей модулей. Это тем более верно,
что обзорные характеристики и, следовательно, полезность радио-
локатора будет пропорциональна величине Р^п2.
Другим примером непосредственного аддитивного объединения
частных критериев может служить система автоматической сор-
тировки потока некоторых объектов по нескольким признакам qi,
q2, ..., qa. Полезность подобной системы будет измеряться про-
центом рассортированных объектов из общего числа Nq объектов,
поступивших на ее вход. Наилучшей системой будет такая, кото-
рая производит полную рассортировку. Если данная система про-
пускает на выход часть объектов нерассортированными, то полез-
ность ее будет ниже, потому что для обработки нерассортирован-
ных объектов потребуется затратить ручной труд. Если среднее
число объектов с признаком qt равно АЛ/,-, 1=1н-га, то полезность
системы, сортирующей по признакам 1-ьй, где /г<щ будет равна
2 a^Ni ж-)-
7Vo \»=1 /
Здесь f(Xj )—зависимость полезности от других частных крите-
риев. Метод варьирования не только подсказывает нам приведен-
ную форму объединения частных критериев, но он позволяет так-
же уточнить смысл коэффициентов щ. Эти коэффициенты могут
представлять собой вероятность правильного отбора объекта по
данному признаку; они могут учитывать трудоемкость ручной сор-
тировки по данному признаку либо оба фактора одновременно.
Особое место среди сложных технических систем занимают
многофункциональные системы. Определение их полезности свя-
зано с некоторыми особенностями. Допустим, что система пред-
назначена для выполнения одновременно двух функций: Ф] и Фг-
Метод варьирования убеждает нас, что группы частных критериев,
определяющих полезность каждой из функций, должны объеди-
няться между собой аддитивно. Действительно, если система вме-
сто двух функций стала выполнять только одну из них, то обычно
имеются веские основания утверждать, что полезность системы не
87
обратилась в нуль, а лишь уменьшилась. Л это и есть признак
аддитивного объединения
Так как две функции, выполняемые системой, мотут иметь раз-
ный физический смысл и разную потребительскую значимость, ю
в формуле полезности должны фигурировать весовые коэффи-
циенты:
Здесь — группа частных критериев, выражающих вклад в по-
лезность первой функции, символ Ф2 означает то же для второй
функции, су и а2 — пссовые коэффициенты.
Здесь и возникает логическая трудность: как определить зна-
чения весовых коэффициентов? Не выходя за рамки данной тех-
нической системы, это можно сделать только методом экспертных
оценок. Но тем самым в определение полезности был бы внесен
субъективизм, т. е. то, что мы стремимся преодолеть Поэтому при
определении полезности многофункциональной системы для опре-
деления весовых коэффициентов при аддитивных членах прихо-
дится анализировать «окружение» этой системы.
Проиллюстрируем эту особенность многофункциональных си-
стем на примере наземной солнечной электростанции (СЭС). СЭС
небольшой мощности, построенная из панелей фотоэлектрических
преобразователей солнечной, энергии в электрическую, предназна-
чена для водо- и электроснабжения удаленных небольших объек-
тов в южных районах с большим процентом солнечных дней в
году. В светлое время суток электронасосный агрегат качает воду
из артезианской скважины в водонапорный бак, получая элек-
троэнергию от солнечных панелей. В это время суток СЭС дает
также электроэнергию для зарядки химических аккумуляторов и
ва бытовые нужды. В темное время суток и в пасмурные дни вода
и электроэнергия поступают из накопленных запасов. Такие стан-
ции вызывают сейчас большой интерес [53].
Составляющая полезности СЭС от выполнения первой функции
Ф|=Р„УС(Й (3.13)
где Ри - - мощность, выделяемая станцией насосному агрегату;
'Г|„—его КПД; ф —средняя продолжительность солнечного дня;
1Г— средняя продолжительность несолнечпого времени.
Составляющая полезности СЭС от выполнения второй ф\ нк-
ции -подачи бытовой электроэнергии — может быть представи-
ла так:
= (К+О- (3.14)
Здесь Р6 и Ра --мощности, подаваемые на бытовые нужды и на
зарядку аккумуляторов соответственно в течение времени р, —
КПД аккумуляторов.
88
Общая мощность Р СЭС равна Р„ - Р6 ; Pd и зависит от ряда
истых критериев: площади солнечных панелей, КПД фотоэлею
|щыеских преобразователей, угла падения солнечного потока на
п.шели и др. Не раскрывая для простоты зависимости входящих
1. формулы (3.13) и (3.14) величин от частных критериев, мо^кно
и.[писать для полезности СЭС следующее выражение:
Л = а}РЛ^!(1с Г Л) + °м[Л5 + ^а"4а4/(Д+Ф)Ь (3.15)
Дсь ai и «2--весовые коэффициенты, причем ai + a2=l.
Если бы мы попытались определить эти коэффициенты, оста-
ваясь в рамках системы, то нам пришлось бы привлечь экспер-
ты Но и для них задача отнюдь не выглядела бы простой. Дей-
ывительно, можно согласиться, что СЭС, выполняющая только
функцию Фь имеет какую-то полезность, хотя жить без электро-
освещения и без холодильников не очень комфортабельно. Но
имеет ли полезность СЭС, дающая бытовую электроэнергию, но
не обеспечивающая людей водой? На такой вопрос не многие экс-
перты ответят положительно. Скорее всего, эксперты назовут та-
кую величину аг, что будет cisCaj. В результате второй член в
формуле (3 15) практически не будет влиять на количественную
оценку полезности Но что особенно важно — не будет уверенно-
сти, что вычисленная полезность отражает некую объективную
регльносл ь
Стоит, однако, выйти за рамки рассматриваемой системы (в
данном случае — СЭС), как положение изменится. Мы обнаружим,
что хроме СЭС на данном объекте есть резервный электродизель-
ны’г агрегат. При нормальном функционировании и при состоянии
погоды, примерно отвечающем проектному, электродизельный
агрегат не требуется. Но его можно использовать, если по тем или
иным причинам СЭС не будет давать требуемого количества элек-
троэнергии Затраты на горюче-смазочные материалы и аморти-
зационные расходы, приведенные к единице времени, определяют-
ся соотношением
С=СР +
где Р— отбираемая электрическая мощность; Со и kt —размер-
ные коэффициенты
На основании действующих норм можно определить, какую
величину электрической мощности Pil0 надо затрачивать на водо-
снабжение и какую величину Р6о на электроснабжение для пунк-
та с данной численностью жителей. Тогда если обратится в нуль
функция Ф2, то потребуется использование электродизельного
агрегата, и затраты в единицу времени составят С0-|-й,Рбо.
Если же обратится в нуль функция Ф], то затраты составят Со
ф kcPVi0. Следовательно, весовые коэффициенты равны
а,-(С0 + ^Рно)/(2С0 + ^Р11О + ^Рво); (3.16)
и онп определены без привлечения экспертов.
89
Этот простой пример приведен для пояснения следующего пра-
вила. Если метод варьирования показывает, что группы частных
критериев, определяющие различные функции многофункциональ-
ной системы, объединяются аддитивно, то для отыскания весовых
коэффициентов при слагаемых необходимо рассмотреть «окруже-
ние» данной системы, связанное с ее функционированием.
Пример 3.3. Этот пример также иллюстрирует применение метода варьиро-
вания к системам, в которых некоторые частные критерии объединяются в фор-
муле полезности аддитивно.
Проектируется радиолокатор регулирования воздушного движения, кото-
рый должен иметь круговой обзор и в процессе обзора обнаруживать и опре-
делять координаты (завязывать трассы движения) самолетов гражданской авиа-
ции. На конкурс представлены три проекта: первый проект предусматривает
обычный радиолокатор е вращающейся параболической антенной; в двух других
проектах также предусматривается механическое круговое вращение антенны,
но последняя выполнена в виде антенной фазируемой решетки (ФАР), позво-
ляющей в некоторых пределах безынерционно отклонять луч по азимуту. От-
личие второго проекта от третьего заключается в величине максимального от-
клонения луча ФАР по азимуту.
По заданию дальность действия радиолокатора R определяется условием,
что обнаружение самолета за один круговой обзор происходит с высокой веро-
ятностью. Поскольку основное назначение радиолокатора заключается в кон-
троле и управлении воздушной обстановкой, то его полезность будет тем боль-
ше, чем большее число самолетов, находящихся в пределах 360° по азимуту,
он может обслужить в единицу времени. При этой обслужить самолет'—это
значит определить его координаты с требуемой точностью. В соответствии с
этим можно дать следующее определение полезности рассматриваемой системы.
Полезность радиолокатора определяется его пропускной способностью (чис-
ло самолетов, обслуживаемых в единицу времени) при заданных точности из-
мерения координат и разрешающей способности.
Обычно в радиолокаторах определяющую роль играют погрешности изме-
рения угловых координат [54]. Среднеквадратическая шумовая ошибка изме-
рения угла, в данном случае—азимута, определяется следующим соотношением:
= ря. (3.17)
Здесь 0р— ширина диаграммы направленности приемной антенны; р— отноше-
ние сигнала к шуму по мощности в одном зондировании; п — число эффективно
интегрируемых зондирований в следящей системе; k — коэффициент пропорцио-
нальности.
Коэффициент k учитывает, в частности, различие в р для отдельных им-
пульсов интегрируемой пачки.
Поскольку по определению точность и разрешающая способность заданы,
то в формуле (3.17) надо считать заданными яр и 0р. Варьируемыми величи-
нами могут быть р и п. Величина р зависит от потенциала радиолокатора, рас-
стояния до самолета и его отражающих свойств. Величина же я зависит от
способа обзора пространства.
90
На рис. 3.2 изображена схема обзора пространства и измерения координат
|.1молетов. Схема а относится к радиолокатору с параболической вращающейся
шгенной, схема б — к радиолокатору с круговым механическим вращением
ФАР. Для обнаружения самолетов число импульсов на одно угловое направ-
1спие должно обеспечивать нужную вероятность обнаружения. Для измерения
координат число импульсов на одно угловое направление должно обеспечить
заданное значение сгч. В схеме а время зондирования любого углового направ-
ления = где со — угловая скорость вращения антенны. Поэтому число п
и мпульсов
п = F.f)9l®,
где —’Частота зондирования пространства.
Будем считать, чго измерение координат требует большей величины га, чем
обнаружение. Поэтому в схеме а величину га, а следовательно, и со будет опре-
щлять условие (3.17). В результате для угловых положений 1 и 2 (рис. 3.2,а)
ё)
Рис. 3.2
91
будут обеспечены необходимые ус товия, а для положений 3 и 4 энергия будет
затрачиваться с избытком.
При обзоре пространства с помощью ФАР (схема, б) положение изменяет-
ся. Как только в процессе механического вращени:: ФАР будет обнаружен са-
молет, луч радиолокатора за счет электрического управления может задержал-
ся на данном угловом направлении, компенсируя механическое вращение, что-
бы послать на самолет нужное число зопдпровашш (см. эпюры около углевых
направлений 1 и 2). Затем луч, опять-таки за счет электрического управления,
продолжит обзор п постепенно вернется на нормаль к раскрыву ФАР. Коне-'io,
при этом снизится число зондирований для ряда «пустых» угловых направлении,
но это не приведет к существенному ухудшению процесса обнаружения, по-
скольку всегда число угловых направлений, занятых самолетами, во много раз
меньше числа «пустых» угловых направлений.
Максимальное число зондирований, которое можно послать в данное угло-
вое направление при одном обзоре пространства с помощью вращающейся ФАР,
равно
П=^ F; (6р + Арэ)/(о, (3.1 8)
где ДРЭ — максимальный угол электрического отклонения луча от нормали к
ФАР.
Подставляя значение п из (3.17) в (3.18), находим допустимую углевую
скорость вращения антенны по азимуту:
е> = р.а2р (Оз -I-- дрэ)/(Й20р. (3. i 9)
Для типичных условий, когда число самолетов много меньше числа углозых
направлений в зоне, время, затрачиваемое на одно обслуживание всех само ,е-
тов, обратно пропорционально угловой скорости вращения антенны.
Используя метод варьирования, можно убедиться, что величина и входит
в выражение для полезности в виде множителя. Поэтому
Л = Л.р[(9з + дрэ)Д2]/(х);х2,.. .,хп). (3.20)
Здесь, как и ранее, величина Цх-., х2, ..., л([) указывает на зависимость полез-
ности if от других частых критериев системы.
Из выражения (3.20) видно, что частные критерии 0о и ДЗЭвходят в выра-
жение для полезности аддитивно. И в самом .деле, при Др =0 (отсутствие элек-
трического управления лучом) система не теряет своей полезности, она лишь
уменьшается. Это отвечает действительности: радиолокаторы с механически
управляемыми антеннами находят широкое и полезное примененье.
Зависимость полезности от ширины диаграммы направленности антенны 0^
более сложная. При уменьшении Од возрастает отношение сигнала к шуму р.
Кроме того, если радиолокатор имеет антенну с чисто механическим управле-
нием, то при малых 6р уже нельзя пренебрегать тещышем луча с облучеппого
самолета за время распространения электромагнитной энергии от радиолокато-
ра до самолета и обратно. Нетрудно видеть, что с учетом этого эффекта выра-
жение (3.19) примет вид
“ 2R!c+{k^l(?F^ ’ (ЗЛ9а)
92
Ь(ссь jR — дальность зоны обслуживания; с — скорость света. Дрэ принято рав-
ным нулю, так как фор?,гула относится к радиолокатору без ФАР. Из приведен-
ною соотношения видно, что при уменьшении 0р второй член в знаменателе
• тенет пренебрежимо мал по сравнению с первым и тогда полезность начнет
' меиьшаться с уменьшением О-.- Уменьшение 013 может достигаться либо за счет
юеличения размеров антенны, либо за счет сокращения длины волны. В обоих
< лучаях может возрасти стоимость радиолокатора, в результате чего опенка
шдиолокатора по критерию полезность — плата за полезность дополнительно
•> худшится.
3.2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОТРЕБИТЕЛЬСКИХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ
Во многих системах в качестве явных полезных свойств для
потребителя выступают но частные критерии непосредственно, а
некоторые другие зависящие от них характеристики. Такие ха-
рактеристики мы будем называть потребительскими показателя-
ми. Например, потребителем радиолокатора непосредственно не
воспринимаются шум-фактор приемника и мощность передатчи-
ка; потребительским показателем радиолокатора будет дальность
действия. Точно так же для потребителя радиолинии управления
безразлично, при каком отношении сигнала к шуму и с какой
избыточностью информации работает линия. Для него важна
дальность действия, процент правильно переданных команд и за-
паздывание в их исполнении.
При отыскании аналитической зависимости полезности от ча-
стных критериев иногда удобно воспользоваться потребительски-
ми показателями, потому что через них просто выразить полез-
ность. Вместе с том найти функциональную связь между потреби-
тельскими показателями и частными критериями часто легче, чем
связь полезности с частными критериями. Поясним это на при-
мерах.
Пример ЗЛ. Разработан проект транзисторного переносного радиоприемника
бытового назначения в нескольких вариантах, из которых надо выбрать один
цля постановки на массовое производство.
В качестве частных критериев полезности приняты:
1) чувствительность и j :
2) перекрываемый диапазон несущих частот
.3) избирательность А;
4) число часов работы от одного комплекта батарей Г;
5) надежность (среднее число часов работы до выхода из строя) i ;
6) максимальная звуковая громкость Р3;
7) эстетические качества (внешний вид) W.
В перечень вошел критерий ет!п; увеличение emjn приводит к снижению по-
лезности, поскольку чувствительность принято выражать в минимальном на-
пряжении принимаемого сигнала, а чем больше эта величина, тем, конечно, хуже
93.
приемник. По указанному ранее правилу следовало бы преобразовать чувстви-
тельность в такую величину, возрастание которой означало бы увеличение по-
лезности. Но, как будет видно из дальнейшего, делать это на данном этапе
преждевременно.
Определим потребительские показатели приемника. Почему в число частных
критериев полезности включены параметры i’min и fa? Очевидно потому, что
чем меньше величина ет-т, тем более далекие радиовещательные станции смо-
жет принимать приемник; чем больше величина тем большее число различ-
ных станций может быть принято. По потребителю совершенно безразлична
величина emia, для него не имеет по существу значения и величина fs. Потре-
бителю важно, как много различных радиовещательных станций можно прини-
мать с помощью этого прибора.
Поэтому первым потребительским показателем приемника будет «число
станций, сигналы которых могут быть приняты» — No.
Далее, потребителя мало интересует ослабление А сигнала в децибелах при
расстройке приемника на фиксированное число килогерц. Для него важно, ка-
кая доля из всех принимаемых станций не сопровождается помехами от со-
седних станций. Такая величина ц выступает в качестве второго потребитель-
ского показателя.
Критерии 4)—7) являются одновременно и потребительскими показателями.
Для того чтобы установить функциональную связь между частными критериями
и потребительскими показателями, необходимо сделать некоторые предположе-
ния. Эти предположения состоят в том, что радиовещательные станции распре-
делены равномерно: по мощности передатчиков, по несущим частотам и по плот-
ности, т. е. по числу станций на 100 км2.
Как известно, в радиовещании используются два основных механизма рас-
пространения радиоволн. Первый механизм основан на распространении назем-
ной волны, напряженность поля которой изменяется обратно пропорционально
расстоянию от передатчика. Так как площадь круга, в пределах которого сиг-
налы от станций будут создавать достаточно интенсивное поле, пропорциональ-
на квадрату радиуса Я круга, то в итоге число станций с наземной волной, ко-
торое сможет принять приемник, будет пропорционально следующей величине:
ДГ, ~ ~ 1 /е2 , .
1 1 ' I шт
Второй механизм распространения радиоволн связан с отражением корот-
ких волн от ионосферы. Распространение здесь может происходить в пределах
всего земного шара, и зависимость напряженности поля от расстояния очень
слабая. Поэтому можно считать, что основным фактором, определяющим на-
пряженность поля коротковолновых станций в точке приема, является мощность
их передатчика. Так как мы предположили, что мощность передатчика в неко-
торых пределах распределена равномерно, то зависимость числа принимаемых
коротковолновых: станций от величины еш1п будет выражаться следующим об-
разом:
где е — наихудшая чувствительность приемника, при которой возможен прием
кр
94
uuii.ko самой мощной из всего арсенала коротковолновых станций; Лгкр—об-
щее число коротковолновых станций.
Но мы предположили также, что станции распределены равномерно по даа-
||.нону несущих частот. Поэтому число принимаемых станций при прочих рав-
ных условиях будет возрастать пропорционально перекрываемому частотному
шапазону. В итоге мы приходим к следующему выражению для общего числа
<V„ доступных приему станций:
^0 = + Лгкв (1 - ^in/<p) (Л/Ав). (3.21)
Здесь
fi—диапазон, перекрываемый приемником в области длинных и средних
ноли; (2— диапазон, перекрываемый приемником в области коротких волн;
/кв — диапазон волн, занятый коротковолновыми радиовещательными станция-
ми, причем предполагается, что ?хя>!г', — размерный коэффициент, учитыва-
ющий диапазон волн, занятый длинноволновыми и средневолновыми радиовезда-
шльными станциями, их максимальную мощность и общее число.
Таким образом, выражение (3.21) связывает частные критерии полезности
приемника — его чувствительность emin и общий перекрываемый диапазон волн
Z’s = fi + f2 — с потребительским показателем JV0.
Если бы не существовало явления взаимных помех от радиостанций, то ве-
личина No позволила бы непосредственно перейти к понятию полезности. Но
наличие взаимных помех может привести при недостаточной избирательности
приемника к тому, что число N станций, которое можно удовлетворительно
принимать, значительно меньше, чем No. Поэтому надо найти связь между по-
требительским показателем t\ = N/N0 и частным критерием «избирательность
приемника» А.
Обычно избирательность радиовещательного приемника характеризуется ве-
личиной ослабления сигнала в децибелах при расстройке приемника на фикси-
рованную величину, равную б/9 = 10 кГц. Полоса пропускания приемника вы-
бирается исходя из необходимости неискаженного воспроизведения речевой и
музыкальной информации п обычно равна нескольким килогерцам; мы примем,
что для всех приемников Л[=5 кГц. Избирательность приемника зависит от
того, насколько резко падает коэффициент передачи полосовых фильтров при
выходе частоты сигнала за пределы полосы пропускания Л[. Закон спадания
выходного сигнала вне полосы прозрачности можно представить зависимостью
«/«<>-= (V/W. (3-22)
где 6[ — величина расстройки, й>1. С другой стороны, по определению
А = 201g («/и0),
откуда следует, что
(Д/7^)* = 1ОЛ'20. (3.23)
Для того чтобы приемник с избирательностью А давал такое же ослабление
сигнала, как и эталонный приемник высшего класса с избирательностью Ао,
расстроенный на величину 6fu, надо выполнить условие
(Д//8/Г=(Д//8/о)й»- (3-24)
05
Здесь б/ — необходимая расстройка приемника с избирательностью А Из усло-
вия Л//5/о = О,5 и соотношения (3.23) находим
к = — .V6.
что приводит (3 24) к виду
bfGlof = 21-A«IA, А<Ай. (3.25)
Предполагая, что приемник высшего класса с избирательностью Ло прак-
тически свободен от помех со стороны соседних радиовещательных станции и
что станции распределены по частотному диапазону равномерно, можно в ка-
честве первого приближения считать, что величина bfo/Hf и определяет долго
станций, которые может принимать приемник с избирательностью А без взаим-
ных помех
(3.26)
Если для эталонного приемника принять Л(1 =—50 дБ. то зависимость ц от А
будет иметь вид, представленный в табл. 3 2.
Таблица 32
Л, дБ -50 —40 —30 —25 —20 —13 —10
Л 0,84 0,63 0,5 0,35 0,2 0,06
Теперь нетрудно найти выражение для полезности радиовещательного при-
емника. При этом следует напомнить, что мы не рассматриваем субъективное
представление о полезности с точки зрения отдельного потребителя, а считаем
полезностью некоторое усредненное представление о его полезных качествах
В указанном смысле полезность приемника определяется числом норм алым
принимаемых станций, т. е.
...,дсге),
где f(*i, х,, . ., .г )—зависимость полезности от других, не рассматриваемых
здесь, частных критериев. Подставляя значения No п т| из выражений (3 21) и
(3.26), получаем
Ф = М'4 4- л;а (1 - СтХр) (Л7-)] 21-Л°,А/(^ .... ^). (3.27)
Пример 3.5. Рассмотрим с новых позиций уже приводившуюся ранее (см
пример 1.8) систему для обнаружения косяков рыбы в океане в интересах ры-
боловецких судов. Система состоит из беспилотного малогабаритного самолета
с телекамерой и радиопередатчиком изображения поверхности воды иа судно.
Самолет совершает полет по программе или подчиняется сигналам радио-
управления с того же судна. В примере 1.8 задача была решена с помощью
аддитивной функции частных критериев.
Частными критериями полезности системы являются:
1) Максимально возможное удаление самолета от судна R, определяемое
Дальностью действия передатчика телевизионного изображения;
96
2) Максимальная высота полета самолета Н, определяемая качеством уста-
новленной на борту самолета оптики; телекамера позволяет одновременно
осматривать окружность с диаметром D-H-.
3) Максимальное время полета самолета с момента старта t, зависящее от
анаса топлива на борту;
4) Коэффициент готовности kv и вероятность безотказной работы р0 в те-
чение времени /;
5) Коэффициент всепогодности 1г п1.—отношение среднего времени, когда по
погодным условиям можно эксплуатировать систему, к среднему времени, когда
по погодным условиям допустим промысел;
6) Вероятность рц обнаружения цели при однократном просмотре.
Для выявления потребительских показателей системы надо представить себе
с предельной отчетливостью, в чем заключается ее функциональное назначение
п от чего зависит степень его выполнения. Самолет с телекамерой посылается
для обнаружения косяков рыбы, наличие и местоположение которых неизвестно
(иначе не требовалось бы посылать самолет). Надо, чтобы за наименьшее время
были обнаружены все косяки рыбы в окрестностях флотилии. Выполнение этого
требования зависит от общей поверхности акватории, обследуемой самолетом
за один вылет, от площади, обследуемой за единицу времени, и от вероятности
обнаружения косяка рыбы, попавшего в поле зрения телекамеры самолета.
Последний фактор будем считать постоянным, не зависящим от высоты,
дальности и продолжительности полета. Поэтому в качестве потребительских
херптериев системы могут рассматриваться два:
1) Общая площадь разведки S за один вылет самолета,
2) Площадь AS разведуемая за одни час полета.
Сначала проведем анализ по первому потребительскому показателю S. Про-
грамма полета самолета для обнаружения косяков рыбы может быть самой
различной. Например, самолет может совершать круговой полет вокруг судна,
Рис. 3.3
97
постепенно удаляясь на все большие и большие радиусы окружности, но так,
чтобы при этом обеспечивался сплошной просмотр водной поверхности
(рис. 3.3,а). На рис. 3.3,6 схематически показана другая программа полета:
самолет удаляется по радиусу на максимальную дальность, а затем движется
по окружности этого радиуса, постепенно приближаясь к судну, п в конце по-
лета по радиусу возвращается на базу. На рис. 3.3,в показан полет по дугам,
с удалением от базы п с возвращением по радиусу.
Можно было бы предложить еще множество различных программ полета.
Но если исходить из естественного предположения, что нахождение косяков
рыбы в любом районе равновероятно, то успех операции будет зависеть только-'
от величины обследованной площади, но не будет зависеть от ее формы и уда-
ления от судна.
Тогда потребительский показатель S чрезвычайно просто связывается с
частными критериями полезности системы разведки:
5=2W/7tg(-f/2). (3.28)
Здесь V — скорость полета; у — угол поля зрения телекамеры (рис. 3.3,г).
При этом предположении нет нужды предусматривать на борту передатчик
на большую дальность действия, чем радиус обследованного за один полет
круга:
/? =
Г 2 Т*2
— VWtg(T/2) .
(3.29)
Расход горючего на набор беспилотным самолетом высоты, па выход в зону’
поиска п на возвращение на базу можно не учитывать, так как этот расход
мал в сравнении с затратами горючего на рабочем маршруте. Применяя метод
варьирования, легко убедиться, что величина S должна входить в формулу по-
лезности в виде множителя. Кроме того, полезность будет зависеть от частных
критериев kr, р0, kBa, рц. Поэтому полезность системы можно представить в
следующем виде:
ф = 2l////tg(l72)/№r,/701^№,iOI1). (3.30)
Ради краткости мы не будем здесь раскрывать вид функции f (fir, Ро, kBn, ра).
Если потребовалось бы сравнить несколько проектов рассматриваемой си-
стемы, то путем подстановки в (3.30) численных значений частных критериев
каждого пз вариантов мы могли бы вычислить их полезность. Все проекты
должны были бы быть разработаны таким образом, чтобы общая нагрузка на
беспилотный самолет, включая запас горючего, не превышала его грузоподъ-
емности. При проектировании разработчики могли бы и не знать функциональ-
ной зависимости массы телекамеры и радиопередатчика от их выходных харак-
теристик, действуя методом последовательных приближений, как это обычно
и бывает в действительности.
Однако предположим, что указанные функциональные зависимости извест-
ны и соответствуют приведенным в примере 1.8. Тогда представляется воз-
можным предложить такие численные значения частных критериев, которые
98
м и ниизнруют полезность системы. Будем для простоты считать, что /(Аг, Ро,
/•„и. Ра) = 1.Тогда, воспользовавшись уравнением весового баланса примера 1.8
н уравнением (3.30), нетрудно найти оптимальные значения частных критериев.
I*. частности, оптимальная высота полета определится уравнением
3 Wpt + ± V tg _L /73 = G, -6Л- Ол. (3.31)
к 2. J «т
11< примера 1.8 заимствуем численные значения параметров: Ga =17 кг; G,=
2 кг; бд=3 кг, Ао=5О кг/км2, А^=5-10-3 кг/км2, &т = 0,8 кг/ч, 150 км/ч,
1ц(т/2) =0,5. Тогда уравнение (3.31) дает Яор(. =0,275 км.
После этого не представляет труда найти оптимальные значения двух дру-
111'. частных критериев: lopt=9,45 ч, 7?opt =11,1 км. При найденных значениях
частных критериев полезность системы достигает максимума: фшах —390 км2.
Максимизировать одновременно оба потребительских показателя S и КЗ t
невозможно. При S=390 км2 второй потребительский показатель AS^ = 41 км2/ч.
\ величин высоту полета до 0,45 км, можно повысить КЗ t до 68 км2/ч, но тогда
иудет S=140 км2. Учитывая, что беспилотный самолет движется гораздо бы-
< ipee, чем косяки рыбы, надо признать показатель 3 доминирующим.
В заключение заметим, что, действуя методом функции полезности, мы на-
||| ш значения частных критериев, при которых выходные характеристики систе-
мы превосходят найденные в примере 1.8 методом аддитивного обобщенного
диперия. Обследуемая за один вылет площадь равна 390 против 284 км2; пло-
щадь обзора за час полета равна 41 вместо 36 км2. Это есть прямой результат
1 i крытая истинной связи частных критериев с полезностью вместо формального
и \ объединения в обобщенный критерий.
3.3. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АДДИТИВНЫХ СВОЙСТВ ПОЛЕЗНОСТИ
Из самой сути понятия «полезность» возникает интуитивное
представление, что полезность должна обладать свойством адди-
тивности. Это значит, что совместная полезность нескольких одно-
типных систем должна быть равна сумме полезностей каждой из
них. Более детальное рассмотрение показывает, что аддитивность
полезностей действительно проявляется, когда несколько однотип-
ных систем функционируют одновременно и разделены простран-
ством действия. Если же системы используются последовательно
во времени в одном и том же «пространстве», то полезность,,как
правило, не возрастает. При последовательном во времени исполь-
зовании однотипных систем в различных «пространствах» совме-
стная полезность возрастает, но обычно оказывается меньше сум-
мы полезностей отдельных систем. Наконец, если однотипные си-
стемы функционируют одновременно в одном и том же простран-
стве. действия, то зависимость совместной полезности от полез-
ности каждой системы и от числа их в общем случае носит слож-
ный характер, при этом во многих случаях аддитивность полезно-
стей не проявляется.
99
Четыре высказанных положения в символическом виде пред-
ставлены иа рис. 3.4. На верхней части этого рисунка в коорди-
натах «время — пространство — полезность» изображены в виде
параллелепипедов «пространства» действия, время функциониро-
вания и полезность двух одинаковых систем № 1 и 2. В случае а
системы действуют одновременно, но в различных «пространст-
вах». Совместная полезность фа при этом удваивается, т. е. про-
является свойство аддитивности полезностей систем № 1 и 2. В
случае б системы действуют последовательно во времени в одном
и том же «пространстве». Совместная полезность фа при этом не
отличается от полезности ф каждой из систем. Далее в случае
в системы функционируют последовательно во времени и в раз-
личных «пространствах». Превышение совместной полезности фа
над полезностью ф одной системы зависит в этом случае от того,
сколько времени требуется для перехода системы от работы в од-
ном «пространстве» к работе в другом. Наконец, на схеме г изо-
бражена одновременная работа систем № 1 и 2 в одном и том же
«пространстве». Здесь выигрыш в фа по сравнению с ф зависит
Рис. 3.4
100
от того, существуют ли при работе одной системы некоторые
функции, которые система не может выполнить в силу тех или
иных ограничений в ее характеристиках и которые может взять
иа себя система № 2, а также от того, могут ли системы № 1 и 2
полноценно действовать в одном и том же «пространстве» в одно и
то же время.
Графики в нижней части рис. 3.4 поясняют несколько по-дру-
гому эти же четыре случая взаимодействия двух одинаковых си-
стем. По оси абсцисс на графиках отложено время, по оси орди-
нат «пространство», которое здесь обозначено координатой р.
Графики в верхнем ряду показывают действие двух систем, в ниж-
нем— действие одной системы. Случай а в особых пояснениях не
нуждается: при работе одновременно двух систем полезный эф-
фект получается и для координат A₽i, и для координат Лр2, т. е.
эффект удваивается, откуда и следует, что ips /ф1 = 2. В случае б
только какие-то специфические ограничения по времени функцио-
нирования одной системы могут оправдать переход в момент ti,2
с системы № 1 на систему №2. Так как такие ограничения здесь не
предполагаются, тоф2/ф1 = 1. В случае в при использовании вместо
двух систем только одной потребуется некоторое время А/ для
перехода этой системы от функционирования в области координа-
ты pi к работе в области координаты р2- Превышение совместной
полезности двух систем фг над полезностью одной системы ф;
зависит от того, насколько существенную долю общего времени
работы Т составляет А/. Ясно, что если система может перейти
из положения gi в положение (р2 мгновенно (A^ = 0), то примене-
ние двух систем не даст никакого выигрыша. В другом крайнем
случае, когда АОТ, ситуация в становится эквивалентной ситуа-
ции а: система № 1, работавшая в области Pi, не в состоянии
перейти в область р2- А это значит, что при отсутствии системы
№ 2 область ₽2 останется необслуженной. Следовательно, при
АГ>Г должно быть справедливо соотношение фя /ф1 = 2. Функция,
удовлетворяющая указанным условиям, имеет вид фи /ф1 = (Т+
+2А/)/(Г+А/). Смысл графиков для случая г достаточно ясен
из сказанного выше.
Таким образом, не всегда полезность обладает свойством ад-
дитивности.
В качестве примера, поясняющего высказанные общие поло-
жения, рассмотрим наземный комплекс аппаратуры слепой по-
садки самолетов. Если эта аппаратура устроена так, что может
одновременно обслуживать только одну посадочную полосу из
двух параллельных полос, имеющихся на аэродроме, то примене-
ние второго комплекта такой же аппаратуры для второй полосы
увеличит вдвое пропускную способность аэропорта, что и свиде-
тельствует о наличии соотношения фя/ф = 2. Если же в аэропорту
101
только одна посадочная полоса, то установка двух одинаковых
комплектов аппаратуры слепой посадки с разделением времени
их работы (день, ночь) не повысит пропускной способности
(“фа /ф= 1) • Правда, при этом повысится эксплуатационная на-
дежность системы, но это приведет к увеличению ф всего
1— (1-Ро)2 й » к
в -..—— и раз, где р0— вероятность безотказной работы од-
Ро
кого комплекта аппаратуры. Поскольку обычно ро достаточно близ-
ко к 1, то ips будет несущественно превышать ip. Применительно
к аппаратуре слепой посадки случай в означает, что в один пе-
риод суток работает система № 1 на первой посадочной полосе,
а в другой период суток — система № 2 на второй посадочной по-
лосе. Смысл применения в этих условиях двух комплектов аппа-
ратуры имеется лишь тогда, когда требуется много времени
(Л£>Т) для переориентации комплекта № 1 на работу с другой
посадочной полосой. Если же такая переориентация достигается
простым разворотом радиолокационной антенны и поэтому
то полезность от применения двух комплектов не удвоится, а воз-
1 —(1 — рА2 „
растет лишь пропорционально величине -----1, о которой
Ро
упоминалось выше. Случай г (одновременная работа двух ком-
плектов аппаратуры слепой посадки в одной и той же посадочной
полосе) может иметь смысл лишь как средство повышения точно-
сти проведения посадки, поскольку пропускная способность дан-
ной полосы лимитируется обычно не возможностями аппаратуры,
а условиями безопасности самолетов. При соответствующей обра-
ботке информации от каждого комплекта аппаратуры точность
измерений может быть повышена в Ц2 раз: аддитивности здесь
нет.
Аналогичные выводы можно сделать и при рассмотрении дру-
гих систем. В частности, читатель без труда использует приведен-
ные рассуждения применительно к системам, обозначенным в
табл. 2.2 номерами 1 и 5. Стоит заметить, что если применительно
к системе 5 случай г можно трактовать, как одновременный полет
двух пассажирских лайнеров из одного и того же порта А в один
к тот же порт В, то применительно к системе 1 этот случай озна-
чает, что два одинаковых сварочных агрегата используются для
сварки одного и того же стыка труб. Целесообразность и техни-
ческая возможность подобной операции сомнительна, и, конечно,
рассчитывать на аддитивное объединение полезностей агрегатов
в этом случае нельзя. В то же время если элсктродуговыс агрега-
ты, производящие сварку снаружи, используются одновременно
па двух соседних стыках труб, то полезность удвоится. (Неболь-
шое увеличение времени перемещения агрегата с одного рабочего
102
места на очередное, обусловленное удвоением расстояния, на ко-
торое надо переместить агрегат, мало скажется на общем балансе
примени и, следовательно, на полезности каждого агрегата.)
Аддитивные свойства полезности можно иногда использовать
/1ля отыскания функциональной связи между полезностью и част-
ными критериями. Применяемые при этом приемы являются раз-
новидностью метода варьирования.
Для использования аддитивных свойств полезности надо пред-
ставить себе анализируемую систему в ситуации, обозначенной
выше символом а (две одинаковые системы одновременно дейст-
вуют в различных областях «пространства»). После этого следует
установить, по какому свойству проявляется аддитивность полез-
ности, и, наконец, найти функциональную связь этого свойства с
мастными критериями.
Поскольку приведенные в общем виде положения воспринять
достаточно трудно, проиллюстрируем их конкретными примерами.
Пример 3.6. Рассмотрим самолетную систему для обнаружения воздушных
целей и управления перехватом. В состав системы входит когерентно-импульс-
ный радиолокатор кругового обзора. Обзор в горизонтальной плоскости осу-
ществляется за счет механического вращения антенны, установленной в обте-
кателе над фюзеляжем самолета, Перемещение луча антенны в вертикальной
плоскости происходит путем фазирования решетки щелевых волноводов, обра-
|ующих раскрыв антенны. В системе имеется вычислительная машина, аппара-
iypa передачи данных и команд самолетам-перехватчикам. В процессе боевого
дежурства самолет барражирует на высоте Н и на расстоянии а от границы
охраняемой территории. Радиолокатор способен обнаруживать движущиеся
объекты на фоне отражений от земной поверхности. С чисто технической точки
фения полезность системы будет зависеть от длины полосы I одновременного
контроля вдоль границы охраняемой территории и от длины полосы L, контро-
лируемой за час полета.
Нетрудно видеть, что по отношению к I полезность ф системы обладает
аддитивностью. Действительно, поскольку с одного положения самолета невоз-
можно контролировать всю протяженность границы, применение одновременного
барражирования двух самолетов позволит увеличить ф вдвое, трех самолетов —
втрое и т. д. По отношению к L полезность ф также обладает аддитивностью.
Это дает нам право написать
Ъ = 1/(Х1,х2,...,х„), (3.32)
me f(xi, хг. х ) —зависимость полезности от частных критериев, не охвачен-
ных критерием L.
Следующим шагом должно быть установление связи между L и частными
критериями полезности. Частными критериями полезности радиолокатора как
средства обнаружения являются:
высота длительного барражирования И;
скорость полета (7;
103
максимальная дальность обнаружения малоразмерных летательных аппара-
тов на фоне земли г д(;
минимальная радиальная скорость Vpm обнаруживаемого на заданной даль-
ности летательного аппарата.
Величина L связана с высотой полета Я, расстоянием барражирующего са-
молета от границы а и дальностью действия радиолокатора 7? простым соотно-
шением (рис. 3.5,а)
L = 2 [ /?2 __ н2 - аур2 + Ut. (3.33)
Здесь А определяется потенциалом радиолокатора по целям с минимальной
отражающей поверхностью и минимальной радиальной составляющей скорости
полета (тогда Я = Гд(). Если обнаружение раньше ограничивается радиогоризон-
том, то
R^k^TT. (3.34)
Летательные аппараты могут пересекать линию границы под различными
углами а. Для этого может быть указан целый ряд причин, в том числе и со-
здание трудностей их обнаружения. Учитывая преимущества и больших значе-
ний а. (с точки зрения скрытности), и малых значений и (с точки зрения ско-
рейшего преодоления рубежа обнаружения), а также приближенность искомой
зависимости ij: от а, примем, что распределение летательных аппаратов по всем
возможным углам а равномерное. Радиальная составляющая скорости 1/р, ко-
торая только и позволяет обнаружить объект на фоне земли, равна (рис. 3.5,б|
Vp=lZcos (а-Н). (3.33)
Минимальная радиальная скорость V (при которой обнаружение еще возмож-
но, зависит от ряда характеристик радиолокатора, а также о г высоты И полета
самолета. С увеличением Н уменьшается фон земли и поэтому V умень-
шается. Для данного положения луча радиолокатора (рис. 3.5,6) он сможет обна-
ружить пересекающие рубеж объекты, курсовой угол а которых по отноше-
нию к перпендикуляру к рубежу лежит в пределах
— ^/2-г-[агссоз(Урш/У)~ при $т
—[arccos(Vpm/lZ) + p]-b-[arccos(lzpm/Vz)--Pl при ₽кр>^>0. (3.36)
Рис. 3.5
104
эффективность контроля в полосе I определяется долей q всех пролетающих
рубеж объектов, которые могут быть обнаружены. При равномерном распре-
юленпи объектов по углам а. эта доля равна
'<j = [л:/2 + arccos (Ур и/V) — Р]/к при ₽т>₽>Ркр-
[2 arccos (izv при ₽кр>?>0. (3.37)
В процессе обзора углы р равномерно меняются во времени. Поэтому естест-
венно усреднить tj по всем р от 0 до [3 . При этом, как нетрудно найги из
рис. 3.5,6, величины и 3;(р равны
= arccos («//?), ?кр = arcsin (Ц, m/V).
В результате усреднения получим
~Ч = (1 + в<Р/К) [arccos (Vt J V)]lr. + (pm - pKp)/2pm -
-е-йР)/2^ет- (3-38)
Методом варьирования легко установить, что потребительский показатель г]
должен входить в формулу полезности в виде множителя. Подставляя значения
Г| и L из формул (3.38) и (3.33) в (3.32), получаем выражение для полез-
ности:
Ф = [2 («2 - 7/2 -а2)>/2 + Ut^ftx,, х2,..., х„), (3.39)
R=135HW при Гж>135Я'/г,
R = гм при Гм ' 135/7|/2.
Дальность и высота выражены в формулах в километрах. Здесь f(xb xs, х,,)
по-прежнему означает зависимость полезности от частных критериев, не рас-
смотренных в настоящем примере. Качественный характер зависимости ф от
некоторых критериев показан на графиках рис. 3.5,в.
Пример 3.7. Полезность перевозимых агрегатов для сварки секций магист-
ральных трубопроводов. Полезность агрегата может быть измерена средней
длиной шва нужного качества, свариваемого агрегатом в единицу времени. Су-
щественно, что принять за эту единицу времени. Дело в том, что по характеру
использования агрегата он должен после сварки очередного стыка труб пере-
ходить к сварке следующего стыка. В зависимости от того, как сложно переме-
стить агрегат из одного рабочего положения в другое, насколько трудоемки
подготовительные операции на новом рабочем месте, средняя скорость сварки
(или средняя длина сварного шва) за большой интервал времени будет меньше
технологической скорости сварки. Поэтому за единицу времени здесь целесо-
образно принять, например, рабочую смену (6 : 8 часов).
Нетрудно убедиться, что полезность агрегата в приведенном определении
обладает свойством аддитивности: два агрегата сварят шов вдвое более длин-
ный, чем один агрегат за то же время (конечно, при рациональной организации
производственного процесса). Аддитивность полезности дает нам право запи-
сать следующее соотношение:
ф = If (Xlt Х2, . . Х„). (3.40)
105
Здесь I — средняя длина сварного шва, производимого агрегатом за рабочую
смену; х-t, х ) —зависимость полезности от частных критериев, не охва-
тываемых комплексным критерием I
Теперь следует установить связь между I и частными критериями полезно-
сти агрегата. К ним, в частности, мы отнесем:
мощность, подводимую к свариваемому стыку труб Р;
время t7, затрачиваемое на перемещение агрегата с места сваренного стыка
к месту очередного стыка;
время f на подготовительные операции в новом месте работы.
При разогреве металла на длину а вдоль образующей труб, диаметре труб
D и толщине стенки h время сварки стыка будет равно
t^kr.DhajP. (3.41)
Здесь k — коэффициент пропорциональности, учитывающий теплоемкость метал-
ла, потери тепла вследствие конвекции воздуха и теплопроводности, температуру
плавления и особенности технологии сварки (в частности, однократный или мно-
гократный проход стыка для окончательной сварки).
Полное время ^1а, затраченное от начала сварки одного стыка до начала
сварки следующего стыка, будет равно
tn — tr + ta + k^DhajP. (3.42)
Если продолжительность рабочей смены обозначить через tc, то за это время
можно провести операций по сварке стыков, причем в каждой из них
будет получен сварной шов длиной stD. Таким образом, выражение (3 40) для
полезности агрегата приобретает вид
7Г/О
<р =-----------------------(3.43)
Y t-r+tn + k-Diia:P 7 V 1
В выражении (3.43) величина ic опущена, как не имеющая значения для
выбора предпочтительного варианта.
На рис. 3.6 изображены упрощенные схемы сварки труб при использовании
лазерного (а) и электродугового (б) сварочных агрегатов. Вследствие того,
что вращение труб при неподвижной сварочной головке в данном применении
невозможно, а обеспечить круговое движение лазерного луча снаружи вокруг
Рис. 3.6
а)
106
। рубы< чрезвычайно сложно, лазерный луч вводится к стыку через ось прива-
риваемой к плети трубы. Для этого перед открытым концом этой трубы уста-
навливается поворотное зеркало ПЗ, а внутри трубы около места стыка уста-
навливается специальная головка СГ со вторым зеркалом ВЗ, наклоненным на
1!>° и вращающимся около оси, совпадающей с продольной осью трубы. На по-
воротное зеркало направляется прошедший через формирующую оптику мощ-
ный лазерный луч, который отражается от двух упомянутых зеркал и фокуси-
руется на стыке труб. За один оборот вращающегося зеркала образуется окон-
чательный сварной шов по всей окружности стыка.
На рис. 3.6,6 показана упрощенная схема электродуговой сварки. На ко-
нечной трубе уже сваренной плети вблизи очередного стыка закрепляется кор-
пус Д/ с вращающейся обоймой ВГ, на которой смонтирован сваривающий
электрод' Э. Сварка производится с наружной поверхности трубы и требует
предварительной конической разделки стыка труб.
Таблица 3.3
Тип сварки
„ Электродуго-
Лазерная вдя
Толщина стальных образцов, мм
Поглощаемая образцом мощность, кВт
Скорость сварки, мм/с
Требуемая точность установки, мм
Полная потребляемая агрегатом мощность, кВт
Капитальные затраты, фунты стерлингов (ф. ст.)
Искажения шва и деформации
6
4
16
±0,5
50
120 - 103
Минималь-
ные
6
2
2
±1,0
3
8- 103
Заметные
В настоящее время лазерных агрегатов для сварки магистральных трубо-
проводов еще нет, но ведутся интенсивные работы по совершенствованию и
автоматизации лазерной сварки [55-н58]. В табл. 3.3. приведены сравнитель-
ные характеристики лазерной и электродуговой сварки из работы [55], которые
можно использовать при количественных оценках полезности.
На рис. 3.7 изображена зависимость скорости сварки и глубины проплав-
ления от мощности лазерного луча. Нетрудно видеть, что в основной части
107
рабочей области соотношение (3.41) справедливо. Пользуясь данными табл. 3.3»
находим
1 тсDh
для лазерной сварки — f1—---------------
(3.44)
1 т h а
для электродуговой сварки —И =-----------------------.
6 Р аа
Здесь мощность выражена в киловаттах, а линейные размеры в миллимет-
рах. Полученные выражения можно использовать для сравнения проектов пе-
редвижных сварочных агрегатов. При этом следует обратить внимание на ве-
личину а/а0 во второй формуле (3.44). Через а0 обозначена ширина зоны про-
грева вдоль образующей трубы при мощности агрегата, указанной в табл. 3.3.
Если мощность Р брать больше этой величины, то вместо й0 получим а>а0, в
результате чего время электродуговой сварки будет убывать не обратно про-
порционально мощности, а медленнее. При лазерной сварке благодаря оптиче-
ской системе фокусирования луча можно сохранять значение а0 при достаточно
широком диапазоне изменений мощности; поэтому в первой формуле (3.44)
член а/йо отсутствует.
Положим теперь, что свариваются трубы диаметром £> = 1000 мм с толщи-
ной стенки £---10 мм. Выходная мощность лазерного и электродугового агрега-
тов одинакова п равна Р=10 кВт. Величину а примем равной а = 2а0. Тогда из
(3.44) получим
для лазерного агрегата ^ = 131 с,
для электродугового агрегата £1 — 1048 с.
Подставляя эти значения в (3.43), получим следующие выражения полез-
ности лазерного (фл) и электродугового (фэ) агрегатов:
3140 .
(3.45)
, 3140 fi
Y /т + ^+ 1048 2
Если бы мы оперировали только технической скоростью сварки, то явное
предпочтение следовало бы отдать лазерной сварке, поскольку здесь затраты
на сварку одного шва в 8 раз меньше по времени. Но формула (3.45) не по-
зволяет сделать такой вывод, пока не учтены хотя бы величины tT п tn. По-
лезность лазерного агрегата будет превышать полезность электродугового лишь
в том случае, если проигрыш во времени при переходе от одного стыка к дру-
гому не превысит для него 15 мин. Этого достичь непросто, особенно с учетом
того, что лазерный луч вводится через открытый конец привариваемой трубы.
Поэтому очередную трубу к открытому торцу можно подвести только после
окончания сварки предыдущей трубы и снятия самоустянавливающейся головки
и узла поворотного зеркала (рис. 3.6). При электродуговой сварке следующую
108
i рубу можно подвести к открытому торцу привариваемой трубы еще до окон-
чания сварки.
Электрический КПД (отношение сваривающей мощности к мощности, под-
водимой к агрегату) удобнее отнести к частным критериям платы за полез-
ность. Из табл. 3.3 видно, что по этому критерию лазерный агрегат уступает
члектродуговому. Стоимость лазерного агрегата значительно выше, чем элек-
цэодугового. Поэтому при полном решении задачи выбора нам потребовалось
бы принять во внимание преимущество электродугового агрегата по обобщен-
ному критерию платы за полезность. Но задача выбора выходит за рамки на-
стоящего примера.
В заключение заметим, что ряд достоинств лазерной сварки и интенсивные
работы в этой области могут со временем изменить указанные соотношения.
3.4. ОБРАЩЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ КРИТЕРИЯМИ ВИДА СЛУЧАЙНЫХ
ОШИБОК
Существуют некоторые виды частных критериев, аналитиче-
ская связь которых с полезностью справедлива для достаточно
широкого класса систем. К таким частным критериям относится
случайная ошибка измерений некоторой внешней по отношению к
системе переменной величины, если это измерение является одним
из функциональных назначений системы.
Измерение тех или иных переменных — задача многих техни-
ческих систем. Примерами могут служить системы 4, 6, 10, 19
табл. 2.2. Следует подчеркнуть, что речь идет только о таких си-
стемах, для которых измерение является выходным результатом
их функционирования. Внутренние погрешности измерения каких-
либо переменных не следует рассматривать как частные критерии
полезности. Вместе с тем при исследовании полезности подсисте-
мы эти погрешности могут оказаться уже выходными характери-
стиками, и тогда они должны войти в число частных критериев
полезности подсистемы.
Допустим, что рассматривается система, одним из функцио-
нальных назначений которой является измерение некоторой внеш-
ней переменной величины я. Измерение происходит со случайной
ошибкой, характеризуемой нулевым средним значением и диспер-
сией с’. Всегда можно указать такое значение дисперсии ко-
торое обладает следующим свойством. При любой величине о;;,
удовлетворяющей условию sj С полезность системы не будет
зависеть от величины а? вследствие ее малости; но при
полезность системы будет тем меньше, чем больше величина о®.
Критическое значение погрешности измерений может пря-
мо задаваться в технических требованиях на разработку системы
пли оно может вытекать из сущности выполняемых ею функций.
109
Рассмотрим две измерительные системы одинакового назначе-
ния. Пусть все частные критерии полезности этих систем одина-
ковы, за исключением погрешности измерения внешней перемен-
ной величины z. Первая система измеряет z с дисперсией ошибки
причем < о^г; вторая — с дисперсией ошибки превыша-
ющей критическое значение, т. е. > а®г.
Полезность -фг первой системы можно записать так:
(3.46>
Здесь Л'ь л'г, •••, — частные критерии полезности. В число этих
критериев не вошла о|г, так как она меньше критического значе-
ния, а по указанному выше правилу в этом случае полезность
системы от погрешности измерений не зависит.
Полезность ф2 второй системы будет меньше полезности пер-
вой системы и может быть представлена следующим соотноше-
нием:
^ = /7(^2)/(х1,л2, ...,хй). (3.47)
Первый член правой части равенства представляет собой функ-
циональную зависимость полезности от дисперсии ошибки изме-
рений. Так как по условию все остальные частные критерии для
обеих систем одинаковы, то одинаковы и функции f(xb х2, ..., хп)
в формулах (3.46) и (3.47).
Можно ли предложить такой способ использования второй си-
стемы, при котором она производила бы измерение z с дисперсией
ошибки не более о^? Этого можно достичь, если несколько (п)
экземпляров системы будут одновременно и независимо измерять
величину z [59]. При некоррелированности ошибок и статистиче-
ской обработке результатов всех измерений выходная ошибка бу-
дет определяться соотношением
Выберем/г таким, чтобы 5^ = 0^. Для этого должно быть п =
= O2z/aoz- Теперь полезность п экземпляров второй системы срав-
нялась с полезностью первой системы:
Подставляя значения ф; и ф2 из формул (3.46) и (3.47), получаем
= С3-4»)
Теперь можно выражение для полезности второй системы пред-
ставить в следующем виде:
= • •»*„)• (3.49)
Эта зависимость справедлива до тех пор, пока дисперсия ошибок
измерений превышает критическое значение о^г. Если же по-
110
i решность измерений уменьшается настолько, что выполняется
хсловие то в формуле (3.49) член с? /о? должен быть за-
менен 1.
Одним из распространенных видов измерительных систем
являются системы классификации объектов. На примере таких
систем покажем способ определения критического значения о%2
щсперсии ошибки измерений. Назначение системы классификации
заключается в том, чтобы путем анализа сигналов, получаемых от
ряда исследуемых объектов, разделить эти объекты на классы.
Каждый класс объектов характеризуется некоторыми своеобраз-
ными признаками. Эти признаки в той или иной степени прояв-
ляются в принимаемых сигналах. Сигналы от объектов могут быть
получены как активным (например, путем облучения объектов и
приема отраженных сигналов), так и пассивным методами. При-
мером пассивного метода может служить прием световых сигна-
лов при естественном освещении объектов.
Для простоты будем считать, что измеряется только один па-
раметр z принимаемого сигнала и классификация производится
по величине этого параметра. Априорно известен закон распреде-
ления параметра z для объектов каждого класса. Вследствие того,
что измерение сопровождается погрешностями, возможна ошибоч-
ная классификация. Это значит, что по результатам измерений
некоторый объект будет отнесен к классу 2, в то время как в дей-
ствительности он принадлежит к классу 1 или наоборот.
Пусть плотность вероятности распределения ошибок измерений
имеет вид
1 __g2
Р (?) = —ехр —— , (3.50)
а У 2к 2s2
а плотность вероятности распределения объектов класса j пред-
ставлена функцией Dj (z), где /=1, 2, 3, 4 (рис. 3.8,а). Тогда ве-
роятность правильной классификации объектов, принадлежащих
к классу /, будет определяться соотношением
гГг
Здесь через Ф обозначен интеграл вероятностей:
2 f (—
ф = ~7^ ех₽ dlt-
т/ 2т: J \ 2 /
о 4 '
z. (3.51)
111
Если вероятность правильной классификации задана и плот-
ность вероятности распределения объектов по классам известна,
то из (3.51) можно найти величину о, необходимую для класси-
фикации объектов /-го класса. Определив допустимые значения о
с помощью этой формулы для каждого класса объектов, надо
принять за величину o0z наименьшее из найденных значений.
Особенно просто выглядит результат, когда плотность веро-
ятности распределения объектов равномерна и классы примыкают
друг к другу по параметру z (рис. 3.8,6). В этом случае D^z} —
= и формула (3.51) принимает вид
(3.52)
Нетрудно показать, что интегралы в квадратных скобках рав-
ны друг другу по величине и противоположны по знаку. Поэтому
последнее выражение для вероятности правильной классификации
можно представить в следующем виде:
dz.
Интеграл от интеграла вероятности можно взять по частям:
(, 2 / __Xs \
I Ф (х) dx — хФ (х) -j- ехр —-— •
J у 2тс \ 2 }
С учетом этого получаем следующее выражение для вероятности
правильной классификации:
2 а Г —/.П
J°j,+= ф(£/7а)-----7==- — 1 —exp— (3.53)
у 2~ Lj L 2а2 j
Если среднеквадратическая ошибка измерения параметра мень-
ше, чем одна треть ширины области параметров, относящихся к
одному классу объектов
то формулу (3.53) можно
с
упростить и получить из нее следующее выражение для вычис-
ления а:
(3.54)
За о0г следует принять минимальное значение, которое получит-
ся при Зависимость вероятности правильной классифи-
кации от величины L/o для точной и приближенной формул изо-
бражена на рис. 3.8,в.
112
Рис. 3.8
При формулировании требований к измерительной системе го-
раздо проще обосновать допустимую вероятность выполнения той
или иной операции, чем задать непосредственно допустимую сред-
неквадратическую ошибку или дисперсию ошибок измерений. По-
этому и важно найти связь между вероятностью и ошибкой. Веро-
ятность правильной классификации при этом можно обосновать
исходя из тех затрат, которые дополнительно придется понести
в случае ошибочной классификации.
В подавляющем большинстве случаев вероятность успешных
действий можно представлять нормальным законом распреде-
ления.
Критическое значение ошибки измерений очень просто выра-
жается через вероятность. Но задавать при этом вероятности,
очень близкие к единице, надо с осторожностью. Поясним это на
примере.
Пример 3.8. Радиолокатор управления воздушным движением должен вво-
дить отправляющиеся в рейс самолеты в воздушный коридор. Для этого он
измеряет азимут, угол места и дальность самолета и подает пилоту соответ-
ствующие команды. Сглаженная ошибка измерения обеих угловых координат
одинакова п характеризуется среднеквадратическим значением в. Ошибка изме-
рения дальности меньше <д7?, где R — дальность начала ввода самолета в кори-
дор. Коридоры радиально расходятся от места расположения радиолокатора и
имеют круговое сечение радиуса г. Ввод в коридор производится при таком
удалении самолета, когда угол места становится меньше 15°. Ошибки распре-
делены по нормальному закону. Требуется найти критическое значение диспер-
8—1051 ИЗ
(3.55)
(3.56)
сии <j2 измерения угловых координат, если вероятность успешного ввода само-
лета в воздушный коридор должна быть не мепее р0.
При указанных выше условиях линия равной вероятности отклонения от
центра коридора представляет собой окружность. Поэтому вероятность р того,
'что самолет будет введен в круг радиуса г, будет выражаться соотношением
р = 1 — ехр[— г2/2 (о/?)2}.
Отсюда легко находим выражение для критической дисперсии о2
. 0,217 / г V
° - ig(l—Ро) k R )
Задача выбора порогового значения ошибки измерения угловых координат
самолета свелась к задаче назначения необходимой вероятности ввода самолета
в воздушный коридор. Требование высокой безопасности воздушного движения
заставляет назначать близкие к единице величины ро- Но на какой величине
следует остановиться? Достаточно ли принять ,’>о=0,99? Или надо принять р0=
=0,9999? Из приведенной формулы следует, что при ро=О,999 пороговое зна-
чение дисперсии ошибки будет уже только 0,054 (r/R)1. Таким образом, необо-
снованное завышение р0 приводит к требованию очень высокой точности ра-
диолокатора и неоправданно пессимистической оценке полезности реального
радиолокатора.
Устранить это противоречие можно следующим образом. Реальные системы
приближенно подчиняются нормальному закону распределения ошибок. Это зна-
чит, что нормальный закон действует в пределах ошибок от 0 до (2,5-'-3)0, но
применять его при больших значениях ошибок надо с осторожностью. В нор-
мально функционирующих системах ошибки свыше За практически вообще не
встречаются. А это значит, что вместо неограниченного нормального закона дей-
ствует усеченный нормальный закон. Применительно к усеченному нормалвиому
закону вероятность р того, что самолет будет введен в воздушный коридор
радиуса г, будет равна
Г / г2 > /Г. / 2,52-ч-32А
р — 1 — ехр----------------/ 1 — ехр---------------------- ,
\ 2о2/?2 ) ]/ [ \ 2 /_
при (2,5-*-3)(aR), (3.57)
р=1 при r>(2,5-«-3)(crR).
Значения критической дисперсии ошибок измерения угловых координат для
усеченного нормального закона распределения приведены в табл. 3.4.
Теперь уже завышенные требования к вероятности ввода самолета в воз-
душный коридор не приведут к чрезмерным требованиям к точности радиоло-
катора.
Описанный прием введения усеченного закона распределения переносит от-
ветственность за ограничение требований разумными пределами с руководите-
лей на лиц, занимающихся исчислением полезностей. Поскольку последние опе-
114
Таблица 34
А, 0,9 0,99 0,999
Максимальная ошибка равна 2,000 0,254 0,226 0,171 0,161
Макспмальная ошибка равна 3,Оо0 0,129 0,113
рпруют не понятиями безопасности людей при полетах, а понятиями реальных
пределов возможных ошибок радиолокатора, вызывающими меньше эмоций, та-
кой перенос ответственности следует считать оправданным.
3.5. ОБРАЩЕНИЕ С ЧАСТНЫМИ КРИТЕРИЯМИ НАДЕЖНОСТИ
Можно дать некоторые общие рекомендации о связи надежно-
< ги с полезностью. Для этого целесообразно разделить системы
па два класса: системы многоразового и одноразового дейст-
впя [60].
Системы многоразового действия характеризуются тем, что они
многократно повторяют полный цикл своего функционирования.
Поэтому, если после совершения ряда полных циклов функциони-
рования при номинальном значении всех частных критериев ко-
личественные значения некоторых критериев в результате случай-
ных отказов элементов уменьшились, так что дальнейшее функ-
ционирование системы происходит с меньшей полезностью или во-
обще невозможно, то обычно нельзя утверждать, что совокупная
полезность системы за весь рассматриваемый период функциони-
рования равна нулю или минимальному значению.
С учетом эксплуатационной надежности полезность системы
многоразового действия надо вычислять как среднюю полезность
по всем возможным состояниям системы. Пусть система может
находиться только в двух состояниях: работоспособном и нерабо-
тоспособном. Если среднее время наработки на один случайный
отказ равно /0, а среднее время приведения системы в нормаль-
ное состояние, после выхода ее из строя то средняя полезность
Ф системы
ф - % —4т-+-Hv • <з-58>
^о + ^р ^о+^р ^0 + ^р
Здесь фо’—полезность полностью исправной системы; — полез-
ность системы, в которой произошел случайный отказ (ф_=0).
В системах с «горячим резервом», т. е. могущих в случае от-
каза каких-либо элементов переходить на резервные элементы без
S1 115
срыва цикла функционирования, под Ф надо понимать среднее
время наработки до момента, когда отказал и резервируемый
элемент. При этом под надо понимать время приведения в нор-
мальное состояние и основного, и резервного элемента.
Многие сложные системы отличаются многоканальностью. В
таких системах выход из строя одного из параллельно работаю-
щих устройств или каналов не приводит к прекращению функцио-
нирования, а сопровождается только снижением характеристик.
Если система может находиться в п работоспособных состоя-
ниях, характеризующихся полезностями фг и средним временем
наработки в каждом состоянии tlt то средняя полезность ф систе-
мы будет выражаться следующим образом:
(3.59)
Здесь /рз —время полного восстановления системы после момен-
та, когда в результате очередного отказа ее полезность упала до
нуля.
Время восстановления частично или полностью отказавшей си-
стемы слагается из нескольких составляющих: времени установ-
ления «диагноза» (отыскание места и существа неисправности),
времени подготовки к ремонту, времени собственно восстановле-
ния системы. Обычно первые две составляющие вносят существен-
ный вклад в общее время восстановления. Поэтому если отказ,
вызывающий лишь снижение надежности (не падение ее до нуля),
не может привести далее к развитию катастрофических процессов
разрушения системы, то иногда средняя надежность системы ока-
жется выше, если восстанавливать ее только после полного вы-
хода из строя, а не после отказа первого же из параллельно ра-
ботающих устройств (если, конечно, для любого ремонта систему
надо останавливать).
В теории и практике исследования надежности систем широко
используется гипотеза об экспоненциальном законе распределе-
ния случайных отказов технического оборудования и элементов.
Главное свойство экспоненциального распределения состоит в том,
что если устройство еще не отказало к моменту времени t, то рас-
пределение его времени безотказной работы будет таким же, как
если бы в этот момент времени начало использоваться совершен-
но новое устройство [61]. Экспоненциальное распределение
является единственным распределением, обладающим подобным
свойством.
Из указанного свойства экспоненциального распределения не-
посредственно вытекает выражение для среднего времени t без-
отказной работы системы, состоящей из пй первоначально исправ-
ив
11 элементов и сохраняющей работоспособность, пока не отка-
। к> не более т элементов [60]:
т
Т^ТУ________
<• — t-a z_<
(3.60)
• к<ь t0 — среднее время наработки до отказа первого элемента.
Но выход из строя параллельно работающих элементов не
<и юется бесследным: он неизбежно приводит к снижению полез-
ности системы. Зависимость полезности от числа параллельно
работающих элементов может носить различный характер. Так,
। тя радиолокатора с передатчиком, состоящим из ряда идентич-
ных модулей, зависимость полезности от числа работающих mo-
п.пей будет иметь вид п1/4, если мощность всех модулей объеди-
няется в волноводах и затем подводится к общей антенне. Если
же каждый модуль работает на свой излучатель передающей ан-
юнной решетки, то полезность такого радиолокатора будет про-
порциональна га1/2.
Рассмотрим более подробно случай, когда система имеет п0
параллельно работающих одинаковых элементов с экспоненциаль-
ным законом распределения случайных отказов, причем полез-
ность ф системы пропорциональна пг, где г — показатель степени,
больший нуля. Допустим, что система останавливается для вос-
становления отказавших элементов только после того, как вышло
из строя т элементов. Используя формулы (3.59) и (3.60), можно
выразить среднюю полезность системы при таком режиме, экс-
плуатации следующим образом:
Здесь tps -—среднее время восстановления всех т вышедших из
строя элементов. Учитывая сделанные выше замечания относи-
тельно значительного вклада в величину ^рз подготовительных
к ремонту работ, а также возможность одновременного восстанов-
ления нескольких неисправных элементов, будем считать, что /р3
не зависит от т. Введем обозначение ^р3/ф-=а.
В зависимости от величины а, г и п0 изменение средней по-
лезности ip с изменением допускаемого числа т вышедших из
строя элементов может носить различный характер. Ясно, что если
/р3 <Zo, а снижение полезности при выходе из строя элементов
происходит резко (г>1), то выгодно после первого же отказа
остановить систему, ликвидировать неисправность и снова вклю-
чить систему в работу с полностью исправными всеми элемента-
ми При такой ситуации ф будет монотонно убывающей функцией
117
т. Если же tp% составляет заметную долю t0, а уменьшение по-
лезности по мере убывания числа функционирующих элементов
происходит медленно (г<1), то может оказаться выгодным не
прерывать излишне часто работу системы для ее ремонта, а до-
ждаться, пока из строя выйдет некоторое число элементов, и толь-
ко после этого остановить систему для ремонта. Но и в такой си-
стеме при большом т средняя полезность будет падать. Следова-
тельно, в системах данного типа величина средней полезности
должна иметь максимум при некотором тор(.
Для более отчетливого представления указанных зависимостей,
воспользуемся тем, что обычно допустимое число неисправных
элементов т много меньше общего их числа па. Тогда формулу
(3.61) можно привести к следующему приближенному виду:
1)2/п,
1 + (а-п^т) 4- (т — 1)/2п0
Дифференцируя (3.62) по т и приравнивая производную ну-
лю, находим оптимальное значение znopt, при котором средняя
полезность ф достигает максимума:
®opt — — а^о (г — 1)/г + [(ал0/г)2 (г—I)2 Ч- а/г0 (2/г0 Д г—I)//-]1'2. (3.63)
Для практики представляет интерес еще одна величина: зна-
чение числа неисправных элементов тдоп, при котором средняя
полезность системы ф оказывается такой же величины, как и при
остановке системы для ремонта после выхода из строя первого же
из По имеющихся элементов. Величину тлоп можно найти из со-
отношения
I + аи0=[14-(тдоп—1)/2/г04-аип//ндоп]'[1--(г—1)(нгдоп—1)/2и0]. (3.64)
Проиллюстрируем найденные зависимости численными приме-
рами.
Пример 3.9. Требуется найги зависимость средней полезности радиолопгто-
ра от характеристик надежности передающего устройства, представляющего ряд
параллельно работающих одинаковых модулей. Мощности модулей складывают-
ся в волноводах. Известно, что одним из частных критериев полезности радио-
локатора, входящим множителем в формулу полезности, является дальность
действия. Радиолокатор работает в дециметровом диапазоне волн, так что по-
терями энергии СВЧ в атмосфере можно пренебречь.
Из формулы радиолокации известно, что при прочих равных условиях даль-
ность действия радиолокатора пропорциональна корню 4-й степени из мощности
передающего устройства. При надлежащем фазировании модулей можно счи-
тать, что общая мощность пропорциональна числу функционирующих модулей.
Отсюда делаем вывод, что показатель степени г, входящий в приведенные выше
формулы, равен 1/4.
Произведем расчет зависимости полезности от процента отказавших эле-
ментов, предполагая, что полное число передающих модулей п0—100, а отно-
шение среднего времени ремонта foS к среднему времени t0 исправной работы
118
i!i\ модулей а== 5-10 ~2, что соответствует коэффициенту полной готовности
примерно 0,95. При указанных численных данных с помощью формулы (3.62)
«нано вычислить зависимость средней полезности ф от числа т отказавших
о тулей. Эта зависимость изображена на рис. 3.9,а- Для большей наглядности
но вертикальной оси отложены дополнения полезности до единицы.
На графиках рис. 3.9,6 изображена зависимость полезности от числа от-
' । ;авших до начала ремонта элементов при нескольких значениях коэффициента
ч Из графиков видно, чго с ухудшением надежности системы (с возраста-
нием а) оптимальное значение то^ смещается в сторону больших значений.
Иожно заметить также, что при а=0,001 оптимальное значение mopt равно 1.
ho значит, что при малом отношении времени ремонта к времени наработки
(о первого отказа выгодно производить восстановление после отказа первого же
шемента.
На графиках рис. 3.9,в изображена зависимость оптимального числа niopt
отказавших до ремонта модулей от коэффициента а. Параметром семейства
кривых является полное число элементов в системе пй. Из графиков видно, что
в процентном отношении величина m t незначительна, особенно при больших
/г0. Так, при Ш--100С и а = 0,05 оптимальное число отказавших до ремонта эле-
ментов Щ opt =20, что составляет всего 2% от полного числа элементов. Однако
влияние оптимального режима эксплуатации на среднюю полезность системы
вполне ощутимо. Для демонстрации этого на том же рисунке для Ло=1ОО по-
казан выигрыш, который может быть достигнут при ориентации на эксплуа-
тацию с m = mOpt-B качестве меры выигрыша принята величина-!—ДДМ* . Здесь
1 Фтах/Фо
Рис. 3.9
119
'i’l/'ipo представляет собой относительную среднюю полезность системы, подвер-
гающейся ремонту каждый раз, когда из строя выйдет хотя бы один модуль;
фшах/фо— относительная величина максимальной полезности, соответствующей
лг = «оР(-
На рис. 3.10,в приведена зависимость оптимального числа отказав-
ших до ремонта элементов от полного числа элементов. В качестве параметра
кривых здесь принят коэффициент а.
Из рис. 3.9,а и формулы (3.64) видно, что при некотором «=идоп средняя
полезность системы будет такой же, какой она была в режиме ремонта m=l.
С практических позиций режим Л»=идоп явно более предпочтителен. Действи-
тельно, остановка системы для ремонта всегда нежелательна, особенно когда
она предписывается строгим условием или m — потому что может
оказаться, что как раз в это время функционирование системы крайне необ-
ходимо. График рис. 3.9,я показывает, что в системах с параллельной работой
большого числа элементов можно довольно свободно выбирать момент останов-
ки системы для ремонта без существенного проигрыша в средней полезности.
При этом переход от режима т — 1 к режиму m = означает возрастание
интервалов времени между ремонтами приблизительно в тдопраз. На рис. 3.10,6
показана зависимость m от общего числа элементов п0.
В заключение отметим, что все приведенные графики относились к сзучаю,
когда полезность снижается как корень 4-й степени числа работающих эле-
ментов. При другой зависимости полезности от доли работающих элементов
общие закономерности сохранятся, хотя вид кривых изменится.
Пример 3.10. Требуется определить среднюю полезность системы навига-
ционных ИСЗ. Полностью функционирующая система состоит из 4 спутников
(рис. 3.11). Если через какое-то время t после введения системы в эксплуата-
цию один из ИСЗ выходит из строя, то спустя время определяемое условия-
ми вывода ИСЗ на требуемую орбиту и готовностью к запуску ракеты с оче-
редным навигационным спутником, де.фект системы ликвидируется. При отсут-
ствии в системе одного функционирующего ИСЗ из четырех ее полезность сни-
жается с фо до Фз",- Ситуацию, когда в системе работает два и менее ИСЗ, мы
учитывать не будем как маловероятную.
120
Хотя запущенный ИСЗ не может быть отремонтирован, рассматриваемая
'система должна быть отнесена к системам многоразового действия. Это выте-
кает из самого определения систем данного класса: система ИСЗ и каждый
спутник этой системы многократно выполняют свои функции, состоящие в вы-
даче морским судам информации для определения своего местоположения. По-
этому среднюю потезность системы тр можно определить соотношением
_ t Т
ф = -yrr + -rh~~ &65)
t И- 4 t + / р
Величину мы будем считать постоянной. Что же касается времени t ис-
правной. работы всех четырех ИСЗ системы, то эту величину следует рассмат-
ривать как случайную,
Если случайной является величина t, то случайной будет и ф. Если бы нам
была известна плотность распределения вероятностей р(ф) для ф, то матема-
тическое ожидание полезности можно было бы найти по известному соотно-
шенью
__
ф = ф/>(ф)б(ф.
о
Плотности вероятностей p(f) и р(ф) должны удовлетворять условию
р (t) dt = р (ф)
Производя подстановку с соответствующей заменой пределов интегрирования
it предполагая, что вероятность р(/) безотказной работы ИСЗ подчинена экс-
поненциальному закону распределения случайных отказов, получаем следующее
выражение для средней полезности системы:
ф-^У^,.±Мз/4йехр
о t4" 4
(3.66)
Здесь а — интенсивность отказов системы из четырех ИСЗ.
121
Интеграл (3,66) распадается на два, из которых первый легко вычисляется:
= — (' а ехр (— к/) ,,
— — <Ы Г~7 dt-
о 1 т 1В
Второй интеграл может быть представлен через интегральную паказательпую
функцию [62];
С ехР./т_к^ __ [ехр (а^)| Ei (-а7р).
о * +
Интегральная показательная функция Ei выражается асимптотически следую-
щим образом:
— — v, (— otfp)A
Ei (- Ц,) = С + In Ю + 2 -~г •
Используя приведенные соотношения для нашего случая, когда
можно удержать в степенном ряду только первый член. В итоге получаем сле-
дующее выражение:
У= ф0 — (<р0 — ф3/4) а7р [а^ — In — С] ехр (^р). (3.67)
Здесь С=0,577 — постоянная Эйлера.
Графики среднего значения полезности системы в зависимости от парамет-
ра изображены на рис. 3.11,6 для двух случаев: Фзу4=О и ф3/4=0,5. Можно
показать, что второй случай ближе к истинной полезности неполностью уком-
плектованной системы.
Перейдем теперь к рассмотрению связи между полезностью
системы одноразового действия и частным критерием, характери-
зующим ее надежность. Под системой одноразового действия бу-
дем понимать такую систему, каждый экземпляр которой выпол-
няет свою функцию один единственный раз, после чего прекра-
щает существование.
Типичными представителями систем одноразового действия мо-
гут служить управляемые или баллистические ракеты, а также
автоматические космические аппараты, посылаемые к другим пла-
нетам. Общепринятым критерием надежности подобных систем
является вероятность безотказной работы за время своего единст-
венного цикла функционирования. При единичном использовании
системы вероятность р0 безотказной работы не может вводиться
множителем в функцию полезности, так как подобное перемно-
жение дает величину математического ожидания полезности, не
имеющего смысла при однократном процессе. Введение ра в ка-
честве множителя в функцию полезности может привести к логи-
чески неоправданной компенсации недостатка в надежности из-
бытком в значениях других критериев полезности. Рассмотрим, на-
122
пример, два проекта автоматического космического аппарата,
предназначенного для мягкой посадки на Марс, исследования по-
верхности планеты и грунта на некоторой площади и передачи
информации по радиолинии на Землю. Проекты одинаковы по
иеем частным критериям полезности, кроме двух, указанных ниже:
Номер Расчетная пло- Вероятность безотказной
проема пиль обследо- работы (включая полет
вапня 5, ьч- и посадку,), ра
S 10000 0.5
2 2000 0,999
«'Математическое ожидание» обследованной площади для про-
екта 1 равно 5000 км2, а для проекта 2 лишь 1998 км2. Аппарат
посылается на другую планету для обследования ее поверхности,
н поэтому полезность должна быть пропорциональна величине
этой поверхности. По отдавать предпочтение проекту 1 перед про-
ектом 2 в связи с тем, что Sp« для проекта 1 больше, чем для про-
екта 2, явно неразумно. Гораздо справедливее такой вывод: аппа-
рат. выполненный по проекту 2, будет иметь высокую полезность,
так как позволит обследовать 2000 км2 поверхности Марса; аппа-
рат же, выполненный по проекту 1, будет, скорее всего, запущен
впустую, так как выйдет из строя, не дав никакой информации о
планете.
Для систем одноразового действия достаточно высокая веро-
ятность безотказной работы должна выступать в качестве огра-
ничительного условия. Другими словами, к конкурсу могут допу-
скаться лишь те альтернативы, которые удовлетворяют требова-
ниям вероятности безотказной работы.
Вопрос о том, как установить требуемую и достаточную веро-
ятность безотказной работы, является самостоятельным и не от-
носится к нашей теме.
Только при массовом применении системы одноразового дей-
ствия вероятность безотказной работы может рассматриваться
как частный критерий полезности.
Например, если военно-трапспортпый самолет вооружён не-
большими ракетами с тепловыми головками самонаведения в до-
статочном количестве для защиты от вражеской авиации, то вве-
дение в формулу полезности частного критерия — вероятности без-
отказной работы ро одной ракеты — может приобрести отчетливое
логическое толкование. Допустим, что разработаны два варианта
вооружения воснно-транспортпых самолетов, совпадающие по всем
частным критериям полезности, кроме двух: величине исходного
боекомплекта п0 и вероятности безотказной работы одной ракеты
Ро- Ниже приведены сравнительные оценки проектов.
Даже при пессимистической оценке ясно, что полезность пер-
вого варианта выше, чем второго.
123
Характеристика
Вариакл f
Вариаш 2
Величина боекомплекта п0 Вероятность безотказной работы для одной 50 20
ракеты Ро Математическое ожидание числа успешных 0," 0,9
отражений атаки п 35 >8
Среднеквадратическое отклонение о 3,2 1,3
п—Зо 25,4 14 1
Чем меньше массовость применения средств одноразового дей-
ствия, тем с большей осторожностью надо подходить к представ-
ленному выше приему.
Класс технических систем, которые с позиций определения их
полезности можно отнести к системам одноразового действия,
шире, чем класс собственно систем одноразового действия. Это
расширение происходит за счет технических систем непосредствен-
ного обслуживания людей, если отказ может привести к их гибе-
ли. Оперирование понятиями среднего числа обслуженных людей
и среднего числа погибших людей допустимо в планировании во-
енных операций, в медицине, но не в технике.
Рассмотрим, например, пассажирский самолет. Цикл его функ-
ционирования заключается в выполнении одного рейса. Так как
самолет совершает за срок своей службы много рейсов, то в не-
посредственном толковании его следует отнести к системам мно-
горазового действия. Но при определении полезности самолет дол-
жен рассматриваться как система одноразового действия. Для
пояснения этого допустим, что разработаны два проекта межкон-
тинентального авиалайнера, совпадающие по всем частным кри-
териям полезности, кроме двух: вместимости нэ и вероятности
безаварийного перелета на максимальную дальность ро. Коли
чественные данные приведены ниже.
X ар ак1ср ист ик а Вариант 1 Вариант 2
Вместимость пй 300 100
Вероятность безаварийного перелета ра «Среднее» число перевезенных пассажиров 0,8 0,999
за рейс пар0 240 99,9
Вероятность катастрофы за 20 рейсов 0,989 0,02
Из приведенных данных без дополнительных пояснений ясна
не только предпочтительность второго варианта, но и полная не-
приемлемость первого.
Надежность систем, обслуживающих людей, если отказ нс
грозит катастрофой, может рассматриваться как один из обычных
частных критериев с введением его в аналитическое выражение
для полезности по методам, намеченным в первой части настоя-
щего параграфа. Так, надежность тормозов и рулевого управле-
ния автобуса должны входить в разряд ограничительных усло-
124
ний. Надежность же двигателя и приборов освещения может рас-
сматриваться как один из обычных частных критериев полезно-
сти.
3.6. АНАЛИЗ СУЩНОСТИ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ
Описанные в предыдущих параграфах этой главы методы во
многих случаях позволяют найти аналитическую зависимость по-
лезности от частных критериев. Но при анализе некоторых систем
этими методами не удается охватить все частные критерии полез-
ности. Наиболее универсальный подход заключается в непосред-
ственном изучении сущности функционирования системы и выяв-
лении роли каждого частного критерия в создаваемом при этом
полезном эффекте.
При составлении перечня частных критериев обычно не воз-
никает особых трудностей. Опытный специалист, хорошо знакомый,
с системами данного класса, уверенно выделяет из значимых пара-
метров те, которые могут иметь существенное значение при срав-
нении альтернатив, и относит их к категории критериев. Трудности
могут возникнуть на этапе, когда надо определить, как эти кри-
терии влияют на полезность системы. Здесь важно неуклонно ру-
ководствоваться следующим принципом: если данный значимый
параметр может сказаться на предпочтительности альтернативы,
то он обязательно связан объективно существующей зависимостью
либо с полезностью, либо с платой за полезность, потому что эти
два обобщенных критерия необходимы и достаточны для выявле-
ния предпочтительности.
Если искомые зависимости не удается установить, оставаясь-
в рамках данной системы, то полезно выйти за ее пределы и изу-
чить взаимодействие системы с «окружением». Значительную по-
мощь может оказать также анализ способов выполнения задан-
ных функций при лишении системы тех или иных возможностей
или при ее бездействии.
Рассмотрим, например, аппаратуру автоматической регистра-
ции, используемую для записи характеристик некоторой сложной
системы во время ее испытаний. Назначение аппаратуры автома-
тической регистрации (ААР) заключается в записи на магнитную'
ленту в цифровой форме многих переменных величин, измеряемых
обслуживаемой системой. Запись должна проводиться в реальном
времени. Кроме того, ААР с помощью входящего в ее состав спец-
вычислителя оперативно выдает простейшие статистические ха-
рактеристики измеряемых переменных величин. Пусть в одном из
двух представленных проектов ААР предусмотрен графопострои-
тель, а в остальном оба проекта сулят примерно одинаковые воз-
можности.
В качественном отношении ясно, что наличие графопостроите-
ля позволит в ходе испытания или сразу по его завершении на-
125.
глядно представить себе полученные результаты и в первом Цри-
ближении оценить, успешно ли прошло данное испытание. Значит,
графопостроитель каким-то образом повышает полезность ААР.
Но как перейти от этого заключения к функциональной аналити-
ческой связи графопостроителя с полезностью ААР?
В таких случаях надо сравнить порядок и содержание дейст-
вий при использовании каждого из конкурирующих вариантов.
В данном случае это выглядит так. При использовании ААР без
графопостроителя магнитная лента после завершения данного
испытания должна быть передана на ЭВМ, в которую введена
заранее подготовленная программа обработки результатов изме-
рений. ЭВМ обработает данные и выдаст нужные оценки в виде
распечаток и графиков. По ним можно будет вынести суждение
о результатах данного испытания и на основании этого решить,
проводить ли следующее по программе испытание, провести ли
повторно то же испытание или сделать необходимые доработки
•системы до очередного испытания. От момента окончания прове-
денного испытания и до момента, когда стало возможным принять
•одно из указанных решений, прошло некоторое время z.
При использовании ААР с графопостроителем решение о том,
как планировать следующее испытание системы, можно будет
принять прямо на месте по результатам анализа графиков, опе-
ративно выданных ААР. Затраченное время на выработку реше-
ния составит теперь tr. Можно полагать, что tr<t. Не исключено,
что не при всех видах испытаний ААР позволит принять решение,
не дожидаясь результатов обработки магнитной ленты на ЭВМ,
но в среднем соотношение tr<t будет выполняться. В этом, по
•сути дела, и состоит влияние графопостроителя на полезность
ААР. Действительно, испытание сложных систем требует больших
затрат, и ускорение испытаний означает всегда большую и разно-
стороннюю экономию. Можно считать, что экономия времени на
проведение испытаний системы является одним из основных по-
казателей полезности ААР.
Дальнейшие действия уже достаточно ясны. Оценив среднюю
продолжительность tn одного испытания с учетом времени на его
подготовку после принятия решения, мы можем утверждать, что
полезность ААР с графопостроителем будет пропорциональна ве-
личине 1/(4 + 4) а для ААР без него — величине 1/4+4)-
Имеется немало систем, в которых входная информация по-
следовательно проходит проверку на наличие в ней одного из не-
скольких признаков; успешность выполнения функции системы за-
висит от вероятности того, что хотя бы один из признаков вы-
явлен. К системам этого вида относятся автоматы выходного кон-
троля серийной продукции, проверяющие наличие бракованных
изделий по нескольким признакам. Рассмотрим, например, авто-
мат, проверяющий платы электронной аппаратуры с помощью
126
ппух тестов (набора входных сигналов). Вероятность выявления
<>1>ака в монтаже или в комплектующих изделиях платы первым
п егом равна pi, вторым тестом — р2.
Функциональное назначение контрольного автомата указыва-
< I, что параметры Pi и р2 являются частными критериями его
полезности. Применяя метод варьирования, можно убедиться, что
при обращении одного из частных критериев в нуль автомат не
। । ановится бесполезным, поскольку и один работающий тест бу-
дет производить отбраковку, хотя и не так успешно, как оба. Ка-
шлось бы, такая зависимость полезности от частных критериев
। оворит о том, что они должны входить в формулу полезности
аддитивно. Но такой вывод в данном случае не совсем верен.
! .ели вероятности выявления брака каждым из тестов взаимно
независимы, то полезность контрольного автомата будет пропор-
циональна величине
Pl + Р2 —PiPl-
Особую трудность могут вызывать эргономические частные кри-
терии полезности [63]. Рассмотрим, например, вопрос об удоб-
стве расположения рабочих рукояток па пульте управления неко-
торой системой. Очевидно, что эта характеристика влияет каким-то
образом на полезность пульта и даже всей системы. Поэтому
удобство расположения органов управления является частным
критерием полезности. Найти необходимую аналитическую связь
здесь можно через вероятность ошибочных действий, через ухуд-
шение общего временного баланса из-за затрат времени на приве-
дение в действие того или иного органа управления. Правда, по-
лучить необходимые статистические характеристики не всегда
просто, особенно на этапе проектирования. По труд на получение
таких характеристик всегда окупится: они важны не столько для'
вычисления функции полезности, сколько для создания системы
высокого качества.
Каждая система тем пли иным образом взаимодействует с
окружающей средой. Для отыскания функции полезности часто
приходится принимать определенные гипотезы о состоянии внеш-
ней среды. Здесь пет необходимости рассматривать все действи-
тельное многообразие возможных состояний, важно только, чтобы
принятая одна гипотеза была типовой и правдоподобной и чтобы
она в строго неизменном ви^е прилагалась ко всем альтернати-
вам. Поясним это положение примером.
Пример 3.11. Требуется найти выражение для функции полезности радио-
телескопа для выбора предпочтительного проекта этого прибора.
Опуская для краткости предварительные этапы, приведем сразу формули-
ровку полезности радиотелескопа. Полезность радиотелескопа измеряется сред-
ним числом потенциально доступных обнаружению и изучению небесных тел it
127’
образований, являющихся источником радиоизлучения, за заданное время, на-
пример за сутки. Чем более слабый сигнал способен принять радиотелескоп, тем
более удаленные объекты могут быть обнаружены и, следовательно, тем больше
общее доступное изучению их число. Минимальная мощность Рт-1а принимае-
мого сигнала зависит от чувствительности приемного устройства и эффектив-
ной площади поглощения приемной антенны А. Различные космические объек-
ты дают максимум радиоизлучения на различных частотах в зависимости от
температуры объекта. Поэтому чем больший диапазон несущих частот способно
перекрыть антенно-приемное устройство, тем большее число объектов может
быть обнаружено и изучено.
Будем исходить из простейшей гипотезы: объекты радиоизлучения равно-
мерно распределены в пространстве, по мощности излучения и по диапазону
несущих частот.
В сферическом слое радиусом R и толщиной dR число объектов радиоиз-
лучения будет пропорционально объему этого слоя, т. е. величине 4nRsdR. Так
как минимальная мощность источника радиоизлучения №ш;п, сигнал которого
может быть принят на расстоянии R, равна IFmin = kwR\ где k&—'размерный
коэффициент, то из указанного сферического слоя пространства могут быть при-
няты сигналы всех источников с мощностью излучения от W\nin до максималь-
ного значения ®тах- Общее же число N. источников, доступных прие^му радио-
J
телескопом, будет пропорционально величине
Nf~ J W(Wma^kwR^dR, (3.68)
О
где верхний предел интегрирования определяется из условия
(3.69)
После подстановки J? тах в (3.6В) и интегрирования получаем
^~(8^х)/(15^). (3.70)
Коэффициент определяется из простых соотношений:
п ____ д. 1VZ _____ ^R^Psaln ____ i г>2. Ь ____
y min— „ wmin— —, Kw —
4-к/с А А
В радиотелескопах применяются антенны диаметром D до 76 м [64]. При
таких больших размерах точность изготовления рефлектора уже может заметно
сказываться на эффективной площади поглощения, особенно для коротких волн.
Зависимость между эффективной площадью поглощения антенны А и ее гео-
метрической площадью раскрыва S определяется соотношением [64]
A=0,6Sexp [—(4rt(zD/k)2] = 0,6Sexp [—(4т:аО//с)2], (3.71)
где 3 = л02/4. С учетом сказанного выражение (3.70) приобретает вид
Nf ~~ (1/15KV2) (Q,QS/Pmia)^ еХр [- (^aDflcn (3.72)
Здесь f — несущая частота, с — скорость света.
Относительный допуск на точность профиля рефлектора лежит в пределах а—
= (2-г-5) • 10 4. В лучших радиотелескопах достигнуто а = 5-10~5.
JL28
стремление получить максимальную угловую разрешающую способность и
о шснмальную площадь поглощения привело к созданию антенн радиотелеско-
IBIII, состоящих из ряда отдельных конструкций, которые синхронно наводятся
• и тящими приводами. Сигналы с отдельных антенн могут фазироваться по
in.li окон частоте и уже после их суммирования поступать во входной малошумя-
ЧИП1 усилитель приемника. Составные антенны радиотелескопов имеют огромные
пнощади раскрыва, до 40 000 м2 [64].
Па рис. 3.12 изображена упрощенная схема объединения нескольких пово-
1>пипк антенн в единую радиоастрономическую систему. Фазовращатели <р,
включенные в линию СВЧ от каждой антенны к сумматору 2, могут давать
некоторую ошибку со среднеквадратическим значением Это приведет к то-
му, что эффективная площадь поглощения всей системы будет равна [65]
Д = пА(1-ар, (3.73)
«де А,-—площадь поглощения одной антенны с геометрической площадью SP
Для составной антенной системы из п отдельных управляемых конструк-
ций выражение (3.72) примет вид
Л7~(1/15к'/2) [0,6/iSr (1 - ap/Pmin]3/2 ехр[-(4ка£)//с)3]. (3.74)
Радиотелескопы работают в огромном диапазоне радиоволн, простирающем-
ся от волны длиной 5 мм до волны в 20 м, что составляет И октав. Конечно,
одним радиотелескопом перекрыть весь этот огромный диапазон невозможно.
Однако чем больший диапазон несущих частот перекрывает данный радиотеле-
скоп, тем большее число объектов он может исследовать. При гипотезе равно-
мерного распределения источников радиоизлучения по частотам общее число
доступных наблюдению объектов будет пропорционально Nf (/max — /min)- Как
видно из (3.74), величина N? будет различна для разных частот. Для прибли-
женных оценок можно ввести в эту формулу среднюю частоту f из рабочего
диапазона/max—/mln и среднее значение ошибки фазирования о,а. Число объек-
тов, доступных наблюдению в течение суток, будет зависеть также от угла а
прокачки оптической оси радиотелескопа в меридиональной плоскости.
По определению полезность радиотелескопа должна быть пропорциональна
А^(/шах—/min)®. При написании формулы полезности в явном виде нет не-
Рис. 3.12
9—! 051
129
обходимости оставлять в ней величины, являющиеся характеристиками окру-
жающей срецы или постоянными параметрами. В итоге получаем следующее*
выражение
Ф ~ (1 — o^/^min]3'2 (/max—/mln)а exp [ — (4naDflc)z]. (3.75>
Глава 4
НЕМЕТРИЧЕСКИЕ ЧАСТНЫЕ КРИТЕРИИ ПОЛЕЗНОСТИ
4.1. ОСОБЕННОСТЬ НЕМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ
Среди важных характеристик технических систем, которые не-
обходимо отнести к категории частных критериев полезности,
встречаются такие, которые обычно выражаются лишь в качест-
венной форме. Подобные критерии мы будем называть неметри-
ческими. Чаще всего неметрические характеристики отражают
эстетические или мнемонические свойства систем [5, 63J -
Предположим, что требуется выбрать один из трех представ-
ленных проектов самолетного радиоальтиметра. Приборы имеют
сходные конструкции и характеристики, за исключением индика-
торов высоты, устанавливаемых на приборном щитке пилота. Вид
индикаторов для каждого из трех проектов альтиметра представ-
лен на рис. 4.1. Индикатор первого проекта представляет собой
круглый циферблат с дву-
мя вращающимися стрел-
ками, одна из которых
указывает сотни метров,
а вторая — десятки и еди-
ницы метров. Во вто-
ром проекте предлагает-
ся цифровой десятичный
индикатор, в котором ци-
фры нанесены на враща-
ющиеся барабанчики, и
отсчет производится не-
посредственно по индици-
руемому трехзначному
числу в метрах высоты.
В третьем проекте пред-
лагается индикатор в ви-
де двух вертикальных
шкал, вдоль которых пе-
130
реигщаются указатели в виде стилизованного силуэта самолета.
Левая шкала дает сотни метров, правая — десятки и единицы мет-
ров. Для самолетного альтиметра, используемого при посадке са-
молета, наглядность индикатора высоты имеет чрезвычайно важное
шачеяие и поэтому должна быть отнесена к категории частных
критериев полезности. И действительно, глядя на рис. 4.1, сразу
приходишь к выводу, что индикаторы имеют различную нагляд-
ность.
Но для введения неметрического частного критерия в функцию
полезности его необходимо представить в количественном виде.
Иначе говоря, неметрический критерий должен характеризоваться
числом, которое возрастает при улучшении данного критерия и
^обращается в нуль, если критерий имеет столь низкое качество,
что сводит на нет полезность всей системы. При этом численное
представление неметрического критерия не должно быть субъек-
Iявным. Как же совершить переход от неметрического критерия
к характеризующему этот критерий числу?
Некоторым неметрическим критериям принципиально можно
дать объективную количественную оценку. Например, если полез-
ность самолетного альтиметра выражается математическим ожи-
данием числа посадок самолета, укладывающихся в установлен-
ные нормативы точности приземления, то на эту характеристику
будет оказывать непосредственное влияние мнемоническое совер-
шенство индикатора альтиметра. Проведя физическое моделиро-
вание на тренажере с участием ряда пилотов и с разными индика-
торами, можно количественно оцепить, как изменяется математи-
ческое ожидание числа посадок, удовлетворяющих нормативам,
в зависимости от мнемонического совершенства индикатора. Но
такой метод очень трудоемок, а на стадиях проектирования вооб-
ще нереализуем.
В общем случае для количественного представления неметри-
ческих критериев предлагается использовать экспертные оценки.
Главная причина такого предложения состоит в том, что другой
общий метод превращения неметрических критериев в числа про-
сто неизвестен.
Согласившись с тем, что неметрические характеристики си-
стемы могут быть частными критериями полезности; признав, что
для введения неметрического критерия в функцию полезности в
виде некоторого числа необходимо привлечение экспертных оце-
нок; убедившись, что при правильной организации экспертизы
такие оценки приемлемо отображают свойства системы, можно
поставить следующий вопрос: не становится ли в результате этого
метод функции полезности эквивалентен методу экспертных оце-
нок? Иначе говоря, не проще ли вместо сложных операций по фор-
мированию функции полезности произвести выбор системы путем
проведения экспертизы?
9* 131
На эти вопросы можно с уверенностью дать отрицательный
ответ. Привлечение экспертов для количественной оценки частного
неметрического критерия далеко не то же самое, что выбор пред-
почтительной системы в целом методом экспертизы. В основу это-
го утверждения положены следующие соображения:
1) в числе частных критериев полезности технической системы
редко встречается более одного неметрического критерия (а во
многих случаях неметрический критерий вообще отсутствует); та-
ким образом, из ряда частных критериев только один не будет
иметь строгого количественного основания; специальное преобразо-
вание экспертных оценок неметрических критериев, о котором пой-
дет речь дальше в этом параграфе, позволяет дополнительно сгла-
дить погрешности экспертных оценок, если из-за неотчетливости
неметрического критерия такие погрешности возникли;
2) если бы эксперт должен был произвести выбор техническо-
го устройства из нескольких альтернатив, то ему неизбежно при-
шлось бы: а) дать количественные оценки ряду критериев, что-
сопровождалось бы увеличением общей погрешности; б) произве-
сти интуитивно композицию выбранных частных критериев, снаб-
див каждый из них весовым коэффициентом; в) сравнить компо-
зиции и выбрать предпочтительную. В такой сложной логической,
задаче, решаемой целиком интуитивно, возможность ошибки не-
избежно больше, чем при оценке единственного неметрического-
критерия.
Перейдем теперь к вопросу о том, в каком виде должна вхо-
дить в функцию полезности количественная оценка неметрическо-
го критерия.
Обозначим через х балльную (или процентную) оценку немет-
рического частного критерия и через Q — функцию от х, которая
входит в виде множителя в аналитическое выражение полезно-
сти. Нам известны значения Q(x) только для двух величин аргу-
мента:
при «идеальном» неметрическом критерии (оценка равна 5 бал-
лам по пятибалльной шкале или 100% по процентной шкало)
величина Q должна быть равна 1;
при совершенно неудовлетворительном неметрическом крите-
рии (оценка равна 1 по пятибалльной шкале или 0 по процентной
шкале) техническая система становится бесполезной независимо-
от количественных значений других критериев, и, следовательно,
Q должна быть равна 0.
Помимо этого нам известно, что Q должна представлять собой
монотонную функцию х.
Для того чтобы выбрать рациональный вид функции Q(x),
удобно привлечь понятие размытых множеств [66].
Будем рассматривать экспертную оценку неметрического кри-
терия как объект некоторого размытого множества А. Фактически
132
объектами множества являются сами критерии, но их единствен-
ными представителями выступают экспертные оценки этих Кри-
ге риев в количественной форме. Поэтому вместо неметрических
критериев мы рассматриваем их экспертные оценки. Тогда Q мож-
но отождествить с функцией принадлежности объекта х к размы-
тому множеству А. Другими словами, в такой трактовке Q ука-
чивает на степень принадлежности системы с частным неметриче-
ским критерием, получившим экспертную оценку х, к системам с
наивысшим уровнем этого частного критерия (Л).
Если неметрический критерий получил экспертную оценку 90%,
то ясно, что функция принадлежности к множеству А должна быть
очень близка к 1. Можно полагать, что и при оценке 80% такое
положение сохранится. Но какова будет величина функции при-
надлежности к множеству А, если экспертная оценка составляет
50% ? Для ответа на этот вопрос надо иметь аналитическое вы-
ражение для функции принадлежности Q(x). С этой целью про-
ведем следующие рассуждения.
1. Свойство технической системы, отображаемое неметриче-
ским частным критерием полезности, хотя и является важным (по-
этому оно и попало в категорию критериев), но все же не может
рассматриваться как решающее при выборе предпочтительной си-
стемы. Если бы это свойство было решающим, то в требованиях
к системе оно получило бы соответствующее количественное вы-
ражение. И действительно, из практики известно, что некоторые
свойства, задаваемые обычно лишь в качественной форме, иногда,
когда это имеет особо важное значение, получают в технических
требованиях к системе количественное выражение. Так, к мнемо-
ническим свойствам индикатора обычно формулируют требование
в следующей форме: «Индикатор должен позволять отчетливо и
без затруднений производить считывание отображаемой инфор-
мации». Но если мнемоническое совершенство индикатора имеет
в данной системе решающее значение, то то же требование может
быть сформулировано иначе: «Индикатор должен отображать ин-
формацию в таком виде, чтобы оператор после получасовой тре-
нировки мог производить считывание за время не более 5 с при
математическом ожидании числа безошибочных считываний не
менее 95% от общего числа попыток». Доминирование других
частных критериев над неметрическим частным критерием долж-
но быть учтено при выборе функции принадлежности.
2. Над функцией полезности, как и над любым обобщенным
критерием в многокритериальных задачах, может тяготеть «про-
клятие взаимной компенсации» частных критериев. Иначе говоря,
при оперировании обобщенным критерием ущербные свойства си-
стемы по одному частному критерию могут быть скрыты (ском-
пенсированы) избыточной величиной другого частного критерия.
По этой причине, как уже разъяснялось ранее, мы отвергаем спо-
133
соб формирования составного критерия только на основе просто-
ты и удобства математических операций. С этой же позиции мы
должны подходить к функции принадлежности, входящей множи-
телем в формулу полезности. Нельзя допустить, чтобы излишне
высокая оценка неметрического критерия скомпенсировала су-
щественные недостатки системы по другим, метрическим крите-
риям; нельзя также допустить, чтобы высокая по метрическим
критериям система получила низкую характеристику полезности
из-за заниженной оценки неметрического критерия.
3. Пусть имеются две системы 1 и 2 с функциями полезности
= Q f (х<‘>), Ф2 = Q (х<2>)/(х^),
где Q(x(I1)), Q(x(2))—функции принадлежности неметрического
критерия систем и —функции зависимости полезно-
сти от метрических критериев.
Если /(х’'>) =/(хр), то системы 1 и 2 равноценны по всем
критериям, кроме неметрического, и тогда любое преимущество
одной из систем по этому критерию приведет к доминированию
функции полезности этой системы. Поэтому любая монотонная
функция Qa (х) не исказит фактическое доминирование.
Если близко к f(x(2>), то, учитывая приближенность оце-
нок, системы 1 и 2 по метрическим критериям также надо счи-
тать практически равноценными. При этом предпочтение одной
из них на основании различий в неметрическом критерии можно
отдать лишь в том случае, если оценки неметрического критерия
различаются резко. Это значит, что функция принадлежности
Qa (х) должна обладать тем свойством, что при близких х(’> и хр)
должны быть близки и Q(x(11) и Q(x(2)); только при х(1)>х<2> долж-
но быть Q(x(1>) > Q(x<2>). Наконец, если /(х^) >/(х<2>), т0 пред-
почтение должно быть отдано системе 1, за исключением того слу-
чая, когда х)1* настолько плох, что ставит под сомнение полезность
системы 1 несмотря на хорошие значения метрических критериев.
Эта ситуация подчеркивает, что функция принадлежности должна
иметь указанное выше свойство.
4. Опыт практического применения экспертных оценок для раз-
личных целей показал, что эксперты с большой легкостью дают
более высокие оценки, чем более низкие (за исключением редкой
разновидности особо желчных экспертов). И если эксперты еди-
нодушно дают низкую оценку, то можно быть уверенным, что она
вполне заслужена. Если речь идет об оценке неметрического кри-
терия полезности, то низкая экспертная оценка означает, что на-
верняка система очень плоха по этому критерию. Значит, надо
выбрать такой вид функции принадлежности, чтобы низкие оцен-
ки неметрического критерия х приводили к малым значениям
134
функции принадлежности <2(х). Четыре приведенных положения
служат основой для выбора вида функции принадлежности.
Задача отыскания неизвестных функциональных зависимостей
возникает во многих областях науки и техники. В тех случаях,
когда такие зависимости находят на основе экспериментальных
данных, широко используется аппарат регрессионного анализа и
проверки статистических гипотез [59]. К рассматриваемой нами
проблеме ближе стоят задачи другого рода: задачи прогнозирова-
ния развития экономики или тех или иных социологических явле-
ний. В последние годы такие задачи получили широкое развитие,
а методы предсказания вероятного развития указанных областей
путем построения прогностических функций времени завоевали
признание [67—71]. Для нас представляет интерес подход прог-
ностиков к выбору вида функциональных зависимостей. В [67]
приводятся наиболее употребительные виды прогностических
функций и утверждается, что простой вид таких функций повы-
шает шансы правильного прогнозирования. Некоторые из приме-
няемых для прогнозирования функций времени приведены ниже:
Вид функции
1. Линейная
2. Параболическая
3. Степенная
4. Экспоненциальная
5. Логистическая
6. Экологическая
Форму та
у=а-\-Ы
у~-а+Ы--\- сл2
y = a-Ytb
у = а exp (if)
Д=Я/[1+6 exp (—ct)]
у=а ехр [—w2(t—г)2]
Следует обратить особое внимание на логистическую функцию.
Это одна из наиболее распространенных зависимостей развития
в функции времени.
Простота функции, с помощью которой делается попытка пред-
ставить неизвестную закономерность, это не просто вопрос удоб-
ства. Как убедительно показал Д. Попа [49], в простоте часто
скрыта истина. То, что просто, имеет хорошие шансы оказаться
истинным.
Изложенные выше четыре группы доводов дают основание при-
нять функцию принадлежности неметрического критерия в виде
логистической зависимости
Q(jc)==A'/[1 -{-с ехр (— <гх1]. (4.1)
Поскольку в логистической функции три независимых параметра
К, с, а, то можно назначить три точки, через которые должна
проходить кривая (4.1). Однако при любых конечных параметрах
логистическая кривая нс проходит через точку с координатами (0,0).
Без ущерба можно принять, что при х = 0 функция принадлежно-
сти Q(0)=0,05. Такое малое значение функции принадлежно-
сти практически будет означать, что неметрический критерий име-
ет неприемлемое качество. С таким же основанием можно при-
135
пять, что при х=1 функция принадлежности Q(l)>0,95. Столь
высокое значение функции принадлежности на практике указы-
вает, что неметрический критерий близок к идеалу. Тогда выра-
жение для функции принадлежности приобретает вид
Q(x)=l/[1 + 19 ехр (-«%)]; а >5,89. (4.2)
На рис. 4.2 изображен вид этой функции при различных значе-
ниях параметра а. При больших значениях а (например, а=10)
экспертные оценки в пределах 0,54-1 воспринимаются как при-
надлежность неметрического критерия к высококачественному се-
мейству (£2=0,9-4-0,99) и только при х<0,5 функция принадлеж-
ности начинает резко падать. Это значит, что оценки л;<0,5 трак-
туются как свидетельство низкого качества оцениваемого крите-
рия. При меньших параметрах логистической кривой (например,
а = 6) функция принадлежности в большей степени приближается
к пропорциональной зависимости от величины экспертной оценки.
Выбор параметра а для практического использования функции
принадлежности был произведен на основании накопленного опы-
та применения метода функции полезности к конкретным систе-
мам. Экспертное определение числовых значений а опытными спе-
циалистами привело к аналогичным числовым значениям пара-
метра. Выявленные в процессе этой работы соображения можно
суммировать следующим образом:
1) целесообразно иметь две разновидности функций принад-
лежности: одну для решения задач выбора среди систем, в кото-
рых неметрический параметр имеет подчиненное значение; вто-
рую— для систем, в которых неметрический параметр занимает
центральное место;
2) для систем первого вида коэффициент а следует принимать
равным а = 9ч-10; для систем второго вида надо принимать а—
= 64-7. Значение Q(0) = 0,05 пои-
емлемо для систем как одного,
так и другого вида.
На основании таких сообра-
жений приняты два вида функ-
ции принадлежности неметри-
ческого критерия к семейству со-
вершенных критериев:
Q(x)=l/[ 1 + 19 ехр (-64-7Х)] (4.3)
для систем, в которых неметри-
ческий критерий занимает цент-
ральное место;
Q(x)=l/[1-| 19 ехр (— 9 -4- Юлу]
___________________________(4.4)
Рис. 4.2
136
для систем, в которых неметрический критерии имеет второсте-
пенное, подчиненное значение.
В обеих формулах предполагается, что экспертная оценка х
приведена к такому виду, что она может принимать численные
шачения от 0 до 1.
Некоторые специалисты по организации и проведению экспер-
тизы утверждают, что экспертам легче давать оценки по пяти-
балльной шкале, чем в долях единицы. Объяснение этому находят
и том, что к пятибалльной шкале люди привыкают с детских лет
при учебе в школе и закрепляют ощущение качества в виде оце-
нок от 1 до 5 при учебе в высших учебных заведениях. Не вда-
ваясь в дискуссию о справедливости такого утверждения, укажем,
что перевод первичной оценки b по пятибалльной шкале в вели-
чину х, входящую в формулы принадлежности (шкалы оценок
предполагаем линейными), выполняется по правилу
х-{Ь—1)/4. (4.5)
Для определения категории, к которой следует отнести немет-
рический критерий анализируемой системы, можно воспользовать-
ся следующей рекомендацией. Если при анализе влияния той или
иной неметрической характеристики системы мы с несомнен-
ностью устанавливаем решающее влияние этой характеристики на
полезность системы, то такая характеристика должна быть отне-
сена к неметрическим критериям центральной категории.
Если анализ приводит нас к установлению некоторой связи
между полезностью и данной характеристикой, но явно нет осно-
ваний считать, что ее низкая величина может резко обесценить
систему, то такую характеристику тоже следует включить в число
частных критериев, но отнести к категории неметрических крите-
риев второстепенного значения.
В тех же случаях, когда тщательный анализ не позволяет уста-
новить изменения полезности системы при варьировании данной
неметрической характеристики в широких пределах, такую харак-
теристику вводить в число неметрических критериев не следует.
Некоторые примеры первых двух случаев даны в табл. 4.1.
Остановимся кратко на неметрических и близких к ним харак-
теристиках, прямая связь которых с полезностью системы, на
первый взгляд, отсутствует, но при внимательном подходе выяв-
ляется.
1. Эстетичность внешнего вида и органов управления и инди-
кации. Требования промышленной эстетики исходят из того, что
утомляемость и производительность труда человека-оператора,
ошибки, совершаемые им при управлении технической системой,
в той или иной степени зависят и от эстетического совершенства
системы и ее частей, органов управления и индикации [63]. Таким
образом, эстетические свойства влияют на полезность системы, а
137
значит, являются одним из частных критериев. Но этот частный
критерий следует безусловно относить к категории второстепен-
ных неметрических критериев.
Таблица 4.1
Система Неметрическим критерии Категория
Легковой автомобиль Отчетливость показаний приборов в
Самолетный альтиметр Мнемоническое совершенство инди- катора высоты ц
Карманный калькулятор Яркость табло ц
Пожарный сигнализатор Удобство крепления датчиков в
Городской автобус Эстетичность внешнего вида в
Радиолокатор с ручным управ- лением Разрешающая способность и мнемо- ническое совершенство индикатора ц
Дистанционно управляемый манипулятор Удобство управления ц
Читающая ЭВМ Артикуляция и
Система обнаружения полез- Удобство развертывания на месте
пых ископаемых зондирования в
Примечание Ц — неметрический критерий центральной категории, В — неметри-
ческий критерии иторостепенного значения
2. Степень безвредности для обслуживающего персонала и
окружающей среды (экологическое совершенство). Было бы ко-
щунством пытаться связать нанесспис вреда здоровью человека
с производительностью труда и, следовательно, с полезностью
системы: здоровье и жизнь человека не переводятся в категории
оценки технических систем. Что касается вредного воздействия
технической системы на окружающую среду (флору, фауну, воду,
воздух), то хотя такое воздействие непосредственно не влияет на
полезность данной технической системы, но в конечном счете пред-
ставляет собой явление той же категории, что и вредное влияние
системы на обслуживающий персонал.
По указанным причинам степень безвредности для обслужива-
ющего персонала и окружающей среды не должна включаться в
число неметрических критериев полезности, а должна рассматри-
ваться как ограничительное условие.
3. Удобство монтажа средств и агрегатов системы на месте
эксплуатации. Эту характеристику системы можно рассматривать
с двух позиций: удобство первичного монтажа системы и удобство
доступа к агрегатам при необходимости устранить возникший
отказ либо во время проведения плановых рагламентных работ.
В первом толковании степень удобства монтажа будет проявлять-
ся в затратах труда, инструмента и материала и поэтому должна
найти отражение в плате за полезность. Во втором толковании
удобство монтажа должно проявиться во времени ремонта и, сле-
138
ц.овательно, скажется на величине частного критерия надежности.
Время ремонта проявится также и в плате за полезность. Поэто-
му удобство монтажа нет необходимости включать в число не-
метрических критериев полезности.
4. Моральная стойкость. Под этим термином понимают спо-
собность системы в течение длительного времени сохранять свою
полезность несмотря на прогресс техники и изменения окружаю-
щей обстановки. Моральная стойкость во многом зависит от идей,
заложенных в систему, схемно-конструктивных и технологических
решений. Высокой моральной стойкостью будет обладать также
система, допускающая эффективную модернизацию, т. е. совер-
шенствование, небольшое по относительным затратам, но приво-
дящее к существенному повышению полезности системы. Таким
образом, моральная стойкость — это важная характеристика, ко-
торую желательно включать в число неметрических критериев. К
сожалению, оценить моральную стойкость того или иного вариан-
та системы, особенно на стадии проекта, обычно очень трудно.
Эту оценку трудно получить и методом экспертных оценок. Тем
не менее критерий моральной стойкости надо иметь в виду и при
возможности включать в оценку полезности, особенно примени-
тельно к сложным и дорогостоящим системам, рассчитанным на
длительное применение и производство в больших масштабах.
5. Удобство эксплуатации. Многие стороны этой характеристи-
ки могут проявляться через метрические критерии полезности:
через затраты времени на рабочие и ремонтные операции, через
частость ошибочных действий операторов и т. п. К неметрическим
критериям удобство эксплуатации следует относить лишь в слу-
чае явной невозможности получить по этой характеристике ко-
личественные объективные оценки на этапе решения задачи вы-
бора.
4.2. ЭКСПЕРТНЫЕ ОЦЕНКИ
Теории экспертных оценок посвящено большое число работ
[72—76]. Мы будем рассматривать этот вопрос только примени-
тельно к задаче получения количественных оценок неметрических
критериев полезности.
В результате проведения экспертизы получают набор оценок
л';, подлежащих статистической обработке. Среднее значение
оценки неметрического критерия х определяют по формуле
k I k
* = !Э- (4б)
Здесь л, —оценка t-го эксперта; ц,—коэффициент авторитета
г-го эксперта; k — число экспертов.
139
Среднее значение оценки х выражает коллективное мнение
группы экспертов. Степень единодушия мнений экспертов можно
характеризовать величиной
, h _
(4-7)
я — 1 г-i
Она вычисляется так же, как оценка дисперсии в математиче-
ской статистике. По аналогии величину о2, получаемую в резуль-
тате экспертизы, будем называть дисперсией экспертных оценок,
а а — среднеквадратическим разбросом экспертных оценок. Такие
термины оправданы тем, что экспертные оценки получаются не
без участия случайных факторов, действующих на экспертов.
Ясно, что чем меньше величина а, тем с большей уверенностью
можно опираться на найденное значение х оценки неметрического
критерия. Надежность экспертизы тем выше, чем меньшую долю
среднего значения составляет среднеквадратический разброс. По-
этому в качестве меры надежности проведенной экспертизы часто
принимают величину
₽ = о/х (4.8)
Это отношение можно назвать вариацией. Иногда надежность экс-
пертизы характеризуют коэффициентом конкордации W:
W =12Д2/[Л2га(п2—1) —(4.9)
Здесь k — число экспертов; п — число сравниваемых по некоторо-
му свойству систем. Величины А3 и В вычисляются по формулам:
п Г k п к 12
= 2 , (но)
/=1 0=1 п /=1 j=i
k
(4.11)
/=i
где Гц —ранг, который дал i-й эксперт j-й системе, причем ранг 1
получает система с наивысшей оценкой, ранг 2 — идущая вслед
за ней система и т. д. Величина Sz вычисляется для каждого экс-
перта по числу данных им одинаковых оценок разным системам.
Значения S, приведены в табл. 4.2.
Таблица 4.2
Число групп сов- павших оценок 0 1 2 3
Число совпавших оценок в группе 0 2 3 4 5 2 2 и 3 2 и 4 2
0 6 24 60 120 12 30 66 18
140
Допустим, что неметрический критерий двух сравниваемых си-
мем получил средние оценки хт и х,2), причем x(1*> х(2). Можно
ип в этом случае с достаточной уверенностью считать, что по дан-
ному критерию первая система превосходит вторую? Для ответа
на этот вопрос используют понятие доверительного интервала Ах,
вычисляемого по формуле
Дх = tP,h-i ^jk. (4.12)
;,цесь ip,k-i—коэффициент Стьюдента, который можно найти по
таблицам при известном k (число экспертов) и выбранной дове-
рительной вероятности р. По поводу того, как выбирать значение
доверительной вероятности, будет сказано дальше в этом пара-
(рафе.
Если выполняется условие
х-)- Дх<2) > хОЦ-ДлЧП (4.13)
где Дх(1) и Дх® —доверительные интервалы оценок неметриче-
ских критериев сравниваемых систем, то можно с достаточной сте-
пенью уверенности (р) сказать, что по данному неметрическому
критерию вторая система превосходит первую (рис. 4.3).
Из приведенных соотношений видно, что обработка результа-
тов экспертных оценок подобна статистической обработке резуль-
татов измерений. Но сущность отыскиваемых в этих двух случаях
средних значений и других характеристик имеет принципиальные
отличия. Среднее значение многократных измерений некоторого
физического параметра с тем или иным приближением указывает,
каково истинное значение этого параметра, представляющего со-
бой неслучайную величину. С выбранной вероятностью среднее
значение, расширенное в обе стороны на доверительный интервал,
«накроет» неизвестное, но оваль-
но существующее истинное зна-
чение измеряемого парамет-
ра [77].
Индивидуальные экспертные
оценки также носят на себе пе-
чать случайности: на суждения
эксперта влияют не только такие
стабильные факторы, как его зна-
ния и опыт, но и множество слу-
чайных факторов (настроение,
самочувствие, обстановка и т. п.).
Но можно ли считать, что немет-
рический критерий, оцениваемый
экспертами, объективно обладает
неслучайной количественной ха-
141
рактеристикой? Доказать в общем виде, что такая количественная
характеристика неметрического критерия существует, затрудни-
тельно. Но можно привести убедительные доводы в пользу того,
что оценке подвергается не что-то в количественном отношении
совершенно эфемерное. Действительно, как уже упоминалось в
§ 4.1, многие неметрические критерии в принципе можно переве-
сти в метрические. Например, мнемоническую выразительность
индикатора можно выразить средним временем безошибочного
считывания типовой информации или процентом правильно снятых
данных при заданном времени единичного считывания. Это уже
вполне определенная количественная характеристика.
Пользуясь своими знаниями и опытом, квалифицированные
эксперты интуитивно приближаются к этой характеристике. Но
расплывчатость и сложность задачи, естественно, приводят к то-
му, что оценки экспертов имеют разброс.
Численный состав экспертной группы. Определить необходи-
мый численный состав экспертной группы очень важно. При не-
достаточном числе экспертов результаты их деятельности не бу-
дут надежны. Многочисленную группу квалифицированных экс-
пертов трудно сформировать и трудно организовать ее работу.
Пользуясь соотношением (4.12), можно формально записать
выражение для числа k экспертов в группе:
k=\ctp^bx\\ (4.14)
Допустим, что, исходя из степени ответственности проводимого
сравнения альтернативных систем, мы выбрали величину дове-
рительной вероятности р и относительную ширину доверительного
интервала а:
а=-Дх/д. (4.15)
Пользуясь выражениями (4.15) и (4.8), можно представить фор-
мулу (4.14) в следующем виде:
k = (4.16)
В этом нелинейном относительно k уравнении кроме искомой ве-
личины k неизвестна также вариация р. Как видно из (4.8), ве-
личина вариации определяется по результатам экспертизы. Но
чтобы получить эти результаты, надо по меньшей мере знать тре-
буемый состав экспертной группы, т. е. величину k. Для преодо-
ления возникшей логической трудности можно предложить сле-
дующий прием.
Будем считать, что для статистической обработки допускают-
ся лишь такие экспертные оценки, относительное отличие которых
от среднего значения по абсолютной величине не превышает
| 6xjx |. В пределах интервала ±дх около х отдельные оценки мо-
гут располагаться различным образом, от чего будет зависеть
величина вариации р. Однако при типичном характере рассеяния
142
отдельных оценок и строгом соблюдении правила о привлечении
к экспертизе только квалифицированных специалистов изменение
вариации при изменении числа оценок будет не очень значитель-
ным. В качестве иллюстрации на рис. 4.4 приведены зависимости
(> в долях бх/х от числа k. Кривая а построена в предположении,
что половина всех оценок превышает среднее значение на бх, а
половина оценок на столько же меньше х. Кривая б дает эту за-
висимость для случая, когда вес оценки равномерно рассеяны в
интервале от х—Ъх до х + бх. Кривая в построена для случая,
когда оценки распределены симметрично относительно х по тре-
угольному закону: чем меньше отклонение оценки от среднего
значения, тем больше таких оценок. Все эти случаи распределе-
ния оценок условно показаны на вспомогательных схемах к каж-
дому графику.
Из графиков рис. 4.4 видно, что с увеличением k, во-первых,
величина р изменяется не очень существенно; во-вторых, что осо-
бенно важно, при типовом рассеянии оценок величина р монотон-
но уменьшается с возрастанием k. Поэтому если мы на основа-
нии прошлого опыта зададимся некоторой типичной величиной
р, соответствующей небольшому k, а затем с помощью (4.16) вы-
числим k, то можно быть уверенным, что при найденном значении
k доверительный интервал не превысит выбранной величины.
На основании опыта применения метода экспертных оценок
для решения различных неформализуемых задач установлено, что
результаты экспертизы можно считать удовлетворительными при
р<0,3 и хорошими, если р<0,2 [13, 78]. Исходя из этого, при
определении численного состава экспертной группы априорное
значение вариации следует выбирать в пределах 0,2-н 0,3.
143
Рис. 4.5
Теперь в уравнении (4.16) только
одна величина неизвестна—это k,
число экспертов в группе. Коэффи-
циент Стьюдента tpt сложным об-
разом зависит от k. Но, пользуясь
таблицами коэффициентов Стыодепта
и выбрав доверительную вероятность
р, можно для различных k найти со-
ответствующие значения Пос-
ле этого для каждой пары k, tp,k~i
можно из уравнения (4.16) найти
₽/а. Таким образом будет получена
зависимость p/a=f(fe) для выбранной доверительной вероятно-
сти р. Найденную функцию можно трактовать как k=F(fi/a).
Графики функции изображены на рис. 4.5.
Пользоваться этими графиками надо следующим образом. Допустим, что тре-
буется сформировать группу экспертов, причем желательно, чтобы доверитель-
ный интервал экспертной оценки неметрического критерия составлял с вероят-
ностью 0,9 не более ±10% от среднего ее значения. На основании предыдущего
опыта известно, что намечаемые к включению в группу специалисты в задачах
подобного рода давали величину р не выше 0,25. Таким образом, в качестве
исходных данных имеем:
а = Дх/х = 0,1; [3 = а/х — 0,25, т. е. ₽/а —2,5; /7 — 0,9.
Для этих исходных данных из графиков рис. 4.4 находим: Д-19. Это значит,
что в группу надо включить не менее 19 экспертов.
Стоит обратить внимание, что требуемое число экспертов сильно зависит
от принятой доверительной вероятности. В задачах экспертной оценки немет-
рических критериев полезности величину доверительной вероятности рекомен-
дуется выбирать в пределах 0,8ч-0,9. Если бы в рассмотренном случае мы при-
няли р=0,8, то при сохранении остальных требований нужно было бы только
12 экспертов.
Чтобы составить себе представление о том, насколько пессимистична была
принятая оценка (3 — 0,25, вычислим величину (3 для некоторых характерных
распределений экспертных оценок при большом их общем разбросе. Эти дан-
ные приведены ниже в табл. 4.3.
Таблица 4.3
Вариант Число экспертов, давших оценку
0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0
1 2 2 2 2 2 2 0,238
2 1 2 3 з 2 1 0,202
3 0 3 3 3 3 0 0.156
144
Из таблицы мы видим, что даже в таких неблагоприятных случаях, когда
оценки экспертов равномерно распределены в широком интервале от 0,5 до 1,0
величина 6 равна 0,238. При некоторой концентрации числа оценок к их сред-
нему значению (строка 2 таблицы) величина [3 снижается до 0,2. Еще большее
снижение происходит, когда общий разброс оценок уменьшается даже при рав-
номерном их распределении (см. строку 3).
Распределение Стьюдента, использованное в формуле (4.16) „
при увеличении k сходится, как известно, к нормальному распре-
делению. Поэтому приближенно можно определить число экспер-
тов с помощью выражения
Р/'а = y^k/z (А), (4.17)
где z(k) находится из таблиц интеграла вероятности. Отличие ве-
личины k, вычисленной с помощью (4.17), от найденной по фор-
муле (4.16) показано в табл. 4.4.
Таблица 4.4
Число экспертов Доверительная вероятность % й Число экспертов Доверительная вероятность —, % k
10 0,8 7 15 0,9 7
10 0,9 10- 20 0,8 4
15 0,8 5 20 0,9 5
Определение коэффициентов авторитета. Коэффициентом авто-
ритета принято называть число, показывающее, с каким весом
следует включать в статистическую обработку количественные
оценки данного эксперта. Коэффициент авторитета характеризует
степень компетентности эксперта. Чаще всего коэффициенты авто-
ритета выражаются в нормированной форме, когда максимально-
му авторитету приписывается коэффициент ц=1, а менее компе-
тентные эксперты имеют ц<1. Некомпетентный эксперт должен
получить ц=0. Из формулы (4.6) видно, что коэффициенты авто-
ритета непосредственно входят в выражение для усредненной экс-
пертной оценки.
Нет нужды указывать на важность правильного определения
величины коэффициентов авторитета экспертов, поскольку они
оказывают влияние на количественное значение исследуемых не-
метрических критериев полезности. Но правильное определение
коэффициентов авторитета имеет также важное психологическое
значение: трудно предположить, что квалифицированный специа-
лист будет охотно принимать участие в экспертизе, если ему при-
писан необоснованно низкий, по его мнению, коэффициент авто-
ритета. Хотя в некоторых работах указывается, что коэффициенты
авторитета должны быть достоянием только аналитиков и не
должны сообщаться экспертам, но возможность длительно соблю-
дать это условие на практике вызывает сомнения.
10—1051
145
В литературе рекомендуется ряд способов определения коэф-
фициентов авторитета на основе статистики предыдущих экспер-
тиз [70, 73]. Хотя правомерность такого приема не вызывает
сомнений, но практическое, его применение, особенно в наших
задачах, затруднительно. Действительно, для количественной
оценки неметрических критериев сложных технических систем к
экспертизе необходимо привлекать высококвалифицированных
специалистов, работающих по созданию или эксплуатации подоб-
ных или других сложных систем. Эти специалисты будут зани-
маться экспертизой спорадически, и навряд ли удастся собрать
об их экспертной деятельности достаточную статистику.
В связи с этим возникает мысль об изыскании путей опреде-
ления коэффициентов авторитета экспертов непосредственно по
результатам той самой экспертизы, для которой и требуется знать
эти коэффициенты авторитета. Такой способ определения коэф-
фициентов авторитета исходит из следующего принципа: коллек-
тивное мнение группы людей примерно одинакового интеллекту-
ального уровня и одинаковой опытности более правильно, чем
мнение одного представителя той же. группы. Отсюда следует, что
чем ближе мнение отдельного представителя подходит х коллек-
тивному мнению всей группы, тем большего доверия заслуживает
его оценка. Более конкретно это положение означает, что экспер-
ту должен быть присвоен тем больший коэффициент авторитета,
чем ближе его индивидуальная оценка к усредненной оценке всей
экспертной группы.
В приведенных рассуждениях есть следующее уязвимое место.
Из истории известно, что выдающиеся личности нередко высказы-
вали мнения, резко расходившиеся с общепринятыми, чем спо-
собствовали скачкам в научно-техническом прогрессе. Если вы-
дающаяся личность окажется в числе экспертов и в решаемой
задаче почувствует то, что окажется недоступным остальным
экспертам (хотя и будет более правильным), то мнение такого
эксперта будет принижено. В итоге будет ухудшено и принятое
на основе коллективной экспертизы решение. Словом, по предла-
гаемому способу с выдающейся личностью будут поступать так
же, как с малокомпетентным специалистом, индивидуальное мне-
ние которого также может резко отличаться от усредненного мне-
ния всей группы. На такие издержки приходится сознательно
идти, успокаивая себя тем, что, во-первых, выдающиеся личности
встречаются гораздо реже, чем малокомпетентные. Поэтому важ-
нее защититься от последних, чем создать благоприятные условия
для выдающихся личностей в таком частном и спорадическом ви-
де деятельности, каким является экспертная оценка неметриче-
ского критерия. Во-вторых, деятельность выдающегося специали-
ста никогда не ограничивается экспертизой, он, как правило,
146
отличается настойчивостью в отстаивании своего мнения и не сми-
рится с тем, что оно отвергнуто.
Один из способов определения коэффициентов авторитета экс-
пертов на основе близости индивидуальной оценки к средней из-
ложен в работе [76]. Недостаток этого способа в том, что он
предполагает только попарное сравнение вариантов. Кроме того,
чувствительность способа к мнениям экспертов тем меньше, чем
ближе нормированная оценка двух конкурирующих вариантов к 0,5.
Для выбора рационального способа определения коэффициен-
тов авторитета экспертов по результатам самой экспертизы сфор-
мулируем особенности этого коэффициента.
1. Должен лежать в пределах 0—1.
2. Быть монотонной функцией разности между индивидуальной
и средней оценкой исследуемого критерия системы.
3. При одинаковой разности между индивидуальной и средней
оценкой коэффициент авторитета должен быть тем меньше, чем
меньше дисперсия усредненного значения критерия.
4. При совпадении индивидуальной и усредненной оценки ко-
эффициент авторитета должен обращаться в 1, т. е. принимать
свое наибольшее значение.
5. Определяться с использованием экспертных оценок иссле-
дуемого критерия для всех конкурирующих систем в данной за-
даче выбора.
Большинство приведенных положений достаточно очевидно.
Некоторых пояснений требуют только положения 3 и 5. Положе-
ние 3 можно обосновать так. Если дисперсия о2 мала, то это сви-
детельствует о близости мнений экспертов. Большое отклонение
мнения одного из экспертов от среднего |х(—х| указывает в этом
случае на «противостояние» коллективу, что и должно найти от-
ражение в снижении коэффициента авторитета. Но если при той
же величине |хг—х\ дисперсия о2 велика, то это указывает на
значительное расхождение в миопиях многих экспертов и поэтому
не дает оснований для снижения данному эксперту коэффициента
авторитета до такого же значения, как и при малой дисперсии.
Что касается положения 5, то здесь действуют два соображе-
ния. Во-первых, чем больший объем информации будет использо-
ван для определения коэффициента авторитета, тем на большую
надежность результата можно рассчитывать. Во-вторых, коэффи-
циент авторитета есть характеристика эксперта, а не характери-
стика данной им оценки. Поэтому при обработке результатов
оценки всех альтернатив в данной задаче выбора эксперт должен
характеризоваться каким-то одним коэффициентом авторитета.
Сохранения коэффициента авторитета эксперта можно не требо-
вать только при переходе от одного цикла экспертизы к другому,
т. е. при решении различных задач выбора.
10;
147
Приведенным выше требованиям удовлетворяет коэффициент
авторитета, вычисляемый по формуле
^ = ехр [—(%/ —х)2/(2о2)]. (4.18)
Здесь —коэффициент авторитета i-ro эксперта; xt—оценка
неметрического критерия, данная i-м экспертом; х— средняя
оценка того же критерия; а2 — дисперсия оценки.
Для вычисления коэффициентов авторитета можно предложить
и другие виды функций, но если эти функции будут удовлетворять
сформулированным выше требованиям, то и оценки будут схожи.
В пользу формулы (4.18) говорит еще и следующее соображение.
Эксперт подвержен влиянию большого числа независимо дейст-
вующих внешних и внутренних возмущающих факторов. Поэтому
его оценка имеет случайную составляющую, которая — можно
ожидать — подчинена нормальному закону распределения. Так
как при выбранной методике основой определения коэффициен-
тов авторитета являются сами экспертные оценки, то естественно,
чтобы эти коэффициенты несли на себе печать того закона рас-
пределения, который свойствен оценкам.
Перед началом экспертизы коэффициенты авторитета неиз-
вестны. Поэтому первоначально принимается рг = 1, По-
лученные от экспертов оценки хь х2, ..., хк используются при вы-
числении по формулам (4.6) и (4.7) среднего значения оценки
Х| и ее дисперсии од в первом приближении. Затем вычисляются
по формуле (4.18) коэффициенты авторитета экспертов р,;1.
Используя найденные коэффициенты авторитета, по формулам
(4.6) и (4.7) вычисляют уточненные величины среднего значения
оценки х2 и дисперсии од. Изменение величин среднего значения
и дисперсии, как видно из (4.18), приведет, в свою очередь, к
уточнению коэффициентов авторитета. Таким образом, отыскание
х, о2 и представляет собой итеративный процесс. Этот процесс
быстро сходится, и после 2—3 итераций среднее значение опенки,
ее дисперсия и коэффициенты авторитета экспертов принимают
свои предельные значения хп, и д/п соответственно.
В качестве примера на рис. 4.6 показана зависимость величин Ху, ®у, щу
от номера итерации j для случая, когда в экспертной оценке неметрического
критерия участвовали 5 экспертов, давших следующие индивидуальные оценки:
= 0,3; л2 = 0,6; %3 = х4 = 0,7; л5 —0,8.
Точками на графиках показаны те же зависимости при вычислении коэффици-
ентов авторитета не ио формуле (4.18), а с помощью следующего правила:
[1— 0,4 [ (xz — х)/о | при \х^ х|<2,5а,
Р; = { _ (4. 1 У)
[ 0 при | — х | 2,5а.
148
Рис. 4.6
Видно, что применение другой зависимости коэффициентов авторитета от х и
о мало сказалось на конечном результате.
До сих пор речь шла об определении коэффициента авторите-
та экспертов и вычислении среднего значения и дисперсии приме-
нительно к неметрическому критерию одной системы. Но в рас-
сматриваемых задачах выбора неметрический критерий оцени-
вается всегда для нескольких альтернатив. Описанная выше схема
приведет в общем случае к тому, что предельное значение коэф-
фициента авторитета будет иметь столько же различных значений,
сколько неметрических критериев оценивается. Между тем, как
уже указывалось, коэффициент авторитета характеризует экспер-
та и поэтому в данной задаче выбора должен иметь единственное
предельное значение.
Чтобы выполнить это требование, предельные коэффициенты
авторитета i-ro эксперта, найденные для всех альтернатив
1= i ч-г, следует усреднить:
— 1
(4.20)
Г 1=1
После этого для каждой альтернативы I находят окончательную
величину среднего значения оценки неметрического критерия и
149
окончательную величину ее дисперсии. Для этого используют
формулы (4.6) и (4.7), в которые вводят коэффициенты автори-
тета из (4.20).
4.3. ЭКСПЕРТНАЯ ОЦЕНКА НЕМЕТРИЧЕСКИХ КРИТЕРИЕВ
На рис. 4.7 изображена упрощенная схема подготовки и про-
ведения экспертизы и последующей обработки ее результатов.
Сущность всех работ кратко сформулирована в прямоугольниках,
называемых блоками. Для удобства чтения схемы блоки прону-
мерованы слева направо и сверху вниз. Все указанные на схеме
работы выполняет группа аналитиков, за исключением работ, ука-
занных в блоках 20 и 30\ эти работы выполняются экспертами.
Предыдущие материалы настоящей главы и достаточно под-
робные надписи на схеме рис. 4.7 позволяют не приводить здесь
детального описания схемы и остановиться лишь на некоторых ее
блоках.
Блок 5 — формулирование «вопросника» для экспертов. «Во-
просник» для эксперта должен составляться весьма тщательно,
быть лаконичным, но в то же время содержать все необходимые
для работы эксперта сведения и не допускать двойственных тол-
кований. В «вопроснике» должны быть следующие разделы:
1. Назначение системы, основные требования к ней с подроб-
ным изложением требований, касающихся исследуемого неметри-
ческого критерия и с пояснением роли этого критерия в функцио-
нировании системы.
2. Кратное описание конкурирующих систем, среди которых бу-
дет выбираться предпочтительная методом функции полезности.
Подробное описание части систем, определяющей неметрический
критерий, с приложением чертежей, фотографий, протоколов ис-
пытаний и т. п. (При наличии изготовленных образцом систем
должно быть указано, где и в каком порядке эксперт может с
ними познакомиться.)
3. Формулировка задачи эксперта с указанием о необходимо-
сти дать оценку неметрическому критерию для каждой системы в
процентах (или в баллах), принимая за 100% (или 5 баллов)
наилучшие по представлению эксперта свойства по данному кри-
терию гипотетической «идеальной» системы.
Блок 5—составление списка кандидатов в эксперты. Лица,
подготавливающие обоснование выбора предпочтительной систе-
мы из нескольких конкурирующих и называемые здесь аналити-
ками, должны сами быть квалифицированными специалистами в
области систем данного типа. Они должны иметь опыт разработки,
внедрения в производство и эксплуатации сложных технических
систем. Поскольку при этих условиях конкретная группа анали-
тиков будет решать задачи выбора лишь для систем определен-
но
Рис. 4.7
151
ных классов, естественно, что она будет ориентироваться и на бо-
лее или менее постоянный круг специалистов, из которых и 6} дет
формироваться экспертная группа.
Желательно, чтобы кандидат в эксперты удовлетворял сле-
дующим требованиям:
1. Имел производственный стаж не менее 5 лет.
2. Непосредственно участвовал в разработках и испытаниях
технических систем.
3. Проявлял способность к. творческому мышлению и искрен-
ний интерес к своей работе.
4. Отличался вдумчивостью и решительностью.
5. Умел и был склонен отстаивать свое мнение при минималь-
ной склонности примыкать к чьему-либо мнению без внутренней
убежденности в его правильности.
6. Имел ровный общительный характер, лишенный желчности
и мстительности.
7. Не имел непосредственной заинтересованности в судьбе ни
одной из конкурирующих систем.
8. Охотно соглашался участвовать в экспертизе.
Если среди подходящих специалистов есть такие, которые уже
ранее успешно участвовали в технических экспертизах, то их надо
ставить во главе списка кандидатов в эксперты.
Блок 13 — анализ альтернатив проводится для того, чтобы
уяснить роль подлежащего оценке неметрического критерия. При
этом должно быть установлено, следует ли отводить этому крите-
рию центральную роль или он имеет второстепенное значение, В
первом случае рекомендуется принимать доверительную вероят-
ность в пределах 0,8-е0,9, во втором случае — 0,7 ч-0,8.
Блок 21 — это блок разветвления процесса: в зависимости от
положительного или отрицательного ответа на вопрос, сформули-
рованный в шестиугольной рамке блока 21, дальнейшие работы сле-
дует вести либо но одной, либо по другой цепи. В качестве полу-
ширины доверительного интервала Дхб) и Дхб> систем I и к здесь
фигурируют величины, найденные в результате статистической
обработки первичных результатов экспертизы. Как показано на
схеме, если при х^<-Г;ч неравенство х^'-]-Дхб) < х<^ — Дх(4) не
выполняется, то следует увеличить численность группы экспертов
и провести повторную экспертизу.
Сторонники метода Дельфы указывают, что подобные ситуа-
ции при использовании метода Дельфы гораздо более редки, чем
при использовании метода индивидуальных экспертных оценок
[70, 73]. Но обеспечить реализацию метода Дельфы в «рафини-
рованном» виде не так-то просто: нередко резкое сближение оце-
нок отдельных экспертов происходит не столько в результате уточ-
нения внутренних убеждений эксперта, сколько в результате его
152
конформизма. Поэтому метод Дельфы можно рекомендовать лишь
о тех случаях, когда трудно перейти к увеличению численности
жспертной группы.
С перекрытием доверительных интервалов можно примирить-
ся, если система s существенно доминирует над системой I по
/другим, метрическим параметрам. В связи с этим при невыпол-
нении приведенного выше неравенства рекомендуется временно
игнорировать выход нет блока 21, выполнить работы по цепи
блоков 22—31 и провести затем вычисление функций полезности
систем s и I. При этом для системы I в качестве величины немет-
рического критерия условно можно принять .х^. Если и при этом
полезность ф(5) системы s будет превышать полезность систе-
мы I, то дальше уточнять экспертные оценки не нужно и пред-
почтение с уверенностью можно отдать системе s. Если ф') и ф(О
окажутся при этом близкими, равными или даже то сле-
дует возвратиться к работам по схеме рис. 4.6 и действовать по
се указанию. Это значит, что из блока 21 через выход нет надо
перейти к блоку 24 и двигаться далее по указанной на схеме
цепи.
Приведем пример применения положений, изложенных в на-
стоящей главе.
Лаборатории автоматики поручена разработка блокирующих устройств,
предназначенных для обеспечения безопасности персонала, ведущего работы в
помещении высоковольтной аппаратуры. Включение высокого напряжения долж-
но быть возможно только в том случае, когда в помещении нет ни одного че-
ловека. Предложено несколько принципов решения данной задачи, которые тре-
буется оценить. Ниже кратко описаны эти принципы.
А. При входе в помещение человек пересекает трассы двух последовательно
установленных на пути его движения фотоэлектрических регистраторов Ф1 и
Ф2 (рис. 4.8,а). Это приводит к появлению и фиксации в электронном счетчике
числа +1. При выходе из помещения пересечение фотоэлектрических регистра-
торов происходит в обратном порядке, что вызывает добавление в счетчик чис-
ла —1. Таким образом, если в помещение вошли М человек, а вышли И чело-
век, то в счетчике будет присутствовать число М.—Н. Только в том случае, ког-
да это число равно нулю, замыкается цепь блокировки и может быть включено
высокое напряжение.
Б. У входа в помещение стоит турникет Т1 с электромеханической блоки-
ровкой (рис. 4.8,6), а рядом с ним установлена касса К1 с металлическими
жетонами специальной формы. Для входа в помещение надо вынуть из кассы
жетон, опустить его в приемник П1, после чего турникет Т1 можно повернуть
на 90°, что позволяет пройти в помещение одному человеку. После прохода
человек вынимает свой жетон из приемника П1 и, работая в помещении, хра-
нит его при себе. Для выхода из помещения надо подойти к турникету Т2 и
опустить свой жетон в приемник П2, что позволит повернуть турникет на чет-
верть оборота и выйти одному человеку. После выхода из помещения следует
153
a)
Рис. 4.8
извлечь жетон из приемника П2 и вернуть его в кассу К1 Только в том слу-
чае, когда касса полностью укомплектована жетонами, пепь блокировки замкну-
та и может быть включено высокое напряжение После включения высокого
напряжения касса i(J автоматически запирается — жетоны извлечь невозможно.
В. На входе в помещение и на выходе из него установлены одинаковые
турникеты, каждый из них соединен через замедляющую зубчатую передачу с
многопозиционным переключателем (рис. 4.8,в). Число позиция переключателя
превышает максимальное ожидаемое число людей, которые могут одновременно
находиться в помещении. При входе человек поворачивает турникет на четверть
оборота, что вызывает перемещение переключателя на одну позицию. Ползунки
переключателей включены в цепь блокировки. Первоначально ползунки обоих
переключателей находились в одноименных положениях При этом условии цепь-
блокировки будет замкнута только в том случае, если число вошедших людей
будет равно числу вышедших.
Г. У входа и у выхода из помещения высоковольтной аппаратуры установ-
лены двустворчатые качающиеся панели, каждая створка которых в направ-
лении движения человека имеет протяженность, несколько превышающую длину
шага человека. Поэтому при входе в помещение и при выходе из него человек
обязательно наступит сначала на одну створку панели, а потом на другую.
154
Hu можно использовать для подсчета числа людей, вошедших в помещение,
и числа людей, вышедших из него, обеспечив замыкание цени блокировки вы-
сокого напряжения только в том случае, когда разность этих чисел равна нулю.
Одна из схем реализации описанного устройства показана на рис. 4.8,г.
(.сворки входной панели СВ] п СВ‘2 (а также створки выходной панели СУ 1
и СУЗ) могут поворачиваться на небольшой угол вокруг осей О. Если сперва
нажать на створку СВ1Г то, опускаясь, она сдвинет скошенную часть упора У
вправо; одновременно створка замкнет контактную пару КВ1. В результате
перемещения вправо упор У окажется против углубления—гнезда Г створки
СВ2, что не позволит этой створке опуститься, когда человек переступит на нее
•о створки СВ]. Когда обе створки будут освобождены от давления, упор У
под действием пружин ПЖ возвратится в среднее положение. Если первой бу-
кет нажата створка СВ2, то упор У переместится влево, препятствуя последую-
щему опусканию створки СВ1, а замкнутыми окажутся контакты пары КВ2.
Совершенно аналогично будет происходить функционирование створок СУ1,
СУ2 и контактных пар КУ1 и КУЗ.
При замыкании пары КВ] (или КУ2) конденсатор С1 разрядится на об-
мотку шагового двигателя ШД; двигатель повернет контактный ползун П на
один шаг по часовой стрелке. При замыкании пары КУ1 (или КВ2) произой-
дет разряд конденсатора С2 на обмотку шагового двигателя, и благодаря об-
ратному знаку заряда С2 шаговый двигатель повернет ползун Л на один шаг
.против часовой стрелки. Сопротивления К и Л служит для ограничения тока.
Цепь блокировки высокого напряжения замкнута только при нахождении пол-
зуна на контакте Р и разорвана, когда ползун находится на контактном сек-
торе КС.
Будем считать, что перечень частных критериев полезности заданного за-
щитного устройства составлен. После отыскания вида функции полезности
предложенные варианты будут сравнены с целью выбора предпочтительного для
последующей реализации. В перечень частных критериев включен неметрический
критерий «Надежность защиты от неправильных действий» (ЗОД). В силу своей
значимости критерий отнесен к категории центральных неметрических критериев.
Для придания ему количествешного выражения необходимо прибегнуть к эксперт-
ной оценке.
Для определения численного состава экспертной группы выберем парамет-
ры а в пределах 0,1 ч-0,2 и Р в пределах 0,2ч-0,3. Это значит, что пределы из-
менения отношения P/а составляют 1-нЗ. Примем для нашей задачи среднее
значение (Р/а = 2).
Далее надо выбрать доверительную вероятность. Как правило, следует при-
нимать доверительную вероятность р=0,8 и только в особых случаях увели-
чивать ее до 0,9. Данная система представляет собой как раз такой особый
•случай, поскольку ошибочное избрание системы с низким значением ЗОД мо-
жет привести к гибели человека. Поэтому принимаем р=0,9. По графикам
рис. 4.5 определяем численный состав экспертной группы. Для выбранных зна-
чений p/а и р находим: /г—13. Таким образом, надо сформировать группу
экспертов в количестве 13 человек. Одновременно с формированием группы го-
товится «вопросник», который затем раздается экспертам.
155
В результате работы экспертов получены оценки неметрического критерия-
ЗОД для каждой из предложенных альтернатив. Эксперты давали эти оценки
в процентах от наилучшего возможного значения ЗОД в некотором гипотетиче-
ском устройстве защиты. Каждый эксперт формировал собственное представле-
ние об этом гипотетическом устройстве.
Результаты экспертных оценок сведены в табл. 4.5.
Таблица 4.5
Номер эксперта Система Но мер эксперта Система
А Б В р А Б В Г
1 30 90 80 50 8 40 80 60 50
2 40 80 60 50 9 20 80 70 40
3 40 80 50 60 10 30 90 70 40
4 30 70 50 60 11 50 70 60 40
5 20 90 G0 50 12 40 90 50 50
6 30 60 50 40 13 80 50 80 70
7 40 70 50 30
Даже беглое изучение таблицы позволяет обнаружить некоторые важные
обстоятельства. Так, видно, что эксперты 12 и 13, по-видимому, не удовлетво-
ряют требованию 4, сформулированному выше при описании блока 8 схемы
рис. 4.7.
Но аналитики, ведущие обработку результатов экспертизы, не должны под-
даваться субъективным мнениям. Они приступают к обработке полученных оце-
нок. Поскольку априорных данных о компетентности экспертов в форме коэф-
фициентов авторитета нет, для первой итерации коэффициенты авторитета всех
экспертов принимаются равными 1. Затем с помощью формул (4.6) и (4.7)
определяются: средние значения Л'1А\ .гр', критерия ЗОД для си-
стем А, Б, В, Г и среднеквадратические разбросы 5W этих оце-
нок. Затем по формуле (4.12) вычисляется полуширина доверительных интер-
валов AjVjA\ Дл^б', Д_Д(в\ а также |3; и ОС], вытекающие из результатов
экспертизы. Численные значения всех этих величин представлены в табл. 4 6.
Таблица 46
Система $
Параметр А Б В Г
38 77 61 48
А’ 16 12,5 НД 10,7
7,9 6,2 5,5 5,3
Р1 0,42 0,16 0,18 0.22
сц 0,21 0,08 0,09 0,11
156
Пользуясь формулой (4.18), можно уточнить коэффициенты авторитета экс-
пертов по результатам nepeoii итерации. В итоге получим значения, приведен-
ные в табл. 4.7.
Таблица 4.7
Номер экспер- та Система 1Л£2 Номер экспер- та Система Ц<2
А Б В Г А Б В Г
№ „(Б) /В) vz2 „(Н ^i2 ДА) Р-£2 JB) ^2 „(В) ^2 ДГ) ^2
1 0,78 0,58 0,24 0,98 0,64 8 0>,99 0,97 1 0,98 0,93
2 0,99 0,97 0 0,98 0,98 9 0,53 0,97 0,72 0,76 0,74
3 0,99 0,97 0,62 0,53 0,78 10 0,78 0,58 0,72 0,76 0,71
4 0,78 0,85 0,62 0,53 0,70 11 0.75 0,85 1 0,76 0,84
5 0,53 0,58 1 0,98 0,77 12 0.99 0,58 0,62 0,98 0,79
6 0,78 0,58 0,62 0,76 0,68 13 0,03 0,10 0,24 0,12 0.12
7 0,99 0,85 0,62 0,24 0,68
В последнем столбце таблицы указаны усредненные по всем четырем си-
стемам коэффициенты авторитета экспертов после первой итерации. Далее, с
помощью формул можно провести следующее уточнение усредненных оценок
ЗОД х<44 для всех четырех систем, а потом найти новые значения
₽2, аг. Результаты сведены в табл. 4.8.
Таблица 4.8
Пар аме1р Система j
А Б В Г
34 79 59 47
4s> 9 10 10 9
4,7 5,2 5,2 4,6
₽2 0,26 0,13 0,17 0,19
а2 0,14 0.07 0,09 0,10
Сравнение средних значений оценки ЗОД при первой и второй итерациях,
(табл. 4.6 и 4.8) показывает, что в дальнейших уточнениях нет необходимости.
На рис. 4.9,а точками показаны индивидуальные оценки экспертов. Числа
около точек указывают на номера экспертов. На том же рисунке обозначены
усредненные значения критерия ЗОД каждой из четырех систем.
На рис. 4.9,6 изображены средние значения и доверительные интервалы'
критерия ЗОД, полученные при первой итерации, когда коэффициенты автори-
тета всех 13 экспертов принимались равными 1. Как видно из этого рисунка,,
доверительные интервалы критерия ЗОД систем А и Г перекрываются. В дан-
167
Рис. 4.9
/irj ji^i2
a)
Лом случае это могло бы не
вызывать особых опасений, по-
тому что и система А, и систе-
ма Г по критерию ЗОД усту-
пают системе В и тем более
системе Б. Но аналитик не
должен забывать, что задача
экспертизы критерия ЗОД за-
ключается только в установ-
лении порядка предпочтения
всех конкурирующих систем,
по этому критерию. Решение о
том, какую из систем следует
избрать, будет приниматься
только по величине функции
полезности каждой из систем
с учетом всех критериев по-
лезности. Поэтому проведен;
ную вторую итерацию нельзя
считать ненужной.
Результаты оценок при
второй итерации показаны на
ряс. 4.9,в. Видно, что теперь
уже доверительные интервалы
систем не перекрываются. Поэтому с надежностью не хуже 0,9 можно выдать
следующие результаты экспертизы: «критерию систем А, Б, В, Г следует при-
лисать следующие численные значения:
л-(А) = 0,34; х<Б> —0,79; х'-в>^0,59; х<г>=0,47».
Глава 5
ПЛАТА ЗА ПОЛЕЗНОСТЬ. ОСНОВЫ ВЫБОРА
5.1. ОБОБЩЕННЫЙ КРИТЕРИЙ
Трудность сравнительной оценки многокритериальных систем
•явилась основным побудительным стимулом поиска способов свер-
тывания частных критериев в обобщенный критерий. Весь пре-
дыдущий материал был посвящен формированию обобщенного
критерия, характеризующего полезность системы. При этом ис-
ключались из рассмотрения частные критерии, отражающие sa-
il 58
траты, которые необходимо произвести ради достижения полез-
ного эффекта. В данной главе изучается эта сторона проблемы.
Прежде всего необходимо внести ясность в следующий принци-
пиальный вопрос. Если мы убедились в сложности непосредствен-
ного сравнения технических систем по многим частным критериям;
если мы пришли к необходимости представления частных крите-
риев каким-то обобщенным критерием (векторным или скаляр-
ным) ; если, наконец, намечены какие-то обещающие пути такого
представления, то почему речь все время идет не об одном, а о
двух обобщенных критериях: полезности и плате за полезность?
Действительно, на первый взгляд логично искать единый обоб-
щенный критерий.
Попытки такого рода предпринимались неоднократно. К ним
относится не только объединение в один критерий с размерными-
весовыми коэффициентами массы и стоимости оборудования [27],
но и объединение в виде взвешенной суммы дальности действия
радиолокатора и технологичности его аппаратуры. Подобное объ-
единение рекомендуется в некоторых отраслевых руководящих
материалах. Объединение разнородных по своей физической сущ-
ности частных критериев в единый критерий логично и допустимо
при соблюдении определенных условий. (Нет, конечно, необходи-
мости относить к этим условиям очевидное требование одинако-
вой размерности аддитивно объединяемых составляющих.)
Эти условия можно свести к следующему. В обобщенный кри-
терий могут объединяться такие частные критерии, каждый из
которых несет в себе частицу «свойства» системы, выражаемых
обобщенным критерием. Например, если мы хотим выразить через
обобщенный критерий полезность системы, то в качестве объеди-
няемых частных критериев могут выступать лишь такие парамет-
ры, которые влияют на выполнение системой ее функций. Стои-
мость системы и ее компоненты не влияют на функционирование
системы и поэтому они не могут входить в объединенный крите-
рий полезности системы.
Допустим, однако, что мы введем новый обобщенный крите-
рий— качество системы. Понятие качества допускает очень ши-
рокое толкование: и степень совершенства функционирования, и
стоимость системы характеризуют ее качество. Таким образом,
мы нашли как будто такой обобщенный критерий, который допу-
скает включение в него и частных критериев полезности, и част-
ных критериев стоимости. Можно показать, однако, что такое
объединение остается неправомерным.
Эта неправомерность становится понятной из следующих рас-
суждений. Полезности систем различного назначения не могут
соизмеряться. Невозможно, скажем, указать, сколько вычисли-
тельных машин эквивалентны но своей полезности одному пасса-
жирскому самолету или сколько сварочных агрегатов дадут такую
159
же полезность, как один радиолокатор. Представляется очевидной
абсурдность такого сопоставления. Теперь представим себе, что
мы приняли обобщенный показатель качества системы в приве-
денном выше толковании и применили его к сварочному агрегату
и к радиолокатору. Качество Лса и Лр этих систем выражается
тогда так:
Леа — ^саФса , " Оса, Лр —- ^р?р Т" Ср.
Здесь ф— полезность; С — стоимость; а — размерный весовой ко-
эффициент, индекс са означает принадлежность к сварочному
агрегату, р — к радиолокатору. Стоимость, как известно, является
выражением общественно необходимого абстрактного труда для
создания данного изделия, поэтому вторые слагаемые правой ча-
сти обоих равенств имеют одну природу, одну сущность. Следо-
вательно, они сопоставимы. Но поскольку эти величины суммиру-
ются (одна с фса, вторая — с фр) и, значит, имеют одну природу
с ними, то должны быть сопоставимы между собой величины фса
и фр- Мы пришли к выводу о возможности сопоставления полез-
ности сварочного агрегата с полезностью радиолокатора, что про-
тиворечит показанной ранее абсурдности такого сопоставления.
•Отсюда следует неправомерность объединения, изображаемого
приведенными соотношениями. Можно показать, что эта неправо-
мерность сохранится и в том случае, если перед объединением ф
и С пронормировать их к каким-либо эталонным системам тех же
назначений для придания слагаемым безразмерной формы.
Можно предположить, что вывод, к которому мы пришли, обу-
словлен только тем, что полезность и стоимость мы пытались объ-
единить аддитивно. Известно, что понятие удельной эффективно-
сти, т. е. эффективности на единицу затрат, широко применяется
на практике. Избавит ли такой комплексный показатель от необ-
ходимости характеризовать систему двумя обобщенными показа-
телями? Чтобы ответить на этот вопрос, представим себе, что мы
приняли в качестве единого обобщенного критерия Л отношение
полезности-системы ф к ее стоимости С и хотим определить пред-
почтительную систему из имеющихся альтернатив на основе та-
кого критерия.
Пусть два проекта системы одного назначения (альтернативы
А> и А2), разработанные по одинаковым требованиям, характе-
ризуются обобщенными критериями Ki и Л2, причем Л1>Л2.
Смысл введения обобщенного критерия заключается в том, чтобы
с его помощью можно было оценивать совокупные свойства си-
стем и, следовательно, устанавливать предпочтения. На основа-
нии приведенного неравенства мы должны отдать предпочтение
•системе A> Но будет ли правильным такое решение? Обратимся
к рис. 5.1,а, где альтернативы изображены точками, координаты
которых отвечают полезности ф и стоимости С систем. Мы видим,
J60
•по полезность системы Д1 значительно меньше полезности аль-
п рнативной системы, хотя отношение полезности к стоимости у
< III темы А1 больше.
Распространено мнение, что доказательством преимуществ си-
• гемы А1 в приведенном случае является следующее рассужде-
ние. Если мы приобретаем несколько экземпляров системы Aj,
|.1тратив столько же средств, сколько стоит система Аг, то мы
получим полезность ipj =tpi(C2/Ci), превосходящую полезность
системы А2 (рис. 5.1,а). Это рассуждение ошибочно, особенно
тли >.ji 1 Д’2- Дело в том, что совсем не очевидно, что совместная
полезность большого числа систем с низкой индивидуальной по-
'И'зпостью будет равна сумме этих индивидуальных полезностей.
1’о многих случаях зависимость совместной полезности от чис-
ла и систем будет носить характер, изображенный на рис. 5.1,6.
Что же касается стоимости С„ систем, то она будет возрастать
пропорционально числу п или даже быстрее. (Снижение стоимо-
< гп экземпляра при увеличении объема производства не имеет к
ному никакого отношения, поскольку предполагается, что общий
опьсм производства велик и поэтому С] никак не зависит от чис-
'i.-i и.)
Замедленный рост совместной полезности систем при уве-
личении п (рис. 5.1,5) объясняется рядом причин. При рассмот-
рении аддитивных свойств полезности (§ 3.3) указывалось, что
II 1'Г>|
161
совместная полезность двух одинаковых систем может быть мень-
ше суммы их индивидуальных полезностей вследствие их взаим-
ного влияния при функционировании в общем «пространстве»^
Если «пространства» функционирования разделены, то полезность,
систем может проявлять аддитивные свойства. Но даже в этом
случае это не всегда так.
Поясним сказанное на примере секторного радиолокатора об-
наружения. Полезность такого радиолокатора будет пропорцио-
нальна сектору ответственности по азимуту. Рассмотрим два ра-
диолокатора Ai и А2, имеющих одинаковые характеристики, за
исключением средней мощности передатчика, т. е. сектора обзора
по азимуту: этот параметр у радиолокатора Л] вдвое меньше, чем
у радиолокатора Л2. Можно показать, что при этих условиях по-
лезность радиолокатора Ai будет тоже в два раза меньше, чем
полезность радиолокатора Д2. Пусть и стоимость радиолокатора
вдвое меньше стоимости радиолокатора А2. Тогда критерий К
для At и Д2 будет иметь одну и ту же величину. В данном случае
утверждение о том, что два радиолокатора типа Ai будут экви-
валентны одному радиолокатору А2, можно признать справедли-
вым. Действительно, два радиолокатора Ai установят свои сек-
торы обзора впритык и совместно будут контролировать тот же
сектор, какой может контролировать радиолокатор А2. Правда,,
некоторые затруднения могут возникнуть на стыке секторов, но
эта зона во много раз меньше общего сектора и не должна су-
щественно сказаться на работе. Здесь мы имеем явный случай
разделения пространства действия систем, и поэтому полезность,
проявляет аддитивные свойства.
Допустим, однако, что и полезность фь и стоимость С\ радио-
локатора Ai уменьшены в п раз. Критерий К=фч/С1 при этом не
изменится. Но если установить впритык друг к другу узкие сек-
тора ответственности п радиолокаторов Ai, то зоны пониженных
характеристик системы на стыках секторов будут составлять уже
существенную часть общего сектора ответственности. Поэтому
несмотря на то, что и стоимость, и ширина общего сектора кон-
троля у системы из п радиолокаторов Aj будут такими же, как у
одного радиолокатора Д2, полезность фл этой системы будет мень-
ше, чем полезность ф2 радиолокатора Л2. Следовательно, зависи-
мость совместной полезности ф„ от числа радиолокаторов будет
иметь характер сплошной кривой (рис. 5.1,6).
Еще более отчетливо проявляется отсутствие аддитивности низ-
ких полезностей на примере лазерно-сварочного агрегата. В при-
мере 3.7 было показано, что полезность такого агрегата пропор-
циональна средней длине L сварного шва труб, производимого в.
течение одной рабочей смены. Пусть сравниваются агрегаты А2 и
А]. Агрегат Аг имеет полезность ф2 (за смену сваривает шов дли-
162
ной Li) и стоимость С2. Агрегат Aj имеет полезность ф1=ф2/«
(сваривает за смену шов длиной L2ln) и стоимость Ci=C2ln.
Можно ли с помощью п агрегатов типа At сварить за смену шов
длиной Ь2, т. е. получить полезность фл =фг? Стоит обратиться к
схеме сварки труб магистральных трубопроводов (рис. 3.6), как
станет ясно, что на поставленный вопрос надо ответить отрица-
тельно: па одном стыке несколько агрегатов использовать невоз-
можно. Маломощные агрегаты могут, правда, сваривать отдельно
отрезки труб в плети, которые затем будут подводиться и прива-
риваться к трубопроводу, но ясно, что такая технология будет
менее эффективна, чем сварка высокопроизводительным агрега-
том А2. Итак, из-за общего «пространства» действия совместная
полезность оказалась меньше суммы полезностей (рис. 5.1,6).
Следует подчеркнуть, что это пи в коей мере пе ставит под сомне-
ние, что полезность сварочного агрегата пропорциональна сред-
ней длине шва, производимого за рабочую смену.
Обращаясь вновь к рис. 5.1,а, мы можем утверждать, что пре-
имущество системы Ai перед системой Л2 по критерию К не озна-
чает, что системе Ai надо отдать предпочтение, если фактически
требуемая полезность лежит на уровне, требующем одновремен-
ного применения нескольких экземпляров системы А}. Рис. 5.1,6
показывает, что при равных полезностях система А2 может ока-
заться предпочтительнее из-за меньшей стоимости.
На продемонстрированный недостаток критерия «отношение
эффективности к стоимости» неоднократно указывалось в литера-
туре [37]. Из приведенных примеров видно, что критерий К мож-
но уверенно использовать только совместно с еще одним обобщен-
ным критерием: полезностью ф или стоимостью С. Тогда безоши-
бочное предпочтение можно отдавать системе с наибольшим К,
если она имеет полезность не меньше некоторого установленного
уровня (ip>ipmin) или если се стоимость не превышает некоторой
предельно допустимой величины (С<Сшах). На основании этого
принципа в ситуации, изображенной на рис. 5.1,г, предпочтение
следует отдать системе Аз-
В итоге мы приходим к заключению: сравнение альтернатив
требует применения двух обобщенных критериев. Первичными
обобщенными критериями являются полезность ф и плата за по-
лезность С. Их и целесообразно применять для указанной цели.
Надо отметить, что когда сравниваются альтернативы, удо-
влетворяющие одинаковым требованиям к выходным функцио-
нальным характеристикам, критерий А не может привести к оши-
бочному решению. Действительно, соответствие требованиям к за-
данной системе означает, что приемлемая полезность будет до-
стигнута. Значит, в данном случае наряду с критерием К, в не-
явном виде присутствует второй обобщенный критерий ф.
11* 163
5.2. ВИДЫ ПЛАТЫ ЗА ПОЛЕЗНОСТЬ
При создании любой технической системы ее характеристики,
определяющие полезный эффект, должны быть получены с обя-
зательным соблюдением заданных ограничений. В качестве таких
ограничений выступают стоимость, масса, габариты, потребление
энергии, а иногда несколько из этих показателей. Именно ограни-
чения приводят к появлению области компромисса, при достиже-
нии которой дальнейшее повышение одной из характеристик мо-
жет быть получено лишь за счет снижения других.
Наиболее универсальным ограничением является стоимость си-
стемы. При рациональном построении системы увеличение ее по-
лезности всегда сопровождается увеличением стоимости. Поэтому
к стоимости термин «плата за полезность» применим буквально.
Задача проектирования или эксплуатации системы должна
формулироваться, казалось бы, в одной из следующих постано-
вок [40, 79]:
1. Задается требуемая полезность (эффективность), требуется
достичь ее при возможно меньших затратах.
2. Задаются допустимые затраты; требуется достичь возможно
большей эффективности.
В обеих постановках фигурирует один обобщенный критерий и
одно обобщенное ограничение.
Почему же мы обе обобщенные характеристики системы — и
полезность ф, и плату за полезность С-—принимаем за критерии?
Ведь если бы одна из них служила обязательным ограничением,
то выбор предпочтительной альтернативы не представлял бы
труда: либо альтернативы имеют одинаковые С (ограничение) и
тогда предпочтительной является та, которая дает максимальную
ф; либо альтернативы имеют одинаковые ф (ограничение) и тог-
да предпочтительной является альтернатива с минимальной С.
Необходимость применить два обобщенных критерия — полез-
ность и плату за полезность — обусловлена рядом причин, основ-
ные из которых приведены ниже.
1. Выполнить условия
С = С0 (ограничение), ф = фтах (5.1 >
или
Ф — Фо (ограничение), С==С’ш1я, (5.2)
это означает по существу синтезировать оптимальную систему.
Но, как уже указывалось, в настоящее время еще не существует
методов решения этой задачи, пригодных для практического про-
ектирования сложных технических систем. Поэтому разработчики,
используя частные инженерные методы, свой опыт и интуицию,
164
путем последовательных приближений создают проект (а чаще —
проекты) системы, удовлетворяющей выдвинутым требованиям.
При этом большинство проектных характеристик, как правило,
превышает заданные, но некоторые иногда оказываются хуже,
чем требуется по заданию. Применяемые сейчас приемы проекти-
рования сложных систем исходят из условия ф5>фо, отображае-
мого формулой (5.2), но не имеют методического аппарата для
выполнения условия C = Crain. Поэтому разработчики сначала
ищут технические решения, позволяющие создать систему с тре-
буемыми функциональными характеристиками, а потом уточняют
решения с целью возможного уменьшения платы за полезность.
При этом иногда выясняется, что можно получить ощутимое сни-
жение платы за полезность, если несколько поступиться отдель-
ными функциональными характеристиками. Когда опыт и интуи-
ция подсказывают, что в целом это даст выигрыш, иа такой ком-
промисс идут. В общем можно считать, что проектирование при-
водит к решению, когда ф>ф0 и C>Cmln. Но тогда обе обобщен-
ные характеристики должны рассматриваться как критерии для
выбора предпочтительной альтернативы.
2. Отсутствие методов синтеза оптимальных систем имеет и
другое следствие: заказчик не может в задании на разработку
обоснованно сформулировать требования, выраженные формула-
ми (5.1) и (5.2). Но тогда и ф, и С становятся обобщенными кри-
териями.
3. До сих пор отсутствуют общие методы представления по-
лезности в виде функции частных критериев. Поэтому в заданиях
на разработку системы фигурирует не величина ф, а требования
к отдельным выходным характеристикам, причем часто с одно-
сторонними или двусторонними ограничениями. Неудивительно
поэтому, что совокупность выходных характеристик системы аль-
тернативных проектов, используемая впоследствии в качестве ча-
стных критериев, приводит к разным полезностям.
4. Нередко бывает, что разрабатывались проекты систем для
решения разных, но близких задач; затем возникла необходимость
применить для решения обеих задач одну и ту же систему, так
как в целом это сулит экономию средств. В результате проекты
превратились в альтернативы, различающиеся и по полезности,
и по плате за полезность.
5. В реальных жизненных ситуациях большую роль играют
факторы, которые частично следует трактовать как степень тех-
нико-экономического риска, а в более общем виде можно назвать
конъюнктурными факторами. Они не учитываются теориями про-
ектирования, но на практике оказывают влияние на выбор техни-
ческих решений. К таким факторам относятся: трудности в орга-
низации производственной кооперации; серийная неосвоенность
165
некоторых комплектующих изделий и материалов к моменту вы-
пуска проекта; ограниченность заданных сроков разработки. В
зависимости от опыта и темперамента руководителей разработки,
от конкретной обстановки конъюнктурные факторы могут по-раз-
ному повлиять на технические решения, принятые в альтернатив-
ных проектах, выполняемых разными коллективами. В итоге и
полезность, и плата за полезность систем, представленных аль-
тернативными проектами, окажутся различными.
Все перечисленные и ряд других причин приводят к тому, что
сравниваемые варианты систем характеризуются двумя обобщен-
ными критериями, причем величины и полезностей, и платы за
полезность для вариантов оказываются различными. В итоге вы-
бор предпочтительного варианта уже не представляет собой три-
виальной задачи. Материалы предыдущих глав были посвящены
определению полезности системы как функции частных критериев.
В этой главе мы сосредоточим внимание на плате за полезность.
Стоимость системы является наиболее универсальным выраже-
нием платы за полезность, которая, однако, не является синони-
мом стоимости. В ряде случаев в качестве платы за полезность
оказывается целесообразным принять другую характеристику си-
стемы: массу, габариты, потребление электроэнергии. Таким об-
разом, при сравнении технических альтернатив плата за полез-
ность является более общим понятием, чем стоимость.
Упомянутые выше технические характеристики принимают в
качестве платы за полезность чаще всего ради того, чтобы огра-
ничить анализ рамками данной системы. Пояснить это можно про-
стыми примерами.
Рассмотрим автоматическую метеорологическую станцию,
предназначенную для работы в районах, удаленных от населен-
ных пунктов. Такая система подробно представлена в гл. 6. Стан-
ция снабжается электроэнергией от местных химических аккуму-
ляторов. В состав станции входит приемное устройство радио-
команд. В отличие от всего остального оборудования станции при-
емное устройство все время находится под током, чтобы в любой
момент времени оно могло принять радиокоманду из центра
управления на включение станции. При сравнении альтернатив-
ных проектов приемного устройства в качестве платы за полез-
ность целесообразно принять электропотребление. От этой харак-
теристики зависит необходимая энергоемкость аккумуляторной
батареи, периодичность дорогостоящих выездов бригады для рег-
ламентных работ по замене или зарядке аккумуляторов. Если да-
же энергоэкономичное приемное устройство будет иметь большую
стоимость, чем приемное устройство с большим электропотребле-
нием, то суммарная стоимость станции с учетом эксплуатацион-
ных расходов будет в первом случае меньше, чем во втором. Зна-
166
чит, при одинаковой полезности энергоэкономичный приемник
предпочтительнее. Мы видим, что в конечном счете предпочтитель-
ный выбор основан на минимизации стоимости, но стоимости
станции в целом. Оценка приемного устройства по плате за по-
лезность в форме электропотребления избавила пас от необходи-
мости выходить за рамки анализируемой системы, в данном слу-
чае— приемного устройства, и рассматривать систему более вы-
сокого уровня.
Представление платы за полезность технической характеристи-
кой типично при сравнении вариантов подсистем и устройств, вхо-
дящих в состав некоторой системы. На основании опыта проекти-
рования известно, что при выбранной элементной базе и заданных
выходных характеристиках стоимость устройства не претерпевает
значительных изменений в зависимости от конкретного схемно-
конструктивного решения. При этом может оказаться целесооб-
разным принять в качестве платы за полезность такую техниче-
скую характеристику, как габариты. Это оправдано в тех случаях,
когда габариты данной подсистемы или устройства могут сущест-
венно повлиять на систему в целом и поэтому являются важным
фактором для выбора предпочтительной альтернативы.
Предположим, что проектируется передатчик подвижного ра-
диолокатора. Генерируемая мощность СВЧ, виды импульсов, ха-
рактеристики напряжения питающей электросети заданы. Номен-
клатура подходящих электровакуумных приборов известна и огра-
ничена. Но габариты передатчика определяются не только этими
исходными данными: габариты во многом будут зависеть от ис-
кусства схемотехника и конструктора. Вместе с тем габариты
передатчика оказывают прямое и существенное влияние на габа-
риты всего радиолокатора. Поэтому громоздкий передатчик мо-
жет в конечном счете вызвать необходимость размещать радио-
локатор на более мощных транспортных средствах. И если за счет
этого технические характеристики радиолокатора, включая его
подвижность, удастся сохранить на требуемом уровне, то стои-
мость радиолокатора возрастает. Таким образом, приняв в каче-
стве платы за полезность передатчика его габариты, рассматри-
вая меньшую величину такой платы за полезность как положи-
тельное свойство альтернативы, мы в конечном счете добиваемся
снижения стоимости всего радиолокатора. Но плата за полезность
подсистемы — передатчика, выраженная технической характери-
стикой (в данном случае габаритами), позволяет избежать необ-
ходимости задавать на ранних этапах проектирования стоимость
подсистемы и ограничить сравнение альтернативных подсистем их
собственными рамками, не выходя на уровень системы в целом.
Для проектирования подсистемы такой подход представляет ряд
удобств.
167
Приведем пример, когда в качестве платы за полезность це-
лесообразно принять массу подсистемы.
Пример 5.1. Для исследования Марса проектируется космический аппарат,
который должен совершить мягкую посадгсу на поверхности планеты и с по-
мощью механизма передвижения обследовать некоторый район, отбирая пробы
грунта на разной глубине, производя физико-химический анализ и передавая
полученную информацию по радиолинии на Землю. Требуемая площадь обсле-
дования поверхности планеты должна быть не меньше 100 км2.
На конкурс представлены два проекта, схожие по всем характеристикам,
кроме трех, данные по которым приведены ниже:
Проект 1
Проект 2
Общая масса
аппарата, кг
500
1000
Полная обследуемая
площадь, км
250
150
Стоимость аппарата,
млн.ф.стЛ
2
0,5
Полезность аппарата определяется величиной обследуемой площади на по-
верхности планеты, достоверностью полученной информации. В такое определе-
ние входит и эксплуатационная надежность, так как при низкой вероятности
безотказной работы полезность системы может свестись к нулю. Но если извест-
но, что и по достоверности полученной информации, и по надежности проекты
равноценны, а вероятность безотказной работы удовлетворяет ограничительным
требованиям, то достаточно раскрыть в выражении для полезности только ве-
личину обследуемой площади. Исходя из этого, можно записать
<p = s/(x1(x2,...,xn), (5.3)
где S —величина обследуемой площади; f(Xi, х?... хп)—функция других ча-
стных критериев полезности.
Ясно, что полезность первой системы выше полезности второй. Пока мы не
учли, что проекты различаются по массе космического аппарата. Непосредствен-
ной связи полезности с массой нет. Действительно, для выполнения тех функций,
которые содержатся в формулировке полезности космического аппарата, безраз-
лично, какую массу он будет иметь. Можно было бы ожидать, что масса про-
явится через стоимость системы. Но из приведенных данных видно, что более
высокую стоимость имеет аппарат проекта 1 с меньшей массой. Это и понятно,
так как для выполнения тех же функций в пределах меньшей массы требуется
разработка более совершенной аппаратуры, применение более дорогих мате-
риалов.
Оставаясь в рамках подсистемы (собственно космического аппарата), мы не
можем выявить истинной роли массы в определении предпочтения. Примем в
качестве платы за полезность стоимость космического аппарата. Тогда в коор-
* Представление стоимости в млн. ф. ст. (миллионах фунтов стерлингов)
принято в связи с тем, что данные о средствах вывода космического аппарата
(см. ниже) заимствованы из английской публикации.
168
данатах C—S проекты можно характеризовать
точками 1 и 2 (рис. 5.2). Оба проекта имеют по-
лезность выше минимально допустимой. (Полез-
ность на рис. 5.2 представлена величиной обсле-
дуемой площади S.) Критерий К, т. е. полезность
приходящаяся на единицу стоимости, для проек-
та 2 больше, чем для проекта 1. На основании
этих двух положений мы должны отдать пред-
почтение проекту 2.
Такой вывод ошибочен. Причина этого
в том, что мы абстрагировались от влия-
ния характеристик космического аппарата на систему запуска аппарата на
межпланетную орбиту. Система запуска представляет собой систему большего
масштаба, в которую космический аппарат входит в качестве подсистемы. Мас-
са космического аппарата очень существенно влияет на характеристики ракеты-
носителя, выводящей аппарат в космическое пространство. Рассмотрим этот во-
прос более подробно.
В качестве прототипа системы запуска примем новую систему «Ariane»,
разрабатываемую в настоящее время странами Западной Европы. По данным
публикации [80] перспективный вариант системы («Ariane-2») будет иметь ха-
рактеристики, приведенные в табл. 5.1.
Для дальнейших оценок используем простейшую теорию полета «идеаль-
ной» многоступенчатой ракеты. Хотя при этом численные значения будут отли-
чаться от полученных строгими методами, но для наших целей и для оконча-
тельных выводов это не будет иметь значения.
Таблица 5.1
Характеристика
Полезная нагрузка при конечной скорости VK =
= 9760 м/с тп, кг
Стартовая масса ракеты т0, г
Масса топлива, т: 1-й ступени mTi
2-й ступени тт2
3-й ступени ттз
Стоимость одного запуска Са. млн. ф. ст.
Величина
2000
212,5
145
33
10
15,5
Примечание, млн. ф. ст. — миллион фунтов стерлингов.
Приближенное выражение для конечной скорости V , которую может при-
дать полезной нагрузке трехступенчатая ракета, имеет следующий вид [81, 82]:
V'K = we In (ZiZ2za). (5.4)
Здесь w— эффективная скорость истечения продуктов сгорания ракетного топ-
лива, принятая одинаковой для всех трех ступеней; г(, г2, z3 — числа Циолков-
ского для 1-й, 2-й и 3-й ступеней соответственно, представляющие собой отно-
шения начальной массы к конечной при работе данной ступени.
169
В многоступенчатых ракетах отношение массы конструкции ступени к на-
чальной массе снаряженной ступени лежит в пределах о;—0,14-0,2. Как видно
из табл. 5.1, для ракеты в целом это отношение равно 0,115.
Чтобы вычислить числа zlf z2, zs, надо знать начальную массу и массу
топлива каждой из ступеней. Так как в таблице данные о начальном весе сту-
пеней отсутствуют, то их можно выразить через массу топлива тт. и коэффи-
циент конструкции ал
mz = OT.TZ/(l - а;.)>
где т.—начальная масса i-й ступени, i—1, 2, 3. Числа Циолковского тогда
мо?кно записать в следующем виде:
zl = т01(т0 — mTt); z2 = (mz + т3 + wn)/fa2ra2 Д- т3 + тп);
z3 = (OT3 + mn)/(a3/w34-mII). (5.5)
Вычислив Zi, z2, z3 для штатной комплектации ракеты и зная конечную скорость
Ук=9760 м/с, выбранную для вывода полезной нагрузки на геостационарную
орбиту, можно из (5.4) найти величину wе-
Определим, какую конечную скорость смогла бы придать эта ракета косми-
ческому аппарату проекта 1, если бы он был установлен взамен штатной по-
лезной нагрузки. В этом случае надо считать тп = 0,5 т. Из 5.4 получаем сле-
дующее выражение:
V'iK = VK [In (z'z2z’)]/ln (ztz2zs). (5.6)
Здесь Vfl, Zi, z2, z3— конечная скорость и числа Циолковского для штатной
комплектации ракеты; у1к> z' z2, z'3 —конечная скорость и числа Циолков-
ского для ракеты с космическим аппаратом проекта 1.
Принимая коэффициенты конструкции 2-й и 3-й ступеней ракеты равными
а2 = а3=0,1, с помощью (5,5) и данных таблицы 5.1 находим
^ = 3,15, г2 = 2,96, г3 —4,21.
Подставляя в те же формулы тд =0,5 т вместо шп=2 т, получаем
г: = 3,20, г! = 3,16, г’=7,20.
I ’ ’ 2 о
Эти числа позволяют с помощью (5.6) найти VjK= 11400 м/с. Следовательно,
энергетика ракеты позволяет запустить аппарат проекта 1 со второй косми-
ческой скоростью, что необходимо для решения задачи.
Подставим теперь в (5.5) тп = 1 т, что соответствует массе аппарата про-
екта 2. Тогда
z[ = 3,18, z' = 3,09, z3 = 5,73.
С помощью (5.6) легко убедиться, что при таких значениях z[? g' вторая
космическая скорость не может быть получена. Допустим, что для получения
нужной энергетики 1-я ступень заменяется па более мощную при сохранении
без изменений 2-й и 3-й ступеней. Тогда в формуле (5.6) изменится только z',
величину которого можно найти, полагая VJK= 11300 м/с. При этом получим
170
2'5 = 3,96. Масса т1 новой первой ступени, обеспечивающей такое значение г(,
можно найти по формуле
= m2Sa (zj — 1)/(1 — aiZ's). (5.7)
Здесь яг2 —суммарная масса 2-й и 3-й ступеней и полезной нагрузки:
w23n = znT2/(l — ='2) + /7гтз/(1— а3) + «п = 48,8 т.
Из (5.7) следует, что даже при малом коэффициенте конструкции 1-й ступени
«5 = 0,12 ее масса достигает 275 т, что означает увеличение на 100 т стартовой
массы всей ракеты. Вот к чему привело увеличение массы космического аппа-
рата с 500 до 1000 кг.
Конечно, при таком увеличении полезной нагрузки следовало бы пере-
смотреть все три ступени, что дало бы более экономичный результат. Можно
показать, что при одинаковых коэффициентах конструкции а и одинаковой ско-
рости истечения топлива w е всех трех ступеней достижимое отношение стартовой
массы ракеты тй к массе полезной нагрузки тп равно (1—а)[ехр(—VKl3w?—с].
При а=0,1, шп = 1 т и V„ = ll,3 км/с потребуется стартовая масса то = 25О т.
Возрастание массы ракеты неизбежно влечет за собой увеличение се стои-
мости. Для количественной оценки воспользуемся содержащимся в публикации
[80] указанием: при возрастании стартовой массы на 97 т стоимость одного
запуска увеличивается на 20%. Это относится к случаю, когда выводимой на
орбиту нагрузке сообщается первая космическая скорость. В рассматриваемой
здесь задаче аппарату должна быть сообщена вторая космическая скорость,
что будет сопряжено с большими затратами. Но для оптимистической оценки
положим, что и в нашем случае стоимость запуска при увеличении нагрузки воз-
растет на 20%.
Для проекта 1 общая стоимость запуска космического аппарата образуется
из штатной стоимости в 15,5 млн. ф. ст., указанной в табл. 5.1, и стоимости
самого космического аппарата, т. е. составит 17,5 млн. ф. ст. Для проекта 2
стоимость запуска составит уже 18,6 млн. ф. ст. К этому добавится стоимость
космического аппарата 0,5 млн. ф. ст. В итоге второй проект потребует рас-
ходов в 19,1 млн. ф. ст., т. е. значительно больше, чем первый. Полученный
Рис. 5.3
Рис. 5.4
171
результат иллюстрирует рис. 5.3. Теперь мы видим разительные отличия между
проектами: проект 2 требует нс только больших затрат, но и обещает полез-
ность, меньшую, чем проект 1. Ясно, что предпочтение следует отдать проекту I.
К этому выводу мы могли бы прийти сразу, не выходя за рамки подси-
стемы — космический аппарат, если бы в качестве платы за полезность приняли
массу. Расположение точек, отображающих проекты, на поле с координатами
обследуемая площадь — масса аппарата (рис. 5.4) с несомненностью указывает
на предпочтительность проекта 1.
Следует отметить, что простота и удобство сравнения альтер-
натив при плате за полезность в виде технической характеристики
системы дается не даром. По сути дела, заказчик подсистемы
должен провести предварительный анализ, чтобы убедиться, что
выбранная плата за полезность будет правильно отражаться па
характеристиках системы в целом, и только после этого он дол-
жен выдать задание на проектирование подсистемы.
Приведенные материалы показывают оправданность расши-
ренного толкования платы за полезность.
5.3. СТОИМОСТЬ КАК ПЛАТА ЗА ПОЛЕЗНОСТЬ
Наиболее распространенной формой платы за полезность
является стоимость системы. Вопрос о том, какие составляющие
стоимости должны учитываться при решении задач выбора, доста-
точно сложен. Например, поскольку всякая новая система, рас-
сматриваемая на стадии проекта, нуждается в последующей раз-
работке, при сравнении систем не безразлично, во что обойдется
последняя.
Стоимость изделия, вышедшего из серийного производства,
также формируется сложным образом. В нее входят первоначаль-
ные затраты па освоение новых технологических процессов, на
изготовление оснастки. Здесь проявляются такие свойства систе-
мы, как ее технологичность, степень унификации и стандартиза-
ции. Эти критерии системы сказываются также на соотношении
между затратами собственного труда рабочих предприятия и за-
тратами овеществленного труда в виде сырья, материалов и по-
купных готовых изделий. Высокая материалоемкость изделий,
приводящая к излишкам в их массе, может проявиться через стои-
мость материалов, расходуемых на изготовление деталей и узлов.
Дополнительную сложность в определении стоимости создает
неопределенность в объеме производства, существующая на ста-
дии рассмотрения проекта. Между тем от объема производства
зависит целесообразная оснастка, механизация и автоматизация
производственных процессов, что, в свою очередь, влияет на се-
бестоимость единичной системы.
При выборе предпочтительной системы из нескольких конкури-
рующих нельзя игнорировать и стоимость эксплуатации. Известно,
172
что для некоторых систем последняя со временем превышает стои-
мость изготовления. Может оказаться, что сравнительно дешевый
в изготовлении вариант системы настолько дороже в эксплуата-
ции, что это преимущество целиком теряется.
Настоящая работа не может, конечно, дать детальный анализ
вопросов стоимости системы: это предмет самостоятельной доста-
точной сложной прикладной дисциплины — экономики. Поэтому
здесь мы ограничимся лишь указанием на некоторые особенности,
которые необходимо принимать во внимание при выборе пред-
почтительной альтернативы.
Упрощенная схема структуры формирования стоимости систе-
мы приведена на рис. 5.5 [83, 84, 40]. Стоимость Си изготовления
одного экземпляра системы при промышленном производстве
определяется соотношением
Си " С3-|-С11аи + Спод + Сприб + С,;. (5.8)
Здесь С3—зарплата производственных рабочих, вычисляемая
Рис. 5.5
173
как произведение трудоемкости в нормо-часах на стоимость одно-
го нормо-часа; 6%^ — накладные расходы, которые вычисляются
как произведение С3 на некоторый коэффициент &нак; величина
£нак обычно лежит в пределах 2—2,5; Спод —стоимость подготов-
ки производства, вычисляемая также умножением С3 на некото-
рый коэффициент, причем в зависимости от сложности и техноло-
гичности системы этот коэффициент может изменяться в широких
пределах (от 0,2 до 2); Ск — стоимость материалов и покупных
изделий, идущих на изготовление одного экземпляра системы;
Сцриб прибыль предприятия, составляющая обычно от 10 до
20% себестоимости, которая является суммой всех предыдущих,
слагаемых уравнения (5.8).
Стоимость подготовки производства, входящая в уравнение
(5.8), это затраты на оснастку, новое специальное оборудование
и технологические процессы, отнесенные к единице запланирован-
ных к серийному выпуску систем. Чем крупнее серийность, тем в
большинстве случаев меньше Спод. Стоимость изготовления систе-
мы С„ зависит не только от объема серийного производства, но и
от времени, прошедшего с начала производства. Качественный вид
зависимости С„ от времени при разных объемах производства
изображен на рис. 5.6,а. Через iy здесь обозначен интервал вре-
мени от начала серийного производства до момента, когда даль-
нейшего снижения стоимости уже не происходит («установив-
шееся» производство). Чем больше объем выпуска, тем больше
может быть величина ty, так как оснастка постепенно совершен-
ствуется, процессы автоматизируются и т. д., и тем ниже «уста-
новившаяся» стоимость системы.
Стоимость эксплуатации Сэ складывается из стоимости под-
готовительных работ па месте намеченного развертывания систе-
мы, включая стоимость монтажа См; стоимости расходуемых в.
процессе эксплуатации компонентов Срасх (горючее, электро-
энергия, вода и т. п.); стоимости ремонтных и регламентных ра-
бот Срем, в которую включаются расходы Сэип на запасные изде-
лия и материалы; стоимости обслуживания, т. е. зарплаты обслу-
живающему персоналу С39. В отличие от стоимости изготовления
системы, которая с момента выпуска из производства не изме-
няется, стоимость эксплуатации монотонно возрастает во времени.
Поэтому принято называть стоимостью эксплуатации расходы в
единицу времени, обычно за год. Годовые расходы на эксплуата-
цию сначала держатся на постоянном уровне, но по мере износа
частей и агрегатов системы начинают возрастать. Качественный
график эксплуатационных годовых расходов показан на
рис. 5.6,6 и в. Величины Срем и Сзэ с момента tcc (срок службы)
начинают заметно возрастать. Величина См изображена на гра-
фике в виде короткого столбика, так как затраты на монтаж еди-
новременны.
174
ТГ-Ч *
Ч-\— -____Малая серая
I ____________Средняя серия
1 ! J Крупная
j j j серия
Полную стоимость эксплуата-
ции в год можно представить
следующим образом:
Сэ = (См//сс) 4" Срасх -ф Среи + Сзэ.
(5.9)
Здесь fcc —срок службы си-
стемы.
Затраты Сраз на разработку
системы следует разложить на
число 'N экземпляров системы,
намеченное к серийному вы-
S)
Рис. 5,6
пуску.
С учетом изложенного стоимость С, которую надлежит рас-
сматривать как плату за полезность, можно вычислить по фор-
муле
С = [(СИ + См)//сс] +ар[Сраз/(Л7сс)]-{- 5:ЭСЭ, (5.10)
где ар и аэ—весовые коэффициенты. Введение этих коэффициен-
тов обусловлено тем, что составляющие затрат могут иметь рав-
ную значимость.
Для современных сложных систем характерно широкое приме-
нение ЭВМ. Разработка алгоритмов, составление и особенно от-
ладка программ для ЭВМ составляют существенную долю общих
затрат на разработку системы. Иногда эта доля может превышать
по стоимости затраты на разработку аппаратуры и оборудования
и поэтому всегда должна тщательно учитываться.
Несмотря на кажущуюся простоту формирования платы за полезность в
форме стоимости системы, в действительности этот обобщенный критерий таит
в себе много неожиданностей. Мы коснемся здесь лишь некоторых вопросов.
Стоимость разработки Сраз. Когда разработка новой системы начинается с
разработки эскизного и технического проектов, то формирование величин Cpa3
достаточно ясно. Стоимость Соаз представляет собой суммарные затраты на
выполнение этих и последующих этапов работы, вплоть до передачи доработан-
ной документации в серийное производство. Но очень часто между замыслом
новой системы и разработкой в указанном выше смысле лежит этап исследова-
175
тельских работ. Такое положение особенно характерно в двух ситуациях: когда
достижения научно-технического прогресса породили новую общественную' по-
требность; когда в результате того же прогресса открылась принципиальная
возможность удовлетворять прежние потребности качественно другими спосо-
бами. Здесь и появляются трудности с определением величины Сраз-
На рис. 5.7 упрощенно изображен этап исследований, предваряющих опыт-
но-конструкторскую разработку новой технической системы. На схеме выделены
четыре направления исследований:
исследования по проверке и отработке новых технических решений, закла-
дываемых в систему (стоимость Сн2);
исследования окружающей среды, с которой будет по-новому взаимодейст-
вовать система (стоимость Сн4);
исследования, необходимые для создания новой элементной базы, если та-
кая база является существенной составляющей замысла системы (стои-
мость С^);
исследования для создания новых материалов (стоимость Сн3);
Этим не исчерпывается круг необходимых исследований, но для обсужде-
ния смысла возникающей трудности этого достаточно. Если перечисленные ра-
боты необходимы для создания системы, то оправданы затраты Сн1, Св3, Снз,
CHi, а также затраты С01 и Соз на опытно-конструкторскую разработку новой
элементной базы и новых материалов. Но вопрос заключается в том, правильно
ли включать все перечисленные затраты в величину Сраз? Ведь новая элемент-
Рис. 5.7
176
пая база будет использована не только для рассматриваемой системы А, по и
для систем Б, В, Г, а новые материалы будут применены в системах Д, Е, Ж
(рис. 5.7). Предположим, что технический руководитель разработки системы А
оказался наиболее дальновидным и поставил перечисленные научно-исследова-
тельские работы (НИР). Руководитель разработки системы Б воспользовался
результатами этих НИР. Если расходы Снъ С’нз, СН4, Ст, С„3 будут включены
в плату за полезность системы А и не войдут в плату за полезность системы Б,
то это создаст последней неоправданные преимущества. Особенно остро про-
тиворечие может проявиться, если системы А и Б окажутся в положении аль-
тернатив.
Теоретически выход очень прост, надо включать в плату за полезность каж-
дой системы справедливую долю расходов на предварительные исследования.
Но реализовать такую теорию на практике исключительно сложно. Если бы та-
кое разделение даже удалось сделать, то в нем все равно не было бы справед-
ливости: новая элементная база и новые материалы найдут применение во мно-
гих разработках, которые еще не начинались, когда определялась плата за по-
лезность систем А и Б.
Учитывая изложенные трудности и широкую значимость исследований и
разработок общего характера (элементная база, материалы, окружающая сре-
да), представляется более правильным действовать следующим образом: в пла-
ту за полезность системы А должны включаться затраты только па те иссле-
дования, которые специфичны для системы А (см. стоимость Ся2 на схеме
рис. 5.7).
Стоимость запасных изделий и материалов Сзип- Для систем непрерывного
применения наличие в непосредственной близости минимального количества
запасного имущества может существенно влиять на их среднюю полезность. В
3.5 было показано, что время ремонта ip входит слагаемым в знаменатель дро-
би, являющейся множителем в формуле полезности (3.58). Ясно, что если для
ремонта системы, прекратившей функционирование из-за случайного отказа,
придется командировать представителя на завод в другой город, чтобы полу-
чить новую электронную плату взамен вышедшей из
мерно возрастет и соответственно снизится полезность.
С другой стороны, хранить в составе системы
излишне большое количество запасного имущества
«на все случаи жизни» тоже нецелесообразно уже
по экономическим соображениям. Качественный вид
зависимости полезности ф и стоимости С системы
от стоимости Сзип запасного имущества изображен
на рис. 5.8. Нетрудно убедиться, что удельная по-
лезность системы А=ф/С должна иметь максимум
при некоторой оптимальной стоимости, отводимой
на запасное имущество.
Стоимость Сзип должна входить в плату за
полезность как одно из слагаемых стоимости экс-
плуатации Сэ (формула 5.9). Это не только вы-
строя, то время нело-
12-1051
177
текает из сути дела, но важно еще и потому, что при таком формировании
платы за полезность у разработчика появляется стимул искать оптимум, изо-
•браженный па рис. 5.8.
Стоимость оплаты труда обслуживающего персонала C3J. Эти затраты вхо-
дят в стоимость эксплуатации системы [см. (5.9)]. Эта формула формально
объединяет расходы на запасные детали, расходы на горюче-смазочные мате-
риалы с зарплатой людей, эксплуатирующих систему. Затем стоимость эксплуа-
тации суммируется со стоимостью изготовления системы в расчете на год (фор-
мула (5.10)), образуя полную стоимость, т. е. плату за полезность. Таким обра-
зом, затраты на персонал, обслуживающий систему, и затраты на изготовление
системы на заводе рассматриваются как однотипные. Между тем с точки зре-
ния интересов общества природа этих затрат существенно различна, особенно
в тех случаях, когда функционирование системы не приводит к образованию
новой системы. Допустим, что сравниваются две системы. Стоимость изготов-
ления первой равна 1 млн. руб. при сроке службы 5 лет, а годичные затраты
на обслуживающий персонал составляют 50 тыс. руб. Вторая система с такой
же полезностью стоит в изготовлении 0,5 млн. руб. при 10-летнем сроке службы
и годичных затратах на обслуживающий персонал в 200 тыс. руб. ,
Формально плата за полезность первой системы без учета других состав-
ляющих равна
(7=1000/5+50 = 250 тыс. руб./год,
что следует из формулы (5.10). Плата за полезность для второй системы будет
С—500/10 + 200 = 250 тыс. руб./год.
Плата за полезность обеих систем одинакова. Но ясно, что для обслужи-
вания второй системы требуется в 4 раза больше людей, чем для обслуживания
первой. Это — явный недостаток второй системы, особенно существенный, если
предполагается применять систему в больших количествах. Расход ограниченных
людских ресурсов не эквивалентен расходу продукции промышленности, даже
если в денежном выражении они одинаковы. Этим и объясняется введение ве-
совых коэффициентов в формулу (5.10). Хотя сегодня мы не можем указать
обоснованных методов определения этих весовых коэффициентов, но само их
появление уже заставляет относиться к данной проблеме с осторожностью.
Несомненно, что со временем мы научимся их определять.
Следует сделать еще одно замечание. Определение стоимости изготовления
в деньгах часто наталкивается на трудности из-за несовпадения ее с ценой,
которая большей частью фигурирует в официальных документах изготовителей.
Значительно легче сравнивать затраты на изготовление альтернативных систем
в трудоемкостях (нормо-часах), и такой способ можно рекомендовать, если эти
затраты являются определяющими в общей плате за полезность.
5.4. ОСНОВЫ ВЫБОРА
Аналитическая зависимость полезности от частных критериев
и платы за полезность от ее составляющих, найденная в резуль-
тате применения методов, изложенных ранее, создает необходи-
мые предпосылки для сравнения альтернатив. Следующий этап
178
>, /юбно проводить на основе матрицы оценок. Это — таблица, в
которой представлены численные значения всех частных критери-
। в, включая значения функций принадлежности неметрических
критериев, для всех рассматриваемых альтернатив.
Используя данные матрицы оценок и указанные выше функ-
циональные зависимости, можно найти количественные значения
полезности фу и платы за полезность С,- для каждой из альтер-
натив j.
Дальнейший анализ пар чисел, характеризующих альтернати-
вы, целесообразно проводить на координатной сетке С—ф, где
каждая альтернатива представлена изображающей точкой.
Абсцисса изображающей точки равна плате за полезность, орди-
ната'— полезности данной альтернативы. Такую координатную
сетку с нанесенными на нее изображающими точками мы будем
называть полем выбора.
Полезность ф системы в общем случае является нелинейной
функцией платы за полезность С. Вид этой функции зависит от
того, насколько близко удалось разработчикам подойти к опти-
мальной системе. Хотя методы синтеза оптимальных систем нам
неизвестны, но можно утверждать, что при выбранной плате за
полезность существует такое сочетание численных значений част-
ных критериев, при котором полезность системы достигает макси-
мальной величины. Эти значения частных критериев и являются
оптимальными.
Для оптимальной системы полезность должна наиболее круто
возрастать с увеличением платы за полезность. Чем дальше от-
стоит спроектированная система от оптимальной, тем меньше ее
полезность при данной плате за полезность. Кроме того, зависи-
мость полезности от платы за полезность для такой системы бу-
дет иметь менее крутой характер, чем для оптимальной системы.
Но, как правило, ни разработчикам системы, ни аналитикам,
подготавливающим материалы для сравнения альтернатив, вид
зависимости полезности от платы за полезность спроектирован-
ных систем неизвестен. Они видят на поле выбора лишь отдельные
изображающие точки. И тем не менее эти точки во многих случаях
позволяют вынести определенные суждения о виде неизвестной
зависимости.
Предположим, что спроектированы системы 1, 2, 3, изобра-
жающие точки которых расположились на поле выбора так, как
показано на рис. 5.9. Если все три системы основаны на одинако-
вых принципах действия и имеют сходные структуры, то можно
ожидать, что все изображающие точки будут лежать на одной
кривой ф = )фС). Эта кривая может не отвечать оптимальной си-
стеме данного вида, но должна быть одна, если научно-техниче-
ский уровень разработки всех трех проектов примерно одинаков.
Однако из рис. 5.9 мы отчетливо видим, что точки не лежат на
12* 179
одной кривой. Действительно, нам известно, что функция f(C)
должна проходить через начало координат; мы можем полагать,
что эта функция имеет достаточно плавный ход. Поэтому есть
основания провести ее так, как показано на рис. 5.9. Изображаю-
щая точка (Сз, фз) оказалась явно ниже кривой, значит, система 3
спроектирована хуже систем / и 2. При стоимости Съ от систе-
мы 3 можно было бы потребовать полезности U’3.
При решении технической задачи могут быть предложены ре-
шения, различающиеся не только полезностью и платой за полез-
ность, но и основными принципами действия. Это не может поме-
шать рассматривать их как альтернативы. Так, для решения за-
дачи «слепой» посадки самолета на аэродром могут быть пред-
ложены две системы: в одной из них наземный радиопередатчик
формирует посадочную глиссаду, а на борту самолета имеется при-
емник, выходной индикатор которого показывает величину и на-
правление отклонения самолета по высоте от идеальной посадочной
траектории; другая система может быть основана на использова-
нии наземных лазерных трассеров и отметок на переднем стекле
кабины пилота, визуальное совмещение которых с оптическими
трассами обеспечивает спуск самолета по нужной траектории.
Если оба решения удовлетворяют основным требованиям к систе-
ме посадки, то они могут выступать как альтернативы.
Когда альтернативы основаны на разных принципах действия,
то зависимость ф=/(С) может быть для них также различной,
далее если научно-технический уровень проектов одинаков. При-
менительно к приведенному примеру это легко пояснить следую-
щим образом. Допустим, что в системе с наземными радиопере-
датчиками дальнейшее повышение точности приведения самолета
к посадочной полосе, а следовательно, и увеличение полезности
достигается ценой гораздо меньших дополнительных затрат, чем в
180
с истеме с лазерными трассерами. Тогда функция ф=Л(С>) будет
подниматься от данной изображающей точки первой системы бо-
лее круто, чем функция ф=/2(С) Для второй системы.
Поле выбора рис. 5.10 поясняет ситуацию при сравнении си-
стем, построенных на разных принципах. Здесь альтернативы
представлены изображающими точками 1 и 2. Кроме этих точек
на действительном поле выбора не будет ничего, но на рис. 5.9
показаны функции ф=Л (С) для системы 1 и tp=f2(C) для систе-
мы 2. Эти функции имеют различный характер, потому что си-
стемы построены на разных принципах. Пусть потребовалось до-
работать проекты так, чтобы поднять полезность до уровня ф7.
Естественно предположить, что доработки будут проводиться на
том же научно-техническом уровне, на котором были выполнены
первоначальные проекты. В итоге будут получены результаты,
представленные на рис. 5.10 изображающими точками Г и 2'. Мы
видим, что система 1 предпочтительнее системы 2, поскольку при
одинаковой полезности требует меньшей платы за полезность.
Кривые 4|?=f(C) на рис. 5.10 пересекаются в точке (Скр, ф|ф).
Мы этого могли бы не знать, поскольку вид функции нам неиз-
вестен. Но если при доработке проектов требовалось бы довести
полезность альтернатив до величины большей критической
полезности фкр> то изображающие точки заняли бы положения 1"
и 2". Преимущество теперь оказалось на стороне системы 2. Это
преимущество проявилось бы еще сильнее, если бы проект систе-
мы 2 был доведен по плате за полезность до той же величины,
что и проект 1. Это видно из расположения изображающих то-
чек 1" и 2"'. Если бы нам был известен ход кривых рис. 5.10, то
мы могли бы утверждать: принципы, на которых основана систе-
ма 1, имеют преимущества, когда требуется полезность системы,
меньшая фкр; при больших требуемых полезностях преимущест-
ва— за принципами, принятыми в системе 2.
Приведенные соображения относятся по существу к области
проектирования. Здесь знание вида зависимости полезности от
платы за полезность (или наоборот), как видно из сказанного,
очень важно Но для выбора предпочтительного варианта уже
спроектированной системы знать вид функций ф=/(С) необяза-
тельно. Ведь вопрос в этой задаче ставится так: перед вами изо-
бражающие точки уже спроектированных вариантов заданной си-
стемы, определите предпочтительную. Можно указать ряд прие-
мов решения такой задачи. Наиболее удобный для последующего
выбора, хотя далеко не простой в реализации прием, заключается
в приведении одного из обобщенных критериев всех альтернатив
к одному и тому же значению. Это значит, что все альтернативы
должны быть приведены к одинаковой полезности или к одина-
ковой плате за полезность. Рисунок 5.11 поясняет этот прием при-
менительно к двум системам, изображающие точки которых по-
181
мечены цифрами 1 и 2. Выбор предпочтительной альтернативы
затруднен тем, что система 1 превосходит систему 2 в полезности,
но требует и большей платы за полезность. В результате доработ-
ки проекта системы 1 в сторону снижения платы за полезность
ес изображающая точка может переместиться либо в положение
Г, либо в положение 1". Ясно, что при первом исходе мы пред-
почтем систему 2, а при втором — доработанную систему 1. Если
же решено доработать проект системы 2 в сторону повышения ее
полезности до уровня системы 1, то результатом этого могут быть,
изображающие точки 2' или 2”. И в этом случае определить пред-
почтения не представляет труда.
Существующие инженерные методы с большим успехом позво-
ляют проектировать сложные технические системы с одинаковой
(заданной) полезностью, чем с одинаковой платой за полезность.
Функционально-стоимостный анализ [44—46] предполагает вы-
бор более дешевого изделия из нескольких вариантов с одинако-
выми функциональными характеристиками, т. е. использует пер-
вый из названных путей.
Рассмотренный прием означает по существу замену задачи вы-
бора предпочтительной альтернативы из числа имеющихся зада-
чей разработки новых альтернатив, удобных для последующего
определения предпочтительной. В реальной жизни такой прием
редко может быть применен. Тогда выбор приходится производить
в условиях, когда альтернативы отличаются друг от друга обоими
обобщенными критериями.
Самый простой принцип, которым для этого можно руководст-
воваться, это принцип максимальной экономии средств. В его осно-
ву положены следующие соображения. Различные варианты ре-
шения поставленной технической задачи стали альтернативами
потому, что каждый из них удовлетворяет или почти удовлетво-
ряет поставленным требованиям и, значит, имеет полезность не
ниже допустимого минимума (ф>фт|П ). Тогда из альтернатив
Рис. 5.12
182
надо выбрать ту, которая отличается минимальной платой за по-
лезность. Для поля выбора с шестью альтернативами, изображен-
ного на рис. 5.12, предпочтительной альтернативой по принципу
максимальной экономии является альтернатива 4.
Наиболее наглядным приемом определения предпочтительной
альтернативы на поле выбора является прием, основанный на
близости к «идеальной» системе. Рассмотрим поле выбора на
рис. 5.12. Соединим изображающие точки 1 и 2 отрезком прямой
и продолжим его до пересечения с осью координат. Точку пересе-
чения И можно рассматривать как изображающую точку некоей
«идеальной» системы, имеющей конечную полезность при нулевой
плате за нее. Такая система, конечно, нереализуема, но введение
понятия об «идеальной» системе позволяет провести следующее
рассуждение.
Рассмотрим расположение изображающих точек на линии
1-^-И. Мы замечаем, что точка 2 ближе к изображающей точке
«идеальной» системы, чем точка 1. Значит, из двух систем 1 и 2
предпочтительной надо считать систему 2.
Соединим теперь отрезком прямой изображающие точки 2 и 4.
Продлим этот отрезок до пересечения с осью координат. Точку
пересечения Б можно рассматривать как изображающую точку
некоей «бесполезной» системы, требующей конечной платы за
полезность, по не приносящей никакого полезного эффекта. Рас-
сматривая расположение изображающих точек вдоль линии 2--Б,
мы замечаем, что изображающая точка 4 находится ближе к изо-
бражающей точке «бесполезной» системы, чем точка 2. Значит, из
двух систем 2 и 4 предпочтение резонно отдать системе 2.
Выбор, основанный на близости к «идеальной» системе, по су-
ти дела предполагает, что полезность обладает свойством адди-
тивности. Но, как мы уже знаем (см. § 5.1), это не всегда так.
Поэтому близость к «идеальной» системе надо использовать
Рис. 5.13
183
с осторожностью. Опыт показывает, что этот прием дает обычно
правильные результаты, если различие в полезности сравниваемых
систем не превышает трехкратного.
До сих пор мы представляли альтернативы на поле выбора
изображающими точками. Между тем ясно, что и полезность, и
плата за полезность могут быть вычислены только приближенно.
Поэтому изображающие точки должны быть окружены некоторой
зоной неопределенности. Вследствие этого возможна неопреде-
ленность при поиске предпочтительной альтернативы даже тогда,
когда принцип близости к «идеальной» системе применим.
Рис. 5.13 поясняет эту мысль. На поле выбора (рис. 5.13,а) име-
ются три изображающие точки /, 2, 3, окруженные зонами не-
определенности. При сравнении систем 1 и 2 мы замечаем, что
«идеальная» система теперь уже представлена не изображающей
точкой, а изображающим отрезком KL. Все точки этого отрезка
отличаются конечной полезностью при нулевой стоимости. По-
этому несмотря на зону неопределенности вокруг изображающих
точек 1 и 2 можно с уверенностью отдать предпочтение системе 1.
Но при сравнении систем, представленных на рис. 5.13 изо-
бражающими точками 2 и 3, положение меняется. На осях коор-
динат обозначились два отрезка: OF — геометрическое место «иде-
альных» систем и ОМ — геометрическое место «бесполезных» си-
стем. Изображающая точка 2 ближе как к тем, так и к другим,
чем изображающая точка 3. Поэтому сказать, какая из систем 2
или 3 является предпочтительной, уже не представляется возмож-
ным. Можно только предполагать, что чем сильнее неравенство
OKJOF 2>~бМ1ОМ0,
тем больше уверенность в предпочтительности системы 2 перед
системой 3.
На рис. 5.13,6 изображена ситуация, при которой принцип
близости к «идеальной» системе позволяет уверенно установить
предпочтение несмотря на зону неопределенности около каждой
изображающей точки. Предпочтения на рис. 5.13 обозначены зна-
ком направленным своим острием в сторону менее предпо-
чтительной системы.
Определение размеров зоны неопределенности положения изо-
бражающей точки должно производиться путем вычисления по-
лезности и платы за полезность с учетом возможного разброса
величины частных критериев. Допустим, что функция полезности
имеет вид
ф = /(ЛрХг,.. (5.11)
где др, х2, ..., хп—частные критерии. Предположим, что частный
критерий г имеет дисперсию оД. Тогда за «радиус» зоны неопре-
184
ш'.'К'пности по вертикали можно в первом приолижении принять
111'ЛИЧИНу
я , , 2"11/2
р‘=[§(дН]' (5,2)
Точно так же за «радиус» зоны неопределенности по горизонталь-
ной оси можно считать величину
г^-, / др Х2-11/2
f== 1 -Д7М • <5|3>
L/=i \ оу, ! J
<де <т2; —дисперсия оценки величины частного критерия платы
за полезность у-; С—плата за полезность; т — число частных
критериев. Из (5.12) и (5.13) видно, что зона неопределенности
будет в общем случае иметь вид эллипса.
Если с помощью изложенных выше приемов определить пред-
почтительную альтернативу не удается, то приходится выйти за
рамки данной системы и рассмотреть ее место и роль в системе
более высокого уровня, частью которой она является. Такой под-
ход рекомендуется, например, в работе [40]. Поясним его сущ-
ность на простом примере.
Допустим, что разработаны два проекта радиолокатора кругового обзора,
характеризующиеся следующими обобщенными критериями:
проект 1-—“ф1=0,7- 10Б км3/с, Ci = 100 тыс. руб., 7<1=0,7 км3/(с. руб);
проект 2—-ф2=1,1 - Ю5 км3/с, С2=130 тыс. руб., Д2 = 0,85 км3/(с. руб.).
Радиолокаторы в обоих проектах имеют одинаковые частные критерии по-
лезности, включая максимальную дальность действия под малыми углами места.
Различия в их полезности обусловлены разными зонами контроля в угломест-
ной плоскости: первый проект предусматривает обзор в пределах углов места
0—10°, второй — в пределах 0—20°. Для обзора зоны от 10 до 20° предусмот-
рен второй комплект приемопередатчика и второй облучатель в антенне. Нали-
чие этого дополнительного оборудования привело и к увеличению стоимости
радиолокатора.
Для центра управления воздушным движением потребовался радиолокатор
со сходными характеристиками. Поэтому было решено рассмотреть как аль-
тернативы проекты 1 и 2, хотя они разрабатывались для других применений
радиолокатора. Оставаясь в рамках сравниваемых альтернатив, определить
предпочтительную затруднительно. Можно предположить, что предпочтение сле-
довало бы отдать проекту 2, поскольку он дает большую полезность иа рубль
затрат (обобщенный критерий К). Но уверенности в правильности такого вы-
бора нет, и поэтому аналитики рассматривают радиолокатор в составе системы
более высокого уровня. В данном случае такой системой является центр управ-
ления воздушным движением. При анализе места и роли радиолокатора в со-
185
ставе центра установлено, что среди оборудования центра имеется радиолока-
тор дециметрового диапазона, обеспечивающий полноценный контроль воздуш-
ного пространства при всех углах места, больших 10°. Но на меньших углах
места контроль на нужных дальностях не обеспечивается. Этим и обусловлено
решение дополнить оборудование центра радиолокатором, представленным од-
ним из рассматриваемых проектов. Теперь уже задача приобрела полную
ясность: можно принять в качестве минимально приемлемого угломестного сек-
тора величину 0-ь 10° и, следовательно, в качестве минимально приемлемой по-
лезности ' Ю5 км3/с. Используя теперь принцип максимальной эконо-
мии, мы должны отдать предпочтение проекту 1. Это позволит обеспечить нуж-
ную полезность и получить экономию в 30 тыс. руб. на оборудовании каждого
центра управления.
Мы рассмотрели некоторые приемы определения предпочти-
тельной альтернативы на поле выбора. Однако надо помнить, что*
эти приемы служат только для того, чтобы подготовить рекомен-
дации лицу, принимающему решение, т. е. соответствующему от-
ветственному руководителю, Поле выбора с изображающими точ-
ками альтернатив, рекомендации аналитиков облегчает его зада-
чу. Но окончательное решение принимает он, учитывая не только
эту информацию, но целый ряд других важных неформализуемых
факторов, начиная от наличия сложившейся производственной
кооперации у организаций, подготовивших проекты, и кончая
сходством запасного имущества предлагаемых проектов с тем,
которое применяется в уже эксплуатируемом оборудовании.
Для практического использования метода функции полезности
(МФП) желательно представить его в виде совокупности некото-
рых правил, определяющих последовательность и содержание дей-
ствий, которые необходимо выполнить для решения задачи выбо-
ра. Можно назвать эту совокупность правил алгоритмом МФП,
хотя подобный термин надо понимать условно с учетом указан-
ных выше особенностей метода. Алгоритм МФП упрощенно изо-
бражен на блок-схемах рис. 5.14 и 5.15. Он предусматривает сле-
дующие основные действия:
Действие.1: сформулировать понятия «полезность» и «плата
за полезность» применительно к сравниваемым системам.
Действие 2: выбрать частные критерии полезности и частные
критерии платы за полезность.
Действие 3: составить матрицу оценок, т. е. таблицу, строками
которой являются частные критерии, а столбцами — альтернативы.
Действие 4: преобразовать неметрические критерии (если они
есть) в количественные показатели функции принадлежности.
Действие 5: представить полезность и плату за полезность как
функции частных критериев.
Действие 6: вычислить полезность и плату за полезность для
всех альтернатив и построить поле выбора.
186
?1Дать определение
назначения
Установить
главное полезное -*•
свойство
Стрормшир о Dam
Оформупировать
Отобрать
критерии.
Проверить форму-
лировку ф эксперт-
ным методом
ю
1 Да.
Дать задание
авторам проектов
| Дать задание
^авторам проектов
Опоедемть зтсперг-
м копичестЗенныв
оценки
13 __
Преоорпзойать оцен-
ка с помощью функ-
ции привадпеншости
Стодрать
неметрические чкф
"И Проверить
полноту данных
по С S проектах
17-----1----
Нет XРасхождением
f—\o мети Зике и ниш-
^•.маталаСестьт/
Составить
перечень значимых
параметров
С вставить
ереченъ чк у>
Отобрать
мыпзические чкй
_\Да
ZEZZ
составить ! “1
прсчень ок 1 i леречеш
перечень чк „ J |_ограничении
21 \
чк - частные критерии Спстппвито
л ' матрицу оценок
Т
f
Рис. 5.14
21.
/ Проекты >
С удовлетворяют
Отграничениям^/
187
7
7J
Формулировки
полезности
Применить метой
варьирования
т—-3——ч
/ функция
ф='в(х,^хп)
^'Лмучена? .
f----
Анализ физики,
функционирования
Частные критерии
Нет /Е™ь ли критей\ цт
——<^тиОиОа случайных > г—<
\ ошибок? /
______^Тгд I
5
!ет
п\
№
'Есть ль '
критерии.
ч найеяности?
Применить метав I ^\Примекиак метой
учета сшивах учета навенекое та
8уг~Г^-----\
S Функция
ф=Е(х,г-хп)
получена? н
Нет
П р. ..J—
I Применить мьлев
потребительских [
1 показателей I
Тда
Г
/Z‘—-
йк Фульца я
L./ ф
нет ^получена ?
yiTCZZ.
-ч,
/ Функция
\ по л у йена у у'нет
Да.
Установить
окончательный вив
ф^(Х,?Х„)
капец
Рис. 5.15
75
Определить |
невостакщие ; !
связи экспертно !
188
Глава 6
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ
6.1. ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Доказательство состоятельности метода функции полезности-
основано на индуктивной логике. Установив в общем виде свой-
ства полезности технических систем и их связи с частными крите-
риями, мы применяли затем такой подход к отысканию аналити-
ческого выражения для полезности некоторых конкретных си-
стем. Эти действия содержат в себе элементы дедукции. Но, убе-
дившись на отдельных задачах, что методом функции полезности
можно определить предпочтительную альтернативу, мы далее
предполагаем применимость метода для широкого класса много-
критериальных технических систем. Такое предположение отно-
сится уже к категории индуктивной логики.
Как известно, индуктивное знание имеет вероятностный харак-
тер, в общем случае оно не обладает достоверностью. Чтобы при-
дать ему наибольшую объективную обоснованность и правиль-
ность, надо соблюдать определенные условия. Эти условия за-
ключаются в следующем: индуктивное обобщение прочно лишь
тогда, когда оно ведется по существенным признакам; индуктив-
ное обобщение правомерно распространять лишь на объективно
сходные предметы и явления [49, 85, 86].
Частные критерии полезности, отобранные из основных пара-
метров системы для формирования из них функции полезности,
должны явиться теми существенными признаками, которых тре-
бует первое условие. Любая техническая система имеет парамет-
ры, непосредственно определяющие полезный эффект ее функцио-
нирования. Поэтому при правильном отборе частных критериев
первое условие должно выполняться.
Сложнее обстоит дело со вторым условием. Рассмотрим сна-,
чала основания для сходства конкурирующих систем в пределах
единичной задачи выбора. Здесь не обязательно сходство систем
по структуре или по физическим принципам действия. Важно
только, чтобы рассматриваемые как «черные ящики» альтернатив-
ные системы имели сходные выходные характеристики и сходную
реакцию на предусмотренные назначением входные воздействия.
Допустим, что сравниваются две системы «слепой» посадки
самолетов. Одна из них основана на применении наземного ра-
диомаяка, формирующего посадочную глиссаду. Вторая система
использует бортовой лазерный высотомер и бортовой инерциаль-
ный измеритель пути и скорости. Пусть в обоих вариантах управ-
ляющие команды поступают на автопилот самолета. О полезности
189
-системы судят по точности и достоверности информации, выдавае-
мой системой при различных внешних условиях. Для познания
системы в интересах определения предпочтительной альтернати-
вы такой информации достаточно. И если во всем диапазоне пре-
дусмотренных внешних условий поведение обеих систем по ука-
занным признакам одинаково, то у нас нет никаких оснований нс
считать их идентичными по полезности.
Напомним, что как раз на этом основано широко известное
доказательство возможности создания «мыслящей» машины, пред-
ложенное А. М. Тьюрингом: если по ответам на серию вопросов,
задаваемых поочередно двум абонентам, человек-судья не может
установить, какой из абонентов — машина, а какой — человек, то
судья вынужден сделать вывод, что оба абонента обладают оди-
наковым интеллектом [87].
Мы приходим к выводу, что различие во внутреннем построе-
нии сравниваемых систем одинакового назначения не нарушает
второго условия индуктивной логики.
Но важно убедиться, что второе условие не нарушается и тог-
да, когда метод функции полезности, апробированный на несколь-
ких конкретных задачах выбора, предлагается как общий метод
определения предпочтительной технической альтернативы.
Рассмотрим любую техническую систему общественного поль-
зования. Она предназначена для удовлетворения некоторой по-
требности. Степень удовлетворения этой потребности не зависит
от чьих-либо мнений, а определяется совокупностью свойств са-
мой системы. Значит, любая техническая система обладает объ-
ективной полезностью. Не вызывает сомнений, что полезность не-
посредственно связана с существенными характеристиками систе-
мы, называемыми частными критериями. Поэтому между ними
должна существовать функциональная зависимость. Весь вопрос
заключается в том, в состоянии ли мы ее установить в явном
виде.
Это рассуждение является лишь доводом в пользу универсаль-
ности метода функции полезности. Не имея строгих доказательств
этой универсальности, мы полагаем целесообразным накапливать
опыт применения метода к конкретным задачам выбора предпо-
чтительной альтернативы. Успешное решение каждой конкретной
задачи увеличивает правдоподобность утверждения о пригодно-
сти метода в качестве рабочего аппарата для выбора. При этом
могут выявляться слабые стороны, и это послужит основанием
для дальнейшего совершенствования метода, либо покажет его
ограниченные возможности.
Многочисленные примеры, приводившиеся в предыдущих гла-
вах, служили лишь для пояснения отдельных сторон метода функ-
ции полезности. Эта глава посвящена демонстрации применения
метода в целом. Приведенные задачи определения полезности и
1190
ni.i(ii>|>a предпочтительной альтернативы относятся к различным
ц(и1.1стям техники. Это должно способствовать быстрейшему на-
|ч >||.пс11ию опыта, о котором говорилось выше, и, следовательно^
ш.к-трейшему установлению потенциальных возможностей метода
функции полезности.
6.2. СИСТЕМА ДЛЯ ПРЕДУПРЕЖДЕНИЯ СТОЛКНОВЕНИЯ
САМОЛЕТОВ В ВОЗДУХЕ
Для повышения безопасности полетов проектируется автоном-
ная самолетная система, предназначенная для предупреждения
пилота самолета гражданской авиации о появлении в зоне дру-
гого самолета, представляющего опасность столкновения с ним.
Система должна давать пилоту наглядную информацию о реко-
мендуемом маневре безопасности с достаточным упреждением во-
пременп, а также позволять автоматически производить такой
маневр при подключении к автопилоту самолета.
Безопасности полетов самолетов гражданской авиации при-
дается первостепенное значение, и поэтому одновременно с уве-
личением интенсивности воздушного движения повышается уро-
вень средств и мероприятий, сводящих к минимуму возможность.
столкновении в воздухе.
Тем не менее вероятность столкновений самолетов в воздухе
на трассах их маршрутного движения хотя и ничтожная, но
остается. Для исключения воздушных катастроф в подобных даже
маловероятных случаях целесообразно иметь на самолетах систе-
му непосредственного предупреждения о .возникновении опас-
ности.
Далее нам придется очень часто упоминать термин «система
для предупреждения столкновения самолетов в воздухе» и поэто-
му полезно придать ему более краткий вид. С этой целью мы бу-
дем использовать термин Престол, образуемый из слов: ПРЕду-
предитель Столкновений.
Главное назначение Престола — предупреждение столкновений
па трассе маршрутного полета; в районе аэропортов эта функция
с большим совершенством может выполняться путем управления
с земли. Поэтому рассмотрение будет касаться ситуации, когда1
самолет уже набрал заданную высоту и находится в горизон-
тальном полете.
В соответствии с алгоритмом МФП (см. § 5.4) первым дейст-
вием должно быть четкое формулирование основного функцио-
нального назначения системы. Степень выполнения этого назна-
чения определяет полезность системы. Из приведенных выше со-
ображений уже ясно, что основное функциональное назначение-
Престола можно сформулировать так: Престол предназначен для'
исключения или снижения до минимума возможности столкнове--
19Р
ния данного самолета, находящегося в полете по маршруту на
постоянной высоте, с другим самолетом, вертолетом или аэроста-
том, пересекающим по каким-то причинам его трассу.
Чтобы перейти от этого определения к формулированию по-
лезности Престола, надо представить себе, какой количественной
мерой можно определить степень выполнения системой своего
основного назначения. В данном случае подходящей мерой может
служить вероятность предотвращения столкновений. Целесооб-
разно эту вероятность рассматривать как условную, т. е. примени-
тельно к случаю, когда при отсутствии Престола катастрофа бы-
ла бы неизбежна. Тогда полезность Престола можно определить
следующим образом: его полезность ф измеряется вероятностью
того, что в течение всего полета на трассе типовой протяженности
столкновения самолета с другими летательными аппаратами не
произойдет при условии, что при отсутствии Престола столкнове-
ние неизбежно.
Переходим к действию 2. Сначала составим перечень целевых
и других наиболее важных (значимых) параметров системы:
1. Дальность обнаружения опасного объекта.
2. Угловой сектор контроля пространства по курсу.
3. Угловой сектор контроля пространства по тангажу.
4. Погрешность определения координат и вектора скорости
•опасного объекта.
5. Время задержки с момента обнаружения до момента выда-
чи необходимой информации для выполнения защитного маневра
пилоту самолета или автопилоту.
6. Вероятность безотказной работы Престола в течение всего
времени полета по трассе типовой протяженности.
7. Мнемоническое совершенство индикатора Престола, уста-
новленного в кабине пилота.
8. Относительное ухудшение обнаружительных способностей
Престола в экстремальных погодных условиях.
9. Массо-габаритные характеристики.
10. Электропотребление от бортсети.
11. Расход воздуха от бортовых магистралей самолета.
12. Сложность монтажа Престола на самолетах, находящихся
•в эксплуатации.
13. Стоимость изготовления Престола в серийном производ-
стве.
14. Стоимость эксплуатации Престола.
Сформулированное выше определение полезности Престола и
приведенный перечень позволяют выявить частные критерии по-
лезности. Действительно, для успешного выполнения системой
•своего назначения важно, чтобы обеспечивалось обнаружение объ-
ектов в широком секторе углов и на достаточной дальности. Не-
обходимо также, чтобы измерения координат и вектора скорости
,192
опасного объекта выполнялись с достаточной точностью за прием-
лемо малое время, а информация отображалась на пульте пилота
в ясном и однозначном виде. Кроме того, выдача информации
должна происходить с таким упреждением относительно момента
сближения с опасным объектом, чтобы с учетом запаздывания
реакции пилота и затрат времени для выхода самолета на уста-
новившуюся перегрузку самолет смог произвести необходимый
защитный маневр. Ясно, что все указанные операции могут быть
выполнены лишь при исправном функционировании всей аппара-
туры Престола.
Таким образом, из приведенного выше перечня параметров в
категорию частных критериев полезности должны войти позиции
1—7. Что касается позиции 8, то ее можно не включать в число
критериев, если известно, что конкурирующие варианты прибора
используют радиолокаторы сантиметрового диапазона. Если же
какой-либо из вариантов предусматривал бы использование милли-
метровых волн или лазерной локации, то параметр позиции 8 так-
же надо было бы включать в число частных критериев.
Позиции 10—14 перечня параметров должны войти в частные
критерии платы за полезность. Позицию 9 целесообразно считать
«кандидатом» платы за полезность, как это рекомендуется в гл. 5.
Таким образом, мы имеем следующую группу частных крите-
риев полезности Престола:
1. Дальность обнаружения опасного объекта 7?.
2. Сектор контроля по курсу ±рр.
3. Сектор контроля по тангажу ±е.
4. Среднеквадратические ошибки измерения: дальности от?,
курсового угла <тр, тангажного угла .<тг.
5. Время задержки в выдаче информации г.
6. Вероятность безотказной работы в течение полета по трас-
се типовой протяженности р0.
7. Мнемоническое совершенство индикатора.
В рассматриваемой задаче изложение построено так, что опи-
сание конкурирующих вариантов Престола еще не приведено. По-
этому временно пропустим действия 3 и 4 алгоритма МФП и сразу
перейдем к действию 5.
Определение вида функции полезности. Ранее было дано опре-
деление полезности как вероятности предотвращения столкнове-
ния при определенных условиях. Эта вероятность как случайное
явление зависит, в свою очередь, от вероятности осуществления
ряда частных событий. Поэтому удобнее сначала выразить полез-
ность ф через вероятность частных событий, а затем уже связать
каждую из них с частными критериями полезности системы.
Итак, столкновение будет предотвращено при следующих усло-
виях:
13—1051
193
опасный объект охвачен сектором контроля в плоскости курса
(вероятность этого события обозначим ре ),
опасный объект охвачен сектором контроля в плоскости танга-
жа (вероятность этого события обозначим ре),
дальность обнаружения объекта будет не меньше необходимой
для выполнения всех последующих операций (вероятность этого
события обозначим pr),
величина общей задержки от момента обнаружения объекта
до момента начала эффективного защитного маневра не превысит
расчетного значения (вероятность этого события обозначим рх),
в течение типового полета вся аппаратура Престола будет
функционировать нормально (вероятность этого события обозна-
чим р0),
индикатор прибора обеспечит безошибочное считывание пило-
том выданной информации с задержкой, не большей, чем расчет-
ная (вероятность этого события обозначим ри),
маневр обеспечит безопасную дистанцию до объекта (вероят-
ность рм).
Все перечисленные события являются случайными и в опреде-
ленном смысле независимыми. Поэтому совместная вероятность
осуществления всех этих событий (а это необходимо для предот-
вращения столкновения) равна произведению вероятностей. Та-
ким образом, мы приходим к выражению для полезности Пре-
стола:
'i' = Р^Р^РкР^РоР» Рш (6- О
Мы видим, что получить выражение полезности через вероят-
ность ряда частных событий не представило труда. Значительно
сложнее выразить вероятности, стоящие в правой части, через ча-
стные критерии полезности. К этому сейчас и следует перейти.
Начнем с вероятности рк обнаружения опасного объекта на
требуемой дальности R. Теория радиолокационного обнаружения
позволяет вычислить рц через характеристики радиолокатора,
дальность, эффективную площадь отражения объекта и установ-
ленную вероятность ложных тревог.
Однако при определении полезности конкурирующих вариан-
тов Престола производить подобные вычисления нет необходимо-
сти: в проектах приборов, представленных на конкурс, обязатель-
но должна содержаться величина рд. Не выбрав величину ря,
нельзя при проектировании определить характеристики радиоло-
катора, а следовательно, его схему и конструкцию. Часто величи-
на pR непосредственно задается в техническом задании на раз-
работку.
Перейдем к определению вероятности рр, имея в виду, что»
обнаружить опасный объект можно только в том случае, если в
любых ситуациях он окажется своевременно в пространственном
194
секторе, контролируемом радиолокатором. На схеме рис. 6.1,а
показаны в горизонтальной плоскости: исходные положения А и
Б и векторы скорости v и и самолета с Престолом и опасного
объекта соответственно; курсовой угол ср между v и и; точка К
пересечения траекторий при линейной пролонгации движения са-
молета А и объекта Б. Предполагается, что оба объекта нахо-
дятся на одной и той же высоте над землей. Если bKJu=AKJv, то
в точке К произойдет катастрофа.
На рис. 6.1,6 и в показаны возможные простейшие способы
предотвращения катастрофы с помошью маневра в горизонталь-
ной или вертикальной плоскости соответственно. Одноименными
33*
Рис. 6.1
195
цифрами обозначены положения обоих летательных аппаратов в
различные моменты сближения. Знаками ДЛт и ДА/,И указаны наи-
более близкие расстояния между объектами при защите от стол-
кновения с помощью маневра. Для того чтобы избежать столкно-
вения в случае, изображенном на рис. 4.1,а—в, самолет с Престо-
лом при нахождении его в точке А должен начать маневр. Но
для этого по меньшей мере в этой точке он должен уже иметь
информацию об опасном объекте Б. При каких же условиях он
потенциально может получить эту информацию?
На этот вопрос отвечают схемы рис. 6.1,г—е. На схеме г опас-
ный объект приближается под прямым углом к трассе движения
самолета. Установленный на последнем Престол контролирует сек-
тор углов ±рр по курсу. Одноименными цифрами показаны поло-
жения сближающихся объектов в моменты времени 1 и 2. Как
видно, в течение всего периода сближения опасный объект не бу-
дет обнаружен при любой дальности действия Престола. Анало-
гичное положение изображено на рис. 6.1Д, только здесь опасный
самолет приближается по почти тому же курсу, который имеет и
наш самолет. Из сказанного уже ясно, в чем состоит требование
потенциальной возможности обнаружения опасного объекта: угол
визирования опасного объекта р всегда должен быть меньше рр—
половины сектора контроля (рис. 6.1,е). Из треугольника АБК
можно найти минимально приемлемую величину рр:
. Q sin ф 0
= -------------• (6-2>
('Vju) — COS <р
График функции (6.2) изображен на рис. 6.2,а. Мы видим, что
требуемое значение рр существенно зависит как от курсового
Рис. 6.2
196
угла встречи <р, так и от отношения скорости самолета с Престо-
лом к скорости опасных объектов (и/п). При этом если v больше
и, то требуемое значение рр имеет максимум при некотором угле
встречи <р, если же скорость опасных объектов превышает ско-
рость самолета с Престолом, то с уменьшением угла встречи тре-
буемое значение |Зр монотонно возрастает, достигая в пределе
180°, что соответствует круговому обзору по курсу.
Для упрощения задачи представим себе временно, что все
опасные объекты имеют ту же скорость, что и наш самолет. Из
графиков рис. 6.2,а видно, что и в этом случае величина рр су-
щественно зависит от возможного курсового угла встречи, изме-
няясь в пределах от 0 до 90°. Последнее значение (Зр означает
контроль в пределах 180°, причем центр сектора контроля должен
находиться в направлении вектора скорости полета самолета.
Сложность и стоимость Престола очень существенно зависят от
сектора контроля, и поэтому важно обоснованно определить связь
между величиной рр Престола и его полезностью ф.
В нашей задаче надо исходить из предположения, что любые
значения углов встречи qp равновероятны. Действительно, необхо-
димость в оснащении самолетов системой Престол потому и воз-
никает, что не исключаются полеты других летательных аппара-
тов с нарушением установленных правил. Но тогда у нас нет ни-
каких оснований считать, что, скажем, неразрешенный полет на
встречном курсе имеет не такую вероятность, как полет с курсо-
вым углом 135 или 90°.
Совсем иное положение с потенциально возможным числом
встреч в зависимости от курсового угла. На рис. 6.2,6 самолет с
Престолом находится в точке А и должен пролетать трассу дли-
ной L. Показаны потенциально опасные положения объекта, при-
ближающегося с курсовым углом <рь и объекта, приближающегося
с курсовым углом ср2- Из рисунка уже ясно, что чем больше <р, тем
больше потенциально опасных положений приближающегося объ-
екта при прочих равных условиях. Возвращаясь к рис. 6.1,е, мы
можем сказать, что число потенциально опасных положений объ-
екта с данным курсовым углом <р будет пропорционально длине
Rt. Величину Rt очень просто найти из треугольника АБК. Пусть
А есть начальная точка типовой трассы, а. К — ее конечная точка.
Задача Престола — обеспечить безопасность на трассе А—К. Обо-
значим длину трассы через L = vt, а отношение u/v через s. Тогда
выражение для Rt будет иметь вид
/?T = Z.[l+s2 — 2SCOS?]1'2. (6.3)
В силу гипотезы о равновероятном распределении возможных
курсовых углов опасных объектов число W потенциально опасных
197
положений объектов в пределах сектора от <р = срк до <р=л будет
равно
N=^cL j’[ 1 4-s2 —2.s cos с-]1/2 (6.4)
где c — коэффициент пропорциональности. Заменим переменную
<р на новую переменную а
а = (и — <р)/2.
Тогда выражение (6.4) примет следующий вид:
/> Г / 2<г'/2 11/2
Я=2ц£(14-з) 1— (_2_ sin2 а da.. (6.5)
J L \ 1 + sj
о
Вводя обозначения
(« - <рк)/2 = Ъ 2з^/(1 + з) = k, (6.6)
приводим выражение (6.5) к окончательному виду:
I
N = 2cL{\-\-s) {[1— A2 sin2 а]1'2 Л. (6.7)
о
Мы видим, что интересующая нас величина определяется эллип-
тическим интегралом второго рода:
E[k, —ft2 sin2 а]1,2 t/a, (6.8)
О
где k, у выражаются соотношениями (6.6). Символ s, входящий
в (6.6), представляет собой отношение скоростей опасного объек-
та и нашего самолета:
s = ulv. (6.9)
Максимальное число JVraax возможных положений объекта во всей
плоскости полета самолета получим при срк =0, что видно из (6.4).
При фк=0 угол у=я/2. Таким образом, имеем
Nmax = 2cL(l-^S)E(k^l2). (6.10)
Отношение N к N тах есть не что иное, как вероятность р$ того,
что опасный объект попадет в зону контроля, если последняя име-
ет такой раствор, что позволяет потенциально обнаруживать объ-
екты с курсовыми углами от <рк до л. Производя несложные под-
становки, получаем
Л = £(А,(к-?к)/2)/£(й,42), (6.11)
где k определяется из (6.6) и (6.9) и может быть записано так:
^ = 2(«4)V2/(1+ и/ц). (6.12)
198
График функции (6.11) изображен па рис. 6.3. Как видно из ри-
сунка, вероятность /Ъ слабо зависит от s, но существенно изме-
няется с изменением фк. Нашей целью, однако, является отыска-
ние зависимости ру не от срк, а от сектора, контролируемого Пре-
столом. Теперь эту зависимость найти очень просто с помощью
графиков рис. 6.2,а и 6.3. Результат изображен графиками рис. 6.4.
Величина рр при данном |Зруже существенно зависит от отноше-
ния ulv, что обусловлено сложной связью между рр и ср (см. гра-
фики рис. 6.2,а). Графики рис. 6.4 позволяют установить функ-
циональную связь между контролируемым сектором Престола по
курсу (±РР) и его полезностью. На рис. 6.4 зависимость рр от
величины полусектора контроля (Зр дана для трех соотношений
скорости самолета v и скорости опасного объекта и. Но с по-
мощью приведенных формул нетрудно, в случае необходимости,
получить подобные зависимости для любых отношений u/v.
Для определения влияния на полезность величины сектора,
контролируемого в вертикальной плоскости, можно применить тот
же подход, что и использованный выше. Но в вертикальной пло-
скости задача упрощается тем, что угол подъема траектории при
наборе самолетом высоты или угол спуска траектории при сни-
жении для самолетов гражданской авиации невелик. Сектор об-
зора в вертикальной плоскости ±6-е9° при этом гарантирует по-
падание опасного объекта в контролируемую зону*. Обычно си-
стемы типа Престол имеют не меньшие секторы контроля в вер-
тикальной плоскости, что позволяет исключить величину этого
* Здесь не рассматривается задача обнаружения летательных аппаратов,
приближающихся к самолету с Престолом в режиме аварийного пикирования,
как неоправданно усложняющая требования.
199
сектора из формулы полезности. Если среди конкурирующих ва-
риантов предупредителя столкновений окажется такой, у которо-
го сектор контроля в вертикальной плоскости будет меньше при-
веденной выше величины, то потребуется учесть влияние этого
ограничения иа полезность. Это можно сделать по той же методи-
ке, которая выше была применена для курсовых углов.
г Перейдем теперь к установлению связи между полезностью и
^критериями:
j дальность У? обнаружения опасного объекта,
; среднеквадратическая ошибка измерения координат а£, ар, ад,
) I время т задержки в выдаче информации.
Из рис. 6.1,е следует, что располагаемое время Zp при обна-
ружении опасного объекта на дальности R при курсовом угле
между нашим самолетом и опасным объектом ф можно найти из
соотношения
R2 = (Ц/Р)2 + (®ZP)2 — 2 («Zp) (z>Zp) cos <p.
После обнаружения опасного объекта защитный маневр начнется
не сразу, а с некоторой задержкой т3, которая определится за-
держкой т в аппаратуре обработки информации самого Престола,
временем тп реакции пилота и временем тс выхода самолета на
установившийся маневр:
тз — т + тс-
‘.От того, как выполнена аппаратура Престол, зависит величина г,
частично (через мнемоническое совершенство индикатора)—ве-
личина тп. Для упрощения рассматриваемой задачи ниже будет
Использоваться только единое время задержки т3.
Самолет может совершать защитный маневр как в вертикаль-
ной, так и в горизонтальной плоскостях. Мы будем рассматри-
вать маневр только в вертикальной плоскости, так как при этом
время выхода самолета на установившуюся перегрузку меньше,
чем при горизонтальном маневре, и поэтому за заданное общее
время самолет может уклониться от прежнего курса на большее
расстояние. При допустимой перегрузке w, м/с2, за время (ZP— s)
самолет сместится по высоте на величину Д.И:
&Н = 0,5та (/р — т3)2.
Направление маневра (вверх или вниз) может быть установлено
заранее по единому для всех самолетов правилу, например: «если
опасный объект находится справа по курсу, то маневр всегда со-
вершается вверх, если слева по курсу—вниз; это правило дейст-
вует при нахождении объектов до маневра на одинаковой высоте.
Если же сближающиеся аппараты находятся на разной высоте,
то летящий выше самолет совершает маневр вверх, а летящий
ниже — вниз». Но Престол измеряет высоту с погрешностью, опре-
200
деляемой некоторой угловой ошибкой в вертикальной плоскости
Де. Поэтому при заключении, что опасный объект летит на той же
высоте, что и защищаемый самолет, в действительности опасный
объект может находиться либо выше на величину 7?Ае, либо на
такую же величину ниже его. Последняя ошибка опасна в том
случае, если самолет совершает защитный маневр тоже вниз
(рис. 6.5,а). В результате подобной ошибки истинная величина
смещения объектов по высоте в момент наибольшего сближения
составит
Д/z = 0,5®) (г?р — тэ)2 — А?Де.
На рис. 6.5,6 показан качественный вид зависимости вероятности
предотвращения столкновения от расстояния между объектами
при их максимальном сближении. Учитывая ответственность ре-
шаемой задачи, правомерно заменить плавный закон ступенчатым
и считать, что предотвращение катастрофы гарантируется при рас-
стоянии максимального сближения, превышающем некоторую ве-
личину Дй0; расстояния, меньшие Дй0, считаются недопусти-
мыми.
Хотя необходимая дальность обнаружения опасного объекта
зависит от курсового угла, но с целью создания необходимых за-
пасов в оценках и учитывая, что в пределах наиболее опасного
переднего сектора по курсу величина необходимой дальности из-
меняется незначительно, можно вести расчет на встречные курсы
(ф = 180°). При этом условии из приведенных выше соотношений
легко получить выражение для минимально приемлемой дально-
сти обнаружения опасного объекта
-^..+_^ДВ
W
[ 2ДЙ0
т3 + Де-----
w /
— т2
3
1/2
(6.13)
= +
Дальность Rm ш представляет
роятность получить обнаружение
собой случайную величину: ве-
на дальности, не меньшей
Рис. 6.5
201
равна ря- В свою очередь, вероятность рм того, что при дальности
обнаружения 7?т;п расстояние между объектами при наибольшем
их сближении не окажется меньше Д/г0, равна произведению ве-
роятностей двух событий:
1-е событие — ошибка измерения положения объекта в вер-
тикальной плоскости не превысит As (вероятность этого события
обозначим рде);
2-е событие — общая задержка времени не превысит т3 (веро-
ятность этого события обозначим рт).
Так как оба события обусловлены большим числом факторов,
то можно считать, что они подчинены нормальному закону рас-
пределения. Тогда величины р^ и рт можно найти с помощью
соотношений
Лв = Ф(Де/ае), (6.14)
А = Ф(т3М (6.15)
Здесь Ф — интеграл вероятностей; ое —среднеквадратическая
ошибка измерения угла е; ох •—среднеквадратический разброс
времени задержки.
Теперь уже нетрудно найти вероятность рм успешного манев-
ра, входящую в формулу полезности (6.1):
рм==Ф(Де/ае)Ф(^), 7?>/?fflln. (6.16)
В формулу (6.16) вошла угловая ошибка измерения положе-
ния опасного объекта в тангажной плоскости, поскольку мы исхо-
дили из того, что защитный маневр совершается в вертикальной
плоскости. В подавляющем большинстве случаев угловые ошиб-
ки радиолокаторов в двух взаимно перпендикулярных плоскостях
сильно коррелированы, причем ошибка в вертикальной плоскости
из-за влияния отражений от земли, как правило, больше, чем в
горизонтальной. По этой причине можно считать, что формула
(6.16) в достаточной мере характеризует угловые погрешности
Престола, и отдельно ошибку в курсовой плоскости не учитывать.
Что касается ошибки измерения дальности, то, как видно из
(6.13), она является величиной второго порядка малости и может
не учитываться. Если в каком-либо из конкурирующих вариантов
ошибка измерения дальности оказалась бы все же значительной,
то это можно было бы просто учесть, добавив к правой части вы-
ражения (6.13) величину (2-е-3)|(П?.
Формула (6.16) дает условную вероятность успешного манев-
ра: условие состоит в том, что дальность обнаружения не меньше
7?mia. Вероятность рд обнаружения опасного объекта на дально-
сти R непосредственно входит в выражение для полезности. По-
этому после подстановки в него рм из формулы (6.16) указанное
условие учитывается автоматически.
202
Для завершения работы по представлению через частные кри-
терии величин, входящих в (6.1), нам осталось рассмотреть мно-
жители ро и ри.
Обычно эксплуатационную надежность аппаратуры характери-
зуют средним числом часов работы на один отказ Т. Для самоле-
тов гражданской авиации среднюю продолжительность полета с
достаточным запасом можно принять равной 10 ч. Тогда, при
экспоненциальном законе распределения отказов, вероятность р0
безотказной работы Престола в течение типового полета опреде-
ляется простым соотношением
ро = ехр(—10/Т), (6-17)
Остановимся на последнем нераскрытом множителе формулы
йолезности (6.1)—вероятности ри безошибочного считывания пи-
лотом информации с индикатора за требуемое время. Эта величи-
на характеризует мнемоническое совершенство индикатора и мо-
жет быть заменена функцией принадлежности Q(x) данного ин-
дикатора к множеству индикаторов с совершенными мнемониче-
скими свойствами. Для вычисления Q(x) надо знать аргумент х,
представляющий собой экспертную оценку индикатора. Рассмат-
риваемый неметрический частный критерий полезности следует
отнести к категории центральных, поскольку от мнемонического
совершенства индикатора зависит предотвращение катастрофы. В
соответствии с алгоритмами МФП для вычисления функции при-
надлежности следует пользоваться формулой (4.3).
У1одведем итоги полученным результатам.
Полезность ф Престола вычисляется по формуле (6.1).
Входящие в эту формулу множители можно определить:
рр — по графикам рис. 6.4 или по формулам (6.2), (6.11),
(6.12);
рг = 1;
Рт? берется из материалов конкурирующих проектов, техниче-
ского задания или вычисляется по обычным формулам теории
радиолокационного обнаружения;
рм вычисляется по формуле (6.16), этой формулой одновре-
менно учитывается множитель р~. формулы полезности;
ро вычисляется по формуле (6.17);
ри заменяется на функцию принадлежности Q(x), вычисляе-
мую по формуле (4.3).
Таким образом, действие 5 алгоритма МФП завершено: зави-
симость полезности от частных критериев найдена. Теперь можно
перейти к следующему действию.
Плата за полезность. В частные критерии платы за полезность
включаются стоимости:
серийного изготовления аппаратуры и стоимость ее монтажа на
самолете (СИм),
203
регламентного обслуживания и ремонта системы при ее экс-
плуатации (Ср),
потребляемой от бортовых систем энергии (электричество и
воздух) с приведенной мощностью Р,
транспортировки аппаратуры массы т (сама масса является
«кандидатом» платы за полезность).
Первый из перечисленных критериев измеряется в единицах
стоимости, например в рублях. Стоимость регламентного обслу-
живания зависит от времени и измеряется в рублях в год. Транс-
портирование на самолете любой массы может быть выражено
через затраты, измеряемые в рублях на килограмм и час полета;
обозначим эти удельные затраты через <?т, руб/кг-ч. Они состоят
из расходов топлива и смазочных материалов в двигателях само-
лета и амортизационных расходов самолетных агрегатов. Анало-
гично этому удельная стоимость расхода электроэнергии может
быть выражена величиной qp, руб/кВт-ч.
Для аддитивного объединения необходимо все составляющие
привести к одной размерности. Сделать это можно путем отнесе-
ния всех затрат к годовым. Так, если срок службы системы равен
<4С, то на один год эксплуатации приходится величина Сим/г!сс, руб.
Если средний налет самолета с системой Престол в год состав-
ляет Д часов, то затраты иа транспортирование Престола и его
энергоснабжение составят: (дтт + ЦрР] tT. Следовательно, выра-
жение для платы за полезность будет иметь вид
С — CmJtcc + {qmtn + qPP) tr + Cp. (6.18)
Обычно под величиной Ср понимают сумму затрат па плановое
обслуживание системы (Спл) и на устранение случайных отказов.
Сама случайность таких отказов не позволяет устранить их за
счет плановых регламентных работ. Если средние затраты на
устранение одного случайного отказа Сь то общая величина годо-
вых эксплуатационных расходов Ср будет равна
Ср-Спл + ^/ПС!. (6.19)
Величина р0— вероятность безотказной работы аппаратуры в
течение типового рейса — близка к I, и поэтому величина средней
наработки на отказ (Т) будет очень слабо влиять на полезность
(см. (6.1) и (6.17)). Но та же величина Т, как видно из (6.19),
может заметно влиять на плату за полезность, особенно если
из-за отказа Престола придется отменять плановый рейс, т. е.
терять явные убытки. Правда, в данном случае такого сильного
влияния ожидать не следует: большинство случайных отказов,
если они произошли в предыдущем рейсе, смогут быть устранены
в течение плановой предполетной подготовки самолета, без за-
держки момента очередного вылета.
204
Описание конкурирующих вариантов системы и предваритель-
ное определение полезности. Система 1. В основу системы по-
ложен секторный импульсный радиолокатор, работающий на вол-
не длиной 2 см. Сектор сканирования в плоскости курса равен
80° (рр = 40°). Дальность обнаружения типовых самолетов граж-
данской авиации по проектным данным составляет 15 км при ве-
роятности 0,9. По вертикали радиолокатор перекрывает сектор
12° веерной диаграммой направленности. Всего в вертикальной
плоскости имеется 8 парциальных диаграмм и 8 приемных кана-
лов. В горизонтальной плоскости ширина приемных лучей состав-
ляет 1,5°. Диаграмма направленности на передачу имеет раствор
12° в вертикальной плоскости и 1,5° в горизонтальной. Угловые
координаты обнаруженного объекта измеряются со среднеквадра-
тическими ошибками 4,5 мрад в вертикальной плоскости и 2 мрад
в горизонтальной. Один обзор сектора в плоскости курса совер-
шается за время 0,5 с. В процессе разработки проекта была оце-
нена годовая стоимость по формуле (6.18), составившая 20 тыс.
руб./год.
Система 2. В основу системы 2 также положен импульсный
радиолокатор на волне 3 см, производящий растровый обзор «ка-
рандашным» лучом. Сектор обзора в плоскости курса — 60°, в
плоскости тангажа— 14°. Время одного обзора растра 5 с. Средне-
квадратическая ошибка измерения обоих углов одинакова и рав-
на 2 мрад. Дальность обнаружения с вероятностью 0,9—17 км.
Характеристики систем 1 и 2 сведены в табл. 6.1.
Таблица 6.1 может рассматриваться как матрица оценок част-
ных критериев с тем лишь уточнением, что среди частных крите-
риев, перечисленных в начале настоящего параграфа, фигурирует
вероятность безотказной работы рэ, а не среднее время наработки
Таблица 6.1
Характеристика Система I Система 2
Дальность обнаружения R, км (при вероятности ру?=0,9) 15 17
Полусектор контроля по курсу рр, град 40 30
Полусектор контроля по тангажу ер, град 6 7
Среднеквадратическая ошибка измерения угла, мрад:
в плоскости курса 2 2
в плоскости тангажа ое 4,5 2
Время обзора пространственного сектора контроля, с 0i,5 5
Интервал от момента обнаружения до момента выхода
на установленную перегрузку, с:
постоянная составляющая Ат 5 7
среднеквадратичеокое отклонение 2 3
Время наработки на один отказ Т, ч 500 кию
Приведенная годовая стоимость С, тыс. руб./год 20 25
205
на один отказ Т. Однако с помощью формулы (6.17) легко нахо-
дим ро = О,98 для системы 1 и ро = О,99 для системы 2.
Основной вклад в Ат и о- вносит время, необходимое для по-
вторного зондирования объекта после его обнаружения с целью
г выдачи информации с требуемой точностью.
I / Наиболее трудоемкая работа — отыскание величины рм, пред-
оставляющей собой вероятность предотвращения столкновения при
/ условии, что опасный объект находится в зоне контроля. Зависи-
I мость рм от параметров системы можно найти с помощью фор-
(-•мул (6.13) и (6.16). Для расчетов принимаем:
скорость движения самолета с Престолом v = 250 м/с,
скорость движения опасного объекта «=250 м/с,
установившаяся перегрузка при защитном маневре w — 2 м/с2,
безопасное расстояние при наибольшем сближении Д/го = 300 м.
Учитывая эти численные значения, а также то обстоятельство,
что время задержки т3 имеет как систематическую, так и случай-
ную составляющие (обозначим их Ат и 6т соответственно), запи-
шем (6.13) в следующем виде:
/?т1П“500[Дт-4-8т-]-250Де+((Дт4-8т+250Де)2+300-(Ат-|-8т)2)’/2]. (б.20>
Полагая
8т = /сз.;, Де = &аЕ,
где k — некоторое безразмерное число, можно задавать различные
значения k, находить для них 6т и Ае и, подставив эти значения в
(6.20), вычислять 7?mm. Одновременно для выбранного k можно
по формуле (6.16) найти рм. Полная вероятность предотвращения
столкновения с объектом, попавшим в угловой сектор контроля
±Рр, равна произведению ра на рд, где рц —вероятность обнару-
жения объекта на дальности )?nin. Чем больше число k, тем боль-
ше вероятность успешного маневра рм (см. (6.16)), если обнару-
жение будет на дальности Но и сама величина требуемой
дальности обнаружения R mi0 при этом возрастет, что видно из
(6.20). Вероятность обнаружения объекта р*> будет тем меньше,
чем больше ДШ1П. В результате действия двух указанных противо-
положных тенденций будет существовать некоторая максимально
возможная полная вероятность предотвращения столкновения. С
помощью формул (6.20) и (6.16) и известной зависимости веро-
ятности Pr обнаружения дружно флуктуирующей пачки импуль-
сов от отношения сигнала к шуму и вероятности Глт ложных тре-
вог можно вычислить величинуpipp,.
Полученная зависимость изображена на рис. 6.6. При расче-
тах принято Рлт =10“5. Для большей наглядности по вертикаль-
ной оси отложена величина 1—рцрн. Из графиков следует, что
для системы 1 максимальное значение искомой величины р%рп =
= 0,86, а для системы 2 PrPk= 0,89.
206
Обращаясь к формуле полез-
ности (6.1), мы видим, что оста-
лись не найденными еще величи-
ны р$ и рк. Вероятность р? по-
падания опасного объекта в сек-
тор контроля в плоскости курса
можно найти по графикам
рис. 6.4. Для указанных в
табл. 6.1, и «/а—-1 по этим гра-
фикам находим:
рр-О,64 (система 1), рр=
= 0,50 (система 2).
Величина рй, характеризую-
щая мнемоническое совершенство
индикатора Престола, опреде-
ляется экспертным методом. Эта операция будет описана ниже, а
пока целесообразно найти предварительное значение полезности
обеих систем с учетом всех метрических частных критериев.
Для удобства приведем сводку найденных значений частных
критериев систем 1 и 2.
Обозначение частного критерия
Величина критерия для системы 1
То же для системы 2
Р$ Рг Pr Рм Ро
0,64 1 0,86 0,98
0,50 1 0,89 0,99
Подставляя приведенные величины в соотношение (6.1), на-
ходим:
для системы 1 <ь1 ==0,54/?и,
1 ' " (6.21)
для системы 2 ф2 = 0,44ри.
Чтобы найти окончательное значение полезности обоих вари-
антов систем, надо определить численную величину рн.
Оценка неметрического критерия и построение поля выбора.
Преобразование неметрического критерия в форму количественно-
го показателя предусмотрено действием 4 алгоритма МФП,
При подготовке настоящею материала гипотетические индикаторы систем
1 и 2 были оценены экспертами. В качестве экспертов выступала группа спе-
циалистов в области индикаторных устройств. Экспертам было сообщено о
назначении Престола и об основных характеристиках, представленных на кон-
курс вариантов. Было указано, что в задачу экспертов входит только оценка
индикатора Престола, и они не должны принимать во внимание достоинства и
недостатки других устройств конкурирующих вариантов.
Экспертам были представлены схемы изображений на экране индикаторов
обоих вариантов и было предложено дать балльную оценку индикаторам. Вид
индикаторов, подвергшихся экспертизе, показан на рис. 6.7, Для системы 1
.(рис. 6.7,а) разработан план-индикатор с полярными координатами дальность —
207
курсовой угол. Изображение самолета находится в нижней части экрана (точ-
ка 0). Текущее положение опасного объекта изображается яркостной отмет-
кой, положение которой на экране указывает на дальность и курсовой угол
опасного объекта. Вычисленная бортовой ЭВМ точка пересечения проекций трасс
движения самолета и опасного объекта на горизонтальную плоскость (для пря-
молинейной пролонгации движения обоих объектов) индицируется маленькой
окружностью с точкой в центре. Рядом с этой отметкой высвечивается формуляр
с числом, указывающим в метрах высоту опасного объекта относительно высо-
ты самолета в момент наибольшего их сближения, если маневр не будет пред-
принят. Знак «+» у высвеченного числа означает, что опасный объект пройдет
над самолетом.
В системе 2 (рис. 6.7,6) индикатор содержит две электронно-лучевые труб-
ки. На левой даны изображения в прямоугольных координатах в плане. Коор-
динаты яркостной отметки опасного объекта указывают текущее положение
объекта относительно самолета: его бо-
ковое смещение и смещение по курсу.
Вторая яркостная отметка, окруженная
высвеченным квадратом, указывает
расчетную точку наибольшего сближе-
ния самолета с опасным объектом, если
маневр предпринят не будет. На правой
трубке дана картинная плоскость, т. е.
изображение в проекции на плоскость,
перпендикулярную вектору скорости са-
молета. Здесь изображение самолета на-
ходится в центре экрана. Яркостная от-
метка указывает на текущее положение
опасного объекта: расстояние отмет-
ки от горизонтальной оси соответствует
смещению опасного объекта отпоси-
Рис. 6.7
208
зелцно самолета по высоте; поперечное смещение отметки указывает на сме-
щение относительной курсовой линии самолета. Положение опасного объекта
в момент наибольшего сближения с самолетом, рассчитанное бортовой ЭВМ,
отмечено яркостной точкой, которая окружена двойным квадратным контуром.
Штриховая окружность на экране указывает на границу допустимого по усло-
виям безопасности сближения самолета или другого летательного аппарата.
Для лучшей различимости ситуации в опасной зоне масштаб внутри штриховой
окружности сделан более крупным, чем вне ее.
Как только самолет начинает совершать защитный мапевр, расчетные точ-
ки наибольшего сближения с опасным объектом на экранах обоих индикаторов
начинают перемещаться (как в системе 1, так и в системе 2).
К экспертизе по методу индивидуальных независимых оценок было привле-
чено 17 человек. Наивысшая оценка (соответствие индикатора воображаемому
эталону)—5, наинизшая (индикатор не пригоден для использования) — 1. Экс-
пертам разрешалось давать и дробные оценки до десятых долей балла. Ре-
зультаты экспертизы приведены в табл. 6.2.
Таблица 6.2
Номер экспер- та 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1'3 14 15 16 17
Система 1 4 4 4 5 4 3 5 4 4 4 4 4 5 4 4 2 4
Система 2 4 3 3 5 3 3 4 3 3 4 3 3 4 3 3 2 3
Обработка результатов экспертизы производилась по методике, изложен-
ной в гл. 4, с уточнением коэффициентов авторитета экспертов по результатам
самой экспертизы. Первоначально всем экспертам был приписан коэффициент
авторитета, равный 1.
После первой итерации наиболее низкий коэффициент авторитета по систе-
ме 1 получил эксперт № 16 (pie = 0,02), 12 экспертов получили коэффициенты,
авторитета 1. По системе 2 наиболее низкий коэффициент авторитета получил
эксперт № 4 ([14=0,04). Дальнейшая итерационная обработка привела к сле-
дующим результатам: среднее значение балльной оценки индикатора равно 4,05
для системы 1 и 3,18 для системы 2.
Далее, по методике § 4.1 были вычислены функции принадлежности инди-
каторов к классу индикаторов с наиболее совершенными мнемоническими свой-
ствами. В результате расчетов получены следующие оценки:
Q(Xi)=0,91; Q(x2) = 0,71.
Ранее уже указывалось, что вероятность безошибочного вос-
приятия информации индикатора за заданное время, входящая в
формулу полезности, может быть представлена функцией принад-
лежности. Подставляя в выражение (6.21) вместо ри найденные
14—1051 209,
значения Q(%), получаем окончательную величину полезности оце-
ниваемых результатов:
для системы 1 ^ = 0,49,
для системы 2 ip2 = 0,31.
Поскольку вариант I превосходит вариант 2 по величине по-
лезности и в то же время (как видно из табл. 6.1) имеет меньшую
стоимость, то и без построения поля выбора ясно, что предпочте-
ние следует отдать варианту 1. Тем не менее поле выбора и в этом
случае может представлять определенный интерес, так как на-
глядно показывает, при каком отступлении фактических характе-
ристик от проектных в процессе дальнейшей разработки Престола
вывод о предпочтительности варианта 1 сохраняет силу.
Поле выбора и изображающие точки конкурирующих вариан-
тов показаны на рис. 6.8. Из рисунка видно, что предпочтение ва-
рианту 1 потеряет силу лишь в том случае, если в процессе дора-
ботки проекта варианта 2 его изображающая точка окажется вы-
ше линии АВ. В частности, это значит повышение полезности ва-
рианта 2 с 0,31 до 0,61 при прежней стоимости либо снижение его
стоимости с 25 до 13 тыс. руб./год при прежней полезности. До-
стичь такого совершенства варианта 2, конечно, нелегко.
6.3. АВТОМАТИЧЕСКАЯ МЕТЕОСТАНЦИЯ
Для службы прогнозирования погоды проектируется автомати-
ческая метеостанция (АМС). АМС производит измерение метеоро-
логических характеристик по радиозапросу с пункта сбора и об-
работки информации (ПСОИ). Измеренные параметры переда-
ются на ПСОИ также по радиолинии. Приемник команд, находя-
щийся на АМС, всегда включен, а измерительная аппаратура и
передатчик информации включаются только по запросу с ПСОИ,
что сделано для экономии электроэнергии. В случае сбоя в пере-
Рис. 6.8
Зона
Рис. 6.9
510
даваемой с АМС на ПСОИ информации или сомнения в ее досто-
верности с ПСОИ может передаваться требование на повторное
измерение и передачу данных. АМС предназначена для разверты-
вания в малонаселенных и труднодоступных районах страны и
снабжена автономным источником электроэнергии. АМС требует
обслуживания при истощении источника электроэнергии или при
возникновении неисправности.
Один ПСОИ обслуживает группу А.МС. Схема рассматривае-
мой системы изображена на рис. 6.9.
Техническим заданием предусмотрены следующие основные
требования к АМС:
1. Диапазон измерений и средне.квадратические ошибки:
температура +50ч—60°С, ат =1°,
влажность 10-ь 100%, ов =5% от максимальной величины, дав-
ление 0,53—1,25-103 ГПа, од = 5% от максимальной величины,
скорость ветра 0ч-40 м/с, сгг, = 8% от средней величины диапа-
зона измерений,
направление ветра 0ч-360° по азимуту, ср =5°.
2. При вероятности сбоя в одном сеансе связи не свыше 10" у
получаемая информация считается достоверной (q0 = 10~3).
3. Среднее время наработки АМС на один отказ, т. е. среднее
время исправного функционирования аппаратуры АМС между
случайными отказами, должно не менее чем в 100 раз превышать
длительность ремонта (с учетом затраты времени на прибытие
ремонтной бригады к месту эксплуатации АМС).
4. Запас электроэнергии автономного источника должен обес-
печивать функционирование АМС в течение полугода при запросе
информации 3 раза в сутки.
5. Приемное и передающее устройство радиолинии АМС долж-
ны обеспечивать устойчивую радиосвязь с ПСОИ на дальности не
менее 500 км. Максимальная полезная дальность 750 км.
6. Конструкция АМС должна предусматривать расчленение на
удобные для транспортировки упаковки и простоту монтажа на
месте эксплуатации без специальной инженерной подготовки по-
зиции
7. Стоимость изготовления оборудования АМС в серийном про-
изводстве должна быть минимальна; срок службы — не менее
10 лет.
К АМС предъявляется еще ряд дополнительных требований,
не излагаемых здесь для упрощения задачи.
В результате проектирования на рассмотрение заказчика пред-
ставлены два варианта автоматической метеостанции. Эти вари-
анты отличаются друг от друга в конструктивном отношении, по
примененным датчикам измерения заданных метеорологических
характеристик, по способу преобразования измеренных величин в
сигналы для радиолинии и по количественным значениям отдель-
на 21Т
ных характеристик АМС как системы. Наиболее важные проект-
ные характеристики вариантов сведены в табл. 6.3.
Таблица 6.3
Характеристика АМС-1 АМС-2
1. Диапазон измерений:
температуры АТ, °C +50ч-~50 +50ч-— 60
влажности АВ, % 10ч-100 10 ч-100
давления АД, ГПа • 103 0,63 ч-1,25 0,53 ч-1,3
скорости ветра ДУ, м/с 0—50 0—40
направления ветра Др, углов, град 0—360 0—360
2. Среднеквадратические ошибки измерений:
температуры од, РС 1 1
влажности Ср, % 5 5
давления Од, % 2,5 5
скорости ветра ov, % 5 10
направления ветра Ср, углов, град. 7 5
3. Вероятность выдачи ошибочной информации при 5 • 10-s 1 • IO-2
однократном цикле измерений и передачи q
i. Время работы без замены источника питания при 360i
штатных однократных сеансах измерений и пере-
дачи данных /а, сутки
5. Среднее календарное время наработки на отказ 200 250
при штатном режиме измерений t, сутки
6. Дальность действия радиолинии R, км 750 550
7. Стоимость изготовления оборудования в серийном 60 42
производстве, включая стоимость монтажа на
месте эксплуатации Сил, тыс. руб.
Как видно из таблицы, варианты отличаются друг от друга по
многим характеристикам, что не позволяет произвести выбор без
применения функции полезности. Перед тем как приступить к
отысканию функции полезности, необходимо сделать следующее
замечание. Из таблицы видно, что системы не удовлетворяют не-
которым требованиям. Например, в АМС-1 пр больше, чем в ТЗ; в
АМ.С-2 ошибка измерения скорости ветра превышает заданную,
а вероятность сбоя превышает допустимую. Как правило, при та-
ком положении заказчик возвращает проект на доработку. Но в
некоторых случаях требования выдвигаются заказчиком с запа-
сом, и если в проекте обоснована допустимость и необходимость
подобных отступлений, а взамен проектом предлагается какой-то
дополнительный выигрыш по другим характеристикам, то заказ-
чик может согласиться на изменение первоначально выдвинутого
задания. В данном случае такое положение имеет место.
Формулирование полезности и определение частных критериев.
В соответствии с алгоритмом МФП первое действие заключается
в формулировании полезности рассматриваемой системы. Назначе-
212
пие АМС заключается в автоматическом измерении параметров
атмосферы и передаче этих данных на ПСОИ. Очевидно, что пе-
редаваемая информация будет представлять ценность, только если
она достоверна. Допустим, что вероятность передачи достоверной
информации автоматической метеостанцией равна рд. Вероятность
передачи ложной информации будет тогда 1—рл. Полезность
АМС, передающей ложную информацию, по меньшей мере равна
пулю. Если бы мы нашли количественное выражение ф полезно-
сти АМС при передаче достоверной информации, то среднюю по-
лезность ф АМС можно было бы выразить следующим соотноше-
нием:
Ф = ФРд+О(1 -/’д) = ФРд.
ПСОИ имеет определенную зону ответственности на террито-
рии страны, по которой размещены обслуживаемые операторами
измерительные пункты. Эти пункты будут частично или полностью
ликвидированы по мере ввода в эксплуатацию АМС. Допустим,
что дальность устойчивой связи АМС с ПСОИ меньше радиуса
зоны ответственности. Если расположить АМС на дальности, не
превышающей дальность устойчивой радиосвязи, то се полезность
65дет ф. Если же расстояние от АМС до ПСОИ превышает даль-
ности устойчивой связи, то АМС будет бесполезна. Поэтому мож-
но ввести понятие средней полезности ф АМС по зоне ответствен-
ности ПСОИ. Она может быть определена соотношением
Ф = № + 0(1 =
где Qs — доля площади от площади всей зоны ответственности
ПСОИ, в пределах которой АМС способна обеспечивать устойчи-
вую связь с ПСОИ.
Здесь следует заметить, что нехватку дальности действия мож-
но было бы представить в категориях платы за полезность, учи-
тывая относительные затраты на АМС и на обслуживаемый опе-
раторами измерительный пункт. Но такой подход требует пере-
хода к системе более высокого уровня, чем АМС. Поэтому проще
оперировать усредненной по зоне ответственности полезностью
АМС.
АМС может выдавать информацию только при исправной ра-
боте аппаратуры и неистощенных источниках питания. Если доля
времени из общего времени эксплуатации, когда эти условия вы-
полняются, равна к,, то в это время полезность АМС будет ф.
В течение же доли времени 1—кг полезность АМС будет равна
нулю. Поэтому усредненная по времени полезность ф АМС может
'быть выражена следующим образом:
Ф = ф кг + 0 (1 - кг) = фкг.
213
Три приведенных равенства позволяют записать усредненную
полезность АМС в виде
Ф == Ра Qs *<г
Величина ф0, входящая в это выражение, представляет собой
объем полезной информации, которую передавала бы на ПСОИ
«идеальная» АМС. Полезность данной АМС есть доля объема ин-
формации «идеальной» системы, которую в среднем способна пе-
редать данная АМС.
(6.22>
Формула (6.22) и соображения, на основе которых она была
получена, позволяют сформулировать определение полезности
АМС: полезность АМС — это средний объем доставляемой ею на
ПСОИ достоверной информации, усредненный по времени и по
площади зоны предполагаемого применения АМС.
Теперь надлежит составить перечень частных критериев полез-
ности. Из формулировки полезности следует, что к этой категории
должны относиться те характеристики АМС, которые влияют на
объем доставляемой информации, на достоверность этой инфор-
мации, на долю времени от общего времени эксплуатации, когда
АМС может выдавать информацию. В понятие достоверности ин-
формации входит не только отсутствие сбоев при замерах и пере-
даче, но и погрешности измерений. Рассматривая с учетом ска-
занного табл. 6.3, можно убедиться, что все внесенные в нее ха-
рактеристики следует считать частными критериями. В качестве
платы за полезность здесь, несомненно, надо принять стоимость.
Таким образом, табл. 6.3 является матрицей оценок сравниваемых
вариантов.
Определение вида функции полезности. Соотношение (6.22)
показывает связь полезности АМС с ее потребительскими пока-
зателями. Обращаясь к § 3.2, нетрудно понять, что переменные-
Рд> Qs и Кг относятся именно к этой категории. Применением по-
требительских показателей и объясняется простота, с которой уда-
лось получить формулу (6.22).
Теперь нам необходимо найти функциональную связь потреби-
тельских показателей с частными критериями полезности.
Наиболее просто найти выражение для Qs. Из соображений,
изложенных при выработке формулировки полезности АМС, непо-
средственно вытекают следующие соотношения:
Qs = (#Ж)2 при/?</?0, (б23^
Q.s — 1 при
где — дальность надежной работы радиолинии АМС; Яо—ра-
диус зоны ответственности ПСОИ.
214
Перейдем к отысканию связи между частными критериями и
показателем достоверности передаваемой информации рд. Инфор-
мация АМС будет достоверной при одновременном выполнении
трех условий:
фактические значения метеорологических характеристик в ме-
сте функционирования АМС не выходят за пределы их измерений
.аппаратурой АМС;
погрешности измерения этих характеристик не превышают до-
пустимых значений;
измерение и передача характеристик не сопровождается сбоя-
ми и искажениями, в том числе при шифровке и модуляции, а уро-
вень мощности излучаемого сигнала соответствует номиналу. (Что
касается искажений и сбоев при приеме информации на ПСОИ,
то при соблюдении указанных условий за них ответственность не-
•сет не АМС, а ПСОЙ.)
Обозначим для удобства записи
ДТ = Х1, ДВ = х2, ДД=л3, Дт> —л4, Др = хй, (6.24)
•а вероятность того, что параметр xt вышел за рабочий диапазон
АМС, через р (>•*,• ).
Тогда первое из условий достоверности информации будет за-
ключаться в том, что ни один из параметров xlt г=1ч-5, не вышел
за пределы его измерения аппаратурой АМС. Вероятность такого
«события равна
П [1 —(6.25)
z=i
Рассмотрим второе условие. Пусть допустимое значение сред-
неквадратической ошибки измерения параметра xz равно oz0.
Фактическое, значение среднеквадратической ошибки измерения
данного параметра для аппаратуры АМС составляет о;. Поль-
зуясь указаниями § 3.4 (формула (3.49)), можно утверждать, что
второе условие будет отображаться в формуле для рл сомножи-
телем
s
Аа = П (6.26)
1=1
где kt = (аю/сУ при oz > azo.
' ^=1 при az<oi0.
Третье условие достоверности информации (отсутствие иска-
жений и сбоев) удобнее раскрыть через экономические характе-
ристики системы. Хотя при этом мы в какой-то мере переплетаем
полезность с платой за полезность, но результаты при этом полу-
чаются проще и выглядят более убедительно.
Будем считать, что сбои и искажения информации, вероятность
215
которых превышает установленный порог, не допускаются. Тогда
при возникновении сигнала о сбое (а такой сигнал обеспечить
можно) потребуется перезапрос и повторная передача или даже
повторное измерение параметров и их передача. Пусть в среднем
число измерений и их передачи по указанной причине возросло
в п раз по сравнению с планируемым при отсутствии подобных
нежелательных явлений. Это приведет к тому, что:
запас электроэнергии автономного источника АМС сократится
с планового времени до tjn\
средний интервал календарного времени между случайными
отказами сократится с t до Z//z.
Для обеспечения нормальной работы должны быть преду-
смотрены периодические выезды на АМС бригады специалистов
для проведения регламентных работ и замены или зарядки авто-
номных источников электроснабжения. При сокращении календар-
ного времени работы источника с ta до tjn придется сократить
до Д/ге и интервалы между выездами бригады.
Но помимо таких плановых выездов потребуются дополнитель-
ные выезды для устранения случайных отказов, которые невоз-
можно предсказать и устранить даже самыми тщательными регла-
ментными работами. Средний интервал между выездами для
устранения неисправности будет равен t/п.
Таким образом, если обозначить номинальный срок службы
АМС через ZCc, то за все время эксплуатации потребуется
4“ О
выездов бригады на место, где развернута АМС.
Смысл применения автоматических метеостанций заключается»
в частности, в обеспечении измерений метеорологических характе-
ристик в малодоступных и непригодных для постоянного житель-
ства местах. Поэтому выезд на место будет сопровождаться зна-
чительными расходами, по сравнению с которыми расходы на соб-
ственно ремонт могут иметь второстепенное значение. Обозначим
через Ci стоимость одного выезда бригады на место эксплуата-
ции АМС. Пусть Сам обозначает стоимость серийного изготовле-
ния оборудования АМ.С и монтажа ее на месте эксплуатации. Тог-
да общая стоимость С, затраченная на АМС за весь срок ее служ-
бы, будет
С=СнмЧ-С1я/сс/(Г+^). (6-27).
Целесообразно ввести в это выражение средний интервал време-
ни 4 между выездами на место для проведения регламентных ра-
бот (включая замену источника электропитания), оговоренный
п. 4 технического задания. Тогда
С / /
С = СИМ 1 + ^ й
(6.28)’
^ + 4 /.
216
Выражение в квадратных скобках содержит член, пропорцио-
нальный п — числу дополнительных сеансов наблюдений и пере-
дачи информации для достижения нужной достоверности работы
АМС. Поэтому удобно рассматривать величину, обратную той,
которая содержится в квадратных скобках (6.28), как третий со-
множитель в выражении для Введем для сокращения записи
безразмерный коэффициент fec:
kc = CAtcc/(CuM. (6.29)
Используя (6.25) — (6.29), можно записать следующее выражение
для показателя выдачи достоверной информации:
frhz) П I1 — а(>м)]
Рл= =. (6.30)
1 + йсЯ^ + ^)
Нам осталось выразить через частные критерии еще одну ве-
личину кг — долю времени исправной работы аппаратуры из об-
щего времени эксплуатации. Она находится очень просто.
Средний интервал времени между случайными отказами ра-
вен, как уже указывалось, t/n, где t — средний интервал между
отказами при включении аппаратуры с номинальной частотой.
При возникновении случайного отказа аппаратура будет бездей-
ствовать в течение времени tp. Основную долю времени tp будет
занимать сбор ремонтной бригады и переезд ее к месту эксплуата-
ции АМС. (По этой причине время собственно ремонта и продол-
жительность регламентных работ можно не учитывать.) Таким
образом, ,
Кг = tj{i + n.tp). (6.31)
Подставляя выражение для Qs, и кг из (6.23), (6.30) и (6.31)
в (6.22), получаем следующее выражение для полезности АМС:
Г 5
5
, /я у *
Ф= (— —
\/?0 / t + i
р
1 + titbit -ф- С)
, R < Ro, °®.
(6.32)
Если приведенные неравенства не выполняются, то соответст-
вующие члены в этой формуле заменяются единицей.
Формула (6.32) является конечной целью настоящего рассмот-
рения, так как дает искомое аналитическое выражение для полез-
ности. Но в ней есть две величины р(>хг) и п, которые еще над-
лежит раскрыть. Напомним, что р(>А) представляет собой ве-
роятность того, что фактическая величина измеряемой характери-
217
стики xt превзошла рабочий диапазон аппаратуры АМС. В неко-
торых пределах можно считать, что как физическая величина,
подверженная воздействию большого числа случайных факторов,
подчинена нормальному закону распределения. Вырабатывая тех-
нические требования к АМС, заказчик изучает статистику изме-
нения каждой из характеристик л'; и задает диапазон их измере-
ния так, чтобы случаи выхода фактических значений за этот диа-
пазон были достаточно редки. В действительности величина хг
претерпевает регулярные изменения (например, по временам го-
да), на которые накладывается случайная составляющая. Но для
упрощения можно весь диапазон изменений xz рассматривать как
результат случайных отклонений от среднего значения. Если опе-
рировать малыми значениями р (>-’•',), то это упрощение не при-
ведет к существенным ошибкам в оценках альтернатив. При необ-
ходимости можно найти p(>Xj) при любом сочетании регулярной
и случайной составляющих величины xt. Пусть среднеквадрати-
ческое отклонение величины i-го параметра от среднего значения
составляет ох1. Очень осторожный заказчик может потребовать,
чтобы диапазон измерений i-ro параметра составлял ±ЗпЛ- от
среднего значения. Более умеренное требование может заключать-
ся в обеспечении диапазона точных измерений шириной =Е2сТд-(»
При этом для 95% возможных состояний природы измерения бу-
дут выполняться с заданной точностью. Лишь в 5% случаев изме-
рение не даст точного значения параметра, а укажет лишь, что
параметр вышел за пределы шкалы измерителя. При диапазоне
измерений ±2охг получим
Р (> = 1 - 1,05 Ф (2х;/х/0). (6.33)
Здесь —заданный диапазон измерения i-й характеристики;
xt —диапазон измерения той же характеристики, обеспечиваемый
аппаратурой АМС. При этом в случае ^)>хго следует считать
р(>хг)=0; Ф — интеграл вероятностей; i — измеряемый метеоро-
логический параметр (см. (6.24)).
Перейдем к определению величины п — числа дополнительных
измерений и передачи сообщений для обеспечения их нужной до-
стоверности.
Статистическая теория связи, созданная К. Шенноном [50] и далее разви-
тая Миддлтоном [51], устанавливает максимальную пропускную способность
канала с шумами при оптимальном кодировании передаваемых сообщений.
Оптимальное кодирование предполагает, что минимизируется сумма произведе-
ний числа двоичных знаков, представляющих данный символ алфавита, на от-
носительную среднюю частоту появления данного символа в сообщении. Но для
возможности обнаружения ошибок в сообщении, обусловленных случайными
помехами, необходимо вводить в передаваемую информацию избыточность.
Одна из простейших форм избыточности-—пятикратное повторение каждого
символа с выбором на приемном конце одного символа из каждой пятерки по
218
правилу большинства. Но этот способ приводит к пятикратному возрастанию
времени передачи сообщения. Более экономичный способ — применение коррек-
тирующих кодов. Простейший корректирующий код позволяет исправить одну
ошибку в двоичном разряде сообщения (или блока сообщения) и обнаружить
без возможности коррекции две и более ошибки. Для таких корректирующих
кодов коэффициент избыточности приближенно равен l+2/j/m, где т— число
информационных двоичных разрядов в сообщении [88, 89]. Необходимое число
двоичных разрядов в передающем канале АМС можно определить по диапазону
и по точности измерений, оговоренных техническим заданием. Дискретность
представления пе должна ухудшать точности первичных измерений. С учетом
таких соображений составлена табл. 6.4.
Таблица 6.4
"Кодируемый параметр 1 Число двоич- ных разрядов Кодируемый параметр Число двоич- ных разрядов
Температура 9 Направление ветра 9
Влажность 6 Время 10
Давление 6 Код АМС 5
Скорость ветра 7
Если не разбивать сообщение на блоки и применить к нему простейший
корректирующий код, то коэффициент избыточности будет равен 1,3.
Предположим, что подобная защита от сбоев была заложена в аппаратуру
в начале проектирования и единственным источником недостоверности сообще-
ний является канал связи. В этом случае в формуле полезности (6.32) можно
считать п=1. Если предположить, что источники питания и показатели надеж-
ности аппаратуры рассчитывались без учета избыточности в сообщениях, то
следует принять п~ 1,3.
Но в АМС канал связи является не единственным и, может быть, не основ-
ным источником искажения информации. В связи с тем, что измерение неко-
торых метеорологических характеристик автоматическими способами связано с
достаточно сложными операциями, искажения могут происходить при самых
измерениях. Такие искажения нельзя устранить никакими корректирующими ко-
дами в линии связи. Для борьбы с ними в уже созданной аппаратуре остается
лишь один способ — повторное проведение измерений. Бели при таких измере-
ниях применять метод голосования, принимая за верное то сообщение, которое
подтвердилось более чем в половине передач, то для обеспечения вероятности
ошибки не свыше заданной величины <7O=1O~3 при вероятности ошибки одно-
кратного измерения в диапазоне 10~'-*-10-s число повторений замеров п мож-
но вычислить по приближенной формуле:
«-(-12/lg^)-3. (6.34)
При дальнейшей оценке конкурирующих вариантов АМС мы
будем вести расчет для двух случаев: когда п определяется соот-
ношением (6.34) и когда п=1,3.
219
Помимо этого будет проведена оценка полезности при следую-
щем предположении. Из формулы полезности (6.32) видно, что
первое произведение в числителе учитывает снижение полезности
вследствие измерения отдельных характеристик со среднеквадра-
тическими ошибками, превышающими заданные. Понижения влия-
ния случайный ошибок при фактических измерениях можно до-
стичь за счет повторения замеров в одних и тех же условиях (если
ошибки не коррелированы). В данном случае число Ап дополни-
тельных замеров должно быть равно max (<?;/<до)2- При таком под-
ходе в числителе формулы (6.32) первое произведение надо при-
нять равным 1, а к величине п добавить Дп = max (a,/oZ0)2.
В формуле полезности (6.32) осталось определить величину
времени tp. Это интервал времени от момента возникновения слу-
чайного отказа до момента возобновления нормального функцио-
нирования АМС. Учитывая специфику ремонтного обслуживания
удаленной АМС, для расчетов полезности принято tp =2 суток.
Расчет полезности АМС-1 и АМС-2. Построение поля выбора.
Переходим к действию 6 алгоритма МФП. Первым этапом здесь
должно быть вычисление количественного значения полезности
каждого из конкурирующих вариантов.
Обратимся к формуле (6.32). Количественное значение 7? ука-
зано в табл. 6.3, 7?о = 75О км, что следует из и. 5 технического за-
дания. _
Величина t также указана в табл. 6.3. Величину п для раз-
личных случаев определяем так: либо /г=1,3, либо п вычисляется
по формуле (6.34), либо га= 1,3 + max (az/a;0)2.
5
Следующим членом в формуле (6.32) является [Д
i=l
Здесь сомножители не равны 1 лишь для тех измеряемых метео-
рологических характеристик, для которых погрешность измерения
превышает заданную. Обращаясь к табл. 6.3 и требованиям тех-
нического задания, мы замечаем, что в АМС-1 к этой категории,
относится ошибка измерения направления ветра (ор = 7 угл. град,
вместо оро»=50 по заданию). Поэтому для АМС-1 имеем
5
П (Ао/а)2 = О,51.
i=i
В АМС-2 ошибка измерения скорости ветра превышает допу-
стимую (ao = 10% вместо ои0=8% по заданию). Поэтому для
АМС-2 получим:
' I 5
ПЬМ)2 = 0,64.
220
5
Рассмотрим следующий член формулы полезности: [J [1—р
z —1
(>л;)]. В системе АМС-1 не полностью выполнены требования по
диапазону измеряемых температур и давления, а именно: ДТ =
= 100°С (или + 50ч—50°), в то время как по заданию ДТо=11О°С
(или + 50ч-—60°); диапазон измеряемых атмосферных давлений
составляет ЛД = 0,62-103 ГПа (от 0,63 до 1,25-103 ГПа), в то вре-
мя как по заданию должно быть АДо = 0,72-103 ГПа (от 0,53 до
1,25* 103 ГПа). Пользуясь формулой (6.33), находим
5
П[1-/Ч>*г)1 = О,93.
Система АМС-2 удовлетворяет всем требованиям по диапазону
измерения характеристик, и поэтому для АМС-2 надо считать
5
П11-р(>х/)] = 1.
В знаменателе формулы полезности (6.32) стоит коэффициент
kc. Он определяется из (6.29) и представляет собой, по сути дела,,
отношение эксплуатационных расходов за время жизни аппара-
туры к стоимости ее изготовления и монтажа. Ввиду разнообра-
зия районов размещения АМС оценки проектов, относящиеся толь-
ко к одному типовому району, использовать нежелательно. По-
этому поступим следующим образом. Найдем значения полезности1
АМС-1 и АМС-2 в предположении Д = 1. После этого проварьиру-
ем величину k? в достаточно широких пределах. Если при этом
вывод о том, какой из вариантов является предпочтительным, не
будет изменяться, то можно не заботиться об отыскании точного*
значения kc.
В знаменателе формулы полезности присутствует величина /о-
Ее численное значение вытекает из п. 4 технического задания:
£о=183 суток. Наконец, в знаменателе формулы присутствует ве-
личина t3. Ее численное значение для каждого из вариантов ука-
зано в табл. 6.3.
Теперь мы располагаем всеми необходимыми данными для ко-
личественного определения полезности АМС-1 и ЛМС-2. Вычис-
лим полезность для нескольких вариантов исходных предположе-
ний, полагая во всех случаях kc = 1.
Т. Неполная достоверность передаваемой информации обуслов-
лена только ошибками кодирования и передачи. Для достижения
необходимого уровня достоверности в радиолинии АМС-1 и АМС-2’
применены корректирующие коды. В этом случае п =1,3. Под-
ставляя найденные ранее количественные значения переменных в;
формулу (6.32), находим полезность ф1 и АМС-1 и АМС-2:
ф1 = 0,34; ^2 = 0,23.
22 В
II. Неполная достоверность передаваемой информации обу-
словлена в основном сбоями при первичном измерении метеороло-
гических характеристик. Для достижения необходимого уровня
достоверности при каждом сеансе производятся повторные замеры
и наиболее вероятные значения характеристик определяют мето-
дом голосования.
В этом случае величина п вычисляется с помощью соотноше-
ния (6.34). Из табл. 6.3 находим q цля АМС-1 и АМС-2:
q^ — 5-1Q-3, «, = 2,2,
IQ-2; /т2 = 3.
В результате подстановки численных значений параметров в фор-
мулу полезности находим
ф1 = 0,28; гр2=0,16.
III. Неполная достоверность передаваемой информации обу-
словлена только ошибками кодирования и передачи. Для дости-
жения необходимого уровня достоверности в радиолинии АМС-1
и АМС-2 применены корректирующие коды. Для обеспечения за-
данной точности измерения метеорологических характеристик в
каждом сеансе производится несколько некоррелированных за-
меров.
В этом случае величина п определяется соотношением
5
п = 1,3 + шах (о;/о;о)2, но в формуле (6.32) f] (°;о/Ч)2 == 1-
i=l
Подставляя найденные ранее значения max (a;/a/U)2 для АМС-1 и
АМС-2, находим: «t = 3,2; «2=2,9. Вычисление полезности АМС
при этом дает
ф>1=0,44; 1)52 = 0,25.
IV. Неполная достоверность передаваемой информации обу-
словлена в основном сбоями при первичном измерении метеороло-
гических характеристик. Для достижения необходимого уровня
достоверности, а также для обеспечения заданной точности из-
мерений в каждом сеансе производится несколько некоррелиро-
ванных замеров.
Предполагая (с запасом), что число повторений замеров для
повышения достоверности определяется соотношением (6.34), а
для повышения точности измерений производится дополнительно
такое же число замеров, как и в случае III, находим
«1=4,2; н2=4,6.
Тогда полезность АМС-1 и АМС-2 будет равна
ф1 = 0,39; i))2=0,19
222
На рис. 6.10,а представлено поле выбора. На вертикальной оси
отложены значения полезности, на горизонтальной — стоимость
изготовления АМС и ее монтажа на месте эксплуатации. Эта ве-
личина играет в данном случае роль платы за полезность. Что
касается эксплуатационных расходов, то их относительная вели-
чина учтена в формуле полезности коэффициентом kz.
Абсциссы изображающих точек берутся непосредственно из мат-
рицы оценок (табл. 6.3); ординаты изображающих точек соответ-
ствуют полезности АМС-1 и АМС-2. На поле выбора нанесены
изображающие точки для всех четырех рассмотренных выше слу-
чаев. Изображающие точки соединены прямыми линиями, около
которых указан номер соответствующего расчетного случая.
Во всех четырех случаях линия, соединяющая изображающие
точки, пересекает первой горизонтальную ось. Это указывает на
предпочтительность АМС-1 по сравнению с АМС-2: хотя АМС-1
имеет большую стоимость, но это окупается значительно более
высокой полезностью.
Теперь надлежит проверить, сохраняется ли наш вывод о пред-
почтительности АМС-1 перед АМС-2, если коэффициент Ас будет
отличен от единицы.
Ответ на поставленный вопрос вытекает из графике»
рис. 6.10,6. Здесь изображена зависимость отношения полезности
АМС-1 к полезности АМС-2 от величины коэффициента эксплуа-
тационных расходов kz. Видно, что при изменении kz в широких
пределах от 0,5 до 3,0 превосходство АМС-1 над АМС-2 по вели-
чине полезности сохраняется. Точками на графиках рис. 6.10,6
показаны случаи, отображенные на поле выбора. Указанные ре-
зультаты и весьма слабая зависимость ф1/ф2 от kc дают основа-
ние утверждать, что сделанный ранее вывод о предпочтительности
АМС-1 сохраняет силу и в том случае, когда коэффициент экс-
плуатационных расходов не равен единице.
Рис. 6.10
223
Задача решена. Теперь поле выбора с нанесенными на него
изображающими точками должно быть представлено Лицу, При-
нимающему Решение, для окончательного заключения о том, ка-
кую из конкурирующих систем принять для последующей разра-
ботки и серийного производства.
6.4. ГОРОДСКОЙ МАРШРУТНЫЙ АВТОБУС
В соответствии с алгоритмом МФП действие 1 заключается в
•формулировании понятия «полезность». Для этого надо прежде
всего определить основное назначение рассматриваемой системы.
Автобус предназначен для доставки пассажиров из одного места
города в другое. Так как пассажиры появляются на остановках
в виде некоторого потока во времени, то для обслуживания этого
потока автобусы должны подходить к остановкам периодически.
Чем быстрее оборачивается автобус на маршруте и чем больше его
вместимость, тем меньше машин потребуется для обслуживания
данного потока, а следовательно, тем больше будет полезность
•автобуса. Очевидно, что сравнивать между собой можно только
.автобусы одного класса (одного назначения).
Исходя из сказанного, можно дать следующее определение:
полезность городского маршрутного автобуса измеряется количе-
ством пассажиров, перевозимых в единицу времени на типовое
расстояние с соблюдением установленных правил движения.
«Соблюдение установленных правил движения» означает:
остановку в местах посадки и высадки пассажиров,
соблюдение ограничений скорости на маршруте движения,
•обеспечение безопасности для пассажиров и пешеходов и хотя бы
минимальных условий комфорта.
Сформулированное определение полезности ф автобуса позво-
ляет написать следующее соотношение:
О— NUt-Nri. (6.35)
Здесь L — типовое расстояние; t — время, за которое автобус пре-
одолевает расстояние L; N — номинальная вместимость автобуса;
v — средняя скорость движения по маршруту.
Из (6.35) на первый взгляд можно сделать вывод: полезность
•стандартного автобуса может оказаться такой же, как полезность
гипотетического автобуса 10-кратной вместимости, движущегося
с 10%-ной скоростью. Ошибочность подобного истолкования фор-
'мулы проистекает из-за игнорирования ряда ограничительных
условий, непосредственно не отраженных в этом соотношении. Эти
условия заключаются, в частности, в установлении диапазона до-
пустимых значений N. Этот диапазон установлен на основании
•статистики перевозки пассажиров. Поскольку пассажиры образу-
224
ют временной поток, то для его обслуживания не безразлично,
прибывает ли к остановке каждые 5 минут автобус вместимостью
(>0 человек или один раз в час автобус, вместимостью 720 человек.
Поэтому одним из ограничительных условий является допустимое
среднее время ожидания автобуса на остановке. Ограничительным
условием является также средняя стоимость перевозки. Автобус
чрезмерной вместимости будет большей частью ходить сильно не-
догруженным, что приведет к ухудшению этого показателя.
Сказанное означает, что если исходить из реальных соображе-
ний, то соотношение (6.35) не содержит логических противоре-
чий, отражая в то же время сформулированное понятие полезно-
сти автобуса.
Теперь задача состоит в том, чтобы выразить величины, вхо-
дящие в эту формулу, через множество частных критериев авто-
буса. Для этого надо прежде всего составить перечень частных
критериев, т. е. выполнить операции, предусмотренные действием
2 алгоритма МФП.
Перечень основных значимых параметров автобуса приведен
ниже.
1. Мощность двигателя. 2. Совершенство механизма изменения
передаточного числа от вала двигателя к ведущим колесам.
3. Масса конструкции в заправленном состоянии. 4. Удобство
управления. 5. Эффективность торможения. 6. Номинальная вме-
стимость. 7. Доля сидячих мест. 8. Минимальный радиус разво-
рота. 9. Удельное давление на дорожное покрытие. 10. Средний
расход горючего на километр пути. 11. Ширина и число дверей в
салон. 12. Высота входной приступки. 13. Низшая точка под кар-
тером заднего моста (клиренс). 14. Надежность. 15. Долговеч-
ность. 16. Экологичность. 17. Комфорт пассажиров и эстетичность.
18. Степень унификации. 19. Стоимость изготовления в серийном
производстве. 20. Стоимость эксплуатации.
Анализ этого перечня показывает, что целесообразно распре-
делить параметры по следующим группам:
Частные критерии полезности: 1, 2, 3, 4, 6, 11, 12, 14.
Частные критерии платы за полезность: 10, 15, 18, 19, 20;
Ограничительные условия: 5, 7, 8, 9, 13, 16, 17.
Приведенное разделение вытекает из простых логических со-
ображений и особых пояснений не требует, за исключением, может
быть, критерия 3. Как указывалось в гл. 4, масса системы иногда
выступает в качестве «кандидата» в плату за полезность. Но в
данном случае, как будет видно из дальнейшего, динамические
качества автобуса имеют особое значение, а они непосредст-
венно зависят от массы. Поэтому целесообразно включить
массу конструкции в категорию частных критериев полезности. То
обстоятельство, что с ростом массы полезность не увеличивается,
15—1051 225
а падает, будет автоматически учтено при установлении соответ-
ствующих аналитических зависимостей.
В настоящем примере сравнение конкретных систем по полез-
ности мы проведем в конце. Поэтому, пропуская действия 3 и 4-
алгоритма М.ФП, перейдем непосредственно к действию 5 — уста-
новлению аналитической зависимости между полезностью и част-
ными критериями.
Зависимость полезности от мощности двигателя. Рассматривая
упрощенную схему движения автобуса по маршруту, мы можем
выделить три характерных участка движения (рис. 6. ll.fi). Пер-
вый участок длительностью /р, представляет собой участок разго-
на. Он характеризуется нулевой начальной скоростью и макси-
мально допустимой правилами дорожного движения конечной
скоростью (или другой, меньшей установившейся скоростью)
Второй участок длительностью tH, является участком равно-
мерного движения со скоростью ни. Конечно, в действительности
и па этом участке машина то снижает, то увеличивает скорость,
но подобные детали движения мы принимать во внимание не бу-
дем. Так как все конкурирующие варианты автобуса будут срав-
ниваться в одинаковых условиях движения, то указанная идеали-
зация не должна существенно повлиять на результат сравнитель-
ной оценки. Третий участок продолжительностью ZT, есть участок
торможения от скорости до скорости и=0, т. е. до полной
остановки в установленном для посадки и высадки пассажиров
месте или перед красным сигналом светофора.
После остановки автобус пребывает в неподвижном состоянии
время А/ (рис. 6.11,6), после чего цикл возобновляется. Обозна-
чим протяженность участков, пройденных автобусом за интервалы
Рис. 6.11
226
времени tp, ta, t.n через £p, L,„ LT соответственно. Среднее рас-
стояние между двумя плановыми остановками обозначим Lt.
Из определения полезности автобуса непосредственно следует
Ф----------------------------------N,
*-р 4“ [(^i — L? — + 4 + At
где W — среднее число пассажиров.
В условиях города плановые пассажирские остановки и вы-
нужденные остановки перед светофором происходят через срав-
нительно небольшие интервалы в несколько сотен метров. Поэто-
му роль участков разгона и торможения очень велика. При не-
больших интервалах между местами плановой или вынужденной
остановки автобус может даже не набрать номинальной скорости,
т. е. двигаться только с ускорением или торможением, как это по-
казано на рис. 6.11,в.
Существенное влияние перечисленных выше факторов па экс-
плуатационные характеристики движения автобуса хорошо видно
из рис. 6.12. Здесь по горизонтальной оси отложены_средние ин-
тервалы между плановыми остановками автобуса Li, а по вер-
тикальной оси — средняя скорость и движения автобуса по марш-
руту. Величина v получена путем деления общей протяженности
маршрута на плановую продолжительность пробега по маршруту
в одну сторону. Величина Lj получена путем деления общей про-
0,3 0,6 0,5 0,6 0,7 Lt,KM
Рис. 6.12
15*
227
тяженности маршрута на число плановых остановок (не считая
исходного пункта маршрута). На указанную координатную сетку
точками нанесены характеристики 50 маршрутных автобусов го-
рода Москвы, исходные данные для которых заимствованы из
[90]. Номера маршрутов указаны числами около точек. Сущест-
венное возрастание средней скорости движения с увеличением ин-
тервала между плановыми остановками указывает на большую
роль нестационарных режимов движения. В этих условиях динами-
ческие качества автобуса и его приспособленность к быстрой по-
садке и высадке пассажиров должны заметно сказываться на
полезности. Можно показать, что между величинами о и L; долж-
на существовать следующая зависимость:
/₽) -р Дt -|- L , jvн
Здесь &тр—коэффициент, учитывающий внеплановые остановки
или снижение и последующее увеличение скорости на интервале
между плановыми остановками. Этот коэффициент в условиях ин-
тенсивного дорожного движения имеет величину 1-е 2. На рис. 6.12
изображена кривая, отвечающая приведенной зависимости для
наиболее кучно расположенных маршрутов. Уравнение кривой
имеет вид
0,017 + £,/47'
Отсюда следует: Лтр (£r + fp) = 60 с. Принимая Zp=20 с, Zr= 10 с,
Лтр = 1,5, что правдоподобно отражает действительную картину
движения, находим, что среднее время пребывания автобуса па
плановой остановке составляет Д^=15 с. Эта величина соответ-
ствует непосредственным измерениям.
В связи с большой ролью нестационарных процессов движения
автобуса на маршруте целесообразно при формировании выраже-
ния для полезности автобуса исключить из рассмотрения время,
затрачиваемое на равномерное движение (член (Lx— Lp — LT)/v,,).
Что касается длительности торможения, то жесткие требования
к автомобильному транспорту по допустимой длине тормозного
пути позволяют утверждать, что при установленном значении ско-
рости vH конкурирующие варианты не могут существенно разли-
чаться по времени торможения tj. Поэтому величину tT можно
рассматривать как ограничительное условие и тоже исключить из
выражения для ф. В результате функция полезности ф будет про-
порциональна величине
Z;^/(/p + Az?). (6.36)
228
При таком представлении полезности эксплуатационные качества
автобуса будут выделяться более отчетливо.
Для установления связи между временем г*р разгона автобуса
и мощностью его двигателя Р напишем выражение для диффе-
ренциала работы dA двигателя:
dA — d (mv2/2) -J- d {FL).
Здесь m — полная масса машины; v — ее мгновенная скорость;
F — сила сопротивления движению; L — пройденный путь.
Сила сопротивления движению на горизонтальной дороге об-
разуется тремя составляющими:
силой трения шин о дорожное полотно Fw,
силой сопротивления воздушного потока FB,
силой трения в механизмах трансмиссии машины Гм.
Основную роль играет величина Для иллюстрации укажем,
что для автобуса, движущегося со скоростью 60 км/ч, эти три силы
равны [92]: Fn, =0,16 Н/кг, Fs = (5,5/m) Н/кг, fM = 0,015 Н/кг.
Поэтому без большой ошибки можно считать силу F не завися-
щей от скорости движения. Тогда, с учетом того, что dAJdt = P,
(мощность), a dLjdt=v, (скорость), получаем следующее диффе-
ренциальное уравнение:
Р = mv— + Fv. , (6.37)
dt
Для решения этого уравнения надо знать зависимость мощности
двигателя Р от скорости v.
Основной характеристикой двигателя внутреннего сгорания
является зависимость мощности Р и вращающего момента М от
числа п оборотов коленчатого вала в единицу времени. При до-
статочно широком диапазоне изменений п величина М остается
почти постоянной. В этом диапазоне мощность Р = Мп должна
линейно возрастать с увеличением п. Но при малых п вращающий
момент резко падает. Поэтому существует некоторое значение п=
— «min, определяющее минимально допустимую скорость вращения
вала под нагрузкой. При очень больших п величина М также
уменьшается, что вызывает замедление роста мощности с увели-
чением п, а затем наблюдается даже падение мощности. Вид
внешних характеристик двух современных двигателей показан на
рис. 6.13,а и б [91].
Как видно, в районе рабочих скоростей вращения выходного
вала зависимость P = f{n) напоминает параболу. На рис. 6.13,в
изображена зависимость мощности Р двигателя от скорости v
движения автомобиля, описываемая уравнением
P = Po[2(^o)-(^o)2], (6.38)
229
Здесь Ро — максимальная мощность двигателя, которую он раз-
вивает при скорости движения автобуса v0. При постоянном пе-
редаточном числе трансмиссии величины вив пропорциональны.
Штрихами на графике рис. 6.13,8 показана область, где аппрокси-
мация параболой неправомерна. На рис. 6.13,а штрихами показа-
на зависимость (6.38), построенная применительно к двигателю
ЗИЛ-130. Как видно, в рабочем диапазоне скоростей аппрокси-
мация дает удовлетворительно совпадение с действительной ха-
рактеристикой.
Так как для отыскания функции полезности приемлемы при-
ближенные оценки, в дальнейшем будем пользоваться выраже-
нием (6.38) без ограничений при малых п. Из результатов мы
увидим, что это не может привести к существенным погрешно-
стям. Что касается области за максимумом мощности, то в функ-
циональных выражениях мы также не будем вводить здесь огра-
ничений. При практических же расчетах будем исходить из того,
230
что заходить за точку, соответствующую максимальной мощности
двигателя, разрешается только кратковременно при разгоне на
низших передачах. Длительное движение на прямой передаче до-
пустимо лишь с такой скоростью vma7,, при которой число оборо-
тов коленчатого вала не превышает точки максимальной мощно-
сти двигателя.
Подставляя выражение (6.38) в (6.37), получаем простое диф-
ференциальное уравнение
2Р0 (vi\) — Ро (ц/ц0)2 = mv (dvjdt) -f- Fv. (6-39)
Это уравнение легко интегрируется и приводит нас к следующей
зависимости скорости движения и от времени t:
Vo (2— Fvo/Po) [1 — exp (— Z/т)] + vt exp (— (6.40)
Здесь
'z-=mvyPo. (6.41)
Величина т имеет размерность времени и может быть названа по-
стоянной времени автомобиля. Через обозначена скорость дви-
жения машины при / = 0.
Интегрированием скорости (6.40) по времени можно найти
путь, пройденный машиной за время разгона. Из условия, что мак-
симальная скорость не должна превышать отах, следует
FjPo = (2 — (6.42)
В автомашинах для улучшения характеристик разгона обяза-
тельно применяется коробка передач. Будем считать, что при i-м
положении рычага переключения коробки передаточное число от
вала двигателя к ведущим колесам в kt раз больше, чем при пря-
мой передаче. Тогда скорость разгона при i-й передаче
v = (v0i/ki)(2— 1/й,)[1 — exp (— k2.flx}\ + vu exp (— А^Л). (6.43)
Для прямой передачи Az = l, v0l = v0.
Зная массу т, мощность двигателя и передаточные отноше-
ния коробки передач ks, ..., можно, последовательно применяя
уравнение (6.43) к разгону на каждой передаче, найти общее вре-
мя разгона автомобиля.
Однако выполнять подобные расчеты каждый раз для опреде-
ления функции полезности сравниваемых вариантов хлопотно. По-
этому рассмотрим метод, позволяющий существенно упростить
расчеты и сделать конечные формулы для полезности более на-
глядными. Представим, что автомобиль снабжен идеальной короб-
кой передач, т. е. таким редуктором, который позволяет плавно
изменять передаточное число, обеспечивая работу двигателя на
постоянных оборотах, соответствующих максимальной его мощно-
сти Ро. В этом случае в левой части дифференциального уравне-
231
ния (6.37) будет стоять постоянная величина Ро. Интегрирование
этого уравнения дает
= (mtfQIP0) In -----—
. 1 — (1>М)
(6.44)
При этом сделано предположение, что максимальная скорость
®тах = Со-
отношение реального времени /р разгона автомобиля с места
до некоторой номинальной скорости va, определяемое последова-
тельным применением (6.43), к времени /„ разгона той же маши-
ны до той же скорости, но при идеальном редукторе, представ-
ляет собой меру совершенства коробки передач. Введем коэффи-
циент совершенства коробки передач /гк как отношение
kK=hltv- (6-45)
Тогда в формулу полезности вместо /р войдет величина /и/^к,
где вычисляется с помощью (6.44) при v = va.
На рис. 6.14,а изображена зависимость времени разгона ма-
шины с места от конечной скорости разгона v. Для удобства гра-
фик построен в относительных единицах.
Приведем иллюстрации приложения приведенные выше соотношений. На
рис. 6.14,6 изображены расчетные графики разгона с места до скорости 60 км/ч
автобуса среднего класса ПАЗ 672. На поле графика указаны паспортные ха-
рактеристики автобуса, в том числе передаточные числа четырехступенчатой
232
коробки передач: &i=6,55, /:?--3,09,
"=1,71, й4=1,00. Штриховая линия соот-
ветствует условию, когда ни на одной
из передач не допускается превышение
двигателем числа оборотов по, при ко-
тором двигатель развивает максималь-
ную мощность. Сплошная линия пока-
зывает разгон, когда это ограничение
действует только для прямой передачи.
Точкой в кружке отмечено время разго-
на до скорости 60 км/ч того же автобу-
са, но с идеальным редуктором. Легко
подсчитать, что коэффициент совершен-
ства коробки передач лежит в пределах
Ак = 0,73 -ь 0,82.
В автомобильном справочнике [92] для
грузовых автомобилей и автобусов вре-
мя разгона не указывается, но эти све-
дения приводятся для легковых авто-
машин. С целью оценки близости рас-
четов по приведенным выше прибли-
женным соотношениям к истинным ха-
рактеристикам автомашин были прове-
дены расчеты по формуле (6.43) для
трех марок легковых автомашин:
ЗАЗ-968, Москвич-2138 и ВАЗ-2101. За-
имствованные из [92] исходные данные
и результаты расчетов приведены на
рис. 6.15.
На графиках точками в кружках указано время разгона с места
сти 100 км/ч по справочнику. Как видно, совпадение приближенного
официальными паспортными данными машин вполне удовлетворительное, за
исключением, быть может, машины ЗАЗ-968, где справочные данные дают мень-
шее время разгона, чем получилось из расчета. Для автомашины ВАЗ-2101
штриховой линией показан расчетный график разгона при идеальной коробке
передач. Коэффициент совершенства коробки передач этого автомобиля близок
к 0,9.
Установив, что коэффициент совершенства коробки передач
позволяет достаточно просто отображать динамические качества
автобуса, используем этот коэффициент в формуле полезности.
Подстановка (6.44) и (6.45) в (6.36) дает
ЦН
10 20
Рис. 6.15
до скоро-
расчета с
(6.46)
In K/Uo) . 1 _ (Щн/г,0) J + д/
233
Заметим, что при разгоне автобусов, в которых едут люди,
причем многие стоя, необходимо соблюдать определенные ограни-
чения относительно максимального ускорения и скорости его из-
менения. Но, как показали оценки, это ограничение может по-
влиять па результат весьма слабо и поэтому учитывать его нет
необходимости.
Время стоянки и число пассажиров. Время А/ пребывания
автобуса на маршрутной остановке слагается из времени от-
крывания и закрывания дверей и времени 6Д выхода и входа
пассажиров. Если в автобусе едет N человек, то естественно пред-
положить, что на каждой плановой остановке в среднем выходит
какая-то доля а от числа Можно считать, что число входящих
пассажиров в среднем равно числу выходящих. Хотя для конеч-
ных участков маршрута и для его центральной части величины а
и N будут явно различны, но в среднем для всего маршрута на-
значение некоторых средних а и N можно считать допустимым.
При некоторой минимальной ширине Ьо двери, допускающей
проход одновременно только одного пассажира, среднее время его
входа в автобус или выхода из него составляет d/j секунд. Эта
величина зависит от высоты ступеньки у входной двери и возра-
стает с увеличением этой высоты. Статистические наблюдения
показали, что в автобусах со ступенькой высотой 300 мм среднее
время входа (выхода) пассажира равно 2 с. Будем считать, что
при ступеньке высотой h, мм, время входа (выхода) пассажира
равно дС=2(Л/300)2. Следовательно, при одной двери минималь-
ной ширины Ьо на выход пассажиров потребовалось бы время
2аЛД/г/300)2, после чего такое же в среднем время потребовалось
бы для посадки пассажиров.
При двух дверях общее время посадки и высадки сократилось
бы вдвое, при трех дверях — втрое и т. д. При общей ширине всех
дверей автобуса, равной Ь, время посадки и высадки должно
уменьшиться пропорционально целой части отношения b/b0. Для
простоты мы не будем, однако, выделять эту целую часть, а вве-
дем отношение bjb0. Как будет видно, это не может внести каких-
либо заметных искажений в оценки полезности.
С учетом всего сказанного время At пребывания автобуса на
плановой остановке будет равно
М = aN(bjb) + 3^, £>й0; (6.47)
В/j = 2 (А/ЗОО)2. (6.47а)
Из практики известно, что можно считать Ьо=600 мм. Величи-
ну At из формулы (6.47) можно использовать в выражении по-
лезности (6.46).
Величина т, входящая в (6.46), представляет собой полную
массу автобуса. Это значит, что в нее входит как масса конструк-
ции и расходуемых компонентов тк, так и масса пассажиров.
234
Автобус не всегда полностью заполнен пассажирами, но при опре-
делении его динамических качеств правильно исходить из полной
загрузки. Принимая, что средняя масса одного пассажира (с но-
симой поклажей) равна 80 кг, можем написать
m=mK-}-80N. (6.48)
Подставим значения Д/ и т из (6.47) и (6.48) в (6.46); тогда
мы получим выражение для функции полезности, охватывающее
значительное число частных критериев:
Ф-----------------------
[(mK + 8QN)vy(P0kK)]
1 — (цн/г/0)
-ф- 23^ а/V (й0/А) 8/д ’
'^0>'ИН
(6.49)
(®Н,Ч) +
Другие частные критерии полезности. Формулой (6.49) не
охвачены критерии 4 и 14. Сейчас их надлежит учесть.
Обозначим среднее число часов работы автобуса на липин па
один отказ через t, среднее время ремонта при отказе автобуса на
линии через /рем. В величину /рем входит не только время соб-
ственного ремонта, но и время доставки неисправного автобуса в
парк и время выхода его на линию после ремонта. Тогда из обще-
го времени работы городского автобусного транспорта данный
автобус долю t/(t + tee^ ) времени будет иметь полезность ф, а
долю ^рем/V + ^рем) времени будет^иметь нулевую полезность. Сле-
довательно, среднюю полезность ф получим умножением ф на ве-
личину коэффициента готовности:
Кг = ?/(/ +/рем). (6.50)
Частный критерий 4 — удобство управления — влияет и на по-
лезность, и на плату за полезность. Связь с полезностью про-
является через утомляемость водителя, в результате которой на-
рушается расписание движения, возрастают неоправданные за-
держки при остановках. Связь с платой за полезность состоит в
том, что та же утомляемость водителя сопровождается ухудше-
нием обращения с материальной частью машины. О повышении
аварийности как следствии недостаточных удобств управления
можно не говорить, так как требования эксплуатации не допуска-
ют к производству машины с явными дефектами по этому показа-
телю. Но различия в удобстве органов управления в разных кон-
струкциях тем не менее могут быть.
Получить количественные оценки удобства органов управле-
ния, особенно на этапе рассмотрения проектов, достаточно слож-
но. Поэтому самым простым и надежным средством получения
235
таких оценок будет экспертиза. Найти высококвалифицированных
экспертов для данной задачи не представляет сложности.
Приняв частный критерий 4 за неметрический, мы должны да-
лее действовать в соответствии с рекомендациями гл. 4. Посколь-
ку от удобства органов управления зависит безопасность людей —
пассажиров и пешеходов, то данный неметрический критерий сле-
дует отнести к категории центральных. Это значит, что преобра-
зование усредненных экспертных оценок в функцию принадлеж-
ности Q(x) надо проводить с помощью (4.3). Функция принад-
лежности Q (х) является множителем в формуле полезности.
Анализируя (6.49), замечаем, что все входящие в нее сущест-
венные переменные с той или иной стороны характеризуют свой-
ства собственно автобуса. Исключение составляет величина L; —
средний интервал между плановыми остановками. При сравнении
автобусов различных марок этой величине надо будет придавать,
естественно, одно и то же значение. Исходя из сказанного, целе-
сообразно исключить средний интервал между плановыми оста-
новками из формулы полезности и придать ей следующий оконча-
тельный вид:
* 28/, aN (bQ/b) -ф W;I'
(6.51)
Чтобы этой формулой полезности можно было пользоваться, не обращаясь
ко всему тексту настоящего параграфа для выяснения смысла отдельных сим-
волов, ниже приводится сводка их значений:
v —номинальная разрешенная скорость движения по городу, м/с;
t>o — максимальная скорость, которую может развить груженый автобус на
горизонтальной асфальтированной дороге, м/с;
7V — вместимость автобуса (расчетное максимальное число пассажиров);
пг— масса конструкции заправленного автобуса без пассажиров, кг;
Fo — максимальная мощность двигателя, кВт;
kK — коэффициент совершенства коробки передач, вычисляемый с помощью
формул (6.43)-ь (6.45); он обычно лежит в пределах 0,7-=-0,9;
К]—коэффициент готовности, вычисляемый по формуле (6.50);
Q(x) —множитель удобства управления автобусом, вычисляемый как функция
принадлежности на основании усредненных экспертных оценок;
бц— время входа (выхода) пассажира на остановке, вычисляемое с помощью
(6.47,а);
а — доля полного числа пассажиров, покидающая в среднем автобус на од-
ной остановке, при оценках можно считать а = 0,1;
&0 — минимальная ширина входной двери пассажирского салона, при оцен-
ках можно считать 6о=6ОО мм;
236
b — суммарная фактическая ширина всех дверей автобуса, ведущих в пас-
сажирский салон, мм;
8f —суммарное время открывания и закрывания дверей автобуса на оста-
новках, при оценках можно принимать 6ta =5 с.
Как видно из приведенных выше статистических данных (см.
пояснения к рис. 6.12), для городских автобусов Москвы он мень-
ше максимально разрешенной скорости движения по городу и со-
ставляет 11-?-14 м/с. Но поскольку автобусы оцениваются по их
потенциальным возможностям, следует считать va = 16,7 м/с
(т. е. 60 км/ч).
Плата за полезность. Как видно из рис. 6.12, среднюю коммерческую ско-
рость движения автобусов можно принять равной 18 км/ч. При работе автобу-
са в среднем 10 ч в сутки годовой пробег составит 18-10 • 365=65 500 км. Если
паспортный пробег автобуса до капитального ремонта равен £ км, а стои-
мость изготовления автобуса Со, то годовые амортизационные расходы
С01 == Со655ОО/Дс. (6.52)
Годовое плановое техническое обслуживание, включая оплату труда всех экс-
плуатационников, обозначим С,•
Средний расход горючего на 100 км пути обозначим а стоимость 1 кг
горючего с учетом стоимости пропорционального расхода смазочных материа-
лов — Сг, руб/кг. Тогда годовой расход на эту статью
СГ1 = 655 т100 Сг. (6.53)
По статистике (см. [90]) средняя протяженность маршрута для Москвы
L =11 км. Число рейсов за год определится как м = 65 500/11 =5950. При вме-
стимости автобуса N, коэффициенте сменности пассажиров за рейс 1,5 и сред-
нем коэффициенте заполнения автобуса в течение рабочего дня у=0,5 число
перевезенных за год пассажиров будет 445WV, а годовая оплата ими проезда
(выраженная в рублях)
Спас = —222ЛГ. (6.54)
Годовую плату за полезность получим, суммируя все приведенные выше состав-
ляющие:
С = Со ° + С91 + 655/я103 Cr — 222/V. (6.55)
^-сс
Следует заметить, что эксплуатационная надежность автобуса слабо влияет
иа его полезность, что видно из формул (6.51) и (6.50). Но на плату за полез-
ность эксплуатационная надежность может повлиять значительно: в формуле
(6.55) увеличится слагаемое СЭ1 эксплуатационных расходов и уменьшится ко-
эффициент при последнем члене из-за уменьшения числа оплачиваемых рейсов.
Пример определения сравнительной полезности. Для иллю-
страции формулы полезности, полученной в настоящем парагра-
фе, воспользуемся паспортными данными городских маршрутных
237
автобусов нескольких марок, находящихся в настоящее время в
эксплуатации. Ниже в табл. 6.5 приведены необходимые для рас-
чета полезности количественные значения частных критериев, за-
имствованные из [92], и вычисленная по формуле (6.51) полез-
ность.
Таблица 6.5
Характеристика ЛАЗ-665Н ЛАЗ-4202 Л И АЗ-677^Икарус-18О
Полная масса, кг 114-25 13400 14050 23565
Мощность двигателя, кВт 110 132,5 132,5 141,3
Максимальная скорость, м/с 22,2 21,4 19,4 17,5
Общее число пассажиров 62 69 80 119
Общая ширина входных дверей, мм 1660 2400 2400 4800
Передаточные числа коробки передач 1-7,44 2,43 1,79 5,18
И—4,10 1,44 1,00 3,04
Ш—2,29 0,98 Н-г/тр'* 2,03
IV—1,47 — 3,6 1,4
V—1,00 -— — 1,00
Коэффициент ее совершенства, kK 0,9 0,8 0,9 0,9
Величина полезности, рассчитанная 1,2 1,3 1,5 2
по формуле (6.51), с-i **
Примечания. ' г/тр — гидротрансмиссия. н* При расчетах принималось Q(;r) = l
*г = 1- _________
Не вызывает удивления, что расчетные значения полезности
некоторых марок автобусов оказались близки друг к другу: про-
ектирование автомашин имеет настолько значительный практиче-
ский опыт, настолько отшлифовано, что, естественно, конструкто-
ры умеют «выжимать» из машин все возможное.
Следует отметить, что когда отношение он к е>0 приближается
к единице, формула (6.51) дает большие погрешности. Так, при
т7н/ио=О,8 эта погрешность составляет около 15% и при дальней-
шем возрастании быстро увеличивается. Поэтому при опре-
делении полезности автобусов «Икарус-180» и ЛИАЗ-677 член в
квадратных скобках формулы (6.51) заменялся величиной t[x, по-
лучаемой следующим методом. Из уравнения (6.44) интегриро-
ванием по времени можно найти зависимость пройденного после
остановки пути от времени. По этой зависимости для типового
среднего расстояния между остановками определяется //т. Сред-
нее расстояние между остановками, как видно из рис. 6.12, можно
считать равным 450—500 м. При проведении численных расчетов
делался ряд предположений относительно численных значений
параметров: среднего времени выхода и входа пассажиров на
остановках, времени открывания и закрывания дверей, макси-
мально разрешенной скорости. Для разумного диапазона значе-
238
нии параметров соотношение расчетных полезностей альтернатив
сохраняется. К такому выводу можно прийти из анализа приме-
ров формулы полезности.
6.5. КАРМАННЫЙ КАЛЬКУЛЯТОР
Благодаря созданию больших интегральных схем миниатюр-
ные ЦВМ, называемые также электронными калькуляторами,
получили чрезвычайно широкое распространение. Ежегодный их
выпуск и продажа исчисляется миллионами штук. Благодаря ма-
лым размерам этих калькуляторов (типичные габаритные размеры
150x75x30 мм) и встроенному источнику питания их с полным
основанием считают карманным прибором.
В настоящее время в продажу поступают десятки типов кар-
манных калькуляторов (КК), обладающих различными вычисли-
тельными возможностями и имеющих, соответственно, разную
стоимость. Самые примитивные приборы могут выполнять лишь
четыре арифметических действия и не имеют оперативной памяти
для хранения промежуточных результатов вычислений. Наиболее
совершенные калькуляторы не только запрограммированы для
вычисления элементарных математических функций, позволяют
не только легко вычислять статистические функции, но и состав-
лять и вводить для последующего использования в КК программы
для решения специальных математических задач.
В соответствии с таким диапазоном вычислительных возмож-
ностей и диапазон цен КК лежит в широких пределах (например,
в США — от 6 до 750 дол.).
Несмотря на малые габариты, КК является сложным устрой-
ством, полезность которого определяется рядом критериев.
Со специфическими особенностями КК мы сталкиваемся с пер-
вого же шага: при попытке определить понятие полезности КК.
В 2.2 указывалось, что возможны три подхода к понятию полез-
ности: с точки зрения индивидуального потребителя, с точки зре-
ния массового производства технических устройств индивидуаль-
ного потребления и с точки зрения полезности устройств общест-
венного использования.
Применительно к КК целесообразно говорить о втором подхо-
де, т. е. решать вопрос о выборе типа КК для массового произ-
водства. Но и в этом случае при определении понятия полезности
КК возникают определенные трудности. Действительно, для бух-
галтерских работ, для работников торговли, для складских и т. п.
расчетов простейший КК, способный выполнять лишь арифмети-
ческие действия, в подавляющем большинстве случаев вполне до-
статочен. Для этой категории потребителей наличие в КК запро-
граммированных логарифмов, гиперболических функций или фак-
ториалов не увеличивает полезности КК. Для инженеров наличие
239
в КК запрограммированных элементарных математических функ-
ций уже является очень важным. Для исследователей и ученых
полезность КК возрастает, если кроме этих функций в нем преду-
смотрены также статистические функции и особенно'—возмож-
ность ввода специальных вычислительных программ.
Указанную трудность можно преодолеть следующим образом.
Определить полезность для трех указанных категорий пользова-
телей. Далее, если имеется возможность запустить в производство
КК лишь одного типа, то следует оценить процентную долю по-
тенциальных потребителей КК каждой категории и принять такое
решение, которое обеспечит максимальный прогнозированный
сбыт. Если же имеется возможность запустить в производство два
или три класса КК, то в соответствии с процентным составом
потребителей разных групп должен быть определен и объем вы-
пуска КК каждого класса.
Сузим таким образом понятие полезности КК до приборов,
рассчитанных на однотипную группу пользователей, в качестве
которой будем рассматривать инженеров. Но и инженеры решают
самые различные задачи в самых различных областях науки и
техники. Поэтому для определения понятия полезности введем
одно вспомогательное понятие — типовые задачи, т. е. задачи,
которые по своему вычислительному построению встречаются наи-
более часто. Из дальнейшего будет видно, что понятие «типовые
задачи» не войдет в окончательное выражение для функции по-
лезности КК- Пока же дадим определение полезности КК с ис-
пользованием этого понятия.
Поскольку КК служит для решения математических задач, то
он тем полезнее, чем больше задач можно решить с его помощью
за определенное время. Исходя из этого, можно дать следующую
формулировку: полезность карманного калькулятора измеряется
числом типовых задач, которые в единицу времени можно решить
с его помощью.
Такое определение позволяет не только непосредственно вклю-
чить в выражение для полезности вычислительные качества каль-
кулятора, но учесть также сбои, которые могут происходить при
работе из-за схемных недостатков КК или недостатков клавиату-
ры. Так как сбой потребует повторить решение задачи, на кото-
рую до сбоя уже было затрачено некоторое время, то общее число
типовых задач, решенных в единицу времени, уменьшится. Сни-
зится, следовательно, и величина полезности КК, что логически
вполне оправдано.
В периодической печати публикуется много сведений о выпу-
скаемых промышленностью КК (например, [93, 94]). Характе-
ристики и розничная цена некоторых выпускаемых в продажу
КК, заимствованные из указанной литературы, представлены в.
табл. 6.6. Из приведенных данных видно, что в продаже имеются
240
данная функция предусмотрена, СД — светодиоды, ЖК —жидкие кристаллы, М—магнитные карты
Модель М-905 Sj^-10 Tl-35 MK-880I NS-108 F-62 i TI-57 HP-33E; TI-58 HP-29C HP-19C TI-59 | HP-67 HP 97
16—1051
241
как простейшие КК моделей М-905 и SR-10, так и модели, спо-
собные вычислять элементарные математические функции; нако-
нец, имеются сложные КК моделей HP-67, HP-97, TI-59, в кото-
рые можно вводить специальные программы при эксплуатации.
Критерии и вид функции полезности. В соответствии с алго-
ритмом МФП для отыскания функции полезности надо прежде
всего составить перечень значимых параметров системы, из кото-
рого выбрать частные критерии полезности, частные критерии
платы за полезность и ограничения. Применительно к КК такими
параметрами являются:
1) время решения типовой задачи; 2) средний период сбоев
при вычислениях; 3) точность вычислений (число разрядов);
4) срок службы источника автономного электропитания; 5) об-
щий срок службы КК; 6) габариты КК; 7) масса КК, 8) яркость
и отчетливость изображения на табло и иа клавишах; 9) наличие
преобразователя для питания от сети; 10) цена.
В частные критерии полезности КК целесообразно включить
параметры 1, 2, 6 и 8. Параметры 4, 5, 9 и 10 следует счи-
тать составляющими платы за полезность. Что касается пара-
метра 7, то его можно не включать в число критериев, поскольку
при приемлемых габаритах масса КК будет тоже приемлема. Па-
раметр 3 для КК данного класса (калькуляторы для инженерных
расчетов) целесообразно включить в число ограничений. Под-
тверждение этому можно найти в табл. 6.6.
Перейдем теперь к формированию выражения для функции
полезности КК, ф. Допустим, что каким-то образом выбраны т
видов типовых задач. Среднее время решения задачи i-ro вида
средняя относительная частость задач i-ro вида gt. Тогда вре-
мя решения N задач будет в среднем равно
т
(6-56)
i=i
Следовательно, среднее число iVi задач, решенных в единицу вре-
мени, определяющее полезность КК, будет
/ / т
I \,=1
При решении задач на КК возможны сбои, в результате кото-
рых решение начатой задачи окажется необходимым повторить.
Как показывает практика, доминирующей причиной таких сбоев
является ошибка в нажатии на клавишу. Эта ошибка может быть
трех видов:
1) клавиша нажата недостаточно, так что замыкания цепи не
произошло; либо из-за дрожи пальцев клавиша нажата дважды,
так что КК вместо одного получил два ввода цифры или команды;
242
2) ошибочно нажата не та клавиша, которая требовалась; 3) слу-
чайно нажаты сразу две клавиши.
Позже мы рассмотрим эти причины более подробно, а пока
можно утверждать, что сбой приведет к возрастанию времени ре-
шения задачи на какой-то множитель Лсб, больший 1. Поэтому
функция полезности будет пропорциональна величине
// 111 \
(6-57>
\ /“*1 /
Переходим к критерию «габариты КК». Понятие «карманный
калькулятор» на первый взгляд представляется несколько неопре-
деленным. Но можно придать ему четкий смысл на основании сле-
дующих соображений. Нормальный карман пиджака, пальто или
куртки имеет такие размеры, что в него можно поместить предмет
размером 170X110X35 мм. Если КК имеет меньшие габариты, то-
«множитель габаритов» в функции полезности можно считать рав-
ным 1. Если же габариты КК превышают указанные предельные
значения хотя бы по одному из трех размеров, то без затруднений
носить с собой КК уже нельзя. Это по существу значит, что поль-
зователь будет оставлять КК на своем основном месте работы и
применять его только там. Значит, полезность КК будет равна ф
на рабочем месте и нулю при нахождении пользователя в других
местах, где ему КК может понадобиться. В итоге полезность будет
равна
/ / т \
* = фВ + О(1-В) = В / (6.58)
Здесь В — доля общего времени вычислений, приходящаяся на
основное рабочее место. Предварительная оценка показала, что
для инженера-разработчика В изменяется от 0,9 до 0,5. Если тре-
бование «карманных» габаритов выполняется, то В = 1.
Яркость и отчетливость изображений на табло и надписей на
клавишах, с одной стороны, может влиять на частоту сбоев при
вычислениях (это должно быть учтено множителем Лс6 ); с дру-
гой стороны, недостаточная яркость табло может потребовать
специального затемнения места работы. Это особенно неудобно
при необходимости делать в процессе вычислений промежуточные
записи на бумаге и считывание с записей. В итоге возрастет экви-
валентное время вычислений, что может быть учтено множите-
лем J<1:
// т \
• (6-59>
i = 1 J
Остановимся кратко на плате за полезность. Основной состав-
ляющей этого показателя является продажная цена Скк кальку-
16* 243.
.лятора. Вторым слагаемым будут расходы на источник азтоном-
ного питания (стоимость электроэнергии при питании КК от сети
можно не учитывать). Пусть срок службы КК равен fcc, а срок
службы одного комплекта батарей или аккумуляторов равен
при цене этого комплекта Сй. Тогда общие расходы па источник
автономного питания за все время службы КК будут Сб если
последний всегда питается только от автономного источника. Но,
как уже указывалось выше, в течение В доли общего времени
использования КК он эксплуатируется на рабочем месте. При
этом не только можно, по и удобно питать КК от миниатюрного
выпрямителя, придаваемого к КК. Таким образом, общая величи-
на платы за полезность КК будет выражаться следующим об-
разом:
с = с„+сб(1-ад. (6.60)
Оценка времени вычисления элементарных функций па простейших КК-
'Хотя разные классы карманных калькуляторов предназначены для разных ка-
тегорий пользователей, но с методической точки зрения представляет интерес
найти функции полезности разных классов КК применительно к одной категории
пользователей, в первую очередь инженеров как наиболее массового потреби-
теля подобной техники.
Если в вашем распоряжении имеется лишь простейший калькулятор, спо-
собный выполнять только четыре арифметических действия, а вам требуется
решить задачу, содержащую тригонометрические функции, квадратные корпи,
экспоненты и т. п. часто встречающиеся элементарные математические функции,
то как вам следует поступить? Можно, казалось бы, найти значения этих функ-
ций из соответствующих математических справочников и далее решать задачу
на своем КК. Но при определении функции полезности карманного калькуля-
тора такой подход неправомерен. Действительно, наиболее важное свойство КК
состоит в том, что с его помощью можно решать задачи в любой обстановке
и в любом месте, имея его всегда при себе. Но трудно предположить, что кто-
либо согласился применять и приобретать карманный вычислительный прибор,
для пользования которым надо еще повсюду таскать с собой математические
справочники.
Поэтому будем считать допустимым лишь такой прием, когда необходимые
для решения задачи элементарные математические функции приближенно оты-
скиваются с помощью самого калькулятора. Для таких вычислений никаких
справочников иметь при себе не надо. Многие инженеры на память помнят фор-
мулы разложения элементарных функций в степенные сходящиеся ряды. Но
• если даже не знать на память эти формулы, то нетрудно подготовить и вло-
жить в футляр КК небольшую карточку с необходимыми формулами.
Так, функцию sinx можно вычислять по первым трем членам степенного
ряда:
sin х си х — х::/3! 4- х5/5!
Наибольший приведенный угол х, для которого может потребоваться вычислить
sin х, равен л/4. Для этого угла получится и наибольшая методическая ошибка.
1244
Эта ошибка равна 3,6-10-3%, что обычно приемлемо. Существуют лучшие при-
ближенные представления элементарных функций, чем обычный степенной ряд;
но тогда надо помнить или иметь при себе многозначные коэффициенты, что по
указанным выше причинам неудобно.
Для вычисления квадратного корня можно воспользоваться простым ите-
рационным соотношением
У/-н = 0,5(у;-|-х/уД у„ = ]/л.
При четырех итерациях можно получить решение с методической ошибкой не
-более 10—3 %. Сведения о способах представления числа х для лучшего исполь-
зования итерационного уравнения можно найти в любом математическом ру-
ководстве. Простыми способами можно приближенно вычислить и другие ча-
сто встречающиеся элементарные функции [95—97].
При решении задач на КК значительный удельный вес в общих затратах
времени занимает время ввода чисел, так как каждая цифра десятичного раз-
ряда числа требует нажатия на клавишу, т. е. такого же по продолжительно-
сти действия, как и вычисление элементарной функции (синус, логарифмы
и т. п.) в КК, где подобные функции запрограммированы. Мы будем вести все
оценки затрат времени в предположении, что вводимые числа изображаются
5 символами: 5 десятичных разрядов или 4 десятичных разряда и запятая. Для
большинства инженерных расчетов такая точность представления чисел доста-
точна.
Поэтому если время нажатия на клавишу обозначить ti, то время t ввода
одного числа будет равно
/вг=5^1. (6.61)
В простейших калькуляторах, в которых отсутствует регистр памяти для
записи промежуточных результатов, а иногда и в простейших КС с одним ре-
гистром памяти приходится промежуточные результаты записывать на бумагу,
а на необходимом этапе вычислений считывать запись и снова вводить число в
КК. Такая операция сильно удлиняет время решения задачи. На основании про-
веденных статистических измерений время /3 записи на бумагу промежуточного
результата, выдаваемого КК, можно принять равным
f3 = 2£B=l0/1. (6.62)
Все остальные операции будем называть действиями. К ним относятся:
нажатие на клавиши арифметических действий, клавишу знака равенства, кла-
виши вычисления элементарных функций и т. д.
При определении затрат времени на вычисление элементарных функций с
помощью «арифметических» КК, а также при определении общего времени ре-
шения задачи в любых КК при большом числе последовательно выполняемых
действий имеет значение, какой тип алгебры применен в данном КК. Из
табл. 6.6 видно, что в некоторых КК предусмотрена обычная алгебра, а в не-
которых иерархическая алгебра. Различие между ними состоит в следующем.
При обычной алгебре математические действия типа сложения, вычитания,
245
умножения и деления выполняются в той последовательности, в какой они вво*-
дятся в КК. Например:
5X2 1-12 : 4=5,5,
12:4 + 5X2=16.
В иерархической алгебре действия выполняются в соответствии с заложен-
ным в КК приоритетом независимо от последовательности ввода. Например:
5X2+12:4=13,
12:4 + 5X2=13.
На первый взгляд иерархическая алгебра имеет существенные преимущест-
ва перед обычной. Но это не всегда так. В некоторых случаях она, действи-
тельно, дает экономию времени, но иногда более быстрый счет получается с
обычной алгеброй, как это будет видно из дальнейшего. Вычисления элементар-
ных функций, если они предусмотрены в КК, всегда обладают приоритетом
перед арифметическими действиями.
Теперь нетрудно написать выражение для общего времени вычисления эле-
ментарной функции или какого-либо другого вычисления. Обозначим общее чис-
ло вводов чисел через Ns, общее число записей чисел на бумаге в процессе вы-
числений (из-за отсутствия или нехватки регистров оперативной памяти) через
Л^, общее число «действий» через Кд. Тогда общие затраты времени будут
= (5М, '-ЮМ: Д) t J. (6.63)
На основании изложенных принципов были определены затраты времени
на вычисление элементарных математических функций для КК пяти типов:
1) КК с обычной алгеброй без регистров оперативной памяти, в котором
предусмотрено выполнение только четырех арифметических действий (обозна-
чен О, б/п);
2) КК с иерархической алгеброй без регистров памяти, в котором предусмот-
рены только четыре арифметических действия (обозначен И, б/п);
3) простейший КК с обычной алгеброй и одним регистром оперативной
памяти (обозначен О, П);
4) простейший КК с иерархической алгеброй и одним регистром оператив-
ной памяти (обозначен И, П);
5) КК, в котором запрограммировано вычисление элементарных математи-
ческих функций, указанных в табл. 6.6 (обозначен Ф).
Результаты и программы расчета элементарных функций представлены в
табл. 6.7—6.10. Знаком обозначена операция записи промежуточного ре-
зультата КК на бумагу. Индекс около стрелки обозначает порядковый номер
записи в данной задаче. Знаком «),» обозначен ввод г-й записи, произведенной’
на бумаге в процессе вычислений, обратно в КК. Знаки арифметических дей-
ствий обозначены обычными символами, причем умножение обозначено «X».
Ввод результатов промежуточных вычислений в память показан знаком Л4, а-
извлечение числа из памяти — знаком К, причем предполагается (как это обыч-
но и бывает в КК), что извлечение числа из памяти не приводит к его стира-
нию в памяти. Но при вводе в память нового числа ранее записанное число
стирается.
246
Функция И её аппроксимация J Максимальная 1 методическая 1 ошибка 1 Тип 1 1 КД JThtcv.i 1 -1
|лятора 1 Программа вычислений
у При четырех итерациях АсЮ-зо/о О, б/п И, б/г X : Х+Х: 2=4^ : •fj-f-f, : 2= : f2+f2.2= . 2 = *: Ит to : 2=М; • 2= — • Тз~Нз= : 2 = 12 12 3 20 3 24 ! 6 но 114
О,П и, п х : л-4-.v ; 2=Л/х: R+R : 2=Мх : 1?+/?: 2 = Мх . . 2 = Х х+х=^=^х ; R+R = ; 2=Mv : /?+/?= 2=Мх. R+R 6 6 - 29 - 33 59 63
• ф xV I - 1 6
еЛ= 1 + х — + 2 При Д<1О-з% |о, б/п И, б/п ;3=Ьхх: 4=ЧзХ*: 5= +ь+ннх+1= 9 3 23
, -у3 , -X1 Л3 T1+ Л + Ьхх: З+fjXft: б+^х^Хл : 30 = 10 22
+ 6 О, п : WxJ?; 6+-v+;= —/зЛХ-г: 3+f2+f3= 7 31 96
— и,п ф УХЛ-: ^ = M+RXRxx:-M+RxR . 6+/?хх . 3+х+1 = хех 5 - 1 - - 30 1 55 6
1П (1 X J —- А ~|- А2 ДГЗ +v+v + _r+ При х=о,5 I А~0,1% О, б/п 13 5 40 55
J 4 Х5 Хб И, б/п J 7 1 29 124
+т+т+т О,п Р х': : 7- 7 3 34 99
11 п 2хЖ/кж1+8'/Д«х4 6 - 48 78
Ф jxln 1 6
Таблица 69
Функция и сё аппроксимация Максимальная методическая ошибка Тип ка тьку- лячора Прогрллнта вычислении N3
X' X'1 A~4-10-3% О,б/п ХградХл: 180=bXti-2OXtiXti + 120Xfi: 120 = 6 1 22 62
smx=x--+s| = И, б/п ХградХл : 180 = liXft-20=XhXh + 120=Xti: 120 = 6 1 24 64
0, п хградхп: 180 = Мх^—20Х//ХЛ+120Х/? : 120 = 2 — 28 38
— ([Х*—/и) X«*x-f- -Н20)Х*: 120 и, п ХградХл: 18О = Л1Х++ 20=хСх/?+120=х/?: 120 = 2 — 30 40
X2 X1 X6 д~5-10-4% 0 б/п xrpa„XJr: 18O=4iXh—30XtiXfi + 360XtiX h : 720—1 = 7 1 25 70
cosx=l-^- + - ь|- И б/п хГрадХл : 180=+Xh—30=XtiXfi + 360=XfiXti: 720—1 = 7 1 27 72
п п 1 z,„-Xt : 180 = Mx/?—ЗОХ-КхЯ + ЗбОхЯхЯ : 720=4 = 2 — 29 39
Кг -&j)XXA-r + 360) XX2: 720— 1 I И, П|ХграДХл: 180 = МХЯ-30=Х/?ХЯ + 360=ХЯХ7?: 720-1 = 2 — 31 41
A~4,5.10-s% 0, б/п CcosxX-h+sinxX : |i= 1 149
tgx= И, б/п <cosx>..1<sinx> : -1= 1 dO
COS X 0, П <cos x>- i<sin x> : t = 1 94
И,П <cosx>h<sinx> : Ai = I 98
arcsin x=x+ + 1 хз , , Д< 1,3-10-3 0. б/п л-х^=4184 : 50+fiXfi = |256 : 15+f2X -f2=-4s336 : 15+|зХ 9 3 40 115
+2ХЗ+2Х4Х5лА 1 XxX15 : 336X180 n =
, 1X3X5 И, б/п %xx=/i+84 : 50= Xfi + 56 : 15= X/i + 336 : 15 = 6 1 40 80
+ 6X2X4X7 ' = XxX 15 : 336X180 : л=
/// 84\ 0, п Л'Х.у=M84 : 50+ДхЛ = ТИ56 : 15 + /?ХуХЛ’ = 6 — 47 77
- +50/) XA 1" = /W33S: 15+tfX*X 15 : 336X180: л =
+5-6)x^+W)x« И, П Л'ХХ=М+84:50=Х/? + 56: 15=X-R+336: 15 = 4 __ 43 63
r 15 l/x 15 1 z = ХХХ15 : 336X180 :л=
xl 5:336
aretgx= A«l,3-10-3 О,б/п хХ*+1 = 11 < Kti>l2 у:Ъ=!з <arcsinf3> 3 280
ЛГ И, б/п xXX + l=4i < ‘Kti>4’2 *:/2=k <arcsinf3> 3 254
= шсй1н y-^x2- о,п rxx+l = |i < x;R=M <arcsinS> 1 169
и,п xX^+l=/i < Kti>M x-R = M <arcsinC> 1 159
S примечание. Знак <f> означает, что численное значение функции f вычисляется по программе, приведенной в этой
30 таблице и таблице 6.8._______________________________________________________________________________________
Вычисления элементарных функций представленные в табл. 6.7 и 6.8, про-
изведены по наиболее примитивным программам, имеющим то преимущество,
что они чаще всего известны инженеру на память. Также простые, но несколь-
ко усовершенствованные программы с представлением многочленов по схеме
Таблица 6.10'
Тип КК Функция и ее аппроксимация Программа вычислений "в л'з "77
цх=1+((((х+5)х + 20)х+60)х+120)х : 120 при |х|<0,5 Д< 1,4• Ю-3%
О, б/п x+5Xx+20Xx+60X*+120X*: 120+1 = 5 — 23 ) 48
И, б/п х-4-5 — Хх+20— Х^4-120= X# ‘ 120-1-1 ~ 5 — 27 52
о,п хЛ1+5Х/?+20Х/?+60ХЯ+120хЛ : 120+1 = 1 — 28 33
и п хЛ4+5=Х₽+20=Х«+60=Х1?+120=хЛ : 120+1 = 1 — 32 37
1 < у / у2 \ .г — 1 1П Х=1П ~ 2у 1 + ; у - — ; 1 — у \ 3 / х - 1 при |z/|<0,2 Д<3-10-2%
О, б/п Х-4-1 = 4-!—2 : + = |2Xf2: 3+lXf2X2= 4 2 16 56
И, б/п x+l = |i—2- : + =+х + : 3+l = x+X2= 4 2 18 58
О, п х+1=Л1—2: R = MxR : 3+lXRx2= 1 — 21 26
и, п %+l = Af—2= :Л-=МХ/?:3+1 = ХЛХ2= 1 — 23 28
Горнера, применены в табл. 6.9 и 6.10. Из сравнения видно, что время счета,
при этом сокращается.
Для каждого из пяти типов КК можно указать среднее время 7а вычис-
Таблица 6.И
Тип калькулятора Средние относитель- ные затраты времени Р- = Г
О, б/п 123 20,5
И, б/п 116 19,3
О, П 75 12,5
И, п 74 12,3
ф 6 1
ления элементарной математическом
функции (к категории этих функций
мы не относим 1/х, считая ее опе-
рацией деления 1 на х).
Значения /а представлены в
табл. 6.11. В последнем столбце таб-
лицы указано, во сколько раз вре-
мя вычислений на данном калькуля-
торе превышает время вычислений
на калькуляторе типа Ф. Эта вели-
чина обозначена г.
250
Определение среднего времени решения типовых задач. Инже-
нерная вычислительная задача состоит из исходных данных, выра-
женных в виде набора из N4 чисел, ряда арифметических дейст-
вий и ряда элементарных функций, подлежащих вычислению в
процессе решения задачи. Число этих функций обозначим чис-
ло арифметических действий N а. Для приближенных оценок мож-
но считать:
М + (6.64)
Оценки для формул, использованных при составлении табл. 6.12,
показывают, что N4= (0,8-н 1,1) (2Va + Лгф) при среднем значении
коэффициента 0,9.
Таблица 6.12
Область техники Число ис- пользован- ных фор- мул Число арифме- тических действий Число элемен- тарных функций
1. Аэродинамика, авиационные и ра- 31 282 67 0,81
кетные двигатели
2. Баллистика 30 185 75 0.71
3 Автоматическое регулирование 53 342 114 0,75
4. Сопротивление материалов 35 249 93 0,73
5. Конструкторские механические рас- 21 415 85 0,83
четы на прочность и жесткость
6. Расчеты параметров траектории дни- 41 220 75 0,75
женин и пролонгация
7. Преобразование координат 22 60 20 0,75
8. Техника СВЧ 16 86 25 0,77
9. Радиолокация 40 21,1 78 0,73
10. Лазерная связь и локация 21 260 70 0,79
11. Электротехника 59 507 150 0,77
Пусть в данной типовой задаче доля арифметических действий
в общем числе действий равна ; тогда число требующих вы-
числения элементарных функций будет равно (1 —Общее
время решения i-й типовой задачи равно сумме времени ввода
чисел, времени выполнения арифметических операций и времени
вычисления элементарных функций. Если числа имеют в среднем
I десятичных разрядов (включая запятую), а время нажатия на
клавишу КК равно то общее время ввода всех чисел будет
i\lN4l. Арифметическая операция осуществляется нажатием на
одну клавишу. Поэтому общее время на выполнение арифметиче-
ских операций будет равно tlkiN'4i. Наконец, общее время вы-
числения элементарных функций для данной задачи составит
/Д1—&;)у.Л'чг. Здесь р,— число, показывающее, во сколько раз
вычисление элементарной функции на КК данного типа превышает
время нажатия на одну клавишу.
251
Таким образом, общее время tt решения i-й типовой задачи
= [/ + kt 4- (1 — 6г) u] N4i. (6.65)
Тогда выражение (6.56), определяющее суммарное время /к ре-
шения N типовых задач, примет вид
т
+ + (6.66)
i-1
Для определения коэффициента йг- в типовых инженерных за-
дачах были предприняты следующие статистические оценки. Рас-
сматривался ряд наиболее распространенных областей инженер-
ных расчетов, выбирались часто употребляемые расчетные форму-
лы и в них подсчитывалось число арифметических операций и
число операций по вычислению элементарных функций. К послед-
ним относились: тригонометрические и обратные тригонометри-
ческие функции, гиперболические и обратные гиперболические
функции, степенные функции и корни различных степеней, показа-
тельные функции, логарифмы. Результаты оценок приведены в
табл. 6.12.
Из таблицы можно сделать следующее заключение: несмотря
на различие расчетных формул в разных областях техники, можно
принять коэффициент равным 0,7.
Подставляя в (6.66) kt =0,7, 1=5, мы можем вынести за знак
суммы член в квадратных скобках и получить следующее выра-
жение:
т
= N (5,7+ О,Зр)Л (6.67)
Мы ищем выражение для функции полезности с целью срав-
нения различных КК. Рассматривая с этих позиций формулу
(6.67), мы замечаем, что от характеристик КК зависит только член
(5,7+0,3ц)/ь Остальные члены характеризуют решаемые на КК
типовые задачи и поэтому для всех сравниваемых калькуляторов
должны быть одинаковы. Это дает нам право записать формулу
(6.59) с учетом (6.67) в следующем виде:
Ф----------. (6.68)
Лб (5,7 + 0,Зр)А
При сравнении «арифметических» калькуляторов с КК, в ко-
торых запрограммированы элементарные математические функ-
ции, величину ц следует брать из табл. 6.11 или находить по ме-
тодике, описанной при составлении этой таблицы.
При изучении характеристик КК, представленных в табл. 6.6,
мы замечаем, что некоторые КК имеют в своей жесткой програм-
252
ме такие операции, как преобразование полярных координат в
прямоугольные (и наоборот), вычисление гиперболических функ-
ций, перевод угловых величин из радиан в градусы, минуты в се-
кунды (и наоборот); другие же КК таких специальных операций
не имеют. Может возникнуть необходимость в нахождении услов-.
ной полезности тех и других калькуляторов применительно к вы-
полнению подобных операций. Такое сравнение нетрудно провести
по примененному выше методу. В табл. 6.13 приведены результа-
ты сравнения калькуляторов моделей TI-35, TI-57, выпускаемых
одной и той же фирмой.
Таблица 6 13
Вид операции Выигрыш TI-57 в сравнении с TI-35 по времени счета
Гиперболические функции Полярные координаты — прямоугольные Радианы — градусы, минуты, секунды 2,7 раза 2,1 раза 2 раза
Средний выигрыш 2,3 раза
Продажная цепа TI-35 равна 33 дол., а продажная цена TI-57"
составляет 80 дол. Отношение цен равно 2,4.
Сложнее сравнить время счета на КК с жесткой программой с временем
счета на программируемых калькуляторах. Здесь уже в качестве типовых надо
рассматривать более сложные задачи. В качестве подобных задач можно, на-
пример, рассмотреть решение трансцендентных уравнений и приближенное чис-
ленное интегрирование.
Пусть требуется решить уравнение х = а • arctg(x+?>).
Это уравнение, можно рассматривать как итерационное. Для КК с жесткой
программой и двумя регистрами оперативной памяти программа вычислений бу-
дет иметь вид
ЬМХ -ф- х0 = tg-1 X аМ2 = + /?! = tg-1 X Ri = + = tg-1 Х/?2=•••
Здесь М] и Мз — операции ввода информации в первый и второй регистры памя-
ти, Ry и R2 — вызов информации из этих регистров, 1-я итерация потребует нажа-
тия на 22 клавиши, а каждая последующая итерация — на 7 клавиш. Поэтому
общее время отыскания решения будет равно
/ = -ф- 7 (А,гит — 1)
Для получения точности до четвертого знака может потребоваться 9 итераций,
тогда / = 786.
Если для решения того же трансцендентного уравнения составить итера-
ционную программу для программируемого КК, то на это потребуется затра-
253.
тить время 23Л (не считая времени ввода магнитной карты). В результате даже
при решении всего одной задачи (т. е. для одной пары значений а и &) про-
граммируемый калькулятор даст выигрыш в 3 раза. Обычно программы подоб-
ного вида составляют тогда, когда предполагается, что уравнение придется ре-
шать многократно. В этом случае выигрыш программируемого калькулятора
станет намного больше, чем в 3 раза. Но так как в практической работе при-
веденные задачи могут встречаться не слишком часто, то средний выигрыш во
времени счета в программируемом калькуляторе уменьшится.
В качестве еще одного примера приведем трансцендентное уравнение
х — а — b In х.
Подобным же образом можно показать, что однократное решение этого урав-
нения на непрограммируемом КК с точностью до четвертого знака потребует
времени 916, а составление программы для программируемого КК — времени
24fj (отношение равно 3,8).
Вычисление интеграла
Y=\^^dx
a Vx
•с разбивкой интервала интегрирования на 10 участков потребует в непрограм-
мируемом КК затраты времени ПОЛ; составление и запись в память КК или
на магнитную карту такой же программы для программируемого КК займет
время 20Л-
Обозначим через р, среднее число операций (нажатий на кла-
виши) , которые надо выполнить в данном непрограммируемом КК
в сравнении с программируемым для типовых сложных, ио адек-
ватных возможностям КК инженерных задач. Долю сложных ти-
повых задач в общем числе типовых инженерных задач обозначим
через kc- Тогда формула (6.68) примет вид
А.6 [6 -f- Д (р — 1)] Z';
(6.69)
Эту формулу можно применять не только для сравнения не-
программируемых КК с программируемыми, но и для сравнения
между собой непрограммируемых КК с различным числом зало-
женных в него математических функций и с различным построе-
нием клавиатуры.
Применим для иллюстрации формулу (6.69) к калькуляторам
моделей TI-30 и EL-1100S. Эти КК имеют практически одинако-
вые запрограммированные элементарные функции и оперативную
память, но отличаются тем, что в TI-30 каждая клавиша имеет
единственное значение, в то время как в EL-1100S предусмотрен
«реверс» клавиш. Это значит, что каждая клавиша имеет два зна-
чения: одно из них реализуется при непосредственном нажатии,
а второе — при предварительном нажатии на клавишу «реверса»
(обозначается знаком Е), В результате для ввода цифры или
254
команды арифметических действий надо нажать на одну клавишу,,
а для ввода команды на вычисление элементарных функций — две
клавиши: клавишу F и клавишу знака данной функции. С учетом
этого формула (6.69) для КК модели EL-1100S примет вид
‘ yic6[6,3-I-&c(H.—1)]
Влияние сбоев при вычислениях на КК. В выражение (6.69)
для полезности КК входит величина Лсб. Она характеризует воз-
растание среднего времени счета из-за сбоев. Причиной сбоев мы.
будем считать неправильное нажатие на клавишу (клавиша не
контактирует, нажата не та клавиша, нажаты одновременно две-
клавиши).
Допустим, что вероятность подобной ошибки при однократном
обращении к клавиатуре равна qx. При решении задачи, требую-
щей п нажатий на клавиши, вероятность совершить т ошибок
можно определить с помощью закона распределения Пуассона:
Рт = ехр (— qvri). (6.70)-
nil
Отсюда следует, что вероятность благополучно решить задачу
(т = 0) будет равна
Ро — ехр (— qtn). (6.71>
Если все же сбой в процессе решения задачи произойдет, то
с одинаковой вероятностью он может произойти на любом шаге-
вычислении, хотя последствия сбоя существенно зависят от мо-
мента сбоя. Так, если сбой произошел на 2-м шаге, то потери вре-
мени составят всего 2^, но если на 99-м шаге, то они будут уже
равны 99/]. Примем, что если сбой происходит, то в среднем на.
шаге п/2, так что потери времени от одного сбоя равны и^/2.
Найдем математическое ожидание времени решения задачи,,
содержащей п шагов. На основании определения математическо-
го ожидания случайной величины можно написать
(6-72>
ю
Здесь t — математическое ожидание времени решения задачи;-
— время решения задачи при i сбоях; р, — вероятность того,,
что за время решения задачи произойдет i сбоев.
Если ни одного сбоя не произойдет, то задача будет решена-
за время t0~ntp, вероятность такого события равна р0. Если при-
решении произойдет один сбой, то в соответствии с изложенными
допущениями на решение задачи потребуется время (1+0,5);
вероятность такого события равна (1— р0)р0. Могут произойти и-
два сбоя и только на третьей попытке задача будет доведена до-
255.
конца. В этом случае время решения задачи окажется равным
t0(1 + 2-0,5); вероятность же подобного события будет (1—р„)2Ро-
Рассуждая аналогичным образом и дальше, мы можем выра-
жение (6.72) представить в следующем виде:
t = topo + to (1 + 1 -0,5) (1 —Ро)р0 + to (1 4-2-0,5) (1 —Ро)2 Ро 4"
4- io (1 + 3 0,5) (1 - /7О)3Ро + ... - to Ро 2 (1 4- i • °-5) (1 - Ро)'-
/=0
Обозначим временно для удобства записи 1—po = Q- Нам необхо-
димо найти в свернутом виде выражение для суммы:
©О «9 ОО
2 о + i • 0,5) = 2 Ql + 0,5 W-
1=0 Z="0 te=0
Первое слагаемое правой части равенства есть сумма бесконечной
геометрической прогрессии с показателем прогрессии q, мень-
шим 1:
Вторая сумма также представляет собой абсолютно сходящийся
ряд и легко может быть представлена в виде [62]
поэтому
Таким образом, входящий в выражение для функции полезно-
сти коэффициент возрастания времени счета из-за сбоев Дсб вы-
ражается следующим образом:
Асб = (1 4-Ро)Ж
или с учетом выражения (6.71)
Ас6 = [1фехр(?1п)]/2. (6.73)
Для того чтобы воспользоваться формулой (6.73) для практи-
ческих расчетов, надо связать с характеристиками КК-
Рассмотрим сбой, обусловленный ошибочным нажатием одно-
временно на две клавиши из-за неточной установки пальца. Зна-
чимость этого фактора видна хотя бы из того, что в рекоменда-
циях по выбору КК при покупке специалист по приборам этого
вида Дж. Макдермотт указывает на необходимость обращать вни-
мание, достаточно ли велик промежуток между соседними клави-
шами [93].
256
71-30,
цо клавиш
5 8
63-/8М,
20 клавиш
[„реверсом”
EL -71O0S,
25 клавиш
с„редерсам ’•
г) 3
М,5
Рис. 6.16
На рис. 6.16,а и б схематически показан фрагмент клавиатуры
КК моделей TI-30 и EL-1100S. Как видно, интервалы между кла-
вишами составляют всего 3,5—4,5 мм, т. е. значительно меньше
толщины подушечки человеческого пальца. На рис. 6.16,а изо-
бражен фрагмент отечественного КК модели БЗ-18М, а на
рис. 6.16,г — отечественного КК модели СЗ-15. Размеры клавиши
и интервалы между ними указаны в миллиметрах. Эти сведения
будут нужны для определения коэффициента сбоев ЛСб.
Определим вероятность qx ошибки при однократном нажатии
на клавишу. Вследствие того, что палец попадает не точно в
центр нужной клавиши, а с некоторым отклонением от него, нося-
щим случайный характер, существует вероятность того, что палец
случайно установится на клавишу с недопустимо большой ошиб-
кой. Для того чтобы определить связь этой ошибки с надо
знать закон распределения отклонения центра пальца от центра
клавиши.
Для определения этого закона распределения были проведены следующие
эксперименты. На листе миллиметровой бумаги наносилось условное изображе-
ние клавиатуры и оператору пред-
лагалось «нажимать на клавиши»
так, как это он делал бы при обыч-
ном счете на КК- Оператор работал
указательным или средним пальцем.
Для того чтобы зафиксировать ме-
сто установки пальца на «клавишу»,
палец время от времени натирался
штемпельной мастикой. В экспери-
менте участвовало 5 операторов,
каждый из которых производил
100—150 «нажатий на клавиши».
17—1051
Рис. 6.17
257
Образец полученных отпечатков пальца показан па рис. 6.17. Точками обозна-
чены заранее намеченные центры «клавиш».
Статистическая обработка результатов эксперимента показала, что: 1) си-
стематическая составляющая ошибки отсутствует, 2) отклонения в любую сто-
рону от центра (вверх, вниз, вправо, влево, под любым наклонным углом) рав-
новероятны.
Исходя из приведенных закономерностей, при обработке результатов изме-
рялось радиальное смещение Дг центра пальца от центра клавиши и строились
гистограммы распределения. Образцы таких гистограмм для трех операторов
приведены на рис. 6.18. Аппроксимирующие кривые указывают, что отклонения
в горизонтальном и в вертикальном направлениях подчинены нормальному за-
кону распределения: как известно, в этом случае плотность вероятности ради-
ального отклонения подчинена рэлеевскому закону. Максимум плотности веро-
ятности соответствует при этом среднеквадратическому отклонению о по гори-
зонтали (по вертикали). Как видно из рис. 6.18, величина о оказалась равной
около 1,5 мм.
Вероятность ошибки <71 = 1-—pi, где pi — вероятность того, что
смещение пальца по горизонтали не превысило допустимой вели-
чины Дхд, а смещение пальца по вертикали не превысило допу-
258
•стимого значения Д#д. Учитывая нормальный закон распределе-
ния ошибок, можно написать
71 = 1-Ф(Дл»Ф(Дуд/о), (6.74)
тде Ф— интеграл вероятностей.
Величина о нам известна из опыта. Поэтому для вычисления
4! остается найти Дхд и Дуд. С этой целью обратимся к рис. 6.19.
На схемах а и б изображен вид сверху на клавишу, окруженную
«опасными» клавишами; заштрихованный прямоугольник показы-
вает область допустимой установки центра пальца. В зависимости
от размеров подушечки пальца и интервалов Ьх и b между рабо-
чей клавишей и опасными клавишами допустимая область может
лежать как вне контура рабочей клавиши (рис. 6.19,а), так и
внутри нее (рис. 6.19,6).
В некоторых КК для уменьшения опасности одновременного
нажатия на две клавиши применена блокировка: механизм устроен
так, что при смещении центра пальца относительно центра кла-
виши на величину, превышающую некоторое значение сх по го-
ризонтали и су по вертикали, клавиша не срабатывает независимо
от того, насколько при этом палец приблизился к соседним клави-
шам (рис. 6.19,в). Величины сх и су выбираются так, чтобы при
•срабатывании рабочей клавиши нажатие на соседнюю клавишу при
нормальных размерах пальца было исключено. Чем меньше сх и
£у, тем меньше опасность одновременного срабатывания двух кла-
виш, но тем больше опасность отказа в срабатывании данной
клавиши из-за неточной установки на нее нажимающего пальца.
Рассмотрим сначала клавиши без блокировки. На рис. 6.19,а
схематически изображено критическое положение пальца. Центр
Рис. 6.19
•17,
259
пальца попал в точку А рабочей клавиши. Часть подушечки паль*
ца, попавшая на клавишу, уплощена, а свободная часть имеет
радиус кривизны рг и касается в точке Б соседней «опасной»
клавиши. Мы будем считать, что при смещении точки А еще боль-
ше влево произойдет срабатывание кроме рабочей также и «опас-
ной» клавиши.
Из простых геометрических соображений
[р2 — + = (zH -t- Л)2 + X2 = р2; Дхд=±ах — х.
После несложных преобразований находим
Для допустимого смещения пальца Ауд в перпендикулярном на-
правлении аналогично
Дул = 0,5 (ау + by} — h
1|2
+
Здесь и ру—радиус кривизны подушечки пальца в плоскости
распрямленной ладони и в перпендикулярной плоскости соответ-
ственно; ах и ау—размеры клавиш; Ьх и Ьу — размеры проме-
жутков между клавишами с той же привязкой осей координат;
h — глубина опускания клавиши при нажатии.
Зная геометрические размеры клавиатуры, можно вычислить
Дхд и Дуа и после подстановки в формулу (6.74) найти вероят-
ность q, сбоя клавиши при однократном нажатии. Если КК имеет
блокировку клавиш, то вместо Дхд и Дуц в (6.74) надо подстав-
лять размеры сх и су (рис. 6.19,а).
Измерения, проведенные на 18 операторах, показали: px—
= 8ч-10 мм, ру=6ч-8 мм. При расчетах следует использовать наи-
большие значения радиусов кривизны.
В табл. 6.14 приведены значения Дхд и Дуд для КК, клавиа-
туры которых изображены на рис. 6.16.
Таблица 614
Модель КК ткзо EL-I100S БЗ-18М СЗ 15
ДХд, мм 3,8 4,6 6,2 3,6
Дун, мм 4,0 5,0 6,5 4,3
Найденные с помощью данных табл. 6.14 вероятности qi сбоя
за счет случайного включения соседней клавиши приведены в
табл. 6.15. ,
260
Таблица 6.15
Модель КК 1 TI-30 EL-U00S БЗ-18М СЗ-15
<71 1,9 - ю—2 3 • 10-3 1 io-4 2- 10-
Анализ задач, решаемых па КК с регистрами оперативной па-
мяти, показал, что редко приходится нажимать более чем на 50
клавиш без ввода в память промежуточного результата. Полагая
поэтому « = 50, мы можем с помощью данных табл. 6.15 по фор-
муле (6.73) вычислить коэффициент Ас6. Результаты расчета Лс6
приведены в табл. 6.16.
Таблица 6.16
Модель КК TI-30 EL-U00S ЕЗ-18М СЗ-15
1 Лсб i 1,8 1,1 1,о 1,9
Из полученных оценок мы видим, что для КК с регистрами
оперативной памяти влияние клавишных сбоев на полезность не-
значительно, особенно в моделях EL-1100S и БЗ-18М. Это объяс-
няется большими интервалами между соседними клавишами этих
калькуляторов. Но большое расстояние достигнуто за счет умень-
шения общего числа клавиш и удвоения функции каждой с по-
мощью «реверса». «Реверс» приводит к увеличению затрат вре-
мени. По при рациональном назначении функций реверсируемых
клавиш дополнительные затраты времени не превысят 10%.
Для простейших КК, выполняющих лишь четыре арифметиче-
ских действия и не имеющих оперативной памяти, число действий
даже в простых задачах, как ясно из табл. 6.7—6.10, может на-
много превышать 100. Но так как при этом приходится делать
запись на бумаге промежуточных результатов, то расчет влияния
сбоев должен проводиться для числа нажатий на клавиши между
записями. Это число также редко может превысить принятое для
определения Асб значение (п=50).
До сих пор мы учитывали лишь сбои, обусловленные ошибоч-
ным нажатием одновременно на две клавиши. Сбои, обусловлен-
ные ошибочным выбором очередной клавиши, являются свойством
оператора, а не КК и поэтому при определении объективной по-
лезности КК приниматься во внимание не должны. Но еще один
источник сбоев — отсутствие контакта при нажатии на нужную
261
клавишу — должен быть учтен. Если обозначить вероятность та-
кого события через рк, то формула (6.74) примет вид
91 = 1 — Ф(Дх»Ф(Ду»(1 — рк). (6.75)
Основная причина отсутствия электрического контакта при на-
жатии на клавишу — недосылка клавиши до нижнего крайнего
положения. Со сбоями этого происхождения разработчики КК
вели длительную упорную борьбу. Одним из эффективных спосо-
бов преодоления недосылки клавиш явилось применение «щелка-
ющих» клавиш: при нажатии на клавишу раздается хорошо слы-
шимый щелчок (или писк), свидетельствующий о появлении
электрического контакта. Важно, что зрение оператора при этом
освобождается от необходимости следить за исполнением коман-
ды по световому табло КК и позволяет во время нажатия па кла-
вишу смотреть в заготовленный текст задачи, подготавливаясь
тем самым к очередной операции.
В КК с «беззвучными клавишами» контроль должен вестись ио
световому табло. Это увеличивает время счета. Увеличение в
КК с «беззвучными клавишами» по сравнению с t\ в КК со «щел-
кающими клавишами» можно на основании имеющейся статистики
оценить коэффициентом 1,2н-1,5. Вероятность рк при щелкающих
клавишах можно считать равной 0. Для «беззвучных клавиш» эту
величину нельзя принимать меньше, чем рк = 0,01. Эта, казалось
бы, очень близкая к 0 вероятность имеет, тем не менее, серьезные
последствия.
Из четырех представленных в табл. 6.14—6.16 калькуляторов
модели TI-30 и СЗ-15 имеют «щелкающие клавиши»; калькулято-
ры моделей EL-1100S и БЗ-18М — «беззвучные клавиши». С уче-
том сказанного выше коэффициенты Асб приобретут значения,
указанные в табл. 6.17.
Таблица 6.17
Модель КК | TI-30 EL-1100S БЗ-18М G3-15
Мб ! 1,8 1,4 1,3 1,9
Изложенные в настоящем параграфе материалы могут создать
впечатление, о чрезвычайно большой трудоемкости действия 5
алгоритма МФП. Но мы здесь находили не только выражение
полезности через частные критерии, но и определяли ряд числен-
ных коэффициентов, в том числе с применением статистических
испытаний. В принципе подобная информация могла быть просто
заимствована у разработчиков КК.
Для большего удобства приведем сводку найденных зависимо-
стей- , , , , _ (1- чг , ч, ' .
262
При сравнении «арифметических» калькуляторов и калькуля-
торов с запрограммированными элементарными математическими
функциями полезность ф вычисляется по формуле
ф = 5//[ЛС5 (5,7 —0,3f«-) /J.
При сравнении КК с запрограммированными элементарными
математическими функциями и КК, в которых, кроме того, преду-
смотрен ввод программ, полезность может оцениваться по фор-
муле
ф = В//(Лс6 [6+ ^([7-1)]^.
В приведенных формулах символы имеют следующий смысл:
|Л -—число, показывающее, во сколько раз время вычисления элементарных
математических функций на «арифметических» КК превышает время
таких операций па КК с запрограммированными элементарными функ-
циями; значения р. могут быть взяты из табл. 6.11; для КК последнего
типа с «реверсом» клавиш ц=2;
- ti — среднее время единичного нажатия на клавишу; по предварительным
данным ti = 2'C для КК со «щелкающими» клавишами и 6=2,5с для
КК с «беззвучными» клавишами;
ц — средний выигрыш решения задачи на КК, допускающем ввод програм-
мы счета, по сравнению с КК без такой возможности (по предваритель-
ным оценкам р = 4-е8);
’&с — доля типовых инженерных задач, адекватных потенциальным возмож-
ностям КК, для которых из-за их сравнительной сложности целесооб-
разно предварительно составить и ввести в КК программу вычислений,
если КК это допускает (по предварительным оценкам kc— 0,2-ь0,3);
Лсб — показатель замедления времени решения задач из-за сбоев, обусловлен-
ных ошибочным нажатием одновременно па две клавиши. 4t3 вычис-
ляется по формуле (6.73);
В — показатель габаритов КК, т. е. соответствия его термину «карманный»;
для КК, размеры которых меньше или равны 170X110X35 мм, В=1.
При больших размерах значение показателя В находится в пределах от
0,9 до 0,5, уточняемых методом экспертных оценок;
7 — показатель яркости и разборчивости табло и надписей на клавишах,
определяемый методом экспертных оценок с последующим преобразо-
ванием с помощью функции принадлежности (формула (4.4)).
Пример вычисления полезности некоторых КК и построения
поля выбора. Для иллюстрации положений, изложенных в настоя-
щем параграфе, вычислим величину полезности и построим изо-
бражающие точки на поле выбора для трех типов КК. В табл. 6.18,
представляющей собой матрицу оценок, даны необходимые све-
дения об этих КК. Для большей компактности данного примера в
таблицу включены вычисленные по приведенной выше методике
263
ii, АсВ и t\. Высокая яркость табло и отчетливые обозначения кла-
виш позволили принять для всех КК 1=1.
Таблица 6.18
Характеристика М-905 SR-10 TI-35
Выполняемые опера- + X,:, + ,—, X См. табл.
ции Ух, х2, 1/х 6.6
Оперативная память —, — 2 регистра
Тип алгебры Обычная Иерархическая Иерархическая
Клавиши Беззвучные Беззвучные Щелкающие
В' 1 1 1
J 1 1 1
ti 2,5 2,5 2
1,4 1,2 1,8
И 123 97 1
Цена (долл.) 6 10 33
Примечание.
у Габариты всех КК не превышают 170X110X35 мм.
Величина р. для КК модели М-905 заимствовалась непосред-
ственно из табл. 6.11. Для КК модели SR-10 данные табл. 6.11
корректировались с учетом того, что этот КК помимо простых
арифметических операций может вычислять квадраты чисел, квад-
ратные корни и обратные величины. Среднее время нажатия на
клавишу для КК типа TI-35 принималось равным 2с. Для
других двух КК с учетом того, что они в отличие от TI-35 имеют
«беззвучные» клавиши, /1 = 2,5 с.
Результаты расчета полезности трех рассматриваемых КК и
их продажная стоимость (цена) приведены в табл. 6.19.
Таблица 6 19
Характеристика М-905 SR-10 TI-35
Полезность if, с-1 7-Ю-3 10- 10—3 46 10-3
Стоимость С, долл. 6 10 33
На рис. 6.20 построено поле выбора с нанесенными на нем изо-
бражающими точками трех рассматриваемых КК. Если бы это по-
ле выбора было построено при рассмотрении проектов калькуля-
торов, то оно могло бы быть использовано для определения объема
производства каждого из типов КК или для выбора предпочти-
тельного варианта. Необходимость такого выбора могла быть свя-
зана с производственными условиями, не допускающими изготов-
ления более чем одного типа прибора.
264
В действительности модели
М-905 и SR-10 были вытеснены
более совершенной моделью
TI-35. Поле выбора показывает,
что отношение полезности к це-
не для этой модели выше, чем
для предшествующих. Отсюда
при желании можно сделать вы-
вод, что анализ полезность —
плата за полезность в явном или
интуитивном виде присутствует
в реальной жизни. Но в данном
конкретном случае правильнее
считать, что решающим факто-
ром выбора была ожидаемая
прибыль.
Вместе с тем нельзя не обра-
тить внимание на то обстоятельство,
Рис. 6.20
что соединительные линии
между всеми тремя изображающими точками проходят вблизи
начала координат поля выбора. Это дает основание полагать, что
продажная цена назначается исходя из какого-то представления о
полезности прибора с целью максимизировать спрос и — опять-
таки— получить максимальную прибыль.
Приведенный в настоящем параграфе материал отнюдь не пре-
тендует на анализ современного состояния «карманной» вычисли-
тельной техники. Наша цель заключалась лишь в том, чтобы на
примере карманных калькуляторов продемонстрировать подход к
отысканию зависимости между техническими характеристиками
многокритериальной системы и ее полезностью.
6.6. РАДИОЛОКАТОР КОНТРОЛЯ КОСМИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА
В этом параграфе будет определена полезность надгоризонт-
ного радиолокатора наземного базирования, входящего в систему
контроля космического пространства. Радиолокатор предназна-
чается для измерения текущих координат искусственных спутни-
ков Земли (ИСЗ) по отраженным сигналам с целью последующе-
го определения параметров орбит ИСЗ. Для краткости радиоло-
катор в дальнейшем именуется РИП (радиолокатор измерения
параметров орбит).
Предполагается, что в системе имеются широкосекторные ра-
диолокаторы дальнего обнаружения, дающие целеуказание РИП.
Поэтому последний затрачивает незначительную долю времени и
высокочастотной энергии на обнаружение ИСЗ в пределах объема
пространства, определяемого ошибками целеуказания, а основное
время и энергетику расходует на точное сопровождение ИСЗ с вы-
265
дачей их текущих координат. На основании этой информации
ЦВМ системы контроля вычисляет элементы орбит и пролонги-
рует движение ИСЗ.
Исходя из описанной схемы следует и определять полезность
РИП. В нашу задачу не входит оценка системы контроля в целом,
в частности, определение рациональности указанного распределе-
ния функций между радиолокаторами дальнего обнаружения и
РИП. Такая задача тоже правомерна, но она означала бы уже
определение полезности всей системы контроля, зависящей от сво-
ей совокупности частных критериев. Здесь будет решаться более
узкая задача о полезности РИП заданного назначения.
В процессе функционирования системы РИП будет получать
поток данных целеуказания, а в ответ он должен выдавать поток
измеренных с нужной точностью координат ИСЗ. Термин «поток»
здесь уместен, ибо в настоящее время количество низкоорбиталь-
ных ИСЗ больше 1000, и число их с каждым годом растет.
Время пребывания каждого ИСЗ над местным горизонтом ог-
раничено, повторное попадание того же ИСЗ в рабочий сектор
РИП может произойти через много часов. Поэтому важно, чтобы
РИП успевал обслуживать возможно большее число ИСЗ за вре-
мя первого же их прохождения через местную верхнюю полусфе-
ру. Максимальную возможную полезность, очевидно, имел бы та-
кой РИП, который давал бы информацию с необходимой точ-
ностью по всем надгоризонтным ИСЗ.
Но реальный РИП затрачивает на каждый объект некоторое
время, и поэтому ограничивается число объектов, которые он мо-
жет обслужить за время их прохождения через рабочий сектор
РИП. Второе независимое ограничение возникает в том случае,
если рабочий сектор РИП не охватывает всю верхнюю полусферу
и весь диапазон возможных дальностей надгоризонтных ИСЗ:
часть ИСЗ, находящаяся вне рабочего сектора или за пределами
достижимой дальности, при данном прохождении над горизонтом
вообще не сможет быть обслужена.
Теперь мы имеем достаточно исходных данных для формулиро-
вания полезности РИП. Для того чтобы не иметь дело с большим
разнообразием ИСЗ по характеристикам их орбит и отражающих
свойств ИСЗ, целесообразно ввести понятие типового объекта, по
которому можно определять полезность и сравнивать альтернати-
вы. Тогда полезность РИП можно сформулировать следующим
образом. Полезность РИП измеряется числом N типовых ИСЗ, по
которым он в единицу времени может дать информацию о теку-
щих координатах с заданной точностью, и долей т) всех надгори-
зонтпых типовых ИСЗ, потенциально доступных обслуживанию.
В приведенной формулировке полезность просто выразить че-
рез два потребительских показателя (см. § 3.2): число jV типовых
ИСЗ, обслуживаемых в единицу времени; доля ц всех надгори-
266
зонтных типовых ИСЗ, потенциально доступных обслужива-
нию. Применяя метод варьирования (см. § 3.1), легко устано-
вить, что полезность РИП выражается формулой
<|> = №р (6.76)
Действительно, пусть имеются два РИП с одинаковыми N, но
с разными гр тц — 2т)2. Время прохождения типового ИСЗ через
рабочий сектор РИП в первом приближении пропорционально q.
Но тогда РИП1 сможет обслужить надгоризонтных ИСЗ, в то
время как РИП2 — 0,5№]i ИСЗ, а значит, ф1=2ф2.
Частные критерии полезности. Погрешности измерения коорди-
нат в соответствии со сформулированным определением полезно-
сти РИП являются не частными критериями, а ограничениями.
Выразив эти ограничения через основные значимые параметры
РИП, мы установим перечень частных критериев полезности.
Для определения параметров орбиты ИСЗ необходимо знать
текущие координаты х, у, z и их первые производные, т. е. со-
ставляющие скорости движения х, у, г [98]. Ошибка в положе-
нии ИСЗ к следующему витку, обусловленная погрешностями из-
мерения скорости, может значительно превышать ошибку, вызван-
ную неточностью измерения координат. Например, если погреш-
ность измерения положения ИСЗ вдоль орбиты составила 100 м,
а скорости — 0,5 м/с, то при периоде вращения ИСЗ 5500с по-
грешность в пролонгированном положении ИСЗ на следующем
витке составит 100 м за счет первого фактора и 2750 ьг—за счет
второго. Среднеквадратическая ошибка oi измерения составляю-
щей скорости вдоль координаты х выражается следующим обра-
зом через среднеквадратическую ошибку ох единичного замера
координаты х:
а.х= ксах1(1йУп). (6.77)
Здесь ta — общее время измерений; п — число некоррелирован-
ных равноточных единичных замеров за это время, йс — коэффи-
циент, зависящий от способа об-
работки и лежащий в пределах
6-е 10.
Вопросы радиолокационного
измерения координат ИСЗ под-
робно освещены в литературе
[98—102].
Наиболее распространенная
система координат однопозици-
онных радиолокаторов—это на-
клонная дальность R, азимут В,
угол места е. Связь между эти-
ми сферическими координатами и
267
прямоугольными координатами х, у, z поясняет рис. 6.21, из ко-
торого следует: <зх — R^, Rae, cy = aR. Для тех дальностей,
с которыми приходится оперировать в данной задаче, обычно пер-
вые две ошибки намного превосходят третью. Например, для ти-
пичного случая о?=1 мрад, ад =100 м при дальности 1000 км
имеем:ах= Ю00 м, т. с. Поэтому, если РИП обеспечит
допустимое значение и аг> то требуемое значение ау будет
заведомо обеспечено. За исключением пригоризонтной области
можно считать, что ч? = аа. Таким образом, требование обеспе-
чить необходимую точность измерений по сопровождаемому ИСЗ
сводится к требованию: среднеквадратическая ошибка измерения
составляющей скорости по координатам х и z не должна превы-
шать некоторой заданной величины ао. С учетом изложенных
соображений, выражение (6.77) можно записать так:
оР = 6с/?а?/(ги/й). (6.78)
Ошибка о? измерения угловой координаты зависит от шири-
ны 6? луча радиолокатора и отношения сигнала к шуму р в еди-
ничном замере:
а₽ = Лр03/]/р, (6.79)
где —коэффициент пропорциональности, равный обычно 14-1,5.
Подставляя значение о? из формулы (6.79) в формулу (6.78),
получаем
=4 = kc #е₽/(*и /₽«)• (6.80)
Это выражение определяет флуктуационную ошибку измере-
ний, обусловленную собственными шумами приемного устройства
и внешними шумами, попадающими в приемник. Помимо флук-
туационных ошибок, радиолокационным измерениям свойственны
медленно меняющиеся и систематические ошибки. Но именно
флуктуационная ошибка является наиболее яркой характеристи-
кой способности радиолокатора измерять координаты объектов
на предельно больших дальностях. Из этих соображений, а также
для упрощения модели при определении состава частных крите-
риев полезности мы ограничимся учетом флуктуационных ошибок.
Выражения (6.80) и (6.76) позволяют составить перечень ча-
стных критериев полезности РИП, поскольку р непосредственно
связано с основными характеристиками радиолокатора, опреде-
ляющими его потенциал, а т] — с характеристиками, определяю-
щими его рабочий сектор. Частными критериями полезности РИП
являются:
1. Средняя излучаемая мощность Р.
2. Шум-фактор приемника F.
268
3. Коэффициент усиления антенны на передачу Gr или связан-
ные с ним угловые размеры передающего луча 6гр и &rs по азиму-
ту и углу места соответственно.
4. Площадь поглощения приемной антенны Лп или связанные
с ней угловые размеры приемного луча 6п3 и 0пг по азимуту и
углу места соответственно.
5. Сектор электрического управления лучами антенн по азиму-
ту ±рэ и по углу места ±ев.
6. Пределы механического разворота антенн по азимуту и
углу места ем.
7. Типовое время /м механического переброса антенн из одно-
го углового положения в другое.
8. Длина волны X радиолокатора.
9. Коэффициент готовности кг.
В перечень не включены: разрешающая способность радиоло-
катора по угловым координатам, поскольку она однозначно свя-
зана с шириной антенного луча на прием; разрешающая способ-
ность по дальности, поскольку она обычно превосходит разрешаю-
щую способность по другим линейным координатам; потери сигна-
ла в трактах радиолокатора, поскольку они могут быть учтены в
величине /•.
Аппроксимация
Относительное
число осз
100
300 W00 3000 пооо
II
_______
36000 Н, км
Рис. 6.22
269
Модель космической обстановки. Такая модель нам, потребуется, чтобы свя-
зать потребительский показатель т] с частными критериями ± ± еэ, ем„.
В настоящее время ИСЗ решают множество народнохозяйственных, науч-
ных и других задач. Среди них можно назвать навигацию, метеорологию, связь,
телевидение, исследования атмосферы, солнечного и космического излучений,.
освоение новых технологических процессов в условиях невесомости и вакуума,
геодезические измерения и привязку наземных объектов, уточнение гравитаци-
онного и магнитного поля Земли, съемку профиля поверхности суши, а также-
фото- и радиотехническую разведку и т. п. Для многих задач необходимо, чтобы
ИСЗ двигался по возможно более низкой орбите с небольшим эксцентриситетом.
В то же время из-за высокой стоимости запуска важно, чтобы время сущест-
вования ИСЗ на орбите было,
достаточно велико. Это ограни-
чивает минимальную высоту ор-
биты. В качестве примера на
рис. 6.22,а приведена зависимость-
времени существования ИСЗ в
сутках от высоты круговой орби-
ты в километрах. Видно, что дли-
тельное существование ИСЗ воз-
можно лишь при высотах таких
орбит более 250 км [41].
На основании имеющейся
статистики более чем по 1500
ИСЗ можно утверждать, что рас-
пределение их по высотам орбит
имеет вид, показанный качест-
венно на рис. 6.22,6. Основная-
масса ИСЗ находится на орбитах
высотой от 300 до 1000 км. Чис-
ло ИСЗ с более высокими ор-
битами относительно мало. Ие-
Рис. 6.23
270
большой пик наблюдается на орбитах высотой около 36 000 км (геостацио-
нарные ИСЗ). Для решаемой нами задачи закон распределения по высотам
основной массы ИСЗ можно аппроксимировать прямоугольником, а геостацио-
нарные ИСЗ из рассмотрения исключить. Последнее объясняется тем, что усло-
вия наблюдения геостационарных ИСЗ резко отличаются от условий наблюде-
ния низкоорбитальных ИСЗ- они очень медленно перемещаются или вообще
неподвижны по отношению к наземному радиолокатору, и вопрос об опреде-
лении параметров их орбит стоит совсем по-другому. Поэтому мы будем счи-
тать, что геостационарные ИСЗ в объекты наблюдения РИП не входят.
Для сравнения полезности различных типов РИП можно исходить из ги-
потезы, что углы наклона плоскостей орбит ИСЗ равномерно распределены в
пределах от 90° (полярная орбита) до некоторого минимального угла наклона
,4=irnin- Кроме того, будем считать равномерным распределение плоскостей
орбит по долготе вдоль линии экватора. Тогда можно найти закон распреде-
ления плотности ИСЗ в местной верхней полусфере для РИП, установленного
в пункте с данной географической широтой. Однако вычисление такого закона
распределения достаточно громоздко и не входит непосредственно в задачу
определения полезности РИП. Поэтому мы ограничимся некоторыми пояснения-
ми и приведем конечный результат таких вычислений.
На рис. 6.23 изображены траектории ИСЗ в координатах азимут р — угол
места в, как они видны радиолокатору, находящемуся на широте <рш =45°.
Из-за развертывания координат (5, е в прямоугольную сетку масштаб графи-
ков, естественно, сильно искажен, но картина тем не менее достаточно на-
глядна. Графики построены для ИСЗ с круговой орбитой высотой 1000 км для
углов наклона орбиты 1 = 90, 60, 45, 35°. За первый виток в каждом случае
принято движение ИСЗ по самой высокой орбите с точки зрения РИП. Видно,
что ИСЗ проходит через местный зенит только при выполнении условия 1хрш.
Из графиков видно также, что после двух-трех витков ИСЗ уже перестает вы-
ходить из-за горизонта. Для того чтобы дать представление о длительности на-
хождения ИСЗ выше горизонта, на графиках для 1 = 90 и 35° отмечено время
в секундах от момента выхода из-за горизонта.
При меньшей высоте орбиты общие закономерности сохранятся, но умень-
шится как время пребывания выше горизонта, так и число надгоризонтных
витков. В качестве примера можно указать, что для полярной орбиты высотой
300 км время пребывания выше горизонта составит только 520 с. На рис. 6 24
изображена зависимость времени tн прохождения ИСЗ выше горизонта от
(i—Фш). Параметром графиков является высота орбиты.
Расчеты показали, что при принятых предположениях о равномерных за-
конах распределения ИСЗ по высоте Н круговых орбит в пределах 300 —
1000 км, по углам i, а также по положению плоскостей орбит вдоль линии
экватора доля г| ИСЗ, попадающая в конус с углом раствора а, будет в первом
приближении пропорциональна а2 и не будет зависеть от ориентации оси кону-
са (если часть конуса не срезается горизонтом). Таким образом, если РИП пе
имеет ограничений в обслуживании ИСЗ по дальности, то можно принять
г, = (а/п)2. (6.81)
271
Более точное выражение для т] имеет вид
т]= 1— cos(a/2). (6.81а)
Вопрос о дальностных ограничениях будет рассмотрен в следующем пункте. Со-
отношение (6.81) в неявном виде связывает потребительский показатель г] с
частными критериями ± $э> ± ри, гм- Эта связь будет показана несколько-
позже.
Функция полезности РИП. Соотношение (6.80) определяет чис-
ло зондирований, необходимое для выдачи информации с задан-
ной точностью. В это соотношение входит отношение сигнала к
шуму р, которое связано с частными критериями полезности РИП
формулой радиолокации:
Er Or ЗАП
(4^2 FmkT
(6.82)
Здесь £г—излучаемая энергия в единичном зондировании; Т —
абсолютная температура на входе приемника; k — постоянная
Больцмана, равная 1,38-10~28 Дж/град; 3 — эквивалентная отра-
жающая площадь ИСЗ.
Используя для оценок известные приближенные соотношения
Gr = 25-103/(0ГЗ 0ГЕ); А, = 3- 103№/(ОпЭ 01В), (6.83)
где угловые величины выражены в градусах, и принимая Т—
= 300 К, приводим выражение (6.82) к следующему виду:
р=1,2-1026
£,S/.2
^г₽ 91® Опр 0пе
(6.84)
Здесь величина Ег выражена в джоулях.
Подставив выражение для отношения сигнала к шуму р в фор-
мулу (6.80), находим из нее необходимое число некоррелирован-
ных зондирований п при одном обслуживании ИСЗ:
/К Еш 9г3 6ге 0пе
(6.85)
В этой формуле принято: ^^. = 6,3, все угловые величины — в
градусах, время /н—в секундах, энергия зондирования Ег —в
джоулях.
Как видно из (6.85), необходимое число п зондирований при
заданной точности измерения составляющей скорости будет
тем меньше, чем на больший интервал времени растянуты эти
зондирования. Лучше всего было бы распределить их на весь
интервал надгоризонтного прохождения ИСЗ. Но РИП должен
обслужить максимальное число ИСЗ и поэтому зондирования надо
распределить между всеми сопровождаемыми объектами так, что-
бы для каждого из них указанное условие получения требуемой
точности удовлетворялось по возможности полно. Степень этой
272
полноты, в свою очередь, зависит от способа перемещения луча
радиолокатора в рабочем секторе.
Исходя из этого для сравнения альтернатив будем рассматри-
вать три варианта РИП.
Вариант 1. Радиолокатор имеет неподвижную фазируемую ан-
тенную решетку (ФАР) с сектором отклонения луча от нормали
в пределах ±кэ в вертикальной плоскости и ±рэ в перпендику-
лярной ей плоскости.
Вариант 2. Радиолокатор имеет остронаправленпую антенну,
которая может механически поворачиваться на угол |3М по азиму-
ту и угол sM по углу места.
Вариант 3. Радиолокатор имеет ФАР на поворотном устрой-
стве. Сектор электрического управления лучом составляет ±еэ
в вертикальной плоскости и ± |3Э в перпендикулярной ей плоско-
сти, а плоскость ФАР может поворачиваться механически на угол
по азимуту и угол ем по углу места.
Начнем с отыскания выражения для полезности варианта 1.
Благодаря малоинерционному перебросу луча в пределах всего
рабочего сектора можно поочередно зондировать все сопровож-
даемые ИСЗ и благодаря этому для всех обеспечить максималь-
ное время 4, что должно привести к наиболее экономному рас-
ходу энергии РИП, а значит, к обслуживанию наибольшего числа
объектов. Схема такого обслуживания изображена на рис. 6.25,а.
Графики построены в координатах время — угол (в данном слу-
чае— азимут). Штриховые горизонтальные линии ограничивают
полный сектор электрического управления лучом. Траектории ИСЗ
в этих координатах будут, вообще говоря, искривлены, но для
упрощения качественной картины они изображены прямыми на-
клонными линиями. Показаны трассы движения шести ИСЗ, на
которых точками помечены моменты зондирования. Как видно из
рисунка, первое зондирование РИП посылает на ИСЗ трассы 1,
Рис. 6.25
18—1051
273
второе — на ИСЗ трассы 2 и т. д. Обслужив однократно все объ-
екты, РИП посылает седьмое зондирование опять на ИСЗ трас-
сы 1 и т. д.
Не всегда ИСЗ одновременно вступают и одновременно поки-
дают поле зрения РИП. По этой причине, а также по ряду сооб-
ражений, связанных с обработкой информации, может быть при-
менен несколько иной способ обслуживания (рис. 6.25,5). Здесь
каждый ИСЗ обслуживается пачкой зондирующих импульсов в
начальном и конечном участках видимой части его орбиты. Для
изображенной на рисунке ситуации сначала зондируются ИСЗ на
траекториях 1 и 2; затем зондирования распределяются поочеред-
но между ИСЗ на траекториях 1, 2, 3, 4. После этого зондируются
ИСЗ на траекториях 4, 5, 6. Затем во второй раз РИП возвра-
щается к ИСЗ на траекториях 1 и 2, после чего повторно обслужи-
вает ИСЗ на траекториях 3, 5, 6.
В соответствии с формулой (6.76) полезность РИП про-
порциональна числу М ИСЗ, обслуживаемых в единицу времени.
В качестве такой единицы удобно выбрать среднее время пребы-
вания ИСЗ над местным горизонтом, которое мы обозначим (и-
При частоте повторения зондирований F в секунду, за время 1н
излучено Ftff зондирований. При этом на каждый ИСЗ будет
затрачено п зондирований, где п определяется соотношением
(6.85). Таким образом, полезность фэ РИП варианта 1 выра-
жается следующим образом:
Ф,=-—П- (6.86)
п
Такую полезность будет иметь полностью исправный РИП.
При отказе аппаратуры полезность РИП станет равна нулю. Тог-
да средняя полезность РИП в соответствии с обоснованиями § 3.5
будет равна
^ = 1^. (6.87)
л
Множитель т]—это доля всех надгоризонтных ИСЗ заданно-
го класса, потенциально доступных обслуживанию РИП. Доля
таких ИСЗ, обусловленная ограничениями углового сектора, опре-
деляется (6.81). Остается выяснить, будут ли ограничения в доле
потенциально доступных обслуживанию ИСЗ по дальности. Пока
отношение сигнала к шуму в единичном зондировании больше
единицы, увеличение дальности будет приводить только к сниже-
нию числа обслуживаемых ИСЗ, и это обстоятельство полностью
учитывается в величине п [см. (6.85)]. Картина изменилась бы
качественно, если бы подлежащие обслуживанию ИСЗ при про-
хождении в местной верхней полусфере могли иметь такую даль-
ность, при которой отношение сигнала к шуму в приемнике РИП
274 1 ’ ”
стало бы меньше единицы. Нетрудно, однако, показать, что если
в качестве дальности R в формуле (6.85) принимать некоторую»
среднюю величину из диапазона дальностей, характерных для
ИСЗ заданных высот орбиты, то подобного положения возникнуть,
не сможет. Поэтому можно считать ц =т].
Перед окончательным представлением полезности через част-
ные критерии выполним еще одно преобразование. В формулу
(6.85), определяющую число необходимых зондирований каждого-
ИСЗ, входит время измерений /н. Как ясно из рис. 6.25, £и будет
составлять такую же долю от tn, какую 2₽э составляет от л (или
180°). Поэтому мы можем написать
— tn (я/л) = tn V'f], 1 (6,88>
(6.89>
где а —
Теперь формуле полезности можно придать окончательный вид:
PSX2 02/3^2 к
> Ф = Ю28_______ ~ -_—
В этой формуле вместо Ег F записана средняя мощность излучения
Р, являющаяся частным критерием полезности *
Выражению для функции полезности всегда желательно при-
давать такой вид, чтобы аргументами выступали только частные
критерии. В данном случае величины R, tH, S, являются для
системы внешними. Поэтому следует им придать некоторые ти-
повые значения и в этих условиях сравнивать все альтернативы.
Для ИСЗ с круговыми орбитами высотой 300—1000 км можно
принять Д = 2-106 м, И/=750 с. Эквивалентную отражающую по-
верхность ИСЗ примем 8 = 5 м2. Величина 8 изменяется с длиной
волны, но в диапазоне волн, которые могут практически использо-
ваться в РИП, этими изменениями можно пренебречь. Наконец,
допустимую среднеквадратическую ошибку измерения составляю-
щей скорости g.j примем равной 1 м/с.
Принятые числовые значения не являются действительными
требованиями к РИП, а приняты лишь для сравнения альтерна-
тивных вариантов. Можно, однако, утверждать, что РИП, пока-
завший большее значение фэ, проявит и более высокие возмож-
ности в реальных условиях работы.
После подстановки численных значений внешних параметров
в уравнение (6.89) получим
РХМ кг
фэ = 0,33-------------
ег₽ 6rs 9пе
(6.90>
* При больших углах отклонения диаграммы направленности ФАР от нор-
мали к раскрыву ширина диаграммы увеличивается. Это обстоятельство, приво-
дящее к некоторому снижению средней полезности, здесь для упрощения не
учитывается.
18* 275.
Рассмотрим теперь РИП варианта 2. Механическое перемеще-
ние луча не позволит в данном случае поочередно зондировать
ИСЗ на разных орбитах. Наиболее характерный способ обслужи-
вания изображен на рис. 6.26. В течение интервала времени /и
РИП сопровождает ИСЗ на траектории 1, накапливая необходи-
мое число некоррелированных измерений. После этого антенна
РИП перебрасывается на угловое направление, где находится
следующий ИСЗ (траектория 2), и сопровождает его необходимое
время; затем антенна перебрасывается на траекторию 3 и т. д.
Время ta сопровождения одного ИСЗ будет равно n/F, если
можно считать, что при частоте зондирований F выборки будут
не коррелированы. Полное время, затрачиваемое на обслуживание
одного ИСЗ с учетом времени переброса антенны, равно ^м-|-
+n/F. Поэтому число ИСЗ N, обслуживаемых РИП за единицу
времени, в качестве которой, как и ранее, мы примем 1н, будет
равно
А^=М(Л1-Ь«/Л), где/г/Л=/и. (6.91)
В левой части формулы (6.85) в данном случае вместо п надо пи-
сать t„F. Заменив после подстановки величину E.CF на Р, можно
найти выражение для ta через частные критерии РИП:
4 =
Rs Еш 6Г₽ 6гр 9пе
1/3
(6.92)
Теперь остается с помощью (6.92), (6.91) и (6.76) написать в яв-
ном виде формулу полезности фм РИП с механически управляе-
мой антенной. Используя те же численные значения внешних па-
раметров R, t н, S, ов, как и для РИП с ФАР, получаем
/ F fl о fl fi3 fl \ 1/31-1
фм = 750тарм + ( 1.3-109 И ] кг- (6.93)
Здесь tM—типовое время переброса антенны из одного положе-
ния в другое — выражено в секундах. Остальные величины имеют
ту же размерность, что и в формуле (6.90).
Рассмотрим, наконец, третий тип РИП. Схема обслуживания
ИСЗ изображена на рис. 6.27. Угловой сектор электрического
управления недостаточен для одновременного обслуживания всех
падгоризонтных ИСЗ. Поэтому используется следующий порядок
работы. Сначала за счет механического разворота антенны сек-
тор ФАР устанавливается в положение 1, и обслуживаются ИСЗ
с орбитами 1, 2, 3. При этом в полной мере используются возмож-
ности ФАР, и все три ИСЗ поочередно зондируются в течение
всего времени /и. После этого ФАР механически перемещается в
положение 2, и в течение времени t„ поочередным зондированием
обслуживаются ИСЗ па орбитах 4, 5, 6.
Из описанной схемы работы легко найти выражение для по-
лезности РИП. В каждом установленном механическим приводом
положении работа происходит так же, как в варианте с неподвиж-
ной ФАР. Но на переброс антенны из одного положения в другое
затрачивается время /м. Если за время tn- принятое для оценки
полезности, произведено М перебросов ФАР, то число обслужен-
ных объектов
(6.94)
Предполагается, что < tH.
Число М перебросов антенны вычисляется с помощью следую-
щего приближенного соотношения:
ЛГ = (Рм/2₽э) (ем/2еэ). (6.95)
Величина п на основании формулы (6.86) может быть представ-
лена так:
n~FtH т;э/фэ.
Здесь — полезность, которую имел бы данный радиолокатор,
если бы его ФАР не могла поворачиваться механически; —
доля всех падгоризонтных ИСЗ, которая могла бы быть потенци-
ально обслужена таким радиолокатором.
После подстановки выражения для п в (6.94) получим
(6-96)
В соответствии с исходным выражением для полезности (6.76)
необходимо найти величину т] для радиолокатора с подвижной
ФАР. Если механическое управление антенной и электрическое
управление лучом совместно позволяют обслужить всю верхнюю
полусферу, то следует считать т] = 1. В противном случае вычисле-
ние т] надо производить по формуле (6.81а), принимая за угол а
раскрыв конуса, охватывающего эквивалентный пространствен-
ный сектор.
277
„ пигать выражение для полезности фэю
Теперь несЛ°жно Попаливающейся ФАР:
РИП с механиЧеСКИ п .И к (А ст
Т лЛ'п/Тз)!1 ~М Им/зд1кг (Ь.97>
^ояеэ0.остъ РИП с неподвижной ФАР и та-
В этой формул^ Фэ управления лучом.
ким же секторов элекТР альтернатив. Предположим, что спроек-
Сравненис г»<’лезноС gx рассмотренных вариантов с одинаковы-
тировапы РИП 6Сех трза исключением способов управления лу-
ма характерисТ11ками’ мощность излучения передатчиков Р=
пом антенны, Средня ^==0,1 м; шум-фактор приемников с уче-
— 4-105 Вт; д.;п1!'а волД Трак.тах радиолокатора составляет —
том потерь сигФала ° направленности, одинаковые на переда-
= 10 единиц- диаграмм „тггг<7ненном положении, представляют со-
чу Я 2 “2« X "₽“ ,У„и',1-<М«=Т.==«,,= «.Хг). Дч» ВС»
М Миус с угл°м payf ”
вариантов приМеМ Кг подвт1-Н<нУю ФАР с возможностью отклоие-
Вариант 1 ”е е й= 55°.
ния луча от нормали а божескую антеннУ с возможностью пе-
Вариант 2 !?'лест 11 верхней полусфере. Время переброса
ремещения луча по в
луча 15 с. др с возможностью отклонения луча от нор-
Вариант 3 р может поворачиваться по азимуту на
мали уэ —. ц0 с
360°. Время пере0₽оса1Аым з^ше формулам дает:
Расчет по пРйведе - q .г __
19 .деинЫХ результатов, предпочтения по ве-
Как видно й3 при дать достаточно просто. Преимущество
личине полезн<?сти г[Овте}ю тем, что в нем применена широко-
третьего варианта обУс“ щая первому варианту по размерам про-
угольная ФАР, Уступа «пего в полтора раза. Но эта ФАР может
странственного УЗоАв»аАа“?'”„............ ........
поворачиваться в люб° птительного варианта необходимо сравни-
Для выбора прсдП плько по полезности, но и по плате за по-
вать альтернат**61,1 не Тое сТоимость вариантов не рассматривает-
лезность. В это^ п₽иМДать нт» РИП с вращающейся ФАР ока-
ся однако мо»<яо ож ^же ’ чеМ с неподвижной. В итоге преиму-
жется значительно ДОРй.'щеНии 32 к 21 может оказаться недо-
щество в полез*,ос™ в третьего варианта РИП.
статочным для 0ыо°Ра
ВКЛЮЧЕНИЕ
система обладает рядом характеристик—
Сложная теХ0Ичесй!Дделяютих степень выполнения ею своего
частных критср**ев’ опр&ая снстема является многокритериальной,
назначения. Пс>э'гс’му та
278
Полезный эффект, создаваемый технической системой обществен-
ного пользования, есть объективная категория. Полезный эффект
изменяется при изменении величины частных критериев, и, следо-
вательно, между частными критериями и полезностью системы
должна существовать функциональная связь. Эта связь тоже объ-
ективна и не может зависеть от того, известна она нам или нет.
В настоящей работе на основе логического анализа и с по-
мощью большого числа примеров показано не только существова-
ние функциональной связи между частными критериями и полез-
ностью системы, но и вполне реальная возможность отыскания
этой связи в явной форме.
Можно не без оснований утверждать, что найти вид функции
полезности непросто, что задача нс сводится к выполнению набора
однозначных правил и требует труда высококвалифицированных
специалистов. Но задача выбора объективно предпочтительной
альтернативы безусловно стоит таких усилий:
во-первых, разработка сложной технической системы занимает
годы напряженного труда множества высококвалифицированных
специалистов самых разных профилей; в этих условиях отнюдь не
обременительно затратить сравнительно небольшие дополнитель-
ные усилия для отыскания функции полезности создаваемой си-
стемы на начальных этапах разработки;
во-вторых, объективное знание величины полезности альтерна-
тив позволит уменьшить по сравнению с чисто интуитивными дей-
ствиями опасность ошибочного определения предпочтительности и
в конечном счете приведет к более эффективному использованию
людских и материальных ресурсов.
Метод функции полезности сводит многокритериальную задачу
выбора к задаче выбора на основе двух обобщенных критериев —
полезности и платы за полезность. Показано, каким образом мож-
но выразить обобщенные критерии через частные. Конечным ре-
зультатом применения метода является поле выбора с изобража-
ющими точками альтернатив. Окончательное решение принимает
ответственный руководитель. Но одно дело — принимать такое
решение на основе интуитивных представлений о роли и значимо-
сти многих несопоставимых частных критериев, и совсем другое —
производить выбор, зная, какой объективной полезностью обла-
дает каждая из конкурирующих систем, и будучи уверенным, что
этот обобщенный критерий отражает действительные возможно-
сти систем.
Описание многокритериальной системы не одним обобщенным
критерием, а двумя не является какой-то недоработкой метода, а
отражает природу вещей. Полезность связана с потребительской
стоимостью, в то время как плата за полезность — со стоимостью,
т. е. с общественно необходимым трудом. Как известно, эти две
экономические категории не могут быть сведены к одной. То об-
279
стоятельство, что плата за полезность иногда выражается не стои-
мостью, а техническими характеристиками, не меняет существа
дела. Такая замена производится для упрощения анализа в рам-
ках заданной системы, но, как показано в книге, любой вид платы
за полезность в конечном счете сводится к стоимости.
Основное внимание в работе уделено отысканию функциональ-
ной связи между полезностью системы и частными критериями,
что объясняется сложностью и новизной вопроса. Плата за по-
лезность рассмотрена более кратко. Это оправдывается тем, что
в большинстве случаев в качестве платы за полезность выступает
стоимость, а исследованию этой категории посвящены специаль-
ные отрасли знания.
Мы не имеем оснований считать, что настоящая работа дове-
ла метод функции полезности до законченности. Скорее наоборот,
она лишь проложила первые вехи на этом пути. Метод функции
полезности нуждается в дальнейшем углублении и совершенство-
вании, и такая работа будет проводиться.
В настоящей книге, не определены ограничения классов и ти-
пов систем, для которых можно находить выражение полезности
через частные критерии при нынешнем уровне развития метода.
Однако из приведенных материалов видно, что класс таких систем
довольно широк. На некоторые ограничения можно указать уже
сейчас. Во-первых, метод функции полезности применим только к
таким техническим системам или устройствам, которые обладают
объективной полезностью, т. е. к системам или устройствам об-
щественного пользования или сводящимся к ним. Во-вторых, ме-
тод применим только к совокупности элементов, агрегатов и
устройств, характеризующихся полной функциональной закончен-
ностью, т. е. способных в данном составе удовлетворять ту или
иную потребность. Это свойство как раз и является признаком
технической системы.
Научно-технический прогресс немыслим без создания новых
технических систем и, следовательно, без принятия решений о
предпочтительных альтернативах. Ответственность подобных ре-
шений все больше и больше возрастает, необходимость гаранти-
ровать их объективную правильность становится все ощутимее.
Поэтому следует развивать методы, направленные к этой цели.
Считаю своим приятным долгом выразить глубокую благо-
дарность Б. В Бункину за идею разработки объективного срав-
нения альтернатив, а также В Д Зубакову и В. В Абрамову за
ценные замечания и советы.
280
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем — искусство и наука.—
М.: Мир, 1978,—418 с.
2 Диксон Дж. Проектирование систем: изобретательство, анализ и принятие
решений. — М.: Мир, 1969. — 440 с.
3. Холл А. Опыт методологии для системотехники. — М.: Советское радио,
1975. —447 с.
4. Саймон Г. Науки об искусственном. — М.: Мир, 1972.— 148 с.
5. Хилл П. Наука и искусство проектирования. — М.: Мир, 1973. — 263 с.
6. Шварц К., Гольдфарб Т. Поиски закономерностей в физическом мире.—
М.: Мир, 1977, —357 с.
7. Уилсон А., Уилсон М. Управление и творчество при проектировании си-
стем.— М.: Советское радио, 1976. — 255 с.
8. Джонс Дж. К. Инженерное и художественное конструирование. — М.: Мир,
1976, —374 с.
9. Пойа Д. Математическое открытие. — М.: Наука, 1976. — 448 с.
10. Льоцци М. История физики. — М.: Мир, 1970. — 464 с.
И. Д. фон Нейман, О. Моргенштерн. Теория игр и экономическое поведение.—
М.: Наука, 1970, —707 с.
12. Теория прогнозирования и принятия решений/Под ред. С. А. Саркисяна,—
М: Высшая школа, 1977. — 351 с.
13. Гуткин Л. С. Оптимизация радиоэлектронных устройств по совокупности
показателей качества. — М.: Советское радио, 1975. — 368 с.
14. Ларичев О. И. Наука и искусство принятия решений. — М.: Наука, 1979.—
200 с.
15. Дехтяренко В. А., Своятыцкий Д. А. Методы многокритериальной оптими-
зации сложных систем при проектировании. — Киев изд-во АН УССР:
1976 —41 с.
16. Макаров И. М., Озерный В. М., Ястребов А. П. Принятие решения о выборе
варианта сложной системы автоматического управления. — Автоматика и
телемеханика, 1971, № 3, с. 84—90.
17. Ларичев О. И. Метод оценки проектов проведения прикладных исследова-
ний и разработок. — Автоматика и телемеханика, 1972, № 8, с. 121—127.
18. Бснайюн Р., Ларичев О. И. и др. Линейное программирование с многими
критериями. Метод ограничений. — Автоматика и телемеханика, 1971, № 8,
с. 108—115.
19. Гафт М. Г., Ларичев О. И., Озерный В. М. Метод принятия решений в
выборе предпочтительных вариантов проекта сложной системы. — Приборы
и системы управления, 1973, № 6, с. 1—3.
20. Ириков В. А., Курилов А. Е. Оценка сложности реализации диалоговых
процедур определения приоритета. — АН СССР. Техническая кибернетика,
1974, № 1, с. 12—21.
21. Ларичев О. И. Человеко-машинные процедуры принятия решений. —Авто-
матика и телемеханика, 1971, № 12, с. 130—142.
22. Волкович В. Л. Многокритериальные задачи и методы их решения. —
В кн. Кибернетика и вычислительная техника, — Киев; Наукова думка,
1969, вып. 1, с. 44—52.
281
'Однокритериальные (одноцелевые)
задачи 12
Оценка неметрического критерия 207
Плата за полезность 158, 164, 203,
237
Показатель выдачи достоверной ин-
формации 217
Поле выбора 179, 207
Полезности аддитивные свойства 99
— алгоритмическое представление 78
-— функции 127, 214, 235, 236
-----, критерии и вид 242
-----РПП 272
Полезность агрегатов для сварки ма
гастральных трубопроводов 105
— АМС 217, 220
— городского маршрутного автобу
са 68, 224
— калькулятора 263
— медицинского интроскоиа 68
— пассажирского самолета 68
• — прибора для обнаружения кабе-
лей, труб под землей 84
— радиолокатора 61, 86, 265
— радчоретрансляциопной станции 82
— системы 43, 57, 63, 78, 212, 236
----- авторегулирования транспорт
ных потоков 43
-----навигационных ИСЗ 120
—' сравнительная, пример определе-
ния 237
— устройств общественного использо-
вания 59
— и частные критерии 54, 72
Потребительские показатели 93
— — приемника 94
Правдоподобные рассуждения 71
«Престол» 191
Приборы для обнаружения кабелей,
труб, залегающих неглубоко под
землей 84
Приемника избирательность 95
Принцип близости к «идеальной» си-
стеме 184
— максимальной экономии средств
182
— максимина 28
— равенства 26
— справедливой уступки 130
Проектирование наземной системы
многоканальной радиосвязи 82
— радиолокатора регулирования воз-
душного движения 90
— радиоприемника 93
— технических систем 10, 55
ПСОИ (пункт сбора и обработки ин-
формации) 210
286
Рабочее место конструктора 121
РИП (радиолокатор измерения пара-
метров орбит) 265
— , сравнение полезности 278
Самолетная система для обнаруже-
ния воздушных целен и управления
перехватом 103
Самолетный альтиметр 59, 130
Секторный радиолокатор 162
Синтез оптимальной системы 56
Система «Апоп 2» 169
— автоматического регулирования
технологического процесса 59
Системный подход И
Системы классификации объектов 111
— многофункциональные 87
— 1 одноразового действия 122
— «слепой» посадки самолетов 189
Специальные значимые параметры 74
Статистическая теория связи 219
Степень технике экономического ри-
ска 165
Стоимость запасных изделии и мате-
риалов 177
— оплаты труда обслуживающего
персонала 178
— как плата за полезность 172
— разработки 175
— системы 75, 166
Столкновения самолетов предупреж-
дение 45, 191
СЭС (солнечная электростанция) 88
Теория экспертных оценок 139
Удельная эффективность 160
УКП (условный критерий предпочте-
ния) 24
Устройство грозозащиты промышлен-
ных сооружений 59
ФСА (функционально-стоимостной)
анализ 9, 48
Целевые параметры 72
Частные критерии надежности 114
-------, нормирование 23
----- платы за полезность 77
— — полезности 72, 235
-------неметрические 130, 207
-------РИП 267
-------системы для обнаружения
косяков рыбы 96
—'-----эргономические 127
Экспертные группы 142
— оценки 131, 139
----- неметрических критериев 150
-----, роль выдающихся личностей
146
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ............................................................ 3
Глава 1. Методы решения многокритериальных задач....................12"
1.1. Виды многокритериальных задач..............................12'
1.2. Принципы поиска области изменения критериев................15-
1.3. Нормирование частных критериев..............................21
1.4. Общий подход к поиску оптимально* о решения.................24
1.6. Аддитивный критерий оптимальности...........................30
1.6. Мультипликативный критерий оптимальности....................36
1.7. Моделирование .............................................40"
1.8. Функционально-стоимостный анализ............................48
1.9. Краткие итоги.............................................5С-1
Глава 2. Полезность и частные критерии................................54
2.1. Задача проектирования и задача выбора.......................54
” 2.2. Полезность..................................................57
2.3. Формулирование полезности системы...........................53
2.4. Определение частных критериев полезности....................72
Глава 3. Аналитическое представление полезности .................... 78
3.1. Метод варьирования..........................................79
3.2. Использование потребительских показателей .... .93
3.3. Использование аддитивных свойств полезности.................99
3.4. Обращение с частными критериями вида случайных ошибок . 109
3.5. Обращение с частными критериями надежности.................115
3.6. Анализ сущности функционирования системы....................125
Глава 4. Неметрические частные критерии полезности..................130
4.1. Особенность неметрических критериев........................130
4.2. Экспертные оценки..........................................139
4.3. Экспертная оценка неметрических критериев..................150
Глава 5. Плата за полезность. Основы выбора.........................158
5.1. Обобщенный критерий........................................158
5.2. Виды платы за полезность...................................164
5.3. Стоимость как плата за полезность..........................172
5.4. Основы выбора..............................................178
287"
Глава 6. Применение метода функции полезности.........................189
6.1. Вводные замечания........................................... 189
6.2. Система для предупреждения -столкновения самолетов в воздухе 191
6.3. Автоматическая метеостанция.............................210
6.4. Городской маршрутный автобус............................224
6.5. Карманный калькулятор .......................................239
6.6. Радиолокатор контроля космического пространства .... 265
Заключение .......................................................... 278
Список литературы.....................................................281
Предметный указатель..................................................285
Теодор Рубенович Брахман
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОСТЬ И ВЫБОР
АЛЬТЕРНАТИВЫ В ТЕХНИКЕ
Редактор Н. Д. Иваиушко.
Оформление художника А. М. Титова.
Художественный редактор Г. Н. Кованое. Технический редактор Т. Н. Зыкина.
Корректор Н. В. Козлова
ИБ № 42
Сдано в набор 18 05.83 Подписано в печать 14.12.83
Т-23622 Формат 60X8471» Бумага писчая № 1 Гарнитура литературная
Печать высокая Усл. печ, л. 16,74 Уч.-изд. л 19,23 Усл. кр.-отт. 16,74
Тираж 5000 экз. Изд. № 19672 Зак. № 1051 Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Радио и связь». 101000 Москва, Почтамт, а/я 693
Набрано и отпечатано в типографии издательства «Радио и связь». 101000 Москва,
Почтамт, а/я 693
Тираж изготовлен в Ордена Октябрьской Революции и ордена Трудового Красного Знамени
Первой 'Образцовой типографии имени А. А. Жданова Союзполиграфпрома при Государствен-
ном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. Москва, М-54,
Валовая, 28.